Mathmatiques pour linformatique

Christophe GUYEUX et Jean-Franois COUCHOTguyeux[arobase]iut-bm.univ-fcomte[point]frcouchot[arobase]iut-bm.univ-fcomte[point]fr

3 novembre 2010

guyeux [arobase] iut-bm.univ-fcomte [point] frcouchot [arobase] iut-bm.univ-fcomte [point] fr

Table des matires

I Thorie des ensembles 10

1 Introduction la thorie des ensembles 11I Rappels de thorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.1 Notion premire densemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.2 Rgles de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.3 Sous-ensembles, ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.4 Reprsentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

II Oprations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II.1 galite de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II.2 Runion, intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II.3 Complmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15II.4 Produit cartsien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

III Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16III.1 Ensembles de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16III.2 La diffrence symtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16III.3 Gnraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Relations binaires entre ensembles 19I Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19II Relations dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II.1 Rflexivit, antisymtrie, transitivit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20II.2 Relation dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20II.3 Ordre partiel, ordre total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21II.4 lments maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

III Relations dquivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22III.1 Classes dquivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23III.2 Ensemble-quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

IV Compatibilit entre une opration et une relation binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Application dun ensemble dans un autre 26I Application et relation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26II Image et antcdent dun lment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26III Applications injectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27IV Applications surjectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28V Image dun ensemble par une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28VI Applications bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1

4 Relations n-aires 30I Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

I.1 Relations orientes et non orientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30I.2 Relations quivalentes, relations gales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31I.3 Interprtation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32I.4 SGBD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

II Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32II.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32II.2 Thorme des projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

III Oprations sur les relations n-aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33III.1 Somme et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33III.2 Runion et intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34III.3 Produit cartsien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

IV Slection dune relation n-aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34V Dpendances fonctionnelles et cls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

V.1 Dpendances fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34V.2 Thorme des dpendances fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35V.3 Cls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

II Arithmtique 37

5 Ensembles de nombres entiers 38I Nombres entiers naturels (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

I.1 Dfinition de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38I.2 Oprations et relation dordre dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40I.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40I.4 Relation de divisibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41I.5 Entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

II Division euclidienne dans Z et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II.2 Reprsentation des nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II.3 Arithmtique modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45II.4 Division entire informatique et division euclidienne . . . . . . . . . . . . . 47II.5 Arithmtique modulo 2n dans les ordinateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III Algorithmes dEuclide et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51III.1 PGCD de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51III.2 Algorithme dEuclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51III.3 Thorme de Bzout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52III.4 Algorithme dEuclide gnralis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6 Reprsentation des nombres rels en machine 55I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55II Les formats IEEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

II.1 La norme IEEE 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55II.2 Format single . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.3 Format double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.4 Format extended . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57II.5 Dune manire gnrale... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57II.6 Format extended des microprocesseurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

III Rels reprsentables et prcision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2

7 Cryptologie et arithmtique. 61I Mthodes de cryptage cl publique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

I.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61I.2 Utilisation de lindicatrice dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

II Choix dun nombre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II.1 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II.2 Dcomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8 Tests de primalit 65I Thorme de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65II Test de Miller-Rabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65III Tests de Lucas, Selfridge et Pocklington . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9 Dcomposition en facteurs premiers 67I Divisions successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67II Algorithme de Monte-Carlo (1975) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

II.1 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67II.2 Lalgorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68II.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

III Algorithme du crible quadratique QS de Pomerance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69IV Algorithme (p 1) de Pollard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69V Algorithme de Lenstra (courbes elliptiques) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

V.1 Introduction aux courbes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71V.2 Algorithme de Lenstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

III Logique 72

10 Algbre de Boole 73I Proprits gnrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73II Rgles de calcul dans une algbre de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74III Fonctions boolennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

III.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75III.2 Fonctions boolennes lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76III.3 Correspondance entre maxtermes et mintermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77III.4 Principaux rsultats concernant mintermes et maxtermes . . . . . . . . . . . . . 77III.5 Formes canoniques dune fonction boolenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

IV Diagrammes de Karnaugh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80V Rsolution dquations boolennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83VI Mthode des consensus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

11 Calcul propositionnel 89I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89II Les fondements de la logique des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

II.1 Les propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89II.2 Les connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90II.3 Variables et formules propositionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

III Smantique du calcul propositionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96III.1 Fonctions de vrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96III.2 Formules propositionnelles particulires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96III.3 Consquences logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98III.4 Formules quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3

III.5 Simplification du calcul des fonctions de vrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100III.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

12 Calcul propositionnel : dductions syntaxiques 104I Prsentation de la thorie de la dmonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104II Axiomes logiques et rgles dinfrence du systme formel PR . . . . . . . . . . . . . 104III Dmonstrations avec ou sans hypothses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

III.1 Dmonstration dun thorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105III.2 Dmonstration sous hypothses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

IV Thorme de la dduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106V Quelques thormes classiques et quelques rgles dinfrence annexes . . . . . . . . . . 109VI Thormes de compltude du calcul propositionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

13 Calcul des prdicats 112I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

I.1 Introduction aux prdicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112I.2 Introduction l univers du discours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112I.3 Introduction la quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

II Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112II.1 Termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112II.2 Prdicats et atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

III Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113III.1 Quantificateur universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113III.2 Quantificateur existentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114III.3 Alternance de quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114III.4 Porte dun quantificateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115III.5 Formules du calcul des prdicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

IV Smantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116IV.1 Valeurs de vrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116IV.2 Simplification de formules quantifies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117IV.3 Substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

14 Mthode de rsolution 120I Cas propositionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

I.1 Clauses propositionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120I.2 Rsolvantes dune paire de clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121I.3 Rsolution dun ensemble de clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

II Formes normales en logique des prdicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122II.1 Forme prnexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122II.2 Forme de Skolem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123II.3 Forme clausale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

III Rsolution en logique des prdicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124III.1 Rsolvante dune paire de clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124III.2 Rsolution dun ensemble de clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124III.3 Mise en uvre de la rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

IV Langages, grammaires et automates 127

15 Compilation, langages et grammaires 128I Introduction la compilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

I.1 Le problme pos est... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4

I.2 Les diverses phases dune compilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128II Les grammaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

II.1 Dfinition de la notion de grammaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129II.2 Le formalisme BNF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129II.3 Les symboles terminaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129II.4 Les symboles non terminaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130II.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

III Un exemple complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131III.1 Principes gnraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131III.2 La grammaire du langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131III.3 Analyseur syntaxique pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132III.4 Analyseur syntaxique avec messages derreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132III.5 Analyseur syntaxique avec interprtation smantique . . . . . . . . . . . . . . . 133

16 Introduction aux expressions rationnelles 135I Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135II Rgles de dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135III Proprits des oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136IV De nouvelles abrviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137V Universalit des expressions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

17 Automates Finis 138I Automates finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138I.2 Mcanismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

II Automates finis comportement dtermin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139II.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139II.2 Automates finis avec sorties (machines de Moore et de Mealy) . . . . . . . . . . 141II.3 Automates de Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

III Langage associ un automates de Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142III.1 Dfinition du langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142III.2 Exemple et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

IV Automates finis comportement non dtermin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144IV.1 Dfinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144IV.2 Utilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

V Dtermination dun AFND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145V.1 Mthode de construction par sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145V.2 En pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

VI Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147VI.1 Proprits dun automate n tats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147VI.2 Les palindromes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

18 Optimisation dautomates finis 149I Congruences dautomates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

I.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149I.2 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150I.3 Ensemble quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

II quivalence de Nrode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152II.1 Lquivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152II.2 Lalgorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

III Mthode du dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154III.1 Dual dun automate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5

III.2 Mthode du dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155IV Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

IV.1 Outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157IV.2 Mthodes doptimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

19 Construction dautomates finis partir dexpressions rationnelles 158I Automates transitions instantanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158II Donnes et rsultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158III Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158IV Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159V Finalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

20 Automates pile 162I Automates pile, dteministes ou pas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

I.1 Automate pile non dterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162I.2 Automate pile dterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

II Calcul dans un automate pile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164II.1 Encore quelques dfinitions... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164II.2 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165II.3 Exemple plus complet : le langage {0n1n|n N} . . . . . . . . . . . . . . . . 166

III Construction dun automate pile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166III.1 Introduction la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166III.2 Utilisation dun symbolisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166III.3 Algorithme de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167III.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

21 Description dun langage par une grammaire 169I Langages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169II Grammaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

II.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169II.2 Types de grammaires de Chomsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

III Un exemple de grammaire contextuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

22 Exercices sur les grammaires, langages et automates 172

V Thorie des graphes 173

23 Graphes non orients 174I Dfinitions et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

I.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174I.2 Reprsentation graphique et notion de graphes pondrs . . . . . . . . . . . . . 174I.3 Degr, chane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175I.4 circuit-cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176I.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

II Quelques types particuliers de graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177II.1 Graphes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177II.2 Multigraphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178II.3 Graphes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178II.4 Graphes complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178II.5 Graphes biparti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179II.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

