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Matemáticas

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1ºBac

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o1º

Ciencias y tecnología

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Índice

Unidad 01Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. Evolución histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. La recta real. Intervalos y entornos . . . . . . . . . . . . . . 12

4. Unión e intersección de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . 14

5. Acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6. Valor absoluto de un número real . . . . . . . . . . . . . . . 16

7. Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Unidad 02Sucesiones de números reales. Logaritmos . . . . . . . . . 27

1. Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2. Operaciones con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Límite de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Cálculo de límites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Unidad 03Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2. Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3. Regla de Ruffini. Raíces de un polinomio . . . . . . 50

4. Factorización de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5. Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6. Operaciones con fracciones algebraicas . . . . . . . . 54

Unidad 04Ecuaciones, inecuaciones y sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1. Ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2. Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3. Ecuaciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5. Sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . 72

6. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7. Inecuaciones lineales con una incógnita . . . . . . 75

8. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

9. Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

10. Inecuaciones lineales con dos incógnitas . . . . . 79

11. Otra forma de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Unidad 05Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2. Complejos opuestos y conjugados. Afijo . . . . . . . . 94

3. Representación gráfica de un número complejo . . 954. Operaciones con números complejos

en forma binómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965. Expresiones de un número complejo . . . . . . . . . . . 986. Operaciones en forma polar y trigonométrica . . . 100

Unidad 06Razones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091. Definición de las razones trigonométricas . . . . . 1102. Relaciones entre las razones trigonométricas.

Razones de algunos ángulos característicos . . . 1113. Reducción de las razones trigonométricas . . . . 1124. Razones trigonométricas de la suma

y diferencia de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145. Razones trigonométricas del ángulo doble

y del ángulo mitad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166. Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Unidad 07Resolución de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1271. Resolución de triángulos rectángulos . . . . . . . . . . 1282. Teorema de los senos y del coseno . . . . . . . . . . . . 1303. Área de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324. Resolución de triángulos. Aplicaciones . . . . . . . . 133

Unidad 08Vectores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1431. El conjunto R2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1442. Vectores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484. Bases de V2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505. Producto escalar y ángulo de dos vectores . . . 152

Unidad 09La recta en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622. Ecuaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643. Otras ecuaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664. Determinación de una recta. Puntos alineados . . 1675. Posición relativa de dos rectas en el plano . . . 1686. Haz de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697. Ángulo de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708. Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Unidad 10Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811. Lugar geométrico. Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822. La circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

3. La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4. La hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5. La parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6. Tangentes y normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Unidad 11

Funciones reales de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

1. Funciones, tablas y gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

2. Dominio y recorrido de una función . . . . . . . . . . . 206

3. Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

4. Periodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5. Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . 210

6. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7. Acotación. Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

8. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

9. Composición de funciones. Función inversa . 218

Unidad 12

Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

1. Función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

2. Funciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

3. Funciones del tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

4. Funciones polinómicas de tercer grado . . . . . . . . 232

5. Funciones del tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

6. Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7. Funciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

8. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

9. Funciones definidas a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Unidad 13

Límites de funciones. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

1. Límite de una función en un punto . . . . . . . . . . . . 250

2. Límites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

3. Propiedades de los límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

4. Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

5. Indeterminaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

6. Continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

7. Discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Unidad 14

Derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

1. Tasas de variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

2. Derivada de una función en un punto . . . . . . . . . 272

3. Función derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

4. Funciones no derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

5. Monotonía y extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Unidad 15Introducción a la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2911. Primitiva de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2922. Interpretación geométrica. Propiedades

de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2943. Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2954. Método de integración por descomposición . . . 2965. Método de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2976. Área bajo una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2987. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . 3008. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3019. Cálculo del área de una región plana . . . . . . . . . . 302

Unidad 16Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111. Espacio muestral. Espacio de sucesos . . . . . . . . . . 3122. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3143. Probabilidad mediante diagramas de árbol . . . 3164. Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3185. Independencia de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3206. Probabilidad total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3217. Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

Unidad 17Distribuciones bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311. Variable estadística bidimensional . . . . . . . . . . . . . . 3322. Distribuciones marginales y condicionadas . . . 3343. Representaciones gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3354. Parámetros estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3365. Regresión. Regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

Unidad 18Distribuciones discretas.Distribución binomial . . . 3491. Variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3502. Función de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3513. Función de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3524. Parámetros de una variable aleatoria discreta . . 3545. Distribución binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Unidad 19Distribuciones continuas. Distribución normal . . . 3671. Función de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3682. Función de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3703. Distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714. Distribución normal estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3725. Tipificación de la variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3746. Aproximación de la binomial a la normal . . . . . 375

TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL . . . . . . . . . 383

TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL . . . . . . . . . . 384

k(x – a)2

kx

Polinomios

Los polinomios son herramientas matemáticas que se utilizan confrecuencia en diversos campos. Así, para calcular el área o el volu-men de un cono, para encontrar el espacio recorrido por un móvilcon una velocidad y una aceleración determinadas en función deltiempo, o para hallar los beneficios totales producidos por un capi-tal a cierto interés a lo largo de un determinado período de tiem-po se utilizan ciertas expresiones que, en realidad, son polinomioscon una o varias variables.

Sumario

1. Polinomios.2. Operaciones con polinomios.3. Regla de Ruffini. Raíces de un polinomio.4. Factorización de polinomios.5. Fracciones algebraicas.6. Operaciones con fracciones algebraicas.

03 0402 0501 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

UNIDAD

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POLINOMIOS03

1. PolinomiosAunque existen polinomios con varias variables, vamos a estudiar en profundidad aquellos quetienen solo una variable y cuya definición recordarás de cursos anteriores.

Los números reales a0, a

1, a

2, ... a

nreciben el nombre de coeficientes del polinomio y cada uno de

los sumandos aix i que componen el polinomio se denomina término de grado i.

El polinomio cuyos coeficientes son todos nulos se llama polinomio nulo y se denota por 0 (x ) o simplemente por 0.

Si el polinomio tiene dos o más variables, el grado de cada uno de sus términos es la suma de losgrados de las variables que intervienen en el término.

Así, 5xy 2 – 3x 2y + 5x 3 es un polinomio con dos variables cuyos tres términos son de grado 3.

Como puedes observar en estos ejemplos, en un polinomio es posible que no aparezcan los tér-minos de algún o algunos grados. Lo que ocurre en esos casos es que el coeficiente correspon-diente a ellos es cero y dichos términos no se escriben.

Cuando todos los coeficientes del polinomio son no nulos se dice que se trata de un polinomiocompleto.

Según el número de términos que componen un polinomio se establece la siguiente nomenclaturapara algunos de ellos:

• Monomio: si todos los coeficientes son nulos excepto uno, es decir, que el polinomio está for-mado por un único término.

• Binomio: cuando todos los coeficientes son nulos excepto dos y, por tanto, el polinomio estácompuesto por dos términos.

• Trinomio:cuando todos los coeficientes son nulos excepto tres y, por tanto, el polinomio estáformado por tres términos.

• Cuatrinomio:cuando todos los coeficientes son nulos excepto cuatro y, por tanto, el polinomioestá compuesto por cuatro términos.

Se llama polinomio con coeficientes reales en la indeterminada x a toda expresión finita de laforma:

P (x) = a0+ a

1x + a

2x 2 + ... + a

nx n

donde a0, a

1, a

2, ... a

n∈ � y n ∈ �. 1

Se define el grado de un polinomio distinto del nulo como el exponente n de la máxima poten-cia de la indeterminada.

a) P (x ) = 4x 3 + 5x 2 – 2x es un polinomio de tercer grado.

b) Q (x ) = 7 es un polinomio constante o de grado 0.

c) R (x ) = 4 + 5x – 6x 2 + 8x 4 es un polinomio de grado 4.

Ejemplos

El coeficiente a0 recibe el nombrede término independiente.

El coeficiente a n se llama coefi-ciente principal.

1

Amplía tus conocimientos

En la web

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Polinomios/index.htm

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm

http://www.emathematics.net/es/polinomios.php?a=3

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http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Polinomios/index.htm

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm

http://www.emathematics.net/es/polinomios.php?a=3

POLINOMIOS 03

La indeterminada de un polinomio puede sustituirse por algún valor, dando lugar a la siguientedefinición:

Son monomios los polinomios: P (x ) = 3x 3, Q (x ) = 8 y R (x ) = – 6x 4

Son binomios los polinomios: P (x ) = 3 – 7x , Q (x ) = 2x + 5x 3 y R (x ) = – 4x 2 – 9x 5

Son trinomios los polinomios: P (x ) = 5 – x + 3x 2 y Q (x ) = – x 4 + 3x 2 – 5

Son cuatrinomios los polinomios: P (x ) = 9x 3 – x 2 + 6x – 5 y Q (x ) = 3 + 8x 2 – 6x 4 – 10x 6

Ejemplos

a) El valor numérico de P (x) = 5x 2 – 3x + 6 para x = 2 es:

P (2) = 5 � 22 – 3 � 2 + 6 = 20

b) Si Q (x) = x 3 + 2x 2 – ax + 5, hallamos el valor de a sabiendo que Q (–1) = 3.

b) Q (–1) = (–1)3 + 2 � (–1)2 – a � (–1) + 5 = –1 + 2 + a + 5 = 6 + a

b) Como Q (–1) = 3, deducimos: 6 + a = 3 ⇒ a = – 3

Ejemplos

Vamos a hallar los valores de a, b y c para que los polinomios P (x) y Q (x) siguientes seaniguales:

P (x) = 3 – ax + 7x 2

Q (x) = bx 3 + 7x 2 – 5x – c

Para que ambos polinomios tengan el mismo grado es necesario que Q (x ) no tenga térmi-no de grado tres y, por tanto, se deduce que b = 0.

Igualando los coeficientes de los términos de primer grado, se obtiene que a = 5 y, al igua-lar los términos independientes, deducimos que c = –3.

Ejemplo

Se dice que P (x ) y Q (x ) son polinomios iguales si se cumple que:

• Los dos polinomios tienen el mismo grado.

• Son iguales entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado de ambos polinomios.

Dado un polinomio P (x), se llama valor numérico del polinomio para x = a, y se escribe P (a), al número real que se obtiene al sustituir la variable x por el número real a.

El polinomio opuesto de un poli-nomio P (x ) es aquel cuyos coefi-cientes son los opuestos de loscoeficientes de P (x ). Se denotacomo – P (x ).

Polinomio opuesto

Actividades

Clasifica los siguientes polinomios según su grado y según el númerode términos que los componen.

a) P (x ) = 2x2 – 5x + 1 c) Q (x ) = 6x3 + 7

b) R (x ) = x3 – x 5 + 4x – 6 d) S (x ) = – 14x4

Determina los valores de a, b, c y d para que sean iguales los polino-mios siguientes:

P (x ) = ax 3 – 3x 2 + b y Q (x ) = cx 5 – x 3 + dx 2 – 6

Halla el valor numérico de P (x ) = 5x3 – 4x2 + 2x para x = –2 y parax = 3.

3

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POLINOMIOS03

2. Operaciones con polinomiosVamos a recordar las operaciones habituales con polinomios: suma, resta, multiplicación y división.

2.1. Suma y restaSumar dos o más polinomios consiste simplemente en agrupar los términos del mismo grado.

Como puede observarse, en la definición anterior hemos supuesto que ambos polinomios tienenel mismo grado ya que, en caso contrario, es suficiente con añadir a uno de los polinomios los tér-minos nulos que sean necesarios.

Para restar dos polinomios P (x ) y Q (x ) se suma al primero el opuesto del segundo:

2.2. MultiplicaciónPara multiplicar dos polinomios nos basamos en el producto de dos monomios, que se efectúa dela forma siguiente: Si ax n y bx m son dos monomios con coeficientes reales, su producto es elmonomio abx n � m, teniendo en cuenta el producto de potencias de la misma base.

Dados los polinomios:

P (x ) = a0+ a

1x + a

2x 2 + ... + a

nx

ny Q (x ) = b

0+ b

1x + b

2x 2 + ... + b

nx n

se llama suma de P (x ) y Q (x ) al polinomio:

P (x ) + Q (x ) = (a0+ b

0) + (a

1+ b

1) x + (a

2+ b

2) x 2 + ... + (a

n+ b

n) x n

P (x) – Q (x) = P (x) + (– Q (x))

Sean los polinomios P (x ) = 4 – 3x + 5x 3 + x 4 y Q (x ) = 3 + 5x + 8x 2 – 4x 3.

Vamos a hallar su suma y su diferencia.

P (x ) + Q (x ) = (4 + 3) + (– 3 + 5) x + 8x 2 + (5 – 4) x 3 + x 4 = 7 + 2x + 8x 2 + x 3 + x 4

P (x ) – Q (x ) = (4 – 3) + (– 3 – 5) x – 8x 2 + (5 + 4) x 3 + x 4 = 1 – 8x – 8x 2 + 9x 3 + x 4

Ejemplo

Dados dos polinomios:

P (x ) = a0+ a

1x + a

2x 2 + ... + a

nx n y Q (x ) = b

0+ b

1x + b

2x 2 + ... + b

mxm

se define su producto, y se designa P (x ) � Q (x ), como el polinomio que resulta al sumar losproductos de cada monomio de P (x ) por cada monomio de Q (x ).

Si P (x ) = 3x + 5 y Q (x ) = 4x 2 – 5x + 6, su producto es:

P (x ) · Q (x ) = 3x · 4x 2 + 3x · (– 5x) + 3x · 6 + 5 · 4x 2 + 5 · (– 5x) + 5 · 6 =

= 12x 3 – 15x 2 + 18x + 20x 2 – 25x + 30 = 12x 3 + 5x 2 – 7x + 30

Ejemplo

Como la definición de la suma depolinomios se basa en la sumade sus coeficientes, que sonnúmeros reales, verifica las mis-mas propiedades que la suma dedichos números:

• conmutativa

• asociativa

• elemento neutro

• elemento opuesto

Propiedades de la suma de polinomios

Una forma práctica de realizar lamultiplicación de polinomios con-siste en ordenar sus términos demayor a menor grado, elegircomo multiplicador el polinomiode menor grado y realizar la ope-ración de forma similar a unamultiplicación de números devarias cifras.

4x 2 – 5x + 6× 3x + 5

20x 2 – 25x + 30

12x3 – 15x 2 + 18x

12x3 + 5x 2 – 7x +30

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POLINOMIOS 03

También se puede hablar del producto de un número real por un polinomio pero, en realidad, noes más que el producto de dos polinomios, uno de los cuales es un monomio constante.

Los polinomios C (x ) y R (x) reciben los nombres de cociente y resto.

Para efectuar la división se realiza el proceso siguiente:

1.° Se ordenan los términos de los polinomios, dividendo y divisor, de mayor a menor grado y sedivide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, obteniéndose el primertérmino del cociente.

2.° Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el resultado se resta del dividen-do, obteniéndose un resto parcial.

3.° Tomando este resto como dividendo se vuelve a repetir el proceso para calcular el segundo tér-mino del cociente. Se repite el proceso tantas veces como sea necesario hasta que se obtengaun resto parcial de grado inferior al del divisor. Este último resto parcial es el resto de la división.

2.3. DivisiónIgual que ocurre en la división de números reales, la división de polinomios no siempre es exacta,lo que da lugar a la siguiente definición:

Dados dos polinomios P (x ) y Q (x ) � 0 (x ), la división de P (x) entre Q (x) es el procesoseguido para hallar los únicos polinomios C (x ) y R (x ) tales que:

P (x ) = C (x ) · Q (x ) + R (x ), con grado (R (x )) � grado (Q (x ))

1

Vamos a dividir P (x ) = 3x 5 + 6x 4 – x 3 + 13x 2 – x + 4 entre Q (x) = 3x 2 + 2.

3x 5 + 6x 4 – x 3 + 13x 2 – x + 4 ⏐ 3x 2 + 2

– 3x 5 – 2x 3 x 3 + 2x 2 – x + 3

6x 4 – 3x 3 + 13x 2 – x + 4

– 6x 4 – 4x 2

– 3x 3 + 9x 2 – x + 4

3x 3 + 2x

9x 2 + x + 4

– 9x 2 – 6

x – 2

Así, el cociente es C (x ) = x 3 + 2x 2 – x + 3 y el resto es R (x ) = x – 2.

Ejemplo

Teniendo en cuenta las propieda-des de la suma y de la multiplica-ción de números reales, se dedu-ce que el producto de polinomiosverifica las propiedades:

• conmutativa

• asociativa

• elemento unidad

Propiedades de la multiplicación

Si R (x ) = 0 (x ), la división esexacta y se dice que P (x ) es divi-sible por Q (x ).

1

Actividades


P (x ) = 2 + 5x 2 – 6x 3 + x 4, Q (x ) = 3x 3 – 7x + 5 y

R (x ) = 5x 4 + 3x 3 – 2x + 9, efectúa:

a) P (x ) + Q (x ) + R (x ) c) P (x ) � Q (x )

b) – P (x ) – Q (x ) + R (x ) d) 2P (x ) + 4Q (x ) – 7R (x )

Efectúa:

a) (6x 4 + 5x 3 – 7x 2 + 3x + 5) : (2x 2 + 3x – 1)

b) (3x 4 + 5x 3 – 2x + 3) : (x 2 – 3x + 2)

Sean P (x ) = x 4 + 2x 3 + x 2 + ax + b y Q (x ) = x 2 + x – 1.

Calcula a y b para que la división de P (x ) entre Q (x ) sea exacta.

6

54

49

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50

POLINOMIOS03

3. Regla de Ruffini. Raíces de un polinomioSi en una división de polinomios el divisor es de la forma (x – a), siendo a un número real, sepuede utilizar un método para efectuar la división conocido como regla de Ruffini.

Para mostrar su mecanismo de una forma más clara vamos a suponer que tenemos los polinomiosP (x ) = a

4x 4 + a

3x 3 + a

2x 2 + a

1x + a

0y Q (x ) = x – a. El procedimiento será el mismo para cualquier

grado de P (x ).

a4

a3

a2

a1

a0

a a · b3

a · b2

a · b1

a · b0

a4= b

3a

3+ a · b

3= b

2a

2+ a · b

2= b

1a

1+ a · b

1= b

0a

0+ a · b

0= R

De aquí se obtiene que el cociente es el polinomio C (x ) = b3x 3 + b

2x 2 + b

1x + b

0y que el resto

de la división es R.

El cociente resulta ser de grado inferior en una unidad al del polinomio dividendo, ya que el divisores de grado uno, y, por tanto, también se deduce que el resto debe ser de grado cero o constante.

1

En relación con la regla de Ruffini, existe un importante teorema que mostramos a continuación.

Para dividir un polinomio P (x ) cualquiera entre uno de la forma Q (x ) = x + a, también se puedeutilizar la regla de Ruffini, teniendo en cuenta que x + a = x – (– a).

En efecto, si al efectuar la regla de Ruffini obtenemos que C (x ) es el cociente de la división y queR es el resto, se deduce que:

P (x ) = C (x ) · (x – a) + R

Y, sustituyendo la variable x por a, se tiene que:

P (a) = C (a) · (a – a) + R = C (a) · 0 + R = 0 + R = R

Vamos a dividir P (x ) = 8x 5 + 6x 4 – 2x 2 + x – 5 entre Q (x ) = x – 2.

