mathématiques méthodes et exercices mp

1. Mthodesetexercices mathmati uesm Jean-Marie Monier mp Les mthodes retenir Plus de 600 noncs dexercices Indications pour bien dmarrer Tous les corrigs dtaills uploading by KAMAL-EDDINE RKE/

2. Dunod, Paris, 2009 ISBN 978-2-10-054258-1 3. Jean-Marie Monier MATHMATIQUES MP MTHODESETEXERCICES Professeur enclassedeSpciales aulyceLaMartinire-Monplaisir Lyon 4. Table des matires IV Table des matires 1. Espaces vectoriels norms 1 Les mthodes retenir 2 noncs des exercices 8 Du mal dmarrer ? 16 Corrigs des exercices 20 2. Fonctions vectorielles dune variable relle 43 Les mthodes retenir 44 noncs des exercices 48 Du mal dmarrer ? 55 Corrigs des exercices 59 3. Intgration sur un intervalle quelconque 77 Les mthodes retenir 78 noncs des exercices 81 Du mal dmarrer ? 89 Corrigs des exercices 95 4. Sries 135 Les mthodes retenir 136 noncs des exercices 140 Du mal dmarrer ? 149 Corrigs des exercices 154 5. Suites et sries dapplications 185 Les mthodes retenir 186 noncs des exercices 192 Du mal dmarrer ? 201 Corrigs des exercices 205 6. Sries entires 247 Les mthodes retenir 248 noncs des exercices 253 Du mal dmarrer ? 262 Corrigs des exercices 267 7. Sries de Fourier 311 Les mthodes retenir 311 noncs des exercices 313 Du mal dmarrer ? 318 Corrigs des exercices 320 8. quations diffrentielles 335 Les mthodes retenir 336 noncs des exercices 339 Du mal dmarrer ? 347 Corrigs des exercices 351 5. Table des matires V 9. Fonctions de plusieurs variables relles 377 Les mthodes retenir 378 noncs des exercices 382 Du mal dmarrer ? 385 Corrigs des exercices 387 10. Complments dalgbre linaire 397 Les mthodes retenir 398 noncs des exercices 400 Du mal dmarrer ? 406 Corrigs des exercices 410 11. Rduction des endomorphismes et des matrices carres 427 Les mthodes retenir 428 noncs des exercices 431 Du mal dmarrer ? 441 Corrigs des exercices 445 12. Algbre bilinaire 471 Les mthodes retenir 472 noncs des exercices 475 Du mal dmarrer ? 486 Corrigs des exercices 492 13. Algbre sesquilinaire 519 Les mthodes retenir 519 noncs des exercices 520 Du mal dmarrer ? 522 Corrigs des exercices 523 14. Complments dalgbre gnrale 527 Les mthodes retenir 528 noncs des exercices 529 Du mal dmarrer ? 533 Corrigs des exercices 535 15. Gomtrie 545 Les mthodes retenir 545 noncs des exercices 547 Du mal dmarrer ? 549 Corrigs des exercices 551 Index alphabtique 557 6. VI Pour bien utiliser cet ouvrage La page dentre de chapitre Elle propose un plan du chapitre, les thmes abords dans les exercices, ainsi quun rappel des points essentiels du cours pour la rsolution des exercices. Les mthodes retenir Cette rubrique constitue une synthse des prin- cipalesmthodesconnatre,dtaillestapepar tape,et indique les exercices auxquels elles se rapportent. 7. VII noncs des exercices De nombreux exercices de difficult croissante sont proposs pour sentraner. La difficult de chaque exercice est indique sur une chelle de 1 4. Corrrigs des exercices Touslesexercicessontcorrigsdefaondtaille. Du mal dmarrer ? Des conseils mthodologiques sont proposs pour bien aborder la rsolution des exercices. 8. Prface VIII Prface Alors que, rcemment, je feuilletais lun des manuels de mathmatiques qui servait de rfrence lorsque voici quelques dcennies ! jtais en prpa, me revinrent en mmoire certaines sensations : la lecture des noncs des exercices que javais jadis cochs, dune concision la fois lgante et provocante, je me rappelais le plaisir que javais prouv la rsolution de quelques-uns dentre eux mais aussi, cette trange amertume, pas encore totalement estom- pe aujourdhui, que javais ressentie en abandonnant la recherche de quelques-uns, pourtant signals dun simple ast- risque, aprs de vains efforts et plusieurs tentatives avortes. Les volumes Mthodes et Exercices (pour MP dune part, PC-PSI-PT dautre part) que J.-M. Monier nous prsente aujourdhui semblent tout spcialement crits pour viter ce traumatisme aux tudiants daujourdhui et de demain. Chacun de ces ouvrages se compose de deux parties minemment complmentaires : Les mthodes constituent ce guide prcieux qui permet ltudiant de passer, confiant, efficacement coach , du cours quil apprend la recherche ncessaire et fructueuse des exercices. Si les thormes du cours sont les outils de lartisan-tudiant, les mthodes et techniques proposes ici en sont les modes demploi. videmment, ces conseils sont particulirement soigns et pertinents : ne sont-ils pas le fruit de la longue et multiple exprience de J.-M. Monier, pdagogue avr, interrogateur recherch et auteur apprci de maints ouvrages reconnus ? Pour une aide encore plus prcise, chaque mthode est assortie de la liste des exercices dans lesquels sa mise en uvre est souhaitable. Les exercices, nombreux, varis et souvent originaux, couvrent la totalit du programme, chapitre aprs chapitre. Ils rpondent parfaitement un triple objectif : permettre dassurer, dapprofondir et daffiner, pendant son apprentissage, la comprhension du cours ; consolider et enrichir ses connaissances par la rsolution dexercices plus substantiels et de questions plus dli- cates ; raliser des rvisions efficaces et cibles lors de la prparation des preuves crites ou orales des concours. Ces exercices sont judicieusement classs en quatre niveaux de difficult croissante, permettant ainsi aussi bien au no- phyte de se mettre en confiance en traitant une application directe du cours (niveau 1) qu ltudiant chevronn de se mesurer des exercices plus difficiles et dlicieusement subtils (niveau 4). On notera avec plaisir que chaque chapitre est couvert par des exercices des quatre niveaux. Labandon douloureux devant une question trop abruptement pose, dont je parlais au dbut, ne saurait se produire avec louvrage de J.-M. Monier : en effet, dans la rubrique Du mal dmarrer , il apporte ltudiant(e) qui le souhaite une aide discrte, rappelant ici la mthode adquate, donnant l une indication prcieuse, ouvrant ailleurs une piste de recherche Pour chaque exercice, lauteur sest impos la rdaction complte et applique dun corrig clair, prcis, dtaill, osons le mot, exemplaire. Sil est louable et formateur de chercher, il est plus gratifiant de trouver ! Et, ici encore, le manuel permet chacun, soit de constater que sa solution est celle qui est fournie (et il en prouve un indicible plaisir !), soit de saider du corrig pour parvenir, rassur et guid, cette solution. Quil me soit aussi permis dinsister sur lampleur de ces volumes, lie la grande varit des exercices choisis, et qui est rare ce niveau dtudes, en mme temps que sur leur prix trs modique ! 9. Prface IX Ces ouvrages de consultation particulirement agrable constituent loutil efficace et complet qui permettra chacun, son rythme mais en magnifiant ses propres aptitudes, de dvelopper son got pour les mathmatiques et ses comp- tences et, tout la fois, de forger son succs. Quant moi, un regret est en train de massaillir : pourquoi nai-je pas attendu la rentre prochaine pour commencer ma prpa ? H. Durand, professeur en Mathmatiques Spciales PT* au lyce La Martinire Monplaisir Lyon. Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit. 10. Index alphabtique X Remerciements Je tiens ici exprimer ma gratitude aux nombreux collgues qui ont accept de rviser des parties du manuscrit : Bruno Arsac, Jean-Philippe Berne, Grard Bourgin, Jean-Paul Charroin, Jean-Paul Christin, Carine Courant, Hermin Durand, Jean Feyler, Viviane Gaggioli, Marguerite Gauthier, Daniel Genoud, Andr Laffont, Ccile Lardon, Ibrahim Rihaoui, Ren Roy, Marie-Dominique Sifert, Marie-Pascale Thon, Audrey Verdier. Jean-Marie Monier 11. 1 1CHAPITRE 1Espaces vectoriels norms Thmes abords dans les exercices Montrer qu'une application est une norme Obtention dingalits portant sur des normes Montrer que deux normes sont (ne sont pas) quivalentes Montrer quune partie dun evn est (nest pas) ferme, est (nest pas) ouverte Manipulation dadhrences, dintrieurs, de ferms, douverts Calcul de la distance dun point une partie Utilisation de la continuit, de la continuit uniforme, du caractre lipschitzien Montrer quune application linaire f est continue, calculer ||| f ||| Montrer quune partie est (nest pas) compacte, manipulation de parties com- pactes Utilisation dune suite de Cauchy Montrer quune partie est (nest pas) complte, manipulation de parties com- pltes Montrer quune partie est (nest pas) connexe par arcs, manipulation de parties connexes par arcs Montrer quune application est un produit scalaire Dterminer lorthogonal dune partie dun espace prhilbertien Points essentiels du cours pour la rsolution des exercices Dfinition de norme, espace vectoriel norm, distance associe une norme, ingalit triangulaire renverse, normes quivalentes Dfinition de boule ouverte, boule ferme, parties bornes Dfinition et proprits de : ouvert, ferm, adhrence, intrieur, point adhrent, point intrieur Dfinition de la distance dun point x une partie A dun evn E, caractrisation de d(x,A) = 0 Dfinition et proprits de la convergence des suites, suites extraites, valeurs dadhrence dune suite Les mthodes retenir 2 noncs des exercices 8 Du mal dmarrer ? 16 Corrigs 20 Plan Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit. 12. Chapitre 1 Espaces vectoriels norms 2 Les mthodes retenir Dfinition et proprits des limites, de la continuit en un point, de la continuit sur une partie Dfinition de la continuit uniforme, du caractre lipschitzien, liens entre continue, uniformment continue, lipschitzienne Caractrisation des applications linaires continues parmi les applications linaires, dfinition et proprits de la norme |||.||| Dfinition squentielle de la compacit, liens entre compact et ferm, liens entre compact et ferm born, produit cartsien de deux compacts, image continue dun compact, thorme de Heine, quivalence des normes en dimension finie Dfinition dune suite de Cauchy, dune partie complte, lien entre compact et complet, liens entre complet et ferm, tout evn de dimension finie est complet Dfinition de connexe par arcs, lien avec la convexit, connexes par arcs de R, image continue dun connexe par arcs, thorme des valeurs intermdiaires Dfinition dun produit scalaire (rel ou complexe), dun espace prhilbertien, ingalit de Cauchy et Schwarz et cas dgalit, ingalit de Minkowski et cas dgalit Dfinition et proprits de lorthogonalit dans un espace prhilbertien, thorme de Pythagore, procd dorthogonalisation de Schmidt, thorme de projection orthogonale sur un sev de dimension finie. On abrge : espace vectoriel en ev sous-espace vectoriel en sev espace vectoriel norm en evn. Pour montrer quune application N : E R est une norme sur un K-espace vectoriel E Pour exprimer la distance d associe une norme sur un K-ev E partir de cette norme, ou pour exprimer une norme partir de la distance associe d sur E Revenir la dfinition. Ne pas oublier de montrer que, pour tout x E, N(x) existe, en particulier lorsque N(x) est donne par une borne suprieure ou une intgrale. Exercices 1.28 a), 1.32, 1.46. Utiliser les formules : (x,y) E2 , d(x,y) = N(x y), x E, N(x) = d(0,x). 