III Reprsentation des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6

III.1 Matrice dincidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181III.2 Matrice dadjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182III.3 Listes dadjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

24 Problmes de graphes 185I Circuits eulriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

I.1 Introduction : les ponts de Knigsberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185I.2 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186I.3 Rsultat dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186I.4 Exercice : les dominos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

II Graphes partiels et sous-graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188II.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188II.2 Graphe partiel et sous-graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188II.3 Sous-graphes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189II.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

III Graphe planaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191III.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191III.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191III.3 Caractrisation des graphes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

IV Dnombrement des rgions dun graphe planaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193IV.1 Cartes, rgions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193IV.2 Degr dune rgion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193IV.3 Lemme des rgions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193IV.4 Formule dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194IV.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

V Circuit hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194V.1 Les dodcadres de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194V.2 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195V.3 Conditions ncessaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195V.4 Conditions suffisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196V.5 Le problme du voyageur de commerce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

25 Arbres et arborescence 197I Prsentation gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

I.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197I.2 Caractrisation des arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197I.3 Nombre minimal de feuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198I.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

II Codage de Prfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198II.1 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198II.2 Codage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199II.3 Dcodage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202II.4 Thorme de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

III Arbres couvrants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206III.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206III.2 Arbre maximal de poids minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

IV Arborescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208IV.1 Dfinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208IV.2 Arborescences ordonnes, parcours en largeur et profondeur . . . . . . . . . . . 209IV.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211IV.4 Codage de Huffman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

7

26 Problmes de coloration 215I Prsentation du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

I.1 Un problme historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215I.2 Formulation en thorie des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

II Coloration des sommets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216II.1 Rappels sur la notion de stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216II.2 Le problme de coloration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217II.3 Encadrement du nombre chromatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217II.4 Algorithme de coloration de Welsh et Powell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219II.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

III Coloration des artes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220III.1 Prsentation du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220III.2 Lien avec la coloration des sommets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221III.3 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

27 Graphes orients 223I Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

I.1 Digraphe (graphe orient), sommet, arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223I.2 Degr dun sommet dun digraphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224I.3 Chemins et circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

II Digraphe fortement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225II.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225II.2 Circuits eulriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

III Matrice et listes dadjacences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226III.1 Matrices dincidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226III.2 Matrice dadjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227III.3 Lien entre matrices dadjacences et dincidences . . . . . . . . . . . . . . . . . 228III.4 Listes dadjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

IV Digraphes sans circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230IV.1 Thorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230IV.2 Algorithme de calcul du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230IV.3 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

28 Problmes de chemin 232I Algorithme de Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

I.1 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232I.2 Lalgorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232I.3 Description de lalgorithme de Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232I.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233I.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

II Mthode PERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234II.1 Prsentation de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234II.2 Algorithme du chemin critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234II.3 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235II.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235II.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

29 Chanes de Markov 238I Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

I.1 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238I.2 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238I.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

8

I.4 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239I.5 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

II Distribution limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240II.1 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240II.2 Existence dune distribution limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240II.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

III Chane absorbante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241III.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241III.2 Dlais dabsorption et probabilit dabsorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242III.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

VI Annexes 246

30 Programme Pdagogique National 2005 (PPN) 247

Index 248

9

Premire partie

Thorie des ensembles

10

Chapitre 1

Introduction la thorie des ensembles

I Rappels de thorie des ensembles

I.1 Notion premire densemble

Ensemble Notion premire qui ne se dfinit pas. Cest une collection dobjets runis en vertu duneproprit commune.

On peut dfinir un ensemble de deux manires : en extension : on donne la liste exhaustive des lments qui y figurent, en comprhension : en donnant la proprit que doivent possder les lments de lensemble.

Exercice 1.1. Dfinir les ensembles suivants en comprhension :

1. A = {1,2,4,8,16,32,64}

2. B = {1,2,7,14}

3. C = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 }

Rponse : 1) Les puissances de 2 infrieures ou gales 64. 2) Les diviseurs de 14. 3) Les entiersinfrieurs ou gaux 20 qui ont au moins 3 diviseurs (les nombres non premiers entre 2 et 20).

NOTATION : On note Nn lensemble des entiers infrieurs ou gaux n.

Exercice 1.2. Dfinir les ensembles suivants en extension

1. A = {x R|x(x + 5) = 14}2. B = {x N|x(2x + 3) = 14}3. C = {x N10|x4 1 est divisible par 5 }

Rponse : A = {2, -7}, B = {2}, et C = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} (factoriser x4 1).

I.2 Rgles de fonctionnement

Relation dappartenance. On admet tre capable de dcider si un objet est ou non lment dun en-semble. Le fait que llment x appartienne lensemble X se note : x X .

Objets distincts. On admet aussi tre capable de distinguer entre eux les lments dun ensemble. Enparticulier, un ensemble ne peut pas contenir deux fois le mme objet.

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Ensemble vide. Il existe un ensemble ne contenant aucun lment, appel ensemble vide. Symbole :le cercle barr 1 .

Lensemble vide ne correspond pas rien ; cest en fait un ensemble qui ne contient rien, mais en tantquensemble il nest pas rien : un sac vide est vide, mais le sac en lui mme existe.

La notation {} na pas le mme sens que . La dernire notation dcrit un ensemble qui ne contientrien alors que le premier dcrit un ensemble contenant un lment : lensemble vide. On peut, afin demieux comprendre, reprendre lanalogie du sac vide. Un tiroir contenant un sac vide - {} - nest pasvide - - et contient bien un objet.

Dailleurs, lensemble {} contient un lment (qui est un ensemble), quand lensemble nencontient aucun...

Dernire rgle de fonctionnement des ensembles. Un ensemble ne peut pas sappartenir lui-mme.Cette dernire rgle de fonctionnement peut sembler obscure, pas naturelle.Dans leuphorie de la naissance de la thorie des ensembles, les mathmaticiens ne voyaient pas

dobjection envisager un ensemble dont les lments seraient tous les ensembles (en particulier, ) : lensemble des ensembles, lorigine de tout !

Leur enthousiasme fut stopp lorsque Russell leur opposa le paradoxe...

Exercice 1.3 (Paradoxe de Bertrand Russell (1872-1970)). Soit X lensemble de tous les lments quine sont pas lments deux-mmes.

A-t-on X X ? A-t-on X 6 X ?

REMARQUE 1.1. Dit autrement : le barbier qui rase tous les barbiers qui ne se rasent pas eux-mmes...serase-t-il lui-mme ?

REMARQUE 1.2. On en dduit donc que lon ne peut pas parler de lensemble de tous les ensembles(cet ensemble devrait sappartenir lui-mme). Il ne faut pas ngliger limpact dune telle rvlation.

I.3 Sous-ensembles, ensemble des parties

Sous-ensemble. Les sous-ensembles sont dfinis par la relation dinclusion...

DFINITION 1.1. A est un sous-ensemble de B (A B) si et seulement si tout lment de A appar-tient B. On dit aussi que A est une partie de B.

PROPRIT 1.1 : Lensemble vide est inclus dans nimporte quel ensemble.

PREUVE Daprs la dfinition dun sous-ensemble, cela veut dire que pour tout lment x de , xappartient A. Raisonnons a contrario : si lensemble vide nest pas inclus dans A, alors il existeau moins un lment de lensemble vide qui nappartient pas A. Or, il ny a aucun lment danslensemble vide, donc plus particulirement aucun lment de lensemble vide qui nappartienne pas A. On en conclut donc que tout lment de appartient A, et donc que est un sous-ensemblede A.

Plus gnralement, toute proposition commenant par pour tout lment de est vraie. On a deplus le rsultat suivant :

1. La notation a t introduite par le mathmaticien franais Andr Weil du groupe Bourbaki. Unicode : U+00D8

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PROPRIT 1.2 : Tout ensemble est inclus dans lui-mme.

Ensemble des parties.

DFINITION 1.2. Soit A un ensemble. Lensemble des parties de A, not P(A), est lensemble de tousles sous-ensembles de A.

On sait dj que et A sont deux parties de A...

PROPRIT 1.3 : Pour tout ensemble A, on a , A P(A).

EXEMPLE 1.4. Si A = {1, 2, 3}, alors P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

EXEMPLE 1.5. Si A = ,P(A) = {},P (P(a)) = {, {}}. Cela nest pas quun jeu de lesprit : On dfinit 0 comme tant , 1 correspond alors P(), 2 est alors P(P()), etc.

Dautres dfinitions de lensemble des entiers naturels existent.

De manire plus gnrale, si A possde n lments, P(A) en possde 2n.Exercice 1.6. Justifier le fait que le nombre dlments deP(A) est gal 2n, o n reprsente le nombredlments de A.

Exercice 1.7. On considre A = {1,2}. Dire quelles assertions sont exactes : 1 A, 1 A, {1} A, {1} A, A, A.

Exercice 1.8. Reprendre lexercice prcdent, avec A = {{1}, {2}}.

I.4 Reprsentation graphique

On peut reprsenter ensembles et sous-ensembles laide dun diagramme de Venn (les clbres patates )...

