Metrologia IndustrialFundamentos da Confirmao Metrolgica6a Edio

Marco Antnio Ribeiro

Metrologia IndustrialFundamentos da Confirmao Metrolgica6a Edio)

Marco Antnio RibeiroQuem pensa claramente e domina a fundo aquilo de que fala, exprime-se claramente e de modo compreensvel. Quem se exprime de modo obscuro e pretensioso mostra logo que no entende muito bem o assunto em questo ou ento, que tem razo para evitar falar claramente (Rosa Luxemburg)

1993, 1994 e 1995, 1996 e 1999, 2004, Tek Treinamento & Consultoria Ltda. Salvador, Outono 2004

PrefcioNo use adjetivos, use nmeros!A maioria das pessoas ainda pensa que Metrologia se refere apenas Dimenso e Comprimento e trata de paqumetros, micrmetros, clibres e similares. Este preconceito deve ser eliminado, pois Metrologia a Cincia da Medio e se refere medio de qualquer grandeza fsica. A importncia da Metrologia evidente, pois ela uma ferramenta absolutamente essencial para a garantia da qualidade de qualquer produto ou servio de engenharia. O presente trabalho foi escrito como suporte de um curso ministrado a engenheiros e tcnicos ligados, de algum modo, medio de alguma grandeza fsica. Ele enfoca os aspectos tcnicos, fsicos e matemticos da medio da grandeza fsica. Inicialmente, apresentado o Sistema Internacional de Unidades (SI), com sua histria, caractersticas e as regras para a escrita correta de nomes, smbolos, prefixos e mltiplos das unidades das grandezas fsicas. Os Algarismos Significativos so conceituados e tratados, para que sejam usados e entendidos corretamente. So vistos os conceitos bsicos da Estatstica da Medio para tratar corretamente os erros aleatrios, conceituando mdias, desvios, distribuies e intervalos de confiana da medio. As Quantidades Medidas so definidas e classificadas sob diferentes enfoques e so apresentados os conceitos, unidades, formas e padres das sete quantidades de base, das duas suplementares e das principais derivadas, nas reas da fsica, qumica, eletrnica e instrumentao. A seguir so vistas os Instrumentos de Medio, onde so apresentados os diferentes mtodos de medio, as aplicaes da medio na indstria e os diferentes tipos de instrumentos usados nas medies. O desempenho do instrumento analisado e so apresentadas as especificaes tpicas e os parmetros da preciso e da exatido. Os erros aleatrios, sistemticos e grosseiros da medio so conceituados e apresentados os meios para eliminar, diminuir ou administrar tais erros, considerando sua fonte de origem. Finalmente, analisada a Confirmao Metrolgica da medio, onde so definidos os conceitos de calibrao e ajuste, os diferentes tipos de padres, as abrangncias das normas e a situao dos laboratrios nacionais (INMETRO) e internacionais. So apresentados como Apndices: o Vocabulrio de Metrologia (A), comentrios sobre as Normas ISO 9000 (C) e a relao dos Laboratrios da Rede Brasileira de Calibrao (D) publicada em MAI 97, pela CQ Qualidade, Editora Banas. O autor ficar mais feliz, se ao fim da leitura do presente trabalho, as pessoas passarem a usar mais nmeros que adjetivos. O trabalho est continuamente sendo revisto, quando so melhorados os desenhos, editadas figuras melhores, atribudos os crditos a todas as fotografias usadas. Sugestes e crticas destrutivas so benvidas, no endereo do autor: Rua Carmen Miranda 52, A 903, CEP 41820-230, Fone (0xx71) 452-3195 e Fax (0xx71) 452-4286, Mvel(071) 9989-9531 e no e-mail: marcotek@uol.com.br

Marco Antnio RibeiroSalvador, BA, Outono 2004

AutorMarco Antnio Ribeiro nasceu em Arax, MG, no dia 27 de maio de 1943, s 7:00 horas A.M.. Formou-se pelo Instituto Tecnolgico de Aeronutica (ITA), em Engenharia Eletrnica, em 1969. Foi professor de Matemtica, no Instituto de Matemtica da Universidade Federal da Bahia (UFBA) (1974-1975), professor de Eletrnica na Escola Politcnica da UFBA (1976-1977), professor de Instrumentao e Controle de Processo no Centro de Educao Tecnolgica da Bahia (CENTEC) (1978-1985) e professor convidado de Instrumentao e Controle de Processo nos cursos da Petrobrs (desde 1978).

Foi gerente regional Norte Nordeste da Foxboro (1973-1986). J fez vrios cursos de especializao em instrumentao e controle na Foxboro Co., em Foxboro, MA, Houston (TX) e na Foxboro Argentina, Buenos Aires.

Possui dezenas de artigos publicados em revistas nacionais e anais de congressos e seminrios; ganhador do 2o prmio Bristol-Babcock, no Congresso do IBP, Salvador, BA, 1979. Desde agosto de 1987 diretor da Tek Treinamento & Consultoria Ltda, firma dedicada instrumentao, controle de processo, medio de vazo, aplicao de instrumentos eltricos em reas classificadas, Implantao de normas ISO 9000 e integrao de sistemas digitais. Suas caractersticas metrolgicas so: altura: (1,70 01) m; peso correspondente massa de (70 2) kg; cor dos olhos: castanhos (cor subjetiva, no do arco ris)., cor dos cabelos (sobreviventes): originalmente negros, se tornando brancos; tamanho do p: 40 (aplicvel no Brasil, adimensional). Gosta de xadrez, corrida, fotografia, msica de Beethoven, leitura, trabalho, curtir os filhos e a vida. Corre, todos os dias, cerca de (10 2) km e joga xadrez relmpago todos os fins de semana. provavelmente o melhor jogador de xadrez entre os corredores e o melhor corredor entre os jogadores de xadrez (o que no nenhuma vantagem e nem interessa Metrologia).

Bblia e MetrologiaLevtico, 19 35: No faais nada contra a equidade, nem no juzo, nem na regra, nem no peso, nem na medida. 36: Seja justa a balana e justos os pesos; seja justo o alqueire e justa a medida Deuteronmio, 25, Pesos e medidas justas 13. No ters na tua bolsa pesos diferentes, um grande e outro pequeno. 14. No ters na tua casa duas efas, uma grande e outra pequena. 15. Ters peso inteiro e justo, ters efa inteira e justa; para que se prolonguem os teus dias na terra que o Senhor teu Deus te d. 16. Porque abominvel ao Senhor teu Deus todo aquele que faz tais coisas, todo aquele que prtica a injustia. Ezequiel, 45 10. Tereis balanas justas, efa justa e bato justo. 11. A efa e o bato sero duma mesma medida, de maneira que o bato contenha a dcima parte do hmer e a efa a dcima parte do hmer; o hmer ser a medida padro. Ams, 8, 5. Quando passar a lua nova, para vendermos o gro? E o sbado, para expormos o trigo, diminuindo a medida, e aumentando o preo, e procedendo dolosamente com balanas enganadoras... Miqueias, 6, 11. Justificarei ao que tem balanas falsas e uma bolsa cheia de pesos enganosos?

Contedo1.Sistema Internacional (SI)Objetivos de Ensino

11

2. Estatstica da MedioObjetivos de Ensino 1. Estatstica Inferencial1.1. Introduo 1.2. Conceito 1.3. Variabilidade da Quantidade

2323 2323 23 24

1. Sistema de Unidades1.1. Unidades 1.2. Histria 1.3. Sistema Internacional (SI) 1.4. Poltica IEEE e SI

11 1 3 5

2. Populao e Amostra 3. Tratamento Grfico3.1. Distribuio de Freqncia 3.2. Histograma 3.3. Significado metrolgico

25 2626 28 28

2. Mltiplos e Submltiplos Prefixo Smbolo Fator de 10 3. Estilo e Escrita do SI3.1. Introduo 3.2. Maisculas ou Minsculas 3.3. Pontuao 3.4. Plural 3.5. Agrupamento dos Dgitos 3.6. Espaamentos 3.7. ndices 3.8. Unidades Compostas 3.9. Uso de Prefixo 3.10. ngulo e Temperatura 3.11. Modificadores de Smbolos

5 5 5 5 66 6 7 8 8 9 10 10 11 11 11

4. Mdias4.1. Mdia Aritmtica 4.2. Raiz da Soma dos Quadrados

2929 30

5. Desvios

30

4. Algarismos Significativos

12

4.1. Introduo 12 4.2. Conceito 12 4.3. Algarismo Significativo e o Zero 12 4.4. Notao cientfica 13 4.5. Algarismo Significativo e a Medio 14 4.6. Algarismo Significativo e o Display 15 4.7. Algarismo Significativo e Calibrao 16 4.8. Algarismo Significativo e a Tolerncia 16 4.9. Algarismo Significativo e Converso 17 4.10. Computao matemtica 18 4.11. Algarismos e resultados 21

5.1. Disperso ou Variabilidade 30 5.2. Faixa (Range) 30 5.3. Desvio do Valor Mdio 31 5.4. Desvio Mdio Absoluto 31 5.5. Desvio Padro da Populao 31 5.6. Desvio Padro da Amostra 32 5.7. Frmulas Simplificadas 32 5.8. Desvios da populao e da amostra 32 5.9. Desvio padro de operaes 33 5.10.Coeficiente de variao 33 5.11. Desvio Padro Das Mdias 33 5.12. Varincia 34

6. Distribuies dos dados6.1. Introduo 6.2. Parmetros da Distribuio 6.3. Tipos de distribuies 6.4. Distribuio normal ou de Gauss

3535 35 35 36

7. Intervalos Estatsticos7.1. Intervalo com n grande (n > 20) 7.2. Intervalo com n pequeno (n < 20) 7.3. Intervalo com n pequeno (n < 10) 7.4. Intervalo para vrias amostras

3939 39 39 40

8. Conformidade das Medies8.1. Introduo 8.2. Teste Q 8.3. Teste do 2 (qui quadrado) 8.4. Teste de Chauvenet 8.5. Outros Testes 8.6. Conformidade (goodness of fit) 8.7. No-Conformidades

4141 41 41 43 44 44 44

i

Metrologia Industrial 3. Quantidades MedidasObjetivos de Ensino 1. Quantidade Fsica1.1. Conceito 1.2. Valor da quantidade 1.3. Classificao das Quantidades 1.4. Faixa das Variveis 1.5. Funo Matemtica

4545 4545 45 45 48 49

5. Erros da Medio5.1. Introduo 5.2. Tipos de Erros 5.3. Erro Absoluto e Relativo 5.4. Erro Dinmico e Esttico 5.5. Erro Grosseiro 5.6. Erro Sistemtico 5.7. Erro Aleatrio 5.8. Erro Resultante Final

106106 106 107 107 108 109 114 115

2. Quantidades de Base do SI2.1. Comprimento 2.2. Massa 2.3. Tempo 2.4. Temperatura 2.5. Corrente Eltrica 2.6. Quantidade de Matria 2.7. Intensidade Luminosa 2.8. Quantidades Suplementares

5051 53 56 58 66 67 68 68

6. Incerteza na Medio6.1. Conceito 6.2. Princpios Gerais 6.3. Fontes de Incerteza 6.4. Estimativa das Incertezas 6.4. Incerteza Padro 6.5. Incerteza Padro Combinada 6.6. Incerteza Expandida

116116 116 118 118 118 118 119

5. Confirmao MetrolgicaObjetivos de Ensino 1. Confirmao Metrolgica1.1. Conceito 1.2. Necessidade da confirmao 1.3. Terminologia 1.4. Calibrao e Ajuste 1.5. Tipos de calibrao 1.6. Erros de calibrao 1.7. Calibrao da Malha 1.8. Parmetros da Calibrao

121121 121121 121 121 122 123 126 126 127

4 Instrumentos de MedioObjetivos de Ensino 1. Medio1.1. Metrologia 1.2. Resultado da Medio 1.3. Aplicaes da Medio 1.4. Tipos de Medio

69 6969 7070 70 70 72

2. Instrumentos da Medio2.1. Manual e Automtico 2.2. Contato e No-Contato 2.3. Alimentao dos Instrumentos 2.4. Analgico e Digital 2.5. Instrumento Microprocessado

