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Mathematische Logik
Helmut Schwichtenberg
Mathematisches Institut der Universitat MunchenWintersemester 1999/2000 und Sommersemester 2000
V
Vorwort
Dieses Skriptum entstand als Begleitmaterial zu einer Vorlesung uber Mathematische Logik am Mathe-matischen Institut der Universitat Munchen, die ich in zwei Teilen im Wintersemester 1999/2000 und imSommersemester 2000 gehalten habe.
Bedanken mochte ich mich bei den Herren Klaus Aehlig und Dr. Oliver Deiser, die die Ubungen zudieser Vorlesung korrigiert bzw. betreut und in vielen Diskussionen zu ihrem Inhalt wesentlich beigetragenhaben.
Munchen, August 2000
Helmut Schwichtenberg
VI
Inhaltsverzeichnis
1. Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Formale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Vollstandigkeit der Minimallogik und der intuitionistischen Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5 Vollstandigkeit der klassischen Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6 Anfange der Modelltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2. Beweistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1 λ-Kalkul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Normalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4 Normale versus nicht-normale Herleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.5 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3. Berechenbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1 Primitiv rekursive Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Rekursive Funktionen, rekursiv aufzahlbare Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3 Kodierung der Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4 Herbrand-Godel-Kleene-rekursive Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.5 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4. Metamathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1 Undefinierbarkeit des Wahrheitsbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Der Wahrheitsbegriff in formalen Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3 Unentscheidbarkeit und Unvollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.4 Reprasentierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.5 Unbeweisbarkeit der Widerspruchsfreiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.6 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5. Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.1 Kumulative Typenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 Axiomatische Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3 Rekursion, Induktion, Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4 Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.5 Das Auswahlaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.6 Ordinalzahlarithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.7 Normalfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.8 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
VIII Inhaltsverzeichnis
6. Beweistheorie der Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.1 Godelisierung von Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.2 Beweisbarkeit von Anfangsfallen der transfiniten Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.3 Normalisierung fur die Arithmetik mit der Omega-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.4 Unbeweisbarkeit von Anfangsfallen der transfiniten Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.5 Nachtrag: η-Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.6 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
1. Logik
Untersuchungsgegenstand dieser Vorlesung sind mathematische Beweise. In diesem einfuhrenden Kapitelbefassen wir uns mit den Grundlagen der Formalisierung derartiger Beweise. Dazu verwenden wir ein Sy-stem des “naturlichen Schließens”, das 1934 von Gentzen [9] eingefuhrt wurde. Es gibt zwei Hauptgrundefur diese Wahl. Erstens handelt es sich – wie schon der Name sagt – um ein naturliches Beweissystem,in dem Beweise in einer Art dargestellt sind, wie sie ein sorgfaltiger Mathematiker formulieren wurde,wenn er alle Einzelheiten einer Argumentation aufschreiben mochte. Zweitens sind formale Beweise imnaturlichen Schließen eng verknupft (mittels der sogenannten Curry-Howard Korrespondenz) mit Ter-men im getypten λ-Kalkul. Dies liefert nicht nur eine kompakte Schreibweise fur formale Beweise (diesonst leicht zu unhandlichen Baumstrukturen werden), sondern offnet auch einen Weg zur Anwendungvon im Kontext des λ-Kalkuls gebrauchlichen rechnerischen Techniken.
Außer der klassischen Logik werden wir uns auch mit konstruktiven Logiken befassen: mit Minimal-logik und mit intuitionistischer Logik. Dies wird einige interessante Aspekte von Beweisn zum Vorscheinbringen. So ist es zum Beispiel moglich und sinnvoll, zwischen Existenzbeweisen zu unterscheiden, diedas als existent nachgewiesene Objekt tatsachlich liefern, und solchen, die dies nicht tun. Als Beispielbetrachten wir die folgende Aussage.
Es gibt irrationale Zahlen a, b mit ab rational.
Einen Beweis erhalt man wie folgt durch Fallunterscheidung.
Fall√
2√
2ist rational. Man wahle a =
√2 und b =
√2. Dann sind a, b irrational, und nach Annahme
ist ab rational.Fall
√2√
2ist irrational. Man wahle a =
√2√
2und b =
√2. Dann sind nach Annahme a, b irrational,
und
ab =(√
2√
2)
√2
=(√
2)2
= 2
ist rational. utSolange wir nicht entschieden haben, ob
√2√
2nun rational ist oder nicht, wissen wir nicht, welche
Zahlen a, b wir nehmen mussen. Damit haben wir ein Beispiel eines Existenzbeweises, der es nicht erlaubt,das als existent nachgewiesene Objekt tatsachlich anzugeben.
Eine besondere Eigenart von Gentzens Kalkul des naturlichen Schließens ist es, daß fur jede logi-sche Verknupfung ∧, → und ∀ Einfuhrungs- und Beseitigungsregeln vorhanden sind. Dies fuhrt auf dasSystem der Minimallogik, das von Johansson [15] 1937 eingefuhrt wurde. Gibt man dann dem speziel-len Aussagensymbol ⊥ (gelesen “falsum”, fur “Falschheit”) einen besonderen Status, so erhalt man dieintuitionistische Logik (mittels des Prinzips des ex-falso-quodlibet) und die klassische Logik (mittels desPrinzips des indirekten Beweisens)). Fur diesen Aufbau der Logik ist es wichtig, daß wir uns auf eineSprache beschranken, die nur die logischen Verknupfungen →, ∧ und ∀ enthalt; die Disjunktion ∨ undder Existenzquantor ∃ konnen mittels ihrer de Morganschen Definitionen eingefuhrt werden. Fur dieseVerknupfungen lassen sich dann die ublichen Einfuhrungs- und Beseitigungsregeln herleiten. Schließlicherweitern wir die Sprache noch um den starken (konstruktiven) Existenzquantor ∃∗. Man kann dann inden Fallen, wo ein Existenzbeweis tatsachlich konstruktiv durch Angabe eines Beispiels gefuhrt wurde,dies auch in der Formelsprache angemessen ausdrucken.
2 1. Logik
1.1 Formale Systeme
Der Mathematiker studiert Axiomensysteme. Man unterscheidet zwischen “klassischen” Axiomensyste-men, die ein intendiertes Modell moglichst vollstandig beschreiben sollen (etwa die naturlichen Zahlenoder die ebene Geometrie) und “modernen” Axiomensystemen wie etwa denen fur Gruppen, Ringe undKorper, die von vornherein so konzipiert sind, daß sie moglichst viele Modelle besitzen. Die Grundbegrif-fe der jeweiligen mathematischen Disziplin sind dann durch die Axiome implizit bestimmt. Ausgehendvon den Grundbegriffen werden weitere Begriffe definiert, die aber prinzipiell entbehrlich sind. Aus denAxiomen werden dann mittels logischer Schlußregeln die Satze der Theorie hergeleitet. – Wir werden unshier in erster Linie mit klassischen Axiomensystemen befassen.
Einen mathematischen Satz kann man unter zwei Aspekten betrachten: einerseits teilt er einen Inhaltmit (semantischer Aspekt), andererseits liegt er als Zeichenreihe vor (syntaktischer Aspekt). Der seman-tische Aspekt scheint auf den ersten Blick viel wichtiger zu sein. Es ist jedoch notig und in manchenFallen ergiebig, sich auch mit dem syntaktischen Aspekt zu befassen.
Die syntaktische Seite eines Axiomensystems fassen wir in dem Begriff eines formalen Systems zu-sammen. Ein formales System ist bestimmt durch
(1) eine (formale) Sprache, und(2) Axiome und Schlußregeln.
Als Sprache verwendet man am besten eine kunstliche, formale Sprache, um Eindeutigkeit und Einfach-heit zu gewahrleisten. Eine solche Sprache ist bestimmt durch einen Zeichenvorrat (Alphabet), darausgebildete Terme (die Objekte bedeuten) und Formeln (die Aussagen bedeuten). Eine Aussage ist nachAristoteles ein sprachliches Gebilde, von dem es sinnvoll ist zu sagen, es sei wahr oder falsch. Die Axiomesind dann einfach spezielle Formeln, und die Schlußregeln gestatten den Ubergang von gewissen (meistendlich vielen) Pramissen auf eine Konklusion – im allgemeinen unter zusatzlichen Bedingungen.
Wir wollen hier eine Klasse von formalen Systemen beschreiben, die auf der Logik erster Stufe basieren.Sie reichen fur die Darstellung der ublichen Axiomensysteme der Mathematik aus. Als erstes wollen wirihre Sprache einfuhren. Dazu beginnen wir mit einer informalen Diskussion.
Jede Sprache verwendet Begriffe. In unserem Fall einer Sprache uber mathematische Gegenstandekonnen wir es uns relativ einfach machen. Hier kann man zwischen logischen und nichtlogischen Begriffenunterscheiden.
Wir behandeln zunachst die nichtlogischen Begriffe. Wir legen einen sogenannten Individuenbereichzugrunde (etwa den Bereich N der naturlichen Zahlen oder die Tragermenge G einer Gruppe) und ver-stehen dann unter einem Begriff einfach eine Teilmenge des Individuenbereichs; ein Beispiel ist der Prim-zahlbegriff. In der Sprache muß fur jeden relevanten Begriff ein Symbol zu seiner Benennung vorhandensein, etwa P fur den Primzahlbegriff; solche Symbole nennt man Relationssymbole. Es ist notwendig,auch mehrstellige Begriffe zuzulassen, etwa die Kleiner-oder-Gleich-Beziehung n ≤ m zwischen naturli-chen Zahlen, oder die dreistellige Relation “A liegt zwischen B und C” fur Punkte A, B,C ∈ R2. Diezugehorigen Symbole nennt man Relationssymbole.
Ferner brauchen wir in der Mathematik offenbar Funktionen, etwa die Nachfolgerfunktion und dieAddition auf N oder die Gruppenverknupfung. In der Sprache muß dann fur jede vorkommende Funktionein Symbol zu ihrer Benennung vorhanden sein, etwa S fur die Nachfolgerfunktion, + fur die Addition und fur die Gruppenverknupfung; solche Symbole nennt man Funktionssymbole. Jedes Funktionssymbol hateine feste Stellenzahl. Ferner brauchen wir offenbar in der Sprache Konstanten fur einzelne Individuen(etwa 5). Man kann Konstante als entartete (genauer: nullstellige) Funktionssymbole auffassen. Aus denFunktionssymbolen und den Konstanten kann man Terme aufbauen, etwa S(5) oder 5 + 7. Mit solchenTermen lassen sich dann atomare Formeln bilden, etwa P (7) (mit der Bedeutung “7 ist eine Primzahl”)oder S(5) < 9.
Wir nachstes betrachten wir die logischen Begriffe. Aus atomaren Formeln kann man mittels logischerVerknupfungen weitere Formeln zusammensetzen, etwa 2 < 3 ∧ P (7). Allgemein ist mit A und B auchdie Konjunktion A ∧B (gelesen “A und B”) eine Formel.
Man beachte, daß die Wahrheit oder Falschheit von A ∧ B allein von der Wahrheit oder Falschheitvon A und von B abhangt, nicht von der Bedeutung dieser Aussagen. Wir nehmen deshalb mit Fregean, daß zwei verschiedene Wahrheitswerte W und F gegeben sind. Man beachte, daß es nicht darauf
1.1 Formale Systeme 3
ankommt, was genau die Wahrheitswerte W und F sind, solange sie nur verschieden sind; wir wollenhier 1 und 0 wahlen. Wir betrachten jetzt Wahrheitsfunktionen H : 1, 0n → 1, 0. Die Konjunktion∧ wird dann vollstandig durch ihre Wahrheitsfunktion H∧ : 1, 02 → 1, 0 beschrieben, die durchH∧(p, q) := min(p, q) bestimmt ist.
Mit A ist auch die Negation ¬A (gelesen “nicht A”) eine Formel. Die zugehorige WahrheitsfunktionH¬ : 1, 0 → 1, 0 ist einstellig und bestimmt durch H¬(p) := 1− p.
Mit A und B ist auch die Disjunktion A ∨ B (gelesen “A oder B”) eine Formel. Man beachte,daß das “oder” hier im nicht ausschließenden Sinn gemeint ist; dies ist in der Mathematik ublich. Beiklassischer Auffassung ist die Disjunktion ∨ vollstandig durch ihre Wahrheitsfunktion H∨ : 1, 02 →1, 0 beschrieben, die durch H∧(p, q) := max(p, q) bestimmt ist. Man beachte, daß dann A∨B dasselbebedeutet wie ¬(¬A∧¬B), also ∨ auch durch ∧ und ¬ definiert werden kann. Es gilt namlich H∨(p, q) :=H¬(H∧(H¬(p),H¬(q))), wie man etwa durch Probieren der 22 = 4 Falle sofort feststellt. Wir werdenauch noch eine starke (oder konstruktive) Auffassung des “oder” besprechen, bei der ∨ nicht mehr sodefiniert werden kann.
Mit A und B ist auch die Implikation A → B (gelesen “wenn A, so B” oder “A impliziert B”)eine Formel. Man beachte, daß wenn-so hier im mathematischen Sinn gemeint ist, d.h. es braucht keinkausaler Zusammenhang zwischen A und B zu bestehen. So ist zum Beispiel 2 < 3 → P (7) wahr. DieWahrheitsfunktion H→ : 1, 02 → 1, 0 ist H→(p, q) := H∨(H¬(p), q), also
H→(1, 1) = H→(0, 1) = H→(0, 0) = 1,
H→(1, 0) = 0.
Schließlich ist mit A und B auch die Aquivalenz A ↔ B (gelesen “A genau dann, wenn B” oder “Aaquivalent B”) eine Formel. Die Wahrheitsfunktion H↔ : 1, 02 → 1, 0 ist
H↔(1, 1) = H↔(0, 0) = 1,
H↔(1, 0) = H↔(0, 1) = 0.
Die Aquivalenz ist offenbar aus ∧ und → definierbar durch (A → B) ∧ (B → A).Ferner ist es nutzlich, noch das Falsum ⊥ als logische Konstante einzufuhren. Es ist bestimmt durch
die “nullstellige” Wahrheitsfunktion H⊥ := 0. Man kann dann etwa die Negation ¬ aus der Implikation→ und dem Falsum ⊥ definieren durch ¬A := A → ⊥, denn es gilt
H→(1,H⊥) = H→(1, 0) = 0 = H¬(1),
H→(0,H⊥) = H→(0, 0) = 1 = H¬(0).
Um auch allgemeine Aussagen machen zu konnen – etwa ∀x(ex = x) –, benotigen wir noch Variablenx, y, z, . . . . Dabei stellen wir uns vor, daß die Variablen uber die Elemente unseres Individuenbereichslaufen. Der Termbegriff ist dann so zu erweitern, daß auch Variablen darin zugelassen sind.
Mit A ist auch die Allformel ∀xA (gelesen “fur alle x gilt A”) eine Formel. Hierbei wird im allgemeinenA eine Formel sein, in der die Variable x vorkommt.
Schließlich ist mit A auch die Existenzformel ∃xA (gelesen “es gibt ein x mit A”) eine Formel.Man beachte, daß bei der ublichen klassischen (oder schwachen) Auffassung des “es gibt” ∃xA dasselbebedeutet wie ¬∀x¬A, also ∃ auch durch ∀ und ¬ definiert werden kann. Wir werden auch noch einekonstruktive (oder starke) Auffassung des Existenzquantors besprechen, bei der dies nicht mehr der Fallist.
Man beachte ferner, daß die Verwendung der Quantoren ∀x und ∃x die Unterscheidung zwischenfreien und gebundenen Vorkommen von Variablen notwendig macht. So ist etwa in ∀x(x ≤ x + y) daszweite und dritte Vorkommen der Variablen x gebunden, aber das einzige Vorkommen der Variablen yfrei. Die letzte Formel kann man unter Erhalt ihrer Bedeutung auch umschreiben in ∀z(z ≤ z + y), denndies ist nur eine Umbenennung der gebundenen Variablen. Ein ahnliches Phanomen ist aus der Analysisbekannt, wo ebenfalls
∫ 1
0sin(xy) dx =
∫ 1
0sin(ty) dt
ist; x bzw. t kommen hier gebunden und y frei vor.
4 1. Logik
Wir geben jetzt einige Beispiele zur Formalisierung mathematischer Aussagen.Als erstes betrachten wir die Axiome der Gruppentheorie. Grundbegriffe sind die Gruppenverknupfung
(ein zweistelliges Funktionssymbol), die Einheit e (eine Konstante), die Inversenbildung −1 (ein einstel-liges Funktionssymbol) und schließlich die Gleichheit = (ein zweistelliges Relationssymbol). Als Axiomehaben wir
∀x∀y∀z[x (y z) = (x y) z] (Assoziativitat),
∀x[e x = x] (Linkseinheit),
∀x[x−1 x = e] (Linksinverses).
Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten:
∀ fur alle Mengen∃ es gibt eine Menge
x ∈ y x ist ein Element von yx = y x ist gleich y
∀x∀y(∀z.z ∈ x ↔ z ∈ y) → x = y.
f ist stetig im Punkt a:
f einstelliges Funktionssymbola, 0 reelle Zahlen∀ fur alle reelle Zahlen∃ es gibt eine reelle Zahlx > y (x < y) x ist großer (kleiner) als yd(x, y) der Abstand von x und y
∀ε.ε > 0 → ∃δ.δ > 0 ∧ ∀x.d(x, a) < δ → d(f(x), f(a)) < ε;
hierfur schreibt man zur Abkurzung meist
∀ε>0∃δ>0∀x.d(x, a) < δ → d(f(x), f(a)) < ε.
Es gibt eine gemeinsame obere Schranke fur Summe und Produkt zweier positiver rationaler Zahlen:
∀ fur alle positiven rationalen Zahlen∃ es gibt eine positive rationale Zahl+ Addition· Multiplikation
x ≤ y x ist kleiner oder gleich y2xy verdoppeltes Produkt von x und y
∀x∀y∃z.x + y ≤ z ∧ x · y ≤ z.
Fur positive rationale Zahlen x ≤ 1 und y ist y + 1 eine gemeinsame obere Schranke fur ihre Summe undihr Produkt:
∀x.x ≤ 1 → ∀y.x + y ≤ y + 1 ∧ x · y ≤ y + 1
oder kurzer∀x≤1∀y.x + y ≤ y + 1 ∧ x · y ≤ y + 1.
Fur positive rationale Zahlen x, y > 1 ist 2xy eine gemeinsame obere Schranke fur ihre Summe und ihrProdukt:
∀x.x 6≤ 1 → ∀y.y 6≤ 1 → [x + y ≤ 2xy ∧ x · y ≤ 2xy]
oder kurzer∀x6≤1∀y 6≤ 1.x + y ≤ 2xy ∧ x · y ≤ 2xy.
1.1 Formale Systeme 5
Formale Sprachen
Wir geben jetzt eine genaue Beschreibung der Sprachen der Logik erster Stufe.Gegeben sei eine abzahlbar unendliche Menge vi | i ∈ N von Variablen; Mitteilungszeichen fur
Variable sind x, y, z. Eine Sprache L erster Stufe ist bestimmt durch ihre Signatur . Darunter verstehtman folgendes.
– Fur jede naturliche Zahl n ≥ 0 eine (eventuell leere) Menge Rel(n)L von n-stelligen Relationssymbolen
(oder auch Pradikatensymbolen). 0-stellige Relationssymbole heißen Aussagensymbole. Wir nehmen an,daß ein spezielles Aussagensymbol ⊥ (gelesen “falsum” oder “bottom”) vorhanden ist.
– Fur jede naturliche Zahl n ≥ 0 eine (eventuell leere) Menge Fun(n)L von n-stelligen Funktionssymbolen.
Die 0-stelligen Funktionssymbole heißen Konstante.
Wir setzen voraus, daß die Menge der Variablen und alle Mengen Rel(n)L und Fun(n)
L paarweise disjunktsind.
Zum Beispiel ist die Sprache LG der Gruppentheorie bestimmt durch die Signatur bestehend aus denFunktionssymbolen , e,−1 (2-, 0- bzw. 1-stellig) und dem 2-stelligen Relationssymbol =.
L-Terme werden induktiv wie folgt definiert.
– Jede Variable ist ein L-Term.– Jede Konstante von L ist ein L-Term.– Sind t1, . . . , tn L-Terme und ist f ein n-stelliges Funktionssymbol von L mit n ≥ 1, so ist f(t1, . . . , tn)
ein L-Term.
Mit TerL bezeichnen wir die Menge der L-Terme. Fur jeden L-Term t definieren wir wie folgt die Mengevars(t) aller Variablen, die in dem Term auftreten.
– Ist t eine Variable, so ist vars(t) := t.– Ist t eine Konstante von L, so ist vars(t) := ∅.– Sind t1, . . . , tn L-Terme und ist f ein n-stelliges Funktionssymbol von L, so ist
vars(f(t1, . . . , tn)) := vars(t1) ∪ . . . ∪ vars(tn).
Ist vars(t) = ∅, so heißt der Term t geschlossen oder Grundterm.Zweistellige Funktionssymbole werden meist in Infix -Schreibweise verwendet. Man schreibt dann x+y
statt +(x, y). Klammern werden so gesetzt, daß sich die Struktur eines Terms eindeutig ergibt. Stattf(t1, . . . , tn) schreiben wir oft auch ft1 . . . tn. Terme der Sprache der Gruppentheorie, also LG-Terme,sind dann zum Beispiel e, x e und (x−1 y−1)−1.
Aus L-Termen erhalt man jetzt sehr einfach L-Primformeln oder atomare Formeln von L: Sindt1, . . . , tn L-Terme und ist R ein n-stelliges Relationssymbol von L, so ist R(t1, . . . , tn) eine L-Primformel;insbesondere ist ⊥ eine L-Primformel.
Auch zweistellige Relationssymbole werden meist in Infix -Schreibweise verwendet. Man schreibt dannx < y statt <(x, y). Klammern werden so gesetzt, daß sich die Struktur einer atomaren Formel eindeutigergibt. Statt R(t1, . . . , tn) schreiben wir oft Rt1 . . . tn.
L-Formeln werden aus L-Primformeln wieder induktiv definiert durch
– Jede L-Primformel ist eine L-Formel.– Sind A und B L-Formeln, so auch (A ∧B) und (A → B).– Ist A eine L-Formel und x eine Variable, so ist ∀xA eine L-Formel.
Fur jede L-Formel A definieren wir wie folgt die Menge FV(A) aller in A freien Variablen.
FV(R(t1, . . . , tn)) := vars(t1) ∪ . . . ∪ vars(tn),
FV(A ∧B) := FV(A) ∪ FV(B),
FV(A → B) := FV(A) ∪ FV(B),
FV(∀xA) := FV(A) \ x.
Falls FV(A) = ∅, so heißt A geschlossene Formel oder Satz . Wir schreiben A[x], um mitzuteilen, daß allefreien Variablen von A in der Liste x enthalten sind.
6 1. Logik
Wir beschranken uns hier der Einfachheit halber auf die logischen Symbole ∧, → und ∀, da Negation,Disjunktion, Aquivalenz und der Existenzquantor daraus definierbar sind, und zwar durch
¬A := A → ⊥,
A ∨B := ¬(¬A ∧ ¬B),
A ↔ B := (A → B) ∧ (B → A),
∃xA := ¬∀x¬A.
Wir schreiben t 6= s fur ¬(t = s) und t 6< s fur ¬(t < s). Klammern werden so gesetzt, daß sich dieStruktur einer Formel eindeutig ergibt. Um Klammern zu sparen, vereinbaren wir folgendes.
1. Der Wirkungsbereich von ¬ und ∀x ist so klein wie moglich. Beispiele:
¬A ∧B meint (¬A) ∧B, nicht ¬(A ∧B).∀xA → B meint (∀xA) → B, nicht ∀x(A → B).
2. Der Wirkungsbereich von ∧ und ∨ ist so klein wie moglich, unter Berucksichtigung von (1). Beispiel:
¬A ∧B → C meint ((¬A) ∧B) → C.
3. Bei wiederholter Anwendung einer Verknupfung ist stets Rechtsklammerung gemeint. Beispiel:
A → B → C meint A → (B → C).
4. Schreibt man hinter ∀x einen Punkt, so ist der Wirkungsbereich von ∀x ist so groß wie moglich.Beispiel:
∀x.A → B meint ∀x(A → B), nicht (∀xA) → B.
Als Mitteilungszeichen verwenden wir (auch mit Indizes)
r, s, t fur Termex, y, z fur Variablenc fur KonstantenP, Q, R fur Relationssymbolef, g, h fur FunktionssymboleA,B, C, D fur Formeln
Im folgenden sei die Sprache L fest gewahlt. Wir lassen deshalb den Bezug auf L weg und sprechenkurz von Termen und Formeln statt von L-Termen und L-Formeln.
Der Einfachheit halber identifizieren wir Formeln, die sich nur durch gebundene Umbenennung un-terscheiden. Dann laßt sich die Substitution A[x := t] eines Terms t fur eine Variable x besonders einfachdefinieren.
Definition 1.1.1. Fur Terme r und t definieren wir das Ergebnis der Substitution von t fur x in r wiefolgt durch Induktion uber den Aufbau von r.
y[x := t] :=
t falls x = yy sonst
c[x := t] := c
f(t1, . . . , tn)[x := t] := f(t1[x := t], . . . , tn[x := t])
Fur Formeln A und Terme t definieren wir das Ergebnis der Substitution von t fur x in A wie folgt durchInduktion uber den Aufbau von A.
R(t1, . . . , tn)[x := t] := R(t1[x := t], . . . , tn[x := t])
(A ∧B)[x := t] := A[x := t] ∧B[x := t]
(A → B)[x := t] := A[x := t] → B[x := t]
(∀yA)[x := t] := ∀yA[x := t], wobei oBdA y 6= x und y 6∈ vars(t).
1.2 Beweise 7
1.2 Beweise
Wir wollen jetzt den Begriff einer logischen Herleitung einer Formel A definieren. Dazu verwenden wirein System des “naturlichen Schließens”, das von 1934 von Gentzen eingefuhrt wurde. Seine besondereEigenart ist es, daß fur jede logische Verknupfung Einfuhrungs- und Beseitigungsregeln vorhanden sind.
Wir beginnen mit einigen Beispielen fur naturliche Beweise. Gegeben sei also eine Sprache L ersterStufe. Der Einfachheit halber betrachten wir Beweise in der reinen Logik, d.h. ohne Annahmen uber dieFunktionen und Relationen.
(A ∧B → C) → (A → (B → C)). (1.1)
Beweis. Gelte A ∧ B → C. Zu zeigen: A → (B → C). Gelte also A. Zu zeigen: B → C. Gelte alsoB. Zu zeigen: C. Wir haben A ∧ B, nach den letzten beiden Annahmen. Also auch C, nach der erstenAnnahme. ut
(A → (B → C)) → (A ∧B → C). (1.2)
Beweis. Gelte A → (B → C). Zu zeigen: A ∧ B → C. Gelte also A ∧ B. Zu zeigen: C. Wir haben A,nach der letzten Annahme. Also auch B → C, nach der ersten Annahme. Wir haben B, wieder nach derletzten Annahme. Daher auch C, nach den letzten beiden Aussagen. ut
(∀x.A → B) → (A → ∀xB), falls x /∈ FV(A). (1.3)
Beweis. Gelte ∀x.A → B. Zu zeigen: A → ∀xB. Gelte also A. Zu zeigen: ∀xB. Sei x beliebig; manbeachte, daß wir bisher keine Annahmen uber x gemacht haben. Zu zeigen: B. Wir haben A → B, nachder ersten Annahme. Also auch B, nach der zweiten Annahme. ut
(A → ∀xB) → ∀x.A → B, falls x /∈ FV(A). (1.4)
Beweis. Gelte A → ∀xB. Zu zeigen: ∀x.A → B. Sei x beliebig; man beachte, daß wir bisher keineAnnahmen uber x gemacht haben. Zu zeigen: A → B. Gelte also A. Zu zeigen: B. Wir haben ∀xB, nachder ersten und zweiten Annahme. Also auch B. ut
Ein Charakteristikum dieser Beweise ist es, daß Annahmen eingefuhrt und wieder beseitigt werden:Zu jedem Zeitpunkt im Beweis kennt man die jetzt freien Annahmen.
Wir reservieren das Wort Beweis fur einen informalen Kontext (oder die “Meta-Stufe”); eine formaleDarstellung eines Beweises nennen wir Herleitung oder Ableitung .
Eine anschauliche Art, Herleitungen zu definieren, besteht darin, sie als beschriftete Baume aufzufas-sen. Die Beschriftungen der inneren Knoten sind Formeln, die der Blatter sind Formeln oder Terme. DieBeschriftungen der Nachfolger eines Knotens ν sind die Pramissen einer Regelanwendung, die Formelam Knoten ν ist ihre Konklusion. An der Wurzel des Baums befindet sich die Konklusion der gesamtenHerleitung. Im naturlichen Schließen arbeitet man mit Annahmen, die an Blattern des Baums stehen; siekonnen offen oder geschlossen (man sagt auch: gestrichen) sein.
Jede dieser Annahmen ist mit einer Marke versehen. Als Marken verwenden wir Annahmenvariablen0,1, . . . ; Mitteilungszeichen fur Annahmenvariablen sind u, v, w, u0, u1, . . . . Die (bisherigen) Variablennennen wir oft auch Objektvariablen, um sie von den Annahmenvariablen zu unterscheiden. Wenn an einerspateren Stellen (d.h. an einem Knoten im Baum unterhalb einer solchen Annahme) die Abhangigkeitvon dieser Annahme beseitigt wird, notieren wir dies durch Angabe der Annahmenvariablen. Da wirdieselbe Annahme auch mehrfach verwenden konnen (dies war etwa im Beispiel 1.2 der Fall), darf ineinem Baum eine mit u markierte Annahme A (mitgeteilt durch u : A) auch mehrfach vorkommen. Wirverlangen jedoch, daß verschiedene Annahmeformeln stets verschiedene Marken bekommen.
Einen inneren Knoten im Baum verstanden wir als Resultat eines Ubergangs von Pramissen zu einerKonklusion. Die zulassigen Ubergange werden durch die Regeln bestimmt. Die Beschriftung des Knotensenthalt dann neben der Konklusion noch den Namen der verwendeten Regel. In manchen Fallen bindeteine Regel eine Annahmenvariable u (und beseitigt damit die Abhangigkeit von allen daruber stehenden,
8 1. Logik
mit u markierten Annahmen u : A) oder eine Objektvariable x (und beseitigt damit die Abhangigkeitvon x). Dann wird die abgebundene Annahmen- oder Objektvariable der Beschriftung hinzugefugt.
Wir geben jetzt die Regeln des naturlichen Schließens an. Zunachst haben wir eine Annahmeregel, diees gestattet, eine beliebige mit einer Marke u versehene Formel A als Annahme hinzuschreiben:
u : A Annahme
Die restlichen Regeln des naturlichen Schließens gliedern sich in Einfuhrungs- und Beseitigungsregeln furdie logischen Verknupfungen ∧, → und ∀. Fur die Konjuktion ∧ haben wir eine Einfuhrungsregel ∧+ undzwei Beseitigungsregeln ∧−0 und ∧−1 .
D0
AD1
B ∧+A ∧B
DA ∧B ∧−0
A
DA ∧B ∧−1
BFur die Implikation → gibt es eine Einfuhrungsregel →+u und eine Beseitigungsregel →−, die man auchmodus ponens nennt. Die linke Pramisse A → B in →− nennt man Hauptpramisse, die rechte PramisseA Nebenpramisse. Man beachte, daß bei Anwendung einer →+u-Regel alle daruber stehenden mit umarkierten Annahmen A gestrichen werden.
[u : A]DB →+uA → B
D0
A → BD1
A →−B
Fur den Allquantor ∀ gibt es eine Einfuhrungsregel ∀+x und eine Beseitigungsregel ∀−, die als rechtePramisse den zu substituierenden Term t hat. Die Regel ∀+x unterliegt der folgenden Variablenbedingung :Die Herleitung D der Pramisse A darf keine offenen Annahmen enthalten, in denen x frei vorkommt.
DA ∀+x∀xA
D∀xA t ∀−A[x := t]
Wir geben Herleitungen fur die oben bewiesenen Formeln (1.1) – (1.4) an. Da meist die verwendeteRegel durch die an den Knoten stehenden Formeln bestimmt ist, verzichten wir im allgemeinen auf dieAngabe der Regel.
u : A ∧B → Cv : A w : B
A ∧BC →+wB → C →+vA → (B → C)
→+u(A ∧B → C) → (A → (B → C))
(1.1)
u : A → (B → C)v : A ∧B
AB → C
v : A ∧BB
C →+vA ∧B → C →+u(A → (B → C)) → (A ∧B → C)
(1.2)
u : ∀x.A → B xA → B v : A
B x∀xB →+vA → ∀xB →+u(∀x.A → B) → (A → ∀xB)
(1.3)
1.2 Beweise 9
Hier ist zu beachten, daß die Variablenbedingung erfullt ist: x kommt nicht frei in A (und auch nicht freiin ∀x.A → B) vor.
u : A → ∀xB v : A∀xB x
B →+vA → B x∀x.A → B →+u(A → ∀xB) → ∀x.A → B
(1.4)
Auch hier ist die Variablenbedingung erfullt: x kommt nicht frei in A vor.Wir schreiben `A und nennen A herleitbar (in der Minimallogik), wenn es eine Herleitung von A
ohne freie Annahmen gibt. Eine Formel B heißt herleitbar aus den Annahmen A1, . . . , An, wenn es eineHerleitung mit freien Annahmen unter A1, . . . , An gibt. Sei Γ eine (endliche oder unendliche) Mengevon Formeln. Wir schreiben Γ ` B, wenn die Formel B aus endlich vielen Annahmen A1, . . . , An ∈ Γherleitbar ist.
Sequenzenformulierung des naturlichen Schließens
Um die an einem Knoten ν eines Herleitungsbaums freien Annahmen zu finden, muß man die Annah-men an den Blattern oberhalb von ν durchsuchen. Diejenigen davon, deren Marke nicht zwischen demBlatt und ν gestrichen wurde, sind an dem Knoten ν frei. Obwohl schreibtechnisch aufwendig ist es furmanche metamathematischen Untersuchungen bequem, die an einem Knoten freien Annahmen explizitmitzufuhren. Man nennt die Menge der an einem Knoten freien Annahmen den Kontext . Ein Kontextist also eine Menge u1 : A1, u2 : A2, . . . , un : An mit paarweise verschiedenen ui. Die Ai brauchen nichtverschieden zu sein; dies entspricht der Tatsache, daß in einer naturlichen Herleitung dieselbe Annahme-formel mehrmals mit verschiedenen Marken vorkommen kann. Die Herleitungen werden dann Baume, andenen jeder Knoten beschriftet ist mit einer Sequenz der Form Γ ⇒ B, wobei Γ ein Kontext ist.
Mit Γ,∆ oder auch Γ∆ bezeichnen wir die Vereinigung Γ ∪∆. Die Verwendung dieser Bezeichnungsoll stets die Voraussetzung implizieren, daß die Vereinigung konsistent , also wieder ein Kontext ist.
u : A ⇒ A Annahme
Γ ⇒ A ∆ ⇒ BΓ∆ ⇒ A ∧B
∧+ Γ ⇒ A ∧BΓ ⇒ A
∧−0Γ ⇒ A ∧B
Γ ⇒ B∧−1
Γ ⇒ BΓ \ u : A ⇒ A → B
→+uΓ ⇒ A → B ∆ ⇒ A
Γ∆ ⇒ B→−
Γ ⇒ AΓ ⇒ ∀xA
∀+ Γ ⇒ ∀xA tΓ ⇒ A[x := t]
∀−
Die Variablenbedingung bei der Regel ∀+ ist jetzt einfach, daß x nicht frei in einer der Formeln desKontexts Γ vorkommt.
Intuitionistischen und klassische Logik
In unserer→∧∀-Sprache erhalten wir die intuitionistische Logik , indem wir gewisse zusatzliche Annahmenverwenden, und zwar die sogenannten Ex-Falso-Quodlibet-Formeln (oder “Axiome”) EfqR fur jedes von⊥ verschiedene Relationssymbol R
∀x.⊥ → Rx (EfqR)
Ahnlich erhalt man die klassische Logik : wir nehmen fur jedes jedes von ⊥ verschiedene RelationssymbolR das Prinzip des indirekten Beweisens fur R als zusatzliche Annahme hinzu, also die Formel
∀x.¬¬Rx → Rx; (StabR)
diese Formel bezeichnet man auch als Stabilitat von R.
10 1. Logik
Man beachte, daß mit ⊥ fur R beide Formeln trivialerweise herleitbar sind; z.B. fur die Stabilitathaben wir ¬¬⊥ → ⊥ = ((⊥ → ⊥) → ⊥) → ⊥. Die gesuchte Herleitung ist
v : (⊥ → ⊥) → ⊥u : ⊥ →+u⊥ → ⊥
⊥
Sei
Efq := EfqR | R Relationssymbol 6= ⊥,Stab := StabR | R Relationssymbol 6= ⊥.
Wir nennen die Formel A klassisch (intuitionistisch) herleitbar und schreiben `c A (`i A), wenn es eineHerleitung von A aus Stabilitatsannahmen StabR (Ex-Falso-Quodlibet Annahmen EfqR) gibt. Ebensodefinieren wir klassische (intuitionistische) Herleitbarkeit aus Γ und schreiben Γ `c A (Γ `i A), also
Γ `i A :⇐⇒ Γ ∪ Efq ` A,
Γ `c A :⇐⇒ Γ ∪ Stab ` A.
Lemma 1.2.1. (Ex-falso-quodlibet). Fur jede Formel A gilt `i ⊥ → A.
Beweis. Durch Induktion uber A konstruieren wir fur jede Formel A eine Herleitung DA von ⊥ → A.Fall Rt. Mit EfqR. Fall A ∧B.
DA
⊥ → A u : ⊥A
DB
⊥ → B u : ⊥B
A ∧B →+u⊥ → A ∧B
Fall A → B.DB
⊥ → B u : ⊥B
A → B →+u⊥ → A → BFall ∀xA.
DA
⊥ → A u : ⊥A∀xA →+u⊥ → ∀xA
ut
Lemma 1.2.2. (Stabilitat). Fur jede Formel A (unserer →∧∀-Sprache) gilt `c ¬¬A → A.
Beweis. Induktion uber A. In den konstruierten Herleitungen lassen wir der Kurze halber Anwendungenvon →+ am Schluß fort. Fall Rt. Mit StabR. Fall A ∧ B. Mit ` (¬¬A → A) → (¬¬B → B) →¬¬(A ∧ B) → A ∧ B, was leicht aus ` ¬¬(A ∧ B) ↔ (¬¬A ∧ ¬¬B) folgt. Fall A → B. Mit ` (¬¬B →B) → ¬¬(A → B) → A → B. Eine Herleitung ist
u : ¬¬B → B
v : ¬¬(A → B)
u1 : ¬Bu2 : A → B w : A
B⊥ →+u2¬(A → B)
⊥ →+u1¬¬BB
Fall ∀xA. Offenbar genugt es zu zeigen, daß ` (¬¬A → A) → ¬¬∀xA → A. Eine Herleitung ist
1.2 Beweise 11
u : ¬¬A → A
v : ¬¬∀xA
u1 : ¬Au2 : ∀xA x
A⊥ →+u2¬∀xA
⊥ →+u1¬¬AA
ut
Lemma 1.2.3. Γ ` A =⇒ Γ `i A und Γ `i A =⇒ Γ `c A.
Beweis. Es genugt zu zeigen, daß `c EfqR. Dies sieht man wie folgt; R sei etwa einstellig.
∀x.¬¬Rx → Rx x¬¬Rx → Rx
u : ⊥ →+v¬Rx¬¬Rx
Rx →+u⊥ → Rx ∀+∀x.⊥ → Rx
ut
Die Umkehrungen gelten jedoch nicht; Gegenbeispiele sind:
6` ⊥ → P, aber `i ⊥ → P ,
6`i ((P → Q) → P ) → P, aber `c ((P → Q) → P ) → P
`i ⊥ → P folgt aus Lemma 1.2.1, und die Peirce-Formel ((P → Q) → P ) → P laßt sich leicht klassischherleiten. Die negative Aussagen erfordern ein genaueres Studium der Herleitbarkeit. Wir werden inAbschnitt 1.4 einen Beweis geben.
Lemma 1.2.4. (Fallunterscheidung). `c (A → B) → (¬A → B) → B.
Beweis.
DStab
¬¬B → B
w : ¬Bu2 : ¬A → B
w : ¬Bu1 : A → B v : A
B⊥ →+v¬A
B⊥ →+w¬¬B
B
wobei DStab gemaß dem Stabilitatslemma 1.2.2 gewahlt ist. ut
Wir nennen zwei Formeln A und B aquivalent in der Minimallogik bzw. in der klassischen oderintuitionistischen Logik, wenn ` A ↔ B bzw. `c A ↔ B oder `i A ↔ B.
Lemma 1.2.5. (Aquivalenzlemma). Fur `mic∈ `,`i,`c gilt folgendes. Ist `mic A1 ↔ A2 und entstehtB2 aus B1 durch Ersetzen eines Teils A1 von B1 durch A2, so gilt auch `mic B1 ↔ B2.
Beweis. Induktion uber B1. Falls ganz B1 ersetzt wird, so ist die Behauptung klar. Andernfalls muß B1eine zusammengesetzte Formel sein.
Fall C1 ∧D1. Die Ersetzung finde etwa in C1 statt. Zu zeigen ist dann `mic C1 ∧D1 ↔ C2 ∧D1. →:
DC1 → C2
C1 ∧D1
C1
C2
C1 ∧D1
D1
C2 ∧D1
wobei D nach IH bekannt ist. ← beweist man ahnlich.Fall C1 → D1. Falls die Ersetzung in C1 stattfindet, ist zu zeigen `mic (C1 → D1) ↔ (C2 → D1). →:
12 1. Logik
C1 → D1
DC2 → C1 u : C2
C1
D1 →+uC2 → D1
wobei wieder D nach IH bekannt ist. ← beweist man ahnlich. Falls die Ersetzung in D1 stattfindet, istzu zeigen `mic (C1 → D1) ↔ (C1 → D2). →:
DD1 → D2
C1 → D1 u : C1
D1
D2 →+uC1 → D2
wobei wieder D nach IH bekannt ist. ← beweist man ahnlich.Fall ∀xC1. Zu zeigen ist `mic ∀xC1 ↔ ∀xC2. →:
DC1 → C2
∀xC1 xC1
C2
∀xC2
wobei wieder D nach IH bekannt ist. Man beachte, daß D keine freien Annahmen enthalt. ← beweistman ahnlich. ut
Einbettung der intuitionistischen und klassischen Logik in die Minimallogik
Nachdem wir die klassische und die intuitionistische Logik definiert haben, wollen wir jetzt zeigen, daßbeide Logiken in die Minimallogik eingebettet werden konnen. Dies mag verwunderlich erscheinen; es folgtwesentlich aus der Tatsache, daß wir uns auf eine Sprache beschrankt haben, die nur die Verknupfungen→,∧, ∀ enthalt.
Eine Formel A (unserer →∧∀-Sprache) heißt negativ , wenn jede atomare Formel 6= ⊥ in A negiertvorkommt, d.h. in einem Kontext Rt → ⊥.
Lemma 1.2.6. Fur negative A gilt ` ¬¬A → A.
Beweis. Dies beweist man wie das Stabilitatslemma 1.2.2 durch Induktion uber A, wobei man anstelleder Stabilitatsannahmen verwendet ` ¬¬¬Rt → ¬Rt. ut
Definition 1.2.7. (Negative Ubersetzung g nach Godel-Gentzen).
Rtg := ¬¬Rt fur R 6= ⊥,
⊥g := ⊥,
(A ∧B)g := Ag ∧Bg,
(A → B)g := Ag → Bg,
(∀xA)g := ∀xAg.
Satz 1.2.8. Fur alle Formeln A gilt
1. `c A ↔ Ag,2. Γ `c A genau dann, wenn Γ g ` Ag, wobei Γ g := Bg | B ∈ Γ .
Beweis. Der erste Teil folgt sofort aus dem Aquivalenzlemma 1.2.5. Fur den zweiten Teil ist die Richtungvon rechts nach links klar. Fur die andere Richtung argumentieren wir durch Induktion nach der klas-sischen Herleitung. Fur eine Stabilitatsannahme ¬¬Rt → Rt gilt (¬¬Rt → Rt)g = ¬¬¬¬Rt → ¬¬Rt,und dies ist leicht herleitbar. Fall →+. Gelte
1.2 Beweise 13
[u : A]DB →+uA → B
Dann haben wir nach IH
u : Ag
Dg
Bgalso
[u : Ag]Dg
Bg→+uAg → Bg
Fall →−. GelteD0
A → BD1
AB
Dann haben wir nach IH
Dg0
Ag → Bg
Dg1
Agalso
Dg0
Ag → Bg
Dg1
Ag
Bg
Die restlichen Falle behandelt man ahnlich. ut
Korollar 1.2.9. (Einbettung der klassischen Logik in die Minimallogik). Fur negative A gilt `c A genaudann, wenn ` A.
Beweis. Nach dem Satz haben wir `c A genau dann, wenn ` Ag. Da A negativ ist, muß jedes Atom6= ⊥ in A negiert vorkommen, ist also in Ag dreifach negiert (als ¬¬¬Rt). Die Behauptung folgt aus` ¬¬¬Rt ↔ ¬Rt. ut
Da jede Formel klassisch aquivalent zu einer negativen Formel ist, haben wir damit eine Einbettungder klassischen in die Minimallogik erreicht.
Man beachte, daß 6` ¬¬P → P (wie wir in Abschnitt 1.4 zeigen werden). Das Korollar gilt also nichtfur alle Formeln A.
Abgeleitete Regeln fur Disjunktion und Existenz
Disjunktion und Existenz hatten wir definiert durch
A ∨B := ¬(¬A ∧ ¬B),
∃xA := ¬∀x¬A.
Herleitungen von Formeln mit ∨, ∃ lassen sich jedoch oft leichter finden, wenn man nicht auf diese Defi-nitionen zuruckgeht, sondern direkt mit “abgeleiteten Regeln” fur ∨,∃ arbeitet. Darunter verstehen wirdie folgenden Regeln.
Fur die Disjunktion ∨ gibt es zwei Einfuhrungsregeln ∨+0 ,∨+
1 und eine Beseitigungsregel ∨−uv.
DA ∨+
1A ∨B
DB ∨+
0A ∨B
DA ∨B
[u : A]D0
C
[v : B]D1
C∨−uv
C
Fur den Existenzquantor ∃ gibt es eine Einfuhrungsregel ∃+, die als rechte Pramisse den zu substituieren-den Term t hat, und eine Beseitigungsregel ∃−u. Die Regel ∃−u unterliegt der folgenden Variablenbedin-gung : Die Herleitung D0 darf keine offenen Annahmen außer u : A enthalten, in denen x frei vorkommt,und ferner darf B die Variable x nicht frei enthalten.
DA[x := t] t
∃+∃xA
D∃xA
[u : A]D0
B∃−u
B
14 1. Logik
Der doppelte Strich deutet hierbei an, daß es sich nicht um eine primitive Regel unserer Logik handelt,sondern daß man an dieser Stelle einen Herleitungsteil so einsetzen kann, daß eine korrekt gebildete Herlei-tung entsteht. Wir geben im folgenden fur jede der abgeleiteten Regeln den einzusetzenden Herleitungsteilan. Man beachte, daß es sich um Herleitungen in der klassischen Logik handelt, da Stabilitatsannahmenverwendet werden.
∨+0 (∨+
1 wird entsprechend behandelt):
u : ¬A ∧ ¬B¬A
DA
⊥ →+u¬(¬A ∧ ¬B)
∨−uv:
DStab
¬¬C → C
D¬(¬A ∧ ¬B)
w : ¬C
[u : A]D0
C⊥ →+u¬A
w : ¬C
[v : B]D1
C⊥ →+v¬B
¬A ∧ ¬B⊥ →+w¬¬C
C∃+:
u : ∀x¬A t¬A[x := t]
DA[x := t]
⊥ →+u¬∀x¬A∃−u:
DStab
¬¬B → B
D¬∀x¬A
v : ¬B
[u : A]D0
B⊥ →+u¬A
∀x¬A⊥ →+v¬¬B
BAls Alternative kann man ebenfalls den Komfort der abgeleiteten Regeln fur ∨,∃ erhalten, indem man
die folgenden (ableitbaren) Schemata als Axiome benutzt.
A → A ∨B, B → A ∨B.
A ∨B → (A → C) → (B → C) → C.
A → ∃xA.
∃xA → (∀x.A → B) → B, falls x /∈ FV(B).
Konjunktive und disjunktive Normalform
Lemma 1.2.10. (Assoziativitat, Kommutativitat und Distributivitat von ∧ und ∨).
1. `c A ∧ (B ∧ C) ↔ (A ∧B) ∧ C.2. `c A ∨ (B ∨ C) ↔ (A ∨B) ∨ C.3. `c A ∧B ↔ B ∧A.4. `c A ∨B ↔ B ∨A.5. `c A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧B) ∨ (A ∧ C).6. `c A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨B) ∧ (A ∨ C).
1.2 Beweise 15
Beweis. Ubung. ut
Lemma 1.2.11. 1. (de Morgan-Aquivalenzen).
`c ¬(A ∧B) ↔ ¬A ∨ ¬B,
`c ¬(A ∨B) ↔ ¬A ∧ ¬B.
2. (→ aus ¬,∧ bzw. ¬,∨).
`c (A → B) ↔ ¬(A ∧ ¬B),
`c (A → B) ↔ ¬A ∨B.
3. (Tertium non datur). `c A ∨ ¬A.
Beweis. 1. Die Behauptung ergibt sich aus der Definition von ∨, dem Stabilitatslemma 1.2.2 und demAquivalenzlemma 1.2.5.
2. `c (A → B) ↔ ¬(A ∧ ¬B). →.
v : A ∧ ¬B¬B
u : A → Bv : A ∧ ¬B
AB
⊥←.
DStab
¬¬B → B
u : ¬(A ∧ ¬B)v : A w : ¬B
A ∧ ¬B⊥ →+w¬¬B
B →+vA → B`c (A → B) ↔ ¬A ∨B. →.
v : ¬¬A ∧ ¬B¬B
u : A → B
DStab
¬¬A → Av : ¬¬A ∧ ¬B
¬¬AA
B⊥
←. Hier kann man die abgeleitete Regel ∨− verwenden; ferner benotigt man das Ex-Falso-Quodlibet-Lemma 1.2.1.
3. Dies ergibt sich sofort aus der Definition von ∨:
u : ¬A ∧ ¬¬A¬¬A
u : ¬A ∧ ¬¬A¬A
⊥ut
Zur Formulierung des nachsten Satzes benotigen wir den Begriff der Quantorentiefe qt(A) einer FormelA; er ist durch Rekursion uber A definiert wie folgt.
qt(Rt) := 0,
qt(A ∧B) := max(qt(A), qt(B)) + 1,
qt(A → B) := max(qt(A), qt(B)) + 1,
qt(∀xA) := qt(A) + 1.
Satz 1.2.12. (Konjunktive und disjunktive Normalform).
1. Jede Formel A ist klassisch aquivalent zu einer Formel der Gestaltn∧∧
i=1
ni∨∨
j=1Aij ( konjunktive Normalform),
wobei die Aij aussagenlogisch unzerlegbare Formeln (d.h. atomare Formeln oder von der Form ∀xA)oder Negationen davon sind, und qt(Aij) ≤ qt(A).
16 1. Logik
2. Jede Formel ist A klassisch aquivalent zu einer Formel der Gestalt
n∨∨
i=1
ni∧∧
j=1Aij ( disjunktive Normalform),
wobei wieder die Aij aussagenlogisch unzerlegbare Formeln oder Negationen davon sind, und qt(Aij) ≤qt(A).
Beweis. Wir zeigen (1) und (2) gemeinsam durch Induktion uber die gegebene Formel, unter Verwendungdes Aquivalenzlemmas 1.2.5.
Fall Atomare Formel, ∀xA. In diesem Fall ist nichts zu zeigen.Fall A∧B. Fur (1) verwendet man die konjunktiven Normalformen von A und von B. (2) ergibt sich
aus den disjunktiven Normalformen von A und von B durch Ausdistribuieren.Fall A → B. Die Behauptung ergibt sich aus `c (A → B) ↔ ¬A ∨ B und den de Morgan-Aqui-
valenzen, und zwar fur (1) unter Verwendung der disjunktiven Normalform von A und der konjunktivenNormalform von B und fur (2) unter Verwendung der konjunktiven Normalform von A und der disjunk-tiven Normalform von B, wobei in (1) noch auszudistribuieren ist. ut
Eine konjunktive Normalform von A (die offenbar nicht eindeutig bestimmt ist) nennt man auch eineKlauselform von A. Da eine Konjunktion genau dann herleitbar ist, wenn dies fur jedes Konjunktionsgliedgilt, kann man sich also bei der Suche nach Herleitungen von Formeln auf sogenannte Klauseln, alsoDisjunktionen von aussagenlogisch unzerlegbaren Formeln beschranken. Man beachte, daß die Herstellungetwa der konjunktiven Normalform einer gegebenen Formel im allgemeinen exponentiell viele (in der Langeder Formel) Rechenschritte erfordert, da bei den Distributivgesetzen Formeln dupliziert werden.
Pranexe Normalform
Lemma 1.2.13. (Herausziehen von Quantoren). Sei x /∈ FV(A). Dann gilt
1. `c A ∧ ∀xB ↔ ∀x.A ∧B.2. `c A ∧ ∃xB ↔ ∃x.A ∧B.3. `c (A → ∀xB) ↔ ∀x.A → B.4. `c (A → ∃xB) ↔ ∃x.A → B.5. `c (∀xB → A) ↔ ∃x.B → A.6. `c (∃xB → A) ↔ ∀x.B → A.
Beweis. Wir behandeln hier und im folgenden die abgeleiteten Regeln fur ∃ und ∨ wie gewohnlicheRegeln.
(1) ist sehr leicht zu zeigen. (2) →.
v : ∃xB
u : A u0 : BA ∧B x
∃x.A ∧B ∃−u0∃x.A ∧B←.
u : ∃x.A ∧Bu0 : A ∧B
A ∃−u0Au : ∃x.A ∧B
u1 : A ∧BB x
∃xB ∃−u1∃xBA ∧ ∃xB
(3) Dies hatten wir in (1.3) und (1.4) gezeigt.(4)→. Hier helfen die abgeleiteten Regeln fur ∃ nicht; wir mussen auf die Definition von ∃ zuruckgehen.
Ferner ist es nutzlich, sich an die (klassische) Aquivalenz von ¬(A → B) mit A ∧ ¬B zu erinnern.Wir fuhren den Beweis informal, und zwar so daß klar ist, wie man daraus (unter Zuhilfenahme desAquivalenzlemmas 1.2.5) eine formale Herleitung gewinnen kann. Gelte also (*) A → ¬∀x¬B und (**)∀x.A∧¬B. Aus (**) erhalt man A, also aus (*) ¬∀x¬B. Aus (**) erhalt man auch ∀x¬B, also insgesamt⊥, wie gewunscht.
1.2 Beweise 17
(4) ←.
u : ∃x.A → B
u0 : A → B u1 : AB x
∃xB ∃−u0∃xB →+u1A → ∃xB(5) →. Hier helfen wieder die abgeleiteten Regeln fur ∃ nicht; wir mussen auf die Definition von ∃
zuruckgehen. Ferner ist es wieder nutzlich, die (klassische) Aquivalenz von ¬(B → A) mit B ∧ ¬A zuverwenden. Wir fuhren den Beweis wieder informal. Gelte also (*) ∀xB → A und (**) ∀x.B ∧ ¬A. Aus(**) erhalt man ∀xB, also aus (*) A. Aus (**) erhalt man auch ¬A, also insgesamt ⊥, wie gewunscht.
(5) ←.
u : ∃x.B → Au0 : B → A
u1 : ∀xB xB
A ∃−u0A →+u1∀xB → A(6) →.
u : ∃xB → Au0 : B x
∃xBA →+u0B → A ∀+
∀x.B → A(6) ←.
v : ∃xB
u : ∀x.B → A xB → A u1 : B
A ∃−u1A
ut
Eine Formel A heißt pranex , wenn A = Q1x1Q2x2 . . . QnxnB mit Qi ∈ ∀, ∃ und B quantorenfrei. Bheißt der Kern von A und Q1x1Q2x2 . . . Qnxn das Prafix von A. Wir zeigen jetzt, daß sich jede Formelin eine pranexe Normalform bringen laßt.
Satz 1.2.14. (Pranexe Normalform). Zu jeder Formel A findet man eine klassisch aquivalente pranexeFormel A′.
Beweis. Induktion uber A.Fall Atomare Formel. In diesem Fall ist nichts zu zeigen.Fall A ∧B. Nach IH haben wir `c A ↔ A′ und `c B ↔ B′ mit
A′ = Q1x1 . . . QnxnA0, A0 quantorenfrei,
B′ = Q∗1y1 . . . Q∗
mymB0, B0 quantorenfrei.
Wir konnen oBdA annehmen, daß kein xi in B′ und kein yj in A′ vorkommt. Nach dem Lemma 1.2.13uber das Herausziehen von Quantoren und dem Aquivalenzlemma 1.2.5 folgt
`c A ∧B ↔ Q1x1 . . . QnxnQ∗1y1 . . . Q∗
mym.A0 ∧B0.
Fall A → B. Wie eben erhalt man
`c (A → B) ↔ Q1x1 . . . QnxnQ∗1y1 . . . Q∗
mym.A0 ∧B0.
wobei Qi = ∀ falls Qi = ∃, und Qi = ∃ falls Qi = ∀.Fall ∀xA. Nach IH haben wir `c A ↔ A′ mit einem pranexen A′. Nach dem Aquivalenzlemma 1.2.5
folgt`c ∀xA ↔ ∀xA′. ut
18 1. Logik
Zur Berechnung der pranexen Normalform ist es nutzlich, die folgenden leicht zu beweisenden Aqui-valenzen zu verwenden.
Lemma 1.2.15. 1. `c ¬∀xB ↔ ∃x¬B.2. `c ¬∃xB ↔ ∀x¬B.3. `c A ∨ ∀xB ↔ ∀x.A ∨B, falls x /∈ FV(A).4. `c A ∨ ∃xB ↔ ∃x.A ∨B, falls x /∈ FV(A).
Beweis. Ubung. ut
Starke Disjunktion und Existenz
Wenn man fur Zwecke der Programmextraktion einen Existenzbeweis fuhren will, so ist es vorteilhaft,neben dem bisher behandelten schwachen oder klassischen Existenzquantor ∃ (der durch ¬∀¬ definiertwar) auch noch einen starken oder konstruktiven Existenzquantor ∃∗ zuzulassen. Man kann dann in denFallen, wo ein Existenzbeweis tatsachlich konstruktiv durch Angabe eines Beispiels gefuhrt wurde, diesauch in der Formelsprache angemessen ausdrucken.
Entsprechend konnte man auch neben der bisher behandelten schwachen oder klassischen Disjunktion∨ (die durch ¬∧¬ definiert war) auch noch eine starken oder konstruktive Disjunktion ∨∗ zulassen. InAnwesenheit des Grundtyps ι der naturlichen Zahlen ist dies jedoch entbehrlich: Wir definieren
A ∨∗ B := ∃∗n.(n = 0 → A) ∧ (n 6= 0 → B).
Wir wollen kurz diskutieren, welchen Effekt die Hinzunahme von ∨∗, ∃∗ auf unsere bisherigen Unter-suchungen hat. Wir erweitern also den Formelbegriff um die Klauseln A∨∗B und ∃∗xA. Die Definitionender Mengen der freien Variablen und der Substitution werden in der offensichtlichen Weise erweitert,ebenso unsere Konventionen betreffend Klammersetzung. Die Logik von ∨∗ und ∃∗ kann dann durchdie abgeleiteten Regeln fur den Existenzquantor und die Disjunktion axiomatisiert werden. Alternativkann man auch die Regeln der Minimallogik beibehalten und den starken Existenzquantor durch dieGeneralisierung der folgenden Formeln axiomatisieren; diesen Weg wollen wir hier gehen.
A → A ∨∗ B, B → A ∨∗ B.
A ∨∗ B → (A → C) → (B → C) → C.
A → ∃∗xA.
∃∗xA → (∀x.A → B) → B, falls x /∈ FV(B).
Diese Axiomenschemata bezeichnen wir durch ∨∗+0 , ∨∗+1 , ∨∗−, ∃∗+ und ∃∗−. Fur Formeln A in der durch∨∗ und ∃∗ erweiterten Sprache schreiben wir `A und nennen A herleitbar (in der Minimallogik), wennes eine Herleitung von A aus diesen Axiomenschemata gibt.
Lemma 1.2.16. (Ex-falso-quodlibet). Fur jede Formel A in der Sprache mit den Verknupfungen →, ∧,∨∗, ∀ und ∃∗ gilt
`i ⊥ → A.
Beweis. Wir mussen nur die Falle A ∨∗ B und ∃∗xA zusatzlich behandeln, was aber trivial ist. ut
Die Einbettung der intuitionistischen Logik laßt sich also wie bisher durchfuhren.
1.3 Modelle
Es ist eine offensichtliche Frage, ob unsere logischen Regeln ausreichen, d.h. ob wir notwendige Regelnvergessen haben. Um diese Frage beantworten zu konnen, mussen wir die Bedeutung einer Formel kennen,d.h. wir mussen eine Semantik angegeben haben. Zunachst wollen wir deshalb den Begriff der Bedeutungeines Terms und einer Formel prazisieren. Dazu definieren wir den Begriff einer Struktur (genauer L-Struktur) und erklaren dann, was der Wert eines Terms und die Bedeutung einer Formel in einer solchen
1.3 Modelle 19
Struktur sein soll. Wir zeigen dann den Korrektheitssatz: er sagt aus, daß jede in der klassischen Logikherleitbare Formel in einer beliebigen Struktur gultig ist.
Ferner definieren wir Strukturbegriffe von Beth und Kripke, die beide zur Minimallogik und zurintuitionistischen Logik passen, und zeigen Korrektkeitssatze fur beide Logiken. Im nachsten Anschnittbeweisen wir dann die Vollstandigkeit unserer Regeln bzgl. dieser Strukturbegriffe, und als Folgerung er-halten wir im ubernachsten Abschnitt die Vollstandigkeit der klassischen Logik, bezogen auf den ublichenStrukturbegriff.
Strukturen
Definition 1.3.1. M = (D, I) heißt Prastruktur (genauer L-Prastruktur), wenn D eine nichtleere Mengeist (die Tragermenge oder der Individuenbereich vonM) und I eine Abbildung (Interpretation), die jedemn-stelligen Funktionssymbol f von L eine Funktion
I(f) : Dn → D
zuordnet. Ist n = 0, so ist I(f) ein Element von D. M = (D, I0, I1) heißt Struktur (genauer L-Struktur),wenn (D, I0) eine Prastruktur ist und I1 eine Abbildung, die jedem n-stelligen Relationssymbol R von Leine n-stellige Relation
I1(R) ⊆ Dn
zuordnet. Ist n = 0, so ist I1(R) einer der Wahrheitswerte 1 und 0; insbesondere soll I1(⊥) = 0 sein.
Ist M = (D, I) bzw. (D, I0, I1), so schreiben wir oft |M| fur die Tragermenge D von M sowie fM
und RM fur die Interpretationen I0(f) und I1(R) der Funktions- und Relationssymbole.Eine (Variablen-) Belegung oder Umgebung in D ist eine Abbildung, die jeder Variablen x ∈ dom(η)
einen Wert η(x) ∈ D zuordnet. Endliche Belegungen schreiben wir als [x1 := a1, . . . , xn := an] (oderauch [a1/x1, . . . , an/xn]) mit verschiedenen x1, . . . , xn. Ist η eine Belegung in D und a ∈ D, so sei ηa
x dieBelegung in D, die x auf a abbildet und sonst mit η ubereinstimmt, also
ηax(y) :=
η(y), falls y 6= xa, falls y = x.
Seien eine Prastruktur M und eine Belegung η in |M| gegeben. Wir definieren eine homomorpheFortsetzung von η (ebenfalls bezeichnet durch η) auf die Menge TerL der L-Terme t mit vars(t) ⊆ dom(η)durch
η(c) := cM,
η(f(t1, . . . , tn)) := fM(η(t1), . . . , η(tn)).
Man beachte, daß die Erweiterung von η von M abhangt; wir schreiben deshalb auch tM[η] fur η(t).Fur jede Struktur M, Belegung η in |M| und Formel A mit FV(A) ⊆ dom(η) definieren wir M |= A[η]
(gelesen: A ist gultig in M unter der Belegung η) durch Rekursion uber A. Diese Definition wurde zuerstvon Tarski angegeben.
