mecanique des fluides
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MECANIQUE DES MECANIQUE DES MECANIQUE DES MECANIQUE DES
FLUIDESFLUIDESFLUIDESFLUIDES
SEMESTRE 3SEMESTRE 3SEMESTRE 3SEMESTRE 3
IUT ANNECYDEPARTEMENT MESURES PHYSIQUES
PLAN DU COURS
• CHAPITRE 1 : notion de pression
• CHAPITRE 2 : équation fondamentale de l’hydrostatique
• CHAPITRE 3 : forces hydrostatiques exercées sur des surfaces
• CHAPITRE 4 : principe d’Archimède
• CHAPITRE 5 : dynamique des fluides
• CHAPITRE 6 : écoulement des fluides visqueux
• CHAPITRE 7 : capteurs en mécanique des fluides
• CHAPITRE 8 : aérodynamique
1ère partie : statique
→→→→ étude d ’un fluide immobile
• notion de pression• force exercée par un fluide sur une paroi• poussée d’Archimède
2ème partie : dynamique
→→→→ étude des écoulements stationnaires de fluides
• relation de Bernoulli• théorème d’Euler• viscosité d’un fluide• pertes de charge régulière et singulière
Dans ce cours, tous les vecteurs seront notés en caractères gras
INTRODUCTION
I- définition d ’un fluide
particules libres de se déplacer les unes par rapport aux autres (au contraire des solides)
• milieu continu, déformable et sans forme propre• peut s’écouler et subir de grandes variations de forme sous
l’action de forces relativement faibles
on distingue : – les liquides– les gaz
remarque : distinction parfois difficile !le verre ‘’coule’’ et un solide finement divisé ‘’coule’’ : sable
II – propriétés des fluides
• isotropie (pour la plupart des fluides) :– propriétés identiques dans toutes les directions de l’espace
• compressibilité : – gaz sont compressibles (le volume occupé est fonction de la
pression et de la température)ex. : gaz parfait pV = Cste * T
– liquides sont peu ou pas compressibles
• viscosité : – résistance à la déformation d’un fluide réel
⇒ intervient en dynamique
CHAPITRE I NOTION DE PRESSION
I- définition de la pression
Force exercée par le fluide sur la surface ds : F12 = Fn + Ft
Fn = composante de la force normale à la surface dsFt = composante de la force tangentielle à la surface ds
fluide ( 1 ) atmosphère ( 2 )
tn
F12Fn
Ft
dS
• Définition de la pression p :
• Dimension de la grandeur pression :
Remarques :• la pression est une quantité scalaire• si fluide au repos : F12 = Fn car Ft = 0 • si fluide en mouvement : Ft ≠ 0 car force résultant des frottements
visqueux du fluide sur la paroi• force de pression sur la surface élémentaire ds :
df p = p ds n (quantité vectorielle)
ds
dFitep n
ds 0lim →=
212
2
2][]][[
][
]][][[
][
][][ −−
−
=== TLML
TLM
L
Fp
II- unités de pression
• le Pascal (USI) : 1 Pa = 1 N/m 2
• le bar : 1 bar = 105 Pa (1 mbar = 100 Pa)
• l’atmosphère (pression exercée par une colonne de 760 mm demercure) :
1 atm = 1,013.105 Pa
• le Torr (pression exercée par une colonne de 1 mm de mercure) :1 Torr = 133 Pa
• le psi (poundforce per sqare inch) : 1 psi = 6895 Pa
III- pression absolue et pression relative
• pression absolue :
– toujours positive, référence p = 0
• pression relative :
– positive ou négative– définie par rapport à une autre pression, le
plus souvent la pression atmosphérique
CHAPITRE 2 : EQUATION FONDAMENTALE DE L’ HYDROSTATIQUE
Objectif : calculer la pression en un point d’un fluide incompressible, au repos et
soumis au champ de pesanteur
I- équation fondamentale de l’hydrostatique
1. relation fondamentaleSoit un volume de fluide de masse volumique ρ et de volume
dV = dx dy dz :
P
dz
dx
F x+dx
F z+dz
F x
dy
F z
x
yz
Bilan des forces extérieures agissant sur ce volume de fluide :
• poids du fluide compris dans le volume : P = ρ g dV = - ρ g dx dy dz k
• forces de pression sur les surfaces de cotes x , y et z :Fx = p(x) dy dz iFy = p(y) dx dz jFz = p(z) dx dy k
• forces de pression sur les surfaces de cotes x + dx, y + dy et z + dz :
F x+dx = - p(x+dx) dy dz iF y+dy = - p(y+dy) dx dz jF z+dz = - p(z+dz) dx dy k
• Fluide au repos donc le volume est en équilibre, d’où :
ΣF extérieures = 0
(Ox) : [ p(x) – p(x+dx) ] dy dz = 0
(Oy) : [ p(y) – p(y+dy) ] dx dz = 0
(Oz) : [ p(z) - p(z+dz) ] dx dy – ρ g dx dy dz = 0
• or le volume dV est petit donc :
• donc on obtient :
• d’où :
0)(00 =+∂∂−=
∂∂−=
∂∂− dzdxdyg
z
petdydxdz
y
petdxdydz
x
p ρ
dxx
pxpdxxpdp
∂∂=−+= )()(
000 =+∂∂=
∂∂=
∂∂
gz
pet
y
pet
x
p ρ
Conclusions
• p est indépendant de x et y
– pour un fluide au repos, la pression est constante dans un plan horizontal.
– les surfaces isobares ont pour équation :z = constante
• dp = - ρ g dz
2- cas du fluide incompressible
– ρ = constante donc p = - ρ g z + Cste
– relation fondamentale de l’hydrostatique :
p + ρρρρ g z = Cste
– dans un fluide incompressible, homog ène et au repos la pression varie lin éairement avec la profondeur
3- cons équences de la relation fondamentale
a- dans un liquide au repos, la pression croit de ha ut en bas
pM1 + ρ g z1 = pat + 0 donc pM1 = pat - ρ g z1 pM2 + ρ g z2 = pat + 0 donc pM2 = pat - ρ g z2
z < 0 donc pM1 > pat et pM2 > pat
et pM2 > pM1 car z 2 > z1
pat
M1
M2
Surface librePat
P(z)
z
0
z
0
z1
z2
b- la pression en un point d’un fluide au repos ne dép end que de la profondeur de ce point et non du volume de liquide
pM1 = pM’1 = p M’’1
pM2 = pM’2 = p M’’2
z
z1
z2
0
M1 M’1M’’1
M’’2M’2M2
c- cas de 2 fluides ayant des masses volumiques ρρρρ1 et ρρρρ2
différentes
pM1 + ρρρρ1 g zm = pA1 + ρρρρ1 g za1 donc p M1 = pA1 + ρρρρ1 g ( za1 – zm )
pM2 + ρρρρ2 g zm = pA2 + ρρρρ2 g za2 donc p M2 = pA2 +ρρρρ2 g ( za2 – zm )
h2
patpat
z
za1
za2
zm
h1
A2
A1
M1
M2
Liquide 1
Liquide 2
• pM1 = pM2
car le point M 2 appartient aux 2 fluides et M 1et M2 sont situ és sur une même isobare
• pA1 = pA2 = pat
donc ρρρρ2 ( za2 – zm ) = ρρρρ1 ( za1 – zm ) ρρρρ2 h2 = ρρρρ1 h1
conclusion : si h 1 > h2 →→→→ ρρρρ1 < ρρρρ2
II- Mesure de pression
1- mesure de la pression atmosph érique : le barom ètre
pat = ρρρρ g h
vide
Hgpat h
z
2- manom ètre à liquide
P + ρρρρ g zM = Pat d’où P = P at - ρρρρ g zM
donc P = p at + ρρρρ g h
pat
h
P
z
0
zm
M
3- mesure de pression relativep1 p2
h
p1 – p2 = ρρρρ g h
III- théorème de Pascal
1- théorèmez
z1
z2
0
M1
M2
M’1
M’2
pat Pat+ ∆p
• pM1 + ρρρρ g z1 = pat pM’1 + ρρρρ g z1 = pat + ∆∆∆∆p
• pM2 + ρρρρ g z2 = pat pM’2 + ρρρρ g z2 = pat + ∆∆∆∆p
d’où p M1 = pat - ρρρρ g z1 et pM’1 = (pat - ρρρρ g z1) + ∆∆∆∆ p
donc p M’1 = pM1 + ∆∆∆∆ p et p M’2 = pM2 + ∆∆∆∆p
Dans un fluide incompressible, au repos, les variat ions de pression se transmettent intégralement