13. Les mthodes retenir 3 Essayer dappliquer lingalit triangulaire : (x,y) E2 , ||x + y|| ||x|| + ||y||, ou lingalit triangulaire renverse : (x,y) E2 , ||x|| ||y|| ||x y||. Exercices 1.1, 1.44. Pour tablir une ingalit faisant intervenir une norme ||.|| sur un K-ev Pour montrer que deux normes N, N sur un K-espace vectoriel E sont quivalentes Pour montrer que deux normes N, N sur un K-espace vectoriel E ne sont pas quivalentes Pour montrer quune partie A dun evn E est ferme dans E Lorsque E nest pas ncessairement de dimension finie, revenir la dfinition, cest--dire montrer : (,) (R +)2 , ,x E, N(x) N (x) N(x). Exercices 1.4, 1.32, 1.46 Si E est de dimension finie, daprs le cours, toutes les normes sur E sont quivalentes. Chercher une suite ( fn)n dans E {0} telle que : N ( fn) N( fn) n + ou N( fn) N ( fn) n + . Exercices 1.18, 1.46. Si on peut faire intervenir la notion de suite, utiliser la caractrisation squentielle des ferms : la partie A de E est ferme dans E si et seulement si, pour toute suite (an)n dans A convergeant vers un lment x de E, on a : x A. Exercices 1.3 a), 1.16, 1.17, 1.48 Essayer de montrer que : A est une intersection de ferms de E A est une runion dun nombre fini de ferms de E A est un produit cartsien dun nombre fini de ferms Essayer de montrer que A est limage rciproque dun ferm par une application continue. Exercice 1.34. Si le contexte fait intervenir des ouverts, essayer de montrer que E (A) est ouvert dans E. Pour montrer quune partie dun evn E est ouverte dans E Revenir la dfinition, cest--dire montrer : x , r > 0, B(x ;r) . Montrer que E () est un ferm de E Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit. 14. Chapitre 1 Espaces vectoriels norms 4 Essayer de montrer que : est une runion douverts de E Exercice 1.5 b) est une intersection dun nombre fini douverts de E est un produit cartsien dun nombre fini douverts Essayer de montrer que est limage rciproque dun ouvert par une application continue. Exercices 1.5 a), 1.33, 1.34. Pour montrer quun point x dun K-evn E est adhrent une partie A de E Pour montrer quun point x dun K-evn E est intrieur une partie A de E Pour manipuler des adhrences et/ou des intrieurs de parties dun K-evn E Montrer quil existe une suite (an)n dans A convergeant vers x. Exercices 1.2, 1.29, 1.30 a) Montrer, pour tout voisinage V de x dans E : V A =/ . Exercice 1.31. Montrer quil existe r > 0 tel que : B(x ;r) A. Exercices 1.2, 1.29. Utiliser les proprits ensemblistes (globales) des adhrences et des intrieurs : 1) A est ouvert dans E si A et si est ouvert dans E, alors A A = A , E = E, = A B A B 2) A est ferm dans E si A F et si F est ferm dans E, alors A F A = A, E = E, = A B A B 3) E (A) = E (A) , E (A ) = E (A). Exercice 1.45 On ne se rsoudra faire intervenir les lments de E que lorsque des calculs globaux ne seront pas ralisables. Exercices 1.15, 1.45. Pour manipuler la distance d(x,A) dun point x dun K-evn E une partie non vide A de E Utiliser la dfinition : d(x,A) = Inf aA d(x,a), ce qui revient : a A, d(x,A) d(x,a) k R+, ,a A, k d(x,a) k d(x,A) . On fera souvent alors intervenir lingalit triangulaire ou lingalit triangulaire renverse. Exercice 1.17. 15. Les mthodes retenir 5 Appliquer les thormes gnraux (opratoires) relatifs la continuit en un point. Exercice 1.19 Si f est valeurs dans un produit cartsien, montrer que chaque fonction-coordonne de f est continue en a. Revenir la dfinition, cest--dire montrer : > 0, > 0, x A, dE (x,a) dF f (x), f (a) . Utiliser la caractrisation squentielle de la continuit, cest--dire montrer que, pour toute suite (an)n dans A convergeant vers a, la suite f (an) n converge vers f (a). Pour montrer quune application f : X E F est continue en un point a de X Pour montrer quune application f : X E F est continue sur X Appliquer les thormes gnraux (opratoires) relatifs la continuit sur une partie. Exercice 1.6 Montrer que f est continue en chaque point de X, en se ramenant aux mthodes vues plus haut. Montrer que limage rciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de X, ou montrer que limage rciproque par f de tout ferm de F est un ferm de X. Se souvenir que le caractre lipschitzien ou luniforme continuit entranent la continuit. Pour montrer quune application f : X E F est uniformment continue sur X Pour manipuler une application f : X E F k-lipschitzienne Pour montrer quune application linaire f L(E,F) est continue Revenir la dfinition, cest--dire montrer : > 0, > 0, (x ,x ) X2 , dE (x ,x ) dF f (x ), f (x ) . Se rappeler que, si f est lipschitzienne, alors f est uniformment continue. Se rappeler le thorme de Heine : si f est continue sur X et si X est compact, alors f est uniformment continue sur X. Utiliser la dfinition : (x1,x2) X2 , dF f (x1), f (x2) k d(x1,x2). Exercice 1.7 Exprimer f comme combinaison linaire ou compose dapplications linaires continues. Montrer quil existe M R+ tel que : x E, || f (x)||F M||x||E . Exercices 1.8, 1.12, 1.35, 1.36 Se rappeler que, si E est de dimension finie, alors toute application linaire f : E F est continue. Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit. 16. Chapitre 1 Espaces vectoriels norms 6 Pour calculer la norme |||f||| dune application linaire continue f LC(E,F) Montrer dabord quil existe M R+ tel que : x E, || f (x)||F M||x||E , et on a alors ||| f ||| M, o, par dfinition : ||| f ||| = Sup xE{0} || f (x)||F ||x||E = Sup xB(0 ;1) || f (x)||F . On peut esprer, si M a t convenablement obtenu, que lon ait : ||| f ||| = M. La borne suprieure dfinissant ||| f ||| peut tre atteinte ou non. Si E est de dimension finie, alors la borne suprieure est atteinte et on cherchera donc x0 E {0} de faon que || f (x0)||F ||x0||E = M. Si E nest pas de dimension finie, la borne suprieure peut tre atteinte ou non. Essayer : soit de chercher x0 E {0}) de faon que || f (x0)||F ||x0||E = M Exercices 1.8, 1.20, 1.35, 1.36 soit de chercher une suite (xn)n dans E {0} de faon que : || f (xn)||F ||xn||E n M. Dans un contexte de compacit, pour tablir une ingalit stricte Dans un contexte de compacit Pour montrer quune partie X dun evn E est compacte Essayer de faire intervenir une application continue sur un compact et valeurs dans R +. Exercice 1.38. Un raisonnement par labsurde peut permettre de construire une suite, puis dappliquer la compacit pour obtenir une suite convergente et amener une contradiction. Exercice 1.22. Essayer de faire apparatre X comme image directe dun compact par une application continue. Exercice 1.9 Essayer de montrer que X est ferm dans un compact. Si E est de dimension finie, montrer que X est ferme et borne. Exercices 1.10, 1.21, 1.39, 1.41. 17. Les mthodes retenir 7 Revenir la dfinition, cest--dire montrer : > 0, N N, (p,q) N2 , p N q N d(up,uq) . Exercices 1.11, 1.24, 1.50. Pour montrer quune suite (un)n dun evn E est de Cauchy Pour montrer quune partie X dun evn E est complte Pour montrer quune partie A dun evn E est connexe par arcs Montrer que X est ferme et quil existe une partie Y de E telle que X Y et que Y soit complte. Se rappeler que, si X est compacte, alors X est complte. Se rappeler que, si E est de dimension finie et si X est ferme dans E, alors X est complte. Revenir la dfinition, cest--dire montrer que toute suite de Cauchy dans X converge dans X. Se rappeler dabord que : toute partie convexe est connexe par arcs les parties connexes par arcs de R sont les intervalles. Exercice 1.51. Montrer que A est limage directe dune partie connexe par arcs par une application continue. Exercices 1.25, 1.51. Revenir la dfinition, cest--dire montrer que, pour tout (x,y) A2 , il existe un chemin joignant continument x et y en res- tant dans A, cest--dire montrer quil existe une application continue : [0 ; 1] A telle que : (0) = x, (1) = y t [0 ; 1], (t) A. Exercice 1.26. Pour exploiter la connexit par arcs Pour montrer quune application : E E R est un produit scalaire, o E est un K-ev Pour relier un produit scalaire : E E K et la forme quadratique : E R associe Essayer dutiliser le thorme des valeurs intermdiaires : si A est connexe par arcs et si f : A R est continue, alors f atteint tout rel entre deux rels quelle atteint dj. Revenir la dfinition. Exercice 1.43. Utiliser la formule qui exprime laide de : x E, (x) = (x,x), Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit. 18. Chapitre 1 Espaces vectoriels norms 8 ou, si K = R, une des formules exprimant laide de : (x,y) E2 , (x,y) = 1 2 (x + y) (x) (y) , (x,y) E2 , (x,y) = 1 4 (x + y) (x y) . Pour obtenir des ingalits dans un contexte despace prhilbertien E,(. | .) Pour manipuler des orthogonaux de parties dans un espace prhilbertien E,(. | .) Utiliser lingalit de Cauchy et Schwarz : (x,y) E2 , |(x | y)| ||x|| ||y||, ou lingalit de Minkowski, cest--dire lingalit triangulaire pour la norme associe au produit scalaire : (x,y) E2 , ||x + y|| ||x|| + ||y||. Exercice 1.52. Revenir la dfinition de lorthogonal dune partie A de E : A = x E ; a A, (x | a) = 0 . Utiliser les proprits ensemblistes (globales) de lorthogonalit : A B A B A = Vect (A) A A , E = {0}, {0} = E A A {0}. Exercice 1.27. Se rappeler que, daprs le thorme de projection orthogonale sur un sev de dimension finie, si F est de dimension finie, alors : F F = E. noncs des exercices Ingalit sur des normes Soient (E,||.||) un evn, x,y,z,t E. Montrer : ||x y|| + ||z t|| ||x z|| + ||y t|| + ||x t|| + ||y z||. Adhrence, intrieur dun produit cartsien de deux parties Soient E,F deux evn, A E, B F. Montrer : a) A B = A B b) (A B) = A B . 1.1 1.2 19. noncs des exercices 9 Une partie est-elle ferme, est-elle ouverte ? On note E le R-ev des applications continues bornes de R dans R, muni de ||.||. a) Est-ce que F = f E ; x R, f (x) 0 est ferme dans E ? b) Est-ce que U = f E ; x R, f (x) > 0 est ouverte dans E ? Exemple de deux normes quivalentes On note E = C1 [0 ; 1] ; R et 1,2 les applications de E dans R dfinies, pour toute f E, par : 1( f ) = | f (0)| + 2 1 0 | f (t)| dt, 2( f ) = 2| f (0)| + 1 0 | f (t)| dt. Montrer que 1 et 2 sont des normes sur E et quelles sont quivalentes. Somme dune partie et dun ouvert Soient E un evn, un ouvert de E. a) Montrer que, pour tout a E, la partie {a} + = a + x ; x est un ouvert de E. b) En dduire que, pour toute partie A de E, la partie A + = a + x ; (a,x) A est un ouvert de E. Fonction continue deux variables Soient E,F,G des evn, A E telle que A =/ , B F telle que B =/ , et f : A G, g : B G deux applications. On note : : A B G, (x,y) (x,y) = f (x) + g(y). Montrer que est continue sur A B si et seulement si : f est continue sur A et g est continue sur B. Exemple dapplication lipschitzienne Soit (a,b) (R+)2 . On munit R2 de la norme ||.||1 dfinie, pour tout (x,y) R2 , par : ||(x1,x2)||1 = |x1| + |x2|. On note f : R2 R2 , (x1,x2) f (x1,x2) = (ax2, bx1). Montrer que f est lipschitzienne. tude dune application linaire continue sur un espace de fonctions, calcul de sa norme On note E = C [0 ; 1] ; R , muni de ||.