M |= R(t1, . . . , tn)[η] :⇐⇒ (tM1 [η], . . . , tMn [η]) ∈ I1(R) fur R nicht nullstellig.
M |= R[η] :⇐⇒ I1(R) = 1 fur R nullstellig.
M |= (A ∧B)[η] :⇐⇒ M |= A[η] und M |= B[η].
M |= (A → B)[η] :⇐⇒ wenn M |= A[η], so M |= B[η].
M |= (∀xA)[η] :⇐⇒ fur alle a ∈ |M| gilt M |= A[ηax].
Wegen I1(⊥) = 0 folgt insbesondere M 6|= ⊥[η].Ist Γ eine Menge von Formeln, so schreiben wir M |= Γ [η], wenn fur alle A ∈ Γ gilt M |= A[η]. Gilt
M |= A[η] fur alle Belegungen η in |M|, so schreiben wir M |= A.
20 1. Logik
Lemma 1.3.2. (Koinzidenzlemma). SeiM eine Struktur, t ein Term, A eine Formel und η, ξ Belegungenin |M|.
1. Gilt η(x) = ξ(x) fur alle x ∈ vars(t), so ist η(t) = ξ(t).2. Gilt η(x) = ξ(x) fur alle x ∈ FV(A), so gilt M |= A[η] genau dann, wenn M |= A[ξ].
Beweis. Induktion uber Terme bzw. Formeln. ut
Lemma 1.3.3. (Substitutionslemma). Sei M eine L-Struktur, t, r L-Terme, A eine L-Formel und η eineBelegung in |M|. Dann gilt
1. η(r[x := t]) = ηη(t)x (r).
2. M |= A[x := t][η] ⇐⇒ M |= A[ηη(t)x ].
Beweis. 1. Induktion uber r. 2. Induktion uber A. Wir beschranken uns auf die Falle einer atomarenFormel und einer Allformel; die restlichen Falle sind sehr einfach.
Fall R(s1, . . . , sn). Zur Vereinfachung nehmen wir n = 1 an. Dann gilt
M |= R(s)[x := t][η] ⇐⇒ M |= R(s[x := t])[η]
⇐⇒ η(s[x := t]) ∈ RM
⇐⇒ ηη(t)x (s) ∈ RM nach (1)
⇐⇒ M |= R(s)[ηη(t)x ].
Fall ∀yA. Wir konnen oBdA y 6= x und y /∈ vars(t) annehmen.
M |= (∀yA)[x := t][η]
⇐⇒ M |= (∀yA[x := t])[η]
⇐⇒ fur alle a ∈ |M| gilt M |= A[x := t][ηay ]
⇐⇒ fur alle a ∈ |M| gilt M |= A[(ηay)b
x] mit b = ηay(t) = η(t) (IH und Lemma 1.3.2)
⇐⇒ fur alle a ∈ |M| gilt M |= A[(ηbx)a
y] da x 6= y
⇐⇒ M |= (∀yA)[ηbx] ut
Fur beliebige (oBdA geschlossene) L-Formeln A werden wir zeigen, daß A genau dann in der klas-sischen Logik herleitbar ist, wenn A in allen L-Strukturen gultig ist. Wir zeigen zunachst die einfacheRichtung.
Satz 1.3.4. (Korrektheit). Sei Γ `c B. Ist dann M eine Struktur und η eine Belegung in |M|, so folgtaus M |= Γ [η] stets M |= B[η].
Beweis. Induktion uber Herleitungen. Da die gegebene Herleitung von B aus Γ nur endlich viele Annah-men frei enthalt, konnen wir oBdA Γ = A1, . . . , An voraussetzen.
Fall u : B. Dann ist B ∈ Γ und die Behauptung ist klar.Fall StabR : ∀x.¬¬Rx → Rx. Die Behauptung ist wieder klar, da M |= ¬¬A[η] gleichbedeutend ist
mit M |= A[η].Fall ∧+. Gelte M |= Γ [η]. Zu zeigen ist M |= (A ∧ B)[η]. Nach IH haben wir M |= A[η] und
M |= B[η]. Die Behauptung folgt aus der Definition von |=. Die Falle ∧−0 , ∧−1 und →− beweist mangenauso.
Fall →+. Gelte M |= Γ [η]. Zu zeigen ist M |= (A → B)[η]. Gelte also noch M |= A[η]. Zu zeigen istM |= B[η]. Nach IH (mit Γ ∪ A statt Γ ) ist dies richtig.
Fall ∀+. Gelte M |= Γ [η]. OBdA mogen alle Formeln A1, . . . , An in der gegebenen Herleitung vonA als freie Annahmen vorkommen. Zu zeigen ist M |= (∀xA)[η]. Sei also a ∈ |M|. Zu zeigen ist M |=A[ηa
x]. Da aufgrund der Variablenbedingung fur ∀+ die Variable x in keiner der Formeln A1, . . . , An freivorkommt, gilt nach dem Koinzidenzlemma M |= Γ [ηa
x]. Die IH (mit ηax statt η) liefert M |= A[ηa
x].Fall ∀−. Gelte M |= Γ [η]. Zu zeigen ist M |= A[x := t][η], d.h. nach dem Substitutionslemma
M |= A[ηbx] mit b = η(t). Nach IH haben wir M |= (∀xA)[η], d.h. fur alle a ∈ |M| gilt M |= A[ηa
x]. Mitη(t) fur a folgt die Behauptung. ut
1.3 Modelle 21
Beth-Strukturen
Ein zur Minimallogik und zur intuitionistischen Logik passende Strukturbegriff wurde zuerst von Beth[1] konzipiert; er basiert auf einer Vorstellung von “sich entwickelnden moglichen Welten”, die durchKnoten k eines endlich verzweigten Baums indiziert sind. Kenntnisse konnen sich nur vergroßern, d.h.gilt Rt in einer Welt k, so gilt Rt auch in allen kunftigen moglichen Welten.
Jede Beth-Struktur basiert also auf einem endlich verzweigten Baum T . Wir fuhren zunachst diehierbei notwendigen Begriffe ein. Ein Knoten uber einer nichtleeren Menge S ist eine endliche Folgek = 〈a0, a1, . . . , an−1〉 von Elementen ai ∈ S; n ist die Lange lh(k) von k. Wir schreiben k k′ wenn kein Anfangsstuck von k′ ist. Ein Baum uber S ist eine Menge von Knoten (uber S), die gegen Bildungvon Anfangsstucken abgeschlossen ist. Ein Baum T ist endlich verzweigt , wenn jedes k ∈ T hochstensendlich viele unmittelbare Nachfolger in T hat. Ein Baum T ist unbeschrankt , wenn es fur jedes n ∈ Neinen Knoten k ∈ T gibt so daß lh(k) = n. Ein Ast in einem Baum T ist ein linear geordneter (durch )Teilbaum von T . Ein Blatt in T ist ein Knoten k in T ohne echte Fortsetzungen in T .
Fur den Vollstandigkeitssatz wird es genugen, Beth-Strukturen uber dem vollen binaren Baum zu be-trachten, d.h. der Menge T01 aller endlichen 0-1-Folgen (Knoten) k. Die leere Folge wird mit 〈〉 bezeichnet,und k0, k1 bezeichnen Erweiterungen der Folge k durch 0 oder 1.
Definition 1.3.5. Sei (T,) ein endlich verzweigter Baum. B = (M, I0, I1) ist eine L-Beth-Strukturuber T , wenn (M, I0) eine L-Prastruktur und I1 jedem n-stelligen Relationssymbol R von L und jedemKnoten k ∈ T eine n-stellige Relation
I1(R, k) ⊆ Mn
zuordnet so daß Monotonie gilt, d.h.
k k′ =⇒ I1(R, k) ⊆ I1(R, k′).
Ist n = 0, so ist I1(R, k) wahr oder falsch und die Monotonie sagt aus, daß fur k k′ aus I1(R, k) stetsI1(R, k′) folgt.
Von I1(⊥, k) wird also nichts verlangt; das Falsum spielt in der Minimallogik die Rolle eines gewohn-lichen Aussagensymbols.
tB[η] fur eine Belegung η wird wie bei klassischen Modellen erklart. An die Stelle der ModellbeziehungM |= A[η] tritt bei Beth-Strukturen jedoch die Erzwingungsbeziehung . Fur deren Definition ist esbequem, den zugrunde liegenden Baum T zunachst zu vervollstandigen zu einem Baum T ohne Blatter,indem wir zu jedem Blatt k ∈ T alle Fortsetzungen k0, k00, k000, . . . zu T hinzunehmen. Fur jedenhinzugekommenen Knoten k0 . . . 0 setzen wir I1(R, k0 . . . 0) := I1(R, k).
Definition 1.3.6. B, k A[η] (B erzwingt A im Knoten k fur die Belegung η) wird induktiv wiefolgt definiert. Wir schreiben k A[η] wenn die unterliegende Struktur B klar ist, und ∀k′nk A fur∀k′k.lh(k′) = lh(k) + n → A.
k R(t1, . . . , tp)[η] :⇐⇒ ∃n∀k′nk (tB1 [η], . . . , tBp [η]) ∈ I1(R, k′) fur R nicht nullstellig.
k R[η] :⇐⇒ ∃n∀k′nk I1(R, k′) = 1 fur R nullstellig.
k (A ∨∗ B)[η] :⇐⇒ ∃n∀k′nk.k′ A[η] oder k′ B[η].
k (∃∗xA)[η] :⇐⇒ ∃n∀k′nk∃a∈|B| k′ A[ηax].
k (A → B)[η] :⇐⇒ ∀k′k.k′ A[η] =⇒ k′ B[η].
k (A ∧B)[η] :⇐⇒ k A[η] und k B[η].
k (∀xA)[η] :⇐⇒ ∀a∈|B| k A[ηax].
In den Klauseln fur Atome, Disjunktionen und Existenzformeln beziehen wir uns also auf eine “Schranke”(“bar”) in T . Fur Atome ware dies jedoch nicht notig; es ist jedoch bequem fur die Konstruktion vonBeth-Strukturen. Man kann eine gegebene Beth-Struktur leicht “vervollstandigen” durch “Herunter-ziehen der Schranke” fur Atome. Dies bedeutet, daß wir die ursprunglich gegebene Interpretation I1 derRelationssymbol ersetzen durch
22 1. Logik
I1(R, k) := a ∈ |B|p | ∃n∀k′nk a ∈ I1(R, k′) .
Dann gilt offensichtlich wieder die Monotonie, d.h. I1(R, k) ⊆ I1(R, k′) fur k k′. In einer solchenvervollstandigten Beth-Struktur konnen wir die Klausel fur Atome in der Definition der Erzwingungs-beziehung vereinfachen zu
k Rt[η] ⇐⇒ tB[η] ∈ I1(R, k).
Aus der Definition ergibt sich leicht, daß die Monotonie sich auf Formeln ubertragt, d.h. daß ausk A[η] stets k′ A[η] folgt fur k k′. Auch die Umkehrung ist richtig:
Lemma 1.3.7. (Uberdeckungseigenschaft).
∀k′nk k′ A[η] =⇒ k A[η].
Beweis. Induktion uber A. Wir schreiben k A fur k A[η].Fall Rt. Gelte
∃n∀k′nk k′ Rt,
also nach Definition∃n∀k′nk∃m∀k′′mk′tB[η] ∈ I1(R, k′′).
Da T ein endlich verzweigter Baum ist, haben wir
∃m∀k′mk tB[η] ∈ I1(R, k′),
also k Rt.Die Falle A ∨∗ B und ∃∗xA behandelt man ahnlich.Fall A → B. Gelte k′ A → B fur alle k′ k mit lh(k′) = lh(k) + n. Wir mussen zeigen
∀lk.l A =⇒ l B.
Gelte also l k und l A. Zu zeigen ist l B. Wir verwenden die IH fur B mit m := max(lh(k)+n, lh(l)).Gelte also l′ l und lh(l′) = m. Es genugt zu zeigen l′ B. Ist lh(l′) = lh(l), so gilt l′ = l und wir sindfertig. Ist lh(l′) = lh(k) + n > lh(l), so ist l′ eine Erweiterung von l und auch von k mit Lange lh(k) + n,und wir haben l′ A → B nach Annahme. Ferner gilt l′ A, da l′ l und l A. Dies wiederumimpliziert l′ B.
Die Falle A ∧B und ∀xA sind klar. ut
Das Koinzidenzlemma und das Substitutionslemma lassen sich wie erwartet auf Beth-Strukturenubertragen.
Lemma 1.3.8. (Koinzidenzlemma). Sei B eine Beth-Struktur, t ein Term, A eine Formel und η, ξBelegungen in |B|.
1. Gilt η(x) = ξ(x) fur alle x ∈ vars(t), so ist η(t) = ξ(t).2. Gilt η(x) = ξ(x) fur alle x ∈ FV(A), so folgt B, k A[η] ⇐⇒ B, k A[ξ].
Beweis. Induktion uber Terme und Formeln. ut
Lemma 1.3.9. (Substitutionslemma). Sei B eine Beth-Struktur, t, r Terme, A eine Formel und η eineBelegung in |B|. Dann gilt
1. η(r[x := t]) = ηη(t)x (r).
2. B, k A[x := t][η] ⇐⇒ B, k A[ηη(t)x ].
Beweis. Induktion uber Terme und Formeln. ut
Hieraus erhalten wir wie ublich den Korrektheitssatz.
Satz 1.3.10. (Korrektheit). Sei Γ ∪ A eine Formelmenge und es gelte Γ ` A. Ist dann B eine Beth-Struktur, k ein Knoten und η eine Belegung in |B|, so folgt aus B, k Γ [η] stets B, k A[η].
1.3 Modelle 23
Beweis. Induktion uber Herleitungen. Wir beginnen mit den Axiomenschemata ∨∗+0 , ∨∗+1 , ∨∗−, ∃∗+ und∃∗−. Statt k C[η] schreiben wir kurz k C, falls η aus dem Kontext bekannt ist.
Fall ∨∗+0 : A → A∨∗ B. Zu zeigen ist k A → A∨∗ B. Sei also k′ k mit k′ A gegeben. Zu zeigenist k′ A ∨∗ B; dies folgt aber nach Definition aus k′ A. Den Fall ∨∗+1 : B → A ∨∗ B behandelt manahnlich.
Fall ∨∗− : A∨∗B → (A → C) → (B → C) → C. Zu zeigen ist k A∨∗B → (A → C) → (B → C) →C. Sei also k′ k und gelte k′ A ∨∗ B, k′ A → C und k′ B → C (offenbar kann man annehmen,daß dasselbe k′ fur alle drei Pramissen gewahlt ist). Zu zeigen ist k′ C. Nach Definition gibt es ein nso daß fur alle k′′ n k′ gilt k′′ A oder k′′ B. In beiden Fallen folgt k′′ C, da k′ A → C undk′ B → C. Aus der Uberdeckungseigenschaft 1.3.7 ergibt sich die Behauptung k′ C.
Fall ∃∗+ : A → ∃∗xA. Zu zeigen ist k (A → ∃∗xA)[η]. Sei also k′ k mit k′ A[η] gegeben. Zuzeigen ist k′ (∃∗xA)[η]. Wegen η = ηη(x)
x gibt es ein a ∈ |B| (namlich a := η(x)) mit k′ A[ηax]. Also
haben wir k′ (∃∗xA)[η].Fall ∃∗− : ∃∗xA → (∀x.A → B) → B mit x /∈ FV(B). Zu zeigen ist k (∃∗xA → (∀x.A →
B) → B)[η]. Sei also k′ k mit k′ (∃∗xA)[η] und k′ (∀x.A → B)[η] gegeben. Zu zeigen istk′ B[η]. Nach Definition gibt es ein n so daß fur alle k′′ n k′ es ein a ∈ |B| gibt mit k′′ A[ηa
x]. Mitk′ (∀x.A → B)[η] folgt k′′ B[ηa
x], also wegen x /∈ FV(B) nach dem Koinzidenzlemma auch k′′ B[η].Aus der Uberdeckungseigenschaft 1.3.7 ergibt sich die Behauptung k′ B[η].
Fall →+. Gelte k Γ . Zu zeigen ist k A → B. Sei also k′ k mit k′ A[η] gegeben. Zu zeigen istk′ B. Es gilt k′ Γ ∪ A, also nach IH k′ B.
Fall →−. Gelte k Γ . Nach IH haben wir k A → B und k A, also auch k B.Fall ∀+. Gelte k Γ [η] und x /∈ FV(Γ ). Wir mussen zeigen k (∀xA)[η], d.h. k A[ηa
x] fur einbeliebiges a ∈ |B|. Wir haben
k Γ [ηax] nach dem Koinzidenzlemma, da x /∈ FV(Γ )
k A[ηax] nach IH.
Fall ∀−. Gelte k Γ [η]. Wir mussen zeigen k A[x := t][η]. Wir haben
k (∀xA)[η] nach IH
k A[ηη(t)x ] nach Definition
k A[x := t][η] nach dem Substitutionslemma. ut
Gegenmodelle
Mit Hilfe des Korrektheitssatzes ist es einfach, Gegenmodelle zu finden, aus denen sich die Nicht-Herleitbarkeit in der Minimallogik bzw. in der intuitionistischen Logik ergibt. Unter einer Beth-Strukturfur die intuitionistische Logik verstehen wir eine Beth-Struktur B = (M, I0, I1), in der ⊥ nicht erzwungenwird, d.h. I1(⊥, k) = 0 fur alle k. In Beth-Strukturen fur die intuitionistische Logik haben wir deshalb
k ¬A ⇐⇒ ∀k′k k′ 6 A,
k ¬¬A ⇐⇒ ∀k′k k′ 6 ¬A
⇐⇒ ∀k′k∃k′′k′ k′′ A.
Als Beispiel zeigen wir 6`i ¬¬P → P . Um eine Beth-Struktur zu beschreiben, stellen wir den zugrundeliegenden Baum durch ein Diagramm dar, wo wir neben jeden Knoten die Aussagensymbole schreiben,die in diesem Knoten erzwungen werden. Man betrachte die durch das folgende Diagramm gegebeneBeth-Struktur.
•@@
•P •@@
•P •@@
•P •...
24 1. Logik
Offenbar haben wir
〈〉 6 P,〈〉 ¬¬P.
Also gilt 〈〉 6 ¬¬P → P und deshalb 6` ¬¬P → P . Da offenbar EfqR fur jedes R gilt, haben wir auch6`i ¬¬P → P . Das Modell zeigt ebenfalls die Nicht-Herleitbarkeit der Peirce-Formel ((P → Q) → P ) →P in der intuitionistischen Logik.
1.4 Vollstandigkeit der Minimallogik und der intuitionistischen Logik
Wir zeigen jetzt die Umkehrung der Korrektheitssatzes.
Satz 1.4.1. (Vollstandigkeit). Sei Γ ∪ A eine Formelmenge. Dann sind folgende Aussagen aquivalent.
1. Γ ` A.2. Γ A, d.h. fur alle Beth-Strukturen B, Knoten k und Belegungen η
B, k Γ [η] =⇒ B, k A[η].
Beweis. Eine Richtung ist der Korrektheitssatz. Fur die andere Richtung verwenden wir einen Ansatzvon Harvey Friedman [8] und konstruieren eine Beth-Struktur B (uber der Menge T01 aller endlichen0-1-Folgen k geordnet durch die Anfangsstuck-Relation k k′) mit der Eigenschaft, daß Γ ` B aquivalentist zu B, 〈〉 B[id].
Zur Definition von B gehen wir aus von einer festen Aufzahlung A0, A1, A2, . . . aller L-Formeln, in derjede Formel unendlich oft vorkommen moge; wir fixieren auch eine Aufzahlung x0, x1, . . . aller Variablen.Sei Γ =
⋃
n Γn mit endlichen Mengen Γn so daß Γn ⊆ Γn+1. Jedem Knoten k ∈ T01 ordnen wir eineendliche Menge ∆k von Formeln zu, durch Induktion uber die Lange von k.
Sei ∆〈〉 := ∅. Nehmen wir jetzt an, daß fur einen Knoten k mit lh(k) = n die Menge ∆k schon definiertist. ∆ `n B bedeute, daß es eine Herleitung von B aus ∆ gibt mit Lange (:= Gesamtzahl der Symbole)≤ n. Wir definieren ∆k0 und ∆k1 wie folgt.
Fall 1. Γn,∆k 6`n An. Dann sei
∆k0 := ∆k und ∆k1 := ∆k ∪ An.
Fall 2. Γn,∆k `n An = A′n ∨∗ A′′n. Dann sei
∆k0 := ∆k ∪ An, A′n und ∆k1 := ∆k ∪ An, A′′n.
Fall 3. Γn,∆k `n An = ∃∗xA′n. Dann sei
∆k0 := ∆k1 := ∆k ∪ An, A′n[x := xi],
mit xi die erste Variable /∈ FV(Γn, An,∆k).Fall 4. Γn, ∆k `n An, mit An weder Disjunktion noch Existenzformel. Dann sei
∆k0 := ∆k1 := ∆k ∪ An.
Offenbar impliziert k k′ stets ∆k ⊆ ∆k′ . Man beachte zunachst, daß
∀k′nk Γ, ∆k′ ` B =⇒ Γ,∆k ` B. (1.5)
Um dies zu sehen, genugt es zu zeigen
Γ, ∆k0 ` B und Γ, ∆k1 ` B =⇒ Γ, ∆k ` B.
Dies ist klar in den Fallen 1 und 4, und fur die Falle 2 und 3 folgt es leicht aus den Schemata ∨∗− und∃∗− (vgl. Abschnitt 1.2).
1.4 Vollstandigkeit der Minimallogik und der intuitionistischen Logik 25
Wir zeigen jetzt
Γ, ∆k ` B =⇒ ∃n∀k′nk B ∈ ∆k′ . (1.6)
Um dies einzusehen, wahle man ein n ≥ lh(k) mit B = An und Γn,∆k `n An. Fur alle k′ k mitlh(k′) = n + 1 gilt dann An ∈ ∆k′ (vgl. die Falle 2-4).
Mit Hilfe der Mengen ∆k konnen wir jetzt eine L-Beth-Struktur B definieren als (TerL, I0, I1) mitden kanonischen I0(f)t := ft und
t ∈ I1(R, k) :⇐⇒ Rt ∈ ∆k.
Offenbar ist tB[id] = t fur alle L-Terme t.Wir zeigen schließlich, daß
Γ, ∆k ` B ⇐⇒ B, k B[id], (1.7)
und zwar durch Induktion uber die logische Komplexitat von B. Fur B, k B[id] schreiben wir k B.Fall Rt. Die folgenden Aussagen sind aquivalent.
Γ, ∆k ` Rt
∃n∀k′nk Rt ∈ ∆k′ nach (1.6) und (1.5)
∃n∀k′nk t ∈ I1(R, k′) nach Definition von Bk Rt nach Definition von , da tB[id] = t.
Fall B ∨∗ C. =⇒. Gelte Γ,∆k ` B ∨∗ C. Man wahle ein n ≥ lh(k) mit Γn,∆k `n An = B ∨∗ C. Furalle k′ k mit lh(k′) = n gilt dann
∆k′0 = ∆k′ ∪ B ∨∗ C,B und ∆k′1 = ∆k′ ∪ B ∨∗ C,C,
also nach IHk′0 B und k′1 C.
Nach Definition impliziert dies k B ∨∗ C. ⇐=.
k B ∨∗ C
∃n∀k′nk .k′ B oder k′ C∃n∀k′nk .Γ,∆k′ ` B oder Γ, ∆k′ ` C nach IH
∃n∀k′nk Γ,∆k′ ` B ∨∗ CΓ,∆k ` B ∨∗ C nach (1.5).
Der Fall B ∧ C ist klar.Fall B → C. =⇒. Gelte Γ,∆k ` B → C. Wir mussen zeigen k B → C, d.h.
∀k′k.k′ B =⇒ k′ C.
Sei also k′ k und gelte k′ B. Nach IH habe wir Γ, ∆k′ ` B, also Γ,∆k′ ` C nach Annahme. Wiederdie IH liefert k′ C.
⇐=. Gelte k B → C, d.h. ∀k′k.k′ B =⇒ k′ C. Wir mussen zeigen Γ,∆k ` B → C.Dafur wollen wir (1.5) verwenden. Man wahle ein n ≥ lh(k) mit B = An. Sei k′ m k beliebig, wobeim := n− lh(k). Wir mussen zeigen Γ,∆k′ ` B → C.
Im Fall Γ, ∆k′ `n An haben wir k′ B nach IH, also k′ C nach Annahme, also Γ,∆k′ ` C wiedernach IH und deshalb Γ, ∆k′ ` B → C.
Im Fall Γ, ∆k′ 6`n An haben wir nach Definition ∆k′1 = ∆k′ ∪ B. Dies liefert Γ, ∆k′1 ` B, alsok′1 B nach IH, also k′1 C nach Annahme, also Γ, ∆k′1 ` C wieder nach IH. Wegen ∆k′1 = ∆k′ ∪Bfolgt Γ, ∆k′ ` B → C.
Fall ∀xB. Die folgenden Aussagen sind aquivalent.
26 1. Logik
Γ, ∆k ` ∀xB∀t∈TerL Γ, ∆k ` B[x := t]∀t∈TerL k B[x := t] nach IH
∀t∈TerL k B[idtx] nach dem Substitutionslemma, da tB[id] = t,
k ∀xB nach Definition von .
Fall ∃∗xB. Dies ist ahnlich zum Fall ∨∗. Im einzelnen verlauft der Beweis wie folgt. =⇒. GelteΓ, ∆k ` ∃∗xB. Man wahle n ≥ lh(k) mit Γn,∆k `n An = ∃∗xB. Fur alle k′ k mit lh(k′) = n gilt dann
∆k′0 = ∆k′1 = ∆k ∪ ∃∗xB,B[x := xi]
mit xi nicht frei in ∆k ∪ ∃∗xB, also nach IH
k′0 B[x := xi] und k′1 B[x := xi].
Nach Definition impliziert dies k ∃∗xB. ⇐=.
k ∃∗xB
∃n∀k′nk∃t∈TerL k′ B[idtx]
∃n∀k′nk∃t∈TerL k′ B[x := t]
∃n∀k′nk∃t∈TerL Γ,∆k′ ` B[x := t] nach IH
∃n∀k′nk Γ, ∆k′ ` ∃∗xB
Γ, ∆k ` ∃∗xB nach (1.5).
Jetzt konnen wir den Beweis des Vollstandigkeitssatzes abschließen. Nach (1.7) haben wir B, 〈〉 Γ [id].Nach Annahme impliziert dies B, 〈〉 A[id], also Γ ` A wieder nach (1.7). ut
Als ein unmittelbares Korollar erhalten wir den Vollstandigkeitssatz fur die intuitionistische Logik.
Korollar 1.4.2. Sei Γ ∪ A eine Formelmenge. Die folgenden Aussagen sind aquivalent.
1. Γ `i A.2. Γ, Efq A, d.h. fur alle Beth-Strukturen B fur die intuitionistische Logik, Knoten k und Belegungen
ηB, k Γ [η] =⇒ B, k A[η]. ut
Kripke-Strukturen
Kripke-Strukturen wurden von Kripke in [17] eingefuhrt als eine Alternative zu Beth-Strukturen.Sie sind einfacher in dem Sinn, daß die Klauseln fur atomare Formeln, ∨∗ und ∃∗ sich nicht auf eine“Schranke” beziehen, sondern nur auf den gegenwartigen Knoten. Sie sind jedoch auch komplizierter,da die Bereiche mit den Knoten k anwachsen und nicht mehr konstant sind. Besonders geeignet sindKripke-Strukturen fur die Konstruktion endlicher Gegenmodelle. Der Einfachheit halber wollen wir hierannehmen, daß keine Funktionssymbole vorkommen.
Definition 1.4.3. Sei (T,) ein endlich verzweigter Baum. K = (D, I0, I1) ist eine L-Kripke-Struktur ,wenn D jedem Knoten k ∈ T eine nichtleere Menge D(k) zuordnet so daß aus k k′ folgt daß (D(k), I0(k))eine L-sub-Prastruktur von (D(k′), I0(k′)) ist, und I1 jedem n-stelligen Relationssymbol R von L undjedem Knoten k ∈ T eine n-stellige Relation
I1(R, k) ⊆ D(k)n
zuordnet so daß Monotonie gilt, d.h.
k k′ =⇒ I1(R, k) ⊆ I1(R, k′).
1.4 Vollstandigkeit der Minimallogik und der intuitionistischen Logik 27
Im Fall n = 0 ist I1(R, k) wahr oder falsch und die Monotonie besagt, daß fur k k′ aus I1(R, k) folgtI1(R, k′).
Eine Belegung η fur eine Kripke-Struktur K ist eine Abbildung, die jeder Variablen ein Elementaus
⋃
k∈T D(k) zuordnet. Der Wert tK[η] eines Terms t unter der Belegung η ist an allen Knoten k mitη[vars(t)] ⊆ D(k) erklart.
Jetzt konnen wir die Erzwingungsbeziehung definieren. K, k A[η] (K am Knoten k erzwingt Afur die Belegung η) wird induktiv wie folgt definiert. Wir schreiben k A[η] wenn sich K aus demZusammenhang ergibt.
k R(t1, . . . , tp)[η] :⇐⇒η[vars(t1, . . . , tp)] ⊆ D(k) und (tK1 [η], . . . , tKp [η]) ∈ I1(R, k) fur R nicht nullstellig.
k R[η] :⇐⇒ I1(R, k) = 1 fur R nullstellig.
k (A ∨∗ B)[η] :⇐⇒ k A[η] oder k′ B[η].k (∃∗xA)[η] :⇐⇒ ∃a∈D(k) k A[ηa
x].
k (A → B)[η] :⇐⇒ ∀k′k.k′ A[η] =⇒ k′ B[η].
k (A ∧B)[η] :⇐⇒ k A[η] und k B[η].
k (∀xA)[η] :⇐⇒ ∀k′k∀a∈D(k′) k′ A[ηax].
Die Vervollstandigung von Beth-Strukturen macht einen Vergleich mit Kripke-Strukturen einfacher.Eine vervollstandigte Beth-Struktur ist eine Kripke-Struktur mit konstanten Bereichen, und beide Er-zwingungsbegriffe stimmen fur Formeln ohne ∨∗, ∃∗ uberein. Man beachte aber, daß Kripke-Strukturenetwas flexibler sind, wenn man (endliche) Gegenmodelle konstruieren will. Ein Grund liegt darin, daßnicht jede Kripke-Struktur mit konstanten Bereichen eine vervollstandigte Beth-Struktur ist. Ein of-fensichtliches Beispiel ist
•P•
Kripke-Strukturen sind jedoch weniger allgemein als Beth-Strukturen, in dem Sinn daß jede abzahl-bare Kripke-Struktur in einem angemessenen Sinn in eine Beth-Struktur mit konstantem Bereich N“transformiert” werden kann; dies wurde bereits von Kripke in [17] bemerkt. Wir beschreiben jetzt dieseTransformation, wobei wir uns auf Troelstra und van Dalen [44] stutzen.
Sei K = (D, I0, I1) eine abzahlbare Kripke-Struktur mit zugrunde liegendem endlich verzweigtemBaum (T,). Wir transformieren K in eine Beth-Struktur B uber dem endlich verzweigten Baum T ′,der aus allen endlichen aufsteigenden oder gleichbleibenden Folgen uber (T,) der Lange ≥ 0 bestehtund geordnet ist durch σ ′ τ gdw σ ein Anfangsstuck von τ ist.
Man zerlege N in abzahlbar unendlich viele abzahlbar unendliche disjunkte Mengen Ni, d.h. N =⋃
i∈N Ni und i 6= j → Ni ∩ Nj = ∅, und setze Mi :=⋃
j≤i Ni. Offenbar konnen wir fur jedes σ =〈k0, . . . , kn〉 ∈ T ′ eine Surjektion ψσ von Mn auf D(kn) definieren mit
ψσka = ψσa fur a ∈ Mlh(σ)−1,ψσk bildet Mlh(σ) auf D(k) ab.
Wir definieren jetzt unsere neue Beth-Struktur wie folgt. Fur den leeren Knoten σ = ε sei I1(R, σ) leer.Sei jetzt σ = 〈k0, . . . , kn〉.
(a1, . . . , ap) ∈ I1(R, σ) :⇐⇒ a1, . . . , ap ∈ Mn und kn R(ψσa1, . . . , ψσap)
(oder genauer, kn R(x1, . . . , xp)[ψσa1/x1, . . . , ψσap/xp]; allgemein schreiben wir k A(a1, . . . , ap) furk A[ψσa1/x1, . . . , ψσap/xp], falls x1, . . . , xp die freien Variablen von A enthalten). Damit ist offenbareine Beth-Struktur B definiert, deren Erzwingungsrelation wir mit ′ bezeichnen.
Lemma 1.4.4. Sei σ = 〈k0, . . . , kn〉. Dann gilt fur alle a1, . . . , ap ∈ Mn
σ ′ A(a1, . . . , ap) ⇐⇒ kn A(ψσa1, . . . , ψσap).
28 1. Logik
Beweis. Durch Induktion uber A. Fall ∀xB. =⇒. Gelte σ ′ ∀xB(x, a′) mit a′ ∈ Mn. Wir haben zuzeigen kn ∀xB(x, ψσa′). Sei also k′ kn und d ∈ D(k′) gegeben; wir mussen zeigen k′ B(d, ψσa′).Da d = ψσk′b fur ein b ∈ Mn+1 und ψσa′ = ψσk′a′, heißt dies k′ B(ψσk′b, ψσk′a′). Nach IH genugt eszu zeigen σk′ ′ B(b, a′). Dies folgt aber aus unserer Annahme.
⇐=. Gelte kn ∀xB(x, ψσa′) mit a′ ∈ Mn. Wir mussen zeigen σ ′ ∀xB(x, a′). Sei also a ∈ Ngegeben; wir mussen dann zeigen σ ′ B(a, a′). Man beachte, daß σ = 〈k0, . . . , kn〉. Wahle ein hinreichendlanges τ = σ ∗ 〈kn+1, . . . , kn+i, k′〉 mit kn k′ so daß a ∈ Mlh(τ)−1. Man beachte, daß ψτ die MengeMlh(τ)−1 auf D(k′) abbildet und ψτa′ = ψσa′ ∈ D(kn). Aus kn ∀xB(x, ψσa′) und kn k′ ergibt sichk′ ∀xB(x, ψτa′), also k′ B(ψτa, ψτa′), also nach IH τ ′ B(a, a′). Dies gilt fur alle Fortsetzungen τvon σ mit a ∈ Mlh(τ)−1 (d.h. mit mindestens dieser Lange). Nach der Uberdeckungseigenschaft 1.3.7 giltalso σ ′ B(a, a′), wie gewunscht.
Die anderen Falle sind einfacher und seien als Ubungsaufgaben gestellt. ut
1.5 Vollstandigkeit der klassischen Logik
Wir geben jetzt einen Beweis der Vollstandigkeit der klassischen Logik, und zwar unter Zuhilfenahme derVollstandigkeit der Minimallogik.
Zur Vereinfachung zeigen wir zunachst, daß man auf ∧ verzichten kann.
Lemma 1.5.1. (Elimination von ∧). Fur jede Formel A in der auf →,∧, ∀ aufgebauten Sprache findetman Formeln A1, . . . , An ohne ∧ so daß ` A ↔
∧∧ni=1 Ai.
Beweis. Induktion uber A. Fall Rt. Wahle n = 1 und A1 := Rt. Fall A∧B. Nach IH haben wir A1, . . . , An
und B1, . . . , Bm. Wahle A1, . . . , An, B1, . . . , Bm. Fall A → B. Nach IH haben wir wieder A1, . . . , Anund B1, . . . , Bm. Zur Vereinfachung der Schreibweise nehmen wir n = 2 und m = 3 an. Dann gilt
` (A1 ∧A2 → B1 ∧B2 ∧B3)
↔ (A1 → A2 → B1) ∧ (A1 → A2 → B2) ∧ (A1 → A2 → B3).
Fall ∀xA. Nach IH fur A haben wir A1, . . . , An. Wahle ∀xA1, . . . ,∀xAn, fur
` ∀xn∧∧
i=1Ai ↔
n∧∧
i=1∀xAi. ut
Satz 1.5.2. (Vollstandigkeit). Sei Γ ∪A eine Menge von Formeln (in unserer abzahlbaren Sprache L).Die folgenden Aussagen sind aquivalent.
1. Γ `c A.2. Γ |= A, d.h. fur alle Strukturen M and Belegungen η gilt
M |= Γ [η] =⇒ M |= A[η].
Beweis. Eine Richtung ist der Korrektheitssatz. Fur die andere Richtung verwenden wir den Vollstandig-keitssatz fur die Minimallogik.
Offenbar genugt es, Formeln ohne ∨∗, ∃∗ zu betrachten, und (nach Lemma 1.5.1) auch ohne ∧.Gelte Γ 6`c A, d.h. Γ, Stab 6` A. Nach dem Vollstandigkeitssatz fur die Minimallogik haben wir eine
abzahlbare Beth-Struktur B = (TerL, I0, I1) uber dem vollen binaren Baum T01 und einen Knoten l0mit l0 Γ, Stab und l0 6 A (wir schreiben k B fur B, k B[id]).
Ein Knoten k heisse konsistent wenn k 6 ⊥, und stabil wenn k Stab. Sei k ein stabiler Knotenund B eine Formel (ohne ∨∗, ∃∗). Wir haben die Stabilitat Stab ` ¬¬B → B nach Lemma 1.2.2, alsok ¬¬B → B, also
k 6 B ⇐⇒ k 6 ¬¬B
⇐⇒ ∃k′k.k′ konsistent und k′ ¬B. (1.8)
Sei α ein Ast im zugrunde liegende Baum T01. Wir definieren
1.5 Vollstandigkeit der klassischen Logik 29
α A :⇐⇒ ∃k∈α k A,
α is konsistent :⇐⇒ α 6 ⊥,
α is stabil :⇐⇒ ∃k∈α k Stab.
Man beachte
Aus α A und ` A → B folgt α B. (1.9)
Um dies zu sehen, nehmen wir α A an. Dann gilt k A fur ein k ∈ α, da α linear geordnet ist. Wegen` A → B liefert der Korrektheitssatz k B, d.h. α B.
Ein Ast α heißt generisch (in dem Sinn, daß er ein klassisches Modell erzeugt) wenn er konsistentund stabil ist, fur alle Formeln B gilt
α B oder α ¬B, (1.10)
und fur alle Formeln ∀yB (wobei y nicht leer ist) mit B keine Allformel
∀s∈TerL α B[y := s] =⇒ α ∀yB (1.11)
Schließlich definieren wir fur einen Ast α eine klassische Struktur Mα = (TerL, I0, Iα1 ) durch
Iα1 (R) :=
⋃
k∈α
I1(R, k) fur R 6= ⊥.
Wir zeigen, daß fur jeden generischen Ast α und jede Formel B in der auf →,∀ aufbauenden Sprachegilt
α B ⇐⇒ Mα |= B. (1.12)
Der Beweis erfolgt durch Induktion uber die logische Komplexitat von B.Fall Rt, R 6= ⊥. Dann gilt die Behauptung fur alle α.Fall ⊥. Es gilt α 6 ⊥ fur konsistentes α.Fall B → C. =⇒. Gelte α B → C und Mα |= B. Wir mussen zeigen Mα |= C. Nun ist α B nach
IH, also α C, also Mα |= C wieder nach IH. ⇐=. Gelte Mα |= B → C. Gilt Mα |= B, so ist Mα |= C,also α C nach IH und deshalb α B → C. Gilt Mα 6|= B, so ist α 6 B nach IH, also α ¬B nach(1.10) und deshalb α B → C, da α stabil ist (und ` (¬¬C → C) → ⊥→ C).
Fall ∀yB (wobei y nicht leer ist) mit B keine Allformel. Die folgenden Aussagen sind aquivalent.
α ∀yB
∀s∈TerL α B[y := s] nach (1.11)
∀s∈TerLMα |= B[y := s] nach IH
Mα |= ∀yB.
Wir zeigen schließlich, daß es fur jeden konsistenten stabilen Knoten k einen generischen Ast gibt, derk enthalt. Zum Beweis sei A0, A1, . . . eine Aufzahlung aller Formeln. Wir definieren induktiv eine Folgek = k0 k1 k2 . . . von konsistenten stabilen Knoten. Sei k0 := k. Nehmen wir jetzt an, daß kn bereitskonstruiert ist. Wir schreiben An in der Form ∀yB (wobei y leer sein kann) mit B keine Allformel. ImFall kn ∀yB sei kn+1 := kn. Andernfalls gilt kn 6 B[y := s] fur ein s, und nach (1.8) gibt es einenkonsistenten Knoten k′ kn mit k′ ¬B[y := s]. Sei kn+1 := k′. Wegen kn kn+1 ist auch kn+1 stabil.
Sei α := l | ∃n l kn , also k ∈ α. Wir zeigen, daß α generisch ist. Offenbar ist α konsistentund stabil. Die Aussagen (1.10) und (1.11) konnen simultan bewiesen werden. Sei C = ∀yB mit Bkeine Allformel, und man wahle n mit C = An. Im Fall kn ∀yB ist nichts zu zeigen. Andernfallsgilt kn 6 B[y := s] fur ein s, und nach Konstruktion kn+1 ¬B[y := s]. Fur (1.10) erhalten wirkn+1 ¬∀yB (da ` ∀yB → B[y := s]), und (1.11) ergibt sich aus der Konsistenz von α.
Wir konnen jetzt den Beweis des Vollstandigkeitssatzes abschließen. Da l0 6 A und l0 stabil ist, liefert(1.8) einen konsistenten Knoten k l0 mit k ¬A. Offenbar ist auch k stabil. Nach dem, was wir ebenbewiesen haben, gibt es einen generischen Ast α mit k ∈ α. Wegen k ¬A haben wir α ¬A, alsoMα |= ¬A nach (1.12). Ferner gilt α Γ , also Mα |= Γ wieder nach (1.12). Also Γ 6|= A. ut
30 1. Logik
Auf den ersten Blick scheint es, als ob der Vollstandigkeitssatz sich auf den Berich “aller Mengen”bezieht, und zwar in der Definition von M |= A. Eine genauere Betrachtung des Beweises zeigt jedoch,daß es genugt, sich auf spezielle abzahlbare Mengen zu beschranken. Der Bereich des Modells ist dieabzahlbare Menge TerL (die mittels einer geeigneten Kodierung durch N ersetzt werden kann), und manuberlegt sich leicht, daß alle verwendeten Begriffe arithmetisch definierbar sind.
Der Vollstandigkeitssatz hat viele wichtige Korollare; wir erwahnen nur einige davon. Eine MengeΓ von L-Formeln heisse konsistent wenn Γ 6`c ⊥, und erfullbar wenn es eine L-Struktur M und eineBelegung η in |M| gibt mit M |= B[η] fur alle B ∈ Γ .
Korollar 1.5.3. Sei Γ eine Menge von L-Formeln.
1. Wenn Γ konsistent ist, so ist Γ auch erfullbar.2. (Kompaktheitssatz). Wenn jede endliche Teilmenge von Γ erfullbar ist, so auch Γ .
Beweis. 1. Aus Γ 6`c ⊥ erhalt man Γ 6|= ⊥ nach dem Vollstandigkeitssatz, und dies impliziert die Erfull-barkeit von Γ .
2. Andernfalls gilt Γ |= ⊥, also Γ `c ⊥ nach dem Vollstandigkeitssatz, also auch Γ0 `c ⊥ fur eineendliche Teilmenge Γ0 ⊆ Γ , also Γ0 |= ⊥ im Widerspruch zu unserer Annahme, daß Γ0 ein Modell besitzt.
ut
Korollar 1.5.4. (Lowenheim, Skolem). Sei Γ eine Menge von L-Formeln (wir hatten angenommen,daß L abzahlbar ist). Ist Γ erfullbar, so ist Γ auch erfullbar durch eine L-Struktur mit abzahlbarer Trager-menge.
Beweis. Wir verwenden den Beweis des Vollstandigkeitssatzes mit A = ⊥. Er liefert entweder Γ `c ⊥oder aber ein Modell von Γ ∪ ¬⊥, dessen Tragermenge die abzahlbare Menge TerL ist. Γ `c ⊥ kannjedoch aufgrund der Annahme nicht gelten. ut
Der Vollstandigkeitssatz fur uberabzahlbare Sprachen
Wir geben noch einen zweiten Beweis des Vollstandigkeitssatzes, der das Resultat auch im Fall uberabzahl-barer Sprachen liefert. Dieser Beweis verwendet als mengentheoretisches Hilfsmittel das Auswahlaxiom(in der Form des Zornschen Lemmas).
Sei M 6= ∅ eine Menge. F ⊆ P(M) heißt Filter uber M , wenn
1. M ∈ F und ∅ /∈ F ;2. Aus X ∈ F und X ⊆ Y ⊆ M folgt Y ∈ F ;3. Sind X,Y ∈ F , so ist auch X ∩ Y ∈ F .
F heißt Ultrafilter , wenn fur alle X ∈ P(M) gilt
X ∈ F oder M \X ∈ F .
Die Intuition hier ist, daß die Elemente X eines Filters F in einem gewissen Sinn “groß” sind. ZumBeispiel ist fur unendliches M die Menge F = X ⊆ M | M \X endlich ein Filter.
Lemma 1.5.5. Ist F ein Ultrafilter und X ∪ Y ∈ F , so folgt X ∈ F oder Y ∈ F .
Beweis. Ubung. ut
Lemma 1.5.6. Sei M 6= ∅ eine Menge und S ⊆ P(M). S hat die endliche Durchschnittseigenschaft,wenn X1 ∩ · · · ∩ Xn 6= ∅ fur alle X1, . . . , Xn ∈ S und alle n ∈ N. Dann gilt: Hat S die endlicheDurchschnittseigenschaft, so existiert ein Filter uber M mit F ⊇ S.
Beweis. Ubung. ut
Lemma 1.5.7. Sei M 6= ∅ eine Menge und F ein Filter uber M . Dann gibt es einen Ultrafilter U uberM mit U ⊇ M .
1.5 Vollstandigkeit der klassischen Logik 31
Beweis. Dies ist eine unmittelbare Folgerung aus dem Zornschen Lemma, das wir im zweiten Teil dieserVorlesung aus dem Auswahlaxiom beweisen werden. ut
Sei M 6= ∅ eine Menge und seien Ai 6= ∅ Mengen fur i ∈ M . Man setzt∏
i∈M
Ai := α | α ist Funktion, dom(α) = M und α(i) ∈ Ai fur alle i ∈ M .
Man beachte hierbei, daß nach dem Auswahlaxiom∏
i∈M Ai 6= ∅ ist. Wir schreiben α ∈∏
i∈M Ai als〈α(i) | i ∈ M 〉.
Seien nun M 6= ∅ eine Menge, F ein Filter uber M und Ai Strukturen fur i ∈ M . Dann ist dieF -Produktstruktur A =
∏Fi∈M Ai definiert durch
1. |A| :=∏
i∈M |Ai| (man beachte |A| 6= ∅).2. Fur ein n-stelliges Relationssymbol R und α1, . . . , αn ∈ |A| sei
RA(α1, . . . , αn) :⇐⇒ i ∈ M | RAi(α1(i), . . . , αn(i)) ∈ F.
3. Fur ein n-stelliges Funktionssymbol f und α1, . . . , αn ∈ |A| sei
fA(α1, . . . , αn) := 〈 fAi(α1(i), . . . , αn(i)) | i ∈ M 〉.
Ist F ein Ultrafilter, so heißt A =∏F
i∈M Ai das F -Ultraprodukt der Ai fur i ∈ M .Die Eigenschaften von Ultrafiltern spiegeln in gewisser Weise die Definition der Folgerungsbeziehung
|= wieder. Zum Beispiel gilt
M |= (A ∧B)[η] ⇐⇒ M |= A[η] und M |= B[η]
X ∩ Y ∈ F ⇐⇒ X ∈ F und Y ∈ F
und
M |= ¬A[η] ⇐⇒ M 6|= A[η]
X /∈ F ⇐⇒ M \X ∈ F.
Dies ist der Hintergrund des folgenden Satzes.
Satz 1.5.8. (Fundamentalsatz uber Ultraprodukte, Los 1955). Sei A =∏F
i∈M Ai ein F -Ultraprodukt, Aeine Formel und η eine Belegung in |A| . Dann gilt
A |= A[η] ⇐⇒ i ∈ M | Ai |= A[ηi] ∈ F,
wobei ηi die durch ηi(x) = η(x)(i) fur i ∈ M definieren induzierten Belegungen sind.
Beweis. Wir beweisen zunachst eine entsprechende Aussage uber Terme.
tA[η] = 〈 tAi [ηi] | i ∈ M 〉. (1.13)
Den Beweis fuhren wir durch Induktion uber t. Im Fall einer Variablen folgt die Behauptung aus derDefinition. Fall ft1 . . . tn. Zur Vereinfachung der Schreibweise nehmen wir n = 1 an, betrachten also ft.Man erhalt
(ft)A[η] = fA(tA[η])
= fA(〈 tAi [ηi] | i ∈ M 〉) nach IH
= 〈 (ft)Ai [ηi] | i ∈ M 〉.
Fall Rt1 . . . tn. Zur Vereinfachung der Schreibweise nehmen wir wieder n = 1 an, betrachten also Rt. Manerhalt
32 1. Logik
A |= Rt[η] ⇐⇒ RA(tA[η])
⇐⇒ i ∈ M | RAi(tA[η](i)) ∈ F
⇐⇒ i ∈ M | RAi(tAi [ηi]) ∈ F nach (1.13)
⇐⇒ i ∈ M | Ai |= Rt[ηi] ∈ F.
Fall A ∧B.
A |= (A ∧B)[η] ⇐⇒ A |= A[η] und A |= B[η]
⇐⇒ i ∈ M | Ai |= A[ηi] ∈ F und i ∈ M | Ai |= B[ηi] ∈ F nach IH
⇐⇒ i ∈ M | Ai |= A[ηi] ∩ i ∈ M | Ai |= B[ηi] ∈ F
⇐⇒ i ∈ M | Ai |= (A ∧B)[ηi] ∈ F.
Fall A → B.
A |= (A → B)[η]
⇐⇒ wenn A |= A[η], so A |= B[η]
⇐⇒ wenn i ∈ M | Ai |= A[ηi] ∈ F , so i ∈ M | Ai |= B[ηi] ∈ F nach IH⇐⇒ i ∈ M | Ai |= A[ηi] /∈ F oder i ∈ M | Ai |= B[ηi] ∈ F
⇐⇒ i ∈ M | Ai |= ¬A[ηi] ∈ F oder i ∈ M | Ai |= B[ηi] ∈ F da F Ultrafilter ist⇐⇒ i ∈ M | Ai |= (A → B)[ηi] ∈ F.
Fall ∀xA.
A |= (∀xA)[η] ⇐⇒ fur alle α ∈ |A| gilt A |= A[ηαx ]
⇐⇒ fur alle α ∈ |A| gilt i ∈ M | Ai |= A[(ηi)α(i)x ] ∈ F nach IH
⇐⇒ i ∈ M | fur alle a ∈ |Ai| gilt Ai |= A[(ηi)ax] ∈ F Beweis siehe unten (1.14)
⇐⇒ i ∈ M | Ai |= (∀xA)[ηi] ∈ F.
Zu zeigen bleibt (1.14). Setze X := i ∈ M | fur alle a ∈ |Ai| gilt Ai |= A[(ηi)ax] und Yα := i ∈ M |
Ai |= A[(ηi)α(i)x ] fur α ∈ |A|.
⇐=. Sei α ∈ |A| und X ∈ F . Offenbar ist X ⊆ Yα, also auch Yα ∈ F . =⇒. Sei Yα ∈ F fur alle α.Annahme: X /∈ F . Da F Ultrafilter ist, muß dann
M \X = i ∈ M | es gibt ein a ∈ |Ai| mit Ai 6|= A[(ηi)ax] ∈ F
sein. Wir wahlen mit Hilfe des Auswahlaxioms ein α0 ∈ |A| mit
α0(i) =
ein a ∈ |Ai| mit Ai 6|= A[(ηi)ax] falls i ∈ M \X,
beliebig ∈ |Ai| sonst.
Dann ist Yα0 ∩ (M \X) = ∅, im Widerspruch zu Yα0 ,M \X ∈ F . ut
Wahlt man Ai = B konstant, so erfullt A =∏F
i∈M B dieselben Formeln wie B (solche Strukturenwerden wir in Abschnitt 1.6 elementar aquivalent nennen; Schreibweise A ≡ B).
∏Fi∈M B heißt Ultrapotenz
von B.
Korollar 1.5.9. (Allgemeiner Kompaktheitssatz). Jede endlich erfullbare Formelmenge Γ ist erfullbar.
Beweis. Sei M := i ⊆ Γ | i endlich . Fur i ∈ M sei Ai ein Modell von i unter der Belegung ηi.Fur A ∈ Γ setzen wir ZA := i ∈ M | A ∈ i = i ⊆ Γ | i endlich und A ∈ i . Dann hat F− :=ZA | A ∈ Γ die endliche Durchschnittseigenschaft. Nach den Lemmata 1.5.6 und 1.5.7 existiert alsoein Ultrafilter F uber M mit F− ⊆ F . Wir betrachten A :=
∏Fi∈M Ai und die Produktbelegung η
mit η(x)(i) := ηi(x), und zeigen A |= Γ [η]. Sei also A ∈ Γ . Nach dem Satz genugt es zu zeigen, daßXA := i ∈ M | Ai |= A[ηi] ∈ F . Dies folgt aber aus ZA ⊆ XA und ZA ∈ F− ⊆ F . ut
1.6 Anfange der Modelltheorie 33
Hieraus ergibt sich unmittelbar, daß aus Γ |= A die Existenz einer endlichen Teilmenge Γ ′ ⊆ Γ mitΓ ′ |= A folgt.
Fur jede Formelmenge Γ sei L(Γ ) die Menge aller in Γ vorkommenden Funktions- und Relationssym-bole. Ist L eine Teilsprache von L′, M eine L-Struktur und M′ eine L′-Struktur, so nennt man M′ eineExpansion von M (und M ein Redukt von M′), wenn
|M| = |M′|,
fM = fM′
fur alle f ∈ FunL,
RM = RM′
fur alle R ∈ RelL.
Das (eindeutig bestimmte) L-Redukt von M′ wird mit M′L bezeichnet. Ist M′ eine Expansion von Mund η eine Belegung in |M|, so gilt offenbar tM[η] = tM
′[η] fur jeden L-Term t und M |= A[η] genau
dann, wenn M′ |= A[η] fur jede L-Formel A. Die Gultigkeit von Γ |= A hangt deshalb nicht von derzugrunde gelegten Sprache L ab, solange nur L(Γ ∪ A) ⊆ L (genauer ⊆ FunL ∪ RelL) ist.
Korollar 1.5.10. (Allgemeiner Vollstandigkeitssatz). Sei Γ ∪ A eine Menge von Formeln, wobei diezugrunde liegende Sprache uberabzahlbar sein kann. Dann gilt Γ `c A ⇐⇒ Γ |= A.
Beweis. Ein Richtung ist wieder der Korrektheitssatz. Fur die umgekehrte Richtung konnen wir aufgrundder ersten vorangehenden Bemerkung annehmen, daß fur ein endliches Γ ′ ⊆ Γ gilt Γ ′ |= A. Dann giltaber auch Γ ′ |= A in einer abzahlbaren Sprache (nach der zweiten vorangehenden Bemerkung). Nachdem Vollstandigkeitssatz 1.5.2 fur abzahlbare Sprachen folgt Γ ′ ` A, also auch Γ ` A. ut
1.6 Anfange der Modelltheorie
In diesem Abschnitt wollen wir wie in der Modelltheorie ublich auch uberabzahlbare Sprachen L zulas-sen. Wie wir eben gesehen haben, gelten der Vollstandigkeitssatz und seine Folgerungen ebenfalls furuberabzahlbare Sprachen.
Wir wollen uns jetzt mit den Gleichheitsaxiomen befassen. Wir setzen deshalb in diesem Abschnittstets voraus, daß die Sprache L ein zweistelliges Relationssymbol = enthalt. Die Menge EqL der L-Gleichheitsaxiome besteht dann aus den Allabschlussen von
x = x Reflexivitat,
x = y → y = x Symmetrie,
x = y ∧ y = z → x = z Transitivitat,
x1 = y1 ∧ . . . ∧ xn = yn → fx1 . . . xn = fy1 . . . yn fur alle f ∈ Fun(n)L ,
x1 = y1 ∧ . . . ∧ xn = yn ∧Rx1 . . . xn → Ry1 . . . yn fur alle R ∈ Rel(n)L .
Lemma 1.6.1. (Gleichheitslemma).
1. EqL ` t = s → r[x := t] = r[x := s].2. EqL ` t = s → (A[x := t] ↔ A[x := s]).
Beweis. 1. Induktion uber r. 2. Induktion uber A; wir beschranken uns auf den Fall ∀yA. Dann ist(∀yA)[x := r] = ∀yA[x := r], und nach IH haben wir EqL ` t = s ∧ A[x := t] → A[x := s]. Daraus folgtdie Behauptung. ut
Eine L-Struktur M erfullt die Gleichheitsaxiome genau dann, wenn =M eine Kongruenzrelation ist(also eine Aquivalenzrelation, die mit den Funktionen und Relationen von M vertraglich ist). In diesemAbschnitt setzen wir voraus, daß alle betrachteten L-Strukturen M die Gleichheitsaxiome erfullen. DasKoinzidenzlemma gilt dann auch mit =M anstelle von =:
Lemma 1.6.2. Seien η, ξ Belegungen in |M| mit dom(η) = dom(ξ) und η(x) =M ξ(x) fur alle x ∈dom(η). Dann gilt
34 1. Logik
1. tM[η] =M tM[ξ] falls vars(t) ⊆ dom(η) und2. M |= A[η] ⇐⇒ M |= A[ξ] falls FV(A) ⊆ dom(η).
Beweis. Induktion uber t bzw. A. ut
Sei M/=M die Quotientenstruktur , deren Tragermenge aus den Kongruenzklassen besteht. Wirnennen eine Struktur M unendlich (abzahlbar , n-elementig), wenn M/=M unendlich (abzahlbar, n-elementig) ist.
Unter einem Axiomensystem Γ verstehen wir eine Menge geschlossener Formeln mit EqL(Γ ) ⊆ Γ . EinModell eines Axiomensystems Γ ist eine L-Struktur M mit L(Γ ) ⊆ L und M |= Γ . Fur Mengen Γgeschlossener Formeln schreiben wir
ModL(Γ ) := M | M ist L-Struktur und M |= Γ ∪ EqL .
Offenbar ist Γ genau dann erfullbar, wenn Γ ein Modell besitzt.
Satz 1.6.3. Hat ein Axiomensystem beliebig große endliche Modelle, so hat es auch ein unendlichesModell.
Beweis. Angenommen, Γ ist ein solches Axiomensystem. Seien x0, x1, x2, . . . verschiedene Variable und
Γ ′ := Γ ∪ xi 6= xj | i, j ∈ N mit i < j .
Nach Annahme ist jede endliche Teilmenge von Γ ′ erfullbar, also nach dem allgemeinen Kompaktheitssatz1.5.9 auch Γ ′. Wir haben also M und η mit M |= Γ ′[η] und damit η(xi) 6=M η(xj) fur i < j. Also ist Munendlich. ut
Mit L bezeichnen wir die Menge aller geschlossenen L-Formeln. Unter einer Theorie T verstehen wirein gegen ` abgeschlossenes Axiomensystem, also EqL(T ) ⊆ T und
T = A ∈ L(T ) | T ` A .
Eine Theorie T heißt vollstandig , wenn fur jede Formel A ∈ L(T ) gilt T ` A oder T ` ¬A. Fur jedeL-Struktur M (die die Gleichheitsaxiome erfullt) bildet die Menge aller geschlossenen L-Formeln A mitM |= A offenbar eine Theorie; sie heißt die Theorie von M und wird mit Th(M) bezeichnet. Zwei L-Strukturen M und M′ heißen elementar aquivalent (geschrieben M ≡ M′), wenn Th(M) = Th(M′)ist. Zwei L-Strukturen M und M′ heißen isomorph (geschrieben M ∼= M′), wenn es eine Abbildungπ : |M| → |M′| gibt, die eine Bijektion zwischen |M/=M| und |M′/=M′ | induziert, also
∀a, b∈|M|.a =M b ⇐⇒ π(a) =M′π(b),
∀a′∈|M′|∃a∈|M|π(a) =M′a′,
so daß fur alle a1, . . . , an ∈ |M| gilt
π(fM(a1, . . . , an)) =M′fM
′(π(a1), . . . , π(an)) fur alle f ∈ Fun(n)
L ,
RM(a1, . . . , an) ⇐⇒ RM′(π(a1), . . . , π(an)) fur alle R ∈ Rel(n)
L .
Wir stellen zunachst einige einfache Eigenschaften des Begriffs der Theorie einer Struktur M und derelementaren Aquivalenz zusammen.
Lemma 1.6.4. 1. Th(M) ist vollstandig.2. Ist Γ ein Axiomensystem mit L(Γ ) ⊆ L, so ist
A ∈ L | Γ ` A =⋂
Th(M) | M ∈ ModL(Γ ) .
3. M≡M′ ⇐⇒ M |= Th(M′).4. Ist L abzahlbar, so existiert zu jeder L-Struktur M eine abzahlbare L-Struktur M′ mit M≡M′.
1.6 Anfange der Modelltheorie 35
Beweis. 1. Sei M eine L-Struktur und A ∈ L. Dann gilt M |= A oder M |= ¬A, also Th(M) ` A oderTh(M) ` ¬A.
2. Fur alle A ∈ L hat man
Γ ` A ⇐⇒ Γ |= A
⇐⇒ fur alle L-Strukturen M gilt (M |= Γ =⇒ M |= A)
⇐⇒ fur alle L-Strukturen M gilt (M∈ ModL(Γ ) =⇒ A ∈ Th(M))
⇐⇒ A ∈⋂
Th(M) | M ∈ ModL(Γ ) .
3. =⇒. Gelte M≡M′ und A ∈ Th(M′). Dann folgt M′ |= A, also M |= A.⇐=. Gelte M |= Th(M′). Offenbar ist dann Th(M′) ⊆ Th(M). Zum Beweis der umgekehrten Inklu-
sion sei A ∈ Th(M). Ware A /∈ Th(M′), so hatte man nach (1) auch ¬A ∈ Th(M′), also M |= ¬A imWiderspruch zu A ∈ Th(M).
4. Sei L abzahlbar und M eine L-Struktur. Dann ist Th(M) erfullbar, besitzt also nach dem Satz 1.5.4von Lowenheim und Skolem auch eine erfullende L-Struktur M′ mit der abzahlbaren TragermengeTerL. Nach (3) ist M≡M′. ut
Satz 1.6.5. Es sei T eine Theorie und L = L(T ). Dann sind folgende Aussagen aquivalent.
1. T ist vollstandig.2. Fur jedes Modell M∈ ModL(T ) gilt Th(M) = T .3. Je zwei Modelle M,M′ ∈ ModL(T ) sind elementar aquivalent.
Beweis. (1) =⇒ (2). Sei T vollstandig und M∈ ModL(T ). Dann gilt M |= T , also T ⊆ Th(M). Sei nunumgekehrt A ∈ Th(M). Dann folgt ¬A /∈ Th(M), also ¬A /∈ T und damit A ∈ T .
(2) =⇒ (3) ist klar.(3) =⇒ (1). Sei A ∈ L und T 6` A. Dann existiert ein Modell M0 von T ∪¬A. Sei nun M∈ ModL(T )
beliebig. Nach (3) ist M≡M0, also M |= ¬A. Damit haben wir T ` ¬A. ut
Satz 1.6.6. Ist π ein Isomorphismus von M auf M′, so gilt fur alle Terme t und Formeln A und furjede genugend große Belegung η in |M|
1. π(tM[η]) =M′tM
′[π η] und
2. M |= A[η] ⇐⇒ M′ |= A[π η]. Insbesondere hat man also M∼= M′ =⇒ M≡M′.
Beweis. 1. Induktion uber t. Zur Vereinfachung der Schreibweise behandeln wir nur den Fall einstelligerFunktionssymbole.
π(xM[η]) = π(η(x)) = xM′[π η]
π(cM[η]) = π(cM) =M′cM
′
π(f(t)M[η]) = π(fM(tM[η])) =M′fM
′(π(tM[η])) =M′
fM′(tM
′[π η]) = f(t)M
′[π η].