2- application : la presse hydraulique
A
A’
B’
B
fF
• état initial : pA = pB
• une force f est exercée sur la section A• la pression supplémentaire est donc transmise
intégralement sur l’autre brasdonc
• F >> f →→→→ permet ainsi de soulever des charges importantes avec des forces exercées faibles
• Remarque : conservation du volume de fluide
A
B
BA S
SfF
S
F
S
f =⇒=
CHAPITRE 3FORCES HYDROSTATIQUES
EXERCEES SUR DES SURFACES
• Objectifs :calcul des forces (intensité, direction, sens et
point d ’application) exercées par les fluides au repos sur les surfaces
I- force de pression sur une surface
df = p ds n
avec n orienté vers l’extérieur du réservoir
1- cas des gaz
• soit un gaz à la pression p dans une enceinte
• on a p = constante en tout point car la masse volumique du gaz est petite
(≈ 2 g/L pour CSTP)
• donc df = p ds n avec p = constante
2- cas des liquides
• PM = pA + ρ g h
donc dfM = ( pA + ρ gh ) ds n
• Les forces exercées par la pression atmosphérique et la tension du réservoir s’opposent à la force dfM due à la pression du liquide
surface libre
h
atmosphère
M df
nfluide
II- résultante des forces de pression sur les parois d ’un réservoir
1- équilibre de l’élément de surface ds d’un réservoir
ds étant situé à la hauteur h sous la surface libre :
• écrivons l’équilibre de ds :
• df fl + df 1 + df 2 + df at = 0df fl = pM ds n = ( pat + ρ g h ) ds ndf at = - pat ds n
df 1
df 2
df fln
df at
Mréservoir
atmosphère
paroi
• la résultante des forces de pression sur dsest :
dRp = df fl + df at = ρ g h ds nles forces df 1 et df 2 se compensent !
donc la pression atmosph érique n ’intervient pas !
• la résultante des forces de pression est :
Rp = ∫∫∫∫ S ρ g h ds n
III- applications
1- force exerc ée sur une surface plane horizontale
x
FzFx
z
y
dz
Lz
Ly
dFx
Lx
• Fz est appelée poussée , dirigée vers l’extérieur du réservoir
• Soit Lz la hauteur de fluide• Sur la surface plane :
Fz = ∫S ρ g Lz ds n
Fz = ρ g Lz S n avec S = L x Ly
• La force exercée sur une paroi plane est égale au produit de la pression à la profondeur de la paroi par sa surface.
2- force exerc ée sur une surface plane verticale
• Calcul de dFx, force de pression exercée sur la bande de longueur Ly et de hauteur dz, située à une profondeur z :
dFx = p(z) ds n avec p(z) = cstedFx = ρ g z (Ly.dz) nFx = ρ g Ly ∫0
-Lz z dz n
avec S = surface de la paroi =Ly Lz
• Règle de calcul : la force exercée sur une paroi verticale est égale au produit de la surface de la paroi par la pression à la profondeur Lz / 2
nSL
gnL
LgF zzyx 22
2
ρρ ==
3- force exerc ée sur une surface plane inclin ée
y
x
z Ly
h
ds
n
dF
θ
n est perpendiculaire à la surface
• Calcul de dF , force de pression sur une bande horizontale de longueur Ly , de largeur dzi située à une profondeur z :
•surface de cette bande :
θθ
coscos
dzLdzLdsdonc
dz
dzyiy
i
===
dz i
θθθθ
Ly
dz
• dF = p ds n = ρ g z ds n
•
avec S’ = surface de la paroi inclinée
• Règle de calcul similaire au cas précédent :la force exercée sur une paroi inclinée est égale a u produit de la surface de la paroi inclinée par la pression à la profondeur L z/2
nLLg
zdznLg
F zyL
yz
θρ
θρ
cos2cos
2
0∫
−
==
θcos' zy LL
S =
nSL
gF z '2
ρ=
• composantes de F : F = Fx i + Fz k
• n = - cos θ i - sin θ k
• Donc Fx = - F cosθ et Fz = - F sinθ
avec F = norme de F = ρ g Lz /2 S’
• F = ( -F cosθ ; 0 ; -F sinθ)
IV- centre de pouss ée
le centre de poussée est le point d’application de la force de pression
1- cas d’une surface plane horizontale
f = cste car surface isobare
Lx
Ly
x
f
0
On obtient par le calcul : xC = Lx / 2
yC = Ly / 2
• donc pour une paroi plane, le centre de poussée et le barycentre de la surface sont confondus
2- cas d’une surface plane verticale
le centre de poussée est situé à 2/ 3 de lahauteur d’eau
fx
fx
fx
C
z
2h/3
y
Surface libre
hF=ρρρρg S h/2
3- cas d’une surface inclinée
• position du centre de poussée :
z Ly
h
ds
n
dF
x
θ
θcos3
2 h
y
2h/(3cos θ)o
f
o
C
M
F
f
x
hθ
CHAPITRE 4PRINCIPE D’ARCHIMEDE
(200 ans avant JC !)
I- énonc é
• La résultante des forces de pression sur un corps immerg é dans un fluide au repos est une pouss ée verticale, dirig ée de bas en haut et égale au poids du volume de fluide d éplac é.
II- propriétés• principe valable pour un corps complètement ou
partiellement immergé
• pour un corps partiellement immergé le centre de poussée et le centre de gravité du solide ne sont pas confondus
d’où stabilité ou instabilité
Le centre de poussée se situe au centre de gravitéde la masse de fluide déplacé.
• la poussée d’Archimède est indépendante de :
– la profondeur d’immersion du corps pour un fluide incompressible
– la nature du matériau constituant le corps
• la poussée d’Archimède n’est fonction que :
– de la masse volumique du fluide
– du volume du corps (sa géométrie)
III- exemple de calcul
• Un cube de glace d’arête a flotte sur l’eau• Déterminer la hauteur h de glace en dessous de la
surface libre.
• Donnée : ρ (glace) = 912 kg/m3
• P + Fa = 0
• sur (Oz) : a3 ρgl g – a2 h ρeau g = 0
donc h = 0,912 a
CHAPITRE 5 : DYNAMIQUE DES FLUIDES
Objectif : établir les lois de l’écoulement des fluides
(problème très complexe !)
• Cas du fluide :
– incompressible (V indépendant de p)
– idéal (viscosité nulle)
– en écoulement permanent (vitesse, pression et débit en un point quelconque du fluide sont indépendants du temps)
I- définitions1- ligne de courantsoit un volume élémentaire de fluide dV• définition : ligne de courant = trajectoire du volum e
élémentaire
• La vitesse du volume élémentaire est tangente à la ligne de courant en tout point
2
3
v1
v2
v3
1
2- tube de courant
• définition : ensemble de lignes de courant défini par un contour ferm é à l’intérieur de l’écoulement
3- débit volume Q v
• définition : volume de fluide traversant la section S par unité de temps
• Qv en m 3/s• Si la vitesse v est constante sur la surface S,
alors : Qv = S * v
4- débit masse Q m d’un fluide incompressible
• définition : masse de fluide traversant la surface S par unité de temps
• Qm en kg / s
• Qm = ρρρρ * Qv
avec ρρρρ et v constant sur la surface S
5- fluide id éal
• définition : si les forces entre 2 volumes élémentaire s de fluide sont perpendiculaires à la surface de séparatio n (viscosité = 0)
F1
v2
v 1
F12
Donc pas de tourbillon dans l’écoulement, les lignes de courant ne se croisent pas.
