mathematik fur wirtschaftswissenschaftler

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Persönliches Exemplar von Frau Mercedes Bohm vom 17.06.2014, Lesen & Drucken

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Mathematik Fur Wirtschaftswissenschaftler

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  • Persnliches Exemplar von Frau Mercedes Bohm vom 17.06.2014, Lesen & Drucken

  • Mathematik fr Wirtschaftswissenschaftler

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  • Knut SydsterPeter Hammondmit Arne Strm

    Mathematik frWirtschaftswissenschaftlerBasiswissen mit Praxisbezug

    4., aktualisierte Auflage

    bersetzt und fachlektoriert durch

    Dr. Fred BkerProfessor fr Statistik und konometriean der Georg-August-Universitt Gttingen

    Higher Education Mnchen Harlow Amsterdam Madrid Boston

    San Francisco Don Mills Mexico City Sydney

    a part of Pearson plc worldwide

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  • Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

    Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen National-bibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet ber http://dnb.dnb.de abruf-bar.

    Die Informationen in diesem Buch werden ohne Rcksicht auf einen eventuellenPatentschutz verffentlicht.Warennamen werden ohne Gewhrleistung der freien Verwendbarkeit benutzt.Bei der Zusammenstellung von Texten und Abbildungen wurde mit grterSorgfalt vorgegangen. Trotzdem knnen Fehler nicht ausgeschlossen werden.Verlag, Herausgeber und Autoren knnen fr fehlerhafte Angaben und deren Folgenweder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung bernehmen.Fr Verbesserungsvorschlge und Hinweise auf Fehler sind Verlag und Autor dankbar.

    Authorized translation from the English language edition, entitled ESSENTIALMATHEMATICS FOR ECONOMIC ANALYSIS, 04 Edition (ISBN: 978-0-273-76068-9) by Knut Sydster and Peter Hammond with Arne Strm 2012. This translation ofESSENTIAL MATHEMATICS FOR ECONOMIC ANALYSIS Fourth Edition is publishedby arrangement with Pearson Education Limited, United Kingdom.

    Alle Rechte vorbehalten, auch die der fotomechanischen Wiedergabe und der Speicherungin elektronischen Medien.Die gewerbliche Nutzung der in diesem Produkt gezeigten Modelle und Arbeiten ist nichtzulssig.

    Fast alle Produktbezeichnungen und weitere Stichworte und sonstige Angaben, die in die-sem Buch verwendet werden, sind als eingetragene Warenzeichen geschtzt. Da es nichtmglich ist, in allen Fllen zeitnah zu ermitteln, ob ein Markenschutz besteht, wird das Symbol in diesem Buch nicht verwendet.

    10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

    15 14 13

    ISBN 978-3-86894-189-0

    2013 by Pearson Deutschland GmbHMartin-Kollar-Strae 1012, D-81829 Mnchen/GermanyAlle Rechte vorbehaltenwww.pearson.deA part of Pearson plc worldwideLektorat: Martin Milbradt, [email protected]; Elisabeth Prmm, [email protected]: Claudia Burle, [email protected] und Fachlektorat: Prof. Dr. Fred Bker, Georg-August-Universitt GttingenEinbandgestaltung: Thomas Arlt, [email protected]: PTP-Berlin Protago TEX-Production GmbH, www.ptp-berlin.deDruck und Verarbeitung: Drukarnia Dimograf, Bielsko-Biaa

    Printed in Poland

    Persnliches Exemplar von Frau Mercedes Bohm vom 17.06.2014, Lesen & Drucken

  • Inhaltsbersicht

    Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    Kapitel 1 Einfhrung, I: Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    Kapitel 2 Einfhrung, II: Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 57

    Kapitel 3 Einfhrung, III: Verschiedenes . . . . . . . . . . . . . 77

    Kapitel 4 Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . 109

    Kapitel 5 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . 163

    Kapitel 6 Differentialrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

    Kapitel 7 Anwendungen der Differentialrechnung . . . . 253

    Kapitel 8 Univariate Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

    Kapitel 9 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

    Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik . . . . . . . . 407

    Kapitel 11 Funktionen mehrerer Variablen. . . . . . . . . . . . 443

    Kapitel 12 Handwerkszeug fr komparativstatische Analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

    Kapitel 13 Multivariate Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . 537

    Kapitel 14 Optimierung unter Nebenbedingungen . . . . . 579

    Kapitel 15 Matrizen und Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . 631

    Kapitel 16 Determinanten und inverse Matrizen . . . . . . 677

    Kapitel 17 Lineare Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 721

    Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

    Antworten zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

    Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909

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  • Inhaltsverzeichnis

    Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    Vorwort zur 4. deutschen Auflage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    Kapitel 1 Einfhrung, I: Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.1 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . 231.3 Regeln der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4 Brche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5 Potenzen mit gebrochenen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . 391.6 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.7 Intervalle und Absolutbetrge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    Kapitel 2 Einfhrung, II: Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 57

    2.1 Lsen einfacher Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2 Gleichungen mit Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.4 Lineare Gleichungen in zwei Unbekannten . . . . . . . . . . . . . 702.5 Nichtlineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    Kapitel 3 Einfhrung, III: Verschiedenes . . . . . . . . . . . . . 77

    3.1 Summennotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2 Regeln fr Summen, Newtons Binomische Formeln . . . . . . . 823.3 Doppelsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.4 Einige Aspekte der Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.5 Mathematische Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.6 Wesentliches aus der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.7 Mathematische Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

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  • Inhaltsverzeichnis

    Kapitel 4 Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . 109

    4.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.3 Graphen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.4 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.5 Lineare Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.6 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.7 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.8 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.9 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.10 Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

    Kapitel 5 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . 163

    5.1 Verschiebung von Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.2 Verknpfungen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.3 Inverse Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.4 Graphen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.5 Abstand in der Ebene. Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.6 Allgemeine Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

    Kapitel 6 Differentialrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

    6.1 Steigungen von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.2 Ableitung, Tangenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.3 Monoton wachsende und fallende Funktionen . . . . . . . . . . 2046.4 nderungsraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.5 Exkurs ber Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.6 Einfache Regeln der Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2176.7 Summen, Produkte und Quotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216.8 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2286.9 Ableitungen hherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346.10 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.11 Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

    8Persnliches Exemplar von Frau Mercedes Bohm vom 17.06.2014, Lesen & Drucken

  • Inhaltsverzeichnis

    Kapitel 7 Anwendungen der Differentialrechnung . . . . 253

    7.1 Implizites Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2547.2 konomische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2607.3 Ableitung der Inversen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2647.4 Lineare Approximationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2677.5 Polynomiale Approximationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737.6 Taylor-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2777.7 Warum konomen Elastizitten benutzen . . . . . . . . . . . . . . 2807.8 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2847.9 Mehr ber Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897.10 Zwischenwertsatz. Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 2987.11 Unendliche Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3027.12 Unbestimmte Formen und Regeln von LHospital . . . . . . . . 304

    Kapitel 8 Univariate Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

    8.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3148.2 Einfache Tests auf Extrempunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3178.3 konomische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3218.4 Der Extremwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3258.5 Weitere konomische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3318.6 Lokale Extrempunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3378.7 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

    Kapitel 9 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

    9.1 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3529.2 Flchen und bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3589.3 Eigenschaften bestimmter Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3659.4 konomische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3699.5 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3769.6 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3799.7 Integration ber unendliche Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . 3859.8 Ein flchtiger Blick auf Differentialgleichungen . . . . . . . . . . 3929.9 Separierbare und lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . 398

    9Persnliches Exemplar von Frau Mercedes Bohm vom 17.06.2014, Lesen & Drucken

  • Inhaltsverzeichnis

    Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik . . . . . . . . 407

    10.1 Zinsperioden und effektive Raten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40810.2 Stetige Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41210.3 Barwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41410.4 Geometrische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41710.5 Gesamtbarwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42310.6 Hypothekenrckzahlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42810.7 Interne Ertragsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43310.8 Ein flchtiger Blick auf Differenzengleichungen . . . . . . . . . 435

    Kapitel 11 Funktionen mehrerer Variablen. . . . . . . . . . . . 443

    11.1 Funktionen von zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44411.2 Partielle Ableitungen bei zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . 44811.3 Geometrische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45511.4 Flchen und Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46211.5 Funktionen von mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 46511.6 Partielle Ableitungen bei mehreren Variablen . . . . . . . . . . . 47011.7 konomische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47411.8 Partielle Elastizitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

    Kapitel 12 Handwerkszeug fr komparativstatische Analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

    12.1 Eine einfache Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48212.2 Kettenregel fr n Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48712.3 Implizites Differenzieren entlang einer Hhenlinie . . . . . . . 49112.4 Allgemeinere Flle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49612.5 Substitutionselastizitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50012.6 Homogene Funktionen von zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . 50312.7 Homogene und homothetische Funktionen . . . . . . . . . . . . . 50812.8 Lineare Approximationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51312.9 Differentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51712.10 Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52212.11 Differenzieren von Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . 525

    10Persnliches Exemplar von Frau Mercedes Bohm vom 17.06.2014, Lesen & Drucken

  • Inhaltsverzeichnis

    Kapitel 13 Multivariate Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . 537

    13.1 Zwei Variablen: Notwendige Bedingungen . . . . . . . . . . . . . 53813.2 Zwei Variablen: Hinreichende Bedingungen . . . . . . . . . . . . 54313.3 Lokale Extrempunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54813.4 Lineare Modelle mit quadratischer Zielfunktion . . . . . . . . . 55413.5 Der Extremwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56113.6 Drei oder mehr Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56713.7 Komparative Statik und das Envelope-Theorem . . . . . . . . . 570

    Kapitel 14 Optimierung unter Nebenbedingungen . . . . . 579

    14.1 Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren . . . . . . . . . . . . . 58014.2 Interpretation des Lagrange-Multiplikators . . . . . . . . . . . . . 58714.3 Mehrere Lsungskandidaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59014.4 Warum die Methode der Lagrange-Multiplikatoren

    funktioniert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59214.5 Hinreichende Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59814.6 Zustzliche Variablen und zustzliche

    Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60114.7 Komparative Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60714.8 Nichtlineare Programmierung: Ein einfacher Fall . . . . . . . . . 61214.9 Mehrere Nebenbedingungen in Ungleichheitsform . . . . . . . . 61814.10 Nichtnegativittsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

    Kapitel 15 Matrizen und Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . 631

    15.1 Systeme linearer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63215.2 Matrizen und Matrizenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63515.3 Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63915.4 Regeln fr die Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . 64415.5 Die transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65115.6 Gausche Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65415.7 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65915.8 Geometrische Interpretation von Vektoren . . . . . . . . . . . . . 66315.9 Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669

    11Persnliches Exemplar von Frau Mercedes Bohm vom 17.06.2014, Lesen & Drucken

  • Inhaltsverzeichnis

    Kapitel 16 Determinanten und inverse Matrizen . . . . . . 677

    16.1 Determinanten der Ordnung 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67816.2 Determinanten der Ordnung 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68216.3 Determinanten der Ordnung n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68616.4 Grundlegende Regeln fr Determinanten . . . . . . . . . . . . . . 68916.5 Entwicklung nach Co-Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69416.6 Die Inverse einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69816.7 Eine allgemeine Formel fr die Inverse . . . . . . . . . . . . . . . 70516.8 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70916.9 Das Leontief-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

    Kapitel 17 Lineare Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 721

    17.1 Ein grafischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72217.2 Einfhrung in die Dualittstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72817.3 Das Dualittstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73217.4 Eine allgemeine konomische Interpretation . . . . . . . . . . . . 73517.5 Komplementrer Schlupf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73817.6 Die Simplexmethode, erklrt an einem einfachen Beispiel . . . 74317.7 Mehr ber die Simplexmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74617.8 Die Simplexmethode im allgemeinen Fall . . . . . . . . . . . . . . 74917.9 Dualitt mit Hilfe der Simplexmethode . . . . . . . . . . . . . . . . 75717.10 Sensitivittsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760

    Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

    A.1 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770A.2 Das Griechische Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772

    Antworten zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

    Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909

    12Persnliches Exemplar von Frau Mercedes Bohm vom 17.06.2014, Lesen & Drucken

  • Vorwort

    Ich kam zu der Einstellung, dass mathematische Analysis nicht eine vonvielen Mglichkeiten ist, konomische Theorie zu betreiben: Es ist dieeinzige Mglichkeit. konomische Theorie ist mathematische Analysis.Alles andere ist nur Bilder und Gesprch.