2. Induktion uber A. Wir behandeln nur den Fall einstelliger Relationssymbole und den Fall ∀xA.
M |= R(t)[η] ⇐⇒ RM(tM[η])
⇐⇒ RM′(π(tM[η]))
⇐⇒ RM′(tM
′[π η])
⇐⇒ M′ |= R(t)[π η],
M |= ∀xA[η] ⇐⇒ fur alle a ∈ |M| gilt M |= A[ηax]
⇐⇒ fur alle a ∈ |M| gilt M′ |= A[π ηax]
⇐⇒ fur alle a ∈ |M| gilt M′ |= A[(π η)π(a)x ]
⇐⇒ fur alle a′ ∈ |M′| gilt M′ |= A[(π η)a′x ] nach 1.6.2
⇐⇒ M′ |= ∀xA[π η] ut
36 1. Logik
Satz 1.6.7. Zu jeder unendlichen Struktur M gibt es eine elementar aquivalente Struktur M0, die nichtisomorph zu M ist.
Beweis. OBdA sei =M die Gleichheit auf M := |M|. Mit P(M) bezeichnen wir die Potenzmenge vonM . Zu jedem α ∈ P(M) wahlen wir eine neue Konstante cα. In der Sprache L′ := L ∪ cα | α ∈ P(M) betrachten wir das Axiomensystem
Γ := Th(M) ∪ cα 6= cβ | α, β ∈ P(M) und α 6= β ∪ EqL′ .
Jede endliche Teilmenge von Γ ist erfullbar durch eine geeignete Expansion von M. Also ist nach demallgemeinen Kompaktheitssatz 1.5.9 auch Γ erfullbar, etwa durch M′
0. Sei M0 := M ′0L. OBdA sei =M0
die Gleichheit auf |M0|. M0 ist nicht isomorph zu M, denn andernfalls hatte man eine Injektion vonP(M) in M und damit einen Widerspruch. ut
Anmerkung. Nach Satz 1.6.7 ist es nicht moglich, eine unendliche Struktur durch ein Axiomensystemerster Stufe bis auf Isomorphie zu charakterisieren. Verlaßt man jedoch die Logik erster Stufe und erlaubtauch die Quantifikation uber Mengen X, so kann man etwa die folgenden Peano-Axiome anschreiben:
∀n S(n) 6= 0,
∀n∀m.S(n) = S(m) → n = m,
∀X.0 ∈ X ∧ (∀n.n ∈ X → S(n) ∈ X) → ∀nn ∈ X.
Man kann zeigen, daß (N, 0, S) bis auf Isomorphie das einzige Modell der Peano-Axiome ist. Eine Struk-tur, die elementar aquivalent, aber nicht isomorph zu N := (N, 0,S) ist, heißt ein Nichtstandardmodell dernaturlichen Zahlen. In Nichtstandardmodellen der naturlichen Zahlen gilt das Prinzip der vollstandigenInduktion nicht fur alle Mengen X ⊆ N. Entsprechend heißt eine Struktur, die elementar aquivalent, abernicht isomorph zu (R, 0, 1, +, ·, <) ist, ein Nichtstandardmodell der reellen Zahlen. In jedem Nichtstan-dardmodell der reellen Zahlen gilt das Vollstandigkeitsaxiom
∀X.∅ 6= X beschrankt → ∃y.y = sup(X)
nicht fur alle Mengen X ⊆ R.
Satz 1.6.8. Es gibt abzahlbare Nichtstandardmodelle der naturlichen Zahlen.
Beweis. Sei x eine Variable und
Γ := Th(N ) ∪ x 6= n | n ∈ N ,
wobei 0 := 0 und n + 1 := Sn. Offenbar ist jede endliche Teilmenge von Γ erfullbar, also nach demKompaktheitssatz 1.5.3(2) auch Γ . Nach dem Satz 1.5.4 von Lowenheim und Skolem haben wir dannein hochstens abzahlbares M und eine Belegung η mit M |= Γ [η]. Wegen M |= Th(N ) ist M≡ N nachSatz 1.6.5; daraus folgt insbesondere, daß M abzahlbar ist. Weiter ist η(x) 6=M nM fur alle n ∈ N, alsoM 6∼= N . ut
Wir wollen jetzt einige Anwendungen auf aus der Mathematik bekannte Axiomensysteme diskutieren.Die Axiome der Korpertheorie sind (außer den Gleichheitsaxiomen) die Allabschlusse von
x + (y + z) = (x + y) + z,
0 + x = x,
(−x) + x = 0,
x + y = y + x,
x · (y · z) = (x · y) · z,
1 · x = x,
x 6= 0 → x−1 · x = 1,
x · y = y · x,
(x + y) · z = (x · z) + (y · z),
1 6= 0.
1.6 Anfange der Modelltheorie 37
Korper sind also genau die Modelle dieses Axiomensystems.In der Theorie der geordneten Korper hat man zusatzlich ein zweistelliges Relationssymbol < und als
Axiome die Allabschlusse von
x 6< x,
x < y ∧ y < z → x < z,
x < y ∨ x = y ∨ y < x,
x < y → x + z < y + z,0 < x ∧ 0 < y → 0 < x · y.
Geordnete Korper sind genau die Modelle dieses erweiterten Axiomensystems. Ein geordneter Korperheißt archimedisch geordnet , wenn es zu jedem Korperelement a eine naturliche Zahl n gibt, so daß akleiner ist als das n-fache der Eins im Korper.
Satz 1.6.9. Zu jedem archimedisch geordneten Korper gibt es einen elementar aquivalenten geordnetenKorper, der nicht archimedisch geordnet ist.
Beweis. Sei K ein archimedisch geordneter Korper, x eine Variable und
Γ := Th(K) ∪ n < x | n ∈ N .
Offenbar ist jede endliche Teilmenge von Γ erfullbar, also nach dem allgemeinen Kompaktheitssatz 1.5.9auch Γ . Wir haben also M und η mit M |= Γ [η]. Wegen M |= Th(K) ist M ≡ K und damit M eingeordneter Korper. Weiter ist 1M · n <M η(x) fur alle n ∈ N, also M nicht archimedisch geordnet. ut
Eine Klasse S von L-Strukturen heißt (endlich) axiomatisierbar , wenn es ein (endliches) Axiomensy-stem Γ gibt mit S = ModL(Γ ). Offenbar ist S endlich axiomatisierbar genau dann, wenn S = ModL(A)fur ein A. Gibt es zu jedem M ∈ S ein elementar aquivalentes M′ /∈ S, so kann S offensichtlich nichtaxiomatisierbar sein. Aus Satz 1.6.9 folgt also, daß die Klasse der archimedisch geordneten Korper nichtaxiomatisierbar ist. Ebenso folgt, daß die Klasse der geordneten Korper, die nicht archimedisch geordnetsind, nicht axiomatisierbar ist.
Lemma 1.6.10. Sei S eine Klasse von L-Strukturen und Γ ein Axiomensystem.
1. S ist endlich axiomatisierbar genau dann, wenn S und das Komplement von S axiomatisierbar sind.2. Ist ModL(Γ ) endlich axiomatisierbar, so gibt es ein endliches Γ0 ⊆ Γ mit ModL(Γ0) = ModL(Γ ).
Beweis. 1. Mit 1 − S bezeichnen wir das Komplement von S. =⇒. Sei S = ModL(A). Dann giltM ∈ 1− S ⇐⇒ M |= ¬A, also 1− S = ModL(¬A). ⇐=. Sei S = ModL(Γ1) und 1− S = ModL(Γ2).Dann ist Γ1 ∪ Γ2 nicht erfullbar, es gibt also ein endliches Γ ⊆ Γ1 so daß Γ ∪ Γ2 nicht erfullbar ist. Manerhalt
M∈ S =⇒ M |= Γ =⇒ M 6|= Γ2 =⇒ M /∈ 1− S =⇒ M ∈ S,
also S = ModL(Γ ).2. Sei ModL(Γ ) = ModL(A). Dann gilt Γ |= A, also auch Γ0 |= A fur ein endliches Γ0 ⊆ Γ . Man
erhaltM |= Γ =⇒ M |= Γ0 =⇒ M |= A =⇒ M |= Γ,
also ModL(Γ0) = ModL(Γ ). ut
Zum Abschluß dieses Abschnitts behandeln wir als Beispiel einer vollstandigen Theorie noch dieTheorie DO der dichten linearen Ordnungen ohne Endpunkte. Die Axiome der Theorie DO sind (außerden Gleichheitsaxiomen) die Allabschlusse von
x 6< x,
x < y ∧ y < z → x < z,
x < y ∨ x = y ∨ y < x,
x < y → ∃z.x < z ∧ z < y,∃y x < y,
∃y y < x.
38 1. Logik
Lemma 1.6.11. Jedes abzahlbare Modell von DO ist isomorph zur Struktur (Q, <) der rationalen Zahlen.
Beweis. Sei M = (M,≺) ein abzahlbares Modell von DO; wir konnen annehmen, daß =M die Gleichheitauf M ist. Sei M = bn | n ∈ N und Q = an | n ∈ N , wobei wir an 6= am und bn 6= bm furn < m annehmen konnen. Wir definieren rekursiv Funktionen fn ⊆ Q×M wie folgt. Sei f0 := (a0, b0).Angenommen, wir haben fn schon konstruiert.
Fall n + 1 = 2m. Sei j minimal so daß bj /∈ ran(fn). Wahle ai /∈ dom(fn) so daß fur alle a ∈ dom(fn)gilt ai < a ↔ bj < fn(a); ein solches ai existiert, da M und (Q, <) Modelle von DO sind. Setzefn+1 := fn ∪ (ai, bj).
Den Fall n+1 = 2m+1 behandelt man ahnlich. Sei i minimal so daß ai /∈ dom(fn). Wahle bj /∈ ran(fn)so daß fur alle a ∈ dom(fn) gilt ai < a ↔ bj < fn(a); ein solches bj existiert, da M und (Q, <) Modellevon DO sind. Setze fn+1 := fn ∪ (ai, bj).
Nach Konstruktion ist b0, . . . , bm ⊆ ran(f2m) und a0, . . . , am+1 ⊆ dom(f2m+1) und schließlichf :=
⋃
n fn ein Isomorphismus von (Q, <) auf M. ut
Satz 1.6.12. Die Theorie DO ist vollstandig, und es gilt DO = Th(Q, <).
Beweis. Da offenbar (Q, <) Modell von DO ist, genugt es nach Satz 1.6.5 zu zeigen, daß fur jedes ModellM von DO gilt M≡ (Q, <). Sei also M Modell von DO. Nach Lemma 1.6.4(4) existiert ein abzahlbaresM′ mit M≡M′. Nach dem vorangehenden Satz ist M′ ∼= (Q, <), also M≡M′ ≡ (Q, <). ut
Ein weiteres Beispiel einer vollstandigen Theorie ist die Theorie der algebraisch abgeschlossenenKorper. Hierfur und fur viele weitere Gegenstande der Modelltheorie sei verwiesen auf die Literatur;ein gutes und umfassendes Buch uber Modelltheorie ist das von Chang und Keisler [6].
1.7 Anmerkungen
Der Godelsche Vollstandigkeitssatz wurde zuerst von Godel [12] fur abzahlbare Sprachen, und im allge-meinen Fall von Malzew [20] bewiesen. Der Satz von Lowenheim und Skolem wurde bereits vor demVollstandigkeitssatz bewiesen von Lowenheim [19] und Skolem [35].
Beth-Strukturen fur die intuitionistische Logik wurden von Beth in [1] eingefuhrt; die dort gefuhrten(klassischen und intuitionistischen) Vollstandigkeitsbeweise waren jedoch korrekturbedurftig. Beth hatseine Arbeit spater in [2] revidiert. Eine seiner Absichten war es, intuitionistische Vollstandigkeitsbeweisefur die intuitionistische Logik zu geben. Dieser Aspekt ist besonders von Kreisel betont worden; er wirdin der vorliegenden Darstellung ignoriert. Eine gute Ubersicht uber intuitionistische Vollstandigkeitsbe-weise findet man in Troelstras Buch [41]. Die Kripke-Semantik fur die intuitionistische Logik wurdeentwickelt in [17]; er gab dort einen (klassischen) Vollstandigkeitsbeweis im Godelschen Stil. Die Kon-struktion einer Beth-Struktur aus einer Kripke-Struktur geht zuruck auf Kripke [17]; die vorliegendeDarstellung stutzt sich auf das Buch [44] von Troelstra und van Dalen.
Der Beweis in Abschnitt 1.5 des Vollstandigkeitssatzes fur die klassische Logik aus dem Vollstandig-keitssatz fur die intuitionistische Logik stammt von Berger. Die Idee zum Begriff eines Ultraproduktsgeht auf Skolem [36] zuruck; er verwendete eine eingeschrankte Form zur Konstruktion eines Nichtstan-dardmodell der vollstandigen Arithmetik. Der allgemeine Begriff eines Ultraprodukts wurde von Los [18]eingefuhrt; in dieser Arbeit hat er auch den Fundamentalsatz formuliert.
2. Beweistheorie
Das erste Ziel dieses Kapitels ist die Einfuhrung einer kompakten und bequemen Bezeichnungsweise furHerleitungen: wir ersetzen die bisherige baumartige Bezeichnungsweise durch eine lineare. Um auch derMoglichkeit der Einfuhrung und Beseitigung von Annahmen Rechnung zu tragen, verwenden wir freie(Annahme)variablen und einen Bindungsoperator fur sie, der traditionsgemaß mit λ bezeichnet wird.Dies fuhrt unmittelbar auf getypte λ-Kalkule.
Ferner zeigen wir in diesem Kapitel, daß sich jede Herleitung durch geeignete Konversionsschritte ineine Normalform bringen laßt. Eine normale Herleitung macht keine “Umwege”, d.h. es kommt niemalsvor, daß eine Beseitigung unmittelbar auf eine Einfuhrung folgt. Herleitungen in Normalform haben vieleangenehme Eigenschaften, und konnen zum Beweis vieler Resultate benutzt werden. Weiterhin zeigenwir, daß die Normalform eindeutig bestimmt ist.
Dies wird zunachst fur das →-Fragment der Aussagenlogik durchgefuhrt, da fast alle wesentlichenAspekte hier schon zum Vorschein kommen. Die Erweiterung auf die volle Sprache wird anschließenddiskutiert.
Als Anwendung beweisen wir die Teilformeleigenschaft und den Herbrandschen Satz. Schließlichzeigen wir, daß die Forderung nach normalen Herleitungen manchmal unrealistisch sein kann. Wir gebenBeispiele von Formeln Ck, die mit nicht normalen Herleitungen der Lange linear in k bewiesen werdenkonnen, fur die aber jede normale Herleitung eine nicht mehr elementar rekursive Anzahl von Knotenerfordert.
2.1 λ-Kalkul
Wir beginnen mit dem Fragment der Minimallogik, in dem nur Formeln zugelassen sind, die aus Aus-sagensymbolen mittels Implikation → aufgebaut sind; man nennt es das →-Fragment der minimalenAussagenlogik. Herleitungen sind dann mit den Einfuhrungs- und Beseitigungsregeln fur → gebildet. Siehaben eine besonders einfache Struktur, da man auf Variablenbedingungen wegen des Fehlens der Quan-toren nicht zu achten braucht. Annahmenvariablen konnen jedoch nach wie vor abgebunden werden.
Es bietet sich nun an, eine kompakte Termschreibweise fur Herleitungen zu verwenden. Die Her-leitungsterme mussen dann aber – im Gegensatz zu den Termen der Logik erster Stufe – einen Bin-dungsoperator enthalten; er wird mit λ bezeichnet. Formeln erscheinen jetzt als (obere) Indizes solcherHerleitungsterme. Man nennt deshalb die Formeln des →-Fragments der Aussagenlogik auch (einfache)Typen und die zugehorigen Herleitungsterme λ-Terme mit Typen.
Die zentrale Idee fur unsere Termbezeichnung fur Herleitungen ist also, Formeln als Typen von Her-leitungstermen zu betrachten. Dieser Ansatz ist als Curry-Howard Korrespondenz in der Literaturbekannt.
Formeln des →-Fragments der minimalen Aussagenlogik heißen dann (einfache) Typen; als Mittei-lungszeichen fur Typen verwenden wir ρ, σ, τ . Spezielle Typen sind dann die Aussagensymbole, die wirhier Grundtypen nennen; als Mitteilungszeichen fur Grundtypen verwenden wir µ. Also
– Jeder Grundtyp µ ist ein Typ.– Sind ρ und σ Typen, so auch ρ → σ.
Man beachte, daß sich jeder Typ ρ eindeutig schreiben laßt in der Form ρ = ρ1 → ρ2 → · · · → ρn → µ;die ρi nennt man dieArgumenttypen von ρ.
Definition 2.1.1. (Induktive Definition der λ-Terme mit Typen).
40 2. Beweistheorie
– Jede Variable xρ ist ein λ-Term.– Ist Mσ ein λ-Term, so auch (λxρMσ)ρ→σ (Abstraktion).– Sind Mρ→σ und Nρ λ-Terme, so auch (Mρ→σNρ)σ (Anwendung).
λ-Terme nennen wir im folgenden einfach Terme; auch lassen wir die Typenindizes meistens weg.Mit Λ (Λρ) bezeichnen wir die Menge aller Terme (des Typs ρ). Terme, die keine Abstraktionen sind,heißen neutral . Bei Anwendungstermen vereinbaren wir wie ublich Linksklammerung, also MNK meint(MN)K), nicht M(NK). Ferner soll die Abstraktion starker binden als die Anwendung, also λxMNmeint (λxM)N , nicht λx(MN). Wir verwenden wieder eine Punktnotation, wenn der Wirkungsbereicheines λ-Operators so groß wie durch die Klammerung moglich sein soll, also z.B. (λx.MN)K meint(λx(MN))K. Die Menge FV(M) der freien Variablen eines λ-Terms definieren wir rekursiv durch
FV(x) := xFV(λxM) := FV(M) \ xFV(MN) := FV(M) ∪ FV(N)
Hinzufugen des ∧-Konstruktors fur Typen und entsprechend von Paarbildung und Projektionen furTerme fuhrt auf den getypten λ-Kalkul mit Paarbildung, der fur Anwendungen meist benotigt wird. DieseErweiterung ist jedoch recht harmlos. Wir schreiben anstelle von ρ∧σ hier ρ×σ. Die induktive Definitionder λ-Terme mit Typen wird erweitert durch die Klauseln
– Sind Mρ und Nσ λ-Terme, so auch 〈Mρ, Nσ〉ρ×σ (Paarbildung).– Ist Mρ×σ ein λ-Term, so sind es auch π0(M)ρ und π1(M)σ (Projektionen).
Manchmal ist es nutzlich, M0 fur π0(M) und M1 fur π1(M) zu schreiben.Wir konnen in ahnlicher Weise unsere Termdarstellung auf die volle ∧→∀ Sprache erweitern. Dies
bringt keine wesentlichen Schwierigleiten mit sich, nur ist einige Sorgfalt bei den Bezeichnungen erforder-lich. Der Hauptunterschied in der Bezeichnungweise besteht darin, daß jetzt Formeln als Typensymboleverwendet werden, anstelle von ρ, σ, . . . vorher.
Als Grundbausteine von Herleitungstermen oder kurz Termen verwenden wir mit Formeln verseheneAnnahmenvariable uA; u ist wieder eines der Symbole 0,1, . . . . Wir verlangen wie bisher, daß verschie-dene Annahmeformeln stets verschiedene Marken u haben. Als Mitteilungszeichen fur Herleitungstermeverwenden wir M, N, K, L und fur Annahmevariablen u, v, w. Wir schreiben meist u : A anstelle von uA
und M : A anstelle von MA.Wir geben eine induktive Definition der Herleitungsterme in der Form der Tabelle 2.1, wobei wir zum
besseren Verstandnis links die entsprechenden Herleitungen aufschreiben.Zur Formulierung der Variablenbedingungen benotigen wir die Menge FA(M) der im Herleitungsterm
M freien Annahmen. Sie ist rekursiv definiert durch
FA(uA) := uA,FA(〈MA, NB〉A∧B) := FA(MA) ∪ FA(NB),
FA(π0(MA∧B)A) := FA(MA∧B),
FA(π1(MA∧B)B) := FA(MA∧B),
FA((λuAMB)A→B) := FA(MB) \ uA,FA((MA→BNA)B) := FA(MA→B) ∪ FA(NA),
FA((λxMA)∀xA) := FA(MA),
FA((M∀xAt)A[x:=t]) := FA(M∀xA).
Die Variablenbedingung ist dann x /∈ FV(A) fur alle uA ∈ FA(M).Man beachte, daß in Herleitungstermen Formeln oft uberflussig sind. Wenn man (λuM)A→B schreibt,
so ist klar, daß u die Formel A und M die Formel B haben mussen. Ebenso muß in (MA→BN) derGesamtterm die Formel B und N die Formel A haben. Wir werden im folgenden haufig solche redun-danten Formeln weglassen. Auf diese Weise erhalt man mit den Herleitungstermen eine sehr kompakteSchreibweise fur Herleitungen.
Als Beispiele fur Herleitungsterme schreiben wir die Herleitungen (1.1)-(1.4) als Herleitungsterme auf.
2.1 λ-Kalkul 41
Herleitung Term
u : A uA
| MA
| NB ∧+
A ∧B〈MA, NB〉A∧B
| MA ∧B ∧−0
A
| MA ∧B ∧−1
Bπ0(MA∧B)A π1(MA∧B)B
[u : A]
| MB →+uA → B
(λuAMB)A→B
| MA → B
| NA →−
B(MA→BNA)B
| MA ∀+ (mit Var.Bed.)∀xA
(λxMA)∀xA (mit Var.Bed.)
| M∀xA t ∀−A[x := t]
(M∀xAt)A[x:=t]
Tab. 2.1. Curry-Howard Korrespondenz zwischen naturlichen Herleitungen und dem einfach getypten λ-Kalkul
42 2. Beweistheorie
(1.1) Mit D := (A ∧B → C) → (A → (B → C)) haben wir
λuA∧B→C(
λvA[
λwB (
uA∧B→C〈vA, wB〉A∧B)C]B→C
)A→B→CD
Es ist klar, daß man hier viele redundante Formeln weglassen kann. Mit Annahmenvariablenu, v, w der Typen u : A ∧ B → C, v : A und w : B schreiben wir den Herleitungsterm kurz alsλuλvλw(u〈vw〉).
(1.2) Wir verwenden Annahmenvariablen u : A → (B → C) und v : A∧B. Der Herleitungsterm ist dannλuλv[u(π0v)](π1v).
(1.3) Mit u : ∀x(A → B) und v : A erhalten wir λuλvλx[(ux)v].(1.4) Mit u : A → ∀xB und v : A erhalten wir λuλxλv[(uv)x].
Neutral heißen jetzt Terme, die weder Abstraktionen (also von der Form λuM oder λxM) noch Paaresind. Es ist bequem, anstelle von πi(M) auch Mi mit i = 0, 1 zu schreiben: dann konnen wir jedeBeseitigungsregel in der Form einer Anwendung mitteilen. Die Schreibweise MN bedeutet jetzt also einen(linksgeklammerten) verallgemeinerten Anwendungsterm, in dem einige Ni auch 0, 1 (fur die Projektionenπ0, π1 bei ∧−0 , ∧−1 ) oder Objektterme t (bei ∀−) sein konnen.
Ein Herleitungsterm MA heißt geschlossen, wenn FA(MA) = ∅. Wir schreiben
MB [uA11 , . . . , uAn
n ]
um mitzuteilen, daß die freien Annahmen von MB in der Liste uA11 , . . . , uAn
n enthalten sind.Ferner benotigt man oft die Menge FV(M) der freien (Objekt-) Variablen in einem Herleitungsterm
M ; sie ist rekursiv definiert durch
FV(uA) := FV(A),
FV(〈MA, NB〉) := FV(MA) ∪ FV(NB),
FV(πi(MA∧B)) := FV(MA∧B),
FV(λuBMA) := FV(MA),
FV(MA→BNA) := FV(MA→B) ∪ FV(NA),
FV(λxMA) := FV(MA) \ x,FV(M∀xAt) := FV(M∀xA) ∪ vars(t).
Als Beispiele betrachten wir die folgende Herleitungsterme.
(1) M1 = λvP uQx.u : Qx
→+vP → Qx
Dann ist FA(M1) = uQx und FV(M1) = x.(2) M2 = λuQxλvP uQx.
u : Qx→+vP → Qx
→+uQx → (P → Qx)
Dann ist FA(M2) = ∅ und FV(M2) = x.(3) M3 = λxλuQxλvP uQx.
u : Qx→+vP → Qx
→+uQx → (P → Qx)∀+
∀x.Qx → (P → Qx)
Dann ist FA(M3) = ∅ und FV(M3) = ∅.
2.2 Normalisierung 43
Fur Herleitungsterme haben wir zwei Arten von Substitutionen: Man kann einen Herleitungsterm MA
fur eine Annahmenvariable uA substituieren, und man kann auch einen Objektterm t fur eine Objektva-riable x substituieren.
Die Axiome fur den starken Existenzquantor ∃∗ werden durch entsprechende Konstanten bezeichnet:
∃∗+x,A : ∀x.A → ∃∗xA
∃∗−x,A,B : ∃∗xA → (∀x.A → B) → B
mit der ublichen Voraussetzung x /∈ FV(B).
2.2 Normalisierung
Wir behandeln zunachst das →-Fragment der minimalen Aussagenlogik; der Beweis wird sich dann leichtauf die volle Sprache ubertragen lassen.
Zunachst definieren wir eine Konversionsrelation 7→ρ zwischen Termen vom Typ ρ durch
(λxM)N 7→ M [x := N ], β-Konversionλx.Mx 7→ M falls x /∈ FV(M) und M neutral ist. η-Konversion
Die Einschritt-Reduktionsrelation →1 kann man jetzt wie folgt definieren. M →1 N gilt, wenn N aus Mentsteht durch Ersetzen eines Teilterms M ′ in M durch N ′, wobei M ′ 7→ N ′. Die Reduktionsrelationen→+ and →∗ sind der transitive und der reflexiv-transitive Abschluß von →1. Fur M = M1, . . . , Mn
schreiben wir M →1 M ′ falls Mi →1 M ′i fur ein i ∈ 1, . . . , n und Mj = M ′
j fur alle i 6= j ∈ 1, . . . , n.Folgende Eigenschaft dieser Reduktionsrelation macht man sich leicht klar.
Lemma 2.2.1. 1. Wenn xM →1 N , so ist N = xM ′ mit M →1 M ′.2. Substitution und Reduktion sind miteinander vertraglich, d.h. wenn M →∗ M ′ und N →∗ N ′, so gilt
auch M [x := N ] →∗ M ′[x := N ′]. ut
Definition 2.2.2. Ein Term M heißt normal (oder in Normalform), wenn es keinen Term N gibt mitM →1 N .
Definition 2.2.3. Die Menge sn der stark normalisierenden Terme wird induktiv definiert durch
(∀N.M →1 N =⇒ N ∈ sn) =⇒ M ∈ sn (2.1)
Man beachte, daß mit M offenbar auch jeder Teilterm von M stark normalisierend ist.Zum Beweis, daß jeder Term M stark normalisierend ist, verwenden wir eine auf W.W. Tait [39]
zuruckgehende Methode, die auf der Einfuhrung von sogenannten starken Berechenbarkeitspradikatensbρ beruht. Sie werden durch Induktion uber den Typ ρ wie folgt definiert.
Definition 2.2.4.
M ∈ sbµ :⇐⇒ ∀N.M →1 N =⇒ N ∈ sb (2.2)
M ∈ sbρ→σ :⇐⇒ (∀N∈sbρ) MN ∈ sbσ. (2.3)
Lemma 2.2.5. Ist M ∈ sbρ und M →1 M ′, so ist auch M ′ ∈ sb.
Beweis. Induktion uber ρ. Fall µ. Nach (2.2). Fall ρ → σ. Gelte M ∈ sbρ→σ und M →1 M ′; zu zeigen istM ′ ∈ sb. Sei also N ∈ sbρ; zu zeigen ist M ′N ∈ sbσ. Dies folgt aber aus MN →1 M ′N und MN ∈ sbσ
nach Induktionshypothese (IH) uber σ. ut
Lemma 2.2.6. (∀M∈sn).M ∈ sb =⇒ (xM)µ ∈ sb.
Beweis. Induktion uber M ∈ sn. Gelte M ∈ sn und M ∈ sb; zu zeigen ist (xM)µ ∈ sb. Sei alsoxM →1 N ; zu zeigen ist N ∈ sb. Nach Lemma 2.2.1 muß N von der Gestalt xM ′ sein mit M →1 M ′.Nach Lemma 2.2.5 gilt aber M ′ ∈ sb, also xM ′ ∈ sb nach IH fur M ′. ut
44 2. Beweistheorie
Lemma 2.2.7.
sbρ ⊆ sn, (2.4)
x ∈ sbρ. (2.5)
Beweis. Durch simultane Induktion uber ρ. Fall µ. (2.4). Wir zeigen M ∈ sbµ =⇒ M ∈ sn durch(Neben-) Induktion uber M ∈ sbµ. Gelte also M ∈ sbµ; zu zeigen ist M ∈ sn. Fur jedes N mit M →1 Nhaben wir N ∈ sb nach (2.2), also N ∈ sn nach der Nebeninduktionsvoraussetzung (NIH). (2.5). x ∈ sbµ
gilt, da es kein N mit x →1 N gibt.Fall ρ → σ. (2.4). Gelte M ∈ sbρ→σ; zu zeigen ist M ∈ sn. Nach IH(2.5) fur ρ haben wir x ∈ sbρ, also
Mx ∈ sbσ, also Mx ∈ sn nach IH(2.4) fur σ. Nun impliziert Mx ∈ sn offenbar M ∈ sn, wir man durchInduktion uber Mx ∈ sn leicht sieht. (2.5). Sei M ∈ sbρ mit ρ1 = ρ; zu zeigen ist xM ∈ sbν . Dies folgtaber aus Lemma 2.2.6, unter Verwendung von IH(2.4) fur ρ. ut
Lemma 2.2.8. (∀M, N, N∈sn).M [x := N ]N ∈ sbµ =⇒ (λxM)NN ∈ sbµ.
Beweis. Durch Induktion uber M, N, N ∈ sn. Seien M, N, N ∈ sn und gelte M [x := N ]N ∈ sb; zuzeigen ist (λxM)NN ∈ sb. Gelte (λxM)NN →1 K; zu zeigen ist K ∈ sb. Fall K = (λxM ′)N ′N ′
mit M, N, N →1 M ′, N ′,N ′. Dann gilt M [x := N ]N →∗ M ′[x := N ′]N ′ nach Lemma 2.2.1, alsoM ′[x := N ′]N ′ ∈ sb nach Lemma 2.2.5 bzw. der Annahme, also (λxM ′)N ′N ′ ∈ sb nach IH. FallK = M [x := N ]N . Dann ist K ∈ sb nach Annahme. ut
Korollar 2.2.9. (∀M, N, N∈sn).M [x := N ]N ∈ sbρ =⇒ (λxM)NN ∈ sbρ.
Beweis. Nach Induktion uber ρ, mit Hilfe von (2.4). ut
Definition 2.2.10. Ein Term M heißt stark berechenbar unter Substitution, wenn fur alle N ∈ sb derTerm M [x := N ] ∈ sb ist.
Satz 2.2.11. Jeder Term ist stark berechenbar unter Substitution.
Beweis. Induktion uber den Term M . Fall x. Klar. Fall MN . Nach IH sind M [x := N ] ∈ sb undN [x := N ] ∈ sb, also auch (MN)[x := N ] = M [x := N ]N [x := N ] ∈ sb. Fall λxM . Sei N ∈ sb; zuzeigen ist (λxM)[x := N ] ∈ sb. Nach IH ist M [x, x := N , N ] ∈ sb, also (λxM [x := N ])N ∈ sb nachKorollar 2.2.9. ut
Korollar 2.2.12. Jeder Term ist stark normalisierbar. ut
Wir zeigen jetzt die Eindeutigkeit der Normalform. Ein Term M heißt lokal konfluent , wenn es zujedem Paar N1 und N2 mit M →1 N1 und M →1 N2 einen Term N gibt mit N1 →∗ N und N2 →∗ N .
Lemma 2.2.13. Jeder Term M ist lokal konfluent.
Beweis. Induktion uber M . Fall x. Klar. Fall λxM .
λxM
1 @
@@R1
λxM ′
@@@R∗
λxM ′′
∗
λxM ′′′
λx.Mx
1 @
@@R1
λx.M ′x@
@@R1
M
1
M ′
falls x /∈ FV(M)
Fall MN .
MN
1 @
@@R1
M ′N@
@@R∗
M ′′N
∗
M ′′′N
MN
1 @
@@R1
MN ′
@@@R∗
MN ′′
∗
MN ′′′
MN
1 @
@@R1
M ′N@
@@R∗
MN ′
∗
M ′N ′
2.2 Normalisierung 45
sowie(λxM)N
1 @
@@R1
M [x := N ]@
@@R∗
(λxM ′)N
1
M ′[x := N ]
(λxM)N
1 @
@@R1
M [x := N ]@
@@R∗
(λxM)N ′
1
M [x := N ′]
(λx.Mx)N
1 @
@@R1
MN MN=
wobei wir zweimal links unten Lemma 2.2.1 und im letzten Diagramm einmal eine β- und einmal eineη-Konversion benutzt haben. Wegen der vorausgesetzten Neutralitat von M im Fall der η-Konversionkonnen keine weiteren Falle auftreten. ut
Satz 2.2.14. Alle Terme haben eine eindeutige Normalform, d.h. zu jedem Term M gibt es genau einennormalen Term N mit M →∗ N .
Beweis. Jeder Term M ist nach Korollar 2.2.12 stark normalisierbar, wir konnen also Induktion nachM ∈ sn verwenden. Ist M normal, so ist die Behauptung trivial. Gelte also M →1 N1 und M →1 N2.Nach IH haben N1 und N2 eindeutige Normalformen. Mit dem vorigen Lemma ergibt sich die Behauptung,wie man anhand der folgenden Skizze leicht verfiziert.
M
@
@@RN1 lok. konf. N2
∗ @
@@R∗
∗ @
@@R∗
K IH(N1) ∃P1 L@
@@R∗
∗
∗
IH(N2)
∃P2
@@@R∗
∃N
ut
Die bisherigen Begriffe und Resultate dieses Kapitels lassen sich leicht auf den Fall ubertragen, daßneben der Implikation → auch noch die Konjunktion ∧ und der Allquantor ∀ zugelassen sind. Wir nenneneinen Term wieder neutral , wenn er weder ein Paar noch eine Abstraktion ist. Die Regeln der β- andη-Konversion sind jetzt
〈M0,M1〉i 7→ Mi,
(λuM)N 7→ M [u := N ],
(λxM)t 7→ M [x := t],
〈M0,M1〉 7→ M falls M neutral ist,
λu.Mu 7→ M falls u /∈ FA(M) und M neutral ist,
λx.Mx 7→ M falls M is neutral.
Die Eigenschaften der Substitution, d.h. Lemma 2.2.1, bleiben gultig. Der Beweis der starken Normali-sierung laßt sich leicht erweitern; auch die zusatzlichen Falle im Beweis der lokalen Konfluenz sind sehreinfach.
46 2. Beweistheorie
2.3 Anwendungen
Wir wollen jetzt einige Folgerungen aus der Tatsache ziehen, daß sich jede Herleitung in Normalformbringen laßt. Zu diesem Zweck mussen wir die Form normaler Herleitungen genauer analysieren.
Mit k, l ∈ 0, 1∗ bezeichnen wir Knoten in einem Term M . Node(M) ist die Menge aller Knotenin M , und ε bezeichnet die leere Liste, d.h. den Wurzelknoten. k0 und k1 sind die Erweiterungen desKnotens k durch 0 oder 1. Der Teilterm von M am Knoten k wird mit M/k bezeichnet. Wir schreibenk l falls k ein Anfangssegment von l ist. Weiter sei
Leafnode(M) := k ∈ Node(M) | M/k Variable oder Konstante Elimnode(M) := k ∈ Node(M) | M/k gebildet durch eine Beseitigungsregel Intronode(M) := k ∈ Node(M) | M/k gebildet durch eine Einfuhrungsregel
Fur jedes k ∈ Elimnode(M) ∪ Leafnode(M) definieren wir seinen zugeordneten minimalen Knoten durch
minnodeM (ε) := ε.
minnodeM (ki) :=
minnodeM (k), falls i = 0 und k ∈ Elimnode(M);ki, falls i = 1 und k ∈ Elimnode(M), oder
k ∈ Intronode(M).
Offensichtlich ist minnodeM (k) ∈ Elimnode(M) ∪ Leafnode(M). Sei
Minnode(M) := k ∈ Elimnode(M) ∪ Leafnode(M) | minnodeM (k) = k .
Fur jedes k ∈ Node(M) definieren wir seinen zugeordneten Endknoten durch
endnodeM (ε) := ε.
endnodeM (ki) :=
endnodeM (k), falls k ∈ Intronode(M), oderi = 0 und k ∈ Elimnode(M);
ki, falls i = 1 und k ∈ Elimnode(M).
SeiEndnode(M) := k ∈ Node(M) | endnodeM (k) = k .
Fur normale Terme M stehen die Blatter und die Minimalknoten in einer eineindeutigen Beziehung. Manbeachte, daß zwei minimale Knoten denselben Endknoten haben konnen.
Sei M ein Term und k ∈ Leafnode(M). Dann heißt
l ∈ Node(M) | k l endnodeM (k)
der durch den Knoten k bestimmte Ast in M . Insbesondere ist minnodeM (k) ein Element des durch kbestimmten Astes. Im Fall endnodeM (k) = ε spricht man von einem Hauptast . In einem normalen Termhat jeder Ast k1 · · · kn eine besonders durchsichtige Form: alle Beseitigungsregeln kommen vor allenEinfuhrungsregeln.
Im Fall eines normalen Herleitungsterms wollen wir einige Folgerungen uber die an den Knoten ange-hefteten Formeln ziehen. Dazu brauchen wir die folgenden Begriffe. Die Formeln A, B heißen unmittelbareTeilformeln von A ∧ B und A → B, und fur jeden Term t ist die Formel A[x := t] eine unmittelbareTeilformel von ∀xA. Die Relation “A ist eine Teilformel von B” ist der reflexiv-transitive Abschluß derRelation “unmittelbare Teilformel”.
Lemma 2.3.1. Sei MB [uA11 , . . . , uAn
n ] ein normaler Herleitungsterm, der nicht mit einer Einfuhrungendet. Dann ist B Teilformel einer Formel Ai.
Beweis. Induktion uber M . Fall MB = MD→B0 MD
1 . Da M normal ist, kann M0 nicht mit einerEinfuhrungsregel enden. Nach IH sind deshalb D → B und also auch B Teilformeln eines Ai. Die anderenFalle (d.h. MB = NB∧D0, MB = ND∧B1, MB = N∀xDt mit B = D[x := t] und M = uAi
i mit B = Ai)behandelt man ahnlich. ut
2.4 Normale versus nicht-normale Herleitungen 47
Satz 2.3.2. (Teilformeleigenschaft). Sei MB [uA11 , . . . , uAn
n ] eine normale Herleitung und NC eine Teil-herleitung von MB. Dann ist C Teilformel von B oder von einem Ai.
Beweis. Induktion uber M . Wir konnen annehmen, daß NC 6= MB . Fall MB = MD→B0 MD
1 . Nach IH istC Teilformel von D → B oder von einem Ai. Da M normal ist, kann M0 nicht mit einer Einfuhrungsregelenden. Nach dem vorangehenden Lemma ist also D → B eine Teilformel eines Ai. Also ist auch CTeilformel eines Ai. Die Falle MB = NB∧D0, MB = ND∧B1 and MB = N∀xDt mit B = D[x := t]behandelt man ahnlich.
Fall MB = λuB0MB11 mit B = B0 → B1. Nach IH ist C Teilformel von B1, B0 oder einem Ai. Also
ist C Teilformel von B0 → B1 oder einem Ai. Die Falle M = λxM0 und M = 〈M0,M1〉 behandelt manahnlich. ut
Lemma 2.3.3. Sei M [u∀x1A11 , . . . , u∀xmAm
m ] : ∀y∀yB0 eine normale Herleitung mit quantorenfreien For-meln A1, . . . , Am, B0, die nicht mit einer Einfuhrungsregel endet. Dann ist M von der Form uit.
Beweis. Induktion uber M . Sei B := ∀y∀yB0. Im Fall MB = ui ist die Behauptung trivial. Fall MB =MD→B
0 MD1 . Da M normal ist, kann M0 nicht mit einer Einfuhrungsregel enden. Also ist nach Lemma
2.3.1 D → B eine Teilformel von einem ∀xiAi. Dies ist aber unmoglich, da B mit ∀ beginnt; also kanndieser Fall nicht eintreten. Die Falle MB = NB∧D0 and MB = ND∧B1 behandelt man ahnlich. FallMB = N∀zDt mit B = D[z := t]. Dann haben wir ∀zD = ∀z∀y∀yD0 mit quantorenfreiem D0. Nach IHfolgt N = uit, also M = uitt. ut
Satz 2.3.4. (Herbrand). Sei M [u∀x1A11 , . . . , u∀xmAm
m ] : B eine normale Herleitung mit quantorenfrei-en Formeln A1, . . . , Am, B. Dann enthalt MB keine All-Einfuhrungsregel, und jedes Vorkommen einerAnnahmevariablen ui in M ist in einem Kontext
ui : ∀xiAi tij
Ai[xi := tij ].
Insbesondere findet man Terme t11, . . . , t1n1 , . . . , tm1, . . . , tmnm mit
A1[x1 := t11], . . . , A1[x1 := t1n1 ], . . . ,
Am[xm := tm1], . . . , Am[xm := tmnm ] ` B.
Beweis. Teil 1. Im Fall M = ui ist nichts zu zeigen. Fall MB = MD→B0 MD
1 . Da M normal ist, kannM0 nicht mit einer Einfuhrungsregel enden. Nach Lemma 2.3.1 ist D → B Teilformel eines ∀xiAi. Alsoist D → B quantorenfrei, und die IH laßt sich anwenden. Die Falle MB = NB∧D0 und MB = ND∧B1behandelt man ahnlich. Fall MB = N∀zDt mit B = D[z := t], also D quantorenfrei. Da MB normal ist,kann N nicht mit einer Einfuhrungsregel enden. Nach Lemma 2.3.3 muß N dann die Form uit haben,also M = uitt.
Fall MB = λuB0MB11 mit B = B0 → B1. Dann sind B0 und B1 quantorenfrei, und die IH liefert die
Behauptung. Den Fall M = 〈M0,M1〉 behandelt man ahnlich.Teil 2. Ersetzt man alle Vorkommen von uitij durch neue Annahmevariablen vij : Ai[xi := tij ], so
erhalt man eine korrekte Herleitung, da M nach Teil (1) keine All-Einfuhrungsregel enthalt, also auchkeine der Variablen tij weiter unten in der Herleitung gebunden ist. ut
2.4 Normale versus nicht-normale Herleitungen
Wir wollen jetzt zeigen, daß die Forderung, stets eine normale Herleitung fur eine herleitbare Formelanzugeben, manchmal unrealistisch sein kann. Wir geben Beispiele von Formeln Dk, die leicht mit nichtnormalen Herleitungen (deren Knotenzahl linear in k ist) bewiesen werden konnen, fur die aber jedenormale Herleitung eine (in k) superexponentielle Anzahl von Knoten erfordert.
Das Beispiel steht in enger Beziehung zu Gentzens Beweis (in [10]) der transfiniten Induktion bis ωkin der Arithmetik. Dort spielt die Funktion y⊕ ωx eine wesentliche Rolle, und auch die Zuordnung einer“lifting”-Formel A+ zu jeder Formel A, namlich
48 2. Beweistheorie
A+ := ∀y.(∀z≺y A[x := z]) → ∀z≺y⊕ωx A[x := z].
Hier betrachten wir stattdessen die numerische Funktion y +2x, und axiomatisieren ihren Graphen durchHornklauseln. Die Formel Dk sagt aus, daß aus diesen Axiomen die Existenz von 2k folgt (wobei 20 := 1und 2k+1 := 22k). Einen kurzen, nicht normalen Beweis dieser Tatsache kann man durch eine Modifikationder Gentzenschen Idee erhalten. Man kann sich dann uberzeugen, daß jede nicht normale Herleitungvon Dk mindestens 2k Knotenenthalten muß.
Zur Angabe der Herleitungen machen wir wesentlich Gebrauch von dem durch ¬∀¬ definierten Exi-stenzquantor ∃ (vgl. Abschnitt 1.2).
Man beachte, daß die Stabilitatsannahme ¬¬B → B nicht benotigt wird, falls B kein Atom 6= ⊥ alsstrikt positive Teilformel1 enthalt. Dies wird fur die unten anzugebenden Herleitungen der Fall sein; Bist dort immer eine existentielle Formel.
Wir fixieren zunachst unsere Sprache. Verwendet wird ein dreistelliges Relationssymbol R, das denGraphen der Funktion y + 2x beschreiben soll; R(y, x, z) meint also y + 2x = z. Wir axiomatisierenR mit Hilfe von Hornklauseln. Zur Vereinfachung verwenden wir ein einstelliges Funktionssymbol s (zuverstehen als die Nachfolgerfunktion) und eine Konstante 0; man konnte auch ohne Funktionssymboleauskommen, aber dies macht die Formeln weniger lesbar und die Beweise weniger durchsichtig.
Hyp1 : ∀yR(y, 0, s(y))
Hyp2 : ∀y, x, z, z1.R(y, x, z) → R(z, x, z1) → R(y, s(x), z1)
Die Zielformel ist
Ck := ∃zk, . . . , z0.R(0, 0, zk) ∧R(0, zk, zk−1) ∧ . . . ∧R(0, z1, z0).
Um einen kurzen Beweis von Dk := Hyp1 → Hyp2 → Ck zu erhalten, verwenden wir Formeln Ai miteinem freien Parameter x; zur besseren Lesbarkeit schreiben wir A[r] anstelle von A[x := r].
A0 := ∀y∃z R(y, x, z),
Ai+1 := ∀y.Ai[y] → ∃z.Ai[z] ∧R(y, x, z).
Lemma 2.4.1. ` Hyp1 → Hyp2 → Ai[0].
Beweis. Wir geben ein informales Argument, das sich leicht in einen formalen Beweis umformen laßt.Man beachte, daß die Existenzbeseitigung nur mit Existenzformeln als Konklusionen verwendet wird. Esist also nicht notig, Stabilitatsannahmen zu machen und wir erhalten eine Herleitung in der Minimallogik.
Fall i = 0. Klar nach Hyp1.Fall i = 1. Sei x mit A0[x] gegeben. Es genugt zu zeigen A0[s(x)], also ∀y∃z1R(y, s(x), z1). Sei also y
gegeben. Wir wissen
A0[x] = ∀y∃z R(y, x, z). (2.6)
Anwendung von (2.6) auf unser y ergibt z mit R(y, x, z). Nochmalige Anwendung von (2.6) auf dieses zergibt z1 mit R(z, x, z1). Nach Hyp2 erhalten wir R(y, s(x), z1).
Fall i + 2. Sei x mit Ai+1[x] gegeben. Es genugt zu zeigen Ai+1[s(x)], also ∀y.Ai[y] → ∃z.Ai[z] ∧R(y, s(x), z). Sei also y mit Ai[y] gegeben. Wir wissen
Ai+1[x] = ∀y.Ai[y] → ∃z1.Ai[z1] ∧R(y, x, z1). (2.7)
Anwendung von (2.7) auf unser y ergibt z mit Ai[z] und R(y, x, z). Nochmalige Anwendung von (2.7) aufdieses z ergibt z1 mit Ai[z1] und R(z, x, z1). Nach Hyp2 erhalten wir R(y, s(x), z1). ut
Man beachte, daß diese Herleitungen eine feste Lange haben, die nicht von i abhangt.1 Die Formeln A, B sind unmittelbare strikt positive Teilformeln von A∧B, B ist eine unmittelbare strikt positive
Teilformel von A → B, und fur jeden Term t ist die Formel A[x := t] eine unmittelbare strikt positive Teilformelvon ∀xA. Die Relation “A ist eine strikt positive Teilformel von B” ist der reflexiv-transitive Abschluß dieserRelation.
2.5 Anmerkungen 49
Lemma 2.4.2. ` Hyp1 → Hyp2 → Ck.
Beweis. Wir geben ein informales Argument, das sich leicht in einen formalen Beweis umformen laßt.Man beachte wieder, daß die Existenzbeseitigung nur mit Existenzformeln als Konklusionen verwendetwird, und wir deshalb eine Herleitung in der Minimallogik erhalten.
Ak[0] angewandt auf 0 und Ak−1[0] liefert zk mit Ak−1[zk] und R(0, 0, zk).Ak−1[zk] angewandt auf 0 und Ak−2[0] liefert zk−1 mit Ak−2[zk−1] und R(0, zk, zk−1).A1[z2] angewandt auf 0 und A0[0] liefert z1 mit A0[z1] und R(0, z2, z1).A0[z1] angewandt auf 0 liefert z0 mit R(0, z1, z0). ut
Man beachte, daß diese Herleitungen eine in k lineare Lange haben. Wir wollen jetzt die Lange einerbeliebigen normalen Herleitung von Dk nach unten abschatzen.
Lemma 2.4.3. Jede normale Herleitung von Ck aus Hyp1 und Hyp2 hat mindestens 2k Knoten.
Beweis. Sei M eine normale Herleitung von ⊥ aus Hyp1, Hyp2 und der zusatzlichen Annahme
u : ∀zk, . . . , z0.R(0, 0, zk) → R(0, zk, zk−1) → . . . → R(0, z1, z0) → ⊥.
Wir konnen annehmen, daß M keine freien Objektvariablen enthalt (anderfalls ersetze man sie durch0). Der Hauptast von M muß mit u beginnen, und seine Nebenpramissen sind alle von der FormR(0, sn(0), sk(0)).
Man beachte, daß jede normale Herleitung von R(sm(0), sn(0), sk(0)) aus Hyp1, Hyp2 und u mindestens2n Vorkommen von Hyp1 enthalt, und daß k = m+ 2n gelten muß. Dies sieht man leicht durch Induktionuber n. Man beachte auch, daß eine solche Herleitung die Annahmenvariable u nicht enthalten kann.
Wendet man diese Beobachtung auf die obigen Herleitung der Nebenpramissen an, so sieht man, daßsie herleiten
R(0, 0, s20(0)), R(0, s20
(0), s220
(0)), . . . R(0, s2k−1(0), s2k(0)).
Die letzte dieser Herleitungen verwendet mindestens 22k−1 = 2k-mal Hyp1. ut
2.5 Anmerkungen
Das System des naturlichen Schließens wurde von Gentzen [9] eingefuhrt. Den Beweis der starkenNormalisierung haben wir mit einer auf W.W. Tait [39] zuruckgehenden Methode gefuhrt.
Das Beispiel von Herleitungen mit kurzen nicht normalen Beweisen und superexponentiell langenNormalformen geht zuruck auf Statman [37] und Orevkov [22]. Orevkovs Ergebnis ist eine Adaptiondes Statmanschen fur Sprachen mit Funktionssymbolen. Unsere Darstellung folgt [42].
50 2. Beweistheorie
3. Berechenbarkeit
3.1 Primitiv rekursive Funktionen
Wir beschranken uns auf die Diskussion der Berechenbarkeit von Funktionen F : Nn → N. Eine solcheFunktion soll berechenbar (im intuitiven Sinn) heißen, wenn es einen Algorithmus gibt, der fur jedesArgumentetupel a1, . . . , an terminiert und den Funktionswert f(a1, . . . , an) liefert. In diesem Abschnittbehandeln wir besonders einfache berechenbare Funktionen, namlich die von Hilbert eingefuhrten soge-nannten primitiv rekursiven Funktionen, die aus einfachen Ausgangsfunktionen durch Komposition (oderEinsetzung) und primitive Rekursion erzeugt werden konnen. Obwohl diese Definitionsschemata rechtspeziell sind, wird sich zeigen, daß nahezu alle in der Mathematik verwendeten zahlentheoretischen Funk-tionen primitiv rekursiv sind. Insbesondere werden wir in Abschnitt 3.3 Terme, Formeln und Herleitungendurch naturliche Zahlen kodieren und zeigen, daß die charakteristischen Funktionen der entsprechendenMengen von Kodenummern primitiv rekursiv sind.
Wir definieren induktiv fur jedes n ∈ N eine Menge PRn von n-stelligen Funktionssymbolen.
1. 0n ∈ PRn (n ≥ 0), S ∈ PR1, Ini ∈ PRn (1 ≤ i ≤ n).
2. Sind g1, . . . , gm ∈ PRn, h ∈ PRm und m ≥ 1, n ≥ 0, so ist (hg1 . . . gm) ∈ PRn.3. Ist g ∈ PRn und h ∈ PRn+2, so ist (Rgh) ∈ PRn+1.
Wir setzen PR :=⋃
n∈N PRn und 0 := 00.Zu der durch PR gegebenen Sprache definieren wir eine Standardstruktur N wie folgt. Es ist |N | := N
und
(0n)N (a1, . . . , an) := 0,
SN (a) := a + 1,
(Ini )N (a1, . . . , an) := ai,
(hg1 . . . gm)N (a) := hN (gN1 (a), . . . , gNm (a)),
(Rgh)N (0, b) := gN (b),
(Rgh)N (a + 1, b) := hN (a, (Rgh)N (a, b), b).
Eine Funktion F : Nn → N heißt primitiv rekursiv , wenn es ein f ∈ PRn gibt mit F = fN . EineRelation R ⊆ Nn heißt primitiv rekursiv, wenn ihre charakteristische Funktion 1R primitiv rekursiv ist,wobei
1R(a) :=
1, falls a ∈ R;0, sonst.
Wir wollen zunachst zeigen, daß die Menge der primitiv rekursiven Funktionen gegen explizite Defini-tionen abgeschlossen ist. Dazu definieren wir fur jeden PR-Term t und verschiedene Variablen x1, . . . , xn
(n ≥ 1) mit vars(t) ⊆ x1, . . . , xn ein n-stelliges Funktionssymbol λx1, . . . , xn t wie folgt.
λx1, . . . , xn 0 := 0n,
λx1, . . . , xn xi := Ini ,
λx1, . . . , xn.ht1 . . . tm := (hg1 . . . gm), wobei gi := λx1, . . . , xn ti.
52 3. Berechenbarkeit
Lemma 3.1.1. Fur jeden PR-Term t und verschiedene Variablen x1, . . . , xn (n ≥ 1) mit vars(t) ⊆x1, . . . , xn gilt
(λx1, . . . , xn t)N (a1, . . . , an) = tN [a1, . . . , an/x1, . . . , xn].
Beweis. Induktion uber t. Wir schreiben tN [a] fur tN [a1, . . . , an/x1, . . . , xn].
(λx 0)N (a) = (0n)N (a) = 0 = 0N [a].
(λxxi)N (a) = (Ini )N (a) = ai = xNi [a].
Sei t = ht1 . . . tm und gi := λx1, . . . , xn ti. Dann ist
(λx t)N (a) = (hg1 . . . gm)N (a)
= hN (gN1 (a), . . . , gNm (a))
= hN (tN1 [a], . . . , tNm [a]) nach IH
= tN [a]. ut
Wir verwenden a, b, c, i, j, k, `, m, n als Mitteilungszeichen fur naturliche Zahlen. Ist f ∈ PRn, sobezeichnen wir die Funktion fN : Nn → N ebenfalls kurz mit f ; in diesem Sinn ist PRn die Menge der n-stelligen und PR die Menge aller primitiv rekursiven Funktionen. PR ist also die kleinste Funktionenmenge,die die Ausgangsfunktionen 0n, In
i ,S enthalt und abgeschlossen ist gegen Komposition (oder Einsetzung) und primitive Rekursion R.
Beispiele. Setzt man + := RI11 (λx, y, z.S(y)), so ist
+(0, b) = b,
+(a + 1, b) = S(+(a, b)),
und setzt man · := R01(λx, y, z.+yz), so ist
·(0, b) = 0,
·(a + 1, b) = +(·(a, b), b).
Es gilt also +(a, b) = a+b und ·(a, b) = a·b; wir schreiben deshalb +, · fur +, ·. Weiter sei pd := R0(λx, y x)und −· := RI1
1 (λx, y, z.pd(y)). Dann gilt
pd(0) = 0 b−· 0 = b,
pd(a + 1) = a b−· (a + 1) = pd(b−· a)
wobei wir fur −· die ubliche Infixschreibweise verwendet haben. Es ist also
b−· a =
0, falls b ≤ a;b− a, sonst.
Fur f ∈ PRn+1 sei∑
f := R0n(λx, y, z (y + f(x, z))), also
(∑
f)
(0, b) = 0,(∑
f)
(a + 1, b) =(∑
f)
(a, b) + f(a, b).
In Anlehnung an die ubliche mathematische Terminologie schreiben wir∑
i<a f(i, b) fur(∑
f)
(a, b).Ahnlich setzen wir
∏
f := R(S0n)λx, y, z (y · f(x, z)), also (∏
f)(a, b) =∏
x<a f(x, b). Wir schreibenauch
∑
i≤a f(i, b) fur∑
i<S(a) f(i, b) und entsprechend bei Produkten.
3.1 Primitiv rekursive Funktionen 53
Man beachte, daß eine Relation R ⊆ Nn genau dann primitiv rekursiv ist, wenn es ein f ∈ PRn gibtmit R = a ∈ Nn | f(a) = 0 ; zum Beweis beachte man 1R(a) = 1−· f(a) bzw. setze f(a) = 1−· 1R(a).
Um neben Termen auch Formeln betrachten zu konnen, nehmen wir im folgenden an, daß die SprachePR noch das Gleichheitssymbol = enthalt, und daß =N in der Standardstruktur N die Gleichheit auf Nist. Wir schreiben s < t fur S(s)−· t = 0; offenbar gilt dann
N |= (s < t)[η] ⇐⇒ sN [η] < tN [η].
Eine Relation R ⊆ Nn heißt definierbar durch eine Formel A[x1, . . . , xn] der Sprache PR, wenn
R = (a1, . . . , an) ∈ Nn | N |= A[a1, . . . , an/x1, . . . , xn] .
Offenbar sind genau die primitiv rekursiven Relationen durch atomare PR-Formeln definierbar. Wir wollenjetzt zeigen, daß dasselbe auch fur eine reichere Formelmenge der Fall ist, namlich fur die sogenannten∆0-Formeln der Sprache PR.
Wir setzen im Fall x /∈ vars(t)
∀x<tA := ∀x.x < t → A,
∃x<t A := ¬∀x.x < t → ¬A,∀x≤tA := ∀x<S(t) A,
∃x≤tA := ∃x<S(t) A.
Man beachte, daß ∃x<tA logisch aquivalent ist zu ∃x.x < t ∧ A. ∆0-Formeln werden induktiv definiertdurch
• Jede PR-Primformel ist eine ∆0-Formel; insbesondere ist also ⊥ eine ∆0-Formel.• Sind A und B ∆0-Formeln, so auch A → B.• Ist A eine ∆0-Formel und t ein PR-Term mit x /∈ vars(t), so ist auch ∀x<tA eine ∆0-Formel.
Es folgt, daß mit A im Fall x /∈ vars(t) auch ∃x<t A eine ∆0-Formel ist.
Lemma 3.1.2. Ist A eine ∆0-Formel mit FV(A) ⊆ x1, . . . , xn, so ist die Relation
(a1, . . . , an) ∈ Nn | N |= A[a1, . . . , an/x1, . . . , xn]
primitiv rekursiv.
Beweis. Wir definieren fur jede ∆0-Formel A einen PR-Term rA mit vars(rA) = FV(A) so daß fur jedeN -Belegung η gilt rNA [η] = 0 ⇐⇒ N |= A[η].
r⊥ := S(0),
rs=t := (s−· t) + (t−· s),rA→B := (1−· rA) · rB ,
r∀x<t A :=(∑
f)
ty mit f = λx, y rA und FV(∀x<tA) = y. ut
Es folgt, daß die Menge aller primitiv rekursiven Relationen abgeschlossen ist gegen ∩,∪, \, beschrank-te Quantifikation sowie gegen die Einsetzung von primitiv rekursiven Funktionen.
Lemma 3.1.3. Sind f1, . . . , fk+1 ∈ PRn und sind R1, . . . , Rk ⊆ Nn paarweise disjunkte primitiv rekur-sive Relationen, so ist auch die wie folgt definierte Funktion f : Nn → N primitiv rekursiv.
f(a) :=
f1(a), falls R1(a);...
...fk(a), falls Rk(a);fk+1(a), sonst.
54 3. Berechenbarkeit
Beweis. Sei Rk+1 := Nn \ (R1 ∪ · · · ∪Rk). Dann ist
f = λx.f1(x) · 1R1(x) + · · ·+ fk(x) · 1Rk(x) + fk+1(x) · 1Rk+1(x). ut
Der beschrankte µ-Operator macht aus jedem g : Nn+1 → N ein µg : Nn → N, das wie folgt definiertist.
(µg)(a, b) :=
min i | g(i, b) = 0 , falls ∃i<a (g(i, b) = 0);a, sonst.
Wir schreiben auch µi<a (g(i, b) = 0) fur (µg)(a, b) und µi≤a (g(i, b) = 0) fur µi<S(a) (g(i, b) = 0).
Lemma 3.1.4. Mit g : Nn+1 → N ist auch µg primitiv rekursiv.
Beweis. Sei
h(c, b) :=
c, falls g(c, b) = 0 und ∀i<c (g(i, b) 6= 0);0, sonst.
h ist nach den Lemmata 3.1.2 und 3.1.3 primitiv rekursiv, und wir haben
µi<a (g(i, b) = 0) =
∑
i<a h(i, b), falls ∃i<a (g(i, b) = 0);a, sonst.
ut
Beispiele.
ba :=∏
i<a
b,
a! := . . . (Ubung),
a|b :↔ ∃x≤b (b = a · x),
ba/bc := µx≤a (a < b · (x + 1)),
r(a, b) := . . . (Ubung),
Pr(a) :↔ . . . (Ubung),
q(a) := µx≤a!+1.x > a ∧ Pr(x),
pi := µx≤22i(∑
y≤x
1Pr(y) = i + 1)
.
Die Abschatzung pi ≤ 22ifur die i-te Primzahl pi beweist man durch Induktion uber i: Fur i = 0 ist dies
klar, und fur i ≥ 1 erhalt man
pi ≤ p0p1 · · · pi−1 + 1 = 220221
· · · 22i−1+ 1 = 22i−1 + 1 < 22i
.
Man kann die Eindeutigkeit der Darstellung naturlicher Zahlen als Primzahlpotenzprodukt verwenden,um eine endliche Folge a0, a1, . . . , an−1 naturlicher Zahlen durch
a :=∏
i<n
paii
zu kodieren; dies nennt man die Primzahlpotenzkodierung . Die i-te Komponente der durch a kodiertenFolge kann man aus a und i ablesen durch
exp(i, a) := µx≤a (px+1i 6 |a).
Offenbar ist exp und fur jedes feste n die Funktion (a0, . . . , an−1) 7→∏
i<n paii primitiv rekursiv.
Bei der Primzahlpotenzkodierung wird das Zahlenpaar a, b durch die Zahl 2a3b kodiert. Dieses expo-nentielle Wachstum einer Paarkodierungsfunktion ist aber nicht notwendig, denn man kann N× N auchwie folgt abzahlen.
3.1 Primitiv rekursive Funktionen 55
...
10
6 . . .
3 7 . . .1 4 8 . . .0 2 5 9 . . .
An der Stelle (0, b) steht offenbar die Summe der Langen der vorangehenden Diagonalen, und auf dernachsten Diagonalen bleibt a + b konstant. Nennt man die an der Stelle (a, b) eingetragene Zahl π(a, b),so ergibt sich
π(a, b) =(
∑
i≤a+b
i)
+ a =12
(a + b)(a + b + 1) + a.
Offenbar ist π : N × N → N bijektiv. Ferner gilt a, b ≤ π(a, b) und im Fall π(a, b) 6= 0 auch a < π(a, b).Setzt man
π1(c) := µx≤c∃y≤c (π(x, y) = c),
π2(c) := µy≤c∃x≤c (π(x, y) = c),
so folgt unmittelbar πi(c) ≤ c fur i ∈ 1, 2 und
π1(π(a, b)) = a,
π2(π(a, b)) = b,
π(π1(c), π2(c)) = c.
