mh9s178nr2 biquadratische gleichungenxx a.z² -9z=0; z(z-9)=0; z 1 =x 1 ²=0; z 2 =x 2 ²=9; x 1 =0...

16
Mh9S178Nr2 Biquadratische Gleichungen X X X X a. z² -9z=0; z(z-9)=0; z 1 =x 1 ²=0; z 2 =x 2 ²=9; x 1 =0 x 2 = -3 x 3 =+3 d. 2z² -10z + 8 = 0; z 1 = x 1 ² =1 z 2 = x 2 ² = 4; x 1 =-1 x 2 = 1 x 3 =-2 x 4 = 2 Der Ausdruck Substitution (von lat. substituere = ersetzen) bezeichnet allgemein das Ersetzen einer bestimmten Sache durch eine andere. Der Ausdruck findet Anwendung in verschiedenen Fachgebieten.

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Page 1: Mh9S178Nr2 Biquadratische GleichungenXX a.z² -9z=0; z(z-9)=0; z 1 =x 1 ²=0; z 2 =x 2 ²=9; x 1 =0 x 2 = -3 x 3 =+3 d. 2z² -10z + 8 = 0; z 1 = x 1 ² =1 z

Mh9S178Nr2 Biquadratische Gleichungen

XX XX

a. z² -9z=0; z(z-9)=0; z1=x1²=0; z2=x2²=9; x1=0 x2 = -3 x3=+3

d. 2z² -10z + 8 = 0; z1= x1² =1 z2 = x2² = 4; x1=-1 x2 = 1 x3=-2 x4= 2

Der Ausdruck Substitution (von lat. substituere = ersetzen) bezeichnet allgemein das Ersetzen einer bestimmten Sache durch eine andere. Der Ausdruck findet Anwendung in verschiedenen Fachgebieten.

Page 2: Mh9S178Nr2 Biquadratische GleichungenXX a.z² -9z=0; z(z-9)=0; z 1 =x 1 ²=0; z 2 =x 2 ²=9; x 1 =0 x 2 = -3 x 3 =+3 d. 2z² -10z + 8 = 0; z 1 = x 1 ² =1 z

Mh9S178Nr3 Lösungen der Biquadratische Gleichungen

a. (x²-5)²=x4-10x²+25=16; z²-10z+9=0 z1=x1²=1; z2=x2²=9; x1=-1 x2 = +1 x3=-3 x4=3 vier Lösungen(x²-4)²=x4-8x²+16=16; z²-8z=0 z1=x1²=0; z2=x2²=8; x1=0 x2 = -8 x3=8 drei Lösungen (x²-3)²=x4-6x²+9=16; z²-6z-7=0 z1=x1²=-1; z2=x2²=7; x1= -7 x2 = 7 zwei Lösungen (x²+4)²=x4+8x²+16=16; z²+8z=0 z1=x1²=0; z2=x2²=-8; x1= 0 eine Lösung und keine Lösung(x²+5)²=x4+10x²+25=16; z²+10z+9=0 z1=x1²=-9; z2=x2²=-1; IL={}

b. Die biquadratische Gleichung kann durch Substitution in eine quadratische Gleichung überführt werden, die höchstens 2 Lösungen hat. Die Rücksubstitution führt zu je einer quadratischen Gleichung die wiederum maximal zwei Lösungen hat.

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Mh9S178Nr4 +5 Biquadratische Gleichungen

x 0; x 2; HN.: x·(x-2); x² -9x +20 = 0 x1= 4; x2= 5

x = ganzer Schwarm; x +8/9x + 4 = x; x² -153x+1296=0; x= 144

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Mh9S178Nr6 Biquadratische Gleichungen

a. biquadratisch z² -4z =0 z1=x1²=0; z2=x2²=4; x1=0; x2=-2; x3=2

b. nicht biquadratisch

c. nicht biquadratisch

d. biquadratisch 3z² -9z -12=0 z1=x1²=4; z2=x2²=-1; x1=-2; x2=2

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Mh9S178Nr7 Biquadratische Gleichungen

a. z = x²; z² =10 000 z1=x1²=100; z2=x2²=-100; x1=-10; x2=10z = x²; z² =0,0081 z1=x1²=0,09; z2=x2²=-0,09; x1=-0,3; x2=0,3

b. z = x²; z² =0 z1=x1²= 0; x1= 0z = x²; z² - z= 0 z1=x1²= 0; z2=x2²=1; x1=0; x2=-1; x3= 1

c. z = (x+3)²; z² =16 z1=x1²=-4; z2=x2²=+4; (x1+3)²=-4; x1² +6x1+13=0 D < 0 (x2+3)²=4 x2² +6x2+9=0 x2=-5; x3=-1z = (x+5)²; z² =0 z1=x²=0; (x+5)²=0; x=-5

d. z = x²; z² +16z = 0 z1=x1²=0; z2=x2²=-16; x=0;z = x²; z² - 16z = 0 z1=x1²=0; z2=x2²=16; x1=-4; x2=4