6- écoulement permanent ou stationnaire
• définition : quelque soit le point du fluide, la vitesse, la pression et le débit en ce point sont ind épendant du temps
II- équation de continuité
• Soit un tube de courant dans un écoulement stationnaire :
Qv en S1 = Qv en S2
S1 v1 = S2 v2
Si S2 > S1 alors v 2 < v1
S1
S2
III- équation de Bernoulli
1- application du th éorème de l’é nergie cin étique
• soit un volume de fluide dV de masse dm passant d’un point 1 de côte z1 à un point 2 de côte z2
• les deux points 1 et 2 appartenant à la même ligne de courant !
Z1
Z2
v2
V1
2
1
• La variation d’énergie cinétique de ce volume entre les deux points 1 et 2 est égale à la somme des travaux des forces extérieures s’exerçant sur lui :
∆Ec = W (poids) + W (forces de pression)
• variation d ’énergie cin étique :
∆Ec = ½ dm (v22 – v1
2)
• travail de la force de pesanteur entre les points 1 et 2 :
W (P) = P . dz = - dm g (z2 – z1)
• travail des forces de pression sur le volume dV entre les points 1 et 2W (p) = - (p2 – p1) dV = - (p2 – p1) dm / ρ
• Donc le th éorème de l’énergie cin étique s’écrit :
½ dm(v22 – v1
2) = - dm g(z2 – z1) – (p2 – p1)dm/ρ½ dm v2
2 + dm g z2 + p2 dm/ρ = ½ dm v12 + dm
g z1 + p1 dm/ρ
⇒ ½ ρ v22 + ρ g z2 + p2 = ½ ρ v1
2 + ρ g z1 + p1
2- relation de Bernoulli
• Pour tous les points appartenant à la même ligne de courant :
½ ρρρρ v2 + ρρρρ g z + p = cste
ρ g z = pression due à l’altitude du point considérép = pression du fluide au point considéré½ ρ v2 = pression dynamique
• remarque : tous les termes de l’équation sonthomog ènes à une pression
• expression de la relation de Bernoulli en terme de hau teur :
on divise tous les termes par ρρρρ g
p/(ρg) = hauteur piézométrique ou charge de pression (hauteur de la colonne de fluide de masse volumique ρ qui mesure p)v2 / (2g) = charge dynamiquez = altitudeH = charge totale constante
TOUS LES TERMES SONT EXPRIMES EN METRENotation : mCE = m ètre de colonne équivalente
Hg
pz
g
v =++ρ2
2
Représentation graphique de la relation de Bernoull i :
altitude
Ligne de charge
Ligne piézométrique
P / ρg
V2 / 2g
z
Z1
S1S2
D1 < D2
x
Z2
X en mètres
Hauteur en mCE
z
IV- applications
1- effet VenturiSoit une canalisation horizontale avec un rétrécissement :
S2
P1 / ρg
P2 / ρg
Ligne de charge
Ligne piézométrique
x
h
1 2
S1
v22 / 2g
S1
v12 / 2g
• conservation de la masse : v1 S1 = v2 S2donc v2 / v1 = S1 / S2
• équation de Bernoulli :
½ ρ v12 + p1 = ½ ρ v2
2 + p2 (z = constante)p1 – p2 = ½ ρ (v2
2 – v12) = ½ ρ v1
2 (v22/v1
2 – 1) = ½ ρ v1
2 (S12/S2
2 –1)
donc p1 > p2 car S1 > S2et v1 < v2
donc pression au col plus faible qu’à l’entrée de celui-ci !donc si p1 = pat alors p2 < pat
• application : trompe à vide pour réaliser un vide sommaire
2- tube de Pitotsoit un tube très fin horizontal, parallèle aux lignes de
courant d’un fluide en écoulement stationnaire :
2 prises de pression : une à l’avant (point A) une sur le côté (point B)
A
B
M
eauh
• Appliquons la relation de Bernoulli entre les 2 poi nts A et M :
½ ρ vA2 + ρ g zA + pA = ½ ρ vM
2 + ρ g zM + pM
avec : vA = 0 (point d’arrêt)
ρ g zA = ρ g zM
d’où : pA = pM + ½ ρair vM2
donc la prise de pression A mesure la pression totale
• Appliquons la relation de Bernoulli entre les 2 poi nts B et M :
½ ρ vB2 + pB = ½ ρ vM
2 + pM
avec : ρ g zB = ρ g zM
De plus : vB = vM
d’où : pB = pM
donc : pA – pB = ½ ρair vM2
• pA – pB = ½ ρair vM2
• pA – pB = ρeau g h
avec h : hauteur d’eau dans le tube en U
Donc
A.N. :ρair = 1,225 kg/m3 ; ρeau = 1000 kg/m3 ; g = 9,81 m/s2
avec h en mm
aireauM hgv
ρρ 2=
smenhv /4=
3- écoulement d ’un liquide par un orifice
• Relation de Bernoulli entre les 2 points A et B :vA ≈≈≈≈ 0 (surface importante du réservoir par rapport à
la section de l’orifice de sortie) pA = pat et pB = pat
ρρρρg zA = ½ ρρρρvB2 + ρρρρg zB
h
A
V
B
• remarque : la vitesse du fluide est équivalente à celle d’un corps en chute libre d’une hauteur h !
• Qv = vB * S où S est la section de l’orifice
hgzzgv BAB 2)(2 =−=
4- cas du siphon
• écoulement si le siphon est amorcé : il doit être rempli de liquide !
A
M
B
• Bernoulli entre B et M :
½ ρ vB2 + ρ g zB + pB = ½ ρ vM
2 + ρ g zM + pM
or pB = pat et vB = vM
donc pM = pat - ρ g (zM – zB)
donc pM < pat donc effet d’aspiration !
• Remarque :
→ même expression que pour une vidange par un orifice→ vB varie en fonction de zA
)(2 BAB zzgv −=
Phénom ène de cavitation
• pour un fluide à une température donnée, la phase liquide n’existe que si la pression absolue est supérieure à la pression de vapeur saturante Ps de ce liquide
• si la pression devient < à Ps, présence du phénom ène de cavitation :
→ des bulles de gaz se forment au niveau de l’écoulement (vaporisation du liquide)
• effets néfastes : corrosion, vibration, bruit
• pour éviter la cavitation pour le siphon précédent :pM > Ps soit ( zM – zB ) ρ g < pat - Ps
V- généralisation de l’é quation de Bernoulli
• influence d’un travail supplémentaire extérieur :lorsque des forces extérieures s’exercent localement sur
un fluide, elles fournissent ou prélèvent une puissance Pm dont il faut tenir compte
– cas d’une pompe : puissance fournie au fluide donc Pm > 0– cas d’une turbine : puissance prélevée au fluide donc Pm < 0
machine1 2
• La relation de Bernoulli s’écrit alors :
(½ ρ v22 +ρ g z2 +p2)- (½ ρ v1
2 +ρ g z1+p1) = Pm/Qv
avec Pm en Watt Qv en m3/s Pm/Qv en Pa
VI- théorème d ’Euler
but : calcul des forces agissant sur un volume de fluide
1- rappelprincipe de la dynamique :
2- énonc éSoit un volume de fluide étudié entre 2 instants t et t + ∆t :
• A l’instant t : volume ABCD• A l’instant t + dt : volume A ’B’C’D’
t
vmF i
∆∆=Σ
A A’ C
D’
DB’B
ve
vs
C’
• le principe de la dynamique s’écrit alors :
avec ve et vs les vitesses d’entrée et de sortie du volume considéré
• Enoncé du théorème d’Euler en projection sur les 2 axes (Ox) et (Oy) :
Qm (vs – ve)x = (ΣΣΣΣi Fi)x
Qm (vs – ve)y = (ΣΣΣΣi Fi)y
)()(
esmesm
i vvQt
vvtQF −=
∆−∆=Σ
3- application
• Soit une canalisation dans un plan horizontal z = 0 • Système étudié : volume de fluide
R
ve Fe
vs
Fs
θθθθ
y
x
P
• Calcul des vitesses :
ve = 0 et v s = vs cos θθθθve vs sin θθθθ
• Bilan des forces :
Fe = 0 Fs = - ps Ss cos θθθθpe Se - ps Ss sin θθθθ
R = force exercée par la canalisation sur le fluide
R = RxRy
• Théorème d’Euler :(Ox) : ρ Se ve(vs cos θ) = Rx – psSs cos θ(Oy) : ρ Seve (vssin θ – ve) = Ry + peSe – ps Ss sin θ
donc :Rx = ρ Se ve (vscos θ) + psSscos θRy = ρ Se ve (vssin θ – ve) - peSe + ps Ss sin θ
• Remarque : les composantes de la force exercée par le fluide sur la canalisation sont : - Rx et - Ry
• Conservation du débit : Se ve = Ss vs
• Relation de Bernoulli : ½ ρve2 + pe = ½ ρvs
2 + ps
CHAPITRE 6 : ECOULEMENT DES FLUIDES VISQUEUX
I- viscosité
1- mise en évidence
H1
H2
H3
• H1 > H2 > H3
• l’équation de Bernoulli donne :
v2/2g + p/ρg = cste
donc v = cste ⇒ p = cste
donc la relation de Bernoulli ne peut s’appliquer telle quelle !
