mecánica de materiales. beer, ferdinand, johnston, russell. 5a ed

1. Unidades de uso comn en Estados Unidos y sus equivalencias en unidades del SI Cantidad Unidades de uso comn Equivalente del SI en Estados Unidos Aceleracin rea in.2 Energa 1.356 J Fuerza kip 4.448 kN lb 4.448 N oz 0.2780 N Impulso Longitud ft 0.3048 m in. 25.40 mm mi 1.609 km Masa oz masa 28.35 g lb masa 0.4536 kg slug 14.59 kg ton 907.2 kg Momento de una fuerza Momento de inercia de un rea in.4 de una masa Potencia 1.356 W hp 745.7 W Presin o esfuerzo 47.88 Pa lb/in.2 (psi) 6.895 kPa Velocidad ft/s 0.3048 m/s in./s 0.0254 m/s mi/h (mph) 0.4470 m/s mi/h (mph) 1.609 km/h Volumen, slidos in.3 Lquidos gal 3.785 L qt 0.9464 L Trabajo 1.356 Jft lb 16.39 cm3 0.02832 m3 ft3 lb/ft2 ft lb/s 1.356 kg m2 lb ft s2 0.4162 106 mm4 0.1130 N mlb in. 1.356 N mlb ft 4.448 N slb s ft lb 645.2 mm2 0.0929 m2 ft2 0.0254 m/s2 in./s2 0.3048 m/s2 ft/s2

2. MECNICA DE MATERIALES

3. MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO Revisin tcnica: Jess Manuel Dorador G. Universidad Nacional Autnoma de Mxico FERDINAND P. BEER (finado) Late of Lehigh University E. RUSSELL JOHNSTON, JR. University of Connecticut JOHN T. DEWOLF University of Connecticut DAVID F. MAZUREK United States Coast Guard Academy MECNICA DE MATERIALES Quinta edicin

4. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha M. Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga Gutirrez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traduccin: Jess Elmer Murrieta Murrieta MECNICA DE MATERIALES Quinta edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS 2010, 2007, 2003, 1993, 1982 respecto a la quinta edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Prolongacin Paseo de la Reforma Nm. 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN-13: 978-607-15-0263-6 (ISBN: 970-10-6101-2 edicin anterior) Traducido de la quinta edicin en ingls de: Mechanics of Materials, fifth edition. Copyright 2009 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ISBN 0-07-722140-0 1234567890 109876543210 Impreso en Mxico Printed in Mexico

5. Acerca de los autores Como editores de los libros escritos por Ferd Beer y Russ Johnston, a me- nudo se nos pregunta cmo fue que escribieron juntos sus libros, cuando uno de ellos trabaja en Lehigh y el otro en la University of Connecticut. La respuesta a esta pregunta es sencilla. El primer trabajo docente de Russ Johnston fue en el Departamento de Ingeniera Civil y Mecnica de Lehigh University. Ah conoci a Ferd Beer, quien haba ingresado a ese departamento dos aos antes y estaba al frente de los cursos de mecnica. Fred Beer naci en Francia y se educ en ese pas y en Suiza. Alcanza el grado de maestro en Ciencias en la Sorbona y el de doctor en Ciencias en el campo de la mecnica terica en la Universidad de Ginebra. Lleg a Estados Uni- dos tras servir en el ejrcito francs a comienzos de la Segunda Guerra Mun- dial. Tambin ense durante cuatro aos en el Williams College en el programa conjunto de arte e ingeniera de Williams-MIT. Russ Johnston naci en Filadelfia y obtuvo el grado de licenciado en Ciencias en la Univer- sity of Delaware y el grado de Doctor en Ciencias en el campo de ingeniera estructural en el MIT. Beer se alegr al descubrir que el joven que haba sido contratado principalmente para impartir cursos de posgrado en ingeniera estructural no slo deseaba ayudarlo a reestructurar los cursos de mecnica, sino que estaba ansioso por hacerlo. Ambos compartan la idea de que estos cursos de- beran ensearse a partir de algunos principios bsicos y que los estudiantes entenderan y recordaran mejor los diversos conceptos involucrados si stos se presentaban de manera grfica. Juntos redactaron notas para las c- tedras de esttica y dinmica, a las que despus aadieron problemas que, pensaron, seran de inters para los futuros ingenieros. Pronto tuvieron en sus manos el manuscrito de la primera edicin de Mechanics for Engineers. Cuando apareci la segunda edicin de este texto y la primera edicin de Vector Mechanics for Engineers, Russ Johnston se hallaba en el Worcester Polytechnics Institute. Al publicarse las siguientes ediciones ya trabajaba en la University of Connecticut. Mientras tanto, Beer y Johnston haban asumido responsabilidades administrativas en sus departamentos, y ambos estaban involucrados en la investigacin, en la consultora y en la supervi- sin de estudiantes: Beer en el rea de los procesos estocsticos y de las vibraciones aleatorias, y Johnston en el rea de la estabilidad elstica y del diseo y anlisis estructural. Sin embargo, su inters por mejorar la ense- anza de los cursos bsicos de mecnica no haba menguado, y ambos di- rigieron secciones de estos cursos mientras continuaban revisando sus tex- vii

6. tos y comenzaron a escribir juntos el manuscrito para la primera edicin de Mechanics of Materials. Las contribuciones de Beer y Johnston a la educacin en la ingeniera les han hecho merecedores de varios premios y honores. Se les otorg el premio Western Electric Fund Award por la excelencia en la instruccin de los estudiantes de ingeniera por sus secciones regionales respectivas de la Ame- rican Society for Engineering Education, y ambos recibieron el Premio al Educador Distinguido (Distinguished Educator Award) de la Divisin de Me- cnica de la misma sociedad. En 1991 Jonhston recibi el Premio al Inge- niero Civil Sobresaliente (Outstanding Civil Engineer Award) de la seccin del estado de Connecticut de la American Society of Civil Engineering, y en 1995 Beer obtuvo el grado honorario de doctor en ingeniera por la Lehigh University. John T. DeWolf, profesor de ingeniera civil de la University of Con- necticut, se uni al equipo de Beer y Johnston como autor en la segunda edicin de Mecnica de materiales. John es licenciado en Ciencias en ingeniera civil por la University of Hawaii y obtuvo los grados de maestra y doctorado en ingeniera estructural por la Cornell University. Las reas de su inters en la investigacin son las de estabilidad elstica, monitoreo de puentes y anlisis y diseo estructural. Es miembro de la Junta de Examinadores de Ingenieros Profesionales del Estado de Connecticut y fue seleccionado como miembro del Magisterio de la Universit y of Connecticut en 2006. David F. Mazurek, profesor de ingeniera civil en la United States Coast Guard Academy, es un autor nuevo en esta edicin. David cuenta con una li- cenciatura en Ingeniera oceanogrfica y una maestra en Ingeniera civil por el Florida Institute of Technology, as como un doctorado en Ingeniera civil por la University of Connecticut. Los ltimos diecisiete aos ha trabajado para el Comit de Ingeniera y Mantenimiento de Vas y Caminos Estado- unidenses en el rea de estructuras de acero. Entre sus intereses profesionales se incluyen la ingeniera de puentes, el anlisis forense de estructuras y el diseo resistente a las explosiones. viii Acerca de los autores

7. Contenido Prefacio xv Lista de smbolos xxi 1 INTRODUCCIN. EL CONCEPTO DE ESFUERZO 1 1.1 Introduccin 2 1.2 Un breve repaso de los mtodos de la esttica 2 1.3 Esfuerzos en los elementos de una estructura 5 1.4 Anlisis y diseo 6 1.5 Carga axial. Esfuerzo normal 7 1.6 Esfuerzo cortante 9 1.7 Esfuerzo de apoyo en conexiones 11 1.8 Aplicacin al anlisis y diseo de estructuras sencillas 12 1.9 Mtodo para la solucin de problemas 14 1.10 Exactitud numrica 15 1.11 Esfuerzos en un plano oblicuo bajo carga axial 23 1.12 Esfuerzos bajo condiciones generales de carga. Componentes del esfuerzo 24 1.13 Consideraciones de diseo 27 Repaso y resumen del captulo 1 38 2 ESFUERZO Y DEFORMACIN. CARGA AXIAL 46 2.1 Introduccin 47 2.2 Deformacin normal bajo carga axial 48 2.3 Diagrama esfuerzo-deformacin 50 *2.4 Esfuerzo y deformacin verdaderos 55 2.5 Ley de Hooke. Mdulo de elasticidad 56 ixix

8. 2.6 Comportamiento elstico contra comportamiento plstico de un material 57 2.7 Cargas repetidas. Fatiga 59 2.8 Deformaciones de elementos sometidas a carga axial 61 2.9 Problemas estticamente indeterminados 70 2.10 Problemas que involucran cambios de temperatura 74 2.11 Relacin de Poisson 84 2.12 Carga multiaxial. Ley de Hooke generalizada 85 *2.13 Dilatacin. Mdulo de elasticidad volumtrico (o mdulo de compresibilidad) 87 2.14 Deformacin unitaria cortante 89 2.15 Anlisis adicional de las deformaciones bajo carga axial. Relacin entre E, y G 92 *2.16 Relaciones de esfuerzo-deformacin para materiales compuestos reforzados con fibras 95 2.17 Distribucin del esfuerzo y de la deformacin bajo carga axial. Principio de Saint-Venant 104 2.18 Concentraciones de esfuerzos 107 2.19 Deformaciones plsticas 109 *2.20 Esfuerzos residuales 113 Repaso y resumen del captulo 2 121 3 TORSIN 131 3.1 Introduccin 132 3.2 Anlisis preliminar de los esfuerzos en un eje 134 3.3 Deformaciones en un eje circular 136 3.4 Esfuerzos en el rango elstico 139 3.5 ngulo de giro en el rango elstico 150 3.6 Ejes estticamente indeterminados 153 3.7 Diseo de ejes de transmisin 165 3.8 Concentraciones de esfuerzo en ejes circulares 167 *3.9 Deformaciones plsticas en ejes circulares 172 *3.10 Ejes circulares hechos de un material elastoplstico 174 *3.11 Esfuerzos residuales en ejes circulares 177 *3.12 Torsin de elementos no circulares 186 *3.13 Ejes huecos de pared delgada 189 Repaso y resumen del captulo 3 198 4 FLEXIN PURA 208 4.1 Introduccin 209 4.2 Elemento simtrico sometido a flexin pura 211 4.3 Deformaciones en un elemento simtrico sometido a flexin pura 213 n x Contenido

9. 4.4 Esfuerzos y deformaciones en el rango elstico 216 4.5 Deformaciones en una seccin transversal 220 4.6 Flexin de elementos hechos de varios materiales 230 4.7 Concentracin de esfuerzos 234 *4.8 Deformaciones plsticas 243 *4.9 Elementos hechos de material elastoplstico 246 *4.10 Deformaciones plsticas en elementos con un solo plano de simetra 250 *4.11 Esfuerzos residuales 250 4.12 Carga axial excntrica en un plano de simetra 260 4.13 Flexin asimtrica 270 4.14 Caso general de carga axial excntrica 276 *4.15 Flexin de elementos curvos 285 Repaso y resumen del captulo 4 298 5 ANLISIS Y DISEO DE VIGAS PARA FLEXIN 307 5.1 Introduccin 308 5.2 Diagramas de cortante y de momento flector 311 5.3 Relaciones entre la carga, el cortante y el momento flector 322 5.4 Diseo de vigas prismticas a la flexin 332 *5.5 Uso de funciones de singularidad para determinar el cortante y el momento flector en una viga 343 *5.6 Vigas no prismticas 354 Repaso y resumen del captulo 5 363 6 ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS Y EN ELEMENTOS DE PARED DELGADA 371 6.1 Introduccin 372 6.2 Cortante en la cara horizontal de un elemento de una viga 374 6.3 Determinacin de los esfuerzos cortantes en una viga 376 6.4 Esfuerzos cortantes txy en tipos comunes de vigas 377 *6.5 Anlisis adicional sobre la distribucin de esfuerzos en una viga rectangular delgada 380 6.6 Corte longitudinal en un elemento de viga con forma arbitraria 388 6.7 Esfuerzos cortantes en elementos de pared delgada 390 *6.8 Deformaciones plsticas 392 *6.9 Carga asimtrica de elementos de pared delgada. Centro de cortante 402 Repaso y resumen del captulo 6 414 Contenido xi