7373 74 74 75 78

3. Padres3.1. Padres fsicos e de receita 3.1. Rastreabilidade

133133 134

4. Normas e Especificaes4.1. Norma 4.2. Especificaes 4.3. Hierarquia 4.4. Tipos de Normas 4.5. Abrangncia das Normas 4.6. Relao Comprador-Vendedor 4.7. Organizaes de Normas 4.8. INMETRO

137137 138 138 138 138 138 139 139

3. Sistema de Medio3.1. Conceito 3.2. Sensor 3.3. Condicionador do Sinal 3.4. Apresentao do Sinal

8181 82 83 87

4. Desempenho do Instrumento

90

4.1. Introduo 90 4.2. Caractersticas do Instrumento 90 4.3. Exatido 91 4.4. Preciso 92 4.5. Parmetros da Preciso 93 4.6. Especificao da Preciso 97 4.7. Rangeabilidade 98 4.8. Preciso Necessria 99 4.9. Relao entre padro e instrumento 100 4.10. Projeto, Produo e Inspeo 105

ii

Metrologia Industrial A. Vocabulrio de Metrologia 1411. Grandezas e Unidades 1421.1. Grandeza (mensurvel) 142 1.2. Grandeza medida (Mensurando) 142 1.3. Grandeza de base 142 1.4. Grandeza suplementar 142 1.5. Grandeza derivada 142 1.6. Grandeza, dimenso de uma 142 1.7. Unidade (de medio) 143 1.8. Unidade, smbolo de 143 1.9. Unidade, sistema de 143 1.10. Valor (de uma grandeza) 143 1.11. Valor verdadeiro (de uma grandeza) 143 1.12. Valor verdadeiro convencional (de uma grandeza) 144 1.13. Valor verdadeiro, erro e incerteza 144 1.14. Valor numrico (de uma grandeza) 145

4. Instrumento de Medio

149

2. Medio2.1. Metrologia 2.2. Medio 2.3. Princpio de medio 2.4. Mtodo de medio 2.5. Procedimento de medio 2.6. Mensurando (mensurand) 2.7. Grandeza de influncia 2.8. Grandeza de modificao 2.9. Sinal de medio (measurement signal) 2.10. Rudo (noise)

145145 145 145 145 145 145 145 145 146 146

4.1. Instrumento de medio (measuring instrument) 149 4.2. Medida materializada (material measure) 149 4.3. Transdutor de Medio (measuring transducer) 149 4.4. Transmissor (transmitter) 149 4.5. Cadeia de medio (measuring chain) 149 4.6. Sistema de medio (measuring system) 149 4.7. Indicador (indicator) 149 4.8. Registrador (recorder) 150 4.9. Totalizador (totalizer) 150 4.10. Instrumento analgico (analog instrument) e digital (digital instrument) 150 4.11. Mostrador (display, dial) 150 4.12. ndice (index) 150 4.13. Escala (scale) 151 4.14. Escala com zero suprimido (supressed zero scale) 151 4.15. Escala com zero elevado (elevated zero scale) 151 4.16. Escala expandida (expanded scale) 151 4.17. Sensor (sensor) 151 4.18. Faixa de indicao (range of indication) 151 4.19. Amplitude de faixa (span of indication) 151 4.20. Escala linear (linear scale) 152

3. Resultado da Medio3.1. Resultado de uma medio 3.2. Resultado no corrigido 3.3. Resultado corrigido 3.4. Erro (da medio) 3.5. Erro relativo 3.6. Erro aleatrio 3.7. Erro sistemtico 3.8. Correo (do erro) 3.9. Fator de correo 3.10. Incerteza 3.11. Incerteza (da medio) 3.12. Incerteza padro 3.13. Incerteza padro combinada 3.14. Incerteza expandida 3.15. Avaliao Tipo A (de incerteza) 3.16. Avaliao Tipo B (de incerteza) 3.17. Fator de cobertura

146146 146 146 146 147 147 147 147 147 147 147 148 148 148 148 148 148

5. Caractersticas do Instrumento de Medio 1525.1. Faixa nominal (nominal range) 152 5.2. Valor nominal (nominal value) 152 5.3. Condies de Utilizao (rated operating conditions) 152 5.4. Condies Limites (limiting conditions) 152 5.5. Condies de Referncia (reference conditions) 152 5.6. Constante de um instrumento (instrument constant) 152 5.7. Caracterstica de resposta (response characteristic) 153 5.8. Sensibilidade (sensitibility) 153 5.9. Limiar de mobilidade (discrimination, threshold) 153 5.10. Resoluo (resolution) 153 5.11. Zona morta (dead zone) 153 5.12. Estabilidade (stability) 153 5.13. Discriminao (transparency) 153 5.14. Deriva (drift) 153 5.15. Tempo de resposta 153 5.16. Exatido da medio 153 5.17. Classe de exatido 153 5. 18. Repetitividade (de resultados de medies) 154

iii

Metrologia Industrial5.19. Reprodutibilidade 154 5.20. Erro 154 5.22. Limite de Erro Admissvel 154 5.23. Erro de um instrumento de medio 154 5.24. Erro no ponto de controle 154 5.25. Erro no zero (zero error) 154 5.26. Erro no span (span error) 155 5.27. Erro intrnseco (intrinsic error) 155 5.28. Tendncia (bias) 155 5.29. Iseno de Tendncia (freedom from bias) 155 5.30. Erro fiducial (fiducial error) 155 7.3. Comprovao Metrolgica Reviso 2000 da ISO 9000 175 177

Concluso final C. Rede Brasileira de Calibrao

178 179

D. Fundamentos da Qualidade 181Objetivos de Ensino 1. Histria da Qualidade1.1. Primrdios 1.2. Qualidade Moderna

181 181181 181

6. Conceitos estatsticos6.1. Estatstica 6.2. Probabilidade 6.3. Varivel aleatria 6.5. Funo distribuio 6.6. Parmetro 6.7. Caracterstica 6.8. Populao 6.9. Freqncia 6.10. Expectativa (de uma varivel aleatria ou de uma distribuio de probabilidade; valor esperado; mdia 6.11. Desvio padro 6.12. Estimativa 6.13. Varincia 6.14. Covarincia 6.15. Correlao 6.16. Independncia 6.17. Representao grfica

156156 156 156 156 157 157 157 157 157 157 158 158 159 159 160 160

2. Conceito de Qualidade

183

2.1. Conformidade 183 2.2. Adequao ao uso 183 2.3. Satisfao do comprador a um preo competitivo 183

3. Caractersticas da Qualidade3.1. Varivel 3.2. No-conformidade 3.3. Atributo 3.4. Defeito 3.5. Padro e Especificao

183184 184 184 184 184

4. Aspectos da Qualidade4.1. Qualidade de Projeto 4.2. Qualidade de conformidade 4.3. Qualidade de Desempenho

185185 185 185

B. Normas ISO 90001. Introduo 2. Aspectos Legais 3. Histrico 4. Normas ISO4.1. ISO 9000 4.2. ISO 9001 4.3. ISO 9002 4.4. ISO 9003 4.5. ISO 9004 4.6. Outras normas ISO

163163 163 164 164164 165 165 165 165 165

5. Gerenciamento da Qualidade Total5.1. Introduo 5.2. Sistema de Qualidade Total 5.3. Malha da Qualidade

186186 186 186

6. Inspeo e Preveno6.1. Inspeo 6.2. Modo Preveno

191191 191

7. Medio

191

8. Algumas Filosofias de Qualidade 1918.1. Introduo 191 8.2. W. Edwards Deming e sua filosofia 191 8.3. Philip B. Crosby e sua filosofia 193 8.4. Joseph M. Juran e sua filosofia 193 8.5. Comparao das Trs Filosofias 194

5. Filosofia da Norma

166

5.1. Controle e manuteno do equipamento 166 5.2. Controle do equipamento de medio e ensaio 166 5.3. Calibrao do equipamento 166

Referncias Bibliogrficas Normas

197 199

6. Equipamento de Inspeo, Medio e Teste 167 7. Certificao pela ISO 90007.1. Projeto 7.2. Implementao

170170 172

iv

1.Sistema Internacional (SI)Objetivos de Ensino1. Relatar como apareceram as unidades e se desenvolveu o sistema mtrico, que se tornou o Sistema Internacional de Unidades. 2. Apresentar as unidades, smbolos, prefixos e modificadores das quantidades fsicas. 3. Recomendar as regras de formatao e escrita correta das quantidades, unidades e smbolos do Sistema Internacional. 4. Mostrar a converso de unidades, atravs da anlise dimensional. 5. Conceituar valor exato e aproximado atravs de algarismos significativos. 6. Mostrar as regras de arredondamento, soma, subtrao, multiplicao e diviso de algarismos significativos. 7. Apresenta o formato da notao cientfica dos nmeros. 8. Discutir os mtodos apropriados para fazer os clculos e apresentar o resultado de modo conveniente e entendido para todos os ramos da engenharia.

1. Sistema de Unidades1.1. UnidadesUnidade uma quantidade precisamente estabelecida, em termos da qual outras quantidades da mesma natureza podem ser estabelecidas. Para cada dimenso h uma ou mais quantidades de referncia para descrever quantitativamente as propriedades fsicas de algum objeto ou material. Por exemplo, a dimenso de comprimento pode ser medida em unidades de kilmetro, metro, centmetro, p ou a distncia entre o nariz e a ponta do dedo de uma pessoa. A dimenso do tempo pode ser medida em unidades segundos, minutos, horas, dias, meses, anos.

1.2. HistriaBblia A preocupao de se ter um nico sistema de unidades est na Bblia, onde se tem vrias passagens, como: ter dois pesos e duas medidas abominvel para o Senhor (Provrbios, 20, 10). A Bblia tambm tinha preocupaes metrolgicas: No faais nada contra a equidade, nem no juzo, nem na regra, nem no peso, nem na medida. Seja justa a balana e justos os pesos; seja justo o alqueire e justa a medida (Levtico, 19, 35-36)

Antigidade As antigas civilizaes j tinham percebido a necessidade de criao de unidades para a troca de mercadorias. Os padres de peso datam de 7000 A.C. e os padres de comprimento datam de 3000 A.C. Os babilnicos e os romanos j haviam estabelecido padres e nomes para unidades. Originalmente, os padres e unidades eram escolhidos por convenincia prtica e se baseavam em medidas do corpo humano. Depois, verificou-se que era prefervel desenvolver padres baseados em fenmenos naturais reprodutveis em vez de padres baseados no corpo humano. Como existe um grande nmero de dimenses, necessrio um sistema de unidades para se ter medies confiveis e reprodutveis e para uma boa comunicao entre todos os envolvidos com as medies. O desenvolvimento tecnolgico em transportes e comunicaes e o aumento do comrcio globalizado tem mostrado a necessidade de uma linguagem comum de medio, um sistema capaz de medir qualquer quantidade fsica com unidades que tenham definio clara e precisa e uma relao lgica com as outras unidades. Sistema ingls O sistema ingls, tambm chamado de imperial, usado na Inglaterra, Estados Unidos e Canad, mas mesmo nestes pases h