8 6 0 – 2 1 – 5

2 16 44 88 172 346

8 22 44 86 173 341

Así, el cociente es C (x ) = 8x 4 + 22x 3 + 44x 2 + 86x + 173 y el resto es R = 341.

Ejemplo

Vamos a dividir P (x ) = 8x 5 + 6x 4 – 2x 2 + x – 5 entre Q (x ) = x + 3.

8 6 0 – 2 1 – 5

– 3 – 24 54 – 162 492 – 1 479

8 – 18 54 – 164 493 – 1 484

Así, el cociente es C (x ) = 8x 4 – 18x 3 + 54x 2 – 164x + 493 y el resto es R = – 1 484.

Ejemplo

Teorema del resto:El resto R de la división de un polinomio P (x ) entre Q (x ) = x – a coincidecon el valor numérico de P (x ) para x = a.

En el dividendo se ordenan sustérminos de mayor a menor grado.

Si en el dividendo falta el términode algún grado, se pone cero ensu lugar correspondiente.

Se baja el primer término (a4),que será también el primer tér-mino de C (x ).

Bajo el segundo término (a3) sesitúa el producto de a · b3 y sesuman, obteniendo el término b2.

El proceso se repite hasta el últi-mo término.

1

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POLINOMIOS 03

Para calcular las raíces enteras de un polinomio cuyos coeficientes son enteros, tendremos encuenta que dichas raíces se encuentran entre los divisores del término independiente.

En efecto, supongamos que P (x) = a0+ a

1x + a

2x 2 + ... + a

nx n tiene coeficientes enteros y que r

es una raíz de este polinomio.

P (r) = a0+ a

1r + a

2r2 + ... + a

nrn = 0 ⇔ a

0+ r (a

1+ a

2r1 + ... + a

nrn�1 ) = 0

Despejamos el término independiente:

a0= – r (a

1+ a

2r1 + ... + a

nr n�1 ) ⇔ = – (a

1+ a

2r 1 + ... + a

nr n�1)

Al ser los coeficientes de P (x ) y r números enteros, también lo es a1+ a

2r 1 + ... + a

nr n�1 y, por

tanto, r divide a a0.

Además, ya sabemos que al aplicar la regla de Ruffini para dividir un polinomio P (x) entre(x – a), el resto de la división coincide con P (a). Luego, si r es una raíz de P (x) y dividimos estepolinomio entre (x – r), el resto de la división será cero.

a0

r

Como consecuencia de lo anterior, deducimos:

Efectivamente, dividiendo el polinomio entre (x – r) y, aplicando la prueba de la división, obtenemos:

P (x) = (x – r) · C (x) + R y R = P (r) = 0, por ser r raíz de P (x) ⇒ P (x) = (x – r) · C (x)

Un número real r es una raíz de un polinomio P (x ) si el valor numérico del polinomio parax = r es cero.

r es raíz de P (x) ⇔ P (r ) = 0

1

Vamos a calcular el valor de a para que r = 1 sea raíz del polinomio P (x ) = 2x 3 + ax 2 – 4x–2a.

r = 1 es raíz de P (x) ⇔ P (1) = 0 ⇔ 2 + a – 4 – 2a = 0 ⇔ a = – 2

Ejemplo

Si P (x) = x 2 – x – 2, sus raíces enteras serán divisores de – 2 y, por tanto, pueden estar entrelos valores �1, �2. Al hacer por el método de Ruffini las divisiones de P (x ) entre (x + 1) yentre (x – 2), en ambas se obtiene de resto cero y, de esta forma, deducimos que las raícesde P (x) son –1 y 2.

Ejemplo

Si r es una raíz de P (x ), este polinomio será divisible por (x – r).

Actividades

Divide P (x ) = 6x 4 – 2x 3 + 3x – 8 entre:

a) x – 5 b) x + 3

Utilizando el teorema del resto, halla el valor numérico del polinomiode la actividad anterior para:

a) x = – 1 b) x = 4

Encuentra las raíces de los polinomios:

a) P (x ) = x 3 – 12x 2 + 41x – 30

b) P (x ) = 2x 3 – 2x 2 – 8x + 8

Halla el valor de a para que P (x ) = 3x 3 + ax 2 – 4x – 3a sea divisiblepor (x – 2).

10

9

8

7

Si P (x ) tiene p raíces iguales a r,se dice que r es una raíz múltiplede orden p (en particular, si ptoma el valor 2, diremos que r esuna raíz doble).

1 | Raíces múltiples

51

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POLINOMIOS03

4. Factorización de polinomiosSi r es una raíz de P (x ), este polinomio será divisible por (x – r). Pero, al mismo tiempo, es posi-ble que C (x ) tenga más raíces, con lo que puede descomponerse en más factores de la mismaforma que P (x ) y, así sucesivamente, podemos generalizar la siguiente consecuencia:

Cuando no todas las raíces de un polinomio son reales, no podemos descomponerlo en factoreslineales (o de grado 1).

Si un polinomio P (x ) = a0+ a

1x + a

2x 2 + ... + a

nx n, de grado n, admite n raíces reales r

1, r

2, ..., r

n,

se descompone de forma única como el producto:

P (x ) = an(x – r

1) (x – r

2) ... (x – r

n)

1

Vamos a buscar la descomposición factorial del polinomio:

P (x) = x 5 – 13x 4 + 57x 3 – 83x 2 – 34x + 120.

Como el término independiente es 120 probamos a buscar las raíces entre sus divisores, yempezamos por 1, como se muestra en el margen.

Como el resto no es cero, 1 no es raíz y probamos con otros divisores de 120:

1 – 13 57 – 83 – 34 120

– 1 –1 14 –71 154 –120

1 –14 71 –154 120 0

Obtenemos que – 1 sí es una de las raíces de P (x). Para hallar otra raíz, aplicamos la reglade Ruffini al cociente de la división anterior y así sucesivamente:

1 – 14 71 – 154 120 1 –12 47 –60

2 2 –24 94 –120 3 3 –27 60

1 –12 47 –60 0 1 –9 20 0

Podemos seguir aplicando el mismo procedimiento o, directamente, podemos resolver laecuación x 2 – 9x + 20 = 0. En cualquier caso se obtienen otras dos raíces que son 4 y 5.

Se concluye que las raíces de P (x ) son –1, 2, 3, 4 y 5, y como el coeficiente principal es 1,la factorización del polinomio es: P (x ) = (x + 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) (x – 5)

2

Ejemplo

Ejemplo

Actividades

Factoriza los siguientes polinomios:

a) P (x ) = x 3 – 12x 2 + 41x – 30 c) P (x ) = x 4 – x 3 – 13x 2 + x + 12 e) P (x ) = 2x 3 – 2x 2 – 8x + 8

b) P (x ) = 5x 3 – 20x 2 – 20x + 80 d) P (x ) = 2x 4 + 4x 3 – 14x 2 – 16x + 24 f ) P (x ) = 3x 3 + 9x 2 – 12x – 36

11

52

Si intentamos factorizar P (x) =2x 4 + 2x 3 – 2x – 2, se obtienen como raíces 1 y – 1, y quedacomo cociente, tras las dos divisiones: 2x 2 + 2x + 2 = 2 (x 2 + x + 1), que no tiene raíces reales.

Así, podemos factorizar P (x ) como: P (x ) = 2 (x – 1) (x + 1) (x 2 + x + 1)

Si r es una raíz múltiple de ordenp de un polinomio, en la factoriza-ción del polinomio aparece el fac-tor (x – r )p.

1

2

1 –13 57 – 83 – 34 1201 1 –12 45 – 38 – 72

1 –12 45 – 38 – 72 48

2 2 0 – 2 – 21 2 4 4 2

2 4 4 2 0–1 – 2 – 2 – 2

2 2 2 0

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POLINOMIOS 03

5. Fracciones algebraicasLa división entre dos polinomios no siempre es exacta y, por tanto, el cociente de dos polinomiosno siempre es otro polinomio. En este hecho basamos la siguiente definición:

Entre las fracciones algebraicas se puede definir la siguiente relación:

Las fracciones algebraicas verifican una importante propiedad, que estudiamos a continuación.

Se llama fracción algebraica a toda expresión de la forma , donde P (x ) y Q (x ) son

polinomios con coeficientes reales, y Q (x ) es distinto del polinomio nulo. 1

P (x)Q (x)

Dos fracciones algebraicas y son equivalentes si los productos P (x ) · S (x ) y

Q (x ) · R (x ) son iguales. Lo escribimos:

= ⇔ P (x) · S (x) = Q (x) · R (x)R (x)S (x)

P (x)Q (x)

R (x)S (x)

P (x)Q (x)

Son fracciones algebraicas: , y .7x – 68

x3 + x + 15x – 8

x2 – 12x + 3

Ejemplo

Las fracciones algebraicas y son equivalentes pues se cumple que

3x (x 2 – 1) = (x 2 + x ) (3x – 3).

3x – 3x 2 – 1

3xx 2 + x

En efecto, si consideramos la fracción algebraica y un polinomio no nulo R (x ), se cumple

que P (x ) · Q (x ) · R (x ) = Q (x ) · P(x ) · R(x ), al ser conmutativa la multiplicación de polinomios,

y, por tanto, son equivalentes las fracciones y .

Esta propiedad nos permite simplificar una fracción algebraica, dividiendo el numerador y el deno-minador entre un polinomio que sea factor común de los dos.

P (x) · R (x)Q (x) · R (x)

P (x)Q (x)

P (x)Q (x)

Ejemplo

Si se multiplican el numerador y el denominador de una fracción algebraica por un mismopolinomio, distinto del nulo, resulta una fracción algebraica equivalente a la inicial.

Actividades

Comprueba si son equivalentes.

a) y b) y

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) b) x 2 + 4x + 35x + 5

x3 – x3x2 – 3x

13

4x – 42x2 + 2x – 4

6x + 123x2 – 12

6x2 + 410x2

3x + 45x

12

53

y no son frac-

ciones algebraicas ya que el de-nominador es nulo.

7x + 90

x4 + 3x0

1

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54

POLINOMIOS03

6. Operaciones con fracciones algebraicasVamos a estudiar las operaciones con fracciones algebraicas. Para la suma y la resta necesitamos,previamente, saber reducir a común denominador dos o más fracciones algebraicas.

La resta de dos fracciones algebraicas es, realmente, una suma.

– = + �– �R (x)S (x)

P (x)Q (x)

R (x)S (x)

P (x)Q (x)

En efecto, si tenemos y , las fracciones algebraicas y tienen

el mismo denominador y son equivalentes a las iniciales. Además, podemos conseguir dos frac-ciones equivalentes cuyo denominador sea el mínimo común múltiplo de sus denominadores.

R (x) · Q (x)S (x) · Q (x)

P (x) · S (x)Q (x) · S (x)

R (x)S (x)

P (x)Q (x)

6.1. Suma y resta

Si las fracciones algebraicas tienen denominadores distintos las reducimos a denominador comúny, posteriormente, las sumamos según la definición anterior.

Dadas dos fracciones algebraicas, siempre existen otras dos fracciones equivalentes a ellas quetienen el mismo denominador.

Vamos a reducir a común denominador y .

En primer lugar, hacemos la descomposición factorial de sus denominadores:

= y =

El m.c.m. de sus denominadores es: 2 · 3 · (x – 1)2 · (x + 1) = 6x 3 – 6x 2 – 6x – 6

Dividiendo este mínimo común múltiplo entre cada uno de los denominadores, y multipli-cando el resultado obtenido por el numerador correspondiente, obtenemos:

= =

= = 10x + 10

6x 3 – 6x 2 – 6x – 65 · 2 · (x + 1)

6x 3 – 6x 2 – 6x – 65

3x 2 – 6x + 3

x2 – x6x 3 – 6x 2 – 6x – 6

x · (x – 1)6x3 – 6x 2 – 6x – 6

x6x 2 – 6

53 · (x – 1)2

53x 2 – 6x + 3

x2 · 3 · (x – 1) · (x + 1)

x6x 2 – 6

x3x2 – 6x + 3

x6x 2 – 6

Ejemplo

Dadas dos fracciones algebraicas y , su suma es:

+ = P (x) + R (x)

Q (x)R (x)Q (x)

P (x)Q (x)

R (x)Q (x)

P (x)Q (x)

+ = + = x 2 + 9x + 106x 3 – 6x 2 – 6x – 6

10x + 106x 3 – 6x 2 – 6x – 6

x 2 – x6x 3 – 6x 2 – 6x – 6

53x 2 – 6x + 3

x6x 2 – 6

Ejemplo

Debido a las propiedades de lasoperaciones de polinomios, lasuma de fracciones algebraicascumple las propiedades:

• conmutativa

• asociativa

• elemento neutro

• elemento opuesto

Propiedades de la sumade fracciones algebraicas

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POLINOMIOS 03

6.2. Multiplicación

6.3. DivisiónTeniendo en cuenta la definición anterior de la inversa de una fracción algebraica, se define elcociente de dos fracciones algebraicas como el producto de la primera de ellas por la inversa dela segunda, por lo que para poder efectuarlo es necesario que esta última no tenga como nume-rador el polinomio nulo.

Dadas dos fracciones algebraicas y , su producto es:

· = P (x) · R (x)Q (x) · S (x)

R (x)S (x)

P (x)Q (x)

R (x)S (x)

P (x)Q (x)

Dada la fracción algebraica con P (x) � 0, llamamos fracción inversa de a la frac-

ción algebraica .

Utilizando la definición del producto, se deduce que todas las fracciones algebraicas, excepto lasque tienen como numerador el polinomio nulo, tienen una inversa.

En efecto, dada , con P (x) � 0, se cumple que: · = = 1.P (x) · Q (x)Q (x) · P (x)

Q (x)P (x)

P (x)Q (x)

P (x)Q (x)

Q (x)P (x)

P (x)Q (x)

P (x)Q (x)

· = = 5x3 + x2

x 2 + x – 6(5x + 1) · x2

(x – 2) · (x + 3)x2

x + 35x + 1x – 2

Ejemplo

: = · = 5x 2 + 16x + 3x 3 – 2x 2

x + 3x2

5x + 1x – 2

x2

x + 35x + 1x – 2

Ejemplo

La multiplicación de fraccionesalgebraicas cumple las propie-dades:

• conmutativa

• asociativa

• elemento unidad

• elemento inverso

Propiedades de la multiplicación de fracciones algebraicas

Actividades

Efectúa las siguientes operaciones:

a) + b) + c) + d) · e) : 7x + 25

8x3 + 14x2

3x2

2x – 85x + 7

2x2

3xx + 1

x 2

x2 – 13x

2xx + 1

5x – 9x – 7

8x2 + x – 1x – 7

14

55

Dadas dos fracciones algebraicas y , con R (x) no nulo, su cociente es:

: = · = P (x) · S (x)Q (x) · R (x)

S (x)R (x)

P (x)Q (x)

R (x)S (x)

P (x)Q (x)

R (x)S (x)

P (x)Q (x)

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Dados los polinomios P (x ) = 4x 3 – 2ax 2 + 15x – 6 y Q (x ) = 4x3 + 6x2 – 5bx – 6:

a) Determina los valores de a y b para que los polinomios seaniguales.

b) Halla el valor numérico de P (x ) para x = – 1, si a tiene elvalor obtenido en el apartado anterior.

a) P (x ) = Q (x ) ⇒ – 2a = 6 y 15 = – 5b ⇒ a = – 3 y b = – 3

b) P (– 1) = 4 · (– 1)3 + 6 · (– 1)2 + 15 · (– 1) – 6 = – 19

Calcula los valores de a y b para que sea exacta la división (2x 5 + x 4 + 4x 3 + 4x 2 +ax + b) : (2x 2 – x + 3).

2x5 + x4 + 4x3 + 4x2 + ax + b 2x2 – x + 3– 2x5 + x4 – 3x3

x3 + x2 + x + 12x4 + x3 + 4x2

– 2x4 + x3 – 3x2

2x3 + x2 + ax– 2x3 + x 2 – 3x

2x2 + (a – 3)x + b – 2x2 + x – 3

(a – 3 + 1)x + b – 3

El resto es (a – 2)x + b – 3 y, para que la división sea exacta, el valor delresto debe ser nulo.

a – 2 = 0 y b – 3 = 0 ⇒ a = 2 y b = 3

Por tanto, los valores son a = 2 y b = 3.

Utiliza la regla de Ruffini para dividir el polinomio P (x ) = 4x 3 – 6x 2 + 3 entre Q (x ) = 2x – 1.

Aplicando la prueba de la división, llamamos C (x ) y R (x ) al cociente yal resto, respectivamente, y se deduce que:

4x 3 – 6x 2 + 3 = (2x – 1) · C (x ) + R (x )

Sacamos factor común 2:

2 · �2x 3 – 3x 2 + � = 2 · �x – � · C (x ) + 2 ·

Simplificamos, dividiendo los miembros de la igualdad anterior entre 2:

2x3 – 3x2 + = �x – � · C (x ) +

Así, si dividimos 2x 3 – 3x 2 + entre x – , aplicando la regla de

Ruffini, el cociente de esta división coincide con el cociente de la divi-sión inicial, y su resto hay que multiplicarlo por 2 para obtener el restode la división inicial.

2 – 3 0

1 – 1 –

2 – 2 – 1 1

Así, el cociente de la división de P (x ) entre Q (x ) es C (x ) = 2x 2 – 2x – 1y el resto es R (x ) = 2 · 1 = 2.

1 2

1 2

3 2

1 2

3 2

R (x )2

1 2

3 2

R (x )2

1 2

3 2

3

2

1 Utilizando el teorema del resto, halla el valor numérico del polinomio P (x ) = 2x4 + 3x2 – x + 6, para x = 1.

El valor numérico P (1) coincide con el resto de la división de P (x ) entrex – 1. Realizamos la división por el método de Ruffini:

2 0 3 – 1 6 1 2 2 5 4

2 2 5 4 10

Por tanto, resulta que P (1) = 10.

Encuentra las raíces del polinomio P (x ) = x3 – 12x2 + 41x – 30.

Las raíces enteras del polinomio serán divisores de 30 y, por tanto, pue-den estar entre los valores ± 1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ± 10, ± 15 y ± 30.

Aplicamos el método de Ruffini:

1 – 12 41 – 30 1 1 – 11 30

1 – 11 30 05 5 – 30

1 – 6 0 6 6

1 0

Así, las raíces del polinomio P (x ) son x1 = 1, x2 = 5 y x3 = 6.

Halla el valor de a para que P (x ) = 6x 3 + ax 2 – 8x – 6a seadivisible por (x – 2).

Para que P (x ) sea divisible por (x – 2), el resto de la división ha de sercero.

Aplicando el teorema del resto, se deduce que el valor numérico del poli-nomio para x = 2 debe ser cero.