10. 7 TRANSFORMACIONES DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES 422 7.1 Introduccin 423 7.2 Transformacin de esfuerzo plano 425 7.3 Esfuerzos principales. Esfuerzo cortante mximo 428 7.4 Crculo de Mohr para esfuerzo plano 436 7.5 Estado general de esfuerzos 446 7.6 Aplicacin del crculo de Mohr al anlisis tridimensional de esfuerzos 448 *7.7 Criterios de fluencia para materiales dctiles bajo esfuerzo plano 451 *7.8 Criterios de fractura para materiales frgiles bajo esfuerzo plano 453 7.9 Esfuerzos en recipientes de pared delgada a presin 462 *7.10 Transformacin de deformacin plana 470 *7.11 Crculo de Mohr para deformacin plana 473 *7.12 Anlisis tridimensional de la deformacin 475 *7.13 Mediciones de la deformacin. Roseta de deformacin 478 Repaso y resumen del captulo 7 486 8 ESFUERZOS PRINCIPALES BAJO UNA CARGA DADA 495 *8.1 Introduccin 496 *8.2 Esfuerzos principales en una viga 497 *8.3 Diseo de ejes de transmisin 500 *8.4 Esfuerzos bajo cargas combinadas 508 Repaso y resumen del captulo 8 521 9 DEFLEXIN DE VIGAS 529 9.1 Introduccin 530 9.2 Deformacin de una viga bajo carga transversal 532 9.3 Ecuacin de la curva elstica 533 *9.4 Determinacin directa de la curva elstica a partir de la distribucin de carga 538 9.5 Vigas estticamente indeterminadas 540 *9.6 Uso de funciones de singularidad para determinar la pendiente y la deflexin de una viga 549 9.7 Mtodo de superposicin 558 xii Contenido

11. 9.8 Aplicacin de la superposicin a vigas estticamente indeterminadas 560 *9.9 Teoremas de momento de rea 569 *9.10 Aplicacin a vigas en voladizo y vigas con cargas simtricas 571 *9.11 Diagramas de momento flector por partes 573 *9.12 Aplicacin de los teoremas de momento de rea a vigas con cargas asimtricas 582 *9.13 Deflexin mxima 584 *9.14 Uso de los teoremas de momento de rea con vigas estticamente indeterminadas 586 Repaso y resumen del captulo 9 594 10 COLUMNAS 606 10.1 Introduccin 607 10.2 Estabilidad de estructuras 608 10.3 Frmula de Euler para columnas articuladas 610 10.4 Extensin de la frmula de Euler para columnas con otras condiciones de extremo 614 *10.5 Carga excntrica. Frmula de la secante 625 10.6 Diseo de columnas bajo una carga cntrica 636 10.7 Diseo de columnas bajo una carga excntrica 652 Repaso y resumen del captulo 10 662 11 MTODOS DE ENERGA 669 11.1 Introduccin 670 11.2 Energa de deformacin 670 11.3 Densidad de energa de deformacin 672 11.4 Energa elstica de deformacin para esfuerzos normales 674 11.5 Energa de deformacin elstica para esfuerzos cortantes 677 11.6 Energa de deformacin para un estado general de esfuerzos 680 11.7 Cargas de impacto 693 11.8 Diseo para cargas de impacto 695 11.9 Trabajo y energa bajo una carga nica 696 11.10 Deflexin bajo una carga nica por el mtodo de trabajo-energa 698 *11.11 Trabajo y energa bajo varias cargas 709 *11.12 Teorema de Castigliano 711 *11.13 Deflexiones por el teorema de Castigliano 712 *11.14 Estructuras estticamente indeterminadas 716 Repaso y resumen del captulo 11 726 Contenido xiii

12. APNDICES 735 A Momentos de reas 736 B Propiedades tpicas de materiales seleccionados usados en ingeniera 746 C Propiedades de perfiles laminados de acero 750 D Deflexiones y pendientes de vigas 762 E Fundamentos de la certificacin en ingeniera en Estados Unidos 763 Crditos de fotografas 765 ndice 767 Respuestas a los problemas 777 xiv Contenido

13. PREFACIO OBJETIVOS El objetivo principal de un curso bsico de mecnica es lograr que el estudiante de ingeniera desarrolle su capacidad para analizar de una manera sencilla y lgica un problema dado, y que aplique a su solucin unos po- cos principios fundamentales bien entendidos. Este libro se dise para el primer curso de mecnica de materiales o de resistencia de materiales que se imparte a los estudiantes de ingeniera de segundo o tercer ao. Los autores esperan que la presente obra ayude al profesor a alcanzar esta meta en un curso en particular, de la misma manera que sus otros libros pueden haberle ayudado en esttica y dinmica. ENFOQUE GENERAL En este libro el estudio de la mecnica de materiales se basa en la comprensin de los conceptos bsicos y en el uso de modelos simplificados. Este enfoque hace posible deducir todas las frmulas necesarias de manera lgica y racional, e indicar claramente las condiciones bajo las que pueden aplicarse con seguridad al anlisis y diseo de estructuras ingenieriles y componentes de mquinas reales. Los diagramas de cuerpo libre se usan de manera extensa. Los diagramas de cuerpo libre se emplean extensamente en todo el libro para determinar las fuerzas internas o externas. El uso de ecuaciones en dibujo tambin permitir a los estudiantes comprender la superposicin de cargas, as como los esfuerzos y las deformaciones resultantes. Los conceptos de diseo se estudian a lo largo de todo el libro y en el momento apropiado. En el captulo 1 puede encontrarse un anlisis de la aplicacin del factor de seguridad en el diseo, donde se presentan los conceptos tanto de diseo por esfuerzo permisible como de diseo por factor de carga y resistencia. Se mantiene un balance cuidadoso entre las unidades del SI y las del sistema ingls. Puesto que es esencial que los estudiantes sean capaces de manejar tanto las unidades del sistema mtrico o SI como las del sistema ingls, la mitad de los ejemplos, los problemas modelo y los problemas de repaso se han planteado en unidades SI, y la otra mitad en unida- xv

14. des estadounidenses. Como hay disponible un gran nmero de problemas, los instructores pueden asignarlos utilizando cada sistema de unidades en la pro- porcin que consideren ms deseable para su clase. En las secciones opcionales se ofrecen temas avanzados o espe- cializados. En las secciones optativas se han incluido temas adicionales, como esfuerzos residuales, torsin de elementos no circulares y de pared delgada, flexin de vigas curvas, esfuerzos cortantes en elementos no simtri- cos, y criterios de falla, temas que pueden usarse en cursos con distintos al- cances. Para conservar la integridad del material de estudio, estos temas se presentan, en la secuencia adecuada, dentro de las secciones a las que por l- gica pertenecen. As, aun cuando no se cubran en el curso, estn altamente evidenciados, y el estudiante puede consultarlos si as lo requiere en cursos posteriores o en su prctica de la ingeniera. Por conveniencia, todas las secciones optativas se han destacado con asteriscos. ORGANIZACIN DE LOS CAPTULOS Se espera que los estudiantes que empleen este texto ya hayan completado un curso de esttica. Sin embargo, el captulo 1 se dise para brindarles la oportunidad de repasar los conceptos aprendidos en dicho curso, mientras que los diagramas de cortante y de momento flexionante se cubren con de- talle en las secciones 5.2 y 5.3. Las propiedades de momentos y centroides de reas se describen en el apndice A; este material puede emplearse para reforzar el anlisis de la determinacin de esfuerzos normales y cortantes en vigas (captulos 4, 5 y 6). Los primeros cuatro captulos del libro se dedican al anlisis de los esfuerzos y las deformaciones correspondientes en diversos elementos estructurales, considerando sucesivamente carga axial, torsin y flexin pura. Cada anlisis se sustenta en algunos conceptos bsicos, tales como las condiciones de equilibrio de las fuerzas ejercidas sobre el elemento, las relaciones existentes entre el esfuerzo y la deformacin unitaria del material, y las condiciones impuestas por los apoyos y la carga del elemento. El estudio de cada tipo de condicin de carga se complementa con un gran nmero de ejemplos, problemas modelo y problemas por resolver, diseados en su totalidad para fortalecer la comprensin del tema por parte de los alumnos. En el captulo 1 se introduce el concepto de esfuerzo en un punto, donde se muestra que una carga axial puede producir esfuerzos cortantes as como esfuerzos normales, dependiendo de la seccin considerada. El que los esfuerzos dependen de la orientacin de la superficie sobre la que se calculan se enfatiza de nuevo en los captulos 3 y 4, en los casos de torsin y flexin pura. Sin embargo, el anlisis de las tcnicas de clculo como el crculo de Mohr empleadas para la transformacin del esfuerzo en un punto se presenta en el captulo 7, despus de que los estudiantes han tenido la oportunidad de resolver los problemas que involucran una combinacin de las cargas bsicas y han descubierto por s mismos la necesidad de tales tcnicas. En el captulo 2, el anlisis de la relacin entre el esfuerzo y la deformacin en varios materiales incluye los materiales compuestos con reforza- miento fibroso. Tambin, el estudio de vigas bajo carga transversal se cubre en dos captulos por separado. El captulo 5 est dedicado a la determinacin de los esfuerzos normales en una viga y al diseo de vigas con base en los esfuerzos normales permisibles en el material empleado (seccin 5.4). El captulo empieza con un anlisis de los diagramas de cortante y de momento xvi Prefacio

15. flexionante (secciones 5.2 y 5.3) e incluye una seccin opcional acerca del uso de las funciones de singularidad para la determinacin del cortante y del momento flexionante en una viga (seccin 5.5). El captulo termina con una seccin optativa acerca de vigas no prismticas (seccin 5.6). El captulo 6 se dedica a la determinacin de los esfuerzos cortantes en vigas y elementos de pared delgada bajo cargas transversales. La frmula del flujo por cortante, q = VQ/I, se determina de la manera tradicional. Los aspectos ms avanzados del diseo de vigas, como la determinacin de los esfuerzos principales en la unin del patn y el alma de una viga W, se encuentran en el captulo 8, un captulo optativo que puede cubrirse despus de haber estudiado las transformaciones de esfuerzos en el captulo 7. El diseo de ejes de transmisin est en ese captulo por la misma razn, as como la determinacin de esfuerzos bajo cargas combinadas que ahora puede incluir la determinacin de los esfuerzos principales, de los planos principales, y del esfuerzo cortante mximo en un punto dado. Los problemas estticamente indeterminados se analizan primero en el captulo 2, y despus se manejan a lo largo de todo el texto para las diversas condiciones de carga encontradas. De esta manera, se les presenta a los estudiantes, desde una etapa temprana, un mtodo de solucin que combina el anlisis de deformaciones con el anlisis convencional de fuerzas empleado en esttica. As, se busca que al finalizar el curso el estudiante se encuentre completamente familiarizado con dicho mtodo fundamental. Adems, este enfoque ayuda a los estudiantes a darse cuenta de que los esfuerzos son estticamente indeterminados y slo pueden calcularse considerando la correspondiente distribucin de deformaciones unitarias. El concepto de deformacin plstica se introduce en el captulo 2, donde se aplica al anlisis de elementos bajo carga axial. Los problemas que involucran la deformacin plstica de ejes circulares y de vigas prismticas se consideran tambin en las secciones opcionales de los captulos 3, 4 y 6. Aun- que el profesor puede omitir parte de este material, si as lo cree pertinente, su inclusin en el cuerpo del libro se debi a que se considera til que los estudiantes comprendan las limitaciones de la suposicin de una relacin li- neal entre el esfuerzo y la deformacin unitaria, y servir para prevenirlos contra el uso inapropiado de las frmulas de torsin y de flexin elstica. En el captulo 9 se estudia la determinacin de la deflexin en vigas. La primera parte del captulo se dedica a los mtodos de integracin y de superposicin, e incluye una seccin opcional (la seccin 9.6) que se basa en el uso de las funciones de singularidad. (Esta seccin deber usarse nicamente despus de haber cubierto la 5.5.) La segunda parte del captulo 9 es opcional. Presenta el mtodo de rea de momento en dos lecciones. El captulo 10 se dedica al estudio de columnas y contiene material acerca del diseo de columnas de acero, aluminio y madera. El captulo 11 cubre los mtodos de energa, incluyendo el teorema de Castigliano. ASPECTOS PEDAGGICOS Cada captulo comienza con una seccin introductoria que establece el propsito y las metas del captulo, y describe en trminos sencillos el material a ser estudiado y sus aplicaciones a la solucin de problemas de ingeniera. Lecciones del captulo. El cuerpo del texto se ha dividido en unidades, y cada unidad consta de una o varias secciones de teora seguidas de problemas modelo y de un gran nmero de problemas de repaso. Cada unidad Prefacio xvii

