Univerzitet Svetozar Markovi u Kragujevcu TEHNIKI FAKULTET U AKU

Prof. dr Dragan Golubovi

T E H N I K A - V I I

M E H A N I K A K U R S -

K D A O

I N E M A T I K A I N A M I K A N A L I T I K A S C I L A C I J E

M E H A N I K A

AAK, 1987.

Naziv publikacije: Tehnika mehanika vii kurs Autorizovana skripta

Odobreno odlukom Saveta Tehnikog fakulteta u aku Br. 342/2 od 14. VI 1986. god.

Izdava: Tehniki fakultet u aku Tira: 200 primeraka

P R E D G O V O R Skripta Tehnika mehanika vii kurs sadri: - kinematiku, - dinamiku, - analitiku mehaniku i - oscilacije. Skripta je napisana prema programu Tehnike mehanike II za studente mainskog odseka Tehnikog fakulteta u aku za smer automatizacije, te s toga sadri specijalne odeljke, kao to su analitika mehanika, stabilnost i prelazni procesi. Graa u skripti je tako sloena da predstavlja prirodni kontinuitet sa sadrajem udbenika Tehnika mehanika opti kurs. U okviru pojedinih odeljaka uraeni su pojedini tipini primeri. Biu veoma zahvalan na ukazane, dobronamerne sugestije i primedbe. A U T O R

S A D R A J

I D E O K I N E M A T I K A 1. Obrtanje krutog tela oko nepomine take sferno kretanje tela 1.1. Zakoni kretanja Ojlerovi uglovi 1.2. Ugaona brzina i ugaono ubrzanje tela Ojler Dalamberova teorema 1.3. Odreivanje ugaone brzine i ubrzanja preko Ojlerovih uglova 1.4. Brzine taaka tela koje vri sferno kretanje 1.5. Ubrzanje taaka tela koje vri sferno kretanje 1.6. Primeri 2. Kretanje slobodnog krutog tela 2.1. Zakoni kretanja slobodnog krutog tela 2.2. Brzine taaka tela 2.3. Ubrzanja taaka tela 2.4. Primeri 3. Sloeno kretanje tela 3.1. Pojam sloenog kretanja tela 3.2. Osnovne kinematike relacije 4. Literatura kinematika

II D E O D I N A M I K A 1. Obrtanje tela oko nepomine take 1.1. Ojlerove dinamike jednaine 1.2. Rezalova teorema 1.3. Priblina teorija giroskopa1.3.1. Giroskop sa tri stepena slobode kretanja 1.3.2. Giroskop sa dva stepena slobode kretanja

1.4. Primeri 2. Opte kretanje krutog tela

3. Pritisci u leitima pri obrtanju tela 3.1. Opte postavke 3.2. Fiziko klatno 3.3. Dinamike reakcije u leitima opti sluaj 3.4. Uslovi dinamike uravnoteenosti 3.5. Primeri 4. Teorija udara 4.1. Udar materijalna take4.1.1. Dejstvo udarnih sila na materijalnu taku 4.1.2. Prav udar kugle u nepominu povrinu 4.1.3. Kos udar kugle u nepominu povrinu

4.2. Udar sistema materijalnih taaka4.2.1. Dejstvo udarnih sila na sistem materijalnih taaka 4.2.2. Prav centralni sudar dve kugle

4.3. Primeri 5. Literatura dinamika

III D E O A N A L I T I K A M E H A N I K A 1. Kinematika 1.1. Generalisane koordinate 1.2. Brzina u generalisanim koordinatama 1.3. Ubrzanje u generalisanim koordinatama 1.4. Primeri 2. Dinamika take 2.1. Vrste veza 2.2. Kretanje materijalne take po povri Lagraneove jednaine II vrste 2.3. Lagraneove jednaine II vrste preko Z 2.4. Zakon o odranju mehanike energije 2.5. Ogranienje pri kretanju pod prinudom po povri 2.6. Mogua (virtualna) pomeranja 2.7. Opta jednaina dinamike Lagraneova jednaina I vrste 2.8. Primeri 3. Dinamika sistema 3.1. Opti zakoni dinamike sistema3.1.1. Zakon o kretanju sredita masa sistema 3.1.2. Zakon o promeni koliine kretanja sistema 3.1.3. Zakon o promeni momenta koliine kretanja sistema 3.1.4. Zakon o promeni kinetike energije sistema

3.2. Opti principi dinamike sistema3.2.1. Veze sistema. Klasifikacija sistema. Ogranienje brzine, pomeranja i ubrzanja sistema 3.2.2. Lagraneove jednaine I vrste za sistem 3.2.3. Lagraneov princip virtualnih pomeranja sistema 3.2.4. Dalamberov princip 3.2.5. Lagran Dalamberov princip 3.2.6. Gausov princip najmanjeg pomeranja 3.2.7. Lagraneove jednaine II vrste za sistem Generalisane sile sistema Dokaz Lagraneovih jednaina II vrste za sistem Predstavljanje kinetike energije sistema u optem obliku Predstavljanje potencijalne energije sistema u optem obliku Lagraneove jednaine II vrste za nekonzervativan sistem Teorema o promeni totalne energije Lagraneove jednaine II vrste u matrinom obliku Lagraneove jednaine II vrste izraene preko kinetikog i generalisanog potencijala Kanonske (Hamiltonove) jednaine kretanja sistema 3.2.8. Hamiltonov integralni princip mehanike 3.2.9. Lagran Mopertijev princip mehanike

3.3. Primeri 4. Literatura analitika mehanika

IV D E O O S C I L A C I J E 1. Oscilacije materijalne take sa jednim stepenom slobode kretanja 1.1. Slobodne harmonijske oscilacije 1.2. Priguene oscilacije 1.3. Prinudne oscilacije 1.4. Analogija izmeu mehanikih i elektrinih oscilacija 1.5. Primeri 2. Oscilacije sistema materijalnih taaka sa konanim brojem stepeni slobode kretanja 2.1. Kvadratne forme Ek, Ep i 2.2. Oscilacije konzervativnog sistema 2.3. Oscilacije nekonzervativnog sistema 2.4. Priguene oscilacije sistema 2.5. Primeri 3. Stabilnost 3.1. Stabilnost ravnotee po Ljapunovu 3.2. Leen Dirileova teorema o stabilnosti 3.3. Hurvicova teorema stabilnosti 3.4. Primeri

4. Prelazni procesi 4.1. Oscilacije sa jednim stepenom slobode kretanja 4.2. Oscilacije materijalnog sistema 4.3. Primeri 5. Literatura oscilacije

V Primer grafikog rada Formular za grafiki rad

D E O

I

D E O

K I N E M A T I K A

1. OBRTANJE KRUTOG TELA OKO NEPOMINE TAKE SFERNO KRETANJE TELA U savremenoj tehnici, obrtanje krutog tela oko nepomine take (sferno kretanje tela), koristi se veoma esto, bilo za realizaciju prostornih mehanizama, ili pak za stabilizaciju kretanja. Na Sl.1.1. pokazan je diferencijalni mehanizam, kod koga zupanici I i II izvode obrtanje oko ose, a zupanik ILI oko take.

Sl.1.1. U ovom odeljku definisaemo, najpre, nain predstavljanja sfernog kretanja Ojlerove uglove i zakone kretanja, a zatim brzinu i ubrzanje tela. Dalje emo odrediti brzinu i ubrzanje take tela pri sfernom kretanju. Zakoni kretanja Ojlerovi uglovi Ako pri kretanju tela jedna njegova taka ostaje uvek nepomina, onda je to obrtanje tela oko nepomine take, odnosno sferno kretanje tela (svaka taka kreese po sferi), Sl.1.2.

Sl.1.2. Postoji vie naina za odreivanje poloaja tela pri sfernom kretanju. Ovde e se navesti jedan od ee primenjivanih korienjem Ojlerovih uglova. Radi toga usvojiemo dva koordinatna sistema

- nepokretni Oxyz - pokretni (vezan za telo) O sa zajednikim koordinatnim poetkom O. Poloaj pokretnok sistema O, a samim tim i tela, u odnosu na nepomini sistem Oxyz najlake je odrediti pomou tri nezavisna parametra, Sl.1.2, koji predstavljaju Ojlerove uglove: - ugao precesije , - ugao nutacije , - ugao sopstvene rotacije . Prava ON, du koje se seku nepomina ravan Oxyz i pomina O, zove se vorna osa. Ugao precesije meri se od nepomine ose Ox do vorne ose ON, i smatra se pozitivnim ako se iz vrha Oz vidi u suprotnom smeru od kretanja kazaljke na asovniku. Ugao sopstvene rotacije je ugao izmeu vorne ose ON i ose O i meri se od vorne ose (pozitivan je smer ako je suprotan kretanju kazaljki na satu gledano iz vrha O). Ovaj ugao lei u pokretnoj ravni O (3). Ugao nutacije meri se od ose Oz do ose O (pozitivan smer je ako se obrtanje vidi u suprotnom smeru od kretanja kazaljki na satu iz vrha ose ON), a lei u ravni Oz. Poznavanjem Ojlerovih uglova , , u potpunosti je definisan poloaj tela koje vri sferno kretanje u odnosu na izabrani sistem rotacije Oxyz. Dakle, ako su Ojlerovi uglovi poznati u nekom vremenskom intervalu t (t0, T), onda je definisan proces sfernog kretanja = f1 (t) = f2 (t) (1.1). O = f3 (t) Moemo konstatovati da pri sfernom kretanju telo ima tri stepena slobode kretanja. Ugaona brzina i ugaono ubrzanje tela Ojler Dalamberova teorema Za odreivanje ugaone brzine i ugaonog ubrzanja moe se koristiti Ojler Dalamberova teorema koja glasi: pri sfernom kretanju premetanje tela moemo dobiti jednom rotacijom oko odreene ose koja prolazi kroz nepominu taku, koju nazivamo osom konane rotacije. Premetanjem tela iz jednog poloaja kojem odgovara vreme t, na primer take A i B, u neki drugi poloaj kome odgovara trenutak t + t, take A i B, dolazi do ukupnog obrtanja za pozitivni ugao , odnosno . Taku P dobijamo u preseku normala simetrala na lukove AA' i BB' . Osa OP predstavlja osu konane rotcije. Sada, po definiciji, odreujemo vektor srednje ugaone brzine (1.2), sr = t pa je trenutna ugaona brzina d = lim = (1.3). t 0 t dt Oigledno je da se pravci i ose trenutne rotacije poklapaju, Sl.1.4.

Sl.1.3.

Sl.1.4.

Kako se pri sfernom kretanju menja poloaj trenutne ose , to se vektor menja po pravcu, smeru i intenzitetu, pa moemo pisati = (t) = (t) 0 (t) (1.4), gde je: (t) algebarska vrednost ugaone brzine 0 (t) jedinini vektor ugaone brzine usmeren du ose ( |0 (t)| = 1). Promena vektora ugaone brzine , predstavlja ugaono ubrzanje tela: d = lim = (1.5), t 0 t dt gde se ne radi o izvodu, kao i kod jednaine (1.3). S obzirom na izraz (1.4), dobijamo: d [ (t ) 0 (t )] = d 0 + d0 . = dt dt dt Ako sa 1 oznaimo ugaonu brzinu rotacije trenutne ose obrtanja oko neke ose koja prolazi kroz taku O, a samim tim i vektora 0 oko iste ose, onda prema Ojleru, dobijamo da je d0 = 1 0 , pa je dt d = 0 + 1 0 (1.6). dt Iz izraza (1.6)vidimo da se, u optem sluaju, ugaono ubrzanje sfernog kretanja sastoji iz dve komponente: d 1 = 0 - koja karakterie promenu vektora brzine samo po intenzitetu; dt usmerena je du trnutne ose obrtanja OP, ima isti smer kao vektor , ako je d/dt > 0 i obrnuto; 2 = 1 0 - koja karakterie promenu pravca ; saglasno vektorskom proizvodu je smer i pravac ovog vektora. Dakle, u skladu sa navedenim, ugaono ubrzanje pri sfernom kretanju moe se pisati u obliku = 1 + 2 (1.7).

U specijalnom sluaju, kada se pri sfernom kretanju ne menja intenzitet njegove ugaone brzine, onda je ukupno ugaono ubrzanje = 2 = 1 0 (1.8). Ako je 1 0, 2 = 0 tada telo vri obrtanje oko ose, koja se poklapa sa pravcem vektora. Odreivanje ugaone brzine i ubrzanja preko Ojlerovih uglova Ako su zadate Ojlerove jednaine kretanja (1.1), tada se trenutna ugaona brzina tela moe odrediti korienjem ovih jednaina. Odgovarajue ugaone brzine dobijamo diferenciranjem ovih jednaina po vremenu, Sl.1.2: - ugaona brzina precesije, 1, d (1.9), = lim 1 = = t 0 t dt - ugaona brzina nutacije, 2, d (1.10), 2 = = = lim dt t 0 t - ugaona brzina sopstvene rotacije, 3, d (1.11). = lim 3 = = dt t 0 t Ove brzine mogu se predstaviti vektorski prema Sl.1.2. Prema tome trenutna ugaona brzina moe se napisati u obliku: (1.12). = 1 + 2 + 3 Za odreivanje intenziteta , pogodno je, najpre, sabrati vektore 1 i 3 koji lee u ravni Oz 1 + 3 = I , odakle je I2 = 12 + 32 + 212 cos prema cosinusnoj teoremi. Dalje je = I + 2, pa je

(1.13). Pri izradi konkretnih zadataka neophodno je poznavati projekcije ugaone brzine na nepokretne ose Oxyz x = 2 cos + 3 sin sin = cos + sin 0sin

= I2 + 22 = 2 + 2 + 2 + 2 cos

z = 2 sin 3 sin cos = sin sin 0 cos z = 1 + 3 cos = + cos i na pokretne ose O, = 1 sin sin + 2 cos = sin sin + cos

(1.14).

