Metode si modele probabilistice pentru evaluarea riscului

1. Modele probabiliste (MP) pentru evaluarea riscului

Modelele cantitative MP sunt construite pe baza teoriei bazate pe procesele fizice. Modele probabilistice pure introduc descrierea parametrilor modelului şi interacţiunea acestora prin variabile aleatorii (VA).

Principalele metode de a construi MP-uri sunt:

- abordarea distribuirii complete (convoluţie multiplă integrală);

- lanţurile Markov;

- inferenţa Bayesian;

- simularea stochastică Monte Carlo;

Modelele fizice, inclusiv MP-urile, reprezintă idealizări ale realităţii. Aşadar, toate modelele sunt false. Cu toate acestea, prin îmbunătăţiri, modelele se pot apropia de realitate cât mai mult posibil. O modalitate de a reduce probabilitatea apariţiei cedării instalaţiilor este de a le inspecta în mod periodic şi de a repara sau înlocui componentele care prezintă semne de deteriorare şi degradare. Astfel de inspecţii in-service sunt ceva obişnuit pentru recipientele sub presiune, conductele şi sudurile asociate, precum şi pentru structurile aviatice. În trecut, intervalele de inspecţie aveau la bază experienţa istorică şi judecata inginerească. În ultimii ani s-au dezvoltat metode pentru a determina locaţiile şi intervalele pentru inspecţia pe baza cunoaşterii riscului. Aceasta s-a transformat într-o nouă metodologie inginerească, cunoscută sub numele de inspecţie in-service (ISI) bazată pe risc sau pe risc informat (cunoscut). Fiabilitatea structurală (FS) şi/sau Mecanica Ruperii Probabiliste (MRP) este folosită la estimarea probabilităţii de cedare a structurilor portante, iar metodologia de evaluare a riscului în sistem este folosită pentru a determina efectul cedării structurii asupra întregului sistem. Aceste estimări ale riscului se folosesc pentru a ordona sau grupa componentele instalaţiilor şi instalaţiile ca entităţi în cadrul sistemului global, în funcţie de contribuţia lor la risc. Componentele sau instalaţiile cu un nivel de risc mai ridicat sunt inspectate mai des şi cu mai mare atenţie. Ordonarea în funcţie de potenţialul de rupere reprezintă elementul cheie în strategiile ISI moderne.

1

2. Inspecţia in-service. Variabilitate şi incertitudine. Moduri de abordare

Există o incertitudine şi o variabilitate semnificativă, asociată cu orice estimare pe bază de calcul a riscului de cedare a componentelor, după cum a demonstrat experienţa de serviciu, deoarece sunt evenimente care apar foarte rar. Pentru a aborda această problemă s-au urmat două căi în cuantificarea probabilităţilor de rupere şi frecvenţei acestora: - analiza datelor pentru service de cedare (experienţă anterioară) prin estimări statistice şi corelaţii cu factorii cheie (raţionale ISI); - evaluare (predicţia) prospectivă a riscului de cedare prin analize structurale probabiliste (ASP) , în special prin Mecanica Ruperii Probabiliste (MRP). Metodele ASP şi MRP sunt delimitate de o abordare mai amplă, cunoscută sub numele de Analiza Probabilistă a Riscului (APR) sau Analiza Cantitativă a Riscului (ACR). ASP şi MRP sunt instrumente esenţiale în managementul luării deciziilor, formând noul domeniu de abordare denumit managementul riscului (MR). Din punct de vedere programatic, există o serie de aspecte care trebuie abordate în scopul de a asigura un program eficient de ISI.

Acestea includ:

• Suportul acordat de către management;

• O bună înţelegere a punctelor forte şi limitări ale programului existent ISI; • Utilizarea corectă a informaţiilor privind componentele cu risc specific;

• Cunoştinţe multidisciplinare;

• Cunoştinţe privind reglementările din ţara respectivă. Formarea unor specialişti calificaţi în domeniu este, de asemenea, un factor esenţial în elaborarea şi punerea în aplicare a unui program ISI. Aceştia trebuie să aibă cunoştinţe din cadrul unor discipline diferite, inclusiv de control, proiectare de întreţinere, materiale, chimie, analiza tensiunilor, sisteme, operaţiuni de mentenanţă şi siguranţă. O privire de ansamblu asupra aspectelor fundamentale ale unei metodologii ISI este prezentată în Fig.1. Această figură reflectă elementele tehnice de bază ale conceptului de risc informat ca fiind relevante pentru dezvoltarea unui program ISI. Dintr-o perspectivă tehnică, se pot distinge următoarele etape principale ce pot rezuma un proces ISI: • Definirea sferei de aplicare a programului ISI;

• Colectarea şi analiza datelor de intrare necesare;

• Evaluarea consecinţelor cedării unei componente;

• Identificarea şi evaluarea potenţialului de cedare;

2

• Efectuarea unui clasament de risc pe baza unei analize „fault tree”;

• Inspecţia componentei cu risc, selectate;

• Evaluarea impactului inspecţiei asupra riscului asumat în vederea modificării programului de inspecţie;

• Gestionarea pe termen lung a unui program de ISI.

Fig.1 Programul de Inspectie in Service

3

Un verificator probabilistic are două tipuri de intrări:

- un model probabilistic- specificarea proprietăţilor

Prima, (modelul probabilistic) este deobicei reprezentat într-un limbaj descriptiv de nivel înalt, care este apoi transformat într-o reprezentare interna optimizată pentru analiză. A doua, (specificarea proprietăţilor) este bazată pe logica temporală la care se adaugă operatori probabilistici şi poate include şi opţiuni precum limite de timp sau cost în funcţie de model.

Verificatorul explorează modelul şi produce două tipuri de ieşiri:

- adevărat/fals pentru a indica dacă specificaţiile acceptă modelul- o valoare numerică (de ex: probabilitatea sau timpul aşteptat pentru fiecare stare)

3. Modele probabilistice de studiu a fiabilităţii bazate pe lanţuri Markov

Funcţionarea oricărui element al unui sistem mecanic se caracterizează printr-o succesiune de stări care descriu regimurile de funcţionare normale sau de avarie. Datorită naturii probabilistice a stărilor prin care trece instalaţia respectivă, se poate admite că evoluţia procesului este descrisă de un proces aleatoriu. Evoluţia procesului respectiv este definită de o familie de variabile care descriu traiectoria procesului. Cunoaşterea stărilor sistemului la momentele consecutive t1, t2,...,tn anterioare lui t contribuie la cunoaşterea stării în momentul t prin colectarea unor informaţii referitoare la starea din momentele anterioare, dar cuprinse toate în starea cea mai recentă, respectiv starea din momentul tn. Trebuie ţinut cont de faptul că în general un sistem poate ajunge într-o anume stare prin mai multe succesiuni de stări, modul în care sistemul respectiv a ajuns aici influenţând funcţionarea sa ulterioară, şi deci şi indicatorii care caracterizează fiabilitatea sistemului pentru momentul tn. Procesul care are o asemenea evoluţie caracterizată de faptul că starea în care va trece sistemul depinde atât de starea în care se găseşte acesta cât şi de modul în care sistemul a ajuns în această stare se numeşte proces Markov.

