1. MECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS , E s T A T I e A DC I M A E D I C I N R. c. Hibbeler TRADUCCIN Jos de la Cera Alonso Profesor titular, Universidad Autnoma Metropolitana Plantel Azcapotzalco REVISIN TCNICA Felipe de Jess Hidalgo Cavazos, MC.C. Departamento de Ingeniera Mecnica Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey PEARSON Educacin Mxico Argentina Brasil Colombia Costa Rica Chile Ecuador Espaa Guatemala Panam Per Puerto Rico Uruguay Venezuela 2. /Datos de catalogacin bibliogrfica HIBBELER, R. C. Mecnica vectorial para ingenieros. Esttica. Dcima edicin PEARSON EDUCACIN, Mxico,2004 ISBN: 970-26-0501-6 rea: Universitarios Formato: 20 x 25.5 cm Pginas: 656 Authorized translation from the English language edition,entitled Engineering Mechanics Statics, Tenth Edition, by R. C. Hibbeler, published by Pearson Education,Inc., publishing as PRENTICE HALL, INe., Copyright 2004. All rights reserved. ISBN 0-13-141167-5 Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls,titulada Intermediate Engineering Mechanics Statics, Tenth Edition, por R. C. Hibbeler, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE-HALL INe., Copyright 2004. Todos los derechos reservados. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en espaol Editor: Guillermo Trujano Mendoza e-mail: guillermo.trujano@pearsoned.com Supervisora de desarrollo: Diana Karen Montao Gonzlez Supervisor de produccin: Jos D. Hernndez Garduo Edicin en ingls Vice President and Editorial Director, ECS: Marcia Horton Vice President and Director of Production and Manufacturing, ESM: David W Riccardi Associate Editor: Dee Bernhard Editorial Assistant: Brian Hoehl Executive Managing Editor: Vince O'Brien Managing Editor: David A. George Production Editor: Rose Kernan Director of Creative Services: Paul Belfanti Manager of Electronic Composition & Digital Content: lim Sullivan DCIMA EDICIN,2004 D.R. 2004 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de e.Y. Atlacomulco 500-5to. piso Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico E-mail: editorial.universidades@pearsoned.com Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031 Assistant Manager of Electronic Composition & Digital Content: A/(yson Graesser Creative Director: Carole Anson Art Director: lonathan Boylan Electronic Composition: Clara Bartunek, Beth Gschwind, lulita Nazario, and ludith R. Wilkens Art Editor: Xiaohong Zhu Manufacturing Manager: Trudy Pisciotti Manufacturing Buyer: Lisa McDowell Senior Marketing Manager: Holly Stark Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de e.Y. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico,mecnico,fotoqumico,magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes. PEARSON --- Educacin ISBN 970-26-0501-6 Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 789 0 - 07 06 05 04 3. El propsito principal de este libro es proporcionar al estudiante una pre sentacin clara y completa de la teora y las aplicaciones de la ingeniera mecnica. Para lograr este objetivo, el autor no ha trabajado solo; en gran medida, a lo largo de sus 10 ediciones, el libro ha tomado forma gracias a los comentarios y sugerencias de ms de un centenar de revisores de la profesin docente y de muchos alumnos del autor. Nuevas caractersticas Algunos aspectos nicos contenidos en esta dcima edicin incluyen lo siguiente: Ilustraciones. A lo largo del libro han sido agregadas nuevas ilustracio nes con base en fotografas para establecer una fuerte conexin con la na turaleza tridimensional de la ingeniera. Adems, se ha puesto particular atencin en proporcionar una vista de cualquier objeto fsico con sus di mensiones y los vectores aplicados a l, de manera que su naturaleza pueda ser comprendida fcilmente. Problemas. Los conjuntos de problemas han sido revisados de tal forma que los instructores pueden seleccionar problemas tanto de diseo como de anlisis con un amplio rango de dificultad. Adems del autor, otros dos profesionales han revisado todos los problemas para mayor claridad y exac titud de las soluciones. Al final de algunos captulos se han incluido pro yectos de diseo. Material de repaso. Para ayudar a los alumnos a estudiar y recordar pun tos clave de cada captulo, han sido agregadas nuevas secciones de repaso al final de cada uno de ellos. Por supuesto, algunos aspectos del libro permanecen iguales: donde se ha considerado conveniente se pone un especial nfasis en el trazado de diagramas de cuerpo libre o en la importancia de seleccionar el sistema coordenado correcto, y cuando son aplicadas las ecuaciones propias de la mecnica, la convencin asociada de signos para componentes de vec tores es aplicada puntualmente. Contenido El libro est dividido en 11 captulos, en los cuales los principios son apli cados primero a situaciones simples y luego a situaciones ms complica das. Con frecuencia, cada principio es aplicado primero a una partcula, luego a un cuerpo rgido sometido a un sistema coplanar de fuerzas y finalmente, a un caso general de sistemas tridimensionales de fuerzas que actan sobre un cuerpo rgido. PREFAC o vii 4. viii P R E F A e I o Caractersticas especiales El captulo 1 empieza con una introduccin a la mecnica y un anlisis de unidades de medicin. La notacin de un vector y las propiedades de un sistema concurrente de fuerzas son presentadas en el captulo 2. Esta teora es aplicada entonces al equilibrio de una partcula en el captulo 3. El captulo 4 contiene un anlisis general de sistemas de fuerzas concen tradas y distribuidas, as como los mtodos usados para simplificarlos. Los principios del equilibrio de un cuerpo rgido son desarrollados en el cap tulo 5 y luego aplicados a problemas especficos que implican el equilibrio de armaduras, bastidores y mquinas en el captulo 6, y despus, al anlisis de fuerzas internas en vigas y cables en el captulo 7. Las aplicaciones a problemas que implican fuerzas de friccin son presentadas en el captulo 8, y los temas relativos al centro de gravedad y al centroide se tratan en el captulo 9. Si el tiempo lo permite,pueden tratarse secciones con temas ms avanzados,las cuales se sealan mediante asteriscos (* ). La mayora de esos temas estn incluidos en el captulo 10 (momentos de inercia para rea y masa) y en el captulo 11 (trabajo virtual y energa potencial). Advierta que este material tambin proporciona una referencia apropiada para los prin cipios bsicos cuando stos se tratan en cursos ms avanzados. Cobertura alternativa. A discrecin del instructor, parte del material puede presentarse en una secuencia diferente sin prdida de continui dad. Por ejemplo, es posible introducir el concepto de una fuerza y to dos los mtodos necesarios del anlisis vectorial cubriendo primero el captulo 2 y la seccin 4.2. Luego, despus de cubrir el resto del captu lo 4 (sistemas de fuerza y momento), pueden analizarse los mtodos de equilibrio de los captulos 3 y 5. Organizacin y enfoque. Los contenidos de cada captulo estn or ganizados en secciones bien definidas que contienen una explicacin de temas especficos, ilustrativos problemas de ejemplo, y un conjunto de problemas de tarea. Los temas de cada seccin estn situados en subgru pos definidos por ttulos en negritas. El propsito de esto es presentar un mtodo estructurado para introducir cada nueva definicin o concepto y hacer el texto conveniente para posteriores referencias y repaso. Contenidos de los captulos. Cada captulo comienza con una ilustra cin que muestra un amplio rango de aplicaciones del material presen tado. Se proporciona una lista del contenido del captulo para dar una visin general del material a tratar. Diagramas de cuerpo libre. El primer paso al resolver problemas de mecnica consiste en trazar un diagrama. Al hacerlo as, el estudiante ad quiere el hbito de tabular los datos necesarios y enfocar su atencin en los aspectos fsicos del problema y de su geometra asociada. Si este paso se efecta de manera correcta, la aplicacin de las ecuaciones pertinen tes de la mecnica resulta casi automtica, ya que los datos pueden ser tomados directamente del diagrama. Esta etapa es particularrnente im portante al resolver problemas de equilibrio, y por esta razn el trazo de los diagramas de cuerpo libre es muy enfatizado en todo el libro. En particular, secciones y ejemplos especiales estn dedicados a mostrar cmo trazar diagramas de cuerpo libre y, para desarrollar esta prctica, han sido agregados problemas especficos de tarea en muchas secciones del libro. 5. Procedimientos de anlisis. Estos procedimientos se encuentran al final de numerosas secciones y proporcionan al estudiante un repaso o resumen del material y un mtodo lgico y ordenado para aplicar la teo ra. Los problemas de ejemplo se resuelven usando los lineamientos de este mtodo para dejar clara su aplicacin numrica. Sin embargo, debe entenderse que una vez dominados los principios pertinentes, y adquiri dos suficientes criterio y confianza, el estudiante podr desarrollar sus propios mtodos para resolver los problemas. Fotografas. Para explicar cmo los principios de la mecnica se apli can a situaciones del mundo real, en el presente libro son usadas muchas fotografas. En algunas secciones, las fotografas se emplean para mos trar cmo los ingenieros deben elaborar primero un modelo idealizado para efectuar el anlisis y luego proceder a trazar un diagrama de cuerpo libre de este modelo para aplicar la teora. Puntos importantes. Esta caracterstica proporciona un repaso o re sumen de los conceptos ms importantes presentados en una seccin y enfatiza los puntos de relevan'cia que deben observarse cuando se apli ca la teora para resolver problemas. Comprensin conceptual. Por medio del uso de fotografas, la teora es aplicada de manera sencilla para ilustrar algunos de los aspectos ms importantes y transmitir el significado fsico de muchos de los trminos empleados en las ecuaciones. Estas aplicaciones simplificadas aumentan el inters en el tema y preparan mejor al estudiante para la compren sin de los ejemplos y la resolucin de los problemas. Problemas de ejemplo. Todos los problemas de ejemplo se presentan de manera concisa