= 1 sin cos 2 sin = sin cos sin = 1 cos + 3 = cos +

(1.15.),

to je lako odrediti ako se poznaju zakoni kretanja , 0 i . Ugaono ubrzanje je jednako ptoizvodu ugaone brzine po vremenu, =d/dt, pa su projekcije na ose Oxyz, d d d x, y = y , z = z x= dt dt dt (1.16), i na ose O, d d d (1.17). = = = dt dt dt

Konani izrazi za projekciju ubrzanja dobijaju se diferenciranjem jednaina (1.14) i (1.15). Brzine taaka tela koje vre sferno kretanje U odeljku 1.2. pokazano je da se telo, pri sfernom kretanju obre oko trenutnih obrtnih osa (t) ugaonom brzinom (t). Trenutna veliina (t) vai za infinitezimalan interval dt. Prema tome, brzina neke take tela M, Sl.1.5, moemo izraziti kao brzinu obrtanja v=xr (1.18). S obzirom na vektorski proizvod (1.18), brzini v definiu, - pravac koji je upravan na ravan i r, - intenzitet v = r sin(,r) = , - smer koji je takav da vektori redom v, i r ine trijedar desne orijentacije. Razvijanjem izraza (1.18) u koordinatnim sistemima Oxyz i O dobijamo projekcije brzine neke take tela u nepokretnom i pokretnom koordinatnom sistemu. U odnosu na nepokretni Oxyz koordinatni sistem dobijamo i j k v = vxi + v y j + vz k = x y z , x y z odakle su projekcije brzine take tela vx = zy - yz vy = xz zx (1.19). vz = yx - xy Na isti nain za sistem O je

v = v + v + v = , pa su projekcije brzine na ose koordinatnog sistema O v = v = (1.20). v = - Treba napomenuti da se veliine x, y, z, x, y, z, , i menjaju tokom vremena, dok su , i nepromenljive.

Sl.1.5. Na osnovu brzina taaka tela pri sfernom kretanju tela moe se napisati jednaina trenutne ose obrtanja OP, tj. . Naime, po definiciji, za osu brzine taaka na njoj su

jednake nuli, vP = 0. Polazei od izraza (1.18) vidi se da e brzina biti jednaka nuli u sledeim sluajevima: - ako je = 0 (trenutni zastoj tela), - ako je r = 0 (nepomina taka 0) i - ako je || r (tada su i r kolinearni). Trei sluaj je interesantan u praksi i tada je r = (1.21). Trenutna osa obrtanja , za koju je zadovoljena jednakost (1.21) tokom vremena se menja. Skup svih poloaja trenutnih osa tokom vremena u odnosu na Oxyz obrazuje koninu povr nepokretni aksoid. Takoe, poloaj trenutne obrtne ose menja se i u odnosu na telu sistem O, pa skup svih poloaja trenutnih osa u odnosu na telo obrazuje koninu povr, tzv. pokretni aksoid, Sl.1.6.

Sl.1.6. Jednainu nepokretnog aksoida dobijamo razvijanjem jednaine (1.21), kada je y = y, z = z, x = x, odakle dobijamo parametarsku jednainu trenutne ose obrtanja, za neki trenutak vremena, u obliku x y z = = (1.22).

x y z Eliminacijom vremena t iz ove jednaine dobija se eksplicitna, odnosno implicitna jednaina nepokretnog aksoida u oblikuz z y y = F1 , odn. 1 , = 0 x x x x to predstavlja koninu povr sa vrhom u taki O, Sl.1.6. Analognim postupkom dobijamo jednainu pokretnog aksoida: = , = , = (1.23),

= = , tj. = F2 , 2 , = 0

(1.24), (1.25),

to predstavlja, takoe, koninu povr sa vrhom u O, Sl.1.6. S obzirom na definicije aksoida sferno kretanje moemo shvatiti kao da dolazi do kotrljanja, bez klizanja, pokretnog po nepokretnom aksoidu. Ubrzanje taaka tela koje vre sferno kretanje Ubrzanje taaka tela koje vri sferno kretanje dobijamo diferenciranjem po vremenu izraza za brzinu (1.18), dv d d dr a= = ( r ) = r + (1.26), dt dt dt dt odakle se vidi da se ubrzanje taaka tela sastoji iz dva dela. Prvi deo je posledica ugaonog ubrzanja = d/dt, te ga nazivamo rotacionom komponentom, a = (a )rot = r (1.27), iji je intenzitet a = (a )rot = r sin ( , r ) = upravnog pravca na i r, a smera desne orijentacije u trijedru a, i r.

Sl.1.7. Drugi deo je uzrokovan promenljivom ugaonom brzinom , te jedr 2 = ( r ) = ( r ) r ( ) = OM , r ( ) = 2 r OM , dt (1.28) 2 , a = MM Ubrzanje a je usmereno ka taki M, tj. ka osi trenutnog obrtanja, a intenziteta je a =

(

)

(

)

a = 2 . Ovo ubrzanje se zove aksipetalno. Treba napomenuti da se ugaono ubrzanje rotacije a moe razloiti na dve komponente, kao i . Kako je d = 1 + 2 = 0 r + 1 , to je: dt a = arot = 1 r + 2 r = a 1 + a 2

(1.27).

Kada poznajemo rotacionu i aksipetalnu komponentu, tada je intenzitet ubrzanja dat izrazom: 2 a 2 = a2 + a + 2a a cos(a a ) (1.29). Dakle, ubrzanje je: a = r + ( r ) r 2 (1.30), pa su njegove projekcije na pojedine ose a x = z y y z + x (x x + y y + z z ) x 2a z = y x x y + z (x x + y y + z z ) z 2

a y = x z z x + y (x x + y y + z z ) y 2

(1.31),

a = + ( + + ) 2

a = + ( + + ) 2

a = + ( + + ) 2

(1.32).

2. KRETANJE SLOBODNOG KRUTOG TELA Opte kretanje izvode automobil, brod, avion, lanovi prostornog mehanizma, planete itd., te je izuavanje ovog kretanja bitno za mainsku tehniku. Definisaemo jednaine kretanja slobodnog krutog tela brzinu i ubrzanje njegovih taaka. 2.1. Zakoni kretanja slobodnog krutog tela Slobodno kretanje krutog tela ima est stepeni slobode kretanja, tj. potrebno je est generalisanih parametara koordinata sa kojima je odreen poloaj tela u svakom trenutku vremena. Definisaemo te koordinate na osnovu alove teoreme koja glasi: svako pomeranje slobodnog krutog tela iz jednog poloaja u drugi moe se dobiti translatornim pomeranjem

koriene su relacije:

i x

j y

r = x y

(r ) = ( x i + y j + z k )( x x + y y + z z ) = ( + + )( + + )2 2 2 r 2 = ( xi + yj + zk )( x + y + z2 ) = ( + + )(2 + + 2 )

z = zk

tela, tj. njegovog proizvljono izabranog pola i obrtanjem tela oko ose koja prolazi kroz taj pol. Radi dokaza posmatrajmo kretanje prikazano na Sl.2.1. Uoimo na telu trougao ABC iji se poloaj taaka tokom vremena menja. Ako je poloaj tela, odnosno trougla u trnutku t bio A(t) B(t) C(t), a posle vremena t A (t + t) B(t + t) C(t + t) onda do tog poloaja moemo doi translatornim pomeranjem tela trougla u poloaj ABC, a zatim obrtanjem oko trenutne obrtne ose a koja prolazi kroz izabrani pol, napr. A(t + t). Dakle, alova teorema pokazuje da je poloaj tela odreen poloajem pola i poloajem tela u odnosu na pol. Radi definisanja poloaja tela u prostoru pri slobodnom kretanju, a polazei od alove teoreme, koristiemo tri koordinantna sistema, Sl.2.2: - nepomini Oxyz, - pokretni Oxyz koji je vezan za pol tela, a ose su paralelne sa nepokretnim osama ( x || x, y || y, z || z), i - pokretni O koji je vrsto vezan za telo.

Sl.2.1.

Sl.2.2.

Poloaj pola A odreen je vektorom poloaja rA u odnosu na sistem Oxyz, rA = x Ai + y A j + z A k , a poloaj tela u odnosu na sistem Oxyz Ojlerovim uglovima , i . Dakle, upoznajemo est skalarnih funkcija vremena x A = f1 (t ), y A = f 2 (t ), z A = f 3 (t ), A = f 4 (t ), A = f 5 (t ), A = f 6 (t ), (2.1), onda moemo, u bilo kom trenutku vremena, da odredimo poloaj slobodnog krutog tela. Koordinate xA, yA, zA, , , predstavljaju generalisane koordinate slobodnog kretanja tela. Izrazima (2.1) definisani su zakoni kretanja, pri emu prva tri zakona odreuju translatorno kretanje pola, a druga tri odreuju obrtanje tela oko pola A. 2.2. Brzine taaka tela Poloaj take B tela, Sl.2.3, odreen je vektorom poloaja pola A i rA i vektorom poloaja B, pa je

r B = r A + B (2.2). Ako ovu relaciju diferenciramo po vremenu dobijamo: dr dr d (2.3), vB = B = A + B = v A + B dt dt dt gde je po definiciji brzina vB = drB/dt, brzina pola A vA = drA/dt, a brzina rotacije take B u odnosu na pol dB/dt = x B = vBA, pa je vB = vA + vBA (2.4), konani izraz za brzinu. To znai, da je brzina take B, pri slobodnom kretanju tela, jednaka zbiru kretanja brzina translacije slobodno izabranog pola A, vA, i brzine rotacije take B oko pola A, vBA. Projektovanjem jednaine (2.4) na pravac AB dobijamo

Sl.2.3. (vB)AB = (vA)AB (2.5), Jer je v BA AB , pa jednaina (2.5) predstavlja teoremu o projekcijama brzine za slobodne kretnje tela: projekcije brzina taaka A i B tela koje izvodi slobodno kretanje na pravac AB su iste.

2.3. Ubrzanje taaka tela Daljim diferenciranjem po vremenu izraza (2.3) dobijamo ubrzanje taaka tela, tj. ubrzanje take B tela: dv dv d d aB = B = A + B + B = (2.6), dt dt dt dt = a A + B + B = a A + a BA + a BA

Sl.2.4. gde je:

dv dv B , aA = A , dt dt - ubrzanje zbog obrtanja take B oko pola A usled ugaonog ubrzanja i ugaone brzine, a BA = B , a BA = B . Projektovanjem izraza (2.4), (2.5) i (2.6) na ravan dobijamo ve poznate izraze ravnog kretanja tela.po definiciji a B =

3. SLOENO KRETANJE TELA U ovom odeljku daju se osnove prouavanja kretanja krutog tela koje nastaje kao rezultat dva kretanja, od kojih jedno zovemo prenosno, a drugo relativno. Po analogiji sa sloenim kretanjem take, definisani su osnovni pojmovi i izvedene neke fundamentalne relacije u vezi sa sloenim kretanjem tela tj. sa slaganjem kretanja, u najoptijem sluaju. Ovde se navode samo osnovni pojmovi, dok se za detaljne analize italac upuuje na navedenu literaturu. Pri izlaganju materije sloenog kretanja tela koriena je analogija sa sloenim kretanjem take. Pojam sloenog kretanja tela U dosadanjem izlaganju kinematike krutog tela proueno je kretanje tela u odnosu na nepokretni koordinantni sistem, tj. u odnosu na telo koje smatramo nepokretnim. Na Sl.3.1 to su koordinantni sistemi Oxyz i telo Bo. Kretanje koje telo vri u odnosu na nepokretno telo zove se apsolutno kretanje, a koje moe biti: translatorno, obrtanje oko nepomine ose, obrtanje oko nepomine take, ravno kretanje i opte kretanje. Pod nepominom takom i osom podrazumevaju se taka i osa nepomine u odnosu na telo B0. U svim uobiajenim tehnikim problemima koordinantni sistem vezan za povrinu Zemlje je nepokretan, dok je, napr. pri prouavanju leta dalekometnih raketa i satelita, nepokretni koordinanti sistem vezan za sredite Zemlje. Meutim, u mnogim sluajevima pogodno je prouiti kretanje tela u odnosu na pokretno telo pokretni koordinantni sistem. Kretanje posmatranog tela u odnosu na pokretno telo zove se relativno kretnje. Na Sl.3.1, kretanje tela B u odnosu na pokretno telo, pokretni koordinantni sistem, O1xyz je relativno kretanje. Kretanje pokretnog referentnog tela B1 u odnosu na nepokretno referentno telo Bo zove se prenosno kretanje. Apsolutno kretanje tela B moe se posmatrati kao rezultat slaganja prenosnog (tela B1) i relativnog (kretanja B u odnosu na B1) kretanja, pa se zato zove sloeno kretanje. Mogu se postaviti dva osnovna kinematika zadatka u vezi sloenog kretanja tela:

Sl.3.1. 1. Odreivanje brzine i ubrzanja pojedinih taaka tela, smatrajui kretanje svake od njih sloenim kretanjem. 2. Odreivanje kinematikih karakteristika sloenog (apsolutnog) kretanja tela kao celine, koje se dobija kao rezultat slaganja prenosnog i relativnog kretanja. Ovde e se navesti samo prvi sluaj, s obzirom na moguu analogiju sa sloenim kretanjem take.