Cele mai simple modele probabilistice sunt forme de lanţuri Markov şi anume :

- lanţuri Markov în timp discret (DTMC: discrete-time Markov chains)

Un lanţ Markov în timp discret (DTMC) este total probabilistic. Sunt date un set finit de stări S, o submulţime de stări iniţiale Si şi o matrice de probabilităţi de tranziţie P : S x S \rightarrow [0,1]. Pentru fiecare pereche ( s, s' ) de stări, probabilitatea de a face tranziţia de la s la S' este dată de P( s, s' ). Trebuie să avem Imagine:dtmc-1.jpg pentru toate stările din S. Stările finale

4

pot fi modelate prin adaugarea unei bucle proprii, P(s,s) = 1.

- lanţuri Markov în timp continuu (CTMC: continuous-time Markov chains)

Lanţuri Markov în timp continuu (CTMC: Continuous-time Markov chains) sunt similare DTMC-urilor, pot modela numai comportamente probabilistice, dar permit modelarea în timp-real (continuu). Formal, un CTMC este definit de o mulţime de stări S , o submulţime de stări iniţiale Si şi o matrice cu ratele de tranziţii Imagine:ctmc-rssper.jpg. Imagine:ctmc-rssprim.jpg ofera rata apariţiei tranziţiilor între două stări s şi s' . Probabilitatea tranziţiei de la s la s' în intervalul de timp strict pozitiv t este descrisă ca o distribuţie exponenţială non-negativă Imagine:ctmc-f1.jpg. Dacă Imagine:ctmc-rssprim.jpg > 0 pentru mai multe stări s' , o "cursa" pentru alegerea tranziţiei din s porneşte. Aceasta înseamnă că probabilitatea de trece de la s la s' este egală cu probabilitatea ca timpul necesar pentru a trece de la s la s' este mai mic decât către oricare alte tranziţii din s.

5

Ambele se rezumă la sisteme tranziţionale unde tranziţia între stări este probabilistică. Modelele pot fi îmbogăţite cu informaţii adiţionale ataşate stărilor şi tranziţiilor cum ar fi variabila de cost.

Exemple de realizare a lanţurilor Markov

Modelele Markov permit o reprezentare detaliată a cedărilor şi a proceselor de reparare, în special atunci când sunt implicate dependenţe, şi, prin urmare, conduce la evaluări mai realiste privind măsurile întreprinse în vederea determinării fiabilităţii sistemelor. Analiza Markov se ocupă de evenimente rare, spre deosebire de simularea bazate pe analize, şi, prin urmare, permite ca astfel de evenimente să fie analizate într-o perioadă rezonabilă de timp. Analiza Markov este o tehnică utilizată pentru a obţine date numerice legate de fiabilitatea şi disponibilitatea unui sistem sau a unei părţi a acestuia. Analiza Markov este efectuată atunci când dependenţele între cedările mai multor piese, precum şi dependenţele între cedările componentelor şi ratele de cedare nu pot fi uşor reprezentate folosind o combinaţie de tip arbore de defectare în vederea determinării ratelor de cedare şi reparaţii. Construcţia unei reprezentări de tip Markov O analiză Markov este formată din trei etape majore:

1. O analiză a stării sistemului;

2. Date privind ratele de tranziţie între sisteme;

3. Calculul în vederea obţinerii soluţiilor modelului.

Etapele 1 şi 2 au loc în editorul grafic al modelului Markov. În acest editor se pot desena cercuri şi săgeţi între cercuri, respectiv, se pot crea stări şi tranziţii între ele. Construirea de modele Markov mai mari este facilitată de capacitatea editorului de a construi ierarhic modele Markov, adică de a retrograda o stare de nivel superior într-una de nivel inferior pe o pagină separată similară cu utilizarea de porţi de transfer în modelarea de tip Arbore de defectare. Ambele tranziţii, atât cele continue cât şi cele discrete pot fi introduse în model. Tranziţiile continue sunt acelea care reprezintă evenimente, ce pot avea loc în orice moment într-un interval de timp dat, în timp ce tranziţiile discrete au loc la un moment specificat în timp. În acest scop, tranziţiile individuale aparţin unui grup de tranziţie, format din toate tranziţiile aplicabile unui interval de timp dat, sau care se fixează la un moment dat în timp. Între intervale, rata la care tranziţiile se fixează poate fi schimbată, oferind un sistem puternic pentru modelele de tip Markov. O altă caracteristică puternică a modulului Toolkit de tip Markov este capacitatea sa de a defini grupuri de stare. Grupurile de stare sunt grupuri în cadrul modelului pentru care utilizatorul doreşte să obţină statistici combinate, cum ar fi timpul total petrecut în oricare dintre stări sau numărul de tranziţii în grup sau în afara grupului. Un grup care este definit, în mod implicit este "Indisponibil". Orice timp petrecut într-o stare care este marcată de

6

utilizator ca aparţinând acestui grup este considerat a fi cădere de sistem, care este luat în considerare atunci când se calculează măsurile de fiabilitate şi disponibilitate. Odată ce definirea modelului este completă, utilizatorul indică statisticile, care ar trebui să fie calculate, dincolo de măsurile de fiabilitate ca sunt calculate în mod implicit. Măsurile disponibile includ probabilităţi de stare, timpul petrecut într-un anumit grup de stare, precum şi rata de tranziţie şi numărul de tranziţii în afară unei anumite stări sau grup de stare. După calculul soluţiei (pasul 3) aceste rezultate pot fi observate în diverse formate tabelare şi grafice.

4. Inferenta Bayesian

Introducere

Se refera la folosirea retelelor bayesiene pentru modelarea distributiilor statistice ale pierderilor in scenarii de risc financiar operational. Ne vom concentra asupra modelarii evenimentelor de pierdere neasteptata(cu “coada lunga”) folosind combinatii de distributii adecvate ale frecventei si severitatii pierderilor, unde aceste combinatii sunt conditionate de variabile cauzale ce modeleaza randamentul sau eficacitatea procesului comenzilor de baza. Utilizarea modelarii cauzale este discutata din perspectiva exploatarii expertizei locale in legatura cu fiabilitatea proceselor si a asocierii formale dintre aceste cunostinte si fenomenele statistice reale sau ipotetice rezultate din procese. Aceasta abordare aduce avantajul suplimentarii datelor incomplete cu parerile expertilor si transformarii cunostintelor calitative despre procese in predictii cantitative. Retelele bayesiene ajuta in combinarea intr-un mod inteligent a datelor calitative obtinute de la experti si a datelor cantitative din baze de date ce retin istoricul pierderilor si astfel intrunesc intr-o masura insemnata conditiile Acordului Basel II (Basel, 2004) pentru o abordare avansata a masuratorilor(AMA – advanced measurement aproach).

