7/26/2019 Matrices symtriques positives, dfinies positives

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CPGE Lissane Eddine - Laayoune Essaidi Ali mathlaayoune@gmail.com

Matrices positives, dfinies positives

Dfinitions et notationsDans tout le problme, nN, B= (E1, . . . , E n)la base canonique de Mn1(R)et S(n)lensemble des matrices symtriquesdeMn(R).SoitA S(n). On dit que la matriceA est : positive siX Mn1(R), tXAX0. Lensemble des matrices symtriques positives dordre n se noteS+(n). positive dfinie siX Mn1(R)\{0}, tXAX > 0. Lensemble des matrices symtriques positives dfinies dordre n se

noteS++(n).On admet que siA, B Mn(R)diagonalisables telles queSp(A) =Sp(B)et Sp(A), E(A) =E(B)alorsA = B .Le but de ce problme est dtudier quelques proprits des matrices symtriques positives et positives dfinies.

Premire partie

Coefficients des matrices positives

1: Montrer que siA S++(n)alorsA est inversible.2: SoitA S+(n)(resp.A S++(n)).2 - 1: Montrer quei, j {1, . . . , n}, aii0 et|aij | 12 (aii+ ajj )(resp.aii > 0 et|aij|< 12 (aii+ ajj)si i=j ).2 - 2: En dduire quei {1, . . . , n}, A = aiiavecA = max

1i,jn|aij|. Interprter ce rsultat.

2 - 3: Montrer quei, j {1 . . . , n}, |aij| aiiajj (resp.|aij|0).1 - 2: Rciproquement, montrer que si Sp(A), 0 (resp. >0) alorsA est positive (resp. dfinie positive).1 - 3: Que dire detr(A)etdet AsiA S+(n)(resp.A S++(n)) ?2: SoitA S(n) diagonale strictement dominante (i.ei {1, . . . , n},

nj=1

j=i

|aij| 0 alorsA S++(n).3: SoitS S(2).Montrer que sitr(S)0 etdet(S)0 (resp.tr(S)> 0 etdet(S)> 0) alorsS S+(2)(resp.S S++(2)).

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4: En dduire que siA S+(n) (resp. A S++(n)) alorsi, j {1, . . . , n},

aii aijaji ajj

S+(2) (resp.

aii aijaji ajj

S++(2)).5: SoientA, B S+(n). Montrer que0tr(AB)tr(A)tr(B)(Indication. commencer par vrifier queAB est semblable une matriceDSavecD Mn(R)diagonale coefficients positifs etS S+(n)).6: SoitA S(n)et on posep {1, . . . , n}, p = (aij)1i,jp (1, . . . , psappellent les mineurs principaux deA).6 - 1: Montrer que siA

S++(n)alors

p

{1, . . . , n

}, detp > 0.

6 - 2: Rciproquement, supposons quep {1, . . . , n}, detp >0.6 - 2 - a: Montrer que si n= 1ou n= 2alors A S++(n). Supposons que n2et que le rsultat est vrai pour toute matricesymtrique dordren 1. PosonsA =

n1 BtB c

avecB Mn1,1(R)et cR.

6 - 2 - b : Montrer queA =

In1 0tB1n1 1

n1 0

0 c tB1n1B

In1 1n1B

0 1

.

6 - 2 - c : Montrer quec tB1n1B >0 et en dduire que

n1 00 c tB1n1B

S++(n).

6 - 2 - d : Dduire queA S++(n).

7: Les matricesA =

1 1 11 2 51 5 3

etB =

2 1 11 2 11 1 2

sont-elles dfinies positives ?

8: Donner un exemple dune matriceA S(2)telle quedet 10 etdet 20 maisA nest pas positive.

Troisime partie

Raine carre dune matrice positive, dcompositions polaire et rduction simultane

1: Soient A, B S+(n). Montrer que A2 =B2 A = B (vrifier que Sp(A) =Sp(B)et Sp(A), E(A) =E2(A2)).2: SoitA S+(n). Montrer que!S S+(n), S2 =A.Ssappelle sappelle la raine carre deA et on la note A.3: Montrer que

Aest un polynme enA.

4: Montrer que siA S++(n)alors A S++(n).5: Diagonaliser orthogonalement la matriceA =

3 11 3

et calculer

A.

6: Montrer que siA S

+

(2)non nulle alors

A

=

1tr(A) + 2

det(A)

A+

det

AI2 (UtiliserCayley-Hamilton).7: SoientA S++(n)etB S(n). Montrer queAB est diagonalisable.8: SoientA S+(n)etB S++(n). Montrer que ndet A 1

ntr(A)et en dduire que n

det(AB) 1

ntr(AB).

9: SoitAGLn(R).9 - 1: On poseS=

tAA. Montrer queSest bien dfinie, queS S++(n)et queO = AS1 O(n).

9 - 2: En dduire que!O O(n), !S S++(n), A= OS(Dcomposition polaire dune matrice inversible).10: SoientA S++(n)etB S+(n).10 - 1: Montrer queO O(n), D Mn(R)diagonale telles que(

A)1B(

A)1 = tODO .

10 - 2: En dduire queP GLn(R), D Mn(R)diagonale telles queA = tP P etB = tP DP (Rduction simultane).11: Application :SoientA S++(n)etB S+(n).11 - 1: Montrer quedet(A + B)det A.11 - 2: Montrer queA + iB

GLn(C).

11 - 3: Montrer que n

det(A + B) ndet A + ndet B.

Quatrime partie

Une caractrisation des matrices positives par les matrices de Gram

SoitEun espace euclidien non nul, C = (e1, . . . , en)une base orthonormale de Eet x1, . . . , xpE.On appelle matrice de Gram des vecteurs x1, . . . , xpEla matriceG(x1, . . . , xp) = (xi, xj)1i,jp.1: SoitA = matC(x1, . . . , xp). Montrer queG(x1, . . . , xp) =

tAAet en dduire queG(x1, . . . , xp) S+(p).2: Montrer querg(G(x1, . . . , xp)) = rg(x1, . . . , xp).3: En dduire que(x1, . . . , xp)est libre si, et seulement siG(x1, . . . , xp) S++(p).4: Montrer que la matrice de HilbertH=

1

i+j1

1i,jn

est dfinie positive.

5: Rciproquement, soit k N et A S+(k)(resp. A S++(k)). Montrer que A est la matrice de Gram dune famille (resp.famille libre) de vecteurs(y1, . . . , yk)de lespace euclidien R

k muni du produi scalaire usuel.

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