Mecnica de Materiales (Russell C. Hibbeler)

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Mecnica de Materiales Autor: Russell C. Hibbeler Ed.: Pearson El propsito de este libro es proporcionar al estudiante una presentacin clara y completa de la teora y las aplicaciones de los principios de la mecnica de materiales. Para lograr dicho objetivo, esta obra ha ido tomando forma mediante los comentarios y las sugerencias de cientos de revisores que se dedican a la enseanza, as como muchos de los alumnos del autor. Los problemas de anlisis y diseo propuestos en el libro estn planteados para que los estudiantes razonen sobre una situacin de la vida real ejemplificada en las diferentes fotografas.

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1. MECNICA DE MATERIALES OCTAVA EDICIN MECNICA DE MATERIALES RUSSELL C. HIBBELER HIBBELER OCTAVA EDICIN PORTADA Hibbeler CYAN MAGENTA AMARILLO NEGRO ISBN 978-607-32-0559-7 Este libro ofrece al estudiante una presentacin clara y completa de la teora y las aplicaciones de los principios de la mecnica de materiales. La octava edicin ha sido mejorada de manera signicativa, por lo que tanto profesores como estudiantes se beneciarn en gran medida con estos cambios. Entre lo nuevo que encontrar destaca lo siguiente: Contenido actualizado. Algunas partes del libro fueron reescritas a n de lograr mayor claridad. Se han agregado ejemplos nuevos y otros se han modi- cado para dar mayor nfasis a conceptos importantes. Adems, se han mejorado las ilustraciones en todo el libro. Fotos nuevas. 44 fotos nuevas ejemplican los principios ms importantes en situaciones reales y la forma en que se comportan los materiales bajo cierta carga. Problemas fundamentales. Estos problemas ofrecen a los estudiantes apli- caciones simples de los conceptos, lo que le da a los estudiantes la oportuni- dad de probar sus habilidades antes de intentar solucionar algunos de los problemas estndar. Problemas conceptuales. Estos problemas estn planteados para que los estudiantes razonen sobre una situacin de la vida real ejemplicada en una fotografa. Problemas nuevos. Esta edicin incluye aproximadamente 550 problemas nuevos, algunos con aplicaciones a campos recientes de la ingeniera. Problemas con sugerencias. Esta seccin motiva mucho a los estudiantes para resolver problemas por su cuenta al proporcionarles formas adiciona- les de vericar la solucin. Para obtener mayor informacin sobre este libro, visite: www.pearsoneducacion.net/hibbeler Prentice Hall es una marca de 2. Carga axial Esfuerzo normal Desplazamiento Torsin Esfuerzo cortante en un eje circular donde Potencia ngulo de giro Esfuerzo cortante promedio en un tubo de pared delgada Flujo cortante Flexin Esfuerzo normal Flexin asimtrica s = - Mzy Iz + Myz Iy , tan a = Iz Iy tan u s = My I q = tprom t = T 2Am tprom = T 2tAm f = TL JG f = L L 0 T1x2dx J1x2G P = Tv = 2pfT J = p 2 1co 4 - ci 4 2 seccin transversal tubular J = p 2 c4 seccin transversal slida t = Tr J dT = a TL d = PL AE d = L L 0 P1x2dx A1x2E s = P A Cortante Esfuerzo cortante directo promedio Esfuerzo cortante transversal Flujo cortante Esfuerzo en recipientes a presin con pared delgada Cilindro Esfera Ecuaciones de transformacin del esfuerzo Esfuerzo principal Esfuerzo cortante mximo en el plano Esfuerzo cortante mximo absoluto sprom = smx + smn 2 tmx abs = smx - smn 2 sprom = sx + sy 2 tmx = A a sx - sy 2 b 2 + t2 xy tan 2us = - 1sx - sy2>2 txy s1,2 = sx + sy 2 ; A a sx - sy 2 b 2 + t2 xy tan 2up = txy 1sx - sy2>2 txy = - sx - sy 2 sen 2u + txy cos 2u sx = sx + sy 2 + sx - sy 2 cos 2u + txy sen 2u s1 = s2 = pr 2t s1 = pr t s2 = pr 2t q = tt = VQ I t = VQ It tprom = V A a Algunosvaloresespecficospuedenvariarparaunmaterialparticulardebidoalacomposicinmineraldelaaleacin,eltrabajomecnicodelaprobetaoeltratamiento trmico.Paraobtenerunvalormsexactodebenconsultarselosmanualesdereferenciaparaelmaterial. b Puedesuponersequelaresistenciaalacedenciaylaresistencialtimaparalosmaterialesdctilessonigualesentensinyencompresin. c Semideperpendicularalafibra. d Semideparalelaalafibra. e Deformacinmedidaenformaperpendicularalafibracuandolacargaseaplicaalolargodesta. Metlicos Aleacionesde aluminioforjado 2014-T62.7973.127414414172469469290100.3523 6061-T62.7168.926255255131290290186120.3524 Aleaciones dehierro fundido GrisASTM207.1967.0271796690.60.2812 MaleableASTMA-1977.281726827657250.2812 Aleaciones decobre LatnrojoC834008.741013770.070.0241241350.3518 BronceC861008.8310338345345655655200.3417 Aleaciones demagnesio [Am1004-T61]1.8344.71815215227627615210.3026 EstructuralA367.8520075250250400400300.3212 Aleaciones deaceroInoxidable3047.8619375207207517517400.2717 2123.0220080083073075700261.8DeherramientaL2 Aleacin detitanio [Ti-6Al-4V]4.43120449249241,0001,000160.369.4 Nometlicos Debajaresistencia2.3822.1120.1511 Concreto Dealtaresistencia2.3829.0380.1511 Kevlar491.4513171748320.32.80.34 Vidrioal30%1.4572.4901310.34 Madera degrado estructural AbetoDouglas0.4713.12.1c 26d 6.2d 0.29e Abetoblanco3.609.652.5c 36d 6.7d 0.31e Propiedadesmecnicaspromedioparamaterialesdeingenieratpicosa (UnidadesdelSI) MaterialesDensidad r(Mg/m3 ) Mdulode elasticidadE (GPa) Mdulode rigidezG (GPa) Resistenciaalacedencia (MPa)sY Tens.Comp.b Cortante Resistencialtima (MPa)su Tens.Comp.b Cortante %deelongacin enprobetade 50mm Raznde Poissonv Coeficientedeex- pansintrmica a(10-6 )>C Plstico reforzado 2a y 3a Hibbeler.pdf 12/1/11 11:19:56 3. Carga axial Esfuerzo normal Desplazamiento Torsin Esfuerzo cortante en un eje circular donde Potencia ngulo de giro Esfuerzo cortante promedio en un tubo de pared delgada Flujo cortante Flexin Esfuerzo normal Flexin asimtrica s = - Mzy Iz + Myz Iy , tan a = Iz Iy tan u s = My I q = tprom t = T 2Am tprom = T 2tAm f = TL JG f = L L 0 T1x2dx J1x2G P = Tv = 2pfT J = p 2 1co 4 - ci 4 2 seccin transversal tubular J = p 2 c4 seccin transversal slida t = Tr J dT = a TL d = PL AE d = L L 0 P1x2dx A1x2E s = P A Cortante Esfuerzo cortante directo promedio Esfuerzo cortante transversal Flujo cortante Esfuerzo en recipientes a presin con pared delgada Cilindro Esfera Ecuaciones de transformacin del esfuerzo Esfuerzo principal Esfuerzo cortante mximo en el plano Esfuerzo cortante mximo absoluto sprom = smx + smn 2 tmx abs = smx - smn 2 sprom = sx + sy 2 tmx = A a sx - sy 2 b 2 + t2 xy tan 2us = - 1sx - sy2>2 txy s1,2 = sx + sy 2 ; A a sx - sy 2 b 2 + t2 xy tan 2up = txy 1sx - sy2>2 txy = - sx - sy 2 sen 2u + txy cos 2u sx = sx + sy 2 + sx - sy 2 cos 2u + txy sen 2u s1 = s2 = pr 2t s1 = pr t s2 = pr 2t q = tt = VQ I t = VQ It tprom = V A a Algunosvaloresespecficospuedenvariarparaunmaterialparticulardebidoalacomposicinmineraldelaaleacin,eltrabajomecnicodelaprobetaoeltratamiento trmico.Paraobtenerunvalormsexactodebenconsultarselosmanualesdereferenciaparaelmaterial. b Puedesuponersequelaresistenciaalacedenciaylaresistencialtimaparalosmaterialesdctilessonigualesentensinyencompresin. c Semideperpendicularalafibra. d Semideparalelaalafibra. e Deformacinmedidaenformaperpendicularalafibracuandolacargaseaplicaalolargodesta. Metlicos Aleacionesde aluminioforjado 2014-T62.7973.127414414172469469290100.3523 6061-T62.7168.926255255131290290186120.3524 Aleaciones dehierro fundido GrisASTM207.1967.0271796690.60.2812 MaleableASTMA-1977.281726827657250.2812 Aleaciones decobre LatnrojoC834008.741013770.070.0241241350.3518 BronceC861008.8310338345345655655200.3417 Aleaciones demagnesio [Am1004-T61]1.8344.71815215227627615210.3026 EstructuralA367.8520075250250400400300.3212 Aleaciones deaceroInoxidable3047.8619375207207517517400.2717 2123.0220080083073075700261.8DeherramientaL2 Aleacin detitanio [Ti-6Al-4V]4.43120449249241,0001,000160.369.4 Nometlicos Debajaresistencia2.3822.1120.1511 Concreto Dealtaresistencia2.3829.0380.1511 Kevlar491.4513171748320.32.80.34 Vidrioal30%1.4572.4901310.34 Madera degrado estructural AbetoDouglas0.4713.12.1c 26d 6.2d 0.29e Abetoblanco3.609.652.5c 36d 6.7d 0.31e Propiedadesmecnicaspromedioparamaterialesdeingenieratpicosa (UnidadesdelSI) MaterialesDensidad r(Mg/m3 ) Mdulode elasticidadE (GPa) Mdulode rigidezG (GPa) Resistenciaalacedencia (MPa)sY Tens.Comp.b Cortante Resistencialtima (MPa)su Tens.Comp.b Cortante %deelongacin enprobetade 50mm Raznde Poissonv Coeficientedeex- pansintrmica a(10-6 )>C Plstico reforzado 2a y 3a Hibbeler.pdf 12/1/11 11:19:56 4. Propiedades geomtricas de elementos de reaRelaciones entre las propiedades del material Razn de Poisson Ley de Hooke generalizada donde Relaciones entre w, V, M Curva elstica Pandeo Curva axial crtica Esfuerzo crtico Frmula secante Mtodos de energa Conservacin de la energa Energa de deformacin Ui = L L 0 T 2 dx 2GJ momento de torsin Ui = L L 0 fsV2 dx 2GA cortante transversal Ui = L L 0 M2 dx EI momento flexionante Ui = N2 L 2AE carga axial constante Ue = Ui smx = P A c1 + ec r2 sec a L 2r A P EA b d scr = p2 E 1KL>r22 , r = 2I>A Pcr = p2 EI 1KL22 EI d2 n dx2 = M1x2 EI d3 n dx3 = V1x2 EI d4 n dx4 = - w1x2 1 r = M EI dV dx = -w1x2, dM dx = V G = E 211 + n2 gxy = 1 G txy, gyz = 1 G tyz, gzx = 1 G tzx Pz = 1 E 3sz - n1sx + sy24 Py = 1 E 3sy - n1sx + sz24 Px = 1 E 3sx - n1sy + sz24 n = - Plat Plong xh y A= bh b C rea rectangular Ix = bh31 12 Iy = hb31 12 Ix = bh3 xh A= bh b C rea triangular 1 36 h 1 3 1 2 xh A= h(a + b) b a C rea trapezoidal h 1 3 2a + b a + b 1 2 Ix = r4 x y C rea semicircular 1 8 A= r2 2 4r 3 Iy = r41 8 r Ix = r4 x y C rea circular 1 4 A= r2 Iy = r41 4 r A= ab C rea semiparablica 2 3 a2 5 b3 8 a pendiente cero b rea exparablica a3 4 a b3 10 pendiente cero b C A= ab 3 p p p p p p p Cap 00_Hibbeler.indd 1 14/1/11 15:58:23 5. Cap 00_Hibbeler.indd 2 14/1/11 15:58:23 6. MECNICA DE MATERIALESOCTAVA EDICIN Russell C. Hibbeler Traduccin Jess Elmer Murrieta Murrieta Maestro en Investigacin de Operaciones Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey Revisin tcnica Juan scar Molina Sols Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey Sergio Saldaa Snchez Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica Unidad Zacatenco Prentice Hall Cap 00_Hibbeler.indd 3 14/1/11 15:58:23 7. Authorized translation from the English language edition, entitled Mechanics of Materials, 8th edition, by Russell C. Hibbeler, published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright 2011. All rights reserved. ISBN 9780136022305 Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Mechanics of Materials, 8 edicin, por Russell C. Hibbeler, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL, INC., Copyright 2011. Todos los derechos reservados. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en espaol Editor: Luis Miguel Cruz Castillo e-mail: luis.cruz@pearsoned.com Editor de desarrollo: Bernardino Gutirrez Hernndez Supervisor de produccin:Enrique Trejo Hernndez OCTAVA EDICIN, 2011 D.R. 2011 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5o. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031. Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes. ISBN 978-607-32-0559-7 ISBN e-book 978-607-32-0560-3 ISBN e-chapter 978-607-32-0561-0 PRIMERA IMPRESIN Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 14 13 12 11 Prentice Hall es una marca de www.pearsoneducacion.net isbn 978-607-32-0559-7 Datos de catalogacin bibliogrfica Hibbeler, Russell C. Mecnica de materiales. Octava edicin PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2011 ISBN: 978-607-32-0559-7 rea: Ingeniera Formato: 20 25.5 cm Pginas: 880 Cap 00_Hibbeler.indd 4 14/1/11 15:58:24 8. Al estudiante Con la esperanza de que esta obra estimule su inters por la Ingeniera Mecnica y proporcione una gua aceptable hacia su comprensin. Cap 00_Hibbeler.indd 5 14/1/11 15:58:24 9. Cap 00_Hibbeler.indd 6 14/1/11 15:58:24 10. PREFACIO El propsito de este libro es proporcionar al estudiante una presenta- cin clara y completa de la teora y las aplicaciones de los principios de la mecnica de materiales. Para lograr dicho objetivo, esta obra ha ido tomando forma mediante los comentarios y las sugerencias de cientos de revisores que se dedican a la enseanza, as como muchos de los alum- nos del autor. Esta edicin ha sido mejorada de manera significativa en relacin con la anterior, por lo que esperamos que tanto profesor como estudiante se beneficien en gran medida. Lo nuevo en esta edicin Contenido actualizado. Algunas partes del libro se han reescri- to a fin de lograr mayor claridad. A este respecto, se han agregado ejemplos nuevos y algunos de los existentes se han modificado para dar mayor nfasis a la aplicacin de conceptos importantes. Adems, se han mejorado las ilustraciones en todo el libro a fin de dar soporte a dichos cambios. Fotos nuevas. La importancia de conocer el objeto de estudio se refleja en las aplicaciones del mundo real mostradas en 44 fotos nuevas o actualizadas a lo largo del libro. Por lo general, estas fotos se utilizan para explicar la manera en que se aplican los principios ms importan- tes en situaciones reales y la forma en que se comportan los materiales bajo una carga. Problemas fundamentales. Esta serie de problemas se localiza justo despus de los problemas de ejemplo de cada captulo y ofrece a los estudiantes aplicaciones simples de los conceptos, por lo que les da la oportunidad de desarrollar sus habilidades antes de intentar solucio- nar algunos de los problemas estndar que siguen. Esta seccin puede considerarse como ejemplos extendidos puesto que todos los proble- mas tienen soluciones parciales y respuestas que se proporcionan en la seccin final del libro. De manera adicional, estos problemas ofre- cen un medio excelente para estudiar antes de los exmenes, y pueden usarse posteriormente como una preparacin para algn examen de certificacin en ingeniera. Problemas conceptuales. A lo largo del libro, por lo general al final de cada captulo, hemos incluido una serie de problemas que in- volucran situaciones conceptuales relacionadas con la aplicacin de los principios contenidos en el texto. Estos problemas de anlisis y diseo estn planteados para que los estudiantes razonen sobre una situacin de la vida real ejemplificada en una fotografa. Los problemas pueden asignarse despus de que los estudiantes hayan desarrollado cierta ex- periencia en el tema estudiado y se pueden resolver como proyectos individuales o en equipo. Problemas nuevos. En esta edicin se han agregado aproxima- damente 550 problemas nuevos, o 35 por ciento del total, incluyendo aplicaciones a muchos campos diferentes de la ingeniera. Asimismo, Cap 00_Hibbeler.indd 7 14/1/11 15:58:24 11. viii Prefacio esta nueva edicin tiene alrededor de 134 problemas ms que la edi- cin anterior. Problemas con sugerencias. Conlosproblemasdetareaadiciona les en esta nueva edicin, todos los problemas indicados con una vieta () antes del nmero del problema incluyen una recomendacin, ecua- cin clave o resultado numrico adicional que se proporciona junto con la respuesta al final del libro. Estos problemas motivan mucho a los estudiantes para resolver problemas por su cuenta al proporcio narles formas adicionales de verificar la solucin. Contenido El libro est organizado en 14 captulos. El captulo 1 comienza con una revisin de los conceptos importantes de la esttica, seguida por una defi- nicin formal de los esfuerzos normal y cortante, y un anlisis del esfuer- zo normal en elementos cargados de manera axial y el esfuerzo cortante promedio causado por el cortante directo. En el captulo 2 se definen las deformaciones normal y cortante, y en el captulo 3 se proporciona un anlisis de algunas de las propieda- des mecnicas importantes de los materiales. En los captulos 4, 5 y 6, respectivamente, se presenta el estudio por separado de la carga axial, la torsin y la flexin. En cada uno de estos captulos se considera el comportamiento lineal tanto elstico como plstico del material. Ade- ms se incluyen temas relacionados con las concentraciones del esfuerzo y el esfuerzo residual. En el captulo 7 se analiza el esfuerzo cortante transversal, junto con un estudio de los tubos de pared delgada, el flujo cortante y el centro cortante. El captulo 8 incluye un anlisis de reci- pientes a presin con pared delgada y se proporciona un repaso parcial del material cubierto en los captulos anteriores, puesto que el estado de esfuerzo resulta de cargas combinadas. En el captulo 9 se presentan los conceptos para transformar estados de esfuerzo multiaxial. De manera similar, en el captulo 10 se analizan los mtodos para la transformacin de deformaciones, incluyendo la aplicacin de diferentes teoras de falla. El captulo 11 proporciona un medio para realizar un resumen y un re- paso adicionales del material anterior al cubrir aplicaciones de diseo de vigas y ejes. El captulo 12 cubre diferentes mtodos para calcular las de- flexiones de vigas y ejes; tambin se incluye un estudio para determinar las reacciones en estos elementos si son estticamente indeterminados. En el captulo 13 se proporciona un anlisis del pandeo de columnas y, por ltimo, en el captulo 14 se considera el problema del impacto y la aplicacin de diferentes mtodos de energa para calcular deflexiones. Las secciones del libro que contienen material ms avanzado se indi- can mediante un asterisco (*). Si el tiempo lo permite, algunos de estos temas podran incluirse en el curso. Adems, este material proporciona una referencia adecuada para los principios bsicos cuando stos se cu- bren en otros cursos, y puede utilizarse como base para la asignacin de proyectos especiales. Mtodo de cobertura alternativo. Algunos profesores pre- fieren cubrir primero las transformaciones de esfuerzo y deformacin, Cap 00_Hibbeler.indd 8 14/1/11 15:58:24 12. Prefacio ix antes de analizar las aplicaciones especficas de la carga axial, la torsin, la flexin y la cortante. Un mtodo posible para hacer esto sera estudiar primero el esfuerzo y su transformacin, captulos 1 y 9, seguidos por la deformacin y su transformacin, captulo 2 y la primera parte del 10. El anlisis y los problemas de ejemplo en estos ltimos captulos estn redactados de manera que sea posible seguir este mtodo. Adems, las series de problemas se han subdividido de forma que este material pueda verse sin conocimiento previo de los captulos que intervienen. Los cap- tulos 3 a 8 pueden verse sin prdida de continuidad. Elementos particulares Organizacin y enfoque. Cada captulo est organizado en sec- ciones bien definidas que tienen una explicacin de temas especficos, problemas de ejemplo ilustrativos y series de problemas de tarea. Los te- mas dentro de cada seccin se colocan en subgrupos definidos mediante ttulos. El propsito es presentar un mtodo estructurado para introducir cada nueva definicin o concepto y que el libro conserve una secuencia como referencia y para repasos posteriores. Contenido de cada captulo. Cada captulo comienza con una ilustracin a pgina completa que muestra una extensa aplicacin del material incluido. Despus se presentan los objetivos del captulo como una visin general del material que se cubrir en ste. Procedimientos para el anlisis. Esta caracterstica nica, que se encuentran al final de muchas de las secciones del libro, proporciona al estudiante un mtodo lgico y ordenado que puede seguir al aplicar la teora. Los problemas de ejemplo se resuelven utilizando este mtodo esquemtico a fin de clarificar su aplicacin numrica. Sin embargo, se entiende que al dominar los principios relevantes y al haber obtenido confianza y juicio en el mtodo, el estudiante puede desarrollar sus pro- pios procedimientos para la resolucin de problemas. Fotografas. A lo largo del libro se utilizan muchas fotografas para mejorar la comprensin y la explicacin conceptual de cmo se aplican los principios de la mecnica de materiales en situaciones del mundo real. Puntos importantes. Esta caracterstica proporciona un repaso o resumen de los conceptos ms importantes en una seccin y resalta los puntos ms significativos que deben observarse al aplicar la teora para la resolucin de problemas. Problemas de ejemplo. Todos los problemas de ejemplo se pre- sentan de manera concisa y con una redaccin fcil de entender. Problemas de tarea. Muchos de los problemas del libro presen- tan situaciones realistas que pueden encontrarse en la prctica de la inge- niera. Se espera que esto estimule los intereses del estudiante en la ma- teria y proporcione un medio con el cual desarrolle sus habilidades para reducir cualquier problema, desde su descripcin fsica hasta un modelo Cap 00_Hibbeler.indd 9 14/1/11 15:58:24 13. x Prefacio o representacin simblica a la que puedan aplicarse los principios. A lo largo del libro existe un equilibrio aproximado entre los problemas que utilizan unidades del Sistema Ingls y los que usan el Sistema De- cimal. Adems, en todas las series, se ha hecho un esfuerzo por colocar los problemas en un orden de dificultad creciente. Las respuestas a todos los problemas, con la excepcin de cada cuarto problema, se presentan al final del libro. A fin de alertar al usuario acerca de un problema en el que no se incluya respuesta, hemos colocado un asterisco (*) antes de su nmero. Las respuestas se proporcionan con tres cifras significati- vas, incluso cuando los datos para las propiedades del material pueden conocerse con menor exactitud. Aunque sta podra parecer una prc- tica incorrecta, se realiza simplemente por consistencia y para darle al estudiante una mayor oportunidad de validar su solucin. Un cuadrado negro () identifica los problemas que requieren un anlisis numrico o una aplicacin en computadora. Apndices. Los apndices del libro proporcionan una fuente para repaso y un listado de datos tabulares. El apndice A proporciona infor- macin del centroide y el momento de inercia de un rea. En los apn- dices B y C encontrar datos tabulares para figuras estructurales, y la deflexin y las pendientes de varios tipos de vigas y ejes. Verificacin de la exactitud. Esta octava edicin ha sido some- tida a nuestra rigurosa revisin de la exactitud en tres fases. Adems de la revisin realizada por el autor en todas las figuras y pginas, el texto fue verificado por las siguientes personas: Scott Hendricks, Virginia Polytechnic University Karim Nohra, University of South Florida Kurt Norlin, Laurel Tech Integrated Publishing Services Kai Beng Yap, Consultor en Ingeniera Reconocimientos A travs de los aos este texto ha tomado forma con las sugerencias y comentarios de muchos de mis colegas en la profesin de la enseanza. Aprecio su motivacin y deseo de proporcionar una crtica constructiva y espero que acepten este reconocimiento annimo. Doy una nota de agradecimiento a los siguientes revisores. Akthem Al-Manaseer, San Jose State University Yabin Liao, Arizona State University Cliff Lissenden, Penn State Gregory M. Odergard, Michigan Technological University John Oyler, University of Pittsburg Roy Xu, Vanderbilt University Paul Ziehl, University of South Carolina Considero que hay algunas personas que merecen un reconocimiento particular. Mi amigo y socio de hace mucho tiempo, Kai Beng Yap, fue de gran apoyo al revisar todo el manuscrito y ayudarme a preparar las solu- Cap 00_Hibbeler.indd 10 14/1/11 15:58:24 14. Prefacio xi ciones de los problemas. A este respecto, tambin doy una nota de agra- decimiento especial a Kurt Nolin de Laurel Tech Integrated Publishing Services. Agradezco la ayuda de Rose Kernan, mi editora de produccin durante muchos aos, y a mi esposa, Conny, y mi hija, Mary Ann, por su colaboracin con las lecturas de prueba y la escritura necesarias para preparar el manuscrito durante el proceso de produccin. Tambin me gustara agradecer a todos mis alumnos que usaron la edicin anterior y han hecho comentarios para mejorar el contenido de sta. Estar muy agradecido si recibo de ustedes algn comentario o suge- rencia en relacin con el contenido de esta edicin. Russell Charles Hibbeler hibbeler@bellsouth.net Recursos para el profesor (en ingls) Manual de soluciones para el profesor. El autor prepar un manual de soluciones para el profesor, el cual incluye listas de asigna- cin de tareas; tambin fue revisado como parte del programa de verifi- cacin de la exactitud. Recursos para presentacin. Todas las ilustraciones del libro estn disponibles en diapositivas de PowerPoint y formato JPEG (en in- gls). Estos archivos pueden bajarse desde el centro de recursos para el profesor en http://www.pearsoneducacion.net/hibbeler. Si tiene le nece- sidad de obtener un nombre de usuario y una contrasea para este sitio, por favor contacte a su representante local de Pearson. Cap 00_Hibbeler.indd 11 14/1/11 15:58:25 15. Cap 00_Hibbeler.indd 12 14/1/11 15:58:25 16. Contenido Objetivos del captulo 3 1.1 Introduccin 3 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 4 1.3 Esfuerzo 22 1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente 24 1.5 Esfuerzo cortante promedio 32 1.6 Esfuerzo permisible 46 1.7Diseo de conexiones simples 47 1 Esfuerzo 3 Objetivos del captulo 65 2.1Deformacin 65 2.2Deformacin unitaria 66 2 Deformacin 65 Objetivos del captulo 81 3.1 Ensayos de tensin y compresin 81 3.2Diagrama de esfuerzo-deformacin 83 3.3 Comportamiento esfuerzo-deformacin en materiales dctiles y frgiles 87 3.4 Ley de Hooke 90 3.5 Energa de deformacin 92 3.6 Razn de Poisson 102 3.7Diagrama de esfuerzo-deformacin cortante 104 *3.8 Falla de materiales por flujo plstico y fatiga 107 3 Propiedades mecnicas de los materiales 81 Objetivos del captulo 119 4.1 Principio de Saint-Venant 119 4.2Deformacin elstica de un elemento cargado axialmente 122 4.3 Principio de superposicin 136 4.4 Elementos estticamente indeterminados cargados axialmente 137 4.5 Mtodo de las fuerzas para el anlisis de elementos cargados axialmente 143 4.6 Esfuerzo trmico 151 4.7 Concentraciones de esfuerzo 158 *4.8Deformacin axial inelstica 162 *4.9 Esfuerzo residual 164 4 Carga axial 119 Objetivos del captulo 179 5.1Deformacin por torsin de un eje circular 179 5.2 Frmula de la torsin 182 5.3 Transmisin de potencia 190 5.4 ngulo de giro 200 5.5 Elementos cargados con pares de torsin estticamente indeterminados 214 *5.6 Ejes slidos no circulares 221 *5.7Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas 224 5.8 Concentracin del esfuerzo 234 *5.9Torsin inelstica 237 *5.10 Esfuerzo residual 239 5 Torsin 179 Cap 00_Hibbeler.indd 13 14/1/11 15:58:25 17. xiv Contenido Objetivos del captulo 255 6.1Diagramas de fuerza cortante y de momento 255 6.2 Mtodo grfico para la construccin de diagramas de fuerza cortante y de momento 262 6.3Deformacin flexionante de un elemento recto 281 6.4 La frmula de la flexin 285 6.5 Flexin asimtrica 302 *6.6 Vigas compuestas 312 *6.7 Vigas de concreto reforzado 315 *6.8 Vigas curvas 319 6.9 Concentraciones de esfuerzo 326 *6.10 Flexin inelstica 335 6 Flexin 255 Objetivos del captulo 359 7.1 Fuerza cortante en elementos rectos 359 7.2 Frmula del esfuerzo cortante 361 7.3 Flujo cortante en elementos compuestos 378 7.4 Flujo cortante en elementos de pared delgada 387 *7.5 Centro cortante para elementos abiertos de pared delgada 392 7 Esfuerzo cortante transversal 359 Objetivos del captulo 437 9.1Transformacin de esfuerzo plano 437 9.2 Ecuaciones generales de transformacin de esfuerzo plano 442 9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo en el plano 445 9.4 Crculo de Mohr para el esfuerzo plano 461 9.5 Esfuerzo cortante mximo absoluto 473 9 Transformacin de esfuerzo 437 Objetivos del captulo 537 11.1 Fundamentos para el diseo de vigas 537 11 Diseo de vigas y ejes 537 Objetivos del captulo 485 10.1Deformacin plana 485 10.2 Ecuaciones generales para la transformacin de la deformacin plana 486 *10.3 Crculo de Mohr para deformacin plana 494 *10.4Deformacin cortante mxima absoluta 502 10.5 Rosetas de deformacin 504 10.6 Relaciones entre las propiedades del material 508 *10.7Teoras de falla 520 10 Transformacin de la deformacin 485 Objetivos del captulo 405 8.1 Recipientes a presin de pared delgada 405 8.2 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas 412 8 Cargas combinadas 405 Cap 00_Hibbeler.indd 14 14/1/11 15:58:25 18. Contenido xv Objetivos del captulo 657 13.1 Carga crtica 657 13.2 Columna ideal con soportes de pasador 660 13.3 Columnas que tienen varios tipos de soportes 666 *13.4 La frmula de la secante 678 *13.5 Pandeo inelstico 684 *13.6Diseo de columnas para cargas concntricas 692 *13.7Diseo de columnas para cargas excntricas 703 13 Pandeo de columnas 657 Objetivos del captulo 569 12.1 La curva elstica 569 12.2 Pendiente y desplazamiento por integracin 573 *12.3 Funciones de discontinuidad 593 *12.4 Pendiente y desplazamiento por el mtodo del momento de rea 604 12.5 Mtodo de superposicin 619 12.6 Vigas y ejes estticamente indeterminados 627 12.7 Vigas y ejes estticamente indeterminados: mtodo de integracin 628 *12.8 Vigas y ejes estticamente indeterminados: mtodo del momento de rea 633 12.9 Vigas y ejes estticamente indeterminados: mtodo de superposicin 639 12 Deflexin de vigas y ejes 569 Objetivos del captulo 715 14.1Trabajo externo y energa de deformacin 715 14.2 Energa de deformacin elstica para diferentes tipos de carga 720 14.3 Conservacin de la energa 733 14.4 Carga de impacto 740 *14.5 Principio del trabajo virtual 751 *14.6 Mtodo de las fuerzas virtuales aplicado a armaduras 755 *14.7 Mtodo de las fuerzas virtuales aplicado a vigas 762 *14.8Teorema de Castigliano 771 *14.9Teorema de Castigliano aplicado a armaduras 773 *14.10Teorema de Castigliano aplicado a vigas 776 14 Mtodos de energa 715 11.2Diseo de una viga prismtica 540 *11.3 Vigas completamente esforzadas 554 *11.4Diseo de ejes 558 Apndices A. Propiedades geomtricas de un rea 784 A.1 Centroide de un rea 784 A.2 Momento de inercia de un rea 787 A.3 Producto de inercia para un rea 791 A.4 Momentos de inercia para un rea respecto a ejes inclinados 794 A.5 Crculo de Mohr para momentos de inercia 797 B. Propiedades geomtricas de perfiles estructurales 800 C. Pendientes y deflexiones en vigas 808 Soluciones y respuestas parciales a los problemas fundamentales 810 Respuestas a los problemas seleccionados 828 ndice 854 Cap 00_Hibbeler.indd 15 14/1/11 15:58:26 19. Captulo 1, Acercamiento a largueros de hierro. Jack SullivanAlamy Images. Captulo 2, Fenmeno fotoelstico: tensin en un montaje con tornillos. Alfred PasiekaAlamy Images. Captulo 3, Mujer parada cerca de un puente que colaps en una de las zonas con mayor afectacin por el terremoto que golpe la ciudad de Yingxiu en el condado de Wenchuan, de la provincia suroccidental de Sichuan, China, el 2 de junio de 2008. La secretaria de Estado de Estados Unidos, Condoleezza Rice, se reuni el 29 de junio con nios que quedaron sin hogar por el devastador terremoto que azot el suroeste de China y elogi la respuesta del pas al desastre. LIU JIN/StringerGetty Images, Inc. AFP. Captulo 3 del texto, Copa y cono de acero. Alamy Images. Captulo 4, Broca giratoria en un equipo porttil para perforacin petrole- ra. Lowell Georgia/CORBIS. Todos los derechos reservados. Captulo 5, Vapor emergiendo del suelo y vstago hueco giratorio del ba- rreno. Alamy Images. Captulo 6, Estructura de acero en un sitio de construccin. Corbis RF. Captulo 7, Ruedas de un tren en marcha. Jill StephensonAlamy Images. Captulo 7 del texto, Carretera elevada. Gari Wyn WilliamsAlamy Images. Captulo 8, Telesilla con montaas cubiertas de nieve en el fondo. Shut- terstock. Captulo 9, Hlices de una turbina. Chris PearsallAlamy Images. Captulo 10, Esfuerzos complejos desarrollados dentro del ala de un avin. Cortesa de Measurements Group, Inc. Raleigh, Carolina del Norte, 27611, EUA. Captulo 11, Bastidor de metal y una gra amarilla. Stephen FinnAlamy Images. Captulo 12, Hombre con prtiga saltando en el desierto. Patrick Giar- dino/CORBIS. Todos los derechos reservados. Captulo 13, Torre de almacenamiento de agua. John DoradoShutters- tock. Captulo 14, Toma de un transportador de pilotes y una gra flotante. John MacCooeyAlamy Images. Las imgenes restantes fueron proporcionadas por el autor. CRDITOS Cap 00_Hibbeler.indd 16 14/1/11 15:58:26 20. mecnica de materiales Capitulo 01_Hibbeler.indd 1 13/1/11 19:10:24 21. problemas fundamentales F1-1. Determine la fuerza normal interna, la fuerza cor- tante y el momento flexionante en el punto C de la viga. F1-4. Determine la fuerza normal interna, la fuerza cor- tante y el momento flexionante en el punto C de la viga. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Los pernos usados para las conexiones de esta estructura de acero se encuentran sometidos a esfuerzo. En el presente captulo se estudiar la forma en que los ingenieros disean estas conexiones y sus elementos de sujecin. Capitulo 01_Hibbeler.indd 2 13/1/11 19:10:26 22. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 OBJETIVOS DEL CAPTULO En este captulo se repasarn algunos de los principios ms importan- tes de la esttica y se mostrar cmo utilizarlos para determinar las cargas internas resultantes en un cuerpo. Despus, se presentarn los conceptos de esfuerzo normal y cortante, y se analizarn las aplicacio- nes especficas del anlisis y diseo de los elementos sometidos a una carga axial o cortante directa. 1.1 Introduccin La mecnica de materiales es una rama de la mecnica que estudia los efectos internos del esfuerzo y la deformacin en un cuerpo slido que est sometido a una carga externa. El esfuerzo se encuentra asociado con la resistencia del material del que est hecho el cuerpo, mientras que la deformacin es una medida de la elongacin (cambio en tamao y for- ma) que experimenta ste. Adems, la mecnica de materiales incluye el estudio de estabilidad de los cuerpos, como en el caso de una columna que se encuentra sometida a una carga de compresin. La comprensin completa de los fundamentos de este tema es de vital importancia, pues- to que muchas frmulas y reglas de diseo mencionados en los manuales de ingeniera se basan en los principios de esta materia. Esfuerzo 1 3 Capitulo 01_Hibbeler.indd 3 13/1/11 19:10:26 23. 4 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Desarrollo histrico. El origen de la mecnica de materiales se remonta a los comienzos del siglo xvii, cuando Galileo realiz experi- mentos para estudiar los efectos de las cargas en barras y vigas fabricadas con diferentes materiales. Sin embargo, a inicios del siglo xviii, se mejo- raron en gran medida los mtodos experimentales para realizar pruebas en materiales. En ese tiempo, cientficos notables como Saint-Venant, Poisson, Lam y Navier realizaron muchos estudios experimentales y tericos sobre este tema, principalmente en Francia. Con el paso de los aos, cuando muchos de los problemas fundamen- tales de la mecnica de materiales se haban resuelto, fue necesario el uso de matemticas avanzadas y tcnicas de computacin para resolver problemas ms complejos. En consecuencia, este tema se expandi a otras reas de la mecnica, como la teora de la elasticidad y la teora de la plasticidad. La investigacin en estos campos se encuentra en desarrollo y tiene el propsito de resolver problemas de ingeniera ms avanzados. 1.2Equilibrio de un cuerpo deformable La esttica juega un papel importante en el desarrollo y la aplicacin de la mecnica de materiales; por ello, es esencial tener un buen enten- dimiento de sus fundamentos. A continuacin repasaremos algunos de los principios esenciales de la esttica que se utilizarn a lo largo de este libro. Cargas externas. Un cuerpo puede estar sometido a dos tipos de cargas externas, es decir, las fuerzas de superficie o las fuerzas de cuerpo. Vea la figura 1-1. Fuerzas de superficie. Las fuerzas de superficie son causadas por el contacto directo de un cuerpo con la superficie de otro. En todos los casos esas fuerzas estn distribuidas sobre el rea de contacto entre los cuerpos. Si esta rea es pequea en comparacin con el rea de la superficie total del cuerpo, entonces la fuerza de superficie puede ideali- zarse como una sola fuerza concentrada, que se aplica a un punto sobre el cuerpo. Por ejemplo, la fuerza del suelo sobre las ruedas de una bici- cleta puede considerarse como una fuerza concentrada. Si la carga de la superficie se aplica a lo largo de un rea estrecha o lnea, la carga puede idealizarse como una carga linealmente distribuida, w(s). Aqu la carga se mide como si tuviese una intensidad de fuerzaNlongitud a lo largo de la lnea y se representa de manera grfica como una serie de flechas a lo largo de la lnea s. La fuerza resultante FR de w(s) es equivalente al rea bajo la curva de la carga distribuida, y esta resultante acta a travs del centroide C (o centro geomtrico) de dicha rea. Las cargas ubicadas en toda la longitud de una viga es un ejemplo tpico en el que, a menudo, se aplica esta idealizacin. w(s) Idealizacin de una fuerza concentrada Carga linealmente distribuida Fuerza de superficie Fuerza de cuerpo s C G FR W Figura 1-1 Capitulo 01_Hibbeler.indd 4 13/1/11 19:10:26 24. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Fuerzas de cuerpo. Una fuerza de cuerpo se desarrolla cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo sin contacto fsico directo entre stos. Entre algunos ejemplos se encuentran los efectos causados por la gravitacin de la Tierra o por su campo electromagntico. Aunque las fuerzas de cuerpo afectan cada una de las partculas que lo forman, estas fuerzas se representan por una sola fuerza concentrada que acta sobre el cuerpo. En el caso de la gravitacin, esta fuerza se llama el peso del cuerpo y acta a travs del centro de gravedad del mismo. Reacciones en los soportes (apoyos). Las fuerzas de super- ficie que se desarrollan en los soportes o puntos de contacto entre los cuerpos se llaman reacciones. En la tabla 1-1 se muestran los soportes ms comunes para los problemas bidimensionales, es decir, para cuer- pos sometidos a sistemas de fuerzas coplanares. Observe con cuidado el smbolo utilizado para representar cada soporte y el tipo de reacciones que ejerce sobre el elemento con el que est en contacto. Como regla general, si el soporte impide la traslacin en una direccin dada, en- tonces debe desarrollarse una fuerza sobre el elemento en esa direccin. Del mismo modo, si se impide la rotacin, debe ejercerse un momento sobre el elemento. Por ejemplo, un soporte de rodillo slo puede impedir la traslacin perpendicular o normal a la superficie. Por consiguiente, el rodillo ejerce una fuerza normal F sobre el elemento en el punto de con- tacto. Como el elemento puede girar libremente con respecto al rodillo, no puede desarrollarse un momento sobre el elemento. Muchos elementos de mquina estn co- nectados mediante pernos para permitir la rotacin libre en sus conexiones. Estos soportes ejercen una fuerza sobre un ele- mento, pero no un momento. F F Tipo de conexin Reaccin Cable Rodillo Una incgnita: F Una incgnita: F F Soporte liso Una incgnita: F Pasador externo Pasador interno Fx Fy Fx Fy Dos incgnitas: Fx, Fy Fx Fy M Soporte fijo Tres incgnitas: Fx, Fy, M Dos incgnitas: Fx, Fy Tipo de conexin Reaccin u u u TABLA 1-1 Capitulo 01_Hibbeler.indd 5 13/1/11 19:10:27 25. 6 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Ecuaciones de equilibrio. El equilibrio de un cuerpo requiere un balance de fuerzas para impedir que el cuerpo se traslade o tenga movimiento acelerado a lo largo de una trayectoria recta o curva, y un balance de momentos para impedir que el cuerpo gire. Estas condicio- nes pueden expresarse de manera matemtica mediante dos ecuaciones vectoriales Para disear los elementos horizontales de la estructura de este edificio, primero deben determinarse las cargas internas en dife- rentes puntos a lo largo de su longitud. (1-1) F = 0 MO = 0 Aqu, F representa la suma de todas las fuerzas que actan sobre el cuerpo y MO es la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto a cualquier punto O ya sea sobre o fuera del cuerpo. Si se fija un sistema de coordenadas x, y, z con el origen en el punto O, los vectores de fuerza y de momento pueden separarse en componentes a lo largo de los ejes coordenados y en las dos ecuaciones anteriores pueden escribirse en for- ma escalar como seis ecuaciones, consideradas como, (1-2) Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0 Mx = 0 My = 0 Mz = 0 Con frecuencia, en la prctica de la ingeniera, la carga sobre un cuer- po puede representarse como un sistema de fuerzas coplanares. Si ste es el caso, y las fuerzas se encuentran en el plano x-y, entonces las condicio- nes para el equilibrio del cuerpo pueden especificarse mediante slo tres ecuaciones escalares de equilibrio, que son: (1-3) Fx = 0 Fy = 0 MO = 0 Aqu todos los momentos se suman con respecto al punto O, y stos es- tarn dirigidos a lo largo del eje z. La aplicacin exitosa de las ecuaciones de equilibrio requiere la es- pecificacin completa de todas las fuerzas conocidas y desconocidas que actan sobre el cuerpo, por lo que la mejor manera de tomar en cuenta todas esas fuerzas es dibujar el diagrama de cuerpo libre del cuerpo. Capitulo 01_Hibbeler.indd 6 13/1/11 19:10:29 26. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Cargas internas resultantes. En la mecnica de materiales, la esttica se usa principalmente para determinar las cargas resultantes que actan dentro de un cuerpo. Por ejemplo, considere el cuerpo que se muestra en la figura 1-2a, que se mantiene en equilibrio mediante las cuatro fuerzas externas.* A fin de obtener las cargas internas que actan sobre una regin especfica dentro del cuerpo, es necesario hacer una seccin imaginaria o corte a travs de la regin donde van a determi- narse las cargas internas. Despus, las dos partes del cuerpo se separan y se dibuja un diagrama de cuerpo libre de una de las partes, figura 1-2b. Observe que en realidad existe una distribucin de la fuerza interna que acta sobre el rea expuesta de la seccin. Esas fuerzas representan los efectos del material de la parte superior del cuerpo que acta sobre el material adyacente de la parte inferior. Aunque la distribucin exacta de la carga interna puede ser descono- cida, pueden usarse las ecuaciones de equilibrio para relacionar las fuer- zas externas sobre la parte inferior del cuerpo con la fuerza y el momento resultantes de la distribucin, FR y MRO , en cualquier punto especfico O sobre el rea seccionada, figura l-2c. Ms adelante se mostrar que el punto O suele escogerse en el centroide del rea seccionada, y as se le considerar aqu a menos que se indique lo contrario. Adems, si un ele- mento es largo y delgado, como en el caso de una barra o una viga, la seccin que debe considerarse se toma perpendicular al eje longitudinal del elemento. A esta seccin se le llama seccin transversal. F1 F2 (b) seccin F4 F2 (a) F1 F3 FR F1 F2 O MRO (c) Figura 1-2 *El peso del cuerpo no se muestra, porque se supone que es muy pequeo y, por lo tanto, insignificante en comparacin con las otras cargas. Capitulo 01_Hibbeler.indd 7 13/1/11 19:10:30 27. 8 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Tres dimensiones. Ms adelante se mostrar la manera de relacionar las cargas resultantes, FR y MRO , con la distribucin de fuerza en el rea seccionada y se desarrollarn ecuaciones que puedan usarse para el an- lisis y diseo del cuerpo. Sin embargo, para hacer esto deben considerar- se las componentes de FR y MRO actuando de forma normal o perpendi- cular al rea seccionada, figura 1-2d. Entonces, pueden definirse cuatro diferentes tipos de cargas resultantes de la manera siguiente: Fuerza normal, N. Esta fuerza acta perpendicularmente al rea. Se desarrolla siempre que las cargas externas tienden a empujar o jalar sobre los dos segmentos del cuerpo. Esfuerzo cortante, V. El esfuerzo cortante se encuentra en el plano del rea y se desarrolla cuando las cargas externas tienden a ocasionar que los dos segmentos del cuerpo se deslicen uno sobre el otro. Momento de torsin o torque, T. Este efecto se desarrolla cuan- do las cargas externas tienden a torcer un segmento del cuerpo con res- pecto al otro alrededor de un eje perpendicular al rea. Momento flexionante, M. El momento flexionante es causado por las cargas externas que tienden a flexionar el cuerpo respecto a un eje que se encuentra dentro del plano del rea. Observe que en este texto la representacin grfica de un momento o torque se muestra en tres dimensiones como un vector con una rotacio- nal (flecha curva) asociada. Mediante la regla de la mano derecha, el pul- gar proporciona el sentido de la flecha del vector y la curva o los dedos indican la tendencia de rotacin (torsin o flexin). FR F1 F2 O MRO (c) Momento flexionante Momento de torsin (d) O F1 F2 N T M V Fuerza cortante MRO FR Fuerza normal Figura 1-2 (cont.) Capitulo 01_Hibbeler.indd 8 13/1/11 19:10:30 28. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Cargas coplanares. Si el cuerpo est sometido a un sistema de fuerzas coplanares, figura 1-3a, entonces en la seccin slo existen compo- nentes de fuerza normal, de fuerza cortante y de momento flexionan- te, figura 1-3b. Si se usan los ejes coordenados x, y, z, como se mues- tra en el segmento de la izquierda, entonces N puede obtenerse al aplicar Fx = 0 y V se puede obtener de Fy = 0. Por ltimo, el mo- mento flexionante MO se puede determinar mediante la suma de momentos respecto al punto O (el eje z), MO = 0, a fin de eliminar los momentos causados por las incgnitas N y V. seccin F4 F3 F2 F1 (a) O V MO N x y Momento flexionante Fuerza cortante Fuerza normal (b) F2 F1 Figura 1-3 Puntos importantes La mecnica de materiales es un estudio de la relacin entre las cargas externas aplicadas a un cuerpo y el esfuerzo y la defor- macin causadas por las cargas internas dentro del cuerpo. Las fuerzas externas pueden aplicarse a un cuerpo como cargas de superficie distribuidas o concentradas, o bien como fuerzas de cuerpo que actan a travs del volumen del cuerpo. Las cargas linealmente distribuidas producen una fuerza resul- tante con una magnitud igual al rea bajo el diagrama de carga, y con una ubicacin que pasa a travs del centroide de esta rea. Un soporte produce una fuerza en una direccin particular so- bre el elemento al que se encuentra unido si impide la traslacin del elemento en esa direccin, y produce un momento sobre el elemento si impide su rotacin. Para evitar la traslacin de un cuerpo con movimiento acele- rado, as como su rotacin, deben cumplirse las ecuaciones de equilibrio F = 0 y M = 0. Al aplicar estas ecuaciones, es importante dibujar primero el diagrama de cuerpo libre, a fin de tomar en cuenta todos los trminos incluidos en las ecuaciones. El mtodo de las secciones se utiliza para determinar las cargas internas resultantes que actan sobre la superficie del cuerpo sec- cionado. En general, estas resultantes consisten en una fuerza nor- mal, la fuerza cortante y los momentos de torsin y flexionante. Capitulo 01_Hibbeler.indd 9 13/1/11 19:10:31 29. 10 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Con los siguientes ejemplos se ilustra este procedimiento en forma numrica y se hace un repaso de algunos de los principios importantes de la esttica. Procedimiento de anlisis Las cargas resultantes internas en un punto situado sobre la seccin transversal de un cuerpo pueden obtenerse usando el mtodo de las secciones. Para ello, es necesario realizar los siguientes pasos. Reacciones en los soportes. Primero decida qu segmento del cuerpo debe ser considerado. Si el segmento tiene un soporte o una conexin a otro cuerpo, entonces antes de seccionar el cuerpo ser necesario determi- nar las reacciones que actan sobre el segmento escogido. Para hacerlo, dibuje el diagrama de cuerpo libre de todo el cuerpo y luego aplique las ecuaciones de equilibrio necesarias para obte- ner esas reacciones. Diagrama de cuerpo libre. Mantenga todas las cargas externas distribuidas, los momentos, los pares de torsin y las fuerzas en sus ubicaciones exactas, an- tes de hacer una seccin imaginaria a travs del cuerpo en el pun- to donde deben determinarse las cargas internas resultantes. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de uno de los segmentos cortados e indique las resultantes desconocidas N, V, M y T en la seccin. stas suelen colocarse en el punto que representa el centro geomtrico o centroide del rea seccionada. Si el elemento est sometido a un sistema de fuerzas coplanares, slo N, V y M actan en el centroide. Establezca los ejes coordenados x, y, z con origen en el cen- troide y muestre las cargas internas resultantes que actan a lo largo de los ejes. Ecuaciones de equilibrio. Los momentos deben sumarse en la seccin, con respecto a cada uno de los ejes coordenados donde actan las resultantes. Al hacer esto se eliminan las fuerzas desconocidas N y V, y es posi- ble obtener una solucin directa para M (y T). Si al resolver la resultante mediante las ecuaciones de equilibrio se obtiene un valor negativo, la direccin de la resultante se asu- me opuesta a la mostrada en el diagrama de cuerpo libre. Capitulo 01_Hibbeler.indd 10 13/1/11 19:10:31 30. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.1 Determine las cargas internas resultantes que actan en C sobre la sec- cin transversal de la viga en voladizo que se muestra en la figura 1-4a. SOLUCIN Reacciones en los soportes. Si se considera el segmento CB no es necesario determinar las reacciones en A. Diagrama de cuerpo libre. En la figura 1-4b, se muestra el diagrama de cuerpo libre del segmento CB. Es importante mantener la carga distribuida sobre el segmento hasta despus de hacer la seccin. Slo entonces esta carga debe sustituirse por una sola fuerza resultan- te. Observe que la intensidad de la carga distribuida en C se encuentra mediante proporciones, es decir, a partir de la figura 1-4a, w/6 m = (270 N/m)/9 m, w = 180 N/m. La magnitud de la resultante de la carga distribuida es igual al rea bajo la curva de carga (tringulo) y acta a travs del centroide de esta rea. As, F = 1 21180 N>m216 m2 = 540 N, que acta a 1 316 m2 = 2 m de C como se muestra en la figura 1-4b. Ecuaciones de equilibrio. Al aplicar las ecuaciones de equili- brio, se tiene Resp. Resp. Resp.MC = -1080 N # m -MC - 540 N12 m2 = 0d+MC = 0; VC = 540 N VC - 540 N = 0+ cFy = 0; NC = 0 -NC = 0:+ Fx = 0; NOTA: El signo negativo indica que MC acta en la direccin opues- ta a la mostrada en el diagrama de cuerpo libre. Intente resolver este problema usando el segmento AC, al obtener primero las reacciones en el soporte A, que se dan en la figura 1-4c. Figura 1-4 (a) A B C 3 m 6 m 270 N/m 180 N/m 540 N 2 m 4 m VC MC NC (b) BC 1.5 m 0.5 m 1 m 180 N/m 90 N/m 540 N 135 N VC MC NC (c) 1215 N 3645 Nm CA Capitulo 01_Hibbeler.indd 11 13/1/11 19:10:34 31. 12 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.2 Determine las cargas internas resultantes que actan en C sobre la seccin transversal de la flecha de la mquina mostrada en la figura 1-5a. La flecha est soportada por chumaceras en A y B, las cuales ejercen slo fuerzas verticales sobre la flecha. SOLUCIN Este problema se resolver usando el segmento AC de la flecha. Reacciones en los soportes. En la figura 1-5b se muestra el diagrama de cuerpo libre de toda la flecha. Puesto que se considerar el segmento AC, slo debe determinarse la reaccin en A. Por qu? El signo negativo indica que Ay acta en el sentido opuesto al mostra- do en el diagrama de cuerpo libre. Diagrama de cuerpo libre. En la figura 1-5c se muestra el dia grama de cuerpo libre del segmento AC. Ecuaciones de equilibrio. Ay = -18.75 N -Ay10.400 m2 + 120 N10.125 m2 - 225 N10.100 m2 = 0+ MB = 0; NOTA: Los signos negativos para VC y MC indican que actan en las direcciones opuestas a las mostradas en el diagrama de cuerpo libre. A modo de ejercicio, calcule la reaccin en B e intente obtener los mismos resultados usando el segmento CBD del eje. Resp. Resp. Resp.MC = -5.69 N # m MC + 40 N10.025 m2 + 18.75 N10.250 m2 = 0+ MC = 0; VC = -58.8 N -18.75 N - 40 N - VC = 0+ c Fy = 0; NC = 0:+ Fx = 0; Figura 1-5 225 N C D 200 mm 100 mm 100 mm 50 mm50 mm 800 N/m B (a) A 0.275 m 0.125 m (800 N/m)(0.150 m) = 120 N 0.100 m 225 N Ay By B (b) (c) 40 N 18.75 N 0.250 m 0.025 m MC VC C A NC Capitulo 01_Hibbeler.indd 12 13/1/11 19:10:37 32. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.3 Un motor de 500 kg est suspendido del aguiln de una gra como se muestra en la figura 1-6a. Determine las cargas resultantes internas que actan sobre la seccin transversal del aguiln en el punto E. SOLUCIN Reacciones en los soportes. Se considerar el segmento AE del aguiln, por lo que primero deben determinarse las reacciones del pasador en A. Observe que el elemento CD es un elemento de dos fuerzas. En la figura 1-6b se muestra el diagrama de cuerpo libre del aguiln. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio se obtiene, Diagrama de cuerpo libre. En la figura 1-6c se muestra el dia- grama de cuerpo libre del segmento AE. Ecuaciones de equilibrio. Ay = 2452.5 N -Ay + 112 262.5 N2A3 5 B - 50019.812 N = 0+ cFy = 0; Ax = 9810 N Ax - 112 262.5 N2A4 5 B = 0:+ Fx = 0; FCD = 12 262.5 N FCDA3 5 B12 m2 - [50019.812 N]13 m2 = 0+MA = 0; Resp. Resp. Resp.ME = -2452.5 N # m = -2.45 kN # m ME + 12452.5 N211 m2 = 0+ME = 0; VE = -2452.5 N = -2.45 kN -VE - 2452.5 N = 0+ c Fy = 0; NE = -9810 N = -9.81 kN NE + 9810 N = 0:+ Fx = 0; A 1 m1 m1 m 1.5 m E C B D (a) A 1 m2 m 500(9.81) N Ay Ax FCD (b) 3 4 5 9810 N 2452.5 N VE ME NE (c) EA 1 m Figura 1-6 Capitulo 01_Hibbeler.indd 13 13/1/11 19:13:52 33. 14 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.4 Determine las cargas internas resultantes que actan en G sobre la seccin transversal de la viga mostrada en la figura 1-7a. Cada uno de los nodos est conectado mediante pasadores. SOLUCIN Reacciones en los soportes. Aqu se considerar el segmento AG. En la figura 1-7b se muestra el diagrama de cuerpo libre de toda la estructura. Verifique las reacciones calculadas en E y C. En particular, considere que BC es un elemento de dos fuerzas puesto que slo dos fuerzas actan sobre l. Por esta razn la fuerza en C debe actuar a lo largo de BC, que se encuentra en posicin horizontal como se muestra en la figura. Como BA y BD tambin son elementos de dos fuerzas, el diagrama de cuerpo libre del nodo B es como se muestra en la figura 1-7c. De nuevo, verifique las magnitudes de las fuerzas FBA y FBD . Diagrama de cuerpo libre. Si se utiliza el resultado obtenido para FBA , el diagrama de cuerpo libre del segmento AG es como se muestra en la figura 1-7d. Ecuaciones de equilibrio. Resp. Resp. Resp.MG = 6300 lb # pie MG - 17750 lb2A3 5 B12 pies2 + 1500 lb12 pies2 = 0+MG = 0; VG = 3150 lb -1500 lb + 7750 lbA3 5 B - VG = 0+ c Fy = 0; 7750 lbA4 5 B + NG = 0 NG = -6200 lb:+ Fx = 0; Figura 1-7 (a) 300 lb/pie 2 pies 2 pies 6 pies 1500 lb A B G D C 3 pies E 3 pies 6 pies (6 pies) 4 pies (6 pies)(300 lb/pie) 900 lb 1500 lb Ey 2400 lb Ex 6200 lb FBC 6200 lb (b) 2 3 1 2 6200 lb 3 4 5 (c) B FBA 7750 lb FBD 4650 lb (d) NG MG VG 2 pies 3 4 5 7750 lb1500 lb A G Capitulo 01_Hibbeler.indd 14 13/1/11 19:13:58 34. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.5 Determine las cargas internas resultantes que actan en B sobre la seccin transversal del tubo mostrado en la figura 1-8a. El tubo tiene una masa de 2 kg/m y est sometido, tanto a una fuerza vertical de 50 N, como a un momento de 70 N m en su extremo A. El tubo est empotrado en la pared en C. SOLUCIN El problema se puede resolver considerando el segmento AB, por lo que no es necesario calcular las reacciones del soporte en C. Diagrama de cuerpo libre. Los ejes x, y, z se fijan en B y el diagrama de cuerpo libre del segmento AB es como se muestra en la figura 1-8b. Se supone que las componentes de la fuerza y momento resultantes actan en las direcciones coordenadas positivas y que pa- san a travs del centroide del rea transversal en B. El peso de cada segmento de tubo se calcula de la siguiente manera: Figura 1-8 WAD = 12 kg>m211.25 m219.81 N>kg2 = 24.525 N WBD = 12 kg>m210.5 m219.81 N>kg2 = 9.81 N Resp. Resp. Resp. Resp. Resp. Resp.1MB2z = 01MB2z = 0; (MB)y = -77.8 N # m (MB)y + 24.525 N 10.625 m2 + 50 N 11.25 m2 = 01MB2y = 0; 1MB2x = -30.3 N # m - 24.525 N 10.5 m2 - 9.81 N 10.25 m2 = 0 1MB2x + 70 N # m - 50 N 10.5 m21MB2x = 0; 1FB2z = 84.3 N 1FB2z - 9.81 N - 24.525 N - 50 N = 0Fz = 0; (FB)y = 0Fy = 0; 1FB2x = 0Fx = 0; Estas fuerzas actan a travs del centro de gravedad de cada segmento. Ecuaciones de equilibrio. Al aplicar las seis ecuaciones escala- res de equilibrio se obtiene* NOTA: Qu indican los signos negativos de (MB )x y (MB )y ? Ob- serve que la fuerza normal NB = (FB )y = 0, mientras que la fuerza cortante es VB = 21022 + 184.322 = 84.3 N. Adems, el momento de torsin es TB = (MB )y = 77.8 N m y el momento flexionante es MB = 130.322 + 1022 = 30.3 N # m. * La magnitud de cada momento con respecto a un eje es igual a la magnitud de cada fuerza multiplicada por la distancia perpendicular desde el eje hasta la lnea de accin de la fuerza. La direccin de cada momento se determina mediante la regla de la mano derecha, con momentos positivos (pulgar) dirigidos a lo largo de los ejes coordenados positivos. 0.75 m 50 N 1.25 m B A 0.5 m C D 70 Nm (a) 0.625 m 70 Nm (b) y0.625 m A 50 N 0.25 m 0.25 m x z 9.81 N 24.525 N B (FB)z (MB)z (MB)x (FB)x (MB)y (FB)y Capitulo 01_Hibbeler.indd 15 13/1/11 19:14:00 35. 16 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas fundamentales F1-1. Determine la fuerza normal interna, la fuerza cor- tante y el momento flexionante en el punto C de la viga. F1-4. Determine la fuerza normal interna, la fuerza cor- tante y el momento flexionante en el punto C de la viga. problemas fundamentales F1-6. Determine la fuerza normal interna, la fuerza cor- tante y el momento flexionante en el punto C de la viga. F1-5. Determine la fuerza normal interna, la fuerza cor- tante y el momento flexionante en el punto C de la viga. F1-3. Determine la fuerza normal interna, la fuerza cor- tante y el momento flexionante en el punto C de la viga. F1-2. Determine la fuerza normal interna, la fuerza cor- tante y el momento flexionante en el punto C de la viga. A B C 2 m 2 m1 m 60 kNm 1 m 10 kN F1-1 A B C 1.5 m 1.5 m 100 N/m 200 N/m F1-2 A B 2 m 2 m 2 m C 20 kN/m F1-3 A C B 3 m3 m 10 kN/m F1-4 3 pies 3 pies 3 pies 300 lb/pie A BC F1-5 3 m 2 m 2 m 2 m A D C B 5 kN/m F1-6 Capitulo 01_Hibbeler.indd 16 13/1/11 19:14:08 36. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 1-1. Para cada columna, determine la fuerza normal in- terna resultante que acta sobre la seccin transversal a travs del punto A. En (a), el segmento BC pesa 180 lb/pie y el segmento CD pesa 250 lb/pie. En (b), la columna tiene una masa de 200 kg/m. 1-3. Determine el par de torsin interno resultante que acta sobre las secciones transversales a travs de los pun- tos B y C. PROBLEMAS 1-2. Determine el par de torsin interno resultante que acta sobre las secciones transversales a travs de los pun- tos C y D. Los cojinetes de soporte en A y B permiten que el eje gire libremente. 1-5. Determine las cargas internas resultantes de la viga mostrada en las secciones transversales a travs de los pun- tos D y E. El punto E se encuentra justo a la derecha de la carga de 3 kip. *1-4. Una mnsula soporta una fuerza de 80 N como se muestra en la figura. Determine las cargas internas resul- tantes que actan sobre la seccin a travs del punto A. 3 kip3 kip 5 kip 10 pies 4 pies 4 pies 8 pulg8 pulg A C D (a) B 8 kN 3 m 1 m 6 kN6 kN 4.5 kN4.5 kN 200 mm200 mm A (b) 200 mm200 mm Prob. 1-1 A BD C300 mm 200 mm 150 mm 200 mm 250 mm 150 mm 400 Nm 150 Nm 250 Nm Prob. 1-2 6 pies 4 pies A 4 pies B CD E 6 pies 3 kip 1.5 kip/pie Prob. 1-5 0.1 m 0.3 m 30 80 N A 45 Prob. 1-4 3 pies 2 pies 2 pies 1 pie B A C 500 lbpie 350 lbpie 600 lbpie Prob. 1-3 Capitulo 01_Hibbeler.indd 17 13/1/11 19:14:23 37. 18 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-11. La fuerza F = 80 lb acta sobre el diente del engra- ne. Determine las cargas internas resultantes sobre la raz del diente, es decir, en el centroide A de la seccin a-a. 1-6. Determine la fuerza normal, la fuerza cortante y el momento en una seccin que pasa por el punto C. Consi- dere que P = 8 kN. 1-7. El cable mostrado fallar cuando se someta a una tensin de 2 kN. Determine la mayor carga vertical P que puede soportar el bastidor y, para esa carga, calcule la fuer- za normal interna, la fuerza cortante y el momento en la seccin transversal que pasa por C. *1-8. Determine las cargas internas resultantes sobre la seccin transversal que pasa por el punto C. Suponga que las reacciones en los soportes A y B son verticales. 1-9. Determine las cargas internas resultantes sobre la seccin transversal que pasa por el punto D. Suponga que las reacciones en los soportes A y B son verticales. 1-10. El aguiln DF de la gra y la columna DE tienen un peso uniforme de 50 lb>pie. Si el gancho y la carga pesan 300 lb, determine las cargas internas resultantes en la gra sobre las secciones transversales que pasan por los puntos A, B y C. *1-12. El gancho se utiliza para sostener el cable de un andamio sobre el costado de un edificio. Si ste consiste en una varilla lisa que hace contacto con el parapeto de una pared en los puntos A, B y C, determine la fuerza normal, la fuerza cortante y el momento sobre la seccin transver- sal en los puntos D y E. 0.2 m 0.2 m 0.2 m 0.2 m 0.2 m 0.3 m 0.3 m 18 kN A D E B C Prob. 1-12 a 30 a F 80 lb 0.23 pulg 45 A 0.16 pulg Prob. 1-11 5 pies 7 pies C D F E B A 300 lb 2pies 8 pies 3 pies Prob. 1-10 Probs. 1-8/9 0.75 m C P A B 0.5 m 0.1 m 0.75 m 0.75 m Probs. 1-6/7 0.5 m 0.5 m 1.5 m1.5 m C A B 3 kN/m 6 kN D Capitulo 01_Hibbeler.indd 18 13/1/11 19:14:29 38. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-13. La carga de 800 lb se est izando a una velocidad constante mediante el motor M, el cual tiene un peso de 90 lb. Determine las cargas internas resultantes que actan en la viga sobre la seccin transversal a travs del punto B. La viga tiene un peso de 40 lb/pie y est fija a la pared en A. 1-14. Determine las cargas internas resultantes que ac- tan en la viga del Prob. 1-13, sobre la seccin transversal a travs de los puntos C y D. 1-15. Determine la carga interna resultante sobre la sec- cin transversal que pasa por el punto C de las pinzas. Exis- te un pasador en A, y las quijadas en B son lisas. *1-16. Determine la carga interna resultante sobre la sec- cin transversal que pasa por el punto D de las pinzas. 1-17. Determine las cargas internas resultantes que ac- tan sobre la seccin a-a y la seccin b-b. Cada una de las secciones pasa a travs de la lnea central en el punto C. 1-18. El vstago del perno est sometido a una tensin de 80 lb. Determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal en el punto C. 1-19. Determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal a travs del punto C. Suponga que las reacciones en los soportes A y B son verticales. *1-20. Determinelascargasinternasresultantesqueactan sobre la seccin transversal a travs del punto D. Suponga que las reacciones en los soportes A y B son verticales. Prob. 1-18 A B C 90 6 pulg Probs. 1-19/20 3 pies 3 pies DCA B 6 pies 6 kip/pie6 kip/pie Prob. 1-17 45 1.5 m 1.5 m 3 m 45 A C B b a a b 5 kN Probs. 1-13/14 M 4 pies 3 pies 4 pies C B 1.5 pies A 0.25 pie 4 pies 3 pies D Probs. 1-15/16 120 mm 40 mm 15 mm 80 mm A C D 30 20 N 20 N B Capitulo 01_Hibbeler.indd 19 13/1/11 19:14:36 39. 20 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-21. La mordaza de acero forjado ejerce una fuerza de F = 900 N sobre el bloque de madera. Determine las car- gas internas resultantes que actan sobre la seccin a-a que pasa por el punto A. 4 pies z y 6 pies x B A 3 pies 2 pies 3 pies 7 lb/pie2 1-22. La gra de piso se utiliza para levantar un tubo de concreto de 600 kg. Determine las cargas internas resultan- tes que actan sobre la seccin transversal en G. 1-23. La gra de piso se utiliza para levantar un tubo de concreto de 600 kg. Determine las cargas internas resultan- tes que actan sobre la seccin transversal en H. *1-24. La mquina se mueve con una velocidad constan- te. Tiene una masa total de 20 Mg, y su centro de masa se ubica en G, sin incluir el rodillo delantero. Si el rodillo delantero tiene una masa de 5 Mg, determine las cargas internas resultantes que actan sobre el punto C de cada uno de los dos elementos laterales que sostienen al rodillo. No tome en cuenta la masa de los elementos laterales. El rodillo delantero rueda libremente. 1-25. Determine las cargas internas resultantes que ac- tan sobre la seccin transversal a travs del punto B del poste de sealizacin. El poste est fijo al suelo y sobre la sealizacin acta una presin uniforme de 7 lb/pie2 , per- pendicular a la seal. 200 mm a a F 900 N F 900 N 30 A Prob. 1-21 0.2 m 0.2 m 0.4 m 0.3 m 0.5 m 75 0.6 m C A E B F D H G Probs. 1-22/23 4 m 2 m 1.5 m A C B G Prob. 1-24 Prob. 1-25 Capitulo 01_Hibbeler.indd 20 13/1/11 19:15:34 40. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Prob. 1-27 1-26. La flecha est soportada en sus extremos por dos cojinetes A y B y est sometida a las fuerzas aplicadas a las poleas fijas al eje. Determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal ubicada en el punto C. Las fuerzas de 300 N actan en la direccin -z y las fuer- zas de 500 N actan en la direccin +x. Los cojinetes en A y B slo ejercen componentes de fuerza x y z sobre el eje. 1-27. El tubo tiene una masa de 12 kg/m. Si est fijo a la pared en A, determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal en B. No tome en cuen- ta el peso de la llave CD. *1-28. El berbiqu y la broca se utilizan para taladrar un orificio en O. Si la broca se atasca cuando el berbiqu est sometido a las fuerzas mostradas, determine las cargas in- ternas resultantes que actan sobre la seccin transversal de la broca en A. 1-29. La barra curva tiene un radio r y est fija a la pared en B. Determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal a travs de A, la cual se ubica a un ngulo respecto de la horizontal. 1-30. En la figura se muestra un elemento diferencial tomado de una barra curva. Demuestre que dN/d = V, dV/d = -N, dM>d = -T y dT/d = M. 300 mm 200 mm 150 mm 60 N 60 N 400 mm 150 mm B A x y z C D Prob. 1-29 r A B P U Prob. 1-28 z x y AO 9 pulg 6 pulg 6 pulg 6 pulg 9 pulg 3 pulg Fx 30 lb Fy 50 lb Fz 10 lb Prob. 1-30 M V N du M dM T dT N dN V dV T Prob. 1-26 y B C 400 mm 150 mm 200 mm 250 mm A x z 300 N 300 N 500 N 500 N Capitulo 01_Hibbeler.indd 21 13/1/11 19:15:51 41. 22 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1.3 Esfuerzo En la seccin 1.2 se mostr que la fuerza y el momento que actan en un punto especfico O sobre el rea seccionada de un cuerpo, figura 1-9, representan los efectos resultantes de la distribucin de fuerza verdadera que acta sobre el rea seccionada, figura 1-10a. La obtencin de esta distribucin tiene una importancia primordial en la mecnica de mate- riales. Para resolver este problema es necesario establecer el concepto de esfuerzo. Se considerar en primer lugar que el rea seccionada est subdividida en reas pequeas, tal como el rea A mostrada en la figura 1-10a. Al reducir A a un tamao cada vez ms pequeo, deben adoptarse dos su- posiciones respecto a las propiedades del material. Se considerar que el material es continuo, es decir, que consiste en una distribucin uniforme o continua de materia que no contiene huecos. Adems, el material debe ser cohesivo, lo que significa que todas sus partes estn conectadas entre s, sin fracturas, grietas o separaciones. En la figura 1-10a se muestra una fuerza tpica finita pero muy pequea F, la cual acta sobre su rea aso- ciada A. Esta fuerza, como todas las dems, tendr una direccin nica, pero para el anlisis que se presenta a continuacin se remplazar por sus tres componentes, Fx , Fy y Fz , que se toman tangente, tangente y normal al rea, respectivamente. Cuando A se aproxima a cero, tanto F y sus componentes hacen lo mismo; sin embargo, el cociente de la fuerza y el rea tendern en general a un lmite finito. Este cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la fuerza interna sobre un plano especfico (rea) que pasa a travs de un punto. F1 F2 O MRO FR F1 F2 F1 F A F Fz z yx Fx Fy z (c)x y (b) zz x y (a) x y tyz sy tyx txz sx txy Figura 1-10 Figura 1-9 Capitulo 01_Hibbeler.indd 22 13/1/11 19:15:53 42. 1.3 Esfuerzo 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Esfuerzo normal. La intensidad de la fuerza que acta en forma normal a A se define como el esfuerzo normal, s (sigma). Como Fz es normal al rea, entonces Si la fuerza o el esfuerzo normal jala al elemento A, como se muestra en la figura 1-10a, se le denomina esfuerzo de tensin, mientras que si empuja a A se le llama esfuerzo de compresin. Esfuerzo cortante. La intensidad de la fuerza que acta tangente a A se llama esfuerzo cortante, t (tau). A continuacin se presentan las componentes del esfuerzo cortante. Observe que en esta notacin el subndice z indica la orientacin del rea A, figura 1-11, y que x y y se usan para especificar los ejes a lo largo de los cuales acta cada esfuerzo cortante. Estado general de esfuerzo. Si el cuerpo est seccionado adi- cionalmente por planos paralelos al plano x-z, figura 1-10b, y al plano y-z, figura 1-10c, entonces es posible separar un elemento cbico de volumen de material en el que se representa el estado de esfuerzo que ac- ta alrededor del punto elegido en el cuerpo. De tal manera, este estado de esfuerzo se caracteriza mediante tres componentes que actan sobre cada cara del elemento, figura 1-12. Unidades. Como el esfuerzo representa una fuerza por unidad de rea, en el Sistema Internacional de Unidades o SI, las magnitudes de los esfuerzos normal y cortante se especifican en las unidades bsicas de newtons por metro cuadrado (N>m2 ). Esta unidad, denominada pascal (1 Pa = 1 N>m2 ) es algo pequea y en trabajos de ingeniera se usan prefi- jos como kilo- (103 ), simbolizado por k, mega- (106 ), simbolizado por M o giga- (109 ), simbolizado por G, para representar valores ms realistas de esfuerzo.* Del mismo modo, en el sistema ingls de unidades, los inge- nieros suelen expresar el esfuerzo en libras por pulgada cuadrada (psi) o kilolibras por pulgada cuadrada (ksi), donde 1 kilolibra (kip) = 1000 lb. *En ocasiones, el esfuerzo se expresa en unidades de N>mm2 , donde 1 mm = 10-3 m. Sin embargo, en el sistema SI no se permiten prefijos en el denominador de una fraccin, por lo tanto es mejor usar el equivalente 1 N>mm2 = 1 MN>m2 = 1 MPa. (1-4)sz = lm A:0 Fz A (1-5) tzy = lm A:0 Fy A tzx = lm A:0 Fx A Figura 1-12 x y z z zx zy yz yx xz x xy y s s s t tt t t t Figura 1-11 x y z Tzx Tzy sz Capitulo 01_Hibbeler.indd 23 13/1/11 19:15:54 43. 24 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1.4Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente En esta seccin se determinar la distribucin del esfuerzo promedio que acta sobre el rea de la seccin transversal de una barra cargada axial- mente, como la que se muestra en la figura 1-13a. Esta barra es prismti- ca porque todas las secciones transversales son iguales en toda su longi- tud. Cuando la carga P se aplica a la barra a travs del centroide del rea de su seccin transversal, la barra se deformar de manera uniforme en toda la regin central de su longitud, como se muestra en la figura 1-13b, siempre y cuando el material de la barra sea homogneo e isotrpico. Un material homogneo tiene las mismas propiedades fsicas y mec- nicas en todo su volumen, y un material isotrpico tiene estas mismas propiedades en todas las direcciones. Muchos materiales de ingeniera pueden aproximarse a ser homogneos e isotrpicos como se supone aqu. Por ejemplo, el acero contiene miles de cristales orientados aleato- riamente en cada milmetro cbico de su volumen, y como la mayora de los problemas que involucran este material tienen un tamao fsico que es mucho mayor a un solo cristal, la hiptesis anterior sobre la composi- cin del material es bastante realista. Tenga en cuenta que los materiales anistropicos como la madera tie- nen propiedades distintas en diferentes direcciones, y aunque este sea el caso, si la anisotropa de la madera est orientada a lo largo del eje de la barra, est tambin se deformar de manera uniforme cuando se someta a la carga axial P. Distribucin del esfuerzo normal promedio. Si se pasa una seccin travs de la barra y se separa en dos partes, entonces el equi- librio requiere que la fuerza normal resultante en la seccin sea P, figura 1-13c. Dada la deformacin uniforme del material, es necesario que la seccin transversal est sometida a una distribucin del esfuerzo normal constante, figura 1-13d. (b) P P Regin de deformacin uniforme de la barra P P (a) P P Fuerza externa rea de la seccin transversal Fuerza interna (c) (d) P F sA P y x x z y A s Figura 1-13 Capitulo 01_Hibbeler.indd 24 13/1/11 19:15:56 44. 1.4 Esfuerzo normal promedio en un barra cargada axialmente 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 En consecuencia, cada pequea rea A en la seccin transversal est sometida a una fuerza F = s A, y la suma de estas fuerzas que actan sobre toda el rea de la seccin transversal debe ser equivalente a la fuerza interna resultante P en la seccin. Si se hace que A : dA y por consiguiente F : dF, entonces como s es constante, se tiene Aqu s =esfuerzo normal promedio en cualquier punto del rea de la seccin transversal. P =fuerza normal interna resultante, que acta a travs del centroide del rea de la seccin transversal. P se determina usando el mtodo de las secciones y las ecuaciones de equilibrio. A =rea de la seccin transversal de la barra, donde se determina s. Como la carga interna P pasa por el centroide de la seccin trans- versal, la distribucin uniforme del esfuerzo producir momentos nulos respecto a los ejes x y y que pasan a travs de este punto, figura 1-13d. Para demostrar esto, se requiere que el momento de P respecto a ca- da eje sea igual al momento de la distribucin del esfuerzo respecto a los ejes, es decir, Estas ecuaciones se satisfacen, ya que por definicin del centroide y dA = 0 y x dA = 0 (vea el apndice A). Equilibrio. Debera ser evidente que slo existe esfuerzo normal en cualquier pequeo elemento de volumen de material ubicado en cada punto sobre la seccin transversal de una barra cargada axialmente. Si se considera el equilibrio vertical del elemento, figura 1-14, entonces al aplicar la ecuacin de equilibrio de fuerzas, (1-6)s = P A P = sA L dF = LA s dA+ c FRz = Fz; 0 = - LA x dF = - LA xs dA = -s LA x dA1MR2y = My; 0 = LA y dF = LA ys dA = s LA y dA1MR2x = Mx; s = s s1A2 - s1A2 = 0 Fz = 0; A s s Figura 1-14 Capitulo 01_Hibbeler.indd 25 13/1/11 19:15:57 45. 26 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 En otras palabras, las dos componentes del esfuerzo normal sobre el ele- mento deben ser iguales en magnitud pero opuestas en direccin. A esto se le llama esfuerzo uniaxial. El anlisis anterior se aplica a elementos sometidos a tensin o a com- presin, como se muestra en la figura 1-15. Como una interpretacin gr- fica, la magnitud de la fuerza interna resultante P es equivalente al vo- lumen bajo el diagrama de esfuerzo; es decir, P = s A (volumen = altura * base). Adems, como consecuencia del equilibrio de momentos, esta resultante pasa por el centroide de este volumen. Aunque este anlisis se ha desarrollado para barras prismticas, esta suposicin puede ser un poco flexible a fin de incluir las barras que ten- gan un pequeo ahusamiento. Por ejemplo, puede demostrarse, median- te un anlisis ms exacto de la teora de la elasticidad, que para una barra con seccin transversal rectangular ahusada, en la cual el ngulo entre dos lados adyacentes es de 15, el esfuerzo normal promedio, calculado segn s = PNA, es slo 2.2% menor que el valor calculado con la teora de la elasticidad. Esfuerzo normal promedio mximo. En el anlisis previo, tanto la fuerza interna P como el rea A de la seccin transversal se consideraron constantes a lo largo del eje longitudinal de la barra y, por consiguiente, se obtuvo un esfuerzo normal s = PNA tambin cons- tante en toda la longitud de la barra. Sin embargo, en ocasiones la barra puede estar sometida a varias cargas externas a lo largo de su eje, o pue- de ocurrir un cambio en el rea de su seccin transversal. En consecuen- cia, el esfuerzo normal dentro de la barra podra ser diferente de una seccin a otra y, si debe calcularse el esfuerzo normal promedio mximo, entonces se vuelve importante determinar la ubicacin donde la razn PNA sea mxima. Para esto es necesario determinar la fuerza interna P en diferentes secciones a lo largo de la barra. Aqu puede resultar til mostrar esta variacin dibujando un diagrama de fuerza normal o axial. En especfico, este diagrama es una grfica de la fuerza normal P en fun- cin de su posicin x a lo largo de la longitud de la barra. A manera de convencin de signos, P ser positiva si causa tensin en el elemento y ser negativa si produce compresin. Una vez que se conozca la carga interna en toda la barra, podr identificarse la razn mxima de PNA. Esta barra de acero se usa como soporte para suspender una porcin de una esca- lera, por ello est sometida a un esfuerzo de tensin. P P P P Tensin Compresin s s s P As P A Figura 1-15 Capitulo 01_Hibbeler.indd 26 13/1/11 19:15:58 46. 1.4 Esfuerzo normal promedio en un barra cargada axialmente 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Puntos importantes Cuando se secciona un cuerpo sometido a cargas externas, exis- te una distribucin de fuerza que acta sobre el rea seccionada, la cual mantiene en equilibrio a cada segmento del cuerpo. La intensidad de esta fuerza interna en un punto del cuerpo se co- noce como esfuerzo. El esfuerzo es el valor lmite de la fuerza por unidad de rea, cuando el rea se aproxima a cero. Para esta definicin, se con- sidera que el material es continuo y cohesivo. La magnitud de las componentes de esfuerzo en un punto de- pende del tipo de carga que acta sobre el cuerpo, y de la orien- tacin del elemento en el punto. Cuando una barra prismtica est hecha de un material homo- gneo e isotrpico, y se encuentra sometida a una fuerza axial que acta a travs del centroide del rea de su seccin trans- versal, entonces la regin central de la barra se deformar de manera uniforme. En consecuencia, el material estar sometido slo a esfuerzo normal. Este esfuerzo es uniforme o un prome- dio sobre toda el rea de la seccin transversal. Procedimiento de anlisis La ecuacin s = P/A proporciona el esfuerzo normal promedio en el rea de la seccin transversal de un elemento cuando la seccin est sometida a una fuerza normal interna resultante P. Para apli- car esta ecuacin a elementos cargados axialmente, deben realizar- se los siguientes pasos. Cargas internas. Seccione el elemento en forma perpendicular a su eje longitudinal en el punto donde debe determinarse el esfuerzo normal y utilice el diagrama de cuerpo libre necesario y la ecuacin de equilibrio de fuerzas para obtener la fuerza axial interna P en la seccin. Esfuerzo normal promedio. Determine el rea de la seccin transversal del elemento y calcu le el esfuerzo normal promedio s = P/A. Se sugiere mostrar a s actuando sobre un pequeo elemento de volumen del material, que se encuentre en el punto de la sec- cin donde se va a calcular el esfuerzo. Para ello, primero dibuje s en la cara del elemento coincidente con el rea seccionada A. Aqu s acta en la misma direccin que la fuerza interna P ya que todos los esfuerzos normales en la seccin transversal desa- rrollan esta resultante. El esfuerzo normal s sobre la otra cara del elemento acta en la direccin opuesta. Capitulo 01_Hibbeler.indd 27 13/1/11 19:15:58 47. 28 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.4 Figura 1-6 EJEMPLO 1.6 La barra que se muestra en la figura 1-16a tiene un ancho constante de 35 mm y un espesor de 10 mm. Determine el esfuerzo normal prome- dio mximo en la barra cuando est sometida a las cargas mostradas. SOLUCIN Cargas internas. Por inspeccin, las fuerzas axiales internas en las regiones AB, BC y CD son todas constantes aunque con magni- tudes diferentes. Estas cargas se determinan usando el mtodo de las secciones como se muestra en la figura 1-16b; y el diagrama de fuerza normal que representa estos resultados de manera grfica se muestra en la figura 1-16c. La mayor carga se encuentra en la regin BC, don- de PBC = 30 kN. Como el rea de la seccin transversal de la barra es constante, el mayor esfuerzo normal promedio tambin ocurre dentro de esta regin de la barra. Esfuerzo normal promedio. Al aplicar la ecuacin 1-6, se tiene NOTA: En la figura 1-16d se muestra la distribucin de esfuerzo que acta sobre una seccin transversal arbitraria de la barra, dentro de la regin BC. De manera grfica, el volumen (o bloque), represen- tado por esta distribucin es equivalente a la carga de 30 kN; es decir, 30 kN = (85.7 MPa)(35 mm)(10 mm).Figura 1-16 Resp.sBC = PBC A = 301103 2 N 10.035 m210.010 m2 = 85.7 MPa (b) 9 kN 9 kN 12 kN 12 kN PAB 12 kN PBC 30 kN PCD 22 kN 22 kN P (kN) x 12 22 30 (c) 12 kN 22 kN 9 kN 9 kN 4 kN 4 kN 35 mm A DB C (a) (d) 30 kN 85.7 MPa35 mm 10 mm Capitulo 01_Hibbeler.indd 28 13/1/11 19:16:02 48. 1.4 Esfuerzo normal promedio en un barra cargada axialmente 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.7 La lmpara de 80 kg est sostenida por dos barras AB y BC como se muestra en la figura l-17a. Si AB tiene un dimetro de 10 mm y BC un dimetro de 8 mm, determine el esfuerzo normal promedio en cada barra. SOLUCIN Carga interna. Primero se debe determinar la fuerza axial en cada barra. En la figura 1-17b se muestra un diagrama de cuerpo libre de la lmpara. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, se ob- tiene Por la tercera ley de Newton, de la accin igual pero reaccin opuesta, estas fuerzas someten a las barras a tensin en toda su longitud. Esfuerzo normal promedio. Aplicando la ecuacin 1-6, NOTA: En la figura 1.17c se muestra la distribucin del esfuerzo normal promedio que acta sobre una seccin transversal de la barra AB y, en cualquier punto de esta seccin transversal, un elemento de material est sujeto a esfuerzo como se muestra en la figura 1-17d. FBA = 632.4 NFBC = 395.2 N, FBCA3 5 B + FBA sen 60 - 784.8 N = 0+ cFy = 0; FBCA4 5 B - FBA cos 60 = 0:+ Fx = 0; Resp. Resp.sBA = FBA ABA = 632.4 N p10.005 m22 = 8.05 MPa sBC = FBC ABC = 395.2 N p10.004 m22 = 7.86 MPa Figura 1-17 A 60 B C 3 4 5 (a) (b) 60 FBA FBC y x 80(9.81) 784.8 N B 3 4 5 632.4 N 8.05 MPa 8.05 MPa (c)(d) Capitulo 01_Hibbeler.indd 29 13/1/11 19:16:08 49. 30 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.8 La pieza fundida que se muestra en la figura 1-18a est hecha de ace- ro con un peso especfico de gac = 490 lbNpie3 . Determine el esfuerzo de compresin promedio que acta en los puntos A y B. SOLUCIN Carga interna. En la figura 1-18b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento superior de la pieza, donde la seccin pasa por los puntos A y B. El peso de este segmento se determina a partir de Wac = gac Vac . As, la fuerza axial interna P en la seccin es Esfuerzo de compresin promedio. El rea de la seccin transversal en la seccin es A = p(0.75 pie)2 , por lo que el esfuerzo de compresin promedio resulta NOTA: El esfuerzo mostrado sobre el elemento de volumen de ma- terial en la figura 1-18c es representativo de las condiciones en cual- quiera de los puntos A o B. Observe que este esfuerzo acta hacia arriba en la parte inferior, o la cara sombreada del elemento, puesto que esta cara forma parte del rea superficial inferior de la seccin y, sobre esta superficie, la fuerza interna resultante P empuja hacia arriba. P = 2381 lb P - 1490 lb/pie3 212.75 pies2[p10.75 pie2 2 ] = 0 P - Wac = 0+ cFz = 0; Resp.s = 1347.5 lb>pie2 11 pie2 >144 pies2 2 = 9.36 psi s = P A = 2381 lb p10.75 pie22 = 1347.5 lb>pie2 0.75 pie 0.75 pie 2.75 pies y z x (a) A B0.75 pie 0.4 pie Figura 1-18 2.75 pies (b) A P (c) 9.36 psi B Wac Capitulo 01_Hibbeler.indd 30 13/1/11 19:16:11 50. 1.4 Esfuerzo normal promedio en un barra cargada axialmente 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.9 El elemento AC que se muestra en la figura 1-19a est sometido a una fuerza vertical de 3 kN. Determine la posicin x de esta fuerza de manera que el esfuerzo de compresin promedio en el soporte liso C sea igual al esfuerzo de tensin promedio en el tirante AB. Este tirante tiene un rea en su seccin transversal de 400 mm2 y el rea de contacto en C es de 650 mm2 . SOLUCIN Carga interna. Las fuerzas en A y C pueden relacionarse al con- siderar el diagrama de cuerpo libre del elemento AC, figura 1-19b. Existen tres incgnitas, stas son: FAB , FC y x. En la solucin de este problema se usarn unidades de newtons y milmetros. Figura 1-19 x A B C 200 mm (a) 3 kN (b) x 3 kN A 200 mm FAB FC Esfuerzo normal promedio. Se puede escribir una tercera ecua- cin necesaria, la cual requiere que el esfuerzo de tensin en la barra AB y el esfuerzo de compresin en C sean equivalentes, es decir, Al sustituir esto en la ecuacin 1, despejar FAB y despus despejar FC , se obtiene La posicin de la carga aplicada se determina a partir de la ecuacin 2, NOTA: 0 6 x 6 200 mm, de acuerdo con lo requerido. (1) (2)-3000 N1x2 + FC1200 mm2 = 0+MA = 0; FAB + FC - 3000 N = 0+ cFy = 0; FC = 1.625FAB s = FAB 400 mm2 = FC 650 mm2 FC = 1857 N FAB = 1143 N Resp.x = 124 mm Capitulo 01_Hibbeler.indd 31 13/1/11 19:16:15 51. 32 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1.5 Esfuerzo cortante promedio El esfuerzo cortante se ha definido en la seccin 1.3 como la componen- te del esfuerzo que acta en el plano del rea seccionada. Para mostrar cmo puede desarrollarse este esfuerzo, considere el efecto de aplicar una fuerza F a la barra mostrada en la figura 1-20a. Si se consideran que los soportes son rgidos, y que F es suficientemente grande, sta ocasio- nar que el material de la barra se deforme y falle a lo largo de los planos identificados como AB y CD. Un diagrama de cuerpo libre del segmen- to central de la barra que no tiene soporte, figura 1-20b, indica que la fuerza cortante V = FN2 debe aplicarse en cada una de las secciones a fin de mantener al segmento en equilibrio. El esfuerzo cortante promedio distribuido en cada rea seccionada que desarrolla esta fuerza cortante est definido por Aqu tprom =esfuerzo cortante promedio en la seccin, que se supone es igual en cada punto situado en la seccin V =fuerza cortante interna resultante en la seccin determinada a partir de las ecuaciones de equilibrio A =rea en la seccin En la figura 1-20c se muestra la distribucin del esfuerzo cortante pro- medio que acta sobre las secciones. Observe que tprom est en la misma direccin que V, ya que el esfuerzo cortante debe crear fuerzas asocia- das, todas las cuales contribuyen a la fuerza interna resultante V en la seccin. El tipo de carga analizado aqu es un ejemplo de cortante simple o directa, puesto que la cortante se debe a la accin directa de la carga F aplicada. Este tipo de cortante se produce con frecuencia en diver- sos tipos de conexiones simples que usan pernos, pasadores, materiales soldados, etctera. Sin embargo, en todos estos casos la aplicacin de la ecuacin 1-7 es slo aproximada. Una investigacin ms precisa de la dis- tribucin del esfuerzo cortante sobre la seccin revela que se producen esfuerzos cortantes mucho mayores en el material que los predichos por esta ecuacin. Aunque esto sea el caso, la aplicacin de la ecuacin 1-7 es aceptable para muchos problemas de diseo y anlisis en ingeniera. Por ejemplo, los cdigos de ingeniera permiten su uso cuando se consideran las dimensiones de diseo para elementos de fijacin como pernos y para obtener la fuerza de adhesin de juntas pegadas que estn sometidas a cargas cortantes. (1-7)tprom = V A(b) (c) F F V V tprom F (a) B D A C Figura 1-20 Capitulo 01_Hibbeler.indd 32 13/1/11 19:16:16 52. 1.5 Esfuerzo cortante promedio 33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Equilibrio del esfuerzo cortante. En la figura 1-21a se mues- tra un elemento de volumen de material tomado en un punto situado sobre la superficie de un rea seccionada, la cual est sometida a un es- fuerzo cortante tzy . El equilibrio de fuerzas y momentos requiere que el esfuerzo cortante que acta en esta cara del elemento est acompaado por el esfuerzo cortante que acta en otras tres caras. Para mostrar esto, primero se considerar el equilibrio de fuerzas en la direccin y. En tonces De manera similar, el equilibrio de fuerzas en la direccin z genera tyz = tyz . Por ltimo, si se toman los momentos respecto al eje x, de modo que En otras palabras, los cuatro esfuerzos cortantes deben tener igual mag- nitud y cada uno debe estar dirigido hacia otro de ellos o en el sentido contrario en bordes opuestos del elemento, figura 1-21b. Esto se conoce como la propiedad complementaria del cortante y bajo las condiciones indicadas en la figura 1-21, el material est sometido a cortante puro. fuerza esfuerzo rea tzy = t zy tzy1x y2 - t zy x y = 0Fy = 0; momento fuerza esfuerzo rea tzy = tyz -tzy1x y2 z + tyz1x z2 y = 0Mx = 0; brazo Figura 1-21 Cortante puro (a) (b) Plano de seccin x y z y z xtzy tzy tyz tyz t t t t tzy = t zy = tyz = t yz = t Capitulo 01_Hibbeler.indd 33 13/1/11 19:16:22 53. 34 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Puntos importantes Si dos partes delgadas o pequeas se unen entre s, las cargas aplicadas pueden causar un corte al material con flexin insig- nificante. Si ste es el caso, por lo general se supone que un esfuerzo cortante promedio acta sobre el rea de la seccin transversal. Cuando el esfuerzo cortante t acta sobre un plano, entonces el equilibrio de un elemento de volumen de material en un punto sobre el plano requiere que esfuerzos cortantes asociados de la misma magnitud acten en tres lados adyacentes del elemento. Procedimiento de anlisis La ecuacin tprom = V/A se usa para determinar el esfuerzo cortan- te promedio en el material. Su aplicacin requiere los siguientes pasos. Cortante interno. Seccione el elemento en el punto donde debe determinarse el esfuerzo cortante promedio. Dibuje el diagrama de cuerpo libre necesario y calcule la fuerza cortante interna V que acta en la seccin y que es necesaria para mantener la parte en equilibrio. Esfuerzo cortante promedio. Determine el rea seccionada A y determine el esfuerzo cortan- te promedio tprom = V/A. Se sugiere que tprom se muestre en un pequeo elemento de volumen de material que se encuentre en un punto de la sec- cin donde se determin. Para hacer esto, primero dibuje tprom en la cara del elemento, coincidente con el rea seccionada A. Este esfuerzo acta en la misma direccin que V. Entonces, los esfuerzos cortantes que actan sobre los tres planos adyacentes pueden dibujarse en sus direcciones apropiadas siguiendo el es- quema mostrado en la figura 1-21. Capitulo 01_Hibbeler.indd 34 13/1/11 19:16:22 54. 1.5 Esfuerzo cortante promedio 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.10 Figura 1-22 Determineelesfuerzocortantepromedioenelpasadorde20mm de dimetro ubicado en A y en el pasador de 30 mm de dimetro que est en B, los cuales soportan la viga de la figura 1-22a. SOLUCIN Cargas internas. Las fuerzas sobre los pasadores pueden obtenerse al considerar el equilibrio de la viga, figura 1-22b. As, la fuerza resultante que acta sobre el pasador A es El pasador en A se sostiene mediante dos hojas fijas, por consi- guiente el diagrama de cuerpo libre del segmento central del perno, mostrado en la figura 1-22c, tiene dos superficies cortantes entre la viga y cada hoja. As, la fuerza de la viga (21.36 kN) que acta sobre el pasador est soportada por fuerzas cortantes en cada una de las super- ficies mencionadas. Este caso se llama cortante doble. Por lo tanto, En la figura 1-22a, observe que el pasador B est sometido a cortante simple, el cual ocurre en la seccin comprendida entre el cable y la viga, figura 1-22d. Para este segmento de pasador, Esfuerzo cortante promedio. Ay = 20 kN Ay + 112.5 kN2a 4 5 b - 30 kN = 0+cFy = 0; Ax = 7.50 kN112.5 kN2a 3 5 b - Ax = 0:+ Fx = 0; FB = 12.5 kNFBa 4 5 b16 m2 - 30 kN12 m2 = 0+MA = 0; FA = 2A 2 x + A 2 y = 2(7.50 kN)2 + (20 kN)2 = 21.36 kN VA = FA 2 = 21.36 kN 2 = 10.68 kN VB = FB = 12.5 kN Resp. Resp.1tB2prom = VB AB = 12.51103 2 N p 4 10.03 m22 = 17.7 MPa 1tA2prom = VA AA = 10.681103 2 N p 4 10.02 m22 = 34.0 MPa 4 m (a) 2 m 30 kN A B C 3 45 (d) VB FB 12.5 kN (c) VA VA FA 21.36 kN 4 m (b) 2 m 30 kN A 3 45 FB Ax Ay Capitulo 01_Hibbeler.indd 35 13/1/11 19:17:24 55. 36 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.11 Si la junta de madera que se muestra en la figura 1-23a tiene 150 mm de ancho, determine el esfuerzo cortante promedio desarrollado a lo largo de los planos cortantes a-a y b-b. Para cada plano, represente el estado de esfuerzo sobre un elemento del material. Figura 1-23 0.1 m 0.125 m (a) 6 kN 6 kN b b a a (b) 6 kN F F 3 kN (c) Vata 200 kPa 3 kN (d) Vbtb = 160 kPa SOLUCIN Cargas internas. En referencia al diagrama de cuerpo libre del elemento, figura 1-23b, Ahora considere el equilibrio de los segmentos cortados a travs de los planos cortantes a-a y b-b, que se muestran en las figuras 1-23c y 1-23d. Esfuerzo cortante promedio. El estado de esfuerzo sobre los elementos situados en las secciones a-a y b-b se muestra en las figuras 1-23c y 1-23d, respectivamente. F = 3 kN6 kN - F - F = 0:+ Fx = 0; Vb = 3 kN3 kN - Vb = 0:+ Fx = 0; Va = 3 kNVa - 3 kN = 0:+ Fx = 0; Resp. Resp.1tb2prom = Vb Ab = 31103 2 N 10.125 m210.15 m2 = 160 kPa 1ta2prom = Va Aa = 31103 2 N 10.1 m210.15 m2 = 200 kPa Capitulo 01_Hibbeler.indd 36 13/1/11 19:17:27 56. 1.5 Esfuerzo cortante promedio 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.12 Figura 1-24 El elemento inclinado que se muestra en la figura 1-24a est sometido a una fuerza de compresin de 600 lb. Determine el esfuerzo de com- presin promedio a lo largo de las reas de contacto lisas definidas por AB y BC, as como el esfuerzo cortante promedio a lo largo del plano horizontal definido por DB. SOLUCIN Cargas internas. En la figura 1-24b se muestra el diagrama de cuerpo libre del elemento inclinado. Las fuerzas de compresin que actan sobre las reas de contacto son Adems, a partir del diagrama de cuerpo libre del segmento superior ABD del elemento inferior, figura 1-24c, la fuerza cortante que acta sobre el plano horizontal seccionado DB es Esfuerzo promedio. Los esfuerzos de compresin promedio a lo largo de los planos horizontal y vertical de los elementos inclinados son Estas distribuciones de esfuerzo se muestran en la figura 1-24d. El esfuerzo cortante promedio que acta sobre el plano horizontal definido por DB es En la figura 1-24e, este esfuerzo se muestra uniformemente distribui- do sobre el rea seccionada. FBC - 600 lbA4 5 B = 0 FBC = 480 lb+c Fy = 0; FAB - 600 lbA3 5 B = 0 FAB = 360 lb:+ Fx = 0; V = 360 lb:+ Fx = 0; Resp. Resp.sBC = FBC ABC = 480 lb = 160 psi sAB = FAB AAB = 360 lb 11 pulg211.5 pulg) = 240 psi 12 pulg211.5 pulg2 Resp.tprom = 360 lb = 80 psi 13 pulg211.5 pulg2 1 pulg 3 45 600 lb 1.5 pulg 3 pulg 2 pulg A C B D (a) (b) 3 45 600 lb FAB FBC (c) V 360 lb (d) 3 45 600 lb 160 psi 240 psi (e) 360 lb 80 psi Capitulo 01_Hibbeler.indd 37 13/1/11 19:17:30 57. F1-12 38 Captulo 1 Esfuerzo 1 problemas fundamentales F1-7. La viga uniforme est sostenida por dos barras AB y CD que tienen reas de seccin transversal de 10 mm2 y 15 mm2 , respectivamente. Determine la intensidad w de la carga distribuida de modo que el esfuerzo normal prome- dio en cada barra no sea superior a 300 kPa. F1-8. Determine el esfuerzo normal promedio desarro- llado sobre la seccin transversal. Dibuje la distribucin del esfuerzo normal sobre la seccin transversal. F1-9. Determine el esfuerzo normal promedio desarro- llado sobre la seccin transversal. Dibuje la distribucin del esfuerzo normal sobre la seccin transversal. F1-10. Si la fuerza de 600 kN acta a travs del centroi- de de la seccin transversal, determine la ubicacin y del centroide y el esfuerzo normal promedio desarrollado en la seccin transversal. Adems, dibuje la distribucin del esfuerzo normal sobre la seccin transversal. F1-11. Determine el esfuerzo normal promedio desarro- llado en los puntos A, B y C. El dimetro de cada segmento se indica en la figura. F1-12. Determine el esfuerzo normal promedio desarro- llado en la barra AB si la carga tiene una masa de 50 kg. El dimetro de la barra AB es de 8 mm. w A C B D 6 m F1-7 4 pulg 1 pulg 1 pulg 4 pulg 1 pulg 15 kip F1-9 80 mm 300 mm 60 mm y 80 mm 600 kN x y60 mm F1-10 2 kip3 kip 8 kip9 kip 1 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg A B C F1-11 8 mm A D B C 5 4 3 300 kN 100 mm 80 mm F1-8 Capitulo 01_Hibbeler.indd 38 13/1/11 19:17:48 58. 1.5 Esfuerzo cortante promedio 39 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 1-31. La columna est sometida a una fuerza axial de 8 kN, la cual se aplica a travs del centroide del rea de la seccin transversal. Determine el esfuerzo normal prome- dio que acta en la seccin a-a. Muestre esta distribucin del esfuerzo actuando sobre el rea de la seccin trans versal. 1-33. La barra tiene un rea de seccin transversal A y est sometida a la carga axial P. Determine los esfuerzos normal promedio y cortante promedio que actan sobre la seccin sombreada, la cual est orientada en un ngulo u respecto a la horizontal. Grafique la variacin de estos esfuerzos como una funcin de u (0 u 90). *1-32. La palanca est unida a una flecha fija mediante un pasador ahusado AB que tiene un dimetro medio de 6mm.Siseaplicaunpardetorsinalapalanca,determineel esfuerzo cortante promedio en el pasador entre el pasador y la palanca. 1-34. El eje compuesto consiste en un tubo AB y una ba- rra slida BC. El tubo tiene un dimetro interno de 20 mm y un dimetro externo de 28 mm. El dimetro de la barra es de 12 mm. Determine el esfuerzo normal promedio en los puntos D y E y represente el esfuerzo sobre un elemento de volumen ubicado en cada uno de estos puntos. 1-35. Cada una de las barras de la armadura tiene un rea de seccin transversal de 1.25 pulg2 . Determine el esfuerzo normal promedio en cada elemento debido a la carga P = 8 kip. Determine si el esfuerzo es de tensin o de compre- sin. *1-36. Cada una de las barras de la armadura tiene un rea de seccin transversal de 1.25 pulg2 . Si el esfuerzo nor- mal promedio mximo en cualquier barra no debe exceder 20 ksi, determine la magnitud mxima P de las cargas que pueden aplicarse a la armadura. 8 kN a a 75 mm 10 mm 10 mm 10 mm 75 mm 70 mm 70 mm Prob. 1-31 20 N 20 N 250 mm 250 mm 12 mm A B Prob. 1-32 P u P A Prob. 1-33 C ED A 4 kN 8 kN B 6 kN 6 kN Prob. 1-34 3 pies 4 pies 4 pies P 0.75 P E DA B C Probs. 1-35/36 Capitulo 01_Hibbeler.indd 39 13/1/11 19:17:52 59. 40 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-37. La placa tiene un ancho de 0.5 m. Si la distribucin del esfuerzo en el soporte vara como se muestra en la figu- ra, determine la fuerza P aplicada a la placa y la distancia d al punto donde se aplica. *1-40. Cada uno de los pasadores del bastidor ubicados en B y C tienen un dimetro de 0.25 pulg. Si estos pasado- res estn sometidos a cortante doble, determine el esfuerzo cortante promedio en cada pasador. 1-41. Resuelva el problema 1-40 suponiendo que los pa- sadores B y C estn sometidos a cortante simple. 1-42. Cada uno de los pasadores del bastidor ubicados en D y E tienen un dimetro de 0.25 pulg. Si estos pasado- res estn sometidos a cortante doble, determine el esfuerzo cortante promedio en cada pasador. 1-43. Resuelva el problema 1-42 suponiendo que los pa- sadores D y E estn sometidos a cortante simple. 1-38. Los dos elementos usados en la construccin de un fuselaje para avin se unen entre s mediante una soldadu- ra boca de pez a 30. Determine el esfuerzo normal pro- medio y cortante promedio sobre el plano de cada soldadu- ra. Suponga que cada plano inclinado soporta una fuerza horizontal de 400 lb. 1-39. Si el bloque est sometido a una fuerza centralmen- te aplicada de 600 kN, determine el esfuerzo normal pro- medio en el material. Muestre el esfuerzo actuando sobre un elemento diferencial de volumen del material. *1-44. Una mujer de 175 libras est parada sobre un piso de vinilo usando zapatos de tacn alto. Si el tacn tiene las dimensiones mostradas, determine el esfuerzo normal pro- medio que ejerce sobre el piso y comprelo con el esfuerzo normal promedio que se desarrolla cuando un hombre del mismo peso est sobre el mismo piso usando zapatos de ta- cn bajo. Suponga que la carga se aplica lentamente, de modo que los efectos dinmicos sean insignificantes. Ade- ms, suponga que todo el peso se apoya sobre el tacn de un solo zapato. 4 m 30 MPa P d (15x ) MPa1/2 s x Prob. 1-37 800 lb 800 lb 30 1 pulg 1 pulg 1.5 pulg 30 Prob. 1-38 50 mm 150 mm 150 mm 50 mm 100 mm 100 mm 600 kN150 mm 150 mm Prob. 1-39 1.2 pulg 0.5 pulg 0.1 pulg 0.3 pulg Prob. 1-44 3 pies 3 pies 3 pies 3 pies 1.5 pies CB A D E 300 lb 500 lb 1.5 pies Probs. 1-40/41/42/43 Capitulo 01_Hibbeler.indd 40 13/1/11 19:17:55 60. 1.5 Esfuerzo cortante promedio 41 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-45. La armadura est hecha de tres elementos conecta- dos por pasadores que tienen las reas de seccin transver- sal mostradas en la figura. Determine el esfuerzo normal promedio desarrollado en cada elemento si la armadura est sometida a la carga que se muestra. Establezca si el esfuerzo es de tensin o compresin. *1-48. La viga se sostiene mediante un pasador en A y un eslabn corto BC. Si P = 15 kN, determine el esfuerzo cortante promedio desarrollado en los pasadores A, B y C. Como se muestra en la figura, todos los pasadores estn en cortante doble como se muestra y cada uno tiene un dimetro de 18 mm. 1-46. Determine el esfuerzo normal promedio desarrolla- do en los eslabones AB y CD de la tenaza lisa que sostiene a un tronco con masa de 3 Mg. El rea de la seccin trans- versal de cada eslabn es de 400 mm2 . 1-47. Determine el esfuerzo cortante promedio desarro- llado en los pasadores A y B de la tenaza lisa que sostiene a un tronco con una masa de 3 Mg. Cada pasador tiene un dimetro de 25 mm y est sometido a cortante doble. 1-49. La viga se sostiene mediante un pasador en A y un eslabn corto BC. Determine la magnitud mxima P de las cargas que puede soportar la viga si el esfuerzo cortante promedio en cada pasador no debe exceder 80 MPa. Todos los pasadores estn en cortante doble, como se muestra en la figura, y cada uno de ellos tiene un dimetro de 18 mm. 1-50. El bloque est sometido a una fuerza de compre- sin de 2 kN. Determine los esfuerzos normal promedio y cortante promedio desarrollados en las fibras de madera que estn orientadas a lo largo de la seccin a-a, formando un ngulo de 30 respecto al eje del bloque. 30 0.2 m 1.2 m A C E DB 20 0.4 m 30 Probs. 1-46/47 Prob. 1-45 3 pies 4 pies B A C 500 lb AAC0.6pulg2 ABC 0.8 pulg2 A AB 1.5pulg2 Prob. 1-48 C B A 0.5m 1 m 1.5 m 1.5 m 0.5 m P 4P 4P 2P 30 Prob. 1-50 150 mm 2 kN 2 kN a 30 50 mm a Prob. 1-49 C B A 0.5m 1 m 1.5 m 1.5 m 0.5 m P 4P 4P 2P 30 Capitulo 01_Hibbeler.indd 41 13/1/11 19:18:02 61. 42 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-51. Durante un ensayo de tensin, la probeta de ma- dera se somete a un esfuerzo normal promedio de 2 ksi. Determine la fuerza axial P aplicada a la probeta. Adems, encuentre el esfuerzo cortante promedio desarrollado a lo largo de la seccin a-a de la probeta. *1-52. Si la junta est sometida a una fuerza axial de P = 9kN, determine el esfuerzo cortante promedio desarrolla- do en cada uno de los pernos de 6 mm de dimetro entre las placas y los elementos, as como a lo largo de cada uno de los cuatro planos cortantes sombreados. 1-53. Los esfuerzos cortantes promedio en cada uno de los pernos de 6 mm de dimetro y a lo largo de cada uno de los cuatro planos cortantes sombreados no deben ser mayores a 80 MPa y 500 kPa, respectivamente. Determine la mxima fuerza axial P que puede aplicarse a la junta. 1-54. El eje est sometido a una fuerza axial de 40 kN. Determine el esfuerzo cortante promedio que acta sobre el collarn C y el esfuerzo normal en el eje. 1-55. Cada una de las varillas AB y BC tiene un dimetro de 5 mm. Si se aplica una carga de P = 2 kN sobre el anillo, determine el esfuerzo normal promedio en cada varilla si u = 60. *1-56. Cada una de las varillas AB y BC tiene un dime- tro de 5 mm. Determine el ngulo u de la varilla BC de tal forma que el esfuerzo normal promedio en la varilla AB sea 1.5 veces mayor que el de la varilla BC. Qu carga P ocasionar que suceda esto si el esfuerzo normal promedio en cada varilla no debe exceder 100 MPa? P P 1 pulg 2 pulg 4 pulg 4 pulg a a Prob. 1-51 P P 100 mm 100 mm Probs. 1-52/53 u C B P A Probs. 1-55/56 40 kN 30 mm 40 mm C Prob. 1-54 Capitulo 01_Hibbeler.indd 42 13/1/11 19:18:17 62. 1.5 Esfuerzo cortante promedio 43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-57. La probeta fall en un ensayo de tensin a un n- gulo de 52, cuando la carga axial era de 19.80 kip. Si la pro- beta tiene un dimetro de 0.5 pulg, determine los esfuerzos normal promedio y cortante promedio que actuaron sobre el rea del plano de falla inclinado. Adems, cul era el esfuerzo normal promedio que actuaba sobre la seccin transversal cuando se produjo la falla? Prob. 1-58 1-58. El perno de anclaje se sac de la pared de concreto y la superficie de rotura form un cono truncado y un ci- lindro. Esto indica que ocurri una falla de corte a lo largo del cilindro BC y una falla de tensin a lo largo del cono truncado AB. Si los esfuerzos normal y cortante a lo largo de estas superficies tienen las magnitudes mostradas, deter- mine la fuerza P que debi aplicarse al perno. 1-59. La junta a tope cuadrada y abierta se usa para trans- ferir una fuerza de 50 kip de una placa a la otra. Determine los esfuerzos normal promedio y cortante promedio que crea esta carga sobre la cara de la soldadura, seccin AB. *1-60. Si P = 20 kN, determine el esfuerzo cortante pro- medio desarrollado en los pasadores A y C. Los pasadores estn sometidos a cortante doble como se muestra en la figura, y cada uno tiene un dimetro de 18 mm. 1-61. Determine la mxima magnitud P de la carga que puede soportar la viga si el esfuerzo cortante promedio en cada pasador no debe exceder 60 MPa. Todos los pasado- res estn sometidos a cortante doble como se muestra en la figura, y cada uno tiene un dimetro de 18 mm. Prob. 1-57 52 0.5 pulg 30 mm 4.5 MPa 3 MPa 3 MPa P 50 mm A 25 mm 25 mm B C 4545 Prob. 1-59 30 30 50 kip 50 kip 2 pulg 6 pulg A B Probs. 1-60/61 C P P 2 m2 m2 mA B 30 Capitulo 01_Hibbeler.indd 43 13/1/11 19:18:19 63. 44 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-62. La herramienta de prensado se utiliza para doblar el extremo del alambre E. Si se aplica una fuerza de 20 kg sobre los mangos, determine el esfuerzo cortante promedio en el pasador A. El pasador est sometido a cortante doble y tiene un dimetro de 0.2 pulg. Sobre el alambre slo se ejerce una fuerza vertical. 1-63. Resuelva el problema 1-62 para el pasador B. El pa- sador est sometido a cortante doble y tiene un dimetro de 0.2 pulg. *1-64. Los bloques triangulares estn pegados a lo largo de cada lado de la junta. Una mordaza en C, colocada entre dos de los bloques, se usa para unir fuertemente la junta. Si el pegamento puede soportar un esfuerzo cortante prome- dio mximo de 800 kPa, determine la fuerza de sujecin F mxima permisible. 1-65. Los bloques triangulares estn pegados a lo largo de cada lado de la junta. Una mordaza en C, colocada entre dos de los bloques, se usa para unir fuertemente la junta. Si la fuerza de sujecin es F = 900 N, determine el esfuerzo cortante promedio desarrollado en el pegamento. 1-66. Determine la mayor carga P que puede aplicarse a la estructura sin causar que el esfuerzo normal promedio ni el esfuerzo cortante promedio en la seccin a-a excedan s = 150 MPa y t = 60 MPa, respectivamente. El elemento CB tiene una seccin transversal cuadrada de 25 mm por lado. 1-67. La barra prismtica tiene un rea de seccin trans- versal A. Si se somete a una carga axial distribuida que au- menta linealmente desde w = 0 en x = 0 hasta w = w0 para x = a y luego disminuye linealmente hasta w = 0 en x = 2a, determine el esfuerzo normal promedio en la barra como una funcin de x para 0 x 6 a. *1-68. La barra prismtica tiene un rea de seccin trans- versal A. Si se somete a una carga axial distribuida que au- menta linealmente desde w = 0 en x = 0 hasta w = w0 para x = a y luego disminuye linealmente hasta w = 0 en x = 2a, determine el esfuerzo normal promedio en la barra como una funcin de x para a 6 x 2a. 50 mm 45 25 mm F F pegamento x a a w0 2 m B A C 1.5 m a a P Prob. 1-66 Probs. 1-67/68 A 20 lb 20 lb 5 pulg 1.5 pulg 2 pulg 1 pulg E C B D Probs. 1-62/63 Probs. 1-64/65 Capitulo 01_Hibbeler.indd 44 13/1/11 19:23:37 64. 1.5 Esfuerzo cortante promedio 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-69. La barra ahusada tiene un radio de r = (2 - x>6) pulg y est sometida a una carga distribuida de w = (60 + 40x) lb>pulg. Determine el esfuerzo normal promedio en el centro B de la barra. 1-70. El pedestal soporta una carga P en su centro. Si el material tiene una densidad de masa r, determine la di- mensin radial r en funcin de z de modo que el esfuerzo promedio normal en el pedestal permanezca constante. La seccin transversal es circular. 1-71. Determine el esfuerzo normal promedio en la sec- cin a-a y el esfuerzo cortante promedio en la seccin b-b del elemento AB. La seccin transversal es cuadrada con 0.5 pulg por lado. *1-72. Considere el problema general de una barra for- mada por m segmentos, cada uno de los cuales tiene un rea de seccin transversal Am y una longitud Lm . Si hay n cargas sobre la barra como se muestra en la figura, escriba un programa de computadora que pueda usarse para deter- minar el esfuerzo normal promedio en cualquier ubicacin especfica x. Muestre una aplicacin del programa usando los valores L1 = 4 pies, d1 = 2 pies, P1 = 400 lb, A1 = 3 pulg2 , L2 = 2 pies, d2 = 6 pies, P2 = -300 lb, A2 = 1 pulg2 . Prob. 1-70 Prob. 1-72 150 lb/pie B A C 4 pies b b a a 60 Prob. 1-71 z r P r1 Prob. 1-69 w (60 40x) lb/pulg r = (2 ) pulg x 3 pulg 3 pulg r x 6 B P2P1 Pn AmA2A1 d1 d2 dn L1 L2 Lm x Capitulo 01_Hibbeler.indd 45 13/1/11 19:23:43 65. 46 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1.6 Esfuerzo permisible Para disear correctamente un elemento estructural o mecnico es ne- cesario limitar el esfuerzo en el material hasta un nivel que sea seguro. Por lo tanto, para garantizar esta seguridad se requiere elegir un esfuerzo permisible que restrinja la carga aplicada a un valor que sea menor a la mxima carga que el elemento puede soportar. Hay muchas razones para hacer esto. Por ejemplo, la carga para la que se disea el elemento puede ser diferente a las cargas reales que se colocan sobre l. Las medidas propuestas de una estructura o mquina pueden no ser exactas debido a errores en la fabricacin o en el montaje de las piezas que lo compo- nen. Tambin pueden ocurrir vibraciones, impactos o cargas accidentales desconocidos que no hayan sido tomados en cuenta para el diseo. La corrosin atmosfrica, el desgaste o la exposicin a la intemperie tien- den a causar que los materiales se deterioren durante su uso. Por ltimo, algunos materiales como la madera, el concreto o los compuestos refor- zados con fibra, pueden tener una alta variabilidad en sus propiedades mecnicas. Un mtodo para especificar la carga permisible en un elemento con- siste en usar un nmero llamado factor de seguridad. El factor de seguri- dad (F.S.) es una razn de la carga de falla Ffalla sobre la carga permisible Fperm . Aqu Ffalla se determina mediante ensayos experimentales del ma- terial, y el factor de seguridad se selecciona con base en la experiencia, de modo que las incertidumbres mencionadas anteriormente se toman en cuenta cuando el elemento se usa bajo las mismas condiciones de car- ga y geometra. Escrito de manera matemtica, Si la carga aplicada al elemento se relaciona linealmente con el esfuer- zo desarrollado en dicho miembro, como cuando se usa s = PNA y tprom = V>A, entonces el factor de seguridad puede expresarse como una razn del esfuerzo de falla sfalla (o tfalla ) sobre el esfuerzo permisible sperm (o bien tperm );* es decir, o *En algunos casos, como el de las columnas, la carga aplicada no se relaciona lineal- mente con el esfuerzo y, por ende, slo puede usarse la ecuacin 1.8 para determinar el factor de seguridad. Vea el captulo 13. (1-8)F.S. = Ffalla Fperm (1-9)F.S. = sfalla sperm (1-10)F.S. = tfalla tperm Capitulo 01_Hibbeler.indd 46 13/1/11 19:23:44 66. 1.7Diseo de conexiones simples 47 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 En cualquiera de estas ecuaciones, el factor de seguridad debe ser ma- yor que 1 a fin de evitar la posibilidad de falla. Los valores especficos dependen de los tipos de materiales a utilizar y el propsito de la estruc- tura o mquina. Por ejemplo, el F.S. usado en el diseo de componentes de aviones o vehculos espaciales puede estar cerca de 1 para reducir el peso del vehculo. O en el caso de una planta de energa nuclear, el factor de seguridad para algunos de sus componentes puede ser de hasta 3 debido a las incertidumbres en la carga o el comportamiento del mate- rial. Muchas veces, el factor de seguridad para un caso especfico puede encontrarse en los cdigos de diseo y manuales de ingeniera. Estos valores estn destinados a formar un balance para proteger la seguridad pblica y ambiental y para proporcionar una solucin econmicamente razonable en el diseo. 1.7 Diseo de conexiones simples Si se simplifican los supuestos sobre el comportamiento del material, con frecuencia se pueden utilizar las ecuaciones s = P>A y tprom = V>A para analizar o disear una conexin simple o un elemento mecnico. En par- ticular, si un elemento est sometido a fuerza normal en una seccin, el rea requerida en su seccin se determina a partir de Por otro lado, si la seccin est sometida a una fuerza cortante promedio, entonces el rea requerida en la seccin es Como se analiz en la seccin 1.6, el esfuerzo permisible empleado en cada una de estas ecuaciones se determina ya sea al aplicar un factor de seguridad al esfuerzo de falla cortante o normal del material, o bien al determinar directamente estos esfuerzos con un cdigo de diseo ade- cuado. En la figura 1-25 se muestran tres ejemplos en los que se aplican las ecuaciones anteriores (1-11)A = P sprom (1-12)A = V tperm P P P El rea del perno para esta junta sobrepuesta se determina a partir del esfuerzo cortante, el cual es mayor entre las placas. P V P Esfuerzo cortante, se supone uniforme P A tperm P tperm B (b)perm P Distribucin del esfuerzo normal, se supone uniforme A P (b)perm El rea de la placa B, que sirve como base de la columna, se determina a partir del esfuerzo de aplastamiento promedio para el concreto. d Esfuerzo cortante, se supone uniforme P tperm l P tpermpd La longitud l de esta barra empotrada en concreto puede determinarse usando el esfuerzo cortante permisible del pegamento de la unin. Figura 1-25 Capitulo 01_Hibbeler.indd 47 13/1/11 19:23:54 67. 48 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 48 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Punto importante El diseo de la resistencia de un elemento se basa en la selec- cin de un esfuerzo permisible que le deje soportar con segu- ridad la carga para la que est destinado. Como hay muchos factores desconocidos que pueden influir en el esfuerzo real de un elemento, entonces se aplica un factor de seguridad que de- pende del uso que se dar al miembro, para obtener la carga permisible que el elemento puede soportar. Procedimiento de anlisis Cuando se resuelven problemas usando las ecuaciones del esfuer- zo normal promedio y cortante promedio, primero debe hacerse una consideracin cuidadosa para elegir la seccin sobre la que acta el esfuerzo crtico. Una vez determinada esta seccin, debe disearse el elemento de forma que tenga un rea suficiente en la seccin para resistir el esfuerzo que acta sobre l. Esta rea se determina mediante los siguientes pasos. Carga interna. Seccione el elemento a travs del rea y trace un diagrama de cuerpo libre de un segmento del elemento. Despus determine la fuerza interna resultante en la seccin, mediante las ecuacio- nes de equilibrio. rea requerida. Siempre que el esfuerzo permisible se conozca o pueda deter- minarse, el rea requerida necesaria para sostener la carga en la seccin se determina a partir de A = P/sperm o A = V/tperm . Al disear gras y cables que se utilizan para trasladar cargas pesadas, deben consi- derarse factores de seguridad adecuados. Capitulo 01_Hibbeler.indd 48 13/1/11 19:23:54 68. 1.7Diseo de conexiones simples 49 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.13 Figura 1-26 El brazo de control est sometido a la carga mostrada en la figura 1-26a. Determine el dimetro requerido, con una aproximacin de 1 4 pulg, para el pasador de acero en C si el esfuerzo cortante permisible para el acero es tperm = 8 ksi. SOLUCIN Fuerza cortante interna. En la figura 1-26b se muestra un dia- grama de cuerpo libre del brazo. Por equilibrio, se tiene El pasador en C resiste la fuerza resultante en C, que es Como el pasador est sometido a cortante doble, una fuerza cortante de 3.041 kip acta sobre el rea de su seccin transversal entre el brazo y cada hoja de soporte para el pasador, figura l-26c. rea requerida. Se tiene Se usar un pasador con dimetro de Cy - 3 kip - 5 kip A3 5 B = 0 Cy = 6 kip+ c Fy = 0; -3 kip - Cx + 5 kip A4 5 B = 0 Cx = 1 kip:+ Fx = 0; FAB = 3 kip FAB18 pulg2 - 3 kip 13 pulg2 - 5 kip A3 5 B15 pulg2 = 0+MC = 0; FC = 211 kip22 + 16 kip22 = 6.082 kip d = 0.696 pulg pa d 2 b 2 = 0.3802 pulg2 A = V tperm = 3.041 kip 8 kip>pulg2 = 0.3802 pulg2 Resp.d = 3 4 pulg = 0.750 pulg (c) 3.041 kip 3.041 kip 6.082 kip Pasador en C (a) C 3 5 42 pulg3 pulg 8 pulg A C 3 kip 5 kip B 3 5 4 2 pulg3 pulg 8 pulg Cx 3 kip 5 kip FAB Cy (b) C Capitulo 01_Hibbeler.indd 49 13/1/11 19:23:58 69. 50 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.14 La barra colgante est suspendida en su extremo por un disco circular rgidamente unido a ella, como se muestra en la figura 1-27a. Si la barra pasa por un agujero con dimetro de 40 mm, determine el di- metro mnimo requerido de la barra y el espesor mnimo del disco ne- cesario para soportar la carga de 20 kN. El esfuerzo normal permisible para la barra es sperm = 60 MPa y el esfuerzo cortante permisible para el disco es tperm = 35 MPa. SOLUCIN Dimetro de la barra. Por inspeccin, la fuerza axial en la barra es de 20 kN. As, el rea requerida para la seccin transversal de la barra es de modo que Espesor del disco. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la figura 1-27b, el material en el rea seccionada del disco debe resistir un esfuerzo cortante para impedir el movimiento del dis- co a travs del agujero. Si se supone que este esfuerzo cortante est uniformemente distribuido sobre el rea seccionada, entonces, como V = 20 kN, se tiene Figura 1-27 20 kN t d (a) 40 mm 20 kN A perm (b) 40 mm t ; p 4 d2 = 201103 2 N 601106 2 N>m2 A = P sperm Resp.d = 0.0206 m = 20.6 mm Resp.t = 4.55 10-3 m = 4.55 mm 2p10.02 m21t2 = 201103 2 N 351106 2 N>m2 A = V tperm ; Capitulo 01_Hibbeler.indd 50 13/1/11 19:24:03 70. 1.7Diseo de conexiones simples 51 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.15 Figura 1-28 El eje de la figura 1-28a se sostiene mediante el collarn en C, que est unido al eje y se sita del lado derecho del cojinete en B. Determine el mayor valor de P para las fuerzas axiales en E y F de manera que el esfuerzo de aplastamiento en el collarn no sea superior a un esfuerzo permisible de (sb )perm = 75 MPa, y el esfuerzo normal promedio en el eje no exceda un esfuerzo permisible de (st )perm = 55 MPa. SOLUCIN Para resolver el problema se determinar P para cada posible condi- cin de falla. Despus se elegir el valor ms pequeo. Por qu? Esfuerzo normal. Usandoelmtododelassecciones,lacargaaxial dentro de la regin FE del eje es 2P, siempre que la mayor fuerza axial, 3P, ocurra dentro de la regin CE, figura 1-28b. La variacin de la carga interna se muestra claramente en el diagrama de fuerza nor- mal de la figura 1-28c. Como el rea de la seccin transversal de todo el eje es constante, la regin CE est sometida al mximo esfuerzo normal promedio. Al aplicar la ecuacin 1-11, se tiene Esfuerzo de aplastamiento. Como se muestra en el diagra- ma de cuerpo libre de la figura 1-28d, el collarn en C debe resistir la carga de 3P, que acta sobre un rea de apoyo Ab = [p(0.04 m)2 - p(0.03 m)2 ] = 2.199(10-3 ) m2 . Por lo tanto, Por comparacin, la carga mxima que puede aplicarse al eje es P = 51.8 kN, ya que cualquier carga ms grande que sta, provocar que se exceda el esfuerzo normal permisible en el eje. NOTA: Aqu no se ha considerado una posible falla por cortante en el collarn como en el ejemplo 1.14. ; Resp.P = 51.8 kN p10.03 m22 = 3P 551106 2 N>m2 A = P sperm P = 55.0 kN 991.2 110-3 2 m2 = 3P 751106 2 N>m2 A = P sperm ; 3P (d) C 80 mm 60 mm P A F P2 CE B (a) 20 mm P 2 P (b) 3P (c) Fuerza axial Posicin 3P 2P Capitulo 01_Hibbeler.indd 51 13/1/11 19:24:06 71. 52 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 1.16 Figura 1-29 La barra rgida AB que se muestra en la figura 1-29a la soporta una barra de acero AC que tiene un dimetro de 20 mm y un bloque de aluminio con un rea transversal de 1800 mm2 . Los pasadores de 18 mm de dimetro en A y C estn sometidos a cortante simple. Si el esfuerzo de falla para el acero y el aluminio es (sac )falla = 680 MPa y (tal )falla = 70 MPa, respectivamente, y el esfuerzo cortante de falla para cada pasador es tfalla = 900 MPa, determine la carga mxima P que puede aplicarse a la barra. Aplique un factor de seguridad F.S. = 2. SOLUCIN Mediante las ecuaciones 1-9 y 1-10, los esfuerzos permisibles son En la figura 1-29b se muestra el diagrama de cuerpo libre para la ba- rra. Existen tres incgnitas. Aqu se aplicarn las ecuaciones de equili- brio para expresar FAC y FB en trminos de la carga P aplicada. Se tiene Ahora se determinar cada valor de P que genera el esfuerzo per- misible en la barra, el bloque y los pasadores, respectivamente. Barra AC. Se requiere tperm = tfalla F.S. = 900 MPa 2 = 450 MPa 1sal2perm = 1sal2falla F.S. = 70 MPa 2 = 35 MPa 1sac2perm = 1sac2falla F.S. = 680 MPa 2 = 340 MPa (1) (2)FB12 m2 - P10.75 m2 = 0+MA = 0; P11.25 m2 - FAC12 m2 = 0+MB = 0; Usando la ecuacin 1, P = 1106.8 kN212 m2 1.25 m = 171 kN FAC = 1sac2perm1AAC2 = 3401106 2 N>m2 [p10.01 m22 ] = 106.8 kN FB = 1sal2perm AB = 351106 2 N>m2 [1800 mm2 110-6 2 m2 >mm2 ] = 63.0 kN P = 163.0 kN212 m2 0.75 m = 168 kN FAC = V = tprom A = 4501106 2 N>m2 [p10.009 m22 ] = 114.5 kN P = 114.5 kN 12 m2 1.25 m = 183 kN Resp.P = 168 kN Bloque B. En este caso, Usando la ecuacin 2, A partir de la ecuacin 1, Por comparacin, cuando P alcanza su valor ms pequeo (168 kN), el esfuerzo normal permisible se desarrollar primero en el bloque de aluminio. Por consiguiente, Pasador A o C. Debido al cortante simple, 2 m A 0.75 m (a) Aluminio Acero P B C (b) A 0.75 m P 1.25 m B FB FAC Capitulo 01_Hibbeler.indd 52 13/1/11 19:24:12 72. 1.7Diseo de conexiones simples 53 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 F1-14. El bastidor soporta la carga indicada. El pasador en A tiene un dimetro de 0.25 pulg. Si est sometido a cortante doble, determine el esfuerzo cortante promedio en el pasador. problemas fundamentales F1-13. Las varillas AC y BC se usan para suspender la masa de 200 kg. Si cada varilla est fabricada de un ma- terial para el cual el esfuerzo normal promedio no puede superar 150 MPa, determine el dimetro mnimo requerido para cada varilla con una precisin de 1 mm. F1-16. Si cada uno de los tres clavos tiene un dimetro de 4 mm y puede soportar un esfuerzo cortante promedio de 60 MPa, determine la mxima fuerza permisible P que puede aplicarse a la tabla. F1-15. Determine el mximo esfuerzo cortante promedio desarrollado en cada pasador de 3 4 de pulg de dimetro. F1-17. El puntal est pegado al elemento horizontal en la superficie AB. Si el puntal tiene un espesor de 25 mm y el pegamento puede soportar un esfuerzo cortante promedio de 600 kPa, determine la mxima fuerza P que puede apli- carse al puntal. F1-18. Determine el mximo esfuerzo cortante promedio desarrollado en el pasador de 30 mm de dimetro. A B C 6060 F1-13 3 pies 2 pies A E C D B 2 pies 600 lb F1-14 10 kip 5 kip 5 kip F1-15 30 kN 40 kN F1-18 P F1-16 F1-17 50 mm A B 60 P Capitulo 01_Hibbeler.indd 53 13/1/11 19:24:30 73. 54 Captulo 1 Esfuerzo 1 F1-19. Si la armella est fabricada de un material que tie- ne un esfuerzo de cedencia sy = 250 MPa, determine el dimetro mnimo d requerido en su vstago. Aplique un factor de seguridad F.S. = 1.5 contra la cedencia. F1-20. Si la barra compuesta est fabricada de un mate- rial que tiene un esfuerzo de cedencia sy = 50 ksi, determi- ne las dimensiones mnimas requeridas h1 y h2 con una pre- cisin de 1N8 de pulgada. Aplique un factor de seguridad F.S. = 1.5 contra la cedencia. Cada barra tiene un espesor de 0.5 pulg. F1-21. Determine la mxima fuerza P que puede aplicar- se a la barra si est fabricada de un material con un esfuer- zo de cedencia sy = 250 MPa. Considere la posibilidad de que ocurra una falla en la barra, en la seccin a-a. Aplique un factor de seguridad F.S. = 2 contra la cedencia. F1-22. El pasador est fabricado de un material que tiene un esfuerzo cortante de falla tfalla = 100 MPa. Determine el dimetro mnimo requerido para el perno con una pre- cisin de 1 mm. Aplique un factor de seguridad F.S. = 2.5 contra la falla por cortante. F1-23. Si la cabeza del perno y la mnsula de apoyo estn fabricadas del mismo material con un esfuerzo cortante de falla tfalla = 120 MPa, determine la fuerza mxima permisi- ble P que puede aplicarse al perno, de modo que ste no pase a travs de la placa. Aplique un factor de seguridad F.S. = 2.5 contra la falla por cortante. F1-24. Se usan seis clavos para sostener el soporte en A contra la columna. Determine el dimetro mnimo reque- rido de cada clavo con una precisin de 1N16 pulg si est fabricado de un material que tiene tfalla = 16 ksi. Aplique un factor de seguridad F.S. = 2 contra la falla por cortante. F1-19 30 kN d F1-21 50 mm 60 mm120 mm a a P 40 mm Seccin a-a F1-22 80 kN F1-23 40 mm 75 mm 80 mm 30 mm P F1-24 A B 9 pies 300 lb/pie F1-20 A BC 15 kip 15 kip 30 kip h1 h2 Capitulo 01_Hibbeler.indd 54 13/1/11 19:25:14 74. 