3.2.3 Osnovne kinematike relacije Posmatrajmo kretanje proizvoljne take M tela B koje vri sloeno kretanje. Poloaj take M, kako je na Sl.3.1 pokazano, odreen je vektorom poloaja r u odnosu na koordinantni sistem Oxyz. Dakle, zakon apsolutnog kretanja odreen je vektorskom funkcijom r = r(t) (3.1), kojoj odgovaraju skalarne jednaine: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Eliminacijom vremena t iz poslednjih jednaina dobijaju se jednaine apsolutne putanje u obliku preseka povri F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0. Poloaj take M u odnosu na koordinantni sistem O1xyz (telo B1) odreen je vektorom poloaja r, koji je, zbog promene poloaja tela B u odnosu na B1, funkcija vremena, tj. r = r(t) (3.2), koji predstavlja zakon relativnog kretanja. Njegove projekcije na ose O1xyz su: x = x(t), y = y(t), z = z(t), a jednaine relativne putanje su u preseku povri: f1(x, y, z) = 0, f2(x, y, z) = 0. Ukoliko u toku kretanja tela B1 i B nema relativnog kretanja izmeu ovih tela, zakon promene vektora poloaja r = r(t) (3.3), predstavljae zakon prenosnog kretanja, pri emu r(t) zavisi od vremena. Zakoni prenosnog kretanja take M u odnosu na Bo su: x = x(t), y = y(t), z = z(t), a prenosna putanja ove take odreena je jednainama: F3(x, y, z) = 0, F4(x, y, z) = 0. Na osnovu prethodnih definicija apsolutnog, prenosnog i relativnog kretanja, dolazi se do pojmova apsolutne, prenosne i relativne brzine. Prema tome je: def dr v= (3.4), dt apsolutna brzina take M, def dr v p = r , = const (3.5), dt prenosna brzina take M, def dr , (3.6), vr = dt r relativna brzina, pri emu indeks r u poslednjoj jednaini diferenciranje vektora r pri i = const, j = const i r01 = const. Apsolutna brzina je brzina u odnosu na nepomino telo B0; prenosna je, ustvari, apsolutna brzina koju bi taka imala kada bi u datom poloaju bila vrsto vezana za telo B1, a relativna brzina je brzina take u odnosu na telo B1 koje se smatra nepominim. Koristei navedene pojmove vidimo da se izuavanje kretanja take M koje se nalazi na telu sa sloenim kretanjem, svodi na sloeno (relativno) kretanje take. Ovde emo napisati analogne izraze za brzinu i ubrzanje neke take M koja pripada telu koje izvodi sloeno (relativno) kretanje ne ulazei u dokaze. Prema tome, apsolutna brzina take M, koja pripada telu koje izvodi sloeno kretanje, je: v = vp + vr (3.7), gde su prenosna i relativna brzina take M definisane izrazima (3.5) i (3.6). Na slian nain ubrzanje take M tela pri sloenom kretanju tela je:

dv = a p + a r + ac (3.8), dt gde je relativno ubrzanje ar, ubrzanje take M u odnosu na telo B1, tj. ar = x i + y j + z k (3.9), a prenosno ubrzanje ap, ubrzanje nosaa take M tela B (kada nema relativnog kretanja, r=const) a p = a01 + p r , + p ( p r , ) (3.10), a=gde je p ugaona brzina prenosnog kretanja, a p ugaono ubrzanje prenosnog kretanja. Koriolisovo ubrzanje je ac = 2 p vr (3.11). 1.4. Primeri P r i m e r 1.1. Jednaine kretanja take M u polarno cilindrinom koordinantnom sistemu imaju oblik r = a, = kt , z = t gde su a , k i konstantne veliine. Odrediti: a) projekcije vektora brzine v na ose polarno cilindrinog sistema, b) jednaine kretanja take A koju opisuje hodograf brzine, c) projekcije brzine take A na ose polarno cilindrinog sistema. R e e nj e : a) prema (1.16), projekcije vektora brzine v na ose polarno cilindrinog sistema (r,, z) su v1 = A1 r , v2 = A2 , v3 = A3 z, (a). Da bismo odredili Lame-ove koeficijente, podsetimo se veze izmeu Dekartovih i polarno cilindrinih koordinata x = r cos , y = r sin , z = z (b). Korienjem (1.9) i (b), imamo A2 = r, A3 = 1 (c). A1 = 1, Iz zadatih jednaina kretanja take M dobijamo r = 0, = k, z =, (d). Na osnovu(a), (c) i (d) traene projekcije, brzine take M su: v1 = 0, v2 = ka, v3 = (e). b) Radijus-vektor take A, koja opisuje hodograf brzine, je vektor v, pa su Dekartove koordinate ove take date izrazima x A = v2 sin = ka sin ,

y A = v2 cos = ka cos , z A = v3 = Veza izmeu Dekartovih i polarno cilindrinih koordinata take A je x A = r1 cos 1 , y A = r1 sin 1 , z A = z1 Iz (f) i (g) sledi , z1 = , 2 a ovo su jednaine kretanja take A u polarno cilindrinom sistemu. c) Korienjem (1.16), (c) i (g), projekcije brzine take A su: v1 = A1 r1 = 0, v2 = A2 1 = ak 2 , v3 = A3 z1 = 0 (h). to su istovremeno i projekcije ubrzanja take M.r1 = ka,

(f).

(g).

1 = kt +

P r i m e r 1.2. Taka M kree se po liniji koju dobijamo presekom sfere x2 + y 2 + z 2 R2 = 0 i cilindrine povrineR R2 2 = 0. x + y 2 4 Odrediti: a) jednaine kretanja take M u sfernom koordinantnom sistemu (R, , ), ako je poznato da se ugao menja po zakonu 1 = kt , 2 gde je k = const, b) projekcije vektora ubrzanja a na ose sfernog koordinantnog sistema, c) intenzitet ubrzanja u trenutku t1 = 42

k

.

R e e nj e : a) Da bismo odredili jednaine kretanja take M, primetimo da se kriva po kojoj se kree taka nalazi na sferi poliprenika R, pa je r = R = const (a). i da su veze izmeu Dekartovih i sfernih koordinata date izrazima prema Sl.1.1. x = r cos sin , y = r cos sin , z = r sin (b). Iz jednaine sfere i cilindrinih povri vidi se da koordinate trajektorije zadovoljavaju jednainu z 2 + Rx = R 2 (c). Korienjem (a), (b) i (c) dobijamo cos = cos (d). Pa su jednaine kretanja take M u sfernim koordinatama 1 1 r = R, (e). = kt , = kt 2 2 b) Projekcije vektora ubrzanja, prema (1.26), su 1 d v 2 v 2 a1 = , A1 dt r 2 r 2 1 d v 2 v 2 , a2 = (f). A2 dt 2 2 1 d v 2 v 2 a3 = A31 dt 2 2 .

konstante A1, A2 i A3 su prema (1.9) i (b) date izrazima A1 = 1, A2 = r cos , A3 = r Ako je 1 = v2 2 a kvadrat intenziteta brzine je, prema (1.18) 2 v 2 = A12 r 2 + A2 2 + A32 2 , gde su korieni izrazi (1.12). Onda je 1 = r 2 + r 2 2 cos 2 + r 2 2 2

(g). (h).

(

)

(i).

Potraimo zatimd v 2 d = =r dt r 2 dt r = 2 + 2 cos 2 r r d = r 2 cos 2 + 2r cos 2 2rr 2 sin cos , =0 dt d = r 2 + 2rr dt = r 2 2 cos sin Nakon uvrtavanja (g) i (j) u (f), imamo (k). Ako smenimo potrebne izvode u ove izraze, dobiemo Rk 2 a1 = 1 + cos 2 4 Rk 2 a2 = sin 2 Rk 2 a3 = sin cos 4 d) Intenzitet vektora ubrzanja a dat je izrazom

(

)

(j).

(

)

(1).

2 2 a = a12 + a2 + a3

(m). (n). (o).

Smenom (1) u (m), dobijamo Rk 2 a= 4 + sin 2 4 4 Rk 2 U trenutku t1 = , 1 = 2 , pa je a = k 2 4. LITERATURA KINEMATIKA

1) M. Koji, M. Miunovi, Kinematika, Mainski fakultet u Kragujevcu, Kragujevac, 1975. 2) D. Rakovi, Mehanika II kinematika, Nauna knjiga, Beograd, 1962. 3) L. Rusov, Mehanika Kinematika, Privredni pregled, Beograd, 1974. 4) S. Pivko, Menanika II kinematika, Graevinska knjiga, Beograd, 1964. 5) S. M. Targ, Kratki kurs teorijske mehanike, prevod, Graevinska knjiga, Beograd, 1971. 6) J. P. Den Hartog, Mehanics, New York, 1948. 7) I. V. Meerski, Sbornik zada po teoretieskoj mehaniki, Nauka, Moskva, 1970. 8) I. i. Artoboljevski, Mehanjizmi v sovremenoj tehnike, Nauka, Moskva, 1970. 9) Golubovi D., Koji M., Premovi K., Tehnika mehanika kratki kurs, Graevinska knjiga, Beograd, 1982.

I I

D E O

D I N A M I K A

1. OBRTANJE TELA OKO NEPOMINE TAKE Postoje tri klasina reenja dinamike obrtanja tela oko nepomine take: 1. Ojlerovo reenje za sluaj kada na telo ne deluju sile, ili deluju takve sile ija rezultanta prolazi kroz nepominu taku (mo = 0); 2. Lagraneovo reenje sluaj kada je elipsoid inercije za nepominu taku O obrtni, tj. J1 = J2 jednaiki glavni momenti inercije; 3. Reenje Sonje Kovalevski za sluaj kada je elipsoid inercije obrtni pri uslovu J1 = J2 = 2J3, itd. Radi ilustzracije navee se Ojlerovo reenje i pokazati priblina teorija giroskopa koja ima veliki praktini znaaj. Ojlerove dinamike jednaine Dinamike jednaine po Ojleru predstavljaju se korienjem zakona o promeni momenta koliine kretanja (dLo/dt = mo). Radi toga prvo emo odrediti moment koliine kretanja za telo koje se obre oko nepomine take Lo, tj. odrediemo njegove projekcije na ose pokretnog koordinantnog sistema vrsto vezanog za telo, Sl.1.1. Brzinu svake take tela moemo odrediti preko izraza

v = r = , gde su koriene oznake kao u I delu kinematici. Prema tome, moment koliine kretanja tela pri njegovom obrtanju oko take je: dLo = r ( r )dm = r 2dm (r )rdm

(

dLo = 2 + 2 + 2 + + dm

+ + )( + + )dm

(

)(

)

pa grupisanjem lanova uz , i dobijamodLo = 2 + 2 dm dm dm + + 2 + 2 dm dm dm + + 2 dm ijim integraljenjem po masi tela M dobijamo Lo, za taku 0: Lo= dLo =2

[ ( + [ (( + (J + (JM

[ (

) )dm

)

] dm]

]

= J J J +

J J J J

) ) + )

(1.1), ije su projekcije na pokretni koordinantni sistem O:

Sl.1.1.

Sl.1.2.

2. OBRTANJE TELA OKO NEPOMINE TAKE Postoje tri klasina reenja dinamike obrtanja tela oko nepomine take: 4. Ojlerovo reenje za sluaj kada na telo ne deluju sile, ili deluju takve sile ija rezultanta prolazi kroz nepominu taku (mo = 0);

5. Lagraneovo reenje sluaj kada je elipsoid inercije za nepominu taku O obrtni, tj. J1 = J2 jednaiki glavni momenti inercije; 6. Reenje Sonje Kovalevski za sluaj kada je elipsoid inercije obrtni pri uslovu J1 = J2 = 2J3, itd. Radi ilustzracije navee se Ojlerovo reenje i pokazati priblina teorija giroskopa koja ima veliki praktini znaaj. Ojlerove dinamike jednaine Dinamike jednaine po Ojleru predstavljaju se korienjem zakona o promeni momenta koliine kretanja (dLo/dt = mo). Radi toga prvo emo odrediti moment koliine kretanja za telo koje se obre oko nepomine take Lo, tj. odrediemo njegove projekcije na ose pokretnog koordinantnog sistema vrsto vezanog za telo, Sl.1.1. Brzinu svake take tela moemo odrediti preko izraza

v = r =

,

gde su koriene oznake kao u I delu kinematici. Prema tome, moment koliine kretanja tela pri njegovom obrtanju oko take je: dLo = r ( r )dm = r 2dm (r )rdm

(

dLo = 2 + 2 + 2 + + dm

+ + )( + + )dm

(

)(

)

pa grupisanjem lanova uz , i dobijamodLo = 2 + 2 dm dm dm + + 2 dm ijim integraljenjem po masi tela M dobijamo Lo, za taku 0: Lo= dLo =2

[ ( + [ (M

[ (

+ 2 + 2 dm dm dm +

) )dm

)

] dm]

]

( + (J + (J

= J J J +

J J J J

) ) + )

(1.1), ije su projekcije na pokretni koordinantni sistem O: L = J J J L = J J J

(1.2).

L = J J J U izrazima (1.1) i (1.2) veliine dinamikih momenata inercije J, J, J, J, J, J su konstantne veliine to uproava diferencijalne jednaine kretanja. Dakle, primenom zakona o promeni momenata koliine kretanja, na izraz Lo = L + L + L + L + L + L ,

gde su jedinini ortovi , i promenljivi u prostoru tokom vremena, te je: = , = , = ,

to predstavlja brzine ortova, Sl. 1.2, ijom smenom u prethodni izraz dobijamo: dLo = L + L + L + (L + L + ) dt (1.3). dLo = Lo + Lo dt Prvi deo ( Lo ) uzima u obzir promenu intenziteta, a drugi deo ( Lo ) promenu poloaja Lo. Obeleimo li glavni moment svih sila sa mo, to emo dobiti: Lo + L o = mo (1.4), to predstavlja Ojlerovu dinamiku jednainu obrtanja tela oko nepomine take. Ovoj vektorskoj jednaini odgovaraju tri skalarne u obliku:J J J + L L = m J J J + L L = m

(1.5),

J J J + L L = m gde su m , m i m komponente glavnog momenta. Treba imati u vidu da veliine L , L i L treba zameniti sa (1.2). Iz jednaina (1.5) mogu se odrediti nepoznate brzine (t) , (t) i (t). Da bi odredili zakone kretanja, koji se izraavaju preko Ojlerovih uglova , i to se moraju koristiti kinematike veze

= sin sin + cos = sin cos sin = cos 0 + Dakle, reenje za , i sledi iz diferencijalnih jednaina (1.5) i (1.6), sistema od est jednaina od kojih su tri zadnje nelinearne. Zbog toga, za opti sluaj obrtanja tela oko take, na postoji direktno analitiko reenja za , i ve je njihovo odreivanje mogue samonumeriki (raunarom i sl.). Analitiki se mogu reiti samo posebni sluajevi, kao napr. kod giroskopa itd. (1.6).

