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  • Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique

    Ecole Prparatoire en Sciences et

    Techniques dOran

    Rappels de cours sur les vibrations, exercices

    corrigs et exercice supplmentaires

    Dr. Mostafa Kerim BENABADJI

    Novembre 2016

  • Avant-Propos

    La pratique denseignement, nous a amen constater la difficult quont les tudiants

    pour bien assimiler le cours, et cest pour cette raison quil a paru utile dcrire ce

    polycopi.

    Le programme de ce support correspond ce qui peut tre dispens raisonnablement

    durant un semestre de cours, en permettant une assimilation progressive des systmes

    en vibration.

    Ce recueil dexercices rsolus et autres supplmentaires en vibrations est un support

    pdagogique destin aux tudiants de la deuxime anne de lEcole Prparatoire en

    Sciences et Techniques dOran. Ce manuel regroupe des sries exercices des diffrents

    chapitres, savoir :

    - Rappel de cours sur les vibrations,

    - Gnralits sur les vibrations

    - Oscillations libres des systmes un seul degr de libert,

    - Oscillations amorties des systmes un seul degr de libert,

    - Oscillations forces des systmes un seul degr de libert

    - Oscillations libres des systmes deux degrs de liberts.

    Comme pour tous les exercices auto-correctifs, les solutions profitent plus aux tudiants

    qui fournissent leffort ncessaire pour rflchir et essayer de rsoudre les exercices

    proposs.

    Je souhaite que ce recueil dexercices corrigs et exercices supplmentaires en

    vibrations puisse aider de manire efficace la majorit dtudiants.

    Tu me dis, joublie. Tu menseignes, je me souviens.

    Tu mimpliques, japprends.

    (Benjamin Franklin)

  • SOMMAIRE

    Chapitre 1 : Gnralit sur les Vibrations : Rappels de Cours

    I. Gnralits sur les vibrations 01

    1. Dfinitions 01

    2. Equation de Newton 02

    3. Bilan nergtique 02

    4. Equation de Lagrange 02

    5. Stabilit lquilibre 03

    II. Cinmatique des vibrations harmoniques 04

    1. Interprtation vectorielle de la vibration harmonique 04

    2. Reprsentation dune vibration laide dune variable complexe 04

    III. Oscillateur harmonique simple sans amortissement 05

    1. Dfinition 05

    2. Equation de mouvement (rgime sinusodal) 05

    IV. Exemples doscillateurs mcaniques simple 05

    1. Relations fondamentales de la dynamique 05

    2. Bilan nergtique 09

    Chapitre 2 : Gnralit sur les Vibrations : Exercices Rsolus

    Enoncs des Exercices 10

    Solutions des Exercices 11

    Chapitre 3 : Oscillations libres des systmes un seul degr de libert

    Enoncs des Exercices 15

    Exercices supplmentaires 17

    Solutions des Exercices 19

    Chapitre 4 : Oscillations amorties des systmes un seul degr de libert

    Enoncs des Exercices 29

    Exercices supplmentaires 31

    Solutions des Exercices 33

    Chapitre 5 : Oscillations forces des systmes un seul degr de libert

    Enoncs des Exercices 42

    Exercices supplmentaires 43

    Solutions des Exercices 45

    Chapitre 6 : Oscillations libres des systmes deux degrs de libert

    Enoncs des Exercices 49

    Solutions des Exercices 52

    Rfrences 62

  • Chapitre 1 :

    Gnralits sur les

    vibrations Rappels

    de Cours

    I. Gnralits sur les vibrations

    1. Dfinitions

    2. Equation de Newton

    3. Bilan nergtique

    4. Equation de Lagrange

    5. Stabilit lquilibre

    II. Cinmatique des vibrations harmoniques

    1. Interprtation vectorielle de la vibration harmonique

    2. Reprsentation dune vibration laide dune variable

    complexe

    III. Oscillateur harmonique simple sans amortissement

    1. Dfinition

    2. Equation de mouvement (rgime sinusodal)

    IV. Exemples doscillateurs mcaniques simple

    1. Relations fondamentales de la dynamique

    2. Bilan nergtique

  • Ecole Prparatoire des Sciences et Techniques EPST-Oran Dr. Mostafa Kerim Benabadji

    1 Chapitre 1 : Gnralits sur les vibrations : Rappels de Cours

    I. Gnralits sur les vibrations :

    1. Dfinitions :

    1.1.Mouvement Vibratoire :

    On appel mouvement vibratoire le mouvement dun systme qui seffectue priodiquement de

    part et dautre dune position dquilibre.

    1.2.Mouvement priodique :

    On appel mouvement priodique, un mouvement qui se rpte identique lui-mme des

    intervalles de temps successifs de mme dure T.

    1.3.Mouvement sinusodale :

    On dit quun mouvement vibratoire est sinusodal, si llongation x (y ou z) dun point vibrant

    est une fonction sinusodale simple du temps.