    R.E. Lucas, Jr. (2001)

    Zielsetzung

    Wesentliche Stoffgebiete, deren Beherrschung von heutigen Studierenden der Wirt-schaftswissenschaften erwartet wird, verlangen bedeutende mathematische Kennt-nisse. Dies gilt sogar fr die weniger formale ,,angewandte Literatur, deren Studiumfr Kurse in Gebieten wie Finanzwirtschaft, industrielle Organisation, Arbeitskono-mie und vielen anderen verlangt wird. In der Tat setzt die meiste relevante LiteraturVertrautheit mit vielen mathematischen Handwerkszeugen wie Funktionen von ei-ner und mehreren Variablen sowie ein grundlegendes Verstndnis von multivariatenOptimierungsproblemen mit oder ohne Nebenbedingungen voraus. Lineare Algebrawird auch zum Teil in konomischer Theorie und in hherem Mae in konometriebentigt.

    Die Zielsetzung von Mathematik fr Wirtschaftswissenschaftler (Essential Mathema-tics for Economic Analysis) ist es daher, Studierenden zu helfen, die mathematischenHandwerkszeuge zu erlangen, die sie fr ihr Bachelorstudium bentigen. Dies sollteauch ausreichen fr das, was einige Studierende whrend dieses Studiums fr eineForschungsarbeit und Abschlussarbeit bentigen.

    Wie der Titel vermuten lsst, ist dies ein Mathematikbuch, in dem das Material so an-geordnet ist, dass schrittweises Lernen der mathematischen Themen mglich ist. Dasbedeutet, dass wir hufig wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen hervorhebenund zwar nicht nur, um ein mathematisches Thema zu motivieren. Wir mchten auchangehenden Wirtschaftswissenschaftlern helfen, sich gegenseitig verstrkende Intui-tion sowohl in Mathematik als auch in Wirtschaftswissenschaften zu erlangen. Durchzahlreiche Beispiele erhalten eine betrchtliche Anzahl von konomischenKonzeptenund Ideen Aufmerksamkeit in diesem Buch.

    Wir betonen jedoch, dass dies kein Buch ber Wirtschaftswissenschaften oder so-gar ber mathematische Wirtschaftswissenschaften ist. Studierende sollten die wirt-

    13

    Persnliches Exemplar von Frau Mercedes Bohm vom 17.06.2014, Lesen & Drucken

  • Vorwort

    schaftswissenschaftliche Theorie systematisch in anderen Kursen lernen, die andereBcher verwenden. Wir waren erfolgreich, wenn sie sich in diesen Kursen auf dieWirtschaftswissenschaften konzentrieren knnen, indem sie zuvor die relevanten ma-thematischen Grundlagen, die wir hier prsentieren, gemeistert haben.

    Besonderheiten und Begleitmaterial

    Dies ist mitnichten das erste Buch, das mit den oben beschriebenen Zielen geschrie-ben wurde. Aber es profitiert unserer Meinung nach von der Art und Weise, in deres zusammengefgt wurde. Einer der Autoren (Sydster) hat einen mathematischenHintergrund und hat jahrelange Erfahrungen in der Unterrichtung von Materialiendieser Art, vor allem im Department of Economics an der Universitt Oslo. Vielvon dem Material aus diesem Buch erschien urprnglich in Norwegisch und wurdeaus norwegischen Textbchern bersetzt, die in Skandinavien weitverbreitet waren.Der andere Autor (Hammond) hat auf beiden Seiten des Atlantiks in wirtschaftswis-senschaftlicher Theorie gelehrt und geforscht und besitzt groe Erfahrung in der Be-urteilung der verschiedenen Arten, in der mathematische Handwerkszeuge in aktu-ellen konomischen Analysen angewendet werden. Er hat ber mehrere Jahre auchMathematik-Kurse fr Wirtschaftswissenschaftler gegeben, insbesondere am Depart-ment of Economics der Stanford University. Alle Unterkapitel in diesem Buch endenmit Aufgaben. Es gibt darber hinaus auch viele Aufgaben zur Wiederholung am Endeeines jeden Kapitels. Antworten zu fast allen Aufgaben werden am Ende des Buchesgegeben, manchmal mit zahlreichen ausfhrlichen Lsungsschritten. Probleme, diemit gekennzeichnet sind, haben eine ausfhrlichere Lsung, die auf der Compa-nion Website zum Buch verfgbar ist. Die Antworten zu einigen, eher theoretischenoder komplizierteren Aufgaben finden Sie ausschlielich auf der Companion Website.Auf der Web-Seite gibt es darberhinaus auch eine Sammlung von jeweils 10 MultipleChoice Fragen zu jedem der 17 Kapitel.

    Voraussetzungen

    Erfahrung zeigt, dass es sehr schwierig ist, ein Buch wie dieses auf einem Niveau zustarten, das viel zu elementar ist.1

    Heutzutage haben Studierende, die in eine Fachhochschule oder eine Universitt ein-treten und sich auf Wirtschaftswissenschaften spezialisieren, eine enorme Bandbreitean mathematischem Hintergrund und mathematischer Begabung. Diese reichen amunteren Ende von allenfalls einem unsicheren Verstndnis der elementaren Algebrabis hin zu wirklichen Fhigkeiten in der Analysis von Funktionen einer Variablen.Weiterhin sind fr allzu viele Studierende der Wirtschaftswissenschaften einige Jah-re seit ihrem letzten Mathematikunterricht vergangen. Da wir uns in die Richtungbewegen, dass Mathematik unerlsslich ist fr spezielle Studien in den Wirtschafts-

    1 Krzlich gab es in einem Test fr 120 Studienanfnger in einem elementaren wirtschafts-wissenschaftlichen Kurs 35 verschiedene Antworten auf das Problem (a + 2b)2 auszumultipli-zieren.

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  • Vorwort

    wissenschaften, halten wir es dementsprechend fr notwendig, so viel elementaresMaterial wie mglich anzubieten. Unser Ziel ist es hier, denjenigen mit geringerenmathematischen Kenntnissen die Chance zu geben, mit leichten Problemen zu startenund das Vertrauen zu geben, dass sie diese selbst lsen knnen.

    Was unsere konomischen Errterungen betrifft, sollten Studierende es leichter zuverstehen finden, wenn sie bereits ein gewisses rudimentres Hintergrundwissen inkonomie haben. Trotzdem ist dieser Text hufig verwendet worden, um Studieren-de in Mathematik fr Wirtschaftswissenschaftler zu unterrichten, die zur gleichenZeit elementare Wirtschaftswissenschaften studieren. Wir sehen auch keinen Grund,warum dieses Material nicht von Studierenden, die an Wirtschaftswissenschaften in-teressiert sind, bewltigt werden kann, bevor sie begonnen haben, das Thema in einerformalen Lehrveranstaltung zu studieren.

    Behandelte Themen

    Nach dem einfhrenden Material in den Kapiteln 1 bis 3 enthalten die Kapitel 4 bis 8eine ziemlich gemchliche Behandlung der Differentialrechnung einer Variablen. Dar-auf folgt in Kapitel 9 die Integration und in Kapitel 10 die Anwendung auf Zinsratenund Barwerte. Dies entspricht etwa dem Stoff, den man in einigen elementaren Kursenbehandeln wird. Fr Studierende mit einer soliden Grundlage in der Analysis einerVariablen reicht es vermutlich aus, wenn sie sich auf einige spezielle Themen in die-sen Kapiteln konzentrieren wie Elastizitt und Bedingungen fr globale Optimierung,die hufig in elementaren Standardkursen nicht grndlich genug behandelt werden.

    Wir haben jedoch die Bedeutung der multivariaten Analysis (Kapitel 11 und 12), derOptimierungstheorie (Kapitel 13 und 14) und der Algebra der Matrizen und Deter-minanten (Kapitel 15 und 16) fr angehende Wirtschaftswissenschaftler betont. VieleDozenten, die frhere Ausgaben des Buches verwendet haben, haben uns berichtet,dass sie ihre Studierenden auch mit der elementaren Theorie der linearen Program-mierung vertraut machen wollen, was deshalb durch Kapitel 17 abgedeckt wird.

    Die Reihenfolge der Kapitel ist, wie wir glauben, ziemlich logisch, wobei jedes Kapitelauf Material aus den frherenKapiteln aufbaut. Die groe Ausnahme betrifft Kapitel 15und 16 ber lineare Algebra wie auch Kapitel 17 ber lineare Programmierung, vondenen das Meiste irgendwohin nach Kapitel 3 verlegt werden knnte.

    Schlsselkonzepte und -techniken

    Der weniger ehrgeizige Studierende kann sich auf das Erlernen der Schlssel-Konzepte und -Techniken jedes Kapitels beschrnken. Oft erscheinen diese einge-rahmt in Ksten oder in Farbe, um ihre Wichtigkeit hervorzuheben. Aufgaben sindunerlsslich fr den Lernprozess und die leichteren sollten unbedingt versucht wer-den. Diese Grundlagen sollten den Studierenden gengend mathematischen Hinter-grund geben, um die konomische Theorie in angewandten Arbeiten vor dem erstenakademischen Abschluss zu verstehen.

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  • Vorwort

    Studierende, die ehrgeiziger sind oder die durch Lehrer angeleitet werden, die mehrverlangen, sollten sich auch an den anspruchsvolleren Aufgaben versuchen. Sie kn-nen auch das Material in kleinerer Schrift studieren. Letzteres verfolgt die Absicht,Studierende anzuregen, der Frage nachzugehen, warum ein Resultat wahr ist oderwarum ein Problem auf eine spezielle Weise behandelt werden sollte. Je mehr Leserwenigstens etwas mehr zustzliche mathematische Einsichten gewinnen, indem siesich durch diese Teile des Buches arbeiten, desto besser.

    Die fhigsten Studierenden, insbesondere diejenigen, die eine Promotion in den Wirt-schaftswissenschaften oder einem angrenzenden Fachgebiet beabsichtigen, werdenvon grndlicheren Erklrungen einiger Themen profitieren als wir in diesem Buchbieten knnen. An einigen Stellen nehmen wir uns daher die Freiheit, auf unserenmehr angewandten Folgeband Further Mathematics for Economic Analysis (gewhn-lich mit FMEA abgekrzt) hinzuweisen, der gemeinsam mit Atle Seierstad und ArneStrm aus Oslo geschrieben wurde und in einer neuen Auflage mit Andres Carvajalaus Warwick.

    Insbesondere bietet FMEA eine geeignete Behandlung von Themen wie Bedingungenzweiter Ordnung fr die Optimierung und Konkavitt und Konvexitt von Funktionenmit mehr als zwei Variablen Themen von denen wir denken, dass sie weit ber dashinausgehen, was wirklich essenziell fr alle Studierenden der Wirtschaftswissen-schaften ist.

    nderungen in der vierten Auflage

    Wir sind erfreut ber die Vielzahl der Studierenden und Dozenten in vielen Lndern,die die drei ersten Auflagen dieses Buches offensichtlich wertvoll fanden.2 Wir warendadurch ermutigt, den Text noch einmal grndlich zu berarbeiten. Es gibt zahlreichekleine nderungen und Verbesserungen, unter anderem die folgenden:

    1) Neue Aufgaben wurden in jedem Kapitel hinzugefgt.

    2) Abbildungen wurden aktualisiert.

    3) Der Abschnitt 14.9 wurde berarbeitet, um ihn noch besser zugnglich zu machen.Er gliedert sich jetzt in 14.9MehrereNebenbedingungen in Ungleichheitsformund14.10 Nichtnegativittsbedingungen.

    Danksagungen

    ber die Jahre haben wir Hilfe von so vielen Kollegen, Lehrenden an anderen Institu-tionen und auch Studierenden erhalten, dass es uns unmglich ist, alle zu erwhnen.

    Schon seit einiger Zeit ist Arne Strm, auch am Department of Economics der Uni-versitt Oslo, ein unverzichtbares Mitglied unseres Produktionsteams. Seine meister-

    2 Verschiedene englische Versionen dieses Buches sind in Albanisch, Deutsch, Ungarisch, Ita-lienisch, Portugiesisch, Spanisch und Trkisch bersetzt worden.