16. corresponde a un tema bien definido y, por lo general, puede cubrirse en una sola leccin. Ejemplos y problemas modelo. Las secciones de teora incluyen muchos ejemplos diseados para ilustrar el material que se presenta y facilitar su comprensin. Los problemas modelo tienen la intencin de mostrar algunas de las aplicaciones de la teora a la solucin de problemas de ingeniera. Como estos problemas se plantean casi de la misma manera que los estudiantes utili- zarn para resolver los ejercicios asignados, los problemas modelo tienen el doble propsito de ampliar el texto y demostrar el tipo de trabajo limpio y or- denado que los estudiantes debern seguir en sus propias soluciones. Series de problemas de tarea. La mayor parte de los problemas son de naturaleza prctica y deben resultar atractivos a los estudiantes de ingeniera. Sin embargo, se disearon principalmente para ilustrar el material pre- sentado en el texto y para ayudar a los estudiantes a comprender los principios bsicos que se usan en la mecnica de materiales. Los problemas se han agrupado de acuerdo con las secciones del material que ilustran y se han aco- modado en orden ascendente de dificultad. Los problemas que requieren atencin especial se indican con asteriscos. Las respuestas a los problemas se encuentran al final del libro, con excepcin de aquellos cuyo nmero se ha impreso en cursiva. Repaso y resumen del captulo. Cada captulo termina con un repaso y un resumen del material cubierto en el captulo. Se han incluido notas al mar- gen para ayudar a los estudiantes a organizar su trabajo de repaso, y se dan referencias cruzadas para ayudarles a encontrar las partes que requieren atencin especial. Problemas de repaso. Al final de cada captulo se incluye una serie de problemas de repaso. Estos problemas proporcionan a los estudiantes una oportunidad adicional de aplicar los conceptos ms importantes presentados en el captulo. Problemas de computadora. La disponibilidad de las computadoras per- sonales permite a los estudiantes de ingeniera resolver un gran nmero de problemas complejos. Al final de cada captulo puede encontrarse un grupo de seis o ms problemas diseados para resolverse con una computadora. El desarrollo del algoritmo requerido para resolver un problema dado beneficiar a los estudiantes de dos maneras distintas: (1) les ayudar a obtener una mejor comprensin de los principios de mecnica involucrados; (2) les brindar la oportunidad de aplicar las habilidades adquiridas en su curso de programacin de computadoras a la solucin de problemas significativos de ingeniera. Examen de fundamentos de ingeniera. Los ingenieros que deseen obtener una licencia como ingenieros profesionales en Estados Unidos deben presentar dos exmenes. El primer examen, Fundamentals of Engineering Examination, incluye temas pertenecientes a la Mecnica de materiales. En el apndice E de este libro se presenta una lista de los temas de Mecnica de materiales que se cubren en este examen junto con algunos problemas que pueden resolverse para repasar dichos temas. RECURSOS COMPLEMENTARIOS Manual de soluciones del profesor. El Manual de soluciones del profesor que acompaa a la quinta edicin contina una tradicin de exactitud xviii Prefacio

17. excepcional y presenta las soluciones contenidas en una sola pgina con el fin de tener una referencia ms sencilla. El Manual tambin contiene tablas diseadas para ayudar a los profesores en la creacin de un programa de tareas para sus cursos. En la tabla I se enlistan los diferentes temas cubiertos en el texto, asimismo se indica un nmero sugerido de sesiones que pueden dedicarse a cada tema. En la tabla II se proporciona una descripcin breve de todos los grupos de problemas y una clasificacin de los problemas en cada grupo de acuerdo con las unidades. Dentro del manual tambin apare- cen muestras de cmo realizar la programacin de lecciones. ARIS de McGraw-Hill. Sistema de evaluacin, repaso e instruccin. ARIS (Assesment, Review, and Instruction System) es un sistema completo de tutora en lnea, tareas electrnicas y administracin del curso diseado para que los profesores elaboren y califiquen tareas, editen preguntas y al- goritmos, importen contenidos propios, diseen y compartan materiales de clase con otros profesores y publiquen anuncios y fechas de entrega para las tareas. ARIS califica y hace informes automticos de las tareas y exmenes que genera de manera algortmica. Los estudiantes obtienen el beneficio de la prctica ilimitada que les ofrecen los problemas algortmicos. Entre los recursos disponibles en ARIS se incluyen archivos en PowerPoint e imgenes extradas del texto. Visite el sitio en www.mhhe.com/beerjohnston. Hands-On Mechanics. Hands-On Mechanics (o mecnica prctica) es un sitio Web diseado por profesores interesados en incorporar ayudas prcticas tridimensionales a los temas que imparten durante sus clases. Este sitio, que fue elaborado por McGraw-Hill en sociedad con el Departamento de Inge- niera Civil y Mecnica de la United States Military Academy en West Point, no slo proporciona instrucciones detalladas de cmo construir herramientas tridimensionales con materiales que se pueden encontrar en cualquier labo- ratorio o tienda de materiales, sino que tambin proporciona el acceso a una comunidad donde los educadores pueden compartir ideas, intercambiar sus mejores prcticas y enviar sus propias demostraciones para colocarlas en el sitio. Visite www.handsonmechanics.com para ver cmo puede utilizar el sitio en su saln de clases. RECONOCIMIENTOS Los autores agradecen a las numerosas empresas que proporcionaron fotografas para esta edicin. Tambin desean reconocer el gran esfuerzo y la paciencia de la persona encargada de recopilar las fotografas, Sabina Dowell. Se reconoce, con gratitud, a Dennis Ormand de FineLine Illustrations de Far- mingdale, Nueva York, por las ingeniosas ilustraciones que contribuyeron en gran medida a la eficacia del texto. Un agradecimiento especial para el profesor Dean Updike, del departamento de ingeniera mecnica de Lehigh University, por su paciencia y coo- peracin al revisar las soluciones y respuestas a todos los problemas de esta edicin. Tambin se agradece la ayuda, los comentarios y las sugerencias ofreci- das por los numerosos usuarios de las ediciones previas de Mecnica de materiales. E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf David F. Mazurek Prefacio xix

18. a Constante; distancia A, B, C, . . . Fuerzas; reacciones A, B, C, . . . Puntos A, A rea b Distancia; ancho c Constante; distancia; radio C Centroide Constantes de integracin Factor de estabilidad de una columna d Distancia; dimetro; profundidad D Dimetro e Distancia; excentricidad; dilatacin E Mdulo de elasticidad f Frecuencia; funcin F Fuerza F.S. Factor de seguridad G Mdulo de rigidez; mdulo de corte h Distancia; altura H Fuerza H, J, K Puntos Momento de inercia Producto de inercia J Momento polar de inercia k Constante de resorte; factor de forma; mdulo volumtrico; constante K Factor de concentracin de esfuerzos; constante de resorte de torsin l Longitud; claro L Longitud; claro Longitud efectiva m Masa M Par Momento flector Momento flector, carga muerta (DCFR) Momento flector, carga viva (DCFR) Momento flector, carga ltima (DCFR) n Nmero, relacin de mdulos de elasticidad; direccin normal p Presin P Fuerza; carga concentrada Carga muerta (DCFR) Carga viva (DCFR)PL PD MU ML MD M, Mx, . . . Le Ixy, . . . I, Ix, . . . CP C1, C2, . . . xxi Carga ltima (DCFR) q Fuerza cortante por unidad de longitud; flujo cortante Q Fuerza Q Primer momento de rea r Radio; radio de giro R Fuerza; reaccin R Radio; mdulo de ruptura s Longitud S Mdulo elstico de seccin t Espesor; distancia; desviacin tangencial T Momento de torsin T Temperatura u, v Coordenadas rectangulares u Densidad de energa de deformacin U Energa de deformacin; trabajo v Velocidad V Fuerza cortante V Volumen; corte w Ancho; distancia; carga por unidad de longitud W, W Peso; carga x, y, z Coordenadas rectangulares; distancia; desplaza- mientos; deflexiones Coordenadas del centroide Z Mdulo plstico de seccin ngulos Coeficiente de expansin trmica; coeficiente de influencia Deformacin de corte; peso especfico Factor de carga, carga muerta (DCFR) Factor de carga, carga viva (DCFR) Deformacin; desplazamiento Deformacin unitaria normal ngulo; pendiente Coseno director Relacin de Poisson Radio de curvatura; distancia; densidad Esfuerzo normal Esfuerzo cortante ngulo; ngulo de giro; factor de resistencia Velocidad angular f t s r n l u d gL gD g a a, b, g x, y, z PU Lista de smbolos

19. MECNICA DE MATERIALES

20. Introduccin. El concepto de esfuerzo 1Introduccin. El concepto de esfuerzo Este captulo se dedica al estudio de los esfuerzos que ocurren en muchos de los elementos contenidos en estas excavadoras, como los elementos con dos fuerzas, los ejes, los pernos y los pasadores. 1 C A P T U L O

21. 1.1 INTRODUCCIN El objetivo principal del estudio de la mecnica de materiales es suministrar al futuro ingeniero los conocimientos para analizar y disear las diversas m- quinas y estructuras portadoras de carga. Tanto el anlisis como el diseo de una estructura dada involucran la determinacin de esfuerzos y deformaciones. Este primer captulo est dedicado al concepto de esfuerzo. La seccin 1.2 es un breve repaso de los mtodos bsicos de la esttica y de la aplicacin de esos mtodos a la determinacin de las fuerzas en los elementos de una estructura sencilla que se componga de elementos unidos entre s por pernos. En la seccin 1.3 se introducir el concepto de esfuerzo en un elemento de una estructura, y se mostrar cmo puede determi- narse ese esfuerzo a partir de la fuerza en el elemento. Tras una breve revisin del anlisis y diseo de ingeniera (seccin 1.4), se abordan, de manera sucesiva, los esfuerzos normales en un elemento bajo carga axial (seccin 1.5), los esfuerzos cortantes ocasionados por la aplicacin de fuerzas transversales iguales y opuestas (seccin 1.6) y los esfuerzos de apoyo creados por los pernos y pasadores en los elementos que conectan (seccin 1.7). Estos conceptos sern aplicados en la seccin 1.8 a la determinacin de los esfuerzos en la estructura sencilla que se consider en la seccin 1.2. La primera parte del captulo termina con una descripcin del mtodo que deber utilizarse en la solucin de problemas propuestos (seccin 1.9) y con el estudio de la exactitud numrica adecuada para los clculos de ingeniera (seccin 1.10). En la seccin 1.11, donde un elemento con dos fuerzas bajo carga axial se considera de nuevo, se observar que los esfuerzos en un plano oblicuo incluyen tanto esfuerzos normales como cortantes, mientras que en la seccin 1.12 se analizar que se requieren seis componentes para describir el estado de esfuerzos en un punto en un cuerpo bajo las condiciones ms generales de carga. Finalmente, la seccin 1.13 se enfocar a la determinacin, a partir de especmenes de prueba, de la resistencia ltima de un material dado y al uso de un factor de seguridad en el clculo de la carga permisible para un componente estructural fabricado con dicho material. 1.2 UN BREVE REPASO DE LOS MTODOS DE LA ESTTICA En esta seccin se repasarn los mtodos bsicos de la esttica al mismo tiempo que se determinan las fuerzas en los elementos de una estructura sencilla. Considere la estructura mostrada en la figura 1.1, diseada para soportar una carga de 30 kN. Consta de un aguiln AB con una seccin transversal rectangular de y de una varilla BC con una seccin transversal circular de 20 mm de dimetro. El aguiln y la varilla estn conectados por un perno en B y los soportan pernos y mnsulas en A y en C, respectivamente. El primer paso ser dibujar el diagrama de cuerpo libre de la estructura, desprendindola de sus soportes en A y en C, y mostrando las reacciones que estos soportes ejercen sobre la estructura (figura 1.2). Advierta que el boceto de la estructura se ha simplificado omitiendo los detalles inne- cesarios. En este punto algunos habrn reconocido que AB y BC son elementos con dos fuerzas. Para quienes no lo hayan hecho, se proseguir el anlisis, ignorando este hecho y suponiendo que las direcciones de las reacciones en A y en C se desconocen. Cada una de estas reacciones, por lo tanto, ser 30 50 mm 2 Introduccin. El concepto de esfuerzo