1.7Diseo de conexiones simples 55 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 1-73. El elemento B est sometido a una fuerza de com- presin de 800 lb. Si A y B estn fabricados de madera y tienen 3 8 de pulg de espesor, determine con una precisin de 1 4 de pulg la mnima dimensin h del segmento horizontal de tal forma que no falle por cortante. El esfuerzo cortante promedio permisible para el segmento es tperm = 300 psi. * 1-76. El empalme de banda estar sometido a una fuer- za de 800 N. Determine (a) el espesor t requerido de la banda si el esfuerzo de tensin permisible para el material es (st )perm = 10 MPa, (b) la longitud requerida dl del empal- me si el pegamento puede soportar un esfuerzo cortante permisible (tperm )g = 0.75 MPa y (c) el dimetro requerido dr del pasador si el esfuerzo cortante permisible para ste es (tperm )p = 30 MPa. 800 lbB h A 12 5 13 500 mm 20 mm d aa A 200 N 1-74. La palanca est unida al eje A por medio de una cua que tiene un ancho d y una longitud de 25 mm. Si el eje est fijo y se aplica una fuerza vertical de 200 N en forma perpendicular al mango, determine la dimensin d si el esfuerzo cortante permisible para la cua es tperm = 35 MPa. Prob. 1-73 Prob. 1-74 Prob. 1-75 1-75. La junta se mantiene sujeta mediante dos pernos. Determine el dimetro requerido de los pernos si el esfuer- zo cortante de falla para stos es tfalla = 350 MPa. Use un factor de seguridad para cortante F.S. = 2.5. 80 kN 40 kN 30 mm 30 mm 40 kN Prob. 1-76 800 N 800 N t dr dl 45 mm 1-77. La probeta de madera est sometida a una fuer- za de tensin de 10 kN en una mquina de ensayo de ten- sin. Si el esfuerzo normal permisible para la madera es (st )perm = 12 MPa y el esfuerzo cortante permisible es tperm = 1.2 MPa, determine las dimensiones requeridas b y t de modo que la probeta alcance estos esfuerzos de manera si- multnea. La probeta tiene un ancho de 25 mm. Prob. 1-77 10 kN 10 kN A t b Capitulo 01_Hibbeler.indd 55 13/1/11 19:25:21 75. 56 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-78. El elemento B est sometido a una fuerza de com- presin de 600 lb. Si A y B son de madera y tienen 1.5 pulg de espesor, determine con una precisin de 1 8 de pulg la me- nor dimensin a del soporte de tal forma que el esfuerzo cortante promedio a lo largo de la lnea gris en a no exceda tperm = 50 psi. No tome en cuenta la friccin. 1-79. La articulacin se utiliza para transmitir un momen- to de torsin T = 3 kN # m. Determine el dimetro mnimo requerido del pasador cortable A si est hecho de un mate- rial con esfuerzo cortante de falla de tfalla = 150 MPa. Apli- que un factor de seguridad de 3 contra la falla. *1-80. Determine el mximo momento de torsin permi- sible T que puede transmitirse mediante la junta. El pasa- dor cortante A tiene un dimetro de 25 mm y est fabrica- do de un material con esfuerzo cortante de falla tfalla = 150 MPa. Aplique un factor de seguridad de 3 contra la falla. 1-81. El elemento a tensin se mantiene sujeto mediante dos pernos, uno a cada lado del elemento, como se muestra en la figura. Cada perno tiene un dimetro de 0.3 pulg. De- termine la carga mxima P que puede aplicarse a los ele- mentos si el esfuerzo cortante permisible para los pernos es tperm = 12 ksi y el esfuerzo normal promedio permisible es sperm = 20 ksi. 1-82. Los tres cables de acero se usan para sostener la car- ga. Si los cables tienen un esfuerzo de tensin permisible de sperm = 165 MPa, determine el dimetro requerido para cada cable si la carga aplicada es P = 6 kN. 1-83. Los tres cables de acero se usan para sostener la car- ga. Si los cables tienen un esfuerzo de tensin permisible de sperm = 165 MPa y el cable AB tiene un dimetro de 6 mm, BC un dimetro de 5 mm y BD un dimetro de 7 mm, determine la mayor fuerza P que puede aplicarse antes de que cualquiera de los cables falle. 600 lb a A B4 53 Prob. 1-78 60 PP Prob. 1-81 3045 B D P A C Probs. 1-82/83 A T T 100 mm Probs. 1-79/80 Capitulo 01_Hibbeler.indd 56 13/1/11 19:25:29 76. 1.7Diseo de conexiones simples 57 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *1-84. El ensamble consta de tres discos A, B y C que se usan para soportar la carga de 140 kN. Determine el di- metro ms pequeo d1 del disco superior, el dimetro d2 dentro del espacio de apoyo y el dimetro d3 del agujero en el disco inferior. El esfuerzo cortante permisible para el material es (sperm )b = 350 MPa y el esfuerzo cortante per- misible es tperm = 125 MPa. 1-87. El poste de roble de 60 mm * 60 mm se sostiene sobre el bloque de pino. Si el esfuerzo de aplastamiento permisible para estos materiales es sroble = 43 MPa y spino = 25 MPa, determine la mayor carga P que pueden soportar. Si entre estos materiales se usa una placa rgida de apoyo, determine su rea requerida de tal forma que puedan so- portar la carga mxima P. Cul es esta carga? 1-85. El aguiln se sostiene mediante un cable de malaca- te con un dimetro de 0.25 pulg y un esfuerzo normal per- misible sperm = 24 ksi. Determine la carga mxima que se puede soportar sin ocasionar que el cable falle cuando u = 30 y f = 45. No tome en cuenta el tamao del malacate. 1-86. El aguiln se sostiene mediante un cable de mala cate que tiene un esfuerzo normal permisible sperm = 24 ksi. Si se requiere que ste sea capaz de levantar lentamente 5000 lb, desde u = 20 hasta u = 50, determine el dimetro mnimo del cable con una precisin de 1 16 de pulg. El agui- ln AB tiene una longitud de 20 pies. No tome en cuenta el tamao del malacate. Considere que d = 12 pies. *1-88. El bastidor est sometido a una carga de 4 kN que acta sobre el elemento ABD en D. Determine el dimetro requerido de los pernos en D y C si el esfuerzo cortante permisible para el material es tperm = 40 MPa. El pasador C est sometido a cortante doble mientras que el pasador D est sometido a cortante simple. Prob. 1-84 10 mm 20 mm 140 kN d2 d3 d1 A B C Prob. 1-87 P Probs. 1-85/86 20 pies f u A B d Prob. 1-88 B 1.5 m 4 kN 451.5 m1 m 1.5 m DC E A Capitulo 01_Hibbeler.indd 57 13/1/11 19:25:33 77. 58 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-89. La armella se usa para soportar una carga de 5 kip. Determine con una precisin de 1 2 de pulg su dimetro d y el espesor requerido h del soporte, de tal forma que la ron- dana no lo penetre o corte. El esfuerzo normal permisible para el perno es sperm = 21 ksi y el esfuerzo cortante permi- sible para el material de apoyo es tperm = 5 ksi. *1-92. La viga compuesta de madera se mantiene sujeta mediante un perno en B. Si se supone que las conexiones en A, B, C y D slo ejercen fuerzas verticales sobre la viga, determine el dimetro requerido del perno en B y el di- metro exterior requerido de sus rondanas si el esfuerzo de tensin permisible para el perno es (st )perm = 150 MPa y el esfuerzo de aplastamiento permisible para la madera es (sb )perm = 28 MPa. Suponga que el orificio de las rondanas tiene el mismo dimetro que el perno. 1-90. El sistema de suspensin de manejo suave de la bicicleta de montaa est articulado en C y se encuentra apoyado por el amortiguador BD. Si est diseado para soportar una carga P = 1500 N, determine el dimetro m- nimo requerido de los pasadores B y C. Use un factor de seguridad de 2 contra la falla. Los pasadores son de un ma- terial con esfuerzo cortante de falla tfalla = 150 MPa y cada uno de ellos est sometido a cortante doble. 1-91. El sistema de suspensin de manejo suave de la bicicleta de montaa est articulado en C y se encuentra apoyado por el amortiguador BD. Si est diseado para soportar una carga P = 1500 N, determine el factor de segu- ridad de los pasadores B y C contra la falla si estn hechos de un material con esfuerzo cortante de falla tfalla = 150 MPa. El pasador B tiene un dimetro de 7.5 mm, y el pa- sador de C de 6.5 mm. Ambos pasadores estn sometidos a cortante doble. 1-93. El ensamble se usa para soportar la carga distri- buida de w = 500 lbNpie. Determine el factor de seguridad con respecto a la cedencia para la barra de acero BC y los pasadores en B y C si el esfuerzo de cedencia para el ace- ro en tensin es sy = 36 ksi y en cortante ty = 18 ksi. La barra tiene un dimetro de 0.40 pulg y cada uno de los per- nos tiene un dimetro de 0.30 pulg. 1-94. Si el esfuerzo cortante permisible para cada uno de los pernos de acero de 0.30 pulg de dimetro en A, B y C es tperm = 12.5 ksi y el esfuerzo normal permisible para la barra de 0.40 pulg de dimetro es sperm = 22 ksi, determine la mxima intensidad w de la carga uniformemente distri- buida que puede suspenderse de la viga. 1 pulg d 5 kip h Prob. 1-89 CB D A P 300 mm 100 mm 30 mm 60 Probs. 1-90/91 Probs. 1-93/94 C B A 4 pies 3 pies 1 pies w Prob. 1-92 1.5 m1.5 m1.5 m1.5 m2 m2 m B C D A 3 kN 1.5 kN 2 kN Capitulo 01_Hibbeler.indd 58 13/1/11 19:25:46 78. 1.7Diseo de conexiones simples 59 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-95. Si el esfuerzo de aplastamiento permisible para el material que se encuentra bajo los soportes en A y B es (sb )perm = 1.5 MPa, determine el tamao de las placas cua- dradas de apoyo A y B necesarias para soportar la carga. Determine las dimensiones de las placas con una precisin de 1 mm. Las reacciones en los soportes son verticales. Considere que P = 100 kN. *1-96. Si el esfuerzo de aplastamiento permisible para el material que se encuentra bajo los soportes en A y B es (sb )perm = 1.5 MPa, determine la carga mxima P que pue- de aplicarse a la viga. Las placas de apoyo A y B tienen secciones transversales cuadradas de 150 mm * 150 mm y 250 mm * 250 mm, respectivamente. 1-97. Las barras AB y CD son de acero con un esfuerzo de tensin de falla sfalla = 510 MPa. Usando un factor de seguridad F.S. = 1.75 para la tensin, determine sus dime- tros mnimos para que puedan soportar la carga mostrada. Se supone que la viga est conectada mediante pasadores en A y C. 1-98. La mnsula de aluminio A se usa para soportar la carga centralmente aplicada de 8 kip. Si tiene un espesor constante de 0.5 pulg, determine la altura mnima h necesa- ria para evitar una falla por cortante. El esfuerzo cortante de falla es tfalla = 23 ksi. Use un factor de seguridad F.S. = 2.5. 1-99. El soporte se sostiene mediante un pasador rec- tangular. Determine la magnitud de la carga suspendida permisible P si el esfuerzo de aplastamiento permisible es (sb )perm = 220 MPa, el esfuerzo de tensin permisible es (st )perm = 150 MPa y el esfuerzo cortante permisible es tperm = 130 MPa. Considere que t = 6 mm, a = 5 mm y b = 25 mm. *1-100. El soporte se sostiene mediante un pasador rec- tangular. Determine el espesor requerido t del soporte, y las dimensiones necesarias a y b si la carga suspen- dida es P = 60 kN. El esfuerzo de tensin permisible es (st )perm = 150 MPa, el esfuerzo de aplastamiento permisible es (sb )perm = 290 MPa y el esfuerzo cortante permisible es tperm = 125 MPa. Probs. 1-95/96 3 m P A B A B 40 kN/m 1.5 m 1.5 m Probs. 1-99/100 20 mm 75 mm 10 mm aa b t P 37.5 mm 37.5 mm Prob. 1-98 8 kip hA Prob. 1-97 B A D C 4 kN 6 kN 5 kN 3 m2 m2 m 3 m Capitulo 01_Hibbeler.indd 59 13/1/11 19:25:50 79. Repaso de Captulo Las cargas internas en un cuerpo con- sisten en una fuerza normal, una fuer- za cortante, un momento flexionante y un momento de torsin. Representan las resultantes de las distribuciones de esfuerzo normal y cortante que actan sobre la seccin transversal. Para ob- tener estas resultantes, use el mtodo de las secciones y las ecuaciones de equilibrio. Si una barra est fabricada de un ma- terial homogneo e isotrpico y est sometida a una serie de cargas axia- les externas que pasan por el centroi- de de la seccin transversal, entonces una distribucin de esfuerzo normal uniforme acta sobre la seccin trans- versal. Este esfuerzo normal promedio puede determinarse a partir de s = PNA, donde P es la carga axial interna en la seccin. El esfuerzo cortante promedio puede determinarse mediante tprom = VNA, donde V es la fuerza cortante que ac- ta sobre el rea de la seccin trans- versal A. Con frecuencia, esta frmula se utiliza para encontrar el esfuerzo cortante promedio en sujetadores o en partes utilizadas en conexiones. El diseo de cualquier conexin senci- lla requiere que el esfuerzo promedio a lo largo de cualquier seccin trans- versal no exceda un esfuerzo permisi- ble de sperm o tperm . Estos valores se presentan en los cdigos y se conside- ran seguros con base en experimentos o a travs de la experiencia. En ocasio- nes, un factor de seguridad se declara siempre que se conozca el esfuerzo mximo. 60 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Mz = 0 My = 0 Mx = 0 Fz = 0 Fy = 0 Fx = 0 s = P A tprom = V A F.S. = sfalla sperm = tfalla tperm Momento flexionante Momento de torsin O F1 F2 N T M V Fuerza cortante Fuerza normal s PP s s P A F V V tprom V A Capitulo 01_Hibbeler.indd 60 13/1/11 19:25:53 80. Problemas conceptuales 61 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS Conceptuales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 P1-1. Aqu, los vientos huracanados ocasionaron fractura de este sealamiento carretero. Si se supone que el vien- to crea una presin uniforme de 2 kPa sobre la seal, use dimensiones razonables para el sealamiento y determine la fuerza cortante y el momento resultantes en las dos co- nexiones donde se produjo el dao. P1-1P1-1 P1-2. Los dos tubos estructurales se conectan mediante un pasador que los atraviesa. Si la carga vertical que sopor- tan es de 100 kN, dibuje un diagrama de cuerpo libre del pasador y despus utilice el mtodo de las secciones para encontrar la fuerza cortante promedio mxima que acta sobre l. Si el pasador tiene un dimetro de 50 mm, cul es el esfuerzo cortante promedio mximo en ste? P1-3. El cilindro hidrulico H aplica una fuerza horizon- tal F sobre el pasador en A. Dibuje un diagrama de cuerpo libre del pasador y muestre las fuerzas que actan sobre l. Usando el mtodo de las secciones, explique por qu el esfuerzo cortante promedio en el pasador es mayor en la secciones que pasan por las boquillas D y E, y no en algu- na seccin intermedia. P1-4. La carga vertical en el gancho es de 1000 lb. Dibu- je los diagramas de cuerpo libre adecuados y determine la fuerza cortante promedio en los pasadores A, B y C. Ob- serve que por simetra se usan cuatro ruedas para soportar la carga sobre el riel. P1-2 P1-1 P1-4 A B C P1-3 E HAD Capitulo 01_Hibbeler.indd 61 13/1/11 19:25:54 81. 62 Captulo 1 Esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS DE REPASO 1-101. El cilindro de aluminio de 200 mm de dimetro soporta una carga de compresin de 300 kN. Determine los esfuerzos normal promedio y cortante promedio que actan sobre la seccin a-a. Muestre los resultados sobre un elemento diferencial situado en la seccin. 1-103. Determine el espesor requerido del elemento BC y el dimetro de los pasadores en A y B si el esfuerzo nor- mal permisible para el elemento BC es sperm = 29 ksi y el esfuerzo cortante permisible para los pasadores es tperm = 10 ksi. 1-102. Un perno largo pasa por la placa de 30 mm de espesor. Si la fuerza en el vstago del perno es de 8 kN, determine el esfuerzo normal promedio en el vstago, el esfuerzo cortante promedio a lo largo del rea cilndrica de la placa definida por la lnea de corte a-a, y el esfuerzo cor- tante promedio en la cabeza del perno a lo largo del rea cilndrica definida por la lnea de corte b-b. *1-104. Determine las cargas internas resultantes que ac- tan sobre las secciones transversales ubicadas a travs de los puntos D y E del bastidor. Prob. 1-101 30 300 kN a d a Prob. 1-102 8 kN 18 mm 7 mm 30 mm 8 mm a a b b Prob. 1-103 C 60 8 piesB A 2 kip/pie 1.5 pulg Prob. 1-104 4 pies 1.5 pies A D 5 pies3 pies C 2.5 pies E B 150 lb/pie Capitulo 01_Hibbeler.indd 62 13/1/11 19:26:02 82. Problemas de repaso 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-105. La polea se mantiene fija al eje de 20 mm de di- metro mediante una cua que se ajusta dentro de una ra- nura ubicada tanto en la polea como en el eje. Si la carga suspendida tiene una masa de 50 kg, determine el esfuerzo cortante promedio en la cua a lo largo de la seccin a-a. La cua tiene una seccin cuadrada de 5 mm por 5 mm y una longitud de 12 mm. 1-106. La almohadilla de apoyo consiste en un bloque de aluminio de 150 mm por 150 mm que soporta una carga de compresin de 6 kN. Determine los esfuerzos normal promedio y cortante promedio que actan sobre el plano que pasa por la seccin a-a. Muestre los resultados sobre un elemento diferencial de volumen ubicado en el plano. 1-107. La conexin de horqueta y barra est sometida a una fuerza de tensin de 5 kN. Determine el esfuerzo nor- mal promedio en cada barra y el esfuerzo cortante prome- dio en el pasador A ubicado entre los elementos. *1-108. El cable tiene un peso especfico g (pesoNvolu- men) y un rea de seccin transversal A. Si el pandeo s es pequeo, de modo que su longitud sea aproximadamente L y su peso se pueda distribuir de manera uniforme a lo largo del eje horizontal, determine el esfuerzo normal pro- medio del cable en su punto ms bajo C. Prob. 1-107 25 mm 40 mm 30 mm A 5 kN 5 kN Prob. 1-105 75 mm a a Prob. 1-108 s L/2 L/2 C A B Prob. 1-106 30 150 mm 6 kN a a Capitulo 01_Hibbeler.indd 63 13/1/11 19:26:09 83. problemas fundamentales F1-1. Determine la fuerza normal interna, la fuerza cor- tante y el momento flexionante en el punto C de la viga. F1-4. Determine la fuerza normal interna, la fuerza cor- tante y el momento flexionante en el punto C de la viga. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Cuando el perno causa la compresin de estas dos placas transparentes, se producen deformaciones en el material, las cuales se manifiestan como un espectro de colores bajo una luz polarizada. Estas deformaciones pueden relacio- narse con el esfuerzo del material. Capitulo 02_Hibeeler.indd 64 13/1/11 19:27:45 84. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 65 1 2 Deformacin 2 65 OBJETIVOS DEL CAPTULO En ingeniera, la deformacin de un cuerpo se especifica mediante los conceptos de deformacin unitaria normal y cortante. En este captu- lo se definirn estas cantidades y se mostrar cmo pueden determi narse en distintos tipos de problemas. 2.1 Deformacin Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, sta tiende a cambiar la forma y el tamao del cuerpo. Estos cambios se conocen como deformacin, la cual puede ser muy visible o casi imperceptible. Por ejemplo, una banda de goma (liga) experimentar una deformacin muy grande al estirar- se. En cambio, en un edificio slo ocurren deformaciones ligeras en sus elementos estructurales cuando las personas caminan dentro de l. La deformacin de un cuerpo tambin puede ocurrir cuando cambia su tem- peratura. Un ejemplo tpico es la expansin o contraccin trmica de un techo provocada por el clima. En un sentido general, la deformacin de un cuerpo no ser uniforme en todo su volumen, por lo que el cambio en la geometra de cualquier segmento de lnea dentro del cuerpo puede variar de forma considerable a lo largo de su longitud. Por lo tanto, para estudiar los cambios por de- formacin de una manera ms uniforme, se considerarn segmentos de lnea muy cortos, ubicados en las cercanas de un punto. Sin embargo, es necesario tener en cuenta que estos cambios tambin dependern de la orientacin del segmento en dicho punto. Por ejemplo, un segmento de lnea puede alargarse si est orientado en una direccin y puede con- traerse si apunta a otra. Observe las posiciones antes y despus de tres segmentos de lnea diferentes sobre esta membrana de goma someti- da a tensin. La lnea vertical se alarga, la lnea horizontal se acorta y la lnea inclinada cambia de longitud y gira. Observe las posiciones antes y despus de tres segmen- tos de lnea diferentes sobre esta membrana de goma sometida a tensin. La lnea vertical se alarga, la lnea horizontal se acorta y la lnea inclinada cambia de longitud y gira. Capitulo 02_Hibeeler.indd 65 13/1/11 19:27:46 85. 66 Captulo 2Deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.2 Deformacin unitaria A fin de describir la deformacin de un cuerpo mediante cambios en la longitud de los segmentos de lnea y cambios en los ngulos que existen entre ellos, se desarrollar el concepto de deformacin unitaria. La medi- cin real de la deformacin unitaria se hace por medio de experimentos, y una vez que se haya obtenido la deformacin unitaria, en el siguiente captulo se mostrar cmo puede relacionarse con el esfuerzo que acta dentro del cuerpo. Deformacin unitaria normal. Si se define la deformacin unitaria normal como el cambio en la longitud de una lnea por unidad de longitud, entonces no habr necesidad de especificar la longitud real de cualquier segmento de lnea en particular. Por ejemplo, considere la lnea AB que est contenida dentro del cuerpo sin deformar de la figura 2-1a. Esta lnea se ubica a lo largo del eje n y tiene una longitud inicial s. Despus de la deformacin, los puntos A y B se desplazan a los puntos A y B, y la lnea recta se convierte en una curva con una longitud de s, figura 2-1b. El cambio en la longitud de la lnea es entonces s - s. Si se define la deformacin unitaria normal promedio mediante el smbolo Pprom (psilon), entonces A medida que el punto B se elige cada vez ms cerca del punto A, la longitud de la lnea se hace cada vez menor, de manera que s : 0. Adems, esto causa que B se aproxime a A, de modo que s : 0. Por consiguiente, en el lmite, la deformacin unitaria normal en el punto A y en la direccin de n es Por consiguiente, cuando P (o Pprom ) es positiva, la lnea inicial se alargar mientras que si P es negativa, la lnea se contrae. Observe que la deformacin unitaria normal es una cantidad adimen- sional, puesto que es una relacin de dos longitudes. Aunque ste sea el caso, en ocasiones se establece en trminos de una relacin de unidades de longitud. Si se utiliza el sistema SI, entonces la unidad bsica para la longitud es el metro (m). Por lo general, en la mayora de las aplicacio- nes de ingeniera P ser muy pequea, por lo que las mediciones de la deformacin unitaria se dan en micrometros por metro (mmNm), donde (2-1)Pprom = s - s s (2-2)P = lm B:A a lo largo de n s - s s Cuerpo no deformado n s A B (a) Cuerpo deformado A B s (b) Figura 2-1Figura 2-1 Capitulo 02_Hibeeler.indd 66 13/1/11 19:27:48 86. 2.2Deformacin unitaria 67 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 mm = 10-6 m. En el sistema pie-libra-segundo la deformacin unitaria suele establecerse en unidades de pulgadas por pulgada (pulgNpulg). A veces, para el trabajo experimental, la deformacin unitaria se expresa como un porcentaje, por ejemplo, 0.001 mNm = 0.1%. A modo de ejem- plo, una deformacin unitaria normal de 480(10-6 ) se puede expresar como 480(10-6 ) pulgNpulg, 480 mm/m o 0.0480%. Asimismo, esta res- puesta se puede establecer simplemente como 480 m (480 micras). Deformacin unitaria cortante. Las deformaciones no slo causan que los segmentos de lnea se alarguen o contraigan, sino tam- bin hacen que cambien de direccin. Si se seleccionan dos segmentos de lnea que en un principio eran perpendiculares entre s, entonces el cambio en el ngulo que ocurre entre estos dos segmentos de lnea se denomina deformacin unitaria cortante. Este ngulo se denota por g (gamma) y siempre se mide en radianes (rad), que son unidades adimen- sionales. Por ejemplo, considere los segmentos de recta AB y AC que parten desde un mismo punto A en un cuerpo, y que estn dirigidos a lo largo de los ejes perpendiculares n y t, figura 2-2a. Despus de la defor- macin, los extremos de ambas lneas se desplazan, y las mismas lneas se vuelven curvas, de manera que el ngulo entre ellas en A es u, figura 2-2b. Por consiguiente, la deformacin unitaria cortante en el punto A que est asociada a los ejes n y T se convierte en Observe que si u es menor que pN2, la deformacin unitaria cortante es positiva, mientras que si u es mayor que pN2, la deformacin unitaria cortante es negativa. Figura 2-2 (2-3) gnt = p 2 - lm u B : A a lo largo de n C : A a lo largo de t Cuerpo no deformado n t A B C (a) p 2 Cuerpo deformado B A C (b) u Figura 2-2 Capitulo 02_Hibeeler.indd 67 13/1/11 19:27:49 87. 68 Captulo 2Deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Componentes cartesianas de la deformacin unitaria. Usando las definiciones de la deformacin unitaria normal y cortante, ahora se mostrarn cmo pueden utilizarse para describir la deforma- cin del cuerpo en la figura 2-3a. Para hacerlo, imagine que el cuerpo se subdivide en pequeos elementos como el que se muestra en la figura 2-3b. Este elemento es rectangular, tiene dimensiones no deformadas x, y y z, y se encuentra cerca de un punto en el cuerpo, figura 2-3a. Si las dimensiones del elemento son muy pequeas, entonces su forma de- formada ser la de un paraleleppedo, figura 2-3c, ya que los segmentos de lnea muy pequeos se mantendrn aproximadamente rectos despus que el cuerpo se haya deformado. A fin de obtener esta deformacin, se considerar primero la manera en que la deformacin unitaria nor- mal cambia la longitud de los lados del elemento rectangular, y despus el modo en que la deformacin unitaria cortante cambia los ngulos de cada lado. Por ejemplo, x se alarga a Px x y entonces su nueva longitud es x + Px x. En consecuencia, las longitudes aproximadas de los tres lados del paraleleppedo son Y los ngulos aproximados entre estos lados son Observe que las deformaciones unitarias normales causan un cambio en el volumen del elemento, mientras que las deformaciones unitarias cortantes causan un cambio en su forma. Por supuesto, ambos cambios ocurren al mismo tiempo durante la deformacin. En resumen, el estado de deformacin unitaria en un punto del cuerpo requiere que se especifiquen tres deformaciones unitarias normales, Px , Py , Pz , y tres deformaciones unitarias cortantes gxy , gyz , gxz . Estas defor- maciones unitarias describen por completo la deformacin de un ele- mento de volumen rectangular de material ubicado en el punto y orien- tada de manera que sus lados sean originalmente paralelos a los ejes x, y y z. Una vez que se hayan definido estas deformaciones unitarias en todos los puntos del cuerpo, entonces se puede determinar la forma de- formada del cuerpo. (a) y x z (a) y z 11 + Px2 x 11 + Py2 y 11 + Pz2 z p 2 - gxy p 2 - gyz p 2 - gxz Figura 2-3 (b) y x z Elemento no deformado p 2 p 2 p 2 (1 y) y (1 x) x (1 z) z Elemento deformado ( (c) gyz) ( gxz) ( gxy) p 2 p 2 p 2 Figura 2-3 Capitulo 02_Hibeeler.indd 68 13/1/11 19:27:51 88. 2.2Deformacin unitaria 69 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Anlisis de pequeas deformaciones unitarias. La mayor parte de los diseos de ingeniera implican aplicaciones para las cuales slo se admiten deformaciones pequeas. Por lo tanto, en este libro se su- pondr que las deformaciones que se producen dentro de un cuerpo son casi infinitesimales. En particular, las deformaciones unitarias normales que ocurren dentro del material son muy pequeas en comparacin con 1, es decir que P V 1. Este supuesto tiene una amplia aplicacin prctica en la ingeniera, y a menudo se conoce como un anlisis de deformaciones unitarias pequeas. Por ejemplo, puede usarse para aproximar sen u = u, cos u = 1 y tan u = u, siempre que u sea muy pequeo. El soporte de goma bajo esta trabe de un puente de concreto est sometido a defor- maciones unitarias normales y cortantes. La deformacin unitaria normal es causa- da por el peso y las cargas del puente sobre la trabe, y la deformacin cortante se debe al movimiento horizontal de la trabe por cambios en la temperatura. Puntos importantes Las cargas hacen que todos los cuerpos materiales se deformen y, en consecuencia, los puntos en un cuerpo experimentarn desplazamientos o cambios de posicin. La deformacin unitaria normal es una medida por unidad de longitud de la elongacin o contraccin de un segmento de l- nea pequeo en el cuerpo, mientras que la deformacin unitaria cortante es una medida del cambio en el ngulo que se produce entre dos pequeos segmentos de lnea que originalmente eran perpendiculares entre s. El estado de deformacin unitaria en un punto se caracteriza por seis componentes de deformacin: tres deformaciones nor- males Px , Py , Pz , y tres de deformaciones cortantes gxy , gyz , gxz . Estos componentes dependen de la orientacin original de los segmentos de lnea y su ubicacin en el cuerpo. La deformacin unitaria es la cantidad geomtrica que se mide mediante tcnicas experimentales. Una vez obtenida, es posible determinar el esfuerzo en el cuerpo a partir de las relaciones entre las propiedades del material, tal como se analizar en el prximo captulo. La mayora de los materiales de ingeniera sufren deformacio- nes muy pequeas, por lo que la deformacin unitaria normal P V 1. Este supuesto del anlisis de deformaciones pequeas permite simplificar los clculos de la deformacin unitaria nor- mal, ya que las aproximaciones de primer orden se pueden ha- cer con respecto a su tamao. El soporte de goma bajo esta trabe de un puente de concreto est sometido a deforma- ciones unitarias normales y cortantes. La deformacin unitaria normal es causada por el peso y las cargas del puente sobre la trabe, y la deformacin cortante se debe al movimiento horizontal de la trabe por cambios en la temperatura. Capitulo 02_Hibeeler.indd 69 13/1/11 19:27:52 89. 70 Captulo 2Deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 2.1 La barra delgada mostrada en la figura 2-4 est sometida a un incre- mento de temperatura a lo largo de su eje, el cual produce una de- formacin unitaria normal en sta de Pz = 40(10-3 )z1N2 , donde z se expresa en metros. Determine (a) el desplazamiento del extremo B de la barra debido al aumento de la temperatura, y (b) la deformacin unitaria normal promedio en la barra. SOLUCIN Parte (a). Como la deformacin unitaria normal se da en cada punto a lo largo de la barra, un segmento diferencial dz, ubicado en la posicin z, figura 2-4, tiene una longitud deformada que puede de- terminarse con la ecuacin 2-1; esto es, Al sumar estos segmentos a lo largo del eje se obtiene la longitud de- formada de la barra, es decir, Por lo tanto, el desplazamiento del extremo de la barra es Parte (b). La deformacin unitaria normal promedio de la barra se determina a partir de la ecuacin 2-1, la cual supone que la barra o el segmento de lnea tiene un longitud original de 200 mm y un cambio de longitud de 2.39 mm. Por consiguiente, dz = C1 + 40110-3 2z1>2 D dz dz = dz + Pz dz = 0.20239 m = Cz + 40110-3 2 2 3 z3>2 D 0 0.2 m z = L 0.2 m 0 C1 + 40110-3 2z1>2 D dz Resp.B = 0.20239 m - 0.2 m = 0.00239 m = 2.39 mm T Resp.Pprom = s - s s = 2.39 mm 200 mm = 0.0119 mm>mm Figura 2-4 200 mm A z dz B Figura 2-4 Capitulo 02_Hibeeler.indd 70 13/1/11 19:27:53 90. 2.2Deformacin unitaria 71 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 2.2 Figura 2-5 Cuando la fuerza P se aplica al mango de la palanca rgida ABC que se muestra en la figura 2-5a, el brazo gira en sentido antihorario alre- dedor del pasador A un ngulo de 0.05. Determine la deformacin unitaria normal desarrollada en el alambre BD. SOLUCIN I Geometra. La orientacin del brazo de la palanca despus de que gira alrededor del punto A se muestra en la figura 2-5b. A partir de la geometra de esta figura, Entonces Al aplicar el teorema de Pitgoras al tringulo ABD se obtiene Utilizando este resultado y aplicando la ley de cosenos al tringulo ABD, SOLUCIN II Como la deformacin unitaria es pequea, este mismo resultado pue- de obtenerse al aproximar el alargamiento del alambre BD como LBD , figura 2-5b. Aqu, Por lo tanto, AB D C 400 mm (a) P 300 mm A B B D C 400 mm 400 mm (b) P 300 mm u 0.05LBD f a Figura 2-5 a = tan-1 a 400 mm 300 mm b = 53.1301 f = 90 - a + 0.05 = 90 - 53.1301 + 0.05 = 36.92 LAD = 21300 mm22 + 1400 mm22 = 500 mm = 300.3491 mm = 21500 mm22 + 1400 mm22 - 21500 mm21400 mm2 cos 36.92 LBD = 2LAD 2 + L2 AB - 21LAD21LAB) cos f PBD = LBD - LBD LBD = 300.3491 mm - 300 mm 300 mm = 0.00116 mm>mm LBD = uLAB = c a 0.05 180 b1prad2d1400 mm2 = 0.3491 mm Resp.PBD = LBD LBD = 0.3491 mm 300 mm = 0.00116 mm>mm Deformacin unitaria normal. Resp. Capitulo 02_Hibeeler.indd 71 13/1/11 19:29:14 91. 72 Captulo 2Deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 2.3 Debido a una carga, la placa se deforma como lo indica la lnea dis- continua de la figura 2-6a. Determine (a) la deformacin unitaria nor- mal promedio a lo largo del lado AB, y (b) la deformacin unitaria cortante promedio en la placa en A relativa a los ejes x y y. SOLUCIN Parte (a). Lnea AB, coincidente con el eje y, se convierte en la lnea AB despus de la deformacin, como se muestra en la figura 2-6b. La longitud de AB es Por lo tanto, la deformacin unitaria normal para AB es El signo negativo indica que la deformacin unitaria provoca una con- traccin de AB. Parte (b). Como se observa en la figura 2-6c, el ngulo BCA que alguna vez fue de 90 entre los lados de la placa en A cambia a u de- bido al desplazamiento de B a B. Como gxy = pN2 - u, entonces gxy es el ngulo que se muestra en la figura. Por lo tanto, Figura 2-6 300 mm (a) CA B y x 250 mm 3 mm 2 mm Figura 2-6 AB = 21250 mm - 2 mm22 + 13 mm22 = 248.018 mm Resp.= -7.93110-3 2 mm>mm 1PAB2prom = AB - AB AB = 248.018 mm - 250 mm 250 mm Resp.gxy = tan-1 a 3 mm 250 mm - 2 mm b = 0.0121 rad (c) CA u gxy B y x 250 mm 3 mm2 mm B (b) A B 250 mm 3 mm 2 mm B Capitulo 02_Hibeeler.indd 72 13/1/11 19:29:18 92. 2.2Deformacin unitaria 73 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 2.4 Figura 2-7 La placa que se muestra en la figura 2-7a est conectada de manera fija a lo largo de AB y se sostiene sobre las guas horizontales en sus par- tes superior e inferior, AD y BC. Si experimenta un desplazamiento horizontal uniforme de 2 mm en su lado derecho CD, determine (a) la deformacin unitaria normal promedio a lo largo de la diagonal AC y (b) la deformacin unitaria cortante en E respecto a los ejes x, y. SOLUCIN Parte (a). Cuando la placa se deforma, la diagonal AC se convierte en AC, figura 2-7b. La longitud de las diagonales AC y AC puede determinarse a partir del teorema de Pitgoras. Se tiene Por lo tanto, la deformacin unitaria normal promedio a lo largo de la diagonal es Parte (b). Para encontrar la deformacin unitaria cortante en E con respecto a los ejes x y y, primero es necesario determinar el ngu- lo u despus de la deformacin, figura 2-7b. Se tiene Aplicando la ecuacin 2-3, se obtiene que la deformacin unitaria cor- tante en E es El signo negativo indica que el ngulo u es mayor de 90. NOTA: Si los ejes x y y fueran horizontal y vertical en el punto E, entonces el ngulo de 90 entre los ejes no cambiara debido a la de- formacin, y as gxy = 0 en el punto E. AC = 210.150 m22 + 10.152 m22 = 0.21355 m AC = 210.150 m22 + 10.150 m22 = 0.21213 m Resp.= 0.00669 mm>mm 1PAC2prom = AC - AC AC = 0.21355 m - 0.21213 m 0.21213 m u = 90.759 = a p 180 b190.7592 = 1.58404 rad nat a u 2 b = 76 mm 75 mm Resp.gxy = p 2 - 1.58404 rad = -0.0132 rad 150 mm (a) 2 mm y 150 mm x D B C A E 76 mm (b) 75 mm E D B C A 75 mm 76 mm u Figura 2-7 Capitulo 02_Hibeeler.indd 73 13/1/11 19:29:21 93. 74 Captulo 2Deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas fundamentales F2-1. Cuando la fuerza P se aplica al brazo rgido ABC, el punto B se desplaza de manera vertical hacia abajo una distancia de 0.2 mm. Determine la deformacin unitaria normal desarrollada en el alambre CD. F2-4. La placa triangular se deforma como lo indica la lnea discontinua de la figura. Determine la deformacin unitaria normal desarrollada a lo largo del borde BC y la deformacin unitaria cortante promedio en la esquina A con respecto a los ejes x y y. F2-5 F2-2. Si la fuerza P aplicada hace que el brazo rgido ABC gire en sentido horario alrededor del pasador A un ngulo de 0.02, determine la deformacin unitaria normal desarrollada en los alambres BD y CE. F2-3. La placa rectangular se deforma como un rombo segn lo muestra la lnea discontinua de la figura. Determi- ne la deformacin unitaria cortante promedio en la esquina A con respecto a los ejes x y y. F2-5. La placa cuadrada se deforma segn lo muestra la lnea discontinua de la figura. Determine la deformacin unitaria normal promedio a lo largo de la diagonal AC y la deformacin unitaria cortante del punto E respecto a los ejes x y y. F2-1 A B C D 400 mm 200 mm 300 mm P F2-1 F2-2 A B C D 600 mm 600 mm 600 mm E 400 mm P F2-2 y x A B D C 300 mm 2 mm 4 mm 400 mm F2-3 F2-4 A C B y x 300 mm 3 mm 5 mm 400 mm F2-4 y x E A B D C 300 mm 300 mm 3 mm3 mm 4 mm F2-5 Capitulo 02_Hibeeler.indd 74 13/1/11 19:30:49 94. 2.2Deformacin unitaria 75 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 2-1. Una pelota de hule llena de aire tiene un dimetro de 6 pulg. Si la presin del aire en su interior se incrementa hasta que el dimetro de la pelota sea de 7 pulg, determine la deformacin unitaria normal promedio en el hule. 2-2. Una tira delgada de hule tiene una longitud sin es- tirar de 15 pulg. Si se estira alrededor de un tubo con un dimetro exterior de 5 pulg, determine la deformacin uni- taria normal promedio en la tira. 2-3. La viga rgida se sostiene mediante un pasador en A y por los alambres BD y CE. Si la carga P sobre la viga hace que el extremo C se desplace 10 mm hacia abajo, de- termine la deformacin unitaria normal desarrollada en los cables CE y BD. 2-5. La viga rgida se sostiene mediante un pasador en A y por medio de los alambres BD y CE. Si la carga distri- buida ocasiona que el extremo C se desplace 10 mm hacia abajo, determine la deformacin unitaria normal desarro- llada en los alambres CE y BD. *2-4. Los dos alambres estn conectados entre s en A. Si la fuerza P ocasiona que el punto A se desplace 2 mm en forma horizontal, determine la deformacin unitaria nor- mal desarrollada en cada alambre. 2-6. Unas tiras de nylon se funden y se pegan a placas de vidrio. Al calentarlo de manera moderada, el nylon se vuelve blando mientras que el vidrio se mantiene aproxi- madamente rgido. Determine la deformacin unitaria cor- tante promedio en el nylon debida a la carga P, cuando el ensamble se deforma como lo indica la figura. Prob. 2-3 C 3 m ED 2 m 4 m P BA 2 m Prob. 2-3 Prob. 2-5 C 2 m E D 2 m 1.5 m BA 3 m w Prob. 2-5 Prob. 2-6 2 mm 3 mm 5 mm 3 mm 3 mm 5 mm P y x Prob. 2-6 P 30 30 A B C 300 mm 300 mm Prob. 2-4Prob. 2-4 Capitulo 02_Hibeeler.indd 75 13/1/11 19:30:54 95. Probs. 2-10/11 76 Captulo 2Deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2-7. Si la longitud no estirada de la cuerda del arco es 35.5 pulg, determine la deformacin unitaria normal promedio de la cuerda cuando se estira hasta la posicin indicada. *2-8. Parte de un mecanismo de control para un avin consiste en un elemento rgido CBD y un cable flexible AB. Si se aplica una fuerza al extremo D del elemento y hace que ste gire un ngulo u = 0.3, determine la deformacin unitaria normal en el cable. En un inicio, el cable no est estirado. 2-9. Parte de un mecanismo de control para un avin consiste en un elemento rgido CBD y un cable flexible AB. Si se aplica una fuerza al extremo D del elemento y se produce una deformacin unitaria normal en el cable de 0.0035 mmNmm, determine el desplazamiento del punto D. En un inicio, el cable no est estirado. 2-10. Las esquinas B y D de la placa cuadrada reciben los desplazamientos indicados. Determine las deformaciones unitarias cortantes en A y B. 2-11. Las esquinas B y D de la placa cuadrada reciben los desplazamientos indicados. Determine las deformaciones unitarias normales promedio a lo largo del lado AB y de la diagonal DB. *2-12. La pieza de hule es en un principio rectangular. Determine la deformacin unitaria cortante promedio gxy en A si las esquinas B y D se someten a desplazamientos que ocasionan la distorsin del hule en la forma mostrada por las lneas discontinuas. 2-13. La pieza de hule es en un principio rectangular y est sometida a la deformacin mostrada por las lneas dis- continuas. Determine la deformacin unitaria normal pro- medio a lo largo de la diagonal DB y del lado AD. Prob. 2-7 18 pulg 6 pulg 18 pulg Prob. 2-7 3 mm 3 mm 16 mm16 mm 16 mm 16 mm y x A B C D Prob. 2-10/11 300 mm 400 mm D A y x 3 mm 2 mm B C Probs. 2-12/13 400 mm 300 mm A B D P 300 mm C u Prob. 2-8/9Probs. 2-8/9 Capitulo 02_Hibeeler.indd 76 13/1/11 19:30:59 96. 2.2Deformacin unitaria 77 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2-14. Dos barras se utilizan para soportar una carga. Cuando est descargada, la longitud de AB es de 5 pulg, la de AC es de 8 pulg y el anillo en A tiene las coorde- nadas (0, 0). Si una carga P acta sobre el anillo en A, la deformacin unitaria normal en AB se convierte en PAB = 0.02 pulgNpulg y la deformacin unitaria normal en AC se vuelve PAC = 0.035 pulgNpulg. Determine la posicin coor- denada del anillo debida a la carga. 2-15. Dos barras se utilizan para soportar una carga P. Cuando est descargada, la longitud de AB es de 5 pulg, la de AC es de 8 pulg y el anillo en A tiene las coordenadas (0, 0). Si se aplica una carga al anillo en A, de manera que se mueve a la posicin de coordenadas (0.25 pulg, -0.73 pulg), determine la deformacin unitaria normal en cada barra. *2-16. El cuadrado se deforma hasta la posicin indicada por las lneas discontinuas. Determine la deformacin uni- taria normal a lo largo de cada diagonal AB y CD. El lado DB permanece horizontal. 2-17. Las tres cuerdas estn unidas al anillo en B. Cuan- do se aplica una fuerza al anillo ste se mueve al punto B, de modo que la deformacin unitaria normal en AB es PAB y la deformacin unitaria normal en CB es PCB . Si estas deformaciones son pequeas, determine la deformacin unitaria normal en DB. Observe que, debido a las guas de rodillo en A y C, AB y CB permanecen horizontal y verti- cal, respectivamente. 2-18. La pieza de plstico es en un principio rectangular. Determine la deformacin unitaria cortante gxy en las es- quinas A y B si el plstico se distorsiona como lo muestran las lneas discontinuas. 2-19. La pieza de plstico es en un principio rectangular. Determine la deformacin unitaria cortante gxy en las es- quinas D y C si el plstico se distorsiona como lo muestran las lneas discontinuas. *2-20. La pieza de plstico es en un principio rectangular. Determine la deformacin unitaria normal promedio que ocurre a lo largo de las diagonales AC y DB. Probs. 2-14/15 y x B C A 5 pulg 8 pulg 60 P Prob. 2-14/15 Prob. 2-16 A 50 mm 8 mm 50 mm 3 mm 53 mm D y x D B C C B 91.5 Prob. 2-16 Prob. 2-17 A A B B C CD L u Prob. 2-17 300 mm 400 mm D A y x 3 mm 2 mm B 5 mm 2 mm 4 mm 2 mm C Probs. 2-18/19/20 Capitulo 02_Hibeeler.indd 77 13/1/11 19:31:04 97. 78 Captulo 2Deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2-21. La fuerza aplicada sobre el mango del brazo de la palanca rgida hace que el brazo gire en sentido horario un ngulo de 3 alrededor del pasador A. Determine la defor- macin unitaria normal promedio desarrollada en el alam- bre. En un inicio, el alambre no est estirado. 2-22. Una pieza cuadrada de material se deforma hasta la posicin que marca la lnea discontinua. Determine la deformacin unitaria cortante gxy en A. 2-23. Una pieza cuadrada de material se deforma en un paralelogramo como lo indica la lnea discontinua. Deter- mine la deformacin unitaria normal promedio que se pro- duce a lo largo de las diagonales AC y BD. *2-24. Una pieza cuadrada de material se deforma hasta la posicin que marca la lnea discontinua. Determine la deformacin unitaria cortante gxy en C. 2-25. El alambre de retenida AB en el bastidor de un edificio est en un principio sin estirar. Debido a un terre- moto, las dos columnas del bastidor se inclinan un ngulo u = 2. Determine la deformacin unitaria normal aproxi- mada en el alambre cuando el bastidor se encuentra en esta posicin. Suponga que las columnas son rgidas y que giran alrededor de sus soportes inferiores. 2-26. El material se distorsiona hasta la posicin que in- dica la lnea punteada. Determine (a) la deformacin uni- taria normal promedio a lo largo de los lados AC y CD y la deformacin unitaria cortante gxy en F, as como (b) la deformacin unitaria normal promedio de a lo largo de la lnea BE. 2-27. El material se distorsiona hasta la posicin que in- dica la lnea punteada. Determine la deformacin unitaria normal promedio que se produce a lo largo de las diagona- les AD y CF. Prob. 2-21 A B C D 600 mm 45 Prob. 2-21 Probs. 2-22/23/24 15 mm DA 15 mm CB 15.18 mm 15.18 mm 15.24 mm 89.7 y x Prob. 2-22/23/24 Prob. 2-25 B A 1 m 3 m u 2 4 m u 2 Prob. 2-25 x y 80 mm 75 mm 10 mm 90 mm 25 mm15 mm D E FA B C Probs. 226/27 Capitulo 02_Hibeeler.indd 78 13/1/11 19:31:53 98. 2.2Deformacin unitaria 79 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Prob. 2-31 *2-28. El alambre est sometido a una deformacin uni- taria normal definida por P = xe-x2 , donde x se expresa en milmetros. Si el alambre tiene una longitud inicial L, de- terminar el aumento de su longitud. 2-29. El tubo curvo tiene un radio original de 2 pies. Si se calienta de manera no uniforme y la deformacin uni- taria normal a lo largo de su longitud es P = 0.05 cos u, determine el aumento en la longitud del tubo. 2-30. Resuelva el problema 2-29 si P = 0.08 sen u. 2-31. La banda de hule AB tiene una longitud sin estirar de 1 pie. Si se encuentra fija en B y est unida a la superficie en el punto A, determine la deformacin unitaria normal promedio en la banda. La superficie est definida por la funcin y = (x2 ) pies, donde x se expresa en pies. *2-32. La barra tiene en un principio 300 mm de largo cuando est en posicin horizontal. Si se somete a una de- formacin unitaria cortante definida por gxy = 0.02x donde x se expresa en metros, determine el desplazamiento y en el extremo de su borde inferior. La barra se distorsiona hasta la forma mostrada y no se presenta ninguna elonga- cin en la direccin x. 2-33. La fibra AB tiene una longitud L y una orientacin u. Si sus extremos A y B experimentan desplazamientos muy pequeos uA y yB , respectivamente, determine la de- formacin unitaria normal en la fibra cuando se encuentra en la posicin AB. 2-34. Si la deformacin unitaria normal se define en refe- rencia a la longitud final, es decir, en vez de hacer referencia a la longitud original, ecuacin 2-2, demuestre que la diferencia entre estas deformaciones unitarias se representa como un trmino de segundo orden, a saber, Pn - Pn = PnPn . x x L P xex2 Prob. 2-28 Probs. 2-29/30 2 pies Au Prob. 2-29/30 y x 1 pie 1 pie AB A y x2 Prob. 2-31 Pn = lm p:p a s - s s b Prob. 2-32 300 mm y x y Prob. 2-32 A y x B B vB uA A L u Prob. 2-33 Capitulo 02_Hibeeler.indd 79 13/1/11 19:31:57 99. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 Los desplazamientos horizontales de tierra causados por un terremoto produjeron grandes deformaciones en los pila- res de este puente al grado que se fractur. Los ingenieros deben conocer las propiedades materiales del concreto y el refuerzo de acero para poder disear de manera adecuada las estructuras y con ello evitar este tipo de fallas. Los desplazamientos horizontales de tierra causados por un terremoto produjeron grandes deformaciones en los pila- Capitulo 03_Hibeeler.indd 80 13/1/11 19:36:27 100. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 81 1 2 Propiedades mecnicas de los materiales 3 81 OBJETIVOS DEL CAPTULO Despus de haber estudiado los conceptos bsicos del esfuerzo y la deformacin unitaria,1 en este captulo se mostrar cmo puede rela- cionarse el esfuerzo con la deformacin mediante el uso de mtodos experimentales para determinar el diagrama esfuerzo-deformacin en un material especfico. Despus, se analizar el comportamiento des- crito por este diagrama para los materiales que se usan con mayor frecuencia en ingeniera. Adems, se estudiarn las propiedades me- cnicas y otros ensayos relacionados con el desarrollo de la mecnica de materiales. 3.1 Ensayos de tensin y compresin La resistencia de un material depende de su capacidad para soportar una carga excesiva sin presentar deformacin o falla. Esta propiedad es inhe- rente al propio material y debe determinarse mediante la experimentacin. Una de las pruebas ms importantes a este respecto es el ensayo de tensin o compresin. Aunque a partir de esta prueba se pueden establecer varias propiedades mecnicas importantes de un material, se utiliza principal- mente para determinar la relacin entre el esfuerzo normal promedio y la deformacin normal promedio en muchos materiales de ingeniera como metales, cermicas, polmeros y materiales compuestos. 1 Para simplificar, en el resto del libro nos referiremos a la deformacin unitaria slo como deformacin. Capitulo 03_Hibeeler.indd 81 13/1/11 19:36:27 101. 82 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cartula de carga controles del motor y de la carga cabezal superior mvil probeta de tensin Figura 3-2 L0 2 pulg d0 0.5 pulg Figura 3-1 Para realizar un ensayo de tensin o compresin, se fabrica una probe- ta del material con forma y tamao estndar. La probeta tiene una sec- cin transversal circular constante con extremos ms grandes, de modo que la falla no se produzca en las empuaduras. Antes de realizar el en- sayo, con la ayuda de un punzn, se hacen dos pequeas marcas sobre la longitud uniforme de la probeta. Se hacen mediciones tanto del rea de la seccin transversal inicial de la probeta, A0 , como de la longitud cali- brada L0 entre las marcas. Por ejemplo, cuando se utiliza una probeta de metal en un ensayo de tensin, por lo general sta tiene un dimetro ini- cial d0 = 0.5 pulg (13 mm) y una longitud calibrada L0 = 2 pulg (50 mm), figura 3-1. A fin de aplicar una carga axial sin que la probeta se flexione, los extremos suelen asentarse en las juntas de rtula. Despus se utiliza una mquina de ensayos como la que aparece en la figura 3-2 para esti- rar la probeta a una velocidad lenta y constante hasta que sta falla. La mquina est diseada para leer la carga que se requiere para mantener este estiramiento uniforme. Durante la prueba se registran los datos de la carga aplicada P a in- tervalos frecuentes, la informacin se lee en la pantalla de la mquina o se toma de un lector digital. Adems, se mide el alargamiento d = L - L0 entre las marcas hechas en la probeta utilizando un calibrador o bien un dispositivo ptico o mecnico llamado extensmetro. Este valor de d (delta) se utiliza para calcular la deformacin normal promedio en la probeta. Sin embargo, en ocasiones esta medida no se toma porque tam- bin es posible leer la deformacin de manera directa mediante un me- didor de deformacin de resistencia elctrica similar al que se muestra en la figura 3-3. La operacin de este medidor se basa en el cambio en la resistencia elctrica de un alambre u hoja de metal muy delgada que se encuentra bajo deformacin. En esencia, el medidor se adhiere o cemen- ta a lo largo de la probeta. Si el pegamento es muy fuerte en compara- cin con el medidor, entonces ste formar en efecto parte integral de la probeta, de modo que cuando la muestra se deforma en la direccin del medidor, el alambre y la probeta experimentarn la misma deformacin. Al medir la resistencia elctrica del alambre, el medidor puede calibrarse para leer los valores de deformacin normal de manera directa. Figura 3-2 Figura 3-3 Figura 3-1 Probeta de acero tpica con un medidor (galga) de deformacin cementado. Medidor de deformacin de resistencia elctrica Capitulo 03_Hibeeler.indd 82 13/1/11 19:36:33 102. 3.2Diagrama de esfuerzo-deformacin 83 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.2 Diagrama de esfuerzo-deformacin Para la realizacin de los ensayos, no es posible preparar una probeta que coincida con los tamaos A0 y L0 de cada elemento estructural. En su lu- gar, los resultados de los ensayos deben reportarse de manera que puedan aplicarse a un elemento de cualquier tamao. Para lograr este objetivo, los datos de la carga y la deformacin correspondiente se utilizan para cal- cular distintos valores del esfuerzo y las correspondientes deformaciones en la probeta. La representacin grfica de los resultados produce una curva llamada diagrama esfuerzo-deformacin. Por lo general, hay dos maneras de describir este diagrama. Diagrama esfuerzo-deformacin convencional. Se puede determinar el esfuerzo nominal o de ingeniera al dividir la carga aplicada P entre el rea A0 de la seccin transversal original de la probeta. En este clculo se supone que el esfuerzo es constante en la seccin transversal y en toda la longitud calibrada. Se tiene Del mismo modo, la deformacin nominal o de ingeniera se determina de manera directa al leer el medidor de deformacin, o al dividir el cambio d en la longitud calibrada de la probeta entre la longitud calibrada original L0 de la probeta. Aqu se supone que la deformacin es constante a lo largo de la regin entre los puntos marcados. Por lo tanto, Si los valores correspondientes de s y P se trazan de manera que el eje vertical sea el esfuerzo y el eje horizontal sea la deformacin, la curva re- sultante se llama diagrama de esfuerzo-deformacin convencional. Sin embargo, tenga en cuenta que dos diagramas de esfuerzo-deformacin para un material particular sern muy similares pero nunca exactamente iguales. Esto se debe a que los resultados en realidad dependen de varia- bles tales como la composicin del material, imperfecciones microscpi- cas, la forma en que se fabrica, la rapidez con que se aplica la carga y la temperatura durante la realizacin del ensayo. A continuacin se analizarn las caractersticas de la curva de esfuer- zo-deformacin convencional para el acero, un material que se usa de manera frecuente para fabricar elementos estructurales y mecnicos. Empleando el mtodo descrito con anterioridad, el diagrama de esfuer- zo-deformacin caracterstico para el ensayo de acero es el que se mues- tra en la figura 3-4. A partir de esta curva se pueden identificar cuatro diferentes formas en que se comporta el material, en funcin de la defor- macin inducida en ste. (3-1)s = P A0 (3-2)P = d L0 Capitulo 03_Hibeeler.indd 83 13/1/11 19:36:33 103. 84 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Comportamiento elstico. El comportamiento elstico del material se produce cuando las deformaciones en la probeta estn dentro de la re- gin triangular (en gris claro) que se muestra en la figura 3-4. Aqu la curva es en realidad una lnea recta en la mayor parte de la regin, de modo que el esfuerzo es proporcional a la deformacin. Se dice que el material con- tenido en esta regin es elstico lineal. El lmite superior del esfuerzo para esta relacin lineal se denomina lmite de proporcionalidad, spl . Si el es- fuerzo excede ligeramente el lmite de proporcionalidad, la curva tiende a doblarse y aplanarse como se muestra en la figura. Esto contina hasta que el esfuerzo alcanza el lmite elstico. En este punto, si se retira la carga, la probeta recuperar de nuevo su forma original. Sin embargo, el lmite elstico para el acero se determina en muy pocas ocasiones, debido que se encuentra muy prximo al lmite de proporcionalidad y, por lo tanto, es muy difcil de detectar. Cedencia. Un ligero aumento en el esfuerzo por encima del lmite elstico generar un rompimiento del material y ocasionar que ste se deforme de manera permanente. Este comportamiento se denomina ce- dencia, y est indicado por la regin rectangular (adyacente a la regin triangular) de la curva. El esfuerzo que causa la cedencia se llama esfuerzo de cedencia o punto de cedencia, sY , y la deformacin que se produce se denomina deformacin plstica. Aunque no se muestra en la figura 3-4, para los aceros al bajo carbono o aceros laminados en caliente, el punto de cedencia suele caracterizarse mediante dos valores. El punto de cedencia superior ocurre primero, seguido de una disminucin sbita de la capa- cidad de carga hasta el punto de cedencia inferior. Observe que despus de haber alcanzado el punto de cedencia, la probeta seguir alargndose (deformndose) sin ningn incremento en la carga, como se muestra en la figura 3-4. Con frecuencia, cuando el material se encuentra en este estado se dice que es perfectamente plstico. Figura 3-4 regin elstica cedencia endurecimiento por deformacin estriccin compor- tamiento elstico comportamiento plstico esfuerzo ltimo esfuerzo de fractura verdadero esfuerzo de fractura Diagramas de esfuerzo-deformacin convencional y verdadero para un material dctil (acero) (no se presenta a escala) P sf sf sY spl su s lmite de proporcionalidad Figura 3-4 lmite elstico esfuerzo de cedencia Capitulo 03_Hibeeler.indd 84 13/1/11 19:36:34 104. 3.2Diagrama de esfuerzo-deformacin 85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Endurecimiento por deformacin. Cuando termina la cedencia, la probeta puede soportar un aumento de la carga, lo que resulta en una cur- va que asciende continuamente pero que se vuelve ms plana hasta llegar a un esfuerzo mximo conocido como esfuerzo ltimo, su . Este incremen- to en la curva se llama endurecimiento por deformacin y se identifica en la figura 3-4 como la regin curva ms clara. Estriccin. Mientras la probeta se alarga hasta llegar al esfuerzo lti- mo, el rea de su seccin transversal se reduce. Esta reduccin es bastante uniforme en toda la longitud calibrada de la probeta; sin embargo, justo despus del esfuerzo ltimo, el rea de la seccin transversal comenzar a disminuir en una regin localizada de la probeta. En consecuencia, suele formarse una constriccin o cuello en dicha regin a medida que la pro- beta se alarga an ms, figura 3-5a. En la figura 3-4, esta regin, debido a la estriccin, se indica en un tono ms oscuro al final de la curva. Aqu el diagrama esfuerzo-deformacin tiende a curvarse hacia abajo hasta que la probeta se rompe en el esfuerzo de fractura, sf , figura 3-5b. Diagrama esfuerzo-deformacin verdadero. En lugar de emplear siempre el rea de la seccin transversal y la longitud originales de la probeta para calcular el esfuerzo y la deformacin (de ingeniera), se podra utilizar el rea de la seccin transversal y la longitud reales de la probeta en el instante en que se mide la carga. Los valores de esfuerzo y deformacin encontrados en estas mediciones se denominan esfuerzo verdadero y deformacin verdadera, y una grfica de sus valores se llama diagrama de esfuerzo-deformacin verdadero. Este diagrama tiene la for- ma mostrada por una lnea discontinua en la figura 3-4. Observe que los diagramas s-P convencional y verdadero son prcticamente coincidentes cuando la deformacin es pequea. Las diferencias entre los diagramas comienzan a aparecer en el rango de endurecimiento por deformacin, donde la magnitud de la deformacin se vuelve ms significativa. En par ticular, existe una amplia divergencia dentro de la regin de estriccin. Aqu puede verse en el diagrama s-P convencional que la probeta real- mente soporta una carga decreciente, ya que A0 es constante en el clculo del esfuerzo de ingeniera, s = P>A0 . Sin embargo, en el diagrama s-P verdadero, el rea real A dentro de la regin de estriccin siempre es de- creciente hasta la fractura, sf , por lo que el material soporta en realidad un esfuerzo creciente, ya que s = P>A. Patrn de estriccin tpico que ocurre en una probeta de acero justo antes de la frac- tura. En esta probeta de acero se observa con claridad la estriccin que ocurre justo an- tes de su falla. Lo anterior ocasiona una fractura tpica de copa y cono, la cual es caracterstica de los materiales dctiles. Figura 3-5 Patrn de estriccin tpico que ocurre en una probeta de acero justo antes de la fractura. En esta probeta de acero se observa con cla- ridad la estriccin que ocurre justo antes de su falla. Lo anterior ocasiona una fractura tpica de copa y cono, la cual es caracterstica de los materiales dctiles. Estriccin Falla de un material dctil Figura 3-5 (b)(a) Capitulo 03_Hibeeler.indd 85 13/1/11 19:36:35 105. 86 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Aunque los diagramas de esfuerzo-deformacin verdadero y conven- cional son diferentes, la mayor parte del diseo de ingeniera se hace para que el material soporte un esfuerzo dentro del rango elstico. Lo anterior es para que la deformacin del material no sea muy severa y ste recupere su forma al retirarse la carga. La deformacin verdade- ra hasta el lmite elstico permanecer lo suficientemente pequea para que el error al usar valores de ingeniera de s y P sea pequeo (aproxi- madamente 0.1 por ciento) en comparacin con sus valores verdaderos. sta es una de las principales razones por las que se usan diagramas de esfuerzo-deformacin convencionales. Los conceptos anteriores se pueden resumir haciendo referencia a la figura 3-6, donde se muestra un diagrama de esfuerzo-deformacin con- vencional real para una probeta de acero de bajo carbono. Con el fin de destacar los detalles, la regin elstica de la curva se muestra en un tono gris usando una escala de deformacin exagerada, que se muestra en el mismo tono gris. Al evaluar el comportamiento, se observa que el lmite de proporcionalidad se alcanza en spl = 35 ksi (241 MPa), donde Ppl = 0.0012 pulg>pulg, seguido de un punto de cedencia superior de (sY )u = 38 ksi (262 MPa), despus se presenta el punto de cedencia inferior (sY )l = 36 ksi (248 MPa). El fin de la cedencia se produce con una deformacin PY = 0.030 pulg>pulg, que es 25 veces mayor a la deformacin en el lmite de proporcionalidad! A continuacin, la probeta experimenta endureci- miento por deformacin hasta llegar al esfuerzo ltimo su = 63 ksi (434 MPa), despus comienza a presentarse la estriccin hasta que se produce una fractura, sf = 47 ksi (324 MPa). Por comparacin, la deformacin a la falla, Pf = 0.380 pulg>pulg, es 317 veces mayor que Ppl ! Figura 3-6 0.10 0.20 0.30 0.40 0.001 0.002 0.003 0.004 0.050 Diagrama de esfuerzo-deformacin para el acero de bajo carbono 50 40 30 20 10 60 su 63 s(ksi) P (pulg/pulg) Ppl 0.0012 PY 0.030 Pf 0.380 spl 35 sf 47 (sY)u 38 (sY)l 36 Figura 3-6 Capitulo 03_Hibeeler.indd 86 13/1/11 19:36:36 106. 3.3Comportamiento esfuerzo-deformacin en materiales dctiles y frgiles 87 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.3Comportamiento esfuerzo-deformacin en materiales dctiles y frgiles Los materiales pueden clasificarse como dctiles o frgiles en funcin de sus caractersticas esfuerzo-deformacin. Materiales dctiles. Cualquier material que pueda someterse a grandes deformaciones antes de fracturarse se denomina material dctil. El acero de bajo carbono, como se ha dicho anteriormente, es un ejemplo tpico. Los ingenieros suelen elegir materiales dctiles para el diseo por- que son capaces de absorber los impactos o la energa, y si se sobrecargan, por lo general presentan grandes deformaciones antes de fallar. Una manera de especificar la ductilidad de un material es registrar su porcentaje de elongacin o porcentaje de reduccin en rea al momento de la fractura. El porcentaje de elongacin es la deformacin a la fractu- ra expresada en porcentaje. Por lo tanto, si la longitud calibrada original de la probeta es L0 y su longitud a la fractura es Lf , entonces Figura 3-7 Aqu A0 es el rea original de la seccin transversal de la probeta y Af es el rea del cuello en el momento de la ruptura. El acero de bajo carbono tiene un valor tpico de 60 por ciento. Adems del acero, otros metales como el bronce, el molibdeno y el zinc pueden presentar caractersticas dctiles similares, puesto que tambin experimentan un comportamiento elstico esfuerzo-deformacin, ceden a un esfuerzo constante, presentan endurecimiento por deformacin y, final- mente, se produce en ellos una estriccin hasta la fractura. Sin embargo, en la mayora de los metales la cedencia constante no se producir ms all del rango elstico. Un metal en el que se presenta esta situacin es el alu- minio. En realidad, el aluminio no suele tener un punto de cedencia bien definido, por lo que la prctica aceptable consiste en definir una resistencia a la cedencia mediante un procedimiento grfico llamado mtodo de co- rrimiento. Por lo general, se elige una deformacin de 0.2 por ciento (0.002 pulg>pulg) y desde este punto sobre el eje P se dibuja una lnea paralela a la porcin inicial recta del diagrama esfuerzo-deformacin. El punto donde esta lnea interseca a la curva define la resistencia a la cedencia. En la figu- ra 3-7 se muestra un ejemplo de la construccin de una grfica para deter- minar la resistencia a la cedencia de una aleacin de aluminio. Aqu puede observarse que la resistencia a la cedencia es sYS = 51 ksi (352 MPa). (3-3)Porcentaje de elongacin = Lf - L0 L0 1100%2 Como se observa en la figura 3-6, dado que Pf = 0.380, este valor sera de 38 por ciento para una probeta de acero de bajo carbono. Otra manera de especificar la ductilidad es el porcentaje de reduccin de rea. Est definida dentro de la regin de estriccin de la siguiente manera: (3-4)Porcentaje de reduccin de rea = A0 - Af A0 1100%2 50 40 30 20 10 0.005 0.010 0.002 (corrimiento 0.2%) 60 Resistencia a la cedencia para una aleacin de aluminio sYS 51 P (pulg/ pulg) s (ksi) Capitulo 03_Hibeeler.indd 87 13/1/11 19:36:37 107. 88 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Debe tenerse en cuenta que la resistencia a la cedencia no es una pro- piedad fsica del material, ya que se trata de un esfuerzo que causa una deformacin permanente especfica en dicho material. Sin embargo, en este libro se asumir que la resistencia a la cedencia, el punto de cedencia, el lmite elstico y el lmite de proporcionalidad coinciden a menos que se indique lo contrario. Una excepcin podra ser la del caucho natural, que incluso no tiene un lmite de proporcionalidad porque el esfuerzo y la deformacin no estn linealmente relacionados. En vez de eso, como se muestra en la figura 3-8, este material, conocido como un polmero, pre- senta un comportamiento elstico no lineal. La madera suele ser un material moderadamente dctil, por ello se encuentra en diseos que responden slo a cargas elsticas. Las caracte- rsticas de resistencia de la madera varan mucho de una especie a otra, y en cada una de ellas la resistencia depende del contenido de humedad, de la edad y del tamao, y de la disposicin de los nudos en la madera. Como ste es un material fibroso, sus caractersticas de tensin o compresin son muy diferentes cuando est cargado en forma paralela o perpen dicular al grano. De manera especfica, la madera se parte con mayor facilidad cuando est cargada en tensin perpendicular a su grano y, por consiguiente, las cargas de tensin estn casi siempre destinadas a apli- carse paralelas al grano de los elementos de madera. El concreto utilizado para fines estructu- rales debe probarse de forma rutinaria a compresin para asegurar que proporcio- na la resistencia de diseo necesaria para esta base de puente. Despus de curarlos durante 30 das, los cilindros de concreto mostrados se prueban a compresin hasta el esfuerzo ltimo. 2.0 1.5 1.0 0.5 2 4 6 8 10 s (ksi) P (pulg/pulg) Diagrama s-P para el caucho natural Figura 3-8 Diagrama s-P para el hierro fundido gris 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 20 0.01 40 60 80 100 120 20 B A C sf 22 s (ksi) P (pulg/pulg) Figura 3-9 Capitulo 03_Hibeeler.indd 88 13/1/11 19:36:38 108. 3.3 comportamiEnto EsfuErzo-dEformacin En matErialEs dctilEs y frgilEs 89 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Materiales frgiles. Los materiales que no presentan cedencia, o que exhiben una muy pequea, antes de la falla se conocen como mate- riales frgiles. El hierro fundido gris es un ejemplo, tiene un diagrama de esfuerzo-deformacin en tensin como el mostrado en la porcin AB de la curva de la figura 3-9. Aqu, la fractura en sf = 22 ksi (152 MPa) tuvo lugar inicialmente en una imperfeccin o grieta microscpica y luego se propag con rapidez a travs de la probeta, lo que caus una fractura completa. Como la aparicin de grietas iniciales en una probeta es bastante aleatoria, los materiales frgiles no tienen un esfuerzo de fractura a la tensin bien definido. En cambio, generalmente se reporta el esfuerzo de fractura a la tensin promedio en un conjunto de ensayos observados. En la figura 3-10a se muestra la imagen tpica de una probeta que fall. En comparacin con su comportamiento en tensin, los materiales frgiles como el hierro fundido gris presentan una resistencia mucho ma- yor a la compresin axial, as lo evidencia la porcin AC de la curva de la figura 3-9. Para este caso, cualquier grieta o imperfeccin en la probeta tiende a cerrarse y, a medida que la carga aumenta, el material suele ex- pandirse o tomar forma de barril mientras las deformaciones se vuelven mayores, figura 3-10b. Al igual que el hierro fundido gris, el concreto se clasifica como un material frgil y tambin tiene una capacidad baja de resistencia a la ten- sin. Las caractersticas de su diagrama de esfuerzo-deformacin depen- den en gran medida de la mezcla de concreto (agua, arena, grava y ce- mento) y el tiempo y temperatura de curado. En la figura 3-11 se muestra un ejemplo tpico de un diagrama de esfuerzo-deformacin completo para el concreto. Por inspeccin, su resistencia mxima a la compresin es casi 12.5 veces superior a su resistencia a la tensin, 1sc 2mx = 5 ksi 134.5 MPa2 frente a 1st 2mx = 0.40 ksi 12.76 MPa2. Por esta razn, el con- creto casi siempre se refuerza con barras o varillas de acero cuando est diseado para soportar cargas de tensin. Puede establecerse de manera general que la mayora de los materia- les presentan comportamiento dctil y frgil. Por ejemplo, el acero tiene un comportamiento frgil cuando tiene un alto contenido de carbono y dctil cuando el contenido de carbono es reducido. Asimismo, a bajas temperaturas los materiales se vuelven ms duros y frgiles, mientras que cuando la temperatura se eleva se vuelven ms blandos y dctiles. Este efecto se muestra en la figura 3-12 para el plstico metacrilato. El acero pierde rpidamente su resistencia cuando se calienta. Por esa razn los in- genieros suelen exigir que los principales elementos estructurales se aslen en caso de incendio. (a) Falla por tensin de un material frgil (b) La compresin ocasiona que el material se expanda Figura 3-10 0.00050 2 2 4 6 0.00250.00200.00150.00100.0005 P (pulg/pulg) 0.0030 (st)mx 0.4 (sc)mx 5 Diagrama s-P para una mezcla tpica de concreto s (ksi) Figura 3-11 Figura 3-10 Figura 3-11 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 1 2 3 4 5 6 7 8 9 40 F 110 F 160 F Diagramas s-P para un plstico metacrilato s (ksi) P (pulg/ pulg) Figura 3-12 55 66 El acero pierde rpidamente su resistencia Capitulo 03_Hibeeler.indd 89 13/1/11 19:36:40 109. 90 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.4 Ley de Hooke Como se seal en la seccin anterior, los diagramas de esfuerzo-deforma- cin para la mayora de los materiales de ingeniera presentan una relacin lineal entre el esfuerzo y la deformacin dentro de la regin elstica. En consecuencia, un incremento en el esfuerzo ocasiona un aumento propor- cional en la deformacin. Este hecho fue descubierto por Robert Hooke en 1676 mediante el uso de resortes y se conoce como la ley de Hooke. Puede expresarse en forma matemtica como Aqu E representa la constante de proporcionalidad, que se denomina m- dulo de elasticidad o mdulo de Young, llamado as por Thomas Young quien public un estudio sobre l en 1807. La ecuacin 3-5 en realidad representa la ecuacin de la porcin recta inicial del diagrama de esfuerzo-deformacin hasta el lmite de propor- cionalidad. Por otra parte, el mdulo de elasticidad representa la pen- diente de esta recta. Como la deformacin es adimensional, a partir de la ecuacin 3-5, E tendr las mismas unidades que el esfuerzo: psi, ksi o pascales. Como ejemplo de su clculo, considere el diagrama de esfuer- zo-deformacin para el acero que se muestra en la figura 3-6. Aqu, spl = 35 ksi y Ppl = 0.0012 pulg>pulg, de modo que Como se muestra en la figura 3-13, el lmite de proporcionalidad para un tipo particular de aleacin de acero depende de su contenido de car- bono; sin embargo, la mayor parte de los grados de acero, desde el acero (3-5)s = EP E = spl Ppl = 35 ksi 0.0012 pulg>pulg = 291103 2 ksi 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 160 140 120 100 80 60 40 20 180 acero estructural (0.2% de carbono) acero suave (0.1% de carbono) acero de mquina (0.6% de carbono) acero duro (0.6% de carbono) tratado trmicamente acero de resorte (1% de carbono) s (ksi) P (pulg/pulg) Figura 3-13 Capitulo 03_Hibeeler.indd 90 13/1/11 19:36:41 110. 3.4Ley de Hooke 91 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 laminado ms blando hasta el acero ms duro para herramientas, tienen casi el mismo mdulo de elasticidad, en general aceptado como Eac = 29(103 ) ksi o bien 200 GPa. Los valores de E para otros materiales de ingeniera comnmente usados se tabulan con frecuencia en los cdigos de ingeniera y libros de referencia. Los valores representativos tambin se presentan en la pgina final de este libro (al reverso de la contraporta- da). Vale la pena destacar que el mdulo de elasticidad es una propiedad mecnica que indica la rigidez de un material. Los materiales que son muy rgidos, como el acero, tienen grandes valores de E [Eac = 29(103 ) ksi o 200 GPa], mientras que los materiales esponjosos, como el caucho vulcanizado, pueden tener valores bajos [Ec = 0.10 ksi o 0.70 MPa]. El mdulo de elasticidad es una de las propiedades mecnicas ms importantes que se utilizan en el desarrollo de las ecuaciones que se pre- sentan en este libro. Sin embargo, siempre se debe recordar que E puede utilizarse slo si el material tiene un comportamiento elstico lineal. Ade- ms, si la tensin en el material es mayor que el lmite de proporcionali- dad, el diagrama de esfuerzo-deformacin deja de ser una lnea recta y la ecuacin 3-5 ya no es vlida. Endurecimiento por deformacin. Si una probeta de material dctil como el acero se carga en la regin plstica y despus se descarga, la deformacin elstica se recupera a medida que el material regresa a su estado de equilibrio. Sin embargo, la deformacin plstica permanece y en consecuencia el material presenta una deformacin permanente. Por ejemplo, cuando un alambre se dobla (plsticamente) rebotar un poco (elsticamente) cuando se retire la carga; sin embargo, no regresar en su totalidad a su posicin original. Este comportamiento se puede ilustrar en el diagrama de esfuerzo-deformacin de la figura 3-14a. Aqu la probeta primero se carga ms all de su punto de cedencia A hasta el punto A. Como las fuerzas interatmicas deben superarse para alargar elsticamen- te la probeta, entonces estas mismas fuerzas jalan de nuevo los tomos hacia su posicin original cuando se retira la carga, figura 3-14a. En conse- cuencia, el mdulo de elasticidad E es el mismo y, por ende, la pendiente de la lnea OA es igual a la de la lnea OA. Si la carga se vuelve a aplicar, los tomos en el material sern des- plazados de nuevo hasta que se produzca la cedencia en el esfuerzo A, o cerca de l, y el diagrama de esfuerzo-deformacin continuar en la misma trayectoria que antes, figura 3-14b. Sin embargo, debe sealarse que este nuevo diagrama de esfuerzo-deformacin, definido por OAB, ahora tiene un punto de ceden- cia mayor (A), a consecuencia del endurecimiento por defor- macin. En otras palabras, el material tiene ahora una regin elstica ms grande aunque tie- ne menos ductilidad, una regin plstica ms pequea, que cuan- do estaba en su estado original. Este pasador fue hecho con una aleacin de acero endurecido; es decir, tiene un alto contenido de carbono. Fall debido a la fractura por fragilidad. (b) OO regin elstica regin plstica A B P s Figura 3-14 (a) deformacin permanente recuperacin elstica regin elstica regin plstica carga descarga A A B OO E E s P Este pasador fue hecho con una aleacin de acero endurecido, es decir, que tiene un alto contenido de carbono. Fall debido a la fractura por fragilidad. Capitulo 03_Hibeeler.indd 91 13/1/11 19:36:42 111. 92 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.5 Energa de deformacin A medida que un material se deforma debido a una carga externa, tiende a almacenar energa internamente en todo su volumen. Como esta ener- ga se relaciona con las deformaciones del material, se denomina energa de deformacin. Para obtener esta energa de deformacin considere un elemento de volumen de material tomado de una probeta para ensayos a tensin. Se somete a un esfuerzo uniaxial como el mostrado en la figu- ra 3-15. Este esfuerzo desarrolla una fuerza F = sA = s(x y) en las caras superior e inferior del elemento despus de que el elemento de longitud z experimenta un desplazamiento vertical P z. Por definicin, el trabajo se determina mediante el producto de la fuerza por el despla- zamiento en la direccin de dicha fuerza. Como la fuerza se incrementa de manera uniforme desde cero hasta su magnitud final F cuando se ha alcanzado el desplazamiento P z, el trabajo realizado por la fuerza so- bre el elemento es igual a la magnitud promedio de fuerza (F>2) por el desplazamiento P z. Este trabajo externo sobre el elemento es equivalente al trabajo interno o energa de deformacin almacenada en el elemento, suponiendo que no se pierde energa en forma de calor. En consecuencia, la energa de deformacin U es U = (si 11 2 s x y2 P z.U = 11 2 F2 P z =U F) P z = (si 11 2 s x y2 P z.U = 11 2 F2 P z =U s x y) P z. Como el volumen del elemento es V = x y z, entonces U =si 11 2 s x y2 P z.U = 11 2 F2 P z =U sP V. En ciertas aplicaciones, resulta conveniente especificar la energa de deformacin por unidad de volumen del material. Esto se llama densi- dad de la energa de deformacin y puede expresarse como Si el comportamiento del material es elstico lineal, entonces se aplica la ley de Hooke, s = EP, y es posible expresar la densidad de la energa de deformacin elstica en trminos del esfuerzo uniaxial como Mdulo de resiliencia. En particular, cuando el esfuerzo s alcanza el lmite de proporcionalidad, la densidad de la energa de deformacin calculada mediante la ecuacin 3-6 o 3-7 se conoce como el mdulo de resiliencia, es decir, A partir de la regin elstica del diagrama de esfuerzo-deformacin, figura 3-16a, observe que ur es equivalente al rea triangular sombreada bajo el diagrama. Fsicamente, la resiliencia de un material representa su capaci- dad de absorber la energa sin experimentar ningn tipo de dao perma- nente. (3-6)u = U V = 1 2 sP (3-7)u = 1 2 s2 E (3-8)ur = 1 2 splPpl = 1 2 spl 2 E x s s y z Figura 3-15 ur Mdulo de resiliencia ur (a) Figura 3-16 Ppl spl s P Capitulo 03_Hibeeler.indd 92 13/1/11 19:36:44 112. 3.5 Energa de deformacin 93 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Mdulo de tenacidad. Otra propiedad importante de un material es el mdulo de tenacidad, ut . Esta cantidad representa toda el rea bajo el diagrama de esfuerzo-deformacin, figura 3-16b y, por lo tanto, indica la densidad de la energa de deformacin del material justo antes de fractu- rarse. Esta propiedad se vuelve importante en el diseo de elementos que se pueden sobrecargar de manera accidental. La aleacin de metales tam- bin puede cambiar su resiliencia y tenacidad. Por ejemplo, al modificar el porcentaje de carbono en el acero, los diagramas de esfuerzo-deformacin resultantes de la figura 3-17 muestran cmo pueden cambiarse los grados de resiliencia y tenacidad. Puntos importantes Un diagrama de esfuerzo-deformacin convencional es importan- te en ingeniera porque proporciona un medio para obtener datos acerca de la resistencia a la tensin o a la compresin de un material independientemente de su tamao fsico o forma. El esfuerzo y la deformacin de ingeniera se calculan usando el rea de la seccin transversal y la longitud calibrada originales de la probeta. Un material dctil, como el acero de bajo carbono, tiene cuatro dis- tintos comportamientos cuando se somete a una carga. stos son el comportamiento elstico, la cedencia, el endurecimiento por deforma- cin y la estriccin. Un material es elstico lineal si el esfuerzo es proporcional a la defor- macin dentro de la regin elstica. Este comportamiento est des- crito por la ley de Hooke, s = EP, donde el mdulo de elasticidad E es la pendiente de la lnea. Los puntos ms importantes en el diagrama de esfuerzo-deformacin son el lmite de proporcionalidad, el lmite elstico, el esfuerzo de ce- dencia, el esfuerzo ltimo y esfuerzo de fractura. La ductilidad de un material puede especificarse mediante el porcenta- je de elongacin o el porcentaje de reduccin de rea de la probeta. Si un material no tiene un punto de cedencia definido, se puede espe- cificar una resistencia a la cedencia mediante un procedimiento grfi- co como el mtodo de corrimiento. Los materiales frgiles, como el hierro fundido gris, no tienen una ceden- cia o es muy pequea por lo que pueden fracturarse de manera sbita. El endurecimiento por deformacin se utiliza para establecer un el punto de cedencia ms alto de un material. Esto se hace deformando el material ms all de su lmite elstico para despus liberarlo de la carga. El mdulo de elasticidad permanece igual; sin embargo, la ductilidad del material disminuye. La energa de deformacin es la energa almacenada en un material debido a su deformacin. Esta energa por unidad de volumen se de- nomina densidad de la energa de deformacin. Si se mide hasta el lmite de proporcionalidad, se conoce como el mdulo de resiliencia, y si se mide hasta el punto de fractura, se llama mdulo de tenacidad. Puede determinarse a partir del rea bajo el diagrama s-P. Esta probeta de nylon presenta un alto grado de tenacidad, como puede observar- se por la gran estriccin que ha ocurrido justo antes de la fractura. (b) ut Mdulo de tenacidad ut P s Figura 3-16 (cont.) acero suave (0.1% de carbono) el ms dctil acero duro (0.6% de carbono) el ms resistente acero estructural (0.2% de carbono) el ms tenaz P s Figura 3-17 Esta probeta de nylon presenta un alto grado de tenacidad, como puede observarse por la gran estriccin que ha ocurrido justo antes de la fractura. Capitulo 03_Hibeeler.indd 93 13/1/11 19:36:45 113. 94 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 3.1 Un ensayo de tensin para una aleacin de acero da como resultado el diagrama de esfuerzo-deformacin mostrado en la figura 3-18. Calcule el mdulo de elasticidad y la resistencia a la cedencia con base en un co- rrimiento del 0.2 por ciento. Identifique en la grfica el esfuerzo ltimo y el esfuerzo de fractura. SOLUCIN Mdulo de elasticidad. Debemos calcular la pendiente de la por- cin inicial en lnea recta de la grfica. Usando la curva magnificada y la escala mostrada en gris, esta lnea se extiende desde el punto O has- ta un punto estimado A, que tiene coordenadas aproximadas (0.0016 pulg>pulg, 50 ksi). Por lo tanto, Observe que la ecuacin de la lnea OA es, entonces, s = 31.2(103 )P. Resistencia a la cedencia. Para un corrimiento de 0.2 por ciento, se inicia con una deformacin de 0.2 por ciento o 0.0020 pulg>pulg y se extiende grficamente una lnea (discontinua) paralela a OA hasta que interseca a la curva s-P en A. La resistencia a la cedencia es aproxima- damente sYS = 68 ksi Resp. Esfuerzo ltimo. Se define mediante el pico de la grfica s-P, que es el punto B en la figura 3-18. su = 108 ksi Resp. Esfuerzo de fractura. Cuando la probeta se deforma hasta un mximo de Pf = 0.23 pulg>pulg, se fractura en el punto C. Por lo tanto, sf = 90 ksi Resp. sf 90 O 0.02 10 20 30 40 50 60 70 80 100 110 120 0.0004 0.04 0.0008 0.06 0.0012 0.08 0.0016 0.10 0.0020 0.12 0.0024 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.2% B C A E E A A P (pulg/pulg) su 108 sYS 68 Pf 0.23 s (ksi) Figura 3-18 Resp.E = 50 ksi 0.0016 pulg>pulg = 31.21103 2 ksi Capitulo 03_Hibeeler.indd 94 13/1/11 19:36:46 114. 3.5 Energa de deformacin 95 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 3.2 Del tringulo CBD requerimos Esta deformacin representa la cantidad de deformacin elstica recuperada. As que la deformacin permanente, POC , es Nota: Si las marcas de medicin en la probeta estaban en un principio separadas por 50 mm, despus de que la carga se retira, estas marcas estarn a una distancia de 50 mm + (0.0150)(50 mm) = 50.75 mm. Mdulo de resiliencia. Al aplicar la ecuacin 3-8, se tiene* NOTA: Por comparacin, el efecto del endurecimiento por deforma- cin del material ha ocasionado un aumento en el mdulo de resilien- cia; sin embargo, observe que el mdulo de tenacidad para el material ha disminuido porque el rea bajo la curva original, OABF, es mayor que el rea bajo la curva CBF. *En el Sistema Internacional de Unidades el trabajo se mide en joules, donde 1 J = 1 N # m. O 750 F 0.040.030.020.01 600 300 150 paralelas DC B A 0.023PY 0.006 sY 450 s (MPa) P (mm/mm) POC Figura 3-19 En la figura 3-19 se muestra el diagrama de esfuerzo-deformacin para una aleacin de aluminio utilizada en la fabricacin de partes de aero- naves. Si una probeta de este material se esfuerza hasta 600 MPa, deter- mine la deformacin permanente que queda en la probeta cuando sta se libera de la carga. Adems, encuentre el mdulo de resiliencia antes y despus de la aplicacin de la carga. SOLUCIN Deformacin permanente. Cuando la probeta se somete a la car- ga, se endurece por deformacin hasta que se alcanza el punto B en el diagrama s-P. La deformacin aproximada en este punto es 0.023 mm/ mm. Cuando se retira la carga, el material se comporta siguiendo la lnea recta BC, que es paralela a la lnea OA. Como ambas lneas tienen la misma pendiente, la deformacin en el punto C se puede determinar en forma analtica. La pendiente de la lnea OA es el mdulo de elasti- cidad, es decir, E = 450 MPa 0.006 mm>mm = 75.0 GPa ; CD = 0.008 mm>mm 75.01109 2 Pa = 6001106 2 Pa CD E = BD CD Resp.= 0.0150 mm>mm POC = 0.023 mm>mm - 0.008 mm>mm Resp. Resp.= 2.40 MJ>m3 1ur2final = 1 2 splPpl = 1 2 1600 MPa210.008 mm>mm2 = 1.35 MJ>m3 1ur2inicial = 1 2 splPpl = 1 2 1450 MPa210.006 mm>mm2 Capitulo 03_Hibeeler.indd 95 13/1/11 19:36:48 115. 96 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 3.3 La barra de aluminio que se muestra en la figura 3-20a tiene una seccin transversal circular y est sometida a una carga axial de 10 kN. Segn la porcin del diagrama de esfuerzo-deformacin que se muestra en la figura 3-20b, determine la elongacin aproximada de la barra cuando se aplica la carga. Considere que Eal = 70 GPa. SOLUCIN Para el anlisis no se tomarn en cuenta las deformaciones localizadas en el punto de aplicacin de la carga y donde la seccin transversal de la barra cambia de manera repentina. (Estos efectos se analizarn en las secciones 4.1 y 4.7.) El esfuerzo normal y la deformacin son uniformes a travs de la seccin media de cada segmento. Para encontrar la elongacin de la barra, primero se debe obtener la deformacin. Esto se realiza mediante el clculo del esfuerzo, para despus usar el diagrama de esfuerzo-deformacin. El esfuerzo nor- mal dentro de cada segmento es Con base en el diagrama de esfuerzo-deformacin, el material en el segmento AB se deforma elsticamente puesto que sAB 6 sY = 40 MPa. Mediante la ley de Hooke, El material dentro del segmento BC se deforma plsticamente, puesto que sBC 7 sY = 40 MPa. A partir de la grfica, para sBC = 56.59 MPa, PBC L 0.045 mm>mm. Por lo tanto, la elongacin aproximada de la barra es (a) 600 mm 400 mm 15 mm20 mm A B C 10 kN 10 kN Figura 3-20 60 50 30 20 10 O 0.02 0.04 0.06 F 56.6 sY 40 s (MPa) PBC 0.0450 (b) PAB = sAB Eal = 31.831106 2 Pa 701109 2 Pa = 0.0004547 mm>mm Resp.= 18.3 mm d = PL = 0.00045471600 mm2 + 0.04501400 mm2 sBC = P A = 101103 2 N p10.0075 m22 = 56.59 MPa sAB = P A = 101103 2 N p10.01 m22 = 31.83 MPa Capitulo 03_Hibeeler.indd 96 13/1/11 19:36:50 116. 3.5 Energa de deformacin 97 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas fundamentales F3-1. Defina material homogneo. F3-2. Indique los puntos en el diagrama de esfuerzo-defor- macin que representan el lmite de proporcionalidad y el esfuerzo ltimo. F3-10. El material para la probeta de 50 mm de largo tiene el diagrama de esfuerzo-deformacin mostrado en la figura. Si P = 100 kN, determine la elongacin de la probeta. F3-11. El material para la probeta de 50 mm de largo tiene el diagrama de esfuerzo-deformacin mostrado en la figura. Si se aplica la carga P = 150 kN y despus se retira, determi- ne la elongacin permanente de la probeta. F3-3. Defina el mdulo de elasticidad E. F3-4. A temperatura ambiente, el acero de bajo carbono es un material dctil. Verdadero o falso? F3-5. El esfuerzo y la deformacin de ingeniera se calcu- lan utilizando el rea de la seccin transversal y la longitud reales de la probeta. Verdadero o falso? F3-6. A medida que la temperatura aumenta, el mdulo de elasticidad se incrementa. Verdadero o falso? F3-7. Una barra de 100 mm de longitud tiene un dimetro de 15 mm. Si se aplica una carga axial a tensin de 100 kN, determine el cambio en su longitud. E = 200 GPa. F3-8. Una barra tiene una longitud de 8 pulg y un rea de seccin transversal de 12 pulg2 . Determine el mdulo de elasticidad de su material si est sometido a una carga axial a tensin de 10 kip y se estira 0.003 pulg. El material tiene un comportamiento elstico lineal. F3-9. Una barra de latn de 10 mm de dimetro tiene un mdulo de elasticidad de E = 100 GPa. Si tiene una longitud de 4 m y est sometida a una carga axial a tensin de 6 kN, determine su elongacin. F3-12. Si la elongacin del alambre BC es de 0.2 mm des- pus de aplicar la fuerza P, determine la magnitud de P. El alambre es de acero A-36 y tiene un dimetro de 3 mm. A B C E P D s F3-2 A B C 400 mm 200 mm 300 mm P F3-12 P P 450 0.00225 0.03 P (mm/mm) 500 20 mms (MPa) F3-10/11 Capitulo 03_Hibeeler.indd 97 13/1/11 19:37:13 117. 98 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 3-1. Un cilindro de concreto que tiene un dimetro de 6.00 pulg y una longitud calibrada de 12 pulg se prueba a compresin. Los resultados del ensayo se reportan en la ta- bla de carga y contraccin. Dibuje el diagrama de esfuerzo- deformacin mediante escalas de 1 pulg = 0.5 ksi y 1 pulg = 0.2 (10-3 ) pulg>pulg. A partir del diagrama, determine el mdulo de elasticidad aproximado. *3-4. Un ensayo de tensin se realiz con una probeta que tena un dimetro original de 12.5 mm y una longitud calibra- da de 50 mm. Los datos se presentan en la tabla. Grafique el diagrama de esfuerzo-deformacin y determine aproxima- damente el mdulo de elasticidad, el esfuerzo ltimo y el esfuerzo de fractura. Utilice una escala de 20 mm = 50 MPa y 20 mm = 0.05 mm>mm. Trace de nuevo la regin elstica lineal, usando la misma escala de esfuerzo pero con una es- cala de deformacin de 20 mm = 0.001 mm>mm. 3-5. Un ensayo de tensin se realiz con una probeta de acero que tena un dimetro original de 12.5 mm y una longitud calibrada de 50 mm. Usando los datos que se pre- sentan en la tabla, grafique el diagrama de esfuerzo-defor- macin y determine aproximadamente el mdulo de tena- cidad. Utilice una escala de 20 mm = 50 MPa y 20 mm = 0.05 mm>mm. 3-2. En la tabla se presentan datos tomados de un ensayo de esfuerzo-deformacin para cierta cermica. La curva es lineal entre el origen y el primer punto. Grafique el diagra- ma y determine el mdulo de elasticidad y el mdulo de re- siliencia. 3-3. En la tabla se presentan datos tomados de un ensayo de esfuerzo-deformacin para cierta cermica. La curva es lineal entre el origen y el primer punto. Grafique el diagra- ma y determine el mdulo de tenacidad aproximado. El es- fuerzo de ruptura es sr = 53.4 ksi. 3-6. Una probeta tiene en un principio una longitud de 1 pie, un dimetro de 0.5 pulg y est sometida a una fuerza de 500 lb. Cuando la fuerza se incrementa de 500 a 1800 lb, la probeta se alarga 0.009 pulg. Determine el mdulo de elas- ticidad para el material si ste se mantiene elstico lineal. 3-7. Un elemento estructural de un reactor nuclear est fa- bricado de cierta aleacin de circonio. Si el elemento debe soportar una carga axial de 4 kips, determine el rea reque rida para su seccin transversal. Use un factor de seguridad de 3 respecto a la cedencia. Cul es la carga sobre el ele- mento si tiene 3 pies de largo y su elongacin es de 0.02 pulg? Ecr = 14(103 ) ksi, sY = 57.5 ksi. El material tiene un compor- tamiento elstico. 0 5.0 9.5 16.5 20.5 25.5 30.0 34.5 38.5 46.5 50.0 53.0 0 0.0006 0.0012 0.0020 0.0026 0.0034 0.0040 0.0045 0.0050 0.0062 0.0070 0.0075 Carga (kip) Contraccin (pulg) Prob. 3-1 0 33.2 45.5 49.4 51.5 53.4 0 0.0006 0.0010 0.0014 0.0018 0.0022 S (ksi) P (pulg/pulg) Probs. 3-2/3 0 11.1 31.9 37.8 40.9 43.6 53.4 62.3 64.5 62.3 58.8 0 0.0175 0.0600 0.1020 0.1650 0.2490 1.0160 3.0480 6.3500 8.8900 11.9380 Carga (kN) Elongacin (mm) Probs. 3-4/5 Capitulo 03_Hibeeler.indd 98 13/1/11 19:37:14 118. 3.5 Energa de deformacin 99 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *3-8. El puntal est soportado por un pasador en C y un alambre AB de retenida de acero A-36. Si el alambre tiene un dimetro de 0.2 pulg, determine cunto se estira cuando la carga distribuida acta sobre el puntal. 3-9. En la figura se muestra el diagrama s-P para un con- junto de fibras de colgeno de las que est compuesto un tendn humano. Si un segmento del tendn de Aquiles en A tiene una longitud de 6.5 pulg y un rea aproximada en su seccin transversal de 0.229 pulg2 , determine su elongacin si el pie soporta una carga de 125 lb, lo que provoca una tensin en el tendn de 343.75 lb. 3-10. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-de- formacin para una aleacin metlica que tiene un dimetro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. De- termine aproximadamente el mdulo de elasticidad para el material, la carga sobre la probeta que causa la cedencia y la carga ltima que soportar la probeta. 3-11. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-de- formacin para una aleacin metlica que tiene un dimetro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Si la probeta se carga hasta un esfuerzo de 90 ksi, determine el tamao aproximado de la recuperacin elstica y el incre- mento en la longitud calibrada despus de retirar la carga. *3-12. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo- deformacin para una aleacin metlica que tiene un di- metro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Determine aproximadamente el mdulo de resiliencia y el mdulo de tenacidad para el material. 3-13. Una barra con una longitud de 5 pulg y un rea de seccin transversal de 0.7 pulg2 se somete a una fuerza axial de 8000 lb. Si la barra se extiende 0.002 pulg, determine el mdulo de elasticidad del material. ste tiene un comporta- miento elstico lineal. 9 pies 200 lb/pie C A B 60 Prob. 3-8 125 lb s (ksi) P (pulg/pulg) 0.05 0.10 4.50 3.75 3.00 2.25 1.50 0.75 A Prob. 3-9 0 105 90 75 60 45 30 15 00 0 0.350.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.0070.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 P (pulg/pulg) s (ksi) Probs. 3-10/11/12 8000 lb8000 lb 5 pulg Prob. 3-13 Capitulo 03_Hibeeler.indd 99 13/1/11 19:37:17 119. 100 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3-14. El tubo rgido se sostiene mediante un pasador en A y un alambre BD que es de acero A-36. Si el alambre tiene un dimetro de 0.25 pulg, determine cunto se estira al apli- car una carga de P = 600 lb sobre el tubo. 3-15. El tubo rgido se sostiene mediante un pasador en A y un alambre BD que es de acero A-36. Si el alambre tiene un dimetro de 0.25 pulg, determine la carga P si el extremo C se desplaza 0.075 pulg hacia abajo. 3-17. Un ensayo de tensin se realiz sobre una probeta hecha con una aleacin de aluminio 2014-T6. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformacin resultante. Estime (a) el lmite de proporcionalidad, (b) el mdulo de elasticidad y (c) la resistencia a la cedencia con base en una deformacin de 0.2 por ciento con el mtodo de corrimiento. 3-18. Un ensayo de tensin se realiz sobre una probeta hecha con una aleacin de aluminio 2014-T6. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformacin resultan- te. Estime (a) el mdulo de resiliencia y (b) el mdulo de tenacidad. *3-16. Determine la elongacin de la barra hueca cuadra- da cuando se somete a la fuerza axial P = 100 kN. Si esta fuerza axial se incrementa hasta P = 360 kN y despus se retira, determine la elongacin permanente de la barra. sta hecha de una aleacin metlica que tiene un diagrama de esfuerzo-deformacin similar al mostrado en la figura. 3-19. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-de- formacin para un hueso, el cual puede describirse mediante la ecuacin P = 0.45(10-6 ) s + 0.36(10-12 ) s3 , donde s est dada en kPa. Determine la resistencia a la cedencia supo- niendo un corrimiento de 0.3 por ciento. *3-20. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-de- formacin para un hueso, el cual puede describirse mediante la ecuacin P = 0.45(10-6 ) s + 0.36(10-12 ) s3 , donde s est dada en kPa. Determine el mdulo de tenacidad y el tamao de la elongacin de una regin de 200 mm de largo justo an- tes de la fractura, si la falla ocurre en P = 0.12 mm>mm. 3 pies 3 pies C DA B P4 pies Probs. 3-14/15 P P 600 mm 50 mm250 0.00125 0.05 P (mm/mm) 500 50 mm 5 mm 5 mm s (MPa) Prob. 3-16 P (pulg/pulg) 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 10 20 30 40 50 60 70 0 s (ksi) Probs. 3-17/18 P P P 0.45(10 6 )s + 0.36(10 12 )s3 P s Probs. 3-19/20 Capitulo 03_Hibeeler.indd 100 13/1/11 19:37:19 120. 3.5 Energa de deformacin 101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3-21. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-de- formacin para una resina de poliestireno. Si la viga rgida se sostiene por medio del puntal AB y el poste CD, ambos hechos de este material, y se somete a una carga de P = 80 kN, determine el ngulo de inclinacin de la viga cuando se aplica la carga. El dimetro del puntal es de 40 mm y el del poste es de 80 mm. 3-22. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-de- formacin para una resina de poliestireno. Si la viga rgida se sostiene por medio del puntal AB y el poste CD, ambos he- chos de este material, determine la mayor carga P que puede aplicarse a la viga antes de que se rompa. El dimetro del puntal es de 12 mm y el del poste es de 40 mm. 3-23. Es posible reducir la rigidez del cloruro de polivinilo mediante la adicin de plastificantes. En la siguiente figura se muestran los diagramas de esfuerzo-deformacin para tres tipos de material que presentan este efecto. Especifique el tipo que debe usarse en la fabricacin de una barra con una longitud de 5 pulg y dimetro de 2 pulg, la cual debe soportar al menos una carga axial de 20 kip y debe ser capaz de estirarse hasta 1 4 de pulg. *3-24. El diagrama de esfuerzo-deformacin para muchas aleaciones metlicas puede describirse de manera analti- ca mediante la ecuacin de tres parmetros de Ramberg- OsgoodP=s>E+ksn ,dondeE,kynsedeterminanapartirde mediciones tomadas del diagrama. Con la ayuda del diagra- madeesfuerzo-deformacinmostradoenlafigura,considere E = 30(103 ) ksi y determine los otros dos parmetros k y n, con esto obtenga una expresin analtica para la curva. 0 tensin compresin 0.01 0.02 0.03 0.04 95 80 100 70 60 50 40 32.2 20 0 0.75 m B C D A P 0.75 m 0.5 m 2 m P (mm/mm) s (MPa) Probs. 3-21/22 s (ksi) P (106 ) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 80 60 40 20 Prob. 3-24 s (ksi) 15 P flexible sin plastificar copolmero 10 0 P (pulg/ pulg)0.10 0.20 0.30 P (plastificante) 5 0 Prob. 3-23 Capitulo 03_Hibeeler.indd 101 13/1/11 19:37:23 121. 102 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.6 Razn de Poisson Cuando un cuerpo deformable se somete a una fuerza de tensin axial, no slo se alarga, sino que tambin se contrae de manera lateral. Por ejemplo, si una banda de caucho se estira, se puede notar que tanto el grosor como la anchura de la banda se reducen. Del mismo modo, una fuerza de com- presin que acta sobre un cuerpo provoca que ste se contraiga en la direccin de la fuerza y que sus lados se expandan. Considere la barra mostrada en la figura 3-21 con un radio r y una longitud L originales, la cual est sometida a la fuerza de tensin P. Esta fuerza alarga la barra una cantidad d, y su radio se contrae una cantidad d. Las deformaciones en la direccin longitudinal o axial y en la direc- cin lateral o radial son, respectivamente, Aprincipiosdelsigloxix,elcientficofrancsS.D.Poissonsediocuentaque dentro del rango elstico la razn de estas deformaciones es una constante, puesto que las deformaciones d y d son proporcionales. Esta constante se denomina razn de Poisson, n(nu), y tiene un valor numrico que es nico para cada material particular que sea homogneo e isotrpico. Expresado en forma matemtica es El signo negativo se incluye aqu porque la elongacin longitudinal (defor- macin positiva) ocasiona una contraccin lateral (deformacin negativa), y viceversa. Observe que estas deformaciones son causadas slo por la fuerza axial o longitudinal P; es decir, ninguna fuerza o esfuerzo acta en una direccin lateral para deformar el material en esa direccin. La razn de Poisson es una cantidad adimensional y para la mayora de los slidos no porosos tiene un valor que se encuentra entre 1 3.1 4 y 1 3.1 4 Los valores tpicos de v para los materiales de ingeniera comunes se presen- tan en el interior de la contraportada de este libro. Para un material ideal que no tiene deformacin lateral cuando se estira o se comprime, la razn de Poisson ser 0. Adems, en la seccin 10.6 se mostrar que el mximo valor posible para el coeficiente de Poisson es 0.5. Por lo tanto 0 v0.5. Cuando el bloque de caucho se comprime (deformacin negativa) sus lados se ex- panden (deformacin positiva). La razn de estas deformaciones permanece cons- tante. Plong = d L y Plat = d r (3-9)n = - Plat Plong P P r Forma final L Forma original Tensin d/2 d d/2 Figura 3-21 Capitulo 03_Hibeeler.indd 102 13/1/11 19:37:26 122. 3.6 Razn de Poisson 103 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 3.4 Una barra de acero A-36 tiene las dimensiones mostradas en la figura 3-22. Si se aplica una fuerza axial de P = 80 kN sobre la barra, determine el cambio en su longitud y el cambio en las dimensiones de su seccin transversal despus de aplicar la carga. El material se comporta elsti- camente. SOLUCIN El esfuerzo normal en la barra es De acuerdo con la tabla ubicada en el interior de la contraportada de este libro, para el acero A-36 Eac = 200 GPa, por lo que la carga en la direccin z es Por lo tanto, el alargamiento axial de la barra es Usando la ecuacin 3-9, donde nac = 0.32, como lo indica el interior de la contraportada, las deformaciones por contraccin lateral en am- bas direcciones x y y son As que los cambios en las dimensiones de la seccin transversal son y x z P 80 kN P 80 kN 100 mm 1.5 m 50 mm Figura 3-22 sz = P A = 801103 2 N 10.1 m210.05 m2 = 16.01106 2 Pa Pz = sz Eac = 16.01106 2 Pa 2001109 2 Pa = 80110-6 2 mm>mm Resp.dz = PzLz = [80110-6 2]11.5 m2 = 120 mm Px = Py = -nacPz = -0.32[80110-6 2] = -25.6 mm>m Resp. Resp.dy = PyLy = -[25.6110-6 2]10.05 m2 = -1.28 mm dx = PxLx = -[25.6110-6 2]10.1 m2 = -2.56 mm Capitulo 03_Hibeeler.indd 103 20/1/11 17:22:57 123. 104 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.7Diagrama de esfuerzo-deformacin cortante En la seccin 1.5 se demostr que cuando un pequeo elemento de material se somete a cortante puro, el equilibrio exige que se desarrollen esfuerzos cortantes iguales en las cuatro caras del elemento. Estos esfuerzos txy deben dirigirse hacia o desde las esquinas diagonalmente opuestas del elemento, como se muestra en la figura 3-23a. Por otra parte, si el material es homo- gneo e isotrpico, entonces este esfuerzo cortante distorsionar de manera uniforme al elemento, figura 3-23b. Como se mencion en la seccin 2.2, la deformacin cortante gxy mide la distorsin angular del elemento relativa a los lados que en un principio se encontraban a lo largo de los ejes x y y. El comportamiento de un material sometido a cortante puro puede estudiarse en un laboratorio usando probetas en forma de tubo delgado y sometindolas a una carga de torsin. Si se realizan las mediciones del par de torsin aplicado y el ngulo de giro resultante, mediante los m- todos que se explicarn en el captulo 5, los datos pueden utilizarse para determinar el esfuerzo cortante y la deformacin cortante, con esto es posible trazar un diagrama de esfuerzo-deformacin cortante. En la figu- ra 3-24 se muestra un ejemplo de este diagrama para un material dctil. Al igual que en el ensayo de tensin, este material tiene un comporta- miento elstico lineal cuando se somete a fuerza cortante y tendr un lmite de proporcionalidad tpl definido. Por otro lado, el endurecimien- to por deformacin ocurrir hasta que se alcance un esfuerzo cortante ltimo tu . Por ltimo, el material comenzar a perder su resistencia al cortante cuando llegue a un punto donde se fracture, tf . Para la mayora de los materiales de ingeniera, como el que acaba- mos de describir, el comportamiento elstico es lineal, por lo que la ley de Hooke para el esfuerzo cortante se puede escribir como Aqu G se llama mdulo de elasticidad cortante o mdulo de rigidez cor- tante (o simplemente mdulo de rigidez). Su valor representa la pendiente de la lnea en el diagrama t-g, es decir, G = tpl >gpl . Los valores tpicos para los materiales comunes de ingeniera se presentan en el interior de la contraportada. Observe que las unidades de medida para G sern las mis- mas que para t (Pa o psi), puesto que g se mide en radianes, una cantidad adimensional. Como se ver en la seccin 10.6, las tres constantes de material, E, n y G en realidad estn relacionadas por la ecuacin Siempre que E y G se conozcan, el valor de n puede determinarse a partir de esta ecuacin y no a travs de una medicin experimental. Por ejemplo, en el caso del acero A-36, Eac = 29(103 ) ksi y Gac = 11.0(103 ) ksi, de modo que, a partir de la ecuacin 3-11, vac = 0.32. G t tu tf tpl g grgugpl Figura 3-24 x y (b) p 2 gxy 2 gxy 2 gxy Figura 3-23 x y (a) txy (3-10)t = Gg (3-11)G = E 211 + n2 Capitulo 03_Hibeeler.indd 104 13/1/11 19:37:31 124. 3.7Diagrama de esfuerzo-deformacin cortante 105 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 3.5 Una probeta hecha con una aleacin de titanio se prueba a torsin y el diagrama de esfuerzo-deformacin cortante se muestra en la figura 3-25a. Determine el mdulo de rigidez G, el lmite de proporcionalidad y el esfuerzo cortante ltimo. Adems, determine la distancia d mxi- ma que puede desplazarse de manera horizontal la parte superior de un bloque de este material, como el mostrado en la figura 3-25b, si el material se comporta elsticamente cuando acta sobre l una fuerza cortante V. Cul es la magnitud de V necesaria para causar este des- plazamiento? SOLUCIN Mdulo de rigidez. Este valor representa la pendiente de la por- cin en lnea recta OA del diagrama t-g. Las coordenadas del punto A son (0.008 rad, 52 ksi). Por lo tanto, As que la ecuacin de la lnea OA es t = Gg = 6500g, que es la ley de Hooke para el cortante. Lmite de proporcionalidad. Por inspeccin, la grfica deja de ser lineal en el punto A. Entonces, Esfuerzo ltimo. Este valor representa el esfuerzo cortante mxi- mo, punto B. En la grfica, Desplazamiento elstico y fuerza cortante mximos. Como la deformacin cortante elstica mxima es de 0.008 rad, un ngulo muy pequeo, la parte superior del bloque en la figura 3-25b se desplazar de manera horizontal: El esfuerzo cortante promedio correspondiente en el bloque es tpl = 52 ksi. As, la fuerza cortante V necesaria para causar el desplaza- miento es 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0.73 B A (a) t (ksi) tu 73 gpl 0.008 gu 0.54 g (rad) tpl 52 O 4 pulg 3 pulg 2 pulg g d V (b) Figura 3-25 Resp.G = 52 ksi 0.008 rad = 6500 ksi Resp.tpl = 52 ksi Resp.tu = 73 ksi Resp.d = 0.016 pulg nat 10.008 rad2 L 0.008 rad = d 2 pulg Resp.V = 624 kip isk25 = V 13 pulg214 pulg2 tprom = V A ; Capitulo 03_Hibeeler.indd 105 13/1/11 19:37:33 125. 106 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 3.6 En la figura 3-26 se muestra una probeta de aluminio que tiene un di- metro d0 = 25 mm y una longitud calibrada L0 = 250 mm. Si una fuerza de 165 kN alarga la longitud calibrada 1.20 mm, encuentre el mdulo de elasticidad. Adems, determine qu tanto se contrae el dimetro de la probeta por la accin de la fuerza. Considere que Gal = 26 GPa y sY = 440 MPa. SOLUCIN Mdulo de elasticidad. El esfuerzo normal promedio en la pro- beta es y la deformacin normal promedio es Como s 6 sY = 440 MPa, el material se comporta elsticamente. Por lo tanto, el mdulo de elasticidad es Contraccin del dimetro. Primero se determinar la razn de Poisson para el material mediante la ecuacin 3-11. Como Plong = 0.00480 mm/mm, entonces por la ecuacin 3-9, Por consiguiente, la contraccin del dimetro es s = P A = 1651103 2 N 1p>4210.025 m22 = 336.1 MPa P = d L = 1.20 mm 250 mm = 0.00480 mm>mm Resp.Eal = s P = 336.11106 2 Pa 0.00480 = 70.0 GPa n = 0.347 aPG62 = 70.0 GPa 211 + n2 G = E 211 + n2 Plat = -0.00166 mm>mm 743.0 = - Plat 0.00480 mm>mm n = - Plat Plong Resp.= 0.0416 mm d = 10.001662125 mm2 d0 L0 165 kN 165 kN Figura 3-26 Capitulo 03_Hibeeler.indd 106 13/1/11 19:37:36 126. 3.8Falla de materiales por flujo plstico y fatiga 107 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *3.8Falla de materiales por flujo plstico y fatiga Hasta el momento, las propiedades mecnicas de un material se han estu- diado slo para una carga esttica o aplicada lentamente y a temperatura constante. Sin embargo, en algunos casos un elemento puede utilizarse en un ambiente para el cual las cargas deben mantenerse durante largos pe- riodos a elevadas temperaturas o, en otros casos, la carga puede repetirse o ciclarse. En este libro no se considerarn estos efectos, aunque se mencio- nar de manera breve cmo se determina la resistencia de un material para estas condiciones, ya que en el diseo se les da un tratamiento especial. Flujo plstico. Cuando un material debe soportar una carga por un pe- riodo muy largo, puede continuar deformndose hasta que ocurre una frac- tura sbita o su utilidad se ve afectada. Esta deformacin permanente que depende del tiempo se conoce como flujo plstico. Por lo general el flujo plstico se toma en cuenta cuando se usan metales y cermica para construir elementos estructurales o partes mecnicas que estn sometidas a altas tem- peraturas. Sin embargo, para algunos materiales, como polmeros y materia- les compuestos (incluyendo la madera o el concreto) la temperatura no es un factor importante, pero el flujo plstico puede ocurrir estrictamente por la aplicacin de cargas durante un tiempo prolongado. Como un ejemplo tpico, considere el hecho de que una banda de caucho no volver a su forma original despus de ser liberada de una posicin estirada en la que permane- ci durante un periodo muy largo. En un sentido general, tanto el esfuerzo como la temperatura tienen un papel importante en la tasa de flujo plstico. Para efectos prcticos, cuando el flujo plstico se vuelve importante, un elemento se disea para resistir una deformacin por flujo plstico espe- cfica para un determinado periodo. Una propiedad mecnica importante que se utiliza en este sentido se llama resistencia al flujo plstico. Este valor representa el mayor esfuerzo que puede soportar el material durante un lapso determinado, sin sobrepasar una deformacin por flujo plstico per- misible. La resistencia al flujo plstico puede variar con la temperatura, y para el diseo se debe especificar una temperatura dada, una duracin de la carga y una deformacin por flujo plstico permisible. Por ejemplo, se ha sugerido un flujo plstico por deformacin de 0.1 por ciento al ao para el acero en pernos y tuberas. Existen varios mtodos para determinar una resistencia al flujo plstico permisible para un material en particular. Uno de los ms sencillos con- siste en probar varias probetas al mismo tiempo a una temperatura cons- tante, pero sometiendo a cada una a un esfuerzo axial diferente. Al medir el tiempo necesario para producir la deformacin permisible o la defor- macin de fractura para cada probeta, se puede establecer una curva de esfuerzo contra tiempo. Por lo general estos ensayos se realizan hasta un mximo de 1000 horas. En la figura 3-27 se muestra un ejemplo de los resultados para el acero inoxidable a una temperatura de 1200 F y una deformacin por flujo plstico prescrita en 1 por ciento. Como puede ob- La aplicacin por largo tiempo de la carga del cable sobre este poste caus que se de- formara debido al flujo plstico. La aplicacin por largo tiempo de la carga del cable sobre este poste caus que se deformara debido al flujo plstico. 40 s(ksi) 30 20 10 0 200 400 600 800 1000 t(h) Diagrama s-t para el acero inoxidable a 1200F y deformacin por flujo plstico del 1 por ciento. Figura 3-27 Capitulo 03_Hibeeler.indd 107 13/1/11 19:37:37 127. 108 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 servarse, este material tiene una resistencia al flujo plstico de 40 ksi (276 MPa) a temperatura ambiente (0.2 por ciento de compensacin) y la re- sistencia al flujo plstico durante 1000 h resulta ser aproximadamente sc = 20 ksi (138 MPa). En general, la resistencia al flujo plstico disminuye para temperaturas ms altas o para una aplicacin de esfuerzos mayores. En periodos ms largos, deben hacerse extrapolaciones de las curvas. Para hacer esto se requiere cierta experiencia con el comportamiento del flujo plstico y algunos conocimientos complementarios sobre las propiedades del ma- terial. Adems, una vez determinada la resistencia del material al flujo plstico, se aplica un factor de seguridad para obtener un esfuerzo per- misible adecuado para el diseo. Fatiga. Cuando un metal se somete a ciclos repetidos de esfuerzo o de- formacin, stos hacen que su estructura se deforme, llevndolo en ltima instancia a la fractura. Este comportamiento se denomina fatiga, y suele ser responsable de un gran porcentaje de fallas en bielas y cigeales de motor; hlices de turbinas a vapor o gas; conexiones o soportes de puentes, ruedas y ejes de ferrocarril; y otras partes sujetas a una carga cclica. En todos estos casos, la fractura se producir con un esfuerzo que es menor al esfuerzo de cedencia del material. Al parecer, la naturaleza de esta falla deriva de la existencia comn de imperfecciones microscpicas en la superficie del elemento, donde el esfuerzo localizado se vuelve mucho mayor que el esfuerzo promedio que acta sobre la seccin transversal. A medida que este gran esfuerzo se repite en forma cclica, conduce a la formacin de diminutas grietas. La aparicin de estas grietas causa un incremento del esfuerzo en las puntas o lmites de las mismas, que a su vez provoca un crecimiento de las grietas mientras el esfuerzo contina en ciclo. Finalmente, el rea de la seccin transversal del elemento se reduce hasta el punto en el que ya no puede sostener la carga y, en consecuencia, se produce una fractura sbita. El material, aunque sea conocido por su ductilidad, se comporta como si fuera frgil. Con el fin de especificar una resistencia segura para un material me- tlico sometido a cargas repetitivas, es necesario determinar un lmite debajo del cual no pueda detectarse evidencia de falla despus de aplicar una carga durante un determinado nmero de ciclos. Este esfuerzo limi- tante se llama lmite de resistencia a la fatiga. Usando una mquina de pruebas para este propsito, se somete una serie de probetas cada una a un esfuerzo determinado, de manera cclica hasta la falla. Los resultados se muestran como una grfica que representa el esfuerzo S (o s) en el eje vertical y el nmero de ciclos hasta la falla N en el eje horizontal. Esta grfica se llama diagrama S-N o diagrama esfuerzo-ciclos, y casi siempre los valores de N se representan en una escala logartmica ya que suelen ser bastante grandes. En la figura 3-28 se muestran ejemplos de diagramas S-N para dos metales de ingeniera de uso comn. El lmite de resistencia a la fatiga, o simplemente lmite de fatiga, se identifica como el esfuerzo para el cual El diseo de los elementos utilizados en los juegos de un parque de diversiones re- quiere una cuidadosa consideracin de las cargas cclicas que pueden causar fatiga. Los ingenieros deben tomar en cuenta la posible fatiga de las partes mviles de este equipo de perforacin petrolera. Los ingenieros deben tomar en cuenta la posible fatiga de las partes mviles de este equipo de perforacin petrolera. Capitulo 03_Hibeeler.indd 108 13/1/11 19:37:38 128. 3.8Falla de materiales por flujo plstico y fatiga 109 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 la grfica S-N se vuelve horizontal o asin- ttica. Como puede observarse, el acero tiene un valor bien definido de (Sel )ac = 27 ksi (186 MPa). Sin embargo, el lmite de fatiga para el aluminio no est bien defi- nido, por lo que suele especificarse como el esfuerzo que tiene un lmite de 500 mi- llones de ciclos, (Sel )al = 19 ksi (131 MPa). Una vez que se ha obtenido un valor particular, a menudo se asume que para cualquier esfuerzo por debajo de este valor, la vida a la fatiga es infinita, y por consiguiente el nmero de ciclos hasta la falla ya no se toma en cuenta. Puntos importantes La razn de Poisson, n, es una relacin entre la deformacin la- teral de un material homogneo e isotrpico sobre su deforma- cin longitudinal. En general, estas deformaciones tienen signos opuestos, es decir, si uno es un alargamiento, el otro ser una contraccin. El diagrama de esfuerzo-deformacin cortante es una grfica del esfuerzo cortante contra la deformacin cortante. Si el material es homogneo e isotrpico, y adems es elstico lineal, la pen- diente de la lnea recta dentro de la regin elstica se denomina mdulo de rigidez o mdulo de cortante, G. Existe una relacin matemtica entre G, E y n. El flujo plstico es la deformacin en funcin del tiempo de un material para el que el esfuerzo y la temperatura juegan un pa- pel importante. Los elementos se disean para resistir los efec- tos del flujo plstico con base en la resistencia al flujo plstico del material, que es el mximo esfuerzo inicial que puede sopor- tar un material durante un periodo determinado, sin sobrepasar cierta deformacin por flujo plstico. La fatiga en los metales ocurre cuando el esfuerzo o la defor- macin son cclicos. Este fenmeno ocasiona una fractura frgil del material. Los elementos se disean para resistir la fatiga al garantizar que el esfuerzo en el elemento no exceda su lmite de resistencia a la fatiga. Este valor se determina a partir de un diagrama S-N como el esfuerzo mximo que el material puede resistir cuando se somete a un determinado nmero de ciclos de carga. 50 40 (Sel)ac 27 (Sel)al 19 30 20 10 0 10.1 10 100 1000500 aluminio acero N(106 ) S (ksi) Diagrama S-N para el acero y las aleaciones de aluminio (el eje N tiene una escala logartmica) Figura 3-28 Capitulo 03_Hibeeler.indd 109 13/1/11 19:37:39 129. 110 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas fundamentales F3-13. Una barra de 100 mm de longitud tiene un dimetro de 15 mm. Si se le aplica una carga axial de tensin de 10 kN, determine el cambio en su dimetro. E = 70 GPa, n = 0.35. F3-14. Una barra circular slida que tiene 600 mm de largo y 20 mm de dimetro se somete a una fuerza axial de P = 50 kN. La elongacin de la barra es d = 1.40 mm y su dimetro se convierte en d = 19.9837 mm. Determine el mdulo de elasticidad y el mdulo de rigidez del material, suponiendo que ste no experimenta cedencia. F3-16. Un bloque de 20 mm de ancho est firmemente uni- do a placas rgidas en sus partes superior e inferior. Cuando se aplica la fuerza P al bloque, ste se deforma como lo indi- ca la lnea discontinua. Si a = 3 mm y P se retira, determine la deformacin cortante permanente en el bloque. F3-15. Un bloque de 20 mm de ancho est firmemente uni- do a placas rgidas en sus partes superior e inferior. Cuando se aplica la fuerza P al bloque, ste se deforma como lo in- dica la lnea discontinua. Determine la magnitud de P si el material del bloque tiene un mdulo de rigidez G = 26 GPa. Suponga que el material no presenta cedencia y utilice un anlisis de ngulo pequeo. 20 mm P 50 kN P 50 kN 600 mm F3-14 150 mm 0.5 mm 150 mm P F3-15 150 mm a 3 mm 150 mm P 130 0.005 A t(MPa) g (rad) F3-16 Capitulo 03_Hibeeler.indd 110 13/1/11 19:37:44 130. 3.8Falla de materiales por flujo plstico y fatiga 111 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 3-25. La barra de plstico acrlico tiene 200 mm de largo y 15 mm de dimetro. Si se le aplica una carga axial de 300 N, determine el cambio en su longitud y el cambio de su dime- tro. Ep = 2.70 GPa, np = 0.4. 3-26. El bloque cilndrico corto de aluminio 2014-T6, que tiene un dimetro original de 0.5 pulg y una longitud de 1.5 pulg, se coloca entre las quijadas lisas de una prensa de ban- co y se aprieta hasta que la carga axial aplicada es de 800 lb. Determine (a) la disminucin en su longitud y (b) su nuevo dimetro. 3-27. En la figura se muestra la porcin elstica del diagra- ma de esfuerzo-deformacin para una aleacin de acero. La probeta de la que se obtuvo tena un dimetro original de 13 mm y una longitud calibrada de 50 mm. Cuando la car- ga aplicada sobre la probeta es de 50 kN, el dimetro es de 12.99265 mm. Determine la razn de Poisson para el ma terial. *3-28. En la figura se muestra la porcin elstica del diagra- ma de esfuerzo-deformacin para una aleacin de acero. La probeta de la que se obtuvo tena un dimetro original de 13 mm y una longitud calibrada de 50 mm. Si se aplica una carga P = 20 kN sobre la probeta, determine su dimetro y longitud calibrada. Considere que n = 0.4. 3-29. El bloque de aluminio tiene una seccin transversal rectangular y est sometido a una fuerza axial de compresin de 8 kip. Si el lado de 1.5 pulg cambia su longitud a 1.500132 pulg, determine la razn de Poisson y la nueva longitud del lado de 2 pulg. Eal = 10(103 ) ksi. 300 N 200 mm 300 N Prob. 3-25 800 lb 800 lb Prob. 3-26 3 pulg 1.5 pulg 8 kip 8 kip 2 pulg Prob. 3-29 400 P(mm/mm) 0.002 s(MPa) Prob. 3-27 400 P(mm/mm) 0.002 s(MPa) Prob. 3-28 Capitulo 03_Hibeeler.indd 111 13/1/11 19:37:58 131. 112 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3-30. El bloque est hecho de titanio Ti-6A1-4V y se so- mete a una compresin de 0.06 pulg a lo largo del eje y, y su forma muestra una inclinacin de u = 89.7. Determine Px , Py y gxy . 3-31. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-de- formacin cortante para una aleacin de acero. Si un perno que tiene un dimetro de 0.75 pulg est hecho de este mate- rial y se utiliza en la junta de doble empalme, determine el mdulo de elasticidad E y la fuerza P necesaria para causar que el material experimente cedencia. Considere que n = 0.3. *3-32. Un resorte cortante se forma al unir el anillo de cau- cho con un anillo rgido fijo y un eje. Cuando se coloca una carga axial P sobre el eje, demuestre que la pendiente en el punto y del caucho es dy>dr = -tan g = -tan(P>(2phGr)). Para los ngulos pequeos se puede escribir dy>dr = -P>(2phGr). Integre esta expresin y evale la constante de integracin con la condicin de que y = 0 en r = ro . A partir del resultado, calcule la deflexin y = d del eje. 3-33. El soporte consiste en tres placas rgidas, las cuales estn conectadas entre s mediante dos almohadillas de cau- cho colocadas simtricamente. Si se aplica una fuerza verti- cal de 5 N a la placa A, determine el desplazamiento vertical aproximado de esta placa, debido a las deformaciones cortantes en el caucho. Cada almohadilla tiene dimensio- nes en sus secciones transversales de 30 mm por 20 mm. Gr = 0.20 MPa. 3-34. Un resorte a cortante se hace con dos bloques de cau- cho, cada uno con una altura h, una anchura b y un espesor a. Los bloques estn unidos a las tres placas como se muestra en la figura. Si las placas son rgidas y el mdulo cortante del caucho es G, determine el desplazamiento de la placa A si se le aplica una carga vertical P. Suponga que el desplazamien- to es pequeo, de manera que d = a tan g ag. 4 pulg u y x 5 pulg Prob. 3-30 P 0.00545 60 g(rad) t(ksi) P/2 P/2 Prob. 3-31 P y ro ri y r h d Prob. 3-32 C B 40 mm40 mm A 5 N Prob. 3-33 P h aa A d Prob. 3-34 Capitulo 03_Hibeeler.indd 112 13/1/11 19:38:08 132. Repaso de captulo 113 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Repaso de Captulo Una de las pruebas ms importantes para la resistencia de materiales es el ensayo de tensin. Los resultados, que se encuentran al estirar una probeta de tamao conocido, se grafican como el esfuerzo normal en el eje vertical y la deformacin normal en el eje horizontal. Muchos materiales de ingeniera exhi- ben en un inicio un comportamiento elstico lineal, segn el cual el esfuerzo es proporcional a la deformacin, defi- nido por la ley de Hooke, s = EP. Aqu E, llamado mdulo de elasticidad, es la pendiente de esta lnea recta en el diagrama de esfuerzo-deformacin. Cuando el material se estira ms all del punto de cedencia, ocurre una de- formacin permanente. En particular, el acero tiene una regin de cedencia, donde el material exhibe un aumento en la deformacin sin incremento del esfuerzo. La regin de endurecimien- to por deformacin ocasiona que, para continuar haciendo ceder al material, se requiera un aumento correspondien te en el esfuerzo. Finalmente, en el es- fuerzo ltimo, una regin localizada en la probeta comenzar a adelgazarse, formando un cuello. Despus de esto se produce la fractura. Losmaterialesdctiles,comolamayora de los metales, muestran un comporta- miento tanto elstico como plstico. La madera es moderadamente dctil. Por logeneral,laductilidadseespecificame- diante la elongacin permanente hasta la ruptura o por la reduccin porcentual en el rea de la seccin transversal. s = EP Porcentaje de reduccin de rea = A0 - Af A0 1100%2 Porcentaje de elongacin = Lf - L0 L0 1100%2 s P P sE material dctil regin elstica cedencia endurecimiento por deformacin estriccin comporta- miento elstico comportamiento plstico lmite elstico esfuerzo de cedencia esfuerzo ltimo esfuerzo de fractura P sf sY spl su s lmite de proporcionalidad Capitulo 03_Hibeeler.indd 113 13/1/11 19:38:10 133. 