,tWIC{1 77 t,-- '\\ " '-' v ' - ,,-- r",1

Adem Huskic

i ;

')

C /; ", ('(,' ',I (," /(

MATEMATIKA za (irugi razred gimnazije i drugih srednjih skala

!

r\ \J\

i

IP "SVJETLOSl1", d.d. ZAVOD ZA UDZBENIKE I NASTAVNA SREDSTVA

SARAJEVO, 2003.

, tfIIii'-

\ I 1 It g , ,

/1 ! ! i I I

Vi

/

o L'I I

! I

J

Izdavac:

Direktor:

Za izdava6a:

IP "SVJETLOST" d.d. Zavod za udibenike i nastavna sredstva Sarajevo

Sefik ZUPCEVIC

Abduselam RUSTEMPMac

Ured.nik: j\nte Barrie

Recenzenti: Prof. Dr. Scfket ARSLANAGIC; Sarajevo Nura HLJSKIC, Sarajevo Vesna PAVlC'::, Tuzla

L~ictor: Zulejha TERZIC

Korektm: Autar

Tehnicki urednik: Vanda BABOVIC

Naslovna strana: Mira GOCHC

DTP; Autor

Stampa: C.P.A. Tojsici

Tiraz: 1.000 primjeraka

elP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Basne i Hercegovine, Sarajevo

51(075.3)

Huskic, Adem Matematika za 2. razred gimnazije 1 drugih srednjih skala! Adem Huski6. - Sarajevo: Svjetlost, 2003-. - 356 str. : graf. prikazi ; 24. em

ISBN 9958'10-5.82-9

COBISS.BH-lD.12079878

ISBN 9958-10-582-9

Federalno Ministarstvo obrazovanja, nauke, kulture i -sport~,'-ti,tosnovu- odobrenja Vijeca za odabir udzbenika od 12.03 .200 1. godine, RjdenJem broj'UP..:1-01c38-9-2517 III Qdbbrilo je ovaj udzbenik za upotrebu. .

Strogo je zabranjeno svako kopiranje,._ u~n'~zav[mj~e i p-reStampav~nje.ovog-prirucnika u cjelini ili pojedinih njegovih diJelova, bez odobrenJa"lzgilvaca. . .

. "'ifiP ...

I

PREDGOVOR

Udzbcnik je pisan prema Nasta\'IlOm planu i programu za drugi razred gimnazije i tehnickih skola. Njime su obuhvaccne sve oblasti prcdvidcne Nastavnim programom U obimu koji je odreden nastavnim planol11. Nije ispustena nijedna ob!ast, nijedna tema, a u cilju potpunijeg uvida u tematsku gradu u pojedinom icmama uvedena su neznatna prosirenja koja nisu eksplicitno navedena u Programu predmeta.

Sire oblasti navedene u Programu, u udzbcniku su podijeUene na manje tematskc cjeIine koje se mogu obraditi na jednom iIi dva nastavna sata.

Svaka takva cjelina je obradena tako da se mogu uociti cetiri odvojena dijela ito:

1. Teorijska obrada materije uz odgovarajuce ilustracijc i komentare, 2. Pailjivo odabrani i rijeseni prakticni primjcri (zadaci). 3. Na poseban nacln formulirana pitanja za ponavljanje i 4. Zadaci za vjezbu i utvrdivanje (sa ljesenjima, uputama iii rezultatima na

kraju knjige). DijeJovi se prekIapaju i dopllnjuju s teznjom da ponavljanje i utvrdivanje dopuni i osvjezi u teoretskom dijelu datu materiju. Cesto se informacija koja nijc ekspIicitno data u teorijskom dijelu, prezentira nenametljivo kroz primjcr(e), iIi podesno f'ormulirano pitanje iii kroz zadat?-k za vjezbu. Svi navcdcni dijelovi posmatrani zajcdno zaokruzuju tcmu j obuh-vatajll je u potpunosti.

Sve cksplicitno navedene definicije i teoreme su napisane na poseban nacin (podebljano, ukoseno i 81.). To je uradeno i sa terminima koji su vczani za istaknute pojmove prilikom prvog pojavljivartia. NajvaZnije forrnule, definicije, teoreme su pored navedenog stavljene i II posebne okvire kako bi i vizuelno privukle painju ucenika.

U dijelovima tematskih cjclina koji su ovdje nazvani "'odabrani zadaci i praktiCni primjeri" u Udzbeniku jc navcdcno oko 240 detaljno uradcnih zadataka koji ilusiriraju pray i!a, teoreme, osobine pojedinih pojmova i s1..

U Udzbenikuje preko 120 gratickih iIustracija (crteza, skica, slika) kojima se zorno prcdocavaju pojcdini pojmovi i njihovi uzajamni odnosi. To se posebno odnosi na poglavlje u kome se obraduje homotetija i slicnost. Graficke ilustracije su ubacivane tamo gdje je njihova didrikticka vrijednost nezamjenljiva i u tome se nije pre1jcrivalo. Slike u knjizi su posebno oznaccnc. Njihova.oznaka ukazuje na poglavlje i redni brqj slike u -njemu. Potpisi ispod stika (clteia), skoro uvijck, daju posebnu poruku kojom sc dopunjuje tekst koji prcthodi cliezu (iii se naIazi iza njega).

3

Na mjestima u Udzbeniku gdje su informacije, podaci, veze izmedu podataka i slieno, mogle da se predstave u tabelarnolll obliku, to je i uradeno tako da je 8 tabela sastavni dio Udzbenika.

U dijelovima koji slijede iza svake tematske oblasti pod nazlvom "Zadaci za vjezbu (i utvrdivanje)", u Udzbeniku je navedeno preko 1300 zadataka s ciljem da se ucenicima omoguei utvrdivanje gradiva izradom zadataka i bez posebnih zbirki zadataka, a profesorima matematike omoguci izbor dodatnih zadataka za vjezbu u skoli, kao j odabir 7...adataka koje ueenici mogu j trebaju rjesavati,u dlju uvjezbavanja i provjeravanja stepena usvojenosti grad iva, samostalno kod kuee (domaea zadaea).

Na kraju Udzbenika naveden je spisak literature koja je,uz visegodlsnje iskustvo autora, kOrlstena prilikom izrade mkopisa 1 koja se preporucuje profesorima matematike i predavaeima, za daUu analizu i pripreme za nastavu za pojedine-teme, kao i za izbor tema za izradu maturskih radova ucenika.

Uz obradu iogaritama i trigonometrijskih funkcija uobicajeno je da se koriste posebne tablice ("logaritamske tab lice"). U udzbeniku je djelimicno ukazano kako se koriste te tab lice, ali je poseban naglasak dat na upotrebu malih dzepnih kalkulatora (cija je nabavka dostupna i llcenicima, a ne bi bila veHki izdatak l1i skolama) koji efikasno zamjenjuju navedene tab lice i sto je jos vainije, osavremenjuju i dizu na vist 111VO nastavni proces U odgovarajueim oblastima matematike.

Namjena Udzbenika je prvenstveno da bude sredstvo za realizaciju programa matematike za dr1.1gi razred gimnazije i tehniekih skola koje imaju i5ti program matematike kao i u gimnaziji. Udzbcnik je namijenjen ucenicima navedenih skola, a za profesore matematike i predavace je okvir u kome i oko koga ee se kretatl realizirajuCl program matematike u drugOtTl razredu.

Za realizaciju pojedillih oblasti, Udzbenik mogu koristiti profesori i napredniji ucenici drugih srednjih skola (preostale tehnicke skole, tehnicke i srodne skole, sirucna skola).

Na kraju izrazavarn veliku zahvalnost recenzentima koji su savjesno preglcd2.li rukopis i svojim sugestijama i konkretnim prijedlozima znatno doprinijeli podizanJu kvaliteta rukopisa.

Autor

4

1. S T E PEN I (POTENCIJE) I K 0 R I J E N I

1.1. Stcpcni (potencije) s prirodnim izlozioccm (cksponcntom)

Proizyodjedna\dh faktora 5·5·5, a·a·a·a, x·x·x·x·x, b·b·b·b, c·c materno krace pisati ovako:

Uopste,za rna koji rcalan bmj a j rna koji prirodan braj n (11)1), po dcfi11iciji,je

a·a· ... ·a '-----~j

iJ !ilklom

Ozna1<u all zovemo aAi stepen (iIi n-{a potcncija) broja a. Broj a sc 70ve baza (iii 05no\'3.) stepcna, a broj n zovemo izlozilac (iii eksponent) stcpena. Oznaku an chama "a na enti" iii "a na entu". 1,J prvom sluc.aju mislimo na stepeo, au drugom na poteoc-iju. Ako je izloziiac jednak brojll 1, tada je Xl = x.