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  • Vorwort

    hafte Beherrschung der Feinheiten und Komplikationen des TEX Systems und seineauerordentliche Fhigkeit, Fehler und Ungenauigkeiten aufzuspren, war uns einegroe Hilfe. Als lngst berfllige Anerkennung haben wir seinen Namen auf der Ti-telseite dieser Ausgabe hinzugefgt.

    Neben unseren sehr hilfreichen Herausgebern, mit Kate Brewin bei Pearson Educati-on an der Spitze, bedanken wir uns besonders bei Arve Michaelsen bei MatematiskSats in Norwegen fr die groe Unterstzung bei der Herstellung der in diesem Buchverwendeten Makros und der Abbildungen.

    Ganz besondererDank geht an Professor Fred Bker von der Universitt Gttingen, dernicht nur fr die bersetzung ins Deutsche verantwortlich ist, sondern auch auer-gewhnliche Sorgfalt bewiesen hat, indem er den von ihm bersetzten mathemati-schen Details groe Aufmerksamkeit geschenkt hat. Wir sind dankbar fr die resultie-rende groe Anzahl von wertvollen Verbesserungs- und Korrekturvorschlgen, die eruns weiterhin zukommen lsst.

    Diesen und all den vielen ungenannten Personen und Institutionen, die uns geholfenhaben, diesen Text zu ermglichen, einschlielich denen, deren Kommentare zu unse-rem frheren Buch vom Verlag an uns weitergeleitet wurden, wrden wir gern unseretiefe Anerkennung und Dankbarkeit aussprechen, verbunden mit der Hoffnung, dasssie das resultierende Produkt als Gewinn fr ihre Studierenden betrachten. Das ist es,worin wir alle bereinstimmen, was am Ende wirklich zhlt.

    Oslo und WarwickKnut Sydster und Peter Hammond

    Vorwort zur 4. deutschen Auflage

    Die vierte deutsche Auflage folgt wie ihre Vorgnger weitgehend dem englischen Ori-ginal, wobei die bersetzung grndlich berarbeitet und um einige Fehler bereinigtwurde. Hier danke ich fr alle Hinweise, um die ich auch in Zukunft bitte. Ein beson-derer Dank gilt meiner Nachfolgerin in der Mathematikausbildung in Gttingen, FrauEgle Tafenau, die zahlreiche Verbesserungsvorschlge gemacht hat.

    Mein Dank geht an die Autoren, Knut Sydster, Peter Hammond und Arne Strm frdie stets angenehme Zusammenarbeit. Dasselbe gilt auch fr Herrn Martin Milbradtvom Verlag Pearson Studium.

    GttingenFred Bker

    17

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  • Persnliches Exemplar von Frau Mercedes Bohm vom 17.06.2014, Lesen & Drucken

  • Einfhrung, I: Algebra

    11.1 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . 23

    1.3 Regeln der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    1.4 Brche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    1.5 Potenzen mit gebrochenen Exponenten . . . . . 39

    1.6 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    1.7 Intervalle und Absolutbetrge . . . . . . . . . . . . . 50 B

    ER

    BL

    IC

    K

    Persnliches Exemplar von Frau Mercedes Bohm vom 17.06.2014, Lesen & Drucken

  • 1 Einfhrung, I: Algebra

    Was heit das fr ein Leben fhren, Sich und die Jungens ennuyieren?

    Mephistopheles zu Faust (Aus Goethes Faust)

    Dieses einfhrende Kapitel befasst sich im Wesentlichen mit elementarer Algebra.Wir betrachten jedoch auch ganz kurz einige andere Themen, die es wert sind,wiederholt zu werden. Untersuchungen haben gezeigt, dass auch Studierende miteinem guten mathematischen Hintergrund oft von einer kurzen Wiederholung des-sen, was sie in der Vergangenheit gelernt haben, profitieren. Diese Studierendensollten das Material berfliegen und die weniger einfachen Probleme bearbeiten.Diejenigen mit einem schwcherenHintergrund in Mathematik oder diejenigen, dielngere Zeit nichts mit Mathematik zu tun hatten, sollten den Text sorgfltig lesenund dann die meisten der bungsaufgaben bearbeiten. Diejenigen, die betrchtli-che Schwierigkeiten mit diesem Kapitel haben, sollten sich ein elementareres Buchber Algebra suchen.

    1.1 Die reellen Zahlen

    Wir beginnen mit der Wiederholung einiger einfacher Eigenschaften und Resultatevon Zahlen. Die grundlegenden Zahlen sind

    1, 2, 3, 4, . . . (natrliche Zahlen)

    auch positive ganze Zahlen genannt. Hier sind 2, 4, 6, 8, . . . die geraden Zahlen und1, 3, 5, 7, . . . sind die ungeraden Zahlen. Obwohl das fr uns vertraut ist, sind solcheZahlen fr uns in Wirklichkeit ziemlich abstrakte und hochentwickelte Konzepte. DieKultur berschritt eine bemerkenswerte Schwelle, als sie die Idee verstand, dass eineHerde von vier Schafen und eine Sammlung von vier Steinen etwas gemeinsam haben,nmlich die Vierheit. Diese Idee wurde dargestellt durch solch primitive Symbolewie :: (immer noch verwendet auf Dominosteinen oder Spielkarten), die moderne 4und die rmische Ziffer IV. Diese Idee wird immer wieder aufgegriffen, wenn kleineKinder ihre mathematischen Fhigkeiten entwickeln.

    Die positiven ganzen Zahlen, zusammen mit 0 und den negativen Zahlen 1, 2,3, 4, . . . bilden die ganzen Zahlen:

    0, 1, 2, 3, 4, . . . (ganze Zahlen)

    Sie knnen auf einer Zahlengeraden wie der in Abb. 1 dargestellt werden. (Der Pfeilgibt die Richtung an, in der die Zahlen ansteigen.)

    5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

    Abbildung 1: Die Zahlengerade

    20

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  • 1.1 Die reellen Zahlen

    Die rationalen Zahlen sind solche Zahlen wie 3/5, die in der Form a/b geschriebenwerden knnen, wobei a and b beides ganze Zahlen sind. Eine ganze Zahl n ist aucheine rationale Zahl, weil n = n/1. Andere Beispiele fr rationale Zahlen sind:

    12,

    1170

    ,125

    7, 10

    11, 0 =

    01, 19, 1.26 = 126

    100.

    Die rationalen Zahlen knnen auch auf der Zahlengeraden dargestellt werden. StellenSie sich vor, dass wir zunchst 1/2 auf der Zahlengeraden markieren und dann alleVielfachen von 1/2. Dann markieren wir 1/3 und alle Vielfachen von1/3 usw. Es wirdIhnen nachgesehen, wenn Sie denken, dass es schlielich keinen Platz mehr gebenwird, um noch weitere Zahlen auf der Geraden zu platzieren. Dies ist jedoch falsch.Die alten Griechen wussten bereits, dass noch Lcher auf der Zahlengeraden bleibenwrden, selbst wenn alle rationalen Zahlen markiert wren. So gibt es z. B. keineganzen Zahlen p und q, so dass

    2 = p/q. Daher ist

    2 keine rationale Zahl. Euklid

    hat dies um 300 v. Chr. bewiesen.Die rationalen Zahlen reichen deshalb nicht aus, um alle mglichen Lngen, ge-

    schweige denn Flchen und Volumen zu messen. Dieser Mangel kann behoben wer-den, indem man das Konzept der Zahlen um die so genannten irrationalen Zahlenerweitert. Diese Erweiterung kann auf ganz natrliche Weise mithilfe der Dezimaldar-stellung fr Zahlen durchgefhrt werden, wie unten erklrt wird.

    Die meisten Menschen schreiben Zahlen heute im so genannten Dezimalsystemoder im System zurBasis 10. Jede natrliche Zahl kann mit den Symbolen 0, 1, 2, . . . , 9geschrieben werden, die Ziffern heien. Das englische Wort digit fr Ziffer bedeutetauch Finger und die meisten Menschen haben 10 Finger. Das 10er-Zahlensystemdefiniert jede Kombination von Ziffern als eine Linearkombination von Potenzen zurBasis 10, z. B.

    1984 = 1 103 + 9 102 + 8 101 + 4 100

    Jede natrliche Zahl kann eindeutig in dieser Form dargestellt werden. Mithilfe derZeichen + und knnen alle ganzen Zahlen, positive oder negative, in dieser Formgeschrieben werden. Dezimalpunkte erlauben es uns auch, rationale Zahlen darzu-stellen, die keine natrlichen Zahlen sind, z. B.

    3.1415 = 3 + 1/101 + 4/102 + 1/103 + 5/104

    Rationale Zahlen, die mit einer endlichen Anzahl von Dezimalstellen dargestellt wer-den knnen, heien endliche Dezimalbrche.

    Jeder endliche Dezimalbruch ist eine rationale Zahl, aber nicht jede rationale Zahlkann als endlicher Dezimalbruch geschrieben werden. Wir mssen auch unendlicheDezimalbrche zulassen wie z. B.

    100/3 = 33.333 . . .

    Dabei deuten die drei Punkte an, dass die Ziffer 3 unendlich oft wiederkehrt.

    21

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  • 1 Einfhrung, I: Algebra

    Wenn ein Dezimalbruch eine rationale Zahl ist, so ist er immer periodisch d. h. nacheiner bestimmten Stelle in der Dezimaldarstellung bricht die Darstellung entwederab oder eine endliche Folge von Ziffern wiederholt sich unendlich oft, z. B. 11/70 =0.1 571428 571428 5 . . . , wobei sich die Folge der sechs Ziffern 571428 unendlich oftwiederholt.

    Die Definition der reellen Zahlen folgt aus der vorangehenden Diskussion. Wir de-finieren eine reelle Zahl als einen beliebigen unendlichen Dezimalbruch. Eine reelleZahl hat also die Gestalt x = m.123 . . . , wobei m eine nicht-negative ganze Zahlund n (n = 1,2 . . .) eine unendliche Folge von Ziffern ist, jede aus dem Bereich 0bis 9. Wir haben bereits die periodischen Dezimalbrche als die rationalen Zahlenidentifiziert. Darber hinaus gibt es unendlich viele neue Zahlen in Form der nicht-periodischen Dezimalbrche. Diese heien irrationale Zahlen. Beispiele sind u. a.

    2,

    5, , 2

    2, und 0.12112111211112 . . . .

    Wir haben bereits erwhnt, dass jede rationale Zahl als Punkt auf der Zahlengeradendargestellt werden kann. Aber nicht alle Punkte auf der Zahlengeraden reprsentierenrationale Zahlen. Es ist so, als ob die irrationalen Zahlen die verbleibenden Lckenschlieen, nachdem alle rationalen Zahlen an ihrem Ort platziert sind. Daher ist ei-ne ununterbrochene und endlose Gerade mit einem Ursprung und einer positivenLngeneinheit ein geeignetes Modell fr die reellen Zahlen. Wir sagen oft, dass es ei-ne Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen den reellen Zahlen und der Zahlengeradengibt. Man spricht auch oft von der reellen Geraden, anstelle der Zahlengeraden.

    Man sagt von den rationalen und irrationalen Zahlen, dass sie dicht auf der Zah-lengeraden liegen. Dies bedeutet, dass man zwischen zwei reellen Zahlen, egal wienah sie zueinander liegen, immer noch eine rationale und eine irrationale Zahl findenkann tatschlich kann man von beiden je unendlich viele finden.

    Wendet man die vier Grundrechenartenauf die reellen Zahlen an, so ist das Ergebniswieder eine reelle Zahl. Die einzige Ausnahme ist, dass wir nicht durch 0 teilen1

    drfen.p

    0ist nicht definiert fr jede reelle Zahl p.

    Dies ist sehr wichtig und sollte nicht verwechselt werden mit 0/a = 0 fr alle a = 0.Beachten Sie insbesondere, dass 0/0 nicht als irgendeine reelle Zahl definiert ist.Wenn z. B. ein Auto 60 Liter Benzin braucht, um 600 Kilometer zu fahren, dann istder Benzinverbrauch 60/600 = 10 Liter pro 100 Kilometer. Wenn jedoch gesagt wird,

    1 Schwarze Lcher sind dort, wo Gott durch Null teilte. (Steven Wright)

    22

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  • 1.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

    dass ein Auto 0 Liter Benzin braucht, um 0 Kilometer zu fahren, so wissen wir nichtsber den Benzinverbrauch dieses Autos; 0/0 ist undefiniert.