Exercice 1.9 (Diagramme de Venn). A partir des affirmations

1. les potes sont des gens heureux,

2. tous les docteurs sont riches et

3. nul tre heureux nest riche,

dterminer la validit de chacune des conclusions suivantes

1. Aucun pote nest riche.

2. Les docteurs sont des gens heureux.

3. Nul ne peut tre la fois docteur et pote.

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I.5 Exercices

Exercice 1.10. Est-ce que {a} {a, b, c} ? Former la liste des parties de {a, b, c}.

Exercice 1.11. Montrer que P(A) P(B) quand A B.

Exercice 1.12. Soit B = {0, 1}.1. A-t-on B B ?2. Quels sont les lments de P(B) ?3. Quels sont les lments de P(P(B)) ?

II Oprations sur les ensembles

II.1 galite de deux ensembles

DFINITION 1.3. Deux ensembles sont gaux si et seulement si ils ont les mmes lments.

A B et B A A = B.

Exercice 1.13. Dans chacun des cas suivants, dterminer si les ensembles sont gaux :

1. A = {x R|x > 0} et B = {x R|x > |x|}2. A = {x R|x > 0} et B = {x R|x 6 |x|}3. A = Z et B = {x Z|x2 x pair }4. A = {x N10 | x impair, non divisible par 3 } et B = {x N10 | 24 divise x2 1}

Rponse : Pour le 3, x2 x = x(x 1), et rflchir sur la parit de ce produit.

II.2 Runion, intersection

Runion A et B sont deux ensembles, on considre la runion de A et de B, note A B, lensembledes lments qui sont lments de A ou de B.

EXEMPLE 1.14. A = {1, 2, 3}, B = {1, 4, 5}, alors A B = {1, 2, 3, 4, 5}

Exercice 1.15. Faire la runion des ensembles A = {x R|0 6 x 6 3}, B = {x R| 2 < x 6 1}.

PROPRIT 1.4 (PROPRITS DE LA RUNION) : La runion de deux ensembles possde cer-taines proprits :

idempotence : A A = A commutativit : A B = B A associativit : A (B C) = (A B) C lment neutre : A = A

Exercice 1.16. Donner des exemples doprateurs idempotents, commutatifs, associatifs, et possdantun lment neutre, par exemple en arithmtique, ou en analyse.

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Intersection Lintersection de deux ensembles A et B est lensemble, not A B des lments com-muns A et B.

Exercice 1.17. Dans chacun des cas suivants, faire lintersection des ensembles A et B.

1. A = lensemble des rectangles, et B = lensemble des losanges.

2. A = {x R|0 6 x 6 3}, B = {x R| 2 < x 6 1}

PROPRIT 1.5 (PROPRITS DE LINTERSECTION) : Lintersection de deux ensembles possdecertaines proprits :

idempotence : A A = A commutativit : A B = B A associativit : A (B C) = (A B) C lment neutre : si lon se place dans un ensemble E et que A est une partie de E, alors E est

lment neutre pour lintersection : A E = A

Proprits mutuelles de ces deux oprations Ces deux oprations ont des proprits symtriques...

PROPRIT 1.6 (DISTRIBUTIVITS DE ET ) : On a les distributivits : de sur : A (B C) = (A B) (A C) de sur : A (B C) = (A B) (A C)

Exercice 1.18. On se donne trois ensembles A, B, C tels que A B C = . Sont-ils ncessairementdisjoints deux deux ? Donner des exemples.

II.3 Complmentation

DFINITION 1.4 (COMPLMENTATION). Pour A E, on dfinit le complmentaire de A par rapport E comme lensemble des lments de E qui ne sont pas lments de A. NOTATION : Il existe plusieurs manires de noter le complmentaire de A dans E : E \ A ( E moinsA ), A, ou encore CEA.REMARQUE 1.3. Il faut donc se placer, pour la dfinition de la complmentation, dans P(E) (o E estun ensemble fix) : la complmentation se dfinit par rapport un ensemble.

PROPRIT 1.7 : La complmentation a plusieurs proprits remarquables : involution : A = A, loi de De Morgan : A B = A B, et A B = A B.

Exercice 1.19. Connaissez-vous dautres oprations involutives ?

Exercice 1.20. Illustrez, laide dun diagramme de Venn, les lois de De Morgan.

Exercice 1.21. Faire la runion des ensembles A et B, quand A = {x N|x impair }, et B = {x N|x pas divisible par 3 }.

Rponse : Rechercher quoi correspond le complmentaire de la runion de A et B.

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II.4 Produit cartsien

Le produit cartsien des ensembles A et B (dans cet ordre) est lensemble, que lon note AB ( Acroix B ) des couples ordonns (a, b) o a A et b B.

Dans le couple (a, b), (a, b) nest pas un ensemble et (a, b) est distinct de (b, a).

Exercice 1.22. Reprsenter graphiquement la runion des ensembles A = {(x, y) R2|x + y 6 2}, etB = {(x, y) R2|2 < 3x y}.

Exercice 1.23. Reprsenter graphiquement lintersection des ensembles A = {(x, y) R2|x + y 6 2},et B = {(x, y) R2|2 < 3x y}.

III Exercices

III.1 Ensembles de base

Exercice 1.24. Rappelez la dfinition et la notation des ensembles fondamentaux suivants : entiers na-turels, entiers relatifs, nombres rationnels, dcimaux, rels et complexes.

Exercice 1.25. Connaissez-vous dautres ensembles de nombres ? Quelle en est la dfinition ?

Exercice 1.26. Ralisez un diagramme de Venn des ensembles des deux prcdents exercices.

III.2 La diffrence symtrique

DFINITION 1.5. Pour deux ensembles A et B, on appelle diffrence symtrique, note AB, lensem-ble dfini par

AB = (A B) \ (A B)cest--dire que AB est constitu des lments qui appartiennent soit A, soit B, mais pas auxdeux.

Exercice 1.27. Soit A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {4, 5, 6, 7, 8, 9} et D = {2, 3, 5, 7, 8}.Trouver AB, CB, A (BD), BC, AD et (A B)(A D).

Exercice 1.28. Montrez que AB = [A (E \B)] [(E \A) B]

Exercice 1.29. Calculer AA, A(E \A), AE et E \ (AB).

Exercice 1.30. Montrer que, si AB = C, alors AC = B et BC = A.

Exercice 1.31. Montrer que la diffrence ensembliste est commutative, et possde un lment neutre.

Exercice 1.32. Montrer que si AB = AC alors B = C.

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III.3 Gnraux

Exercice 1.33. Soit E un ensemble.Dmontrer que, quelles que soient les parties A, B, X , Y de E, limplication suivante est vraie :

(X A = X B) et Y X Y A = Y B.

Exercice 1.34. On se place dans lensemble P(E) des parties dun ensemble non vide E ; A, B et Csont des parties de E.

Montrer que (A C) (A B) et (A C) (A B) implique que C B.

Exercice 1.35. Soit E un ensemble non vide et P(E) lensemble de ses parties.Soit f une application croissante, pour linclusion, de P(E) dans lui-mme (cest--dire : si X et Y

sont deux parties de E et si X Y , alors f(X) f(Y )).1. Montrer que, pour tout couple (X, Y ) de parties de E, on a : f(X) f(Y ) f(X Y )2. On dit quune partie X de E est rgulire si et seulement si f(X) X . Montrer quil existe au

moins une partie rgulire dans E et que, si X est rgulire, il en est de mme de f(X).

3. Soit A lintersection de toutes les parties rgulires de E. Montrer que A est rgulire et quef(A) = A.

Exercice 1.36. Soit E un ensemble et A, B, C des parties de E.Dmontrer la proposition suivante :

[A (B C)] et [(B C) A] [A = B = C].

Exercice 1.37. Sous les mmes hypothses, montrer que A (A B) = A (A B) = A

Exercice 1.38. Montrer que (A B) (B C) (C A) = (A B) (B C) (C A).

Exercice 1.39 (Archives). Le jour o il ne faut pas, vous dcouvrez que vous avez besoin dun fichier client C et du fichier prospects P qui contenait la liste des clients

prospects, c..d. des clients actuels ou potentiels visits par les reprsentants au dernier semestre ; Le stagiaire les a effac par mgarde, en rpondant au hasard une question du systme quil ne

comprenait pas.Au cours dune runion de crise, vous apprenez cependant quil reste

le fichier F des clients non prospects de ce dernier trimestre ; le fichier G des prospects du dernier trimestre non encore client ; le fichier H des clients et/ou propspects mlangs sans distinction.

En dduire comment reconstruire P et C.

Exercice 1.40. Soit les affirmations : Jai plant tous mes arbres onreux lan pass. Tous mes arbres fruitiers sont dans mon verger. Aucun des arbres fruitiers na t plant lan pass. Jai un orme, qui est un arbre onreux, mais pas dans mon verger.

Dire si les affirmations suivantes sont justes ou fausses ou impossibles rpondre.