2- forces de viscosité
Soit une couche de fluide entre 2 plaques : une fixe et l’autre mobile (vitesse v)
En z = 0 on a vf = 0 et en z = h on a vf = v
vp = v
h
0
z
• énoncé de la loi de Newton :
la contrainte tangentielle visqueuse est proportionnelle au gradient de vitesse :
avec η = viscosité dynamique
• la viscosité est une propriété qui traduit la résistance d’un fluide àl’écoulement
• elle se manifeste lors de l’écoulement d’un fluide dans une canalisation ou lors d’un mouvement d’un solide par rapport à un fluide
dz
dvf
ds
dF η=
• dimension de la viscosité :
• unité : Pa.s ou Poiseuille ( Pl )
• ordres de grandeur :
– eau : 1 mPa.s à 20 °C
0,47 mPa.s à 60 °C– huile SAE 30 : 290 mPa.s
[ ][ ][ ] [ ]
[ ][ ][ ]
[ ][ ][ ]TL
M
TL
LLT
LM
==22
η
• définition :
un fluide Newtonien est un fluide dont la viscosité ne dépend que de la température et de la pression
• tous les gaz et liquides purs sont newtoniens
II- nombre de Reynolds : Re
1- définition
avec : vm : vitesse moyenne du fluide dans une section de surface S
ρ : masse volumique du fluideη : viscosité du fluide
D : diamètre de la canalisation
ηρ Dv
R me =
2- propriétés
• Re est un nombre sans dimension
• Re caractérise le type d’écoulement :Re < 2000 : écoulement laminaireRe > 4000 : écoulement turbulent
• Remarque :
2000 < Re < 4000 : régime de transition
3- écoulement turbulent
• Les mouvements des volumes élémentaires de fluide sont désordonnés, donc les tubes de courant ne se conservent pas le long de l’écoulement
• Profil de vitesse :plus uniforme que pour un écoulement laminaire
vm > 0,75 * vaxe
• Si Re augmente alors vm tend vers 0,9 * vaxe
4- écoulement laminaire
• définition : les couches de fluide glissent les unes par
rapport aux autres sans se mélanger
r
R
• Profil de vitesse :
v ( r ) = vaxe (1- r2 / R2)
profil parabolique
5- calcul du d ébit - volume
• dQv = 2π r v(r) dr= 2π r vaxe (1 – r2 / R2) dr
Qv = (π R2 vaxe) / 2
drR
rrvQv
R
axe )1(20
2
2
∫ −= π
r
• Remarque :
rappel du cas du fluide idéal :
v est indépendant de r et Qv = πR2 vaxe
donc : Qv(idéal) = 2 * Qv(visqueux)
vitesse moyenne d’un écoulement visqueux laminaire = v axe / 2
et Qv = ππππR2 vm
III- Ecoulement des fluides visqueux
1- pertes de charge régulières dans une canalisation
la pression tout au long de la conduite diminue du fait de la viscosité
explication : frottements entre les différentes couches defluides et entre le fluide et la paroi
• pertes de charge par unité de longueur :
Pf / (Qv * L) en Pa/m
avec L = longueur de la conduitePf = puissance (en watt) perdue par le
fluide sur la longueur L
2- généralisation de l’é quation de
Bernoulli
a- cas de l’écoulement avec perte de charge régulière et sans machine
Soient deux sections 1 et 2 d’une conduite horizontale de diamètre constant :
( ½ ρ v22 + ρ g z2 + p2 ) - ( ½ ρ v1
2 + ρ g z1 + p1 ) = Pf / Qv
or z1 = z2 et v1 = v2
donc p2 – p1 = Pf / Qv
• Pf /Qv représente la chute de pression entre les deux sections 1 et 2
• Elle est fonction de :
- la viscosité
- la vitesse moyenne- la géométrie de la canalisation (diamètre)
b- représentation graphique
altitude
Ligne de charge
Ligne piézométrique
P / ρg
V2 / 2g
z
S1S2
D1 < D2
x
Perte de charge
Hauteur d’eau équivalente
z1
z2
c- cas d’un écoulement avec des pertes de charge (P f) et des machines (P m)
(½ ρ v22 + ρ g z2+ p2) - (½ ρ v1
2 + ρ g z1+ p1) = (Pm+Pf)/Qv
avec Pm et Pf en Watt
→ ajouter les pertes de charge régulières avec les variations de charge introduites par les machines
3- perte de charge singulière
• définition :chute de pression liée aux accidents tels que : – coude
– changement brutal de section– robinet, vanne…
• ce type de pertes de charge s’ajoute aux pertes de charge régulières et aux variations de charge introduites par les machines
exemple de représentation graphique pour une conduite possédant un rétrécissement et une pompe :
x
z
Section S
Section S’
Section S
pompe
rétrécissement
Ligne de charge
S’ < S
• Exemple du coude :
perte de charge singulière calculée avec : ½ ρ k v2
avec k : coefficient fonction de la géométrie
(voir abaque)
IV- relation de Poiseuille
Soit l’écoulement d’un fluide dans un tuyau de rayon R etde longueur L :
• en régime laminaire :
avec w = perte de charge par unité de longueur du tuyau
donc :
)(4
1)(
22
rRwrv −=η
∫=R
v drrrvQ0
2)( π
4
18
RQw v π
η=
• En régime laminaire, les pertes de charge sont donc proportionnelles :
– à la viscosité
– au débit
– à 1/R4
CHAPITRE 7 : EXEMPLES DE CAPTEURS UTILISES EN
MECANIQUE DES FLUIDES
I- débitm ètre à palette
• intérêt : simplicité, robustesse et faible coût
• La position d’équilibre de la palette est fonction du débit• Elle est convertie en signal électrique à l’aide d’un
potentiomètre dont l’axe est fixé à celui de la palette
fluide
palette
ressort
potentiomètre
II- débitm ètre à section variable : rotam ètre
Fluide de vitesse v
S
Fp
P
Fa
• Forces extérieures appliqu ées au flotteur :
– Fa : poussée d’Archimède
Fa = ρfluide * Vflotteur * g
– P : poids
– Fp : force exercée par la pression dynamique du fluide
Fp = ½ ρfluide v2 * Sf avec Sf = section du flotteur
• équilibre du flotteur : - P + Fa + Fp = 0
d’où Fa - P = Fp = ½ ρfluide v2 Sf
or P , Fa et Sf sont constantes
on doit donc avoir v = constante
donc la vitesse de passage du fluide dans le capteu r est constante
Or Qv = v.Soù S = section de passage du fluide dans le tube
tronconique
Donc les variations de Qv impliquent une variation de S puisque v est constante
• La position d’équilibre du flotteur dans le tube dépend donc du débit
• La lecture du débit est effectuée directement en regard de la partie supérieure du flotteur après étalonnage
III- débitm ètre à ultra - son (U.S.)• Principe : utiliser l’effet d’entraînement des
ondes U.S. dû à l’écoulement du liquide dans la conduite
Emetteur-récepteur US
Valable quelque soit le sens de l’écoulement
• Le temps de propagation du signal U.S. aller-retour dépend de la vitesse du fluide
• Le déphasage entre signal incident et signal réfléchi est l’image de la vitesse moyenne du fluide
• Utilisable avec tout liquide
• Sondes directement posées sur la conduite
III- anémom ètre à fil chaud
• principe : variation de la résistance d’un fil fin en fonction de la température
• soit un fil maintenu à température constante plongé dans un écoulementpar échange thermique (convection), on a une variation de température du fil proportionnel à la vitesse de l’écoulement vd’où une variation de résistance du fil proportionnelle à v
• méthode bien adaptée aux écoulements turbulents (car importante fréquence de réponse)
• à manipuler avec précaution (fil = 1/10 de micron)
IV- capteurs de pression