Ferner sind π, π1, π2 aufgrund ihrer Definitionen primitiv rekursiv.Mit Hilfe der Paarfunktion π kann man jetzt leicht (wie etwa in der Programmsprache Lisp oder
Scheme) eine andere Kodierung von endlichen Folgen naturlicher Zahlen definieren. Wir setzen
〈〉 := 0,
〈a0, a1, . . . , an〉 := π(a0, 〈a1, . . . , an〉) + 1.
Offenbar laßt sich dann jede Zahl a eindeutig in der Form a = 〈a0, a1, . . . , an−1〉 darstellen. Aus a lassensich die Bestandteile dieser Darstellung wieder ablesen durch die folgenden Funktionen.
hd(a) := π1(a−· 1) hd steht fur “head”,
tl(a) := π2(a−· 1) tl steht fur “tail”,
τ(a, 0) := a,τ(a, k + 1) := tl(τ(a, k)).
Man beachte, daß fur τ(a, k) 6= 0 gilt τ(a, k + 1) < τ(a, k).
lh(a) := µk≤a(τ(a, k) = 0),
(a)i :=
hd(τ(a, i)), falls i < lh(a);0, sonst.
Es folgt lh(a) ≤ a und (a)i ≤ a; fur i < lh(a) gilt sogar (a)i < a, denn dann ist
(a)i = hd(τ(a, i)) < τ(a, i) ≤ a.
Offenbar sind die Funktionen (a0, . . . , an) 7→ 〈a0, . . . , an〉 fur jedes feste n, sowie hd, tl, τ, lh und (a, i) 7→(a)i primitiv rekursiv. Wir schreiben (a)i,j fur ((a)i)j und (a)i,j,k fur (((a)i)j)k.
56 3. Berechenbarkeit
Lemma 3.1.5.
hd(〈a0, a1, . . . , an〉) = a0,
tl(〈a0, a1, . . . , an〉) = 〈a1, . . . , an〉,τ(〈a0, . . . , ak, . . . , an〉, k) = 〈ak, . . . , an〉,lh(〈a0, . . . , an−1〉) = n,
(〈a0, . . . , an−1〉)i = ai fur i < n. ut
Wir werden beide Kodierungen von endlichen Folgen naturlicher Zahlen nebeneinander verwenden.Ein Vorteil der Primzahlpotenzkodierung liegt darin, daß man die bekannte Produktschreibweise ver-wenden kann. Dies nutzen wir aus in dem folgenden Beweis, daß die Menge der primitiv rekursivenFunktionen abgeschlossen ist gegen Wertverlaufsrekursion. Fur jedes f : Nn+1 → N definieren wir seineWertverlaufsfunktion f durch
f(a, b) :=∏
i<a
pf(i,b)i .
Es folgt, daß mit f auch f primitiv rekursiv ist.
Lemma 3.1.6. (Wertverlaufsrekursion). Mit g ist auch die durch
f(a, b) := g(a, f(a, b), b)
definierte Funktion f primitiv rekursiv.
Beweis. Es gilt
f(0, b) = 1,
f(a + 1, b) = f(a, b) · pg(a,f(a,b),b)a .
Also ist mit g auch f primitiv rekursiv, und deshalb wegen f(a, b) = exp(a, f(a + 1, b)) auch f . ut
Wir zeigen jetzt, daß die Menge der primitiv rekursiven Funktionen auch gegen primitive Rekursionmit Einsetzungen in Parameterstellen abgeschlossen ist; dies wurde zuerst von R. Peter bewiesen (s. et-wa [28]). Zur Vorbereitung beweisen wir ein Lemma uber primitive Rekursion mit Abstieg bezuglicheiner “Maßzahl” h(a, b). Dieses Lemma werden wir spater als Lemma 3.1.10 noch wesentlich verscharfenkonnen.
Lemma 3.1.7. Alle i mit h(i, b) < c seien abschatzbar durch i < h′(c, b). Es gelte
f(0, b) = g1(b),
f(a, b) = g2(a, f(t1(a, b), b), . . . , f(tk(a, b), b), b) falls a > 0,
h(tj(a, b), b) < h(a, b) fur 1 ≤ j ≤ k, falls a > 0.
Dann ist mit g1, g2, t1, . . . , tk, h und h′ auch f primitiv rekursiv.
Beweis. Zur Vereinfachung lassen wir die Parameter b weg. Sei
f(c) :=∏
h(i)<c
pf(i)i .
Dann gilt offenbar f(a) = exp(a, f(h(a) + 1)) und
f(0) = 1,
f(c + 1) = f(c) ·∏
h(i)=c
pf(i)i
= f(c) ·(
∏
0<i<h′(c+1)h(i)=c
pg2(i,exp(t1(i),f(c)),...,exp(tk(i),f(c)))i
)
·
pg10 , falls h(0) = c,
1, sonst.
3.1 Primitiv rekursive Funktionen 57
Sind g1, g2, t1, . . . , tk, h, h′ primitiv rekursiv, so ist offenbar auch f und damit auch f primitiv rekursiv.ut
Satz 3.1.8. (Primitive Rekursion mit Einsetzungen in Parameterstellen). Sei
f(0, b, c) = g1(b, c),
f(a + 1, b, c) = g2(a, f(a, h1(a, b, c), c), . . . , f(a, hk(a, b, c), c), b, c).
Dann ist mit g1, g2, h1, . . . , hk auch f primitiv rekursiv.
Beweis. Zur Vereinfachung lassen wir die Parameter c weg. Sei
h(a, b) :=(
maxi≤a,j≤b1≤`≤k
h`(i, j))
+ b + 1
und
h∗(0, a, b) := b,
h∗(c + 1, a, b) := h(a, h∗(c, a, b)).
Dann sind mit h1, . . . , hk auch h, h∗ primitiv rekursiv. Man beachte hier, daß mit g auch maxi<a g(i, b)primitiv rekursiv ist. Ferner zeigt man leicht durch Induktion uber c
h∗(c + 1, a, b) = h∗(c, a, h(a, b)),
h∗(c, a, b) ≥ max(c, b).
Wir verwenden jetzt Lemma 3.1.7 mit h(π(a, b)) := h∗(a, a, b) (und h(0) := 0). Sei also h(x) < c. Dannfolgt
c > h∗(π1(x), π1(x), π2(x)) ≥ max(π1(x), π2(x)) ≥ πi(x),
alsox = π(π1(x), π2(x)) < π(c, c) =: h′(c).
Sei jetzt
f(π(0, b)) = g1(b),
f(π(a + 1, b)) = g2(a, f(π(a, h1(a, b))), . . . , f(π(a, hk(a, b))), b).
Dann gilt offenbar f(a, b) = f(π(a, b)). Ferner hat man
h(π(a−· 1, h`(a−· 1, b))) < h(π(a, b)) fur 1 ≤ ` ≤ k und a > 0,
denn es gilt
h(π(a−· 1, h`(a−· 1, b))) = h∗(a−· 1, a−· 1, h`(a−· 1, b))
< h∗(a−· 1, a−· 1, h(a−· 1, b))
= h∗(a, a−· 1, b)
≤ h∗(a, a, b)
= h(π(a, b)).
Fur a = 0 und b > 0 kann man tj(π(0, b)) := 0 setzen, denn dann ist h(tj(π(0, b))) = h(0) < h(π(0, b)).Damit ergibt sich die Behauptung aus Lemma 3.1.7. ut
Wir zeigen schließlich noch, daß auch die Wertverlaufsrekursion mit Einsetzungen in Parameterstellennicht aus den primitiv rekursiven Funktionen hinausfuhrt.
58 3. Berechenbarkeit
Korollar 3.1.9. Mit g, h1, . . . , hk ist auch die durch
f(a, b, c) := g(a, f(a, h1(a, b, c), c), . . . , f(a, hk(a, b, c), c), b, c)
definierte Funktion f primitiv rekursiv.
Beweis. Es gilt
f(0, b, c) = 1,
f(a + 1, b, c) = f(a, b, c) · pg(a,f(a,h1(a,b,c),c),...,f(a,hk(a,b,c),c),b,c)a .
Also ist mit g auch f primitiv rekursiv, also wegen f(a, b, c) = exp(a, f(a + 1, b, c)) auch f . ut
Jetzt konnen wir Lemma 3.1.7 wie folgt verscharfen.
Lemma 3.1.10. (Primitive Rekursion nach einer Maßzahl). Es gelte
f(0, b) = g1(b),
f(a, b) = g2(a, f(t1(a, b), b), . . . , f(tk(a, b), b), b) falls a > 0,
h(tj(a, b), b) < h(a, b) fur 1 ≤ j ≤ k, falls a > 0.
Dann ist mit g1, g2, t1, . . . , tk und h auch f primitiv rekursiv.
Beweis. Zur Vereinfachung lassen wir die Parameter b weg. Es gilt f(a) = f∗(h(a), a) mit folgendem f∗:
f∗(c, a) :=
g2(a, f∗(h(t1(a)), t1(a)), . . . , f∗(h(tk(a)), tk(a))), falls c = h(a) und a > 0;g1, sonst.
f∗ ist primitiv rekursiv nach Korollar 3.1.9. ut
3.2 Rekursive Funktionen, rekursiv aufzahlbare Relationen
Aus den primitiv rekursiven Relationen erhalt man durch Projektion die rekursiv aufzahlbaren Relationenund daraus die rekursiven Funktionen als die Menge der Funktionen mit rekursiv aufzahlbaren Graphen.Es wird sich zeigen, daß dieser Begriff einer rekursiven Funktion eine Prazisierung des intuitiven Begriffsder berechenbaren Funktion ist (Churchsche These).
Eine Relation R ⊆ Nn heißt rekursiv aufzahlbar , wenn es eine primitiv rekursive Relation Q ⊆ Nn+1
gibt mitR = (a1, . . . , an) | ∃b (b, a1, . . . , an) ∈ Q .
Insbesondere ist deshalb jede primitiv rekursive Relation rekursiv aufzahlbar.
Lemma 3.2.1. Eine nichtleere Menge M ⊆ N ist rekursiv aufzahlbar genau dann, wenn es ein f ∈ PR1
gibt mit M = ran(f).
Beweis. =⇒. Sei M ⊆ N rekursiv aufzahlbar, also M = c | ∃b (b, c) ∈ Q . Nach Annahme ist M 6= ∅,es gibt also ein a0 ∈ M . Setze
f(a) :=
π2(a), falls (π1(a), π2(a)) ∈ Q;a0, sonst.
Dann ist M = ran(f), und nach Lemma 3.1.3 gilt f ∈ PR1.⇐=. Sei M = ran(f) fur ein f ∈ PR1. Dann ist M = c | ∃b f(b) = c und deshalb rekursiv
aufzahlbar. ut
Unter denselben Annahmen, unter denen wir in Abschnitt 3.1 ∆0-Formeln eingefuhrt hatten, definie-ren wir jetzt induktiv den Begriff einer Σ1-Formel der Sprache PR.
3.2 Rekursive Funktionen, rekursiv aufzahlbare Relationen 59
• Jede PR-Primformel und jede negierte PR-Primformel ist eine Σ1-Formel.• Sind A und B Σ1-Formeln, so auch A ∧B und A ∨B.• Ist A eine Σ1-Formel und t ein PR-Term mit x /∈ vars(t), so ist ∀x<tA eine Σ1-Formel.• Ist A eine Σ1-Formel, so ist ∃xA eine Σ1-Formel.
Offenbar ist jede ∆0-Formel logisch aquivalent zu einer Σ1-Formel und jede rekursiv aufzahlbare Relationdefinierbar durch eine Σ1-Formel. Auch die Umkehrung ist richtig:
Lemma 3.2.2. Ist A eine Σ1-Formel mit FV(A) ⊆ x1, . . . , xn, so ist die Relation
(a1, . . . , an) ∈ Nn | N |= A[a1, . . . , an/x1, . . . , xn]
rekursiv aufzahlbar.
Beweis. Eine Σ1-Formel A heiße strikt , wenn sie von der Form ∃xA mit einer ∆0-Formel A ist. Wirkonstruieren zu jeder Σ1-Formel A eine strikte Σ1-Formel A′ mit FV(A) = FV(A′) und N |= ∀(A ↔ A′),und zwar durch Rekursion uber die Definition der Σ1-Formeln. Daraus folgt offenbar die Behauptung.Ist A eine PR-Primformel oder negierte PR-Primformel, so setze man A′ := ∃z A mit z /∈ FV(A). In denrestlichen Fallen sei A′ = ∃x A und B′ = ∃y B mit ∆0-Formeln A und B. Wir setzen
(A ∨B)′ := ∃z.A[x := z] ∨ B[y := z],
(A ∧B)′ := ∃z.A[x := π1z] ∧ B[y := π2z],
(∀y<t A)′ := ∃z∀y<t ∃x<z A,
(∃y A)′ := ∃z A[x, y := π1z, π2z]
wobei z /∈ FV(A) ∪ FV(B) bzw. z /∈ FV(A) ∪ vars(t). ut
Es folgt, daß die Menge aller rekursiv aufzahlbaren Relationen abgeschlossen ist gegen ∩,∪, beschrank-te Allquantifikation, unbeschrankte Existenzquantifikation (oder Projektion) sowie gegen die Einsetzungvon primitiv rekursiven Funktionen.
Eine Funktion f : Nn → N heißt rekursiv , wenn ihr Graph
Gf := (a1, . . . , an, b) | f(a1, . . . , an) = b
rekursiv aufzahlbar ist. Eine Relation R ⊆ Nn heißt rekursiv , wenn ihre charakteristische Funktion 1Rrekursiv ist. Hieraus ergibt sich, daß jede primitiv rekursive Relation auch rekursiv ist.
Lemma 3.2.3. Eine Relation R ⊆ Nn ist rekursiv genau dann, wenn R und ihr Komplement Nn \ Rrekursiv aufzahlbar sind.
Beweis. =⇒. Sei R rekursiv, also 1R rekursiv, also
G1R = (a, 1) | a ∈ R ∪ (a, 0) | a ∈ Nn \R
rekursiv aufzahlbar. Dann sind R = a | (a, 1) ∈ G1R und Nn \ R = a | (a, 0) ∈ G1R rekursivaufzahlbar nach Lemma 3.2.2.
⇐=. Seien R und Nn \R rekursiv aufzahlbar. Dann gibt es Σ1-Formeln A und A′ mit
R = a | N |= A[a] ,Nn \R = a | N |= A′[a] .
Zu zeigen ist, daß die charakteristische Funktion 1R rekursiv ist, also, daß ihr Graph G1R rekursivaufzahlbar ist. Es gilt
G1R = (a, b) | 1R(a) = b = (a, b) | (a ∈ R und b = 1) oder (a ∈ Nn \R und b = 0) = (a, b) | N |= ((A ∧ y = 1) ∨ (A′ ∧ y = 0))[a, b] .
Damit ist gezeigt, daß G1R durch eine Σ1-Formel definierbar und deshalb rekursiv aufzahlbar ist. ut
60 3. Berechenbarkeit
Korollar 3.2.4. Fur jede rekursive Funktion f ist ihr Graph Gf rekursiv.
Beweis. Sei f : Nn → N rekursiv. Es genugt zu zeigen, daß Nn+1 \Gf rekursiv aufzahlbar ist. Dies folgtaber aus
Nn+1 \Gf = (a, b) | ∃c.c 6= b ∧ (a, c) ∈ Gf . ut
Sei F die kleinste Menge von Funktionen mit den folgenden Eigenschaften. Wir schreiben Fn fur dieTeilmenge der n-stelligen Funktionen in F .
1. 0n ∈ Fn (n ≥ 0), S ∈ F1, Ini ∈ Fn (1 ≤ i ≤ n).
2. Sind g1, . . . , gm ∈ Fn, h ∈ Fm und m ≥ 1, n ≥ 0, so ist (hg1 . . . gm) ∈ Fn.3. Ist g ∈ Fn und h ∈ Fn+2, so ist (Rgh) ∈ Fn+1.4. Ist g ∈ Fn+1 und gibt es zu jedem a ∈ Nn ein i ∈ N mit g(i,a) = 0, so ist die durch
(µg)(a) := min i | g(i, a) = 0
definierte Funktion µg in Fn (unbeschrankter µ-Operator). Wir schreiben meist µi (g(i, a) = 0) fur(µg)(a).
Die Funktionen in F nennen wir auch µ-rekursiv .
Satz 3.2.5. F ist die Menge der rekursiven Funktionen.
Beweis. Wir zeigen zunachst durch Induktion uber die Definition von F , daß jedes f ∈ F rekursiv ist.Dazu konstruieren wir zu jedem f ∈ Fn eine Σ1-Formel Af [x1, . . . , xn, y] so daß f(a) = b genau dann,wenn N |= Af [a, b]. Fur die Ausgangsfunktionen ist dies trivial. Fall f = (hg1 . . . gm).
Af := ∃z1, . . . , zm.m∧∧
i=1Agi [x, zi] ∧Ah[z1, . . . , zm, y].
Fall f = (Rgh).
Af [x, x, y] := ∃z.lh(z) = x + 1 ∧Ag[x, (z)0] ∧ ∀i<xAh[i, (z)i, x, (z)i+1] ∧ y = (z)x.
Fall f = (µg).Af := Ag[y, x, 0] ∧ ∀i<y∃z Ag[i, x, S(z)].
Sei nun umgekehrt f rekursiv, also Gf rekursiv aufzahlbar. Zu zeigen ist f ∈ F . Nach dem Beweisvon Lemma 3.2.2 ist Gf durch eine strikte Σ1-Formel definierbar. Es gibt also eine ∆0-Formel A so daß
Gf = (a, b) | N |= (∃y A)[a, b] .
Nach Lemma 3.1.2 istR := (i, a) | N |= A[a, π1(i), π2(i)]
primitiv rekursiv. Es gibt also eine primitiv rekursive Funktion g mit R = (i,a) | g(i,a) = 0 . NachKonstruktion gilt ∀a∃i (g(i,a) = 0) und f(a) = π1(µi (g(i, a) = 0)). Also ist f ∈ F , da g, π1 ∈ PR ⊆ F .
ut
Wir wollen jetzt noch den Zusammenhang zwischen den Begriffen einer rekursiven bzw. rekursivaufzahlbaren Relation und einer rekursiven Funktion einerseits und den intuitiven Begriffen der Ent-scheidbarkeit und der Aufzahlbarkeit einer Relation und der Berechenbarkeit einer Funktion herstellen.Der Einfachheit halber beschranken wir uns wieder auf Funktionen und Relationen uber den naturlichenZahlen. Zunachst geben wir eine informale Definition der erwahnten intuitiven Begriffe, wobei wir auchpartielle Funktionen zulassen, also Funktionen f : dom(f) → N mit dom(f) ⊆ Nn. Eine Funktion heißttotal , wenn sie auf ganz Nn definiert ist.
Eine Relation R ⊆ Nn heißt entscheidbar , wenn es einen Algorithmus gibt, der fur jedes Argumente-tupel a terminiert und entscheidet, ob a zu R gehort oder nicht. Eine Relation R ⊆ Nn heißt aufzahlbar(oder positiv berechenbar), wenn es einen Algorithmus gibt, der fur jedes Argumentetupel a genau dannterminiert, wenn a zu R gehort. Eine Funktion f : dom(f) → N mit dom(f) ⊆ Nn heißt berechenbar ,wenn es einen Algorithmus gibt, der fur jedes Argumentetupel a folgendes leistet.
3.3 Kodierung der Logik 61
1. Der Algorithmus terminiert auf a genau dann, wenn a ∈ dom(f).2. Fur jedes a ∈ dom(f) liefert der Algorithmus bei Eingabe von a den Wert f(a).
Zunachst notieren wir einige einfache Eigenschaften entscheidbarer und aufzahlbarer Relationen undberechenbarer Funktionen.
Lemma 3.2.6. Eine Funktion f ist berechenbar genau dann, wenn ihr Graph Gf aufzahlbar ist.
Beweis. 1. Sei f berechenbar. Einen Algorithmus, der fur jedes Argumentetupel (a, b) genau dann ter-miniert, wenn (a, b) zu Gf gehort, erhalt man wie folgt. Man berechne f(a) mittels des gegebenenAlgorithmus fur f . Man breche ab genau dann, wenn die Berechnung terminiert und den Wert b ergibt.
2. Sei Gf aufzahlbar. Einen Algorithmus zur Berechnung von f erhalt man wie folgt. Gegeben seiein Argumentetupel a. Man zahle alle Tupel (c, b) in Gf auf. Sobald dabei ein Tupel (c, b) mit c = aauftaucht, breche man ab und gebe b aus. ut
Lemma 3.2.7. Eine Relation R ⊆ Nn ist entscheidbar genau dann, wenn sowohl sie selbst als auch ihrKomplement Nn \R aufzahlbar sind.
Beweis. Ubungsaufgabe. ut
Das folgende Lemma gibt einige einfache Charakterisierungen des Begriffs der Aufzahlbarkeit.
Lemma 3.2.8. Fur Relationen R ⊆ Nn sind folgende Bedingungen aquivalent.
1. R ist aufzahlbar.2. R ist Definitionsbereich einer berechenbaren Funktion.3. R ist Projektion einer entscheidbaren Relation Q ⊆ Nn+1.
Beweis. Ubungsaufgabe. ut
Satz 3.2.9. (Churchsche These).
1. Eine Relation R ⊆ Nn ist entscheidbar genau dann, wenn sie rekursiv ist.2. Eine Relation R ⊆ Nn ist aufzahlbar (oder positiv berechenbar) genau dann, wenn sie rekursiv aufzahl-
bar ist.3. Eine totale Funktion f : Nn → N ist berechenbar genau dann, wenn sie rekursiv ist.
Die Churchsche These kann man aus prinzipiellen Grunden nicht mathematisch beweisen, da sieBegriffe verwendet, die nur intuitiv, aber nicht mathematisch prazise erklart sind. Es besteht jedochallgemeine Ubereinstimmung daruber, daß die Churchsche These zutrifft. Diese Ubereinstimmung beruhtim wesentlichen auf Erfahrung: es ist keine im intuitiven Sinn berechenbare totale Funktion bekannt, dienicht rekursiv ware.
3.3 Kodierung der Logik
In diesem Abschnitt wollen wir zur Vorbereitung unserer metamathematischen Studien die wesentlichenBegriffe der Syntax innerhalb der naturlichen Zahlen kodieren. Der Grund dafur ist, daß wir spater imRahmen einer formalen Theorie der Arithmetik uber Beweise in einem formalen System sprechen wollen.
Wir hatten bisher der Einfachheit halber Formeln identifiziert, die sich nur durch gebundene Umbe-nennung unterscheiden. Diese Vorgehensweise ist fur die Kodierung der Logik nicht mehr geeignet. Wirbeginnen deshalb mit einer Rekapitulation des Begriffs der Substitution, wobei wir jetzt die konkretenVariablennamen berucksichtigen.
Eine Substitution ϑ ist eine endliche Menge der Form
ϑ = t1/x1, . . . , tn/xn,
so daß ti 6= xi fur i = 1, . . . , n und x1, . . . , xn paarweise verschieden sind. Ein Element ti/xi von ϑ wirdals Bindung (von xi an ti) bezeichnet.
62 3. Berechenbarkeit
Ist r ein Term und ϑ die Substitution t1/x1, . . . , tn/xn, so verstehen wir unter rϑ den Term, denwir erhalten, indem wir in r simultan jedes Vorkommen von xi durch ti ersetzen (i = 1, . . . , n). Wir sagendann, daß ϑ auf r angewandt wurde und nennen rϑ die von ϑ induzierte Instanz von r.
Ist ϑ eine Substitution t1/x1, . . . , tn/xn, so bezeichnen wir
dom(ϑ) := x1, . . . , xn
als den Bereich von ϑ undranv(ϑ) := vars(t1) ∪ . . . ∪ vars(tn)
als die Wertevariablen von ϑ. (Wir schreiben nicht “ran” als Abkurzung, da dies zu Verwechslungen mitdem ublichen Wertebereich einer Funktion fuhren konnte). ϑ heißt Grundsubstitution, falls t1, . . . , tnnur aus geschlossenen Termen besteht; ϑ heißt Variablensubstitution, falls t1, . . . , tn nur aus Variablenbesteht. Ist ϑ = ∅, so sprechen wir von der leeren Substitution, die wir mit ε bezeichnen.
Zum Beispiel fur r = f(x, y, g(a)) und ϑ = b/x, x/y mit Konstanten a, b ist rϑ = f(b, x, g(a)).Sind r, t Terme und ist ϑ = t/x eine Substitution, so bezeichnen wir den Term rϑ auch mit r[x := t].
Ferner setzen wir r[x := x] := r (um spater Fallunterscheidungen zu vermeiden).Gegeben seien jetzt die Substitutionen
ϑ = s1/x1, . . . , sm/xm,σ = t1/y1, . . . , tn/yn.
Dann ist die Komposition ϑσ von ϑ und σ die Substitution, die wir erhalten, indem wir aus der Menge
s1σ/x1, . . . , smσ/xm, t1/y1, . . . , tn/yn
alle Bindungen siσ/xi streichen, fur die siσ = xi ist, sowie alle Bindungen tj/yj , fur die yj ∈ x1, . . . , xm.
Lemma 3.3.1. Fur Substitutionen ϑ, σ, τ gilt
1. ϑ = σ ⇐⇒ rϑ = rσ fur alle Terme r.2. ϑ = σ ⇐⇒ xϑ = xσ fur alle Variablen x.3. ϑε = εϑ = ϑ.4. (rϑ)σ = r(ϑσ) fur alle Terme r.5. ϑ(στ) = (ϑσ)τ .
Beweis. (1)–(3) sind klar; (5) folgt unmittelbar aus (1) und (4). Wir zeigen nun (4). Sei also
ϑ = s1/x1, . . . , sm/xm und σ = t1/y1, . . . , tn/yn.
Ist r eine Variable x, so unterscheiden wir drei Falle:Fall x /∈ x1, . . . , xm ∪ y1, . . . , yn. Dann ist (xϑ)σ = xσ = x = x(ϑσ).Fall x ∈ x1, . . . , xm, x = xi. Dann ist (xϑ)σ = siσ = x(ϑσ).Fall x ∈ y1, . . . , yn \ x1, . . . , xm, x = yj . Dann ist (xϑ)σ = xσ = tj = x(ϑσ).Daraus folgt nun die Behauptung fur beliebige Terme r durch eine triviale Induktion nach dem
Termaufbau. ut
Anmerkung. Aufgrund von (4) und (5) schreibt man statt (rϑ)σ oder r(ϑσ) kurz rϑσ; ebenso schreibtman statt ϑ(στ) oder (ϑσ)τ kurz ϑστ .
Man kann leicht Beispiele einer Formel A und einer Substitution der Form ϑ = t1/x1, . . . , tn/xnfinden, so daß bei der simultanen Ersetzung jedes freien Vorkommens von xi durch ti in A eine Variable austi in den Bindungsbereich eines Quantors in A gerat. Um diese unerwunschte Erscheinung zu vermeiden,mussen wir gegebenenfalls einige gebundene Variablen in A umbenennen. Wir definieren deshalb zunachstdie Menge BV(A) der in A gebundenen Variablen.
BV(R(t1, . . . , tn)) := ∅.BV(A ∧B) := BV(A) ∪ BV(B).
BV(A → B) := BV(A) ∪ BV(B).
BV(∀xA) := BV(A) ∪ x.
3.3 Kodierung der Logik 63
Wir definieren jetzt Aϑ wie folgt durch Induktion uber A.
R(t1, . . . , tn)ϑ := R(t1ϑ, . . . , tnϑ).
(A ∧B)ϑ := Aϑ ∧Bϑ.
(A → B)ϑ := Aϑ → Bϑ.
Im Fall ∀xA bildet man zunachst σ := ϑFV(∀xA) und setzt dann
(∀xA)ϑ :=
∀xAσ, falls x /∈ ranv(σ)∀yA(y/xσ), falls x ∈ ranv(σ),
wobei y eine “neue” Variable ist, etwa die erste Variable echt oberhalb aller Variablen in ranv(σ) ∪FV(A)∪BV(A). Man beachte, daß unter den angegebenen Voraussetzungen y/xσ = y/x∪σ ist. DieseDefinition zeichnet sich dadurch aus, daß nur die unbedingt notwendigen Umbenennungen vorgenommenwerden. – Ist ϑ = t/x, so bezeichnen wir die Formel Aϑ auch mit A[x := t].
Wir beweisen jetzt einige einfache Eigenschaften von Substitutionen.
Lemma 3.3.2. 1. Gilt xϑ = xσ fur alle x ∈ vars(t), so ist tϑ = tσ.2. Gilt xϑ = xσ fur alle x ∈ FV(A), so ist Aϑ = Aσ.
Beweis. (1) ist klar. (2) beweisen wir durch Induktion uber A. Wir behandeln nur den Fall ∀xA. Seiϑ′ := ϑFV(∀xA), σ′ := σFV(∀xA). Nach Voraussetzung ist ϑ′ = σ′. Da (∀xA)τ nur von x, A undτFV(∀xA) abhangt, folgt (∀xA)ϑ = (∀xA)σ. ut
Lemma 3.3.3. 1. vars(tϑ) ⊆ [vars(t) \ dom(ϑ)] ∪ ranv(ϑ); ist dom(ϑ) ⊆ vars(t), so gilt =.2. FV(Aϑ) ⊆ [FV(A) \ dom(ϑ)] ∪ ranv(ϑ); ist dom(ϑ) ⊆ FV(A), so gilt =.
Beweis. (1) ist klar. (2) beweisen wir durch Induktion uber A. Wir behandeln nur den Fall ∀xA. Seiσ := ϑFV(∀xA).
Unterfall x /∈ ranv(σ). Dann hatten wir definiert (∀xA)ϑ = ∀xAσ. Man erhalt
FV(∀xA)ϑ = FV(∀xAσ)
= FV(Aσ) \ x= ([FV(A) \ dom(σ)] ∪ ranv(σ)) \ x nach IH
= [(FV(A) \ x) \ dom(σ)] ∪ ranv(σ) wegen x /∈ ranv(σ)⊆ [FV(∀xA) \ dom(ϑ)] ∪ ranv(ϑ)
Im Fall dom(ϑ) ⊆ FV(∀xA) ist ϑ = σ und nach IH das ⊆ ein =.Unterfall x ∈ ranv(σ). Dann hatten wir definiert (∀xA)ϑ = ∀xA(y/xσ) mit y /∈ ranv(σ) ∪ FV(A) ∪
BV(A). Man erhalt
FV(∀xA)ϑ = FV(∀yA(y/xσ))
= FV(A(y/xσ)) \ y⊆
(
[FV(A) \ (x ∪ dom(σ))] ∪ y ∪ ranv(σ))
\ y nach IH
= [(FV(A) \ x) \ dom(σ)] ∪ ranv(σ) wegen y /∈ ranv(σ) ∪ FV(A)
⊆ [FV(∀xA) \ dom(ϑ)] ∪ ranv(ϑ).
Im Fall dom(ϑ) ⊆ FV(∀xA) ist wieder ϑ = σ und deshalb das zweite ⊆ ein =. Auch das erste ⊆ ist ein=, denn im Fall x ∈ FV(A) liefert die IH das =, und im Fall x /∈ FV(A) hat man
FV(A(y/xσ)) \ y = FV(Aσ) \ y nach Lemma 3.3.3(2)
=(
[FV(A) \ dom(σ)] ∪ ranv(σ))
\ y nach IH
= [FV(A) \ dom(σ)] ∪ ranv(σ) da y /∈ ranv(σ) ∪ FV(A)
= [FV(∀xA) \ dom(σ)] ∪ ranv(σ). ut
64 3. Berechenbarkeit
Kodierung
Gegeben sei eine abzahlbare Sprache L erster Stufe. In injektiver Weise sei jedem R ∈ Rel(n)L eine Sym-
bolnummer SN(R) von der Form 〈1, n, i〉 und jedem f ∈ Fun(n)L eine Symbolnummer SN(f) von der Form
〈2, n, j〉 zugeordnet. Wir nennen L primitiv rekursiv prasentiert , wenn
SymbL :=⋃
n∈NSN(R) | R ∈ Rel(n)
L ∪⋃
n∈N SN(f) | f ∈ Fun(n)
L
primitiv rekursiv ist. Insbesondere ist also jede Sprache mit endlich vielen Relations- und Funktionssym-bolen primitiv rekursiv prasentiert. Fur jede im folgenden betrachtete Sprache L nehmen wir an, daß sieprimitiv rekursiv prasentiert ist.
Ferner sei SN(∧) := 〈3, 1〉, SN(→) := 〈3, 2〉 und SN(∀) := 〈3, 3〉. Schließlich ordnen wir der i-tenVariablen ∗i die Symbolnummer SN(∗i) := 〈0, i〉 zu.
Fur jeden L-Term t definieren wir rekursiv seine Kodenummer (oder Godelnummer) ptq durch
pxq := 〈SN(x)〉,pcq := 〈SN(c)〉,pft1 . . . tnq := 〈SN(f), pt1q, . . . , ptnq〉.
Ebenso definieren wir rekursiv fur jede L-Formel A ihre Kodenummer pAq durch
pRt1 . . . tnq := 〈SN(R), pt1q, . . . , ptnq〉,pA ∧Bq := 〈SN(∧), pAq, pBq〉,pA → Bq := 〈SN(→), pAq, pBq〉,p∀xAq := 〈SN(∀), pxq, pAq〉.
Sei Var := set〈〈0, i〉〉i ∈ N. Var ist offenbar primitiv rekursiv, und es gilt a ∈ Var genau dann, wenna = pxq fur eine Variable x. Ferner definieren wir Ter ⊆ N wie folgt durch Wertverlaufsrekursion.
a ∈ Ter :↔ a ∈ Var ∨ ((a)0 ∈ SymbL ∧ (a)0,0 = 2 ∧ lh(a) = (a)0,1 + 1 ∧ ∀i0<i<lh(a) (a)i ∈ Ter).
Also ist Ter primitiv rekursiv, und es gilt a ∈ Ter genau dann, wenn a = ptq fur einen Term t. Weiter seiFor ⊆ N definiert durch
a ∈ For :↔((a)0 ∈ SymbL ∧ (a)0,0 = 1 ∧ lh(a) = (a)0,1 + 1 ∧ ∀i0<i<lh(a) (a)i ∈ Ter)
∨ (a = 〈SN(∧), (a)1, (a)2〉 ∧ (a)1 ∈ For ∧ (a)2 ∈ For)
∨ (a = 〈SN(→), (a)1, (a)2〉 ∧ (a)1 ∈ For ∧ (a)2 ∈ For)
∨ (a = 〈SN(∀), (a)1, (a)2〉 ∧ (a)1 ∈ Var ∧ (a)2 ∈ For).
Wieder ist For primitiv rekursiv, und es gilt a ∈ For genau dann, wenn a = pAq fur eine Formel A. Fureine Menge S von Formeln setzen wir pSq := pAq | A ∈ S . Sei weiter vars ⊆ N× N definiert durch
vars(n, a) :↔ (a ∈ Var ∧ n = a) ∨ ((a)0 ∈ SymbL ∧ ∃i0<i<lh(a) vars(n, (a)i)).
vars ist primitiv rekursiv, und es gilt vars(pxq, ptq) genau dann, wenn x ∈ vars(t). Entsprechend definierenwir
FV(n, a) :↔((a)0 ∈ SymbL ∧ ∃i0<i<lh(a) vars(n, (a)i))
∨ ((a)0 = SN(∧) ∧ (FV(n, (a)1) ∨ FV(n, (a)2)))
∨ ((a)0 = SN(→) ∧ (FV(n, (a)1) ∨ FV(n, (a)2)))
∨ ((a)0 = SN(∀) ∧ n 6= (a)1 ∧ FV(n, (a)2)).
Dann ist FV primitiv rekursiv, und es gilt FV(pxq, pAq) genau dann, wenn x ∈ FV(A).Eine Substitution t1/x1, . . . , tn/xn kann man kodieren durch die Zahl
3.3 Kodierung der Logik 65
〈〈px1q, pt1q〉, . . . , 〈pxnq, ptnq〉〉
und naturlich auch durch viele andere Zahlen, da es auf die Reihenfolge der 〈pxiq, ptiq〉 nicht ankommt.Wir verwenden pϑq zur Mitteilung einer solchen Kodenummer der Substitution ϑ. Mit substval(a, 0) := aund im Fall ` > 0
substval(a, `) :=
(`)0,1, falls a = (`)0,0;substval(a, tl(`)), sonst
ist offenbar substval primitiv rekursiv und es gilt substval(pxq, pϑq) = pxϑq. Weiter sei restrict(0, a) := 0und im Fall ` > 0
restrict(`, a) :=
〈(`)0〉 ∗ restrict(tl(`), a), falls FV((`)0,0, a);restrict(tl(`), a), sonst.
Dann ist restrict primitiv rekursiv und restrict(pϑq, pAq) kodiert ϑFV(A). Ranv(n, `) definieren wir durchRekursion uber n; aus der Definition ergibt sich unmittelbar, daß Ranv primitiv rekursiv ist. Ranv(n, 0)sei falsch und im Fall ` > 0 setzen wir
Ranv(n, `) :↔ vars(n, (`)0,1) ∨ Ranv(n, tl(`)).
Es gilt Ranv(pxq, pϑq) ↔ x ∈ ranv(ϑ).Zur Definition von Aϑ benotigen wir im ∀-Fall gegebenenfalls eine neue Variable. Dafur definieren wir
newvar(0) beliebig und fur a > 0
newvar(a) :=
〈〈0, (a)0,1 + 1〉〉, falls a ∈ Var;〈〈0, max0<i<lh(a)(newvar((a)i))0,1〉〉, falls (a)0 ∈ SymbL;〈〈0, max((newvar((a)1))0,1, (newvar((a)2))0,1)〉〉, falls (a)0 ∈ SN(∧),SN(→);〈〈0, max((a)1,0,1 + 1, (newvar((a)2))0,1)〉〉, falls (a)0 = SN(∀).
Dann ist newvar primitiv rekursiv, und newvar(ptq) ist pyq fur die kleinste Variable echt oberhalb allerVariablen in vars(t), und newvar(pAq) ist pyq fur die kleinste Variable echt oberhalb aller Variablen inFV(A) ∪ BV(A). Weiter sei newranv(0) := 〈〈0, 0〉〉 und fur ` > 0
newranv(`) := max(newvar((`)0,1), newranv(tl(`))).
Dann ist newranv primitiv rekursiv, und newranv(pϑq) ist die kleinste Variable echt oberhalb aller Wer-tevariablen von ϑ.
Wir definieren sub(a, `) wie folgt durch Rekursion uber a. Im Fall a ∈ Var sei
sub(a, `) := substval(a, `).
Im Fall (a)0 = SN(∀) sei k := restrict(`, a) und
sub(a, `) :=
〈SN(∀), (a)1, sub((a)2, k)〉, falls ¬Ranv((a)1, k);〈SN(∀), b, sub((a)2, 〈〈(a)1, b〉〉 ∗ k))〉, falls Ranv((a)1, k),
wobei b := max(newranv(k), newvar((a)2)). Sonst sei
sub(a, `) := 〈(a)0, sub((a)1, `), . . . , sub((a)lh(a)−1, `)〉.
Lemma 3.3.4. 1. sub(ptq, pϑq) = ptϑq.2. sub(pAq, pϑq) = pAϑq.3. Die Funktion sub ist primitiv rekursiv.
Beweis. 1. Induktion uber t. 2. Induktion uber A. Im Fall ∀xA beachte man, daß in der obigen Definitionvon (∀xA)ϑ die Komposition y/xσ keine Streichung von Bindungen erfordert.
3. Es gilt sub(a, `) = g(a, sub(a, `), sub(a, restrict(`, a)), sub(a, h1(a, `)), `) mit
66 3. Berechenbarkeit
b(a, `) := max(newranv(restrict(`, a)), newvar((a)2)),
h1(a, `) := 〈〈(a)1, b(a, `)〉〉 ∗ restrict(`, a).
Hierbei ist
g(a, d0, d1, d2, `)
:=
substval(a, `), falls a ∈ Var;〈SN(∀), (a)1, exp((a)2, d1)〉, falls (a)0 = SN(∀) und ¬Ranv((a)1, restrict(`, a));〈SN(∀), b(a, `), exp((a)2, d2)〉, falls (a)0 = SN(∀) und Ranv((a)1, restrict(`, a));h(a, d0, lh(a)−· 1), sonst.
Ferner ist h primitiv rekursiv definiert durch
h(a, d, 0) := 〈(a)0〉,h(a, d, n + 1) := h(a, d, n) ∗ 〈exp((a)n+1, d)〉. ut
In der bisherigen Darstellung von naturlichen Herleitungen findet man die an einem Knoten freienAnnahmen, indem man den daruberliegenden Teil des Baums durchmustert. Mit mehr Schreibaufwandverbunden, aber hier und in anderen theoretischen Uberlegungen manchmal nutzlich ist eine alternativeDarstellung, in der man an jedem Knoten noch die dort freien Annahmen hinzuschreibt. Dies hatten wirbereits in unserer “Sequenzenformulierung des naturlichen Schließens” in Abschnitt 1.2 getan. Fur dengegenwartigen Zweck der Kodierung von Herleitungen ist es bequem, diese Darstellung von Herleitungennoch einmal leicht abzuandern und die Annahmeformeln in der Form einer Multimenge mitzufuhren.
Unter einer Sequenz Γ ⇒ A verstehen wir ein Paar aus einer Multimenge Γ = A1, . . . , An vonFormeln und einer Formel A. Wir definieren `m Γ ⇒ A induktiv durch die folgenden Regeln. EineAnnahme kann man einfuhren durch
Γ ⇒ A, falls A in Γ .
Fur die Konjuktion ∧ haben wir eine Einfuhrungsregel ∧I und zwei Beseitigungsregeln ∧El und ∧Er.
Γ ⇒ A ∆ ⇒ BΓ, ∆ ⇒ A ∧B
∧IΓ ⇒ A ∧B
Γ ⇒ A∧Er
Γ ⇒ A ∧BΓ ⇒ B
∧El
Γ, ∆ bezeichnet hier die Multimengenvereinigung. Fur die Implikation → gibt es eine Einfuhrungsregel→I (hier ohne Erwahnung einer Annahmevariablen u) und eine Beseitigungsregel →E.
Γ ⇒ B∆ ⇒ A → B
→IΓ ⇒ A → B ∆ ⇒ A
Γ, ∆ ⇒ B→E
Dabei soll in →I die Multimenge ∆ aus Γ durch Streichen einiger Vorkommen von A entstehen. Fur denAllquantor ∀ gibt es eine Einfuhrungsregel ∀I und eine Beseitigungsregel ∀E, die wir hier ohne den zusubstituierenden Term t als rechte Pramisse formulieren.
Γ ⇒ AΓ ⇒ ∀xA
∀IΓ ⇒ ∀xA
Γ ⇒ A[x := t]∀E
In ∀I muß wieder die Variablenbedingung erfullt sein: fur alle B in Γ muß gelten x /∈ FV(B).
Anmerkung. In Kapitel 2 hatten wir die Schreibweise MB [uA11 , . . . , uAn
n ] vereinbart um mitzuteilen, daßdie freien Annahmen von MB in der Liste uA1
1 , . . . , uAnn enthalten sind. Hierbei war selbstverstandlich
angenommen, daß im Fall ui = uj auch die Formelindizes Ai und Aj gleich sind. Es ist fur das folgendebequem, auch zuzulassen, daß in uA1
1 , . . . , uAnn ein uAi
i mehrmals vorkommt.
Lemma 3.3.5. 1. Wenn `m A1, . . . , An ⇒ A, so gibt es fur alle (nicht notwendig verschiedenen)u1, . . . , un mit ui = uj → Ai = Aj einen Herleitungsterm MA[uA1
1 , . . . , uAnn ].
3.3 Kodierung der Logik 67
2. Zu jedem Herleitungsterm MA[uA11 , . . . , uAn
n ] kann man Vielfachheiten k1, . . . , kn ≥ 0 angeben so daß`m Ak1
1 , . . . , Aknn ⇒ A; hierbei bedeutet Ak ein k-faches Vorkommen von A.
Beweis. 1. Gelte `m A1, . . . , An ⇒ A. Wir fuhren den Beweis durch Induktion uber `m. Fall Annah-meaxiom. Sei etwa A = Ai. Wahle M = ui.
Fall →I. OBdA hat man
A1, . . . , An, A, . . . , A ⇒ BA1, . . . , An ⇒ A → B
→I.
Seien u1, . . . , un gegeben mit ui = uj → Ai = Aj . Man wahle ein neues u. Nach IH existiert ein MB mitFA(MB) ⊆ uA1
1 , . . . , uAnn , uA. Dann ist (λuA MB)A→B ein Herleitungsterm mit freien Annahmen unter
uA11 , . . . , uAn
n .Fall →E. Gegeben sind Herleitungen von
A1, . . . , An ⇒ A → B und An+1, . . . , An+m ⇒ A.
Seien u1, . . . , un+m gegeben mit ui = uj → Ai = Aj . Nach IH haben wir Herleitungsterme
MA→B [uA11 , . . . , uAn
n ] und NA[uAn+1n+1 , . . . , uAn+m
n+m ].
Dann ist aber auch(MN)B [uA1
1 , . . . , uAn+mn+m ]
ein Herleitungsterm.Die restlichen Falle behandelt man ahnlich.2. Gegeben sei ein Herleitungsterm MA[uA1
1 , . . . , uAnn ]. Wir fuhren den Beweis durch Induktion uber
M . Fall uA. Dann ist `m A ⇒ A.Fall →I, also (λuAMB)A→B . Sei FA(MB) ⊆ uA1
1 , . . . , uAnn , uA mit u1, . . . , un, u verschieden. Nach
IH hat man`m Ak1
1 , . . . , Aknn , Ak ⇒ B.
Mit der Regel →I folgt`m Ak1
1 , . . . , Aknn ⇒ A → B.
Fall →E. Gegeben ist (MA→BNA)B [uA11 , . . . , uAn
n ]. Nach IH hat man
`m Ak11 , . . . , Akn
n ⇒ A → B und `m A`11 , . . . , A`n
n ⇒ A.
Mit der Regel →E folgtAk1+`1
1 , . . . , Akn+`nn ⇒ B.
Die restlichen Falle behandelt man ahnlich. ut
Die Multimenge A1, . . . , An kann man durch 〈pA1q, . . . , pAnq〉 kodieren. Wie bei Substitutionenhat auch hier dieselbe Multimenge i.a. mehrere Kodenummern. Wir verwenden pΓq zur Mitteilung einerKodenummer der Multimenge Γ . Die Verkettungsfunktion ∗ entspricht offenbar der Multimengenverei-nigung. Zur Behandlung der →I-Regel benotigen wir noch die wie folgt definierten Funktionen msm (fur“multisetminus’‘) und msrm (fur “multisetremove”). Es sei msrm(0, b) := 0, und fur a > 0 setzen wir
msrm(a, b) :=
tl(a), falls hd(a) = b;〈hd(a)〉 ∗msrm(tl(a), b), sonst.
Dann kodiert offenbar msrm(pΓq, pAq) diejenige Multimenge, die aus Γ durch Entfernen eines Vorkom-mens von A entsteht, falls A in Γ vorkommt, und Γ sonst.
Weiter sei msm(a, 0) := a, und fur b > 0 sei msm(a, b) := msrm(msm(a, tl(b)), hd(b)). msm(pΓq, p∆q)kodiert dann die Multimenge, die aus Γ durch Entfernen aller Elemente aus ∆ entsteht. Ferner sei dieRelation mseq(a, b) definiert durch msm(a, b) = 0 ∧ msm(b, a) = 0. Offenbar gilt dann mseq(pΓq, p∆q)genau dann, wenn Γ und ∆ als Multimengen gleich sind. Wir schreiben kurz a =m b fur mseq(a, b).
68 3. Berechenbarkeit
Eine Sequenz Γ ⇒ A kodieren wir durch 〈pΓq, pAq〉. Solche Kodifikate bezeichnen wir mit pΓ ⇒ Aq.Eine Herleitung fur die induktive Definition von `m kodieren wir durch 〈pΓ0 ⇒ A0q, . . . , pΓn ⇒ Anq〉.
Wir definieren jetzt
Herl(d) :↔ ∀i<lh(d).
(∀m<lh((d)i,0) For((d)i,0,m) ∧ ∃n<lh((d)i,0) ((d)i,1 = (d)i,0,n)) (Ann)
∨ (∃j, k<i.(d)i,1 = 〈SN(∧), (d)j,1, (d)k,1〉 ∧ (d)i,0 =m (d)j,0 ∗ (d)k,0) (∧I)
∨ (∃j<i.(d)j,1 = 〈SN(∧), (d)i,1, (d)j,1,2〉 ∧ (d)i,0 =m (d)j,0) (∧Er)
∨ (∃j<i.(d)j,1 = 〈SN(∧), (d)j,1,1, (d)i,1〉 ∧ (d)i,0 =m (d)j,0) (∧El)
∨ (∃j<i.(d)i,1 = 〈SN(→), (d)i,1,1, (d)j,1〉 ∧ For((d)i,1,1) (→I)
∧msm((d)i,0, (d)j,0) = 0
∧ ∀n<lh(msm((d)j,0, (d)i,0)) ((msm((d)j,0, (d)i,0))n = (d)i,1,1))
∨ (∃j, k<i.(d)j,1 = 〈SN(→), (d)k,1, (d)i,1〉 ∧ (d)i,0 =m (d)j,0 ∗ (d)k,0) (→E)
∨ (∃j<i.(d)i,1 = 〈SN(∀), (d)i,1,1, (d)j,1〉 ∧ Var((d)i,1,1) ∧ (d)i,0 =m (d)j,0 (∀I)
∧ ∀n<lh((d)i,0)¬FV((d)i,1,1, (d)i,0,n))
∨ (∃j<i.(d)j,1,0 = SN(∀) ∧ (d)i,0 =m (d)j,0 (∀E)
∧ ((d)i,1 = (d)j,1,2 ∨ ∃n<(d)i,1.Ter(n) ∧ (d)i,1 = sub((d)j,1,2, 〈〈(d)j,1,1, n〉〉))).
Lemma 3.3.6. 1. Herl(d) gilt genau dann, wenn d eine Herleitung kodiert.2. Herl ist primitiv rekursiv.
Beweis. 1. =⇒. Gelte Herl(d). Man sieht dann leicht durch Induktion uber i, daß fur jedes i < lh(d) gilt(d)i,0 = pΓq und (d)i,1 = pAq mit `m Γ ⇒ A.
⇐=. d kodiere eine Herleitung, etwa d = 〈pΓ0 ⇒ A0q, . . . , pΓn ⇒ Anq〉. Durch Induktion uber n undFallunterscheidung nach der zuletzt angewandten Regel zeigt man leicht, daß dann Herl(d) gilt.
2. Die primitive Rekursivitat von Herl folgt unmittelbar aus der Definition. ut
Eine Menge S von Formeln heißt rekursiv (primitiv rekursiv , rekursiv aufzahlbar), wenn pSq := pAq |A ∈ S rekursiv (primitiv rekursiv, rekursiv aufzahlbar) ist. Um auch die klassische Logik behandeln zukonnen, zeigen wir jetzt, daß die Menge StabaxL primitiv rekursiv ist, also die Menge der Formeln
∀x1, . . . , xn.¬¬Rx1 . . . xn → Rx1 . . . xn.
mit R ∈ Rel(n)L . Offenbar konnen wir hier annehmen, daß x1, . . . , xn die ersten n Variablen ∗0, . . . , ∗n−1
sind. Wir definieren deshalb zunachst
app(a, 0) := 〈a〉,app(a, n + 1) := app(a, n) ∗ 〈〈〈0, n〉〉〉.
Dann ist app primitiv rekursiv und wir haben app(SN(R), n) = pR∗0 . . . ∗n−1q und auch app(SN(f), n) =pf∗0 . . . ∗n−1q. Weiter definieren wir
gen(0, a) := a,
gen(n + 1, a) := gen(n, 〈SN(∀), 〈〈0, n〉〉, a〉).
Dann ist gen primitiv rekursiv und es gilt gen(n, pAq) = p∀ ∗0 . . . ∀ ∗n−1 Aq. Setzt man noch a → b :=〈SN(→), a, b〉 und ¬a := a → p⊥q, so gilt
pStabaxLq(a) ↔ ∃k<a.SymbL(k) ∧ (k)0 = 1 ∧ a = gen((k)1, ¬¬app(k, (k)1) → app(k, (k)1)).
Offenbar ist pStabaxLq primitiv rekursiv.Weiter zeigen wir, daß auch die Menge EqL der L-Gleichheitsaxiome primitiv rekursiv ist; hierbei
setzen wir naturlich voraus, daß unsere primitiv rekursiv prasentierte Sprache L das Gleichheitssymbol= enthalt. Zum Beweis konstruiert man primitiv rekursive Hilfsfunktionen appg, appu und h mit
3.3 Kodierung der Logik 69
appg(SN(R), n) = pR∗0∗2∗4 . . . ∗2n−2q, appg(SN(f), n) = pf∗0∗2∗4 . . . ∗2n−2q,
appu(SN(R), n) = pR∗1∗3∗5 . . . ∗2n−1q, appu(SN(f), n) = pf∗1∗3∗5 . . . ∗2n−1q,
h(n) = p∗0 = ∗1 ∧ ∗2 = ∗3 ∧ · · · ∧ ∗2n−2 = ∗2n−1q.
Setzt man noch a = b := 〈SN(=), a, b〉 und a ∧ b := 〈SN(∧), a, b〉, so gilt
a ∈ pEqLq ↔a = p∀∗0 (∗0 = ∗0)q
∨ a = p∀∗0, ∗1.∗0 = ∗1 → ∗1 = ∗0q∨ a = p∀∗0, ∗1, ∗2.∗0 = ∗1 ∧ ∗1 = ∗2 → ∗0 = ∗2q∨ ∃k, n<a.SymbL(k) ∧ (k)0 = 1 ∧ (k)1 = n > 0
∧ a = gen(2n, h(n) ∧ appg(k, n) → appu(k, n))
∨ ∃k, n<a.SymbL(k) ∧ (k)0 = 2 ∧ (k)1 = n > 0∧ a = gen(2n, h(n) → appg(k, n) = appu(k, n)).
Offenbar ist pEqLq primitiv rekursiv.Sei jetzt L eine primitiv rekursiv prasentierte Sprache mit = in L. Eine Theorie T mit L(T ) ⊆ L heißt
(primitiv) rekursiv axiomatisierbar , wenn es eine (primitiv) rekursive Menge S geschlossener L-Formelngibt so daß T = A ∈ L | S ∪ EqL `c A .
Satz 3.3.7. Fur Theorien T mit L(T ) ⊆ L sind die folgenden Aussagen aquivalent.
1. T ist rekursiv axiomatisierbar.2. T ist primitiv rekursiv axiomatisierbar.3. T ist rekursiv aufzahlbar.
Beweis. (3) =⇒ (2). Sei pTq rekursiv aufzahlbar. Nach Lemma 3.2.1 existiert dann ein f ∈ PR1 mitpTq = ran(f). Sei f(n) = pAnq. Wir definieren ein primitiv rekursives g mit g(n) = pA0∧· · ·∧Anq durch
g(0) := f(0),
g(n + 1) := g(n) ∧ f(n + 1).
Fur S := A0 ∧ · · · ∧ An | n ∈ N ist pSq = ran(g), und diese Menge ist primitiv rekursiv wegena ∈ ran(g) ↔ ∃n<a (a = g(n)). T ist also primitiv rekursiv axiomatisierbar, denn offenbar gilt T = A ∈L | S ∪ EqL `c A .
(2) =⇒ (1) ist klar.(1) =⇒ (3). Sei T axiomatisiert durch S mit pSq rekursiv. Dann gilt
a ∈ pTq ↔ ∃d∃c<d.Herl(d) ∧ (d)lh(d)−· 1 = 〈c, a〉 ∧ ∀i<lh(c) ((c)i ∈ pStabaxq ∪ pEqq ∪ pSq).
Also ist pTq rekursiv aufzahlbar. ut
Eine Theorie T in unserer primitiv rekursiv prasentierten Sprache L heißt axiomatisiert , wenn siedurch ein rekursiv aufzahlbares Axiomensystem AxT gegeben ist. Nach dem eben bewiesenenen Satzkonnen wir dann sogar annehmen, daß AxT primitiv rekursiv ist. Fur solche axiomatisierten Theoriendefinieren wir AblT ⊆ N× N durch
AblT (d, a) :↔ Herl(d) ∧ ∃c<d.(d)lh(d)−· 1 = 〈c, a〉 ∧ ∀i<lh(c) ((c)i ∈ pStabaxq ∪ pEqq ∪ pAxT q).
Offenbar ist AblT primitiv rekursiv und es gilt AblT (d, a) genau dann, wenn d eine Herleitung einer SequenzΓ ⇒ A kodiert mit a = pAq und Γ zusammengesetzt aus Stabilitatsaxiomen, Gleichheitsaxiomen undFormeln aus AxT .
Eine Theorie T heißt konsistent , wenn es eine geschlossene Formel A gibt mit A /∈ T ; andernfalls heißtT inkonsistent .
Korollar 3.3.8. Jede axiomatisierte vollstandige Theorie T ist rekursiv.
Beweis. Ist T inkonsistent, so ist pTq rekursiv. Andernfalls folgt aus der Vollstandigkeit von T
a ∈ N \ pTq ↔ a /∈ For ∨ ∃b<aFV(b, a) ∨ ¬a ∈ pTq.
Also ist mit pTq auch N \ pTq rekursiv aufzahlbar und damit nach Lemma 3.2.3 pTq rekursiv. ut
70 3. Berechenbarkeit
3.4 Herbrand-Godel-Kleene-rekursive Funktionen
Wir geben in diesem Abschnitt eine weitere, auf Herbrand, Godel und Kleene zuruckgehende Cha-rakterisierung der rekursiven Funktionen. Diese Charakterisierung verwendet logische Herleitungen ausGleichungssystemen und stellt deshalb eine Verbindung zwischen der Logik und der Berechenbarkeits-theorie dar. Als Anwendung beweisen wir die Existenz einer rekursiv aufzahlbaren, aber nicht rekursivenRelation.
Unter einem Gleichungssystem verstehen wir eine endliche Menge von generalisierten Gleichungen,also von Formeln der Gestalt ∀x1, . . . , xn(t[x1, . . . , xn] = s[x1, . . . , xn]). Wir setzen in diesem Abschnittstets voraus, daß 0, S in der Sprache vorhanden sind.
Eine Funktion f : Nn → N heißt Herbrand-Godel-Kleene-rekursiv (oder kurz: HGK-rekursiv),wenn es ein Gleichungssystem Ef mit einem ausgezeichneten Funktionssymbol f gibt so daß fur allea1, . . . , an, b ∈ N gilt
f(a1, . . . , an) = b genau dann, wenn Ef ∪ Eq ` f(a1, . . . , an) = b.
Satz 3.4.1. Jede µ-rekursive Funktion ist HGK-rekursiv.
Beweis. Durch Rekursion uber die induktive Definition der µ-rekursiven Funktionen f konstruieren wirein Gleichungssystem Ef mit einem ausgezeichneten Funktionssymbol f so daß
1. Ef nur die Funktionssymbole 0, S, ·, q sowie g,
∏
g fur jede in der Definition von f vorkommendeFunktion g enthalt,
2. Ef in N gultig ist, wenn man 0 durch die Zahl 0, S durch die Nachfolgerfunktion, · durch dieMultiplikation, q durch q(S(a), 0, b) := b und beliebig sonst, jedes g durch g und jedes
∏
g durchb, a 7→
∏
c<b g(c, a) interpretiert, und3. fur alle a1, . . . , an, b ∈ N gilt
f(a1, . . . , an) = b genau dann, wenn Ef ∪ Eq ` f(a1, . . . , an) = b.
Die Gultigkeit von (1)-(3) ergibt sich jeweils unmittelbar aus der im folgenden angegebenen Konstruktion,wobei man zum Beweis von (3)⇐ verwendet, daß (2) zutrifft. Bei Gleichungen lassen wir der Kurze halberdie Generalisierungen immer weg.
Fall 0n. Wahle 0n(x1, . . . , xn) = 0.Fall S. Wahle S(x) = S(x).Fall In
i . Wahle Ini (x1, . . . , xn) = xi.
Fall (hg1 . . . gm). Nach IH haben wir Eh, Eg1 , . . . , Egm mit ausgezeichneten Funktionssymbolenh, g1, . . . , gm. Wahle Eh ∪ Eg1 ∪ · · · ∪ Egm zusammen mit der Generalisierung von
f(x1, . . . , xn) = h(g1(x1, . . . , xn), . . . , gm(x1, . . . , xn)).
Fall (Rgh). Nach IH haben wir Eg, Eh mit ausgezeichneten Funktionssymbolen g, h. Wahle Eg ∪ Ehzusammen mit den Generalisierungen von
f(0, y1, . . . , yn) = g(y1, . . . , yn),
f(S(x), y1, . . . , yn) = h(x, f(x, y1, . . . , yn), y1, . . . , yn).
Fall (µg). Nach IH haben wir Eg mit ausgezeichnetem Funktionssymbol g. Wahle Eg zusammen mitden Generalisierungen von
(∏ g)
(0, x1, . . . , xn) = 1,
(∏ g)
(S(y), x1, . . . , xn) = ·( (∏ g)
(y, x1, . . . , xn), g(y, x1, . . . , xn)),
q(S(x), 0, y) = y,
f(x1, . . . , xn) = q( (∏ g)
(y, x1, . . . , xn), (∏ g)
(S(y), x1, . . . , xn), y). ut
3.4 Herbrand-Godel-Kleene-rekursive Funktionen 71
Zum Beweis der Umkehrung definieren wir fur jedes n eine primitiv rekursive Relation Tn ⊆ Nn+2 sodaß fur jedes Gleichungssystem E mit ausgezeichnetem Funktionssymbol f mit Symbolnummer SN(f) =〈2, n, 0〉 gilt Tn(pEq, a1, . . . , an, d) genau dann, wenn d eine Herleitung einer Sequenz Γ ⇒ f(a1, . . . , an) =b kodiert, wobei Γ aus Stabilitatsaxiomen, Gleichheitsaxiomen und Elementen aus E besteht. Fernerdefinieren wir eine primitiv rekursive Funktion U : N → N, die aus einem solchen d die Zahl b abliest. Wirsetzen
Tn(e, a1, . . . , an, d) :↔ Herl(d) ∧ ∃c, a, b<d((d)lh(d)−· 1 = 〈c, a〉∧ a = 〈SN(=), 〈〈2, n, 0〉, pa1q, . . . , panq〉, pbq〉∧ ∀i<lh(c).(c)i ∈ pStabaxq ∪ pEqq ∨ ∃j<lh(e).(c)i = (e)j)
und U(d) := dec((d)lh(d)−· 1,1,2), wobei dec eine primitiv rekursive Funktion ist mit dec(pbq) = b; decdefinieren wir durch dec(0) := 0 und fur a > 0
dec(a) :=
dec((a)1) + 1, falls (a)0 = SN(S);0, sonst.
Nach Konstruktion sind Tn und U primitiv rekursiv und haben die verlangten Eigenschaften. Deshalbgilt offenbar folgender Satz.
Satz 3.4.2. (Kleenesches Normalformentheorem). Zu jeder HGK-rekursiven n-stelligen Funktion fgibt es ein e ∈ N so daß folgendes gilt.
1. ∀a1, . . . , an∃d Tn(e, a1, . . . , an, d)2. f(a1, . . . , an) = U(µdTn(e, a1, . . . , an, d)) ut
Insbesondere ergibt sich hieraus, daß jede µ-rekursive Funktion mit einem geeigneten e in der ange-gebenen Form definiert werden kann, wobei der µ-Operator nur einmal angewandt wird. Dies erklart denNamen “Normalformentheorem”.
