Document de travailpour le cours "Modles dactifs avec sauts".Master 2, nance. Thomas Duquesne12010-20111UniversitParis6, LPMA, Casecourrier188, 4placeJussieu, 75252ParisCedex05France ;email : thomas.duquesne@upmc.friiTable des matiresAvertissement. vI Etude dterministe. 1I.1 Rappels sur les mesures signes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.1.a Gnralits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.1.b Dcomposition de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.1.c Variation totale dune mesure signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.1.d Atomes, mesures diuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.2 Fonctions variations borne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.2.a Fonctions croissantes et mesures de Stieltjes. . . . . . . . . . . . . . . 7I.2.b Dnition des fonctions variation bornes. . . . . . . . . . . . . . . . 10I.2.c Intgrale contre une fonction variation borne. . . . . . . . . . . . . 13I.2.d Parties continue et discontinue dune fonction variation borne . . . 16I.3 Application un problme de calcul direntiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17I.3.a Formule dIt pour les fonctions variation borne. . . . . . . . . . . . 17I.3.b Formule de Dolans-Dade dans le cas dterministe. . . . . . . . . . . . 21II Processus de Poisson. 25II.1 Processus linaire homogne sur R+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25II.1.a Rappels sur les lois de Poisson et les lois exponentielles. . . . . . . . . 25II.1.b Un modle discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.1.c Construction des processus Poisson homognes sur R+. . . . . . . . . 30II.2 Nuages alatoires de points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32II.2.a Gnralits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32II.2.b Loi et indpendance de nuages alatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.2.c Produits, intersections et unions de nuages de points. . . . . . . . . . . 36II.3 Nuages Poissonniens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40II.3.a Dnition, premires proprits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40II.3.b Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II.3.c Formules de Palm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44II.3.d Formules exponentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50II.4 Nuages Poissonniens sur R+ E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53II.4.a Proprits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53II.4.b Un exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56III Modles dactifs avec sauts. 59iiiivIVExercices. 61IV.1Sur les fonctions variation borne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61IV.2Sur les processus de Poisson homognes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61IV.3Sur les nuages Poissonniens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64IV.4Sur les modles dactifs avec sauts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Avertissement.Ces notes sont un document de travail pour vous aider assimiler les notions de ce coursassez concentr. Je tiens prciser quelles ne sont destines quaux tudiants du M2 de nanceet que je nautorise aucune forme de diusion autre quinterne au M2. Elle ne remplacent pasla prise de notes. En eet, dun ct, jy ai mis beaucoup (trop) de dtails, dun autre ct,jenai pasjugutilederecopierlechapitre7duLambertonetLapeyre, qui estpourtantlaboutissement du cours.Le premier chapitre expose quelques rsultats sur les notions sur les fonctions variationborneetlaformuledeDolans-Dadedanscecadredterministe. Jai reprisdesnotesdecours de G. Pags.Lechapitre2exposelesprincipauxrsultatssurlesprocessusdePoisson. Unebonnerfrencesur lesujet est lelivredeJ.F. Kingman, PoissonProcesses, Oxfordstudies inprobability Nr 3, Clarendon Press, Oxford 1993. Durant le cours, jai relativement simpliet admis certains rsultats. Dans ces notes, jai dtaill quelques points techniques (pour ceuxquetoutcelaeraie, il peuventpenserqueE=Rdetsauterlespreuves). Enplusdeladnition, il fautessentiellementretenirlesprincipalesproprits(restriction, disjonction,superposition, image), la construction, la formule de Palm et les formules exponentielles. Unexemple instructif est dtaill.Le chapitre 4 regroupe quelques exercices. Il y en a peu : il faut donc les faire. Quasimenttouteslesides ncessaires larsolutiondes exercicesconcernantlesnuagesPoissonnienssont exposes dans lexemple de la n du chapitre 2. Les deux exercices sur les modles dactifsavec sauts ne sont pas compliqus. Je signale que 5 exercices sont donns la n du chapitre7duLambertonetLapeyre. Refaire, poursoi etendtail, lapreuveducalcul durisquequadratique constitue galement un bon exercice.Je vous souhaite de bonnes rvisions.Le 27 Janvier 2011,Thomas Duquesne.vChapitre IEtude dterministe.I.1 Rappels sur les mesures signes.I.1.a Gnralits.Dnition I.1.1Soit (E, E ) un ensemble mesurable. Soit : E:R. On dit que est unemesuresignesipourtoutesuiteAn E , n N,densemblesdeux--deuxdisjoints,ona

nN[(An)[ < et_ _nNAn_ =

nN(An) . (I.1)