Comitetul Basel pentru Supervizarea Bancara, ca reactie la un numar de dezastre financiare foarte mediatizate, a creat un sistem de regularizare tratand problema riscului operational(OpRisk) si a evaluarii sale. Esential pentru procesul de regularizare este modelarea riscurilor operationale ale afacerii, ca varietate a tipurilor de evenimente de pierdere, pentru a obtine o adecvare corecta a capitalului propriu. Pentru calcularea unei asemenea ajustari este tentant sa se previzioneze riscul operational construind un model statistic bazat pe date istorice. Totusi, din perspectiva statistica, dezastrele financiare in sine, cum ar fi Barings si Allied Irish Bank, sunt prea putine ca numar pentru orice inferenta semnificativa. Mai mult, pana de curand, bancile nu au inregistrat cronologic date despre evenimentele de pierdere la o scara larga si in mod sistematic. Aceasta insuficienta generala a datelor despre pierderi inseamna ca este improbail ca abordarile statistice traditionale sa ofere predictii utile referitoare la

7

pierderile operationale. O imbinare de metode cantitative si calitative este necesara pentru a modela riscurile operationale.

Problema OpRisk nu este particulara pentru sectorul financiar si riscul operational nu este un subiect nou. In cartea sa, James Reason, argumenteaza ca riscul operational este intampinat de toate organizatiile si foloseste exemple din sectoarele financiar, transport feroviar, aviatie civila si centrale nucleare pentru a-si sustine afirmatiile. Reason identifica o multime de motive datorita carora au loc esecuri catastrofice in cadrul acestor industrii in care siguranta este un element critic, printre care se numara(dar nu sunt singurele) incapacitatea de a insusi lectiile invatate din esecurile anterioare, degradarea inceata sau prabusirea procedurilor de siguranta, schimbari in cultura si management, lipsa viziunii si a structurii pentru raportarea riscurilor si a lipsei de atentie la detalii. Concluzia este ca accidentele nu sunt rezultatul exclusiv al failibilitatii umane, ci sunt datorate si caracteristicilor organizatiei care nu reuseste sa se apere impotriva greselilor umane inerente, neatentiilor si (in cazul fraudei) a actelor rau intentionate. Putem spune ca predictia riscurilor operationale este strans legata de un bun management si ca masurarea OpRisk poate fi semnificativ facuta doar daca eficacitatea proceselor de control al riscului sunt evaluate regulat. Aceasta viziune contrasteaza puternic cu ideea ca modelarea OpRisk implica doar investigarea fenomenelor statistice.

Datorita acelorasi argumente, catastrofele financiare nu sunt “un fulger venit din senin” si nu sunt nici inexplicabile. Scandalurile financiare ca Barings si AIB au fost toate rezultatul activitatilor frauduloase acumulate de-a lungul unor perioade indelungate, timp in care un management activ le-ar fi putut identifica si preveni. Exista o tendinta de a vedea dezastrul financiar ca un singur eveniment de tip “pierdere foarte ridicata”, in locul unei agregari de pierderi mai mici sporite in timp, ceea ce este de inteles avand in vedere ca pierderile sunt inregistrate la descoperire, toate odata. Dar acest lucru nu schimba faptul ca astfel de pierderi sunt acumulate zilnic si pot fi detectate printr-o atentie sporita inglobata in rutina. Orice sistem de riscuri operationale ar trebui, deci, sa se concentreze asupra detectarii micilor pierderi in fiecare luna sau trimestru inainte ca acestea sa devina piederi importante sau dezastre.

In aceasta lucrare se incearca argumentarea faptului ca retelele bayesiene reprezinta o solutie atragatoare pentru problemele identificate mai sus. Retelele bayesiene ne permit combinarea oricaror date statistice disponibile cu date calitative si judecati subiective asupra proceselor. Asadar retelele bayesiene furnizeaza metode de modelare a pierderilor operationale si de masurare a eficacitatii proceselor operationale ale unei firme ca parte a unei abordari orientate pe auto-evaluare.

Folosind retelele bayesiene putem:

8

• Combina indicatori proactivi ai pierderilor, legati de desfasurarea afacerii, cu masurari reactive ale rezultatelor precum succes incomplet(near miss) si date despre pierderi.

• Incorpora parerile expertilor cu privire la contributia pe care o pot avea estimatorii calitativi asupra evaluarii riscului general.

• Introduce dovezi incomplete si totusi sa obtinem predictii

• Realiza analiza de tipul “what-if” puternica pentru a testa senzitivitatea concluziilor

• Obtine o unealta vizuala de rationare si un ajutor important in documentare

• Obtine output sub forma predictiilor verificabile relativ la masuratorile performantelor reale si ratele evenimentelor de pierdere.

Retele bayesiene

Teoria de baza a retelelor bayesiene combina probabilitatea bayesiana si notiunea de independenta conditionala pentru a reprezenta dependentele dintre variabile (Pearl, 1986; Speigelhalter & Cowell, 1992). Pana in prezent retelele bayesiene s-au dovedit utile in multe tipuri de aplicatii ca sisteme expert medicale, de diagnostic al esecurilor, corespondenta tiparelor, recunoasterea vocala si, mai relevant pentru comunitatea riscurilor operationale, evaluarea riscurilor sistemelor complexe in medii cu miza ridicata.

Retelele bayesiene(Bayesian Networks - BN) fac posibila analiza in conditii de incertitudine si combina avantajele unei reprezentari vizuale intuitive cu o baza matematica solida in probabilitatea bayesiana. Cu BN putem utiliza cunostintele expertilor in legatura cu dependentele dintre diferite variabile si sa proiectam in mod consistent impactul dovezilor asupra probabilitatilor rezultatelor incerte. BN permit o insuflare de rigurozitate stiintifica cand distributiile de probabilitate asociate nodurilor individuale sunt doar “opiniile expertilor”. Acest lucru poate sa creasca increderea in parerile expertilor, subliniind in acelasi timp imprecizia inerenta in asemenea tipuri de judecati.