Korollar 3.4.3. Jede HGK-rekursive Funktion ist µ-rekursiv. ut
Wir kommen nun noch einmal auf den Fall (µg) mit g µ-rekursiv zuruck, aber jetzt ohne voraus-zusetzen, daß ∀a∃i g(i, a) = 0. Sei E das oben im Fall (µg) angegebene Gleichungssystem. Dann gilt:(1) Wenn ∃i g(i, a) = 0, so ist E ∪ Eq ` f(a1, . . . , an) = i fur das kleinste i mit g(i,a) = 0. (2) GiltE ∪ Eq ` f(a1, . . . , an) = i, so ist g(i, a) = 0 und fur j < i ist g(j, a) 6= 0. Daraus ergibt sich aufgrundder Definition von Tn:
Satz 3.4.4. (Kleenesches Aufzahlungstheorem). Zu jeder rekursiven Relation R ⊆ Nn+1 findet maneine Zahl e so daß fur alle a1, . . . , an ∈ N gilt
∃bR(b, a1, . . . , an) ↔ ∃d Tn(e, a1, . . . , an, d). ut
Die Relationen (a1, . . . , an) | ∃d Tn(e, a1, . . . , an, d) durchlaufen also fur e = 0, 1, . . . genau dien-stelligen rekursiv aufzahlbaren Relationen. Sei jetzt n = 1. Mit dem Cantorschen Diagonalargumentfolgt dann, daß a | ¬∃d T1(a, a, d) nicht rekursiv aufzahlbar sein kann. Andernfalls gabe es namlichein e so daß fur alle a gilt
¬∃d T1(a, a, d) ↔ ∃d T1(e, a, d),
und durch Einsetzung von e fur a erhielte man einen Widerspruch. Da nach Lemma 3.2.3 eine rekursivaufzahlbare Relation genau dann rekursiv ist, wenn ihr Komplement rekursiv aufzahlbar ist, erhalten wir:
Satz 3.4.5. a | ∃d T1(a, a, d) ist rekursiv aufzahlbar, aber nicht rekursiv. ut
Setzt man die Churchsche These voraus, so haben wir damit ein erstes Beispiel eines unentscheidbarenProblems gefunden: Es kann keinen Algorithmus geben, der fur ein beliebiges a ∈ N stets terminiert undentscheidet, ob es ein d ∈ N gibt so daß die primitiv rekursive Relation T1(a, a, d) besteht.
72 3. Berechenbarkeit
3.5 Anmerkungen
Primitiv rekursive Funktionen wurden von Hilbert eingefuhrt. Ackermann zeigte 1925 durch Angabeeines Beispiels, daß es eine berechenbare, aber nicht primitiv rekursive Funktion gibt. Eine ausfuhrlicheDiskussion der primitiv rekursiven Funktionen findet man in den Buchern von Peter [25] und Rose [27].Der Begriff der rekursiven Funktion wurde nach Vorarbeiten von Herbrand, Godel und Kleene vonChurch gepragt, der mit seiner Churchschen These die Auivalenz zum intuitiven Begriff der Berechen-barkeit postulierte. Die hier gegebene Darstellung der Theorie der Berechenbarkeit stutzt sich teilweiseauf die Bucher von Shoenfield [34] und Kleene [16].
4. Metamathematik
4.1 Undefinierbarkeit des Wahrheitsbegriffs
Sei M eine L-Struktur. Eine Relation R ⊆ |M|n heißt in M definierbar , wenn es eine L-FormelA[x1, . . . , xn] gibt so daß
R = (a1, . . . , an) ∈ |M|n | M |= A[a1, . . . , an/x1, . . . , xn] .
Wir wollen in diesem Abschnitt annehmen, daß |M| = N und 0 ∈ Fun(0)L , S ∈ Fun(1)
L mit 0M = 0 undSM(a) = a + 1. Dann kann man fur jedes a ∈ N das Numeral a ∈ TerL definieren durch 0 := 0 undn + 1 := S(n). Man beachte auch, daß in diesem Fall die Definierbarkeit von R ⊆ Nn durch A[x1, . . . , xn]aquivalent ist zu
R = (a1, . . . , an) ∈ Nn | M |= A[x1, . . . , xn := a1, . . . , an] .
Sei weiter L eine primitiv rekursiv prasentierte Sprache. Wir werden in diesem Kapitel stets voraussetzen,jede primitiv rekursive Relation in M definierbar ist. Ein Beispiel fur eine solche Situation ist die in Ab-schnitt 3.1 eingefuhrte Standardstruktur N zur Sprache PR. Eine Menge S von Formeln heißt definierbarin M, wenn pSq := pAq | A ∈ S in M definierbar ist.
Wir zeigen, daß bereits aus diesen recht schwachen Voraussetzungen folgt, daß der Wahrheitsbegriffvon M, genauer die Menge Th(M) aller in M gultigen geschlossenen Formeln, nicht in M definierbarist. Da aus der vorausgesetzten Definierbarkeit aller primitiv rekursiven Relationen in M sofort folgt,daß auch alle rekursiven aufzahlbaren Relationen in M definierbar sind, erhalt man hieraus mit derChurchschen These, daß der Wahrheitsbegriff von M nicht aufzahlbar sein kann und folglich insbeson-dere unentscheidbar ist.
Zum Beweis benotigen wir das folgende Fixpunktlemma, das wir im nachsten Abschnitt (als Lemma4.2.2) noch verallgemeinern werden. Wir schreiben hier und im folgenden oft A[t] fur A[x := t], wenn diezu substituierenden Variablen aus dem Zusammenhang klar sind.
Lemma 4.1.1. (Semantisches Fixpunktlemma). Ist jede primitiv rekursive Relation in M definierbar,so findet man zu jeder L-Formel B[z] eine geschlossene L-Formel A mit
M |= A genau dann, wenn M |= B[pAq].
Beweis. Wir definieren eine primitiv rekursive Funktion s durch
s(b, k) := sub(b, 〈〈pzq, pkq〉〉).
z ist hierbei die spezielle, durch B[z] vorgegebene Variable, etwa ∗0. Dann gilt fur jede Formel C[z]
s(pCq, k) = sub(pCq, 〈〈pzq, pkq〉〉) = pC[k]q,
also insbesondere
s(pCq, pCq) = pC[pCq]q.
Nach Annahme ist der Graph Gs von s definierbar in M, etwa durch As[x1, x2, x3]. Setze
C := ∃x.B[x] ∧As[z, z, x],
A := C[pCq],
74 4. Metamathematik
also
A = ∃x.B[x] ∧As[pCq, pCq, x].
Damit gilt M |= A genau dann, wenn ∃a∈N.M |= B[a] und a = pC[pCq]q, also genau dann, wennM |= B[pAq]. ut
Satz 4.1.2. (Tarskis Undefinierbarkeitssatz). Ist jede primitiv rekursive Relation in M definierbar, soist Th(M) in M undefinierbar, insbesondere also nicht rekursiv aufzahlbar.
Beweis. Nehmen wir an, pTh(M)q ware definierbar durch BW [z]. Dann gilt fur alle geschlossenen FormelnA
M |= A genau dann, wenn M |= BW [pAq].
Wir betrachten nun die Formel ¬BW [z] und wahlen uns nach dem Fixpunktlemma 4.1.1 eine geschlosseneL-Formel A mit
M |= A genau dann, wenn M |= ¬BW [pAq].
Dies widerspricht der obigen Aquivalenz.Bereits oben hatten wir bemerkt, daß alle rekursiv aufzahlbaren Relationen in M definierbar sind;
deshalb folgt, daß pTh(M)q nicht rekursiv aufzahlbar ist. ut
4.2 Der Wahrheitsbegriff in formalen Theorien
Wir wollen die Uberlegungen des vorgehenden Abschnitts verallgemeinern. Dort hatten wir mit demWahrheitsbegriff in einer Struktur M gearbeitet, also der Relation M |= A. Die Menge der Satze A mitM |= A hatten wir als Theorie vom M bezeichnet, geschrieben Th(M).
Jetzt gehen wir statt von Th(M) allgemeiner von einer beliebigen Theorie T aus, und stellen uns dieFrage, ob in T ein “Wahrheitsbegriff” (in der Gestalt einer “Wahrheitsformel” B[z]) existiert, so daß B[z]“bedeutet”, daß z “wahr” ist.
Was soll das heißen? Wir mussen die verwendeten Begriffe ohne semantische Konzepte erkaren.
– z lauft also uber geschlossene Formeln oder Satze A bzw. genauer pAq.– A “wahr” ist zu ersetzen durch T ` A.– C ist “gleichbedeutend” mit D ist zu ersetzen durch T ` C ↔ D.
Wir wollen also untersuchen, ob es eine Wahrheitsformel B[z] geben kann, so daß fur alle Satze A giltT ` A ↔ B[pAq]. Es wird sich zeigen, daß dies schon unter recht schwachen Voraussetzungen an dieTheorie T unmoglich ist.
Technisch wird es darum gehen, an die Stelle der Definierbarkeit in M die “Reprasentierbarkeit”innerhalb einer formalen Theorie setzen.
Sei im folgenden L wieder eine primitiv rekursiv prasentierte Sprache mit 0,S, = in L und T eineTheorie mit EqL ⊆ T . Wir nennen eine Relation R ⊆ Nn reprasentierbar in T , wenn es eine FormelA[x1, . . . , xn] gibt mit
T ` A[a1, . . . , an], falls (a1, . . . , an) ∈ R,
T ` ¬A[a1, . . . , an], falls (a1, . . . , an) /∈ R.
Eine Funktion f : Nn → N heißt reprasentierbar in T , wenn es eine Formel A[x1, . . . , xn, y] gibt, die denGraphen Gf ⊆ Nn+1 reprasentiert, also die
T ` A[a1, . . . , an, f(a1, . . . , an)], (4.1)
T ` ¬A[a1, . . . , an, c], falls c 6= f(a1, . . . , an) (4.2)
erfullt, und fur die zusatzlich gilt
T ` A[a1, . . . , an, y] ∧A[a1, . . . , an, z] → y = z fur alle a1, . . . , an ∈ N. (4.3)
Man beachte, daß fur den Fall T ` b 6= c fur b < c die Bedingung (4.2) aus (4.1) und (4.3) folgt.
4.3 Unentscheidbarkeit und Unvollstandigkeit 75
Lemma 4.2.1. Ist die charakteristische Funktion 1R einer Relation R ⊆ Nn in T reprasentierbar, soauch die Relation R selbst.
Beweis. Ubung OBdA sei n = 1. Sei A[x, y] eine 1R reprasentierende Formel. Wir zeigen, daß dannA[x, 1] die Relation R reprasentiert. Sei also zunachst a ∈ R. Dann ist 1R(a) = 1, also (a, 1) ∈ G1R , alsoT ` A[a, 1]. Sei nun a /∈ R. Dann ist 1R(a) = 0, also (a, 1) /∈ G1R , also T ` ¬A[a, 1]. ut
Lemma 4.2.2. (Fixpunktlemma). Sind alle primitiv rekursiven Funktionen in T reprasentierbar, so fin-det man zu jeder Formel B[z] eine geschlossene Formel A mit
T ` A ↔ B[pAq].
Beweis. Wir gehen zunachst wie im Beweis des semantischen Fixpunktlemmas 4.1.1 vor. Sei alsoAs[x1, x2, x3] eine die primitiv rekursive Funktion s(b, k) := sub(b, 〈〈pzq, pkq〉〉) reprasentierende Formel.Setze
C := ∃x.B[x] ∧As[z, z, x],
A := C[pCq],
d.h.A = ∃x.B[x] ∧As[pCq, pCq, x].
Wegen s(pCq, pCq) = pC[pCq]q = pAq ist in T herleitbar
As[pCq, pCq, x] ↔ x = pAq,
also nach Definition von A auchA ↔ ∃x.B[x] ∧ x = pAq
und damitA ↔ B[pAq]. ut
Mit T = Th(M) ergibt sich das obige (semantische) Fixpunktlemma 4.1.1 als Spezialfall.
Satz 4.2.3. (Undefinierbarkeit der Wahrheitsbegriffs). Sei T eine konsistente Theorie, in der alle primi-tiv rekursiven Funktionen reprasentierbar sind. Dann kann es keine Formel B[z] geben, so daß fur allegeschlossenen Formeln A gilt
T ` A ↔ B[pAq].
Beweis. Angenommen, wir hatten so ein B[z]. Wir betrachten nun die Formel ¬B[z] und wahlen nachdem Fixpunktlemma 4.2.2 eine geschlossene Formel A mit
T ` A ↔ ¬B[pAq].
Fur dieses A hatte man also T ` A ↔ ¬A im Widerspruch zur Konsistenz von T . ut
Mit T = Th(M) ergibt sich der Tarskische Undefinierbarkeitssatz 4.1.2 wieder als Spezialfall.
4.3 Unentscheidbarkeit und Unvollstandigkeit
In diesem Abschnitt betrachten wir eine konsistente formale Theorie, in der alle rekursiven Funktionenreprasentierbar sind. Dies ist eine sehr schwache Voraussetzung, wie wir im nachsten Abschnitt zeigenwerden. Sie ist erfullt, sobald die Theorie ein gewisses Minimum an Arithmetik zu beweisen gestattet.
Wir zeigen, daß eine solche Theorie notwendigerweise unentscheidbar ist. Weiter zeigen wir den er-sten Godelschen Unvollstandigkeitssatz, der aussagt, daß eine axiomatisierte derartige Theorie immerunvollstandig sein muß. Diesen Satz beweisen wir dann noch in einer von Rosser verscharften Form, inder eine geschlossene Formel A angegeben wird, so daß weder A noch ¬A in der Theorie beweisbar ist.
In diesem Abschnitt sei L wieder eine primitiv rekursiv prasentierte Sprache mit 0,S, = in L und Teine Theorie mit EqL ⊆ T .
76 4. Metamathematik
Satz 4.3.1. (Unentscheidbarkeit). Ist T eine konsistente Theorie, in der alle rekursiven Funktionen re-prasentierbar sind, so ist T nicht rekursiv.
Beweis. Nehmen wir an, T ist rekursiv. Nach Voraussetzung ist dann pTq durch eine Formel B[z] in Treprasentierbar. Wir wahlen nach dem Fixpunktlemma 4.2.2 eine geschlossene Formel A mit
T ` A ↔ ¬B[pAq]
und zeigen (1) T 6` A und (2) T ` A; dies ist der gewunschte Widerspruch.Zu (1). Gelte T ` A. Dann ist A ∈ T , also pAq ∈ pTq und damit T ` B[pAq] (da B[z] die Menge pTq
in T reprasentiert). Es folgt T ` ¬A nach Wahl von A und damit ein Widerspruch zur Konsistenz von T .Zu (2). Nach (1) wissen wir T 6` A. Daher ist A /∈ T , also pAq /∈ pTq und damit T ` ¬B[pAq]. Es
folgt T ` A nach Wahl von A. ut
Satz 4.3.2. (Erster Godelscher Unvollstandigkeitssatz). Jede axiomatisierte konsistente Theorie, inder alle rekursiven Funktionen reprasentierbar sind, ist unvollstandig.
Beweis. Die Behauptung ergibt sich aus Korollar 3.3.8 und Satz 4.3.1. ut
Wie oben schon erwahnt, wollen wir jetzt unter Verwendung einer Idee von Rosser den Unvoll-standigkeitssatz in dem Sinn verscharfen, daß wir eine geschlossene Formel A konkret angegeben, fur dieweder A noch ¬A in der Theorie beweisbar ist.
Satz 4.3.3. (Godel-Rosser). Sei T eine axiomatisierte konsistente L-Theorie mit 0,S, = in L undEqL ⊆ T . Ferner gebe es eine Formel K[x, y] – geschrieben x < y – so daß
T ` ∀x.x < n → x = 0 ∨ · · · ∨ x = n− 1, (4.4)
T ` ∀x.x = 0 ∨ · · · ∨ x = n ∨ n < x. (4.5)
Weiter sei jede primitiv rekursive Funktion in T reprasentierbar. Dann findet man eine geschlosseneFormel A, fur die weder A noch ¬A in T beweisbar ist.
Beweis. Wir definieren zunachst WdlT ⊆ N× N durch
WdlT (d, a) :↔ AblT (d, ¬a).
Dann ist WdlT primitiv rekursiv, und es gilt WdlT (d, a) genau dann, wenn d eine Widerlegung von a in Tist, d.h. wenn d eine Herleitung einer Sequenz Γ ⇒ ¬A kodiert mit a = p¬Aq und Γ zusammengesetzt ausStabilitatsaxiomen und Formeln aus AxT . Seien BAblT [x1, x2] und BWdlT [x1, x2] reprasentierende Formelnzu AblT und WdlT . Wir wahlen nun nach dem Fixpunktlemma 4.2.2 eine geschlossene Formel A mit
T ` A ↔ ∀x.BAblT [x, pAq] → ∃y.y < x ∧BWdlT [y, pAq].
A druckt also seine eigene Unbeweisbarkeit aus, und zwar in der (auf Rosser zuruckgehenden) Form“Zu jedem Beweis von mir gibt es einen kurzeren Beweis meiner Negation”.
Wir zeigen (1) T 6` A und (2) T 6` ¬A. Zu (1). Gelte T ` A. Man wahle ein n mit
AblT (n, pAq).
Dann gilt auch
nicht WdlT (m, pAq) fur alle m,
da T konsistent ist. Folglich haben wir
T ` BAblT [n, pAq],
T ` ¬BWdlT [m, pAq] fur alle m.
4.4 Reprasentierbarkeit 77
Daraus folgt wegen (4.4)
T ` BAblT [n, pAq] ∧ ∀y.y < n → ¬BWdlT [y, pAq].
Also gilt
T ` ∃x.BAblT [x, pAq] ∧ ∀y.y < x → ¬BWdlT [y, pAq],
T ` ¬A.
Dies ist ein Widerspruch zur Konsistenz von T .Zu (2). Gelte T ` ¬A. Man wahle ein n mit
WdlT (n, pAq).
Dann gilt auch
nicht AblT (m, pAq) fur alle m,
da T konsistent ist. Folglich haben wir
T ` BWdlT [n, pAq],
T ` ¬BAblT [m, pAq] fur alle m.
Daraus erhalt man aber
T ` ∀x.BAblT [x, pAq] → ∃y.y < x ∧BWdlT [y, pAq],
wie man durch Fallunterscheidung nach x mit Hilfe von (4.5) leicht beweist. Also gilt T ` A. Dies istwieder ein Widerspruch zur Konsistenz von T . ut
Schließlich wollen wir noch eine Variante dieses Satzes formulieren, in der wir nicht mehr davonausgehen, daß die Theorie T nur etwas uber Zahlen aussagt.
Satz 4.3.4. (Godel-Rosser). Sei T eine axiomatisierte konsistente L-Theorie mit 0, S, = in L undEqL ⊆ T . Ferner gebe es Formeln N [x] und K[x, y] – geschrieben Nx bzw. x < y – so daß T ` N0,T ` ∀x∈N N [S(x)] und
T ` ∀x∈N.x < n → x = 0 ∨ · · · ∨ x = n− 1,
T ` ∀x∈N.x = 0 ∨ · · · ∨ x = n ∨ n < x.
Hierbei steht ∀x∈N A fur ∀x.Nx → A. Ferner sei jede primitiv rekursive Funktion in T reprasentierbar.Dann findet man eine geschlossene Formel A, fur die weder A noch ¬A in T beweisbar ist.
Beweis. Wie fur den Satz 4.3.3; man muß lediglich die auftretenden Quantoren auf N relativieren. ut
4.4 Reprasentierbarkeit
Wir zeigen in diesem Abschnitt, daß schon recht einfache formale Theorien die Eigenschaft besitzen, daßin ihnen jede rekursive Funktion reprasentierbar ist. Als Hilfsmittel fur den Beweis zeigen wir zunachst,daß die Menge der rekursiven Funktionen auch ohne das Schema der primitiven Rekursion erzeugt werdenkann, also alleine durch Komposition und den unbeschrankten µ-Operator aus einfachen Ausgangsfunk-tionen.
Wir definieren die Menge G der µ′-rekursiven Funktionen als die kleinste Menge von Funktionen mitden folgenden Eigenschaften. Wir schreiben Gn fur die Teilmenge der n-stelligen Funktionen in G.
78 4. Metamathematik
1. 0n ∈ Gn (n ≥ 0), S ∈ G1, Ini ∈ Gn (1 ≤ i ≤ n), +, ·, 1< ∈ G2.
2. Sind g1, . . . , gm ∈ Gn, h ∈ Gm und m ≥ 1, n ≥ 0, so ist (hg1 . . . gm) ∈ Gn.3. Ist g ∈ Gn+1 und gilt ∀a∃i (g(i, a) = 0), so ist µg in Gn.
Lemma 4.4.1. Die Funktionen −· sowie π, π1, π2 sind µ′-rekursiv.
Beweis. a−· b = µi (a < i+ b+ 1). Es war π(a, b) = 12 (a+ b)(a+ b+ 1) +a. Zum Beweis von π ∈ G genugt
es offenbar, ein h ∈ G zu finden mit h(2c) = c. Eine solche Funktion ist h(d) := µi (d < 2i + 1).Wir zeigen jetzt π1 ∈ G1. Dazu beachte man, daß
2π(a, b) = (a + b)(a + b + 1) + 2a. (4.6)
Nun gilt(a + b)(a + b + 1) ≤ (a + b)(a + b + 1) + 2a < (a + b + 1)(a + b + 2).
Setzt man alsog(c) := µi (2c < (i + 1)(i + 2)),
so ist g(π(a, b)) = a + b. Wegen (4.6) konnen wir also aus c := π(a, b) die Zahl 2a gewinnen als 2c −g(c)(g(c) + 1). Damit gilt
π1(c) = h(2c−· g(c)(g(c) + 1))
und wir haben π1 ∈ G gezeigt.π2 ∈ G folgt jetzt aus π2(c) = g(c)−· π1(c). ut
Lemma 4.4.2. (Godel). Es gibt eine µ′-rekursive Funktion β mit folgender Eigenschaft. Zu beliebigena0, . . . , an−1 findet man ein c mit β(c, i) = ai fur alle i < n.
Beweis. Seia := max
i<nπ(ai, i).
Man beachte zunachst, daß alle 1 + ka! fur k ≤ a relativ prim sind. Hatten namlich 1 + ia! und 1 + ja!mit i < j ≤ a einen gemeinsamen Primteiler p, so ware p|(j − i)a!, also auch p|a! und damit p|1, wasnicht sein kann.
Wir setzen jetzt
b := a!,
d :=∏
i<n
(
1 + π(ai, i)a!)
.
Aus b und d kann man zu gegebenem i < n die Zahl ai wie folgt wiedergewinnen. Man betrachte daskleinste x mit
1 + π(x, i)b|d.
Offenbar ist ai ein solches x. Wurde nun ein x < ai die Bedingung auch erfullen, so ware wegen π(x, i) < aund der Tatsache, daß alle 1 + ka! fur k ≤ a relativ prim sind, π(x, i) = π(aj , j) fur ein j < n nachKonstruktion von d, also x = aj und i = j im Widerspruch zu x < ai.
Wir konnen also definieren
β(c, i) := π1(
µy [(1 + π(π1(y), i) · π1(c)) · π2(y) ≥ π2(c)])
.
Diese Funktion heißt Godelsche β-Funktion. β ist µ′-rekursiv, denn fur jedes c, i existiert offenbar einsolches y. Fur c := π(b, d) ist dann π(ai, dd/1+π(ai, i)be) das kleinste solche y und wir haben β(c, i) = ai.
ut
Satz 4.4.3. Die Menge der µ′-rekursiven Funktionen ist abgeschlossen unter primitiver Rekursion,stimmt also mit der Menge der µ-rekursiven Funktionen uberein.
4.4 Reprasentierbarkeit 79
Beweis. Sei g ∈ Gn, h ∈ Gn+2 und f = (Rgh). Nach dem vorangehenden Lemma findet man zu gegebenena, b ein c mit β(c, i) = f(i, b) fur alle i ≤ a, also
β(c, 0) = g(b),
β(c, i + 1) = h(i, β(c, i), b) fur alle i < a.
Setze
|a− b| := (a−· b) + (b−· a),
h1(a, b, c) := µi(
(a−· i)(1−· |h(i, β(c, i), b)− β(c, i + 1)|) = 0)
,
h2(a, b, c) := |g(b)− β(c, 0)|+ (a−· h1(a, b, c)).
Dann ist offenbar h2 ∈ G und h2(a, b, c) = 0 ist aquivalent zu der Gultigkeit der obigen Gleichungen furβ. Insbesondere gibt es zu jedem a, b ein c mit h2(a, b, c) = 0. Daher gilt
f(a, b) = β(µc (h2(a, b, c) = 0), a)
und f ist deshalb µ′-rekursiv. ut
Wir haben also gesehen, daß die µ-rekursiven und die µ′-rekursiven Funktionen ubereinstimmen; imfolgenden sprechen wir deshalb nur noch von µ-rekursiven Funktionen.
Satz 4.4.4. Sei T eine L-Theorie mit 0, S, = in L und EqL ⊆ T . Ferner gebe es Formeln N [x] undK[x, y] – geschrieben Nx bzw. x < y – so daß T ` N0, T ` ∀x∈N N [S(x)] und folgendes gilt.
T ` S(a) 6= 0 fur alle a ∈ N, (4.7)
T ` S(a) = S(b) → a = b fur alle a, b ∈ N, (4.8)
die Funktionen + und · sind in T reprasentierbar, (4.9)
T ` ∀x∈N (x 6< 0) (4.10)
T ` ∀x∈N.x < S(b) → x < b ∨ x = b fur alle b ∈ N, (4.11)
T ` ∀x∈N.x < b ∨ x = b ∨ b < x fur alle b ∈ N. (4.12)
Hierbei steht wieder ∀x∈N A fur ∀x.Nx → A. Dann erfullt T die Voraussetzungen von Satz 4.3.4, alsodes (auf N relativierten) Satzes von Godel-Rosser. Genauer gilt fur alle a ∈ N
T ` ∀x∈N.x < a → x = 0 ∨ · · · ∨ x = a− 1, (4.13)
T ` ∀x∈N.x = 0 ∨ · · · ∨ x = a ∨ a < x, (4.14)
und jede rekursive Funktion ist in T reprasentierbar.
Beweis. Wir zeigen zunachst, daß die Formel x = y die Gleichheit und die Formel x < y die Kleinerbe-ziehung in T reprasentiert. Aus (4.7) and (4.8) folgt sofort T ` a 6= b fur a 6= b. Gelte nun a 6< b. Wirzeigen T ` a 6< b durch Induktion nach b. T ` a 6< 0 folgt aus (4.10). Im Schritt haben wir a 6< b + 1,also a 6< b und a 6= b, also nach IH und der obigen Bemerkung T ` a 6< b und T ` a 6= b, also nach (4.11)T ` a 6< S(b). Sei jetzt a < b. Dann gilt T ` a 6= b und T ` b 6< a, also nach (4.12) T ` a < b.
(4.13) ergibt sich jetzt leicht durch Induktion uber a. Die Basis folgt aus (4.10), und der Schritt ausder IH und (4.11). (4.14) ergibt sich aus (4.12) unmittelbar mit (4.13).
Wir zeigen jetzt durch Induktion uber die Definition der µ′-rekursiven Funktionen, daß jede µ′-rekursive (und damit nach Satz 4.4.3 auch jede rekursive) Funktion in T reprasentierbar ist. Man beachtehierbei, daß wegen T ` a 6= b fur a 6= b die Bedingung (4.2) in der Definition der Reprasentierbarkeiteiner Funktion nicht mehr uberpruft werden muß.
Die Ausgangsfunktionen 0n, S und Ini werden offenbar durch die Formeln 0 = y, S(x) = y und xi = y
reprasentiert. + und · sind nach Voraussetzung (4.9) in T reprasentierbar. Wir zeigen noch, daß dieFunktion 1< in T durch
A := (x1 < x2 ∧ y = 1) ∨ (x1 6< x2 ∧ y = 0)
80 4. Metamathematik
reprasentiert wird. Gelte also a1 < a2. Dann ist T ` a1 < a2, also T ` A[a1, a2, 1]. Sei jetzt a1 6< a2.Dann ist T ` a1 6< a2, also T ` A[a1, a2, 0]. Ferner ist A[x1, x2, y]∧A[x1, x2, z] → y = z schon logisch ausden Gleichheitsaxiomen herleitbar (Fallunterscheidung nach x1 < x2).
Fall (hg1 . . . gm). OBdA seien g1, . . . , gm einstellig. Nach IH haben wir reprasentierende FormelnAgi [x, yi] und Ah[y, z]. Wir setzen
Af := ∃y.Ag1 [x, y1] ∧ · · · ∧Agm [x, ym] ∧Ah[y, z].
Gelte f(a) = c. Offenbar haben wir dann T ` Af [a, c]. Zu zeigen bleibt T ` Af [a, z1]∧Af [a, z2] → z1 = z2.Wir fuhren den Beweis wieder informal. Nach Definition von Af haben wir y11, . . . , y1m und y21, . . . , y2m.Die IH fur gi liefert y1i = y2i = gi(a). Mit der IH fur h ergibt sich z1 = z2.
Fall (µg). OBdA sei g zweistellig, also f(a) = µi (g(i, a) = 0), wobei ∀a∃i (g(i, a) = 0). Nach IH habenwir eine g reprasentierende Formel Ag[y, x, z]. Sei
Af [x, y] := Ny ∧Ag[y, x, 0] ∧ ∀v∈N.v < y → ∃w.w 6= 0 ∧Ag[v, x, w].
Wir zeigen zunachst (4.1). Gelte also f(a) = b. Zu zeigen ist T ` Af [a, b]. Aufgrund der Gestalt vonAf folgt dies aber sofort mit T ` v < b → v = 0 ∨ · · · ∨ v = b− 1 aus der IH fur g. Wir zeigen jetztnoch (4.3). Gegeben sei also a; setze b := f(a). Es genugt zu zeigen T ` Af [a, y] → y = b. Den Beweisfuhren wir wieder informal. Gelte also Af [a, y]. Nach Voraussetzung (4.12) genugt es, y 6< b und b 6< yzu zeigen. Nehmen wir also zunachst y < b an. Nach (4.13) folgt y = i fur ein i < b im Widerspruch zuAg[y, a, 0]. Nehmen wir jetzt b < y an. Aus Af [a, y] folgt dann ∃w.w 6= 0∧Ag[b, a, w] im Widerspruch zuAg[b, a, 0]. ut
Wir wollen jetzt noch eine spezielle und besonders einfache arithmetische Theorie betrachten. Sei L1
die durch 0, S, +, · und = bestimmte Sprache und Z1 die durch EqL1und die Generalisierungen der
folgenden Axiome bestimmte Theorie.
S(x) 6= 0, (4.15)
S(x) = S(y) → x = y, (4.16)x + 0 = x, (4.17)
x + S(y) = S(x + y), (4.18)
x · 0 = 0, (4.19)
x · S(y) = x · y + x, (4.20)
∃z (x + S(z) = y) ∨ x = y ∨ ∃z (y + S(z) = x). (4.21)
Satz 4.4.5. Jede Theorie T mit T ⊇ Z1 erfullt die Voraussetzungen des Satzes 4.3.3 von Godel-Rosser. Bzgl. K[x, y] := ∃z (x + S(z) = y) ist sogar jede rekursive Funktion in T reprasentierbar.
Beweis. Wir zeigen, daß T mit N [x] := (x = x) und K[x, y] := ∃z (x + S(z) = y) die Bedingungen vonSatz 4.4.4 erfullt. Fur (4.7) und (4.8) ist dies klar. Fur (4.9) konnen wir x + y = z und x · y = z alsreprasentierende Formeln wahlen. Fur (4.10) ist zu zeigen ¬∃z (x + S(z) = 0). Dies folgt aber aus (4.18)und (4.15). Zum Beweis von (4.11) benotigen wir die Hilfsaussage
x = 0 ∨ ∃y (x = S(y)), (4.22)
deren Beweis wir unten nachtragen. Gelte also x + S(z) = S(b), also auch S(x + z) = S(b) und damitx + z = b. Wir verwenden jetzt (4.22) fur z. Im Fall z = 0 folgt x = b, und im Fall ∃y (z = S(y)) habenwir ∃y (x + S(y) = b). Damit ist (4.11) bewiesen. (4.12) folgt sofort aus (4.21).
Zum Beweis von (4.22) verwenden wir ebenfalls (4.21) und vergleichen x mit 0. Es genugt offenbar,den Fall ∃z (x+S(z) = 0) auszuschließen. Er besagt aber S(x+z) = 0 und widerspricht deshalb (4.15). ut
Korollar 4.4.6. (Starke Unentscheidbarkeit von Z1). Jede konsistente Theorie T mit T ⊇ Z1 ist nichtrekursiv.
Beweis. Satze 4.4.5 und 4.3.1. ut
4.5 Unbeweisbarkeit der Widerspruchsfreiheit 81
Korollar 4.4.7. (Unentscheidbarkeit der Pradikatenlogik). Sei L1 die durch 0, S, +, · und = bestimmteSprache. Dann ist die Menge der in der klassischen Logik herleitbaren L1-Formeln nicht rekursiv.
Beweis. Andernfalls ware auch Z1 rekursiv, denn eine Formel A ist herleitbar in Z1 genau dann, wenndie Implikation aus der Konjunktion der endlich vielen Z1-Axiome und der Gleichheitsaxiome in derklassischen Logik herleitbar ist. ut
In Abschnitt 3.2 hatten wir Σ1-Formeln der formalen Sprache PR definiert, ausgehend von eventuellnegierten PR-Primformeln. Wir wollen jetzt einen entsprechenden Begriff fur die durch 0, S, +, · und = be-stimmte Sprache L1 definieren, und zwar so, daß immer noch genau die rekursiv aufzahlbaren Relationendurch Σ1-Formeln definierbar sind. In Anbetracht der stark verringerten sprachlichen Ausdrucksmittelist es jetzt sinnvoll, nur ganz spezielle atomare und negiert atomare Formeln zuzulassen. Σ1-Formeln derSprache L1 werden wie folgt induktiv definiert.
• Fur alle Variablen x, y, z sind x = y, x 6= y, 0 = x, S(x) = y, x + y = z und x · y = z Σ1-Formeln derSprache L1.
• Mit A und B sind auch A ∧B und A ∨B Σ1-Formeln der Sprache L1.• Mit A ist auch ∀x<y A eine Σ1-Formel der Sprache L1, falls y von x verschieden ist.• Mit A ist auch ∃xA eine Σ1-Formel der Sprache L1.
Damit jede Σ1-Formel der Sprache L1 auch wirklich eine L1-Formel ist, verstehen wir ∀x<y A alsAbkurzung fur ∀x.∃z (x + S(z) = y) → A.
Satz 4.4.8. Jede rekursive Funktion ist in Z1 reprasentierbar durch eine Σ1-Formel der Sprache L1.
Beweis. Dies ergibt sich sofort durch Inspektion des Beweises von Satz 4.4.4. Man hat lediglich zu be-achten, daß schon aufgrund der Gleichheitsaxiome ∃z (x + S(z) = y) mit ∃z∃w (S(z) = w ∧ x + w = y)und A[0] mit ∃x.x = 0 ∧A aquivalent sind. ut
L1-Formeln heißen auch arithmetische Formeln. Eine Relation R ⊆ Nn heißt arithmetisch, wenn sieim Standardmodell N1 der Sprache L1 definierbar ist.
Korollar 4.4.9. 1. Jede rekursiv ausfzahlbare Relation ist arithmetisch.2. Th(N1) ist nicht arithmetisch, insbesondere also auch nicht rekursiv aufzahlbar.
Beweis. Der erste Teil folgt aus Satz 4.4.8 (mit der aus Lemma 3.2.1 bekannten Tatsache, daß jedenichtleere Menge M ⊆ N Wertebereich einer primitiv rekursiven Funktion ist), und der zweite aus demTarskischen Undefinierbarkeitssatz 4.1.2. ut
4.5 Unbeweisbarkeit der Widerspruchsfreiheit
Wir haben oben im Satz 4.3.3 von Godel-Rosser gesehen, wie man zu jeder axiomatisierten konsistentenTheorie T , die gewisse schwache Voraussetzungen erfullt, einen geschlossenen Satz A konstruieren kannso daß weder A noch ¬A in T beweisbar ist. Die inhaltliche Bedeutung dieses Satzes A war “Zu jedemBeweis von mir gibt es einen kurzeren Beweis meiner Negation”. Da also A keinen Beweis besitzt, istinsbesondere A wahr. Wir haben also einen wahren, aber in T unbeweisbaren Satz gefunden.
Diese Aussage wollen wir jetzt noch verscharfen, indem wir zeigen, daß ein besonders interessanterwahrer Satz in T unbeweisbar ist, namlich der Satz WfT , der die Konsistenz (oder Widerspruchsfreiheit)von T besagt. Dies ist der zweite Unvollstandigkeitssatz von Godel [13].
Wir werden diesen Satz hier in einer von Lob angegebenen verscharften Form beweisen. Zunachstzeigen wir eine Hilfsaussage.
Lemma 4.5.1. Sei A[x1, . . . , xn] eine Σ1-Formel der durch 0, S, +, · und = bestimmten Sprache L1.Gilt dann N1 |= A[a1, . . . , an] fur das Standardmodell N1 von L1, so folgt Z1 ` A[a1, . . . , an].
82 4. Metamathematik
Beweis. Durch Induktion uber die Σ1-Formeln der Sprache L1. Die Anfangsfalle hatten wir zu Beginndes Beweises von Satz 4.4.4 erledigt bzw. sie ergeben sich (fur x + y = z und x · y = z) aus denRekursionsgleichungen fur + und · in (4.17)-(4.20).
Falle A ∧B, A ∨B. Die Behauptung folgt sofort aus der IH.Fall ∀x<y A[x, y, z1, . . . , zn]; oBdA sei n = 1. Gelte also N1 |= (∀x<y A)[b, c]. Dann folgt N1 |=
A[i, b, c] fur jedes i < b und deshalb nach IH Z1 ` A[i, b, c]. Nun gilt nach Satz 4.4.5
Z1 ` ∀x.∃z (x + S(z) = b) → x = 0 ∨ · · · ∨ x = b− 1,
alsoZ1 ` ∀x<b A[b, c].
Fall ∃xA[x, y1, . . . , yn]; oBdA sei n = 1. Gelte also N1 |= (∃xA)[b]. Dann ist N1 |= A[a, b] fur eina ∈ N, also nach IH Z1 ` A[a, b] und deshalb Z1 ` (∃xA)[b]. ut
Sei T eine axiomatisierte konsistente Theorie mit T ⊇ Z1. Sei BAblT wie in Abschnitt 4.3 eine L1-Formel, die die primitiv rekursive Relation AblT ⊆ N × N in Z1 reprasentiert. Wir definieren dannL1-Formeln ThmT [x] und WfT durch
ThmT [x] := ∃y BAblT [y, x],WfT := ¬∃y BAblT [y, p⊥q].
ThmT [x] definiert also in N1 die Menge der in T beweisbaren Formeln, und es gilt N1 |= WfT genaudann, wenn T konsistent ist. Wir betrachten die folgenden beiden Ableitbarkeitsbedingungen fur T .
T ` A → ThmT [pAq] fur A geschlossene Σ1-Formel der Sprache L1, (4.23)
T ` ThmT [pA → Bq] ∧ ThmT [pAq] → ThmT [pBq]. (4.24)
(4.23) sagt aus, daß Lemma 4.5.1 (oder genauer die Aussage, daß jede in N1 gultige geschlossene Σ1-Formel der Sprache L1 in T liegt) nicht nur wahr, sondern sogar in T beweisbar ist.
Satz 4.5.2. (Godel-Lob). Sei T eine axiomatisierte konsistente Erweiterung von Z1, die die Ableit-barkeitsbedingungen (4.23) und (4.24) erfullt. Gilt dann T ` ThmT [pCq] → C fur eine geschlosseneL1-Formel C, so gilt schon T ` C.
Beweis. Gelte T ` ThmT [pCq] → C. Wahle A nach dem Fixpunktlemma 4.2.2 so daß
Z1 ` A ↔ (ThmT [pAq] → C). (4.25)
Zu zeigen ist T ` C. Wir fuhren den Beweis informal, mussen jedoch zeigen, daß alle Schlusse innerhalbvon T durchfuhrbar sind. Zunachst zeigen wir
ThmT [pAq] → C. (4.26)
Gelte alsoThmT [pAq].
Nach (4.23) folgtThmT [pThmT [pAq]q].
Wegen (4.25) ist die geschlossene Σ1-Formel ThmT [pA → (ThmT [pAq] → C)q] wahr (in N1), und nachLemma 4.5.1 konnen wir sie auch in Z1 beweisen. Also
ThmT [pA → (ThmT [pAq] → C)q].
Zweimalige Anwendung von (4.24) ergibt
ThmT [pCq]
und damit nach Voraussetzung C. Damit ist (4.26) bewiesen.
4.6 Anmerkungen 83
Aus (4.26) erhalt man jetzt A, nach (4.25).Wir verlassen nun den informalen, innerhalb von T durchfuhrbaren Beweis und stellen fest, daß wir
T ` A gezeigt haben. Also ist die geschlossene Σ1-Formel ThmT [pAq] wahr (in N1) und damit nachLemma 4.5.1 auch in T beweisbar. Da andererseits auch (4.26) in T beweisbar war, ist auch C in Tbeweisbar. Damit haben wir T ` C gezeigt. ut
Korollar 4.5.3. (Zweiter Godelscher Unvollstandigkeitssatz). Sei T eine axiomatisierte konsistenteErweiterung von Z1, die die Ableitbarkeitsbedingungen (4.23) und (4.24) erfullt. Dann gilt T 6` WfT .
Beweis. Setze C := ⊥ in Satz 4.5.2. ut
Korollar 4.5.4. Sei T eine axiomatisierte konsistente Erweiterung von Z1, die die Ableitbarkeitsbedin-gungen (4.23) und (4.24) erfullt. Dann ist das Reflexionsschema
ThmT [pCq] → C mit C geschlossene L1-Formel
unbeweisbar in T .
Beweis. Man wahle in Satz 4.5.2 ein C mit T 6` C, etwa C = ⊥. ut
Ein wichtiges Beispiel einer axiomatisierten konsistenten Erweiterung von Z1, die die Ableitbarkeits-bedingungen (4.23) und (4.24) erfullt, ist die Peano-Zahlentheorie Z (oft auch mit PA bezeichnet). DieSprache von Z ist wieder L1 (also gegeben durch 0, S, +, · und =), und die Axiome sind neben EqL1
dieersten sechs Z1-Axiome und zusatzlich das Induktionsschema
A[0] ∧ (∀x.A → A[S(x)]) → ∀xA.
4.6 Anmerkungen
Die grundlegenden Arbeiten zur Unvollstandigkeit stammen von Godel (1930[12] , 1931[13] ). Godelfand auch die fur den Repasentationssatz zentrale β-Funktion, und das Fixpunktlemma verwendet erin seiner Argumentation implizit. Sein erster Unvollstandigkeitssatz benutzt die Formel “ich bin nichtbeweisbar”, einen Fixpunkt von ¬ThmT [x]. Fur die Unabhangigkeit dieser Aussage von der zugrundeliegenden Theorie T wird aber die ω-Konsistenz von T benotigt (die allerdings gewahrleistet ist, wennT eine Teiltheorie der Theorie des Standardmodells ist). Rosser hat dann (1936) die hier behandelteVerscharfung angegeben mit der Formel “jeder Beweis von mir ist kurzer zu widerlegen”. Die Undefinier-barkeit des Wahrheitsbegriffs stammt von Tarski (1939), die Unentscheidbarkeit der Pradikaten-Logikerster Stufe ist ein Resultat von Church (1936). Die arithmetischen Theorien R und Q (aus den Ubungs-aufgaben 57 und 58) stammen von R. Robinson (1950). R ist essentiell unentscheidbar, unvollstandig,genugt fur den Σ1 Vollstandigkeitssatz und alle rekursiven Pradikate sind in R repasentierbar. Q isteine sehr naturliche Theorie und im Gegensatz zu R endlich. Q ist minimal im folgenden Sinne: Streichtman ein Axiom, so ist die verbleibende Theorie nicht mehr essentiell unentscheidbar. (Die erste essentiellunentscheidbare endliche Theorie der Arithmetik wurde von Mostowski und Tarski entwickelt (1939).J. Robinson hatte bei der Lekture des Manuskriptes die Idee der Behandlung der rekursiven Funktio-nen ohne das Schema der primitiven Rekursion). Wichtige Beispiele fur unentscheidbare Theorien nebendem Satz von Church sind in historischer Reihenfolge: Die Arithmetik der naturlichen Zahlen (Rosser,1936), die Arithmetik der ganzen Zahlen (Tarski, Mostowski, 1949), die Arithmetik der rationalenZahlen und die Theorie der gordneten Korper (J. Robinson 1949), die Theorie der Gruppen und dieVerbandstheorie (Tarski 1949). Vielleicht ist es instruktiv, einige entscheidbare Theorien daneben zustellen: Die Theorie der Addition der naturlichen Zahlen (Pressburger, 1929), die der Multiplikation(Mostowski, 1952), die Theorie der abelschen Gruppen (Szmielew, 1949), der algebraisch abgeschlos-senen Korper und die der Booleschen Algebren (Tarski, 1949), die Theorie der linear geordneten Mengen(Ehrenfeucht, 1959).
84 4. Metamathematik
5. Mengenlehre
5.1 Kumulative Typenstrukturen
Die Mengenlehre kann man als einen Rahmen auffassen, innerhalb dessen man Mathematik begrundenund betreiben kann. Wir wollen die Mengenlehre hier als eine formale Theorie der mathematischen Logikentwickeln. Zunachst ist es jedoch notwendig, sich eine inhaltliche Vorstellung des durch die Axiome zubeschreibenden Mengenbegriffs zu verschaffen. Cantor gab 1895 die folgende Definition:
Unter einer “Menge” verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiede-nen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genanntwerden) zu einem Ganzen.
Man kann versuchen, diese Definition wie folgt zu prazisieren. Sei V die Gesamtheit aller Objekte unsererAnschauung oder unseres Denkens. Mit A(x) bezeichnen wir Eigenschaften von Objekten x aus V . Dannkann man x | A(x) bilden, die Menge aller Objekte x aus V mit der Eigenschaft A(x). Aufgrund vonCantors Definiton ist x | A(x) wieder ein Objekt aus V .
Beispiele fur Eigenschaften: (1) x ist naturliche Zahl. (2) x ist Menge. (3) x ist Punkt, y ist Geradeund x liegt auf y. (4) y ist Menge und x ist Element von y, kurz: Mg(y) ∧ x ∈ y.
Cantors Definiton ist jedoch in ihrer ursprunglichen Form nicht haltbar, da sie zu Widerspruchenfuhrt. Am bekanntesten ist die sogenannte Russellsche Antinomie: Sei x0 := x | Mg(x) ∧ x /∈ x .Dann gilt
x0 ∈ x0 ↔ Mg(x0) ∧ x0 /∈ x0 ↔ x0 /∈ x0,
denn x0 ist Menge.Der Grund fur diesen Widerspruch liegt darin, daß man von der Vorstellung einer fertigen Gesamtheit
aller Mengen ausgeht. Dies ist aber weder notwendig noch entspricht es dem Vorgehen in der Mathematik.Es reicht vollkommen aus, wenn man eine Menge nur dann bildet, wenn ihre Elemente bereits “zurVerfugung stehen”. Dies fuhrt auf eine Vorstellung einer stufenweisen Konstruktion von Mengen odergenauer auf die kumulative Typenstruktur : Man beginnt mit vorgegebenen Urelementen, die die Mengender Stufe 0 bilden. Auf einer beliebigen Stufe kann man dann alle Mengen bilden, deren Elemente fruherenStufen angehoren.
Wahlt man zum Beispiel als Urelemente die naturlichen Zahlen, so gehort 27, 5 zur Stufe 2.Es stellen sich die folgenden naturlichen Fragen: (1) Welche Urelemente soll man wahlen? (2) Wie
weit reichen die Stufen?Zu (1). Fur die Zwecke der Mathematik ist es ausreichend, uberhaupt keine Urelemente vorauszuset-
zen; man spricht dann von reinen Mengen. Dies wollen wir im folgenden tun.
Stufe 0: −Stufe 1: ∅Stufe 2: ∅, ∅Stufe 3: ∅, ∅, ∅, ∅, ∅
und so weiter.
Zu (2). Shoenfield hat in [34] das folgende Prinzip formuliert.Shoenfield-Prinzip. Man betrachte eine Gesamtheit S von Stufen. Kann man sich eine Situation
vorstellen, in der alle Stufen aus S konstruiert sind, so soll es eine Stufe geben, die nach allen Stufen ausS kommt.
86 5. Mengenlehre
Aus diesem vagen Prinzip lassen sich exakte Folgerungen ziehen, die wir als Axiome fixieren werden.Unter einer Menge wollen wir also inhaltlich ein Objekt verstehen, das zu einer Stufe der kumulative
Typenstruktur gehort. Unter einer Klasse verstehen wir eine beliebige Gesamtheit von Mengen.Jede Menge ist also eine Klasse. Ferner gibt es Klassen, die keine Mengen sind, z.B. die Klasse V aller
Mengen.
5.2 Axiomatische Mengenlehre
Wie in jeder axiomatischen Theorie mussen wir auch in der Mengenlehre samtliche benotigten Eigen-schaften, auch die anscheinend selbstverstandlichen, explizit durch Axiome angeben.
Die Sprache der Mengenlehre enthalt als einziges nichtlogisches Symbol die Elementbeziehung ∈.Atomare Formeln sind also nur x ∈ y (x ist Element von y). Die Gleichheit x = y wird definiert durch
x = y := ∀z.z ∈ x ↔ z ∈ y.
Um die Vertraglichkeit der ∈-Relation mit der Gleichheit sicherzustellen benotigen wir ein erstes Axiom.
Axiom 1. (Extensionalitatsaxiom).
∀x, y, z.x = y ∧ x ∈ z → y ∈ z.
Anmerkung. Will man die Gleichheit als Grundsymbol der Sprache verwenden, so muß man neben denGleichheitsaxiomen fordern
∀x, y.(∀z.z ∈ x ↔ z ∈ y) → x = y.
Als Klassen lassen wir in unserer axiomatischen Theorie nur definierbare Gesamtheiten von Mengen zu.Unter “definierbar” verstehen wir definierbar durch eine Formel der Sprache der Mengenlehre. Genauer:Ist A(x) eine Formel, in der die hervorgehobene Mengenvariable x und eventuell weitere Mengenvariablen(sog. Parameter) vorkommen konnen, so heißt
x | A(x)
die Klasse aller Mengen x mit der Eigenschaft A(x).Statt mit Klassen konnten wir also auch mit Eigenschaften oder genauer mit Formeln arbeiten. Mit
Klassen lassen sich aber viele Aussagen einfacher und suggestiver formulieren.Ist A(x) die Formel x = x, so heißt x | A(x) die Allklasse oder das (mengentheoretische) Universum.
Ist A(x) die Formel x /∈ x, so heißt x | A(x) die Russellklasse.Wir geben jetzt einige im folgenden standig verwendete Definitionen. Eine Menge b ist genau dann
Element der Klasse x | A(x) , wenn A(b) gilt:
b ∈ x | A(x) := A(b).
Zwei Klassen A, B heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten:
A = B := ∀x.x ∈ A ↔ x ∈ B.
Ist A eine Klasse und b eine Menge, so heißen A und b gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten:
A = b := ∀x.x ∈ A ↔ x ∈ b.
Wir identifizieren dann die Klasse A mit dieser Menge b. Statt “A ist Menge” kann man auch schreibenA ∈ V . Eine Klasse B ist Element einer Menge a (bzw. einer Klasse A), wenn B gleich einem Element xvon a (bzw. von A) ist:
B ∈ a := ∃x.x ∈ a ∧ B = x,B ∈ A := ∃x.x ∈ A ∧ B = x.
Eine Klasse A heißt echte Klasse, wenn A keine Menge ist:
A echte Klasse := ∀x(x 6= A).
5.2 Axiomatische Mengenlehre 87
Anmerkung. Jede Menge b ist eine Klasse, denn
b = x | x ∈ b .
Die Russellklasse ist eine echte Klasse, denn ware x | x /∈ x = x0, so hatte man
x0 ∈ x0 ↔ x0 /∈ x0.
Die Russel-Konstruktion ist also nun keine Antinomie mehr, sondern besagt einfach: Es gibt Mengenund (echte) Klassen.
Seien A, B Klassen (also echte Klassen oder Mengen) und a, b, a1, . . . , an Mengen. Wir definieren
a1, . . . , an := x | x = a1 ∨ . . . ∨ x = an ,∅ := x | x 6= x leere Klasse,V := x | x = x Allklasse,
A ⊆ B := ∀x.x ∈ A → x ∈ B A ist Teilklasse von B,
A ( B := A ⊆ B ∧A 6= B A ist echte Teilklasse von B,A ∩ B := x | x ∈ A ∧ x ∈ B Durchschnitt,A ∪ B := x | x ∈ A ∨ x ∈ B Vereinigung,
A \ B := x | x ∈ A ∧ x /∈ B Differenz,⋃
A := x | ∃y.y ∈ A ∧ x ∈ y große Vereinigung,⋂
A := x | ∀y.y ∈ A → x ∈ y großer Durchschnitt,
P(A) := x | x ⊆ A Potenzklasse von A,
(a, b) := x | x = a ∨ x = a, b | (geordnetes) Paar (Kuratowski-Paar.)
Insbesondere ist a∪ b =⋃
a, b und a∩ b =⋂
a, b, und⋂
∅ ist die Allklasse. Ferner ist P(A) die Klassealler Teilklassen von A, die Mengen sind.
Um sicherzustellen, daß (a, b) nicht die leere Klasse ist, mussen wir axiomatisch fordern, daß a unda, b Mengen sind. Also
Axiom 2. (Paarmengenaxiom).∀x, y(x, y ist Menge).
In der kumulativen Typenstruktur ist das Paarmengenaxiom offenbar gultig, da es zu je zwei StufenS1 und S2 nach dem Shoenfield-Prinzip eine Stufe S geben muß, die nach S1 und S2 kommt.
Ausgeschrieben lautet das Paarmengenaxiom: ∀x∀y∃z∀u.u ∈ z ↔ u = x ∨ u = y. Insbesondere folgtaus dem Paarmengenaxiom, daß fur jede Menge x die Einermenge x eine Menge ist. Ferner folgt, daß(a, b) = a, a, b Menge ist.
Weiter definieren wir
(x, y) | A(x, y) := z | ∃x, y.A(x, y) ∧ z = (x, y) A × B := (x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B kartesisches Produkt von A und B,
dom(A) := x | ∃y ((x, y) ∈ A) Definitionsbereich von A,
rng(A) := y | ∃x ((x, y) ∈ A) Wertebereich von A,
AB := (x, y) | (x, y) ∈ A ∧ x ∈ B Einschrankung von A auf B,
A[B] := y | ∃x.x ∈ B ∧ (x, y) ∈ A Bild von B unter A,
A−1 := (y, x) | (x, y) ∈ A, Inverses von A,
A B := (x, z) | ∃y.(x, y) ∈ B ∧ (y, z) ∈ A Verkettung von A und B.
Jetzt kann man ohne Muhe die ublichen Begriffe betreffend Relationen und Funktionen einfuhren.Fur Klassen A, B und C definieren wir
88 5. Mengenlehre
1. A ist Relation genau dann, wenn A ⊆ V × V . Eine Relation ist also eine Klasse von Paaren. Statt(a, b) ∈ A schreiben wir auch aAb.
2. A ist Relation auf B genau dann, wenn A ⊆ B × B.3. A ist Funktion genau dann, wenn A Relation ist und
∀x, y, z.(x, y) ∈ A ∧ (x, z) ∈ A → y = z.
Eine Funktion ist also eine rechtseindeutige Relation.4. A : B → C genau dann, wenn A Funktion ist mit dom(A) = B und A[B] ⊆ C. A heißt dann Funktion
von B nach C.5. A : B →auf C genau dann, wenn A : B → C und A[B] = C. A heißt dann surjektive Funktion von B
auf C.6. A ist injektiv genau dann, wenn A und A−1 Funktionen sind.7. A : B ↔ C genau dann, wenn A : B →auf C und A injektiv ist. A heißt dann bijektive Funktion von B
auf C.
Fur den weiteren Aufbau der Mengenlehre sind die folgenden Axiome notwendig.
Axiom 3. (Vereinigungsmengenaxiom).
∀x (⋃
x ist Menge).
Das Vereinigungsmengenaxiom ist gultig in der kumulativen Typenstruktur. Um dies zu sehen, be-trachte man eine Stufe S, in der x gebildet ist. Ein beliebiges Element v ∈ x steht dann bereits in einerfruheren Stufe Sv zur Verfugung. Ebenso ist jedes Element u ∈ v in einer vor Sv liegenden Stufe Sv,u
vorhanden. Alle diese u bilden aber⋃
x. Damit kann auch⋃
x auf der Stufe S gebildet werden.Wir konnen jetzt die obige Definition fortsetzen durch
8. A(x) :=⋃
y | (x, y) ∈ A.
Ist A eine Funktion und (x, y) ∈ A, so ist A(x) =⋃
y = y und wir schreiben A : x 7→ y.
Axiom 4. (Aussonderungsschema). Fur jede Klasse A gilt (die Generalisierung von)
A ⊆ x → ∃y (A = y).
Das Aussonderungsschema sagt also aus, daß jede Teilklasse A einer Menge x selbst eine Menge ist.Es ist gultig in der kumulativen Typenstruktur, denn auf derselben Stufe, auf der die Menge x gebildetist, kann man auch die Menge y bilden, deren Elemente gerade die Elemente der Klasse A sind. – Manbeachte, daß das Aussonderungsschema aus unendlich vielen Axiomen besteht.
Axiom 5. (Potenzmengenaxiom).∀x (P(x) ist Menge).
Das Potenzmengenaxiom ist gultig in der kumulativen Typenstruktur. Um dies zu sehen, betrachteman eine Stufe S, auf der x gebildet ist. Dann ist auch jede Teilmenge y ⊆ x auf der Stufe S gebildet.Auf der (nach dem Shoenfield-Prinzip existierenden) nachsten Stufe S′ kann man also P(x) bilden.
Lemma 5.2.1. ∀a, b (a× b ist Menge)..
Beweis. Wir zeigen a× b ⊆ P(P(a ∪ b)). Seien also x ∈ a und y ∈ b. Dann gilt
x, x, y ⊆ a ∪ b
x, x, y ∈ P(a ∪ b)
x, x, y ⊆ P(a ∪ b)
(x, y) = x, x, y ∈ P(P(a ∪ b))
Die Behauptung folgt mit dem Vereinigungsmengenaxiom, dem Paarmengenaxiom, dem Potenzmen-genaxiom und dem Aussonderungsschema. ut
5.3 Rekursion, Induktion, Ordinalzahlen 89
Axiom 6. (Ersetzungsschema). Fur jede Klasse A gilt
A ist Funktion → ∀x (A[x] ist Menge)
Auch das Ersetzungsschema ist gultig in der kumulativen Typenstruktur; dies ist allerdings nur mitetwas mehr Muhe einzusehen. Man betrachte alle Elemente u der Menge x∩dom(A). Fur jedes solche u istA(u) eine Menge und deshalb auf einer Stufe Su der kumulativen Typenstruktur gebildet. Da x∩dom(A)eine Menge ist, kann man sich eine Situation vorstellen, in der alle Su fur u ∈ x ∩ dom(A) konstruiertsind. Nach dem Shoenfield-Prinzip gibt es also auch eine Stufe S nach allen Su. In S kann A[x] gebildetwerden.
Lemma 5.2.2. Aus dem Ersetzungsschema folgt das Aussonderungsschema.
Beweis. Sei A ⊆ x und B := (u, v) | u = v ∧ u ∈ A. Dann ist B Funktion und es gilt B[x] = A. ut
Damit sind die Axiome der Mengenlehre noch nicht vollstandig angegeben: wir werden spater nochdas Unendlichkeitsaxiom, das Regularitatsaxiom und das Auswahlaxiom fordern.
5.3 Rekursion, Induktion, Ordinalzahlen
Wir beginnen damit, einen moglichst allgemeinen Rahmen fur rekursive Definitionen und induktive Be-weise abzustecken. Es wird sich zeigen, daß beides uber sog. fundierten Relationen moglich ist. Um dieszu zeigen, fuhren wir als Hilfsbegriff den einer transitiv fundierten Relation ein; er wird sich spaterals aquivalent zu dem einer fundierten Relation erweisen. Wir definieren dann die naturlichen Zahlenim Rahmen der Mengenlehre, wobei wir Induktion und Rekursion als Spezialfalle der entsprechendenallgemeinen Satze fur transitiv fundierte Relationen erhalten. Durch Rekursion uber naturliche Zahlenkonnen wir dann die transitive Hulle einer Menge einfuhren, und mit Hilfe dieses Begriffs zeigen wir, daßdie fundierten Relationen mit den transitiv fundierten Relationen ubereinstimmen.
Anschließend untersuchen wir spezielle fundierte Relationen. Zunachst zeigen wir, daß beliebige Klas-sen mit der ∈-Relation bis auf Isomorphie die einzigen fundierten extensionalen Relationen sind (Isomor-phiesatz von Mostowski). Dann betrachten wir lineare fundierte Ordnungen, kurz Wohlordnungen. Dasie stets extensional sind, sind sie alle zu gewissen Klassen mit der ∈-Relation isomorph, die wir ordinaleKlassen nennen. Ordinalzahlen sind dann die ordinalen Mengen.
Rekursion uber transitiv fundierte Relationen
Mit A, B, C bezeichnen wir immer Klassen. Fur eine beliebige Relation R auf A definieren wir
1. xR = y | yRx heißt die Klasse der R-Vorganger von x. Im folgenden schreiben wir x statt xR,wenn R aus dem Zusammenhang klar ist.
2. B ⊆ A heißt R-transitiv, wenn∀x.x ∈ B → x ⊆ B.
B ⊆ A ist also R-transitiv genau dann, wenn aus yRx und x ∈ B stets folgt y ∈ B.3. Sei B ⊆ A. x ∈ B heißt R-minimales Element von B, wenn x ∩ B = ∅.4. R heißt transitiv fundierte Relation auf A, wenn gilt
a. Jede nichtleere Teilmenge von A besitzt ein R-minimales Element, d.h.
∀a.a ⊆ A ∧ a 6= ∅ → ∃x.x ∈ a ∧ x ∩ a = ∅.
b. Zu jedem x ∈ A gibt es eine R-transitive Menge b ⊆ A mit x ⊆ b.
Bei allen diesen Begriffen wird im folgenden R weggelassen, wie bereits oben fur x geschehen.
90 5. Mengenlehre
Anmerkung. Sei R eine Relation auf A. R heißt transitive Relation auf A, wenn fur alle x, y, z ∈ A gilt
xRy ∧ yRz → xRz.
Zum Begriff der R-Transitivitat von Klassen besteht folgender Zusammenhang. Sei R eine Relation aufA. Dann gilt
R ist transitive Relation auf A ↔ fur jedes y ∈ A gilt: y ist R-transitiv.
Beweis. : →. Sei R transitive Relation auf A, y ∈ A und x ∈ y, also xRy. Zu zeigen ist x ⊆ y. Sei alsozRx. Zu zeigen ist zRy. Dies folgt aber aus der Transitivitat von R. ←. Seien x, y, z ∈ A, xRy und yRz.Zu zeigen ist xRz. Es gilt also xRy und y ∈ z. Da z R-transitiv ist, folgt x ∈ z, also xRz. ut
Lemma 5.3.1. Sei R transitiv fundierte Relation auf A. Dann gilt
1. Jede nichtleere Teilklasse B ⊆ A hat ein R-minimales Element.2. ∀x.x∈A → x ist Menge.
Beweis. 1. Sei B ⊆ A und z ∈ B. OBdA ist z nicht B-minimal, d.h. z ∩ B 6= ∅. Nach 4b existiert eineR-transitive Obermenge b ⊆ A von z. Wegen z ∩ B 6= ∅ ist b ∩ B 6= ∅. Nach 4a existiert ein R-minimalesx ∈ b ∩ B, d.h. x ∩ b ∩ B = ∅. Da b R-transitiv ist, folgt aus x ∈ b sofort x ⊆ b. Also ist x ∩ B = ∅ unddamit x R-minimales Element von B.
2. Dies folgt wegen 4b aus dem Aussonderungsschema. ut
Wir schreiben ∀x∈A . . . fur ∀x.x ∈ A → . . . und entsprechend ∃x∈A . . . fur ∃x.x ∈ A ∧ . . . .
Satz 5.3.2. (Induktionssatz). Sei R eine transitiv fundierte Relation auf A und B eine beliebige Klasse.Gilt dann
∀x∈A.x ⊆ B → x ∈ B,
so folgt A ⊆ B.
Beweis. Annahme: A \ B 6= ∅. Sei x minimales Element von A \ B. Es genugt, x ⊆ B zu zeigen, denndaraus folgt nach Annahme x ∈ B, also ein Widerspruch. Sei z ∈ x. Nach Wahl von x folgt z /∈ A \ B,also z ∈ B (denn z ∈ A gilt, da R eine Relation auf A ist). ut
Satz 5.3.3. (Rekursionssatz). Sei R eine transitiv fundierte Relation auf A und G : V → V . Dann gibtes genau eine Funktion F : A → V mit
∀x∈A(
F(x) = G(Fx))
.