1. Aucun de mes arbres fruitiers nest onreux.

2. Tous mes arbres plants lan pass lont t dans le verger.

3. Jai plant au moins un arbre lan pass.

Exercice 1.41 (Fonction caractristique des parties dun ensemble). On appelle fonction caractris-tique de la partie A de lensemble E (E 6= , A 6= , A E) lapplication fA : E {0, 1}, dfiniepar

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x A, fA(x) = 1, x E \A, fA(x) = 0.On pose de plus x E, f(x) = 0 et fE(x) = 1.tudier les fonctions caractristiques dune runion, dune intersection de deux parties, ainsi que

celle du complmentaire dune partie.

Exercice 1.42. On dfinit, dans {0, 1}, trois lois de composition, de manire que, x E, on ait fA(x) fB(x) = fAB(x), fA(x) + fB(x) = fAB(x) et fA(x) = fE\A(x).

Montrer que ({0, 1}, +, , ) est une algbre de Boole binaire.

Fin du Chapitre

18

Chapitre 2

Relations binaires entre ensembles

I Relations

On se donne deux ensembles E et F .

DFINITION 2.1 (RELATION BINAIRE, GRAPHE). On dit que : lon a dfini une relation binaire R entre ces deux ensembles lorsque lon sest donn une partie

G de lensemble produit E F (G E F ). Cette partie est appele graphe de la relation binaire. Si x dans E et y dans F sont tels que (x, y) G, on dit que x est en rela tion avec y par la relationR et on note xRy

Exercice 2.1. On se place dans lensemble E = {1, 2, 3, . . . , 20}. Reprsenter, dans le plan rapport deux axes de coordonnes rectangulaires, les graphes des relations binaires sur E dont les dfinitionssuivent :

xRy x 6 y. xRy x|y : x divise y. xRy x y[3] : x est congru y modulo 3. xRy y = x2.

REMARQUE 2.1. Lorsque E = F , on parle de relation binaire dfinie dans lensemble E. Son grapheest une partie de E2.

REMARQUE 2.2. Il est possible que xRy sans que yRx.

Exercice 2.2. A-t-on yRx quand xRy, dans les relations binaires dfinies dans lexercice prcdent ?

Exercice 2.3. Sur lensemble des mots de la langue franaise, on dfinit la relation : le mot M est li aumot N sils concident quand on crit M lenvers . Dterminer quelques couples de mots en relation,ainsi que des mots en relation avec eux-mmes. Comment appelle-t-on de tels mots ?

Exercice 2.4. Sur lensemble Z des entiers relatifs, on dfinit deux relations, notes respectivement et, de la faon suivante :

xy quand la somme x + y est paire xy quand la diffrence x y est paire

Sont-elles gales ?

II Relations dordre

Dans ce paragraphe, on se place dans le cas o E = F . Soit R une relation binaire dfinie dans unensemble E, de graphe G.

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II.1 Rflexivit, antisymtrie, transitivit

DFINITION 2.2 (RFLEXIVIT). R est dite rflexive quand tout lment de E est en relation aveclui-mme : x E, xRx.

DFINITION 2.3 (ANTISYMTRIE). R est dite antisymtrique si, lorsque x est en relation avec y, alorsy ne peut pas tre en relation avec x (sauf si x = y) : (x, y) E2, xRy et yRx x = y

DFINITION 2.4 (TRANSITIVIT). R est dite transitive lorsque, si x est en relation avec y, et si y lestavec z, alors x est en relation avec z : x E, y E, z E, xRy et yRz xRz.

Exercice 2.5. Les relations suivantes sont-elles rflexives, antisymtriques ou transitives ?

1. A = R et xRy si |x| = |y|.2. A = R et xRy si sin2x + cos2 y = 1.3. A = N et xRy sil existe p et q entiers tels que y = pxq.4. A est lensemble des points du plan, et xRy si la distance de x y est infrieure 52,7 km.

Exercice 2.6. Sur N on dfinit la relation aRb si et seulement si ab ba.1. Vrifier que cette relation est rflexive et transitive.

2. Comparer 2 et 4. La relation est-elle antisymtrique ?

Exercice 2.7. SoitR et S deux relations dans A.1. Montrer que siR et S sont transitives alorsR S est transitive.2. SiR est antisymtrique alorsR S est antisymtrique.

II.2 Relation dordre

DFINITION 2.5 (RELATION DORDRE). R est une relation dordre lorsquelle est rflexive, antisymtriqueet transitive.

EXEMPLE 2.8 (EXEMPLES DE RELATIONS DORDRE). Quelques relations dordre : (R,6) (P(E),)

EXEMPLE 2.9 (RELATION DE DIVISIBILIT). On note a|b si et seulement si b est un multiple de a(k N, b = ka). Cest une relation dordre dfinie dans N. En effet, elle estreflexive : a = 1a, donc a|a est vrai,antisymtrique : si a|b et b|a, alors k, k N, a = kb et b = ka. Donc a = kka. Comme a 6= 0,

kk = 1. Mais k, k N, donc k = k = 1, et a = b.transitive : si a|b et b|c, alors alors k, k N, a = kb et b = kc. Donc a = kkc : il existe k N

(k = kk) tel que a = kc : a|c.

La structure algbrique constitue par lensemble E, muni de la relation dordreR, (cest--dire : lecouple (E,R)) est celle densemble ordonn.

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II.3 Ordre partiel, ordre total

Une relation dordre dfinie dans un ensemble E peut possder une proprit supplmentaire, celleselon laquelle tous les lments de E sont comparables entre eux. On formalise comme suit :

DFINITION 2.6 (RELATION DORDRE TOTALE). Une relation dordre qui possde cette dernire pro-prit est dite relation dordre total, et la structure algbrique correspondante est celle densemble to-talement ordonn.

REMARQUE 2.3. Cette proprit est aussi quivalente :

x E, y E, xRy ou yRx

ou encore : si x nest pas en relation avec y, alors y est en relation avec x .

DFINITION 2.7 (RELATION DORDRE PARTIEL). Dans le cas contraire, il existe des lments qui nesont pas comparables : on parle alors dordre partiel .

EXEMPLE 2.10. 6 est une relation dordre totale dans R.

Exercice 2.11. On dfinit une relation binaireR sur RR+ par (x, y)R(x, y) ssi x2 + y2 < x2 + y2ou (x2 + y2 = x2 + y2 et x x).

Montrer quil sagit dune relation dordre totale

II.4 lments maximaux

Soit (E,R) un ensemble ordonn et A une partie de E. Quelques dfinitions. . .

DFINITION 2.8 (MAJORANT). On appelle majorant de A tout lment M de E tel que, quel que soita A, aRM .

DFINITION 2.9 (PARTIE MAJORE). La partie A de E est dite majore sil existe un majorant de A.

DFINITION 2.10 (MINORANT). On appelle minorant de A tout lment m de E tel que, quel que soita A, mRa.

On parle aussi de partie minore.

DFINITION 2.11 (LMENT MAXIMUM). On appelle lment maximum de A un lment de A quiest majorant de A.

Exercice 2.12. Trouvez des exemples dlment maximum sur N et R.

NOTATION : Max A.

REMARQUE 2.4. Si A est non majore, il est exclu quelle admette un lment maximum. Cet lmentmaximum nexiste pas toujours, mme pour une partie majore. Ainsi, lintervalle rel ]2,3[ est major,mais na pas dlment maximum. Cependant, sil existe, cet lment est unique.

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DFINITION 2.12 (LMENT MINIMUM). On appelle lment minimum de A un lment de A qui estminorant de A.

NOTATION : Min A.

Exercice 2.13. Etant donn B = {1, 2, 3, 4, 5} ordonn selon la relation 4 < 2, 5 < 2, 5 < 3, 2 < 1,3 < 1. Trouver Min A et Max A.

Exercice 2.14 (Relations dordre en Algbre de Boole). Soit A une algbre de Boole.On considre la relation binaire, de symbole

EXEMPLE 2.17. Lgalit est une relation dquivalence.

EXEMPLE 2.18 (RELATION DE CONGRUENCE MODULO n DANS Z). Par dfinition :

x y [n](lire : x est congru y modulo n ) k Z, x y = k n

. rflexivit : x x[n] : en effet, x x = 0 n, et 0 Z. symtrie : si x y [n], k Z, x y = k n ; alors y x = (k) n ; or, si k Z, (k) Z,

donc y x [n]. transitivit : si x y [n] et y z [n], k Z, x y = k n et l Z, y z = l n. En

aditionnant membre membre ces deux galits, on obtient x z = (k + l) n, or (k, l) Z2,donc k + l Z, donc x z [n].

Cest bien une relation dquivalence.

Exercice 2.19. Sur Z, on crit xRy quand x + y est pair. Montrez que R est une relation dquiva-lence.

Exercice 2.20. Sur R, on dfinit la relation xRy quand cos(2x) = cos(2y) . Montrez que R est unerelation dquivalence.

III.1 Classes dquivalence

DFINITION 2.15 (CLASSE DQUIVALENCE). Soit x un lment de E, et R une relation dquiva-lence sur E. On appelle classe dquivalence de cet lment lensemble des lments de E qui sont enrelation avec x (on dit encore : qui sont quivalents x ).