22. representada por dos componentes, Ax y Ay en A, y Cx y Cy en C. Se escribirn las tres siguientes ecuaciones de equilibrio: (1.1) (1.2) (1.3) Note que se han encontrado dos de las cuatro incgnitas, pero que no es posible determinar las otras dos de estas ecuaciones, y no pueden obtenerse ecuaciones independientes adicionales a partir del diagrama de cuerpo libre de la estructura. Ahora debe desmembrarse la estructura. Considerando el diagrama de cuerpo libre del aguiln AB (figura 1.3), se escribir la siguiente ecuacin de equilibrio: (1.4) Al sustituir Ay de la ecuacin (1.4) en la ecuacin (1.3), se obtiene que Expresando los resultados obtenidos para las reacciones en A y en C en forma vectorial, se tiene que Observe que la reaccin en A se dirige a lo largo del eje del aguiln AB y que causa compresin en ese elemento. Al notar que los componentes Cx y Cy de la reaccin en C son respectivamente proporcionales a las componentes horizontal y vertical de la distancia de B a C, se concluye que la reaccin en C es igual a 50 kN, que est dirigida a lo largo del eje de la varilla BC, y que causa tensin en ese elemento. A 40 kN S Cx 40 kN d, Cy 30 kNc Cy 30 kN. Ay10.8 m2 0 Ay 0g MB 0: Ay Cy 30 kN Ay Cy 30 kN 0c Fy 0: Cx Ax Cx 40 kN Ax Cx 0S Fx 0: Ax 40 kN Ax10.6 m2 130 kN210.8 m2 0g MC 0: 800 mm 50 mm 30 kN 600 mm d = 20 mm C A B Figura 1.1 Figura 1.2 Figura 1.3 30 kN 0.8 m Ay By A BAx Bz 30 kN 0.8 m 0.6 m B Cx Cy Ay C AAx 1.2 Un breve repaso de los mtodos 3de la esttica

23. Estos resultados podran haberse anticipado reconociendo que AB y BC son elementos con dos fuerzas, es decir, elementos sometidos a fuerzas slo en dos puntos, siendo estos puntos A y B para el elemento AB y B y C para el elemento BC. De hecho, para un elemento con dos fuerzas las lneas de accin de las resultantes de las fuerzas que actan en cada uno de los dos puntos son iguales y opuestas y pasan a travs de ambos puntos. Utilizando esta propiedad, podra haberse obtenido una solucin ms sencilla si se considera el diagrama de cuerpo libre del perno B. Las fuerzas sobre el perno B son las fuerzas FAB y FBC ejercidas, respectivamente, por los elementos AB y BC, y la carga de 30 kN (figura 1.4a). Se dice que el perno B est en equilibrio dibujando el tringulo de fuerzas correspondiente (figura 1.4b). Ya que la fuerza FBC se dirige a lo largo del elemento BC, su pendiente es la misma que BC, es decir, Por lo tanto, puede escribirse la pro- porcin de la que se obtiene Las fuerzas y que el perno B ejerce sobre, respectivamente, el aguiln AB y sobre la varilla BC son iguales y opuestas a FAB y a FBC (figura 1.5). FBCFAB FAB 40 kN FBC 50 kN FAB 4 FBC 5 30 kN 3 34. 4 Introduccin. El concepto de esfuerzo Si se conocen las fuerzas en los extremos de cada uno de los elementos, es posible determinar las fuerzas internas de estos elementos. Al efectuar un corte en algn punto arbitrario, D, en la varilla BC, se obtienen dos porciones, BD y CD (figura 1.6). Como deben aplicarse fuerzas de 50 kN en D a ambas porciones de la varilla, para mantenerlas en equilibrio, se concluye que una fuerza interna de 50 kN se produce en la varilla BC cuando se aplica una carga de 30 kN en B. Se constata, de manera adicional, por las direcciones en las fuerzas FBC y en la figura 1.6, que la varilla se encuentra en tensin. Un procedimiento similar permitira determinar que la fuerza interna en el aguiln AB es de 40 kN y que el aguiln est en compresin. FBC Figura 1.4 a) b) FBC FBC FAB FAB 30 kN 30 kN 3 5 4 B FBC F'BC C D FBC F'BCB D Figura 1.6Figura 1.5 FAB F'AB FBC F'BCB A B C

24. 1.3 ESFUERZOS EN LOS ELEMENTOS DE UNA ESTRUCTURA Si bien los resultados obtenidos en la seccin precedente representan un primer paso necesario en el anlisis de la estructura dada, ellos son insuficien- tes para determinar si la carga puede ser soportada con seguridad. Por ejemplo, el que la varilla BC pueda romperse o no hacerlo bajo esta carga depende no slo del valor encontrado para la fuerza interna FBC, sino tambin del rea transversal de la varilla y del material con que sta haya sido elaborada. De hecho, la fuerza interna FBC en realidad representa la resultante de las fuerzas elementales distribuidas a lo largo de toda el rea A de la seccin transversal (figura 1.7), y la intensidad promedio de estas fuerzas distribuidas es igual a la fuerza por unidad de rea, FBC/A, en la seccin. El hecho de que la varilla se rompa o no bajo la carga dada, depende claramente de la capacidad que tenga el material de soportar el valor correspondiente FBC/A de la intensidad de las fuerzas internas distribuidas. Por lo tanto, la resistencia a la fractura depende de la fuerza FBC, del rea transversal A y del material de la varilla. La fuerza por unidad de rea, o la intensidad de las fuerzas distribuidas a travs de una seccin dada, se llama esfuerzo sobre esa seccin y se representa con la letra griega (sigma). El esfuerzo en un elemento con rea transversal A sometido a una carga axial P (figura 1.8) se obtiene, por lo tanto, al dividir la magnitud P de la carga entre el rea A: (1.5) Se emplear un signo positivo para indicar un esfuerzo de tensin (el elemento a tensin) y un signo negativo para indicar un esfuerzo compresivo (el elemento a compresin). Debido a que se emplean unidades del sistema SI en estos anlisis, con P expresada en newtons (N) y A en metros cuadrados (m2 ), el esfuerzo se expresar en N/m2 . Esta unidad se denomina pascal (Pa). Sin embargo, el pascal es una unidad muy pequea, por lo que, en la prctica, deben emplearse mltiplos de esta unidad, como el kilopascal (kPa), el megapascal (MPa) y el gigapascal (GPa). Se tiene que Cuando se utilizan las unidades acostumbradas en Estados Unidos, la fuerza P comnmente se expresa en libras (lb) o kilolibras (kip), y el rea transversal A en pulgadas cuadradas (in.2 ). El esfuerzo s, en consecuencia, se presenta en libras por pulgada cuadrada (psi) o en kilolibras por pulgada cuadrada (ksi). 1 GPa 109 Pa 109 N/m2 1 MPa 106 Pa 106 N/m2 1 kPa 103 Pa 103 N/m2 s s P A s Las unidades principales SI y americanas utilizadas en mecnica se incluyen en tablas en el interior de la cubierta frontal de este libro. De la tabla del lado derecho, se observa que 1 psi es apro- ximadamente igual a 7 kPa, y que 1 ksi se aproxima a 7 MPa. Figura 1.7 A FBCFBC A Figura 1.8 a) b) A P A P' P' P 1.3 Esfuerzos en los elementos 5de una estructura

25. 1.4 ANLISIS Y DISEO Considerando nuevamente la estructura de la figura 1.1, suponga que la varilla BC es de un acero que presenta un esfuerzo mximo permisible Puede soportar la varilla BC con seguridad la carga a la que se le someter? La magnitud de la fuerza FBC en la varilla se calcul con anterioridad en un valor de 50 kN. Recuerde que el dimetro de la varilla es de 20 mm, por lo que deber utilizarse la ecuacin (1.5) para determinar el esfuerzo creado en la varilla por la carga dada. As se tiene que Como el valor obtenido para s es menor que el valor sperm del esfuerzo permisible del acero utilizado, se concluye que la varilla BC soportar con seguridad la carga a la que ser sujeta. Para que el anlisis de la estructura dada sea completo, tambin deber incluirse la determinacin del esfuerzo de compresin en el aguiln AB, as como una investigacin de los esfuerzos producidos en los pasadores y en sus soportes. Esto se estudiar ms adelan- te en este mismo captulo. Tambin es necesario determinar si las deformaciones producidas por la carga dada son aceptables. El estudio de la deformacin bajo cargas axiales ser el tema del captulo 2. Una consideracin adicional, requerida por los elementos bajo compresin, involucra la estabilidad del elemento, es decir, su capacidad para soportar una carga dada sin experimentar un cambio sbito de configuracin. Este tema se abordar en el captulo 10. El papel del ingeniero no se restringe al anlisis de las estructuras y m- quinas existentes sometidas a condiciones dadas de carga. Un asunto de mayor importancia que interesa a los ingenieros es el diseo de estructuras y mquinas nuevas, es decir, la seleccin de los componentes apropiados para desempear una tarea dada. Como ejemplo de diseo, vase otra vez la estructura de la figura 1.1; suponga que se emplear en ella aluminio, el cual tiene un esfuerzo permisible sperm 100 MPa. Debido a que la fuerza en la varilla BC ser P FBC 50 kN bajo la carga dada, se emplea la ecuacin (1.5), y, ya que A pr2 , Se concluye que una varilla de aluminio de 26 mm, o de dimetro mayor, se- r adecuada. d 2r 25.2 mm r B A p B 500 106 m2 p 12.62 103 m 12.62 mm sperm P A A P sperm 50 103 N 100 106 Pa 500 106 m2 s P A 50 103 N 314 106 m2 159 106 Pa 159 MPa A pr2 pa 20 mm 2 b 2 p110 103 m22 314 106 m2 P FBC 50 kN 50 103 N sperm 165 MPa. 6 Introduccin. El concepto de esfuerzo