||1 dfinie par : f E, || f ||1 = 1 0 | f (t)| dt et on considre lapplication : : E R, f ( f ) = 1 0 f (t) dt. Montrer LC(E,R) et calculer ||||||. Somme de deux compacts Soient E un evn, K,L deux compacts de E. Montrer que K + L est compact. Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit. 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20. Chapitre 1 Espaces vectoriels norms 10 Une partie est-elle compacte, non compacte ? On considre lapplication f : R R, x f (x) = sin x x si x =/ 0 1 si x = 0 et on note : A = x R ; f (x) = 0 , B = x R ; f (x) 1 2 . Est-ce que A est compacte ? Est-ce que B est compacte ? Suite proche dune suite de Cauchy Soient (E,||.||) un evn, d la distance associe ||.||, (un)nN, (vn)nN deux suites dans E telles que : d(un,vn) n 0. Montrer que, si lune des deux est de Cauchy, alors lautre lest aussi. Exemple dapplication diminuant strictement les distances, dans un evn complet, et sans point fixe Donner un exemple dapplication f : R R telle que : (x,y) R2 , x =/ y | f (x) f (y)| < |x y| et que, cependant, f na pas de point fixe. Caractrisation de lgalit de deux boules pour deux normes Soient E un K-evn, N1,N2 deux normes sur E. On note, pour tout i {1,2} : Bi = x E ; Ni (x) < 1 , Bi = x E ; Ni (x) 1 , qui sont la boule ouverte et la boule ferme de E, de centre 0, de rayon 1, pour la norme Ni . Montrer : a) B1 = B2 N1 = N2 b) B1 = B2 N1 = N2. Intrieur dun sous-espace vectoriel a) Soient E un evn, F un sev de E. Montrer que, si F =/ , alors F = E. b) On note E le R-ev C [0; 1],R muni de || ||, E1 (resp. P) la partie de E forme des applications de classe C1 (resp. polynomiales). Montrer : E1 = P = . Adhrence dune boule ouverte, intrieur dune boule ferme Soient (E,||.||) un evn, a E,r R +. Montrer : a) B(a ; r) = B (a ; r) b) B (a ; r) = B(a ; r). Exemple de partie ferme dans un espace de fonctions On note E le R-ev des applications de [0 ; 1] dans R bornes, muni de la norme ||.||, et on considre A = f E ; x [0 ; 1], e f (x) 2 + f (x) . Montrer que A est une partie ferme, non borne, de E. 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 21. noncs des exercices 11 Exemple de calcul de la distance dun point une partie On note E = C [0 ; 1] ; R , muni de ||.||. a) On note A = f E ; f (0) = 1 et 1 0 f = 0 . 1) Montrer que A est une partie ferme de E. 2) Calculer d(0,A). Cette distance est-elle atteinte ? b) Mmes questions pour B = f E ; f (0) = 0 et 1 0 f = 1 . Exemple de trois normes deux deux non quivalentes On note E = C2 [0 ; 1] ; R et N, N, N les applications de E dans R dfinies, pour toute f E, par : N( f ) = Sup x[0;1] | f (x)|, N( f ) = | f (0)| + Sup x[0;1] | f (x)|, N( f ) = | f (0)| + | f (0)| + Sup x[0;1] | f (x)|. a) Montrer que N, N, N sont des normes sur E. b) Comparer les normes N, N, N pour la relation dquivalence entre normes. Exemple dapplication continue Soit (E,||.||) un evn. On considre lapplication f : E E, x f (x) = x 1 + ||x||2 . Montrer : a) f est continue sur E b) f (E) = B 0 ; 1 2 . tude dune application linaire continue sur un espace de suites On note levn form des suites relles bornes x = (xn)nN, muni de || || dfinie par ||x|| = Sup nN |xn|, et on considre l'oprateur de diffrence : dfini par (x) = y o y = (yn)nN est dfinie par : n N, yn = xn+1 xn. Montrer LC( ), et calculer ||| |||. Exemple de partie compacte de R2 La partie E = (x,y) R2 ; x2 (x 1)(x 3) + y2 (y2 4) = 0 de R2 est-elle compacte ? Suites, dans un compact, nayant quune seule valeur dadhrence Soient E un evn, K une partie compacte de E, (un)nN une suite dans K ; montrer que, si (un)n na quune seule valeur dadhrence, alors (un)n converge. Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit. 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 22. Chapitre 1 Espaces vectoriels norms 12 Exemple devn non complet Montrer que C [0 ; 1] ; R , muni de ||.||1, est un evn non complet. tude de la distance dun point fix aux points dune suite de Cauchy Soient (E,||.||) un evn, d la distance associe ||.||, (un)nN une suite de Cauchy dans (E,||.||). a) Montrer que, pour tout a E, la suite d(a,un) nN converge dans R. On note f : E E, a f (a) = lim n d(a,un). b) Montrer Inf aE f (a) = 0, et que cette borne infrieure est atteinte si et seulement si la suite (un)nN converge. Somme de deux parties connexes par arcs Soient E un evn, A,B deux parties connexes par arcs de E. Montrer que A + B est connexe par arcs. Toute partie toile est connexe par arcs, exemple a) Soient (E,||.||) un evn, A une partie toile de E, cest--dire une partie de E telle quil existe a E tel que : x A, [a ; x] A, o [a ; x] = (1 t)a + tx ; t [0 ; 1] est le segment joignant a et x dans E. Montrer que A est connexe par arcs. b) Exemple : lensemble D des matrices de Mn(R) diagonalisables dans Mn(R) est connexe par arcs. Exemple de sev F dun ev prhilbertien E, tel que F ne soit pas un supplmentaire de F dans E On note E = C [0 ; 1] ; R , muni du produit scalaire ( f,g) < f , g > = 1 0 f g et on considre F = f E ; f (0) = 0 . Montrer : a) F = {0} b) F F =/ E. Exemple de norme sur R2 , dtermination dune boule On note N : R2 R, (x,y) Sup tR |x + ty| 1 + t + t2 . a) Montrer que N est une norme sur R2 . b) Reprsenter graphiquement la boule BN (0 ; 1) = (x,y) R2 ; N(x,y) 1 dans le plan usuel. c) Calculer laire (dans le plan usuel) de BN (0 ; 1). Adhrence et intrieur dune partie convexe dun evn Soient E un evn, C une partie convexe de E. Montrer que C et C sont convexes. 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 23. noncs des exercices 13 Adhrence de la somme de deux parties a) Soient E un evn, A,B des parties de E. Montrer : A + B A + B. b) Montrer, par un exemple, quil peut ne pas y avoir galit dans linclusion de a). Adhrence dune intersection a) Soient E un evn, A un ouvert de E, B une partie de E. Montrer : A B = A B. b) Soient E un evn, A une partie de E. On suppose que, pour toute partie B de E, on a A B A B. Montrer que A est un ouvert de E. c) Donner un exemple douverts A,B de R tels que les cinq ensembles A B, A B, A B, A B, A B soient deux deux distincts. Exemple de deux normes quivalentes On note E le R-ev des applications f : [0; 1] R de classe C1 sur [0; 1] et telles que f (0) = 0. Pour f E, on note N( f ) = Sup x[0;1] | f (x)| + Sup x[0;1] | f (x)| et ( f ) = Sup x[0;1] | f (x) + f (x)|. Montrer que N et sont des normes sur E, et quelles sont quivalentes. Sparation de deux ferms disjoints par deux ouverts disjoints Soient E un evn, F,G deux ferms de E tels que F G = . Montrer quil existe deux ouverts U,V de E tels que : F U, G V, U V = . Diverses caractrisations de la continuit Soient E,F deux evn, f : E F une application. Montrer que les proprits suivantes sont deux deux quivalentes : (i) f est continue (ii) A P(E), f (A) f (A) (iii) B P(F), f 1(B) f 1 (B) (iv) B P(F), f 1 ( B) f 1 (B) . Exemple dapplication linaire continue sur un espace de suites, calcul de sa norme On note le R-ev des suites relles bornes (indexes par N ), muni de ||.||. On considre lapplication T : qui, tout lment (un)n 1 de associe la suite un n n 1 . a) Montrer que T est correctement dfinie, que T LC( ), et calculer |||T|||. b) Dterminer Ker (T), Im (T). Est-ce que T est injective ? surjective ? Exemple dapplication linaire continue sur un espace de fonctions, calcul de sa norme On note E = C [0 ; 1] ; R , muni de ||.||. Soient p N , a1,. . . ,ap [0 ; 1] deux deux distincts, 1,. . . ,p R. On note : : E R, f ( f ) = p k=1 k f (ak). Montrer LC(E,R) et calculer ||||||. Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit. 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 24. Chapitre 1 Espaces vectoriels norms 14 Somme dun ferm et dun compact Soient E un evn, F est un ferm de E, K un compact de E. Montrer que F + K est ferme dans E. Application diminuant strictement les distances sur un compact Soient E un evn, K une partie compacte de E, f : K K une application telle que : (x,y) K2 , x =/ y d f (x), f (y) < d(x,y) o d est la distance sur E. Montrer que f admet un point fixe et un seul. Applications continues de limites infinies en + et en Soit f : R R une application continue. Montrer que les trois proprits suivantes sont deux deux quivalentes : (i) Limage rciproque par f de tout compact de R est un compact de R (ii) lim | f | = + et lim + | f | = + (iii) lim f = ou lim f = + et lim + f = ou lim + f = + . Runion dune famille de boules fermes de mme rayon indexe par un compact Soient E un evn, K une partie compacte de E, r R +. On note F = xK B (x ; r). Montrer que F est ferm dans E. Ensemble des valeurs dadhrence dune suite borne dans un evn de dimension finie Soient (E,||.||) un evn de dimension finie, (un)nN une suite borne dans E. On note V lensemble des valeurs dadhrence de (un)nN dans E. Montrer que V est une partie compacte non vide de E. Natures diffrentes pour [0 ; 1]2 et [0 ; 1] Montrer quil nexiste aucune application continue injective de [0 ; 1]2 dans [0 ; 1]. Exemple de norme issue dun produit scalaire On note E = C1 [0 ; 1] ; R et N : E R lapplication dfinie par : f E, N( f ) = 1 0 f 2 + f (0) f (1) 1 2 . Montrer que N est une norme sur E. Ingalit sur des normes Soient (E,||.||) un evn, x,y E {0}. Dmontrer : x ||x|| y ||y|| 2 ||x y|| Max (||x||, ||y||) . Intersection de deux ouverts partout denses Soit E un evn. a) Montrer, pour tous ouverts U,V de E : U = V = E U V = E. b) En dduire, pour tous ferms F,G de E : F = G = (F G) = . 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 25. noncs des exercices 15 Exemple de norme paramtre par une fonction On note E = C [0; 1],R et, pour E, N : E R lapplication dfinie par : f E, N( f ) = || f ||. a) Montrer que N est une norme sur E si et seulement si 1 ({0}) = . b) Montrer que N et || || sont des normes sur E quivalentes si et seulement si 1 ({0}) = . Endomorphismes continus tels que u v v u = e Soit E un evn distinct de {0}. On note e = IdE . On suppose quil existe (u,v) LC(E) 2 tel que : u v v u = e. a) Montrer : n N, u vn+1 vn+1 u = (n + 1)vn . b) En dduire : n N, (n + 1)|||vn ||| 2 |||u||| |||v||| |||vn |||. c) Conclure. Image dun ferm de C par une application polynomiale Soit P C[X]. Montrer que limage par P de tout ferm de C est un ferm de C. Image de lintersection dune famille dcroissante de parties fermes dans un compact, par une application continue Soient E un evn, K une partie compacte de E, (Fn)nN une suite dcroissante (pour linclusion) de parties fermes de K, et f : K K une application continue. Montrer : f nN Fn = nN f (Fn). Thorme du point fixe Soient (E,||.