114 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Los materiales frgiles presentan poca o ninguna cedencia antes de la falla. El hierro fundido, el concreto y el vidrio son ejemplos tpicos. El punto de cedencia de un material en A puede incrementarse mediante el en- durecimiento por deformacin. Esto se logra al aplicar una carga que ocasione un esfuerzo mayor que el esfuerzo de cedencia, para despus retirar la carga. El mximo esfuerzo A se convierte en el nuevo punto de cedencia para el ma- terial. Cuando se aplica una carga a un ele- mento, las deformaciones causan que la energa de deformacin se almacene en el material. La energa de deformacin por unidad de volumen o densidad de la energa de deformacin es equiva- lente al rea bajo la curva de esfuerzo- deformacin. Esta rea hasta el punto de cedencia se llama mdulo de resi- liencia. Toda el rea bajo el diagrama de esfuerzo-deformacin se denomina mdulo de tenacidad. s P material frgil deformacin permanente recuperacin elstica regin elstica regin plstica carga descarga A A B OO E E s P ur Mdulo de resiliencia Ppl spl s P ut Mdulo de tenacidad s P Capitulo 03_Hibeeler.indd 114 13/1/11 19:38:11 134. Repaso de captulo 115 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 La razn de Poisson, v es una propie- dad adimensional de los materiales que relaciona la deformacin lateral con la deformacin longitudinal. Su rango de valores es 0 n 0.5. Los diagramas de esfuerzo cortante contra deformacin cortante tambin pueden establecerse para un material. Dentro de la regin elstica, t = Gg, donde G es el mdulo de cortante, que se encuentra a partir de la pendiente de la lnea. El valor de v se puede obtener de la relacin que existe entre G, E y v. Cuando los materiales estn en servi- cio durante largos periodos, las consi- deraciones de flujo plstico se vuelven importantes. El flujo plstico es la tasa de deformacin que se produce con es- fuerzos grandes y a temperaturas altas. El diseo requiere que el esfuerzo en el material no exceda un esfuerzo per- misible basado en la resistencia al flujo plstico del material. La fatiga puede producirse cuando el material se somete a un gran nme- ro de ciclos de carga. Este efecto har que se formen grietas microscpicas, lo que conduce a una falla frgil. Para prevenir la fatiga, el esfuerzo en el ma- terial no debe exceder el lmite de fati- ga del material. n = - Plat Plong G = E 211 + n2 L P P r Forma finalForma original d/2 d d/2 Tensin t g g tG Capitulo 03_Hibeeler.indd 115 13/1/11 19:38:13 135. 116 Captulo 3Propiedades mecnicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3-35. En la figura se muestra la porcin elstica del diagra- ma de esfuerzo-deformacin a tensin para una aleacin de aluminio. La probeta que se usa para el ensayo tiene una longitud calibrada de 2 pulg y un dimetro de 0.5 pulg. Cuando la carga aplicada es de 9 kip, el nuevo dimetro de la probeta es 0.49935 pulg. Calcule el mdulo de corte Gal para el aluminio. *3-36. En la figura se muestra la porcin elstica del diagra- ma de esfuerzo-deformacin a tensin para una aleacin de aluminio. La probeta que se usa para el ensayo tiene una longitud calibrada de 2 pulg y un dimetro de 0.5 pulg. Si la carga aplicada es de 10 kip, determine el nuevo dimetro de la probeta. El mdulo de corte es Gal = 3.8(103 ) ksi. 3-38. Un bloque cilndrico corto de aluminio 6061-T6, con un dimetro original de 20 mm y una longitud de 75 mm, se coloca en una mquina de compresin y se aplasta hasta que la carga axial aplicada es de 5 kN. Determine (a) la disminu- cin de su longitud y (b) su nuevo dimetro. 3-39. La viga rgida descansa en posicin horizontal sobre dos cilindros de aluminio 2014-T6 que tienen las longitudes sin carga que se muestran en la figura. Si cada cilindro tiene un dimetro de 30 mm, determine la distancia x de aplica- cin de la carga de 80 kN, de forma que la viga permanezca en posicin horizontal. Cul es el nuevo dimetro del cilin- dro A despus de aplicar la carga? val = 0.35. PROBLEMAS de repaso 3-37. En la figura se muestra el diagrama s-P de las fibras elsticas que forman la piel y el msculo humanos. Determi- ne el mdulo de elasticidad de las fibras, estime su mdulo de tenacidad y mdulo de resiliencia. *3-40. La cabeza H est conectada al cilindro de un com- presor mediante seis pernos de acero. Si la fuerza de suje- cin en cada perno es de 800 lb, determine la deformacin normal en stos. Cada perno tiene un dimetro de 3 16 de pulg. Si sY = 40 ksi y Eac = 29(103 ) ksi, cul es la deformacin en cada perno cuando se desenrosca la tuerca para retirar la fuerza de sujecin? 0.00614 70 s(ksi) P (pulg/pulg) Probs. 3-35/36 21 2.25 11 55 P(pulg/pulg) s(psi) Prob. 3-37 3 m 210 mm220 mm x A B 80 kN Prob. 3-39 H LC Prob. 3-40 Capitulo 03_Hibeeler.indd 116 13/1/11 19:38:18 136. Problemas de repaso 117 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3-41. La piedra tiene una masa de 800 kg y su centro de gravedad en G. Descansa sobre una plataforma en A y un rodillo en B. La plataforma est fija al suelo y tiene una altu- ra comprimida de 30 mm, una anchura de 140 mm y una lon- gitud de 150 mm. Si el coeficiente de friccin esttica entre la plataforma y la piedra es ms = 0.8, determine el desplaza- miento horizontal aproximado de la piedra, causado por las deformaciones angulares de la plataforma, antes de que la piedra comience a deslizarse. Suponga que la fuerza normal en A acta a 1.5 m de G como se muestra en la figura. La plataforma est hecha de un material que tiene E = 4 MPa y n = 0.35. 3-42. La barra de DA es rgida y en un principio se man- tiene en posicin horizontal cuando el peso W se sostiene desde C. Si el peso ocasiona que B se desplace hacia abajo 0.025 pulg, determine la deformacin en los alambres DE y BC. Adems, si los alambres estn hechos de acero A-36 y tienen un rea en su seccin transversal de 0.002 pulg2 , de- termine el peso W. 3-43. El perno de 8 mm de dimetro est hecho de una aleacin de aluminio. Atraviesa una manga de magnesio que tiene un dimetro interior de 12 mm y un dimetro ex- terior de 20 mm. Si las longitudes originales del perno y la manga son 80 mm y 50 mm, respectivamente, determine las deformaciones en la manga y el perno si la tuerca en el perno se aprieta de modo que la tensin en el perno es de 8 kN. Suponga que el material en A es rgido. Eal = 70 GPa, Emg = 45 GPa. *3-44. El alambre AB de acero A-36 tiene un rea en su seccin transversal de 10 mm2 y est sin estirar cuando u = 45.0. Determine la carga aplicada P requerida para causar que u = 44.9. 0.4 m 1.25 m 1.5 m 0.3 m P B A G Prob. 3-41 2 pies 3 pies 4 pies 3 pies D AB E C W Prob. 3-42 50 mm 30 mm A Prob. 3-43 400 mm A B P 400 mm u Prob. 3-44 Capitulo 03_Hibeeler.indd 117 13/1/11 19:38:24 137. 2 3 5 6 7 8 9 10 11 Esta serie de tubos encadenados, que se encuentra suspendida de un bloque mvil en un pozo petrolero, est sometida a cargas y deformaciones axiales muy grandes. Capitulo 04_Hibbeler.indd 118 13/1/11 19:39:40 138. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 119 1 2 Carga axial 4 119 OBJETIVOS DEL CAPTULO En el captulo 1 se desarroll el mtodo para determinar el esfuerzo normal en elementos cargados axialmente. En este captulo se estudia- r cmo determinar la deformacin de estos elementos; asimismo se desarrollar un mtodo para encontrar las reacciones de apoyo cuando stas no pueden determinarse con precisin mediante las ecuaciones de equilibrio. Tambin se realizar un anlisis de los efectos del esfuerzo trmico, las concentraciones de esfuerzos, las deformaciones inelsticas y el esfuerzo residual. 4.1 Principio de Saint-Venant En los captulos anteriores se ha desarrollado el concepto de esfuerzo como un medio para medir la distribucin de fuerzas dentro de un cuerpo y la deformacin unitaria como un medio para medir la deformacin de ste. Tambin se ha demostrado que la relacin matemtica entre el es- fuerzo y la deformacin depende del tipo de material del que est hecho el cuerpo. En particular, si el material se comporta de manera elstica lineal, entonces se aplica la ley de Hooke y existe una relacin proporcional entre el esfuerzo y la deformacin. Capitulo 04_Hibbeler.indd 119 13/1/11 19:39:40 139. 120 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Con esta idea, considere la manera en que una barra rectangular se de- formar elsticamente cuando la barra se someta a una fuerza P aplicada a lo largo de su eje centroidal, figura 4-1a. Aqu, la barra est fija en uno de sus extremos y la fuerza se aplica a travs de un orificio en su otro extremo. Debido a la carga, la barra se deforma como lo indican las lneas dibujadas sobre ella y que una vez fueron horizontales o verticales. Observe cmo la deformacin localizada que ocurre en cada extremo tiende a disminuir y las lneas se vuelven uniformes en toda la seccin media de la barra. Si el material se conserva elstico, entonces las deformaciones unitarias causadas por esta deformacin estn directamente relacionadas con el es- fuerzo en la barra. Como resultado, el esfuerzo se distribuir de manera ms uniforme en toda el rea de la seccin transversal cuando sta sea tomada cada vez ms lejos del punto donde se aplica alguna carga exter- na. Por ejemplo, considere un perfil de la variacin de la distribucin de esfuerzos que acta sobre las secciones a-a, b-b y c-c, cada uno de ellos se muestra en la figura 4-1b. Por comparacin, el esfuerzo tiende a alcanzar un valor uniforme en la seccin c-c, que est lo suficientemente lejos del extremo para que la deformacin localizada causada por P se desvanezca. La distancia mnima desde el extremo de la barra hasta el punto donde ocurre esto, puede determinarse mediante un anlisis matemtico basado en la teora de la elasticidad. Se ha encontrado que esta distancia debe ser al menos igual a la mayor dimensin de la seccin transversal cargada. Por lo tanto, la seccin c-c debe ubicarse a una distancia por lo menos igual a la anchura (no el espe- sor) de la barra.* *Cuando la seccin c-c se localiza de esta forma, la teora de la elasticidad predice que el esfuerzo mximo ser smx = 1.02sprom . (a) P a b c a b c Las lneas ubicadas lejos de la carga y el soporte se mantienen rectas La carga distorsiona las lneas que se encuentran cerca de ella La carga distorsiona las lneas que se encuentran cerca del soporte Figura 4-1 Capitulo 04_Hibbeler.indd 120 13/1/11 19:39:41 140. 4.1Principio de Saint-Venant 121 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 De la misma manera, la distribucin de esfuerzos en el soporte tender a equilibrarse y llegar a ser uniforme en la seccin transversal ubicada a la misma distancia del soporte. El hecho de que el esfuerzo y la deformacin se comporten de esta ma- nera se conoce como principio de Saint-Venant, ya que fue observado por primera vez por el cientfico francs Barr de Saint-Venant en 1855. En esencia, establece que el esfuerzo y la deformacin que se producen en los puntos de un cuerpo lo suficientemente alejados de la regin donde se aplica la carga sern iguales al esfuerzo y la deformacin producidos por cuales- quiera cargas aplicadas que tengan la misma resultante estticamente equi- valente, y que se apliquen al cuerpo dentro de la misma regin. Por ejemplo, si dos fuerzas P>2 aplicadas de manera simtrica actan sobre la barra de la figura 4-1c, la distribucin de esfuerzos en la seccin c-c ser uniforme y, por lo tanto, equivalente a sprom = P>A como en la figura 4-1b. Figura 4-1 (cont.) seccin a-a seccin b-b (b) seccin c-c PPP sprom P A seccin c-c (c) sprom P 2 P 2 P A Observe cmo se distorsionan las lneas sobre esta membrana de caucho despus de haber sido estirada. Las distorsiones localizadas en las cua- drculas se suavizan como lo establece el principio de Saint-Venant. Capitulo 04_Hibbeler.indd 121 13/1/11 19:39:42 141. 122 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.2Deformacin elstica de un elemento cargado axialmente En esta seccin se usar la ley de Hooke y las definiciones de esfuerzo y deformacin a fin de desarrollar una ecuacin que pueda utilizarse para determinar el desplazamiento elstico de un elemento sometido a cargas axiales. Para generalizar el desarrollo, considere la barra mostrada en la figura 4-2a, la cual tiene un rea transversal que vara gradualmente en toda su longitud L. La barra est sometida a cargas concentradas en sus extremos y a una carga variable externa distribuida en toda su longitud. Esta distribucin de carga podra, por ejemplo, representar el peso de la barra si sta no se conserva en posicin horizontal, o las fuerzas de friccin que actan sobre la superficie de la barra. Aqu se desea encontrar el des- plazamiento relativo d (delta) provocado por esta carga en un extremo de la barra con respecto al otro extremo. No se tomarn en cuenta las defor- maciones localizadas que se producen en los puntos de carga concentrada y donde la seccin transversal cambia de manera sbita. Con base en el principio de Saint-Venant, estos efectos se producen en pequeas regiones de la longitud de la barra y por lo tanto tendrn slo un ligero efecto sobre el resultado final. En su mayor parte, la barra se deforma de manera uni- forme, por lo que el esfuerzo normal se distribuye de la misma forma sobre la seccin transversal. Mediante el mtodo de las secciones, un elemento diferencial (o roda- ja) con longitud dx y seccin transversal de rea A(x) se asla de la barra en la posicin arbitraria x. El diagrama de cuerpo libre de este elemento se muestra en la figura 4-2b. La fuerza axial interna resultante ser una funcin de x puesto que la carga externa distribuida har que vare a lo lar- go de la barra. Esta carga, P(x), deformar al elemento segn lo indica la lnea discontinua y, por consiguiente, el desplazamiento de un extremo del elemento con respecto al otro extremo es dd. El esfuerzo y la deformacin en el elemento son Siempre que el esfuerzo no exceda el lmite proporcional, es posible apli- car la ley de Hooke, es decir, dx dd (b) P(x) P(x)P2P1 x dx L (a) d Figura 4-2 s = P1x2 A1x2 y P = dd dx dd = P1x2 dx A x E P1x2 A1x2 1 2 = Ea dd dx b s = EP Capitulo 04_Hibbeler.indd 122 13/1/11 19:39:43 142. 4.2Deformacin elstica de un elemento cargado axialmente 123 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Esta expresin debe integrarse para toda la longitud L de la barra a fin de encontrar d. De lo anterior se obtiene: El desplazamiento vertical en la parte supe- rior de estas columnas para edificio depen- de de las cargas aplicadas sobre el techo y el piso fijado en su seccin media. Si la barra est sometida a varias fuerzas axiales diferentes en toda su longitud, o si el rea de la seccin o el mdulo de elasticidad cambian en forma abrupta de una regin de la barra a otra, la ecuacin anterior puede aplicarse a cada segmento de la barra donde estas cantidades permanecen constantes. En tal caso, el desplazamiento de un extremo de la barra con respecto al otro se encuentra a partir de la suma algebraica de los des- plazamientos relativos de los extremos de cada segmento. Para este caso general, donde d =desplazamiento de un punto de la barra en relacin con el otro punto L =longitud original de la barra P(x) =fuerza axial interna en la seccin, que se ubica a una distancia x de un extremo A(x) =rea de la seccin transversal de la barra, expresada como una funcin de x E =mdulo de elasticidad para el material Carga y rea de la seccin transversal constantes. En mu- chos casos, la barra tendr una seccin transversal constante con rea A; y el material ser homogneo, por lo que E ser constante. Adems, si se aplica una fuerza externa constante en cada extremo de la barra, figura 4-3, entonces la fuerza interna P a lo largo de la barra tambin ser constante. En consecuencia, la ecuacin 4-1 se puede integrar para obtener d = PL AE (4-2) d = L L 0 P1x2 dx A1x2E (4-1) d = a PL AE (4-3) Figura 4-3 P d P x L Capitulo 04_Hibbeler.indd 123 13/1/11 19:39:45 143. 124 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Convencin de signos. Con el fin de aplicar la ecuacin 4-3, debe desarrollarse una convencin de signos para la fuerza axial interna y el des- plazamiento de un extremo de la barra con respecto al otro. Para ello, se considerar que tanto la fuerza como el desplazamiento son positivos si causan tensin y elongacin, respectivamente, figura 4-4; mientras que una fuerza y desplazamiento negativos causarn compresin y contraccin, respectivamente. Por ejemplo, considere la barra de la figura 4-5a. Las fuerzas internas axiales P se determinan mediante el mtodo de las secciones para cada segmento, figura 4-5b. Son PAB = +5 kN, PBC = -3 kN, PCD = -7 kN. Esta variacin de la carga axial se muestra en el diagrama de fuerza axial o nor- mal para la barra, figura 4-5c. Como ahora se conoce la forma en que vara la fuerza interna a lo largo de la barra, el desplazamiento del extremo A con respecto al extremo D se determina a partir de P P d d Figura 4-5 Convencin de signos positivos para P y d Si se sustituyen los otros datos y se calcula una respuesta positiva, significa que el extremo A se alejar del extremo D (la barra se alarga), mientras que un resultado negativo indicara que el extremo A se desplaza hacia el extremo D (la barra se acorta). La notacin con doble subndice se utiliza para hacer referencia a este desplazamiento relativo (dA>D ); sin embargo, si el desplazamiento debe determinarse en relacin a un punto fijo, entonces se utilizar slo un subndice. Por ejemplo, si D se encuentra en un soporte fijo, entonces el desplazamiento se denominara simplemente dA . dA>D = a PL AE = 15 kN2LAB AE + 1-3 kN2LBC AE + 1-7 kN2LCD AE DA B C 8 kN 4 kN LAB LBC LCD (a) 5 kN 7 kN A A B 8 kN (b) D 7 kN PAB 5 kN PBC 3 kN PCD 7 kN 5 kN 5 kN P (kN) x 5 3 7 (c) Figura 4-4 Capitulo 04_Hibbeler.indd 124 13/1/11 19:39:48 144. 4.2Deformacin elstica de un elemento cargado axialmente 125 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Puntos importantes El principio de Saint-Venant establece que tanto la deformacin localizada como el esfuerzo que se pro- ducen dentro de las regiones donde se aplica la carga o en los soportes, tienden a equilibrarse despus de una distancia suficientemente alejada de estas regiones. El desplazamiento de un extremo de un elemento cargado axialmente con respecto a su otro extremo, se determina mediante la relacin de la carga interna aplicada y el esfuerzo usando s = P>A, y al relacionar el desplazamiento con la deformacin a travs de P = dd>dx. Por ltimo, estas dos ecuaciones se combinan mediante la ley de Hooke, s = EP, de donde se obtiene la ecuacin 4-1. Como la ley de Hooke se ha utilizado en el desarrollo de la ecuacin de desplazamiento, es importante que ninguna carga interna provoque la cedencia del material, y que el material sea homogneo y se com- porte en forma elstica lineal. Procedimiento de anlisis El desplazamiento relativo entre dos puntos A y B de un elemento axialmente cargado puede determinarse al aplicar la ecuacin 4-1 (o la ecuacin 4-2). Su aplicacin requiere los siguientes pasos. Fuerza interna. Use el mtodo de las secciones para determinar la fuerza axial interna P dentro del elemento. Si esta fuerza vara en toda la longitud del elemento debido a una carga externa distribuida, debe hacer- se una seccin a la distancia arbitraria x desde un extremo del elemento y la fuerza debe representarse como una funcin de x, es decir, P(x). Si sobre el elemento actan varias fuerzas externas constantes, debe determinarse la fuerza interna de cada segmento del elemento, entre cualquiera de las dos fuerzas externas. Para cualquier segmento, una fuerza de tensin interna es positiva y una fuerza de compresin interna es negativa. Por conveniencia, los resultados de las cargas internas pueden mostrarse de manera grfica mediante la construccin del diagrama de fuerza normal. Desplazamiento. Cuando el rea de la seccin transversal del elemento vara en toda su longitud, el rea debe expresarse como una funcin de su posicin x, es decir, A(x). Si el rea de la seccin transversal, el mdulo de elasticidad o la carga interna cambian de manera s bita, entonces la ecuacin 4-2 debe aplicarse a cada segmento para el que estas cantidades sean cons- tantes. Al sustituir los datos en las ecuaciones 4-1 a 4-3, asegrese de tomar en cuenta el signo adecuado para la fuerza interna P. Las cargas de tensin son positivas y las de compresin son negativas. Adems, use un conjunto consistente de unidades. Para cualquier segmento, si el resultado es una cantidad numrica positiva, indica elongacin; si es negativa, indica contraccin. Capitulo 04_Hibbeler.indd 125 13/1/11 19:39:48 145. 126 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.1 Figura 4-6 La barra de acero A-36 que se muestra en la figura 4-6a consta de dos segmentos con reas de seccin transversal AAB = 1 pulg2 y ABD = 2 pulg2 . Determine el desplazamiento vertical del extremo A y el des- plazamiento de B respecto a C. SOLUCIN Fuerzas internas. Debido a la aplicacin de cargas externas, las fuerzas axiales internas en las regiones AB, BC y CD sern diferentes entre s. Estas fuerzas se obtienen al aplicar el mtodo de las seccio- nes y la ecuacin de equilibrio de fuerzas verticales como se muestra en la figura 4-6b. Esta variacin se grafica en la figura 4-6c. Desplazamiento. Como indica la pgina final de este libro (al re- verso de la contraportada), Eac = 29(103 ) ksi. Si se usa la convencin de signos, es decir, las fuerzas internas de tensin son positivas y las fuerzas de compresin son negativas, el desplazamiento vertical de A respecto al soporte fijo D es Como el resultado es positivo, la barra se alarga y por consiguiente el desplazamiento de A es hacia arriba. Al aplicar la ecuacin 4-2 entre los puntos B y C, se obtiene, Aqu B se aleja de C, puesto que el segmento se alarga. 4 kip 4 kip 8 kip8 kip 15 kip 1.5 pies 2 pies 1 pie A B C D (a) 4 kip 4 kip 15 kip 4 kip 4 kip 15 kip15 kip (b) 8 kip8 kip PAB 15 kip PBC 7 kip PCD 9 kip P (kip) x (pie) 7 15 0 2 3.5 4.59 (c) Resp.= + 0.0127 pulg + [-9 kip]11 pie2112 pulg>pie2 12 pulg2 2 [29110 3 2 kip>pulg2 ] dA = a PL AE = [+15 kip]12 pies2112 pulg>pie2 11 pulg2 2[291103 2 kip>pulg2 ] + [+7 kip]11.5 pies2112 pulg>pie2 12 pulg2 2[29110 3 2 kip>pulg2 ] Resp.dB>C = PBCLBC ABCE = [+7 kip]11.5 pies2112 pulg>pie2 12 pulg2 2[291103 2 kip>pulg2 ] = +0.00217 pulg Capitulo 04_Hibbeler.indd 126 13/1/11 19:39:54 146. 4.2 Deformacin elstica de un elemento cargado axialmente 127 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.2 El ensamble que se muestra en la figura. 4-7a consiste en un tubo AB de aluminio que tiene una seccin transversal con un rea de 400 mm2 . Una varilla de acero con un dimetro de 10 mm se conecta a un collarn rgido y se pasa por el tubo. Si se aplica una carga de tensin de 80 kN sobre la varilla, determine el desplazamiento de su extremo C. Conside- re Eac = 200 GPa, Eal = 70 GPa. SOLUCIN Fuerzas internas. Los diagramas de cuerpo libre de los segmentos del tubo y la varilla que se muestran en la figura 4-7b, indican que la varilla est sometida a una tensin de 80 kN y el tubo est sujeto a una compresin de 80 kN. Desplazamiento. Primero se determina el desplazamiento del ex- tremo C con respecto al extremo B. Al utilizar unidades de newtons y metros, se tiene El signo positivo indica que el extremo C se mueve hacia la derecha en relacin con el extremo B, ya que la barra se alarga. El desplazamiento del extremo B con respecto al extremo fijo A es Aqu el signo negativo indica que el tubo se acorta, y por lo tanto B se mueve hacia la derecha con respecto a A. Como ambos desplazamientos son hacia la derecha, entonces el des- plazamiento de C en relacin con el extremo fijo A es dC>B = PL AE = [+801103 2 N]10.6 m2 p10.005 m22 [2001109 2 N>m2 ] = +0.003056 m : = -0.001143 m = 0.001143 m : dB = PL AE = [-801103 2 N]10.4 m2 [400 mm2 110-6 2 m2 >mm2 ][701109 2 N>m2 ] Resp.= 0.00420 m = 4.20 mm : dC = dB + dC>B = 0.001143 m + 0.003056 m1 :+ 2 Figura 4-7 400 mm 600 mm AB 80 kN (a) C 80 kN 80 kN (b) PAB 80 kN PBC 80 kN Capitulo 04_Hibbeler.indd 127 20/1/11 17:45:43 147. 128 Captulo 4 Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.3 La viga rgida AB descansa sobre dos postes cortos como se muestra en la figura. 4-8a. AC es de acero y tiene un dimetro de 20 mm, y BD es de aluminio y tiene un dimetro de 40 mm. Determine el desplazamiento del punto F en AB si se aplica una carga vertical de 90 kN sobre ese punto. Considere Eac = 200 GPa, Eal = 70 GPa. SOLUCIN Fuerzas internas. Las fuerzas de compresin que actan en la par- te superior de cada poste se determinan a partir del equilibrio del ele- mento AB, figura. 4-8b. Estas fuerzas son iguales a las fuerzas internas en cada poste, figura 4-8c. Desplazamiento. El desplazamiento de la parte superior de cada poste es Poste AC: Poste BD: En la figura 4-8d se muestra un diagrama que indica los desplaza- mientos de la lnea central de la viga en A, B y F. Entonces, por propor- cin del tringulo gris oscuro, el desplazamiento del punto F es 200 mm 400 mm 300 mm F A C B D 90 kN (a) 200 mm 400 mm 90 kN 60 kN 30 kN (b) 60 kN PAC 60 kN 30 kN PBD 30 kN (c) Figura 4-8 400 mm 0.184 mm 0.286 mm 0.102 mm 600 mm 0.102 mm BA F (d) dF = 0.286 mm T dA = PACLAC AACEac = [-601103 2 N]10.300 m2 p10.010 m22 [2001109 2 N>m2 ] = -286110-6 2 m = 0.102 mm T dB = PBDLBD ABDEal = [-301103 2 N]10.300 m2 p10.020 m22 [701109 2 N>m2 ] = -102110-6 2 m Resp.dF = 0.102 mm + 10.184 mm2a 400 mm 600 mm b = 0.225 mm T Capitulo 04_Hibbeler.indd 128 20/1/11 17:51:15 148. 4.2Deformacin elstica de un elemento cargado axialmente 129 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.4 Figura 4-9 Un elemento est hecho de un material con peso especfico g y mdulo de elasticidad E. Si tiene la forma de un cono con las dimensiones mos- tradas en la figura 4-9a, determine a qu distancia se desplaza su extre- mo debido a la gravedad cuando est suspendido en posicin vertical. SOLUCIN Fuerzas internas. La fuerza axial interna vara a lo largo del ele- mento, ya que depende del peso W(y) del segmento del elemento que se encuentra por debajo de cualquier seccin, figura 4-9b. Por lo tanto, para calcular el desplazamiento debe usarse la ecuacin 4-1. En la sec- cin situada a una distancia y de su extremo libre, el radio x del cono se determina como una funcin de y usando proporciones; es decir, El volumen de un cono con una base de radio x y altura y es Como W = gV, la fuerza interna en la seccin se convierte en Desplazamiento. El rea de la seccin transversal tambin es una funcin de la posicin y, figura 4-9b. Se tiene Al aplicar la ecuacin 4-1 entre los lmites de y = 0 y y = L se obtiene NOTA: Como una verificacin parcial de este resultado, observe que al cancelar las unidades de los trminos se obtiene el desplazamiento en unidades de longitud, tal como se esperaba. x y = r0 L ; x = r0 L y V = 1 3 pyx2 = pr0 2 3L2 y3 P1y2 = gpr0 2 3L2 y3 + cFy = 0; A1y2 = px2 = pr0 2 L2 y2 Resp.= gL2 6E = g 3E L L 0 y dy d = L L 0 P1y2 dy A1y2E = L L 0 C1gpr0 2 >3L2 2y3 D dy C1pr0 2 >L2 2y2 D E y L x r0 (a) y y x W(y) (b) P(y) x Capitulo 04_Hibbeler.indd 129 13/1/11 19:40:02 149. 130 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas fundamentales F4-1. La barra de acero A-36 con un dimetro de 20 mm est sometida a las fuerzas axiales mostradas. Determine el desplazamiento del extremo C con respecto al soporte fijo en A. F4-2. Los segmentos AB y CD del ensamble son barras circulares slidas, y el segmento BC es un tubo. Si el ensam- ble est hecho de aluminio 6061-T6, determine el desplaza- miento del extremo D con respecto al extremo A. F4-3. La barra de acero A-36 con un dimetro de 30 mm est sometida a la carga mostrada. Determine el desplaza- miento del extremo A con respecto al extremo C. F4-4. Si la barra con un dimetro de 20 mm est fabricada de acero A-36 y la rigidez del resorte es k = 50 MN>m, de- termine el desplazamiento del extremo A cuando se aplica la fuerza de 60 kN. F4-5. Una barra de aluminio 2014-T6 con un dimetro de 20 mm est sometida a la carga axial uniformemente distri- buida. Determine el desplazamiento del extremo A. F4-6. Una barra de aluminio 2014-T6 con un dimetro de 20 mm est sometida a la carga axial triangularmente distri- buida. Determine el desplazamiento del extremo A. CBA 50 kN 40 kN 50 kN 600 mm 400 mm F4-1 F4-2 10 kN 15 kN 15 kN 20 kN 10 kN 10 kN 400 mm400 mm 400 mm 20 mm 20 mm A a B D C 40 mm30 mm Seccin a-a F4-3 A B C 600 mm 3 3 4 4 5 5 90 kN 30 kN 30 kN 400 mm A 900 mm 30 kN/m F4-5 k 50 MN/m400 mm 400 mm 60 kN A B F4-4 F4-6 A 900 mm 45 kN/m Capitulo 04_Hibbeler.indd 130 13/1/11 19:40:18 150. 4.2Deformacin elstica de un elemento cargado axialmente 131 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 4-1. El barco es empujado a travs del agua mediante un eje propulsor de acero A-36 que tiene 8 m de largo, medidos desde la hlice hasta el cojinete de empuje D en el motor. Si tiene un dimetro exterior de 400 mm y un espesor de pared de 50 mm, determine la contraccin axial del eje cuando la hlice ejerce sobre l una fuerza de 5 kN. Los cojinetes en B y C son chumaceras. 4-3. La barra de acero A-36 est sometida a las cargas mostradas. Si el rea de la seccin transversal de la barra es de 50 mm2 , determine el desplazamiento de su extremo D. No tome en cuenta el tamao de los acoplamientos en B, C y D. *4-4. La barra de acero A-36 est sometida a las cargas mostradas. Si el rea de la seccin transversal de la barra es de 50 mm2 , determine el desplazamiento de C. No tome en cuenta el tamao de los acoplamientos en B, C y D. 4-2. El eje de cobre est sometido a las cargas axiales que se muestran en la figura. Determine el desplazamiento del extremo A con respecto al extremo D. Los dimetros de cada segmento son dAB = 3 pulg, dBC = 2 pulg y dCD = 1 pulg. Considere Ecu = 18(103 ) ksi. 4-5. El ensamble consiste en una barra de acero CB y una barra de aluminio BA, cada una con un dimetro de 12 mm. Si la barra est sometida a las cargas axiales en A y en el aco- plamiento B, determine el desplazamiento del acoplamiento B y el extremo A. La longitud sin estirar de cada segmen- to se muestra en la figura. No tome en cuenta el tamao de las conexiones en B y C, y suponga que stas son rgidas. Eac = 200 GPa, Eal = 70 GPa. 4-6. La barra cuenta con un rea de 3 pulg2 en su seccin transversal y E = 35(103 ) ksi. Determine el desplazamiento de su extremo A cuando est sometida a la carga distribuida que se muestra en la figura. Prob. 4-1 A B C D 8 m 5 kN Prob. 4-2 1 kip6 kip A 3 kip 2 kip 2 kipB C D 50 pulg 75 pulg 60 pulg w 500x1/3 lb/pulg 4 pies x A Prob. 4-6 18 kN 2 m3 m 6 kN B AC Prob. 4-5 Probs. 4-3/4 A 1.25 m1.5 m1 m DCB 4 kN9 kN 2 kN Capitulo 04_Hibbeler.indd 131 13/1/11 19:40:30 151. 132 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4-7. La carga de 800 lb est soportada por los cuatro alam- bres de acero inoxidable 304 que estn conectados a los elementos rgidos AB y DC. Determine el desplazamiento vertical de la carga si los elementos estaban en posicin hori- zontal antes de que la carga fuera aplicada. Cada cable tiene un rea de seccin transversal de 0.05 pulg2 . *4-8. La carga de 800 lb est soportada por los cuatro alambres de acero inoxidable 304 que estn conectados a los elementos rgidos AB y DC. Determine el ngulo de incli- nacin de cada elemento despus de aplicar la carga. Los elementos estaban en un principio en posicin horizontal y cada cable tiene un rea transversal de 0.05 pulg2 . 4-9. El ensamble consta de tres barras de titanio (Ti-6A1- 4V) y una barra rgida AC. El rea de la seccin transversal de cada barra se muestra en la figura. Si se aplica una fuer- za de 6 kip al anillo F, determine el desplazamiento horizon- tal del punto F. 4-10. El ensamble consta de tres barras de titanio (Ti-6A1- 4V) y una barra rgida AC. El rea de la seccin transversal de cada barra se muestra en la figura. Si se aplica una fuer- za de 6 kip al anillo F, determine el ngulo de inclinacin de la barra AC. 4-11. La carga est soportada por los cuatro alambres de acero inoxidable 304 que estn conectados a los elementos rgidos AB y DC. Determine el desplazamiento vertical de la carga de 500 libras si los elementos estaban en un prin- cipio en posicin horizontal al momento de aplicar la car- ga. Cada cable tiene una seccin transversal con un rea de 0.025 pulg2 . *4-12. La carga est soportada por los cuatro alambres de acero inoxidable 304 que estn conectados a los elementos rgidos AB y DC. Determine el ngulo de inclinacin de cada elemento despus de aplicar la carga de 500 libras. Los elementos estaban en un principio en posicin horizontal y cada cable tiene un rea transversal de 0.025 pulg2 . 4-13. La barra tiene una longitud L y un rea A en su sec- cin transversal. Determine la elongacin de la barra debida a la fuerza P y a su propio peso. El material tiene un peso especfico g (peso>volumen) y un mdulo de elasticidad E. 1.8 pies 1 pie 2 pies CD A B 3 pies 1 pie 5 pies 3 pies E F G 500 lb I H P L Prob. 4-13 Probs. 4-11/12 4.5 pies 2 pies 5 pies CD A B 1 pie 4 pies E F 800 lb H Probs. 4-7/8 6 pies 1 pie AEF 2 pulg2 AAB 1.5 pulg2 ACD 1 pulg2 4 pies 2 pies 6 kip F A C E B D 1 pie Probs. 4-9/10 Capitulo 04_Hibbeler.indd 132 13/1/11 19:40:35 152. 4.2Deformacin elstica de un elemento cargado axialmente 133 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4-14. El poste est fabricado de abeto Douglas y tiene un dimetro de 60 mm. Si est sometido a la carga de 20 kN y el suelo proporciona una resistencia a la friccin de w = 4 kN>m que se distribuye de manera uniforme a lo largo de sus lados, determine la fuerza F en su parte inferior que es necesaria para conservar el equilibrio. Adems, cul es el desplazamiento de la parte superior A del poste con res- pecto a su parte inferior B? No tome en cuenta el peso del poste. 4-15. El poste est fabricado de abeto Douglas y tiene un dimetro de 60 mm. Si est sometido a la carga de 20 kN y el suelo proporciona una resistencia a la friccin que se distribuye de manera uniforme en toda su longitud y que vara linealmente desde w = 0 en y = 0 hasta w = 3 kN>m en y = 2 m, determine la fuerza F en su parte inferior que es ne- cesaria para conservar el equilibrio. Adems, cul es el des- plazamiento de la parte superior A del poste con respecto a su parte inferior B? No tome en cuenta el peso del poste. *4-16. El sistema de eslabones est hecho de dos elemen- tos de acero A-36 conectados mediante pasadores, cada uno de los elementos tiene un rea transversal de 1.5 pulg2 . Si se aplica una fuerza vertical de P = 50 kip sobre el punto A, determine su desplazamiento vertical en A. 4-17. El sistema de eslabones est hecho de dos elemen- tos de acero A-36 conectados mediante pasadores, cada uno de los elementos tiene un rea transversal de 1.5 pulg2 . De- termine la magnitud de la fuerza P necesaria para desplazar el punto A 0.025 pulg hacia abajo. 4-18. El ensamble consiste en dos barras de acero A-36 y una barra rgida BD. Cada una de ellas tiene un dimetro de 0.75 pulg. Si se aplica una fuerza de 10 kip sobre la barra como se muestra en la figura, determine el desplazamiento vertical de la carga. 4-19. El ensamble consiste en dos barras de acero A-36 y una barra rgida BD. Cada una de ellas tiene un dimetro de 0.75 pulg. Si se aplica una fuerza de 10 kip sobre la barra, determine el ngulo de inclinacin de la barra. *4-20. La barra rgida se sostiene mediante una varilla CB, la cual est conectada con pasadores, tiene un rea en su seccin transversal de 500 mm2 y est fabricada de acero A-36. Determine el desplazamiento vertical de la barra en B cuando se aplica la carga mostrada. Probs. 4-14/15 w y A 2 m 20 kN B F Probs. 4-16/17 1.5 pies1.5 pies C A B 2 pies P Probs. 4-18/19 0.75 pie 3 pies 1.25 pies 10 kip A E F C B D 1 pie 2 pies Prob. 4-20 4 m 3 m B 45 kN/m A C Capitulo 04_Hibbeler.indd 133 13/1/11 19:40:39 153. 134 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4-21. Una tubera colgante soportada por el ensamble mostrado consta de dos resortes que estn en un principio sin estirar y tienen una rigidez de k = 60 kN>m, tres barras de acero inoxidable 304, AB y CD, con un dimetro de 5 mm, y EF, que tiene un dimetro de 12 mm, as como una viga rgida GH. Si la tubera y el fluido que transporta tienen un peso total de 4 kN, determine el desplazamiento de la tube- ra cuando se conecta al soporte. 4-22. Una tubera colgante soportada por el ensamble mostrado en la figura consta de dos resortes que estn en un principio sin estirar y tienen una rigidez de k = 60 kN>m, tres barras de acero inoxidable 304, AB y CD, con un dimetro de 5 mm, y EF, que tiene un dimetro de 12 mm, as como una viga rgida GH. Si la tubera se desplaza 82 mm cuando se llena de un fluido, determine el peso de ste. 4-23. La barra tiene un ligero ahusamiento y una longitud L. Se suspende del techo y soporta una carga P en su extre- mo. Demuestre que el desplazamiento de su extremo debido a esta carga es de d = PL>(pEr2 r1 ). No tome en cuenta el peso del material. El mdulo de elasticidad es E. *4-24. Determine el desplazamiento relativo de un extre- mo de la placa ahusada con respecto al otro extremo cuando se somete a una carga axial P. 4-25. Determine la elongacin del elemento de acero A-36 cuando se somete a una fuerza axial de 30 kN. El elemento tiene 10 mm de espesor. Utilice el resultado del problema 4-24. 4-26. La fundicin est fabricada de un material que tiene un peso especfico g y un mdulo de la elasticidad E. Si tie- ne la forma de una pirmide cuyas dimensiones se muestran en la figura, determine qu tanto se desplaza su extremo de- bido a la gravedad cuando se suspende en posicin vertical. Probs. 4-21/22 A C DB F G H E 0.25 m0.25 m 0.75 m k k 0.75 m Prob. 4-23 P L r2 r1 Prob. 4-24 P t d1 d2 h P Prob. 4-25 30 kN 30 kN 0.5 m 20 mm 75 mm Prob. 4-26 b0 b0 L Capitulo 04_Hibbeler.indd 134 13/1/11 19:40:45 154. 4.2Deformacin elstica de un elemento cargado axialmente 135 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4-27. La barra circular tiene un radio variable de r = r0 eax y est fabricada de un material con mdulo de elasticidad E. Determine el desplazamiento del extremo A cuando se somete a la fuerza axial P. *4-28. El pedestal est hecho de modo que tiene un radio definido por la funcin r = 2>(2 + y1>2 ) pies, donde y est dado en pies. Si el mdulo de elasticidad del material es E = 14(103 ) psi, determine el desplazamiento de su parte su- perior cuando soporta la carga de 500 lb. 4-29. El soporte mostrado se hizo cortando los dos lados opuestos de una esfera con radio r0 . Si la altura original del soporte es r0 >2, determine qu tanto se acorta ste al sopor- tar una carga P. El mdulo de elasticidad es E. 4-30. El peso del cargamento ejerce una fuerza axial de P = 1500 kN sobre el pilote enterrado de concreto de alta resistencia que tiene un dimetro de 300 mm. Si la distribu- cin de la friccin de la resistencia superficial desarrollada a partir de la interaccin entre el suelo y la superficie del pi- lote es aproximadamente como se muestra en la figura, y se requiere que la fuerza resultante contraria F sea igual a cero, determine la intensidad mxima p0 kN>m necesaria para el equilibrio. Asimismo, encuentre el correspondiente acorta- miento elstico del pilote. No tome en cuenta su peso. Prob. 4-27 r r0 eax r0 L x A P B Prob. 4-28 4 pies y r y 500 lb 0.5 pie r 1 pie 2 (2 y 1/2 ) Prob. 4-29 r0 P r0 2 Prob. 4-30 F P p0 12 m Capitulo 04_Hibbeler.indd 135 13/1/11 19:40:53 155. 136 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.3 Principio de superposicin Con frecuencia, el principio de superposicin se utiliza para determinar el esfuerzo o el desplazamiento en un punto de un elemento cuando ste se encuentra sometido a una carga complicada. Al subdividir la carga en sus componentes, el principio de superposicin establece que el esfuerzo o el desplazamiento resultante en el punto puede determinarse mediante la suma algebraica del esfuerzo o el desplazamiento causado por cada com- ponente de la carga aplicado por separado al elemento. Para que el principio de superposicin pueda aplicarse deben cumplirse las siguientes dos condiciones. 1. La carga debe estar relacionada linealmente con el esfuerzo o el des- plazamiento que se va a determinar. Por ejemplo, las ecuaciones s = P>A y d = PL>AE implican una relacin lineal entre P y s o d. 2. La carga no debe cambiar significativamente la geometra original o la configuracin del elemento. Si se producen cambios significati- vos, la direccin y ubicacin de las fuerzas aplicadas y sus momentos tambin cambiar. Por ejemplo, considere la varilla delgada que se muestra en la figura 4-10a, la cual est sometida a una carga P. En la figura 4-10b, P se sustituye por dos de sus componentes, P = P1 + P2 . Si P ocasiona que la varilla se doble en gran medida, como lo muestra la figura, entonces el momento de la carga sobre su soporte Pd, no ser igual a la suma de los momentos de las cargas que lo componen, Pd Z P1 d1 + P2 d2 , porque d1 Z d2 Z d. Este principio se utiliza a lo largo del libro cada vez que se supone la aplicacin de la ley de Hooke y, adems, cuando los cuerpos sometidos a carga sufren deformaciones tan pequeas que el cambio de posicin y direccin de la carga es insignificante y puede ser descartado. (a) d P (b) d1 d2 P1 P2 Figura 4-10 Capitulo 04_Hibbeler.indd 136 13/1/11 19:40:53 156. 4.4 Elementos estticamente indeterminados cargados axialmente 137 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.4Elementos estticamente indeterminados cargados axialmente Considere la barra mostrada en la figura 4-11a que est empotrada en sus dos extremos. A partir del diagrama de cuerpo libre, figura 4-11b, el equi- librio requiere Este tipo de problema se denomina estticamente indeterminado, ya que la(s) ecuacin(es) de equilibrio no son suficientes para determinar las dos reacciones en la barra. A fin de establecer una ecuacin adicional necesaria para la solucin, se requiere considerar cmo se desplazan los puntos en la barra. En particu- lar, una ecuacin que especifique las condiciones para el desplazamiento se conoce como una condicin de compatibilidad o condicin cinemtica. En este caso, una condicin de compatibilidad adecuada requiere que el desplazamiento de un extremo de la barra en relacin con el otro sea igual a cero, ya que dichos extremos estn empotrados. Por lo tanto, la condi- cin de compatibilidad se convierte en Esta ecuacin puede expresarse en trminos de las cargas aplicadas me- diante el uso de una relacin carga-desplazamiento, que depende del com- portamiento del material. Por ejemplo, si se produce un comportamiento elstico lineal, puede utilizarse d = PL>AE. Si se toma en cuenta que la fuerza interna en el segmento AC es de +FA , y que en el segmento CB la fuerza interna -FB , figura 4-11c, la ecuacin anterior puede escribirse como Si se supone que AE es constante, entonces FA = FB (LCB >LAC ), de modo que al usar la ecuacin de equilibrio, las ecuaciones de las reacciones se convierten en Como ambos resultados son positivos, la direccin de las reacciones se muestra correctamente en el diagrama de cuerpo libre. FB + FA - P = 0+ cF = 0; dA>B = 0 FALAC AE - FBLCB AE = 0 FA = P LCB L y FB = P LAC L LAC P C LCB L A B (a) P (c) FB FA FA FA FB FB (b) Figura 4-11 Capitulo 04_Hibbeler.indd 137 13/1/11 19:40:56 157. 138 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Puntos importantes En ocasiones, el principio de superposicin se utiliza para simplificar los problemas de esfuerzo y despla- zamiento con cargas complicadas. Esto se hace mediante la subdivisin de la carga en sus componentes, para despus sumar los resultados algebraicamente. La superposicin requiere que la carga se relacione linealmente con el esfuerzo o el desplazamiento, y que la carga no cambie de manera significativa la geometra original del elemento. Un problema es estticamente indeterminado si las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para deter- minar todas las reacciones en un elemento. Las condiciones de compatibilidad especifican las restricciones de desplazamiento que se producen en los soportes u otros puntos de un elemento. Procedimiento de anlisis Las reacciones en los apoyos para problemas estticamente indeter- minados se calculan al satisfacer los requerimientos de equilibrio, compatibilidad y fuerza-desplazamiento para el elemento. Equilibrio. Dibuje un diagrama de cuerpo libre del elemento a fin de iden- tificar todas las fuerzas que actan sobre l. El problema se puede clasificar como estticamente indetermi- nado si el nmero de reacciones desconocidas en el diagrama de cuerpo libre es mayor que el nmero de ecuaciones de equi- librio disponibles. Escriba las ecuaciones de equilibrio para el elemento. Compatibilidad. Considere dibujar un diagrama de desplazamiento a fin de in- vestigar la forma en que los elementos se alargan o contraen al ser sometidos a las cargas externas. Exprese las condiciones de compatibilidad en trminos de los desplazamientos causados por la carga. Use una relacin carga-desplazamiento, como d = PL>AE, para relacionar los desplazamientos desconocidos con las reaccio- nes. Despeje las reacciones de las ecuaciones de equilibrio y com- patibilidad. Si alguno de los resultados tiene un valor numrico negativo, entonces la fuerza acta en sentido contrario al de la direccin indicada en el diagrama de cuerpo libre. La mayora de las columnas de concre- to estn reforzadas con barras de acero; y como estos dos materiales trabajan juntos para soportar la carga aplicada, las fuerzas en cada material se vuelven estticamente indeterminadas. Capitulo 04_Hibbeler.indd 138 13/1/11 19:40:57 158. 4.4 Elementos estticamente indeterminados cargados axialmente 139 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.5 Figura 4-12 La barra de acero que se muestra en la figura 4-12a tiene un dimetro de 10 mm. Est empotrada a la pared en A y antes de recibir la carga, hay un espacio de 0.2 mm entre la pared en B y la barra. Determine las reacciones en A y B si la barra est sometida a una fuerza axial de P = 20 kN como se muestra en la figura. No tome en cuenta el tamao del collarn en C. Considere Eac = 200 GPa. SOLUCIN Equilibrio. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre, figura 4-12b, se supondr que la fuerza P es lo suficientemente grande para causar que el extremo B de la barra toque la pared en B. El problema es estticamente indeterminado ya que hay dos incgnitas y slo una ecuacin de equilibrio. Compatibilidad. La fuerza P ocasiona que el punto B se mueva hasta B, sin desplazamientos adicionales. Por lo tanto, la condicin de compatibilidad para la barra es Este desplazamiento puede expresarse en trminos de las reacciones desconocidas empleando la relacin carga-desplazamiento, ecuacin 4-2, aplicada a los segmentos AC y CB, figura 4-12c. Al usar unidades de newtons y metros, se tiene o bien Si se resuelven las ecuaciones 1 y 2, se obtiene Como la respuesta para FB es positiva, de hecho el extremo B hace con- tacto con la pared en B, como se supuso en un inicio. NOTA: Si FB fuera una cantidad negativa, el problema sera esttica- mente determinado, de manera que FB = 0 y FA = 20 kN. (1)-FA - FB + 201103 2 N = 0:+ Fx = 0; dB>A = 0.0002 m - FB10.8 m2 p10.005 m22 [2001109 2 N>m2 ] 0.0002 m = FA10.4 m2 p10.005 m22 [2001109 2 N>m2 ] dB>A = 0.0002 m = FALAC AE - FBLCB AE (2)FA10.4 m2 - FB10.8 m2 = 3141.59 N # m Resp.FA = 16.0 kN FB = 4.05 kN 400 mm 800 mm A B C B P 20 kN (a) 0.2 mm FA FB (b) P 20 kN (c) FB FA FA FB Capitulo 04_Hibbeler.indd 139 13/1/11 19:41:02 159. 140 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.6 Figura 4-13 El poste de aluminio de la figura 4-13a se refuerza con un ncleo de latn. Si este ensamble soporta una carga axial de compresin de P = 9 kip, apli- cada sobre la tapa rgida, determine el esfuerzo normal promedio en el aluminio y el latn. Considere Eal = 10(103 ) ksi y Ebr = 15(103 ) ksi. SOLUCIN Equilibrio. En la figura 4-13b, se muestra el diagrama de cuerpo libre para el poste. Aqu, la fuerza axial resultante en la base se representa mediante las componentes desconocidas soportadas por el aluminio, Fal , y el latn, Fbr . El problema es estticamente indeterminado. Por qu? El equilibrio vertical de fuerzas requiere Compatibilidad. La tapa rgida en la parte superior del poste oca- siona que tanto el aluminio como el latn se desplacen en la misma cantidad. Por lo tanto, Usando las relaciones carga-desplazamiento, Al resolver las ecuaciones 1 y 2 de manera simultnea se obtiene Como los resultados son positivos, de hecho el esfuerzo ser de com- presin. Por consiguiente, el esfuerzo normal promedio en el aluminio y el latn es NOTA: En la figura 4-13c se muestran las distribuciones de esfuerzo con base en estos resultados. (1)-9 kip + Fal + Fbr = 0+ cFy = 0; dal = dbr (2)Fal = 2Fbr Fal = FbrB p[12 pulg22 - 11 pulg22 ] p11 pulg22 R B 101103 2 ksi 151103 2 ksi R Fal = Fbra Aal Abr b a Eal Ebr b FalL AalEal = FbrL AbrEbr Fal = 6 kip Fbr = 3 kip Resp.sal = 6 kip p[12 pulg22 - 11 pulg22 ] = 0.637 ksi Resp.sbr = 3 kip p11 pulg22 = 0.955 ksi 1.5 pies P 9 kip (a) 1 pulg2 pulg P 9 kip (b) Fbr Fal (c) sal 0.637 ksi sbr 0.955 ksi Capitulo 04_Hibbeler.indd 140 13/1/11 19:41:07 160. 4.4 Elementos estticamente indeterminados cargados axialmente 141 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.7 Figura 4-14 Las tres barras de acero A-36 que se muestran en la figura 4-14a estn conectadas mediante pasadores a un elemento rgido. Si la carga aplica- da sobre el elemento es de 15 kN, determine la fuerza desarrollada en cada barra. Las barras AB y EF tienen cada una un rea en su seccin transversal de 50 mm2 , mientras que dicha rea en la barra CD es de 30 mm2 . SOLUCIN Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre del elemento rgido se mues- tra en la figura 4-14b. Este problema es estticamente indeterminado ya que hay tres incgnitas y slo dos ecuaciones de equilibrio disponibles. Compatibilidad. La carga aplicada har que la lnea horizontal ACE que se muestra en la figura 4-14c se convierta en la lnea inclinada ACE. Los desplazamientos de los puntos A, C y E pueden relacio- narse mediante tringulos semejantes. As, la ecuacin de compatibili- dad que relaciona estos desplazamientos es Mediante la relacin carga-desplazamiento, ecuacin. 4-2, se tiene Al resolver las ecuaciones 1 a 3 de manera simultnea se obtiene (1) (2)-FA10.4 m2 + 15 kN10.2 m2 + FE10.4 m2 = 0d+MC = 0; FA + FC + FE - 15 kN = 0+ cFy = 0; dC = 1 2 dA + 1 2 dE dA - dE 0.8 m = dC - dE 0.4 m (3)FC = 0.3FA + 0.3FE FCL 130 mm2 2Eac = 1 2 c FAL 150 mm2 2Eac d + 1 2 c FEL 150 mm2 2Eac d Resp. Resp. Resp.FE = 2.02 kN FC = 3.46 kN FA = 9.52 kN 15 kN 0.4 m B A (a) D C F E 0.5 m 0.2 m 0.2 m 15 kN 0.2 m 0.2 m 0.4 m (b) FA FC FE C 0.4 m (c) C 0.4 m A E A C E dA dA dE dC dE dE dC dE Capitulo 04_Hibbeler.indd 141 13/1/11 19:41:10 161. 142 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.8 Figura 4-15 El perno mostrado en la figura 4-15a est hecho de una aleacin de alu- minio 2014-T6 y se aprieta de modo que comprime un tubo cilndrico hecho con una aleacin de magnesio Am 1004-T61. El tubo tiene un radio exterior de 1 2 pulg y se supone que tanto el radio interior del tubo como el radio del perno son de 1 4 pulg. Se considera que las arandelas en las partes superior e inferior del tubo son rgidas y que tienen un espesor insignificante. En un inicio, la tuerca se aprieta perfectamente a mano, despus se aprieta media vuelta ms usando una llave. Si el torni- llo tiene 20 hilos por pulgada, determine la tensin en el perno. SOLUCIN Equilibrio. Se considera el diagrama de cuerpo libre de una seccin del perno y el tubo de la figura 4-15b a fin de relacionar la fuerza en el perno, Fb , con la del tubo, Ft . El equilibrio requiere Compatibilidad. Cuando se aprieta la tuerca en el perno, el tubo se acortar dt , y el perno se alargar db , como en la figura 4-15c. Como la tuerca experimenta la mitad de una vuelta, avanza una distancia de (1 2)( 1 20 de pulg) = 0.025 pulg a lo largo del perno. Por lo tanto, la compa- tibilidad de estos desplazamientos requiere Si se toman los mdulos de elasticidad de la tabla que se encuentra en la pgina final de este libro, y se aplica la ecuacin 4-2, se obtiene Al resolver las ecuaciones 1 y 2 de manera simultnea, resulta Por lo tanto, los esfuerzos en el perno y el tubo son Estos esfuerzos son menores que el esfuerzo de cedencia reportado para cada material, (sY )al = 60 ksi y (sY )mg = 22 ksi (vea la pgina final de este libro). Por consiguiente, este anlisis elstico es vlido. (1)Fb - Ft = 0+ cFy = 0; dt = 0.025 pulg - db1+ c2 (2) Fb = Ft = 11.22 kip 0.78595Ft = 25 - 1.4414Fb 0.025 pulg - Fb13 pulg2 p10.25 pulg22 [10.61103 2 ksi] Ft13 pulg2 p[10.5 pulg22 - 10.25 pulg22 ][6.481103 2 ksi] = (2) Fb = Ft = 11.22 kip 0.78595Ft = 25 - 1.4414Fb 0.025 pulg - Fb13 pulg2 p10.25 pulg22 [10.61103 2 ksi] Ft13 pulg2 p[10.5 pulg22 - 10.25 pulg22 ][6.481103 2 ksi] = Resp. st = Ft At = 11.22 kip p[10.5 pulg22 - 10.25 pulg22 ] = 19.1 ksi sb = Fb Ab = 11.22 kip p10.25 pulg2 2 = 57.2 ksi 3 pulg pulg (a) de pulg 1 2 1 4 (b) Ft Fb (c) 0.025 pulg Posicin inicial Posicin final dt db Capitulo 04_Hibbeler.indd 142 13/1/11 19:41:15 162. 4.5Mtodo de las fuerzas para el anlisis de elementos cargados axialmente 143 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.5Mtodo de las fuerzas para el anlisis de elementos cargados axialmente Los problemas estticamente indeterminados tambin pueden resolverse al escribir la ecuacin de compatibilidad mediante el principio de superpo- sicin. Este mtodo de solucin se conoce a menudo como el mtodo de las fuerzas o de las flexibilidades. Para mostrar cmo se aplica, considere de nuevo la barra de la figura 4-16a. Si se elige el soporte en B como re- dundante y se elimina temporalmente su efecto en la barra, entonces la barra se convertir en estticamente determinada como en la figura 4-16b. Al emplear el principio de superposicin se debe aadir de nuevo la carga redundante desconocida FB , como se muestra en la figura 4-16c. Si la carga P causa que B se desplace hacia abajo una cantidad dP , la reaccin FB debe desplazar al extremo B de la barra hacia arriba en una extensin dB , de modo que cuando se superponen las dos cargas no ocurra desplazamiento en B. Por lo tanto, Esta ecuacin representa la ecuacin de compatibilidad para los desplaza- mientos en el punto B, para lo cual se ha supuesto que los desplazamientos son positivos hacia abajo. Al aplicar la relacin carga-desplazamiento para cada caso, se tiene dP = PLAC >AE y dB = FB L>AE. En consecuencia, A partir del diagrama de cuerpo libre de la barra, figura 4-11b, ahora la reaccin en A puede determinarse a partir de la ecuacin de equilibrio, Como LCB = L - LAC , entonces Estos resultados son los mismos que los obtenidos en la seccin 4.4, ex- cepto que aqu se aplic la condicin de compatibilidad para obtener una reaccin y despus la condicin de equilibrio para obtener la otra. 0 = dP - dB1+ T2 FB = Pa LAC L b 0 = PLAC AE - FBL AE Pa LAC L b + FA - P = 0+ cFy = 0; FA = Pa LCB L b Figura 4-16 No hay desplazamiento en B (a) Desplazamiento en B cuando se retira la fuerza redundante en ese punto (b) Desplazamiento en B cuando slo se aplica la fuerza redundante en ese punto (c) A P FB P A A B C LAC LCB L dP dB Capitulo 04_Hibbeler.indd 143 13/1/11 19:41:17 163. 144 Captulo 4 Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.9 Figura 4-17 Procedimiento de anlisis El anlisis del mtodo de las fuerzas requiere los siguientes pasos. Compatibilidad. Elija uno de los soportes como redundante y escriba la ecuacin de compatibilidad. Para hacer esto, el desplazamiento conocido en el apoyo redundante, que suele ser cero, se iguala al desplazamiento en el soporte causado slo por las cargas externas que actan sobre el elemento ms (suma vectorial) el desplazamiento en este soporte causado slo por la reaccin redundante que acta sobre el elemento. Exprese la carga externa y los desplazamientos redundantes en trminos de las cargas usando una rela- cin carga-desplazamiento, como d = PL>AE. Una vez establecida, la ecuacin de compatibilidad puede resolverse para la magnitud de la fuerza redundante. Equilibrio. Dibuje un diagrama de cuerpo libre y escriba las ecuaciones de equilibrio adecuadas para el elemento. Para ello utilice el resultado calculado en la fuerza redundante. Resuelva estas ecuaciones para cual- quier otra reaccin. En la figura 4-17a se muestra una barra de acero A-36 que tiene un dimetro de 10 mm y est empotrada en la pared en A. Antes de aplicar una carga, hay un espacio de 0.2 mm entre la pared en B y la barra. Determine las reacciones en A y B. No tome en cuenta el tamao del collarn en C. Considere que Eac = 200 GPa. SOLUCIN Compatibilidad. Aqu se considerar que el soporte en B es redun- dante. Si se utiliza el principio de superposicin, figura 4-l7b, se tiene Las deflexiones dP y dB se determinan a partir de la ecuacin 4-2. Al sustituir en la ecuacin 1, se tiene Equilibrio. A partir del diagrama de cuerpo libre mostrado en la fi- gura 4-17c, dB = FBLAB AE = FB11.20 m2 p10.005 m22 [2001109 2 N>m2 ] = 76.3944110-9 2FB dP = PLAC AE = [201103 2 N]10.4 m2 p10.005 m22 [2001109 2 N>m2 ] = 0.5093(10-3 ) m Resp.FB = 4.051103 2 N = 4.05 kN m2000.0 = 0.5093(10-3 ) m - 76.3944110-9 2FB Resp.:+ Fx = 0; -FA + 20 kN - 4.05 kN = 0 FA = 16.0 kN (1)0.0002 m = dP - dB1 :+ 2 (b) 0.2 mm FB P 20 kN P 20 kN Posicin inicial Posicin final 400 mm 800 mm C P 20 kN (a) 0.2 mm A B 20 kNFA 3.39 kN (c) dP dB Capitulo 04_Hibbeler.indd 144 20/1/11 17:53:16 164. 4.5Mtodo de las fuerzas para el anlisis de elementos cargados axialmente 145 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 4-31. La columna est hecha de concreto de alta resisten- cia y seis varillas de refuerzo de acero A-36. Si la columna se somete a una fuerza axial de 30 kip, determine el esfuerzo normal promedio en el concreto y en cada varilla. Cada una tiene un dimetro de 0.75 pulg. *4-32. La columna est hecha de concreto de alta resisten- cia y seis varillas de refuerzo de acero A-36. Si la columna se somete a una fuerza axial de 30 kips, determine el dimetro requerido de cada varilla de tal manera que una cuarta parte de la carga sea soportada por el concreto y tres cuartas par- tes por el acero. 4-34. El poste A de acero inoxidable 304 tiene un dimetro d = 2 pulg y est rodeado por el tubo B de latn rojo C83400. Ambos descansan sobre una superficie rgida. Si se aplica una fuerza de 5 kip sobre la tapa rgida, determine el esfuer- zo normal promedio desarrollado en el poste y en el tubo. 4-35. El poste A de acero inoxidable 304 est rodeado por el tubo B de latn rojo C83400. Ambos descansan sobre una superficie rgida. Si se aplica una fuerza de 5 kip sobre la tapa rgida, determine el dimetro d requerido para el poste de acero de modo que la carga se reparta en partes iguales entre el poste y el tubo. Prob. 4-33 4-33. El tubo de acero se llena con concreto y se somete a una fuerza de compresin de 80 kN. Determine el esfuer- zo normal promedio en el concreto y el acero debido a esta carga. El tubo tiene un dimetro exterior de 80 mm y un dimetro interior de 70 mm. Eac = 200 GPa, Ec = 24 GPa. *4-36. La barra compuesta consta de un segmento AB de acero A-36 con un dimetro de 20 mm y segmentos finales DA y CB de latn rojo C83400 con un dimetro de 50 mm. Para cada segmento, determine el esfuerzo normal prome- dio debido a la carga aplicada. 4-37. La barra compuesta consta de un segmento AB de acero A-36 con un dimetro de 20 mm y segmentos finales DA y CB de latn rojo C83400 con un dimetro de 50 mm. Determine el desplazamiento de A con respecto a B debido a la carga aplicada. 500 mm 80 kN Probs. 4-31/32 3 pies 30 kip 4 pulg Probs. 4-34/35 5 kip d 0.5 pulg 8 pulg A 3 pulg B A B Probs. 4-36/37 50 mm 20 mm D C75 kN 75 kN 100 kN 100 kN A B 500 mm250 mm 250 mm Capitulo 04_Hibbeler.indd 145 13/1/11 19:41:26 165. 146 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4-38. La columna de acero A-36 que tiene un rea trans- versal de 18 pulg2 , est ahogada en concreto de alta resis- tencia como se muestra en la figura. Si se aplica una fuerza axial de 60 kip sobre la columna, determine el esfuerzo de compresin promedio en el concreto y el acero. Qu tanto se acorta la columna si su longitud original es de 8 pies? 4-39. La columna de acero A-36 que tiene un rea trans- versal de 18 pulg2 , est ahogada en concreto de alta resisten- cia como se muestra en la figura. Si se aplica una fuerza axial de 60 kip sobre la columna, determine el rea requerida del acero para que la fuerza se reparta por igual entre el acero y el concreto. Qu tanto se acorta la columna si su longitud original es de 8 pies? *4-40. El elemento rgido se mantiene en la posicin mos- trada mediante las tres barras de sujecin fabricadas de ace- ro A-36. Cada barra tiene una longitud sin estirar de 0.75 m y un rea en su seccin transversal de 125 mm2 . Determine las fuerzas en las barras si un torniquete en la barra EF realiza una vuelta completa. El paso del tornillo es de 1.5 mm. No tome en cuenta el tamao del torniquete y suponga que es rgido. Nota: El paso del tornillo causa que, al apretarse, la barra se acorte 1.5 mm debido a la revolucin completa del torniquete. 4-41. El poste de concreto se refuerza usando seis barras de acero, cada una con un dimetro de 20 mm. Determine el esfuerzo en el concreto y el acero si el poste est sometido a una carga axial de 900 kN. Eac = 200 GPa, Ec = 25 GPa. 4-42. El poste de concreto se refuerza usando seis barras de acero A-36. Si el poste se somete a una fuerza axial de 900 kN, determine el dimetro requerido para cada varilla de manera que una quinta parte de la carga est soportada por el acero y cuatro quintas partes por el concreto. Eac = 200 GPa, Ec = 25 GPa. 4-43. El ensamble consta de dos barras AB y CD de una aleacin de latn rojo C83400 con un dimetro de 30 mm, una barra EG de aleacin de acero inoxidable 304 con un dimetro de 40 mm y una tapa rgida G. Si los soportes en A, C y F son rgidos, determine el esfuerzo normal promedio desarrollado en las barras AB, CD y EF. 60 kip 9 pulg 8 pies 16 pulg Probs. 4-38/39 0.5 m B A D C0.5 m 0.75 m 0.75 m F E Prob. 4-40 40 kN 40 kN 300 mm 450 mm 30 mm 30 mm 40 mm A B C D E F G Prob. 4-43 900 kN 375 mm 250 mm Probs. 4-41/42 Capitulo 04_Hibbeler.indd 146 13/1/11 19:41:33 166. 4.5Mtodo de las fuerzas para el anlisis de elementos cargados axialmente 147 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Prob. 4-48 *4-44. Los dos tubos estn hechos del mismo material y se encuentran conectados como lo muestra la figura. Si el rea de la seccin transversal de BC es A y la del CD es de 2A, determine las reacciones en B y D, cuando se aplica una fuerza P en la unin C. 4-45. El perno tiene un dimetro de 20 mm y pasa a travs de un tubo con un dimetro interior de 50 mm y un dime- tro exterior de 60 mm. Si el perno y el tubo estn hechos de acero A-36, determine el esfuerzo normal en el tubo y el perno cuando se aplica una fuerza de 40 kN sobre el perno. Suponga que las tapas en los extremos son rgidas. 4-46. Si la distancia entre C y la pared rgida en D es en un principio de 0.15 mm, determine las reacciones de apoyo en A y D cuando se aplica la fuerza P = 200 kN. El ensamble est hecho de acero A-36. 4-47. Dos cables de acero A-36 se utilizan para sostener el motor de 650 lb. En un principio, AB tiene 32 pulg de largo y AB tiene 32.008 pulg. Determine la fuerza que soporta cada cable cuando el motor cuelga de ellos. Cada cable tiene un rea en su seccin transversal de 0.01 pulg2 . *4-48. La barra AB tiene un dimetro d y se ajusta perfec- tamente a los soportes rgidos en A y B cuando est descar- gada. El mdulo de elasticidad es E. Determine las reaccio- nes en los soportes A y B si la barra se somete a la carga axial linealmente distribuida que se muestra en la figura. Prob. 4-44 L 2 L 2 B C D P Prob. 4-45 40 kN 150 mm 160 mm 40 kN Prob. 4-47 BB AA A B L x p x p0 L p0 Prob. 4-46 A P B C D 50 mm 600 mm 600 mm 0.15 mm 25 mm Capitulo 04_Hibbeler.indd 147 13/1/11 19:41:47 167. 148 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4-49. El elemento ahusado se conecta fijamente en sus extremos A y B y se somete a una carga P = 7 kip en x = 30 pulg. Determine las reacciones en los soportes. El material tiene 2 pulg de espesor y est hecho de aluminio 2014-T6. 4-50. El elemento ahusado se conecta fijamente en sus ex- tremos A y B y se somete a una carga P. Determine la ubi- cacin x de la carga y su magnitud mxima de tal forma que el esfuerzo normal promedio en la barra no exceda sperm = 4 ksi. El elemento tiene 2 pulg de espesor. 4-51. La barra rgida soporta la carga uniforme distribui- da de 6 kip>pie. Determine la fuerza en cada cable si stos tienen un rea en su seccin transversal de 0.05 pulg2 y E = 31(103 ) ksi. *4-52. La barra rgida se encuentra en un principio en po- sicin horizontal y est soportada por dos cables con un rea en su seccin transversal de 0.05 pulg2 y E = 31(103 ) ksi. De- termine la pequea rotacin que ocurre en la barra cuando se aplica la carga uniforme. 4-53. La prensa consiste en dos cabezales rgidos que se mantienen unidos mediante dos barras de acero A-36 con un dimetro de 1 2 pulg. Un cilindro slido de aluminio A 6061- T6 se coloca en la prensa y el tornillo se ajusta de modo que la prensa slo toque al cilindro. Si despus de esto, el tor- nillo se aprieta media vuelta, determine el esfuerzo normal promedio en las barras y el cilindro. El tornillo es de rosca simple y tiene un paso de 0.01 pulg. Nota: El paso representa la distancia que avanza el tornillo a lo largo de su eje despus de una vuelta completa. 4-54. La prensa consiste en dos cabezales rgidos que se mantienen unidos mediante dos barras de acero A-36 con un dimetro de 1 2 pulg. Un cilindro slido de aluminio 6061- T6 se coloca en la prensa y el tornillo se ajusta de modo que la prensa slo toque al cilindro. Determine el ngulo que puede girar el tornillo antes de que las barras o el cilindro comiencen a ceder. El tornillo es de rosca simple y tiene un paso de 0.01 pulg. Nota: El paso representa la distancia que avanza el tornillo a lo largo de su eje despus de una vuelta completa. 4-55. Las tres barras de suspensin estn fabricadas de ace- ro A-36 y tienen reas iguales de 450 mm2 en sus secciones transversales. Determine el esfuerzo normal promedio en cada barra si la viga rgida se somete a la carga mostrada en la figura. 60 pulg 3 pulg x A B 6 pulg P Probs. 4-49/50 3 pies A D C B 3 pies 6 kip/pie 3 pies 6 pies Probs. 4-51/52 Prob. 4-55 BA D C FE 2 m 50 kN 80 kN 1 m 1 m 1 m 1 m Probs. 4-53/54 12 pulg 10 pulg 2 pulg Capitulo 04_Hibbeler.indd 148 13/1/11 19:41:51 168. 4.5Mtodo de las fuerzas para el anlisis de elementos cargados axialmente 149 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *4-56. La barra rgida soporta una carga de 800 lb. De- termine el esfuerzo normal en cada cable de acero A-36, si cada uno de ellos tiene un rea de 0.04 pulg2 en su seccin transversal. 4-57. La barra rgida est en un principio en posicin ho- rizontal y se sostiene mediante dos cables de acero A-36, cada uno con un rea transversal de 0.04 pulg2 . Determine la rotacin de la barra cuando se aplica la carga de 800 lb. 4-58. Se supone que la viga horizontal es rgida y soporta la carga distribuida que se muestra en la figura. Determine las reacciones verticales en los apoyos. Cada soporte se com- pone de un poste de madera con un dimetro de 120 mm y una longitud (original) sin carga de 1.40 m. Considere Ew = 12 GPa. 4-59. Se supone que la viga horizontal es rgida y soporta la carga distribuida que se muestra en la figura. Determine el ngulo de inclinacin de la viga despus de que se aplica la carga. Cada soporte se compone de un poste de madera con un dimetro de 120 mm y una longitud (original) sin carga de 1.40 m. Considere Ew = 12 GPa. *4-60. El ensamble consta de dos postes AD y CF hechos de acero A-36, con un rea en su seccin transversal de 1000 mm2 , y un poste BE de aluminio 2014-T6 con un rea en su seccin transversal de 1500 mm2 . Si se aplica una carga central de 400 kN sobre la tapa rgida, determine el esfuerzo normal en cada poste. Hay un pequeo espacio de 0.1 mm entre el poste BE y el elemento rgido ABC. 4-61. La carga distribuida est sostenida por las tres ba- rras de suspensin. AB y EF son de aluminio y CD es de acero. Si cada barra tiene un rea en su seccin transversal de 450 mm2 , determine la intensidad mxima w de la carga distribuida de tal forma que no se exceda un esfuerzo permi- sible de (sperm )ac = 180 MPa en el acero y (sperm )al = 94 MPa en el aluminio. Eac = 200 GPa, Eal = 70 GPa. Suponga que ACE es rgida. Probs. 4-56/57 5 pies 5 pies 6 pies A D C B 800 lb 12 pies Probs. 4-58/59 1.40 m A B C 1 m2 m 18 kN/m Prob. 4-60 C D E F A B 400 kN 0.5 m 0.5 m 0.4 m Prob. 4-61 2 m B D F A C E 1.5 m 1.5 m al ac al w Capitulo 04_Hibbeler.indd 149 13/1/11 19:41:54 169. 150 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4-62. El eslabn rgido se sostiene mediante un pasador en A, un alambre BC que tiene una longitud sin estirar de 200 mm y un rea en su seccin transversal de 22.5 mm2 , y un bloque corto de aluminio con una longitud descargada de 50 mm y una seccin transversal de 40 mm2 . Si el eslabn se somete a la carga vertical mostrada en la figura, determi- ne el esfuerzo normal promedio en el alambre y el bloque. Eac = 200 GPa, Eal = 70 GPa. 4-63. El eslabn rgido se sostiene mediante un pasador en A, un alambre BC de acero que tiene una longitud sin estirar de 200 mm y un rea en su seccin transversal de 22.5 mm2 , y un bloque corto de aluminio con una longitud descargada de 50 mm y una seccin transversal de 40 mm2 . Si el eslabn se somete a la carga vertical mostrada, determine la rotacin del eslabn alrededor del pasador A. Presente su respuesta en radianes. Eac = 200 GPa, Eal = 70 GPa. *4-64. El poste central B del ensamble mostrado tiene una longitud original de 124.7 mm, mientras que los postes A y C tienen una longitud de 125 mm. Si las tapas en la parte superior e inferior pueden considerarse rgidas, determine el esfuerzo normal promedio en cada poste. Los postes son de aluminio y tienen un rea en su seccin transversal de 400 mm2 . Eal = 70 GPa. 4-65. El ensamble se compone de un perno de acero A-36 y un tubo de latn rojo C83400. Si la tuerca se enrosca y ajusta contra el tubo de manera que L = 75 mm, y despus se enrosca un poco ms hasta que avanza 0.02 mm sobre el perno, determine la fuerza en el perno y en el tubo. El perno tiene un dimetro de 7 mm y el tubo tiene un rea en su sec- cin transversal de 100 mm2 . 4-66. El ensamble se compone de un perno de acero A-36 y un tubo de latn rojo C83400. La tuerca se enrosca y ajus- ta contra el tubo de manera que L = 75 mm. Determine el avance adicional mximo de la tuerca sobre el perno de modo que ninguno de los materiales ceda. El perno tiene un dimetro de 7 mm y el tubo tiene un rea en su seccin transversal de 100 mm2 . 4-67. Las tres barras de suspensin estn fabricadas del mismo material y tienen las mismas reas A en sus seccio nes transversales. Determine el esfuerzo normal promedio en cada barra si la barra rgida ACE est sometida a la fuer- za P. L Probs. 4-65/66 C B A 200 mm 150 mm100 mm 150 mm D 50 mm 450 N Probs. 4-62/63 125 mm 100 mm 100 mm A B C 800 kN/m 800 kN/m Prob. 4-64 L P d B A D C F E d 2 d 2 Prob. 4-67 Capitulo 04_Hibbeler.indd 150 13/1/11 19:42:00 170. 4.6 Esfuerzo trmico 151 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.6 Esfuerzo trmico Un cambio en la temperatura puede causar que un cuerpo cambie sus dimensiones. Por lo general, si la temperatura aumenta, el cuerpo se ex- pande, mientras que si la temperatura disminuye, ste se contraer. De manera ordinaria, esta expansin o contraccin se relaciona linealmente con el aumento o disminucin que se produce en la temperatura. Si este es el caso, y el material es homogneo e isotrpico, se ha comprobado expe- rimentalmente que el desplazamiento de un elemento con una longitud L puede calcularse mediante la frmula donde a =una propiedad del material, conocida como coeficiente lineal de expansin trmica. Las unidades miden la deformacin por cada grado de temperatura. Son: 1>F (Fahrenheit) en el sistema FPS, y 1>C (grados Celsius) o 1>K (grados Kelvin) en el sistema SI. Los valores tpicos se proporcionan en la pgina final de este libro (al reverso de la contraportada). T =el cambio algebraico en la temperatura del elemento L =la longitud original del elemento dT =el cambio algebraico en la longitud del elemento La mayora de los puentes vehiculares se di- sean con juntas de dilatacin para permitir los movimientos trmicos de la carpeta y as evitar cualquier esfuerzo trmico. El cambio en la longitud de un elemento estticamente determinado puede calcularse con facilidad mediante la ecuacin 4-4, puesto que el ele- mento es libre de expandirse o contraerse cuando se somete a un cambio de temperatura. Sin embargo, en un elemento estticamente indetermi- nado, estos desplazamientos trmicos se vern limitados por soportes, lo que produce esfuerzos trmicos que deben considerarse durante el dise- o. Estos esfuerzos trmicos pueden determinarse mediante el uso de los mtodos que se estudiaron en las secciones anteriores. En los siguientes ejemplos se ilustran algunas aplicaciones. Las largas extensiones de ductos y tuberas que transportan fluidos estn sometidas a variaciones en el clima que ocasionan su expansin y contraccin. Las juntas de ex- pansin, como la mostrada en la fotografa, se emplean para mitigar el esfuerzo trmico en el material. (4-4)dT = a TL Capitulo 04_Hibbeler.indd 151 13/1/11 19:42:02 171. 152 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.10 Figura 4-18 La barra de acero A-36 que se muestra en la figura 4-18a cabe justamen- te entre dos soportes fijos cuando T1 = 60F. Si la temperatura se eleva a T2 = 120F, determine el esfuerzo trmico normal promedio desarro- llado en la barra. SOLUCIN Equilibrio. En la figura 4-18b se muestra el diagrama de cuerpo libre de la barra. Como no hay carga externa, la fuerza en A es igual pero opuesta a la fuerza en B, es decir, El problema es estticamente indeterminado porque esta fuerza no puede determinarse a partir del equilibrio. Compatibilidad. Como dA>B = 0, el desplazamiento trmico dT que se produce en A, figura 4-18c, est contrarrestado por la fuerza F que se requiere para empujar la barra dF de regreso a su posicin original. La condicin de compatibilidad en A se convierte en Al aplicar las relaciones trmica y de carga-desplazamiento, se tiene As, con base en los datos de la pgina final de este libro, Como F tambin representa la fuerza axial interna dentro de la ba- rra, el esfuerzo de compresin normal promedio es NOTA: A partir de la magnitud de F, resulta evidente que los cambios en la temperatura pueden causar grandes fuerzas de reaccin en los ele- mentos estticamente indeterminados. FA = FB = F+ cFy = 0; dA>B = 0 = dT - dF1+ c2 0 = aTL - FL AE = 2.871 kip = [6.60110-6 2>F]1120F - 60F210.5 pulg22 [291103 2 kip>pulg2 ] F = aTAE Resp.s = F A = 2.871 kip 10.5 pulg22 = 11.5 ksi 2 pies 0.5 pulg 0.5 pulg A B (a) (b) F F (c) dT dF Capitulo 04_Hibbeler.indd 152 13/1/11 19:42:07 172. 4.6 Esfuerzo trmico 153 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.11 Figura 4-19 La viga rgida mostrada en la figura 4-19a se fija a la parte superior de los tres postes hechos de acero A-36 y aluminio 2014-T6. Cada pos- te tiene una longitud de 250 mm cuando no se aplica carga a la viga y la temperatura es T1 = 20C. Determine la fuerza que soporta cada poste si la barra se somete a una carga uniformemente distribuida de 150 kN>m, y la temperatura se eleva a T2 = 80C. SOLUCIN Equilibrio. En la figura 4-19b se muestra el diagrama de cuerpo libre de la viga. El equilibrio del momento alrededor del centro de la viga requiere que las fuerzas en los postes de acero sean iguales. Al sumar fuerzas en el diagrama de cuerpo libre, se tiene Compatibilidad. Debido a la carga, la geometra y la simetra del material, la parte superior de cada poste se desplaza en la misma exten- sin. Por lo tanto, La posicin final de la parte superior de cada poste es igual a su des- plazamiento causado por el aumento de la temperatura, ms su despla- zamiento causado por la fuerza axial interna de compresin, figura 4-19c. As, para los postes de acero y el aluminio se tiene que Si se aplica la ecuacin 2 resulta A partir de las ecuaciones 4-2 y 4-4, y de las propiedades del material en la pgina final de este libro, se obtiene Para ser consistente, todos los datos numricos se han expresado en trminos de newtons, metros y grados Celsius. Al resolver las ecuacio- nes 1 y 3 de manera simultnea resulta El valor negativo para Fac indica que esta fuerza acta en sentido opues- to al que se muestra en la figura 4-19b. En otras palabras, los postes de acero estn en tensin y el poste de aluminio est en compresin. (1)2Fac + Fal - 901103 2 N = 0+ c Fy = 0; (2)dac = dal1+ T2 dac = -1dal2T + 1dac2F1+ T2 dac = -1dac2T + 1dac2F1+ T2 -1dac2T + 1dac2F = -1dal2T + 1dal2F (3)Fac = 1.216Fal - 165.91103 2 = -[23110-6 2>C]180C - 20C210.250 m2 + Fal10.250 m2 p10.030 m22 [73.11109 2 N>m2 ] -[12110-6 2>C]180C - 20C210.250 m2 + Fac10.250 m2 p10.020 m22 [2001109 2 N>m2 ] Resp.Fac = -16.4 kN Fal = 123 kN 150 kN/m300 mm 300 mm (a) AceroAluminioAcero 250 mm 40 mm 60 mm 40 mm (b) Fac Fal Fac 90 kN (c) Posicin inicial Posicin final (dst)T (dal)T (dal)F (dac)Fdac dal Capitulo 04_Hibbeler.indd 153 20/1/11 17:56:48 173. 154 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.12 Figura 4-20 Un tubo de aluminio 2014-T6 con un rea en su seccin transversal de 600 mm2 se utiliza como la manga de un perno de acero A-36, que tiene un rea en su seccin transversal de 400 mm2 , figura 4-20a. Cuando la temperatura es T1 = 15C, la tuerca mantiene al ensamble en una posi- cin ajustada de tal manera que la fuerza axial en el perno es insignifi- cante. Si la temperatura aumenta a T2 = 80C, determine la fuerza en el perno y la manga. SOLUCIN Equilibrio. En la figura 4-20b se muestra el diagrama de cuerpo libre de un segmento superior del ensamble. Las fuerzas Fb y Fs se producen porque la manga tiene un mayor coeficiente de expansin trmica que el perno, y por lo tanto el crecimiento de la manga ser ms grande cuando la temperatura aumenta. Se requiere que Compatibilidad. El aumento en la temperatura hace que la manga y el perno se expandan (ds )T y (db )T , figura 4-20c. Sin embargo, las fuer- zas redundantes Fb y Fs alargan el perno y acortan la manga. En conse- cuencia, el extremo del ensamble llega a una posicin final, que no es igual a su posicin inicial. Por lo tanto, la condicin de compatibilidad se convierte en Si se aplican las ecuaciones 4-2 y 4-4, y se usan las propiedades mecni- cas de la tabla mostrada en el interior de la contraportada, se tiene Si se usa la ecuacin 1 y se resuelve resulta NOTA: Como en este anlisis se supuso un comportamiento elstico lineal del material, el esfuerzo normal promedio debe ser revisado para asegurar que no exceda los lmites proporcionales para el material. 150 mm (a) (b) Fb Fs (ds)F (ds)T (db)T (db)F d Posicin inicial Posicin final (c) (1)Fs = Fb+ cFy = 0; d = 1db2T + 1db2F = 1ds2T - 1ds2F1+ T2 - Fs10.150 m2 1600 mm2 2110-6 m2 >mm2 2[73.11109 2 N>m2 ] = [23110-6 2>C]180C - 15C210.150 m2 Fb10.150 m2 1400 mm2 2110-6 m2 >mm2 2[2001109 2 N>m2 ] [12110-6 2>C]180C - 15C210.150 m2 + Resp.Fs = Fb = 20.3 kN Capitulo 04_Hibbeler.indd 154 13/1/11 19:42:16 174. 4.6 Esfuerzo trmico 155 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS *4-68. Una cinta de agrimensor fabricada de acero se uti- liza para medir la longitud de una lnea. La cinta tiene una seccin transversal rectangular de 0.05 pulg por 0.2 pulg y una longitud de 100 pies cuando T1 = 60F y la tensin o ja- ln sobre la cinta es de 20 lb. Determine la longitud real de la lnea si la cinta muestra una lectura de 463.25 pies cuando se utiliza con un jaln de 35 lb a T2 = 90F. El piso sobre el que se coloca es plano. aac = 9.60 (10-6 )>F, Eac = 29(103 ) ksi. 4-71. Una tubera de vapor de 6 pies de largo est fabrica- da de acero A-36 con sY = 40 ksi. Se conecta directamente a dos turbinas A y B como se muestra en la figura. La tubera tiene un dimetro exterior de 4 pulg y un espesor de pared de 0.25 pulg. La conexin se hizo a T1 = 70F. Si se supone que los puntos en que se conectan las turbinas son rgidos, determine la fuerza que ejerce la tubera en las turbinas cuando el vapor y, por consiguiente, la tubera alcanzan una temperatura de T2 = 275F. *4-72. Una tubera de vapor de 6 pies de largo est fabrica- da de acero A-36 con sY = 40 ksi. Se conecta directamente a dos turbinas A y B como se muestra en la figura. La tubera tiene un dimetro exterior de 4 pulg y un espesor de pared de 0.25 pulg. La conexin se hizo a T1 = 70F. Si se supone que los puntos en que se conectan las turbinas tienen una ri- gidez de k = 80(103 ) kip>pulg, determine la fuerza que ejerce la tubera en las turbinas cuando el vapor y, por consiguien- te, la tubera alcanzan una temperatura de T2 = 275F.4-69. Tres barras, cada una fabricada con diferentes mate- riales, estn conectadas entre s y ubicadas entre dos paredes cuando la temperatura es T1 = 12C. Determine la fuerza ejercida sobre los soportes (rgidos) cuando la temperatura es T2 = 18C. Las propiedades del material y el rea de la seccin transversal de cada barra se muestran en la figura. 4-70. La barra est fabricada de acero A-36 y tiene un di- metro de 0.25 pulg. Si la barra tiene 4 pies de largo cuan- do los resortes se comprimen 0.5 pulg y la temperatura es T = 40F, determine la fuerza en la barra cuando su tempe- ratura es T = 160F. 4-73. El tubo est hecho de acero A-36 y se encuentra co- nectado con los collarines en A y B. Cuando la temperatura es de 60F, no existe una carga axial en la tubera. Si el gas caliente que viaja a travs de la tubera provoca que su tem- peratura aumente en T = (40 + 15x)F, donde x se da en pies, determine el esfuerzo normal promedio en la tubera. El dimetro interno es de 2 pulg, el espesor de la pared es de 0.15 pulg. 4-74. El tubo de bronce C86100 tiene un radio interno de 0.5 pulg y un espesor de pared de 0.2 pulg. Si el gas que fluye a travs del tubo cambia su temperatura de manera unifor- me desde TA = 200F en A hasta TB = 60F en B, determine la fuerza axial que ejerce sobre las paredes. El tubo se insta- l entre las paredes cuando T = 60F. 0.05 pulg 0.2 pulg P P Prob. 4-68 300 mm 200 mm 100 mm Acero aac 12(106 )/C Eac 200 GPa Acu 515 mm2 Abr 450 mm2 Aac 200 mm2 abr 21(106 )/ Ebr 100 GPa Latn acu 17(106 )/C Ecu 120 GPa Cobre C Prob. 4-69 4 pies k 1000 lb/pulg k 1000 lb/pulg Prob. 4-70 Probs. 4-71/72 6 pies A B Probs. 4-73/74 8 pies A B Capitulo 04_Hibbeler.indd 155 13/1/11 19:42:24 175. 156 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4-75. Los rieles de acero A-36 con 40 pies de largo se colo- can en una va del tren con un pequeo espacio entre ellas para permitir la expansin trmica. Determine la diferencia necesaria d para que los rieles slo se toquen cuando la tem- peratura se incremente de T1 = -20F a T2 = 90F. Usando este espaciamiento, cul sera la fuerza axial en los rieles si la temperatura se elevara hasta T3 = 110F? El rea de la seccin transversal de cada riel es de 5.10 pulg2 . *4-76. El dispositivo se utiliza para medir un cambio en la temperatura. Las barras AB y CD estn fabricadas de acero A-36 y de una aleacin de aluminio 2014-T6, respectivamen- te. Cuando la temperatura es de 75F, ACE est en posicin horizontal. Determine el desplazamiento vertical del punte- ro en E cuando la temperatura se eleva a 150F. 4-77. La barra tiene un rea A en su seccin transversal, una longitud L, un mdulo de elasticidad E y un coeficiente deexpansintrmicaa.Latemperaturadelabarracambiade manera uniforme a lo largo de su longitud desde TA en A hasta TB en B, de manera que en cualquier punto x a lo largo de la barra T = TA + x(TB - TA )>L. Determine la fuerza que ejerce la barra sobre las paredes rgidas. En un inicio no hay ninguna fuerza axial en la barra y sta tiene una temperatura de TA . 4-78. La barra de acero A-36 tiene un dimetro de 50 mm y se encuentra conectada de manera ligera a los soportes rgi- dos en A y B cuando T1 = 80C. Si la temperatura se convier- te en T2 = 20C y se aplica una fuerza axial de P = 200 kN en su centro, determine las reacciones en A y B. 4-79. La barra de acero A-36 tiene un dimetro de 50 mm y se encuentra conectada de manera ligera a los soportes rgidos en A y B cuando T1 = 50C. Determine la fuerza P que debe aplicarse al collarn en su punto medio a fin de que, cuando T2 = 30C, la reaccin en B sea cero. *4-80. El bloque rgido tiene un peso de 80 kip y debe estar sostenido por los postes A y B, que estn hechos de acero A-36, y por el poste C, que est hecho de latn rojo C83400. Si todos los postes tienen la misma longitud original antes de cargarse, determine el esfuerzo normal promedio desarro- llado en cada uno de ellos cuando la temperatura del poste C se incrementa en 20F. Cada poste tiene un rea de 8 pulg2 en su seccin transversal. Prob. 4-75 40 pies d d Prob. 4-76 A C E B D 1.5 pulg 0.25 pulg 3 pulg Prob. 4-77 x TA TB A B Probs. 4-78/79 0.5 m P 0.5 m A BC Prob. 4-80 A C B 3 pies 3 pies Capitulo 04_Hibbeler.indd 156 13/1/11 19:42:31 176. 4.6 Esfuerzo trmico 157 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4-81. Las tres barras estn fabricadas de acero A-36 y for- man una armadura conectada por pasadores. Si la armadura se construye cuando T1 = 50F, determine la fuerza en cada barra cuando T2 = 110F. Cada barra tiene un rea en su sec- cin transversal de 2 pulg2 . 4-82. Las tres barras estn fabricadas de acero A-36 y for- man una armadura conectada por pasadores. Si la armadura se construye cuando T1 = 50F, determine el desplazamiento vertical de la junta A cuando T2 = 150F. Cada barra tiene un rea transversal de 2 pulg2 . 4-83. Los alambres AB y AC son de acero, y el alambre AD es de cobre. Antes de aplicar la fuerza de 150 lb, AB y AC tienen cada uno una longitud de 60 pulg y AD de 40 pulg. Si la temperatura se incrementa en 80F, determine la fuerza en cada alambre necesaria para soportar la carga. Considere Eac = 29(103 ) ksi, Ecu = 17(103 ) ksi, aac = 8(10-6 )>F, acu = 9.60(10-6 )>F. Cada alambre tiene un rea en su seccin transversal de 0.0123 pulg2 . *4-84. El tubo AB fabricado de una aleacin de magnesio AM1004-T61 est cubierto con una placa rgida E. El espa- cio entre E y el extremo C de la barra circular slida CD, fabricada de una aleacin de aluminio 6061-T6, es de 0.2 mm cuando se tiene una temperatura de 30C. Determine el es- fuerzo normal desarrollado en el tubo y la barra si la tem- peratura sube a 80C. No tome en cuenta el espesor de la tapa rgida. 4-85. El tubo AB fabricado de una aleacin de magnesio AM1004-T61 est cubierto con una placa rgida E. El espa- ciamiento entre E y el extremo C de la barra circular slida CD, fabricada de una aleacin de aluminio 6061-T6, es de 0.2 mm cuando se tiene una temperatura de 30C. Determi- ne la temperatura ms alta que se puede alcanzar sin causar la cedencia, ya sea en el tubo o la barra. No tome en cuenta el espesor de la tapa rgida. 4-86. El perno de acero tiene un dimetro de 7 mm y se ajusta a travs de una manga de aluminio como se muestra en la figura. La manga tiene un dimetro interno de 8 mm y un dimetro externo de 10 mm. La tuerca en A se ajusta de modo que tan slo se presiona contra la manga. Si el ensam- ble est en un principio a una temperatura de T1 = 20C y luego se calienta a una temperatura de T2 = 100C, determi- ne el esfuerzo normal en el perno y la manga. Eac = 200 GPa, Eal = 70 GPa, aac = 14(10-6 )>C, aal = 23(10-6 )>C. Probs. 4-81/82 3 pies D 4 pies 5pies 5pies A 3 pies CB 25 mm 20 mm Seccin a-a a a B C D A 300 mm 450 mm 0.2 mm 25 mm E Prob. 4-83 45 45 60 pulg60 pulg 150 lb 40 pulg CDB A Probs. 4-84/85 Prob. 4-86 A Capitulo 04_Hibbeler.indd 157 13/1/11 19:42:41 177. 158 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.7 Concentraciones de esfuerzo En la seccin 4.1, se seal que al aplicar una fuerza axial sobre un ele- mento, se crea una compleja distribucin de esfuerzos dentro de la regin localizada del punto donde se aplica la carga. Las complejas distribuciones de esfuerzo no slo surgen justo debajo de la carga concentrada, tambin pueden emerger en los segmentos donde el rea de la seccin transversal del elemento cambia. Por ejemplo, considere la barra de la figura 4-21a, la cual se somete a una fuerza axial P. Aqu las lneas que en un principio eran horizontales y verticales se desvan en un patrn irregular alrededor del orificio ubicado en el centro de la barra. El esfuerzo normal mximo en la barra se produce en la seccin a-a, que se toma a travs de la seccin transversal con el rea ms pequea de la barra. Siempre que el material se comporte de forma elstico lineal, la distribucin de esfuerzos que actan sobre esta seccin puede determinarse a partir de un anlisis matemtico, usando la teora de la elasticidad, o experimentalmente mediante la medi- cin de la deformacin normal en la seccin a-a para despus calcular el esfuerzo con la ley de Hooke, s = EP. Sin importar el mtodo utilizado, la forma general de la distribucin de esfuerzos ser como se muestra en la figura 4-21b. De manera similar, si la barra tiene una reduccin en su seccin transversal, lograda con filetes como en la figura 4-22a, entonces de nuevo el esfuerzo mximo normal en la barra tendr lugar en la sec- cin con rea ms pequea, la seccin a-a, y la distribucin del esfuerzo se ver como se muestra en la figura 4-22b. Esta hoja de sierra tiene ranuras que fueron cortadas con el fin de aliviar tanto la ten- sin dinmica que se desarrolla en su inte- rior mientras gira, como el esfuerzo trmico que se desarrolla a medida que se calienta. Observe los pequeos crculos al final de cada ranura; sirven para reducir las concen- traciones de esfuerzo que se desarrollan al final de cada ranura. a a Distorsionada (a) P Distribucin del esfuerzo real (b) Distribucin del esfuerzo promedio (c) smx sprom Sin distorsiones P PP P P Figura 4-21 Capitulo 04_Hibbeler.indd 158 13/1/11 19:42:42 178. 4.7Concentraciones de esfuerzo 159 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 En ambos casos, la fuerza de equilibrio requiere que la magnitud de la fuerza resultante desarrollada por la distribucin de esfuerzos sea igual a P. En otras palabras, Esta integral representa grficamente el volumen total bajo cada uno de los diagramas de distribucin de esfuerzo que se muestran en la figura 4-21b o 4-22b. La resultante P debe actuar a travs del centroide de cada vo lumen. En la prctica de la ingeniera, las distribuciones de esfuerzo reales en la figura 4-21b y 4-22b no tienen que determinarse. En su lugar, slo es necesario conocer el esfuerzo mximo en las secciones, y de esta manera el elemento se disea para resistir dicho esfuerzo, cuando se aplica la carga axial P. Los valores especficos de este esfuerzo normal mximo pueden determinarse mediante mtodos experimentales o tcnicas matemticas avanzadas utilizando la teora de la elasticidad. Los resultados de estas investigaciones se encuentran publicadas en forma grfica utilizando un factor de concentracin del esfuerzo K. Se define a K como una relacin entre el esfuerzo mximo y el esfuerzo normal promedio que acta en la seccin transversal; es decir, En las esquinas afiladas de la maquinaria pesada suelen surgir concentraciones de es- fuerzo. Los ingenieros pueden mitigar este efecto mediante el uso de refuerzos solda- dos a las esquinas. Siempre que K se conozca y que el esfuerzo normal haya sido calculado a partir de sprom = P>A, donde A es el rea ms pequea de la seccin transversal, figuras 4-21c y 4-22c, el esfuerzo normal mximo en la sec- cin transversal ser una smx = K(P>A). Figura 4-22 (4-6)K = smx sprom (4-5)P = LA s dA P a Distorsionada (a) P Distribucin del esfuerzo real (b) a smx sprom Distribucin del esfuerzo promedio (c) Sin distorsiones PP P P Capitulo 04_Hibbeler.indd 159 13/1/11 19:42:43 179. 160 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Los valores especficos de K se reportan por lo general en los manuales relacionados con el anlisis de esfuerzo.* En las figuras 4-24 y 4-25 se dan ejemplos de esto. Tenga en cuenta que K es independiente de las propieda- des del material de la barra; slo depende de la geometra de la barra y del tipo de discontinuidad. A medida que el tamao r de la discontinuidad se reduce, la concentracin de esfuerzos es mayor. Por ejemplo, si una barra requiere un cambio en su seccin transversal, se ha determinado que un ngulo agudo, figura 4-23a, produce un factor de concentracin mayor a 3. En otras palabras, el esfuerzo normal mximo ser tres veces mayor que el esfuerzo normal promedio en la seccin transversal ms pequea. Sin embargo, esto se puede reducir hasta, digamos, 1.5 mediante la introduc- cin de un filete, figura 4-23b. Es posible lograr una nueva reduccin por medio de pequeas ranuras u orificios colocados en la transicin, figura 4-23c y 4 23d. En todos estos casos los diseos ayudan a reducir la rigidez del material que rodea a las esquinas, de modo que tanto el esfuerzo como la deformacin se reparten de mejor manera en la barra. Los factores de concentracin del esfuerzo dados en las figuras 4-24 y 4-25 se determinaron con base en una carga esttica, bajo el supuesto de que el esfuerzo en el material no supera el lmite proporcional. Si el material es muy frgil, el lmite proporcional puede estar en el esfuerzo de fractura, por lo que para este material, la falla se inicia en el punto de concentracin de esfuerzos. En esencia, una grieta empieza a formarse en este punto, y en el extremo de dicha grieta se desarrollar una mayor con- centracin de esfuerzos. Esto, a su vez, provoca que la grieta se propague por la seccin transversal, lo que resulta en una fractura sbita. Por esta razn, cuando se emplean materiales frgiles, es muy importante la utiliza- cin de factores de concentracin de esfuerzos en el diseo. Por otra parte, si el material es dctil y se somete a una carga esttica, a menudo no es necesario utilizar factores de concentracin de esfuerzos, ya que cualquier esfuerzo que exceda el lmite proporcional no dar lugar a una grieta. En cambio, el material tendr una resistencia de reserva debida a la cedencia y al endurecimiento por deformacin. En la siguiente seccin se analizarn los efectos ocasionados por este fenmeno. Las concentraciones de esfuerzos tambin son responsables de muchas fallas de los elementos estructurales o elementos mecnicos sometidos a cargas de fatiga. Para estos casos, una concentracin de esfuerzo provocar que el material se agriete si el esfuerzo excede el lmite de resistencia a la fatiga, ya sea que el material sea dctil o frgil. Aqu, el material ubicado en la punta de la grieta permanece en un estado frgil, por lo que la grieta sigue creciendo, dando lugar a una fractura progresiva. En consecuencia, es necesario buscar maneras de limitar la cantidad de dao que puede ser causado por la fatiga. *Vea Lipson, C. y R. C. Juvinall, Handbook of Stress and Strength, Macmillan. P P (a) P P (b) P P (c) P P (d) Figura 4-23 Capitulo 04_Hibbeler.indd 160 13/1/11 19:42:45 180. 4.7Concentraciones de esfuerzo 161 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 La falla de esta tubera de acero sometida a tensin se produjo en su seccin transver- sal con el rea ms pequea, que es a travs del orificio. Observe cmo el material cedi alrededor de la superficie fracturada. Puntos importantes Las concentraciones de esfuerzo se producen en los segmentos donde el rea de la seccin transversal cambia de manera sbita. Cuanto ms grande es el cambio, mayor ser la concentracin de esfuerzos. Para el diseo o el anlisis, slo es necesario determinar el es- fuerzo mximo que acta sobre la seccin transversal con el rea ms pequea. Para esto se emplea un factor de concentracin del esfuerzo, K, que se ha determinado mediante experimentacin y es slo una funcin de la geometra de la probeta. Normalmente, en una probeta dctil que se somete a una carga esttica, no es necesario considerar la concentracin de esfuerzos durante el diseo; sin embargo, si el material es frgil, o est so- metido a cargas de fatiga, entonces las concentraciones de esfuer- zo se vuelven importantes. 3.0 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 K P P h w t r sprom 4.0 w h 3.0 w h 2.0 w h 1.5 w h 1.2 w h 1.1 w h r h P ht 3.2 3.0 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 K w t 2r P P r w P (w 2r)t sprom Figura 4-24 Figura 4-25 Capitulo 04_Hibbeler.indd 161 13/1/11 19:42:46 181. 162 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *4.8 Deformacin axial inelstica Hasta este punto hemos considerado slo las cargas que hacen que el ma- terial de un elemento se comporte elsticamente. Sin embargo, en oca- siones un elemento puede disearse de modo que la carga haga que el material ceda y por consiguiente se deforme de manera permanente. Con frecuencia, estos elementos estn hechos de un metal muy dctil como el acero recocido de bajo carbono, el cual tiene un diagrama de esfuerzo- deformacin similar al de la figura 3-6 y por simplicidad puede modelarse como se muestra en la figura 4-26b. Un material que presenta este compor- tamiento se denomina elstico perfectamente plstico o elastoplstico. Para ilustrar fsicamente cmo se comporta un material de este tipo, considere la barra mostrada en la figura 4-26a, que se encuentra sometida a la carga axial P. Si la carga provoca el desarrollo de un esfuerzo elstico s = s1 en la barra, entonces al aplicar la ecuacin 4-5, el equilibrio requie- re P = 1s1 dA = s1 A. Por otra parte, el esfuerzo s1 hace que la barra se deforme una cantidad P1 como lo indica el diagrama de esfuerzo-deforma- cin de la figura 4-26b. Si P se incrementa ahora hasta Pp de tal manera que provoca la cedencia del material, es decir, s = sY , entonces, de nuevo Pp = 1sY dA = sY A. La carga Pp se denomina carga plstica, ya que re- presenta la carga mxima que puede soportar un material elastoplstico. Para este caso, las deformaciones no se definen de manera nica. Por el contrario, en el instante que se alcanza sY , la barra se somete primero a la deformacin de cedencia PY , figura 4-26b, despus sta contina cediendo (o alargndose) de forma que se generan las deformaciones P2 , luego P3 , etctera. Como nuestro modelo de material presenta un comportamien- to perfectamente plstico, esta elongacin continuar de manera indefini- da sin que aumente la carga. Sin embargo, en realidad el material comien- za a endurecerse despus de cierta cedencia, de modo que la resistencia adicional obtenida detiene cualquier deformacin posterior. Como resul- tado, los diseos basados en este comportamiento sern seguros, ya que el endurecimiento por deformacin proporciona el potencial para que el material pueda soportar una carga adicional si esto es necesario. Figura 4-26 P (a) s (b) s1 sY s P1 P2 P3 P PY Capitulo 04_Hibbeler.indd 162 13/1/11 19:42:47 182. 4.8Deformacin axial inelstica 163 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Considere ahora el caso de una barra atravesada por un orificio, como se muestra en la figura 4-27a. A medida que la magnitud de P se incremen- ta, se produce una concentracin de esfuerzos en el material al borde del orificio, en la seccin a-a. Aqu, el esfuerzo alcanzar un valor mximo de, digamos, smx = s1 y ocurrir una deformacin elstica correspondiente de P1 , figura 4-27b. Los esfuerzos y las deformaciones correspondientes en otros puntos de la seccin transversal sern menores, como lo indica la dis- tribucin de esfuerzos mostrada en la figura 4-27c. El equilibrio requiere P = 1s dA. En otras palabras, P es geomtricamente equivalente al vo- lumen contenido dentro de la distribucin de esfuerzos. Si ahora la carga se aumenta a P, de modo que smx = sY , entonces el material comenzar a ceder hacia fuera desde el orificio, hasta que se satisfaga la condicin de equilibrio P = 1s dA, figura 4-27d. Como se muestra en la figura, esto produce una distribucin de esfuerzos que tiene un volumen geomtri- camente mayor que el mostrado en la figura 4-27c. Un mayor aumento en la carga har que en algn momento el material ceda en toda su seccin transversal. Cuando esto sucede, la barra ya no puede soportar cargas ms grandes. Esta carga plstica Pp se muestra en la figura 4-27e. A partir de la condicin de equilibrio, es posible calcular donde A es el rea de la seccin transversal de la barra en la seccin a-a. Los siguientes ejemplos ilustran de manera numrica cmo se aplican estos conceptos en otros tipos de problemas para los cuales el material tiene un comportamiento elastoplstico. Pp = LA sY dA = sYA P (a) P aa (b) s sY s1 P P1 PY Figura 4-27 (c) P s1 s1 (d) P sY sY (e) PP sY sY Capitulo 04_Hibbeler.indd 163 13/1/11 19:42:49 183. 164 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *4.9 Esfuerzo residual Si un elemento o grupo de elementos cargados axialmente forman un sis- tema estticamente indeterminado que puede soportar cargas de tensin y compresin, entonces las cargas externas excesivas, que causan la ce- dencia del material, crearn esfuerzos residuales en los elementos cuando se retiren las cargas. La razn de esto tiene que ver con la recuperacin elstica del material que se produce durante la descarga. Para demostrar lo anterior, considere un elemento prismtico fabricado con un material elastoplstico, que tiene el diagrama de esfuerzo-deformacin mostrado en la figura 4-28. Si una carga axial produce un esfuerzo sY en el material plstico y una deformacin correspondiente PC , entonces cuando se retire la carga, el material responder elsticamente y seguir la lnea CD a fin de recuperar parte de la deformacin plstica. Una recuperacin hasta el esfuerzo nulo en el punto O ser posible slo si el elemento es esttica- mente determinado, ya que las reacciones de apoyo para el elemento de- ben ser cero cuando se retire la carga. En estas circunstancias el elemento se alterar de manera permanente, por lo que la deformacin permanente en el elemento ser PO . Sin embargo, si el elemento es estticamente indeterminado, la elimina- cin de la carga externa har que las fuerzas de apoyo respondan a la recu- peracin elstica de CD. Como estas fuerzas restringirn la recuperacin completa del elemento, inducirn esfuerzos residuales en el mismo. Para resolver un problema de este tipo, el ciclo completo de carga y descarga del elemento puede considerarse como la superposicin de una carga positiva (carga) con una carga negativa (descarga). La carga, de O a C, resulta en una distribucin plstica del esfuerzo, mientras que la descarga, a lo largo de CD, slo da lugar a una distribucin elstica del esfuerzo. La superposi- cin requiere que las cargas se cancelen; sin embargo, las distribuciones de esfuerzo no se cancelan y por ende se conservan los esfuerzos residuales. Figura 4-28 D PO CA B O O PC s sY P Capitulo 04_Hibbeler.indd 164 13/1/11 19:42:49 184. 4.9 Esfuerzo residual 165 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.13 Figura 4-29 La barra de la figura 4-29a est fabricada de un acero que se supone es elstico perfectamente plstico, con sY = 250 MPa. Determine (a) el valor mximo de la carga P que puede ser aplicada sin que el acero pre- sente cedencia y (b) el valor mximo de P que la barra puede soportar. Dibuje la distribucin del esfuerzo en la seccin crtica para cada caso. SOLUCIN Parte (a). Cuando el material tiene un comportamiento elstico, de- bemos usar un factor de concentracin del esfuerzo determinado a par- tir de la figura 4-24 que es nico para la geometra de la barra. Aqu A partir de la figura K L 1.75. La carga mxima, sin causar cedencia, se produce cuando smx = sY . El esfuerzo normal promedio es sprom = P>A. Usando la ecuacin 4-6, se tiene Esta carga se ha calculado utilizando la seccin transversal ms peque- a. En la figura 4-29b se muestra la distribucin del esfuerzo resultante. Para el equilibrio, el volumen contenido dentro de esta distribucin debe ser igual a 9.14 kN. Parte (b). La carga mxima sostenida por la barra har que todo el material ceda en la seccin transversal ms pequea. Por lo tanto, como P se incrementa hasta la carga plstica Pp , sta cambia gradualmente la distribucin elstica del esfuerzo desde el estado que se muestra en la figura 4-29b hasta el estado plstico de la figura 4-29c. Se requiere Aqu Pp es igual al volumen contenido en la distribucin de esfuer- zos, que en este caso es Pp = sY A. w h = 40 mm 140 mm - 8 mm2 = 1.25 r h = 4 mm 140 mm - 8 mm2 = 0.125 Resp.PY = 9.14 kN 2501106 2 Pa = 1.75c PY 10.002 m210.032 m2 d smx = Ksprom ; sY = Ka PY A b Resp.Pp = 16.0 kN 052 1106 2 Pa = Pp 10.002 m210.032 m2 sY = Pp A P 2 mm 40 mm 4 mm P 4 mm (a) PY (b) sY PP (c) sY Capitulo 04_Hibbeler.indd 165 13/1/11 19:42:52 185. 166 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.14 Figura 4-30 La barra mostrada en la figura 4-30a tiene un radio de 5 mm y est fabricada de un material elstico perfectamente plstico para el cual sY = 420 MPa, E = 70 GPa, figura 4-30c. Si se aplica una fuerza de P = 60 kN sobre la barra y luego se retira, determine el esfuerzo resi- dual en la barra. SOLUCIN En la figura 4-30b se muestra el diagrama de cuerpo libre de la barra. La aplicacin de la carga P ocasionar una de tres posibilidades; stas son: ambos segmentos AC y CB permanecen elsticos, AC es plstico y CB es elstico o ambos segmentos AC y CB son plsticos.* Un anlisis elstico, similar al realizado en la seccin 4.4, resultar en FA = 45 kN y FB = 15 kN en los soportes. Sin embargo, de aqu se obtiene un esfuerzo de Como el material del segmento AC ceder, se supondr que AC se con- vierte en plstico, mientras que CB sigue siendo elstico. Para este caso, la fuerza mxima que puede desarrollarse en AC es y a partir del equilibrio de la barra, figura 4-31b, Por lo tanto, el esfuerzo en cada segmento de la barra es *La posibilidad de que CB se vuelva plstico antes de que lo haga AC no ocurrir por- que cuando el punto C se mueve, la deformacin en AC (que es un segmento ms corto) siempre ser mayor que la deformacin en CB. sCB = 15 kN p10.005 m22 = 191 MPa 1tensin2 sAC = 45 kN p10.005 m22 = 573 MPa 1compresin2 7 sY = 420 MPa 1FA2Y = sYA = 4201103 2 kN>m2 [p10.005 m22 ] = 33.0 kN FB = 60 kN - 33.0 kN = 27.0 kN sCB = 27.0 kN p10.005 m22 = 344 MPa 1tensin2 6 420 MPa sAC = sY = 420 MPa 1compresin2 100 mm 300 mm CA BP 60 kN (a) C P 60 kNA B FA FB (b) (OK) Capitulo 04_Hibbeler.indd 166 13/1/11 19:42:55 186. 4.9 Esfuerzo residual 167 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.14 (cont.) Figura 4-30 (cont.) Esfuerzo residual. Para poder obtener el esfuerzo residual, tam- bin es necesario conocer la deformacin debida a la carga en cada seg- mento. Como CB responde elsticamente, Aqu la deformacin de cedencia es Por lo tanto, cuando se aplica P, el comportamiento esfuerzo-deforma- cin para el material en el segmento CB se mueve desde O hasta A, fi- gura 4-30c, y el comportamiento esfuerzo-deformacin para el material en el segmento AC se mueve desde O hasta B. Si la carga P se aplica en sentido inverso, es decir, si se retira la carga, entonces se produce una respuesta elstica y debe aplicarse una fuerza inversa de FA = 45 kN y FB = 15 kN a cada segmento. De acuerdo con lo calculado anteriormen- te, estas fuerzas producen ahora esfuerzos sAC = 573 MPa (en tensin) y sCB = 191 MPa (en compresin), y por ende el esfuerzo residual en cada elemento es Como era de esperarse, este esfuerzo residual es el mismo para am- bos segmentos. Tambin observe en la figura 4-30c que el comporta- miento esfuerzo-deformacin para el segmento AC se mueve desde B hasta D, mientras que para el segmento CB lo hace desde A hasta C cuando se retira la carga. 420 420 PAC 0.01474 PCB 0.004913 344 153 D B A C O s(MPa) (c) P(mm/mm) PAC = dC LAC = - 0.001474 m 0.100 m = -0.01474 PCB = dC LCB = 0.001474 m 0.300 m = +0.004913 dC = FBLCB AE = 127.0 kN210.300 m2 p10.005 m22 [701106 2 kN>m2 ] = 0.001474 m PY = sY E = 420(106 ) N>m2 70(109 ) N>m2 = 0.006 Resp. Resp.1sCB2r = 344 MPa - 191 MPa = 153 MPa 1sAC2r = -420 MPa + 573 MPa = 153 MPa Capitulo 04_Hibbeler.indd 167 13/1/11 19:42:57 187. 168 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 4.15 Figura 4-31 Dos alambres de acero se utilizan para levantar el peso de 3 kip, figura 4-31a. La longitud sin estirar del alambre AB es de 20.00 pies y la del alambre AC es de 20.03 pies. Si cada alambre tiene un rea en su seccin transversal de 0.05 pulg2 y el acero puede considerarse elstico perfectamente plstico como se muestra en la grfica s-P de la figura 4-31b, determine la fuer- za en cada alambre as como su elongacin. SOLUCIN Una vez que el peso est soportado por ambos alambres, entonces el esfuerzo en los alambres depende de la deformacin correspondiente. Existen tres posibilidades, a saber, las deforma- ciones en ambos alambres son elsticas, el alambre AB se deforma de manera plstica mientras que el alambre AC lo hace de manera elstica, o ambos alambres se deforman de manera plstica. Se supondr que AC permanece elstico y que AB se deforma plsticamente. La investigacin del diagrama de cuerpo libre del peso suspendido, figura 4-31c, indica que el problema es estticamente indeterminado. La ecuacin de equilibrio es Como AB se vuelve plsticamente deformado entonces debe soportar su carga mxima. Por lo tanto, a partir de la ecuacin 1, Observe que, como se supuso, el alambre AC permanece elstico ya que el esfuerzo en el alambre es sAC = 0.500 kip>0.05 pulg2 = 10 ksi 6 50 ksi. La deformacin elstica correspondiente se determina mediante proporcin, figura 4-31b; es decir, As, la elongacin de AC es Y a partir de la figura 4-31d, la elongacin de AB es 20.03 pies20.00 pies A CB (a) 0.0017 50 (b) P (pulg/pulg) s (ksi) TACTAB 3 kip (c) Posicin final B C dAB 0.03 pie dAC (d) Posicin inicial A 20.00 pies 20.03 pies dAC (1)TAB + TAC - 3 kip = 0+ cFy = 0; Resp.TAB = sYAAB = 50 ksi 10.05 pulg2 2 = 2.50 kip Resp.TAC = 0.500 kip PAC = 0.000340 PAC 10 ksi = 0.0017 50 ksi Resp.dAC = 10.0003402120.03 pies2 = 0.00681 pie Resp.dAB = 0.03 pie + 0.00681 pie = 0.0368 pie Capitulo 04_Hibbeler.indd 168 13/1/11 19:43:00 188. 4.9 Esfuerzo residual 169 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 4-87. Determine el esfuerzo normal mximo desarrollado en la barra cuando est sometida a una tensin de P = 8 kN. *4-88. Si el esfuerzo normal permisible para la barra es sperm = 120 MPa, determine la mxima fuerza axial P que puede aplicarse a la barra. 4-91. Determine la mxima fuerza axial P que se puede aplicar a la barra, la cual est fabricada de acero y tiene un esfuerzo permisible de sperm = 21 ksi. *4-92. Determine el esfuerzo normal mximo desarrollado en la barra cuando se somete a una tensin de P = 2 kip. 4-89. El elemento debe hacerse a partir de una placa de acero con 0.25 pulg de espesor. Si se perfora un orificio de 1 pulg a travs de su centro, determine el ancho w aproxima- do de la placa para que pueda soportar una fuerza axial de 3350 lb. El esfuerzo permisible es sperm = 22 ksi. 4-90. La placa de acero A-36 tiene un espesor de 12 mm. Si hay filetes en B y C, y sperm = 150 MPa, determine la mxima carga axial P que puede soportar. Calcule su elongacin sin tomar en cuenta el efecto de los filetes. 4-93. Determine el esfuerzo normal mximo desarrollado en la barra cuando est sometida a una tensin de P = 8 kN. 4-94. En la figura se muestra la distribucin del esfuerzo resultante a lo largo de la seccin AB de la barra. Con base en esta distribucin, determine de manera aproximada la fuerza axial resultante P aplicada a la barra. Adems, cul es el factor de concentracin del esfuerzo para esta geome- tra? r 10 mm 40 mm 20 mm P P 20 mm 5 mm Probs. 4-87/88 Prob. 4-89 3350 lb 3350 lb 1 pulg 0.25 pulg w Prob. 4-90 200 mm r = 30 mm r = 30 mm 120 mm 60 mm 60 mm 200 mm 800 mm P P B A C D Prob. 4-94 1 pulg 4 pulg 0.5 pulg B A 3 ksi 12 ksi P Prob. 4-93 r = 15 mm 60 mm 30 mm P P 12 mm 5 mm Probs. 4-91/92 P P 1.25 pulg 1.875 pulg 0.125 pulg 0.75 pulg r 0.25 pulg Capitulo 04_Hibbeler.indd 169 13/1/11 19:43:06 189. Probs. 4-99/100 170 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4-95. En la figura se muestra la distribucin del esfuerzo resultante a lo largo de la seccin AB de la barra. A partir de esta distribucin, determine aproximadamente la fuerza axial resultante P aplicada a la barra. Adems, cul es el factor de concentracin del esfuerzo para esta geometra? *4-96. En la figura se muestra la distribucin del esfuerzo resultante a lo largo de la seccin AB de la barra. A partir de esta distribucin, determine aproximadamente la fuerza axial resultante P aplicada a la barra. Adems, cul es el factor de concentracin del esfuerzo para esta geometra? 4-97. El peso de 300 kip se coloca lentamente sobre la par- te superior de un poste fabricado de aluminio 2014-T6 con un ncleo de acero A-36. Si ambos materiales pueden con- siderarse elsticos perfectamente plsticos, determine el es- fuerzo en cada material. 4-98. La barra tiene un rea en su seccin transversal de 0.5 pulg2 y est fabricada de un material cuyo diagrama de esfuerzo-deformacin puede aproximarse mediante los dos segmentos de lnea mostrados en la figura. Determine la elongacin de la barra debido a la carga. 4-99. La barra rgida se sostiene mediante un pasador en A y dos alambres de acero, cada uno con un dimetro de 4 mm. Si el esfuerzo de cedencia para los alambres es sY = 530 MPa y Eac = 200 GPa, determine la intensidad de la carga distri- buida w que puede colocarse sobre la viga y que causar que el alambre EB comience a ceder. Cul es el desplazamiento del punto G en este caso? Para el clculo, suponga que el acero es elstico perfectamente plstico. *4-100. La barra rgida se sostiene mediante un pasador en A y dos alambres de acero, cada uno con un dimetro de 4 mm. Si el esfuerzo de cedencia para los alambres es sY = 530 MPa y Eac = 200 GPa, determine (a) la intensidad de la carga distribuida w que puede colocarse sobre la viga y que har que slo uno de los alambres comience a ceder y (b) la menor intensidad de la carga distribuida que har que am- bos alambres cedan. Para el clculo, suponga que el acero es elstico perfectamente plstico. Prob. 4-95 0.8 pulg 0.6 pulg 0.6 pulg P 0.2 pulg 6 ksi 36 ksi 0.5 pulg A B Prob. 4-96 20 mm 80 mm 5 MPa 30 MPa B A 10 mm P Prob. 4-97 Aluminio Acero 2 pulg 1 pulg Prob. 4-98 5 kip8 kipA B C 5 pies 2 pies 40 20 0.001 0.021 P (pulg/pulg) s(ksi) 400 mm 250 mm 150 mm w A 800 mm E B D C G Capitulo 04_Hibbeler.indd 170 13/1/11 19:43:13 190. 4.9 Esfuerzo residual 171 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4-101. La palanca rgida se sostiene mediante dos alam- bres de acero A-36 que tienen el mismo dimetro de 4 mm. Si se aplica una fuerza de P = 3 kN sobre el man- go, determine la fuerza desarrollada en los dos alambres y sus elongaciones correspondientes. Considere que el acero A-36 es un material elstico perfectamente plstico. 4-102. La palanca rgida se sostiene mediante dos alambres de acero A-36 que tienen el mismo dimetro de 4 mm. De- termine la fuerza P ms pequea que causar (a) que slo uno de los alambres ceda, (b) que ambos alambres cedan. Considere que el acero A-36 es un material elstico perfec- tamente plstico. 4-103. Las tres barras se articulan entre s y se someten a la carga P. Si cada barra tiene un rea A en su seccin trans- versal, tiene una longitud L y est fabricada de un material elstico perfectamente plstico con un esfuerzo de cedencia sY , determine la mxima carga (carga ltima) que puede ser soportada por las barras, es decir, la carga P que hace que todos las barras cedan. Adems, cul es el desplazamiento horizontal del punto A cuando la carga alcanza su valor lti- mo? El mdulo de elasticidad es E. *4-104. La viga rgida se sostiene mediante las tres barras de acero A-36 con un dimetro de 25 mm. Si la viga soporta la fuerza de P = 230 kN, determine la fuerza desarrollada en cada barra. Considere que el acero es un material elstico perfectamente plstico. 4-105. La viga rgida se sostiene mediante las tres barras de acero A-36 con un dimetro de 25 mm. Si la fuerza de P = 230 kN se aplica sobre la viga y despus se retira, deter- mine los esfuerzos residuales en cada barra. Considere que el acero es un material elstico perfectamente plstico. 4-106. La carga distribuida se aplica sobre una viga rgi- da que est sostenida por tres barras. Cada barra tiene un rea en su seccin transversal de 1.25 pulg2 y est fabricada de un material cuyo diagrama esfuerzo-deformacin puede aproximarse mediante los dos segmentos de lnea mostra dos en la figura. Si se aplica sobre la viga una carga de w = 25 kip>pie, determine el esfuerzo en cada barra y el des- plazamiento vertical de la viga. 4-107. La carga distribuida se aplica sobre una viga rgi- da que est sostenida por tres barras. Cada barra tiene un rea en su seccin transversal de 0.75 pulg2 y est fabricada de un material cuyo diagrama esfuerzo-deformacin puede aproximarse mediante los dos segmentos de lnea mostrados en la figura. Determine la intensidad de la carga distribui- da w que es necesario aplicar para que la viga se desplace 1.5 pulg hacia abajo. Probs. 4-101/102 A B D C E P 450 mm 150 mm 30 150 mm 300 mm Probs. 4-104/105 A D E B C F 400 mm 600 mm 400 mm 400 mm P Probs. 4-106/107 5 pies A CB w 4 pies 4 pies 60 36 0.0012 0.2 (ksi)s (pulg/pulg)P Prob. 4-103 B C D A L L L P u u Capitulo 04_Hibbeler.indd 171 13/1/11 19:44:54 191. 172 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *4-108. La viga rgida se sostiene sobre los tres postes A, B y C que tienen la misma longitud. Los postes A y C tienen un dimetro de 75 mm y estn hechos de aluminio, para el cual Eal = 70 GPa y (sY )al = 20 MPa. El poste B tiene un dimetro de 20 mm y es de latn, para el cual Ebr = 100 GPa y (sY )br = 590 MPa. Determine la menor magnitud de P de tal manera que (a) slo las varillas A y C cedan y (b) todos los postes cedan. 4-109. La viga rgida se sostiene sobre los tres postes A, B y C. Los postes A y C tienen un dimetro de 60 mm y es- tn hechos de aluminio, para el cual Eal = 70 GPa y (sY )al = 20 MPa. El poste B es de latn, para el cual Ebr = 100 GPa y (sY )br = 590 MPa. Si P = 130 kN, determine el mayor di- metro del poste B de modo que todos los postes cedan al mismo tiempo. 4-110. El alambre BC tiene un dimetro de 0.125 pulg y su material tiene las caractersticas de esfuerzo-deformacin mostradas en la figura. Determine el desplazamiento ver- tical del mango en D si el tirn en la empuadura se au- menta lentamente y alcanza una magnitud de (a) P = 450 lb, (b) P = 600 lb. 4-111. La barra con un dimetro de 2 pulg est conectada fijamente en sus extremos y soporta la carga axial P. Si el material es elstico perfectamente plstico como se muestra en el diagrama de esfuerzo-deformacin, determine la me- nor carga P necesaria para ocasionar que el segmento CB ceda. Si esta carga se retira, determine el desplazamiento permanente del punto C. *4-112. Determine la elongacin de la barra en el proble- ma 4-111 cuando se retiran tanto la carga P como los so portes. 4-113. Un material tiene un diagrama de esfuerzo-defor- macin que puede describirse mediante la curva s = cP1>2 . Determine la deflexin d del extremo de una barra fabricada de este material si tiene una longitud L, un rea A en su seccin transversal, y un peso especfico g. al 2 m 2 m 2 m A B P P C br al 2 m Probs. 4-108/109 A B C D P 50 pulg 30 pulg 40 pulg 0.007 0.12 70 80 s (ksi) P (pulg/pulg) Prob. 4-110 L A d s P Prob. 4-113 2 pies A C 20 0.001 P B 3 pies P (pulg/pulg) s (ksi) Probs. 4-111/112 Capitulo 04_Hibbeler.indd 172 13/1/11 19:45:00 192. Repaso de captulo 173 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Repaso de Captulo Cuandounacargaseaplicasobreunpuntodeuncuerpo,sta tiende a crear una distribucin de esfuerzos dentro del cuer- po, la cual es ms uniforme en regiones alejadas del punto de aplicacin de la carga. Esto se llama principio de Saint- Venant. El desplazamiento relativo de un extremo de un elemento cargado axialmente en relacin con el otro extremo se de- termina a partir de Si una serie de fuerzas axiales externas concentradas se aplica sobre un elemento y AE es constante para el ele- mento, entonces, Para su aplicacin, es necesario utilizar una convencin de signos para la carga interna P y el desplazamiento d. Se considera que la tensin y la elongacin son valores po- sitivos. Adems, el material no debe ceder, sino que debe conservarse elstico lineal. Es posible la superposicin de la carga y el desplazamiento siempre que el material se conserve elstico lineal y que no ocurran cambios significativos en la geometra del elemen- to despus de aplicar la carga. Las reacciones en una barra estticamente indeterminada se pueden calcular empleando las ecuaciones de equilibrio y las condiciones de compatibilidad que especifican los des- plazamientos en los soportes. Estos desplazamientos se relacionan con las cargas mediante una relacin carga- desplazamiento como d = PL>AE. d = L L 0 P1x2 dx AE d = PL AE P sprom P A P2P1 x dx L d P4P1 P2 P3 L d P Capitulo 04_Hibbeler.indd 173 13/1/11 19:45:02 193. 174 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Un cambio en la temperatura puede causar que un ele- mento hecho de un material isotrpico homogneo expe- rimente el siguiente cambio en su longitud d = aTL Si el elemento est restringido, este cambio producir es- fuerzo trmico en el elemento. Los orificios y las transiciones bruscas en una seccin trans- versal crean concentraciones de esfuerzo. Para el diseo de un elemento hecho con un material frgil, se obtiene el factor de concentracin del esfuerzo K a partir de una gr- fica, la cual se determin mediante experimentacin. Este valor se multiplica por el esfuerzo promedio para obtener el esfuerzo mximo en la seccin transversal. smx = Ksprom Si la carga sobre una barra fabricada con un material dc- til ocasiona que el material ceda, entonces la distribucin de esfuerzos que se presenta en ella puede determinarse a partir de la distribucin de la deformacin y del diagrama esfuerzo-deformacin. Si se supone que el material es per- fectamente plstico, la cedencia har que la distribucin del esfuerzo en la seccin transversal de un orificio o de una transicin se equilibre y llegue a ser uniforme. Si un elemento est restringido y una carga externa causa la cedencia, entonces cuando la carga se retire, se produci- rn esfuerzos residuales en el elemento. P s1 s1 PP sY sY Capitulo 04_Hibbeler.indd 174 13/1/11 19:45:03 194. Problemas conceptuales 175 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS conceptuales P4-1. La zapata de concreto A se vaci al colocar esta co- lumna en su lugar. Despus se vaci el resto de la losa de cimentacin. Puede explicar por qu se produjeron grietas a 45 en cada esquina? Se puede pensar en un mejor diseo que evite estas grietas? P4-2. Una hilera de ladrillos, junto con el mortero y una varilla de refuerzo interna fabricada de acero, estn destina- dos a servir como una viga dintel de apoyo a los ladrillos que se encuentran por encima de esta abertura de ventilacin en la pared exterior de un edificio. Explique lo que pudo haber causado que los ladrillos fallaran como se muestra en la fo- tografa. A P4-1 P4-2 Capitulo 04_Hibbeler.indd 175 13/1/11 19:45:03 195. PROBLEMAS de repaso 4-114. La barra de aluminio 2014-T6 tiene un dimetro de 0.5 pulg y est ligeramente ajustada a los soportes rgidos en A y B, cuando T1 = 70F. Si la temperatura llega a T2 = -10F, y se aplica una fuerza axial de P = 16 lb en el collarn rgido, como se muestra en la figura, determine las reacciones en A y B. 4-115. La barra de aluminio 2014-T6 tiene un dimetro de 0.5 pulg y est ligeramente ajustada a los soportes rgidos en A y B, cuando T1 = 70F. Determine la fuerza P que debe aplicarse al collarn de modo que, cuando T = 0F, la reac- cin en B sea nula. 4-117. Dos tubos de acero A-36, cada uno con un rea de 0.32 pulg2 en su seccin transversal, se atornillan entre s mediante una junta en B, como se muestra en la figura. En un inicio, el ensamble se ajusta de manera que no haya carga sobre la tubera. Si despus la junta se aprieta de modo que su rosca, que tiene un paso de 0.15 pulg, experimente dos vueltas completas, determine el esfuerzo normal promedio desarrollado en la tubera. Suponga que la junta en B y los acoplamientos en A y C son rgidos. No tome en cuenta el tamao de la junta. Nota: El paso podra causar que el tubo, cuando no est cargado, se acorte 0.15 pulg cuando la junta se hace girar una vuelta. Prob. 4-116 Prob. 4-118 176 Captulo 4Carga axial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *4-116. Cada una de las barras tiene el mismo dimetro de 25 mm y la misma longitud de 600 mm. Si estn fabricadas de acero A-36, determine las fuerzas desarrolladas en cada barra cuando la temperatura aumenta a 50C. 4-118. La pija de latn es forzada a entrar en una fundi- cin rgida. Se estima que la presin normal uniforme so- bre la pija es de 15 MPa. Si el coeficiente de friccin esttica entre la pija y la fundicin es ms = 0.3, determine la fuerza axial P necesaria para sacar la pija. Adems, calcule el des- plazamiento del extremo B en relacin con el extremo A justo antes de que la pija empiece a deslizarse hacia fuera. Ebr = 98 GPa. Probs. 