???

FIZIC

Sinteze pentru examenul de bacalaureat

Editura NOMINA

2

Editor: Alexandru Creang Persoane de contact: Alina Dobrin (0751.08.05.15/0769.2216.81) Ioana Radu (0769.22.16.83)

Valentin Radu (0746.15.45.96) Bogdan Dobrin (0746.15.45.97)

Marian Mrzcioiu (0744.42.95.12) Pentru Bucureti: Victor Anton (0755.10.72.91/0769.22.16.82) Ctlin Cristescu (0769.22.16.80) Sediul central: 0348.43.94.17 e-mail: comenzi.nomina@gmail.com CP 70, OP 5 Piteti, Ghieul 1 www.edituranomina.ro

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei DUCEAC, RADU Psihologie : sinteze pentru examenul de bacalaureat / Radu Duceac. - Piteti : Nomina, 2010 ISBN 978-606-535-110-3 159.9(075.35) 371.279.8:373.5 Copyright Editura Nomina, 2010 Toate drepturile aparin Editurii Nomina.

3

MECANIC

Noiuni introductive

I. Vector de poziie 1. Definiie. Vectorul cu originea n originea siste-mului de referin iar sgeata n punctul material. 2. Notaie: r

II. Vector deplasare 1. Definiie. Vectorul deplasare reprezint variaia vectorului de poziie n timp.

0r

r

r

r

t

P r

4

2. Notaie. Unitate de msur:

0rrr

= [ ]r S.I. = m (metrul)

III. Viteza medie 1. Definiie. Vectorul vitez medie este egal cu raportul dintre vectorul deplasare al unui punct ma-terial i intervalul de timp corespunztor. 2. Notaie. Unitate de msur:

mv

=t

r

[ ]mv S.I. = s

m

secunda

metru

IV. Viteza (momentan, instantanee) 1. Definiie. Viteza reprezint viteza unui punct material la un moment dat.

2. Notaie: =v

t

r

cu condiia 0t sau

dt

rdv

= (derivata vectorului deplasare)

3. Obs.: Vectorul vitez este tangent n punct la traiectorie.

V. Accelerie medie 1. Definiie. Acceleraia medie reprezint raportul dintre variaia vectorului vitez i intervalul de timp corespunztor.

5

2. Notaie. Unitate de msur:

t

vam

=

[ ]a S.I. = 2sm

= ms2

VI. Acceleraie (momentan, instantanee) 1. Definiie. Acceleraia unui punct material la un moment dat.

2. Notaie: t

va

=

cu condiia 0t sau

dt

vda

=

3. Obs.: Vectorul vitez poate varia ca mrime (modul) sau ca direcie i sens, deci putem avea dou componente ale acceleraiei, tangenial i normal (centripet). Acceleraia tangenial apare datorit variaiei modulului vectorului vitez iar cea normal datorit variaiei directiei i sensului.

ntg aaa

+= 22 ntg aaa += .

Micarea punctului material

1. Definiie. Punctul material este un punct geome-tric n care este concentrat toata masa corpului.

6

2. Obs. Punctul material este un model utilizat n cadrul mecanicii.

I. Micare rectilinie uniform 1. Definiie. Micarea rectilinie uniform a unui punct material este micarea a crei triectorie este o dreapt iar vectorul vitez este constant. 2. Obs. Deoarece legile de micare se scriu funcie de un observator, pentru simplitate vom considera observatorul ca fiind originea axei XX. Sensul po-zitiv fiind dat de orientarea vectorului vitez spre dreapta fa de originea sistemului de axe, conside-rat observator. 3. Lege de micare: a) traiectorie dreapt b) .ctvvm ==

0=a

t

xv

= tvx = X(t) = x(t0) + v(t t0)

4. Caz particular: Alegem ca origine a micrii punctul O i pentru timp acelai punct (x(t0) = 0, t0 = 0); X(t) = vt

0 X(t)

X x(t0) X

7

5. Reprezentri grafice: Grafice: Pentru micarea rectilinie uniform avem doua tipuri de grafice: a) v = ct. b) X = x0 + v(t t0) n ambele cazuri re-prezentrile sunt drepte (X = x0 + vt) Obs. Tangenta unghiului fcut de graficul X(t) cu axa t reprezint viteza tg = v. Aria haurat reprezint spaiul parcurs de punctul material n intervalul de timp t2 t1.

II. Micare rectilinie uniform variat 1. Definiie. Micarea rectilinie uniform variat este micarea unui punct material a crui traiectorie este o dreapt iar acceleraia este constant in timp.

V = ct.

t1

v

t2 t

x

t

x0

X = x0 + vt

8

2. Obs. Dac a > 0 micarea se numete accelerat. Daca a < 0, micarea se numete ncetinit (decelerat). 3. Legi cinematice pentru micarea rectilinie unifom variat: Traiectorie dreapt, v = v(t), am = a = ct.

a. Legea vitezei: t

va

= , v = v0 + a(t t0),

caz particular t0 = 0, v = v0 + at

b. Legea de micare: a = ct. 2

0VV

t

xVm

+=

=

X = x0 + v0(t to) + 2

)( 20tta ,

caz particular X = v0t +2

2at

c. Ecuaia Galileo-Galilei:

v = v0 + at, X = v0t + 2

2ta, eliminnd t obi-

nem v2 = v02 + 2ax

4. Grafice: Vom reprezenta pentru cazul particular x0 = 0, t0 = 0, V = v0 + at n coordonate (v, t) va fi o

dreapt, X = v0t +2

2at n coordonate (x, t) va fi

parabol.

9

5. Obs. Tangenta graficului vitezei este valoarea acceleraiei (tg = a). Aria haurat in coordonate (v, t) reprezint spaiul parcurs de punctul material n interval de timp. Graficul legii de micare (x, t) este pentru cazul a > 0 (micare accelerat) . Recapitulare micri: M.R.U. v = ct. X = X0 + v(t t0), X = vt M.R.U.V. a = ct. X = x0 + v0(t t0) + a(t t0)

2/2, v = v0 + a(t t0), v

2 = v02 + 2a(x x0)

X = v0t + at2/2; v = v0 + at; v

2 = v02 + 2ax

Obs. Dac micarea este pe vertical n cmp gravi-taional, vom avea ecuaiile micrii rectilinii uni-form variate cu: a = g pentru cdere pe vertical a = g pentru arucare pe vertical

x

t

X = v0t + at2/2

v

t

v0

V = v0 + at

10

III. Pricipii i legi n mecanica clasic 1. Principiul I (legea ineriei) Definiie. Ineria este propietatea corpurilor de a pstra starea de repaus relativ sau micare rectilinie uniform atta timp ct asupra lor nu apar interaci-uni. Enun: Toate corpurile sunt n repaus relativ sau micare rectilinie uniform atta timp ct asupra lor nu apar interaciuni. 2. Masa: Masa unui corp este o msur a ineriei corpului (mas inerial). Notaie: M, m [m]S.I.= kg (kilogram) 3. Densitate: Densitatea unui corp este o mrime fizic egal cu raportul dintre masa corpului si vo-lumul lui.

Notaie: , V

m= , [ ] 3

3..== kgm

m

kgIS

4. Obs. Masa este o mrime ce face parte din m-rimile fundamentale. 5. Principiul II (principiul fundamental, defini-rea forei) Definiie. Interaciunea reprezint aciunea unui corp asupra altui corp sau grup de corpuri.

11

6. Enun: Fora este o mrime vectorial, egal cu produsul dintre masa corpului i acceleraia imprimat corpului. Notatie: amF

= 7. Unit. de masur: [F]S.I. = kg m s

2 = N (Newton) Definiie. 1 Newton este fora care acionnd asupra unui corp cu masa de un kilogram i im-prim o acceleraie de un metru pe secund la ptrat n sensul i pe direcia forei. 8. Obs.: a) Definiia forei se aplic indiferent de tipul interaciunii.

b) t

vmvm

t

vvm

t

vmF oo

=

=

=

)(, vmp

=

(impuls), t

pF

=

; [ ] Nskgmss

mkgp IS ===

1..

9. Principiul III (aciunii i reaciunii) Enun: Dac un corp acioneaz asupra altui corp cu o for numit aciune, aceasta reacio-neaz cu o for egal i de sens opus numit reaciune.

2112 FF

=

10. Obs. Atenie: cele dou fore acioneaz asupra a dou corpuri diferite.

12F

21F

12

11. Tipuri de fore: a) Fora de greutate (Greutate) este fora cu care

Pmntul atrage corpurile: gmG

= .

Fora de greutate este orientat spre centrul Pmn-tului, dar datorit dimensiunilor acestuia se consi-der ca un vector perpendicular pe orizontal. b) Fora de contact i fora de frecare. La contac-tul dintre dou corpuri apar, conform principiului III, o pereche de fore egale i de sens contrar. Definiie. Fora tangenial cu care planul acionea-z la suprafaa de contact cu un corp este fora de contact. Definiie. Fora tangenial cu care corpul acionea-z la suprafaa de contact cu orizontala i de sens contrar tendinei de micare a corpului este fora de frecare. n funcie de tipul de micare forele de frecare pot fi de alunecare sau de rostogolire. Fora de frecare de alunecare este cea folosit n continuare i o vom numi doar for de frecare. 1. Lege: Fora de frecare de alunecare ntre do-u corpuri nu depinde de mrimea ariei suprafe-ei de contact. 2. Lege: Fora de frecare de alunecare este pro-porional cu fora de apsare normal exercita-t pe suprafaa de contact. F = Fn 3. Obs.: ntre fora de frecare i fora de apsare normal nu este o relaie vectorial.