||) un evn, F E, et f : F F une application. On suppose que F est complte et que f est contractante, cest--dire quil existe k [0 ; 1[ tel que : (x,y) R2 , || f (x) f (y)|| k ||x y||. On se propose de montrer que f admet un point fixe et un seul. a) Montrer lunicit dun ventuel point fixe de f. b) On considre, pour a F fix, la suite (un)nN dfinie par u0 = a et : n N, un+1 = f (un). Montrer que la suite (un)nN converge et que sa limite est un point fixe de f. c) Conclure que f admet un point fixe et un seul. Thorme de Darboux Soient I un intervalle de R, non vide ni rduit un point, et f : I R une application drivable sur I. Dmontrer que f (I) est un intervalle de R. Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit. 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1.51 26. Chapitre 1 Espaces vectoriels norms 16 Thorme de projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel complet dun espace prhilbertien Soient (E,< , >) un espace prhilbertien, F un sev complet de E. a) Montrer que, pour tout x de E, il existe un lment z de F et un seul tel que x z F . On note pF : E E x z lapplication ainsi dfinie. b) Montrer : 1) pF LC(E) 2) pF pF = pF 3) pF admet un adjoint, et p F = pF. Ce rsultat gnralise le thorme de projection orthogonale sur un sev de dimension finie, figu- rant dans le cours. 1.52 Du mal dmarrer ? Appliquer convenablement, plusieurs fois, lingalit triangulaire. a) Utiliser, par exemple, la caractrisation squentielle de ladhrence. b) Sparer en deux inclusions et,par exemple,utiliser la caractrisation dun point intrieur par lexistence douverts convenables. a) Utiliser,par exemple,la caractrisation squentielle des ferms. b) Montrer que U nest pas ouvert, en trouvant f U telle que, pour tout R +, B( f ; ) U. 1) Montrer que 1 est une norme sur E en revenant la dfinition dune norme. 2) De mme pour 2. 3) Remarquer que, pour toute f E : 1( f ) 22( f ) et 2( f ) 21( f ). a) Considrer, par exemple, pour a E fix, la translation de vecteur a : a : E E, y y a. b) Exprimer A + laide des {a} + , a A. 1) Si est continue sur A B, exprimer f laide de , pour dduire que f est continue sur A. 2) Si f est continue sur A et g est continue sur B, exprimer laide de f,g et des projections canoniques, pour dduire que est continue sur A B. valuer, pour (x1,x2), (y1,y2) R2 : || f (x1,x2) f (y1,y2)||1. Voir dabord la linarit de . Majorer convenablement |( f )| laide de || f ||1, pour toute f E. Montrer que la borne suprieure dfinissant |||||| est atteinte par une fonction simple de E. Considrer lapplication f : E E E, (x,y) x + y. 1) A nest pas borne. 2) B est ferme et borne. Majorer d(vp,vq ) en intercalant up et uq et utiliser les deux hypothses : la suite (un)nN est de Cauchy et d(un,vn) n 0. Considrer, par exemple : f : R R, x x2 + 1. a) Un sens est immdiat. Si B1 = B2, pour x E {0}, considrer 1 N1(x) x, qui est dans B1, donc dans B2. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 27. Du mal dmarrer ? 17 Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit. b) Un sens est immdiat. Si B1 = B2, pour x E {0}, considrer 1 N1(x) x, qui nest pas dans B1, donc pas dans B2. a) Il existe a E,r R + tels que B(a ;r) F. Soit x E tel que x = a. Construire y E tel que : y a est colinaire x a et y B(a ;r). En dduire x a F, puis x F. b) Appliquer a). a) 1) Une inclusion est immdiate. 2) Rciproquement,soit x B (a ;r). Approcher x par une suite dlments de B(a ;r). b) 1) Une inclusion est immdiate. 2) Rciproquement, raisonner sur les complmentaires, de manire analogue la rsolution de a)2). 1) Utiliser, par exemple, la caractrisation squentielle des ferms. 2) Montrer : t [2 ; +[, et 2 + t. En dduire que toute application constante suprieure ou gale 2 est dans A. a) 1) Utiliser, par exemple, la caractrisation squentielle des ferms. 2) Montrer : d(0,A) 1. Considrer f : [0 ; 1] R, x 1 2x. b) 1) Comme en a)1). 2) Montrer : d(0,B) 1. Considrer,pour tout n N, une application gn continue,affine par morceaux, constante gale 1 sauf prs de 0, telle que gn(0) = 0. Dduire d(0,B) = 1. Montrer que d(0,B) nest pas atteinte, en raisonnant par labsurde. a) Revenir la dfinition dune norme. b) 1) Remarquer dabord : f E, N( f ) N( f ) N( f ), en utilisant lingalit des accroissements finis. 2) Trouver une suite ( fn)n dans E {0} telle que, par exemple, N( fn) N( fn) n +. b) 1) Remarquer : t R+, t 1 + t2 1 2 , et dduire linclusion f (E) B 0 ; 1 2 . 2) Rciproquement, pour y B 0 ; 1 2 fix, chercher R pour que f (y) = y. Montrer que est linaire et que |||||| 2. Considrer, par exemple, la suite (1)n )nN pour dduire |||||| = 2. 1) Montrer que E est ferme, comme image rciproque dun ferm par une application continue. 2) Montrer que E est borne, en utilisant les coordonnes polaires par exemple. Raisonner par labsurde : supposer que (un)n nadmette quune seule valeur dadhrence a et que (un)n diverge. Montrer lexistence de > 0 et dune extractrice tels que : n N, d(u(n),a) > . Utiliser la compacit de K pour obtenir lexistence de b K et dune extractrice tels que : u((n)) n b. Dduire d(a,b) , a = b, puis une contradiction. Construire une suite ( fn)n dapplications continues de [0 ; 1] dans R telle que ( fn)n soit de Cauchy pour ||.||1 et que ( fn)n diverge pour ||.||1. On pourra prendre fn affine par morceaux et continue telle que fn(x) = 1 pour 0 x 1 2 et fn(x) = 0 pour 1 2 + 1 n x 1. a) Montrer que d(a,un) nN est de Cauchy dans R, en utilisant lingalit triangulaire renverse. b) 1) Dans la phrase mathmatique traduisant que (un)nN est de Cauchy, fixer p et faire tendre q vers linfini. 2) Se rappeler que : d(a,un) n 0 un n a. Si joint continument a1 et a2 dans A et joint continument b1 et b2 dans B, construire + , joignant continument a1 + b1 et a2 + b2 dans A + B. a) Joindre x A et y A par un chemin form de deux segments successifs, joignant x et a, puis a et y. b) Montrer que D est toil par rapport 0 et appliquer a). a) Soit g F. Considrer lapplication f : [0 ; 1] R, x xg(x) qui est dans F, et traduire < f,g > = 0. a) Montrer dabord, pour tout (x,y) R2, lexistence de N(x,y),en montrant que lapplication t |x + ty| 1 + t + t2 est borne sur R. 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 28. Chapitre 1 Espaces vectoriels norms 18 Revenir la dfinition dune norme. b) Transformer la condition N(x,y) 1 en : t R, 1 x + ty 1 + t + t2 1, puis utiliser les rsultats sur les trinmes rels. c) Calculer laire comme intgrale double de la constante 1. Se rappeler quune partie C de E est dite convexe si et seulement si : [0 ; 1], (x,y) C2 , x + (1 )y C. a) Utiliser, par exemple, la caractrisation squentielle de ladhrence dune partie de E. b) Envisager, par exemple : E = R2 , A = (x,y) (R +)2 ; xy = 1 , B = R {0}. a) Une inclusion est immdiate. Rciproquement, soit x A B. Soit V un voisinage de x dans E. Montrer lexistence dun y dans V (A B), puis montrer : (V A) B = . b) Appliquer lhypothse E (A) la place de B. c) Choisir pour A et B des intervalles ou des runions dinter- valles convenables. 1) Montrer que N et sont des normes.Pour montrer limplication ( f ) = 0 f = 0, utiliser la rsolution dune quation diffrentielle. 2) Montrer : f E, ( f ) N( f ). Pour f E, considrer g : [0 ; 1] R, x ex f (x), exprimer g , puis dduire des majorations de |g(x)|, | f (x)|, | f (x)|, laide de ( f ). Considrer lapplication : E R, x d(x,G) d(x,F) et les parties U = 1(]0 ; +[), V = 1(] ; 0[) de E. (i) (ii) : Utiliser, par exemple, la caractrisation squentielle de ladhrence. (ii) (iii) : Pour B P (F), appliquer lhypothse A = f 1(B). (iii) (iv) : Pour B P (F), appliquer lhypothse B et F (B). (iv) (i) : Pour tout ouvert U de F, appliquer lhypothse B = U. a) Montrer que, pour toute (un)n 1 , on a : un n n 1 . Montrer que T est linaire. Montrer : u , ||T(u)|| ||u||. En dduire : T LC( ) et |||T||| 1. Considrer la suite constante gale 1, et dduire :|||T||| = 1. b) On obtient : Ker (T) = {0}. Montrer que Im (T) est lensemble des suites relles en O 1 n . La linarit de est immdiate. Montrer : f E, |( f )| M|| f ||, en notant M = p k=1 |k|. Considrer une application convenable f de E prenant les valeurs 1 ou 1 en les ak. Utiliser la caractrisation squentielle des ferms et la dfinition squentielle des compacts. 1) Lunicit est immdiate. 2) Pour lexistence, raisonner par labsurde. Considrer lapplication : K R, x d x, f (x) . (i) (ii) : Appliquer lhypothse au compact [A ; A], pour A R + fix. (ii) (iii) : Utiliser le thorme des valeurs intermdiaires. (iii) (i) : Soit K un compact de R. Il existe A R + tel que : K [A ; A]. Appliquer lhypothse pour dduire que f 1(K) est born, puis est compact. Utiliser, par exemple, la caractrisation squentielle dun ferm et la dfinition squentielle dun compact. 1) Montrer que V = , en utilisant la dfinition squentielle de la compacit. 2) Montrer que V est borne. 3) Montrer que V est ferme,en montrant,par exemple,que son complmentaire est ouvert. 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 29. Du mal dmarrer ? 19 Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit. Raisonner par labsurde : supposer quil existe une application f : [0 ; 1]2 [0 ; 1] continue injective. Considrer a,b,c [0 ; 1]2 de faon que, par exemple, f (a) < f (b) < f (c), puis considrer un chemin joignant continument a et c dans [0 ; 1]2 , sans passer par b, et envisager f . Vu lexposant 1 2 et le carr dans lintgrale,on peut conjec- turer que N soit une norme associe un produit scalaire. Montrer que lapplication : E E R dfinie, pour tout ( f,g) E E par : ( f,g) = 1 0 f g + 1 2 f (0)g(1) + f (1)g(0) est un produit scalaire et que N est la norme associe . Dans le premier membre de lingalit demande, inter- caler, par exemple, x ||y|| , puis utiliser lingalit triangulaire et les rles symtriques de x et y. a) Soient U,V des ouverts de E tels que U = V = E. Soient x E et un voisinage ouvert de x dans E. Montrer lexistence dun y U, puis montrer ( U) V = . b) Passer aux complmentaires dans le rsultat de a). a) Montrer que, pour E fixe, N vrifie une partie de la dfinition dune norme. 1) Supposer 1 ({0}) = . Montrer qualors : f E, N( f ) = 0 f = 0 . 2) Supposer 1 ({0}) =/ .Construire un lment f de E tel que : f = 0 et N( f ) = 0. b) Soit E fixe. 1) Supposer 1({0}) = . Montrer qualors N et ||.|| sont quivalentes, en faisant intervenir 1 . 2) Supposer 1({0}) = . Construire alors une suite ( fn)nN dans E {0} telle que : || fn|| N( fn) n +. a) Rcurrence sur n. b) Utiliser a) et la sous-multiplicativit de |||.|||. c) Montrer, en utilisant a), quon ne peut pas avoir : n N, vn = 0. Considrer lensemble {n N ; vn = 0}, son plus petit l- ment, et obtenir une contradiction laide de b)}. On conclut quil nexiste pas de tel couple (u,v). Soit F un ferm de C. Soient (Zn)n une suite dans P(F), Z C tels que Zn n Z. Pour chaque n N, il existe zn F tel que P(zn) = Zn. Montrer que (zn)n est borne. En dduire lexistence de u C et dune extractrice tels que : z(n) n u. Dduire Z = P(u) P(F). Noter F = nN Fn. 1) Linclusion f (F) nN f (Fn) est immdiate. 