y en un estilo fcil de entender. Problemas de tarea Problemas de diagrama de cuerpo libre. Muchas secciones del libro con tienen problemas introductorios que slo requieren trazar el diagrama de cuerpo libre para los problemas especficos dentro de un grupo de proble mas. Estos trabajos mostrarn al estudiante la importancia de dominar esta habilidad como un requisito para lograr una solucin completa de cualquier problema de equilibrio. Anlisis general y problemas de diseo. La mayora de los problemas presentados en el libro muestran situaciones reales encontradas en la prc tica de la ingeniera. Algunos provienen de productos reales usados en la industria y son formulados tal cual. Esperamos que este realismo estimule el inters del estudiante en la ingeniera mecnica y le proporcione un me dio con el cual desarrollar la habilidad para reducir cualquier problema desde su descripcin fsica hasta un modelo o representacin simblica al que puedan aplicarse los principios de la mecnica. En todo el libro hay un balance aproximado de problemas que usan ya sea el sistema de unidades FPS o el SI. Todos los conjuntos de problemas se han intentado arreglar en orden de dificultad creciente. (Los problemas de repaso que aparecen al final de cada captulo estn presentados en orden aleatorio). Excepto para cada cuarto problema, las respuestas a todos los dems estn dadas al final del libro. Para alertar al usuario con respecto a un problema sin respuesta incluida, se ha colocado un asterisco (*) antes del nmero del problema. P R E F A e I o ix 6. x PREFAC I O Agradecimientos Problemas con computadora. Se ha hecho un esfuerzo por incluir algu nos problemas que pueden ser resueltos usando un procedimiento num rico ejecutable en una computadora personal o en una calculadora progra mable de bolsillo. El Apndice B presenta tcnicas numricas apropiadas junto con sus programas de computadora asociados. Lo que se intenta con ello es ampliar la capacidad del estudiante para usar otras formas de anli sis sin sacrificar el tiempo requerido para concentrarse en la aplicacin de los principios de la mecnica. Los problemas de est tipo que se pueden o se deben resolver mediante los mtodos numricos se identifican en el tex to con l smbolo "cuadrado" (-), contiguo al nmero del problema. Proyectos de diseo. Al final de algunos de los captulos se han incluido proyectos de diseo. Consideramos que este tipo de tarea debe ser encomen dada slo despus de que el estudiante ha desarrollado una compresin bsica del tema visto. Estos proyectos se enfocan en la resolucin de un pro blema especificando la geometra de una estructura u objeto mecnico ne cesarios para un fin particular. Se requiere presentar un anlisis de fuerzas y, en muchos casos, que se consideren aspectos de seguridad y costos. Repasos de captulo. Nuevas secciones de repaso de captulo resu men puntos claves del mismo, a menudo en listas caracterizadas por pun tos secuenciales. Apndices. Los apndices proporcionan las frmulas matemticas y los anlisis numricos necesarios para resolver los problemas del libro. El Apndice C presenta un conjunto de problemas que son caractersticos de los encontrados en el examen estadounidense denominado Funda mentals of Engineering. Al proporcionar una solucin parcial de todos los problemas, se le da al estudiante la oportunidad de practicar adicio nalmente sus habilidades. El autor ha intentado escribir este libro de modo que suscite el inters del instructor y del estudiante. Un gran nmero de personas ha contri buido a desarrollarlo a lo largo de muchos aos, y deseo expresarles mi agradecimiento por sus comentarios y sugerencias que mucho he apre ciado. Especficamente, quiero dar las gracias a las siguientes personas por su contribucin a la serie Esttica y Dinmica: Paul Heyliger, Colorado State University Kenneth Sawyers, Lehigh University John Oyler, University ofPittsburgh Glenn Beltz, University of California Johannes Gessler, Colorado State University Wilfred Nixon, University ofIowa Jonathan Russell, U.S. Coast Guard Academy Robert Hinks, Arizona State University Cap. Mark Orwat, U.S. Military Academy, West Point Cetin Cetinyaka, Clarkson University Jack Xin, Kansas State University Pierre Julien, Colorado State University Stephen Bechtel, Ohio State University W. A. Curtain, Brown University Robert Oakberg, Montana State University Richard Bennett, University ofTennessee 7. Agradezco en particular a los profesores Will Liddell, Jr. y Henry Kuhl man por su ayuda. Extiendo una nota especial de gracias a los revisores tcnicos, Scott Hendricks de VPI y Karim Nohra de la University of South Florida, quienes diligentemente revisaron todo el texto y los problemas. Deseo reconocer tambin la ayuda de mi esposa, Conny (Cornelie), en la lectura de pruebas durante el tiempo que ha tomado preparar este manuscrito para su publicacin. Finalmente, doy las gracias a todos mis estudiantes y a los miembros de la profesin docente que han invertido parte de su tiempo en en viarme sus sugerencias y comentarios. Dado que la lista sera muy larga como para mencionarla con todo detalle, espero que ellos acepten este reconocimiento. En cualquier momento, apreciar conocer los comentarios,sugerencias o problemas de los lectores relacionados con esta edicin. Russell Charles Hibbeler hibbeler@bellsouth.net PR E F Ae I o xi 8. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 1 Principios generales 3 Objetivos del captulo 3 Mecnica 3 Conceptos fundamentales 4 Unidades de medicin 6 El sistema internacional de unidades 8 Clculos numricos 10 Procedimiento general para el anlisis 14 2 Vectores fuerza 17 Objetivos del captulo 17 Escalares y vectores 17 Operaciones vectoriales 18 Suma vectorial de fuerzas 20 Suma de un sistema de fuerzas copianares 31 Vectores cartesianos 42 Suma y resta de vectores cartesianos 46 Vectores de posicin 55 Vector fuerza dirigido a lo largo de una lnea 58 Producto punto 68 C O NTEN o O 3 Equilibrio de una partcula 81 3.1 Objetivos del captulo 81 Condiciones para el equilibrio de una partcula 81 3.2 3.3 3.4 El diagrama de cuerpo libre 82 Sistemas de fuerzas coplanares 85 Sistemas tridimensionales de fuerzas 98 4.1 4 Resultantes de sistemas de fuerzas 113 Objetivos del captulo 113 Momento de una fuerza -formulacin escalar 113 4.2 Producto cruz 118 4.3 Momento de una fuerza -formulacin vectorial 121 4.4 Principio de momentos 126 4.5 Momento de una fuerza con respecto a un eje especfico 138 4.6 Momento de un par 148 4.7 Sistema equivalente 160 4.8 Resultantes de un sistema de una fuerza y un par 162 4.9 Reduccin adicional de un sistema de una fuerza y un par 166 4.10 Reduccin de una carga simple distribuida 180 xiii 9. xiv e o N TE N I DO 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.1 6.2 6.3 6.4 *6.5 6.6 5 Equilibrio de un cuerpo rgido 193 Objetivos del captulo 193 Condiciones para el equilibrio de un cuerpo rgido 193 Equilibrio en dos dimensiones 195 Diagra"inas de cuerpo libre 195 Ecuaciones de equilibrio 209 Miembros de dos y tres fuerzas 218 Equilibrio en tres dimensiones 231 Diagramas de cuerpo libre 231 Ecuaciones de equilibrio 237 Restricciones para un cuerpo rgido 238 6 Anlisis estructural 257 Objetivos del captulo 257 Armaduras simples 257 El mtodo de los nudos 260 Miembros de fuerza cero 266 El mtodo de las secciones 273 Armaduras espaciales 283 Bastidores y mquinas 287 7 Fuerzas internas 325 Objetivos del captulo 325 7.1 Fuerzas internas desarrolladas en miembros estructurales 325 *7.2 Ecuaciones y diagramas de fuerza cortante y de momento 342 *7.3 Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento 350 *7.4 Cables 360 8.1 8.2 8 Friccin 379 Objetivos del captulo 379 Caractersticas de la friccin seca 379 Problemas que implican friccin seca 383 Cuas 404 Fuerzas de friccin en tornillos 406 Fuerzas de friccin sobre bandas planas 414 Fuerzas de friccin en chumaceras de collar, chumaceras de pivote y discos 421 Fuerzas de friccin en chumaceras lisas 424 Resistencia al rodamiento 426 10. 9.1 9.2 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 *10.6 *10.7 *10.8 10.9 9 Centro de gravedad y centroide 437 Objetivos del captulo 437 Centro de gravedad y centro de masa para un sistema de partculas 437 Centro de gravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo 439 Cuerpos compuestos 461 Teoremas de Pappus y Guldinus 475 Resultante de una carga general distribuida 483 Presin de un fluido 484 10 Momentos de inercia 499 Objetivos del captulo 499 Definicin de momentos de inercia para reas 499 Teorema de los ejes paralelos para un rea 501 Radio de giro de un rea 501 Momentos de inercia para un rea por integracin 502 Momentos de inercia para reas compuestas 510 Producto de inercia para un rea 518 Momentos de inercia para un rea con respecto a ejes inclinados 522 Crculo de Mohr para momentos de inercia 525 Momentos de inercia de masa 535 11.1 11.2 11.3 1 1 e o N T E N I o o xv Trabajo virtual 551 Objetivos del captulo 551 Definicin de trabajo y trabajo virtual 551 Principio del trabajo virtual para una partcula y un cuerpo rgido 554 Principio del trabajo virtual para un sistema de cuerpos rgidos conectados 555 Fuerzas conservadoras 568 Energa potencial 569 Criterio de la energa potencial para el equilibrio 570 Estabilidad del equilibrio 572 Apndices A. Expresiones matemticas 584 B. Anlisis numrico y por computadora 586 C. Repaso para un examen de los fundamentos de ingeniera 592 Respuestas a problemas seleccionados 611 ndice 627 11. C..A p T U L o 1 Principios generales OBJETIVOS DEL CAPTULO 1.1 Mecnica Proporcionar una introduccin a las cantidades bsicas e idealizaciones de la mecnica. Presentar las leyes del movimiento y de la gravitacin de Newton. Repasar los principios para la aplicacin del sistema SI de unidades. Examinar los procedimientos estndar para efectuar clculos numricos. Presentar una gua general para la resolucin de problemas. La mecnica puede ser definida como la rama de la fsica que trata acer ca del estado de reposo o movimiento de cuerpos que estn sometidos a la accin de fuerzas. En general, este tema se subdivide en tres ramas: mecnica del cuerpo rgido, mecnica del cuerpo deformable y mecnica de fluidos. Este libro trata slo la mecnica del cuerpo rgido ya que sta constituye una base adecuada para el diseo y anlisis de muchos tipos de dispositivos estructurales, mecnicos o elctricos, que se encuentran en la ingeniera. Adems, la mecnica del cuerpo rgido proporciona parte de la base necesaria para el estudio de la mecnica de los cuerpos deformables y la mecnica de fluidos. La mecnica del cuerpo rgido se divide en dos reas: esttica y din mica. La esttica trata con el equilibrio de los cuerpos, esto es, aquellos que estn en reposo o se mueven con velocidad constante; mientras que la dinmica trata con el movimiento acelerado de los cuerpos. Aunque la esttica puede ser considerada como un caso especial de la dinmica, en el sentido de que la aceleracin es cero, merece un tratamiento especial en la enseanza de la ingeniera ya que muchos objetos son diseados con la intencin de que permanezcan en equilibrio. 