mathematical logic -1
DESCRIPTION
Undergraduate lectures on mathematical logic(GREEK) ,part 1TRANSCRIPT
-
, 1
1
.
,
.. :
1. . .
.
2. . .
.
. A B. S
A. S B. -
.
.
. -
-
. ,
. !
-
, 2
2
( , Propositional calculus, Sentential calculus)
.
(, , ...)
,
.
-
. .. \
". , ,
K. \ "
K ( ). -, \ ",
, M .
\" .
, , \ -
" , , C. -
. (-
, , ).
,
.
(K (C))
-
.
(C K)
-
.
((K) (C))
-
-
-
.
((C) (K)) ((C K))
,
. ,
,
-
, 3
.
, ,
.
'
. ..
K C ((C K))F F T
F T F
T F F
T T F
' .
-
, 4
2.1
:
(i) : , , , .(ii) : (, ).
(iii) :
1; 2; : : : ; n; : : :.
.
, .
, .
, , -
.
.. )) A3(, (A1 (A2)), ()A10 . ,
, \" . -
. :
2.1 -
, , :
(i) .
(ii) ( ); ( ); ( ); () . (iii) M (i) (ii) -
.
2.1
.
. -
, ,
-
, ,
.
.
.. ((A1 (A1 A3)) :
1. 1; 3 (i).
2. (A1); (A1 A3) (ii).3. ((A1 (A1 A3)) (ii).
-
, 5
:
((A1) (A1 A3))HHH
(A1) (A1 A3)
A1
A1
@@A3
,
. .. (A1 . -
.
P(x) .. P(x) \ x -
". , P(x) :
(i) P(i
) i
, -
.
(ii) P() P() P(()); P(( )); P(( )); P(( )). ( ). (i) (ii) P(x) x
x.
2.2
.
: :
(i) -
.
(ii) .
() - . , ( ) ( ) . ( ), ( ) .
2.2
, -
,
() ( ) ( ) ( ).
-
, 6
-
-
. ..
1 A2 3 (1 (A2 3)) ((1 A2) 3). ' .
.
2.3 -
: ( 1).(1) .
(2) ().(3) 1; 2 -
(12).
...
: ,
:
2.4 12 : : : n .
12 : : : 0 < < n 12 : : : n. .. (A1 (A2)) (A1 ( .
2.5
.
A: .
.
. ( ), (),... ( ). ( ) ( ( ( ( ( , , ' .
.
( ); ( ); (). 2.3
2.3
2.1. .
(1 2). (), 1 , 1
. - .. 1+1 = 2 1+1 2 1+1 2 .
-
, 7
. (1 2) (12)
1;
2 . 12)
12). 1 1,
1 2) 12) 1
1 , 1
1
1
1.
2.5
2.2. 1 1 2) 2) 2 2). ( ) ...
2.2.1
. -
, , , , , . .
2.2.2
, -
. ..
( ), ( ) (( ) ). \" ' ' . .. (( ) ( )).
-
, 8
2.3
1. ;;; A1; A2; : : : ; An; : : :. (-
)
.
2. -
.
(: ' ' .
'1; '2; : : : ; 'n, 1; 2; : : : ; n
'1'2 : : : 'n 1 2 : : : n ,
'
i
i
i n.)
-
, 9
2.4 (Semantics )
.
,
.
' , .
.
()
,
( ).
() ,
( ),
;;;
, , .
: -
;;;. -. ;;; .
.
;;; ; ; ; . . . -
(
) : (T, True)
(F, False).
. -
: :
' 'T F
F T
.
:
' ' T T T
T F F
F T F
F F F
\' " \' ".
-
, 10
:
\' " \' ". . - .
-
,
.
. .. ' -
\
" - -
. '
\ "
.
- . -
3 3. - :
' ' T T T
T F T
F T T
F F F
:
\' " \ ' ".' ' T T T
T F F
F T T
F F T
(2 )
. ' F. .
\ ' " .
(' ) T. : (' = T ' = F ' T F)
' = T = T (' ) = T = T. .
' = F = T (' ) = F . ' = F = F (' ) = F .
-
, 11
: \
x x
2". .
x . 3 4 .
x x
2
. 1 .
2.5
-
.. A1 (A1A2).
A1 A2, (A1 A2) A1 . {T;F} , T F. T
(True). F (False). ( -
T F , 1 0).
A P . 2.6
V : A {T;F}
( A ). V A
k
-
V T F. A1; A2; : : : ; An; : : :
, T F V
.
(.
) ,
. ,
.
V
. V , V
V : P {T;F} : - ()
:
0. A
i
A V (Ai
) = V (Ai
) ( V V ).
'; P V (') V ( ),
1. V ((')) ={T V (') = FF V (') = T
-
, 12
2. V ((' )) ={T V (') = T V ( ) = TF
3. V ((' )) ={F V (') = F V ( ) = FT
4. V ((' )) ={F V (') = T V ( ) = FT
:
(
). :
2.7 V -
V .
2.8 '
A
k1 ; Ak2 ; : : : ; Akn ( ) V1; V2
' . V1(Ak
i
) =V2(Ak
i
) i = 1; 2; : : : ; n, V1(') = V2(')... ' (A1 (A2 A5)) V (') V (A1); V (A2); V (A5) .. V (A50).
2.9 V
' V (') = T.
( ) .
2.10 ( |= ) .
-
( ) ( ) -
. |= . . (;). |= , . ' |= .
. ( ' ) |= ... = {';'} |= . . = {} , {} |= |= . |= |= ./ .
.. (' ) ./' .
-
, 13
2.6
1.