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Sistema Internacionalmuitas diferenas em seus detalhes. O insuspeito cientista ingls William Thompson, Baro Kelvin (1824-1907), dizia que o Sistema Imperial Ingls de unidades era absurdo, ridculo, demorado e destruidor de crebro. De fato, a maioria das unidades se baseava em medidas do corpo humano, geralmente do corpo do rei de planto. Por exemplo, a jarda (yard) era a distncia do nariz ao polegar com o brao estendido do rei ingls Henry I (circa 1100). O sistema ingls no coerente e h vrios mltiplos entre a maioria das unidades. Por exemplo, para o comprimento tem-se 12 polegadas para um p 3 ps para uma jarda 1760 jardas para uma milha. Algumas pessoas tem a idia errada que o sistema mtrico atual, o SI, seja uma criao recente e intencional para confrontar a tecnologia americana. Ele apareceu antes de os Estados Unidos se tornarem uma potncia tecnolgica. A tecnologia americana pode realmente ser melhorada pela coerncia do SI. Em 1975, nos Estados Unidos, foi decretado o Ato de Converso Mtrica, dando indstria americana a oportunidade de se mudar voluntariamente para o sistema SI. Nos Estados Unidos ainda h uma resistncia para mudar as unidades, principalmente pelos segmentos da indstria que so estritamente domsticos e pelo pblico em geral. Isto natural, pois a mudana altera um modo de vida consagrado e requer uma reeducao e aprendizado de novos termos. Sistema Decimal A idia de um sistema decimal de unidades foi concebida pelo ingls Simon Stevin (15481620). Em 1671, o padre francs Gabriel Mouton, definiu uma proposta para um sistema decimal, baseando-se em medidas da Terra, em vez de medidas relacionadas com dimenses humanas. As unidades decimais foram tambm consideradas no primeiros dias da Academia Francesa de Cincias, fundada em 1666. O que tornou o sistema mtrico uma realidade foi a aceitao social e poltica da Revoluo Francesa. Em seu entusiasmo para romper as tradies europias existentes, os lderes da Revoluo acreditaram que at o sistema de medio deveria ser mudado porque o existente fora criado pela monarquia. Uma comisso de cientistas franceses foi formada para estabelecer um novo sistema de medio baseado em normas absolutas e constantes encontradas no universo fsico. Tayllerand props um sistema decimal internacional de pesos e medidas a tous de temps, a tous les peuples. Embora este trabalho tenha iniciado nesta poca, a finalizao da comisso foi muito demorada e difcil. Sistema CGS O primeiro sistema mtrico oficial, chamado de centmetro-grama-segundo (CGS), foi proposto em 1795 e adotado na Frana em 1799. Em 1840 o governo francs, em resposta a uma falta do entusiasmo pblico para o uso voluntrio do sistema, tornou obrigatrio o sistema CGC. Outros pases do mundo tambm adotaram oficialmente o sistema CGS. Em 1866, no incio de seu desenvolvimento tecnolgico, os Estados Unidos promulgaram um ato tornando legal o sistema mtrico. Em 1873 a Associao Britnica do Avano da Cincia recomendou o uso do sistema CGS e desde ento ele foi aplicado em todas as reas da cincia. Por causa do uso crescente do sistema mtrico atravs da Europa, o governo francs convidou vrias naes para uma conferncia internacional para discutir um novo prottipo do metro e um nmero de padres idnticos para as naes participantes. Em 1875, o Tratado do Metro definiu os padres mtricos para o comprimento e peso e estabeleceu procedimentos permanentes para melhorar e adotar o sistema mtrico. Este tratado foi assinado por 20 pases, inclusive o Brasil. Foi constituda a organizao internacional Conference Generale des Poids et Mesures (CGPM), para fornecer uma base razovel de unidades de medio precisa e universal. Esta organizao consiste do Comit International des Poids et Mesures (CIPM) que fornece a base tcnica e que possui o laboratrio de trabalho Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). A CGPM constituda pelos delegados de todos os estados membros da Conveno do Metro e se rene de seis em seis anos para: 1. garantir a propagao e aperfeioamento do SI, 2. sancionar os resultados de novas determinaes metrolgicas fundamentais 3. adotar decises que se relacionem com a organizao e desenvolvimento do BIPM. Sistema MKSA Depois do Tratado do Metro, tornou-se necessrio definir claramente os significados e as unidades de massa, peso e fora. Em 1901, a 3a CGPM declara que o kilograma uma unidade de massa e o termo peso denota uma quantidade de fora. A deciso de definir o kilograma (e grama) de um modo diferente do que foi definido no sistema CGS requer um

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Sistema Internacionalnovo sistema, MKS, baseado no metrokilograma-segundo. Em 1935, a Comisso Internacional de Eletrotcnica (IEC) incorpora uma quarta unidade base de corrente, o ampre. Com esta adio, o sistema ficou conhecido como MKSA (ou Giorgi). Simples e preciso, O SI simples, de modo que cientistas, engenheiros e leigos podem us-lo e ter noo das ordens de grandeza envolvidas. No possui ambigidade entre nomes de grandezas e de unidades. No degradvel O SI no se degrade, de modo que as mesmas unidades so usadas ontem, hoje e amanh. Universal Os smbolos e nomes de unidades formam um nico conjunto bsico de padres conhecidos, aceitos e usados no mundo inteiro. Concluso O SI oferece vrias vantagens nas reas de comrcio, relaes internacionais, ensino e trabalhos acadmicos e pesquisas cientficas. Atualmente, mais de 90% da populao do mundo vive em pases que usam correntemente ou esto em vias de mudar para o SI. Os Estados Unidos, Inglaterra, Austrlia, Nova Zelndia, frica do Sul adotaram legalmente o SI. Tambm o Japo e a China esto atualizando seus sistemas de medidas para se conformar com o SI. A utilizao do SI recomendada pelo BIPM, ISO, OIML, CEI e por muitas outras organizaes ligadas normalizao, metrologia e instrumentao. uma obrigao de todo tcnico entender, respeitar e usar o SI corretamente.

1.3. Sistema Internacional (SI)Em 1960, a 11a CGPM deu formalmente o nome de Systeme International d'Unites, simbolizado como SI (Sistema Internacional) e o estabeleceu como padro universal de unidades de medio. SI um smbolo e no a abreviatura de Sistema Internacional e por isso errado escrever S.I., com pontos. O SI um sistema de unidades com as seguintes caractersticas desejveis: Coerente Ser coerente significa que o produto ou o quociente de quaisquer duas unidades a unidade da quantidade resultante. Por exemplo, o produto da fora de 1 N pelo comprimento de 1 m 1 J de trabalho. Decimal, No sistema decimal, todos os fatores envolvidos na converso e criao de unidades so somente potncias de 10. No SI, as nicas excees se referem s unidades de tempo baseadas no calendrio, onde se tem 1 dia 24 horas 1 hora 60 minutos 1 minuto 60 segundos nico, No sistema, h somente uma unidade para cada tipo de quantidade fsica, independente se ela mecnica, eltrica, qumica, ou termal. Joule unidade de energia eltrica, mecnica, calorfica ou qumica. Poucas Unidades de base As sete unidades de base so separadas e independentes entre si, por definio e realizao. Unidades com tamanhos razoveis, Os tamanhos das unidades evitam a complicao do uso de prefixos de mltiplos e submltiplos. Completo O SI completo e pode se expandir indefinidamente, incluindo nomes e smbolos de unidades de base e derivadas e prefixos necessrios.

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Sistema Internacional

Tab. 1.1. Decises da Conferncia Geral de Pesos e Medidas1a CGPM (1889) Estabeleceu padres fsicos para kilograma e metro (*). a CGPM (1901) 3 Diferencia kilograma massa do kilograma forca. Define litro como o volume ocupado por 1 kg de gua com densidade mxima. Estabelece a acelerao normal da gravidade como g = 9,806 65 m/s2. 7a CGPM (1927) Define com maiores detalhes o metro fsico (*). Define unidades fotomtricas de vela nova e lumen novo (*). 9a CGPM (1948) Define unidade de forca no MKS, joule e watt. Define ampre, volt, ohm, coulomb, farad, henry e weber. Diferencia o ponto trplice do ponto de gelo da gua (0,01 oC). Estabelece a unidade de calor como joule. Escolhe grau Celsius entre grau centgrado, centesimal e Celsius. Padroniza a grafia dos smbolos de unidades e nmeros. 10a CGPM (1954) Define o ponto trplice da gua como igual a 273,15 K. Define atmosfera normal como 101,325 N/m2. Define seis unidades de base (metro, kilograma, segundo, grau Kelvin*, ampre e candela. 11a CGPM (1960) Estabelece o Sistema Internacional de Unidades, SI. Redefine o metro baseando-se no comprimento de onda da radiao do Kr-86. Define segundo como 1/31 556 925,974 7 do ano trpico para 0 janeiro 1900*. Estabelece 1 L = 1,000 028 dm3. Introduz as unidades suplementares: radiano e esterradiano. 12a CGPM (1964) Prope mudana no segundo. Recomenda uso de unidades SI para volume e abole o litro para aplicaes de alta preciso. Abole curie (Ci) como unidade de atividade dos radionucldeos. Acrescenta os prefixos femto (10-15) e atto (10-18). 13a CGPM (1968) Define segundo como durao de 9 192 631 770 perodos da radiao de 133Ce*. Muda a unidade de temperatura termodinmica de grau kelvin (oK) para kelvin (K). Define candela (*). Aumenta o nmero de unidades derivadas. Revoga e suprime o micron e vela nova. 14a CGPM (1971) Adota pascal (Pa) como unidade SI de presso, siemens (S) de condutncia eltrica. Define mol como unidade de quantidade de matria. 15a CGPM (1975) Recomenda o tempo universal coordenado. Recomenda o valor da velocidade da luz no vcuo como c = 299 792 458 m/s. Adota becquerel (Bq) para atividade ionizante e gray (Gy) para dose absorvida. Introduz os prefixos peta (1015) e exa (1018) 16a CGPM (1979) Redefine candela como intensidade luminosa e revoga vela nova. Adota sievert (Sv) como unidade SI de equivalente de dose. Aceita os smbolos l e L para litro. 17a CGPM (1983) Redefine o metro em relao velocidade da luz no vcuo * - Deciso a ser revista, revogada, modificada ou completada posteriormente.

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1.4. Poltica IEEE e SIA poltica (Policy 9.20) adotada pelo IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers). A poltica de transio para as unidades SI comeou em 01 JAN 96, estgio 1, que requer que todas as normas novas e revises submetidas para aprovao devem ter unidades SI. No estgio 2, a partir de 01 JAN 98, d-se preferencia s SI. A poltica no aprova a alternativa de se colocar a unidade SI seguida pela unidade no SI em parntesis, pois isto torna mais difcil a leitura do texto. recomendvel usar notas de rodap ou tabelas de converso. No estgio 3, para ocorrer aps 01 JAN 2000, prope-se que todas as normas novas e revistas devem usar obrigatoriamente unidades SI. AS unidades no SI s podem aparecer em notas de rodap ou em anexos informativos. Foram notadas trs excees: 1. Tamanhos comerciais, como sries de bitola de fios AWG 2. Conexes baseadas em polegadas 3. Soquetes e plugs Quando houver conflitos com normas ou prticas de indstria existentes, deve haver uma avaliao individual e aprovado temporariamente pelo IEEE. A implementao do plano no requer que os produtos j existentes, com parmetros em unidades no SI, sejam substitudos por produtos com parmetros em unidades SI.

2. Mltiplos e SubmltiplosComo h unidades muito pequenas e muito grandes, elas devem ser modificadas por prefixos fatores de 10. Por exemplo, a distncia entre So Paulo e Rio de Janeiro expressa em metros de 4 x 109 metros. A espessura da folha deste livro cerca de 1 x 10-7 metros. Para evitar estes nmeros muito grandes e muito pequenos, compreensveis apenas para os cientistas, usam-se prefixos decimais s unidades SI. Assim, a distncia entre So Paulo e Rio se torna 400 kilmetros (400 km) e a espessura da folha de papel, 0,1 milmetros (0,1 mm). Os prefixos para as unidades SI so usados para formar mltiplos e submltiplos decimais das unidades SI. Deve-se usar apenas um prefixo de cada vez. O smbolo do prefixo deve ser combinado diretamente com o smbolo da unidade. Tab. 1.2 - Mltiplos e Submltiplos Prefixo yotta zetta exa peta tera giga mega** kilo** hecto* deca* deci* centi* mili** micro** nano pico femto atto zepto yocto Observaes* Exceto para o uso no tcnico de centmetro e em medidas especiais de rea e volume, devem-se evitar estes prefixos. ** Estes prefixos devem ser os preferidos, por terem potncias mltiplas de 3

Smbolo Y Z E P T G M k H da d c m n p f a z y

Fator de 10 +24 +21 +18 +15 +12 +9 +6 +3 +2 +1 -1 -2 -3 -6 -9 -12 -15 -18 -21 -24

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3. Estilo e Escrita do SI3.1. IntroduoO SI uma linguagem internacional da medio. O SI uma verso moderna do sistema mtrico estabelecido por acordo internacional. Ele fornece um sistema de referncia lgica e interligado para todas as medies na cincia, indstria e comrcio. Para ser usado sem ambigidade por todos os envolvidos, ele deve ter regras simples e claras de escrita. Parece que o SI exageradamente rigoroso e possui muitas regras relacionadas com a sintaxe e a escrita dos smbolos, quantidades e nmeros. Esta impresso falsa, aps uma anlise. Para realizar o potencial e benefcios do SI, essencial evitar a falta de ateno na escrita e no uso dos smbolos recomendados. Os principais pontos que devem ser lembrados so: 1. O SI usa somente um smbolo para qualquer unidade e somente uma unidade tolerada para qualquer quantidade, usando-se poucos nomes. 2. O SI um sistema universal e os smbolos so usados exatamente da mesma forma em todas as lnguas, de modo anlogo aos smbolos para os elementos e compostos qumicos. 3. Para o sucesso do SI deve-se evitar a tentao de introduzir novas mudanas ou inventar smbolos. Os smbolos escolhidos foram aceitos internacionalmente, depois de muita discusso e pesquisa. Sero apresentadas aqui as regras bsicas para se escrever as unidades SI, definindo-se o tipo de letras, pontuao, separao silbica, agrupamento e seleo dos prefixos, uso de espaos, vrgulas, pontos ou hfen em smbolos compostos. Somente respeitando-se estes princpios se garante o sucesso do SI e se obtm um conjunto eficiente e simples de unidades. No Brasil, estas recomendaes esto contidas na Resoluo 12 (1988) do Conselho Nacional de Metrologia, Normalizao e Qualidade Industrial.