3 12. 4 CAPTULO 1 Principios generales Desarrollo histrico. El tema de la esttica se desarroll muy tem prano en la historia porque los principios que implica pudieron ser formu lados simplemente a partir de mediciones de geometra y fuerza. Por ejemplo, los escritos de Arqumedes (287-212 a. de C.) tratan con el principio de la palanca. Estudios de la polea, el plano inclinado y la llave, tambin estn registrados en escritos antiguos, en pocas en que los requisitos de la ingeniera se limitaban principalmente a la construccin de edificios. Como los principios de la dinmica dependen de una medicin precisa del tiempo, este tema se desarroll mucho despus. Galileo Galilei (1564- 1642) fue uno de los primeros y principales contribuyentes a este cam po. Su trabajo consisti en experimentos con pndulos y en analizar la cada de cuerpos. Sin embargo, la ms importante contribucin en din mica fue hecha por Isaac Newton (1642-1727), quien es famoso por su formulacin de las tres leyes fundamentales del movimiento y la ley de la atraccin gravitatoria universal. Poco despus de que esas leyes fueron postuladas, Euler, D'Alembert, Lagrange y otros, desarrollaron impor tantes tcnicas para su aplicacin. 1.2 Conceptos fundamentales Antes de comenzar nuestro estudio de la mecnica, es importante en tender el significado de ciertos conceptos y principios fundamentales. Cantidades bsicas. Las siguientes cuatro cantidades se usan en toda la mecnica. Longitud. La longitud es necesaria para localizar la posicin de un punto en el espacio y as describir el tamao de un sistema fsico. Una vez definida una unidad estndar de longitud, podemos establecer cuantita tivamente distancias y propiedades geomtricas de un cuerpo como ml tiplos de la longitud unitaria. Tiempo. El tiempo es concebido como una sucesin de eventos. Aunque los principios de la esttica son independientes del tiempo, esta cantidad juega un papel importante en el estudio de la dinmica. Masa. La masa es una propiedad de la materia por medio de la cual es posible comparar la accin de un cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como una atraccin gravitatoria entre dos cuerpos y pro porciona una medida cuantitativa de la resistencia de la materia a cambios de velocidad. Fuerza. En general, la fuerza es considerada como un "empuje" o un "jaln" ejercido por un cuerpo sobre otro. Esta interaccin puede ocurrir cuando existe contacto directo entre los cuerpos, como cuando una per sona empuja una pared, o a travs de una distancia cuando los cuerpos es tn fsicamente separados. Ejemplos del ltimo tipo incluyen las fuerzas gravitatorias, elctricas y magnticas. En todo caso, una fuerza se caracte riza completamente por medio de su magnitud, su direccin y su punto de aplicacin. 13. SECCiN 1.2 Conceptos fundamentales 5 Idealizaciones. Los modelos o idealizaciones, se usan en mecnica pa ra simplificar la aplicacin de la teora. Definiremos ahora unas cuantas de las ms importantes idealizaciones. Otras que son tambin importan tes sern explicadas en donde sea necesario. Partcula. Una partcula tiene masa, pero un tamao que puede ser ig norado. Por ejemplo, el tamao de la Tierra es insignificante comparado con el tamao de su rbita, y por tanto, la Tierra puede ser modelada co mo una partcula al estudiar su movimiento orbital. Cuando un cuerpo es idealizado como una partcula, los principios de la mecnica se reducen a una forma un tanto simplificada ya que la geometra del cuerpo no esta r implicada en el anlisis del problema. Cuerpo rgido. Un cuerpo rgido puede ser considerado como una com binacin de un gran nmero de partculas en la que todas las partculas permanecen a una distancia fija unas de otras antes y despus de aplicar una carga. Como resultado,las propiedades del material de cu'1Jquier cuer po que se suponga rgido no tendrn que considerarse al analizar las fuerzas que actan sobre el cuerpo. En la mayora de los casos, las defor maciones reales que ocurren en mquinas, mecanismos y estructuras simi lares son relativamente pequeas, y la hiptesis de cuerpo rgido es la adecuada para el anlisis. Fuerza concentrada. Unafuerza concentrada representa el efecto de una carga que se supone est actuando en un punto sobre un cuerpo. Podemos representar una carga por medio de una fuerza concentrada, siempre que el rea sobre la cual la carga es aplicada, sea muy pequea en comparacin con el tamao total del cuerpo. Un ejemplo sera la fuerza de contacto entre una rueda y el terreno. las tres leyes del movimiento de Newton. Todo el tema de la me cnica del cuerpo rgido est formulado con base en las tres leyes del mo vimiento de Newton,cuya validez se basa en la observacin experimental. Estas leyes se aplican al movimiento de una partcula medido desde un marco de referencia no acelerado. Con relacin a la figura 1-1, las leyes del movimiento de Newton pueden ser enunciadas brevemente como sigue. Primera ley. Una partcula originalmente en reposo, o que se mueve en lnea recta con velocidad constante, permanecer en este estado siempre que no est sometida a una fuerza que no est balanceada. Segunda ley. Una partcula sobre la que acta una fuerza desbalancea da F experimenta una aceleracin a que tiene el mismo sentido que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza: Si F es aplicada a una partcula de masa m, esta ley puede expresarse mate mticamente como F = ma (1-1) Tercera ley. Las fuerzas mutuas de accin y reaccin entre dos par tculas son iguales, opuestas y colineales. *Dicho de otra manera, la fuerza desbalanceada que acta sobre la partcula es propor cional a la razn de cambio con respecto al tiempo del momento lineal de la partcula. F3 Equilibrio F ---.o a - Movimiento acelerado fuerza de A sobre B F C@@ F A B efuerza de B sobre A Accin - reaccin Fig.l-1 14. 6 CAPTULO 1 Principios generales Ley de la atraccin gravitatoria de Newton. Poco despus de formular sus tres leyes del movimiento,Newton postul una ley que gobier na la atraccin gravitatoria entre dos partculas cualesquiera. Enunciada matemticamente resulta en, donde (1-2) F = fuerza de gravitacin entre las dos partculas G = constante universal de gravitacin; de acuerdo con la evidencia experimental, G = 66.73(10-12) m 3 /(kg . S 2 ) mh m2 = masa de cada partcula r = distancia entre las dos partculas Peso. De acuerdo con la ecuacin 1-2, dos partculas o cuerpos cuales quiera tienen una fuerza (gravitatoria) de atraccinmutua que acta entre ellas. Sin embargo, en el caso de una partcula localizada en o cerca de la superficie de la Tierra, la nica fuerza gravitatoria de cierta magnitud es aquella que est entre laTierra y la partcula. Por ello, esta fuerza, llamada peso, ser la nica fuerza gravitatoria que consideraremos en nuestro es tudio de la mecnica. A partir de la ecuacin 1-2, podemos desarrollar una expresin apro ximada para encontrar el peso W de una partcula con masa mi = m. Si suponemos que la Tierra es una esfera sin rotacin de densidad constan te y con una masa m2 = Me, entonces, si r es la distancia entre el centro de la Tierra y la partcula, tenemos Haciendo g = GMe/? resulta (1-3) Por comparacin con F = ma, denominamos g a la aceleracin debida a la gravedad. Como la aceleracin depende de r, puede verse que el pe so de un cuerpo no es una cantidad absoluta, sino que su magnitud se determina desde donde es hecha la medicin. Sin embargo, para la ma yora de los clculos de ingeniera, g se determina al nivel del mar y a una latitud de 45, lo cual se considera la "ubicacin estndar". 1.3 Unidades de medicin Las cuatro cantidades bsicas -fuerza, masa, longitud y tiempo-- no son todas independientes una de otra; de hecho, estn relacionadas por la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma. Debido a esto, no todas las unidades usadas para medir esas cantidades pueden seleccionarse arbitrariamente. La igualdad F = ma se mantiene slo si tres de las cua tro unidades, llamadas unidades bsicas, son definidas arbitrariamente y la cuarta unidad se deriva entonces a partir de la ecuacin. 15. Unidades SI. El Sistema Internacional de unidades, abreviado SI a par tir del trmino francs "Systeme International d'Units", es una versin moderna del sistema mtrico que ha recibido reconocimiento mundial. Como se muestra en la tabla 1-1, el SI especifica la longitud en metros (m), el tiempo en segundos (s) y la masa en kilogramos (kg). La unidad de fuerza, llamada newton (N), se deriva de F = ma. As, 1 newton es igual a una fuerza requerida para dar a 1 kilogramo de masa una aceleracin de 1 m/s2 (N = kg' m/s2). Si el peso de un cuerpo situado en la "ubicacin estndar" va a ser de terminado en newtons, entonces debe aplicarse la ecuacin 1 -3. Aqu g = 9.80665 m/s2; sin embargo, para los clculos se usar el valor g = 9.81 m/s2. Entonces, W = mg (1-4) Por tanto, un cuerpo de masa de 1 kg tiene un peso de 9.81 N, un cuer po de 2 kg pesa 19.62 N, Y as sucesivamente, figura 1-2a. Unidades comunes en Estados Unidos. En el sistema de unidades empleado comnmente en Estados Unidos (FPS), la longitud se mide en pies (ft), la fuerza en libras (lb)Y el tiempo en segundos (s),tabla 1-1. La unidad de masa, llamada slug, es derivada de F = ma. Por tanto, 1 slug es igual a la cantidad de materia que es acelerada a 1 pie/s2 cuando acta sobre ella una fuerza de llb (slug = lb s2/pies). Para determinar la masa de un cuerpo que tenga un peso medido en libras, debemos aplicar la ecuacin 1- 3. Si las mediciones son hechas en la "ubicacin estndar", entonces g = 32.2 pies/s2 ser usada para los clculos. Por tanto, W mV g (gV 32.2 pies/s2) (1-5) As, un cuerpo que pese 32.2 lb tiene una masa de 1 slug, un cuerpo de 64.4 lb tiene una masa de 2 slugs, y as sucesivamente, figura 1-2b. TAB L A 1-1 Sistema de unidades Nombre .Longitud TIempo Masa Fuerza Sistema Interna- metro segundo kilogramo Inewton*I cional de unidades (m) (s) (kg) (N) (SI) e g s m ) Sistema de unida- pie segundo Islug*I libra des comunes en (ft) (s) Cb;/) (lb) Estados Unidos (FPS) 'Unidad derivada. SECCiN 1.3 Unidades de medicin 7 (a) (b) Fig. 1-2 16. 