2) Rciproquement, soit x nN f (Fn). Pour chaque n N, il existe xn Fn tel que x = f (xn). Utiliser la caractrisation squentielle de la compacit de K. b) 1) Montrer : n N , ||un+1 un|| k||un un1||, puis : (p,r) N N , ||up+r up|| kp ||u1 u0|| 1 k . En dduire que (un)n est de Cauchy dans F. Considrer lensemble E = (x,y) I2 ; x < y et lapplication taux daccroissement : : E R, (x,y) f (x) f (y) x y . Montrer que E est connexe par arcs, que est continue, et en dduire que (E) est un intervalle et que lon a (E) f (I) (E). a) 1) Unicit : Soit x E. Soient z1,z2 F tels que : x z1 F et x z2 F. Exprimer ||z1||2, < z1 , z2 > , < z2 , z1 > , ||z2||2 et dduire ||z1 z2||2 = 0, puis z1 = z2. 2) Existence : Soit x E. Considrer lapplication : F R, u ||x u|| et sa borne infrieure , puis une suite (un)nN dans F telle que : n N , (un) + 1 n . Montrer que (un)nN est de Cauchy dans F. En dduire quil existe z F tel que un n z. Montrer que z minimise . tablir x z F, en considrant, pour y F et C, ||x (z + y)||2. b) 1) La linarit de pF est facile. Montrer : x E, ||pF (x)|| ||x||, puis : |||pF ||| = 1. 2) Lgalit pF pF = pF est immdiate. 3) Montrer, pour tout (x,y) E2 : < pF (x) , y > = < pF (x) , pF (y) > , puis : < x , pF (y) > = < pF (x) , y > . 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1.51 1.52 30. 20 On applique lingalit triangulaire, de deux faons chaque fois, pour majorer ||x y|| et pour majorer ||z t|| : ||x y|| ||x z|| + ||z y|| ||x y|| ||x t|| + ||t y|| ||z t|| ||z x|| + ||x t|| ||z t|| ||z y|| + ||y t||. Ensuite, on additionne ces quatre ingalits, on simplifie par un coefficient 2, et on obtient lingalit voulue : ||x y|| + ||z t|| ||x z|| + ||y t|| + ||x t|| + ||y z||. a) Soit (x,y) E F. On a : (x,y) A B (zn)n (A B)N , zn n (x,y) (xn)n AN , (yn)n BN , (xn,yn) n (x,y) (xn)n AN , xn n x (yn)n BN , yn n y x A y B (x,y) A B. On conclut : A B = A B. b) 1) Soit (x,y) (A B) . Il existe un ouvert W de E F tel que : (x,y) W A B. Par dfinition des ouverts de E F, il existe alors un ouvert U de E et un ouvert V de F tels que : x U, y V, U V W. On dduit : x U A et y V B, donc x A et y B , do (x,y) A B . Ceci montre : (A B) A B . 2) Rciproquement, soit (x,y) A B . Alors : x A et y B . Il existe donc un ouvert U de E tel que x U A, et un ouvert V de F tel que y V B. Alors, U V est un ouvert de E F et on a : (x,y) U V A B. Il en rsulte : (x,y) (A B) . Ceci montre : A B (A B) . On conclut : (A B) = A B . a) Nous allons montrer que F est ferm dans E en utilisant la caractrisation squentielle des ferms. Soient ( fn)nN une suite dans F, et f E tels que fn n f dans (E,||.||). On a : x R, | fn(x) f (x)| || fn f || n 0, donc : x R, fn(x) n f (x). Comme, par hypothse : x R, n N, fn(x) 0, il sensuit, par passage la limite dans une ingalit lorsque lentier n tend vers linfini : x R, f (x) 0, et donc : f F. On conclut que F est ferm dans E. b) Nous allons montrer que U nest pas ouvert dans E, en trouvant f U telle que, pour tout R +, on ait : B( f ; ) / U. Considrons f : R R, x f (x) = 1 x2 + 1 . Il est clair que f est continue et borne, donc f E. Soit R + fix. Considrons lapplication g = f 2 . On a : g E, || f g|| = 2 < , donc g B( f ; ). Mais g / U car g(x) x+ 2 < 0, donc g prend des valeurs 0. Ceci montre : R +, B( f,) / U, et on conclut que U nest pas ouvert dans E. 1) Il est clair que, pour toute f E, 1( f ) existe. On a, pour tout R et toute f E : 1( f ) = |( f )(0)| + 2 1 0 |( f ) (t)| dt = || | f (0)| + 2|| 1 0 | f (t)| dt = ||1( f ). Corrigs des exercices 1.1 1.2 1.3 1.4 31. 21 On a, pour toutes f,g E : 1( f + g) = |( f + g)(0)| + 2 1 0 |( f + g) (t)| dt = | f (0) + g(0)| + 2 1 0 | f (t) + g (t)| dt (| f (0)| + |g(0)|) + 2 1 0 | f (t)| + |g (t)| dt = | f (0)| + 2 1 0 | f (t)| dt + |g(0)| + 2 1 0 |g (t)| dt = 1( f ) + 1(g). Soit f E telle que 1( f ) = 0. On a alors : | f (0)| + 2 1 0 | f (t)| dt = 0, donc f (0) = 0 et 1 0 | f (t)| dt = 0. Puisque | f | est continue et 0, il en rsulte f = 0, donc f est constante, f = f (0) = 0. Ceci montre que 1 est une norme sur E. 2) De mme, 2 est aussi une norme sur E. De manire plus gnrale, pour tout (a,b) (R +)2 , lapplication f a| f (0)| + b 1 0 | f (t)| dt est une norme sur E. 3) On a, pour toute f E : 1 2 1( f ) 2( f ) 21( f ), donc les normes 1 et 2 sur E sont quivalentes. a) Soit a E. Considrons lapplication a : E E, y y a qui est la translation de vecteur a. On a, pour tout y E : y {a} + y a , donc : {a} + = y E ; a(y) = 1 a(). Ainsi, {a} + est limage rciproque de louvert par lapplication continue a, donc {a} + est un ouvert de E. b) Soit A E. On a : A + = aA ({a} + ). Ainsi, A + est une runion douverts de E, donc est un ouvert de E. 1) Supposons continue sur A B. Puisque B =/ , il existe b B. On a alors : x A, f (x) = (x,b) g(b). Comme est continue sur A B, par composition, lapplication x (x,b) est continue sur A, puis, par addition dune constante, f est continue sur A. De mme, g est continue sur B. 2) Rciproquement, supposons f continue sur A et g continue sur B. Notons : pr1 : E F E, (x,y) x , pr2 : E F F, (x,y) y les deux projections canoniques, qui, daprs le cours, sont continues sur E F. On a alors : = f pr1 + g pr2, donc, par composition, est continue sur E F. Soient (x1,x2), (y1,y2) R2 . On a : f (x1,x2) f (y1,y2) 1 = (ax2,bx1) (ay2,by1) 1 = (ax2 ay2, bx1 by1) 1 = a(x2 y2), b(x1 y1) 1 = |a(x2 y2)| + |b(x1 y1)| = a|x2 y2| + b|x1 y1| . En notant k = Max (a,b) R+, on a donc : f (x1,x2) f (y1,y2) 1 k|x2 y2| + k|x1 y1| = k (x1 y1, x2 y2) 1 = k (x1,x2) (y1,y2) 1 . On conclut que f est lipschitzienne. La linarit de est immdiate, rsultant de la linarit de lintgration. On a : f E, |( f )| = 1 0 f (t) dt 1 0 | f (t)| dt = || f ||1 , donc , qui est linaire, est continue, et |||||| 1. On a, en notant f0 : [0 ; 1] R, t 1 lapplication constante gale 1, f0 =/ 0 et : || f0||1 = 1 0 |1| dt = 1, ( f0) = 1 0 1 dt = 1 , donc : |( f0)| || f0||1 = 1. Il en rsulte : |||||| 1, et finalement : |||||| = 1. 1.5 1.6 1.7 1.8 32. 22 Considrons lapplication f : E E E, (x,y) x + y . On a : K + L = f (K L). Puisque K et L sont compacts, daprs le cours, K L est compact. Dautre part, par opration, f est continue. Ainsi, K + L est limage dun compact par une application continue, donc K + L est compact. Par thormes gnraux, f est continue sur R , et, comme f (x) = sin x x x0 1 = f (0), f est continue en 0, donc f est continue sur R. Traons dabord lallure de la courbe reprsentative de f : Dautre part, puisque (un)nN est de Cauchy, il existe N2 N tel que : p N2, q N2, d(up,uq ) 3 . Notons N = Max (N1,N2) N . On a alors, pour tout (p,q) N2 tel que p N et q N : d(vp,vq ) d(vp,up) + d(up,uq ) + d(uq ,vq ) 3 3 = . Ceci montre que (vn)nN est de Cauchy dans E. Considrons lapplication f : R R, x f (x) = x2 + 1 . 1) On a, pour tout (x,y) R2 tel que x =/ y : | f (x) f (y)| = x2 + 1 y2 + 1 = x2 y2 x2 + 1 + y2 + 1 = |x + y| x2 + 1 + y2 + 1 |x y| . Et : |x + y| x2 + 1 + y2 + 1 |x| + |y| x2 + 1 + y2 + 1 < 1, car : 0 |x| < x2 + 1 et 0 |y| < y2 + 1. Do : | f (x) f (y)| < |x y|. Ainsi, f diminue strictement les distances. 2) On a, pour tout x R : f (x) = x2 + 1 > |x| x, donc : x R, f (x) =/ x, donc f na pas de point fixe. a) Limplication N1 = N2 B1 = B2 est vidente. Rciproquement, supposons B1 = B2. Soit x E tel que x =/ 0. Considrons y = 1 N1(x) x. On a : N1(y) = N1 1 N1(x) x = 1 N1(x) N1(x) = 1 , donc y B1 = B2, do N2(y) 1. Mais : N2(y) = N2 1 N1(x) x = 1 N1(x) N2(x). On a donc : 1 N1(x) N2(x) 1, do : N2(x) N1(x). Puisque N1 et N2 jouent des rles symtriques, on a aussi N1(x) N2(x), do : N1(x) = N2(x). Enfin, pour x = 0, lgalit N1(x) = N2(x) est triviale. On conclut : N1 = N2 . 1.9 1.10 y x 2 2 O 1 1 2 B A 1) On a : A = Z , donc A nest pas borne, donc nest pas compacte. 2) Puisque B = f 1 1 2 ; + , que f est continue et que 1 2 ; + , est ferm dans R, daprs le cours, B est ferme dans R. On a, pour tout x R : |x| > 2 | f (x)| = sin x x 1 x < 1 2 x / B , donc : B [2 ; 2], donc B est borne. Ainsi, B est une partie ferme borne de R, donc B est compacte. Supposons, par exemple, que (un)nN est de Cauchy. Soit > 0. Puisque d(un,vn) n 0, il existe N1 N tel que : n N1, d(un,vn) 3 . 1.11 1.12 1.13 33. 23 b) Limplication N1 = N2 B1 = B2 est vidente. Rciproquement, supposons B1 = B2. Nous allons adopter la mme mthode que dans la solution de a). Soit x E tel que x =/ 0. Considrons y = 1 N1(x) x. On a alors N1(y) = 1, donc y / B1 = B2, do N2(y) 1. Mais N2(y) = 1 N1(x) N2(x), do N2(x) N1(x). Puisque N1 et N2 jouent des rles symtriques, on a aussi N1(x) N2(x), do : N1(x) = N2(x). Enfin, pour x = 0, lgalit N1(x) = N2(x) est triviale. On conclut : N1 = N2 . a) Soit F un sev de E tel que F =/ . Il existe donc a F, puis r R + tel que B(a;r) F. Soit x E tel que x =/ a. Notons y = a + r 2||x a|| (x a). On a alors ||y a|| = r 2 < r, donc y B(a;r), do y F. Comme F est un sev et que a et y sont dans F, il en rsulte que x a = 2||x a|| r (y a) F , puis x = (x a) + a F. Finalement : F = E. b) E1 et P sont des sev de E, distincts de E, car, par exemple, lapplication [0; 1] R x x 1 2 est dans E et non dans E1, et lapplication [0; 1] R x 1 x+1 est dans E et non dans P. Par contre-apposition du rsultat de a), on conclut : E1 = P = . a) 1) On a : B(a ;r) B (a ;r), do, en passant aux adhrences et puisque B (a ;r) est ferme : B(a ;r) B (a ;r) = B (a ;r) . 2) Rciproquement, soit x B (a ;r). Notons, pour tout n N : xn = 1 n a + 1 1 n x. On a, pour tout n N : ||xn a|| = 1 1 n (x a) = 1 1 n ||x a|| 1 1 n r < r, donc : xn B(a ;r). Dautre part : ||xn x|| = 1 n (a x) = 1 n ||x a|| n 0 , donc : xn n x. Ainsi, x est limite dune suite dlments de B(a ;r), donc x B(a ;r). Ceci montre : B (a ;r) B(a ;r). On conclut : B(a ;r) = B (a ;r). b) 1) On a : B(a ;r) B (a ;r), do, en passant aux intrieurs et puisque B(a ;r) est ouverte : B(a ;r) = B(a ;r) B (a ;r) . 2) Nous allons montrer lautre inclusion en raisonnant sur les complmentaires, de faon manipuler des adhrences (au lieu dintrieurs) et utiliser des suites. Soit x E B(a ;r) , donc ||x a|| r. 1.14 1.15 a xxn a x xn 34. 24 Notons, pour tout n N : xn = 1 n a + 1 + 1 n x. On a, pour tout n N : ||xn a|| = 1 + 1 n (x a) = 1 + 1 n ||x a|| 1 + 1 n r > r, donc xn E B (a ;r) . Dautre part : ||xn x|| = 1 n (x a) = 1 n ||x a|| n 0 , donc : xn n x. Ainsi, x est limite dune suite dlments de E B (a ;r) , donc x E B (a ;r) . Ceci montre : E B(a ;r) E B (a ;r) = E B (a ;r) , do, en passant aux complmentaires : B(a ;r) B (a ;r) . Finalement : B (a ;r) = B(a ;r). 1) Nous allons montrer que A est une partie ferme de E en utilisant la caractrisation squentielle des parties fermes. Soient ( fn)nN une suite dans A, f E tels que fn n f dans (E,||.||). On a, pour tout x [0 ; 1] : | fn(x) f (x)| || fn f || n 0 , donc : fn(x) n f (x). Dautre part : x [0 ; 1], n N, efn(x) 2 + fn(x) . On dduit, par passage la limite dans une ingalit lorsque lentier n tend vers linfini : x [0 ; 1], ef (x) 2 + f (x) , et donc : f A. Ceci montre que A est une partie ferme de E. 2) Montrons : t [2 ; +[, et 2 + t. Lapplication : [2 ; +[ R, t (t) = et (2 + t) est drivable et, pour tout t [2 ; +[ : (t) = et 1 > 0 , donc est strictement croissante. De plus : (2) = e2 4 > 0. On dduit : t [2 ; +[, (t) 0, do lingalit voulue. Soient t [2 ; +[ et ft : [0 ; 1] R, x t lapplication constante gale t. On a alors : t [2 ; +[, ft A et || ft || = |t| = t , ce qui montre que A nest pas borne. a) 1) Nous allons montrer que A est une partie ferme de E, en utilisant la caractrisation squentielle des ferms. Soient ( fn)nN une suite dans A, f E tels que fn n f dans (E,||.