'

CJIJ1qHOCT Mepelbe µ;y)l(H (314)

B Atta1m3a nocTyrrKa Mepelha AY)l(Jf (314)

Pa3Mepa u nponopu;uoHaJIHOCT ,a;f)l(H (316)

A Pa3Mepa 11 nponop~11ottarrttocT ,n;p1rn (316)

TaJiecoea TeopeMa (318)

A Bap11jaHTe TarrecoBe TeopeMe 11 rrp11MeHe (318)

B 08pT TarrecOBe TeopeMe; BeKTopcKH 08rr11K TanecoBe TeopeMe (324)

XoMoTeTuja (326)

A Oco811tte xoM0TeT11je 11 np11MeHe (326)

B Oco811tte xoM0TeT11ja (329)

CJiuqHOCT (330)

A TpattccpopMa~11ja crr11'!HOCT11; oco811He CJIJ1'IHOCTH; CJIJ1'!He cp11rype (330)

CTaBOBH CJIH'IHOCTH TpoyrJioea (333)

A Jep;HOCTaBHe np11MeHe CTaBOBa crr11'IHOCT11 (333)

B Ilp11MeHe CTaBOBa CJIJ1'IHOCTH y reoMeTp11j11 (335)

IlpHMeHe CTaBOBa CJIH'IHOCTH Ha npaeoyrnu Tpoyrao (336)

A Ilp11MeHe CTaBoBa CJIJ1'IHOCTJ1 Ha npaBoyrrr11 Tpoyrao; I111Tarop11Ha

TeopeMa (336)

IIpuMeHe CTaBOBa CJIJ{qHOCTH Ha Kpyr (338)

B Ilp11MeHe CTaBOBa crrwrnocTH Ha Kpyr; noTeHI~Hja Ta'!Ke (338)

I je;rnmIT{a J M.epe

A

1 c

E

I J

c 0

E 0

314

D

D

Mepe11>e~

0 Mepelby ,'.l)")J(ll{e ll)')KJf Ben CMO roBOPIDilf Ha CTpairn 123, rrpH '-IeMy CMO ce OCJiaibalrn rrpe CBera Ha 3Halba Koja CTe CT~a.Jrn y OCHOBHOj IIIKOJIH. 0BOM rrpHlIHKOM

he~m ucratrn HeKe C)'IIITI-IBCKe rrpmI1.\1me H rrpeTIIOCTaBKe y Be3H ca rroCTyrrKoM

~tepelba 1cy)KJ-IHe.

I

2

F

B

3

MepelheM ce Jzy)KJ™a IJ.O)J.eJbyjy 8pojeBH KojH orrHcyjy

op;1wc A)')KJ1 ca yttarrpe)J. H3a8paHOM H ¢HKCHpaHOM

.IJ;y)KM. YHarrpeA H3a8paHa AY>K ce Ha3HBa je)J.HHHD;a Mepe. IIocTyrraK Mepelha ce 3aCHHBa Ha Ha)J.oBe3HBalby

IIOp;y;l\apmcr .IJ;y)KM. Mel)YTHM, Ha,qose3HBalbeM AY)f(H Koje cy rro)J.y,qapHe

jewnrn:D;H Mepe MO)f(eMO )J.a H3MepHMO CaMO

u;eno8pojHe A~e.

Ocrnhe BemfKU 8poj .lzy)l<M '111je heMo ~e Moffit caMo )J.a rrpou;eHMMO. Iloce8Ho je

BIDKHO HCTaIDi ,qa ce rrpH8JUDKHa u;eno8pojHa BpeiJ.HOCT AY)f(HHe MO)f(e )J.08HTM 3a CBaKy

,L(}')K jep ce KOHa'IIDiM 8pojeM rrpeHornelba 3a)J.aTe .lzy)l<M MO)f(e ,,cT11hH H rrpecT11h11"

CBaKa Ta'-IKa. )J.ajeMo H rrpeQH3HHjy ¢opMYJiau;Hjy OBor o8ja1Illbelba, Koja je II03Harn Kao

ApxHMep;oBa aKCHOMa.

HeKa je If rrpoH3BOJbHa AY>K· Ta,qa 3a cBaKy Wf>K AB Ha rronyrrpaBoj '-IHjH je rroqernK

Ta'l:Ka AH Koja caAP)f(H B nocTojH KOHa'-IHO MHoro Ta'-IaKa A1, A

2, A

3, ••• , A" TaKBmc

Aa je A-A1 -A

2- ••• -An, AA1 =:A1A2 =: ... =:An-IAn=:If H A-B-An.

o-+-

)J.a 8HCMO peIIIHJIH IIOMeHyTe rrpo8neMe, rrpHpO)J.HO je )J.a IIO)J.eJIMMO

jeAJffi11-I-\y Mepe Ha je)J.HaKe )J.eJIOBe H IIOKyniaMO )J.a H3MepHMO IJ.Y)KHHY .lzy)l<M Ha,qoBe3HBalheM AY)f(H Koje cy rro)J.y,qapHe 1J.0811jeHOM )J.eny. Ey,qyh11

)J;a je C.HCTeM KOjH KOpHCTHMO )J.eKa)J.HJ.i, yo8H'-!ajeHO je )J.a ce je)J;HHD;a

Mepe )J.eJIJ1 Ha )J;eCeT AeJIOBa. (Epoj AeJIOBa je IIOTIIyttO HeBa)f(aH; Aa HeKHM

crryqajeM KOpHCTHMO 8HHapHH 8pojHH CHCTeM, jeAHHHQY Mepe 8HCMO

Aemurn: Ha ,qBa Aena.)

1,3

F 11'~

1,5 1,6

0'!UrJie.l{HO RH 11eceTI1M AeJIOBHMa je,qHHHu;e Mepe HeheMO ycrreTH )J.a H3Mep11MO ~e CB.HX .IJ;y)KM. YirraK, ca IIpaKTH'IHOI' CTaHOBmIITa je Ba)f(HO rrpHMeTHTH Aa

he>\fO MOlli rrpu8JIIDKHo (Ha jeAHY Aeu;rurnrry) Aa OApeAHMO AY)f(HHe cBmc AY)f(M

(3ax:sa.Jbyjyh.H ApntMeAOBoj aKCHOMH).

CneAehH KopaK je yrroTPe8HTH CTOTe ,qenoBe jeAHHHQe Mepe. HapaBHO, orreT he

IIOCTOjaTH ,,HeMepJbHBe .IJ;y)KM':

)J.a 3aKJbY'!HMO: aKO )f(eill1Mo Aa H3MepHMo .IJ;y)KMHe CBHX A~, rroCTyrraK AeJbelba

jew~e Mepe He cMeMo 3aBpIIIHTH. Ma KOJIHKO ,,CHTHK" 8HJIH AeJIOBH Ha Koje cMo y

HeKoM IpettyTKy H3Aemimi jeAHH.H'-Itty AY>K· rrocTOjahe HeKa p;y)f( 'mjy p;y)f(HHY HeheMo

Moru1 rrpeu;Ji3HO )J.a H3MepHMO. HapaBHO, .IJ;y)KMHY CBaKe AY)f(H MO)f(eMo op;peAHTH rrpH8JIJDKHO, Ha IIpOH3BOJbaH (KOHa'-IaH) 8poj )J.eQHMaJia, IlITO je 3a rrpaKTH'-IHe 110Tpe8e

caCBKM rrpmraaTJbHBO.

-- -- .

Hajrr

je)J.HH­

He MO~ PealiHl '-IMjK jt

Hadrp

rrocrry

11 cnml

1 1,4

CyMH) Mepett

AKo je

(1J.ece1

1. nod je A

2. no HAE

L2-Y 01

HaBo~

IIOCT)'I

CMO HI

•Jew Mep MHf

•Ila) Mal

• Ep~ pe<4

KOM

yjy IM

~

Salby

fH:e

P Je fBaKy ~

a Kao

aK

'

hl1

lfM

i>' Y le Mo

pe8e

IlpHMep 1.

Hajno3Hanija ,n;y)K qJ1je ce Mepelhe He 3aBprmrna je wi:jaromura

je,n;HHJ1qHor KBa,n;paTa . .D:a ce nocTynaK Mepelha ,n;HjaroHane

He MO)Ke_OKOHqaTJ1, He Tpe8a ,n;a qy,D;l1 jep CMO y IlOrJiaBJbY

Peamm 6pojeau noKa3aJIJ1 ,n;a He rrocTojH pau;HoHaJiaH 8poj

qJ1jJ1 je KBa,n;paT je,n;ttaK 2. ITocTynaK KOjJ1M CMO y npHMepy 1.

Ha cTpaHH 62 o,n;pel)HBaJIM ,n;eu;HMane 8poja Vi BeoMa je 8JIH3aK

nocnynKy Mepelba. Ynope,n;11Te Ta8eny J13 rroMeHyTor npHMepa

J1 CJIHKY ,n;ecHO.

r+-t

l<x<2 l<x2<4

1,4 < x < 1,5 1,96 < x2 <2,25

1,41 < x < 1,42 1,9881< x2 < 2,0164

1,414 < x < 1,415 1,999396 < x2< 2,002225

1,4142 < x < 1,4143 1,99996164 < x2 < 2,00024449

1,41421 < x < 1,41422 1,9999899241 < x2 < 2,0000182084

1,414213 < x < 1,414214 1,999998409369 < x2 < 2,000001237796

1,4142135 < x < 1,4142136 1,99999982358225 < x2< 2,00000010642496

CyMHpajMo Ha Kpajy 3ana)Kalha ,n;o KojHx cMo ,n;oIIIJIH aHaJIJ13Hpajytm nocTynaK

Mepelba.

1

AKo je AB ,n;y)K qJ1jy ,n;y)KHHY o,n;pel)yjeMo npeHoIIIelheM je,n;HHJ1qHe ,n;~ If J1 Ihema

(,n;eceTHX, CTOTHX, XHJba,n;HTHX ... ) ,n;enoBa, HaCTynajy ,n;Ba cnyqaja:

1. nocTynaK ce aaBpmaBa J1 o,n;pe,n;HJIH CMO npeu;H3HO ,n;~tty ,ll;y)KH AB (MepIDi 8poj je ,n;eu;HMaJiaH 8poj ca KOHaqHo MHOfO ,n;eu;HMana);

I

2. nocTynaK ce He aaBpmaBa Ben y cBaKoM KopaKy Mepea,a ,n;o8MjaMo HOBe Ta'!Ke (neBo

J1 ,n;ecHo o,n; B), 03HaqJ1MO J1X ca L1, L

2, L

3,. .. J1 D

1, D

2, D

3, ... TaKBe ,n;a j e L

1 -B - D

1,

L2-B-D

2, L

3-B-D

3, .. .

Y oBoM cnyqajy je J1 AL1 <AB< AD

1, AL

2 <AB< AD

2 HT,n;.

A D3D2 D1 0 Bj I I I I O · ---- ···-----l

L1 Lz L3

HaBO,D;HMO KJbyqHe npeTnocTaBKe Ha ocHoBy KOjHX TBPAJ1MO ,n;a j e J1 y ,n;pyroM cnyqajy

nocTynaK Mepelha ,,ycneIIIaH" (KopeKTaH), TO jecT ,n;a 3a,n;oBOJbaBa cBe ycrroBe Mepe Koj e

CMO HaBeJIJ1 Ha CTpaHJ1 125. ,1l;oKa3 ,,ycneIIIHOCTJ1" (KopeKTHOCTl1) H30CTaBJba.'10.

• Je,n;i;rna 3aje,n;HJ1qKa TaqKa CBHX ~ Lp1, L

2D

2, L

3D

3, ... (Koje ,n;o8Hj aMo TOKOM

Mepelba) jeCTe TaqKa B. fpy8o peqeHo, aKo 3aMMCJIMMO ,n;a CMO crrpoBeJil1 8ecKoHaqJJo

MHoro KopaKa, oH,n;a je B jewi:Ha TaqKa Koja je ,,o8yxsaheHa" HaBe,n;emrn ,ll;}')KlfMa.

• ITapoBH pan;HoHaJIHHX 8pojeBa IAL1I H IAD1I, IAL2I J1 IAD2I, IAL3 jH IAD3I, ... CBe ce Malbe pa3JIHKyjy, TO jecT pa3JIJ1Ke OBHX rrapoBa cy cBe 8JIJ1)Ke irym1.

• EpojeBH IAL1I, IAL2I, IAL3I, ... J1 IADJ IAD2 I, IAD31, ... cBe cy blIID!ill j ewmcTBeHoM pearrHOM 8pojy (KojH Y3HMaMO 3a ,ll;y)Kl1tty ~AB) .

::..5 ttG~ ,_,

•

')

.J

.:.. ? \

H-H-H-1 ' ,

31 -

~A

je.JJIBJma 0----0

14epe

AB 4 2 - = .-tB: CD= - = -CD 6 3

C<>----<>-----<>--<>----<l~-o--<>D

Pa.3Mepa :J:Be ;:ryJKH

He 33.BHCU 0;:{ JI3bopa

je::rnrume Mepe.

0Bo Il!pl}elbe orrpa.sna.sa 3;me tapKBalbe

BepTIIIGLllilfX rrpTa y O.'IHOCJ 5pojeBa

~-lB J : !CD.

Pa3Mepa H nponopn;HoHaJIHOCT )J;Y)KH

Bn;i:emt c~m i:i:a no~apHOCT A)')KJI, .HaKo je cymnIBCKM noBe3aHa ca MepeH>eM, He

3a.Bncu o;:i; J13bopa jeAJiID~e Mepe.

AKo cy ll)')f(JtHe ;{Be A)')KJI je'AJlaKe npn HeKOM Jrn5opy jep;HH.HQe Mepe, oHp;a cy

JipKJIBe Te ABe ~ je'AJlaKe H 3a forno Kojy .zi;pyry jep;HHHQY Mepe.

y OBOM IIOfJiaBJbY baBJIDeMO ce jom je,qHHM O'AJIOCOM Mel)y A)')KJ!Ma KOjH je Ha HCTH

Ha'Ilm IIOBe3aH ca "1epe1neM. Peq je o pa3MepH ~- 3a pa3lll1KY op; no.zi;y.zi;apHocTH,

Kaja je "KBa.mrranrnaH" O,ll;lfOC, pa3Mepa je ,,KBaHTilTanIBaH" OJJ;HOC Mel)y p;y)KHMa.

L--

AB Pa3Mepa ITT7JKH AB H CD, y 03Hau;H AB : CD HJIH -,

CD jeCTe KOIDf'IHHK A)')KJ!Ha oBe ABe A)')KJI, TO jecT IABI: ICDI.