8 CAPTULO 1 Principios generales Conversin de unidades. La tabla 1-2 proporciona un conjunto de factores de conversin directa entre unidades FPS y SI para las cantida des bsicas. Recurdese, adems, que en el sistema FPS 1 pie = 12 pulg (pulgadas),5280 pies = 1 mi (milla),1000 lb = 1 kip (kilo-pound), y 2000 lb = 1 ton (tonelada). TABL A 1 - 2 Factores de conversin Cantidad Fuerza Masa Longitud Unidad de medicin (FPS) lb slug tt Igual a Unidad de medicin (SI) 4.4482 N 14.593 8 kg 0.304 8 m 1.4 El sistema internacional de unidades El SI de unidades se usa ampliamente en este libro ya que se pretende que llegue a ser el estndar mundial de medidas. En consecuencia, las reglas para su uso y parte de la terminologa que es importante en la mecnica se presentarn enseguida. Prefijos. Cuando una cantidad numrica es muy grande o muy peque a, las unidades usadas para definir su tamao pueden ser modificadas mediante un prefijo.Algunos de los prefijos usados en el SI se muestran en la tabla 1- 3. Cada uno representa un mltiplo o un submltiplo de una unidad que, si es aplicada sucesivamente, mueve el punto decimal de una cantidad numrica a cada tercer lugar: Por ejemplo, 4 000 000 N = 4 000 kN (kilo-newton) = 4 MN (mega-newton), o 0.005 m = 5 mm (mi lmetros).Advierta que el SI no incluye el mltiplo deca (10) o el subml tiplo centi (0.01), los cuales forman parte del sistema mtrico. Excepto por algunas medidas de volumen y rea, el uso de esos prefijos debe evi tarse en ciencia e ingeniera. TABLA 1-3 Prefijos Forma exponencial Prefijo Smbolo SI Mltiplo 1000 000 000 109 giga G 1 000000 106 mega M 1000 103 kilo k Submltiplo 0.001 10-3 mili m 0. 10-6 micro p. 0. 10-9 nano n *El kilogramo es la nica unidad bsica que se define con un prefijo. 17. SECCiN 1.4 El sistema internacional de unidades 9 Reglas para su uso. Las siguientes reglas se proporcionan para fo mentar el uso apropiado de los diversos smbolos del SI: 1. Un smbolo nunca se escribe con una "s" de plural, ya que puede ser confundido con la unidad de segundo (s). 2. Los smbolos se escriben siempre en letr..as minsculas, con las si guientes excepciones: los smbolos para los dos prefijos ms gran des mostrados en la tabla 1- 3, giga y mega, se escriben como G y M, respectivamente; los smbolos denominados con un nombre pro pio se escriben tambin con mayscula, por ejemplo, N (Newton). 3. Las cantidades definidas por varias unidades que son mltiplos de otra unidad deben ir separadas por un punto para evitar confusin con la notacin de prefijo, tal como es indicado por N = kg . m/s2 = kg . m . S-2. Tambin, m . s (metro-segundo), pero ms (milise gundo). 4. La potencia exponencial representada para una unidad con un prefijo se refiere tanto a la unidad como a su prefijo. Por ejemplo, ,uN2 = (,uN) 2 = ,uN . ,uN. De igual manera, mm2representa (mm? = mm mm. 5. Lasconstantes fsicaso nmerosque tengan variosdgitosencualquier lado del punto decimal deben ser reportados con un espacio entre cada tres dgitos en vez de con una coma; por ejemplo, 73 569.213 427. En el caso de cuatro dgitos en cualquier lado del decimal, el espa ciamiento es opcional; por ejemplo, 8357 u 8 537. Adems, trate siempre de usar decimales y evitar fracciones; esto es, escriba 15.25 1 Y no 154, 6. Al efectuar clculos, represente los nmeros en trminos de sus unidades bsicas o derivadas convirtiendo todos los prefijos a poten cias de 10. El resultado final debe ser expresado entonces usando un solo prefijo. Adems, despus de los clculos, es mejor mantener los valores numricos entre 0.1 y 1000; de otra manera, debe esco gerse un prefijo adecuado. Por ejemplo, (50 kN)(60nm) = [50(103) N][60(10-9) m ] = 3000(10-6) N m = 3(10-3) N m = 3 mN. m 7. Los prefijos compuestos no deben usarse; por ejemplo, k,us (kilo micro-segundo) debe expresarse como ms (mili-segundo) ya que 1 k,us = 1(103)(1O-6)s = 1(10-3)s = 1 ms. 8. Con la excepcin de la unidad bsica de kilogramo, evite en general el uso de un prefijo en el denominador de unidades compuestas. Por ejemplo, no escriba N/mm, sino kN/m; tambin, m/mg debe escribirse como Mm/kg. 9. Aunque no se expresan en mltiplos de 10, el minuto, la hora, etc., para fines prcticos, se conservan como mltiplos del segun do. Adems, para mediciones angulares planas se usan radianes (rad). Sin embargo, en este libro se usarn a menudo grados, don de 1800 = 1T rad. 18. 10 CAPTULO 1 Principios generales 1.5 Clculos numricos En la prctica de la ingeniera, con mucha frecuencia el trabajo nu mrico es efectuado usando calculadoras de mano y computadoras. Sin embargo, es importante que las respuestas a cualquier problema sean re portadas con precisin justificable y cifras significativas apropiadas. En sta seccin analizaremos esos temas junto con otros aspectos importan tes implicados en todo clculo de ingeniera. Homogeneidad dimensional. Los trminos de cualquier ecuacin usada para describir un proceso fsico deben ser dimensionalmente ho mogneos; esto es, cada trmino debe ser expresado en las mismas uni dades. Si este es el caso, entonces todos los trminos de una ecuacin pueden combinarse si son sustituidos valores numricos por las varia bles. Por ejemplo, considere la ecuacin s = vt + !aP, donde, en unida des SI, s es la posicin en metros, m, t es el tiempo en segundos, s, v es la velocidad en mjs, ya es la aceleracin en mjs2. Independientemente de cmo sea evaluada esta ecuacin, mantiene su homogeneidad dimensio nal. En la forma dada, cada uno de los tres trminos est expresado en metros [m, (mjg)g, (mjg2)g2,] o despejando para a, a = 2sjrZ - 2v jt, cada uno de los trminos estn expresados en unidades de mjs2 [mjs2, mjs2, (mjs)js]. Como en mecnica los problemas implican la solucin de ecuaciones dimensionalmente homogneas, el hecho de que todos los trminos de una ecuacin se representen mediante un conjunto consistente de uni dades puede usarse como una verificacin parcial de las manipulaciones algebraicas de una ecuacin. Cifras significativas. La precisin de un nmero queda especificada por la cantidad de cifras significativas que contenga. Una cifra signifi cativa es cualquier dgito, incluido el cero, siempre que no se use para especificar la posicin del punto decimal para el nmero. Por ejemplo, los nmeros 5604 y34.52 tienen cada uno cuatro cifras significativas. Sin En ingeniera, las computadoras se usan con frecuen cia para efectuar diseos y anlisis avanzados. 19. embargo, cuando los nmeros empiezan o terminan con ceros, es dif cil decir cuntas cifras significativas contienen. Considere el nmero 400. Tiene una (4), o tal vez dos (40), o tres 400) cifras significativas? Para aclarar esta situacin, el nmero debe ser reportado usando potencias de 10. Usando la notacin de ingeniera, el exponente es exhibido en mlti plos de tres para facilitar la con"ersin de unidades SI a unidades con un prefijo apropiado. As, 400, expresado con una cifra significativa, sera 0.4(103). Igualmente, 2500y 0.00546 expresados con tres cifras significa tivas seran 2.50(103) y 5.46(10-3). Redondeo de nmeros. Para clculos numricos, por lo general, la precisin obtenida en la solucin de un problema nunca puede ser mejor que la precisin de los datos del problema. Esto es lo que cabe esperar,pe ro a menudo calculadoras porttiles o computadoras implican ms cifras en la respuesta que el nmero de cifras significativas usadas para los datos. Por esta razn, un resultado calculado siempre debe "redondearse" a un nmero apropiado de cifras significativas. Para expresar una precisin adecuada, aplique las siguientes reglas al redondear un nmero a n cifras significativas: Si el dgito n + 1 es menor que 5, el dgito n + 1 Y los dgitos que le siguen se cancelan. Por ejemplo, 2.326 y 0.451, redondeados a n = 2 cifras significativas, sern 2.3 y 0.45. Si el dgito n + 1 es igual a 5 con ceros siguindolo, entonces re dondee el n-simo dgito a un nmero par. Por ejemplo, 1.245(103) y 0.8655, redondeados a n = 3 cifras significativas, se convierten en 1.24(103) y 0.866. Si el dgito n + 1 es mayor que 5 o igual a 5 sin dgitos ni ceros siguin dolo, entonces incremente el n-simo dgito en 1 y cancele el n + 1 dgito y los dgitos siguientes. Por ejemplo, 0.723 87 Y 565.5003, redon deados a n = 3 cifras significativas, se convierten en 0.724 y 566. Clculos. Como regla general, para garantizar la exactitud de un resul tado final al efectuar clculos con una calculadora de bolsillo, conserve siempre un nmero mayor de dgitos que los contenidos en los datos del problema. Si es posible, trate de llevar a cabo los clculos de manera que nmeros que sean aproximadamente iguales no tengan que restarse ya que a menudo se pierde exactitud con este tipo de operaciones. En ingeniera, generalmente redondeamos las respuestas finales a tres cifras significativas ya que los datos de geometra, cargas y otras cantida des a menudo son reportados con esta precisin.* Por ello, en este libro los clculos intermedios para los ejemplos estn elaborados con cuatro cifras significativas y las respuestas se presentan comnmente con tres ci fras significativas. *Por supuesto, algunos nmeros, como 7T, e, o nmeros usados en frmulas derivadas son exactos y, por tanto, precisos a un nmero infinito de cifras significativas. SECCIN 1.5 Clculos numricos 1 1 20. 