:
(' (( ) ( ))) ((' ( )) ((') (( ) ())))
2. (((' ) ') ') ;
3. (i) {'} |= |= (' )(ii) ./ |= ( ) ( )
-
, 14
2.7
( )
. ' -
.
. .
#.
'; ; , (#' ) - . ' .
V ((#' )), V , V ('); V ( ); V (). V ((#' )) , V ('), V ( ), V () .. V (') = V ( ) = T V () = F V ((#' )) = T. ,
-
. '
(#' ) ((' )(')( )). 2.11 B : {T;F}n {T;F} - Boole n (, ) n .
{T;F}n = {T;F} : : : {T;F} n
. T F
Boole 0 . ' T F . Boole . -
(
n- ) (.. ).
Boole.
.. (A1 A2) A1. Boole.A1 A2 (A1 A2) A1T T T
T F T
F T F
F F F
:
2.12
A1; : : : ; An. Boole n
B
. B
(x1; : : : ; xn) = V (), xi {T;F}, V V (Ai
) = xi
(i = 1; 2; : : : ; n). B
Boole .
-
, 15
2.13 G Boole n (n 1).
G = B
, G .
: 1 : G {F}.
(A1 A1) : : : (An An)
2 : 1 , k
G T, 0 < k 2n. .
x11; x12; : : : ; x1n (1)x21; x22; : : : ; x2n (2).
.
.
.
.
.
x
k1; xk2; : : : ; xkn (k)
ij
={A
j
x
ij
= T(Aj
) xij
= F
i
= i1 : : : in = 1 : : : k. G = B
. ;
i1; : : : ; in . ij
T A
j
.
ij
,
i
, .
.
G :G(T,T,T)=TG(T,T,F)=FG(T,F,T)=FG(T,F,F)=TG(F,T,T)=FG(F,T,F)=TG(F,F,T)=TG(F,F,F)=F T
:
F F T (A1) (A2) A3F T F (A1) A2 (A3)T F F A1 (A2) (A3)T T T A1 A2 A3
i
-
, 16
= ((A1) (A2) A3) ((A1) A2 (A3)) (A1 (A2) (A3)) (A1 A2 A3) (
' , )
. , -
( #)
' Boole, B'
.
' B'
. B'
= B
. '
. (;)
2.14 1 : : :
k
i
= i1 : : : ini
ij
.
2.13
.
2.15 -
.
: '. -
B'
. B'
= B
.
' .
2.8
2.16 S .. S = {;;}. To S Boole
-
S. Boole
; ( ). {;;} , , {;;;} . :
2.17 {;} {;} .: {;;} , {;} .
(' ) ./(' ): ' . {;}
-
, 17
(' ) ./(' ). : {;} (: ).
n, 22n
Boole
n . 0 : n = 0. T F .
. V
V (T ) = T V (F) = F... A F (A). 1 : 4. , , . 2: 22
2= 16. ;; :
T TF FA
B
ABA B (A B) (B A) A B B A . A+B (A B) (A B) (xor)A B (A B) A B (nor)A|B (A B) nandA < B (A) B F < T ()A > B A (B) T > F
2.18 {|} {} .: | :A B A|B A BT T F F
T F T F
F T T F
F F T T
:
A ./ (A|A)A B ./ ((A)|(B))
A ./ (A A)A|B ./ ((A) (B))
-
, 18
2.9
1. .
(i) , ;;... ( ) ( ) ; ...(ii) :
(' ( )) ((' ) (' ))(' ( )) ((' ) (' ))
(iii) :
((')) '(' ) (' )(' ) ((' ) (' ))(' ) (' )(' ) (' )
} De Morgan
(' ')
(' ('))(' ) (( ) (')) 2. () '
; . ' ' A A. './ '.
3. | .
4. .
5. 16 . ' 10
. (, A,B) 0 (). 10 | ( ) . 8
28 . : '
;
(: {;;;;} {;; ;+} . 19 ! {;F}, {;F} {; }, {;+}, {; }, {;+} . {; T } - {;} . ( '
-
, 19
./ T > (' > ) {;
-
, 20
p; p1; : : : ; pk
.
('(p; p1; : : : ; pk
) '(q; p1; : : : ; pk
)) (p q)
, (p1; : : : ; pk
), p1; : : : ; pk
,
'(p; p1; : : : ; pk
) (p )
.
(: .)
-
, 21
2.10
2.19 . - V
V () = T. (. .) .
2.20 ( ) -
.
: '
. .
2.21 - b () .
V ={ | V () = T} . -
.
.
2.22 :
1. () = 2. ( ) 3. ( ) 4. ( ) =
: 1. () {;} . , = . 2. ( ) . .. {( );} . . . ( ) . ( ) . .
:
-
, 22
2.23 -.
: V :
A ,
V (A) ={T A F A - A V (A), . V .
:
V () = T .
= 1 2. :12 ( . ) 1 2 (. ) V (1) =T V (2) = T V (1 2) = T. . , , ,
.
.
2.24 (Lindenbaum)
.: ' -
, .
2
1; 2; : : : ; n; : : : . -
0 1 2 n :
0 =
n+1 =
{n
{n
} n
{n
} . .n
{n
} n
.
n. n = 0 2
. 1{1 .
-
, 23
. n n
-
. n+1
n
{} n
{} -. { 1; : : : ; k
;} n
;. n
;
{ 1; : : : ; l
; } . n
-
, V ,
{ 1; : : : ; k
;
1; : : : ;
l
}. V V () = T, V { 1; : : : ; k
;}.
= n=0n.
-
n
n
n
.
{1; : : : ; k
} n - {1; : : : ; k
} n
n
{1; : : : ; k
} .
2.25 |= 0 0 |=.
: |= ; .
|= . ; , . -
0; (0 0 ). 0 |= .