1- à jauges de contrainte
jauge collée sur une membrane :
donc déformation de la membrane entraîne une déformation de la jauge
d’où une variation de sa résistance électrique (pont de Wheatstone)
2- capteur à capsule piézo -électrique
la pression exercée sur une face d’un cristal de quartz entraîne une différence de potentiel entre les 2 faces du cristal
• fréquence de réponse importante
• faible sensibilité
3- capteur à détection optique
déplacement d’une membrane détecté grâce au phénomène d’interférence des ondes lumineuses
• bonne sensibilité
CHAPITRE 8 : AERODYNAMIQUE
• Aérodynamique : étude des phénomènes résultant des mouvements relatifs des corps par rapport à l'air
• Exemples : • déplacement d'un avion en vol• forces exercées par le vent sur un bâtiment• fonctionnement d'une éolienne
I- historique
• fin XIXe siècle : premiers avions• 1904 (Ludwig Prandtl) : mit en évidence la couche limite,
mince pellicule entourant un solide en mouvement dans un fluide
• 1934 : premières voitures de série aux formes aérodynamiques
• seconde Guerre mondiale : certains avions atteignirent puis dépassèrent la vitesse du son
• aujourd'hui : l'aérodynamique s'avère indispensable à la conception des avions, des automobiles, des bateaux, des véhicules spatiaux et des trains
II- dispositif exp érimental d’é tude
• soufflerie aérodynamique :
– pour simuler les conditions rencontrées par tout corps se déplaçant dans l'air
– un corps étudié dans une soufflerie est placé, immobile, dans un écoulement artificiel d'air ou de gaz
– dans les souffleries de laboratoire :
• banques de données caractérisant le champ aérodynamique des corps étudiés
• modèles théoriques servant aux calculs numériques
• Le nombre de Mach : rapport de la vitesse d'un solide par celle du son dans le milieu dans lequel le corps se déplace
• nombre sans unité
• les vitesses inférieures à Mach 1 sont inférieures à celle du son (340 m/s ou 1 224 km/h dans l’air) et sont dites subsoniques
• Mach 0,8 à Mach 1,2 (vitesse proche du son ) vitesses transsoniques
• Mach 1 et Mach 5 : vitesses supersoniques• supérieures à Mach 5 : vitesses hypersoniques
• Remarque :– veines importantes : difficile de produire et de
conserver un flux d'air à grande vitesse dans la soufflerie
– souffleries supersoniques et hypersoniques : on doit se contenter de veines de petites dimensions
III- exemple d ’étude : l’avion
• Avion : appareil de navigation aérienne plus lourd que l’air, propulsé par un moteur, et dont l’état d’équilibre (appelé sustentation ) est assuré par des ailes
1- principe de fonctionnementsystème des forces appliquées à un profil d'avion :
– un moment mesuré au centre de poussée (point d'application de la force de propulsion)
– deux composantes, la traînée (dirigée dans la direction de l'écoulement) et la portance (perpendiculaire à l’écoulement)chacune de ces deux composantes est proportionnelle à un coefficient aérodynamique lié à l'angle d'incidence de vol.
2- profil d ’une aile d ’avion
3- portance
• circulation d’air autour du plan de sustentation (ailes de l’avion)
• différence de pression de l’air de part et d’autre de l’aile : la pression étant plus faible au-dessus du plan de sustentation (extrados ) qu’en dessous (intrados ) (voir principe de Bernoulli)
• force perpendiculaire (portance ) proportionnelle à la vitesse de l’avion et dirigée vers le haut
• Elle dépend de la forme du plan de sustentation de l’appareil
• expression de la portance :
avec : ρ = masse volumique de l’air
V = vitesse de l’avionL = largeur de l’ailel = profondeur de l’aileCz = coefficient de portance
zlCLP V2
21ρ=
• Le coefficient de portance ( caractéristique principale d’un profil d’aile) est proportionnel à l’angle d’incidence, angle sous lequel le flux d’air rencontre le plan de sustentation
• Ceci est vérifier que pour des incidences inférieures àune incidence limite, appelée incidence de décrochage
• Au-delà, le flux d’air décolle, provoquant un écoulement tourbillonnaire sur l’extrados et par conséquent un abaissement progressif ou brutal de la portance.
• Lorsqu’un avion vole à altitude et à vitesse constantes, son poids est équilibré par la portance. Si l’angle d’incidence augmente, tout en restant inférieur à l’incidence de décrochage, l’avion s’élèvera
• Si le pilote souhaite augmenter la vitesse de l’avion tout en gardant la même altitude, il devra réduire l’incidence afin de compenser le supplément de portance dû àl’accroissement de la vitesse de l’appareil
• Lorsque le pilote se prépare à atterrir, il fait perdre de l’altitude à son appareil et réduit sa vitesse.
Cette diminution de la vitesse provoque une chute importante de portance, que le pilote compense en augmentant la surface de l’aile et son angle d’incidence :
- il déploie les volets de l’avion (dispositifs hypersustentateurs escamotables) situés à l’arrière des ailes (bord de fuite)
- Il existe également des dispositifs semblables àl’avant des ailes (bord d’attaque) : les becs
4- tra înée
• Tout corps en déplacement dans l'air subit des forces de frottement s'opposant à son mouvement, dues à la viscosité du fluide
• La couche limite , correspondant au siège des forces de frottement, est une pellicule d'air qui se crée autour de l'obstacle
• Sur un avion, cette force de freinage, nommé traînée , est contrée par la force de propulsion des moteurs.
• autour du profil d'un avion subsonique :
– les filets d'air restent parallèles entre eux dans l'épaisseur de la couche limite pour une certaine portion de l'aile
(écoulement laminaire)
– à partir d'un certain point de l'aile (point de transition) le régime devient turbulent et les filets d'air se mélangent. donc augmentation de la traînée
• une augmentation de l'angle d'incidence provoque une augmentation de la traînée
5- onde de choc• Le phénomène du mur du son se manifeste lorsqu’un
avion atteint la vitesse du son• l’avion va plus vite que les ondes de pression créées par
son propre mouvement : – formation d’une onde de choc– modification de l’écoulement autour de l’aile– augmentation de la traînée de l’avion– diminution de sa portance
• cette onde de choc s’accompagne d’un « bang » sonore très important
• Le passage du mur du son entraîne des effets thermiques :– frottement intense de l’air sur les parois – élévation température (100 °C à Mach 2,2)– matériaux résistant aux hautes températures
I.U
.T A
NN
EC
Y
Mesures P
hysiques
T
D N
° 6 M
EC
AN
IQU
E D
ES
FLU
IDE
S
S
emestre 3
10/11
Exercice 1
Dans le systèm
e représenté ci-dessous, la pom
pe BC
permet de transfére
r de l’huile (masse
volumique =
762 kg/m 3) du réservoir A au réservo
ir D.