O retea bayesiana este un graf orientat ale carui noduri reprezinta variabilele(discrete) incerte de interes si ale carui muchii sunt legaturile cauzale sau de influenta dintre variabile. Fiecarui nod i se asociaza un tabel de probabilitati. Acesta este un set de probabilitati conditionate ce modeleaza relatia de incertitudine dintre nod si parintele sau.

Cheia unui design de succes al retelelor bayesiene este descompunerea corecta a domeniului problemei intr-un set de propozitii cauzale sau conditionale despre domeniu. In loc sa cerem unui expert intreaga distributie unificata de probabilitati, care este evident o sarcina foarte dificila, putem aborda o strategie de tipul “divide-et-impera” si sa cerem detalii partiale

9

ale modelului care au semnificatie in domeniul expertului. Obtinand aceasta descompunere, am specificat, ca rezultat natural al abordarii, si covarianta prin structura probabilitatilor conditionate.

Modelarea dependentei dintre frecventa si severitatea evenimentelor

Fig.1. Distributia marginala aposteriori pentru p(T), unde T<1000

Modelul de mai sus presupune ca frecventa si severitatea evenimentului de pierdere sunt independente. In realitate ne putem astepta ca ele sa covarieze cel putin pentru anumite clase de evenimente cum ar fi frauda, unde ne-am putea astepta ca un proces de control slab sa incurajeze un hot sa fure mai mult decat un proces de control eficient. Pentru alte clase de evenimente dependentele ar putea fi mai slabe. Putem modela usor covarianta dintre severitatea S si frecventa F, introducand o cauza comuna, pe care o vom numi eficienta procesului, E, in modelul retelei bayesiene. Noua distributie unificata de probabilitati p(F,S,T,E) = p(T| F,S)p(S|E)p(F|E)p(E). Aceasta este reprezentata grafic de BN din figura 4. Putem compara acest model de dependenta, conditionat de E, cu varianta independenta discutata anterior, comparand direct distributiile marginale aposteriori pentru T in cazurile de dependenta respectiv independenta:

si

Pentru a ilustra cel mai bine diferentele dintre modele, putem construi un model folosind valori medii pentru p(S) si p(F) care sunt foarte apropiate de modelul orginal de independenta. Amestecul de TPN-uri ales ca exemplu este reprezentat in tabelul 1.

10

Fig.2. BN pentru p(F,S,T,E) aratand distributiile marginale aposteriori pentru fiecare variabila, unde F si S sunt conditionate de E.

Tabelul 1. TPN-uri pentru p(E), p(F|E) si p(S|E)

Asteptarile pentru frecventa evenimentului, F, si severitatea, S, sunt usor derivate din reteaua bayesiana. Acestea sunt aproape identice cu cele utilizate cand F si S sunt

11

independente: E(F) = 10 si E(S) = 40. Totusi, problema se refera la forma cozii lui p(T), sau formulata ca intrbare: Pierderile neasteptate sunt mai mari cand F si S covariaza?

Figura 3 arata coada functiilor de densitatea a probabilitatii pentru valori ale lui T>1000, iar tabelul 2 arata o comparatie a mediei si a procentului 99(putem atribui procentul 99 ca masura Valoareii de Risc(VaR – Value at Risk)) cand F si S sunt independente respectiv dependente. Se poate observa ca atunci cand F si S sunt dependente obtinem o coada mai lunga decat atunci cand sunt independente. Aceasta diferenta a cozilor este evidentiata si de catre diferentele dintre valorile procentului 99 pentru T: in cazul dependentei valoarea este 4.937, iar in cazul independentei, 1.933. Deci in caz de independenta valoarea VaR va fi optimista.

Fig.3. Comparatia cozilor distributiilor pierderilor totale. Zona gri inchis arata cazul de independenta, iar linia neagra arata cazul de dependenta.

5. Explicarea teoretica a metodelor de estimare a riscului

12

Modelul medie-varianta a lui Markowitz (1952, 1959) este piatra de temelie a teoriei moderne a portofoliului. Ideea lui Markowitz consta in faptul ca agentii urmaresc sa selecteze in mod optim portofoliile medie-varianta eficiente. In practica, acest model este larg utilizat pentru a gestiona riscul de portofoliu. Aplicatiile specific include determinarea structurii optime a portofoliului, masurarea castigurilor din diversificari cu active de pe pietele internationale si evaluarea perfomantei portofoliului.

Metodele standard precum simularea istorica, se bazeaza pe presupuneri false cum ar fi independenta rentabilitatilor, fiind necesar, un model cu densitate conditionata care sa permita variatia in timp a volatilitatii. Masurarea riscului poate fi atinsa prin aplicarea directa a modelelor cu densitate univariata portofoliului, modele precum GARCHpentru masurarea volatilitatii oferind un cadru benefic pentru rentabilitatea portofoliului.

Modelul Valoarea la Risc (VaR)

Acest model a castigat o amploare din ce in ce mai mare dupa ce conceptual VaR a fost introdus de catre JP Morgan in 19941. De asemenea, uilizarea VaR a devenit omniprezenta intr-o perioada scurta de timp deoarece a primit recunoastere in sens larg si din partea altor structure financiare, precum Grupul celor Treizeci (1993) si datorita amendamentului din 1996 al Acorduluide la Basel, în care se recomandã bãncilor central sã foloseascã VaR ca mãsurã de determinare alimitei minime de capital necesarã unei bãncicomerciale pentru a-si acoperi riscul de piatã lacare aceasta este expusã.

Linsmeier şi Pearson, în articolul scris în 1996, au descris VaR cafiind „o măsurăstatistică, sumară şi simplă de măsurare a pierderilor posibileale unui portofoliu. Mai specific, VaR este o măsură a pierderilor apărute caurmare a schimbărilor normale a pieţei. Pierderile mai mari decât VaR potapărea numai cu probabilităţi extrem de scăzute.

Lucrarea VaR: Exchange Rate Risk and Jump Risk (Fen-Ying C., 2010) prezinta metoda Value at Risk de cuantificare a riscului ca fiind cea mai intuitive si folosita masura a riscului deoarece poate fi usor transmisa managerului firmei, presupunand ca distributia zilnica a probabilitatii randamentelor activelor este una normal, totusi aceasta presupunere fiind departe de realitate.

Abordarea prin metoda Value at Risk, definite ca pierderea maxima pe o anumita perioada de timp si cu un anumit nivel de relevant, este considerate, in general, o masura a riscului de piata prin prisma detinerii unui portofoliu de active financiare precum valute, optiuni sau alte derivative Utilizant aeasta metoda, Hofmann si Platen2 considera riscul de piata al unui portofoliu foarte diversificat al carei dinamica a distributiei randamentelor este una normal, in

1

2

13

timp ce pretul activelor urmeaza o distributie lognormala. Totusi aceasta presupunere a distributiei lognormale este departe de realitate deoarece schimbarile zilnice la nivelul multor variabile, mai ales a cursului de schimb, prezinta un kurtosis semnificativ pozitiv ceea ce inseamna ca distributia rentabilitatii activelor prezinta cozi groase si discontinuitati.