M-nozcn,je stepenajednakih baza vrsi so na slijedeci nacin:

m n m+n 3 ·3 = a

Zaistaje

am·all = a·a· ... ·a . o·o· ... ·a 1= o·o· ... ·a =am~!\. (

, ( i

" faka"a J l "iakW") "' '" ("lw'O ~ ~ I '--~-..----------'

\T .. d·. 0"-0 1 n "'~1 ( )2.k ~ Ik ( )2k+1 _ 2.k+! rlJc I. -, -, ~a -a, -3 .. ~ -"a .

(1 )

St~Ijerjj jcdhaki'~ baza ilin~ie sc'tako sto se haza st<:peiluje',zbir~m'njihovjh .JI ,"cFspoitc~ata.

5

Primjer 1. Izracunati: 23.24,

x 3x 6x 3m 2n 4 a·a ·a , x 'x ·x

Rjesenjc:

Proizvod realnih brojcva stepc11ujemo sa n tako sto svaki faktor stepenujemo sa n.

Zaista je

(ab)"~ (ab)·(ab) ... (ab) ~a·a· ... ·a·b·b· ... ·b ~a"·b". n .fah-"c-a-'--~ ~'-J j~ ~

Dokazali smo da vrijcdi: (ab)"= anbn

Primjer 2: lzracunati (100·5)', 1252 82

Rjescnjc: (JOO·5!,~ 100353~ 1000000·125= 1250000.00,

1252 82 ~ (125·8)' = 10002 = lOOOO.oO.

(2 )

Kolicnik realnih brojeva stepcllujemo sa 11 taka stO steperiujemo sa n i brojnik i nazivnik. Zaista,

Dakle,

( 4 \3 rrimjer 3: lzracunati: ls j ., . (4" 4 3 64 (_·1\'

RJesenJe: i-I = ~ = -_._, l- I =-'-+c";;t-; \5) 5' 125 8)

Primjer 4: lzracunati , 4 )

145 '.1' . (=45

,),3 = (145

Rj~senjc: ~

6

a" bee

(3 )

I

f 1 I I 1

j t I

I 1

1 I w

j

1 II

I

Stepene jednakih baza dijelimo ovako:

afu: a11'= am 11 ( 4 )

l s. ~Cp'Cl1:~ jC.d .. naki.,·hbaz.a .. se ~ij.~le ta~u sto se baza :Stepcnui;~ razli~oDJ, ~iG'p._ OnC?,.!."', dJelJcnlka I ek'Sp()ne~ta dJelu~ca. - : '" ': ,

U relaciji (4) mora se voditi racuna 0 tome da baza ne bude nula i da prvi eksponent budc veCi od drugog. To je potrebno da hi se eliminisala pojava nule u djeliocu i pojava stepena koji jos nisu definisani.

Primjer 5: Izracunati: 2J 14 a :a ,

Stepen moi,cmo stepenovati. To radimo na slijedeCi nacin:

Zaista, vrijedi: (am)'l ~":o: ani . am ' ... am = alll+lII+ .. +111 = alllon '------,,-----'

n jok/ara

Primjcr 6. lzracunati: (43)" (a4

)' , (x')".

1.2. Stcpcni sa cijclim izloziocem (eksponcntom)

( 5 )

RacllnajuCi sa stepenima uocavamo da smo u relaciji (4) imali uslov daje m>n. Sta bi se dcsilo ako taj uslov nije ispunjen? Ako je m=n, tada bi se na desnoj strani jednakosti (4) pojavilo aD. Ova oznaka po obliku podsjeca na stepen, medutim, mi smo upoznali samo stepene sa prirodnim eksponentom. Ako hocemo da i aD zovemo stepen, moramo

o. odrediti znacenje tog stcpena. Morama ovaj stepen definisati.

7

i,

Kako je all: all =1, kao kolicnik dvajednaka broja, to uzimamo, po definiciji, daje

( 6)

Tako je, na primjer ,

4°= 1,2°= 1,7340 = 1, (-4997)°= 1, (234+11)"= 1, (78-345)°= 1,."

3ao=3, (5a)"=I, 7ao+2·30= 7+2 = 9, (_11)°+ 25·(-33)°= 1+25 = 26.

Sada relacija (4) vrijedi i u slucaju kadaje m = n. Nekaje m<n. Tada postoji prirodall broj k, takav daje m+k = n. Zato vrijedi:

111 raklm'Q ~

am a.a ..... a an a·o" ... ·o ~

/I filklora

m 1aklura ~

a·a· ... ·a

a·a· ... ·o '----v--~

k fiIkl(>ra

Primijenimo Ii reJacijll (4) dobijemo alll:all=a--k. Izraz a-k ima ob!ik stepena i rukovodeCi se zahtjevom'da pravila za stepene sa prirodnim izloziocem vrijede j za

stepene sa cijelim izloziocem, definisacemo vrijednost stepena a-k oa slijedeCi naCin:

-'k de! 1 .a =" "",d)

a

Primjer 1: 5-' = 1 3" 5' 3' 9 ' (+f =+=4'

(4Y'= (5)' ls') "4 = 25

16

Dakle, vrijedi ~ =~,te ( )"

,b a

8

b" an

4

( 7 )

125 8a'

I I

1 j

l

I I I I !

1.3. Opcracije sa stepenima jednakih osnova, odnosno jcdnakih izloziiaca.

Za operacije sa stepenima ciji su izlozioci cijeli brojcvi vrijede ista pravila kao za stepene sa prirodnim eksponentom:

Cab)" =a" ·b"

(~r -:: am'::an'.-::::;'a m

-n

, {aiOi. {am)'l :::::: a m -n

Primjcr 1: Napisati U obliku stepcna sa izioziocC111 x izraz

Rjesenjc:

Primjer 3: Uprostiti izraz:

3 \ ,-I

2)

I (2a'b "c -6)' l-3 . (2ab')' I--~-~I ---L 5b 4c-3 I' ab-4 •

125b"c 27

1 ( 8 )

9

r Zadaci za vjczbu i utvrdivanje

1.1. Izracunati vrijednost stepena: (_2)3,

! .2. Reduciraj izraz: a) 3a3

- 4a2 + 5a3 +7a2

1.3 .. Pomnoziti stepene: a) 43-42 4 '

1.4. Odredi kolicnike stepena: a) 4":45

b)

Izracunati vrijcdnost izraza:

(-3)' ,

12 9 a :a

c)

c)

!2 2 3 4 X ·X·X·X .

X23: X !2

0, I' ,

d) b1': b8

1.5,a) (2')' b) (43)'

(a')' b) c) (_3 2)' d) [(-5)']' ,

1,6,a) (x') , c) (b2)7 d) [(-a) 31 , ,

1.7. lzracunati vrijednost izraza x4·--2x2 + 17 za x = 1, x = -1, x = O. I .8. lzracunati vrijcdnost izraza 3y - 2y2z - 5yz~ + Z3 za y = -2, z = -].

1 .9. lzvrsi naznacene operacije: a) (a")3(a")2 b) (x")':(x')" c) (b3m)2(bS)'n,

LI 0, Izracun~: a) (a+2) b) (x-1)' c) (x + 2y)' d) (I-5x)' ,

11. Napisati U obliku stcpena sa izloziocem x : 12-' 4.(

a) 3'

Uprostiti date izraze:

( ')"' ')' \2~2: l :~l :~:

10

2"

7'6" c)

21 '

r-­I,'

I '1" ,~

1 1 ~ I l I !