P (2) = 6 · 23 + a · 22 – 8 · 2 – 6a = 0 ⇒ 48 + 4a – 16 – 6a = 0 ⇒

⇒ – 2a = – 32 ⇒ a = 16

Halla m y n para que P (x ) = x 4 + 3x3 + 3mx 2 – 3nx – 20 seadivisible por (x – 1) y (x + 4).

Para que sea divisible por (x – 1) y (x + 4) debe cumplirse que P (1) = 0y P (– 4) = 0, respectivamente. Por tanto:

14 + 3 · 13 + 3m · 12 – 3n · 1 – 20 = 0

(– 4)4 + 3 · (– 4)3 + 3m · (– 4)2 – 3n · (– 4) – 20 = 0

Efectuando las operaciones en las dos ecuaciones anteriores, se obtie-ne el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

� ⇒ m = y n = – 5

Escribe una fracción polinómica equivalente a , cuyodenominador sea x2 + 2x – 3.

Factorizamos el nuevo denominador: x 2 + 2x – 3 = (x – 1) · (x + 3)

De esta forma, se deduce que:

= = 3x4 + 9x 3 – 5x – 15x2 + 2x – 3

(3x3 – 5) · (x + 3)(x – 1) · (x + 3)

3x3 – 5 x – 1

3x 3 – 5x – 1

8

1 3

m – 3n = 16 48m + 12n = – 44

7

6

5

4

56

POLINOMIOS03 Actividades resueltas

045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 56

Factoriza el polinomio P (x ) = 2x3 – 22x 2 + 72x – 72.

Aplicamos la regla de Ruffini:

2 – 22 72 – 72 2 4 – 36 72

2 – 18 36 03 6 – 36

2 – 12 0 6 12

2 0

Como las raíces del polinomio son 2, 3 y 6, su factorización es:

P (x ) = 2 · (x – 2) (x – 3) (x – 6)

Halla un polinomio cuyas raíces sean –1, 2 y 3, y cuyo térmi-no independiente es 18.

Para que sus raíces sean –1, 2 y 3, el polinomio debe ser múltiplo de:

(x + 1) (x – 2) (x – 3)

Es decir, el polinomio es:

P (x ) = a · (x + 1) · (x – 2) · (x – 3) = a · (x 3 – 4x 2 + x + 6) =

= ax 3 – 4ax 2 + ax + 6a

Si su término independiente es 18, se deduce que el valor de a es:

6a = 18 ⇒ a = 3

Por tanto, el polinomio es P (x ) = 3x 3 – 12x 2 + 3x + 18.

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplode P (x ) = x3 – 2x2 – x + 2 y Q (x ) = x4 + 2x3 – 3x2 – 8x – 4.

Al factorizar los dos polinomios, se obtiene que:

P (x ) = (x – 1) (x + 1) (x – 2)

Q (x ) = (x + 1)2 (x + 2) (x – 2)

m.c.d. (P (x ), Q (x )) = (x + 1) (x – 2) = x 2 – x – 2

m.c.m. (P (x ), Q (x )) = (x – 1) (x + 1)2 (x – 2) (x + 2) = = x 5 + x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 4x + 4

La ecuación del movimiento de un móvil es E (t ) = t 2 – 6t + 8,siendo t el tiempo (en segundos) y E (t ) el espacio recorrido (enmetros).

a) ¿Qué espacio habrá recorrido a los 10 segundos?

b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que recorra 288metros?

a) El espacio recorrido es el valor numérico de E (t ) para t = 10:

E (10) = 102 – 6 · 10 + 8 = 48 metros

b) El tiempo que debe transcurrir es el valor de t, siendo E (t ) = 288:

E (t ) = 288 ⇒ t 2 – 6t + 8 = 288 ⇒ t 2 – 6t – 280 = 0 ⇒

⇒ t = 20 o t = – 14

Como el tiempo no puede ser un valor negativo, es necesario que trans-curran 20 segundos.

12

11

10

9 Reduce a común denominador las siguientes fracciones alge-braicas:

, y

Factorizamos los denominadores de las fracciones para calcular su míni-mo común múltiplo:

2x + 4 = 2 (x + 2)

x 2 – 4 = (x + 2) (x – 2)

3x 2 – 12x + 12 = 3 (x – 2)2

Así, el mínimo común múltiplo de los denominadores es:

m.c.m. = 2 · 3 · (x + 2) (x – 2)2

Así, obtenemos las fracciones equivalentes a las dadas y con denomi-nador común:

= =

= =

= =

Efectúa la siguiente operación con fracciones algebraicas:

· � – – �Aplicamos la propiedad distributiva:

– +

Factorizamos los denominadores de las fracciones para calcular su míni-mo común múltiplo:

– +

Así, el mínimo común múltiplo de los denominadores es:

(x + 1) (x + 2) (x – 2)

Obtenemos fracciones equivalentes a las dadas y con denominadorcomún:

– +

Y operamos:

=

= =

= 12x 3 – 21x 2 + 18x + 3x 3 + x 2 – 4x – 4

3x 2 – 3x – 6 + 12x 3 – 24x 2 + 15x + 30 + 6x – 21(x + 1) (x + 2) (x – 2)

(3x 2 – 3x – 6) – (12x 3 + 24x 2 – 15x – 30) + (6x – 21)(x + 1) (x + 2) (x – 2)

6x – 21(x + 1) (x – 2) (x + 2)

(12x 2 – 15) (x + 2)(x + 1) (x – 2) (x + 2)

3 (x + 1) (x + 2)(x + 1) (x + 2) (x – 2)

6x – 21(x + 1) (x + 2) (x – 2)

12x 2 – 15(x + 1) (x – 2)

3x + 2

3 (2x – 7)(x + 1) (x 2 – 4)

3 (4x 2 – 5)(x + 1) (x – 2)

3 (x + 1)(x + 1) (x + 2)

2x – 7x 2 – 4

4x 2 – 5x – 2

x + 1x + 2

3x + 1

14

2x3 + 4x2 + 2x + 46x3 – 12x2 – 24x + 48

2 · (x 2 + 1) (x + 2)2 · 3 · (x + 2) (x – 2)2

x 2 + 13x2 – 12x + 12

6x2 – 6x – 126x3 – 12x2 – 24x + 48

2 · 3 · (x + 1) (x – 2)2 · 3 · (x + 2) (x – 2)2

x + 1 x 2 – 4

9x2 – 36x + 366x3 – 12x2 – 24x + 48

3 · 3 · (x –2)2

2 · 3 · (x + 2) (x – 2)23

2x + 4

x 2 + 13x2 – 12x + 12

x + 1x2 – 4

32x + 4

13

57

045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 57

58

Act

ivid

ades

pro

pues

tas

Si P (x ) = x n + 2x – 5 y Q (x ) = x 4 + 6, di para qué valores den se verifica que:

a) P (x ) + Q (x ) es un polinomio de grado 6.

b) P (x ) · Q (x ) es un polinomio de grado 10.

Se sabe que la suma de los coeficientes de un polinomio es 8.¿Puede dicho polinomio ser divisible por (x – 1)?

Si P (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + 4 tiene una raiz entera r, ¿pode-mos afirmar que r es un divisor de 12?

Si M (x ) = x 2 – 3x + 2 es el máximo común divisor de dos poli-nomios P (x ) y Q (x ), ¿podemos afirmar que ambos polinomiosson divisibles por (x – 1) y por (x – 2)?

Si M (x ) = (x – 1)2 (x – 2) (x – 3) es el mínimo común múltiplode dos polinomios P (x ) y Q (x ), ¿podemos afirmar que ambospolinomios son divisibles por (x – 1)2? ¿Y que al menos uno delos polinomios lo es?

Completa la siguiente tabla:

Escribe la factorización de un polinomio que tenga por raíces2, –3 y 4 y tal que al dividirlo entre (x – 1) el resto de la divi-sión sea 36.

Si el valor numérico de un polinomio P (x ) para x = 5 es cero,di cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas.

a) P (x ) es divisible por (x – 5).

b) P (5) = 5

c) P (5) = 0

d) En la descomposición de P (x ) aparece el factor (x – 5).

Clasifica los siguientes polinomios según su grado.

a) P (x ) = 2x – 3 + 5x 2 + x 3

b) Q (x ) = 3 + 5x + 3x 3 – x 2 + x 5 – 2x 4

c) R (x ) = 7x – 9 + x 7 + x 6 – 3x 4

Determina los valores de a, b, c y d para que los polinomiossean iguales.

P (x ) = 3x 5 – 2bx 3 – x 2 + 3dx – 5

Q (x ) = ax 5 + cx 4 – x 2 + 8x 3 – 5 – 18x

10

9

Actividades

8

7

6

5

4

3

2

1

Cuestiones Halla el valor numérico de P (x ) = 5x 3 – 3x 2 + 7x – 8, para x = 2 y para x = – 3.

Calcula el valor numérico de P (x ) = 3x 3 – 2x 2 + x + 6 para:

a) x = – 2 b) x = 0 c) x = 3

Sabiendo que el valor numérico de P (x ) = 2x 3 + ax 2 + x + 6para x = 2 es 4, calcula el valor de a.

Dados P (x ) = 5x 2 – 3x + 6, Q (x ) = 6 – 3x 2 + x 3 – 5x 4 y R (x ) = – x 5 + 3x 4 – 6x 2 + 4, efectúa las siguientes operacio-nes:

a) P (x ) + Q (x ) d) P (x ) · (– R (x ))

b) P (x ) + R (x ) – Q (x ) e) 2 · P (x ) – Q (x ) · R (x )

c) P (x ) · Q (x ) f ) (P (x ))2 – 5 · R (x )


P (x ) = ax 3 + x 2 – bx + 5

Q (x ) = – 2x 3 + cx 2 + 2bx – 3

R (x ) = 3x 3 + bx 2 – 3x + d

calcula los valores de a, b, c y d para que se cumpla que P (x ) – Q (x ) = R (x ).

Sean los polinomios:

P (x ) = x 2 – x + 1, Q (x ) = 3x – 5 y R (x ) = 2x 3 – 5x + 2

calcula estas operaciones:

a) P (x ) + Q (x ) – R (x ) c) 2 · Q (x ) – 3 · P (x ) + R (x )

b) P (x ) · R (x ) d) P (x ) · Q (x ) + R (x ) + 2 · P (x )

Halla los valores de a y b para que:

(ax + 2) (2x + b) = 2x 2 + x – 6

Efectúa las siguientes divisiones:

a) (3x 4 – 6x 3 + 2x 2 – 1) : (x – 4)

b) (3x 5 – 2x 3 + 7x 2 – 2x) : (x 3 + 3x 2 – 1)

c) (3x 4 + 5x 3 – 2x + 3) : (x 2 – 3x + 2)

d) (6x 5 – 3x 4 – 2x 3 + 20x 2 – 12x + 14) : (3x 3 – 2x 2 + 3)

e) (6x 3 – 4x 2 + 2x – 2) : (x 2 + x + 1)

Determina el cociente y el resto en las siguientes divisionesentre polinomios:

a) (– 2x 4 – x 3 + 10x 2 + 4x – 2) : (2x 2 + 3x – 5)

b) (9x4 – 3x 3 – 17x 2 + 11x – 3) : (3x – 2)

c) (2x 5 + x 4 + 4x 3 + 4x 2 + 9x – 6) : (2x 2 – x + 3)

d) (x 6 + x 5 + x 4 – x 3 + 4x 2 + 3x + 22) : (x 2 + x + 2)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

POLINOMIOS03

5

8

4

10

3

2

Grado de P (x )

Grado de Q (x )

Grado de P (x ) · Q (x )

045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 58

59

Act

ivid

ades

pro

pues

tasSean los polinomios:

P (x ) = x 3 + x 2 – x + 6

Q (x ) = x 2 – x + 2

calcula P (x ) + Q (x ), P (x ) · Q (x ) y P (x ) : Q (x ).

Encuentra los valores de a y b, para que la división entre lospolinomios sea exacta.

(6x 5 + 5x 4 + 8x 3 + 10x 2 + ax + b) : (2x 2 + x + 3)

Realiza las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini.

a) (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) : (x + 1)

b) (2x 4 + 2) : (x – 1)

c) (5 – 3x + 4x 2 + 3x 3) : (x + 2)

d) (6x 2 – 2x – 6 + 5x 4 – 3x 3) : (x – 1)

e) (12x 3 – 24x 2 – 3x + 6) : �x – �Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de lassiguientes divisiones:

a) (5x 5 + 3x 4 – 2x 2 + 4) : (x – 2)

b) (6x 4 – 2x 2 + 3x – 6) : (2x + 1)

Efectúa las divisiones mediante la regla de Ruffini.

a) (x 6 – 3x 4 + 2x 2 – x + 3) : (x + 3)

b) (2x 5 – x 4 + 3x 3 + 6x + 2) : (x – 4)

c) (3x 4 – 2x 2 + x + 6) : (x + 5)

d) (4x 4 – 8x 3 + 2x 2 – 3x + 1) : (2x – 3)

e) (6x 3 + 9x 2 – 3x + 1) : (3x + 1)

f ) (12x 4 – 32x 3 + 4x 2 – x + 2) : (4x – 2)

Utilizando la regla de Ruffini, calcula el valor numérico del poli-nomio P (x ) = 5x 3 + 2x 2 – 3x + 4 para x = –1, x = 2 y x = 4.

Mediante el teorema del resto, calcula el valor numérico delpolinomio P (x ) = 2x 5 – x 3 + 3x 2 + 7 para:

a) x = – 2 c) x =

b) x = 3 d) x = –

Averigua cuáles de los siguientes valores son raíces del poli-nomio P (x ) = x 4 – 1.

a) x = 2 c) x = – 3

b) x = – 1 d) x = 1

27

13

12

26

25

24

23

12

22

21

43

15

13

35

52

20 Encuentra las raíces enteras de P (x ) = x 3 + 3x 2 – 4x – 12.

Efectúa las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini.

a) (9x 4 – 12x 2 + 5x – 6) : (3x – 1)

b) (10x 3 + 15x 2 – x + 2) : (5x + 2)

Halla las raíces de los siguientes polinomios:

a) P (x ) = x 3 – 3x 2 – 10x + 24

b) Q (x ) = x 4 – 5 x 2 + 4

c) R (x ) = x 4 + 3x 3 – 15x 2 – 19x + 30

d) S (x ) = – 2x 3 + 22x 2 – 72x + 72


a) 2x 3 – 2x 2 – 8x + 8

b) 6x 3 – 11x 2 + 6x – 1

c) x 3 – 12x 2 + 47x – 60

d) x 4 + 2x 3 – 3x 2 – 4x + 4


a) P (x ) = x 3 – 4x 2 – 4x + 16

b) P (x ) = 2x 4 – 2x 3 – 26x 2 + 2x + 24

c) P (x ) = – 3x 3 + 3x 2 + 12x – 12

d) P (x ) = 2x 3 + 6x 2 – 8x – 24

e) P (x ) = – 2x 3 + 24x 2 – 82x + 60

f ) P (x ) = 5x 4 – 5x 3 – 65x 2 + 5x + 60

Halla un polinomio cuyas raíces sean 1, 2, – 3 y 0.

Encuentra un polinomio cuyas raíces sean 5, 1 y – 2, y el coe-ficiente del término de mayor grado sea – 3.

Halla un polinomio cuyas raíces sean – 1, 2, – 3 y 4, y con tér-mino independiente 12.

Calcula el máximo común divisor de los siguientes polinomios:

a) P (x ) = x 3 + x 2 – x – 1 y Q (x ) = x 3 – x

b) P (x ) = 2x 6 – 2x 2 y Q (x ) = 3x 3 – 3x 2 + 3x – 3

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplode los siguientes polinomios:

P (x ) = 3x 3 – 6x 2 – 15x + 18

Q (x ) = 6x 3 + 12x 2 – 24x – 48

Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios:

a) P (x ) = 2x 2 – 2 y Q (x ) = 3x 2 – 6x + 3

b) P (x ) = 2x 3 + 6x 2 – 8x – 24 Q (x ) = 4x 3 + 16x 2 – 12x – 72

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

POLINOMIOS 03

045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 59

60

Act

ivid

ades

pro

pues

tas Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

de los siguientes polinomios:

a) P (x ) = 3x 3 – 6x 2 – 27x + 54

Q (x ) = 2x 3 + 10x 2 + 6x – 18

b) P (x ) = x 3 – 3x + 2

Q (x ) = 4x 3 + 20x 2 + 32x + 16

c) P (x ) = 5x 3 – 20x 2 – 80x + 320

Q (x )= x 4 – 32x 2 – 16

d) P (x ) = 12x 3 – 12x 2 – 12x + 12

Q (x ) = 10x 4 – 20x 3 – 80x 2 + 180x – 90

Determina si son equivalentes las fracciones algebraicas:

a) y

b) y

Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones alge-braicas:

a) y

b) y

Reduce a común denominador estas fracciones algebraicas:

, y

Reduce a común denominador estas fracciones algebraicas:

, y

Realiza las operaciones, simplificando el resultado.

a) +

b) +

c) +

d) :

Sean las fracciones algebraicas:

A = , B = y C =

calcula:

a) A + B d) B : C

b) A – B + C e) (A + B) · C

c) A · B f ) (A – B + C) : B

4x2 – 1x2 – 5x + 6

2x2x – 6

5x – 8x2 – 9

45

x – 2x 3 + 3x 2 + 3x + 1

x 2 – 4x + 4x 2 + 2x + 1

5x – 3

10xx 2 – 9

x 2 – 16x – 4

x 2 – 9x + 3

1x – 2

4x4 – 2x

44

2x – 5x 2 – 6x + 9

4x 2

3x 2 + 6x + 3x – 2

x 2 – 2x – 3

43

x 2 + 22x2 + 14x + 20

4x + 1x2 – 4

23x + 6

42

x 2 – 4x + 3x 2 + x + 6

x 2 – 2x + 1x 2 + x – 2

4x – 2x 2 + 2x

2x + 1x 2 – 4

41

4x + 212x – 1

3x + 89

5x + 15x 2 – 9

15x 2 – 303x 2 – 15x + 18

40

39 Sean las fracciones algebraicas:

A = , B = y C =

efectúa las siguientes operaciones:

a) A + B + C d) A : B

b) 2A – B – 3C e) (A + B + C) · B

c) A · C f ) (2A – B – 3C) : C

Si P (x ) = 7 + 2ax – (3 + a) x 2 + (5 – a) x 3, halla el valor de apara que el grado de P (x ) sea:

a) Dos. b) Tres. c) Uno.

Si P (x ) = 5x 3 + 2ax 2 + 5x – 9 y sabiendo que su valor numé-rico para x = –1 es 25, calcula el valor de a.

Encuentra un polinomio P (x ) de segundo grado si se sabe queel coeficiente del término de primer grado es dos unidadesmayor que el del término de segundo grado; el valor numéricopara x = 0 es 6 y P (1) = 14.

Si tenemos los polinomios P (x ) = 2x 3 + ax 2 + 3x – 1,Q (x ) = bx 3 – 5x 2 + 2x – 6 y R (x ) = 6x 3 + 2x 2 – cx + d.

Encuentra los valores de a, b, c y d para que se cumpla queP (x ) + Q (x ) = R (x ).

