KIIALDI

KHALED

ItmmmRappels de cours Exercices corrigs

es Sciences EXCK

KH0LDI KHflLED

METHODES STATISTIQUESRappels de coars - Exercices corriges

Rimpression 2005

OFFICE DES PUBUCATIONS UNIVERSITAIRES 1, Place centrale de Ben-Aknoun (Alger)

Avant proposL'outil statistique trouve une place de plus en plUA importante dans de nombreux domaines tels que : Science? gte l'ingnieur ; sciences physiques , conomiques , biologiques , sociales ; agronomie ; mdecine ;,.. Notre souci, dans ce travail, a t de donner au lecteur les moyens d'aborder et de rsoudre diffrents problmes statistiques ; mais d'viter de donner des recettes . Nous nous sommes efforcs dans cet ouvrage de prsenter les concepts et principales mthodes de la statistique et d'incorporer un nombre relativement important d'exercices . Par souci pdagogique , ceux-ci sont entirement rsolus avec parfois beaucoup de dtails. Ce recueil d'exercices est destin tre utilis comme complment un cours de base de statistique mathmatique . Outre la prsentation des mthodes statistiques fondamentales, objectif principal de l'ouvrage , nous avons consacr une partie aux fondements thoriques des principales lois de probabilts utilises dans diffrents domaines statistiques ( estimation ; thorie de la dcision ) ainsi qu'une autre la statistique descriptive , La plupart des exercices de ce recueil ont dj t proposs aux tudiants dans le cadre de sances de travaux dirigs . Certains d'entre eux sont inspirs de manuels cits en rfrence . Ils correspondent dans la plupart des cas des donnes relles . Nous exprimons notre reconnaissance aux collgues enseignants Mme KHALDI.Y , Mlle TAHI.R et Mr DOUMAZ.M. pour avoir bien voulu se charger de la correction et pour leurs prcieux conseils qu'ils nous adresss , Nos. remerciements vont galement Mr GOUIGAH.M pour la mise en forme de l'ouvrage . Nous esprons que le lecteur nous fera part de ses suggestions et remarques .

OFFICE DES PUBLICATIONS UNIVERSITAIRES: 12 2005EDITION: 1.01.4043 LS.B.N: 9961-00918.5 Dp&t lgal: 3168/2005

TflBLE DES MATIERESCHAPITRE 1 Statistique descriptive.. Exercices... ...,. Solutions des exercices CHAPITRE 2. Notions de calcul des probabilits- Variables . alatoires.. Exercices... ..,., Solutions des exercices CHAPITRE 3. Principles lois de probabilit -Convergences Exercices Solutions des exercices CHAPITRE 4. Echantillonnage - Estimation Exercices Solution des exercices CHAPITRE 5. Tests statistiques Exercices Solutions des exercices CHAPITRE 6. Rgression simple - Rgression multiple Exercices Solutions des exercices.......... TABLES STATISTIQUES BIBLIOGRAPHIE 181 199 206 236 252 75 84 88 112 130 139 41 53 55 26 32 34 . 01 12 15

CHAPITRE 1 STATISTIQUE DESCRIPTIVE

-SfiRIHS STATISTIQUES A UNE DIMENSION 1-Dfinltions -Tableaux statistiques Un ensemble fini Q. est dt population . Les lments de Cl sont appels individus . Une application de } dans R est dite caractre . Le caractre dtermine une partition de Q suivant ses modalits. U est souvent difficile , voire impossible , d'observer toutes les donnes . On tudiera alors une partie de la population qu'on appelle chantillon. Une variable X peut-tre discrte ou continue . Variables discrtes a) Tableau soit H l'effectif f de la valeurx

i de la variable X .

On a V tii = n et / = La frquence correspondante . Un tableau statistique est prsent sous la forme : Tableau 1.1X;

n-

fi

xx

h

Total

n

1

2 b) Reprsentation graphique

STATISTIQUE

DESCRIPTIVE

STATISTIQUE

DESCRIPTIVE

On reprsente ces donnes sous la forme du tableau

Diagramme en htons. On porte /, (ou nt ) en ordonne en fonction de x} Classes fiX; X, ClA I

Tableau 1.21

n,1 '

fi

F,

Cl

1

h-

ir/ , -

c3

31' i l

..AF2-~

A1 2t'i

C

*HX

-Fk_2,k-\n

X,

xt

k-\

-Ft.rif.ir...-

Fig. 1.1 Variables continues - Donnes groupes a Tableau Les valeurs de la variable alatoire X sont regroupes en classes [c,,c+1[ , (i = 1,2...fc-l) . Un centre de classe xt est choisi pour la classe i (moyenne arithmtique des deux extrmits ) ^effectif et la frquence de la classe i sont nt et /.i

L'amplitude de la classe i est a, = ci+| rvCj. Les classes ne sont pas toujours d'gale amplitude b) Reprsentation graphique Histogramme. Le rectangle pour chaque classe a pour longueur l'axe des abscisses , l'amplitude de cette classe et une surface proportionnelle la frquence de la classe