3.2. Maisculas ou MinsculasNomes de Unidades Os nomes das unidades SI, incluindo os prefixos, devem ser em letras minsculas quando escritos por extenso, exceto quando no incio da frase. Os nomes das unidades com nomes de gente devem ser tratados como nomes comuns e tambm escritos em letra minscula. Quando o nome da unidade fizer parte de um ttulo, escrever o nome das unidades SI do mesmo formato que o resto do ttulo. Exemplos: A corrente de um ampre. A freqncia de 60 hertz. A presso de 15,2 kilopascals. Temperatura No termo grau Celsius, grau considerado o nome da unidade e Celsius o modificador da unidade. O grau sempre escrito em letra minscula, mas Celsius em maiscula. O nome de unidade de temperatura no SI o kelvin, escrito em letra minscula. Mas quando se refere escala, escreve-se escala Kelvin. Antes de 1967, se falava grau Kelvin, hoje, o correto kelvin. Exemplos: A temperatura da sala de 25 graus Celsius. A temperatura do objeto de 303 kelvin. A escala Kelvin defasada da Celsius de 273,15 graus Smbolos Smbolo a forma curta dos nomes das unidades SI e dos prefixos. incorreto chamlo de abreviao ou acrstico. O smbolo invarivel, no tendo plural, modificador, ndice ou ponto. Deve-se manter a diferena clara entre os smbolos das grandezas, das unidades e dos prefixos. Os smbolos das grandezas fundamentais so em letra maiscula. Os smbolos das unidades e dos prefixos podem ser de letras maisculas e minsculas. A importncia do uso preciso de letras minsculas e maisculas mostrada nos seguintes exemplos: G para giga; g para grama K para kelvin, k para kilo N para newton; n para nano T para tera; t para tonelada e T para a grandeza tempo. S para siemens, s para segundo M para mega e M para a grandeza massa P para peta e Pa para pascal e p para pico L para a grandeza comprimento e L para a unidade litro. m para mili e m para metro H para henry e Hz para hertz

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Sistema InternacionalW para watt e Wb para weber Os smbolos so preferidos quando as unidades so usadas com nmeros, como nos valores de medies. No se deve misturar ou combinar partes escritas por extenso com partes expressas por smbolo. Letra romana para smbolos Quase todos os smbolos SI so escritos em letras romanas. As duas nicas excees so as letras gregas (mi ) para micro (10-6) e (mega) para ohm, unidade de resistncia. Nomes dos smbolos em letra minscula Smbolos de unidades com nomes de pessoas tem a primeira letra maiscula. Os outros smbolos so escritos com letras minsculas, exceto o smbolo do litro que pode ser escrito tambm com letra maiscula (L), para no ser confundido com o nmero 1. Exemplos: A corrente de 5 A. O comprimento da corda de 6,0 m. O volume de 2 L. Smbolos com duas letras H smbolos com duas letras, onde somente a primeira letra deve ser escrita como maiscula e a segunda deve ser minscula. Exemplos: Hz smbolo de hertz, H smbolo de henry. Wb smbolo de weber, W smbolo de watt. Pa smbolo de pascal, P prefixo peta (1015) Uso do smbolo e do nome Deve-se usar os smbolos somente quando escrevendo o valor da medio ou quando o nome da unidade muito complexo. Nos outros casos, usar o nome da unidade. No misturar smbolos e nomes de unidades por extenso. Exemplo correto: O comprimento foi medido em metros; a medida foi de 6,1 m. Exemplo incorreto: O comprimento foi medido em m; a medida foi de 6,1 metros. Smbolos em ttulos Os smbolos de unidades no devem ser usados em letra maiscula, como em ttulo. Quando for necessrio, deve-se usar o nome da unidade por extenso, em vez de seu smbolo. Correto: ENCONTRADO PEIXE DE 200 KILOGRAMAS Incorreto: ENCONTRADO PEIXE DE 200 KG Smbolo e incio de frase No se deve comear uma frase com um smbolo, pois impossvel conciliar a regra de se comear uma frase com maiscula e de escrever o smbolo em minscula. Exemplo correto: Grama a unidade comum de pequenas massas. Exemplo incorreto: g a unidade de pequenas massas. Prefixos Todos os nomes de prefixos de unidades SI so em letras minsculas quando escritos por extenso em uma sentena. A primeira letra do prefixo escrita em maiscula apenas quando no incio de uma frase ou parte de um ttulo. No caso das unidades de massa, excepcionalmente o prefixo aplicado grama e no ao kilograma, que j possui o prefixo kilo. Assim, se tem miligrama (mg) e no microkilograma (kg); a tonelada corresponde a megagrama (Mg) e no a kilokilograma (kkg). Aplica-se somente um prefixo ao nome da unidade. O prefixo e a unidade so escritos juntos, sem espao ou hfen entre eles. Os prefixos so invariveis. Exemplo correto: O comprimento de 110 km Exemplos incorretos: O comprimento da estrada de 110km. O comprimento da estrada de 110 kms. O comprimento da estrada de 110-km. O comprimento da estrada de 110 k m. O comprimento da estrada de 110 Km.

3.3. PontuaoPonto No se usa o ponto depois do smbolo das unidades, exceto no fim da sentena. Pode-se usar um ponto ou hfen para indicar o produto de dois smbolos, porm, no se usa o ponto para indicar o produto de dois nomes. Exemplos corretos (incorretos): O cabo de 10 m tinha massa de 20 kg. (O cabo de 10 m. tinha massa de 20 kg..) A unidade de momentum newton metro (A unidade de momentum newton.metro) A unidade de momentum o produto N.m A unidade de momentum o produto N-m Marcador decimal No Brasil, usa-se a vrgula como um marcador decimal e o ponto como separador de grupos de 3 algarismos, em condies onde no se quer deixar a possibilidade de preenchimento indevido. Quando o nmero menor que um, escreve-se um zero antes da vrgula. Nos Estados Unidos, usa-se o ponto

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Sistema Internacionalcomo marcador decimal e a virgula como separador de algarismos. Exemplo (Brasil) A expresso meio metro se escreve 0,5 m. O valor do cheque de R$2.345.367,00 Exemplo (Estados Unidos) A expresso meio metro se escreve: 0.5 m. O valor do cheque de US$2,345,367.00 Smbolos Os smbolos das unidades SI no tem plural. Exemplos: 2,6 m 1m 0,8 m -30 oC oC 0 100 oC

3.5. Agrupamento dos DgitosNumerais Todos os nmeros so constitudos de dgitos individuais, entre 0 e 9. Os nmeros so separados em grupos de trs dgitos, em cada lado do marcador decimal (vrgula). No se deve usar vrgula ou ponto para separar os grupos de trs dgitos. Deve-se deixar um espao entre os grupos em vez do ponto ou vrgula, para evitar a confuso com os diferentes pases onde o ponto ou vrgula usado como marcador decimal. No deixar espao entre os dgitos e o marcador decimal. Um nmero deve ser tratado do mesmo modo em ambos os lados do marcador decimal. Exemplos: Correto 23 567 567 890 098 34,567 891 345 678,236 89 345 678,236 89 Incorreto 23.567 567.890.098 34,567.891 345.678,236.89 345 678,23 689

3.4. PluralNomes das unidades com plural Quando escrito por extenso, o nome da unidade mtrica admite plural, adicionando-se um s, for 1. palavra simples. Por exemplo: ampres, candelas, joules, kelvins, kilogramas, volts. 2. palavra composta em que o elemento complementar do nome no ligado por hfen. Por exemplo: metros quadrados, metros cbicos, unidades astronmicas, milhas martimas. 3. termo composto por multiplicao, em que os componentes so independentes entre si. Por exemplo: ampres-horas, newtons-metros, watts-horas, pascalssegundos. Valores entre +1 e -1 so sempre singulares. O nome de uma unidade s passa ao plural a partir de dois (inclusive). A medio do valor zero fornece um ponto de descontinuidade no que as pessoas escrevem e dizem. Deve-se usar a forma singular da unidade para o valor zero. Por exemplo, 0 oC e 0 V so reconhecidamente singulares, porm, so lidos como plurais, ou seja, zero graus Celsius e zero volts. O correto zero grau Celsius e zero volt. Exemplos: 1 metro 23 metros 0,1 kilograma 1,5 kilograma 34 kilogramas 1 hertz 60 hertz 1,99 joule 8 x 10-4 metro 4,8 metros por segundo Nomes das unidades sem plural Certos nomes de unidades SI no possuem plural por terminarem com s, x ou z. Exemplos: lux, hertz e siemens. Certas partes dos nomes de unidades compostas no se modificam no plural por: 1. corresponderem ao denominador de unidades obtidas por diviso. Por exemplo, kilmetros por hora, lumens por watt, watts por esterradiano. 2. serem elementos complementares de nomes de unidades e ligados a eles por hfen ou preposio. Por exemplo, anosluz, eltron-volts, kilogramas-fora.

Nmeros de quatro dgitos Os nmeros de quatro dgitos so considerados de modo especial e diferente dos outros. No texto, todos os nmeros com quatro ou menos dgitos antes ou depois da vrgula podem ser escritos sem espao. Exemplos: 1239 1993 1,2349 2345,09 1234,5678 1 234,567 8 Tabelas As tabelas devem ser preenchidas com nmeros puros ou adimensionais. As suas respectivas unidades devem ser colocadas no cabealho das tabelas. Ver Tab.1.3.

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Sistema InternacionalTab.1.3. Variao da temperatura e volume especfico com a presso para a gua pura Presso, P kPa 50,0 60,0 70,0 80,0Temperatura, TVolume, V

16HHC-656/9978 610.569.958-15 (071) 359-3195

nmero de pea CPF telefone

K 354,35 358,95 362,96 366,51

m3/kg 3,240 1 2,731 7 2,364 7 2,086 9

3.6. EspaamentosMltiplos e submltiplos No se usa espao ou hfen entre o prefixo e o nome da unidade ou entre o prefixo e o smbolo da unidade. Por exemplo, kiloampre, kA milivolt, mV megawatt, MW Valor da medio da unidade A medio expressa por um valor numrico, uma unidade, sua incerteza e os limites de probabilidade. O valor expresso por um nmero e a unidade pode ser escrita pelo nome ou pelo smbolo. Deve-se deixar um espao entre o nmero e o smbolo ou nome da unidade. Os smbolos de grau, minuto e segundo so escritos sem espao entre os nmeros e os smbolos. Exemplos: 670 kHz 670 kilohertz 20 mm 10 N 36 36 oC Modificador da unidade Quando uma quantidade usada como adjetivo, pode-se usar um hfen entre o valor numrico e o smbolo ou nome. No se deve usar hfen com o smbolo de ngulo (o) ou grau Celsius (oC). Exemplos: Pacote de 5-kg. Filme de 35-mm. Temperatura de 36 oC Produtos, quocientes e por Deve-se evitar confuso, principalmente em nmeros e unidades compostos envolvendo produto (.) e diviso (/) e por . O bom senso e a clareza devem prevalecer no uso de hfens nos modificadores.

