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  • Modelado y control del péndulo invertido sobre carro mediante

    sistemas híbridos.

    Fernando Bote Ortega

  • Modelado y control del péndulo invertido sobre carro mediante sistemas híbridos._______________Autor: Fernando Bote Ortega

    2

    Índice

    1. Objetivos ............................................................ 8

    2. Introducción ...................................................... 9

    2.1. Sistema hardware ........................................ 9

    2.1.1. Motor lineal ............................................... 9

    2.1.2. Péndulo invertido ........................................ 12

    2.1.3. Instalación ................................................. 13 2.1.3.1. Motor lineal ............................................................... 14 2.1.3.2. Armario y panel de control ...................................... 15 2.1.3.3. Potenciómetro ........................................................... 16 2.1.3.4. Péndulo invertido ..................................................... 16

    2.2. Software y conexión ..................................... 17

    2.3. Sistemas híbridos ......................................... 20

    2.3.1. Introducción .............................................. 21 2.3.2. Diferentes enfoques en el modelado y

    análisis de sistemas híbridos .......................... 22

    3. Modelado .......................................................... 27

    3.1. Introducción ................................................ 27

    3.2. Variables continuas y discretas ..................... 27

  • Modelado y control del péndulo invertido sobre carro mediante sistemas híbridos._______________Autor: Fernando Bote Ortega

    3

    3.3. Modelado de la parte continua ..................... 28

    3.3.1. Modelo del carro ........................................ 29

    3.3.2. Modelo no lineal ......................................... 37

    3.3.3. Modelo de los rebotes .................................. 42

    3.3.4. Modelo linealizado ...................................... 52

    3.4. Modelado de la parte discreta ...................... 55 3.5. Integración de las variables continuas

    y discretas ................................................... 56

    4. Control .............................................................. 57

    4.1. Estrategia global de control híbrido ............. 57

    4.2. Alzamiento del péndulo ............................... 58

    4.2.1. Impulso inicial ........................................... 58

    4.2.2. Control de alzamiento ................................. 64

    4.3. Equilibrio del péndulo ................................ 73

    4.3.1. Introducción ............................................. 73 4.3.1.1. Principio de optimalidad ........................................ 74 4.3.1.2. Nota histórica .......................................................... 76 4.3.1.3. Control LQ discreto ............................................... 77 4.3.1.4. Transición [N – 1] → [N] ........................................ 77 4.3.1.5. Transición [N –2] → [N] ......................................... 79 4.3.1.6. Transición [k] → [N] .............................................. 80 4.3.1.7. Control LQ en tiempo continuo ............................ 83 4.3.1.8. Control LQ de Horizonte Infinito ......................... 85 4.3.1.9. Estimadores óptimos .............................................. 88

  • Modelado y control del péndulo invertido sobre carro mediante sistemas híbridos._______________Autor: Fernando Bote Ortega

    4

    4.3.1.10. Modelos de sistemas con ruidos ............................ 88 4.3.1.11. Filtro de Kalman discreto ..................................... 90 4.3.1.12. Notas ....................................................................... 99

    4.3.2. Implementación del control LQG ................. 103 4.3.2.1. Diseño de control LQR .......................................... 103 4.3.2.2. Diseño del filtro de Kalman .................................. 108

    5. Resultados ........................................................ 113

    5.1. Simulación del modelo global ...................... 113

    5.2. Ejecución en laboratorio del modelo global .. 118

    6. Conclusiones y posibles extensiones .............. 123

    ANEXO 1 ............................................................. 125

    Bibliografía .......................................................... 131

  • Modelado y control del péndulo invertido sobre carro mediante sistemas híbridos._______________Autor: Fernando Bote Ortega

    5

    Índice figuras.

    Figura 2.1 Representación de un motor lineal................................................... 10

    Figura 2.2 Motor lineal con plataforma móvil.................................................. 15

    Figura 2.3 Armario y panel de control............................................................... 15

    Figura 2.4 Péndulo invertido............................................................................... 16

    Figura 2.5 Pantalla ControlDesk........................................................................ 18

    Figura 2.6 Diagrama de conexionado del motor lineal..................................... 20

    Figura 3.1 Modelo usado en función del ángulo del péndulo........................... 28

    Figura 3.2 Diagrama simulink para accionamiento del motor lineal.............. 29

    Figura 3.3 Bloque Simulink del motor lineal..................................................... 30

    Figura 3.4 Respuesta real del motor a un escalón............................................. 32

    Figura 3.5 Diagrama de estados del carro.......................................................... 34

    Figura 3.6 Modelo Simulink del carro................................................................ 36

    Figura 3.7 Respuesta simulada del carro ante un escalón u=0.3...................... 36

    Figura 3.8 Diagrama de fuerzas que actúan en el sistema................................ 37

    Figura 3.9 Varilla con eje perpendicular por el centro..................................... 38

    Figura 3.10 Varilla con eje perpendicular por uno de sus extremos............... 39

    Figura 3.11 Diagrama de masas con respecto a un eje..................................... 39

    Figura 3.12 Valor del péndulo apoyado sobre la izquierda.............................. 43

    Figura 3.13 Valor del péndulo apoyado sobre la derecha................................. 43

    Figura 3.14 Caída libre del péndulo hacia la izquierda.................................... 45

    Figura 3.15 Caída libre del péndulo hacia la derecha....................................... 45

    Figura 3.16 Zona de rebotes de la izquierda...................................................... 46

    Figura 3.17 Modelo simulink del péndulo.......................................................... 49

    Figura 3.18 Simulación de caída libre del péndulo hacia la izquierda............ 50

    Figura 3.19 Simulación de la zona de rebotes izquierda................................... 50

    Figura 3.20 Simulación normalizada.................................................................. 51

    Figura 3.21 Modelo del autómata híbrido del péndulo..................................... 56

    Figura 4.1 Péndulo girando................................................................................. 59

    Figura 4.2 Modelo Simulink de impulso inicial................................................. 61

    Figura 4.3 Impulso inicial de entrada................................................................. 62

    Figura 4.4 Respuesta del sistema al impulso inicial........................................... 62

  • Modelado y control del péndulo invertido sobre carro mediante sistemas híbridos._______________Autor: Fernando Bote Ortega

    6

    Figura 4.5 Variación de la velocidad del carro ante el impulso inicial............ 63

    Figura 4.6 Variación del ángulo del péndulo ante el impulso inicial............... 64

    Figura 4.7 Modelo Simulink del controlador de alzamiento............................ 66

    Figura 4.8 Modelo Simulink del comparador de entradas............................... 67

    Figura 4.9 Ángulo para K=0.1............................................................................. 67

    Figura 4.10 Ángulo para K=0.2........................................................................... 68

    Figura 4.11 Ángulo para K=0.3........................................................................... 68

    Figura 4.12 Ángulo para K=0.4........................................................................... 69

    Figura 4.13 Modelo del controlador de alzamiento para el laboratorio.......... 69

    Figura 4.14 Señal del ángulo con ruido............................................................... 70

    Figura 4.15 Bloque compara ángulo.................................................................... 71

    Figura 4.16 Respuesta real alzamiento para K=0.3........................................... 72

    Figura 4.17 Respuesta real alzamiento para K=0.4........................................... 72