Beweis. Man beachte zunachst, daß fur F : A → V gilt Fx ⊆ x×F [x] und damit Fx eine Menge ist.Eindeutigkeit. Gegeben F1, F2. Betrachte
x | x ∈ A ∧ F1(x) = F2(x) =: B.
Nach dem Induktionssatz genugt es zu zeigen ∀x∈A.x ⊆ B → x ∈ B. Sei also x ∈ A und x ⊆ B. Danngilt
F1x = F2x
G (F1x) = G (F2x)
F1(x) = F2(x)
x ∈ B.
Existenz. Sei
B := f | f Funktion, dom(f) R-transitive Teilmenge von A und ∀x∈dom(f)(
f(x) = G(fx))
undF :=
⋃
B.
5.3 Rekursion, Induktion, Ordinalzahlen 91
Wir beweisen zunachst, daß
f, g ∈ B ∧ x ∈ dom(f) ∩ dom(g) → f(x) = g(x).
Seien also f, g ∈ B. Wir zeigen die Behauptung durch Induktion uber x, d.h. durch Anwendung desInduktionssatzes auf
x | x ∈ dom(f) ∩ dom(g) → f(x) = g(x) .Sei also x ∈ dom(f) ∩ dom(g). Dann gilt
x ⊆ dom(f) ∩ dom(g), da dom(f), dom(g) R-transitiv
fx = gx nach IHG (fx) = G (gx)
f(x) = g(x).
Damit ist gezeigt, daß F eine Funktion ist.Hieraus ergibt sich unmittelbar f ∈ B ∧ x ∈ dom(f) → F(x) = f(x); wir haben also gezeigt, daß
F(x) = G (Fx) fur alle x ∈ dom(F). (5.1)
Wir beweisen jetztdom(F) = A.
⊆ ist klar. ⊇. Wir verwenden den Induktionssatz. Sei also y ⊆ dom(F). Zu zeigen ist y ∈ dom(F). Wirfuhren den Beweis indirekt und nehmen y /∈ dom(F) an. Sei b R-transitiv mit y ⊆ b ⊆ A. Setze
g := Fb ∪ (y,G(Fy)) .
Es genugt offenbar, g ∈ B zu zeigen, denn wegen y ∈ dom(g) folgt daraus y ∈ dom(F) und damit dergesuchte Widerspruch.
g Funktion: Dies ist klar, da y /∈ dom(F) nach Annahme.dom(g) R-transitiv: Es ist dom(g) = (b ∩ dom(F)) ∪ y. Man beachte zunachst, daß dom(F) als
Vereinigung R-transitiver Mengen selbst R-transitiv ist. Da ferner b R-transitiv ist, ist auch b∩ dom(F)R-transitiv. Sei nun zRx und x ∈ dom(g). Zu zeigen: z ∈ dom(g). Im Fall x ∈ b ∩ dom(F) ist auchz ∈ b ∩ dom(F) (da wie eben bemerkt b ∩ dom(F) R-transitiv ist), also z ∈ dom(g). Im Fall x = y istz ∈ y, also z ∈ b und z ∈ dom(F) nach Wahl von y, also wieder z ∈ dom(g).
∀x∈dom(g)(
g(x) = G(gx))
: Im Fall x ∈ b ∩ dom(F) ist
g(x) = F(x)
= G(Fx) nach (5.1)
= G(gx) da x ⊆ b ∩ dom(F), denn b ∩ dom(F) ist R-transitiv.
Im Fall x = y ist g(x) = G(Fx) = G(gx), da x = y ⊆ b ∩ dom(F) nach Wahl von y. ut
Naturliche Zahlen
Zermelo hat die naturlichen Zahlen wie folgt in der Mengenlehre definiert: 0 = ∅, 1 = ∅, 2 = ∅,3 = ∅ und so weiter. Ein gravierender Nachteil dieser Definition ist, daß man sie nicht ins Transfiniteverallgemeinern kann. Deshalb hat J. von Neumann vorgeschlagen, die Zahl n darzustellen durch eineMenge aus genau n Elementen, und zwar durch
n := 0, 1, . . . , n− 1 .
Also
0 = ∅n + 1 = 0, 1, . . . , n
= 0, 1, . . . , n− 1 ∪ n
92 5. Mengenlehre
Wir definieren deshalb allgemein0 := ∅, x + 1 := x ∪ x.
Speziell setzen wir 1 := 0 + 1, 2 := 1 + 1, 3 := 2 + 1.Die Klasse aller so konstruierten naturlichen Zahlen soll eine Menge sein. Dazu brauchen wir ein
weiteres Axiom.
Axiom 7. (Unendlichkeitsaxiom).
∃x.∅ ∈ x ∧ ∀y.y ∈ x → y ∪ y ∈ x.
Wir nennen eine Klasse A induktiv , wenn
∅ ∈ A ∧ ∀y.y ∈ A → y ∪ y ∈ A.
Das Unendlichkeitsaxiom sagt also aus: Es gibt eine induktive Menge. Ferner setzen wir
ω :=⋂
x | x ist induktiv .
Offenbar ist ω ist eine Menge und es gilt 0 ∈ ω und y ∈ ω → y +1 ∈ ω. ω heißt die Menge der naturlichenZahlen.
Mit n, m bezeichnen wir naturliche Zahlen. Insbesondere steht ∀nA(n) fur ∀x.x ∈ ω → A(x), ebenso∃nA(n) fur ∃x.x ∈ ω ∧A(x) und n | A(n) fur x | x ∈ ω ∧A(x) .
Satz 5.3.4. (Induktion uber ω).
1. x ⊆ ω ∧ 0 ∈ x ∧ (∀n.n ∈ x → n + 1 ∈ x) → x = ω.2. Fur jede Formel A(x) gilt
A(0) ∧ (∀n.A(n) → A(n + 1)) → ∀nA(n).
Beweis. 1. x ist induktiv, also ω ⊆ x. 2. Sei A := n | A(n) . Dann gilt A ⊆ ω (also A ist Menge),
0 ∈ A,
n ∈ A → n + 1 ∈ A.
Nach Teil 1 folgt A = ω. ut
Wir zeigen jetzt, daß fur naturliche Zahlen die Relation ∈ die Eigenschaften von < und die Relation⊆ die Eigenschaften von ≤ hat.
Eine Klasse A heißt transitiv , wenn A bezuglich der speziellen Relation E := (x, y) | x ∈ y auf VE-transitiv ist, d.h. wenn gilt ∀x.x ∈ A → x ⊆ A. A ist also transitiv genau dann, wenn
∀x, y.y ∈ x ∈ A → y ∈ A.
Lemma 5.3.5. 1. n ist transitiv.2. ω ist transitiv.
Beweis. 1. Induktion nach n. 0 ist transitiv. n → n + 1. Nach IH ist n transitiv. Zu zeigen: n + 1 isttransitiv. Sei
y ∈ x ∈ n + 1
y ∈ x ∈ n ∪ ny ∈ x ∈ n ∨ y ∈ x = n
y ∈ n ∨ y ∈ n
y ∈ n ∪ n = n + 1.
5.3 Rekursion, Induktion, Ordinalzahlen 93
2. Gezeigt wird ∀x.x ∈ n → x ∈ ω durch Induktion nach n. 0: Klar. n → n + 1. Nach IH gilt∀x.x ∈ n → x ∈ ω. Sei
x ∈ n + 1
x ∈ n ∨ x = n
x ∈ ω. ut
Lemma 5.3.6. n /∈ n.
Beweis. Induktion nach n. 0. Klar. n → n + 1: Nach IH ist n /∈ n. Annahme:
n + 1 ∈ n + 1
n + 1 ∈ n ∨ n + 1 = n
n ∈ n + 1 ∈ n ∨ n ∈ n + 1 = n
n ∈ n denn n ist nach Lemma 5.3.5(1)transitiv.
Dies ist ein Widerspruch zur IH. ut
Lemma 5.3.7. 1. n ⊆ m + 1 ↔ n ⊆ m ∨ n = m + 1.2. n ⊆ m ↔ n ∈ m ∨ n = m.3. n ⊆ m ∨m ⊆ n.4. n ∈ m ∨ n = m ∨m ∈ n.
Beweis. 1. ← folgt aus m ⊆ m + 1. →. Fall m ∈ n. Wir zeigen n = m + 1. ⊆ gilt nach Voraussetzung. ⊇.
p ∈ m + 1p ∈ m ∨ p = m
p ∈ n.
Fall m /∈ n. Wir zeigen n ⊆ m.
p ∈ n
p ∈ m + 1
p ∈ m ∨ p = m,
aber p = m ist unmoglich wegen m /∈ n.2. ← folgt aus der Transitivitat von m. →. Induktion nach m. 0. Klar. m → m + 1.
n ⊆ m + 1
n ⊆ m ∨ n = m + 1 nach (1)
n ∈ m ∨ n = m ∨ n = m + 1 nach IH
n ∈ m + 1 ∨ n = m + 1.
3. Induktion nach n. 0. Klar. n → n + 1: Fall m ⊆ n. Klar. Fall n ⊆ m. Dann gilt
n ∈ m ∨ n = m nach (2)
n, n ⊆ m ∨m ⊆ n + 1
n + 1 ⊆ m ∨m ⊆ n + 1
4. Folgt aus (3) und (2). ut
Satz 5.3.8. (Peano-Axiome).
1. n + 1 6= ∅.2. n + 1 = m + 1 → n = m.3. x ⊆ ω ∧ 0 ∈ x ∧ (∀n.n ∈ x → n + 1 ∈ x) → x = ω.
94 5. Mengenlehre
Beweis. 1. Klar. 3. Dies wurde eben als Satz 5.3.4(1) bewiesen. 2.
n + 1 = m + 1
n ∈ m + 1 ∧m ∈ n + 1
(n ∈ m ∧m ∈ n) ∨ n = m
n ∈ n ∨ n = m
n = m. ut
Wir behandeln jetzt noch verschiedene Formen der Induktion.
Satz 5.3.9. (Induktion uber ω mit Ruckgriff auf samtliche Vorganger).
1. x ⊆ ω ∧ [∀n.(∀m.m ∈ n → m ∈ x) → n ∈ x] → x = ω.2. [∀n.(∀m.m ∈ n → A(m)) → A(n)] → ∀nA(n).
Beweis. 2. Gelte ∀n.(∀m.m ∈ n → A(m)) → A(n); man sagt in diesem Fall, daß A(n) progressiv ist.Gezeigt wird ∀m.m ∈ n → A(m) durch Induktion nach n. 0. Klar. n → n + 1. Nach IH gilt ∀m.m ∈ n →A(m). Sei also m ∈ n + 1. Dann gilt m ∈ n ∨m = n. Im Fall m ∈ n folgt A(m) nach IH, und im Fallm = n folgt A(n) aus der Progressivitat von A mit der IH.
1. Aus (2) mit A(y) := y ∈ x. ut
Satz 5.3.10. (Prinzip vom kleinsten Element fur ω).
1. ∅ 6= x ⊆ ω → ∃n.n ∈ x ∧ n ∩ x = ∅.2. ∃nA(n) → ∃n.A(n) ∧ ¬∃m.m ∈ n ∧A(m).
Beweis. 2. Es gilt nach Satz 5.3.9(2)
[∀n.(∀m.m ∈ n → ¬A(m)) → ¬A(n)] → ∀n¬A(n).
Kontraposition ergibt
∃nA(n) → ∃n.A(n) ∧ ∀m.m ∈ n → ¬A(m)
∃nA(n) → ∃n.A(n) ∧ ¬∃m.m ∈ n ∧A(m).
1. Aus (2) mit A(y) := y ∈ x. ut
Wir kommen jetzt zur Rekursion uber den naturlichen Zahlen, die wir als Spezialfall des Rekursi-onssatzes 5.3.3 behandeln konnen. Wir identifizieren dazu ∈ mit der Relation E = (x, y) | x ∈ y undzeigen folgendes Lemma.
Lemma 5.3.11. ∈ ∩(ω × ω) ist eine transitiv fundierte Relation auf ω.
Beweis. Wir zeigen beide Bedingungen aus der Definition transitiv fundierter Relationen. a. Sei ∅ 6= a ⊆ω. Zu zeigen ∃n.n ∈ a ∧ n ∩ a = ∅. Das ist obiges Prinzip vom kleinsten Element. b. Klar, da n transitivist. ut
Satz 5.3.12. (Rekursion uber ω mit Ruckgriff auf samtliche Vorganger). Sei G : V → V . Dann gibt esgenau eine Funktion f : ω → V mit
∀n (f(n) = G(fn)).
Beweis. Nach dem Rekursionssatz 5.3.3 gibt es ein eindeutig bestimmtes F : ω → V mit ∀n (F(n) =G(Fn)). Nach dem Ersetzungsschema ist rng(F) = F [ω] eine Menge. Nach Lemma 5.2.1 und demAussonderungsschema ist damit auch F ⊆ ω ×F [ω] eine Menge. ut
Korollar 5.3.13. (Rekursion uber ω). Sei G : V → V und a eine Menge. Dann gibt es genau eineFunktion f : ω → V mit
f(0) = a,
∀n (f(n + 1) = G(f(n))).
5.3 Rekursion, Induktion, Ordinalzahlen 95
Beweis. Man beachte zunachst, daß⋃
(n + 1) = n ist wegen
x ∈⋃
(n + 1) ↔ ∃y.x ∈ y ∈ n + 1
↔ ∃m.x ∈ m ∈ n + 1
↔ ∃m.x ∈ m ⊆ n
↔ x ∈ n.
Ansatz: Zu dem gegebenen G finde man ein G′ mit G′(fn + 1) = G(f(n)). Wir definieren eine FunktionG′ : V → V mit
G′(x) =
G(x(⋃
dom(x))), falls x 6= ∅;a, falls x = ∅,
und zwar durch
G′ = (x, y) | (x 6= ∅ → y = G(x⋃
dom(x))) ∧ (x = ∅ → y = a) .
Dann gibt es genau eine Funktion f : ω → V mit
f(n + 1) = G′(fn + 1)
= G((fn + 1)(⋃
(n + 1)︸ ︷︷ ︸
n
))
= G(f(n)),
f(0) = G′(f0︸︷︷︸
∅
)
= a. ut
Wir definieren jetztsm(0) = m, sm(n + 1) = sm(n) + 1.
Nach Korollar 5.3.13 existiert fur jedes m eine solche Funktion, und sie ist eindeutig bestimmt. Weiterdefinieren wir
m + n := sm(n).
Wegen sm(1) = sm(0 + 1) = sm(0) + 1 = m+ 1 vertragt sich diese Definition fur n = 1 mit der bisherigenTerminologie. Ferner gilt m + 0 = m und m + (n + 1) = (m + n) + 1.
Lemma 5.3.14. 1. m + n ∈ ω.2. (m + n) + p = m + (n + p).3. m + n = n + m.
Beweis. 1. Induktion nach n. 0. Klar. n → n + 1. m + (n + 1) = (m + n) + 1, und nach IH ist m + n ∈ ω.2. Induktion nach p. 0. Klar. p → p + 1.
(m + n) + (p + 1) = [(m + n) + p] + 1 nach Definition
= [m + (n + p)] + 1 nach IH
= m + [(n + p) + 1]
= m + [n + (p + 1)].
3. Zunachst zeigen wir zwei Hilfsaussagen.(i) 0 + n = n. Beweis durch Induktion nach n. 0. Klar. n → n + 1. 0 + (n + 1) = (0 + n) + 1 = n + 1.(ii) (m + 1) + n = (m + n) + 1. Beweis durch Induktion nach n. 0. Klar. n → n + 1.
(m + 1) + (n + 1) = [(m + 1) + n] + 1
= [(m + n) + 1] + 1 nach IH
= [m + (n + 1)] + 1.
96 5. Mengenlehre
Jetzt ergibt sich die Behauptung m + n = n + m durch Induktion nach m. 0. Nach (i). m → m + 1.
(m + 1) + n = (m + n) + 1 nach (ii)
= (n + m) + 1 nach IH
= n + (m + 1). ut
Wir definierenpm(0) = 0, pm(n + 1) = pm(n) + m.
Nach Korollar 5.3.13 existiert wieder fur jedes m eine eindeutig bestimmte solche Funktion. Gebrauchtwird hier
G : V → V,
G(x) =
x + m, falls x ∈ ω;∅, sonst.
Schließlich definieren wir m ·n := pm(n). Man beachte, daß hieraus folgt m ·0 = 0, m · (n+1) = m ·n+m.
Lemma 5.3.15. 1. m · n ∈ ω.2. m · (n + p) = m · n + m · p.3. (n + p) ·m = n ·m + p ·m.4. (m · n) · p = m · (n · p).5. 0 · n = 0, 1 · n = n, m · n = n ·m.
Beweis. Ubung. ut
Anmerkung. nm, m− n lassen sich ahnlich behandeln; spater (in der Ordinalzahlarithmetik) werden wirdies allgemeiner durchfuhren. - Man kann jetzt leicht auf die bekannte Weise ganze, rationale, reelle undkomplexe Zahlen definieren und ihre elementaren Eigenschaften beweisen.
Transitive Hulle
Wir definieren die R-transitive Hulle einer Menge a, und zwar bezuglich einer Relation R mit der Eigen-schaft, daß die R-Vorganger eines beliebigen Elements ihres Bereichs eine Menge bilden.
Satz 5.3.16. Sei R eine Relation auf A derart daß xR (:= y | yRx ) fur jedes x ∈ A eine Menge ist.Dann gibt es zu jeder Teilmenge a ⊆ A eine eindeutig bestimmte Menge b mit
1. a ⊆ b ⊆ A.2. b ist R-transitiv.3. ∀c.a ⊆ c ⊆ A ∧ c R-transitiv → b ⊆ c.
b heißt die R-transitive Hulle von a.
Beweis. Eindeutigkeit. Klar nach (3). Existenz. Wir wollen ein f : ω → V durch Rekursion uber ω sodefinieren, daß gilt
f(0) = a,
f(n + 1) = y | ∃x∈f(n)(yRx) .
Um den Rekursionssatz fur ω anwenden zu konnen, mussen wir f(n + 1) definieren in der Form G(f(n)).Dazu wahlen wir G : V → V , z 7→
⋃
rng(z) mit : V → V , x 7→ x; nach Annahme ist ˆ eine Funktion.Dann gilt
y ∈ G(f(n)) ↔ y ∈⋃
rng(f(n))
↔ ∃z.z ∈ rng(f(n)) ∧ y ∈ z
↔ ∃z, x.x ∈ f(n) ∧ z = x ∧ y ∈ z
↔ ∃x.x ∈ f(n) ∧ yRx.
5.3 Rekursion, Induktion, Ordinalzahlen 97
Durch Induktion uber n sieht man leicht, daß f(n) eine Menge ist. Fur 0 ist dies klar, und im Schrittn → n + 1 folgt dies wegen f(n + 1) =
⋃
x | x ∈ f(n) aus der IH, dem Ersetzungsschema und demVereinigungsmengenaxiom. – Wir setzen jetzt b :=
⋃
rng(f) =⋃
f(n) | n ∈ ω . Dann erhalt manfolgendes.
1. a = f(0) ⊆ b ⊆ A.2.
yRx ∈ b
yRx ∈ f(n)
y ∈ f(n + 1)
y ∈ b.
3. Sei a ⊆ c ⊆ A und c R-transitiv. Wir zeigen f(n) ⊆ c durch Induktion uber n. 0. a ⊆ c. n → n + 1.
y ∈ f(n + 1)
yRx ∈ f(n)
yRx ∈ cy ∈ c. ut
Anmerkung. Im Spezialfall der Relation ∈ auf V ist die Bedingung ∀x(x = y | y ∈ x ist Menge)offenbar erfullt. Also gibt es zu jeder Menge a eine eindeutig bestimmte ∈-transitive Hulle von a. Sieheißt die transitive Hulle von a.
Rekursion uber fundierte Relationen
Mit Hilfe des Begriffs der R-transitiven Hulle konnen wir jetzt zeigen, daß die transitiv fundierten Rela-tionen auf A mit den fundierten Relationen auf A ubereinstimmen.
Sei R eine Relation auf A. R heißt fundierte Relation auf A, wenn gilt
1. Jede nichtleere Teilmenge von A besitzt ein R-minimales Element, d.h.
∀a.a ⊆ A ∧ a 6= ∅ → ∃x∈a.x ∩ a = ∅.
2. Fur jedes x ∈ A ist x eine Menge.
Satz 5.3.17. Die transitiv fundierten Relationen auf A stimmen mit den fundierten Relationen auf Auberein.
Beweis. Jede transitiv fundierte Relation auf A ist fundiert nach Lemma 5.3.1(2). Umgekehrt ist jedefundierte Relation auf A transitiv fundiert, denn zu jedem x ∈ A ist die R-transitive Hulle von x einR-transitives b ⊆ A mit x ⊆ b. ut
Der Induktionssatz 5.3.2 und der Rekursionssatz 5.3.3 gelten fur also fundierte Relationen. Ebensogilt nach Lemma 5.3.1(1), daß jede nichtleere Teilklasse einer fundierten Relation R ein R-minimalesElement hat.
Spater werden wir ein sogenanntes Regularitatsaxiom fordern, welches aussagt, daß die Relation ∈auf V fundiert ist, d.h. daß gilt
∀a.a 6= ∅ → ∃x∈a.x ∩ a = ∅.
Damit werden wir dann ein wichtiges Beispiel einer fundierten Relation zur Verfugung haben.
98 5. Mengenlehre
Wohlordnungen
Wir betrachten jetzt extensionale fundierte Relationen. Aus dem Regularitatsaxiom wird spater folgen,daß die ∈-Relation auf einer beliebigen Klasse A eine fundierte extensionale Relation ist. Hier zeigen wirnoch ohne das Regularitatsaxiom die Unkehrung, daß namlich jede fundierte extensionale Relation zuder ∈-Relation auf einer transitiven Klasse isomorph ist. Dies ist der Isomorphiesatz von Mostowski.Dann betrachten wir lineare fundierte Ordnungen, kurz Wohlordnungen. Sie sind stets extensional unddeshalb zur ∈-Relation auf gewissen Klassen isomorph, die wir ordinale Klassen nennen. Ordinalzahlensind dann die ordinalen Mengen.
Eine Relation R auf A heißt extensional , wenn fur alle x, y ∈ A gilt
(∀z∈A.zRx ↔ zRy) → x = y.
Zum Beispiel ist fur eine transitive Klasse A die Relation ∈ ∩(A×A) extensional auf A. Dies sieht manwie folgt. Seien x, y ∈ A. Fur R :=∈ ∩(A×A) gilt zRx ↔ z ∈ x, da A transitiv ist. Man erhalt
∀z∈A.zRx ↔ zRy
∀z.z ∈ x ↔ z ∈ y
x = y
Aus dem Regularitatsaxiom wird folgen, daß alle diese Relationen fundiert sind. Auch ohne das Re-gularitatsaxiom haben diese Relationen eine ausgezeichnete Bedeutung; vgl. Korollar 5.3.19.
Satz 5.3.18. (Isomorphiesatz von Mostowski). Sei R eine fundierte extensionale Relation auf A. Danngibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus F von A auf eine transitive Klasse B, d.h.
∃=1F .F : A ↔ rng(F) ∧ rng(F) transitiv ∧ ∀x, y∈A.yRx ↔ F(y) ∈ F(x).
Beweis. Existenz. Wir definieren nach dem Rekursionssatz
F : A → V,
F(x) = rng(Fx) (= F(y) | yRx ).
F injektiv. Wir zeigen ∀x, y∈A.F(x) = F(y) → x = y durch R-Induktion uber x. Seien also x, y ∈ Agegeben mit F(x) = F(y). Nach IH gilt
∀z∈A.zRx → ∀u∈A.F(z) = F(u) → z = u.
Es genugt zu zeigen, daß fur alle z ∈ A gilt zRx ↔ zRy. →.
zRx
F(z) ∈ F(x) = F(y) = F(u) | uRy F(z) = F(u) fur ein uRy
z = u nach IH, da zRx
zRy
←.
zRy
F(z) ∈ F(y) = F(x) = F(u) | uRx F(z) = F(u) fur ein uRx
z = u nach IH, da uRx
zRx.
rng(F) ist transitiv. Gelte u ∈ v ∈ rng(F). Dann ist v = F(x), also u = F(y) fur ein yRx.yRx ↔ F(y) ∈ F(x). →. Gelte yRx. Dann ist F(y) ∈ F(x) nach Definition von F . ←.
5.3 Rekursion, Induktion, Ordinalzahlen 99
F(y) ∈ F(x) = F(z) | zRx F(y) = F(z) fur ein zRx
y = z da F injektiv ist
yRx.
Eindeutigkeit. Gegeben seien Fi, i = 1, 2. Wir zeigen ∀x∈A (F1(x) = F2(x)) durch R-Induktion uberx. Aus Symmetriegrunden genugt u ∈ F1(x) → u ∈ F2(x).
u ∈ F1(x)
u = F1(y) fur ein y ∈ A, da rng(F1) transitiv
yRx nach der Isomorphiebedingung fur F1
u = F2(y) nach IH
F2(y) ∈ F2(x) nach der Isomorphiebedingung fur F2
u ∈ F2(x). ut
Eine Relation R auf A heißt lineare Ordnung , wenn fur alle x, y, z ∈ A gilt
¬xRx Irreflexivitat,
xRy ∧ yRz → xRz Transitivitat,
xRy ∨ x = y ∨ yRx Trichotomie (oder Vergleichbarkeit).
R heißt Wohlordnung , wenn R eine fundierte lineare Ordnung ist.
Anmerkung. Jede Wohlordnung R auf A ist extensional. Gilt namlich
∀z∈A.zRx ↔ zRy,
so folgt x = y aus der Trichotomie, denn aus xRy folgt nach Annahme xRx im Widerspruch zur Irrefle-xivitat, und ebenso erhalt man aus yRx einen Widerspruch.
Korollar 5.3.19. Zu jeder Wohlordnung R auf A gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus Fvon A auf eine transitive Klasse B. ut
Ordinale Klassen und Ordinalzahlen
Wir wollen jetzt die transitiven Klassen, die als Bilder von Wohlordnungen auftreten, genauer untersu-chen.
A heißt ordinale Klasse, wenn A transitiv ist und ∈ ∩(A×A) eine Wohlordnung auf A ist. OrdinaleKlassen, die Mengen sind, heißen Ordinalzahlen. Wir setzen
On := x | x ist Ordinalzahl .
Zunachst geben wir eine bequeme Charakterisierung ordinaler Klassen an. A heißt konnex , wenn furalle x, y ∈ A gilt
x ∈ y ∨ x = y ∨ y ∈ x.
Zum Beispiel ist ω konnex nach Lemma 5.3.7(4). Auch jedes n ist konnex, da ω nach Lemma 5.3.5(2)transitiv ist.
Eine Klasse A heißt fundiert , wenn ∈ ∩(A×A) eine fundierte Relation auf A ist, d.h. wenn gilt
∀a.a ⊆ A ∧ a 6= ∅ → ∃x∈a.x ∩ a = ∅.
Wir zeigen jetzt, daß es in fundierten Klassen keine endlichen ∈-Zykel geben kann.
Lemma 5.3.20. Sei A fundiert. Dann kann fur beliebige x1, . . . , xn ∈ A niemals gelten
x1 ∈ x2 ∈ · · · ∈ xn ∈ x1.
100 5. Mengenlehre
Beweis. Annahme: x1 ∈ x2 ∈ · · · ∈ xn ∈ x1. Betrachte x1, . . . , xn. Da A fundiert ist, gilt oBdAx1 ∩ x1, . . . , xn = ∅. Dies widerspricht aber xn ∈ x1. ut
Korollar 5.3.21. A ist ordinale Klasse genau dann, wenn A transitiv, konnex und fundiert ist.
Beweis. → ist klar; die Konnexitat von A folgt aus der Trichotomieeigenschaft. ←. Zu zeigen ist fur allex, y, z ∈ A
x /∈ x,
x ∈ y ∧ y ∈ z → x ∈ z.
Da A konnex ist, folgen beide Aussagen aus Lemma 5.3.20. ut
Anmerkung. 1. ω ist transitiv nach Lemma 5.3.5(2), konnex wie oben bemerkt und fundiert nach demPrinzip vom kleinsten Element (Satz 5.3.10). Also ist ω eine ordinale Klasse. Da ω nach dem Unendlich-keitsaxiom eine Menge ist, ist ω sogar eine Ordinalzahl.
2. n ist transitiv nach Lemma 5.3.5(1), konnex wie oben bemerkt und fundiert; letzteres folgt mit derTransitivitat von ω aus dem Prinzip vom kleinsten Element (Satz 5.3.10).
Ord(A) steht fur “A ist ordinale Klasse”. Wir zeigen jetzt, daß ordinale Klassen ahnliche Eigenschaftenhaben wie die naturlichen Zahlen: auch fur ordinale Klassen hat die Relation ∈ die Eigenschaften von <und die Relation ⊆ die Eigenschaften von ≤.
Lemma 5.3.22. 1. Ord(A) ∧ Ord(B) → Ord(A ∩ B).2. Ord(A) ∧ x ∈ A → Ord(x).3. Ord(A) ∧ Ord(B) → (A ⊆ B ↔ A ∈ B ∨ A = B).4. Ord(A) ∧ Ord(B) → (A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A).
Beweis. 1. A ∩ B transitiv. Man erhalt
x ∈ y ∈ A ∩ Bx ∈ y ∈ A und x ∈ y ∈ Bx ∈ A und x ∈ Bx ∈ A ∩ B.
A ∩ B konnex, fundiert. Klar.2. x transitiv. Man erhalt
u ∈ v ∈ x ∈ Au ∈ v ∈ Au ∈ Au ∈ x ∨ u = x ∨ x ∈ u.
Aus u = x folgt u ∈ v ∈ u und damit ein Widerspruch zu Lemma 5.3.20, und aus x ∈ u folgt u ∈ v ∈ x ∈ uund damit ebenfalls ein Widerspruch zu Lemma 5.3.20.
x konnex, fundiert. Klar, da x ⊆ A.3. ←. Klar, da B transitiv ist. →. Sei A ⊆ B. OBdA A ( B. Man wahle ein x ∈ B\A mit x∩(B\A) = ∅
(dies ist moglich, da B fundiert ist). Es genugt zu zeigen, daß x = A.x ⊆ A. Gelte y ∈ x, also y ∈ x ∈ B. Dann folgt y ∈ A, denn x ∩ (B \ A) = ∅.A ⊆ x. Gelte y ∈ A. Dann ist auch y ∈ B. Es folgt x ∈ y ∨ x = y ∨ y ∈ x. Die ersten beiden Falle sind
aber unmoglich, denn jedesmal erhalt man x ∈ A.4. Gelte Ord(A) und Ord(B). Dann folgt Ord(A ∩ B) nach (1). Aus (3) ergibt sich
[(A ∩ B ∈ A) ∨ (A ∩ B = A)] ∧ [(A ∩ B ∈ B) ∨ (A ∩ B = B)].
Ausdistribuieren liefert(A ∩ B ∈ A ∩ B) ∨ (A ∈ B) ∨ (B ∈ A) ∨ (A = B).
Der erste Fall A ∩ B ∈ A ∩ B ist aber unmoglich nach Lemma 5.3.20. ut
5.3 Rekursion, Induktion, Ordinalzahlen 101
Lemma 5.3.23. 1. Ord(On).2. On ist keine Menge.3. On ist die einzige echte ordinale Klasse.
Beweis. 1. On ist transitiv nach Lemma 5.3.22(2) und konnex nach Lemma 5.3.22(4). On ist auch fundiert.Sei namlich a ⊆ On, a 6= ∅. Wahle x ∈ a. OBdA ist x∩ a 6= ∅. Da x fundiert ist, gibt es ein y ∈ x∩ a mity ∩ x ∩ a = ∅. Es folgt y ∈ a und y ∩ a = ∅; letzteres da y ⊆ x wegen y ∈ x, x transitiv.
2. Annahme: On ist Menge. Dann folgt On ∈ On und damit ein Widerspruch zu Lemma 5.3.20.3. Sei Ord(A), A keine Menge. Nach Lemma 5.3.22(4) folgt
A ∈ On ∨ A = On ∨ On ∈ A.
Der erste und der dritte Fall scheiden aber aus, da dann A bzw. On eine Menge ware. ut
Lemma 5.3.24. 1. On ist induktiv,2. n, ω ∈ On.
Beweis. 1. 0 ∈ On ist klar. Sei nun x ∈ On. Zu zeigen ist x + 1 ∈ On, also x ∪ x ∈ On.x ∪ x transitiv. Gelte u ∈ v ∈ x ∪ x, also u ∈ v ∈ x oder u ∈ v = x. In beiden Fallen folgt u ∈ x.x ∪ x konnex. Gelte u, v ∈ x ∪ x. Dann folgt
u, v ∈ x ∨ (u ∈ x ∧ v = x) ∨ (u = x ∧ v ∈ x) ∨ (u = v = x)
u ∈ v ∨ u = v ∨ v ∈ u.
x∪x fundiert. Sei a ⊆ x∪x, a 6= ∅. Zu zeigen ist ∃y∈a (y ∩ a = ∅). Fall a∩ x 6= ∅. Dann folgt dieBehauptung aus der Fundiertheit von x. Fall a ∩ x = ∅. Dann ist a = x, und wir haben x ∩ x = ∅.
2. Dies wurde schon oben im Anschluß an Korollar 5.3.21 gezeigt. ut
Lemma 5.3.25. x, y ∈ On ∧ x + 1 = y + 1 → x = y.
Beweis. Dies zeigt man wie das zweite Peano-Axiom in Lemma 5.3.8(2).
x + 1 = y + 1
x ∈ y + 1 ∧ y ∈ x + 1
(x ∈ y ∧ y ∈ x) ∨ x = y.
Da der erste Fall nach Lemma 5.3.22 unmoglich ist, folgt x = y. ut
Lemma 5.3.26. A ⊆ On →⋃
A ∈ On ∨⋃
A = On.
Beweis. Genugt: Ord(⋃
A).⋃
A transitiv. Sei x ∈ y ∈⋃
A, also x ∈ y ∈ z ∈ A fur ein z. Dann folgtx ∈ z ∈ A, da A ⊆ On. Also ist x ∈
⋃
A.⋃
A konnex und fundiert. Genugt:⋃
A ⊆ On. Sei also x ∈⋃
A, also x ∈ y ∈ A fur ein y. Dann istx ∈ y und y ∈ On, also x ∈ On. ut
Anmerkung. Gilt A ⊆ On, so ist⋃
A die kleinste obere Schranke von A bzgl. der Wohlordnung ∈∩(On× On) von On, denn nach Definition von
⋃
A gilt
x ∈ A → x ⊆⋃
A,
(∀x∈A.x ⊆ y) →⋃
A ⊆ y.
Wir schreiben deshalb auch supA fur⋃
A.
102 5. Mengenlehre
Beispiele fur Ordinalzahlen
0
1 = 0 + 1
2 = 1 + 1...
ω Menge nach dem Unendlichkeitsaxiomω + 1
ω + 2...
ω · 2 :=⋃
ω + n | n ∈ ω Def. mit Rekursion uber ω; Menge nach Ersetzungsschema
ω · 2 + 1
ω · 2 + 2...
ω · 3 :=⋃
ω · 2 + n | n ∈ ω ...
ω · 4...
ω · ω := ω2 :=⋃
ω · n | n ∈ ω
ω2 + 1
ω2 + 2...
ω2 + ω
ω2 + ω + 1
ω2 + ω + 2...
ω2 + ω · 2...
ω2 + ω · 3...
ω3
...
ω4
...
ωω
ωω + 1
5.3 Rekursion, Induktion, Ordinalzahlen 103
...
und so weiter.
α, β, γ stehen im folgenden fur Ordinalzahlen.α heißt eine Nachfolgerzahl , wenn ∃β(α = β + 1). α heißt Limeszahl , wenn α weder 0 noch Nachfol-
gerzahl ist. Wir schreibenLim(α) fur α 6= 0 ∧ ¬∃β(α = β + 1).
Offenbar gilt fur beliebige α entweder α = 0 oder α ist Nachfolgerzahl oder α ist Limeszahl.
Lemma 5.3.27. 1. Lim(α) ↔ α 6= 0 ∧ ∀β.β ∈ α → β + 1 ∈ α.2. Lim(ω).3. Lim(α) → ω ⊆ α.
Beweis. 1. →: Sei β ∈ α. Dann gilt β + 1 ∈ α ∨ β + 1 = α ∨ α ∈ β + 1. Der zweite Fall β + 1 = α istausgeschlossen nach Annahme. Im dritten Fall folgt α ∈ β∨α = β; beides ist aber wegen β ∈ α unmoglichnach Lemma 5.3.20. ←. Sei α 6= 0 und es gelte ∀β.β ∈ α → β + 1 ∈ α. Ist dann α keine Limeszahl, somuß α = β + 1 sein. Dann folgt β ∈ α, also nach Annahme auch β + 1 ∈ α und damit α ∈ α, was nichtsein kann.
2. Folgt aus (1), da ω induktiv ist.3. Gelte Lim(α). Wir zeigen n ∈ α durch Induktion uber n. 0. Es gilt 0 ∈ α∨ 0 = α∨α ∈ 0, wobei die
Falle zwei und drei offenbar unmoglich sind. n + 1. Es ist n ∈ α nach IH, also n + 1 ∈ α nach a. ut
Lemma 5.3.28. 1. α =⋃
β∈α(β + 1).2. Fur Limeszahlen α gilt α =
⋃
β∈α β.
Beweis. 1. ⊆. Sei β ∈ α. Die Behauptung folgt aus β ∈ β + 1. ⊇. Sei β ∈ α. Dann ist β + 1 ⊆ α.2. ⊆. Sei γ ∈ α. Dann folgt γ ∈ γ + 1 ∈ α. ⊇. Sei γ ∈ β ∈ α. Es folgt γ ∈ α. ut
Satz 5.3.29. (Transfinite Induktion uber On mit Ruckgriff auf samtliche Vorganger; Klassenform).
(∀α.α ⊆ B → α ∈ B) → On ⊆ B.
Beweis. Dies ist ein Spezialfall des Induktionssatzes 5.3.2 ut
Korollar 5.3.30. (Verschiedene Formen der transfiniten Induktion uber On). Erste Form:
A(0) ∧ (∀α.A(α) → A(α + 1)) ∧ (∀α.Lim(α) ∧ (∀β.β ∈ α → A(β)) → A(α)) → ∀αA(α).
Zweite Form: (Transfinite Induktion uber On mit Ruckgriff auf samtliche Vorganger).
[∀α.(∀β.β ∈ α → A(β)) → A(α)] → ∀αA(α).
Dritte Form: (Prinzip vom kleinsten Element fur On).
∃αA(α) → ∃α.A(α) ∧ ¬∃β.β ∈ α ∧A(β).
Beweis. Die dritte Form ergibt sich aus der zweiten durch Kontraposition. Ferner ergibt sich die ersteForm ebenfalls leicht aus der zweiten. Die zweite Form erhalt man aus Satz 5.3.29 mit B := α | A(α) .
ut
Satz 5.3.31. (Transfinite Rekursion uber On mit Ruckgriff auf samtliche Vorganger). Sei G : V → V .Dann gibt es genau eine Funktion F : On → V so daß fur alle α gilt
F(α) = G(Fα).
Beweis. Dies ist ein Spezialfall des Rekursionssatzes 5.3.3. ut
104 5. Mengenlehre
Korollar 5.3.32. (Transfinite Rekursion uber On). Sei G : V → V , H : V → V und a eine Menge. Danngibt es genau eine Funktion F : On → V mit
F(0) = a,
F(α + 1) = G(F(α)),F(α) = H(Fα) fur α Limeszahl.
Beweis. Man beachte zunachst, daß⋃
(α + 1) = α ist wegen
γ ∈⋃
(α + 1) ↔ ∃β.γ ∈ β ∈ α + 1
↔ ∃β.γ ∈ β ⊆ α
↔ γ ∈ α.
Ansatz: Zu dem gegebenen a, G und H finde man ein G′ mit
G′(0) = a,
G′(Fα + 1) = G(F(α)),
G′(Fα) = H(Fα) fur α Limeszahl.
Wir definieren eine Funktion G′ : V → V durch
G′(x) =
a, sonst;G(x(
⋃
dom(x))), falls ∃β(dom(x) = β + 1);H(x), falls Lim(dom(x)).
Nach dem Rekursionssatz 5.3.3 existiert genau ein F : On → V so daß fur alle α gilt
F(α) = G′(Fα).
Offenbar ist diese Eigenschaft von F zu den obigen Gleichungen aquivalent. ut
Regularitatsaxiom, von Neumannsche Stufen, Rang
Wir erinnern uns zunachst an die kumulative Typenstruktur.
Stufe 0: −Stufe 1: ∅Stufe 2: ∅, ∅Stufe 3: ∅, ∅, ∅, ∅, ∅
und so weiter.
Unter Verwendung von Ordinalzahlen konnen wir jetzt auch transfinite Stufen betrachten. Die Stufe ωbesteht dann aus allen Mengen, deren Elemente auf endlichen Stufen gebildet waren, und die Stufe ω + 1aus allen Mengen, deren Elemente auf endlichen Stufen oder der Stufe ω gebildet waren, und so weiter.Allgemein definieren wir die von Neumannschen Stufen Vα wie folgt durch transfinite Rekursion uberOn.
V0 = ∅,Vα+1 = P(Vα),
Vα =⋃
β∈α
Vβ fur α Limeszahl.
5.3 Rekursion, Induktion, Ordinalzahlen 105
Anmerkung. Genauer ist Vα := F(α), wobei F : On → V wie folgt definiert wird durch transfiniteRekursion uber On.
F(0) = ∅,F(α + 1) = P(F(α)),
F(α) =⋃
rng(Fα) fur α Limeszahl.
Lemma 5.3.33. 1. Vα ist transitiv.2. α ∈ β → Vα ∈ Vβ.3. α ⊆ β → Vα ⊆ Vβ.4. Vα ∩ On = α.
Beweis. 1. (Transfinite) Induktion nach α. 0. ∅ ist transitiv. α + 1.
x ∈ y ∈ Vα+1 = P(Vα)
x ∈ y ⊆ Vα
x ∈ Vα
x ⊆ Vα nach IH
x ∈ Vα+1.
α Limeszahl.
x ∈ y ∈ Vα =⋃
β∈α
Vβ
x ∈ y ∈ Vβ fur ein β ∈ α
x ∈ Vβ nach IH
x ∈ Vα.
2. Induktion nach β. 0. Klar. β + 1.
α ∈ β + 1
α ∈ β oder α = β
Vα ∈ Vβ oder Vα = Vβ nach IH
Vα ⊆ Vβ nach (1)
Vα ∈ Vβ+1.
β Limeszahl.
α ∈ β
α + 1 ∈ β
Vα ∈ Vα+1 ⊆⋃
γ∈β
Vγ = Vβ .
3. Mit α ⊆ β ↔ α ∈ β ∨ α = β folgt die Behauptung aus (1) und (2).4. Induktion nach α. 0. Klar. α + 1.
β ∈ Vα+1 ↔ β ⊆ Vα
↔ β ⊆ Vα ∩ On = α nach IH
↔ β ∈ α + 1.
α Limeszahl.
106 5. Mengenlehre
Vα ∩ On = (⋃
β∈α
Vβ) ∩ On
=⋃
β∈α
(Vβ ∩ On)
=⋃
β∈α
β nach IH
= α. ut
Wir wollen jetzt zeigen, daß die von Neumannschen Stufen das Universum ausschopfen, also daßgilt V =
⋃
α∈On Vα. Dazu brauchen wir das bereits erwahnte Regularitatsaxiom, welches aussagt, daß dieRelation ∈ auf V fundiert ist, d.h. daß gilt
Axiom 8.∀a.a 6= ∅ → ∃x∈a (x ∩ a = ∅).
Wir konnen dann jeder Menge x eine Ordinalzahl α als ihren Rang zuordnen, und zwar als kleinstesα mit x ⊆ Vα. Dazu brauchen wir den Begriff des Rangs rn(x) einer Menge x, den wir rekursiv definierendurch
rn(x) :=⋃
rn(y) + 1 | y ∈ x .
Genauer setzen wir rn(x) := F(x), wobei F : V → V wie folgt definiert wird (mittels des Rekursionssat-zes 5.3.3 fur fundierte Relationen).
F(x) :=⋃
rng(H(Fx))
mitH(z) := (u, v + 1) | (u, v) ∈ z .
Zunachst zeigen wir, daß rn(x) die oben formulierte Eigenschaft hat.
Lemma 5.3.34. 1. rn(x) ∈ On.2. x ⊆ Vrn(x).3. x ⊆ Vα → rn(x) ⊆ α.
Beweis. 1. ∈-Induktion nach x. Es ist rn(x) =⋃
rn(y) + 1 | y ∈ x ∈ On, da nach IH rn(y) ∈ On furjedes y ∈ x.
2. ∈-Induktion nach x. Sei y ∈ x. Dann gilt y ⊆ Vrn(y) nach IH, also y ∈ P(Vrn(y)) = Vrn(y)+1 ⊆ Vrn(x)wegen rn(y) + 1 ⊆ rn(x).
3. Induktion nach α. Sei x ⊆ Vα. Zu zeigen rn(x) =⋃
rn(y) + 1 | y ∈ x ⊆ α. Sei also y ∈ x. Zuzeigen ist dann rn(y) + 1 ⊆ α. Wegen x ⊆ Vα ist y ∈ Vα. Daraus folgt y ⊆ Vβ fur ein β ∈ α, denn imFall α = α′ + 1 hat man y ∈ Vα′+1 = P(V ′
α) und damit y ⊆ V ′α, und im Fall α Limeszahl hat man
y ∈ Vα =⋃
β∈α Vβ , also y ∈ Vβ und damit y ⊆ Vβ fur ein β ∈ α. - Nach IH folgt jetzt rn(y) ⊆ β unddamit rn(y) ∈ α. ut
Jetzt folgt leicht die oben als Ziel formulierte Aussage.
Korollar 5.3.35. V =⋃
α∈On Vα.
Beweis. ⊇ ist klar. ⊆. Fur jedes x gilt x ⊆ Vrn(x) nach Lemma 5.3.34(2), also x ∈ Vrn(x)+1. ut
Vα laßt sich jetzt charakterisieren als die Menge aller Mengen vom Rang kleiner als α.
Lemma 5.3.36. Vα = x | rn(x) ∈ α .
Beweis. ⊇. Sei rn(x) ∈ α. Wegen x ⊆ Vrn(x) folgt x ∈ Vrn(x)+1 ⊆ Vα.⊆. Induktion nach α. Fall 0. Klar. Fall α + 1. Sei x ∈ Vα+1. Dann ist x ∈ P(Vα), also x ⊆ Vα.
Fur jedes y ∈ x gilt also y ∈ Vα und damit rn(y) ∈ α nach IH, also rn(y) + 1 ⊆ α. Daher gilt rn(x) =⋃
rn(y) + 1 | y ∈ x ⊆ α. Fall α Limeszahl. Sei x ∈ Vα. Dann ist x ∈ Vβ fur ein β ∈ α, also rn(x) ∈ βnach IH, also rn(x) ∈ α. ut
5.4 Kardinalzahlen 107
Aus x ∈ y bzw. x ⊆ y kann man auf die entsprechenden Beziehungen zwischen den Rangen schließen.
Lemma 5.3.37. 1. x ∈ y → rn(x) ∈ rn(y).2. x ⊆ y → rn(x) ⊆ rn(y).
Beweis. 1. Wegen rn(y) =⋃
rn(x) + 1 | x ∈ y ist dies klar. 2. Fur jedes z ∈ x gilt rn(z) ∈ rn(y) nach(1), also rn(x) =
⋃
rn(z) + 1 | z ∈ x ⊆ rn(y). ut
Weiter laßt sich zeigen, daß die Mengen α und Vα beide den Rang α haben.
Lemma 5.3.38. 1. rn(α) = α.2. rn(Vα) = α.
Beweis. 1. Induktion uber α. Es gilt rn(α) =⋃
rn(β) + 1 | β ∈ α , also nach IH rn(α) =⋃
β + 1 | β ∈α = α nach Lemma 5.3.28(1).
2. Es ist
rn(Vα) =⋃
rn(x) + 1 | x ∈ Vα
=⋃
rn(x) + 1 | rn(x) ∈ α nach Lemma 5.3.36
⊆ α.
Sei umgekehrt β ∈ α. Nach (1) ist rn(β) = β ∈ α, also
β = rn(β) ∈⋃
rn(x) + 1 | rn(x) ∈ α = rn(Vα). ut
Schließlich zeigen wir noch, daß eine Klasse A genau dann eine Menge ist, wenn die Range ihrerElemente durch eine Ordinalzahl beschrankt werden konnen.
Lemma 5.3.39. A ist Menge genau dann, wenn es ein α gibt mit ∀y∈A (rn(y) ∈ α).
Beweis. →. Sei A = x. Aus Lemma 5.3.37(1) folgt dann, daß rn(x) ist das gesuchte α ist.←. Gelte rn(x) ∈ α fur alle y ∈ A. Dann folgt A ⊆ y | rn(y) ∈ α = Vα. ut
5.4 Kardinalzahlen
Wir behandeln jetzt die wichtigsten Eigenschaften von Kardinalzahlen. Sie werden in der Mathematikhaufig benutzt.
Großenvergleiche zwischen Mengen
Wir definieren
|a| ≤ |b| :↔ ∃f.f : a → b und f injektiv,|a| = |b| :↔ ∃f.f : a ↔ b,
|a| < |b| :↔ |a| ≤ |b| ∧ |a| 6= |b|,ba := f | f : b → a .
Zwei Mengen a und b heißen gleichmachtig , wenn |a| = |b| gilt. Man beachte, daß wir hier nicht |a|definieren, sondern nur Relationen |a| ≤ |b|, |a| = |b| und |a| < |b|.
Lemma 5.4.1. 1. |a× b| = |b× a|.2. |a(bc)| = |a×bc|.3. |P(a)| = |a0, 1|.4. (Cantor). |a| < |P(a)|.
108 5. Mengenlehre
Beweis. (1) − (3) sind klar. 4. f : a → P(a), x 7→ x ist injektiv. Angenommen, wir hatten ein g : a ↔P(a). Betrachte
b := x | x ∈ a ∧ x /∈ g(x) .
Dann ist b ⊆ a, also b = g(x0) fur ein x0 ∈ a. Es folgt x0 ∈ g(x0) ↔ x0 /∈ g(x0) und damit einWiderspruch. ut
Satz 5.4.2. (Cantor, Schroder, Bernstein) Ist a ⊆ b ⊆ c und |a| = |c|, so folgt |b| = |c|.
Beweis. Sei f : c → a bijektiv und r := c \ b. Wir definieren rekursiv g : ω → V durch
g(0) = r,
g(n + 1) = f [g(n)].
Ferner setzen wirr :=
⋃
n
g(n)
und definieren i : c → b durch
i(x) :=
f(x), falls x ∈ r,x, falls x /∈ r.
Es genugt zu zeigen, daß (1) rng(i) = b und (2) i injektiv ist. Zu (1). Sei x ∈ b. Zu zeigen ist x ∈ rng(i).OBdA sei x ∈ r. Wegen x ∈ b ist dann x /∈ g(0). Also gibt es ein n mit x ∈ g(n + 1) = f [g(n)], alsox = f(y) = i(y) fur ein y ∈ r. Zu (2). Sei x 6= y. OBdA ist x ∈ r, y /∈ r. Dann hat man aber i(x) ∈ r,i(y) /∈ r, also i(x) 6= i(y). ut
Anmerkung. Der Satz von Cantor, Schroder und Bernstein laßt sich auch als Anwendung desFixpunktsatzes von Knaster-Tarski auffassen; siehe dazu Gunter [14].
Korollar 5.4.3. |a| ≤ |b| ∧ |b| ≤ |a| → |a| = |b|.
Beweis. Seien f : a → b und g : b → a injektiv. Dann gilt (g f)[a] ⊆ g[b] ⊆ a und |(g f)[a]| = |a|. Nachdem Satz von Cantor, Schroder und Bernstein folgt |b| = |g[b]| = |a|. ut
Kardinalzahlen, Alephfunktion
Unter einer Kardinalzahl verstehen wir eine Ordinalzahl, die zu keiner kleineren Ordinalzahl gleichmachtigist, also
α heißt Kardinalzahl , wenn gilt ∀β<α (|β| 6= |α|).
Hier und im folgenden schreiben wir aufgrund von Lemma 5.3.22 α < β fur α ∈ β und α ≤ β fur α ⊆ β.
Lemma 5.4.4. |n| = |m| → n = m.
Beweis. Induktion uber n. 0. Klar. n + 1. Sei f : n + 1 ↔ m + 1. OBdA konnen wir f(n) = m annehmen.Also gilt fn : n ↔ m und damit n = m nach IH, also auch n + 1 = m + 1. ut
Korollar 5.4.5. n ist Kardinalzahl. ut
Lemma 5.4.6. |n| 6= |ω|.
Beweis. Annahme: |n| = |ω|. Es ist n ⊆ n + 1 ⊆ ω, also nach dem Satz von Cantor, Schroder undBernstein |n| = |n + 1|, was nicht sein kann. ut
Korollar 5.4.7. ω ist Kardinalzahl. ut
Lemma 5.4.8. ω ≤ α → |α + 1| = |α|.
5.4 Kardinalzahlen 109
Beweis. Definiere f : α → α + 1 durch
f(x) :=
α, falls x = 0;n, falls x = n + 1;x, sonst.
Dann ist f : α ↔ α + 1. ut
Korollar 5.4.9. Ist ω ≤ α und α eine Kardinalzahl, so ist α eine Limeszahl.
Beweis. Annahme: α = β + 1. Dann ist ω ≤ β < α, also |β| = |β + 1| im Widerspruch zur Voraussetzung,daß α eine Kardinalzahl ist. ut
Lemma 5.4.10. Ist a eine Menge von Kardinalzahlen, so ist sup(a) (:=⋃
a) eine Kardinalzahl.
Beweis. Andernfalls gabe es ein α < sup(a) mit |α| = | sup(a)|. Also α ∈⋃
a und damit α ∈ β ∈ a fur eineKardinalzahl β. Nach dem Satz von Cantor, Schroder und Bernstein folgt aber aus α ⊆ β ⊆
⋃
aund |α| = |
⋃
a|, daß |α| = |β|. Wegen α ∈ β und β Kardinalzahl ist dies aber nicht moglich. ut
Wir wollen jetzt zeigen, daß es zu jeder Ordinalzahl eine großere Kardinalzahl gibt. Es gilt sogarallgemeiner folgendes.
Satz 5.4.11. ∀a∃!α.∀β<α(|β| ≤ |a|)∧ |α| 6≤ |a|. α heißt Hartogszahl von a; sie wird mit H(a) bezeich-net.
Beweis. Eindeutigkeit. Klar. Existenz. Sei w := (b, r) | b ⊂ a∧ r Wohlordnung auf b und γ(b,r) die ein-deutig bestimmte Ordinalzahl isomorph zu (b, r). Dann ist γ(b,r) | (b, r) ∈ w eine transitive Teilmengevon On, also eine Ordinalzahl α. Zu zeigen ist
1. β < α → |β| ≤ |a|,2. |α| 6≤ |a|.
1. Sei β < α. Dann ist β isomorph einem γ(b,r) mit (b, r) ∈ w, also existiert f : β ↔ b.2. Annahme: f : α → a injektiv. Dann ist α = γ(b,r) fur ein b ⊆ a (b := rng(f)), also α ∈ α, was nicht
sein kann. ut
Anmerkung. 1. Die Hartogszahl von a ist eine Kardinalzahl. Denn sei α Hartogszahl von a, β < α.Ware |β| = |α|, so hatte man |α| = |β| ≤ |a|, was nicht sein kann.
2. Die Hartogszahl von β ist die kleinste Kardinalzahl α mit α > β.
ℵ : On → V wird rekursiv definiert durch
ℵ0 := ω,
ℵα+1 := H(ℵα),
ℵα := supℵβ | β < α fur α Limeszahl.
Lemma 5.4.12. (Eigenschaften von ℵ).
1. ℵα ist Kardinalzahl.2. α < β → ℵα < ℵβ.3. ∀β.β Kardinalzahl ∧ω ≤ β → ∃α(β = ℵα).
Beweis. 1. Induktion uber α; klar. 2. Induktion uber β. 0. Klar. β + 1.
α < β + 1α < β ∨ α = β
ℵα < ℵβ ∨ ℵα = ℵβ
ℵα < ℵβ+1.
110 5. Mengenlehre
β Limeszahl.
α < β
α < γ fur ein γ < β
ℵα < ℵγ ≤ ℵβ .
3. Sei α minimal mit β ≤ ℵα. Ein solches α existiert, da sonst ℵ : On → β injektiv ware. Wir zeigenℵα ≤ β durch Fallunterscheidung nach α. 0. Klar. α = α′+ 1. Nach Wahl von α ist ℵα′ < β, also ℵα ≤ β.α Limeszahl. Nach Wahl von α ist ℵγ < β fur alle γ < α, also ℵα = supℵγ | γ < α ≤ β. ut
Wir zeigen noch, daß jede unendliche Ordinalzahl zu einer Kardinalzahl gleichmachtig ist.
Lemma 5.4.13. (∀β≥ω)∃α(|β| = |ℵα|).
Beweis. Betrachte δ := min γ | γ < β ∧ |γ| = |β| . δ ist offenbar Kardinalzahl. Ferner ist δ ≥ ω, dennandernfalls hatte man
δ = n
|n| = |β|n ⊆ n + 1 ⊆ β
|n| = |n + 1|,
was nicht sein kann. Also ist δ = ℵα fur ein α, und wir haben |δ| = |β| = |ℵα|. ut
Produkte von Kardinalzahlen
Wir zeigen jetzt, daß stets gilt |ℵα × ℵα| = |ℵα|.Auf On× On definieren wir eine Relation ≺ durch
(α, β) ≺ (γ, δ) :↔maxα, β < maxγ, δ ∨(maxα, β = maxγ, δ ∧ α < γ) ∨(maxα, β = maxγ, δ ∧ α = γ ∧ β < δ).
Lemma 5.4.14. ≺ ist eine Wohlordnung auf On× On.
Beweis. : ≺ ist offenbar eine lineare Ordnung. Zum Beweis der Fundiertheit von ≺ betrachten wir eina ⊆ On× On mit a 6= ∅. Dann gilt
∅ 6= A := α | ∃ρ, µ((ρ, µ) ∈ a ∧maxρ, µ = α) ⊆ On.
Sei α0 := min(A). Dann gilt
∅ 6= A1 := ρ | ∃µ((ρ, µ) ∈ a ∧maxρ, µ = α0) ⊆ On.
Sei ρ0 := min(A1). Dann gilt
∅ 6= A2 := µ | (ρ0, µ) ∈ a ∧maxρ0, µ = α0) ⊆ On.
Sei µ0 := min(A2). Dann gilt offenbar (ρ0, µ0) = min≺(a). Schließlich ist stets (α, β) eine Menge, dennes ist (α, β) ⊆ γ × γ mit γ := maxα, β+ 1. ut
Korollar 5.4.15. On× On ist isomorph zu On (bzgl. ≺ und ∈ On).
Beweis. Nach Lemma 5.4.14 ist ≺ eine Wohlordnung auf On × On. Also gibt es nach Korollar 5.3.19einen Isomorphismus auf eine transitive und damit auch ordinale Klasse. Diese Klasse kann keine Mengesein, da sonst On × On eine Menge ware. Nach Lemma 5.3.23(3) ist aber On die einzige echte ordinaleKlasse. ut
5.5 Das Auswahlaxiom 111
Satz 5.4.16. ℵα × ℵα ist isomorph zu ℵα. (bzgl. ≺ ℵα × ℵα und ∈ ℵα).
Beweis. Annahme: ∃α(ℵα × ℵα nicht isomorph zu ℵα). Sei
α0 := minα | ℵα × ℵα nicht isomorph zu ℵα .
Offenbar ist α0 6= 0. Da ℵα0 × ℵα0 und ℵα0 wohlgeordnete Mengen sind, muß eine von ihnen isomorphzu einem echten Anfangsstuck der anderen sein. Wir unterscheiden deshalb zwei Falle.
Fall 1. ℵα0 isomorph zu (β, γ) mit β, γ < ℵα0 . Wahle δ < ℵα0 mit β, γ < δ. Dann ist (β, γ) ⊆ δ × δ.Man erhalt
|ℵα0 | = |(β, γ)| ≤ |δ × δ| = |ℵτ × ℵτ | fur ein τ < α0
= |ℵτ | nach Wahl von α0
und damit einen Widerspruch zu Lemma 5.4.12(2).Fall 2. ℵα0 × ℵα0 ist isomorph zu β < ℵα0 . Dann folgt
|ℵα0 | ≤ |ℵα0 × ℵα0 | = |β| ≤ |ℵα0 ||ℵα0 | = |β|
und damit ein Widerspruch zu ℵα0 Kardinalzahl, β < ℵα0 . ut
Korollar 5.4.17. 1. |ℵα × ℵβ | = |maxℵα,ℵβ|.2. n 6= 0 → |nℵα| = |ℵα|.
Beweis. 1. OBdA sei α ≤ β. Dann gilt
|ℵβ | ≤ |ℵα × ℵβ | ≤ |ℵβ × ℵβ | = |ℵβ |.
2. Dies folgt durch Induktion nach n leicht aus Satz 5.4.16. ut
5.5 Das Auswahlaxiom
Auswahlaxiom, Wohlordnungssatz und Zornsches Lemma
Eine Relation R auf A heißt partielle Ordnung , wenn fur alle x, y, z ∈ A gilt
¬xRx, Irreflexivitat
xRy ∧ yRz → xRz, Transitivitat.
Ein x ∈ A heißt maximales Element , wenn es kein y ∈ A gibt mit xRy. Sei noch B ⊆ A. Ein x ∈ A heißtobere Schranke von B, wenn gilt
∀y∈B.yRx ∨ y = x.
Satz 5.5.1. Die folgenden Aussagen sind aquivalent.
1. Das Auswahlaxiom (AC)
∀x.∅ /∈ x → ∃f.f : x →⋃
x ∧ (∀y∈x)(f(y) ∈ y).
2. Der Wohlordnungssatz (WO)∀a∃r(r ist Wohlordnung auf a).
3. Das Zornsche Lemma (ZL): Fur jede nichtleere partielle Ordnung (P, <) mit der Eigenschaft, daßjedes durch < linear geordnete L ⊆ P eine obere Schranke in P hat, gilt: P hat ein maximalesElement.
112 5. Mengenlehre
Beweis. (ZL) → (WO). Gegeben sei ein a. Sei
P := f | ∃α(f : α → a injektiv) ⊆ P(H(a)× a).
P wird durch die echte Inklusion ( partiell geordnet. Sei L ⊆ P linear geordnet. Dann gilt⋃
L ∈ P . Alsoist
⋃
L obere Schranke von L. Mit dem Zornschen Lemma erhalt man ein maximales Element f0 ∈ P .Offenbar ist dann f0 eine Bijektion einer Ordinalzahl α0 auf a, und f0 induziert eine Wohlordnung auf a.
(WO) → (AC). Sei ∅ /∈ x. Nach (WO) existiert eine Wohlordnung < auf⋃
x. Fur jedes y ∈ x induziert< eine Wohlordnung auf y. Definiere
f : x →⋃
x,
y 7→ min <(y) ∈ y.
(AC) → (ZL). Sei < partielle Ordnung auf P 6= ∅. Wir nehmen an, daß jedes durch < linear geordneteL ⊆ P eine obere Schranke in P hat. Nach (AC) existiert eine Auswahlfunktion f auf P(P ) \ ∅. Seiz /∈ P beliebig. Definiere
F : On → V
F(α) =
f( y | y ∈ P ∧ y obere Schranke von F [α] ∧ y /∈ F [α] ), falls . . . 6= ∅;z, sonst.
Dann gibt es ein ρ mit F(ρ) = z, denn sonst ware F : On → P injektiv, im Widerspruch zu der Voraus-setzung, daß P eine Menge ist. Setze ρ0 := min ρ | F(ρ) = z . F [ρ0] ist linear geordnet, und es giltF [ρ0] ⊆ P . Nach Voraussetzung existiert eine obere Schranke y0 ∈ P von F [ρ0]. Wir zeigen jetzt, daß y0
maximales Element in P ist. Annahme: y0 < y fur ein y ∈ P . Dann ist y obere Schranke von F [ρ0] undy /∈ F [ρ0]. Dies widerspricht aber der Definition von ρ0. ut
Ab jetzt wird das Auswahlaxiom immer vorausgesetzt. Wir markieren jedoch jeden Satz und jedeDefinition mit (AC), wenn darin das Auswahlaxiom verwendet wird.