Rezalova teorema Ilustrovaemo Rezalovu teoremu koja ima veliku primenu kod giroskopa. Jednainu (1.3) moemo prikazati i grafiki, Sl.1.3. Naime, promenu Lo po vremenu moemo prikazati kao brzinu kretanja vektora Lo, tj. take A, s tim to ta veliina ima dimenziju momenta i zadovoljena je sledea relacija: dLo (1.7). = v , = mo dt Ova jednaina izraava Rezalovu teoremu: brzina kraja kinetikog momenta Lo za taku 0 (v) jednaka je glavnom momentu spoljanjih sila mo za tu tsku.

Sl.1.3. Priblina teorija giroskopa Giroskopom u mehanici predstavlja telo koje ima osu simetrije i oko koje se ono vrlo brzo okree sa s, a onda se ta osa obre oko jedne svoje nepomine take ugaonom brzinom obrtanja p, Sl.1.4, te je s>> p (1.8). Tada prema (1.1) moemo smatrati da je Lo = J s (1.9), to znai da je moment koliine kretanja, u ovom sluaju, mogue jednostavno priblino izraunati. Razmotrimo sluajeve kada na giroskop deluju sile i to: a) Deluje sila F i s = 0, Sl. 1.5 a. Tada, primenom zakona o promeni momenta koliine kretanja za osu obrtanja Ox, dobijamo: dLx J x x = F h, = mx , dt 1 Fh 2 x = t (1.10), 2 Jx to znai da se giroskop okree jednako ubrzano oko ose x. b) Deluje sila F u vrhu giroskopa i s = const, Sl. 1.5. b. Tada projektovanjem jednaine (1.6) na osu x dobijamo: v , = Lo p = J s p . Kako je m = Fh to je dalje, J s y = F h,

y =

F h = const , J s

y =

F h t J s

(1.11).

Dakle, u ovom sluaju giroskop se kree jednoliko u ravni delovanja sile. Ako prestane delovanje sile (F=0), tada je y = 0, y = const (1.12), to znai da e giroskop ostati u poloaju u kome se zatekao. 1.3.1. Giroskop sa tri stepena slobode kretanja Ako osa giroskopa obrazujui pri tom konine povrine, onda giroskop ima tri stepena slobode kretanja, Sl.1.6. Tada je moment

mo = G 1 sin pa na osnovu (1.7), projektovanjem na osu x, dobijamo v , = mo, J s p sin , odakle je

p =

G 1 J s

(1.12).

Ovde je uzeto Lo J s = const , a i je konstantna veliina i jednaka je poetnoj vrednosti. 1.3.2. Giroskop sa dva stepena slobode kretanja U sluaju kada se osa giroskopa kree u ravni stalnoj onda giroskop ima dva stpena slobode kretanja, napr. Sl.1.7. Tada je: Lo J s , v , = J p s = mo , gde je mo moment spoljanjih sila u koje ulaze i sile veze u takama A, B, C i D, to moe posluiti za njihovo odreivanje. Tada korienjem zakona o kretanju sredita dobijamo: st gir M a 0 0 = Fi st + FCst + FD + FCgir + FD , odakle je / Ovde je uzeto Lo J s = const, a i je konstantna veliina i jednaka je poetnoj vrednosti. 1.3.2. Giroskop sa dva stepena slobode kretanja U s1uaju kada se osa giroskopa kree u ravni stalnoj onda giroskop ima dva stepena slobode kretanja, napr. S1.1.7. Tada je Lo J s , v` = J p s = mo ,

gde je mo moment spo1janjih sila u koje ulaze i sile veze u takama A, B, C i D , to moe pos1uiti za njihovo odreivanje. Tada korienjem zakona o kretanju sredita dobijamo: st gir M ao o = Fi st + FCst + FD + FCgir + FD , odakle je

F

gir C

= F D = J p s / CD = mo / CD

gir

(1.13).

(1.14).

Na s1ian nain se dobija: gir gir F A = F B = J p s / AB = mo / AB

2. OPTE KRETANJE KRUTOG TELA Slobodno telo u prostoru ima est stepeni slobode kretanja. Iz po1oaja 1 u po1oaj 2 telo moemo dovesti jednom translacijom izabrane take, napr. sredita C, i rotacijom oko neke ose prema a1ovoj teoremi, Sl.2.1. Translatorno kretanje najbolje se opisuje koordinatama teita XC, yC i zC, a rotacija se najee odreuje preko Ojlerovih uglova. Veza izmeu elementarne rotacije i uglova , i sledi iz kinematikih relacija:

Slika 2.1.

d x = cos d + sin sin d d y = sin d - sin cos d d z = d + cos d

(2.1).

Diferencijalne jednaine kretanja dobijamo na osnovu primene zakona o kretanju sredita i zakona o promeni momenta ko1iine kretanja. Iz prvog zakona dobijamo: M aC = Fi gde je: M - masa tela, aC - ubrzanje sredita, a Fi - sile koje deluju na telo. Za primenu drugog navedenog zakona odrediemo, prvo, moment ko1iine kretanja za telo koje se slobodno kree u protoru za taku 0, kada dobijamo: dLo = r x dK = r x v dm (2.2),

Lo = dLo = r x v dm, . M MKako je: v = vC + , r = rC + dobijamo:

Lo = [(rC + ) x (vC + )] dm = rC x vC M M

dm +

+ [ dm x vC ] + rC x dm + x dm M M M

Lo = rC x MvC + LC

(2.3).

To znai da je moment Lo sastavljen iz momenta ko1iine kretanja translacije ( rC x M vC) i rotacije ( LC). Diferenciranjem izraza (2.3) i smenom K = M vC, dobijamo:

dLo = rC x K + rC x K + LC = M oFi dtto predstavlja primenjen zakon o promeni momenta ko1iine kretanja u ovom s1uaju. Ako sa mo obe1eimo glavni moment, a sa mC moment sila za sredite C, mC = M oFi , onda je

mo = mC + rC x FR ,pa dalje dobijamo: rC x M aC + LC = M oFi + rC x Fi rC x ( M aC - Fi ) + LC = M oFi

LC = M oFi , dLC /dt = M oFi

(2.4).

Jednaine (2.3) i (2.4) predstavljaju vektorske diferencijalne jednaine kretanja u s1uaju opteg kretanja tela u prostoru. Ve1iinu LC moemo izraziti na dva naina: - korienjem pokretnog koordinantnog sistema C x y z ije su ose paralelne ( x x , y y , z z ), kada je

LC = Lx i + Ly j + Lz k Lx = J x x J x y y J x z z Ly = J y y J x y x J y z z Lz = J z z J x z x J y z y(2.5), - korienjem pokretnog koordinantnog sistema 0 , Sl.2.2, kada dobijamo

Slika 2.2.

LC = L + L + L (2.5), gde su L , L i L odreuju izrazima u kinematici (1.2) I deo udbenika. Treba imati u vidu da su veliine J x , J x y ... promenljive, a J , J ... konstantne tokom vremena. S toga je dLo = Lx i + Ly j + Lz k (2.6), dt dLo = L + L + L + x LC dt(2.7).

Na osnovu jednaina (2.3) i (2.4), odnosno (2.6) i (2.17) dobijamo diferencijalne jednaine opteg kretanja tela: - u koordinantnom sistemu Oxyz

M xc = xi M yc = yi M z c = zi(2.8),

j x x - j x y y - j x z z + j x x - J x y y -- J x z z = Mx jx

y - j x y x - j y z z + J y y - J x y x -- J y z z = Myxz

j z z - j

x - j

yz

y + J z z - J x z x -- J y z y = Mz

- u koordinantnom sistemu 0

M C = F

M C = F MC=

(2.9).

F

J - J - J + ( J - J - J ) - ( J - J - J ) = M Fi J - J - J + (J - J - J ) -(J - J - J ) = M Fi J - J - J + ( J - J - J ) - (J - J - J ) = M Fi

Ove jednaine mogu se uprostiti uvoenjem izraza, na primer: - za telo koje je simetrino u odnosu na ravan

J = 0 ,

J = 0

- u s1uaju ravnog kretanja u ravni

= = 0 ,

= = 0 ,

zC =0 .

3. PRITISCI U LEITIMA PRI OBRTANJU TELA OKO NEPOMINE OSE Ovde se navode, polazei da je diferencijalna jednaina kretanja poznata (iz optih kurseva mehanike), opte postavke odreivanja pritisaka u leitima tela koje se obre oko nepomine ose, odreivanje pritisaka u leitima kod fizikog klatna i u opem s1uaju obrtanja tela oko nepomine ose. Definiu se, takoe, i uslovi dinamike uravnoteenosti. 3.1. Opte postavke

Korienjem zakona o promeni momenta ko1iine kretanja dobijaju se jednaine kretanja pri obrtanju tela oko nepomine ose:

Jz = mz

(3.1),

gde je mz = M zFi i predstavlja glavni moment od svih sila koje deluju na telo koje se obre oko nepomine ose, Sl. 3.1. Reavanjem jednaine (3.1) dobija se zakon kretanja (t) i brzine (t).

Slika 3.1. U tehnikoj praksi znaajno je odrediti pritiske u leitima A i B pri obrtanju tela oko ose z. Ti pritisci (reakcije) sastoje se iz dva dela: statikih i dinamikih. Odreivanje ukupnih pritisaka izvodi se korienjem Dalamberovih jednaina, koje su oblika: st din FRst + FRdin = 0 (3.2),st mA

+

din mA = 0

gde su: FRst = Fi - glavni vektor spoljanjih sila (aktivnih i pasivnih statikih sila), FRdin = Fi in - glavni vektor inercionih sila,st Fi mA = M A - glavni moment spoljanjih sila, din in mA = M A - glavni moment inercionih sila.

Jednaine (3.2) omoguuju da se utvrde uslovi uravnoteenosti tela koje se obre oko ose. 3.2. Fiziko klatno Kod matematikog klatna masa je skoncentrisana u jednoj taki na kraju klatna, Sl.3.2a, dok fiziko klatno predstavlja obrtanje krutog tela oko nepomine ose, Sl.3.2 b. Ako se fiziko klatno obre oko ose z, onda su jednaine kretanja:

J z = - G a sin to predstavlja nelinearnu diferencijalnu jednainu kretanja, a koja se reava razvijanjem u red s obzirom da je u pitanju eliptiki integral. Ako se radi o malim oscilacijama, onda je sin , pa je:

+

Ga = 0, Jz

smenom 2 =

Ga Jz(3.3),

= R sin ( t + )

gde se integracione konstante R i odreuju na osnovu poetnih uslova za t = 0 : = o , = = o ,

=

Ga Jz

=

M g a Jz

1 [ ] s

(3.4),

frekvencija sopstvenih krunih oscilacija, te je period oscilovanja

TF =

2

= 2

Jz M g a

(3.5).

Iz jednakosti perioda oscilovanja fizikog TF i matematikog klatna TM (TM = 2 1 / g ), dobijamo redukovanu duinu 1r koju se moe redukovati fiziko klatno: 1r =

Jz M a

(3.6).

Na osnovu projektovanja prve od jednaina (3.2), dobijamo:st X0 + din in X 0 + F in sin + F T cos = 0 N

(3.7)

st din in Y 0 - G + Y 0 + F in cos + F T sin = 0 N

gde su u uokvirenom delu statike jednaine ravnotee, a ostalo su dinamike jednaine ravnotee, te i jedan i drugi sistem jednaina treba da bude jednak nuli, tj.

Slika 3.2st X0 = 0 st Y0 - G = 0 st st odakle je X 0 = 0 , Y 0 = G

din in X 0 + F in sin + F T cos = 0 Ndin in Y 0 - F in cos + F T sin = 0 N

odakle su:din in X 0 = - F in sin - F T cos N din in Y 0 = F in cos - F T sin . N

U ovim jednainama koristi se ugao iz jednaine (3.3) i inercione sile:

F in = M aN = M N

2

a

in , F T = M aT = M .

Prema tome ukupne reakcije u taki 0 na osovinicu (ili pritisci) su:st din Xo = X 0 + X 0 st Yo = Y 0 + din Y0

(3.8).