El número de alumnos matriculados en un instituto entre 2002y 2008 viene dado por el polinomio P (x ) = 20 640 – 10x, sien-do x el año correspondiente. Determina el número de alum-nos matriculados en los años 2005 y 2006, en dicho centro.

Un fabricante de bisutería sabe que el coste de fabricar unadeterminada pieza viene dado por C (x ) = 0,02x 2 + 0,5x + 0,3euros, siendo x los gramos de resina que necesita.

Si sabe que el precio al que puede vender cada una de esaspiezas viene dado por P (x ) = 0,1x 2 + 0,2x + 1 euros, expresaen forma de polinomio los beneficios que obtendrá por la ventade una pieza.

52

51

50

49

48

47

Problemas

x2 – x + 1x2 – 2x – 3

x – 3x2 + 2x + 1

3x – 3

46

POLINOMIOS03

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61

Act

ivid

ades

pro

pues

tasHalla, si existe, el valor de a para que se cumpla la igualdad:

(2x 2 – 2) · (3x + a) = (x 2 + 3x + 2) · (ax – 6)

Determina un polinomio de primer grado P (x ) que cumple que:

(x 2 + 2) · P (x ) + 5x 2 = 2x 3 + x 2 + 4x – 8

Si P (x ) = ax + b, calcula el cuadrado y el cubo de P (x ).

Demuestra que el polinomio P (x ) = x 2 + 1 no es divisible porningún polinomio de primer grado.

Si P (x ) = 2ax 3 – 5x 2 + 3ax – 8 y el valor numérico del polino-mio para x = – 1 es – 3, calcula el valor de a.

Encuentra el valor de a para que P (x ) = x 4 – 1 sea divisiblepor Q (x ) = x 2 + a.

Calcula a para que el polinomio P (x ) = 3x 4 – 8x 2 – 7x – a seadivisible por Q (x ) = x + 3.

Sin efectuar ninguna división, halla el valor de a para queP (x ) = ax 4 – 3x 2 + 6x + 8 sea divisible por Q (x ) = x – 2.

Encuentra para qué valor de a P (x ) = x 3 – ax 2 + x + 6 es divi-sible por Q (x ) = x + 2, sin hacer la división.

Halla los valores de a y b para que el polinomio

P (x ) = x 3 + ax 2 + 36x + b

sea divisible por (x – 2) y por (x – 3).

¿Para qué valores de a y b es el polinomio

P (x ) = x 3 + ax 2 + bx – 2a

divisible por (x + 1) y por (x – 4)?

Sin efectuar ninguna división, calcula el valor de a para que elpolinomio P (x ) = 4x 3 – 2x 2 + ax – 3 sea divisible por (x + 3).

Sin efectuar ninguna división, calcula los valores de a y b paraque el polinomio P (x ) = 3x 3 – ax 2 + 4x + b sea divisible por (x – 1) y por (x + 2).

Halla los valores de a y b para que el polinomio

P (x ) = bx 4 + 2bx 3 – 3x 2 + 2ax + a

sea divisible por (x + 2) y que x = – 1 sea una raíz de P (x ).

Halla un polinomio de segundo grado cuyo término indepen-diente es 3, sabiendo que los restos que se obtienen al dividirlopor (x + 3) y por (x – 2) son 72 y 17, respectivamente.

Encuentra un polinomio de segundo grado, P (x ), sabiendo queel coeficiente del término de primer grado es el doble del coeficiente del término de segundo grado, y que, además,P (1) = 9 y P (– 1) = 1.

Demuestra que si P (x ) y Q (x ) son divisibles por R (x ), enton-ces también lo es el polinomio P (x ) + Q (x ).

Calcula a y b para que P (x ) = 2x 3 + ax 2 + bx + 6 sea divisi-ble por (x – 2) y por (x – 3).

70

69

68

67

66

65

64

63

62

61

60

59

58

57

56

55

54

53 Los beneficios diarios de producción, en euros, en una fá-brica de piezas de madera vienen dados por el polinomio P (x ) = – 80x + x 2, siendo x el número de piezas fabricadas.

a) ¿Qué beneficio se obtiene un día que produce 150 piezas?

b) Factoriza el polinomio.

c) Utilizando la factorización anterior, deduce cuál es el núme-ro mínimo de piezas que deben fabricarse en un día paraque los beneficios sean positivos, es decir, para que exis-tan ganancias.

Descompón en factores P (x ) = x 4 + ax 2 + 4, sabiendo que r = 2 es una raíz.

Halla un polinomio de segundo grado tal que al elevarlo al cua-drado se obtenga P (x ) = 4x 4 + 16x 3 + 40x 4 + 48x + 36.

Calcula el valor de a para que sean equivalentes las fracciones

algebraicas y .

Demuestra que si es equivalente a , y esta última

es equivalente a , entonces es equivalente a .

Efectúa las siguientes operaciones:

a) · �1 – � +

b) · – +

c) · � + � –

d) + –

Calcula el valor de a para que se cumpla la igualdad:

· –

Encuentra los valores de a para los que es irreducible, en cadaapartado, la fracción algebraica.

a)

b)

c)

Calcula los valores de a y b para que se cumpla la igualdad:

– + = x 3 + 3x 2 – 8x – 20x 3 – 3x 2 – 4x + 12

2x + bx 2 – 4

ax 2 – 5x + 6

x + 1x – 3

79

x 2 + (2a – 2) x – 4ax 2 + 4x – 32

4x – 4a3x 3 – 6x 2 – 3x + 6

x 2 + (a – 1) x – a2x 2 – 2x – 12

78

(a + 1)x2 + 16x – 7x2 + x – 6

x2 – 2a(x – 2) · (x + 3)

ax + 1x – 2

77

43x

5x – 3

2x2 + 1x2 – 2x – 3

2xx + 2

3x + 1

1x + 2

2x + 1

2x – 5x + 1

x + 3x2 – 1

4xx – 1

2x + 2

x + 1x – 1

1x + 3

3x + 1

76

E (x )F (x )

A (x )B (x )

E (x )F (x )

C (x )D (x )

A (x )B (x )

75

10x + a5x2 + 15x + 10

2x – 2x2 – 1

74

73

72

71

POLINOMIOS 03

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62

POLINOMIOS03 NUEVAS TECNOLOGÍAS

Vamos a ver cómo podemos trabajar los polinomios con el programa Derive.

Pulsa en , escribe P (x ) : = x 2 + 3x – 4 y pulsa en Intro.

Repite la operación para Q (x ) : = x 4 – 3x 3 + 2x.

De nuevo, pulsa en , escribe P (x ) · Q (x ) y pulsa Intro.

Selecciona en el menú principal la opción Simplificar y, des-pués, Expandir. Aparecerá la siguiente ventana:

Comprueba que la variable es x y pulsa en Expandir.Obtendrás el producto de P (x ) y Q (x ), que es:

x 6 –13x 4 + 14x 3 + 6x 2 – 8x

1 | Producto de P (x) = x2 + 3x – 4 y Q (x) = x4 – 3x3 + 2x

Pulsa en , escribe quotient(Q(x),P(x)), y pulsa en Intro.

Pulsa en y obtendrás x 2 – 6x + 22, que es el cocientede efectuar la división de Q (x ) entre P (x ).

Ahora, pulsa en , escribe remainder(Q(x),P(x)), y pulsaen Intro.

Pulsa en y obtendrás 88 – 88x, que es el resto deefectuar la división de Q (x ) entre P (x ).

Otra forma de efectuar la división es:

Pulsa en , escribe Q(x )/P(x ) y pulsa en Intro.

Escoge en la línea de menú principal la opción Simplificar y,después, Expandir. En la ventana que aparece pulsa Expan-dir y así obtienes la expresión: – (88/(x + 4)) + x 2 – 6x + 22.

Como puedes observar, al hallar el cociente y el resto por sepa-rado, las soluciones son más claras.

2 | Cociente de los polinomios anteriores

Pulsa en , escribe el polinomio P (x ) y pulsa en Intro.

En la línea de menú principal escoge la opción Simplificary, a continuación, Expandir. Aparecerá esta pantalla:

Comprueba que la variable es x y pulsa en Factorizar.Obtendrás (x – 1) · (x + 4) · (x – 5), que es el resultado dela factorización.

3 | Descomposición de P (x) = x3 – 2x2 – 19x + 20

Sean P (x ) = x 3 – x y Q (x ) = x 3 – 3x 2 + 2x.

Pulsa en y define los polinomios P (x ) y Q (x ).

Pulsa en , escribe Poly_gcd(P(x), Q(x)) y pulsa en Intro.

Selecciona en el menú principal la opción Simplificar y, des-pués, Expandir. Así obtendrás x 2 – x, que es el polinomiomáximo común divisor de P (x ) y Q (x ).

Para obtener este resultado factorizado, pulsa en la opciónSimplificar y, a continuación,Factorizar. En la pantalla emer-gente pulsa de nuevo en Factorizar.

4 | Máximo común divisor de dos polinomios

PRACTICA TÚ

Dados los polinomios P (x ) = 6 – 3x 2 + x 3 – 5x 4,Q (x ) = 5x 2 – 3x + 6 y R (x ) = –x 5 + 3x 4 – 6x 2 + 4, efec-túa las siguientes operaciones:

a) P (x ) + Q (x ) d) P (x ) · Q (x ) · R (x )

b) P (x ) + R (x ) – Q (x ) e) P (x ) · Q (x )

c) – P (x ) – R (x ) + Q (x ) f ) P (x ) · (– R (x ))

Factoriza los siguientes polinomios y encuentra su máxi-mo común divisor.

a) P (x ) = 2x 3 – 2x 2 – 8x + 8

b) P (x ) = 6x 3 – 11x 2 + 6x – 1

2

1

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UNIDAD

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

Se denomina Álgebra a la parte de las Matemáticas que se dedica,en sus aspectos más elementales, a resolver ecuaciones, inecua-ciones, sistemas de ecuaciones y sistemas de inecuaciones.

Es muy importante tener en cuenta que en cada ecuación o ine-cuación es posible la existencia de una situación real (física, eco-nómica, geométrica, etc.), cuyo comportamiento queda perfecta-mente descrito por dichas expresiones.

Los algoritmos de resolución de ecuaciones e inecuaciones hanocupado a muchos matemáticos a lo largo de la Historia. El len-guaje simbólico utilizado en estos procesos se atribuye a los ára-bes, y se conoce la existencia de problemas resueltos, por proce-dimientos algebraicos, que datan del año 1900 a.C.

Sumario

1. Ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado.2. Ecuaciones exponenciales.3. Ecuaciones logarítmicas.4. Sistemas de ecuaciones lineales.5. Sistemas de ecuaciones no lineales.6. Inecuaciones.7. Inecuaciones lineales con una incógnita.8. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.9. Sistemas de inecuaciones lineales con una

incógnita.10. Inecuaciones lineales con dos incógnitas.11. Otra forma de resolución.

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64

ECUACIONES, INECUACIONESY SISTEMAS04

1. Ecuaciones polinómicas de primer y segundo gradoCualquier ecuación lineal o de primer grado con una incógnita se puede transformar hasta obte-ner una ecuación equivalente, de la forma:

Las transformaciones que se realizan a la ecuación inicial para obtener una expresión de este tipose basan en las reglas siguientes:

• Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma expresión algebraica, la ecua-ción que obtenemos es equivalente.

• Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por un número distinto de cero, se obtie-ne una ecuación equivalente a la dada.

Estas transformaciones también se utilizan para resolver ecuaciones; así, la solución de cualquier

ecuación del tipo ax + b = 0, con a � 0; es: x = – , como puedes ver al margen. 1ab

El proceso seguido anteriormente es el método algebraico de resolución de ecuaciones lineales.Pero también es posible resolver este tipo de ecuaciones gráficamente.

Para ello, dada la ecuación ax + b = 0, consideramos la función y = ax + b, que es una funciónlineal cuya representación gráfica es una recta. La intersección de esta recta con el eje de abscisasnos da el punto en el cual la ordenada y toma el valor cero. El valor de la abscisa x de dicho puntoes la solución de la ecuación.

Dada cualquier ecuación de segundo grado con una incógnita, y efectuando las mismas transfor-maciones que ya se han mencionado en la resolución de ecuaciones lineales, puede obtenerseotra ecuación equivalente de la forma:

Las soluciones de este tipo de ecuaciones se obtienen mediante la fórmula:

x = –b ± ��b2 – 4ac2a

ax + b = 0 con a � 0

Resolvamos la ecuación 7x – 3 = 5x + 4.

Sumamos – 5x a los dos miembros: 7x – 3 – 5x = 5x + 4 – 5x ⇒ 2x – 3 = 4

Sumamos 3 a los dos miembros: 2x – 3 + 3 = 4 + 3 ⇒ 2x = 7

Multiplicamos por los dos miembros: 2 · x · = 7 · ⇒ x = 72

12

12

12

Ejemplo

Si queremos resolver gráficamente la ecuación x – 3 = 0, consideramos la función y = x – 3,y la representamos en los ejes cartesianos.

En la gráfica que aparece en el margen, se observa que el punto de intersección de la rectacon el eje de abscisas es (3 , 0); así, la solución de la ecuación es x = 3.

Ejemplo

ax 2 + bx + c = 0, donde a, b , c ∈ � y a � 0.

ax + b = 0 ⇒

⇒ ax + b – b = 0 – b ⇒

⇒ ax = – b ⇒

⇒ a � 0,

⇒ a · x · = – b ·

x = – b a

1 a

1 a

Observa que | 1

Algoritmo es cualquierprocedimiento sistemático de cálculo con el que se hallael resultado deseado. Estetérmino proviene del nombreAl-Jwarizmi, matemáticoárabe del siglo IX.

0

Y

X3

– 3

2

5

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ECUACIONES, INECUACIONESY SISTEMAS 04

La expresión � = b2 – 4ac se llama discriminante de la ecuación, y determina la naturaleza de sussoluciones:

Si � � 0, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

Si � = 0, la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales a: x = – (raíz doble).

Si � � 0, la ecuación no tiene solución en el campo de los números reales, porque en � no existela raíz cuadrada de un número negativo.

b2a

Al igual que en las ecuaciones lineales, para resolver gráficamente la ecuación ax 2 + bx + c = 0consideramos la función y = ax 2 + bx + c, cuya gráfica es una parábola. Los puntos de intersecciónde esta con el eje de abscisas serán de la forma (x , 0) y, por tanto, las abscisas de dichos puntosserán las soluciones de la ecuación dada.

Resolvamos x 2 – 5x + 6 = 0 ⇒ x = = = ⇒ � x1= 3

x2= 2

5 ± 12

5 ± ��25 – 242

–b ± ��b2 – 4ac2a

Ejemplo

Resolvamos la ecuación: x 4 – 16 = 0

Haciendo el cambio x 2 = t, obtenemos: t 2 – 16 = 0 ⇒ t 2 = 16 ⇒ t1= 4, t

2= – 4

Deshaciendo el cambio: x = �4� = ± 2 y x = ��–4 ∉ �

Así, las soluciones son: x1= 2 y x

2= –2.

Ejemplo

Para resolver de forma gráfica la ecuación x 2 – 4x + 3 = 0, consideramos la funcióny = x 2 – 4x + 3 y mediante una tabla de valores la representamos gráficamente, tal y comoaparece en el margen. Los puntos de intersección con el eje de abscisas son (1 , 0) y (3 , 0),es decir, las soluciones de la ecuación son x

1= 1 y x

2= 3.

Ejemplo

Si x1 y x2 son las soluciones dela ecuación ax 2 + bx + c = 0, secumple:

x1 + x2 = –

x1 · x2 = c a

b a

Recuerda que

Actividades

Resuelve algebraicamente las ecuaciones:

a) + = x – c) 7x + = 8 +

b) x 2 + 6x + 9 = 0 d) x 2 – 2x = 3

Un rectángulo es tal que su lado mayor mide el doble de su lado menor.Sabiendo que su perímetro mide 360 cm, halla sus dimensiones.

Resuelve algebraicamente las ecuaciones:

a) – x + 5 = 3x + 1 c) 3x + 2 = 6x – 10

b) 3x 2 + 3x = x + 1 d) 16x 2 + 8x + 2 = 1

¿Qué valor debe tomar a para que la ecuación ax 2 + 4x + 1 = 0 tengauna raíz doble?

Resuelve las ecuaciones: x 4 – 9x 2 = 0 y x 4 – 5x 2 + 4 = 05

4

3

2

x2

32

53

12

x2

1

65

X

Y

1– 1

3

2

430

x 0 1 2 3 4

y 3 0 �1 0 3

Una ecuación de la forma ax 4 + bx 2 + c = 0 recibe el nombre de ecuación bicuadrada, y se resuelvehaciendo el cambio de variable x 2 = t.

La ecuación que se obtiene con este cambio es at 2 + bt + c = 0, de segundo grado; una vez resuelta,se deshace el cambio de variable para obtener las soluciones de la ecuación bicuadrada.

Como puedes ver, una ecuación bicuadrada puede tener 4 soluciones, 2 soluciones o ningunasolución real, pero no admite otra posibilidad respecto al número de soluciones.


En la web

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Ecuaciones_sistemas_inecuaciones/Indice.htm

063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:57 Página 65


2. Ecuaciones exponencialesAl estudiar la clasificación de las ecuaciones atendiendo a las expresiones algebraicas que apare-cen en ellas, se mencionaron las de este tipo, que analizaremos de una forma más detallada.

Son ecuaciones exponenciales aquellas en las que su incógnita figura como exponente.

Actividades

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 9 · 3 x–1 = 243 c) 7x + 1 – 49 = 2 352 e) 4 x + 4 x–1 – 4 x+1 + 44 = 0 g) 8 · 21–x = 64

b) 125 · 53x = 1 d) 5 x 2–x–20 = 1 f ) = 3 x – 5 h) = 64 · 4x8x–1

33–x

9x – 2

3x + 2

6

66

La calculadora científica nospermite hacer cálculosexponenciales ylogarítmicos.

Son ecuaciones exponenciales: 3x = 81 y 2x + 2x + 1 – 8 = 4.

Para facilitar la resolución de esta clase de ecuaciones es conveniente realizar las transformacio-nes necesarias para expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.Estas transformaciones se fundamentan en las propiedades de las potencias.

Así, para resolver las ecuaciones exponenciales más sencillas con las que nos podemos encontrar,tendremos que tener en cuenta la siguiente propiedad: ax = ay ⇒ x = y

A veces, no es posible expresar los dos miembros de una ecuación exponencial como potenciasde la misma base y, por tanto, su resolución es distinta al de los ejemplos anteriores.

a) Resolvamos la ecuación 3x – 2 = 27.

Expresamos 27 como potencia de 3 ⇒ 3 x – 2 = 33

De esta expresión deducimos que x – 2 = 3 y, por tanto, que x = 5.

b) Resolvamos 3x – 1 + 3x + 3x + 2 = 93.