Les 2 réservoirs sont à la pression atm
osphérique. Les p
ertes de cha
rge régu
lières dans les canalisatio
ns AB
et CD
sont respectivem
ent égales à
2,5 m et 6,5 m
en hauteurs équivalentes (diamètres des canalisations =
300 mm
). 1-
évaluer la puissance qu
e la pompe doit fournir au f
luide si le débit est de 160 L/s.
2- trace
r la ligne de ch
arge pour l’ensemble du systè
me
Exercice 2
Un barra
ge est équipé d’une turbine. Le diam
ètre de la conduite de so
rtie est égal à 2,5 m
. Le d
ébit est de 25 m 3/s.
D
éterminer la puissance disponible sur l’arbre d
e la turbine si son rendem
ent
est de 0,7 et si les pertes de charge sont évaluées
à 5 m
d’eau. E
xercice 3 D
ans une conduite de dia
mètre D
= 500 m
m, circu
le du pétrole (ρ =
870 kg/m3 ; η
= 0,25 P
l). Le d
ébit est de 50 L/s.
Z =
15 m
Z =
60 m
Réservoir A
Réservoir D
Pom
pe BC
Canalisation C
D
z
Canalisation A
B
1- calculer le nom
bre de Re
ynolds et con
clure 2-
calculer la vitesse du pétrole dans l’axe de la canalisation
3- calculer la puissance p
erdue sur une longueu
r L = 1
km de conduite
4- m
êmes questions avec un
e canalisation de diam
ètre D’ =
100 mm
E
xercice 4 S
oit une canalisation cylindrique où circule de l’ea
u. O
n relie un manom
ètre différentiel à 2 prises de p
ression pratiquées d
ans la paroi et séparé
es de 5 m
l’une de l’autre. La chute de p
ression mesurée est d
e 320 Pa. Le dé
bit est de 50 L/s.
1- calculer la perte d
e charge par unité de lon
gueur
2- quelle est la puissance dissipée sur une lon
gueur d
e conduite de 1 km ?
O
n fait une mesure en reliant le m
anomètre à 2 p
rises de pression situées 50
cm avant et
50 cm après un coude réa
lisé sur le mêm
e type de canalisation.
La chute de pression entre ces 2 points est de 210
Pa.
3- déterm
iner les pertes de charge sin
gulières 4-
à quelle longueur d
e conduite droite , ce coud
e est-il équivalent en term
e de
charge ?
Exercice 5
Soit le schém
a de principe sim
plifié d’une chaudièr
e à vapeur :
Le fioul, de viscosité 39,7 m
Pa.s et de m
asse volumique 883 kg/m 3
, est acheminé du rése
rvoir à la chaudière p
ar l’intermédiaire d’un
e pompe à tr
avers une conduite de diam
ètre d = 65 m
m.
Le débit volum
ique est de 1,2 m 3/h. La p
ression en A est de 1
,6 bar et la pression en B est de 20 bar (on suppose
zA =
zB ).
1- calculer la vitesse du fiou
l dans la conduite 2-
calculer le nombre de R
eyn
olds et conclure
3- calculer la perte d
e charge ré
gulière par unité de
longueur dans la conduite
en utilisant la loi de P
oiseuille 4-
à partir du document ci-joint sur les équivalences
des pertes de charge en longueu
r droite, calcule
r la longue
ur équivalente de conduit
e droite correspondant aux coudes
de courbure mo
yenne à 90° et à la vann
e à passage
directe toute ouve
rte 5-
calculer les pertes de cha
rge totale si la longueur d
e l’installation entre A et B
est de 60 m
6-
en déduire la charge app
ortée par la pom
pe et calculer la puissance de la p
ompe.
Soit une conduite horizontale, de diam
ètre D =
10 c
m et équipée d
’éléments filetés.
Voir F
igure 1
La vitesse mo
yenne d
e l’eau (viscosité η
= 1 m
Pa.s) est de 2 cm
/s. O
n néglige les pertes de charge ré
gulières dans les
singularités. Les p
ertes de cha
rge singulières dans les différent
es singularités sont données par :
½
ρ v2 k ave
c k = co
efficient de perte
1-
calculer la perte de ch
arge régulière totale dans l
a conduite en utilisant la loi de Poiseuille
2- déterm
iner le coefficient de perte de cha
rge singul
ière totale (on prendra k =
0,5 pour ce qui concern
e la sortie du réservoir) en considérant toutes les singularités
3- en déduire les p
ertes de charge sin
gulières totales
4- calculer alors la pe
rte de charge totale et conclur
e
L’eau, à une pression de 5 bar en T, actionne une t
urbine CR
. Elle est récup
érée dans le bassin
W qui est à la pression atm
osphérique ( figure 2 ).
Les diamètres d
es canalisations T
C et R
W sont respe
ctivement de 300 m
m et 600 m
m.
La charge consom
mé
e par la turbine C
R est de 60 m
. Les p
ertes de cha
rge régu
lières dans les canalisatio
ns TC
et RW
, exprimées en hauteur d
’eau, sont respectivem
ent égales à :
1- en utilisant la relation de conservation du débit e
t la relation de Be
rnoulli, déterminer les
vitesses vTC et VR
W
2- en déduire le d
ébit
g
vet
g
vR
WT
C
22
23
22
3- calculer la cha
rge en terme de hauteurs aux points
T, C
, R et W
et tracer la ligne de
charge
FIG
UR
E 1
FIG
UR
E 2
FIG
UR
E 3
FIG
UR
E 4
h1
h0
h2
h2
h0
h1
A
α
d
h B
A
B
C’
C
D
FIG
UR
E 1
FIG
UR
E 2
FIG
UR
E 3
FIG
UR
E 4
H
h
porte
eau
eau
surface
vanne
H
H
A C
B
A
B
L
eau
FIG
UR
E 1
FIG
UR
E 2
FIG
UR
E 3
FIG
UR
E 4
7 m
2 m
6 m
4 m
h
Masse M
l2 l1
eau du cristallisoir
z1
flotteur en liège
verre
IU
T A
NN
EC
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Mesures P
hysiques
T
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° 1 M
EC
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E D
ES
FLU
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S
S
emestre 3
10/11
Données : Pression atm
osphérique = 105 P
a M
asse volumique de l’eau =
1000 kg.m-3
Masse volum
ique du mercure =
13590 kg.m-3
g = 9,8 m
.s -2
Exercice 1
1- donner les dim
ensions de la grandeu
r pression 2-
un piston cylindrique de rayon R
= 20 cm
et de m
asse M
= 125 kg appuie sur un liquide
contenu dans le cylindre C
alculer la pression exercée sur la surface du liqu
ide par le piston. E
xercice 2 1-
calculer la pression à une
profondeur de 6 m
au des
sous de la surface libre d’un volum
e d’eau 2-
la masse volum
ique d’une huile de pétrole est de 7
50 kg/m
3 C
alculer la pression à la mêm
e profondeur au dessou
s de la surface libre d
u volume d’huile.
Exercice 3
Deux fluides de m
asse volumique
ρ1 et ρ
2 remplissent le réservoir de la
figure 1. C
alculer la hauteur h0 de la colonne de m
ercure utilisée pour m
esurer la
pression dans le bas du
réservoir si la pression au
dessus du liquide 1 est la pression atm
osphérique. D
onnées : ρ1 = 750 kg /m
3, h1
= 5 m
, ρ2
= 1000 kg /m
3, h2 =
1 m
Exercice 4
Pour m
esurer une faible surpression ∆
p entre 2 enceintes d’air, on utilise un m
anomètre en U
contenant de l’alcool de m
asse volumique ρ
a (figure 2). Le plan du tube est inclin
é d’un angle α
= 3 °.
1- calculer ∆
p en Pascal si les 2 m
énisques sont séparés de la d
istance d = 19,2 cm
D
onnée : ρa
= 780 kg /m
3
2- quel est l’intérêt d’un tel dispositif ?