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Mh9S178Nr8 Biquadratische Gleichungen

a. z = x²; z² -25z=0 x1= 0; x2= -5; x3= 5 z = x²; 25z²-z =0 x1= 0; x2= -1; x3= 1

b. y4 –10y²+9=0 z = y²; y1=-3; y2=+3; y3= -1; y4= 1 x = z²; x2 –16x+15=0; z1=-4; z2=+4; z3= -1; z4= 1

c. z = x²; z² –13z+36=0 x1=-3; x2=+3; x3= -2; x4= 2z = y²; z² +10z+ 9 =0 z1=-9; z2=-1; keine Lösung

d. x = z²; x² –24x -25=0 x1=-1; x2=25; z1= -5; z2= 5z = x²; z² –26z+25=0 x1=-5; x2=5; x3= -1; x4= 1

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Mh9S178Nr9 Biquadratische Gleichungen

Ansatz: x = 1. Kathete y = 2. Kathete

x·y = 120

x² + y² = 26²

x1= 25,57; x2= 4,69; y1=4,69; y2=25,57

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Mh9S178Nr10 Biquadratische Gleichungen

a. Ansatz: x4 –12 = x² Lösungen: x1 = -2; x2= 2

b. Ansatz 2x4 –3 = 5x² Lösungen: x1;2 = ±2·2; x3;4= ±4,5

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Mh9S178Nr10 Lösung durch Substitution

a. Ansatz: z = x³ z² - 9z +8 = 0 Lösungen: x1³= 7,87; x1= 1,99 x2³= 1,13; x2= 1,04

b. Ansatz: z = y³ z² +7z -8 = 0 Lösungen: y1³= -8; y1= -2 y2³= 1; y2= 1

c. Ansatz: z = x4 z² -17z +16= 0 Lösungen: x14= 16; x1=-2 x2=2

x34= 1; x3=-1 x4=1

d. Ansatz: x = z4 x² +15x -16= 0 Lösungen: z14= -16;

z24= 1; z1=-1 z2=1

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Mh9S179Nr12 Bruchgleichungen

a. x 0; x 6; HN.: x·(x-6); x² +7x -30 = 0 x1= -10; x2= 3

b. x 0; x 3; HN.: x·(x-3); x² -4x -21 = 0 x1= -3; x2= 7

l. y -2; y 2; HN.: 3·(y+2)·(y-2); y² +y -30 = 0 y1= 5; y2= -6

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Mh9S179Nr13 Bruchgleichungen

a. x -3; x 1/3; HN.: (x+3)·(1-3x); 6x² -40x-14= 0 x1= -1/3; x2= 7

b. x 0,5; x 1/12; HN.: (1-2x)·(12x-1); 24x² +42x -12 = 0 x1= -2; x2= 0,25

f. x 0,5; x -4; HN.: (2x-1)·(x+4); x² -4x -5 = 0 y1= -1; y2= 5

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Mh9S179Nr14 Bruchgleichungen

Ansatz: Zuschuss für jeden Schüler 350:x

350:(x-3)- 350:x = 1,5 x 3; x 0; HN.: x·(x-3)

x² -3x –700 = 0 x1= -25; x2= 28

Es sind 28 Schüler

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Mh9S179Nr15 Bruchgleichungen

Ansatz: Länge=x Breite = y x·y = 990; (x-2)·(y-2)= 990-130

x² -67x +990 = 0 x1= 22; x2= 45 y1= 245; y2= 22

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Mh9S179Nr 16 Wurzelgleichungen

1 2

x(x 8) 3 quadr.

x(x 8) 9 T

x(x 8) 0 x 0

x² 8

oder x 8

x 9 0

x 1; x 9

1 2

4(x 3) x quadr.

4(x 3) x² T

x² 4x 12

4(x 3) 0 al

0

x 6; x 2(s.Pr obe

so x 3

)

1 2

7x 4 8 x quadr.

7x 4 64 16x x² T

x² 23x 60 0

x 3; x 20(s.Pr obe

47x 4 0 also x

7

)

1 2

1x 1 1 x quadr.

Einschränkend

52 1

x 1 1 x x² T5 25

eBedingung : x

x² 15x 50 0

x 5; x 10

1

1 2

3x 1 2x 1 9x 4 quadr.

3x 1 2 (3x 1)(2x 1) 2x 1 9x 4 T

(3x 1)(2x 1) 2x 2 quadr.

6x² x 1

1x

2

x 0,5(Einschr.Bed

4x²

1 1 4x und x und x also

8x 4

2x² 9x 5 0 x 5;

3

.)

2 9

0 0,5-0,444... -0,333...

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Mh9S179Nr 17 Wurzelgleichungen

1 2

7x 3 3x 7 quadr.

7x 3 9x² 42x 49 T

9x² 49x 52 0

4x 4; x 1 (s.Pr obe

3Einschr.Bed.: x

7

)9

Ansatz: 7x 3 3x 7

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Mh9S179Nr 18 Wurzelgleichungen

Zu a. Der Definitionsbereich ist ganz IR, denn die Wurzel im Nenner kann weder 0 noch negativ werden.

3x 4 2 3x² 16 quadr.

9x² 24x 16 4(3x² 16) T

3x² 24x 48 0

x 4

Zu f.

4

4

1 2

21 43

4 2y² 1 y² 3 quadr.

16(2y² 1) y 6y² 9 T

y 26y² 25 0

z y² z² 26z 25 0 z 1;z 25

; y 1; ; y 5y 1 y 5

1 1Einschr.Bed.: y 2

2 20,707