13

coeficient de frecare cinematic (micare), este mrime adimensional i depinde de natura materia-lelor n contact, de gradul de prelucrare a acestora. Atenie: F = N nu este corect ca lege. N (normala) este fora pereche a Fn, deci cele dou fore sunt egale ca mrime nu i ca sens. c) Legea lui Hooke, fora elastic 1. Notaii: Legea lui Hooke i fora elastic se refe-r doar la corpurile elastice ce se pot deforma pe o singur direcie. l0 lungime iniial, l lungime final, l = l l0 alungire, S aria seciunii, F fora deformatoare, E modul de elasticitate Young (constant ce de-

pinde de natura materialului), =S

F efort unitar,

0l

l = alungire relativ.

2. Lege: Alungirea relativ este proporional cu efortul unitar.

S

F

El

l 1

0

=

, = E, 0l

lESF

= , k

l

ES=

0

(constan-

ta elastica), F = kl 3. Obs. Fora ce apare n legea lui Hooke este fora ce provoac deformarea i este exterioar. Conform principiului III al lui Newton, n interiorul corpului apare o fora de reaciune, care este fora elastic: Fe = kl

14

d) Fora de tensiune (Tensiune) 1. Definiie: Fora de tensiune este fora ce apare n legturile dintre dou corpuri. 2. Obs. Legturile pot fi prin fire inextensibile, tije rigide sau sisteme elastice. Legturile transmit fora de aciune a unui corp asupra celuilalt corp. e) Fora de inerie apare asupra corpurilor aflate n sisteme accelerate ( a

). Fora de inerie este egal cu produsul masa corpu-lui acceleraia sistemului i de sens contrar. Fora de inerie se consider fa de un sistem iner-ial (n general Pmntul). Tipuri de fore, reprezentri grafice

N

G

= m g

nF

fF N

v

N

G

nG

tG

Gt = mg sin Gn = mg cos Ff = Fn, Fn = N

15

IV. Teoreme de variaie i legi de conservare n mecanic 1. Lucrul mecanic Definiie: Lucrul mecanic este o mrime fizic scalar egal cu produsul scalar dintre fora ce acioneaz asupra unui corp i vectorul deplasa-re a acestuia.

Notaie: rFL

= , L = F r cos ( unghiul din-tre direcia forei i direcia deplasrii).

Unit. de msur: [ ] js

mkgNmL IS === 2

2

.. (joule)

Cazuri particulare: Alegnd axa OX ca direcie de deplasare vom nota r = x. a) fora coliniar cu deplasarea i de acelai sens ( = 0) L = Fx.

b) fora perpendicular pe deplasare ( =2

), L= 0.

Forele ce nu produc deplasare nu fac lucrul meca-nic. c) fora coliniar cu deplasarea dar de sens contrar

T

T

F

amFi

= a

16

( = ), L = Fx. Forele ce se opun micrii fac lucrul mecanic negativ.

2. Interpretarea geometric: Conform definiiei lucrului mecanic, reprezentarea grafic n coordo-nate (F, x), este aria reprezentrii funciei F(x), ntre punctele n care are loc deplasarea. Lucrul mecanic poate fi exprimat de funcia

L = 21

x

xF cos dx

Cazuri particulare: a) Fora constant: F(x) = ct.

c

x

F

F

x

a

b

x

F

F

17

b) Fora deformatoare (legea lui Hooke): F = kx.

c) Fora elastic: F= kx Lucrul mecanic n cazul forei elastice este la fel cu cel din cazul forei deformatoare cu modificarea

semnului L = 2

)( 212

2 xxk ,

3. Putere mecanic Definiie. Puterea mecanic este o mrime fizic scalar, egal cu raportul dintre lucrul mecanic efectuat de o for i intervalul de timp corespunz-tor.

F

x1 x2 x

F1

A = L = F(x2 x1)

F

x1 x2 x

A = L = 2

)( 2122 xxk Aria trapezului

18

Notaie: t

LP

= ,

t

rFP

=cos

, vm = t

r

= cosmFvP

Unitate de msur:

[ ] (Watt)Ws

kgm

s

Nm3

2

.. ====s

jP IS ,

[ ] )(calputereC.P.=P , 1 CP = 736 W Obs. Pentru lucrul mecanic n funcie de putere se mai utilizeaz urmtoarele uniti de msur: [P] = ws = j, [P] = Kwh (kilowattor), 1 kwh = 3600000 j 4. Randament: Randamentul, ca mrime, apare ca raport ntre lucrul mecanic util i cel consumat n realitate unde intervine i frecarea.

Notaie: c

u

c

u

P

P

L

L== , Lu lucrul mecanic util,

Pu putere util, Lc lucrul mecanic consumat, Pc putere mecanic consumat 5. Caz particular: Randamentul planului nclinat: Lu lucrul mecanic util este cel necesar pentru a ridica un corp de masa m la o nlime h, uniform; Lc lucrul mecanic consumat este cel necesar pen-tru a deplasa corpul uniform pe un plan nclinat de unghi , cu coeficientul de frecare i lungime l.

19

Fc = Gt + Ff, Gt = mg sin , Ff = N,

N = Gn = mg cos , Fc = mg(sin + cos )

Fu = G

+

=+

==cossin

sin

)cos(sin lmg

mgh

lF

hF

c

u

6. Energia mecanic: reprezint capacitatea unui corp de a efectua lucrul mecanic. n funcie de sta-rea corpului putem avea energie cinetic (de mica-re) i energie potenial (energie de poziie n cmpuri de fore): Em = Ec + Ep. Obs. Energia este o mrime de stare caracteriznd starea corpului la un moment dat. 7. Energie cinetic: este energia unui sistem avnd la un moment dat viteza v

. Definiie: Energia cinetic a unui corp la un moment dat este o mrime fizic scalar, egal cu semiprodusul dintre masa corpului i ptra-tul vitezei corpului la momentul respectiv fa de un sistem de referin.

N

tG

G

nG

fF

cF

20

Notaie: Ec, Wc, 2

2mvEc =

Unitate de msur: [ ] js

kgmE

ISc==

2

2

..

8. Teorema de variaie a energiei cinetice Variaia energiei cinetice a unui punct material ntre dou momente de timp este egal cu lucrul mecanic al forei ce o produce: Ec = L. Exemplu: considerm un corp care are la momen-tul t0, viteza V0 i asupra lui acioneaz o fora coli-niar cu deplasarea F, astfel nct la momentul t are viteza V.

L = Fx, L = max, V 2 = V0

2 + 2ax

LmVmV

=22

20

2

, Ec Ec0 = L

9. Energie potenial: Energia potenial a unui corp este energia datorat interaciunii cu alt corp ales de obicei, n mecanic, sistem de referin. Energia potenial va depinde de poziia corpului fa de cellalt corp, ce creeaz cmpul de fore (gravitaional, elastic).

V0, t0 V, t F

x

21

10. Teorema de variaie a energiei poteniale Enun: Variaia energiei poteniale a unui corp la dou momente de timp este egal cu lucrul mecanic efectuat n cmpul de fore creat de alt corp i de semn opus: Ep

= L, Epf Epi = L.

11. Cazuri particulare: n mecanic cele mai n-tlnite cazuri sunt: energia potenial de tip gravita-ional i energia potenial de tip elastic. a) Energia potenial de tip gravitaional: Conside-rm un corp de mas m aflat n cmpul gravitaional al pmntului, la un nivel h0, pe care l ridicm uni-form la un nivel h. Calculm lucrul mecanic al for-ei de greutate care conduce la acumularea de energie potenial de ctre corp.

L = mg(h h0) = (mgh mgh0) Ep = L, Epf Ep0 = mgh mgh0 Epf = mgh energie potenial la nivel h,

h

h0

G

22

Ep0 = mgh0 energie potenial la nivel h0 Dac considerm energia nivelului de referin nu-l, energia potenial de tip gravitaional va fi:

Ep = mgh

b) Energia potenial de tip elastic:

L =

2

20

2 kxkx, Ep = L, Ep =

22

20

2 kxkx .

Dac x0 = 0, energia potenial de tip elastic va fi:

Ep = 2

2kx.

11. Legea conservrii energiei. Dac sistemul de fore este conservativ (lucrul mecanic nu depinde de forma drumului), atunci avem: Ec = L, Ep= L, (Ec + Ep) = 0 Ec+Ep = const. Lege: a. ntr-un cmp de fore conservativ, energia mecanic se conserv, rmne constant. Obs. Energia cinetic poate trece n energie po-tenial i invers: Ec + Ep= Ecmax = Epmax= const. b. Dac cmpul de fore este neconservativ (ex. acioneaz fore de frecare) vom avea: Em = Ln (lucrul mecanic al forelor neconservative) Emf Emi = Ln

x

x0 F(x0) F(x)

23

12. Impulsul unui sistem de puncte materiale. Considerm un sistem mecanic format dintr-un numr de puncte materiale n de mase: m1, m2, , mn i care n interiorul sistemului au vitezele v1, v2, , vn.