    Aufgaben fr Kapitel 1.1

    1. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

    (a) 1984 ist eine natrliche Zahl. (b) 5 liegt rechts von 3 auf der Zah-lengeraden.

    (c) 13 ist eine natrliche Zahl. (d) Es gibt keine natrliche Zahl, dienicht rational ist.

    (e) 3.1415 ist nicht rational. (f) Die Summe zweier irrationaler Zah-len ist irrational.

    (g) 3/4 ist rational. (h) Alle rationalen Zahlen sind reell.

    2. Erklren Sie, warum der unendliche Dezimalbruch 1.01001000100001000001 . . .keine rationale Zahl ist.

    Lsungen zu den Aufgaben finden Sie im Anhang des Buches.

    1.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

    Sie sollten bereits wissen, dass wir oft 34 anstelle des Produkts 3 3 3 3 schreiben, dass12 12 12 12 12 als

    (12

    )5geschrieben werden kann und dass (10)3 = (10)(10)(10)

    = 1000. Wenn a eine beliebige Zahl und n eine natrliche Zahl ist, dann ist andefiniert durch

    an = a a a n Faktoren

    Wir nennen an die n-te Potenz von a. Dabei heit a die Basis (Grundzahl) und n istder Exponent (Hochzahl). Wir haben z. B. a1 = a, a2 = a a, x4 = x x x x und(

    p

    q

    )5=

    p

    q p

    q p

    q p

    q p

    q

    mit a = p/q und n = 5. Nach Definition ist a1 = a, ein Produkt mit nur einem Faktor.Gewhnlich lassen wir das Multiplikationszeichen weg, wenn keine Missverstnd-

    nisse zu befrchten sind. Wir schreiben z. B. abc, anstelle a b c. Jedoch ist es sicherer,in 1.053 = 1.05 1.05 1.05 das Produktzeichen beizubehalten.

    Wir definieren fernera0 = 1 fr a = 0

    Daher ist 50 = 1, (16.2)0 = 1 und (x y)0 = 1 (falls x y = 0). Wenn a = 0, weisen wira0 keinen numerischen Wert zu. Der Ausdruck 00 ist nicht definiert.

    Wir mssen auch Potenzen mit negativen Exponenten definieren. Was meinen wirmit 32? Es erweist sich als vernnftig 32 gleich 1/32 = 1/9 zu setzen. Im Allgemeinendefinieren wir

    an =1an

    23

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  • 1 Einfhrung, I: Algebra

    fr jede natrliche Zahl n und a = 0. Insbesondere ist a1 = 1/a. Auf diese Weisehaben wir ax fr alle ganzen Zahlen x definiert.

    Taschenrechnerhaben gewhnlich eine Taste zur Berechnung von Potenzen, diemit yx oder ax bezeichnet ist. ProbierenSie aus, wie mit Ihrem Taschenrechner

    23 (das ist 8), 32 (das ist 9) und 253 (das ist 0.000064) berechnet wird.

    Eigenschaften von Potenzen

    Es gibt einige Rechenregeln fr Potenzen, die Sie nicht nur auswendig knnen mssen,sondern Sie sollten auch verstehen, warum sie gelten. Die zwei wichtigsten sind:

    (i) ar as = ar+s (ii) (ar )s = ars

    berlegen Sie sich grndlich, was diese Regeln aussagen. Gem Regel (i) werdenPotenzen mit derselben Basis multipliziert, indem man die Exponenten addiert, z. B.

    a3 a5 = a a a 3 Faktoren

    a a a a a 5 Faktoren

    = a a a a a a a a 3 + 5 = 8 Faktoren

    = a3+5 = a8

    Hier ist ein Beispiel fr Regel (ii):

    (a2)4 = a a2 Faktoren

    a a2 Faktoren

    a a2 Faktoren

    a a2 Faktoren

    = a a a a a a a a 2 4 = 8 Faktoren

    = a2 4 = a8

    Division von zwei Potenzen mit derselben Basis funktioniert folgendermaen:

    ar as = ar

    as= ar

    1as

    = ar as = ars

    Wir dividieren also zwei Potenzen mit derselben Basis, indem wir den Exponentendes Nenners vom Exponenten des Zhlers subtrahieren, z. B. a3 a5 = a35 = a2.

    Beachten Sie noch, dass

    (ab)r = ab ab ab r Faktoren

    = a a a r Faktoren

    b b b r Faktoren

    = arbr

    und (ab

    )r=

    a

    b a

    b a

    b r Faktoren

    =

    r Faktoren a a ab b b

    r Faktoren

    =ar

    br= arbr

    Diese Regeln knnen auf den Fall mehrerer Faktoren ausgedehnt werden, z. B.

    (abcde)r = arbrcrdrer

    Wir haben gesehen, dass (ab)r = arbr . Was ist mit (a + b)r? Ein weit verbreiteter Fehlerin der elementaren Algebra ist, dass man dies gleichsetzt mit ar + br . Jedoch ist z. B.(2 + 3)3 = 53 = 125, aber 23 + 33 = 8 + 27 = 35. Daher ist

    (a + b)r = ar + br (im Allgemeinen)

    24

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  • 1.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

    Beispiel 1

    Vereinfachen2 Sie (a) xpx2p (b) ts ts1 (c) a2b3a1b5 (d) tptq1

    tr ts1.

    Lsung:

    (a) xpx2p = xp+2p = x3p

    (b) ts ts1 = ts(s1) = tss+1 = t1 = t(c) a2b3a1b5 = a2a1b3b5 = a21b3+5 = a1b8 = ab8

    (d)tp tq1tr ts1 =

    tp+q1

    tr+s1= tp+q1(r+s1) = tp+q1rs+1 = tp+qrs

    Beispiel 2

    Berechnen Sie x4y6, x6y9 und x2y3 + 2x10y15, wenn x2y3 = 5.

    Lsung: Wie knnen wir von der Annahme x2y3 = 5 Gebrauch machen, wenn wirx4y6 berechnen wollen. Vielleicht erkennen Sie, dass (x2y3)2 = x4y6 und daherx4y6 = 52 = 25. hnlich erhlt man

    x6y9 = (x2y3)3 = 53 =1

    125

    x2y3 + 2x10y15 = (x2y3)1 + 2(x2y3)5 = 51 + 2 55 = 6250.2

    Anmerkung1 Eine wichtige Motivation fr die Definitionen a0 = 1 und an = 1/an ist,dass die Regeln fr Potenzen sowohl fr negative und positive Exponenten als auchfr Exponenten, die gleich Null sind, gelten sollen. Betrachten Sie z. B. die Implikationder Forderung ar as = ar+s fr a5 a0. Wir erhalten a5+0 = a5, so dass a5 a0 = a5, unddaher mssen wir a0 = 1 setzen. Wenn an am = an+m fr m = n gelten soll, mussan an = an+(n) = a0 = 1 sein. Da an (1/an) = 1, mssen wir an als 1/an definieren.

    Anmerkung 2 Es passiert leicht, dass beim Rechnen mit Potenzen Fehler gemachtwerden. Die folgenden Beispiele sollen einige der hufigsten Fehlerquellen aufzeigen.(a) Es ist ein groer Unterschied zwischen (10)2 = (10)(10) = 100 und 102 =

    (1010) = 100. Das Quadratvon10 ist nicht das Negative des Quadrats von 10.(b) Beachten Sie, dass (2x)1 = 1/(2x). Hier wird das Produkt 2x mit 1 potenziert.

    Andererseits wird jedoch in dem Ausdruck 2x1 nur x mit 1 potenziert, so dass2x1 = 2 (1/x) = 2/x.

    (c) Das Volumen eines Balles mit Radius r ist 43r3. Wie gro ist das Volumen,

    wenn der Radius verdoppelt wird? Lsung: Das neue Volumen ist: 43(2r)3 =

    43(2r)(2r)(2r) =

    438r

    3 = 8(

    43r

    3), d. h. das Volumen ist 8-mal so gro wie das

    2 Hier und fr das ganze Buch sei nachdrcklich empfohlen, dass Sie versuchen, das Problemselbststndig zu lsen, indem Sie die hier gebotene Lsung zunchst zudecken und dann nachund nach die hier vorgeschlagene Lsung mit Ihrer eigenen vergleichen, um zu sehen, ob Siedas Problem richtig gelst haben.

    25

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  • 1 Einfhrung, I: Algebra

    ursprngliche. (Wenn wir flschlich (2r)3 in 2r3 vereinfachen wrden, wrdedas Resultat nur eine Verdopplung des Volumens ergeben, was jeglicher Alltags-erfahrung widerspricht.)

    Zinseszins

    Potenzen werden in praktisch allen Bereichen der angewandten Mathematik, ein-schlielich Wirtschaftswissenschaften, gebraucht. Sie werden den Nutzen der Potenz-rechnung verstehen, wenn Sie sich erinnern, dass Potenzen bentigt werden, um Zin-seszinsen zu berechnen.

    Nehmen Sie an, dass Sie 1000 Euro auf einem Bankkonto anlegen bei 8 % Zinsen amEnde des Jahres.3 Nach einem Jahr erhalten Sie 1000 0.08 = 80 Euro an Zinsen, so dassdas Guthaben auf Ihrem Bankkonto 1080 Euro betrgt. Dies kann so umgeschriebenwerden:

    1000 +1000 8

    100= 1000

    (1 +

    8100

    )= 1000 1.08

    Nehmen Sie an, dass dieser neue Betrag von 1000 1.08 Euro fr ein weiteres Jahr aufdem Konto stehen bleibt zu einem Zinssatz von 8 %. Nach dem zweiten Jahr ist derZinsbetrag 1000 1.08 0.08, so dass das Gesamtguthaben anwachsen wird auf

    1000 1.08 + (1000 1.08) 0.08 = 1000 1.08(1 + 0.08) = 1000 (1.08)2

    Jedes Jahr wchst das Guthaben um den Faktor 1.08, und wir sehen, dass es nach tJahren auf 1000 (1.08)t Euro anwachsen wird.

    Wenn der ursprnglich angelegte Betrag K Euro und die Zinsrate p % pro Jahr ist,wird das Guthaben am Ende des ersten Jahres K + K p/100 = K (1 + p/100) Eurobetragen. Der Wachstumsfaktor pro Jahr ist daher 1 + p/100. Nach t (ganzen) Jahrenwird das Anfangskapital von K Euro anwachsen auf den Betrag von

    K(

    1 +p

    100

    )t,

    wenn die Zinsrate p % pro Jahr ist (und die Zinsen jedes Jahr dem Konto gutgeschrie-ben werden d. h. es gibt Zinseszinsen).

    Dieses Beispiel verdeutlicht ein allgemeines Prinzip:

    Eine Gre K , die jedes Jahr um p % anwchst, wird nach t Jahren auf

    K(1 +

    p

    100

    )tanwachsen. Dabei wird 1 +

    p

    100der Wachstumsfaktor fr ein Wachstum von p %

    genannt.

    Wenn Sie einen Ausdruck wie (1.08)t sehen, sollten Sie sofort erkennen knnen, dassdies der Betrag ist, auf den 1 Euro nach t Jahren angewachsen ist, wenn die Zinsrate

    3 Zur Erinnerung sei gesagt, dass 1 % bedeutet eins von Hundert oder 0.01. So ist z. B. 23 %gleich 23 0.01 = 0.23. Um 23 % von 4000 Euro zu berechnen, schreiben wir 4000 23100 = 920oder 4000 0.23 = 920.

    26

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  • 1.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

    8 % pro Jahr ist. Wie ist (1.08)0 zu interpretieren? Sie legen 1 Euro zu 8 % pro Jahr anund lassen diesenBetrag fr 0 Jahre auf Ihrem Konto. Dann werden Sie immer noch nur1 Euro haben, weil keine Zeit vergangen ist, um irgendwelche Zinsen anzusammeln,so dass (1.08)0 gleich 1 sein muss.