1 I I l I I J 1

1.4. Korijeni

1.4.1. Po jam korijena. Aritmeticki korijen

Opcracija korjcnovanje poznata namje jz osnovnc skoJc. Da vidimo staje to korijen7 Kako bi odgovorili na pita!}.ie koliki je korijen iz 97 To je broj ciji je kvadrat jednak broju 9. Dakle, toje broj 3. Staje sa brojcm -3. Da lije i to korijen broja 97 Odgovor ostavimo za ncke ad naredni,h redova. Svaki puta kada se koristila rijec korijen u prethodnim redovima podrazulllijcvalo se da se radi 0 drugom iIi kvadratnom korijcnu. Medutim, korijen ne mora biti kvadratni.

Korijen se oznacava na slijcdcci nacin: Va , gdje se n zove eksponent iii izlozilac korijena, realan broj a se zove potkorjena velicina iii radikand, a cijeli izrazje korijell (i to n-ti korijen broja a). U slucaju kadaje eksponent korijena 2, tada se oznaka eksponcnta ne pise.

Primjeri: J36 = 6, jcr je 62 = 36 ,

V64 =4, jerje 4 3 = 64,

v=27 = -3, jcr jc (,3)3 = ,27,

V32 = 2 , jcr je 2' = 32 .

_Mi cemo se ograniciti na korijenc kod k(?/ih su potkOljena veliCina i vrijednost korijena nenegativni brojevi. OvaA"vi korijeni se zovu aritmeticki.

Dcfinicija korijcna:

I N-ti aritmcticki korijen iz ne~~-g~tivnog broja a je nenegativan broj b ciji je I n-ti stepcn jcdnak broju a, tj.:

L-.,, __ ~r~_~_1 a~=~b -"--.9-,' _l~)n_=~~~'_~_O,_b_'~_O)_j_. __ _

Sada mozemo reCi daje drugi (kvadratni) korijen iz broja 9 samo 3 Gcr druga vrijcdnost ne zadovoljaya uslovc navedene za aritmcticki koi-ijen).

Neposredno iz navedcne definicije korijena slijedc relacij~:

Cl;;)" =a, (;;;>0) 'U =a, (0;>0). (*)

11

,

r··

c:'

I kao i "JO = 0, "J! = 1, v-;; = a .

. ..." I I {a, a 2: 0 DalJc, vnJcdl -va- = QI = i opcenito "I; r a, a::::O -Va =Ial=j ,akoje n

--a,a<O l-a,a<O

paran broj i ia" a, ako je n neparan broj.

104.2. Pravila korjenovanJa. Operacije s korijenima

Koristeci se osobinama operacija sa stcpenima (1) - (5) navedcnim u poglavlju 1. j. reiacijama (*), dokazuju se pravila kOljenovanja.

1.4.2.1. Pro.~irivanje i skraCivanje korijcna

Korijen se maze prosiriti. Ako se eksponcnt Imrijena i eksponent potkorjcnc velicine pomnoze istirn brojcm (razIiCitim od nulc)~ kazc se rla je korijcn prosiren tim brojem. Evo neko!iko korijena koji su prosircni sa ocigm'arajucim brojem:

3 "52 3~5H )"Jw k -.. v' 4 v = = v) ~, orlJen JC proslren sa .

r"J" 10(-15 "\; x = -V x , korijen je prosiren sa 5.

Ako gornje jcdnakosti citamo sa desna u lijevo, onda kazemo da je korijen skracen sa odgovarajucirn brojcm.

Daidc, vrijedi: n J-;;;; _ "/~( P ,II .--- P ( > 0) "a --\ a } -a, a_ .

LI Skr-~titt-Iwrijen ~~aCi po~ijeHti -eksponent k~;·ijeila i d{sponent podwr. ,jel1c ~dicine sa istim brojem (razliCitim (ld 0). ._~. ______ ~ __ ~_

U opcem siucaju vrijedi:

. [·ra~"0

=>

Prilikom racunanja sa korijenima rezultate operacija cemo uvljek ostavljati u takvom obtiku koji se ne !11ogu dalje skraclvati.

12

I I I , , I

I t 1 1

I I j ! I j

j , 1

1 I I

1.4.2.2. Korijell proizvoda. Mnoieflje korijena

~orijen proizyot1a dva n~negatiyita bro,ia jcdnal{ je proizYodu korijena tih brojeva: . .

.·[VA:B:0A.0B\

Tako je, na primjer: ;;64 ·125 =;;64. ms = 4·5 = 20.

~81256 ='V81 4 fi56 =34=12.

("JA·~r =("JA)" (~r =AB]

(~r =A·B J Dokaz:

=> ("JA~r =(~AB r => "JA:B ='VA.~.

Posmatramo Ii gornju jednakost sa desna u lijevo uOClcemo pravilo mnozcnja korijena jednakih izlozilaca:

Proizvod korijcna jcpnalri"tt 'izlozilaca je korijen istng iziozioca c-jj~ je potlwrjena velicina jednaka proizvodu potkor.ienih velicina: faktora.

Kada treba pomnoziti korijene koji nemajujcdnake eksponente, tada se prosirivanjem korijena oni dovode na zajednicki eksponent i onda mnoze. Kako se to radi pokazimo na primjerima:

Primjer 1: Pomnoziti korijene

a) .fi. J8 b) vg.'j3 3/: f3 c) -va'va

13

Rjesenje: a) J2·Js ~ 128 ~ JiG ~4 b) V9 . Vi = Z!9-~'3 = 2./27 = 3

c) ~r;;·H =V-:Z2.~Q =~laZ·a9 =V;;~ =

Posmalrajmo slijedeCi postupak racunanja sa korijenima: =r.-~~ c:

a) ,,12='v'4·3 =·,j4·-.j3 =2,;3

b) '[;7 =~rxr, ·X ='Jx(, ·~r;=x2 ~r; ,,) '~lal!)Jb2".j --"!~b:'i )b-"~b2U ul};b_ b 2 'Vc,>b ..... \I _··va a -va ·....;a'b-a

()!5 =0 -va .

U svakom od navedenih primjera korijen nije potpuno izracunat ali se moze reci da je izraCLlnat njegov dio. U rezu!tatLl svakog navedcnog primjera izracunati dio nalazi se ispred novog korijena lao faktor. Novi korijcn .Ie jednostavnij i od polaznog. Na ovaj nacin se vrsi pojednostav!jivanje izraza, a ova transforll1acija korijena se cesto koristi kao priprcma za neku drugu (na primjer, skracivanje izraza). Navedenu transforma;.;iju nrtzivamo djelimicno (pal'cijalno) korjenovanje.

Obrnuta transfOrm[lcija ad navedenc jeste ta kada se faktor ispred korijena unosi pod korijcn. Kako se to radi uocilllo analizirajuc':i slijedece primjere:

a) 5.J3 = .JS2.J3 = ,,)5' 3 = ...}75 b) 2V5 = V2ivs = ~ = V40 c) 2a" Va~~' = t/(2a 3 )4~2 x = ~116(~··7~':i; = ;/1-6-a-;-;l2-ac;,~x = V16a l4 x .

104.2.3. Korijcn kolicnika. Dijeljenje korijena

Dokaz:

14

Za aritmcticki korijen vrijedi:

~('VA r ('VBr =A:B \ ) \ I

( V' ,'VA:B)' =A:B \ .

=>

Otuda zakljucujcmo da je korijen kolicnika jednak kolicniku korijena brojnika i nazivnika tog razlo111ka. i obrnuto, kolicnik dva korijena jednakih eksponenata je korijcn istog eksponcnta eija je potkorjena vc!icina jednaka kolicniku potkOljenih ve!icina datih korijena.

r-:-:: r~·

~~155 ~ \/iI55

-.13 Primjcr 2: a) J " - ,

3 ~ sr;;- 31g :?4~( 5· 3 24~!5 24rs=:5 24("-=7 c) .. .,/a:....;a- ="';a~: -.,jl.,a)· = va:a = -vau.~ = lia

1.4.2.4. Slepenovallje i korjenovanje korijena

Korijen se moze i stepenovati. Korijcll se stepenujc tako sto sc stepenujc samo potkorjena veliCina. Dakle, vrijedi

r-(ifi·)·.· 1:-~-~ A m-l L_~____ _ __ J

Dokaz k~r,;)"'l' [(:j;.),,]m ~am} => [('1;;)"']" ~(:j;)" ("r;-) n __ n! \a ·--0

~> ("r::)n! _ fir;;; 'Va -va"'.