Vidi se da dinamike reakcije mogu biti i znatno vee od statikih. 3.3. Dinamike reakcije u 1eitima - opti s1uaj Analogno fizikom klatnu, u s1uaju obrtanja tela oko ose, mogu se, uz korienje jednaine (3.2), odrediti kinetostatiki pritisci u leitima A i B, a koji su u optem s1uaju, prema S1.3.3 :

XA = X st + X din A A YA = Y st + Y din A A ZA = Z st + Z din A A XB = X st + X din B B YB = Y st + Y din B B to znai da se sastoje iz statike i dinamike komponente. Projektovanjem jednaine (3.2) na ose, a prema S1.3.3,dobijamo: X st + X st + Xi + X din + X din + X iin = 0 A B A B Y st + Y st + Yi + Y din + Y din + Yi in A B A B Z st + A Zi + Z din + A Z iin= 0 (3.10). (3.9),

= 0

- Y st h + M B

Fi x

- Y din h + M Bin y

in x

= 0

X st h + M B(3.10). M

Fi y

+ X din h + M B

= 0

Fi z

+

M

in Z

= 0

Analizom ovog sistema jednaina sledi da je zadnja jednaina nezavisna od reakcija i opisuje kretanje, tj. - JZ + MFi z

= 0

Iz preostalog sistema statikih jednaina (uokvireni deo) izjednaavanjem sa nulom dobijamo statike reakcije: X st , Y st , Z st , X st , Y st . A A A B B

Slika.3.3. Izjednaavanjem dinamikog dela jednaina (3.10) sa nulom (isprekidano uokvireno) dobijamo dinamike reakcije: X din , Y din , Z din = 0 . Dinamika reakcija u pravcu z ose je A A A jednaka nuli, jer u tom pravcu i nema kretanja. Za konano reenje ovih reakcija odreujemo in projekcije glavnog inercionog vektora X R = X iin i YRin = Yi in i inercionog glavnog momentain in in mRx = mx , mRy = min y

na sledei nain:

- posmatra se elementarna masa dm prema S1.3.3 b na koju deluju sile

dFN = r 2 dm , dFT = r dm ,- ije su projekcije na ose pokretnog koordinantnog sistema Oxyzin dXin = d FTin sin + d FN cos = r dm sin + r 2 dm cos

dXin = ydm + 2xdm dYin= - xdm + 2ydm dZin = 0pa integraljenjem po masiM tela dobijamo

in X R = M yC + M xC 2

YRin = - M xC + M yC 2

- momente oko osa xyz raunamo na sledei nain: in d M x = -dYin z = x z dm - 2yz dm ,in d M y = -dXin z = y z dm + 2xz dm

integralimo

in M x = Jxz - 2 Jyzin M y = Jyz + 2 Jxz

Prema tome, dinamike jednaine (3.10) prelaze u oblik:

X din + X din + M yC + M xC 2 = 0 A B Y din + Y din - M xC + M yC 2 = 0 A B -Y din h + Jxz - Jyz 2 = 0 B X din h + Jyz + Jxz 2 = 0 Biz kojih se mogu odrediti dinamike reakcije. Time su odreene i ukupne reakcije (3.9). (3.12),

3.4. Uslovi dinamike uravnoteenosti Uslov dinamikog uravnoteenja za telo koje se obre oko nepomine ose moemo dobiti ako u jednainu (3.12) stavimo da je

X din = X din = Y din = Y din = 0 A B A Btj. da nema dinamikih pritisaka u 1eitima, kada dobijamo dva nezavisna sistema jednaina i to:

M yC + M xC 2 = 0 M xC + M yC 2 = 0

(3.13),

Jyz - Jyz 2 = 0 Jyz + Jxz 2 = 0(3.14).

Karakterstina determinanta oba sistema je:

2 = -

2

= 4 + 2 0

te su reenja jednakosti (3.13) trivijalna i to: x C = yC = 0 i jednakosti (3.14),

(3.15) (3.16),

Jxz

= Jyz = 0

a to znai sledee: telo koje se obre oko ose z bie uravnoteeno ako je osa z osa simetrije i ako teite 1ei na toj osi. Vrlo esto kod nehomogenih tela uslov da je teite u osi obrtanja nije ispunjen, te je tada neophodno dodavanje masa kako bi taj uslov bio obezbeen. Za to postoje specijalne maine za centriranje koje mere poklapanje teita i ose obrtanja i na kojima se moe odrediti gde i koliku masu dodati pa da doe do uravnoteenja. Razvijena je specijalna teorija uravnoteenja masa koja se moe koristiti iz navedene literature.

4. TEORIJA UDARA Udar se javija esto u praksi: kod kovanja, pri srezanju zupanika, u menjaima itd. Definisaemo, ukratko, udar materijalne take i sistema. 4.1. Udar materijalne take Udar je takva mehanika pojava pri kojoj se u vrlo kratkom vremenskom intervalu brzina materijalne take, ili pojedi nih taka sistema, naglo promeni za konanu ve1iinu, kada se javljaju udarne sile velikog inteziteta. Udar karakteriu sledee ve1iine: a) Vreme udara koje je vrlo malo (C-3 s i manje); b) Udarna sila F ; c) Udarni impuls koji se definie izrazom; Sl. 4.1:

I=

F dt

0

Za reavanje problema udara koristi se zakon o promeni ko1iine kretanja i momenta ko1iine kretanja, dok se zakon o promeni kinetike energije ne moe primeniti jer se radi o trenutnoj pojavi.

4.1.1. Dejstvo udarnih sila na materijalnu taku Posmatrajmo taku mase m na koju deluju, istovremeno, sistem udarnih sila Fi , S1.4.2, i pri emu je r = const u toku udara. Tada zakon o promeni koliine kretanja za period udara je m v - m v = Ii = IR (4.1.), gde je: v brzina take pre udara, v - brzina take posle udara, I impuls sila udarnih, a njihova rezultanta je IR. Projektovanjem (4.1) na ose dobijamo

m vx - m vx = Iix m vy - m vy = Iiy m vz - m vz = Iiz

(4.2).

Jednaine (4.1), odnosno (4.2), definiu zakon o promeni koliine kretanja pri udaru, koji glasi: promena koliine kretanja take pri udaru jednaka je zbiru impulsa svih udarnih sila.

Slika 4.1.

Slika 4.2.

Analognim postupkom, a mnoei (4.1) sa r, dobijamo zakon promene momenta koliine kretanja pri udaru:

r x m v - r x m v = r x Ii

Lo - Lo = M oIia ije su projekcije

= M oIr

(4.3),

Lx - Lx = M xIiIi Ly - Ly = M y

(4.4).

Lz - Lz = M zIi

4.1.2. Prav udar kugle o nepominu povrinu Ako kugla pada upravno na povrinu brzinom v , S1.4.3, onda e se njena kinetika 1 energija Ek = mv2 u trenutku udara utroiti na deformaciju, pa e se telo odbiti i posle 2 1 m v2 . udara kretati brzinom v, kada e ostati energija Ek = 2 Razlika u kinetikoj energiji Ek - Ek = podloge. Odnos brzina 1 m (v2 v2) utroena je za plastinu deformaciju 2

k=

v, v

(4.5),

predstavlja tzv. koeficijent udara, a koji se odreuje eksperimentalnim putem. Naprimer h1 i h2 , kada je k = h2 h1 . Oigledno je da se koeficijent k kree u granicama O k 1, naprimer: k = 1 - za idealno elastinu podlogu i kuglu, k = 0 - za idealno plastinu podlogu, ili kuglu, k = 0,5 - za drvo po drvetu, k = 5/9 - za e1ik po e1iku, itd.

Slika 4.3. Primenom zakona o promeni koliine kretanja u pravcu normale N, prema S1.4.3, dobijamo:

m v - m (- v ) = I , m v k + m v = I, odakle je I = m (1+k) v

(4.6),

to predstavlja veliinu udarnog impulsa, a na osnovu koga, i poznavanja vremena udara , moemo da odredimo srednju udarnu silu:

FR =(4.7).

I

=

m (1 + k )v

Ako sa I obeleimo impuls udara u vremenu dokle traje :deformacija, a sa I - impu1s udara od perioda kada se telo od bija onda je, na osnovu zakona o promeni koliine kretanja k=

I ,, I,

(4.8),

a to predstavlja ve poznati koeficijent udara 4.1.3. Kos udar kugle o nepominu povr Ako posmatramo kos udar kugle o idealno glatku povr, S1.4.4, onda e se kugla ubaena pod ug1om kretati brzinom v, i odbiti pod uglom i brzinom v. Iz izraza (4.1), projektova njem u pravcu normale i tangente

m v sin - m v sin = 0v 'N vN

k =

v , cos = v cos

m v cos - ( - m v cos ) = IR

dobijamo v , i IR, tj.

Slika 4.4.

tg = v = v

1 tg ksin 2 + k 2 cos 2

(4.9),

IR = m v ( 1 + k ) cos odnosno srednju udarnu silu, na osnovu vremena udara , FR = IR/ . 4.2. Udar sistema materijalnih taaka Ovde navodimo osnovu teorije udara materijalnog siste ma, a kao ilustrativan primer prav centralni sudar dve kugle. U literaturi iz ove oblasti raeni su i drugi problemi kao to su: udar po telu koje se obre, razni sluajevi sudara vie kugli i drugi.

4.2.1. Dejstvo udarnih sila na materijalni sistem Posmatrajmo sistem od n materijalnih taaka i predpostavimo da je, u pokazanom poloaju na Sl.4.5, do1o do udara. Smatra se da je do udara dolo kada bar u jednoj od taaka sistema deluje udarna sila. Udarne sile izazivaju impulse, pa na take deluju impulsi spoljanjih i unitranjih sila Iis , Iiu ,a koji deluju u istom vremenskom intervalu udara u zadatom poloaju sistema.

Slika 4.5. Primenom zakona o promeni koliine kretanja za sistem, a prema (4.1), dobijamo:

m1 v1 - m1 v1 = I1s + I1uu m2 v2 - m2 v2 = I 2s + I 2 ............................................ u mn vn - mn vn = I ns + I n

_____________________________

mi vi - mi vi = I1s + I iu

o

gde je zbir impulsa od udarnih unutranjih sila jednak nuli, jer se oni javljaju u parovima, te dobijamo:

K - K = I isgde je koliina kretanja sistema K pre, a K posle sudara,

(4.10),

K = mi vi , K = mi vi .Jednaina (4.10) predstavlja zakon o promeni koliine kretanja sistema pri udaru. Na osnovu zakona o kretanju sredita sistema jednaina (4.10) moe se napisati u obliku:

M vC - M vC = Iis

(4.11),

gde je brzina sredita pre vC i posle udara vC , a M = mi masa sistema. Projektovanjern na ose koordinantnog sistema jednaine (4.10) i (4.11) dobijamo sledee relacije:s Kx - Kx = I xi s Ky - Ky = I yi

s Kz - Kz = I zi s M vx - M vx = I xis M vy - M vy = I yi

(4.12),

(4.13).

s M vz - M vz = I zi

Oig1edno je da unutranje udarne sile, tj. unutranji udarni impulsi, ne utiu na promenu koliine kretanja sistema. U s1uaju kada je Iis = 0, dobijamo K = K , tj. vC = vC

(4.14),

to predstavlja zakon o odranju koliine kretanja pri udaru sistema. Analognim postupkorn dokazuje se zakon o promeni momenta koliine kretanja sistema pri udaru kada, generalizacijorn (4.3), dobijamo: ri x mi vi - ri x mi vi = ri x Iis + ri x Iiu ijim sabiranjem po "i" od 1 - n , dalje sledi ri x mi vi - ri x mi vi = ri x Iis + ri x Iiuo

Lo - Lo = M oIi (4.15),

s

to izraava zakon o promeni momenta koliine kretanja pri uda ru koji glasi: promena momenta koliine kretanja sistema pri udaru za neku taku 0 jednaka je zbiru momenata za taku 0 od svih impulsa spo1janjih udarnih sila. Projektovanjem (4.15) na ose dobijamo:s

Lx - Lx = M xIi

I Ly - Ly = M yi

s

(4.16).

Lz - Lz = M zIi

s

Ako je M oIi = 0 , onda se dobija zakon o odranju momenta ko1iine kretanja sistema pri udaru: Lo = Lo 4.2.2. Prav centralni sudar dve kugle Ako kugle masa m1 i m2 izvode translatorno kretanje brzinama v1 i v2, S1.4.6 (v1 > v2 ) onda dolazi do tzv. pravog centralnog sudara - brzine su udarne na povrinu sudara i udarni impulsi prolaze kroz sredite tela. Na S1.4.6 pokazani su po1oaji kugli pre, za vreme i posle sudara. Posmatranjem intervala vremena prema S1.4.6, a korienjem (4.1), dobijamo: (4.17).

s

m1 v - m1 v = - I m1 v - m1 v = - I

m2 v - m2 v = m2 v2 - m2 v =

I I

(4.18),

kome dodajemo vezu (4.8), u obliku:

I = k IIz sistema od pet jednaina (4.18) i (4.19), dobijamo: - brzinu u trenutku sudara

(4.19).

v =

1 ( m1 v1 + m2 v2 ) m1 + m2

Slika 4.6. -koeficijent odnosa relativnih brzina k =

v'1 v'2 v1 v2

- brzine posle sudara v1 = v1 - (1 + k )m2 ( v1 - v2 ) m1 + m2 m2 ( v2 - v1 ) m1 + m2

v2 = v2 - (1 + k ) - udarni impuls

I = I + I = ( 1 + k )

m1m2 ( v1 - v2 ) . m1 + m2

5. LITERATURA DINAMIKA [1] Koji H., Dinamika teorija I primeri, Mainski faku1tet, Kragujevac, 1976. [2] Rakovi D., Mehanika III Dinamika, Nauna knjiga, Beograd,1965.[3] Pivko S., Mehanika III Dinamika, Nauna knjiga, Beograd, 1965.

[4] Rusov L., Mehanika III Dinamika, Nauna knjiga, Beograd, 1978. [5] Vujoevi L., uri S., Zbirka zadataka iz dinamike, Savez studenata HF, Beorad, 1965. [6] Meerski V.I., Zbirka zadataka iz teorijske mehanike, prevod, Graevinska knjiga, Beorad, 1958. [7] Targ Ii.., Teorijska rnehanika, provod, Graevinska knjiga, Beograd, 1971. [8] Voronkov 11.1., Teorijska mehanika, prevod, Graevinska knjiga, Beo1rad, 1963. [9] Koji M., Miunovi M., Teorija oscilacija, Nauna knjiga, Beograd, 1979. [10] Branjienko i drugi, Zbirka zadataka iz teorijske mehanike, prevod, Graevinska knjiga, Beograd, 1966. [11] Golubovi D., Koji M., Premovi K., Tehnika mehanika - kratki kurs, Graevinska knjiga, Beograd, 1982.

