meca 1901 m´ecanique des milieux continus .ce recueil d’exercices r´esolus est une œuvre...

MECA 1901

Mecanique des milieux continus

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Recueil dexercices

Septembre 2007

Ce recueil dexercices resolus est une uvre originale protegee par le droit dauteur. Il a

ete compose par Brieux Delsaute avec les contributions de Francois Dupret, Fabrice Loix,

Francois Bioul et Nicolas Van Goethem.

Malgre le soin apporte a sa redaction, il est possible que vous y deceliez lune ou lautre

erreur. Nhesitez pas a nous en faire part directement par courrier electronique a ladresse

suivante : delsaute@mema.ucl.ac.be.

Les commentaires, critiques et suggestions sont egalement les bienvenus.

Calcul tensoriel

Mecanique des milieux continus Calcul tensoriel - Exercices

Exercice 1

Donner la dimension physique et les unites dans le Systeme International des grandeurs suivantes.Indiquer egalement lunite derivee le cas echeant.

1. Distance d

2. Intervalle de temps t

3. Masse m

4. Temperature

5. Intensite de courant i

6. Superficie S

7. Vitesse v

8. Force F

9. Quantite de mouvement P

10. Moment de quantite de mouvement N11. Puissance P

12. Energie E13. Masse volumique

14. Pression p

15. Contrainte

16. Charge electrique q

17. Debit-volume Q

18. Densite de flux de chaleur q

Exercice 2

Verifier la coherence dimensionnelle des equations suivantes.

1. E = mc22. p = g(h) (pression hydrostatique sous une colonne de fluide de hauteur h)

Determiner la dimension physique des constantes physiques intervenant dans les relations sui-vantes.

3. F12 = GM1M2

r212(Loi dattraction gravitationnelle)

4. E = h (Energie dun photon)

Exercice 3

Indiquer si les expressions suivantes sont correctes.

1. ai + bi = ci

2. + bici

3. Tij + aibj

4. Tii + ai

5. Tii +

6. Tji + aiaj

7. Tijk + aibj ck8. Tjki + aibjck

9. Tjji + ai

10. Tjjj +

Exercice 4

Ecrire sous forme matricielle les expressions suivantes.

1. ui

2. uivi

3. aijnj

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Mecanique des milieux continus Calcul tensoriel - Exercices

4. jinj

5. aijbjk

6. aikbjlclk

7. aikajlTkl

Exercice 5

Calculer les expressions suivantes.

1. ii

2. ijij

3. ijikjk

4. ijjk

5. ijAlik

6. aikajlkl, (aij sont les elements dune matrice orthogonale quelconque)

7. ijkijk

8. ijkijl

Exercice 6

Verifier que ijmklm = imjkml = mijmkl = ikjl iljk

Exercice 7

Exprimer chacune des operations suivantes en terme doperations sur les composantes ( etant unscalaire ; u et v des vecteurs).

1. v

2. v

3. u + v

4. u v5. u v

Exercice 8

Verifier les identites suivantes (u, v, a, b et c etant des des vecteurs).

1. u v = v u2. u u = 03. a (b c) = b(a c) c(a b)4. a (b c) = b (c a) = c (a b)

Exercice 9

Developper les expressions suivantes ( etant un scalaire ; u, v et n des vecteurs ; S et T destenseurs dordre 2) :

1. v

2. uv

3. v u4. T n5. T : S

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Mecanique des milieux continus Calcul tensoriel - Exercices

Exercice 10

Etablir la relation biunivoque entre les coordonnees cartesiennes et les coordonnees cylindriquesassociees.

Exercice 11

Etablir la relation biunivoque entre les coordonnees cartesiennes et les coordonnees spheriquesassociees.

Exercice 12

1. Montrer que la symetrie est une propriete tensorielle, cest-a-dire que si Sij = Sji pour touti et tout j dans un repere orthonorme, cette propriete reste vraie dans nimporte quel repereorthonorme fixe par rapport au premier.

2. Montrer que lantisymetrie est une propriete tensorielle.

Exercice 13

1. Montrer quun tenseur Tij quelconque se decompose de maniere unique en une partie syme-trique et une partie antisymetrique.

2. Soit Sij un tenseur dordre deux symetrique, Aij un tenseur dordre deux antisymetrique.Prouver que AijSij = 0.

3. Soit Sij un tenseur dordre deux symetrique et Tij , un tenseur quelconque. Montrer queTijSij = T

sijSij ou T

sij represente la partie symetrique de Tij .

Exercice 14

1. Montrer que la trace Tii dun tenseur quelconque Tij est un scalaire.

2. On definit la partie spherique du tenseur Tij comme etant Tsphij =

13Tmmij et sa partie

deviatoire comme etant T dij = Tij T sphij . Montrer que la trace de la partie deviatoire T dij estnulle.

Exercice 15

Montrer que si ij =12

(vixj

vjxi

)

et i =12 ijk

vkxj

alors on a i =12ijkkj et ij = ijkk.

Exercice 16

1. Montrer que

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

= ijkaibjck = a (b c)

Ceci definit le produit mixte des vecteurs a, b et c.