Normalmente, em tabelas ou listagens, todos os nmeros usam agrupamentos de trs dgitos e espaos. Adotando este formato, se diminui a probabilidade de erros. Assim, a primeira linha da tabela significa Presso P = 50,0 kPa Temperatura T = 354,35 K Volume especfico V = 3,240 m3/kg Grficos Os nmeros colocados nos eixos do grficos (abcissa e ordenada) so puros ou adimensionais. As unidades e smbolos das quantidades correspondentes so colocadas nos eixos, uma nica vez. O grfico da tabela anterior fica assim

Fig. 1.1. Variao da temperatura e volume com a presso

Nmeros especiais H certos nmeros que possuem regras de agrupamento especificas. Nmeros envolvendo nmeros de pea, documento, telefone e dinheiro, que no devem ser alterados, devem ser escritos na forma original. Vrgulas, espaos, barras, parntesis e outros smbolos aplicveis podem ser usados para preencher os espaos e evitar fraudes. Exemplos: R$ 21.621,90 dinheiro (real)

Smbolos algbricos Deve-se deixar um espao de cada lado dos sinais de multiplicao, diviso, soma e subtrao e igualdade. Isto no se aplica aos smbolos compostos que usam os sinais travesso (/) e ponto (.). No se deve usar nomes de unidades por extenso em equaes algbricas e aritmticas; usam-se os smbolos. Exemplos: 4 km + 2 km = 6 km 6N x 8 m = 48 N.m 26 N : 3 m2 = 8,67 Pa 100 W : (10 m x 2 K) = 5 W/(m.K) 10 kg/m3 x 0,7 m3 = 7 kg 15 kW.h

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Sistema Internacional3.7. ndicesSmbolos So usados ndices numricos (2 e 3) para indicar quadrados e cbicos. No se deve usar abreviaes como qu., cu, c. Quando se escrevem smbolos para unidades mtricas com expoentes, como metro quadrado, centmetro cbico, um por segundo, escrever o ndice imediatamente aps o smbolo. Exemplos: 10 metros quadrados = 10 m2 1 por segundo = s-1 Nomes de unidades Quando se escrevem unidades compostas, aparecem certos fatores com quadrado e cbico. Quando aplicvel, deve-se usar parntesis ou smbolos exclusivos para evitar ambigidade e confuso. Por exemplo, para kilograma metro quadrado por segundo quadrado, o smbolo correto kg.m2/s2. Seria incorreto interpretar como (kg.m)2/s2 ou (kg.m2/s)2 os smbolos de mesma unidade podem coexistir em um smbolo composto por diviso. Por exemplo, kWh/h, .mm2/m. No se misturam unidades SI e no-SI. Por exemplo, usar kg/m3 e no kg/ft3. Para eliminar o problema de qual unidade e mltiplo deve-se expressar uma quantidade de relao como percentagem, frao decimal ou relao de escala. Como exemplos, a inclinao de 10 m por 100 m pode ser expressa como 10%, 0.10 ou 1:10 e a tenso mecnica de 100 m/m pode ser convertida para 0,01 %. Deve-se usar somente smbolos aceitos das unidades SI. Por exemplo, o smbolo correto para kilmetro por hora km/h. No usar k.p.h., kph ou KPH. No se usa mais de uma barra (/) em qualquer combinao de smbolos, a no ser que haja parntesis separando as barras. Como exemplos, escrever m/s2 e no m/s/s; escrever W/(m.K) ou (W/m)/K e no (W/m/K. Para a maioria dos nomes derivados como um produto, na escrita do nome por extenso, usa-se um espao ou um hfen para indicar a relao, mas nunca se usa um ponto (.). Algumas unidades compostas podem ser escritas como uma nica palavra, sem espao ou hfen. Por exemplo, a unidade de momento pode ser escrita como newton metro ou newtonmetro e nunca newton.metro. Tambm, correto escrever watt hora, watt-hora ou watthora, mas incorreto watt.hora. Para smbolos derivados de produtos, usase um ponto (.) entre cada smbolo individual. No usar o ponto (.) como smbolo de multiplicao em equaes e clculos. Exemplos: N.m (newton metro) Pa.s (pascal segundo) kW.h ou kWh (kilowatthora) Use 7,6 x 6,1 cosa e no 7,6.6,1.cosa Deve-se ter cuidado para escrever unidades compostas envolvendo potncias. Os modificadores quadrado e cbico devem ser colocados aps o nome da unidade a qual eles se aplicam. Para potncias maiores que trs, usar somente smbolos. Deve-se usar smbolos sempre que a expresso envolvida for complexa. Por exemplo, kg/m2 , N/m2 Para representaes complicadas com smbolos, usar parntesis para simplificar e esclarecer. Por exemplo, m.kg/(s3.A)

3.8. Unidades CompostasAs unidades compostas so derivadas como quocientes ou produtos de outras unidades SI. As regras a serem seguidas so as seguintes: No se deve misturar nomes extensos e smbolos de unidades. No usar o travesso (/) como substituto de por, quando escrevendo os nomes por extenso. Por exemplo, o correto kilmetro por hora ou km/h. No usar kilmetro/hora ou km por hora. Deve-se usar somente um por em qualquer combinao de nomes de unidades mtricas. A palavra por denota a diviso matemtica. No se usa por para significar por unidade ou por cada (alm do cacfato). Por exemplo, a medio de corrente de vazamento, dada em microampres por 1 kilovolt da voltagem entre fases, deveria ser escrita em microampres por cada kilovolt da voltagem entre fases. No SI, 1 mA/kV igual a 1 nanosiemens (nS). Outro exemplo, usa-se metro por segundo quadrado e no metro por segundo por segundo. os prefixos podem coexistir num smbolo composto por multiplicao ou diviso. Por exemplo, kN.cm, k.mA, kV/mm, M, kV/ms, mW/cm2.

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Sistema Internacional3.9. Uso de PrefixoDeve-se usar os prefixos com 10 elevado a potncia mltipla de 3 (10-3, 10-6, 103, 106). Deve-se usar a notao cientfica para simplificar os casos de tabelas ou equaes com valores numricos com vrios dgitos antes do marcador decimal e para eliminar a ambigidade da quantidade de dgitos significativos. Por exemplo, usam-se: mm (milmetro) para desenhos. kPa (kilopascal) para presso kg/m3 (kilograma por metro cbico) para densidade absoluta. Quando conveniente escolhem-se prefixos resultando em valores numricos entre 0,1 e 1000, porm, sem violar as recomendaes anteriores. Em clculos tcnicos deve-se tomar muito cuidado com os valores numricos dos dados usados. Para evitar erros nos clculos, os prefixos devem ser convertidos em potncias de 10 (exceto o kilograma, que uma unidade bsica da massa). Exemplos: 5 MJ = 5 x 106 J 4 Mg = 4 x 103 kg 3 Mm = 3 x 106 m Devem ser evitados prefixos no denominador (exceto kg). Exemplos: Escrever kJ/s e no J/ms Escrever kJ/kg e no J/g Escrever MJ/kg e no kJ/g No se misturam de prefixos, a no ser que a diferena em tamanho seja extrema ou uma norma tcnica o requeira. Exemplos: Correto: A ferramenta tem 44 mm de largura e 1500 mm de comprimento. Incorreto: A ferramenta tem 44 mm de largura e 1,5 m de comprimento. No se usam unidades mltiplas ou prefixos mltiplos. Por exemplo, Usa-se 15,26 m e no 15 m 260 mm; usa-se miligrama (mg) e no microkilograma (kg) No usar um prefixo sem a unidade. Usar kilograma e no kilo Usar megohm e no megs A maioria das temperaturas dada na escala Celsius; a escala Kelvin usada somente em aplicaes cientficas. Exemplo: A temperatura normal do corpo humano 36 oC. Quando se tem uma srie de valores de temperatura ou uma faixa de temperatura, usar o smbolo de medio somente aps o ltimo valor. Exemplos: A temperatura em Salvador varia de 18 a 39 oC. As leituras do termmetro so: 100, 150 e 200 oC. tecnicamente correto usar prefixos SI com os nomes e smbolos, como grau Celsius (oC), kelvin (K) e grau angular (o). Porm, prefervel evitar esta prtica, pois os nomes resultantes so confusos e difceis de serem reconhecidos. prefervel ajustar o coeficiente numrico para no usar o prefixo. Um mtodo simples para comparar altas temperaturas Celsius com temperaturas Fahrenheit que o valor Celsius aproximadamente a metade da temperatura Fahrenheit. O erro percentual nesta aproximao relativamente pequeno para valores Fahrenheit acima de 250. Para valores menores, subtrair 30 antes de dividir por 2; isto fornece uma preciso razovel at valores Fahrenheit de -40.

3.11. Modificadores de SmbolosAs principais recomendaes relacionadas com os modificadores de smbolos so: No se pode usar modificadores dos smbolos SI. Quando necessrio o uso de modificadores das unidades, ele deve ser separado do smbolo ou ento escrito por extenso. Por exemplo, no se usam Acc ou Aca, para diferenciar a corrente contnua da alternada. O correto escrever 10 A cc ou 10 A ca, com o modificador separado do smbolo. Como o modificador no SI, pode ser escrito de modo arbitrrio, como cc., c.c., dc ou corrente contnua. Nas unidades inglesas, comum usar sufixos ou modificadores nos smbolos e abreviaes para dar uma informao adicional. Por exemplo, usam-se psia e psig para indicar respectivamente, presso absoluta e manomtrica. Psia significa pound square inch absolute e psig significa pound square inch gauge. No sistema SI, incorreto colocar sufixos para identificar a medio. Exemplos: Usar presso manomtrica de 13 kPa ou 13 kPa (manomtrica) e no 13 kPaG ou 13 kPag. Usar presso absoluta de 13 kPa ou 13 kPa (absoluta) e no 13 kPaA ou 13 kPaa.

3.10. ngulo e TemperaturaOs smbolos de grau (o) e grau Celsius (oC) devem ser usados quando se escreve uma medio. Quando se descreve a escala de medio e no uma medio, deve-se usar o nome por extenso.Exemplos: Os ngulos devem ser medidos em graus e no em radianos. O ngulo de inclinao 27o. No se deve deixar espao entre o e C, devendo se escrever oC e no o C.

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Sistema InternacionalSempre deixar espao aps o smbolo da unidade SI e qualquer informao adicional. Exemplo: Usar 110 V c.a. ou 110 V (ca) e no 110 V CA ou 110 V ca, para voltagem de corrente alternada. A potncia e a energia so medidas em uma unidade SI determinada e no h necessidade de identificar a fonte da quantidade, desde que 100 watts igual a 100 watts, independente da potncia ser eltrica, mecnica ou trmica. Exemplos: Usar MW e no MWe (potncia eltrica ou megawatt eltrico). Usar kJ e no kJt (kilojoule termal). uma medio de forma consistente com a preciso medida. O nmero de algarismos significativos em um resultado indica o nmero de dgitos que pode ser usado com confiana. Os algarismos significativos so todos aqueles necessrios na notao cientfica. Qualquer dgito, entre 1 e 9 e todo zero que no anteceda o primeiro dgito no zero e alguns que no sucedam o ltimo dgito no zero um algarismo significativo. O status do zero ambguo, por que o zero tambm usado para indicar a magnitude do nmero. Por exemplo, no h dificuldade em determinar a quantidade de algarismos significativos dos seguintes nmeros: 708 3 algarismos significativos 54,9 3 algarismos significativos 3,6 2 algarismos significativos 8,04 3 algarismos significativos 980,9 4 algarismos significativos 0,830 06 5 algarismos significativos Em um nmero, o dgito menos significativo o mais direita, dgito mais significativo o mais esquerda. Por exemplo, no nmero 2345, 2 o dgito mais significativo e 5 o menos significativo. Para qualquer nmero associado medio de uma grandeza, os algarismos significativos devem indicar a qualidade da medio ou computao sendo apresentada. Os dados de engenharia e os resultados de sua computao devem ser apresentados com um nmero correto de algarismos significativos, para evitar de dar uma impresso errada de sua exatido. A quantidade de algarismos significativos est associado preciso, exatido e ao mtodo de obteno destes dados e resultados.