NOTATION : On note x la classe de llment x : x = {y E | yRx}.

Exercice 2.21. Dans R, on considre la relation binaireR dfinie par : xRy ssi x2 y2 = x y.1. Vrifier queR est une relation dquivalence.2. Pour tout rel x, dterminer x.

Exercice 2.22. Dans R, on considre la relation binaireR dfinie par : xRy ssi x.ey = y.ex.1. Vrifier queR est une relation dquivalence.2. Pour tout rel x, dterminer le nombre dlments de x.

PROPRIT 2.1 : Lintersection de deux classes dquivalence distinctes est vide.

REMARQUE 2.6. On dit aussi que les classes sont deux deux disjointes.

PREUVE 1 : On considre deux classes, x et y, soit z x y ; t x, on a (t, x) G ; mais z x, donc(z, x) G, donc (symtrie) (x, z) G, donc (transitivit) (t, z) G ; mais z y, donc (z, y) G,donc (transitivit) (t, y) G, donc (finalement) t y, et donc x y ; raisonnement analogue pourtout t y, qui aboutit y x, et enfin (par double inclusion) x = y ; si deux classes ont un lmentcommun, elles sont confondues ; donc deux classes distinctes sont disjointes).

DFINITION 2.16 (PARTITION DUN ENSEMBLE). Une partition dun ensemble E est une famille desous-ensembles de E, 2 2 disjoints, et dont la runion est gale E.

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PROPRIT 2.2 : Les classes dquivalence ralisent une partition de E.

PREUVE 2 : Comme les classes sont des parties de E, leur runion est une partie de E. Rciproquement,tout lment de E appartient une classe ( tout lment est class ). Donc E est une partie de la runiondes classes ; et E est gal la runion des classes.

EXEMPLE 2.23. On reprend la congruence modulo n, par exemple pour n = 4.On a :0 = {. . . ,12,8,4, 0, 4, 8, 12, . . .}1 = {. . . ,11,7,3, 1, 5, 9, 13, . . .}2 = {. . . ,10,6,2, 2, 6, 10, 14, . . .}3 = {. . . ,9,5,1, 3, 7, 11, 15, . . .}

Exercice 2.24. SoitR la relation dquivalence suivante dans lensemble A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} :

R = {(1, 1), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 6), (3, 2), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 1), (5, 5), (6, 2), (6, 3), (6, 6)}

Trouver la partition de A induite parR, cest--dire trouver les classes dquivalence deR.

Exercice 2.25 (Une relation dquivalence). On considre lensemble des points du plan rapport deux axes de coordonnes rectangulaires et deux points P1 et P2 de coordonnes respectives (x1, y1) et(x2, y2) ; on dfinit dans cet ensemble la relation binaireR par :

P1RP2 x1y1 = x2y2

Sagit-il dune relation dquivalence ? Si oui, tudier les classes dquivalence. Mmes questions pour la relationR, dfinie par

P1RP2 x1y1 = x2y2 et x1x2 > 0

Exercice 2.26. Dfinir, par leurs graphes, les relations dquivalence dans E qui comportent respec-tivement le moins et le plus possible de points. Que peut-on dire de ces relations ?

III.2 Ensemble-quotient

DFINITION 2.17 (ENSEMBLE-QUOTIENT). Il sagit de lensemble des classes dquivalence de tousles lments de E.

NOTATION : E/R.

Pour parler aisment dune classe, on choisit un de ses lments, et cet lment, surmont dun point,sert reprsenter la classe en question. Une fois que ce choix est fait, il est dfinitif, et il nest plusquestion dvoquer les autres lments de cette classe, il faut se tenir, sous peine dincohrence, au choixqui a t fait.

EXEMPLE 2.27 (CONGRUENCE MODULO 4). On choisit pour reprsentants les entiers < 4, donc 0, 1,2 et 3. Lensemble-quotient est Z/4Z = {0, 1, 2, 3}.

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IV Compatibilit entre une opration et une relation binaire

DFINITION 2.18. La relation binaire (dans E) de symbole R est dite compatible avec lopration(dfinie dans E) de symbole lorsque, quels que soient les lments x, x, y et y de E : si xRx et siyRy, alors (x y)R(x y)

Autrement dit, lopration conserve la relation.

EXEMPLE 2.28. On considre la relation classique dingalit dans R : si on a x 6 x et y 6 y, on peutcrire x + x 6 y + y.

Ce rsultat est bien connu : on a le droit dadditionner des ingalits membre membre . Endautres termes, laddition des rels est compatible avec lingalit.

Mais, de 2 6 1 et de 3 6 1, on ne peut pas dduire que 6 6 1. . . On na pas le droit de multiplier des ingalits membre membre .

La multiplication des rels, quant a elle, nest donc pas compatible avec lingalit.

Exercice 2.29 (Congruences modulo n). Montrer que la relation de congruence modulo n dans Zdfinie en cours est compatible avec addition et multiplication.

tablir les tables des oprations que lon peut alors dfinir dans les ensembles Z/5Z, Z/6Z.

Lorsquune relation dquivalence est compatible avec une opration, on peut dfinir dans lensemble-quotient une opration, dite induite de celle qui existe dans lensemble dorigine.

Fin du Chapitre

25

Chapitre 3

Application dun ensemble dans un autre

I Application et relation fonctionnelle

DFINITION 3.1 (APPLICATION). Une application de lensemble E dans lensemble F est une relationbinaire particulireR entre E et F , dont le graphe G doit possder les proprits suivantes :

pour tout lment x de E, il doit exister un lment y de F tel que (x, y) soit lment de G ; cet lment y doit tre unique.

Voici la formalisation (partielle) de ces propositions : x E, y F, (x, y) G x E, y F, y F, [(x, y) G et (x, y) G = y = y].Il existe un intermdiaire entre relation et application . . .

DFINITION 3.2 (RELATION FONCTIONNELLE). On parle de relation fonctionnelle quand tout lmentde lensemble de dpart possde au plus une image.

REMARQUE 3.1. Une application est donc une relation fonctionnelle particulire : tout lment delensemble de dpart possde exactement une image.

Exercice 3.1. Parmi les relations suivantes de R vers R, reprez les relations fonctionnelles, reprez lesapplications :

1. R = {(x, y) R2, |y| = x}2. R = {(x, y) R2, xy = 1}3. R = {(x, y) R2, y x + 2 = 0}

II Image et antcdent dun lment

On suppose dornavant que R est une application. Pour un x donn de E, il lui correspond un et unseul y de F qui est en relation avec lui parR.

DFINITION 3.3. Cet unique y est alors appel image de x par lapplication dfinie parR.

NOTATION : Si lon dsigne par f cette application, lexpression y est limage de x par f est for-malise par y = f(x). De plus, on formalise la proposition f est une application de E dans F parf : E F . La proposition y est limage de x par f peut aussi tre traduite par : f : x 7 y.

26

Exercice 3.2. Interprter chacune des situations suivantes au moyen dune application. Pour cela, ondfinira deux ensembles A et B ainsi que f : A B. Prciser dans chaque cas pourquoi il sagit biendune application.

1. Le registre dun htel qui possde 55 chambres.

2. Le numro dINSEE.

3. La parit dun entier naturel.

Rciproquement, soit f une application. . .

DFINITION 3.4 (ANTCDENT). Si y est limage de x par f , alors x est appel un antcdent de y parf .

Un quelconque lment y de F ne possde pas forcment dantcdant par une application f : E F . Et il ny a pas forcment unicit quand il en possde : un y de F peut avoir plusieurs antcdants parune application f .

Les cas particuliers o tout y de F possde au plus un antcdant, et au moins un antcdant, sonttudis dans les deux sections suivantes.

III Applications injectives

DFINITION 3.5 (INJECTIVIT). Lapplication f : E F est dite injective quand tout y F pos-sde au plus un antcdant par f . REMARQUE 3.2. Le terme injection est synonyme d application injective .

Linjectivit dune application peut se caractriser de la manire suivante.

PROPRIT 3.1 (CARACTRISATION DES FONCTIONS INJECTIVES) :

f : E F est une application injective [x, x E, f(x) = f(x) x = x]

Exercice 3.3. Prouver, en utilisant la caractrisation ci-dessus, que les applications suivantes sont in-jectives :

1. f : R R, x 7 2x + 3.2. f : R+ R, x 7 3x2 + 1.

Exercice 3.4. Prouver, en utilisant la caractrisation ci-dessus, que les applications suivantes ne sontpas injectives :

1. f : R R, x 7 |x|.2. f : R R, x 7 x2.

Exercice 3.5. Tracez le graphe dune application qui est injective, et dune application qui ne lestpas. Trouver une caractrisation de linjectivit dune application f : E F , partir du nombredintersections entre la courbe Cf et les droites verticales y = b, b F .Exercice 3.6. Soit f : E F une application injective. Peut-elle perdre ce caractre injectif si onrduit lensemble darrive ? Et si lon rduit lensemble de dpart ?