    () = . sin( + ) () = . cos( + )

    Avec A : lamplitude dun mouvement, elle se place lorigine.

    et : tant sa pulsation : = 2. . =2.

    Ce type de mouvement est appel mouvement harmonique simple (MHS)

    Un mouvement oscillatoire nest harmonique que sil est linaire au voisinage dune position

    dquilibre stable.

    On dit que le mouvement oscillatoire est linaris si la rponse est directement

    proportionnelle la force applique.

    Pour linariser le mouvement dun systme oscillatoire, on fait appel des petites

    oscillations au voisinage dune position dquilibre stable afin dobtenir des quations

    diffrentielles du mouvement linaris facile rsoudre.

    Soit qi une coordonne gnralise (variable), si qi est petit (petite oscillation) on peut crire :

    sin() cos() 1

  • Ecole Prparatoire des Sciences et Techniques EPST-Oran Dr. Mostafa Kerim Benabadji

    2 Chapitre 1 : Gnralits sur les vibrations : Rappels de Cours

    1.4.Coordonnes gnralises :

    On appel coordonnes gnralises dun systme physique, un ensemble de variables relles

    permettant de dcrire ce systme (position et mouvement).

    { (, , )

    (, , )

    1.5.Degr de libert :

    On appel degr de libert (ddl) dun systme la capacit de ce systme deffectuer le mouvement

    de translation et de rotation par rapport aux axes.

    Exemple : Une bille roulant sur le sol (Ox, Oy, Oz) prsente 3 ddl.

    Remarque : A chaque coordonne gnralise correspond un degr de libert (1 ddl).

    2. Equation de Newton :

    2.1.Mouvement de translation :

    Si un systme de masse m est soumis des forces extrieures, la loi fondamentale de la

    dynamique (L.F.D.) nous donne : = =

    2.2.Mouvement de rotation :

    La Loi fondamentale de la dynamique dun mouvement de rotation scrit :

    (

    ) = . = .2

    2

    3. Bilan nergtique :

    Lnergie totale dun systme isol se conserve : = + =

    Lquation diffrentielle du mouvement dun systme est donne par :

    = 0

    4. Equation de Lagrange :

    La fonction de Lagrange ou Lagrangien reprsente la variation : = .

    (

    ) (

    ) =

    =

  • Ecole Prparatoire des Sciences et Techniques EPST-Oran Dr. Mostafa Kerim Benabadji

    3 Chapitre 1 : Gnralits sur les vibrations : Rappels de Cours

    (

    ) (

    ) = ()

    - Dfinition :

    Par dfinition la fonction de dissipation est gale la demi-puissance dissipe.

    =1

    2 =

    1

    22

    O : = 2 la puissance dissipe par les forces de frottement sous forme de chaleur

    Et est la constante de frottement.

    forces extrieures appliques { Force de Frotttement au systme

    Force entrainant le mouvement (sinusodal)

    Si = 0, le systme est isol et la fonction de Lagrange est diffrente dune fonction du

    temps ( ()), le systme est dit conservatif.

    (

    )

    = 0

    5. Stabilit lquilibre :

    Posons 0 la position dquilibre dun systme.

    Si

    |=0

    = 0 , vrifie la relation

    |=0

    = 0 et 2

    2 |

    =0

    > 0.

    Equilibre instable :

    On dit quune position q0 est instable si EP

    prsente un maximum en q0

    Equilibre stable :

    On dit dune position q0 est stable si cette

    dernire est un minimum de EP

  • Ecole Prparatoire des Sciences et Techniques EPST-Oran Dr. Mostafa Kerim Benabadji

    4 Chapitre 1 : Gnralits sur les vibrations : Rappels de Cours

    II. Cinmatique des vibrations harmoniques :

    1. Interprtation vectorielle de la vibration harmonique :

    On peut considrer une vibration harmonique comme tant un

    vecteur de module A dont lextrmit excute une rotation

    uniforme sur un cercle de rayon R=A, tandis que les extrmits

    de ses projections sur les axes ont des vibrations dfinies par :

    () = ( + ) et () = ( + )

    Ce mode de reprsentation dune vibration harmonique prsente surtout lintrt pour ltude

    de la composition dune vibration.

    2. Reprsentation dune vibration laide dune variable complexe :

    La vibration harmonique peut tre reprsente dans le plan complexe par la variable complexe

    Z, telque : = . (+) qui est explicit comme la somme de deux variables de vibration

    harmoniques = + = [( + ) + . ( + )].

    La partie relle de cette expression reprsente une vibration

    harmonique sur laxe Ox et la partie imaginaire une deuxime

    vibration sur laxe Oy (figure ci-contre).

    = () = ( + )

    = () = ( + )

    Le nombre complexe 0 = reprsente le vecteur sur le mme support t=0 tandis que

    le nombre = . (+) reprsente le vecteur que forme avec laxe Ox ( tant la vitesse

    angulaire gale 2

    , et ( + ) tant langle au temps t).

  • Ecole Prparatoire des Sciences et Techniques EPST-Oran

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