Utilizando las propiedades de las potencias, obtenemos: 3x · 3–1 + 3x + 3x · 32 = 93

Sacamos factor común:

3x · (3 –1 + 1 + 32) = 93 ⇒ 3x · � + 1 + 9� = 93 ⇒ 3x · = 93 ⇒

⇒ 3x = 93 · ⇒ 3x = 9 ⇒ 3x = 32 ⇒ x = 2331

313

13

Ejemplo


En la web

http://www.emathematics.net/es/ecexponencial.php?a=5

Para resolver la ecuación 7 x – 2 – 2 x + 1 = 0 ⇒ 7x –2 = 2 x + 1 tomamos logaritmos:

log 7 x –2 = log 2 x + 1 ⇒ (x – 2) · log 7 = (x + 1) · log 2 ⇒

⇒ x · log 7 – 2 · log 7 = x · log 2 + log 2 ⇒ x · log 7 – x · log 2 = 2 · log 7 + log 2 ⇒

⇒ x · (log 7 – log 2) = 2 · log 7 + log 2 ⇒ x = 2 · log 7 + log 2

log 7 – log 2

Ejemplo

063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:57 Página 66

http://www.emathematics.net/es/ecexponencial.php?a=5


3. Ecuaciones logarítmicasDel mismo modo que hemos estudiado las ecuaciones exponenciales, podemos realizar un estu-dio más detallado de las ecuaciones logarítmicas.

Son ecuaciones logarítmicas: log x = 3 · log 2 y log x = 6.

Las transformaciones que deben efectuarse sobre una ecuación logarítmica para resolverla, sebasan en las propiedades de los logaritmos. Estas transformaciones son necesarias para expresarcada uno de sus miembros bajo un único logaritmo, y ambos con la misma base. De esa formapodemos resolver las ecuaciones logarítmicas más sencillas utilizando la siguiente relación:

loga

x = loga

y ⇔ x = y

En las ecuaciones logarítmicas es conveniente comprobar las soluciones sobre la ecuación inicial,teniendo en cuenta que solo existe el logaritmo de números positivos.

Se denominan ecuaciones logarítmicas aquellas en las que la incógnita aparece sometida a laoperación logarítmica.

a) Resolvamos la ecuación logarítmica 2 · log x – log 45 = log :

Utilizando las propiedades de los logaritmos, se obtiene:

2 · log x – log 45 = log x – log 3 ⇒ 2 · log x – log x = log 45 – log 3 ⇒

⇒ log x = log ⇒ log x = log 15 ⇒ x = 15

b) Resolvamos la ecuación log 5 + log x = 3.

Sirviéndonos de las propiedades de los logaritmos, se deduce:

log (5 · x) = 3 ⇒ log (5 · x) = log 1 000 ⇒ 5x = 1 000 ⇒ x = 200

453

x3

Ejemplo

Actividades

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) log x = 4 · log 2 c) log 2x + log 5 = 6 e) 3 · log x – log 30 = log g) log x 3 – log 40 = log

b) log x – log 2 = 2 d) 2 · log x = log (– 6 + 5x ) f ) log x 3 + log x 4 = 7 h) log (5x ) + log x 2 = log x4

2

x10

x 2

5

7

67


En la web

http://www.emathematics.net/es/eclogaritmica.php?a=5

Resolvamos 2 · log x = log (8 – 2x).

Empleando las propiedades de los logaritmos, se deduce:

log x 2 = log (8 – 2x)

x 2 = 8 – 2x ⇒ x 2 + 2x – 8 = 0

Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son: x = 2 y x = – 4.

Como log (– 4) no tiene sentido, la única solución de la ecuación logarítmica es x = 2.

Ejemplo

063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:57 Página 67

68


4. Sistemas de ecuaciones linealesUn sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (x

1, x

2, ... , x

n) es un conjunto formado por m

igualdades de la forma:

a11

x1+ a

12x

2+ ... + a

1nx

n= b

1

a21

x1+ a

22x

2+ ... + a

2nx

n= b

2

..................................................

am1

x1+ a

m2x

2+ ... + a

mnx

n= b

m

�donde a

ijy b

i(1 � i � m, 1 � j � n) son números reales conocidos.

Los números aijse llaman coeficientes y los b

i, términos independientes del sistema.

— En los coeficientes aij, el subíndice i indica la ecuación del sistema en la que aparece dicho coe-

ficiente, y el subíndice j señala de qué incógnita es coeficiente aij.

— El subíndice i que aparece en el término biindica la ecuación de la que b

ies término indepen-

diente.

Resolver un sistema es encontrar sus soluciones. Al conjunto de todas las soluciones del sistemase le llama solución general, y cada una de las soluciones que forman dicho conjunto es la solu-ción particular.

Serán soluciones del sistema todas las n-tuplas (s1, s

2, ... , s

n) tales que, al sustituir s

1por x

1, s

2

por x2, ..., s

npor x

n, todas las ecuaciones del sistema se conviertan en identidades.

Dependiendo de sus términos independientes y de sus soluciones, los sistemas de ecuacioneslineales se clasifican así:

1

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

HOMOGÉNEOStodos los bi = 0

NO HOMOGÉNEOSalgún bi ≠ 0

COMPATIBLEStienen solución

COMPATIBLEStienen solución

INCOMPATIBLESno tienen solución

DETERMINADOSsolución (0, 0, ...,0)

DETERMINADOSsolución única

INDETERMINADOSinfinitas soluciones

INDETERMINADOSinfinitas soluciones

� es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Como se ha visto en cursos anteriores, este sistema puede resolverse, de forma algebraica,por los métodos de igualación, reducción y sustitución, o de forma gráfica representando enlos ejes cartesianos las rectas x + y = 5 y x – y = 1, siendo la solución del sistema el punto deintersección de ambas.

En la gráfica se observa que las rectas se cortan en el punto (3 , 2), y (x = 3, y = 2) es la solu-ción del sistema y, en este caso, la solución general está compuesta por una única soluciónparticular.

Según la clasificación dada, el sistema es no homogéneo, compatible y determinado.

x + y = 5x – y = 1

Ejemplo

En un sistema de ecuacioneslineales, m y n no tienen por quéser iguales.

Observa que | 1

X

Y

0–1

31 5

2

5

x y0 5

5 0

x y0 – 1

– 1 0

x + y = 5 x – y = 1

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Recuerda que, al resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas,se distinguen los siguientes casos:

• Si el sistema es compatible determinado, las dos rectas son secantes.

• Si es compatible indeterminado, las dos rectas son coincidentes.

• Si es incompatible, las rectas son paralelas.

Para obtener sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado se pueden efectuar las siguientestransformaciones:

• Multiplicar una ecuación del sistema por un número no nulo.

• Despejar en una ecuación una de las incógnitas y sustituirla en las demás ecuaciones.

• Añadir o suprimir una ecuación que sea combinación lineal de las demás ecuaciones. 1

Como habrás podido deducir, dos sistemas de ecuaciones lineales equivalentes no han de tener nece-sariamente el mismo número de ecuaciones, pero sí deben tener el mismo número de incógnitas.

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

a) Los siguientes sistemas son equivalentes, pues la tercera ecuación es combinación linealde las dos anteriores.

x + y + z = 142x – y + 2z = 25– x + 2y – z = – 11} ⇔ }

Para comprobarlo no tienes más que restar, en el primer sistema, la segunda ecuación dela primera.

b) En ocasiones, un sistema de ecuaciones lineales puede ser equivalente a una única ecua-ción. Observa que se verifica la siguiente equivalencia:

x + y = 1

– 2x – 2y = – 2 } ⇔ x + y = 1

Para comprobarlo hay que sumar las dos ecuaciones del sistema, y multiplicar por (– 1) laecuación resultante.

x + y + z = 142x – y + 2z = 25

Ejemplos Una combinación lineal devarias ecuaciones es otra ecua-ción que resulta al multiplicar lasanteriores por números distintosde cero y sumarlas.

1

Actividades

Escribe dos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitasque sean equivalentes.

Escribe una ecuación lineal y un sistema de ecuaciones lineales quesean equivalentes.

Comprueba la siguiente equivalencia:

� ⇔ �

Resuelve gráficamente los sistemas:

a) � b) �Estudia la posición relativa de las siguientes parejas de rectas:

a) r : + y = 3 b) r : 3x + y = 8

s: – x + 6y = 2 s: 6x + 2y = 16

x2

12

7x – y = 8y + x = 0

3x + y = 45y – x = 4

11

8x + 2y = 12x + 2y = – 8

4x + y = 63x – y = 14

10

9

8

69

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70


4.1. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.Método de Gauss

Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas puede resolverse utilizando el métodode Gauss, que consiste en obtener un sistema equivalente al dado, de forma que contenga:

• una ecuación con tres incógnitas;

• otra ecuación con dos incógnitas;

• y la última ecuación con una incógnita.

Finalmente se resolverá el nuevo sistema de forma escalonada.

El método de Gauss es, en realidad, una aplicación reiterada del método de reducción, ya quepara conseguir que una ecuación tenga una incógnita menos que la ecuación que le precede, seaplica el método de reducción a dos de las tres ecuaciones del sistema.

1

Al aplicar el método de Gauss, no siempre se obtiene un sistema equivalente triangular, sino quepueden darse también los siguientes casos:

I. En el sistema equivalente aparece alguna ecuación en la que los coeficientes de las incógnitasson todos nulos y el término independiente es distinto de cero. En este caso, el sistema que esta-mos resolviendo es incompatible.

Resolvamos por el método de Gauss el siguiente sistema:

x + y + z = 1

2x – y – 3z = 0

– x + 2y – 2z = – 5�

Comenzamos por eliminar la incógnita x en las dos últimas ecuaciones.

— Restamos a la segunda el doble de la primera y sumamos la tercera y la primera.

� ⇔ �Eliminamos ahora la incógnita y de la tercera ecuación.

— Sumamos a la tercera la segunda.

� ⇔ �De esta forma hemos conseguido el sistema deseado con tres ecuaciones de tres, dos y unaincógnitas, que podemos resolver de forma escalonada.

De la tercera ecuación se obtiene: z = 1

Sustituyendo este valor en la segunda, obtenemos: y = –1

Reemplazando estos dos valores en la primera ecuación, se obtiene: x = 1

Por tanto, la solución del sistema es: (x = 1 , y = – 1 , z = 1)

Como la solución es única, el sistema es compatible determinado.

x + y + z = 1

– 3y – 5z = – 2

– 6z = – 6

x + y + z = 1

– 3y – 5z = – 2

3y – z = – 4

x + y + z = 1

– 3y – 5z = – 2

3y – z = – 4

x + y + z = 1

2x – y – 3z = 0

– x + 2y – 2z = – 5

Ejemplo

El método de Gauss es conocidotambién como método de trian-gulación o de cascada.

1

Karl Friedrich Gauss

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II.En el sistema equivalente aparecen una o más ecuaciones en las que tanto los coeficientes delas incógnitas como los términos independientes son nulos; en este caso, el sistema que esta-mos resolviendo es compatible indeterminado.

Resolvamos el siguiente sistema: �— Restamos el doble de la primera a la segunda y sumamos la primera y la tercera:

x + y + z = 4

2x – y – z = 6

– x + 2y + 2z = 2

Ejemplo

Resolvamos el sistema: �— Restamos a la segunda el triple de la primera y a la tercera el doble de la primera:

x + y + 2z = 0

3x + 2y – z = 6

2x + y – 3z = 6

� ⇔ �— Restamos a la tercera la segunda:

x + y + 2z = 0

– y – 7z = 6

– y –7z = 6

x + y + 2z = 0

3x + 2y – z = 6

2x + y – 3z = 6

� ⇔ �En la tercera ecuación, los coeficientes de las incógnitas y el término independiente sonnulos; por tanto, el sistema es compatible indeterminado. 2

x + y – 2z = 0

y + 7z = – 6

0 = 0

x + y – 2z = 0

– y – 7z = +6

– y – 7z = +6

Ejemplo

Al resultar un sistema incompa-tible, no tiene solución.

1 | Observa que

En este ejemplo el sistema escompatible indeterminado por loque las soluciones serán infinitas.

Esto es debido a que en el siste-ma inicial la segunda ecuación escombinación lineal de las otrasdos; para comprobarlo basta conque sumes la primera ecuación yla tercera.

2 | Observa que

Actividades

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss.

a)

�b)

�c)

�d)

�5x – y + z = 5

4x + y + 3z = 8

x – 2y – 2z = – 3

x + 3y – z = 1

x + y + z = 72x + y – 4z = 6

3x – 2y – z = 4

6x + y – 5z = 11

3x + y – z = 3

8x – 2z = 6

– x – y + z = – 1

13

– y + = 1z4

x2

� ⇔ �— Sumamos la tercera y la segunda:

x + y + z = 4

– 3y – 3z = – 2

3y + 3z = 6

x + y + z = 4

2x – y – z = 6

– x + 2y + 2z = 2

� ⇔ �En la tercera ecuación, los coeficientes de las incógnitas son nulos, mientras que el términoindependiente no lo es; por tanto, el sistema es incompatible. 1

x + y + z = 4

– 3y – 3z = – 2

0 = 4

x + y + z = 4

– 3y + 3z = –2

3y + 3z = 6

71

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72


5. Sistemas de ecuaciones no linealesAdemás de los sistemas de ecuaciones estudiados anteriormente podemos resolver otros cuyasecuaciones no sean lineales.

Existen muchos tipos de sistemas de ecuaciones no lineales: sistemas de ecuaciones logarítmicas,exponenciales, cuadráticas, etc.

Vamos a presentar aquí algunos de ellos, sirviéndonos de ejemplos resueltos que permitan mos-trar un pequeño abanico dentro de esta variedad.

I. Resolvamos el siguiente sistema:

�Como puedes comprobar, una ecuación es lineal y la otra tiene términos de segundo grado.

Para resolverlo podemos utilizar el método de sustitución, despejando una incógnita de la ecua-ción lineal y sustituyéndola en la ecuación cuadrática.

— Despejamos x de la primera ecuación:

— x = 4 – y

— Sustituimos este valor en la segunda:

— (4 – y)2 + y 2 = 40

— Resolvemos esta ecuación:

16 + y 2 – 8y + y 2 = 40 ⇒ 2y 2 – 8y – 24 = 0 ⇒

⇒ y 2 – 4y – 12 = 0

y = = ⇒ �Los valores de y los sustituimos en la primera ecuación del sistema:

— Para y1= 6, se tiene que: x

1+ 6 = 4 ⇒ x

1= – 2

— Para y2= – 2, se tiene que: x

2– 2 = 4 ⇒ x

2= 6

Las soluciones del sistema son:

(x = – 2 , y = 6) y (x = 6 , y = – 2)

II. Resolvamos ahora el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:

�Para ello utilizaremos las propiedades de las potencias con el fin de obtener un sistema equiva-lente más sencillo:

2x · 2y = 1 ⇒ 2x + y = 20 ⇒ x + y = 0

32x · 3y = 9 ⇒ 32x + y = 32 ⇒ 2x + y = 2

La solución del sistema propuesto es la misma que la del sistema:

�Resolviéndolo, encontramos que la solución del sistema inicial es:

(x = 2 , y = – 2)

x + y = 0

2x + y = 2

2 x · 2 y = 1

32x · 3y = 9

y1= 6

y2= – 2

4 ± 82

4 ± ��16 + 482

x + y = 4

x 2 + y 2 = 40

Portada de la obra Diviseverini boetii arithmetica, deBoecio.

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III. Consideramos ahora el sistema:

�Para resolver este tipo de sistemas, donde una ecuación tiene un término (o varios) en forma deraíz cuadrada, es muy práctico encontrar un sistema equivalente en el que la ecuación con la raízcuadrada se haya sustituido por otra sin raíz. Una vez resuelto el sistema, habrá que comprobar lavalidez de las soluciones obtenidas.

— Tomamos la segunda ecuación y despejamos la raíz:

�x� + y = 27 ⇒ �x� = 27 – y

— Elevamos ambos miembros de esta igualdad al cuadrado:

��x��2 = (27 – y) 2 ⇒ x = 729 + y 2 – 54y ⇒

⇒ y 2 – 54y – x = – 729

Ahora tendremos que resolver el sistema:

�Para ello utilizamos el mismo método de sustitución del ejemplo I:

— Despejamos x de la primera ecuación: x = y + 105

— Sustituimos este valor en la segunda ecuación:

y 2 – 54y – (y + 105) = – 729 ⇒ y 2 – 55y – 105 + 729 = 0 ⇒

⇒ y 2 – 55y + 624 = 0

y = = ⇒ �Sustituyendo en la primera ecuación del sistema:

— Para y1= 39, se tiene que: x – 39 = 105 ⇒ x = 144

— Para y2= 16, se tiene que: x – 16 = 105 ⇒ x = 121

La primera solución (x = 144 , y = 39) no es válida porque no verifica la segunda ecuación del sis-tema inicial.

Esto es así porque al sustituir los valores de x e y en la segunda ecuación, esta solo se cumple parael valor negativo de la raíz, y en la solución solamente tenemos en cuenta los valores positivos delas raíces.

Por tanto, el sistema tiene una única solución: (x = 121 , y = 16)

y1= 39

y2= 16

55 ± 232

55 ± ��3025 �– 2 4962

x – y = 105

y 2 – 54y – x = – 729

1

x – y = 105

�x� + y = 27

Actividades

Resuelve los siguientes sistemas:

a) � c) � e) �

b) � d) � f ) �

El perímetro de un rectángulo mide 26 cm, y su diagonal, 10 cm.Calcula la longitud de los lados de este rectángulo.

La suma de las tres cifras de un número es seis; si se intercambian lacifra de las centenas y la de las decenas, el número aumenta en noven-ta unidades, pero si se intercambian la cifra de las decenas y la cifra delas unidades, el número aumenta en nueve unidades. Calcula dichonúmero.

16

15

4x · 4y = 16

3x – y = 10

x + y = 100

�x� – �y� = 22x + y = 2

2x 2 – y 2 = – 46

2x = 4 · 2y

x + 3y = 14

3x + 5y = 80

�x� + 2y = 7x – y = 2

x2 + y 2 = 20

14

73

Al elevar al cuadrado para elimi-nar los radicales, la ecuación setransforma en otra con las mis-mas soluciones, pero que puedetener alguna solución más, por loque será necesario comprobarlas soluciones obtenidas en elsistema.

1 | Observa que

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6. InecuacionesA partir de las desigualdades definimos las inecuaciones de la forma siguiente:

Si solo interviene una incógnita, se tratará de una inecuación con una incógnita. Análogamenteexisten inecuaciones con dos o más incógnitas.

Resolver una inecuación consistirá en encontrar todos los valores de las incógnitas que verificandicha inecuación. El conjunto de estos valores se conoce como solución de la inecuación.

Para resolver una inecuación la transformaremos en otra inecuación equivalente más sencillamediante las siguientes transformaciones de equivalencia:

• Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número o expre-sión algebraica, resulta una inecuación equivalente a la dada.

• Si los dos miembros de una inecuación se multiplican o dividen por un número real positivo,resulta otra inecuación equivalente a la dada.

• Si los dos miembros de una inecuación se multiplican o dividen por un número real negativo,resulta otra inecuación cuyo signo de desigualdad es contrario al de la dada y que es equivalente.

1

Una inecuación es una desigualdad en la que intervienen incógnitas o valores desconocidos.