On note par Ft = ^fj

les frquences cumules

4

STATISTIQUE

DESCRIPTIVE

STATISTIQUE DESCRIPTIVE Moyenne :

S

_ ?*frquence/,-

hc Jt-2

La moyenne ( note x ; x = ) est une caractristique n qui prend compte de toutes les donnes observes . Elle est utilise dans beaucoup d'applications (estimations , tests statistiques ) et est sensible aux valeurs extrmes . Pour une distribution en classe on a :x = J / ^i

=

o

f-

xi est le centre de la classe i On simplifie parfois le calcul en faisant un changement de variable . On introduit une variable :>i

X- ~~' x

'k-2

^*-l

Fig. 1-2 2-Caractrlstiques de positionMdfij

- avec xD et a convenablement choisis. a La moyenne x des j^-est alors calcule partir de celle-je1 des Xj puis on fait x ax'+xQ 3-CaractristiQue de dispersion

xt ~

La valeur que la variable prend le plus frquemment est dite mode .Pour une distribution discrte , c'est la valeur la plus frquente . Dans le cas de donnes groupes en classe , on parle d'une classe modale. ' Mdiane La mdiane ( note M ) est la valeur de la variable telle quef i V

Etendue ;

e = xmax - xmin

Quartiles : Les nombres Ql,Q2 et Q3 tels que F(O_L)-0,25 ; F(Q2=0,5 ; F(Q3)=0(75 sont dits quartiles . Q3-Ql est dit cart interquartile. Dciles: Les nombres Di,D2, D9 F(Dl)=0,l ; F(D2)=0,2 ; ; F(D9)=0,9 sont dits dciles. Les centiles sont dfinis de la mmes manire . tels que

n J=I interpolation linaire pour les donnes groupes . C'est une caractristique qui n'est pas affecte par les valeurs extrmes ; mais les observations doivent tre ordonnes pour sa dtermination. :J

HM)-\ ,

F^Zfj

_ > fj = v Elle dtermine par

Variance et cart-tvne : On appelle variance le nombre rel positif ou nul

iHH"FJI

STATISTIQUE

DESCRIPTIVE

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

. Aplatissement fort

2

v=?,fl{xl--)i=21t-\'Lf*\ i

-\2

iv

On appelle cart-type ou cart quadratique le nombre rel

Aplatissement : moyen ""-{ Distribution normale) Aplatissement faible

Moment d'ordre n (neN)

: mtt = Y,fixii

Moment centr d'ordre n ' ' '

Fig. 1.6 II. SERIES STATISTIQUES A DEUX 1- Tableaux statistiques . a) Lorsqu'il n'y a qu'une observation pour couple (x t ,y t ) on dcrit la srie statistique par le tableau : Tableau 1.3 un DIMENSIONS

(neN):4-Caractristiques de forme . rffcient d'asvmtrie :

JiB * ! / , ( * , - ) "./, r . . -

y = fa / tf3

Coefficient d'aplatissement : Lorsque la statistique est symtrique W&f'V1*9'ii>i Pour une distribution normale rduite' 0-3*0

/

S

y

V./7=0Fig. 1.3

X YJ.fft

*i 3>i

x2yi1 Xm

X;

*M

yt

ym

Courbe s y m t r i q u e

rVV" 7 $ j/ i '.Vt .1.4 -ww""* Fig. 1.5 Fig.

A X\, X2

Y

= y\^2

ym

:jKia=tuujiL

Le couple (*/,;y,) ; i = l,...,m ; reprsente la valeur prise par (X,Y) dans la i e m e observation .

L

A

STATISTIQUE

DESCRIPTIVE

STATISTIQUE DESCRIPTIVE J$_ On utilise la reprsentation ( tableau de contingence ) Tableau 1.4Y XJifl

On reprsente la distribution sous forme d'un nuage de points dans R^ .

y\ nn21

y212

yinij 2;

^m m 2m

Total partiel m 1.= 1*1/ m "2.= l"2j

AHO

22

+ +

n m

i. m Irtii

*

T

o

xt

JC2

JC;x

i

il

i2

"y

to

mX

P

n

Pl

np2 n2p

pm

Fig. 1.7Total partiel

.1

P t=i

b) Soit n^ l'effectif

du caractre

I",2

2 tf

i

(xi,yj)

, =lxp ym

P;J = 1

mn

X prend les valeurs xx, x2,..., Y prend les valeurs yx, y2,.,.,

m

i ~ X "y

est

^a distribution marginale de X

_10 Tij = ^ M -

STATISTIQUE

DESCRIPTIVE

STATISTIQUE o

DESCRIPTIVE-\2

est la distribution marginale de Y

Ox=-2i.(xI--j:)

On peut aussi utiliser la reprsentation en frquence fy avecJ

2

.

.: '>! Jlo JU

et