4-114/115 5 pulg 8 pulg P/2 P/2 A B AB D C 600 mm 600 mm 60 60 Prob. 4-117 2 pies3 pies B CA B P 15 MPa 100 mm 150 mm 20 mm A Capitulo 04_Hibbeler.indd 176 13/1/11 19:45:15 196. Problemas de repaso 177 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4-119. El ensamble consta de dos barras AB y CD del mis- mo material que poseen un mdulo de elasticidad E1 y un coeficiente de expansin trmica a1 ; as como de una barra EF que tiene un mdulo de elasticidad E2 y un coeficiente de expansin trmica a2 . Todas las barras tienen la misma longitud L y rea transversal A. Si la viga rgida se encuentra en un principio en posicin horizontal a una temperatura T1 , determine el ngulo que forma con la horizontal cuando la temperatura se eleva hasta T2 . *4-120. El eslabn rgido se sostiene mediante un pasador en A y dos alambres de acero A-36, cada uno con una lon- gitud sin estirar de 12 pulg y un rea en su seccin trans- versal de 0.0125 pulg2 . Determine la fuerza desarrollada en los alambres cuando el eslabn soporta la carga vertical de 350 lb. Prob. 4-119 L d B A F E D C d Prob. 4-120 5 pulg 4 pulg 12 pulg 6 pulg 350 lb A B C Capitulo 04_Hibbeler.indd 177 13/1/11 19:45:20 197. 2 3 4 6 7 8 9 10 11 El esfuerzo de torsin y el ngulo de giro de este barreno dependen de la potencia de la mquina que hace girar al tala- dro y de la resistencia del suelo que est en contacto con el eje. Capitulo 05_Hibbeler.indd 178 13/1/11 19:57:59 198. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 179 1 2 Torsin 5 179 OBJETIVOS DEL CAPTULO En este captulo se analizarn los efectos que produce la aplicacin de una carga de torsin sobre un elemento largo y recto como un eje o tubo. En un inicio se considerar que el elemento tiene una seccin transversal circular. Se mostrar cmo determinar la distribucin de es- fuerzos dentro del elemento, as como el ngulo de torsin cuando el material se comporta en forma elstico lineal o de manera inelstica. Tambin se abordar el anlisis estticamente indeterminado de los ejes y tubos, adems de temas especiales como los elementos con seccio- nes transversales no circulares. Por ltimo, se dar una consideracin especial a las concentraciones de esfuerzo y a los esfuerzos residuales causados por las cargas de torsin. 5.1Deformacin por torsin de un eje circular El par de torsin es un momento que tiende a torcer un elemento sobre su eje longitudinal. Su efecto es de gran importancia en el diseo de ejes o rboles de transmisin utilizados en vehculos y maquinaria. Se puede ilustrar fsicamente lo que ocurre cuando un par de torsin se aplica so- bre un eje circular considerando que el eje est fabricado de un material altamente deformable como el caucho, figura 5-1a. Cuando se aplica el par de torsin, los crculos y las lneas longitudinales en forma de cuadrcula marcados en un principio en el eje, tienden a distorsionarse para formar el patrn mostrado en la figura 5-1b. Observe que el torcimiento ocasiona que los crculos se conserven como crculos, y que cada lnea longitudinal de la cuadrcula se deforme en una hlice que interseca los crculos en ngulos iguales. Adems, las secciones transversales de los extremos a lo largo del eje seguirn siendo planas (es decir, no se arrugan o pandean hacia adentro o hacia afuera) y las lneas radiales se conservan rectas du- rante la deformacin, figura 5-1b. A partir de estas observaciones, se puede suponer que si el ngulo de giro es pequeo, la longitud del eje y su radio se mantendrn sin cambio. Capitulo 05_Hibbeler.indd 179 13/1/11 19:57:59 199. 180 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Si el eje est fijo en uno de sus extremos y se aplica un par de torsin a su otro extremo, el plano gris oscuro de la figura 5-2 se distorsionar en forma sesgada como se muestra en la misma figura. Aqu, una lnea radial situada en la seccin transversal a una distancia x del extremo fijo del eje girar un ngulo f(x). El ngulo f(x), definido de esta forma, se denomi- na ngulo de giro. ste depende de la posicin x y vara a lo largo del eje como se muestra en la figura. Con el fin de entender la manera en que esta distorsin hace que el material se deforme, se aislar un pequeo elemento situado a una distan- cia radial r (rho) de la lnea central del eje, figura 5-3. Debido a una de- formacin como la indicada en la figura 5-2, las caras frontal y posterior del elemento experimentarn una rotacin, la cara posterior de f(x) y la cara frontal de f(x) + f. Como resultado, la diferencia en estas rotacio- nes, f, hace que el elemento est sometido a deformacin cortante. Para calcular esta deformacin, observe que antes de sta el ngulo entre las aristas AB y AC era de 90; sin embargo, despus de la deformacin los bordes del elemento son AD y AC, y el ngulo entre ellos es de u. A partir de la definicin de deformacin cortante, ecuacin 2-4, se tiene Observe la deformacin del elemento rec- tangular cuando esta barra de caucho se somete a un par de torsin. g = p 2 - u Antes de la deformacin (a) Despus de la deformacin (b) Las lneas longitudinales se tuercen Los crculos se mantienen circulares Las lneas radiales permanecen rectas T T Figura 5-2 Figura 5-1 T x y x El ngulo de giro f(x) aumenta a medida que se incrementa x. Plano sin deformar Plano deformado z f(x) Capitulo 05_Hibbeler.indd 180 13/1/11 19:58:01 200. 5.1Deformacin por torsin de un eje circular 181 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Este ngulo, g, que se indica en el elemento, puede relacionarse con la longitud x y con el ngulo f entre los planos sombreados al considerar la longitud del arco BD, es decir Por lo tanto, si se hace x : dx y f : df, Como dx y df son iguales para todos los elementos ubicados en los pun- tos sobre la seccin transversal en x, entonces df>dx es constante en toda la seccin transversal, y la ecuacin 5-1 establece que la magnitud de la deformacin cortante para cualquiera de estos elementos vara slo con su distancia radial r desde la lnea central del eje. En otras palabras, el esfuerzo cortante dentro del eje vara linealmente a lo largo de cualquier lnea radial, desde cero en la lnea central del eje hasta un mximo gmx en su lmite exterior, figura 5-4. Como df>dx = g>r = gmx >c, entonces Los resultados obtenidos tambin son vlidos para los tubos circulares. Dichas conclusiones dependen slo de los supuestos relacionados con las deformaciones que se mencionaron antes. Figura 5-4 Figura 5-3 BD = rf = xg (5-1)g = r df dx (5-2)g = a r c bgmx c df dx La deformacin cortante en los puntos ubicados sobre la seccin transversal aumenta linealmente con r, es decir, g(r/c)gmx. g gmx r x x T y x z x c Deformacin cortante del elemento C A D B Plano deformado Plano sin deformar x g g f f(x) r r u Capitulo 05_Hibbeler.indd 181 13/1/11 19:58:02 201. 182 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.2 Frmula de la torsin Cuando un par de torsin externo se aplica sobre un eje, en ste se genera un par de torsin interno correspondiente. En esta seccin se desarro- llar una ecuacin que relaciona este par de torsin interno con la distri- bucin del esfuerzo cortante en la seccin transversal de un eje o tubo circular. Si el material es elstico lineal, entonces se aplica la ley de Hooke, t = Gg, y en consecuencia cualquier variacin lineal en la deformacin cortante conducir a una correspondiente variacin lineal en el esfuer- zo cortante a lo largo de cualquier lnea radial ubicada en la seccin trans- versal, tal como se seal en la seccin anterior. Por consiguiente, t variar desde cero en la lnea central longitudinal del eje hasta un valor mximo, tmx , en su superficie externa. Esta variacin se muestra en la figura 5-5 so- bre las caras frontales de un nmero seleccionado de elementos, los cuales se ubican en una posicin radial intermedia r y en el radio exterior c. A partir de la proporcionalidad de tringulos, se puede escribir Esta ecuacin expresa la distribucin del esfuerzo cortante sobre la sec- cin transversal en funcin de la posicin radial r del elemento. Con base en ella, ahora es posible aplicar la condicin de que el par de torsin pro- ducido por la distribucin de esfuerzos sobre toda la seccin transversal sea equivalente al par de torsin interno resultante T en la seccin, lo cual mantendr al eje en el equilibrio, figura 5-5. (5-3)t = a r c btmx tmx tmx tmx tt t El esfuerzo cortante vara linealmente a lo largo de cada lnea radial de la seccin transversal. T c dA r Figura 5-5 Capitulo 05_Hibbeler.indd 182 13/1/11 19:58:03 202. 5.2Frmula de la torsin 183 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 En especfico, cada elemento de rea dA, ubicado en r, est sometido a una fuerza de dF = tdA. El par de torsin producido por esta fuerza es dT = r(tdA). Por lo tanto, para toda la seccin transversal se tiene Como tmx >c es constante, La integral depende slo de la geometra del eje. Representa el mo- mento polar de inercia del rea de la seccin transversal del eje alrededor de su lnea central longitudinal. Su valor se simboliza como J y, por lo tan- to, la ecuacin anterior puede reordenarse y escribirse de una manera ms compacta, es decir, Aqu tmx =el esfuerzo cortante mximo en el eje, que se produce en la superfi- cie externa T =el par de torsin interno resultante que acta en la seccin transver- sal. Su valor se determina a partir del mtodo de las secciones y la ecuacin de equilibrio de momentos aplicados respecto a la lnea central longitudinal del eje J =el momento polar de inercia del rea de la seccin transversal c = el radio exterior del eje Si se combinan las ecuaciones 5-3 y 5-6, el esfuerzo cortante a la distan- cia intermedia r puede determinarse a partir de Cualquiera de las dos ecuaciones anteriores suele llamarse la frmula de la torsin. Recuerde que slo se usa si el eje es circular, el material es homogneo y se comporta de manera elstico lineal, puesto que su deriva- cin se basa en la ley de Hooke. (5-4)T = LA r1t dA2 = LA ra r c btmx dA (5-5)T = tmx c LA r2 dA (5-6)tmx = Tc J (5-7)t = Tr J Capitulo 05_Hibbeler.indd 183 13/1/11 19:58:04 203. 184 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Eje slido. Si el eje tiene una seccin transversal circular slida, el momento polar de inercia J puede determinarse usando un elemento de rea en forma de un aro o anillo diferencial que tiene un grosor dr y una circunferencia 2pr, figura 5-6. Para este anillo, dA = 2prdp, y as Observe que J es una propiedad geomtrica del rea circular y que siempre es positiva. Las unidades que se utilizan ms a menudo para su medicin son mm4 o pulg4 . Se ha demostrado que el esfuerzo cortante vara linealmente a lo largo de cada lnea radial de la seccin transversal del eje. Sin embargo, si se as- la un elemento del material que se encuentra sobre esta seccin, entonces debido a la propiedad complementaria de la fuerza cortante, deben existir tambin esfuerzos cortantes iguales que acten sobre cuatro de sus caras adyacentes, como se muestra en la figura 5-7a. Por consiguiente, no slo el par de torsin interno T desarrolla una distribucin lineal del esfuerzo cortante a lo largo de cada lnea radial en el plano del rea de la seccin transversal, sino que tambin se desarrolla una distribucin del esfuerzo cortante asociada a lo largo de un plano axial, figura 5-7b. Es interesan- te destacar que debido a esta distribucin axial del esfuerzo cortante, los ejes hechos de madera tienden a partirse a lo largo del plano axial cuando se someten a un par de torsin excesivo, figura 5-8. Esto se debe a que la madera es un material anisotrpico. Su resistencia al corte paralela a sus granos o fibras, y dirigida a lo largo de la lnea central del eje, es mucho menor que su resistencia perpendicular a las fibras, dirigida a lo largo del plano de la seccin transversal. dr c r (a) T t tmx tmx El esfuerzo cortante vara linealmente a lo largo de cada lnea radial de la seccin transversal. (b) tmx T T Falla de un eje de madera debido a la torsin. (5-8)J = p 2 c4 J = LA r2 dA = L c 0 r2 12pr dr2 = 2p L c 0 r3 dr = 2pa 1 4 br4 ` 0 c Figura 5-8 Figura 5-7 Figura 5-6 Capitulo 05_Hibbeler.indd 184 13/1/11 19:58:07 204. 5.2Frmula de la torsin 185 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Eje tubular. Si un eje tiene una seccin transversal tubular, con radio interior ci y radio exterior co , entonces su momento polar de inercia J pue- de determinarse con base en la ecuacin 5-8 al restar J para un eje de radio ci de la J determinada para un eje de radio co . De lo anterior se obtiene Al igual que en un eje slido, el esfuerzo cortante distribuido en toda el rea de la seccin transversal del tubo vara linealmente a lo largo de cual- quier lnea radial, figura 5-9a. Adems, el esfuerzo cortante vara de la misma manera a lo largo de un plano axial, figura 5-9b. Esfuerzo de torsin mximo absoluto. Si se debe determinar el esfuerzo de torsin mximo absoluto, entonces es importante encon- trar el sitio donde el cociente Tc>J es mximo. En este sentido, puede ser til mostrar la variacin del par de torsin interno T en cada seccin a lo largo de la lnea central del eje; esto se logra al dibujar un diagrama de par de torsin, que es una grfica del par de torsin interno T contra su posi- cin x a lo largo del eje. Como una convencin de signos, T ser positiva si mediante la regla de la mano derecha, el pulgar se dirige hacia fuera del eje cuando los dedos se enroscan en la direccin de torsin segn la ocasiona el par, figura 5-5. Una vez que se determina el par de torsin interno en todo el eje, es posible identificar la relacin mxima de Tc>J. Este eje de transmisin tubular de un camin se someti a un par de torsin excesivo, lo que dio lugar a una falla causada por la ce- dencia del material. Figura 5-9 (5-9)J = p 2 1co 4 - ci 4 2 T (a) ci co El esfuerzo cortante vara linealmente a lo largo de cada lnea radial de la seccin transversal. (b) tmx tmx tmx tmx Capitulo 05_Hibbeler.indd 185 13/1/11 19:58:09 205. 186 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Puntos importantes Cuando un eje que tiene una seccin transversal circular se somete a un par de torsin, la seccin transver- sal se mantiene plana mientras que las lneas radiales se tuercen. Esto provoca una deformacin cortante en el material que vara linealmente a lo largo de cualquier lnea radial, desde cero en la lnea central del eje hasta un mximo en su lmite exterior. Para un material homogneo elstico lineal, el esfuerzo cortante a lo largo de cualquier lnea radial del eje tambin vara linealmente, desde cero en su lnea central hasta un mximo en su lmite exterior. Este esfuerzo cortante mximo no debe exceder el lmite proporcional. Debido a la propiedad complementaria de la fuerza cortante, la distribucin del esfuerzo cortante lineal dentro del plano de la seccin transversal tambin se distribuye a lo largo de un plano axial adyacente en el eje. La frmula de la torsin se basa en el requisito de que el par de torsin resultante en la seccin transversal debe ser igual al par de torsin producido por la distribucin del esfuerzo cortante alrededor de la lnea central longitudinal del eje. Se necesita que el eje o tubo tenga una seccin transversal circular y que est hecho de un material homogneo con un comportamiento elstico lineal. Procedimiento de anlisis La frmula de la torsin puede aplicarse mediante el siguiente procedimiento. Cargas internas. Seccione el eje de manera perpendicular a su lnea central, en el punto donde debe determinarse el esfuerzo cortante; despus utilice el diagrama de cuerpo libre y las ecuaciones de equilibrio necesarias para obtener el par de torsin interno en la seccin. Propiedad de la seccin. Calcule el momento polar de inercia del rea de la seccin transversal. Para una seccin slida de radio c, J = pc4 >2, y para un tubo de radio exterior co y radio interior ci , J = p(co 4 ci 4 )>2. Esfuerzo cortante. Especifique la distancia radial r, medida desde el centro de la seccin transversal hasta el punto donde debe determinarse el esfuerzo cortante. A continuacin, aplique la frmula de la torsin t = Tr>J, o si se desea determinar el esfuerzo cortante mximo utilice tmx = Tc>J. Al sustituir los datos, asegrese de emplear un conjunto de unidades consistente. El esfuerzo cortante acta sobre la seccin transversal en una direccin que siempre es perpendicular a r. La fuerza que crea debe contribuir a un par de torsin alrededor de la lnea central del eje, el cual tiene la misma direccin que el par de torsin interno resultante T que acta sobre la seccin. Una vez que se ha establecido esta direccin, puede aislarse un elemento de volumen situado en el punto donde se determina t, y puede mostrarse la direccin en que acta t sobre las otras tres caras adyacentes del elemento. Capitulo 05_Hibbeler.indd 186 13/1/11 19:58:10 206. 5.2Frmula de la torsin 187 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.1 Figura 5-10 El eje slido de radio c est sometido a un par de torsin T, figura 5-10a. Determine la fraccin de T que resiste el material contenido en la regin exterior del eje, la cual tiene un radio interior c>2 y un radio exterior c. SOLUCIN El esfuerzo en el eje vara linealmente, de modo que t = (r>c)tmx , ecua- cin 5-3. Por lo tanto, el par de torsin dT en el anillo (rea), ubicado dentro de la regin con sombreado ms claro en la figura 5-10b, es Para toda el rea con sombreado ms claro, el par de torsin es De modo que Este par de torsin T se puede expresar en trminos del par T apli- cado si se utiliza primero la frmula de la torsin para determinar el esfuerzo mximo en el eje. Se tiene o bien Si se sustituye esto en la ecuacin 1 se obtiene NOTA: En este caso, aproximadamente el 94 por ciento del par de torsin es resistido por la regin con sombreado ms claro, y el 6 por ciento restante (o 1 16) de T lo resiste el ncleo interior del eje, de r = 0 a r = c>2. Como resultado, el material que se encuentra en la regin exterior del eje es muy efectivo en la resistencia del par, lo que justifica el uso de ejes tubulares como un medio eficiente para transmi- tir el par de torsin, y as ahorrar material. dT = r1t dA2 = r1r>c2tmx12pr dr2 = 2ptmx c 1 4 r4 ` c>2 c T = 2ptmx c L c c>2 r3 dr (1)T = 15p 32 tmxc3 tmx = Tc J = Tc 1p>22c4 tmx = 2T pc3 Resp.T = 15 16 T (a) T cc 2 c 2 (b) c dr r tmx t Capitulo 05_Hibbeler.indd 187 13/1/11 19:58:12 207. 188 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.2 Figura 5-11 El eje mostrado en la figura 5-11a se sostiene mediante dos cojinetes y est sometido a tres pares. Determine el esfuerzo cortante desarrolla- do en los puntos A y B, que se encuentran sobre la seccin a-a del eje, figura 5-11c. SOLUCIN Par de torsin interno. Las reacciones de apoyo en el eje son nulas, dado que el peso de ste no se toma en cuenta. Ade- ms, los pares de torsin aplicados satisfacen el equilibrio de los momentos alrededor de la lnea central del eje. El par de torsin interno en la seccin a-a se determinar a partir del diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo, figura 5-11b. Se tiene Propiedad de la seccin. El momento polar de inercia para el eje es Esfuerzo cortante. Como el punto A est en r = c = 0.75 pulg, NOTA: Las direcciones de estos esfuerzos sobre cada elemento en A y B, figura 5-1lc, se establecen con base en la direccin del par de tor- sin interno resultante T, que se muestra en la figura 5-11b. Observe con cuidado cmo el esfuerzo cortante acta sobre los planos de cada uno de estos elementos. 42.5 kip # pulg - 30 kip # pulg - T = 0 T = 12.5 kip #pulgMx = 0; J = p 2 10.75 pulg24 = 0.497 pulg4 Resp.tA = Tc J = 112.5 kip # pulg210.75 pulg2 10.497 pulg4 2 = 18.9 ksi Resp.tB = Tr J = 112.5 kip # pulg210.15 pulg2 10.497 pulg4 2 = 3.77 ksi Lo mismo sucede con el punto B, en r = 0.15 pulg, se tiene 42.5 kippulg 30 kippulg 12.5 kippulg a a (a) (b) 42.5 kippulg 30 kippulg T x (c) x0.15 pulg0.75 pulg B A 18.9 ksi 3.77 ksi 12.5 kippulg Capitulo 05_Hibbeler.indd 188 13/1/11 19:58:18 208. 5.2Frmula de la torsin 189 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.3 Figura 5-12 El tubo mostrado en la figura 5-12a tiene un dimetro interior de 80 mm y un dimetro exterior de 100 mm. Si su extremo se aprieta contra el soporte en A mediante una llave de torsin en B, determine el esfuerzo cortante desarrollado en el material sobre las paredes interior y exte- rior, a lo largo de la porcin central del tubo, al momento de aplicar las fuerzas de 80 N sobre la llave. SOLUCIN Par de torsin interno. Se toma una seccin en una ubicacin in- termedia C sobre el eje de la tubera, figura 5-12b. La nica incgnita en la seccin es el par de torsin interno T. Se requiere Propiedad de la seccin. El momento polar de inercia para la seccin transversal del tubo es Esfuerzo cortante. Para cualquier punto que se encuentre sobre la superficie exterior del tubo, r = co = 0.05 m, entonces Y para cualquier punto situado en la superficie interior, r = ci = 0.04 m, de modo que NOTA: Para mostrar cmo actan estos esfuerzos en los puntos re- presentativos D y E sobre la seccin transversal, primero se ver la sec- cin transversal desde la parte frontal del segmento CA del tubo, figura 5-12a. En esta seccin, figura 5-12c, el par de torsin interno resultante es igual pero opuesto al mostrado en la figura 5-12b. Los esfuerzos cor- tantes en D y E contribuyen a este par y, por lo tanto, actan sobre las caras sombreadas de los elementos en las direcciones indicadas. Como consecuencia, observe la manera en que las componentes del esfuer- zo cortante actan sobre las otras tres caras. Adems, como la cara su- perior de D y la cara interna de E se encuentran en regiones sin esfuer- zo tomadas de las paredes exterior e interior del tubo, no puede existir ningn esfuerzo cortante sobre dichas caras o sobre otras caras corres- pondientes en los elementos. 200 mm 80 N (a) B 80 N C 300 mm A 300 mm 200 mm 80 N 80 N (b) z x T y (c) T D E tE 0.276 MPa tD 0.345 MPa T = 40 N # m My = 0; 80 N 10.3 m2 + 80 N 10.2 m2 - T = 0 J = p 2 [10.05 m24 - 10.04 m24 ] = 5.796110-6 2 m4 Resp.to = Tco J = 40 N # m 10.05 m2 5.796110-6 2 m4 = 0.345 MPa Resp.ti = Tci J = 40 N # m 10.04 m2 5.796110-6 2 m4 = 0.276 MPa Capitulo 05_Hibbeler.indd 189 13/1/11 19:58:21 209. 190 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.3 Transmisin de potencia Con frecuencia, los ejes y tubos con secciones circulares se utilizan para transmitir la potencia desarrollada por una mquina. Cuando se utiliza con este fin, se les somete a un par de torsin que depende de la potencia ge- nerada por la mquina y de la velocidad angular del eje. La potencia se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo. Por su parte, el trabajo transmitido por un eje giratorio es igual al par aplicado por el n- gulo de rotacin. Por lo tanto, si durante un instante de tiempo dt un par de torsin T aplicado hace que el eje gire un ngulo du, entonces la potencia instantnea es La cadena de transmisin transfiere el par de torsin desarrollado por el motor elc- trico hacia el eje. El esfuerzo desarrollado en el eje depende de la potencia transmitida por el motor y de la velocidad de rotacin del eje conectado. P = Tv. Como la velocidad angular del eje es v = du>dt, la potencia puede expre- sarse de la siguiente manera En el sistema SI, la potencia se expresa en vatios cuando el par de tor- sin se mide en newton-metros (Nm) y v se expresa en radianes por segundo (rad>s) (1 W = 1 N#m>s). En el sistema pie-libra-segundo, las unidades bsicas de la potencia son pies-libras por segundo (pies#lb>s); sin embargo, los caballos de fuerza (hp) son de uso frecuente en la prctica de la ingeniera, donde Diseo de ejes. Cuando se conoce la potencia transmitida por un eje y su frecuencia de rotacin, el par de torsin que se desarrolla en el eje puede determinarse a partir de la ecuacin 5-11, es decir, T = P>2pf. Al conocer T y elesfuerzocortantepermisibleparaelmaterial,tperm ,esposibledeterminarel tamao de la seccin transversal del eje empleando la frmula de la torsin, siempre y cuando el comportamiento del material sea elstico lineal. De ma- nera especfica, el parmetro geomtrico o de diseo J>c se convierte en Para un eje slido, J = (p> 2)c4 ; por lo tanto, despus de la sustitucin se puede determinar un valor nico para el radio c del eje. Si el eje es tubular, de modo que J = 1p>221co 4 - ci 4 2, el diseo permite un amplio rango de posibilidades para la solucin. Lo anterior se debe a que puede hacerse una eleccin arbitraria para co o ci y el otro radio podr determinarse a partir de la ecuacin 5-12. P = T du dt 1 hp = 550 pies # lb>s (5-10)P = Tv (5-11)P = 2pfT (5-12) J c = T tperm Para la maquinaria, a menudo es necesario informar sobre la frecuencia, f, de un eje giratorio. sta es una medida del nmero de revoluciones o ci- clos que realiza el eje cada segundo y se expresa en hertz (1 Hz = 1 ciclo>s). Como 1 ciclo = 2p rad, entonces v = 2pf, por lo que la ecuacin anterior para la potencia se convierte en Capitulo 05_Hibbeler.indd 190 13/1/11 19:58:23 210. 5.3Transmisin de potencia 191 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.4 El eje slido AB de acero que se muestra en la figura 5-13, se va a usar para transmitir 5 hp desde el motor M al cual se encuentra conectado. Si el eje gira a v = 175 rpm y el acero tiene un esfuerzo cortante permi- sible de tperm = 14.5 ksi, determine el dimetro requerido del eje, con precisin de 1 8 de pulgada. SOLUCIN El par de torsin sobre el eje se determina a partir de la ecuacin 5-10, es decir, P = Tv. Si expresa P en libras-pie por segundo y v en radianes>segundo, se tiene Por lo tanto, Al aplicar la ecuacin 5-12 resulta Como 2c = 0.858 pulg, se selecciona un eje con un dimetro de Figura 5-13 M A B v v = 175 rev min a 2p rad 1 rev b a 1 min 60 s b = 18.33 rad>s P = 5 hp a 550 pies # lb>s 1 hp b = 2750 pies # lb>s T = 150.1 pies # lb 2750 pies # lb>s = T118.33 rad>s2P = Tv; c = 0.429 pulg c = 2T ptperm 1>3 = 21150.1 pies # lb2112 pulg>pies2 p114 500 lb>pulg2 2 1>3 J c = p 2 c4 c = T tperm Resp.d = 7 8 pulg = 0.875 pulg Capitulo 05_Hibbeler.indd 191 13/1/11 19:58:25 211. 192 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas fundamentales F5-1. El eje circular slido se somete a un par de torsin interno de T = 5 kN # m. Determine el esfuerzo cortante desarrollado en los puntos A y B. Represente cada estado de esfuerzo sobre un elemento de volumen. F5-4. Determine el esfuerzo cortante mximo desarrolla- do en el eje que tiene un dimetro de 40 mm. F5-2. El eje hueco circular se somete a un par de torsin interno de T = 10 kN # m. Determine el esfuerzo cortante desarrollado en los puntos A y B. Represente cada estado de esfuerzo en un elemento de volumen. F5-3. El eje es hueco desde A hasta B y slido de B a C. Determine el esfuerzo cortante mximo desarrollado en el eje. ste tiene un dimetro exterior de 80 mm, y el espesor de la pared en el segmento hueco es de 10 mm. F5-5. Determine el esfuerzo cortante mximo desarrolla- do en la seccin a-a del eje. F5-6. Determine el esfuerzo cortante desarrollado en el punto A sobre la superficie del eje. Represente el estado de esfuerzo sobre un elemento de volumen en este punto. El eje tiene un radio de 40 mm. F5-1 40 mm T 30 mm A B F5-2 60 mm T 10 kNm 40 mm A B F5-3 B A C 2 kNm 4 kNm F5-4 6 kN 10 kN 4 kN 2 kN 150 mm 100 mm A B C D F5-5 C D A 600 Nm 600 Nm 1500 Nm B1500 Nm a a Seccin a-a 40 mm 30 mm F5-6 A 800 mm 5 kNm/m Capitulo 05_Hibbeler.indd 192 13/1/11 19:59:28 212. 5.3Transmisin de potencia 193 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 5-1. Un eje est hecho de una aleacin de acero que tiene un esfuerzo cortante permisible de tperm = 12 ksi. Si el dime- tro del eje es de 1.5 pulg, determine el par de torsin mximo T que se puede transmitir. Cul sera el par mximo T si se perforara un orificio de 1 pulg de dimetro a travs del eje? Dibuje la distribucin del esfuerzo cortante a lo largo de una lnea radial en cada caso. *5-4. El tubo se somete a un par de torsin de 750 N # m. Determine qu porcin de este par es resistido por la seccin con sombreado ms claro. Resuelva el problema de dos ma- neras: (a) mediante la frmula de la torsin, (b) buscando la resultante de la distribucin del esfuerzo cortante. 5-2. El eje slido de radio r est sometido a un par de tor- sin T. Determine el radio r del ncleo interno del eje que resiste la mitad del par de torsin aplicado (T>2). Resuelva el problema de dos maneras: (a) utilizando la frmula de la torsin, (b) buscando la resultante de la distribucin del es- fuerzo cortante. 5-3. El eje slido est fijo al soporte en C y se somete a las cargas de torsin mostradas en la figura. Determine el esfuerzo cortante en los puntos A y B, y dibuje el esfuerzo cortante sobre los elementos de volumen localizados en es- tos puntos. 5-5. El tubo de cobre tiene un dimetro exterior de 40 mm y un dimetro interior de 37 mm. Si se asegura fuertemente a la pared en A y se le aplican tres pares de torsin como se muestra en la figura, determine el esfuerzo cortante mximo absoluto desarrollado en el tubo. 5-6. El eje slido tiene un dimetro de 0.75 pulg. Si se so- mete a los pares de torsin mostrados en la figura, determi- ne el esfuerzo cortante mximo desarrollado en las regiones BC y DE del eje. Los cojinetes en A y F permiten que el eje gire libremente. 5-7. El eje slido tiene un dimetro de 0.75 pulg. Si se so- mete a los pares de torsin mostrados, determine el esfuerzo cortante mximo desarrollado en las regiones CD y EF del eje. Los cojinetes en A y F permiten que el eje gire con li- bertad. Prob. 5-1 T T Prob. 5-2 r r T Prob. 5-3 C 75 mm 10 kNm 75 mm50 mm A B 4 kNm Prob. 5-4 75 mm 100 mm 25 mm 750 Nm Prob. 5-5 A 80 Nm 20 Nm 30 Nm Probs. 5-6/7 A B C D E F 40 lbpie 25 lbpie 20 lbpie 35 lbpie Capitulo 05_Hibbeler.indd 193 13/1/11 19:59:37 213. 194 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *5-8. El eje slido de 30 mm de dimetro se utiliza para transmitir los pares de torsin aplicados a los engranes. De- termine el esfuerzo cortante mximo absoluto en el eje. 5-11. El ensamble consiste en dos secciones de tubo de acero galvanizado conectadas entre s mediante un acopla- miento reductor en B. El tubo ms pequeo tiene un dime- tro exterior de 0.75 pulg y un dimetro interior de 0.68 pulg, mientras que el tubo ms grande tiene un dimetro exterior de 1 pulg y un dimetro interior de 0.86 pulg. Si la tubera est firmemente fija a la pared en C, determine el esfuerzo cortante mximo desarrollado en cada seccin de la tubera cuando se aplica el par mostrado sobre las manijas de la lla- ve de torsin. 5-9. El eje consiste en tres tubos concntricos, cada uno hecho del mismo material y con los radios interior y exterior mostrados en la figura. Si se aplica un par de torsin T = 800 N # m sobre el disco rgido fijo en su extremo, determine el esfuerzo cortante mximo en el eje. 5-10. El acoplamiento se utiliza para conectar los dos ejes mostrados. Si se supone que el esfuerzo cortante en los per- nos es uniforme, determine el nmero de pernos necesarios para hacer que el esfuerzo cortante mximo en el eje sea igual al esfuerzo cortante en los pernos. Cada perno tiene un dimetro d. *5-12. El motor entrega un par de torsin de 50 N #m sobre el eje AB. ste se transmite al eje CD mediante los engranes en E y F. Determine el par de torsin de equilibrio T sobre el eje CD y el esfuerzo cortante mximo en cada eje. Los cojinetes B, C y D permiten que los ejes giren libremente. 5-13. Si el par de torsin aplicado sobre el eje CD es T = 75 N # m, determine el esfuerzo cortante mximo ab- soluto en cada eje. Los cojinetes B, C y D permiten que los ejes giren libremente y el motor mantiene los ejes fijos en la rotacin. Prob. 5-10 T r T R Prob. 5-11 C B A 15 lb 6 pulg 15 lb 8 pulg Prob. 5-8 300 N m A 200 N m 500 N m 300 mm 400 mm 500 mm 400 N m B D C Prob. 5-9 T 800 Nm 2 m ri 20 mm ro 25 mm ri 26 mm ro 30 mm ri 32 mm ro 38 mm Probs. 5-12/13 50 mm B 30 mm 35 mm 125 mm D C E F T A Capitulo 05_Hibbeler.indd 194 13/1/11 19:59:55 214. 5.3Transmisin de potencia 195 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-14. El eje slido de 50 mm de dimetro se utiliza para transmitir los pares de torsin aplicados sobre los engranes. Determine el esfuerzo cortante mximo absoluto en el eje. 5-15. El eje slido est hecho de un material que tiene un esfuerzo cortante permisible de tperm = 10 MPa. Determine el dimetro requerido del eje con una precisin de 1 mm. *5-16. El eje slido tiene un dimetro de 40 mm. Determi- ne el esfuerzo cortante mximo absoluto en el eje y dibuje la distribucin del esfuerzo cortante a lo largo de una lnea radial del eje donde el esfuerzo cortante sea mximo. Prob. 5-14 A 250 N m 325 N m 75 N m 500 mm 400 mm 500 mm 150 N mB D C Probs. 5-15/16 25 Nm 15 Nm 70 Nm 30 Nm 60 Nm A B C D E 5-17. La barra tiene un dimetro de 1 pulg y un peso de 10 lb>pie. Determine el esfuerzo de torsin mximo en una seccin de la barra situada en A, debido al peso de la barra. 5-18. La barra tiene un dimetro de 1 pulg y un peso de 15 lb>pie. Determine el esfuerzo de torsin mximo en una seccin de la barra situada en B, debido al peso de la barra. 5-19. Dos llaves se usan para apretar el tubo mostrado. Si a cada llave se le aplica P = 300 N, determine el esfuerzo cor- tante de torsin mximo desarrollado dentro de las regiones AB y BC. El tubo tiene un dimetro exterior de 25 mm y un dimetro interior de 20 mm. Dibuje la distribucin del esfuerzo cortante en ambos casos. *5-20. Dos llaves se usan para apretar el tubo mostrado. Si el tubo est hecho de un material que tiene un esfuerzo cortante permisible de tperm = 85 MPa, determine la fuerza mxima permisible P que puede aplicarse a cada llave. El tubo tiene un dimetro exterior de 25 mm y un dimetro interior de 20 mm. Probs. 5-17/18 4 pies 1.5 pies 4.5 pies A B 1.5 pies Probs. 5-19/20 250 mm 250 mm A P P B C Capitulo 05_Hibbeler.indd 195 13/1/11 20:00:38 215. 196 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 5-21. El eje slido de 60 mm de dimetro est someti- do a las cargas de torsin distribuidas y concentradas que se muestran en la figura. Determine los esfuerzos cortantes absolutos mximo y mnimo en la superficie exterior del eje; asimismo, especifique sus ubicaciones medidas desde el ex- tremo fijo A. 5-22. El eje slido est sometido a las cargas de torsin distribuidas y concentradas que se muestran en la figura. Determine el dimetro requerido d del eje, con precisin de 1 mm. Considere que el esfuerzo cortante permisible para el material es tperm = 50 MPa. *5-24. El tubo de cobre tiene un dimetro exterior de 2.50 pulg y un dimetro interior de 2.30 pulg. Si se aprieta fuer- temente a la pared en C y se le aplica un par de torsin dis- tribuido de manera uniforme como se muestra en la figura, determine el esfuerzo cortante desarrollado en los puntos A y B. Estos puntos se encuentran en la superficie exterior del tubo. Dibuje el esfuerzo cortante sobre elementos de volu- men ubicados en A y B. 5-25. El tubo de cobre tiene un dimetro exterior de 2.50 pulg y un dimetro interior de 2.30 pulg. Si se aprieta fuer- temente a la pared en C y se somete a un par de torsin dis- tribuido de manera uniforme en toda su longitud, determine el esfuerzo cortante mximo absoluto en el tubo. Analice la validez de este resultado. 5-23. Considere el problema general de un eje circular hecho de m segmentos cada uno con un radio cm . Si hay n pares de torsin en el eje, como se muestra en la figura, escriba un programa de computadora que pueda utilizarse para determinar el esfuerzo cortante mximo en las ubica- ciones especificadas a lo largo del eje x. Muestre una apli- cacin del programa usando los valores L1 = 2 pies, c1 = 2 pulg, L2 = 4 pies, c2 = 1 pulg, T1 = 800 lb # pies, d1 = 0, T2 = -600 lb # pies, d2 = 5 pies. 5-26. Un resorte cilndrico consiste en un anillo de caucho pegado a un anillo rgido y a un eje. Si el anillo se mantiene fijo y se aplica un par de torsin T sobre el eje, determine el esfuerzo cortante mximo en el caucho. Probs. 5-21/22 1.5 m 0.8 m C B A 1200 Nm 2 kNm/m Probs. 5-24/25 125 lbpie/pie 4 pulg C 9 pulg 12 pulg B A Prob. 5-23 A T1 T2 Tn d1 d2 dn L1 L2 Lm Prob. 5-26 T h ro ri Capitulo 05_Hibbeler.indd 196 13/1/11 20:00:46 216. 5.3Transmisin de potencia 197 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-27. El eje de acero A-36 se sostiene mediante cojinetes lisos que le permiten girar libremente. Si los engranes se so- meten a los pares de torsin mostrados en la figura, determi- ne el esfuerzo cortante mximo desarrollado en los segmen- tos AB y BC. El eje tiene un dimetro de 40 mm. *5-28. El eje de acero A-36 se sostiene mediante cojine- tes lisos que le permiten girar libremente. Si los engranes se someten a los pares de torsin mostrados en la figura, de- termine el dimetro requerido del eje con precisin de un milmetro si tperm = 60 MPa. 5-30. El eje est sometido a un par de torsin distribuido en toda su longitud de t = (10x2 ) N # m>m, donde x se da en metros. Si el esfuerzo mximo en el eje debe mantenerse constante en 80 MPa, determine la variacin requerida del radio c del eje para 0 x 3 m. 5-29. Cuando se perfora un pozo a una velocidad angular constante, el extremo inferior de la tubera de perforacin se encuentra con una resistencia a la torsin TA . Por otra parte, el suelo a lo largo de los lados del tubo crea un par de torsin por friccin distribuido en toda su longitud, el cual vara de manera uniforme desde cero en la superficie B hasta tA en A. Determine el par de torsin TB mnimo que debe sumi- nistrar la unidad de transmisin para superar a los pares de resistencia, y calcule el esfuerzo cortante mximo en la tube- ra. El tubo tiene un radio exterior ro y un radio interior ri . 5-31. El eje de acero slido AC tiene un dimetro de 25 mm y se sostiene mediante cojinetes lisos en D y E. Est aco- plado a un motor en C, que entrega 3 kW de potencia hacia el eje en rotacin a 50 rev>s. Si los engranes A y B toman 1 kW y 2 kW, respectivamente, determine el esfuerzo cor- tante mximo desarrollado en el eje dentro de las regiones AB y BC. El eje puede girar libremente en sus cojinetes de apoyo D y E. *5-32. La bomba opera usando un motor con una potencia de 85 W. Si el impulsor en B gira a 150 rev>min, determine el esfuerzo cortante mximo desarrollado en el punto A del eje de transmisin, si ste tiene 20 mm de dimetro. Probs. 5-27/28 300 N m 100 N m 200 N m A B C Prob. 5-29 TA L B TB tA A Prob. 5-30 c x 3 m t (10x2 ) Nm/m Prob. 5-31 A CB ED 1 kW 2 kW 3 kW 25 mm Prob. 5-32 A B 150 rev/min Capitulo 05_Hibbeler.indd 197 13/1/11 20:01:28 217. 198 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-33. El motor de engranaje puede desarrollar 2 hp cuan- do gira a 450 rev>min. Si el eje tiene un dimetro de 1 pulg, determine el esfuerzo cortante mximo desarrollado en el eje. 5-34. El motor de engranaje puede desarrollar 3 hp cuando gira a 150 rev>min. Si el esfuerzo cortante permisible para el eje es tperm = 12 ksi, determine el dimetro ms pequeo que puede usarse en el eje, considere una precisin de 1 8 pulg. 5-37. El eje de transmisin para la hlice de un barco gira a 1500 rev>min, mientras desarrolla 1800 hp. Si tiene 8 pies de largo y un dimetro de 4 pulg, determine el esfuerzo cor- tante mximo en el eje causado por torsin. 5-38. El motor A desarrolla una potencia de 300 W y tie- ne una polea conectada que gira a 90 rev>min. Determine los dimetros requeridos de los ejes de acero ubicados so- bre las poleas en A y B si el esfuerzo cortante permisible es tperm = 85 MPa. 5-35. El eje de 25 mm de dimetro en el motor est fabri cado de un material que tiene un esfuerzo cortante permi sible de tperm = 75 MPa. Si el motor opera a su potencia mxima de 5 kW, determine la rotacin mnima permisible del eje. *5-36. El eje de transmisin del motor est fabricado de un material que tiene un esfuerzo cortante permisible de tperm = 75 MPa. Si el dimetro exterior del eje tubular es de 20 mm y el grosor de la pared es de 2.5 mm, determine la potencia mxima permisible que puede suministrarse al motor cuan- do el eje opera a una velocidad angular de 1500 rev>min. 5-39. El eje de acero slido DF tiene un dimetro de 25 mm y se sostiene mediante los cojinetes lisos en D y E. Est aco- plado a un motor en F, el cual entrega 12 kW de potencia hacia el eje en rotacin a 50 rev>s. Si los engranes A, B y C toman 3 kW, 4 kW y 5 kW, respectivamente, determine el esfuerzo cortante mximo desarrollado en el eje dentro de las regiones CF y BC. El eje puede girar libremente sobre sus cojinetes de apoyo D y E. *5-40. En el problema 5-39, determine el esfuerzo cortante mximo absoluto desarrollado en el eje. Probs. 5-33/34 Probs. 5-35/36 Probs. 5-39/40 A FC ED 4 kW 5 kW 12 kW 25 mm 3 kW B Prob. 5-38 60 mm 150 mm 90 rev/min A BB Capitulo 05_Hibbeler.indd 198 13/1/11 20:01:58 218. 5.3Transmisin de potencia 199 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-41. El eje tubular de acero A-36 tiene 2 m de largo y un dimetro exterior de 50 mm. Cuando se gira a 40 rad>s, transmite 25 kW de potencia del motor M a la bomba P. Determine el menor grosor posible del tubo si el esfuerzo cortante permisible es tperm = 80 MPa. 5-42. El eje tubular de acero A-36 tiene 2 m de largo y un dimetro exterior de 60 mm. Debe transmitir 60 kW de potencia del motor M a la bomba P. Determine la menor velocidad angular posible del eje si el esfuerzo cortante per- misible es tperm = 80 MPa. *5-44. El eje de transmisin AB de un automvil est fa- bricado de un acero con un esfuerzo cortante permisible de tperm = 8 ksi. Si el dimetro exterior del eje es de 2.5 pulg y el motor entrega 200 hp hacia el eje cuando ste gira a 1140 rev>min, determine el espesor mnimo requerido en la pared del eje. 5-45. El eje de transmisin AB de un automvil debe di- searse como un tubo de pared delgada. El motor entrega 150 hp cuando el eje gira a 1500 rev>min. Determine el espe- sor mnimo de la pared del eje si su dimetro exterior es de 2.5 pulg. El material tiene un esfuerzo cortante permisible de tperm = 7 ksi. 5-43. Un tubo de acero con un dimetro exterior de 2.5 pulg se utiliza para transmitir 35 hp cuando gira a 2700 rev>min. Determine el dimetro interior d del tubo con una aproximacin de 1 8 de pulg si el esfuerzo cortante permi- sible es tperm = 10 ksi. 5-46. El motor mostrado en la figura entrega 15 hp a la polea en A mientras gira a una velocidad constante de 1800 rpm. Determine, con precisin de 1 8 de pulg, el dimetro ms pequeo posible para el eje BC, si el esfuerzo cortante permisible para el acero es tperm = 12 ksi. La banda no se desliza sobre la polea. Probs. 5-41/42 MP Probs. 5-44/45 AB Prob. 5-43 2.5 pulg d Prob. 5-46 3 pulg A B C 1.5 pulg Capitulo 05_Hibbeler.indd 199 13/1/11 20:02:08 219. 200 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.4 ngulo de giro En ocasiones, el diseo de un eje depende de la restriccin de la cantidad de rotacin o giro que puede ocurrir cuando el eje se somete a un par de torsin. Adems, cuando se analizan las reacciones de los ejes esttica- mente indeterminados, es importante poder calcular el ngulo de torsin del eje. En esta seccin se desarrollar una frmula para determinar el ngulo de giro f (phi) de un extremo de un eje con respecto a su otro extremo. Se supondr que el eje tiene una seccin transversal circular que puede variar gradualmente en toda su longitud, figura 5-14a. Por otra parte, se supone que el material es homogneo y se comporta de manera elstico lineal cuando se le aplica un par de torsin. Como en el caso de una barra carga- da axialmente, no se tomarn en cuenta las deformaciones localizadas que ocurren en los puntos de aplicacin de los pares de torsin ni en los cam- bios abruptos de la seccin transversal. Por el principio de Saint-Venant, estos efectos se producen dentro de pequeas regiones de la longitud del eje y, en general, slo tendrn un ligero efecto sobre el resultado final. Mediante el mtodo de las secciones, se asla un disco diferencial de espesor dx, situado en la posicin x, figura 5-14b. El par de torsin resul- tante interno es T(x), ya que la carga externa puede provocar que vare a lo largo de la lnea central del eje. Debido a T(x), el disco girar, de modo que la rotacin relativa de una de sus caras con respecto a la otra es df, figura 5-14b. En consecuencia, un elemento de material que se encuentre en un radio r arbitrario dentro del disco experimentar una deformacin cortante g. Los valores de g y df se relacionan mediante la ecuacin 5-1, es decir, Los pozos de petrleo suelen perforarse a profundidades que superan los mil metros. En consecuencia, el ngulo total de giro de una cadena de tubos de perforacin pue- de ser sustancial y debe ser determinado. (5-13)df = g dx r x dx T3 T2 x y z T1 (a) (b) c T(x) dxdf df g g gmx r r Figura 5-14 Capitulo 05_Hibbeler.indd 200 13/1/11 20:02:10 220. 5.4 ngulo de giro 201 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Como la ley de Hooke, g = t>G, es vlida y el esfuerzo cortante puede expresarse en trminos del par de torsin aplicado usando la frmula de la torsin t = T(x)r>J(x), entonces g = T(x)r>J(x)G. Si se sustituye esto en la ecuacin 5-13, el ngulo de giro para el disco es Al calcular tanto el esfuerzo como el n- gulo de giro de este barreno es necesario considerar la carga de torsin variable que acta en toda su longitud. Integrando sobre toda la longitud L del eje, se obtiene el ngulo de giro para todo el eje, es decir, Aqu f =el ngulo de giro de un extremo del eje con respecto al otro extre- mo, medido en radianes T(x) =el par de torsin interno en la posicin arbitraria x, que se encuen- tra mediante el mtodo de las secciones y la ecuacin de equilibrio de momentos aplicada respecto a la lnea central del eje J(x) =el momento polar de inercia expresado como una funcin de la posicin x G =el mdulo de elasticidad cortante para el material Par de torsin constante y rea de la seccin transversal. Por lo general, en la prctica de ingeniera el material es homogneo, de modo que G es constante. Adems, la seccin transversal del eje y el par de torsin externo son constantes a lo largo del eje, figura 5-15. Si ste es el caso, el par de torsin interno T(x) = T, el momento polar de inercia J(x) = J y la ecuacin 5-14 pueden integrarse, de donde se obtiene Son notables las similitudes entre las dos ecuaciones anteriores y las de una barra cargada axialmente )y( d = PL>AEd = 1P1x2 dx>A1x2E . df = T1x2 J1x2G dx (5-14)f = L L 0 T1x2 dx J1x2G (5-15)f = TL JG Figura 5-15 f L T T Capitulo 05_Hibbeler.indd 201 13/1/11 20:02:12 221. 202 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 La ecuacin 5-15 se utiliza con frecuencia para determinar el mdulo de elasticidad cortante G de un material. Para ello, se coloca una probeta de longitud y dimetro conocidos en una mquina para ensayos de torsin, como la que se muestra en la figura 5-16. Despus, se mide el par de tor- sin T aplicado y el ngulo de giro f en toda la longitud L. Si se usa la ecua- cin 5-15, entonces G = TL>Jf. Por lo general, para obtener un valor ms confiable de G, se realizan varias de estas pruebas y se emplea el valor pro- medio. Pares de torsin mltiples. Si el eje est sometido a varios pares de torsin diferentes, o el rea de la seccin transversal o el mdulo cor- tante cambian abruptamente de una regin del eje a otra, es posible apli- car la ecuacin 5-15 a cada segmento del eje donde todas estas cantidades sean constantes. El ngulo de giro de un extremo del eje con respecto al otro se encuentra a partir de la suma vectorial de los ngulos de giro de cada segmento. Para este caso, Figura 5-16 Cartula de carga Controles del motor Selector del rango de carga Registrador del par de torsin contra la deformacin Cabezal fijo Probeta Motor Cabezal giratorio Unidad mvil sobre rieles Convencin de signos. Para aplicar esta ecuacin es necesario de- sarrollar una convencin de signos, tanto para el par de torsin interno, como para el ngulo de giro de un extremo del eje con respecto al otro. Para ello, se usar la regla de la mano derecha, segn la cual el par de torsin y el ngulo sern positivos, siempre que el pulgar se dirija hacia fuera del eje cuando los otros dedos se enroscan indicando la tendencia de rotacin, figura 5-17. Para ilustrar el uso de esta convencin de signos, considere el eje mos- trado en la figura 5-18a. Se desea determinar el ngulo de giro del extremo A con respecto al extremo D. Es necesario considerar tres segmentos del (5-16)f = a TL JG Capitulo 05_Hibbeler.indd 202 13/1/11 20:02:13 222. 5.4 ngulo de giro 203 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 eje, ya que el par interno cambiar en B y en C. Usando el mtodo de las secciones, se determinan los pares de torsin internos para cada segmento, figura 5-18b. Por la regla de la mano derecha, con pares de torsin posi- tivos dirigidos en sentido opuesto al extremo seccionado del eje, se tiene TAB = +80 N # m, TBC = -70 N # m y TCD = -10 N # m. Estos resultados tam- bin se muestran en el diagrama de par de torsin para el eje, figura 5-18c. Al aplicar la ecuacin 5-16, se tiene Si se sustituyen los dems datos y se encuentra que la respuesta es una cantidad positiva, esto significa que el extremo A girar como lo indica la curva de los dedos de la mano derecha cuando el pulgar se alejan del eje, figura 5-18a. La notacin con doble subndice se emplea para indicar el ngulo de giro relativo (fA>D ); sin embargo, si el ngulo de giro debe de- terminarse respecto a un soporte fijo, entonces slo se usar un subndice. Por ejemplo, si D es un soporte fijo, entonces el ngulo de giro se denotar con fA . Figura 5-17 Figura 5-18 Convencin de signos positivos para T y f. x T(x) T(x) f(x) f(x) f fA>D = 1+80 N # m2 LAB JG + 1-70 N # m2 LBC JG + 1-10 N # m2 LCD JG (b) 80 Nm 150 Nm TBC 70 Nm 80 Nm TAB 80 Nm TCD 10 Nm 10 Nm (a) LAB LBC LCD A B C D 80 Nm 150 Nm 60 Nm 10 Nm T (Nm) x 80 70 10 (c) Capitulo 05_Hibbeler.indd 203 13/1/11 20:02:16 223. 204 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Punto importante Al aplicar la ecuacin 5-14 para determinar el ngulo de giro, es importante que los pares aplicados no causen la cedencia del ma- terial y que el material sea homogneo y se comporte de manera elstico lineal. Procedimiento de anlisis El ngulo de giro de un extremo de un eje o tubo con respecto al otro extremo puede determinarse mediante el siguiente procedi- miento. Par de torsin interno. El par de torsin interno en un punto sobre la lnea central del eje se encuentra utilizando el mtodo de las secciones y la ecua- cin de equilibrio de momentos, aplicados a lo largo de la lnea central del eje. Si el par de torsin vara a lo largo del eje, debe hacerse una seccin en la posicin arbitraria x a lo largo del eje y el par de torsin interno se representa como una funcin de x, es decir, T(x). Si entre los extremos del eje actan varios pares de torsin ex- ternos constantes, debe determinarse el par interno en cada seg- mento del eje, entre cualquiera de los dos pares externos. Los resultados se pueden representar de manera grfica como un diagrama de par de torsin. ngulo de giro. Cuando el rea circular de la seccin transversal del eje vara a lo largo de la lnea central del eje, el momento polar de inercia debe expresarse como una funcin de su posicin x a lo largo del eje, J(x). Si el momento polar de inercia o el par de torsin interno cam- bia repentinamente entre los extremos del eje, entonces debe aplicarse f = 11T1x2>J1x2G2 dx o f = TL>JG a cada segmen- to para el cual J, G y T sean continuas o constantes. Al determinar el par de torsin interno en cada segmento, ase- grese de usar una convencin de signos consistente para el eje, como la que se presenta en la figura 5-17. Adems asegrese de usar un conjunto consistente de unidades cuando se realice la sustitucin de datos numricos en las ecuaciones. Capitulo 05_Hibbeler.indd 204 13/1/11 20:02:16 224. 5.4 ngulo de giro 205 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.5 Los engranes unidos al eje de acero que tiene un extremo fijo estn sometidos a los pares de torsin que se muestran en la figura 5-19a. Si el mdulo de elasticidad cortante es de 80 GPa y el eje tiene un dimetro de 14 mm, determine el desplazamiento del diente P en el engrane A. El eje gira libremente en el cojinete ubicado en B. SOLUCIN Par de torsin interno. Por inspeccin, los pares de torsin en los segmentos AC, CD y DE son diferentes aunque constantes a lo largo de cada segmento. En la figura 5-19b se muestran los diagramas de cuerpo libre de los segmentos adecuados del eje junto con los pares de torsin internos calculados. Utilizando la regla de la mano derecha y la con- vencin de signos establecida de que el par de torsin positivo se dirige hacia fuera del extremo seccionado del eje, se tiene Estos resultados tambin se muestran en el diagrama de par de torsin, figura 5-19c. ngulo de giro. El momento polar de inercia para el eje es Como la respuesta es negativa, por la regla de la mano derecha el pul- gar se dirige hacia el extremo E del eje, por lo que el engrane A rotar como se muestra en la figura 5-19d. El desplazamiento del diente P en el engrane A es Si se aplica la ecuacin 5-16 a cada segmento y se suman los resultados algebraicamente, se tiene NOTA: Recuerde que este anlisis slo es vlido si el esfuerzo cortan- te no excede el lmite proporcional del material. (a) P 40 Nm 280 Nm 0.4 m 0.3 m 0.5 m 100 mm A B C D E 150 Nm 280 Nm 150 Nm TCD 130 Nm TAC 150 Nm 150 Nm TDE 170 Nm (b) 40 Nm 280 Nm 150 Nm (c) T (Nm) x (m) 150 0 130 0.4 0.7 1.2 170 Figura 5-19 (d) fA 0.212 rad 100 mm P sP A TAC = +150 N # m TCD = -130 N # m TDE = -170 N # m J = p 2 10.007 m24 = 3.771110-9 2 m4 + 1-170 N # m210.5 m2 3.771110-9 2 m4 [801109 2 N>m2 ] = -0.2121 rad + 1-130 N # m210.3 m2 3.771110-9 2 m4 [801109 2 N>m2 ] fA = a TL JG = 1+150 N # m210.4 m2 3.771110-9 2 m4 [801109 2 N>m2 ] Resp.sP = fAr = 10.2121 rad21100 mm2 = 21.2 mm Capitulo 05_Hibbeler.indd 205 13/1/11 20:02:56 225. 206 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.6 Los dos ejes slidos de acero mostrados en la figura 5-20a se acoplan entre s mediante engranes dentados. Determine el ngulo de giro del extremo A del eje AB cuando se aplica el par de torsin T = 45 N # m. Considere G = 80 GPa. El eje AB gira libremente en los cojinetes E y F, mientras que el eje DC est fijo en D. Cada eje tiene un dimetro de 20 mm. SOLUCIN Par de torsin interno. En la figura 5-20b y 5-20c se muestran los diagramas de cuerpo libre para cada eje. Si se suman los momentos a lo largo de la lnea central x del eje AB, se obtiene la reaccin tangen- cial entre los engranes de F = 45 N # m>0.15 m = 300 N. Si se suman los momentos respecto a la lnea central x del eje DC, se observa que esta fuerza crea un par de torsin de (TD )x = 300 N (0.075 m) = 22.5 N # m sobre el eje DC. ngulo de giro. Para resolver el problema, primero se calcula la rotacin del engrane C debido al par de torsin de 22.5 N # m en el eje DC, figura 5-20c. Este ngulo de giro es Como los engranes en el extremo del eje estn endentados, la rotacin fC del engrane C ocasiona que el engrane B gire fB , figura 5-20b, donde Ahora se determinar el ngulo de giro del extremo A con respecto al extremo B del eje AB causado por el par de torsin de 45 N #m, figura 5-20b. Se tiene Por lo tanto, la rotacin del extremo A se determina mediante la suma de fB y fA>B puesto que ambos ngulos tienen la misma direccin, figura 5-20b. Resulta Figura 5-20 A T 45 Nm D E F (a) 2 m 75 mm B 150 mm 1.5 m C A Fy T 45 Nm Fz Ey Ez (b) B F 300 N 0.150 m fB 0.0134 rad Dx Dy Dz(TD)x 22.5 Nm fC C 0.075 m F 300 N (c) (MD)y (MD)z fC = TLDC JG = 1+22.5 N # m211.5 m2 1p>2210.010 m24 [801109 2 N>m2 ] = +0.0269 rad fB = 0.0134 rad fB10.15 m2 = 10.0269 rad210.075 m2 fA>B = TABLAB JG = 1+45 N # m212 m2 1p>2210.010 m24 [801109 2 N>m2 ] = +0.0716 rad Resp.fA = fB + fA>B = 0.0134 rad + 0.0716 rad = +0.0850 rad Capitulo 05_Hibbeler.indd 206 13/1/11 20:03:06 226. 5.4 ngulo de giro 207 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.7 El poste de hierro fundido slido con 2 pulg de dimetro que se muestra en la figura 5-21a, est enterrado 24 pulg en el suelo. Si se aplica un par de torsin sobre su parte superior mediante una llave rgida, determine el esfuerzo cortante mximo en el poste y el ngulo de giro en su par- te superior. Suponga que el par de torsin est a punto de hacer girar el poste, y que el suelo ejerce una resistencia uniforme a la torsin de t lb # pulg>pulg en sus 24 pulg de longitud enterrada. Considere que G = 5.5(103 ) ksi. SOLUCIN Par de torsin interno. El par de torsin interno en el segmento AB del poste es constante. A partir del diagrama de cuerpo libre de la figura 5-21b, se tiene La magnitud de la distribucin uniforme del par de torsin a lo largo del segmento BC enterrado puede determinarse a partir del equilibrio de todo el poste, figura 5-21c. Aqu, Por lo tanto, a partir de un diagrama de cuerpo libre de una seccin del poste ubicada en la posicin x, figura 5-21d, se tiene Esfuerzo cortante mximo. El esfuerzo cortante mximo ocurre en la regin AB, ya que el par de torsin ms grande se presenta all y J es constante para el poste. Al aplicar la frmula de la torsin, resulta ngulo de giro. El ngulo de giro en la parte superior se puede de- terminar en relacin con la parte inferior del poste, ya que se encuentra fija y, sin embargo, est a punto de girar. Ambos segmentos AB y BC giran, por lo que en este caso se tiene 2 pulg 36 pulg 24 pulg A (a) B C t 6 pulg 6 pulg 25 lb 25 lb TAB (b) 6 pulg 6 pulg 25 lb 25 lb 24 pulg 24t (c) 36 pulg 6 pulg 6 pulg 25 lb 25 lb Figura 5-21 x t 12.5 lbpulg/pulg (d) TBC TAB = 25 lb 112 pulg2 = 300 lb # pulgMz = 0; t = 12.5 lb # pulg>pulg 25 lb 112 pulg2 - t124 pulg2 = 0Mz = 0 TBC = 12.5x TBC - 12.5x = 0Mz = 0; Resp.tmx = TAB c J = 1300 lb # pulg211 pulg2 1p>2211 pulg24 = 191 psi Resp.= 14 400 lb # pulg2 1p>2211 pulg24 55001103 2 lb>pulg2 = 0.00167 rad = 10 800 lb # pulg2 JG + 12.5[12422 >2] lb# pulg2 JG = 1300 lb # pulg236 pulg JG + L 24 pulg 0 12.5x dx JG fA = TABLAB JG + L LBC 0 TBC dx JG Capitulo 05_Hibbeler.indd 207 13/1/11 20:03:11 227. 208 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas fundamentales F5-7. El eje de acero A-36 con un dimetro de 60 mm est sometido a los pares de torsin mostrados en la figura. De- termine el ngulo de giro del extremo A con respecto a C. F5-10. Una serie de engranes se montan sobre el eje de acero A-36 con un dimetro de 40 mm. Determine el ngulo de giro del engrane B con respecto al engrane A. F5-8. Determine el ngulo de giro de la rueda B con res- pecto a la rueda A. El eje tiene un dimetro de 40 mm y est hecho de acero A-36. F5-9. El eje hueco fabricado de aluminio 6061-T6 tiene radios exterior e interior de co = 40 mm y ci = 30 mm, res- pectivamente. Determine el ngulo de giro del extremo A. El soporte flexible en B tiene una rigidez de torsin k = 90 kN # m>rad. F5-11. El eje con un dimetro de 80 mm est fabricado de acero A-36. Si se encuentra sometido al par de torsin uni- formemente distribuido que se muestra en la figura, deter- mine el ngulo de giro del extremo A con respecto a B. F5-12. El eje con un dimetro de 80 mm est fabricado de acero A-36. Si se encuentra sometido a la carga distribuida triangular que se muestra en la figura, determine el ngulo de giro del extremo A con respecto a C. F5-11 800 mm A B 5 kNm/m F5-12 B A C 400 mm 600 mm 15 kNm/m F5-7 600 mm 400 mm A C B 3 kNm 2 kNm F5-8 4 kN 10 kN 6 kN 2 kN 150 mm 100 mm 150 mm 150 mm 450 mm B A F5-9 B A 900 mm 3 kNm F5-10 A B 200 mm 200 mm 200 mm 200 mm 600 Nm 500 Nm 300 Nm 500 Nm 900 Nm Capitulo 05_Hibbeler.indd 208 13/1/11 20:04:29 228. 5.4 ngulo de giro 209 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 5-47. Las hlices de un barco estn conectadas a un eje de acero A-36, que tiene 60 m de largo, un dimetro exterior de340mmyundimetrointeriorde260mm.Silapotenciade salida es de 4.5 MW cuando el eje gira a 20 rad>s, determine el esfuerzo de torsin mximo en el eje y el ngulo de giro. *5-48. Un eje se somete a un par de torsin T. Compare la efectividad de utilizar el tubo mostrado en la figura contra la de una barra con seccin slida y radio c. Para ello, calcule el porcentaje de aumento en el esfuerzo de torsin y el n- gulo de giro por unidad de longitud para el tubo frente a la barra de seccin slida. 5-50. El barco con hidroalas tiene un eje propulsor de ace- ro A-36 con 100 pies de largo. Est conectado a un motor diesel en lnea que genera una potencia mxima de 2500 hp y hace que el eje gire a 1700 rpm. Si el dimetro exterior del eje es de 8 pulg y el grosor de la pared es 3 8 de pulg, determine el esfuerzo cortante mximo desarrollado en el eje. Adems, cul es la inclinacin, o el ngulo de giro en el eje cuando el barco viaja a toda potencia? 5-49. La flecha de acero A-36 est fabricada con los tubos AB y CD y con una barra de seccin slida BC. Se apoya en los cojinetes lisos que le permiten girar libremente. Si los en- granes, fijos en sus extremos, se someten a un par de torsin de 85 N # m, determine el ngulo de giro del engrane A en relacin con el engrane D. Los tubos tienen un dimetro ex- terior de 30 mm y un dimetro interior de 20 mm. La seccin slida tiene un dimetro de 40 mm. 5-51. El motor de un helicptero entrega 600 hp al eje del rotor AB cuando la hlice est girando a 1200 rev>min. De- termine con precisin de 1 8 de pulg el dimetro del eje AB si el esfuerzo cortante permisible es tperm = 8 ksi y las vibracio- nes limitan el ngulo de torsin del eje a 0.05 rad. El eje tiene 2 pies de largo y est fabricado de acero L2. *5-52. El motor de un helicptero entrega 600 hp al eje del rotor AB cuando la hlice est girando a 1200 rev>min. De- termine con precisin de 1 8 de pulg el dimetro del eje AB si el esfuerzo cortante permisible es tperm = 10.5 ksi y las vibra- ciones limitan el ngulo de torsin del eje a 0.05 rad. El eje tiene 2 pies de largo y est fabricado de acero L2. Prob. 5-48 T T c c c 2 Prob. 5-49 400 mm 400 mm 250 mm 85 N m 85 N m A B C D Prob. 5-50 100 pies Probs. 5-51/52 A B Capitulo 05_Hibbeler.indd 209 13/1/11 20:05:01 229. 210 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-53. El eje de acero A-36 con un dimetro de 20 mm est sometido a los pares de torsin mostrados en la figura. De- termine el ngulo de giro del extremo B. 5-54. El ensamble est fabricado de acero A-36 y consiste en una barra slida de 20 mm de dimetro, la cual se encuen- tra fija en el interior de un tubo mediante un disco rgido en B. Determine el ngulo de giro en D. El tubo tiene un dime- tro exterior de 40 mm y el grosor de la pared es de 5 mm. 5-55. El ensamble est fabricado de acero A-36 y consiste en una barra slida de 20 mm de dimetro, la cual se encuen- tra fija en el interior de un tubo mediante un disco rgido en B. Determine el ngulo de giro en C. El tubo tiene un dimetro exterior de 40 mm y el grosor de la pared es de 5 mm. *5-56. Los extremos estriados y los engranes unidos al eje de acero A-36 se encuentran sometidos a los pares de tor- sin que se muestran en la figura. Determine el ngulo de giro del extremo B con respecto al extremo A. El eje tiene un dimetro de 40 mm. 5-57. El motor entrega 40 hp al eje de acero inoxidable 304, mientras gira a 20 Hz. El eje se sostiene sobre coji- netes lisos en A y B, los cuales permiten la rotacin libre del eje. Los engranes C y D fijos al eje toman 25 y 15 hp, respectivamente. Determine el dimetro del eje con una precisin de 1 8 de pulg si el esfuerzo cortante permisible es tperm = 8 ksi y el ngulo de giro permisible de C con respecto a D es de 0.20. 5-58. El motor entrega 40 hp al eje de acero inoxidable 304, mientras gira a 20 Hz. El eje tiene un dimetro de 1.5 pulg y se sostiene sobre cojinetes lisos en A y B, los cuales permiten la rotacin libre del eje. Los engranes C y D fijos al eje toman 25 y 15 hp, respectivamente. Determine el esfuer- zo mximo absoluto en el eje y el ngulo de giro del engrane C con respecto al engrane D. Prob. 5-53 A 80 Nm 20 Nm 30 Nm B D C 800 mm 600 mm 200 mm Probs. 5-54/55 0.4 m B D C 0.3 m 0.1 m 60 Nm 150 Nm A Probs. 5-57/58 6 pulg 8 pulg 10 pulg A B C D Prob. 5-56 300 Nm A 200 Nm 500 Nm 300 mm 400 mm 500 mm 400 Nm B D C Capitulo 05_Hibbeler.indd 210 13/1/11 20:05:17 230. 5.4 ngulo de giro 211 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-59. El eje est fabricado de acero A-36. Tiene un dime- tro de 1 pulg y se apoya en los cojinetes A y D, los cuales permiten su rotacin libre. Determine el ngulo de giro de B con respecto a D. *5-60. El eje est hecho de acero A-36. Tiene un dime- tro de 1 pulg y se apoya en los cojinetes A y D, los cuales permiten su rotacin libre. Determine el ngulo de giro del engrane C con respecto a B. 5-61. Los dos ejes estn fabricados de acero A-36. Cada uno tiene un dimetro de 1 pulg y se apoyan en los cojinetes A, B y C, que permiten su rotacin libre. Si el apoyo en D est fijo, determine el ngulo de giro del extremo B cuando se aplican los pares de torsin sobre el ensamble como se muestra en la figura. 5-62. Los dos ejes estn fabricados de acero A-36. Cada uno tiene un dimetro de 1 pulg y se apoyan en los cojinetes A, B y C, que permiten su rotacin libre. Si el apoyo en D est fijo, determine el ngulo de giro del extremo A cuando se aplican los pares de torsin sobre el ensamble como se muestra en la figura. 5-63. El dispositivo acta como un resorte de torsin com- pacto. Est fabricado de acero A-36 y se compone de un eje interior slido CB que est rodeado y sujeto a un tubo AB mediante un anillo rgido en B. El anillo en A tambin se puede suponer rgido y est fijo respecto a la rotacin. Si se aplica un par de torsin T = 2 kip #pulg sobre el eje, determi- ne el ngulo de giro en el extremo C y el esfuerzo cortante mximo en el tubo y el eje. *5-64. El dispositivo acta como un resorte de torsin compacto. Est hecho de acero A-36 y se compone de un eje interior slido CB que est rodeado y sujeto a un tubo AB mediante un anillo rgido en B. El anillo en A tambin se puede suponer rgido y est fijo respecto a la rotacin. Si el esfuerzo cortante permisible para el material es tperm = 12 ksi y el ngulo de giro en C est limitado a fperm = 3, determine el par de torsin mximo T que puede aplicarse sobre el ex- tremo C. 5-65. El ensamble de acero A-36 consiste en un tubo con un radio exterior de 1 pulg y un grosor de pared de 0.125 pulg. Est conectado al eje slido AB de 1 pulg de dimetro mediante una placa rgida en B. Determine la rotacin del extremo C del tubo si sobre ste se aplica un par de torsin de 200 lb # pulg. El extremo A del eje est empotrado. Probs. 5-59/60 A 60 lbpie 60 lbpie 2 pies 2.5 pies 3 pies D B C Probs. 5-61/62 A 40 lbpie 80 lbpie 8 pulg 10 pulg 12 pulg 4 pulg D C 10 pulg 30 pulg 6 pulg B Probs. 5-63/64 12 pulg 1 pulg 0.75 pulg 12 pulg 0.5 pulg A T C B Prob. 5-65 6 pulg 4 pulg A C B 200 lbpulg Capitulo 05_Hibbeler.indd 211 13/1/11 20:05:33 231. 212 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-66. El eje ABC de 60 mm de dimetro se encuentra apoyado en dos chumaceras, mientras que el eje EH con un dimetro de 80 mm est fijo en E y se apoya sobre una chumacera en H. Si T1 = 2 kN # m y T2 = 4 kN # m, determine el ngulo de giro de los engranes A y C. Los ejes estn fabri- cados de acero A-36. 5-67. El eje ABC con un dimetro de 60 mm se encuentra apoyado en dos chumaceras, mientras que el eje EH con un dimetro de 80 mm est fijo en E y se apoya sobre una chu- macera en H. Si el ngulo de giro en los engranes A y C debe ser de 0.04 rad, determine las magnitudes de los esfuerzos de torsin T1 y T2 . Los ejes estn hechos de acero A-36. *5-68. Los ejes con un dimetro de 30 mm estn fabricados con acero para herramienta L2 y se apoyan sobre cojinetes que permiten una rotacin libre del eje. Si el motor en A de- sarrolla un par de torsin T = 45 N #m en el eje AB, mientras que la turbina en E se encuentra fija respecto a la rotacin, determine cunto giran los engranes B y C. 5-69. Los ejes son de acero A-36 y cada uno tiene un dimetro de 80 mm. Determine el ngulo de giro en el ex- tremo E. 5-70. Los ejes son de acero A-36 y cada uno tiene un dime- tro de 80 mm. Determine el ngulo de giro del engrane D. 5-71. Considere el problema general de un eje circular for- mado con m segmentos, cada uno de los cuales con un radio de cm y un mdulo cortante Gm . Si se aplican n pares de tor- sin sobre el eje, como se muestra en la figura, escriba un programa de computadora que pueda utilizarse para deter- minar el ngulo de giro de su extremo A. Muestre una apli- cacin del programa utilizando los valores L1 = 0.5 m, c1 = 0.02 m, G1 = 30 GPa, L2 = 1.5 m, c2 = 0.05 m, G2 = 15 GPa, T1 = -450 N # m, d1 = 0.25 m, T2 = 600 N # m, d2 = 0.8 m. Probs. 5-69/70 A B C D E 0.6 m 0.6 m 0.6 m 150 mm 200 mm 150 mm 10 kNm 2 kNm Probs. 5-66/67 600 mm 100 mm 600 mm 900 mm DA E H B C T1 T2 75 mm Prob. 5-71 A T1 T2 Tn d1 d2 dn L1 L2 Lm Prob. 5-68 45 N m A 0.75 m 50 mm1.5 m 0.5 m B C E D 75 mm Capitulo 05_Hibbeler.indd 212 13/1/11 20:06:29 232. 5.4 ngulo de giro 213 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *5-72. El eje que tiene un dimetro de 80 mm est fabri- cado de una aleacin de aluminio 6061-T6 y se encuentra sometido a las cargas de torsin mostradas. Determine el ngulo de giro en el extremo A. 5-73. El eje cnico tiene una longitud L, un radio r en el extremo A y un radio 2r en el extremo B. Si se encuentra fijo en el extremo B y est sometido a un par de torsin T, determine el ngulo de giro del extremo A. El mdulo cor- tante es G. 5-74. La barra ABC de radio c est empotrada en un medio donde el par de torsin distribuido vara linealmente desde cero en C hasta t0 en B. Si se aplican las fuerzas de par P so- bre el brazo de la palanca, determine el valor de t0 necesario para el equilibrio. Adems, encuentre el ngulo de torsin del extremo A. La barra est fabricada de un material con mdulo cortante G. 5-75. Al perforar un pozo, se supone que el extremo pro- fundo de la tubera de perforacin encuentra una resistencia a la torsin TA . Por otra parte, la friccin del suelo a lo largo de los lados del tubo crea una distribucin lineal del par de torsin por unidad de longitud que vara desde cero en la su- perficie B hasta t0 en A. Determine el par de torsin necesa- rio TB que debe suministrar la unidad propulsora para girar la tubera. Adems, cul es el ngulo relativo de giro de un extremo de la tubera con respecto al otro extremo cuando el tubo est a punto de girar? El tubo tiene un radio exterior ro y un radio interior ri . El mdulo cortante es G. *5-76. Un resorte cilndrico consiste en un anillo de caucho unido a un anillo rgido y a un eje. Si el anillo se mantiene fijo y se aplica un par de torsin sobre el eje rgido, determine el ngulo de giro del eje. El mdulo cortante del caucho es G. Sugerencia: Como se muestra en la figura, la deformacin del elemento en el radio r puede determinarse a partir de rdu = drg. Para obtener el resultado, utilice esta expresin junto con t = T>(2pr2 h) del problema 5-26. Prob. 5-72 B A C 0.6 m 0.6 m 2 kNm 10 kNm/m Prob. 5-73 T r r2 A B L Prob. 5-74 L 2 L 2 d 2 d 2 P P A B t0C Prob. 5-75 t0 L A BTB TA Prob. 5-76 r dr g du gdr rdu T h ro ri r Capitulo 05_Hibbeler.indd 213 13/1/11 20:06:56 233. 214 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.5Elementos cargados con pares de torsin estticamente indeterminados Un eje cargado a torsin puede clasificarse como estticamente indeter- minado si la ecuacin de equilibrio de momentos, aplicada sobre la lnea central del eje, no sirve para determinar los pares de torsin desconocidos que actan sobre ste. En la figura 5-22a se presenta un ejemplo de esta situacin. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre, figura 5-22b, los pares de torsin reactivos en los apoyos A y B no se conocen. Se re- quiere que A fin de obtener una solucin, se utilizar el mtodo de anlisis estu- diado en la seccin 4.4. La condicin necesaria de compatibilidad, o condi- cin cinemtica, requiere que el ngulo de giro de un extremo del eje con respecto al otro sea igual a cero, ya que los soportes extremos estn fijos. Por lo tanto, fA>B = 0 Siempre que el material sea elstico lineal, es posible aplicar la relacin carga-desplazamiento f = TL>JG para expresar la condicin de compa- tibilidad en trminos de los pares de torsin desconocidos. Considerando que el par de torsin interno en el segmento AC es +TA y en el segmento CB es TB , figura 5-22c, se tiene LAC LBC L C (a) T A B T - TA - TB = 0Mx = 0; TALAC JG - TBLBC JG = 0 (b) (c) T TA TA TA TB TB TB Figura 5-22 Capitulo 05_Hibbeler.indd 214 13/1/11 20:06:59 234. 5.5 Elementos cargados con pares de torsin estticamente indeterminados 215 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Al despejar las reacciones de estas dos ecuaciones y considerando que L = LAC + LBC , resulta Procedimiento de anlisis Los pares de torsin desconocidos en ejes estticamente indeter- minados pueden calcularse al satisfacer las condiciones de equili- brio, compatibilidad y los requisitos par desplazamiento en el eje. Equilibrio. Dibuje un diagrama de cuerpo libre del eje con el fin de identi- ficar todos los pares de torsin externos que actan sobre ste. A continuacin, escriba la ecuacin de equilibrio de momentos respecto a la lnea central del eje. Compatibilidad. Escriba la ecuacin de compatibilidad entre dos puntos a lo lar- go del eje. Tenga en consideracin la manera en que los soportes restringen al eje cuando ste gira. Exprese los ngulos de giro en la condicin de compatibilidad en trminos de los pares de torsin, usando una relacin para el desplazamiento y el par de torsin, tal como f = TL>JG. Despeje los pares de torsin reactivos desconocidos de las ecua- ciones de equilibrio y compatibilidad. Si cualquiera de las mag- nitudes tiene un valor numrico negativo, indica que este par de torsin acta en sentido contrario a la direccin mostrada en el diagrama de cuerpo libre. y TB = T LAC L TA = T LBC L El eje de esta mquina de corte se encuen- tra fijo en sus extremos y est sometido a un par de torsin en su centro, lo que le permi- te actuar como un resorte de torsin. Capitulo 05_Hibbeler.indd 215 13/1/11 20:07:00 235. 216 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.8 El eje slido de acero que se muestra en la figura 5-23a tiene un dime- tro de 20 mm. Si est sometido a los dos pares de torsin mostrados, determine las reacciones en los soportes fijos A y B. SOLUCIN Equilibrio. Al revisar el diagrama de cuerpo libre de la figura 5-23b, puede observarse que el problema es estticamente indeterminado ya que slo existe una ecuacin de equilibrio disponible y hay dos incg- nitas. Se requiere Compatibilidad. Como los extremos del eje estn fijos, el ngulo de giro de un extremo del eje con respecto al otro debe ser igual a cero. Por lo tanto, la ecuacin de compatibilidad se convierte en fA>B = 0 Esta condicin puede expresarse en trminos de los momentos de torsin desconocidos utilizando la relacin carga-desplazamiento, f = TL>JG. Aqu hay tres regiones del eje donde el par de torsin inter- no es constante. En los diagramas de cuerpo libre de la figura 5-23c se muestran los pares de torsin internos que actan en los segmentos de la izquierda del eje, los cuales fueron seccionados en cada una de estas regiones. De esta manera el par de torsin interno slo est en funcin de TB . Usando la convencin de signos establecida en la seccin 5.4, se tiene de modo que (1)-TB + 800 N # m - 500 N # m - TA = 0Mx = 0; Resp.TB = 645 N # m Resp.TA = -345 N # m -TB10.2 m2 JG + 1800 - TB211.5 m2 JG + (300 - TB)10.3 m2 JG = 0 Con base en la ecuacin 1, El signo negativo indica que TA acta en direccin opuesta a la mostra- da en la figura 5-23b. (a) B 0.2 m 1.5 m 0.3 m C D A 800 Nm 500 Nm (b) x TB TA 800 Nm 500 Nm Figura 5-23 (c) 300 TB 800 TBTB TB TB 800 Nm TB 800 Nm 500 Nm Capitulo 05_Hibbeler.indd 216 13/1/11 20:07:05 236. 5.5 Elementos cargados con pares de torsin estticamente indeterminados 217 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.9 El eje mostrado en la figura 5-24a est fabricado de un tubo de acero que se encuentra unido a un ncleo de latn. Si se aplica un par de tor- sin T = 250 lb # pie sobre su extremo libre, grafique la distribucin del esfuerzo cortante a lo largo de una lnea radial del rea de su seccin transversal. Considere Gst = 11.4(103 ) ksi, Gbr = 5.20 (103 ) ksi. SOLUCIN Equilibrio. En la figura 5-24b se muestra el diagrama de cuerpo libre del eje. La reaccin en la pared se ha representado mediante la cantidad desconocida de par de torsin resistida por el acero, Tst , y por el latn, Tbr . Empleando unidades de libras y pulgadas, el equilibrio requiere El esfuerzo cortante en el ncleo de latn vara desde cero en su centro hasta un mximo en la interfaz donde hace contacto con el tubo de acero. Utilizando la frmula de la torsin, Para el acero, los esfuerzos cortantes mnimo y mximo son Los resultados se grafican en la figura 5-24c. Observe la discontinuidad del esfuerzo cortante en la interfaz de latn y el acero. Esto era de espe- rarse, puesto que los materiales tienen mdulos de rigidez diferentes, es decir, el acero es ms rgido que el latn (Gac 7 Gbr ) y por lo tanto soporta ms esfuerzo cortante en la interfaz. Aunque aqu el esfuerzo cortante es discontinuo, la deformacin cortante no lo es. Por el contrario, la defor- macin cortante es la misma tanto para el latn como para el acero. f = fst = fbr (1)-Tst - Tbr + 1250 lb # pie2112 pulg>pie2 = 0 (2)Tst = 32.88Tbr TbrL 1p>2210.5 pulg24 5.201103 2 kip>pulg2 Tst L 1p>22[11 pulg24 - 10.5 pulg24 ]11.41103 2 kip>pulg2 = Tbr = 88.5 lb # pulg = 7.38 lb # pie Tst = 2911.5 lb # pulg = 242.6 lb # pie 1tbr2mx = 188.5 lb # pulg210.5 pulg2 1p>2210.5 pulg24 = 451 psi 1tst2mx = 12911.5 lb # pulg211 pulg2 1p>22[11 pulg24 - 10.5 pulg24 ] = 1977 psi 1tst2mn = 12911.5 lb # pulg210.5 pulg2 1p>22[11 pulg24 - 10.5 pulg24 ] = 989 psi Si se aplica la relacin carga-desplazamiento, f = TL>JG, Al resolver las ecuaciones 1 y 2, se obtiene Compatibilidad. Se requiere que el ngulo de giro del extremo A sea igual tanto para el acero como para el latn, ya que estn unidos entre s. Por lo tanto, (a) 4 pies B A T 250 lbpie 1 pulg 0.5 pulg (b) x f 250 lbpie Tbr Tst Figura 5-24 Distribucin del esfuerzo cortante (c) 1977 psi 989 psi 1 pulg 0.5 pulg 451 psi Capitulo 05_Hibbeler.indd 217 13/1/11 20:07:11 237. 218 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-77. El eje de acero A-36 tiene un dimetro de 50 mm y se encuentra fijo en sus extremos A y B. Si se somete al par de torsin mostrado, determine el esfuerzo cortante mximo en las regiones AC y CB del eje. *5-80. El eje est fabricado de acero A-36, tiene un dime- tro de 80 mm y se encuentra fijo en B, mientras que en A est flojo y puede girar 0.005 rad antes de quedar fijo. Si se apli- can los pares de torsin mostrados sobre C y D, determine el esfuerzo cortante mximo en las regiones AC y CD del eje. 5-81. El eje est fabricado de acero A-36 y tiene un di- metro de 80 mm. Se encuentra fijo en B y el soporte en A tiene una rigidez a la torsin de k = 0.5 MN # m>rad. Si los engranes se someten a los pares de torsin mostrados, deter- mine el esfuerzo cortante mximo absoluto en el eje. 5-78. El eje de acero A-36 tiene un dimetro de 60 mm y se encuentra fijo en sus extremos A y B. Si se somete a los pares de torsin mostrados, determine el esfuerzo cortante mximo absoluto en el eje. 5-79. El eje de acero consta de dos segmentos: AC tiene un dimetro de 0.5 pulg y CB tiene un dimetro de 1 pulg. Si se encuentra fijo en sus extremos A y B, y est sometido a un par de torsin de 500 lb # pie, determine el esfuerzo cortante mximo en el eje. Gac = 10.8(103 ) ksi. 5-82. El eje consta de una seccin slida de acero AB y una porcin tubular de acero que tiene un ncleo de latn. Si se encuentra fijo a un soporte rgido en A, y se le aplica un par de torsin de T = 50 lb #pie en C, determine el ngulo de giro que se produce en C y calcule el esfuerzo cortante mximo y la deformacin cortante mxima en el latn y el acero. Con- sidere Gac = 11.5(103 ) ksi y Gbr = 5.6(103 ) ksi. PROBLEMAS Prob. 5-77 A C 0.4 m 0.8 m 300 Nm B Prob. 5-78 A C D 1 m 1 m 1.5 m 200 Nm 500 Nm B Prob. 5-79 5 pulg 8 pulg 12 pulg 1 pulg 0.5 pulg A B C D 500 lbpie Prob. 5-82 A 0.5 pulg 1 pulg 2 pies 3 pies B C T 50 lbpie Probs. 5-80/81 A 600 mm 600 mm 600 mm B 2 kNm 4 kNm C D Capitulo 05_Hibbeler.indd 218 13/1/11 20:07:22 238. 5.5 Elementos cargados con pares de torsin estticamente indeterminados 219 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-83. ElmotorAdesarrollaunpardetorsinde450lb#pieen el engrane B, el cual se aplica a lo largo de la lnea central del eje de acero CD que tiene un dimetro de 2 pulg. Este par de torsin se transmite a los engranes de pin en E y F. Si los engranes se fijan de manera temporal, determine el es- fuerzo cortante mximo en los segmentos CB y BD del eje. Adems, cul es el ngulo de giro de cada uno de estos segmentos? Los cojinetes en C y D slo ejercen reaccio- nes de fuerza sobre el eje y no se resisten al par de torsin. Gac = 12(103 ) ksi. *5-84. Una porcin del eje de acero A-36 se somete a una carga de torsin linealmente distribuida. Si el eje tiene las dimensiones indicadas, determine las reacciones en los so- portes fijos A y C. El segmento AB tiene un dimetro de 1.5 pulg y el segmento BC tiene un dimetro de 0.75 pulg. 5-85. Determine la rotacin de la junta B y el esfuerzo cortante mximo absoluto en el eje del problema 5-84. 5-86. Los dos ejes estn fabricados de acero A-36. Cada uno tiene un dimetro de 25 mm y se conecta al otro eje me- diante los engranes fijos en sus extremos. Los otros extremos estn unidos a soportes fijos en A y B. Tambin se encuen- tran sostenidos por cojinetes en C y D, los cuales permiten la libre rotacin de los ejes a lo largo de sus lneas centrales. Si se aplica un par de torsin de 500 N # m sobre el engrane en E como se muestra en la figura, determine las reaccio- nes en A y B. 5-87. Determine la rotacin del engrane en E del proble- ma 5-86. *5-88. Los ejes son de acero A-36 y tienen el mismo di- metro de 4 pulg. Si se aplica un par de torsin de 15 kip # pie sobre el engrane B, determine el esfuerzo cortante mximo absoluto desarrollado en el eje. 5-89. Los ejes son de acero A-36 y tienen el mismo di- metro de 4 pulg. Si se aplica un par de torsin de 15 kip # pie sobre el engrane B, determine el ngulo de giro de dicho engrane. Prob. 5-83 4 pies 3 pies B DC A E F 450 lbpie Probs. 5-84/85 A B 60 pulg 48 pulg C 300 lbpulg/pulg Probs. 5-86/87 B 50 mm 100 mm A C D 1.5 m 0.75 m 500 Nm F E Probs. 5-88/89 2.5 pies 15 kippie 3 pies 12 pulg 6 pulg 2.5 pies A D B C E Capitulo 05_Hibbeler.indd 219 13/1/11 20:07:48 239. 220 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-90. Los dos ejes de 3 pies de largo son de aluminio 2014- T6. Cada uno tiene un dimetro de 1.5 pulg y se conectan en- tre s mediante los engranes fijos en sus extremos. Sus otros extremos estn unidos a soportes fijos en A y B. Tambin estn sostenidos por cojinetes en C y D, los cuales permiten la libre rotacin de los ejes a lo largo de sus lneas centrales. Si se aplica un par de torsin de 600 lb # pie sobre el engrane superior como se muestra en la figura, determine el esfuerzo cortante mximo en cada eje. *5-92. Si el eje est sometido a un par de torsin uniforme- mente distribuido de t = 20 kN # m>m, determine el esfuerzo cortante mximo desarrollado en el eje. ste es de una alea- cin de aluminio 2014-T6 y se encuentra fijo en A y C. 5-91. El eje de acero A-36 est formado por dos segmentos: AC tiene un dimetro de 0.5 pulg y CB tiene un dimetro de 1 pulg. Si el eje est fijo en sus extremos A y B, y se somete a un par de torsin de 60 lb # pulg>pulg uniformemente dis- tribuido a lo largo del segmento CB, determine el esfuerzo cortante mximo absoluto en el eje. 5-93. El eje ahusado est restringido por los soportes fijos en A y B. Si se aplica un par de torsin T en su punto medio, determine las reacciones en los soportes. 5-94. El eje de radio c est sometido a un par de torsin distribuido t, el cual se mide en unidades de par de tor- sin>longitud del eje. Determine las reacciones en los sopor- tes fijos A y B. Prob. 5-90 600 lbpie 3 pies A B C D E F 4 pulg 2 pulg Prob. 5-91 5 pulg 20 pulg 1 pulg 0.5 pulg A B C 60 lbpulg/pulg Prob. 5-92 A B Seccin a-a 80 mm 60 mm a a 600 mm 400 mm C 20 kNm/m Prob. 5-93 L/2 T c A 2c B L/2 Prob. 5-94 B x L A ) t0 2t0 )((t t0 1 2x L Capitulo 05_Hibbeler.indd 220 13/1/11 20:08:04 240. 5.6 Ejes slidos no circulares 221 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *5.6 Ejes slidos no circulares En la seccin 5.1 se demostr que al aplicar un par de torsin sobre un eje con seccin transversal circular (es decir, sobre un eje con simetra axial) las deformaciones cortantes varan linealmente desde cero en su centro hasta un mximo en su superficie externa. Adems, debido a la uniformi- dad de la deformacin cortante en todos los puntos sobre el mismo radio, las secciones transversales no se deforman, sino que permanecen planas despus de que el eje ha girado. Por otra parte, los ejes que tienen una seccin transversal no circular, no poseen simetra axial, por lo que su sec- cin puede alabearse cuando el eje gira. Una prueba de ello puede verse en las lneas de cuadrcula deformadas en un eje con seccin transversal cuadrada cuando el eje se ha girado, figura 5-25. Como consecuencia de esta deformacin, el anlisis de la torsin de los ejes no circulares se vuelve considerablemente ms complicado y no se tomar en consideracin a lo largo de este libro. No obstante, mediante un anlisis matemtico basado en la teora de la elasticidad, es posible determinar la distribucin del esfuerzo cortante en un eje de seccin cuadrada. En la figura 5-26a se muestran ejemplos de cmo este esfuerzo cortante vara a lo largo de dos lneas radiales del eje. Debido a que estas distribuciones de esfuerzo cortante varan de una ma- nera compleja, las deformaciones cortantes que harn que la seccin trans- versal se alabe, como se muestra en la figura 5-26b. En particular, observe que los puntos ubicados en las esquinas del eje deben estar sometidos a un esfuerzo cortante nulo y, por consiguiente, tendrn una deformacin cortante igual a cero. La razn de esto se puede demostrar considerando un elemento de material que se encuentre en uno de estos puntos, figura 5-26c. Se podra esperar que la cara superior de este elemento estuviera sometida a un esfuerzo cortante con el fin de ayudar en la resistencia al par de torsin T aplicado. Sin embargo, esto no puede ocurrir porque los esfuerzos cortantes complementarios t y t, que actan sobre la superficie externa del eje, deben ser iguales a cero. No deformada T T Deformada T tmx Distribucin del esfuerzo cortante a lo largo de dos lneas radiales (a) Alabeo del rea de la seccin transversal (b) Figura 5-25 tmx T (c) t 0 t 0 t 0 t 0 Figura 5-26 Capitulo 05_Hibbeler.indd 221 13/1/11 20:08:06 241. 222 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 En la tabla 5-1 se presentan los resultados del anlisis realizado para secciones transversales cuadradas, junto con otros resultados de la teora de la elasticidad, para ejes con secciones transversales triangulares y elpti- cas. En todos los casos el esfuerzo cortante mximo se produce en un punto sobre el borde de la seccin transversal que es el ms cercano a la lnea central del eje. En la tabla 5-1, estas ubicaciones se indican como puntos sobre las secciones transversales. Adems, se proporcionan las frmulas para el ngulo de giro de cada eje. Al extender estos resultados a un eje que tieneunaseccintransversalarbitraria,tambinsepuededemostrarqueun eje con una seccin circular es ms eficiente, ya que se encuentra sometido a un menor esfuerzo cortante mximo y tiene un ngulo de giro ms peque- o que el correspondiente para un eje de seccin transversal no circular sometido al mismo par de torsin. El eje del taladro est conectado a la bro- ca de perforacin mediante un eje con seccin transversal cuadrada. Observe la deformacin del elemento cuadrado cuando esta barra de caucho se somete a un par de torsin. Forma de la seccin transversal Tmx Elipse b b a a 2 T pa3 b3 G (a2 + b2 )TL Cuadrada a a T a3 4.81 T TL a4 G 7.10 TL Tringulo equiltero a a a3 20 T a4 G 46 TLa F pab2 TABLA 5-1 Capitulo 05_Hibbeler.indd 222 13/1/11 20:08:08 242. 5.6 Ejes slidos no circulares 223 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.10 El eje de aluminio 6061-T6 mostrado en la figura 5-27 tiene una seccin transversal con forma de tringulo equiltero. Determine el mayor par de torsin T que puede aplicarse sobre el extremo del eje si el esfuerzo cortante permisible es tperm = 8 ksi y el ngulo de giro en su extremo est restringido a fperm = 0.02 rad. De qu tamao puede ser el par de torsin aplicado a un eje con seccin transversal circular hecho con la misma cantidad de material? SOLUCIN Por inspeccin, el par de torsin interno resultante en cualquier seccin transversal a lo largo de la lnea central del eje tambin es T. Utilizando las frmulas para tmx y f en la tabla 5-1, se requiere Por comparacin, el par de torsin est limitado por el ngulo de giro. Seccin transversal circular. Si la misma cantidad de aluminio se utiliza en la fabricacin de un eje con la misma longitud pero con una seccin circular, entonces es posible calcular el radio de la seccin trans- versal. Se tiene Entonces, las limitaciones del esfuerzo y el ngulo de giro requieren que Una vez ms, el ngulo de giro limita al par de torsin aplicado. NOTA: Al comparar este resultado (233 lb #pulg) con el obtenido an- teriormente (170 lb # pulg), puede verse que un eje de seccin circular puede soportar un par de torsin 37 por ciento ms grande que el eje con seccin transversal triangular. T = 1350 lb # pulg 81103 2 lb>pulg2 = 20T 11.5 pulg23 tperm = 20T a3 ; T = 170 lb # pulg 0.02 rad = 46T14 pies2112 pulg>pie2 11.5 pulg24 [3.71106 2 lb>pulg2 ] fperm = 46TL a4 Gal ; Resp. c = 0.557 pulg pc2 = 1 2 11.5 pulg211.5 sen 602Acrculo = Atringulo; Resp.T = 233 lb # pulg 0.02 rad = T14 pies2112 pulg>pie2 1p>2210.557 pulg24 [3.71106 2 lb>pulg2 ] fperm = TL JGal ; T = 2170 lb # pulg 81103 2 lb>pulg2 = T10.557 pulg2 1p>2210.557 pulg24 tperm = Tc J ; Figura 5-27 60 1.5 pulg 4 pies T Tambin, Capitulo 05_Hibbeler.indd 223 13/1/11 20:08:10 243. 224 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *5.7Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas Los tubos de pared delgada con seccin transversal no circular se utilizan a menudo para construir estructuras ligeras, como las empleadas en aviones. En algunas aplicaciones, pueden someterse a una carga de torsin. En esta seccin se analizarn los efectos de la aplicacin de un par de torsin sobre un tubo de pared delgada con seccin transversal cerrada, es decir, un tu- boquenotieneningntipoderoturasocortesentodasulongitud.Estetubo, que tiene una forma constante y arbitraria en su seccin transversal, y un grosor variable t, se muestra en la figura 5-28a. Como las paredes son del- gadas, se obtendr el esfuerzo cortante promedio suponiendo que dicho esfuerzo est uniformemente distribuido a travs del grosor del tubo en cualquier punto dado. Pero antes de hacerlo, primero se analizarn algu- nos conceptos preliminares relacionados con la accin del esfuerzo cortan- te sobre la seccin transversal. Flujo cortante. En las figuras 5-28a y 5-28b se muestra un pe- queo elemento del tubo con una longitud finita s y una anchura dife- rencial dx. En un extremo, el elemento tiene un grosor tA y en el otro el grosor es tB . Debido al par de torsin interno T, el esfuerzo cortante se desarrolla en la cara frontal del elemento. De manera especfica, en el extremo A el esfuerzo cortante es tA y en el extremo B es tB . Estos esfuerzos pueden relacionarse al observar que los esfuerzos cortantes equivalentes tA y tB tambin debe actuar en los lados longitudinales del elemento. Como estos lados tienen una anchura constante dx, las fuerzas que actan sobre ellos son dFA = tA (tA dx) y dFB = tB (tB dx). Para el equilibrio se requiere que estas fuerzas tengan la misma mag- nitud pero sentido opuesto, de modo que Como q es constante en toda la seccin transversal, el mayor esfuerzo cor- tante promedio debe ocurrir donde el grosor del tubo sea ms pequeo. *El trmino flujo se usa porque q es anlogo al agua que fluye a travs de un tubo de seccin transversal rectangular con una profundidad constante y anchura variable w. Aunque la velocidad y del agua en cada punto a lo largo del tubo sea diferente (como tprom ), el flujo q = yw permanecer constante. Figura 5-28 T (a) x dx s t O tA tB dx s (b) A B tA tB tB tA tAtA = tBtB (5-17)q = tprom t Este resultado importante establece que el producto del esfuerzo cortante promedio por el grosor del tubo es el mismo en cada punto ubicado sobre el rea de la seccin transversal del tubo. Este producto se llama flujo de cortante,* q, y en trminos generales puede expresarse como Capitulo 05_Hibbeler.indd 224 13/1/11 20:08:11 244. 5.7Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas 225 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Ahora bien, si un elemento diferencial con grosor t, longitud ds y an- chura dx se asla del tubo, figura 5-28c, se observa que la cara frontal sobre la que acta el esfuerzo cortante promedio es dA = t ds. Por consiguiente, dF = tprom (tds) = qds, o q = dF>ds. En otras palabras, el flujo cortante mide la fuerza por unidad de longitud a lo largo del rea de la seccin transversal del tubo. Es importante darse cuenta que las componentes del esfuerzo cortante mostradas en la figura 5-28c son las nicas que actan sobre el tubo. Las componentes que actan en la otra direccin, como se muestra en la figu- ra 5-28d, no puede existir. Lo anterior se debe a que las caras superior e inferior del elemento se encuentran en las paredes interior y exterior del tubo, y estos lmites deben estar libres de esfuerzo. En vez de esto, como se seal anteriormente, el par de torsin aplicado hace que el flujo cortante y el esfuerzo cortante promedio siempre tengan una direccin tangencial a la pared del tubo, de modo que esto contribuye al par de torsin interno resultante T. Esfuerzo cortante promedio. El esfuerzo cortante promedio se puede relacionar con el par de torsin T al considerar el par de torsin producido por este esfuerzo cortante alrededor de un punto O selecciona- do dentro de los lmites del tubo, figura 5-28e. Como puede observarse, el esfuerzo cortante desarrolla una fuerza dF = tprom dA = tprom (t ds) sobre un elemento del tubo. Esta fuerza acta tangencialmente a la lnea central de la pared del tubo, y si el brazo de momento es h, el par de torsin es Aqu la integral de lnea indica que la integracin debe realizarse alrede- dor de todo el lmite del rea. Como el flujo cortante q = tprom t es constante, puede factorizarse y sacarse de la integral, de modo que Ahora puede realizarse una simplificacin grfica para evaluar la inte- gral al sealar que el rea media, mostrada por el tringulo sombreado en la figura 5-28e, es dAm = (1>2)hds. Por lo tanto, (c) tprom t dsdx (d) Lmite sin esfuerzo (inferior) Lmite sin esfuerzo (superior) t t 0 (e) x h T O ds t dF Figura 5-28 (cont.) (f) Am dT = h1dF2 = h1tpromt ds2 T = C htprom t ds T = tprom t C h ds T = 2tprom t L dAm = 2tprom tAm Para toda la seccin transversal, se requiere Capitulo 05_Hibbeler.indd 225 13/1/11 20:08:14 245. 226 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Donde tprom = el esfuerzo cortante promedio que acta sobre un grosor particular del tubo T = el par de torsin interno resultante en la seccin transversal t = el grosor del tubo donde debe determinarse tprom Am = el rea media incluida dentro del lmite de la lnea central del grosor del tubo. En la figura 5-28f, Am se muestra dentro de la lnea discontinua Como q = tprom t, entonces el flujo cortante en toda la seccin transversal se convierte en ngulo de giro. El ngulo de giro de un tubo con pared delgada y longitud L puede determinarse mediante mtodos de energa; el desarro- llo de la ecuacin necesaria se proporcionar ms adelante en la forma de un problema.* Si el material se comporta de una manera elstico lineal y G es el mdulo cortante, entonces este ngulo f, dado en radianes, puede expresarse como De nuevo, la integracin debe realizarse una vez ms alrededor de todo el lmite del rea de la seccin transversal del tubo. Puntos importantes El flujo cortante q es el producto del grosor del tubo por el esfuer- zo cortante promedio. Este valor es el mismo para todos los pun- tos a lo largo de la seccin transversal del tubo. Como resultado, el mayor esfuerzo cortante promedio en la seccin transversal se producir donde el grosor sea ms pequeo. Tanto el flujo cortante como el esfuerzo cortante promedio ac- tan tangencialmente a la pared del tubo en todos sus puntos y con una direccin tal que contribuyan al par de torsin interno resultante. Resolviendo para tprom , tenemos (5-18)tprom = T 2tAm (5-19)q = T 2Am (5-20)f = TL 4Am 2 G C ds t *Vea el problema 14-12. Capitulo 05_Hibbeler.indd 226 13/1/11 20:08:16 246. 5.7Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas 227 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.11 Figura 5-29 Calcule el esfuerzo cortante promedio en un tubo de pared delgada con una seccin transversal circular de radio medio rm y grosor t, el cual est sometido a un par de torsin T, figura 5-29a. Adems, cul es el ngulo de giro relativo si el tubo tiene una longitud L? SOLUCIN Esfuerzo cortante promedio. El rea media del tubo es Am = pr2 m . Al aplicar la ecuacin 5-18 se obtiene La validez de este resultado puede comprobarse al aplicar la frmula de la torsin. En este caso, si se usa la ecuacin 5-9 resulta Como rm ro ri y t = ro ri ,Como J = p 2 12rm 2 212rm2t = 2prm 3 tt = ro - ri,rm L ro L ri y lo que concuerda con el resultado anterior. En la figura 5-29b se presenta la distribucin del esfuerzo cortante promedio que acta en toda la seccin transversal del tubo. Adems se muestra la distribucin del esfuerzo cortante que acta sobre una lnea radial, segn se calcul usando la frmula de la torsin. Observe cmo cada tprom acta en una direccin de tal forma que contribuye al par de torsin T resultante en la seccin. A medida que el grosor del tubo dis- minuye, el esfuerzo cortante a travs del tubo se vuelve ms uniforme. ngulo de giro. Al aplicar la ecuacin 5-20, se tiene La integral representa la longitud alrededor del lmite de la lnea cen- tral, que es 2prm . Sustituyendo, el resultado final es Demuestre que al emplear la ecuacin 5-15 se obtiene el mismo resul- tado. t T rm L (a) T T Distribucin real del esfuerzo cortante (frmula de la torsin) Distribucin del esfuerzo cortante promedio (aproximacin a pared delgada) (b) rm tprom tprom tmx Resp.tprom = T 2tAm = T 2ptrm 2 = p 2 1ro 2 + ri 2 21ro + ri21ro - ri2 = p 2 1ro 2 + ri 2 21ro 2 - ri 2 2 J = p 2 1ro 4 - ri 4 2 de manera que Resp.tprom = Trm J = Trm 2prm 3 t = T 2ptrm 2 f = TL 4Am 2 G C ds t = TL 41prm 2 22 Gt C ds Resp.f = TL 2prm 3 Gt Capitulo 05_Hibbeler.indd 227 13/1/11 20:08:19 247. 228 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.12 El tubo est fabricado de bronce C86100 y tiene una seccin transversal rectangular como se muestra en la figura 5-30a. Si se somete a los dos pares de torsin mostrados en la figura, determine el esfuerzo cortante promedio en el tubo en los puntos A y B. Adems, cul es el ngulo de giro del extremo C? El tubo se encuentra fijo en E. SOLUCIN Esfuerzo cortante promedio. Si el tubo se secciona a travs de los puntos A y B, el diagrama de cuerpo libre resultante se muestra en la figura 5-30b. El par de torsin interno es de 35 N # m. Como se muestra en la figura 5-30d, el rea media es Y para el punto B, tB = 3 mm, por lo tanto Estos resultados se muestran sobre los elementos de material loca- lizados en los puntos A y B, figura 5-30e. Observe con cuidado cmo el par de torsin de 35 N # m en la figura 5-30b crea estos esfuerzos en los reversos de cada elemento. Am = 10.035 m210.057 m2 = 0.00200 m2 Al aplicar la ecuacin 5.18 para el punto A, tA = 5 mm, de modo que Figura 5-30 0.5 m 1.5 m 25 Nm 60 Nm C D B A 5 mm 3 mm 3 mm 60 mm 40 mm (a) E Resp.tA = T 2tAm = 35 N # m 210.005 m210.00200 m2 2 = 1.75 MPa Resp.tB = T 2tAm = 35 N # m 210.003 m210.00200 m2 2 = 2.92 MPa Capitulo 05_Hibbeler.indd 228 13/1/11 20:08:20 248. 5.7Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas 229 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ngulo de giro. A partir de los diagramas de cuerpo libre mos- trados en las figuras 5-30b y 5-30c, los pares de torsin internos en las regiones DE y CD son de 35 N #m y 60 N #m, respectivamente. Siguien- do la convencin de signos descrita en la seccin 5.4, los dos pares de torsin son positivos. As, la ecuacin 5-20 se convierte en B A 60 Nm 25 Nm 35 Nm (b) 60 Nm 60 Nm (c) Figura 5-30 57 mm 35 mm Am (d) (e) 2.92 MPa 1.75 MPa B A Resp.= 6.29110-3 2 rad + 35 N # m 11.5 m2 410.00200 m2 22 1381109 2 N>m2 2 c2a 57 mm 5 mm b + 2a 35 mm 3 mm b d = 60 N # m 10.5 m2 410.00200 m2 22 1381109 2 N>m2 2 c2a 57 mm 5 mm b + 2a 35 mm 3 mm b d f = a TL 4Am 2 G C ds t Capitulo 05_Hibbeler.indd 229 13/1/11 20:08:22 249. 230 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-95. Compare los valores del esfuerzo cortante elstico mximo y el ngulo de giro desarrollados en ejes de acero inoxidable 304 con secciones transversales circular y cuadra- da. Cada eje tiene la misma rea de 9 pulg2 en su seccin transversal, una longitud de 36 pulg y se somete a un par de torsin de 4000 lb #pulg. 230 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-98. El eje est hecho de latn rojo C83400 y tiene una seccin transversal elptica. Si se somete a las cargas de tor- sin mostradas, determine el esfuerzo cortante mximo den- tro de las regiones AC y BC, tambin encuentre el ngulo de giro f del extremo B con respecto al extremo A. 5-99. Resuelva el problema 5-98 para el esfuerzo cortante mximo dentro de las regiones AC y BC, as como para el ngulo de giro f del extremo B con respecto a C. PROBLEMAS *5-96. Si a = 25 mm y b = 15 mm, determine el esfuerzo cortante mximo en los ejes circular y elptico, cuando se aplica un par de T = 80 N #m. En qu porcentaje es ms efi- ciente el eje de seccin circular que el eje de seccin elptica para resistir el par de torsin? 5-97. Se pretende fabricar una barra circular para resis- tir un par de torsin; sin embargo, la barra se hizo elptica durante el proceso de fabricacin, con una dimensin ms pequea que la otra por un factor k, como se muestra en la figura. Determine el factor por el cual se incrementa el esfuerzo cortante mximo. *5-100. Los segmentos AB y BC del eje tienen secciones transversales circular y cuadrada, respectivamente. Si el ex- tremo A se somete a un par de torsin T = 2 kN #m, determi- ne el esfuerzo cortante mximo absoluto desarrollado en el eje y el ngulo de giro del extremo A. El eje est fabricado de acero A-36 y se encuentra fijo en C. 5-101. Los segmentos AB y BC del eje tienen secciones transversales circular y cuadrada, respectivamente. El eje est fabricado de acero A-36 con un esfuerzo cortante per- misible de tperm = 75 MPa, y un ngulo de giro en el extremo A que no puede ser mayor a 0.02 rad. Determine el mximo par permisible T que puede aplicarse sobre el extremo A. El eje se encuentra fijo en C. Prob. 5-95 a a A A r Prob. 5-96 a a b Prob. 5-97 kd d d B C A 600 mm 30 mm 90 mm 90 mm 600 mm T Probs. 5-100/101 Probs. 5-98/99 20 mm 50 mm 2 m 1.5 m 20 Nm B 30 Nm 50 Nm A C Capitulo 05_Hibbeler.indd 230 13/1/11 20:08:31 250. 5.7Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas 231 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-102. El puntal de aluminio se encuentra fijo entre dos paredes en A y B. Si tiene una seccin transversal cuadrada de 2 * 2 pulg y se somete al par de torsin de 80 lb #pie en C, determine las reacciones en los soportes fijos. Adems, cul es el ngulo de giro en C? Gal = 3.8(103 ) ksi. 5-105. El eje de acero tiene 12 pulg de largo y se atornilla a la pared mediante una llave. Determine las mayores fuer- zas F de par que pueden aplicarse sobre el eje sin causar la cedencia del acero. tY = 8 ksi. 5-106. El eje de acero tiene 12 pulg de largo y se atornilla a la pared mediante una llave. Determine el esfuerzo cortante mximo en el eje y cunto se desplaza cada fuerza de par si stas tienen una magnitud de F = 30 lb. Gac = 10.8(103 ) ksi. 5-103. El eje cuadrado se usa en el extremo de un cable de transmisin para registrar la rotacin del cable sobre un medidor. Si tiene las dimensiones mostradas en la figura y se somete a un par de torsin de 8 N #m, determine el esfuerzo cortante en el eje sobre el punto A. Muestre el esfuerzo cor- tante sobre un elemento de volumen ubicado en este punto. *5-104. La barra de aluminio 6061-T6 tiene una seccin transversal cuadrada de 25 * 25 mm. Si tiene 2 m de largo, determine el esfuerzo cortante mximo en la barra y la rota- cin de uno de los extremos en relacin con el otro. 5-107. Determine el grosor constante del tubo rectangu- lar si el esfuerzo cortante promedio no debe exceder 12 ksi, cuando se le aplica un par de torsin de T = 20 kip # pulg. No tome en cuenta las concentraciones de esfuerzo en las esquinas. En la figura se muestran las dimensiones medias del tubo. *5-108. Determine el par de torsin T que puede aplicar- se al tubo rectangular si el esfuerzo cortante promedio no debe exceder 12 ksi. No tome en cuenta las concentracio- nes de esfuerzo en las esquinas. En la figura se muestran las dimensiones medias del tubo, el cual tiene un grosor de 0.125 pulg. Prob. 5-102 2 pies 3 pies 80 lbpie A C B Prob. 5-103 A 8 Nm 5 mm 5 mm Prob. 5-104 1.5 m 25 mm 25 mm 0.5 m 20 Nm 60 Nm 80 Nm C A B Probs. 5-105/106 8 pulg 8 pulg 1 pulg 1 pulg 12 pulg F F Probs. 5-107/108 2 pulg 4 pulg T Capitulo 05_Hibbeler.indd 231 13/1/11 20:09:00 251. 232 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-109. Para un esfuerzo cortante mximo dado, determi- ne el factor por el que se incrementa la capacidad de carga de un par de torsin si la seccin semicircular del tubo se invierte desde la posicin indicada por la lnea discontinua hasta la seccin mostrada en la figura. El tubo tiene un gro- sor de 0.1 pulg. *5-112. Debido a un error de fabricacin, el crculo inte- rior del tubo es excntrico con respecto al crculo exterior. En qu porcentaje se reduce la resistencia a la torsin si la excentricidad e representa una cuarta parte de la diferencia entre los radios? 5-110. Para un esfuerzo cortante promedio dado, determi- ne el factor por el cual se aumenta la capacidad de carga de un par de torsin si las secciones semicirculares del tubo se invierten desde las posiciones indicadas por la lnea discon- tinua hasta la seccin mostrada en la figura. El tubo tiene un grosor de 0.1 pulg. 5-111. Un par de torsin T se aplica sobre dos tubos que tienen las secciones transversales mostradas en la figura. Compare el flujo cortante desarrollado en cada tubo. 5-113. En la figura se muestran las dimensiones medias de la seccin transversal del fuselaje de un avin. Si el fuselaje est fabricado de una aleacin de aluminio 2014-T6, con un esfuerzocortantepermisibletperm =18ksiysesometeaunpar de 6000 kip #pie, determine el grosor mnimo requerido t de la seccin transversal con una precisin de 1 16 de pulg. Ade- ms, encuentre el ngulo de giro correspondiente por pie de longitud en el fuselaje. 5-114. En la figura se muestran las dimensiones medias de la seccin transversal del fuselaje de un avin. Si el fusela- je est fabricado de una aleacin de aluminio 2014-T6, con un esfuerzo cortante permisible tperm = 18 ksi y el ngulo de giro por pie de longitud del fuselaje no puede exceder 0.001 rad>pie, determine el par de torsin mximo permisi- ble que puede soportar el fuselaje. El grosor de la pared es t = 0.25 pulg. Prob. 5-109 1.20 pulg 0.5 pulg 0.6 pulg 1.80 pulg Prob. 5-110 1.80 pulg 1.20 pulg 0.5 pulg 0.6 pulg Prob. 5-111 a t a a t t Prob. 5-112 a b e 2 e 2 a b 2 Probs. 5-113/114 3 pies 3 pies 4.5 pies t Capitulo 05_Hibbeler.indd 232 13/1/11 20:09:02 252. 5.7Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas 233 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-115. Eltuboestsometidoaunpardetorsinde750N#m. Determine el esfuerzo cortante promedio en los puntos A y B del tubo. 5-117. Las dimensiones medias de la seccin transversal del borde delantero y la caja de torsin del ala de un avin pueden aproximarse como se muestra en la figura. Si el ala est fabricada de una aleacin de aluminio 2014-T6 con un esfuerzo cortante permisible de tperm = 125 MPa y el gro- sor de su pared es de 10 mm, determine el par de torsin mximo permisible y el ngulo de giro correspondiente por metro de longitud del ala. 5-118. Las dimensiones medias de la seccin transversal del borde delantero y la caja de torsin del ala de un avin pueden aproximarse de la forma mostrada en la figura. Si el ala se somete a un par de torsin de 4.5 MN # m y el grosor de su pared es de 10 mm, determine el esfuerzo cortante pro- medio desarrollado en el ala y su ngulo de giro por metro de longitud. El ala est fabricada de una aleacin de alumi- nio 2014-T6. *5-116. El tubo est hecho de plstico, tiene 5 mm de gro- sor y las dimensiones medias que se muestran en la figura. Determine el esfuerzo cortante promedio en los puntos A y B si el tubo est sometido al par de torsin de T = 5 N # m. Muestre el esfuerzo cortante sobre los elementos de volu- men ubicados en estos puntos. 5-119. El tubo simtrico est fabricado de un acero de alta resistencia, con las dimensiones medias mostradas en la figu- ra y un grosor de 5 mm. Si se somete a un par de torsin de T = 40 N # m, determine el esfuerzo cortante promedio desarrollado en los puntos A y B. Indique el esfuerzo cortan- te sobre elementos de volumen ubicados en esos puntos. Prob. 5-115 60 mm 100 mm 4 mm 4 mm 6 mm 6 mm B A 750 Nm Prob. 5-116 A 30 mm T 40 mm 40 mm 50 mm 60 mm B Prob. 5-119 60 mm 20 mm 30 mm 40 Nm A B Probs. 5-117/118 2 m 10 mm 0.25 m 10 mm 10 mm 0.25 m 0.5 m Capitulo 05_Hibbeler.indd 233 13/1/11 20:09:07 253. 234 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.8 Concentracin del esfuerzo La frmula de la torsin, tmx = Tc>J, no puede aplicarse a las regiones de un eje que tienen un cambio repentino en su seccin transversal. Aqu, las distribuciones de esfuerzo cortante y deformacin cortante en el eje se vuelven complejas, por lo que slo se pueden obtener mediante el uso de mtodos experimentales o, posiblemente, por medio de un anlisis mate- mtico basado en la teora de la elasticidad. En la figura 5-31 se muestran tres discontinuidades comunes que se producen en las secciones transver- sales. Estn en los acoplamientos, que se utilizan para conectar entre s dos ejes colineales, figura 5-31a; en cueros, empleados para conectar en- granes o poleas a un eje, figura 5-31b, y en filetes, usados para fabricar un solo eje colineal a partir de dos ejes de dimetro diferente, figura 5-31c. En cada caso, el esfuerzo cortante mximo se producir en la ubicacin (punto) indicado en la seccin transversal. La necesidad de realizar un complejo anlisis de esfuerzo en una dis- continuidad del eje para obtener el esfuerzo cortante mximo, puede eli- minarse mediante el uso de un factor de concentracin de esfuerzos de torsin, K. Como en el caso de los elementos cargados axialmente, seccin 4.7, K suele tomarse de un grfico basado en datos experimentales. En la figura 5-32 se muestra un ejemplo para el eje con filete. Para usar este grfico, primero se encuentra la relacin geomtrica D>d a fin de definir la curva adecuada y, despus de calcular la abscisa r>d, se determina el valor de K a lo largo de la ordenada. Figura 5-31 (a) (b) (c) Figura 5-32 0.300.250.200.150.100.050.00 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 r T T D d K D/d 2.5 2.0 1.67 1.25 1.11 r d Capitulo 05_Hibbeler.indd 234 13/1/11 20:09:09 254. 5.8Concentracin del esfuerzo 235 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Entonces, el esfuerzo cortante mximo se determina a partir de Aqu la frmula de la torsin se aplica al ms pequeo de los dos ejes co- nectados, puesto que tmx ocurre en la base del filete, figura 5-31c. Observe en la grfica que el aumento del radio r del filete causa una disminucin de K. Por lo tanto, el esfuerzo cortante mximo en el eje pue- de reducirse al aumentar el radio del filete. Adems, si el dimetro del eje mayor se reduce, la relacin D>d ser menor, por lo que el valor de K y por ende el de tmx sern inferiores. Al igual que en el caso de los elementos cargados axialmente, los fac- tores de concentracin del esfuerzo de torsin deben utilizarse siempre que se diseen ejes fabricados con materiales frgiles, o al disear ejes que estarn sometidos a fatiga o cargas de torsin cclicas. Estas condiciones dan lugar a la formacin de grietas en la concentracin de esfuerzos, y a menudo pueden conducir a una fractura sbita. Por otra parte, si se aplican grandes cargas de torsin esttica sobre un eje fabricado con material dc- til, entonces, se desarrollarn deformaciones inelsticas dentro del eje. La cedencia del material har que los esfuerzos se distribuyan de manera ms uniforme en todo el eje, de modo que el esfuerzo mximo no estar limita- do a la regin de concentracin de esfuerzos. Este fenmeno se analizar con mayor detalle en la siguiente seccin. En el acoplamiento de estos ejes pueden surgir concentraciones de esfuerzo, y lo an- terior debe tenerse en cuenta al disear el eje. Puntos importantes Las concentraciones de esfuerzo en los ejes se producen en los puntos donde hay un cambio sbito de seccin transversal, como en acoplamientos, cueros y filetes. Entre ms grave sea el cam- bio en la geometra, mayor ser la concentracin de esfuerzos. Para el diseo o el anlisis no es necesario conocer la distribucin exacta del esfuerzo cortante sobre la seccin transversal. En vez de esto, es posible obtener el esfuerzo cortante mximo mediante un factor de concentracin de esfuerzos, K, que se ha determi- nado a partir de la experimentacin, y slo est en funcin de la geometra del eje. Por lo general, al disear un eje dctil sometido a un par de tor- sin esttico no ser necesario considerar la concentracin de es- fuerzos; sin embargo, si el material es frgil, o est sometido a car- gas de fatiga, entonces las concentraciones de esfuerzo se vuelven importantes. (5-21)tmx = K Tc J Capitulo 05_Hibbeler.indd 235 13/1/11 20:09:10 255. 236 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.13 Figura 5-33 El eje escalonado que se muestra en la figura 5-33a, est apoyado sobre cojinetes en A y B. Determine el esfuerzo mximo en el eje debido a los pares de torsin aplicados. El filete ubicado en la unin de cada eje tiene un radio de r = 6 mm. SOLUCIN Par de torsin interno. Por inspeccin, se satisface el equilibrio de momentos respecto a la lnea central del eje. Como el esfuerzo cor- tante mximo se produce en los extremos de los ejes con menor dime- tro, el par de torsin interno (30 N #m) se puede encontrar aplicando el mtodo de las secciones, figura 5-33b. Esfuerzo cortante mximo. El factor de concentracin de es- fuerzos puede determinarse mediante el uso de la figura 5-32. A partir de la geometra del eje se tiene Con estos parmetros, se obtiene el valor de K = 1.3. Al aplicar la ecuacin 5-21, resulta NOTA: Con base en la evidencia experimental, la distribucin real del esfuerzo a lo largo de una lnea radial de la seccin transversal en la seccin crtica es similar a la mostrada en la figura 5-33c. Observe cmo se compara esto con la distribucin lineal del esfuerzo encontrada a partir de la frmula de la torsin. A B 30 Nm 30 Nm 60 Nm 20 mm 40 mm (a) 30 Nm T 30 Nm (b) Distribucin del esfuerzo cortante predicha por la frmula de la torsin Distribucin real del esfuerzo cortante causada por la concentracin de esfuerzos (c) tmx = 3.10 MPa r d = 6 mm 2120 mm2 = 0.15 D d = 2140 mm2 2120 mm2 = 2 Resp.tmx = K Tc J ; tmx = 1.3B 30 N # m 10.020 m2 1p>2210.020 m24 R = 3.10 MPa Capitulo 05_Hibbeler.indd 236 13/1/11 20:09:12 256. 5.9Torsin ineslstica 237 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Figura 5-34 *5.9 Torsin inelstica Si las cargas de torsin aplicadas sobre el eje son excesivas, entonces el ma- terial puede presentar cedencia y, en consecuencia, debe usarse un an- lisis plstico para determinar la distribucin del esfuerzo cortante y el ngulo de giro. Al igual que antes, para realizar este anlisis es necesario que el eje cumpla con las condiciones de deformacin y equilibrio. En la seccin 5.1 se mostr que sin importar el comportamiento del material, las deformaciones cortantes que se desarrollan en un eje circular varan linealmente, desde cero en el centro del eje hasta un mximo en su lmite exterior, figura 5-34a. Adems, el par interno resultante en la sec- cin debe ser equivalente al par de torsin causado por toda la distribucin del esfuerzo cortante sobre la seccin transversal. Esta condicin se puede expresar de forma matemtica considerando el esfuerzo cortante t que ac- ta sobre un elemento de rea dA ubicado a una distancia r del centro del eje, figura 5-34b. La fuerza producida por el esfuerzo es dF = tdA, y el par de torsin producido es dT = rdF = r(t dA). Para todo el eje se requiere Torcimiento severo de una probeta de alu- minio originado por la aplicacin de un par de torsin plstico. Si el rea dA sobre la que acta t no se puede definir como un anillo diferencial con un rea de dA = 2prdr, figura 5-34c, entonces la ecuacin anterior puede escribirse como Estas condiciones de geometra y carga se usarn ahora para determi- nar la distribucin del esfuerzo cortante en un eje, cuando ste se encuen- tra sometido a dos tipos de par de torsin. Par de torsin elastoplstico. Considere que el material de un eje exhibe un comportamiento elstico perfectamente plstico. Como se muestra en la figura 5-35a, ste se caracteriza por un diagrama de esfuerzo- deformacin cortante para el cual el material experimenta una deforma- cin cortante creciente cuando el esfuerzo cortante alcanza el punto de cedencia tY . (5-22)T = LA rt dA (5-23)T = 2p L c 0 tr2 dr c (a) Distribucin de la deformacin cortante lineal gmx (b) dA T t r (c) dA 2pr dr dr r Capitulo 05_Hibbeler.indd 237 13/1/11 20:09:15 257. 238 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Si el par interno produce la deformacin cortante elstica mxima, gY , en el lmite exterior del eje, entonces el par de torsin elstico mximo TY que produce esta distribucin puede encontrarse a partir de la frmula de la torsin, tY = TY c>[(p>2)c4 ], de modo que Por otra parte, el ngulo de giro puede determinarse a partir de la ecua- cin 5-13, a saber, Si el par de torsin aplicado aumenta su magnitud por encima de TY , se comienza a producir la cedencia. Primero en el lmite exterior del eje, r = c, y despus cuando la deformacin cortante mxima aumenta, diga- mos hasta g en la figura 5-35a, el lmite de cedencia avanzar hacia el centro del eje, figura 5-35b. Como puede observarse, esto produce un n- cleo elstico, donde, por proporcin, el radio del ncleo es rY = (gY >g)c. Adems, la parte externa del material forma un aro o anillo plstico, ya que las deformaciones cortantes g dentro de esta regin son mayores que gY . En la figura 5-35c se muestra la distribucin del esfuerzo cortante co- rrespondiente a lo largo de una lnea radial del eje. sta se establece al tomar puntos sucesivos en la distribucin de la deformacin cortante en la figura 5-35b y al encontrar el valor correspondiente del esfuerzo cortante en el diagrama t-g, figura 5-35a. Por ejemplo, en r = c, g da tY y en r = rY , gY tambin da tY ; etctera. Como t en la figura 5-35c ahora puede expresarse como una funcin de r, es posible aplicar la ecuacin 5-23 para determinar el par de torsin. Se tiene Figura 5-35 (5-24)TY = p 2 tYc3 (5-25)df = g dx r (5-26)= ptY 6 14c3 - rY 3 2 = p 2rY tYrY 4 + 2p 3 tY1c3 - rY 3 2 = 2p rY tY L rY 0 r3 dr + 2ptY L c rY r2 dr = 2p L rY 0 tY r rY r2 dr + 2p L c rY tYr2 dr T = 2p L c 0 tr2 dr (a) gY g g tY t c (b) Distribucin de la deformacin cortante Anillo plstico Ncleo elstico rY gY g c (c) Distribucin del esfuerzo cortante T rY tY tY Capitulo 05_Hibbeler.indd 238 13/1/11 20:09:17 258. 5.10 Esfuerzo residual 239 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Par de torsin plstico. Los aumentos adicionales en T tienden a reducir el radio del ncleo elstico hasta que todo el material cede, es decir, rY g 0, figura 5-35b. El material del eje estar sometido a un com- portamiento perfectamente plstico y la distribucin del esfuerzo cortante se vuelve uniforme, por lo que t = tY , figura 5-35d. Ahora se puede aplicar la ecuacin 5-23 para determinar el par de torsin plstico Tp , lo que re- presenta el mayor par de torsin posible que el eje puede soportar. Figura 5-35 (cont.) Figura 5-36 En comparacin con el par de torsin elstico mximo TY , ecuacin 5-24, se puede observar que En otras palabras, el par de torsin plstico es 33 por ciento mayor que el par de torsin elstico mximo. Desafortunadamente, el ngulo de giro f para la distribucin del es- fuerzo cortante no puede definirse de manera nica. Esto se debe a que t = tY no corresponde a ningn valor nico de deformacin cortante g gY . Como resultado, una vez que se aplica Tp , el eje continuar deformn- dose o girando sin un aumento correspondiente del esfuerzo cortante. *5.10 Esfuerzo residual Cuando un eje se somete a deformaciones cortantes plsticas causadas por torsin, el retiro del par de torsin har que algunos esfuerzos cortantes permanezcan en el eje. Este esfuerzo se denomina esfuerzo residual, y su distribucin puede calcularse mediante superposicin y recuperacin els- tica. (Vea la seccin 4.9.) Por ejemplo, si Tp hace que el material en el lmite exterior del eje se de- forme hasta g1 , que se muestra como el punto C de la curva t-g en la figura 5-36, el retiro de Tp ocasionar un esfuerzo cortante inverso, de tal manera que el comportamiento del material seguir el segmento CD en lnea rec- ta, creando cierta recuperacin elstica de la deformacin cortante g1 . Esta lnea es paralela a la parte inicial AB en lnea recta del diagrama t-g, por lo que ambas lneas tienen una pendiente G como se indica en la figura. Tp (d) Par de torsin completamente plstico c TY (5-27)= 2p 3 tYc3 Tp = 2p L c 0 tYr2 dr Tp = 4 3 TY A B C D G G La recuperacin elstica mxima es 2gY Comportamiento elstico invertido del material Comportamiento elastoplstico del material t tY gY -tY g1 g Capitulo 05_Hibbeler.indd 239 13/1/11 20:09:19 259. 240 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Como se produce una recuperacin elstica, es posible superponer en la distribucin del esfuerzo de torsin plstica de la figura 5-37a una distribu- cin lineal del esfuerzo causada por la aplicacin del par de torsin plstico Tp en direccin opuesta, figura 5-37b. Aqu, el esfuerzo cortante mximo tr para esta distribucin de esfuerzo, se llama el mdulo de ruptura para la torsin. ste se determina a partir de la frmula de la torsin*, de donde se obtiene Observe que aqu es posible la aplicacin invertida de Tp usando la dis- tribucin lineal del esfuerzo cortante de la figura 5-37b, ya que la recupera- cin mxima de la deformacin cortante elstica es 2gY , como se indica en la figura 5-37. Esto corresponde a un esfuerzo cortante mximo aplicado de 2tY , que es mayor que el esfuerzo cortante mximo de 4 3 tY calculado ante- riormente. De ah que, mediante la superposicin de las distribuciones de esfuerzo que implican aplicaciones y el posterior retiro del par de torsin plstico, se obtiene la distribucin del esfuerzo cortante residual en el eje, como se muestra en la figura 5-37c. Debe sealarse a partir de este diagra- ma que el esfuerzo cortante en el centro del eje, que se muestra como tY , en realidad debe ser cero, ya que el material a lo largo de la lnea central del eje nunca se deforma. La razn de que no sea cero es porque se supone que todo el material del eje se deform ms all del punto de cedencia con el fin de determinar el par de torsin plstico, figura 5-37a. Para ser ms realista, al modelar el comportamiento del material debe considerarse un par de torsin elastoplstico. Al hacer esto, se da lugar a una superposicin de la distribucin de esfuerzo como en la figura 5-37d. *La frmula de la torsin es vlida slo cuando el material se comporta de manera elstica lineal; sin embargo, el mdulo de ruptura se llama as porque supone que el material se comporta elsticamente y de manera sbita se rompe en el lmite propor- cional. Par de torsin plstico aplicado que causa deformaciones cortantes plsticas en todo el eje (a) Tp tY Par de torsin plstico invertido que causa deformaciones cortantes elsticas en todo el eje (b) Tp tr Distribucin del esfuerzo cortante residual en el eje (c) tY tr tY Figura 5-37 Par de torsin elastoplstico aplicado Par de torsin elastoplstico invertido Distribucin del esfuerzo cortante residual en el eje (d) Tep Tep tY tmx tr tmx tY tr = [12>32ptYc3 ]c 1p>22c4 = 4 3 tY tr = Tpc J = Tpc 1p>22c4 Usando la ecuacin 5-27, Capitulo 05_Hibbeler.indd 240 13/1/11 20:09:21 260. 5.10 Esfuerzo residual 241 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Par de torsin ltimo. En general, la mayora de los materiales de ingeniera tendr un diagrama de esfuerzo-deformacin cortante como el mostrado en la figura 5-38a. En consecuencia, si T aumenta de modo que la deformacin cortante mxima en el eje se convierta en g = gu , figura 5-38b, entonces por proporcin gY se produce en rY = (gY >gu )c. Del mismo modo, las deformaciones cortantes en, por ejemplo, r = r1 y r = r2 , pueden encon- trarse por proporcin, es decir, g1 = (r1 >c)gu y g2 = (r2 >c)gu . Si los valores correspondientes de t1 , tY , t2 y tu se toman del diagrama t-g y se grafican, se obtiene la distribucin del esfuerzo cortante que acta a lo largo de una l- nea radial de la seccin transversal, figura 5-38c. El par de torsin producido por esta distribucin del esfuerzo se denomina par de torsin ltimo, Tu . La magnitud de Tu puede determinarse al integrar grficamente la ecuacin 5-23. Para hacer esto, el rea de la seccin transversal del eje se segmenta en un nmero finito de anillos, como el que se mues- tra en gris oscuro en la figura 5-38d. El rea de este anillo, A = 2ppp, se multiplica por el esfuerzo cortante t que acta sobre ella, de modo que se pueda determinar la fuerza F = t A. El par de torsin creado por esta fuerza es entonces T = rF = r(tA). La suma de todos los pares de torsin, determinados de esta manera, para toda la seccin transversal pro- porciona el par de torsin ltimo Tu ; es decir, la ecuacin 5-23 se convierte en Tu 2ptr2 r. Sin embargo, si la distribucin del esfuerzo puede expre- sarse como una funcin analtica, t = f(r), como en los casos de los pares de torsin elstico y plstico, entonces la integracin de la ecuacin 5-23 puede realizarse de manera directa. Puntos importantes La distribucin de la deformacin cortante a lo largo de una lnea radial en la seccin transversal de un eje se basa en consideraciones geomtricas y se sabe que siempre vara linealmente a lo largo de la lnea radial. Una vez establecida, la distribucin del esfuerzo cortante puede determinarse utilizando el diagrama de esfuerzo-deformacin cortante. Si se establece la distribucin del esfuerzo cortante para el eje, sta produce un par de torsin respecto a la lnea central del eje que es equivalente al par de torsin interno resultante que acta sobre la seccin transversal. El comportamiento perfectamente plstico supone que la distribucin del esfuerzo cortante es constante. Cuando esto ocurre, el eje continuar girando sin aumento del par de torsin. Este par se conoce como el par de torsin plstico. Figura 5-38 (a) Tu TY T g g1 g2gY gu T2 T1 (b) Distribucin de la deformacin cortante ltima c g1 g2gY gu rY (c) Distribucin del esfuerzo cortante ltimo cTu rY TY T1 T2 Tu (d) Tu r TuT r A = 2prr Capitulo 05_Hibbeler.indd 241 13/1/11 20:09:23 261. 