Dos o más inecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.

a) Son inecuaciones con una incógnita: 3x + 2 � x – 3 y 3x 2 � x + 12

b) Son inecuaciones con dos incógnitas: 5x + y � 0 y x + 3y � x

Ejemplos

Dada la inecuación – 3x � 6 – x, será equivalente a: – 3x – 12 � 0

— Primero multiplicamos por 2 los dos miembros: x – 6x � 12 – 2x

— Sumamos 2x a los dos miembros: x – 6x + 2x � 12 – 2x + 2x ⇒ – 3x � 12

— Restamos 12 a los dos miembros: – 3x – 12 � 0

x2

Ejemplo

Actividades

Demuestra que son equivalentes las siguientes inecuaciones:

– 3x + 4 � x – 2 y 7x � 12

¿Son equivalentes las siguientes inecuaciones?

x – 2 � y 3x – + 2 � 3 +

Razona las siguientes transformaciones:

a) x � y y z � t ⇒ x + z � y + t

b) a � b � 0 ⇒ � � 0

c) x � 0 e y � 0 ⇒ xy � 0

d) a � b ⇒ a – b � 0

1a

1b

19

5x2

x6

x3

18

x2

17

74

Dados dos números reales a y bcualesquiera, siempre se verificaque: a � b o a = b o a � b

Recuerda que

Las tres transformaciones deequivalencia son válidas en lascuatro desigualdades:

� , � , � , �

Observa que | 1


En la web

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Inecuaciones/inecindex.html

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http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Inecuaciones/inecindex.html


7. Inecuaciones lineales con una incógnitaEstudiaremos las inecuaciones, clasificándolas según su grado y número de incógnitas.

También serán lineales con una incógnita aquellas inecuaciones que puedan presentar estas formasdespués de aplicar las transformaciones de equivalencia.

Para resolver una inecuación lineal con una incógnita se aplicarán las transformaciones de equi-valencia necesarias hasta obtener una inecuación equivalente de una cualquiera de las formas:

x � a x � a x � a x � a donde a ∈ �

• Si se obtiene x � a (análogamente x � a), la solución de la inecuación está formada por todoslos números del intervalo [a , + �) y análogamente, (– �, a] .

• Si se obtiene x � a y, análogamente, x � a), la solución de la inecuación está formada por todoslos números del intervalo (a , + �) y, análogamente, (– � , a).

Estas inecuaciones también pueden resolverse de forma gráfica. Así, la solución de la inecuaciónax + b � 0 la forman todos los valores de x para los que la recta de ecuación y = ax + b queda porencima del eje horizontal. 1

Se llama inecuación lineal con una incógnita a cualquiera de las siguientes desigualdades:

• ax + b � 0 • ax + b � 0

• ax + b � 0 • ax + b � 0 con a, b ∈ � y a � 0

Consideramos la inecuación – 3x � 6 – x, y multiplicamos por 2 sus dos miembros:

x – 6x � 12 – 2x

Sumamos a los dos miembros 2x y simplificamos: x – 6x + 2x � 12 – 2x + 2x ⇒ –3x � 12

Esta inecuación es lineal con una incógnita y es equivalente a la inecuación inicial. Dividiendopor (– 3) los dos miembros: x � –4

x2

Ejemplo

Resolvamos la inecuación x – 5x – 8 � 14 – 6x, utilizando las transformaciones de equivalencia.

x – 5x + 8 � 14 – 6x ⇒ x – 5x + 6x � 14 – 8 (sumando 6x y restando 8 a los dos miembros) ⇒ 2x � 6 ⇒ x � 3

Así, la solución de la inecuación es la formada por: x ∈ (– � , 3]

Ejemplo

Si al transformar una inecuaciónen otra equivalente obtenemosuna desigualdad debido a que enla expresión han desaparecidolas incógnitas, dicha inecuacióntendrá como solución � si ladesigualdad obtenida es cierta, yel conjunto , en caso contrario.

Actividades

Resuelve las inecuaciones:

a) 5x + 6 – � – 1 c) 3 · (x – 3) � 1 – 5x e) 2 – + 2x � 1 – xx3

x2

20

b) 8x – 6 � d) – 4 � x + 1 f ) – + 5 � x – 13

x2

2x3

3x2

2x5

75

X

Y

(0 , b)

y = ax + b

– ba– , 0)(

Observa que la recta y = ax + bqueda por encima del eje hori-zontal para los valores:

x ∈ �– , + ∞�b a

1

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8. Inecuaciones de segundo grado con una incógnitaAnálogamente a la nomenclatura de las ecuaciones, tenemos que:

La solución de una inecuación de este tipo depende de las soluciones de ax 2 + bx + c = 0. Así,para resolver estas inecuaciones, vamos a estudiar en particular ax 2 + bx + c � 0, y podemos dis-tinguir los siguientes casos:

La ecuación ax 2 + bx + c = 0 tiene dos soluciones reales distintas

Sean x1y x

2las soluciones, y supongamos que x

1� x

2.

En este caso, la inecuación ax 2 + bx + c � 0 se puede expresar como: a (x – x1) (x – x

2) � 0. El

producto de los tres factores debe ser negativo o cero y esto solo ocurre en cada una de las siguien-tes situaciones:

• a � 0, x – x1� 0, x – x

2� 0 ⇒ a � 0, x � x

1, x � x

2

• a � 0, x – x1� 0, x – x

2� 0 ⇒ a � 0, x � x

1, x � x

2

• a � 0, x – x1

� 0, x – x2

� 0 ⇒ a � 0, x � x1, x � x

2

• a � 0, x – x1

� 0, x – x2

� 0 ⇒ a � 0, x � x1, x � x

2

Al ser x1

� x2, la primera situación no se verifica para ningún valor de x , y la segunda la cumplen

los valores x ∈ [x2 , x

1]. Por el mismo motivo, la situación tercera la verifican los valores x ∈ [x

1 , + �)

y la cuarta los valores x ∈ (– � , x2].

Se llama inecuación de segundo grado con una incógnita a cualquiera de las desigualdades:

• ax2 + bx + c � 0 • ax2 + bx + c � 0

• ax2 + bx + c � 0 • ax2 + bx + c � 0, con a, b, c ∈ � y a � 0.

76

Gateway Arch. Sant Louis.

Los puntos de la línea queune los pies del arco estándefinidos por una inecua-ción del tipo

ax 2 + bx + c � 0,

con a � 0.

La solución es [2 , 4].

La solución de la inecuación ax2 + bx + c � 0 será:

• Si a � 0, todos los x ∈ [ x2 , x

1] = {x ∈ � / x

2� x � x

1}.

• Si a � 0, todos los x ∈ (– � , x2] ∪ [ x

1 , + �) = {x ∈ � / x � x

2o x � x

1}.

a) Resolvamos la inecuación 2x 2 – 12x + 16 0.

Las soluciones de la ecuación 2x 2 – 12x + 16 = 0 son:

x1= 4 y x

2= 2, y el coeficiente de x 2 es a = 2, que es positivo.

Por tanto, la solución de la inecuación la forman todos los valores de x tales que:

x ∈ [x2 , x

1] = [2 , 4]

b) Vamos a resolver la inecuación – x 2 + 4 � 0.

Las soluciones de la ecuación – x 2 + 4 = 0 son:

x1= – 2 y x

2= 2

El coeficiente de x 2 es a = – 1, es decir, negativo.

Luego la solución de la inecuación la forman todos los valores de x tales que:

x ∈ (– � , – 2] � [2 , �)

1

Ejemplos

X

Y

y = 2x – 12x + 162

2 4

2

4

6

Si hacemos la interpretación grá-fica, la solución de la inecuacióndel ejemplo a) está formada portodos los valores de x para losque la parábola de ecuación:

y = 2x 2 – 12x + 16 se encuentraen el eje de abscisas y por debajode él, es decir, los valores de xpara los cuales y es menor oigual que cero.

Interpretación gráfica | 1

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La ecuación ax2 + bx + c = 0 tiene dos soluciones reales iguales

La inecuación ax2 + bx + c � 0 puede expresarse de la forma a (x – x1)2 � 0, siendo x

1la solución

de la ecuación mencionada. Como (x – x1) 2 es siempre positivo o cero, la inecuación solo se veri-

fica para x = x1si a � 0 y para todo número real x si a � 0.

La ecuación ax2 + bx + c = 0 no tiene soluciones reales

En este caso, ax 2 + bx + c es positivo para todo valor real de x si a � 0, y es negativo, tambiénpara cualquier valor real de x, si a � 0.

En resumen, la solución de la inecuación está formada:

• Por todos los números reales cuando a � 0. • Por x = x1cuando a � 0.

Por tanto, la solución de la inecuación ax2 + bx + c � 0 será:

• El conjunto de todos los números reales si a � 0. • El conjunto vacío si a � 0.

1

Resolvamos la inecuación x 2 + 6x + 9 � 0.

La ecuación x 2 + 6x + 9 = 0 tiene dos soluciones iguales a x1= – 3.

El coeficiente de x 2 es a = 1, que es positivo y, por tanto, la solución de la inecuación estáformada únicamente por el valor x = – 3.

Ejemplo

a) Vamos a resolver la inecuación x 2 + 1 � 0.

Como la ecuación x 2 + 1 = 0 no tiene soluciones reales y el coeficiente de x 2 es a =1 (a � 0),la solución de la inecuación x 2 + 1 � 0 es el conjunto vacío.

Del mismo modo, podemos observar que la solución de la inecuación x 2 + 1�0 es �.

b) Resolvamos la inecuación – x 2 – x – 1 � 0.

Como la ecuación – x 2 – x – 1 = 0 no tiene soluciones reales y el coeficiente de x 2 es nega-tivo, la solución de la inecuación – x2 – x – 1 � 0 es todo �.

La solución de la inecuación – x2 – x – 1� 0 será el conjunto vacío.

EjemploPara cualquiera de las otras ine-cuaciones de segundo grado(con los signos �, �, �) hay quehacer un estudio similar al efec-tuado para la inecuación:

ax 2 + bx + c � 0

1

X

Y

– 1– 3– 5

1

4

9y = x + 6x + 92

Actividades

Resuelve:

a) x 2 – x – 2 � 0 b) x 2 – x � 2x 2 – 2

Interpreta gráficamente las inecuaciones de la actividad anterior y sussoluciones.

Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x 2 + 20 � 4 – 8x b) 4x 2 + 1 � 4x



a) x 2 + 6 � 4 b) 2x 2 � –24


26

25

24

23

22

21

77

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9. Sistemas de inecuaciones lineales con una incognitaDado un sistema de dos o más inecuaciones lineales con una incógnita, la solución del sistemaestará formada por aquellos valores que satisfagan todas las inecuaciones. Por tanto, serán valo-res que estén presentes en las soluciones de todas ellas.

Los sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita también pueden resolverse de forma gráfica.

La solución de un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita será la intersección de lassoluciones de todas las inecuaciones que lo forman.

Resolvamos el sistema: �2x � x – 1

Para ello hallamos la solución de la primera inecuación:

3x + 8 � x + 14 ⇒ 3x – x � 14 – 8 ⇒ 2x � 6 ⇒ x � 3

Su solución está formada por todos los valores: x ∈ (– � , 3]

Hallamos, después, la solución de la segunda inecuación:

2x � x – 1 ⇒ 4x � 3x – 2 ⇒ 4x – 3x � – 2 ⇒ x � –2

Su solución está formada por todos los valores: x ∈ (–2 , + �)

Como (– � , 3] � (– 2 , + �) = (– 2 , 3], la solución del sistema está formada por todos losvalores x ∈ (– 2 , 3].

32

32

3x + 8 � x + 14

Ejemplo

Resolvamos gráficamente el sistema del ejemplo anterior

3x + 8 � x + 14 ⇒ 2x – 6 � 0

2x � x – 1 ⇒ x + 2 � 0

La recta y = 2x – 6 toma valores negativos o cero para los valores: x ∈ (– � , 3]

La recta y = x + 2 toma valores positivos para los valores: x ∈ (– 2 , + �)

Luego la solución del sistema será la intersección de ambos intervalos, obteniendo: x ∈ (–2 , 3]

32

1

Ejemplo

Una inecuación en la que intervie-ne el valor absoluto es equivalen-te a un sistema de dos inecuacio-nes si el signo de la desigualdades � o � .Así por ejemplo, la ine-cuación ⏐x + 4⏐ � 1 es equiva-lente al sistema:

x + 4 � 1

x + 4 � – 1�Cuando el signo de la desigualdades � o �, la solución de la ine-cuación es la unión de las solucio-nes de las dos inecuaciones quese obtienen al quitar el valor abso-luto. Así, por ejemplo, la inecua-ción ⏐x + 4⏐ � 1, tiene comosolución la unión de las solucionesde las inecuaciones:

x + 4 � 1

x + 4 � – 1

Observa que

X

Y

y = 2x – 6

y = x + 2

3

2

– 2

– 6


Actividades


a) � c) �b) � d) �

Interpreta geométricamente los sistemas de la actividad anterior y sussoluciones.

Resuelve los sistemas:

a) � b) �2x + 3 � 54x – 3 � 1

3x – 2 � 13

x � 0x + 2 � 2x – 53x + 6 � x + 7

29

28

x – 2 � 2x + 1 3 – x � 1 – 2x

x � 0

x + 4 � 02x + 6 � 0

27

x + � x2

12

+ – 6 � 5x3

x2

x + 1 � x2

78

1

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10. Inecuaciones lineales con dos incógnitasVamos a estudiar y resolver una inecuación lineal con dos incógnitas.

Si a = 0 o b = 0, estas inecuaciones se convierten en inecuaciones lineales con una incógnita.

La solución de una inecuación lineal con dos incógnitas está formada por el conjunto de todos lospares (x

0 , y

0) que la verifiquen.

Para resolver de forma gráfica una de estas inecuaciones procederemos del modo siguiente:

Supongamos la inecuación ax + by + c � 0. En primer lugar, representaremos gráficamente la rectacorrespondiente a la ecuación ax + by + c = 0.

Esta recta representa la frontera, de tal forma que la solución de la inecuación solo puede ser, obien la región del plano situada por encima de la recta (incluida esta por ser una desigualdad deltipo �), o bien la región del plano situada por debajo de ella (incluida también la propia recta).

Para determinar cuál de las dos regiones mencionadas es realmente la solución de la inecuaciónse toma un punto de una de las regiones. Se sustituye dicho punto en la inecuación. Si la verifica,la región que contiene al punto es la solución de la inecuación, y si no la verifica, la solución será laregión que no lo contiene.

Una inecuación lineal en las incógnitas x e y es cualquiera de las siguientes desigualdades:

• ax + by + c 0 • ax + by + c � 0

• ax + by + c � 0 • ax + by + c � 0 con a, b, c ∈ � y a � 0, b � 0

Los pares (1 , 6), (2 , 4) y (– 2 , 9) pertenecen al conjunto solución de la inecuación x + y � 6.Su solución está formada por infinitos pares de puntos.

Ejemplo

Resolvamos la inecuación 2x – y � 4.

Representamos la recta 2x – y = 4, que divide al plano endos regiones.

Consideramos el punto (0 , 0) que se encuentra en laregión del plano situada por encima de la recta, y lo sus-tituimos en la inecuación 2x – y � 4:

(0 , 0) → 2 · 0 – 0 � 4 → 0 � 4

El punto (0 , 0) verifica pues la inecuación, y la regiónque lo contiene es la solución de la inecuación, tal ycomo ves en la gráfica.

Ejemplo

X

Y

2 – = 4x y

( 2 , 0 )

( 0 , – 4 )

X

Y

ax + by + c = 0

La solución de un sistema de ine-cuaciones lineales con dos incóg-nitas es la intersección de las solu-ciones de todas las inecuacionesque forman el sistema.


Actividades

Resuelve gráficamente las inecuaciones:

a) 3x + 8y � 14 b) x – y � 4 c) x + 2y � 12

Resuelve el sistema:

�2x + y � 23x + y � 2

3130

79

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80


11. Otra forma de resoluciónLas inecuaciones y sistemas de inecuaciones estudiados hasta ahora pueden resolverse utilizandootros métodos distintos de los mencionados, aunque los criterios y objetivos sean los mismos.

Vamos a resolver x – 5x + 8 � 14 – 6x por este método:

x – 5x + 8 = 14 – 6x, y obtendremos como solución x = 3.

Si tomamos un punto a la derecha del 3 (por ejemplo 4) y lo sustituimos en la inecuación,observamos que no la cumple; por tanto, la solución será (–� , 3].

0 3

Ejemplo

Vamos a resolver la inecuación 2x 2 – 12x + 16 � 0.

La ecuación tiene dos soluciones: x1= 4 y x

2= 2, que dibujadas en la recta determinan tres

intervalos: (–� , 2], [2 , 4] y [4 , �). Elegimos un punto de cada intervalo, por ejemplo, –3, 3y 5, y comprobamos que:

Para x = –3 → 2 · (–3)2 – 12 · (–3) + 16 � 0 es falso; por tanto, (–� , 2) no pertenece al con-junto solución.

Para x = 3 → 2 · 32 – 12 · 3 + 16 � 0 es cierto; así [2 , 4] pertenece al conjunto solución.

Para x = 5 → 2 · 52 – 12 · 5 + 16 � 0 es falso; por ello, (4 , �) no pertenece al conjunto solución.

Luego la solución es [2 , 4].

Ejemplo

11.1. Inecuaciones lineales con una incógnitaPodemos resolver una inecuación lineal con una incógnita P (x) � Q (x) resolviendo la ecuaciónP (x) = Q (x) y representando sobre la recta real la solución x = a.

Este punto es la frontera de la solución, de tal forma que la solución de la inecuación sólo puedeser, o bien la semirrecta formada por los puntos mayores que a (incluido a por ser una desigual-dad del tipo �), o bien la semirrecta formada por los puntos menores que a (incluido a).

Para determinar cuál de las dos semirrectas es realmente la solución de la inecuación se toma unpunto de una de ellas. Se sustituye en la inecuación: si la verifica, la semirrecta que contiene adicho punto es la solución de la inecuación, y si no la verifica, la solución será la semirrecta queno lo contiene.

1

11.2. Inecuaciones de segundo grado con una incógnitaPodemos resolver también este tipo de inecuaciones dibujando sobre la recta real las solucionesde la ecuación ax 2 + bx + c = 0.

Así, la recta quedará dividida en tres, dos o un intervalo (según el número de soluciones).

Tendremos que determinar ahora cuál de estos intervalos pertenece a la solución de nuestra inecua-ción. Para ello tomamos un punto de cada intervalo y comprobamos si verifica o no la inecuación.

Los puntos frontera pertenecerán a la solución si la inecuación es del tipo � o � , y no estarán enla solución en los otros casos.

La solución de una inecuaciónlineal con una incógnita es unasemirrecta de la recta real.

1

a

0– 3 2 4 53

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– 2

– 2

– 2

3

3

3

0

0

0

Gráficamente será:


11.3. Inecuaciones de tercer grado con una incógnitaPodemos resolver una inecuación de tercer grado con una incógnita descomponiendo P (x) enproducto de tres polinomios de primer grado o uno de primer grado y otro de segundo y proce-diendo después a estudiar el signo de este producto en cada uno de los intervalos de �.