Definitie: Valoarea la Risc (VaRh, a ) mãsoarã pierderea maximã probabilã a se obtine pe o anumitã pozitiesau pe un portofoliu de pozitii, într-o anumitã perioadã de timp (h) si pentru un anumit nivel de încredere (1-a).

Pierderea (sau profitul) înregistrate de un anumit portofoliu, într-o perioadã de „h” zile, se calculeazã ca diferentã între valoarea initialã a portofoliului si valoarea portofoliului dupã cele „h” zile, asa cum reiese din formula de mai jos (Down, 2002):

∆Wh =W0 –Wh

unde:

W0 = Valoarea iniþialã a portofoliului(cunoscutã)

Wh = Valoarea portofoliului dupã h zile(variabila aleatoare)

∆Wh = Pierderea (sau profitul) pe urmãtoarele„h” zile

Inainte de calcularea VaR, este nevoie de specificarea a doiimportani parametrii:

a) Nivelul de incredere

Nivelurile de incredere se situeaza intre 90% si 99%. RiskMetrics Group (1999) presupune un nivel de incredere de 95% ca sistem de referinta, dar ofera utilizatorilor flexibilitatea de a allege si alte niveluri. Astfel, se recomanda alegerea mai multor niveluri de incredere( de exemplu 95% si 99%) si orizonturi si prognoza (de exemplu, 1 zi si 1 an).

b) Orizontul de timp

In general, intermediarii financiari active utilizeaza in mod constant 1 zi ca orizont de prognoza pentru analiza VaR a tuturor pozitiilor de risc de piata. In mod general, managerii de investitii utilizeaza un orizont de prognoza de 1 luna, in timp ce corporatiile pot intocmi previziunile privind riscul de piata trimestrial sau chiar lunar.

Odatã stabilite aceste douã elemente putem calcula VaR în douã variante:

- ca diferentã între valoarea curentã a portofoliului ales si cea mai micã valoare aportofoliului (numitã si cuantilã) la orizont de timp ales „h”, cu probabilitate stabilitã „p”.

14

- ca diferentã între valoarea asteptatã aportofoliului la orizontul de risc ales „h” cu o probabilitate „p” si cea mai micã valoarea portofoliului (cuantila) la acelasi orizont de timp „h” si cu aceeasi probabilitate „p”.

Fie:

W0 = valoarea de piatã actualã a portofoliului;

Wh = valoarea asteptatã medie a portofoliului laorizontul de timp ales „h”;

Rm = rentabilitatea medie a portofoliului laorizontul de timp ales „h”;

W* = valoarea cea mai micã (cuantila) pe careo poate înregistra portofoliul la orizontul de timp,corespunzãtor nivelului de încredere ales;

R* = randamentul corespunzãtor cuantilei.

Folosind notatiile de mai sus, putem scrie urmãtoarele relatii:

Wh = W0 × (1+Rm),

W* = W0 × (1+R*)

Utilizând aceste douã relatii putem calcula VaR (pierderea maximã asteptatã) în cele douã variante:

- fatã de valoarea curentã a portofoliului laorizontul de timp „h”

VaR = W0 –W* = W0 – W0 × (1+ R*) = - W0 × R*

- fatã de valoarea asteptatã medie aportofoliului la orizontul de timp „h” este:

VaR = Wh-W* = W0 × (1+Rm) – W0 × (1+R*) = W0 × (R m – R*)

In cazul de fata randamentele urmeazã o distributie normalã, astfel R si R*~ N(Rm, σ).

Orice distributie normalã poate fi transformatãîntr-o distributie normalã standardutilizândurmãtoarea transformare:

X = (Z − µ)/σ ,

unde:

Z ~ N(µ, σ) = variabila aleatoare ce urmeazã olege normalã de distributie X ~ N(0, 1) = variabilaaleatore ce urmeazã o lege normalã standard dedistributie.

15

Revenind la cazul de fata =>

Inlocuind R* în formula VaR, obtinem formula VaR în ipoteza distributiei normale:

- Fatã de valoarea de piata curentã W0 a portofoliului:

VaR = W0 –W* = - W0 × R* = −W0 ×( α ×σ + Rm) = −W0 ×α ×σ , Rm = 0

Rentabilitatea medie pe termen foarte scurt tinde la zero, astfel încât Rm = 0.

- Fatã de valoarea asteptatã medie aportofoliului la orizontul de timp ales, Wh:

VaR = Wh –W* = - W0 × (R*-Rm) = −W0×(α ×σ + Rm – Rm ) = −W0 ×α ×σ

Deci, pierderea maximã a portofoliului secalculeazã conform relatiei:

VaR = Valoarea de piatã curentã × Nivelul deîncredere × Volatilitatea

Din aceastã formulã se observã cã:

o crestere a volatilitãtii portofoliului va determina aplatizarea curbei (distributia randamentelor), ceea ce înseamnã o crestere a VaR.

modificarea rentabilitãtii medii determinã o glisare a curbei pe abscisã. Dacã perioada de detinere este scurtã, modificarea rentabilitãtii medii nu va avea un impact semnificativ asupra calculului VaR. Dacã perioada de detinere este mare, modificarea rentabilitãtii medii este semnificativã si va fi inclusã în formula VaR.

Odatã cu cresterea nivelului de încredere are loc o crestere în valoarea VaR si invers.

6. Metoda simularii istorice:

16

Metoda simularii istorice presupune ca toate variabilele viitoare posibile au fost experimentate in trecut si ca distributia simulata istoric este identical cu distributia rentabilitatii pe orizontul de perspective. Cu alte cuvinte, informatiile cuprinse in trecutul apropiat sunt suficiente pentru cuantificarea riscului din viitorul apropiat.

Aceasta metoda de calcul VaR consta in calcularea unor randamente sau serii ipotetice de profit sau pierdere (P/L) pentru portofoliul detinut in present pentru o perioada trecuta specificata, Aceste serii de profit sau pierdere trebuiesc masurate pe un interval de tip standard si pe un set suficient de mare de informatii din trecut.

Daca presupunem ca portofoliul este format dintr-un numar de n active, iar pentru fiecare activ i randamentul este calculate pentru fiecare interval de timp T, ri,t reprezinta randamentul activului I in sub-perioada t si Si este suma investita in activul I, atunci functia simulate de profit sau pierdere (P/L) pentru portofoliul actual in sub-perioada t este:

(P/L) = ∑Sixri, t

Pentru calculul VaR istoric exista si alte metode, acestea ponderand valorile P/L din cadrul distributiei seriei P/L. Astfel, valorile recente au o pondere mai mare decat cele vechi deoarece au o importanta mai mare ( Boudoukh, 1998).

