1

MEKANİK SİSTEMLERİNİN TEMEL ELEMANLARITitreşim yapan sistemlerde potansiyel ve kinetik enerji depolayan elemanlar ile sönümlü sistemlerde enerji sönümünü sağlayan elemanlar mevcuttur. Bu elemanlara ait denklemler aşağıda verilmiştir.a) Elastik Elemanlar (Yaylar): Yaylar titreşim sistemlerindeki kütleleri birbirine bağlayan ve kütlelerin bağıl hareketlerini sağlayan elemanlardır. Yaylar lineer ve nonlineer karakteristiğe sahip olabilirler. Lineer karakteristiğe sahip yaylar Hooke yasasına uygun davranırlar ve yayda oluşan elastik kuvvet yaydaki şekil değişimi ile orantılıdır. Fakat titreşim genliklerinin yüksek olduğu zaman ve/veya metal olmayan malzemeler kullanıldığında yaylar lineer davranışa sahip olmayabilirler. Şekil 10’da bazı yay karakteristikleri gösterilmiştir.

2

b) Atalet Elemanları : Atalet elemanları kinetik enerji depolayan elemanlardır. Atalet elemanları öteleme ve dönme hareketlerini ayrı ayrı yapabilecekleri gibi, hem öteleme hem de dönme hareketini birlikte gerçekleştirilebilirler. Atalet elemanlarına ait eleman denklemi aşağıda verilmiştir.

ω

T

m, I

2k I

2

1E

Idt

dIT

3

c) Sönüm elemanları : Sönümlü sistemlerde enerji yutumunu sağlayan elemanlardır. Amortisör tipi elemanlar akışkan sürtünmesi ile enerji kaybını sağlarlar ve titreşim genliklerinin exponansiyel olarak azaltırlar. Sönüm elemanlarında mekanik enerji ısı enerjisine dönüşür. Eleman denklemi aşağıda verilmiştir.

4

Titreşim yapan mekanik sistemlerde homojen ince çubuk tipi elemanlar sıkçakullanılmaktadır. Bu elemanlar belirli bir noktasından geçen eksen etrafında dönüş hareketi yapabilecekleri gibi, bir düzlem içerisinde hem öteleme hem de dönme hareketi yapabilirler. Sadece dönüş hareketi yaptıklarında dönme noktasından geçen eksen etrafındaki kütle atalet momentleri, hem dönme hem de öteleme hareketi yaptıklarında ise hem ötelenen çubuk kütlesi hem de çubuğun kütle merkezinden geçen eksen etrafındaki kütle atalet momentidikkate alınır.

5

Homojen ince çubuk şekilde görülen bir B noktası etrafında dönüyor ise, dönüş eksenine göre kütle atalet momenti paralel eksenler teoremi (Steiner teoremi) ile hesaplanabilir.

Burada I dönme noktasından geçen eksen etrafındaki kütle atalet momenti, IG kütle merkezinden geçen eksen etrafındaki kütle atalet momenti, xG kütle merkezinin hızıdır.

.

Dönme hareketi yapan bir çubuk için kinetik enerji ifadesi

6

TİTREŞİM PROBLEMLERİNİN DOĞRUSALLAŞTIRILMASI(KÜÇÜK YER DEĞİŞTİRMELER)

Titreşim problemleri, küçük ötelemeler ve küçük yer dönmeler kabulü ile doğrusal diferansiyel denklemler ile incelenmektedir. Büyük yer değiştirmeler söz konusu olduğunda doğru çözüm için diferansiyel denklemlerin nonlinear formları göz önünde bulundurulmalı ve çözümler bu şekilde yapılmalıdır.

k

R

x

R

x

R

x

cos

sintan

cos

sinRx

Burada sin ifadesi Taylor serisine açılır ise

!5!3!1

sin531

<<1 için, küçük açılar için sin

cos ifadesi için Taylor serisi yazılır ise

!4!2

1cos42

<<1 için , küçük açılar için 1cos

R

1Rx

k

R

x

R

x

k

R

x

R

x

!5!3!1

sin531

k

R

x

R

x

7

Bir nokta etrafında dönüş hareketine sahip kirişler için de

benzer ifadeler geçerlidir.

O xA OA

xsin A

A

OAsinOAxA

HAREKET DENKLEMİ OLUŞTURMA YÖNTEMLERİHareket analizi yapılacak sistemin matematik

modelinin oluşturulmasını takiben literatürde mevcut yöntemlerden biri kullanılarak sistemin hareketini tanımlayan diferansiyel denklemler (hareket denklemleri) oluşturulur. Hareket denklemleri oluşturulur iken farklı yöntemler kullanılabilir. Bu yöntemlerden sık kullanılanları aşağıda verilmiştir.

F(t)

k

x(t)

c

m

g

1. Newton’un 2. yasası ile: Şekilde görülen sistem tek serbestlik dereceli sistemdir ve m kütlesinin hareketi x koordinatı ile tanımlanabilir. Newton’un 2. yasası gereği cisme etkiyen kuvvetlerin toplamı cismin kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşittir.

8

d

d

ds

x)t(x

x)t(x

)t(xx)t(x

m

F(t)

x(t)=xs+xd(t)

mg

k(xs+xd) dxc

Serbest Cisim Diyagramı

xs: m kütlesinin statik çökmesi

xd: m kütlesinin statik çökme sonrasındaki yer değiştirmesi

Newton’un 2. yasası gereği öteleme yapan sistemler için

xmF Dönme hareketi yapan sistemler için

IM

9

xmxcxxkmg)t(F dds

ddd xmxckxk

mgkmg)t(F

)t(Fkxxcxm ddd

)t(Fkxxcxm

xxd Yer değiştirme statik çökme etrafındaki yer değiştirmedir.