11.4. Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnitaSi lo que tenemos es un sistema de dos o más inecuaciones lineales con una incógnita, la solucióndel sistema estará formada por aquellos valores que satisfagan todas las inecuaciones.

Vamos a resolver la inecuación x 3 + 2x 2 – x – 2 � 0.

Podemos descomponer el polinomio en el producto (x + 2) · (x – 1) · (x + 1) � 0:

x + 2 será positivo para x � – 2 y negativo para x � – 2.

x – 1 será positivo para x � 1 y negativo para x � 1.

x + 1 será positivo para x � – 1 y negativo para x � – 1.

En el intervalo (– � , – 2), los tres factores son negativos, como puedes apreciar en la gráfica; luego el producto será negativo y pertenecerá a la solución de la inecuación.

En el intervalo (– 2 , – 1), el producto será positivo y no pertenece a la solución.

En el intervalo (– 1 , 1), el producto es negativo y pertenece a la solución.

En el intervalo (1 , �), el producto es positivo y no pertenece a la solución.

Luego la solución de la inecuación serán los valores: x ∈ (– � , – 2) � (– 1 , 1)

Ejemplo

Resolvamos el sistema: �2x � x – 1

Hallamos la solución de la primera inecuación: 3x + 8 � x + 14 ⇒ x � 3. Su solución está for-mada por todos los valores x ∈ (– � , 3].

Determinamos la solución de la segunda inecuación: 2x � · x – 1 ⇒ x � – 2.

Su solución está formada por todos los valores x ∈ (– 2 , +�).

La solución del sistema será: (– � , 3] � (– 2 , +�) = (– 2 , 3].

3—2

32

3x + 8 � x + 14

Ejemplo

0

0

0

– 1

1

– 2

Negativo

Negativo

Negativo

Positivo

Positivo

Positivo

( x + 1)

( x – 1)

( x + 2)

(1 , )�(– 2 , – 1) (– 1 , 1)(– , – 2)�

Actividades

Resuelve las inecuaciones siguientes:

a) 3 · (x – 3) � 1 – 5x c) 2x – � – x

b) – 4 � x + 1 d) 2 · (x – 1) + � x

Resuelve:

a) x 2 + 6 � 4 b) 2x 2 � – 24


a) � b) �x � 02x + 6 � 0

34

33

1 4

3 2

3x 2

5 3

1 3

32

81

x + � x2

13

+ – 6 � 5x3

x2

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¿Qué valor debe tomar a para que la ecuación ax2 – 8x – 2 = 0tenga una raíz doble?

Para que tenga una raíz doble, el discriminante de la ecuación ha de sernulo.

∆ = (– 8)2 – 4 · a · (– 2) = 0 ⇒ 64 + 8a = 0 ⇒ a = – 8

Así, a debe tomar el valor – 8.

Resuelve la ecuación 4x – 1 + 4x – 2 – 4x + 11 = 0.

Utilizando las propiedades de las potencias, tenemos que:

4x – 1 + 4x – 2 – 4x + 11 = 0 ⇒ 4x · 4 – 1 + 4x · 4 – 2 – 4x + 11 = 0

Y sacando factor común obtenemos la ecuación equivalente:

4x · (4– 1 + 4– 2 – 1) = – 11 ⇒ 4x · � + – 1�= – 11 ⇒

4x · �– � = – 11 ⇒ 4x = – 11 · �– � ⇒ 4x = 16 = 42 ⇒ x = 2

Resuelve la ecuación 3 log x + log 5 = log (30x2).

3 log x + log 5 = log (30x2) ⇒ log x3 + log 5 = log (30x2) ⇒

⇒ log (5x3) = log (30x2) ⇒ 5x3 = 30x2 ⇒ 5x3 – 30x2 = 0 ⇒

⇒ 5x2 · (x – 6) = 0 ⇒ x1 = 0 y x 2 = 6

Como log 0 no existe, la solución x = 0 no es válida y, por tanto, la solu-ción de la ecuación es x = 6.

Resuelve el siguiente sistema:

�log (x · y ) = 5 ⇒ log x + log y = 5

log � � = 1 ⇒ log x – log y = 1

Sumando ambas ecuaciones, se obtiene:

2 log x = 6 ⇒ log x = = 3 ⇒ x = 103 = 1 000

Y sustituyendo el valor de x en la primera ecuación:

log 1 000 + log y = 5 ⇒ 3 + log y = 5 ⇒ log y = 2 ⇒ y = 102 = 100

La solución del sistema es x = 1 000, y = 100.

Resuelve la inecuación – · (x + 3) > – x – .

– · (x + 3) > – x – ⇒ – – > – – ⇒

⇒ 4x – 6x – 18 > 3x – 12 x – 6 ⇒ 7x > 12 ⇒ x >

Así, la solución de la inecuación es el conjunto:

�x ∈ �/x > �= � , + ��12 7

12 7

12 7

6 12

12x12

3x12

18 12

6x12

4x12

1 2

x4

1 2

x3

12

x4

12

x3

5

6 2

xy

log (x · y ) = 5

4

3

16 11

11 16

1 16

1 4

2

1 Clasifica y resuelve el sistema de ecuaciones, utilizando elmétodo de Gauss.

�Cambiamos el orden de las filas primera y tercera:

�A la segunda ecuación le sumamos la primera, y a la tercera ecuación

le restamos la primera multiplicada por 2:

�Ahora le sumamos la segunda ecuación a la tercera:

�Por tanto, el sistema resulta incompatible y no tiene solución.

¿Qué valores de x cumplen que |2x + 4| < 8?

Eliminando el valor absoluto, la inecuación es equivalente al sistema:

�Resolvemos las dos inecuaciones del sistema:

2x + 4 < 8 ⇒ 2x < 4 ⇒ x < 2 ⇒ x ∈ (– � , 2)

2x + 4 > – 8 ⇒ 2x > – 12 ⇒ x > – 6 ⇒ x ∈ (– 6 , �)

La solución del sistema es la intersección de las soluciones de las dos

inecuaciones, es decir, x ∈ (– 6 , 2), que constituye también la solución

de la inecuación inicial.

Resuelve la siguiente inecuación:

� 0

Para que la fracción algebraica sea mayor o igual que cero, pueden dar-

se estos casos:

� �Resolvemos los dos sistemas:

Primer sistema → x � – 3 y x > 4 ⇒ x > 4

Segundo sistema → x � – 3 y x < 4 ⇒ x � – 3

Así, la solución de la inecuación serán aquellos valores que sean solu-

ciones de ambos sistemas, es decir, x ∈ (– � , – 3] ∪ (4 , + �).

x + 3 � 0 x – 4 < 0

x + 3 � 0 x – 4 > 0

x + 3x – 4

8

2x + 4 < 8 2x + 4 > – 8

7

2x – 2y – 2z = – 3– y – 5z = 4

0 = 16

2x – 2y – 2z = – 3– y – 5z = 4y + 5z = 12

2x – 2y – 2z = – 3– 2x + y – 3z = 7

4x – 3y + z = 6

4x – 3y + z = 6– 2x + y – 3z = 7

2x – 2y – 2z = – 3

6

82

ECUACIONES, INECUACIONESY SISTEMAS04 Actividades resueltas

log = 1xy

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Resuelve la inecuación de segundo grado x 2 – 2x – 15 � 0.

Si consideramos la función y = x2 – 2x – 15, su representación gráficaes una parábola.

x 2 – 2x – 15 = 0 ⇒ x1 = – 3 y x 2 = 5

Los puntos de corte con el eje de abscisas son (– 3 , 0) y (5 , 0), y comoel coeficiente de x2 es positivo, podemos concluir que su representacióngráfica es de la forma:

La inecuación es x 2 – 2x – 15 � 0 y su solución la constituyen los valo-res de x para los que la parábola es menor o igual que cero, es decir, losvalores para los que la gráfica corta al eje de abscisas o está por deba-jo de él. Por tanto, la solución de la inecuación es el conjunto:

{x ∈ � / – 3 � x � 5} = [– 3 , 5]

Resuelve la siguiente inecuación lineal con dos incógnitas:

2x + 3y � 6

Elaboramos una tabla de valores para representar gráficamente la rectade ecuación 2x + 3y = 6:

x y

0 2

3 0

La solución de la inecuación será uno de los dos semiplanos en los que que-da dividido el plano por la recta anterior, incluidos los puntos de dicha recta.

Consideramos el origen de coordenadas, que no pertenece a la recta, ylo sustituimos en la inecuación: 2 · 0 + 3 · 0 � 6 ⇒ 0 � 6

Como la desigualdad obtenida es cierta, el origen de coordenadas per-tenece a la solución de la inecuación, que será el semiplano marcado enla siguiente figura, incluida la recta.

10

9 Resuelve la siguiente inecuación de tercer grado:

x3 – x2 – 9x + 9 < 0

Factorizando el polinomio, se obtiene que la inecuación es:

x 3 – x 2 – 9x + 9 = (x + 3) (x – 1) (x – 3) < 0

Así, los puntos de corte del polinomio con el eje de abscisas dan lugar alos intervalos:

(– � , – 3); (– 3 , 1); (1 , 3) y (3 , + �)

Teniendo en cuenta el signo del polinomio en cada uno de los interva-los, elaboramos la tabla:

Así, la solución de la inecuación la componen los valores:

x ∈ (– � , – 3) ∪ (1 , 3)

Escribe una ecuación bicuadrada que tenga por soluciones

�2�, – �2�, 3 y – 3.

La ecuación será de la forma (x –�2� ) (x +�2� ) (x – 3) (x + 3) = 0,o cualquier ecuación equivalente a ella.

Por tanto, realizamos los productos:

(x – �2� ) (x + �2� ) (x – 3) (x + 3) = 0 ⇒ (x 2 – 2) (x 2 – 9) = 0 ⇒

⇒ x4 – 11 x2 + 18 = 0

De un número de dos cifras sabemos que el valor de la sumade sus cifras es 9 unidades menor que el valor del número, yque si se invierte el orden de sus cifras el número aumenta en18 unidades.

Llamando x a la cifra de las decenas, e y a la cifra de las unidades, elnúmero es xy.

Se obtiene que el valor del número es 10x + y, y deducimos que la pri-mera ecuación del sistema es:

x + y = (10x + y ) – 9

Al invertir el orden de sus cifras, el número que se obtiene es yx, cuyovalor es 10y + x. De esta forma, la segunda ecuación del sistema es:

10y + x = (10x + y ) + 18

Resolvemos el sistema:

� ⇒ � ⇒

⇒ � ⇒

Luego el número buscado es 13.

x = 1y = 3

x = 1– x + y = 2

– 9x = – 9– 9x + 9y = 18

x + y = (10x + y ) – 910y + x = (10x + y ) + 18

13

12

11

83

X

Y

5– 3

y = x – 2x – 152

15

X

Y

2

3

2x +3y = 6

(– �, – 3) (– 3, 1) (1, 3) (3, + �)

x + 3 – + + +

x – 1 – – + +

x – 3 – – – +

(x + 3) (x – 1) (x – 3) – + – +

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84

Act

ivid

ades

pro

pues

tas

¿Cuántas soluciones puede tener un sistema de dos ecuacio-nes con dos incógnitas?

Sin hacer cálculos, indica una solución del sistema:

�¿Puede una ecuación de segundo grado tener una única solu-ción? Si es así, pon un ejemplo.

De las siguientes afirmaciones, indica las que representanecuaciones equivalentes:

a) La edad de un padre y la de su hijo suman 30 años.

b) Un padre tiene 30 años más que su hijo.

c) La diferencia entre la edad de un padre y la de su hijo es de30 años.

d) Hace dos años, la edad de un padre y la de su hijo sumaban26 años.

Dada una ecuación lineal, ¿es cierto que siempre que la mul-tiplico por un número real obtengo otra ecuación equivalente?Si no es siempre cierto, ¿en qué casos sí lo es?

Para resolver la inecuación � 2, un alumno realiza el proceso

siguiente:

— Multiplica por x ⇒ 4 � 2x

— Divide por 2 ⇒ 2 � x

— La solución serán los valores de x ∈ (– � , 2).

¿Es cierto este razonamiento? ¿Por qué?

Para que��1 – x 2 tenga sentido, los valores de x deben cum-plir una condición. ¿A qué inecuación da lugar dicha condi-ción? Resuélvela.

Si se sabe que x = 5 no verifica la inecuación x � a, con a ∈ �,¿se puede asegurar entonces que verifica la inecuación x � a?Justifica la respuesta.

Si se verifica que a � b + 4, con a, b ∈ �, ¿es cierto que a + 3 � b + 7? Justifica la respuesta.

¿Puede asegurarse que a + 6 � b + 8 siendo a � b, con a, b ∈ �? Justifica la respuesta.

¿Para qué valores de a la inecuación –x 2 – 5x + a � 0 tendrácomo solución (–3 , –2)?

¿Para que valores de a la ecuación x 2 – 5x + a = 0 tendrá dosraíces reales distintas?

¿Para que valores de a podemos asegurar que la ecuación 2x 2 – ax + 6 = 0 no tiene raíces reales?

13

12

11

10

9

8

7

4x

6

5

4

3

3x + 4y + 5z = 03x – 4y + 5z = 03x – 4y – 5z = 0

2

1

Cuestiones

Estudia el número de soluciones de las siguientes ecuacionesy, en aquellas que sea posible, escribe cuatro de estas solu-ciones.

a) 3x + 2y = 20 c) 8x + y = 0

b) x + 6 = 8x d) x + 7= x – 7


a) – 8 + 2x – = 0

b) + – 6 = – 1

c) – + 2 = + 1

d) + + + 3 = 3 +

Determina de forma gráfica las ecuaciones:

a) 3x = 6 b) 8x – 5 = 0

Determina de forma algebraica y gráfica las ecuaciones:

a) x 2 + 2x + 1 = 0 c) – x 2 + 2x = 3

b) 4x 2 – 3 = 0 d) x 2 – x – 2 = 0


a) x 4 – 5x 2 + 4 = 0 c) 4x 4 – 5x 2 + 1 = 0

b) x 4 + 4x 2 + 3 = 0 d) 9x 4 + 80x 2 – 9 = 0


a) – + 1 = x – +

b) (x – 1) + 2x – = 3 +

c) – x = + (4x + 15)

d) 8x2 + 4x + 1 =

e) 4x + 3 = 7x – 9

f) 2x2 – 10x + 8 = 0

g) 2x4 – 18x2 = 0

h) 3x4 – 14x2 + 3 = x2 – 9

¿Qué valores debe tomar a para que la ecuación 6x 2 – 2ax + 6 = 0 tenga una raíz doble?

Calcula el valor de x en las ecuaciones:

a) 32x + 81 = 2 · 3x + 2 c) 39x + 3 = 92 · 812x

b) 3x + 31 – x = 4 d) 2x + 2x + 1 + 2x + 2+ 2x + 3 = 152

21

20

12

25

110

2x5

x3

x6

32

2x5

13

5x2

x3

19

18

17

16

21x8

x8

x4

5x2

x2

x6

2x3

x9

5x2

14x3

13

x3

15

14

Actividades


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85

Act

ivid

ades

pro

pues

tasResuelve las siguientes ecuaciones:

a) 16 · 4 x – 1 = 1 024 e) 5 x + 1 – 25 = 600

b) 27 · 3 3x = 1 f ) 3x + 3 x + 1 + 3 x – 1 = 351

c) 2x 2 – x – 20 = 1 g) 7x 2 · 7 – 5x · 74 = 1

d) 9 x – 3 = 3 x – 6 · 3x h) = 9x · 729

Resuelve estas ecuaciones:

a) log x – log (22 – x ) = 1

b) log x 3 – log x 2 = log 6

c) log x 2 + log 10 = 1 + log (10x + 11)

d) log � � = log (x + 4)

Halla la solución de estas ecuaciones:

a) log x2 – 1 = log

b) log (10x + 8) = log (x + 4) + log 4

c) log x – log 10 = log (22 – x )

d) log x – 2 log 10 = log 8 – log 4

e) log (5x ) – 4 log x + log x2 = – log 2

f ) 3 log x – 7 + log x 4 = 0

g) log x 2 = log (5x – 6)

Resuelve de forma gráfica los sistemas:

a) � b) �Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) � e) �b) � f ) �c) � g) �

d) � h) �Utilizando el método de Gauss, resuelve y clasifica los siste-mas de ecuaciones:

a)

�b)

�x – 2y + 3z = – 2

4x + y – 2z = 12x + 5y – 8z = – 5

x + y – z = 02x – y + z = 3

–3x + y + 2z = –4

27

3x – y = 111�x� – �y� = 1

8x – 3y = 1

5x + 2y =

2x + y = 52�x� + y = 7

–x + 4y = 0–3x – 2y =14

5x – 2y = 83x · 3y = 27

3x – 2y = 72x + 5y = –8

x – y = 3x 2 + y 2 = 65

5x – y = 63x – 2y = 1

26

3x + 6 = 4yx + 2y = 8

x = 12 – y3x – 4y = 1

26

12

10x + 1110

24

12

5x + 42

23

27 x – 1

33 – x

22 Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss:

a)

�c)

�b)

�d)

�Utilizando el método de Gauss, resuelve los siguientes siste-mas de ecuaciones:

a)

�c)

�b)

�d)

�Clasifica y resuelve por el método de Gauss estos sistemas deecuaciones:

a)

�f )

�b)

�g)

�c)

�h)

�x – 7y + 7z = –6

2x – 10y + 5z = –8x + 4y – 3z = 5

–3x – 3y + 6z = 02x – 3y + z = 0x + y – 2z = 0

2x + y – z = 12x – 5y + 5z = 73x – 3y + 3z = 6

5x + y + 2z = 8–x + y – z = 3

7x – y + 4z = 2

x + 3y – z = 4–x + y + z = 2

x + y – z = 1

2x + y – 4z = 23x – 4y + z = 3x – 5y + 5z = 1

30

3x + 4y – z = 155x – 7y + 2z = 3

4x + 3y – 3z = 30

x + 3y – 4z = 05x + y + 2z = 6

–x – 3y + z = 10

7x – y + 2z = 268x + 2y + 3z = –3

5x + y + 4z = 28

2x + 3y – z = – 12–3x + y + z = 5

–x – y + 4z = 19

29

x + y + z = 2y + z = 0

x + 1 = 4 – z

x + z = 3 + xx + z = y + 7x + z = z + 1

x + y + z = 6y + z = 5x = 4 – z

x + y + z = 22x + 3y = 11 – 5zx + 6z = 29 + 5y

28

d)

�i)

�x + y – z = 1

3x + 5y – 6z = 23x – y – 2z = 0

4x – 6y + z = – 1

– 2x + 2y + 2z = 43x + 6y + 3z = 9

2x + y – z = 1

e)

�j)