    Anmerkung 3 1000 (1.08)5 ist der Betrag, den Sie nach 5 Jahren auf Ihrem Kontohaben werden, wenn Sie 1000 Euro zu 8 % Zinsen pro Jahr anlegen. Mit einem Rechnerwerden Sie schnell herausfinden,dass Sie ungefhr 1469.33 Euro besitzen werden. Einziemlich verbreiteter Fehler ist 1000 (1.08)5 = (1000 1.08)5 = (1080)5 zu setzen. Diesist 1012 (oder eine Billion) mal die richtige Antwort.

    Beispiel 3

    Ein neues Auto wurde fr 15 000 Euro gekauft und es wird angenommen, dass es jedesJahr 15 % an Wert verliert ber einen Zeitraum von 6 Jahren. Wie gro ist der Wertnach 6 Jahren?

    Lsung: Nach einem Jahr ist der Wert gefallen auf

    15 000 15 000 15100

    = 15 000(

    1 15100

    )= 15 000 0.85 = 12 750

    Nach zwei Jahren ist der Wert 15 000 (0.85)2 = 10 837.50, usw. und wir erkennen,dass der Wert nach sechs Jahren 15 000 (0.85)6 5 657 sein wird.

    Dieses Beispiel verdeutlicht ein allgemeines Prinzip:

    Eine Gre K , die jedes Jahr um p % abnimmt, wird nach t Jahren auf

    K(1 p

    100

    )tfallen. Dabei wird 1 p

    100der Wachstumsfaktor bei einer Abnahme um p % genannt.

    Brauchen wir wirklich negative Exponenten?

    Wie viel Geld htten Sie vor 5 Jahren bei einer Bank anlegen mssen, um heute 1000Euro zu haben, vorausgesetzt,dass die Zinsrate 8 % pro Jahr ber den ganzenZeitraumwar? Wenn wir diesen Betrag x nennen, so muss x (1.08)5 gleich 1000 Euro sein,d. h. x (1.08)5 = 1000. Indem wir auf beiden Seiten durch 1.085 dividieren, erhaltenwir

    x =1000

    (1.08)5= 1000 (1.08)5

    (was ungefhr 681 Euro ist). Daher htten Sie (1.08)5 Euro vor 5 Jahren anlegen ms-sen, um heute 1 Euro zu haben, gegeben, dass die Zinsrate konstant gleich 8 % war.Im Allgemeinen gilt: P

    (1 + p/100

    )tist der Betrag, den Sie vor t Jahren htten anlegen

    mssen, um heute P Euro zu haben, falls die Zinsrate p % pro Jahr gewesen wre.

    27

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  • 1 Einfhrung, I: Algebra

    Aufgaben fr Kapitel 1.2

    1. Berechnen Sie: (a) 103 (b) (0.3)2 (c) 42 (d) (0.1)1

    2. Schreiben Sie als Potenzen von 2: (a) 4 (b) 1 (c) 64 (d) 1/16

    3. Schreiben Sie als Potenzen:

    (a) 15 15 15 (b) ( 13 ) ( 13 ) ( 13 ) (c) 110 (d) 0.0000001(e) t t t t t t (f) (a b)(a b)(a b) (g) a a b b b b (h) (a)(a)(a)

    Berechnen und vereinfachen Sie die Ausdrcke in den Aufgaben 4 6 so weit wie mglich.

    4. (a) 25 25 (b) 38 32 33 (c) (2x)3 (d) (3xy2)3

    5. (a)p24p3

    p4p(b)

    a4b3

    (a2b3)2(c)

    34(32)6

    (3)1537 (d)p(pq)

    p2+q2

    6. (a) 20 21 22 23 (b)(

    43

    )3(c)

    42 6233 23

    (d) x5x4 (e) y5y4y3 (f) (2xy)3

    (g)102 104 103100 102 105 (h)

    (k2)3k4

    (k3)2(i)

    (x + 1)3(x + 1)2

    (x + 1)2(x + 1)3

    7. Die Oberflche einer Kugel mit Radius r ist 4r2 .

    (a) Mit welchem Faktor wchst die Oberflche, wenn der Radius verdreifacht wird?

    (b) Um wieviel % nimmt die Oberflche zu, wenn der Radius um 16% zunimmt?

    8. Welche der folgenden Gleichungen sind wahr und welche sind falsch? BegrndenSie Ihre Antworten. (Beachten Sie: a und b sind positiv, m und n sind ganze Zahlen.)

    (a) a0 = 0 (b) (a + b)n = 1/(a + b)n (c) am am = a2m

    (d) am bm = (ab)2m (e) (a + b)m = am + bm (f) an bm = (ab)n+m

    9. Ersetzen Sie im Folgenden die Pnktchen durch Ihre Antworten:

    (a) xy = 3 impliziert x3y3 = . . . (b) ab = 2 impliziert (ab)4 = . . .(c) a2 = 4 impliziert (a8)0 = . . . (d) n ganze Zahl impliziert (1)2n = . . .

    10. Berechnen Sie: (a) 13 % von 150 (b) 6 % von 2400 (c) 5.5 % von 200

    11. Eine Packung mit 5 Bllen kostet 8.50 Euro. Wenn die Blle einzeln gekauft werden,kosten Sie 2.00 Euro pro Stck. Wie viel billiger ist es, in Prozent ausgedrckt, diePackung zu erwerben als die Blle einzeln zu kaufen?

    12. Geben Sie fr jeden der folgenden Ausdrcke konomische Interpretationen an undbenutzen Sie dann einen Taschenrechner, um approximative Werte zu finden:

    (a) 50 (1.11)8 (b) 10 000 (1.12)20 (c) 5000 (1.07)10

    28

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  • 1.3 Regeln der Algebra

    Fortsetzung

    13. (a) 12 000 Euro werden bei 4 % Zinsen pro Jahr auf einem Konto angelegt. Wie hochist das Guthaben nach 15 Jahren?

    (b) Wie viel Geld (in Euro) htten Sie vor 5 Jahren bei einer Bank anlegen mssen, umheute 50 000 Euro zu haben, wenn die Zinsrate 6 % gewesen wre?

    14. Eine Gre wchst jedes Jahr um 25 % in einem Zeitraum von 3 Jahren. Wie gro istdas gesamte prozentuale Wachstum p ber die Dreijahresperiode?

    15. (a) Der Gewinn eines Unternehmens stieg von 1990 auf 1991 um 20 %, nahm dannvon 1991 auf 1992 um 17 % ab. Welches von den Jahren 1990 und 1992 hatte denhheren Gewinn?

    (b) Bei welcher prozentualen Abnahme von 1991 auf 1992 wren die Gewinne in 1990und 1992 gleich gro gewesen?

    Lsungen zu den Aufgaben finden Sie im Anhang des Buches.

    1.3 Regeln der Algebra

    Sie sind sicherlich schon mit den meisten der wichtigen Regeln der Algebra vertraut.Wir haben bereits einige in diesem Kapitel benutzt. Trotzdem erscheint es ntzlich,die wichtigsten Regeln zu wiederholen. Wenn a, b und c beliebige Zahlen sind, danngilt:

    (a) a + b = b + a (g) 1 a = a(b) (a + b) + c = a + (b + c) (h) a a1 = 1 fr a = 0(c) a + 0 = a (i) (a)b = a(b) = ab(d) a + (a) = 0 (j) (a)(b) = ab(e) ab = ba (k) a(b + c) = ab + ac

    (f) (ab)c = a(bc) (l) (a + b)c = ac + bc

    Diese Regeln werden in den folgenden Beispielen angewendet:

    5 + x2 = x2 + 5 (a + 2b) + 3b = a + (2b + 3b) = a + 5b

    x 13 =13 x (xy)y

    1 = x(yy1 ) = x

    (3)5 = 3(5) = (3 5) = 15 (6)(20) = 1203x(y + 2z) = 3xy + 6xz (t2 + 2t)4t3 = t24t3 + 2t4t3 = 4t5 + 8t4

    Die algebraischen Regeln knnen auf verschiedene Weisen kombiniert werden undman erhlt so:

    a(b c) = a[b + (c)] = ab + a(c) = ab acx(a + b c + d) = xa + xb xc + xd

    (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

    29

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  • 1 Einfhrung, I: Algebra

    Abb. 1 liefert ein geometrisches Argument fr die letzte dieser Regeln fr den Fall, indem die Zahlen a, b, c und d alle positiv sind. Die Flche (a + b)(c + d) des groenRechtecks ist die Summe der Flchen der vier kleinen Rechtecke.

    c d

    c + d

    b

    a

    a + b

    ac

    bc bd

    ad

    Abbildung 1

    Beachten Sie die folgenden drei quadratischen Identitten (Binomische Formeln),die so wichtig sind, dass Sie sie auswendig lernen sollten.

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1)

    (a b)2 = a2 2ab + b2 (2)(a + b)(a b) = a2 b2 (3)

    Die letzte dieser drei Gleichungen heit die Formel fr die Differenz von Quadraten.Die Beweise sind sehr einfach, z. B. (a + b)2 bedeutet (a + b)(a + b), welches gleichaa + ab + ba + bb = a2 + 2ab + b2 ist.

    Beispiel 1

    Berechnen Sie die folgenden Ausdrcke:

    (a) (3x + 2y)2 (b) (1 2z)2 (c) (4p + 5q)(4p 5q)

    Lsung:(a) (3x + 2y)2 = (3x)2 + 2(3x)(2y) + (2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2

    (b) (1 2z)2 = 1 2 1 2z + (2z)2 = 1 4z + 4z2(c) (4p + 5q)(4p 5q) = (4p)2 (5q)2 = 16p2 25q2

    Wir verwenden oft Klammern mit einem voranstehenden Minuszeichen. Da (1)x =x, folgt:

    (a + b c + d) = a b + c dIn Worten: Wenn Sie ein Klammernpaar mit voranstehendem Minuszeichen entfernenwollen, mssen Sie die Vorzeichen aller Terme in der Klammer ndern. Dabei drfenSie keines vergessen.

    Wir habengesehen, wie man zwei Faktoren (a+b) und (c+d) miteinander multipliziert.Wie berechnet man solche Produkte, wenn es mehrere Faktoren gibt? Hier ist einBeispiel:

    30

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  • 1.3 Regeln der Algebra

    (a + b)(c + d)(e + f ) =[(a + b)(c + d)

    ](e + f ) =

    (ac + ad + bc + bd

    )(e + f )

    = (ac + ad + bc + bd)e + (ac + ad + bc + bd)f

    = ace + ade + bce + bde + acf + adf + bcf + bdf

    Schreiben Sie alternativ (a + b)(c + d)(e + f ) = (a + b)[(c + d)(e + f )

    ], multiplizieren Sie

    dann aus und zeigen Sie, dass Sie dieselbe Antwort erhalten.

    Beispiel 2

    Berechnen Sie (r + 1)3.

    Lsung: (r + 1)3 =[(r + 1)(r + 1)

    ](r + 1) = (r2 + 2r + 1)(r + 1) = r3 + 3r2 + 3r + 1

    Illustration: Ein Ball mit dem Radius r Meter hat ein Volumen von 43r3 Kubikmetern.

    Um wie viel vergrertsich das Volumen, wenn der Radius um 1 Meter zunimmt? DieLsung ist:

    43(r + 1)3 4

    3r3 =

    43(r3 + 3r2 + 3r + 1) 4

    3r3 =

    43(3r2 + 3r + 1)

    Algebraische Ausdrcke

    Ausdrcke, die Buchstaben wie 3xy 5x2y3 + 2xy + 6y3x2 3x + 5yx + 8 enthal-ten, werden algebraische Ausdrcke genannt. Wir nennen 3xy , 5x2y3 , 2xy , 6y3x2 ,3x, 5yx und 8 die Terme in dem Ausdruck, der entsteht, wenn wir alle Terme zu-sammenfgen. Die Zahlen 3, 5, 2, 6, 3 und 5 sind die numerischen Koeffizienten.Zwei Terme, in denen nur die numerischen Koeffizienten verschieden sind, wie z. B.5x2y3 und 6y3x2, heien Terme vom selben Typ. Um Ausdrcke zu vereinfachen,sammeln wir Terme vom selben Typ. Dann stellen wir innerhalb jedes Terms die nume-rischen Koeffizienten an die Spitze und bringen dann die Buchstaben in alphabetischeReihenfolge. Somit ist:

    3xy 5x2y3 + 2xy + 6y3x2 3x + 5yx + 8 = x2y3 + 10xy 3x + 8

    Beispiel 3

    Multiplizieren Sie den folgenden Ausdruck aus und vereinfachen Sie dann:(2pq 3p2)(p + 2q) (q2 2pq)(2p q).Lsung:

    (2pq 3p2)(p + 2q) (q2 2pq)(2p q)= 2pqp + 2pq2q 3p3 6p2q (q22p q3 4pqp + 2pq2)= 2p2q + 4pq2 3p3 6p2q 2pq2 + q3 + 4p2q 2pq2

    = 3p3 + q3

    31

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  • 1 Einfhrung, I: Algebra

    Faktorenzerlegung

    Wenn wir 49 = 7 7 und 672 = 2 2 2 2 2 3 7 schreiben, so haben wir diese Zahlen inFaktoren zerlegt. Algebraische Ausdrcke knnen oft auf hnliche Weise in Faktorenzerlegt werden, z. B. 6x2y = 2 3 x x y und 5x2y3 15xy2 = 5 x y y(xy 3).