2. Montrer que

det(Tij) =1

6ijklmnTilTjmTkn

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Mecanique des milieux continus Calcul tensoriel - Exercices

Exercice 17

Soient T un tenseur, a et b des vecteurs, et des scalaires invariants. Evaluer les expressionssuivantes dans un repere cartesien (O, ei) :

1.

2. a3. a4. a

5. T6. a a7. = ()8. a = (a)

Exercice 18

Soient T un tenseur, a et b des vecteurs, et des scalaires. Verifier les identites suivantes :

1. () = () + ()

2. (a) = () a + ( a)3. (a) = () a + ( a)4. (a b) = b ( a) a ( b)5. ( a) = ( a) (a)6. (a a) = 2a (a) + 2a ( a)7. (a b) = a ( b) b ( a) + b (a) a (b)

Exercice 19

1. Prouver que si a est un champ vectoriel, on a toujours ( a) = 0.2. Prouver que si est un champ scalaire, on a toujours () = 0.

Exercice 20

Determiner lexpression de loperateur nabla en coordonnees-composantes cylindriques.

Exercice 21

Developper les expressions suivantes en coordonnees-composantes cylindriques ( scalaire, v vec-teur).

1.

2. v

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Mecanique des milieux continus Calcul tensoriel - Exercices

Exercice 22

On donne dans lespace Euclidien a 3 dimensions un repere cartesien orthonorme (O, ei). Onconsidere egalement deux autres reperes cartesiens orthonormes : le premier (O, ei) est obtenupar une rotation des vecteurs de base ei dun angle de /4 autour de e3, le second (O

, ei) estobtenu par cette meme rotation des vecteurs de base suivie dune translation b = e1 + e2 delorigine O.

1. Changement de coordonnees.Ecrire les formules de changement de coordonnees lorsque lon passe du repere (O, ei) auxreperes (O, ei) et (O

, ei).Ecrire les formules de changement de coordonnees lorsque lon passe des reperes (O, ei) et(O, ei) au repere (O, ei).

2. (a) Quelles sont, dans les reperes (O, ei) et (O, ei), les equations du plan dont lequation

dans le repere (O, ei) est x1 + x2 = 1.

(b) Meme question pour le champ scalaire d ayant pour representation d(e)(xi) = x1+x21dans le repere (O, ei).

3. Transformation de composantesEcrire sous forme matricielle la formule de transformation de composantes lorsque lon passedu repere (O, ei) au repere (O

, ei). Verifier que la matrice calculee possede bien les pro-prietes de matrices de changement de bases orthonormees. Que vaut la matrice de transfor-mation de composantes lorsque lon passe du repere (O, ei) au repere (O

, ei) ?

4. Quelles sont, dans les reperes (O, ei) et (O, ei), les composantes du vecteur qui, dans le

repere (O, ei), est (v1, v2, v3) = (x2, x1, 0) ?

Exercice 23

On considere dans lespace Euclidien a trois dimensions le champ scalaire de temperature T (P, t)(P designant un point quelconque de lespace et t designant le temps). On travaille avec les deuxreperes (O, ei) et (O

, ei) definis a lexercice precedent.Dans le repere (O, ei) le champ T a pour representation

T (e)(xi, t) = (x1 + x2)2

9(x1 + x2)2

ou est une constante ayant les unites appropriees. Lexpression du champ T dans ce repere nedependant pas du temps, ce champ y est dit stationnaire.

1. Quelle est la representation T (e)(xi, t) du scalaire T (P, t) dans le repere (O, ei) ? Le champ

T y est-il stationnaire ?

2. Calculer les composantes du gradient de T (P, t), dune part dans le repere (O, ei) et, dautrepart, dans le repere (O, ei). Montrer que les triplets obtenus dans (O, ei) et dans (O

, ei)representent un meme vecteur.

3. Dans le cas dun materiau non isotrope, la loi de Fourier reliant le flux de chaleur q augradient de temperature T est

q = K Tou K est le tenseur de conductivite thermique suppose homogene et stationnaire.Calculer les composantes de la densite de flux de chaleur dans le repere (O, ei) et dans lerepere (O, ei) pour

[Kij ] = K

5 4 04 5 00 0 1

Les Kij sont les composantes de K dans le repere (O, ei) et K est une constante ayant lesunites appropriees.

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Mecanique des milieux continus Calcul tensoriel - Exercices

Que valent les composantes de K, dans les deux reperes, pour un materiau presentant uneconductivite thermique isotrope k ?

4. Donner les invariants du tenseur symetrique K.

Exercice 24

On donne dans lespace Euclidien a 3 dimensions un repere cartesien orthonorme(O, ei). Onconsidere dune part le champ (scalaire) de temperature T (P ), ou P designe un point quelconquede lespace. Ce champ est stationnaire dans le repere donne et sa representation y est donnee par :

T (e)(xi) = (x21 + x

22) x3

les constantes et ayant les dimensions appropriees. Dautre part, on considere le champ (vec-toriel) de vitesse v(P ) dont la representation dans le repere (O, ei) est :

v(e)1 (xi) = A

x1x21+x

22 B x2

v(e)2 (xi) = A

x2x21+x

22

+ B x1

v(e)3 (xi) = C x3

l