26. 1.5 CARGA AXIAL. ESFUERZO NORMAL Como ya se ha indicado, la varilla BC del ejemplo considerado en la seccin precedente es un elemento sometido a dos fuerzas y, por lo tanto, las fuerzas FBC y que actan en sus extremos B y C (figura 1.5) se dirigen a lo largo del eje de la varilla. Se dice que la varilla se encuentra bajo carga axial. Un ejemplo real de elementos estructurales bajo carga axial es dado por los elementos de la armadura del puente que se muestra en la figura 1.9. FBC Figura 1.9 Esta armadura de puente se compone de elementos de dos fuerzas que pueden estar en tensin o en compresin. Figura 1.10 P' Q A F 1.5 Carga axial. Esfuerzo normal 7 Retornando a la varilla BC de la figura 1.5, hay que recordar que la es- cisin a la que se le someti para determinar su fuerza interna y su correspondiente esfuerzo era perpendicular a su eje; la fuerza interna era, por lo tanto, normal al plano de la seccin (figura 1.7) y el esfuerzo correspondiente se describe como un esfuerzo normal. As, la frmula (1.5) da el esfuerzo normal en un elemento bajo carga axial: (1.5) Es preciso advertir que, en la frmula (1.5), s se obtiene al dividir la magnitud P de la resultante de las fuerzas internas distribuidas en la seccin transversal entre el rea A de la seccin transversal; representa, por lo tanto, el valor promedio del esfuerzo a travs de la seccin transversal, y no el valor de un esfuerzo en un punto especfico de la seccin transversal. Para definir el esfuerzo en un punto dado Q en la seccin transversal, debe considerarse una pequea rea (figura 1.10). Cuando se divide la magnitud de entre , se obtiene el valor promedio del esfuerzo a travs de . Al aproximar a cero, se halla el esfuerzo en el punto Q: (1.6)s lm AS0 F A AA AF A s P A

27. En general, el valor obtenido para el esfuerzo, s, en un punto dado, Q, de la seccin es diferente al valor del esfuerzo promedio dado por la frmula (1.5), y se encuentra que s vara a travs de la seccin. En una varilla delgada sujeta a cargas concentradas, P y , iguales y opuestas (figura 1.11a), la variacin es pequea en una seccin que se encuentre lejos de los puntos de aplicacin de las cargas concentradas (figura 1.11c), pero es bastante no- toria en el vecindario de estos puntos (figuras 1.11b y d). De la ecuacin (1.6), se deduce que la magnitud de la resultante de las fuerzas internas distribuidas es No obstante, las condiciones de equilibrio de cada una de las porciones de varilla mostradas en la figura 1.11 requiere que esta magnitud sea igual a la magnitud P de las cargas concentradas. Se tiene, entonces, (1.7) lo que significa que el volumen bajo cada una de las superficies esforzadas en la figura 1.11 debe ser igual a la magnitud P de las cargas. Esto, sin embargo, es la nica informacin que es posible determinar a partir de nuestro conocimiento sobre esttica, con respecto a la distribucin de los esfuerzos normales en las diversas secciones de la varilla. La distribucin real de los esfuerzos en cualquier seccin dada es estticamente indeterminada. Para sa- ber ms acerca de esta distribucin, es necesario considerar las deformaciones que resultan del modo particular de la aplicacin de las cargas en los extremos de la varilla. Esto se explicar con mayor atencin en el captulo 2. En la prctica, se supondr que la distribucin de los esfuerzos normales en un elemento cargado axialmente es uniforme, excepto en la vecindad inmediata de los puntos de aplicacin de las cargas. El valor s del esfuerzo es entonces igual a sprom y puede calcularse con la frmula (1.5). Sin embargo, hay que darse cuenta de que, cuando se supone una distribucin uniforme de los esfuerzos en la seccin, es decir, cuando se supone que las fuerzas internas se encuentran distribuidas uniformemente a travs de la seccin, la esttica elemental dice que la resultante P de las fuerzas internas debe aplicarse en el centroide C de la seccin (figura 1.12). Esto significa que una distribucin uniforme del esfuerzo es posible slo si la lnea de accin de las cargas concentradas P y pasa a travs del centroide de la seccin considerada (figura 1.13). Este tipo de carga se denomina carga cntrica y se supondr que tiene lugar en todos los elementos rectos de dos fuerzas que se encuentran en armaduras y en estructuras conectadas con pasadores, como la que se considera en la figura 1.1. Sin embargo, si un elemento con dos fuerzas est cargado de manera axial, pero excntricamente, como en la figura P P dF A s dA dF A s dA P 8 Introduccin. El concepto de esfuerzo P' P P' P' P' a) b) c) d) Figura 1.11 C P Figura 1.12 Vase Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston, Jr., Mechanics for Engineers, 4a. ed., McGraw- Hill, Nueva York, 1987, o Vector Mechanics for Engineers, 6a. ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1996, secciones 5.2 y 5.3.

28. 1.14a, se encuentra que, a partir de las condiciones de equilibrio de la porcin del elemento que se muestra en la figura 1.14b, las fuerzas internas en una seccin dada deben ser equivalentes a una fuerza P aplicada al centroide de la seccin y a un par M cuyo momento es La distribucin de fuerzas y, por lo tanto, la correspondiente distribucin de esfuerzos no puede ser uniforme. Tampoco la distribucin de esfuerzos puede ser simtrica como se muestra en la figura 1.11. Este punto se analizar detalladamen- te en el captulo 4. 1.6 ESFUERZO CORTANTE Las fuerzas internas y sus correspondientes esfuerzos estudiados en las secciones 1.2 y 1.3, eran normales a la seccin considerada. Un tipo muy diferente de esfuerzo se obtiene cuando se aplican fuerzas transversales P y a un elemento AB (figura 1.15). Al efectuar un corte en C entre los puntos de aplicacin de las dos fuerzas (figura 1.16a), obtenemos el diagrama de la porcin AC que se muestra en la figura 1.16b. Se concluye que deben exis- tir fuerzas internas en el plano de la seccin, y que su resultante es igual a P. Estas fuerzas internas elementales se conocen como fuerzas cortantes, y la magnitud P de su resultante es el cortante en la seccin. Al dividir el cor- P M Pd. 1.6 Esfuerzo cortante 9 Figura 1.14 P' P C Figura 1.13 Figura 1.15 Figura 1.16 A B P' P A C A C B P' P P' P a) b) P P MC d P' d P' a) b)

29. tante P entre el rea A de la seccin transversal, se obtiene el esfuerzo cortante promedio en la seccin. Representando el esfuerzo cortante con la letra griega t (tau), se escribe (1.8) Debe enfatizarse que el valor obtenido es un valor promedio para el esfuerzo cortante sobre toda la seccin. Al contrario de lo dicho con anterioridad para los esfuerzos normales, en este caso no puede suponerse que la distribucin de los esfuerzos cortantes a travs de una seccin sea uniforme. Como se ver en el captulo 6, el valor real t del esfuerzo cortante vara de cero en la superficie del elemento hasta un valor mximo tmx que puede ser mucho mayor que el valor promedio, tprom. tprom P A 10 Introduccin. El concepto de esfuerzo Figura 1.17 Vista en corte de una conexin con un perno en cortante. Los esfuerzos cortantes se encuentran comnmente en pernos, pasadores y remaches utilizados para conectar diversos elementos estructurales y componentes de mquinas (figura 1.17). Considere dos placas A y B conectadas por un perno CD (figura 1.18). Si a las placas se les somete a fuerzas de tensin de magnitud F, se desarrollarn esfuerzos en la seccin del perno que corresponde al plano . Al dibujar los diagramas del perno y de la porcin localizada por encima del plano (figura 1.19), se concluye que el cortante P en la seccin es igual a F. Se obtiene el esfuerzo cortante promedio en la seccin, de acuerdo con la frmula (1.8), dividiendo el cortante entre el rea A de la seccin transversal: (1.9)tprom P A F A P F EE EE C D A F E' F' B E C C D F F PE' F' E a) b) Figura 1.18 Figura 1.19

30. 1.7 Esfuerzo de apoyo en conexiones 11 K AB L E H G J C D K' L' FF' Figura 1.20 Figura 1.22 K L H J K' L' F FC FD F P P a) b) Figura 1.21 Figura 1.23 A d t A C D d t F P F' El perno que se ha considerado est en lo que se conoce como cortante simple. Sin embargo, pueden surgir diferentes condiciones de carga. Por ejemplo, si las placas de empalme C y D se emplean para conectar las placas A y B (figura 1.20), el corte tendr lugar en el perno HJ en cada uno de los dos planos y (al igual que en el perno EG). Se dice que los pernos estn en corte doble. Para determinar el esfuerzo cortante promedio en cada plano, se dibujan los diagramas de cuerpo libre del perno HJ y de la porcin del perno localizada entre los dos planos (figura 1.21). Observando que el corte P en cada una de las secciones es se concluye que el esfuerzo cortante promedio es (1.10) 1.7 ESFUERZO DE APOYO EN CONEXIONES Los pernos, pasadores y remaches crean esfuerzos en la superficie de apoyo o superficie de contacto de los elementos que conectan. Por ejemplo, considere nuevamente las dos placas A y B conectadas por un perno CD que se analizaron en la seccin precedente (figura 1.18). El perno ejerce una fuerza P sobre la placa A igual y opuesta a la fuerza F ejercida por la placa sobre el perno (figura 1.22). La fuerza P representa la resultante de las fuerzas elementales distribuidas en la superficie interior de un medio cilindro de dimetro d y longitud t igual al espesor de la placa. Como la distribucin de estas fuerzas, y de los esfuerzos correspondientes, es muy complicada, en la prctica se utiliza un valor nominal promedio sb para el esfuerzo, llamado esfuerzo de apoyo, que se obtiene de dividir la carga P entre el rea del rec- tngulo que representa la proyeccin del perno sobre la seccin de la placa (figura 1.23). Debido a que esta rea es igual a td, donde t es el espesor de la placa y d el dimetro del perno, se tiene que (1.11)sb P A P td tprom P A F2 A F 2A P F2, LLKK

31. 1.8 APLICACIN AL ANLISIS Y DISEO DE ESTRUCTURAS SENCILLAS Despus de revisar los temas anteriores, ahora ya se est en posibilidad de determinar los esfuerzos en los elementos y conexiones de varias estructuras bidimensionales sencillas y, por lo tanto, de disear tales estructuras. Como ejemplo, vase la estructura de la figura 1.1, que ya se ha considerado en la seccin 1.2, para especificar los apoyos y conexiones en A, B y C. Como se observa en la figura 1.24, la varilla de 20 mm de dimetro BC tiene extremos planos de seccin rectangular de 20 40 mm, en tanto que el aguiln AB tiene una seccin transversal de 30 50 mm y est provista de una horquilla en el extremo B. Ambos elementos se conectan en B por un pasador del que cuelga la carga de 30 kN por medio de una mnsula en forma de U. Al aguiln AB lo soporta en A un pasador introducido en una mnsula doble, mientras que la varilla BC se conecta en C a una mnsula simple. Todos los pasadores tienen 25 mm de dimetro. 12 Introduccin. El concepto de esfuerzo a. Determinacin del esfuerzo normal en el aguiln AB y en la varilla BC. Como se ha visto en las secciones 1.2 y 1.4, la fuerza en la varilla BC es (a tensin) y el rea de su seccin transversal circular es el esfuerzo normal promedio correspondiente es Sin embargo, las partes planas de la varilla tambin sesBC 159 MPa. A 314 106 m2 ; FBC 50 kN 800 mm 50 mm Q = 30 kN Q = 30 kN 600 mm 20 mm 20 mm 25 mm 30 mm 25 mm d = 25 mm d = 25 mm d = 20 mm d = 20 mm d = 25 mm 40 mm 20 mm A A B B B C C B VISTA FRONTAL VISTA SUPERIOR DEL AGUILN AB VISTA DE EXTREMO VISTA SUPERIOR DE LA VARILLA BCExtremo plano Extremo plano Figura 1.24