Primjer 3: a) (f5)3 ~ Is] ~.J525 ~ 5 f5 3 r:z:. ') 3 ~ 3 1'42 3 ,.-:;

b) (va xt ~v(a x) =va'x ~avax-

c) (-2aifa'b-2)' ~(-2a)'V(~2b-2/ 4a2'Ja4b-4 =

4 2 b-13~b'l 4 3b- 1 3~b-1 = a a ....;ab· = a . ;Jab' .

Ako su min prirodni brojevi i a~O, tada vrijedi:

15

r Gornjajednakost pokazuje da se korijen korjenuje tako 5tO se pomnoze eskponenti korijcna, a potkorjena velicina prepise. Dokaz ove relacije je anaJogan dokazu pravila za stcpenovanje korijena. Uvjczbajrno ovu operaciju na slijedccim primjerima:

a) [J2 ~1j2 b) VJ5 ='15 c) ~~m =% Kako postupiti kada korijen nije "jedan do drugog"? U tom slucaju koristimo so ranije poznatom operacijom "uvlacenje" faktora ispred korijena pod korijen i nastavljamo kako je naprijed navedeno. Ovo je pokazano oa slijedecim primjerima:

d) ]aJ;; = 17;; a = Va' 5 t;r:f-"-i,- 5 r~~F(':"'3)6 5 30 f!85 30 rn

e) va~ ·va =Ij\j a -a = va -a = va"'" .

1.4.3. Racionalisanje nazivllika (imenioca)

Posmatrajmo slijedece razlornke:

4 ../3 4 11 3' 2 ' ../3' ../3-1'

Prva tri razlomka lmaju u nazivniku raclonalne brojeve, a svi ostali navedeni razlomci imaju iracionalne nazivnike. PriJikom racunanja sa razlomcima, razlomke testo treba dovesti na zajedni;3ki nazivnik, a to je mnogo jednostavnije kada su im nazivnici racionalni. Zato se namece potrcba transformacije razlomka sa iracionalnim nazivnikom u jednak razlomak kod koga je nazlvnik racionaJan. Ova operacija se naziva racionalisanje naz1vnika. Slljedeci primjerl pokazuju kako se prakticno vrsi racionalisanje ne1dh nazlvnika:

fl5 3

r 5(-,/3-1)

(../3 + J)(J3-1)

d)

fi fi J7 +2 fiU] +2) fi(J7 +2) fi(J7 +2) fi(J7 +2) J7 -2 ~77 -2 J7 +2 ~ (J7 -2)(J7 +2) (J71' _22 7-4 3

3 3 (l+-fi)+J3 3(l+fi+J3) _3(1+-fi+J3L e) 1-,/3 +fi (1+12)-;;' (l +fi)+J3 ~ (J+-fi)' _(J3)2 -1+1fi +2-3

16

3(1 + fi + J3) fi lJ2 . fi

3(1 + fi + J3)J'2 2fi.fi

3fi (1 + fi + J3) 4

'-fi - 1 '-fi - 1

h) '.i4 + '-fi + 2 'J4 + '-fi + 2 . '-fi -I - ('J4 + '-fi ~:-1-+-1-)(,"';=2 ---I)

fl-1 fl-J fl-1 fl-1 V4 2-V4 (V4+'J2+1)(fl-1)+(V2-1) ~ (fl)'-::"ii'+'J"i-i 2-1+V2-1 flV4~~

Vidimo da se racionalisanje nazivnika postize prosmvanjem razlomka podesno odabranim izrazom s ciJjem da se u nazivniku pojavi kvadratni korijen iz kvadrata, tree] korijen 1z treceg stepena i slicno. U navedenim primjerima predstavljeni su samo neki tipicni slucajevi racionalisanja nazivnika. Kao 5tO se vrsi racionalisanje nazivnika, na anaJogan naCin, se moze racionalisatl brojnik razlomka.

1.4.4. Dva posebna zadalka

Primjer 1: Dokazatijednakost:

~8+2Fo+l.Js +~8-2~lO+2.Js ~fi(J5+1).

= x.

'facia vrijedi

( ~8 + 2Ji 0 + 2J5 + ~ 0;-2JS)' ~ x', odak!e se, da1je, dobijc:

8+2JlIJ+2.Js +2~8+2J10+2J5.)8-zJlo+2is +8-1JIO+Z.Js ~ x2

17

f(:-- r;: 1 2

"" 16+2y(8+2Jl0+2"5 }(S-2Jl0+2J5) =X

"" 16+2~82_(2JIO+2J5r =X' ""

16+2-!64-40--SJ5 = "" 16 + 2.[24--8J5 =x2

""

16+4~6-2J5 -X' => 16+4kJ5 -I)' =x' => 16+4(,/5 -1)=x2

12+4J5=x' "" 2(,/5+1)2=X' => x=12(,/5+1). Qvim jc jednakost dokazana.

Rjcscnje: Prvi raz!omak maze se transformirati na sIiede6i naCin: ,.--

(/'--.Ja .Ja(a'/-;;-I) .Ja(a.Ja-I) a+l-,/a .Ja(a/i-I)(a+I-,Ja)_ a -1- -,./a '1~'1 ~'" --;;',:;-'j;; +-1- a + 1 + ~/;; ... ~ + 1- --..;r; (a + 1 + Ja )(a + 1 - \lr;;-)

.Ja .Ja + a:1:+~'_-: -I +/;; = FaJ~2 (.Ja -I~;:~: -1)+(.Ja ~

.Ja(.Ja-I)(a' +a+l) _ '( ~_I)-__ Ina = -.. ------ - -,Ja -va a \I .

a 2 +a+1 .. I I

j 1

Koriste6i rezuitate gornjih transformacija, sada se maze pisati:

2 r 2,--1 I r: I a --..;a -~--=--~+a+l=a-;/a-(a+"Va)+a+ =

a+Fa+1 a-.Ja+l

1

= a ,"-Fa -a, Fa +a+ 1=a-2Fa +1=(-'/;; _1)2.

Ovimje jednakost dokazana.

18

Pitanja za pouavljanje:

l. Kako se definile n-·ti korijen nenegatil'J'log braja a? 2. Sta je aritmcticki korijen nenegativnog broja a? 3. Kako se korijen pro.firuje? 4. ~~ta :::naci skratiti korijen? 5. Kako se korijeni mnoze? 6. Objasni postupak dijeljenja korijena. 7. IHogu Ii se korijeni stepenovati? 8. Kako se racuna korijen korijena? 9. Sta znaCi racionalisati nQzivnik? 10. Objasni poslupak racionalisanja nekih nazivnika.

Zadaci za vjezbu i utvrdivanje

1.15. Izracunaj:

a) J16 b),jj2J c) 164 d) 'm c) ''11024

, aritmcticki korijen? .16. Za koju vrijcdnost od aje izraz .... fa ~ 3 17. Iznijcti faktor ispred korijena:

a) 175 b) M8 c) 180 d) M 18. Unijeti faktor pod korijcn:

a) 2JJb) 2'15 c) aV:;;; d) a 2 Fa e) (a+b).Ja-b

Izracunaj vrijednost datog izraza: 1.19.a) 3,/5 + sIS

c) 11.[i - 3 'fi + 4'fi - 817 1.20_a) J% + J150 - -1294

c) Jx 3yz - Jxyl; - Jxyzl

1.21.a) ,/5. /3 b) .ra;; . .r;; 1.22. Pomnoziti korijene

) C::2 'h2 b) "r:; 50 a .y"/·v vA- ·V);.