242 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.14 Figura 5-39 El eje tubular de la figura 5-39a est fabricado de una aleacin de alu- minio la cual se supone tiene un diagrama t-g elastoplstico como se muestra en la figura. Determine el par de torsin mximo que puede aplicarse al eje sin causar que el material ceda, y el par de torsin mxi- mo o par de torsin plstico que se puede aplicar al eje. Adems, cul debe ser la deformacin cortante mnima en la pared exterior para que se desarrolle un par de torsin totalmente plstico? SOLUCIN Par de torsin elstico mximo. Se requiere que el esfuerzo cortante en la fibra exterior sea de 20 MPa. Usando la frmula de la torsin, se tiene En la figura 5-39b se muestran las distribuciones de esfuerzo cortante y deformacin cortante para este caso. Los valores en la pared interna del tubo se obtuvieron por proporcin. Par de torsin plstico. En la figura 5-39c se muestra la distri- bucin del esfuerzo cortante en este caso. La aplicacin de la ecuacin 5-23 requiere que t = tY , se tiene Para este tubo, Tp representa un aumento del 20 por ciento en la capaci- dad del par de torsin en comparacin con el par de torsin elstico TY . Deformacin cortante del radio exterior. El tubo se vuelve totalmente plstico cuando la deformacin cortante en la pared interna se convierte en 0.286(10-3 ) rad, como se muestra en la figura 5-39c. Como la de- formacin cortante permanece lineal a lo largo de la seccin transversal, la defor- macin plstica en las fibras exteriores del tubo en la figura 5-39c est determinada por la proporcin. 50 mm 30 mm T 20 (a) 0.286 (10-3 ) t (MPa) g (rad) (b) Distribucin del esfuerzo cortante elstico Distribucin de la deformacin cortante elstica 20 MPa 12 MPa 0.286 (10-3 ) rad 0.172 (10-3 ) rad 50 mm 30 mm (c) Distribucin del esfuerzo cortante plstico 20 MPa Distribucin inicial de la deformacin cortante plstica 0.286 (10-3 ) rad 0.477 (10-3 ) rad Resp.TY = 3.42 kN # m 201106 2 N>m2 = TY10.05 m2 1p>22[10.05 m24 - 10.03 m24 ] tY = TYc J ; Resp.= 4.11 kN # m Tp = 2p L 0.05 m 0.03 m [201106 2 N>m2 ]r2 dr = 125.661106 2 1 3 r3 ` 0.03 m 0.05 m Resp.go = 0.477110-3 2 rad go 50 mm = 0.286110-3 2 rad 30 mm Capitulo 05_Hibbeler.indd 242 13/1/11 20:09:26 262. 5.10 Esfuerzo residual 243 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.15 Figura 5-40 Un eje circular slido tiene un radio de 20 mm y una longitud de 1.5 m. El material tiene un diagrama t-g elastoplstico como se muestra en la figura 5-40a. Determine el par de torsin necesario para girar el eje un ngulo de f = 0.6 rad. SOLUCIN Primero se obtiene la distribucin de la deformacin cortante y despus se establece la distribucin del esfuerzo cortante. Una vez que se cono- ce esto, es posible determinar el par de torsin aplicado. La deformacin cortante mxima ocurre en la superficie del eje, r = c. Como el ngulo de giro es f = 0.6 rad para toda la longitud del eje de 1.5 m, entonces al usar la ecuacin 5-25 para toda la longitud se tiene En la figura 5-40b se muestra la distribucin de la deformacin cor- tante. Tenga en cuenta que se produce la cedencia del material puesto que gmx > gY = 0.0016 rad en la figura 5-40a. El radio del ncleo elsti- co, rY , se puede obtener por proporcin. A partir de la figura 5-40b, Con base en la distribucin de la deformacin cortante, en la figura 5-40c se muestra la distribucin del esfuerzo cortante, graficada sobre un segmento de lnea radial. Ahora, el par de torsin se puede obtener me- diante la ecuacin 5-26. Al sustituir en los datos numricos se obtiene 75 (a) t (MPa) 0.0016 0.008 g (rad) Distribucin de la deformacin cortante (b) gY = 0.0016 rad gmx = 0.008 rad 20 mm rY (c) Distribucin del esfuerzo cortante 20 mm tY 75 MPa rY 4 mm gmx = 0.008 rad 0.6 = gmx11.5 m2 10.02 m2 f = g L r ; rY = 0.004 m = 4 mm rY 0.0016 = 0.02 m 0.008 Resp.= 1.25 kN # m = p[751106 2 N>m2 ] 6 [410.02 m23 - 10.004 m23 ] T = ptY 6 14c3 - rY 3 2 Capitulo 05_Hibbeler.indd 243 13/1/11 20:09:28 263. 244 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 5.16 El tubo de la figura 5-41a tiene una longitud de 5 pies y su diagrama elastoplstico t-g tambin se muestra en la figura 5-41a. Determine el par de torsin Tp plstico. Cul es la distribucin del esfuerzo cortante residual si Tp se retira justo despus de que el tubo se vuelve totalmente plstico? SOLUCIN Par de torsin plstico. El par de torsin plstico Tp deformar el tubo de modo que todo el material ceda. De ah que la distribucin del esfuerzo ser como se muestra en la figura 5-41b. Al aplicar la ecua- cin 5-23, se tiene Justo cuando el tubo se vuelve completamente plstico, comienza la cedencia en la pared interior, es decir, en ci = 1 pulg, gY = 0.002 rad, figu- ra 5-41a. El ngulo de giro que se produce puede determinarse a partir de la ecuacin 5-25, que para todo el tubo se convierte en Cuando se retira Tp , o de hecho se vuelve a aplicar en la direccin opuesta, la distribucin ficticia lineal del esfuerzo cortante mostrada en la figura 5-41c debe superponerse a la que se muestra en la figura 5-41b. En la figura 5-41c, el esfuerzo cortante mximo o el mdulo de ruptura se encuentra a partir de la frmula de la torsin Adems, en la pared interior del tubo el esfuerzo cortante es La distribucin del esfuerzo cortante residual que resulta se muestra en la figura 5-41d. 12 (a) 0.002 T co 2 pulg ci 1 pulg g (rad) t (ksi) (b) Par de torsin plstico aplicado 12 ksi Tp (c) Par de torsin plstico invertido 7.47 ksi Tp tr 14.93 ksi Figura 5-41 Distribucin del esfuerzo cortante residual 2.93 ksi 4.53 ksi (d) Resp.= 2p 3 1121103 2 lb>pulg2 2[12 pulg23 - 11 pulg23 ] = 175.9 kip # pulg Tp = 2p L co ci tYr2 dr = 2p 3 tY1co 3 - ci 3 2 fp = gY L ci = 10.002215 pies2112 pulg>pie2 11 pulg2 = 0.120 rad g tr = Tpco J = 1175.9 kip # pulg212 pulg2 1p>22[12 pulg24 - 11 pulg24 ] = 14.93 ksi Resp.ti = 114.93 ksi2a 1 pulg 2 pulg b = 7.47 ksi Capitulo 05_Hibbeler.indd 244 13/1/11 20:09:32 264. 5.10 Esfuerzo residual 245 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS *5-120. El acero usado para fabricar el eje tiene un esfuerzo cortante permisible de tperm = 8 MPa. Si los elementos estn conectados con una soldadura de filete de radio r = 4 mm, determine el mximo par de torsin T que puede aplicarse. 5-123. El eje de acero est hecho a partir de dos segmentos: AB y BC, que se conectan mediante una soldadura de file- te con un radio de 2.8 mm. Determine el esfuerzo cortante mximo desarrollado en el eje. 5-121. El eje compuesto debe disearse para girar a 720 rpm, mientras transmite 30 kW de potencia. Es posible esto? El esfuerzo cortante permisible es tperm = 12 MPa. 5-122. El eje compuesto est diseado para girar a 540 rpm. Si el radio de la soldadura de filete que conecta a los ejes es r = 7.20 mm y el esfuerzo cortante permisible para el material es tperm = 55 MPa, determine la potencia mxima que puede transmitir el eje. *5-124. El acero utilizado para fabricar el eje tiene un es- fuerzo cortante permisible de tperm = 8 MPa. Si los elementos se conectan entre s mediante una soldadura de filete con un radio r = 2.25 mm, determine el mximo par de torsin T que puede aplicarse. Prob. 5-120 20 mm 20 mm T 50 mm T 2 T 2 Prob. 5-123 50 mm 20 mm 100 Nm 60 Nm A C B 40 Nm D Prob. 5-124 30 mm 30 mm 15 mm T T 2 T 2 Probs. 5-121/122 75 mm 60 mm Capitulo 05_Hibbeler.indd 245 13/1/11 20:09:39 265. 246 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-125. El ensamble est sometido a un par de torsin de 710 lb #pulg. Si el esfuerzo cortante permisible para el mate- rial es tperm = 12 ksi, determine el radio del filete ms peque- o que puede utilizarse para transmitir el par de torsin. 5-129. El eje slido est fabricado de un material elstico perfectamente plstico como se muestra en la figura. Deter- mine el par de torsin T necesario para formar un ncleo elstico en el eje con radio de rY = 20 mm. Cul es el ngulo que gira uno de los extremos del eje con respecto al otro si el ste tiene 3 m de largo? Cuando el par de torsin se retira, determine la distribucin del esfuerzo residual en el eje y el ngulo de giro permanente. 5-126. UnejeslidoestsometidoalpardetorsinT,elcual hace que el material ceda. Si el material es elastoplstico, de- muestre que el par de torsin se puede expresar en trminos del ngulo de giro f del eje como T = 4 3 TY11 - f3 Y>4f3 2, donde TY y fY son el par de torsin y el ngulo de giro cuan- do el material comienza a ceder. 5-127. Un eje slido con dimetro de 2 pulg est hecho de material elastoplstico con un lmite de elasticidad de tY = 16 ksi y un mdulo cortante G = 12(103 ) ksi. Determine el par de torsin necesario para desarrollar un ncleo elstico en el eje con un dimetro de 1 pulg. Adems, cul es el par de torsin plstico? *5-128. Determine el par de torsin necesario para torcer un alambre corto de acero con un dimetro de 3 mm me- diante varias revoluciones; considere que est fabricado de un acero elastoplstico y que tiene un esfuerzo de cedencia de tY = 80 MPa. Suponga que el material se vuelve comple- tamente plstico. 5-130. El eje est sometido a una deformacin cortante mxima de 0.0048 rad. Determine el par de torsin aplicado al eje si el material tiene endurecimiento por deformacin, como se muestra en el diagrama de esfuerzo-deformacin cortante. Prob. 5-125 710 lbpie 1.5 pulg 0.75 pulg 710 lbpulgA B C Prob. 5-129 160 0.004 g (rad) t (MPa) T T 80 mm Prob. 5-130 T 2 pulg 6 0.0006 g (rad) t (ksi) 12 0.0048 Capitulo 05_Hibbeler.indd 246 13/1/11 20:09:42 266. 5.10 Esfuerzo residual 247 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-131. Un eje circular slido con un dimetro de 80 mm est fabricado de un material elstico perfectamente pls- tico, con un esfuerzo cortante de cedencia tY = 125 MPa. Determine (a) el mximo par de torsin elstico TY ; y (b) el par de torsin plstico Tp . *5-132. El eje hueco tiene la seccin transversal mostrada en la figura y est fabricado de un material elstico perfecta- mente plstico, con un esfuerzo cortante de cedencia tY . De- termine la relacin entre el par de torsin plstico Tp sobre el mximo par de torsin elstico TY . 5-134. El eje hueco est fabricado de un material elstico perfectamente plstico con un mdulo cortante G y un es- fuerzo cortante de cedencia tY . Determine el par de torsin Tp aplicado cuando el material de la superficie interior est a punto de ceder (par de torsin plstico). Adems, encuentre el ngulo de giro correspondiente y la deformacin cortante mxima. El eje tiene una longitud de L. 5-133. El eje consta de dos secciones que estn rgidamente conectadas. Si el material es elastoplstico como se muestra en la figura, determine el mayor par de torsin T que puede aplicarse al eje. Adems, seale la distribucin del esfuerzo cortante sobre una lnea radial para cada seccin. No tome en cuenta el efecto de la concentracin de esfuerzos. 5-135. El eje hueco tiene dimetros interno y externo de 60 mm y 80 mm, respectivamente. Si est fabricado de un material elstico perfectamente plstico y tiene el diagrama t-g que se muestra en la figura, determine las reacciones en los soportes fijos A y C. Prob. 5-132 c c 2 Prob. 5-133 1 pulg 0.75 pulg T T 12 0.005 g (rad) t (ksi) Prob. 5-134 c0ci Prob. 5-135 g (rad) 120 0.0016 450 mm 150 mm A B C 15 kNm t (MPa) Capitulo 05_Hibbeler.indd 247 13/1/11 20:09:49 267. 248 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *5-136. El eje tubular est fabricado de un material con endurecimiento por deformacin que tiene un diagrama t-g como el mostrado en la figura. Determine el par de torsin T que debe aplicarse al eje para que la deformacin cortante mxima sea de 0.01 rad. 5-139. El tubo est fabricado de un material elstico per- fectamente plstico y tiene el diagrama t-g que se muestra en la figura. Determine el par de torsin T que ocasiona que la superficie interna del eje comience a ceder. Adems, en- cuentre la distribucin del esfuerzo cortante residual en el eje al retirarse el par de torsin. 5-137. El diagrama de esfuerzo-deformacin cortante para un eje slido con un dimetro de 50 mm puede aproxi- marse como se muestra en la figura. Determine el par de tor- sin T necesario para provocar un esfuerzo cortante mximo en el eje de 125 MPa. Si el eje tiene 1.5 m de largo, cul es el ngulo de giro correspondiente? 5-138. Un tubo est fabricado de material elstico perfec- tamente plstico y tiene el diagrama t-g que se muestra en la figura. Si el radio del ncleo elstico es rY = 2.25 pulg, determine el par de torsin T aplicado. Adems, encuentre la distribucin del esfuerzo cortante residual en el eje y el ngulo de giro permanente de uno de los extremos en rela- cin con el otro al retirarse el par de torsin. *5-140. El tubo de 2 m de largo est fabricado de un ma- terial elstico perfectamente plstico como se muestra en la figura. Determine el par de torsin T aplicado que somete al material del borde exterior del tubo a una deformacin cortante de gmx = 0.006 rad. Cul es el ngulo permanente de giro del tubo cuando este par de torsin se retira? Dibuje la distribucin del esfuerzo residual en el tubo. Prob. 5-136 T 0.75 pulg 10 0.005 g (rad) t (ksi) 15 0.01 0.5 pulg Prob. 5-137 50 0.0025 g (rad) t (MPa) 125 0.010 1.5 m T T Prob. 5-140 35 mm 30 mm 210 0.003 g (rad) t (MPa) T Probs. 5-138/139 t(ksi) g (rad) 10 0.004 T T 3 pies 6 pulg 3 pulg Capitulo 05_Hibbeler.indd 248 13/1/11 20:09:56 268. 5.10 Esfuerzo residual 249 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-141. Un ncleo fabricado con una aleacin de acero est unido firmemente a un tubo fabricado con una aleacin de cobre para formar el eje mostrado en la figura. Si los ma- teriales tienen el diagrama t-g que se muestra, determine el par de torsin resistido por el ncleo y el tubo. 5-142. Un par de torsin se aplica al eje de radio r. Si el ma- terial tiene una relacin de esfuerzo-deformacin cortante de t = kg1>6 , donde k es una constante, determine el esfuerzo cortante mximo en el eje. Prob. 5-141 t (MPa) t (MPa) 180 0.0024 g (rad) g (rad) 36 0.002 450 mm A B 100 mm 60 mm Aleacin de acero Aleacin de cobre 15 kNm Prob. 5-142 T r Capitulo 05_Hibbeler.indd 249 13/1/11 20:10:01 269. 250 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Repaso de Captulo Un par de torsin hace que un eje con seccin transversal circular gire, de modo que la deformacin cortante en el eje sea proporcional a su distancia radial desde el centro del eje. Siempre que el material sea homogneo y elsti- co lineal, el esfuerzo cortante se determina a partir de la frmula de la torsin, t = Tr J El diseo de un eje requiere encontrar el parmetro geomtrico, J c = T tperm A menudo es necesario reportar la potencia P suminis- trada a un eje que gira con velocidad angular v, en cuyo caso el par de torsin se determina a partir de P = Tv. El ngulo de giro de un eje circular se determina a partir de f = L L 0 T1x2 dx JG Si el par de torsin interno y JG son constantes dentro de cada segmento del eje, entonces f = a TL JG Para su aplicacin, es necesario utilizar una convencin de signos para el par de torsin interno y para asegurar que el material se conserve elstico lineal. Si el eje es estticamente indeterminado, entonces los pa- res de torsin reactivos se determinan a partir del equi- librio, la compatibilidad del giro y una relacin par de torsin-giro, tal como f = TL>JG. T tmx tmx t co ci T tmx tmx T T(x) x f T1 f T3 T2 Capitulo 05_Hibbeler.indd 250 13/1/11 20:10:05 270. Repaso de captulo 251 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Los ejes slidos no circulares tienden a pandearse fuera del plano cuando se someten a un par de torsin. Existen frmulas disponibles para determinar el esfuerzo cortan- te elstico mximo y el giro para estos casos. El esfuerzo cortante promedio en tubos de pared delga- da se determina suponiendo que el esfuerzo cortante a travs de cada espesor t del tubo es constante. Su valor se determina a partir de tprom = T 2tAm . Las concentraciones de esfuerzo ocurren en los ejes cuan- do su seccin transversal cambia de manera sbita. El es- fuerzo cortante mximo se determina mediante un factor de concentracin del esfuerzo K, el cual se determina con base en experimentacin y se representa en forma grfica. Una vez obtenido, tmx = Ka Tc J b. Si el par de torsin aplicado hace que el material exceda el lmite elstico, entonces la distribucin del esfuerzo no ser proporcional a la distancia radial desde la lnea central del eje. En cambio, el par de torsin interno se relaciona con la distribucin del esfuerzo usando el diagrama de esfuerzo cortante-deformacin cortante y el equilibrio. Si un eje se somete a un par de torsin plstico, que despus se retira, ste causar que el material responda elsticamente, ocasionando el desarrollo de un esfuerzo cortante residual en el eje. Am T t T tmx cT tY tY rY Capitulo 05_Hibbeler.indd 251 13/1/11 20:10:08 271. PROBLEMAS DE REPASO 252 Captulo 5Torsin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5-143. Considere un tubo de pared delgada con radio me- dio r y grosor t. Demuestre que el esfuerzo cortante mximo en el tubo debido a la aplicacin de un par de torsin T se aproxima al esfuerzo cortante promedio calculado a partir de la ecuacin 5-18 como r>t S q. 5-146. La barra AB est fabricada de acero A-36 con un esfuerzo cortante permisible de (tperm )ac = 75 MPa, y el tubo BC est fabricado de una aleacin de magnesio AM1004- T61 con un esfuerzo cortante permisible de (tperm )mg = 45 MPa. El ngulo de giro del extremo C no puede superar los 0.05 rad. Determine el mximo par de torsin permisible T que puede aplicarse al ensamble. *5-144. El eje de acero inoxidable 304 tiene 3 m de lon- gitud y un dimetro exterior de 60 mm. Cuando gira a 60 rad>s transmite 30 kW de potencia desde el motor E hasta el generador G. Determine el menor grosor posible del eje si el esfuerzo cortante permisible es tperm = 150 MPa y el eje no se puede torcer ms de 0.08 rad. 5-145. El tubo circular de acero A-36 est sometido a un par de torsin de 10 kN # m. Determine el esfuerzo cortante en el radio medio r = 60 mm y calcule el ngulo de giro del tubo si tiene 4 m de largo y se encuentra fijo en su extremo lejano. Resuelva el problema usando las ecuaciones 5-7 y 5-15, y empleando las ecuaciones 5-18 y 5-20. 5-147. Un eje tiene la seccin transversal mostrada en la figura y est fabricado de una aleacin de aluminio 2014-T6 con un esfuerzo cortante permisible de tperm = 125 MPa. Si el ngulo de giro por metro de longitud no puede exceder los 0.03 rad, determine el grosorsor de pared mnimo requerido t al milmetro ms cercano, cuando el eje est sometido a un par de torsin de T = 15 kN #m. Prob. 5-143 t r Prob. 5-144 E G Prob. 5-145 4 m t 5 mm r 60 mm 10 kNm Prob. 5-146 a a A B C T 0.4 m 0.3 m 60 mm 50 mm 30 mm Seccin a-a Prob. 5-147 75 mm 30 30 t Capitulo 05_Hibbeler.indd 252 13/1/11 20:10:24 272. Problemas de repaso 253 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *5-148. El motor A desarrolla un par de torsin en el en- grane B de 500 lb # pie, el cual se aplica a lo largo del eje de 2 pulg de dimetro fabricado de acero A-36. Este par de torsin debe transmitirse a los engranes de pin en E y F. Si dichos engranes se encuentran temporalmente fijos, de- termine el esfuerzo cortante mximo en los segmentos CB y BD del eje. Adems, cul es el ngulo de giro de cada uno de estos segmentos? Los cojinetes en C y D slo ejercen fuerzas sobre el eje. 5-149. El acoplamiento consiste en dos discos fijos que se- paran los ejes, cada uno con un dimetro de 25 mm. Los ejes se apoyan sobre chumaceras que permiten la rotacin libre. Con el fin de limitar el par de torsin T que puede transmi- tirse, se emplea un pasador cortante P para conectar los discos entre s. Si este pasador puede soportar una fuerza cortante promedio de 550 N antes de fallar, determine el mximo par de torsin constante T que puede transmitirse de un eje al otro. Adems, cul es el esfuerzo cortante mxi- mo en cada eje cuando el pasador cortante est a punto de fallar? 5-150. El volante y el eje se detienen sbitamente en D cuando el cojinete se traba. Esto hace que el volante oscile en sentido horario y antihorario, de modo que un punto A en el borde exterior del volante se desplaza en un arco de 10 mm en cualquier direccin. Determine el esfuerzo cortante mximo desarrollado en el eje tubular de acero inoxidable 304 debido a esta oscilacin. El eje tiene un dimetro inte- rior de 25 mm y un dimetro exterior de 35 mm. Los cojine- tes en B y C permiten que el eje gire libremente. 5-151. Si el eje slido AB al que est conectada la manivela de una vlvula es de latn rojo C83400 y tiene un dimetro de 10 mm, determine las mximas fuerzas de par F que pueden aplicarse a la manivela justo antes de que el material co- mience a fallar. Considere tperm = 40 MPa. Cul es el ngulo de giro de la manivela? El eje se encuentra fijo en A. Prob. 5-148 2 pies 1.5 pies B DC A E F 500 lb pie Prob. 5-149 25 mmP 25 mm 130 mm T T Prob. 5-150 2 m C B D A 80 mm Prob. 5-151 F 150 mm 150 mm F A 150 mm B Capitulo 05_Hibbeler.indd 253 13/1/11 20:10:33 273. 2 3 4 5 7 8 9 10 11 Las vigas son elementos estructurales importantes que se utilizan en la construccin de edificios. Con frecuencia, su diseo se basa en su capacidad para resistir el esfuerzo flexionante, que representa el objeto de estudio del presente captulo. Capitulo 06_Hibbeler.indd 254 13/1/11 20:44:02 274. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 255 1 2 Flexin 6 255 OBJETIVOS DEL CAPTULO Las vigas y los ejes son elementos estructurales y mecnicos importantes en la ingeniera. En este captulo se determinar el esfuerzo que produ- ce la flexin en estos elementos. El captulo comienza con un anlisis de cmo se establecen los diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga o eje. Al igual que los diagramas de fuerza normal y de par de torsin, los diagramas de fuerza cortante y de momento proporcio- nan un medio til para determinar la fuerza cortante y el momento mxi- mos en un elemento, as como para especificar dnde ocurren esos mximos. Una vez que se ha determinado el momento interno en una seccin, es posible calcular el esfuerzo flexionante. Primero se consi- derarn los elementos rectos, con una seccin transversal simtrica y que estn hechos de un material elstico lineal homogneo. Despus se abordarn los casos especiales que involucran la flexin asimtrica y los elementos fabricados con materiales compuestos. Adems, se estu- diarn los elementos curvos, las concentraciones de esfuerzo, la flexin inelstica y los esfuerzos residuales. 6.1Diagramas de fuerza cortante y de momento Los elementos delgados que soportan cargas aplicadas en forma perpen- dicular a su eje longitudinal se denominan vigas. En general, las vigas son barras largas, lineales, con un rea constante en su seccin transversal. A menudo se clasifican de acuerdo con la forma en que estn apoyadas. Por ejemplo, una viga simplemente apoyada est articulada en un extremo y sostenida por un rodillo en el otro, figura 6-1; una viga en voladizo se en- cuentra fija en un extremo y libre en el otro, y una viga con voladizo si tie- ne uno o ambos extremos extendidos ms all de los apoyos. Se considera que las vigas estn entre los elementos estructurales ms importantes. Se utilizan para sostener el piso de un edificio, la cubierta de un puente o el ala de un avin. Adems, el eje de un automvil, el aguiln de una gra e incluso muchos de los huesos del cuerpo humano actan como vigas. Viga simplemente apoyada Viga en voladizo Viga con voladizo Figura 6-1 Capitulo 06_Hibbeler.indd 255 13/1/11 20:44:03 275. 256 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Debido a las cargas aplicadas, las vigas desarrollan una fuerza cortante interna y un momento flexionante que, en general, varan de un punto a otro a lo largo del eje de la viga. Por lo tanto, para disear correctamente una viga es necesario determinar la fuerza cortante y el momento mximos en la viga. Una forma de hacerlo es expresar V y M en funcin de su posi- cin arbitraria x sobre el eje de la viga. Despus, estas funciones de fuerza cortante y de momento pueden representarse mediante grficas llamadas diagramas de fuerza cortante y de momento. Los valores mximos de V y M pueden obtenerse a partir de estas grficas. Adems, como los diagra- mas de fuerza cortante y de momento proporcionan informacin detallada sobre la variacin de la fuerza cortante y del momento en el eje de la viga, son utilizados con frecuencia por los ingenieros para decidir dnde colocar los materiales de refuerzo dentro de la viga o para determinar la propor- cin del tamao de la viga en varios puntos de toda su longitud. Para formular V y M en trminos de x es necesario elegir el origen y el sentido positivo de x. Aunque la eleccin es arbitraria, a menudo el origen se encuentra en el extremo izquierdo de la viga y la direccin positiva es hacia la derecha. En general, las funciones de x para la fuerza cortante interna y el mo- mento sern discontinuas, o sus pendientes sern discontinuas, en los pun- tos donde una carga distribuida cambia o bien donde se aplican fuerzas concentradas o momentos de par. Debido a esto, las funciones de fuerza cortante y de momento deben determinarse para cada regin de la viga entre cualesquiera dos discontinuidades de la carga. Por ejemplo, las coor- denadas x1 , x2 y x3 tendrn que usarse para describir la variacin de V y M en toda la longitud de la viga mostrada en la figura 6-2. Estas coordenadas slo sern vlidas dentro de las regiones desde A hasta B para x1 , desde B hasta C para x2 , y desde C hasta D para x3 . Convencin de signos para las vigas. Antes de presentar un mtodo para determinar la fuerza cortante y el momento en funcin de x, y para luego graficar esas funciones (diagramas de fuerza cortante y de momento), primero es necesario establecer una convencin de signos para definir los valores positivos o negativos de V y M. Aunque la eleccin de una convencin de signos es arbitraria, aqu se utilizar aquella que se emplea con mayor frecuencia en la prctica de la ingeniera y que se mues- tra en la figura 6-3. Las direcciones positivas son las siguientes: la carga dis- tribuida acta hacia arriba sobre la viga; la fuerza cortante interna ocasiona un giro en sentido horario del segmento de viga sobre el que acta, y el momento interno causa compresin en las fibras superiores del segmento, de modo que ste se dobla como para retener agua. Las cargas que son opuestas a las descritas anteriormente se consideran negativas. P DB C A w0 x1 x2 x3 Figura 6-2 V Carga distribuida externa positiva Fuerza cortante interna positiva Momento flexionante interno positivo V MM Convencin de signos en las vigas w(x) Figura 6-3 Capitulo 06_Hibbeler.indd 256 13/1/11 20:44:07 276. 6.1Diagramas de fuerza cortante y de momento 257 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Puntos importantes Las vigas son elementos largos y rectos que estn sometidos a cargas perpendiculares a su eje longitudi- nal. Se clasifican de acuerdo con la forma en que estn apoyadas; por ejemplo, simplemente apoyadas, en voladizo o con voladizos. Para disear una viga de manera correcta, es importante conocer la variacin de la fuerza cortante y el momento internos a lo largo de su eje a fin de encontrar los puntos en que dichos valores son mximos. Mediante el uso de una convencin de signos establecida para la fuerza cortante y el momento positivos, es posible determinar la fuerza cortante y el momento en funcin de su posicin x sobre la viga, y despus estas funciones pueden graficarse para formar el diagrama de fuerza cortante y de momento. Procedimiento de anlisis Los diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga pueden construirse mediante el siguiente procedimiento. Reacciones en los apoyos. Determine todas las fuerzas reactivas y los momentos que actan sobre la viga, despus descomponga todas las fuerzas en componentes que acten de forma perpendicular y paralela al eje de la viga. Funciones de fuerza cortante y de momento. Especifique por separado las coordenadas x que tienen un origen en el extremo izquierdo de la viga y se extienden a las regiones de sta ubicadas entre fuerzas y momentos concentrados, o bien donde no haya discontinuidad de la carga distribuida. Seccione la viga a cada distancia x y dibuje el diagrama de cuerpo libre de cada uno de los segmentos. Asegrese de que V y M se muestren actuando en su sentido positivo, de acuerdo con la convencin de signos dada en la figura 6-3. La fuerza cortante se obtiene si se suman las fuerzas perpendiculares al eje de la viga. Para eliminar V, el momento se obtiene de manera directa al sumar los momentos alrededor del extre- mo seccionado del segmento. Diagramas de fuerza cortante y de momento. Grafique el diagrama de fuerza cortante (V y x) y el diagrama de momento (M y x). Si los valores nu- mricos de las funciones que describen a V y M son positivos, stos se representarn por encima del eje x, mientras que los valores negativos se graficarn por debajo de dicho eje. En general, es conveniente mostrar los diagramas de fuerza cortante y de momento por debajo del diagrama de cuerpo libre de la viga. Capitulo 06_Hibbeler.indd 257 13/1/11 20:44:07 277. 258 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.1 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga que se muestra en la figura 6-4a. SOLUCIN Reacciones en los apoyos. Las reacciones en los apoyos se mues- tran en la figura 6-4c. Funciones de fuerza cortante y de momento. En la figura 6-4b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo de la viga. La carga distribuida en este segmento, wx, se representa mediante su fuerza resultante slo despus de que el segmento se asla como un diagrama de cuerpo libre. Esta fuerza acta a travs del cen- troide del rea que incluye a la carga distribuida, a una distancia de x>2 desde el extremo derecho. Al aplicar las dos ecuaciones de equilibrio se obtiene Diagramas de fuerza cortante y de momento. Los diagra- mas de fuerza cortante y de momento, que se muestran en la figura 6-4c, se obtienen al graficar las ecuaciones 1 y 2. El punto de fuerza cortante cero puede encontrarse a partir de la ecuacin 1: NOTA: Con base en el diagrama de momento, este valor de x repre- senta el punto de la viga donde se produce el momento mximo, dado que a partir de la ecuacin 6-2 (vea la seccin 6.2) la pendiente V = dM>dx = 0. De la ecuacin 2, se tiene (a) L w x V M A (b) wx x 2 wL 2 (c) V M x x Mmx w L wL 2 wL 2 wL 2 L 2 L 2 wL 2 wL2 8 Figura 6-4 (1) (2)M = w 2 Lx - x2 - a wL 2 bx + 1wx2a x 2 b + M = 0d+M = 0; V = wa L 2 - xb wL 2 - wx - V = 0+ cFy = 0; x = L 2 V = wa L 2 - xb = 0 = wL2 8 Mmx = w 2 BLa L 2 b - a L 2 b 2 R Capitulo 06_Hibbeler.indd 258 13/1/11 20:44:10 278. 6.1Diagramas de fuerza cortante y de momento 259 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.2 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga mostrada en la figura 6-5a. SOLUCIN Reacciones en los apoyos. La carga distribuida se remplaza por su fuerza resultante y las reacciones se determinan de la manera mos- trada en la figura 6-5b. Funciones de fuerza cortante y de momento. En la figura 6-5c se muestra un diagrama de cuerpo libre de un segmento de viga con longitud x. Observe que la intensidad de la carga triangular en la sec- cin se determina mediante proporcin, es decir, w>x = w0 >L o bien w = w0 x>L. Al conocerse la intensidad de la carga, es posible determinar la resultante de la carga distribuida como el rea bajo el diagrama. As, Estos resultados pueden comprobarse mediante la aplicacin de las ecuaciones 6-1 y 6-2 de la seccin 6.2, es decir, Diagramas de fuerza cortante y de momento. En la figura 6-5d se muestran las grficas de las ecuaciones 1 y 2. (a) L w0 (b) L w0L 2 w0 w0L 2 w0L2 3 2 3 (d) V M x (c) M V x x w w0 x w0L2 3 w0L2 3 w0L2 3 w0L 2 w0L 2 w0L 2 w0 x L w0 x L x1 3 1 2 Figura 6-5 (1) (2)M = w0 6L 1-2L3 + 3L2 x - x3 2 w0L2 3 - w0L 2 1x2 + 1 2 w0x L xa 1 3 xb + M = 0d+M = 0; V = w0 2L 1L2 - x2 2 w0L 2 - 1 2 w0x L x - V = 0+ cFy = 0; Correcto CorrectoV = dM dx = w0 6L 10 + 3L2 - 3x2 2 = w0 2L 1L2 - x2 2 w = dV dx = w0 2L 10 - 2x2 = - w0x L Capitulo 06_Hibbeler.indd 259 13/1/11 20:44:12 279. 260 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.3 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga mostrada en la figura 6-6a. SOLUCIN Reacciones en los apoyos. La carga distribuida se divide en com- ponentes de cargas, triangular y rectangular, y dichas cargas se reempla- zan por sus fuerzas resultantes. Las reacciones se determinan de la ma- nera mostrada en el diagrama de cuerpo libre de la viga, figura 6-6b. Funciones de fuerza cortante y de momento. En la figura 6-6c se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento izquier- do. Como se hizo anteriormente, la carga trapezoidal se sustituye por las distribuciones rectangulares y triangulares. Observe que la intensidad de la carga triangular en la seccin se encuentra por propor- cin. Tambin se muestra la fuerza resultante y la ubicacin de cada carga distribuida. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tiene La ecuacin 2 puede comprobarse observando que dM>dx = V, es de- cir, la ecuacin 1. Adems, w = dv>dx = - 2 - 2 9 x. Esto comprueba la ecuacin, ya que cuando x = 0, w = -2 kip>pie, y cuando x = 18 pies, w = -6 kip>pie, figura 6-6a. Diagramas de fuerza cortante y de momento. Las ecua- ciones 1 y 2 se grafican en la figura 6-6d. Como el punto de momento mximo ocurre cuando dM>dx = V = 0 (ecuacin 6-2), entonces, de la ecuacin 1, Si se elige la raz positiva, x = 9.735 pies Por lo tanto, a partir de la ecuacin 2, (1) (2)M = 30x - x2 - x3 27 kip # pie -30 kip1x2 + 12 kip>pie2xa x 2 b + 1 2 14 kip>pie2a x 18 pies bxa x 3 b + M = 0 d+M = 0; V = 30 - 2x - x2 9 kip 30 kip - 12 kip>pie2x - 1 2 14 kip>pie2a x 18 pies bx - V = 0+ cFy = 0; V = 0 = 30 - 2x - x2 9 = 163 kip # pie Mmx = 3019.7352 - 19.73522 - 19.73523 27 (a) 18 pies 6 kip/pie 2 kip/pie (d) V(kip) x(pie) x(pie) (b) 9 pies 42 kip30 kip 12 pies 18 pies 36 kip 36 kip 4 kip/pie 2 kip/pie Mmx 163 kippieM(kippie) 42 kip30 kip 30 42 9.735 pies 6 kip/pie 2 kip/pie 30 kip 2x 4 x V M (c) 4 2 kip/pie kip/pie 1 2 x 18 x 18 x 3 x 2 x 2 Figura 6-6 Capitulo 06_Hibbeler.indd 260 13/1/11 20:44:15 280. 6.1Diagramas de fuerza cortante y de momento 261 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.4 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga mostrada en la figura 6-7a. SOLUCIN Reacciones en los apoyos. Se han determinado las reacciones en los apoyos y se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la viga, figura 6-7d. Funciones de fuerza cortante y de momento. Como existe una discontinuidad de la carga distribuida y tambin una carga concen- trada en el centro de la viga, deben considerarse dos regiones de x a fin de describir las funciones de fuerza cortante y de momento para toda la viga. 0 x1 6 5 m, figura 6-7b: 5 m 6 x2 10 m, figura 6-7c: Estos resultados pueden comprobarse, en parte, al sealar que w = dV>dx y V = dM>dx. Adems, cuando x1 = 0, de las ecuaciones 1 y 2 resulta V = 5.75 kN y M = 80 kN m; cuando x2 = 10 m, de las ecuaciones 3 y 4 se obtiene V = -34.25 kN y M = 0. Estos valores coinciden con las reacciones de apoyo mostradas en el diagrama de cuerpo libre, figura 6-7d. Diagramas de fuerza cortante y de momento. En la figura 6-7d se grafican las ecuaciones 1 a 4. (1) (2)M = 5.75x1 + 80 kN # m -80 kN # m - 5.75 kN x1 + M = 0d+M = 0; V = 5.75 kN 5.75 kN - V = 0+ cFy = 0; ( ) (3) (4)M = 1-2.5x2 2 + 15.75x2 + 92.52 kN # m + 5 kN>m1x2 - 5 m2 x2 - 5 m 2 + M = 0 -80 kN # m - 5.75 kN x2 + 15 kN1x2 - 5 m2d+M = 0; V = 115.75 - 5x22 kN 5.75 kN - 15 kN - 5 kN>m1x2 - 5 m2 - V = 0+ cFy = 0; 80 kNm 15 kN 5 kN/m A C B 5 m 5 m (a) (b) V M 80 kNm 5.75 kN x1 (c) 5 m 80 kNm 15 kN 5.75 kN V M x2 5(x2 5) x2 5 2 x2 5 2 (d) V (kN) M (kNm) x(m) x(m) B 5 m 5 m 5.75 kN 34.25 kN 108.75 80 5.75 9.25 34.25 A C 80 kNm 15 kN 5 kN/m Figura 6-7 Capitulo 06_Hibbeler.indd 261 13/1/11 20:44:18 281. 262 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.2Mtodo grfico para la construccin de diagramas de fuerza cortante y de momento En los casos donde se somete una viga a varias cargas diferentes, la de- terminacin de V y M como funciones de x para despus graficar esas ecuaciones puede resultar un proceso bastante tedioso. En esta seccin se analiza un mtodo ms sencillo para la construccin de los diagramas de fuerza cortante y de momento; este mtodo se basa en dos relaciones diferenciales, una que existe entre la carga distribuida y la fuerza cortante, y otra entre la fuerza cortante y el momento. Regiones de carga distribuida. Con el fin de generalizar, consi- dere la viga de la figura 6-8a, que est sometida a una carga arbitraria. En la figura 6-8b se muestra un diagrama de cuerpo libre para un pequeo segmento x de la viga. Como este segmento se ha elegido en una posicin x donde no hay fuerza concentrada o momento, los resultados que se ob- tengan no se aplicarn en estos puntos de carga concentrada. Observe que todas las cargas mostradas sobre el segmento actan en sus direcciones positivas de acuerdo con la convencin de signos establecida, figura 6-3. Asimismo, tanto la fuerza cortante como el momento resultan- tes internos, que actan en la cara derecha del segmento, deben cambiarse por una cantidad pequea para mantener al segmento en equilibrio. La carga distribuida se sustituye por una fuerza resultante w(x) x que acta a una distancia fraccional k(x) desde el lado derecho, donde 0 6 k 6 1 [por ejemplo, si w(x) es uniforme, k = 1 2 ]. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio para el segmento, se tiene La falla de esta mesa se produjo en el pun- tal de apoyo ubicado en su lado derecho. Si se dibujara, el diagrama de momento flexio- nante para la carga en la mesa indicara que ste es el punto donde ocurre el momento interno mximo. (a) x x w(x) M0 F (b) M M M V x w(x)x w(x) k(x) Diagrama de cuerpo libre del segmento x O V V Figura 6-8 Capitulo 06_Hibbeler.indd 262 13/1/11 20:44:19 282. 6.2Mtodo grfico para la construccin de diagramas de fuerza cortante y de momento 263 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Al dividir entre x y tomar el lmite cuando x g 0, las dos ecuaciones anteriores se convierten en M = V x + w1x2 k1x22 -V x - M - w1x2 x[k1x2] + 1M + M2 = 0d+MO = 0; V = w1x2 x V + w1x2 x - 1V + V2 = 0+ c Fy = 0; (6-1) (6-2) = dM dx = V pendiente del diagrama de fuerza cortante en cada punto pendiente del diagrama de momento en cada punto intensidad de la carga distribuida en cada punto fuerza cortante en cada punto = dV dx = w1x2 Estas dos ecuaciones proporcionan un medio conveniente para obte- ner rpidamente los diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga. La ecuacin 6-1 establece que en un punto la pendiente del diagrama de fuerza cortante es igual a la intensidad de la carga distribuida. Por ejem- plo, considere la viga de la figura 6-9a. La carga distribuida es negativa y aumenta desde cero hasta wB . Por lo tanto, el diagrama de fuerza cortante ser una curva con pendiente negativa, la cual aumenta desde cero has- ta -wB . En la figura 6-9b se muestran las pendientes especficas wA = 0, -wC -wD y wB . De manera similar, la ecuacin 6-2 establece que en un punto la pen- diente del diagrama de momento es igual a la fuerza cortante. Observe que el diagrama de fuerza cortante en la figura 6-9b comienza en +VA , decrece hasta cero y luego pasa a ser negativo y disminuye hasta -VB . El diagrama de momento tendr entonces una pendiente inicial de +VA que decrece hasta cero, despus la pendiente se vuelve negativa y disminuye hasta -VB . En la figura 6-9c se muestran las pendientes especficas VA , VC , VD , 0 y -VB . w w(x) wB A C D B wB 0 0 x x V VA VA VC VD VB VB M wC wD (a) (b) (c) w = incremento negativo pendiente = incremento neg. V = decremento positivo pendiente = decremento pos. Figura 6-9 Capitulo 06_Hibbeler.indd 263 13/1/11 20:44:20 283. 264 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Las ecuaciones 6-1 y 6-2 tambin pueden rescribirse en la forma dV = w(x) dx y dM = Vdx. Si se tiene en cuenta que w(x) dx y Vdx representan reas diferenciales bajo la carga distribuida y el diagrama de fuerza cor- tante, respectivamente, es posible integrar estas reas entre dos puntos cualesquiera C y D de la viga, figura 6-9d, y escribir La ecuacin 6-3 establece que el cambio en la fuerza cortante entre C y D es igual al rea bajo la curva de la carga distribuida entre esos dos puntos, figura 6-9d. En este caso, el cambio es negativo ya que la carga distribuida acta hacia abajo. Del mismo modo, a partir de la ecuacin 6-4, el cambio en el momento entre C y D, figura 6-9f, es igual al rea bajo el diagrama de fuerza cortante en la regin entre C y D. Aqu, el cambio es positivo. Como las ecuaciones anteriores no se aplican en los puntos donde ac- ta una fuerza o un momento concentrado, a continuacin se considerar cada uno de estos casos. Regiones de fuerza y momento concentrados. En la figura 6-10b se muestra un diagrama de cuerpo libre de un pequeo segmento de la viga mostrada en la figura 6-10a; el segmento se tom por debajo de la fuerza. Aqu se puede ver que el equilibrio de fuerzas requiere (6-3) (6-4) = M = L V1x2 dx cambio en la fuerza cortante cambio en momento rea bajo la carga distribuida rea bajo el diagrama de fuerza cortante = V = L w1x2 dx (6-5)V = F V + F - 1V + V2 = 0+ c Fy = 0; M + M - M0 - V x - M = 0d+MO = 0; (6-6)M = M0 As, cuando F acta hacia arriba sobre la viga, V es positivo por lo que la fuerza cortante saltar hacia arriba. Del mismo modo, si F acta hacia abajo, el salto (V) ser hacia abajo. Cuando el segmento de viga incluye al momento M0 , figura 6-10b, en- tonces el equilibrio de momentos requiere que el cambio en el momento sea Si se hace que x S 0, se obtiene En este caso, si M0 se aplica en sentido horario, M es positivo por lo que el diagrama de momento saltar hacia arriba. Del mismo modo, cuando M0 acta en sentido antihorario, el salto (M) ser hacia abajo. (d) DC x x V DC DC (e) (f) M V M Fig. 6-9 (cont.) F V V V M M x (a) M M (b) M0 O V V V M M x Figura 6-10 Capitulo 06_Hibbeler.indd 264 13/1/11 20:44:23 284. 6.2Mtodo grfico para la construccin de diagramas de fuerza cortante y de momento 265 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Procedimiento de anlisis El siguiente procedimiento proporciona un mtodo para construir los diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga, con base en las relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y mo- mento. Reacciones en los apoyos. Determine las reacciones de apoyo y descomponga las fuerzas que actan sobre la viga en sus componentes perpendiculares y paralelas al eje de la viga. Diagrama de fuerza cortante. Establezca los ejes V y x, y grafique los valores conocidos de la fuerza cortante en los dos extremos de la viga. Observe cmo varan los valores de la carga distribuida a lo lar- go de la viga, y note que cada uno de estos valores indica la pen- diente que tendr el diagrama de fuerza cortante (dV>dx = w). Aqu w es positiva cuando acta hacia arriba. Si debe determinarse un valor numrico para la fuerza cortante en un punto dado, tal valor puede encontrarse mediante el m- todo de las secciones y la ecuacin de equilibrio de fuerzas, o bien por medio de V = w(x) dx, que establece que el cambio en la fuerza cortante entre dos puntos cualesquiera es igual al rea bajo el diagrama de carga entre esos dos puntos. Diagrama de momento. Establezca los ejes M y x, y grafique los valores conocidos del momento en los extremos de la viga. Observe cmo varan los valores del diagrama de fuerza cortan- te a lo largo de la viga, y tenga en cuenta que cada uno de estos valores indica la pendiente que tendr el diagrama de momento (dM>dx = V). En el punto donde la fuerza cortante es cero, dM>dx = 0; por lo tanto, en este punto ocurre un momento mximo o mnimo. Si debe determinarse un valor numrico para el momento en un punto dado, tal valor puede encontrarse mediante el mtodo de las secciones y la ecuacin de equilibrio de momentos, o bien por medio de M = V(x)dx, que establece que el cambio en el momento entre dos puntos cualesquiera es igual al rea bajo el diagrama de fuerza cortante entre esos dos puntos. Como w(x) debe integrarse a fin de obtener V, y V(x) se inte- gra para obtener M(x), entonces si w(x) es una curva de grado n, V(x) ser una curva de grado n + 1 y M(x) ser una curva de grado n + 2. Por ejemplo, si w(x) es uniforme, V(x) ser lineal y M(x) ser una parbola. Capitulo 06_Hibbeler.indd 265 13/1/11 20:44:23 285. 266 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.5 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga mostrada en la figura 6-11a. SOLUCIN Reacciones en los apoyos. La reaccin en el soporte fijo se mues- tra en el diagrama de cuerpo libre, figura 6-11b. Diagrama de fuerza cortante. Primero se representa la fuerza cortante en cada extremo de la viga, figura 6-11c. Como no hay carga distribuida sobre la viga, la pendiente del diagrama de fuerza cortante es cero, tal como se indica. Observe que la fuerza P en el centro de la viga hace que el diagrama de fuerza cortante salte en forma descenden- te una cantidad P, dado que esta fuerza acta hacia abajo. Diagrama de momento. Se grafican los momentos en los extre- mos de la viga, figura 6-11d. Aqu el diagrama de momento consta de dos lneas inclinadas, una con pendiente de +2P y la otra con pendiente de +P. El valor del momento en el centro de la viga puede determinarse por el mtodo de las secciones, o con base en el rea bajo el diagrama de fuerza cortante. Si se elige la mitad izquierda del diagrama de fuerza cortante, Mx=L = -3PL + (2P)(L) = -PL Mx=L = Mx=0 + M (a) L PP L P 2P 2P 3PL P V P x M x 3PL PL w 0 pendiente 0 V constante positiva pendiente constante positiva (b) (c) (d) fuerza P hacia abajo salto P hacia abajo Figura 6-11 Capitulo 06_Hibbeler.indd 266 13/1/11 20:44:24 286. 6.2Mtodo grfico para la construccin de diagramas de fuerza cortante y de momento 267 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.6 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga mostrada en la figura 6-12a. SOLUCIN Reacciones en los apoyos. Las reacciones se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la figura 6-12b. Diagrama de fuerza cortante. En primer lugar se representa la fuerza cortante en cada extremo, figura 6-12c. Como no hay carga dis- tribuida sobre la viga, el diagrama de fuerza cortante tiene pendiente cero y por lo tanto es una lnea horizontal. Diagrama de momento. El momento es igual a cero en cada uno de los extremos, figura 6-12d. El diagrama de momento tiene una pen- diente constante negativa de M0 >2L puesto que es la fuerza cortante en cada punto de la viga. Observe que el momento de par M0 ocasiona un salto en el diagrama de momento justo en el centro de la viga, pero no afecta al diagrama de fuerza cortante en ese punto. (a) L L M0 (b) (c) V (d) M x x L L M0 M0/2LM0/2L M0 /2 M0 /2 M0/2L w 0 pendiente 0 V constante negativa pendiente constante negativa momento M0 en sentido horario salto positivo M0 Figura 6-12 Capitulo 06_Hibbeler.indd 267 13/1/11 20:44:25 287. 268 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.7 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para cada una de las vigas mostradas en las figuras 6-13a y 6-14a. SOLUCIN Reacciones en los apoyos. Las reacciones en el soporte fijo se muestran en cada diagrama de cuerpo libre de las figuras 6-13b y 6-14b. Diagrama de fuerza cortante. En primer lugar se representa la fuerza cortante en cada punto extremo, figuras 6-13c y 6-14c. La carga distribuida en cada viga indica la pendiente del diagrama de fuerza cor- tante y produce as los perfiles mostrados. Diagrama de momento. Primero se representa el momento en cada punto extremo, figuras 6-13d y 6-14d. Los diferentes valores de la fuerza cortante en cada punto de la viga indican la pendiente del diagra- ma de momento en ese punto. Tenga en cuenta que esta variacin pro- duce las curvas mostradas. NOTA: Observe cmo el grado de las curvas de w, V y M aumenta debido a la integracin de dV = w dx y dM = V dx. Por ejemplo, en la figura 6-14, la carga distribuida lineal produce un diagrama de fuerza cortante parablica y un diagrama de momento cbico. (a) L w0 (b) w0L w0 w0L2 2 (c) V x w0L V decremento positivo pendiente = decremento positivo (d) M x w0L2 2 w constante negativa (w0) pendiente = constante negativa (w0) Fig. 6-13 w0 (a) L (b) w0 w0L 2 w0L2 6 (c) 0 V x w0L 2 (d) M x w0 L2 6 V decremento positivo pendiente decremento positivo w decremento negativo pendiente decremento negativo Figura 6-14Figura 6-13 Capitulo 06_Hibbeler.indd 268 13/1/11 20:44:27 288. 6.2Mtodo grfico para la construccin de diagramas de fuerza cortante y de momento 269 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.8 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en voladizo mostrada en la figura 6-15a. SOLUCIN Reacciones en los apoyos. Las reacciones en el soporte fijo B se muestran en la figura 6-15b. Diagrama de fuerza cortante. La fuerza cortante en el extremo A es de -2 kN. Este valor se grafica en x = 0, figura 6-15c. Observe cmo el diagrama de fuerza cortante se construye si- guiendo las pendientes definidas por la carga w. La fuerza cor- tante en x = 4 m es de -5 kN, sta es la reaccin en la viga. El valor anterior puede verificarse al encontrar el rea bajo la carga distribuida, ecuacin 6-3. Diagrama de momento. El momento con valor cero en x = 0 se representa en la figura 6-15d. Observe cmo el diagrama de momento se construye con base en el conocimiento de su pen- diente, que es igual a la fuerza cortante en cada punto. El cambio del momento desde x = 0 hasta x = 2 m se determina a partir del rea bajo el diagrama de fuerza cortante. De ah que el momento en x = 2 m sea Este mismo valor puede determinarse con base en el mtodo de las secciones, figura 6-15e. Vx=4 m = Vx=2 m + V = -2 kN - (1.5 kN>m)(2 m) = -5 kN Mx=2 m = Mx=0 + M = 0 + [-2 kN(2 m)] = -4 kN # m 2 kN 1.5 kN/m (a) A B 2 m 2 m (d) (c) (b) 2 kN 2 m 2 4 5 2 2 m By 5 kN MB 11 kNm x (m) V (kN) 2 0 11 4 x (m) M (kNm) w 0 pendiente 0 w constante negativa pendiente constante negativa V constante negativa pendiente constante negativa V constante negativa pendiente constante negativa 1.5 kN/m 4 (e) 2 kN 2 m V 2 kN M 4 kNm Figura 6-15 Capitulo 06_Hibbeler.indd 269 13/1/11 20:44:30 289. 270 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.9 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga sa- liente mostrada en la figura 6-16a. SOLUCIN Reacciones en los apoyos. Las reacciones en los apoyos se muestran en la figura 6-16b. Diagrama de fuerza cortante. La fuerza cortante de -2 kN en el extremo A de la viga se grafica en x = 0, figura 6-16c. Las pendientes se determinan con base en la carga y a partir de esto se construye el diagrama de fuerza cortante, tal como lo indica la figura. En particular, obser- ve el salto positivo de 10 kN en x = 4 m debido a la fuerza By mostrada en la figura. Diagrama de momento. El momento con valor de cero se grafica en x = 0, figura 6-16d. Despus se construye el diagrama de momento siguiendo el comportamiento de la pendiente, la cual se determina a partir del diagrama de fuerza cortante. El momento en x = 4 m se encuentra con base en el rea bajo el diagrama de fuerza cortante. Este valor tambin se puede obtener por medio del mto- do de las secciones, como se muestra en la figura 6-16e. 4 kN/ m 4 m 2 m (a) A B 4 m 2 m Ay 2 kN By 10 kN A 2 8 64 4 0 x (m) V (kN) 6 8 0 x (m) M (kNm) w 0 pendiente 0 V decremento negativo pendiente decremento negativo V constante negativa pendiente constante negativa w constante negativa pendiente constante negativa (d) (c) (b) 4 kN/m pendiente 0 4 m 2 kN A (e) V 2 kN M 8 kNm Figura 6-16 Mx=4 m = Mx=0 + M = 0 + [-2 kN(4 m)] = -8 kN # m Capitulo 06_Hibbeler.indd 270 13/1/11 20:44:33 290. 6.2Mtodo grfico para la construccin de diagramas de fuerza cortante y de momento 271 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.10 El eje mostrado en la figura 6-17a se sostiene mediante un cojine- te de empuje en A y una chumacera en B. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento. SOLUCIN Reacciones en los apoyos. Las reacciones en los apoyos se muestran en la figura 6-17b. Diagrama de fuerza cortante. Como se muestra en la fi- gura 6-17c, la fuerza cortante en x = 0 es +240 lb. El diagrama de fuerza cortante se construye siguiendo la pendiente definida por la carga, donde su valor en B es de 480 lb. Como la fuerza cortante cambia de signo, debe localizarse el punto donde V = 0. Para ello se usar el mtodo de las secciones. En la figura 6-17e se muestra el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo del eje, seccionado en una posicin arbitraria x. Observe que la intensidad de la carga distribuida en x es w = 10x, que se encontr usando tringulos semejantes; es decir, 120>12 = w>x. As, para V = 0, BA 12 pies (a) 120 lb/pie B 120 lb/pie A 12 pies Ay = 240 lb By 480 lb 126.93 6.93 240 480 V (lb) x (pie) 12 0 0 M (lbpie) x (pie) w incremento negativo pendiente incremento negativo V incremento negativo pendiente incremento negativo V decremento positivo pendiente decremento positivo (d) (c) (b) V 0 pendiente 0 1109 A x (e) Ay 240 lb x 3 [ ] x1 2 10 x 10 x V M Figura 6-17 Diagrama de momento. El diagrama de momento inicia en 0 puesto que no hay momento en A; despus se construye con base en la pendiente determinada por el diagrama de fuerza cortante. El momento mximo se produce en x = 6.93 pies, donde la fuerza cortante es igual a cero, ya que dM>dx = V = 0, figura 6-17d, x = 6.93 pies 240 lb - 1 2(10x)x = 0+ cFy = 0; Mmx = 1109 lb # pie Mmx + 1 2[(10)(6.93)] 6.93 A1 3(6.93)B - 240(6.93) = 0 d+M = 0; Por ltimo, observe cmo la integracin, primero de la carga w que es lineal, produce un diagrama de fuerza cortante que es parablico, y luego un diagrama de momento que es cbico. NOTA: Despus de haber estudiado estos ejemplos, pruebe sus co- nocimientos reconsiderando los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento en los ejemplos 6-1 a 6-4 y vea si los puede construir usando los conceptos analizados aqu. Capitulo 06_Hibbeler.indd 271 13/1/11 20:44:38 291. 272 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas fundamentales F6-1. Exprese las funciones de fuerza cortante y de mo- mento en trminos de x, y despus dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en voladizo. F6-4. Exprese las funciones de fuerza cortante y de mo- mento en trminos de x, donde 0 6 x 6 1.5 m y 1.5 m 6 x 6 3 m, y luego dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en voladizo. F6-2. Exprese las funciones de fuerza cortante y de mo- mento en trminos de x, y despus dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en voladizo. F6-3. Exprese las funciones de fuerza cortante y de mo- mento en trminos de x, y despus dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en voladizo. F6-5. Exprese las funciones de fuerza cortante y de mo- mento en trminos de x, y despus dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga simplemente apo- yada. F6-6. Exprese las funciones de fuerza cortante y de mo- mento en trminos de x, y despus dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga simplemente apo- yada. 3 m 9 kN x F6-1 9 pies x 2 kip/pie 18 kippie F6-2 x 3 m 12 kN/m F6-3 1.5 m 1.5 m 9 kN x 4 kNm F6-4 A B x 6 m 30 kNm F6-5 x 6 m 50 kNm 20 kNm BA F6-6 Capitulo 06_Hibbeler.indd 272 13/1/11 20:44:43 292. 6.2Mtodo grfico para la construccin de diagramas de fuerza cortante y de momento 273 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 F6-7. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga simplemente apoyada. F6-8. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga en voladizo. F6-9. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga con doble voladizo. F6-10. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga simplemente apoyada. F6-11. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga con doble voladizo. F6-12. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga simplemente apoyada. F6-13. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga simplemente apoyada. F6-14. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga con voladizo. 24 kNm B A C 4 m 2 m F6-7 12 kNm 6 kN 1.5 m 1.5 m A B C F6-8 1.5 m 1.5 m3 m 18 kNm6 kNm F6-9 3 m 3 m 6 kN/m B A C F6-10 A B 4 kN/m 4 kN/m 3 m 1.5 m1.5 m F6-11 A B 3 m 10 kN/m 10 kN/m 3 m C F6-12 2 m 20 kN 4 m A B 20 kN/m C F6-14 A B 600 lb 200 lb/pie 6 pies 3 pies 3 pies C D F6-13 Capitulo 06_Hibbeler.indd 273 13/1/11 20:44:53 293. 274 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-1. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momen- to para el eje. Los cojinetes en A y B slo ejercen reacciones verticales sobre el eje. *6-4. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga en voladizo. PROBLEMAS 6-2. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momen- to para la viga simplemente apoyada. 6-3. Una gra se usa para sostener el motor que tiene un peso de 1200 lb. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento del aguiln ABC cuando se encuentra en la po- sicin horizontal mostrada. 6-5. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momen- to para la viga. 6-6. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momen- to para la viga con voladizo. 6-7. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momen- to para la viga compuesta que est conectada mediante un pasador en B. A B 250 mm 800 mm 24 kN Prob. 6-1 A B M 2 kNm 4 kN 2 m 2 m 2 m Prob. 6-2 5 pies3 pies CB 4 pies A Prob. 6-3 2 kN/m 6 kNm 2 m A Prob. 6-4 2 m 3 m 10 kN 8 kN 15 kNm Prob. 6-5 A B C 4 m 2 m 8 kN/m Prob. 6-6 4 pies 6 kip 8 kip A C B 6 pies 4 pies 4 pies Prob. 6-7 Capitulo 06_Hibbeler.indd 274 13/1/11 20:45:01 294. 6.2Mtodo grfico para la construccin de diagramas de fuerza cortante y de momento 275 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *6-8. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga simplemente apoyada. 6-9. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momen- to para la viga. Sugerencia: La carga de 20 kip debe rempla- zarse por cargas equivalentes en el punto C sobre el eje de la viga. 6-10. Los elementos ABC y BD de la silla mostrada estn rgidamente conectados en B y el collarn liso en D puede moverse con libertad a lo largo de la ranura vertical. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para el ele- mento ABC. 6-11. La viga con voladizo se fabric incluyendo en ella un brazo proyectado BD. Dibuje los diagramas de fuerza cor- tante y de momento para la viga ABC si soporta una carga de 800 lb. Sugerencia: La carga en el puntal de apoyo DE debe remplazarse por cargas equivalentes en el punto B so- bre el eje de la viga. *6-12. Un muelle de concreto reforzado se utiliza para sos- tener los largueros de la calzada de un puente. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para el muelle cuando se somete a las cargas indicadas. Suponga que las columnas A y B slo ejercen reacciones verticales sobre el muelle. 6-13. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga compuesta. sta se sostiene mediante una placa lisa en A la cual se desliza dentro de la ranura por lo que no puede soportar una fuerza vertical, aunque s pue- de hacerlo con un momento y una carga axial. A B 150 lb/pie 12 pies 300 lbpie Prob. 6-8 B 4 pies A 4 pies 4 pies 15 kip 20 kip C 1 pie Prob. 6-9 A D B C P 150 lb 1.5 pies1.5 pies 1.5 pies Prob. 6-10 800 lb D B A E C 6 pies 4 pies 5 pies 2 pies Prob. 6-11 1 m 1 m 1 m 1 m1.5 m 60 kN 60 kN35 kN 35 kN 35 kN 1.5 m A B Prob. 6-12 a A B a a a P P C D Prob. 6-13 Capitulo 06_Hibbeler.indd 275 13/1/11 20:45:22 295. 276 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-14. El robot industrial se mantiene en la posicin estacio- naria que se muestra en la figura. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento del brazo de ABC si ste se encuentra conectado mediante un pasador en A y unido al cilindro hidrulico BD (elemento de dos fuerzas). Suponga que el brazo y la empuadura tienen un peso uniforme de 1.5 lb>pulg, y soportan una carga de 40 lb en C. 6-15. Considere el problema general de la viga sometida a n cargas concentradas. Escriba un programa de computado- ra que pueda utilizarse para determinar la fuerza cortante y el momento internos en cualquier ubicacin x dada a lo largo de la viga; asimismo grafique los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga. Muestre una aplicacin del programa usando los valores de P1 = 500 lb, d1 = 5 pies, P2 = 800 lb, d2 = 15 pies, L1 = 10 pies, L = 15 pies. *6-16. Dibujelosdiagramasdefuerzacortanteydemomen- to para el eje y determine la fuerza cortante y el momento en todo el eje como una funcin de x. Los cojinetes en A y B slo ejercen reacciones verticales sobre el eje. 6-17. Dibuje los diagramas de cortante y de momento para la viga en voladizo. 6-18. Dibuje los diagramas de cortante y de momento para la viga; asimismo determine la fuerza cortante y el momento a lo largo de la viga como funciones de x. 6-19. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga. *6-20. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga simplemente apoyada. 10 pulg 4 pulg 50 pulg A B C D 120 Prob. 6-14 P1 P2 Pn d1 d2 dn L1 L Prob. 6-15 x BA 800 lb 500 lb 3 pies 2 pies 0.5 pie 0.5 pie Prob. 6-16 300 lb 200 lb/pie A 6 pies Prob. 6-17 6 pies 4 pies 2 kip/pie 8 kip x 10 kip 40 kippie Prob. 6-18 A 30 kippie B 5 pies 5 pies 2 kip/pie 5 pies Prob. 6-19 10 kN 10 kN/m 3 m A B 3 m Prob. 6-20 Prob. 6-18 Capitulo 06_Hibbeler.indd 276 13/1/11 20:45:41 296. 6.2Mtodo grfico para la construccin de diagramas de fuerza cortante y de momento 277 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-21. La viga est sometida a la carga uniformemente dis- tribuida que se muestra en la figura. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga. 6-22. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga con voladizo. 6-23. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momen- to para la viga. sta se sostiene mediante una placa lisa en A que se desliza dentro de una ranura por lo que no puede soportar una fuerza vertical, pero s puede hacerlo con un momento y una carga axial. *6-24. Determine la distancia a en la que debe colocarse un soporte de rodillo de modo que el valor absoluto ms grande del momento sea mnimo. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para esta condicin. 6-25. La viga est sometida al momento uniformemente distribuido m (momento>longitud). Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga. 6-26. Considere el problema general de una viga en voladi- zo sometida a n cargas concentradas y una carga distribuida constante w. Escriba un programa de computadora que pue- da utilizarse para determinar la fuerza cortante y el momen- to en cualquier ubicacin dada x a lo largo de la viga. Ade- ms, grafique los diagramas de fuerza cortante y momento para la viga. Muestre una aplicacin del programa usando los valores de P1 = 4 kN, d1 = 2 m, w = 800 N>m, a1 = 2 m, a2 = 4 m, L = 4 m. BA C 2 m 1.5 m 1 m 2 kN/m Prob. 6-21 4 kN/m 3 m 3 m A B Prob. 6-22 L A B w Prob. 6-23 a w L A B Prob. 6-24 L A m Prob. 6-25 P1 L w a1 d1 d2 dn a2 P2 Pn Prob. 6-26 Capitulo 06_Hibbeler.indd 277 13/1/11 20:45:50 297. 278 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-27. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga. *6-28. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga. 6-29. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga. 6-30. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga compuesta. 6-31. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga; asimismo determine la fuerza cortante y el momento en la viga como funciones de x. *6-32. El pasador liso se sostiene mediante dos sille- tas A y B, y est sometido a una carga de compresin de 0.4 kN>m causada por la barra C. Determine la intensidad de la carga distribuida w0 en las silletas sobre el pasador y di- buje los diagramas de fuerza cortante y de momento para el pasador. 6-33. Un esqu soporta el peso de 180 libras de un hom- bre. Si la carga de la nieve en su superficie inferior es trape- zoidal como se muestra en la figura, determine la intensidad w, despus dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para el esqu. B w0 A 2L 3 L 3 Prob. 6-27 3 L 3 L 3 L w0 A B Prob. 6-28 B A 4.5 m 4.5 m 5 kN/m5 kN/m Prob. 6-29 BA 6 pies 150 lb/pie 150 lb/pie 3 pies C Prob. 6-30 x BA w0 L 2 L 2 Prob. 6-31 20 mm 0.4 kN/m w0 20 mm 60 mm w0 A B C Prob. 6-32 180 lb w w 1.5 pies 3 pies 1.5 pies 3 pies Prob. 6-33 Capitulo 06_Hibbeler.indd 278 13/1/11 20:46:04 298. 6.2Mtodo grfico para la construccin de diagramas de fuerza cortante y de momento 279 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-34. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga compuesta. 6-35. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momen- to para la viga y determine la fuerza cortante y el momento en funcin de x. *6-36. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga con voladizo. 6-37. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga. 6-38. En la figura se muestra la carga por el peso muerto a lo largo del ala de avin. Si el ala se encuentra fija al fuselaje en A, determine las reacciones en A y despus dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para el ala. 6-39. La viga compuesta consiste en dos segmentos que estn conectados entre s mediante un pasador en B. Dibu- je los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga si sta soporta la carga distribuida que se muestra en la figura. *6-40. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga simplemente apoyada. 3 m 3 m 1.5 m 1.5 m 5 kN 3 kN/m A B C D Prob. 6-34 3 m 3 m x A B 200 N/m 400 N/m Prob. 6-35 A B M 10 kNm 2 m 2 m 2 m 6 kN 18 kN Prob. 6-36 B 4.5 m 4.5 m 50 kN/m A 50 kN/m A Prob. 6-37 3 pies 400 lb/pie 250 lb/pie 3000 lb 15 000 lb 2 pies8 pies A Prob. 6-38 2/3 L A C B 1/3 L w Prob. 6-39 A B 2 m 2 m 10 kN 10 kN 15 kNm 2 m Prob. 6-40 Prob. 6-38 Capitulo 06_Hibbeler.indd 279 13/1/11 20:46:13 299. 280 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-41. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga compuesta. Los tres segmentos estn co- nectados mediante pasadores en B y E. 6-42. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga compuesta. 6-43. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momen- to para la viga. Los dos segmentos estn unidos en B. *6-44. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga. 6-45. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga. 6-46. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga. A B 2 m 0.8 kN/m 1 m 2 m 1 m 2 m 1 m1 m C D E F 3 kN 3 kN Prob. 6-41 BA C D 2 m 1 m 1 m 5 kN/m Prob. 6-42 A C 3 pies 8 pies 3 kip/pie 5 pies B 8 kip Prob. 6-43 8 pies A B x w w x2 8 kip/pie 1 8 Prob. 6-44 L A B x w w0 w w0 L2 x2 Prob. 6-45 w0 w w0 sen x BA w x L 2 p L L 2 Prob. 6-46 Capitulo 06_Hibbeler.indd 280 13/1/11 20:46:22 300. 6.3Deformacin flexionante de un elemento recto 281 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.3Deformacin flexionante de un elemento recto En esta seccin se analizarn las deformaciones producidas cuando una viga prismtica recta, fabricada con un material homogneo, se somete a flexin. El anlisis se limitar a las vigas que tienen un rea transver- sal simtrica con respecto a un eje, en las que el momento flexionante se aplica alrededor de un eje perpendicular a dicho eje de simetra, como se muestra en la figura 6-18. El comportamiento de los elementos que tienen secciones transversales asimtricas, o que estn fabricados con di- versos materiales, se basa en observaciones similares y se estudiar por separado en las secciones posteriores de este captulo. Un material altamente deformable como el caucho puede usarse para ilustrar lo que sucede cuando un elemento prismtico recto se somete a un momento flexionante. Por ejemplo, considere la barra no deformada de la figura 6-19a, la cual tiene una seccin transversal cuadrada y est marcada con lneas rectas longitudinales y transversales para formar una cuadrcu- la. Cuando se aplica un momento flexionante, ste tiende a distorsionar las lneas al patrn que se muestra en la figura 6-19b. Observe que las lneas longitudinales se curvan mientras que las lneas transversales verticales permanecen rectas aunque experimentan una rotacin. El momento flexionante hace que el material de la porcin inferior de la barra se estire y que el material en la parte superior se comprima. En consecuencia, entre estas dos regiones debe haber una superficie, llamada superficie neutra, en la que las fibras longitudinales del material no sufrirn ningn cambio de longitud, figura 6-18. x y z M Eje de simetra Eje longitudinal Superficie neutra Figura 6-18 Antes de la deformacin (a) M M Despus de la deformacin (b) Las lneas horizontales se curvan Las lneas verticales permanecen rectas, aunque rotan Figura 6-19 Capitulo 06_Hibbeler.indd 281 13/1/11 20:46:25 301. 282 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A partir de estas observaciones pueden hacerse los siguientes tres su- puestos acerca de la forma en que el esfuerzo deforma al material. En primer lugar, el eje longitudinal x, que se encuentra en la superficie neutra, figura 6-20a, no experimenta ningn cambio en su longitud. En vez de eso, el momento tiende a deformar la viga para que esta lnea se convierta en una curva ubicada en el plano de simetra x-y, figura 6-20b. Segundo, todas las secciones transversales de la viga permanecen planas y perpendicu- lares al eje longitudinal durante la deformacin. Y en tercer lugar, cual- quier deformacin de la seccin transversal dentro de su propio plano, como se observa en la figura 6-19b, podr pasarse por alto. En particular, el eje z, ubicado en el plano de la seccin transversal y alrededor del cual gira la seccin transversal, se denomina eje neutro, figura 6-20b. A fin de mostrar la manera en que esta distorsin deforma al material, se aislar un pequeo segmento de la viga ubicado a una distancia x a lo largo de la viga y con un grosor no deformado x, figura 6-20a. En la figura 6-21, este elemento tomado de la viga se muestra de perfil en las posicio- nes deformada y sin deformar. Observe que cualquier segmento de recta Observe la distorsin de las lneas debida a la flexin de esta barra de caucho. La lnea superior se estira, la lnea inferior se com- prime y la lnea central conserva su longi- tud. Por otra parte, las lneas verticales ro- tan y, sin embargo, siguen siendo rectas. eje neutro (b) x y z eje longitudinal z superficie neutra M x y z x (a) x Figura 6-20 Capitulo 06_Hibbeler.indd 282 13/1/11 20:46:27 302. 6.3Deformacin flexionante de un elemento recto 283 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x, situado en la superficie neutra no cambia su longitud, mientras que cualquier segmento de recta s, ubicado a una distancia arbitraria y por encima de la superficie neutra, se contraer y se convertir en s despus de la deformacin. Por definicin, la deformacin normal a lo largo de s se determina con base en la ecuacin 2-2, a saber, o bien Este resultado importante indica que la deformacin normal longitu- dinal de cualquier elemento dentro de la viga depende de su ubicacin y Ahora, esta deformacin se representar en trminos de la ubicacin y del segmento y del radio de curvatura r del eje longitudinal del elemento. Antes de la deformacin, s = x, figura 6-21a. Despus de la deformacin x tiene un radio de curvatura r, con el centro de curvatura en el punto O, figura 6-21b. Como u define el ngulo entre los lados del elemento, x = s = ru. De la misma manera, la longitud deformada de s se convierte en s = (r - y)u. Al sustituir en la ecuacin anterior se obtiene P = lm s:0 s - s s P = lm u:0 1r - y2u - ru ru (6-7)P = - y r eje longitudinal y Elemento sin deformar (a) eje longitudinal y Elemento deformado (b) s x s u O x x x r Figura 6-21 Capitulo 06_Hibbeler.indd 283 13/1/11 20:46:30 303. 284 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 de la seccin transversal, y del radio de curvatura del eje longitudinal de la viga en ese punto. En otras palabras, para cualquier seccin transversal especfica, la deformacin normal longitudinal variar linealmente con y desde el eje neutro. En las fibras situadas por encima del eje neutro (+y) se producir una contraccin (-P), mientras que en las fibras situadas por debajo del eje (y) ocurrir una elongacin (+P). Esta variacin en la de- formacin sobre la seccin transversal se muestra en la figura 6-22. Aqu, la deformacin mxima se produce en la fibra ms externa, ubicada a una distancia y = c del eje neutro. Usando la ecuacin 6-7, y como Pmx = c>r, entonces por divisin, De modo que Esta deformacin normal slo depende de los supuestos hechos respec- to a la deformacin. Por lo tanto, cuando un momento se aplica a la viga, ste slo causar un esfuerzo normal en la direccin longitudinal o direc- cin x. Todos los dems componentes de los esfuerzos normal y cortante sern iguales a cero. Este estado uniaxial de esfuerzo es lo que ocasiona que el material tenga la componente de deformacin normal longitudinal Px , definido por la ecuacin 6-8. Adems, por la razn de Poisson, tambin debe haber componentes de deformacin asociados Py = -vPx y Pz = -vPx , que deforman el plano del rea de la seccin transversal, aunque aqu no se toman en cuenta tales deformaciones. Sin embargo, estas deformaciones ocasionan que las dimensiones de la seccin transversal sean ms pequeas por debajo del eje neutro y ms grandes por encima de ste. Por ejemplo, si la viga tiene una seccin transversal cuadrada, en realidad se deformar como lo muestra la figura 6-23. P Pmx = - a y>r c>r b (6-8)P = - a y c bPmx y c Distribucin de la deformacin normal x Pmx PmxP y c Figura 6-22 M y xz Figura 6-23 Capitulo 06_Hibbeler.indd 284 13/1/11 20:46:32 304. 6.4La frmula de la flexin 285 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.4 La frmula de la flexin En esta seccin se desarrollar una ecuacin que relaciona la distribucin del esfuerzo en una viga con el momento flexionante resultante interno que acta en la seccin transversal de esa viga. Para ello se supondr que el material se comporta en forma elstica lineal y, por lo tanto, una variacin lineal de la deformacin normal, figura 6-24a, debe ser resultado de una variacin lineal en el esfuerzo normal, figura 6-24b. Por consiguiente, al igual que la variacin de la deformacin normal, s variar desde cero en el eje neutro del elemento hasta un valor mximo, smx , en la distancia c ms alejada del eje neutro. Debido a la proporcionalidad de tringulos, figura 6-23b, o mediante el uso de la ley de Hooke, s = EP, y de la ecuacin 6-8, se puede escribir Esta ecuacin describe la distribucin del esfuerzo sobre el rea de la seccin transversal. La convencin de signos establecida aqu es significa- tiva. Para M positivo, que acta en la direccin +z, los valores positivos de y proporcionan valores negativos para s, es decir, un esfuerzo de compre- sin, ya que acta en la direccin x negativa. De manera similar, los valores negativos de y dan valores positivos o de tensin para s. Si se selecciona un elemento de volumen del material en un punto especfico de la seccin transversal, slo actuarn sobre l estos esfuerzos de tensin o de com- presin normales. Por ejemplo, en la figura 6-24c se muestra el elemento ubicado en +y. La posicin del eje neutro de la seccin transversal puede localizarse al cumplir la siguiente condicin: la fuerza resultante producida por la distri- bucin del esfuerzo sobre el rea de la seccin transversal debe ser igual a cero. Considerando que la fuerza dF = s dA acta sobre el elemento arbitrario dA de la figura 6-24c, se requiere (6-9)s = - a y c bsmx = -smx c LA y dA = LA - a y c bsmx dA 0 = LA dF = LA s dAFR = Fx; y x c y Variacin de la deformacin normal (vista de perfil) (a) y x y M Variacin del esfuerzo flexionante (vista de perfil) (b) c P Pmx smx s Figura 6-24 Esta probeta de madera fall en flexin debido a que sus fibras se aplastaron en la parte superior y se desgarraron en la parte inferior. Capitulo 06_Hibbeler.indd 285 13/1/11 20:46:34 305. 286 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Como smx >c no es igual a cero, entonces En otras palabras, el primer momento del rea transversal del elemento con respecto al eje neutro debe ser igual a cero. Esta condicin slo puede cumplirse si el eje neutro tambin es el eje centroidal horizontal de la sec- cin transversal.* En consecuencia, una vez determinado el centroide del rea de la seccin transversal del elemento, se conoce la ubicacin del eje neutro. El esfuerzo en la viga puede determinarse a partir del siguiente requeri- miento: el momento interno M resultante debe ser igual al momento pro- ducido por la distribucin del esfuerzo respecto al eje neutro. El momento de dF en la figura 6-24c respecto al eje neutro es dM = ydF. Como dF = s dA, a partir de la ecuacin 6-9, se tiene para toda la seccin transversal, o bien *Recuerde que la ubicacin y para el centroide del rea de la seccin transversal se de- fine a partir de la ecuacin y = 1y dA>1dA. Si 1y dA = 0, entonces y = 0, por lo que el centroide se encuentra en el eje de referencia (neutro). Vea el apndice A. y c Variacin del esfuerzo flexionante (c) x z dA M dF ysmx s s s Figura 6-24 (cont.) (6-10) LA y dA = 0 M = LA y dF = LA y1s dA2 = LA y y c smx dA1MR2z = Mz; (6-11)M = smx c LA y2 dA Capitulo 06_Hibbeler.indd 286 13/1/11 20:46:37 306. 6.4La frmula de la flexin 287 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 La integral representa el momento de inercia del rea de la seccin trans- versal respecto al eje neutro. Su valor se simbolizar con I. Por consiguien- te, se puede despejar smx de la ecuacin 6-11 y escribir Aqu smx = el esfuerzo normal mximo en el elemento, que se produce en el punto sobre el rea de la seccin transversal que est ms alejado del eje neutro M = el momento interno resultante, determinado a partir del mtodo de las secciones y de las ecuaciones de equilibrio; se calcula respecto al eje neutro de la seccin transversal c = la distancia perpendicular desde el eje neutro hasta el punto ms alejado del eje neutro. Aqu es donde acta smx I = el momento de inercia del rea de la seccin transversal respecto al eje neutro Como smx >c = -s>y, ecuacin 6-9, el esfuerzo normal en la distancia intermedia y puede determinarse a partir de una frmula similar a la ecua- cin 6-12. Se tiene Tenga en cuenta que el signo negativo es necesario, ya que concuerda con los ejes x, y, z establecidos. Por la regla de la mano derecha, M es positivo a lo largo del eje +z, y es positiva hacia arriba y, por lo tanto, s debe ser negativa (compresiva) porque acta en la direccin negativa de x, figura 6-24c. Cualquiera de las dos ecuaciones anteriores suele denominarse como frmula de la flexin. Se utiliza para determinar el esfuerzo normal en un elemento recto, el cual tiene una seccin transversal simtrica con res- pecto a un eje, y un momento aplicado de manera perpendicular a dicho eje. Aunque se ha supuesto que el elemento es prismtico, en la mayora de los casos dentro del diseo de ingeniera tambin se puede utilizar la frmula de la flexin para determinar el esfuerzo normal en elementos que tienen un ligero ahusamiento. Por ejemplo, si se usa un anlisis matemtico basado en la teora de la elasticidad, un elemento con seccin transver- sal rectangular y una longitud ahusada en 15 tendr un esfuerzo normal mximo real de alrededor de 5.4 por ciento menor que el calculado cuando se utiliza la frmula de la flexin. (6-12)smx = Mc I (6-13)s = - My I Capitulo 06_Hibbeler.indd 287 13/1/11 20:46:38 307. 288 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Puntos importantes La seccin transversal de una viga recta se mantiene plana cuando la viga se deforma debido a la flexin. Esto provoca esfuerzos de tensin en una porcin de la seccin transversal y esfuerzos de compresin en la parte restante. En medio de estas porciones, existe el eje neutro que se encuentra sometido a un esfuer- zo cero. Debido a la deformacin, la deformacin longitudinal vara linealmente desde cero en el eje neutro hasta un mximo en las fibras exteriores de la viga. Siempre que el material sea homogneo y elstico lineal, el esfuerzo tambin variar de forma lineal sobre la seccin transversal. El eje neutro pasa por el centroide del rea de la seccin transversal. Este resultado se basa en el hecho de que la fuerza normal resultante que acta sobre la seccin transversal debe ser igual a cero. La frmula de la flexin se basa en el requisito de que el momento resultante interno en la seccin trans- versal debe ser igual al momento producido por la distribucin de esfuerzos normales respecto al eje neutro. Procedimiento de anlisis Con el fin de aplicar la frmula de la flexin, se sugiere el siguiente procedimiento. Momento interno. Seccione el elemento en el punto donde debe determinarse el esfuerzo flexionante o normal y obtenga el momento interno M en la seccin. Es necesario conocer el eje centroidal o neutro para la seccin transversal, dado que M debe calcularse respecto a ese eje. Si debe determinarse el esfuerzo flexionante mximo absoluto, entonces dibuje el diagrama de momen- to a fin de determinar el momento mximo en el elemento. Propiedad de la seccin. Determine el momento de inercia del rea de la seccin transversal respecto al eje neutro. Los mtodos utilizados para este clculo se analizan en el apndice A, y en la pgina final de este libro (al reverso de la contraportada) se proporciona una tabla de valores de I para varias formas geomtricas comunes. Esfuerzo normal. Especifique la distancia y, medida en forma perpendicular al eje neutro y al punto donde debe deter- minarse el esfuerzo normal. Despus, aplique la ecuacin s = -My>I, o si debe calcularse el esfuerzo flexionante mximo, utilice smx = Mc>I. Al sustituir los datos, asegrese de que las unidades sean con- sistentes. El esfuerzo acta en una direccin de tal forma que la fuerza creada en el punto contribuye con un mo- mento respecto al eje neutro, el cual tiene la misma direccin que el momento interno M, figura 6-24c. De esta manera puede trazarse la distribucin del esfuerzo que acta sobre toda la seccin transversal, o bien puede aislarse un elemento de volumen del material a fin de utilizarlo en la representacin grfica del esfuerzo normal que acta sobre el punto. Capitulo 06_Hibbeler.indd 288 13/1/11 20:46:38 308. 6.4La frmula de la flexin 289 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.11 Una viga tiene una seccin transversal rectangular y est sometida a la distribucin de esfuerzos que se muestra en la figura 6-25a. Determi- ne el momento interno M en la seccin causado por la distribucin de esfuerzos, para ello (a) utilice la frmula de la flexin, (b) encuentre la resultante de la distribucin de esfuerzos empleando los principios bsicos. SOLUCIN Parte (a). La frmula de la flexin es smx = Mc>I. Con base en la fi- gura 6-25a, c = 6 pulg y smx = 2 ksi. El eje neutro se define como la lnea NA, ya que el esfuerzo es cero a lo largo de esta lnea. Como la seccin transversal tiene una forma rectangular, el momento de inercia del rea respecto a NA se determina a partir de la frmula para un rectngulo dada en la pgina final de este libro, es decir, Por lo tanto, Parte (b). La fuerza resultante para cada una de las dos distribu- ciones triangulares de esfuerzo mostradas en la figura 6-25b es grfica- mente equivalente al volumen contenido dentro de cada distribucin de esfuerzos. Por lo tanto, cada volumen es Estas fuerzas, que forman un par, actan en la misma direccin que los esfuerzos incluidos en cada distribucin, figura 6-25b. Adems, actan a travs del centroide de cada volumen, es decir, a 2 316 pulg2 = 4 pulg(6 pulg) = 4 pulg del eje neutro de la viga. Por consiguiente, la distancia entre ellos es de 8 pulg como se muestra en la figura. En consecuencia, el momento del par es NOTA: Este resultado tambin puede obtenerse al elegir una franja horizontal de rea dA = (6 pulg) dy y al integrarla aplicando la ecuacin 6-11. A N 6 pulg 6 pulg 2 ksi 2 ksi (a) 6 pulg A N 6 pulg 6 pulg F F (b) 6 pulg 4 pulg 4 pulg Figura 6-25 I = 1 12 bh3 = 1 12 16 pulg2112 pulg23 = 864 pulg4 Resp.M = 288 kip # pulg = 24 kip # pie 2 kip>pulg2 = M16 pulg2 864 pulg4 smx = Mc I ; F = 1 2 16 pulg212 kip>pulg2 216 pulg2 = 36 kip Resp.M = 36 kip 8 pulg = 288 kip # pulg = 24 kip # pie1 2 Capitulo 06_Hibbeler.indd 289 13/1/11 20:46:41 309. 290 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.12 La viga simplemente apoyada de la figura 6-26a tiene la seccin trans- versal que se muestra en la figura 6-26b. Determine el esfuerzo flexio- nante mximo absoluto y dibuje la distribucin del esfuerzo sobre la seccin transversal en esta ubicacin. Resp.smx = 22.5(103 ) N # m10.170 m2 301.3110-6 2 m4 = 12.7 MPasmx = Mc I ; = 301.3110-6 2 m4 + c 1 12 10.020 m210.300 m23 d = 2c 1 12 10.25 m210.020 m23 + 10.25 m210.020 m210.160 m22 d I = 1I + Ad2 2 sB = - 22.5(103 ) N # m10.150 m2 301.3110-6 2 m4 = -11.2 MPasB = - MyB I ; SOLUCIN Momento interno mximo. El momento interno mximo en la viga, M = 22.5 kN m, se produce en el centro. Propiedad de la seccin. Por razones de simetra, el eje neutro pasa por el centroide C en la altura media de la viga, figura 6-26b. El rea se subdivide en las tres partes mostradas y el momento de inercia de cada porcin se calcula respecto al eje neutro y usando el teorema de los ejes paralelos. (Vea la ecuacin A-5 del apndice A.) Si se elige tra- bajar en metros, se tiene En la figura 6-26d se muestra una vista tridimensional de la distri- bucin de esfuerzos. Observe cmo el esfuerzo en los puntos B y D de la seccin transversal desarrolla una fuerza que contribuye con un momento respecto al eje neutro, el cual tiene la misma direccin que M. De manera especfica, en el punto B, yB = 150 mm, y as 6 m 5 kN/m (a) 20 mm N A B C D 20 mm 250 mm 150 mm 150 mm (b) 20 mm M (kNm) x (m) 22.5 3 6 (c) 12.7 MPa 11.2 MPaB D M 22.5 kNm 12.7 MPa (d) Figura 6-26 Capitulo 06_Hibbeler.indd 290 13/1/11 20:46:47 310. 6.4La frmula de la flexin 291 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.13 La viga mostrada en la figura 6-27a tiene una seccin transversal en forma de canal, figura 6-27b. Determine el esfuerzo flexionante mximo que se produce en la viga en la seccin a-a. SOLUCIN Momento interno. Aqu no es necesario determinar las reacciones de la viga en los apoyos. En vez de esto, mediante el mtodo de las sec- ciones, puede usarse el segmento a la izquierda de la seccin a-a, figura 6-27c. En particular, debe tenerse en cuenta que la fuerza axial interna resultante N pasa a travs del centroide de la seccin transversal. Ade- ms, se observa que el momento interno resultante debe calcularse con respecto al eje neutro de la viga en la seccin a-a. Para encontrar la ubicacin del eje neutro, el rea de la seccin trans- versal se subdivide en tres partes componentes como se muestra en la figura 6-27b. Con base en la ecuacin A-2 del apndice A, se tiene Esta dimensin se muestra en la figura 6-27c. Al aplicar la ecuacin de equilibrio de los momentos con respecto al eje neutro, se tiene Propiedad de la seccin. El momento de inercia respecto al eje neutro se determina utilizando el teorema de los ejes paralelos aplicado a cada una de las tres partes que componen el rea de la seccin trans- versal. Si se trabaja en metros, resulta Esfuerzo flexionante mximo. El esfuerzo flexionante mximo ocurre en los puntos ms alejados del eje neutro. Esto es en la parte inferior de la viga, c = 0.200 m - 0.05909 m = 0.1409 m. Por lo tanto, Demuestre que en la parte superior de la viga el esfuerzo flexionante es s = 6.79 MPa. NOTA: La fuerza normal N = 1 kN y la fuerza cortante V = 2.4 kN tambin contribuirn con esfuerzo adicional sobre la seccin transver- sal. La superposicin de todos estos efectos se analizar en el captulo 8. = 0.05909 m = 59.09 mm y = yA A = 2[0.100 m]10.200 m210.015 m2 + [0.010 m]10.02 m210.250 m2 210.200 m210.015 m2 + 0.020 m10.250 m2 M = 4.859 kN # m 2.4 kN12 m2 + 1.0 kN10.05909 m2 - M = 0d+MNA = 0; = 42.26110-6 2 m4 + 2c 1 12 10.015 m210.200 m23 + 10.015 m210.200 m210.100 m - 0.05909 m22 d I = c 1 12 10.250 m210.020 m23 + 10.250 m210.020 m210.05909 m - 0.010 m22 d Resp.smx = Mc I = 4.859(103 ) N # m10.1409 m2 42.26110-6 2 m4 = 16.2 MPa 2 m 1 m 2.6 kN 12 5 a a (a) 13 250 mm 200 mm AN 15 mm 20 mm (b) C 15 mm _ y 59.09 mm 2 m M N V (c) 2.4 kN 1.0 kN 0.05909 m C Figura 6-27 Capitulo 06_Hibbeler.indd 291 13/1/11 20:46:51 311. 292 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.14 El elemento que tiene una seccin transversal rectangular, figura 6-28a, est diseado para resistir un momento de 40 N m. A fin de aumentar su resistencia y rigidez, se propone aadirle dos costillas pequeas en su parte inferior, figura 6-28b. Determine el esfuerzo normal mximo en el elemento para ambos casos. SOLUCIN Sin costillas. Es evidente que el eje neutro est en el centro de la seccin transversal, figura 6-28a, por lo que y = c = 15 mm = 0.015 m. As, I = 1 12 bh3 = 1 12 10.060 m210.030 m23 = 0.135110-6 2 m4 Resp.smx = Mc I = 140 N # m210.015 m2 0.135 10-6 m4 = 4.44 MPa 1 2 = 0.01592 m = [0.015 m]10.030 m210.060 m2 + 2[0.0325 m]10.005 m210.010 m2 10.03 m210.060 m2 + 210.005 m210.010 m2 y = yA A c = 0.035 m - 0.01592 m = 0.01908 m = 0.1642110-6 2 m4 + 2c 1 12 10.010 m210.005 m23 + 10.010 m210.005 m210.0325 m - 0.01592 m22 d I = c 1 12 10.060 m210.030 m23 + 10.060 m210.030 m210.01592 m - 0.015 m22 d Resp.smx = Mc I = 40 N # m10.01908 m2 0.1642110-6 2 m4 = 4.65 MPa Por lo tanto, el esfuerzo normal mximo es de Con costillas. Al segmentar el rea de la figura 6-28b en el rec- tngulo principal grande y los dos rectngulos inferiores (costillas), la ubicacin y del centroide y el eje neutro se determina de la manera siguiente: Este valor no representa a c. En vez de eso, Con base en el teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia respecto al eje neutro es Por lo tanto, el esfuerzo normal mximo es NOTA: Este sorprendente resultado indica que la adicin de las costi- llas a la seccin transversal incrementar el esfuerzo normal en lugar de disminuirlo, por tal razn las costillas deben omitirse. 60 mm 30 mm _ y40 Nm (a) 40 Nm 30 mm _ y 10 mm 10 mm N A 5 mm (b) Fig. 6-28Figura 6-28 Capitulo 06_Hibbeler.indd 292 13/1/11 20:46:57 312. 6.4La frmula de la flexin 293 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS F6-15. Si la viga est sometida a un momento flexionante de M = 20 kN m, determine el esfuerzo flexionante mximo en la viga. F6-18. Si la viga est sometida a un momento flexionante de M = 10 kN m, determine el esfuerzo flexionante mximo en la viga. problemas fundamentales F6-16. Si la viga est sometida a un momento flexionante de M = 50 kN m, dibuje la distribucin del esfuerzo flexio- nante sobre la seccin transversal de la viga. F6-17. Si la viga est sometida a un momento flexionante de M = 50 kN m, determine el esfuerzo flexionante mximo en la viga. F6-19. Si la viga est sometida a un momento flexionante de M = 5 kN m, determine el esfuerzo flexionante desarro- llado en el punto A. 300 mm 20 mm 20 mm 20 mm M 200 mm F6-15 150 mm 150 mm 300 mm M F6-16 200 mm 300 mm 20 mm 20 mm 20 mm M F6-17 200 mm M 150 mm 150 mm 50 mm 30 mm 30 mm 50 mm 30 mm 30 mm F6-18 150 mm 25 mm M A 150 mm 50 mm 50 mm 50 mm 25 mm F6-19 Capitulo 06_Hibbeler.indd 293 13/1/11 20:47:08 313. 294 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 6-47. Un elemento que tiene las dimensiones mostradas en la figura se usa para resistir un momento flexionante interno de M = 90 kN m. Determine el esfuerzo mximo en el ele- mento si el momento se aplica (a) alrededor del eje z (como en la figura), (b) alrededor del eje y. Dibuje la distribucin de esfuerzos para cada caso. 6-50. El perfil en canal mostrado se usa como riel de gua para una carrucha. Si el momento mximo en el perfil es M = 30 N m, determine el esfuerzo flexionante en los pun- tos A, B y C. 6-51. El perfil en canal mostrado se usa como riel de gua para una carrucha. Si el esfuerzo flexionante permisible pa- ra el material es sperm = 175 MPa, determine el momento flexionante mximo que resistir el perfil. *6-48. Determine el momento M que producir un esfuer- zo mximo de 10 ksi en la seccin transversal. 6-49. Determine los esfuerzos flexionantes mximos de compresin y de tensin en la viga si sta se somete a un momento de M = 4 kip pie. *6-52. La viga est sometida a un momento M. Determi- ne el porcentaje de este momento que es resistido por los esfuerzos que actan sobre las tablas superior e inferior, A y B, de la viga. 6-53. Determine el momento M que debe aplicarse a la viga a fin de crear un esfuerzo de compresin en el punto D de sD = 30 MPa. Adems, dibuje la distribucin del esfuerzo queactasobrelaseccintransversalycalculeelesfuerzom- ximo desarrollado en la viga. 200 mm 150 mm z y x M Prob. 6-47 3 pulg D A B 0.5 pulg M 0.5 pulg 3 pulg C 10 pulg 0.5 pulg0.5 pulg Probs. 6-48/49 50 mm 30 mm A B C 5 mm 5 mm 5 mm 5 mm 5 mm 7 mm 7 mm10 mm Probs. 6-50/51 150 mm 25 mm 25 mm 150 mm M 25 mm 25 mm B A D Probs. 6-52/53 Capitulo 06_Hibbeler.indd 294 13/1/11 20:47:14 314. 6.4La frmula de la flexin 295 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-54. La viga est fabricada con tres tablones clavados en- tre s, como se muestra en la figura. Si el momento que acta sobre la seccin transversal es M = 600 N m, determine el esfuerzo flexionante mximo en la viga. Dibuje una vista tri- dimensional de la distribucin del esfuerzo que acta sobre la seccin transversal. 6-55. La viga est fabricada con tres tablones clavados en- tre s, como se muestra en la figura. Si el momento que acta sobre la seccin transversal es M = 600 N m, determine la fuerza resultante que produce el esfuerzo flexionante en el tabln superior. *6-56. El puntal de aluminio tiene una seccin transversal en forma de cruz. Si se somete al momento M = 8 kN m, determine el esfuerzo flexionante que acta en los puntos A y B, adems muestre los resultados que actan sobre los elementos de volumen ubicados en estos puntos. 6-57. El puntal de aluminio tiene una seccin transversal en forma de cruz. Si se somete al momento M = 8 kN m, de- termine el esfuerzo flexionante mximo en la viga, asimismo dibuje una vista tridimensional de la distribucin del esfuer- zo que acta sobre toda el rea de la seccin transversal. 6-58. Si la viga est sometida a un momento interno M = 100 kip pie, determine el esfuerzo flexionante mximo de tensin y de compresin en la viga. 6-59. Si la viga est fabricada de un material con un esfuer- zo permisible de tensin y de compresin, (sperm )t = 24 ksi y (sperm )c = 22 ksi, respectivamente, determine el momento interno mximo permisible M que puede aplicarse a la viga. *6-60. La viga est construida a partir de cuatro tablones como se muestra en la figura. Si se somete a un momento de Mz = 16 kip pie, determine el esfuerzo en los puntos A y B. Dibuje una vista tridimensional de la distribucin del esfuerzo. 6-61. La viga est construida a partir de cuatro tablones como se muestra en la figura. Si se somete a un momento de Mz = 16 kip pie, determine la fuerza resultante que produce el esfuerzo sobre el tabln superior C. 25 mm 200 mm 150 mm 20 mm 20 mm M 600 Nm Probs. 6-54/55 A 20 mm B 20 mm 100 mm 50 mm 50 mm 100 mm M 8 kNm Probs. 6-56/57 6 pulg 3 pulg 2 pulg 3 pulg M 1.5 pulg Probs. 6-58/59 10 pulg 10 pulg 1 pulg 14 pulg 1 pulg 1 pulg y z x 1 pulg A C B Mz 16 kippie Probs. 6-60/61 Capitulo 06_Hibbeler.indd 295 13/1/11 20:47:30 315. 296 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-62. Una viga de caja est construida a partir de cuatro piezas de madera pegadas como se muestra en la figura. Si el momento que acta sobre la seccin transversal es de 10 kN m, determine el esfuerzo en los puntos A y B, y muestre los resultados que actan sobre los elementos de volumen ubicados en estos puntos. 6-65. Si el momento que acta sobre la seccin transver- sal de la viga es M = 4 kip pie, determine el esfuerzo flexio- nante mximo en la viga. Dibuje una vista tridimensional de la distribucin del esfuerzo que acta sobre la seccin trans- versal. 6-66. Si M = 4 kip pie, determine la fuerza resultante que produce el esfuerzo flexionante sobre el tabln superior A de la viga. 6-63. Determine la dimensin a de una viga con seccin transversal cuadrada en trminos del radio r de una viga con seccin transversal circular si ambas vigas estn sometidas al mismo momento interno, el cual resulta en el mismo esfuer- zo flexionante mximo. *6-64. La varilla de acero tiene un dimetro de 1 pulg y est sometida a un momento interno de M = 300 lb pie. Determine el esfuerzo creado en los puntos A y B. Adems, dibuje una vista tridimensional de la distribucin del esfuer- zo que acta sobre la seccin transversal. 6-67. La barra se sostiene mediante chumaceras lisas en A y B, las cuales slo ejercen reacciones verticales sobre el eje. Si d = 90 mm, determine el esfuerzo flexionante mximo absoluto en la viga, y dibuje la distribucin del esfuerzo que acta sobre la seccin transversal. *6-68. La barra se sostiene mediante chumaceras lisas en A y B, las cuales slo ejercen reacciones verticales sobre el eje. Determine su dimetro d ms pequeo si el esfuerzo flexionante permisible es sperm = 180 MPa. 20 mm 20 mm 250 mm M 10 kNm 160 mm 25 mm 25 mm B A Prob. 6-62 a r a Prob. 6-63 M 300 lbpie A BB 45 0.5 pulg Prob. 6-64 12 pulg 12 pulg 1.5 pulg 1.5 pulg 1.5 pulgM A Probs. 6-65/66 B d A 3 m 1.5 m 12 kN/m Probs. 6-67/68 Capitulo 06_Hibbeler.indd 296 13/1/11 20:47:39 316. 6.4La frmula de la flexin 297 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-69. Se deben considerar dos diseos para una viga. De- termine cul soportar un momento de M = 150 kN m con el menor esfuerzo flexionante. Cul es ese esfuerzo? 200 mm 300 mm (a) (b) 15 mm 30 mm 15 mm 200 mm 300 mm 30 mm 15 mm 30 mm Prob. 6-69 6 pies 5.75 pulg 6 pies 6 pies 100 lb/pie Prob. 6-70 C D A B 20 kip 20 kip 10 pulg 10 pulg 60 pulg Prob. 6-71 10 pulg 8 pulg 0.30 pulg 12 pies 12 pies 0.30 pulg 0.3 pulg w0 Probs. 6-72/73 1 pie 3 pies D A B C 1 pie 5 pies 4 pies G 1.75 pulg 3 pulg 1.75 pulg 1.5 pulg Prob. 6-74 6-70. La armadura simplemente apoyada est sometida a una carga distribuida central. No tome en cuenta el efecto de los elementos en diagonal y determine el esfuerzo flexionan- te mximo absoluto en la armadura. El elemento superior es un tubo con un dimetro exterior de 1 pulg y grosor de 3 16 de pulg; el elemento inferior es una barra slida con un dimetro de 1 2 pulg. 6-71. El eje del carro de ferrocarril est sometido a cargas sobre las ruedas de 20 kip. Si se sostiene mediante dos chu- maceras en C y D, determine el esfuerzo flexionante mxi- mo desarrollado en el centro del eje, cuando el dimetro es de 5.5 pulg. *6-72. La viga de acero tiene la seccin transversal que se muestra en la figura. Determine la mayor intensidad de la carga distribuida w0 que puede soportar la viga de modo que el esfuerzo flexionante mximo no sea superior a smx = 22 ksi. 6-73. La viga de acero tiene la seccin transversal que se muestra en la figura. Si w0 = 0.5 kip>pie, determine el esfuer- zo flexionante mximo en la viga. 6-74. La lancha tiene un peso de 2300 lb y un centro de gravedad en G. Si descansa sobre el remolque en el contac- to liso A y puede considerarse articulada en B, determine el esfuerzo flexionante mximo absoluto desarrollado en el puntal principal del remolque. Considere que el puntal es una viga de caja, que tiene las dimensiones indicadas y se en- cuentra articulada en C. 6-75. El eje se sostiene mediante un cojinete de empuje liso en A y una chumacera lisa en D. Si el eje tiene la sec- cin transversal mostrada en la figura, determine el esfuerzo flexionante mximo absoluto en el eje. A C DB 3 kN 3 kN 0.75 m 0.75 m1.5 m 40 mm 25 mm Prob. 6-75 Capitulo 06_Hibbeler.indd 297 13/1/11 20:47:58 317. 298 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *6-76. Determine el momento M que debe aplicarse a la viga con el fin de crear un esfuerzo mximo de 80 MPa. Ade- ms dibuje la distribucin del esfuerzo que acta sobre la seccin transversal. 6-77. La viga de acero tiene la seccin transversal que se muestra en la figura. Determine la mayor intensidad de la carga distribuida w que puede soportar la viga de modo que el esfuerzo flexionante no exceda smx = 22 ksi. 6-78. La viga de acero tiene la seccin transversal mostra- da. Si w = 5 kip>pie, determine el esfuerzo flexionante mxi- mo absoluto en la viga. 6-79. Si la viga ACB del problema 6-9 tiene una seccin transversal cuadrada, de 6 * 6 pulg, determine el esfuerzo flexionante mximo absoluto en la viga. *6-80. Si el aguiln ABC de la gra del problema 6-3 tiene una seccin transversal rectangular con base de 2.5 pulg, de- termine su altura requerida h con una precisin de 1 4 de pulg si el esfuerzo flexionante permisible es sperm = 24 ksi. 6-81. Si la reaccin del terreno sobre el durmiente de una va puede suponerse uniformemente distribuida en toda su longitud como se muestra en la figura, determine el esfuerzo flexionante mximo desarrollado en el durmiente. ste tiene una seccin transversal rectangular con grosor t = 6 pulg. 6-82. La reaccin del terreno sobre el durmiente de una va puede suponerse uniformemente distribuida en toda su lon- gitud como se muestra en la figura. Si la madera tiene un es- fuerzo flexionante permisible de sperm = 1.5 ksi, determine el grosor mnimo requerido t del rea de la seccin transversal rectangular del durmiente con una precisin de 1 8 de pulg. 6-83. Determine el esfuerzo flexionante mximo absoluto en el eje tubular si di = 160 mm y do = 200 mm. *6-84. El eje tubular debe tener una seccin transversal de tal manera que su dimetro interior y dimetro exterior estn relacionados por di = 0.8do . Determine estas dimen siones requeridas si el esfuerzo flexionante permisible es sperm = 155 MPa. 6-85. La viga de madera tiene una seccin transversal rectangular en la proporcin mostrada. Determine su di- mensin requerida b si el esfuerzo flexionante permisible es sperm = 10 MPa. 260 mm 20 mm 30 mm 300 mm M 30 mm 30 mm 20 mm Prob. 6-76 10 pulg 8 pulg 0.30 pulg 8 pies 8 pies 8 pies 0.30 pulg 0.3 pulg w w Probs. 6-77/78 5 pies1.5 pies 1.5 pies 15 kip 15 kip 12 pulg t w Probs. 6-81/82 A B di do 3 m 1 m 15 kN/m 60 kN m Probs. 6-83/84 500 N/m 2 m 2 m 1.5b b A B Prob. 6-85 Capitulo 06_Hibbeler.indd 298 13/1/11 20:48:21 318. 6.4La frmula de la flexin 299 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-86. Determine el esfuerzo flexionante mximo absoluto de un eje de 2 pulg de dimetro que se encuentra sometido a las fuerzas concentradas que se muestran en la figura. Las chumaceras en A y B slo soportan fuerzas verticales. 6-87. Determine el dimetro ms pequeo permisible para un eje que est sometido a las fuerzas concentradas que se muestran en la figura. Los cojinetes en A y B slo sopor- tan fuerzas verticales. El esfuerzo flexionante permisible es sperm = 22 ksi. *6-88. Si la viga tiene una seccin transversal cuadrada de 9 pulg por lado, determine el esfuerzo flexionante mximo absoluto en la viga. 6-89. Si la viga compuesta del problema 6-42 tiene una seccin transversal cuadrada, determine su dimensin a si el esfuerzo flexionante permisible es sperm = 150 MPa. 6-90. Si la viga del problema 6-28 tiene una seccin trans- versal rectangular con anchura b y altura h, determine el es- fuerzo flexionante mximo absoluto en la viga. 6-91. Determine el esfuerzo flexionante mximo absoluto en el eje de 80 mm de dimetro, el cual se encuentra someti- do a las fuerzas concentradas, como se muestra en la figura. Las chumaceras en A y B slo soportan fuerzas verticales. *6-92. Determine el menor dimetro permisible para el eje que est sometido a las fuerzas concentradas, como se muestra en la figura. Las chumaceras en A y B slo sopor- tan fuerzas verticales. El esfuerzo flexionante permisible es sperm = 150 MPa. 6-93. El hombre tiene una masa de 78 kg y permanece inmvil en el extremo del trampoln. Si ste tiene la seccin transversal mostrada en la figura, determine el esfuerzo nor- mal mximo desarrollado en el trampoln. El mdulo de elasticidad del material es E = 125 GPa. Suponga que A es un pasador y B es un rodillo. 6-94. Las dos barras de acero slido estn unidas entre s en toda su longitud y soportan la carga mostrada en la figu- ra. Suponga que el soporte en A es un pasador y en B es un rodillo. Determine el dimetro requerido d para cada una de las barras si el esfuerzo flexionante permisible es sperm = 130 MPa. 6-95. Resuelva el problema 6-94 si las barras se rotan 90 de modo que ambas descansen sobre los soportes en A (pa- sador) y en B (rodillo). 15 pulg 15 pulg B A 800 lb 30 pulg 600 lb Probs. 6-86/87 A B 8 pies 8 pies 800 lb/pie 1200 lb Prob. 6-88 0.5 m 0.6 m0.4 m 20 kN A B 12 kN Probs. 6-91/92 B C A 1.5 m 2.5 m 350 mm 20 mm 30 mm 10 mm 10 mm 10 mm Prob. 6-93 B A 2 m 80 kN 20 kN/m 2 m Probs. 6-94/95 Capitulo 06_Hibbeler.indd 299 13/1/11 20:49:19 319. 300 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 300 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *6-96. La silla se sostiene mediante un brazo que est ar- ticulado de manera que gira alrededor del eje vertical en A. Si la carga en la silla es de 180 lb y el brazo es una seccin de tubo hueco con las dimensiones mostradas en la figura, determine el esfuerzo flexionante mximo en la seccin a-a. 6-97. Una parte del fmur puede modelarse como un tubo con un dimetro interno de 0.375 pulg y un dimetro exterior de 1.25 pulg. Determine la mxima fuerza esttica elstica P que puede aplicarse a su centro. Suponga que el hueso se apoya en sus extremos sobre rodillos. El diagrama s-P para la masa del hueso que se muestra en la figura, es el mismo en tensin y en compresin. 6-98. Si la viga del problema 6-18 tiene una seccin trans- versal rectangular con una anchura de 8 pulg y una altura de 16 pulg, determine el esfuerzo flexionante mximo absoluto en la viga. 6-99. Si la viga tiene una seccin cuadrada de 6 pulg en cada lado, determine el esfuerzo flexionante mximo abso- luto en la viga. *6-100. La viga de acero tiene la seccin transversal que se muestraenlafigura.Determinelamayorintensidaddelacar- ga distribuida w0 que puede soportar la viga de manera que el esfuerzo flexionante mximo no sea superior a sperm = 22 ksi. 6-101. La viga de acero tiene la seccin transversal que se muestra en la figura. Si w0 = 2 kip>pie, determine el esfuerzo flexionante mximo en la viga. 12 pulg 9 pulg 0.25 pulg 9 pies 9 pies 0.25 pulg 0.25 pulg w0 Probs. 6-100/101 a a A 180 lb 2.5 pulg 8 pulg Prob. 6-96 1 pulg 3 pulg 0.5 pulg 4 pulg 4 pulg 2.30 1.25 0.02 0.05 Ps (ksi) P (pulg/pulg) Prob. 6-97 8 pulg 16 pulg Prob. 6-98 A B 6 pies 6 pies 400 lb/pie Prob. 6-99 Capitulo 06_Hibbeler.indd 300 13/1/11 20:49:26 320. 6.4La frmula de la flexin 301 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-102. El bastidor o soporte principal en el chasis de un camin se somete a la carga uniforme distribuida mostrada. Determine el esfuerzo flexionante en los puntos A y B. 6-103. Determine la mayor carga distribuida uniforme w que puede soportar la viga de manera que el esfuerzo flexio- nante no sea superior a sperm = 5 MPa. *6-104. Si w = 10 kN>m, determine el esfuerzo flexionante mximo en la viga. Dibuje la distribucin del esfuerzo que acta sobre la seccin transversal. 6-105. Si el esfuerzo flexionante permisible en la viga de madera es sperm = 150 psi, determine la dimensin requerida b en su seccin transversal con una precisin de 1 4 de pulg. Suponga que el soporte en A es un pasador y el soporte en B es un rodillo. 6-106. La viga de madera tiene una seccin transversal rec- tangular con las proporciones mostradas. Si b = 7.5 pulg, de- termine el esfuerzo flexionante mximo absoluto en la viga. 6-107. Una viga est fabricada de un material que tiene un mdulo de elasticidad en compresin diferente al mdulo dado para la tensin. Determine la ubicacin c del eje neutro y deduzca una expresin para el esfuerzo de tensin mximo en la viga que tiene las dimensiones mostradas en la figura y que se encuentra sometida al momento flexionante M. *6-108. La viga tiene una seccin transversal rectangular y est sometida a un momento flexionante M. Si el material del que est hecha tiene un mdulo de elasticidad diferente para la tensin y la compresin como se muestra en la figu- ra, determine la ubicacin c del eje neutro y el esfuerzo de compresin mximo en la viga. 1.5 kip/pie 12 pulg 0.75 pulg 0.75 pulg 6 pulg 0.5 pulg B 8 pies 12 pies F2 A A B F1 Prob. 6-102 0.5 m 0.5 m1 m 75 mm 150 mm w Probs. 6-103/104 BA 3 pies3 pies3 pies 2b b 400 lb/pie Probs. 6-105/106 h c bEt Ec M s P Probs. 6-107/108 Capitulo 06_Hibbeler.indd 301 13/1/11 20:49:33 321. 302 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.5 Flexin asimtrica Al desarrollar la frmula de la flexin se impuso la condicin de que el rea de la seccin transversal fuese simtrica respecto a un eje perpendicular al ejeneutro;adems,elmomentointernoresultanteMactaalolargodeleje neutro. Tal es el caso de las secciones en T o de canal que se muestran en la figura 6-29. Sin embargo, estas condiciones son innecesarias y en la presente seccin se mostrar que la frmula de la flexin tambin puede aplicarse a una viga con un rea arbitraria en su seccin transversal o a una viga con un momento resultante interno que acta en cualquier direccin. Momento aplicado alrededor del eje principal. Considere que la seccin transversal de la viga tiene una forma asimtrica como la mostrada en la figura 6-30a. Al igual que en la seccin 6.4, el sistema de coordenadas derecho x, y, z se establecer de manera que el origen se en- cuentre en el centroide C de la seccin transversal, y el momento interno resultante M acte a lo largo del eje +z. Se requiere que la distribucin de esfuerzos que acta sobre toda la superficie de la seccin transversal tenga una fuerza resultante cero, el momento interno resultante alrededor del eje y es cero y el momento interno resultante respecto al eje z es igual a M.* Estas tres condiciones pueden expresarse de manera matemtica con- siderando la fuerza que acta sobre el elemento diferencial dA ubicado en (0, y, z), figura 6-30a. Esta fuerza es dF = s dA, y por lo tanto se tiene *La condicin de que los momentos respecto al eje y deben ser iguales a cero no se con- sider en la seccin 6.4, ya que la distribucin del esfuerzo flexionante era simtrica con res- pecto al eje y, y una de las distribuciones de esfuerzo produce automticamente un momento cero con respecto al eje y. Vea la figura 6-24c. (6-14) (6-15) (6-16)M = LA ys dA1MR2z = Mz; 0 = - LA zs dA1MR2y = My; 0 = - LA s dAFR = Fx; M x y Eje neutro Eje de simetra z M x y Eje neutro Eje de simetra z Figura 6-29 y y (a) dF sdA dA C x M z z y x c y M Distribucin del esfuerzo flexionante (vista de perfil) (b) smx s Figura 6-30 Capitulo 06_Hibbeler.indd 302 13/1/11 20:49:36 322. 6.5Flexin asimtrica 303 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Como se muestra en la seccin 6.4, la ecuacin 6-14 se cumple ya que el eje z pasa por el centroide del rea. Adems, como el eje z representa el eje neutro de la seccin transversal, el esfuerzo normal vara linealmente des- de cero en el eje neutro hasta un mximo en y = c, figura 6-30b. De ah que la distribucin del esfuerzo est definida por s = -(y>c)smx . Cuando se sustituye esta expresin en la ecuacin 6-16 y se integra, resulta la frmula de la flexin smx = Mc>I. Al sustituirla en la ecuacin 6-15, se obtiene la cual requiere Esta integral se llama el producto de inercia del rea. Como se indica en el apndice A, en efecto ser igual a cero siempre que los ejes y y z se elijan como los ejes de inercia principales del rea. Para un rea de forma arbi- traria, la orientacin de los ejes principales siempre se puede determinar usando las ecuaciones de transformacin de inercia o mediante el crculo de inercia de Mohr, como se explica en el apndice A, secciones A.4 y A.5. Sin embargo, si el rea tiene un eje de simetra, los ejes principales pueden determinarse fcilmente puesto que siempre estarn orientados a lo largo del eje de simetra y en forma perpendicular a ste. Por ejemplo, considere los elementos de la figura 6-31. En cada uno de estos casos, y y z deben definir los ejes principales de inercia de la seccin transversal a fin de cumplir las ecuaciones de la 6-14 a la 6-16. En la figura 6-31a los ejes principales se encuentran por simetra, y en las figuras 6-31b y 6-31c su orientacin se determina utilizando los mtodos del apndice A. Como M se aplica alrededor de uno de los ejes principales (eje z), la distribucin del esfuerzo se determina a partir de la frmula de la flexin, s = -My>Iz , y se muestra para cada caso. 0 = -smx c LA yz dA LA yz dA = 0 z M y (a) M y x (b) z M y x (c) z Figura 6-31 Capitulo 06_Hibbeler.indd 303 13/1/11 20:49:38 323. 304 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Momento aplicado arbitrariamente. En ocasiones un elemen- to puede cargarse de modo que M no acte sobre uno de los ejes princi- pales de la seccin transversal. Cuando esto ocurre, el momento deber primero descomponerse en sus componentes dirigidos a lo largo de los ejes principales, despus puede usarse la frmula de la flexin para de- terminar el esfuerzo normal causado por cada componente del momento. Por ltimo, mediante el uso del principio de superposicin, ser posible determinar el esfuerzo normal resultante. Para mostrar esto, considere que la viga tiene una seccin transversal rectangular y est sometida al momento M, figura 6-32a. Aqu M forma un ngulo u con el eje principal z. Se supondr que u es positivo cuando est dirigido desde el eje +z hacia el eje +y, como se muestra en la figura. Al descomponer a M en sus componentes a lo largo de los ejes z y y, se tiene Mz = M cos u y My = M sen u, como se muestra en las figuras 6-32b y 6-32c. Las distribuciones de esfuerzos normales que producen M y sus componentes Mz y My se muestran en las figuras 6-32d, 6-32e y 6-32f, don- de se supone que (sx )mx > (sx )mx . Por inspeccin, los esfuerzos mximos en tensin y compresin [(sx )mx + (sx )mx ] se producen en dos esquinas opuestas de la seccin transversal, figura 6-32d. Al aplicar la frmula de la flexin a cada componente del momento en las figuras 6-32b y 6-32c, y al sumar los resultados algebraicamente, enton- ces el esfuerzo normal resultante en cualquier punto de la seccin trans- versal, figura 6-32d, es En este caso, s =el esfuerzo normal en el punto y, z =las coordenadas del punto medidas desde los ejes x, y, z, que tienen su origen en el centroide del rea de la seccin trans- versal y forman un sistema de coordenadas derecho. El eje x est dirigido hacia afuera de la seccin transversal y los ejes y y z representan los ejes principales de los momentos de inercia mximo y mnimo, respectivamente My , Mz =las componentes del momento interno resultante, dirigidas a lo largo de los ejes principales y y z. stas sern positivas si estn dirigidas a lo largo de los ejes +y y +z, en caso contrario sern negativas. O, dicho de otro modo, My = M sen u y Mz = M cos u, donde u se mide en forma positiva desde el eje +z hacia el eje +y Iy , Iz =los momentos principales de inercia calculados respecto a los ejes y y z, respectivamente. Vea el apndice A (6-17)s = - Mzy Iz + Myz Iy x z y (c) x z y Mz Mcosu My Msenu (b) xz y M (a) u Figura 6-32 Capitulo 06_Hibbeler.indd 304 13/1/11 20:49:42 324. 6.5Flexin asimtrica 305 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Los ejes x, y, z forman un sistema derecho y cuando se aplica esta ecuacin deben asignarse los signos algebraicos adecuados a las componentes del momento y a las coordenadas. Cuando este es el caso, el esfuerzo resultante ser de tensin si es positivo y de compresin si es negativo. Orientacin del eje neutro. El ngulo a del eje neutro en la figura 6-32d puede determinarse al aplicar la ecuacin 6-17 con s = 0, ya que por definicin no acta esfuerzo normal sobre el eje neutro. Se tiene Como Mz = M cos u y My = M sen u, entonces Esta ecuacin define el eje neutro para la seccin transversal. Como la pendiente de esta lnea es tan a = y>z, entonces Aqu puede observarse que, a menos que Iz = Iy , el ngulo u que define la direccin del momento M, figura 6-32a, no ser igual a a, el ngulo que define la inclinacin del eje neutro, figura 6-32d. Puntos importantes La frmula de la flexin puede aplicarse slo cuando sta se pro- duce alrededor de los ejes que representan los ejes principales de inercia para la seccin transversal. Estos ejes tienen su origen en el centroide y se orientan a lo largo y en forma perpendicular a un eje de simetra, si es que existe alguno. Si el momento se aplica sobre un eje arbitrario, entonces el mo- mento debe descomponerse en sus componentes a lo largo de cada uno de los ejes principales, y el esfuerzo en un punto dado se determina mediante la superposicin del esfuerzo causado por cada una de las componentes del momento. A a z y N (d) (e) z x y (f) [(sx)mx (sx)mx] [(sx)mx (sx)mx] [(sx)mx (sx)mx] [(sx)mx (sx)mx] (sx)mx (sx)mx (sx)mx (sx)mx Figura 6-32 (cont.) y = MyIz MzIy z (6-18)y = Iz Iy tan u z (6-19)tan a = Iz Iy tan u Capitulo 06_Hibbeler.indd 305 13/1/11 20:50:20 325. 306 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.15 La seccin transversal rectangular que se muestra en la figura 6-33a est sometida a un momento flexionante de M = 12 kN m. Determine el es- fuerzo normal desarrollado en cada esquina de la seccin, y especifique la orientacin del eje neutro. SOLUCIN Componentes del momento interno. Por inspeccin se obser- va que los ejes y y z representan los ejes principales de inercia puesto que son ejes de simetra para la seccin transversal. Para cumplir un requisito, se establece el eje z como el eje principal para el momento de inercia mximo. El momento se descompone en sus componentes y y z, donde Propiedades de la seccin. Los momentos de inercia respecto a los ejes y y z son Esfuerzo flexionante. Por lo tanto, La distribucin del esfuerzo normal resultante se ha trazado usando estos valores, figura 6-33b. Debido a la aplicacin de la superposicin, la distribucin es lineal como se muestra en la figura. Mz = 3 5 112 kN # m2 = 7.20 kN # m My = - 4 5 112 kN # m2 = -9.60 kN # m Iz = 1 12 10.2 m210.4 m23 = 1.067110-3 2 m4 Iy = 1 12 10.4 m210.2 m23 = 0.2667110-3 2 m4 Resp. sE = - 7.201103 2 N # m1-0.2 m2 1.067110-3 2 m4 + -9.601103 2 N # m1-0.1 m2 0.2667110-3 2 m4 = 4.95 MPa sD = - 7.201103 2 N # m1-0.2 m2 1.067110-3 2 m4 + -9.601103 2 N # m10.1 m2 0.2667110-3 2 m4 = -2.25 MPa sC = - 7.201103 2 N # m10.2 m2 1.067110-3 2 m4 + -9.601103 2 N # m10.1 m2 0.2667110-3 2 m4 = -4.95 MPa sB = - 7.201103 2 N # m10.2 m2 1.067110-3 2 m4 + -9.601103 2 N # m1-0.1 m2 0.2667110-3 2 m4 = 2.25 MPa s = - Mzy Iz + Myz Iy Resp. Resp. Resp. Capitulo 06_Hibbeler.indd 306 13/1/11 20:50:23 326. 6.5Flexin asimtrica 307 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Orientacin del eje neutro. La ubicacin z del eje neutro (NA), figura 6-33b, puede establecerse mediante proporcin. A lo largo del borde BC, se requiere De la misma manera, tambin es la distancia desde D hasta el eje neu- tro en la figura 6-33b. Asimismo, tambin se puede establecer la orientacin del eje neutro mediante la ecuacin 6-19, que se utiliza para especificar el ngulo a que forma con el eje z o con el eje principal mximo. De acuerdo con la convencin de signos adoptada, u debe medirse desde el eje +z hacia el eje +y. Por comparacin, en la figura 6-33c, u = -tan -14 3 = -53.1 (o bien u = +306.9). Por lo tanto, Este resultado se muestra en la figura 6-33c. Usando el valor de z calculado anteriormente, verifique que se obtiene la misma respuesta si se emplea la geometra de la seccin transversal. x z y M 12 kNm (a) 0.2 m 0.2 m 0.1 m 0.1 m E D B 4 C 3 5 (b) A D C B N E 0.2 m z 2.25 MPa 4.95 MPa 4.95 MPa 2.25 MPa (c) 3 45 A B C D N y z E M 12 kNm a 79.4 a u 53.1 Figura 6-33 z = 0.0625 m 0.450 - 2.25z = 4.95z 2.25 MPa z = 4.95 MPa 10.2 m - z2 Resp.a = -79.4 nat a = 1.067110-3 2 m4 0.2667110-3 2 m4 tan1-53.12 nat a = Iz Iy tan u Capitulo 06_Hibbeler.indd 307 13/1/11 20:50:26 327. 308 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.16 Figura 6-34 La seccin en Z de la figura 6-34a est sometida al momento flexionan- te de M = 20 kN m. Con base en los mtodos del apndice A (vea los ejemplos A.4 o A.5), los ejes principales y y z se orientan de la manera mostrada para representar los momentos de inercia principales mni- mo y mximo, Iy = 0.960(10-3 ) m4 e Iz = 7.54(10-3 ) m4 , respectivamente. Determine el esfuerzo normal en el punto P y la orientacin del eje neutro. SOLUCIN Para el uso de la ecuacin 6-19, es importante que el eje z represente el eje principal para el momento de inercia mximo. (Tenga en cuenta que la mayor parte del rea se ubica fuera de este eje.) Componentes del momento interno. A partir de la figura 6-34a, Esfuerzo flexionante. En primer lugar deben determinarse las coordenadas y y z del punto P. Observe que las coordenadas y y zde P son (-0.2 m, 0.35 m). Si se usan los tringulos de construccin con distintos sombreados de la figura 6-34b, se tiene Al aplicar la ecuacin 6-17, Orientacin del eje neutro. El ngulo u = 57.1 se muestra en la figura 6-34a. As, El eje neutro est orientado como se muestra en la figura 6-34b. Mz = 20 kN # m cos 57.1 = 10.86 kN # m My = 20 kN # m sen 57.1 = 16.79 kN # m zP = 0.35 cos 32.9 - 0.2 sen 32.9 = 0.1852 m yP = -0.35 sen 32.9 - 0.2 cos 32.9 = -0.3580 m Resp.= 3.76 MPa = - 110.86(103 ) N # m21-0.3580 m2 7.54110-3 2 m4 + 116.79(103 ) N # m210.1852 m2 0.960110-3 2 m4 sP = - Mz yP Iz + My zP Iy Resp.a = 85.3 nat a = B 7.54110-3 2 m4 0.960110-3 2 m4 R tan 57.1 (a) z Mz My P 400 mm 100 mm 300 mm M 20 kNm 100 mm 32.9 y z y u 57.1 A zz (b) N 0.350 m0.200 m 32.9 32.9 y y P a 85.3 Fig. 6-34 Capitulo 06_Hibbeler.indd 308 13/1/11 20:50:29 328. 6.5Flexin asimtrica 309 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 F6-20. Determine el esfuerzo flexionante desarrollado en las esquinas A y B. Cul es la orientacin del eje neutro? problemas fundamentales F6-21. Determine el esfuerzo mximo en la seccin trans- versal de la viga. PROBLEMAS 6-109. La viga est sometida a un momento flexionante de M = 20 kip pie dirigido como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo flexionante mximo en la viga y la orientacin del eje neutro. 6-110. Determine la magnitud mxima del momento fle- xionante M que puede aplicarse a la viga de modo que el esfuerzo flexionante en el elemento no exceda 12 ksi. 6-111. Si el momento interno resultante que acta sobre la seccin transversal del puntal de aluminio tiene una mag- nitud de M = 520 N m y est dirigido como se muestra en la figura, determine el esfuerzo flexionante en los puntos A y B. Para ello, tambin debe determinar la ubicacin y del centroide C del rea de la seccin transversal del puntal. Adems, especifique la orientacin del eje neutro. *6-112. El momento interno resultante que acta sobre la seccin transversal del puntal de aluminio tiene una magni- tud de M = 520 N m y est dirigido como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo flexionante mximo en el pun- tal. Para ello, debe terminarse la ubicacin y del centroide C del rea transversal. Adems, especifique la orientacin del eje neutro. 16 pulg 10 pulg 8 pulg 14 pulg y z M B C A D 45 Probs. 6-109/110 20 mm20 mm z B C y 200 mm y M 520 Nm 12 5 13 200 mm 200 mm A 20 mm Probs. 6-111/112 y x 4 35 150 mm 150 mm 100 mm 100 mm A B z 50 kNm F6-20 C D A B 6 pulg 4 pulg 50 lbpie30 y z F6-21 Capitulo 06_Hibbeler.indd 309 13/1/11 20:50:34 329. 310 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-113. Considere el caso general de una viga prismtica sometida a las componentes del momento flexionante My y Mz , como se muestra en la figura, cuando los ejes x, y, z pa- san por el centroide de la seccin transversal. Si el material es elstico lineal, el esfuerzo normal en la viga es una fun- cin lineal de la posicin en la que s = a + by + cz. Usando las condiciones de equilibrio 0 = A sdA, My = A zs dA, Mz = A -ys dA, determine las constantes a, b y c, y de- muestre que el esfuerzo normal puede calcularse a partir de la ecuacin s = [-(Mz Iy + My Iyz )y + (Mz Iy + Mz Iyz )z]> (Iy Iz - Yyz 2 ), donde los momentos y productos de inercia estn definidos en el apndice A. 6-114. La viga en voladizo est hecha con una seccin de Z que tiene el rea transversal mostrada en la figura. Si so- porta las dos cargas, determine el esfuerzo flexionante en el punto A de la pared de la viga. Use el resultado del proble- ma 6-113. 