III DEO ANALITIKA MEHANIKA

1. KINEMATIKA Za razliku od geometrijskog parcijalnog posmatranja mirovanja i kretanje take i tela vektora sila, impulsa i slino u analitikoj (varijacionoj) mehanici posmatra se materijalni sistem kao celina. Skalarne funkcije kinetikei potencijalne energije,ili funkcije sile, sadre sve potrebne informacije u vezi dejstva sila,prestavljaju osnov analitike mehanike. Uz to se pridodaju analitika ogranienja veza,to omoguava potpuno reavanje zadataka o kretanju i mirovanju tacke,tela i sistema.Za reavanje problema koriste se analitike relacije bez crtea geometrije i mehanikog razmatranja. Zbog toga metode analitike mehanike imaju veliku optost i primenu,ne saamo pri teorijskim razmatranjima,ve i pripraktinim tehnikim reenjima . Ovde se izlau elementi analiktike kinematike, kao to su: generisane koordinate, brzina i ubrzanje i metrike forme. 1.1 Generisane koordinate Zakon kretanja materijalne take M izraava se, kako je ve poznato,vektorskom relacijom:r=r(t)

a koja se moe izraziti u razliitim koordinatnim sistemima, Sl.1.1.Sa slike je oigledno da se u sva tri navedena koordinatna sistema: a-Dekartovom, b-polarno cilindrinom i c- sfernom, zakon kretanja r moe izraziti sa tri koordinate u obliku:r=x*i+y*j+z*k r=* o +z*k, = (t) r=* o, = (t), = (t)

gde su: (x, y, z) koordinate u Dekartovom koordinatnom sistemu (, z, ) koordinate u po1arnoci1indrinom koordinatnom sistemu (, ,) koordinate u sfernom. koordinatnom sistemu i, j, k, jedinini ortovi, koji su medusobno upravni.

Slika 1.1 Iz ovog pregleda vidi se da se poloaj take u prostoru, u optem sluaju, odreuje pomou tn parametra i ko je moemo definisati u obliku: (q1, q2, q3) (1.3), a koje predstavljaju opte krivolinijske koordinate i koje se zovu GENERALISANE, S1.1.2. Proizvodi ortova tangenti, U ovom sluaju, mogu biti:o ortogona ln i Ti Tj = o kosougli

(1.4).

Zakoni kretanja se izraavaju u obliku:q1 = q1 (t), q2 = q2(t), q3 = q3(t)

(1.5).

r = q1 T1 + q2 T2 + q3 T3

Bilo koje koordinate, naprimer Dekartove, moemo izraziti preko generalisanih i obrnuto:x = x(q1, q2, q3); q1 = q1(x, y, z); y = y(q1, q2, q3); q2 = q2(x, y, z); z = z(q1, q2, q3) q3 = q3(x, y, z)

(1.6).

Za odreivanje kinematikih veliina neophodno je odrediti diferencijal dr.

Slika 1.2. Imajui u vidu relaciju (1.5) dobija se promena r du koordinata q1, tj. tangenti T1:r r = Ti = Ai Ti , qi qi

(1.7),

gde je sa Ai obe1een Lame-ov koeficijent:A1 =r q1

, ... , Ai =

r qi

(1.8). S druge strane, ako poemo od izraza (1.2) za r u Dekartovom koordinatnom sistemu, onda dobijamo:r q1 x y z i + j + k q1 q1 q1

=

odakle Lameovi koeficijenti iznose:

Ai =

r = qi

(

x 2 y z ) + ( )2 + ( )2 ; qi qi qi

Konano dobijamo: r r r dr = dq1 + dq2 + dq3 = q1 q2 q3 =

qi =1

3

ri

dqi

=

Ai Ti dqi =i =1

3

ei =1

3

i

dqi

(1.10).

Zadnja oznaka je prema Antajnu, gde se vektori e i uzimaju kao osnovni vektori sistema generalisanih koordinata q1. Za vezu sa prirodnim koordinatnim sistemom, kod koga je zakon kretanja odreden sa s = s(t),

koristi se metrika forma oblika:ds2 = ds ds = dr dr = ( A1 dq1 T1 + A2 dq2 T2 +

+ A3 dq3 T3) ( A1 dq1 T1 + A2 dq2 T2 + A3 dq3 T3) = =

qi =1

3

ri

dqi

r dqi )= qi

2 2 2 = A12 dq12 + A2 dq2 + A3 dq3 + 2 B1 dq1 dq2 + 2 B2 dq2 dq3 +

+ 2 B3 dq1 dq3

(1.11). Ovde su koeficijenti: r r r r ; B2 = ; B1 = q1 q2 q2 q3B3 =r r = A1 A3 ( T1 T3 ) q1 q3

(1.12).

Ako je trijedar ortogonalan onda je ( Ti Tj ) = 0, kada je i B1 = B2 = B3 = 0, pa izraz (1.11) je uproen: 2 2 2 ds2 = A12 dq12 + A2 dq2 + A3 dq3 (1.13). Izraz za metriku formu moemo napisati koristei kvadratnu matricu: g11 g12 g13 g g 21 22 g 23 g 31 g 32 g 33

G=

(1.14),

gde su pojedini 1anovi matrice G: r r gik = ( )= (ei , ek ) = Ai Ak Ti Tk . qi qk Metrika forma tada je oblika:ds2 = (dq) G { dq } =

i k

gik dqi dqk =

= (dq1 dq2 dq3 )

dq g11 g12 g13 1 g dq2 21 g 22 g 23 dq g 31 g 32 g 33 3

(1.15).

U sluaju kad je trijedar Ti ortogonalan dobije se homogena kvadratna forma, tada je:

G=

g11 0 0 0 g 22 0 0 0 g 33

A12 2 = A2 2 A3

(1.15).

1.2. Brzina u generalisanim koordinatama Kada jednainu (1.10) diferenciramo po vremenu dobi jamo brzinu u generalisanim koordinatama:dr = dt3

v=

i =1

Ai

dqi Ti = dt

= A1 q1 T1 + A2 q2 T2 + A3 q3 T3 =

=

i =1

3

Ai qi Ti

(1.16).

Na S1.1.3. pokazana je projekcija brzine na tangente Ti, koje iznose: vi = ( v, Ti ) = Ai qi Kvadriranjem izraza (1.16) dobije se metrika forma brzine:3

(1.17).

v =

2

i =1

Ai2 qi2 + 2 B1 q1 q2 + 2 B2 q2 q3 + 2 B3 q1 q3

(1.18),

gde su koeficijenti Bi dati u izrazima (1.12).

Slika 1.3.

Kvadratnu formu brzine moemo dobiti i deljenjem (1.15) sa dt2, kada dobijamo: v2 = ( q ) G {q} Ova forma brzine je vrlo znaajna u ana1itikoj mehanici. 1.3. Ubrzanje u generalisanim koordinatama

(1.19).

Za ana1itiku mehaniku je od velikog znaaja poznavati projekcije ubrzanja na pravcu tangenti generalisanih koordinata, a koje se mogu izraziti skalarnim proizvodom: ai = ( a, Ti ) (1.20), gde je generalisano ubrzanje pa definiciji: dv (1.21). a = dt Za odredivanje projekcije ubrzanja ai polazimo od izraza: v2 = ( v, v ) ijim diferenciranjem po generalisanim brzinama qi leve i desne strane dobijamo: 2v v v v = ( , v ) + ( v, ) . qi qi qi.

Slika.1.4. Sredivanjem leve i desne strane prethodnog izraza dobijamo: v ( v 2 ) = 2 (v, ) qi qi v qi , dalje je: qi

a smenom na desnu stranu veze

=

v2 r = ( v, ) qi 2 qi

(1.22)

Prema (1.7)r = Ai Ti qi

pa diferenciranjem po vremenu dobijamo:

d dt

r v = qi qi

(1.23)

Daljim diferenciranjem po vremenu leve i desne strane relacije (1.22) dobijamo:

d v2 dt qi 2 = ( a,

=

d r ( v, ) = qi dt

d r r ) + (v, ( )) = qi dt qiv ) = qi

= Ai ( a, Ti ) + (v,

= Ai ( a, Ti ) +

v2 qi 2

(1.24),

gde su koriene relacije (1.7) i (1.23). Iz relacije (1.24) dobijamo: qi v2 2 qi

Ai ( a, Ti ) =

d dt

v2 2

odakle su, saglasno (1.20), projekcije ubrzanja:d dt qi v2 2

ai ( a, Ti ) =

1 Ai

v2 2 qi

(1.25).

Prema tome, ukupno ubrzanje je:

a =

i =1

3

ai T i =

(1.26),

=

1 d v2 v2 T1 + A1 dt q1 2 q1 2 1 A2 1 A3 d v2 v2 T2 + dt q 2 2 q2 2

+

d v2 v2 T3 dt q3 2 q3 2 to predstavlja ubrzanje take u generalisanim koordinatama.

+

U tabeli T.1.1. dat je pregled kinematikih ve1iina preko generalisanih koordinata za razne koordinatne sisteme.

1.4. Primeri

Navode se dva primera odreivanja brzine i ubrzanja preko generalisanih koordinata u praksi. Primer 1.1. Jednaine kretanja take M u po1arno-ci1indrinom koordinatnom sistemu imaju oblik r = , = kt, z = t gde su , k i konstantne ve1iine. Odrediti: a) projekcije vektora brzine v na ose po1arno-ci1indrinog sistema, b) jednaine kretanja take A koju opisuje hodograf brzine, a) projekcije brzine take A na ose po1arno-ci1indrinog sistema. R e e nj e: a) Prema (1.16), projekcije vektora brzine v no ose po1arno-ci1indrinog sistema (r, , z) su v1 = A1 r , v2 = A2 , v3 = A3 z (a). Do bismo odredili Lame-ove koeficijente, podsetimo se veze izmeu Dekartovih i polarnoci1indrinih koordinata x = r cos , y = r sin , z=z (b).

Korienjem (1.9) i (b), imamo A1 = 1, A2 = r, A3 = 1 (c)

Iz zadatih jodnaina kretanja take M dobijamo

r = 0,

= k,

z =

(d).

Na osnovu (a), (c) i (d) traene projekcije, brzine take M su: v1 = 0 , v2 = ka , v3 = (e).

b) Radijus-vektor take A, koje opisuje hodograf brzine, je vektor v, pa su Dekartove koordinate ove take date izrazima xA = - v2 sin = - k sin , yA = v2 cos = k cos , zA = v3 = (f).

Veze izmeu Dekartovih i polarno-cilindrinih koordinata take A je xA = r1 cos 1 , yA = r1 sin 1 , Iz (f) i (g) sledi r1 = k , 1 = kt + z A = z1 (g).

2

,

z1 = ,

a ovo su jednaine kretanja take A u po1orno-ci1indrinom sistemu. c) Korienjem (1.16), (c) i (g), projekcije brzine take A su: v2 = A2 1 = k2 ,

v1 = A1 r1 = 0 ,

v3 = A3 z1 = 0

(h),

to su istovremono i projekcije ubrzanja take M. P r i m e r 1.2. Taka M kree se po liniji koju dobijamo presekom sfere x2 + y2 + z2 - R2 = 0 i cilindrine povrine (x -

R 2 R2 ) + y2 = 0. 2 4

Odrediti: a) jednaine kretanja take M u sfernom koordinatnom sistemu (R, , ), ako je poznato da se ugao menja pa zakonu 1 = kt 2 gde je k = const., b) projekcije vektora ubrzanja a na ose sfernog koordinatnog sistema, c) intenzitet ubrzanja u trenutku t1 = 4 R e e nj e: a) Da bisme odredili jednaine kretanja take M, primetimo da se kriva po kojoj se kree taka nalazi na sferi po1uprenika R, pa je r = R = const. (a), i da su veze izmeu Dekartovih i sfernih koordinata date izrazima prema S1.1.1. x = r cos cos , y = r cos sin , z = r sin (b). Iz jednaine sfere i ci1indrine povri vidi se da koordinate trojektorije zadovo1javaju jednainu z2 + Rx = R2 (c). Korienjem (a), (b), i (c) dobijamo cos = cos (d), pa su jednaine kretanja take M u sfernim koordinatama 1 1 r = R , = kt , = kt (a). 2 2 b) Projekcije vektora ubrzanja, prema (1.26), su 1 d v2 v2 , A1 dt r 2 r 2

4

.

a1 =

a2 =

1 A2

d v2 v2 , dt 2 2

a3 =

1 d v2 v2 . A3 dt 2 2

(f).

Konstante A1, A2, A3 su, prema (1.9) i (b) date izrazima Ako je A1=1, A2 = r cos , A3=r (g). (h),

1 2 v 2 a kvadrat inteziteta brzine je, prema (1.18)

=

2 v2 = A12 r 2 + A2 2 + A32 2 ,

gde su korieni izrazi (1.12). Onda je 1 = (r 2 + r 2 2 cos 2 + r 2 2 ) 2 Potraimo zatim d v 2 d = =r dt r 2 dt r = 2 + 2 cos 2 r r

(i).

(

)

d = r 2 cos 2 + 2rr cos 2 2r 2 sin cos , =0 dt d . = r 2 + 2rr dt = r 2 2 cos sin

(j).

Nakon uvrtavanja (g) i (j) i (f), imamo a1 = r ( + cos 2 ) r a2 =

( r + 2r )

cos - 2r sin

(k).

2 2 a3 = r2 + 2rr r cos sin Ako smenimo potrebne izvode u ove izraze, dobiemo

a1 =

Rk 2 ( 1 + cos2 ) 4(l).