Conform Hull si White (1998), in cazul in care volatilitatea activelor este variabila, datele pot fi ponderate in functie de volatilitatea prezentaestimata. Asadar, daca se doreste estimarea VaR pentru ziua T:

r’I, t = (σi, T/σi, t) x ri,t,

unde ri, t reprezinta randamentele ajustate in functie de volatilitate, ri, t randamentul istoric al activului i in sub-perioada t, σi, T cea mai recenta estimare a volatilitatii activului i.

Metoda simularii istorice prezinta avantaje deoarece:

permite simularea evenimentelor istorice extreme, datele necesare sunt usos de obtinut, este intuitive si simpla din punct de vedere conceptual si se poate adapta distributiilor leptokurtice, celor asimetrice si altor distributii non-normale deoarece nu este dependent de ipotezele referitoare la parametrii de evolutie ai pietelor.

De asemenea un avantaj important este ca nu face nici o presupunere referitoare la distributia rentabilitatii, deoarece se utilizeaza distributia empirica obtinuta din analiza datelor din trecut.

Totododata acesta metoda are si dezavantaje, precum:

17

prezinta dificultati in luarea in considerare a modificarilor in evolutie a pietelor intervenite in perioada luata in considerare, valorile VaR istoric nu capteaza riscul asociat produceerii unor evenimente plauzibile in viitor dar care nu s-au intamplat in trecut;

faptul ca previzioneaza evolutia viitoare a preturilor activelor pe baza trecutului, in contradictie cu modelele teoretice care considera ca preturile activelor sunt procese de tip Markov ( nu sunt luate in considerare posibile evenimente noi importante, sau dimpotriva, se considera ca unele evenimente vor reaparea).

7. Simularea Monte Carlo

Metoda simularilor Monte Carlo este o tehnica generala de rezolvare a problemelor care estimeaza valoarea la risc prin generarea aleatorie a unor traiectorii pentru valorile viitoare ale variabilelor de piata si utilizarea de modele neliniare de evaluare pentru a estima modificarile de valoare ale portofoliului in fiecare scenariu.

Aceasta metoda este considerate a fi cea mai adecvata metoda de calcul a VaR deoarece incorporeaza analiza unei varietati de expuneri, prezentand in acelasi timp flexibilitatea necesara pentru a tine cont de particularitatile cozilor distributiilor, de variatia volatilitatii in timp si de evenimentele extreme. In acelasi timp, rezultatele simularii unei multitudini de scenario, permit analiza unei pierderi asteptate ce depaseste valoarea la risc determinate in cadrul modelului.

Aplicabilitate:

Pentru realizarea simulării am folosit add-in-ul Excel @Risk (at risk), un soft special pentru a uşura simularea Monte Carlo, cu ajutorul căruia am rulat 5000 de scenarii diferite.

Metoda Monte Carlo generează mai întâi valori artificale ale variabilelor, folosind un generator de numere aleatoare, uniform distribuite în intervalul [0, 1] şi a funcţiei distribuţiei cumulativă ascociată variabilei probabilice respective. Ulterior,metoda MonteCarlo foloseşte rezultatele obţinute pentru a extrage valorile din probabilitatea de distribuţie care descrie comportamentul variabilei stocasticice.

Exemplu: Metodologia acestei metode de simulare, de exemplu pentru un curs de schimb A, este urmatoarea:

dA∕A = µdt + σdW,

18

unde A urmeaza o miscare browniana geometrica; µeste randamentul asteptat pe unitatea de timp, σ este volatilitatea cursului de schimb spor, iar dW este un process Wiener.

Acest process Wiener mai poate fi descries ca dW = φ(dt)1/2, unde φ este o variabila aleatoare ce urmeaza o repartitie normal standard.

Inlocuind dW in relatia de mai sus, se obtine:

dA∕A = µdt + σφ(dt)1/2

Deoarece in practica se foloseste cu precadere modelul in timp discret, dt este inlocuit cu Δt care reprezinta frecventa de timp la care se masoara randamentul cursului de schimb, atunci:

dA∕A = µdt + σφ(Δt)1/2

Unde dA/A reprezinta randamentul cursului de schimb in timp discret, iar ΔA modificarea cursului de schimb in intervalul de timp Δt.

Metoda simularii Monte Carlo prezinta avantaje precum:

Capacitatea de a captura riscul inclus in scenarii;

Poate furniza informatii despre impactul scenariilor extreme;

Poate fi capturata o varietate mare de comportamente ale pietei;

Dezavantajul major este reprezentat de faptul ca aplicabilitatea este mai anevoiasa datorita dezvoltarii mai slabe a unor programe informatice capabile sa indeplineasca sarcinile metodei.

Puncte tari si puncte slabe pentru cele 3 metode de cuantificare a riscului:

Metoda Avantaje Dezavantaje

Parametrica Metoda de calcul rapida si simpla;

Acuratete mai redusa pentru portofolii non-liniare;

Nu este nevoie de

19

extensia datelor istorice;

Simulari istorice Acuratete pentru toate tipurile de instrumente

Solicita o cantitatea semnificativa de date istorice

Ofera o distributie complete pentru valorile potentiale ale portofoliului

Dificil de previzionat pe termen lung

Nu este nevoie de construirea de ipoteze privind distributiile

Pentru nivele ridicate de incredere (99%) calitatea rezultatelor este scazuta

Mai rapida decat simularea Monte Carlo deoarece sunt utilizate mai putine scenarii

Solicitanta din punct de vedere al prelucrarolor informatice si consumatoare de timp(implica reevaluarea portofoliului sub fiecare scenario, desi sunt mai putine scenarii de evaluat decat in cazul simularilor Monte Carlo

Incorporeaza riscul valorilor extreme doar daca datele istorice include evenimentele extreme

Simulari Monte Carlo Acuratete pentru toate tipurile de intrumente

Solicitanta din punct de vedere al prelucrarilor informatice si consumatoare de timp(implica reevaluarea portofoliului sub fiecare scenariu

Ofera o distributie completa pentru valorile potentiale ale portofoliului

Cuantifica valorile extreme numai daca scenariile de piata sunt generate de distributiile

20

corerpunzatoarePermite utilizarea a diferite ipoteze privind tipul distributiei selectate si astfel are posibilitatea solutionarii problemelor de tipul “fat fails”

Nu are nevoie de date istorice suplimentare

8. Modelul CAPM

Modelul CAPM („Capital AssetsPricing Model”) a fost dezvoltat în mod independent de către William Sharpe i(1963, 1964), Jack Treynorii(1961), Jan Mossiniii(1996) şi John Lintneriv(1955, 1969), şi este primul model în care se evidenţiază legătura între rentabilitatea

21

unui activ financiar şi rentabilitatea unui portofoliu complet diversificat prin intermediul unui indicator de risc.