1.23. Koliko je:

a) (IS + 1)(4-IS) b)

1.24. Odrediti kvadrat datog izraza:

a) 2-/3 b) 4-312 1.25. Podije!i korijene:

c:: r: ~ 1-b) 4,;3-"2+,J3-5,;2

b) -1320 - 2'/40S + 3J125

d) ra+b+~

"r b) va ova ~R" c) ,JO,48:~3 Eo e) --

12 19

Izracunati vrijednost izraza:

1.26.a) 'J4:..fi b) ~2a3

c) 'H',{xYr d) ,la17b3c5.,!a8c5x

;/3a-;- x . xy:l/X 1J x'y' . V b'y'

1.27.a) ('./3)' b) ('Ja'b·3 )2 C) [~b)2r d) (x..Jx)' . (3..Jx)2

1.28. Karjenuj korijen: ~~

a) VVax 2 b) JX2 'ix3 c) [V;:-J: 1.29. Racionalisi nazivnik razlomka:

a) E. b) 3..fi c)..fi + 3 ..fi 13 .J5

5 2 d) -- e) ._-

.J5-4 1-13

1.30. * Racionalisati nazivnik:

5

V4 3

c) V2 -I 1

b) r::~ 1 + -r2 +.J3

a)

1 J 1.* Izracunati vrijednost izraza x+l x-I _. +. aka je

X+~X2+X X-..JX1_X'

1.32. Uprostiti izraz:

. a) ~5 + 2;6 .~2;6 c) ~2+J'J .2.}2-J'J

1.33. Transformisati izraz: ~ .J~2-

) x+vx'-I x- x -I (' I I) a +----', Ix> . x-~x2-1 x+)x2 -1

x-I x..Jx-1 r b)---+2vx, (x>O).

x+..Jx+l ..Jx+1

1.34. Odrediti brojnu vrijednast izraza (a+ I r' + (b+ 1 r' aka je

a=(2+13r' b=(2-.J3r'.

1.35. Uprostiti izraz:

(_xE + ~l_X.3. )-' l r- 'r

..Jl-x3 X-vX

20

7 d) 1_ if2 + .J2

1.36. Uprostiti izraze:

(a+rabJ '+(~Fb'I" ~ 2ab 2ab /

b)

Dokazati date jednakosti:

1.37.*a) <)20+1412 +V'2-0---1-4 ""C.j=2 =4

JabCa!.4. ~. ( ) r;- ,G,b.c > O. abc < 4

...;ahc - 2 b)

1.38*a)

b)

1.39. *a)

( \ ~--

.Jx-a x-a J IX b) 1,---- " .. + ~ :\-:;:-1 =1,(x>a>O) ,,-rx+a +-rx-a ~X' _a 2 -x+a a

Uprostiti date izraze:

1.40* 2 c·- r- 2 [- ,- -2'- ,-

(X'+YvXY+X'\)lx:r+y)("x+\,1.1") -\/.xy 2vY ·-'-'..-'-_.!.C.-x-.~. y..c:.._--,-,-,-_.'..C. + -..Jx-.-+ JY-y .

1.41. *a) (ll-aFa +FaJ.(I+ag -fa II I-Fa 1+,0 /

1.42. *a) ~-J3 + -13~ 2,/2

21

1.45, * U prostiti izraz:

1.46, * Dati izraz dovesti na sto jednostavuiji obJik:

2af:1 (J~ -~~ J ----~",~. r' r ,2

H If, -ff)+~1 +±( ~.~. -~~)

1 - Stcpeni sa racionalnim i realnim eksponentom (izloZiocem) "~"

Izraz 24 svojim izgledom podsjc6a na stepen u kome bi baza bi!a 2, a eksponent

3 ,Mi, do sada, nismo poznavali ovakve stepene, ali pokusajmo da sa ovim izrazom

4 racun,arno kao sa stepenom i(S2t:,p)e4nUjll1~4ga sa 4:

=24 =23 =8.

b"l· 03 To z,·,"lcvi daJ'e 24 bro]' ciJ·iJ'c cctvrtl stepenjcdnak 23. Raniie smo Do 1 I smo L. ,~ • , " • •. -.

nalleili da se broj fiji je cetvrti stepen jednak broju a naZlva cetvrtl kOriJen broJa a. 3

Sada mozemo nas posmatrani izraz 24 definisati kao korijen ovako: 3 _

2' = 1../23

U opcem slucaju, po definiciji, je:

, specijalno je a; = '1;; .

22

:!Ldd --n .:..: Il I III a _"\ja, a " 0

;"! -'-'I

Dakle, -stepeni sa racionalnim eksp()nento'm su-'korijeni. To zn.a~1 da s'e:'Sva'lQ:, , l H:.()rije-n maze napisa:ti :u obliku stepena sa 'racionaJnirn, el{SllQ'nentom i obrIiut0.::.:.....j I

Primjeri: a) 4' =.J4 =, 2 b) 8 3 = Vs' = V64 = 4

c) 32 5 = 2

32 5 2' 4

Koristeci definiciju stepena s racionalnim eksponcntom, dokazane opcracije s korijenima, kao i osobine stepena s cijelim eksponcntom, jednostavno se dokazuju slijede6a pravila:

m E !2+E.. ' a -II>' a n,';:::;:' Ll',n", n

I I

-, iii m

(ab)~ = a';; ·b" (TV) m m

(fY a I~,

m

"

(V)

Dokazimo relacije (I) (IV). Krenirno od lijeve strane relacije (I) i provedimo slijedeci racun:

m p _ _ __ m ... p m p - - n~ fir-;, nr-;;-- til m+ --~- ~+-

a".a'J"",.vani.\/aP=-valll.aP=;.Ja P=a n =an n.

Ovim jc relacija (I) dokazana.

Pokalimo sada vazenje jednakosti (TV). Krenimo od lijeve strane relacije (rV) i stepenujmo je sa n:

m III

(ab) " JlI( .b)"" ~ llib lil nG n~bm --;; b~l-l) a = a = va . V = a· .

Dobili smo daje lijeva strana relacije (IV)jednaka desnoj strani sto znaci da relacija (lV) vrijedi.

23

Na analogan nacin utvrduje se tacnost preostalib relacija 0 operacijarna sa stepenima koji imaju racionalan eksponent.

Primjeri: 3 i 3 4

-+-7

~ i 10 ~ 10-9 ~

d) X 6 :X 4 =XI2:X!2 =x 11 =x12,

3 ~ ~ i+~+~ 18+10+3 41

g) a 4 'a 6 ,as =a 4 fi 8 =a 24 =a 24 , a>O.

Pored svih navedenih stepena definisu se i stepeni sa realnim eksponentom i sa njima se racuna po istim pravilima kao i za stepenima sa racionalnim eksponentom.

Pitanja za pOl1al'fjanje: m

1. Ohjasni smisao izraza an, 2. Koje operacije se mogu vdili sa sfepenima ajjje eksponent racionalan bra}? 3. iVavedi OSI101'l1a svojstva stepena sa raeiona/l1im ekspOl1entom,

Zadaci za vjezbu i utvrdivanje

1.47. Napisati U obliku korijena slijedece stepene: 3 2 ~

a) 54 b)7 5 c) x' 1.48. Navedene korijene napisati LJ obliku stepena:

3CC 4'5 13 a) "4 b) "3' c) ,a'

Izracunati vrijednost datog izraza: ~ 5

4

d) a 3

d) 7[;l

2

1.49.a) 64 3 b) 81 4 c) 27 3 d) 0,008 3

, 3 2 , 5

1.50.a) 52 .25 4 b) 49 3 ·7 ] c) 64 2

2 5 5 2

e) x 8

9

·16 2

1.51.a) }"2·814 b) 3 3 ·9] ·27,,·3 c) 55 .125.25-0 •2 .5-'

24

] 5 , 5 3 - - -

1.52.a) a 4 ,a 6 ,a S b) a6 :a'

1.53. Uprostiti izraz: a) (a~ a~ a)i 1.54. Broj 0,00000023 napisi U ob!iku proizvoda cijeJog broja i stcpena baze 10. 1,55. Dokazati da vrijedi jednakost:

(3.'I[~~J( 'y ~)" la 2 +a 2 -I) a 2 _a 2 +1 - a-a 2 +IJa+a 2 -1 =a"(a-l). a>O.

liprostiti date izraze: ,

x 2 + 1 ~ . XU ~ 1

x + x 2 + 1 1.56. a)

1.57.a)

, a' _ -=a_--=a_ , ,

1 - a-' 2 +-,-_._] +J

a 2 -a 2 a 2 +a 2 a 2

V;;;2-J::-=i 1- T· I b)

(/;=1+1)·' (.ja-I-l)-'

1,58. Izracunati vrijedllost izraza 1

(a + hx)' + (a-bx)' I ' ako je x = 1

(a+bx)2 -(a-bx)'

1.60. * lIprostiti izraz:

b)

~

~(a-1)2

a-2

2am

b(l+m')

r 1 1 I 1 l-' I· (a+x)-'(x+b)·' +(a-x)-'(x-b)-' . - c·.··

i ..... ~.. 1 i 1 J ,za x - "\; ab , a>o., b>O.