12 CAPTULO 1 Principios generales Convierta 2 km/h a mis. Cunto es esto en pies/s? Solucin Como 1 km = 1000 m y 1 h = 3600 s, los factores de conversin se arreglan en el siguiente orden, de manera que una cancelacin de las unidades pueda ser aplicada:, 2 k /h = 2km (1000m)()m 11: km 3600s 2000m = 3600s = 0.556 mis Resp. A partir de la tabla 1-2, sabemos que 1 pie = 0.3048 m. Entonces 0.556 mis = 0.556ro 1 pie s 0.3048ro = 1.82 pies/s Resp. Conviertalas cantidades 300 lb s y 52slug/pies3a las unidades SI apro piadas. Solucin Usando la tabla 1-2, tenemos que 1 lb = 4.448 2 N. 300lb s = 300R5. s (4.42 N) = 1334.5 N. s = 1.33 kN. s . Resp. Tambin, 1 slug =.14.593 8 kg Y 1 pie = 0.304 8 m. . 3 _ 52 slug(14.593 8 kg)( 1 pre )3 52 slug/ples - pieS3 1 slug 0.304 8 m = 26.8(103)kg/m3 = 26.8 Mg/m3 Resp. 21. Evale cada una de las siguientes cantidades y exprselas en unidades SI con un prefijo apropiado: (a) (50mN)(6 GN),(b) (400rnm)(0.6 MN)2, (c) 45 MN3/9oo Gg. Solucin Primero convierta cada nmero a unidades bsicas,efecte las opera ciones indicadas,y luego elija un prefijo apropiado (vea la regla 6 en la pgina 9). Parte (a) (50 mN)(6 GN) = [50(10-3) N][6(109) N] = 300(106) N2 = 300(106)N2 (1kN )(1kN ) 103N 103N = 300kN2 Resp. Tenga en cuenta la convencin kN2 = (kN)2 = 106N2 (regla 4 en la pgina 9). Parte (b) (400mm )(0.6 MN)2 = [400(10-3)m ][0.6(106) Nf = [400(10-3)m ][0.36(1012) N2] = 144(109) m' N2 = 144 Gm'N2 Podemos escribir tambin Parte (e) = 0.144m MN2 45(106N)3 45 MN3/9oo Gg = 6900(10 ) kg = 0.05(1012) N3/kg = 0.05(1012)N3 (1kN )3 103N kg = 0.05(103) kN3/kg = 50 kN3/kg Aqu hemos usado las reglas 4 y 8 de la pgina 9. Resp. Resp. SECCiN 1.5 Clculos numricos 13 22. , 14 CAPTULO 1 Principios generales 1.6 Procedimiento general para el anlisis Al resolver problemas trabaje tan limpia y ordenadamente como le sea posible. Esto estimula en general el pensamiento claro y ordenado, y viceversa. La manera ms efectiva de aprender los principios de la mecnica es resolviendo problemas. Para tener xito en esto, es importante efectuar siempre el trabajo en una manera lgica y ordenada, tal co mo est sugerido por la siguiente secuencia de pasos: 1. Lea cuidadosamente el problema y trate de correlacionar la si tuacin fsica real con la teora estudiada. 2. Trace cualquier diagrama necesario y tabule los datos del pro blema. 3. Aplique los principios importantes,generalmente en forma ma temtica. 4. Resuelva algebraicamente las ecuaciones necesarias en tanto que esto sea prctico,y luego,estando seguro de que son dimensio nalmente homogneas,use un conjunto consistente de unidades y complete la solucin numricamente. Presente la respuesta con no ms cifras significativas que las precisadas en los datos dados. 5. Estudie la respuesta con juicio tcnico y sentido comn para de terminar si parece razonable. PUNTOS IMPORTANTES La esttica es el estudio de los cuerpos que estn en reposo o se mueven con velocidad constante. Una partcula tiene masa,pero un tamao que puede ser ignorado. Un cuerpo rgido no se deforma bajo carga. Se supone que las fuerzas concentradas actan en un punto sobre un cuerpo. Las tres leyes del movimiento de Newton deben ser memorizadas. La masa es una propiedad de la materia que no cambia de una ubicacin a otra. El peso se refiere a la atraccin gravitatoria de la Tierra sobre un cuerpo o una cantidad de masa. Su magnitud depende de la ele vacin a la que se encuentre la masa. En el SI la unidad de fuerza,el newton,es una unidad derivada. El metro,el segundo y el kilogramo son unidades bsicas. Los prefijos G, M,k,m,p, n son usados para representar cantida des numricas grandes y pequeas. Su tamao exponencial debe ser conocido,junto con las reglas para usar las unidades SI. Efecte los clculos numricos con varias cifras significativas y luego reporte la respuesta final con tres cifras significativas. Las manipulaciones algebraicas de una ecuacin pueden ser revisadas,en parte,verificando que la ecuacin se conserva di mensionalmente homognea. Aprenda las reglas para redondear nmeros. 23. P R O B L E M A S 1-1. Redondee los siguientes nmeros a tres cifras signi ficativas: (a) 4.65735 m, (b) 55.578 s, (c) 4555 N, (d) 2768 kg. 1-2. La madera tiene una densidad de 4.70 slug/pie3. Cul es su densidad expresada en unidades SI? 1-3. Represente cada una de las siguientes cantidades en la forma SI correcta usando un prefijo apropiado: (a) 0.000431 kg, (b) 35.3(103) N, (c) 0.00532 km. *1-4. Represente cada una de las siguientes combinacio nes de unidades en la forma SI correcta usando un prefi jo apropiado: (a) m/ms, (b) .tkm, (c) ks/mg, y (d) km . .tN. 1-5. Si un automvil est viajando a 55 mi/h, deter mine su rapidez en kilmetros por hora y en metros por segundo. 1-6. Evale cada una de las siguientes cantidades y expr selas con un prefijo apropiado: (a) (430 kgf, (b) (0.002 mg)2, y (c) (230 m)3. 1-7. Un cohete tiene una masa de 250(103) slugs sobre la Tierra. Especifique (a) su masa en unidades SI, y (b) su peso en unidades SI. Si el cohete est en la Luna, don de la aceleracin de la gravedad es gm = 5.30 pies/s2, de termine con tres cifras significativas (c) su peso en uni dades SI, y (d) su masa en unidades SI. *1-8. Represente cada una de las siguientes combina ciones de unidades en la forma SI correcta: (a) kN/.s, (b) Mg/rnN, Y (c) MN/(kg . ms). 1-9. El pascal (Pa) es una unidad de presin muy peque a. Para mostrar esto, convierta 1 Pa = 1 N/m2 a Ib/pie2. La presin atmosfrica al nivel del mar es de 14.7 Ib/pulg2. A cuntos pascales corresponde esto? 1-10. Cul es el peso en newtons de un objeto que tiene una masa de: (a) 10 kg, (b) 0.5 g, (c) 4.50 Mg? Exprese el resultado con tres cifras significativas. Use un prefijo apropiado. 1-11. Evale cada una de las siguientes cantidades con tres cifras significativas y exprese cada respuesta en unidades SI usando un prefijo apropiado: (a) 354 mg(45 km)/ (0.035 6 kN), (b) (.004 53 Mg)(201 ms), (c) 435 MN/23.2 mm. PROBLEMAS 1 5 *l-U. Convierta cada una de las siguientes cantidades y exprese la respuesta usando un prefijo apropiado: (a) 175 Ib/pie3 a kN/m3, (b) 6 pies/h a mm/s, y (c) 835 lb pie a kN m. 1-13. Convierta cada una de las siguientes cantidades a cantidades con tres cifras significativas. (a) 20 lb pie a N . m, (b) 450 Ib/pie3 a kN/m3, y (c) 15 pies/h a mm/s. 1-14. Si un objeto tiene una masa de 40 slugs, determi ne su masa en kilogramos. 1-15. El agua tiene densidad de 1.94 slug/pie3. Cul es su densidad expresada en unidades SI? Exprese la res puesta con tres cifras significativas. *1-16. Dos partculas tienen masa de 8 y 12 kg, respecti vamente. Si estn separadas 800 mm, determine la fuerza gravitatoria que acta entre ellas. Compare este resulta do con el peso de cada partcula. 1-17. Determine la masa de un objeto que tiene un peso de (a) 20 mN, (b) 150 kN, (c) 60 MN. Exprese la respues ta con tres cifras significativas. 1-18. Si un hombre pesa 155 lb sobre la Tierra, especifi que (a) su masa en slugs, (b) su masa en kilogramos, y (c) su peso en newtons. Si el hombre est en la Luna, donde la aceleracin de la gravedad es gm = 5.30 pies/s2, deter mine (d) su peso en libras, y (e) su masa en kilogramos. 1-19. Usando las unidades bsicas del SI, muestre que la ecuacin 1 -2 es dimensionalmente homognea y da F en newtons. Determine con tres cifras significativas la fuerza gravitatoria que acta entre dos esferas que se to can una a otra. La masa de cada esfera es de 200 kg Y el radio de 300 mm. *1-20. Evale cada una de las siguientes cantidades con tres cifras significativas y exprese cada respuesta en uni dades SI usando un prefijo apropiado: (a) (0.631 Mm)/ (8.60 kg)2, (b) (35 mm)2 (48 kgl 24. C A P T U L O 2 Vectores fuerza OBJETIVOS DEL CAPTULO Mostrar cmo sumar fuerzas y resolverlas en componentes usando la ley del paralelogramo. Expresar la fuerza y la posicin en forma vectorial cartesiana y explicar cmo determinar la magnitud y el sentido del vector. Presentar el producto punto para determinar el ngulo entre dos vectores o la proyeccin de un vector en otro. 2.1 Escalares y vectores La mayor parte de las cantidades fsicas en mecnica pueden ser expre sadas matemticamente por medio de escalares y vectores. Escalar. Una cantidad caracterizada por un nmero positivo o negati vo se denomina un escalar. Por ejemplo, masa, volumen y longitud son cantidades escalares empleadas a menudo en esttica. En este libro, los escalares estn indicados por letras en cursivas, tal como el escalar A. Vector. Un vector es una cantidad que tiene tanto magnitud como di reccin. En esttica,las cantidades vectoriales encontradas con frecuen cia son posicin, fuerza y momento. En trabajos realizados a mano, un vector es representado generalmente por una letra con una lnea sobre ella, tal como A. La magnitud se designa mediante IAI o simplemente con A. En este libro los vectores se simbolizarn mediante tipos en ne grita; por ejemplo, A se usa para designar el vector "A". Su magnitud, que es siempre una cantidad positiva, se representa mediante cursivas, tal como I A I , o simplemente A cuando se sobreentienda que A es un esca lar positivo. 1 7 25. 18 CAPTULO 2 Vectores fuerza Lnea de accin _ 20 Cola O Fig. 2-1 Un vector se representa grficamente por medio de una flecha, la cual se usa para definir su magnitud, direccin y sentido. La magnitud del vector es la longitud de la flecha, la direccin es definida por el ngulo entre un eje de referencia y la lnea de accin de la flecha, y el sentido queda indicado por la cabeza de la flecha. Por ejemplo, el vector A mos trado en la figura 2-1 tiene una magnitud de 4 unidades, una direccin de 20 medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje horizontal, y un sentido que es hacia arriba y hacia la derecha. El punto O se llama la cola del vector y el punto P la punta o cabeza del vector. 