||). On a : | fn(0) f (0| || fn f || n 0, donc : fn(0) n f (0). Mais : n N, fn(0) = 1, do : f (0) = 1. On a : 1 0 fn 1 0 f = 1 0 ( fn f ) 1 0 | fn f | (1 0)|| fn f || n 0, donc : 1 0 fn n 1 0 f. Mais : n N, 1 0 fn = 0, donc : 1 0 f = 0. On dduit : f A. On conclut que A est une partie ferme de E. 2) Soit f A. On a : || f 0|| = || f || | f (0)| = 1, donc : d(0,A) || f 0|| 1. Lapplication f : [0 ; 1] R, x 1 2x est dans A et : d(0, f ) = || f || = 1. On conclut : d(0,A) = 1, et cette borne est atteinte, par f ci-dessus et reprsente graphiquement ci-aprs. 1.16 1.17 35. 25 b) 1) On montre que B est une partie ferme de E par la mme mthode quen a) 1). 2) Soit f B. On a : 1 = 1 0 f 1 0 | f | (1 0)|| f || = || f 0|| , donc : d(0,B) 1. Considrons, pour tout n N , lapplication gn : [0 ; 1] R dfinie, pour tout x [0 ; 1], par : gn(x) = nan x si 0 x 1 n an si 1 n < x 1 , o an est calculer pour que 1 0 gn = 1. On a : 1 0 gn = 1 an an 2n = 1 an = 2n 2n 1 . On a alors : n N , gn B et : ||gn 0|| = an = 2n 2n 1 n 1 , do lon conclut : d(0,B) 1. Supposons quil existe f B telle que d(0,B) = || f ||. On a : 0 1 0 || f || f = || f || 1 0 f = 1 1 = 0 , donc, puisque || f || f est continue et 0, on a : || f || f = 0, f = || f ||, f est une constante. Mais f (0) = 0, donc f = 0, contradiction avec 1 0 f = 1. Ceci montre que d(0,B) nest pas atteinte. a) Dabord, E est bien un R-ev, et N,N,N sont dfinies, car, si f E, alors f, f , f sont continues sur le segment [0 ; 1] , donc sont bornes, do lexistence de N( f ), N( f ), N( f ). Nous allons montrer que N est une norme sur E, les preuves pour N et N tant analogues et plus simples. On a, pour toutes f,g E : N( f + g) =|( f + g)(0)| + |( f + g) (0)| + Sup x[0;1] |( f + g) (x)| | f (0)| + |g(0)| + | f (0)| + |g (0)| + Sup x[0;1] | f (x)| + |g (x)| | f (0)| + |g(0)| + | f (0)| + |g (0)| + Sup x[0;1] | f (x)| + Sup x[0;1] |g (x)| = | f (0)| + | f (0)| + Sup x[0;1] | f (x)| + |g(0)| + |g (0)| + Sup x[0;1] |g (x)| =N( f ) + N(g). y x y = f(x) 1 1 O 1 1 2 y 11 x n 1 O a n 1.18 36. 26 On a, pour tout R et toute f E : N( f ) = |( f )(0)| + |( f ) (0)| + Sup x[0;1] |( f ) (x)| = || | f (0)| + || | f (0)| + || Sup x[0;1] | f (x)| = ||N( f ) . Soit f E telle que N( f ) = 0. On a alors : | f (0)| 0 + | f (0)| 0 + Sup x[0;1] | f (x)| 0 = 0, donc f (0) = 0, f (0) = 0, Sup x[0;1] | f (x)| = 0. Il en rsulte f = 0. Il existe donc (a,b) R2 tel que : x [0; 1], f (x) = ax + b . De plus : f (0) = 0 f (0) = 0 a = 0 b = 0 do f = 0. On conclut : N, N, N sont des normes sur E. b) 1) Soit f E. Pour tout x [0 ; 1], daprs lingalit des accroissements finis, applique f sur [0 ; x], on a : | f (x) f (0)| x Sup t[0;x] | f (t)| 1 Sup x[0;1] | f (t)| , puis : | f (x)| = f (0) + f (x) f (0) | f (0)| + | f (x) f (0)| | f (0)| + Sup t[0;1] | f (t)| = N( f ). Il en rsulte : N( f ) N( f ). De mme : f E, N( f ) N( f ) . 2) Montrons que les normes N, N, N sont deux deux non quivalentes : Considrons la suite ( fn)nN dapplications de [0 ; 1] dans R dfinies, pour tout n N , par : x [0 ; 1], fn(x) = sin (nx) . On a, pour tout n N , fn E et, pour tout x [0 ; 1] : fn(x) = sin (nx), fn(x) = n cos (nx), fn (x) = 2 n2 sin (nx) , do, pour tout n N : N( fn) = 1, N( fn) = n, N( fn) = n + 2 n2 . Il sensuit : N( fn) N( fn) = n n + , N( fn) N( fn) = 1 + n n + , N( fn) N( fn) = n + 2 n2 n + . Ainsi, les rapports N( f ) N( f ) , N( f ) N( f ) , N( f ) N( f ) ne sont pas bor- ns lorsque f dcrit E {0}, donc les normes N, N, N sont deux deux non quivalentes. a) Lapplication f : E E, x f (x) = x 1 + ||x||2 est continue par oprations sur les applications continues. b) 1) On a : x E, || f (x)|| = ||x|| 1 + ||x||2 1 2 , car : t R+, t 1 + t2 1 2 = (1 t)2 2(1 + t2) 0. do : f (E) B 0 ; 1 2 . 2) Rciproquement, soit y B 0 ; 1 2 . Cherchons R pour que f (y) = y. On a : f (y) = y y 1 + ||y||2 = y ||y||2 2 + 1 = 0. Si y = 0, on peut choisir = 0. Supposons y =/ 0. Lquation du second degr prcdente, din- connue R, admet au moins une solution puisque son discriminant 1 4||y||2 est 0, car ||y|| 1 2 . Ceci montre : B 0 ; 1 2 f (E). On conclut : f (E) = B 0 ; 1 2 . Remarque : Le rsultat est apparent dans le cas E = R muni de la norme |.| usuelle : y x1 0 On a ici : f (R) = 1 2 ; 1 2 = B 0 ; 1 2 . 1.19 Reprsentation graphique de f : x x 1 + x2 37. 27 Remarquons dabord que, pour toute suite relle borne x = (xn)n , la suite relle y = (yn)n dfinie dans lnonc est borne ; ainsi, est bien une application de dans . La linarit de est immdiate. Soient x = (xn)n , y = (x) = (yn)n . On a : n N, |yn| = |xn+1 xn| |xn+1| + |xn| 2||x||, donc : || (x)|| 2||x||. Ceci montre que , qui dj est linaire, est continue, et que : |||||| 2. Considrons la suite relle borne x = (xn)n dfinie par : n N, xn = (1)n . Dune part : ||x|| = 1. Dautre part : n N, |xn+1 xn| = 2, donc : ||(x)|| = 2. On a donc : |||||| ||(x)|| ||x|| = 2. Finalement : LC ( ) et |||||| = 2 1) Lapplication f : R2 R, (x,y) x2 (x 1)(x 3) + y2 (y2 4) est continue et {0} est ferm dans R, donc E = f 1 ({0}) est ferm dans R2 , comme image rciproque dun ferm par une application continue. 2) Montrons que E est borne, en utilisant les coordonnes polaires. Notons, pour (x,y) R2 : = x2 + y2 . On a, pour tout (x,y) R2 : (x,y) E x4 4x3 + 3x2 + y4 4y2 = 0 x4 + y4 = 4x3 3x2 + 4y2 , do, pour tout (x,y) E : 4 = (x2 + y2 )2 = x4 + 2x2 y2 + y4 2(x4 + y4 ) = 2(4x3 3x2 + 4y2 ) 2(43 + 42 ) = 83 + 82 . En supposant 1, on a donc, si (x,y) E : 4 163 , do : 16. Ceci montre : (x,y) E, x2 + y2 16, donc E est borne. Ainsi, E est une partie ferme borne de R2 , qui est un evn de dimension finie, donc E est compacte. Raisonnons par labsurde : supposons que (un)n nadmette quune seule valeur dadhrence a, et que (un)n diverge. Puisque un / n a, il existe > 0 tel que : N N, n N, n N et d(un,a) > . Ceci permet de construire une extractrice telle que : n N, d(u(n),a) > . Puisque K est compact, la suite (u(n))n, lments dans K, admet au moins une valeur dadhrence b dans K ; il existe donc un extractrice telle que u((n)) n b. Comme : n N, d(u((n)),a) > , on obtient, en passant la limite d(b,a) , et ncessairement a =/ b. Ainsi, (un)n admet au moins deux valeurs dadhrence diffrentes, a et b, contradiction. Considrons, pour tout n de N tel que n 2, lapplication fn : [0; 1] R dfinie par : fn(x) = 1 si 0 x 1 2 nx + n + 2 2 si 1 2 x 1 2 + 1 n 0 si 1 2 + 1 n x 1. 1.20 1.21 1.22 y xO 1 fn 1 2 1 2 1 n + 1 Il est clair que, pour tout n 2, fn est continue sur [0; 1]. 1) Montrons que ( fn)n 2 est de Cauchy pour || ||1. Soient p N {0,1}, r N. On a : || fp+r fp||1 = 1 0 fp+r (x) fp(x) dx = 1 2 + 1 p 1 2 fp(x) fp+r (x) dx 1 2 + 1 p 1 2 fp(x) dx = 1 2p . Il en rsulte : > 0, N N {0,1}, p N, r N, || fp+r fp||1 , et donc ( fn)n 2 est de Cauchy pour || ||1. 1.23 38. 28 Fixons temporairement p tel que p N. On a, en faisant tendre lentier q vers linfini, daprs a) : d(up,uq ) q f (up) , do, par passage la limite dans une ingalit : f (up) . Ceci montre, en particulier : > 0, N N, f (uN ) , donc : > 0, a E, f (a) , et donc : Inf aE f (a) = 0. 2) On a : a E, f (a) = 0 a E, d(a,un) n 0 a E, un n a. Ainsi, la borne infrieure en question est atteinte si et seulement si la suite (un)nN converge. Soit (x1,x2) (A + B)2 . Il existe (a1,a2) A2 , (b1; b2) B2 tels que : x1 = a1 + b1 et x2 = a2 + b2. Puisque A et B sont connexes par arcs, il existe des applications continues , : [0; 1] E telles que : t [0; 1], (t) A et (t) B (0) = a1, (1) = a2, (0) = b1, (1) = b2. Lapplication + : [0; 1] E t(t)+(t) est continue, et on a : t [0; 1], ( + )(t) = (t) + (t) A + B ( + )(0) = (0) + (0) = a1 + b1 = x1 et ( + )(1) = x2. On conclut que A + B est connexe par arcs. Remarque On peut aussi montrer que A B est connexe par arcs, puis remarquer que A + B est limage de A B par lapplication continue E E E (x,y)x+y , si lon sait que le produit cartsien de deux parties connexes par arcs est connexe par arcs a) Soit (x,y) A2 . Puisque A est toile (par rapport a), on a : [a ; x] A et [a ; y] A . 1.24 1.25 1.26 2) Montrons que ( fn)n 2 ne converge pas dans C([0; 1],R),|| ||1 . Raisonnons par labsurde : supposons quil existe f : [0; 1] R continue telle que || fn f ||1 n 0. On a : n 2, || fn f ||1 1 2 0 fn(x) f (x) dx = 1 2 0 1 f (x) dx, do : 1 2 0 |1 f (x)|dx = 0. Puisque x |1 f (x)| est continue et 0, il en rsulte : x 0; 1 2 , f (x) = 1. Soit x0 1 2 ; 1 . On a, pour tout n 2 tel que n 1 x0 1 2 : || fn f ||1 1 x0 fn(x) f (x) dx = 1 x0 | f (x)| dx, do : 1 x0 | f (x)| dx = 0. Il en rsulte : x [x0; 1], f (x) = 0, ce qui montre : x 1 2 ; 1 , f (x) = 0. On obtient ainsi : f (x) = 1 si x 0; 1 2 0 si x 1 2 ; 1 , et donc f nest pas continue en 1 2 , contradiction. a) Soit > 0. Puisque (un)nN est de Cauchy dans (E,||.||), il existe N N tel que : p N, q N, d(up,uq ) . On a alors, par lingalit triangulaire : p N, q N, d(a,up) d(a,uq ) d(up,uq ) . Ceci montre que la suite (d(a,un))nN est de Cauchy dans R. Comme R est complet, il en rsulte que cette suite (d(a,un))nN converge dans R, vers un lment dpendant de a et not f (a). b) 1) Soit > 0. Puisque (un)nN est de Cauchy dans (E,||.||), il existe N N tel que : p N, q N, d(up,uq ) . 39. 29 On conclut que A est connexe par arcs. b) Lensemble D des matrices de Mn(R) diagonalisables dans Mn(R) est toil par rapport 0. En effet, soient X D et t [0 ; 1]. Il existe P GLn(R),D Dn(R) telles que X = P DP1 . On a alors : (1 t)0 + t X = t P DP1 = P(t D)P1 . Ceci montre que, si X D, alors le segment [0 ; X] de Mn(R) est inclus dans D, donc D est toil par rapport 0. Daprs a), on conclut que D est connexe par arcs. a) Soit g F . Considrons lapplication f : [0 ; 1] R, x f (x) = xg(x) . On a f F, donc : 0 = < f , g > = 1 0 f (x)g(x) dx = 1 0 x g(x) 2 dx . Comme x x g(x) 2 est continue et 0, on dduit : x [0 ; 1], x g(x) 2 = 0 , puis : x ]0 ; 1], g(x) = 0. Comme g est continue en 0, il en rsulte g = 0. On conclut : F = {0}. b) On a donc : F F = F {0} = F. Il est clair que F =/ E, puisque lapplication constante gale 1 est dans E et nest pas dans F. On conclut : F F =/ E. a) Existence : Soit (x,y) R2 . Premire mthode : Lapplication fx,y : t |x + ty| 1 + t + t2 , est continue sur R, car le trinme rel 1 + t + t2 est de discriminant < 0 , et fx,y(t) t 0. Il existe donc t0 [0 ; +[ tel que : t ] ; t0] [t0 ; +[, | fx,y(t)| 1 . Ensuite, f tant continue sur le segment [t0 ; t0], daprs un thorme du cours, f est borne sur ce segment. Il existe donc A R+ tel que : t [t0 ; t0], | fx,y(t)| A. En notant M = Max (1,A) R+ , on a donc : t R, | fx,y(t)| M . Ainsi, fx,y est borne, donc N(x,y) = Sup tR fx,y(t) existe. Deuxime mthode : Soit (x,y) R2 . On a, pour tout t R tel que |t| 1 : |x + ty| 1 + t + t2 |x| + |t| |y| 1 + t + t2 |x| + |y| 1 = |x| + |y| , et, pour tout t R tel que |t| 1 : |x + ty| 1 + t + t2 |x| + |t| |y| 1 + t + t2 (|x| + |y|)|t| t2 = |x| + |y| |t| |x| + |y|. Do : t R, |x + ty| 1 + t + t2 |x| + |y|. Ainsi, lapplication t R |x + ty| 1 + t + t2 , est borne, donc N(x,y) = Sup tR fx,y(t), existe. x y a t = 0 t = 1t = 1 2 1.27 1.28 Lapplication : [0 ; 1] E dfinie, pour tout t [0 ; 1], par : (t) = a + (1 2t)(x a) si 0 t 1 2 a + (2t 1)(y a) si 1 2 < t 1 est continue sur [0 ; 1], car : (t) t < 1 2 a, (t) t > 1 2 a, 1 2 = a. On a : (0) = x et (1) = y et, pour tout t [0 ; 1] : (t) = a + (1 2t)(x a) [a ; x] A si 0 t 1 2 a + (2t 1)(y a) [a ; y] A si 1 2 < t 1. Ainsi, est un chemin continu joignant x et y dans A. 40. 