Rk 2 sin a2 = 2 Rk 2 sin cos 4 c) Intenzitet vektora ubrzanja a dat je izrazom a3 = a=2 2 a12 + a2 + a3

(m).

Smenom (1) u (m), dobijamo Rk 2 4 + sin 2 a= 4 U trenutku t1= 4 Rk 2 , 1 = 2 pa je a = k 2

(n).

(o).

2. DINAMIKA TACKE Ovde se iz1ae ana1itika dinamika take, sistema taaka i opti principi dinamike u koje ulaze: Lagraneov princip virtualnih pomeranja, Dalamberov princip, .Lagraneove jednaine II vrste i Lagraneove jednaine I vrste. 2.1. Vrste veza Mehanike veze ograniavaju kretanje taaka ili tela u prostoru. Veze mogu biti vrlo raznovrsne i u optem sluaju, mogu da zavise od poloaja, brzine i vremena, tj. jednaina veze moe se izraziti u obliku:

f (t, r, v) = 0 U zavisnosti od toga kako se veze manifestuju, njihova podela data je na emi, S1.2.1. Naprimer, veze koje ograniavaju kretanje po povri i liniji, S1.2.2, su geometrijske stacionarne veze i izraavaju se u obliku: f (r) = 0 a nazivaju se i holonomne.Dakle, osnovne podele veza mogu da budu vrlo razliite, kao na primer: a) U zavisnosti od promenljivosti tokom vremena: - stacionarne ( f (r) = 0 ) ne zavise od vremena, - nestacionarne ( f (r,t) = 0 ) zavise od vremena b) U zavisnosti od uticaja brzine na veze: - holonomne - konane ( f (r) = 0 ) ne zavise od brzine - neholonomne - diferencijalne ( f (r, r ) = 0 ) zavise od brzine, c) U zavisnosti od zadravanja tela: - jednostrane - nezadravajue,

(2.1).

(2.2),

f (r) 0 f (r,t) 0 f (r,v,t) 0- obostrane - zadravajue

f (r) = 0 f (r,t) = 0 f (r,v,t) = 0d) Po stacionarnosti veze mogu biti: - samo stacionarne (skleronomne) - samo nestacionarne (reonomne)

Slika.2.1.

Slika.2.2. Navee se neki primeri veza koji imaju znaaja za praksu

Slika 2.3. Kretanje materijalne take izmeu nepokretnih cilindara 1 i 2 predstavlja stacionarnu vezu (S1.2.3.a). Koordinate take M zadovoljavaju u toku kretanja sledee uslove:

f (x, y, z) = x2 + y2 - R2 = 0

z

0,

z

H

Ukoliko se materijalna taka kree izmedu cilindara, gde se cilindri kotrljaju po podlozi u pravcu x-ose (S1.2.3.b) re je o nestacionarnoj vezi i koordinate take M zadovoljavaju sledeu jednainu:

f (x, y, z, t) = (x - v0 t)2 + y2 - R2 = 0 gde je v - brzina sredita ci1indra. Kretanje take M izmeu cilindara je obostrana veza i ona se izraava jednainama: x2 + y2 - R2 = 0 za stacionarne veze (x - v0t)2 + y2 - R2 = 0 za nestacionarne veze,0

Slika 2.4. dok se kretanje take M izraava nejednainama, jer predstavlja zadravajuu (jednostranu) vezu. Koordinate take zadovoljavaju nejednakost:

x2 + y2 - R2 0 (x - v0t)2 + y2 - R2 0

za stacionarne veze za nestacionarne veze.

Na S1.2.4.a prikazano je ravno kretanje tapa AB, pri emu je brzina sredita C tapa u pravcu ose tapa. Koordinate taaka A i B zadovoljavaju jednaine:

(xB -xA)2 + (yB - yA )2 - 412 = 0, xB + x A y + yA = B xB x A yB y A

zB = zA = 0

Kako je zadnja jednaina diferencijalna, sistem definie neholonomnu vezu. Ukoliko je mehanika veza u obliku linije, S1.2.4.b naprimer holonomna stacionarna veza, onda se ona izraava pomou dve jednaine: f1 (x, y, z) = 0 f2 (x, y, z) = 0 Uticaj mehanikih veza na taku ili sistem izraava se silama, odnosno reakcijama veza, naprimer: nezadravajua, holonomna, stacionarna veza povrine (S1.2.4.c), itd. 2.2. Kretanje materijalne take po povri Lagraneove jednaine II vrste

Slika 2.5. Ako je funkcija veze f (r) (holonomna stacionarna veza), onda je normalni otpor i sila trenja: f f f FwN = f = grad f = i + j+ k x y z FwT = FwN

Za idealno glatku vezu je FwT = 0 Kretanje take je opisano osnovnom Njutnovom jednainom oblika:

m a = F + Fwgde je F - aktivna spo1janja sila. Kinetiku energiju moemo izraziti u obliku:

(2.3)

Ek = =

1 m 3 2 m Ai qi = ( q ) G {q} = mv 2 = i =1 2 2 2 (2.4)

1 m gik gi g k 2

gde su koriene veze za brzinu (1.18) i (1.19), a zadnji izraz je napisan u tenzorskoj notaciji. Polazei od jednaine (2.3) projektovanjem na tangente T1 generalisanih koordinata dobijamo jednainu oblika: 1 d v2 v2 m = Fqi Ai dt qi 2 qi 2 gde je korien izraz (1.25) za ubrzanje, a Fqi su projekcije sila. Dalje dobijamo: 1 d 2 1 2 = mv mv = Ai Fqi dt qi 2 qi 2

Desna strana prethodne jednaine bie:

A i Fqi = ( F, Ti) Ai = (F, T i Ai) = (F, ei) = Qi

(2.5)

to predstavlja projekcije generalisane sile, ijom smenom u prethodnu jednainu dobijamo:

d Ek Ek = Qi ; qi dt qi

i = 1, 2, 3

(2.6),

a to predstavlja Lagraneovu jednainu II vrste. Ova jednaina je opta. U sluaju neidealnih veza u generalisane sile treba uzeti i sile veze, trenje i s1ino. Rad sile, u generalisanim koordinatama, moemo izraziti preko izraza:

dA = Qi dqi = (F, Ti ) dsi ,pa se rad na nekom putu od po do p moe izraziti preko:

A =

p

Qi dqi

(2.7).

po

Ukoliko sila zavisi samo od poloaja F = F (r) , onda se moe oformiti integral energije U(r) .

Slika 2.6. Tada se sila moe izraziti u obliku:

F = U = grad Ua integral energije:

U = - EpRad sile je: 1 U dA = (F, dr ) = ( U, dr ) = A q Ti , dr = i i U dqi = dU = Qi dqi qi Odavde prbizilazi da je generalisana sila:

=

(2.8).

Qi =(2.9).

E p U = qi qi

Integraljenjem izraza (2.8) dobijamo rad na putu po p:

A=

po

p

dU = U - Uo = Ep - Epo

(2.10).

2.3. Lagraneove jednaine II vrste preko Z U sluaju da su genera1isane sile, samo posledica potencijalne energije, onda je sistem konzervativan. Tada se Lagraneove jednaine II vrste mogu preurediti i izraziti preko vika kinetike energije nad potencijalnom: Z = Ek - Ep = Ek + UE p qi

(2.11).

Kako je:

Qi =

i Ek = Z + Ep ,

to smenom u jednainu (2.6) dobijamo:d ( Z + Ep ) ( Z + Ep ) dt qi qi E p = qi

pa, sredivanjem, dalje je: d ( Z ) Z = 0 i = 1, 2, 3 dt qi qi

(2.12).

Ovo su Lagraneove jednaine II vrste izraene preko Z vika kinetike energije nad potencijalnom. 2.4. Zakon o odranju mehanike energije Ako je u sistemu prisutna samo mehanika energija, zadovoljena relacija konzervativnog sistema za generalisanu silu (2.9), onda se moe definisati zakon 0 promeni I odranju totalne mehanike energije. Ukupna mehanika energija je:

E = Ek + Ep

(2.13).

Smenom u jednainu (2.6) izraza (2.9), kao i uvodenjem Ojlerove relacije (jer je Ek = Ek ( qi , qi ) ) , 2Ek = dobijamo:Ek qi qi

d (Ek + E p ) = dE = 0 , dt dtodakle je, integraljenjem,

E = Ek + Ep = h = const.a to predstavlja zakon o odranju mehanike energije.

(2.14),

2.5. Ogranienja pri kretanju pod prinudom po povri Diferencijalne jednaine kretanja za sluaj kretanja po povri mogu se izraziti u obliku Lagraneovih jednaina II vrste, jednaina (2.6), prema S1.2.5. Meutim, ovde se moraju ispuniti i uslovi ogranienja kretanja vezom. Uzmimo sluaj da je veza pokretna - reonomna holonomna nestacionarna oblika: f (r, t) = 0 , f(q1, q2, q3, t) = 0 (2.15). Ako je za neko malo vreme t dolo do promene veze, tada je: f ( r + r, t + t) = = f (q1 + q1, q2 + q2, q3 + q3, t) = 0 (2.16).

Razvijanjem u Tejlorov red izrazi za f i f zadravajui se na prvom 1anu i formirajui razliku f - f kada t 0 bie: lim 0

f f d f f f f = = q1 + q2 + q3 + =0 dt q1 t q2 q3 tf =0 t

odnosno:

f = ( f , v ) +

(2.17),

to predstavlja uslov za brzinu, tj. "moguu" ili doputenu brzinu veze. Ako je veza stacionarna uslov (2.17) se uproava iI prelazi u oblik (

f = 0), t

(f, v) = 0

(2.18).

Analognim postupkom moe se odrediti ogranienje ubrzanja, tj. "mogue" ubrzanje za prinudno kretanje po povri. U tom sluaju formirajui od funkcije povri (uslova),

Slika 2.7.

f ( v, t) = 0 ,

f ( v + v, t + t ) = 0

prethodnim razvljanjem u Tejlorov red zadravajui se na prvom 1anu, dobijamo: lim 0

f f f f f d f = q1 + q2 + q3 + =0 dt t t q1 q2 q3

odnosno: (f, a) + gde je

D

t

2

f = 0

(2.19),

d f drugi izvod po vremenu funkcije f. Ova jednaina predstavlja dt t ogranienje za ubrzanje - mogue ubrzanje po povri za nestacionarnu vezu.

D

t

2

f=

Ako razvijemo skalarni proizvod u jednaini (2.19), onda dobijamo uslov ogranienja normalnog ubrzanja koje je jedino i ogranieno: t (2.20). f a cos (f, a) = - D 2 f aN = a cos (f, a) = -

D

t

f

2

f

Za stacionarnu vezu uslov (2.19) prelazi u: (2.21). (f, a) = 0 Analognim postupkom, kao u prethodna dva sluaja dolazi se do ogranienja pomeranja - tj. "mogue" pomeranje:

f dt = 0 (2.22). t Navedeni uslov za pomeranje moemo prosto dobiti mnoenjem uslova (2.17) sa dt, imajui u vidu da vai relacija: dr = v dt (2.23).

(f, dr) +

2.6. Mogua (virtualna) pomeranja Mogua pomeranja dr su stvarna pri nekoj maloj promeni vremena t i odreuju se relacijom (2.23). Za proraune koristi se i pojam virtualnih pomeranja r. Ako uoimo dva mogua pomeranja u istom trenutku vremena dr, dr onda je virtualno pomeranje: r = dr - dr (2.24). Prema tome, virtualno pomeranje predstavlja pomeranje take iz jednog mogueg poloaja u trenutku t u drugi beskonano mogui bliski poloaj u tom istom trenutku vremena t. Virtualna pomeranja poklapaju se sa moguim pri zamrznutim vezama (stacionarne veze). Primer je dat na S1.2.8. Ako se take kreu pa nepokretnoj povrini, onda je dr = v dt i pada tangencijalno, a toliko je i r (S1.2.8.a). Meutim, ako se povrina - veza kree brzinom u , onda stvarno porneranje dr pada u pravcu apsolutne brzine, a virtualno pomeranje u pravcu relativne brzine, S1.2.6.b.

Slika 2.8.

2.7. Opta jednaina dinamike - Lagraneova jednaina I vrste

Za materijalnu taku koja se kree po vezi vai jednaina:

m a = F + FwUkoliko je veza f glatka, onda se sila veze moe izraziti u obliku:

(2.25).

Fw = FwN = f = grad f

(2.26),

gde je - Lagraneov mnoite1j, S1.2.9. Prema tome, jednaina (2.25) prelazi u oblik: ma = F+f (2.27), gde su nepoznate q1, q2, q3, . Oigledno je da nedostaje jedna jednaina za reenje. Do dopunske jednaine dolazimo na sledei nain: jednainu (2.25) pomnoimo sa f, tada dobijamo, m ( a, f) = (F, f) + (Fw, f) Iz uslova ogranienja ubrzanja po povri (2.19) odredujemo: (a, f) = - D2 f , to kad smenimo u prethodnu jednainu uz uvrenje Fw, prema (2.26), dobijamo izraz za , (2.28).

=-

1 (f )2

[(F , f ) + m D2 f ]

(2.29)

to predstavija Lagraneovu jednainu I vrste. Dakle, reenje kretanja ili sila u ovom sluaju dobijamo iz sistema diferencijalnih jednaina (2.26) i (2.29). 0ig1edno je da one mogu biti sloene, mada je ovo opti princip dinamike take.

Slika 2.9.

U sluaju neidealnih veza, treba imati u vidu da je ukupni otpor:

Fw = FwN + FwT = f + FwT

(2. 30).