    Beispiel 4

    Zerlegen Sie jeden der folgenden Ausdrcke in Faktoren:

    (a) 5x2 + 15x (b) 18b2 + 9ab (c) K (1 + r) + K (1 + r)r (d) L3 + (1 )L2

    Lsung:(a) 5x2 + 15x = 5x(x + 3)

    (b) 18b2 + 9ab = 9ab 18b2 = 3 3b(a 2b)(c) K (1 + r) + K (1 + r)r = K (1 + r)(1 + r) = K (1 + r)2

    (d) L3 + (1 )L2 = L3 [ + (1 )L]Die quadratischen Identitten (Binomische Formeln) knnen oft (in umgekehrterRichtung) zur Bildung der Faktoren benutzt werden. Sie machen es manchmal mg-lich, Ausdrcke zu zerlegen, bei denen man auf den ersten Blick keine Faktorenerkennt.

    Beispiel 5

    Zerlegen Sie jeden der folgenden Ausdrcke in Faktoren:

    (a) 16a2 1 (b) x2y2 25z2 (c) 4u2 + 8u + 4 (d) x2 x + 14Lsung:

    (a) 16a2 1 = (4a + 1)(4a 1)(b) x2y2 25z2 = (xy + 5z)(xy 5z)(c) 4u2 + 8u + 4 = 4(u2 + 2u + 1) = 4(u + 1)2

    (d) x2 x + 14 = (x 12 )2

    Anmerkung 1 Einen Ausdruck in Faktoren zerlegen, heit, ihn als ein Pro-dukt von einfacheren Faktoren zu schreiben. Beachten Sie, dass 9x2 25y2 =3 3 x x 5 5 y y keine Faktorenzerlegung von 9x2 25y2 ist. Eine korrekteFaktorenzerlegung ist 9x2 25y2 = (3x 5y)(3x + 5y).

    Manchmal braucht man ein gewisses Ma an Kreativitt, um eine Faktorenzerlegungzu finden:

    4x2 y2 + 6x2 + 3xy = (4x2 y2) + 3x(2x + y)= (2x + y)(2x y) + 3x(2x + y)= (2x + y)(2x y + 3x)= (2x + y)(5x y)

    32

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  • 1.3 Regeln der Algebra

    Obwohl es schwierig oder unmglich sein kann, eine Faktorenzerlegung zu finden, istes sehr leicht zu zeigen, dass ein algebraischer Ausdruck korrekt zerlegt wurde, indemman einfach die Faktoren multipliziert. Zum Beispiel berprfen wir, dass

    x2 (a + b)x + ab = (x a)(x b)

    gilt, indem wir (x a)(x b) ausmultiplizieren.Die meisten algebraischen Ausdrcke knnen nicht in Faktoren zerlegt werden.

    Zum Beispiel gibt es keine Mglichkeit x2 + 10x + 50 als ein Produkt einfachererFaktoren zu schreiben.4

    Aufgaben fr Kapitel 1.3

    Berechnen und vereinfachen Sie die Ausdrcke in den bungsaufgaben 15.

    1. (a) 3 + (4) (8) (b) (3)(2 4) (c) (3)(12)(12

    )

    (d) 3[4 (2)] (e) 3(x 4) (f) (5x 3y)9

    (g) 2x(

    32x

    )(h) 0 (1 x) (i) 7x 2

    14x

    2. (a) 5a2 3b (a2 b) 3(a2 + b) (b) x(2x y) + y(1 x) + 3(x + y)(c) 12t2 3t + 16 2(6t2 2t + 8) (d) r3 3r2s + s3 (s3 r3 + 3r2s)

    3. (a) 3(n2 2n + 3) (b) x2(1 + x3) (c) (4n 3)(n 2)(d) 6a2b(5ab 3ab2) (e) (a2b ab2)(a + b) (f) (x y)(x 2y)(x 3y)

    4. (a) (ax + b)(cx + d) (b) (2 t2)(2 + t2) (c) (u v)2(u + v)2

    5. (a) (2t 1)(t2 2t + 1) (b) (a + 1)2 + (a 1)2 2(a + 1)(a 1)(c) (x + y + z)2 (d) (x + y + z)2 (x y z)2

    6. Berechnen Sie jeden der folgenden Ausdrcke:

    (a) (x + 2y)2 (b)(

    1x x

    )2(c) (3u 5v)2 (d) (2z 5w)(2z + 5w)

    7. (a) 2012 1992 = (b) Wenn u2 4u + 4 = 1, dann ist u = (c) (a + 1)2 (a 1)2

    (b + 1)2 (b 1)2 =

    8. Berechnen Sie 10002/(2522 2482) ohne Taschenrechner.

    9. Verifizieren Sie die folgenden kubischen Identitten, die gelegentlich ntzlich sind:

    (a) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (b) (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3

    (c) a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2) (d) a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)

    4 Wenn wir jedoch komplexe Zahlen einfhren, dann kann x2 + 10x + 50 in Faktoren zerlegtwerden.

    33

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  • 1 Einfhrung, I: Algebra

    Fortsetzung

    Zerlegen Sie in den bungsaufgaben 10 bis 15 die gegebenen Ausdrcke in Faktoren.

    10. (a) 21x2 y3 (b) 3x 9y + 27z (c) a3 a2b (d) 8x2y2 16xy

    11. (a) 28a2 b3 (b) 4x + 8y 24z (c) 2x2 6xy (d) 4a2b3 + 6a3b2

    (e) 7x2 49xy (f) 5xy2 45x3 y2 (g) 16 b2 (h) 3x2 12

    12. (a) x2 4x + 4 (b) 4t2s 8ts2 (c) 16a2 + 16ab + 4b2 (d) 5x3 10xy2

    13. (a) a2 + 4ab + 4b2 (b) K2L L2K (c) K4 LK5

    (d) 9z2 16w2 (e) 15 x2 + 2xy 5y2 (f) a4 b4

    14. (a) 5x + 5y + ax + ay (b) u2 v2 + 3v + 3u (c) P3 + Q3 + Q2P + P2Q

    15. (a) K3 K2L (b) KL3 + KL (c) L2 K2

    (d) K2 2KL + L2 (e) K3L 4K2L2 + 4KL3 (f) K3 K6

    Lsungen zu den Aufgaben finden Sie im Anhang des Buches.

    1.4 Brche

    Es sei daran erinnert, dass

    a b = ab

    Zhler Nenner

    Zum Beispiel 5 8 = 58 . Aus typografischen Grnden schreiben wir oft 5/8 anstelle 58 .Natrlich ist 5 8 = 0.625. Wir haben hier den Bruch als Dezimalzahl geschrieben.Der Bruch 5/8 heit ein echter Bruch, da 5 kleiner ist als 8. Der Bruch 19/8 ist einunechter Bruch, weil der Zhler grer als der Nenner (oder gleich dem Nenner) ist.Ein unechter Bruch kann als gemischte Zahl geschrieben werden:

    198

    = 2 +38

    = 238

    Beachten Sie: 2 38 bedeutet hier 2 plus 3/8. Andererseits 2 38 = 238 = 34 (nachden weiter unten folgenden Regeln). Beachten Sie aber, dass 2 x8 gleich 2 x8 . DieNotation 2x8 oder 2x/8 ist in diesem Fall offensichtlich vorzuziehen. In der Tatist 198 oder 19/8 offensichtlich besser als 2

    38 , da es auch hilft, Missverstndnisse zu

    vermeiden.Die wichtigsten Eigenschaften von Brchen sind im Folgenden aufgelistet, jeweils

    mit einfachen numerischen Beispielen. Es ist unbedingt erforderlich, dass Sie dieseRegeln beherrschen. Sie sollten daher grndlich prfen, ob Sie jede dieser Regelnkennen.

    34

    Persnliches Exemplar von Frau Mercedes Bohm vom 17.06.2014, Lesen & Drucken

  • 1.4 Brche

    Regel: Beispiel:

    (1)a c\b c\ =

    ab

    (b = 0 und c = 0) 2115

    =7 3\5 3\ =

    75

    (2)ab =

    (a) (1)(b) (1) =

    a

    b

    56 =

    56

    (3) ab

    = (1)ab

    =(1)a

    b=ab

    1315

    = (1)1315

    =(1)13

    15=1315

    (4)a

    c+

    b

    c=

    a + bc

    53

    +133

    =183

    = 6

    (5)a

    b+

    c

    d=

    a d + b cb d

    35

    +16

    =3 6 + 5 1

    5 6 =2330

    (6) a +b

    c=

    a c + bc

    5 +35

    =5 5 + 3

    5=

    285

    (7) a bc

    =a b

    c7 3

    5=

    215

    (8)a

    b c

    d=

    a cb d

    47 5

    8=

    4 57 8 =

    4\ 57 2 4\ =

    514

    (9)a

    b c

    d=

    a

    b d

    c=

    a db c

    38 6

    14=

    38 14

    6=

    3\ 2\ 72\ 2 2 2 3\ =

    78

    Regel (1) ist sehr wichtig. Es ist die Regel des Krzens (Vereinfachens) von Brchen,indem man Zhler und Nenner in Faktoren zerlegt und dann die gemeinsamen Fak-toren herausstreicht, d. h. Zhler und Nenner durch die gleiche Zahl (ungleich Null)dividiert.

    Beispiel 1

    Vereinfachen Sie: (a)5x2yz3

    25xy2z(b)

    x2 + xyx2 y2 (c)

    4 4a + a2a2 4

    Lsung:

    (a)5x2yz3

    25xy2z=

    5\ x\ x y\ z\ z z5\ 5 x\ y\ y z\ =

    xz2

    5y

    (b)x2 + xyx2 y2 =

    x(x + y)(x y)(x + y) =

    xx y

    (c)4 4a + a2

    a2 4 =(a 2)(a 2)(a 2)(a + 2) =

    a 2a + 2

    Wenn wir Regel (1) in umgekehrter Richtung benutzen, erweitern wir den Bruch, z. B.5/8 = 5 125/8 125 = 625/1000 = 0.625.

    Wenn wir Brche vereinfachen (krzen) wollen, drfen wir nur gemeinsame Fak-toren entfernen. Ein hufig auftretender Fehler soll durch das folgende Beispiel illus-triert werden.

    Falsch! 2x\ + 3yx\y =

    2 + 3y\y\ =

    2 + 31

    = 5

    In der Tat haben der Zhler und der Nenner in dem Bruch (2x +3y)/xy keinen gemein-samen Faktor. Eine korrekte Vereinfachung ist wie folgt: (2x + 3y)/xy = 2/y + 3/x.

    35

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  • 1 Einfhrung, I: Algebra

    Ein anderer Fehler wird in dem nchsten Beispiel gezeigt.

    Falsch! xx2 + 2x

    =x

    x2+

    x

    2x=

    1x

    +12

    Eine richtige Vereinfachung wre, den gemeinsamen Faktor x zu streichen, so dassdas Ergebnis 1/(x + 2) ist.