Impulsul total va fi: 2211 vmvmP

+= + + nnvm

;

=

=n

kkkvmP

1

; [ ]P S.I.= Ns = kgm/s

13. Teorema de variaie a impulsului unui sistem de puncte materiale Considerm sistemul format din dou puncte mate-riale ce interacioneaz unul cu cellalt prin forele

12F

, respectiv 21F

numite fore interne. Asupra

sistemului acioneaz o for total exterioar extF

.

Conform principiului II vom avea:

( ) tFFp += 2111

, ( ) tFFp += 1222

.

Adunm cele dou relaii:

( ) ( ) tFFFFpp +++=+ 21122121

extFFF

=+ 21 , conform principiului III: 2112 FF

=

Generaliznd, vom avea : tFP ext=

, HtFext

=

(impulsul forei), HPP if

= .

Enun: Variaia impulsul unui sistem de puncte materiale este egal cu impulsul forei exteriore ce acioneaz asupra sistemului.

24

Obs. Dac fora este o funcie de timp =2

1

t

t

Fdtp ,

ce reprezint aria delimitat de graficul funciei i intervalul de timp corespunztor. 14. Legea conservrii impulsului: Enun: ntr-un sistem izolat de puncte materiale, impulsul sistemului se conserv (rmne con-

stant): const.,0,0 ==== ifext PPPF

15. Ciocniri. Ciocnirea este fenomenul de interaciu-ne dintre dou sau mai multe corpuri care are loc intr-un timp finit. Ciocnirile pot fi plastice i elastice. Ciocnirea plastic: n cadrul unui fenomen de ci-ocnire plastic nu se conserv energia mecanic ci doar impulsul. n cazul ciocnirii plastice, n marea majoritate a cazurilor, corpurile rmn cuplate.

M1v1 + M2v2 = (M1 + M2)V

Eci = Ecf + Q, ( )

QVMMvMvM

++

=+222

221

222

211 ,

Q = cldura ce apare prin lucrul mecanic de defor-mare plastic.

M1 M2

V1 V2

nainte de ciocnire

M1 + M2

V

Dup ciocnire

25

Ciocnire elastic perfect centrat i unidirecio-nal: n cadrul unei ciocniri elastice se conserv: energia mecanic i impulsul mecanic al sistemului n care are loc ciocnirea.

M1v1 + M2v2 = M1u1 + M2u2

2222

222

211

222

211 uMuMvMvM +=+

rezolvnd sistemul obinem: ( )

121

22111

2v

MM

vMvMu

++

= , ( )

221

22112

2v

MM

vMvMu

++

=

Caz particular: dac M1

27

I.2(a) Formula fundamental a teoriei cine-tico-moleculare Presiunea unui gaz ideal este egal cu dou treimi din energia cinetic medie a tuturor moleculelor din unitate de volum.

23

2 20um

V

NP = ,

u2 = viteza ptratic medie:

=

=

1

2

kk

n

Kkk

N

vN

u .

I.2(b) Energia cinetic medie a unei molecule

2

20um

c = ; kTi

c 2= ; k = 1,38 1023 j/K (con-

stanta lui Bolzman), (T)S.I.= K (grad Kelvin) i numr grade de libertate (posibiliti de micare liber a unei molecule) i = 3 pentru molecul monoatomic, i = 5 pentru molecul biatomic, i = 6 pt. molecul triatomic.

I.2(c) Viteza termic

Vt =2u ; Vt =

0

3

m

kT=

RT3

; R = kNA (constanta

universal a gazului ideal); R = 8,31 103 j/kmolK

28

I.2(d) Ecuaia termic de stare a gazului ideal PV = NkT, PV = RT

I.2(e) Ecuaia caloric de stare a gazului ideal U energia intern a gazului ideal, format doar din energia cinetic a tuturor moleculelor gazului

U = Nc; U = RTi

NkTi

=22

I.3 Legile gazului ideal (transformrile simple ale gazului ideal) Definiie. Trecerea unui sistem termodinamic dintr-o stare n alta se numete transformare de stare. Obs. n cadrul unei transformri nu intr i nu iese gaz din incinta considerat (m = ct., = ct.) I.3(a) Transformarea izoterm (Legea Boyle-Mariotte) Definiie. Transformarea n timpul creia tem-peratura rmne constant. Lege: ntr-o transformare izoterm produsul presiune volum rmne constant n timpul transformrii. P V = ct.; P0 V0 = P1 V1 = RT

29

I.3(b) Transformare izobar (Legea Gay-Lussac) Definiie. Transformarea n timpul creia presi-unea rmne constant. Lege: ntr-o transformare izobar, raportul din-tre volum i temperatura n grade absolute (Kel-vin) rmne constant. Lege Gay-Lussac: ntr-o transformare izobar variaia relativ a volumului este direct propor-ional cu temperatura n grade Celsius.

P

T

T = ct. P

V

T = ct.

V

T

T = ct.

30

P = ct. .ctT

V=

T

V

T

V=

0

0 ; tV

V=

0

; V = V0(1+ t)

coeficient de dilatare izobar i are aceeai va-loare pentru toate gazele ideale: =1/T0 =1 / 273,15 K

1 I.3(c) Transformare izocor (legea Charles) Definiie. ntr-o transformare izocor, volumul rmne constant.

P

V

P = ct. P

T

P = ct.

V

T

V/T = ct. V

tC

V = V0(1 + t)

273,15

31

Lege: ntr-o transformare izocor, raportul din-tre presiune i temperatur absolut (Kelvin) rmne constant. Lege Charles: ntr-o transformare izocor, vari-aia relativ a presiunii este direct proporional cu temperatura n grade Celsius.

V = ct.; ct.=T

P;

T

P

T

P=

0

0 ; tP

P=

0

; P = P0(1+t);

= coeficient de variaie a presiunii, are aceeai valoare pentru toate gazele ideale.

P

tC

P = P0(1 + t)

273,15

P

V

V = ct. P

T

P/T = ct.

V

T

V = ct.

32

I.3(d) Transformare general Lege. ntr-o transformare general, raportul dintre produsul presiune volum i temperatur n grade absolute (Kelvin), rmne constant. PV/T = ct.; P0V0/T0 = PV/T I.3(e) Formula densitii unui gaz ideal n funcie de condiii normale P0 = 1,01325 10

5N/m2, T0 = 273,15 K, V0 = 22,42 m

3/kmol reprezint condiii normale

RTm

PV

= , RT

P=

RT

P = 00 ,

T

T

P

P 0

00=

T

P = ct.

P

T = ct.

V

= m/V

33

II. Principiul I al termodinamicii

II.1.(a) Energie intern Definiie. Energia intern a unui gaz este egal cu suma energiilor cinetice a tuturor moleculelor i suma energiilor poteniale de interaciune a moleculelor.

= =

+=N

k

N

Kpkck EEU

1 1

OBS. n cazul gazului ideal, componenta energiei poteniale este egal cu 0.

II.1.(b) Lucrul mecanic n cadrul gazului ideal n acest caz lucrul mecanic este un caz particular al definiiei generale a lucrului mecanic: L = Fx cos ; F = PS; = 0; L = PV;

forma general va fi: =V

V

PdVL

0

; (L)S.I. = j (joule) =

kgm2/s2

II.1.(c) Cldura Cldura este o forma de transfer de energie, definit n cadrul unui proces termodinamic ca variaia energiei ntre starea iniial i final plus lucrul mecanic efectuat ntre cele dou stri. QI,F = UI,F + LI,F; (Q)S.I. = j (joule)

34

II.1.(d) Enun Principiul I al termodinamicii n orice transformare termodinamic variaia energiei interne depinde doar de strile iniiale i finale ale sistemului, fiind independent de stri-le intermediare prin care trece sistemul termo-dinamic.

U = Q L Obs. 1: Q > 0 cnd cldura este primit de sistem

de la exterior; Q < 0 cnd cldura este cedat de ctre sis-tem exteriorului; L > 0 cnd sistemul cedeaz lucrul mecanic exteriorului; L < 0 cnd se efectueaz lucrul mecanic asupra sistemului de ctre exterior.

Obs. 2: Un sistem termodinamic poate efectua lu-crul mecanic asupra mediului exterior dac prime-te cldur din exterior sau dac energia intern scade. Obs. 3: n procesele adiabatice (Q = 0), sistemul poate efectua lucrul mecanic asupra mediului numai pe seama micorrii energiei interne. Obs. 4: Dac transformarea este ciclic, un sistem poate efectua lucrul mecanic numai dac primete cldur din exterior. Consecin: Nu este posibil realizarea unui perpetuum mobile de spea I, adic a unei maini termice care s efectueze lucrul mecanic ntr-un proces ciclic fr s primeasc cldur din exterior.

35

II.2. Coeficieni calorici Coeficienii calorici sunt mrimi fizice ce leag cantitativ cldura primit sau cedat de un corp i variaia temperaturii acestuia. II.2.(a) Capacitatea caloric (C) este o mrime fizic egal cu raportul dintre cldura necesar pentru a varia temperatura unui corp i acea variaie de temperatur. C = Q / T; (C)S.I. = j/K = kgm

2s2K1; Q = CT II.2.(b) Cldura specific (cs) este o mrime fizi-c egal cu cldura necesar unui kilogram de substan pentru a-i varia temperatura cu un grad. cs = Q/mT; (cs)S.I. = j/kgK = m

2s2K1; Q = mcsT II.2(c) Cldur molar (c) este o mrime fizic egal cu cantitatea de cldur necesar unui kmol de substan pentru a-i varia temperatura cu un grad. c= Q/T; (c)S.I.= j/kmolK = kgm

2s2kmol1K1; Q = cT; c = cs Obs. n cazul gazelor vom avea clduri specifice i molare caracteristice pentru transformarea izocor i izobar: Qv=mcvT; Qv=CvT; Qp=mcpT; Qp=CpT. II.2(d) Coeficienii calorici pentru gaze au ca particularitate posibilitatea de a-i varia temperatura n dou moduri posibile: izobar i izocor. Formele generale vor fi: Cv = iR/2; Cp = (i + 2)R/2; i = numr grade de libertate.