6-115. La viga en voladizo est hecha con una seccin de Z que tiene el rea transversal mostrada en la figura. Si soporta las dos cargas, determine el esfuerzo flexionante en el pun- to B de la pared de la viga. Use el resultado del problema 6-113. *6-116. La viga de acero en voladizo con perfil en I de ala ancha est sometida a la fuerza concentrada P en uno de sus extremos. Determine la mayor magnitud de esta fuerza de modo que el esfuerzo flexionante desarrollado en A no supere sperm = 180 MPa. 6-117. La viga de acero en voladizo con perfil en I de ala ancha est sometida a la fuerza concentrada de P = 600 N en uno de sus extremos. Determine el esfuerzo flexionante mximo desarrollado en la seccin A de la viga. 6-118. Si la viga est sometida al momento interno de M = 1200 kN m, determine el esfuerzo flexionante mximo que acta sobre la viga y la orientacin del eje neutro. 6-119. Si la viga est fabricada de un material que tiene un esfuerzo permisible en tensin y en compresin de (sperm )t = 125 MPa y (sperm )c = 150 MPa, respectivamente, determine el momento interno M mximo permisible que puede apli- carse a la viga. y y z x z dA My C Mz s Prob. 6-113 2 pies 50 lb 50 lb 3 pies 3 pulg 0.25 pulg 0.25 pulg 0.25 pulg 2.25 pulg 2 pulg A B Probs. 6-114/115 150 mm 10 mm 10 mm 10 mm 200 mm 30 z y x A P 2 m Probs. 6-116/117 150 mm 150 mm 150 mm 150 mm 300 mm 150 mm y xz M 30 Probs. 6-118/119 Capitulo 06_Hibbeler.indd 310 13/1/11 20:50:41 330. 6.5Flexin asimtrica 311 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *6-120. El eje est apoyado en dos chumaceras A y B que no ofrecen resistencia a las cargas axiales. Determine el di- metro d requerido del eje si el esfuerzo flexionante permisi- ble para el material es sperm = 150 MPa. 6-121. El eje de 30 mm de dimetro est sometido a las cargas vertical y horizontal de las dos poleas mostradas. Se apoya en dos chumaceras A y B que no ofrecen resistencia a las cargas axiales. Por otra parte, puede considerarse que el acoplamiento al motor en C no ofrece ningn tipo de apoyo al eje. Determine el esfuerzo flexionante mximo desarro- llado en el eje. 6-122. Utilizando las tcnicas descritas en el apndice A, ejemplo A.5 o A.6, se determin que la seccin en Z tie- ne momentos principales de inercia de Iy = 0.060(10-3 ) m4 e Iz = 0.471(10-3 ) m4 , calculados sobre los ejes principales de inercia y y z, respectivamente. Si la seccin se somete a un momento interno de M = 250 N m dirigido horizontal- mente como se muestra en la figura, determine el esfuerzo producido en el punto A. Resuelva el problema empleando la ecuacin 6-17. 6-123. Resuelva el problema 6-122, para ello use la ecua- cin desarrollada en el problema 6-113. *6-124. Utilizando las tcnicas descritas en el apndice A, ejemplo A.5 o A.6, se determin que la seccin en Z tie- ne momentos principales de inercia de Iy = 0.060(10-3 ) m4 e Iz = 0.471(10-3 ) m4 , calculados sobre los ejes principales de inercia y y z, respectivamente. Si la seccin se somete a un momento interno de M = 250 N m dirigido horizontal- mente como se muestra en la figura, determine el esfuerzo producido en el punto B. Resuelva el problema empleando la ecuacin 6-17. 6-125. Determine el esfuerzo flexionante en el punto A de la viga, y la orientacin del eje neutro. Utilizando el mtodo del apndice A, se determin que los momentos principa- les de inercia de la seccin transversal son Iz = 8.828 pulg4 e Iy = 2.295 pulg4 , donde z y y son los ejes principales. Resuel- va el problema empleando la ecuacin 6-17. 6-126. Determine el esfuerzo flexionante en el punto A de la viga usando el resultado obtenido en el problema 6-113. Los momentos de inercia del rea de la seccin transversal sobre los ejes z y y son Iz = Iy = 5.561 pulg4 y el producto de inercia del rea de la seccin transversal respecto a los ejes z y y es Iyz = -3.267 pulg4 . (Vea el apndice A.) 300 N 300 N 150 N150 N 200 N 200 N 0.5 m 0.5 m 0.5 m 0.5 m A D E C z x B y Prob. 6-120 1 m 150 N 400 N 400 N 60 mm 100 mm 150 N 1 m A D E B C yz x 1 m 1 m Prob. 6-121 200 mm 50 mm 50 mm 300 mm z z 250 Nm y y A 32.9 50 mm 200 mm B Probs. 6-122/123/124 4 pulg 4 pulg 0.5 pulg 1.183 pulg 1.183 pulg A C z z y y 45 M 3 kip pie 0.5 pulg Probs. 6-125/126 Capitulo 06_Hibbeler.indd 311 13/1/11 20:50:50 331. 312 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *6.6 Vigas compuestas Las vigas fabricadas con dos o ms materiales diferentes se conocen como vigas compuestas. Por ejemplo, una viga puede fabricarse de madera con fajas de acero en su parte superior e inferior, figura 6-35. Los ingenieros disean vigas de esta forma con el propsito de desarrollar un medio ms eficiente para soportar las cargas. Como la frmula de la flexin se desarroll slo para vigas que tienen un material homogneo, sta no puede aplicarse directamente para la de- terminacin del esfuerzo normal en una viga compuesta. Sin embargo, en esta seccin se desarrollar un mtodo para modificar o transformar la seccin transversal de una viga compuesta en una viga fabricada con un solo material. Una vez hecho esto, puede emplearse la frmula de la flexin para el anlisis de esfuerzos. Para explicar cmo se hace esto, considere una viga compuesta de dos materiales, 1 y 2, que tiene el rea de la seccin transversal mostrada en la figura 6-36a. Si se aplica un momento flexionante sobre esta viga, entonces, al igual que una viga homognea, el rea total de la seccin transversal permanecer plana despus de flexionarse, y por ende las deformaciones normales variarn linealmente desde cero en el eje neutro hasta un mxi- mo en el material ubicado en el sitio ms alejado de este eje, figura 6-36b. Siempre que el material sea elstico lineal, el esfuerzo normal en cualquier punto del material 1 se determina a partir de s = E1 P, y para el material 2 se encuentra que la distribucin de esfuerzos a partir de s = E2 P. Si el material 1 es ms rgido que el material 2, entonces E1 7 E2 por lo que la distribucin de esfuerzos es similar a la mostrada en la figura 6-36c o 6-36d. En particular, observe el aumento en el esfuerzo que se produce en la unin de los dos materiales. Aqu la deformacin es la misma, pero como el mdulo de elasticidad de los materiales cambia de manera sbita, por lo que ocurre lo mismo con el esfuerzo. La ubicacin del eje neutro y el esfuerzo mximo puede determinarse con base en un procedimiento de prueba y error. Lo anterior requiere que se cumplan las condiciones de que la distribucin del esfuerzo produzca una fuerza resultante cero en la Placas de acero M Figura 6-35 Capitulo 06_Hibbeler.indd 312 13/1/11 20:50:51 332. 6.6 Vigas compuestas 313 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 seccin transversal y que el momento de la distribucin del esfuerzo alre- dedor del eje neutro sea igual a M. Una manera ms sencilla de cumplir estas dos condiciones es el uso del mtodo de la seccin transformada, que convierte la viga compuesta en una viga fabricada de un solo material. Por ejemplo, si se considera que la viga consiste enteramente del material 2 que es el menos rgido, entonces, la sec- cin transversal ser similar a la mostrada en la figura 6-36e. Aqu la altura h de la viga sigue siendo la misma, puesto que debe conservarse la distri- bucin de la deformacin de la figura 6-36b. Sin embargo, la parte superior de la viga debe ensancharse a fin de soportar una carga equivalente a la rea- lizada por el material 1 ms rgido de la figura 6-36d. La anchura necesaria puede determinarse considerando la fuerza dF que acta sobre un rea dA = dzdy de la viga en la figura 6-36a. sta es dF = sdA = (E1 P)dzdy. Si se supone que la anchura de un elemento correspondiente de altura dy en la figura 6-36e es n dz, entonces dF = sdA = (E2 P)ndzdy. Al igualar estas fuerzas, de modo que produzcan el mismo momento alrededor del eje z (neutro), se tiene o bien E1P dz dy = E2Pn dz dy (6-20)n = E1 E2 Material menos rgido M dy dz y z y h b Material rgido (a) x 2 1 M x y Variacin de la deformacin normal (vista de perfil) (b) M x y Variacin del esfuerzo flexionante (vista de perfil) (c) y z x M Variacin del esfuerzo flexionante (d) Figura 6-36 Capitulo 06_Hibbeler.indd 313 13/1/11 20:50:59 333. 314 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Este nmero n adimensional se denomina factor de transformacin. Indi- ca que la seccin transversal, con una anchura b en la viga original, figura 6-36a, debe aumentarse en anchura hasta b2 = nb en la regin donde el material 1 se transforma en el material 2, figura 6-36e. De manera similar, si el material 2 menos rgido se transforma en el material 1 ms rgido, la seccin transversal ser similar a la mostrada en la figura 6-36f. Aqu la anchura del material 2 se ha cambiado a b1 = nb, donde n = E2 >E1 . En este caso el factor de transformacin n ser menor que uno ya que E1 > E2 . En otras palabras, se requiere menor cantidad del material ms rgido para soportar el momento. Una vez que la viga compuesta se ha transformado en una viga de un solo material, la distribucin del esfuerzo normal sobre la seccin transver- sal transformada ser lineal, como se muestra en la figura 6-36g o 6-36h. En consecuencia, es posible determinar el centroide (eje neutro) y el mo- mento de inercia del rea transformada para despus aplicar la frmula de la flexin de la manera habitual, a fin de determinar el esfuerzo en cada punto de la viga transformada. El esfuerzo en la viga transformada ser equivalente al esfuerzo en el mismo material de la viga real; sin embargo, el esfuerzo que se encuentre en el material transformado debe multipli- carse por el factor de transformacin n (o n), como el rea del material transformado, dA = ndzdy, es n veces el rea del material real dA = dzdy. Es decir, En el ejemplo 6.17 se ilustra numricamente la aplicacin del mtodo de la seccin transformada. (6-21)s = ns s dz dy = sn dz dy dF = s dA = sdA dy y z h b 2 (e) Viga transformada al material 2 x 2 ndz y b2 nb h b1 nb 1 1 b (f) Viga transformada al material 1 2 2 y z (g) Variacin del esfuerzo flexionante para la viga transformada al material 2 x M 1 1 y z (h) Variacin del esfuerzo flexionante para la viga transformada al material 2 x M Figura 6-36 (cont.) Puntos importantes Las vigas compuestas estn fabricadas de diferentes materiales para soportar una carga de manera eficiente. La aplicacin de la frmula de la flexin requiere que el material sea homogneo, por lo que si se desea emplear dicha frmula para calcular el es- fuerzo flexionante, la seccin transversal de la viga debe transfor- marse en un solo material. El factor de transformacin n es una relacin entre los mdulos de los diferentes materiales que componen la viga. Usado como un multiplicador, este factor convierte la anchura de la seccin transversal de la viga compuesta en el de una viga fabricada de un solo material de modo que sta tenga la misma resistencia que la viga compuesta. As, el material rgido ser remplazado por una mayor cantidad de los materiales ms blandos y viceversa. Una vez que se determina el esfuerzo en la seccin transformada, ste debe multiplicarse por el factor de transformacin a fin de obtener el esfuerzo en la viga real. Capitulo 06_Hibbeler.indd 314 13/1/11 20:51:08 334. 6.7 Vigas de concreto reforzado 315 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *6.7 Vigas de concreto reforzado Todas las vigas sometidas a flexin pura deben resistir tanto esfuerzos de tensin como de compresin. Sin embargo, el concreto es muy susceptible al agrietamiento cuando se encuentra en tensin, y por lo tanto no resulta adecuado por s mismo para resistir un momento flexionante.* Para evitar este inconveniente, los ingenieros colocan varillas de acero de refuerzo dentro de una viga de concreto en una ubicacin donde el concreto se encuentre en tensin, figura 6-37a. Para ser ms eficaces, estas barras se lo- calizan tan lejos como sea posible del eje neutro de la viga, de modo que el momento creado por las fuerzas desarrolladas en ellas sea mayor respecto al eje neutro. Adems, se requiere que las varillas tengan algo de cubierta de concreto para protegerlas de la corrosin o prdida de resistencia en caso de incendio. Los cdigos utilizados para el diseo real de concreto reforzado suponen que la capacidad del concreto no soportar ninguna carga de tensin, ya que su posible agrietamiento es impredecible. Como resultado, se asume que la distribucin de esfuerzos normales que actan sobre el rea de la seccin transversal de una viga de concreto reforzado es similar a la mostrada en la figura 6-37b. El anlisis de esfuerzos requiere la ubicacin del eje neutro y la deter- minacin del esfuerzo mximo en el acero y el concreto. Para ello, primero se transforma el rea del acero Aac en un rea equivalente de concreto empleando el factor de transformacin n = Eac >Econc . Esta relacin, que da n 7 1, requiere una cantidad mayor de concreto para remplazar el acero. El rea transformada es nAac y la seccin transformada es similar a la mos- trada en la figura 6-37c. Aqu d representa la distancia que hay desde la parte superior de la viga hasta la del acero (transformado), b es la anchura de la viga, y h es la distancia an desconocida desde la parte superior de la viga hasta el eje neutro. Para obtener h, se requiere que el centroide C del rea de la seccin transversal transformada se encuentre sobre el eje neu- tro, figura 6-37c. Por lo tanto, el momento de las dos reas alrededor del eje neutro, y ' A, debe ser cero, ya que y = y ' A>A = 0. Por lo tanto, b 2 h2 + nAach - nAacd = 0 bha h 2 b - nAac1d - h2 = 0 *Una inspeccin del diagrama particular de esfuerzo-deformacin en la figura 3-11 revela que el concreto puede ser 12.5 veces ms resistente en compresin que en tensin. Una vez que se obtiene h a partir de esta ecuacin cuadrtica, se encuen- tra la solucin de la forma habitual para obtener el esfuerzo en la viga. En el ejemplo 6.18 se ilustra numricamente la aplicacin de este mtodo. (a) b d M A (b) M Se supone que el concreto se agrieta dentro de esta regin. N (c) A N b dh C n Aac Figura 6-37 Capitulo 06_Hibbeler.indd 315 13/1/11 20:51:12 335. 316 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.17 Figura 6-38 Una viga compuesta est fabricada de madera y reforzada con una fran- ja de acero situada en su parte inferior. Tiene el rea de la seccin trans- versal mostrada en la figura 6-38a. Si la viga se somete a un momento flexionante de M = 2 kN m, determine el esfuerzo normal en los pun- tos B y C. Considere que Ew = 12 GPa y Eac = 200 GPa. SOLUCIN Propiedades de la seccin. Aunque la eleccin es arbitraria, aqu se transformar la seccin en una viga fabricada completamente de ace- ro. Como el acero tiene una mayor rigidez que la madera (Eac 7 Ew ), la anchura de la madera debe reducirse a una anchura equivalente para el acero. Por consiguiente, n debe ser menor que uno. Para que esto sea as, n = Ew >Eac , de modo que En la figura 6-38b se muestra la seccin transformada. La ubicacin del centroide (eje neutro), calculada desde un eje de referencia situado en la parte inferior de la seccin, es Por lo tanto, el momento de inercia respecto al eje neutro es bac = nbw = 12 GPa 200 GPa 1150 mm2 = 9 mm y = yA A = [0.01 m]10.02 m210.150 m2 + [0.095 m]10.009 m210.150 m2 0.02 m10.150 m2 + 0.009 m10.150 m2 = 0.03638 m = 9.358110-6 2 m4 + c 1 12 10.009 m210.150 m23 + 10.009 m210.150 m210.095 m - 0.03638 m22 d INA = c 1 12 10.150 m210.02 m23 + 10.150 m210.02 m210.03638 m - 0.01 m22 d (a) 150 mm 20 mm C B 150 mm M 2 kNm _ y 9 mm (b) 150 mm 20 mm C B N A 150 mm Capitulo 06_Hibbeler.indd 316 13/1/11 20:51:15 336. 6.7 Vigas de concreto reforzado 317 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Figura 6-38 (cont.) Esfuerzo normal. Si se aplica la frmula de la flexin, el esfuerzo normal en B y C es 7.78 MPa 28.6 MPa 3.50 MPa B C (c) M 2 kNm 7.78 MPa C 3.50 MPa 0.210 MPa 1.71 MPa B (d) M 2 kNm En la figura 6-38c se muestra la distribucin del esfuerzo normal sobre la seccin transformada (toda de acero). El esfuerzo normal en el punto B de la madera que se muestra en la figura 6-38a, puede determinarse a partir de la ecuacin 6-21; es decir, Con base en estos conceptos, demuestre que el esfuerzo normal en el acero y la madera en el punto donde hacen contacto es sac = 3.50 MPa y sw = 0.210 MPa, respectivamente. En la figura 6-38d se muestra la distribucin normal del esfuerzo en la viga real. Resp.sC = 2(103 ) N # m10.03638 m2 9.358110-6 2 m4 = 7.78 MPa sB = 2(103 ) N # m10.170 m - 0.03638 m2 9.358110-6 2 m4 = 28.6 MPa Resp.sB = nsB = 12 GPa 200 GPa 128.56 MPa2 = 1.71 MPa Capitulo 06_Hibbeler.indd 317 13/1/11 20:51:26 337. EJEMPLO 6.18 12 pulg 18 pulg 2 pulgbarras de 1 pulg de dimetro 60 kippie (a) 318 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 La viga de concreto reforzado tiene el rea de la seccin transversal mostrada en la figura 6-39a. Si se somete a un momento flexionante de M = 60 kip pie, determine el esfuerzo normal en cada una de las vari- llas de acero de refuerzo y el esfuerzo normal mximo en el concreto. Considere que Eac = 29(103 ) ksi y Econc = 3.6(103 ) ksi. SOLUCIN Como la viga est fabricada de concreto, en el siguiente anlisis no se tomar en cuenta su resistencia para soportar un esfuerzo de tensin. Propiedades de la seccin. El rea total de acero, Aac = 2[p(0.5 pulg)2 ] = 1.571 pulg2 se transformar en un rea equivalente de concre- to, figura 6-39b. Aqu Al despejar la raz positiva, Utilizando este valor de h, el momento de inercia de la seccin trans- formada respecto al eje neutro es Esfuerzo normal. Al aplicar la frmula de la flexin en la seccin transformada, el esfuerzo normal mximo en el concreto es El esfuerzo normal resistido por la franja de concreto que sustituy a la de acero, es Por lo tanto, el esfuerzo normal en cada una de las dos varillas de re- fuerzo es La distribucin del esfuerzo normal se muestra grficamente en la figu- ra 6-39c. A = nAac = 291103 2 ksi 3.61103 2 ksi 11.571 pulg2 2 = 12.65 pulg2 Se requiere que el centroide est sobre el eje neutro. As, y ' A = 0, o bien 2 h + 2.11h - 33.7 = 0 pulg21 1h2 h 2 - 12.65 pulg2 116 pulg - h2 = 0 h = 4.85 pulg = 2029 pulg4 + 12.65 pulg2 116 pulg - 4.85 pulg22 I = c 1 12 112 pulg214.85 pulg23 + 12 pulg14.85 pulg2a 4.85 pulg 2 b 2 d Resp.1sconc2mx = [60 kip # pie112 pulg >pie2]14.85 pulg2 2029 pulg4 = 1.72 ksi sconc = [60 kip # pie112 pulg >pie2]116 pulg - 4.85 pulg2 2029 pulg4 = 3.96 ksi Resp.sac = nsconc = 291103 2 ksi 3.61103 2 ksi 3.96 ksi = 31.9 ksi C AN 12 pulg h 16 pulg A 12.65 pulg2 (b) (c) 1.72 ksi 31.9 ksi 31.9 ksi 4.85 pulg Figura 6-39 Capitulo 06_Hibbeler.indd 318 13/1/11 20:51:32 338. 6.8 Vigas curvas 319 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *6.8 Vigas curvas La frmula de la flexin es aplicable para un elemento recto, ya que se demostr que la deformacin normal dentro de dicho elemento vara li- nealmente desde el eje neutro. Sin embargo, si el elemento es curvo, esta suposicin se vuelve inexacta, por lo que debe desarrollarse otro mtodo para describir la distribucin de esfuerzos. En esta seccin se considerar el anlisis de una viga curva, es decir, un elemento que tiene un eje curvo y est sometido a flexin. Entre los ejemplos tpicos se incluyen ganchos y eslabones de cadena. En todos los casos, los elementos no son delgados, sino que tienen una curva cerrada y sus dimensiones transversales son grandes en comparacin con su radio de curvatura. En el anlisis siguiente se supone que la seccin transversal es constante y que tiene un eje de simetra perpendicular a la direccin del momento M aplicado, figura 6-40a. Adems, el material es homogneo e isotrpico, y se comporta de manera elstico lineal cuando se le aplica la carga. Como en el caso de una viga recta, tambin se asumir que las secciones transver- sales de los elementos siguen siendo planas despus de aplicar el momento. Adems, no se tomar en cuenta cualquier distorsin de la seccin trans- versal dentro de su propio plano. Para realizar el anlisis, en la figura 6-40a se identifican tres radios que se extienden desde el centro de curvatura O del elemento. Aqu r hace referencia a la ubicacin conocida del centroide para el rea de la seccin transversal, R se refiere a la ubicacin no especificada del eje neutro y r localiza el punto arbitrario o elemento de rea dA sobre la seccin trans- versal. Este gancho de gra representa un ejemplo tpico de una viga curva. A A M MR r y Rr eN A y C dA (a) Centroide Eje neutro Elemento de rea dA _ r _ r O Figura 6-40 Capitulo 06_Hibbeler.indd 319 13/1/11 20:51:34 339. 320 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 320 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Aqu R =la ubicacin del eje neutro, especificado desde el centro de curvatura O del elemento A =el rea de la seccin transversal del elemento r =la posicin arbitraria del elemento de rea dA sobre la seccin transversal, especificada desde el centro de curvatura O del ele- mento La integral de la ecuacin 6-23 se ha evaluado para secciones transver- sales con distintas geometras y los resultados para algunas de las formas ms comunes se presentan en la tabla 6-1. Si se asla un segmento diferencial de la viga, figura 6-40b, el esfuerzo tiende a deformar el material de manera que cada seccin girar un ngulo du>2. Ahora se determinar la deformacin normal P en la franja (o lnea) de material ubicada en r. Esta franja tiene una longitud original rdu, figura 6-40b. Sin embargo, debido a las rotaciones de du>2, el cambio total en la longitud de la franja es igual a du(R - r). En consecuencia, P = du(R - r)>r du. Si se hace k = du>du, que es la misma para cualquier franja en particular, se tiene P = k(R - r)>r. A diferencia del caso de las vigas rectas, aqu se pue- de ver que la deformacin normal es una funcin no lineal de r, de hecho, vara en forma hiperblica. Esto ocurre aun cuando la seccin transversal de la viga se mantiene plana despus de la deformacin. Si el material si- gue siendo elstico lineal, entonces s = EP y por lo tanto Esta variacin tambin es hiperblica y, como ya se ha establecido, es po- sible determinar la ubicacin del eje neutro y relacionar la distribucin del esfuerzo con el momento interno resultante M. Para obtener la ubicacin R del eje neutro, se requiere que la fuerza interna resultante causada por la distribucin del esfuerzo que acta sobre la seccin transversal sea igual a cero; es decir, Como Ek y R son constantes, se tiene Al despejar R resulta (6-22)s = Eka R - r r b LA Eka R - r r b dA = 0 LA s dA = 0FR = Fx; R LA dA r - LA dA = 0 (6-23) R = A LA dA r (b) M M (R r) (R r) r rdu du du 2 du 2 du 2 du 2 (R r) O Figura 6-40 (cont.) Forma 2a 2b 2c b b r2 r1 r2 r1 _ r _ r c2 2p _ r _ r2 2pb a bln r2 r1 b r2 (r2 r1) b ln r2 r1 a2 _ r _ r2 dA r 1 A TABLA 6-1 Capitulo 06_Hibbeler.indd 320 13/1/11 20:51:38 340. 6.8 Vigas curvas 321 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Con el fin de relacionar la distribucin del esfuerzo con el momento flexionante resultante, se requiere que el momento interno resultante sea igual al momento de la distribucin del esfuerzo calculado respecto al eje neutro. A partir de la figura 6-40a, el esfuerzo s, que acta sobre el ele- mento de rea dA y se ubica a una distancia y desde el eje neutro, crea un momento alrededor del eje neutro de dM = y(sdA). Para toda la seccin transversal, se requiere que M = ys dA. Como y = R - r, y s est definida por la ecuacin 6-22, se tiene Mediante una expansin, se observa que Ek y R son constantes, entonces La primera integral es equivalente a A>R tal como se determin a partir de la ecuacin 6-23, y la segunda integral es simplemente el rea A de la seccin transversal. Si se toma en cuenta que la ubicacin del centroide de la seccin transversal se determina a partir de r = rdA>A, la tercera integral puede sustituirse por r. Por lo tanto, Por ltimo, si se despeja Ek de la ecuacin 6-22, se sustituye en la ecuacin anterior y se despeja s, resulta Aqu s =el esfuerzo normal en el elemento M =el momento interno, determinado con base en el mtodo de las secciones y las ecuaciones de equilibrio; se calcula alrededor del eje neutro de la seccin transversal. Este momento es positivo si tiende a aumentar el radio de curvatura del elemento, es decir, tiende a enderezar el elemento A =el rea de seccin transversal del elemento R =la distancia medida desde el centro de curvatura hasta el eje neu- tro; se determina a partir de la ecuacin 6-23 r =la distancia medida desde el centro de curvatura hasta el centroide de la seccin transversal r =la distancia medida desde el centro de curvatura hasta el punto donde debe determinarse el esfuerzo s M = LA 1R - r2Eka R - r r b dA M = EkR2 LA dA r - 2R LA dA + LA r dA M = EkA1r - R2 (6-24)s = M1R - r2 Ar1r - R2 Capitulo 06_Hibbeler.indd 321 13/1/11 20:51:40 341. 322 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A partir de la figura 6-40a, r = R - y. Adems, la distancia constante y usualmente muy pequea entre el eje neutro y el centroide es e = r - R. Cuando estos resultados se sustituyen en la ecuacin 6-24, tambin se pue- de escribir *Vea, por ejemplo, Boresi, A. P. et al., Advanced Mechanics of Materials. 3a. ed., p. 333, 1978, John Wiley & Sons, Nueva York. Estas dos ecuaciones representan dos formas distintas de la expresin conocida como frmula de la viga curva, que al igual que la frmula de la flexin puede usarse para determinar la distribucin del esfuerzo normal en un elemento curvo. Como ya se dijo, esta distribucin es hiperblica; en las figuras 6-40c y 6-40d se muestra un ejemplo. Como el esfuerzo acta a lo largo de la circunferencia de la viga, en ocasiones se denomina esfuerzo circunferencial. Observe que debido a la curvatura de la viga, el esfuerzo circunferencial crear una componente correspondiente del esfuerzo ra- dial, denominado as porque la componente acta en la direccin radial. Para mostrar cmo se desarrolla, considere el diagrama de cuerpo libre del segmento mostrado en la figura 6-40e. Aqu, el esfuerzo radial sr es necesario porque crea la fuerza dFr , la cual es necesaria para equilibrar las dos componentes de las fuerzas circunferenciales dF que actan a lo largo de la lnea OB. Algunas veces, los esfuerzos radiales dentro de los elementos curvos pueden ser importantes, en especial si el elemento est hecho de lminas delgadas y dF tiene, por ejemplo, la forma de una seccin en I. En este caso, el esfuerzo radial puede llegar a ser tan grande como el esfuerzo cir- cunferencial y, por lo tanto, el elemento debe disearse para resistir ambos tipos de esfuerzo. Sin embargo, en la mayora de los casos estas tensiones no se toman en cuenta, sobre todo si el elemento tiene una seccin slida. Aqu, la frmula de la viga curva da resultados que concuerdan de manera cercana con los encontrados mediante la experimentacin o por medio de un anlisis matemtico basado en la teora de la elasticidad. Por lo general, la frmula de la viga curva se usa cuando la curvatura del elemento es muy pronunciada, como en el caso de los ganchos o anillos. Sin embargo, si el radio de curvatura es mayor que cinco veces la profundi- dad del elemento, la frmula de la flexin suele utilizarse para determinar el esfuerzo. Por ejemplo, para las secciones rectangulares en las que esta relacin es igual a 5, el esfuerzo normal mximo determinado mediante la frmula de la flexin ser aproximadamente 7 por ciento menor que su valor cuando se calcula por medio de la frmula de la viga curva. Este error se reduce an ms cuando la relacin del radio de curvatura sobre la profundidad es mayor a 5.* (6-25)s = My Ae1R - y2Variacin del esfuerzo flexionante (vista de perfil) (c) M smx (d) M A N smx (e) B sr s s dF dF dFr O Figura 6-40 (cont.) Capitulo 06_Hibbeler.indd 322 13/1/11 20:51:42 342. 6.8 Vigas curvas 323 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Puntos importantes La frmula de la viga curva debe utilizarse para determinar el esfuerzo circunferencial en una viga cuando el radio de curvatura es menor a cinco veces la profundidad de la viga. Debido a la curvatura de la viga, la deformacin normal en sta no vara linealmente con la profundidad como en el caso de una viga recta. En consecuencia, el eje neutro no pasa por el centroide de la seccin transversal. Por lo general, la componente del esfuerzo radial causada por la flexin puede pasarse por alto, en espe- cial si la seccin transversal es una seccin slida y no est fabricada de lminas delgadas. Procedimiento de anlisis Si se desea aplicar la frmula de la viga curva, se sugiere aplicar el siguiente procedimiento. Propiedades de la seccin. Determine el rea A de la seccin transversal y la ubicacin r del centroide, medida desde el centro de curvatura. Encuentre la ubicacin R del eje neutro mediante la ecuacin 6-23 o la tabla 6-1. Si el rea de la seccin transversal es com- puesta y consiste de n partes, determine dA>r para cada parte. Entonces, a partir de la ecuacin 6-23, para toda la seccin, R = A>(dA>r). En todos los casos, R 6 r. Esfuerzo normal. El esfuerzo normal situado en un punto r alejado del centro de curvatura se determina con base en la ecuacin 6-24. Si la dis- tancia y al punto se mide desde el eje neutro, entonces encuen- tre e = r - R y use la ecuacin 6-25. Como r - R suele producir un nmero muy pequeo, lo mejor es calcular r y R con la precisin suficiente para que la resta conduzca a un nmero e que tenga al menos cuatro cifras signi- ficativas. Si el esfuerzo es positivo ser de tensin, y si es negativo ser de compresin. La distribucin del esfuerzo puede graficarse para toda la sec- cin transversal, o bien puede aislarse un elemento de volumen del material y utilizarlo para representar el esfuerzo que acta en el punto de la seccin transversal donde se ha calculado di- cho esfuerzo. Capitulo 06_Hibbeler.indd 323 13/1/11 20:51:42 343. 324 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.19 La barra curva tiene la seccin transversal que se muestra en la figura 6-41a. Si se somete a los momentos de flexin de 4 kN m, determine el esfuerzo mximo normal desarrollado en la barra. SOLUCIN Momento interno. Cada seccin de la barra est sometida al mis- mo momento resultante interno de 4 kN m. Como este momento tiende a disminuir el radio de curvatura de la barra, es negativo. As, M = -4 kN m. Propiedades de la seccin. Aqu se considerar que la seccin transversal est compuesta por un rectngulo y un tringulo. El rea total de la seccin transversal es 200 mm 250 mm B A 200 mm 50 mm 30 mm 50 mm 280 mm 4 kNm 4 kNm r (a) O Figura 6-41 La ubicacin del centroide se determina con referencia al centro de cur- vatura, es decir el punto O, figura 6-41a. A = 10.05 m22 + 1 2 10.05 m210.03 m2 = 3.250110-3 2 m2 = 0.23308 m = [0.225 m]10.05 m210.05 m2 + [0.260 m]1 210.050 m210.030 m2 3.250110-3 2 m2 r = r ' A A Capitulo 06_Hibbeler.indd 324 13/1/11 20:51:44 344. 6.8 Vigas curvas 325 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Es posible encontrar 1A dA>r para cada parte con base en la tabla 6-1. Para el rectngulo, Y para el tringulo, As, la ubicacin del eje neutro se determina a partir de Observe que R 6 r tal como se esperaba. Adems, los clculos se rea- lizaron con una precisin suficiente de modo que (r - R) = 0.23308 m - 0.23142 m = 0.00166 m es ahora con una precisin de tres cifras sig- nificativas. Esfuerzo normal. El esfuerzo normal mximo se produce en A o bien en B. Al aplicar la frmula de la viga curva para calcular el esfuer- zo normal en B, rB = 0.200 m, se tiene En el punto A, rA = 0.280 m, y el esfuerzo normal es Por comparacin, el esfuerzo normal mximo ocurre en A. En la figura 6-41b se muestra una representacin bidimensional de la distribucin del esfuerzo. LA dA r = 0.05 maln 0.250 m 0.200 m b = 0.011157 m LA dA r = 10.05 m210.280 m2 10.280 m - 0.250 m2 aln 0.280 m 0.250 m b - 0.05 m = 0.0028867 m R = A LA dA>r = 3.250110-3 2 m2 0.011157 m + 0.0028867 m = 0.23142 m = -116 MPa sB = M1R - rB2 ArB1r - R2 = 1-4 kN # m210.23142 m - 0.200 m2 3.250110-3 2 m2 10.200 m210.00166 m2 Resp.= 129 MPa sA = M1R - rA2 ArA1r - R2 = 1-4 kN # m210.23142 m - 0.280 m2 3.250110-3 2 m2 10.280 m2(0.00166 m2 B A (b) 129 MPa 116 MPa 4 kNm Figura 6-41 (cont.) Capitulo 06_Hibbeler.indd 325 13/1/11 20:51:49 345. 326 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.9 Concentraciones de esfuerzo La frmula de la flexin no puede usarse para determinar la distribu- cin de esfuerzos en las regiones de un elemento donde el rea de la seccin transversal cambia de manera sbita, ya que las distribuciones del esfuer- zo normal y de la deformacin en la seccin se vuelven no lineales. Los resultados slo se pueden obtener mediante la experimentacin o, en al- gunos casos, con la teora de la elasticidad. Entre las discontinuidades ms comunes se incluyen los elementos que tienen muescas en sus superficies, figura 6-42a, orificios para el paso de sujetadores u otros dispositivos, fi- gura 6-42b, o cambios abruptos en las dimensiones externas de la seccin transversal del elemento, figura 6-42c. El esfuerzo normal mximo en cada una de estas discontinuidades se produce en la seccin tomada a travs del rea transversal ms pequea. Para el diseo, slo suele ser importante conocer el esfuerzo normal mximo desarrollado en estas secciones, no la distribucin del esfuerzo real. Al igual que en los casos anteriores de las barras cargadas axialmente y los ejes cargados en torsin, es posible obtener el esfuerzo normal mxi- mo debido a la flexin empleando un factor de concentracin del esfuerzo K. Por ejemplo, en la figura 6-43 se dan los valores de K para una barra plana que tiene un cambio en su seccin transversal usando filetes. Para utilizar este grfico basta con encontrar la relaciones geomtricas w>h y r>h, y luego determinar el valor correspondiente de K para una geometra (a) (b) (c) Figura 6-42 0 0.1 0.2 K w h t r 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 w h 4 w h 3 w h 1.5 w h 1.1 r h w h 1.25 Figura 6-43 K 0 w h t b 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 2r 3.4 3.2 3.0 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 r h b r 4 b r 2 b r 1 b r 0.5 Figura 6-44 Capitulo 06_Hibbeler.indd 326 13/1/11 20:52:00 346. 6.9Concentraciones de esfuerzo 327 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 particular. Una vez que se obtiene K, el esfuerzo flexionante mximo mos- trado en la figura 6-45 se determina a partir de En las esquinas afiladas del dintel de esta ventana se producen concentraciones de esfuerzo causadas por la flexin, las cuales son responsables de la grieta que se ve en la esquina. Del mismo modo, la figura 6-44 puede usarse si la discontinuidad consiste en ranuras o muescas circulares. Al igual que en las cargas axial y de torsin, la concentracin del esfuer- zo por flexin siempre debe tenerse en cuenta al disear elementos de ma- teriales frgiles o aquellos que estarn sometidos a fatiga o cargas cclicas. Adems, tenga en cuenta que los factores de concentracin del esfuerzo se aplican slo cuando el material est sujeto a un comportamiento elstico. Si el momento aplicado causa la cedencia del material, como en el caso de los materiales dctiles, el esfuerzo se redistribuye en todo el elemento y el esfuerzo mximo que resulte ser menor que el determinado con factores de concentracin del esfuerzo. Este fenmeno se analiza en la siguiente seccin. Puntos importantes Las concentraciones de esfuerzos ocurren en puntos donde hay un cambio sbito en la seccin transversal, causado por muescas y orificios, porque aqu el esfuerzo y la deformacin se vuelven no lineales. Cuanto ms severo sea el cambio, mayor ser la concen- tracin de esfuerzos. Para el diseo o anlisis, el esfuerzo normal mximo se produce en la seccin transversal con el rea ms pequea. Este esfuerzo puede obtenerse empleando un factor de concentracin del es- fuerzo, K, que se ha determinado mediante la experimentacin y slo es una funcin de la geometra del elemento. Por lo general, la concentracin de esfuerzos en un material dctil sometido a un momento esttico no tendr que ser considerado en el diseo; sin embargo, si el material es frgil o se encuentra sometido a fatiga, entonces las concentraciones de esfuerzos se vuelven importantes. MM smx smx Figura 6-45 (6-26)smx = K Mc I Capitulo 06_Hibbeler.indd 327 13/1/11 20:52:02 347. 328 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.20 La transicin en el rea de la seccin transversal de la barra de acero se logra mediante filetes, como se muestra en la figura 6-46a. Si la barra est sometida a un momento flexionante de 5 kN m, determine el es- fuerzo mximo normal desarrollado en el acero. El lmite de elasticidad es sY = 500 MPa. SOLUCIN El momento crea el mayor esfuerzo en la barra en la base del filete, donde el rea de la seccin transversal es ms pequea. El factor de concentracin de esfuerzos puede determinarse con base en la figura 6-43. A partir de la geometra de la barra, se tiene r = 16 mm, h = 80 mm, w = 120 mm. Por lo tanto, Estos valores dan K = 1.45. Al aplicar la ecuacin 6-26, se tiene Este resultado indica que el acero sigue siendo elstico puesto que el esfuerzo est por debajo del esfuerzo de cedencia (500 MPa). NOTA: La distribucin del esfuerzo normal es no lineal y se muestra en la figura 6-46b. Sin embargo, observe que por el principio de Saint- Venant, seccin 4.1, estos esfuerzos localizados se suavizan y llegan a ser lineales al desplazarse (aproximadamente) una distancia de 80 mm o ms a la derecha de la transicin. En este caso, la frmula de la flexin dasmx =234MPa,figura6-46c.Adems,tengaencuentaquelaopcinde un filete de mayor radio reducir significativamente smx , ya que a me- dida que r aumente en la figura 6-43, K disminuir. r h = 16 mm 80 mm = 0.2 w h = 120 mm 80 mm = 1.5 Resp.smx = K Mc I = 11.452 15(103 ) N # m210.04 m2 C 1 1210.020 m210.08 m23 D = 340 MPa 120 mm r 16 mm 80 mm 20 mm (a) 5 kNm 5 kNm (b) 340 MPa 340 MPa 5 kNm 5 kNm Figura 6-46 5 kNm (c) 234 MPa 234 MPa 5 kNm Capitulo 06_Hibbeler.indd 328 13/1/11 20:52:11 348. 6.9Concentraciones de esfuerzo 329 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 6-127. La viga compuesta est fabricada de aluminio 6061- T6 (A) y latn rojo C83400 (B). Determine la dimensin h de la franja de latn de modo que el eje neutro de la viga se ubique en la costura de los dos metales. Qu momento mximo soportar esta viga si el esfuerzo flexionante permi- sible para el aluminio es (sperm )al = 128 MPa, y para el latn (sperm )br = 35 MPa? *6-128. La viga compuesta est fabricada de aluminio 6061-T6 (A) y latn rojo C83400 (B). Si la altura h = 40 mm, determine el momento mximo que puede aplicarse a la viga si el esfuerzo flexionante permisible para el aluminio es (sperm )al = 128 MPa, y para el latn (sperm )br = 35 MPa. 6-131. La viga de abeto Douglas est reforzada con franjas de acero A-36 en su centro y sus lados. Determine el esfuer- zo mximo desarrollado en la madera y el acero si la viga est sometida a un momento flexionante de Mz = 7.50 kip pie. Dibuje la distribucin del esfuerzo que acta sobre la seccin transversal. 6-129. El segmento A de la viga compuesta est fabrica- do de una aleacin de aluminio 2014-T6 y el segmento B es de acero A-36. Si w = 0.9 kip>pie, determine el esfuerzo flexionante mximo absoluto desarrollado en el aluminio y el acero. Dibuje la distribucin del esfuerzo en la seccin transversal. 6-130. El segmento A de la viga compuesta est fabrica- do de una aleacin de aluminio 2014-T6 y el segmento B es de acero A-36. Si el esfuerzo flexionante permisible para el aluminio y el acero es (sperm )al = 15 ksi y (sperm )ac = 22 ksi, determine la intensidad mxima permisible w de la carga uniformemente distribuida. *6-132. La placa superior est fabricada de aluminio 2014- T6 y se usa para reforzar una viga de plstico Kevlar 49. De- termine el esfuerzo mximo en el aluminio y en el Kevlar si la viga est sometida a un momento de M = 900 lb pie. 6-133. La placa superior est fabricada de aluminio 2014-T6 y se usa para reforzar una viga de plstico Kevlar 49. Si el esfuerzo flexionante permisible para el aluminio es (sperm )al = 40 ksi y para el Kevlar es (sperm )k = 8 ksi. Determi- ne el momento mximo M que puede aplicarse a la viga. B A 50 mm 150 mm h Probs. 6-127/128 w A B 15 pies 3 pulg 3 pulg 3 pulg Probs. 6-129/130 y z6 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg 2 pulg 2 pulg 0.5 pulg Prob. 6-131 0.5 pulg 6 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg 12 pulg M 0.5 pulg Probs. 6-132/133 Capitulo 06_Hibbeler.indd 329 13/1/11 20:52:21 349. 330 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-134. El elemento tiene un ncleo de latn unido a una fundicin de acero. Si se aplica un momento de 8 kN m en su extremo libre, determine el esfuerzo flexionante mximo en el elemento. Ebr = 100 GPa, Eac = 200 GPa. 6-135. El canal de acero se usa para reforzar la viga de madera. Determine el esfuerzo mximo en el acero y en la madera si la viga est sometida a un momento de M = 850 lb pie. Eac = 29(103 ) ksi, Ew = 1600 ksi. *6-136. Una viga de abeto blanco se refuerza con franjas de acero A-36 en sus partes superior e inferior, como se muestra en la figura. Determine el momento flexionante M que puede soportar si (sperm )ac = 22 ksi y (sperm )w = 2.0 ksi. 6-137. Si la viga est sometida a un momento interno de M = 45 kN m, determine el esfuerzo flexionante mximo desarrollado en la seccin A de acero A 36 y en la seccin B de aluminio 2014-T6. 6-138. La viga de concreto est reforzada con tres varillas de acero con un dimetro de 20 mm. Suponga que el concreto no puede soportar cargas de tensin. Si el esfuerzo de com- presin permisible para el concreto es (sperm )con = 12.5 MPa y el esfuerzo permisible de tensin para el acero es (sperm )ac = 220 MPa, determine la dimensin d requerida para que tan- to el concreto como el acero alcancen simultneamente el esfuerzo permisible. A esta condicin se le llama equilibra- da. Adems, calcule el correspondiente momento interno mximo permisible M que se puede aplicar a la viga. Los mdulos de elasticidad para el concreto y el acero son Econ = 25 GPa y Eac = 200 GPa, respectivamente. 3 m 100 mm 20 mm 100 mm 20 mm 20 mm 20 mm 8 kNm Prob. 6-134 0.5 pulg 4 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg 15 pulg M 850 lbpie Prob. 6-135 3 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg 4 pulg x y z M Prob. 6-136 M 150 mm 15 mm B A 50 mm Prob. 6-137 d 200 mm M Prob. 6-138 Capitulo 06_Hibbeler.indd 330 13/1/11 20:52:33 350. 6.9Concentraciones de esfuerzo 331 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-139. La viga est fabricada de tres tipos de plstico que se identifican y tienen los mdulos de elasticidad mostrados en la figura. Determine el esfuerzo flexionante mximo en el PVC. *6-140. La losa para piso est fabricada de concreto de baja resistencia e incluye una viga I de ala ancha, de acero A-36, unida mediante pernos de corte (no se muestran en la figura) para formar la viga compuesta. Si el esfuerzo flexio- nante permisible para el concreto es (sperm )con = 10 MPa, y el esfuerzo flexionante permisible para el acero es (sperm )ac = 165 MPa, determine el momento interno mximo permisible M que puede aplicarse a la viga. 6-141. La viga de concreto reforzado se utiliza para so- portar la carga mostrada. Determine el esfuerzo normal mximo absoluto en cada una de las varillas de refuerzo fa- bricadas con acero A-36 y el esfuerzo de compresin mxi- mo absoluto en el concreto. Suponga que el concreto tiene una alta resistencia a la compresin y no tome en cuenta su resistencia que soporta a tensin. 6-142. La viga de concreto reforzado se fabric usando dos varillas de acero como refuerzo. Si el esfuerzo de tensin per- misible para el acero es (sac )perm = 40 ksi y el esfuerzo permisible del concreto a la compresin es (sconc )perm = 3 ksi, determine el momento M mximo que puede aplicarse a la seccin. Suponga que el concreto no puede soportar un es- fuerzo de tensin. Eac = 29(103 ) ksi, Econc = 3.8(103 ) ksi. 6-143. Para la viga curva de la figura 6-40a, demuestre que cuando el radio de curvatura tiende al infinito, la frmu- la de la viga curva, ecuacin 6-24, se reduce a la frmula de la flexin, ecuacin 6-13. PVC EPVC 450 ksi Escon EE 160 ksi Baquelita EB 800 ksi 3 pies 4 pies 500 lb 500 lb 3 pies 3 pulg 1 pulg 2 pulg 2 pulg Prob. 6-139 M 100 mm 400 mm 15 mm 15 mm 15 mm 200 mm 1 m Prob. 6-140 15 pulg 8 pulg 2 pulg varillas de 1 pulg de dimetro 4 pies8 pies4 pies 10 kip10 kip Prob. 6-141 4 pulg 18 pulg 8 pulg 8 pulg 6 pulg 2 pulg varillas de 1 pulg de dimetro M Prob. 6-142 Capitulo 06_Hibbeler.indd 331 13/1/11 20:52:43 351. 332 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *6-144. El elemento tiene una seccin transversal elptica. Si est sometido a un momento de M = 50 N m, determine el esfuerzo en los puntos A y B. El esfuerzo en el punto A, que se encuentra cerca de la pared del elemento, es igual al del punto A? Explique. 6-145. El elemento tiene una seccin transversal elptica. Si el esfuerzo flexionante permisible es sperm = 125 MPa, determine el momento mximo M que puede aplicarse al elemento. 6-146. Determine la mayor magnitud P de las fuerzas aplicadas si el esfuerzo flexionante permisible es (sperm )c = 50 MPa en compresin y (sperm )t = 120 MPa en tensin. 6-147. Si P = 6 kN, determine los esfuerzos flexionantes mximos en tensin y en compresin para la viga. *6-148. La viga curva est sometida a un momento flexio- nante de M = 900 N m como se muestra en la figura. Deter- mine el esfuerzo en los puntos A y B, y muestre el esfuerzo sobre un elemento de volumen situado en cada uno de estos puntos. 6-149. La viga curva est sometida a un momento fle- xionante de M = 900 N m. Determine el esfuerzo en el punto C. 6-150. El codo de la tubera tiene un radio exterior de 0.75 pulg y un radio interior de 0.63 pulg. Si el ensamble se some- te a los momentos de M = 25 lb pulg, determine el esfuerzo mximo desarrollado en la seccin a-a. B A A 100 mm 250 mm 150 mm M 75 mm Probs. 6-144/145 75 mm 250 mm 150 mm 10 mm 10 mm 10 mm 150 mm 160 mm P P Probs. 6-146/147 30 B A 100 mm 150 mm 20 mm 15 mm 400 mm B A M C C Probs. 6-148/149 25 lbpulgM = 25 lbpulgM 1 pulg 30 a a 0.75 pulg 0.63 pulg Prob. 6-150 Capitulo 06_Hibbeler.indd 332 13/1/11 20:52:49 352. 6.9Concentraciones de esfuerzo 333 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-151. El elemento curvo es simtrico y se encuentra so- metido a un momento de M = 600 lb pie. Determine el es- fuerzo flexionante en los puntos A y B del elemento, adems muestre el esfuerzo actuando sobre elementos de volumen ubicados en esos puntos. *6-152. La barra curva usada en una mquina tiene una seccin transversal rectangular. Si la barra est sometida a un par como el mostrado en la figura, determine los esfuer- zos mximos en tensin y en compresin que actan sobre la seccin a-a. Dibuje en tres dimensiones la distribucin del esfuerzo sobre la seccin. 6-153. El brazo en C suspendido del techo se emplea para sostener una cmara de rayos X usada en diagnsticos m- dicos. Si la cmara tiene una masa de 150 kg, con su centro de masa en G, determine el esfuerzo flexionante mximo en la seccin A. 6-154. La pinza circular de resorte produce una fuerza de compresin de 3 N sobre las placas. Determine el esfuerzo flexionante mximo producido en A del resorte. ste tiene una seccin transversal rectangular como se muestra en la figura. 6-155. Determine la fuerza de compresin mxima que la pinza de resorte puede ejercer sobre las placas si el esfuerzo flexionante permisible para la pinza es sperm = 4 MPa. 8 pulg A MM B 2 pulg 1.5 pulg 0.5 pulg Prob. 6-151 75 mm 50 mm 150 mm 162.5 mm a a 60 60 250 N 250 N 75 mm Prob. 6-152 A G 20 mm 100 mm 200 mm 40 mm 1.2 m Prob. 6-153 200 mm210 mm 220 mm 10 mm 20 mm A Probs. 6-154/155 Capitulo 06_Hibbeler.indd 333 13/1/11 20:53:01 353. 334 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *6-156. Mientras est en vuelo, la costilla curva del jet se encuentra sometida a un momento esperado de M = 16 N m en la seccin. Determine el esfuerzo flexionante mximo en esta seccin de la costilla, y dibuje una vista bidimensio- nal de la distribucin del esfuerzo. 6-157. Si el radio de cada muesca en la placa es r = 0.5 pulg, determine el mayor momento que puede aplicarse. El esfuerzo flexionante permisible para el material es sperm = 18 ksi. 6-158. La placa simtrica con muescas est sometida a flexin. Si el radio de cada muesca es r = 0.5 pulg y el mo- mento aplicado es M = 10 kip pie, determine el esfuerzo flexionante mximo en la placa. 6-159. La barra est sometida a un momento de M = 40 N m. Determine el menor radio r de los filetes, de tal forma que el esfuerzo flexionante permisible de sperm = 124 MPa no sea superado. *6-160. La barra est sometida a un momento de M = 17.5 N m. Si r = 5 mm, determine el esfuerzo flexionante mxi- mo en el material. 6-161. La barra con muescas est simplemente apoyada y se somete a dos fuerzas P. Determine la mayor magnitud de P que puede aplicarse sin ocasionar la cedencia del material. La barra est fabricada de acero A-36 y cada muesca tiene un radio de r = 0.125 pulg. 6-162. La barra con muescas est simplemente apoyada ysesometealasdoscargas,cadaunaconunamagnituddeP= 100 lb. Determine el esfuerzo flexionante mximo desarro- llado en la barra y dibuje la distribucin del esfuerzo flexio- nante que acta sobre la seccin transversal en el centro de la barra. Cada muesca tiene un radio de r = 0.125 pulg. 6-163. Determine la longitud L de la porcin central de la barra de tal forma que los esfuerzos flexionantes mxi- mos en A, B y C sean iguales. La barra tiene un grosor de 10 mm. *6-164. La barra escalonada tiene un grosor de 15 mm. Determine el momento mximo que puede aplicarse en sus extremos, si est hecha de un material con un esfuerzo flexionante permisible de sperm = 200 MPa. 0.6 m 5 mm 20 mm 5 mm 30 mm 5 mm 16 Nm Prob. 6-156 12.5 pulg 14.5 pulg 1 pulg MM Probs. 6-157/158 80 mm 20 mm 7 mm M M r r Probs. 6-159/160 20 pulg 20 pulg 1.75 pulg 0.5 pulg P P 1.25 pulg 20 pulg 20 pulg Probs. 6-161/162 200 mm 200 mm 7 mm 40 mm60 mm 350 N BA C 7 mm L 2 L 2 Prob. 6-163 M 10 mm M 30 mm 45 mm 3 mm 6 mm Prob. 6-164 Capitulo 06_Hibbeler.indd 334 13/1/11 20:53:18 354. 6.10Flexin inelstica 335 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *6.10 Flexin inelstica Las ecuaciones para determinar el esfuerzo normal debido a la flexin que se han desarrollado hasta ahora slo son vlidas si el material se comporta de manera elstica lineal. Si el momento aplicado hace que el material ceda, entonces debe emplearse un anlisis plstico a fin de determinar la distribucin del esfuerzo. Para la flexin de elementos rectos deben cum- plirse tres condiciones. Distribucin lineal de la deformacin normal. Con base slo en consideraciones geomtricas, en la seccin 6.3 se demostr que las deformaciones normales siempre varan linealmente desde cero en el eje neutro de la seccin transversal hasta un valor mximo en el punto ms alejado del eje neutro. Fuerza resultante igual a cero. Como slo existe un momento interno resultante que acta sobre la seccin transversal, la fuerza resul- tante causada por la distribucin del esfuerzo debe ser igual a cero. De- bido a que s crea una fuerza de dF = sdA sobre el rea dA, figura 6-47, entonces para toda el rea A de la seccin transversal, se tiene Esta ecuacin proporciona un medio para obtener la ubicacin del eje neutro. Momento resultante. El momento resultante en la seccin debe ser equivalente al momento causado por la distribucin del esfuerzo res- pecto al eje neutro. Como el momento de la fuerza dF = sdA alrededor del eje neutro es dM = y(s dA), figura 6-47, entonces al sumar los resulta- dos en toda la seccin transversal, se obtiene Estas condiciones de geometra y carga se usarn ahora para mostrar la forma de determinar la distribucin del esfuerzo en una viga, cuando sta se encuentra sometida a un momento interno resultante que causa la ce- dencia del material. A lo largo del anlisis se supondr que el material tiene elmismodiagramadeesfuerzo-deformacintantoentensincomoencom- presin. Por simplicidad, se considerar primero que la viga tiene un rea transversal con dos ejes de simetra; en este caso, un rectngulo con altura h y anchura b, como se muestra en la figura 6-48a. Se considerarn dos casos de carga que son de especial inters. (6-27) LA s dA = 0FR = Fx; (6-28)M = LA y1s dA21MR2z = Mz; y dA y x z M s Figura 6-47 Capitulo 06_Hibbeler.indd 335 13/1/11 20:53:20 355. 336 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Momento plstico. Algunos materiales, como el acero, tienden a exhibir un comportamiento elstico-perfectamente plstico cuando el es- fuerzo en el material llega a sY . Si el momento aplicado M = MY es apenas suficiente para producir la cedencia en las fibras superiores e inferiores de la viga como se muestra en la figura 6-48b, entonces es posible determinar MY usando la frmula de la flexin sY = MY (h>2)>[bh3 >12] o bien Si el momento interno M > MY , el material en las partes superior e inferior de la viga comenzar a ceder, lo que ocasiona una redistribucin del esfuerzo en la seccin transversal hasta que se desarrolla el momento interno M requerido. Si esto causa una distribucin del esfuerzo normal como la mostrada en la figura 6-48b, entonces la correspondiente distri- bucin normal del esfuerzo se determina a partir del diagrama esfuerzo- deformacin de la figura 6-48c. Aqu, las deformaciones P1 , PY , P2 corres- ponden a situaciones de esfuerzo s1 , sY , s2 , respectivamente. Cuando stos y otros esfuerzos como ellos se trazan en la seccin transversal, se obtiene la distribucin del esfuerzo mostrada en las figuras 6-48d o 6-48e. Aqu los bloques de esfuerzo en tensin y en compresin se componen cada uno de bloques rectangulares y triangulares. Las fuerzas resultantes que producen son equivalentes a sus volmenes. Debido a la simetra, se satisface la ecuacin 6-27 y el eje neutro pasa por el centroide de la seccin transversal como se muestra en la figura. El mo- mento M aplicado puede relacionarse con el esfuerzo de cedencia sY me- diante la ecuacin 6-28. A partir de la figura 6-48e, se requiere M MY h b (a) Distribucin de la deformacin (vista de perfil) (b) yY yY y1 y1 h 2 h 2 PY PY P2 P2 P1 P1 Diagrama esfuerzo-deformacin (regin elastoplstica) (c) P2 PP1 PY s sY s1 Distribucin del esfuerzo (vista de perfil) (d) h 2 h 2 yY yY sY sY sY sY s1 s1 N Ncleo elstico Cedencia plstica (e) b T1 A C2 C1 T2 M h 2 h 2 yY yY sY sY Figura 6-48 (6-29)MY = 1 6 bh2 sY T2 = C2 = a h 2 - yYbsYb T1 = C1 = 1 2 yY sYb = 1 4 bh2 sYa1 - 4 3 yY 2 h2 b = 2a 1 2 yY sYbb a 2 3 yYb + 2c a h 2 - yYbsYbd c 1 2 a h 2 + yYb d + C2cyY + 1 2 a h 2 - yYb d M = T1a 2 3 yYb + C1a 2 3 yYb + T2cyY + 1 2 a h 2 - yYb d Capitulo 06_Hibbeler.indd 336 13/1/11 20:53:27 356. 6.10Flexin inelstica 337 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 O si se usa la ecuacin 6-29 Como se observa en la figura 6-48e, M produce dos zonas de cedencia pls- tica y un ncleo elstico en el elemento. La frontera entre ellos se encuen- tra a una distancia ;yY del eje neutro. A medida que aumenta la magnitud de M, yY se aproxima a cero. Esto hara que el material fuese completa- mente plstico y entonces la distribucin del esfuerzo sera similar a la mostrada en la figura 6-48f. A partir de la ecuacin 6-30 con yY = 0, o si se encuentran los momentos de los bloques de esfuerzo alrededor del eje neutro, es posible escribir este valor lmite como Mediante el uso de las ecuaciones 6-29 o 6-30 con y = 0, se tiene Este momento se conoce como el momento plstico. Su valor se aplica slo para una seccin rectangular, dado que el anlisis depende de la geo- metra de la seccin transversal. Las vigas usadas en construcciones de acero se disean en ocasiones para resistir un momento plstico. Cuando ste es el caso, los cdigos sue- len listar una caracterstica de diseo para una viga llamada el factor de forma. El factor de forma se define como la relacin Este valor especifica la capacidad de momento adicional que una viga pue- de soportar ms all de su momento elstico mximo. Por ejemplo, a par- tir de la ecuacin 6-32, una viga con seccin transversal rectangular tiene un factor de forma de k = 1.5. Por lo tanto, esta seccin soportar un mo- mento flexionante 50 por ciento ms grande que su momento elstico mximo cuando se vuelva completamente plstica. Figura 6-48 (cont.) Momento plstico (f) b C T sY sY Mp h 2 h 2 (6-30)M = 3 2 MYa1 - 4 3 yY 2 h2 b (6-31)Mp = 1 4 bh2 sY (6-32)Mp = 3 2 MY (6-33)k = Mp MY Capitulo 06_Hibbeler.indd 337 13/1/11 20:53:31 357. 338 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Esfuerzo residual. Cuando el momento plstico se retira de la viga, en sta se desarrollar un esfuerzo residual. Con frecuencia, este esfuer- zo es importante al considerar la fatiga y otros tipos de comportamiento mecnico, por lo cual ser necesario analizar un mtodo para calcularlo. Con el fin de explicar cmo se hace esto, se supondr que Mp ocasiona que el material en las partes superior e inferior de la viga se deforme hasta P1 (W PY ), como lo demuestra el punto B sobre la curva s-P en la figura 6-49a. Al retirar este momento, el material recuperar parte de la defor- macin en forma elstica siguiendo la trayectoria discontinua BC. Como esta recuperacin es elstica, se puede superponer sobre la distribucin del esfuerzo en la figura 6-49b una distribucin de esfuerzo lineal causada por la aplicacin del momento plstico en la direccin opuesta, figura 6-49c. Aqu, el esfuerzo mximo denominado mdulo de ruptura para la flexin, sr , puede determinarse a partir de la frmula de la flexin cuando la viga est cargada con el momento plstico. Se tiene smx = Mc I = MpA1 2 hB A 1 12 bh3 B = A1 4 bh2 sYB A1 2 hB A 1 12 bh3 B = 1.5sY (a) E E B 0.5 sY C Recuperacin elstica real Carga elastoplstica PY 2PY PP1 sY s sY Figura 6-49 Capitulo 06_Hibbeler.indd 338 13/1/11 20:53:32 358. 6.10Flexin inelstica 339 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Esta aplicacin inversa del momento plstico es posible aqu, puesto que la recuperacin elstica mxima de la deformacin en las partes supe- rior e inferior de la viga es 2PY , como se muestra en la figura 6-49a. Esto corresponde a un esfuerzo mximo de 2sY que es mayor al esfuerzo reque- rido de 1.5sY , como se calcul anteriormente, figura 6-49c. Lasuperposicindelmomentoplstico,figura6-49b,ysueliminacin,fi- gura 6-49c, proporcionan la distribucin del esfuerzo residual que se mues- tra en la figura 6-49d. Como ejercicio, utilice el componente en bloque triangular que representa esta distribucin del esfuerzo y demuestre que seobtieneunafuerzaceroyunmomentocerosobreelelemento,talcomose requiere. Momento ltimo. Considere ahora el caso ms general de una viga con una seccin transversal simtrica slo con respecto al eje vertical, mien- tras que el momento se aplica alrededor del eje horizontal, figura 6-50a. Se supondr que el material presenta endurecimiento por deformacin y que sus diagramas de esfuerzo-deformacin en tensin y en compresin son diferentes, figura 6-50b. Si el momento M produce la cedencia de la viga, surge una dificultad para encontrar tanto la ubicacin del eje neutro como el esfuerzo mximo que se produce en la viga. Esto se debe a que la seccin transversal es asimtrica respecto al eje horizontal y el comportamiento del esfuerzo- deformacin del material no es el mismo en tensin que en compresin. Para resolver este problema, un procedimiento de prueba y error requiere los siguientes pasos: 1. Para un momento M dado, suponga la ubicacin del eje neutro y la pendiente de la distribucin de la deformacin lineal, figura 6-50c. 2. Establezca en forma grfica la distribucin del esfuerzo sobre la sec- cin transversal del elemento usando la curva s-P para graficar los valores de esfuerzo correspondientes a los valores de la deformacin. La distribucin del esfuerzo resultante, figura 6-50d, tendr enton- ces la misma forma que la curva s-P. (b) Momento plstico aplicado que causa deformacin plstica A N Mp h 2 h 2 sY sY + (c) Momento plstico inverso que causa deformacin elstica A Mp N h 2 h 2 sr 1.5sY sr 1.5sY = (d) Distribucin del esfuerzo residual en la viga 0.5sY 0.5sY h 6 h 6 h 3 h 3 sY Eje de simetra Momento conocido M (a) Figura 6-49 (cont) (b) P1 P2 P s1 s2 s Figura 6-50 Capitulo 06_Hibbeler.indd 339 13/1/11 20:53:37 359. 340 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. Determine los volmenes encerrados por los bloques de esfuerzo en tensin y en compresin. (Como una aproximacin, esto puede re- querir la divisin de cada bloque en sus regiones componentes.) La ecuacin 6.27 requiere que los volmenes de estos bloques sean igua- les, ya que representan la fuerza de tensin resultante T y la fuerza resultante de compresin C en la seccin de la figura 6-50e. Si estas fuerzas son diferentes, debe hacerse un ajuste en cuanto a la ubicacin del eje neutro (punto de deformacin cero) y el proceso se debe repe- tir hasta que se satisfaga la ecuacin 6.27 (T = C). 4. Una vez que T = C, los momentos producidos por T y C pueden calcu larse alrededor del eje neutro. Aqu los brazos de momento para T y C se miden desde el eje neutro hasta los centroides de los volmenes definidos por las distribuciones de esfuerzo, figura 6-50e. La ecuacin 6-28 requiere que M = Ty + Cy. Si esta ecuacin no se cumple, la pen- diente de la distribucin de la deformacin debe ajustarse y los clculos para T, C y el momento deben repetirse hasta que se logre un resulta- do satisfactorio. Como puede observarse, este procedimiento de prueba y error es muy tedioso y, por fortuna, no se realiza con mucha frecuencia en la prctica de la ingeniera. La mayora de las vigas son simtricas respecto a dos ejes y estn construidas con materiales en los que pueden suponerse diagramas de esfuerzo-deformacin similares en tensin y en compresin. Cuando esto ocurre, el eje neutro pasa por el centroide de la seccin transversal y, por consiguiente, se simplifica el proceso de relacionar la distribucin del esfuerzo con el momento resultante. Puntos importantes La distribucin de la deformacin normal a lo largo de la seccin transversal de una viga se basa slo en consideraciones geomtri- cas y se ha encontrado que siempre permanece lineal, sin impor- tar la carga aplicada. Por otra parte, la distribucin del esfuerzo normal debe determinarse a partir del comportamiento del ma- terial, o del diagrama de esfuerzo-deformacin una vez que se ha establecido la distribucin de la deformacin. La ubicacin del eje neutro se determina a partir de la condicin de que la fuerza resultante en la seccin transversal debe ser cero. El momento interno resultante en la seccin transversal debe ser igual al momento de la distribucin del esfuerzo respecto al eje neutro. El comportamiento perfectamente plstico supone que la distri- bucin del esfuerzo normal es constante a lo largo de la seccin transversal, y que la viga continuar doblndose sin un incremen- to en el momento. ste se denomina momento plstico. Ubicacin supuesta del eje neutro Distribucin de la deformacin (vista de perfil) (c) Pendiente supuesta para la distribucin de la deformacin P1 P2 Distribucin del esfuerzo (vista de perfil) (d) M s1 s2 y A (e) N y T C Figura 6-50 (cont.) Capitulo 06_Hibbeler.indd 340 13/1/11 20:53:42 360. 6.10Flexin inelstica 341 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.21 La viga de acero en I de ala ancha tiene las dimensiones mostradas en la figura 6-51a. Si est fabricada de un material elstico perfectamen- te plstico con un lmite de elasticidad a la tensin y a la compresin de sY = 36 ksi, determine el factor de forma para la viga. SOLUCIN Para determinar el factor de forma, primero es necesario calcular los momentos elstico mximo MY y plstico mximo Mp . Momento elstico mximo. En la figura 6-51b se muestra la dis- tribucin del esfuerzo normal para el momento elstico mximo. El momento de inercia respecto al eje neutro es Al aplicar la frmula de la flexin, se tiene Momento plstico. El momento plstico hace que el acero ceda en toda la seccin transversal de la viga, de modo que la distribucin del esfuerzo normal es como el mostrado en la figura 6-51c. Debido a la simetra del rea de la seccin transversal y como los diagramas de esfuerzo-deformacin son iguales tanto en tensin como en compre- sin, el eje neutro pasa por el centroide de la seccin transversal. Con el fin de determinar el momento plstico, la distribucin del esfuerzo se divide en cuatro bloques rectangulares y la fuerza producida por cada bloque es igual al volumen de ste. Por lo tanto, se tiene Estas fuerzas actan a travs del centroide del volumen para cada bloque. Al calcular los momentos de estas fuerzas respecto al eje neu- tro, se obtiene el momento plstico: Factor de forma. Si se aplica la ecuacin 6-33 resulta NOTA: Este valor indica que una viga en I de ala ancha ofrece una seccin muy eficiente para resistir un momento elstico. La mayor parte del momento se desarrolla en las alas, es decir, en los segmentos supe- rior e inferior, mientras que el alma o segmento vertical tiene una con- tribucin muy pequea. En este caso particular, la viga puede soportar un momento que slo es 14 por ciento mayor al que puede resistir de manera elstica. I = c 1 12 10.5 pulg219 pulg23 d + 2c 1 12 18 pulg210.5 pulg23 + 8 pulg10.5 pulg214.75 pulg22 d = 211.0 pulg4 MY = 1519.5 kip # pulg36 kip>pulg2 = MY15 pulg2 211.0 pulg4 smx = Mc I ; C2 = T2 = 36 kip>pulg2 10.5 pulg218 pulg2 = 144 kip C1 = T1 = 36 kip>pulg2 10.5 pulg214.5 pulg2 = 81 kip Mp = 2[12.25 pulg2181 kip2] + 2[14.75 pulg21144 kip 2] = 1732.5 kip # pulg Resp.k = Mp MY = 1732.5 kip # pulg 1519.5 kip # pulg = 1.14 8 pulg 9 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg (a) (b) A 36 ksi MY 36 ksi N (c) A 36 ksi 36 ksi N T2 T1 C1 C2 Mp Figura 6-51 Capitulo 06_Hibbeler.indd 341 13/1/11 20:53:50 361. 342 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.22 Figura 6-52 Una viga T tiene las dimensiones mostradas en la figura 6-52a. Si est fabricada de un material elstico perfectamente plstico con un esfuer- zo de cedencia en tensin y en compresin de sY = 250 MPa, determine el momento plstico que puede resistir la viga. 120 mm 15 mm 15 mm (a) 100 mm (b) 15 mm C2 C1 Mp 250 MPa d N A 100 mm T 15 mm (120 mm d) SOLUCIN En la figura 6-52b se muestra la distribucin del esfuerzo plstico que acta sobre la seccin transversal de la viga. En este caso, la seccin transversal no es simtrica con respecto a un eje horizontal y, en con- secuencia, el eje neutro no pasar por el centroide de la seccin trans- versal. Para determinar la ubicacin del eje neutro, d, se requiere una distribucin del esfuerzo que produzca una fuerza resultante cero en la seccin transversal. Si se supone que d 120 mm, se tiene A partir de este resultado, las fuerzas que actan en cada segmento son Por lo tanto, el momento plstico resultante alrededor del eje neu- tro es d = 0.110 m 6 0.120 m OK - 250 MPa 10.015 m210.100 m2 = 0 250 MPa 10.015 m21d2 - 250 MPa 10.015 m210.120 m - d2 T - C1 - C2 = 0 LA s dA = 0; C2 = 250 MN>m2 10.015 m210.100 m2 = 375 kN C1 = 250 MN>m2 10.015 m210.010 m2 = 37.5 kN T = 250 MN>m2 10.015 m210.110 m2 = 412.5 kN Resp.Mp = 29.4 kN # m 375 kNa0.01 m + 0.015 m 2 bMp = 412.5 kNa 0.110 m 2 b + 37.5 kNa 0.01 m 2 b + Capitulo 06_Hibbeler.indd 342 13/1/11 20:53:55 362. 6.10Flexin inelstica 343 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.23 Figura 6-53 La viga de acero en I de ala ancha que se muestra en la figura 6-53a est sometida a un momento completamente plstico Mp . Si se elimina este momento, determine la distribucin del esfuerzo residual en la viga. El material es elstico perfectamente plstico y tiene un esfuerzo de cedencia de sY = 36 ksi. SOLUCIN En la figura 6-53b se muestra la distribucin del esfuerzo normal en la viga causado por Mp . Cuando se retira Mp , el material responde elstica- mente. La eliminacin de Mp requiere su aplicacin en sentido inverso y, por lo tanto, conduce a la suposicin de una distribucin del esfuerzo elstico como se muestra en la figura 6-53c. El mdulo de ruptura sr se calcula a partir de la frmula de la flexin. Si se usa Mp = 1732.5 kip pulg e I = 211.0 pulg4 del ejemplo 6.21, se tiene Como era de esperar, sr 6 2sY . La superposicin de esfuerzos proporciona la distribucin del es- fuerzo residual mostrada en la figura 6-53d. Observe que el punto de esfuerzo normal cero se determin por proporcin, es decir, de acuerdo con las figuras 6-53b y 6-53c, es necesario que sr = 1732.5 kip # pulg 15 pulg2 211.0 pulg4 = 41.1 ksi smx = Mc I ; y = 4.38 pulg 41.1 ksi 5 pulg = 36 ksi y Momento plstico aplicado (vista de perfil) 36 ksi (b) 5 pulg 5 pulg Mp Momento plstico invertido (vista de perfil) (c) 36 ksi y 5 pulg 5 pulg Mp sr 41.1 ksi sr 41.1 ksi 5.05 ksi 36 ksi 4.38 pulg 4.38 pulg Distribucin del esfuerzo residual (d) 5.05 ksi 8 pulg 9 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg (a) Capitulo 06_Hibbeler.indd 343 13/1/11 20:54:01 363. 344 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 6.24 La viga de la figura 6-54a est fabricada de una aleacin de titanio con un diagrama de esfuerzo-deformacin que puede aproximarse parcial- mente por medio de dos lneas rectas. Si el comportamiento del ma- terial es el mismo tanto en tensin como en compresin, determine el momento flexionante que puede aplicarse a la viga y que causar que el material en las partes superior e inferior de la viga est sometido a una deformacin de 0.050 pulg>pulg. Solucin I Por inspeccin del diagrama de esfuerzo-deformacin, se dice que el material presenta un comportamiento elastoplstico con endureci- miento por deformacin. Como la seccin transversal es simtrica y los diagramas s-P en tensin y en compresin son iguales, el eje neutro debe pasar por el centroide de la seccin transversal. La distribucin de la deformacin, que siempre es lineal, se muestra en la figura 6-54b. En particular, el punto donde ocurre la deformacin elstica mxima (0.010 pulg>pulg) se determina por proporcin, de modo que 0.05>1.5 pulg = 0.010>y o y = 0.3 pulg. En la figura 6-54c, se muestra la distribucin del esfuerzo normal correspondiente que acta sobre la seccin transversal. El momento producido por esta distribucin puede calcularse al determinar el vo- lumen de los bloques de esfuerzo. Para ello se subdividir esta distri- bucin en dos bloques triangulares y un bloque rectangular, tanto en las regiones de tensin como en las de compresin, figura 6-54d. Como la viga tiene 2 pulg de anchura, las resultantes y su ubicacin se determi- nan de la manera siguiente: y1 = 0.3 pulg + 2 3 11.2 pulg2 = 1.10 pulg T1 = C1 = 1 2 11.2 pulg2140 kip>pulg2 212 pulg2 = 48 kip 3 pulg 2 pulg M (a) 0.010 s 15(103 )P 0.050 150 190 s(ksi) P (pulg/pulg) s 1000P 140 0.05 0.05 Distribucin de la deformacin (b) 1.5 pulg 0.010 0.010 y 0.3 pulg Figura 6-54 Capitulo 06_Hibbeler.indd 344 13/1/11 20:54:04 364. 6.10Flexin inelstica 345 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Por lo tanto, el momento producido por esta distribucin del esfuerzo normal respecto al eje neutro es Solucin II En vez de utilizar la tcnica semigrfica anterior, tambin es posible en- contrar el momento de manera analtica. Para ello es necesario expresar la distribucin del esfuerzo de la figura 6-54c, en funcin de la posicin y a lo largo de la viga. Observe que s = f(P) est dada en la figura 6-54a. Adems, de acuerdo con la figura 6-54b, la deformacin normal puede determinarse en funcin de la posicin y mediante tringulos semejan- tes; es decir, Al sustituir esto en las funciones s-P mostradas en la figura 6-54a, re- sulta A partir de la figura 6-54e, el momento causado por s que acta en la franja de rea dA = 2 dy es Por consiguiente, si se usan las ecuaciones 1 y 2, el momento para toda la seccin transversal es y3 = 2 3 10.3 pulg2 = 0.2 pulg T3 = C3 = 1 2 10.3 pulg21150 kip>pulg2 212 pulg2 = 45 kip y2 = 0.3 pulg + 1 2 11.2 pulg2 = 0.90 pulg T2 = C2 = 11.2 pulg21150 kip>pulg2 212 pulg 2 = 360 kip Resp.= 772 kip # pulg M = 2[48 kip 11.10 pulg2 + 360 kip 10.90 pulg2 + 45 kip 10.2 pulg2] P = 0.05 1.5 y 0 y 1.5 pulg (1) (2)s = 33.33y + 140 0.3 pulg y 1.5 pulg s = 500y 0 y 0.3 pulg dM = y1s dA2 = ys12 dy2 Resp.= 772 kip # pulg M = 2B2 L 0.3 pulg 0 500y2 dy + 2 L 1.5 pulg 0.3 pulg 133.3y2 + 140y2 dyR 1.5 pulg Distribucin del esfuerzo (c) 150 ksi 150 ksi 190 ksi 190 ksi y 0.3 pulg (d) C3 T3 T2 T1 y2 C2 C1 150 ksi 40 ksi y1 y3 1.2 pulg 0.3 pulg (e) N A s 2 pulg y dy Figura 6-54 (cont.) Capitulo 06_Hibbeler.indd 345 13/1/11 20:54:12 365. 346 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 6-165. La viga est fabricada de un material elastoplstico para el cual sY = 250 MPa. Determine el esfuerzo residual en las partes superior e inferior de la viga luego de aplicar y retirar el momento plstico Mp . 6-167. Determine el factor de forma para la seccin trans- versal. *6-168. La viga est fabricada de material elstico perfec- tamente plstico. Determine los momentos elstico mximo y plstico mximo que pueden aplicarse a la seccin trans- versal. Considere a = 2 pulg y sY = 36 ksi. 6-166. El elemento I de ala ancha est fabricado con un material elastoplstico. Determine el factor de forma. 6-169. La viga de caja est fabricada de un material elsti- co perfectamente plstico para el cual sY = 250 MPa. Deter- mine el esfuerzo residual en las partes superior e inferior de la viga, luego de aplicar y retirar el momento plstico Mp . 200 mm 15 mm 15 mm 20 mm 200 mm Mp Prob. 6-165 t b h t t Prob. 6-166 a a a a a a Probs. 6-167/168 25 mm 150 mm 150 mm 25 mm 25 mm 25 mm Prob. 6-169 Capitulo 06_Hibbeler.indd 346 13/1/11 20:54:23 366. 6.10Flexin inelstica 347 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-170. Determine el factor de forma para la viga I de ala ancha. 6-171. Determine el factor de forma para la seccin trans- versal de la viga. *6-172. La viga est fabricada de un material elstico per- fectamente plstico. Determine los momentos elstico m- ximo y plstico mximo que pueden aplicarse a la seccin transversal. Considere sY = 36 ksi. 6-173. Determine el factor de forma para la seccin trans- versal de la viga H. 200 mm 15 mm 15 mm 20 mm 200 mm Mp Prob. 6-170 3 pulg 3 pulg 1.5 pulg 1.5 pulg 6 pulg Prob. 6-171 3 pulg 3 pulg 1.5 pulg 1.5 pulg 6 pulg Prob. 6-172 200 mm Mp 20 mm 20 mm 200 mm 20 mm Prob. 6-173 Capitulo 06_Hibbeler.indd 347 13/1/11 20:54:37 367. 348 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-174. La viga H est fabricada de un material elastoplsti- co para el cual sY = 250 MPa. Determine el esfuerzo residual en las partes superior e inferior de la viga luego de aplicar y retirar el momento plstico Mp . 6-175. Determine el factor de forma de la seccin trans- versal. *6-176. La viga est fabricada de un material elstico per- fectamente plstico. Determine los momentos elstico m- ximo y plstico mximo que pueden aplicarse a la seccin transversal. Considere sY = 36 ksi. 6-177. Determine el factor de forma para la seccin trans- versal del tubo. 200 mm Mp 20 mm 20 mm 200 mm 20 mm Prob. 6-174 3 pulg 3 pulg 3 pulg 3 pulg 3 pulg 3 pulg Prob. 6-175 3 pulg 3 pulg 3 pulg 3 pulg 3 pulg 3 pulg Prob. 6-176 6 pulg 5 pulg Prob. 6-177 Capitulo 06_Hibbeler.indd 348 13/1/11 20:54:50 368. 6.10Flexin inelstica 349 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-178. La viga est fabricada de un material elstico per- fectamente plstico. Determine el factor de forma para el tubo con paredes gruesas. 6-179. Determine el factor de forma para el elemento. *6-180. El elemento est fabricado de un material elasto- plstico. Determine los momentos elstico mximo y pls- tico mximo que pueden aplicarse a la seccin transversal. Considere b = 4 pulg, h = 6 pulg, sY = 36 ksi. 6-181. La viga est fabricada de un material que puede suponerse perfectamente plstico en tensin y elstico per- fectamente plstico en compresin. Determine el momento flexionante mximo M que puede soportar la viga de modo que el material compresivo en el borde exterior comience a ceder. ri ro Prob. 6-178 2 2 h b h Prob. 6-179 2 2 h b h Prob. 6-180 h a M sY sY Prob. 6-181 Capitulo 06_Hibbeler.indd 349 13/1/11 20:54:52 369. 350 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-182. La viga de caja est fabricada de un material elasto- plstico para el cual sY = 25 ksi. Determine la intensidad de la carga distribuida w0 que producir (a) el mayor momento elstico y (b) el mayor momento plstico. 6-183. La viga de caja est fabricada de un material elasto- plstico para el cual sY = 36 ksi. Determine la magnitud de cada fuerza concentrada P que producir (a) el mayor mo- mento elstico y (b) el mayor momento plstico. *6-184. La viga est fabricada de un polister que tiene la curva de esfuerzo-deformacin mostrada. Si la curva puede representarse mediante la ecuacin s = [20 tan-1 (15P)] ksi, donde tan-1 (15P) est en radianes, determine la magnitud de la fuerza P que puede aplicarse a la viga sin causar que la deformacin mxima en sus fibras de la seccin crtica exce- da Pmx = 0.003 pulg>pulg. 6-185. La barra de plexigls tiene una curva de esfuerzo- deformacin que puede aproximarse mediante los segmentos de recta mostrados en la figura. Determine el mayor mo- mento M que puede aplicarse a la barra antes de que falle. 9 pies 16 pulg12 pulg 8 pulg w0 6 pulg 9 pies Prob. 6-182 6 pies 8 pies 12 pulg10 pulg 6 pulg 5 pulg 6 pies PP Prob. 6-183 8 pies 8 pies P 2 pulg 4 pulg P (pulg/pulg) s (ksi) s 20 tan1 (15 P) Prob. 6-184 20 mm 20 mm M 0.06 0.04 0.02 0.04 60 80 compresin tensin falla s (MPa) P (mm/mm) 100 40 Prob. 6-185 Capitulo 06_Hibbeler.indd 350 13/1/11 20:55:01 370. 6.10Flexin inelstica 351 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6-186. El diagrama de esfuerzo-deformacin para una aleacin de titanio puede aproximarse mediante las dos lneas rectas. Si un puntal fabricado con este material se encuentra sometido a flexin, determine el momento resis- tido por el puntal si el esfuerzo mximo alcanza un valor de (a) sA y (b) sB . 6-187. Una viga est fabricada de plstico polipropileno y tiene un diagrama de esfuerzo-deformacin que puede aproximarse mediante la curva que se muestra en la figura. Si la viga se somete a una deformacin mxima en tensin y en compresin de P = 0.02 mm>mm, determine el momento mximo M. *6-188. La viga tiene una seccin transversal rectangular y est fabricada de un material elastoplstico con un diagra- ma de esfuerzo-deformacin como el mostrado en la figura. Determine la magnitud del momento M que debe aplicarse a la viga, con el fin de crear una deformacin mxima en sus fibras exteriores de Pmx = 0.008. 6-189. La barra est fabricada de una aleacin de alumi- nio con un diagrama de esfuerzo-deformacin que puede aproximarse mediante los segmentos de recta mostrados. Si se supone que este esquema es el mismo tanto en tensin como en compresin, determine el momento que soportar la barra si la deformacin mxima en las fibras superiores e inferiores de la viga es Pmx = 0.03. 3 pulg M 2 pulg 0.040.01 sB 180 sA 140 B A P (pulg/pulg) s (ksi) Prob. 6-186 P (mm/mm) M M 100 mm 30 mm s (Pa) s 10(106 )P1/4 Prob. 6-187 400 mm 200 mm M 0.004 200 P (mm/mm) Prob. 6-188 s (MPa) 90 0.050.006 0.025 80 60 4 pulg M 3 pulg P(pulg/pulg) s (ksi) Prob. 6-189 Capitulo 06_Hibbeler.indd 351 13/1/11 20:55:05 371. 352 Captulo 6 Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Repaso de Captulo Los diagramas de fuerza cortante y de momento son representaciones grfi- cas de la fuerza cortante y el momento internos dentro de una viga. Pueden construirse al seccionar la viga a una distancia arbitraria x desde el extre- mo izquierdo, usar las ecuaciones de equilibrio para encontrar V y M como funciones de x y, por ltimo, graficar los resultados. Es necesario seguir una con- vencin de signos para los valores po- sitivos de la carga distribuida, la fuerza cortante y el momento. Tambin es posible trazar los diagramas de fuerza cortante y de momento al ob- servar que, en cada punto, la pendiente del diagrama de fuerza cortante es igual a la intensidad de la carga distribuida en el punto. Del mismo modo, la pendiente del diagrama de momento es igual a la fuerza cortante en el punto. El rea bajo el diagrama de carga dis- tribuida entre los puntos representa el cambio en la fuerza cortante. El rea bajo el diagrama de fuerza cor- tante representa el cambio en el mo- mento. La fuerza cortante y el momento en cualquier punto pueden obtenerse me- diante el mtodo de las secciones. El momento mximo (o mnimo) ocurre donde la fuerza cortante es cero. V Carga distribuida externa positiva Fuerza cortante interna positiva Momento interno positivo V MM w(x) w w(x) wB A C D B wB 0 0 x x V VA VA VC VD VB VB M wC wD w = disminucin negativa pendiente = disminucin negativa V = disminucin positiva pendiente = disminucin positiva w = dV dx V = dM dx V = 1w dx M = 1V dx w = dV dx V = dM dx V = 1w dx M = 1V dx w = dV dx V = dM dx V = 1w dx M = 1V dx w = dV dx V = dM dx V = 1w dx M = 1V dx Capitulo 06_Hibbeler.indd 352 20/1/11 18:03:06 372. Repaso de captulo 353 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Un momento flexionante tiende a producir una variacin lineal de la de- formacin normal dentro de una viga recta. Siempre que el material sea ho- mogneo y elstico lineal, el equilibrio puede utilizarse para relacionar el mo- mento interno en la viga con la distri- bucin del esfuerzo. El resultado es la frmula de la flexin, donde I y c se determinan desde el eje neutro que pasa por el centroide de la seccin transversal. Si el rea de la seccin transversal de la viga no es simtrica respecto a un eje que es perpendicular al eje neutro, en- tonces se producir una flexin asim- trica. El esfuerzo mximo puede deter- minarse con base en frmulas, o el pro- blema se puede resolver considerando la superposicin de la flexin provoca- da por las componentes del momento My y Mz respecto a los ejes principales de inercia para el rea. Las vigas fabricadas de materiales com- puestos pueden transformarse para que su seccin transversal se considere como si estuviera fabricada con un solo material. Para ello, el factor de trans- formacin n, que es una relacin de los mdulos de elasticidad de los materia- les, se utiliza para cambiar la anchura b de la viga. Una vez que la seccin transversal se transforma, la tensin en la viga pue- de determinarse de la forma habitual mediante la frmula de la flexin. smx = Mc I s = - Mzy Iz + Myz Iy n = E1 E2 cx M y smx xz y M My Mz M h b 2 1 Capitulo 06_Hibbeler.indd 353 20/1/11 18:07:25 373. 354 Captulo 6 Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Las vigas curvas se deforman de tal modo que el esfuerzo normal no vara li- nealmente desde el eje neutro. Siempre que el material sea homogneo, elstico lineal y que tenga una seccin transver- sal con un eje de simetra, puede usarse la frmula de la viga curva para deter- minar el esfuerzo flexionante. En los elementos que tienen un cambio abruptoensuseccintransversalsepro- ducen concentraciones de esfuerzo, por ejemplo, causadas por orificios o mues- cas. El esfuerzo flexionante mximo en estos sitios se determina mediante un factor de concentracin del esfuerzo K, que se encuentra a partir de las grficas surgidas de la experimentacin. Si el momento flexionante ocasiona que el esfuerzo en el material exceda su l- mite elstico, entonces la deformacin normal seguir siendo lineal; sin embar- go, la distribucin del esfuerzo variar de acuerdo con el diagrama de esfuer- zo-deformacin. Los momentos plsti- co y ltimo que soporta la viga pueden determinarse mediante las condiciones de que la fuerza resultante debe ser cero y el momento resultante debe ser equivalente al momento de la distribu- cin del esfuerzo. Si un momento plstico o ltimo aplica- do sobre un elemento se retira, el mate- rial responder elsticamente y se indu- cirn esfuerzos residuales en la viga. o s = My Ae1R - y2 s = M1R - r2 Ar1r - R2 o s = My Ae1R - y2 s = M1R - r2 Ar1r - R2 smx = K Mc I M A N smx M M A N Mp h 2 h 2 sY sY o Capitulo 06_Hibbeler.indd 354 20/1/11 18:10:31 374. Problemas conceptuales 355 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS conceptuales P6-1. La sierra de acero pasa sobre la rueda motriz de la sierra de banda. Usando las mediciones y los datos apropia- dos, explique cmo se determina el esfuerzo flexionante en la hoja de la sierra. P6-2. Este brazo de gra en un barco tiene un momento deinerciaquevaraentodasulongitud.Dibujeeldiagramade momento para el brazo a fin de explicar por qu tiene el ahu- samiento mostrado. P6-3. Vientos huracanados ocasionaron la falla de esta seal de carretera al doblar los tubos de apoyo en sus co- nexiones con la columna. Si se supone que los tubos estn fabricados de acero A-36, utilice dimensiones razonables para la seal y los tubos, y trate de estimar la menor presin uniforme del viento que acta sobre la cara de la seal y que caus la cedencia de los tubos. P6-4. Estas tijeras de jardn fueron fabricadas con un ma- terial inferior. Utilice una car- ga de 50 lb aplicada en forma normal a las hojas y dimensio- nes apropiadas para las tijeras, a fin de determinar el esfuerzo flexionante mximo absoluto del material y demostrar por qu se produjo la falla en el punto crtico del mango. P6-1 P6-2 P6-4 P6-3 (a) (b) Capitulo 06_Hibbeler.indd 355 13/1/11 20:55:27 375. 356 Captulo 6Flexin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS de repaso 6-190. La viga est fabricada de tres tablones clavados en- tre s, como se muestra en la figura. Si el momento que acta sobre la seccin transversal es M = 650 N m, determine la fuerza resultante que produce el esfuerzo flexionante en el tabln superior. 6-191. La viga est fabricada de tres tablones clavados en- tre s, como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo mximo en tensin y en compresin para la viga. 6-193. La viga compuesta consta de un ncleo de made- ra y dos placas de acero. Si el esfuerzo flexionante permi- sible para la madera es (sperm )w = 20 MPa y para el acero es (sperm )ac = 130 MPa, determine el momento mximo que puede aplicarse a la viga. Ew = 11 GPa, Eac = 200 GPa. 6-194. Resuelva el problema 6-193 si el momento se aplica alrededor del eje y en vez del eje z, como se muestra en la figura. *6-192. Determine la distribucin del esfuerzo flexionante en la seccin a-a de la viga. Dibuje en tres dimensiones la distribucin que acta sobre la seccin transversal. 6-195. Un eje est hecho de un polmero y tiene una sec- cin transversal parablica. Si resiste un momento interno de M = 125 N m, determine el esfuerzo flexionante mximo de- sarrollado en el material (a) usando la frmula de la flexin y (b) mediante integracin. Dibuje una vista tridimensional de la distribucin del esfuerzo que acta sobre el rea de la seccin transversal. Sugerencia: El momento de inercia se determina a partir de la ecuacin A-3 del apndice A. M 650 Nm 250 mm 15 mm 125 mm 20 mm 20 mm Probs. 6-190/191 15 mm 400 mm 80 N80 N 15 mm 100 mm 75 mm 80 N 80 N 400 mm300 mm300 mm a a Prob. 6-192 125 mm 20 mm 20 mm 75 mm z x y M Probs. 6-193/194 y z x M 125 Nm 50 mm 100 mm 50 mm y 100 z2 /25 Prob. 6-195 Capitulo 06_Hibbeler.indd 356 13/1/11 20:55:32 376. Problemas de repaso 357 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 pulg 45 lb20 a a 3 pulg 5 pulg A 45 lb 0.75 pulg 0.50 pulg Prob. 6-196 30 M 85 Nm B A 100 mm 150 mm 20 mm 20 mm 15 mm 400 mm B A Prob. 6-197 6 pies 4 pies 2 kip/pie 50 kippie 8 kip x Prob. 6-198 A B 200 mm 450 N 150 N 300 N 200 mm 400 mm 300 mm Prob. 6-199 2 pulg 2 pulg 4 pulg M 4 pulg Prob. 6-200 M x z y a a Prob. 6-201 *6-196. Determine el esfuerzo flexionante mximo en la seccin a-a de la manija de la cortadora de cable. Se aplica una fuerza de 45 lb a las manijas. El rea de la seccin trans- versal se muestra en la figura. 6-197. La viga curva est sometida a un momento flexio- nante de M = 85 Nm, como se muestra en la figura. Deter- mine el esfuerzo en los puntos A y B y muestre el esfuerzo sobre un elemento de volumen situado en estos puntos. 6-198. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para la viga. Asimismo, determine la fuerza cor- tante y el momento en la viga como funciones de x, donde 0 x 6 pies. 6-199. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo- mento para el eje si ste se encuentra sometido a las cargas verticales de la banda, el engrane y el volante. Los cojinetes en A y B ejercen slo reacciones verticales sobre el eje. *6-200. Un elemento tiene la seccin transversal triangular que se muestra en la figura. Determine el mayor momento interno M que se puede aplicar a la seccin transversal, sin exceder los esfuerzos permisibles en tensin y en compre- sin de (sperm )t = 22 ksi y (sperm )c = 15 ksi, respectivamente. 6-201. El puntal tiene una seccin transversal cuadrada de a por a y est sometido al momento flexionante M aplicado en un ngulo u como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo flexionante mximo en trminos de a, M y u. Qu ngulo u resultar en el esfuerzo flexionante ms grande en el puntal? Especifique la orientacin del eje neutro para este caso. Capitulo 06_Hibbeler.indd 357 13/1/11 20:55:38 377. 2 3 4 5 6 8 9 10 11 Los durmientes de esta va actan como vigas que soportan cargas cortantes transversales muy grandes. En consecuen- cia, si estn fabricados de madera tendern a partirse en sus extremos, donde las cargas cortantes son mayores. Capitulo 07_Hibbeler.indd 358 14/1/11 08:43:47 378. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 359 1 2 Esfuerzo cortante transversal 7 359 OBJETIVOS DEL CAPTULO En este captulo, se desarrollar un mtodo para determinar el esfuerzo cortante en una viga que tiene una seccin transversal prismtica y que est fabricada de un material homogneo que se comporta de forma elstica lineal. El mtodo de anlisis empleado se limitar a casos espe- ciales de la geometra de la seccin transversal. A pesar de esto, el m- todo tiene muchas aplicaciones en una amplia gama dentro del anlisis y el diseo en ingeniera. Se analizarn los conceptos de flujo cortante y esfuerzo cortante para vigas y elementos de pared delgada. El captulo termina con un estudio sobre el centro cortante. 7.1 Fuerza cortante en elementos rectos En general, una viga soportar tanto una fuerza cortante como un momen- to. La fuerza cortante V es el resultado de una distribucin del esfuerzo cortante transversal que acta sobre la seccin transversal de la viga. Sin embargo, debido a la propiedad complementaria de la fuerza cortante, este esfuerzo crear los esfuerzos cortantes longitudinales correspondien- tes que actuarn a lo largo de los planos longitudinales de la viga, como se muestra en la figura 7-1. Esfuerzo cortante longitudinal Esfuerzo cortante transversal V t t Figura 7-1 Capitulo 07_Hibbeler.indd 359 14/1/11 08:43:48 379. 360 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Para ilustrar este efecto, considere una viga que est hecha con tres ta- blas, figura 7-2a. Si las superficies superior e inferior de cada tabla son lisas, y las tablas no estn unidas entre s, entonces la aplicacin de la carga P har que cada tabla se deslice con respecto a las otras cuando la viga se somete a flexin. Sin embargo, si las tablas estn unidas entre s, entonces los esfuerzos cortantes longitudinales que actan entre las tablas impedi- rn su deslizamiento relativo, y por lo tanto la viga actuar como una sola unidad, figura 7-2b. Como resultado del esfuerzo cortante, se desarrollarn deformaciones angulares y stas tendern a distorsionar la seccin transversal de una ma- nera bastante compleja. Por ejemplo, considere la barra corta de la figura 7-3a fabricada con un material altamente deformable y marcada con lneas horizontales y verticales que forman una cuadrcula. Cuando se aplica una fuerza cortante V, sta tiende a deformar las lneas de la cuadrcula si- guiendo el patrn que se muestra en la figura 7-3b. Esta distribucin no uniforme de la deformacin cortante har que la seccin transversal se alabe. Los conectores cortantes estn soldados por puntos a este piso metlico corrugado de modo que cuando se vierta concreto so- bre ellos, los conectores evitarn que la losa de concreto se deslice sobre la superficie metlica. De esta forma, los dos materiales actan como una losa compuesta. P Tablas que no estn unidas entre s (a) Tablas unidas entre s (b) P Figura 7-2 (a) Antes de la deformacin V (b) Despus de la deformacin V Figura 7-3 Capitulo 07_Hibbeler.indd 360 14/1/11 08:43:50 380. 7.2Frmula del esfuerzo cortante 361 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Como resultado, cuando una viga est sometida tanto a flexin como a cortante, la seccin transversal no permanecer plana como se supuso en el desarrollo de la frmula de la flexin. Aunque esto sea as, por lo general puede suponerse que el alabeo de la seccin transversal debido a la fuerza cortante es lo suficientemente pequeo para poderlo pasar por alto. Este supuesto es particularmente cierto para el caso ms comn de una viga delgada; es decir, una viga que tiene un peralte pequeo en com- paracin con su longitud. 7.2 Frmula del esfuerzo cortante Debido a que la distribucin de la deformacin cortante no es fcil de defi- nir, como en el caso de la carga axial, la torsin y la flexin, se desarrollar la frmula del esfuerzo cortante de manera indirecta. Para ello se consi- derar el equilibrio de fuerzas horizontales de una porcin del elemento tomado de la viga mostrada en la figura 7-4a. En la figura 7-4b se presenta un diagrama de cuerpo libre del elemento. Esta distribucin se debe a los momentos flexionantes M y M + dM. Se han excluido los efectos de V, V + dV y w(x) en el diagrama de cuerpo libre porque estas cargas son ver- ticales y, por lo tanto, no participan en una suma de fuerzas horizontales. De hecho, el elemento de la figura 7-4b satisface a Fx = 0 ya que la distri- bucin del esfuerzo en cada lado del elemento forma slo un momento de par y por lo tanto una fuerza resultante cero. w M1 F1 F2 M2dxx x (a) A rea A Seccin plana t dx y N _ y M dM M dF dF dF dF dx Fx 0 satisfecha (b) Figura 7-4 Capitulo 07_Hibbeler.indd 361 14/1/11 08:43:53 381. 362 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Si se despeja t, resulta Ahora considere la porcin superior sombreada del elemento que se ha seccionado en y desde el eje neutro, figura 7-4a. Este segmento tiene una anchura t en la seccin y los dos lados de la seccin transversal tie- nen un rea A cada uno. Debido a que los momentos resultantes en cada lado del elemento difieren en dM, puede observarse en la figura 7-4c que Fx = 0 no se cumplir a menos que un esfuerzo cortante longitudinal t acte sobre la cara inferior del segmento. Se supondr que este esfuerzo cortante es constante en toda la anchura t de la cara inferior. Acta sobre el rea tdx. Al aplicar la ecuacin del equilibrio de fuerzas horizontales y al usar la frmula de la flexin, ecuacin 6-13, se tiene (a) A rea A Seccin plana t dx y N _ y Esta ecuacin puede simplificarse si se observa que V = dM>dx (ecua- cin 6-2). Adems, la integral representa el momento del rea A respecto al eje neutro. Esto se indicar mediante el smbolo Q. Como la ubicacin del centroide del rea A se determina a partir de y = 1A y dA>A, tam- bin se puede escribir (7-1)a dM I b LA y dA = t1t dx2 LA a M + dM I by dA - LA a M I by dA - t1t dx2 = 0 LA s dA - LA s dA - t1t dx2 = 0;+ Fx = 0; t = 1 It a dM dx b LA y dA (7-2)Q = LA y dA = yA M dM M dM M (c) Vista de perfil y A Vista tridimensional t M dx s s s s t t Figura 7-4 (cont.) Capitulo 07_Hibbeler.indd 362 14/1/11 08:43:58 382. 7.2Frmula del esfuerzo cortante 363 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Aqu, como se muestra en la figura 7-5, t =el esfuerzo cortante en el elemento, en el punto situado a una distancia y desde el eje neutro. Se supone que este esfuerzo es constante y, por lo tanto, se promedia en toda la anchura t del elemento. V =la fuerza cortante resultante interna, determinada con base en el mtodo de las secciones y las ecuaciones de equilibrio I =el momento de inercia de toda la seccin transversal calculada respecto al eje neutro t =la anchura del rea de la seccin transversal del elemento, medida en el punto donde se determinar t Q =yA, donde A es la parte superior (o inferior) del rea de la seccin transversal del elemento, por encima (o debajo) del plano de seccin donde se mide t, y yAes la distancia desde el eje neutro hasta el centroide de A La ecuacin anterior se conoce como la frmula del esfuerzo cortante. Aunque en la obtencin de esta frmula se consideraron slo los esfuerzos cortantes que actan sobre el plano longitudinal de la viga, la frmula se aplica tambin para encontrar el esfuerzo cortante transversal en la sec- cin transversal de la viga. Es necesario recordar que estos esfuerzos son complementarios y numricamente iguales. Por otra parte, como en la derivacin anterior se us la frmula de la flexin, se requiere que el material tenga un comportamiento elstico li- neal y el mismo mdulo de elasticidad tanto en tensin como en compre- sin. Por lo tanto, el resultado final es (7-3)t = VQ It Figura 7-5 A rea A t N _ y t V Capitulo 07_Hibbeler.indd 363 14/1/11 08:44:01 383. 364 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Limitaciones en el uso de la frmula del esfuerzo cortante. Uno de los supuestos principales que se utilizaron en el desarrollo de la frmula del esfuerzo cortante es que el esfuerzo cortante se distribuye uni- formemente en toda la anchura t de la seccin. En otras palabras, el esfuer- zo cortante promedio se calcula a lo ancho. Es posible comprobar la veraci- dad de esta hiptesis mediante su comparacin con un anlisis matemtico ms preciso basado en la teora de la elasticidad. Por ejemplo, si la seccin transversal de la viga es rectangular, la distribucin del esfuerzo cortante a travs del eje neutro calculada a partir de la teora de la elasticidad vara como se muestra en la figura 7-6. El valor mximo, tmx , se produce a los lados de la seccin transversal, y su magnitud depende de la relacin b>h (anchura>peralte). Para las secciones que tienen b>h = 0.5, tmx es slo alrededor de 3 por ciento mayor que el esfuerzo cortante calculado a par- tir de la frmula del esfuerzo cortante, figura 7-6a. Sin embargo, para las secciones planas, digamos b>h = 2, tmx es aproximadamente 40 por ciento mayor que tmx , figura 7-6b. El error es an mayor cuando la seccin se vuelve ms plana, o a medida que la relacin b>h se incrementa. Cierta- mente, los errores de esta magnitud son intolerables si se utiliza la frmula del esfuerzo cortante para determinar el esfuerzo cortante en el ala de la viga I de ala ancha mostrada en la figura 7-7. Tambin debe sealarse que la frmula del esfuerzo cortante no da resultados exactos cuando se utiliza para determinar el esfuerzo cortante en la unin alma-ala de una viga I de ala ancha, ya que ste es un punto de cambio sbito en la seccin transversal y aqu se produce una concen- tracin de esfuerzos. Afortunadamente, estas limitaciones para aplicar la frmula del esfuerzo cortante a las alas de una viga I de ala ancha no son importantes en la prctica de la ingeniera. Con mucha frecuencia, los ingenieros slo deben calcular el esfuerzo cortante promedio mxi- mo en la viga, el cual se produce en el eje neutro, donde la relacin b>h (anchura>peralte) para el alma es muy pequea y, por ende, el resultado calculado es muy cercano al esfuerzo cortante mximo real como se ex- plic anteriormente. (a) b 0.5h h AN (b) b 2h AN tmx tmx VQ It tmx VQ It tmx h Figura 7-6 N A Alas V Alma Figura 7-7 Capitulo 07_Hibbeler.indd 364 14/1/11 08:44:02 384. 7.2Frmula del esfuerzo cortante 365 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Otra limitacin importante en el uso de la frmula del esfuerzo cortante puedeilustrarsealhacerreferenciaalafigura7-8a,lacualmuestraunelemen- to con una seccin transversal que tiene una frontera irregular o no rectangu- lar. Si se aplica la frmula del esfuerzo cortante para determinar el esfuerzo cortante (promedio) t a lo largo de la lnea AB, ste tendr una direccin vertical hacia abajo como se muestra en la figura 7-8b. Sin embargo, conside- re un elemento de material tomado en el punto lmite B, figura 7-8c. Aqu, t en la parte frontal del elemento se descompone en las componentes t y t que actan de manera perpendicular y paralela a la frontera. Por inspeccin, t debe ser igual a cero, ya que su correspondiente componente longitudinal t, en la superficie de frontera libre de esfuerzo, debe ser igual a cero. Por lo tanto, para cumplir esta condicin de frontera, el esfuerzo cortante que acta sobre este elemento en realidad debe estar dirigido en forma tangencial a la frontera. En consecuencia, la distribucin del esfuerzo cortante a travs de la lnea AB est dirigida como se muestra en la figura 7-8d. Aqu, los valores especficos para el esfuerzo cortante deben obtenerse usando la teora de la elasticidad. Sin embargo, observe que es posible aplicar la frmula del esfuer- zo cortante para obtener el esfuerzo cortante que acta a travs de cada una de las lneas en gris de la figura 7-8a. Estas lneas intersecan las tangentes a la frontera en ngulos rectos y, como se muestra en la figura 7-8e, el esfuerzo cortante transversal es vertical y constante a lo largo de cada lnea. Para resumir los puntos anteriores, la frmula del esfuerzo cortante no da resultados exactos cuando se aplica en elementos con secciones trans- versales cortas o planas, o en los puntos donde la seccin transversal cambia de manera sbita. Tampoco debe aplicarse a travs de una seccin que in- terseca la frontera del elemento en un ngulo diferente de 90. En cambio, para estos casos el esfuerzo cortante debe determinarse con mtodos ms avanzados basados en la teora de la elasticidad. (a) A B V Superficie externa libre de esfuerzo (c) Distribucin del esfuerzo cortante a partir de la frmula del esfuerzo cortante A B (b) t t t 0 t t t (d) A B tmx tmx (e) Figura 7-8 Capitulo 07_Hibbeler.indd 365 14/1/11 08:44:04 385. 366 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Puntos importantes Las fuerzas cortantes en las vigas producen distribuciones de esfuerzo-deformacin no lineales sobre la seccin transversal, lo que ocasiona que sta se alabe. Debido a la propiedad complementaria del esfuerzo cortante, el esfuerzo cortante desarrollado en una viga acta sobre la seccin transversal de la viga y a lo largo de sus planos longitudinales. La frmula del esfuerzo cortante se obtuvo al considerar el equilibrio de fuerzas horizontales de las distri- buciones longitudinales del esfuerzo cortante y del esfuerzo flexionante que actan sobre una porcin de un segmento diferencial de la viga. La frmula del esfuerzo cortante debe utilizarse en elementos rectos prismticos fabricados de un ma- terial homogneo que tiene un comportamiento elstico lineal. Adems, la fuerza cortante resultante interna debe estar dirigida a lo largo de un eje de simetra para el rea de la seccin transversal. La frmula del esfuerzo cortante no debe emplearse para determinar el esfuerzo cortante en secciones transversales cortas o planas, en puntos donde existen cambios sbitos de la seccin transversal o en pun- tos que estn sobre una frontera inclinada. Procedimiento de anlisis Para aplicar la frmula del esfuerzo cortante, se sugiere el siguiente procedimiento: Fuerza cortante interna. Seccione el elemento perpendicularmente a su eje en el punto donde debe determinarse el esfuerzo cortante y obtenga la fuerza cortante interna V en la seccin. Propiedades de la seccin. Determine la ubicacin del eje neutro y encuentre el momento de inercia I de toda el rea de la seccin transversal respecto al eje neutro. Pase una seccin horizontal imaginaria a travs del punto en que debe determinarse el esfuerzo cortan- te. Mida la anchura t del rea transversal en esta seccin. La porcin del rea situada por encima o por debajo de esta anchura es A. Determine Q usando Q = yA. Aqu yAes la distancia al centroide de A, medida desde el eje neutro. Lo anterior puede ser til si se observa que A es la parte del rea de la seccin transversal del elemento que se mantiene sobre ste debido a los esfuerzos cortantes longitudinales. Vea la figura 7-4c. Esfuerzo cortante. Utilizando un conjunto consistente de unidades, sustituya los datos en la frmula del esfuerzo cortante y calcule el esfuerzo cortante t. Se sugiere que la direccin del esfuerzo cortante transversal t se establezca sobre un elemento de vo- lumen del material ubicado en el punto donde se calcula. Esto puede hacerse al observar que t acta sobre la seccin transversal en la misma direccin que V. A partir de esto, pueden establecerse los es- fuerzos cortantes correspondientes que actan sobre los otros tres planos del elemento. Capitulo 07_Hibbeler.indd 366 14/1/11 08:44:04 386. 7.2Frmula del esfuerzo cortante 367 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 7.1 El semicrculo superior (en gris ms oscuro) que se muestra en la figura 7-9b, por encima (o por debajo) de cada dimetro representa Q, porque esta rea se mantiene sobre el elemento mediante el esfuerzo cortan- te longitudinal a lo largo del dimetro. 20 mm 50 mm 4 kN 50 mm 4 kN (a) Itubo = 1 4 p(c4 o - c4 i ) = 1 4 p3(0.05 m)4 - (0.02 m)4 4 = 4.783(10-6 ) m4 Islido = 1 4 pc4 = 1 4 p(0.05 m)4 = 4.909(10-6 ) m4 El eje slido y el tubo que se muestran en la figura 7-9a estn sometidos a la fuerza cortante de 4 kN. Determine el esfuerzo cortante que acta sobre el dimetro de cada seccin transversal. SOLUCIN Propiedades de la seccin. Con base en la tabla que aparece en la pgina final de este libro (al reverso de la contraportada), el momen- to de inercia de cada seccin, calculada respecto a su dimetro (o eje neutro), es = 78.0(10-6 ) m3 = 4(0.05 m) 3p a p(0.05 m)2 2 b - 4(0.02 m) 3p a p(0.02 m)2 2 b Qtubo = gyA = 4co 3p a pc2 o 2 b - 4ci 3p a pc2 i 2 b Qslido = yA = 4c 3p a pc2 2 b = 4(0.05 m) 3p a p(0.05 m)2 2 b = 83.33(10-6 ) m3 (b) Figura 7-9 Esfuerzo cortante. Al aplicar la frmula del esfuerzo cortante, donde t = 0.1 m para la seccin slida y t = 2(0.03 m) = 0.06 m para el tubo, se tiene Resp. Resp.ttubo = VQ It = 4(103 ) N(78.0(10-6 ) m3 ) 4.783(10-6 ) m4 (0.06 m) = 1.09 MPa tslido= VQ It = 4(103 ) N(83.33(10-6 ) m3 ) 4.909(10-6 ) m4 (0.1 m) = 679 kPa NOTA: Como se analiz en las limitaciones de la frmula del esfuerzo cortante, los clculos realizados aqu son vlidos porque el esfuerzo cor- tante a lo largo del dimetro es vertical y, por lo tanto, tangente a la fron- tera de la seccin transversal. Un elemento de material sobre el dimetro est sometido a cortante puro como se muestra en la figura 7-9b. Capitulo 07_Hibbeler.indd 367 14/1/11 08:44:09 387. 368 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 7.2 Figura 7-10 Determine la distribucin del esfuerzo cortante sobre la seccin trans- versal de la viga mostrada en la figura 7-10a. SOLUCIN La distribucin puede determinarse al encontrar el esfuerzo cortante en una altura arbitraria y desde el eje neutro, figura 7-10b, para despus graficar esta funcin. Aqu, el rea en gris ms oscura A se utilizar para Q.* Por lo tanto, Al aplicar la frmula del esfuerzo cortante, se tiene Este resultado indica que la distribucin del esfuerzo cortante so- bre la seccin transversal es parablica. Como se muestra en la figura 7-10c, la intensidad vara desde cero en la parte superior e inferior, y = ; h>2, hasta un valor mximo en el eje neutro, y = 0. En especfico, como el rea de la seccin transversal es A = bh, entonces, en y = 0 se tiene *Tambin se puede utilizar el rea debajo de y [A = b(h>2 + y)], pero para hacerlo se requiere un poco ms de manipulacin algebraica. V (a) h b b y N A A (b) h 2 h 2 _ y Q = yA = cy + 1 2 a h 2 - ybd a h 2 - ybb = 1 2 a h2 4 - y2 bb (1)t = VQ It = VA1 2 B3(h2 >4) - y2 4b A 1 12 bh3 Bb = 6V bh3 a h2 4 - y2 b (2)tmx = 1.5 V A (c) b N Tmx A V dy y Distribucin del esfuerzo cortante Capitulo 07_Hibbeler.indd 368 14/1/11 08:44:15 388. 7.2Frmula del esfuerzo cortante 369 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Este mismo valor para tmx puede obtenerse directamente de la frmu la del esfuerzo cortante, t = VQ>It, teniendo en cuenta que tmx ocurre donde Q es mayor, dado que V, I y t son constantes. Por inspeccin, Q ser un mximo cuando se considere toda el rea por encima (o por de- bajo) del eje neutro; es decir, A = bh>2 y y = h>4.A = bh>2 y Por lo tanto, La falla cortante tpica en esta viga de madera se produjo en el soporte y aproximadamente a travs del centro de su seccin transversal. Figura 7-10 (cont.) N A (d) tmx Por comparacin, tmx es 50 por ciento mayor que el esfuerzo cortante promedio, determinado a partir de la ecuacin 1-7; es decir, tprom = V>A. Es importante observar que tmx tambin acta en la direccin longi- tudinal de la viga, figura 7-10d. ste es el esfuerzo que puede provocar lafallaenunavigademadera,comosemuestraenlafigura7-10e.Aqu,la particin horizontal de la madera comienza a ocurrir a travs del eje neutro en los extremos de la viga, porque ah las reacciones verticales someten a la viga a un gran esfuerzo cortante y la madera tiene una baja resistencia al esfuerzo cortante a lo largo de sus fibras, las cuales estn orientadas en la direccin longitudinal. Resulta instructivo mostrar que cuando la distribucin del esfuerzo cortante, ecuacin 1, se integra sobre la seccin transversal se obtiene la fuerza cortante resultante V. Para hacer esto, se elige una tira diferen- cial de rea dA = bdy, figura 7-10c, y como t acta de manera uniforme sobre esta tira, se tiene tmx = VQ It = V(h>4)(bh>2) C 1 12bh3 Db = 1.5 V A P (e) = 6V h3 B h2 4 a h 2 + h 2 b - 1 3 h3 8 + h3 8 R = V = 6V h3 B h2 4 y - 1 3 y3 R h>2 -h>2 LA t dA = L h>2 -h>2 6V bh3 h2 4 - y2 b dy Capitulo 07_Hibbeler.indd 369 14/1/11 08:44:19 389. 370 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 7.3 Una viga de acero I de ala ancha tiene las dimensiones mostradas en la figura 7-11a. Si est sometida a una fuerza cortante V = 80 kN, trace la distribucin del esfuerzo cortante que acta sobre el rea de la sec- cin transversal de la viga. SOLUCIN Como el alma y el ala son elementos rectangulares, entonces al igual que en el ejemplo anterior, la distribucin del esfuerzo cortante es pa- rablica y en este caso vara de la forma mostrada en la figura 7-11b. Debido a la simetra, slo deben determinarse los esfuerzos cortantes en los puntos B, B y C. Para mostrar cmo se obtienen estos valores, primero es necesario encontrar el momento de inercia del rea de la sec- cin transversal respecto al eje neutro. Si se trabaja en metros, resulta Para el punto B, tB = 0.300 m y A es el rea en gris oscuro de la figura 7-11c. As, = 155.6110-6 2 m4 + 2c 1 12 10.300 m210.02 m23 + 10.300 m210.02 m210.110 m22 d I = c 1 12 10.015 m210.200 m23 d tB = VQB ItB = 80(103 ) N10.660110-3 2 m3 2 155.6110-6 2 m4 10.015 m2 = 22.6 MPa tB = VQB ItB = 80(103 ) N10.660110-3 2 m3 2 155.6110-6 2 m4 10.300 m2 = 1.13 MPa QB = yA = [0.110 m]10.300 m210.02 m2 = 0.660110-3 2 m3 (a) 300 mm 15 mm 20 mm 20 mm A N 100 mm 100 mm V 80 kN 1.13 MPa 22.6 MPa B B C tB 1.13 MPa tB 22.6 MPa tC 25.2 MPa (b) N A 0.02 m 0.100 m 0.300 m B B A (c) Figura 7-11 Para el punto B, tB = 0.015 m y QB = QB , figura 7-11c. Por consi- guiente de modo que Capitulo 07_Hibbeler.indd 370 14/1/11 08:44:21 390. 7.2Frmula del esfuerzo cortante 371 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Para el punto C, tC = 0.015 m, y A es el rea en gris oscuro que se muestra en la figura 7-11d. Si se considera que esta rea est compuesta por dos rectngulos, se tiene Observe, con base en el anlisis realizado en Limitaciones en el uso de la frmula del esfuerzo cortante, que los valores calculados para tB y tB en realidad son engaosos. Por qu? N A 0.02 m 0.100 m 0.300 m C 0.015 m A (d) Figura 7-11 (cont.) NOTA: Con base en la figura 7-11b, observe que la mayor parte del esfuerzo cortante se produce en el alma y es casi uniforme en todo su peralte, variando desde 22.6 hasta 25.2 MPa. Es por esta razn que, para el diseo, algunos cdigos permiten el clculo del esfuerzo cor- tante promedio en la seccin transversal del alma en vez de emplear la frmula del esfuerzo cortante. Esto se analizar ms adelante en el captulo 11. = 0.735110-3 2 m3 + [0.05 m]10.015 m210.100 m2 QC = yA = [0.110 m]10.300 m210.02 m2 As, tC = tmx = VQC ItC = 80(103 ) N[0.735110-3 2 m3 ] 155.6110-6 2 m4 10.015 m2 = 25.2 MPa Capitulo 07_Hibbeler.indd 371 14/1/11 08:44:22 391. 372 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 7.4 La viga mostrada en la figura 7-12a est construida con dos tablas. De- termine el esfuerzo cortante mximo en el pegamento necesario para mantener las tablas juntas, a lo largo del borde en el que estn unidas. SOLUCIN Fuerza cortante interna. En la figura 7-12b se muestran las reac- ciones en los apoyos y el diagrama de fuerza cortante para la viga. Se observa que el esfuerzo cortante mximo en la viga es de 19.5 kN. Propiedades de la seccin. El centroide y, por lo tanto, el eje neutro se determinarn a partir del eje de referencia situado en la parte inferior del rea de la seccin transversal, figura 7-12a. Si se trabaja en unidades de metros, resulta Por lo tanto, el momento de inercia respecto al eje neutro, figura 7-12a, es = [0.075 m]10.150 m210.030 m2 + [0.165 m]10.030 m210.150 m2 10.150 m210.030 m2 + 10.030 m210.150 m2 = 0.120 m y = ' yA A La tabla superior (ala) se mantiene sobre la tabla inferior (alma) por medio del pegamento, el cual est aplicado sobre el grosor t = 0.03 m. En consecuencia, A se define como el rea de la tabla superior, figura 7-12a. Se tiene = 27.0110-6 2 m4 + c 1 12 10.150 m210.030 m23 + 10.030 m210.150 m210.165 m - 0.120 m22 d I = c 1 12 10.030 m210.150 m23 + 10.150 m210.030 m210.120 m - 0.075 m22 d Esfuerzo cortante. Con los datos anteriores y aplicando la frmu- la del esfuerzo cortante se obtiene En la figura 7-12c se muestra el esfuerzo cortante que acta en la parte superior de la tabla inferior. NOTA: La resistencia del pegamento a este esfuerzo cortante longitu- dinal es lo que evita que las tablas se deslicen en el soporte derecho. = 0.2025110-3 2 m3 Q = yA = [0.180 m - 0.015 m - 0.120 m]10.03 m210.150 m2 Resp.tmx = VQ It = 19.5(103 ) N10.2025110-3 2 m3 2 27.0110-6 2 m4 10.030 m2 = 4.88 MPa 4 m 4 m 6.5 kN/m (a) 150 mm N A 30 mm 150 mm 30 mm _ y (b) 6.5 4 5 8 19.5 V (kN) x (m) 6 m 26 kN 2 m 19.5 kN6.5 kN Figura 7-12 4.88 MPa Plano que contiene el pegamento (c) V 19.5 kN Capitulo 07_Hibbeler.indd 372 14/1/11 08:44:25 392. 7.2Frmula del esfuerzo cortante 373 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas fundamentales F7-1. Si la viga est sometida a una fuerza cortante de V = 100 kN, determine el esfuerzo cortante desarrollado en el punto A. Represente el estado de esfuerzo en A sobre un elemento de volumen. F7-2. Determine el esfuerzo cortante sobre los puntos A y B de la viga si sta se encuentra sometida a una fuerza cortante de V = 600 kN. F7-3. Determine el esfuerzo cortante mximo absoluto de- sarrollado en la viga. F7-4. Si la viga est sometida a una fuerza cortante de V = 20 kN, determine el esfuerzo cortante mximo desarro- llado en la viga. F7-5. Si la viga est fabricada de cuatro placas y se encuen- tra sometida a una fuerza cortante de V = 20 kN, determine el esfuerzo cortante mximo desarrollado en la viga. F7-1 200 mm 90 mm 300 mm 20 mm 20 mm 20 mm V A 100 mm 100 mm 100 mm 100 mm 100 mm 100 mm B A V F7-2 A 1 pie 3 pulg 6 pulg 1 pie1 pie 6 kip 3 kip B F7-3 200 mm V 150 mm 150 mm 50 mm 30 mm 30 mm 30 mm 30 mm 50 mm F7-4 150 mm 50 mm 25 mm 25 mm A 150 mm 50 mm 50 mm V F7-5 Capitulo 07_Hibbeler.indd 373 14/1/11 08:44:38 393. 374 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas 7-1. Si la viga I de ala ancha se somete a una fuerza cor- tante de V = 20 kN, determine el esfuerzo cortante sobre el alma en A. Indique las componentes del esfuerzo cortante sobre un elemento de volumen ubicado en este punto. 7-2. Si la viga I de ala ancha se somete a una fuerza cor- tante de V = 20 kN, determine el esfuerzo cortante mximo en la viga. 7-3. Si la viga I de ala ancha se somete a una fuerza cortan- te de V = 20 kN, determine la fuerza cortante resistida por el alma de la viga. *7-4. Si la viga en T se somete a una fuerza cortante verti- cal de V = 12 kip, determine el esfuerzo cortante mximo en la viga. Adems, calcule el salto del esfuerzo cortante en la unin AB del ala con el alma. Trace la variacin de la intensi- dad del esfuerzo cortante sobre toda la seccin transversal. 7-5. Si la viga en T se somete a una fuerza cortante verti- cal de V = 12 kip, determine la fuerza cortante vertical resis- tida por el ala. 7-6. Si la viga se somete a una fuerza cortante de V = 15 kN, determine el esfuerzo cortante del alma en A y B. Indique las componentes del esfuerzo cortante sobre un elemento de volumen ubicado en estos puntos. Demuestre que el eje neutro se ubica en y = 0.1747 desde la parte inferior e IEN = 0.2182 (10-3 ) m4 . 7-7. Si la viga I de ala ancha se somete a una fuerza cor- tante de V = 30 kN, determine el esfuerzo cortante mximo en la viga. *7-8. Si la viga I de ala ancha se somete a una fuerza cor- tante de V = 30 kN, determine la fuerza cortante resistida por el alma de la viga. Prob. 7-6 A B V 30 mm 25 mm 30 mm 250 mm 200 mm 125 mm A B V 20 mm 20 mm 20 mm 300 mm 200 mm 200 mm Probs. 7-1/2/3 Probs. 7-4/5 BB V 12 kip 6 pulg 3 pulg 4 pulg 4 pulg 4 pulg A A B V 30 mm 25 mm 30 mm 250 mm 200 mm 200 mm Probs. 7-7/8 Capitulo 07_Hibbeler.indd 374 14/1/11 08:44:52 394. 7.2Frmula del esfuerzo cortante 375 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7-9. Determine la mayor fuerza cortante V que puede sostener el elemento si el esfuerzo cortante permisible es tperm = 8 ksi. 7-10. Si la fuerza cortante aplicada V = 18 kip, determine el esfuerzo cortante mximo en el elemento. 7-11. La viga de madera tiene un esfuerzo cortante permi- sible de tperm = 7 MPa. Determine la fuerza cortante mxima V que puede aplicarse a la seccin transversal. *7-12. La viga tiene una seccin transversal rectangular y est hecha de madera con un esfuerzo cortante permisible de tperm = 200 psi. Determine la fuerza cortante mxima V que puede desarrollarse en la seccin transversal de la viga. Adems, grafique la variacin del esfuerzo cortante sobre la seccin transversal. 7-13. Determine el esfuerzo cortante mximo en el pun- tal si ste se encuentra sometido a una fuerza cortante V = 20 kN. 7-14. Determine la fuerza cortante mxima V que puede soportar el puntal si el esfuerzo cortante permisible para el material es tperm = 40 MPa. 7-15. Trace la distribucin del esfuerzo cortante sobre la seccin transversal de una barra que tiene un radio c. En qu factor es mayor el esfuerzo cortante mximo que el es- fuerzo cortante promedio que acta sobre la seccin trans- versal? *7-16. Un elemento tiene una seccin transversal en forma de tringulo equiltero. Si est sometido a una fuerza cor- tante V, determine el esfuerzo cortante mximo promedio en el elemento empleando la frmula del esfuerzo cortante. En realidad debera usarse la frmula del esfuerzo cortan- te para predecir este valor? Explique. Probs. 7-9/10 V 3 pulg 1 pulg 1 pulg 1 pulg 3 pulg Prob. 7-11 50 mm 50 mm 200 mm 100 mm 50 mm V 50 mm Prob. 7-12 V 12 pulg 8 pulg V 60 mm 12 mm 20 mm 20 mm 80 mm 12 mm Probs. 7-13/14 c V y Prob. 7-15 V a h Prob. 7-16 Capitulo 07_Hibbeler.indd 375 14/1/11 08:44:56 395. 376 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7-17. Determine el esfuerzo cortante mximo en el puntal si est sometido a una fuerza cortante de V = 600 kN. 7-18. Determine la fuerza cortante mxima V que puede soportar el puntal si el esfuerzo cortante permisible para el material es tperm = 45 MPa. 7-19. Grafique la intensidad del esfuerzo cortante distribui- do sobre la seccin transversal del puntal si ste se encuentra sometido a una fuerza cortante de V = 600 kN. *7-20. La barra de acero est sometida a una fuerza cor- tante de 30 kip. Determine el esfuerzo cortante mximo en la barra. 7-21. La barra de acero est sometida a una fuerza cor- tante de 30 kip. Determine el esfuerzo cortante en el punto A. Muestre el resultado sobre un elemento de volumen en este punto. 7-22. Determine el esfuerzo cortante en el punto B, ubica- do sobre el alma de un puntal en voladizo, en la seccin a-a. 7-23. Determine el esfuerzo cortante mximo que acta sobre la seccin a-a del puntal en voladizo. *7-24. Determine el esfuerzo cortante mximo que acta sobre la viga T, en la seccin crtica donde la fuerza cortante interna es mxima. 7-25. Determine el esfuerzo cortante mximo que acta sobre la viga T, en el punto C. Muestre el resultado sobre un elemento de volumen en ese punto. Probs. 7-17/18/19 V 150 mm 30 mm 100 mm 100 mm 100 mm 30 mm Probs. 7-20/21 30 kip 2 pulg 1 pulg A Probs. 7-22/23 a a 2 kN 4 kN 250 mm 250 mm 300 mm 20 mm 50 mm 70 mm 20 mm B Probs. 7-24/25 3 m 1.5 m1.5 m 10 kN/m A 150 mm 150 mm 30 mm 30 mm B C Capitulo 07_Hibbeler.indd 376 14/1/11 08:45:01 396. 7.2Frmula del esfuerzo cortante 377 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7-26. Determine el esfuerzo cortante mximo que acta sobre la viga de fibra de vidrio, en la seccin donde la fuerza cortante interna es mxima. 7-27. Determine el esfuerzo cortante en los puntos C y D ubicados sobre el alma de la viga. *7-28. Determine el esfuerzo cortante mximo que acta sobre la viga en la seccin crtica donde la fuerza cortante interna es mxima. 7-29. Escriba un programa de computadora que pueda usarse para determinar el esfuerzo cortante mximo en una viga, la cual tiene la seccin transversal mostrada en la figura y est sometida a una carga distribuida constante especfica w y a una fuerza concentrada P. Muestre una aplicacin del programa usando los valores L = 4 m, a = 2 m, P = 1.5 kN, d1 = 0, d2 = 2 m, w = 400 N>m, t1 = 15 mm, t2 = 20 mm, b = 50 mm y h = 150 mm. 7-30. La viga tiene una seccin transversal rectangular y est sometida a una carga P que es lo suficientemente grande como para desarrollar un momento completamente plstico Mp = PL en el soporte fijo. Si el material es elastoplstico, entonces el momento M = Px crea una regin de cedencia plstica, a una distancia x < L, con un ncleo elstico asocia- do a una altura 2y. Esta situacin se ha descrito mediante la ecuacin 6-30 y el momento M se distribuye sobre la seccin transversal, como se muestra en la figura 6-48e. Demuestre que el esfuerzo cortante mximo desarrollado en la viga est dado por tmx = 3 2 (P>A), donde A = 2yb, el rea de la sec- cin transversal del ncleo elstico. 7-31. La viga de la figura 6-48f est sometida a un momen- to completamente plstico Mp . Demuestre que los esfuerzos cortantes longitudinales y transversales en la viga son iguales a cero. Sugerencia: Considere un elemento de la viga como se muestra en la figura 7-4c. Prob. 7-26 A 150 lb/pie D 0.75 pulg 0.75 pulg4 pulg 6 pulg 2 pies 6 pies6 pies 0.5 pulg 200 lb/pie 4 pulg Probs. 7-27/28 A 3 kip/pie D D C C B 1 pulg 1 pulg6 pulg 4 pulg 4 pulg 6 pies 6 pies6 pies 0.75 pulg 6 pulg Prob. 7-29 P d1 a L d2 w A B t1 t1 t2 b h Prob. 7-30 h b L P x Regin plstica 2y Regin elstica Capitulo 07_Hibbeler.indd 377 14/1/11 08:45:05 397. 378 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 La integral representa a Q, es decir, el momento del rea A del segmento en la figura 7-14b respecto al eje neutro de toda la seccin transversal. Como el segmento tiene una longitud dx, el flujo cortante, o la fuerza por unidad de longitud a lo largo de la viga, es q = dF>dx. Por lo tanto, al dividir ambos lados de la ecuacin entre dx y teniendo en cuenta que V = dM>dx, ecuacin 6-2, es posible escribir 7.3Flujo cortante en elementos compuestos A veces en la prctica de la ingeniera, los elementos se construyen a partir de varias partes componentes a fin de lograr una mayor resistencia a las cargas. En la figura 7-13 se muestran algunos ejemplos. Si las cargas causan flexin en los elementos, es necesario utilizar sujetadores tales como clavos, tornillos, material de soldadura o pegamento para evitar que los componentes se deslicen entre s, figura 7-2. Para disear estos sujetadores o determinar su espaciamiento, es necesario conocer la fuerza cortante que debe ser resistida por el sujetador. Esta carga, cuando se mide como una fuerza por unidad de longitud de la viga, se conoce como flujo cortante q.* La magnitud del flujo cortante puede obtenerse mediante un desarrollo similar al que se hizo para encontrar el esfuerzo cortante en la viga. Para mostrar esto, se considerar la determinacin del flujo cortante a lo largo de la unin donde el segmento de la figura 7-14a est conectado al ala de la viga. Como se muestra en la figura 7-14b, en este segmento deben actuar tres fuerzas horizontales. Dos de esas fuerzas, F y F + dF, se desarrollan mediante esfuerzos normales causados por los momentos M y M + dM, res- pectivamente. La tercera fuerza, que para el equilibrio debe ser igual a dF, acta en la unin y debe estar soportada por el sujetador. Si se observa que dF es el resultado de dM, entonces, al igual que en la ecuacin 7-1, se tiene Aqu q =el flujo cortante, medido como una fuerza por unidad de longitud a lo largo de la viga V =la fuerza cortante interna resultante, determinada mediante el mtodo de las secciones y las ecuaciones de equilibrio I =el momento de inercia de toda la seccin transversal calculada respecto al eje neutro Q=yA donde A es el rea de la seccin transversal del segmento que se conecta a la viga en la unin donde debe calcularse el flujo cortante, y yAes la distancia desde el eje neutro hasta el centroide de A *El uso de la palabra flujo en esta terminologa ser significativo en lo que respecta al anlisis de la seccin 7.5. dF = dM I LA y dA (7-4)q = VQ I Figura 7-13 Capitulo 07_Hibbeler.indd 378 14/1/11 08:45:06 398. 7.3Flujo cortante en elementos compuestos 379 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 La aplicacin de esta ecuacin sigue el mismo procedimiento de anli- sis que el indicado en la seccin 7.2 para la frmula del esfuerzo cortante. Es muy importante identificar correctamente a Q para determinar el flujo cortante en una junta particular en la seccin transversal. Algunos ejem- plos servirn para ilustrar cmo se debe hacer esto. Considere las seccio- nes transversales de viga que se muestran en la figura 7-15. Los segmentos en gris oscuro estn conectados a la viga por medio de sujetadores y en los planos de conexin (identificados por las lneas negras gruesas), el flujo cortante q se determina utilizando un valor de Q calculado a partir de A y yAindicados en cada figura. Este valor de q ser resistido por un sujetador nico en la figura 7-15a, por medio de dos sujetadores en la figura 7-15b y mediante tres dispositivos de sujecin en la figura 7-15c. En otras palabras, el sujetador de la figura 7-15a soporta el valor calculado de q, y en las figu- ras 7-15b y 7-15c cada sujetador soporta q>2 y q>3, respectivamente. Puntos importantes El flujo cortante es una medida de la fuerza por unidad de longitud a lo largo del eje de una viga. Este valor se obtiene de la frmula del esfuerzo cortante y se usa para determinar la fuerza cortante desarrollada en los sujetadores y el pegamento que mantienen unidos los distintos segmentos de una viga compuesta. dx dx M dM M (a) dx dF F dF (b) t F A Figura 7-14 A AN (a) _ y N A (b) A _ y A AN (c) _ y Figura 7-15 Capitulo 07_Hibbeler.indd 379 14/1/11 08:45:09 399. 