32. encuentran bajo tensin y en la seccin ms angosta, donde se encuentra el agujero, se tiene El valor promedio correspondiente para el esfuerzo, por lo tanto, es Advierta que ste es slo un valor promedio, ya que cerca del agujero, el esfuerzo alcanzar en realidad un valor mucho mayor, como se ver en la seccin 2.18. Est claro que, si la carga aumenta, la varilla fallar cerca de uno de los agujeros, ms que en su porcin cilndrica; su diseo, por lo tanto, po- dr mejorarse aumentando el ancho o el espesor de los extremos planos de la varilla. Ahora, tome en consideracin al aguiln AB, recordando que en la seccin 1.2 se vio que la fuerza en l es (a compresin). Puesto que el rea de la seccin transversal rectangular del aguiln es el valor promedio del esfuerzo normal en la parte principal del aguiln, entre los pasadores A y B, es Advierta que las secciones de rea mnima en A y B no se encuentran bajo esfuerzo, ya que el aguiln est en compresin y, por lo tanto, empuja sobre los pasadores (en lugar de jalarlos como lo hace la varilla BC). b. Determinacin del esfuerzo cortante en las distintas conexiones. Para determinar el esfuerzo cortante en una conexin como un perno, pasador o remache, primero deben mostrarse con claridad las fuerzas ejercidas por los distintos elementos que conecta. As, en el caso del pasador C del ejemplo (figura 1.25a), se dibuja la figura 1.25b, que muestra la fuerza de 50 kN ejercida por el elemento BC sobre el pasador, y la fuerza igual y opuesta ejercida por la mnsula. Al dibujar ahora el diagrama de la porcin del pasador localizada bajo el plano donde ocurren los esfuerzos cortantes (figura 1.25c), se concluye que la fuerza cortante en ese plano es Como el rea transversal del pasador es resulta que el valor promedio del esfuerzo cortante en el pasador en C es Considerando ahora el pasador en A (figura 1.26) se observa que se encuentra bajo corte doble. Al dibujar los diagramas de cuerpo libre del pasador y de la porcin del pasador colocada entre los planos y donde ocurren los esfuerzos cortantes, se llega a la conclusin de que y que tprom P A 20 kN 491 106 m2 40.7 MPa P 20 kN EEDD tprom P A 50 103 N 491 106 m2 102 MPa A pr2 pa 25 mm 2 b 2 p112.5 103 m22 491 106 m2 P 50 kN. DD sAB 40 103 N 1.5 103 m2 26.7 106 Pa 26.7 MPa 50 mm 1.5 103 m2 , A 30 mm FAB 40 kN 1sBC2extremo P A 50 103 N 300 106 m2 167 MPa A 120 mm2140 mm 25 mm2 300 106 m2 Figura 1.25 50 kN a) C 50 kN b) Fb D' D d = 25 mm 50 kN c) P Figura 1.26 a) 40 kN A b) 40 kN Fb Fb D' E' D E d = 25 mm c) 40 kN P P 1.8 Aplicacin al anlisis y diseo 13de estructuras sencillas

33. Al considerar el pasador en B (figura 1.27a), se advierte que el pasador puede dividirse en cinco porciones sobre las que actan fuerzas ejercidas por el aguiln, la varilla y la mnsula. Tomando en cuenta, en forma sucesiva, las porciones DE (figura 1.27b) y DG (figura 1.27c), se llega a la conclusin de que la fuerza de corte en la seccin E es mientras que la fuerza de corte en la seccin G es Como la carga del pasador es simtrica, se concluye que el valor mximo de la fuerza de corte en el pasador B es y que los mayores esfuerzos cortantes ocurren en las secciones G y H, donde c. Determinacin de los esfuerzos de apoyo. Para obtener los esfuerzos nominales de apoyo en A en el elemento AB, se utiliza la frmula (1.11) de la seccin 1.7. De la figura 1.24, se tiene que y Recuerde que se tiene que Para obtener el esfuerzo de apoyo sobre la mnsula en A, se emplea y Los esfuerzos de apoyo en B en el elemento AB, en B y en C en el elemento BC y en la mnsula en C se calculan de manera similar. 1.9 MTODO PARA LA SOLUCIN DE PROBLEMAS Quienes estudian este texto deben aproximarse a un problema de mecnica de materiales como lo haran con una situacin ingenieril real. Su propia experiencia e intuicin les ayudarn a comprender y formular mejor el problema. Sin embargo, una vez que el problema ha sido planteado con claridad, no es posible solucionarlo utilizando el gusto personal. La solucin de ese tipo de problemas debe basarse en los principios fundamentales de la esttica y en los principios que se analizan en este curso. Cada paso que se tome debe justificarse sobre esa base, sin dejar espacio para la intuicin. Des- pus de que se ha obtenido una respuesta, sta deber verificarse. Nuevamen- te, puede utilizarse sentido comn y su experiencia personal. Si no se est satisfecho por completo con el resultado obtenido, deber revisarse con cui- dado la formulacin del problema, la validez de los mtodos empleados en su solucin y la exactitud de los clculos. El planteamiento del problema deber ser claro y preciso. Necesitar incluir los datos dados e indicar el tipo de informacin que se requiere. Debe- r incluir un dibujo simplificado que muestre todas las cantidades esenciales involucradas. La solucin para la mayora de los problemas que encontrar har necesario que primero se determinen las reacciones en los apoyos y las fuerzas y los pares internos. Esto requerir dibujar uno o ms diagramas de sb P td 40 kN 150 mm2125 mm2 32.0 MPa d 25 mm: 50 mmt 2125 mm2 sb P td 40 kN 130 mm2125 mm2 53.3 MPa P FAB 40 kN,d 25 mm. t 30 mm tprom PG A 25 kN 491 106 m2 50.9 MPa PG 25 kN, PG 25 kN. PE 15 kN, 14 Introduccin. El concepto de esfuerzo a) b) c) 1 2 FAB = 20 kN FBC = 50 kN 1 2 FAB = 20 kN 1 2 FAB = 20 kN 1 2 Q = 15 kN 1 2 Q = 15 kN 1 2 Q = 15 kN 1 2 Q = 15 kN Pasador B D D D E E G G PE PG H J Figura 1.27

34. cuerpo libre, como ya se hizo en la seccin 1.2, de los que podrn escribirse las ecuaciones de equilibrio. Estas ecuaciones deben resolverse para co- nocer las fuerzas desconocidas, a partir de las que pueden calcularse los esfuerzos y deformaciones requeridas. Despus de haber obtenido la respuesta, deber verificarse cuidadosa- mente. Los errores en el razonamiento pueden encontrarse con frecuencia analizando las unidades a travs de los clculos y verificando las unidades obtenidas para la respuesta. Por ejemplo, en el diseo de la varilla que se es- tudi en la seccin 1.4, se encontr, despus de utilizar las unidades a travs de nuestros clculos, que el dimetro requerido por la varilla se expres en milmetros, que es la unidad correcta para una dimensin; si se hubiera encontrado otra unidad, se sabra que se cometi un error. Los errores de clculo, por lo general, sern evidentes cuando se susti- tuyan los valores numricos obtenidos en una ecuacin que an no ha sido utilizada y verificando que la ecuacin se satisface. Hay que resaltar que en la ingeniera es muy importante que los clculos sean correctos. 1.10 EXACTITUD NUMRICA La exactitud de la solucin de un problema depende de dos aspectos: 1) la exactitud de los datos recibidos y 2) la exactitud de los clculos desa- rrollados. La solucin no puede ser ms exacta que el menos exacto de estos dos factores. Por ejemplo, si se sabe que la carga de una viga es de 75 000 lb con un error posible de 100 lb en cualquier sentido, el error relativo que mide el grado de exactitud de los datos es Al calcular la reaccin en uno de los apoyos de la viga, sera entonces irre- levante registrarlo como de 14 322 lb. La exactitud de la solucin no puede ser mayor que el 13%, sin importar cun exactos sean los clculos, y el error posible en la respuesta puede ser tan grande como (0.13/100)(14 322 lb) El registro apropiado de la respuesta sera de 14320 20 lb. En los problemas de ingeniera, los datos rara vez se conocen con una exactitud mayor del 0.2%. Por lo tanto, rara vez se justifica escribir la respuesta a dichos problemas con una precisin mayor del 0.2%. Una regla prctica es utilizar 4 cifras para registrar los nmeros que comienzan con 1 y 3 cifras para todos los otros casos. A menos que se indique lo contrario, los datos ofrecidos en un problema deben suponerse conocidos con un grado comparable de exactitud. Una fuerza de 40 lb, por ejemplo, debera leerse 40.0 lb, y una fuerza de 15 lb debera leerse 15.00 lb. Los ingenieros practicantes y los estudiantes de ingeniera emplean con gran frecuencia calculadoras de bolsillo y computadoras. La rapidez y exactitud de estos aparatos facilitan los clculos numricos en la solucin de muchos problemas. Sin embargo, los estudiantes no debern registrar ms cifras significativas que las que puedan justificarse slo porque pueden obtenerse con facilidad. Como se seal anteriormente, una exactitud mayor que 0.2% es rara vez necesaria o significativa en la solucin de los problemas prcti- cos de ingeniera. 20 lb. 100 lb 75,000 lb 0.0013 0.13% 1.10 Exactitud numrica 15

35. SOLUCIN Cuerpo libre: soporte entero. Como el eslabn ABC es un elemento con dos fuerzas, la reaccin en A es vertical; la reaccin en D est representada por sus componentes Dx y Dy. Se escribe: a) Esfuerzo cortante en el pasador A. Ya que este pasador de in. de dimetro est en cortante nico, se escribe tA 6 790 psi b) Esfuerzo cortante en el pasador C. Como este pasador de in. de dimetro est en cortante doble, se anota tC 7 640 psi c) Mximo esfuerzo normal en el eslabn ABC. El mximo esfuerzo se encuentra donde el rea es ms pequea; esto ocurre en la seccin transversal en A donde se localiza el agujero de in. As, se tiene que sA 2 290 psi d) Esfuerzo cortante promedio en B. Se advierte que existe adhesin en ambos lados de la porcin superior del eslabn y que la fuerza cortante en cada lado es Por lo tanto, el esfuerzo cortante promedio en cada superficie es e) Esfuerzo de apoyo en el eslabn en C. Para cada porcin del eslabn, F1 375 lb y el rea nominal de apoyo es de (0.25 in.)(0.25 in.) 0.0625 in.2 . sb 6 000 psi sb F1 A 375 lb 0.0625 in.2 tB 171.4 psi tB F1 A 375 lb 11.25 in.211.75 in.2 2 375 lb.F1 1750 lb2 sA FAC Anet 750 lb 13 8 in.211.25 in. 0.375 in.2 750 lb 0.328 in.2 3 8 tC 1 2 FAC A 375 lb 1 4 p10.25 in.22 1 4 tA FAC A 750 lb 1 4p10.375 in.22 3 8 FAC 750 lb FAC 750 lb tensin 1500 lb2115 in.2 FAC110 in.2 0g MD 0: 16 PROBLEMA MODELO 1.1 En el soporte mostrado la porcin superior del eslabn ABC es de in. de grueso y las porciones inferiores son cada uno de in. de grueso. Se utiliza resina epxica para unir la porcin superior con la inferior en B. El pasador en A tiene un dimetro de in. mientras que en C se emplea un pasador de in. Determine a) el esfuerzo cortante en el pasador A, b) el esfuerzo cortante en el pasador C, c) el mximo esfuerzo normal en el eslabn ABC, d) el esfuerzo cortante promedio en las superficies pe- gadas en B y e) el esfuerzo de apoyo en el eslabn en C. 1 4 3 8 1 4 3 8 5 in. 500 lb 10 in. A D Dx FAC Dy E C in. dimetro 750 lb FAC = 750 lb FAC = 750 lb 1 4 in. dimetro3 8 FAC = 375 lb1 2 FAC = 375 lb1 2 CA F1 = F2 = FAC = 375 lb1 2 FAC = 750 lb in. dimetro3 8 in. 1.25 in. 1.25 in. 1.75 in. 3 8 FAC F2 F1 A B 375 lb F1 = 375 lb in. dimetro1 4 1 4 in. 6 in. 7 in. 1.75 in. 5 in. 1.25 in. 10 in. 500 lb A B C D E neto

