DIFFERENSIASI NUMERIK

Yuliana Setiowati

DIFFERENSIASI NUMERIK Salah satu perhitungan kalkulus yang banyak digunakan

adalah differensial Differensial digunakan untuk keperluan perhitungan

geometrik, yang berhubungan dengan perubahan nilai per-satuan waktu atau jarak.

Secara kalkulus, didefinisikan sebagai perbandingan perubahan tinggi (selisih tinggi) dan perubahan jarak

penentuan titik puncak kurva y = f(x) dy/dx = 0

xy

dxdy

ax = lim 0

Mengapa perlu Metode Numerik ?

Terkadang terdapat suatu fungsi yang sulit dihitung secara manual

Untuk mengotomatiskan, tanpa harus menghitung manualnya

DIFFERENSIASI NUMERIK

Hubungan antara nilai fungsi dan perubahan fungsi untuk setiap titiknya didefinisikan : y = f(X) + f1(x).h(x)

( ) ( )h

xfhxfxf h+= lim 0)('

Diferensiasi dg MetNum

Metode Selisih Maju Metode Selisih Tengahan Metode Selisih Mundur

Metode Selisih Maju Metode selisih maju merupakan metode yang

mengadopsi secara langsung definisi differensial

Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil

Error yang dihasilkan

hxfhxfxf )()()(' +=

( )xhf 1121 E(f) =

Contoh : Hitung

differensial f(x)=e-xsin(2x) +1 dari range

x=[0,1] dengan h=0.05

Metode Selisih Tengahan Metode selisih tengahan merupakan metode

pengambilan perubahan dari dua titik sekitar dari titik yang diukur.

Perhatikan selisih maju pada titik x-h

selisih maju pada titik x

Metode selisih tengahan merupakan rata-rata dari dua selisih maju :

( ) ( ) ( )h

hxfxfhxf =11

( ) ( ) ( )h

xfhxfxf +=12

( ) ( )2

)('1

21

1xfxfxf +=

( ) ( )h

hxfhxfxf2

)(' +=

Metode Selisih Tengahan

Kesalahan pada metode ini

( )11126

E(f) fh=

Metode Selisih Mundur

( ) ( ) ( )h

hxfxfxf ='

Contoh Hitung differensial

f(x)=e-xsin(2x)+1 dari range x=[0,1] dengan h=0.05

Differensiasi tingkat tinggi

Differensiasi tingkat tinggi merupakan proses pendifferensialan secara terus-menerus, hingga tingkatan yang ditentukan.

Differensial tingkat 2

Differensial tingkat 3

Differensial tingkat n

( ) ( ){ }xffxf ''" =( ) ( ){ }xffxf "')3( =

( )( ) ( ){ }xffxf nn 11 =

=

1

1

n

n

n

n

dxfd

dxd

dxfd

Differensiasi tingkat tinggi

Differensiasi tingkat 2 untuk M. Selisih Maju

( ) ( )

( )( ) 2 )()(2)2("

)()()()2(

"

)(''"

hxfhxfhxfxf

hh

xfhxfh

hxfhxf

xf

hxfhxfxf

+++=

+++=

+=

Differensiasi tingkat tinggi

Differensiasi tingkat 2 untuk M. Selisih Tengahan

( ) ( )

( )( ) 24

)2()(2)2("

22

)2()(2

)()2(

"

2)(''"

hhxfxfhxfxf

hh

hxfxfh

xfhxf

xf

hhxfhxfxf

++=

+=

+=

( ) ( )h

hxfhxfxf2

)(' +=

Contoh :

Untuk f(x) = x3 2x2 - x

Pemakaian Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva

Pemakaian Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva

Definisi 5.1. Suatu titik a pada kurva y = f(x) dinamakan titik

puncak bila dan hanya bila : f1(a) = 0. Definisi 5.2. Sebuah titik puncak a dikatakan titik maksimum pada

kurva y = f(x) bila : f11(a) < 0. Definisi 5.3. Sebuah titik puncak a dikatakan titik minimum pada

kurva y = F(x) bila : f11(a) > 0.

Terlihat bahwa nilai puncak terjadi antara 0.1 dan 0.2 serta antara 1.6 dan 1.7, karena nilai f(x) mendekati nol.

Pada x=0.2 terlihat f(x)0 puncak minimum

Contoh :

Terlihat bahwa nilai puncak terjadi antara 0.75 dan 0.8, karena nilai f(x) mendekati nol.

Pada nilai tersebut terlihat nilai f(x)