Que se passe-t-il si lon change rduit en augmente dans les prcdentes questions ?

Exercice 3.7. On suppose gof injective. Montrer que f est injective. Est-ce que g est obligatoirementinjective ?

27

IV Applications surjectives

La dfinition dune application f exige seulement que chaque lment x de E admette une image(unique) y dans F , mais pas que tout lment y de F admette un antcdent dans E. Sil en est nanmoinsainsi, lapplication est dite surjective :

DFINITION 3.6. Une application surjective f : E F est une application telle que tout y de Fadmette un antcdent dans E.

REMARQUE 3.3. Surjection est synonyme d application surjective .

Exercice 3.8. Tracez le graphe dune application qui est surjective, et dune application qui ne lest pas.

Exercice 3.9. Donnez des exemples (sous forme analytique) de fonctions surjectives, et de fonction quine le sont pas.

V Image dun ensemble par une application

Dune manire gnrale, on peut considrer lensemble des images des lments de E par une appli-cation f de E dans F (ils en ont tous une, et une seule).

DFINITION 3.7 (IMAGE DUN ENSEMBLE PAR UNE APPLICATION). Cet ensemble, qui est videm-ment une partie de F , est not f < E >, et est appel image de E par f :

f < E >= {f(x) F | x E}

REMARQUE 3.4. Si tous les lments de F ont un antcdent dans E (f est surjective), cela signifie quetout lment de F est lment de f < E >, donc que F f < E >. Comme on a remarqu par ailleursque f < E > F , on a, dans ce cas, f < E >= F .

Cette dernire remarque permet la formalisation suivante :

PROPRIT 3.2 (CARACTRISATION DE LA SURJECTIVIT) :

f est (une application) surjective f < E >= F

EXEMPLE 3.10. Soit lapplication lvation au carr f : x 7 x2 de R dans R. Elle est : non surjective : f < R >= R+, non injective : f(2) = f(2) = 4.

Exercice 3.11. On suppose gof surjective. Montrer que g est surjective. Est-ce que f est obligatoirementsurjective ?

28

VI Applications bijectives

DFINITION 3.8 (APPLICATIONS BIJECTIVES). Une application qui est la fois injective et surjectiveest dite bijective .

REMARQUE 3.5. Synonyme d application bijective : bijection.

Exercice 3.12. Dans chaque cas, dire si lapplication f : A B est injective, surjective ou bijective.1. A = R, B = R, f(x) = x + 7

2. A = R, B = R, f(x) = x2 + 2x 33. A = {x R|4 6 x 6 9}, B = {x R|21 6 x 6 96}, f(x) = x2 + 2x 34. A = R, B = R, f(x) = 3x 2|x|5. A = R, B = R, f(x) = ex + 1

6. A = N, B = N, f(x) = x(x + 1)

PROPRIT 3.3 : Dans le cas dune bijection, chaque lment x de E correspond un et un seullment y de F (dfinition dune application) et, rciproquement, chaque (surjectivit) lment yde F correspond un et un seul (injectivit) lment x de E.

Cette dernire proposition est prcisment laffirmation de lexistence dune application g de F dansE, telle que x = g(y) f(x) = y.

DFINITION 3.9 (APPLICATION INVERSE). Cette application est appele application inverse de lap-plication f .

NOTATION : On la note f1

Exercice 3.13. Reprendre lexercice prcdent, en trouvant lapplication rciproque des applicationsbijectives.

EXEMPLE 3.14. Soit lapplication multiplication par 2 f : x 7 2x de R dans R. Elle est surjectiveet injective. Elle admet donc une application inverse : f1 : x 7 x

2.

Exercice 3.15. Soit f : Z Z dfinie par f(n) = n + (1)n.1. Montrer que n et f(n) sont toujours de parit diffrente.

2. Montrer que f est bijective.

3. Calculer f(f(n)). En dduire une expression de f1 et rsoudre lquation 347 = n + (1)n.

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Chapitre 4

Relations n-aires

I Dfinitions

I.1 Relations orientes et non orientes

Exactement comme dans le cas des relations binaires, on considre une partie G de lensemble pro-duit cartsien de n ensembles (E1 , E2 , . . . , En), soit G E1 E2 En.

DFINITION 4.1 (RELATION n-AIRE). Cette partie dfinit une relation n-aire entre ces ensembles.

NOTATION : Pour un n-uplet (x1 , x2 , . . . , xn) dlments de E1E2 En, on notera (x1 , x2 , . . . , xn) G ouR(x1 , x2 , . . . , xn) le fait que ces lments sont en relation par la relationR de graphe G.

Comme dans le cas des relations binaires, les n-uplets sont ordonns et, mme si deux des ensemblesEi et Ej sont identiques (pour i 6= j), le couple dlments (xi, yj) est considr comme diffrent ducouple (yj , xi) lorsque xi 6= yj .

Cependant, dans la plupart des applications pratiques des relations n-aires, et dans toutes celles quenous verrons en tout cas, on tiquette les colonnes , ce qui permet de saffranchir de cet ordre, et deconsidrer ce que lon appelle des relations n-aires non orientes, dont les domaines sont les ensembles(E1 , E2 , . . . , En), dans un ordre non spcifi, car ils sont nomms.

I.1.1 Exemple de relation ternaire oriente

Soient E1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, E2 = {1988, 1989, 1990, 1991, 1992, 1993, 1994} E3 = {Alsace, Beaujolais, Ctes du Rhne}.et soit

G = { (3,1988,Alsace), (4,1991,Alsace), (8,1989,Beaujolais), (4,1989,Ctes du Rhne) }.

G est le graphe dune relation ternaire oriente qui reprsente une cave vins.

On peut la reprsenter par le tableau :

3 1988 Alsace4 1991 Alsace8 1989 Beaujolais4 1989 Ctes du Rhne

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Il est vident que lordre des lments du n-uplet lment de G a une importance fondamentale,surtout lorsque lintersection des domaines nest pas vide.

Autrement dit, cette relation doit tre considre comme diffrente de la relation dfinie sur E3 E2 E1 par le graphe G reprsent par le tableau

Alsace 1988 3Alsace 1991 4Beaujolais 1989 8Ctes du Rhne 1989 4

I.1.2 Exemple de relation ternaire non oriente

Pour saffranchir de lordre en vitant toute ambigut, il faut nommer les colonnes du tableau, cest--dire ajouter un ensemble dattributs (ou cls, ou tiquettes) qui pourraient tre ici {Nombre, Anne,Rgion}.

On obtiendrait

Nombre Anne Rgion3 1988 Alsace4 1991 Alsace8 1989 Beaujolais4 1989 Ctes du Rhne

Cette relation ternaire ne sera pas considre comme diffrente de la relation reprsente par

Rgion Anne NombreAlsace 1988 3Alsace 1991 4Beaujolais 1989 8Ctes du Rhne 1989 4

En effet, les attributs ne sont pas ordonns, lensemble {Rgion, Anne, Nombre} est gal lensem-ble {Nombre, Anne, Rgion}.

Dans la suite, le terme de relation n-aire sera rserv aux relations non orientes.

On peut toujours associer une relation n-aire une relation n-aire oriente, dfinie sur D1 D2 Dn, o les Di sont les domaines attachs aux attributs de A, noncs dans un certain ordre.

Bien entendu, si les attributs sont noncs dans un ordre diffrent, la relation n-aire oriente associepeut ne pas tre la mme, mais, pour une mme relation n-aire, toutes les relations n-aires orientesassocies se dduisent les unes des autres par une permutation sur les domaines.

Cest pourquoi on sautorisera utiliser labus de notation R(x1 , x2 , . . . , xn), pour exprimer queles xi sont en relation par la relation n-aire (non oriente) R, en se rfrant lune quelconque desrelations n-aires orientes associes (celle qui correspond lordre des domaines Di lorsque les xi sontnoncs).

NOTATION : On noteraR[A] une relation n-aire (non oriente) dattributs A.

I.2 Relations quivalentes, relations gales

DFINITION 4.2 (RELATIONS n-AIRES QUIVALENTES). Deux relations n-aires (non orientes) sontquivalentes lorsque leurs domaines sont les mmes et quil existe une permutation de ces domaines telleque les relations orientes associes sont gales (au sens de lgalit des ensembles, puisquune relationn-aire oriente est dfinie comme un ensemble).

31

DFINITION 4.3 (RELATIONS n-AIRES GALES). Deux relations n-aires (non orientes) sont galeslorsquelles sont quivalentes et que leurs attributs sont les mmes.

Groupe Nom Age1 A 181 B 172 C 18

Age Nom Groupe18 A 117 B 118 C 2

Note Matire Nombre18 A 117 B 118 C 2

Une relationR Une relation gale R Une relation quivalente R

I.3 Interprtation fonctionnelle

Chaque ligne du tableau dune relation n-aireR[A] aux attributs A, de domaines (D1 , D2 , . . . , Dn),peut tre interprte comme une application de A (lensemble des attributs) dans D1 D2 Dn.