36

II.2(e) Relaia Robert-Mayer stabilete o legtur dintre coeficienii calorici i constanta universal a gazului ideal.

Cp = Cv + R

II.3(a) Aplicaie a principiului I la transforma-rea izoterm:

T = ct.; PV = ct.; P1V1 = P2V2 U = iRT/2 iRT/2 = 0, Q = L, L = RTlnV2/V1 = = RTlnP1/P2 = 2,3RTlgV2/V1 = Q II.3(b) Aplicaie a principiului I la transforma-rea izocor:

V = ct.; P/T = ct; 2

2

1

1

T

P

T

P= ;

U = Qv + Lv, Qv = mcvT = CvT, Lv = 0, U = Qv

P

Q

V

P

Q

V

P

Q

V

P

Q

V

37

II.3(c) Aplicaie a principiului I la transforma-rea izobar:

P = ct.; V/T = ct.; 2

2

1

1

T

V

T

V= ; U = Qp Lp,

Qp = mcpT = CpT, Lp = PV = RT II.3(d) Transformare adiabatic Transformare n care sistemul nu schimb cldur cu mediul exterior (Q = 0) Lege: ntr-o transformare adiabatic PV = ct. (legea Poisson), TV 1 = ct.

v

p

C

C= exponent adiabatic,

pentru gaz ideal: i

i 2+=

U = Q L, Q = 0, U = L, U = Cv(T2 T1);

pentru gaz ideal: U = 2

i(T2 T1); L =

11122 VPVp

P Q

V

P

Q

V

38

II.3(e) Transformarea politropic este transfor-marea n timpul creia toi parametrii se modifi-c i este specific transformrilor reale. Lege: ntr-o transformare politropic PVn = ct., TV

n1 = ct. (n exponentul politropic)

nv

np

CC

CCn

= ; Cn = cldura molar politrop

n

VPVPL

=1

1122 , Q = mcn(T2 T1) = Cn(T2 T1),

1

=n

nCC Vn ; U = Q L = Cv(T2 T1)

Cazuri particulare: n = 0, Cn = Cp P = ct (transformare izobar) n = 1, Cn T = ct. (transformare izoterm) n = , Cn = 0 PV

= ct. (transformare adiabatic) n , Cn = Cv V = ct. (transformare izocor)

II.4. Msurri calorimetrice Calorimetria se ocup cu msurarea cantitii de cldur i a cldurilor specifice. Calorimetria are la baz dou principii:

P

Q = 0

V

39

P1 Fie un sistem A avnd temperatura Ta i un sistem B avnd temperatura TB, cu condiia TA > TB; prin punerea n comun a celor dou sisteme se va obine un sistem A + B = C, avnd temperatura TC, cu condiia TB < TC < TA. P2 Fie un sistem A avnd temperatura TA i un sistem B avnd temperatura TB cu condiia TB < TA; prin punerea n comun a celor dou sisteme obi-nem sistemul C cu condiia ca cldura cedat de sistemul A s fie egal cu cldura primit de siste-mul B. Ecuaia calorimetric: Qced = Qabs. Obs. Cele dou principii pot fi generalizate pentru N sisteme Qced = mAcA(TA TC); Qabs = mBcB(TC TB);

BBAA

BBBAAAC

cmcm

TcmTcmT

++

=

T

TA

TB

TC

Qced

Qabs

t (timp)

40

III. Principiul II al termodinamicii

III.1. Principiul II al termodinamicii precizeaz condiiile n care se desfoar procesele termodi-namice i sensul lor de evoluie. Obiectul principiu-lui II al termodinamicii l formeaz imposibilitatea transformrii cldurii integral n lucru mecanic. a) Formularea lui Thomson (lord Kelvin) ntr-o transformare ciclic monoterm, sistemul nu poate ceda lucru mecanic n exterior; dac transformarea este i reversibil, atunci sistemul primete lucru mecanic din exterior. b) Formularea lui R. Clausius Cldura nu poate trece de la sine de la un corp rece la un corp mai cald, fr consum de lucru mecanic. c) Formularea lui S. Carnot Randamentul unui motor termic ce funcioneaz dup un ciclu Carnot (dou izoterme i dou adiabatice) nu depinde de substana de lucru ci doar de temperatura sursei calde si de tempera-tura sursei reci. Obs. 1: Oricare dintre formulrile prezentate sunt echivalente. Obs. 2: Principiul II exprim imposibilitatea con-struirii unui perpetuum de spea a II-a, adic nu este posibil construirea unei maini termice care s funcioneze cu o singur surs de cldur.

41

Surs cald T1

Surs rece T2

L = Q1 Q2

Q1

Q2

III.2. Maini termice. Randamentul unei maini termice Conform principiului II o main termic are dou surse de cldur (termostat - sistem termodinamic a crui temperatur nu variaz n urma contactului termic cu un alt sistem) i un dispozitiv de trans-formare a energiei n lucru mecanic. Dispozitivul preia cldura de la sursa cald, o transform n lu-cru mecanic i transfer o cantitate de cldur sursei reci. Q1 = Qced, Q2 = |Qabs|

1

2

1

21

1

1Q

Q

Q

QQ

Q

L=

==

III. 3(a) Randamentul unui motor ce funcionea-z dup un ciclu Carnot Motorul avnd la baz un ciclu Carnot este un motor ideal, deci randamen-tul va fi maxim, fa de orice alt motor termic. Ciclul Carnot este format din dou transformri izoterme i dou transformri adiabatice.

42

= 1 Q2/Q1; Q1 = RT1 lnV2/V1 Q2 = RT2 lnV4/V3= = RT2lnV3/V4 T1V2

1 = T2V31

T1V11 = T2V4

1

V2/V1 = V3/V4

1

21T

Tc =

III.3.(b) Motor cu ardere intern, aprindere prin scnteie Otto Partea principal o constituie cilin-drul prevzut cu dou supape (admisie, evacuare) i pistonul. Substana de lucru este amestecul aer-benzin. Din punct de vedere termodinamic avem un ciclu format din dou transformri adiabatice, o izobar si o izocor. Motorul funcioneaz n patru timpi. timpul 1 (admisie) supapa de admisie deschi-s, n cilindru ptrunde substana de lucru; timpul 2 (compresie) supapele nchise, pisto-nul comprim adiabatic amestecul; timpul 3 (ardere, destindere) prima parte este o transformare izocor, partea a dou este o destin-dere adiabatic i este partea n care sistemul face lucrul mecanic; timpul 4 (evacuare) se deschide supapa de evacuare i amestecul este evacuat.

P

V

Q1

1(T1)

2(T1)

3(T2) 4(T2)

Q2

43

= 1 Q2/Q1; Q1 = Cv(T3 T2), Q2 = Cv(T1 T4)

= V1/V2, = Cp/Cv ; 11

1

= .

III.3.(c) Motor cu ardere intern Diesel Moto-rul diesel folosete ca substana de lucru un amestec de aer motorin. Aprinderea se obine datorit tem-peraturii mari obinute prin compresia adiabatic a aerului. timpul 1(admisie) supapa de admisie deschis, n cilindru ptrunde aer; timpul 2 (compresie) supapele nchise, aerul este comprimat adiabatic; timpul 3 (aprindere i detent) injectorul picu-r motorina care se aprinde (transformare izobar), destindere adiabatic, partea n care se efectueaz lucru mecanic; timpul 4 (evacuare) gazele se rcesc izocor, se deschide supapa de evacuare.

Q1 P 3(T3)

4(T4)

Q2

1(T1)

V1 V2

2(T2)

44

= Cp/Cv, = V1/V2, = V3/V2

1

21Q

Q= , Q1 = Cp(T3 T1), Q2 = Cv(T1 T4)

)1(

11

1

=

.

V2 V3 V1 V

P 2(T2) 3(T3)

4(T4)

1(T1)

Q2

Q1

45

ELECTRICITATE

I. Curentul electric

I.1. Noiuni introductive a) Cantitate de electricitate (Q, q) Mrime fizi-c ce caracterizeaz gradul de ncrcare electric a unui corp. [ ]Q S.I. = C (Coulomb) = As Q = Ne, Numrul de electroni n plus sau n minus fa de starea neutr e = 1,6 1019 C sarcina elec-tric elementar. Corpurile pot fi ncrcate pozitiv sau negativ. b) Fora lui Coulomb Lege: Fora de interaciune dintre dou corpuri punctiforme ncrcate electric este direct pro-porional cu cantitile de electricitate i invers proporional cu ptratul distanei dintre ele. c) Cmp electric Orice corp ncrcat electric cre-eaz n jurul su un cmp electric caracterizat de

dou mrimi fizice: 221

4 r

QQF

= ; r= 0 ,

permitivitate electric a mediului, 0 permi-

tivitatea vidului, r permitivitate relativ a medi-

ului; 04

1

= 9 109, F = 9 109

221

r

QQ

r

intensitatea cmpului electric (mrime vectori-

46

al E

), E = 24 r

Q

;

[ ]E S.I. = N/C = V/m = kgms3A1 potenial electric (mrime scalar V);

V = r

Q

4; [ ]V S.I. = V (volt) = j/C = kgm2s3A1

tensiune electric (U = V2 V1) diferena de potenial ntre dou puncte ale cmpului electric lucrul mecanic efectuat ntre dou puncte pentru a deplasa un corp ncrcat electric cu q: L = qU.