Pe baza rentabilităţii cerute de investitori, estimată aplicând modelul CAPM, se poate determina dacă un activ financiar (acţiune) este subevaluat, supraevaluat sau corect evaluat.

La baza modelului CAPM stau o serie de ipoteze, precum:

1. Toţii investitorii au un comportament de tip Markowitz, prin urmare portofoliile deţinute de aceştia sunt eficiente sau se află pe o frontieră eficientă.

2. Investitorii îşi construiesc portofoliile din active financiare tranzacţionate pe o piaţă secundară, precum acţiuni, obligaţiuni şi se pot împrumuta şi pot acorda credite la o rată de dobândă fără risc.

3. Toţi investitorii au aşteptări omogene, de aceea, ei estimează distribuţii identice pentru rentabilităţile viitoare.

4. Orizontul de timp al investiţiilor este identic pentru toţi investitorii.

5. Instrumentele financiare sunt divizibile (se pot cumpăra/vinde fracţiuni dintr-un activ financiar sau un portofoliu de active).

6. Nu există costuri de tranzacţionare sau alte taxe aferente cumpărării, respectiv vânzării de active financiare.

7. Rata inflaţiei este considerată zero sau dacă este diferită de zero, o vom considera perfect anticipată.

8. Pieţele de capital sunt în echilibru. Activele financiare sunt corect evaluate.

9. Există o competiţie perfectă între investitori.

Potrivit CAPM, ţinând cont de ipotezele presupuse, toţi investitorii vor deţine portofolii eficiente identice, respectiv portofoliul pieţei (M – market portfolio).

Rezultatul modelului CAPM descris prin relaţiaE (Ri )=r f+ βi(E (EM )−r f ), este unul extrem de important şi des întâlnit în teoria dar şi în practica financiară.

Această relaţie arată care este legătura între rentabilitatea unui activ financiar riscant şi rentabilitatea unui portofoliu complet diversificat prin intermediul indicatorului de risc beta (β).

22

Deci, rentabilitatea unui activ financiar riscant este egală cu rentabilitatea unui activ fără risc (rf) la care se adaugă o primă de risc a pieţei,E (EM )−r f , ajustată cu indicatorul de riscbeta specific acţiunii I.

Valoarea coeficientului beta diferă de la oacţiune la alta, iar prima de risc a activului cu risc este egală cu E (Ri )−r f=β i(E (EM )−r f ).

Indicatorul beta pentru o acţiune poate fiinterpretat ca expresie a surplusului de risc adus unui portofoliu binediversificat dacă ponderea acestei acţiuni creşte cu un punct procentual.

În articolul „Capital AssetPrices: A Theory of Market EquilibriumunderConditions of Risk” publicat în The Journal of Finance, Sharpe face distincţie între riscul sistematic/ nediversificabil/riscul de piaţă şi riscul nesistematic/diversificabil/riscul specific al acţiunii/firmei, indicatorul beta fiind un indicator al riscului de piaţă.

În cazul unui beta supraunitar, preţul activului I ca reacţiona mai puternic decât piaţa, adică rentabilitatea activului va avea o variaţie mai mare decât rentabilitatea portofoliului pieţei. Acest lucru denotă că activul I este mai riscant decât portofoliul pieţei.

În cazul unui beta subunitar, dar pozitiv, preţul activului ca reacţiona mai slab decât piaţa, având o variabilitate mai mică decât rentabilitatea portofoliului pieţei. Acest lucru evidenţiază că activul este mai puţin riscant decât portofoliul pieţei.

În cazul unui beta negativ, există o relaţie inversă între rentabilitatea activului şi cea a portofoliului pieţei.

Contribuţia unui activ la riscul unui portofoliu complet diversifica, riscul specific este înlăturat, depinde de riscul de piaţă asociat titlului cuantificat prin intermediul indicatorului beta.

Prima de risc a unui activ este proporţională cu beta adică investitorii pretind prime de risc mai mari pentru a compensa riscurile mai mari aferente activelor deţinute.

23

Figura 1. Descompunerea riscul unui portofoliu

Limitele CAPM, ca tehnică de estimare a riscului sistematic sunt:

modalitatea de calcul a coeficientului β, fiind bazată pe date statistice/istorice,în timp ce aşteptările investitorilor sunt orientate spre viitor; această modalitate de calcul a coeficientului β nu permite reflectarea unor evenimente sau fenomene recente care au afectat activul I;

utilizarea unei măsuri unidimensionale a riscului, în timp ce randamentul activului poate fi influenţat de o multitudine de factori;

dacă intensitatea tranzacţionării unui titlu pe piaţa de capital este scăzută, valoarea coeficientului βeste distorsionată, fiind mai mică decât cea reală.

Abaterea medie pătratică

Abaterea medie pătratică numită abatere standard sau abatere tip se defineşte ca medie pătrată, simplă sau ponderată, a abaterilor valorilor individuale de la tendinţa centrală sau ca rădăcină pătratică a dispersiei, adică relaţia de calcul a acesteia este:

σ=√∑i=1n

¿¿¿¿

24

Abaterea medie pătratică se exprimă în unitatea de măsură a caracteristicii studiate; valoarea sa este cu atât mai mare cu cât variaţia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare.

Abaterea medie pătratică se utilizează ca o măsură a riscului unor plasamente. De exemplu, riscul unei valori mobiliare este cu atât mai mic cu cât abaterea medie pătratică a portofoliului respectiv este mai mică.

9. Modele GARCH de estimare a riscului

Utilizat cu succes în studii privind volatilitatea, modelul condiţional autoregresiv heteroskedastic (GARCH) al volatilităţii - GARCH include în ecuaţia sa atât termenii de eroare (adesea numiţi şocuri), cât şi fenomenul de heteroschedasticitate. Este utilizat în cazul seriilor care nu sunt distribuite normal, ci au mai degrabă extremităţi îngroşate.

Volatilitatea rentabilităţii activelor financiare variază în timp, prezentând perioade în care este extrem de ridicată şi perioade în care este neobişnuit de scăzută.

Acest fenomen poartă numele de “volatility clustering” (clusterizarea volatilităţii) şi depinde de frecvenţa datelor. Acesta se gaseste foarte greu în seturile de date anuale sau lunare, dar este evidentiat în seturile de date zilnice sau din timpul unei zile. Deasemenea, acest fenomen implică şi posibilitatea previzionării volatilităţii condiţionate.