36. SOLUCIN a) Dimetro del pasador. Debido a que el pasador se encuentra en cortante doble, Se usar En este punto se verifica el esfuerzo de apoyo entre la placa de 20 mm de espesor y el pasador de 28 mm de dimetro. b) Dimensin b en cada extremo de la barra. Se considera una de las porciones de extremo de la barra. Como el espesor de la placa de acero es de y el esfuerzo promedio de tensin promedio no debe exceder los 175 MPa, se escribe c) Dimensin h de la barra. Recordando que el espesor de la placa de acero es t = 20 mm, se tiene que Se utilizar h 35 mm s P th 175 MPa 120 kN 10.020 m2h h 34.3 mm b 62.3 mm b d 2a 28 mm 2117.14 mm2 s 1 2 P ta 175 MPa 60 kN 10.02 m2a a 17.14 mm t 20 mm tb P td 120 kN 10.020 m210.028 m2 214 MPa 6 350 MPa OK d 28 mm t F1 A 60 kN 1 4 p d2 100 MPa 60 kN 1 4 p d2 d 27.6 mm 1 2P 60 kN.F1 17 PROBLEMA MODELO 1.2 La barra de sujecin de acero que se muestra ha de disearse para soportar una fuerza de tensin de magnitud cuando se asegure con pasadores entre mnsulas dobles en A y B. La barra se fabricar de placa de 20 mm de espesor. Para el grado de acero que se usa, los esfuerzos mximos permisibles son: 350 MPa. Disee la barra de sujecin determi- nando los valores requeridos para a) el dimetro d del pasador, b) la dimensin b en cada extremo de la barra, c) la dimensin h de la barra. s 175 MPa, t 100 MPa, sb P 120 kN A B b d h t 20 mm d F1 P P F1 F1 1 2 P P' 120 kN a t a db 1 2 P1 2 P 120 kN t 20 mm h

37. PROBLEMAS 18 1.1 Dos varillas cilndricas slidas AB y BC estn soldadas en B y cargadas como se muestra. Determine la magnitud de la fuerza P para la cual el esfuerzo de tensin en la varilla AB tiene el doble de magnitud del esfuerzo de compresin en la varilla BC. 1.2 En el problema 1.1, si se sabe que P 40 kips, determine el esfuerzo normal promedio en la seccin media de a) la varilla AB, b) la varilla BC. 1.3 Dos varillas cilndricas slidas, AB y BC, estn soldadas en B y cargadas como se muestra. Si se sabe que el esfuerzo normal promedio no debe ser mayor que 175 MPa en la varilla AB y 150 MPa en la varilla BC, determine los valores mni- mos permisibles de d1 y d2. 1.4 Las varillas cilndricas slidas AB y BC estn soldadas en B y cargadas como se muestra en la figura. Si se sabe que d1 50 mm y d2 30 mm, encuentre el esfuerzo normal promedio en la seccin media de a) la varilla AB, b) la varilla BC. 1.5 Una galga extensomtrica, localizada en C en la superficie del hueso AB, indica que el esfuerzo normal promedio en el hueso es de 3.80 MPa cuando el hueso se somete a dos fuerzas de 1 200 N como se muestra en la figura. Si se supone que la seccin transversal del hueso en C es anular y se sabe que su dimetro exterior es de 25 mm, determine el dimetro interior de la seccin transversal del hueso en C. 1.6 Dos placas de acero deben sujetarse por medio de pasadores de acero de alta resistencia de 16 mm de dimetro que embonan con suavidad dentro de espaciadores cilndricos de latn. Si se sabe que el esfuerzo normal promedio no debe exceder 200 MPa en los pasadores y 130 MPa en los espaciadores, determine el dimetro exterior de los espaciadores que ofrece el diseo ms econmico y seguro. Figura P1.1 Figura P1.6Figura P1.5 Figura P1.3 y P1.4 2 in. 3 in. 30 kips P 30 kips C A B 30 in. 40 in. d2 d1 40 kN 30 kN B C 250 mm 300 mm A 1 200 N 1 200 N C A B

38. Problemas 19 1.8 Si se sabe que la seccin transversal de la porcin central del eslabn BD tiene un rea de 800 mm2 , determine la magnitud de la carga P para la cual el esfuerzo normal en esa porcin de BD es de 50 MPa. 1.9 Si se sabe que el eslabn DE tiene in. de grosor y 1 in. de ancho, determine el esfuerzo normal en la porcin central de dicho eslabn cuando a) 0, b) 90. 1.10 El eslabn AC tiene una seccin transversal rectangular uniforme de in. de espesor y in. de ancho. Determine el esfuerzo normal en la porcin central de dicho eslabn. 1 4 1 16 1.11 La barra rgida EFG est sostenida por el sistema de armaduras que se muestra en la figura. Si se sabe que el elemento CG es una varilla circular slida de 0.75 in. de dimetro, determine el esfuerzo normal en CG. 1.12 La barra rgida EFG est sostenida por el sistema de armaduras que se muestra en la figura. Determine el rea de la seccin transversal del elemento AE para la cual el esfuerzo normal en l es de 15 ksi. 1.7 Cada uno de los cuatro eslabones verticales tiene una seccin transversal rectangular uniforme de 8 36 mm y cada uno de los cuatro pasadores tiene un dimetro de 16 mm. Determine el valor mximo del esfuerzo normal promedio en los eslabones que conectan a) los puntos B y D, b) los puntos C y E. Figura P1.7 Figura P1.8 Figura P1.9 Figura P1.10 Figura P1.11 y P1.12 0.2 m 0.25 m 0.4 m 20 kN C B A D E 240 lb 240 lb B C A 3 in. 7 in. 30 6 in. P 1.92 m 0.56 m A C B30 D r 1.4 m 60 lb F D E JC D B A 8 in. 2 in. 4 in. 12 in. 4 in. 6 in. 3 600 lb A B C D E F G 3 ft 4 ft 4 ft 4 ft 1 8

39. 20 Introduccin. El concepto de esfuerzo 1.13 Un par M con magnitud de 1 500 N m se aplica a la manivela de un motor. Para la posicin mostrada, determine a) la fuerza P requerida para mantener en equilibrio al sistema de la mquina, b) el esfuerzo normal promedio en la biela BC, la cual tiene una seccin transversal uniforme de 450 mm2 . 1.14 La barra de un remolque para aviones se posiciona mediante un cilindro hidrulico sencillo, conectado mediante una varilla de acero de 25 mm de dimetro a las dos unidades idnticas de brazo DEF y a la rueda. La masa de toda la barra del remolque es de 200 kg y su centro de gravedad se localiza en G. Para la posicin mostrada, determine el esfuerzo normal en la varilla. 1.15 Los elementos de madera A y B deben unirse mediante lminas de madera contrachapada que se pegarn por completo sobre las superficies en contacto. Como parte del diseo de la junta y puesto que el claro entre los extremos de los elementos ser de 6 mm, determine la longitud mnima permisible L, si el esfuerzo cortante promedio en el pegamento no debe exceder 700 kPa. 1.16 Cuando la fuerza P alcanz 1 600 lb, el elemento de madera mostrado fall a cortante a lo largo de la superficie indicada por la lnea punteada. Determine el esfuerzo cortante promedio a lo largo de esa superficie en el momento de la falla. Figura P1.14 Figura P1.16 Figura P1.13 Figura P1.15 200 mm 80 mm M P 60 mm B A C D B E A Dimensiones en mm 100 450 250 850 1 150 500 675 825 CG F 0.6 in. 3 in. MaderaAcero P' P A B L 6 mm 75 mm 15 kN 15 kN

40. Problemas 21 1.18 Una carga P se aplica a una varilla de acero soportada, como se muestra en la figura, por una placa de aluminio en la que se ha perforado un barreno de 12 mm de dimetro. Si se sabe que el esfuerzo cortante no debe exceder 180 MPa en la varilla de acero y 70 MPa en la placa de aluminio, determine la mxima carga P que puede aplicarse a la varilla. 1.19 La fuerza axial en la columna que soporta la viga de madera que se muestra en la figura es P 20 kips. Determine la longitud mnima permisible L de la za- pata de carga si el esfuerzo de apoyo en la madera no debe ser mayor que 400 psi. 1.20 La carga P aplicada sobre una varilla de acero se distribuye hacia una viga de soporte mediante una arandela anular. El dimetro de la varilla es de 22 mm y el dimetro interior de la arandela es de 25 mm, un poco mayor que el dimetro del orificio. Determine el mximo dimetro exterior d permisible para la arandela, si se sabe que el esfuerzo normal axial en la varilla de acero es de 35 MPa y que el esfuerzo de apoyo promedio entre la arandela y la viga no debe exceder 5 MPa. 1.21 Una carga axial de 40 kN se aplica sobre un poste corto de madera, sos- tenido por un basamento de concreto que descansa sobre suelo regular. Determine a) el esfuerzo de apoyo mximo sobre el basamento de concreto, b) el tamao del basamento para el cual el esfuerzo de apoyo promedio en el suelo es de 145 kPa. 1.17 Dos planchas de madera, cada una de in. de espesor y 9 in. de ancho, estn unidas por el ensamble pegado de mortaja que se muestra en la figura. Si se sabe que la junta fallar a lo largo de su grano cuando el esfuerzo cortante promedio en el pegamento alcance 1.20 ksi, determine la magnitud P de la carga axial que causar una falla en la junta. 1 2 Figura P1.18 Figura P1.19 Figura P1.21 Figura P1.20 Figura P1.17 2 in. 2 in.1 in. P' 1 in. 9 in. P in.5 8 in.5 8 P 40 kN b b 120 mm 100 mm 40 mm 8 mm 12 mm P 10 mm 6 in. L P P d 22 mm

41. 22 Introduccin. El concepto de esfuerzo 1.22 Una carga axial P es soportada por una columna corta W8 40 con un rea de seccin transversal A 11.7 in.2 y se distribuye hacia un cimiento de concreto mediante una placa cuadrada como se observa en la figura. Si se sabe que el esfuerzo normal promedio en la columna no debe exceder 30 ksi y que el esfuerzo de apoyo sobre el cimiento de concreto no debe exceder 3.0 ksi, determine el lado a de la placa que proporcionar el diseo ms econmico y seguro. 1.23 Un pasador de 6 mm de dimetro se utiliza en la conexin C del pedal que se muestra en la figura. Si se sabe que P 500 N, determine a) el esfuerzo cortante promedio en el pasador, b) el esfuerzo de apoyo nominal en el pedal en C, c) el esfuerzo de apoyo nominal en cada mnsula de apoyo en C. 1.24 Si se sabe que una fuerza P con una magnitud de 750 N se aplica al pedal que se muestra en la figura, determine a) el dimetro del pasador en C para el cual el esfuerzo cortante promedio en el pasador es de 40 MPa, b) el esfuerzo de apoyo correspondiente en el pedal en C, c) el esfuerzo de apoyo correspondiente en cada mnsula de apoyo en C. 1.25 Una varilla de acero AB con in. de dimetro se ajusta a un orificio re- dondo cerca del extremo C del elemento de madera CD. Para la carga mostrada, determine a) el esfuerzo mximo normal promedio en la madera, b) la distancia b para la cual el esfuerzo cortante promedio es de 100 psi sobre las superficies indicadas por lneas punteadas, c) el esfuerzo de apoyo promedio sobre la madera. 1.26 Dos sistemas idnticos de eslabn y cilindro hidrulico controlan la posicin de las horquillas de un montacargas. La carga soportada para el sistema que se muestra en la figura es de 1 500 lb. Si se sabe que el grosor del elemento BD es in., determine a) el esfuerzo cortante promedio en el pasador de in. de dimetro en B, b) el esfuerzo de apoyo en B en el elemento BD. 1 2 5 8 5 8 1.27 Para el ensamble y la carga del problema 1.7, determine a) el esfuerzo cortante promedio en el pasador en B, b) el esfuerzo de apoyo promedio en B en el elemento BD, c) el esfuerzo de apoyo promedio en B en el elemento ABC, si se sabe que este elemento tiene una seccin transversal rectangular uniforme de 10 50 mm. 1.28 El eslabn AB, cuyo ancho es b 50 mm y su grosor t 6 mm, se emplea para soportar el extremo de una viga horizontal. Si se sabe que el esfuerzo normal promedio en el eslabn es de 140 MPa y que el esfuerzo cortante promedio en cada uno de los pasadores es de 80 MPa, determine a) el dimetro d de los pasadores, b) el esfuerzo promedio de apoyo en el eslabn. Figura P1.25 Figura P1.26 Figura P1.23 y P1.24 Figura P1.28 Figura P1.22 a aP 9 mm 125 mm 75 mm 300 mm 5 mm A B C C D P D A C B b 1 500 lb 750 lb 750 lb 4 in. 1 in. b d t B A d A B 12 in. 12 in. 15 in. 16 in. 16 in. 20 in. 1500 lb G D E C