2.2 Operaciones vectoriales //Vector A Y su contraparte negativa Fig. 2-2 / o.y Multiplicacin y divisin escalar Fig. 2-3 Multiplicacin y divisin de un vector por un escalar. El produc to de un vector A y un escalar a, que da aA, se define como un vector con magnitud laAI. El sentido de aA es el mismo que A siempre que a sea positivo, y es opuesto a A si a es negativo. En particular, el negativo de un vector se forma multiplicando el vector por el escalar (- 1), figura 2-2. La divisin de un vector entre un escalar se puede definir usando las leyes de multiplicacin, ya que Ala = (1la)A, a *- O.Ejemplos grficos de estas operaciones se muestran en la figura 2-3. Suma de vectores. Dos vectores A y B, tal como los de fuerza o po sicin, figura 2-4a, pueden sumarse para formar un vector "resultante" R = A + B usando la ley del paralelogramo. Para hacer esto, A y B se unen en sus colas, figura 2-4b. Se trazanlneas paralelas desde la cabeza de cada vector cortndose en un punto comn, formando as los lados ad yacentes de un paralelogramo. Como se muestra, la resultante R es la dia gonal del paralelogramo, la cual se extiende desde las colas de A y B hasta la interseccin de las lneas. Tambin podemos sumar B a A usando una construccin triangular, un caso especial de la ley del paralelogramo, en donde el vector B se suma al vector A en forma de "cabeza a cola", esto es, conectando la cabeza de A a la cola de B, figura 2-4c. La resultante R se extiende des de la cola de A hasta la cabeza de B. De manera similar, R tambin puede ser obtenida sumando A a B, figura 2-4d. Por comparacin, se ve que la suma vectorial es conmutativa; en otras palabras, los vectores pueden sumarse en cualquier orden, es decir, R = A + B = B + A. R = A + B (a) Ley del paralelogramo (b) Construccin triangular (c) Construccin triangular (d) Suma vectorial Fig. 2--4 26. SECCIN 2.2 Operaciones vectoriales . 19 Como un caso especial, si los dos vectores A y B son colineales, es de cir, si ambos tienen la misma lnea de accin, la ley del paralelogramo se reduce a una suma algebraica o suma escalar R = A + B, como se muestra en la figura 2-5. A R B R = A+B Resta de vectores. La diferencia resultante entre dos vectores A y B del mismo tipo puede ser expresada como Suma de vectores colineales R' = A - B = A + ( - B) Esta suma vectorial se muestra grficamente en la figura 2-6. Dado que la resta se define como un caso especial de la suma, las reglas de la su ma vectorial tambin se aplican a la resta vectorial. ;1 !) o - BB Ley del paralelogramo Resta vectorial Fig. 2-6 Resolucin de un vector. Un vector puede ser resuelto en dos "compo nentes" con lneas de accin conocidas usando la ley del paralelogramo. Por ejemplo, si en la figura 2-7a, R debe ser resuelto en componentes que acten a lo largo de las lneas a y b, comenzamos en la cabeza de R y extendemos una lneaparalela a a hasta que corte a b. Igualmente, se traza una lnea paralela a b desde la cabeza de R hasta el punto de inter seccin con a, figura 2-7a. Las dos componentes A y B se trazan luego en forma tal que se extiendan desde la cola de R hasta los puntos de inter seccin, como se muestra en la figura 2-7b. a a Fig. 2-S - B Construccin triangular - Resultante _________________ b Extienda lneas paralelas desde la cabeza de R para formar componentes (a) Componentes Resolucin de un vector Fig. 2-7 "-...,....------.. --b (b) t 27. 20 CAPTULO 2 Vectores fuerza 2.3 Suma vectorial de fuerzas Fig. 2-8 La evidencia experimental ha mostrado que una fuerza es una cantidad vectorial ya que tiene una magnitud especfica, direccin y sentido, y que se suma de acuerdo con la ley del paralelogramo. Dos problemas comu nes en esttica implican encontrar la fuerza resultante, conocidas sus componentes, o resolver una fuerza conocida en dos componentes. Como se vio en la seccin 2.2, ambos problemas requieren de la aplicacin de la ley del paralelogramo. Si ms de dos fuerzas deben ser sumadas, pueden llevarse a cabo apli caciones sucesivas de la ley del paralelogramo para obtener la fuerza resultante. Por ejemplo, si tres fuerzas F, F2, F3 actan en un punto 0, figura 2-8, se calcuJa la resultante de dos cualesquiera de las fuerzas, diga mos Fl + F2, Y luego esta resultante se suma a la tercera fuerza, dando la resultante de las tres fuerzas; es decir, FR = (F1 + F2) + F3. Aplicar la ley del paralelogramo para sumar ms de dos fuerzas, como vemos aqu, a menudo requiere de extensos clculos geomtricos y trigonomtricos para determinar los valores numricos de la magnitud y la direccin de la resultante. En vez de ello, los problemas de este tipo fcilmente son resueltos usando el "mtodo de las componentes rectangulares", el cual veremos en la seccin 2.4. Si conocemos las fuerzas Fa Y Fb que las dos cadenas a y b ejercen sobre el gancho, podemos encontrar su fuerza resultante Fe aplicando la ley del paralelogramo. Esto requiere trazar lneas paralelas a a y b desde las cabezas de Fa Y Fb tal como se mues tra, formando as un paralelogramo. De manera similar, si se conoce la fuerza Fe a lo largo de la cadena e, entonces sus dos componentes Fa Y Fb que actan a lo largo de a y b, pueden ser determina das aplicando la ley del paralelogramo. Aqu debemos comenzar en la cabeza de Fe y construir lneas paralelas a a y b, formando as el paralelogramo. 28. SECCiN 2.3 Suma vectorial de fuerzas 21 PROCEDIMIENTO DE ANLISIS Los problemas que implican la suma de dos fuerzas pueden resol verse como sigue: Ley del paralelogramo. Trace un croquis mostrando la adicin vectorial usando la ley del paralelogramo. Dos fuerzas "componentes" se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo, produciendo una fuerza resultante que forma la diagonal del paralelogramo. Si una fuerza debe resolverse en componentes a lo largo de dos ejes dirigidos desde la cola de la fuerza, entonces comience en la cabeza de la fuerza y construya lneas paralelas a los ejes,forman do as el paralelogramo. Los lados del paralelogramo represen tan las componentes. Marque todas las magnitudes de fuerzas conocidas y desconocidas y los ngulos sobre el croquis e identifique las dos incgnitas. Trigonometra. Trace de nuevo media porcin del paralelogramo para ilustrar la adicin triangular cabeza a cola de las componentes. La magnitud de la fuerza resultante puede ser determinada con la ley de los cosenos, y su direccin mediante la ley de los senos, figura 2-9. La magnitud de dos componentes de fuerza est determinada a partir de la ley de los senos, figura 2-9. IMPORT. NTES Un escalar es un nmero positivo o negativo. Un vector es una cantidad que tiene magnitud, direccin y sentido. La multiplicacin o la divisin de un vector por, o entre, un escalar cambiar la magnitud del vector. El sentido del vector cambiar si el escalar es negativo. Como un caso especial, si los vectores son colineales, la resultante se obtiene con una suma algebraica o escalar. c Ley de los senos: A _ B _ C sen a - sen b - sen e Ley de los cosenos: C=..JA2 + B2- 2AB cos e Fig. 2-9 29. 22 CAPTULO 2 Vectores fuerza (a) La armella roscada que se ve en la figura 2-10a est sometida a dos fuerzas, Fl y F2 Determine la magnitud y la direccin de la fuerza re sultante. 90 - 25 = 65 (b) Fig. 2-10 Solucin 360- 2(65) 2 = 1 1 5 (e) Ley del paralelogramo. La ley de adicin del paralelogramo se muestra en la figura 2-10b. Las dos incgnitas son la magnitud de FR Y el ngulo () (teta). Trigon ometra. A partir de la figura 2-10b, se construye el trin gulo vectorial, figura 2-10c. FR se determina usando la ley de los cosenos: FR = y(100 N? + (150 N)2 - 2(100 N)(150 N) cos 115 = VIO 000 + 22 500 - 30 OOO(-0.4226) = 212.6 N = 213 N Resp. El ngulo () se determina aplicando la ley de los senos, usando el valor calculado de FR. 150 N 212.6 N sen () sen 115 150 N sen () = 212.6 N (0.9063) () = 39.8 As, la direccin 4J (fi) de FR, medida desde la horizontal, es 4J = 39.8 + 15.0 = 54.8 de/> Resp. 30. SECCiN 2.3 Suma vectorial de fuerzas 23 Resuelva la fuerza de 200 lb que acta sobre el tubo, figura 2-11a, en componentes en las direcciones (a) x y y, y en las direcciones (b) x ' y y. y I "-__......_ - x Cb) Fig. 2-11 Ca) Solucin En cada caso se usa la ley del paralelogramo para resolver F en sus dos componentes, y luego se construye el tringulo vectorial para de terminar los resultados numricos por trigonometra. Parte (a). La suma vectorial F = Fx + Fy se muestra en la figura 2-11b. En particular, advierta que la longitud de las componentes se ha trazado a escala a lo largo de los ejes x y y construyendo primero lneas desde la punta de F paralelas a los ejes de acuerdo con la ley del paralelogramo. A partir del tringulo vectorial, figura 2- l lc, Fx = 200 lb cos 40 = 153 lb Fy = 200 lb sen 40 = 129 lb Resp. Resp. Parte (b). La suma vectorial F = Fx' + Fy se muestra en la figura 2-11d. Observe cuidadosamente cmo se construye el paralelogra mo. Aplicando la ley de los senos y usando los datos del tringulo vec torial, figura 2- l le, se obtiene Fx' 200 lb sen 50 sen 60 F , = 200 lb(sen 500 ) = 177 lbx sen 60 Fy 200 lb sen 70 sen 60 F = 200 lb(sen 700 ) = 217 lby sen 60 Resp. Rep. F;, Ce) y (e) 31. 24 CAPTULO 2 Vectores fuerza B '. F = 500 N Ca) Fig. 2-12 .-L--- 500 N FAc = 400 N Cd) , La fuerza F que acta sobre la estructura mostrada en la figura 2-12a tiene una magnitud de 500 N Y debe resolverse en dos componentes actuando a lo largo de las barra AB y AC. Determine el ngulo O, medido bajo la horizontal, de manera que la componente FAC est di rigida de A hacia e y tenga una magnitud de 400 N. Solucin FAc = 400 N 'Tol VB500 N Ce) Usando la ley del paralelogramo, la suma vectorial de las dos compo nentes da la resultante mostrada en la figura 2-12b. Observe cuidado samente cmo la fuerza resultante es resuelta en las dos componentes FAB Y FAC, las cuales tienen lneas de accin especificadas. El corres pondiente tringulo vectorial se muestra en la figura 2-12c. El ngulo cf> puede ser determinado usando la ley de los senos: 400 N 500 N sen cf> sen 60 sen cf> = ()sen 60 = 0.6928 cf> = 43.9 Por consiguiente, O = 180 - 60 - 43.9 = 76.1 I:I Resp. Usando este valor para O, aplique la ley de los cosenos o la de los senos y muestre que FAB tiene una magnitud de 561 N. Advierta que F tambin puede estar dirigida a un ngulo O por arriba de la horizontal, como se muestra en la figura 2-12d, y an producir la componente requerida FAC' Demuestre que en este caso O = 16.1 Y FAB = 161 N. 32. SECCiN 2.3 Suma vectorial de fuerzas 25 El anillo mostrado en la figura 2-13a est sometido a dos fuerzas, Fl y F2. Si se requiere que la fuerza resultante tenga magnitud de 1 kN Y est dirigida verticalmente hacia abajo, determine (a) las magnitu des de Fl y F2 si e = 30, Y (b) las magnitudes de Fl y F2 si F2 debe ser mnima. Ca) Cb) Ce) Fig. 2-13 Solucin Parte (a). En la figura 2-13b se muestra un croquis de la suma vec torial segn la ley del paralelogramo. A partir del tringulo vectorial construido en la figura 2- Be, las magnitudes desconocidas Fl y F2 se determinan usando la ley de los senos: Fl 1000 N sen 30 sen 130 Fl = 653 N F2 1000 N sen 20 sen 130 F2 = 446 N Resp. Resp. Parte (b) Si e no est especificado, entonces, por el tringulo vecto rial, figura 2-13d, F2 puede ser sumada a Fl de varias maneras pa ra obtener la fuerza resultante de 1000 N. En particular, la longitud mnima o la magnitud de F2 ocurrir cuando su lnea de accin sea perpendicular a Fl' Cualquier otra direccin, como DA u DB, dar un valor mayor para F2 Por consiguiente, cuando e = 90 - 20 = 70, F2 es mnima. A partir del tringulo mostrado en la figura 2-13e, se ve que Fl = 1000 sen 700N = 940 N F2 = 1000 cos 700N = 342 N Cd) Ce) 33. 