I.2. Curent electric Definiie: Curentul electric este micarea ordo-nat a purttorilor de sarcin electric. Obs. Condiia necesar i suficient pentru ca ntre dou puncte s circule un curent electric este ca ntre cele dou puncte s existe o diferen de po-tenial (tensiune electric). Caz particular: Studiul curentului electric conside-rat n acest material se face considernd c curentul electric circul prin conductoare solide. n acest caz, purttorii de sarcin sunt electronii i curentul se mai numete curent electronic.

I.3. Intensitatea curentului electric Este mrimea fizic ce caracterizeaz transportul de sarcini electrice sub influena unui cmp electric.

47

Definiie. Intensitatea curentului electric este mrimea fizic egal cu raportul dintre cantita-tea de electricitate transportat printr-o seciune de conductor i intervalul de timp corespunz-tor.

Notaie: I, i; I = t

q

, [ ]I S.I. =

s

C = A (Amper)

unitate de msur fundamental a S.I. Dac I = ct., curentul electric se numete staionar (continuu). Dac I = I(t), curentul electric este variabil. I.3.a. Curent electric staionar Considerm un conductor metalic avnd densitatea

de electroni liberi n =V

N, aria seciunii S i de lun-

gime l.

v = t

l

, viteza medie a purttorilor de sarcin, elec-

troni; q = Ne, q = nVe, V = Sl, q = nelS, l =

= vt, I = nevS, j = S

I densitate de curent j = nev;

[ ]j S.I. = Am2

I.4. Circuit electric Un circuit electric este nchis dac liniile de cmp electric sunt nchise i n acest caz sunt parcurse de curent electric.

48

Un circuit electric este format din surse, conductoa-re de legtur i consumatori. a) Sursele asigur prin transformarea unei forme de energie neelectric mecanic, chimic, solar etc., n energie electric, transportul electronilor n exteriorul sursei ct i n interior. Tensiunea sursei se numete tensiune electromo-toare (t.e.m.) i se noteaz cu E. Aplicm legea conservrii energiei: Wsurs. = Wext. + Wint., qE = qU + qu, E=U + u legea circuitului electric Simboluri grafice pentru surse de curent staionar

b) Conductoarele de legtur sunt traseele prin care se face legtura dintre surse i consumatori; c) Consumatorii sunt dispozitive ce transform energia electric n alt form de energie.

II. Legea lui Ohm

II.1. Rezistena electric Mrime fizic ce caracterizeaz modul de a se opu-ne un corp la trecerea curentului electric.

Notaie: R, r

[ ]R S.I.= ==== 322

2sA

kgm

sA

Nm

CA

j

A

V(Ohm)

R

+ +

49

Obs.1 Rezistena electric a unui conductor expe-rimental se poate determina n funcie de dimensiu-nile lui geometrice i de natura materialului.

R = S

l, l lungimea conductorului, S seciunea

conductorului, rezistivitate electric constant

electric de material [ ] S.I.= m,

=1 conducti-

vitate electric Variaia rezistivitii cu temperatura: = 0(1 + t), unde este rezistivitatea la temperatura t, 0 este rezistivitatea pentru temperatura t0 = 0C, este coeficientul termic al rezistivitii.

II.2. Legea lui Ohm pentru o poriune de circuit Intensitatea curentului electric printr-o poriune de circuit este egal cu raportul dintre tensiunea electric aplicat poriunii si rezistena electric a ei.

I = R

U

II.3. Legea lui Ohm pentru ntreg circuitul Intensitatea curentului electric prin circuit este egal cu raportul dintre tensiunea electromotoa-re a sursei i suma dintre rezistena circuitului exterior i a celui interior al sursei.

50

I =rR

E

+

Obs. 1. Aparatul care msoar intensitatea curen-tului electric se numete ampermetru i se montea-z n circuit n serie.

2. Aparatul care msoar tensiunea electric se numete voltmetru i se monteaz n paralel ntre dou puncte ale circuitului.

III. Legile lui Kirchhoff

III.1. Legea I Este un caz particular de conservare a cantitii de electricitate ce ajunge la un nod de reea electric (punctul de ntlnire a cel puin trei conductoare electrice). Lege I Kirchhoff: Suma algebric a intensitii curentului electric ce ajung la un nod de reea este egal cu 0. Obs. Intensitatea curentului ce intr este considera-t pozitiv (+) iar intensitatea curentului ce iese din nod negativ ().

r

A

R V

51

=

N

KkI

1

= 0

III.2. Legea a II-a Este un caz particular de conservare a energiei elec-trice ntr-un nod de reea (o linie poligonal nchis ce cuprinde surse i consumatori electrici). Lege II Kirchhoff: Suma algebric a tensiunilor electromotoare dintr-un ochi de reea este egal cu suma algebric a produselor intensitate a cu-rentului electric i rezistena electric din acel ochi de reea electric.

==

=M

jjj

N

Kk RIE

11

Obs. Pentru a utiliza legea a II-a se efectueaz ur-mtorii pai: P1 se alege un sens de parcurgere a ochiului de reea; P2 se consider pozitive (+) tensiunea electromo-toare a crui sens de parcurgere a curentului cores-punde cu sensul ales la pasul 1; P3 se consider produsul IR pozitiv (+) dac sen-sul curentului corespunde cu sensul ales la pasul 1.

III.3. Aplicaii ale legilor lui Kirchhoff a) Gruparea (legarea) n serie (cascad) se realizea-z prin legarea alternativ a rezistorilor (+ , + );

52

Aplicm pentru primul montaj legea a II-a: E= IR1 + IR2 + IR3, pentru al doilea montaj: E = IRs

Rezult: Rs = R1 + R2 + R3.

Generaliznd: Rs ==

N

kkR

1

a) Gruparea n paralel a rezistorilor se realizeaz prin cuplarea rezistorilor la aceeai diferen de potenial (tensiune): b)

c) Gruparea surselor n serie Considerm N surse caracterizate de E1, r1, E2r2, , EN, rN, grupate n

Rp

E I

R1 I1

Rk Ik

E

R1

E I I

Rs R2 R3

E

I = =

N

kkI

1

; =

=N

k kp RR 1

11

53

serie i care pot fi nlocuite cu o surs avnd:

Es = =

N

KkE

1

, rs = =

N

kkr

1

d) Gruparea surselor n paralel Considerm N surse caracterizate de E1, r1, E2, r2, , EN, rN, gru-pate n paralel (debiteaz aceeai valoare a tensiunii n circuit exterior) i care pot fi nlocuite cu o surs avnd:

Ep =

=

=N

k k

N

k k

k

r

r

E

1

1

1;

==

N

k kp rr 1

11

III.4. Energia curentului electric a) energia consumat pe un rezistor de rezisten R

W = UIt, W = I2Rt, W = tR

U 2; [ ]W S.I. = j (joul);

[ ]W = Kwh; 1 = Kwh = 3600000 j Obs. Energia consumat ntr-o rezisten conduce la transformarea energiei electrice n energie termic. Lege Joule-Lenz: Cantitatea de energie termic (caldur), este direct proporional cu ptratul intensitii curentului electric ce circul prin-tr-un rezistor, cu valoarea rezistenei i interva-lul de timp corespunztor.

54

b) energia consumat de o surs cu E, r: W = Eit.

III.5. Puterea electric a) puterea consumat printr-un consumator de rezis-

ten R: P = t

W, P = UI, P = I2R, P =

R

U 2

[ ]P S.I. = W (Watt) b) puterea electric debitat de o sursa cu E, r

P = EI,

Obs. Puterea maxim debitat de o surs n exterior se obine n momentul n care rezistena exterioar a circuitului este egal cu rezistena intern a sursei:

R = r, Pmax = r

E

4

2

.

III.6. Electroliza Este fenomenul de circulaie a curentului electric prin electrolii avnd ca purttori de sarcin electroni i ioni. Electroliza are la baz disocierea electrolitic, de-punnd la electrozi (anod +, catod ) o cantitate de substan. Lege I Masa de substan depus la electrozi este direct proporional cu cantitatea de electri-citate ce circul prin circuit. M = KQ, Q = It, M = KIt, K echivalent electro-chimic [ ]K = kg/C (kilogram/coulomb)

55

Lege II Echivalentul electrochimic este direct proporional cu echivalentul chimic (A/n) A masa atomic a elementului depus la electrozi, n valena elementului

K = Fn

A, F = 96400 C/echiv-gram

Unind cele dou legi, vom obine: M = F

1

n

AIt.

IV.1. untul ampermetrului Reprezint rezistena pus n paralel cu rezistena ampermetrului pentru a mrii scara de msur. Considernd RA rezistena aparatului ce poate msu-ra un curent maxim de IA i pentru a i se mri scala de msur pentru un curent I = nIA.