Exercice 5
Soit un piston A
de section SA = 38,71 cm 2 agissa
nt sur une huile de masse
volumique
ρ = 750 kg/m
3.Le cylindre B de la presse h
ydraulique a une surface SB =
3871 cm2 et une m
asse M
= 4080,724 kg.
La distance entre les b
ases du piston A
et du piston B
est h = 487,68 cm
à l’équilibre (figure 3). Q
uelle est la masse du piston A
?
Exercice 6
Les 2 pistons d’une presse h
ydraulique ont respecti
vement pour diam
ètre D =
10 cm et
d = 1 cm
. O
n exerce sur le petit piston un effort équivalent
à une force norm
ale f = 10
N.
1- Q
uelle masse M
le grand piston pourra-t-il soulever
?
2- D
e combien le p
etit piston devrait-il s’enfonce
r pour que la ch
arge M soit soulevée d’un
e hauteur h =
10 cm ?
E
xercice 7 A
partir de la formule différentielle d
e la relation fondam
entale de l’hyd
rostatique d’un fluide et de l’équation d’état d’un gaz parfait, on obtient l
’équation différentielle suivante :
1- résoudre cette équation dans le cas d
’un gaz isotherm
e 2- calcule
r la variation de
pression dans l’atmosphère te
rrestre pour une variation d’altitude de 500 m
et de 8 000 m pour une tem
pérature de 20 °C
(mass
e molaire de l’air =
31 g) 3-
calculer la variation de pression pour un volum
e d’air (T
= 20 °C
) pour une
différence d
e hauteur de 1 m
si la pression au bas du volume est de 1,5 bar
4- mêm
e question avec d
u xénon (masse m
olaire = 140
g) E
xercice 8 P
our connaître la pression absolue à l’intérieur d’
une conduite (figure 4), on dispose d’un barom
ètre et d’un mano
mètre, tous 2 rem
plis de merc
ure. O
n mesure les cotes suivantes :
h
0 =
0,7565 m, h1 =
0.3245 m et h2 =
0,1925 m
1-
calculer la pression atmo
sphérique grâce au baro
mèt
re 2-
calculer la pression sur l’axe de la conduite si celle-ci contient de l’eau
3- m
ême question si la cond
uite contient de l’air (den
sité nulle)
0=
+d
zp
RT
Mg
dp
IU
T A
NN
EC
Y
Mesures P
hysiques
T
D N
° 2 M
EC
AN
IQU
E D
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FLU
IDE
S
S
emestre 3
10/11
Exercice 1
Un aquarium
(longueu
r L et largeur d
) est constitué d’un fond et d
e 4 face
s vitrées. Le b
ac contient de l’eau sur une hauteu
r H.
1- calculer les résultantes d
es forces F1 , F
2 et F3 exercées respectivem
ent sur le fond et les faces verticales
2- déterm
iner les points d’application ; faire un sch
ém
a. données : L =
150 cm ; d =
75 cm ; H
= 60 cm
E
xercice 2 S
oit une écluse dont le sas est ferm
ée par un
e porte rectan
gulaire de largeur L et d
e hauteur H
(figure 1). 1- déterm
iner les intensités et les points d’application des 2 forces s’exerça
nt sur la porte dues à la présence d
’eau de pa
rt et d’autre. 2- en déduire la résultante des forces de p
ression qui s’exercent sur la porte et son point
d’application. données : L =
6m ; H
= 5 m
; h = 2 m
E
xercice 3 U
ne vanne rectangulaire A
BC
D est pla
cée sur une
paroi verticale à la p
rofondeur H
d’un bassin contenant de l’eau
(figure 2).
1- déterm
iner l’expression littérale de la force de pr
ession qui s’exerce sur cette vanne
2- déterm
iner l’expression littérale de la position de son point d’application
3- application num
érique :
données : H =
3 m ; hauteur de la vanne : d =
25 cm et largeur de la vanne : L = 40 cm
E
xercice 4 S
oit un réservoir (volume L * l * H
) surmonté d’u
ne conduite verticale de diam
ètre d (figure 3). Initialem
ent le réservoir est com
plètement rem
pli d’eau et la conduite est vide.
1- déterm
iner la force résultante et son point d’application, sur la surfa
ce AB
(largeur l et hauteur H
) 2-
On rem
plit la conduite en versant un volum
e d’eau
V :
a-déterm
iner la force s’e
xerçant sur la surface AB
et son point d’application
b-déterminer la force s’e
xerçant sur le fond du réservoir et son point d’application
données : L= 6 m
; l = 2,4 m
; H =
1,8 m ; d =
2 cm et V =
3,1416 litres E
xercice 5 U
n réservoir contient de l’eau sur un
e hauteur B
C,
surmontée d’une épaisse
ur AB
d’huile de
masse volum
ique ρ
hu
ile (figure 4). 1-
calculer la force exercée sur la paroi AB
et son point d’application
2- calculer la hauteur d
’eau équivalente à l’huile et
en déduire la fo
rce exercée sur la paroi
BC
et son point d'application
3- en déduire la résultante d
es forces agissant sur la
totalité de la paroi verticale et la position
du point d’application données : hB
C = 1,8 m
; hAB =
3 m ; L =
1,2 m ; ρρρ ρ
huile = 800 kg/m
3
IU
T A
NN
EC
Y
Mesures P
hysiques
T
D N
° 3 M
EC
AN
IQU
E D
ES
FLU
IDE
S
S
emestre 3
10/11
Exercice 1
Un barra
ge en ciment (
ρc =
2,4 kg / dm 3) retient de l’eau sur un
e hauteur d
e 6 m (
figure 1). 1-
déterminer l’intensité de la force de pression a
gissant sur le barra
ge pour u
ne longueur de
1 m et déterm
iner la profondeur, par rapport à la s
urface libre, du centre de poussée
2- m
êmes questions si la face en conta
ct avec l’e
au fait un angle d
e 60° avec l’horizontal
Le coefficient de frottem
ent entre la base du ba
rrage et le sol des fondation
s vaut 0,48. O
n appelle coefficient de
sécurité d’anti - glissement le rapport d
e la résistance au glissement
sur la poussée. 3-
calculer ce coefficient pour le barra
ge de la quest
ion 1 O
n appelle le coefficient de sécurité d’anti- bascu
lement le rappo
rt du mom
ent de rappel total
sur le mom
ent de basculem
ent. 4-
calculer ce coefficient pour le barra
ge de la quest
ion 1 E
xercice 2 1- un cube de bois de côté a, de m
asse m, flotte su
r un liquide de masse volum
ique ρ. Les
arêtes du cube sont verticales ou horizontales (figure 2).
Quelle est la profond
eur h imm
ergée quand il est en
équilibre ?
2- soit une sphère de m
asse volumique ρ =
3300 kg/m3 et de m
asse m =
5 kg, suspendue à un
fil et entièrement im
mergée dans un réservoir d’e
au
(figure 2). D
éterminer la tension du fil.
Exercice 3
Un m
atériau de volume V
et de masse volum
ique
ρ est suspendu à l’un des 2 bras d’une
balance hyd
rostatique (figure 3).
On a besoin d’une m
asse M
pour équilibrer la balance qu
and l’objet est dans l’air.
1- déterm
iner la masse M
utilisée O
n plonge l’objet toujours attaché au fléau de la balance d
ans un liquide de m
asse volum
ique ρ’. 2-
déterminer la m
asse M’ à
utiliser pour équilibrer la
balance données : V
= 850 cm 3 ; ρρρ ρ =
1400 kg/m3 ; ρρρ ρ’ =
750 kg /m3 ; l1 =
40 cm et l2 =
20 cm
Exercice 4
Une bille de m
asse volum
ique ρ
b = 850 kg/m
3 est imm
ergée dans un récipient contenant
2 fluides non miscibles : de l’eau et de l’huile (
ρh =
750 kg/m3).
Calculer la fraction x du volum
e imm
ergé dans l’e
au.