EXEMPLE 4.1. Par exemple, pour la premire relation du paragraphe prcdent, on peut considrer lesfonctions f1, f2 et f3 dfinies par f1(Groupe) = 1, f1(Nom) = A, f1(Age) = 18, f2(Groupe) = 1, etc.

I.4 SGBD

DFINITION 4.4 (SGBD). Un Systme de Gestion de Base de Donnes Relationnelles (SGBD) est uneapplication informatique de dfinition et de travail sur des relations n-aires (non orientes).

Cette application met en gnral la disposition de lutilisateur un langage (le plus souvent, SQL)qui permet

de dfinir les objets et leurs liens, de les modifier et denrichir la base de donnes, de retrouver linformation contenue dans la base de donnes par la formulation de requtes.

II Projections

II.1 Dfinitions

SoitR[A] une relation n-aire dattributs A, et a A.On pose A = {a} B, et on suppose que le domaine de a est D1 et que les domaines des attributs

de B sont D2 , . . . , Dn.

DFINITION 4.5 (PROJECTION DUNE RELATION). La projection de la relation R suivant a sur B,noteRa (on autorise aussiR[B]), est dfinie par :

Ra(x2 , . . . , xn) x1 D1, R(x1 , x2 , . . . , xn).

REMARQUE 4.1. Dans la pratique, on obtient la projection dune relation : en supprimant la colonne de lattribut selon lequel se fait la projection, et en ne conservant quune seule occurrence de lignes qui seraient devenues identiques.

II.2 Thorme des projections

SoitR[A] une relation n-aire dattributs A, a A, b A (b 6= a).

32

PROPRIT 4.1 (THORME DES PROJECTIONS) :

(Ra)b = (Rb)a .

PREUVE (Dmonstration immdiate).

REMARQUE 4.2. Ce dernier rsultat nous autorise considrer la projection dune relation suivant unsous-ensemble dattributs (et sur le complmentaire de ce sous-ensemble dattributs).

NOTATION : On notera cette projection RB (ou R[A \B]) (si B A, cest la projection suivant B deR sur C = A \B.

III Oprations sur les relations n-aires

III.1 Somme et produit

SoitR une relation dattributs A et S une relation dattributs B, pour lesquelles les attributs de mmenom ont mme domaine.

Les relations sommeR+ S et produitR S ont pour attributs A B.

Pour lnonc de la dfinition, comme lordre dans lequel on nonce les attributs est sans importance,on suppose que, dans A B, les lments sont numrs dans lordre suivant

les attributs de A qui ne sont pas dans B, les domaines sont D1 , . . . , Dp , les attributs communs A et B, les domaines sont Dp+1 , . . . , Dq , les attributs de B qui ne sont pas dans A, les domaines sont Dq+1 , . . . , Dn .

(lun de ces sous-ensembles peut tre vide).

DFINITION 4.6. On a alors, par dfinition (R+ S)(x1 , . . . , xp , xp+1 , . . . , xq , . . . , xq+1 , xn) si et seulement siR(x1 , . . . , xq) ou S(xp+1 , . . . , xn),

(R S)(x1 , . . . , xp , . . . , xq , . . . , xn) si et seulement siR(x1 , . . . , xq) et S(xp+1 , . . . , xn).

NOTATION : On note (R+ S) [A B] et (R S) [A B].EXEMPLE 4.2. Le domaine de lattribut Groupe est {1, 2, 3}, celui de Nom est {A,B,C} et celui de Ageest {19, 20, 21}.

Groupe Nom1 A1 B2 C

Groupe Age1 201 212 21

Groupe Nom Age1 A 201 A 211 B 201 B 212 C 21

Groupe Nom Age1 A 191 A 201 A 211 B 191 B 201 B 211 C 201 C 212 A 212 B 212 C 192 C 202 C 21

Une relationR Une relation S La relationR S La relationR+ S

33

III.2 Runion et intersection

Cest le cas particulier de la somme et du produit de deux relations dattributs A et B dans le cas oA = B.

Donc, dans le cas o A = B,R S = R+ S etR S = R S.

NOTATION : On note donc (R S) [A] et (R S) [A]

III.3 Produit cartsien

Il sagit du cas particulier du produit de deux relations dans le cas o A B =6o.Donc, dans le cas o A B =6o,R S = R S.

NOTATION : On note donc (R S) [A B].

IV Slection dune relation n-aire

Soit R[A] une relation n-aire dattributs A et F une formule de logique dans laquelle les variablessont des lments de A et les constantes des lments du domaine des attributs.

DFINITION 4.7. La slection de R suivant F est une relation ayant les mmes attributs A, note(R : F ) [A] et telle queR(x1 , x2 , . . . , xn) et F (x1 , x2 , . . . , xn).

Autrement dit, il sagit des lments des domaines des attributs qui sont en relation par R et quisatisfont la formule F donne.

EXEMPLE 4.3. Sur une relation dattributs {Nom , Age , Note} on pourra dfinir la relation [(Age 619) et (Note > 16)] pour slectionner les tudiants admis sinscrire au dpartement dInformatique.

V Dpendances fonctionnelles et cls

V.1 Dpendances fonctionnelles

Il sagit, lorsque cest possible, de remplacer une relation n-aire par une autre, plus simple, et sansperte dinformation.

SoitR[A] une relation dattributs A telle que A soit de la forme X Y Z.On suppose pour simplifier : que les domaines des attributs de X sont D1 , D2 , . . . , Dp, que ceux de Y sont Dp+1 , . . . , Dq que ceux de Z sont Dq+1 , . . . , Dn.

DFINITION 4.8 (DPENDANCE FONCTIONNELLE). On dit que Y dpend fonctionnellement de Xlorsque lon a

R(x1 , . . . , xp , xp+1 , . . . , xq , xq+1 , . . . , xn)et

R(x1 , . . . , xp , xp+1 , . . . , xq , xq+1 , . . . , xn)si et seulement si

xp+1 = xp+1 , . . . , xq = x

q

.

34

NOTATION : Dans la suite, et pour une situation du mme type, on sautorisera utiliser les notationssuivantes :

DX pour D1 , D2 , . . . , Dp, DY pour Dp+1 , . . . , Dq, DZ pour Dq+1 , . . . , Dn, x pour (x1 , . . . , xp), y pour (xp+1 , . . . , xq) et z pour (xq+1 , . . . , xn).

Ainsi, la condition nonce peut scrire plus simplement R(x, y, z) et R(x, y, z) si et seulementsi y = y (cette galit devant tre considre comme une galit de n-uplets, cest--dire lgalitcomposante par composante.

EXEMPLE 4.4. Dans la relation suivante,

Groupe Nom Niveau Age1 A 1 202 B 3 211 C 3 201 A 3 203 B 1 211 C 1 202 A 1 203 B 2 211 C 2 20

On distingue les dpendances fonctionnelles {Nom} {Age} {Groupe , Niveau} {Age}

V.2 Thorme des dpendances fonctionnelles

PROPRIT 4.2 (THORME DES DPENDANCES FONCTIONNELLES) : Si la relation R[A] dat-tributs A = X Y Z admet une dpendance fonctionnelle X Y , elle est le produit de sesprojections sur X Y et X Z.

EXEMPLE 4.5. La relation prcdente est le produit de ses deux projectionsR[{Nom , Age}] etR[{Nom , Groupe , Niveau

V.3 Cls

DFINITION 4.9 (CL). Pour une relation R[A] dattributs A, une cl est un sous-ensemble minimalK de A tel quil existe une dpendance fonctionnelle C A \K.

(K est un sous-ensemble minimal au sens quil ny a pas de partie stricte K de K pour laquelle ilexiste une dpendance fonctionnelle K A \K ).

REMARQUE 4.3. Cette minimalit nentrane en aucune manire lunicit de la cl pour une relationdonne.

35

PROPRIT 4.3 : Pour toute relation, il est possible dintroduire un attribut dont les valeurs sonttoutes diffrentes, et qui constitue donc une cl pour la nouvelle relation obtenue (par exemple, unenumrotation).

Fin du Chapitre

36

Deuxime partie

Arithmtique

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Chapitre 5

Ensembles de nombres entiers

I Nombres entiers naturels (N)

I.1 Dfinition de N

I.1.1 Dfinition

DFINITION 5.1 (ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS). On appelle ensemble des nombres entiers na-turels N tout ensemble possdant les proprits suivantes

1. Il existe une injection de N dans N.Cette injection, appele fonction de succession, sera note s dans la suite.Limage dun entier n par la fonction de succession s, soit s(n), est appele successeur de n.

2. Il existe un lment de N qui nest le successeur daucun lment de N.Cet lment est appel zro et not 0 dans la suite.

3. Le Principe de rcurrence est satisfait :Soit M la partie de N constitue par les entiers qui possdent une certaine proprit p. On note p(n) le fait que lentier n possde la proprit p.

PROPRIT 5.1 (PRINCIPE DE RCURRENCE) : Il snonce ainsi : Si M contient 0 et lesuccesseur de chacun de ses lments, alors M = N.