)t(fkxdt

dxc

dt

xdm

2

2

2. Dinamik Denge Yöntemi (d’Alembert Prensibi):

Bu yöntemde cisme etki eden atalet kuvvetleri de serbest cisim diyagramında

gösterilir ve cisim statik dengede kabul edilerek

0F 0Mveya eşitlikleri kullanılır.

10

m

F(t)

x(t)=xs+xd(t)

mg

k(xs+xd) dxc

dxm d’Alembert veya atalet kuvveti

0xmxckxk

mgkmg)t(F ddd

yine x=xd ile

)t(Fkxxcxm

11

3. Enerji Yöntemi :

Bu metod ile enerjinin korunumu prensibi uygulanır. Bir sistemin toplam

enerjisinin artış hızı sisteme verilen güce eşittir.

nett P

dt

dE

Burada Et sistemin potansiyel ve kinetik enerjilerinin toplamı, Pnet ise sisteme verilen net toplam güç olup; dış kuvvetler ve momentlerin sisteme verdikleri güç + işaretli, sistemin dışarıya verdiği mekanik güç ve sönümleyici elemanlar tarafından çevreye yayılan ısı gücü – işaretlidir.

dvgnet PPPP

Sisteme verilen mekanik güçlerin toplamı

Sistemin dışarıya verdiği mekanik güçlerin toplamı

Sönümleyici elemanlardan dışa atılan ısıl güçlerin toplamı

12

2k xm

2

1E 2

p kx2

1E 22

t kx2

1xm

2

1E xxcx)t(FPnet

xxcx)t(Fkx2

1xm

2

1

dt

d 22

xxcx)t(Fxkxxxm )t(Fkxxcxm

4. Lagrange Yöntemi:

Bu yöntemde de incelenen sisteme ait kinetik ve potansiyel enerjiler dikkate alınır. Ayrıca Sanal İş ilkesi ile dış kuvvetlerin ve sönüm kuvvetlerinin sistemin genel koordinatlarında gerçekleştirmiş oldukları sanal işler dikkate alınarak türetilen genel kuvvetler hareket denkleminin türetilmesi için kullanılır.

Sisteme ait Lagrange ifadesi kinetik enerji ile potansiyel enerji farkına eşittir.

pk EEL

iii

Qq

L

q

L

dt

d

13

ii

p

i

kp

i

k Qq

E

q

E

iq

E

q

E

dt

d

Burada qi bir sistemin i. genel koordinatını, Qi ise bu koordinata etki eden kuvvetlerin toplamını (Genel Kuvvet) ifade eder. Genel kuvvet ifadesi Sanal İş ile elde edilir.

ii

p

i

k Qq

E

q

E

dt

d

Genel olarak kinetik enerjinin genel koordinat hızı ve potansiyel enerjinin genel koordinat ile ilişkili olduğu düşünüldüğünde Lagrange denklemi aşağıdaki basit formunu alır.

Bununla birlikte bazı mekanik uygulamalarda kinetik enerji genel koordinatın bir fonksiyonu olabilir. Bu durumda Lagrange denkleminin genel ifadesindeki 3. terim dikkate alınmalıdır.

g

θ

O

l

m

Bu denklem öteleme yapan sistemler için bir kuvvet, dönme yapan sistemler için ise bir moment dengesidir.

14

Genel kuvveti elde etmek için dış zorlamaların ve sönümleyici kuvvetlerin genel koordinatlar üzerindeki sanal işleri dikkate alınır. Genel koordinatlarda zamandan bağımsız olarak küçük değişimler dikkate alınarak () bu kuvvetlerin yaptığı iş

iii qqcq)t(FW

ii qQW 2

k xm2

1E 2

p xk2

1E xxc)t(Fxxcx)t(FW

xQ

xc)t(Fkxxmdt

d

)t(Fkxxcxm

xc)t(Fkxxmxm

xc)t(Fkx2

1

xxm

2

1

xdt

d 22

15

Örnek: Şekildeki tek serbestlik dereceli sistem için hareket denklemini elde ediniz.

16

Örnek: Şekildeki iki serbestlik dereceli sisteme ait hareket denklemlerini elde ediniz.

22

21k xm2

2

1xm

2

1E 2

22

1221p kx

2

1xxk2

2

1kx

2

1E

121211 xxxxcxfW

Çok serbestlik dereceli sistemlerde Lagrange denklemi her bir genel koordinat için yazılır. x1 için Lagrange denklemi yazılır ise,

11

p

1

k Qxx

E

x

E

dt

d

17

)xx(cf)xx(k2kxxm 1211211

121211 fkx2kx3xcxcxm

x2 için Lagrange denklemi yazılır ise,

22

p

2

k Qxx

E

x

E

dt

d

)xx(ckx)xx(k2xm2 122122 0kx3kx2xcxcxm2 21212

Hareket denklemleri matris formunda yazılır ise

Lineer sistemler için Kütle, Sönüm ve Direngenlik matrisleri simetriktir.

18

Örnek: Aşağıdaki iki serbestlik dereceli sistemin hareket denklemlerini yazınız.

2222

11k Lm2

1Lm

2

1E

2

122211p 2

L

2

Lk

2

1cos1gLmcos1gLmE

0W

19

Lagrange denklemi θ1 için uygulanır ise,

02

L

2

L

2

LksingLmLm 12111

21

0gLm4

Lk

4

LkLm 112

2

1

2

12

1

02

L

2

L

2

LksingLmLm 12222

22

0gLm4

Lk

4

LkLm 222

2

1

2

22

2

0

0

gLm4

Lk

4

Lk

4

LkgLm

4

Lk

Lm0

0Lm

2

1

2

22

2

1

2

2

12

2

21

Lagrange denklemi θ2 için uygulanır ise,