380 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 7.5 La viga est construida a partir de cuatro tablas pegadas como se muestra en la figura 7-16a. Si est sometida a una fuerza cortante de V = 850 kN, determine el flujo cortante en B y C que debe resistir el pegamento. SOLUCIN Propiedades de la seccin. El eje neutro (centroide) se medir desde la parte baja de la viga, figura 7-16a. Al trabajar con unidades mtricas se obtiene As, el momento de inercia respecto al eje neutro es Como el pegamento en B y B de la figura 7-16b mantiene la tabla superior en la viga, se tiene = 0.1968 m y = ' yA A = 2[0.15 m]10.3 m210.01 m2 + [0.205 m]10.125 m210.01 m2 + [0.305 m]10.250 m210.01 m2 210.3 m210.01 m2 + 0.125 m10.01 m2 + 0.250 m10.01 m2 = 87.52110-6 2 m4 + c 1 12 10.250 m210.01 m23 + 10.250 m210.01 m210.305 m - 0.1968 m22 d + c 1 12 10.125 m210.01 m23 + 10.125 m210.01 m210.205 m - 0.1968 m22 d I = 2c 1 12 10.01 m210.3 m23 + 10.01 m210.3 m210.1968 m - 0.150 m22 d = 0.271110-3 2 m3 QB = y BA B = [0.305 m - 0.1968 m]10.250 m210.01 m2 = 0.01026110-3 2 m3 QC = y CA C = [0.205 m - 0.1968 m]10.125 m210.01 m2 q B = VQB I = 8501103 2 N10.271110-3 2 m3 2 87.52110-6 2 m4 = 2.63 MN>m q C = VQC I = 8501103 2 N10.01026110-3 2 m3 2 87.52110-6 2 m4 = 0.0996 MN>m Resp.qB = 1.31 MN>m y qC = 0.0498 MN>m De la misma manera, el pegamento en C y C mantiene la tabla inte- rior en la viga, figura 7-16b y, por consiguiente Flujo cortante. Para B y B se tiene Y para C y C, Como se usan dos juntas para asegurar cada tabla, el pegamento por metro de longitud de la viga en cada junta debe ser suficientemente fuerte para resistir la mitad de cada valor calculado para q. As, 250 mm 10 mm 10 mm 200 mm 300 mm 125 mm 10 mm10 mm AN _ y _ yB _ yC V 850 kN B C (a) AN B C (b) C B AC AB Figura 7-16 Capitulo 07_Hibbeler.indd 380 14/1/11 08:45:12 400. 7.3Flujo cortante en elementos compuestos 381 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 7.6 Una viga de caja se construye con cuatro tablones clavados entre s, como se muestra en la figura 7-17a. Si cada clavo puede soportar una fuerza cortante de 30 lb, determine la separacin mxima s de los clavos en B y C para que la viga soporte la fuerza de 80 lb. SOLUCIN Fuerza cortante interna. Si la viga se secciona en un punto ar- bitrario sobre su longitud, la fuerza cortante interna necesaria para el equilibrio siempre ser V = 80 lb, por lo que el diagrama de fuerza cor- tante es como se muestra en la figura 7-17b. Propiedades de la seccin. El momento de inercia del rea de la seccin transversal respecto al eje neutro puede determinarse al conside- rar un cuadrado de 7.5 7.5 pulg menos un cuadrado de 4.5 4.5 pulg. El flujo cortante en B se determina usando la QB encontrada en el rea gris ms oscura que se muestra en la figura 7-17c. Es esta porcin simtrica de la viga la que debe mantenerse con el resto de la viga mediante clavos en el lado izquierdo y por medio de las fibras del tabln del lado derecho. As, Del mismo modo, el flujo cortante en C puede determinarse mediante el rea simtrica sombreada en gris oscuro que se muestra en la figura 7-17d. Se tiene Flujo cortante. Estos valores representan la fuerza cortante por unidad de longitud de la viga que debe ser resistida por los clavos en B y las fibras en B, figura 7-17c, y los clavos en C y las fibras en C, figura 7-17d, respectiva- mente. Como en cada caso, el flujo cortante es resistido en dos superfi- cies y cada clavo puede resistir 30 lb, para B la separacin es Y para C, I = 1 12 17.5 pulg217.5 pulg23 - 1 12 14.5 pulg214.5 pulg23 = 229.5 pulg4 QB = yA = [3 pulg]17.5 pulg211.5 pulg2 = 33.75 pulg3 QC = yA = [3 pulg]14.5 pulg211.5 pulg2 = 20.25 pulg3 qC = VQC I = 80 lb120.25 pulg3 2 229.5 pulg4 = 7.059 lb>pulg qB = VQB I = 80 lb133.75 pulg3 2 229.5 pulg4 = 11.76 lb>pulg Resp.sB = 30 lb 111.76>22 lb>pulg = 5.10 pulg Use sB = 5 pulg Resp.sC = 30 lb 17.059>22 lb>pulg = 8.50 pulg Use sC = 8.5 pulg (a) 80 lb s 6 pulg 1.5 pulg 6 pulg 1.5 pulg B C 1.5 pulg (b) V (lb) x (pie) 80 (c) 7.5 pulg B B AN 3 pulg 1.5 pulg Figura 7-17 4.5 pulg C AN C (d) 3 pulg 1.5 pulg Capitulo 07_Hibbeler.indd 381 14/1/11 08:45:15 401. 382 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 7.7 En una viga que puede construirse como se muestra en el Caso I o bien como en el Caso II, figura 7-18, se usan clavos con una resistencia cor- tante total de 40 lb. Si los clavos estn separados a 9 pulg, determine la mayor fuerza cortante vertical que se puede soportar en cada caso de modo que los sujetadores no fallen. SOLUCIN Como la seccin transversal es la misma en ambos casos, el momento de inercia respecto al eje neutro es Caso I. En este diseo, una sola fila de clavos mantiene el ala supe- rior o inferior sobre el alma. Para una de estas alas, de modo que Figura 7-18 N 3 pulg 1 pulg 4 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg Caso I A N 9 pulgs 5 pulg 0.5 pulg Caso II A 1pulg 1pulg 1pulg 9 pulgs 0.5pulg I = 1 12 13 pulg215 pulg23 - 2c 1 12 11 pulg214 pulg23 d = 20.58 pulg4 Q = yA = [2.25 pulg]13 pulg10.5 pulg22 = 3.375 pulg3 Resp.V = 27.1 lb 40 lb 9 pulg = V13.375 pulg3 2 20.58 pulg4 q = VQ I Resp.V = 81.3 lb 40 lb 9 pulg = V11.125 pulg3 2 20.58 pulg4 q = VQ I Q = yA = [2.25 pulg]11 pulg10.5 pulg22 = 1.125 pulg3 Caso II. Aqu, una hilera de clavos mantiene una de las tablas latera- les sobre el alma. Por lo tanto, Capitulo 07_Hibbeler.indd 382 14/1/11 08:45:17 402. 7.3Flujo cortante en elementos compuestos 383 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS FUNDAMENTALES F7-6. Dos tablas idnticas estn empernadas entre s para formar una viga. Determine, con una precisin de 1 mm, la mxima separacin permisible s entre los pernos si cada uno tiene una resistencia cortante de 15 kN. La viga est someti- da a una fuerza cortante de V = 50 kN. F7-7. Dos tablas idnticas estn empernadas entre s para formar una viga. Si la separacin entre los pernos es s = 100 mm y cada uno tiene una resistencia cortante de 15 kN, de- termine la fuerza cortante mxima V que la viga puede re- sistir. F7-8. Dos placas gruesas idnticas con 20 mm de grosor se empernan a las alas superior e inferior para formar una viga compuesta. Si la viga se somete a una fuerza cortante de V = 300 kN, determine la separacin mxima permisible s de los pernos, con una precisin de 1 mm. Cada perno tiene una resistencia cortante de 30 kN. F7-9. Las tablas estn unidas entre s para formar una viga compuesta. Si la viga se somete a una fuerza cortante de V = 20 kN, determine la separacin mxima permisible de los pernos con una precisin de 1 mm. Cada perno tiene una resistencia cortante de 8 kN. F7-10. Las tablas estn unidas entre s para formar la viga compuesta. Si la viga se somete a una fuerza cortante de V = 15 kip, determine la separacin mxima permisible de los pernos con una precisin de 1 8 de pulg. Cada perno tiene una resistencia cortante de 6 kip. F7-6/7 100 mm 100 mm 300 mm V s s F7-8 20 mm 10 mm 10 mm 200 mm 200 mm 10 mm 20 mm 300 mm s s V 4 pulg 3 pulg 3 pulg 1 pulg 1 pulg 4 pulg 1 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg V s s F7-10 200 mm 25 mm 50 mm V 25 mm 50 mm 150 mm 150 mm s s F7-9 Capitulo 07_Hibbeler.indd 383 14/1/11 08:45:41 403. 384 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas *7-32. La viga est construida con dos tablas unidas en las partes superior e inferior, mediante dos hileras de clavos es- paciados cada 6 pulg. Si cada clavo puede soportar una fuer- za cortante de 500 lb, determine la mxima fuerza cortante V que puede aplicarse a la viga. 7-33. La viga est construida con dos tablas unidas en las partes superior e inferior, mediante dos hileras de clavos es- paciados cada 6 pulg. Si se aplica una fuerza cortante interna de V = 600 lb sobre las tablas, determine la fuerza cortante resistida por cada clavo. 7-34. La viga est construida con dos tablas unidas median- te tres hileras de clavos espaciados a s = 2 pulg de distancia. Si cada clavo puede soportar una fuerza cortante de 450 lb, determine la fuerza cortante mxima V que puede aplicarse a la viga. El esfuerzo cortante permisible para la madera es tperm = 300 psi. 7-35. La viga est construida con dos tablas unidas me- diante tres hileras de clavos. Si el esfuerzo cortante permi- sible para la madera es tperm = 150 psi, determine la fuerza cortante mxima V que puede aplicarse a la viga. Adems, encuentre la separacin mxima s de los clavos si cada uno puede resistir 650 lb en corte. *7-36. La viga est fabricada a partir de dos elementos es- tructurales equivalentes en T y dos placas. Cada placa tiene una altura de 6 pulg y un grosor de 0.5 pulg. Si se aplica una fuerza cortante de V = 50 kip a la seccin transversal, deter- mine la separacin mxima de los pernos. Cada perno puede resistir una fuerza cortante de 15 kip. 7-37. La viga est fabricada a partir de dos elementos es- tructurales equivalentes en T y dos placas. Cada placa tiene una altura de 6 pulg y un grosor de 0.5 pulg. Si los pernos estn espaciados a s = 8 pulg, determine la fuerza cortante mxima V que puede aplicarse a la seccin transversal. Cada perno puede resistir una fuerza cortante de 15 kip. 7-38. La viga est sometida a una fuerza cortante de V = 2 kN. Determine el esfuerzo cortante promedio desarrolla- do en cada clavo si stos se encuentran separados a 75 mm sobre los lados de la viga. Cada clavo tiene un dimetro de 4 mm. Probs. 7-32/33 V 2 pulg 6 pulg 6 pulg 6 pulg 2 pulg V 1.5 pulg s s 6 pulg 1.5 pulg Probs. 7-34/35 3 pulg 3 pulg A V 0.5 pulg 1 pulg 0.5 pulg 6 pulg s N Probs. 7-36/37 75 mm 75 mm 50 mm 25 mm 200 mm 200 mm 25 mm V Prob. 7-38 Capitulo 07_Hibbeler.indd 384 14/1/11 08:45:44 404. 7.3Flujo cortante en elementos compuestos 385 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7-39. Una viga est construida con tres tablas unidas en- tre s, como se muestra en la figura. Determine la fuerza cortante desarrollada en cada perno si stos se encuentran separados a s = 250 mm y la fuerza cortante aplicada es de V = 35 kN. *7-40. La viga de doble alma se construye a partir de dos hojas de madera contrachapada que se fijan a piezas de ma- dera en sus partes superior e inferior. Si cada elemento de sujecin puede soportar 600 lb en corte simple, determine la separacin s requerida entre los sujetadores para sopor- tar la carga P = 3000 lb. Suponga que A est articulada y que B es un rodillo. 7-41. La viga de doble alma se construye a partir de dos hojas de madera contrachapada que se fijan a piezas de ma- dera en sus partes superior e inferior. El esfuerzo flexionante permisible de la madera es sperm = 8 ksi y el esfuerzo cortan- te permisible es tperm = 3 ksi. Si los sujetadores estn sepa- rados a s = 6 pulg y cada uno puede soportar 600 lb en corte simple, determine la carga mxima P que puede aplicarse a la viga. 7-42. La viga en T se clava de la manera mostrada en la figura. Si cada clavo puede soportar una fuerza cortante de 950 lb, determine la mxima fuerza cortante V que puede soportar la viga y la mxima separacin s correspondiente entre los clavos con una precisin de 1 8 de pulg. El esfuerzo cortante permisible para la madera es tperm = 450 psi. 7-43. Determine el esfuerzo cortante promedio desarrolla- do en los clavos dentro de la regin AB de la viga. Los clavos se ubican a los lados de la viga y estn separados a 100 mm entre s. Cada clavo tiene un dimetro de 4 mm. Considere P = 2 kN. *7-44. Los clavos estn a ambos lados de la viga y cada uno puede resistir una fuerza cortante 2 kN. Adems de la carga distribuida, determine la carga mxima P que puede apli- carse al extremo de la viga. Los clavos estn separados por 100 mm y el esfuerzo cortante permisible para la madera es tperm = 3 MPa. Probs. 7-43/44 P 1.5 m 1.5 m B CA 40 mm 20 mm 20 mm 100 mm 200 mm 200 mm 2 kN/m s = 250 mm 250 mm100 mm 25 mm 25 mm 25 mm 350 mm V Prob. 7-39 P B s A 2 pulg 2 pulg 10 pulg 6 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg 2 pulg 2 pulg 4 pulg 4 pulg Probs. 7-40/41 12 pulg 12 pulg2 pulg 2 pulg V s s Prob. 7-42 Capitulo 07_Hibbeler.indd 385 14/1/11 08:45:46 405. 386 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7-45. La viga se construye con cuatro tablones clavados entre s. Los clavos estn a ambos lados de la viga y cada uno puede resistir una fuerza cortante 3 kN. Determine la carga mxima P que puede aplicarse al extremo de la viga. 7-46. Una viga compuesta de madera est hecha con cua- tro tablas, cada una con una seccin transversal rectangular. Escriba un programa de computadora que pueda usarse para determinar el esfuerzo cortante mximo en la viga cuando est sometida a la fuerza cortante V. Muestre una aplicacin del programa para un conjunto especfico de di- mensiones. 7-47. La viga est construida con cuatro tablas clavadas entre s, como se muestra en la figura. Si cada clavo puede soportar una fuerza cortante de 100 lb, determine las separa- ciones requeridas s y s si la viga est sometida a una fuerza cortante de V = 700 lb. *7-48. La viga de caja est construida con cuatro tablones que se sujetan mediante clavos espaciados a lo largo de la viga a cada 2 pulg. Si cada clavo puede resistir una fuerza cortante de 50 lb, determine la mayor fuerza cortante V que se puede aplicar a la viga sin causar la falla de los clavos. 7-49. La viga de madera en T est sometida a una carga que consiste en n fuerzas concentradas, Pn . Si se conoce la fuerza cortante permisible Vclavo para cada uno de los cla- vos, escriba un programa de computadora que especifique el espaciamiento de los clavos entre cada carga. Muestre una aplicacin del programa usando los valores L = 15 pies, a1 = 4 pies, P1 = 600 lb, a2 = 8 pies, P2 = 1500 lb, b1 = 1.5 pulg, h1 = 10 pulg, b2 = 8 pulg, h2 = 1 pulg y Vclavo = 200 lb. Prob. 7-49 b1 h2 h1 b2 P1 P2 Pn a1 L a2 an s1 s2 s3 sn A B 1.5 pulg 10 pulg 2 pulg B V 1 pulg 10 pulg 1 pulg A 1 pulg C s s D s s Prob. 7-47 6 pulg 1 pulg 1 pulg 1 pulg 5 pulg V 12 pulg 2 pulg Prob. 7-48 P 2 m 2 m 3 kN B CA 30 mm 30 mm 30 mm 100 mm 250 mm30 mm 150 mm Prob. 7-45 bn hn h1 h2 b3 b1 b2 V Prob. 7-46 Capitulo 07_Hibbeler.indd 386 14/1/11 08:45:49 406. 7.4Flujo cortante en elementos de pared delgada 387 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.4Flujo cortante en elementos de pared delgada En esta seccin se mostrar cmo aplicar la ecuacin de flujo cortante q = VQ>I para encontrar la distribucin del flujo cortante en toda el rea de la seccin transversal de un elemento. Se supondr que el elemento tiene pa- redes delgadas, es decir, que el grosor de la pared es pequeo comparado con su altura o anchura. Como se muestra en la siguiente seccin, este an- lisis tiene aplicaciones importantes en el diseo estructural y mecnico. Al igual que el esfuerzo cortante, el flujo cortante acta en los planos longitudinal y transversal del elemento. Para mostrar cmo se establece su direccin en la seccin transversal, considere el segmento dx de la viga I de ala ancha en la figura 7-19a. Los diagramas de cuerpo libre de dos seg- mentos, B y C, tomados del ala superior se muestran en las figuras 7-19b y 7-19c. La fuerza dF debe actuar sobre la seccin longitudinal a fin de equi- librar las fuerzas normales F y F + dF creadas por los momentos M y M + dM, respectivamente. Ahora bien, si los elementos B y C en las esquinas de cada segmento se retiran, entonces las componentes transversales q ac- tan en la seccin transversal, como se muestra en las figuras 7-19b y 7-19c. Mediante este mtodo, demuestre que los flujos cortantes en los puntos correspondientes B y C del ala inferior, figura 7-l9d, estn dirigidos como se muestra en la figura. Aunque tambin es cierto que V + dV crear componentes verticales de flujo cortante en este elemento, aqu no se tomarn en cuenta sus efectos. Esto se debe a que esta componente, al igual que el esfuerzo cortante, es aproximadamente igual a cero en todo el grosor del elemento. En este caso, el ala es delgada y la parte superior e inferior de las superficies del elemen- to estn libres de esfuerzo, figura 7-19e. En resumen, slo se considerar la componente de flujo cortante que acta paralela a los lados del ala. (a) M dM V dV dx t M V B C (b) F F dF dF BdA q B dF (c) F F dF dx C t q C (d) B B C C t Se supone que q es constante a travs del grosor del ala Se supone que q es cero a travs del grosor del ala, porque sus partes superior e inferior estn libres de esfuerzo (e) Figura 7-19 Capitulo 07_Hibbeler.indd 387 14/1/11 08:45:51 407. 388 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Por inspeccin, esta distribucin vara de forma lineal a partir de q = 0 en x = b>2 hasta (qmx )f = Vt db>4I en x = 0. (La limitacin de x = 0 es posi- ble aqu porque se supone que el elemento tiene pared delgada, por lo que el grosor del alma no se toma en cuenta). Debido a la simetra, un anlisis similar genera la misma distribucin de flujo cortante en los otros segmentos del ala, de modo que los resultados son los mostrados en la figura 7-20d. La fuerza total desarrollada en cada segmento del ala puede determi- narse por integracin. Como la fuerza sobre el elemento dx de la figura 7-20b es dF = qdx, entonces Despus de haber determinado la direccin del flujo cortante en cada ala, ahora es posible encontrar su distribucin a lo largo del ala superior derecha de la viga mostrada en la figura 7-20a. Para ello, considere el flujo cortante q, que acta sobre el elemento dx gris oscuro, el cual se encuentra a una distancia arbitraria x de la lnea central de la seccin transversal de la figura 7-20b. Aqu, Resp.V = 81.3 lb 40 lb 9 pulg = V11.125 pulg3 2 20.58 pulg4 q = VQ I Q = yA = [2.25 pulg]11 pulg10.5 pulg22 = 1.125 pulg3 = (7-5)q = VQ I = V[d>2]1b>2 - x2t I = Vtd 2I a b 2 - xb , de modo que Ff = L q dx = L b>2 0 Vtd 2I a b 2 - xb dx = Vtdb2 16I Ff = 1 2 1qmx2fa b 2 b = Vtdb2 16I b t t A V N t (a) d 2 d 2 (b) N A x dx t q d 2 b 2 (c) N A b t t t y q dy d 2 Figura 7-20 (7-5)q = VQ I = V[d>2]1b>2 - x2t I = Vtd 2I a b 2 - xb Este resultado tambin puede encontrarse al determinar el rea bajo el tringulo de la figura 7-20d. Por consiguiente, Estas cuatro fuerzas se muestran en la figura 7-20e, donde puede observar- se a partir de su direccin que se mantiene el equilibrio de fuerzas horizon- tales de la seccin transversal. Capitulo 07_Hibbeler.indd 388 14/1/11 08:45:53 408. 7.4Flujo cortante en elementos de pared delgada 389 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Para el alma, el flujo cortante vara de una forma parablica desde q = 2(qmx )f = Vtdb>2I en y = d>2 hasta (qmx )w = (Vt d>I)(b>2 + d>8) en y = 0, figura 7-20d. Al integrar para determinar la fuerza en el alma, Fw , se tiene, Es posible realizar un anlisis similar para el alma, figura 7-20c. Aqu q debe actuar hacia abajo y en el elemento dy se tiene [y + 11>221d>2 - y2]t1d>2 - y2 = bt d>2 + 1t>Q = yA = [d>2]1bt2 + [y + 11>221d>2 - y2]t1d>2 - y2 = bt d>2 + 1t>221d2 >4 - y2 2Q = yA = [d>2]1bt2 + , de modo que Distribucin del flujo cortante (d) (qmx)f (qmx)f (qmx)w 2(qmx)f 2(qmx)f (e) Ff Ff FfFf Fw V Eso posible la simplificacin si se observa que el momento de inercia para el rea de la seccin transversal es Si no se toma en cuenta el primer trmino, dado que el grosor de cada ala es pequeo, entonces Al sustituir esto en la ecuacin anterior, se observa que Fw = V, tal como se esperaba, figura 7-20e. (7-6)q = VQ I = Vt I db 2 + 1 2 d2 4 - y2 = Vtd2 4I a2b + 1 3 db = Vt I B db 2 y + 1 2 d2 4 y - 1 3 y3 R ` -d>2 d>2 Fw = L q dy = L d>2 -d>2 Vt I B db 2 + 1 2 d2 4 - y2 R dy I = 2B 1 12 bt3 + bta d 2 b 2 R + 1 12 td3 I = td2 4 a2b + 1 3 db Figura 7-20 (cont.) Capitulo 07_Hibbeler.indd 389 14/1/11 08:45:56 409. 390 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A partir del anlisis anterior, deben observarse tres puntos importantes. En primer lugar, el valor de q cambia a travs de la seccin transversal, ya que Q ser diferente para cada segmento de rea A en el cual se determi- na. En particular, q variar linealmente a lo largo de los segmentos (alas) que son perpendiculares a la direccin de V, y de manera parablica a lo largo de los segmentos (alma) que estn inclinados respecto a V o que son paralelos a sta. En segundo lugar, q siempre actuar de manera paralela a las paredes del elemento, puesto que la seccin en la que se calcula q se toma perpendicular a las paredes. Y en tercer lugar, el sentido direccio- nal de q es tal que la fuerza cortante parece fluir a travs de la seccin transversal, hacia adentro en el ala superior de la viga, combinndose y luego fluyendo hacia abajo a travs del alma, puesto que debe con- tribuir a la fuerza cortante V, y luego separndose y fluyendo hacia fuera en el ala inferior. Si es posible al visualizar este flujo se obtendr una forma sencilla de establecer no slo la direccin de q, sino tambin la direccin correspondiente de t. En la figura 7-21 se muestran otros ejem- plos de cmo se dirige q a lo largo de los segmentos de los elementos con pared delgada. En todos los casos, prevalece la simetra respecto a un eje que est alineado con V. Como resultado, q fluye en una direccin tal que proporcionar la fuerza vertical V y, sin embargo, tambin cumplir el equilibrio de fuerzas horizontales para la seccin transversal. Puntos importantes La frmula del flujo cortante q = VQ>I puede utilizarse para de- terminar la distribucin del flujo cortante a lo largo de un ele- mento con pared delgada, siempre que la fuerza cortante V acte a lo largo de un eje de simetra o eje principal de inercia centroi- dal para la seccin transversal. Si un elemento est hecho con segmentos de pared delgada, slo es importante el flujo cortante paralelo a las paredes del elemento. El flujo cortante vara linealmente a lo largo de los segmentos que son perpendiculares a la direccin de la fuerza cortante V. El flujo cortante vara en forma parablica a lo largo de los seg- mentos que estn inclinados o que son paralelos respecto a la di- reccin de la fuerza cortante V. En la seccin transversal la fuerza cortante fluye a lo largo de los segmentos, de modo que resulte en la fuerza cortante vertical V y, an as, cumpla el equilibrio de las fuerzas horizontales. Flujo cortante q V V V V Flujo cortante q V V V V Figura 7-21 Capitulo 07_Hibbeler.indd 390 14/1/11 08:45:56 410. 7.4Flujo cortante en elementos de pared delgada 391 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 7.8 La viga de caja de pared delgada que se muestra en la figura 7-22a est sometida a una fuerza cortante de 10 kip. Determine la variacin del flujo cortante en toda la seccin transversal. SOLUCIN Por simetra, el eje neutro pasa por el centro de la seccin transversal. Para los elementos de pared delgada se usan las dimensiones de la lnea central para el clculo del momento de inercia. Slo se debe determinar el flujo cortante en los puntos B, C y D. Para el punto B, el rea A L 0, figura 7-22b, ya que es posible pensar que se encuentra ubicada completamente en el punto B. Por otra parte, A tambin puede representar toda el rea de la seccin transversal, en cuyo caso QB = yA = 0 puesto queQB = yA = 0= 0. Como QB = 0, entonces Para el punto C, el rea A se muestra en gris ms oscuro en la figura 7-22c. En este caso, se han usado las dimensiones medias porque el pun- to C est sobre la lnea central de cada segmento. Se tiene Como hay dos puntos de unin, I = 1 12 12 pulg217 pulg23 + 2 [15 pulg211 pulg213.5 pulg22 ] = 179.7 pulg4 qB = 0 QC = yA = 13.5 pulg215 pulg211 pulg2 = 17.5 pulg3 qC = 1 2 a VQC I b = 1 2 a 10 kip117.5 pulg3 2 179.7 pulg4 b = 0.487 kip>pulg QD = yA = 2c 3.5 pulg 2 d11 pulg213.5 pulg2 + [3.5 pulg]15 pulg211 pulg2 = 29.75 pulg3 qD = 1 2 a VQD I b = 1 2 a 10 kip129.75 pulg3 2 179.7 pulg4 b = 0.828 kip>pulg El flujo cortante en D se determina empleando los tres rectngulos en gris oscuro que se muestran en la figura 7-22d. Una vez ms, si se usan las dimensiones de la lnea central Como hay dos puntos de unin, Con estos resultados y con la simetra de la seccin transversal, es posible graficar la distribucin del flujo cortante en la figura 7-22e. La distribucin es lineal a lo largo de los segmentos horizontales (perpen- diculares a V) y parablica a lo largo de los segmentos verticales (pa- ralelos a V). (b) A AN (a) A N C D3 pulg 3 pulg 1 pulg 1 pulg 1pulg 1pulg 2pulg 2pulg 10 kip B 3.5 pulg 4 pulg 5 pulg N A 1 pulg 1 pulg 4 pulg (c) 5 pulg 3.5 pulg N A (d) 3.5 pulg Figura 7-22 N A (e) 0.828 kip/pulg 0.487 kip/pulg 0.487 kip/pulg Capitulo 07_Hibbeler.indd 391 14/1/11 08:46:00 411. 392 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *7.5Centro cortante para elementos abiertos de pared delgada En la seccin anterior, se supuso que la fuerza cortante interna V se apli- caba a lo largo de un eje principal de inercia centroidal que tambin re- presentaba un eje de simetra de la seccin transversal. En esta seccin se considerar el efecto de la aplicacin de la fuerza cortante a lo largo de un eje centroidal principal que no es un eje de simetra. Al igual que antes, slo se analizarn los elementos abiertos de pared delgada, por lo que se usarn las dimensiones de la lnea central en las paredes de tales elementos. Un ejemplo tpico de este caso es la seccin de canal mostrada en la figura 7-23a. La seccin se encuentra en voladizo con un soporte fijo y est sometida a la fuerza P. Si la fuerza se aplica una vez a lo largo del eje vertical asimtrico que pasa por el centroide C de la seccin transversal, el canal no slo se doblar hacia abajo, sino que tambin se torcer en sentido horario como se muestra en la figura. (a) P C P (e) (qmx)w (qmx)f (qmx)f Distribucin del flujo cortante (b) dCA Ff Ff V P (c) A P O (d) e Figura 7-23 Capitulo 07_Hibbeler.indd 392 14/1/11 08:46:02 412. 7.5Centro cortante para elementos abiertos de pared delgada 393 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Mediante el mtodo descrito en la seccin anterior, Ff puede evaluar- se en trminos de P (= V) y las dimensiones de las alas y el alma. Una vez hecho esto, P se cancelar al sustituirse en la ecuacin anterior, y ser posible expresar e simplemente como una funcin de la geometra de la seccin transversal (vea el ejemplo 7.9). El punto O ubicado de esta forma se denomina centro cortante o centro de flexin. Cuando P se aplica en el centro cortante, la viga se dobla sin torcerse, como se muestra en la figura 7-23e. Con frecuencia, los manuales de diseo presentan la ubicacin de este punto para una serie de vigas con secciones transversales de pared delgada que se usan de manera normal en la prctica de la ingeniera. A partir de este anlisis, debe sealarse que el centro cortante siempre se encuentra sobre un eje de simetra del rea de la seccin transversal de un elemento. Por ejemplo, si el canal se gira 90 y P se aplica en A, figura 7-24a, no se presentar una torsin porque el flujo cortante en el alma y las alas para este caso es simtrico y, por consiguiente, las fuerzas resultan- tes en los elementos no crearn ningn momento alrededor de A, figura 7-24b. Por supuesto, si un elemento tiene una seccin transversal con dos ejes de simetra, como en el caso de una viga I de ala ancha, entonces el centro cortante coincide con la interseccin de estos ejes (el centroide). Para entender por qu se tuercen los elementos, es necesario mostrar la distribucin del flujo cortante a lo largo de las alas y el alma del canal, figura 7-23b. Cuando esta distribucin se integra sobre las reas de las alas y el alma, se obtienen fuerzas resultantes de Ff en cada ala y una fuerza de V = P en el alma, figura 7-23c. Si los momentos de estas fuerzas se suman respecto al punto A, puede observarse que el momento de torsin o torca creado por las fuerzas del ala es el responsable por la torsin del elemento. El giro real es en sentido horario cuando se observa desde el frente de la viga, como en la figura 7-23a, ya que las fuerzas de equilibrio internas reactivas Ff causan la torsin. Por lo tanto, para evitar esta torsin es nece- sario aplicar P en un punto O situado a una distancia excntrica e del alma del canal, figura 7-23d. Se requiere MA = Ff d = Pe, o bien Demostracin de la forma en que una viga en voladizo se dobla cuando es cargada a travs del centroide (arriba) y a travs del centro cortante (abajo). e = Ffd P P (a) A A P A (b) Ff Ff V P 2 V P 2 Figura 7-24 Capitulo 07_Hibbeler.indd 393 14/1/11 08:46:05 413. 394 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Puntos importantes El centro cortante es el punto de una viga a travs del cual puede aplicarse una fuerza que causar que la viga se doble pero no se tuerza. El centro cortante siempre se encontrar sobre un eje de simetra de la seccin transversal. La ubicacin del centro cortante slo es una funcin de la geome- tra de la seccin transversal y no depende de la carga aplicada. Procedimiento de anlisis La ubicacin del centro cortante de un elemento abierto con pared delgada, para el cual la fuerza cortante est en la misma direccin que un eje principal centroidal de la seccin transversal puede de- terminarse mediante el siguiente procedimiento. Resultantes de flujo cortante. Por observacin, determine la direccin del flujo cortante a travs de los diferentes segmentos de la seccin transversal y dibuje las resultantes de fuerza sobre cada segmento de dicha seccin. (Por ejemplo, vea la figura 7-23c.) Como el centro cortante se determi- na al tomar los momentos de estas resultantes de fuerza respecto a un punto (A), elija ese punto en una ubicacin que elimine los momentos de tantas resultantes de fuerza como sea posible. Se deben calcular las magnitudes de las resultantes de fuerza que crean un momento alrededor de A. Para cualquier segmento esto se hace mediante la determinacin del flujo cortante q en un punto arbitrario del segmento, para despus integrar q sobre la longitud de dicho segmento. Observe que V crear una variacin lineal del flujo cortante en los segmentos que son perpendiculares a V, y una variacin parablica del flujo cortante en los segmen- tos que son paralelos o inclinados respecto a V. Centro cortante. Sume los momentos de las resultantes del flujo cortante respecto al punto A e iguale este momento con el de V alrededor de A. Resuelva esta ecuacin para determinar el brazo de momento o la distancia excntrica e, que ubica la lnea de accin de V desde A. Si existe un eje de simetra para la seccin transversal, el centro cortante se encuentra en el punto donde este eje interseca la lnea de accin de V. Capitulo 07_Hibbeler.indd 394 14/1/11 08:46:05 414. 7.5Centro cortante para elementos abiertos de pared delgada 395 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 7.9 Determine la ubicacin del centro cortante para la seccin de canal con pared delgada que tiene las dimensiones mostradas en la figura 7-25a. SOLUCIN Resultantes del flujo cortante. Una fuerza cortante vertical des- cendente V aplicada a la seccin ocasiona que la fuerza cortante fluya a travs de las alas y el alma como se muestra en la figura 7-25b. Esto produce las resultantes de fuerza Ff y V, en las alas y el alma, que se muestran en la figura 7-25c. Se tomarn momentos respecto al punto A de modo que slo debe determinarse la fuerza Ff en el ala inferior. El rea de la seccin transversal se puede dividir en tres componentes rectangulares (un alma y dos alas). Como se supone que cada componen- te es delgado, el momento de inercia del rea respecto al eje neutro es A partir de la figura 7-25d, q en la posicin arbitraria x es Por lo tanto, la fuerza Ff es Este mismo resultado tambin se puede obtener si primero se en- cuentra (qmx )f , figura 7-25b, y despus se determina el rea triangular 1 2 b(qmx )f = Ff . Centro cortante. Al sumar los momentos respecto al punto A, fi- gura 7-25c, se requiere Por lo tanto, Como se dijo anteriormente, e depende slo de la geometra de la seccin transversal. I = 1 12 th3 + 2Bbta h 2 b 2 R = th2 2 a h 6 + bb q = VQ I = V1h>22[b - x]t 1th2 >22[1h>62 + b] = V1b - x2 h[(h>62 + b] Ff = L b 0 q dx = V h[1h>62 + b] L b 0 1b - x2 dx = Vb2 2h[1h>62 + b] Ve = Ffh = Vb2 h 2h[1h>62 + b] Resp.e = b2 [1h>32 + 2b] h b t (a) t Distribucin del flujo cortante (b) (qmx)w (qmx)f h A Ff Ff V P V e (c) A Figura 7-25 x (d) b AN q dx h 2 Capitulo 07_Hibbeler.indd 395 14/1/11 08:46:08 415. 396 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 7.10 Determine la ubicacin del centro cortante para el ngulo con lados iguales que se muestra en la figura 7-26a. Adems, encuentre la fuerza cortante interna resultante en cada lado. SOLUCIN Cuando se aplica en la seccin una fuerza cortante vertical hacia abajo V, el flujo cortante y las resultantes de ste se dirigen de la manera mostrada en las figuras 7-26b y 7-26c, respectivamente. Tenga en cuenta que la fuerza F en cada lado debe ser igual, ya que para lograr el equi- librio, la suma de sus componentes horizontales debe ser igual a cero. Adems, las lneas de accin de ambas fuerzas se cruzan en el punto O; por lo tanto, este punto debe ser el centro cortante ya que la suma de los momentos de estas fuerzas y V respecto a O es cero, figura 7-26c. La magnitud de F puede determinarse al encontrar primero el flujo cortante en la ubicacin arbitraria s a lo largo del lado superior, figura 7-26d. Aqu Figura 7-26 b 45 45 b t t (a) Distribucin del flujo cortante (b) qmx qmx (c) F F O O V Q = yA = 1 22 a1b - s2 + s 2 bts = 1 22 ab - s 2 bst Capitulo 07_Hibbeler.indd 396 14/1/11 08:46:09 416. 7.5Centro cortante para elementos abiertos de pared delgada 397 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 El momento de inercia del ngulo respecto al eje neutro debe determi- narse a partir de los principios bsicos, ya que los lados estn inclina- dos con respecto al eje neutro. Para el elemento de rea dA = t ds, figura 7-26e, se tiene Por lo tanto, el flujo cortante es La variacin de q es parablica, y alcanza un valor mximo cuando s = b como se muestra en la figura 7-26b. Por lo tanto, la fuerza F es NOTA: Este resultado puede verificarse fcilmente porque la suma de las componentes verticales del la fuerza F en cada lado debe ser igual a V y, como se dijo anteriormente, la suma de las componentes horizon- tales debe ser igual a cero. Figura 7-26 (cont.) b t (d) s q 45 _ y b 45 t (e) s y ds I = LA y2 dA = 2 L b 0 B 1 22 1b - s2R 2 t ds = tab2 s - bs2 + 1 3 s3 b ` 0 b = tb3 3 = 3V 22b3 sab - s 2 b q = VQ I = V 1tb3 >32 B 1 22 ab - s 2 bstR Resp.= 1 22 V = 3V 22b3 b s2 2 - 1 6 s3 ` 0 b F = L b 0 q ds = 3V 22b3 L b 0 sab - s 2 b ds Capitulo 07_Hibbeler.indd 397 14/1/11 08:46:11 417. 398 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas 7-50. Una fuerza cortante de V = 300 kN se aplica a la tra- be de caja. Determine el flujo cortante en los puntos A y B. 7-51. Una fuerza cortante de V = 450 kN se aplica a la tra- be de caja. Determine el flujo cortante en los puntos C y D. *7-52. Una fuerza cortante de V = 18 kN se aplica a la tra- be de caja simtrica. Determine el flujo cortante en A y B. 7-53. Una fuerza cortante de V = 18 kN se aplica a la tra- be de caja. Determine el flujo cortante en C. 7-54. El puntal de aluminio tiene 10 mm de grosor y la sec- cin transversal mostrada en la figura. Si se somete a una fuerza cortante de V = 150 N, determine el flujo cortante en los puntos A y B. 7-55. El puntal de aluminio tiene 10 mm de grosor y la sec- cin transversal mostrada en la figura. Si se somete a una fuerza cortante de V = 150 N, determine el flujo cortante mximo en el puntal. *7-56. La viga est sometida a una fuerza cortante de V = 5 kip. Determine el flujo cortante en los puntos A y B. 7-57. La viga se construy a partir de cuatro placas y est sometida a una fuerza cortante de V = 5 kip. Determine el flujo cortante mximo en la seccin transversal. 100 mm 90 mm90 mm 200 mm 200 mm 180 mm 190 mm 10 mm 10 mm V A D C B Probs. 7-50/51 C A 150 mm 10 mm 10 mm 100 mm 100 mm 10 mm 10 mm 125 mm 150 mm 10 mm 30 mm B V10 mm Probs. 7-52/53 30 mm 40 mm 30 mm V A B40 mm 10 mm 10 mm 10 mm10 mm Probs. 7-54/55 A V 0.5 pulg 0.5 pulg 5 pulg 5 pulg 0.5 pulg 2 pulg 0.5 pulg 8 pulg B A C D Probs. 7-56/57 Capitulo 07_Hibbeler.indd 398 14/1/11 08:46:22 418. 7.5Centro cortante para elementos abiertos de pared delgada 399 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7-58. El canal est sometido a una fuerza cortante de V = 75 kN. Determine el flujo cortante desarrollado en el punto A. 7-59. El canal est sometido a una fuerza cortante de V = 75 kN. Determine el flujo cortante mximo en el canal. *7-60. El ngulo est sometido a una fuerza cortante de V = 2 kip. Dibuje la distribucin del flujo cortante a lo largo de la pata AB. Indique los valores numricos en todos los picos. 7-61. El ensamble est sometido a una fuerza cortante ver- tical de V = 7 kip. Determine el flujo cortante en los puntos A y B y el flujo cortante mximo en la seccin transversal. 7-62. Determine la variacin del esfuerzo cortante sobre la seccin transversal del tubo con pared delgada como una funcin de la elevacin y y demuestre que tmx = 2V>A, don- de A = 2prt. Sugerencia: Elija un elemento diferencial de rea dA = Rt du. Usando dQ = ydA, formule Q para una seccin circular desde u hasta (p - u) y demuestre que Q = 2R2 t cos u, donde cos u =cos u = 2R2 - y2 >R. 7-63. Determine la ubicacin e del centro cortante, punto O, para el elemento de pared delgada que tiene la seccin transversal mostrada en la figura, donde b2 7 b1 . Los seg- mentos del elemento tienen el mismo grosor t. *7-64. Determine la ubicacin e del centro cortante, punto O, para el elemento de pared delgada que tiene la seccin transversal mostrada en la figura. Los segmentos del ele- mento tienen el mismo grosor t. Prob. 7-64 45 45 d O b e 200 mm 30 mm 30 mm V 75 kN 30 mm 400 mm A Probs. 7-58/59 45 45 V A B 5 pulg 5 pulg 0.25 pulg Prob. 7-60 6 pulg 0.5 pulg 2 pulg 2 pulg 6 pulg 0.5 pulg V A B 0.5 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg Prob. 7-61 t y du ds R u Prob. 7-62 Oh b2 b1 t e Prob. 7-63 Capitulo 07_Hibbeler.indd 399 14/1/11 08:46:37 419. 400 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7-65. Determine la ubicacin e del centro cortante, punto O, para el miembro de pared delgada que tiene un corte a lo largo de uno de sus lados. Cada elemento tiene un grosor constante t. 7-66. Determine la ubicacin e del centro cortante, punto O, para el elemento de pared delgada que tiene la seccin transversal mostrada en la figura. 7-67. Determine la ubicacin e del centro cortante, punto O, para el elemento de pared delgada que tiene la seccin transversal mostrada en la figura. Los segmentos del ele- mento tienen el mismo grosor t. *7-68. Determine la ubicacin e del centro cortante, punto O, para la viga que tiene la seccin transversal mostrada en la figura. El grosor es t. 7-69. Determine la ubicacin e del centro cortante, punto O, para el elemento de pared delgada que tiene la seccin transversal mostrada en la figura. Los segmentos del ele- mento tienen el mismo grosor t. 7-70. Determine la ubicacin e del centro cortante, punto O, para el elemento de pared delgada que tiene la seccin transversal mostrada en la figura. t a e a a O Prob. 7-65 a a a 60 60 O e Prob. 7-66 b b O t e h 2 h 2 Prob. 7-67 e O r 1 2 r 1 2 r Prob. 7-68 h b e O h1 h1 Prob. 7-69 e r O a a t Prob. 7-70 Capitulo 07_Hibbeler.indd 400 14/1/11 08:46:47 420. Repaso de captulo 401 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Repaso de Captulo El esfuerzo cortante transversal en vigas se determina de manera indirecta mediante la frmula de la flexin y la re- lacin entre el momento y la fuerza cortante (V = dM>dx). El resultado es la frmula del esfuerzo cortante t = VQ It En particular, el valor de Q es el momento del rea A res- pecto del eje neutro, Q = yA. Esta rea es la parte de la seccin transversal que se mantiene en la viga, por enci- ma (o por debajo) del grosor t donde debe determinarse t. Si la viga tiene una seccin transversal rectangular, enton- ces la distribucin del esfuerzo cortante es parablica, con un valor mximo en el eje neutro. El esfuerzo cortante mximo puede determinarse mediante t = 1.5 V A . Los elementos de sujecin, tales como clavos, tornillos, pe- gamento o soldaduras, se usan para conectar las partes de una seccin compuesta. La fuerza cortante resistida por estos sujetadores se determina a partir del flujo cortante, q, o fuerza por unidad de longitud, que debe ser soportado por la viga. El flujo cortante es q = VQ I A rea A t N _ y t N A Vtmx Distribucin del esfuerzo cortante N A y A Capitulo 07_Hibbeler.indd 401 14/1/11 08:46:51 421. 402 Captulo 7 Esfuerzo cortante transversal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Si la viga est fabricada con segmentos de pared delgada, entonces se puede determinar la distribucin del flujo cor- tante a lo largo de cada segmento. Esta distribucin vara linealmente a lo largo de los segmentos horizontales y en forma parablica a lo largo de los segmentos inclinados o verticales. Siempre que se conozca la distribucin del flujo cortante en cada elemento de una seccin abierta con pared del- gada, es posible determinar la ubicacin O del centro cor- tante de la seccin transversal empleando un equilibrio de momentos. Cuando se aplica una carga a travs del punto O sobre el elemento, ste se doblar pero no se torcer. Distribucin del flujo cortante (qmx)f (qmx)f (qmx)w 2(qmx)f 2(qmx)f P O e Capitulo 07_Hibbeler.indd 402 14/1/11 08:46:52 422. Problemas de repaso 403 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS DE REPASO 7-71. Dibuje la intensidad de la distribucin del esfuerzo cortante que acta sobre el rea de la seccin transversal de la viga y determine la fuerza cortante resultante que acta sobre el segmento AB. La fuerza cortante que acta en la seccin es V = 35 kip. Demuestre que IEN = 872.49 pulg4 . *7-72. La viga se fabric a partir de cuatro tablones cla- vados entre s, como se muestra en la figura. Determine la fuerza cortante que debe resistir cada clavo a lo largo de las tablas lateral C y superior D si los clavos se colocan unifor- memente espaciados con s = 3 pulg. La viga est sometida a una fuerza cortante de V = 4.5 kip. 7-73. El elemento se somete a una fuerza cortante de V = 2 kN. Determine el flujo cortante en los puntos A, B y C. Cada segmento de pared delgada tiene un grosor de 15 mm. 7-74. La viga se construy pegando cuatro tablones sobre las uniones que se muestran en la figura. Si el pegamento puede soportar 75 lb>pulg, cul es la mxima fuerza cortan- te vertical V que puede soportar la viga? 7-75. Resuelva el problema 7-74 si la viga se gira 90 desde la posicin mostrada. Probs. 7-74/75 3 pulg 4 pulg 3 pulg 3 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg0.5 pulg V 2 pulg 3 pulg 3 pulg 6 pulg 8 pulg A B C V Prob. 7-71 1 pulg 12 pulg 3 pulg B V 1 pulg 10 pulg A 1 pulg 1 pulg Prob. 7-72 300 mm A B C 100 mm 200 mm V 2 kN Prob. 7-73 Capitulo 07_Hibbeler.indd 403 14/1/11 08:46:55 423. El gancho acodado que sostiene a esta gndola (cabina) para esquiadores est sometido a las cargas combinadas de la fuerza axial y el momento flexionante. Capitulo 08_Hibbeler.indd 404 14/1/11 09:23:19 424. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 405 1 2 Cargas combinadas 8 405 OBJETIVOS DEL CAPTULO Este captulo sirve como un repaso de los anlisis del esfuerzo que se han desarrollado en los captulos anteriores sobre carga axial, torsin, flexin y fuerza cortante. Se analizar la solucin de problemas en los que varias de estas cargas internas ocurren simultneamente sobre la seccin transversal de un elemento. Sin embargo, antes de hacer esto el captulo comienza con un estudio del esfuerzo desarrollado en recipien- tes a presin de pared delgada. 8.1Recipientes a presin de pared delgada Con frecuencia, en la industria se usan recipientes cilndricos o esfricos para servir como calderas o tanques. Cuando est bajo presin, el material del que estn hechos se somete a una carga en todas direcciones. Aunque ste sea el caso, el recipiente puede analizarse de manera sencilla siempre y cuando tenga una pared delgada. En general, pared delgada se refiere a un recipiente que tiene una relacin del radio interior sobre el grosor de la pared con un valor de 10 o ms (r>t 10). En especfico, cuando r>t = 10 los resultados de un anlisis de pared delgada predicen un esfuerzo que es aproximadamente 4 por ciento menor que el esfuerzo mximo real en el recipiente. Para relaciones r>t mayores, este error ser an menor. Siempre que la pared del recipiente sea delgada, la distribucin de esfuerzos en todo su grosor no variar significativamente, por lo que se supone que es uniforme o constante. Considerando este supuesto, ahora se analizar el estado de esfuerzo en recipientes a presin cilndricos y esfricos de pared delgada. En ambos casos, la presin en el recipiente se entiende como la presin manomtrica, es decir, mide la presin por encima de la presin atmosfrica, ya que se supone que la presin atmos- frica existe tanto dentro como fuera de la pared del recipiente antes de presurizarlo. Los recipientes cilndricos a presin, como este tanque de gas, tienen tapas semiesfri- cas en vez de planas a fin de reducir el es- fuerzo en el tanque. Capitulo 08_Hibbeler.indd 405 14/1/11 09:23:20 425. 406 Captulo 8Cargas combinadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Recipientes cilndricos. Considere que el recipiente cilndrico de la figura 8-1a tiene un grosor de pared t, un radio interior r y est sometido a una presin manomtrica p que se genera en el recipiente por el gas que contiene. Debido a esta carga, un pequeo elemento del recipiente que est suficientemente alejado de los extremos y orientado como se muestra en la figura 8-1a, se encuentra sometido a esfuerzos normales s1 en la direccin circunferencial o anular, y s2 en la direccin longitudinal o axial. El esfuerzo anular puede determinarse considerando que el recipiente est seccionado por los planos a, b y c. En la figura 8-1b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento posterior junto con el gas conte- nido. Aqu slo se muestran las cargas en la direccin x. Estas cargas se desarrollan por el esfuerzo anular uniforme s1 , que acta sobre la pared del recipiente y la presin que acta sobre la cara vertical del gas. Para el equilibrio en la direccin x, se requiere El esfuerzo longitudinal puede determinarse considerando la porcin izquierda de la seccin b del cilindro, figura 8-1a. Como se muestra en la figura 8-1c, s2 acta de manera uniforme en toda la pared y p acta en la seccin del gas contenido. Como el radio medio es aproximadamente igual al del radio interior del recipiente, el equilibrio en la direccin y re- quiere En las ecuaciones anteriores, s1 , s2 =el esfuerzo normal en las direcciones anular y longitudinal, respectivamente. Se supone que cada uno es constante en toda la pared del cilindro, y cada uno somete al material a tensin p=la presin manomtrica interna generada por el gas contenido r =el radio interior del cilindro t =el grosor de la pared (r>t 10) (8-1)s1 = pr t 2[s11t dy2] - p12r dy2 = 0Fx = 0; (8-2)s2 = pr 2t s212prt2 - p1pr2 2 = 0Fy = 0; (a) z y b a c x t rs1 s2 t dy 2r t p (b) s1 s1 t (c) p r s2 Figura 8-1 Capitulo 08_Hibbeler.indd 406 14/1/11 09:23:24 426. 8.1Recipientes a presin de pared delgada 407 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Encomparacin,tengaencuentaqueelesfuerzoanularocircunferencial es dos veces mayor que el esfuerzo longitudinal o axial. En consecuencia, cuando se fabrican recipientes cilndricos a presin a partir de placas la- minadas, las juntas longitudinales deben estar diseadas para soportar el doble del esfuerzo que las juntas circunferenciales. Recipientes esfricos. Un recipiente esfrico a presin puede ana- lizarse de una manera similar. Para hacer esto, considere que el recipiente tiene un grosor de pared t, radio interior r y se encuentra sometido a una presin manomtrica interior p, figura 8-2a. Si el recipiente se secciona por la mitad, el diagrama de cuerpo libre resultante es el mostrado en la figura 8-2b. Al igual que un cilindro, el equilibrio en la direccin y requiere Esta foto muestra el can de una escopeta que se tap con residuos justo antes de dis- parar. La presin del gas debida a la carga increment de tal forma el esfuerzo circun- ferencial dentro del barril, que se produjo la ruptura. Este es el mismo resultado que el obtenido para el esfuerzo longitudinal en el recipiente cilndrico a presin. Adems, con base en el anlisis, este esfuerzo ser el mismo sin importar la orientacin del diagrama de cuer- po libre hemisfrico. En consecuencia, un pequeo elemento del material est sometido al estado de esfuerzo mostrado en la figura 8-2a. El anlisis anterior indica que un elemento de material tomado de un recipiente a presin con forma cilndrica o esfrica est sometido a esfuer- zo biaxial, es decir, al esfuerzo normal existente en slo dos direcciones. En realidad, la presin tambin somete al material a un esfuerzo radial, s3 , que acta a lo largo de una lnea radial. Este esfuerzo tiene un valor mximo igual a la presin p en el interior de la pared y disminuye a travs de sta hasta un valor de cero en la superficie exterior del recipiente, de- bido a que ah la presin manomtrica es nula. Sin embargo, para los re- cipientes de pared delgada no se tomar en cuenta este componente radial del esfuerzo, debido a que el supuesto limitante de r>t = 10 resulta en que s2 y s1 deben ser, respectivamente, 5 y 10 veces mayores que el esfuerzo radial mximo (s3 )mx = p. Por ltimo, si el recipiente est sometido a una presin externa, el esfuerzo de compresin desarrollado dentro de la pared delgada puede hacer que el recipiente se vuelva inestable, y es posible que se produzca un colapso por pandeo en vez de una fractura del material. (8-3)s2 = pr 2t s2(2prt) - p1pr2 2 = 0Fy = 0; t (a) r y x z a s2 s2 t p (b) r s2 Figura 8-2 Capitulo 08_Hibbeler.indd 407 14/1/11 09:23:27 427. 408 Captulo 8Cargas combinadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 8.1 Un recipiente cilndrico a presin tiene un dimetro interior de 4 pies y un grosor de 1 2 pulg. Determine la presin interna mxima que puede soportar de modo que sus componentes de esfuerzo circunferencial y longitudinal no excedan las 20 ksi. En las mismas condiciones, cul es la presin interna mxima que un recipiente esfrico de tamao similar puede soportar? SOLUCIN Recipiente cilndrico a presin. El esfuerzo mximo se produce en la direccin circunferencial. De la ecuacin 8-1, se tiene Observe que cuando se alcanza esta presin, con base en la ecuacin 8-2, el esfuerzo en la direccin longitudinal ser s2 = 1 2 (20 ksi) = 10 ksi. Por otra parte, el esfuerzo mximo en la direccin radial se produce en el material sobre la pared interior del recipiente y es (s3 )mx = p = 417 psi. Este valor es 48 veces menor que el esfuerzo circunferencial (20 ksi) y, como se dijo antes, sus efectos no se tomarn en cuenta. Recipiente esfrico. Aqu, el esfuerzo mximo ocurre en cual- quiera de las dos direcciones perpendiculares sobre un elemento del recipiente, figura 8-2a. A partir de la ecuacin 8-3, se tiene NOTA: Aunque es ms difcil de fabricar, el recipiente esfrico a pre- sin soportar el doble de la presin interna que un recipiente ciln drico. Resp.p = 417 psi pik02 >pulg2 = p124 pulg2 1 2 pulg s1 = pr t ; Resp.p = 833 psi pik02 >pulg2 = p124 pulg2 2A1 2 pulgB s2 = pr 2t ; Capitulo 08_Hibbeler.indd 408 14/1/11 09:23:28 428. 8.1Recipientes a presin de pared delgada 409 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 8-1. Un tanque esfrico de gas tiene un radio interior de r = 1.5 m. Si se somete a una presin interna de p = 300 kPa, determine el grosor requerido si el esfuerzo normal mximo no debe superar 12 MPa. 8-2. Un tanque esfrico a presin se fabricar con acero de 0.5 pulg de grosor. Si se somete a una presin interna de p = 200 psi, determine su radio exterior si el esfuerzo nor- mal mximo no debe exceder 15 ksi. 8-3. El cilindro de pared delgada puede apoyarse en algu- na de las dos formas mostradas en la figura. Determine el estado de esfuerzo en la pared del cilindro para ambos casos si el pistn P genera una presin interna de 65 psi. La pared tiene un grosor de 0.25 pulg y el dimetro interior del cilin- dro es de 8 pulg. *8-4. El tanque del compresor de aire est sometido a una presin interna de 90 psi. Si el dimetro interior del tanque es de 22 pulg y el grosor de su pared es de 0.25 pulg, determi- ne las componentes del esfuerzo que actan en el punto A. Dibuje un elemento de volumen del material en este punto y muestre los resultados sobre dicho elemento. 8-5. El tanque esfrico para gas se fabrica empernando dos corazas semiesfricas delgadas con grosor de 30 mm. Si el gas contenido en el depsito est bajo una presin mano- mtrica de 2 MPa, determine el esfuerzo normal desarrolla- do en la pared del tanque y en cada uno de los pernos. El tanque tiene un dimetro interior de 8 m y est sellado con 900 pernos de 25 mm de dimetro cada uno. 8-6. El tanque esfrico para gas se fabrica empernando dos corazas semiesfricas delgadas. Si el tanque con dimetro in- terior de 8 m se disear para soportar una presin mano- mtrica de 2 MPa, determine el grosor mnimo de la pared del tanque y el nmero mnimo de pernos con 25 mm de dimetro que deben utilizarse para sellarlo. El tanque y los pernos estn hechos de materiales que tienen esfuerzos nor- males permisibles de 150 y 250 MPa, respectivamente. 8-7. Una caldera est construida a partir de placas de acero con 8 mm de grosor, las cuales se sujetan en sus extremos usando una junta a tope reforzada con dos placas de 8 mm y remaches que tienen un dimetro de 10 mm, y que estn espaciados cada 50 mm, como se muestra en la figura. Si la presin del vapor en la caldera es de 1.35 MPa, determine (a) el esfuerzo circunferencial en la placa de la caldera, lejos de la costura, (b) el esfuerzo circunferencial en la placa de refuerzo exterior a lo largo de la lnea de remaches a-a y (c) el esfuerzo cortante en los remaches. Prob. 8-7 a 8 mm 50 mm a 0.75 m P (a) (b) P 8 pulg 8 pulg Prob. 8-3 A Prob. 8-4 Probs. 8-5/6 Capitulo 08_Hibbeler.indd 409 14/1/11 09:23:43 429. 410 Captulo 8Cargas combinadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *8-8. El tanque para almacenamiento de gas se fabrica empernando dos corazas semicilndricas de pared delgada y dos corazas hemisfricas como se muestra en la figura. Si el tanque est diseado para soportar una presin de 3 MPa, determine el grosor mnimo requerido de las corazas semi- cilndricas y hemisfricas, y el nmero mnimo requerido de pernos longitudinales por metro de longitud en cada lado de la coraza cilndrica. El tanque y los pernos de 25 mm de dimetro estn hechos de un material que tiene un esfuerzo normal permisible de 150 y 250 MPa, respectivamente. El tanque tiene un dimetro interior de 4 m. 8-9. El tanque para almacenamiento de gas se fabrica empernando dos corazas semicilndricas de pared delgada y dos corazas hemisfricas como se muestra en la figura. Si el tanque est diseado para soportar una presin de 3 MPa, determine el grosor mnimo requerido de las corazas semi- cilndricas y hemisfricas, y el nmero mnimo requerido de pernos para cada tapa semiesfrica. El tanque y los pernos de 25 mm de dimetro estn hechos de un material que tiene un esfuerzo normal permisible de 150 y 250 MPa, respectiva- mente. El tanque tiene un dimetro interior de 4 m. 8-10. Un tubo de madera con un dimetro interior de 3 pies se mantiene unido mediante aros de acero, cada uno con un rea transversal de 0.2 pulg2 . Si el esfuerzo permisible para los aros es sperm = 12 ksi, determine su separacin mxima s a lo largo de la seccin del tubo, de modo que ste pueda resistir una presin interna de 4 psi. Suponga que cada aro soporta la carga de presin que acta a lo largo de la longi- tud s del tubo. 8-11. Las duelas o elementos verticales del tanque de ma- dera se mantienen unidos mediante aros semicirculares que tienen un grosor de 0.5 pulg y una anchura de 2 pulg. Deter- mine el esfuerzo normal en el aro AB si el tanque se somete a una presin manomtrica interna de 2 psi y esta carga se transmite directamente a los aros. Adems, si se usan pernos de 0.25 pulg de dimetro para mantener unido cada aro, de- termine el esfuerzo de tensin sobre cada perno ubicado en A y B. Suponga que el aro AB soporta la carga de presin en una longitud de 12 pulg del tanque, como se muestra en la figura. *8-12. Dos hemisferios que tienen un radio interior de 2 pies y un grosor de pared de 0.25 pulg se ajustan entre s, y la presin manomtrica en el interior se reduce a -10 psi. Si el coeficiente de friccin esttica es ms = 0.5 entre los hemisfe- rios, determine (a) el par de torsin T necesario para iniciar la rotacin del hemisferio superior con respecto al inferior, (b) la fuerza vertical necesaria para separar el hemisferio su- perior del inferior y (c) la fuerza horizontal necesaria para deslizar el hemisferio superior sobre el inferior. Probs. 8-8/9 s s s 4 psi4 psi Prob. 8-10 6 pulg 12 pulg 18 pulg 12 pulg 6 pulg A B Prob. 8-11 2 pies 0.25 pulg Prob. 8-12 Capitulo 08_Hibbeler.indd 410 14/1/11 09:24:00 430. 8.1Recipientes a presin de pared delgada 411 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8-13. En un inicio, la banda de acero inoxidable 304 se ajusta perfectamente alrededor del cilindro rgido y liso. Si la banda se somete despus a un descenso de temperatura no lineal de T = 20 sen2 u F, donde u est en radianes, de- termine el esfuerzo circunferencial en la banda. 8-14. El anillo, que tiene las dimensiones mostradas en la figura, est colocado sobre una membrana flexible que se bombea con una presin p. Determine el cambio en el radio interno del anillo despus de que se aplica esta presin. El mdulo de elasticidad para el anillo es E. 8-15. El anillo interno A tiene un radio interior r1 y un ra- dio exterior r2 . Antes de ser calentado, el anillo externo B tiene un radio interior r3 y un radio exterior r4 , y r2 7 r3 . Si el anillo externo se calienta y luego se coloca sobre el anillo interno, determine la presin entre los dos anillos cuando el anillo B alcanza la temperatura del anillo interno. El mate- rial tiene un mdulo de elasticidad de E y un coeficiente de expansin trmica de a. *8-16. El tanque cilndrico se fabrica soldando una tira de placa delgada en forma helicoidal, la cual forma un ngulo u con el eje longitudinal del tanque. Si la tira tiene una anchu- ra w y un grosor t, y el gas dentro del tanque de dimetro d est presurizado hasta p, demuestre que el esfuerzo normal desarrollado a lo largo de la tira est dado por su = (pd>8t) (3 - cos 2u). 8-17. Con el fin de aumentar la resistencia del recipiente a presin, se enrolla un devanado de filamentos del mismo material alrededor de la circunferencia del recipiente, como se muestra en la figura. Si la tensin previa en el filamento es T y el recipiente se encuentra sometido a una presin in- terna p, determine los esfuerzos anulares en el filamento y en la pared del recipiente. Use el diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura, y suponga que el devanado de fila- mentos tiene un grosor t y una anchura w para una longitud correspondiente a la del recipiente. 10 pulg u pulg 1 pulg 1 64 Prob. 8-13 p ro w ri Prob. 8-14 r1 r2 r3 A B r4 Prob. 8-15 w u Prob. 8-16 T p w t L t T s1 s1 Prob. 8-17 Capitulo 08_Hibbeler.indd 411 14/1/11 09:24:11 431. 412 Captulo 8Cargas combinadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.2Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas En los captulos anteriores se desarrollaron mtodos para la determina- cin de las distribuciones de esfuerzo en un elemento sometido a una fuerza axial interna, una fuerza cortante, un momento flexionante o un momento de torsin. Sin embargo, con frecuencia la seccin transversal de un elemento est sometida a varias de esas cargas de manera simultnea. Cuando esto ocurre, se puede usar el mtodo de superposicin para deter- minar la distribucin del esfuerzo resultante. De la seccin 4.3, es posible recordar que el principio de superposicin puede emplearse con este pro- psito siempre que exista una relacin lineal entre el esfuerzo y las cargas. Adems, la geometra de los elementos no debe haber sufrido un cambio significativo al aplicarles la carga. Estas condiciones son necesarias para garantizar que el esfuerzo producido por una carga no est relacionado con el esfuerzo producido por alguna otra carga. Procedimiento de anlisis El siguiente procedimiento proporciona un medio general para esta- blecer las componentes del esfuerzo normal y cortante en un punto sobre un elemento cuando ste se encuentra sometido a diferentes tipos de cargas de manera simultnea. Se supone que el material es homogneo y se comporta en forma elstica lineal. Adems, el prin- cipio de Saint-Venant requiere que el punto donde se determinar el esfuerzo est muy alejado de las discontinuidades en la seccin transversal o de los puntos donde se aplica la carga. Cargas internas. Seccione el elemento en forma perpendicular a su eje en el punto donde se determinar el esfuerzo y obtenga las componentes re- sultantes de la fuerza normal interna y la fuerza cortante, as como las componentes de los momentos flexionante y de torsin. Las componentes de fuerza deben actuar a travs del centroide de la seccin transversal y las componentes de momento se deben calcular respecto a los ejes centroidales, que representan los ejes principales de inercia para la seccin transversal. Componentes de esfuerzo. Determine la componente de esfuerzo asociada con cada carga interna. Para cada caso, represente el efecto ya sea como una distribucin del esfuerzo que acta sobre toda la superficie de la seccin, o muestre el esfuerzo sobre un elemento del material ubicado en un punto especfico sobre la seccin transversal. Fuerza normal. La fuerza normal interna se desarrolla mediante una distribucin uniforme del esfuerzo normal, determinada a partir de s = P>A. Esta chimenea est sometida a la carga combinada del viento y de su peso. Es im- portante investigar el esfuerzo de tensin en la chimenea puesto que las construccio- nes de ladrillo son dbiles en tensin. Capitulo 08_Hibbeler.indd 412 14/1/11 09:24:11 432. 8.2 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas 413 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Los problemas en esta seccin, que implican cargas combinadas, sirven como una revisin bsica de la aplicacin de las ecuaciones de esfuerzo mencionadas anteriormente. Es necesario tener una comprensin profun- da de cmo se aplican estas ecuaciones, como se indica en los captulos anteriores, a fin de resolver con xito los problemas al final de esta seccin. Los siguientes ejemplos deben estudiarse cuidadosamente antes de resol- ver los problemas. Fuerza cortante. La fuerza cortante interna en un elemento se desarrolla mediante una distribucin del esfuerzo cortante, determinada a partir de la frmula del esfuerzo cortante, t = VQ>It. Sin embargo, debe te- nerse un cuidado especial al aplicar esta ecuacin, como se seal en la seccin 7.2. Momento flexionante. Para los elementos rectos el momento flexionante interno se de- sarrolla mediante una distribucin del esfuerzo normal que va- ra linealmente desde cero en el eje neutro hasta un mximo en el lmite exterior del elemento. Esta distribucin del esfuerzo se determina a partir de la frmula de la flexin, s = My>I. Si el elemento es curvo, la distribucin del esfuerzo es no lineal y se determina a partir de s = My>[Ae(R - y)]. Momento de torsin. Para los ejes circulares y tubos el momento de torsin interno se desarrolla mediante una distribucin del esfuerzo cortante que vara linealmente desde el eje central del eje hasta un mximo en el lmite exterior del eje. Esta distribucin del esfuerzo se deter- mina a partir de la frmula de la torsin, t = Tr>J. Recipientes a presin de pared delgada. Si el recipiente es un cilindro de pared delgada, la presin interna p causar un estado biaxial de esfuerzo en el material, de modo que la componente de esfuerzo circunferencial o anular sea s1 = pr>t y la componente del esfuerzo longitudinal sea s2 = pr>2t. Si el recipiente es una esfera de pared delgada, entonces el estado de esfuerzo biaxial se representa por dos componentes equivalentes, cada una con una magnitud de s2 = pr>2t. Superposicin. Una vez que se han calculado las componentes de esfuerzo nor- mal y cortante para cada carga, utilice el principio de superposi- cin y determine las componentes resultantes del esfuerzo nor- mal y cortante. Represente los resultados sobre un elemento de material que se en- cuentre en el punto, o muestre los resultados como una distribucin del esfuerzo que acta sobre la seccin transversal del elemento. Capitulo 08_Hibbeler.indd 413 14/1/11 09:24:11 433. 414 Captulo 8Cargas combinadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 8.2 Una fuerza de 150 lb se aplica al borde del elemento mostrado en la figura 8-3a. No tome en cuenta el peso del elemento y determine el es- tado de esfuerzo en los puntos B y C. SOLUCIN Cargas internas. El elemento se secciona a travs de B y C. Para el equilibrio en la seccin debe haber una fuerza axial de 150 lb que acte a travs del centroide y un momento flexionante de 750 lbpulg respec- to al eje centroidal o principal, figura 8-3b. Componentes de esfuerzo. Fuerza normal. En la figura 8-3c se muestra la distribucin unifor- me del esfuerzo normal debida a la fuerza normal. Aqu Momento flexionante. En la figura 8-3d se muestra la distribu- cin del esfuerzo normal debida al momento flexionante. El esfuerzo mximo es Superposicin. Si las distribuciones de esfuerzo normal anteriores se suman algebraicamente, la distribucin del esfuerzo resultante ser como se muestra en la figura 8-3e. Aunque no se requiere aqu, la ubi- cacin de la lnea de cero esfuerzo puede determinarse mediante trin- gulos semejantes; es decir, Los elementos de material en B y C estn sometidos slo a esfuerzo uniaxial o normal, como se muestra en las figuras 8-3f y 8-3g. Por lo tanto, s = P A = 150 lb 110 pulg214 pulg2 = 3.75 psi smx = Mc I = 750 lb # pulg15 pulg2 1 1214 pulg2110 pulg23 = 11.25 psi x = 3.33 pulg 7.5 psi x = 15 psi 110 pulg - x2 Figura 8-3 (a) 5 pulg 2 pulg 2 pulg 150 lb C B 5 pulg 150 lb (b) 150 lb 750 lbpulg C B (c) C B 3.75 psi 3.75 psi Fuerza normal C B 11.25 psi 11.25 psi (d) Momento flexionante C B 7.5 psi 15 psi x (10 pulg x) (e) Carga combinada (f) 7.5 psi B (g) 15 psi C Resp. Resp.sC = 15 psi 1compresin2 sB = 7.5 psi 1tensin2 Capitulo 08_Hibbeler.indd 414 14/1/11 09:24:21 434. 8.2 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas 415 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 8.3 El tanque de la figura 8-4a tiene un radio interior de 24 pulg y un grosor de 0.5 pulg. Est lleno hasta el tope con agua, la cual tiene un peso es- pecfico de gw = 62.4 lb>pie3 . Si el tanque est fabricado de acero con un peso especfico de gac = 490 lb>pie3 , determine el estado de esfuerzo en el punto A. El tanque est abierto en la parte superior. SOLUCIN Cargas internas. En la figura 8-4b se muestra el diagrama de cuer- po libre de la seccin del tanque y el agua por encima del punto A. Observe que el peso del agua est sostenido por la superficie del agua justo debajo de la seccin, no por las paredes del tanque. En la direccin vertical, las paredes slo sostienen el peso del tanque. Este peso es El esfuerzo en la direccin circunferencial se desarrolla mediante la presin del agua al nivel A. Para obtener esta presin debe utilizarse la ley de Pascal, que establece que la presin en un punto situado a una profundidad z en el agua es p = gw z. En consecuencia, la presin sobre el tanque en el nivel A es Componentes de esfuerzo. Esfuerzo circunferencial. Como r>t = 24 pulg>0.5 pulg = 48 7 10, el tanque es un recipiente de pared delgada. Al aplicar la ecuacin 8-1, y utilizando el radio interior r = 24 pulg, se tiene Esfuerzo longitudinal. Como el peso del tanque est sostenido uniformemente por las paredes, se tiene NOTA: La ecuacin 8-2, s2 = pr>2t, no se aplica aqu porque el tanque est abierto en la parte superior y, por lo tanto, como se dijo anterior- mente, el agua no puede desarrollar una carga sobre las paredes en la direccin longitudinal. Por consiguiente, el punto A est sometido al esfuerzo biaxial mos- trado en la figura 8-4c. = 777.7 lb Wac = gacVac = 1490 lb>pie3 2Bpa 24.5 12 piesb 2 - pa 24 12 piesb 2 R13 pies2 p = gwz = 162.4 lb>pie3 213 pies2 = 187.2 lb>pie2 = 1.30 psi Resp.s1 = pr t = 1.30 lb>pulg2 124 pulg2 0.5 pulg = 62.4 psi Resp.s2 = Wac Aac = 777.7 lb p[124.5 pulg22 - 124 pulg22 ] = 10.2 psi (a) t 0.5 pulg A 3 pies r 24 pulg (b) 3 pies Ww Wac ps2 A Figura 8-4 (c) 10.2 psi 62.4 psi A Capitulo 08_Hibbeler.indd 415 14/1/11 09:24:25 435. 416 Captulo 8Cargas combinadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 8.4 El elemento mostrado en la figura 8-5a tiene una seccin transversal rectangular. Determine el estado de esfuerzo que produce la carga en el punto C. N = 16.45 kN V = 21.93 kN M = 32.89 kN # m SOLUCIN Cargas internas. Se han determinado las reacciones en los apoyos del elemento, las cuales se muestran en la figura 8-5b. Si se considera el segmento izquierdo AC del elemento, figura 8-5c, las cargas internas resultantes en la seccin consisten en una fuerza normal, una fuerza cortante y un momento flexionante. Si se resuelve, (a) 1.5 m 250 mm 50 mm 1.5 m 2 m4 m 125 mm 2.5 m C C A B 50 kN/m 125 kN 97.59 kN 3 45 16.45 kN 21.93 kN 3 45 4 m 1.25 m 1.25 m (b) Figura 8-5 (c) 16.45 kN 21.93 kN 1.5 m C M N V Capitulo 08_Hibbeler.indd 416 14/1/11 09:24:29 436. 8.2 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas 417 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Componentes de esfuerzo. Fuerza normal. La distribucin uniforme del esfuerzo normal que acta sobre la seccin transversal se produce mediante la fuerza nor- mal, figura 8-5d. En el punto C, Fuerza cortante. Aqu el rea A = 0, ya que el punto C se ubica en la parte superior del elemento. Por lo tanto, Q = yA = 0 y para C, figura 8-5e, el esfuerzo cortante Momento flexionante. El punto C se ubica en y = c = 0.125 m des- de el eje neutro, por lo que el esfuerzo normal en C, figura 8-5f, es Superposicin. El esfuerzo cortante es cero. Al sumar los esfuerzos normales determinados anteriormente se obtiene un esfuerzo de com- presin en C con un valor de Este resultado, que acta sobre un elemento en C, se muestra en la figura 8-5g. sC = P A = 16.45(103 ) N 10.050 m210.250 m2 = 1.32 MPa tC = 0 sC = Mc I = 132.89(103 ) N # m210.125 m2 C 1 12 10.050 m210.250 m23 D = 63.16 MPa Resp.sC = 1.32 MPa + 63.16 MPa = 64.5 MPa C sC 1.32 MPa Fuerza normal (d) Figura 8-5 (cont.) C Fuerza cortante (e) tC 0 C sC 63.16 MPa Momento flexionante (f) 64.5 MPa (g) Capitulo 08_Hibbeler.indd 417 14/1/11 09:24:34 437. 418 Captulo 8Cargas combinadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 8.5 El bloque rectangular de peso insignificante que se muestra en la figu- ra 8-6a, est sometido a una fuerza vertical de 40 kN, el cual se aplica a su esquina. Determine el mayor esfuerzo normal que acta sobre una seccin a travs de ABCD. SOLUCIN Cargas internas. Si se considera el equilibrio del segmento inferior del bloque, figura 8-6b, se observa que la fuerza de 40 kN debe actuar a travs del centroide de la seccin transversal y dos componentes de mo- mento flexionante tambin deben actuar respecto a los ejes centroida- les o principales de inercia para la seccin. Verifique estos resultados. Componentes de esfuerzo. Fuerza normal. En la figura 8-6c se muestra la distribucin unifor- me del esfuerzo normal. Se tiene Momentos flexionantes. La distribucin del esfuerzo normal para el momento de 8 kNm se muestra en la figura 8-6d. El esfuerzo mximo es Del mismo modo, para el momento de 16 kNm, figura 8-6e, el es- fuerzo normal mximo es Superposicin. Por inspeccin, el esfuerzo normal en el punto C es el ms grande, puesto que en ese punto cada carga genera un esfuerzo de compresin. Por lo tanto, B (a) 0.8 m C A D 40 kN 0.4 m Figura 8-6 (b) C B A D40 kN y x z 8 kNm8 kNm 16 kNm Fuerza normal (40 kN) (c) C B A D 125 kPa Momento flexionante (8 kNm) (d) C B A D 375 kPa Momento flexionante (16 kNm) (e) C B A 375 kPa 375 kPa 375 kPa D s = P A = 40(103 ) N 10.8 m210.4 m2 = 125 kPa smx = Mxcy Ix = 8(103 ) N # m10.2 m2 C 1 12 10.8 m210.4 m23 D = 375 kPa smx = Mycx Iy = 16(103 ) N # m10.4 m2 C 1 12 10.4 m210.8 m23 D = 375 kPa Resp.sC = -125 kPa - 375 kPa - 375 kPa = -875 kPa Capitulo 08_Hibbeler.indd 418 14/1/11 09:24:43 438. 8.2 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas 419 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 8.6 Figura 8-7 Un bloque rectangular, tiene un peso insignificante y se somete a una fuerza vertical P, figura 8-7a. (a) Determine el rango de valores para la excentricidad ey de la carga a lo largo del eje y, de manera que no cause ningn esfuerzo de tensin en el bloque. (b) Especifique la regin en la seccin transversal en la que P puede aplicarse sin causar un esfuerzo de tensin en el bloque. SOLUCIN Parte (a). Cuando P se mueve al centroide de la seccin transversal, figura 8-7b, es necesario aadir un momento Mx = Pey , a fin de mantener una carga estticamente equivalente. El esfuerzo normal combinado, en cualquier ubicacin coordenada y sobre la seccin transversal, cau- sado por estas dos cargas es Aqu, el signo negativo indica un esfuerzo de compre- sin. Para una ey positiva, figura 8-7a, el menor esfuer- zo de compresin se producir a lo largo del borde AB, donde y = -h>2, figura 8-7b. (Por inspeccin, P ocasiona compresin en ese punto, pero Mx causa tensin.) Por lo tanto, Este esfuerzo se mantendr negativo, es decir, en compresin, siempre que el trmino entre parntesis sea positivo; es decir, ste es un ejemplo donde puede ocu- rrir la combinacin de esfuerzos axial y flexionante. En otras palabras, si - 1 6 h ey 1 6 h, el esfuerzo en el bloque a lo largo del borde AB o CD ser cero o permanecer en compresin. NOTA: En ocasiones, esto se conoce como la regla del tercio medio. Es muy importante tener en cuenta esta regla cuando las columnas o arcos cargados tienen una seccin transversal rectangular y estn hechos de materiales como la piedra o el concreto, que pueden soportar poco, o incluso nulo, esfuerzo de tensin. Este anlisis se puede extender de la misma manera mediante la colocacin de P a lo largo del eje x en la fi- gura 8-7. El resultado producir un paralelogramo como el que se mues- tra de color gris oscuro en la figura 8-7c. Esta regin se conoce como el ncleo o kern de la seccin. Cuando P se aplica en el ncleo, el esfuerzo normal en las esquinas de la seccin transversal ser de compresin. s = - P A - 1Pey2y Ix = - P A 1 + Aeyy Ix smn = - P A 1 - Aeyh 2Ix Como e entonces Resp.1 7 6ey h o ey 6 1 6 h Ix = 1 12 bh3 ,A = bh 1 7 Aeyh 2Ix (a) b P y x z h ey y (b) C B A D P y Mx Pey xh 2 y (c) P y x A E G F H b 6 b 6 h 6 h 6 Capitulo 08_Hibbeler.indd 419 20/1/11 18:14:46 439. 420 Captulo 8Cargas combinadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 8.7 Figura 8-8 La barra slida de la figura 8-8a tiene un radio de 0.75 pulg. Si est sometida a la fuerza de 500 lb, determine el estado de esfuerzo en el punto A. SOLUCIN Cargas internas. La barra se secciona a travs del punto A. Usando el diagrama de cuerpo libre del segmento AB, figura 8-8b, las cargas internas resultantes se determi- nan con base en las ecuaciones de equili- brio. Verifique estos resultados. Con el fin de visualizar de mejor manera las distri- buciones de esfuerzo debidas a estas cargas, es posible considerar las resultantes iguales pero opuestas que actan sobre el segmento AC, figura 8-8c. Componentes de esfuerzo. Fuerza normal. En la figura 8-8d se muestra la distribucin del esfuerzo normal. Para el punto A, se tiene Momento flexionante. Para el momento, c = 0.75 pulg, por lo que el esfuerzo normal en el punto A, figura 8-8e, es 8 pulg 10 pulg 14 pulg 500 lb x A B C (a) z y 10 pulg 14 pulg 500 lb (b) 500 lb (14 pulg) 7000 lbpulg 500 lb x z y A Momento flexionante (7000 lbpulg) (e) 21.13 ksi0.283 ksi Fuerza normal (500 lb) (d) A 7000 lbpulg 500 lb (c) (sA)y = P A = 500 lb p(0.75 pulg)2 = 283 psi = 0.283 ksi = 21,126 psi = 21.13 ksi (sA)y = Mc I = 7000 lb # pulg(0.75 pulg) 31 4p(0.75 pulg)4 4 Superposicin. Cuando los resultados anteriores se superponen, se observa que un elemento de material en A est sometido al esfuerzo normal Resp.(sA)y = 0.283 ksi + 21.13 ksi = 21.4 ksi Capitulo 08_Hibbeler.indd 420 14/1/11 09:24:54 440. 8.2 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas 421 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 8.8 Figura 8-9 La barra slida de la figura 8-9a tiene un radio de 0.75 pulg. Si est sometida a la fuerza de 800 lb, determine el estado de esfuerzo en el punto A. SOLUCIN Cargas internas. La barra se secciona a travs del punto A. Usando el diagrama de cuerpo libre del segmento AB, figura 8-9b, las cargas internas resultantes se determinan a partir de las seis ecuaciones de equilibrio. Verifique estos resultados. Las resultantes iguales pero opuestas actan sobre el segmento AC como se muestra en la figura 8-9c. Componentes de esfuerzo. Fuerza cortante. En la figura 8-9d se mues- tra la distribucin del esfuerzo cortante. Para el punto A, Q se determina a partir del rea semicircular superior en gris oscuro. Si se emplea la tabla que se encuen- tra (al reverso de la contraportada de este libro), se tiene de modo que Momento de torsin. En el punto A, rA = c = 0.75 pulg, figura 8-9f. Por lo que el esfuerzo cortante es Superposicin. Aqu, el elemento de material en A est sometido slo a un componente de esfuerzo cortante, donde Momento flexionante. Como el punto A se encuentra sobre el eje neutro, figura 8-9e, el esfuer- zo normal es sA = 0 de modo que = 604 psi = 0.604 ksi (tyz)A = VQ It = 800 lb10.2813 pulg3 2 C1 4p10.75 pulg24 D210.75 pulg2 Q = yA = 410.75 pulg2 3p c 1 2 p10.75 pulg22 d = 0.2813 pulg3 de modo que = 604 psi = 0.604 ksi (tyz)A = VQ It = 800 lb10.2813 pulg3 2 C1 4p10.75 pulg24 D210.75 pulg2 Q = yA = 410.75 pulg2 3p c 1 2 p10.75 pulg22 d = 0.2813 pulg3 (tyz)A = Tc J = 11 200 lb # pulg10.75 pulg2 C1 2 p10.75 pulg24 D = 16 901 psi = 16.90 ksi Resp.(tyz)A = 0.604 ksi + 16.90 ksi = 17.5 ksi 800 lb 8 pulg 10 pulg 14 pulg x A B C (a) z y 10 pulg 14 pulg 800 lb (b) 800 lb (14 pulg) 11 200 lbpulg 800 lb (10 pulg) 8000 lbpulg 800 lb x z y 16.90 ksi A Momento de torsin (11 200 lbpulg) (f) A Momento flexionante (8000 lbpulg) (e) 0.604 ksi A Esfuerzo cortante (800 lb) (d)(c) A 8000 lbpulg 11 200 lbpulg800 lb Capitulo 08_Hibbeler.indd 421 14/1/11 09:25:03 441. 422 Captulo 8Cargas combinadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas fundamentales F8-1. Determine el esfuerzo normal desarrollado en las es- quinas A y B de la columna. F8-3. Determine el estado de esfuerzo en el punto A, ubi- cado sobre el rea transversal de la viga, en la seccin a-a. F8-2. Determine el estado de esfuerzo en el punto A, ubi- cado sobre el rea transversal, en la seccin a-a de la viga en voladizo. F8-4. Determine la magnitud de la carga P que producir un esfuerzo normal mximo de smx = 30 ksi sobre el esla- bn, a lo largo de la seccin a-a. F8-1 300 kN 500 kN 50 mm 100 mm 100 mm 100 mm 150 mm150 mm 150 mm 150 mm A z y x B F8-2 300 mm 100 mm 100 mm 0.5 m Seccin a-a 400 kN a a A F8-3 A 2 m 0.5 m 0.5 m0.5 m 30 kN a a 50 mm 10 mm 10 mm 10 mm 180 mm 100 mm Seccin a-a F8-4 P P 2 pulg 2 pulg 0.5 pulga a Capitulo 08_Hibbeler.indd 422 14/1/11 09:25:10 442. 8.2 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas 423 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 F8-5. La viga tiene una seccin transversal rectangular y est sometida a la carga mostrada. Determine las compo- nentes de esfuerzo sx , sy y txy en el punto B. F8-7. Determine el estado de esfuerzo en el punto A ubi- cado sobre el rea transversal del tubo, en la seccin a-a. F8-6. Determine el estado de esfuerzo en el punto A ubi- cado sobre el rea transversal del ensamble de tubos, en la seccin a-a. F8-8. Determine el estado de esfuerzo en el punto A ubi- cado sobre el rea transversal del eje, en la seccin a-a. F8-5 1.5 pulg 1.5 pulg 10 pulg 400 lb x y z 1 pulg B 500 lb 2 pulg 2 pulg F8-6 a a 400 mm 200 mm A A Seccin a-a 20 mm 1500 N 1000 N z yx F8-7 a A A a 300 mm 300 mm Seccin a-a 50 mm 40 mm 6 kN z y x F8-8 100 mm a 300 N 300 N 900 N 900 N 100 mm 600 mm 400 mm 300 mm 100 mm A Seccin a-a 25 mm 20 mm A z y x a Capitulo 08_Hibbeler.indd 423 14/1/11 09:25:35 443. PROBLEMAS 8-18. La fuerza vertical P acta sobre la parte inferior de la placa que tiene un peso insignificante. Determine la distan- cia ms corta d hasta el borde de la placa en la que se puede aplicar la fuerza, de manera que no produzca esfuerzos de compresin sobre la placa en la seccin a-a. La placa tiene un grosor de 10 mm y P acta a lo largo de la lnea central de este grosor. 8-19. Determine el esfuerzo normal mximo y mnimo en la mnsula sobre la seccin a-a, cuando la carga se aplica en x = 0. *8-20. Determine el esfuerzo normal mximo y mnimo en la mnsula sobre la seccin a-a, cuando la carga se aplica en x = 300 mm. 424 Captulo 8Cargas combinadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8-21. La sierra caladora tiene una cuchilla ajustable que se ajusta con una tensin de 40 N. Determine el estado de esfuerzo en el marco sobre los puntos A y B. 8-22. La mordaza se forma con los elementos AB y AC, los cuales estn articulados en A. Si se ejerce una fuerza de compresin en C y B de 180 N, determine el esfuerzo de compresin mximo sobre la mordaza en la seccin a-a. El tornillo EF se somete slo a una fuerza de tensin a lo largo de su eje. 8-23. La mordaza se forma con los elementos AB y AC, los cuales estn articulados en A. Si se ejerce una fuerza de compresin en C y B de 180 N, determine la distribucin del esfuerzo que acta sobre la seccin a-a. El tornillo EF se somete slo a una fuerza de tensin a lo largo de su eje. a 500 mm P a 300 mm 200 mm d Prob. 8-18 100 kN x 200 mm 150 mm 15 mm 15 mm aa Probs. 8-19/20 75 mm 50 mm 8 mm 3 mm 3 mm 8 mm A B100 mm Prob. 8-21 180 N 180 NB C F E A a a 30 mm 40 mm 15 mm 15 mm Seccina-a Probs. 8-22/23 Capitulo 08_Hibbeler.indd 424 14/1/11 09:25:39 444. 8.2 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas 425 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *8-24. El pasador de apoyo soporta la carga de 700 lb. De- termine las componentes de esfuerzo en el elemento de apo- yo en el punto A. El soporte tiene de 0.5 pulg de grosor. 8-25. El pasador de apoyo soporta la carga de 700 lb. De- termine las componentes de esfuerzo en el elemento de apo- yo en el punto B. El soporte tiene 0.5 pulg de grosor. *8-28. La junta est sometida a una fuerza de P = 80 lb y F = 0. Dibuje la distribucin del esfuerzo normal que acta sobre la seccin a-a, si el elemento tiene un rea transver- sal rectangular con una anchura de 2 pulg y un grosor de 0.5 pulg. 8-29. La junta est sometida a una fuerza de P = 200 lb y F = 150 lb. Determine el estado de esfuerzo en los puntos A y B, y dibuje los resultados sobre los elementos diferenciales ubicados en estos puntos. El elemento tiene un rea trans- versal rectangular con una anchura de 0.75 pulg y un grosor de 0.5 pulg. 8-26. El eslabn descentrado soporta la carga de P = 30kN. Determine su anchura w requerida si el esfuerzo normal permisible es sperm = 73 MPa. El eslabn tiene un grosor de 40 mm. 8-27. El eslabn descentrado tiene una anchura de w = 200 mm y un grosor de 40 mm. Si el esfuerzo normal permi- sible es sperm = 75 MPa, determine la carga mxima P que puede aplicarse a los cables. 8-30. Si el hombre de 75 kg se encuentra en la posicin mostrada en la figura, determine el estado de esfuerzo en el punto A del rea transversal de la plancha en la seccin a-a. El centro de gravedad del hombre est en G. Suponga que el punto de contacto en C es liso. P P w 50 mm Probs. 8-26/27 30 2 pulg A A B B 3 pulg 1.25 pulg 700 lb 0.75 pulg 0.5 pulg Probs. 8-24/25 a 2 pulg aA P F 1.25 pulg 0.5 pulg B Probs. 8-28/29 Prob. 8-30 Seccin a-a y b-b G a a C B 600 mm 50 mm 12.5 mm A 300 mm 600 mm 30 1.5 m Capitulo 08_Hibbeler.indd 425 14/1/11 09:25:47 445. 426 Captulo 8Cargas combinadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8-31. Determine la menor distancia d hasta el borde de la placa en la que se puede aplicar la fuerza P de modo que no produzca esfuerzos de compresin sobre la placa en la seccin a-a. La placa tiene un grosor de 20 mm y P acta a lo largo de la lnea central de este grosor. *8-32. La fuerza horizontal de P = 80 kN acta en el extre- mo de la placa; sta tiene un grosor de 10 mm y P acta a lo largo de la lnea central del grosor de forma que d = 50 mm. Grafique la distribucin del esfuerzo normal que acta a lo largo de la seccin a-a. 8-33. Las pinzas estn fabricadas con dos partes de acero articuladas entre s en A. Si un perno liso se sostiene entre las quijadas y se aplica una fuerza de apriete de 10 lb a los mangos, determine el estado de esfuerzo desarrollado en las pinzas en los puntos B y C. Aqu la seccin transversal es rectangular, con las dimensiones indicadas en la figura. 8-34. Resuelva el problema 8-33 para los puntos D y E. 8-35. La viga I de ala ancha est sometida a la carga mos- trada en la figura. Determine las componentes de esfuerzo en los puntos A y B, y muestre los resultados en un elemento de volumen en cada uno de estos puntos. Use la frmula del esfuerzo cortante para calcular el esfuerzo cortante. *8-36. El taladro se hunde en la pared y se somete al par de torsin y a la fuerza mostrados en la figura. Determine el estado de esfuerzo en el punto A sobre el rea transversal de la broca, en la seccin a-a. 8-37. El taladro se hunde en la pared y se somete al par de torsin y a la fuerza mostrados en la figura. Determine el estado de esfuerzo en el punto B sobre el rea transversal de la broca, en la seccin a-a. a P a 200 mm 300 mm d Probs. 8-31/32 4 pulg2.5 pulg 10 lb 10 lb 30 3 pulg B C A 0.2 pulg 0.2 pulg B C 0.2 pulg D E D E 0.18 pulg 0.2 pulg 1.75 pulg 0.1 pulg Probs. 8-33/34 150 N 3 4 5 125 mm 20 Nm 400 mm a a 5 mm B A Seccin a-a z x y y Probs. 8-36/37 Prob. 8-35 6 pies4 pies 2 pies2 pies2 pies 500 lb 2500 lb 3000 lb A B 4pulg 4 pulg 0.5 pulg 0.5 pulg 2 pulg 0.5 pulg B A Capitulo 08_Hibbeler.indd 426 14/1/11 09:26:02 446. 8.2 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas 427 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8-38. Comoelconcretopuedesoportarpocaonulatensin, este problema se puede evitar mediante el uso de alambres o varillas para pretensar al concreto una vez que est forma- do. Considere la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura, la cual tiene una seccin transversal rectangular de 18 12 pulg. Si el concreto tiene un peso especfico de 150 lb>pie3 , determine la tensin necesaria en la barra AB que corre a travs de la viga, para que no se desarrolle es- fuerzo de tensin sobre el concreto en su seccin central a-a. No tome en cuenta el tamao de la barra y cualquier de- flexin de la viga. 8-39. Resuelva el problema 8-38 si la barra tiene un dime- tro de 0.5 pulg. Utilice el mtodo del rea transformada que se analiz en la seccin 6.6. Eac = 29(103 )ksi, Ec = 3.60(103 ) ksi. *8-40. Determine el estado de esfuerzo en el punto A cuando la viga est sometida a una fuerza del cable de 4 kN. Indique el resultado como un elemento diferencial de volu- men. 8-41. Determine el estado de esfuerzo en el punto B cuan- do la viga est sometida a una fuerza del cable de 4 kN. Indi- que el resultado como un elemento diferencial de volumen. 8-42. La barra tiene un dimetro de 80 mm. Determine las componentes del esfuerzo que actan en el punto A y mues- tre los resultados sobre un elemento de volumen situado en este punto. 8-43. La barra tiene un dimetro de 80 mm. Determine las componentes del esfuerzo que actan en el punto B y mues- tre los resultados sobre un elemento de volumen situado en este punto. *8-44. Determine el esfuerzo normal desarrollado en los puntos A y B. No tome en cuenta el peso del bloque. 8-45. Dibuje la distribucin del esfuerzo normal que ac- ta sobre el rea transversal en la seccin a-a. No tome en cuenta el peso del bloque. 8-46. El soporte est sometido a la carga de compresin P. Determine el esfuerzo normal absoluto mximo y mnimo que acta en el material. Probs. 8-40/41 Probs. 8-38/39 16 pulg 4 pies 4 pies a a A B 18 pulg 6pulg 6pulg 2 pulg 2 m 0.75 m 1 m 4 kN G 250 mm 375 mm B C D A 200 mm 20 mm 20 mm 150 mm 15 mm A B 100 mm Probs. 8-42/43 300 mm 200 mm B A 5 kN 4 3 5 Probs. 8-44/45 a a 6 pulg 6 kip 12 kip3 pulg A B Prob. 8-46 P a 2 a 2 a 2 a 2 Capitulo 08_Hibbeler.indd 427 14/1/11 09:26:10 447. 428 Captulo 8Cargas combinadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8-47. El soporte est sometido a la carga de compresin P. Determine el esfuerzo normal mximo y mnimo que actan en el material. Todas las secciones transversales horizontales son circulares. *8-48. El poste tiene una seccin transversal circular de radio c. Determine el radio mximo e en el que se puede aplicar la carga, de modo que ninguna parte del poste expe- rimente un esfuerzo de tensin. No tome en cuenta el peso del poste. 8-49. Si el beb tiene una masa de 5 kg y su centro de masa est en G, determine el esfuerzo normal en los puntos A y B sobre el rea transversal de la varilla en la seccin a-a. Se tienen dos varillas, una a cada lado de la cuna. 8-50. La mordaza en C aplica un esfuerzo de compresin de 80 psi sobre el bloque cilndrico. Determine el esfuerzo normal mximo desarrollado en la mordaza. 8-51. Un poste que tiene las dimensiones mostradas en la figura se somete a la carga de apoyo P. Especifique la regin en la que se puede aplicar esta carga sin que se desarrollen esfuerzos de tensin en los puntos A, B, C y D. r P Prob. 8-47 P c e Prob. 8-48 Seccin a-a 75 mm 6 mm G 500 mm 15 a A Ba Prob. 8-49 0.75 pulg 4 pulg 1 pulg 4.5 pulg 0.25 pulg Prob. 8-50 x y z A a a a a a a D ez ey B C P Prob. 8-51 Capitulo 08_Hibbeler.indd 428 14/1/11 09:26:17 448. 8.2 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas 429 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *8-52. El gancho se usa para levantar la carga de 600 lb. Determine los esfuerzos mximos de tensin y compresin en la seccin a-a. El rea transversal es circular y tiene un dimetro de 1 pulg. Use la frmula de las viga curva para calcular el esfuerzo flexionante. 8-53. El pilar de ladrillos se somete a una carga 800 kN. Determine la ecuacin de la lnea y = f(x) a lo largo de la cual puede colocarse la carga sin causar esfuerzos de tensin en el pilar. No tome en cuenta el peso de ste. 8-54. El pilar de ladrillos se somete a una carga 800 kN. Si x = 0.25 m y y = 0.5 m, determine el esfuerzo normal en cada esquina A, B, C, D (no mostrado en la figura) y grafique la distribucin de esfuerzos sobre la seccin transversal. No tome en cuenta el peso del pilar. 8-55. La barra tiene un dimetro de 40 mm. Si est someti- da a las dos componentes de fuerza en uno de sus extremos, tal como se indica en la figura, determine el estado de esfuer- zo en el punto A y muestre los resultados sobre un elemento diferencial de volumen situado en este punto. *8-56. Resuelva el problema 8-55 para el punto B. 8-57. La varilla de 2 pulg de dimetro est sometida a las cargas mostradas en la figura. Determine el estado de es- fuerzo en el punto A y muestre los resultados en un elemen- to diferencial situado en ese punto. 8-58. La varilla de 2 pulg de dimetro est sometida a las cargas mostradas en la figura. Determine el estado de es- fuerzo en el punto B y muestre los resultados en un elemen- to diferencial situado en ese punto. Prob. 8-52 aa 2.5 pulg 1.5 pulg 300 lb 300 lb 600 lb Probs. 8-53/54 2.25 m 2.25 m 1.5 m 1.5 m A B C y x x y 800 kN Probs. 8-55/56 100 mm 150 mm y x z BA 300 N 500 N Probs. 8-57/58 B A z y x 500 lb 12 pulg 8 pulg 800 lb 600 lb Capitulo 08_Hibbeler.indd 429 14/1/11 09:26:22 449. 430 Captulo 8Cargas combinadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8-59. Si P = 60 kN, determine el esfuerzo normal mximo desarrollado en la seccin transversal de la columna. *8-60. Determine la mxima fuerza P permisible si la co- lumna est hecha de un material que tiene un esfuerzo nor- mal permisible de sperm = 100 MPa. 8-61. El engrane cnico se somete a las cargas mostradas en la figura. Determine las componentes del esfuerzo que actan sobre el eje en el punto A y muestre los resultados en un elemento de volumen ubicado en ese punto. El eje tiene un dimetro de 1 pulg y est fijo a la pared en C. 8-62. El engrane cnico se somete a las cargas mostradas en la figura. Determine las componentes del esfuerzo que actan sobre el eje en el punto B y muestre los resultados en un elemento de volumen ubicado en ese punto. El eje tiene un dimetro de 1 pulg y est fijo a la pared en C. 8-63. La seal uniforme tiene un peso de 1500 lb y se sos- tiene mediante el tubo AB, que tiene un radio interior de 2.75 pulg y un radio exterior de 3.00 pulg. Si la cara de la seal se somete a una presin uniforme del viento de p = 150 lb>pie2 , determine el estado de esfuerzo en los puntos C y D. Muestre los resultados en un elemento diferencial de volumen situado en cada uno de estos puntos. No tome en cuenta el grosor de la seal y suponga que est soportada en el borde externo del tubo. *8-64. Resuelva el problema 8-63 para los puntos E y F. 8-65. Determine el estado de esfuerzo en el punto A so- bre el rea transversal del tubo, en la seccin a-a. 8-66. Determine el estado de esfuerzo en el punto B sobre el rea transversal del tubo, en la seccin a-a. 100 mm 15 mm 15 mm 15 mm 75 mm 150 mm 150 mm 100 mm 100 mm P 2P Probs. 8-59/60 C B x z y A 200 lb 125 lb75 lb 8 pulg 3 pulg Probs. 8-61/62 50 lb B A 12 pulg10 pulg a a 60 0.75 pulg 1 pulg Seccin a-a z x y Probs. 8-65/66 3 pies 6 pies 12 pies B A y x z 150 lb/pie2 C D FE Probs. 8-63/64 Capitulo 08_Hibbeler.indd 430 14/1/11 09:26:51 450. 8.2 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas 431 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8-67. La fuerza excntrica P se aplica sobre el soporte de concreto mostrado en la figura, a una distancia ey de su centroide. Determine el intervalo a lo largo del eje y donde puede aplicarse P sobre la seccin transversal, de modo que no se desarrollen esfuerzos de tensin en el material. *8-68. La barra tiene un dimetro de 40 mm. Si est so- metida a una fuerza de 800 N como se muestra en la figura, determine las componentes del esfuerzo que actan en el punto A y muestre los resultados sobre un elemento de vo- lumen ubicado en ese punto. 8-69. Resuelva el problema 8-68 para el punto B. 8-70. El eje con 3 4 de pulg de dimetro est sometido a la carga mostrada en la figura. Determine las componentes del esfuerzo que actan en el punto A. Dibuje los resultados so- bre un elemento de volumen situado en ese punto. La chu- macera en C puede ejercer slo componentes de fuerza Cy y Cz sobre el eje y el cojinete de empuje en D puede ejercer componentes de fuerza Dx , Dy y Dz sobre el eje. 8-71. Resuelva el problema 8-70 para las componentes del esfuerzo en el punto B. *8-72. El gancho est sometido a la fuerza de 80 lb. Deter- mine el estado de esfuerzo sobre el punto A en la seccin a-a. La seccin transversal es circular y tiene un dimetro de 0.5 pulg. Use la frmula de la viga curva para calcular el esfuerzo flexionante. 8-73. El gancho est sometido a la fuerza de 80 lb. De- termine el estado de esfuerzo sobre el punto B en la seccin a-a. La seccin transversal tiene un dimetro de 0.5 pulg. Use la frmula de la viga curva para calcular el esfuerzo flexionante. Prob. 8-67 2 ey P 3 h 3 b 2 b 2 h z x y Probs. 8-68/69 150 mm 200 mm z yx BA 800 N 30 Probs. 8-70/71 x C A B 125 lb 2 pulg 8 pulg 8 pulg 125 lb D 20 pulg 20 pulg 10 pulg z y 2 pulg Probs. 8-72/73 a a 80 lb 1.5 pulg A A B B 45 Capitulo 08_Hibbeler.indd 431 14/1/11 09:26:58 451. 432 Captulo 8 Cargas combinadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Repaso de Captulo Se considera que un recipiente a presin tie- ne una pared delgada siempre que r>t 10. Para un recipiente cilndrico de pared delga- da, el esfuerzo circunferencial o anular es Este esfuerzo es dos veces mayor que el es- fuerzo longitudinal, Los recipientes esfricos de pared delgada tie- nen el mismo esfuerzo dentro de sus paredes en todas direcciones. Esto es La superposicin de componentes de esfuerzo puede utilizarse para determinar los esfuerzos normal y cortante en un punto de un elemen- to sometido a una carga combinada. Para ello, primero es necesario determinar las fuerzas resultantes axial y cortante, y los momentos internos resultantes de torsin y flexin en la seccin donde se ubica el punto. Despus, se determinan las componentes resultantes de los esfuerzos normal y cortante sumando al- gebraicamente las componentes del esfuerzo normal y cortante de cada carga. s1 = pr t s2 = pr 2t s1 = s2 = pr 2t s1 s2 t r t r s2 s1 P s s P A V t VQ It M smx s My I tmx t Tr J T Capitulo 08_Hibbeler.indd 432 20/1/11 12:12:32 452. Problemas conceptuales 433 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS CONCEPTUALES P8-1. Explique por qu la falla en esta manguera de jardn ocurri cerca de su extremo y por qu la rotura se produ- jo en el sentido de su longitud. Use valores numricos para explicar el resultado. Suponga que la presin del agua es de 30 psi. P8-2. Este silo con un extremo abierto contiene material granular. Se construy con tiras de madera unidas mediante bandas de acero. Explique, con valores numricos, por qu las bandas no estn uniformemente espaciadas a travs de la altura del cilindro. Adems, cmo podra encontrar esta se- paracin si cada banda estar sometida al mismo esfuerzo? P8-3. A diferencia del tensor en B, que est conectado a lo largo del eje de la varilla, el tensor en A ha sido soldado a los extremos de la varilla, por lo que estar sometido a un esfuerzo adicional. Use los mismos valores numricos para la carga de tensin en cada varilla, as como para su dime- tro, y compare el esfuerzo en cada una de las varillas. P8-4. Un viento constante que sopla contra un lado de esta chimenea ha causado deformaciones unitarias por erosin en las juntas de mortero, de tal manera que la chimenea tie- ne una deformacin apreciable. Explique la forma de obte- ner la distribucin de esfuerzos sobre una seccin en la base de la chimenea, y dibuje esta distribucin sobre la seccin. P8-1 P8-2 P8-3 B A P8-4 Capitulo 08_Hibbeler.indd 433 14/1/11 09:27:08 453. PROBLEMAS DE REPASO 8-74. El bloque est sometido a las tres cargas axiales mos- tradas en la figura. Determine el esfuerzo normal desarro- llado en los puntos A y B. No tome en cuenta el peso del bloque. 8-77. La armella est sometida a la fuerza de 50 lb. De- termine los esfuerzos mximos en tensin y en compresin sobre la seccin a-a. La seccin transversal es circular y tiene un dimetro de 0.25 pulg. Use la frmula de la viga curva para calcular el esfuerzo flexionante. 8-78. Resuelva el problema 8-77 si la seccin transversal es cuadrada, con dimensiones de 0.25 : 0.25 pulg. 434 Captulo 8Cargas combinadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8-75. El tambor de 20 kg est suspendido de un gancho montado en el bastidor de madera. Determine el estado de esfuerzo en el punto E sobre el rea transversal del bastidor en la seccin a-a. Indique los resultados sobre un elemento. *8-76. El tambor de 20 kg est suspendido de un gancho montado en el bastidor de madera. Determine el estado de esfuerzo en el punto F sobre el rea transversal del bastidor en la seccin b-b. Indique los resultados sobre un elemento. 8-79. Si el rea transversal del fmur en la seccin a-a pue- de aproximarse como un tubo circular como el mostrado en la figura, determine el esfuerzo normal mximo desarrollado sobre el rea transversal en la seccin a-a debido a la carga de 75 lb. 1 m 1 m 1 m b a a b C B A 30 1 m 0.5 m0.5 m 50 mm 75 mm 25 mm Seccin a-a E 75 mm 75 mmFD Probs. 8-75/76 1 m 1 m 1 m b a a b C B A 30 1 m 0.5 m0.5 m 50 mm 75 mm 25 mm Seccin a-a E 75 mm 75 mm 25 mm Seccin b-b FD Probs. 8-77/78 1.25 pulg aa 50 lb 0.25 pulg Prob. 8-74 4 pulg 2 pulg 2 pulg 5 pulg 5 pulg 3 pulg 50 lb 100 lb 250 lb B A Prob. 8-79 a a 2 pulg 75 lb M F 1 pulg 0.5 pulg Seccin a-a Capitulo 08_Hibbeler.indd 434 14/1/11 09:28:33 454. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Problemas de repaso 435 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *8-80. Se requiere que el cilindro hidrulico soporte una fuerza de P = 100 kN. Si ste tiene un dimetro interior de 100 mm y est hecho de un material que tiene un esfuerzo normal permisible de sperm = 150 MPa, determine el grosor mnimo t requerido para la pared del cilindro. 8-81. El cilindro hidrulico tiene un dimetro interior de 100 mm y un grosor de pared de t = 4 mm. Si est fabricado de un material que tiene un esfuerzo normal permisible de sperm = 150 MPa, determine la fuerza P mxima permisible. 8-82. El tornillo de la mordaza ejerce sobre los bloques de madera una fuerza de compresin de 500 lb. Determine el esfuerzo normal mximo desarrollado a lo largo de la sec- cin a-a. La seccin transversal es rectangular, de 0.75 : 0.50 pulg. 8-83. La presin del aire en el cilindro se incrementa al ejercer fuerzas P = 2 kN sobre los dos pistones, cada uno con un radio de 45 mm. Si la pared del cilindro tiene un grosor de 2 mm, determine el estado de esfuerzo en esa pared. *8-84. Determine la mxima fuerza P que puede ejercerse sobre cada uno de los dos pistones, de modo que la compo- nente del esfuerzo circunferencial en el cilindro no sea supe- rior a 3 MPa. Cada pistn tiene un radio de 45 mm y la pared del cilindro tiene un grosor de 2 mm. 8-85. La tapa del tanque cilndrico est empernada a ste a lo largo de las bridas. El tanque tiene un dimetro interior de 1.5 m y un grosor de pared de 18 mm. Si el mayor esfuer- zo normal no debe exceder 150 MPa, determine la presin mxima que puede soportar el tanque. Adems, calcule el nmero de pernos necesarios para fijar la tapa al tanque si cada perno tiene un dimetro de 20 mm. El esfuerzo permi- sible para los pernos es (sperm )b = 180 MPa. 8-86. La tapa del tanque cilndrico est empernada a ste a lo largo de las bridas. El tanque tiene un dimetro interior de 1.5 m y un grosor de pared de 18 mm. Si la presin en el tanque es p = 1.20 MPa, determine la fuerza en cada uno de los 16 pernos que se emplean para fijar la tapa al tanque. Adems, especifique el estado de esfuerzo en la pared del tanque. Probs. 8-80/81 t 100 mm P Probs. 8-83/84 47 mm P P Probs. 8-85/86Prob. 8-82 4 pulg 0.75 pulg a a Capitulo 08_Hibbeler.indd 435 14/1/11 09:28:59 455. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 Las hlices de esta turbina se encuentran sometidas a un patrn de esfuerzo complejo. Al disearlas, es necesario deter- minar en qu punto y con qu direccin se produce el esfuerzo mximo. Capitulo 09_Hibbeler.indd 436 14/1/11 09:30:03 456. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 437 1 2 Transformacin de esfuerzo 9 437 OBJETIVOS DEL CAPTULO En este captulo se mostrar cmo se transforman las componentes de esfuerzo que estn asociadas con un sistema coordenado particular en componentes asociadas con otro sistema de coordenadas que tiene una orientacin diferente. Despus de haber establecido las ecuaciones de transformacin necesarias, ser posible obtener los esfuerzos normal mximo y cortante mximo en un punto y determinar la orientacin de los elementos sobre los que actan. En la primera parte del captulo se analizar la transformacin de esfuerzo plano, puesto que sta es la condicin ms comn en la prctica de la ingeniera. Al final se estudiar un mtodo para encontrar el esfuerzo cortante mximo absoluto en un punto en el que el material se encuentra sometido a estados de esfuerzo tanto planos como tridimensionales. 9.1 Transformacin de esfuerzo plano En la seccin 1.3 se mostr que el estado general de esfuerzo en un pun- to se caracteriza mediante seis componentes independientes de esfuerzo normal y esfuerzo cortante, que actan sobre las caras de un elemento de material ubicado en ese punto, figura 9-1a. Sin embargo, este estado de esfuerzo no se encuentra con frecuencia en la prctica de la ingeniera. En su lugar, los ingenieros suelen hacer aproximaciones o simplificaciones de las cargas sobre un cuerpo con el fin de que el esfuerzo producido en un elemento de la estructura o un elemento mecnico pueda analizarse en un solo plano. Cuando se presenta este caso, se dice que el material est sometido a esfuerzo plano, figura 9-1b. Por ejemplo, si no hay carga en la superficie de un cuerpo, entonces las componentes de los esfuerzos normal y cortante sern iguales a cero sobre la cara de un elemento que se encuentre en esta superficie. En consecuencia, las componentes de esfuer- zo correspondientes en la cara opuesta tambin sern cero, por lo que el material en el punto estar sometido a esfuerzo plano. Este caso se analiz a lo largo del captulo anterior. Capitulo 09_Hibbeler.indd 437 14/1/11 09:30:03 457. 438 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Por lo tanto, el estado general de esfuerzo plano en un punto se repre- senta mediante una combinacin de dos componentes de esfuerzo nor- mal, sx y sy y una componente de esfuerzo cortante, txy , que actan en las cuatro caras del elemento. Por conveniencia, aqu se ver este estado de esfuerzo sobre el plano x-y, figura 9-2a. Si este estado de esfuerzo se define sobre un elemento que tiene una orientacin diferente como la mostrada en la figura 9-2b, entonces estar sometido a tres componentes de esfuerzo di- ferentes definidas como sx , sy , txy . En otras palabras, el estado de esfuerzo plano en el punto est representado nicamente por dos componentes de esfuerzo normal y una componente de esfuerzo cortante que actan sobre un elemento que tiene una orientacin especfica en el punto. En esta seccin, se mostrar cmo transformar las componentes de es- fuerzo de la orientacin de un elemento mostrada en la figura 9-2a a la orientacin del elemento en la figura 9-2b. Esto es equivalente a conocer dos componentes de fuerza, es decir, Fx y Fy , dirigidas a lo largo de los ejes x y y, que producen una fuerza resultante FR , y luego tratar de encontrar las componentes de fuerza Fx y Fy dirigidas a lo largo de los ejes x y y, de manera que produzcan la misma resultante. La transformacin de la fuerza slo debe tener en cuenta la magnitud y la direccin de la componente de fuerza. Sin embargo, la transformacin de las componentes de esfuerzo es ms difcil ya que la transformacin debe tener en cuenta la magnitud y la direccin de cada componente de esfuerzo, y la orientacin del rea sobre la que acta cada componente. Estado general de esfuerzo (a) Esfuerzo plano (b) tyz tyz txy txy txytxy txz txz sz sx sx sy sy Figura 9-1 (a) y x (b) y x sy sx sy sx txy txy u u Figura 9-2 Capitulo 09_Hibbeler.indd 438 14/1/11 09:30:04 458. 9.1Transformacin de esfuerzo plano 439 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Procedimiento de anlisis Si se conoce el estado de esfuerzo en un punto para una orientacin dada de un elemento de material, figura 9-3a, entonces el estado de esfuerzo en un elemento que tiene alguna otra orientacin u, figura 9-3b, puede determinarse mediante el siguiente procedimiento. Para determinar las componentes de esfuerzo normal y cortante sx , txy , que actan sobre la cara +x del elemento, figura 9-3b, seccione el elemento de la figura 9-3a como se muestra en la figura 9-3c. Si el rea seccionada es A, entonces las reas adya- centes del segmento sern A sen u y A cos u. Dibuje el diagrama de cuerpo libre del segmento, el cual debe mostrar las fuerzas que actan sobre el segmento, figura 9-3d. Esto se hace al multiplicar las componentes de esfuerzo sobre cada cara por el rea sobre la que actan. Aplique las ecuaciones de fuerza de equilibrio en las direcciones x y y. El rea A se cancelar de las ecuaciones y entonces ser posible determinar las dos componentes de esfuerzo desconoci- das sx y txy . Si debe determinarse sy , que acta sobre la cara +y del elemen- to en la figura 9-3b, entonces es necesario considerar un seg- mento del elemento, como se muestra en la figura 9-3e y seguir el mismo procedimiento que se acaba de describir. Sin embargo, aqu el esfuerzo cortante txy no debe determinarse si ya se calcu- l previamente, puesto que es complementario; es decir, debe tener la misma magnitud en cada una de las cuatro caras del elemento, figura 9-3b. (a) y x sy sx txy (b) 5 y xsy sx txy u x y x y (c) A sen u A cos u Au u (d) y x sx sy sx txy txy txy u A sen u A sen u A cos u A cos u A A (e) x y sy sx sy txy txy u Figura 9-3 Capitulo 09_Hibbeler.indd 439 14/1/11 09:30:06 459. 440 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 9.1 El estado de esfuerzo plano en un punto sobre la superficie del fuselaje del avin se representa en el elemento orientado como se indica en la figura 9-4a. Represente el estado de esfuerzo del punto de un elemento que est orientado a 30 medidos en sentido horario desde la posicin mostrada. SOLUCIN El elemento rotado se muestra en la figura 9-4d. Para obtener la compo- nente de esfuerzo en este elemento, primero se secciona el elemento de la figura 9-4a a travs de la lnea a-a. El segmento inferior se retira, y su- poniendo que el plano seccionado (inclinado) tiene un rea de A, los planos horizontal y vertical tienen las reas indicadas en la figura 9-4b. El diagrama de cuerpo libre de este segmento se muestra en la figura 9-4c. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas en las direcciones x y y para evitar una solucin simultnea de las dos incgnitas sx y txy , se tiene Como sx es negativo, acta en direccin opuesta a la indicada en la figura 9-4c. Los resultados se muestran en la parte superior del elemen- to de la figura 9-4d, puesto que esta superficie es la considerada en la figura 9-4c. (a)30 a a b b 50 MPa 80 MPa 25 MPa 30 (b) A A sen 30 A cos 30 Figura 9-4 (c) y x x 60 30 30 30 30 sx A txy A 25 A cos 30 50 A cos 30 80 A sen 30 25 A sen 30 Resp.sx = -4.15 MPa + 125 A sen 302 cos 30 = 0 + 125 A cos 302 sen 30 + 180 A sen 302sen 30 sx A - 150 A cos 302 cos 30+QFx = 0; Resp.txy = 68.8 MPa + 125 A sen 302sen 30 = 0 - 125 A cos 302 cos 30 - 180 A sen 302 cos 30 txy A - 150 A cos 302 sen 30+aFy = 0; Capitulo 09_Hibbeler.indd 440 14/1/11 09:30:08 460. 9.1Transformacin de esfuerzo plano 441 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Ahora es necesario repetir el procedimiento para obtener el esfuer- zo en el plano perpendicular b-b. Si se secciona el elemento de la figura 9-4a a lo largo de b-b se obtiene un segmento que tiene lados con las reas indicadas en la figura 9-4e. Al orientar el eje +x hacia fuera, per- pendicular a la cara seccionada, el diagrama de cuerpo libre asociado es como se muestra en la figura 9-4f. Por lo tanto, Como sx es una cantidad negativa, acta en sentido opuesto a la di- reccin que se indica en la figura 9-4f. Las componentes de esfuerzo se muestran actuando de lado derecho del elemento en la figura 9-4d. Por lo tanto, a partir de este anlisis se puede concluir que el esta- do de esfuerzo en el punto puede representarse al elegir un elemento orientado como se muestra en la figura 9-4a, o al seleccionarlo con la orientacin indicada en la figura 9-4d. En otras palabras, estos estados de esfuerzo son equivalentes. (d) a a b b 25.8 MPa 68.8 MPa 4.15 MPa 30 (e) A sen 30 A cos 30 A y x x 30 30 30 30 (f) 30 25 A sen 30 25 A cos 30 80 A cos 30 50 A sen 30 sx A txy A Resp.sx = -25.8 MPa - 150 A sen 302sen 30 = 0 + 180 A cos 302 cos 30 - 125 A sen 302cos 30 sx A - 125 A cos 302 sen 30+RFx = 0; Resp.txy = 68.8 MPa + 150 A sen 302cos 30 = 0 + 180 A cos 302 sen 30 - 125 A sen 302 sen 30 -txy A + 125 A cos 302 cos 30+QFy = 0; Capitulo 09_Hibbeler.indd 441 14/1/11 09:30:09 461. 442 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.2Ecuaciones generales de transformacin de esfuerzo plano El mtodo para transformar las componentes de esfuerzo normal y cortan- te de los ejes de coordenadas x y y a los ejes x y y, analizado en la seccin anterior, puede desarrollarse de manera general y expresarse como un conjunto de ecuaciones de transformacin de esfuerzo. Convencin de signos. En primer lugar se debe establecer una convencin de signos para las componentes de esfuerzo. Para ello, los ejes +x y +x se usan para definir la normal hacia afuera de un lado del elemento. Entonces sx y sx son positivos cuando actan en las direcciones positivas x y x, y txy y txy son positivos cuando actan en las direcciones positivas y y y, figura 9-5. La orientacin del plano en el que se deben determinar las componen- tes de esfuerzo normal y cortante estar definida por el ngulo u, que se mide desde el eje +x hasta el eje +x de la figura 9-5b. Observe que los dos conjuntos de ejes con tilde y sin tilde en esta figura forman sistemas coor- denadas derechos; es decir, los ejes positivos z (o z) se establecen median- te la regla de la mano derecha. Al curvar los dedos desde x (o x) hacia y (o y) se obtiene la direccin para el eje z (o z) positivo que apunta hacia fuera, a lo largo del pulgar. El ngulo u ser positivo siempre que siga la curvatura de los dedos de la mano derecha, es decir en sentido antihorario como se muestra en la figura 9-5b. Componentes de esfuerzo normal y cortante. Si se usa la convencin de signos establecida, el elemento de la figura 9-6a se seccio- na a lo largo del plano inclinado y se asla el segmento mostrado en la figura 9-6b. Suponiendo que el rea seccionada es A, entonces las caras horizontal y vertical del segmento tiene un rea de A sen u y A cos u, respectivamente. Figura 9-5 Convencin de signos positivos (b) x y y x u sx txy x y (a) sx txy sy Capitulo 09_Hibbeler.indd 442 14/1/11 09:30:10 462. 9.2 Ecuaciones generales de transformacin de esfuerzo plano 443 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 En la figura 9-6c se muestra el diagrama de cuerpo libre resultante para el segmento. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar las com- ponentes desconocidas de esfuerzo normal y cortante sx y txy , se tiene Estas dos ecuaciones pueden simplificarse utilizando las identidades trigo- nomtricas sen 2u = 2 sen u cos u, sen2 u = (1 - cos 2u)>2 y cos2 u = (1 + cos 2u)>2, en cuyo caso, Si se requiere el esfuerzo normal que acta en la direccin y, ste puede obtenerse simplemente al sustituir (u = u + 90) para u en la ecuacin 9-1, figura 9-6d. De aqu se obtiene Si sy se calcula como una cantidad positiva, esto indica que acta en la direccin y positiva que se muestra en la figura 9-6d. Procedimiento de anlisis Para aplicar las ecuaciones de transformacin de esfuerzo 9-1 y 9-2, slo es necesario sustituir los datos conocidos para sx , sy , txy y u de acuerdo con la convencin de signos establecida, figura 9-5. Si sx y txy se calculan como cantidades positivas, entonces estos esfuerzos actan en la direccin positiva de los ejes x y y. Por conveniencia, estas ecuaciones se pueden programar fcilmente en una calculadora de bolsillo. txy = 1sy - sx2 sen u cos u + txy1cos2 u - sen2 u2 - 1txy A cos u2 cos u + 1sx A cos u2 sen u = 0 txy A + 1txy A sen u2 senu - 1sy A sen u2 cos u+aFy = 0; sx = sx cos2 u + sy sen2 u + txy12 sen u cos u2 - 1txy A cos u2 sen u - 1sx A cos u2 cos u = 0 sx A - 1txy A sen u2 cos u - 1sy A sen u2 sen u+QFx = 0; (9-1) (9-2)txy = - sx - sy 2 sen 2u + txy cos 2u sx = sx + sy 2 + sx - sy 2 cos 2u + txy sen 2u (9-3)sy = sx + sy 2 - sx - sy 2 cos 2u - txy sen 2u (a) sy txy sxu x y x y x y (b) A sen u A cos u A u x y x (c) txy A txy A sen u txy A cos u sx A cos u sy A sen u sx A u u u u u y x (d) x u 90 txy sy sx u Figura 9-6 Capitulo 09_Hibbeler.indd 443 14/1/11 09:30:12 463. 444 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 9.2 El estado de esfuerzo plano en un punto est representado por el ele- mento que se muestra en la figura 9-7a. Determine el estado de esfuer- zo en el punto sobre otro elemento orientado a 30 en sentido horario desde la posicin indicada. SOLUCIN Este problema se resolvi en el ejemplo 9.1 mediante principios bsicos. Aqu se aplicarn las ecuaciones 9-1 y 9-2. A partir de la convencin de signos establecida, figura 9-5, se observa que Plano CD. Para obtener las componentes de esfuerzo en el plano CD, figura 9-7b, el eje positivo x se dirige hacia fuera, perpendicular a CD, y el eje y asociado se dirige a lo largo de CD. El ngulo medido desde el eje x hasta el eje x es u = -30 (sentido horario). Al aplicar las ecuaciones 9-1 y 9-2 se obtiene Los signos negativos indican que sx y txy actan en las direcciones ne- gativas x y y, respectivamente. En la figura 9-7d se muestran los resul- tados actuando sobre el elemento. Plano BC. De manera similar, las componentes de esfuerzo que ac- tan sobre la cara BC, figura 9-7c, se obtienen usando u = 60. Al aplicar las ecuaciones 9-1 y 9-2,* se obtiene Aqu txy se calcul en dos ocasiones a fin de realizar una verificacin. El sig- no negativo para sx indica que este esfuerzo acta en la direccin negativa x, figura 9-7c. En la figura 9-7d se muestran los resultados sobre el elemento. *Como alternativa, es posible aplicar la ecuacin 9-3 con u = -30 en vez de la ecuacin 9-1. sx = -80 MPa sy = 50 MPa txy = -25 MPa Resp.= -25.8 MPa = -80 + 50 2 + -80 - 50 2 cos 21-302 + 1-252 sen 21-302 sx = sx + sy 2 + sx - sy 2 cos 2u + txy sen 2u Resp.= -68.8 MPa = - -80 - 50 2 sen 21-302 + 1-252 cos 21-302 txy = - sx - sy 2 sen 2u + txy cos 2u Resp.= -4.15 MPa sx = -80 + 50 2 + -80 - 50 2 cos 21602 + 1-252 sen 21602 Resp.= 68.8 MPa txy = - -80 - 50 2 sen 21602 + 1-252 cos 21602 50 MPa (a) 80 MPa 25 MPa x (b) B y x 30 C D u 30 x (c) B y x 30 C D u 60 Figura 9-7 25.8 MPa 68.8 MPa 4.15 MPa (d) Capitulo 09_Hibbeler.indd 444 14/1/11 09:30:15 464. 9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo en el plano 445 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.3Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo en el plano A partir de las ecuaciones 9-1 y 9-2, se observa que las magnitudes de sx y txy dependen del ngulo de inclinacin u de los planos sobre los que actan es- tos esfuerzos. En la prctica de la ingeniera suele ser importante determinar la orientacin del elemento que hace que el esfuerzo normal sea mximo y mnimo, y la orientacin que causa que el esfuerzo cortante sea mximo. En esta seccin se considerar cada uno de estos problemas. Esfuerzos principales en el plano. Para determinar el esfuerzo normal mximo y mnimo, es necesario diferenciar la ecuacin 9.1 con res- pecto a u e igualar el resultado a cero. De lo anterior se obtiene Al resolver esta ecuacin resulta la orientacin u = up de los planos donde ocurre el esfuerzo normal mximo y mnimo. La solucin tiene dos races, up1 y up2 . En especfico, los valores de 2up1 y 2up2 estn separados a 180, por lo que up1 y up2 estarn separados a 90. Si se deben obtener los esfuerzos normales requeridos, es necesario sus- tituir los valores de up1 y up2 en la ecuacin 9-1. Para ello, es posible obtener el seno y el coseno necesarios de 2up1 y 2up2 en los tringulos en gris de la figura 9-8. La construccin de estos tringulos se basa en la ecuacin 9-4, suponiendo que txy y (sx - sy ) son ambas cantidades positivas o negativas. dsx du = - sx - sy 2 12 sen 2u2 + 2txy cos 2u = 0 (9-4)tan 2up = txy 1sx - sy2>2 2 2 2 txy txy sx sy sx sy sx sy txy 2 2 2up2 2up1 t s Figura 9-8 Capitulo 09_Hibbeler.indd 445 14/1/11 09:30:16 465. 446 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Al sustituir estos valores en la ecuacin trigonomtrica 9-1 para despus simplificarla, se obtiene Dependiendo del signo elegido, este resultado proporciona el esfuerzo normal mximo o mnimo que acta en un punto del plano, cuando s1 s2 . Este conjunto particular de valores se denomina esfuerzos principales en el plano, y los planos correspondientes sobre los que actan se llaman planos principales de esfuerzo, figura 9-9. Por otra parte, si las relaciones trigonomtricas para up1 o up 2 se sustituyen en la ecuacin 9-2, puede verse que txy = 0; en otras palabras, ningn esfuerzo cortante acta sobre los planos principales. Las grietas en esta viga de concreto fueron causadas por el esfuerzo a tensin, a pesar de que la viga estuvo sometida tanto a un momento como a una fuerza cortante inter- nos. Las ecuaciones de transformacin de esfuerzo pueden utilizarse para predecir la direccin de las grietas, y los esfuerzos nor- males principales que las causaron. (9-5)s1,2 = sx + sy 2 ; C sx - sy 2 2 + txy 2 x x x Esfuerzos principales en el plano sy s1 s2 sx txy up2 up1 90 up1 Figura 9-9 Capitulo 09_Hibbeler.indd 446 14/1/11 09:30:17 466. 9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo en el plano 447 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Esfuerzo cortante mximo en el plano. La orientacin de un elemento que est sometido al esfuerzo cortante mximo sobre sus lados puede determinarse al obtener la derivada de la ecuacin 9.2 con respecto a u y al igualar el resultado a cero. De aqu resulta Las dos races de esta ecuacin, us1 y us2 , pueden determinarse a partir de los tringulos en gris que se muestran en la figura 9-10. En comparacin con la ecuacin 9-4, tan 2us es el recproco negativo de tan 2up y por ende cada raz 2us est a 90 de 2up , y las races us y up estn separadas por 45. Por lo tanto, un elemento sometido al esfuerzo cortante mximo estar a 45 de la posicin de un elemento que est sometido al esfuerzo principal. Si se usa cualquiera de las races us1 o us2 , el esfuerzo cortante mximo puede encontrarse tomando los valores trigonomtricos de sen 2us y cos 2us de la figura 9-10 y sustituyndolos en la ecuacin 9-2. El resultado es El valor de tmx en el plano calculado a partir de esta ecuacin se conoce como el esfuerzo cortante mximo en el plano, ya que acta sobre el elemento en el plano x-y. Al sustituir los valores para sen 2us y cos 2us , en la ecuacin 9-1, se ob- serva que tambin hay un esfuerzo normal promedio sobre los planos de esfuerzo cortante mximo en el plano. Se obtiene Al igual que las ecuaciones de transformacin de esfuerzo, puede ser conveniente programar las ecuaciones 9-4 a 9-8 para ser usadas en una calculadora de bolsillo. Puntos importantes Los esfuerzos principales representan el esfuerzo normal mximo y mnimo en el punto. Cuando el estado de esfuerzo se representa mediante los esfuerzos principales, ningn esfuerzo cortante actuar sobre el elemento. El estado de esfuerzo en el punto tambin se puede representar en trminos del esfuerzo cortante mximo en el plano. En este caso, sobre el elemento tambin acta un esfuerzo normal promedio. El elemento que representa el esfuerzo cortante mximo en el plano con los esfuerzos normales promedio asociados est orien- tado a 45 del elemento que representa los esfuerzos principales. (9-6)tan 2us = -1sx - sy2>2 txy (9-7)= C sx - sy 2 2 + txy 2 tmx en el plano (9-8)sprom = sx + sy 2 sx sy sx sy txy txy 2us1 2us2 2 2 t s Figura 9-10 Capitulo 09_Hibbeler.indd 447 14/1/11 09:30:18 467. 448 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 9.3 El estado de esfuerzo plano en un punto de falla sobre el eje se muestra sobre el elemento de la figura 9-11a. Represente este estado de esfuerzo en trminos de los esfuerzos principales. SOLUCIN A partir de la convencin de signos establecida, se tiene Orientacin del elemento. Al aplicar la ecuacin 9-4, Al resolver y denominar a esta raz up2 , como se mostrar a continua- cin, resulta Como la diferencia entre 2up1 y 2up2 es de 180, se tiene Recuerde que u se mide en sentido antihorario positivo desde el eje x hasta la normal hacia afuera (eje x) sobre la cara del elemento, de modo que los resultados son los que se muestran en la figura 9-11b. Esfuerzos principales. Se tiene El plano principal sobre el que acta cada esfuerzo normal puede deter- minarse al aplicar la ecuacin 9-1 con, digamos, u = up2 = -23.7. Se tiene Por lo tanto, s2 = -46.4 MPa acta sobre el plano definido por up2 = -23.7, mientras que s1 = 116 MPa acta sobre el plano definido por up1 = 66.3. Los resultados se muestran sobre el elemento de la figura 9-11c. Recuerde que sobre este elemento no acta ningn esfuerzo cortante. sx = -20 MPa sy = 90 MPa txy = 60 MPa tan 2up = txy 1sx - sy2>2 = 60 1-20 - 902>2 2up2 = -47.49 up2 = -23.7 2up1 = 180 + 2up2 = 132.51 up1 = 66.3 Resp. Resp.s2 = -46.4 MPa s1 = 116 MPa = 35.0 ; 81.4 = -20 + 90 2 ; B a -20 - 90 2 b 2 + 16022 s1,2 = sx + sy 2 ; B sx - sy 2 2 + txy 2 = -46.4 MPa = -20 + 90 2 + -20 - 90 2 cos 21-23.72 + 60 sen 21-23.72 sx = sx + sy 2 + sx - sy 2 cos 2u + txy sen 2u Observe cmo el plano de falla forma un ngulo (23.7) debido al desgarra- miento del material, figura 9-11c. 90 MPa (a) 60 MPa 20 MPa (b) 23.7 66.3 x yy x x x Figura 9-11 B A (c) 116 MPa 46.4 MPa up2 23.7 up1 66.3 s2 s1 Capitulo 09_Hibbeler.indd 448 14/1/11 09:30:21 468. 