4. Algarismos Significativos4.1. IntroduoO mundo da Metrologia quantitativo e depende de nmeros, dados e clculos. Atualmente, os clculos so feitos com calculadoras eletrnicas e computadores, que executam desde operaes simples de aritmtica at operaes que um engenheiro nunca seria capaz de fazer manualmente. Os microcomputadores se tornam uma parte dominante da tecnologia, no apenas para os engenheiros mas para toda sociedade. As calculadoras e computadores podem apresentar os resultados com muitos algarismos, porm o resultado final deve ter o nmero de algarismos significativos de acordo com os dados envolvidos. Quando se executam clculos de engenharia e apresentam-se os dados, devese ter em mente que os nmeros sendo usados tem somente um valor limitado de preciso e exatido. Quando se apresenta o resultado de um clculo de engenharia, geralmente se copiam 8 ou mais dgitos do display de uma calculadora. Fazendo isso, deduz-se que o resultado exato at 8 dgitos, um tipo de exatido que raramente possvel na prtica da engenharia. O nmero de dgitos que podem ser apresentados usualmente muito menos que 8, por que ele depende de problemas particulares e envolve outros conceitos de algarismos significativos, preciso, tolerncia, resoluo e converso.

4.3. Algarismo Significativo e o ZeroO zero nem sempre algarismo significativo, quando includo em um nmero, pois ele pode ser usado como parte significativa da medio ou pode ser usado somente para posicionar o ponto decimal. Por exemplo, no nmero 804,301 os dois zeros so significativos pois esto intercalados entre outros dgitos. Porm, no nmero 0,0007, os zeros so necessrios para posicionar a vrgula e dar a ordem de grandeza do nmero e por isso pode ser ou no significativo. Porm, se o nmero 0,0007 for a indicao de um instrumento digital, ele possui quatro algarismos significativos. Tambm no nmero 20 000 os zeros so necessrios para dar a ordem de grandeza do nmero e por isso nada se pode dizer acerca de ser ou no ser significativo. Assim o status do zero nos nmeros 20 000 e 0,007

4.2. ConceitoDgito qualquer um dos numerais arbicos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Algarismo ou dgito significativo em um nmero o dgito que pode ser considerado confivel como um resultado de medies ou clculos. O algarismo significativo correto expressa o resultado de

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Sistema Internacionalambguo e mais informao necessria para dizer se o zero significativo ou no. Quando no h informao adicional, se diz que 0,0007 e 20 000 possuem apenas 1 algarismo significativo. No nmero 2,700, os zeros no so necessrios para definir a magnitude deste nmero mas so usados propositadamente para indicar que so significativos e por isso 2,700 possui quatro dgitos significativos.. (1,23 x 109) x (5,1 x 10-11) = 6,3 x 10-2 Na multiplicao acima, o resultado final arredondado para dois algarismos significativos, que o menor nmero de algarismos das parcelas usadas no clculo. A multiplicao dos nmeros com potncia de 10 feita somando-se algebricamente os expoentes. Na notao cientfica, os nmeros so escritos em uma forma padro, como o produto de um nmero entre 1 e 10 e uma potncia conveniente de 10. Por exemplo, os nmeros acima podem ser escritos como:

4.4. Notao cientficaPara eliminar ou diminuir as ambigidades associadas posio do zero, o nmero deve ser escrito na notao cientfica, com um nmero entre 1 e 10 seguido pela potncia de 10 conveniente. Usar a quantidade de algarismos significativos vlidos no nmero entre 1 e 10, cortando os zeros no fim dos inteiros quando no forem significativos ou mantendo os zeros no fim dos inteiros, quando forem significativos. Deste modo, se o nmero 20 000 for escrito na notao cientfica como 2,000 0 x 103, ele ter 5 dgitos significativos. De modo anlogo, 20 000 = 2 x 103 20 000 = 2,0 x 103 20 000 = 2,00 x 103 20 000 = 2,000 x103 1 dgito significativo 2 dgitos significativos 3 dgitos significativos 4 dgitos significativos

10 000 000 = 1,00 x 107 (3 dgitos significativos) 0,000 000 12 = 1,2 x 10-7(2 dgitos significativos).

A ambigidade do zero em nmeros decimais tambm desaparece, quando se escreve os nmeros na notao cientfica. Os zeros direita, em nmeros decimais s devem ser escritos quando forem garantidamente significativos. Por exemplo, 0,567 000 possui 6 algarismos significativos, pois se os trs zeros foram escritos porque eles so significativos. Assim, o nmero decimal 0,007 pode ser escrito de diferentes modos, para expressar diferentes dgitos significativos: 7 x 10 7,0 x 10-3 7,000 x 10-3 7,000 00 x 10-3-3

Pode-se visualizar o expoente de 10 da notao cientfica como um deslocador do ponto decimal. Por exemplo, o expoente +7 significa mover o ponto decimal sete casas para a direita; o expoente -7 significa mover o ponto decimal sete casas para a esquerda. Para fazer manualmente os clculos de nmeros escritos na notao cientfica, as vezes, conveniente coloc-los em forma no convencional com o objetivo de fazer contas de somar ou subtrair. Estas formas so obtidas simplesmente ajustando simultaneamente a posio do ponto decimal e os expoentes, a fim de se obter os mesmos expoentes de 10. Nesta operao, perde-se o conceito de algarismos significativos. Por exemplo: 1,2 x 10-4 + 4,1 x 10-5 + 0,3 x 10-3 = 1,2 x 10-4 + 0,41 x 10-4 + 3,0 x 10-4 = (1,2 + 0,41 + 3,0) x 10-4 = 4,6 x 10-4 Deve-se evitar escrever expresses como M = 1800 g, a no ser que se tenha o erro absoluto mximo de 1 g. Rigorosamente, 1800 g significa (1800 1) g. Quando no se tem esta preciso e quando h suspeita do segundo dgito decimal ser incorreto, deve-se escrever M = (1,8 0,1) x 103 g Se o quarto dgito decimal o duvidoso, ento, o correto escrever M = (1,800 0,001) x 103 g

1 dgito significativo 2 dgitos significativos 4 dgitos significativos 6 dgitos significativos

A notao cientfica serve tambm para se escrever os nmeros extremos (muito grandes ou muito pequenos) de uma forma mais conveniente Por exemplo, seja a multiplicao dos nmeros: 1 230 000 000 x 0,000 000 000 051 = 0,063 mais conveniente usar a notao cientfica:

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Sistema Internacional4.5. Algarismo Significativo e a MedioTodos os nmeros associados medio de uma grandeza fsica devem ter os algarismos significativos correspondentes preciso do instrumento de medio. Observar as trs indicaes analgicas apresentadas na Fig.2. O voltmetro analgico (a) indica uma voltagem de 1,45 V. O ltimo algarismo, 5, duvidoso e foi arbitrariamente escolhido. Algum poderia ler 1,49 e a leitura estaria igualmente correta. Os algarismos confiveis so apenas o 1 e o 4; o ltimo estimado e duvidoso. O voltmetro com uma escala com esta graduao pode dar, no mximo, trs algarismos significativos. errado dizer que a indicao de 1,450 ou 1,4500, pois est se superestimando a preciso do instrumento. Do mesmo modo, impreciso dizer que a indicao de 1,4 pois agora est se subestimando a preciso do indicador e no usando toda sua capacidade. Na medio 1,45, o dgito 4 garantido e no nmero 1,4 o dgito 4 duvidoso. Para que o dgito 4 seja garantido necessrio que haja qualquer outro algarismo duvidoso depois dele. Na Fig. 2 (b) tem-se a medio de uma espessura por uma escala graduada. possvel se ler 0,26, pois a espessura cai exatamente no terceiro trao depois de 0,2 e a medio possui apenas dois algarismos significativos. Se pudesse perceber o ponteiro entre o terceiro e o quarto trao, a medio poderia ser 0,265 e a medio teria trs algarismos significativos. Na Fig. 2(c), a indicao 48,6 ou 48,5 ou qualquer outro dgito extrapolado entre 0 e 9. As medies da Fig. 2(a) e 1(c) possuem trs algarismos significativos e o terceiro dgito de cada medio duvidoso. A medio da Fig. 2(b) possui apenas dois algarismos significativos. Para se ter medies mais precisas, com um maior nmero de algarismos significativos, deve-se ter novo medidor com uma escala maior e com maior nmero de divises. Na Fig. 3, tem-se duas escalas de mesmo comprimento, porm, a segunda escala possui maior nmero de divises. Para medir o mesmo comprimento, a primeira escala indicar 6,2 onde o dgito 2 o duvidoso, pois escolhido arbitrariamente, pois est entre 6 e 7, muito prximo de 6. A leitura de 6,3 estaria igualmente correta. A leitura da segunda escala ser 6,20 pois a leitura cai entre as divises 2 e 3, tambm muito prximo de 2. Tambm poderia ser lido 6,21 ou 6,22, que seria igualmente aceitvel.

Fig. 1.3. Escalas de mesmo tamanho mas com diferentes divises entre os dgitos. Em paqumetros e micrmetros, medidores de pequenas dimenses, clssico se usar a escala vernier, para melhorar a preciso da medida. A escala vernier uma segunda escala que se move em relao principal. A segunda escala dividida em unidades um pouco menores que as unidades da principal. Por exemplo, observar a escala da Fig. 3, que possui duas partes: a unidade principal e a unidade decimal so lidas na escala superior e a unidade centesimal lida na escala inferior. Para fazer a medio da distncia X, primeiro

Fig. 1.2 - Vrias escalas de indicao

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Sistema Internacionalse l as unidades esquerda da linha de indicao da rgua, que so 4,4. Depois a leitura continua no centsimo, que a linha da escala inferior que se alinha perfeitamente com a linha da escala principal. Neste exemplo, elas se alinham na 6a linha, de modo que elas indicam 0,06 e a medio final de X 4,46. Na expresso da medio, o valor sempre aproximado e deve ser escrito de modo que todos os dgitos decimais, exceto o ltimo, sejam exatos. O erro admissvel para o ltimo dgito decimal no deve exceder a 1. Por exemplo, uma resistncia eltrica de 1,35 diferente de uma resistncia de 1,3500 . Com a resistncia eltrica de R = 1,35 , tem-se erro de 0,01 , ou seja, 1,34 < R < 1,36 . Para a outra resistncia de R = 1,3500 a preciso de 0,0001 , ou seja, 1,3499 < R < 1,3501 Se o resultado de um clculo R = 1,358 e o terceiro dgito depois da vrgula decimal incorreto, deve-se escrever R = 1,36 . Devem ser seguidas regras para apresentar e aplicar os dados de engenharia na medio e nos clculos correspondentes. As vezes, os engenheiros e tcnicos no esto preocupados com os algarismos significativos. Outras vezes, as regras no se aplicam. Por exemplo, quando se diz que 1 p = 0,3048 metro ou 1 libra = 0,454 kilograma, o dgito 1 usado sozinho. O mesmo se aplica quando se usam nmeros inteiros em equaes algbricas. Por exemplo, o raio de um circuito a metade do dimetro e se escreve: r = d/2. Na equao, no necessrio escrever que r = d/2,0000, pois se entende que o 2 um nmero inteiro exato. Outra confuso que se faz na equivalncia se refere ao nmero de algarismos significativos. Obviamente, 1 km equivale a 1.000 metros porm h diferenas prticas. Por exemplo, o odmetro do carro, com 5 dgitos pode indicar 89.423 km rodados, porm isso no significa 89.423 000 metros, pois ele deveria ter 8 dgitos. Se o odmetro tivesse 6 dgitos, com medio de 100 metros, ele indicaria 89 423,6 km. Por exemplo, as corridas de atletismo de rua tem distncias de 10 km, 15 km e 21 km. As corridas de pista so de 100 m, 800 m, 5000 m e 10 000 m. Quem corre 10 km numa corrida de rua correu aproximadamente 10 000 metros. A distncia foi medida por carro, por bicicleta com hodmetro calibrado ou por outros meios, porm, no possvel dizer que a distncia exatamente de 10.000 m. Porm, quem corre 10 000 metros em uma pista olmpica de 400 metros, deve ter corrido exatamente 10 000 metros. A distncia desta pista foi medida com uma fita mtrica, graduada em centmetros. Poucas maratonas no mundo so reconhecidas e certificadas como de 42 195 km, pois a medio desta distncia complicada e cara.