30 On a, pour tous (x,y), (x ,y ) R2 : N (x,y) + (x ,y ) = N(x + x , y + y ) = Sup tR (x + x ) + t(y + y ) 1 + t + t2 Sup tR |x + ty| + |x + ty | 1 + t + t2 Sup tR |x + ty| 1 + t + t2 + Sup tR |x + ty | 1 + t + t2 = N(x,y) + N(x ,y ). On a, pour tout R et tout (x,y) R2 : N (x,y) = N(x,y) = Sup tR |x + ty| 1 + t + t2 = || Sup tR |x + ty| 1 + t + t2 = ||N(x,y). On a, pour tout (x,y) R2 : N(x,y) = 0 t R, |x + ty| 1 + t + t2 = 0 t R, x + ty = 0 (x,y) = (0,0). On conclut que N est une norme sur R2 . b) Soit (x,y) R2 . On a : (x,y) BN (0 ; 1) N(x,y) 1 Sup tR |x + ty| 1 + t + t2 1 t R, |x + ty| 1 + t + t2 1 t R, (1 + t + t2 ) x + ty 1 + t + t2 t R, t2 + (1 y)t + (1 x) 0 t R, t2 + (1 + y)t + (1 + x) 0 (1 y)2 4(1 x) 0 (1 + y)2 4(1 + x) 0. Ainsi, BN (0 ; 1) est la partie du plan comprise entre les deux paraboles : P : (y 1)2 = 4(x 1), Q : (y + 1)2 = 4(x + 1) . b) Les points dintersection des deux paraboles P et Q ont pour ordonnes 3 et 3. Laire S de BN (0 ; 1) est donne, par exemple, par lintgrale double : S = 3 3 1 (1y)2 4 (1+y)2 4 1 dx dy = 3 3 1 (1 y)2 4 (1 + y)2 4 + 1 dy = 3 3 3 2 y2 2 dy = 3 2 y y3 6 3 3 =2 3 2 3 3 3 6 = 2 3. 1) Soient [0 ; 1], (x,y) C 2 . Il existe une suite (xn)nN dans C telle que xn n x, et il existe une suite (yn)nN dans C telle que yn n y. Puisque C est convexe, on a alors : n N, xn + (1 )yn C . Dautre part, par oprations sur les suites convergentes : xn + (1 )yn n x + (1 )y . y x 1 2 3 2 3 1 1 3 O B'N(0 ; 1) 3 1 1.29 41. 31 On dduit : x + (1 )y C , et on conclut que C est convexe. 2) Soient [0 ; 1], (x,y) (C )2 . Notons z = x + (1 )y. Nous allons montrer : z C . Il existe > 0 tel que B(x ; ) C et il existe > 0 tel que B(y,) C. Notons r = Min (,) > 0. On a alors : B(x ;r) B(x ; ) C et B(y ;r) B(y ; ) C . On a : A = A, B = B, donc A + B = A + B = R R + , do, dans cet exemple : A + B =/ A + B . a) On a, daprs les proprits ensemblistes de ladhrence, B B, donc : A B A B, puis : A B A B . Rciproquement, soit x A B . Soit V un voisinage ouvert de x dans E. On a : V (A B) =/ . Il existe donc y V (A B) = (V A) B B . Comme V et A sont ouverts et contiennent y, V A est un voisinage ouvert de y, donc : (V A) B =/ . Ceci montre que, pour tout voisinage ouvert V de x dans E, on a V (A B) =/ . Il en rsulte : x A B . On a montr : A B A B. Finalement : A B = A B. b) Appliquons lhypothse B = E (A) : A E (A) A E (A) = = , do : A E E (A) = E E (A ) = A , ce qui montre que A est un ouvert de E. c) On peut choisir, dans R usuel : A = ]0 ; 1[ ]2 ; 4[, B = ]1 ; 3[ . On a alors : A B = ]2 ; 3[, A B = ]2 ; 3], A B = [2 ; 3[, A B = {1} [2 ; 3], A B = [2 ; 3] , qui sont deux deux distincts. v u w x z y C Soit u B(z ;r). Notons v = u + (x z), w = u + (y z). On a : v + (1 )w = (u z) + x + (1 )y = u. Dautre part : ||v x|| = ||u z|| < r et ||w z|| = ||u z|| < r , donc : v B(x,r) C et w B(y,r) C. Ceci montre u C et on obtient : B(z,r) C. Ainsi : r > 0, B(z,r) C, donc z C . On conclut que C est convexe. a) Soit x A + B . Il existe a A, b B tels que : x = a + b. Il existe une suite (an)nN dans A et une suite (bn)nN dans B telles que : an n a et bn n b. On a alors : n N, an + bn A + B, et, par addition de suites convergentes : an + bn n a + b . Il en rsulte : x A + B. Ceci montre : A + B A + B. b) Prenons, dans E = R2 usuel : A = (x,y) (R +)2 ; xy = 1 , B = R {0} . On a : A + B = R R + , donc A + B = R R+. B A y O x 1.30 1.31 42. 32 1) Montrons dabord que N et sont des normes sur E. Pour f E, N( f ) et ( f ) existent dans R car f et f sont continues sur le segment [0; 1], donc bornes. Les proprits, pour tous de R, f,g de E : N( f ) = ||N( f ), ( f ) = ||( f ) N( f + g) N( f ) + N(g), ( f + g) ( f ) + (g) sont immdiates. Soit f E. Si N( f ) = 0, alors Sup x[0;1] | f (x)| = 0, donc f = 0. Supposons ( f ) = 0. Alors f + f = 0, donc il existe R tel que : x [0; 1], f (x) = ex . Comme f (0) = 0, on dduit = 0, puis f = 0. Ainsi, N et sont des normes sur E. 2) Soit f E. On a : x [0; 1], f (x) + f (x) | f (x)| + | f (x)| N( f ), do : ( f ) N( f ). 3) Soit f E. Considrons lapplication g : [0; 1] R xex f (x) , qui est de classe C1 sur [0; 1]. On a, pour tout t de [0 ; 1] : |g (t)| = et f (t) + f (t) e( f ), puis, pour tout x de [0 ; 1] : |g(x)| = x 0 g (t) dt x 0 |g (t)| dt xe( f ) e( f ), do : | f (x)| = ex |g(x)| |g(x)| e( f ). Et : | f (x)| = f (x) + f (x) f (x) f (x) + f (x) + | f (x)| (1 + e)( f ). Do : x [0 ; 1], | f (x)| + | f (x)| (1 + 2e)( f ), donc : N( f ) (1 + 2e)( f ). On a montr : f E, ( f ) N( f ) (1 + 2e)( f ) , donc N et sont des normes quivalentes. Considrons lapplication : E R dfinie par : x E, (x) = d(x,G) d(x,F), et les parties U = 1 (]0 ; +[) , V = 1 (] ; 0[) de E. On sait que, pour toute partie non vide A de E, lapplication x d(x,A) est continue (et mme : 1-lipschitzienne), donc est continue. Comme ]0 ; +[ et ] ; 0[ sont des ouverts de R, il en rsulte que U et V sont des ouverts de E. Soit x F. Dune part, d(x,F) = 0. Dautre part, x / G (car F G = ) et G est ferm, donc d(x,G) > 0. Il en rsulte (x) > 0, cest--dire x U. Ceci montre : F U. De mme : G V. Enfin, il est clair que U V = . (i) (ii) : Supposons f continue. Soit A P(E). Soit y f (A) ; il existe x A tel que y = f (x). Puisque x A, il existe une suite (an)n dans A convergeant vers x. Comme f est continue en x, la suite f (an) n converge vers f (x), donc y f (A), et ainsi : f (A) f (A). (ii) (iii) : Supposons : A P(E), f (A) f (A). Soit B P(F). On a, pour toute partie X de E : X f 1 ( f (X)), donc : f 1(B) f 1 f f 1(B) . En appliquant lhypothse A = f 1 (B), on obtient dautre part : A A B [ B [ [ [ [ [ [ [ [ [ 0 1 2 3 4 1 3 A B [[ [ [ [ [ A B A B A B 2 3 2 3 2 3 2 31 2 3 1.32 1.33 1.34 43. 33 f f 1(B) f f 1(B) B, do : f 1 f f 1(B) f 1 (B), et finalement : f 1(B) f 1 (B). (iii) (iv) : Supposons : B P(F), f 1(B) f 1 (B). Soit B P(F). On a : f 1 ( B) = f 1 F F (B) = E f 1 F (B) . En appliquant lhypothse F (B), on obtient dautre part : f 1 F (B) f 1 F (B) , do : f 1 ( B) E f 1 F (B) = E f 1 F (B) = f 1 (B) . (iv) (i) : Supposons : B P(F), f 1 ( B) f 1 (B) . Soit U un ouvert de F. On a alors : f 1 (U) = f 1 ( o U ) f 1 (U) , do f 1 (U) = f 1 (U) , cest--dire que f 1 (U) est ouvert. Ceci montre que f est continue. a) Soit u = (un)n 1 . On a : n 1, un n = |un| n |un| ||u||, donc un n n 1 , ce qui montre que T est correctement dfinie. On a, pour tout R et toutes suites u = (un)n 1 , v = (vn)n 1 : T(u + v) = un + vn n n 1 = un n n 1 + vn n n 1 = T(u) + T(v), donc T est linaire. On a vu : u , n 1, un n ||u||, donc : u , ||T(u)|| ||u||. Comme T est dj linaire, il en rsulte que T est continue, donc T LC( ), et que : |||T||| 1. Pour u = (1)n 1, suite constante gale 1, on a u et : ||T(u)|| = Sup n 1 1 n = 1 = ||u||, do : ||T(u)|| ||u|| = 1, et donc : |||T||| 1. On conclut : |||T||| = 1. b) Soit u = (un)n 1 . On a : u Ker (T) T(u) = 0 n 1, un n = 0 n 1, un = 0 u = 0 . Ceci montre : Ker (T) = {0}, donc T est injective. On a : Im (T) = v ; u , T(u) = v = v = (vn)n 1 ; u = (un)n 1 , n 1, vn = un n = v = (vn)n 1 ; vn = O n 1 n = v = (vn)n 1 RN ; vn = O n 1 n . Ainsi, Im (T) est lensemble des suites relles dont le terme gnral est un O 1 n , lorsque lentier n tend vers linfini. Comme la suite constante gale 1 est dans mais nest pas un O 1 n , donc nest pas dans Im (T), on conclut que T nest pas surjective. Lapplication est linaire, car, pour tout R et tout ( f,g) E2 : ( f + g) = p k=1 k( f + g)(ak) = p k=1 k f (ak) + p k=1 k g(ak) = ( f ) + (g). On a, pour toute f E : |( f )| = p k=1 k f (ak) p k=1 |k| | f (ak)| p k=1 |k| || f ||. 1.35 1.36 44. 34 En notant M = p k=1 |k| R+, on a donc : f E, |( f )| M || f || . Ceci montre que , qui est dj linaire, est continue, donc LC(E,R), et que : |||||| M. Il existe f E telle que : k {1,. . . ,p}, f (ak) = 1 si k 0 1 si k < 0 x [0 ; 1], | f (x)| 1. En effet, en supposant, par exemple, a1 < . . . < ap , il suffit de prendre f valant 1 en les ak tels que k 0, valant 1 en les ak tels que k < 0, joignant ak, f (ak) et ak+1, f (ak+1) par un segment, et convenablement complte entre 0 et a1 (si a1 =/ 0) et entre ap et 1 (si ap =/ 1). Pour chaque n de N, il existe xn F et yn K tels que zn = xn + yn. La suite (yn)n, lments dans le compact K, admet au moins une valeur dadhrence y dans K ; il existe donc une extractrice telle que y(n) n y. Comme : n N, x(n) = z(n) y(n), on dduit : x(n) n z y, et donc : z y F = F. On obtient ainsi : z = (z y) + y F + K. 1) Unicit Soient x,y deux points fixes de f : f (x) = x et f (y) = y. Si x =/ y, on obtient, daprs lhypothse, d(x,y) < d(x,y), contradiction ; donc x = y. 2) Existence Raisonnons par labsurde ; supposons : x K, f (x) =/ x. Considrons lapplication : K R xd(x, f (x)) . Puisque f : K K et d : K K R sont continues, est continue. Ainsi, est continue sur le compact K et valeurs > 0 ; il existe donc z K tel que : (z) = Inf xK (x). Comme f (z) =/ z, on a, par lhypothse : f (z) = d f 2 (z), f (z) < d f (z),z = (z), contradiction. (i) (ii) : Supposons que limage rciproque par f de tout compact de R est un compact de R. Soit A R + . Puisque [A ; A] est un compact de R, f 1 ([A ; A]) est un compact de R, donc est borne. Il existe donc B R + tel que : f 1 ([A ; A]) [B ; B] . On obtient, pour tout x R : |x| > B x / [B ; B] x / f 1 ([A ; A]) f (x) / [A ; A] | f (x)| > A . On a montr : A > 0, B > 0, x R, x < B | f (x)| > A x > B | f (x)| > A, et on conclut : lim | f | = + et lim + | f | = +. (ii) (iii) : Supposons : lim | f | = + et lim + | f | = +. y x 1 O 1 a1 a2 1 a3 y = f(x) On a alors || f || = 1 et : ( f ) = p k=1 k f (ak) = p k=1 |k| = M, donc ( f ) || f || = M, do : |||||| M. On conclut : |||||| = p k=1 |k|. Nous allons montrer que F + K est ferme dans E en utilisant une caractrisation squentielle. Soit (zn)n une suite dans F + K, convergeant vers un lment z de E. 1.37 1.38 1.39 Exemple : p = 3 0 < a1 < a2 < a3 < 1 1 0, 2 0, 3 < 0. 45. 