Onvrieimmdiatementque () =0. Soient A, BE , deuxensemblesdisjoints. Enprenant dans (I.1)A0=A, A1=BetAn= , n 1, on a(A B) =(A) + (B). Parconsquent, pour toutC E ,(EC) = (E) (C).Contrairementauxmesurespositives,unemesuresignenepeutpasprendredevaleurinnie. Une mesure positive : E [0, ] est une mesure signe ssi elle est de masse nie.Soit (E, E ) un espace mesurable et soient 1 et 2, deux mesures de masse nie. On dnitune fonction sur EparA E, (A) = 2(A) 1(A) . (I.2)Il estfaciledevrierqueestunemesuresigne. Onlanote=2 1. Supposonspar exemple queEcontienne deux lments distinctsx ety. On pose =x y. On poseA= xet B=E. Ona(A)=1 0=(B)bienqueA B. Lesmesuressignesnont donc pas de proprit de monotonie simple. Nanmoins, on a le rsultat suivant qui estlquivalent de la proprit de monotonie squentielle des mesures positives.Lemme I.1.1Soit une mesure signe sur (E, E ). SoitAn E ,n N.(i) On suppose queAn An+1. Alors,_

nNAn_ = limn(An).(ii) On suppose queAn+1 An. Alors,_

nNAn_ = limn(An).Preuve : (b) se dduit de (a) par passage au complmentaire. Il sut donc de montrer (a) :onposeB0=A0et Bn=AnAn1, pourtout n 1. OnvoitquelesBnsontdisjoints12 I- Etudedterministe.deux--deux, queAn = 0knBket Bn = An. On a alors les galits suivantes :_ _nNAn_ =

nN(Bn) = limn

0kn(Bk) = limn(An) ,ce qui termine la preuve. Comme pour les mesures positives, le lemme prcdent entrane "lunicit du prolongementdes mesures signes."Thorme I.1.2Soit(E, E ) un espace mesurable. SoitPun pi-systme engendrantE . Sideux mesures signes concident surP, alors elle sont gales.Preuve:soientet,deuxmesuressignesconcidantsurP.Onreprendlapreuveduthorme dunicit du prolongement des mesures positives en posant L= B E: (B) =(B). On a suppos queP L. La monotonie squentielle des mesures signe tablie aulemme I.1.1 et des arguments simples montrent que Lest une classe monotone. Le thormede la classe monotone implique alors que (P) L ; comme L E , on a donc L= E , quiest bien quivalent = . I.1.b Dcomposition de Jordan.LethormedeJordan,quiestleprincipalrsultatdecettesection,montrequetoutemesure signe est de la forme (I.2).Thorme I.1.3(Dcomposition de Jordan) Soit une mesure signe sur lespace mesurable(E, E ). Il existe deux ensemblesA+etAdansEtels queA+ A= , A+ A=Eettels que si pour toutB E , on pose+(B) = (A+B) et(B) = (A B), alors+etsont deux mesures positives de masse nie ayant les proprits suivantes.(i) = +et pour toutB E ,+(B) = sup_(C) ;C E: C B_ et(B) = inf _(C) ;C E: C B_ .(ii) (+, )est luniquecoupledemesurespositivesdemassenietel quesi 1, 2:E R+sont deux mesures de masse nie satisfaisant = 2 1, alorsB E, 2(B) +(B) et 1(B) (B) . (I.3)Le couple (+, ) est la dcomposition de Jordan de.Preuve : on noteM= sup(A) ; A E qui appartient a priori [0, ] (en eet,M 0,car() = 0). On montre dabord queA+ E : (A+) = M< . (I.4)Par dnition de M, il existe des ensembles An E , n N, tels que limn(An) = M. On poseA = Anet pour toutn, on notePnla classe de tous les ensembles non-vides de la forme