I = IA + Is, IsRs IARA = 0, I= nIA; Rs = 1n

RA

RA, A I IA

Is

Rs

56

IV.2. Adiionala voltmetrului Reprezint rezistena montat n serie cu voltmetrul pentru a mri scara de msur. Considerm un voltmetru cu rezistena Rv care poa-te msura tensiunea maxim Uv i pentru a msura o tensiune U = nUv se monteaz n serie o rezisten-a Ra.

U = Uv + Ua, U = nUv, Ra = (n 1)Rv

V, Rv Ra

Uv Ua

U

57

OPTICA

Optica este un capitol al fizicii ce studiaz natura, propagarea i interaciunea luminii cu substana. n funcie de modelul utilizat, optica se clasific n trei capitole: a) optic geometric n care se studiaz propa-garea luminii i formarea imaginilor optice, fr a ine cont de natura luminii; b) optica ondulatorie n care se studiaz feno-mene ca difracia, interferena, polarizarea, lund n considerare natura ondulatorie a luminii (unda elec-tromagnetic); c) optica fotonic n care se studiaz efectul fo-toelectric, efectul Compton, lund n considerare natura corpuscular a luminii (foton).

Optica geometric

I.1.(a) Noiuni introductive Optica geometric are la baz noiunea de raz de lumin. Definiie: Raza de lumin este definit ca direcia de propagare a luminii. Definiie: Fasciculul de lumin se definete ca un grup de raze de lumin. Definiie: Fasciculul omocentric este fasciculul format din raze de lumin concurente ntr-un punct (a).

58

Definiie: Fasciculul divergent este fasciculul for-mat din raze ce pleac dintr-un punct (b). Definiie: Fasciculul convergent este fasciculul format din raze ce converg spre acelai punct (c). Definiie: Fasciculul paralel este fasciculul format din raze de lumin paralele (d). a b c d Legea propagrii luminii: ntr-un mediu transpa-rent optic, omogen, lumina se propag n linie dreapt. Principiul independenei fasciculelor de lumin: Fasciculele izolate de lumin ce interacioneaz, acioneaz independent unul de altul. Principiul lui Fermat: O raz de lumin trecnd de la un punct la altul va urma acel drum pentru care timpul necesar este minim.

59

I.2.(a) Reflexia luminii Definiie: Reflexia luminii reprezint fenomenul de ntoarcere parial a razei de lumin n mediul din care a venit atunci cnd aceasta ntlnete o supra-fa de separare cu un alt mediu. Definiie: Raza ce vine spre suprafaa de separare dintre dou medii optice transparente poart numele de raza incident (I). Definiie: Raza ce se ntoarce n mediul iniial poar-t numele de raza reflectat (R). Definiie: Perpendiculara pe suprafaa de separare dintre dou medii optic transparente poart numele de normal (N). Definiie: Unghiul dintre raza incident i normala n punctul de inciden, poart numele de unghi de inciden (i). Definiie: Unghiul dintre raza reflectat i normala n punctul de inciden se numete unghi de refle-xie (r). Lege I: Raza incident, normala i raza reflectat n punctul de inciden se gsesc n acelai plan. Lege II: Dac suprafaa de reflexie este perfect plan, atunci unghiul de inciden i unghiul de reflexie sunt egale. Obs. 1: Dac reflexia se face pe o suprafa perfect plan, se numete reflexie regulat. Obs. 2: Dac reflexia se face pe o suprafa cu as-periti, ea are loc n toate direciile i se numete reflexie difuz.

60

I.3.(a) Refracia luminii La ntlnirea unei suprafee de separare dintre dou medii optic transparente o parte din raza de luminii incidente se reflect iar o parte va trece n al doilea mediu. Definiie: Fenomenul de trecere a luminii printr-o suprafa de separare dintre dou medii optic trans-parente i schimbarea direciei de propagare se nu-mete refracie. Definiie: Raza de lumin ce trece prin suprafaa de separare i i schimb direcia de propagare se nu-mete raz refractat. Definiie: Unghiul dintre raza refractat i normala la suprafa se numete unghi de refracie. Lege 1: Raza incident, raza normal la suprafa i raza refractat se gsesc n acelai plan.

I

ri =

N R

i r

61

Lege 2: Raportul dintre sinusul unghiului de inci-den i sinusul unghiului de refracie este constant pentru dou medii date. Obs. Viteza luminii n vid este considerat constan-t: c = 3 108 m/s i are aproximativ aceeai valoare n aer. Obs. Dac lumina trece printr-un mediu, viteza lu-

minii va fi: v =n

c; n = indicele de refracie al medi-

ului i depinde de frecvena radiaiei. Obs. Dac primul mediu este aer, atunci cu n se noteaz indicele relativ de refracie fa de aer sau pentru un mediu oarecare, indicele relativ fa de acel mediu (naer = 1).

ct.sin

sin

1

2 === nn

n

r

i

I.3.(b) Reflexie total Dac indicele de refracie al mediului n care se refract lumina este mai mic dect indicele de re-

N I

R

i

n2>n1

I

n2

63

I.3.(d) Prisma optic Este un mediu optic transparent delimitat de dou plane care fac intre ele un unghi diedru. Elementele prismei: a) muchia prismei dreapta de intersecie a celor dou plane; b) seciune principal orice plan perpendicular pe muchia prismei; c) unghiul prismei (unghi refringent) unghiul din-tre fee

sin i = n sin r, sin i' = n sin r' . Unghiul dintre raza de inciden pe faa AB a pris-mei si cea refringent (AC) se numete unghi de deviaie (): = i + i' (r + r'), iar A =r + r'.

n1

n2

n1

r

i

n1

A

N

I R

N

N

B C

64

Deviaia minim se obine cu condiia ca unghiurile i = i', deci r = r'.

Aim = 2 , 2A

r = ,

2sin

2sin

A

A

n

m+

=

Condiia de emergen reprezint condiia ca o raz de lumin ce intr ntr-o prism s ias la limit,

deci: i = 90, iar r l, dar A = r + r r A l; aplicm funcia sinus i vom obine: sin r sin(A l),

dar sin i = n sin r )sin(sin

lAn

i impunem

condiia ca raza incident s aib unghiul maxim de

inciden im = 90, )sin(1

lAn

, n

l1

sin =

sin l sin(A l) A 2l condiia de emergen pentru o prism la care se cunoate materialul din care este confecionat (n).

I.3.(e) Aplicaii ale fenomenului de reflexie total 1) Prisma cu reflexie total este folosit la construi-rea de binocluri i a unor tipuri de aparate de foto-grafiat. Se utilizeaz prisme din sticl (n = 42) a cror seciune este un triunghi dreptunghic isoscel.

65

2) Fibrele optice se utilizeaz n medicin (endos-cop), telefonie i televiziune prin cablu. O fibr optic este format din: manta, alctuit din oxid de siliciu cu indicele de refracie (n2 = 1,5); inim o zon central cu indicele de refracie n1 = 1,52; cmaa, ce mbrac cele dou zone, confecio-nat din material plastic.

I

R

45

45

I

R

cma manta inim

n2

n1

66

I.4. Formarea de imagini n dispozitivele optice Generaliti Optica geometric este la baza obinerii de imagini n cadrul aparatelor optice. Orice punct al unui obi-ect luminos emite un fascicul divergent care, tre-cnd printr-un dispozitiv optic, devine convergent realiznd un punct obiect. Aceast condiie de a obine un punct imagine i numai unul pentru fieca-re punct obiect poart numele de stimagtism. Pentru a ndeplini aceast condiie, fasciculul de lumin incident trebuie s aib o deschidere mic fa de axul dispozitivului optic. Definiie. Fasciculele de lumin nguste i foarte puin nclinate fa de axul optic se numesc paraxi-ale (Aproximaie Gauss). Obs. Dac punctul imagine se obine la intersecia direct a razelor de lumin, se numete punct ima-gine real. Obs. Dac punctul imagine se obine la intersecia prelungirii razelor de lumin ce trece prin dioptru se numete punct imagine virtual. I.4(a) Dioptrul sferic Definiie: Suprafaa care separ dou medii cu in-dici de refracie diferii se numete dioptru. Dac suprafaa de separare este sferic dioptrul se numete sferic. Elementele dioptrului sferic: vrful dioptrului polul calotei sferice; centrul de curbur centrul sferei din care face

67

parte dioptrul; axa optic principal dreapta ce unete vrful cu centrul de curbur; axa optic secundar dreapta ce trece prin centrul de curbur i orice punct de pe dioptru. Relaii fundamentale ale dioptrului sferic: a) b) c)

Axa optic principal

Axa optic secundar

O

n1 n2

V

P V

I

r i n1 n2

R O P x1 x2

n1 < n2

P V

A

y1

y2 P

68

Convenii de semn: segmentele msurate de la vrful dioptrului spre dreapt sunt considerate pozitive, iar cele msurate spre stnga sunt considerate negative; segmentele msurate deasupra axei principale sunt considerate pozitive, iar dac sunt msurate sub ax, sunt considerate negative. Notaii: P punct obiect luminos; P punct imagine (cele dou puncte se numesc puncte conjugate); PI raza incident; PI raza refractat prin dioptru; OI = OV = R raza sferei din care face parte dioptru. Conform aproximaiei Gauss avem:

PI PV, PI PV. Aplicm teorema sinusurilor n triunghiurile PIO i PIO:

=

=

rOPIP

i

POPI

sin)sin()sin(sin

rOP

IPi

PI

PO

sin

sin

sin

sin =

= ;

1

2

sin

sin

n

n

r

i

OP

IP

PI

PO==

.

nlocuim n ultima relaie notaiile: PI = x1, PI = = x2, PO = x1 + R, PO = x2 R i efectund cal-culele obinem:

69

R

nn

x

n

x

n 12

2

2

1

1 =+

prima relaie fundamental a

dioptrului sferic. Focarele dioptrului sferic Definiie. Focarul obiect este punctul din care plea-c razele de lumin care, trecnd prin dioptrul sfe-ric, devin paralele cu axul optic principal. Definiie. Focarul imagine reprezint punctul n care se strng razele de lumin dup trecerea prin dioptrul sferic a unui fascicul paralel cu axul optic principal. Obs. Focarele secundare sunt punctele cu aceleai proprieti, dar fa de axele optice secundare.