(AC) ist offenbar aquivalent zu dem Spezialfall, in dem je zwei y1, y2 ∈ x disjunkt sind. Wir notierennoch die folgende aquivalente Fassung des Auswahlaxioms.
Lemma 5.5.2. Folgende Aussagen sind aquivalent.
1. Das Auswahlaxiom (AC).2. Zu jedem surjektiven g : a → b gibt es ein injektives f : b → a mit (∀x ∈ b)(g(fx) = x).
Beweis. Ubung.ut
Kardinalitat
α heißt Kardinalitat (oder Machtigkeit) von a, wenn α Kardinalzahl ist und es eine Bijektion f : a → αgibt.
Satz 5.5.3. (AC). Jede Menge hat genau eine Kardinalitat.
Beweis. Eindeutigkeit. Klar. Existenz. Sei < eine Wohlordnung auf a. Dann existiert ein γ mit a isomorphzu γ. Also ist τ | |τ | = |a| 6= ∅ und damit min τ | |τ | = |a| Kardinalzahl. ut
Offenbar ist |a| = |b| genau dann, wenn die Kardinalitat von a gleich der Kardinalitat von b ist, und|a| ≤ |b| genau dann, wenn die Kardinalitat von a kleiner oder gleich der Kardinalitat von b ist. Deshalbkonnen wir |a| als Bezeichnung der Kardinalitat von a wahlen.
Eine Menge a heißt endlich, wenn sich a bijektiv auf eine naturliche Zahl abbilden laßt, und unendlichsonst. Mit (AC) folgt dann, daß a genau dann endlich ist, wenn |a| < ω gilt.
5.5 Das Auswahlaxiom 113
Lemma 5.5.4. (AC). Sind a, b 6= ∅ und ist a oder b unendlich, so ist
|a× b| = max|a|, |b|.
Beweis. Sei etwa |a| = max|a|, |b|. Dann gilt
|a| ≤ |a× b| = ||a| × |b|| ≤ ||a| × |a|| = |a|. ut
Satz 5.5.5. (AC). Sei I unendlich oder supi∈I |Ai| unendlich. Dann gilt
1. |⋃
i∈I Ai| ≤ max|I|, supi∈I |Ai|.2. Hat man zusatzlich (∀i ∈ I)(Ai 6= ∅) und (∀i, j ∈ I)(i 6= j → Ai ∩Aj = ∅), so gilt =.
Beweis. 1. OBdA κ := supi∈I |Ai| 6= 0. Wir wahlen uns eine Wohlordnung < von I und definieren mitBezug auf diese Wohlordnung
f :⋃
i∈I
Ai →⋃
i∈I
(i ×Ai),
f(x) = (min i ∈ I | x ∈ Ai , x).
f ist offenbar injektiv. Also
|⋃
i∈I
Ai| ≤ |⋃
i∈I
(i ×Ai)|
≤ |⋃
i∈I
(i × κ)|
= |I × κ|= max|I|, κ.
2. Wegen (1) genugt es zu zeigen, daß |I|, |Ai| ≤ |⋃
i∈I Ai|. Die zweite Abschatzung ist klar. ZumBeweis der ersten wahlen wir uns eine Wohlordnung < von
⋃
i∈I Ai und definieren f : I →⋃
i∈I Ai durchf(i) := min<x | x ∈ Ai . Aufgrund der Voraussetzungen ist f injektiv. ut
a heißt Dedekind-endlich, wenn sich a nicht bijektiv auf eine echte Teilmenge b von a abbilden laßt,und andernfalls Dedekind-unendlich.
Satz 5.5.6. (AC). a ist Dedekind-unendlich genau dann, wenn a unendlich ist.
Beweis. →. Sei b ( a und f : a ↔ b. Annahme: |a| < ω, etwa |a| = n. Dann existiert c ( n und eing : n ↔ c. Wir zeigen durch Induktion uber n, daß dies nicht moglich ist, also daß gilt
∀n¬(∃c ( n)∃g(g : n ↔ c).
0. Klar. n + 1. Sei g : n + 1 ↔ c und c ( n + 1. OBdA ist n /∈ rng(gn). Es folgt gn : n ↔ c \ n ( nund damit ein Widerspruch zur IH.
←. Sei g : ω → a injektiv und h : g[ω] ↔ g[ω \ 1] definiert durch
h = (g(n), g(n + 1)) | n ∈ ω .
Ein f : a ↔ (a \ g(0)) ist definiert durch
f(x) =
x, falls x ∈ a \ g[ω];h(x), sonst.
ut
114 5. Mengenlehre
Regulare und singulare Kardinalzahlen
κ, λ bezeichnen im folgenden Kardinalzahlen ≥ ω. Das Auswahlaxiom (AC) werden wir in diesem Ab-schnitt stets voraussetzen.
Definition 5.5.7. (AC).
1. x ⊆ κ heißt konfinal in κ, wenn sup(x) = κ.2. cf(κ) := min |x| | x ⊆ κ und x konfinal mit κ heißt Konfinalitat von κ.3. κ heißt regular , wenn cf(κ) = κ.4. κ heißt singular , wenn cf(κ) < κ.
Satz 5.5.8. (AC).
1. ω = ℵ0 ist regular.2. ℵα+1 ist regular.3. Ist β Limeszahl und gilt β < ℵβ, so ist ℵβ singular.
Beweis. 1. Angenommen, ω ist singular, also cf(ω) < ω. Dann gibt es ein x ⊆ ω mit |x| = n undsup(x) = ω. Dies ist aber nicht moglich (Beweis durch Induktion uber n).
2. Annahme: ℵα+1 singular. Dann ist cf(ℵa+1) ≤ ℵa. Es gibt also ein x ⊆ ℵα+1 mit |x| ≤ ℵα undsup(x) = ℵα+1. Dann gilt aber
ℵα+1 = |⋃
x|
≤ max|x|, sup |y| | y ∈ x nach Satz 5.5.5(1)≤ ℵα,
was nicht sein kann.3. Sei β eine Limeszahl mit β < ℵβ . Dann hat man ℵβ = supℵγ | γ < β und es gilt | ℵγ | γ <
β | = |β| < ℵβ . Also ist ℵβ singular. ut
Nach Definition hat man zu jeder unendlichen Kardinalzahl eine Teilmenge x ⊆ κ, deren Kardinalitatgleich cf(κ) ist, die sich also bijektiv auf cf(κ) abbilden laßt. Wir zeigen jetzt, daß man sogar annehmenkann, daß diese Bijektion ein Isomorphismus ist.
Lemma 5.5.9. (AC). Sei κ unendliche Kardinalzahl. Dann gibt es eine in κ konfinale Teilmenge x ⊆ κ,die isomorph zu cf(κ) ist.
Beweis. Sei y ⊆ κ, sup(y) = κ, |y| = cf(κ) und g : cf(κ) ↔ y. Durch transfinite Rekursion definieren wir
F : On → V,
F(α) := sup(F [α] ∪ g[α]) + 1.
Sei f := Fcf(κ). Man sieht leicht:
1. α < β < cf(κ) → f(α) < f(β) ∧ g(α) < f(β).2. rng(f) ⊆ κ3. rng(f) ist konfinal mit κ.
rng(f) ist dann das gesuchte x. ut
Korollar 5.5.10. (AC). Ist κ eine unendliche Kardinalzahl, so ist cf(κ) eine regulare Kardinalzahl.
Beweis. cf(cf(κ)) ≤ cf(κ) ist klar. Zu zeigen ist also cf(κ) ≤ cf(cf(κ)). Nach dem vorigen Lemma existierenx, f mit x ⊆ κ, sup(x) = κ und f : cf(κ) ↔ x Isomorphismus. Weiter existiert y ⊆ cf(κ) mit sup(y) = cf(κ)und |y| = cf(cf(κ)). Man sieht leicht, daß f(α) | α ∈ y konfinal mit κ ist. Daraus folgt
cf(κ) ≤ | f(α) | α ∈ y |= |y|= cf(cf(κ)) ut
5.5 Das Auswahlaxiom 115
Satz 5.5.11. (AC). (Konig). Sei κ unendliche Kardinalzahl. Dann ist κ < |cf(κ)κ|.
Beweis. κ = |1κ| ≤ |cf(κ)κ| ist klar. Es genugt also, aus der Annahme der Existenz einer Bijektionf : κ ↔ cf(κ)κ einen Widerspruch herzuleiten. Gemaß Lemma 5.5.9 gibt es x ⊆ κ mit sup(x) = κ undeinen Isomorphismus g : cf(κ) ↔ x. Fur jedes α < cf(κ) ist also g(α) < κ und deshalb
| f(γ)(α) | γ < g(α) | ≤ |g(α)| < κ,
also f(γ)(α) | γ < g(α) ( κ. Setze
h : cf(κ) → κ,
h(α) := min(κ \ f(γ)(α) | γ < g(α) ).
Den gesuchten Widerspruch erhalten wir, indem wir zeigen, daß fur alle γ < κ gilt f(γ) 6= h. Sei alsoγ < κ. Wahlt man jetzt ein α < cf(κ) mit γ < g(α), so ist h(α) 6= f(γ)(α) nach Konstruktion von h. ut
Kardinalzahlpotenzen, Kontinuumshypothese
Auch in diesem Abschnitt wird (AC) stets vorausgesetzt. Wir definieren
ℵℵβα := |ℵβℵα|.
Spater werden wir auch eine Ordinalzahlpotenz einfuhren. Aus Kontext sollte jeweils klar sein, ob dieOrdinalzahlpotenz oder die Kardinalzahlpotenz gemeint ist.
Satz 5.5.12. (AC).
1. ℵβ < cf(ℵα) → ℵα ≤ ℵℵβα ≤ |P(ℵα)|
2. cf(ℵα) ≤ ℵβ ≤ ℵα → ℵα < ℵℵβα ≤ |P(ℵα)|
3. ℵα ≤ ℵβ → ℵℵβα = |P(ℵβ)|.
Beweis. 1.
ℵα ≤ |ℵβℵα|≤ |ℵβ (ℵα0, 1)|= |ℵβ×ℵα0, 1|= |ℵα0, 1| da ℵβ ≤ ℵα
= |P(ℵα)|.
2.
ℵα < |cf(ℵα)ℵα| Satz von Konig
≤ |ℵβℵα|≤ |P(ℵα)| wie bei (1).
3.
|P(ℵβ)| = |ℵβ0, 1|≤ |ℵβℵα|≤ |ℵβ×ℵα0, 1|= |ℵβ0, 1|= |P(ℵβ)|. ut
116 5. Mengenlehre
Wesentlich mehr kann man uber Kardinalzahlpotenzen aussagen, wenn man die sogenannte Kontinu-umshypothese annimmt; darunter versteht man die Aussage
|P(ℵ0)| = ℵ1. (CH)
Die naheliegende Erweiterung auf alle Kardinalzahlen ist die verallgemeinerte Kontinuumshypothese:
|P(ℵα)| = ℵα+1. (GCH)
Es ist ein offenes Problem, ob die Kontinuumshypothese in der kumulativen Typenstruktur gilt (Nr. 1in Hilberts Liste von mathematischen Problemen, die er in seinem Vortrag vor dem internationalenMathematikerkongress in Paris 1900 aufgestellt hat). Bekannt ist jedoch, daß die Kontinuumshypothesevon den restlichen Axiomen der Mengenlehre unabhangig ist. Die Verwendung von (CH), (GCH) wirdim folgenden immer angezeigt.
Satz 5.5.13. (GCH).
1. ℵβ < cf(ℵα) → ℵα = ℵℵβα .
2. cf(ℵα) ≤ ℵβ ≤ ℵα → ℵℵβα = ℵα+1.
3. ℵα ≤ ℵβ → ℵℵβα = ℵβ+1.
Beweis. (2) und (3) folgen mit (GCH) aus dem vorigen Satz.1. Sei ℵβ < cf(ℵα). Man beachte zunachst, daß gilt
ℵβℵα =⋃
ℵβ γ | γ < ℵα
Dies sieht man wie folgt. ⊇ ist klar. ⊆. Sei f : ℵβ → ℵα. Wegen |f [ℵβ ]| ≤ ℵβ < cf(ℵα) ist sup(f [ℵβ ]) <γ < ℵα fur ein γ, also f : ℵβ → γ.
Man erhalt
ℵα ≤ |ℵβℵα| voriger Satz
= |⋃
ℵβ γ | γ < ℵα | nach der Vorbemerkung
≤ max|ℵα|, supγ<ℵα
|ℵβ γ| nach Satz 5.5.5(1)
Es genugt also zu zeigen, daß |ℵβγ| ≤ ℵα ist fur γ < α. Sei also γ < α.
|ℵβ γ| ≤ |ℵβ×γ0, 1|≤ |ℵβ×ℵδ0, 1| fur ein δ mit |γ| ≤ ℵδ < ℵα
≤
|P(ℵδ)| falls β < δ|P(ℵβ)| falls δ ≤ β
=
ℵδ+1 falls β < δℵβ+1 falls δ ≤ β
≤ ℵα. ut
5.6 Ordinalzahlarithmetik
Wir definieren Addition, Multiplikation und Exponentiation fur Ordinalzahlen und beweisen ihre grund-legenden Eigenschaften. Ferner behandeln wir die Cantorsche Normalform.
α + 0 := α,α + (β + 1) := (α + β) + 1,
α + β := supα + γ | γ < β falls β Limeszahl.
5.6 Ordinalzahlarithmetik 117
Genauer definiert man sα : On → V durch
sα(0) := α,
sα(β + 1) := sα(β) + 1,
sα(β) :=⋃
rng(sαβ) falls β Limeszahl
und setzt dann α + β := sα(β).
Lemma 5.6.1. (Eigenschaften der Ordinalzahladdition).
1. α + β ∈ On.2. 0 + β = β.3. ∃α, β(α + β 6= β + α).4. β < γ → α + β < α + γ.5. Es gibt α, β, γ mit α < β, aber α + γ 6< β + γ.6. α ≤ β → α + γ ≤ β + γ.7. Ist α ≤ β, so gibt es genau ein γ mit α + γ = β.8. Ist β Limeszahl, so auch α + β.9. (α + β) + γ = α + (β + γ).
Beweis. 1. Induktion uber β. Fall 0. Klar. Fall β + 1. Dann ist α + (β + 1) = (α + β) + 1 ∈ On, da nachIH α + β ∈ On. Fall β Limeszahl. Dann ist α + β = supα + γ | γ < β ∈ On, da nach IH α + γ ∈ Onfur alle γ < β.
2. Induktion uber β. Fall 0. Klar. Fall β + 1. Dann ist 0 + (β + 1) = (0 + β) + 1 = β + 1, da nach IH0 + β = β. Fall β Limeszahl. Dann ist
0 + β = sup 0 + γ | γ < β = sup γ | γ < β nach IH
=⋃
β
= β, da β Limeszahl.
3. 1 + ω = sup 1 + n | n ∈ ω = ω 6= ω + 1.4. Induktion uber γ. Fall 0. Klar. Fall γ + 1. Dann ist
β < γ + 1,
β < γ ∨ β = γ,
α + β < α + γ ∨ α + β = α + γ nach IH,
α + β ≤ α + γ < (α + γ) + 1 = α + (γ + 1).
Fall γ Limeszahl. Sei β < γ, also β < δ fur ein δ < γ. Dann gilt α + β < α + δ nach IH, alsoα + β < supα + δ | δ < γ = α + γ.
5. 0 < 1, aber 0 + ω = ω = 1 + ω6. Wir bemerken zunachst, daß es niemals ein β geben kann mit α < β < α + 1, denn andernfalls
hatte man im Fall β ∈ α den Widerspruch β ∈ α ∈ β und im Fall β = α den Widerspruch α ∈ α. Alszweite Vorbemerkung notieren wir, daß stets gilt
α ≤ β → α + 1 ≤ β + 1,
denn im Fall β + 1 < α + 1 hatte man α < β + 1 < α + 1, was wie gerade bewiesen nicht sein kann. – Wirzeigen jetzt die Behauptung α ≤ β → α + γ ≤ β + γ durch Induktion uber γ. Fall 0. Klar. Fall γ + 1.Dann ist
α + γ ≤ β + γ nach IH,
(α + γ) + 1 ≤ (β + γ) + 1 nach der zweiten Vorbemerkung,
α + (γ + 1) ≤ β + (γ + 1) nach Definition.
118 5. Mengenlehre
Fall γ Limeszahl. Dann ist
α + δ ≤ β + δ fur alle δ < γ, nach IH,
α + δ ≤ supβ + δ | δ < γ supα + δ | δ < γ ≤ supβ + δ | δ < γ α + γ ≤ β + γ nach Definition.
7. Die Eindeutigkeit von γ folgt aus (4). Existenz: Sei α ≤ β. Nach (2) und (6) gilt β = 0 +β ≤ α+β.Sei γ die kleinste Ordinalzahl mit β ≤ α + γ. Wir zeigen jetzt β = α + γ. Fall γ = 0. Dann istβ ≤ α + γ = α + 0 = α ≤ β, also β = α + γ. Fall γ = γ′ + 1. Dann ist α + γ′ < β, also (α + γ′) + 1 ≤ βnach der ersten Vorbemerkung zu (6) und damit α + γ = β. Fall γ Limeszahl. Dann ist α + δ < β furalle δ < γ, also α + γ = supα + δ | δ < γ ≤ β und damit α + γ = β.
8. Sei β Limeszahl. Wir verwenden die in Lemma 5.3.27(1) gegebene Charakterisierung von Limes-zahlen. α + β 6= 0: Wegen 0 ≤ α ist 0 < β = 0 + β ≤ α + β nach (6). γ < α + β → γ + 1 < α + β: Seiγ < α + β = supα + δ | δ < β , also γ < α + δ fur ein δ < β, also γ + 1 < (α + δ) + 1 (nach der erstenVorbemerkung zu (6)) und damit γ + 1 < α + (δ + 1) mit δ + 1 < β, also γ + 1 < supα + δ | δ < β .
9. Induktion uber γ. Fall 0. Klar. Fall γ + 1. Dann ist
(α + β) + (γ + 1) = [(α + β) + γ] + 1
= [α + (β + γ)] + 1 nach IH
= α + [(β + γ) + 1]
= α + [β + (γ + 1)]
Fall γ Limeszahl. Nach (8) ist dann auch β + γ Limeszahl. Man erhalt
(α + β) + γ = sup (α + β) + δ | δ < γ = supα + (β + δ) | δ < γ nach IH
= supα + ε | ε < β + γ siehe unten
= α + (β + γ).
Die Gleichheit der beiden Suprema sieht man wie folgt. Ist ε < β + γ, so ist ε < β + δ fur ein δ < γ (nachDefinition von β + γ) und damit α + ε < α + (β + δ). Ist umgekehrt δ < γ, so ist β + δ < β + γ, alsoα + (β + δ) = α + ε fur ein ε < β + γ. ut
Die Ordinalzahlmultiplikation definieren wir durch
α · 0 := 0,
α · (β + 1) := (α · β) + α,
α · β := supα · γ | γ < β falls β Limeszahl.
Wir schreiben αβ fur α · β.
Lemma 5.6.2. (Eigenschaften der Ordinalzahlmultiplikation).
1. αβ ∈ On.2. 0β = 0, 1β = β.3. ∃α, β(αβ 6= βα).4. 0 < α ∧ β < γ → αβ < αγ.5. Es gibt α, β, γ mit 0 < γ und α < β, aber αγ 6< βγ.6. α ≤ β → αγ ≤ βγ.7. Ist 0 < α und β Limeszahl, so ist auch αβ Limeszahl.8. α(β + γ) = αβ + αγ.9. Es gibt α, β, γ mit (α + β)γ 6= αγ + αγ.
10. αβ = 0 → α = 0 ∨ β = 0.11. (αβ)γ = α(βγ).
5.6 Ordinalzahlarithmetik 119
12. Ist 0 < β, so gibt es genau ein γ, ρ mit α = βγ + ρ und ρ < β.
Beweis. 1. Induktion uber β. Fall 0. Klar. Fall β + 1. Dann ist α(β + 1) = (αβ) + α ∈ On, da nach IHαβ ∈ On. Fall β Limeszahl. Dann ist αβ = supαγ | γ < β ∈ On, da nach IH αγ ∈ On fur alle γ < β.
2. 0β = 0: Induktion uber β. Fall 0. Klar. Fall β +1. Dann ist 0(β +1) = (0β)+0 = 0 nach IH. Fall βLimeszahl. 0β = sup 0γ | γ < β = 0 nach IH. – 1β = β: Induktion uber β. Fall 0. Klar. Fall β+1. Dannist 1(β + 1) = (1β) + 1 = β + 1 nach IH. Fall β Limeszahl. 1β = sup 1γ | γ < β = sup γ | γ < β = βnach IH.
3. Man beachte zunachst, daß fur alle n ∈ ω gilt nω = supnm | m < ω = ω. Damit folgt 2ω = ω,aber ω2 = ω(1 + 1) = ω1 + ω = ω + ω > ω.
4. Sei 0 < α. Wir zeigen β < γ → αβ < αγ durch Induktion uber γ. Fall 0. Klar. Fall γ + 1. Dann ist
β < γ + 1,β < γ ∨ β = γ,
αβ < αγ ∨ αβ = αγ nach IH,
αβ ≤ αγ < (αγ) + α = α(γ + 1).
Fall γ Limeszahl. Sei β < γ, also β < δ fur ein δ < γ. Dann gilt αβ < αδ nach IH, also αβ < supαδ |δ < γ = αγ.
5. Es ist 0 < ω und 1 < 2, aber 1ω = ω = 2ω.6. Wir zeigen die Behauptung α ≤ β → αγ ≤ βγ durch Induktion uber γ. Fall 0. Klar. Fall γ + 1.
Dann ist
αγ ≤ βγ nach IH,
(αγ) + α ≤ (βγ) + α ≤ (βγ) + β nach Lemma 5.6.1(6) und (4)
α(γ + 1) ≤ β(γ + 1) nach Definition.
Fall γ Limeszahl. Dann ist
αδ ≤ βδ fur alle δ < γ, nach IH,
αδ ≤ supβδ | δ < γ ,supαδ | δ < γ ≤ supβδ | δ < γ ,αγ ≤ βγ nach Definition.
7. Sei 0 < α und β Limeszahl. Zum Beweis von αβ Limeszahl verwenden wir wieder die in Lem-ma 5.3.27(1) gegebene Charakterisierung von Limeszahlen. αβ 6= 0: Wegen 1 ≤ α und ω ≤ β ist0 < ω = 1ω ≤ αβ nach (6). γ < αβ → γ + 1 < αβ: Sei γ < αβ = supαδ | δ < β , also γ < αδfur ein δ < β, also γ + 1 < αδ + 1 ≤ αδ + α = α(δ + 1) mit δ + 1 < β, also γ + 1 < supαδ | δ < β .
8. Zu zeigen ist α(β + γ) = αβ + αγ. OBdA sei 0 < α. Wir verwenden Induktion uber γ. Fall 0. Klar.Fall γ + 1. Dann ist
α[β + (γ + 1)] = α[(β + γ) + 1]
= α(β + γ) + α
= (αβ + αγ) + α nach IH
= αβ + (αγ + α)
= αβ + α(γ + 1).
Fall γ Limeszahl. Nach (7) ist dann auch αγ Limeszahl. Man erhalt
α(β + γ) = supαδ | δ < β + γ = supα(β + ε) | ε < γ = supαβ + αε | ε < γ nach IH
= supαβ + δ | δ < αγ = αβ + αγ.
120 5. Mengenlehre
9. (1 + 1)ω = 2ω = ω, aber 1ω + 1ω = ω + ω.10. Ist 0 < α, β, also 1 ≤ α, β, so folgt 0 < 1 · 1 ≤ αβ.11. Induktion uber γ. OBdA sei β 6= 0. Fall 0. Klar. Fall γ + 1. Dann ist
(αβ)(γ + 1) = (αβ)γ + αβ
= α(βγ) + αβ nach IH
= α(βγ + β) nach (8)
= α[β(γ + 1)]
Fall γ Limeszahl. Nach (7) ist dann auch βγ Limeszahl. Man erhalt
(αβ)γ = sup (αβ)δ | δ < γ = supα(βδ) | δ < γ nach IH
= supαε | ε < βγ = α(βγ).
12. Existenz: Sei 0 < β, also 1 ≤ β und deshalb α = 1α ≤ βα. Sei γ die kleinste Ordinalzahl mitα ≤ βγ. Fall α = βγ. Setze ρ = 0. Fall α < βγ. Ist dann γ = γ′ + 1, so ist βγ′ < α. Es gibt also ein ρmit βγ′ + ρ = α. Ferner ist ρ < β, denn aus ρ ≥ β folgt α = βγ′ + ρ ≥ βγ′ + β = β(γ′ + 1) = βγ imWiderspruch zur Fallunterscheidungsannahme. Ist γ Limeszahl, so gilt α < βγ = supβδ | δ < γ , alsoα < βδ fur ein δ < γ, was nicht sein kann.
Eindeutigkeit: Gelte βγ1 + ρ1 = βγ2 + ρ2 mit ρ1, ρ2 < β. Ist etwa γ1 < γ2, so folgt
βγ1 + ρ1 < βγ1 + β
= β(γ1 + 1)
≤ βγ2
≤ βγ2 + ρ2
und damit ein Widerspruch. Also ist γ1 = γ2, und deshalb auch ρ1 = ρ2. ut
Korollar 5.6.3. Jede Ordinalzahl α laßt sich eindeutig in der Form α = ωγ + n darstellen. Hierbei istn = 0 genau dann, wenn α = 0 oder α Limeszahl ist.
Beweis. Es ist nur noch zu zeigen, daß fur jedes γ gilt ωγ = 0 oder ωγ ist Limeszahl. Im Fall γ = 0 istdies klar. Im Fall γ + 1 ist ω(γ + 1) = ωγ + ω Limeszahl nach Lemma 5.6.1(8). Im Fall γ Limeszahl istnach Lemma 5.6.2(7) auch ωγ Limeszahl. ut
Die Ordinalzahlexponentiation definieren wir durch
α0 :=
0, falls α = 0;1, sonst,
αβ+1 := αβα,
αβ := supαγ | γ < β falls β Limeszahl.
Lemma 5.6.4. (Eigenschaften der Ordinalzahlexponentiation).
1. αβ ∈ On.2. 0β = 0, 1β = β.3. 1 < α ∧ β < γ → αβ < αγ .4. Es gibt α, β, γ mit 1 < γ und 1 < α < β, aber αγ 6< βγ .5. α ≤ β → αγ ≤ βγ .6. Ist 1 < α und β Limeszahl, so ist auch αβ Limeszahl.7. αβ+γ = αβαγ .8. αβγ = (αβ)γ .
5.6 Ordinalzahlarithmetik 121
9. 1 < α → β ≤ αβ.
Beweis. 1. Induktion uber β. Fall 0. Klar. Fall β +1. Dann ist αβ+1 = (αβ)α ∈ On, da nach IH αβ ∈ On.Fall β Limeszahl. Dann ist αβ = supαγ | γ < β ∈ On, da nach IH αγ ∈ On fur alle γ < β.
2. 0β = 0: Induktion uber β. Fall 0. 00 = 0 gilt nach Definition. Fall β +1. Dann ist 0β+1 = (0β)0 = 0.Fall β Limeszahl. 0β = sup 0γ | γ < β = 0 nach IH. – 1β = 1: Induktion uber β. Fall 0. Klar. Fall β+1.Dann ist 1β+1 = (1β)1 = 1 nach IH. Fall β Limeszahl. 1β = sup 1γ | γ < β = sup 1 | γ < β = 1nach IH.
3. Sei 1 < α. Wir zeigen β < γ → αβ < αγ durch Induktion uber γ. Fall 0. Klar. Fall γ + 1. Dann ist
β < γ + 1,
β < γ ∨ β = γ,
αβ < αγ ∨ αβ = αγ nach IH,
αβ ≤ αγ < αγ + αγ ≤ αγ+1.
Fall γ Limeszahl. Sei β < γ, also β < δ fur ein δ < γ. Dann gilt αβ < αδ nach IH, also αβ < supαδ |δ < γ = αγ .
4. Fur 1 < n gilt nω = supnm | m < ω = ω und damit 2ω = ω = 3ω.5. Wir zeigen die Behauptung α ≤ β → αγ ≤ βγ durch Induktion uber γ. Fall 0. Klar. Fall γ + 1. Sei
also α ≤ β. Dann ist
αγ ≤ βγ nach IH,
αγ+1 = αγα
≤ βγα
≤ βγβ
= βγ+1.
Fall γ Limeszahl. Sei wieder α ≤ β. Dann ist
αδ ≤ βδ fur alle δ < γ, nach IH,
αδ ≤ supβδ | δ < γ supαδ | δ < γ ≤ supβδ | δ < γ αγ ≤ βγ nach Definition.
6. Sei 1 < α und β Limeszahl. Zum Beweis von αβ Limeszahl verwenden wir wieder die in Lem-ma 5.3.27(1) gegebene Charakterisierung von Limeszahlen. αβ 6= 0: Wegen 1 ≤ α ist 1 = 1β ≤ αβ .γ < αβ → γ + 1 < αβ : Sei γ < αβ = supαδ | δ < β , also γ < αδ fur ein δ < β, alsoγ + 1 < αδ + 1 ≤ αδ2 ≤ αδ+1 mit δ + 1 < β, also γ + 1 < supαδ | δ < β .
7. Zu zeigen ist αβ+γ = αβαγ . OBdA sei α 6= 0, 1. Wir verwenden Induktion uber γ. Fall 0. Klar. Fallγ + 1. Dann ist
αβ+γ+1 = αβαγα nach IH
= αβαγ+1.
Fall γ Limeszahl. Man erhalt
αβ+γ = supαδ | δ < β + γ = supαβ+ε | ε < γ = supαβαε | ε < γ nach IH
= supαβδ | δ < αγ = αβαγ .
122 5. Mengenlehre
8. Zu zeigen ist αβγ = (αβ)γ . OBdA sei α 6= 0, 1 und β 6= 0. Wir verwenden Induktion uber γ. Fall 0.Klar. Fall γ + 1. Dann ist
αβ(γ+1) = αβγαβ
= (αβ)γαβ nach IH
= (αβ)γ+1.
Fall γ Limeszahl. Wegen α 6= 0, 1 und β 6= 0 sind dann αβγ und (αβ)γ Limeszahlen und man erhalt
αβγ = supαδ | δ < βγ = supαβε | ε < γ = sup (αβ)ε | ε < γ nach IH
= (αβ)γ .
9. Sei 1 < α. Wir zeigen β ≤ αβ durch Induktion uber β. Fall 0. Klar. Fall β + 1. Dann ist β ≤ αβ
nach IH, also
β + 1 ≤ αβ + 1
≤ αβ + αβ
≤ αβ+1.
Fall β Limeszahl. Man erhalt
= sup γ | γ < β ≤ supαγ | γ < β nach IH
= αβ . ut
Satz 5.6.5. (Cantor-Normalform). Sei γ ≥ 2. Jedes α laßt sich eindeutig darstellen in der Form
α = γα1β1 + · · ·+ γαnβn mit α ≥ α1 > · · · > αn und 0 < βi < γ.
Beweis. Existenz. Induktion uber α. Sei δ minimal mit α < γδ; ein solches δ existiert, da α ≤ γα. Dannkann δ keine Limeszahl sein, da sonst α < γε fur ein ε < δ ware. Ist δ = 0, so folgt α = 0 und dieBehauptung ist trivial. Sei also δ = α1 + 1, also
γα1 ≤ α < γα1+1.
Division mit Rest ergibtα = γα1β1 + ρ mit ρ < γα1 .
Offenbar ist 0 < β1 < γ. Ist jetzt ρ = 0, so sind wir fertig. Andernfalls haben wir
ρ = γα2β2 + · · ·+ γαnβn nach IH.
Zu zeigen bleibt α1 > α2. Dies gilt, da aus α2 ≥ α1 folgt ρ ≥ γα2 ≥ γα1 , was nicht sein kann.Eindeutigkeit. Sei
γα1β1 + · · ·+ γαnβn = γα′1β′1 + · · ·+ γα′mβ′m.
und nehmen wir an, daß beide Darstellungen verschieden sind. Da keine Darstellung Verlangerung deranderen sein kann, gibt es dann ein i ≤ n, m mit (αi, βi) 6= (α′i, β
′i). Nach Lemma 5.6.1(4) konnen wir
oBdA i = 1 annehmen. Zunachst gilt
γα1β1 + · · ·+ γαn−1βn−1 + γαnβn < γα1β1 + · · ·+ γαn−1βn−1 + γαn+1 da βn < γ
≤ γα1β1 + · · ·+ γαn−1(βn−1 + 1) da αn < αn−1
≤ γα1β1 + · · ·+ γαn−1+1
. . .
≤ γα1(β1 + 1).
5.7 Normalfunktionen 123
Ware etwa α1 < α′1, so hatte man γα1β1 + · · ·+γαnβn < γα1(β1 +1) ≤ γα1+1 ≤ γα′1 , was nicht sein kann.Also ist α1 = α′1. Ware nun etwa β1 < β′1, so hatte man γα1β1 + · · ·+ γαnβn < γα1(β1 + 1) ≤ γα1β′1, waswieder nicht sein kann. Also ist β1 = β′1. ut
Korollar 5.6.6. (Cantor-Normalform zur Basis ω). Jedes α laßt sich eindeutig darstellen in der Form
α = ωα1 + · · ·+ ωαn mit α ≥ α1 ≥ · · · ≥ αn. ut
Eine Ordinalzahl α heißt additive Hauptzahl , wenn α 6= 0 ist und aus β, γ < α stets folgt β + γ < α.
Korollar 5.6.7. Additive Hauptzahlen sind genau die Ordinalzahlen der Form ωξ.
Beweis. Dies ergibt sich leicht aus der Cantor-Normalform zur Basis ω. ut
Korollar 5.6.8. (Cantor-Normalform zur Basis 2). Jedes α laßt sich eindeutig darstellen in der Form
α = 2α1 + · · ·+ 2αn mit α ≥ α1 > · · · > αn. ut
Wir setzen noch ω0 := 1, ωk+1 := ωωk und ε0 := supk<ω ωk.
5.7 Normalfunktionen
In [45] hat Veblen den Begriff einer stetigen monotonen Funktion auf einem Abschnitt der Ordinalzahlenuntersucht und eine gewisse Hierarchie von Normalfunktionen eingefuhrt. Seine Absicht war dabei, dieCantorsche Theorie der ε-Zahlen aus [5] zu erweitern.
Sei Ω eine eine regulare Kardinalzahl > ω oder Ω = On. Ein wichtiges Beispiel ist Ω = ℵ1, also derFall, daß Ω die Menge der abzahlbaren Ordinalzahlen ist. Mit α, β, γ, δ, ε, ξ, η, ζ bezeichnen wir Elementevon Ω. Eine Funktion ϕ : Ω → Ω heißt monoton, wenn aus α < β stets folgt ϕα < ϕβ. ϕ heißt stetig ,wenn gilt ϕα = supξ<α ϕξ fur jede Limeszahl α. ϕ heißt normal , wenn ϕ monoton und stetig ist.
Lemma 5.7.1. Fur jede monotone Funktion ϕ gilt α ≤ ϕα.
Beweis. Induktion uber α. Fall 0. 0 ≤ ϕ0. Fall α + 1. α ≤ ϕα < ϕ(α + 1). Fall α Limeszahl. α =supξ<α ξ ≤ supξ<α ϕξ ≤ ϕα. ut
Eine Klasse B ⊆ Ω heißt beschrankt, wenn sup(B) ∈ Ω. Eine Klasse A ⊆ Ω heißt abgeschlossen, wennfur jede beschrankte Teilklasse B ⊆ A gilt sup(B) ∈ A. Abgeschlossene unbeschrankte Klassen A ⊆ Ωheißen normal in Ω oder auch club in Ω (club steht fur “closed unbounded”).
Ist zum Beispiel Ω = Ω1, so ist jedes B ⊆ Ω eine Menge, und B ist genau dann beschrankt, wenn Babzahlbar ist. Ist Ω = On, so ist B genau dann beschrankt, wenn B eine Menge ist.
Nach Korollar 5.3.19 (zum Isomorphiesatz von Mostowski) gibt es zu jedem A ⊆ On einen eindeutigbestimmten Isomorphismus einer ordinalen Klasse auf A, also ein f : On → A bzw. f : α → A. DiesenIsomorphismus nennt man die Ordnungsfunktion von A. f heißt auch die monotone Aufzahlung von A.
Lemma 5.7.2. Der Wertebereich einer Normalfunktion ist eine normale Klasse. Umgekehrt ist die Ord-nungsfunktion einer normalen Klasse eine Normalfunktion.
Beweis. Sei ϕ eine Normalfunktion. ϕ[Ω] ist unbeschrankt, da fur jedes α gilt α ≤ ϕα. Wir zeigen jetzt,daß ϕ[Ω] abgeschlossen ist. Sei also B = ϕξ | ξ ∈ A beschrankt, d.h. sup(B) ∈ Ω. Wegen ξ ≤ ϕξist dann auch A beschrankt. Zu zeigen ist sup(B) = ϕα fur ein α. Hat A ein maximales Element, sosind wir fertig. Andernfalls sei α := sup(A). Offenbar ist α eine Limeszahl. Dann gilt ϕα = supξ<α ϕξ =supξ∈A ϕξ = sup(B).
Sei umgekehrt A abgeschlossen und unbeschrankt. Wir definieren eine Funktion ϕ : Ω → A durchtransfinite Rekursion, wie folgt.
ϕα := min γ ∈ A | ∀ξ(ξ < α → ϕξ < γ) .
ϕ ist wohldefiniert, da A unbeschrankt ist. Offenbar ist ϕ die Ordnungsfunktion von A und deshalbmonoton. Es bleibt zu zeigen, daß ϕ stetig ist. Sei also α eine Limeszahl. Da ϕ[α] beschrankt ist (dies folgtaus ϕξ < ϕα fur ξ < α) und A abgeschlossen ist, gilt supξ∈α ϕξ ∈ A, also nach Definition ϕα = supξ∈α ϕξ.
ut
124 5. Mengenlehre
Lemma 5.7.3. Die Fixpunkte einer Normalfunktion bilden eine normale Klasse.
Beweis. (vgl. Cantor [5, p. 242]). Sei ϕ eine Normalfunktion. Fur jede Ordinalzahl α erhalten wir einenFixpunkt β ≥ α von ϕ durch
β := supϕnα | n ∈ N .
Also ist die Klasse der Fixpunkte von ϕ unbeschrankt. Sie ist auch abgeschlossen, da fur jede Klasse Bvon Fixpunkten von ϕ gilt ϕ(sup(B)) = supϕα | α ∈ B = supα | α ∈ B = sup(B), d.h. sup(B) istein Fixpunkt von ϕ. ut
Die Ordnungsfunktion der Klasse der Fixpunkte einer Normalfunktion ϕ heißt nach Veblen die ersteAbleitung ϕ′ von ϕ. Zum Beispiel ist die erste Ableitung der Funktion ωξ die Funktion εξ.
Lemma 5.7.4. (Veblen [45, p. 284]). Sei (Aγ)γ<β mit β Limeszahl eine fallende Folge normaler Klas-sen. Dann ist auch der Durchschnitt
⋂
γ<β Aγ normal.
Beweis. Unbeschranktheit. Sei α gegeben und δγ := min ξ ∈ Aγ | ξ > α . Dann ist (δγ)γ<β schwachmonoton. Sei δ := supγ<β δγ . Dann ist δ ∈ Aγ fur jedes γ < β, da die Aγ fallen. Also ist α < δ ∈
⋂
γ<β Aγ .Abgeschlossenheit. Sei B ⊆
⋂
γ<β Aγ , B beschrankt. Dann gilt B ⊆ Aγ fur jedes γ < β und deshalbsup(B) ∈ Aγ . Also ist sup(B) ∈
⋂
γ<β Aγ . ut
Wir definieren jetzt die Veblen-Hierarchie von Normalfunktionen. Sie geht aus von einer beliebigengegebenen Normalfunktion ϕ : Ω → Ω. Wir verwenden transfinite Rekursion, um fur jedes β ∈ Ω eineNormalfunktion ϕβ : Ω → Ω zu definieren:
ϕ0 := ϕ,
ϕβ+1 := (ϕβ)′ ,fur Limeszahlen β sei ϕβ die Ordnungsfunktion fur
⋂
γ<β ϕγ [Ω].
Etwa fur ϕα := 1 + α erhalt man ϕβα = ωβ + α. Beginnt man mit ϕα := ωα, so ist ϕ1α = εα und ϕ2zahlt die kritischen ε-Zahlen auf, d.h. die Ordinalzahlen α mit εα = α.
Lemma 5.7.5. Sei β > 0. Dann ist ϕβ die Ordnungsfunktion der Klasse aller gemeinsamen Fixpunktealler ϕγ fur γ < β.
Beweis. Wir mussen zeigen ϕβ [Ω] = ξ | ∀γ(γ < β → ϕγξ = ξ) .⊆. Dies beweist man durch transfinite Induktion nach β. Im Fall β + 1 ist jedes ϕβ+1α ein Fixpunkt
von ϕβ und deshalb nach IH auch ein Fixpunkt aller ϕγ fur γ < β. Ist β eine Limeszahl, so folgt dieBehauptung aus ϕβ [Ω] =
⋂
γ<β ϕγ [Ω].⊇. Sei ξ mit ∀γ(γ < β → ϕγξ = ξ) gegeben. Ist β ein Nachfolger, so gilt ξ ∈ ϕβ [Ω] nach Definition
von ϕβ . Ist β eine Limeszahl, so gilt ξ ∈⋂
γ<β ϕγ [Ω] = ϕβ [Ω]. ut
Hieraus folgt, daß gilt ϕγ(ϕβξ) = ϕβξ fur jedes γ < β.Eine weitere Normalfunktion erhalt man wie folgt. Aus jeder der normalen Klassen ϕβ [Ω] nehme man
den kleinsten Fixpunkt heraus. Die auf diese Weise gebildete Klasse ist wieder normal, laßt sich alsodurch eine Normalfunktion aufzahlen. Diese Normalfunktion ordnet also jedem β die Ordinalzahl ϕβ0 zu.
Lemma 5.7.6. Ist ϕ eine Normalfunktion mit 0 < ϕ0, so ist auch λβ ϕβ0 eine Normalfunktion.
Beweis. Wir zeigen zunachstβ < γ → ϕβ0 < ϕγ0,
und zwar durch Induktion uber γ. Sei also β < γ. Man beachte, daß 0 < ϕβ0 nach IH oder im Fallβ = 0 nach Annahme. Also ist 0 kein Fixpunkt von ϕβ und deshalb 0 < ϕγ0. Hieraus folgt aberϕβ0 < ϕβ(ϕγ0) = ϕγ0.
Wir zeigen jetzt, daß λβϕβ0 stetig ist. Sei δ := supβ<γ ϕβ0 mit γ Limeszahl. Wir mussen zeigenδ = ϕγ0. Da ϕβ0 ∈ ϕα[Ω] fur alle α ≤ β < γ und da ϕα[Ω] abgeschlossen ist, gilt δ ∈ ϕα[Ω], alsoδ ∈
⋂
α<γ ϕα[Ω] = ϕγ [Ω] und deshalb δ ≥ ϕγ0. Andererseits ist ϕβ0 < ϕβ(ϕγ0) = ϕγ0, also δ ≤ ϕγ0. ut
5.7 Normalfunktionen 125
Die Fixpunkte dieser Funktion, d.h. die Ordinalzahlen α mit ϕα0 = α, heißen stark kritische Or-dinalzahlen. Man beachte, daß sie von der oben als gegeben vorausgesetzten Normalfunktion ϕ = ϕ0
abhangen. Ihre Ordnungsfunktion wird meist mit Γ bezeichnet. Nach Definition ist also Γ0 := Γ0 diekleinste Ordinalzahl β mit ϕβ0 = β.
Wir wollen jetzt eine Verallgemeinerung der Cantorschen Normalform herleiten, die auf der Veblen-Hierarchie aufbaut (anstelle von ωξ).
Lemma 5.7.7.
ϕβ0α0 < ϕβ1α1 ⇐⇒
α0 < ϕβ1α1, falls β0 < β1;α0 < α1, falls β0 = β1;ϕβ0α0 < α1, falls β0 > β1,
(5.2)
ϕβ0α0 = ϕβ1α1 ⇐⇒
α0 = ϕβ1α1, falls β0 < β1;α0 = α1, falls β0 = β1;ϕβ0α0 = α1, falls β0 > β1.
(5.3)
Beweis. ⇐=. (5.2). Ist β0 < β1 und α0 < ϕβ1α1, so gilt ϕβ0α0 < ϕβ0ϕβ1α1 = ϕβ1α1. Ist β0 = β1 undα0 < α1, so folgt ϕβ0α0 < ϕβ1α1. Ist β0 > β1 und ϕβ0α0 < α1, so gilt ϕβ0α0 = ϕβ1ϕβ0α0 < ϕβ1α1. Fur(5.3) schließt man analog.
=⇒. Ist die rechte Seite von (5.2) falsch, so gilt
α1 ≤ ϕβ0α0, falls β1 < β0;α1 ≤ α0, falls β1 = β0;ϕβ1α1 ≤ α0, falls β1 > β0,
also nach ⇐= (mit 0 und 1 vertauscht) ϕβ1α1 < ϕβ0α0 bzw. ϕβ1α1 = ϕβ0α0, also ¬(ϕβ0α0 < ϕβ1α1). Istdie rechte Seite von (5.3) falsch, so gilt
α0 6= ϕβ1α1, falls β0 < β1;α0 6= α1, falls β0 = β1;ϕβ0α0 6= α1, falls β0 > β1,
und damit nach ⇐= in (5.2) entweder ϕβ0α0 < ϕβ1α1 oder ϕβ1α1 < ϕβ0α0, also ϕβ0α0 6= ϕβ1α1. ut
Korollar 5.7.8. Gilt β0 ≤ β1, so ist ϕβ0α ≤ ϕβ1α.
Beweis. Gelte β0 < β1. Nach Lemma 5.7.7 (fur ≤) genugt es zu zeigen α ≤ ϕβ1α. Dies folgt aber ausLemma 5.7.1. ut
Korollar 5.7.9. Gilt ϕβ0α0 = ϕβ1α1, so ist α0 = α1 und β0 = β1, falls α0 < ϕβ0α0 und α1 < ϕβ1α1.
Beweis. Fall β0 = β1. Dann folgt α0 = α1 aus Lemma 5.7.7. Fall β0 < β1. Nach Lemma 5.7.7 gilt dannα0 = ϕβ1α1 = ϕβ0α0 im Widerspruch zu unserer Annahme. Fall β1 < β0. Ahnlich. ut
Korollar 5.7.10. Ist ϕ eine Normalfunktion mit 0 < ϕ0, so kann jeder Fixpunkt α von ϕ = ϕ0 eindeutigin der Form α = ϕβα′ mit α′ < α geschrieben werden.
Beweis. Es gilt α + 1 ≤ ϕα+10 nach Lemma 5.7.6 und deshalb α < ϕα+1α. Sei nun β minimal mitα < ϕβα. Nach Annahme ist 0 < β. Da α Fixpunkt aller ϕγ mit γ < β ist, gilt α = ϕβα′ fur ein α′. Mitα < ϕβα folgt α′ < α.
Eindeutigkeit. Sei noch α = ϕβ1α1 mit α1 < α. Dann ist α1 < ϕβ1α1, also β ≤ β1 nach Wahl vonβ. Ware nun β < β1, so folgte ϕβα = ϕβϕβ1α1 = ϕβ1α1 = α im Widerspruch zur Wahl von β. Also istβ = β1 und damit α1 = α. ut
Wir zeigen jetzt, daß sich jede Ordinalzahl eindeutig in einer gewissen ϕ-Normalform schreiben laßt.Hierbei nehmen wir an, daß unsere Ausgangs-Normalfunktion ϕ0 = ϕ die Exponentiation zur Basis ω ist.
126 5. Mengenlehre
Satz 5.7.11 (ϕ-Normalform). Sei ϕ0ξ := ωξ. Dann laßt sich jede Ordinalzahl α eindeutig schreibenin der Form
α = ϕβ1α1 + · · ·+ ϕβnαn
mit ϕβ1α1 ≥ · · · ≥ ϕβnαn und αi < ϕβiαi fur i = 1, . . . , k. Ist α < Γ0, so gilt zusatzlich βi < ϕβiαi furi = 1, . . . , n.
Beweis. Existenz. Zunachst schreibe man α in Cantor-Normalform α = ϕ0δ1+· · ·+ϕ0δn mit δ1 ≥ · · · ≥δn. Jeden Summanden mit δi < ϕ0δi lasse man unverandert. Jeder andere Summand erfullt δi = ϕ0δiund kann deshalb nach Korollar 5.7.10 durch ϕβα′ mit α′ < ϕβα′ ersetzt werden.
Eindeutigkeit. Seiα = ϕβ1α1 + · · ·+ ϕβnαn = ϕβ′1α
′1 + · · ·+ ϕβ′mα′m
und nehmen wir an, daß beide Darstellungen verschieden sind. Da keine Darstellung Verlangerung deranderen sein kann, gibt es dann ein i ≤ n,m mit (βi, αi) 6= (β′i, α
′i). Nach Lemma ordadd.g konnen wir
oBdA i = 1 annehmen. Ware etwa ϕβ1α1 < ϕβ′1α′1, so hatte man (da ϕβ′1α
′1 additive Hauptzahl ist und
ϕβ1α1 ≥ · · · ≥ ϕβnαn gilt)
ϕβ1α1 + · · ·+ ϕβnαn < ϕβ′1α′1 ≤ ϕβ′1α
′1 + · · ·+ ϕβ′mα′m,
was nicht sein kann.Zu zeigen bleibt, daß im Fall α < Γ0 gilt βi < ϕβiαi fur i = 1, . . . , n. Nehmen wir also an, daß
ϕβiαi ≤ βi fur ein i. Dann erhalt man
ϕβi0 ≤ ϕβiαi ≤ βi ≤ ϕβi0,
also ϕβi0 = βi und deshalbΓ0 ≤ βi = ϕβi0 ≤ ϕβiαi ≤ α. ut
Aus den ϕβ(α) erhalt man also ein eindeutiges Bezeichnungssystem fur Ordinalzahlen unterhalb vonΓ0 := Γ0. Man beachte jedoch, daß nach Definition von Γ0 gilt Γ0 = ϕΓ00.
5.8 Anmerkungen
Die hier vorgestellte Mengenlehre wird in der Literatur mit ZFC bezeichnet (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom C fur Choice). Zermelo hat 1908 die Axiome angegeben mit Aus-nahme des Regularitatsaxioms (von Neumann, 1925) und des Ersetzungsschemas (Fraenkel, 1922).Auch Skolem betrachtete Prinzipien, die zu den beiden nachtraglichen Axiomen verwandt sind. In ZFCgibt es nur Mengen als Objekte, Klassen sind nur eine Sprechweise und konnen immer mit Formelnidentifiziert werden.
Die in Abschnitt 5.7 definierte Hierarchie von Normalfunktionen wurde von Veblen [45] auf Funktio-nen mit mehr als einem Argument erweitert. Schutte hat in [30] diese Funktionen genauer untersuchtund gezeigt, daß und wie sie fur eine konstruktive Darstellung eines weit uber Γ0 hinausreichenden Ab-schnitts der Ordinalzahlen verwendet werden konnen. Dazu hat er sogenannte “Klammersymbole” zurBezeichnung der mehrstelligen Veblen-Funktionen eingefuhrt.
Bachmann hat die Veblen-Hierarchie unter Verwendung der ersten uberabzahlbaren Ordinalzahl Ωerweitert. Sein Ansatz wurde spater durch Hinzunahme von Symbolen fur hohere Zahlenklassen erweitert,zuerst von Pfeiffer fur endliche Zahlenklassen und dann von Isles fur transfinite Zahlenklassen. Dieentstehende Theorie war jedoch sehr kompliziert und es war schwierig, mit ihr zu arbeiten. Eine Idee vonFeferman hat dann den Gegenstand sehr vereinfacht: Er fuhrte Funktionen θα : On → On mit α ∈ On ein,die wieder eine Hierarchie von Normalfunktionen bildeten und die Veblen-Hierarchie erweiterten; manschreibt meist θαβ anstelle von θα(β) und sieht θ als eine zweistellige Funktion an. Die Ordinalzahlenθαβ werden wie folgt durch transfinite Rekursion uber α definiert. Nehmen wir an, daß θξ fur jedesξ < α schon definiert ist. Sei C(α, β) die Menge aller Ordinalzahlen, die sich aus Ordinalzahlen < βund etwa den Konstanten 0,ℵ1, . . . ,ℵω mit Hilfe der Funktionen + und θ ξ | ξ < α × On erzeugen
5.8 Anmerkungen 127
lassen. Eine Ordinalzahl β heiße α-kritisch, wenn β /∈ C(α, β). θα : On → On wird dann definiert als dieOrdnungsfunktion der Klasse aller α-kritischen Ordinalzahlen.
Buchholz hat in [3] bemerkt, daß das zweite Argument β in θαβ nicht wesentlich benutzt wird, und daßdie Funktionen α 7→ θαℵv mit v = 0, 1, . . . , ω ein Bezeichnungssystem fur Ordinalzahlen von derselbenStarke erzeugen wie das System mit der zweistelligen θ-Funktion. Er hat deshalb direkt Funktionen ψv
mit v ≤ ω definiert, die α 7→ θαℵv entsprechen. Genauer definiert er ψvα fur α ∈ On und v ≤ ω durchtransfinite Rekursion uber α, und zwar simultan fur alle v, wie folgt.
ψvα := min γ | γ /∈ Cv(α) ,
wobei Cv(α) die Menge aller Ordinalzahlen ist, die sich aus den Ordinalzahlen < ℵv durch die Funktionen+ und alle ψu ξ | ξ < α mit u ≤ ω erzeugen lassen.
128 5. Mengenlehre
6. Beweistheorie der Arithmetik
In diesem Kapitel nehmen wir die Behandlung der Beweistheorie wieder auf. Allerdings verlassen wir denBereich der reinen Logik und betrachten induktiv erzeugte Datenstrukturen; das Standardbeispiel ist dieMenge der naturlichen Zahlen, die wir uns aus aus der Null mit der Nachfolgerfunktion erzeugt denken.Wir behandeln die Frage nach Beweisbarkeit und Unbeweisbarkeit von Anfangsfallen der transfinitenInduktion in der Arithmetik. Es wird sich zeigen, daß wir hier eine scharfe Schranke erhalten, namlich dieOrdinalzahl ε0. Als Folgerung hieraus werden wir in Abschnitt 6.4 zeigen, daß ein Normalisierungssatz,der die Teilformeleigenschaft impliziert, in der Arithmetik nicht gelten kann.
6.1 Godelisierung von Ordinalzahlen
Um in arithmetischen Theorien uber Ordinalzahlen sprechen zu konnen, verwenden wir eine Godelisie-rung von Ordinalzahlen. Dies ist sicher nur fur abzahlbare Mengen von Ordinalzahlen moglich. Wirbeschranken uns hier auf den durch ε0 bestimmten Abschnitt der Ordinalzahlen. Unsere Godelisierungkonnen wir dann aus der Cantor-Normalform erhalten. Mit α, β, γ bezeichnen wir in diesem Abschnittstets Ordinalzahlen < ε0.
Wir mussen ferner wissen, daß gewissen Relationen und Funktionen uber den Ordinalzahlen < ε0
berechenbare Relationen und Funktionen entsprechen. Dazu stellen wir folgendes fest.
Lemma 6.1.1. Seien ωαm + · · · + ωα0 und ωβn + · · · + ωβ0 Cantor-Normalformen (mit m,n ≥ −1).Dann gilt
ωαm + · · ·+ ωα0 < ωβn + · · ·+ ωβ0
genau dann, wenn es ein i ≥ 0 gibt so daß αm−i < βn−i, αm−i+1 = βn−i+1, . . . , αm = βn, oder m < nund αm = βn, . . . , α0 = βn−m.
Beweis. Ubung. ut
Wir verwenden die Bezeichnungen 1 fur ω0, a fur ω0 + · · · + ω0 mit a Exemplaren von ω0 und ωαafur ωα + · · ·+ ωα wieder mit a Exemplaren von ωα. ut
Lemma 6.1.2. Seien ωαm + · · ·+ ωα0 und ωβn + · · ·+ ωβ0 Cantor-Normalformen. Dann gilt
ωαm + · · ·+ ωα0 + ωβn + · · ·+ ωβ0 = ωαm + · · ·+ ωαi + ωβn + · · ·+ ωβ0 ,
wobei i minimal ist so daß αi ≥ βn; falls es kein solches i gibt, sei i = m + 1 (also ωβn + · · ·+ ωβ0).
Beweis. Ubung. ut
Man kann auch eine kommutative Version der Addition definieren. Dies ist die sogenannte naturlicheSumme oder Hessenberg-Summe zweier Ordinalzahlen. Fur Cantor-Normalformen ωαm + · · · + ωα0
und ωβn + · · ·+ ωβ0 wird sie definiert durch
(ωαm + · · ·+ ωα0)#(ωβn + · · ·+ ωβ0) := ωγm+n+1 + · · ·+ ωγ0 ,
wobei γm+n+1, . . . , γ0 eine fallende Permutation von αm, . . . , α0, βn, . . . , β0 ist.
Lemma 6.1.3. # ist assoziativ, kommutativ und wachsend in beiden Argumenten.
130 6. Beweistheorie der Arithmetik
Beweis. Ubung. ut
Wir definieren jetzt eine Bijektion zwischen Ordinalzahlen < ε0 und naturlichen Zahlen. Fur dieseDefinition ist es nutzlich, Ordinalzahlen darzustellen in der Form
ωαmam + · · ·+ ωα0a0 mit αm > · · · > α0 und ai 6= 0 (m ≥ −1).
Fur jede Ordinalzahl α definieren wir ihre Godelnummer pαq induktiv durch
pωαmam + · · ·+ ωα0a0q :=(
∏
i≤m
paipαiq
)
− 1,
wobei pn die n-te Primzahl ist, beginnend mit p0 := 2. Fur jede naturliche Zahl x definieren wir ihreentsprechende Ordinalzahl o(x) induktiv durch
o(
(∏
i≤m
paii
)
− 1)
:=∑
i≤m
ωo(i)ai,
wobei die Summe als naturliche Summe zu verstehen ist.
Lemma 6.1.4. 1. o(pαq) = α.2. po(x)q = x.
Beweis. Ubung. ut
Wir haben also eine einfache Bijektion zwischen den Ordinalzahlen < ε0 und den naturlichen Zahlen.Es ist nutzlich, fur einige Relationen und Funktionen auf den Ordinalzahlen besondere Bezeichnungen furdie entsprechenden Relationen und Funktionen auf den naturlichen Zahlen einzufuhren. Wir schreiben
x ≺ y fur o(x) < o(y),
ωx fur pωo(x)q,
x⊕ y fur po(x) + o(y)q,
xa fur po(x)aq,
ωk fur pωkq,
wobei ω0 := 1, ωk+1 := ωωk .
6.2 Beweisbarkeit von Anfangsfallen der transfiniten Induktion
Wir wollen jetzt Anfangsfalle der transfiniten Induktion in der Peano-Arithmetik herleiten, also
(∀x.∀y≺x A(y) → A(x)) → ∀x≺aA(x)
fur alle naturlichen Zahlen a und beliebige Formeln A(x). Spater werden wir sehen, daß unsere Resultatehier optimal sind in dem Sinn, daß fur das volle System von Bezeichnungen fur Ordinalzahlen < ε0 dasentsprechende Axiom der transfiniten Induktion bis ε0, also
(∀x.∀y≺xPy → Px) → ∀xPx
mit einem Pradikatensymbol P in der Peano-Arithmetik unbeweisbar ist. Alle diese Resultate stammenvon Gentzen [10].
Unter einem arithmetischen System Z verstehen wir eine auf der Minimallogik aufgebaute Theorie(einschließlich der Gleichheitsaxiome) mit den folgenden Eigenschaften. Die Sprache von Z besteht auseinem festen (moglicherweise abzahlbar unendlichen) Vorrat von Relations- und Funktionssymbolen, vondenen wir annehmen, daß sie feste Relationen und Funktionen uber den naturlichen Zahlen bezeichnen,fur die ein Berechnungsverfahren bekannt ist. Unter den Funktionssymbolen mussen Symbole S fur die
6.2 Beweisbarkeit von Anfangsfallen der transfiniten Induktion 131
Nachfolgerfunktion und 0 fur (die 0-stellige Funktion) Null vorkommen. Unter den Relationssymbolenmussen Symbole = fur die Gleichheit und ≺ fur die eben eingefuhrte Ordnung vom Typ ε0 der naturlichenZahlen vorkommen. Um das allgemeine Prinzip der transfiniten Induktion formulieren zu konnen, nehmenwir noch an, daß auch ein einstelliges Relationssymbol P vorhanden ist, das wie eine freie Mengenvariableverwendet wird.
Terme werden aus Objektvariablen x, y, z mittels f(t1, . . . , tm) aufgebaut, wobei f ein Funktions-symbol ist. Wir identifizieren einen geschlossenen Term mit seinem Wert; dies ist ein bequemer Weg, inunserem formalen System die Annahme auszudrucken, daß fur jedes Funktionssymbol ein Berechnungsver-fahren bekannt ist. Terme der Form S(S(. . . S(0) . . . )) heißen Numerale. Wir verwenden die BezeichnungSn0 oder auch nur n fur sie; gelegentlich schreiben wir auch a, definiert durch 0 := 0 und n + 1 := S(n).Formeln werden aus atomaren Formeln R(t1, . . . , tm) mit einem Relationssymbol R und aus ⊥ mittelsA → B und ∀xA aufgebaut. Wie ublich kurzen wir A → ⊥ durch ¬A ab.
Die Axiome von Z sollen immer die Peano-Axiome enthalten, also die Allabschlusse von
S(x) = S(y) → x = y, (6.1)
S(x) = 0 → A, (6.2)
A(0) → (∀x.A(x) → A(S(x))) → ∀xA(x), (6.3)
wobei A(x) eine beliebige Formel ist. Um in unserem formalen System die Annahme auszudrucken, daßfur jedes Relationssymbol ein Berechnungsverfahren bekannt ist, verwenden wir als Axiome Rn falls Rnwahr ist, und ¬Rn falls Rn falsch ist. Fur ≺ fordern wir Irreflexivitat und Transitivitat als Axiome, undferner – wie bei Schutte [32] – die Allabschlusse von
x ≺ 0 → A, (6.4)
z ≺ y ⊕ ω0 → (z ≺ y → A) → (z = y → A) → A, (6.5)
x⊕ 0 = x, (6.6)
x⊕ (y ⊕ z) = (x⊕ y)⊕ z, (6.7)
0⊕ x = x, (6.8)ωx0 = 0, (6.9)
ωxS(y) = ωxy ⊕ ωx, (6.10)
z ≺ y ⊕ ωS(x) → z ≺ y ⊕ ωe(x,y,z)m(x, y, z), (6.11)
z ≺ y ⊕ ωS(x) → e(x, y, z) ≺ S(x), (6.12)
wobei ⊕, ωxy, e und m die entsprechenden Funktionssymbole bezeichnen und A eine beliebige Formelist. Wir erlauben auch eine beliebige Menge von wahren Formeln ∀xA mit A quantorenfrei und ohne Pals Axiome. Solche Formeln heißen Π1-Formeln.
Wir konnen ferner ein ex-falso-quodlibet Axiom oder sogar ein Stabilitatsaxiom fur P hinzunehmen:
∀x.⊥ → Px,
∀x.¬¬Px → Px.
Dies fuhrt auf ein intuitionistisches arithmetisches System (wie die Heyting-Arithmetik HA) oder aufein klassisches arithmetisches System (wie die Peano-Arithmetik PA). Man beachte, daß in Anwesenheitder Stabilitatsaxiome fur alle Relationssymbole und fur P sich (6.2), (6.4) und (6.5) durch ihre ublicherenklassischen Versionen ersetzen lassen, namlich
S(x) 6= 0, (6.13)
x 6≺ 0, (6.14)
z ≺ y ⊕ ω0 → z 6= y → z ≺ y. (6.15)
Wir werden auch eingeschrankte arithmetische Systeme Zk betrachten. Sie sind wie Z definiert, abermit dem Induktionsschema (6.3) eingeschrankt auf Formeln A der Stufe lev(A) ≤ k. Die Stufe einerFormel A ist definiert durch
132 6. Beweistheorie der Arithmetik
lev(Rt ) := lev(⊥) := 0,
lev(A → B) := max(lev(A) + 1, lev(B)),
lev(∀xA) := max(1, lev(A)).