Sous forme formalise...Soit M = {n N | p(n)} ; si 0 M et si [n M s(n) M ], alors M = N.

REMARQUE 5.1. M = N signifie videmment que la proprit est possde par tous les entiers naturels.Cest, en gnral, la conclusion attendue dun raisonnement par rcurrence

I.1.2 Sur la rcurrence

Il existe une version affaiblie du principe de rcurrence : la rcurrence restreinte, qui permet desassurer quune proprit est vraie partir dun certain rang...

PROPRIT 5.2 (RCURRENCE RESTREINTE) : Soit M = {n N | p(n)}.Si p M et si, [n M s(n) M ], alors M est de la forme {p, p + 1, p + 2, . . .}.

38

Il existe encore une version renforce : la rcurrence gnralise, qui permet de supposer laproprit vraie jusqu lordre n ...

PROPRIT 5.3 (RCURRENCE GNRALISE) : Soit M = {n N | p(n)}.Si, p M , {0, 1, 2, . . . , p} M et si s(p) M , alors M = N.

PREUVE Elle se dmontre partir de la rcurrence normale .

REMARQUE 5.2. La rcurrence gnralise permet dviter un double raisonnement par rcurrence.

Manire correcte de rdiger un raisonnement par rcurrence :

1. Soit M lensemble des entiers naturels qui vrifient ... (mettre ici lnonc de la proprit que loncherche dmontrer)

2. Initialisation de la rcurrence : vrifier que 0 est lment de M ( la proprit est vraie pourn = 0 )

3. Caractre hrditaire de la proprit : soit n un lment de M (cela a un sens, puisque lon saitmaintenant que M nest pas vide : il contient au moins 0), vrifions que s(n) est encore lmentde M ( la proprit est vraie pour n + 1 )

REMARQUE 5.3. Toute phrase, telle que celles que lon peut souvent lire, de la forme supposons laproprit vraie pour n devrait immdiatement appeler la question : quest-ce que cest que n ?

Si n est un entier quelconque , alors vous supposez la proprit vraie pour un entier quelconque,et il ne vous reste plus grand chose dmontrer....

Si n est un entier fix, mettons 47, alors vous allez dmontrer la proprit pour 48, et il vous resterapas mal de chemin faire. . .

Non, ce que vous supposez, ce nest pas que la proprit est vraie (pour quoi que ce soit), mais quen est un entier pour lequel la proprit est vrifie (cet entier tant videmment quelconque parmi ceuxpour lesquels la proprit est vrifie), ce nest pas du tout la mme chose.

I.1.3 Exercices

Une premire rcurrence

Exercice 5.1. 1. Calculez 1, 1+3, 1+3+5, et 1+3+5+7.

2. A quoi 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n 1) + (2n + 1) semble-t-il tre gal (en fonction de n) ?3. Dmontrer que lon a effectivement lgalit

Somme dentiers levs une puissance donne On montre, dans ce qui suit, une application de latechnique de rcurrence, pour calculer Sk(n) = 1k + 2k + ... + nk,k, n N (dautres techniques, plusefficaces, existent).

Exercice 5.2. On souhaite calculer S1(n) = 1 + 2 + ... + n.

1. Cherchez un bon candidat S1(n) pour cette formule. On pourra chercher un lien logique entre S1(1), S1(2), S1(3), S1(4), ... On pourra aussi faire le lien avec les suites arithmtiques. Ou encore, retrouver la mthode de Gauss : S = 1+2+ ...+n, et S = n+(n1)+ ...+2+1.

Si on somme ces deux expressions...

39

2. Prouvez, par rcurrence, que la somme est bien gale ce candidat.

3. Quelle est la forme de ce candidat (fonction tangente ? polynme ?)

Exercice 5.3. On souhaite calculer S2(n) = 12 + 22 + ... + n2.

1. Cherchez un bon candidat S2(n) pour cette formule. On pourra chercher un lien logique entre S2(1), S2(2), S2(3), S2(4), ... Ou encore,

Regardez la forme de S0(n) = 10 + 20 + ... + n0, et de S1(n) = 11 + 21 + ... + n1

Interpolez la formule pour S2(n). On pourra imaginer que S2(n) est toujours un polynmeen n. Quel serait son degr le plus probable ? Quelle en serait donc la forme ? On aura dterminer les coefficients intervenant dans ce polynme. Pour ce faire, il suffit de considrerque cette formule doit convenir pour n=1, 2, etc.

2. Dmontrez, par rcurrence, que lon a bien galit entre 12 + 22 + ... + n2 et votre candidat.

Exercice 5.4. Poursuivre le raisonnement pour S3(n). Cette mthode permet-elle de calculer Sk(n),k, n ?

Autres exercices sur la rcurrence

Exercice 5.5. Montrer que n N, 7 divise 32n+1 + 2n+2.

Exercice 5.6. Soit (un)nN une suite relle telle que n N,

un+2 5un+1 + 6un = 0

Montrez quil existe , N tels quel n N, un = 3n + 2n.

Exercice 5.7. Montrer que m, n N,r N, m2r+1 + n2r+1 est divisible par m + n.

I.2 Oprations et relation dordre dans N

On suppose ici connues les oprations et la relation dordre classiques qui existent dans N : addition,multiplication, relation dingalit au sens large.

Ces lments peuvent tre dfinis rigoureusement, et toutes les proprits dmontres par rcurrence.

EXEMPLE 5.8. Par exemple, on peut dfinir la relation p 6 n par q N, n = p + q.

PROPRIT 5.4 : Les oprations prcdentes ont pour proprits : laddition est commutative, associative, il existe un lment neutre (0), la multiplication est commutative, associative et admet aussi un lment neutre (1), la multiplication est distributive sur laddition, les entiers sont totalement ordonns par lingalit, et cette relation dordre est compatible

avec laddition et avec la multiplication.

I.3 Nombres premiers

I.3.1 Dfinitions

DFINITION 5.2 (MULTIPLE, DIVISEUR). Si un entier n peut scrire sous la forme n = pq, o p et qsont des entiers, on dit que n est un multiple de p et que p est un diviseur de n.

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Exercice 5.9. Soit m = 23 5 72 133. Combien le nombre m a-t-il de diviseurs naturels ?

Rponse : (3+1)*(1+1)*(2+1)*(3+1)=96.

DFINITION 5.3 (NOMBRE PREMIER). Un nombre premier est un nombre entier strictement suprieur 1 qui nest divisible que par 1 et par lui-mme.

EXEMPLE 5.10. Ainsi, le plus petit nombre premier (et le seul qui soit pair) est 2.

PROPRIT 5.5 : Il existe une infinit de nombres premiers.

REMARQUE 5.4. Le problme de la primalit dun nombre (trs grand, videmment) est difficile.

I.3.2 Dcomposition en facteurs premiers

DFINITION 5.4 (DCOMPOSITION EN FACTEURS PREMIERS). Lcriture dun entier n sous la formen = abc . . ., o a , b , c , . . . sont les diviseurs premiers distincts de n et o les exposants , , , . . .sont tels que, par exemple, n est divisible par a mais pas par a+1 sappelle la dcomposition en fac-teurs premiers de n.

On dit que les exposants , , , . . . sont les ordres de multiplicit des diviseurs a, b, c, . . . )

PROPRIT 5.6 : La dcomposition dun entier en ses facteurs premiers est unique.

Exercice 5.11. crivez les nombres 3850 et 1911 sous forme de produits de nombres premiers.

Rponses : 2 52 7 11 et 3 72 13.Exercice 5.12 (Nombres de Fermat). On appelle nombres de Fermat les nombres de la forme 22

p

+ 1.

1. Montrer que, pour que 2n + 1 soit premier, il faut que n soit une puissance de 2.

2. La rciproque nest pas vraie : donner un exemple de nombre de Fermat qui ne soit pas premier.

3. Montrer que, pour k > 1, Fp divise Fp+k 2.4. En dduire que Fp et Fp+k sont premiers entre eux.

5. En dduire quil existe une infinit de nombres premiers.

I.4 Relation de divisibilit

On a vu dans le chapitre sur les relations entre ensembles la relation binaire de divisibilit dfiniedans N.

Cette relation est une relation dordre partiel : il existe des paires dentiers non comparables par cetterelation.

EXEMPLE 5.13. 3 ne divise pas 7 et 7 ne divise pas 3.Ces deux entiers ne sont donc pas comparables du point de vue de la divisibilit.

Cet ordre nest donc que partiel, mais il existe, pour chaque couple dentiers distincts, une borneinfrieure et une borne suprieure...

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DFINITION 5.5 (PGCD, PPCM). Tout ensemble fini de nombres entiers strictement positifs admetune borne sup et une borne inf pour la relation de divisibilit.

Cette borne infrieure et cette borne suprieure sont respectivement appeles plus grand commundiviseur et plus petit commun multiple de ces deux entiers.

NOTATION : Ils sont respectivement nots a b et a b.

PREUVE Lexistence du PGCD dcoule de lexistence de la dcomposition en facteurs premiers : ilsuffit de comparer les dcompositions des deux nombres pour dcouvrir leur