12

112

nn

Rnfx

= ; 12

221

nn

Rnfx

= ;

12

2

1

1 =+x

f

x

f.

Definiie. Mrirea linear transversal este rapor-tul dintre mrimea imaginii i mrimea obiectului.

1

2

y

y= (c)

ix

rx

y

y

sin

sin

1

2

1

2

=

= ; 21

12

nx

nx= repre-

zint a doua relaie a dioptrului sferic.

I.4(b) Dioptrul plan Definiie. Dioptrul plan este un ansamblu format din dou medii diferite, separate printr-o suprafa

70

plan. Relaiile dioptrului plan se obin punnd condiia: R n formulele dioptrului sferic.

R f1 = f2 i 2

2

1

1

x

n

x

n= , = 1

I.4(c) Oglinzi Definiie. Oglinzile sunt poriuni de suprafee per-fect reflectoare pentru lumin. Clasificare: a) oglinzi plane suprafaa de reflexie este o pori-une din plan. b) oglinzi sferice suprafaa de reflexie este o calo-t sferic, deci pot fi de dou feluri: concave dac suprafaa de reflexie este cea in-terioar a calotei (R < 0); convexe dac suprafaa de reflexie este cea ex-terioar (R > 0) (raza de lumin se consider c vine din dreapta).

a) Oglinda plan formula caracteristic oglinzii plane se obine din formula dioptrului plan cu con-diia n2= n1 x1= x2, = 1. Pentru a forma imagini n oglinzi

71

plane vom utiliza legile de reflexie. Obs. Imaginile obinute cu ajutorul oglinzilor plane sunt virtuale, simetrice fa de oglinda i de aceeai mrime.

b) Oglinda sferic formulele caracteristice pentru oglinzi sferice se obin din formula dioptrului sferic cu urmtoarea condiie: n2 = n1, ce reprezint con-diia oglinzii:

Rxx

211

21

=+ , 221R

fff === , fxx

111

21

=+ , 1

2

x

x=

Imagini n oglinzi sferice: a) oglinzi sferice concave

1) x1 > R imagine real, 2) R > x1 > R/2 imagine rsturnat real, rsturnat

O O F F

72

3) R/2 > x1 > 0 imagine virtual, dreapt

b) oglinzi sferice convexe

Imaginile, n cazul oglinzilor convexe, sunt virtuale i drepte. Obs. Reamintim c imaginea unui punct se obine cu ajutorul a dou raze de lumin a cror traiectorie este cunoscut. Exemplele sunt construite utiliznd ca raze una paralel cu axa optic principal, care dup reflexie trece prin focar (F, prelungirea), iar a doua este o ax optic secundar care, dup refle-xie, se ntoarce pe aceeai direcie (O).

I.5. Lentile (sisteme de dioptri) Definiie. Lentila optic este un mediu transparent optic, separat de mediul exterior prin doi dioptri. Studiul se va face pentru a pstra aproximaia

O F

O F

73

Gauss, considernd lentila subire. Condiia este ca grosimea lentilei d, s fie mic fa de razele de curbur a dioptrilor. Astfel, cele dou vrfuri se vor aproxima cu un punct O. Acest punct poart numele de centru optic al lentilei. Definiie. Dreapta ce trece prin centrele de curbur a celor doi dioptri ce formeaz lentila i centrul optic se numete axa optic principal. Definiie. Toate dreptele ce trec prin centrul optic. poart numele de axe optice secundare. Proprietate. Toate razele de lumin ce trec prin cen-trul optic (axe optice) trec nedeviate. I.5(a) Formula lentilelor

Considerm o lentil delimitat de doi dioptri cu centrele C1, C2, vrfurile V1, V2 i razele R1, R2. Punctul obiect P se afl pe axa optic principal n mediul cu n1 i creeaz n primul dioptru cu n2 punctul imagine P1, care devine obiect pentru cel de al doilea dioptru aflat n mediul cu n1 i formeaz

imaginea final P2.

P P1 n1 n2 n1

a

x1 x2

C2 V1 V2 C1 O

P2

74

1

122

1

1

R

nn

a

n

x

n =+

,

2

21

2

12

R

nn

x

n

a

n =

+

Adunm cele dou relaii si vom obine:

2

12

1

12

2

1

1

1

R

nn

R

nn

x

n

x

n ++

=

+

caz particular n1 = n1 i

1

2

n

nn = ( )

=+

2121

111

11

RRn

xx

I.5.(b) Focarele lentilelor: condiii x1 i x2 = f2; x2 i x1=f1

( )

=

21

111

1

1

RRn

f ;

( )

=

21

211

1

1

RRn

f

Vom nota: f = f2 = f1

Obs. 1. Dac un fascicul de raze paralele cu axa optic principal ce trece prin lentil se strnge ntr-un punct (focar) real, lentila este convergent (pozitiv). Obs. 2. Dac un fascicul paralel cu axa optic princi-pal ce devine divergent dup trecerea prin lentil, iar prelungirea razelor se strng ntr-un punct virtual (focar), lentila se numete divergent (negativ). Obs. 3. Convergenta (C) reprezint inversul distan-ei focare.

( )

==

21

111

1

RRn

fC ; [ ] =ISC . (dioptrie)

75

I.5.(c) Mrire liniar () 1

2

1

2

x

x

y

y==

I.5(d) Tipuri de lentile subiri 1) Lentila cu marginile subiri fa de centrul ei se numete lentil convergent i poate fi de trei fe-luri: a) menisc convergent (convex, concav); b) biconvex; c) plan convex, simbol.

1(a) 1(b) 1(c)

2(a) 2(b) 2(c) 2) Lentila cu marginile groase fa de centrul ei se numete lentil divergent i poate fi de trei feluri: a) menisc divergent (concav, convex);

76

b) biconcav; c) plan concav, simbol. I.5.(e) Imagini n lentile subiri 1) Imagini n lentile convergente: Obs. Modul de formare grafic a imaginilor ntr-o lentil convergent se realizeaz utiliznd, pentru fiecare punct obiect, dou raze ce creeaz un punct imagine. Practic, se utilizeaz o raz paralel cu axul optic principal care, dup trecerea prin lentil, va trece prin focar i o raz ce trece prin centrul optic al lentilei i care va trece nedeviat prin lenti-l.

a) 1x f2

imagine real, rsturnat i mai mic dect obiectul

b) fxf 12

imagine real, rsturnat i mai mare dect obiectul

F

F

F

F

77

c) fx 1

imagine virtual, dreapt i mai mic ca obiectul

2) Imagini n lentile divergente

a) fx 21

imagine virtual,dreapt i mai mic ca obiectul

b) fx 1

imagine virtual, dreapt i mai mic ca obiectul

F F

F F

F F

78

I.6. Asociaii de lentile subiri Considerm dou lentile care au axul optic comun ntre care exist o distan d = x2 + (-x

1).

Pentru a construi imaginea unui obiect rectiliniu metoda este de a construi imaginea prin prima lenti-l care devine obiect pentru a doua.

211

111

xxf+

= ;

2,

1,

2

111

xxf+

= ; )( 1,2 xxd +=

Cazuri particulare: a) d = 0 sistemul este format din dou lentile subiri lipite (acolate) i n acest caz sistemul se comport ca

o lentil cu distana focal egal cu 21

111

ffF+= .

b) d = f1 + f2 sistemul se numete telescopic (afocal) n care o raz de lumin paralel cu axul optic prin-cipal va prsi sistemul de asemenea paralel cu axul optic.

X2

X1

X1 X2

d

79

Optic ondulatorie

n cadrul opticii ondulatorii se utilizeaz modelul undei electromagnetice, iar fenomenul caracteristic este interferena.

II.1 Interferen Definiie. Interferena este fenomenul de suprapu-nere ntr-un punct din spaiu a dou sau mai multe unde coerente. Prin unde coerente se neleg undele care au aceeai frecven, iar diferena de faz este constant n timp. n cazul undelor electromagnetice, componenta electric a cmpului creeaz intensitate luminoas (I). Intensitatea luminoas este direct proporional cu ptratul amplitudinii intensitii cmpului elec-

tric: I = E20.

Considerm dou surse de lumin punctiforme care emit unde de aceeai frecven, iar ntr-un punct se suprapun.

E1 = E01sin (t +

12 r ); E2 = E02sin(t +

22 r ) ,

E01= E02 = E0; E = E1 + E2.