    Die Regeln (4)(6) werden fr die Addition von Brchen bentigt. Beachten Sie,dass (5) aus (1) und (4) folgt:

    ab

    +cd

    =a db d +

    c bd b =

    a d + b cb d

    Es ist einfach zu sehen, dass z. B.

    a

    b c

    d+

    e

    f=

    adf

    bdf cbf

    bdf+

    ebd

    bdf=

    adf cbf + ebdbdf

    ()

    Wenn die Zahlen b, d und f gemeinsame Faktoren haben, treten bei der in () aus-zufhrenden Berechnung unntig groe Zahlen auf. Wir knnen die Berechnung ver-einfachen, indem wir zuerst den kleinsten gemeinsamen Nenner (kgN) der Brchebestimmen. Dazu zerlegen wir jeden Nenner vollstndig in Faktoren. Der kgN ist dasProdukt aller verschiedenen Faktoren, die in den Nennern erscheinen, jeder Faktorerscheint in seiner hchsten Potenz, in der er in einem der Nenner auftritt. Die Ver-wendung des kgN wird in dem folgenden Beispiel demonstriert:

    Beispiel 2

    Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrcke:

    (a)12 1

    3+

    16

    (b)2 + aa2b

    +1 bab2

    2ba2b2

    (c)x yx + y

    xx y +

    3xyx2 y2

    Lsung:(a) Der kgN ist 6 und daher ist

    12 1

    3+

    16

    =1 32 3

    1 22 3 +

    12 3 =

    3 2 + 16

    =26

    =13

    (b) Der kgN ist a2b2 und daher ist

    2 + aa2b

    +1 bab2

    2ba2b2

    =(2 + a)b

    a2b2+

    (1 b)aa2b2

    2ba2b2

    =2b + ab + a ba 2b

    a2b2=

    a

    a2b2=

    1ab2

    (c) Der kgN ist (x + y)(x y) und daher istx yx + y

    xx y +

    3xyx2 y2 =

    (x y)(x y)(x y)(x + y)

    (x + y)x(x + y)(x y) +

    3xy(x y)(x + y)

    =x2 2xy + y2 x2 xy + 3xy

    (x y)(x + y) =y2

    x2 y2

    36

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  • 1.4 Brche

    Eine wichtige Anmerkung:

    Was meinen wir mit 1 532 ? Dieser Ausdruck bedeutet, dass wir von der Zahl 1 dieZahl 532 =

    22 = 1 subtrahieren. Deshalb ist 1 532 = 0. Alternativ knnte man so

    rechnen:

    1 5 32

    =22 (5 3)

    2=

    2 (5 3)2

    =2 5 + 3

    2=

    02

    = 0

    Genauso bedeutet2 + bab2

    a 2a2b

    dass wir (a 2)/a2b von (2 + b)/ab2 subtrahieren:2 + bab2

    a 2a2b

    =(2 + b)a

    a2b2 (a 2)b

    a2b2=

    (2 + b)a (a 2)ba2b2

    =2(a + b)

    a2b2

    Es ist oft hilfreich, zunchst die Zhler der Brche in Klammern zu setzen, so wie esim nchsten Beispiel gezeigt wird.

    Beispiel 3

    Vereinfachen Sie den Ausdruckx 1x + 1

    1 xx 1

    1 + 4x2(x + 1)

    .

    Lsung:x 1x + 1

    1 xx 1

    1 + 4x2(x + 1)

    =(x 1)x + 1

    (1 x)x 1

    (1 + 4x)2(x + 1)

    =2(x 1)2 2(1 x)(x + 1) (1 + 4x)(x 1)

    2(x + 1)(x 1)

    =2(x2 2x + 1) 2(1 x2) (4x2 5x + 1)

    2(x + 1)(x 1)

    =x 1

    2(x + 1)(x 1) =1

    2(x + 1)

    Wir beweisen (9), indem wir (a/b) (c/d) als Quotienten von Brchen schreiben:5

    a

    b c

    d=

    ab

    cd

    =b d abb d cd

    =

    b\ d ab\

    b d\ cd\

    =d ab c =

    a db c =

    a

    b d

    c

    Wenn wir mit Brchen von Brchen (d. h. mit Brchen im Zhler und Nenner einesBruches) arbeiten, so sollten wir hervorheben, welches der Bruchstrich des Haupt-Bruches ist, z. B.

    a

    b

    c

    bedeutet a bc

    =acb

    whrend

    abc

    bedeutetab c = a

    bc()

    5 Illustration (man wird sehr leicht durstig, wenn man diesen Stoff liest): Sie kaufen einenhalben Liter eines Erfrischungsgetrnks. Jeder Schluck ist ein Fnfzigstel eines Liters. WievieleSchlucke knnen Sie nehmen? Antwort: (1/2) (1/50) = 25.

    37

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  • 1 Einfhrung, I: Algebra

    Natrlich ist es sicherer, im ersten Falla

    b/coder a/(b/c) zu schreiben und im zweiten

    Falla/b

    coder (a/b)/c. Als numerisches Beispiel von (*) betrachten wir Gleichung

    135

    =53

    whrend

    135

    =115

    Aufgaben fr Kapitel 1.4

    Vereinfachen Sie in den Aufgaben 1 und 2 die entsprechenden Ausdrcke.

    1. (a)37

    +47 5

    7(b)

    34

    +43 1 (c) 3

    12 1

    24(d)

    15 2

    25 3

    75

    (e) 335 14

    5(f)

    35 5

    6(g)

    (35 2

    15

    ) 1

    9(h)

    23 +

    14

    34 +

    32

    2. (a)x10

    3x10

    +17x10

    (b)9a10

    a2

    +a5

    (c)b + 210

    3b15

    +b10

    (d)x + 2

    3+

    1 3x4

    (e)32b

    53b

    (f)3a 2

    3a 2b 1

    2b+

    4b + 3a6ab

    3. Krzen Sie gemeinsame Faktoren:

    (a)325625

    (b)8a2b3c64abc3

    (c)2a2 2b23a + 3b

    (d)P3 PQ2(P + Q)2

    4. Finden Sie die einfachste Form der folgenden Brche, wenn x = 3/7 und y = 1/14:

    (a) x + y (b)xy

    (c)x yx + y

    (d)13(2x 3y)

    2x + 1

    5. Vereinfachen Sie:

    (a)1

    x 2 1

    x + 2(b)

    6x + 254x + 2

    6x2 + x 2

    4x2 1

    (c)18b2

    a2 9b2 a

    a + 3b+ 2 (d)

    18ab

    18b(a + 2)

    +1

    b(a2 4)

    (e)2t t2t + 2

    (

    5tt 2

    2tt 2

    )(f) 2 a

    (1 12a

    )0.25

    6. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrcke:

    (a)2x

    +1

    x + 1 3 (b) t

    2t + 1 t

    2t 1 (c)3x

    x + 2 4x

    2 x 2x 1x2 4

    (d)

    1x

    +1y

    1xy

    (e)

    1x2

    1y2

    1x2

    +1y2

    (f)

    ax a

    yax

    +ay

    38

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  • 1.5 Potenzen mit gebrochenen Exponenten

    Fortsetzung

    7. Verifizieren Sie, dass x2 + 2xy 3y2 = (x + 3y)(x y) und vereinfachen Sie dann denAusdruck

    x yx2 + 2xy 3y2

    2x y

    7x + 3y

    8. Vereinfachen Sie:

    (a)(1

    4 1

    5

    )2(b) n n

    1 1n

    (c)1

    1 + xpq+

    11 + xqp

    (d)

    1x 1 +

    1

    x2 1

    x 2x + 1

    (e)

    1(x + h)2

    1x2

    h(f)

    10x2

    x2 15x

    x + 1

    Lsungen zu den Aufgaben finden Sie im Anhang des Buches.

    1.5 Potenzen mit gebrochenen Exponenten

    In konomischen Lehrbchernund Forschungsartikeln werden wir immer wieder aufPotenzen mit gebrochenen Exponenten wie z. B. K 1/4L3/4 und Ar2.08p1.5 stoen. Wiedefinieren wir ax , wenn x eine rationale Zahl ist? Natrlich wre es wnschenswert,wenn die gewohnten Regeln fr die Potenzrechnung weiterhin gltig blieben.

    Sie kennen vermutlich bereits von der Schule die Bedeutung von ax , wenn x = 1/2.Nmlich, wenn a 0 und x = 1/2, definieren wir ax = a1/2 als a, die Quadratwurzelvon a, d. h. a1/2 =

    a ist definiert als diejenige nichtnegative Zahl, die mit sich selbst

    multipliziert a ergibt. Diese Definition ist sinnvoll, da a1/2 a1/2 = a1/2+1/2 = a1 = a.Beachten Sie, dass das Ergebnis immer 0 sein muss, wenn man eine reelle Zahl mitsich selbst multipliziert, egal ob diese Zahl positiv, negativ oder Null ist. Daher ist

    a1/2 =

    a (gltig, wenn a 0)

    Zum Beispiel ist

    16 = 161/2 = 4, da 42 = 16 und

    125 =

    15 , da

    15 15 = 125 .

    Wenn a und b nichtnegative Zahlen sind (mit b = 0 in (ii)), dann gilt

    (i)

    ab =

    a

    b (ii)

    a

    b=

    ab

    Dies kann auch in der Form (ab)1/2 = a1/2b1/2 und (a/b)1/2 = a1/2/b1/2 geschriebenwerden. Zum Beispiel

    16 25 = 16 25 = 4 5 = 20 und 9/4 = 9/4 = 3/2.

    Beachten Sie, dass die Formeln (i) und (ii) nicht gelten, wenn a oder b oder beidenegativ sind. Zum Beispiel

    (1)(1) = 1 = 1, whrend 1 1 nicht definiert

    ist (es sei denn man benutzt komplexe Zahlen).

    Anmerkung 1 Beachten Sie, dass im Allgemeinen (a + b)r = ar + br . Fr r = 1/2impliziert dies, dass

    a + b = a +

    b (i. Allg.)

    39

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  • 1 Einfhrung, I: Algebra

    Das Folgende soll illustrieren, wie hufig dies nicht beachtet wird. Whrend einerExamensprfung in einem Grundlagenkurs in Mathematik fr konomen vereinfach-ten 22 % von 190 Studierenden den Ausdruck

    1/16 + 1/25 flschlicherweise zu

    1/4 + 1/5 = 9/20. (Die richtige Antwort ist

    41/400 =

    41/20.) In einem Test freine andere Gruppe machten 40 % den selben Fehler.

    Anmerkung 2 (2)2 = 4 und 22 = 4. Daher sind x = 2 und x = 2 beides Lsungender Gleichung x2 = 4. Deshalb gilt: x2 = 4 dann und nur dann, wenn x = 4 = 2.Beachten Sie jedoch, dass das Symbol

    4 nur 2 und nicht 2 bedeutet.

    Mit einem Taschenrechner finden wir heraus, dass

    23 0.816. Ohne Taschen-rechner allerdings ist die Division

    23 1.414 1.732 mhsam. Wenn wir den

    Bruch jedoch so erweitern (d. h. Zhler und Nenner mit demselben Term multiplizie-ren), dass Wurzelausdrcke im Nenner verschwinden, wird die Rechnung einfacher:

    23

    =

    2 33 3 =

    2 33

    =

    6

    3 2.448

    3= 0.816

    Manchmal kann die Formel fr die Differenz von Quadraten aus Kapitel 1.3 benutztwerden, um Quadratwurzeln aus dem Nenner zu eliminieren:

    15 +

    3

    =

    53(

    5 +

    3)(

    53) =

    535 3 =

    12

    (5

    3)

    N-te Wurzeln

    Was verstehen wir unter a1/n, wenn n eine natrliche und a eine positive Zahl ist?Was bedeutet z. B. 51/3? Wenn die Regel (ar )s = ars in diesem Fall auch noch geltensoll, msste (51/3)3 = 51 = 5 sein. Dies impliziert, dass 51/3 eine Lsung der Gleichungx3 = 5 sein muss. Man kann zeigen, dass diese Gleichung eine eindeutige positiveLsung hat, die mit 3

    5 bezeichnet wird, die kubische Wurzel von 5. Deshalb mssen

    wir 51/3 als 3

    5 definieren.Im Allgemeinen ist (a1/n)n = a1 = a. Daher ist a1/n eine Lsung der Gleichung xn = a.