4.6. Algarismo Significativo e o DisplayIndependente da tecnologia ou da funo, um instrumento pode ter display analgico ou digital. O indicador analgico mede uma varivel que varia continuamente e apresenta o valor medido atravs da posio do ponteiro em uma escala. Quanto maior a escala e maior o nmero de divises da escala, melhor a preciso do instrumento e maior quantidade de algarismos significativos do resultado da medio. O indicador digital apresenta o valor medido atravs de nmeros ou dgitos. Quanto maior a quantidade de dgitos, melhor a preciso do instrumento. O indicador digital conta dgitos ou pulsos. Quando o indicador digital apresenta o valor de uma grandeza analgica, internamente h uma converso analgico-digital e finalmente, uma contagem dos pulsos correspondentes. Atualmente, a eletrnica pode contar pulsos sem erros. Porm, no se pode dizer que o indicador digital no apresenta erros, pois possvel haver erros na gerao dos pulsos. Ou seja, a preciso do instrumento eletrnico digital est relacionada com a qualidade dos circuitos que convertem os sinais analgicos em pulsos ou na gerao dos pulsos. Tambm os indicadores digitais possuem uma preciso limitada. Neste caso, direto o entendimento da quantidade de algarismos significativos. Nos displays digitais, o ltimo dgito o tambm duvidoso. Na prtica, o dgito que est continuamente variando. Um indicador digital com quatro dgitos pode indicar de 0,001 at 9999. Neste caso, os zeros so significativos e servem para mostrar que possvel se medir com at quatro algarismos significativos. O indicador com 4 dgitos possui 4 dgitos significativos.

Fig. 1.5. Instrumento digital 4 dgitos

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Sistema InternacionalEm eletrnica digital, possvel se ter indicadores com 4 dgitos. O meio dgito est associado com a percentagem de sobrefaixa de indicao e somente assume os valores 0 ou 1. O indicador com 4 dgitos pode indicar, no mximo, 19 999, que aproximadamente 100% de 9999 (20 000/10 000). Os quatro dgitos variam de 0 a 9; o meio dgito s pode assumir os valores 0 ou 1. Embora exista uma correlao entre o nmero de dgitos e a preciso da medio, tambm deve existir uma consistncia entre a preciso da malha e o indicador digital do display. Por exemplo, na medio de temperatura com termopar, onde a preciso da medio inclui a preciso do sensor, dos fios de extenso, da junta de compensao e do display. Como as incertezas combinadas do sensor, dos fios e da junta de compensao so da ordem de unidades de grau Celsius, no faz nenhum sentido ter um display que indique, por exemplo, dcimo ou centsimo de grau Celsius. Por exemplo, na medio de temperatura com termopar tipo J, onde a preciso resultante do sensor, fios e junta de compensao da ordem de 5 oC, na faixa de 0 a 100 oC, o display digital basta ter 2 , para indicar, por exemplo, 101 oC. No faz sentido ter um display indicando 98,2 ou 100,4 oC pois a incerteza total da malha da ordem de 5 oC. O mesmo raciocnio vale para um display analgico, com escala e ponteiro. instrumento sob calibrao. Quanto melhor? A resposta um compromisso entre custo e preciso. Como recomendao, a preciso do padro deve ser entre quatro a dez (NIST) ou trs a dez (INMETRO) vezes melhor que a preciso do instrumento sob calibrao. Abaixo de trs ou quatro, a incerteza do padro da ordem do instrumento sob calibrao e deve ser somada incerteza dele. Acima de dez, os instrumentos comeam a ficar caro demais e no se justifica tal rigor. Assim, para calibrar um instrumento com preciso de 1%, deve-se usar um padro com preciso entre 0,3% a 0,1%. Quando se usa um padro de 1% para calibrar um instrumento de medio com preciso de 1%, o erro do instrumento de medio passa para 2%, por que 1% + 1% = 2% ou (0,01 + 0,01 = 0,02) Quando se usa um padro de 0,1% para calibrar um instrumento de medio com preciso de 1%, o erro do instrumento de medio permanece em 1%, porque 1% + 0,1% = 1% (1+ 0,1 = 1). Alm da preciso do padro de referncia, tambm importante definir a incerteza do procedimento de calibrao, para que ele seja confivel.

4.7. Algarismo Significativo e CalibraoTodos os instrumentos devem ser calibrados ou rastreados contra um padro. Mesmo os instrumentos de medio, mesmo os instrumentos padro de referncia devem ser periodicamente aferidos e calibrados. Por exemplo, na instrumentao, tem-se os instrumentos de medio e controle, que so montados permanentemente no processo. Antes da instalao, eles foram calibrados. Quando previsto pelo plano de manuteno preventiva ou quando solicitado pela operao, estes instrumentos so aferidos e recalibrados. Para se fazer esta calibrao, devem ser usados tambm instrumentos de medio, como voltmetros, ampermetros, manmetros, termmetros, dcadas de resistncia, fontes de alimentao. Estes instrumentos, geralmente portteis, tambm devem ser calibrados por outros da oficina. Os instrumentos da oficina devem ser calibrados por outros de laboratrios do fabricante ou laboratrios nacionais. E assim, sobe-se na escada de calibrao. fundamental entender que a preciso do padro de referncia deve ser melhor que a do

4.8. Algarismo Significativo e a TolernciaO nmero de dgitos decimais colocados direita da vrgula decimal indica o mximo erro absoluto. O nmero total de dgitos decimais corretos, que no incluem os zeros esquerda do primeiro dgito significativo, indica o mximo erro relativo. Quanto maior o nmero de algarismos significativos, menor o erro relativo. A preciso pretendida de um valor deve se relacionar com o nmero de algarismos significativos mostrados. A preciso mais ou menos a metade do ltimo dgito significativo retido. Por exemplo, o nmero 2,14 pode ter sido arredondado de qualquer nmero entre 2,135 e 2,145. Se arredondado ou no, uma quantidade deve sempre ser expressa com a notao da preciso em mente. Por exemplo, 2,14 polegadas implica uma preciso de 0,005 polegada, desde que o ltimo algarismo significativo 0,01. Pode haver dois problemas: 1. Quantidades podem ser expressas em dgitos que no pretendem ser significativos. A dimenso 1,1875" pode realmente ser muito precisa, no caso do quarto dgito depois da vrgula ser

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Sistema Internacionalsignificativo ou ela pode ser uma converso decimal de uma dimenso como 1 3/16, no caso em que a dimenso dada com excesso de algarismos significativos. 2. Quantidades podem ser expressas omitindo-se os zeros significativos. A dimenso de 2" pode significar cerca de 2" ou pode significar uma expresso muito precisa, que deveria ser escrita como 2,000". No ltimo caso, enquanto os zeros acrescentados no so significativos no estabelecimento do valor, elas so muito significativos em expressar a preciso adequada conferida. Portanto, necessrio determinar uma preciso implicada aproximada antes do arredondamento. Isto pode ser feito pelo conhecimento das circunstncias ou pela informao da preciso do equipamento de medio. Se a preciso da medio conhecida, isto fornecer um menor limite de preciso da dimenso e alguns casos, pode ser a nica base para estabelecer a preciso. A preciso final nunca pode ser melhor que a preciso da medio. A tolerncia em uma dimenso d uma boa indicao da preciso indicada, embora a preciso, deva ser sempre menor que a tolerncia. Uma dimenso de 1,635 0,003" possui preciso de 0,0005", total 0,001" . Uma dimenso 4,625 0,125" est escrita incorretamente, provavelmente por causa da decimalizao das fraes. O correto seria 4,62 0,12, com uma preciso indicada de 0,005 (preciso total de 0,01) Uma regra til para determinar a preciso indicada a partir do valor da tolerncia assumir a preciso igual a um dcimo da tolerncia. Como a preciso indicada do valor convertido no deve ser melhor do que a do original, a tolerncia total deve ser dividida por 10 e convertida e o nmero de algarismos significativos retido. necessria. Todas as converses devem ser manipuladas logicamente, considerando-se cuidadosamente a preciso pretendida da quantidade original. A preciso indicada usualmente determinada pela tolerncia especifica ou por algum conhecimento da quantidade original. O passo inicial na converso determinar a preciso necessria, garantindo que no nem exagerada e nem sacrificada. A determinao do nmero de algarismos significativos a ser retido difcil, a no ser que sejam observados alguns procedimentos corretos. A literatura tcnica apresenta tabelas contendo fatores de converso com at 7 dgitos. A converso de quantidades de unidades entre sistemas de medio envolve a determinao cuidadosa do nmero de dgitos a serem retidos depois da converso feita. Converter 1 quarto de leo para 0,046 352 9 litros de leo ridculo, por que a preciso pretendida do valor no garante a reteno de tantos dgitos. Todas as converses para serem feitas logicamente, devem depender da preciso estabelecida da quantidade original insinuada pela tolerncia especifica ou pela natureza da quantidade sendo medida. O primeiro passo aps o clculo da converso estabelecer o grau da preciso. O procedimento correto da converso multiplicar a quantidade especificada pelo fator de converso exatamente como dado e depois arredondar o resultado para o nmero apropriado de algarismos significativos direita da vrgula decimal ou para o nmero inteiro realstico de acordo com o grau de preciso implicado no quantidade original. Por exemplo, seja um comprimento de 75 ft, onde a converso mtrica 22,86 m. Se o comprimento em ps arredondado para o valor mais prximo dentro de 5 ft, ento razovel aproximar o valor mtrico prximo de 0,1 m, obtendo-se 22,9 m. Se o arredondamento dos 75 ft foi feito para o valor inteiro mais prximo, ento o valor mtrico correto seria de 23 m. Enfim, a converso de 75 ft para 22,86 m exagerada e incorreta; o recomendvel dizer que 75 ft eqivalem a 23 m. Outro exemplo envolve a converso da presso atmosfrica padro, do valor nominal de 14,7 psi para 101,325 kPa. Como o valor envolvido da presso o nominal, ele poderia ser expresso com mais algarismos significativos, como 14,693 psi, onde o valor mtrico correspondente seria 101,325, com trs dgitos depois da vrgula decimal. Porm, quando se estabelece o valor nominal de 14,7

4.9. Algarismo Significativo e ConversoUma medio de varivel consiste de um valor numrico e de uma unidade. A unidade da medio pode ser uma de vrios sistemas. Na converso de um sistema para outro, o estabelecimento do nmero correto de algarismos significativos nem sempre entendido ou feito adequadamente. A reteno de um nmero excessivo de algarismos significativos resulta em valores artificiais indicando uma preciso inexistente e exagerada. O corte de muitos algarismos significativos resulta na perda da preciso

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Sistema Internacionalo valor correspondente mtrico coerente de 101,3, com apenas um dgito depois da vrgula. estgio para estabelecer o nmero de algarismos significativos. Porm, depois de completar a computao, considerar a preciso global e arredondar os resultados corretamente. 8. Em qualquer operao, o resultado final deve ter uma quantidade de algarismos significativos igual quantidade da parcela envolvida com menor nmero de significativos. Exemplos de arredondamento para trs algarismos significativos: 1,8765 8,455 6,965 10,580 1,88 8,46 6,96 10,6