L~+~'(x+02_~_~2(X-0'

25

2. HOM 0 T E T I J A I SLICNOST

2.1. Kruznica i krug

Definicija 1: Skup tacaka u rm-ni kaje Sll jednako udaUene od jedne ta(ke (0) Ie

ravni nazil'a se kruZnica. Tacka () naziva se srediste (centar) kruinice, a dui cUije jedan kraj sredi/;te kruinice, a drugi pripada kruinici naziva se poluprecllik iii radijus kruznicc. Duz ciJi krajevi pripadaju kruinici nQzivQ se fetiva, l'/ajveca {etiva kruinice nQzivQ se precnik (promjer) kruinicc.

Ravan U kojoj se nalazi jedna kruznica podijeljena je na tri oblasti ito: jcdnu oblast cine tacke ravni koje se na!aze ullutar kruznice , drugu obIast cine tacke kruznice i treca oblast je sastavljena od tacaka ravni izvan kruznicc. Dakte, svaka kruznica ima svoju unutrasnju i vanjsku oblast.

Definicija 2: [Jnija unulrasnje oblasti kruznice i ta[~aka kruinice naziva se krug.

SI.2_1. Vat_no je razlikovati pojll1ovc kruY.nice i kruga!

2.1.1. P%iaj tacke prema kruZllici

c

k A

51.2.2. Tacka A je na kruznici, B je unutaL a C je izvan kruznice

o

Ako jc data kruznica k(O, r) i tacka A koja pripada ravni krllznice, tada su rnoguca dya sJuc.ja: AEk(O, f) iii Agk(O, f). U pfYOm silicajuje raslojanje taeke A ad sredista kruznicejcdnako dllzini radijusa kruznice. U drugorn slucajuje rastojar~je tacke A od sredista kruznice manjc i!i veee od duzine radijusa, Ako jc rastojanje.

26

tacke A od sredista kruznice rnanje od njcnog radijusa, tada se tacka A nalazi unutar kruznicc (S1.2.2).

2.1.2. Poloiaj prave prema J,;ruinici

Posmatrajmo kru;l,nicu k(O, r) i ma koju pravu a u ravni ove kruznice. Neka normala na pravu a koja prolazi sredistcm 0 date kruznice sijece pravu a u tacki A. Tada duzina duzl OA moze biti manja, jednaka iIi veca od duzinc radijusa date kruznice (SI.2.3.).

B

M

p

S1.2.4. Ccnlralno rastojanjc tangente Sl.2,3. Pm\-a s jc sjecica. a prava t tangcnta kruznicc jcdnako je radij1l5u!

Teorema 1: Za svaku kruznicu k(O, r) i svaku pravu t vrijedi: aim jc ccntralno rastojanjc pl'ave t jcdnako radijusu r kruzllice k(O, r), ouda prava t ima samo jednu zajednicku tacku T sa kruznicom k(O, r).

Dokaz: Neka je OT = r central no rastojanjc prave t od date kruznice k(O, r). Ovo znaci da ta6ka T pripada kruznici. Uzmimo rna koju ta6ku M (MtT) na pravoj t

(SI.2.4.). Kaka je OT.1 t • to je trougao Ll.OTM pravougli, pa je 01\11 > 01', sto znaci da tacka M ne pripada kruznici.

Definicija 3: Prava koja sa kruznicom ima samo jednu zajednicku taL~ku naziva se tangeflta kruinice. Zajednicka tacka tallgente i kruZllice naziva se dodirna lacka langente. Radijus kruinice koji odg01.-'ara dodirnoj laCld naziva se dodirni radiju.\'. Prava koja sa kruznicom ima dvije zajedni(~ke lacke naziva se 5jecica kruZnice.

Primjer 1: Data je kruznica k(O, r) koja sadrii tacku P.

tatka P. Konstruisati tangentu date kruznicc

Analiza: Prctpostavimo daje prava PI trazena tangenta kruznice pri cemuje T njena dodirna ta6ka (SL2.5). Posmatrajmo pravougli trougao POT. Na duzi PO

27

odredimo tacku S tako da bude <OTS = <TOP =(a). Kako b.OTS ima dva jednaka ugla, to je jednakokraki i vrijedi OS~ST. Uglovl <TOP i <OPT (odnosno a i 13) su komplementnl (zbir im j~ 90°), a 15to 1'3ko su i uglovi <OTS i <PTS komplcmentni. Kako je <OTS ~ <TOP, to jc <PTS~<OPT, paje i trougao PST jednakokraki j vrijedi ST=SP. Dakle, tacka S je jednako udaljena od tacaka 0, TiP, paje to srediste kruinice koja prolazi ()vim tackama. Ovo znaci cia se tacka T moze odrediti I.<:ao presjek date kruznice i kruznice cije je srediste tacka S. a precnik OP.

r

SLZS Tackom P sc rnogll povuCi dvijc tangcntc na datu kruznictL

Konstrukcija: 1) SEOP; SO=SP 2) k(S, SO) 3) k(S, SO) n k(O, r) ~{T, T') 4) t ~ PT Ct' ~ PT).

Dolmz: D~kazjmo da je pnrva PT tangenta date kruznice.Prcma konstrukciji vidimo da je T tacka date kruznice. Kako tacke 0, TiP pdpadaju kruznici k(S, SO), to je SO'·-=ST=SP, pa su trouglovi AOST i b.STP jednakokraki sa osnovicama 0'1', odnosno TP. Zato za uglove a, \3, f-; i <p vrijedi a = s i <p = [3. Kako je zbir ova cetiri ugla jednak 180°, to je s+<p =90°) sto znaci da je ugao <OTP pravi, odnosno da je prays PT

tangenta kruznice.

Diskusija: Ako je tacka P van kruz.nice, tada postoje dvije tangente na kruznicu koje sadrze tacku P. Ako je tacka P oa kruzoici, tada tom tackom proiazi sarno jedna tangenta i ako je tacks P u kruznicl, onda oema tangenata koje sadrze tu tachi.

2.i.3. Tangentne duli kruznice

Definicija 4: Aka tangenta ! kruznice proIa::! tackam P i ima dadirnu lacku T, lada .'Ie

duz PT naziv(1 tangentnfl dilZ kruznice ka/a odgovara tacki P.

28

Prema navedenom pf1lTIJeru tackom P iz.van kruznice pro laze dvije tangente na kruznicu, pa joj odgovaraju dvije tangentne duzi. Za te te duij navodimo sljcdccu teoremu:

Teorcrna 2: Tangentnc duzi kojc odgovaraju tacki P na istu kruznicu su jcdnake.

Dokaz: Neka su PT i PT' tangentne duzi tacke P koje odgovaraju kruznici k(O, r) (SL2.S.). trouglovi L\OPT i .6.0PT' su pravougli sa zajednico111 hipotenuzom OP. Kako su i katete ovih trouglova AT i OT' jednake (kao radijusi iste kruznice), to su ovi trouglovi, na osnovu stava SSU 0 podudarnosti trouglova, podudarni. Otuda je PT ~ PT' , sto je i trebalo dokazati.

2.1.4. Tangentni cetverougao (cetrerokut)

Definicija 5: Cetverougao cije 5U Sl--'e 51ranice djje!ovi tangenata i.'ile kruinice

naziva se tanJ;entni cetverougao. Drugim rijccima, tangentni cetverougao je onaj cetverougao u koji se moZe upisati kruznica.

Tcorema 3: Cetverougao ABeD je tallgentni aim i samo ako jc zbir dvi.ju snprotnih stranica jcdnak zbiru drugih dviju suprotnih stranica, tj. aIm i samo ako je

AB+ Cl)=BC + AD.

Dokaz: 1) Neka je cetvcrougao ABeD tangentni. Dokazill1o da vrijcdi AB + CD~l.lC + AD.

Oznacimo dodirnc lacke stranica cetverougla ABeD i u Iljega upisanc kruz.nice, redom, sa M, N, P i Q (S1.2.6.). KoristeCi teoremu 0 tangentnim duz.ima dohijc se:

Al.l + CD = AM + MB' CP + PD ~ AQ + BN + NC + QD ~ BC + AD.

S1.2_6 !<od tangcn1nog cet\,'erollgla

LlOCayamo 8 tangentnih duzi.