Ako jednainu (2.25) pomnoimo virtualnim pomeranjem r, onda dobijamo:

(F - m a) r + Fw r = 0

(2.31),

to predstavlja optu jednainu dinamike. Za sluaj da su veze idealne virtualni rad veze je:

Aw = Fw r = 0pa jednainu (2.31) moemo napisati u obliku: (F - m a) r = 0

(2.32),

F r + Fin r = 0 (2.33), Aa + Ain = 0 to predstavlja optu jednainu dinamike za idealne veze: zbir virtualnih radova aktivnih spo1janjih sila i inercijalnih si la jednak je nuli. U sluaju da se taka nalazi u ravnotei Ain = 0, to se dobija jednaina: Aa = F r = 0 (2.34), to predstavlja optu jednainu statike: virtualni rad aktivnih sila jednak je nuli. Ako se javljaju i sile veze, onda se jednaina proiruje na: Aa + Aw = F r + Fw r = 02.8. Primeri Na nekoliko primera ilustrovana je prirnena u praksi navedene teorije. P r i m e r 2.1. Koristei Lagraneovu jednainu II vrste napisati diferencijalnu jednainu kretanje metematikog I fizikog klatna (s1.2.1O.), ije su duine l , a masa m. Reenje: a) Matematiko klatno Kinetika energija se izraava u obliku Ek = 1 2 1 2 2 mv = m , jer je v = , 2 2 (2.35).

- generalisana koordinata.energije:

Generalisanu silu nalazimo na osnovu virtualnog rada III potencijalne

A = (G, s) = mg s cos(90 ) = mg sin = mg sin Q=

A = mg sin

E p = mgh = mg (1 cos ) Q== mg sin d Korienjem Lagraneove jednaine II vrste (2.6) dobijamo: d Ek d 1 2 . = ( m 2 ) = m 2 dt dt 2

dE p

(a)

E k = 0 te je

m 2 = mg sin

(b)

Ako su male pomeranja, sin , pa jednaina (b) prelazi u oblik

+ 2 = 0gde je uvedena smena 2 =

(c)

g

, sopstvena frekfencija.

Slika 2.l0.

b) Fiziko klatno Kinetika energija (Sl.2..l0.b) izraava se u obliku 1 (Jo = J y ) J o 2 2 Generalisanu silu nalazimo na osnovu virtualuog rada

Ek =

(a).

A = Q = G s sin

Q =

A = G s sin

(b)

Lagraneove jednaine su oblika:Ek 1 = J o 2 = J o , 2

d Ek d . = ( J o ) = J o , dt dt

E k =0

(c)

.. d Ek Ek . = Q , J o = G s sin dt

(d)

Ako su oscilacije male, sin i ako je

2 =

Gs Jo

sopstvena frekfencija, sledi (e).

+ 2 = 0

P r i m e r 2.2. Dve materijalne take M1 i M2 jednakih masa m = 1 spojene su tapom nepromenljive duine i zanemerijivo male mase. Sistem moe da se kree samo u vertikalnoj ravni i samo tako da je brzina sredita apa upravijena du tapa. Odrediti kretanje take M1 i M2. Reenje: Neka su x1, y1 i x2, y2 koordinate taaka M1 i M2. Napiimo jednaine veza:2 1 (x2 x1 )2 + y2 y1 2 = 0 2

[

(

)

]

(a)

( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( x2 x1 )

y2 y1 = 0

(

)

Lagraneove jednaine s neodredenim mnoite1jima i imaju oblike:

x1 = (x2 x1 ) y2 y1

(

)

y1 = g ( y2 y1 ) + x2 x1 x2 =

(

)(b)

(x2 x1 ) (y2

y1

) )

y2 = +

( y2 y1 ) + (x2

x1

Iz jednaina (b) pomou prve iz jednaina (a) odredimo i : g 1 = 2 ( y2 y1 ) 2 ( x2 x1 ) x1 + ( y2 y1 ) y1

(d).

=

g

2

(x

2

x1 )

( y y ) x + ( x2 x1 ) y1 2 2 1 1

1

Primetimo do se jednaine (c) dobijaju iz jednaina (b) ako se u poslednjimo zameni sa - i x1 , y1 sa x2 y2 .Zato, odreujui i iz jednaina (c), nalazimo: g 1 = 2 ( y2 y1 ) + 2 ( x2 x1 ) x2 + ( y2 y1 ) y2 (e).

=

g

2

(x

2

x1 )

( y y ) x ( x2 x1 ) y2 2 2 1 2

1

Izjednaivi meu sobom odgovarajue izraze za i u (d) i (e) dobiemo, posle kraih transformacija: (f) ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( y2 y1 ) ( x2 x1 ) = 0

( x2

x1 ) ( x2 x1 ) +

( y2

y1 ) ( y2 y1 ) +2 g ( y2 y1 ) = 0

Uvedimo oznake: u = x2 - x1 , v = y2 - y1 , P = x1 + x2 , Tada jednaine (g) i (f) izgledaju: u2 + v2 = 2

Q = y1 + y2 ,

- u = 0 Pv - Q u = 0

(h)

P u + Q v + 2g v = o (j). Jednaine (h) pokozuju da se taka s koordinatama u ravni (u, v) kree po krugu po1uprenika s centrom u koordinatnom poetku, pri emu je njeno ubrzanje sve vreme upravljeno prema centru. Tada e kretanje te take biti ravnomerno. Zato je u = cos , v = sin , = = const., =t + (k).Saglasno jednakosti (i) moemo staviti: f f u, Q= v P =

(1).

Zemenjujui te izraze u jednakostima (j) i uzimajui u obzir jednakosti (h) i (k), nalazimo: 2g f+ v = 0 , tj. f = 2 g sin

Tada je 2g df 1 2g = f = sin i f = cos + 2 d Prema tome, u smislu jednakosti (k) i (1), imamo: g g cos ) cos , Q = 2( + cos ) sin P = 2( +

(m)

Integracijom nalazimo: x1 + x2 = P dt = 2 1

P d = g

2

sin +

g

2

sin cos +

g

2

+ 2

(n)

y1 + y2 = -

cos

2

cos 2 + 2

Iz jednakosti (g), (k) i (n) konano dobijamo: g g 1 sin + sin cos + cos + x1 = 2 2 2 2 2

y1 =x2 =

g 1 cos cos 2 sin + 2 2 2 g g sin + 2 sin cos + 2 + cos + 2 2 2 g cos 2 cos2 + sin + 2 2

(o)

y1 =

= t + gde su , , , , proizvoljne konstante.

3. DINAMIKA SISTEMA U ovom odeljku iz1ae se dinamika sistema, a to se odnosi kako na sistem materijalnih taaka, tako i na sistem tela i samo kruto telo uopte. Radi ukupnog preg1eda materije, navode se prvo opti zakoni dinamike sistema materijalnih taaka (polazi se od predpostavke da je ova materija poznata iz optih kurseva mehanike). Zatim se navodi klasifikacija sistema u zavisnosti od vrste veza. Na kraju se navode opti principi mehanike koji imaju znaaja za tehniku praksu, kao jedan od monih

proraunskih aparata savremene mehanike. Radi integralnog izlaganja daje se najpre, pregled optih zakona dinamike sistema materijalnih taaka: - Zakon o kretanju sredita masa sistema, - Zakon o promeni koliine kretanja sistema, - Zakon o promeni momenta koliine kretanja sistema i - Zakon o promeni kinetike energije sistema. Zatim se daje podela sistema u zavisnosti od vrste veza. Dalje su prikazani opti principi dinamike i to: - Lagraneove jednaine I vrste, - Lagraneov princip virtualnih pomeranja, - Dalamberov princip, - Hamiltonov princip i - Mopertij-Lagraneov princip 3.1. Opti zakoni dinamike sistema Pod sistemom se podrazumeva sistem taaka, ili tela, ili takav sistem taaka posebno ureenih koje ine telo,ije su mase: m1, m2, m3,...., m ,..., mN a ukupna masa iznosi, S1.3.1.:

M = myy =1

N

(3.1).

Ako se radi o telu, onda masu raunamo preko izraza:

M = dm = dvv

(3.2),

gde je gustina ,= const. = (r) const. za hom ogeno telo za ne hom ogeno telo

Slika 3.1.

3.1.1. Zakon o kretanju sredita masa sistema Sredite sistema, S1.3.1., odreclujemo koristei Varinjonovu teoremu:y =1

my ry = M rC ,

N

a odavde je sredite masa sistema: rC = 1 N my ry M y =1N N

(3.3).

Ako izraz (3.3) diferenciramo dva puta po vremenu dobijamo izraz:

M r = my ry = Fy , tj.y =1 y =1

M aC = Fy = Fr ,y =1

N

(3.4),

koji predstavlja zakon o kretanju sredita masa sistema, a gde je Fr glavni vektor spo1janjih sila sistema. Naravno, ovde je korien izraz za spo1janje sile:

Fr = Fys =y =1

N

y =1

Fy

N

(3.5), (3.6).

dok su unutranje sile jednake nuli: Fyu = 0

Slika 3.2. 3.1.2. Zakon o promeni koliine kretanja sistema Koliina kretanja za masu m definisana je relacijom: Kz = my vy i predstavlja kolinearan vektor sa brzinom, S1.3.2. Koliina kretanja sistema je:

(3.7),

K = K y = m y v y = M vCy =1 y =1

N

N

(3.8).

Diferenciranjem izraza (3.8) po vremenu dobijamo zakon o promeni koliine kretanja u diferencijalnom obliku:

dK = M aC = Fr dt

(3.9),

gde je korien zakon (3.4) i koji glasi: promena koliine kretanja sistema jednaka je zbiru svih sila koje deluju na sistem. Ako se u sistemu javljaju spo1janje sile veze iji je glavni vektor Fwr, onda jednaina (3.9) prelazi u oblik:

dK = Fr + Fwr dtMnoenjem jednaine (3.10) sa dt dobijamo: dK = (Fr + Fwr ) dt .

(3.10).

Slika 3.3. Koristei definiciju impulsa sile:

dI = F dtprethodna jednaina prelazi u oblik:

(3.11),

dK = dI + dI wijim integraljenjem dobijamo:

K - Ko = I + Iwa to predstavlja zakon o impulsu sistema. Ukoliko je sistem izolovan,

(3.12),

Fr + Fwr = 0onda vai relacija: K = Ko = C1 a koja izraava zakon o odranju koliine kretanja. 3.1.3. Zakon o promeni momenta koliine kretanja sistema (3.13),

Moment koliine kretanja za masu m definisan je izrazom, S1.3.3: Lov = r v x Kv (3.14), te je ukupni moment koliine kretanja sistema

Lo =

y =1

r

n

x

K

(3.15).

Diferenciranjem izraza (3.15) po vremenu dobijamo: n dLo = (vv x Kv o + r v x K v ) = ( r v x Kv)= r v x Fr = mo , dt =1 gde je mo glavni moment spo1janjih sila. Dakle, konano dobijamo zakon o promeni momenta koliine kretanja u diferencijalnom obliku: dLo = mo (3.16), dt tj. promena momenta koliine kretanja sistema jednaka je momentu sila koje deluju na sistem.w Ako postoje spo1janje reakcije sistema, pa i moment m w = m y - glavni moment otpora, y =1 n

onda jednaina (3.16) prelazi u ob1ik: dLo w = mo + mo dt Ako su glavni momenti: w mo + mo = 0

(3.17).

integraljenjem jednaine (3.17) dobijamo: (3.18), Lo = L = C2 to predstavlja zakon o odranju momenta koliine kretanja sistema, tj. zakon o odranju zamaha.

3.1.4. Zakon o promeni kinetike energije sistema Kinetika energija za masu mv, S1.3.4, definie se izrazom: 1 1 2 Ekv = mv v y = mv (v y , v y ) 2 2 pa je ukupna kinetika energija za sistem taaka (v = 1,2,... , n),

(3.19),

Slika 3.4. n 1 1 Ek = mv vv2 = mv (vv , vv ) (3.20). v =1 2 =1 2 Diferenciranjem izraza (3.20) po vremenu dobijamo zakon o promeni kinetike energije sistema, pa sledi: n dEk d n 1 dv = mv (vv , vv ) = mv vv , , tj. dt dt v =1 2 v =1 dt n

dEk = mv ( vv, dvv) = mv ( =1 =1

n

n

drv ,avdt)= dt

n n mv drv av dt cos (vv , av ) = (mv av , drv ) = =1 v =1 dt n n

=

=1

(Fv, drv) = dAv =1

gde je koriena relacija (2.8) za rad. Dakle, konano se dobija: dEk = dAv =1n

(3.21),

to predstavlja zakon o promeni kinetike energije sistema: promena kinetike energije sistema jednaka je zbiru elementarnih radova svih sila koje deluju na sistem. Integraljenjem jednaine (3.21) dobije se: Ek - Eko = =1

Av

n

(3.22),

to predstavlja zakon o promeni kinetike energije sistema u integralnom obliku: razlika kinetike energije u konanom i poetnom poloaju jednaka je ukupnom radu svih sila koje deluju na sistem na tom putu. Ako postoje sile veze koje deluju na sistem, onda mnoenjem jednaine sa

(drv = vv dt ), mv av = Fwy /drv =1n

dobijamo: =1

n

mv ( av, vvdt) = (Fv + Fwv , drv) , =1

n

(3.23)

to predstavlja zakon o promeni kinetike energije u diferencijalnom obliku za nekonzervativan sistem. Dakle, treba uzeti u obzir i rad sila veze.

3.2. Opti principi dinamike sistema U ovom odeljku navode se, pre svega, klasifikacija sistema na osnovu vrsta veza, i ogranienja koje one diktiraju. Zatim se navode najee primenjivani opti principi mehanike sistema. Naime, postoje sveobuhvatni - opti principi dinamike iz kojih se mogu izvesti svi opti zakoni. Ti principi se dele na integralne i diferencijalne, Sl.3.5. Ov