Exercice 5
Pour protéger un p
arking souterrain contre les e
aux
de la nappe phréatique, on a fabriqué un
cuvelage en béton (
ρb =
2200 kg/m3) dont les dim
ensions extérieures sont : H
= 4,75 m
; l = 12,5 m
; L = 4
0 m
L’épaisseur du fond et de
s 4 parois verticales est d
e e = 0,3 m
(figure 4). 1-
calculer la masse du cuve
lage 2-
Le cuvelage étant im
mergé sous un
e hauteur d’e
au h
= 2,1 m
, calculer :
- l’intensité de la force exe
rcée par l’eau sur le fo
nd du cuvelage
- l’intensité de la force exe
rcée par l’eau sur les p
arois verticales 3-
calculer la poussée d’A
rchimède que subit le cuvela
ge 4-
calculer l’intensité T de la force totale exercée p
ar les tirants sur le cuvelage pour que
ce dernier reste imm
ergé dans la hauteur h d’eau
Sur un flotteur en liè
ge (section s), au repos sur la surface libre de l’eau d
’un cristallisoir
(section S), on a déposé un verre (section a
) remp
li d’eau jusqu’à une h
auteur h (figure 4).
La hauteur d
’eau dans le cristallisoir est Z
1 . O
n vide l’eau du verre dans le cristallisoir et la
nouvelle hauteur d’eau est Z
2 . 1-
écrire la relation traduisant la conservation du vo
lume d’eau entre les 2 situations (soient
h1 et h2 les hauteurs im
mergées du flotteur resp
ectivement
pour les cas 1 et 2) 2-
traduire dans les 2 cas la situation de repos du systèm
e (soit M la m
asse de ce qui flotte en dehors de l’e
au du verre
) 3-
compare
r Z1 et Z2
I.U
.T A
NN
EC
Y
Mesures P
hysiques
T
D N
° 4 M
EC
AN
IQU
E D
ES
FLU
IDE
S
S
emestre 3
10/11
Exercice 1
De l’eau s’écoule dans u
ne conduite dont les variations de section sont lentes.
Le débit est de 3 m 3/m
in. 1- calcule
r les vitesses mo
yennes v1 et v2 dans 2 sections droites de diam
ètre respectif
D1 =
120 mm
et D2 = 200 m
m
2- calculer le débit m
assique E
xercice 2 Le d
ébit - masse à la base du jet d’eau d
e Gen
ève est Q
m = 500 kg/s.
Le diamètre du tu
yau est d =
11 cm et le rendem
ent
énergétique est de 0,75. 1-
Calculer la vitesse d
e l’eau à la sortie du tu
yau 2-
déterminer la h
auteur du jet en utilisant la relation de B
ernoulli
3- calculer la puissance m
écanique nécessaire pour l’a
limentation
Exercice 3
On veut accélérer la circulation d’eau dans un
e con
duite de telle sorte que sa vitesse soit m
ultipliée par 1,5 (figure 1). 1-
calculer le diamètre en so
rtie de convergent si D
1 = 20 cm
2-
calculer la variation de pression (en P
ascal et en ha
uteur d’eau) entre l’entré
e et la sortie du convergent si v1 =
5 m/s et en néglige
ant les pertes de charge
3-représenter la ligne pié
zométrique et la ligne d
e charge ca
ractérisant l’éco
ulement.
Exercice 4
L’entrée E
d’un tuyau se trouve 10 m
sous la surfac
e libre d’un réservoir d’eau de grandes
dimensions et la sortie à 30 m
au dessous de cette m
ême surfa
ce libre. Le tu
yau a un diam
ètre D1 de 8 cm et se term
ine par une cou
rte tuyère T
de d
iamètre
D2
= 4 cm
(figure 2) . O
n suppose les pertes de charge n
égligeables.
1- calculer la vitesse de l’ea
u à la sortie de la tuyè
re 2-
calculer le débit – volume d’eau
3- donner la valeu
r de la pre
ssion en E ainsi que dans
une section située juste en am
ont de la tu
yère de sortie E
xercice 5 D
ans le tube de Venturi représenté
figure 3, la dénivellation du m
ercure du manom
ètre différentiel est de h1 =
35,8 cm.
1- en utilisant la loi de l’hydrostatique, exprim
er la différence de pression P
A - PB
2- exprimer cette m
ême différen
ce de pression en
utilisant la relation de B
ernoulli sachant qu’aucune éne
rgie n’est perdue entre A et B
3- en déduire le débit d’e
au à travers l’appareil
Données : D1 =
20 cm ; D2 =
15 cm ; h2 =
75 cm et ρH
g = 13600 kg/m 3
Exercice 6
Une pom
pe à essence (ρ
essen
ce = 800 kg/m
3) aspire le liquide dans une citerne pour la refoul
er dans le rése
rvoir d’un véhicule (pression réservoir
= pression atm
osphérique). F
igure 4 Le niveau d’essence dans la citerne varie entre z
1 = - 2 m
et z2 =
- 4 m. La citerne
comm
unique avec l’atmosphère. Le tu
yau par lequ
el l’essence s’é
coule a un diam
ètre d =
5 cm.
On veut que la durée de rem
plissage d’un réservoir
de 50 litres n’excède pa
s 3 minutes.
Quelle est alors la puissa
nce de la pomp
e utilisée ?
FIG
UR
E 1
F
IGU
RE
2
F
IGU
RE
3
10 m 30 m
F
IGU
RE
4
D1
D2
z z (en m)
- 2
+ 0,8
- 4
D1
h2
h1
D2
Surface lib
re
D2
D1
Tuyère
h2
A
B
z
0
I.U
.T A
NN
EC
Y
Mesures P
hysiques
T
D N
° 5 M
EC
AN
IQU
E D
ES
FLU
IDE
S
S
emestre 3
10/11
Exercice 1
Soit un tube de section circulaire d
e diamètre d =
20 cm
, coudé à angle dro
it et posé sur un plan horizontal. La p
ression mo
yenne de l’eau est de 6 b
ars. On n
égl
ige les frottements.
1- écrire les 2 relations issues du théorèm
e d’E
uler 2-
quelle est la résultante de
s forces s’exerçant sur le coude en supposant la vitesse
d’écoulement d
e l’eau négligeable ?
3-
que devient cette résultante si le débit de l’eau e
st de 0,16 m 3/s ?
E
xercice 2 U
ne lance à eau (
figure 1), tenue horizontalement, se term
ine par un embou
t, de section s =
10 cm
2, adapté à une conduite souple de section S
= 50 cm2.
En ré
gime stationnaire, le débit volum
ique de la lance est de 50 L/s.
1- calculer les vitesses ve et vs respectivem
ent égales aux vitesses dans la conduit
e souple et dans l’em
bout 2-
calculer la pression relative Pe dans l’axe de la co
nduite souple 3-
en utilisant le théorème d
’Euler, calculer la force
horizontale à exercer pou
r maintenir
la lance imm
obile E
xercice 3 L’eau d
e la retenue d’un barrage est transférée jus
qu’à une usine hyd
roélectrique par une canalisation de diam
ètre D =
50 cm (
figure 2) terminée par un réducteu
r (figure3) qui divise
la section par 2 entre l’entrée et la sortie.
1- calculer la vitesse de l’ea
u à sa sortie dans l’atmosphère (point O
) 2-
calculer la vitesse de l’eau dans la can
alisation en am
ont du réducteur (poin
t I) 3-
calculer la pression de l’eau au point I
4- calculer la pression de l’e
au au point E
5- calculer la puissance m
axim
ale récupérable avec une turbine
6- calculer les com
posantes de la force exercée par l’
eau sur le réducteur
Do
nn
ées : V
olume du ré
ducteur = 5,6 m 3 et raiso
nner en pression relative
F
IGU
RE
1
FIG
UR
E 2
FIG
UR
E 3
s con
duite
em
bo
ut S
I
O
A
O
E
0 70 m
100 m
z
6 m
θθθ θ = 30°
eau