SL2./.

29

2) Pretpostavimo sada da za stranice cetverougla ABeD vrijedi AB+CD = BC+AD i dokaiimo daje u~ cetverougao tangcntni.

Odredimo presjek simetrala Ax i By uglova <A i <B cetverougla ABCD. Neka je presjck ov111 simetrala tacka S. Ncka su tacke M, NiP, redorn, na stranicama cetverougla AB, BC i AD tako da je S~LLAB, SN-"-BC i SP J_AD. Tada jc SM'=SN;::;;SP (Lacke simctra!e ug!a jcdnako su uda!jcne od njegovih krakova), pa kruznica k(S, SM) dodiruje tri stranice datog cetverougia ABeD. Treba dokazati da ova kruzllica dodiruje i pravu CD (cetvrtu stranicu). Ako kruznica k(S, SM) ne bi dodirivala stranicu CD, tada bi se tackom C mogla povuei tangenta CE na ovu kruznicu, pri cemu so tacka E l1alazi na pravoj AD. Tako bi dobiE tangentni cetverougao ABCE, za koji vrijcdi (prcma 1) O\'e teoremc):

AB+CE ~ BC+AE. Koristeci prctpostavku AB+CD = BC+AD i gornji zakljucak, oduzimanjem, dobije se:

CD-CE ~AD-AE -> CD-CE -DE.

Kako su CD, CE i DE stranicc trongla CDE, to je posUednja jednakost nemoguea (svaka stranica trougla veea je od raz!ike drugih dviju stranica), sto znaci da ACDE ne posloji, odnosno, tacka E se mora poklopiti sa tackom D. Znac] cetverougao ABCD je tallgentni.

Koji od poznalih cetverouglova su tangentni? Da li je pravOLlgaonik tangcntlli cetvcrougao?

2.1.5. [(ruZllica (kruZllu /illiju) i ag/vri (centra/ni i per([erijski ugao)

Dcfinicija 6: (jgao ciji sc vrh nalazi u sredislu (centru) krulnicl? n(1zi"'a se centrailli ugao. Ugao ciji l'rh pripada kruznici, a kraci sijeku tu kruinicu naziva se periferijski (obodn;) ugao (kat).

Svakom central nom uglu kruznicc odgovara jedan kruzni luk, odnosno jedna tetiva te kruz.nice. lsto tako s\'akom periferijskom uglu odgovara kruzni iuk, odnosno tdiva. Zato se cesto govori 0 ccntra!nolTI, odnosno peri ferijskorn uglu nad kruznim lukom iii nad letivoIn.

Teorema 4: Syaki periferijski ugao kruznice jcdnak jc polovini ccntralnog ugIa nad istim Inkom.

30

Dokaz: Posmatrajmo centraini (a) i periferijski (13) ugao nad lukom AB (SI.2.8a), l.S.b) i 2.8.c)).

A S!.2.8.Centralni ugaoje dva pUla \,t:ci oJ periferij::;kog ugla nad istim lukoffi.

I) Neka krak perifcrijskog ugla ACB proJazi srcdistem 0 kruznice (SI.2.8.a). Trougao BOC jc jcdnakokraki sa osnovico1n BC. Zato su uglovi <BCO=B i <OBC jednaki. Ugao <AOB = a je \'anjski ugao trougla BOe, paje

<AOB ~ <BCO + <OBC ~ 2p. Dakle vrijedi a~213.

2) Neka je srediste 0 kruznice u .unutrasnjoj oblasti perifcrijskog ugla <ACB=p (SI.2.8.b). Tackom C povucimo preenik CD. Dobili S1110 d\'ajednakokraka trougla i to AAOC i ABOC. Praya CD podijclilajc pcrifcrijski ugao 13 na dva periferijska ugla [31 j [32 , p-aje [3=[3:+[32, a centralni ugao a na dva centralna ugla aj i a2 ,.(a=Cl.I+cx2). Kako SLI uglovi oa oSllovici jednakokrakog trougla jednaki, to je <OAC=p i <OBC=u. Ugao <AOD=u, je vanjski ugao .6.AOC, a ugao <.BOD=U2jC vanjski ugao "'BOC, pa vrijedi: <AOD ~ 2P, i <BOD~i32. Otudajc <AOB ~ a ~ <AOD + <BOD ~ 213,+213, ~ 2(P,+ 13,) - 2p.

Vidimo da i U ovom slucaju vrijedi a=2[3.

3) Neka je srediMe kruznice u vanjskoj oblasti periferijskog ugla <ACB~P (SI.2.8.c). Tae-korn C povucimo precnik CD. Uocirno dva jednakokraka trougla i to i1AOC i l'!.BOC sa osnovicama AC, odnosno Be. Koristeci teoremu 0 vanjskol11 uglu trougla i oznake sa slike, dobije se:

OVilll je tcorema dokazana.

31

SL2.8.c) Centm\ni llgaojed"Ya puta "Yeel od periferijskog ngla nad istim Illkom

SI.2.9. Ugao izmedu tan Ie i tetive jednakje pcrifcrijsk uglu nad tom te\ivom

Posljcdicc tcorcme 4: 1. Svi pcriferijski uglovi nad istim lulmrn (iii istom tctivom) su jednaki. 2. Svaki perifcrijski ugao nad precnikom je pra"\;.

Tcorema 5: Ako krajnjom tackom tetivc jednc kruznice povuc.cmo tangcntu tada je ugao izrncdu tangcnte i tetivc (cp) jcdnak pcrifcrijskorn ngiu nad tom tetivorn (~) pri cernu vrh ugla f3 ne pripada oblasti ugia <p.

lloiiaz: Neka je u krajnjoj tacki tetive BT povucena tangenta t na kru~nicu k(O,r) (SI.2.9.).· Neka je ugao izmedu tangcnte i tetive ~, a periferijskj ugao nad tetivom [3. Akoje tacka C srediste tetive BT, tadaje periferijski ugao f3jcdnak polovini centralnog ugla BOT, odnosno, 13=cx.. Kako su uglovi ex. i (P, dva ugla sa normalnim kracima, to

vrijedi <p=a, odnosno (p=!3, sto je i trebalo dokazati.

2.1.6. Tetil'ni cetverougao

Dcfinicija 7: Cetverougao cije .'>1.1 stranice teffve iste kJ'lIinice naziva se tetivni cetverollgao.

Drugim rljecima, cctverougao oko koga se moZe opisati kruznica na7jvamo tetivni

cetverougao.

32

Teorema 6: Cetverougao ABeD jc tctivni ako i sarno ako su mu suprotni uglovi supJerncntni, tj. ako i sarno ako vrijedi <A+<C = <B + <D = 180°.

Dolruz: I) Ncka je cetverougao ABCD lelivni (SI.2.IO.). Povucimo dijagonalu AC posmatrajmo centralne uglove AOC (jedan ima luk ABC, a drug; ADC).

D

S!.2.10. Centra!ni ugao f: jc dva puta yeti od perifcrijskog ugla B

D

C

SL2.11. UgloVJ <, I <E su jcdnaki!

Uglovi !3 i £ Sll periferijski i ccntralni ugao nad tetivom AC, paje c; = 213. 15to tako su (3 i rp periferijski i odgovarajuci ceniralni ugao nad istom tetivom, pa vrUedi cp = 28.

Otudaje: 'Jl + E ~ 28 + 2/3 ~ 2(8 + /3) ~> 3600 ~ 2(8 + 13) ~> 8+ 13~ 180"'

Kako je zbir ugJova cetveroug!a 3600, to vrijedi:

0: + i3 + y + 8 ~ 3600 ~> a + "(.;. ! 800 = 3600 => a + y = 1800

.

Dakle, dokazano je da Sll suprotni nglo\'i tetivnog cetverougla suplementni.

2) Neka su suprotni uglovi cetverougla ABeD suplemcntni (S1.2.11.), tj. ncka vrijedi <A+<C = <B+<D (= 180°). Tacke A, B i C odreduju kruznicu k. Neka je E tacka oa kruznici k van luka ABC. Tadaje cetvcrougao ABCE tctivni, pa S1.1 ITIll

uglovi suplementni (preme prvom dijelu aYe teroemc), odnosno, vrijedi: <A + <C ~ <B + <E (=180(').