Jt1 o,;u.tax HaBOAJHdO (be3 p;oKa3a) TBpl)elhe Koje onpaBp;aBa noMettpy aHanornjy ca

rro,qy.zi;apHomliy.

- AKo cy pa3Mepe ):{Be ~ je,l{HaKe npH HeKOM H35opy jep;HHHu;e Mepe, OHp;a cy

pa3Mepe Te ,qBe ,l{y)KH je.zi;ttaKe H 3a CBaKH .zi;pyrn H3bop jep;HHHQe Mepe.

IlpHMep 1.

AKo 3Ha.Mo A)')KJ!He ,l{y)KH MepeHe jep;HoM jep;HHHQOM Mepe (Ha npHMep y .HHqHMa),

Olip;a je'AJIOCTaBHO paqytta.MO ,l{y)K}lHe H 3a b.HJIO KOjH .zi;pyrn .H3bop jep;.HH.HQe Mepe

(Ha IIpJIMep y u;eHTKMeTPHMa), no.a; ycJIOBOM p;a 3Ha.MO p;y)K.HHY OBe .zi;pyre jep;.HHHu;e y

o,rµrncy Ha npBy.

- \ 2 3 .( 5 6 1 8 9 10 11 12 13 1A 15 16 17

AKo je IABI =Sin H ICDI = lSin, oHp;a H3 rnbene neBo

p;obHjaMo p;a cy A)')KJIHe p;y)K}l AB H CD y .HHq.HMa

je,l{HaKe:

1 inch (in) [nwI] 25,4mm ----+- - - _ ____,

l foot (ft) [$yr, crorraj 12in -- ------I-

I yard (yd) [jap;:i] 3ft

1 mile (mi) [MHJna] 5 280ft

3a11aTaK

30,48cm

0,9144m

l,609km

Sin= S · 2,S4cm = 12,7cm , lSin=lS · 2,S4cm=38,lcm.

ITpHM:eTHTe p;a je pa3Mepa AB : CD, be3 ofo.Hpa KojHM

jep;mm~a.Ma MepHMO oBe .zi;y)KH, YBeK 1 : 3. +

.ilaTe cy TPH KomrneapHe rnqKe A, B H C TaKBe p;a je A -B -C. AKo je IABI = 2,4cm H

!ACI = 12cm, o.zi;peJJ;H pa.3Mepe AB : AC, AC: BC H AB : BC.

AKojtl'

Pa3:Me1

.zi;y)KH I OHp;a~

YKOJHfl

MepHH

CD=n

,UHjaro

He noc

8pojea

Haem

npono

By.zi;yh

y UITa

, y

AKo je AB : CD= k, ottp;a rnnueMo H AB= kCD.

AKO je AB : CD= k, TO jecT AB= kCD, ottp;a je k MepHH Opoj ,l{)')l(HHe

p;y)KJ1 AB npH H30opy ,ll;y)KH CD 3a jep;Jrnm.nr Mepe.

Pa3Mepa p;Be p;y)KJ1 MO)Ke OHTH OHJIO KojH no3HTHBaH peanaH Opoj. AKo je pa3Mepa

p;y)KH paQHOHaJiaH Opoj, Ka)KeMo p;a cy Te ,ll;y)KH caMeplhHBe. AKo je HpaQHOHaJiatt Opoj,

ottp;a cy p;~H HecaMeplhHBe.

YKOJIHKO cy HeKe p;~H AB H CD caMeplbHBe~ ottp;a nocTOjH jep;HirnQa Mepe If 3a Kojy cy

MepHH OpojeBH p;y)KHHa p;y)KH AB H CD npHpop;HH OpojeBH, TO jecT Ba)KJ1 AB= ml/ H

CD= nIJ 3a tteKe m, n E N. Tap;a je AB : CD= min.

,[(Hjarottana KBap;paTa H lberoBa cTpaHHQa cy HecaMeplbHBe ,ll;y)KJ1. ,[(pyrnM pe<rn..'da,

He nocTOjH p;y)K Kojy OHCMO MOrJIH p;a H3aOepeMo 3a jep;HHHQY Mepe TaKo p;a MepHM

OpojeBH p;y)KHHa cTpaHHQe H p;HjaroHaJie KBap;paTa Oyp;y npHpop;HH 5pojeBH.

Ao •

Co •

AKo cy pa3Mepe p;Ba napa p;y)KH jep;HaKe, Ka)KeMo p;a je jep;aH

nap p;y)KH nponopu;HoHaJiaH p;pyroM napy.

AB 2 PQ --=-=-

oQ • • oB CD 3 RS po •

• • • • oD Ro • • oS

IlpHMep2.

Ha CJIHQH H3Hap; npHKa3aHa cy p;Ba napa nponopQHOHanmuc ,ll;y)KJ1: nap p;~ AB H CD nponopQHOHaJiaH je napy PQ H RS, jep je

AB 2 PQ -------. CD 3 RS

Eyp;ytm p;a yttppaIIIlbH qnaHOBH nponopQHje Mory 3aMeHHTl1 MecTa, p;o811jaMo » p;a je

AB_ CD (-2) ----- --PQ RS 1

y IIITa ce MO)KeMO l1 Bl13yeJIHO YBePHTH nocMaTpajytrn: CJIJfKy l13Hap; . •

,[(a 611cMo nojep;HocTaBHJil1 pap; ca nponopQl10HaJIHl1M ,ll;y)KHMa, ca AB · CD 03HaqiffieMo

p;y)K qJ1ja je p;~HHa npoH3BO,ll; IABI · ICDI, a YMeCTO 3HaKa ;::, rrn:calieMo =. 0Baj

p;oroBop je noceOHo KOpHcTaH npHJIJfKOM np11MeHe ocHOBHe ocoforne nponop~Mja.

AB: CD =PQ: RS~ IABI : ICDI = IPQI : IRSI ~

IABI . IRSI = ICDI . IPQl~AB. RS= CD. PQ

Pa.3xepa H .i:epee.e

&

Aeqmmtl.lltJa

OCHosua ocofoma nponopnnja

ad = be

IIpor1asau.e npoaopmmmuurnx

:l)')l(Jl y BeJIHKOj MepH

ce OCJiaJDa Ha pa'i)'H ca apoaopmrja~rn..

o KoMe je Olmo pe<u1 y aornasJby

IlpouopuuoHa,iHOCiU.

317

3 8

Tarrecosa TeopeMa

IlplOlep I.

IIpemocTa.BIDIO ;:ca cy Ha HeKoj pa.BHoj ,n;ac:qH H3pe3aHH OTBopw A, B, C, D H E Ha pacrnjaJDnMa Koja cy ,n;aTa Ha CJIK:QM wcrro,n;. 0BaKBa ,n;acKa je rro,n; o,n;peljeHHM yrnoM nocTaBmeHa U3Ha,u; nowmre M H3JIO)KeHa je Cywi:eBKM 3pa:qKMa. (38or BeJIHKe

ynaJbeHOCTif C~a o,n; 3eMJbe, rrpeTrrOCTaBJbaMO ,n;a cy C)'HqeBH 3pa:qw rrapaneJIHH.) IIonrro 3a OHO IIITO )KeJIHMO ,n;a HCTaKHeMO HHje Ba)KaH yrao KOjH ,n;acKa 3axBaTa ca

rro;:vmroM, IDITJ.1 je Ba)KaH yrao rro,n; KojMM ,n;ona3e C)'HqeBH 3pa:qw, rrocMaTpaheMo JlCTOBpeMeHO p;Be IIpOJ13BOJbHO J.13abpaHe MoryrurnCTJ.1.

2

2

c 3 D

/ E

D' E' A' B' C' D' E'

rro,n;nore ! :

illT<i ~iO)Ke.Mo petrn o pacrnjalbMMa H3Meljy A', B', C', D' HE', TO jecT H3Meljy TaqaKa

rrowmre ,n;o KojKX cy CTMrJIH Cywi:eBM 3pa:qw? IIpm1enIMo ,n;a pacrojaJDa Mel)y OTBOpMMa A, B, C, D w E Hwcy ,,oqyaaHa': TO jecT ,n;a cy y o8a cnyqaja pacrnjaJDa J13Mel)y A', B', C', D' HE' pa3JIM:qJ.1Ta o,n; o,n;roBapajytrnx pacrojaJDa H3Meljy A, B, C, D H E.

II01<ym:ajTe ,n;a o,n;roBopwTe Ha cne,n;eha cyrecTHBHa IIHTalha (ocnalhajyhw ce Ha JICKJCTBO J.1 KHTJM:QHjy) J.1 J.13Be,n;eTe HeKe OillllTe 3aKJbyqKe.

L 3HaMO ,n;a je IBCI = ICDI, TO jecT BC~ CD. ,[(a JIH je (y o8a cnyqaja) IB'C'I = IC'D'I?

2. 3mwo ,n;aje IBCI =2IABI. ,[(a JIJije IB'C1 =2IA'B'I? 3a~w ,n;a je IDBI =3IABI. ,[(a JIH je ID'E'I =3IA'B1?

? 3aaMo ,n;a je IBCI: IDBI =2: 3. ,[(a JIJi je IB'C'I: ID'E'I =2: 3?

IIocraBJbeHa rnrralha HajaBJbyjy Ba)l(He TeopeMe reoMeTpwje, Koje HMajy BeJIHKY IIpJ1.MeHJ. II pe Hero IIITO Ha lbHX OAfOBOpMMO, 3aMeHMMO ,n;aTy HJIYCTpa:qwjy reOMeTpHjCKHM a;pTe)l(HMa.

C' D' E'

,Ua.KJie, y HOBOM KOHTeKcry, 3alilli~ajy Hae ,Il;y)KJi Koje obpa3yjy rrapaneJIHe rrpaBe p1

, p2

,

p3, P4 H P5 rrpecea;ajyllli HeKe ,n;pyre ,n;Be rrpa.Be a Ha'.

,[(a 8wc) napam; a IlOCT(

yX',cM Orrwcai

EBO HG

1. AKO ! ,n;ofo11

2. IIour

J1HT)

MepJt rrapa

3 Pa3 ,n;y)l(J

H

'e,n;HOC1 o8pa3)

ilpeTIIO Kpo3 HeKaje

!IpaBe ::JpHMe·1

YCY3

najeA

,JJ;a 511cMo rroje,n;HocTaB11JIB 113pa)KaBaFDe, TaqKe A ', B', C', D ' HE' npaBe a' 3BaheMo

napaneJIHKM npojeKD;HjaMa TaqaKa A, B, C, D H E. IIornTo Kp03 CBaK)' Ta'IK)' X npaBe a rrocTOj11 je,n;11HcTBeHa rrpaBa Koja je rrapaneJIHa ca npaBa.Ma p

1, p

2, p

3, ••• H Koja ceqe a'

y X', CMaTpaheMo ,n;a CBaKa TaqKa X npaBe a HMa cBojy rrapaneJIHY npoje~y X' Ha a'.

01mcaHo rrp11,n;p)l)Kl1Balhe TaqaKa X >-+ X ' Ha311BaheMo naparrenuo npojeKTOBaJbe.

EBO 11 orrrnTHX o,n;roBopa Ha rr11Talha 1-3.

1. AKo cy ,n;Be ,n;p1<11 Ha rrpaBoj a rro,n;y,n;apHe, oH,n;a cy rro,n;y,n;apHe 11 o,n;roBapajyhe .n;pKH

,n;o511jeHe riapanenH11M rrpojeKTOBalbeM. 2. IIornTO je AB je,n;11H11qHa ,n;y)K, lhOMe Mep11Mo pacTOjalha Mel)y TaqKaMa npaBe a.

J.1HT~11ja HaM r0Bop11 ,n;a aKo ,n;y)K A'B' 113a5epeMo Kao je,n;HHIDzy Mepe KojoM heJ.m Mep11T11 pacTOjalha Mel)y TaqKaMa rrpaBe a ', oH,n;a he MepHH 5pojeBH owoBapajylrn:x rrapoBa ,n;y)K11caa11a ' 511rn 11crn: BC=2AB 11 B'C'=2A 'B', DE=3AB 11 D'E'=3A'B '.

3. Pa3Mepa ,n;y)K11Ha ,n;Be ,n;y)K11 ca rrpaBe a je,n;HaKa je pa3Mep11 ,Il;)')KIDfa owoBapajylrn:x ,n;y)K11 ,n;o511jeHHX rrapanenH11M rrpojeKTOBalbeM. +

HeKa rrapanenHe rrpaBe p1

, p2

, p3

11 p4

ceKy rrpaBy a y TaqKaMa A1, A

2, A

3 11 A

4, a

rrpaBy by TaqKaMa B1

, B2

, B3 11 B4

• AKo je A1A

2 ~A3A4, oH,n;a je B

1B

2 ~B3B4•

/1,oK.a3. YKon11Ko je a 11 b, OH,n;a je rnpljelhe je,n;HOCTaBHa rrocne,n;m~a TeopeMe o ,n;y)K11Ma Koje o5pa3yjy ,n;Ba rrapa rrapanenH11x rrpaBHX ( CTpaHa 170).

IIpeTrrocTaB11Mo ,n;a a~ b. Kpo3 A

2 11 A

4 KOHCTPYJ1IIIl1MO rrpaBe rrapanentte cab.

HeKa je A' rrpeceK rrpaBe Kpo3 A2

cap 1, a A" rrpeceK

rrpaBe Kp03 A4

ca p3

•

IIp11MettoM TeopeMe o carnactt11M yrnoB11Ma 11 cTaBa YCY 3aKJbyqyjeMo ,n;a je

. A'A -A"A na Je n.2 = n.4•

MIA 'A2 ~ M 3A ''A4,

p. P2 P1 P4

a

b B.

p. P2 P1 p,

c?

b"

b

Haj3a,n;, rrpeMa TeopeM11 o ,Il;)')Kl1Ma Koje o5pa3yjy ,n;Ba rrapa rrapaneJIHJiX IIpaBI1X, 3aKJbyqyjeMo ,n;a je B

1B2 ~A 'A2 H B

3B

4 ~A"A4, rra je B

1B2 ~B3B4 • •

+-i-!-LL IL11 !1

I I I I I I

~--/ I I I

~ I 00 ~·

X' Y u· ' V

kXY

~' I I t ~

X' Y' U' 1'-......,--A1.r kXY

reopeMa

a b

Pi Ail b1 p,+-f

A..A2 ~B B2

il.B. ~A .• B,

319

.l

b

B

Ia:1eco.B.l reopeMa

Je:i;Haxocr AB=kCD 3Ra'lli ~a je k repHH

bpo· =<)'JIGIBe .J)ifGf AB axo j e CD je;:i;:mnma

Mepe.

//!!/////11

--320

Az

AKo napa,'Ie;rne npaae p1,p

2, ••• ,p" ceKy npaBe a H b H Ha jeAHOj OA lbHX

o8pa3)'jy IIO~apHe }:()')KJf, OHAa cy IIOAYAapHe H AJ")KH Koje OBe rrpaBe

o8pa3yjy Ha APyroj rrpaBoj.

Ilo3Hara KOHcrpyKnnma noAeJia Ap<H Ha IIOAYAapHe AeJioBe 8a311pa ce Ha npeTXOAHOj

Teope.MH.

IIpHMep 1.

Ilop;emfMo ;:i,aTy A}')K Ha 11eT IIOAYAaPIDfX AeJIOBa. KoHcTp~11jy q11He cJieAetrn Kopau;11:

1 Kp03 je}:(aH Kpaj Ap<H AB, Ha rrpHMep A, KOHCTPYffIIIeMo rrpoH3BOJbHY rrpaBy Koja He •

ca;q>)f(Jf AaTy A)')K, 3aTHM

2. Ha rnj npaBoj ogpeA:HMO Taql(e A1, A

2, A

3, A

4 H A

5 TaKO Aa je

AA1 ~A1A2 ~A~3 ~A~4 ~A~5, H Ha Kpajy

.:: KOHCTpYffIIIeMo rrpaBy A,B H rrpaae Kp03 A1

, A2

, A3

H A4

napaneJIHe ca A5B; oBe

qenq>H npaae AeJie AB Ha 11eT rroAYAapHHX AeJioBa. +

HeKa 11apaneJIHe npaBe p1, p

2, p

3 H p

4 ceKy rrpaay a y TaqKaMa A

1, A

2, A

3 H A

4, a

rrpaay by raqKa.'daB1, B

2, B3 H B

4• AKo je A3A 4

: A1A

2 =k, OHAa je B3B4

: B1B

2 =k.

j1o1' '13. :H3 A~4 : A1A

2 = k, TO jecT A

3A

4 = kA

1A 2, 3aKJbyqyjeMo Aa je k MepHH 8poj

~e Ap<H A~4 aKo je A 1A 2 jeAHHHn;a Mepe.

Tpe8a IIOKa3aTH Aa je B3B4 =kB

1B2, TO jecT Aa je k MepHH 8poj A~HHe APKH B3B4 aKo je

B1B

2 j e)J.JffiHD;a Mepe.

Cymnma AOKa3a je: MepelbeM AY)l<H A~4 jeAHHHIJ;OM Mepe A 1A2 H KOHCTPYKD;HjoM

OW OBapajyhH:x rrpa:BHX Koje cy 11apaneJIHe ca npaBaMa pi HCTOBpeMeHO MepHMO H B3B4 j eWIBJfl\OM Mepe B

1B

2•

11111111/r I • I • • I

Mepelbe Apat:He A}')KH AaTOM jeAHHHIJ;OM Mepe

BpIIrn ce rrpeHmnelbeM jeAHHffqHe AY)l(H H lbeHHX

(AeCeTHX, CTOTHX, XIDbaAHTHX ... ) AeJIOBa. IlpeMa

rrpeTXOAHOj TeopeMH, rrpHJIHKOM CBaKe noAeJie AY)l(H

A1A

2 Ha AeJioBe A0811jaMo OAroBapajyhy rroAeJiy

Ap<H BlB2 H B3B4 KOHCTp~HjOM rrpaBHX Koje ~y rrapaneJIHe ca Pr

CIDIKOM HJIYCTpyjeMo oBa orrrnTa 3arra)l(alba Ha

KOHKpeTHOM npHMepy: aKo je A3A

4 : A

1A

2 = 1,3, OHAa

je H B3B

4: B

1B

2=1,3.

Y1HTynTwB:i;o j e j arno Aa be YBeK pe3yJITaT Mepelba B3B4 jeA:HHHIJ;OM Mepe B

1B

2

foITll JfAeHT:HqaH pe3ynTary Mepelba A~4 ca A1A

2• CTporn AOKa3 OBe q11lbett11u;e

Jf30CTaBJbaMO.

Tanec

IT

Hapero

IT

-j1oKaJ

Ocrnje

KoHcr]

rrpaBe

TaAan

CYAY~

KaKoj

tO)l;HOj

lpau;H:

oja He

o je

B~4

n ~

lry)l{H

:y

HJJ;a

TanecoBy TeopeMy MO)l(eMo cpopMymrcaT11 H Ha cneµ;eliM Ha<UIB.

HeKa rrapanenHe rrpaBe p1, Pi' p3 H p4 ceKy npaBy a y Ta'IKa.Ma A1, A2, A3 H A4, a

rrpaBy by Ta'IKa.Ma B1, Bi , B3

H B4

• Taµ;a je A3A

4: A1A 2

=B3B

4: B1Bi .

IlpaBe a H b Koje ce ceKy y Ta'IKH 0 ceKy H npaBe p1

H p2

: npaBa a ceqe p1

H Pi y

Ta'IKaMa A1 H A2

, a rrpaBa b ceqe p1 H p2

y B1 u Bi. AKo je p1 II p2, OH)l;a je

OAI = OA2 = A1A2

OBI OB2 BIB2

Hape,n;Ha rrocne,n;Hu;a ce 'IeCTo y JIHTepaTyp11 TaKol)e Ha3HBa TanecoBoM TeopeMoM.

II paBe a H b Koje ce ceKy y Ta'IKH 0 ceKy 11 npaBe p 1

Hp i= rrpaBa a ceqe p 1

Hp 2

y

Ta'IKaMa A1 u A2, a rrpaBa b ceqe p1 H p2 y B1 u B2. AKo je p1 II p2, ottµ;a je

OAI = OBI = A1B1 OA2 OB2 AiBi

OA OB . J{01,a3. Je,n;ttaKocT--1 =--1 Je µ;upeKTHa norneµ;uu;a TanecoBe TeopeMe.

OA2

OB2

AB Ocrnje jorn ,n;a IIOKa)l(eMo ,n;a je - 1

-1 je,n;HaKa OBHM pa3Mepa.Ma.

A1B2

KottcTpYfflllMMO npaBy b' Kpo3 Ta'IKY Ai rrapanentty cab. HeKa je B' rrpeceK npaBe b' H

rrpaBe p1•

P1 -Qo~~ ......... ~--Q~~o-~~-

P1 ~ o '°'

a b

a b

Taµ;a rrapallfJIHe npaBe bub' ceKy rrpaBe a H p1

, na npeMa TanecoBoj TeopeMH rnep;u Aa

cy ,n;y)l(M ca a rrponopu;uottantte o,n;rOBapajyhM Jzy)KMMa ca p1:

OAI A lBl --=--0A

2 B'B

1

KaKo je B'B1 ~A2B2 (3arnTO?), ,n;oKa3 je 3aBprneH. •

rroc1e,rt1ll(a I

rrocnewma :!

Pi _ __..,_.....,...._ __

A. P:·--o----~

a

OA1 = OA: = ,-\ :.-i:

OBI OB: BIB:

IlOCile)µ{Ua 3

P1 _ _____..,,___-Q---

p,.--o----~,-

a

OAI = OB! = .-\,B,

OA: OB: .-\~:

b

p,--o-- .o----

b

P:- -6------...a-

a b

321

3an:aTaK

Ha ornoBy nop;arnxa p:anu Ha c~11 OJJ:PeJl:H ,l\)')KI1He Jzy)KI1 03HaqeHHX 3HaKoM IDITaH.a.

3a;xuaK

Ha ocHoBy nop;aTa.Ka p;anu Ha CJII1KaMa OJJ:Pe.n;11 ,ll;Y*J.fHe ,n;y)KJ1 03HaqeHHX 3HaKoM

IDITaJDa.

1) 2) 3)

Ilp1D1ep2.

TanecoBa TeopeMa 11 lheHe rrornep;m.J;e HaM OMoryhaBajy p;a KOHCTPYKTHBHO ,,MHO)KHMo"

u ,,p;emtMo" Jzy)KH. I1pe~M3HHje, aKO je p;aTa jep;11HH~a Mepe, KOHCTpYJ1caheMo p;y)K q11ja

j e lzy)KHHa je,D;HaKa rrpo113Bo,n;y, Op;HOCHO KOJIWIHHKy Jzy)KHHa HeKe p;Be p;aTe Ar*H.

1 0-----0

x

)

• 3a;J;anu:

J113a8epH rrpoH3BOJbHO je,zµrnmzy Mepe 11 ABe Jzy)KI1 a 11 b. KoHCTPYJ1llll1 3aTHM p;y)K11: 1 a+b a b

1) a2; 2J - ; 3J --; ~ -+-.

a a2 b a

n I1pHM~

IIOJiyr\

fp;e je ,

Macy3 p;eCHO:

AKom . jep;Ha!I p;y)K ll

CBaKOJ

forn, q

rrpoMe je oqK

paBHO

Macy1

jacaH l

cypac MeCTa

o8piry TepeTI

UeHT~ KOMe j

3

Op;pep

-----------Mi;iiiliiiii _____ _,,,_,,,,,,, .. ,,,,,,1;;u;HHl lJHJJ

IX:

u.'l~l,

IlpHMeHOM Tanecose TeopeMe je,n;HocTaBHO o,n;pel)yjeMo QeHTap pasHoTe)l(e HeKe

rmnyre. IIo,n;ceTHMO ce yi<paTKO o,n;rosapajyher 3aKOHa pasHoTe)l(e.

f,n;e je QeHTap paBHOTe)l(e rronyre ( qHjy

Macy 3aHeMapyjeMo) rrpHKa3aHe Ha CJIHQH

,n;ecHo?

AKo rro,n;enHMO csaKH o,n; Tepern Ha

je,n;HaKe Malbe ,n;enose H pacrrope,n;HMO HX

,n;y)I( IIOJiyre TaKO ,n;a QeHTap paBHOTe)l(e

csaKor TepeTa rroce8Ho oCTaHe r,n;e je H

bHO, QeHTap paBHOTe)l(e IIOJiyre ce Hehe

rrpoMeHHTH. Mel)yTHM, y ,n;pyroM cnyqajy

je oqHrne,n;Ho r,n;e ce HaJia3H QeHTap

paBHOTe)l(e - TO je TaqKa Kaja IIOJIOBH

Macy Tepern. TaKo rrocrnje HHTYJfTHBHO

jacaH 3aKOH paBHOTe)l(e, rrpeMa KOMe

cy pacTOjalba QeHTpa paBHOTe)l(e ,n;o

MeCTa Ha KOjHMa cy yqsprnheHH TepeTH

o8pHyTo rrporropQHOHaJIHa MacaMa

Tep em.

9kg

6lkg 2

UeHrnp paBHOTe)l(e C KOHCTPYJfIIIeMo TaKo ,n;a je AC : CB= m8 : m A' r ,n;e je MeCTo A Ha

KOMe je yqsprnheH TepeT Mace m A H B MecTo TepeTa Mace m8

•

CnHqHo rrocTyrraMo aKo cy ,n;aTH BeKTopH Te)l(HHa TepeTa.

~-.. i .......... : .... . '• c

A ; ' B 1 ··,·,.............. k . ' ........ : .

·:iv

3aµ;aTaK

O,n;pe,n;H HeII03HaTe Mace aKo ce 3Ha ,n;a cy ,n;aTH cHcTeMM y pasHoTe)l(JL

? 2kg ( ? 2kg ( (

6lkg 2

9

4kg

323

P: a

• .\xrnova (TI4) ca crpa.He 140. c :I

I 0 0

,:\. B

32-

n; b

HeKa ce rrpase a H b Koje HHcy HOpMamie ceKy y Ta'IKYI 0 11 tteKa npaBe p1

11 p2

ceKy

npasy a y rnqKaM:a A1

11 A2

, a rrpaBy by Ta'IKaMa B1

11 B2

• AKo je

OA OB AB . __ I =--1 =-1 _1,0Hlf.aJepl llP2· OA2 OBi AiBi

jl,oKa3. ITpeTIIOCTaBHMO lf.a p1

H Pi HHCY rrapanentte rrpase.

HeKa je p; je,ll.JrncTBeHa rrpasa Koja calf,p)KH Ta'IKY Ai H rrapanentta je cap 1.

ITpasa p; ceqe rrpasy b jep je ceqe 11 p1

• HeKa je B; rrpeceK npaBHX b 11 p;. Ta'IKe Bi 11

B; cy pa3llfqJfTe jep a.Ko bH bHJie HCTe, OHlf.a bH H npaBe Pi 11 p; b11ne HCTe, UITO je

cyrrporno rrpernocrasKaMa.

TaAa je rrpe.Ma nocne~ 1 lJ.aTOj Ha cTpairn 321

OAl = OBI = AIBI OAi OB; A1B;'

. OAI OBI A IBI . . I I

na Ka.Ko Jen --=--=--, 3aKJb)"l)'JeMo p;a Je OBi = OBi 11 AiB2

=:A2B

2•

OA2

OB2

A1B

2

ITorrno cy ra'IKe B2

H B; pa3JIWrnTe, npeMa aKCHOMH ca cTpatte 140, Mopajy b11T11 ca

pa3JIWIJITJIX CTpatta rrpase a, na CaMHM THM ca pa3JIH'IHTHX CTpatta Ta'IKe 0 npaBe b. Me1)yn1M, TalJ.a rrpKMeHOM cTaBa CCC

OB2=:0B; } ccc A1B2 ~AiB; ::;.ilOAiB2 =:ilOAiB;::;. <rApB2 =:<rApB; 0Ai -OA2

µ;oforja.Mo lJ.a cy ttarropep;HH yrnoBH A20B

2 11 Ai OB; nolf,yp;aptt11, na THMe 11 npaBH,

cyrrporuo rrpernocTaBI.\H p;a a 11 b tt11cy ttopMaJIHe npaBe .

.iJ,aKJie, P1 II Pi·

YKOJIHKO cy a n b HopMaJIHe rrpase, Mopajy ce YBeCTH p;olJ.aTtte npeTnocTaBKe.

HeKa ce HopManHe rrpase a H b ceKy y rnqKJ1 0 H HeKa npaBe p1

H p2

ceKy npaBy a y

Ta'IKa.Ma A1

11 A2, a rrpasy by Ta'IKaMa B

1 i.1 B

2, rrp11 qeMy cy A

1 11 A

2 ca HCTe cTpatte

Ta'IKe 0 aKKo cy B1

11 B2

ca HCTe cTpatte Ta'IKe 0. OA OB AB

AKoje--1 =--1 =-1 -1,0HlJ.ajep1 llp2

•

OA2 OBi AiBi

3anaTaK

Ha ocRoBy rrop;aTaKa ca cJIHKe 11cnHTaj p;a JIM cy rrpaBe p 11 q rrapaneJIHe.

-- ---

'

,lfoKa I

CBaKJ

ITpeT

YKOJil

Teo pc

I1pe1 Ba)KM

p;oKru

Jfaa8

jep;ml

Tap; a

X11~

ITO JI~

Ta'IKC

KaKq

rro

Pa3MI

Kalf.a

I ~

I jl~

~

J

Ilp11MeHoM TanecoBe TeopeMe p;oKa3ah.eMo je,n;HaKocT Kaja je cpopM)7ID1CaHa y ,n;pyroj

TeopeMH Ha CTpaHH 222.

-+ -+ 3a cBaKH peanaH 8poj k 11 me BeKTope x 11 y TaqHa je je,n;HaKocT

-+ -+ -+ -+ k(x + y) = kx +ky.

-+ -+ ,lfoKa3. AKO je HeKH o,n; BeKTopa x HJIH y Hyna-BeKTOp, TpaJKeHa je,n;HaKOCT BaJKH 3a

cBaKH peanaH 8poj k. Ilo,n;cehaMo ,n;a je Hyna-BeKTop HeyTpan 3a cafofpalhe BeKTopa. -+ -+

IlpeTIIOCTaBHMO ,n;a cy o8a BeKTopa x HJIH y pa3JIHqJ1Ta o,n; H)'Jla-BeKTopa.

-+ -+ YKoJIHKO cy BeKTop11 x 11 y KOJIHHeapHH, je,n;HaKOCT ce je,n;ttocTaBHO ,n;oKaJyje Ha ocHoBy

TeopeMa Koje CMO HaBeJIH Ha MaprnHH, rra ,n;oKa3 rrperrynrrnMo KopHCHJIT{JiMa yv6em1Xa.

-+ -+ IlpeTrrocTaBHMO Haj3a,n; ,n;a BeKTop11 x 11 y HMcy KOJIHHeapHM. Je,n;ttaKocT O'IM!'Jie,n;tto Ba)l(H aKO je k = 0. ,!J;OKaJKHMO ,n;a je TaqHa Ji 3a k "# 0. ,!J;OKa3 neMO CIIpOBeCTH 3a k > 0, a

,n;oKa3 y cnyqajy Ka,n;a je k < 0 ocTaBJbaMO 3a Be)l(6y.

J13a8epHMO rrpoH3BOll>HO TaqKy 0. IlpeMa TeopeMH ca CTpaHe 216, IIOCTOjH

je,n;HHCTBeHa TaqKa X TaKBa p;a je--; = OX, Kao 11 je,n;HHCTBeHa rn~a Y p;a je y = KY. ~ -+ -+ , -+ -;:;-;;;t

Ta,n;a je Or = x + y (cJIHKa ,n;ecHo). HeKa je ,n;all>e X TaqKa TaKBa p;a je kx =OX . Ta~e X 11 X' cy KOJIHHeapHe ca 0 11 HaJia3e ce ca HCTe cTpaHe TaqKe 0. HeKa je Y' rrpeceK

rronyrrpaBe [ OY) 11 rrpaBe Kpo3 X' Kaja je rrapanenHa ca rrpaBOM XY. IlpHMeTHMO .u:a cy H TaqKe Y 11 Y' ca HCTe CTpaHe TaqKe 0. IlpeMa TanecoBoj TeopeMH l1MaMo p;a je

OX' OY' X'Y' --=--=--ox OY XY

OX' OY' X'Y' KaKo je--=k, 811he w--=--=k, op;aKJie cnep;H ,n;a je

OX OY XY

X'Y' = kxY = ky Kao M OY' = koY = k(-; + y). ~ ~ ---;--? kx-+ k-+ IlornTo je 11 OY = OX + X Y = + y, Tpa)l(eHa je,n;HaKOCT je ,n;oKa3aHa. •

--+ --+ ----+ AB

Pa3Mepa ycMepemuc ,n;y)l(H AB 11 CD y 03Hau;11 ---+, ,n;ecpHHHIIIe ce caMo y cnyqajy CD --+

. . t p AB . Ka,n;a cy o,n;roBapaJyuw BeKTop11KOJIHHeapHH11 Hwcy Hyna-BeKTOp.H. a3Mepa ---+ Je

__,. ---+ CD (je,n;HHCTBeH) 8poj k TaKaB ,n;a je AB = kCD. ,!J;a OBaKaB 8poj k IIOCTOjH, ,n;oKa3aJIJi CMO Ha

CTpaHH 224. Ilp11Menue ,n;a pa3Mepa p;Be ycMepeHe ,ll;y)l(J1 (,n;Ba BeKTopa) MO)l(e bJfTH n

II03HTHBaH J1 HeraTHBaH 8poj.

IlpaBe a 11 b Koje ce ceKy y Ta~ 0 ceKy H rrpaBe p1

H p2

: rrpaBa a ceqe p1

n p2

y TaqKaMa A1

11 A2

, a rrpaBa b ceqe p1

H p2

y B1

H B2

• AKo je p1

II p2

,

. OA OB AB oH,n;aJe ~ = ~ =~.

OA2 OB2 AiB2

TeopeMa

TeopeMa (crpaHa 224). -+ -+

AKo cy BeKToptt x H )' KOJIHHeapHH n mtcy ttyna-BeKTopn, mua

IIOCTOjH bpoj k ~ 0 TaKaB -+ -+

11ajey = kx.

Teope~rn (crpaHa 222). -+

3a CBaK.Jt BCKTOp X H CBC pean:He bpojeBe k JI f

BruKC je;µIaKOCTit: -+ -+ -+

l (k+t)x=kx ... fx; -+ -+

2. k(lx) = (k · l )x.

0

t~ -;

x~ I k x .c

{ ... ,_ -':1----

X1

x --------;~~-~~ ··· ....

BeKToparn oOJIJIK

Ta.aecoBe reopexe

325

;:;,eqmmu.vtja

XoMOTentja ce Ha3HBa

11 nepcneKTimRa

C:Ilf'IROCT.

0 x

0 B

326

B'

XoMoTeTHja

HeKa je 0 qnracHpaHa TaqKa paBHH TC H k HeKH peanaH 8poj pa3nHqHT OA Hyne.

XoMOTeTJlja paBHH TC ca n;eHTpOM 0 H Koe<!>Hn;HjeHTOM k je npecnHKaBaH>e

'H.o~ : rr-+n, Koje CBaKoj TaqKff x paBHH 1t AOAeJbyje Ta'IKY X' HCTe paBHH

TaKBY Aa je OX' = kOX.

----+

0

0 ox x ~ 0 0 0

t t t t 1{ Ch (X) 'H. 0.-1 (X) 'H. 0.1 (X) 'H. o.3 (X)

~ o:ux

KopHcrehH KOHCTp~jy noAeJie Jzy)KJ1 Ha jeAffaKe Aenose, jeAHOCTaBHO ce

KOHCTPymne CJIHKa bHJIO Koje Ta'IKe x XOMOTernjoM 'H.O,k qffjH je Koe<l>Hn;HjeHT k pan;HOHaJiaH 8poj.

3aHcTa, aKO je k =±min, m, n E N, ~ OX Tpe6a ITOAelIHTH Ha n jeAHaKHX Aenosa, a

3aTJ1M noqeBrrrn. OA 0 HaAOBe3aTH m A08HjeHHX ):(elIOBa ca OHe CTpaHe ca Koje je TaqKa

X, )'KOJIHKO je k =min, OAffOCHO ca cynpoTHe CTpaHe, aKo je k =-min.

m AenoBa

x ---- ------ .... ~--<.>0--<>0 --<0>----<.0--<.>0--<>-~ ------ -.o----<>

3auaTaK

,[{aTe cy TP" KomrneapHe Ta~e A, B H C TaKBe Aa je A -B -C" AB: BC =4: 7. 0ApeAH

Koe<l>~eHT k XOMOTeTHje 'H.B.k aKO je 'H.B,k(A) = c.

3a;i;aTaK

Ha cmmH AeCHO cy KOHCTPYJ.f CaHe crrHKe HeKOJIHKO TaqaKa xoM0Ten1joM 'H.0.~.

Ha ocHoBy oBor npHMepa, IIOK)'Illaj Aa H3BeAeIII HeKe onIIITe 3aKJbyqKe. 3

OAPeAH pa3Mepe A 'B' : AB, B'C': BC, B'D': BD .

.., .Ua JIH ce XOMOTeTHjOM KOJIHHeapHe TaqKe npeC7IHKaBajy y KOlIHHeapHe TaqKe?

3 )la JIH ce npaBe AB H A'B' ceKy? A npaBe BD H B'D'? 08pa37IO:>KJ1 OAroBope.

4J YnopeAH 4:BAD 11 <ti3'.A 'D'. YnopeAH" 8Hno KOjH Apyrn nap OAroBapajyli.Hx

yrnoBa. 08pa37IO:>KJ1 OWOBOp.

. • .a."'' ... "<\'.ll'~lll.l\1\\1

AKo je H 0./X) =X' H H 0/Y) = Y', OHAa je X'Y' =kXY. TeopeMa

----+----+ OX'=kOX X'

/{oKa3. Jfa H 0k(X) =X' H H0/Y) = Y' CJieAH Aa je OX' =kOX H

~ =-:? . -----+ ---==+ ~ OY' = kOY. KaKo je X'Y' = OY' - OX', HMaMo Aa je

IT =OY' -OX' =koY -kOX =k(oY-OX) =kXY . • y ----+ ----+ OY'= k OY Y'

AKO je X- Y -Z l1 H0/X) =X', H

0/Y) = Y' H H0 /Z) =Z', OHAa je X'-Y' -Z'. TeOpeMa

/{oKa3. }fa X - Y - Z CJieAH IXYJ + I YZI = IXZI. II peMa rrpeTXOAHOj TeopeMH

HMaMo Aa je IX'Y'I = lkl · IXYJ, I Y'Z'I = lkl · I YZI H IX'Z'I = lkl · IXZI. ,[(aKJie, IX'Z'I = lkl · <IXYJ + IYZI) = IX'Y'I + IY'Z'I, OAaKJie cJieAH Aa je Y' H3Mel)y Ta'IaKa X' H Z', IIITO je H Tpe8ano AOKa3aTl1. •

.. y \, ~ a-~r

J.13 AOKa3aHHX ocobHHa cJieAe cJieAetia rnpl)elha.

• XoMoTernja AY)I( rrpecJI11KaBa y AY)I(: aKo je H0/A) =A ' H H 0 /B) =B, OHn;a

je H 0 /AB) =A'B'; XoMoTeTHja rrpaBy rrpecJIHKaBa y napaneJIHY rrpaBy: aKO cy A l1 B .llBe Ta'IKe

rrpaBe pH aKo je H 0/A) =A' 11 H 0/B) =B', OHAa je H 0/p) = p', rrptt qez.ry je

p' rrpaBa OApel)etta Ta'IKaMa A' 11 B' l1 p 11 p '.

Cm1Ka qrnrype <I> xoMoTernjoM H 0 .k je qmrypa <I>'= H0/ <I>)= {H0 .k(X) IX E <I>}.

Ha ocHoBy OBHX oco8tttta l1 TeopeMe o yrnoBHMa ca rrapaneJIHHM Kpau;ttMa AOJia3ttMo H

AO cJieAeher 3aKJbyqKa.

XoMOTeTHjoM ce yrao rrpecJIJ1KaBa y IIO.zzyJJ:apa.H yrao.

z·

Teope1o1a

y

B

,il;eqmHHUJtia

.

327

n.

XoMOTenrja ie

non:ryHo o:rrpel)eHa

axo j e no3HaT H.eH

rremap 0 n c11cxa X j e;:me Tif'IKe X.

328

KoHcrpyicwrja cJlliKe HeKe qmrype AaToM xoMoTenijoM ce MO)f(e 3HaTHO

rroje)lHOCTrunmt aI<O ce KOpHCTe JI! onmTa CBOjCTBa XOMOTeTHje. IIoce8HO je KOpHCHa

rrpm.1eHa TBpl)eH>a Aa ce rrpaBa xoMoTeTiljOM rrpec1n1KaBa y napanemiy rrpaBy.

Ha cmnp1 ucnoA KOHCTPYKTHBHO je OA}Jel)etta CJIHKa MBC xoMoTeTHjOM Ho.-~' 'H

0_!(MBC)=M 'B'C'. 2

2

IIpID.teTHTe ~a je AOBOJhHO Ha!rn: cnHKy CaMO jeAHOr

TeMeHa, Ha rrpHMep 'Ho,_!(A) =A'. CnHKe B' H C' 2

rrpeocran:a JlBa reMeHa cy rrpeceQH rrpaBHX OB H OC ca rrpaBaMa Kp03 A ' Koje cy napaneJIHe ca AB H AC. •

c

B

3arraxaH>a Kaja CMO KOpHCTJl[JIJII y rrpeTXOAHOM rrp11Mepy MO)f(eMO yorrllITHTH. Ha11Me,

axo 3Ha.'do ~eHTap xoMoTentje 11 CJIHKY X ' jeAHe Ta'!Ke X (rrp11 'leM)' HapaBHO Ta'!Ke 0, X

n X ' ~mpajy fomt Kommeaptte), OHAa MO)f(eMo OA}JeAHTH CJIHKY 811no Koje Apyre Ta'!Ke

TOM xoMorenrjoM (KOHcrp~Hja je npHKa3aHa Ha CJIHKaMa 11crroA). KoeqmQ11jeHT

OBaI<O o,upel)eHe xoMoTeTHje je pasMepa k =OX' : OX. IIp11MeT11Te Aa aKo )f(eJIHMO Aa

OA}Je,[J;JlMO CJIHKY Ta'IKe u Kaja je KOJIHHeapHa ca 0, x JI! X' ( CJIJ1Ka AOJie AeCHO ), MOpaMO

Rajrrpe Aa OA}JeAJtMO CJIHKY HeKe ,,ITOMohHe" Ta'IKe KOja HHje KOJIHHeapHa ca HaBeAeHHM

T<l'IKaMa.

0 ~X' 0

1{

3ai:i;aTaK

P'= 'H(P)

\.P •' : \

: ~X' 1{

IIpmt3BOihHO 113a8epH TPH KommeapHe Ta'IKe 0, Xu X' TaKO Aa je X - 0 -X'. AKo je

H w xmmrern:ja TaKBa Aa je 'Ho,x.(X) =X', KOHCTPYHIIIH Ta'IKY 'H0iT), aKo je Ta'!Ka T HeKa Ta'IKa Kaja:

i mrje KomrneapHa ca 0 , Xu X '; 2) jecre KomrneapHa ca 0, X H X'.

3ati;aTaK

IIpecmtKaj rrpo113BOJbaH MBC xoM0TeT11joM 1i A.Ji' ~ -.- ,, .. -.. ~ ""'iso. IIorneAaj CIDfKY AeCHo.

A B

Taq

k.=i Ha

npo Ko11

bHO

jewi

Ho, I

Hai 3aje

Ta'lj

C' re·

1{ ' r-

rrpe M t

M.J }la.JI

II p i

Om

Ha.31

aq TPH CH.

J

3ap;aTaK

,lJ;aTe cy ,n;Be rrpmt3BOJbHe ,n;}')KJ1 AB H CD H ,n;Be Ta"l!Ke 0 l1 X. KoHcrppmm Ta'Il<Y

'H0/X) aKo je k =AB: CD. Yuyiiiciiiao. Han;pTaj rrpoH3BOJbtty rronyrrpaBy Op Koja He ca,n;p:>Irn X, a 3anru Ha lhoj

o,n;pe,n;H TaqKe Ytt Y 1

TaKO ,n;aje OY=CD H OY'=:AB.

IlpHMep 2.

TaqKa X je xoMoTeTttjoM 'H0

;; rrpecmfKatta y Taqry X'. ,lJ;aKJie,

k=OX':OX.

E

\A Ha rrpeTxo,n;oj cTpaHH je 06jarn.1Detto KaKo ce KOHCTpYJirne cJnfKa

rrpOl13BOJbHe TaqKe rrptt OBaKO 3a,n;aToj XOMOTeTHjH.

KottcTpYJiIIIHMO ca,n;a 'H0

_!_(A), rrpH qeMY je A rrpott3BOJbHa Ta'!Ka. ,IJ;a ' k

-.. . /

A"~1f,,1(A0--., ·--'<l - c-

bHCMO J13BeJrn Tp<l)l(etty KOHCTp~ttjy, ,ll;OBOJbHO je 3HaTif CillfKJ 8ap

je,n;He TaqKe rrptt OBOj XOMOTeTHjH. Httje TeIIIKO 3aKlbY"l£11TI1 ,n;a je

'Ho_!_(X') =X. + ' k

HaBO,ll;HMO HeKe OITIIITe je,n;HaKOCTJ1 y Be3J1 ca KOMI103l1QlfjaMa XOMOTeTifja ca

3aje,n;HJ1qKJ1M n;ettTpOM.

l 'HO,k o 'HO,/ ='HO,/.k;

'H0 k o 'H0 _!_ =£ (£ je KOHHQH,n;em~ttja: CBaKy TaqKy rrpeornKaBa y ce8e); • 'k

'HO,k o 'HO,/= 'HO,/ o 'H_O);

IlpHMep3.

Ha Kpajy OBOr o,n;eJbKa, KOpttcTeilli ce XOMOTeTHjOM,

IlOKa3aheMO HeKe 3aHJ1MJbJ1Be Be3e Mel)y 3HaqajHJt1M TaqKaMa Tpoyrna. HeKa je T Te)KJ{IIITe ~C, a A ', B' H

C' cpe,n;ttrnTa cTpaHHQa BC, CA H AB. ITpeMa Teope!'.rn o

Te)l(HIIITY Tpoyrna (CTpatta 174), 3aKJby-qyjeMo ,n;a je

'H.r._.!. (MBC) = M 'B'C', rra ce opTOQettTap H Tpoyrna ABC ' 2

X\.. 1L , PX 0 -~~

'Haf

Ilo:rcehaMo .aa cmn<y HeKe Ta~e X npH

rpa.HccpopMamrjH .A o B o:rpet}yje.Mo

TaKO IIITO IIpBO

o.:i:pe:urno B(.\1, a

33TI1M n c.rnuy Ie

Ia'IKe npu A

rrpernttKaBa y opTOn;ettTap M'B'C'. Mel)yTttM, opTOn;ettTap

M'B'C' je ttcToBpeMeHo H QettTap 0 orrttcatte KPY)l(HHQe MBC. ,lJ;aKJie, HMaMO ,n;aje H-T-0 H HT=2TO. ITpaBa Koja ca,n;p)KJ{ H, TH 0 tta3HBa ce Ojrrepoea npaBa. OrrHcatttt Kpyr oKo M'B'C', qJijH je n;ettTap O'='H4___!_(0), ~ ... . ~· J

2

Ha3HBa ce H Ojrrepoe Kpyr, aIDt H Kpyr ,n;eBeT TaqaKa jep

ca,n;p)KJ{ cpe,n;ttrnTa cBe TPH cTpattm.i;e ~C, IIO,ll;HO)l(ja CBe

TPH BHCHHe oBor Tpoyrna, Kao H cpe,n;JfIIITa Jzy)Klt AH, BH H

CH. +

329

A

.neqnmru~uja

330

CJIJl'IHOCT

HeKa je k no3HTIIBa.H peanatt 8poj. Cmr<IHOCT paBHJ1 7t ca Koecpm_\11jeHTOM

k je cpymrn;Hja Pk : n-+n TaKBa ,n;a 3a cBaKe ,n;Be Ta'IKe A 11 B paBHJ1 n,

aKo je P/A) =A'H Pk(B) =B', oH,n;a je IA'B'I =k · IABj.

CBaxa H30Merpnja HeKe paBH11 je cJrnqHocT Te paBHH ca Koecpm_\11jeHTOM l; • CBaKa XOMOTernja 1-l

0Jc HeKe paBHH je cnwrnocT Te paBHJ1 ca Koecp111 . .\11jeHTOM jkj.

IlpK11ep l.

CJIWIHocnt ,n;o8HjaMo H axo H30MeTpHje CJia)l(eMo ca xoMOTeni:jaMa. TaKo, aKo je

ri;aTa HeKa rrpaBa s H HeKa Ta'IKa 0, Ta,n;a je TpaHccpopMal.\11ja 1-£0 ,_2 o S, cn11qJiocT ca

Koecp~jeHTOM 2.

.Ua je 1-£0. - 2 0 s. 3aHCTa CJIWIHOCT ca Koecp~jeHTOM 2, Irnje TeIIIKO

rrp0Bep11T11. HeKa cy X 11 Y rrpoH3BOJhHe Ta'iKe H HeKa J·e S (X) =X", S (Y) = Y", Kao

s s

11 7-lo.-2(X') =X', 1-lo, _zCY'} = Y'.

B'

KaKo je S, H30MeTpHja, HMaMo ,n;a je IXYJ = IX"Yl )XaJhe, rro311Bajyh11 ce Ha rrpBy

ocofomy xoMOTernja Kojy CMO ,n;oKa3aJI11 Ha cTpaH11 327, ,n;o811jaMo ,n;a je IX'Y'I = 2IX"Yl )XaKJie, jX'Y1 =2IXYJ. +

J1CIIOCTaBJha ce }I.a CBaKy CJIWIHOCT MO)l(eMO rrpe,n;CTaBHTJ1 Kao KOMil03111.\11jy HeKe

J130Merpaje H HeKe XOMOTeT11je.

CBaKa CJrnqHOCT ce MO)l(e rrpe,n;cTaBJ1TH Kao KOMII03111.\11ja

HeKe H30MeTp11je J1 HeKe XOMOTeT11je.

;JoKa.3 TeopeMe 0 pa3JiaraIDy CJrnqHOCTH HeheMO HaBO,ll;J1TJ1 ca CBJ1M ,n;eTaJhJ1Ma Ben

.he;\fO ~o HaBecTH ocHOBHe H,n;eje. HeKa je Pk CJIJ1qffOCT ca Koecp111.\HjeHTOM k. 3a 811no

KOjy rnqxy 0, KO~ffi03lf.l.µ1ja 7-lo .. i- 0 pk je TaKol)e CJIJ!lqHOCT ca Koecp111.\11jeHTOM ~ . k = 1

(,nOKa3 OBe 'IJ.UbeHHI.\e l130CTaBJhaMO, aJIJ1 BepyjeMO ,n;a je J1HTYJ1Tl1BHO jacHO 3aIIITO je

oHa Ta'Il:la). CJlJf'Il:IOCT 'Illj.11 je Koecplil.\HjeHT 1 jeCTe 3anpaBo HeKa 1130MeTp11ja I, rra

je 1-lo,!_ o P t =I. KopHcTelil1je,n;HaKOCTH1-l0 Jc o 1-lo,!_ = £, £ o Pk= Pk 11 acol.\11jaT11BHOCT l k

KOMII03~je ,,pa'f)'HaMO":

1-l0 ,1c o I= 1-l0 ,1c o (1-lo,!_ o Pk ) = (1-l0 ,1c o 1-lo,D o Pk=£ o Pk= Pk. • k k

I -Omm ,n;ecpm

J

J1aKO

IIITO M

Ka,n;a •

HT,ll;.) ,

je CJIH

IIITO U

Kaou

CTaBd

0

P,oK A'B' :

He Ka

na j e

Ilpe IlOG

Ko ...... ABCn

:=tttt"ttt"'rnt1•11u~•·••••wmMnnfifflffiffi

Y13B)'ll;J1MO HajBIDKHHje IIOCJiegm_\e.

HeKa je Pk cn11qHOCT paBHH ca Koecpm~11jeHTOM k.

AKo je A-B-C11 Pk(A) =A', Pk(B) =B' 11 Pk(C) =C', OHga jeA ' -B' -C'.

AKO jeAB=CD 11 Pk(A) =A', Pk(B) =B', Pk(C) =C'11 Pk(D) =D', oHgaje

A'B'=C'D'.

~. AKO je Pk(A)=A', Pk(B) =B', Pk(C) =C'11 Pk(D) =D', oHgajeAB: CD=A'B': C'D'.

DOC'"!e;tl!..Q3

Cse nrro . qyBajy" " H30MerpKj e H XOMOTeTitje,

,,'f)'Baj y" K CJIH'IBOCTH.

OnuITa gecp11H11n;11ja cn11qHocT11 gBe cp11rype aHanorna je ornurnj

gecpHHHQHjH IIOA)'AapHOCTJ1 ABe cp11rype.

Ase qmrype <I> n '¥ cy no;:rynapHe, y 03Hat(H <I> ~ '¥, axo IlOCTOj H H30MerpHja

I Koj a rrpeCJDU<asa <I> Ha '¥, TO j ecr axo i e

I (<I>) = '¥.

,[l;Be cp11rype <I> 11 'I' cy c11H11ee, y 03Han;11 <I> - '!', aKo 11ocToj11 crrKqHocT P, Koja 11pecn11KaBa <I> Ha '!', TO jecT aKo je P( <I>) ='I'.

Y1aKo ce AHMeH3Hje (Ben11q11He) gBa rn11qHa o8jeKTa Mory gocTa pa3JIHKOBaTH, OHO

IllTO HM gaje J1CTJ1 ObJIHK jecy caqYBaHe pa3Mepe J13Mel)y bHJIO KOje µBe .lzy)KJ1.

Kaga Tpe8a HanpaBHTH 811no Koj11 BeJIHKH o8jeKaT (3rpagy, MOCT, ayrnMobHJI

11Tg.), BeoMa je Kop11ctto rrpBo KOHCTPYJ1CaT11 YMalbeH Mogen Tor o5j eKTa Koj11 MY je CJIJ1qaH y MaTeMaTJ1qKoM CMHCJIY. HapaBHO, ga 811 MOgeJI KMaO HCTJ1 obJIKK, Kao

IllTO he ra J1MaTJ1 J13rpal)eHJ1 o8jeKaT, AOBOJbHO je ,,CaqyBaTH" pa3Mepe. Oopanrre naJKH.y Koj e

CTaBOBe nony;iapHOCTII Kao 11 y rnyqajy nogygapHOCTH, goKa3HBalbe cn11qttocT11 TpoyrnoBa 3HaTHO OJiaKIIlaBajy Kop11CTID40 y .JJ;0Ka31w:a

CTaBOBH CJIJ1qHQCTJ1 Koje heMO y HaCTaBKY AOKa3aTJ1. . CBaKOr o.::r CTaBOBa

,[l;Ba Tpoyrna cy cn11qHa aKo cy ABe cTpattHn;e jegHor Tpoyrna rrponopn;uoHanHe

ogroBapajyh11M CTpatt11n;aMa Apyror Tpoyrna J1 yrJIOBH 3axBaileHH THM CTpaHHQ~la

cy IIOAygapHH.

CIDNHOCTH.

npBH (T.:11 t.IlJl'IH()( r

,LJ 1•i. a' HeKa cy ABC 11 A'B'C'TpoyrnoBH TaKBH gaje

A 'B': AB =A 'C': AC= k 11 .:rCAB = .:rC'A 'B'.

HeKa je 1tA/B) =B 1 H1tA/C) = C1• TaAa je AB1 =kAB H AC1 =kAC, na je AB, =A 'B' H AC

1 =A 'C'.

~ ~A' B~1iu~

B'

1tA.. l---------------·--~-c ' B I c

I

IlpeMa cTaBy nogygapHOCTH CYC, 3aKJbyqyjeMo ga je MB1C 1 =M'B'C', IIITO 3Ha'IJ1 )la

nocrnjH H30MeTp11ja I TaKBa ga je I(MB1C

1) =M 'B'C'.

KoMII03HQHja P =Io 1t A.k je crrHqHocT H BIDKH P(MBC) = M 'B'C', na cy TPO)'TJIOBH

ABC HA 'B 'C' 110 gecp1rn11n;11j11 cn11qHH.

33

D

A

.IlBa -rpoyrna cy CJIH'IHa axo cy ,!:{Ba yrna jewmr Tpoyrna nop;yp;apHa op;roBapajyhuM

yrnoBKMa APyror Tpoyrna •

....... .., . .. J HeKa cy ABC H A 'B 'C TPoyrnoBH TaKBH p;a je 4: CAB = 4: CA 'B' H

4:ABC = 4:A 'B 'C'. ITpeMa TeopeMH o 38upy yrnoBa y Tpoyrny, 3aKJbyqyjeMo p;a je H

<ti3CA =: 4:B 'CA'.

B' kAB

c

A' HeKa jeA'B': AB =k, HA/B) =B1 H HA}C) =C1• Tap;aje

AB1 =:A 'B', 4:ABC=:4:AB

1C

1=:4:A'B'CH4:C

1AB

1 =:4:C'.A'B'naje,

npeMa CTaBY nop;y,u;apHocrn YCY, MB1C

1 =:M'B'C'.

Kao Hy p;oKa3y rrpeTXop;He TeopeMe, cnwrnocT P=I o HA,k npecJIHKaBa MBC y M 'B'C, na cy OBH TpoyrnoBH cnHqHH._ •

,UBa 'Ipoyrna cy CJIHqtta aKo cy cBaxe p;Be CTpamn.\e jep;Hor Tpoyrna

uponopqHoHanHe op;roBapajyheM napy cTpaHHl.\a p;pyror Tpoyrna.

A'

;Jo rn HeKa cy ABC HA 'B'C TpoyrnoBH TaKBH p;a je

A'B': AB=B'C': BC=C A': CA =k. HeKa je 1{A,k(B) =Bl H 1{A,k(C) =Cl. Tap;a H3 TeopeMe Kojy CMO

p;oKa3aJIH Ha CTpattH 327 cnep;H p;a je B1C

1 =kBC.

IIpeMa CTaBY nop;y,u;apHoCTH CCC, 3aKJbyqyjeMo p;a je

MEI cl= M 'B'C, rra IlOCTOjH H30MeTpHja I TaKBa p;a je

I(MB1C) =M'B'C.

Kao y iWKa3KM:a npeTXop;HKX CTaBOBa, rromTo CJIH'IHOCT P=I o HA.k rrpecnHKaBa MBC y M'B'C, 3aKlb)rcryjeMo p;a cy OBH TpoyrnoBH CJIJiqHJI. •

,UBa 'IpOyrna cy cJIH'llia axo cy p;Be CTpaHHJ.\e jep;Hor Tpoyrna rrponopQHOHanHe

ABeMa C'IpaHHl.\aMa p;pyror Tpoyrna H aKo cy yrnoBH HacnpaM p;Be op; OBHX

op;roBapajyhmc CTPaHKl.\a nop;y,u;apHH, a yrnoBH HacnpaM p;pyre p;Be op;roBapajyhe , CTpaHHJ.\e cy HJIH o8a omTpa, npaBa HJIH Tyna.

3

He Ka

H 5 (q

CTaBOBH CJIH'IHOCTH TpoyrrroBa

.Il:Ba Tpoyrna cy cm1qtta aKo cy p;Be CTpamm;e jep;ttor Tpoyrna nporropqHOHaJIHe

op;roBapajyhHM cTpam1I.{aMa p;pyror Tpoyrna H yrnoBH 3a.XBaheHH nL"1 cTpamll\<llta

cy nop;y.n;apHH.

AB :AC=A'B':A'C'} ~MBC- M'B'C' <rCAB = <rC'A 'B'

.IJ:Ba Tpoyrna cy CJIJ1qHa aKo cy p;Ba yrna jep;Hor Tpoyrna nop;y.n;aptta op;roBapajyhH."1

yrnoBHMa p;pyror Tpoyrna.

<rCAB=.:rC'A'B'} ~MBC-M'B'C' <rABC = <rA 'B'C'

.IJ:Ba Tpoyrna cy CJIJ1qHa aKo cy cBaKe p;Be cTpaHHI.{e jep;nor Tpoyrna

rrponopI.{HOHaJIHe op;roBapajyheM napy cTpamrn;a p;pyror rpoyrna.

AB: BC: CA =A'B': B'C': C'A'~MBC- M'B'C'

3a;11;aTaK c HeKa cy a, ~ H y Mepe yrnoBa Tpoyrna qHje cy cTpaHHI.{e 6, 3 H 5 (cJIHKa p;eetto). ~

A 6 B

.IJ:oKa)l<H p;a je CBaKH op; TpoyrnoBa npHKa3amuc Ha CJIHI.l;H MCIIO)l; CJIWlaH p;aTOM

Tpoyrny, a 3aTHM op;pep;H HeII03HaTe )J;y)l(HHe CTpaHHI.{a, Kao J1 HeII03HaTe yrnoBe (Tj. p;a

JIH cy jep;HaKH a,~ HJIH y).

~ 4 ~ 1 . . 1 2--::= 2 . 6

10

~ y ?

9 6 6

A A

kAB(/ >----· -----4>

C B' C Q ;\, : ,\ c· . \ f \" ?, I ' I II.

~ • ! \,, .,. .... _._,e : \.

A Bi \ . . . ' . \

A • __ _.

A ' B'

.. B

~c A '

B ''------v---' C' k.BC

333

l

Me}Jy CTaBOBHMa cmflIHOCTif HajBehy rrpHMetty HMa ,n;pyrn CTaB CJIWIHOCTH. Y Hapep;Ha

,;i;Ba npHMepa nnycrpoBaheMo ABe rrpHMeHe oBor CTaBa Koje cy op; p;aBHHHa rro3HaTe.

IlpK11ep I.

CMarpa ce p;a je Tanec rrpm .. 1elhyjytrn .r\pyrn CTaB CJIH'IHOCTH op;pel)ttBao BHrnHe

enmarCIGiX mtp~mip;a Mepetrn lhHXOBe ceHKe. HapaBHO, oBa ttp;eja je yttHBep3aJIHa H

MO)l(e ce rrpHMeHHTif Ha 8m10 Koje rrpe,D;MeTe.

IlpernoCTaBJli'\10 p;a je mTarr ,ll;y)l(HHe l,Sm BepTHKaJIHO IIOCTaBJbeH y O,D;Hocy Ha TJIO

n .n;a je lberoBa ceHKa ~a'IKa 0,8m. IifcToBpeMeHo, ceHKa p;pBeTa ~a'!Ka je 2,4m.

IIpHMeHoM .r\pyror CTaBa cmPrnocTH jep;ttocTaBHO op;pel)yjeMo BHrntty p;pBeTa.

ill Tarr Ji ,!l;J>BO ca CBOjHM ceHKaMa 08pa3yjy ,D;Ba rrpaBoyrna Tpoyrna KOjH HMajy HCTe

omrpe yrnoBe. )J;aKJie, OBH rrpaBoyrJIH TpoyrnoBH cy CJIH'IHH, rra cy HM op;roBapajyhe

crprurn:Qe rrporropu;HOHaJIHe. Jlf3 je}:\HaKOCTH

1,5 x

0,8 2,4

HaJia3ID10 p;a je X=4,5, O}:\HOCHO p;a je BHCHHa p;pBeTa 4,Sm . •

IlpK11ep2.

IIpernocTaBJ.£~10 Aa ce Hana3HMO Ha MopcKoj o8anH y Ta'!KH A H p;a )KeJIHMO p;a

o,n;peAJ1MO pacTOjaJbe x J:\O TBpl)aBe C, Kojy BffAHMO Ha obJIH)l(lbeM ocTpBy.

llia8epn.Mo rrpoH3BOJbHO jom jeAtty Ta'IKJ Ha o8aJIH H 03Ha'!HMO je ca B. PacTOjalbe

H3.Mel)y raqaKa A H B .MO)l(eMo ,D;HpeKTHO H3MepHTH. HeKa je AB = 250m. IIoTpe8Ho je

3aTIDf o,n;pe,ll;J1:TH Mepe yrnosa y TeMeHHMa A H B Tpoyrna ABC. HeKa je <r:CAB =a H

<ABC=~· HaKOH OBHX Mepelba OCTaje CaMO p;a rrpHMeHHMO reoMeTpttjy.

KoHCrpYJiillH.MO rpoyrao A1B

1C

1 TaKaB p;a je <r:C

1A

1B

1 =a, <r:A

1B

1C

1 = ~ H A

1B

1 =2,Scm.

KoHCrpj'HCaHH rpoyrao A1B

1C

1 je cJIWiaH Tpoyrny ABC. 3arnTO? )J;y)KttHa cTpaHHI..\e

A l c l OWOBapa HeII03HaTOM pacTojalhy AC y IIpHpO,D;H. II pH TOM AY)KHHY Al cl MO)KeMO

,D;HpeKTHO H3MepHTH, Al cl= 3,Scm. Jlf3 CJIHqHOCTH TpoyrJIOBa AIBI cl Ji ABC CJie,D;H p;a

. AB AC 250m x II . · Je --=--, owioctto --=--. ocnep;Iba rrporropu;HJa HaM p;aJe Tpa)KeHo

A IBI A l c l 2,Scm 3,Scm pacrnjalbe, TO jecT x = 350m.

IIpHMeTIITe p;a CMO ,ll;y)l(HHy cTpaHttu;e A1B

1 MOrJIH p;a W3a8epeMo rrpow3BOJbHO. JlfrraK,

IIO)KeJbHO je U3a8paTif je TaKO p;a OHa OMoryhaBa je,D;HOCTaBHHje H3paqyttaBalbe.

Pa3.Mepa y Kojoj c.Mo MH u;pTaJIH je 1 : 10 000. +

3auaTaK

O.upe,D;H BHCHHJ cry8a aKO je ,D;y)l(Hlla lberoBe ceHKe 2m w wcTOBpeMeHo je SOcm

A)Ta'!Ka ceHKa 'lOBeKa BHCOKOr 180cm.

y II

8poj

Te op

m1yc

Oen

II om cneA)

~

ornn

ryrr,

He~ Tpo_

yrnol TeM

BC -~

BB' npo• Il03

Tpo !> .

a~ If, ,·-,,. U?C'Il

-

Y rrorrraBJbY IIogygapHoca:t rrpHMeHoM CTaBOBa rro,u;y;n;apttocTM p;oKaaamt C:MO BeJIMKH

8poj ocobHHa paBHHX qmrypa. CTaBOBH CJIWIHOCTH cy TaKol)e BeoMa KopncHe

TeopeMe ca BeJIHKOM rrpHMeHoM y reoMeTpHjH. Hapep;He p;Be TeopeMe rrpep;cTaBJbajy

HJiyCTpa1wjy rrpHMeHe p;pyror CTaBa CJIWIHOCTJ.1.

CHMeTpa11a yttyTpallIH>er yrna Tpoyrna p;eJIH HacrrpaMH)' cTpamru;y Ha ,izy)KJ1 Koje

cy rrporropu;HoHaJIHe p;pyrHM p;BeMa cTpaHHu;aMa. Ilpeu;H3HHje, aKo je D rrpeceK

cTpaHHu;e AB H CHMeTpane yrna KOA TeMeHa C Tpoyr11a ABC, oHp;a je AD = AC. DB CB

(08paTHTe rra:>KH>Y Ha pacrrope,n; '-IJiaHoBa rrporropu;nje.)

jf01ca3. HeKa je a rrpaBa Kpo3 A rrapanenHa ca BC H E rrpeceK rrpase a ca

c11MeTpanoM yrna KOA TeMeHa C. IIpeMa TeopeMM o HaH3MeHWIH11M yrnoBHMa, J.1MaMO p;a je <!.DAE~ <r.DBC J.1 <!.DEA~ <!.DCB. IlpeMa p;pyroM CTaBy CJIWIHOCTJ.1,

3aKJb)"lyjeMo ,n;a je MED - t:i.BCD, op;aKJie c11e,n;H p;a je AD DB . AD AE AE = CB,TJ. DB= CB.

OcTaje jollI p;a p;oKa:>KeMo ,n;a je AE ~AC. IlollITO je <!.DEA~ <!.DCB H <r.DCA ~ <r.DCB (jep CD rro110BH yrao KOA TeMeHa C), cnep;M ,n;a je <!.DEA~ <r.DCA, rra je MEC jep;HaKoKpaKH H Ba:>KH AE ~AC. •

IlpOH3BO):J;J.1 CTpaHHu;a J.1 op;roBapajyhHX BJ.1CJ1Ha HeKor Tpoyr11a cy jep;HaK11.

Ilpeu;H3HHje, 3a rrpoH3BOJbaH MBC Ba:>KM ah0

= bh,, =ch«

/fOKa3. ,il;oKa3aheMO p;a je ah a= bh11 y crryqajy p;a je yrao KO,ll; TeMeHa C OllITap (aKO je OBaj yrao rrpaB, je,n;HaKOCT TpHBHjaJIHO Ba:>KJ.1, a aKO je

Tyrr, ,n;oKa3 je aHa11oraH OHOM KOjH cne,n;M, rra ra rrperrYllITaMo BaMa).

HeKa cy A' H B' rro,n;HO)I(ja BHC11Ha J.13 TeMeHa A 11 B Tpoyrna ABC. TpoyrnoBH BCB' H ACA' cy cnwrnH jep cy rrpasoyrJI11 (ca rrpasHM

yrnoBHMa KO,n; TeMeHa B' H A') H HMajy 3aje,n;HWIKH ornTap yrao KO,n; TeMeHa c. J13 OBe CJIJ.1l.JHOCTJ.1 CJiep;H )I(eJbeHa jep;HaKOCT:

:~,=~?TO jecT BC· AA' =AC· BB'. IlpHMeTHMO ,n;a cMo jep;HaKOCT

rrpOH3BOp;a CTpaHHu;a J.1 o,n;roBapajyhHX Bl1CJ.1Ha ,ll;OKa3aJm be3 rro3HBaH>a Ha rro3HaTe <PopMYJie 3a rroBplIIHH)' Tpoyr11a. •

3aµ;aTaK

Tpoyr110BH ABC H A1B

1C

1 cy CJIJ1l.JHH. AKo je k Koe<PHll;MjeHT cJIWIHoCTM,

B

a PH P1 pep;oM rroBplIIHHe TpoyrnoBa t:i.ABC H M

1B

1C

1, ,n;OKa)l(Ji ,n;a j e P: P

1 =12.

YuyillcillBo. IlpHMeHH rro3HaTy <PopMYJIY 3a H3pal.JyttaBaibe noBpllI.MHe rpoyma H

rrpeTxo,n;Hy TeopeAfY.

E

reopeMa

c

B

reopeMa

A

B A ' c A

335

c

e um 1ettyn•

~ ."1 p D q B

11 .a.rop iu reopeMa

c

~ .4 PD q B

336

IIpHMene cTaBoBa c1n1quocT11 Ha npaBoyrrr11 Tpoyrao

IlpmteHy CJIJ!1IHOCTH Ha npa1wyrnn Tpoyrao H3.o;BajaMo y nocebaH o.o;eJbaK npe CBera 3aro DITO he~t0 ,.OKa3aTH II:iuaropHHy TeopeMy o qttjoj BaJKHOCTH He Tpe8a MHoro roBopHTH. Haj rrpe AOKa3yj eMo HeKe ,,noMohHe" H TaKol)e BaJKHe je.o;HaKOCTH y Be3H ca .l)')f(}lMa rrpaaoyrnor rpoyrna.

HeKa je ABC npoH3BOJbaH npaBoyrnH Tpoyrao ca npaBHM yrnoM KOA TeMeHa C H D IIO.llHO)f(je BHrnHe H3 C Ha XHIIOTeHy3Y AB. Ta.o;a cy TaqHe je.o;HaKOCTH:

AC =AB. AD, BC2 =AB. DB, CD2 =AD. DB.

JJ.o • ~ .Ua bHcMo noje.o;HocTaBHJIH 3anHc, KopHcTHheMo 03HaKe Kao Ha cnHu;H neBo, y3 HanoMeHy .o;a ca c 03HaqaBaMO XHnoTeHy3y AB. Ta.o;a je c=p +q.

TpoyrnoBH ABC H ACD cy npaBoyrnH H HMajy HCTH yrao y TeMeHy A . .llaKne, MBC - MCD, na je

O,.cllGie CJieAH je,llHa o.o; je.o;HaKOCTH Kojy Tpe8a .o;oKa3aTH b2 = cp. TpoyrnoBH ABC H CBD cy npaBoyrnH H HMajy HCTH yrao y TeMeHy B. ,UaKne, ~C - tiCBD, na j e

O;{aKJie cneAJt .o;a j e a2 = cq. Jlfa rrperxowie ABe CJIH'IHOCTH cne.o;Jt H .o;a je MCD - tiCBD, na je

~=~,(=~}

IlpeTXOAffa TeopeMa ce MO)f(e <PopMYJil1CaTJt " Ha cne.o;elrn HaqHH, KOjJt je jeAHOCTaBHJtjH 3a naMhel:be.

KaTeTa rrpaBoyrnor Tpoyrna je reoMeTpHjcKa cpe.o;HHa XHnoTeHY3e H cycegHoi o.o;ceqKa KOjH Ha XHilOTeHy3Jt rpa.o;H l:beHa BJ1CHHa.

BHcHHa Koja o.uroBapa XHnoTeHy3H je reoMeTpHjcKa cpe.o;~rna o.o;ceqKa Koje oHa rpa.o;Jt Ha XJfllOTeHy3H.

KopHcrehH 03HaKe Kao y .o;oKa3y npeTXo.o;He TeopeMe, H3 je.o;HaKOCTH a2 = cq J!

li = cp, 3aj eAHo ca c = p + q .o;o8ujaMo a2 + b2 = cq + cp = c(p + q) = c2. •

J1011

AC2 + AKo jc

Tpqyr B'C' := Teope A'B'=:!

Ilpe~

<rACl

n qHl:be

XHilOl BHCHll

j e.o;HOC

~

AKo X+)

.'aO H

jeX=J

He Ka·

HaKoj Kare

AK _ Aia

l AK

Ji

AKo je AC2 + BC2 =AB2, oHp;a je Tpoyrao ABC rrpaaoyrJIH

ca rrpaBHM yrnoM y TeMeHY C.

/{oKa3 . HeKa je ABC Tpoyrao TaKaB p;a je

AC2 + BC2 =AB2•

AKO je M 'B 'C' rrpoH3BOJbaH rrpaBoyr1rn

Tpoyrao TaKaB p;a je A'C'=:AC H

c

B'C' =:BC, oHp;a je rrpeMa Ifo:rnropHHoj

TeopeMH A 'C'2 + B'C'2 =A 'B'2, rra je H A'B'=:AB. 'B

A AB 2=AC 2 +BC 2

IlpeMa CTaBY rrop;)'AapHOCTJ.1 CCC, HMaMo p;a je MBC=:M 'B'C', op;aKJie rnewi

~CB= <X:A 'C'B ', IIITO 3HaqJ.1 p;a je y MBC yrao Kop; TeMeHa C rrpaB.

IlpHMep 1.

qHlheHHr.i;a p;a je KBap;paT BHCHHe Koja op;roBapa

XJ.1IIOTeHy3J.1 jep;HaK rrpOH3BOp;y op;ceqaKa Koje Ta

BJ.1CJ.1Ha rpap;J.1 Ha XJ.1IIOTeHy3H OMoryhaBa HaM p;a

jep;HocTaBHO KOHCTPYJ.fIIIeMo reoMeTpHjcKy cpep;HffY

..Jx · y p;Be p;aTe p;pKH x Hy.

AKo KOHCTPYJ.fIIIeMo H apHTMeTJ.1qKy cpep;HHY (x + y)/2, OHp;a IIOCTaje oqJ.1rnep;Ha Hejep;HaKOCT

. r--:-. x+y vx·y~--,

2 Kao J.1 qJ.1.fbeHJ.1Qa p;a jep;HaKOCT BruKJ.1 aKO J.1 CaMO aKO

je x=y. +

3aAaTaK

~I t • I I

x

"11

y

HeKa cy a H b KaTeTe, c XHIIOTeHy3a, h BHCHHa Hap; XHIIOTeHy3oM Hp H q op;ceqQJ.1

Ha Koje oBa BHCHHa p;enH XHIIOTeHy3y, rrpH qeMy op;ceqaK p HMa 3ajep;HJ.1qKo TeMe ca KaTeTOM b, a op;ceqaK q ca KaTeToM a. 1) AKo je b = 8cm H c = lOcm, op;pep;H a, h, p H q. 2) AKO je a= 12cm H b = Scm, op;pep;H c, h, pH q. 3) AKo je b = 25cm Hp= 20cm, op;pep;H a, c, h H q. 1) AKo je a= 8cm H h = 4,8cm, op;pep;H b, c, pH q. 5) AKo je p = 16cm H q =9cm, op;pep;H a, b, c H h. 6) AKO je h = 6cm Hp= 14,4cm, op;pep;H a, b, c H q. 7) AKo je c = Scm H h = 2cm, op;pep;H a, b, pH q.

A '

C'

oc'i:PT CTHTa."l>pHBe Te1pe~e

AKocyxn y IJ03lfTIIBHH bpojeBJl,

6poj ..Jx · yje reoMerpujCKa cpemraa

OBJIX bpOJeBa.

337

reopeMa

a

e4>1mHUHia

IlpHMeHe CTaBOBa CJUl'IHOCTH Ha Kpyr

HeKa je k rrpoH3BOJbHa Kp)')Kinru;a. Ta,n;a je 3a CBaKY Ta'IKY P paBHH KPY)l(HMu;e 11

CBaJ<Y rrpaBy a Koja Ca.Jq>)l(H P 11 ceqe Kp)')KHHIJ;Y k y Ta'lKaMa A 1 11 A 2 npoH3Bo,n;

PA1

• PA2

KOHCTaHTaH.

/l,oK J. Pa3MOTIJHileMo TPH cnyqaja.

1. c111-...;i• TatIKa P npHna,n;a yttyrpaIIIlbOCTH Kp)')K1rn:u;e k.

HeKa cy a u b rrpa.Be Koje caAP)l(e Ta'IKY P 11 ceKy Kp~11u;y k y Ta'lKaMa A1

11 A2

(npaBa

a, , OLl)IOCHO B1

H B2

(rrpaBa b), Kao IIITO je np11Ka3aHo Ha cm1u;11 JieBo.

,iloBOmHO j e ,n;oKa3aTH Aa je PA1

• PA2 =PB

1 • PB

2•

II001aTpaj Mo MlB1

11 6.B2PA

2• OB11 TpoyrnoB11 cy CJIH'IHH npeMa ApyroM cTaBy

Cllli'IHocrn (3aIIITo?) . }fa MlB , - 6.B2PA

2 cne,n;11 Aa je PA

1 : PB1 =PB

2: PA

2, OAaKJie

;:i;oforja.Mo H TPaJKeH)' jeAHaKOCT PA 1 • PA2 =PB1 • PB2•

2 cT~ u - TatIKa P rrp11naAa cIIoJbaIIIlbOCTH Kp)')KH11u;e k. HeKa cy a H b rrpaBe Koje caAP)l(e Ta'IKY PH ceKy Kp)')KH11u;y k y Ta'lKaMa A

1

11 A2

(npaBa a), OAHOCHO B1

11 B2

(rrpaBa b ), Kao llITO je rrp11Ka3aHo Ha rn11u;11

JieBO.

IlocMal"paj Mo MlB2

11 6.BlA2

• 0BH TpoyrnoB11 cy cnwrn11 rrpeMa ,n;pyroM

craBy cmrrnocrn (3aIIIrn?). Jifa MlB2 - l'i.BlA2 cJieAH ,n;a je

PA1

: PB2

=PB1

: PA2

• ltfa norne,n;lbe je,n;HaKOCTH A0811jaMo jeAHaKOCT

PA 1 • PA2 =PB1 • PB2•

3 '- . '""t{u' TatfKa P rrp11rra,n;a Kp~11u;11 k. 0Baj cnyqaj j e j eAffOCTaBaH jep TaAa je Ta'lKa P je,n;Ha o,n; rrpece'IHMX Ta'laKa Kpy)l(tt11u;e

k 11 forno Koje rrpaBe Kp03 P, TO jecT p =Al' rra je y OBOM cnyqajy IIOCMaTpaH11 rrp0113BOA

j ewiaK H)'JIB·

A.Ko je a IIpaBa Koja c~)l(H TaqKy P 11 ceqe Kpy)l(H11u;y k y Ta'IKaMa A1

11 A2

, a t TaIITeHTa Kp03 P Koja ,n;o,n;11pyje Kp~11u;y k y Taqm T, oH,a;a je PA

1 • PA

2 =PT2

•

;;o .:aJ. IlocMaTpaj Mo MlT 11 ti.TPA2

(cn11Ka Aeetto).

OB11 TIJOyYJIOBH cy ClIJi'IHJ{ rrpeMa APYTOM cTaBy

cm !'lHOCTH (3aIIITo?). J/13 MlT - ti. TPA2

CJie,ll;Jf ,a;a je

PA1

: PT= PT : PA2

, a o,n;aB,a;e 11 TpaJKeHa je,n;HaKOCT. •

a

A.Ko j e k Kp~i1u;a 11 P Ta'IKa y lheHoj paBH11, rn,a;a ce 11po113BO,ll; AY)l(M o,a; Ta'lKe P ,a;o Ta'!aKa npeceKa bHJio Koje ceq11u;e Kpo3 P ca Kpy)l(H11u;oM k Ha311Ba n oTem i;u:ja

TaqKe p y O,ll;HOCY Ha Kp~11u;y k. -~-

l. Ha

liniu#"""'""'"~""'"' ,, ,,

3af);au;11

TanecoBa TeopeMa

1. Ha ocHoBy rro,n;aTaKa ,n;arnx Ha cm1.QH 11crro,n; (a 11 b 11 c 11 d) o,n;pe,n;H x, y 11 z.

80 . 100

2. Ha ornoBy rro,n;aTaKa ca CJIHKe (BD II BG) o,n;pe,n;11 x, y 11 z.

21

3 AKO je BC 11 DE H CD 11 BF, Ha OCHOBY rro,n;aTaKa ca CJIHKe o,n;pe,n;tt DP.

4. O,n;pe,n;11 pacTOjalhe H3Mel)y Ta'laKa P 11 Q.

L -1 p 0 1 2 Q 3

5 . .lJ:aTy ,n;y)I( AB KOHCTPYKTHBHO rro,n;en11 y pa3Mep11 3 : 5.

6 . .lJ:oKa)l(H ,n;a rrpeceqHa TaqKa ,n;ttjaroHaJia Tparre3a ,n;eJrn obe ,n;HjaroHane Ha ,n;pKM Koje

cy rrporrop.QHOHaJIHe OCHOBH.QaMa.

7. Ha KpaKy Op ,n;aTe cy TaqKe A, B 11 C, a Ha KpaKy

Oq TaqKe D HE TaKBe ,n;a je AD 11 BE 11 BD 11 CE . .lJ:oKa)l(tt ,n;a je OB2 = OA · OC 0

A

E

E

339

•

B

KppKIDmaH3

3a.JaTKal0.Ha3:KBa

ce .-luo:wHujeBa

Kp)'Jk.""kuua u -qecro ce

obe:itl<a.Ba ca A

A

. LJ:aTe cy rpH .u:ptrn: a, b H c. KoHcTp}'HIIlH Wf>K x TaKO p;a je:

l) a : b = c : x; 2) a : b = x : c.

9. }laTe cy Ta'!Ke A H B H ,103e Jzy)!Gt m H n Koje

ID1cy IIo~apHe. KoHCTJ))'HllH TaqKe C H D KOJIHHeapHe ca p;antM Ta'l1<a.Ma TaKO p;a je

AC: BC=AD : BD=m: n.

1 HeKa cy A H B ABe p;aTe Ta'lKe H m H n }laTe HeIIo;zyp;apHe Wf>KH· )J;OKa)f(H p;a cKyn

CBKX TaqaKa P TaKBKX p;a je PA : PB= m : n rrpep;cTaBJba Kp)')KJUt~y.

- r-,/ .-.CUlBO AKO cy c J1 D Ta'!Ke rrpaBe AB

Tall:Ke C H D Aene AY)I( AB y AaToj

pa3MepH m : n, npH 'ieMy jeAHa OA

lbHX npHnaAa A)')KH AB (yttyTpawiba

noAena), a APYTa je BaH AY)l(H AB (cnoJbawlba noAena). Ka)l(e ce Aa

je nap Ta'iaKa A, B xapMOHHjcKH

cnpernyT ca napoM Ta'iaKa C, D H

nHwe ce H(A, B; C, D).

TaKBe p;a je AC : BC =AD: BD = m : n (BHp;H rrpeTXop;HH 3ap;aTaK), oHp;a je CKyn CBHX

raqaKa P TaKBH:X p;a je PA : PB= m : n Kp)')KH~a Hap; rrpe'IHHKOM CD. IloTpe8Ho je

p;OKa3aTH p;a;

cBaKa Ta'IKa Kaj a 3ap;oBOJbaBa jep;HaKOCT PA: PB= m: n rrp11rrap;a rroMeHyToj

Kp~ (KoHcTp}'HIIlH Kp03 B rrpaBe BM H BN TaKBe p;a je BM 11 PD H

B II PC, IIpH qeM)' M H N rrpHIIap;ajy rrpaBoj AP), ~ CBaKa Ta'lKa OBe Kp)')KH~e 3ap;OBOJbaBa Tp(l)KeHy jep;HaKOCT (KOHCTp)'HllIH Kp03

B rrpaBy rrapanemI)' ca AP 11 03Ha'IH ca M H N rrpeceKe oBe rrpaBe ca p;pKHMa PC HPD).

A

1 ~- K0Hcrpym1rn Tpoyrao ABC axo je p;aTo c Hy TaKO p;a pa3Mepa CTpattm~a a H b 8yp;e

jep;HaKa pa3MepH p;aTKX Wf>KH m H n.

XoMoTeTHja

12 )J;aT j e Tpoyrao ABC. KoHcTp)'HIIIH cJIHKe oBor Tpoyr11a c11ep;eh11M xoMoTeTHjaMa:

: 1 '}{ , _2

; 2) '}{B,.!_; 3 '}{T _.!_; ,.. 2 ' 2

rrpu 'le~ty j e T Te)l(HIIITe Tpoyr11a ABC.

13

0

..............-,. ,,

13 Ha CJU11J;J1 je rrpwKa3aH je,n;HOCTaBaH MHCTp)'MeHT 3a qpT<Ube XOMOTeTWIHJfX

qmrypa. qeTwpw ,n;arnqwqe cy rrpwqBprnneHe TaKO ,n;a 08pa3yjy pa3JIWnfTe napanenorpa.Me ca MCTMM cTpaHMqaMa. (IIpoMeHoM yrna M3MeQy je,n;Hor rrapa cycep;HMX AaIIl'Il1Qa Melhajy ce yrnoBM M3MeQy 8wno Koje Apyre ,n;Be cycep;He p;alll'Il1qe, aJU1 crpaH~e rrapanenorpaMa Kojw oHe 08pa3yjy ocTajy wcre.)

____________ ..... ________ ...... ___ _

0 A A' 0 A A'

1) AKo cy ,n;aTe TaqKe 0, A M A1, a TaqKe A' MA; cy KOHcrpywcatte Kao Ha CJIJ1QJt,

OA' OA' ,n;OK(l)l(M ,n;a je--=--1 •

OA OAI 2) O,n;pe,n;M KoeqmqwjeHT XOMOTeTMje 3a Kojy je rro,n;eIIIeH MHCTp}'MeHT ca CJHfKe.

1 ~ ,ll;aT je je,n;HaKocrpaHwqaH Tpoyrao ABC w y lberoBoj yttyTparnlhOCTM Ta'!Ka P. ,ll;oKa)l(M ,n;a TaqKe CMMeTpwqHe TaqKM P y o,n;Hocy Ha cpe,n;wrnTa cTpaHwqa ,n;aTor

Tpoyrna 08pa3yjy je,n;HaKocrpaHwqaH Tpoyrao.

15. Y yttyTparnlhOCTM KOHBeKcHor yrna aSb ,n;aTa je TaqKa P. KoHcrpywrnw Kp~wqy Kaja ,n;o,n;wpyje KpaKe ,n;aTOr yrna w ca,n;p)l(M ,n;aTy Ta'IKY P.

16. KoHcTpywrnw Tpoyrao ABC, aKo je ,n;aTO:

1) a, ~' t,; 2) a, ~, h,.

CTaBOBH c1uf11HocTH TpoyrJioBa

17. Ha CJIMQM ,n;erno cy rrpwKa3aHa ,n;Ba Tpoyrna ABC M PQR.

Koje o,n; cne,n;ehwx je,n;HaKOCTM cy TaqHe?

l) AC =PQ; AB PR

1) AC= QP; AB QR

2) AC = RP; 3 AC = RQ; AB RQ AB RP

5 BC _ PR .

6 BC _ PQ.

BA - PQ' BA - PR' CA PQ --=--CB PR

E

p c

B Q

18 HeKa cy a, ~ w y yrnoBM Tpoyrna ABC qwje cy cTpaHwqe 7cm, 3cm w Scm. AKo je PQR Tpoyrao TaKaB ,n;a je jPQI = 9cm, <r.RPQ =a, <r.PQR = ~, o,n;pe,n;w ,n;y)l(MHY cTpaHwqe RP.

c Q 9

~~p A 7 B 'Y .

R

341

Q ,Tm

c

A B

E

8 12

A

19. 11paBe a H b ceicy ce y Ta'IKH 0. Ha rrpaBoj a K3ac5patte cy TaqKe A1 K A

2 TaKBe p;a je

A1 -O-A

2, lOA

1j =3cm K jOA

21 =4cm. Ha rrpaBoj b K3ac5patte cyTaqKe B

1 K B

2 TaKBe

na je B" -0-B~, jOB1I =7,Scm K jOB2j = lOcm.

~ ,L.(OK.a)l(Jf p;a cy CIDf'llill TpoymoBK OA1B

1 K OA

2B

2•

2) IJ;a ID! je nOAIB2 - LiOA2Bl?

20. ,ll.a mi je TPOyrao <JJfje cy CTPamu~e 3cm, 4cm K 6cm CJUPiaH Tpoyrny qJ-fje cy CTPaHJru;e 4,8cm, 3,6cm 11 7,2cm?

OcSu:M je.n;naKoKpaKor Tpoyrna je SOcm, a lberos KpaK je 3a 4cm p;y)KH op; ocHOBHn;e. 3a KOIDfKO je J:ip1m KpaK Tpoyrna KOjH je CJIWlaH OBOM Tpoyrny H q11j11 je oforn 60cm?

22. AKo ,n;Ba je.n;HaKOKpaKa Tpoyrna HMajy je,n;ttaKe yrnose rrpH Bpxy, p;OKa)KH p;a cy Ta ,n;Ba TPoyrna Cffii'Illa.

23. Yrao rrpH Bpxy C je.n;naKoKpaKor Tpoyrna ABC je 36°. CHMeTpana yrna ABC ceqe KpaK AC y Ta'Ilrn D. )J.oKa)KH p;a je WAB - LiABC.

24 Ha rnm:i::11 neso je rrp•1Ka3aH Tpoyrao ABC. KoHcTpYff1IIJ1 Tpoyrao CJIHqaH p;aTOM TaKO p;a l:beros ocSHM cSy.n;e 1 Ocm.

25 AKo cy AA' H BB' BHCHHe mmpoyrnor Tpoyrna ABC, p;OKa)KH p;a je LiABC - M 'B'C.

H A A DC A A , 'C ' . AB AC CD D 26. eKa cy Ll.L"1.D 11 L.lr1 B 1wa Tpoyrna TaKBa p;a Je --=--=-- npH qeMy cy A'B' A'C' C'D'

HD' cpep;'KIIITa.n;y)KH AB H A 'B'. ,IJ;oKa)KH .n;aje MBC- M'B'C'.

::-. Y yttyTpaml:bOCTH Tpoyrna ABC p;aTe cy TaqKe P, Q HR Kao IIITO je rrpHKa3aHo Ha c~H neso. Ha ocHoBy p;ana nop;aTaKa o.n;pep;H p;y)KHHe )l;y)KH PQ H PR.

28, 11onyrrpe'IID1K Kp}')KHKD;e oIDfcatte oKo Tpoyrna ABC je R. AKo je a= BC, b =CA, h, =CC', rrpu qeMY je CC' BHCHHa H3 C, p;OKa)KH p;a je ab =2Rh,. Ha 'oMeHa. Taq}ie cy H je,n;HaKOCTH be= 2Rh a H ca= 2Rhb.

CJtMeTPana yrna CAB Tpoyrna ABC ceqe CTpaHHD;y BC y TaqKJ-1 D. Ilpasa Koja Ca;J;p)KH DK rrapaneJIHa je ca AC ceqe CTpamuzy AB y E. ITpaBa Koja cap;p)KH E H napaneJIHa je ca BC ceqe AC y F. ,lJ;OKa)KH p;a je EA ~PC.

•2

. HeKa je CC' BHCHHa Koja op;roBapa XHIIOTeHy3H AB npasoyrnor Tpoyrna ABC. Qm>eAJt CTPaHHI\e oBor Tpoyrna aKO je: ~ ICC'I =60cm, jAC1=144cm; 2 lAC1 =9cm, IBC1 =16cm.

31. XHrroTeHy3a je,n;Hor rrpaBoyrnor Tpoyrna je 15cm 11 je,n;Ha lheroBa KaTeTa je 9cm.

X11rroTeHy3a ,n;pyror rrpaBoyrnor Tpoyrna je Scm 11 je,n;Ha lberoBa KaTeTa je 4cm. ,lJ;oKa)l(J1 ,n;a OBJ1 rrpaBoyrJIH TpoyrJIOBJ1 J.1Majy J1CTe OIIITpe yr110Be.

32. ,lJ;aTe cy ,n;y)l(H a 11 g, rrp11 qeMY je a ~ g. KoHcTpYJ.11IIJ.1 ,ll;y)l(J.1x11 y TaKO ,n;a a 5y,n;e

H>HXOBa apHTMeTH'IKa cpe,n;11Ha, a g reoMeTp11jcKa.

33. Y cpe,n;HIIITY C' XHIIOTetty3e AB rrpaBoyr11or Tpoyrna ABC KOHCTPYJ.1CaHa je

HopMana Ha XHIIOTeHY3Y Koja ,n;y)l(J.1 KpaK ceqe y Ta'IKH D. AKo je IABI = 8cm 11

IC'DI =3cm, o,n;pe,n;11 ,n;~11He KaTeTa MBC.

3 4. ,lJ;oKa)l(J1 ,n;a je o,n; ,n;Be TeTHBe Kpy)l(Hmi;e Bena oHa Koja je bJIJ1)1(a IJ;eHTPY·

35. ,lJ;aTe cy ,n;Be ,n;y)l(11a11 b, rrp11 qeMY je a> b. KoHCTPYJ.1IIIl1 ,ll;)')IG1 ../a2 + b2 H ../a2 - b2.

36. ,lJ;arn je ,n;y)I( a. KoHCTPYl11Ill1 ,ll;y)l(J.1 Via, {Ja, ../5a.

37 HeKa je D rrpeceK XMrroTetty3e AB 11 cHMeTpane rrpaBor yrna y TeMetty C rrpaBoyr11or

Tpoyrna ABC 11 HeKa cy E 11 F rro,n;Ho)l(ja HopMaJia 113 D Ha KaTeTe CA 11 CB. ,lJ;oKa)l(H

,n;a je 'ieTBopoyrao CEDF KBa,n;paT 11 o,n;pe,ll;l1 CTpaHmzy rnr KBa,n;parn y 3aBJ1CHOCTJ1

o,n; KaTeTa CB= a 11 CA= b.

38. Y Ta'IKH T KPY)l(HJ1IJ;e k( 0, r) KOHCTPYJ.1CaHa je TaHreHTa t. AKo cy a 11 b forno Koje

,n;Be rrapanenHe TaHreHTe Ha k( 0, r) Koje ceKy t y Ta'IKaMa A 11 B, ,n;oKIDKM ,n;a je

TA· TB=r.

39. HeKa je c Haj,n;y)l(a CTpaHHIJ;a MBC. 1) AKo je MBC OIIITpoyrn11, ,n;oKa)l(J1 ,n;a je c2 < a2 + b2

•

2) AKo je MBC Tyrroyr1111, ,n;oKa)l(J.1 ,n;a je c2 > a2 + b2•

40. HeKa cy a, b J1 c ,n;y)l(11He CTpaHHIJ;a BC, CA J1 AB Tpoyr11a ABC, a ta, tb J1 tc ,n;pKHHe

Te)l(HIIIHHX ,n;y)l(H AA', BB' J1 CC'. ,il;OKa)l(J.1,ll;a je ta=_!_ ../2b2 + 2c2 - a2, 1 1 2

t =- ../2c2 + 2a2 - b2

, t =- ../2a2 + 2b2 - c2.

b 2 c 2

41. Y paBHH rrpaBoyraoHHKa ABCD ,n;arn je Ta'IKa M. ,lJ;oKa)l(J.1 ,n;a je

MA2 + MC2 =MB2 + MD2. YuyiUcUIBo. Ilp11MeH11 rrpeTxo,n;H11 3a,n;arnK.

42. J13pa311 ,n;y)l(HHe CTpaHHIJ;a Tpoyrna ABC y 3aBHCHOCTJ1 o,n; ,n;y)l(HHa H>eHmc Te)l(J11IIHJ.1X JIJ1HJ1ja.

43. ,lJ;oKa)l(J1 ,n;a je Tpoyrao ABC rrpaBoyrJ1J1 (ca XJ1IIOTeH)'30M c) aKKO je t a2 + tb2 =5tc2

•

IIp11MeHe CTaBoBa CJIJf11HOCTK Ha Kpyr

44. AKo je H opToIJ;eHrnp Tpoyrna ABC, a A ', B' 11 C' rro,n;Ho)l{_ja BHCHHa m TeMeHa A, B H

C, ,n;oKa)l(J1 ,n;aje HA· HA '=HB · HB'=HC· HC'.

E

B

B 343

c

IlTo;i:oxejeBa TeopeYa

45. KoHcrpyunrn Kp}')KIDll{Y k Koja cap;p)l(H ABe pa3JIWIJ1Te p;aTe TaqKe A 11 B 11

,qoroq>}ie ;i;ary npa.By t. Yiiyfic•"""s n Pa.31IHK)'j Cil)"IajeBe Kap;a je AB 11 t l1 Kap;a ce rrpaBe AB l1 t ceKy.

46. llaTe cy rrpaBe c H t Jt Ta'IKa A. KottCTpyru:rrn: Kp)')KH:mzy k Koja cap;p)l(M TaqKy A 11

;:i:owq>yje ;:i:ary npa.By t TaKO JJ;a IDeH QeHTap rrp1map;a p;arnj rrpaBoj c.

41. AKo je P Ta.'IKa Koja rrp•maJJ;a CIIOJbaIIITuOCTl1 Kp)')KHHQe k(O,r), p;oKa>Kl1 p;a je

IIOTem:otja OBe Ta'IKe y O].\HOCY Ha )l;aTy Kp)')KH~Y jep;HaKa P02 -r2.

-L. }lam je ,qyx AB. )J,oKa>KH p;a je AZ: ZB =AB : AZ, aKO je z Ta'IKa /zy)Kl1 AB KOHCrp~caHa Ha GIHI{H o;ecHo.

HaiiG ena: ilo_n:eJ·ia ,I\}')KJf TaKBa p;a je OAHOC

Beher rrpe~m MaIDeM JJ;elT'f jeAHaK op;Hocy QeJie

~ rrpeMa BeneM µ,elT'/ Ha.3Irna ce nop;ena no

3Jiarnm.1 npeceicy.

49. Yrao npH Bpxy C jep;HaKOKpaKOr rpoyrna ABC je 36°. C11MeTpana yrna ABC ceqe

KpaK AC y Ta'IKH D. }J,oKa>KH µ,a Ta'IKa D µ,en11 KpaK AC rro 3JiaTHOM rrpeceKy, rrp11

qe~ry je A}1)IQ{ op;ceqaK rrop;yp;apaH OCHOBl1Ql1.

50. Y ~aTy Kp~ k( 0, R) yrrHIIH1 rrpaBHJiaH:

I) p;ecernyrao; 2 rrernyrao.

::>- ,IJ;oKa>KH p;a je rrpoH3Bop; p;11jarottana TeTHBHor qeTBopoyrna jep;HaK 3811py

rrpoH3Boµ,a ttacrrpaMHl1X cTpatt11Qa. ()J,pyrHM peqJ1Ma, aKo je ABCD TeTHBHH

qeTBopoyrao, ottp;a je AC· BD =AB· CD+ BC· DA.) : ···;-:ac•U.Bo. YoqJi Ta'IKJ E Ha p;11jarottaJIH AC Ta.Ko p;a je <r.ADE = <r.BDC. )J,0Ka)l(11

3arn.M p;a je MDE - MDC H t::.CDE - tiBDA.

T1 T