26 CAPTULO 2 Vectores fuerza P R O B L E M A S 2-1. Determine la magnitud de la fuerza resultante FR = Fl + Fz Y su direccin, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. Fj = 600 N -----'-----=---- x Prob. 2-1 2-2. Determine la magnitud de la fuerza resultante si: (a) FR = Fl + Fz; (b) F'R = Fl - Fz Prob. 2-2 2-3. Determine la magnitud de la fuerza resultante FR = Fl + Fz as como su direccin, medida en senti do contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. y F, = 250 lb ---.--x F2 = 375 lb Prob. 2-3 *2-4. Determine la magnitud de la fuerza resultante FR = Fl + Fz Y su direccin, medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje u positivo. 2-5. Resuelva la fuerza Fl en componentes que acten a lo largo de los ejes u y v y determine las magnitudes de las componentes. 2-6. Resuelva la fuerza F2 en componentes que acten a lo largo de los ejes u y v y determine las magnitudes de las componentes. ----- u Probs. 2-4/5/6 2-7. La placa est sometida a las dos fuerzas en A y B, como se muestra. Si () = 60, determine la magnitud de la resultante de esas dos fuerzas y su direccin medida desde la horizontal. *2-8. Determine el ngulo () para conectar la barra A a la placa de manera que la fuerza resultante de FA y FB est dirigida horizontalmente hacia la derecha. Cul es la magnitud de la fuerza resultante? Probs. 2-7/8 34. 2-9_ La fuerza vertical F acta hacia abajo en A sobre la estructura de dos barras. Determine las magnitudes de las dos componentes de F dirigidas a lo largo de los ejes de AB y AC. Considere F = 500 N. 2-10. Resuelva el problema2-9 con F = 350 lb. A e Probs. 2-9/10 2-11. La fuerza que acta sobre el diente del engrane es F = 20 lb. Resuelva esta fuerza en dos componentes actuando a lo largo de las lneas aa y bb. 2-12. Se requiere que la componente de la fuerza F que acta a lo largo de la lnea aa sea de 30 lb. Deter mine la magnitud de F y su componente a lo largo de la lnea bb. b F a Probs. 2-1 1/12 PROBLEMAS 27 2-13. La fuerza de 500 lb que acta sobre la estructu ra debe resolverse en dos componentes actuando a lo largo de los ejes de las barras AB y AC. Si la compo nente de fuerza a lo largo de AC debe ser de 300 lb, di rigida de A a C, determine la magnitud de la fuerza que debe actuar a lo largo de AB y el ngulo (j de la fuer za de 500 lb. F = 500 lb Prob. 2-13 2-14. El poste va a ser extrado del terreno usando dos cuerdas A y B. La cuerda A estar sometida a una fuer za de 600 lb Y ser dirigida a 60 desde la horizontal. Si la fuerza resultante que actuar sobre el poste va a ser de 1200 lb, vertical hacia arriba, determine la fuerza T en la cuerda B y el correspondiente ngulo (j. 600 lb T Prob. 2-14 35. 28 CAPTULO 2 Vectores fuerza 2-15_ Determine el ngulo de diseo 8(0 :s 8 :s 90) para la barra AB de manera que la fuerza horizontal de 400 lb tenga una componente de 500 lb dirigida de A ha cia C. Cul es la componente de fuerza que acta a lo largo de la barra AB? Considere 8 = 40. *2-16. Determine el ngulo de diseo cP(O :s cP :s 90) entre las barras AB y AC de manera que la fuerza ho rizontal de 400 lb tenga una componente de 600 lb ac tuando hacia arriba y hacia la izquierda, en la misma direccin que de B hacia A. Considere 8 = 30. 400 lb A Probs. 2-15/16 2-17. El cincel ejerce una fuerza de20 lb sobre la barra de madera que gira en un torno. Resuelva esta fuerza en componentes que acten (a) a lo largo de los ejes n y t, Y (b) a lo largo de los ejes x y y. y n -__------------ x 20 lb / Prob. 2-1 7 2-18. Dos fuerzas son aplicadas en el extremo de una armella roscada para extraer el poste. Determine el n gulo 8(0 :s 8 :s 90) y la magnitud de la fuerza F para que la fuerza resultante sobre el poste est dirigida ver ticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de 750 N. y F 'i':l--------- x Prob. 2-18 2-19. Si FI = F2 = 30 lb, determine los ngulos 8 y cP de manera que la fuerza resultante est dirigida a lo largo del eje x positivo y tenga una magnitud FR = 20 lb. Prob. 2-19 36. *2-20. El camin es jalado usando dos cuerdas. Deter mine la magnitud de las fuerzas FA Y FB que deben ac tuar en las cuerdas para desarrollar una fuerza resultan te de 950 N dirigida a lo largo del eje x positivo. Considere {} = 50. y 11i!>2----l:---- x Prob. 2-20 2-21. El camin va a ser jalado usando dos cuerdas. Si la fuerza resultante va a ser de 950 N, dirigida a lo largo del eje x positivo, determine las magnitudes de las fuer zas FA Y FB que actan en cada cuerda y el ngulo {} de FB de manera que la magnitud de FB sea un mnimo. FA acta a20 desde el eje x, como se muestra. y &----+---- x Prob. 2-21 PROBLEMAS 29 2-22. Determine la magnitud y la direccin de la resul tante FR = Fl + F2 + F3 de las tres fuerzas encontran do primero la resultante F' = Fl + F2, Y formando lue g FR = F' + F3' 2-23. Determine la magnitud y la direccin de la resul tante FR = F + F2 + F3 de las tres fuerzas encontrando primero la resultante F' = F2 + F3, Y formando luego FR = F' + Fl' y F = 30 N F3 = 50 N ---=t1--...... --x Probs. 2-22/23 *2-24. Resuelva la fuerza de 50 lb en componentes que acten a lo largo (a) de los ejes x y y, y (b) a lo largo de los ejes x y y ' . 50 lb x y' y Prob. 2-24 37. 30 CAPTULO 2 Vectores fuerza 2-25. El tronco de un rbol es remolcado por dos trac tores A y B. Determine la magnitud de las dos fuerzas de remolque FA Y FB si se requiere que la fuerza resultante tenga una magnitud FR = 10 kN Y est dirigida a lo lar go del eje x. Considere e = 15. 2-26. Si la resultante FR de las dos fuerzas que actan sobre el tronco debe estar dirigida a lo largo del eje x po sitivo y tener una magnitud de 10 kN, determine el ngu lo e del cable unido a B, hgalo en forma tal que la fuer za FB en este cable sea mnima. Cul es la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situacin? y Probs. 2-25/26 B 2-27. La viga va a ser levantada usando dos cadenas. Determine las magnitudes de las fuerzas FA Y FB sobre cada cadena para que desarrollen una fuerza resultante de 600 N dirigida a lo largo del eje y positivo. Considere e = 45. *2-28. La viga va a ser levantada usando dos cadenas. Si la fuerza resultante debe ser de 600 N dirigida a lo lar go del eje y positivo, determine las magnitudes de las fuer zas FA Y FB sobre cada cadena y la orientacin e de FB de manera que la magnitud de FB sea mnima. FA acta a 30 desde el eje y como se muestra. y Probs. 2-27/28 2-29. Tres cadenas actan sobre la mnsula en forma tal que generan una fuerza resultante con magnitud de 500 lb. , Si dos de las cadenas estn sometidas a fuerzas conocidas, como se muestra, determine la orientacin e de la tercera cadena, medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de manera que la magnitud de la fuerza F en esta cadena sea mnima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x-y. Cul es la magnitud de F? Sugerencia: Encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas. La fuerza F acta en esta direccin. y =--------r------- x F 200 lb Prob. 2-29 2-30. Tres cables jalan el tubo generando una fuerza re sultante con magnitud de 900 lb. Si dos de los cables es tn sometidos a fuerzas conocidas, como se muestra en la figura, determine la direccin e del tercer cable de manera que la magnitud de la fuerza F en este cable sea mnima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x-y. Cul es la magnitud de F? Sugerencia: Encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas. Prob. 2-30 38. SECCiN 2.4 Suma de un sistema de fuerzas caplanares 31 2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares Cuando tiene que obtenerse la resultante de ms de dos fuerzas, es ms fcil encontrar las componentes de cada fuerza a lo largo de ejes especificados, sumar esas componentes algebraicamente, y luego for mar la resultante, en vez de formar la resultante de las fuerzas por aplicacin sucesiva de la ley del paralelogramo como se vio en la sec cin 2.3. En esta seccin resolveremos cada fuerza en sus componentes rec tangulares Fx Y Fy, las cuales se encuentran a lo largo de los ejes x y y, respectivamente, como se ve en la figura 2- 14a. Aunque los ejes son horizontal y vertical, por lo general pueden estar dirigidos con cual quier inclinacin, siempre que permanezcan perpendiculares entre s, como en la figura 2-14b. En todo caso, por la ley del paralelogramo, requerimos que y F' = F + F Como se muestra en la figura 2-14, el sentido de cada componente de fuerza est representado grficamente por la cabeza de laflecha. Sin em bargo, en un trabajo analtico debemos establecer cierta notacin para representar el sentido de las componentes rectangulares. Esto puede ha cerse de dos maneras. Notacin escalar. Como los ejes x y y tienen asignadas direcciones po sitiva y negativa, la magnitud y el sentido direccional de las componentes rectangulares de una fuerza pueden expresarse en trminos de escalares algebraicos. Por ejemplo, las componentes de F en la figura 2-14a pueden ser representadas por escalares positivos Fx y,Fy ya que sus sentidos de di reccin son a lo largo de los ejes x y ypositivos, respectivamente. De ma nera similar, las componentes de F' en la figura 2-14b son F y -F. Aqu la componente y es negativa, ya que F est dirigida a lo largo del eje y negativo. Es importante tener en mente que esta notacin escalar se usa slo para"fines de clculo, no para representaciones grficas en las figuras. A lo largo de este libro, la cabeza de un vector flecha en cualquier figura in dica el sentido del vector grficamente; los signos algebraicos no se usan para este fin. As, los vectores en las figuras 2-14a y 2-14b estn desig nadas usando notacin en negritas.' Siempre que se escriben smbolos en tipos cursivos cerca de flechas de vector en figuras, indican la magnitud del vector, la cual siempre es una cantidad positiva. *Los signos negativos se usan slo en figuras con notacin en negritas cuando muestran parejas de vectores iguales pero opuestos, como en la figura 2-2. y l2j_ F < (a) / F' (b) Fig.2--14 39. 