0knAtko pour chaque 0 k n, lensembleAtkpeut tre soitAk, soitAAk. On noteN(n) le cardinal de Pn, et on bserve queN(n) 2n+1. De plus, on observe que les lmentsI.1.c - Variation totale dune mesure signe. 3non-vides dePnforment une partition deA. On indexePnpar Bn,i ; 1 i N(n). Deplus chaqueBn1,j Pn1 est runion dlmentsBn,i de Pn :Bn1,j =__Bn,i ; i 0, . . . , N(n) : Bn,i Bn1,j_ ,cest--direque Pnestunepartitionde Aqui estplusneque Pn1. OnnoteensuiteJn = 1 i N(n) : (Bn,i) 0 et on poseCn = iJn Bn,i. CommeAn est la runion decertainsBn,i, on a :(An) (Cn) . (I.5)Soitm (A+) = M,ce qui contredit la dnition deM. On en dduit queB A+, C A, (B) 0 et (C) 0 . (I.7)On dnit ensuite+etcomme dans le thorme. Il est clair que ce sont des fonctionssigma-additives densembles, par ailleurs elles sont positives : ce sont donc des mesures posi-tives surE . De plus commeA+etAforment une partition deE, on a bien =+ .Enn, pour tousB, C Etels queC B, on a(C) = +(C) (C) +(C) +(B) = (A+ B) .Cela entrane que sup(C) ;C E: C B = +(B). On dmontre de mme que (B) =inf(C) ;C E: C B, ce qui prouve (i).Montrons que (+, ) satisfait (I.3) : soitB E . Pour toutC Etel queC B, ona(C) =2(C) 1(C) 2(C) 2(B). En passant au sup enC, on a+(B) 2(B).Lingalit(B) 1(B), se dmontre de manire similaire. Si(+, ) est un couple demesures positives de masse nie satisfaisant (I.3), on obtient alors+/(B) +/(B) maisaussi+/(B) +/(B), pour toutB E , ce qui achve la preuve du thorme. I.1.c Variation totale dune mesure signe.On rappelle les notations (y)+= max(0, y) et (y) = max(0, y), pour respectivement lapartie positive et la partie ngative du rely. Ce sont des fonctions continues positives tellesque [y[ = (y)++ (y) ety = (y)+ (y). On a donc(y)+=12([y[ +y) et (y) =12([y[ y) .4 I- Etudedterministe.Pourunemesuresigne+jouelerledelapartiepositivedeetceluidesapartiengative. La "valeur absolue" dune mesure signe est plutt appele variation totale et ellese dnit comme suit.Dnition I.1.2Soitunemesuresignesurlespacemesurable(E, E ).Soit(+, )ladcomposition de Jordan de . Alors ++ est une mesure positive de masse nie que lonappelle variation totale de. On la note [[. Pour toutA E , on voit que[[(A) = +(A) +(A) [+(A) (A)[ = [(A)[ ,maisengnralcetteingaliteststricte.Onremarquegalementque+=12([[ + )et+=12([[ ). SiA+etA sont comme dans le thorme de dcomposition de Jordan, ona aussiB B , [[(B A+/) = +/(B) . (I.8)Si est une mesure positive de masse nie, on a donc = 0 et = [[ = +.I.1.d Atomes, mesures diuses.Nous allons brivement considrer les atomes et la partie diuse dune mesure signe oupositive. Pour que cette notion ait un sens il faut supposer que lespace mesur(E, E ), surlequel sont dnies les mesures que lon considre, contient les singletons, cest--direx E , x E. (I.9)Dnition I.1.3Soit une mesure signe ou positive sur un espace mesurable(E, E ) sa-tisfaisant (I.9). On dit que a un atome enx Esi(x) ,= 0. La quantit(x) est lamasse de latomex de. On utilise la notationAto() = x E: (x) ,= 0 .Si une mesure na pas datome, on dit quelle est diuse. Lemme I.1.4Soit unemesuresigneoupositivesigma-nie, surunespacemesurable(E, E ) satisfaisant (I.9). Alors Ato() est dnombrable (cest--dire, vide, ni ou en bijectionavec N).Preuve: par la dcomposition de Jordan ou par dnition dune mesure sigma-nie, on seramneaucasdunemesurepositivedemassenie: (E) < . Pourtout n N, onposeBn= x E: (x)> 2n. Supposons queBncompte au moinsp points distinctx1, . . . , xp. Par (I.9), x1, . . . , xp Eetp2n (x1) +. . . +(xp) = (x1, . . . , xn) (E) < .Cela implique que Bn est un ensemble ni comptant au plus 2n(E) lments. On conclut enremarquant que Ato() = nNBn. Pour tout B E, on pose #(B) = n si B est un ensemble ni n lments et #(B) = si Bestinni. Il estfaciledemontrerque#estunemesurepositive: cestlamesuredeI.1.d - Atomes, mesures diuses. 5comptagequiestdniesurlatribuP(E)detouslessous-ensemblesdeE.Onremarquegalement que #(x) = 1, pour toutx E. Par consquent, Ato(#) =E. Si Enest pasdnombrable, lamesuredecomptageauneinnitnon-dnombrabledatomes. Lelemmeprcdent montre que # nest pas sigma-nie, ce qui est facile voir directement.Lemme I.1.5Soit unemesuresignesurunespacemesurable(E, E )satisfaisant(I.9).On ax E , ((x))+= +(x) , ((x)) = (x) et [(x)[ = [[(x) .On a donc Ato(+) Ato() = et Ato(+) Ato() = Ato() = Ato([[). De plus,