Clusterizarea volatilităţii reprezintă un element foarte important în măsurarea riscului sau în operaţiunile de hedging sau de evaluare a preţului opţiunilor. În perioada ulterioară unui şoc asupra pieţei, volatilitatea se schimbă şi creşte foarte mult probabilitatea apariţiei unui alt şoc, având o incidenţă mare asupra măsurării riscului portofoliilor.

Modelele mediilor mobile oferă o vagă imagine asupra variaţie în timp a volatiliţătii deoarece aceste modele presupun că volatilitatea este constantă, iar singurul factor care influentează estimările în timp este variaţia estimării eşantionului de date.

Pentru modelarea heteroscedasticităţii condiţionare, Engle a introdus, în anul 1982, procesul ARCH (AutoRegresive Conditional Heteroskedascticity) care utilizează rezidurile din ecuaţia mediei condiţionate în ecuaţia pentru varianţa condiţionată, deschizând astfel, un capitol important în modelaeea volatilitaţii seriilor de date financiare. Pentru a surprinde, însă dinamica variaţiei condiţionare este nevoie de un process ARCH cu un număr foarte mare de parametrii, fiind dificilă estimarea unui model.

În anul 1986, Bolllerslev introduce procesul GARCH (Generalized AutoRegresive Conditional Heteroskedasticity), proces ce poate modela varianţa condiţionată folosind un număr redus de parametri.

25

Constituirea unui model ARCH presupune luarea în considerare a două ecuaţii: una pentru media condiţionată (ecuaţia de evoluţie a randamentelor activului) şi una pentru varianţa condiţionată (ecuaţia volatilităţii).

Modelul GARCH (p,q), propus de Bollerslev (1986), are urmatoarea specificatie:

Rt = β0 + ∑i=1

m

β 1, i Li rt + ∑j=1

n

β 2Lj εt + εt ,

εt ≈ N (0 , ht )

Ht = α0 + ∑i=1

p

α 1 ,i Liht + ∑i=1

qp

α 2 , j + Lj εt2

unde,

rt este un proces ARMA(m,n) sau un model Random Walk (atunci cand β1,i = 0,i =1 ,m, β2,i si β2, j = 0, j = 1 , n ); ht (volatilitatea) este un proces ARCH(q) şi GARCH(p). Parametrii α1 reprezinta persistenta volatilitatii iar parametrii α2 reprezinta viteza de reactie a volatilitatii la evenimentele din piata.

Pentru a nu fi un proces exploziv (volatilitate exploziva), trebuie indeplinita conditia

∑i=1

p

α 1 ,i +∑j=2

q

α 2 ,i<¿ 1. In plus, coeficineţii termenilor ARCH şi GARCH trebuie să fie subunitari

şi pozitivi.

Interpretat într-un context financiar, acest model descrie modul în care un agent încearca să prognozeze volatilitatea pentru urmatoarea perioadă pe baza mediei pe termen lung (α0), a varianţei calculate pentru ultima perioadă (termenul GARCH) şi a informatiilor privind volatilitatea observată în perioada anterioară (termenul ARCH). Dacă randamentul activului din perioada anterioară a fost, în mod neaşteptat, mare în valoare absolută, agentul va mări varianţa asteptată în perioada urmatoare. Modelul acceptă şi fenomenul de volatility clustering, situatia în care schimbărilor mari ale randamentului este probabil să le urmeze în continuare variaţii mari ale acestuia.

Clasele de modele ARCH şi GARCH, în versiunea lor originală sunt şocuri negative şi pozitive cu impact asupra volatilităţii. Ele au fost extinse de mai mulţi autori pentru a include efecte asimetrice. Modele care permit acest efect sunt: modelul EGARCH realizat de Nelson (1991), modelul GJR realizat de Glosten, Jagannathan, şi Runkle (1993) şi modelul ARCH realizat de Zakoian (1994).

26

Toate aceste modele de volatilitate sunt asimetrice, în sensul că rezultatele negative au tendinta de a fi asociate cu o creştere mai mare a volatilităţii (mâine) decât un rezultat pozitiv, de aceeaşi magnitudine. Dar rezultatele pozitive nu reduc volatilitatea asa cum sugereaza efectul de levier.

Unele elemente ale structurii în relaţia retur-volatilitate nu sunt încă pe deplin înţelese şi nu există încă o dezbatere cu privire la dinamica sa. Modelul GARCH produce o structură dinamică nouă şi flexibilă pentru modelarea (în general), o relaţie asimetrică intre venituri şi volatilitate, care permite feedback-ul între diferitele componente ale variaţiilor şi procesul general.

Modelul propus de Markus Haas, Jochen Krause, Marc S. Paolellab,şi Sven C. Steude are o structură GARCH bogată, astfel că o creştere a volatilităţii are loc atunci când apre un şoc pe piata (negativ sau pozitiv), dar impactul acesteia este mărit pentru şocuri negative, în timp ce este atenuat de şocuri positive.

27

Bibliografie

Marten Neil, Norman Fenton, Manesh Tailor – Risk Analysis, vol. 25

David Heckerman – A tutorial on learning with Bayesian Networks

Richard E. Neapolitan – Learning Bayesian Networks

M. Stamatelatos et. all, Fault Tree Handbook with Aerospace Applications, Prepared for NASA Office of Safety and Mission Assurance, NASA Headquarters Washington, DC 20546, August, (2002)

Z. Jinglun and S. Quan, Reliability analysis based on binary decision diagrams, Journal of Quality in Maintenance, Engineering, Vol. 4 No. 2, pp. 150-161, (1998)

H. S. M. Hosseini and M. Takahashi, Combining Static/Dynamic Fault Trees and Event Trees Using Bayesian Networks, F. Saglietti and N. Oster (Eds.): SAFECOMP 2007, LNCS 4680, pp. 93–99, (2007)

V. Goanţă şi V. Palihovici, Expertize în Ingineria Mecanică, Ed. Tehnopress, Iaşi, (2006)

J. Carlier, C. Lucet, A decomposition algorithm for network reliability evaluation, Discrete Appl. Math. 65, 141-156, (1996)

28

29

i Sharpe, W. (1964) – „Capital AssetPrices: A Theory of Market EquilibriumunderConditions ofRisk”, The Journal of Finance, Vol 19, No. 3, pp 425-442iiTreynor, J. (1961) – “Toward a Theory of the Market of RiskyAssets”, unpublished manuscript.iiiMossin, J. (1966) – „Equilibrium in a Capital Asset Market”, Econometrica, pp 768-783.ivLintner, J. (1965) – „The Valuation of RiskAssetsandtheSelection of theRisky Investments inStockPortfoliosand Capital Budgets”, The Review of EconomicsandStatistics, pp 13-37.