35 Soit A R +. Il existe B R + tel que : x < B, | f (x)| > A , cest--dire : x ] ; B[, f (x) < A ou f (x) > A . Sil existe (x1,x2) ] ; B[2 tel que f (x1) < A et f (x2) > A, alors, comme f est continue sur ] ; B[, daprs le thorme des valeurs intermdiaires, il existerait x3 ] ; b[ tel que f (x3) = 0, contradiction. On a donc : x < B, f (x) < A ou x < B, f (x) > A , et on conclut : lim f = ou lim f = +. De mme : lim + f = ou lim + f = +. (iii) (i) : Supposons : lim f = ou lim f = + et : lim + f = ou lim + f = +. Il est clair qualors : lim | f | = + ou lim + | f | = +, cest--dire : (iii) (ii). Soit K un compact de R. Alors, K est born, donc il existe A R + tel que : K [A ; A]. Daprs lhypothse, il existe B R + tel que, pour tout x R : |x| > B | f (x)| > A, do, par contraposition, pour tout x R : x f 1 (K) f (x) K | f (x)| A |x| B x [B ; B]. Ceci montre : f 1 (K) [B ; B], donc f 1 (K) est born. Dautre part, puisque f est continue et que K est ferm (car compact), f 1 (K) est ferm. Ainsi, f 1 (K) est un ferm born de R, donc, daprs le cours, f 1 (K) est un compact de R. Nous allons montrer que F est ferm dans E en utilisant la caractrisation squentielle des ferms. Soit ( fn)nN une suite dans F, f E telle que fn n f. Pour chaque n N, puisque fn F = xK B (x ;r), il existe xn K tel que fn B (xn ;r). Puisque K est compact et que (xn)nN est termes dans K, il existe une extractrice et x K tels que : x(n) n x. Comme fn n f, par suite extraite : f(n) n f. On a, pour tout n N : d(x(n), f ) d(x(n), f(n)) + d( f(n), f ) r + d( f(n), f ), do, en passant la limite lorsque lentier n tend vers linfini : d(x, f ) r, et donc f B (x ;r) F. On conclut que F est ferm dans E. Puisque (un)nN est borne, il existe M R+ tel que : n N, ||un|| M. 1) Montrons que V nest pas vide. Puisque la boule ferme B (0 ; M) est une partie ferme borne de levn E de dimension finie, B (0 ; M) est compacte. La suite (un)nN admet donc au moins une valeur dadhrence, donc V =/ . 2) Montrons que V est borne. Soit v V. Il existe une extractrice telle que u(n) n v. En particulier, il existe N N tel que : ||u(N) v|| 1. On a donc, par lingalit triangulaire : ||v|| ||v u(N)|| + ||u(N)|| 1 + M . Ceci montre que V est borne. 3) Montrons que V est ferme, en montrant que son complmentaire dans E est ouvert. Soit x E (V). Puisque x nest pas valeur dadhrence de (un)nN, il existe > 0 tel que lensemble n N ; un B(x ; ) soit fini. Il est clair alors que, pour tout y B(x ; ), lensemble n N ; un B y, d(x,y) , est fini, car cet ensemble est inclus dans le prcdent, donc y nest pas valeur dadhrence de (un)nN, do y E (V). Ceci montre : B(y ; ) E (V), et donc E (V) est ouvert dans E, V est ferm dans E. Ainsi, V est une partie non vide, ferme et borne de levn E de dimension finie, donc V est une partie compacte non vide de E. Raisonnons par labsurde : supposons quil existe une application f : [0 ; 1]2 [0 ; 1] continue bijective. Il est clair quil existe alors a,b,c [0 ; 1]2 tels que, par exemple : f (a) < f (b) < f (c). Il est clair quil existe au moins un chemin continu joignant a et c, dans [0 ; 1]2 , sans passer par b. Cest--dire quil existe une application : [0 ; 1] [0 ; 1]2 continue telle que : (0) = a, (1) = c t [0 ; 1], (t) =/ b. 1.40 1.42 1.41 46. 36 Par composition, f : [0 ; 1] [0 ; 1] est continue, et [0 ; 1] est connexe par arcs, donc (thorme du cours), ( f )([0 ; 1]) est connexe par arcs. Mais : ( f )(0) = f (0) = f (a) ( f )(1) = f (1) = f (c), donc : ( f )([0 ; 1]) [ f (a) ; f (c)] f (b). Il existe donc u [0 ; 1] tel que : ( f )(u) = f (b). On a ainsi f (u) = f (b) do, puisque f est injective, (u) = b, contradiction avec b / ([0 ; 1]). On conclut quil nexiste pas dapplication continue injective de [0 ; 1]2 dans [0 ; 1]. Nous allons montrer que N est la norme associe un produit scalaire. Considrons lapplication : E E R dfinie, pour tout ( f,g) E E, par : ( f,g) = 1 0 f g + 1 2 f (0)g(1) + f (1)g(0) , obtenue partir de N en ddoublant le rle de f dans N( f ) 2 . Il est clair que est symtrique et est linaire par rapport la deuxime place. Soit f E. On a : ( f, f ) = 1 0 f 2 + f (0) f (1). En utilisant lingalit de Cauchy et Schwarz pour des intgrales, on a : f (1) f (0) 2 = 1 0 f 2 1 0 12 1 0 f 2 = 1 0 f 2 . do : ( f, f ) = 1 0 f 2 + f (0) f (1) f (1) f (0) 2 + f (0) f (1) = f (1) 2 f (0) f (1) + f (0) 2 = f (1) f (0) 2 2 + 3 f (0) 2 4 0. En particulier, ceci montre que, pour toute f E, la racine car- re propose dans lnonc existe. Avec les mmes notations, supposons ( f, f ) = 0. On a alors : f (1) f (0) 2 2 0 + 3 f (0) 2 4 0 = 0, donc : f (1) f (0) 2 = 0 et f (0) = 0, do : f (0) = 0 et f (1) = 0, puis : 1 0 f 2 = ( f, f ) f (0) f (1) = 0 0 = 0. Comme f 2 est continue et 0, on dduit f 2 = 0, puis f = 0, donc f est constante, puis f = f (0) = 0. Ceci montre que est un produit scalaire sur E, et Nest la norme associe , donc N est une norme sur E. On a, par lingalit triangulaire, en intercalant par exemple x ||y|| , entre x ||x|| , et y ||y|| : x ||x|| y ||y|| x ||x|| x ||y|| + x ||y|| y ||y|| = 1 ||x|| 1 ||y|| ||x|| + 1 ||y|| ||x y|| = ||y|| ||x|| ||y|| + 1 ||y|| ||x y|| ||y x|| ||y|| + 1 ||y|| ||x y|| = 2 ||x y|| ||y|| . Par rles symtriques, on a aussi : x ||x|| y ||y|| 2 ||x y|| ||x|| . On conclut : x ||x|| y ||y|| 2 ||x y|| Max (||x||,||y||) . a) Soient x E et un voisinage ouvert de x dans E. Puisque U = E, on a : U =/ . Il existe donc au moins un lment y dans U. Comme U est ouvert et contient y, U est un voisinage de y dans E. Puisque V = E, on a alors ( U) V =/ , cest- -dire (U V) =/ . Ceci montre que, pour tout voisinage ouvert de x dans E, (U V) =/ , donc x U V . 1 0 0 1 a b f f(a) c f(b) f(c) 1f 1.43 1.44 1.45 47. 37 Finalement : U V = E. b) Passer aux complmentaires dans le rsultat de a) : F = G = E (F) = E (G) = E E (F) E (G) = E E (F G) = E (F G) = . a) Soit E. Puisque f est continue sur le segment [0; 1], f est borne, et donc N( f ) existe dans R. On a, pour tous de R et f,g de E : N( f ) = || f || = || || f || = ||N( f ) N( f + g) = ( f + g) = f + g || f || + ||g|| = N( f ) + N(g). 1) Supposons 1 ({0}) = . Soit f E telle que N( f ) = 0 ; on a donc f = 0. Supposons f =/ 0. Il existe x0 [0; 1] tel que f (x0) =/ 0. Puisque f est continue en x0, il existe un intervalle I, inclus dans [0; 1] et de longueur > 0, tel que : x I, f (x) =/ 0. On a alors : x I, (x) = 0, ce qui contredit 1 ({0}) = . Ceci montre f = 0, donc : f E, N( f ) = 0 f = 0 , et finalement, N est une norme sur E. 2) Supposons 1 ({0}) =/ . Alors 1 ({0}) , tant un ouvert non vide de [0 ; 1], contient au moins un intervalle [; ] tel que < . On a ainsi : x [; ], (x) = 0. Considrons lapplication f : [0; 1] R dfinie par : f (x) = 0 si 0 x ou x 1 x si x + 2 x si + 2 x . On a alors f E, f =/ 0, et f = 0 donc N( f ) = 0. Ceci montre que N nest pas une norme sur E. Finalement, N est une norme sur E si et seulement si 1 ({0}) = . b) Soit E. b) 1) Supposons 1 ({0}) = , cest--dire : x [0; 1], (x) =/ 0. Alors, 1 ({0}) = , donc, daprs a), N est une norme sur E. On a : f E, N( f ) = || f || || f |||||| . Dautre part, puisque E et que ne sannule en aucun point, 1 existe dans E, do : f E, || f || = 1 f 1 || f || = 1 N( f ). On a montr : f E, 1 1 || f || N( f ) |||||| f || , et donc N et || || sont quvalentes sur E. 2) Rciproquement, supposons que N et || || soient des normes sur E quivalentes. Daprs a), on a dj 1 ({0}) = . Supposons 1 ({0}) =/ . Il existe donc x0 1 ({0}), cest- -dire tel que (x0) = 0. Soit n N . Puisque est continue en x0 et que (x0) = 0, il existe > 0 tel que : x [x0 ; x0 + ] [0; 1], |(x)| 1 n . Considrons lapplication fn : [0; 1] R dfinie par : fn(x) = 0 si 0 x x0 ou x0 + x 1 x x0 + si x0 x x0 x0 + x si x0 x x0 + . On a alors fn E, || fn|| = 1, et, pour tout x de [0; 1] : | fn(x)(x)| |(x)| 1 n si |x x0| fn(x)(x) = 0 si |x x0| , y xO 1 f + 2 -- 2 1.46 48. On conclut, par rcurrence sur n : n N, u vn+1 vn+1 u = (n + 1)vn . b) Rappelons que LC(E) est un espace vectoriel norm, pour la norme |||.||| dfinie, pour tout f LC(E), par : ||| f ||| = Sup ||x|| 1 || f (x)||, et que cette norme est sous-multiplicative, cest--dire que : f,g LC(E), |||g f ||| |||g||| ||| f |||. On a donc, pour tout n N : (n + 1)|||vn ||| = |||(n + 1)vn ||| = |||u vn+1 vn+1 u||| |||u vn+1 ||| + |||vn+1 u||| |||u||| |||vn ||| |||v||| + |||vn ||| |||v||| |||u||| = 2 |||u||| |||v||| |||vn |||. c) Si, pour tout n N, vn =/ 0, alors on dduit : n N, n + 1 2 |||u||| |||v||| , contradiction. Il existe donc n N tel que vn = 0. Lensemble {n N ; vn = 0} est une partie non vide de N, donc admet un plus petit lment, not n0. Comme v0 = e =/ 0, car E =/ {0}, on a : n0 1. Appliquons la formule de a) n0 1 la place de n : u vn0 vn0 u = n0vn01 . Comme vn0 = 0 et n0 =/ 0, on dduit vn01 = 0, contradiction avec la dfinition de n0. On dduit une contradiction et on conclut quil nexiste pas (u,v) convenant. Autrement dit : (u,v) LC(E) 2 , u v v u =/ e. Soit F un ferm de C. Nous allons montrer que P(F) est un ferm de C en utilisant la caractrisation squentielle des ferms. Soient (Zn)nN une suite dans P(F), Z C tel que Zn n Z. Par dfinition de P(F), pour chaque n N, il existe alors zn F tel que : Zn = P(zn). Puisque Zn n Z, (Zn)nN est borne. Il existe donc M R+ tel que : n N, |Zn| M. Montrons que (zn)nN est borne. 38 Finalement, N et || || sont des normes quivalentes si et seulement si 1 ({0}) = . a) Rcurrence sur n. La proprit est vraie pour n = 0, par hypothse : u v v u = v = 1v0 . Supposons que la proprit soit vraie pour un n N fix : u vn+1 vn+1 u = (n + 1)vn . On a alors : u vn+2 vn+2 u = (u vn+1 vn+1 u) v + vn+1 u v vn+2 u = (u vn+1 vn+1 u) v + vn+1 (u v v u) = (n + 1)vn v + vn+1 e = (n + 2)vn+1 , ce qui montre la proprit pour n + 1. y n n x 1 1 1 O 1 x0 n x0 + nx0 y = fn(x) y = (x) 1.47 1.48 donc : N( fn) = || fn|| 1 n . Ainsi, || fn|| n 1 et N( fn) n 0, donc || || et N ne sont pas quivalentes. 49. 39 Si P est un polynme constant, gal un complexe , alors P(F) = {}, qui est un ferm de C. On peut donc supposer que P nest pas constant, cest--dire : deg (P) 1. On a alors : |P(z)| |z|+ +. Il existe donc A R+ tel que : z C, |z| A |P(z)| > M . On a donc, par contraposition : n N, |zn| A, ce qui montre que (zn)nN est borne. Puisque (zn)nN est borne et termes dans C qui est un espace vectoriel norm de dimension finie, il existe une extractrice et un lment u de C tels que : z(n) n u. De plus, comme (zn)nN est termes dans F et que F est ferm, on a : u F. Comme P est continue sur C, il en rsulte : P(z(n)) n P(u) . Mais, puisque P(zn) = Zn n Z , par suite extraite : P(z(n)) n Z . On dduit, par unicit de la limite : Z = P(u) P(F). On conclut, par la caractrisation squentielle des ferms, que P(F) est un ferm de C. Notons F = nN Fn. 1) On a : n N, F Fn, donc : n N, f (F) f (Fn), puis : f (F) nN f (Fn). 2) Rciproquement, soit x nN f (Fn). Pour chaque n N, il existe xn Fn tel que x = f (xn). Puisque K est compacte et que la suite (xn)nN est termes dans K (car xn Fn K), il existe une extractrice et y K tels que x(n) n y. Soit N N. On a : n N, x(n) F(n) F(N). Comme x(n) n y et que F(N) est ferm, il en rsulte : y F(N). De plus, comme est strictement croissante et que (Fn)nN est dcroissante (pour linclusion), on a alors : y FN. Ceci montre : N N, y FN , donc : y nN Fn = F. Enfin, comme x(n) n y et que f est continue, on a x = f (x(n)

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