xAto()[(x)[ [[(E) < .Preuve : soient A+et A comme dans le thorme de dcomposition de Jordan. Soit x E.CommeA+etA forment une partition deE, et soitx A+, soitx A. Dans le premiercas(x) =(x A+) =+(x)) 0. Dans le second cas, (x) =(x A) =(x)) 0, ce qui entrane le premier point du lemme. Le reste du lemme dcoule facilementde ce rsultat. Dnition I.1.4Soit une mesure signe ou positive sigma-nie sur un espace mesurable(E, E ) satisfaisant (I.9). On dit que est purement atomique sil existe un ensemble dnom-brableD Etel que [[(ED) = 0 si est une mesure signe, ou tel que(ED) = 0 siest une mesure sigma-nie. Exemple I.1.1Soitxn E, n Nunesuitedepointsdistinctsetan R, n N, unesuite de rels sommable : nN[an[< . Cela implique donc que nN(an)+/< . Onrappelle quex est la masse de Dirac enx. On pose1 =

nN(an)+xnet 2 =

nN(an)xn.Il est clair que1 et2 sont des mesures positives, sigma-nies. Elles sont de masse nies :1(E) =

nN(an)+< et 2(E) =

nN(an)< .En choisissant D = xn; n N, on vrie facilement que 1 et 2 sont purement atomiques.Onposeensuite=1 2, qui estdoncunemesuresigne. Il estfaciledevrierque+=1et que =2et donc que [[ = nN[an[xn. On voit donc que est purementatomique et on utilise la notation =

nNanxn. (I.10)Si on suppose seulement que lesan R+, n N (mais pas ncessairement que la suite(an)nN est sommable), alors on voit aisment que (I.10) dnit galement une mesure positivesigma-nie qui est purement atomique.Dans les deux cas, cest--dire si la suite (an)n0 relle sommable ou si elle est positive, lamesure dnie par (I.10) ne dpend pas de lindexation des xn et on a Ato() = xn; n N.Le lemme suivant montre que toute mesure purement atomique est de la forme (I.10). 6 I- Etudedterministe.Lemme I.1.6Soit unemesuresigneoupositivesigma-niesur unespacemesurable(E, E ) satisfaisant (I.9). On suppose que est purement atomique non-nulle. Alors =

xAto()(x)x.De plus, si est signe on a

xAto()[(x)[ = [[(E) < .Preuve: on ne dtaille la preuve que dans le cas o est une mesure signe, le cas sigma-ni seprouvantdemaniresimilaire. Il existeunensemblednombrable D Etel que[[(ED) = 0. Daprs le lemme I.1.5, on a [[(D) = xD [[(x) = xD [(x[< .On peut donc se ramener au cas oD = Ato(). Comme [(B)[ [[(B), pour toutB E ,on a(B (EAto())) = 0 et doncB E, (B) = (B Ato()) =

xAto()(x)1B(x) ,ce qui entrane facilement le rsultat voulu. Thorme I.1.7Soit une mesure signe ou positive sigma-nie sur un espace mesurable(E, E ) satisfaisant (I.9). On posea =

xAto()(x)xet d = ( (EAto()) ,aveclaconventiona=0et doncd=si Ato() = . Lesassertionssuivantessontvries.(i) aetdsont des fonctions densemble bien dnies : ce sont des mesures signes siestunemesuresigneetcesontdesmesurespositivessigma-niessi lest.Ona = a +d. De plus,aest purement atomique telle que Ato(a) = Ato() etdestdiuse. Enn (a)a = aet (d)d = d.(ii) Soient1et2, deux mesures de mme nature que (signes si lest ou positivessigma-nies si lest) telles que = 1+2. On suppose que 1 est purement atomiqueet que2est diuse. Alors1 = aet2 = d.Preuve:si lamesureestsigne, lelemmeI.1.5impliqueque xAto()[(x)[ < .Daprs la discussion qui prcde lnonc du lemme I.1.6,a est une mesure purement ato-mique bien dnie qui est de mme nature que. Il est clair que Ato(a) = Ato(). Commela mesure est purement atomique, il est galement clair que (a)a = a.On voit ensuite quedune mesure bien dnie car cest la restriction de EAto(),qui estclairementdemmenatureque. Il estclairquedestdiuse. Donc(d)a=0,ce qui entrane que(d)d=d. Comme(EAto()) = 0, on a bien =a + d, ce quitermine la preuve du point (i).Montronslepoint(ii): puisque2estdiuse, (x) =1(x)etononAto() =Ato(1). Le lemme I.1.6 permet de conclure. La proposition suivante rsulte immdiatement des rsultats prcdents.I.2.a - Fonctions croissantes et mesures de Stieltjes. 7Proposition I.1.8Soit unemesuresignesurunespacemesurable(E, E ) satisfaisant(I.9). On a(+)a = (a)+=

xAto()((x))+xet ()a = (a) =

xAto()((x))x.Par consquent([[)a = [a[ =

xAto()[(x)[x.Deplus (+)d=(d)+, ()d=(d)et ([[)d=[d[. Autrement dit les oprationsconsistant prendre la partie atomique et la partie diuse dune mesure signe commutent aveclesoprationconsistantprendrelavariationpositive,lavariationngativeetlavariationtotale dune mesure.I.2 Fonctions variations borne.Lebutdecettesectionestdednirdesintgralesdutype _[a,b]u(s)dF(s)pouruneclasse"raisonnable"defonctions uet F. Par"raisonnable", il fautcomprendrequenousallons considrer une classe de fonctionsFpour lesquelles le problme se ramne la thoriede la mesure usuelle.I.2.a Fonctions croissantes et mesures de Stieltjes.Nous commenons tout dabord par examiner le cas des fonctions croissantes. Dans cettesectiona etb dsignent deux rels distincts tels quea < b. Lintervalle [a, b] est muni de sesBorliensdontlensembleestnotB([a, b]).Ilestsous-entenduquetoutemesuresur[a, b]est au moins dnie sur les Borliens de [a, b]. On note la mesure de Lebesgue.Soit unemesurepositivenie sur [a, b]. Onnote F: [a, b]R+, safonctionderpartition :t [a, b] , F(t) = ([a, t]) . (I.11)Commeestpositive, Festcroissante. Lamonotoniesquentielledesmesurespositivesimplique que pour toute suitehn R+,n N dcroissant vers 0, on aitlimn([a, t +hn]) = ([a, t]) et limn([a, t hn]) = ([a, t[ ) .CelaimpliquequeFestcontinuedroiteetquepourtout t ]a, b], F(t)=([a, t[ ),oF(t) dsignelalimitegauchede F. Il est alors logiquedadopter laconventionF(a) =0. Pourtout t [a, b], onposeF(t) =F(t) F(t). LafonctionFestcontinue ent ssi F(t) = 0 et on vrie quet [a, b] , F(t) = (t) et Ato() = t [a, b] : F(t) > 0 .AutrementditAto()estlensembledespointsdediscontinuitdeFetestdiusessiF est continue. Le thorme suivant montre que rciproquement, toute fonction croissantecontinue droite, on peut associer une mesure nie dont elle est la fonction de rpartition (une constante additive prs).8 I- Etudedterministe.Thorme I.2.1(Lebesgue-Stieljes) SoitF: [a, b] R, une fonction croissante et continue droite. Il existe une unique mesure positive dnie sur les Borliens de [a, b] telle que([a, t]) = F(t) F(a) , t [a, b] . (I.12)On observe que(a) = 0 et queF(t) = F(a) +F(t), pour toutt [a, b]. La mesure estappele mesure de Stieltjes associe Fet elle est note = dF.Preuve : on pose M= F(b)F(a) et on dnit une fonction croissante F1: [0, M] [a, b]en posantF1(y) = inf _t [a, b] : F(t) F(a) > y_siy< M et F(M) = b.Soit 0 y< M. Supposons quil existet tel queF1(y) < t 0F1(y +h) = F1(y+) .Alors la premire ingalit montre queF(t) F(a)>y. La seconde ingalit implique quepour touth susamment petit on aF(t) F(a) y + h, et donc queF(t) F(a) y, cequi entraine une contradiction. Par consquentF1est continue droite.Ensuite, on remarque facilement quey [0, M] , F_F1(y) _ y F_F1(y)_ . (I.13)On note la mesure image de la restriction de lintervalle [0, M], cest--direB B([a, b]) , (B) = _y [0, M] : F1(y) B_ .Onxet [0, M]. Onsupposey 0 tel que t+ < M,on aF(t +) F(a) > y. On fait tendre vers 0 et par continuit droite deF, on obtientF(t) F(a) y. Cela montre linclusion suivante.[0, F(t)F(a)[ y [0, M[ : F1(y) [a, t] [0, F(t)F(a)] . (I.14)Par consquent,([a, t]) =([0, F(t) F(a)]) =F(t) F(a). Cela montre lexistence dunemesuresatisfaisant(I.12). Lunicitvientdelaremarquesuivante: laclassedensemblesP = [a, t] ;t [a, b] est un pi-systme qui gnre B([a, b]). Le thorme dunicit duprolongement des mesures permet alors de conclure la preuve. Ce thorme permet de rsoudre le problme que lon sest pos dans le cas des fonctionscroissantes continues droite. Siu estdF-intgrable, on utilise les notationsB B([a, b]) ,_BudF=_[a,b]1BudF=_Bu(s) dF(s) .Mentionnons que comme dF est une mesure nie, toute fonction Borlienne borne u : [a, b] R est intgrable.En utilisant les argument de la preuve du thorme de Lebesgue-Stieljes, on prouve ga-lement le lemme suivant qui est utile plus loin dans le chapitre.I.2.a - Fonctions croissantes et mesures de Stieltjes. 9Lemme I.2.2Soit T>0etsoit F:[0, T] Runefonctioncroissantecontinuedroitetelle queF(0) = 0. Alors pour toutn 1, et toutt [0, T],_[0,t]1(n1)!F(s)n1dF(s) 1n!F(t)n_[0,t]1(n1)!F(s)n1dF(s) . (I.15)Preuve: on poseM=F(T) et on dnitF1: [0, T] [0, M] comme dans la preuve duthorme I.2.1 de Lebesgue-Stieltjes. On y a montr := dFest la mesure image par F1dela mesure de Lebesgue restreinte [0, M]. Le thorme de changement de variable abstrait(ou thorme de transfert) implique que pour toute fonction Borlienne borne g : [0, T] R,on a_[0,T]g(s)dF(s) =_[0,M]g_F1(y)_d(y) . (I.16)On a donc_[0,t]F(s)n1dF(s) =_[0,M]1[0,t]_F1(y)_F_F1(y) _n1d(y).En eet, on a appliqu (I.16) g(s) = 1[0,t](s)F(s)n1. Par (I.13) et (I.14), on a1[0,t]_F1(y)_F_F1(y) _n1 1[0,F(t)](y) yn1,ce qui entrane donc que _[0,t]F(s)n1dF(s) _[0,F(t)]yn1d(y) =1nF(t)n, et cela prouvela premire ingalit du lemme. Pour prouver la seconde ingalit, on applique (I.16) g(s) =1[0,t](s)F(s)n1,pourobtenir _[0,t]F(s)n1dF(s)= _[0,M]1[0,t]_F1(y)_F_F1(y)_n1d(y).Par (I.13) et (I.14), on a 1[0,t]_F1(y)_F_F1(y)_n1 1[0,F(t)[(y) yn1, ce qui entrane doncque _[0,t]F(s)n1dF(s) _[0,F(t)[yn1d(y) =1nF(t)n. La formule dintgration par parties suivante est utile plus loin dans le chapitre.Proposition I.2.3Soit F, G: [a, b]R, deuxfonctions croissantes continues droite.Alors pour toutt [a, b], on aF(t)G(t) F(a)G(a) =_[a,t]F(s) dG(s) +_[a,t]G(s) dF(s) .Preuve : par le thorme de Fubini pour les mesures positives, on justie les galits suivantes(F(t) F(a))(G(t) G(a)) =__[a,t][a,t]dF(s) dG(r)=__ast),t, s R+.Preuve : voir lexercice IV.2.3. Proposition II.1.6Soient E1, . . . , En, desexponentiellesindpendantesdeparamtre c R+. AlorsS = E1 + . . . + Ensuit une loi dErlang de paramtres (n, c), cest--dire queSapour densitfS(t) =cntn1(n1)!ect,t R+.28 II- ProcessusdePoisson.Preuve : soitf: R+ R+ une fonction mesurable borne. On aE[f(S)] =_Rn+cnec(x1+...+xn)f(x1 +. . . +xn) dx1. . . dxn.On eectue le changement de variable linaire :t = x1 +. . . +xn, tn1 = x1 +. . . +xn1, . . . , t2 = x1 +x2, t1 = x1La matrice de transition est triangulaire avec des 1 sur la diagonale. Par ailleurs Rn+ est envoysur le domaine 0 t1 . . . tn1 t. On a doncE[f(S)] =_0t1...tn1tcnectf(t) dt dtn1. . . dt1.Une simple rcurrence montre que _0t1...tn1tdtn1. . . dt1 =tn1/(n 1)!, ce qui im-plique le rsultat par Fubini. Le dernier rappel concerne les statistiques dordre : soit (Un)n0, une suite i.i.d. de variablesuniformes sur [0, 1]. Il est facile de voir queP p.s. 1 k < l , Ul ,= Uk. (II.2)Cest--dire que si on poseN= : k ,= l tels queUk() = Ul(), on aP(N) = 0.Pourtout n N, onnoteSnlegroupedespermutationsdelensemble 1, . . . , netondnit une permutation alatoire n : Sn de la manire suivante :Si N, alors U1(), ... , Un() sont n lments distincts de [0, 1]. Il existe donc ununique lments de Sn tel queU(1)() < . . . < U(n)(). On pose alors n() = .Si N, on pose n() = Id1,...,n, lidentit sur 1, . . . , n.On poseU(n)p = Un(p),p 1, . . . , n et le vecteur (U(n)1, . . . , U(n)n ) est appele la statistiquedordren de (U1, . . . , Un). Il est facile de montrer les proprits suivantes.(i) P-p.s. on aU(n)1 U(n)2 . . . U(n)n1 U(n)n .(ii) La permutation alatoire n est indpendante de (U(n)1, . . . , U(n)n ).(iii) n est de loi uniforme sur Sn, cest--dire que P(n = ) = 1/n!, Sn.(iv) Pour toute fonctionF: RnR mesurable borne, on aE_F_U(n)1, . . . , U(n)n__ = n!_0x1t) = exp(t), t R+. Autrementdit lorsque h est proche de 0, les variables indpendantes (hEk(h))k1 sont proches dune suitei.i.d. de variables exponentielles de paramtre.Rsumonslesrsultatsapportsparcettebrveheuristique: oncherchednirunensemble alatoire de points qui soit inni dnombrable, "totalement alatoire" et "unifor-mment rparti" sur R+. Si un tel objet existe, alors il est raisonnable de penser quil satisfaitncessairement les proprits suivantes.(i) Il exite R+, tel que pour tous rels positifs a < b, la variable #([a, b]) comptantlenombredepointsdetombantdans[a, b], suituneloi dePoissondeparamtre(b a).(ii) Pour tous rels positifst1< . . . < tp, les variables#( [0, t1[) , #( [t1, t2[) , . . . , #( [tp1, tp[)sont indpendantes.(iii) peuttreindexencroissant: = T1