Der triviale Spezialfall A(0) → ∀xA(S(x)) → ∀xA(x), welcher der Fallunterscheidung entspricht, istjedoch fur beliebige Formeln A(x) erlaubt. Dies werden wir in Satz 6.2.2 verwenden.
Satz 6.2.1. (Gentzen). Das Schema der transfiniten Induktion bis ωn, also jede Formel
(∀x.∀y≺xA(y) → A(x)) → ∀x≺ωn A(x),
ist beweisbar in Z.
Beweis. Jeder Formel A(x) ordnen wir eine Formel A+(x) zu (mit Bezug auf eine feste Variable x), undzwar durch
A+(x) := ∀y.∀z≺y A(z) → ∀z≺y ⊕ ωx A(z).
Wir zeigen zunachstA(x) ist progressiv =⇒ A+(x) ist progressiv,
wobei “B(x) ist progressiv” bedeutet ∀x.∀y≺xB(y) → B(x). Sei also A(x) progressiv und
∀y≺xA+(y). (6.16)
Wir haben zu zeigen, daß A+(x) richtig ist. Gelte also weiter
∀z≺y A(z) (6.17)
und z ≺ y ⊕ ωx. Zu zeigen ist dann A(z).Fall x = 0. Dann z ≺ y ⊕ ω0. Nach (6.5) genugt es, A(z) aus der Annahme z ≺ y und auch aus der
Annahme z = y herzuleiten. Gilt z ≺ y, so folgt A(z) aus (6.17), und im Fall z = y folgt A(z) aus (6.17)und der Progressivitat of A(x).
Fall S(x). Aus z ≺ y ⊕ ωS(x) erhalten wir z ≺ y ⊕ ωe(x,y,z)m(x, y, z) nach (6.11) und e(x, y, z) ≺ S(x)nach (6.12). Aus (6.16) ergibt sich A+(e(x, y, z)). Nach Definition von A+ erhalten wir
∀u≺y ⊕ ωe(x,y,z)v A(u) → ∀u≺(y ⊕ ωe(x,y,z)v)⊕ ωe(x,y,z) A(u)
und also, unter Verwendung von (6.7) und (6.10)
∀u≺y ⊕ ωe(x,y,z)v A(u) → ∀u≺y ⊕ ωe(x,y,z)S(v) A(u).
Ferner ergibt sich aus (6.17) und (6.9), (6.6)
∀u≺y ⊕ ωe(x,y,z)0 A(u).
Mit Hilfe einer geeigneten Instanz des Induktionsschemas erhalten wir
∀u≺y ⊕ ωe(x,y,z)m(x, y, z) A(u)
und deshalb A(z).Wir zeigen jetzt, durch Induktion uber n, wie man fur eine beliebige Formel A(x) eine Herleitung von
(
∀x.∀y≺xA(y) → A(x))
→ ∀x≺ωn A(x)
erhalten kann. Gelte also die linke Seite, d.h. A(x) sei progressiv.Fall 0. Dann gilt x ≺ ω0 und also x ≺ 0 ⊕ ω0 nach (6.8). Nach (6.5) genugt es, A(x) aus x ≺ 0 und
auch aus x = 0 herzuleiten. Nun gilt x ≺ 0 → A(x) nach (6.4), und A(0) folgt aus der Progressivitat vonA(x).
Fall n + 1. Da A(x) progressiv ist, ist nach der obigen Uberlegung auch A+(x) progressiv. EineAnwendung der IH auf A+(x) liefert ∀x≺ωn A+(x), und also A+(ωn) aufgrund der Progressivitat vonA+(x). Nun ergibt sich aus der Definition von A+(x) (mit (6.4) und (6.8)) sofort ∀z≺ωωn A(z). ut
6.3 Normalisierung fur die Arithmetik mit der Omega-Regel 133
Man beachte, daß wir im Induktionsschritt dieses Beweises die transfinite Induktion bis ωn+1 fur A(x)aus der transfiniten Induktion bis ωn fur die kompliziertere Formel A+(x) hergeleitet haben.
Wir wollen jetzt dieses Resultat verscharfen zu einem entsprechenden Satz fur die Teilsysteme Zk vonZ (s. Parsons [24]). Fur i ≥ 1 sei ωi[m] definiert durch ω1[m] := m, ωi+1[m] := ωωi[m].
Satz 6.2.2. Sei 1 ≤ ` ≤ k. Dann laßt sich in Zk fur jede Formel A(x) einer Stufe ≤ ` die transfiniteInduktion bis ωk−`+2[m] fur beliebiges m herleiten, also
(∀x∀y≺x A(y) → A(x)) → ∀x≺ωk−`+2[m] A(x).
Beweis. Man beachte zunachst, daß fur jede Formel A(x) einer Stufe ` ≥ 1 die im Beweis von Satz 6.2.1konstruierte Formel A+(x) die Stufe ` + 1 hat, und daß wir fur den Beweis von
A(x) ist progressiv =⇒ A+(x) ist progressiv
Induktion mit einer Induktionsformel der Stufe ` benutzt haben.Sei jetzt (oBdA) A(x) eine Formel der Stufe ` ≥ 1, und nehmen wir an, daß A(x) progressiv ist.
Sei A0 := A, Ai+1 := (Ai)+. Dann ist lev(Ai) = ` + i, und folglich konnen wir in Zk beweisen, daßA1, A2, . . . Ak−`+1 samtlich progressiv sind. Aus der Progressivitat von Ak−`+1(x) ergibt sich Ak−`+1(0),Ak−`+1(1), Ak−`+1(2) und allgemein Ak−`+1(m) fur jedes m, also Ak−`+1(ω1[m]). Wegen
Ak−`+1(x) ⇐⇒ (Ak−`)+(x) ⇐⇒ ∀y.∀z≺y Ak−`(z) → ∀z≺y ⊕ ωx Ak−`(z)
erhalten wir zunachst (mit y = 0) ∀z≺ω2[m] Ak−`(z) und dann Ak−`(ω2[m]) aus der Progressivitat vonAk−`. Durch Wiederholung dieses Arguments erhalten wir schließlich ∀z≺ωk−`+2[m] A0(z). ut
Unser nachstes Ziel ist ein Beweis, daß diese Schranken scharf sind. Genauer werden wir zeigen,daß man in Z (unabhangig davon, wieviele wahre Π1-Formeln als Axiome verwendet werden) nicht dietransfinite Induktion bis ε0 beweisen kann, also die Formel
(∀x.∀y≺xPy → Px) → ∀xPx
mit einem Relationssymbol P , und daß man in Zk nicht die transfinite Induktion bis ωk+1 beweisen kann,also die Formel
(∀x.∀y≺xPy → Px) → ∀x≺ωk+1 Px.
Dies wird sich durch Anwendung der Methode der Normalisierung auf arithmetische Systeme ergeben.
6.3 Normalisierung fur die Arithmetik mit der Omega-Regel
Wir werden in Abschnitt 6.4 zeigen, daß fur arithmetische Systeme Z kein Normalisierungssatz gilt,der fur jede Herleitung einer Formel A in Z eine andere Herleitung derselben Formel A in Z liefert,die nur Formeln einer Stufe kleiner oder gleich der Stufe von A verwendet. Der Grund dafur sind dieInduktionsaxiome, die von beliebiger Stufe sein konnen.
Hier umgehen wir diese Schwierigkeit in einer etwas drastischen Art und Weise: Wir geben unserebisherige Auffassung auf, daß alle Herleitungen endlich sein mussen, und ersetzen die Induktionsaxiomedurch eine Regel mit unendlich vielen Pramissen, die sogenannte ω-Regel. Sie wurde zuerst von Hilbertvorgeschlagen und spater von Lorenzen, Novikov und Schutte genauer studiert. Die ω-Regel erlaubtes, ∀xA(x) aus A(0), A(1), A(2), · · · zu erschließen, also
D0
A(0)D1
A(1)Di
. . . A(i) . . .ω
∀xA(x)
Herleitungen kann man dann als beschriftete unendliche (abzahlbar verzweigte) Baume auffassen,wobei die Beschriftung aus der hergeleiteten Formel und dem Namen der angewandten Regel besteht. Da
134 6. Beweistheorie der Arithmetik
wir unendliche Herleitungen induktiv definieren, muß jede solche Herleitung fundiert sein, d.h. sie kannkeinen unendlichen absteigenden Pfad enthalten.
Offenbar macht die ω-Regel auch die Regel ∀+ der Alleinfuhrung uberflussig. Wir konnen deshalb auffreie Objektvariablen verzichten.
Ferner ist klar, daß jede Herleitung in einem arithmetischen System Z in eine unendliche Herleitung mitder ω-Regel ubersetzt werden kann; dies werden wir in Lemma 6.3.3 ausfuhren. Die entstehende unendlicheHerleitung hat eine beachtenswerte Eigenschaft: in jeder Anwendung der ω-Regel sind die Schnittrange derunendlich vielen Teilherleitungen beschrankt, und auch die Mengen ihrer freien Annahmen sind durch eineendliche Menge beschrankt. Hierbei ist der Schnittrang einer Herleitung die kleinste Zahl ≥ der Stufe jederTeilherleitung, die durch →+ als Hauptpramisse von →− oder die durch die ω-Regel als Hauptpramissevon ∀− gebildet wurde. Unter der Stufe einer Herleitung verstehen wir die Stufe ihres Typs, d.h. der von ihrhergeleiteten Formel. Eine unendliche Herleitung nennen wir normal, wenn ihr Schnittrang 0 ist, und wirwerden unten zeigen, daß jede (moglicherweise unendliche) Herleitung von endlichem Schnittrang in eineHerleitung mit Schnittrang 0 umgeformt werden kann. Die entstehende normale Herleitung wird immernoch i.a. unendlich sein; man konnte also meinen, daß dieses Resultat nutzlos ist. Es wird sich jedochzeigen, daß wir die Tiefe der entstehenden Herleitung in einer informativen Art und Weise beschrankenkonnen, und dies wird uns in Abschnitt 6.4 in die Lage versetzen, das gewunschte Resultat uber dieUnbeweisbarkeit der transfiniten Induktion zu erhalten. Dieses Programm wollen wir jetzt durchfuhren.
Wir fuhren die Systeme Z∞ der ω-Arithmetik wie folgt ein. Z∞ hat dieselbe Sprache und - abgesehenvon den Induktionsaxiomen - dieselben Axiome wie Z. Herleitungen in Z∞ sind unendliche Objekte. Esist nutzlich, fur sie eine Termbezeichnung zu verwenden; d, e, f bezeichnen solche (unendlichen) Herlei-tungsterme. Fur unsere Zwecke genugt es, nur Herleitungen zu betrachten, deren Tiefe unterhalb von ε0
beschrankt ist.Wir definieren den Begriff “d ist eine Herleitung der Tiefe ≤ α” (geschrieben |d| ≤ α) induktiv wie
folgt.(A). Jede Annahmenvariable uA mit A geschlossen und jedes Axiom AxA ist eine Herleitung der Tiefe
≤ α, fur jedes α.(→+). Ist dB eine Herleitung der Tiefe ≤ α0 < α, so ist (λuAdB)A→B eine Herleitung der Tiefe ≤ α.(→−). Sind dA→B und eA Herleitungen der Tiefen ≤ αi < α (i=1,2), so ist (dA→BeA)B eine Herleitung
der Tiefe ≤ α.(ω). Sind dA(i)
i Herleitungen der Tiefen ≤ αi < α (i < ω), so ist 〈dA(i)i 〉∀xA(x)
i<ω eine Herleitung derTiefe ≤ α.
(∀−). Ist d∀xA(x) eine Herleitung der Tiefe ≤ α0 < α, so ist (d∀xA(x)i)A(i) eine Herleitung der Tiefe≤ α.
Man beachte, daß es in ∀− genugt, Zahlen statt Terme in den Nebenpramissen zu verwenden. DerGrund dafur ist, daß wir nur geschlossene Terme betrachten mussen, und solche Terme konnen wir hiermit Zahlen identifizieren. Der Schnittrang cr(d) einer Herleitung d ist wie folgt definiert.
cr(uA) := cr(AxA) := 0,
cr(λud) := cr(d),
cr(dA→BeA) :=
max(lev(A → B), cr(d), cr(e)), falls d = λud′,max(cr(d), cr(e)), sonst,
cr(〈di〉i<ω) := supi<ω
cr(di),
cr(d∀xA(x)j) :=
max(lev(∀xA(x)), cr(d)), falls d = 〈di〉i<ω,cr(d), sonst.
Offenbar ist cr(d) ∈ N ∪ ω fur alle d. Fur unsere Zwecke genugt es, nur Herleitungen mit endlichemSchnittrang zu betrachten, d.h. mit cr(d) ∈ N. Es wird auch genugen, nur Herleitungen mit endlich vielenfreien Variablen zu betrachten. Wir verwenden die Bezeichnung d[uA1
1 , . . . , uAnn ] fur Herleitungen mit
freien Annahmevariablen unter uA11 , . . . , uAn
n . Mit |d| bezeichnen wir das kleinste α so daß |d| ≤ α.
Lemma 6.3.1. Ist d eine Herleitung der Tiefe ≤ α mit freien Annahmevariablen unter u, u und vomSchnittrang cr(d) = k, und ist e eine Herleitung der Tiefe ≤ β, mit freien Annahmevariablen unter u
6.3 Normalisierung fur die Arithmetik mit der Omega-Regel 135
und vom Schnittrang cr(e) = `, so ist d[u := e] eine Herleitung mit freien Annahmevariablen unter ue,von der Tiefe |d[u := e]| ≤ β + α und von einem Schnittrang cr(d[u := e]) ≤ max(lev(e), k, `).
Beweis. Einfache Induktion uber die Tiefe von d. ut
Unter Verwendung dieses Lemmas konnen wir jetzt unsere Systeme Zk (d.h. Arithmetik mit Indukti-onsaxiomen beschrankt auf Formeln der Stufe ≤ k) und Z in Z∞ einbetten. In dieser Einbettung beziehenwir uns auf die Anzahl nI(d) von geschachtelten Anwendungen des Induktionsschemas innerhalb einerZk-Herleitung d. nI(d) ist durch Induktion uber d wie folgt definiert.
nI(u) := nI(Ax) := 0,
nI(Ind) := 1,
nI(Ind tde) := max(nI(d), nI(e) + 1),
nI(de) := max(nI(d), nI(e)), falls d nicht von der Form Ind td0 ist,
nI(λud) := nI(λxd) := nI(dt) := nI(d).
Ferner benotigen wir im nachsten Lemma den Begriff der langen Normalform einer Herleitung. DerEinfachheit halber beschranken wir uns wieder auf das →-Fragment der minimalen Aussagenlogik; alleUberlegungen gelten aber genauso fur die volle Sprache.
In Abschnitt 2.2 hatten wir die Gestalt normaler Herleitungen im →-Fragment der minimalen Aus-sagenlogik studiert. Insbesondere hatten wir die Form von Asten in einer normalen Herleitung genauanalysiert und festgestellt, daß in jedem Ast alle Beseitigungsregeln vor allen Einfuhrungsregeln kom-men, und daß an einem eindeutig bestimmten Minimalknoten eine Minimalformel steht, die Teilformelaller Formeln im Einfuhrungsteil und im Beseitigungsteil des Astes ist. Im Begriff der langen Normalformwird zusatzlich verlangt, daß jede Minimalformel atomar ist.
Fur Terme des λ-Kalkuls definiert man die η-Expansion einer Variablen durch
ηV (xτ→ι) := λzτ .xηV (z),
also durch Induktion uber den Typ der Variablen. Die η-Expansion eines Terms laßt sich dann durchInduktion uber Terme definieren durch
η(
λy.(xM)τ→ι) := λy,zτ .xη(M)ηV (z).
Man beachte. daß stets η(x) = ηV (x) gilt. – Damit ist klar:
Lemma 6.3.2. Jeder Term laßt sich durch Normalisierung und anschließende η-Expansion in langeNormalform bringen. ut
Lemma 6.3.3. Sei eine Zk-Herleitung in langer Normalform (siehe Lemma 6.3.2, oder auch Ab-schnitt 6.5) gegeben mit ≤ m geschachtelten Anwendungen des Induktionsschemas (6.3), d.h. von
A(0) → (∀x.A(x) → A(S(x))) → ∀xA(x),
alle mit lev(A) ≤ k. Wir betrachten Teilherleitungen dB nicht von der Form Ind t oder Ind td0. Fur jedesolche Teilherleitung und geschlossene Substitutionsinstanz Bσ von B konstruieren wir (d∞σ )Bσ in Z∞ mitfreien Annahmevariablen uCσ fur uC freie Annahmevariable von d, so daß |d∞σ | < ωm+1 und cr(d∞σ ) ≤ k,und ferner so daß d durch →-Einfuhrung erzeugt ist gdw d∞σ es ist, sowie d durch ∀-Einfuhrung erzeugtoder von der Form Ind td0e ist gdw d∞σ durch die ω-Regel erzeugt ist.
Beweis. Rekursion uber solche Teilherleitungen d.Fall uC oder Ax. Dann konnen wir uCσ oder Ax nehmen.Fall Ind tde′. Da die Herleitung in langer Normalform ist, gilt e′ = λxλv e. Nach IH haben wir d∞σ
und e∞σ . (Man beachte, daß weder d noch e eine der verbotenen Formen Ind t oder Ind td0 haben kann,da beide in langer Normalform sind). Wir schreiben e∞σ (t, f) fur e∞σ [x, v := t, f ], und setzen
(Ind td(λxλv e))∞σ := 〈d∞σ , e∞σ (0, d∞σ ), e∞σ (1, e∞σ (0, d∞σ )), . . . 〉.
136 6. Beweistheorie der Arithmetik
Nach IH ist |e∞σ | ≤ ωm−1·p und |d∞σ | ≤ ωm·q fur gewisse p, q < ω. Nach Lemma 6.3.1 erhalten wir
|e∞σ (0, d∞σ )| ≤ ωm·q + ωm−1·p,
|e∞σ (1, e∞σ (0, d∞σ ))| ≤ ωm·q + ωm−1·2p
und so weiter, schließlich also
|(Ind td(λxλv e))∞σ | ≤ ωm·(q + 1).
Fur den Schnittrang ergibt sich nach IH cr(d∞σ ), cr(e∞σ ) ≤ k und deshalb
cr(e∞σ (0, d∞σ )) ≤ max(lev(A(0)), cr(d∞σ ), cr(e∞σ )) ≤ k,
cr(e∞σ (1, e∞σ (0, d∞σ ))) ≤ max(lev(A(1)), k, cr(e∞σ )) = k,
und so weiter, schließlich also
cr((Ind td(λxλv e))∞σ ) ≤ k.
Fall λuC dB . Nach IH haben wir (d∞σ )Bσ, moglicherweise mit freien Annahmen uCσ. Setze (λu d)∞σ :=λuCσ d∞σ .
Fall de mit d nicht von der Form Ind t oder Ind td0. Nach IH haben wir d∞σ und e∞σ . Da de Teilherleitungeiner normalen Herleitung ist, kann d und also auch d∞σ nicht durch →-Einfuhrung erzeugt sein. Also ist(de)∞σ := d∞σ e∞σ normal und cr(d∞σ e∞σ ) = max(cr(d∞σ ), cr(e∞σ )) ≤ k. Ferner haben wir offenbar |d∞σ e∞σ | <ωm+1.
Fall (λx d)∀xB(x). Fur jedes i und jede Substitutionsinstanz B(i)σ haben wir nach IH d∞σ,i. Setze(λx d)∞σ := 〈d∞σ,i〉i<ω.
Fall (Ind tdet)B[x:=t]. Nach IH haben wir ((Ind tde)∞σ )(∀xB)σ, und (Ind tde)∞σ = 〈di〉i<ω, wie im zweitenFall des Beweises definiert. Setze (Ind tdet)∞σ := di, wobei i das Numeral mit demselben Wert wie tσ ist.
Fall (dt)B[x:=t] mit d nicht von der Form Ind td0e. Nach IH haben wir (d∞σ )(∀xB)σ. Da dt eine Teilher-leitung einer normalen Herleitung ist, kann d nicht durch ∀-Einfuhrung erzeugt sein, also dω
σ auch nichtdurch die ω-Regel. Wir konnen deshalb setzen (dt)∞σ := d∞σ i, wobei i das Numeral mit demselben Wertwie tσ ist. ut
Eine Herleitung heißt konvertierbar , wenn sie von der Form (λu d)e oder 〈di〉i<ωj ist. Sie kann dannkonvertiert werden in d[u := e] bzw. dj . Hierbei entsteht d[u := e] aus d durch Substituieren von e fur allefreien Vorkommen von u in d. Eine Herleitung heißt normal , wenn sie keine konvertible Teilherleitungenthalt. Man beachte, daß eine Herleitung genau dann normal ist, wenn sie den Schnittrang 0 hat.
Eine Herleitung heißt einfache Anwendung , wenn sie von der Form d0d1 . . . dm mit d0 eine Annahme-variable oder ein Axiom ist.
Wir wollen jetzt eine Operation definieren, die durch wiederholte Konversionen eine gegebene Her-leitung in eine normale Herleitung umformt, wobei die Endformel erhalten bleibt und keine zusatzlichenfreien Annahmevariablen eingefuhrt werden. Die ubliche Methode zum Erreichen dieses Ziels muß hieran unsere spezielle Situation unendlicher Herleitungen angepaßt werden. Wir verwenden ein besonderseinfaches Argument, das auf Tait [38] zuruckgeht.
Lemma 6.3.4. Zu jeder Herleitung dA einer Tiefe ≤ α und vom Schnittrang k + 1 findet man eine Her-leitung (dk)A mit freien Annahmevariablen unter denen von d, mit einer Tiefe ≤ 2α und vom Schnittrang≤ k.
Beweis. Induktion uber α. Wir beschranken uns auf den Fall einer Herleitung der Form de mit |d| ≤α1 < α und |e| ≤ α2 < α, die keine einfache Anwendung ist. Zunachst betrachten wir den Unterfall,in dem dk = λu d1 und lev(d) = k + 1 ist. Dann gilt lev(e) ≤ k nach Definition der Stufen (die Stufeeiner Herleitung war definiert als die Stufe der hergeleiteten Formel). Folglich hat d1[u := ek] einenSchnittrang ≤ k nach Lemma 6.3.1. Ferner hat ebenfalls nach Lemma 6.3.1 d1[u := ek] eine Tiefe≤ 2α2 + 2α1 ≤ 2max(α2,α1)+1 ≤ 2α. Also konnen wir (de)k als d1[u := ek] definieren.
6.4 Unbeweisbarkeit von Anfangsfallen der transfiniten Induktion 137
Im Unterfall dk = 〈di〉i<ω, lev(d) = k + 1 und ek = j konnen wir (de)k als dj wahlen, da dj einenSchnittrang ≤ k und eine Tiefe ≤ 2α hat.
Sind wir nicht in den obigen Unterfallen, so konnen wir einfach (de)k := dkek setzen. Diese Herleitunghat offenbar eine Tiefe ≤ 2α. Sie hat auch einen Schnittrang ≤ k, was man wie folgt einsieht. Im Falllev(d) ≤ k + 1 sind wir fertig. Aber lev(d) ≥ k + 2 ist unmoglich, da wir angenommen haben, daß de keineeinfache Anwendung ist.
Um dies einzusehen, beachte man folgendes. Ist de keine einfache Anwendung, so muß es von der Formd0d1 . . . dne sein mit d0 weder Annahmevariable noch Axiom und d0 auch nicht selbst von der Form d′d′′;dann muß d0 durch →-Einfuhrung oder durch die ω-Regel erzeugt sein, und es gabe einen Schnitt miteinem Schnittrang ≥ k + 2, was nach Annahme ausgeschlossen ist. ut
Als unmittelbare Folgerung erhalten wir
Satz 6.3.5. (Normalisierung fur Z∞). Fur jede Herleitung dA einer Tiefe ≤ α und vom Schnittrang ≤ kfindet man eine normale Herleitung (d∗)A mit freine Annahmen unter denen von dA und einer Tiefe≤ 2α
k , wobei 2α0 := α,2α
m+1 = 22αm . ut
Wie in Satz 2.3.2 konnen wir jetzt die Struktur normaler Herleitungen in Z∞ untersuchen. Insbeson-dere erhalten wir
Satz 6.3.6. (Teilformeleigenschaft fur Z∞). Sei dB [uA11 , . . . , uAn
n ] eine normale Herleitung in Z∞ undeC eine Teilherleitung von dB. Dann ist C Teilformel von B oder von einem Ai.
Beweis. Induktion uber d. ut
6.4 Unbeweisbarkeit von Anfangsfallen der transfiniten Induktion
Wir verwenden jetzt die Technik der Normalisierung fur die Arithmetik mit der ω-Regel zu einem Beweis,daß das Axiom der transfiniten Induktion bis ε0 in Z unbeweisbar ist, also
Z 6` (∀x.∀y≺xPy → Px) → ∀x Px
mit einem Relationssymbol P , und daß die transfinite Induktion bis ωk+1 unbeweisbar ist in Zk, also
Zk 6` (∀x.∀y≺xPy → Px) → ∀x≺ωk+1 Px.
Offenbar genugt es, die Unbeweisbarkeit fur auf der klassischen Logik basierende arithmetische Sy-steme zu zeigen. Wir konnen also annehmen, daß wir die klassischen Versionen (6.13), (6.14) und (6.15)der Axiome aus Abschnitt 6.2 verwendet haben.
Unser Beweis basiert auf einer Idee von Schutte, namlich eine sogenannte Progressionsregel zu demunendlichen System hinzuzunehmen. Diese Regel erlaubt es, Pj (wobei j eine beliebige Zahl ist) aus allenPi fur i ≺ j zu erschließen.
Eine Herleitung in Z∞ + Prog(P ) einer Tiefe ≤ α und vom Schnittrang ≤ k wird erzeugt durch dieinduktiven Klauseln von Abschnitt 6.3 und die zusatzliche Klausel
(Prog). Sind fur alle i ≺ j Herleitungen dPii der Tiefe ≤ αi < α bereits konstruiert, so ist 〈dPi
i 〉Pji≺j
eine Herleitung der Tiefe ≤ α.Den Schnittrang dieser Herleitung definieren wir durch cr(〈di〉i≺j) := supi≺j cr(di).Da die Progressionsregel nur Herleitungen atomarer Formeln betrifft, verandert sie nicht die Schnitt-
range von Herleitungen. Folglich ubertragt sich der Normalisierungsbeweis fur Z∞ unverandert auf Z∞+Prog(P ). Insbesondere haben wir
Lemma 6.4.1. Fur jede Herleitung dA in Z∞ + Prog(P ) einer Tiefe ≤ α und vom Schnittrang ≤ k + 1findet man eine Herleitung (dk)A in Z∞+Prog(P ) mit freien Annahmevariablen unter denen von d, einerTiefe ≤ 2α und vom Schnittrang ≤ k. ut
Wir zeigen jetzt, daß man aus der Progressionsregel fur P leicht die Progressivitat von P herleitenkann.
138 6. Beweistheorie der Arithmetik
Lemma 6.4.2. Es gibt eine normale Herleitung von ∀x.∀y≺xPy → Px in Z∞ + Prog(P ) der Tiefe 5.
Beweis.
. . .
. . .
∀y≺j Py∀−i ≺ j → Pi i ≺ j
→−Pi . . . (alle i ≺ j)
ProgPj
→+∀y≺j Py → Pj . . . (alle j)
ω∀x.∀y≺x Py → Px
ut
Die wesentliche Beobachtung ist jetzt, daß eine normale Herleitung von Ppβq im wesentlichen eineTiefe mindestens β erfordert. Um jedoch eine scharfe Abschatzung fur die Teilsysteme Zk zu erhalten,konnen wir Lemma 6.4.1 nicht bis herunter zum Schnittrang 0 (also bis zur Normalform) anwenden, son-dern wir mussen bereits beim Schnittrang 1 aufhoren. Derartige Herleitungen, also solche vom Schnittrang≤ 1, nennen wir quasinormal ; sie lassen sich ebenfalls leicht analysieren.
Wir beginnen mit einem Beweis, daß jede quasinormale Herleitung einer quantorenfreien Formel sichstets ohne Erhohung ihres Schnittrangs oder ihrer Tiefe in eine quasinormale Herleitung derselben Formelumformen laßt, die
1. die ω-Regel nicht benutzt, und2. die Regel ∀− hochstens in Anfangsteilen von mit einem Axiom beginnenden Asten enthalt.
Man beachte hierbei, daß alle unsere Axiome von der Form ∀xA sind mit A quantorenfrei.Ferner benotigen wir den Begriff einer Quasiteilformel , der induktiv durch die folgenden Klauseln
definiert ist.
• A,B sind Quasiteilformeln von A → B;• A(i) ist eine Quasiteilformel von ∀xA(x), fur jede Zahl i;• Ist A eine Quasiteilformel von B und C eine atomare Formel, so sind C → A und ∀xA Quasiteilformeln
von B;• Die Relation “. . . ist eine Quasiteilformel von . . . ” ist reflexiv und transitiv.
Zum Beispiel ist Q → ∀x.Px → A eine Quasiteilformel von A → B.Wir ubertragen jetzt die Teilformeleigenschaft fur normale Herleitungen und beweisen entsprechend
eine Quasiteilformeleigenschaft fur quasinormale Herleitungen.
Satz 6.4.3. (Quasiteilformeleigenschaft). Ist dB [uA11 , . . . , uAn
n ] eine quasinormale Herleitung in Z∞ +Prog(P ) und ist eC eine Teilherleitung von dB, so ist C eine Quasiteilformel von B oder von einem Ai.
Beweis. Induktion uber die Lange der Endposition eines Astes in d. ut
Korollar 6.4.4. Sei d eine quasinormale Herleitung in Z∞ + Prog(P ) einer Formel ∀xA aus quanto-renfreien Annahmen, mit A quantorenfrei. Dann endet in d jeder Ast einer Ordnung > 0 mit einerquantorenfreien Formel.
Beweis. Andernfalls wurde die Hauptpramisse der →−-Regel, deren Nebenpramisse die Endformel diesesAstes ist, einen Quantor auf der linken Seite von → enthalten. Dies widerspricht dem Satz. ut
Unser nachstes Ziel ist es, die ω-Regel zu eliminieren. Hierfur benotigen wir den Begriff einer Instanzeiner Formel. Er ist induktiv wie folgt definiert.
• Ist B′ Instanz von B und A quantorenfrei, so ist A → B′ Instanz von A → B.• A(i) ist Instanz von ∀xA(x), fur jede Zahl i.• Die Relation “. . . ist eine Instanz von . . . ” ist reflexiv und transitiv.
Lemma 6.4.5. Sei d eine quasinormale Herleitung in Z∞+Prog(P ) einer Formel A aus quantorenfreienAnnahmen, wobei A kein ∀ auf der linken Seite eines → enthalt. Dann findet man fur jede quantorenfreieInstanz A′ von A eine quasinormale Herleitung d′ von A′ aus denselben Annahmen und quantorenfreienInstanzen der Axiome so daß
6.4 Unbeweisbarkeit von Anfangsfallen der transfiniten Induktion 139
• d′ die ω-Regel nicht verwendet,• d′ die Regel ∀− hochstens in Anfangsteilen von mit einem Axiom beginnenden Asten enthalt, und• |d′| ≤ |d|.
Beweis. Induktion uber die Tiefe d. Wir unterscheiden Falle entsprechend der letzten Regel in d.Fall →−.
A → B A →−B
Nach Korollar 6.4.4 muß A quantorenfrei sein. Sei B′ eine quantorenfreie Instanz von B. Dann ist A → B′
nach Definition eine quantorenfreie Instanz von A → B. Die Behauptung folgt jetzt aus der IH.Fall →+.
B →+A → B
Jede Instanz von A → B hat die Form A → B′ mit einer quantorenfreien Instanz B′ von B. Also folgtdie Behauptung aus der IH.
Fall ∀−.∀xA(x) i
∀−A(i)
Wieder ist jede quantorenfreie Instanz von A(i) auch eine quantorenfreie Instanz von ∀xA(x), und dieBehauptung folgt aus der IH.
Fall ω.. . . A(i) . . . (fur alle i < ω)
ω∀xA(x)
Jede quantorenfreie Instanz von ∀xA(x) hat die Form A(i)′ mit A(i)′ quantorenfreie Instanz von A(i).Also folgt die Behauptung wieder aus der IH. ut
Eine Herleitung d in Z∞ + Prog(P ) heißt Pα,¬Pβ-Widerlegung , wenn α und β disjunkt sind und deine Formel A → B := A1 → · · · → Ak → B herleitet, wobei A und die freien Annahmen in d wahrequantorenfreie Formeln ohne P sind oder unter Ppα1q, . . . , Ppαmq,¬Ppβ1q, . . . ,¬Ppβnq vorkommen,und B eine falsche quantorenfreie Formel ohne P ist oder unter Ppβ1q, . . . , Ppβnq vorkommt.
Lemma 6.4.6. Sei d eine quasinormale Pα,¬Pβ-Widerlegung. Dann ist
min(β) ≤ |d|+ lh(α),
wobei lh(α) die Lange der Liste α bezeichnet.
Beweis. Induktion uber |d|. Nach Lemma 6.4.5 konnen wir annehmen, daß d die ω-Regel nicht enthalt,und die Regel ∀− hochstens in Anfangsteilen von mit einem Axiom beginnenden Asten enthalt. Wirunterscheiden Falle entsprechend der letzten Regel in d.
Fall →+. Nach unserer Definition von Widerlegungen folgt die Behauptung unmittelbar aus der IH.Fall →−. Dann ist d = fC→A→BeC . Ist C eine wahre quantorenfreie Formeln ohne P oder von der
Form Ppγq mit γ < min(β), so folgt die Behauptung aud der IH fur f :
min(β) ≤ |f |+ lh(α′) + 1 ≤ |d|+ lh(α′).
Ist C eine falsche quantorenfreie Formel ohne P oder von der Form Ppγq mit min(β) ≤ γ, so folgt dieBehauptung aus der IH fur e:
min(β) ≤ |e|+ lh(α′) + 1 ≤ |d|+ lh(α′).
Zu behandeln bleibt der Fall, daß C eine quantorenfreie Implikation ist, die P enthalt. Dann ist lev(C) ≥ 1,also lev(C → A → B) ≥ 2. Wegen cr(d) ≤ 1 muß dann d eine mit einem Axiom beginnende einfacheAnwendung sein. Unsere einzigen Axiome, die P enthalten konnen, sind EqP : ∀x, y.x = y → Px → Pyund StabP : ∀x.¬¬Px → Px, und von diesen hat nur StabP die richtige Form. Also f = StabP pγq unddeshalb e : ¬¬Ppγq. Aus lev(¬¬Ppγq) = 2, der Annahme cr(e) ≤ 1 und wieder der Form unserer Penthaltenden Axiome folgt, daß e mit →+ endet, also e = λu¬Ppγqe⊥0 und damit insgesamt
140 6. Beweistheorie der Arithmetik
| f¬¬Ppγq → Ppγq
[u : ¬Ppγq]
| e0
⊥¬¬Ppγq
Ppγq
Die Behauptung folgt jetzt aus der IH fur e0.Fall ∀−. Nach Annahme befinden wir uns dann im Anfangsteil eines mit einem Axiom beginnen-
den Astes. Da d eine Pα,¬Pβ-Widerlegung ist, muß das Axiom P enthalten. Das GleichheitsaxiomEqP : ∀x, y.x = y → Px → Py kann es nicht sein, da pγq = pδq → Ppγq → Ppδq in keinem Fall(γ = δ oder γ 6= δ) Endformel einer Pα,¬Pβ-Widerlegung ist. Aus demselben Grund kommt auch dasStabilitatsaxiom StabP : ∀x.¬¬Px → Px nicht in Frage. Der Fall ∀− kann also nicht eintreten.
Fall Prog(P ). Dann ist d = 〈dPpδqδ 〉Ppγq
δ<γ . Nach Annahme uber d ist γ in β. Ohne Beschrankung derAllgemeinheit sei γ = βi := min(β), denn andernfalls ware die Pramissenherleitung dβi : Ppβiq einequasinormale Pα,¬Pβ-Widerlegung, auf die man die IH anwenden konnte.
Gibt es keine αj < γ, so ist das Argument einfach: jedes dδ ist eine Pα,¬Pβ,¬Pδ-Widerlegung, alsogilt nach IH (da auch kein αj < δ ist)
min(β, δ) = δ ≤ |dδ|,
also γ = min(β) ≤ |d|.Wir befassen uns jetzt mit dem Fall, daß einige αj kleiner als γ sind. Man beachte zunachst, daß es
hochstens endlich viele αj geben kann, die unmittelbar vor γ kommen; sei also ε die kleinste Ordinalzahlmit
∀δ.ε ≤ δ < γ → δ ∈ α.
Dann ist ε, ε + 1, . . . , ε + k− 1 ∈ α und ε + k = γ. ε ist entweder ein Nachfolger oder eine Limeszahl. Istε = ε′ + 1, so folgt aus der IH (da dε′ eine Pα,¬Pβ,¬P (ε− 1)-Widerlegung ist), daß
ε− 1 ≤ |dε−1|+ lh(α′)− k,
wobei α′ eine Folge von αj < γ ist. Also ist ε ≤ |d|+ lh(α′)− k, und deshalb
γ ≤ |d| = lh(α′).
Ist ε eine Limeszahl, so gibt es eine Folge 〈δf(n)〉n mit Limes ε, und so daß alle αj < ε kleiner als δf(0)sind. Nach IH folgt
δf(n) ≤ |df(n)|+ lh(α′)− k,
und deshalb ε ≤ |df(n)|+ lh(α′)− k, also γ ≤ |d|+ lh(α′). ut
Jetzt konnen wir das folgende Resultat beweisen (s. Mints [21] und Parsons [24]).
Satz 6.4.7. Das Axiom der transfiniten Induktion bis ε0 ist unbeweisbar in Z, also
Z 6` (∀x.∀y≺xPy → Px) → ∀xPx
mit einem Pradikatensymbol P , und die transfinite Induktion bis ωk+1 ist unbeweisbar in Zk, also
Zk 6` (∀x.∀y≺x Py → Px) → ∀x≺ωk+1 Px.
Beweis. Wir beschranken uns auf den zweiten Teil. Nehmen wir also an, die transfinite Induktion bisωk+1 ist herleitbar in Zk. Aufgrund der Einbettung von Zk in Z∞ (Lemma 6.3.3) und der normalenHerleitbarkeit der Progressivitat von P in Z∞ + Prog(P ) mit endlicher Tiefe (Lemma 6.4.2) konnen wirschließen, daß ∀x≺ωk+1 Px herleitbar ist in Z∞ + Prog(P ) mit einer Tiefe < ωm+1 und Schnittrang≤ k. Nun liefern k − 1 Anwendungen von Lemma 6.4.1 eine Herleitung derselben Formel ∀x≺ωk+1 Pxin Z∞ + Prog(P ) mit einer Tiefe γ < 2ωm+1
k−1 < ωk+1 und Schnittrang ≤ 1, also auch eine Herleitung vonPpγ + 2q in Z∞ + Prog(P ) mit der Tiefe γ + 1 und Schnittrang ≤ 1. Dies widerspricht Lemma 6.4.6. ut
6.5 Nachtrag: η-Expansion 141
Wir wollen uns schließlich noch uberlegen, daß man als Folgerung hieraus die Unmoglichkeit derNormalisierung fur die Arithmetik erhalten kann. Der Normalisierungssatz fur die Logik erster Stufe istnicht besonders nutzlich, wenn man ihn auf eines unserer arithmetischen Systeme Z anwendet. Der Grundliegt darin, daß in einer Herleitung Induktionsaxiome beliebiger Komplexitat vorkommen konnen. Esliegt deshalb nahe zu versuchen, die Induktionsaxiome durch eine Induktionsregel zu ersetzen, welche denSchluß auf ∀xA(x) aus einer Herleitung von A(0) und einer Herleitung von A(S(x)) mit der zusatzlichenAnnahme A(x) gestattet, die an dieser Stelle zu streichen ist; man beachte, daß diese Induktionsregelaquivalent zum Induktionsschema ist. Dann kann man versuchen, die entstehende Herleitung in demneuen System Z mit der Induktionsregel zu normalisieren. Wir zeigen jetzt, daß sogar eine sehr schwacheForm eines solchen Normalisierungssatzes in Z mit der Induktionsregel nicht gelten kann.
Satz 6.4.8. Die folgende Form eines Normalisierungssatzes in Z mit der Induktionsregel ist falsch. Furjede Herleitung d[uA] : B mit A, B Formeln der Stufe ≤ ` gibt es eine Herleitung d∗[uA] : B, die nurFormeln einer Stufe ≤ k enthalt, wobei k nur von ` abhangt.
Beweis. Nehmen wir an, ein solcher Normalisierungssatz wurde gelten. Man betrachte die Formel
(∀x.∀y≺xPy → Px) → ∀x≺ωn+1 Px,
die die transfinite Induktion bis ωn+1 ausdruckt und von der Stufe 3 ist. Nach Satz 6.2.1 ist sie herleitbarin Z. Aus unserer Annahme folgt nun, daß es eine Herleitung dieser Formel gibt, die nur Formeln einerStufe ≤ k enthalt, fur ein von n unabhangiges k. Also beweist Zk die transfinite Induktion bis ωn+1 furjedes n. Dies widerspricht aber Satz 6.4.7. ut
6.5 Nachtrag: η-Expansion
Fur manche Untersuchungen ist es zweckmaßig, anstelle der η-Konversion ihre Umkehrung zu verwenden,die sogenannte η-Expansion. Ein Problem besteht jedoch darin, daß die η-Expansion zusammen mit derβ-Konversion zu Schleifen fuhren kann:
MN →η↑ (λx.Mx)N →β MN und λxM →η↑ λx(λxM)x →β λxM.
Wir wollen deshalb die η-Expansion von Termen in Anwendungspositionen und auch von Abstraktionenausschließen. Dies laßt sich wie folgt erreichen.
Definition 6.5.1. (η-Expansion). →η↑ sei der Termabschluß der Konversionsregel
Mρ→σ 7→η↑ λxρ.Mx falls x /∈ FV(M) und M neutral ist.
Ferner sei →βη↑:=→β ∪ →η↑. Fur γ ∈ η↑, βη↑ konnen wir wie in Definition 2.1 die Begriffe γ-normal(oder in γ-Normalform), γ-Reduktionsfolge und stark γ-normalisierbar definieren. Man beachte, daß manvon γ-Redexen nicht sinnvoll sprechen kann.
Offenbar lassen sich die Terme in η↑-Normalform charakterisieren durch
M ::= (xM)ι | λxM | ((λxM)NL)ι;
die Terme in βη↑-Normalform erhalt man durch Weglassen der letzten Regel.In diesem Abschnitt zeigen wir die Terminierung und Konfluenz von →βη↑. Eine Schwierigkeit liegt
in der Moglichkeit der Interaktion von η-Expansion mit β-Konversion. Dies fuhrt dazu, daß die Substi-tutionseigenschaften aus Lemma 2.2.1(1), (3) und (4) alle fur → βη↑ nicht mehr gelten.
Definition 6.5.2. (Außere η-Expansion). Wir definieren ηρ(Mρ) ∈ Λρ zusammen mit seiner Expansi-onshohe µρ ∈ N durch Rekursion uber ρ.
ηι(M) := M, µι := 0,ηρ→σ(M) := λxρησ(Mηρ(x)). µρ→σ := µρ + µσ + 1.
142 6. Beweistheorie der Arithmetik
Beispiele: ηι→ι(y) = λx.yx und fur ρ = (ι → ι) → (ι → ι) ist ηρ(z) = λyλx.z(λu.yu)x.
Lemma 6.5.3. (Eigenschaften der außeren η-Expansion).
Mρ →µρη↑ η(M) falls M neutral ist. (6.18)
Sind M ,M,N, L in η↑-Normalform, so auch ηρ(xM) und ηρ((λxM)NL). (6.19)
Wenn M →β M ′, so ist η(M) →β η(M ′). (6.20)
η(M)[x := N ] = η(M [x := N ]). (6.21)
η(M)N ∗→β η(Mη(N)). (6.22)
η(η(M)) ∗→β η(M). (6.23)
Beweis. (6.18). Induktion uber den Typ ρ von M . Der Anfangsfall ρ = ι ist klar, und im Fall ρ → σhaben wir
Mρ→σ →η↑ λx.Mx falls M neutral
→µρη↑ λx.Mηρ(x) nach IH(ρ)
→µση↑ λx.ησ(Mηρ(x)) nach IH(σ).
(6.19). Induktion uber ρ. Der Fall ι ist klar, und im Fall ρ → σ haben wir
ηρ→σ(xM) = λyρησ(xMηρ(y)),
ηρ→σ((λxM)NL) = λyρησ((λxM)NLηρ(y)).
Die Behauptung folgt in beiden Fallen aus den IHn fur ρ und σ.(6.20). Induktion uber den Typ von M .(6.21). Induktion uber den Typ von M . Sei oBdA M vom Typ ρ → σ. Dann gilt
η(M)[x := N ] = λyη(Mη(y))[x := N ]
= λyη(M [x := N ]η(y)) nach IH
= η(M [x := N ]).
(6.22). Induktion uber den Typ von M . Der Fall ι ist klar. Im Fall ρ → σ konnen wir oBdA annehmen,daß N nicht leer ist. Man erhalt
ηρ→σ(M)NL = λxη(Mη(x))NL
→β η(Mη(N))L∗→β η(Mη(N)η(L)) nach IH.
(6.23). Induktion uber den Typ von M . Der Fall ι ist klar. Im Fall ρ → σ haben wir
η(η(M)) = λxη(η(M)η(x))∗→β λxη(η(Mη(η(x)))) nach (6.22)∗→β λxη(Mη(x)) nach IH
= η(M).
ut
Definition 6.5.4. (η-Expansion). Wir definieren exp(Mρ) ∈ Λρ zusammen mit seiner Expansionshohe#η(Mρ) ∈ N durch Rekursion uber ρ.
exp(xM) := η(x exp(M)), #η(xM) := µρ + #η(M),exp(λxM) := λx exp(M), #η(λxM) := #η(M),exp((λxM)NL) := η((λx exp(M)) exp(N) exp(L)). #η((λxM)NL) := µρ + #η(M,N, L).
Hierbei steht #η(M) fur∑
i #η(Mi).
6.5 Nachtrag: η-Expansion 143
Lemma 6.5.5. (Eigenschaften der η-Expansion).
M →#η(M)η↑ exp(M), und exp(M) ist in η↑-Normalform. (6.24)
η(exp(M)) ∗→β exp(M). (6.25)
exp(M)[x := η(x)] ∗→β exp(M). (6.26)
η(exp(M) exp(N)) ∗→β exp(MN). (6.27)
exp(M)[x := exp(N)] ∗→β exp(M [x := N ]). (6.28)Wenn M →η↑ M ′, so ist exp(M) = exp(M ′) und #η(M) = #η(M ′) + 1. (6.29)
Beweis. (6.24) beweist man leicht durch Induktion uber M , unter Verwendung von (6.18) bzw. (6.19).(6.25) und (6.26) werden simultan durch Induktion uber ρ bewiesen. (6.25). Fur neutrales M ist
exp(M) ein η-Bild und die Behauptung folgt aus (6.23). Im Fall einer Abstraktion haben wir
η(exp(λxM)) = η(λx exp(M))
= λxη((λx exp(M))η(x))∗→β λxη(exp(M)[x := η(x)]) nach IH(6.26) mit (6.20)∗→β λx exp(M) nach IH(6.25)
= exp(λxM).
(6.26). Fall xM .
exp(xM)[x := η(x)] = η(x exp(M)[x := η(x)]
= η(η(x) exp(M)[x := η(x)]) nach (6.21)∗→β η(η(x) exp(M)) nach IH(6.26) mit (6.20)∗→β η(η(xη(exp(M)))) nach (6.22) mit (6.20)∗→β η(xη(exp(M))) nach (6.23)∗→β η(x exp(M)) nach (6.25) mit (6.20)
= exp(xM).
Die restlichen Falle erhalt man leicht aus der IH.(6.27). Induktion uber M . Wir konnen oBdA annehmen, daß N nicht leer ist.
η(exp(xM) exp(N)) = η(η(x exp(M)) exp(N))∗→β η(η(x exp(M)η(exp(N)))) nach (6.22) mit (6.20)∗→β η(x exp(M)η(exp(N))) nach (6.23)∗→β η(x exp(M) exp(N)) nach (6.25)
= exp(MMN)
η(exp(λxM) exp(N) exp(L)) = η((λx exp(M)) exp(N) exp(L))
= exp((λxM)NL)
η(exp((λxM)NL) exp(K)) = η(η((λx exp(M)) exp(N) exp(L)) exp(K))∗→β η(η((λx exp(M)) exp(N) exp(L))η(exp(K))) nach (6.22), (6.20)∗→β η((λx exp(M)) exp(N) exp(L) exp(K)) nach (6.23), (6.25), (6.20)
= exp((λxM)NL).
(6.28). Induktion uber M .
144 6. Beweistheorie der Arithmetik
exp(xM)[x := exp(N)] = η(x exp(M))[x := exp(N)]
= η(exp(N)M [x := exp(N)]) nach (6.21)∗→β η(exp(N) exp(M [x := exp(N)])) nach IH mit (6.20)∗→β exp(NM [x := N ]) nach (6.27).
Die restlichen Falle ergeben sich leicht aus der IH.(6.29). Induktion uber M →η↑ M ′. Im Fall einer η↑-Kopfkonversion betrachten wir zunachst den
Unterfall xM 7→η↑ λy.xMy. Man erhalt
exp(xM) = η(x exp(M))
= λyη(x exp(M)η(y))
= exp(λy.xMy)
und#η(xMρ→σ) = µρ→σ + #η(M)
= µσ + #η(M) + µρ + 1
= µσ + #η(M , yρ) + 1
= #η(λy.xMy) + 1.
Im Fall einer inneren Konversion folgt die Behauptung wieder sofort aus der IH. ut
Proposition 6.5.6. Wenn M →β M ′, so ist exp(M) →+β exp(M ′).
Beweis. Induktion uber M →β M ′. Im Fall einer β-Kopfkonversion erhalten wir
exp((λxM)NL) = η((λx exp(M)) exp(N) exp(L))
→β η(exp(M)[x := exp(N)] exp(L)) nach (6.20)∗→β η(exp(M [x := N ]) exp(L)) nach (6.28) mit (6.20)∗→β exp(M [x := N ]L) nach (6.27).
Die Falle xMMN → xMM ′N und (λxM)N → (λxM ′)N sind klar nach der IH. Auch die restlichenFalle ergeben sich sofort aus der IH. ut
Korollar 6.5.7. →βη↑ ist terminierend.
Beweis. Nach der Proposition kann man jede β-Reduktion auf dem Term M durch eine positive An-zahl von β-Reduktionen auf exp(M) simulieren, wahrend nach (6.29) η-Expansionen den Term exp(M)unverandert lassen. Die Terminierung von →βη↑ folgt jetzt durch Induktion uber exp(M) bzgl. der ter-minierenden Relation →β und Nebeninduktion uber #η(M). ut
Proposition 6.5.8. →βη↑ ist konfluent.
Beweis. Gelte N0∗←βη↑ M ∗→βη↑ N1. Nach (6.29) und Proposition 6.5.6 folgt exp(N0) ∗←β exp(M) ∗→β
exp(N1). Die Konfluenz von →β liefert einen Term N mit exp(N0) ∗→β N ∗←β exp(N1). Nach (6.24) giltNi →η↑ exp(Ni); damit folgt die Behauptung.
6.6 Anmerkungen 145
M
∗
βη↑
@@@R∗
βη↑N0 N1
?
∗
η↑ ?
∗
η↑
exp(M)
∗β
@@@R∗β
exp(N0)@
@@R∗β
exp(N1)
∗β
N
ut
Man kann leicht zeigen, daß sich die Terme in η↑-Normalform charakterisieren lassen durch
M ::= (xM)ι | λxM | ((λxM)NL)ι,
und daß man bei Weglassen der letzten Regel die Terme in βη↑-Normalform erhalt.
6.6 Anmerkungen
Die Beweisbarkeit von Anfangsfallen der transfiniten Induktion (s. Abschnitt 6.2) wurde von Gentzen[10] gezeigt; in dieser Arbeit zeigte Gentzen auch die Unbeweisbarkeit der transfiniten Induktion bis ε0
fur ein Relationssymbol P (s. Abschnitt 6.4).Unsere Darstellung basiert auf Gentzens [10], verwendet aber wie in Schutte [29] ein unendliches
Beweissystem mit ω-Regel (s. Abschnitt 6.3), in das sich die ubliche Arithmetik einbetten laßt. Dies isthier fur ein System des naturlichen Schließens durchgefuhrt; eine ahnliche Darstellung fur ein Gentzen-Tait-System findet sich in [33].
Gentzens Resultat uber die Unbeweisbarkeit der transfiniten Induktion bis ε0 war das erste Beispieleines mathematisch leicht zu verstehenden wahren Satzes, der nicht in der erststufigen Arithmetik be-weisbar ist. Dies steht im Gegensatz zu Godels Unvollstandigkeitssatz: dort ist der unbeweisbare Satzausschließlich durch metamathematische Betrachtungen motiviert. Einen mehr kombinatorische Aussagedieser Art, in der Ordinalzahlen nicht explizit vorkommen, wurde zuerst von Paris [23] gefunden.
Der einfache Beweis in Abschnitt 6.5 der Terminierung und Konfluenz von →βη↑ stammt in dieserForm von Felix Joachimski; man kann ihn als eine verbesserte Variante der η-Expansor-Methode vondi Cosmo und Kesner [7] ansehen.
Weiterfuhrende Bucher uber Beweistheorie sind Schutte [31, 32], Buchholz et al. [4], Takeuti[40], Girard [11], Pohlers [26] sowie [43].
146 6. Beweistheorie der Arithmetik
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2000.44. Anne S. Troelstra and Dirk van Dalen. Constructivism in Mathematics. An Introduction, volume 121, 123 of
Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. North–Holland, Amsterdam, 1988.45. Oswald Veblen. Continuous increasing functions of finite and transfinite ordinals. Transactions AMS, 9:280–
292, 1908.
Index
∆0-Formel, 53Π1-Formel, 131Σ1-Formel, 59– der Sprache L1, 81– strikte, 59η-Expansion, 141, 143– außere, 142γ-Normalform, 141µ-Operator– beschrankter, 54– unbeschrankter, 60n-elementig, 34
Ableitbarkeitsbedingungen, 82Ableitung, 7, 124Abstraktion, 40abzahlbar, 34Aquivalenz, 3Allformel, 3Allklasse, 86Alphabet, 2Annahme, 7– freie, 40– geschlossene, 7– offene, 7Annahmenvariablen, 7Anwendung, 40– einfache, 136Argumenttyp, 39Aristoteles, 2arithmetisch, 81arithmetisches System, 130– eingeschranktes, 131– intuitionistisches, 131– klassisches, 131Ast, 21, 46, 135– generischer, 29Ausgangsfunktionen, 52Aussage, 2Aussagenlogik, 39Aussagensymbol, 5Aussonderungsschema, 88Auswahlaxiom, 30–32, 111, 112Axiom, 2Axiomensystem, 34
Baum, 21– endlich verzweigter, 21– unbeschrankter, 21– vervollstandigter, 21Belegung, 19– fur Kripke-Strukturen, 27
Berechenbarkeitspradikat– starkes, 43Beseitigungsregel, 1, 7, 8, 39Beth-Struktur, 21– fur die intuitionistische Logik, 23– vervollstandigte, 21Beweis, 7Bild, 87Bindung, 61Blatt, 21bottom, 5
Cantor– Satz von, 107Cantorsches Diagonalargument, 71Churchsche These, 61Curry-Howard Korrespondenz, 39
De-Morgan-Aquivalenzen, 15Dedekind-endlich, 113Dedekind-unendlich, 113Definition– explizite, 51Definitionsbereich, 87Disjunktion, 3– klassische, 18– konstruktiver, 18– schwache, 18– starke, 18
Eindeutigkeit der Normalform, 44Einfuhrungsregel, 1, 7, 8, 39Einschrankung, 87Einschritt-Reduktionsrelation, 43Einsetzung, 52Element– maximales, 111elementar aquivalent, 34endlich, 112endlich axiomatisierbar, 37endliche Durchschnittseigenschaft, 30erfullbar, 30Ersetzungsschema, 89Erzwingungsbeziehung, 21η-Expansion– einer Variablen, 135– eines Terms, 135Ex-Falso-Quodlibet, 9ex-falso-quodlibet Axiom, 131Existenzformel, 3Existenzquantor– klassischer, 18
149
150 Index
– konstruktiver, 18– schwacher, 18– starker, 18Expansion, 33Expansionshohe, 142, 143Extensionalitatsaxiom, 86
F -Produktstruktur, 31F -Ultraprodukt, 31Falsum, 3falsum, 5Filter, 30formales System, 2Formel, 2, 5, 131– als Typ, 39– arithmetische, 81– atomare, 5– aussagenlogisch unzerlegbare, 15– geschlossene, 5– negative, 12– pranexe, 17Formelmenge– definierbare, 73– primitiv rekursive, 68– rekursiv aufzahlbare, 68– rekursive, 68Formeln– aquivalente, 11Frege, 2Funktion, 88– µ-rekursive, 60– µ′-rekursive, 77– berechenbare, 51, 60– bijektive, 88– charakteristische, 51– HGK-rekursive, 70– injektive, 88– monotone, 123– partielle, 60– primitiv rekursive, 51– rekursive, 59– reprasentierbare, 74– stetige, 123– surjektive, 88– totale, 60Funktionssymbol, 2, 5
Godel-Gentzen Ubersetzung g, 12Godelnummer, 64Godelsche β-Funktion, 78Gultigkeit, 19genau dann wenn, 3Gleichheitsaxiome, 33gleichmachtig, 107Gleichungssystem, 70Grundsubstitution, 62Grundterm, 5Grundtyp, 39Gruppentheorie, 4
Hartogszahl, 109Hauptast, 46Hauptpramisse, 8Hauptzahl– additive, 123
Herbrandscher Satz, 47herleitbar, 9, 18Herleitung, 7– konvertierbare, 136– normale, 136– quasinormale, 138Herleitungsterm– geschlossener, 42Hessenberg-Summe, 129Heyting-Arithmetik, 131
Implikation, 3indirekter Beweis, 1Individuenbereich, 2, 19Induktion– uber ω, 92– uber ω mit Ruckgriff auf samtliche Vorganger, 94– transfinite uber On, 103– transfinite uber On, verschiedene Formen, 103Induktionssatz, 90Induktionsschema, 83Infix, 5Instanz, 62, 138Interpretation, 19Inverses, 87isomorph, 34
Korper, 37– archimedisch geordneter, 37– geordneter, 37Kardinalitat, 112Kardinalzahl, 108– regulare, 114– singulare, 114kartesisches Produkt, 87Kern, 17Klammerkonventionen, 6Klammersymbol, 126Klasse, 86– abgeschlossene, 123– beschrankte, 123– club, 123– echte, 86– fundierte, 99– induktive, 92– normale, 123– transitive, 92Klassen– gleiche, 86Klauselform, 16Kleenesches T -Pradikat, 71Kleenesches Aufzahlungstheorem, 71Kleenesches Normalformentheorem, 71Knoten, 21, 46– Beseitigungs-, 46– Blatt, 46– Einfuhrungs-, 46– End-, 46– konsistenter, 28– minimaler, 46– stabiler, 28Kodenummer, 64Komposition, 52, 62konfinal, 114Konfinalitat, 114
Index 151
Kongruenzrelation, 33Konjunktion, 2Konklusion, 2, 7konnex, 99konsistent, 30Konsistenz, 81Konstante, 2, 5Kontext, 9– konsistenter, 9Kontinuumshypothese, 116– verallgemeinerte, 116Konversionsrelation, 43Kripke-Struktur, 26kritische ε-Zahl, 124kumulative Typenstruktur, 85Kuratowski-Paar, 87
Lange, 21λ-Term, 39Limeszahl, 103Logik– intuitionistische, 9– klassische, 9– minimal, 18– minimale, 9lokal konfluent, 44
Machtigkeit, 112Marke, 7Menge, 86– reine, 85Minimalformel, 135Minimalknoten, 135Modell, 34modus ponens, 8monotone Aufzahlung, 123
Nachfolgerzahl, 103naturliche Summe, 129naturliche Zahlen, 92Nebenpramisse, 8Negation, 3Nichtstandardmodell, 36Normalform, 43– disjunktive, 16– konjunktive, 15– lange, 135Normalfunktion, 123Numeral, 73, 131
Objektvariablen, 7oder, 3ordinale Klasse, 99Ordinalzahl, 99– stark kritische, 125Ordnung– lineare, 99– partielle, 111Ordnungsfunktion, 123Orevkov, 49
Paarbildung, 40Paarfunktion, 55Peano-Arithmetik, 131Peano-Axiome, 36, 93, 131
Peano-Zahlentheorie, 83Peirce-Formel, 11, 24Potenzmengenaxiom, 88Pradikatensymbol, 5Prafix, 17Pramisse, 2, 7Pranexe Normalform, 17Prastruktur, 19Primformel, 5Primzahlpotenzkodierung, 54Prinzip des indirekten Beweisens, 9Prinzip vom kleinsten Element, 94Progressionsregel, 137progressiv, 94, 132Projektion, 40
Quantor, 3Quantorentiefe, 15Quasiteilformel, 138Quotientenstruktur, 34
Rang, 106Redukt, 33Reduktionsfolge, 141Regel, 7– abgeleitete, 13Regularitatsaxiom, 106Rekursion– primitive, 52Rekursionssatz, 90Relation, 88– arithmetische, 81– aufzahlbare, 60– definierbare, 53, 73– entscheidbare, 60– extensionale, 98– fundierte, 97– primitiv rekursive, 51– rekursiv aufzahlbare, 58– rekursive, 59– reprasentierbare, 74– transitiv fundierte, 89Relationssymbol, 2, 5Reprasentierbarkeit, 74Russellklasse, 86Russellsche Antinomie, 85
Satz, 5Schlußregel, 2Schnittrang, 134Schranke– obere, 111Semantik, 2, 18Sequenz, 66Sequenzenformulierung des naturlichen Schließens, 9Shoenfield-Prinzip, 85Signatur, 5simply typed λ-calculus, 39Sprache– erster Stufe, 5– primitiv rekursiv prasentierte, 64Stabilitat, 9Stabilitatsaxiom, 131Standardmodell, 81stark berechenbar
152 Index
– unter Substitution, 44stark normalisierend, 43starkes Berechenbarkeitspradikat, 43Statman, 49Struktur, 19Stufe, 131– einer Herleitung, 134Substitution, 6, 61Symbolnummer, 64Syntax, 2
Tarskis Undefinierbarkeitssatz, 74Teilformel, 46– strikt positive, 48– unmittelbare, 46Teilformeleigenschaft, 47Term, 2, 5, 40, 131– γ-normaler, 141– geschlossener, 5– neutraler, 40, 42, 45– normaler, 43– stark normalisierbarer, 141– stark normalisierender, 43Tertium non datur, 15Theorie, 34– axiomatisierte, 69– inkonsistente, 69– konsistente, 69– primitiv rekursiv axiomatisierbare, 69– rekursiv axiomatisierbare, 69– vollstandige, 34– von M, 34Tragermenge, 19transitive Hulle, 96, 97transitive Relation, 90Typ, 39
Ultrafilter, 30Ultrapotenz, 32Umbenennung, 3Umgebung, 19und, 2Undefinierbarkeitssatz, 74unendlich, 34, 112Unendlichkeitsaxiom, 92Universum, 86Unvollstandigkeitssatz– erster, 75
Variable, 3, 5– Annahmen-, 7– freie, 3, 5, 42– gebundene, 3, 62– Objekt-, 42Variablenbedingung, 8, 13, 66Variablensubstitution, 62Veblen-Hierarchie, 124Vereinigungsmengenaxiom, 88Verkettung, 87von Neumannsche Stufen, 104
Wahrheitsbegriff, 73Wahrheitsfunktion, 3Wahrheitswert, 2wenn-so, 3
Wertebereich, 87Wertverlaufsfunktion, 56Wertverlaufsrekursion, 56Widerlegung, 139Widerspruchsfreiheit, 81Wohlordnung, 99Wohlordnungssatz, 111
Zahlen– naturliche, 92Zornsches Lemma, 30, 31, 111