S1 S2

r1 r2

80

Amplitudinea rezultant va fi:

A = 2E0cos( ) 12 rr , iar

I ~ A2 = 4E02cos2

( ) 12 rr

r = r2 r1 diferen de drum r = n(r2 r1) diferen de drum optic, cnd lu-mina trece printr-un mediu optic cu indicele de re-fracie n. Condiia de maxim:

r = k, k = 0, 1, 2, 3 Condiia de minim:

r = (2k + 1)2

, k = 0, 1, 2, 3, 4

II.2 Dispozitiv de interferen Young Dispozitivul de interferen Young este format dintr-o surs de lumin, ce se divide n dou printr-un paravan cu dou perforaii, ce devin surse se-cundare. Rezultatul interferenei se obine pe un ecran. Analiza rezultatului se poate obine n orice zon din spaiu i dispozitivul Young formeaz franje nelocalizate. Notaii: distana dintre dou surse S1S2 = 2l, distana dintre surse secundare i ecranul de observare L.

81

locul geometric al punctelor de intensitate ma-xim poart numele de franje luminoase:

l

LkxMk 2= ;

locul geometric al punctelor de intensitate mi-nim poart numele de franje ntunecate:

( )l

Lkxmk 2

12 += ;

interfraja este distana dintre dou maxime sau

dou minime consecutive l

Li

2= .

II.3. Dispozitiv de interferen cu lam cu fee plan paralele Lama cu fee plan paralele este un mediu optic transparent cu indicele de refracie n delimitat de dou plane paralele. Interferena se realizeaz prin suprapunerea a dou raze de lumin, obinute prin reflexie, pe cele dou plane n planul focal al unei

L

S1

S2

S

x

82

lentile convergente. Diferena de drum dintre cele dou raze ce interfer

este: 2

cos2

+= rdn dac = k avem maxim,

2)12(

+= k avem minim.

II.4. Dispozitiv de interferen cu pan optic Pana optic este un mediu optic transparent delimi-tat de dou suprafee ntre care exist un unghi

83

n cazul incidentei normale i = r = 0

Max. ordin k: 2ndk + 2

= k

Max. ordin k + 1: 2ndk+1 + 2

= (2k + 1)

2

tg = ninii

dd kk

221 =

=

+ .

Optica fotonic

n cadrul opticii fotonice se utilizeaz conceptul de foton ca model. Fenomenele caracteristice opticii fotonice sunt efectul fotoelectric, efectul Compton.

III.1. Efect fotoelectric extern Definiie. Emisia de electroni sub efectul radiaiei electromagnetice poart numele de efect fotoelec-tric. Definiie. Electronii emii n urma efectului foto-electric poart numele de fotoelectroni. Efectul fotoelectric extern a fost observat de H. Hertz la sfritul secolului 19. Experimental s-au

dk+1

i

dk

84

observat legile efectului fotoelectric extern. Lege I: Intensitatea curentului fotoelectric de satu-raie este proporional cu fluxul radiaiilor elec-tromagnetice incidente, cnd frecvena este constant. Lege II: Energia cinetic a fotoelectronilor emii crete liniar cu frecvena radiaiilor electromagneti-ce si nu depinde de fluxul acestora. Lege III: Efectul fotoelectric extern se poate pro-duce numai dac frecvena radiaiei incidente este mai mare sau cel puin egal cu o valoare minim, specific fiecrei substane. Lege IV: Efectul fotoelectric extern se produce practic instantaneu. Obs. Legile efectului fotoelectric extern nu pot fi explicate cu ajutorul modelului undei electromag-netice.

III.2 Cuante de energie. Fotoni Max Planck, n ncercarea de a explica legile cor-pului negru, emite ipoteza c energia unui oscila-tor nu poate avea orice valoare, ci numai anumite valori discrete E1, E2, , Ei, Energia unui oscilator poate s creasc n cadrul absorbiei sau s scad n cazul emisiei ntre dou valori Ek i Ei numai cu cantitatea = h = Ek Ei denumit cuanta de energie, unde este frecvena

oscilatorului, iar h = 6,626 3410 js constanta lui Planck.

85

Particula care posed energia unei cuante se nume-te foton. Conform teoriei relativitii, un foton are urmtoa-rele caracteristici : energia E = mc2 = h

impulsul p = mc =

= hc

h

Masa de repaus este nul ca i sarcina electric.

III.3. Explicarea legilor efectului fotoelectric extern Albert Einstein, considernd lumina format dintr-un numr de fotoni, explic efectul fotoelec-tric ca o interaciune dintr-un foton i un electron. n urma interaciunii, electronul absoarbe energia fotonului i se poate aplica legea conservrii ener-giei.

+= Lh2

2mv ecuaia lui Einstein

h energia absorbit de electron de la foton

steUmv

=2

2

energia cinetic a fotoelectronului,

Ust tensiunea de stopare L = h0 lucrul mecanic de extracie necesar extrac-iei electronului i este caracteristic fiecrei sub-stane, 0 frecvena de prag sau prag rou. Lege I: Creterea fluxului de radiaie incident are loc cnd crete numrul de fotoni, deci i numrul

86

de fotoelectroni ce formeaz curentul electric de saturaie. Lege II: Ecuaia lui Einstein este o funcie de gra-dul I, deci energia cinetic variaz liniar cu frecven-a radiaiei incidente. Lege III: Din ecuaia lui Einstein se observ c exist o energie minim a fotonului incident egal cu lucrul mecanic de extracie pentru a obine efect fotoelectric. Lege IV: Interaciunea dintre un foton i un elec-tron producndu-se ntr-un interval de timp neglija-bil, efectul fotoelectric se produce aproape instan-taneu.

Cuprins

Mecanic ................................................................ 3

Noiuni introductive ............................................ 3 I. Vector de poziie ........................................... 3 II. Vector deplasare ........................................... 3 III. Viteza medie ............................................... 4 IV. Viteza (momentan, instantanee) ................ 4 V.Accelerie medie ........................................... 4 VI. Acceleraie (momentan, instantanee) ........ 5

Micarea punctului material ............................... 5 I. Micare rectilinie uniform ........................... 6 II. Micare rectilinie uniform variat ................ 7 III. Pricipii i legi n mecanica clasic ............ 10 IV. Teoreme de variaie si legi de conservare n mecanic ......................................................... 15

Termodinamic ................................................... 26

I. Noiuni introductive ...................................... 26 I.1(a) Formule de calcul la nivel molecular .... 26 I.2(a) Formula fundamental a teoriei cinetico-moleculare ...................................................... 27 I.2(b) Energia cinetic medie a unei molecule.... 27 I.2(c) Viteza termic ....................................... 27 I.2(d) Ecuaia termic de stare a gazului ideal 28 I.2(e) Ecuaia caloric de stare a gazului ideal 28 I.3 Legile gazului ideal (transformrile simple ale gazului ideal) ............................................. 28

II. Principiul I al termodinamicii ...................... 33 II.1.(a) Energie intern .................................... 33 II.1.(b) Lucrul mecanic n cadrul gazului ideal ... 33 II.1.(c) Cldura ............................................... 33 II.1.(d) Enunt Principiul I al termodinamicii .. 34 II.2. Coeficieni calorici .................................. 35 II.4. Msurri calorimetrice ............................ 38

III. Principiul II al termodinamicii .................... 40

Electricitate ......................................................... 45

I. Curentul electric ............................................ 45 I.1. Noiuni introductive ................................. 45 I.2. Curent electric .......................................... 46 I.3. Intensitatea curentului electric .................. 46 I.4. Circuit electric .......................................... 47

II. Legea lui Ohm ............................................. 48 II.1. Rezistena electric.................................. 48 II.2. Legea lui Ohm pentru o poriune de circuit ......................................................... 49 II.3. Legea lui Ohm pentru ntreg circuitul ..... 49

III. Legile lui Kirchhoff .................................... 50 III.1. Legea I ................................................... 50 III.2. Legea a II-a ............................................ 51 III.3. Aplicaii ale legilor lui Kirchhoff........... 51 III.4. Energia curentului electric ..................... 53 III.5. Puterea electric ..................................... 54 III.6. Electroliza .............................................. 54 IV.1. untul ampermetrului ............................ 55 IV.2. Adiionala voltmetrului .......................... 56

Optica .................................................................. 57

Optica geometric ............................................. 57 I.1.(a) Noiuni introductive ............................. 57 I.2.(a) Reflexia luminii ................................... 59 I.3.(a) Refracia luminii .................................. 60 I.3.(b) Reflexie total ...................................... 61 I.3(c) Lama cu fee plan paralele .................... 62 I.3.(d) Prisma optic ....................................... 63 I.3.(e) Aplicaii ale fenomenului de reflexie total ............................................................... 64 I.4. Formarea de imagini n dispozitivele optice Generaliti .................................................. 66 I.4(b) Dioptrul plan ......................................... 69 I.4(c) Oglinzi ................................................... 70 I.5. Lentile (sisteme de dioptri) ....................... 72 I.6. Asociaii de lentile subiri ......................... 78

Optic ondulatorie ............................................ 79 II.1 Interferen ............................................... 79 II.2 Dispozitiv de interferen Young ............. 80 II.3. Dispozitiv de interferen cu lam cu fee plan paralele .................................................... 81 II.4. Dispozitiv de interferen cu pan optic 82

Optica fotonic ................................................. 83 III.1. Efect fotoelectric extern ......................... 83 III.2 Cuante de energie. Fotoni ....................... 84 III.3. Explicarea legilor efectului fotoelectric extern .............................................................. 85

NOTE: ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________

www.edituranomina.ro

___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________

www.edituranomina.ro

___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________

www.edituranomina.ro