42. 1.11 ESFUERZOS EN UN PLANO OBLICUO BAJO CARGA AXIAL En las secciones precedentes, se encontr que las fuerzas axiales ejercidas en un elemento sometido a dos fuerzas (figura 1.28a) causan esfuerzos normales en ese elemento (figura 1.28b), mientras que tambin se encontr que las fuerzas transversales ejercidas sobre pernos y pasadores (figura 1.29a) causan esfuerzos cortantes en esas conexiones (figura 1.29b). La razn de que tal relacin observada entre las fuerzas axiales y los esfuerzos normales, por una parte, y las fuerzas transversales y los esfuerzos cortantes, por la otra, fue que los esfuerzos se determinaron nicamente en los planos perpendiculares al eje del elemento o conexin. Como se ver en esta seccin, las fuerzas axiales causan esfuerzos tanto normales como cortantes en planos que no son perpendiculares al eje del elemento. De manera similar, las fuerzas transversales ejercidas sobre un perno o pasador producen esfuerzos tanto normales como cortantes en planos que no son perpendiculares al eje del perno o pasador. 1.11 Esfuerzos en un plano oblicuo 23bajo carga axial Considere el elemento de dos fuerzas de la figura 1.28, que se encuentra sometido a fuerzas axiales P y Si se realiza un corte en dicho elemen- to, que forme un ngulo con un plano normal (figura 1.30a) y se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la porcin del elemento localizada a la izquierda de ese corte (figura 1.30b), se encuentra a partir de las condiciones de equilibrio del cuerpo libre que las fuerzas distribuidas que actan en la seccin deben ser equivalentes a la fuerza P. Separando P en sus componentes F y V, que son, respectivamente normal y tangencial al corte (figura 1.30c), se tiene que F P cos u V P sen u (1.12) La fuerza F representa la resultante de las fuerzas normales distribuidas a travs de la seccin, y la fuerza V la resultante de las fuerzas cortantes (figura 1.30d). Los valores promedio de los esfuerzos normales y cortantes correspondientes se obtienen dividiendo, respectivamente, F y V entre el rea de la seccin: (1.13) Al sustituir los valores de F y V de la ecuacin (1.12) en la ecuacin (1.13), y observando de la figura 1.30c que o que Au A0cos u,A0 Au cos u, s F Au t V Au Au u P. P' PP P' P' a) b) Figura 1.29 Figura 1.30 Figura 1.28 P' P' P' P A A0 P V F P' a) c) b) d) P a) b) P P P' P' P'

43. donde denota el rea de una seccin perpendicular al eje del elemento, de lo que se obtiene o (1.14) De la primera de las ecuaciones (1.14) se observa que el valor del esfuerzo normal s es el mximo cuando es decir, cuando el plano de la seccin es perpendicular al eje del elemento, y que se aproxima a cero al aproximarse u a 90. Se verifica que el valor de s cuando es (1.15) como se encontr en la seccin 1.3. La segunda de las ecuaciones (1.14) muestra que el esfuerzo cortante t es cero para y para y que para alcanza su valor mximo (1.16) La primera de las ecuaciones (1.14) indica que, cuando el esfuerzo normal tambin es igual a (1.17) Los resultados obtenidos en las ecuaciones (1.15), (1.16) y (1.17) se muestran grficamente en la figura 1.31. Se observa que la misma carga produce un esfuerzo normal y ningn esfuerzo cortante (figura 1.31b), o un esfuerzo normal y un esfuerzo cortante de la misma magnitud (figura 1.31c y d), dependiendo de la orientacin del corte. 1.12 ESFUERZOS BAJO CONDICIONES GENERALES DE CARGA. COMPONENTES DEL ESFUERZO Los ejemplos de las secciones previas estuvieron restringidos a elementos bajo carga axial y a conexiones bajo carga transversal. La mayora de los elementos estructurales y de los componentes de maquinaria se encuentran bajo condiciones de carga ms complicadas. Sea un cuerpo sujeto a varias cargas P1, P2, etc., (figura 1.32). Para comprender la condicin de esfuerzos creada por estas cargas en algn punto Q dentro del cuerpo, primero se efectuar un corte a travs de Q, utilizando un plano paralelo al plano yz. La porcin del cuerpo a la izquierda de la seccin est sujeta a algunas de las cargas originales, y a las fuerzas normales y de corte distribuidas a travs de la seccin. Denotaremos con y respectivamente, las fuerzas normales y de corte que actan sobre una pequea Vx ,Fx s tm P2A0 sm PA0 s P A0 cos2 45 P 2A0 P2A0:s u 45, tm P A0 sen 45 cos 45 P 2A0 u 45 u 90,u 0 sm P A0 u 0 u 0, s P A0 cos2 u t P A0 sen u cos u s P cos u A0cos u t P sen u A0cos u A024 Introduccin. El concepto de esfuerzo Figura 1.32 P1 P4 P3 P2y z x P' a) Carga axial b) Esfuerzos para = 0 m = P/A0 c) Esfuerzos para = 45 d) Esfuerzos para = 45 '= P/2A0 '= P/2A0 m= P/2A0 m= P/2A0 P Figura 1.31

44. rea que rodea al punto Q (figura 1.33a). Note que el superndice x se emplea para indicar que las fuerzas y actan sobre una superficie perpendicular al eje x. En tanto que la fuerza normal tiene una direccin bien definida, la fuerza cortante puede tener cualquier direccin en el plano de la seccin. Por lo tanto, descomponemos en dos fuerzas componentes, y en direcciones paralelas a los ejes y y z, respectivamente (figura 1.33b). Dividiendo ahora la magnitud de cada fuerza entre el rea y haciendo que se aproxime a cero, se definen las tres componentes del esfuerzo mostradas en la figura 1.34: (1.18) Se observa que el primer subndice en sx, txy y se emplea para indicar que los esfuerzos bajo consideracin se ejercen sobre una superficie perpendicular al eje x. El segundo subndice en y en identifica la direccin de la componente. El esfuerzo normal sx es positivo si la flecha correspondiente apunta en la direccin x positiva, es decir, si el cuerpo est en tensin, y negativa de otra manera. En forma similar, las componentes del esfuerzo cortante y son positivas si las flechas correspondientes apuntan, respectivamente, en las direcciones y y z positivas. El anlisis anterior puede tambin llevarse a cabo considerando la porcin del cuerpo localizada a la derecha del plano vertical que pasa a travs de Q (figura 1.35). Las mismas magnitudes, pero con direcciones opuestas, se obtienen para las fuerzas normal y cortante y Por lo tan- to, los mismos valores se obtienen para las componentes correspondientes de los esfuerzos, pero ya que la seccin en la figura 1.35 apunta ahora al eje x negativo, un signo positivo para sx indicar que la flecha correspondiente apunta ahora en la direccin x negativa. De manera similar, los signos posi- tivos en y indicarn que las flechas correspondientes apuntan, respectivamente, en las direcciones y y z negativas, como indica la figura 1.35. txztxy Vx z .Fx , Vy x , txztxy txztxy txz txy lm AS0 Vy x A txz lm AS0 Vz x A sx lm AS0 Fx A AA, Vx z ,Vx y Vx Vx Fx Vx Fx A Fx P2 P2 P1 y z x y z x P1 A Fx Vx Vx a) b) Q Q z Vx y Figura 1.33 Figura 1.35 y z x x xy Q xz Figura 1.34 y z x x xy xz Q 1.12 Esfuerzos bajo condiciones generales 25de carga. Componentes del esfuerzo

45. Haciendo un corte a travs de Q paralelo al plano zx, se definen de la misma manera las componentes de esfuerzo sy, tyz y Por ltimo, un corte a travs de Q paralelo al plano xy da las componentes sz, tzx y Para simplificar la visualizacin de la condicin de esfuerzos en el punto Q, considere un pequeo cubo de lado a centrado en Q y que los esfuerzos se ejercen en cada una de las seis caras del cubo (figura 1.36). Las componentes de los esfuerzos mostradas en la figura son sx, sy y que representan los esfuerzos normales en las caras perpendiculares respectivamente a los ejes x, y y z, y las seis componentes de los esfuerzos cortantes etc. Es preciso recordar que, de acuerdo con la definicin de las componentes del esfuerzo cortante, representa la componente y del esfuerzo cortante que es ejercida en la cara que es perpendicular al eje x, mientras que representa la componente x del esfuerzo cortante que se ejerce sobre la cara que es perpendicular al eje y. Advierta que slo tres caras del cubo son visibles en la figura 1.36, y que en las caras opuestas actan componentes de esfuerzos iguales y opuestas. En tanto que los esfuerzos que actan sobre las caras del cubo difieren ligeramente de los esfuerzos en Q, el error involucra- do es pequeo y desaparece cuando el lado a del cubo se aproxima a cero. Ahora se deducirn algunas relaciones importantes entre las componentes del esfuerzo cortante. Considere el diagrama de cuerpo libre del peque- o cubo centrado en el punto Q (figura 1.37). Las fuerzas normales y cortantes que actan sobre las diversas caras del cubo se obtienen multiplicando las componentes correspondientes del esfuerzo por el rea de cada cara. Primero se escribirn las tres ecuaciones de equilibrio siguientes: (1.19) Como hay fuerzas iguales y opuestas a las fuerzas mostradas en la figura 1.37 actuando sobre las caras ocultas del cubo, es claro que las ecuaciones (1.19) se satisfacen. Considerando, ahora, los momentos de las fuerzas alrededor de los ejes Qx, Qy y Qz dibujados desde Q en direcciones paralelas respectivamente a los ejes x, y y z, se anotarn tres ecuaciones adicionales (1.20) Utilizando una proyeccin sobre el plano (figura 1.38), se advierte que las nicas fuerzas con momentos alrededor del eje z distintas de cero son las fuerzas cortantes. Estas fuerzas forman dos pares, uno de ellos es un momen- to (txy A)a, en la direccin antihoraria (positiva), y el otro es un momento (tyx A)a, en direccin horaria (negativa). La ltima de las tres ecuaciones (1.20) da, por lo tanto de donde se concluye que (1.21) La relacin obtenida muestra que la componente y del esfuerzo cortante ejercida sobre una cara perpendicular al eje x es igual a la componente x del mo- txy tyx 1txy A2a 1tyx A2a 0 g Mz 0: xy Mx 0 My 0 Mz 0 Fx 0 Fy 0 Fz 0 A tyx txy txy, txz, sz, tzy. tyx. 26 Introduccin. El concepto de esfuerzo yz yx xy xzzx zy y z x a Qa a z y x Figura 1.36 Figura 1.38 yxA xyA xzA zxA xA zA zyA yzA yA Q z y x Figura 1.37 yxA yxA xyA xyA xA xA yA y A x' a z' y'

46. mento cortante ejercido sobre una cara perpendicular al eje y. De las dos ecuaciones (1.20) restantes, deducimos de manera similar las relaciones (1.22) Se concluye, a partir de las ecuaciones (1.21) y (1.22), que slo se requieren seis componentes de esfuerzo para definir la condicin de esfuerzo en un punto dado Q, en lugar de nueve como se supuso al principio. Estas seis componentes son txy, tyz y Tambin se observa que, en un punto dado, el cortante no puede ocurrir en un plano nicamente; un esfuerzo cortante igual d