�Resuelve estos sistemas:

a) � c) �b) � d) �3x+ y = 243

4x – y = 10�x� + �y� = 20

3x – y = 122

3�x� · 2y = 64x – 10y = 15

x 2 + y 2= 25

x + y = 7

31

–x + y – z = 22x – 2z = –1

y + z = 72x + 4y – 2z = 5

–3x + 3y + 3z = 3x – y – z = –15x – y + z = 5


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pues

tas Halla la solución de estos sistemas de ecuaciones:

a) � d) �2x + 1 · 2y – 1= 163x – 3 = 9 · 3y + 1

log3 x + log3 y = 7x – y = 2y

32

b) � e) �5x + y · 52x – y = 1253x – y · 2x – y = 36

log5 (x + y ) = 3

= 4

c) � f ) �¿Cuáles de las siguientes inecuaciones son equivalentes entre sí?

a) 2x � 1 + c) – 2x + 2 � 3 –

b) 4x – 7 � 12x + 1 d) – � –


a) 3x + 2 � x – 7 + 2x

b) + 5 + � x

Resuelve las siguientes inecuaciones lineales con una incóg-nita y representa gráficamente sus soluciones.

a) 3x + 2 � 4x d) x + + � 2

b) x � x e) + + 5 � 48 – 12x

c) 2 (x + 1) – 2x � x f ) + � 6x + 32


a) 2x – + 5 � + – 3x

b) – 4 · �x + � + 3 � 2x – 6

c) · (6x – 3) + 7 � + 1 – 2x

d) 3x + – 2 · �x – � � 3 · � – 2� + 6

Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado conuna incógnita y representa gráficamente sus soluciones.

a) x 2 – 1 � 0 d) x (x – 1) � 0

b) x 2 + 1 � 0 e) (x – 1) (x – 3) � 0

c) x 2 – 2x + 1 � 0 f ) 2 (x – 2) (x – 3) � 0

37

x2

110

15

x7

12

12

x3

32

x6

x4

36

3x2

x + 128

2x3

x6

32

x3

x2

35

2x3

x3

34

4x5

13

7x10

35

5x2

3x2

33

3x – y · 32y + 2 = 316 · 23x + y = 2x – 2y

log2 x + log2 y = 5

= 2

Resuelve estas inecuaciones de segundo grado:

a) 3x 2 – x + 2 � x 2 – 4x + 4

b) x 2 + x + 8 � 2x 2 + x – 1

c) 2x 2 + 7 � 10 – x

d) 13 – 5x � x 2 + x + 6

Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales conuna incógnita y representa gráficamente sus soluciones:

a) 3x + � 4x +

25x + � 102x –

b) 47x – 21 � 56x + 1

6x – 11 � x –

c) + – 35 � 7x + –

14x + 72 � 13x + 81

Determina la solución de estos sistemas de inecuaciones li-neales:

a) �b) x + 3 � + 1

2x + 5 – � x – 5

c) 2x – 3 · � + 1� � x – 8

x + – + 2 � 2x –

d) 3x – · (x – 4) � x +

– · (4x + 1) – 2 � 5x + 1

6x – · (4x + 7) � – x + 10

e) 3x · �1 + � – x � 6

x – + � 5 +

f) 5x – 3 · �x + � � x – 1

6 – 2x + – 1� 2x +

3x – + x � 4x – 732

56

x3

23

x5

x2

35

12

x3

12

23

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12

56

12

x3

x2

x3

x2

2x + 1 � x + 53 · (x + 2) � x + 8

40

x8

14

x2

x3

12

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5x3

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15

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��

�

�

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xy

yx

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Act

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pro

pues

tasResuelve los sistemas de inecuaciones lineales con una incóg-

nita, y representa gráficamente sus soluciones.

a) �b) 3x + � 4x +

25x + � 102x –

c) 47x – 21 � 56x + 1

6x – 11 � x –

d) + – 35 � 7x + –

14x + 72 � 13x + 81

e) 2 · �5x + � – 7x + 13 � 4 · (5x + 1)

7x + 32 � + – 23

f ) x + 3 � 4

2x + 1 � 1

x �

g) x + 1 � 2x + 5

– x � –

2x � 4x – 3

h)

�i) + 3 � –x + 2

4x + 4 � 2 – 6x

3x + 4 � 7x – 6

¿Qué valores de x cumplen que ⏐3x – 12⏐ � 0?


a) � 0 b) � 0 c) � 0


a) � 0 c) � 0

b) � 0 d) � 05x + 4x – 3

x + 34x

3x – 7– x + 3

x – 2x + 2

44

x – 1x + 1

4xx + 3

x – 1x + 2

43

42

x + 12

3x – 4 � x – 22x + 1 � 45

–5x + 2 � x – 3

52

12

x2

x3

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x8

14

x2

x3

12

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5x3

32

15

5x + 8 � 14 + 3x 14x – 34 � 12x – 36

41 Representa gráficamente el conjunto de soluciones de lassiguientes inecuaciones lineales con dos incógnitas:

a) x + y � 3 c) 2x + y � 8

b) x – y � 10 d) x + 3y � 8

Representa gráficamente las soluciones de cada uno de lossistemas

a) � c) �b) � d) �Resuelve las siguientes inecuaciones lineales con dos incóg-nitas:

a) x + 3y � 9 c) 2x + 5y � 10

b) 3x – 4y � 24 d) 4x – 3y � 6

Representa gráficamente las soluciones de cada uno de lossistemas:

a) � c) �b) � d) �Si a la raíz cuadrada de un número le sumamos la cuarta partede dicho número obtenemos 3. Encuentra el valor de estenúmero.

Un grupo de chicos y chicas está jugando a los chinos conmonedas de 1 euro y 20 céntimos. Al abrir las manos, tienensiete monedas que suman en total 3 euros. ¿Cuántas mone-das hay de cada clase?

Obtén dos números positivos que se diferencien en cuatro uni-dades y tales que sus cuadrados sumen 458.

Halla un número de dos cifras, sabiendo que su valor es igualal triple de la suma de sus cifras, y que al invertir el orden desus cifras el número aumenta en 45 unidades.

Divide 553 en dos partes, de modo que, al dividir la mayorentre la menor, se obtenga 3 de cociente y 65 de resto.

Dos hermanos se diferencian en cuatro años de edad. Dentrode ocho años, las edades de ambos sumarán 40 años. ¿Cuá-les son sus edades actuales?

Escribe una ecuación bicuadrada cuyas raíces sean 3, – 3,�2� y – �2�.

Escribe una ecuación bicuadrada cuyas raíces sean 1, – 1,

�3� y – �3�, y tal que su término independiente es 18.

56

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Problemas

49

3x + 5 � 7 + y y + 2 � 3x

2y + 3 � 7 – x x + 2y – 1 � 0

x + y + 8 � 3y 3y + 28 � 7x

x + 5 � 8 – y 2x � 22 + 2y

48

47

2x + 5 � 7 – y 2y – 6 � 4x

x + 3 � 7 – 2y 3x – 4y – 2 � 0

2x – y – 6 � –3y 4y – 5 � 3x

x + 5 � 3 + y 2x + 10 � 6 + 2y

46

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�

�

�

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tas Determina la ecuación bicuadrada de la que se conoce que

dos de sus soluciones son x1 = �2� y x2 = – �3�.

Lola y Mohamed salen de un mismo punto: Lola en direcciónsur y Mohamed en dirección este. Lola camina a una veloci-dad de 3 km/h y Mohamed a 4 km/h. ¿Qué tiempo deberátranscurrir para que haya 7,5 km de distancia entre los dos?

Las edades de tres niños suman 20 años. La edad del mayores igual a la suma de las edades de los otros. Dentro de dosaños, la edad del mayor será doble que la del menor. ¿Quéedades tienen actualmente?

¿Qué número hay que restar al numerador y sumar al deno-

minador de la fracción para obtener otra fracción que sea

equivalente a ?

Sara,Raquel y Begoña han hecho un trabajo en cuatro días.Saralo hubiese hecho sola en 12 días, y Raquel lo hubiese realizadosola en 10 días. ¿Cuánto tiempo habría necesitado Begoña parahacerlo sola?

De un rectángulo sabemos que su área es 192 cm2 y sus dia-gonales miden 20 cm. Calcula la longitud de sus lados.

Las tres cifras de un número suman 9. La cifra de las unida-des es una unidad mayor que la cifra de las centenas.Y la cifrade las decenas es una unidad mayor que la cifra de las unida-des. ¿De qué número se trata?

De un número de tres cifras sabemos que la suma de suscifras es 6. Si cambiamos de orden la cifra de las decenas ylas unidades, el número aumenta en 9 unidades.Y si se invierteel orden de las cifras, el número aumenta en 198 unidades.Determina cuál es el número.

Halla tres múltiplos consecutivos de 7, de forma que su sumasea 147.

La suma de las áreas de dos cuadrados es 544 cm2 y su diferen-cia 256 cm2. Calcula la longitud de los lados de los cuadrados.

Las tres cifras de un número suman 12. Si se invierte el ordende sus cifras, el número disminuye en 99 unidades. Si se inter-cambian solo las cifras de las centenas y las decenas, elnúmero aumenta en 90 unidades. Encuentra dicho número.

¿Qué número hay que sumar a los numeradores de y ,

para que la suma de las fracciones obtenidas sea ?

Las superficies de dos cuadrados suman 8 621 cm2 y el pro-ducto de sus diagonales es 8 450. ¿Cuál es la longitud de suslados?

Por dos bolígrafos, un lápiz y un rotulador he pagado 6 euros.Por cuatro bolígrafos y dos rotuladores he pagado 10 euros. Ypor cinco lápices y tres rotuladores he pagado 11 euros. ¿Cuáles el precio de cada artículo?

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57 En un aula estudian 28 alumnos. De ellos, hay tantos alumnoscon ojos verdes como alumnos con ojos azules, y el resto tie-ne ojos castaños. Si el número de alumnos con ojos castañoses igual que los alumnos que tienen ojos verdes y azules jun-tos, ¿cuántos alumnos hay con cada color de ojos?

Halla dos números que suman 800, y tales que al dividir elnúmero mayor entre el menor se obtiene 3 de cociente y 140de resto.

Una finca de 1 072 m2 se ha dividido en dos partes, de formaque los 5/6 de la primera ocupan la misma superficie que los7/5 de la segunda. Calcula las superficies de las dos partes.

El perímetro de un rectángulo es 98 cm y sus diagonalesmiden 35 cm. Calcula el área de dicho rectángulo.

Si los lados de un cuadrado se aumentan en 4 cm, su super-ficie se incrementa en 184 cm2. ¿Cuánto mide el perímetro delcuadrado?

Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida (enmetros) tres números pares consecutivos. ¿Cuánto mide cadalado?

Halla dos números pares consecutivos cuyo producto sea2 208.

Calcula el valor de a para que la ecuación x2 + 2ax + 4a + 3 = 0tenga una raíz triple que la otra.

Un país compra 540 000 barriles de petróleo a tres suminis-tradores distintos que lo venden a 84, 81 y 93 dólares el barril,respectivamente. La factura total asciende a 16 millones dedólares.

Si del primer suministrador recibe el 30 % del total del petróleocomprado, ¿qué cantidad ha comprado a cada suministrador?

En un triángulo rectángulo, un cateto es 3 cm más largo queel otro y la hipotenusa mide 3 cm más que el cateto mayor.Halla las medidas de los tres lados del triángulo.

La suma de las edades de dos hermanos es 39 y la diferenciaes 5. ¿Cuántos años tiene cada uno?

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tasLa suma de las tres cifras de un número capicúa es ocho. Si se

intercambian las unidades y las decenas, el número aumentaen 9 unidades. Calcula dicho número. (Un número es capicúacuando se lee igual de izquierda a derecha que de derecha aizquierda).

Halla un número de tres cifras, sabiendo que la cifra de las uni-dades es igual que la cifra de las centenas, la cifra de las dece-nas es la mitad que la cifra de las unidades y la suma de lastres cifras es 10.

En la elaboración de tres tipos de pinturas P1, P2 y P3, se utili-zan tres productos químicos A, B y C. Para P1 se necesitan 2 kg de A, 1 kg de B y 1 kg de C. Para P2 se utilizan 1 kg de A,2 kg de B y 1 kg de C. Y para P3 se usan 1 kg de A, 1 kg de By 2 kg de C. El precio de las latas de pintura P1 es 24 euros, elprecio de las latas de P2 es 25 euros y el precio de las latas deP3 es 26 euros.

Si la ganancia del fabricante es 4; 3,50 y 5,50 euros en cadalata de P1, P2 y P3, respectivamente, calcula el precio por kilo-gramo de los productos A, B y C.

Una editorial dispone de tres líneas de libros diferentes. El librode la línea A se vende a 27 euros, el libro de la línea B vale 33euros y el libro de la línea C cuesta 39 euros.

El año pasado la editorial ingresó 25 200 euros por la venta delos libros de las líneas A, B y C. El libro de la línea A se vendiótres veces más que el libro de C, y el libro de B se vendió tan-to como los libros de las líneas A y C juntos.

¿Cuántos libros se vendieron de cada tipo? ¿Cuáles fueron losingresos obtenidos con las ventas de cada tipo de libro?

En la estantería de una biblioteca hay libros de Matemáticas,de Biología y de Física. Hay tantos libros de Matemáticas comode Biología y de Física juntos, y hay triple número de libros deFísica que de Biología. Si en total hay 176 libros en la estante-ría, ¿cuántos son de cada materia?

Una persona tiene 60 euros para comprar paquetes de CD, deDVD y fundas. Si se llevase un paquete de CD, otro paquete de DVD y un paquete de fundas, le faltarían 2 euros. Si solo se llevase los paquetes de CD y de DVD le sobrarían 29 euros. Y si comprase los paquetes de DVD y fundas lesobraría 1 euro.

Utiliza un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas parahallar el precio de cada producto.

Un equipo de fútbol adquiere calcetas, pantalones y camise-tas en una tienda de deportes. El número de calcetas es iguala la suma del número de pantalones y de camisetas.Y ha com-prado el doble de camisetas que de pantalones. Sabiendo queel precio de las calcetas es 3 euros, el precio de los pantalo-nes es 12 euros y el de una camiseta es 24 euros, y que hapagado en total 1 518 euros, ¿cuántas prendas de cada claseha adquirido?

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82 Disponemos de 1 000 euros y queremos repartirlos entreJesús, María y Margarita, de forma que por cada dos eurosque reciba Jesús, María reciba tres euros y Margarita recibacinco euros. ¿Cuántos euros les corresponden a cada uno?

De un triángulo de 45 cm de perímetro sabemos que el ladomayor es doble que la suma de los otros dos lados. Además,el lado mayor es 30 veces la diferencia entre el lado medianoy el menor. ¿Cuánto miden los tres lados?

Un campesino tiene bueyes que comen la misma cantidad depienso todos los días. Si vendiese 15 bueyes, el pienso dura-ría 3 días más, y si comprase 25 bueyes, el pienso duraría 3 días menos. Halla el número de bueyes y los días que lospuede alimentar.

Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, siendo untotal de 20 personas entre hombres, mujeres y niños. Contandoa los hombres y las mujeres juntos, su número es el triple queel número de niños.Además, si hubiera ido una mujer más, sunúmero igualaría al de los hombres.

Resolviendo un sistema de ecuaciones, calcula cuántos hom-bres, mujeres y niños han ido a la excursión.

Juan compró 4 entradas de cine y 6 entradas de teatro por 114 euros. Magdalena abonó 60 euros por 5 entradas de ciney 2 de teatro ¿Cuánto valen 10 entradas de cine y 10 entradasde teatro?

Dos hermanos se llevan seis años. Durante cierto período desus vidas, la edad del menor excede en más de tres años aldoble de la edad del menor. ¿Cuál es dicho período?

María pesaba 56 kilogramos hace dos semanas, pero estuvoenferma y ha adelgazado algo más de 3 kilogramos, sin llegara 4 kilogramos. Tras la enfermedad, ha recuperado un pocomás de 2 kilogramos. ¿Entre qué valores se encuentra el pesoactual de María?

Un móvil se desplaza de Murcia a Cartagena a una velocidadcomprendida entre 80 km/h y 120 km/h. ¿Entre qué valoresoscila la distancia a Murcia en cada instante?

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ECUACIONES, INECUACIONESY SISTEMAS04 NUEVAS TECNOLOGÍAS

Pulsa en el icono , escribe 8x –3 = 5x + 7 (no dejesespacios al escribir los símbolos de la ecuación) y presio-na Intro.

A continuación pulsa en el icono , observa que lavariable sea x y pulsa en Simplificar.

Obtendrás x = , que es la solución.

Del mismo modo puedes resolver una ecuación de grado dos,tres o mayor.

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1 | Ecuación de primer grado

Vamos a resolver el sistema:

�Pulsa en el icono , escribe la ecuación x –2y = 13 ypresiona Intro.

A continuación pulsa en el icono , en la variable x ypulsa Simplificar. Obtienes: x = 2y + 13.

Pulsa en y escribe la otra ecuación del sistema:

3x +4y =9.

Pulsa en , sustituye la variable x por la expresiónobtenida anteriormente, 2y + 13, y presiona el botón Sim-plificar.

A continuación pulsa en el icono , observa que lavariable sea y, y pulsa en el botón Simplificar.

Obtendrás la solución y = – 3. Sustituyendo en la expresióndonde está despejada la variable x obtienes x = 7.

Como has podido observar lo que has realizado es el método desustitución.Vamos a resolver ahora directamente este sistemade ecuaciones.

En la barra del menú principal abre Resolver y escoge laopción Sistemas. Selecciona 2 ecuaciones y pulsa enAceptar (si fuese un sistema de 3 o más ecuaciones corre-girías el número de ecuaciones en la pantalla). Saldrá elcuadro de diálogo de la siguiente columna.

x – 2y = 133x + 4y = 9

2 | Sistema de ecuaciones lineales

Resolvemos ahora, el sistema: �Pulsa en , escribe x + y = 7 y pulsa en Intro.

A continuación pulsa en el icono , en la variable x, ypulsa en Simplificar. Obtienes la expresión x = 7 – y.

Pulsa en el icono y escribe la otra ecuación del siste-ma: x^2 + y^2 = 25.

Pulsa en el icono , substituye la variable x por la expre-sión obtenida anteriormente, 7 – y, presiona el botón Sim-plificar.

A continuación pulsa en el icono , observa que la varia-ble sea y, y pulsa en el botón Simplificar. Obtendrás la solu-ción y = 3.

Sustituyendo en la expresión donde está despejada lavariable x obtienes x = 4.

x 2 + y 2 = 25x + y = 7

3 | Sistema de ecuaciones no lineales

PRACTICA TÚ

Resuelve las ecuaciones y sistemas siguientes:

a) x + 3 = 2x – d) x 4 – 5x 2 + 4 = 0

b) x 2 + 7x + 12 = 0 e) 3x + 3x–1 + 3x–2 = 13

c) � f) �3x + y = 122

�x� + �y� = 20

2x + 4y = 2– x + 5y = 13

x – 22

1

Escribe las ecuaciones y selecciona las variables en el cua-dro de variables de la ecuación, tal y como se observa enel cuadrado. Pulsa en Simplificar.

Obtienes la solución x = 7, y = – 3.

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