9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo en el plano 449 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 9.4 El estado de esfuerzo plano en un punto sobre un cuerpo est represen- tado sobre el elemento que se muestra en la figura 9-12a. Represente este estado de esfuerzo en trminos del esfuerzo cortante mximo en el plano y el esfuerzo normal promedio asociado. SOLUCIN Orientacin del elemento. Como sx = -20 MPa, sy = 90 MPa y txy = 60 MPa, al aplicar la ecuacin 9-6, se tiene Este resultado positivo indica que = txytmx en el plano acta en la direccin positiva y sobre esta cara (u = 21.3) figura 9-12b. Los esfuerzos cor- tantes sobre las otras tres caras estn dirigidos como se muestra en la figura 9-12c. Esfuerzo normal promedio. Adems del esfuerzo cortante mxi- mo que se calcul anteriormente, el elemento tambin est sometido a un esfuerzo normal promedio determinado a partir de la ecuacin 9-8; es decir, Este es un esfuerzo de tensin. Los resultados se muestran en la figura 9-12c. 2us1 = 180 + 2us2 us1 = 111.3 2us2 = 42.5 us2 = 21.3 2nat us = -1sx - sy2>2 txy = -1-20 - 902>2 60 = 81.4 MPa = - a -20 - 90 2 b sen 2121.32 + 60 cos 2121.32 txy = - sx - sy 2 sen 2u + txy cos 2u Resp.sprom = sx + sy 2 = -20 + 90 2 = 35 MPa 90 MPa (a) 60 MPa 20 MPa (b) x y y x 21.3 111.3 81.4 MPa x Figura 9-12 35 MPa 35 MPa B A 81.4 MPa 21.3 (c) Resp.= ; 81.4 MPa = C sx - sy 2 2 + txy 2 = B a -20 - 90 2 b 2 + 16022 tmx en el plano Observe que estos ngulos mostrados en la figura 9-12b estn a 45 de los planos principales de esfuerzo, los cuales se determinaron en el ejemplo 9.3. Esfuerzo cortante mximo en el plano. Al aplicar la ecuacin 9-7, La direccin adecuada de tmx en el plano sobre el elemento puede determinar- se mediante la sustitucin de u = us2 = 21.3 en la ecuacin 9-2. Se tiene Capitulo 09_Hibbeler.indd 449 14/1/11 09:30:24 469. 450 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 9.5 Cuando se aplica la carga de torsin T a la barra mostrada en la figura 9-13a, sta produce un estado de esfuerzo cortante puro en el material. Determine (a) el esfuerzo cortante mximo en el plano y el esfuerzo normal promedio asociado, as como (b) los esfuerzos principales. SOLUCIN A partir de la convencin de signos establecida, Esfuerzo cortante mximo en el plano. Al aplicar las ecuacio- nes 9-7 y 9-8, se tiene Por lo tanto, como se esperaba, el esfuerzo cortante mximo en el plano est representado por el elemento de la figura 9-13a. NOTA: Mediante experimentacin se ha comprobado que los materia- les dctiles fallan debido al esfuerzo cortante. En consecuencia, si la barra de la figura 9-13a es de acero de bajo carbono, el esfuerzo cortante mxi- mo en el plano la hara fallar como se muestra en la foto adyacente. Esfuerzos principales. Al aplicar las ecuaciones 9-4 y 9-5 se ob- tiene Si ahora se aplica la ecuacin 9-1 con up2 = 45, entonces, As, s2 = -t acta en up2 = 45 como se muestra en la figura 9-13b y s1 = t acta sobre la otra cara, up1 = -45. NOTA: Los materiales que son frgiles fallan debido al esfuerzo nor- mal. Por lo tanto, si la barra de la figura 9-13a est hecha de hierro fun- dido, se producir una falla por tensin con una inclinacin de 45 como se ve en la foto adyacente. sx = 0 sy = 0 txy = -t Resp.tmx en el plano = C sx - sy 2 2 + txy 2 = 21022 + 1-t22 = ;t Resp.sprom = sx + sy 2 = 0 + 0 2 = 0 Resp.s1, 2 = sx + sy 2 ; B a sx - sy 2 b 2 + txy 2 = 0 ; 21022 + t2 = ;t 2nat up = txy 1sx - sy2>2 = -t 10 - 02>2 , up2 = 45, up1 = -45 = 0 + 0 + 1-t2 sen 90 = -t sx = sx + sy 2 + sx - sy 2 cos 2u + txy sen 2u T T (a) t Figura 9-13 (b) 45 x y x s2 t s1 t Capitulo 09_Hibbeler.indd 450 14/1/11 09:30:28 470. 9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo en el plano 451 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 9.6 Cuando se aplica la carga axial P a la barra de la figura 9-14a, se pro- duce un esfuerzo de tensin en el material. Determine (a) los esfuerzos principales y (b) el esfuerzo cortante mximo en el plano, as como el esfuerzo normal promedio asociado. SOLUCIN Con base en la convencin de signos establecida, Esfuerzos principales. Por observacin, el elemento orientado como se muestra en la figura 9-14a ilustra una condicin de esfuerzo principal puesto que ningn esfuerzo cortante acta sobre este elemen- to. Esto tambin se puede mostrar mediante la sustitucin directa de los valores anteriores en las ecuaciones 9-4 y 9 5. As, NOTA: Los experimentos han demostrado que los materiales frgiles fallan debido al esfuerzo normal. Por consiguiente, si la barra de la fi- gura 9-14a est hecha de hierro fundido, se producir una falla como la mostrada en la foto adyacente. Esfuerzo cortante mximo en el plano. Al aplicar las ecuacio- nes 9-6, 9-7 y 9-8, se tiene Para determinar la orientacin adecuada del elemento, se aplica la ecuacin 9-2. Este esfuerzo cortante negativo acta sobre la cara x, en la direccin negativa y como se muestra en la figura 9-14b. NOTA: Si la barra de la figura 9-14a est hecha de un material dctil como el acero de bajo carbono, el esfuerzo cortante le ocasionar una falla. Esto puede observarse en la foto adyacente; aqu, dentro de la re- gin de estriccin, el esfuerzo cortante ha ocasionado un deslizamien- to a lo largo de las fronteras cristalinas del acero, lo que resulta en un plano de falla que ha formado un cono alrededor de la barra orientado a unos 45, tal como se calcul anteriormente. Resp.s1 = s s2 = 0 sx = s sy = 0 txy = 0 Resp.= C sx - sy 2 2 + txy 2 = B a s - 0 2 b 2 + 1022 = ; s 2 tmx en el plano 2nat us = -1sx - sy2>2 txy = -1s - 02>2 0 ; us1 = 45, us2 = -45 Resp.sprom = sx + sy 2 = s + 0 2 = s 2 txy = - sx - sy 2 sen 2u + txy cos 2u = - s - 0 2 sen 90 + 0 = - s 2 (a) P P s Figura 9-14 (b) 45 x x y ten el plano mx s s s 2 sprom 2 2 sprom Capitulo 09_Hibbeler.indd 451 14/1/11 09:30:31 471. 452 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas fundamentales F9-1. Determine el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante que actan sobre el plano inclinado AB. Grafique el resulta- do sobre el elemento seccionado. F9-2. Determine el estado de esfuerzo equivalente sobre un elemento en el mismo punto orientado a 45 en sentido horario con respecto al elemento mostrado en la figura. F9-3. Determine el estado de esfuerzo equivalente sobre un elemento en el mismo punto que representa los esfuer- zos principales en el punto. Adems, encuentre la orienta- cin correspondiente del elemento con respecto al elemento mostrado en la figura. F9-4. Determine el estado de esfuerzo equivalente sobre un elemento en el mismo punto que representa el esfuerzo cortante mximo en el plano en ese punto. F9-5. La viga est sometida a la carga mostrada en uno de sus extremos. Determine los esfuerzos principales mximos en el punto B. F9-6. La viga est sometida a la carga mostrada en la figu- ra. Determine los esfuerzos principales en el punto C. F9-6 3 m 3 m 8 kN/m A 150 mm 75 mm 75 mm C C B 500 kPa A B 30 F9-1 300 kPa 400 kPa F9-2 80 kPa 30 kPa F9-3 100 kPa 400 kPa 700 kPa F9-4 60 mm 2 m 2 kN 4 kN 30 mm B F9-5 Capitulo 09_Hibbeler.indd 452 14/1/11 09:30:34 472. 9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo en el plano 453 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 9-1. Demuestre que la suma de los esfuerzos normales sx + sy = sx + sy es constante. Vea las figuras 9-2a y 9-2b. 9-2. En la figura, el estado de esfuerzo en un punto de un miembro se muestra sobre el elemento. Determine las com- ponentes de esfuerzo que actan sobre el plano inclinado AB. Resuelva el problema usando el mtodo de equilibrio descrito en la seccin 9.1. *9-4. En la figura, el estado de esfuerzo en un punto de un miembro se muestra sobre el elemento. Determine las com- ponentes de esfuerzo que actan sobre el plano inclinado AB. Resuelva el problema usando el mtodo de equilibrio descrito en la seccin 9.1. 9-5. Resuelva el problema 9-4 usando las ecuaciones para la transformacin de esfuerzos desarrolladas en la seccin 9.2. 9-3. En la figura, el estado de esfuerzo en un punto de un miembro se muestra sobre el elemento. Determine las com- ponentes de esfuerzo que actan sobre el plano inclinado AB. Resuelva el problema usando el mtodo de equilibrio descrito en la seccin 9.1. 9-6. En la figura, el estado de esfuerzo en un punto de un miembro se muestra sobre el elemento. Determine las com- ponentes de esfuerzo que actan sobre el plano inclinado AB. Resuelva el problema usando el mtodo de equilibrio descrito en la seccin 9.1. 9-7. Resuelva el problema 9-6 usando las ecuaciones para la transformacin de esfuerzos desarrolladas en la seccin 9.2. Grafique el resultado. Probs. 9-6/7 30 B A 90 MPa 60 50 MPa 35 MPa 60 B A 5 ksi 8 ksi 2 ksi Prob. 9-2 60 B A 500 psi 350 psi Prob. 9-3 60 B A 400 psi 650 psi Probs. 9-4/5 Capitulo 09_Hibbeler.indd 453 14/1/11 09:30:36 473. 454 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *9-8. Determine el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante que actan sobre el plano inclinado AB. Resuelva el proble- ma usando el mtodo de equilibrio descrito en la seccin 9.1. 9-9. Determine el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante que actan sobre el plano inclinado AB. Resuelva el proble- ma usando las ecuaciones para la transformacin de esfuer- zos. Muestre el resultado sobre el elemento seccionado. 9-10. En la figura, el estado de esfuerzo en un punto de un miembro se muestra sobre el elemento. Determine las com- ponentes de esfuerzo que actan sobre el plano inclinado AB. Resuelva el problema usando el mtodo de equilibrio descrito en la seccin 9.1. 9-11. Resuelva el problema 9-10 usando las ecuaciones para la transformacin de esfuerzos desarrolladas en la sec- cin 9.2. Grafique el resultado. *9-12. Determine el estado de esfuerzo equivalente sobre un elemento si ste se encuentra orientado a 50 en sentido antihorario desde el elemento mostrado. Use las ecuaciones para la transformacin de esfuerzos. 9-13. Determine el estado de esfuerzo equivalente en un elemento si ste se encuentra orientado a 60 en sentido ho- rario desde el elemento indicado en la figura. Grafique el resultado. 9-14. En la figura, el estado de esfuerzo en un punto de un miembro se muestra sobre el elemento. Determine (a) los esfuerzos principales y (b) el esfuerzo cortante mximo en el plano, as como el esfuerzo normal promedio en el punto. Especifique la orientacin del elemento en cada caso. Mues- tre los resultados sobre cada elemento. 9-15. En la figura, el estado de esfuerzo en un punto de un miembro se muestra sobre el elemento. Determine (a) los esfuerzos principales y (b) el esfuerzo cortante mximo en el plano, as como el esfuerzo normal promedio en el punto. Especifique la orientacin del elemento en cada caso. Mues- tre los resultados sobre cada elemento. 16 ksi 10 ksi Prob. 9-12 200 psi 350 psi 75 psi Prob. 9-13 Probs. 9-10/11 30 B A 2 ksi 4 ksi 3 ksi 30 ksi 12 ksi Prob. 9-14 Probs. 9-8/9 80 MPa 45 MPa A B 45 80 MPa 60 MPa 50 MPa Prob. 9-15 Capitulo 09_Hibbeler.indd 454 14/1/11 09:30:38 474. 9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo en el plano 455 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *9-16. En la figura, el estado de esfuerzo en un punto de un miembro se muestra sobre el elemento. Determine (a) los esfuerzos principales y (b) el esfuerzo cortante mximo en el plano, as como el esfuerzo normal promedio en el punto. Especifique la orientacin del elemento en cada caso. Mues- tre los resultados sobre cada elemento. 9-17. Determine el estado de esfuerzo equivalente so- bre un elemento en el mismo punto que representa (a) los esfuerzos principales y (b) el esfuerzo cortante mximo en el plano, as como el esfuerzo normal promedio asociado. Adems, para cada caso, determine la orientacin corres- pondiente del elemento con respecto al elemento mostrado. Grafique los resultados sobre cada elemento. 9-18. Un punto sobre una placa delgada se somete a los dos estados sucesivos de esfuerzo que se muestran en la figu- ra. Determine el estado resultante de esfuerzo representado sobre el elemento que se orienta en la forma indicada a la derecha. 9-19. En la figura, el estado de esfuerzo en un punto se muestra sobre el elemento. Determine (a) los esfuerzos principales y (b) el esfuerzo cortante mximo en el plano, as como el esfuerzo normal promedio en el punto. Especi- fique la orientacin del elemento en cada caso. Grafique los resultados sobre cada elemento. *9-20. En la figura se indica el esfuerzo que acta sobre dos planos en un punto. Determine el esfuerzo normal sb y los esfuerzos principales en el punto. 9-21. En la figura se indica el esfuerzo que acta sobre dos planos en un punto. Determine el esfuerzo cortante so- bre el plano a-a y los esfuerzos principales en el punto. Prob. 9-21 80 ksi 60 ksi 90 45 60 b a a b ta 60 MPa 45 MPa 30 MPa Prob. 9-16 50 MPa 125 MPa 75 MPa Prob. 9-17 25 sy sx txy 350 MPa 58 MPa200 MPa 60 Prob. 9-18 120 MPa 160 MPa Prob. 9-19 2 ksi 4 ksi 60 b b a a sb 45 Prob. 9-20 Capitulo 09_Hibbeler.indd 455 14/1/11 09:30:40 475. 456 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Los problemas siguientes involucran al material cubierto en el captulo 8. 9-22. La viga T est sometida a una carga distribuida que se aplica a lo largo de su lnea central. Determine los esfuer- zos principales en el punto A y muestre los resultados sobre un elemento situado en ese punto. 9-23. La viga de madera est sometida a una carga de 12 kN. Si la fibra de madera en la viga ubicada en el punto A forma un ngulo de 25 con la horizontal como se muestra en la figura, determine los esfuerzos normal y cortante debi- dos a la carga que actan en forma perpendicular y paralela a la fibra. *9-24. La viga de madera est sometida a una carga de 12 kN. Determine los esfuerzos principales en el punto A y especifique la orientacin del elemento. 9-25. La varilla doblada tiene un dimetro de 20 mm y est sometida a la fuerza de 400 N. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo en el plano que se desarrolla en el punto A. Muestre los resultados sobre un ele- mento ubicado en este punto, con la orientacin adecuada. 9-26. La mnsula est sometida a la fuerza de 3 kip. Deter- mine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo en el plano sobre el punto A del rea transversal en la sec- cin a-a. Especifique la orientacin de este estado de esfuer- zo y muestre los resultados sobre los elementos. 9-27. La mnsula est sometida a la fuerza de 3 kip. Deter- mine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo en el plano sobre el punto B del rea transversal en la sec- cin a-a. Especifique la orientacin de este estado de esfuer- zo y muestre los resultados sobre los elementos. 0.5 m1 m A 200 mm 200 mm 20 mm 20 mm 100 kN/m A 75 mm Prob. 9-22 2 m 4 m1 m 12 kN 25 75 mm 300 mm 200 mm A Probs. 9-23/24 250 mm 400 N400 N 100 mm 150 mm A Prob. 9-25 a a 3 pulg 3 kip3 kip A B 2 pulg 1 pulg 0.25 pulg 0.25 pulg 0.25 pulg Seccin a-a Probs. 9-26/27 Capitulo 09_Hibbeler.indd 456 14/1/11 09:31:21 476. 9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo en el plano 457 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *9-28. La viga I de ala ancha est sometida a la carga in- dicada en la figura. Determine los esfuerzos principales en la viga en los puntos A y B. Estos puntos se encuentran en la parte superior e inferior del alma, respectivamente. Aunque no sea muy exacto, use la frmula del esfuerzo cortante para determinar ste. 9-29. La viga I de ala ancha est sometida a la carga indi- cada en la figura. Determine los esfuerzos principales en la viga en el punto A, el cual se encuentra en la parte superior del alma. Aunque no sea muy exacto, use la frmula del es- fuerzo cortante para determinar ste. Muestre el resultado sobre un elemento situado en este punto. 9-30. La barra rectangular en voladizo est sometida a la fuerza de 5 kip. Determine los esfuerzos principales en los puntos A y B. 9-31. Determine los esfuerzos principales en el punto A sobre el rea transversal del brazo en la seccin a-a. Especi- fique la orientacin de este estado de esfuerzo y muestre los resultados sobre un elemento ubicado en el punto. *9-32. Determine el esfuerzo cortante mximo en el plano desarrollado en el punto A sobre el rea transversal del bra- zo en la seccin a-a. Especifique la orientacin de este esta- do de esfuerzo y muestre los resultados sobre un elemento ubicado en el punto. Probs. 9-31/32 Seccin a-a a a A D B C 500 N 60 50 mm 7.5 mm 7.5 mm 7.5 mm 20 mm 0.15 m 0.15 m 0.35 m B A 1 m 3 m 25 kNA B 10 mm 10 mm 200 mm 10 mm 200 mm 30 110 mm 8 kN/m Prob. 9-28 A 30 kN 120 kN/m A 20 mm 20 mm 150 mm 20 mm 150 mm 0.9 m 0.3 m Prob. 9-29 5 3 pulg 3 pulg 4 5 kip 1.5 pulg 1.5 pulg1.5 pulg 1.5 pulg 1 pulg 1 pulg 15 pulg B A 3 Prob. 9-30 Capitulo 09_Hibbeler.indd 457 14/1/11 09:32:06 477. 458 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9-33. La mordaza oprime la superficie lisa en E al apretar el tornillo. Si la fuerza de tensin en el tornillo es de 40 kN, determine los esfuerzos principales en los puntos A y B, y muestre los resultados sobre los elementos situados en cada uno de estos puntos. En la figura adyacente se muestra el rea de la seccin transversal en A y B. 9-34. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo en el plano que se desarrolla en el punto A ubicado en el eje que tiene 2 pulg de dimetro. Muestre los resultados sobre un elemento situado en ese punto. Los cojinetes soportan slo reacciones verticales. 9-35. La placa cuadrada de acero tiene un grosor de 10 mm y est sometida a la carga mostrada en el borde. Determine el esfuerzo cortante mximo en el plano y el esfuerzo normal desarrollado en el acero. *9-36. La placa cuadrada de acero tiene un grosor de 0.5 pulg y est sometida a las cargas mostradas en el borde. De- termine los esfuerzos principales desarrollados en el acero. 9-37. El eje tiene un dimetro d y est sometido a las car- gas mostradas en la figura. Determine los esfuerzos prin- cipales y el esfuerzo cortante mximo en el plano que se desarrolla en el punto A. Los cojinetes slo soportan reac- ciones verticales. 100 mm 50 mm A E B B A 50 mm 30 mm 25 mm 100 mm 300 mm Prob. 9-33 A 24 pulg 12 pulg 12 pulg 300 lb 3000 lb3000 lb Prob. 9-34 200 mm 200 mm 50 N/m 50 N/m Prob. 9-35 4 pulg 4 pulg 16 lb/pulg 16 lb/pulg Prob. 9-36 A F F P L 2 L 2 Prob. 9-37 Capitulo 09_Hibbeler.indd 458 14/1/11 09:32:17 478. 9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo en el plano 459 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9-38. Un tubo de papel se forma al enrollar una tira de este material en forma de espiral para despus pegar los bordes como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo cortan- te que acta a lo largo de la pegadura, que forma un ngulo de 30 con la vertical, si el tubo est sometido a una fuerza axial de 10 N. El papel tiene 1 mm de grosor y el tubo tiene un dimetro exterior de 30 mm. 9-39. Resuelva el problema 9-38 para el esfuerzo normal que acta perpendicularmente a la pegadura. *9-40. Determine los esfuerzos principales que actan en el punto A del bastidor de apoyo. Muestre los resultados so- bre un elemento ubicado en este punto, con la orientacin adecuada. 9-41. Determine los esfuerzos principales que actan en el punto B, el cual se encuentra ubicado sobre el alma, bajo el segmento horizontal de la seccin transversal. Muestre los resultados sobre un elemento ubicado en este punto, con la orientacin adecuada. Aunque no sea muy exacto, use la frmula del esfuerzo cortante para calcular ste. 9-42. La tubera de perforacin tiene un dimetro exterior de 3 pulg, un grosor de pared de 0.25 pulg y un peso de 50 lb>pie. Si se somete a un par de torsin y a una carga axial como los mostrados en la figura, determine (a) los esfuerzos principales y (b) el esfuerzo cortante mximo en el plano para un punto sobre su superficie en la seccin a. 9-43. Determine los esfuerzos principales en la viga en el punto A. Prob. 9-43 0.5 m 0.25 m 60 mm 150 mm 150 kN 50 mm 60 kN AA 10 N 10 N 30 30 mm Probs. 9-38/39 800 mm 150 mm 300 mm 15 mm 12 mm 130 mm A A 6 kN 3 45 B B Probs. 9-40/41 800 lbpie 20 pies 20 pies 1500 lb a Prob. 9-42 Capitulo 09_Hibbeler.indd 459 14/1/11 09:32:21 479. 460 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *9-44. Determine los esfuerzos principales en el punto A que se encuentra en la parte inferior del alma. Muestre los resultados sobre un elemento ubicado en este punto. 9-45. Determine el esfuerzo cortante mximo en el plano sobre el punto A de la viga de caja. Muestre los resultados so- bre un elemento ubicado en este punto. 9-46. Determine los esfuerzos principales en el punto B de la viga de caja mostrada en la figura. Indique los resultados sobre un elemento situado en este punto. 9-47. El eje slido est sometido a un par de torsin, un momento flexionante y un esfuerzo cortante, como se mues- tra en la figura. Determine los esfuerzos principales que ac- tan en el punto A. *9-48. Resuelva el problema 9-47 para el punto B. 9-49. En la figura se muestran las cargas internas en una seccin de la viga. Determine los esfuerzos principales en el punto A. Calcule tambin el esfuerzo cortante mximo en el plano para este punto. 9-50. Las cargas internas en una seccin de la viga consis- ten en una fuerza axial de 500 N, una fuerza cortante de 800 N y dos componentes de momento de 30 Nm y 40 Nm. Determine los esfuerzos principales en el punto A. Tambin calcule el esfuerzo cortante mximo en el plano para este punto. 0.3 m0.6 m A 10 mm 10 mm 200 mm 10 mm 150 mm A 150 kN/m Prob. 9-44 2 pies 2 pies1.5 pies 0.5 pie A B 4 kip 10 kip 4 pulg A B4 pulg 3 pulg 3 pulg 6 pulg Probs. 9-45/46 450 mm 300 Nm 45 Nm 800 N A B 25 mm Probs. 9-47/48 200 mm 50 mm 50 mm x y z A 50 mm 200 mm 800 kN 40 kNm 500 kN 30 kNm Prob. 9-49 200 mm 50 mm 50 mm 100 mm A B C 800 N 500 N30 Nm 40 Nm Prob. 9-50 Capitulo 09_Hibbeler.indd 460 14/1/11 09:32:28 480. 9.4Crculo de Mohr para el esfuerzo plano 461 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.4 Crculo de Mohr para el esfuerzo plano En esta seccin, se mostrar cmo aplicar las ecuaciones para la transfor- macin de esfuerzo plano, utilizando una solucin grfica cuyo uso suele ser conveniente y fcil de recordar. Por otra parte, este mtodo permitir visualizar cmo varan las componentes de esfuerzo normal y cortante sx y txy de acuerdo con la orientacin en diferentes direcciones del plano sobre el que actan, figura 9-15a. Si se escriben las ecuaciones 9-1 y 9-2 en la forma el parmetro u puede eliminarse al elevar al cuadrado cada ecuacin y al sumar las ecuaciones. El resultado es Para un problema especfico, sx , sy y txy son constantes conocidas. Por consiguiente, la ecuacin anterior puede escribirse en una forma ms com- pacta como Si se establecen los ejes de coordenadas, s positivo a la derecha y t positivo hacia abajo, y despus se grafica la ecuacin 9-11, se ver que esta ecuacin representa un crculo con radio R y centro sobre el eje s en el punto C (sprom , 0), figura 9-15b. Este crculo se denomina crculo de Mohr, porque fue desarrollado por el ingeniero alemn Otto Mohr. (9-9) (9-10)txy = - sx - sy 2 sen 2u + txy cos 2u sx - sx + sy 2 = sx - sy 2 cos 2u + txy sen 2u Bsx - sx + sy 2 R 2 + txy 2 = sx - sy 2 2 + txy 2 donde (9-11)1sx - sprom22 + txy 2 = R2 (9-12)R = C sx - sy 2 2 + txy 2 sprom = sx + sy 2 C (b) R sx t txy s 2 txy 2 2 sx sy 2 sx sy 2 sx sy sprom P x (a) y x txy txy sx sx sy u Figura 9-15 Capitulo 09_Hibbeler.indd 461 14/1/11 09:32:30 481. 462 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *Si en cambio el eje t se estableciera como positivo hacia arriba, entonces el ngulo 2u sobre el crculo se medira en la direccin opuesta a la orientacin u del plano. Cada punto en el crculo de Mohr representa las dos componentes de esfuerzo sx y txy , que actan sobre el lado del elemento definido por el eje x, cuando el eje est en una direccin especfica u. Por ejemplo, cuando x coincide con el eje x como se muestra en la figura 9-16a, entonces u = 0 y sx = sx , txy = txy . A esto se le denominar punto de referencia A y sus coordenadas A(sx , txy ) se grafican como se muestra en la figura 9-16c. Ahora considere girar el eje x 90 en sentido antihorario, figura 9-16b. Entonces sx = sy y txy = -txy . Estos valores son las coordenadas del punto G(sy , -txy ) en el crculo, figura 9-16c. Por consiguiente, la lnea radial CG est a 180 en sentido antihorario de la lnea de referencia CA. En otras palabras, una rotacin u del eje x sobre el elemento corresponder a una rotacin de 2u sobre el crculo en la misma direccin.* Una vez construido, el crculo de Mohr puede usarse para determinar los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante mximo en el plano y el esfuerzo normal asociado, as como el esfuerzo sobre cualquier plano arbitrario. x, x (a) y, ysy sx sx txy txy u 0 x (b) x y sy sx txy u 90 C R G A (c) sy sx txy s t sprom txy u 0 2u 180 2 sx sy Figura 9-16 Capitulo 09_Hibbeler.indd 462 14/1/11 09:32:31 482. 9.4Crculo de Mohr para el esfuerzo plano 463 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Procedimiento de anlisis Los siguientes pasos son necesarios para dibujar y utilizar el crculo de Mohr. Construccin del crculo. Establezca un sistema de coordenadas de tal manera que el eje horizontal represente el esfuerzo normal s, con los valores positi- vos a la derecha, y el eje vertical represente el esfuerzo cortante t, con los valores positivos hacia abajo, figura 9-17a.* Mediante la convencin de signos positivos para sx , sy y txy , como se muestra en la figura 9-17b, grafique el centro C del crculo, que se encuentra en el eje s a una distancia sprom = (sx + sy )>2 desde el origen, figura 9-17a. Grafique el punto de referencia A que tiene coordenadas A(sx , txy ). Este punto representa las componentes de esfuerzo normal y cortante sobre la cara vertical derecha del elemento, y como el eje x coincide con el eje x, esto representa u = 0, figura 9-17a. Conecte el punto A con el centro C del crculo y determine CA por trigonometra. Esta distancia representa el radio R del crcu- lo, figura 9-17a. Una vez que se ha determinado R, grafique el crculo. Esfuerzos principales. Los esfuerzos principales s1 y s2 (s1 s2 ) son las coordenadas de los puntos B y D, donde el crculo interseca al eje s, es decir, donde t = 0, figura 9-17a. Estos esfuerzos actan en planos definidos por los ngulos up1 y up2 , figura 9-17c. Estn representados en el crculo por los ngulos 2up1 (mostrado) y 2up2 (no mostrado) y se miden desde la lnea de referencia radial CA hasta las lneas CB y CD, respectivamente. Usando la trigonometra, slo debe calcularse uno de estos n- gulos a partir del crculo, ya que up1 y up2 estn separados por 90. Recuerde que la direccin de rotacin 2up en el crculo (en este caso resulta ser en sentido antihorario) representa el mismo sen- tido de rotacin up desde el eje de referencia (+x) hasta el plano principal (+x), figura 9-17c.* Esfuerzo cortante mximo en el plano. Las componentes del esfuerzo normal promedio y el esfuerzo cortante mximo en el plano se determinan a partir del crculo como las coordenadas de los puntos E o F, figura 9-17a. Capitulo 09_Hibbeler.indd 463 14/1/11 09:32:31 483. 464 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Procedimiento de anlisis (continuacin) En este caso, los ngulos us1 y us2 proporcionan la orientacin de los planos que contienen estas componentes, figura 9-17d. El n- gulo 2us1 que se muestra en la figura 9-17a puede determinarse usando la trigonometra. Aqu, la rotacin resulta tener un sen- tido horario, desde CA hasta CE, y as us1 debe tener un sentido horario sobre el elemento, figura 9-17d.* Esfuerzos sobre un plano arbitrario. Las componentes de esfuerzo normal y cortante sx y txy que ac- tan sobre un plano especfico o eje x, definido por el ngulo u, figura 9-17e, puede obtenerse a partir del crculo usando la trigono- metra para determinar las coordenadas del punto P, figura 9-17a. Para encontrar P, el ngulo conocido u (en este caso en sentido antihorario), figura 9-17e, se medir sobre el crculo en la misma direccin 2u (sentido antihorario), desde la lnea de referencia ra- dial CA hasta la lnea radial del CP, figura 9-17a.* *Si el eje t se hiciera positivo hacia arriba, entonces el ngulo 2u sobre el crculo se medira en la direccin opuesta a la orientacin u del eje x. C F E D R B A (a) P sprom txy sx sx t txy s u 0 2u 2us1 2up1 (b) sy txy sx (c) x x s2 s1 up2 up1 90 up1 x x (d) y sprom sprom us1 (txy)mx en el plano x (e) y x txy txy sx sx sy u Figura 9-17 Capitulo 09_Hibbeler.indd 464 14/1/11 09:32:33 484. 9.4Crculo de Mohr para el esfuerzo plano 465 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 9.7 Figura 9-18 El centro del crculo se encuentra en El punto de referencia A(-12, -6) y el centro C(-6, 0) estn represen- tados en la figura 9-18b. El crculo se construye con un radio de Esfuerzos principales. Los esfuerzos principales se indican me- diante las coordenadas de los puntos B y D. Se tiene, para s1 7 s2 , La orientacin del elemento puede determinarse al calcular el ngulo 2up2 en la figura 9-18b, el cual se mide en sentido antihorario desde CA hasta CD. Esta orientacin define la direccin up2 de s2 y su plano prin- cipal asociado. Se tiene El elemento se orienta de manera que el eje x o s2 est dirigido a 22.5 en sentido antihorario desde la horizontal (eje x), como se muestra en la figura 9-18c. sx = -12 ksi sy = 0 txy = -6 ksi sprom = -12 + 0 2 = -6 ksi R = 2112 - 622 + 1622 = 8.49 ksi Resp. Resp.s2 = -6 - 8.49 = -14.5 ksi s1 = 8.49 - 6 = 2.49 ksi up2 = 22.5 2up2 = tan-1 6 12 - 6 = 45.0 (a) P T 12 ksi 6 ksi A M (b) BD C s (ksi) t (ksi) R 8.49 6 12 6 A 2up2 (c) 22.5 2.49 ksi x 14.5 ksi x Debido a la carga aplicada, el elemento en el punto A sobre el eje slido de la figura 9-18a, se somete al estado de esfuerzo mostrado en la figura. Determine los esfuerzos principales que actan en este punto. SOLUCIN Construccin del crculo. A partir de la figura 9-18a, Capitulo 09_Hibbeler.indd 465 14/1/11 09:32:35 485. 466 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 9.8 El estado de esfuerzo plano en un punto se muestra sobre el elemento de la figura 9-19a. Determine el esfuerzo cortante mximo en el plano para este punto. SOLUCIN Construccin del crculo. A partir de los datos del problema, Los ejes s y t se establecen la figura 9-19b. El centro C del crculo se ubica sobre el eje s, en el punto El ngulo us1 , medido en sentido antihorario desde CA hasta CE, se encuentra con base en el crculo, identificado como 2us2 . Se tiene Este ngulo en sentido antihorario define la direccin del eje x, figu- ra 9-19c. Como el punto E tiene coordenadas positivas, entonces tanto el esfuerzo normal promedio como el esfuerzo cortante mximo en el plano actan en las direcciones positivas x y y, tal como se muestra en la figura. sx = -20 MPa sy = 90 MPa txy = 60 MPa sprom = -20 + 90 2 = 35 MPa R = 216022 + 15522 = 81.4 MPa Resp. Resp.sprom = 35 MPa = 81.4 MPatmx en el plano Resp.us1 = 21.3 2us1 = tan-1 a 20 + 35 60 b = 42.5 90 MPa (a) 60 MPa 20 MPa C A (b) 35 60 20 81.4 F E R 81.4 s (MPa) t (MPa) 2us1 Figura 9-19 (c) 81.4 MPa 35 MPa 21.3 x y x Se grafican el punto C y el punto de referencia A(-20, 60). Al aplicar el teorema de Pitgoras en el tringulo gris oscuro a fin de determinar el radio CA del crculo, se tiene Esfuerzo cortante mximo en el plano. El esfuerzo cortante mximo en el plano y el esfuerzo normal promedio se identifican me- diante el punto E (o F) en el crculo. Las coordenadas del punto E(35, 81.4) dan como resultado Capitulo 09_Hibbeler.indd 466 14/1/11 09:32:38 486. 9.4Crculo de Mohr para el esfuerzo plano 467 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 9.9 El estado de esfuerzo plano en un punto se muestra sobre el elemento de la figura 9-20a. Represente este estado de esfuerzo sobre un elemen- to orientado a 30 en sentido antihorario desde la posicin mostrada. SOLUCIN Construccin del crculo. A partir de los datos del problema, Los ejes s y t se establecen en la figura 9-20b. El centro C del crculo est sobre el eje s en El punto de referencia para u = 0 tiene coordenadas A(-8, -6). Por lo tanto, con base en el tringulo en gris oscuro, el radio CA es Esfuerzos sobre el elemento a 30. Como el elemento debe girarse 30 en sentido antihorario, se debe construir una lnea radial CP, 2(30) = 60 en sentido antihorario, medida desde CA(u = 0), figura 9-20b. A continuacin deben obte- nerse las coordenadas del punto P(sx , txy ). Con base en la geometra del crculo, Estas dos componentes de esfuerzo actan sobre la cara BD del elemen- to que se muestra en la figura 9-20c, puesto que el eje x para esta cara est orientado a 30 en sentido antihorario desde el eje x. Las componentes de esfuerzo que actan sobre la cara DE adyacen- te del elemento, el cual est a 60 en sentido horario desde el eje x posi- tivo, figura 9-20c, estn representadas por las coordenadas del punto Q en el crculo. Este punto se encuentra en la lnea radial CQ, que est a 180 desde CP. Las coordenadas del punto Q son NOTA: Aqu txy acta en la direccin y. sx = -8 ksi sy = 12 ksi txy = -6 ksi sprom = -8 + 12 2 = 2 ksi R = 211022 + 1622 = 11.66 Resp. Resp.txy = 11.66 sen 29.04 = 5.66 ksi sx = 2 - 11.66 cos 29.04 = -8.20 ksi f = tan-1 6 10 = 30.96 c = 60 - 30.96 = 29.04 Resp. Resp.txy = -111.66 sen 29.042 = -5.66 ksi 1verificar2 sx = 2 + 11.66 cos 29.04 = 12.2 ksi 12 ksi 8 ksi 6 ksi (a) 29.04 11.66 Q P A 60 120 R 11.666 c 29.04 f s (ksi) t (ksi) sx txy 8 2 C (b) 11.66 Figura 9-20 5.66 ksi 60 x y y 30 8.20 ksi B D E 12.2 ksi x (c) x x Capitulo 09_Hibbeler.indd 467 14/1/11 09:32:41 487. 468 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas fundamentales F9-7. Determine el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante que actan sobre el plano inclinado AB. Grafique el resulta- do sobre el elemento seccionado. F9-8. Determine el estado de esfuerzo equivalente sobre un elemento en el mismo punto que represente los esfuer- zos principales en el punto. Adems, encuentre la orienta- cin correspondiente del elemento con respecto al elemento mostrado. Dibuje los resultados sobre el elemento. F9-9. El eje hueco circular est sometido al par de torsin de 4 kNm. Determine los esfuerzos principales desarrolla- dos en un punto sobre la superficie del eje. F9-10. Determine los esfuerzos principales desarrollados en el punto A de la seccin transversal de la viga en la sec- cin a-a. F9-11. Determine el esfuerzo cortante mximo en el pla- no desarrollado en el punto A sobre la seccin transversal de la viga en la seccin a-a, que se ubica justo a la izquierda de la fuerza de 60 kN. El punto A est justamente debajo del ala. F9-11 A B 0.5 m 1 m 60 kN 180 mm 10 mm 10 mm 10 mm 100 mm A a a Seccin a-a 300 mm 30 kN a a 50 mm 50 mm 150 mm Seccin a-a A F9-10 500 kPa A B 30 F9-7 40 mm 4 kNm 4 kNm 30 mm F9-9 30 kPa 80 kPa F9-8 Capitulo 09_Hibbeler.indd 468 14/1/11 09:32:47 488. 9.4Crculo de Mohr para el esfuerzo plano 469 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 9-51. Resuelva el problema 9-4 mediante el crculo de Mohr. *9-52. Resuelva el problema 9-6 mediante el crculo de Mohr. 9-53. Resuelva el problema 9-14 mediante el crculo de Mohr. 9-54. Resuelva el problema 9-16 mediante el crculo de Mohr. 9-55. Resuelva el problema 9-12 mediante el crculo de Mohr. *9-56. Resuelva el problema 9-11 mediante el crculo de Mohr. 9-57. El crculo de Mohr para el estado de esfuerzo de la figura 9-15a se muestra en la figura 9-15b. Muestre que al encontrar las coordenadas del punto P(sx , txy ) en el crcu- lo se obtiene el mismo valor que con las ecuaciones para la transformacin de esfuerzos 9-1 y 9-2. 9-58. Determine el estado de esfuerzo equivalente si un elemento est orientado a 25 en sentido antihorario des- de el elemento mostrado. 9-59. Determine el estado de esfuerzo equivalente si un elemento est orientado a 20 en sentido horario desde el ele- mento mostrado. *9-60. Determine el estado de esfuerzo equivalente si un elemento est orientado a 30 en sentido horario desde el ele- mento mostrado. Represente el resultado sobre el elemento. 9-61. Determine el estado de esfuerzo equivalente para un elemento orientado a 60 en sentido antihorario desde el elemento mostrado. Represente el resultado sobre el ele- mento. 550 MPa Prob. 9-58 2 ksi 3 ksi 4 ksi Prob. 9-59 9 ksi 4 ksi 6 ksi Prob. 9-60 250 MPa 400 MPa 560 MPa Prob. 9-61 Capitulo 09_Hibbeler.indd 469 14/1/11 09:32:48 489. 470 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9-62. Determine el estado equivalente de esfuerzo para un elemento orientado a 30 en sentido horario desde el elemen- to mostrado. Represente el resultado sobre el elemento. 9-63. Determine los esfuerzos principales, el esfuerzo cor- tante mximo en el plano y el esfuerzo normal promedio. Especifique la orientacin del elemento en cada caso. *9-64. Determine los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante mximo en el plano y el esfuerzo normal promedio. Especifique la orientacin del elemento en cada caso. 9-65. Determine los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante mximo en el plano y el esfuerzo normal promedio. Especifique la orientacin del elemento en cada caso. 9-66. Determine los esfuerzos principales, el esfuerzo cor- tante mximo en el plano y el esfuerzo normal promedio. Especifique la orientacin del elemento en cada caso. 9-67. Determine los esfuerzos principales, el esfuerzo cor- tante mximo en el plano y el esfuerzo normal promedio. Especifique la orientacin del elemento en cada caso. *9-68. Dibuje el crculo de Mohr que describe cada uno de los siguientes estados de esfuerzo. 2 ksi 5 ksi Prob. 9-62 5 ksi 15 ksi Prob. 9-63 20 MPa 30 MPa 80 MPa Prob. 9-64 300 psi 120 psi Prob. 9-65 30 MPa 45 MPa 50 MPa Prob. 9-66 200 MPa 500 MPa 350 MPa Prob. 9-67 700 psi 600 psi (a) (b) (c) 4 ksi 40 MPa Prob. 9-68 Capitulo 09_Hibbeler.indd 470 14/1/11 09:32:55 490. 9.4Crculo de Mohr para el esfuerzo plano 471 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Los problemas siguientes involucran material cubierto en el captulo 8. 9-69. El bastidor soporta la carga distribuida de 200 N>m. Determine los esfuerzos normal y cortante en el punto D que actan respectivamente en forma perpendicular y para- lela a las fibras. En este punto las fibras forman un ngulo de 30 respecto a la horizontal, como se muestra en la figura. 9-70. El bastidor soporta la carga distribuida de 200 N>m. Determine los esfuerzos normal y cortante en el punto E que actan respectivamente en forma perpendicular y para- lela a las fibras. En este punto las fibras forman un ngulo de 60 respecto a la horizontal, como se muestra en la figura. *9-72. El tubo de pared delgada tiene un dimetro interior de 0.5 pulg y un grosor de 0.025 pulg. Si se somete a una presin interna de 500 psi y a la tensin axial y las cargas de torsin mostradas en la figura, determine los esfuerzos prin- cipales en un punto sobre la superficie de la tubera. 9-73. La barra rectangular en voladizo est sometida a la fuerza de 5 kip. Determine los esfuerzos principales en el punto A. 9-74. Resuelva el problema 9-73 para los esfuerzos princi- pales en el punto B. 9-71. El peldao de la escalera mecnica est sostenido en dos de sus lados por el pasador mvil en A y el rodillo en B. Si un hombre tiene un peso de 300 lb y se para en el centro del escaln, determine los esfuerzos principales desarrolla- dos en el soporte ubicado sobre la seccin transversal en el punto C. Los escalones se mueven a velocidad constante. 9-75. El eje propulsor AB del helicptero, con 2 pulg de dimetro, se somete a una tensin axial de 10000 lb y a un par de torsin de 300 lbpie. Determine los esfuerzos princi- pales y el esfuerzo cortante mximo en el plano que actan en un punto sobre la superficie del eje. Prob. 9-75 A B 4 m 1 m 1.5 m 1.5 m 200 N/m B CD 100 mm 200 mm 100 mm 50 mm 30 75 mm E 30 mm 60 A Probs. 9-69/70 A B 30 30 1.5 pies 0.5 pie 0.5 pie C 2 pies 0.5 pie C 1 pie 1.25pies Prob. 9-71 20 lbpie 20 lbpie 200 lb200 lb Prob. 9-72 5 3 pulg 3 pulg 4 5 kip 1.5 pulg 1.5 pulg 1.5 pulg 1.5 pulg 1 pulg 1 pulg 15 pulg B A 3 Probs. 9-73/74 Capitulo 09_Hibbeler.indd 471 14/1/11 09:33:46 491. 472 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *9-76. El brazo que conecta el pedal de la bicicleta tiene la seccin transversal mostrada en la figura. Si est fijo al engrane en B y no gira mientras est sometido a una fuerza de 75 lb, determine los esfuerzos principales en el material sobre la seccin transversal en el punto C. 9-77. Un recipiente esfrico a presin tiene un radio in- terior de 5 pies y un grosor de pared de 0.5 pulg. Dibuje el crculo de Mohr para el estado de esfuerzo en un punto so- bre el recipiente y explique la importancia del resultado. El recipiente est sometido a una presin interna de 80 psi. 9-78. El recipiente cilndrico a presin tiene un radio inte- rior de 1.25 m y un grosor de pared de 15 mm. Est hecho de placas de acero que se sueldan a lo largo de la costura a 45. Determine las componentes de esfuerzo normal y cortante a lo largo de esta costura si el recipiente est sometido a una presin interna de 8 MPa. 9-79. Determine el esfuerzo normal y cortante en el pun- to D, que actan respectivamente en forma perpendicular y paralela a las fibras. En este punto las fibras forman un ngulo de 30 respecto a la horizontal como se muestra en la figura. El punto D se ubica justo a la izquierda de la fuerza de 10 kN. *9-80. Determine los esfuerzos principales en el punto D, que se encuentra justo a la izquierda de la fuerza de 10 kN. 9-81. Determine los esfuerzos principales en el punto A sobre el rea transversal del suspensor en la seccin a-a. Es- pecifique la orientacin de este estado de esfuerzo e indique el resultado sobre un elemento ubicado en el punto. 9-82. Determine los esfuerzos principales en el punto A sobre el rea transversal del suspensor en la seccin b-b. Es- pecifique la orientacin de este estado de esfuerzo e indique el resultado sobre un elemento ubicado en el punto. 9-83. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cor- tante mximo en el plano que se desarrollan en el punto A. Muestre los resultados sobre un elemento situado en este punto. La barra tiene un dimetro de 40 mm. B A 75 lb75 lb 4 pulg 0.3 pulg 0.2 pulg 0.4 pulg 0.4 pulg C 3 pulg Prob. 9-76 1.25 m 45 Prob. 9-78 2 m1 m 1 m B C 100 mm 300 mm A D D 100 mm 100 mm 30 10 kN Probs. 9-79/80 a b ba 0.75 m 0.75 m 250 mm250 mm 0.5 m 900 N900 N 50 mm 25 mm 100 mm 5 mm 5 mm 5 mm Secciones a-a y b-b A Probs. 9-81/82 450 N 450 N 100 mm A B 150 mm 150 mm Prob. 9-83 Capitulo 09_Hibbeler.indd 472 14/1/11 09:37:00 492. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.5 Esfuerzo cortante mximo absoluto 473 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.5 Esfuerzo cortante mximo absoluto Cuando un punto en un cuerpo se somete a un estado general de esfuerzo tridimensional, un elemento de material tiene un esfuerzo normal y dos componentes de esfuerzo cortante que actan sobre cada una de sus caras, figura 9-21a. Como en el caso del esfuerzo plano, es posible desarrollar ecuaciones de transformacin de esfuerzo que pueden usarse para deter- minar las componentes s y t del esfuerzo normal y el esfuerzo cortante que actan en cualquier plano transversal del elemento, figura 9-21b. Por otra parte, en el punto tambin es posible determinar la orientacin nica de un elemento que slo tiene esfuerzos principales que actan sobre sus caras. En general, como se muestra en la figura 9-21c, estos esfuerzos prin- cipales tienen magnitudes de intensidad mxima, intermedia y mnima, es decir, smx sint smn . sta es una condicin conocida como esfuerzo triaxial. Un anlisis de la transformacin de esfuerzos en tres dimensiones est fuera del alcance de este libro; sin embargo, se estudia en los libros relacio- nados con la teora de la elasticidad. Para los propsitos de este captulo, el estudio se limitar slo al caso del esfuerzo plano. Por ejemplo, considere (a) s t (b) (c) Esfuerzo triaxial smn sint smx Figura 9-21 Capitulo 09_Hibbeler.indd 473 14/1/11 09:37:02 493. 474 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 que el material se somete a los esfuerzos principales en el plano s1 y s2 que se muestran en la figura 9-22a, donde ambos esfuerzos son de tensin. Si se considera el elemento en dos dimensiones, es decir en los planos y-z, x-z y x-y, figura 9-22b, 9-22c y 9-22d, entonces puede usarse el crculo de Mohr para determinar el esfuerzo cortante mximo en el plano para cada caso y, a partir de esto, determinar el esfuerzo cortante mximo absoluto en el material. Por ejemplo, para el caso que se muestra en la figura 9-22b, el dimetro del crculo de Mohr se extiende desde 0 hasta s2 . A partir de este crculo, figura 9-22e, el esfuerzo mximo cortante en el plano es tyz = s2 >2. Para los tres crculos, se observa que aunque el esfuerzo cortante mximo en el plano es txy = (s1 - s2 )>2, este valor no es el esfuerzo cortante mxi- mo absoluto. En cambio, a partir de la figura 9-22e, z yx Esfuerzo plano x-y (a) s1 s2 y z (b) s2 x z (c) s1 s s1 s2 (e) Esfuerzo cortante mximo absoluto Esfuerzo cortante mximo en el plano (txy)mx (tyz)mx (txz)mx t 0 x y (d) s1 s2 Figura 9-22 (9-13) y el mismo signo s2s1 tmx abs = s1 2 tienen Capitulo 09_Hibbeler.indd 474 14/1/11 09:37:05 494. 9.5 Esfuerzo cortante mximo absoluto 475 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Si uno de los esfuerzos principales en el plano tiene signo contrario al del otro esfuerzo principal, figura 9-23a, entonces los tres crculos de Mohr que describen el estado de esfuerzo para las orientaciones del elemento respecto a cada eje de coordenadas son como se muestran en la figura 9-23b. Resulta claro que, en este caso El clculo del esfuerzo cortante mximo absoluto, como se indica aqu, es importante al momento de disear elementos fabricados de un material dctil, puesto que la resistencia del material depende de su capacidad para resistir el esfuerzo cortante. Esta situacin se analizar con mayor detalle en la seccin 10.7. Puntos importantes El estado general de esfuerzo tridimensional en un punto puede representarse mediante un elemento orientado de manera que sobre l slo acten tres esfuerzos principales smx , sint y smn . En el caso del esfuerzo plano, si los dos esfuerzos principales en el plano tienen el mismo signo, el esfuerzo cortante mximo absolu- to se producir fuera del plano y tendr un valor de tmx abs = smx>2. Este valor es mayor que el esfuerzo cortante en el plano. Si los esfuerzos principales en el plano tienen signos opuestos, en- tonces el esfuerzo cortante mximo absoluto ser igual al esfuerzo cortante mximo en el plano; es decir, tmx abs = 1smx - smn2>2. s1 s2 y Esfuerzo plano x-y (a) z x (b) Esfuerzo cortante mximo absoluto y mximo en el plano s1s2 s (txy)mx t (txz)mx (tyz)mx Figura 9-23 (9-14) y signos opuestos s2s1 tmx abs = s1 - s2 2 tienen Capitulo 09_Hibbeler.indd 475 14/1/11 09:37:06 495. 476 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 9.101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 El punto sobre la superficie del recipiente cilndrico a presin mostrado en la figura 9-24a se somete al estado de esfuerzo plano. Determine el esfuerzo cortante mximo absoluto en este punto. SOLUCIN Los esfuerzos principales son s1 = 32 MPa, s2 = 16 MPa. Si estos esfuer- zos se grafican a lo largo del eje s, es posible construir los tres crcu los de Mohr que describen el estado de esfuerzo visto en cada uno de los tres planos perpendiculares, figura 9-24b. El crculo ms grande tiene un radio de 16 MPa y describe el estado de esfuerzo en el plano que contiene slo a s1 = 32 MPa, el cual se muestra sombreado en gris oscuro en la figura 9-24a. Una orientacin de un elemento a 45 dentro de este plano genera el estado de esfuerzo cortante mximo absoluto y el es- fuerzo normal promedio asociado, a saber, Este mismo resultado para tabs mx puede obtenerse al aplicar de manera directa la ecuacin 9-13. Por comparacin, el esfuerzo cortante mximo en el plano puede determinarse a partir del crculo de Mohr trazado entre s1 = 32 MPa y s2 =16 MPa, figura 9-24b. De aqu resulta un valor de Resp. sprom = 16 MPa tmx abs = 16 MPa Resp. sprom = 32 + 0 2 = 16 MPa tmx abs = s1 2 = 32 2 = 16 MPa sprom = 32 + 16 2 = 24 MPa = 32 - 16 2 = 8 MPatmx en el plano (a) 32 MPa 16 MPa Figura 9-24 (b) 88 16 16 32 s (MPa) t (MPa) s1 s2 Capitulo 09_Hibbeler.indd 476 20/1/11 18:21:59 496. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 9.11 9.5 Esfuerzo cortante mximo absoluto 477 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Debido a una carga aplicada, un elemento ubicado en el punto de un eje de mquina est sometido al estado de esfuerzo plano de la figura 9-25a. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mxi- mo absoluto en el punto. Los esfuerzos principales se encuentran en los puntos donde el crculo interseca al eje s; es decir, Con base en el crculo, el ngulo en sentido antihorario 2u, medido desde CA hasta el eje -s, es Por lo tanto, Esta rotacin en sentido antihorario define la direccin del eje x y s2, y su plano principal asociado, figura 9-25c. Se tiene Esfuerzo cortante mximo absoluto. Dado que es- tos esfuerzos tienen signos opuestos, al aplicar la ecuacin 9-14 se tiene NOTA: Estos mismos resultados pueden obtenerse tambin al dibujar el crculo de Mohr para cada orientacin de un ele- mento respecto a los ejes x, y y z, figura 9-25d. Como s1 y s2 tienen signos opuestos, entonces el esfuerzo cortante mximo absoluto es igual al esfuerzo cortante mximo en el plano. R = 2120 - 1022 + 14022 = 41.2 psi s2 = -10 - 41.2 = -51.2 psi s1 = -10 + 41.2 = 31.2 psi u = 38.0 2u = tan-1 a 40 20 - 10 b = 76.0 Resp.s1 = 31.2 psi s2 = -51.2 psi Resp. sprom = 31.2 - 51.2 2 = -10 psi tmx abs = s1 - s2 2 = 31.2 - 1-51.22 2 = 41.2 psi (a) 40 psi 20 psi 2u (b) C 10 20 R41.2 40 A (s2, 0) (s1, 0) t (psi) s (psi) 51.2 psi x 38.0 x31.2 psi y (c) Figura 9-25 (d) C 10 A 2u 76.0 90 166 s2 51.2 psi s1 31.2 psi t (psi) s (psi) 41.2 psitabs mx SOLUCIN Esfuerzos principales. Los esfuerzos principales en el plano pueden determinarse a partir del crculo de Mohr. El centro del crculo se encuentra sobre el eje s en sprom = (-20 + 0)>2 = -10 psi. Al graficar el punto de referencia A(-20, -40), se establece el radio CA y el crculo puede dibu- jarse como se muestra en la figura 9-25b. El radio es Capitulo 09_Hibbeler.indd 477 14/1/11 09:37:12 497. 478 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 problemas1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *9-84. Dibuje los tres crculos de Mohr que describen cada uno de los siguientes estados de esfuerzo. 9-85. Dibuje los tres crculos de Mohr que describen el si- guiente estado de esfuerzo. 9-86. El esfuerzo en un punto se muestra sobre el elemen- to. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo absoluto. 9-87. El esfuerzo en un punto se muestra sobre el elemen- to. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo absoluto. *9-88. El esfuerzo en un punto se muestra sobre el elemen- to. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo absoluto. 5 ksi 3 ksi (a) 180 MPa (b) 140 MPa Prob. 9-84 400 psi 300 psi Prob. 9-85 90 MPa z yx 80 MPa Prob. 9-86 30 psi 70 psi z yx 120 psi Prob. 9-87 z yx 2 ksi 8 ksi Prob. 9-88 Capitulo 09_Hibbeler.indd 478 14/1/11 09:37:14 498. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.5 Esfuerzo cortante mximo absoluto 479 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9-89. El esfuerzo en un punto se muestra sobre el elemen- to. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo absoluto. 9-90. El estado de esfuerzo en un punto se muestra sobre el elemento. Determine los esfuerzos principales y el esfuer- zo cortante mximo absoluto. 9-91. Considere el caso general de esfuerzo plano mostra- do en la figura. Escriba un programa de computadora que presente una grfica de los tres crculos de Mohr para el ele- mento, adems debe calcular el esfuerzo cortante mximo en el plano y el esfuerzo cortante mximo absoluto. *9-92. El eje slido est sometido al par de torsin, al mo- mento flexionante y a la fuerza cortante que se muestra en la figura. Determine los esfuerzos principales que actan en los puntos A y B, y el esfuerzo cortante mximo absoluto. 9-93. El tanque de gas propano tiene un dimetro interior de 1500 mm y un grosor de pared de 15 mm. Si el tanque est presurizado a 2 MPa, determine el esfuerzo cortante mxi- mo absoluto en la pared del tanque. 9-94. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cor- tante mximo absoluto desarrollados en el punto A del rea transversal de la mnsula en la seccin a-a. 9-95. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cor- tante mximo absoluto desarrollados en el punto B del rea transversal de la mnsula en la seccin a-a. Probs. 9-94/95 6 pulg 12 pulg 500 lb 1.5 pulg1.5 pulg 0.25 pulg0.25 pulg 0.5 pulg 0.25 pulg aa 3 4 5 A B Seccin a-a z yx 120 MPa 150 MPa Prob. 9-89 2.5 ksi z yx 4 ksi 5 ksi Prob. 9-90 sy txy sx Prob. 9-91 450 mm 300 Nm 45 Nm 800 N A B 25 mm Prob. 9-92 Prob. 9-93 Capitulo 09_Hibbeler.indd 479 14/1/11 09:37:30 499. 480 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Repaso de Captulo El esfuerzo plano se produce cuando el mate- rial en un punto est sometido a dos compo- nentes de esfuerzo normal sx y sy , y una de esfuerzo cortante txy . Siempre que estas com- ponentes sean conocidas, las componentes de esfuerzo que actan sobre un elemento con una orientacin u diferente pueden determi- narse usando las dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas o las ecuaciones para la transfor- macin de esfuerzos. Para el diseo, es importante determinar la orientacin del elemento que produce los es- fuerzos normales principales mximos y el es- fuerzo cortante mximo en el plano. Al usar las ecuaciones para la transformacin de esfuer- zos, se comprueba que ningn esfuerzo cortan- te acta sobre los planos de esfuerzo principal. Los esfuerzos principales son Los planos de esfuerzo cortante mximo en el plano se orientan a 45 de esta direccin, y so- bre estos planos cortantes existe un esfuerzo normal promedio asociado. txy = - sx - sy 2 sen 2u + txy cos 2u + txy sen 2usx = sx + sy 2 + sx - sy 2 cos 2u y x sy sx txy y xsy sx txy u u 5 sy sx txy sprom sprom t mx en el plano x s1 s2 s1,2 = sx + sy 2 ; C sx - sy 2 2 + txy 2 sprom = sx + sy 2 = C sx - sy 2 2 + txy 2 tmx en el plano Capitulo 09_Hibbeler.indd 480 14/1/11 09:37:32 500. Repaso de captulo 481 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 El crculo de Mohr proporciona un mtodo semigrfico para encontrar el esfuerzo sobre cualquier plano, los esfuerzos normales principales y el esfuerzo cortante mximo en el plano. Para dibujar el crculo, se es- tablecen los ejes s y t, se grafican el centro del crculo C[(sx + sy )>2, 0] y el punto de referencia A(sx , txy ). El radio R del crculo se extiende entre estos dos puntos y se determina me- diante la trigonometra. Si s1 y s2 son del mismo signo, en- tonces el esfuerzo cortante mximo absoluto se encuentran fuera de plano. En el caso de esfuerzo plano, el esfuerzo cortante mximo absolu- to ser igual al esfuerzo cortante mximo en el plano siempre que los esfuerzos principales s1 y s2 tengan signo contrario. = s1 2 tabs mx = s1 - s2 2 tabs mx C R A sx t txy s 2 txy 2 2 sx sy 2 sx sy 2 sx sy sprom Esfuerzo plano x-y s1 s2 s1 s2 Esfuerzo plano x-y Capitulo 09_Hibbeler.indd 481 14/1/11 09:37:34 501. 482 Captulo 9Transformacin de esfuerzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS DE REPASO *9-96. El eje propulsor slido de un barco se extiende ha- cia afuera del casco. Durante su operacin gira a v = 15 rad>s cuando el motor genera 900 kW de potencia. Esto provoca un empuje de F = 1.23 MN sobre el eje. Si ste tiene un di- metro exterior de 250 mm, determine los esfuerzos principa- les en cualquier punto situado sobre la superficie del eje. 9-97. El eje propulsor slido de un barco se extiende ha- cia afuera del casco. Durante su operacin gira a v = 15 rad>s cuando el motor genera 900 kW de potencia. Esto provoca un empuje de F = 1.23 MN sobre el eje. Si ste tiene un di- metro exterior de 250 mm, determine el esfuerzo cortante mximo en el plano en cualquier punto situado sobre la su- perficie del eje. 9-98. El tubo de acero tiene un dimetro interior de 2.75 pulg y un dimetro exterior de 3 pulg. Si se encuentra fijo en C y est sometido a la fuerza horizontal de 20 lb que acta sobre el mango de la llave de torsin ubicada en su extremo, determine los esfuerzos principales sobre el tubo en el punto A, que se encuentra en la superficie de la tubera. 9-99. Resuelva el problema 9-98 para el punto B, que se encuentra en la superficie del tubo. *9-100. La mordaza ejerce una fuerza de 150 lb sobre las tablas en G. Determine la fuerza axial en cada tornillo, AB y CD, y despus calcule los esfuerzos principales en los puntos E y F. Muestre los resultados sobre los elementos debida- mente orientados y ubicados en estos puntos. La seccin a travs de EF es rectangular y tiene 1 pulg de ancho. 9-101. El eje tiene un dimetro d y est sometido a las car- gas mostradas en la figura. Determine los esfuerzos principa- les y el esfuerzo cortante mximo en el plano que se desarro- lla en cualquier punto sobre la superficie del eje. T 0.75 m A 0.75 m A F Probs. 9-96/97 10 pulg 20 lb 12 pulg A C y z x B Probs. 9-98/99 A C G E B D 0.5 pulg 150 lb 150 lb 4 pulg 1.5 pulg 1.5 pulg F Prob. 9-100 F F T0 T0 Prob. 9-101 Capitulo 09_Hibbeler.indd 482 14/1/11 09:37:49 502. Problemas de repaso 483 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9-102. El estado de esfuerzo en un punto de un miembro se muestra sobre el elemento. Determine las componentes que actan sobre el plano AB. 9-103. El eje propulsor del remolcador est sometido a la fuerza de compresin y al par mostrados. Si el eje tiene un dimetro interior de 100 mm y un dimetro exterior de 150 mm, determine los esfuerzos principales en un punto A ubicado sobre la superficie externa. *9-104. La viga de caja est sometida a la carga indicada. Determine los esfuerzos principales en la viga en los puntos A y B. 9-105. El puntal de madera est sometido a las cargas mostradas en la figura. Determine los esfuerzos principales que actan en el punto C y especifique la orientacin del ele- mento en ese punto. El puntal se sostiene mediante un perno (pasador) en B y por medio de un soporte liso en A. 9-106. El puntal de madera est sometido a las cargas mos- tradas. Si las fibras de la madera en el punto C forman un ngulo de 60 respecto a la horizontal, como se muestra en la figura, determine los esfuerzos normal y cortante que actan respectivamente en forma perpendicular y paralela a las fi- bras, debido a la carga. El puntal se sostiene mediante un perno (pasador) en B y por medio del apoyo liso en A. 50 MPa 30 28 MPa A B 100 MPa Prob. 9-102 A 2 kNm 10 kN Prob. 9-103 3 pies 2.5 pies 5 pies 2.5 pies A B 800 lb 1200 lb 6 pulg A B6 pulg 8 pulg 8 pulg Prob. 9-104 50 N 50 N 40 N 40 N 100 mm B A 60 C 25 mm 200 mm 100 mm 200 mm 200 mm 200 mm 50 mm 100 mm Prob. 9-105 50 N 50 N 40 N 40 N 100 mm B A 60 C 25 mm 200 mm 100 mm 200 mm 200 mm 200 mm 50 mm 100 mm Prob. 9-106 Capitulo 09_Hibbeler.indd 483 14/1/11 09:38:12 503. Los esfuerzos complejos generados dentro de esta ala de avin se analizan a partir de los datos de un medidor de defor- macin. (Cortesa de Measurements Group, Inc., Raleigh, Carolina del Norte, 27611, EUA.) Capitulo 10_Hibbeler.indd 484 15/1/11 13:54:33 504. 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 485 1 2 Transformacin de la deformacin 10 485 OBJETIVOS DEL CAPTULO La transformacin de la deformacin en un punto es similar a la trans- formacin del esfuerzo y se aplicar en este captulo como resultado de los mtodos del captulo 9. Aqu tambin se analizarn diversas formas de medir la deformacin y se desarrollarn algunas relaciones importan- tes entre las propiedades de los materiales, incluyendo una forma ge- neralizada de la ley de Hooke. Al final del captulo, se estudiarn ciertas teoras usadas para predecir la falla de un material. 10.1 Deformacin plana Como se mencion en la seccin 2.2, el estado general de deformacin en un punto de un cuerpo se representa mediante una combinacin de tres componentes de la deformacin normal, Px , Py , Pz, y tres componentes de la deformacin cortante gxy , gxz y gyz . Estas seis componentes tienden a de- formar cada cara de un elemento del material y, al igual que el esfuerzo, las componentes de la deformacin normal y cortante en el punto variarn de acuerdo con la orientacin del elemento. Las deformaciones en un punto suelen determinarse mediante el uso de medidores de deformacin, que miden la deformacin normal en direcciones especficas. Sin embargo, hay ocasiones en que los ingenieros deben transformar estos datos, tanto para el anlisis como para el diseo, a fin de obtener la deformacin en otras direcciones. Capitulo 10_Hibbeler.indd 485 15/1/11 13:54:34 505. 486 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Para entender cmo se logra esto, primero se estudiar la deformacin plana. En especfico, no se considerarn los efectos de las componentes Pz , gxz y gyz . Entonces, de manera general, un elemento con deformacin plana se somete a dos componentes de deformacin normal Px , Py y a una componente de deformacin cortante gxy . Aunque la deformacin y el esfuerzo planos tienen cada uno tres componentes que se encuentran en el mismo plano, observe que el esfuerzo plano no necesariamente cau- sa deformacin plana o viceversa. La razn de esto tiene que ver con el efecto de Poisson analizado en la seccin 3.6. Por ejemplo, si el elemento de la figura 10-1 se somete al esfuerzo plano sx y sy , no slo se producen las deformaciones normales Px y Py , sino que tambin hay una deforma- cin normal asociada, Pz . Obviamente, esto no es un caso de deformacin plana. Por lo tanto, en general, el efecto de Poisson evitar la ocurrencia simultnea de deformacin plana y esfuerzo plano, a menos que v = 0. 10.2Ecuaciones generales para la transformacin de la deformacin plana En el anlisis de la deformacin plana es importante establecer las ecua- ciones de transformacin que pueden utilizarse para determinar las com- ponentes x y y de la deformacin normal y cortante en un punto, siempre que las componentes x, y de la deformacin sean conocidas. En esencia, ste es un problema de geometra y requiere relacionar las deformaciones y las rotaciones de los segmentos de lnea, que representan los lados de los elementos diferenciales que son paralelos a cada conjunto de ejes. Convencin de signos. Antes de poder desarrollar las ecuaciones para la transformacin de las deformaciones, primero se debe establecer una convencin de signos para las transformaciones. En relacin con el elemento diferencial mostrado en la figura 10-2a, las deformaciones nor- males Px y Py son positivas si causan elongacin a lo largo de los ejes x y y, respectivamente; y la deformacin cortante gxy es positiva si el ngulo inte- rior AOB se vuelve menor a 90. Esta convencin de signos tambin sigue la convencin correspondiente que se usa para el esfuerzo plano, figura 9-5a; es decir, sx , sy , txy positivos causarn que el elemento se deforme en las direcciones positivas Px , Py , gxy , respectivamente. El problema aqu consiste en determinar las deformaciones normales y cortantes Px , Py y gxy en un punto, medidas en relacin con los ejes x, y si se conocen Px , Py y gxy medidas en relacin con los ejes x, y. Si el ngulo entre los ejes x y x es u, entonces, como en el caso de el esfuerzo plano, u ser positivo si sigue la curvatura de los dedos de la mano derecha, es decir, si tiene un sentido antihorario como se muestra en la figura 10-2b. El esfuerzo plano, sx, sy, no causa deformacin plana en el plano x-y puesto que Pz Z 0. x y z Pydy Pzdz Pxdx sx sy Figura 10-1 x y (a) dy A O B Pydy dx Pxdx gxy 2 gxy 2 x y y x (b) Convencin de signos positivos u Figura 10-2 Capitulo 10_Hibbeler.indd 486 15/1/11 13:54:35 506. 10.2 Ecuaciones generales para la transformacin de la deformacin plana 487 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Deformaciones normal y cortante. Con el fin de desarrollar la ecuacin para la transformacin de la deformacin Px , se debe determinar la elongacin de un segmento de lnea dx que se encuentra a lo largo del eje x y est sometido a las componentes de deformacin Px , Py , gxy . Como se muestra en la figura 10-3a, las componentes de la lnea dx a lo largo de los ejes x y y son Cuando ocurre la deformacin normal positiva Px , la lnea dx se alarga Px dx, figura 10-3b, lo que ocasiona que la lnea dx se alargue Px dx cos u. Del mismo modo, cuando se produce Py , la lnea dy se alarga Py dy, figura 10-3c, lo que ocasiona que la lnea dx se alargue Py dy sen u. Por ltimo, suponiendo que dx permanece fijo en su posicin, la deformacin cortan- te gxy , que es el cambio en el ngulo entre dx y dy, ocasiona que la parte superior de la lnea dy se desplace gxy dy a la derecha, como se muestra en la figura 10-3d. Esto hace que dx se alargue gxy dycos u. Si estas tres elon- gaciones se suman, entonces la elongacin resultante de dx es A partir de la ecuacin 2-2, la deformacin normal a lo largo de la lnea dx es Px = dx>dx. Por lo tanto, si se usa la ecuacin 10-1, se tiene x y y x dx Antes de la deformacin (a) dy dx u (b) Deformacin normal Px dx x y y x dx u Pxdx Pxdx cosu Pxdx senu x y xy Deformacin normal Py dy dx (c) Pydy senu Pydy cosu u u Pydy (10-1) dy = dx sen u dx = dx cos u (10-2)Px = Px cos2 u + Py sen2 u + gxy sen u cos u dx = Px dx cos u + Py dy sen u + gxy dy cos u La probeta de goma se sujeta entre los dos soportes fijos, por lo que estar sometida a deformacin plana cuando se apliquen sobre ella cargas en el plano horizontal. x y x dx dy (d) Deformacin cortante gxy dx gxydy cosugxydy senu u gxydy dy gxy y Figura 10-3 Capitulo 10_Hibbeler.indd 487 15/1/11 13:54:37 507. 488 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 La ecuacin para la transformacin de la deformacin gxy se puede de- sarrollar considerando la cantidad de rotacin que experimenta cada uno de los segmentos de lnea dx y dy cuando estn sometidos a las compo- nentes de transformacin Px , Py , gxy . Primero se considerar la rotacin de dx, que est definida por el ngulo en sentido antihorario a que se muestra en la figura 10-3e. ste puede determinarse mediante el desplazamiento causado por dy usando a = dy>dx. Para obtener dy, considere las siguien- tes tres componentes de desplazamiento que actan en la direccin y: una desde Px , que resulta en -Px dxsen u, figura 10-3b; otra desde Py , que da Py dycos u, figura 10-3c; y por ltimo desde gxy , que resulta en -gxy dysen u, figura 10-3d. As, dy provocada por todas las componentes de deformacin es dy = -Px dx sen u + Py dy cos u - gxy dy sen u (10-3)a = 1-Px + Py2 sen u cos u - gxy sen2 u = -1-Px + Py2 cos u sen u - gxy cos2 u b = 1-Px + Py2 sen1u + 902 cos1u + 902 - gxy sen2 1u + 902 (10-4)gxy = a - b = -21Px - Py2 sen u cos u + gxy1cos2 u - sen2 u2 Al dividir cada trmino entre dx y al usar la ecuacin 10-1, con a = dy>dx, se tiene Como se muestra en la figura 10-3e, la lnea dy gira una cantidad b. Es posible determinar este ngulo mediante un anlisis similar, o simplemen- te al sustituir u por u + 90 en la ecuacin 10-3. Si se usan las identidades sen (u + 90) = cos u, cos(u + 90) = -sen u, se tiene Dado que a y b representan la rotacin de los lados dx y dy de un elemento diferencial cuyos lados estaban originalmente orientados a lo largo de los ejes x y y, figura 10-3e, entonces el elemento se somete a una deformacin cortante de x y x dx dy (d) Deformacin cortante gxy dx gxydy cosugxydy senu u gxydy dy gxy y x y x y dy b a udx dxdy dy (e) Figura 10-3 (cont.) Capitulo 10_Hibbeler.indd 488 15/1/11 13:54:39 508. 10.2 Ecuaciones generales para la transformacin de la deformacin plana 489 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Si se usan las identidades trigonomtricas sen 2u = 2 sen u cos u, cos2 u = (1 + cos 2u)>2 y sen2 u + cos2 u = 1, es posible escribir las ecuaciones 10-2 y 10-4 en la forma final x y x y dy dx Deformacin normal positiva, Px (a) u Deformacin cortante positiva, gxy (b) x y x y dy dx u Figura 10-4 Estas ecuaciones para la transformacin de la deformacin proporcio- nan la deformacin normal Px en la direccin x y la deformacin cortante gxy de un elemento orientado con un ngulo u, como se muestra en la figu- ra 10-4. De acuerdo con la convencin de signos establecida, si Px es positi- va, el elemento se alarga en la direccin positiva x, figura 10-4a, y si gxy es positiva, el elemento se deforma como se muestra en la figura 10-4b. Si se requiere la deformacin normal en la direccin y, sta puede ob- tenerse de la ecuacin 10-5 simplemente al sustituir u por (u + 90). El resultado es Debe sealarse la similitud entre las tres ecuaciones anteriores y las correspondientes para la transformacin del esfuerzo plano, ecuaciones 9-1, 9-2 y 9-3. Por comparacin, sx , sy , sx , sy corresponden a Px , Py , Px , Py ; y txy , txy corresponden a gxy >2, gxy >2. (10-5) (10-6) gxy 2 = - Px - Py 2 sen 2u + gxy 2 cos 2u Px = Px + Py 2 + Px - Py 2 cos 2u + gxy 2 sen 2u (10-7)Py = Px + Py 2 - Px - Py 2 cos 2u - gxy 2 sen 2u Capitulo 10_Hibbeler.indd 489 15/1/11 13:54:40 509. 490 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Deformaciones principales. Aligualqueenelesfuerzo,unelemen- to puede orientarse en un punto de modo que la deformacin del elemento sea causada slo por deformaciones normales, sin deformacin cortante. Cuando esto ocurre, las deformaciones normales se denominan deformacio- nes principales y, si el material es isotrpico, los ejes a lo largo de los cuales suceden estas deformaciones coincidirn con los ejes que definen los planos de esfuerzo principal. Con base en las ecuaciones 9-4 y 9-5, y la correspondencia entre el esfuerzo y la deformacin mencionada anteriormente, la direccin del eje x y de los dos valores de las deformaciones principales P1 y P2 se determinan a partir de Deformacin cortante mxima en el plano. Si se usan las ecuaciones 9-6, 9-7 y 9-8, la direccin del eje x, y la deformacin cortante mxima en el plano y la deformacin normal promedio asociada se deter- minan a partir de las siguientes ecuaciones: En las juntas donde se unen la parte ciln- drica y la semiesfrica del recipiente, suelen desarrollarse esfuerzos complejos, los cua- les pueden determinarse al hacer medicio- nes de la deformacin. Puntos importantes En caso de esfuerzo plano, el anlisis de la deformacin plana puede usarse dentro del plano de los es- fuerzos para analizar los datos de los medidores de deformacin. Sin embargo, recuerde que habr una deformacin normal que ser perpendicular a los medidores, debido al efecto de Poisson. Cuando el estado de deformacin est representado por las deformaciones principales, sobre el elemento no actuar ninguna deformacin cortante. El estado de deformacin en un punto puede representarse en trminos de la deformacin cortante mxi- ma en el plano. En este caso, tambin acta sobre el elemento una deformacin normal promedio. El elemento que representa la deformacin cortante mxima en el plano y sus deformaciones normales promedio asociadas estn a 45 respecto a la orientacin de un elemento que representa las deformacio- nes principales. (10-8) (10-9)P1,2 = Px + Py 2 ; C Px - Py 2 2 + gxy 2 2 tan 2up = gxy Px - Py (10-10) (10-11) (10-12)Pprom = Px + Py 2 gmx en el plano 2 = B a Px - Py 2 b 2 + a gxy 2 b 2 tan 2us = - Px - Py gxy Capitulo 10_Hibbeler.indd 490 15/1/11 13:54:42 510. 10.2 Ecuaciones generales para la transformacin de la deformacin plana 491 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 10.1 Un elemento diferencial de material en un punto est sometido a un esta- do de deformacin plana Px = 500(10-6 ), Py = -300(10-6 ), gxy = 200(10-6 ), que tiende a distorsionar al elemento como se muestra en la figura 10-5a. Determine las deformaciones equivalentes que actan sobre un elemento del material ubicado en el punto, orientado a 30 en sentido horario res- pecto a la posicin original. SOLUCIN A fin de resolver el problema, se usarn las ecuaciones 10-5 y 10-6 para la transformacin de las deformaciones. Como u es positivo en sentido antihorario, entonces para este problema u = -30. Por lo tanto, La deformacin en la direccin y puede obtenerse de la ecuacin 10-7 con u = -30. Sin embargo, tambin es posible obtener Py mediante la ecuacin 10-5 con u = 60(u = -30 + 90), figura 10-5b. Al remplazar Px con Py se tiene, Estos resultados tienden a distorsionar al elemento como se muestra en la figura 10-5c. Resp. gxy 2 = - Px - Py 2 sen 2u + gxy 2 cos 2u Px = 213110-6 2 + B 200110-6 2 2 R sen121-3022 = c 500 + 1-3002 2 d110-6 2 + c 500 - 1-3002 2 d110-6 2 cos121-3022 Px = Px + Py 2 + Px - Py 2 cos 2u + gxy 2 sen 2u = - c 500 - 1-3002 2 d110-6 2 sen121-3022 + 200110-6 2 2 cos121-3022 Resp.gxy = 793110-6 2 P Resp.y = -13.4110-6 2 + 200110-6 2 2 sen1216022 = c 500 + 1-3002 2 d110-6 2 + c 500 - 1-3002 2 d110-6 2 cos1216022 Py = Px + Py 2 + Px - Py 2 cos 2u + gxy 2 sen 2u x y dy dx (a) gxy 2 gxy 2 Pxdx Pydy x y y x (b) u 60 u 30 Figura 10-5 dy Pydy Pxdx dx x y (c) gxy 2 gxy 2 Capitulo 10_Hibbeler.indd 491 15/1/11 13:54:43 511. 492 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 10.2 Un elemento diferencial de material en un punto est sometido a un es- tado de deformacin plana definido por Px = -350(10-6 ), Py = 200(10-6 ), gxy = 80(10-6 ), que tiende a distorsionar al elemento como se muestra en la figura 10-6a. Determine las deformaciones principales en el punto y la orientacin asociada del elemento. SOLUCIN Orientacin del elemento. A partir de la ecuacin 10-8 se tiene por lo queyPor lo tanto, u Resp.p = -4.14 y 85.9 -8.28 + 180 = 171.72,2up = -8.28 = 80110-6 2 1-350 - 2002110-6 2 2nat up = gxy Px - Py Resp.P1 = 203110-6 2 P2 = -353110-6 2 = -75.0110-6 2 ; 277.9110-6 2 = 1-350 + 2002110-6 2 2 ; B B a -350 - 200 2 b 2 + a 80 2 b 2 R110-6 2 P1,2 = Px + Py 2 ; B a Px - Py 2 b 2 + a gxy 2 b 2 Px = -353110-6 2 + 80110-6 2 2 sen 21-4.142 = a -350 + 200 2 b110-6 2 + a -350 - 200 2 b110-6 2 cos 21-4.142 Px = Px + Py 2 + Px - Py 2 cos 2u + gxy 2 sen 2u Cada uno de estos ngulos se mide en sentido antihorario positivo, des- de el eje x hasta las normales hacia afuera en cada cara del elemento, figura 10-6b. Deformaciones principales. Las deformaciones principales se determinan a partir de la ecuacin 10-9. Se tiene Es posible determinar cul de estas dos deformaciones distorsiona el elemento en la direccin x mediante la aplicacin de la ecuacin 10-5 con u = -4.14. As, Por lo tanto, Px = P2 . Cuando est sometido a deformaciones principales, el elemento se distorsiona como se muestra en la figura 10-6b. x y (a) gxy 2 gxy 2 Pxdxdx dy Pydy Figura 10-6 x y (b) y P1dy P2dx x 4.14 85.9 Capitulo 10_Hibbeler.indd 492 15/1/11 13:54:45 512. 10.2 Ecuaciones generales para la transformacin de la deformacin plana 493 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 10.3 Un elemento diferencial de material en un punto est sometido a un es- tado de deformacin plana definido por Px = -350(10-6 ), Py = 200(10-6 ), gxy = 80(10-6 ), que tiende a distorsionar al elemento como se muestra en la figura 10-7a. Determine la deformacin cortante mxima en el plano para el punto y la orientacin asociada del elemento. SOLUCIN Orientacin del elemento. A partir de la ecuacin 10-10 se tiene Observe que esta orientacin est a 45 respecto a la mostrada en la figura 10-6b del ejemplo 10.2, tal como se esperaba. Deformacin cortante mxima en el plano. Al aplicar la ecua- cin 10-11 se obtiene gmx en el plano = 556110-6 2 = B B a -350 - 200 2 b 2 + a 80 2 b 2 R110-6 2 gmx en el plano 2 = B a Px - Py 2 b 2 + a gxy 2 b 2 Resp. gxy = 556110-6 2 = - a -350 - 200 2 b110-6 2 sen 2140.92 + 80110-6 2 2 cos 2140.92 gxy 2 = - Px - Py 2 sen 2u + gxy 2 cos 2u Pprom = Px + Py 2 = -350 + 200 2 110-6 2 = -75110-6 2 Debido a la raz cuadrada, el signo adecuado de gmx en el plano puede obte- nerse al aplicar la ecuacin 10-6 con u = 40.9. Se tiene Este resultado es positivo y por consiguiente gmx en el plano tiende a distorsio- nar al elemento de modo que el ngulo recto entre dx y dyse reduce (convencin de signos positivos), figura 10-7b. Adems, hay deformaciones normales promedio asociadas impues- tas sobre el elemento que se determinan a partir de la ecuacin 10-12: Estas deformaciones tienden a causar que el elemento se contraiga, fi- gura 10-7b. tan 2us = - Px - Py gxy = - 1-350 - 2002110-6 2 80110-6 2 por lo queyPor lo tanto, us = 81.72 40.9 y 131 + 180 = 261.72,2us = 81.72 x y (a) dx dy A O B Pxdx Pydy gxy 2 gxy 2 Figura 10-7 (b) x y x y 40.9 PpromdxPpromdy dx dy (gxy)mx 2 (gxy)mx 2 Capitulo 10_Hibbeler.indd 493 15/1/11 13:54:48 513. 494 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 La ecuacin 10-13 representa la ecuacin del crculo de Mohr para la deformacin. Tiene su centro en el eje P en el punto C(Pprom , 0) y un radio R. *10.3Crculo de Mohr para deformacin plana Como las ecuaciones para la transformacin de la deformacin plana son matemticamente similares a las ecuaciones para la transformacin del es- fuerzo plano, tambin es posible resolver problemas que implican la trans- formacin de la deformacin mediante el crculo de Mohr. Al igual que en el caso del esfuerzo, el parmetro u en las ecuaciones 10-5 y 10-6 puede eliminarse y el resultado se reescribe de la siguiente manera (10-13)1Px - Pprom22 + gxy 2 2 = R2 R = B a Px - Py 2 b 2 + a gxy 2 b 2 Pprom = Px + Py 2 donde Procedimiento de anlisis El procedimiento para dibujar el crculo de Mohr para la deforma- cin es igual al establecido para el esfuerzo. Construccin del crculo. Establezca un sistema de coordenadas de tal manera que la abs- cisa represente la deformacin normal P, con los valores positivos a la derecha, y la ordenada represente la mitad de la deformacin cortante g>2, con los valores positivos hacia abajo, figura 10-8. Usando la convencin de signos positivos para Px , Py y gxy , como se muestra en la figura 10-2, determine el centro C del crculo, que se encuentra en el eje P a una distancia Pprom = (Px + Py )>2 desde el origen, figura 10-8. Grafique el punto de referencia A que tiene coordenadas A(Px , gxy >2). Este punto representa el caso para el cual el eje x coincide con el eje x. Por lo tanto, u = 0, figura 10-8. Conecte el punto A con el centro C del crculo y determine el ra- dio R del crculo a partir del tringulo en gris oscuro, de la figura 10-8. Una vez que se ha determinado R, grafique el crculo. C A R 2 2 2 Px Py gxy 2 2 Px Py gxy 2 P Px 2 Px Py Pprom g 2 u 0 Figura 10-8 Capitulo 10_Hibbeler.indd 494 15/1/11 13:54:49 514. 10.3Crculo de Mohr para deformacin plana 495 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Deformaciones principales. Las deformaciones principales P1 y P2 se determinan a partir del crculo como las coordenadas de los puntos B y D, que es donde g>2 = 0, figura 10-9a. La orientacin del plano sobre el que acta P1 puede determinar- se a partir del crculo al calcular 2up1 mediante la trigonometra. Aqu, este ngulo resulta tener un sentido antihorario desde la lnea de referencia radial CA hacia la lnea CB, figura 10-9a. Re- cuerde que la rotacin de up1 debe tener la misma direccin, desde el eje de referencia del elemento x hacia el eje x, figura 10-9b.* Cuando se indica que P1 y P2 son positivas como en la figura 10-9a, el elemento de la figura 10-9b se alargar en las direcciones x y y, como lo muestra la lnea discontinua. Deformacin cortante mxima en el plano. La deformacin normal promedio y la mitad de la deformacin cortante mxima en el plano se determinan a partir del crculo como las coordenadas del punto E o F, figura 10-9a. La orientacin del plano sobre el que actan gmx en el plano y Pprom puede determinarse con base en el crculo al calcular 2us1 mediante la trigonometra. Aqu, este ngulo resulta tener un sentido horario desde la lnea de referencia radial CA hacia la lnea CE, figura 10-9a. Recuerde que la rotacin de us1 debe tener esa misma di- reccin, desde el eje de referencia del elemento x hacia el eje x, figura 10-9c.* Deformaciones en un plano arbitrario. Las componentes de las deformaciones normal y cortante Px y gxy para un plano orientado con un ngulo u, figura 10-9d, pueden obtenerse con base en el crculo usando la trigonometra a fin de determinar las coordenadas del punto P, figura 10-9a. Para ubicar a P, el ngulo conocido u del eje x se mide en el crcu lo como 2u. Esta medicin se hace desde la lnea de referencia radial CA hasta la lnea radial CP. Recuerde que las mediciones para 2u en el crculo deben tener la misma direccin que u para el eje x.* Si se requiere el valor de Py , ste puede determinarse al calcular las coordenadas del punto Q en la figura 10-9a. La lnea CQ est a 180 de CP y por lo tanto representa un giro de 90 del eje x. *Si el eje g>2 se construyera como positivo hacia arriba, entonces el ngulo 2u en el crculo se medira en direccin opuesta a la orientacin u del plano. C A (a) D Q B P E F g 2 gxy 2 u 0 2up1 2us1 2u Pprom P P1 P2 x (b) up1 y x y (1 P1)dx (1 P2)dy x y (c) x y Ppromdx Ppromdy us1 x y (d) x y u Pxdx Pydy Figura 10-9 Capitulo 10_Hibbeler.indd 495 15/1/11 13:54:50 515. 496 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 10.4 Deformaciones principales. Las coordenadas P de los puntos B y D representan las deformaciones principales. stas son La direccin de la deformacin principal positiva P1 se define por el ngulo 2up1 en sentido antihorario, medido desde la lnea de referencia radial CA (u = 0) hacia la lnea CB. Se tiene Por lo tanto, el lado dx del elemento se orienta a 8.35 en sentido an- tihorario, como se muestra en la figura 10-10b. Esto tambin define la direccin de P1 . La deformacin del elemento tambin se muestra en la figura. Pprom = 250 + 1-1502 2 110-6 2 = 50110-6 2 Resp. Resp.P2 = 150 - 208.82110-6 2 = -159110-6 2 P1 = 150 + 208.82110-6 2 = 259110-6 2 Resp.up1 = 8.35 2nat up1 = 60 1250 - 502 (a) 60 A C R 208.8 50 250 B(P1, 0)D(P2, 0) P (106 ) (106 ) 2up1 g 2 Figura 10-10 x y (b) x dx y P1dx P2dy dy up1 8.35 El estado de deformacin plana en un punto se representa mediante las componentes Px = 250(10-6 ), Py = -150(10-6 ) y gxy = 120(10-6 ). Determi- ne las deformaciones principales y la orientacin del elemento. SOLUCIN Construccin del crculo. Los ejes P y g>2 se establecen en la fi- gura 10-10a. Recuerde que el eje g>2 positivo debe estar dirigido hacia abajo de manera que las rotaciones del elemento en sentido antihorario correspondan a la rotacin antihoraria alrededor del crculo, y vicever- sa. El centro C del crculo est situado sobre el eje P en Como gxy >2 = 60(10-6 ), el punto de referencia A(u = 0) tiene las coor denadas A(250(10-6 ), 60(10-6 )). A partir del tringulo (en gris ms oscu- ro) de la figura 10-10a, el radio del crculo es CA; es decir, R = C 21250 - 5022 + 16022 D110-6 2 = 208.8110-6 2 Capitulo 10_Hibbeler.indd 496 15/1/11 13:54:52 516. 10.3Crculo de Mohr para deformacin plana 497 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 10.5 Figura 10-11 Este ngulo se muestra en la figura 10-11b. Como la deformacin cor- tante definida a partir del punto E en el crculo tiene un valor positivo y la deformacin normal promedio tambin es positiva, estas deforma- ciones distorsionan el elemento en la forma discontinua que se muestra en la figura. Resp. Pprom = 50110-6 2 1gxy2mx en el plano = 418110-6 2 1gxy2mx en el plano 2 = 208.8110-6 2 Resp.us1 = 36.7 2us1 = 90 - 218.352 (a) F 60 A C 50 250 R 208.8 P (106 ) 2us1 (106 ) g 2 u 0 gmx 2 en el planoPprom,E (b) x y x y us1 36.7 Para orientar el elemento se puede determinar el ngulo 2us1 en sen- tido horario, medido desde CA (u = 0) hasta CE. El estado de deformacin plana en un punto se representa mediante las componentes Px = 250(10-6 ), Py = -150(10-6 ) y gxy = 120(10-6 ). Deter- mine las deformaciones cortantes mximas en el plano y la orientacin de un elemento. SOLUCIN El crculo se estableci en el ejemplo anterior y se muestra en la figura 10-11a. Deformacin cortante mxima en el plano. La mitad de la deformacin cortante mxima en el plano y la deformacin normal pro- medio se representan mediante las coordenadas del punto E o F en el crculo. A partir de las coordenadas del punto E, Capitulo 10_Hibbeler.indd 497 15/1/11 13:54:54 517. 498 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 10.6 El estado de deformacin plana en un punto se representa sobre un ele- mentoconcomponentesPx =-300(10-6 ),Py =-100(10-6 )ygxy =100(10-6 ). Determine el estado de deformacin de un elemento orientado a 20 en sentido horario desde esta posicin reportada. SOLUCIN Construccin del crculo. Los ejes P y g>2 se establecen en la figu- ra 10-12a. El centro del crculo est en el eje P en El punto de referencia A tiene coordenadas A(-300(10-6 ), 50(10-6 )). Por lo tanto, el radio CA determinado a partir del tringulo en gris oscuro es Deformaciones sobre el elemento inclinado. Como el ele- mento debe estar orientado a 20 en sentido horario, se debe establecer una lnea radial CP, 2(20) = 40 en sentido horario, medido desde CA (u = 0), figura 10-12a. Las coordenadas del punto P(Px , gxy >2) se obtie- nen de la geometra del crculo. Observe que As que, La deformacin normal Py puede determinarse a partir de las coor- denadas del punto Q en el crculo, figura 10-12a, por qu? Como resultado de estas deformaciones, el elemento se distorsiona en relacin con los ejes x y y como se muestra en la figura 10-12b. Pprom = a -300 - 100 2 b110-6 2 = -200110-6 2 R = C 21300 - 20022 + 15022 D110-6 2 = 111.8110-6 2 c = 40 - 26.57 = 13.43f = tan-1 a 50 1300 - 2002 b = 26.57, Resp. Resp.gxy = -52.0110-6 2 gxy 2 = -1111.8 sen 13.432110-6 2 = -309110-6 2 Px = -1200 + 111.8 cos 13.432110-6 2 Resp.Py = -1200 - 111.8 cos 13.432110-6 2 = -91.3110-6 2 (a) Q 50 A C 300 R 111.8 P 200 Px Py P (106 ) (106 ) g 2 gxy 2 gxy 2 13.43 40 c 13.43 f Figura 10-12 20 (b) x x yy Capitulo 10_Hibbeler.indd 498 15/1/11 13:54:56 518. 10.3Crculo de Mohr para deformacin plana 499 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 10-1. Demuestre que la suma de las deformaciones norma- les en direcciones perpendiculares es constante. 10-2. El estado de deformacin en el punto tiene compo- nentes de Px = 200(10-6 ), Py = -300(10-6 ) y gxy = 400(10-6 ). Use las ecuaciones para la transformacin de esfuerzos a fin de determinar las deformaciones equivalentes en el plano de un elemento orientado a un ngulo de 30 en sentido antiho- rario desde la posicin original. Grafique el elemento defor- mado debido a estas deformaciones en el plano x-y. 10-3. Un medidor de deformacin se monta sobre el eje de acero A-36 con 1 pulg de dimetro, como se muestra en la figura. Cuando el eje gira con una velocidad angular de v = 1760 rev>min, la lectura del medidor de deformacin es de P = 800(10-6 ). Determine la salida de potencia del motor. Suponga que el eje slo est sometido a un par de torsin. *10-4. El estado de deformacin en el punto sobre una llave de torsin tiene componentes Px = 120(10-6 ), Py = -180(10-6 ) y gxy = 150(10-6 ). Use las ecuaciones para la transformacin de deformaciones a fin de determinar (a) las deformaciones principales en el plano y (b) la deformacin cortante mxima en el plano y la deformacin normal promedio. En cada caso especifique la orientacin del elemento y muestre la forma en que las deformaciones distorsionan al elemento en el plano x-y. 10-5. El estado de deformacin en el punto sobre el brazo tiene componentes Px = 250(10-6 ), Py = -450(10-6 ) y gxy = -825(10-6 ). Use las ecuaciones para la transformacin de deformaciones a fin de determinar (a) las deformaciones principales en el plano y (b) la deformacin cortante mxi- ma en el plano y la deformacin normal promedio. En cada caso especifique la orientacin del elemento y muestre la forma en que las deformaciones distorsionan al elemento en el plano x-y. 10-6. El estado de deformacin en el punto tiene compo- nentes Px = -100(10-6 ), Py = 400(10-6 ) y gxy = -300(10-6 ). Use las ecuaciones para la transformacin de deformaciones a fin de determinar las deformaciones equivalentes en el plano sobre un elemento orientado a un ngulo de 60 en sentido antihorario desde la posicin original. Grafique el elemento deformado debido a estas deformaciones en el plano x-y. 10-7. El estado de deformacin en el punto tiene compo- nentes Px = 100(10-6 ), Py = 300(10-6 ) y gxy = -150(10-6 ). Use las ecuaciones para la transformacin de deformaciones a fin de determinar las deformaciones equivalentes en el plano sobre un elemento orientado a u = 30 en sentido horario. Grafique el elemento deformado debido a estas deforma- ciones en el plano x-y. Probs. 10-6/7 x y y x Prob. 10-2 60 Prob. 10-3 y x Prob. 10-5 Capitulo 10_Hibbeler.indd 499 15/1/11 13:56:23 519. 500 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *10-8. El estado de deformacin en el punto de la mn- sula tiene componentes Px = -200(10-6 ), Py = -650(10-6 ) y gxy = -175(10-6 ). Use las ecuaciones para la transformacin de deformaciones a fin de determinar las deformaciones equivalentes en el plano sobre un elemento orientado a un ngulo de u = 20 en sentido antihorario a partir de la po- sicin original. Grafique el elemento deformado debido a estas deformaciones en el plano x-y. 10-9. El estado de deformacin en el punto tiene las com- ponentes de Px = 180(10-6 ), Py = -120(10-6 ) y gxy = -100(10-6 ). Use las ecuaciones para la transformacin de deformaciones a fin de determinar (a) las deformaciones principales en el plano y (b) la deformacin cortante mxima en el plano y la deformacin normal promedio. En cada caso especifi- que la orientacin del elemento y muestre la forma en que las deformaciones distorsionan al elemento en el plano x-y. 10-10. El estado de deformacin en el punto de la mnsula tiene componentes Px = 400(10-6 ), Py = -250(10- 6 ) y gxy = 310(10-6 ). Use las ecuaciones para la transformacin de de- formaciones a fin de determinar las deformaciones equiva- lentes en el plano sobre un elemento orientado a un ngulo de u = 30 en sentido horario a partir de la posicin original. Grafique el elemento deformado debido a estas deformacio- nes en el plano x-y. 10-11. El estado de deformacin en el punto de la mn- sula tiene componentes Px = -100(10-6 ), Py = -200(10-6 ) y gxy = 100(10-6 ). Use las ecuaciones para la transformacin de deformaciones a fin de determinar (a) las deformaciones principales en el plano y (b) la deformacin cortante mxi- ma en el plano y la deformacin normal promedio. En cada caso especifique la orientacin del elemento y muestre la forma en que las deformaciones distorsionan al elemento en el plano x-y. y x Prob. 10-8 x y Prob. 10-9 y x Prob. 10-10 x y Prob. 10-11 Capitulo 10_Hibbeler.indd 500 15/1/11 13:56:42 520. 10.3Crculo de Mohr para deformacin plana 501 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *10-12. El estado de deformacin plana sobre un elemento est dado por Px = 500(10-6 ), Py = 300(10-6 ) y gxy = -200(10-6 ). Determine el estado equivalente de deformacin sobre un elemento en el mismo punto orientado a 45 en sentido ho- rario respecto al elemento original. 10-13. El estado de deformacin plana sobre un elemento es Px = -300(10-6 ), Py = 0 y gxy = 150(10-6 ). Determine el estado de esfuerzo equivalente que represente (a) las defor- maciones principales y (b) la deformacin cortante mxima en el plano y la deformacin normal promedio asociada. Es- pecifique la orientacin de los elementos correspondientes para estos estados de deformacin con respecto al elemento original. 10-14. El estado de deformacin en un punto del aguiln de una gra hidrulica para motores tiene las componentes de Px = 250(10-6 ), Py = 300(10-6 ) y gxy = -180(10-6 ). Use las ecuaciones para la transformacin de deformaciones a fin .10-15. Considere el caso general de deformacin plana donde Px , Py y gxy son conocidas. Escriba un programa de computadora que pueda usarse para determinar las defor- maciones normal y cortante, Px y gxy , sobre el plano de un elemento orientado a u respecto a la horizontal. Adems, incluya las deformaciones principales y la orientacin del ele- mento, as como la deformacin cortante mxima en el pla- no, la deformacin normal promedio y la orientacin del elemento. *10-16. El estado de deformacin en el punto de un sopor- te tiene las componentes de Px = 350(10-6 ), Py = 400(10-6 ) y gxy = -675(10-6 ). Use las ecuaciones para la transformacin de deformaciones a fin de determinar (a) las deformaciones principales en el plano y (b) la deformacin cortante mxima en el plano y la deformacin normal promedio. En cada caso especifique la orientacin del elemento y muestre la forma en que las deformaciones distorsionan al elemento en el plano x-y. 10-17. Resuelva el inciso (a) del problema 10-4 usando el crculo de Mohr. 10-18. Resuelva el inciso (b) del problema 10-4 usando el crculo de Mohr. 10-19. Resuelva el problema 10-8 usando el crculo de Mohr. *10-20. Resuelva el problema 10-10 usando el crculo de Mohr. 10-21. Resuelva el problema 10-14 usando el crculo de Mohr. Prob. 10-14 y x y x dy dx Pydy Pxdx gxy 2 gxy 2 Prob. 10-12 Prob. 10-13 y x dx dy Pxdx gxy 2 gxy 2 de determinar (a) las deformaciones principales en el pla- no y (b) la deformacin cortante mxima en el plano y la deformacin normal promedio. En cada caso especifique la orientacin del elemento y muestre la forma en que las deformaciones distorsionan al elemento en el plano x-y. Capitulo 10_Hibbeler.indd 501 15/1/11 13:56:51 521. 502 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *10.4Deformacin cortante mxima absoluta En la seccin 9.5 se seal que en el caso del esfuerzo plano, el esfuerzo cortante mximo absoluto en un elemento de material se producir fuera del plano cuando los esfuerzos principales tengan el mismo signo, es de- cir, cuando ambos sean de tensin o de compresin. Un resultado similar se produce para la deformacin plana. Por ejemplo, si las deformaciones principales en el plano causan elongaciones, figura 10-13a, entonces los tres crculos de Mohr que describen las componentes de las deformaciones normal y cortante para los elementos orientados alrededor de los ejes x, yy z son como se muestran en la figura 10-13b. Por inspeccin, el crculo ms grande tiene un radio R = (gxz )mx >2. Por lo tanto, Este valor proporciona la deformacin cortante mxima absoluta para el material. Observe que es mayor que la deformacin cortante mxima en el plano, que es (gxy )mx = P1 - P2 . Considere ahora el caso en que una de las deformaciones principales en el plano es de signo contrario a la otra deformacin principal en el plano, de manera que P1 causa elongacin y P2 ocasiona contraccin, figura 10-14a. Los crculos de Mohr, que describen las deformaciones en cada orientacin del elemento respecto a los ejes x, y, z, se muestran en la figura 10-14b. Aqu Por lo tanto, es posible resumir los dos casos anteriores de la siguiente ma- nera. Si las dos deformaciones principales en el plano tienen el mismo sig- no, la deformacin cortante mxima absoluta se producir fuera de plano y tendr un valor de gabs mx = Pmx . Sin embargo, si las deformaciones princi- pales en el plano son de signos opuestos, entonces la deformacin cortante mxima absoluta es igual a la deformacin cortante mxima en el plano. Puntos importantes La deformacin cortante mxima absoluta ser mayor que la defor- macin cortante mxima en el plano siempre que las deformaciones principales en el plano tengan el mismo signo. Cuando esto ocurre, la deformacin cortante mxima absoluta acta fuera del plano. Si las deformaciones principales en el plano son de signos opuestos, entonces la deformacin cortante mxima absoluta ser igual a la deformacin cortante mxima en el plano. (10-14) P1 y P2 tienen el mismo signo gabs mx = 1gxz2mx = P1 (10-15) P1 y P2 tienen signos opuestos gabs mx = 1gxy2mx en el plano = P1 - P2 x Deformacin plana x-y y z (a) (1 P1)dx(1 P2)dy x y z Deformacin plana x-y (a) (1 P2)dy (1 P1)dx (b) 2 (gxz)mx PP1P2 g 2 2 (gyz)mx 2 (gxy)mx Figura 10-14 (b) PP1 g 2 (gxz)mx 2 (gxy)mx 2 (gyz)mx 2 P2 Figura 10-13 Capitulo 10_Hibbeler.indd 502 15/1/11 13:56:54 522. 10.4Deformacin cortante mxima absoluta 503 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 10.7 El estado de deformacin plana en un punto est representado por las componentes de deformacin Px = -400(10-6 ), Py = 200(10-6 ), gxy = 150(10-6 ). Determine la deformacin cortante mxima en el plano y la deformacin cortante mxima absoluta. SOLUCIN Deformacin cortante mxima en el plano. Este problema se resolver usando el crculo de Mohr. A partir de las componentes de deformacin, el centro del crculo est sobre el eje P en Como gxy >2 = 75(10-6 ), el punto de referencia A tiene coordenadas (-400(10-6 ), 75(10-6 )). Por lo tanto, como se muestra en la figura 10-15, el radio del crculo es Si se calculan las deformaciones principales en el plano con base en el crculo, se tiene Adems, la deformacin cortante mxima en el plano es Deformacin cortante mxima absoluta. De los resultados anteriores se tiene P1 = 209(10-6 ), P2 = -409(10-6 ). Adems, en la figura 10-15 se muestran los tres crculos de Mohr graficados para orientacio- nes del elemento sobre cada uno de los ejes x, y, z. Se puede observar que las deformaciones principales en el plano tienen signos opuestos y la deformacin cortante mxima en el plano tambin es la deformacin cortante mxima absoluta; es decir, Pprom = -400 + 200 2 110-6 2 = -100110-6 2 R = C 21400 - 10022 + 17522 D110-6 2 = 309110-6 2 P2 = 1-100 - 3092110-6 2 = -409110-6 2 P1 = 1-100 + 3092110-6 2 = 209110-6 2 Resp.gabs mx = 618110-6 2 Resp.gmx en el plano = P1 - P2 = [209 - 1-4092]110-6 2 = 618110-6 2 Figura 10-15 400 75 100 R 309 A P1 P(106 ) (106 ) P2 g 2 2 en el plano (gxy)mx Capitulo 10_Hibbeler.indd 503 15/1/11 13:56:56 523. 504 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.5 Rosetas de deformacin Cuando se realiza una prueba de tensin sobre una probeta como se ana- liz en la seccin 3.1, la deformacin normal en el material se mide utili- zando un medidor de deformacin de resistencia elctrica, que consiste en una malla de alambre o un pedazo de hoja metlica pegado a la probeta. Sin embargo, para una carga general sobre un cuerpo las deformaciones en un punto sobre su superficie libre se determinan mediante un conjunto de tres medidores de deformacin de resistencia elctrica, dispuestas en un patrn especfico. Este patrn se conoce como roseta de deformacin, y una vez que se miden las deformaciones normales en los tres medidores, los datos pueden transformarse para especificar el estado de deformacin en el punto. Como estas deformaciones se miden slo en el plano de los medidores, y puesto que el cuerpo est libre de esfuerzo en su superficie, los medidores pueden someterse a esfuerzo plano, pero no a deformacin plana. A pesar de que la deformacin normal de la superficie no se mide, observe que el desplazamiento fuera del plano causado por esta deforma- cin no afectar las mediciones de los medidores en el plano. En el caso general, los ejes de los tres medidores estn dispuestos con los ngulos ua , ub , uc que se muestran en la figura 10-16a. Si se toman las lecturas Pa , Pb , Pc , es posible determinar las componentes de deformacin Px , Py , gxy en el punto, aplicando la ecuacin 10-2 para la transformacin de la deformacin en cada medidor. Se tiene Los valores de Px , Py , gxy se determinan al resolver estas tres ecuaciones de manera simultnea. Las rosetas de deformacin se disponen a menudo en patrones de 45 o 60. En el caso de los 45 o de la roseta de deformacin rectangular que se muestra en la figura 10-16b, ua = 0, ub = 45, uc = 90, por lo que a partir de la ecuacin 10-16 se obtiene Y para la roseta de transformacin a 60 mostrada en la figura 10-16c, ua = 0, ub = 60, uc = 120. Aqu, la ecuacin 10-16 da Una vez que se determinan Px , Py y gxy , pueden usarse las ecuaciones de transformacin de la seccin 10.2 o un crculo de Mohr para obtener las deformaciones principales en el plano y la deformacin cortante mxima en el plano para el punto. (10-16) Pc = Px cos2 uc + Py sen2 uc + gxy sen uc cos uc Pb = Px cos2 ub + Py sen2 ub + gxy sen ub cos ub Pa = Px cos2 ua + Py sen2 ua + gxy sen ua cos ua gxy = 2Pb - 1Pa + Pc2 Py = Pc Px = Pa (10-17) gxy = 2 13 1Pb - Pc2 Py = 1 3 12Pb + 2Pc - Pa2 Px = Pa x a b c (a) ub uc ua 45 45 a b c x Roseta de deformacin a 45 (b) 60 a b x Roseta de deformacin a 60 (c) 60 c Figura 10-16 Roseta de deformacin de resistencia elc- trica tpica, con una disposicin a 45. Capitulo 10_Hibbeler.indd 504 15/1/11 13:56:58 524. 10.5Rosetas de deformacin 505 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 10.8 El estado de deformacin en el punto A sobre la mnsula de la figura 10-17a se mide mediante la roseta de deformacin mostrada en la figu- ra 10-17b. Debido a las cargas, las lecturas de los medidores dan Pa = 60(10- 6 ), Pb = 135(10- 6 ) y Pc = 264(10-6 ). Determine las deformaciones principales en el plano para el punto y las direcciones en las que actan. SOLUCIN Para encontrar la solucin se utilizarn las ecuaciones 10-16. Al estable- cer un eje x como el mostrado en la figura 10-17b y al medir los ngulos en sentido antihorario desde el eje +x hacia las lneas de centro de cada medidor, se tiene ua = 0, ub = 60 y uc = 120. Si se sustituyen estos resul- tados junto con los datos del problema en las ecuaciones, resulta Si se usa la ecuacin 1 y se resuelven simultneamente las ecuaciones 2 y 3, se obtiene Estos mismos resultados tambin pueden obtenerse de manera ms di- recta a partir de la ecuacin 10-17. Las deformaciones principales en el plano pueden determinarse me- diante el crculo de Mohr. El punto de referencia sobre el crculo est en A[60(10-6 ), -74.5(10-6 )] y el centro del crculo, C, est sobre el eje P en Pprom = 153(10-6 ), figura 10-17c. A partir del tringulo gris oscuro, el radio es Por lo tanto, las deformaciones principales en el plano son NOTA: El elemento deformado se muestra con la lnea discontinua de la figura 10-17d. Observe que, debido al efecto de Poisson, el ele- mento tambin se somete a una deformacin fuera del plano, es decir, en la direccin z, aunque este valor no tendr influencia en los resulta- dos calculados. (1) (2) (3)= 0.25Px + 0.75Py - 0.433gxy 462 110-6 2 = Px cos2 120 + Py sen2 120 + gxy sen 120 cos 120 = 0.25Px + 0.75Py + 0.433gxy 531 110-6 2 = Px cos2 60 + Py sen2 60 + gxy sen 60 cos 60 = Px 06 110-6 2 = Px cos2 0 + Py sen2 0 + gxy sen 0 cos 0 Px = 60110-6 2 Py = 246110-6 2 gxy = -149110-6 2 R = C 21153 - 6022 + 174.522 D110-6 2 = 119.1110-6 2 Resp. Resp. Resp.up2 = 19.3 2up2 = tan-1 74.5 1153 - 602 = 38.7 P2 = 153110-6 2 - 119.1110-6 2 = 33.9110-6 2 P1 = 153110-6 2 + 119.1110-6 2 = 272110-6 2 (a) b a c A (b) 60 a b x 120 c (c) 2up2 60 74.5 153 A C R 119.2 P(106 ) P1P2 (106 ) g 2 Figura 10-17 (d) x up2 19.3 x y Capitulo 10_Hibbeler.indd 505 15/1/11 13:57:04 525. 506 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 10-22. La deformacin en el punto A sobre la mnsu- la tiene componentes Px = 300(10-6 ), Py = 550(10- 6 ) y gxy = -650(10- 6 ). Determine (a) las deformaciones principales en A sobre el plano x-y, (b) la deformacin cortante mxima en el plano x-y y (c) la deformacin cortante mxima absoluta. 10-23. La deformacin en el punto A sobre la pata del ngulo tiene componentes Px = -140(10-6 ), Py = 180(10-6 ) y gxy = -125(10-6 ). Determine (a) las deformaciones princi- pales en A sobre el plano x-y, (b) la deformacin cortante mxima en el plano x-y y (c) la deformacin cortante mxi- ma absoluta. *10-24. La deformacin en el punto A sobre la pared del recipiente a presin tiene componentes Px = 480(10-6 ), Py = 720(10-6 ) y gxy = 650(10-6 ). Determine (a) las deformaciones principales en A sobre el plano x-y, (b) la deformacin cor- tante mxima en el plano x-y y (c) la deformacin cortante mxima absoluta. 10-25. La roseta de deformacin a 60 est montada so- bre la mnsula. Se obtienen las siguientes lecturas para cada medidor: Pa = -100(10-6 ), Pb = 250(10-6 ) y Pc = 150(10-6 ). Determine (a) las deformaciones principales y (b) la defor- macin cortante mxima en el plano y la deformacin nor- mal promedio asociada. En cada caso muestre el elemento distorsionado debido a estas deformaciones. y xA Prob. 10-22 A Prob. 10-23 y xA Prob. 10-24 60 60 a b c Prob. 10-25 Capitulo 10_Hibbeler.indd 506 15/1/11 13:57:15 526. 10.5Rosetas de deformacin 507 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10-26. La roseta de deformacin a 60 est montada sobre una viga. Se obtienen las siguientes lecturas para cada medi- dor: Pa = 200(10- 6 ), Pb = -450(10-6 ) y Pc = 250(10-6 ). Deter- mine (a) las deformaciones principales en el plano y (b) la deformacin cortante mxima en el plano y la deformacin normal promedio. En cada caso muestre el elemento distor- sionado debido a estas deformaciones. 10-27. La roseta de deformacin a 45 est montada sobre un eje de acero. Se obtienen las siguientes lecturas para cada medidor: Pa = 300(10-6 ), Pb = -250(10-6 ) y Pc = -450(10-6 ). Determine (a) las deformaciones principales en el plano y (b) la deformacin cortante mxima en el plano y la defor- macin normal promedio. En cada caso muestre el elemento distorsionado debido a estas deformaciones. *10-28. La roseta de deformacin a 45 est montada sobre el brazo de una retroexcavadora. Se obtienen las siguientes lecturas para cada medidor: Pa = 650(10-6 ), Pb = -300(10-6 ) y Pc = 480(10-6 ). Determine (a) las deformaciones principales en el plano y (b) la deformacin cortante mxima en el pla- no y la deformacin normal promedio asociada. 10-29. Considere la orientacin general de tres medidores de deformacin en un punto, como se muestra en la figu- ra. Escriba un programa de computadora que pueda usarse para determinar las deformaciones principales en el plano y la deformacin cortante mxima en el plano para el punto. Muestre una aplicacin del programa empleando los valores ua = 40, uc = 220,Pb = 100110-6 2,ub = 125,Pa = 160110-6 2, uc = 220,Pb = 100110-6 2,ub = 125,Pa = 160110-6 2, Pc = 80110-6 2. Prob. 10-29 x a b c ua ub uc 60 30 30 a b c Prob. 10-26 45 45 a b c Prob. 10-27 45 a b c 45 Prob. 10-28 Capitulo 10_Hibbeler.indd 507 15/1/11 13:57:19 527. 508 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.6Relaciones entre las propiedades del material En esta seccin se presentarn algunas relaciones importantes que invo- lucran a las propiedades de un material, las cuales se usan cuando el ma- terial est sometido a esfuerzo y deformacin multiaxiales. Para ello, se supondr que el material es homogneo e isotrpico, y que se comporta de forma elstico lineal. Generalizacin de la ley de Hooke. Si el material se somete en un punto a un estado de esfuerzo triaxial, sx , sy , sz , Figura 10-18a, se de- sarrollarn deformaciones normales asociadas Px , Py , Pz . Los esfuerzos pue- den relacionarse con estas deformaciones usando el principio de superpo- sicin, la razn de Poisson, Plat = -vPlong y la ley de Hooke aplicada en la direccin uniaxial, P = s>E. Por ejemplo, considere la deformacin normal del elemento en la direccin x, causada por la aplicacin independiente de cada esfuerzo normal. Cuando se aplica sx , figura 10-18b, el elemento se alarga en la direccin x y la deformacin Px es La aplicacin de sy hace que el elemento se contraiga con una deforma- cin Px , figura 10-18c. Aqu Del mismo modo, la aplicacin de sz , figura 10-18d, causa una contraccin de modo que P x = sx E P x = -n sy E P x = -n sz E (a) sx sx sy sy sz sz (d)(c)(b) Figura 10-18 Capitulo 10_Hibbeler.indd 508 15/1/11 13:57:20 528. 10.6Relaciones entre las propiedades del material 509 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Cuando estas tres deformaciones normales se superponen, es posible determinar la deformacin normal Px para el estado de esfuerzo que se muestra en la figura 10-18a. Tambin pueden desarrollarse ecuaciones si- milares para las deformaciones normales en las direcciones y y z. Los re- sultados finales se puede escribir como Estas tres ecuaciones expresan la ley de Hooke en una forma gene- ral para un estado de esfuerzo triaxial. En las aplicaciones, el esfuerzo de tensin se considera positivo y el de compresin es negativo. Si una de- formacin normal resultante es positiva, indica que el material se alarga, mientras que una deformacin normal negativa significa que el material se contrae. Si ahora se aplica un esfuerzo cortante txy al elemento de la figura 10-19a, las observaciones experimentales indican que el material se defor- ma slo debido a una deformacin cortante gxy ; es decir, txy no ocasionar otras deformaciones en el material. Del mismo modo, tyz y txz slo cau- sarn deformaciones angulares gyz y gxz , figuras 10-19b y 10-19c, y as la ley de Hooke para el esfuerzo cortante y la deformacin cortante puede escribirse como (10-18) Pz = 1 E [sz - n1sx + sy2] Py = 1 E [sy - n1sx + sz2] Px = 1 E [sx - n1sy + sz2] (10-19)gxy = 1 G txy gyz = 1 G tyz gxz = 1 G txz (a) txy (b) tyz (c) tzx Figura 10-19 Capitulo 10_Hibbeler.indd 509 15/1/11 13:57:22 529. 510 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Relacin que involucra a E, v y G. En la seccin 3.7 se estableci que el mdulo de elasticidad E se relaciona con el mdulo de cortante G en la ecuacin 3-11, a saber, Una forma de obtener esta relacin es considerar un elemento del ma- terial que estar sometido a cortante puro (sx = sy = sz = 0), figura 10.20a. Al aplicar la ecuacin 9-5 para obtener los esfuerzos principales se obtiene smx = txy y smn = -txy . Este elemento debe estar orientado con up1 = 45 en sentido antihorario desde el eje x, como se muestra en la figura 10-20b. Si los tres esfuerzos principales smx = txy , sint = 0 y smn = -txy se sustituyen en la primera de las ecuaciones 10-18, la deformacin principal Pmx puede relacionarse con el esfuerzo cortante txy . El resultado es Esta deformacin, que distorsiona el elemento a lo largo del eje x, tam- bin puede relacionarse con la deformacin cortante gxy . Para ello, prime- ro observe que como sx = sy = sz = 0, entonces a partir de la primera y segunda de las ecuaciones 10-18, Px = Py = 0. Al sustituir estos resultados en la ecuacin 10-9 para la transformacin de la deformacin, se obtiene Por la ley de Hooke, gxy = txy >G, de modo que Pmx = txy >2G. Al sustituir en la ecuacin 10-21 y al reordenar los trminos se obtiene el resultado final, a saber, la ecuacin 10-20. Dilatacin y mdulo de volumen. Cuando un material elstico se somete a esfuerzo normal, su volumen cambiar. Por ejemplo, conside- re un elemento de volumen que est sometido a los esfuerzos principales sx , sy , sz . Si los lados del elemento son originalmente dx, dy, dz, figura 10-21a, entonces despus de la aplicacin del esfuerzo se convierten en (1 + Px )dx, (1 + Py )dy, (1 + Pz )dz, figura 10-21b. Por lo tanto, el cambio de volumen en el elemento es Si no se toman en cuenta los productos de las deformaciones debido a que stas son muy pequeas. Se tiene El cambio de volumen por unidad de volumen se conoce como la de- formacin volumtrica o dilatacin e. sta puede escribirse como En comparacin, las deformaciones cortantes no modificarn el volumen del elemento, sino que slo cambiar su forma rectangular. (10-20)G = E 211 + n2 (10-21)Pmx = txy E 11 + n2 P1 = Pmx = gxy 2 dV = 11 + Px211 + Py211 + Pz2 dx dy dz - dx dy dz dV = 1Px + Py + Pz2 dx dy dz (10-22)e = dV dV = Px + Py + Pz x y (a) txy (a) dx dz dy x y smn txy smx txy up1 45 (b) x Figura 10-20 (b) (1 Py)dy (1 Px)dx (1 Pz)dz sz sy sx Figura 10-21 Capitulo 10_Hibbeler.indd 510 15/1/11 13:57:25 530. 10.6Relaciones entre las propiedades del material 511 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Adems, si se usa la ley de Hooke de acuerdo con la definicin dada por la ecuacin 10-18, es posible escribir la dilatacin en funcin del esfuerzo aplicado. Se tiene Cuando un elemento de volumen del material se somete a la presin uniforme p de un lquido, la presin sobre el cuerpo es igual en todas direc- ciones y siempre es normal a cualquier superficie sobre la que acta. Los esfuerzos cortantes no estn presentes, ya que la resistencia al cortante de un lquido es cero. Este estado de carga hidrosttica requiere que los esfuer- zos normales sean iguales en todas las direcciones, y por lo tanto un elemen- to del cuerpo est sometido a esfuerzos principales sx = sy = sz = -p, figura 10-22. Al sustituir en la ecuacin 10-23 y al reordenar trminos se obtiene Como esta proporcin es semejante a la relacin del esfuerzo lineal els- tico sobre la deformacin, que define a E, es decir, s>P = E, el trmino de la derecha se llama mdulo de elasticidad del volumen o mdulo de volumen. Tiene las mismas unidades que el esfuerzo y se simbolizar mediante la letra k; es decir, Tenga en cuenta que para la mayora de los metales v L 1 3 de modo que k L E. Si existe algn material que no cambie su volumen entonces dV = e = 0, y k tendra que ser infinita. Por lo tanto, a partir de la ecuacin 10-25, el valor terico mximo para la razn de Poisson es v = 0.5. Durante la cedencia, no se observa un cambio real en el volumen del material, por lo que cuando se produce cedencia plstica debe emplearse v = 0.5. (10-23)e = 1 - 2n E 1sx + sy + sz2 (10-24) p e = - E 311 - 2n2 (10-25)k = E 311 - 2n2 Puntos importantes Cuando un material isotrpico homogneo se somete a un es- tado de esfuerzo triaxial, la deformacin en cada direccin est influenciada por las deformaciones producidas por todos los es- fuerzos. ste es el resultado del efecto de Poisson, y de aqu se obtiene una forma generalizada de la ley de Hooke. A diferencia del esfuerzo normal, un esfuerzo cortante aplicado a un material isotrpico homogneo slo produce una deforma- cin cortante en el mismo plano. Las constantes E, G y v del material estn matemticamente re- lacionadas. La dilatacin o deformacin volumtrica se produce slo por la deformacin normal, no por la deformacin cortante. El mdulo de volumen es una medida de la rigidez de un volumen de material. Esta propiedad del material representa un lmite su- perior para la razn de Poisson de v = 0.5, la cual se mantiene en este valor cuando ocurre cedencia plstica. Esfuerzo hidrosttico sy p sx p sz p Figura 10-22 Capitulo 10_Hibbeler.indd 511 15/1/11 13:57:27 531. 512 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 10.9 La mnsula del ejemplo 10-8, figura 10-23a, est hecha de acero para el cual Eac = 200 GPa y vac = 0.3. Determine los esfuerzos principales en el punto A. SOLUCIN I En el ejemplo 10.8, las deformaciones principales se determinaron como Como el punto A est sobre la superficie de la mnsula para la cual no hay carga, el esfuerzo sobre la superficie es cero, por lo que el punto A est sometido a esfuerzo plano. Al aplicar la ley de Hooke con s3 = 0, se tiene Al resolver de manera simultnea las ecuaciones 1 y 2, se obtiene P2 = 33.9110-6 2 P1 = 272110-6 2 (1) (2)87.6 1106 2 = s2 - 0.3s1 9.33 110-6 2 = s2 2001109 2 - 0.3 2001109 2 s1P2 = s2 E - n E s1; 54.41106 2 = s1 - 0.3s2 272 110-6 2 = s1 2001109 2 - 0.3 2001109 2 s2P1 = s1 E - n E s2; Resp. Resp.s2 = 25.4 MPa s1 = 62.0 MPa Figura 10-23 (a) b a c A Capitulo 10_Hibbeler.indd 512 15/1/11 13:57:29 532. 10.6Relaciones entre las propiedades del material 513 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 SOLUCIN II El problema tambin puede resolverse usando el estado de deforma- cin dado, tal como se especifica en el ejemplo 10.8. Al aplicar la ley de Hooke en el plano x-y, se tiene El esfuerzo cortante se determina mediante la ley de Hooke para cor- tante. Sin embargo, primero es necesario calcular G. Por lo tanto, El crculo de Mohr para este estado de esfuerzo plano tiene un punto de referencia A(29.4 MPa, -11.46 MPa) y centro en sprom = 43.7 MPa, figura l0-23b. El radio se determina a partir del tringulo gris oscuro, NOTA: Cada una de estas soluciones es vlida siempre que el mate- rial sea elstico lineal e isotrpico, puesto que en ese caso los planos principales de esfuerzo y deformacin coinciden. s (MPa) 29.4 11.46 43.7 (b) s1s2 A C R 18.3 t (MPa) Figura 10-23 (cont.) Px = 60110-6 2 Py = 246110-6 2 gxy = -149110-6 2 sx = 29.4 MPa sy = 58.0 MPa 246110-6 2 = sy 2001109 2 Pa - 0.3sx 2001109 2 Pa Py = sy E - n E sx; 60110-6 2 = sx 2001109 2 Pa - 0.3sy 2001109 2 Pa Px = sx E - n E sy; G = E 211 + n2 = 200 GPa 211 + 0.32 = 76.9 GPa txy = 76.91109 2[-149110-6 2] = -11.46 MPatxy = Ggxy; R = 2143.7 - 29.422 + 111.4622 = 18.3 MPa Resp. Resp.s2 = 43.7 MPa - 18.3 MPa = 25.4 MPa s1 = 43.7 MPa + 18.3 MPa = 62.0 MPa Por lo tanto, Capitulo 10_Hibbeler.indd 513 15/1/11 13:57:31 533. 514 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 10.10 La barra de cobre que se muestra en la figura 10-24 est sometida a una carga uniforme a lo largo de sus bordes. Si tiene una longitud a = 300 mm, una anchura b = 50 mm y un grosor t = 20 mm antes de que la carga se aplique, determine su nueva longitud, anchura y grosor despus de la aplicacin de la carga. Considere Ecu = 120 GPa, vcu = 0.34. SOLUCIN Por inspeccin, la barra est sometida a un estado de esfuerzo plano. A partir de la carga se tiene Las deformaciones normales asociadas se determinan a partir de la ley de Hooke generalizada, ecuacin 10-18; es decir, Por lo tanto, la nueva longitud, la nueva anchura y el nuevo grosor de la barra son Figura 10-24 500 MPa 500 MPa 800 MPa 800 MPa a b t sx = 800 MPa sy = -500 MPa txy = 0 sz = 0 = 0 - 0.34 1201103 2 MPa 1800 MPa - 500 MPa2 = -0.000850 Pz = sz E - n E 1sx + sy2 = -500 MPa 1201103 2 MPa - 0.34 1201103 2 MPa 1800 MPa + 02 = -0.00643 Py = sy E - n E 1sx + sz2 = 800 MPa 1201103 2 MPa - 0.34 1201103 2 MPa 1-500 MPa + 02 = 0.00808 Px = sx E - n E 1sy + sz2 Resp. Resp. Resp.t = 20 mm + 1-0.0008502120 mm2 = 19.98 mm b = 50 mm + 1-0.006432150 mm2 = 49.68 mm a = 300 mm + 0.008081300 mm2 = 302.4 mm Capitulo 10_Hibbeler.indd 514 15/1/11 13:57:33 534. 10.6Relaciones entre las propiedades del material 515 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 EJEMPLO 10.11 Si el bloque rectangular que se muestra en la figura 10-25 se somete a una presin uniforme de p = 20 psi, determine la dilatacin y el cambio de longitud en cada lado. Considere E = 600 psi, v = 0.45. SOLUCIN Dilatacin. La dilatacin puede determinarse mediante la ecuacin 10-23 con sx = sy = sz = -20 psi. Se tiene Cambio en la longitud. La deformacin normal en cada lado pue- de determinarse a partir de la ley de Hooke, ecuacin 10-18; es decir, As, el cambio en la longitud de cada lado es Figura 10-25 a 4 pulg b 2 pulg c 3 pulg Resp.= -0.01 pulg3 >pulg3 = 1 - 210.452 600 psi [31-20 psi2] e = 1 - 2n E 1sx + sy + sz2 = 1 600 psi [-20 psi - 10.4521-20 psi - 20 psi2] = -0.00333 pulg>pulg P = 1 E [sx - n1sy + sz2] Resp. Resp. Resp.dc = -0.0033313 pulg2 = -0.0100 pulg db = -0.0033312 pulg2 = -0.00667 pulg da = -0.0033314 pulg2 = -0.0133 pulg Los signos negativos indican que cada una de las dimensiones se re duce. Capitulo 10_Hibbeler.indd 515 15/1/11 13:57:35 535. 516 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PROBLEMAS 10-30. Para el caso del esfuerzo plano, muestre que la ley de Hooke puede escribirse como *10-36. El eje de acero tiene un radio de 15 mm. Deter- mine el par de torsin T en el eje si los dos medidores de deformacin, unidos a la superficie del eje, reportan defor- maciones de Px = -80(10-6 ) y Py = 80(10-6 ). Adems, calcule las deformaciones que actan en las direcciones x y y. Eac = 200 GPa, vac = 0.3. 10-37. Determine el mdulo de volumen para cada uno de los siguientes materiales: (a) goma, Er = 0.4 ksi, vr = 0.48 y (b) vidrio, Eg = 8(103 ) ksi, vg = 0.24. 10-38. En la figura se muestran los esfuerzos principales en un punto. Si el material es acero A-36, determine las defor- maciones principales. 10-39. El recipiente esfrico a presin tiene un dimetro interior de 2 m y un grosor de 10 mm. A ste se encuentra unido un medidor de deformacin que tiene una longitud de 20 mm, y se observa un aumento de longitud de 0.012 mm cuando el recipiente est bajo presin. Determine la presin que causa esta deformacin y encuentre el esfuerzo cortante mximo en el plano, as como el esfuerzo cortante mximo absoluto en un punto sobre la superficie exterior del recipien- te. El material es acero, para el cual Eac = 200 GPa y vac = 0.3. 10-31. Use la ley de Hooke, ecuacin 10-18, a fin de desa- rrollar las ecuaciones para la transformacin de deformacio- nes, ecuaciones 10-5 y 10-6, con base en las ecuaciones de transformacin del esfuerzo, ecuaciones 9-1 y 9-2. *10-32. Una barra de aleacin de cobre se carga en una mquina de tensin y si se determina que Px = 940(10- 6 ) y sx = 14 ksi, sy = 0, sz = 0. Determine el mdulo de elastici- dad Ecu y la dilatacin ecu del cobre. vcu = 0.35. 10-33. Las deformaciones principales en un punto sobre el fuselaje de aluminio de un avin de propulsin son P1 = 780(10- 6 ) y P2 = 400(10-6 ). Determine los esfuerzos principa- les asociados en el punto ubicados en el mismo plano. Eal = 10(103 ) ksi, val = 0.33. Sugerencia: Vea el problema 10-30. 10-34. La varilla est fabricada de aluminio 2014-T6. Si est sometida a la carga de tensin de 700 N y tiene un dimetro de 20 mm, determine la deformacin cortante mxima abso- luta en la varilla en un punto sobre su superficie. 10-35. La varilla est fabricada de aluminio 2014-T6. Si est sometida a la carga de tensin de 700 N y tiene un di- metro de 20 mm, determine las deformaciones principales en un punto sobre la superficie de la varilla. sx = E 11 - n2 2 1Px + nPy2, sy = E 11 - n2 2 1Py + nPx2 700 N700 N Probs. 10-34/35 45 y x xy T T Prob. 10-36 12 ksi 20 ksi 8 ksi Prob. 10-38 20 mm Prob. 10-39 Capitulo 10_Hibbeler.indd 516 15/1/11 13:57:42 536. 10.6Relaciones entre las propiedades del material 517 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *10-40. Semideladeformacinenladireccinxenelpunto A sobre la viga de acero y se encuentra que Px = -100(10-6 ). Determine la carga aplicada P. Cul es la deformacin cor- tante gxy en el punto A? Eac = 29(103 ) ksi, vac = 0.3. 10-41. La seccin transversal de la viga rectangular est sometida al momento flexionante M. Determine una expre- sin para el aumento de la longitud de las lneas AB y CD. El material tiene un mdulo de elasticidad E y una razn de Poisson v. 10-42. En la figura se muestran los esfuerzos principales en un punto. Si el material es de aluminio para el cual Eal = 10(103 ) ksi y val = 0.33, determine las deformaciones prin- cipales. 10-43. Un solo medidor de deformacin, colocado sobre la superficie externa con un ngulo de 30 respecto al eje del tubo, da una lectura en el punto A de Pa = -200(10-6 ). De- termine la fuerza horizontal P si el tubo tiene un dimetro exterior de 2 pulg y un dimetro interior de 1 pulg. El tubo est fabricado de acero A-36. *10-44. Un solo medidor de deformacin, colocado en el plano vertical sobre la superficie externa con un ngulo de 30 respecto al eje del tubo, da una lectura en el punto A de Pa = -200(10-6 ). Determine las deformaciones principales en el punto A del tubo. ste tiene un dimetro exterior de 2 pulg y un dimetro interior de 1 pulg, y est fabricado de acero A-36. 10-45. El recipiente cilndrico a presin se fabrica usando tapas semiesfricas en los extremos a fin de reducir el esfuer- zo flexionante que se producira al utilizar tapas planas. Los esfuerzos flexionantes en las costuras, donde las tapas estn unidas, pueden eliminarse mediante la adecuada eleccin del grosor th y tc de las tapas y el cilindro, respectivamente. Esto requiere que la expansin radial sea igual para las dos semiesferas y el cilindro. Muestre que esta relacin es tc >th = (2 - v)>(1 - v). Suponga que el recipiente est fabricado del mismo material y que tanto el cilindro como las semiesferas tienen el mismo radio interior. Si el cilindro debe tener un grosor de 0.5 pulg. Cul es el grosor requerido de las se- miesferas? Considere v = 0.3. Prob. 10-45 tc th r 3 pies 4 pies 7 pies 0.5 pulg 0.5 pulg 8 pulg 0.5 pulg 6 pulg A 3 pulg y x P A 3 pulg Prob. 10-40 h b A B D C M Prob. 10-41 26 ksi 15 ksi 10 ksi Prob. 10-42 30 1.5 pies 2.5 pies A P Probs. 10-43/44 Capitulo 10_Hibbeler.indd 517 15/1/11 13:57:52 537. 518 Captulo 10Transformacin de la deformacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10-46. Las deformaciones principales en un plano, me- didas experimentalmente en un punto sobre el fuselaje de aluminio de un avin a propulsin, son P1 = 630(10- 6 ) y P2 = 350(10-6 ). Si ste es un caso de esfuerzo plano, determi- ne los esfuerzos principales asociados en el punto del mismo plano. Eal = 10(103 ) ksi y val = 0.33. 10-47. En la figura se muestran las deformaciones princi- pales en un punto. Si el material es aluminio para el cual Eal = 10(103 ) ksi y val = 0.33, determine las deformaciones principales. *10-48. La placa de aluminio 6061-T6 se inserta de mane- ra ajustada en una oquedad rgida. Determine los esfuerzos normales sx y sy desarrollados en la placa si la temperatura se incrementa en T = 50C. Para resolver este problema, agregue la deformacin trmica aT a las ecuaciones de la ley de Hooke. 10-49. En un inicio, los espacios entre la placa de acero A-36 y la oquedad rgida son los mostrados en la figura. De- termine los esfuerzos normales sx y sy desarrollados en la placa si la temperatura se incrementa en T = 100F. Para resolver este problema, agregue la deformacin trmica aT a las ecuaciones de la ley de Hooke. 10-50. Dos medidores de deformacin a y b estn unidos a una placa fabricada de un material que tiene un mdulo de elasticidad de E = 70 GPa y una razn de Poisson v = 0.35. Si los medidores dan una lectura de Pa = 450(10-6 ) y Pb = 100(10-6 ), determine las intensidades de las cargas uni- formemente distribuidas wx y wy que actan sobre la placa. El grosor de la placa es de 25 mm. 10-51. Dos medidores de deformacin a y b estn unidos a la superficie de una placa que se encuentra sometida a las car- gas uniformemente distribuidas wx = 700 kN>m y wy = -175 kN>m. Si los medidores dan una lectura de Pa = 450(10-6 ) y Pb = 100(10-6 ), determine el modulo de elasticidad E, el m- dulo de cortante G y la razn de Poisson v para el material. 3 ksi 4 ksi 8 ksi Prob. 10-47 300 mm 400 mmy x Prob. 10-48 6 pulg 0.0015 pulg 8 pulg 0.0025 pulg y x Prob. 10-49 y z x a b 45 wy wx Probs. 10-50/51 Capitulo 10_Hibbeler.indd 518 15/1/11 13:58:00 538. 10.6Relaciones entre las propiedades del material 519 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *10-52. El bloque se ajusta entre los soportes fijos. Si la junta pegada puede resistir un esfuerzo cortante mximo de tperm = 2 ksi, d

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