    Man kann zeigen, dass diese Gleichung eine eindeutige positive Lsung hat, die mitn

    a, n-te Wurzel von a bezeichnet wird:

    a1/n = n

    a

    In Worten: Wenn a eine positive und n eine natrliche Zahl ist, dann ist a1/n dieeindeutig bestimmte positive Zahl, deren n-te Potenz a ergibt, d. h. (a1/n)n = a.

    Beispiel 1

    Berechnen Sie (a) 3

    27 (b)(

    132

    )1/5(c) (0.0001)0.25 = (0.0001)1/4

    40

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  • 1.5 Potenzen mit gebrochenen Exponenten

    Lsung:

    (a) 3

    27 = 3, da 33 = 27.

    (b)(

    132

    )1/5=

    12

    , da(

    12

    )5=

    132

    .

    (c) (0.0001)1/4 = 0.1, da (0.1)4 = 0.0001.

    Beispiel 2

    Ein Betrag von 5000 Euro ist auf einem Bankkonto in 15 Jahren angewachsen auf10 000 Euro. Welcher (konstante) jhrliche Zinssatz p liegt hier vor?

    Lsung: Nach 15 Jahren ist der Betrag von 5000 Euro angewachsen auf

    5000(1 + p/100

    )15.

    Daher haben wir die Gleichung:

    5000(

    1 +p

    100

    )15= 10 000 oder

    (1 +

    p

    100

    )15= 2

    Allgemein gilt (at )1/t = a1 = a fr t = 0. Indem wir jede Seite mit 1/15 potenzieren,erhalten wir

    1 +p

    100= 21/15 oder p = 100(21/15 1)

    Mit einem Taschenrechner erhalten wir p 4.73.

    Wir definieren jetzt ap/q , wenn p eine ganze Zahl, q eine natrliche Zahl und a > 0ist. Betrachten Sie zunchst 52/3. Wir haben bereits 51/3 definiert. Damit wir die Regel(ar )s = ars anwenden knnen, muss 52/3 = (51/3)2 sein. Deshalb mssen wir 52/3 als(

    3

    5)2

    definieren. Im Allgemeinen definieren wir fr a > 0

    ap/q =(a1/q

    )p=(

    q

    a)p

    (p eine ganze Zahl, q eine natrliche Zahl)

    Mit den Eigenschaften von Exponenten folgt:

    ap/q =(a1/q

    )p= (ap)1/q =

    q

    ap

    Daher knnen wir, um ap/q zu berechnen, entweder zuerst die q-te Wurzel von a be-rechnen und das Resultat mit p potenzieren oder zuerst a in die p-te Potenz erhebenund daraus die q-te Wurzel ziehen. Wir erhalten in jedem Fall dasselbe Ergebnis, z. B.

    47/2 = (47)1/2 = 163841/2 = 128 = 27 = (41/2)7

    Beispiel 3

    Berechnen Sie:

    (a) 163/2 (b) 161.25 (c)(

    127

    )2/3

    41

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  • 1 Einfhrung, I: Algebra

    Lsung:

    (a) 163/2 = (161/2)3 = 43 = 64

    (b) 161.25 = 165/4 =1

    165/4=

    1(4

    16)5 = 125 = 132

    (c)(

    127

    )2/3= 272/3 =

    ( 327 )2 = 32 = 9

    Beispiel 4

    Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrcke, so dass die Ergebnisse nur positive Expo-nenten enthalten:

    (a)a3/8

    a1/8(b) (x1/2x3/2x2/3)3/4 (c)

    (10p1q2/3

    80p2q7/3

    )2/3

    Lsung:

    (a)a3/8

    a1/8= a3/81/8 = a2/8 = a1/4 = 4

    a

    (b) (x1/2x3/2x2/3)3/4 = (x1/2+3/22/3)3/4 = (x4/3)3/4 = x

    (c)(

    10p1q2/3

    80p2q7/3

    )2/3= (81p12q2/3(7/3))2/3 = 82/3p2q2 = 4

    p2

    q2

    Anmerkung 3 Tests haben gezeigt, dass viele Studierende zwar in der Lage sind, mitquadratischen Identitten umzugehen, aber dennoch Fehler machen im Umgang mitkomplizierteren Potenzen. Hier sind einige Beispiele solcher Fehler:

    (i) (1 + r)20 ist nicht gleich 120 + r20.

    (ii) Wenn u = 9 + x1/2, so folgt nicht u2 = 81 + x; stattdessen gilt u2 = 81 + 18

    x + x.

    (iii) (ex ex)p ist nicht gleich exp exp (es sei denn p = 1).

    Anmerkung 4 Wenn q eine ungerade Zahl und p eine ganze Zahl ist, so kann ap/q

    sogar definiert werden, wenn a < 0. Zum Beispiel (8)1/3 = 38 = 2, da (2)3 =8. Jedoch muss man, wenn man ap/q fr a < 0 definiert, den Bruch p/q so weitwie mglich krzen. Wenn nicht, kann es Widersprche geben wie 2 = (8)1/3 =(8)2/6 = 6

    (8)2 = 664 = 2.

    42

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  • 1.5 Potenzen mit gebrochenen Exponenten

    Aufgaben fr Kapitel 1.5

    1. Berechnen Sie:

    (a)

    9 (b)

    1600 (c) (100)1/2 (d)

    9 + 16

    (e) (36)1/2 (f) (0.49)1/2 (g)

    0.01 (h)

    125

    2. Entscheiden Sie, ob das ? durch = oder = ersetzt werden sollte. Begrnden Sie IhreAntwort. (Nehmen Sie an, dass a und b positiv sind.)

    (a)

    25 16 ?

    25

    16 (b)

    25 + 16 ?

    25 +

    16

    (c) (a + b)1/2 ? a1/2 + b1/2 (d) (a + b)1/2 ? (

    a + b )1

    3. Lsen Sie nach x auf:

    (a)

    x = 9 (b)

    x

    4 = 4 (c)

    x + 2 = 25

    (d)

    3

    5 =

    x (e) 22x = 8 (f) 2x 2x1 = 4

    4. Eliminieren Sie die Quadratwurzeln aus dem Nenner und vereinfachen Sie dann:

    (a)67

    (b)

    322

    (c)

    3

    4

    2(d)

    5424

    6

    (e)23

    8(f)

    42y

    (g)x2x

    (h)x(

    x + 1)

    x

    5. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrcke, indem Sie die Quadratwurzeln aus demNenner eliminieren:

    (a)1

    7 +

    5(b)

    535 +

    3

    (c)x

    3 2

    (d)x

    y yxx

    y + y

    x(e)

    hx + hx

    (f)1x + 11 +

    x + 1

    6. Berechnen Sie ohne Taschenrechner:

    (a) 3

    125 (b) (243)1/5 (c) (8)1/3 (d) 30.008

    7. Bestimmen Sie approximativ mit einem Taschenrechner:

    (a) 3

    55 (b) (160)1/4 (c) (2.71828)1/5 (d) (1 + 0.0001)10000

    8. Die Zahl der Bewohner eines Staates wuchs in 12 Jahren von 40 auf 60 Millionen an.Wie gro ist die jhrliche prozentuale Wachstumsrate p?

    9. Berechnen Sie die folgenden Ausdrcke ohne Taschenrechner:

    (a) 811/2 (b) 641/3 (c) 162.25 (d)(

    132

    )210. Vereinfachen Sie:

    (a)(27x3py6qz12r

    )1/3(b)

    (x + 15)4/3

    (x + 15)5/6(c)

    8 3

    x2 4

    y

    1/z

    2 3xy5z

    43

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  • 1 Einfhrung, I: Algebra

    Fortsetzung

    11. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrcke so, dass jeder nur einen einzigen Expo-nenten von a enthlt.

    (a) (((a1/2)2/3)3/4)4/5 (b) a1/2a2/3a3/4a4/5

    (c)(((3a)1)2(2a2)1

    )/a3 (d)

    3

    a a1/12 4

    a3

    a5/12

    a

    12. Welche der folgenden Gleichungen gelten fr alle x und y?

    (a) (2x )2 = 2x2

    (b) 3x3y =3x

    33y

    (c) 31/x =1

    31/x(x = 0) (d) 51/x = 1

    5x(x = 0)

    (e) ax+y = ax + ay (f) 2

    x 2

    y = 2

    xy (x und y positiv)

    13. Wenn ein Unternehmen x Einheiten eines Inputs in einem Herstellungsprozess A ver-wendet, werden 32x3/2 Einheiten Output produziert. In einem alternativen Herstel-lungsprozess B werden 4x3 Einheiten Output produziert. Fr welche Niveaus desInputs produziert Prozess A mehr als Prozess B?

    Lsungen zu den Aufgaben finden Sie im Anhang des Buches.

    1.6 Ungleichungen

    Die reellen Zahlen bestehen aus den positiven Zahlen, der Null und den negativenZahlen. Wenn a eine positive Zahl ist, schreiben wir a > 0 (oder 0 < a) und sagen,dass a grer ist als Null. Eine grundlegende Eigenschaft der positiven Zahlen ist:

    a > 0 und b > 0 impliziert a + b > 0 und a b > 0 (1)

    Wenn die Zahl c negativ ist, schreiben wir c < 0 (oder 0 > c).Allgemein sagen wir, dass die Zahl a grer ist als die Zahl b und schreiben a > b

    (oder b < a), wenn a b positiv ist:

    a > b bedeutet a b > 0

    Also ist 4.11 > 3.12, weil 4.113.12 = 0.99 > 0, und3 > 5, weil3 (5) = 2 > 0.Auf der Zahlengeraden (siehe Abb. 1) bedeutet a > b, dass a rechts von b liegt.

    Wenn a > b, sagen wir oft, dass a strikt grer ist als b, um zu betonen, dass a = bausgeschlossen ist. Wenn a > b oder a = b, so schreiben wir a b (oder b a) undsagen, dass a grer oder gleich b ist.

    a b bedeutet a b 0

    Zum Beispiel 4 4 und 4 2. Beachten Sie insbesondere, dass es korrekt ist zuschreiben 4 2, weil 4 2 positiv oder 0 ist.

    Wir nennen > und < strikte Ungleichungen, whrend und schwache Unglei-chungen sind. Der Unterschied ist oft sehr wichtig in konomischen Analysen.

    44

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  • 1.6 Ungleichungen

    Man kann eine Reihe wichtiger Identitten der Ungleichheitszeichen> und bewei-sen. Zum Beispiel:

    Wenn a > b, dann ist a + c > b + c fr alle c (2)

    Der Beweis ist einfach: Fr alle Zahlen a, b und c gilt (a+c)(b+c) = a+cbc = ab.Daher ist fr ab > 0 auch a+c (b +c) > 0 und daraus folgt die Behauptung. Auf derZahlengeradenist diese Implikation selbstverstndlich (hier wurde c negativ gewhlt):

    b + c b a + c a

    Abbildung 1

    Selbst auf die Gefahr hin, trivial zu sein, wird hier ein Beispiel dieser Regel gegeben.Wenn an einem Tag die Temperatur in New York hher ist als in London und dann dieTemperatur an beiden Orten um die gleiche Anzahl von Graden zu- oder abnimmt,wird die resultierende Temperatur in New York immer noch hher sein als in London.

    Um kompliziertere Ungleichungen handhaben zu knnen, braucht man die folgen-den Eigenschaften:

    Wenn a > b und b > c, dann ist a > c (3)

    Wenn a > b und c > 0, dann ist ac > bc (4)

    Wenn a > b und c < 0, dann ist ac < bc (5)

    Wenn a > b und c > d, dann ist a+c > b+d (6)

    Alle vier Eigenschaften bleiben gltig, wenn man jedes > durch und jedes < durch ersetzt. Die Eigenschaften folgen alle sehr einfach aus (1). Zum Beispiel wird (5)wie folgt bewiesen: Sei a > b und c < 0. Dann ist a b > 0 und c > 0 und folglichnach (1) (a b)(c) > 0. Damit ist ac + bc > 0 und folglich ac < bc.

    Nach (4) und (5) gilt:

    (a) Wenn beide Seiten einer Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert wer-den, bleibt die Richtung der Ungleichung erhalten.

    (b) Wenn beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert wer-den, kehrt sich die Richtung der Ungleichung um.

    Es ist sehr wichtig, dass Sie diese Regeln