32 CAPTULO 2 Vectores fuerza Notacin vectorial cartesiana. Tambin es posible representar las componentes de una fuerza en trminos de vectores unitarios cartesia nos. Cuando hacemos esto, los mtodos del lgebra vectorial son ms f ciles de aplicar, y veremos que esto resulta particularmente conveniente en la resolucin de problemas tridimensionales. En dos dimensiones, 1"os vectores unitarios cartesianos i y j se usan para designar las direcciones de los ejes x y y, respectivamente, figura 2-I5a.* Esos vectores tienen una magnitud adimensional de la unidad y sus sentidos (o cabeza de flecha) sern descritos analticamente por un signo ms o uno menos, dependiendo de si sealan a lo largo de los ejes x o y positivos o negativos. Como se muestra en la figura 2-I5a, la magnitud de cada compo nente de F es siempre una cantidad positiva, la cual est representada por los escalares (positivos) Fx Y Fy Por tanto, una vez establecida una notacin para representar la magnitud y la direccin de cada compo nente vectorial, podemos expresar F en la figura 2-15a como el vector cartesiano, De la misma manera, F' en la figura 2-15b puede ser expresado como o simplemente y (a) F' = Fi + F( -j) F' = Fi - Fj Fig. 2-15 F' (b) *En trabajos a mano, generalmente los vectores se indican utilizando un acento circun flejo, por ejemplo: i y j. 40. SECCIN 2.4 Suma de un sistema de fuerzas caplanares 33 Resu ltantes de fuerzas (oplanares. Cualquiera de los dos mtodos descritos puede ser usado para determinar la resultante de variasfuerzas coplanares. Para hacer esto, cada fuerza es resuelta primero en sus com ponentes x y y, y luego las componentes respectivas son sumadas usando lgebra escalar ya que son colineales. La fuerza resultante se forma en tonces sumando las resultantes de las componentes x y y mediante la ley del paralelogramo. Por ejemplo, considere las tres fuerzas concurrentes en la figura 2-16a, que tienen componentes x y y como se muestra en la figura 2- 16b. Para resolver este problema usando notacin vectorial cartesiana, cada fuerza se representa primero como un vector cartesiano, es decir, Fl = Fl xi + Fl yj F2 = -F2xi + F2yj . F3 = F3 xi - F3yj El vector resultante es, por tanto, FR = Fl + F2 + F3 = Fl xi + Fl yj - F2xi + F2yj + F3xi - F3yj = (F1x - F2x + F3 x )i + (F1y + F2y - F3y )j = (FRx )i + (FRy)j Si se usa notacin escalar, entonces, a partir de la figura 2-16b, como x es positiva a la derecha y y es positiva hacia arriba, tenemos ( ) (+j) FRx = F1x - F2 x + F3x FRy = F1y + F2y - F3 y Esos resultados son los mismos que las componentes i y j de FR deter minadas antes. En el caso general, las componentes x y y de la resultante de cualquier nmero de fuerzas coplanares pueden ser representadas simblicamen te por medio de la suma algebraica de las componentes x y y de todas las fuerzas, es decir, FRx = LFx FRy = LFy (2-1) Al aplicar estas ecuaciones, es importante usar la convencin de signos establecida para las componentes; esto es, las componentes que tienen un sentido a lo largo de los ejes coordenados positivos son consideradas como escalares positivos, mientras que aquellas que tienen un sentido a lo largo de los ejes coordenados negativos son consideradas escalares negativos. Si se sigue esta convencin, entonces los signos de las compo nentes resultantes especificarn el sentido de esas componentes. Por ejemplo, un resultado positivo indica que la componente tiene un senti do direccional en la direccin coordenada positiva. y ---------------------x (a) y (b) y F"I -------------F --------x (e) Fig. 2-16 41. 34 CAPTULO 2 Vectores fuerza y F ------------------------x (a) La fuerza resultante de las cuatro fuerzas en los cables que actan sobre el muerto de soporte pueden ser determinadas sumando algebraicamente por separado las compo nentes x y y de cada fuerza de cable. Esta resultante FR produce el mismo efecto de extraccin sobre el muerto que los cuatro cables. y y .J -------------------- x FRx (b) (c) Fig.2-16 Una vez que se determinen las componentes de la resultante, pueden trazarse en un croquis a lo largo de los ejes x y y en sus propias direccio nes, y la fuerza resultante puede ser determinada con la suma vectorial, como se muestra en la figura 2-16c. A partir de este croquis, la magnitud de FR se encuentra entonces con el teorema de Pitgoras; esto es, FR = VFx + Fy Tambin, el ngulo () de direccin, que especifica la orientacin de la fuerza, se determina por trigonometra: Los conceptos anteriores estn ilustrados numricamente en los ejem plos que siguen. La resultante de varias fuerzas copianares puede ser determina da fcilmente si se establece un sistema coordenado x,y y las fuer zas se resuelven a lo largo de los ejes. La direccin de cada fuerza est especificada por el ngulo que forma su lnea de accin con uno de los ejes, o por medio de un tringulo de pendiente. La orientacin de los ejes x y y es arbitraria, y sus direcciones po sitivas pueden ser especificadas mediante los vectores unitarios cartesianos i y j. Las componentes x y y de la fuerza resultante son simplemen te la suma algebraica de las componentes de todas las fuerzas coplanares. La magnitud de la fuerza resultante se determina mediante el teo rema de Pitgoras, y cuando las componentes son trazadas sobre los ejes x y y, la direccin puede ser determinada por trigonometra. 42. SECCIN 2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares 35 Determine las componentes x y y de Fl y F2 que actan sobre la ba rra mostrada en la figura 2-17a. Exprese cada fuerza como un vec tor cartesiano. Solucin Notacin escalar. Por la ley del paralelogramo, Fl se resuelve en sus componentes x y y, figura 2-17b. La magnitud de cada componente se determina por trigonometra. ComoFlx acta en la direccin -x, y F1y acta en la direccin +y, tenemos F1x = -200 sen 30N = -100N = 100N F1y = 200 cos 30N = 173N = 173Ni Resp. Resp. La fuerza F2 se resuelve en sus componentes x y y como se muestra en la figura 2-17c. Aqu se indica la pendiente de la lnea de accin de la fuerza. A partir de este "tringulo de pendiente" podramos obtener el ngulo (), por ejemplo, () = tan-1C&), y luego proceder a determinar las magnitudes de las componentes de la misma manera que para Fl . Sin embargo, un mtodo ms fcil consiste en usar par tes proporcionales de tringulos semejantes, por ejemplo, F2x 260N De manera similar, 12 13 F2y = 260N(:3 ) = 100N Advierta que la magnitud de la componente horizontal, F2x, se obtuvo multiplicando la magnitud de la fuerza por la razn del cateto hori zontal del tringulo de pendiente dividido entre la hipotenusa, mien tras que la magnitud de la componente vertical, F2Y' se obtuvo multi plicando la magnitud de la fuerza por la razn del cateto vertical dividido entre la hipotenusa. Por tanto, usando notacin escalar, F2x = 240N = 240N F2y = -100N = 100N Resp. Resp. Notacin vectorial cartesiana. Una vez determinadas las magnitudes y direcciones de las componentes de cada fuerza, podemos expresar cada fuerza como un vector cartesiano. Fl = {-lOOi + 173j}N F2 = {24Oi - 100j}N Resp. Resp. y F =2ooN ------------------.----x (a) y F =200N-___.I Fy=200eos 300N 300 ----.I..-------------X (b) y -----------------x F2y =260(?3)N '-------------- I(e) Fig. 2-17 43. 36 CAPTULO 2 Vectores fuerza y --------qr-----------x (a) y 1+o-9--.l...-_"" --x (b) y I L --------- X (e) .'ig.2-18 La armella que se muestra en la figura 2-18a est sometida a las dos fuerzas Fl y F2 Determine la magnitud y la orientacin de la fuerza resultante. Solucin I Notacin escalar. Este problema puede ser resuelto usando la ley del paralelogramo; sin embargo, aqu resolveremos cada fuerza en sus componentes x y y, figura 2-18b, y sumaremos esas componentes al gebraicamente. Indicando el sentido "positivo" de las componentes x y y a un lado de cada ecuacin, tenemos FRx = 600cos 30 N - 400sen 45 N = 236.8 N FRy = 600sen 30 N + 400cos 45 N = 582.8 Nj La fuerza resultante, mostrada en la figura 2-18c, tiene una mag nitud de FR = V(236.8 Nf + (582.8 Nf = 629 N Resp. A partir de la suma vectorial, figura 2-18c, el ngulo director (} es Solucin 11 _ _1(582.8N) _ (} - tan 236.8N - 67.9 Resp. Notacin vectorial cartesiana. A partir de la figura 2-18b, cada fuerza es expresada como un vector cartesiano Entonces, F1 = {6oocos 300i + 600sen 300j} N F2 = {-4oo sen 45i + 400cos 45j} N FR = Fl + F2 = (600cos 30 N - 400 sen 45 N)i + (600sen 30 N + 400cos 45 N)j = {236.8i + 582.8j} N La magnitud y la direccin de FR se determinan de la misma mane ra que antes. Comparando los dos mtodos de solucin, advierta que el uso de la notacin escalar es ms eficiente ya que las componentes pueden encontrarse directamente, sin tener que expresar primero cada fuerza como un vector cartesiano antes de sumar las componentes. Luego mostraremos que el anlisis con vectores cartesianos es muy conve niente para la resolucin de problemas tridimensionales. 44. SECCiN 2.4 Suma de un sistema de fuerzas caplanares 37 El extremo O de la barra mostrada en la figura 2-19a est sometido a tres fuerzas coplanares concurrentes. Determine la magnitud y la orientacin de la fuerza resultante. y y F2 = 250N r--_250N ;..,-_---F-: