CHAPTER 7LINEAR PROGRAMMING MODELS:

GRAPHICKELOMPOK 1 :• RIZKY• PUTRI INDRIYANI (201180064)• DAVID WIRIANTAMA (201180003)• OCA JUNIO EDWIPA (201280020)• IMMANUEL CHRISTIAN (201280044)• ANDI PANDAPOTAN (201280053)• ARMANDO CP (201280068)• ADELLIN SONTRINA SINAMBELA (201380001)• VINA RENATA (201380003)• GABRIEL MARGARETA KRISTALIN (201380004)

Prinsip: Setiap organisasi berusaha

mencapai tujuan yang telah ditetapkan sesuai

dengan keterbatasan sumber daya.

Linier Programming:

Teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan dengan pengalokasian sumber daya secara optimal

LINIER PROGRAMMING LINIER PROGRAMMING

suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber

yang terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan

dilakukannya, dimana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan

jumlahnya terbatas

Model linier Programming:

• Pengertian, Contoh masalah dan Perumusan model• Metode penyelesaian (grafik dan simpleks)• Interpretasi hasil• Analisis sensistivitas • Penyimpangan-penyimpangan dari bentuk baku • Model Dualitas• Penyelesaian kasus (Aplikasi paket komputer)

Penerapan: Pengalokasian Sumberdaya Perbankan : portofolio investasi Periklanan Industri manufaktur : penggunaan mesin

– kapasitas produksi Pengaturan komposisi bahan makanan Distribusi dan pengangkutan Penugasan karyawan

• Bentuk Umum Pemrograman Linear

• Bentuk Baku Pemrograman Linear– Bentuk baku dari masalah program linear dengan m kendala dan n

peubah, merupakan bentuk umum program linear. Keutamaan dari bentuk baku ini adalah: (a) fungsi tujuan berbentuk maksimum atau minimum, (b) semua kendala utama digambarkan dalam bentuk persamaan, (c) semua peubah keputusan tidak negative, dan (d) nilai ruas kanan setiap kendala tidak negative . dalam bentuk baku maslah program linear dapat digambarkan bentuk soal sebagai berikut:

• mencari xj, j = 1, …, n

• yang memenuhi = bi I = 1, …, m

• atau memaksimumkan atau meminimumkan • Z = • Apabila fungsi tujuan diamaksimumkan maka soal disebut berpola

maksimum , dan bila fungsi tujuan diminimumkan maka soal disebut berpola minimum.

Karakteristik Persoalan LP: Ada tujuan yang ingin dicapai Tersedia beberapa alternatif untuk

mencapai tujuan Sumberdaya dalam keadaan terbatas Dapat dirumuskan dalam bentuk

matematika (persamaan/ketidaksamaan)

Contoh pernyataan ketidaksamaan: Untuk menghasilkan sejumlah meja dan kursi secara optimal, total biaya yang dikeluarkan tidak boleh lebih dari dana yang tersedia.

Pernyataan bersifat normatif

Dalam model LP dikenal 2 (dua) macam Dalam model LP dikenal 2 (dua) macam “fungsi”, “fungsi”,

1. Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan sasaran di dalam permasalahan LP yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumberdaya-sumberdaya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z.

2. Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

Asumsi-asumsi Dasar Asumsi-asumsi Dasar linier Programming linier Programming

1. Proportionality

naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat

kegiatan

2. Additivity nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain

Asumsi-asumsi Dasar Asumsi-asumsi Dasar linier Programming linier Programming

3. Divisibilitykeluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai Z yang dihasilkan

4. Deterministic (Certainty)Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model LP (aij, bi Cj) dapat diperkirakan dengan pasti,

meskipun jarang dengan tepat

Langkah-langkah dalam Perumusan Model LP

1. Definisikan Variabel Keputusan (Decision Variable) Variabel yang nilainya akan dicari

2. Rumuskan Fungsi Tujuan: Maksimisasi atau Minimisasi Tentukan koefisien dari variabel keputusan

3. Rumuskan Fungsi Kendala Sumberdaya: Tentukan kebutuhan sumber daya untuk

masing-masing peubah keputusan. Tentukan jumlah ketersediaan sumber daya

sebagai pembatas.

4. Tetapkan kendala non-negatif Setiap keputusan (kuantitatif) yang diambil tidak boleh mempunyai nilai negatif.

Beberapa konsep penting dalam penyelesaian persoalan LP

Extreme points: Titik-titik sudut daerah kelayakan (feasbile region)

Infeasible Solution:

Tidak ada solusi karena tdk semua kendala terpenuhi.

Unbounded Solution:

Solusi yang disbebabkan karena fungsi tujuan dibuat tanpa batas dan tdk melanggar funggsi kendala.

Redundancy:

Redundancy terjadi karena adanya kendala yang tdk mempengaruhi daerah kelayakan.

Alternative optima:

Solusi yang tdk memberikan nilai yang unik, terjadi bila garis fungsi tujuan berimpit dgn garis salah satu kendala.

CONTOH PERSOALAN DAN PENYELESAIANNYA

• Contoh Maksimisasi: (Persoalan 1)Loris Bakery menghasilkan 2 macam roti, yaitu roti A dan Roti B. untuk membuat roti A diperlukan bahan baku 1 sebanyak 4Kg dan bahan baku 2 sebanyak 2 Kg. sedangkan untuk membuat roti B diperlukan bahan baku 1 sebanyak 4Kg dan bahan baku 2 sebanyak 2Kg. jumlah bahan baku I dan bahan baku II yang di miliki Loris bakery sebanyak 60Kg dan 48Kg. Harga jual roti A Rp 6.000 dan roti B Rp 8.000. berapa hasil maksimal yang akan didapatkan perusahaan?

Perumusan persoalan dlm bentuk tabel:

Perumusan persoalan dlm bentuk matematika:

Harga Jual: Z = 6000X + 8000Y Dengan kendala: 4X + 2Y 60 2X + 4Y 48

M 0 K 0

BAHAN BAKU 1 BAHAN BAKU 2 HARGA JUAL

ROTI A 4 kg 2 kg Rp. 6000

ROTI B 2 kg 4 kg Rp. 8000

Jumlah Bahan Baku 60 48

Definisi variabel keputusan:

X = jumlah bahan baku 1 yang akan digunakanY = jumlah bahan baku 2 yang akan digunakan

Perumusan persoalan dalam model LP.

Perumusan fungsi tujuan:Harga jual Roti A adalah Rp. 6000 dan Roti B adalah Rp. 8000. Berapa hasil maksimal yang akan di dapatkan oleh perusahaan

Harga Jual: Z = 6000X + 8000Y

Kendala non-negatif: Meja dan kursi yang dihasilkan tidak memiliki nilai

negatif.M 0

K 0

Perumusan Fungsi Kendala: Kendala I:

Untuk membuat Roti A diperlukan Bahan Baku 1 sebanyak 3 kg dan Bahan Baku 2 sebanyak 2 kg.

4X + 2Y 60

Kendala II: Untuk membuat Roti B diperlukan Bahan Baku 1

sebanyak 2 kg dan Bahan Baku 2 sebanyak 5 kg

2X + 4Y 48

Penyelesaian secara grafik:

30

12

15 24X

Y

4X+ 2Y 60

2X + 4Y 48B(12,6)

C(15,0)

A(0,12)

O

Feasible Region

X=0 Y=12Y=0 X=24

X=0 Y=30Y=0 X=15

Keputusan:X = 12 dan Y = 6Laba yg diperoleh = 132.000

Pada C: X= 15, Y = 0Laba = 8000 (15) = 120000

Pada A: X = 0, Y = 12Laba = 6000 (12) = 72000

Laba = 6000X + 8000Y

Pada B: X = 12, Y = 6Laba = 6000(12) + 8000(6) = 120000

Contoh Persoalan 2 :Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek BAGUS, dgn sol karet, dan merek TRENDY dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1 membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek BAGUS mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek TRENDY tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu merek BAGUS = Rp 30.000,00 sedang merek TRENDY = Rp 50.000,00.

Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek BAGUS dan merek TRENDY yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba.

Bentuk TabelBentuk Tabel

Merek

Mesin

B T Kapasitas Maksimum

1 2 0 8

2 0 3 15

3 6 5 30Sumbangan

laba 3 5

Definisi variabel keputusan:B = merk sepatu BAGUST = merk sepatu TRENDY

Perumusan persoalan kedalam model LP

Perumusan fungsi tujuan:

Z = 3B + 5T Perumusan Fungsi Kendala:

Kendala MESIN 1 :

2B ≤ 8 Kendala MESIN 2:

3T ≤ 15 Kendala MESIN 3 :

6B + 5T ≤ 30

Kendala non-negatif:

B 0; T 0.

Fungsi batasan pertama (2Fungsi batasan pertama (2B B 8) 8)

Gambar di atas merupakan bagian yang memenuhi batasan-batasan: B 0, T 0 dan 2B 8

X2

X1

2B = 8

0 4

2B 8 dan B 0, T 0

Fungsi batasan (Fungsi batasan (2B2B 8); 3 8); 3TT 15; 15; 66BB + + 5T5T 30; 30; BB 0 dan 0 dan TT 0 0

B

2B = 8

4

6

5

6B + 5T = 30

D

A

Daerah feasible

T

B0

3T = 155

C

MENCARI KOMBINASI YANG OPTIMUMMENCARI KOMBINASI YANG OPTIMUM

Dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap alternatif Z = 3B + 5T

BC

2B = 8

4

6

5

6B + 5T = 30

D

A

Daerah feasible

T

B0

3T = 155

Titik D:Pada titik ini nilai B= 4; T= 0Nilai Z = 3(4) + 0 = 12

Titik C:B = 4. Substitusikan batasan (3), maka 6(4) + 5T = 30. Jadi nilai T = (30 –24)/5 = 6/5.Nilai Z = 3(4) + 5(6/5) =18

Titik B:T = 5. Substitusikan batasan (3), maka 6B + 5(5) = 30. Jadi nilai B = (30 –25)/6 = 5/6.Nilai Z = 3(5/6) + 5(5) = 27,5

Titik A:Pada titik ini nilai T = 5; B = 0Nilai Z = 3(0) + 5(5) = 25

C

Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengan titik origin.

ANDIEN FLORIST menyediakan dua jenis yaitu Standard dan Super. Kedua jenis pupuk tersebut mengandung campuran bahan Nitrogen dan Fosfat. Jenis Standard paling sedikit di produksi 2 unit dan jenis Super paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah Nitrogen dan Fosfat dalam setiap jenis pupuk:

Contoh Minimisasi (Persoalan 3)

Jenis PupukBahan

Kebutuhan maksimumNitrogen/Kg Fosfat/Kg

Standard 6 3 90Super 3 6 72Biaya per Kg Rp. 200.000 Rp. 80.000

Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis pupuk tersebut agar meminimumkan biaya produksi ?

Definisi variabel keputusan:N = Bahan NitrogenF = Bahan Fosfat

Perumusan persoalan kedalam model LP

Perumusan fungsi tujuan:

Z = 20N + 8F Perumusan Fungsi Kendala:

Kendala 1 :

6N + 3F ≤ 90 Kendala 2:

3N + 6F ≤ 72 Kendala Produksi :

N 2 : Produksi minimum

F 4 : Produksi minimum Kendala non-negatif:

N 0; F 0.

Penyelesaian secara grafik:

34

32

28

24

20

16

12

8

4

4 8 12 16 20 24 28 32 34P

Q

6P + 3Q 90

3P + 6Q 72

A

O

P=0 Q=12Q=0 P=24

P=0 Q=30Q=0 P=15

Q 4

P 2

B C

D

Feasible Region

• Titik A ditentukan oleh perpotongan garis kendala:– 3P+6Q=72 dan P =2→ 3(2)+6Q=72

Q= 11 → (2;11)

• Titik B = (2;4)

• Titik C ditentukan oleh perpotongan garis kendala:– 6P+3Q=90 dan Q=4→ 6P+2(4)=90

P= 13,7 → (13,7;4)

• Titik D = (12;6)

Biaya = 20P + 8Q

Pada titik A (2;11) = 20 (2) + 8 (11) = 128 Pada titik B (2;4) = 20 (2) + 8 (4) = 72 → MINIMUM Pada titik C (13,7;4) = 20 (13,7) + 8 (4) = 306Pada titik D (12;6) = 20 (12) + 8 (6) = 288