4.10. Computao matemticaNa realizao das operaes aritmticas, cada nmero no clculo fornecido com um determinado nmero de algarismos significativos e o resultado final deve ser expresso com um nmero correto de algarismos significativos. Quando se fazem as operaes aritmticas, deve-se seguir as seguintes recomendaes. 1. Fazer a computao de modo que haja um nmero excessivo de dgitos. 2. Arredonde o nmero correto de algarismos significativos. Para arredondar, aumente o ltimo nmero retido de 1, se o primeiro nmero descartado for maior que 5. Se o dgito descartado for igual a 5, o ltimo dgito retido deve ser aumentado de 1 somente se for mpar. Se o dgito descartado for menor que 5, o ltimo dgito retido permanece inalterado. 3. Para multiplicao e diviso, arredonde de modo que o nmero de algarismos significativos no resultado seja igual ao menor nmero de algarismos significativos contidos nas parcelas da operao. 4. Para adio e subtrao, arredonde de modo que o dgito menos significativo (da direita) do resultado corresponda ao algarismo mais significativo duvidoso contido na adio ou na subtrao. 5. Para combinaes de operaes aritmticas, fazer primeiro as multiplicaes e divises, arredondar quando necessrio e depois fazer a somas e subtraes. Se as somas e subtraes esto envolvidas para posterior multiplicao e diviso, fazelas, arredondar e depois multiplicar e dividir. 6. Em clculos mais complexos, como soluo de equaes algbricas simultneas, quando for necessrio obter resultados intermedirios com algarismos significativos extras, garantir que os resultados finais sejam razoavelmente exatos, usando o bom senso e deixando de lado as regras acima. 7. Quando executar os clculos com calculadora eletrnica ou microcomputador, tambm ter bom senso e no seguir as regras rigorosamente. No necessrio interromper a computao em cada

Soma e Subtrao Quando se expressam as quantidades de massa como M = 323,1 g e m = 5,722 g significa que as balanas onde foram pesadas as massas tem classes de preciso muito diferentes. A balana que pesou a massa m cem vezes mais precisa que a balana de M. A preciso da balana de M 0,1 g; a preciso da balana de m de 0,001 g. Somando-se os valores de (m + M) obtmse o valor correto de 328,8 g. O valor 328,822 g incorreto pois a preciso do resultado no pode ser melhor que a preciso da pior balana. Para se obter este resultado, considerou-se a massa M = 323,100, inventando-se por conta prpria dois zeros. Em vez de se inventar zeros arbitrrios, desprezam-se os dgitos conhecidos da medio de m; arredondando 5,722 para 5,7. O valor correto de 328,8 pode ser obtido atravs de dois caminhos diferentes: 1. arredondando-se os dados M = 323,1 g m = 5,7 g --------------M + m = 328,8 g 2. arredondando-se o resultado final M = 323,1 g m = 5,722 g --------------M + m = 328,822 g = 328,8 g Deste modo, o nmero de algarismos significativos da soma igual ao nmero da parcela com o menor nmero de algarismos significativos. Quando h vrias parcelas sendo somadas, o erro pode ser maior se as parcelas forem arredondadas antes da soma. Recomenda-se usar a regra do dgito decimal de reserva,

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Sistema Internacionalquando os clculos so feitos com um dgito extra e o arredondamento feito somente no final da soma. Exemplo 1 Seja a soma: 132,7 + 1,274 + 0,063321 + 20,96 + 46,1521 Com qualquer mtodo, o resultado final deve ter apenas um algarismo depois da vrgula, pois a parcela 132,7 tem apenas um algarismo depois da vrgula. Se todas as parcelas forem arredondadas antes da soma, se obtm 132,7 + 1,3 + 0,1 + 21,0 + 46,2 = 201,3 Usando-se a regra do dgito reserva, tem-se 132,7 + 1,27 + 0,06 + 20,96 + 46,15 = 201,14 Fazendo-se o arredondamento no final, temse 201,14 = 201,1. Exemplo 2 Achar a soma das razes quadradas dos seguintes nmeros, com preciso de 0,01 absolutos das parcelas. Por exemplo, tendo-se duas quantidades com precises de 0,1 lgico entender que a soma ou diferena destas quantidades so determinadas com preciso de 0,2, por que, na pior situao, os erros se somam. Quando h muitas parcelas, improvvel que todos os erros se somem. Nestes casos, usam-se mtodos de probabilidade para estimar o erro da soma. Um critrio arredondar, desprezando-se o ltimo algarismo significativo. Ou seja, quando todas as parcelas tiverem n algarismos significativos, dar o resultado com (n-1) algarismos significativos. As regras da subtrao so essencialmente as mesmas da soma. Deve-se tomar cuidado quando se subtraem dois nmeros muito prximos, pois isso provoca um grande aumento do erro relativo. Exemplo 4 (327,48 0,01) - (326,91 0,01) = (0,57 0,02) O erro relativo de cada parcela vale aproximadamente 0,01/300 = 0,003%. O erro relativo do resultado vale cerca de (0,02/0,57) = 3,5%, que mais de 1000 vezes maior que o erro relativo das parcelas. Quanto mais esquerda, mais significativo o dgito. O dgito na coluna dos dcimos mais significativo que o dgito na coluna dos centsimos. O dgito na coluna das centenas mais significativo que o dgito na coluna das dezenas . O resultado da soma ou subtrao no pode ter mais algarismos significativos ou dgitos depois da vrgula do que a parcela com menor nmero de algarismos significativos. Multiplicao e Diviso Quando se multiplicam ou dividem dois nmeros com diferentes quantidades de dgitos corretos depois da vrgula decimal, o nmero correto de dgitos decimais do resultado deve ser igual ao menor dos nmeros de dgitos decimais nos fatores. Exemplo 5 Achar a rea S do retngulo com a = 5,2 m b = 43,1 m incorreto dizer que a rea S = 224,12 m2. Na realidade, a est entre 5,1 e 5,3 b est entre 43,0 e 43,2 Assim, a rea S est contida entre 219,3 cm2 (5,1 x 43,0) 228,96 cm2 (5,3 x 43,2)

N = 5+ 6+ 7+ 8Usando-se a regra do dgito decimal reserva, tomam-se os dados com preciso de 0,001. 2,236 + 2,449 + 2,646 + 2,828 = 10,159 Arredondando-se no final, tem-se 10,16. Sem a regra do dgito decimal reserva seria 10,17 (verificar). Quando o nmero de parcelas muito grande (centenas ou milhares), recomenda-se usar dois dgitos decimais reservas. Quando se somam vrias parcelas com o mesmo nmero de algarismos depois da vrgula decimal, devese considerar que o mximo erro absoluto da soma maior do que das parcelas. Por isso, prudente arredondar para um dgito a menos. Exemplo 3 Determinar a soma 1,38 +8,71 + 4,48 + 11,96 + 7,33 = 33,86 Porm, o resultado mais conveniente 33,9, com trs algarismos significativos, que o menor nmero de significativos das parcelas. O mximo erro absoluto de uma soma ou diferena igual soma dos erros mximos

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Sistema InternacionalAssim, os dgitos depois do segundo algarismo significativo so duvidosos e a resposta correta para a rea : S = 2,2 x 102 cm2 O nmero de dgitos decimais corretos e o mximo erro relativo indicam qualidades semelhantes ligadas com o grau de preciso relativa. A multiplicao ou diviso de nmeros aproximados provocam a adio dos erros relativos mximos correspondentes. No exemplo do clculo da rea do retngulo, o erro relativo de a (5,1) muito maior que o de b ( 43,1) e por isso o erro relativo da rea S aproximadamente igual ao de a. S tem a mesma quantidade de algarismos significativos que a; ambos tem dois algarismos. Se os fatores do produto so dados com quantidades diferentes de algarismos decimais corretos, deve-se arredondar os nmeros antes da multiplicao, deixando um algarismo decimal reserva, que descartado no arredondamento do resultado final. quando h mais que 4 fatores com igual nmero de dgitos decimais corretos (n), o resultado deve ter (n-1) dgitos decimais corretos. Exemplo 6 Calcular o calor gerado por uma corrente eltrica I percorrendo uma resistncia R durante o tempo t, atravs de Q = 0,24 I2 R t Como a constante (0,24) tem dois dgitos decimais corretos, o resultado final s poder ter dois dgitos depois da vrgula. Assim, no se justifica praticamente tomar valores de I, R e t com mais de trs dgitos decimais corretos (o terceiro dgito j o decimal reserva a ser descartado no final). As constantes no afetam o nmero de dgitos decimais corretos no produto ou diviso. Por exemplo, o permetro do crculo com raio r, dado pela expresso L = 2 r, o valor de 2 exato e pode ser escrito como 2,0 ou 2,000 ou como se quiser. A preciso dos clculos depende apenas da quantidade de dgitos decimais da medio do raio r. O nmero tambm conhecido e a quantidade de significativos pode ser tomada arbitrariamente. Exemplo 7 Calcular D = 11,32 x 5,4 + 0,381 x 9,1 + 7,43 x 21,1 para estimar o valor das parcelas, calculam-se estas parcelas com o arredondamento correto. Como 5,4 possui apenas dois algarismos significativos, tomam-se as parcelas com trs algarismos (com um dgito decimal reserva) e arredonda-se o resultado final para dois algarismos significativos. 11,32 = 127,7 x 5,4 = 690 0,381 x 9,1 = 3,47 = 3 7,43 x 21,1 = 157 Resultado final = 850 Resultado correto: 8,5 x 102 O clculo com dgitos desnecessrios intil e pode induzir a erros, pois podem dar a iluso de uma preciso maior que a realmente existe. Todos os graus de preciso devem ser coerentes entre si e em cada estgio dos clculos. Nenhum dos graus de preciso deve ser muito menor ou maior do que o correto. Exemplo 8 Seja x = 215 y = 3,1 Calcular: x+y x-y x/y y/x determinando: 1. resultado calculado 2. limite superior calculado 3. limite inferior calculado 4. resultado final correto Tab. 1.4. ResultadosOperao x+y x-y x.y x/y y/x Resultado 218,1 211,9 666,5 69,3548 0,01442 Limite sup 219,2 213,0 691,2 72,0000 0,01495 Limite inf 217,0 210,8 642,0 66,8750 0,01389

x.y

Resultado 218 212 6,7x102 69 0,014

A quantidade x = 215 definida por trs algarismos significativos de modo que o dgito 5 o menos significativo e duvidoso. Como ele incorreto por 1, ento o limite superior 216 e o inferior 214. A quantidade y = 3,1 tem dois algarismos significativos e tem incerteza de 0,1, variando entre 3,2 e 3,3. Os limites superiores mostrados na tabela so a soma dos limites inferiores de x e y. No resultado final, se deve considerar s um dgito duvidoso, e quando possvel, com apenas dois dgitos significativos.

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Sistema InternacionalExemplo 9 Determinar a rea de um quadrado com lado de (10 1) metro. A rea nominal do quadrado igual a 100, que o produto de 10 x 10. Porm, a incerteza de 1 metro em cada lado do quadrado multiplicada pelo outro lado, de modo que a incerteza total da rea do quadrado de 21 metros! Chega-se a este resultado multiplicando-se 10 1 por 10 1: 10 1 10 1 _____ 100 10 10 1 _________ 100 20 1 portanto 100 21 ou mais rigorosamente (100 -19 + 21) m2. Outro modo de se chegar a este resultado considerar que cada lado de 10 1 metro varia de 9 a 11 metros e por isso as reas finais variam de um mnimo de 81 (9 x 9) e um mximo de 121 (11 x 11) e como a rea nominal de 100, o valor com a tolerncia de 100 - 19 (81) +21 (121). Este exemplo interessante pois anlogo ao clculo da incerteza de uma grandeza que depende de duas outras grandezas. A incerteza da grandeza resultante igual derivada parcial da grandeza principal em relao a uma grandeza vezes a incerteza desta grandeza mais a derivada parcial da grandeza principal em relao a outra grandeza vezes a incerteza desta outra grandeza. Ou seja, em matemtica, quando z = f(x, y) com x = x x y = y y a incerteza z igual a

4.11. Algarismos e resultadosDevem ser estabelecidas algumas regras para determinar as incertezas para que todas informaes contidas na expresso sejam entendidas universalmente e de modo consistente entre quem escreve e quem l. Como a quantidade x uma estimativa de uma incerteza, obviamente ela no deve ser estabelecida com preciso excessiva. Por exemplo, estupidez expressar o resultado da medio da acelerao da gravidade g como gmedida = 9,82 0,0312 956 m/s2 A expresso correta seria gmedida = 9,82 0,03 m/s2 Regra para expressar incertezas: Incertezas industriais de