Kako je po pretpostavcl <A+<C = <B+<D, zakljLlcujcmo da lllora biti <E = <D. Odavde slijedi da jc tacka D na kruznlei k, jer za sve tacke izvan kruznice ugaa nad tetivorn AC je manj1, a za tacke unutar kruznicc jc ved ad pcriferijskog llgla nad tom tetivom. Ovim je teorcma doka7.1wa.

33

2.1. 7. Meausobni polozaj dvije kruznice

Definicija 8: RaSf(~janje izmeilu sredisla dvUu kruinica nQzivQ se centralno rllstojanje kruinica.

Neka Sll date dvije kruznice k(O, R) i k'(O', r). U zavisnosti od centralnog rastojanja (d) i radijusa (R i r, R ~ r) kruznice 1110gU biti ujednom od pet uzajamnih poloZaja 0 kojima govori slijedeca teorcma (navodimo je bez dokaza).

Teorcma 7: 1. Ako je d > R+r jedna kruznica se nalazi u vanjskoj oblasti druge i one nemaju zajednickih tacaka (SI.2.12.) 2. Aka je d = R+r jedna kruznica se nabzl u vanjskoj oblasti druge i one imaju jednu zajcdnicku lacku (SL2.13.). U OV0111 slucaju kaicmo da se kruznice dodiruju lzvana.

R o o

su.! 2. Jedna kruznicajc iz\'un drugc. SL2.i3. Ovdjcje OO'=d=R+r.

3. Aka je R-r < d < R+r kruznice se sijcku (i imaju dvije zajednicke tackc). (51.2.14.).

4. Ako je d = R-r jedna kruznic.a se nalazi u unutrasnjoj oblasti druge i one imaju jednu zajednicku tacku (SL2.15.). U OV0111 slucaju ka7£mo da se kruznice dodiruju iznutra.

k k'

Sl.2.l4. K..rllZnice se sijekll. Sl.2.15. Krllzniec sc dodiruju iznutra. SLL16Xruznicajc u kruZ.lllCi

34

5. Ako je d < R-r jedna krllzoica se nalazi u uOlltrasnjoj oblasti druge i one nemaju zajedoickih tacaka (SI.2.16.).

2.1.8. Zajednicke tangente dviju kruznica

Dcfinicija 9: Prava koja je langenta dviju kruinica nLlziva se zajednicka tangenta tiJi kruinica.

Ako se sredisla kruzoica nalaze sa iste strane ojihove zajednickc tangente, tangentu nazivano va.njska zajednicka tallgcnta , a aka se sredista kruzoica nalaze sa raznih strana tangenlc, tangentu zovemo ullutrasnja zajednicka tangcnta kruznica.

Primjer: Konstruisati zajednicke vanjskc tangcnte dviju daUh kruznica k(O, R) i k(O'. f).

Analiza: Neka je prava t zajednicka spoljasnja tangenta datih kruznica k(O, R) i k(O', r), (R > r) i neka su dodirne tacke Dve tangente sa kruznicama MiN (SI.2.17.)

M

SI.2.17. Pravc 1 j t' SU vUlljske zajcdnickc tangclltc kruznica k 1 k'.

Ako srcdistem kruinice 0' pOVllcemo paralelu t" sa tangentom t, ona ce presjeCi poluprayu OM u tacki A. Neka je k'(O, OA) pomocna kruznica. Kako jc ugao <OrvIN prayi (ugao izmeClu tangcnte i dodirnog radijusa), to je i ugao <~AO' pravi, pa je praya t" tangcota pomo6ne. kruznice. Ka1-~o je cetverougao Ai"vfNO' pravougaonik, to je Aiv1=O'N, pa za radijus OA pomocnc kruznice vrijedi:

OA ~ OM-AM ~ R-r .

35

36

Prava t" se moze konstruisati kao tangen1a na pomocnu kruznicu koja prolazi tackoll1 0'. Njenom konstrukcijom dobije se tacka A' (kao dodhna tatka tangente i kruznice). Poluprava OA sijece datu kruznicu k(O, R) u tacki M. Prava koja prolazi tackom M paralelno sa t" je traicna zajednicka (vanjska) tangenta dviju datih kruznic3.

Konstrukcija: I) Odrediti razliku R-r ~ R', 2) Konstruisati pomocnu kruznicu t'(O, R'), 3) Konstruisati tangentu t" na kruznicu k' koja sadrzi tacku 0' (Vidi SI.2.S.). 4) A E k' n t n

5) M E OA n k(O, R) 6) Prava t; MEt, t -LOM .

Dokaz: Dokazill1o da je prava t zajcdnicka tangenta datih kruznica. Neposrcdno iz konstrukcije se vidi da je t tangenta kruznice k(O, R) jer jc t norma Ina na radijus OM tc kruznice. Prave t" i t su paralelne Oer Sll obje normalne na prayu OA) paje udaljcnost sredista 0' druge date kruznice od pravc t jednako 1\1\1, odnosno 1". Ova znaci dajc prava t tangenta j kruznice k(O', r).

Diskusija: Kako se tackom 0' mogu konstrulsati dvije tangente na pomocnu kruznicu k t

, to pos1oje dvije 7.3jednicke vanjske tangcnte datih J..:.ruznica. Ako se kruznice dodiruju iznutl~a, tada one imaju samo jednu zajcdnicku tangentu. U slucaju da je jedna kruznica uoutar druge, tada one nemaju zajcdnickih tangenti.

Kako se konstruisll zajednicke ul1utrasnje tangcnte dyjju kruznica? ,

t'

SU. 18. Prayc tit' su z<ucdnicke unutrasnjc j,mgcntc kruz.nic<1.

Pitanja za pOf1avljanje:

1) 5,'0 koliko tacakaje odrede17(J kruznica? Kaln'c moraju biti /e racke? 2j /;taje te/iva kruinice? 3) Kako se naziva najveca re/iva Icruinice? 4) Gdje se s(jeku svi precnici kruznicc? 5) Kakav odnas magu il11mi facka i krui'nica? 6) U kojem odnosu mogu biti prova i k/"l/znica? 7) Za koju pravu kazemo daje tangenta krl1inicc? 8) Koliko kruznica ima tangenala? Staje sku]7 S1"ih lih prm·jh? 9) Koja dllz jma naziv tangentna dui? 10) Koliko langen/nih dllZi odgovarajednqj tacki l'an krllznice? 11) Za koji cC/1'crougao kaicll10 daje fangentni? J 2) ... ~/a zna,f 0 sfranicama (angen/nog c~eh·'erou[!.la? 13) Koji ugao nazivamo periferijski ugao? 14) Kada za ugao kazemo do je ccn/ralni? J 5) Pos/oji Ii periferijski lIgao od 200()? 10) Kokra je veza izmeau centralnog i pcr?j"er?iskog ug/o nad istim /ulwlJI? J 7) J(o(iki je centra/ni ugao nod prebliko7n kruinice? 18) U kojem cCf'veroug!u SlI supro(ni uglori suplementl7i? 19) U kakvol11 od!1oSU mogu hiti drije krl.linice? 20; T(nkFc kruinice nazivamo /wflc(!ntricl1f: kruin;c'e? 21) Koju pral'u nazirmno zajedllicka tangenta dl'ijlJ kru!!.nico?

Ko!iko najvi/;c,.a ko/ikn najmm!je 2ajednickih langenti inlaju dnje kruinice?

2.1. Konstruisi kruznicu datog poluprccnika r koja pro!azi chjcma datim tackall1(l A iB.

2.2. Konstruisi kruz.nicu koja pro[azi kroz tri date tacke. 2.3. Dvije kruznicc K(O, R) i k(O', R') se sljcku II tackama.i\ i B. Dokazati dajc dll?:

AB normalna n3 duz 001•

2.4. Data je praya a i kruznica k(O, r). Konstruisati krul.nicu koja dodiruje d(l\"n pravu a II datoj tacki A i datu kruznicu.

2.5. Konstruisati zajcdnicke unutrasnjc tangcntc datih kruznica k(O, R) i k(S., r). 2.6. Konstrnisati kruznicu koja dodirujc d\"ijc date kr\lznice i to jednll od njih u

datoj tacki A. 2.7. lz tackc P van kruznicc fla krU7Jlicu su pOYllCCnC d\"ijc tangcntc PA i PB koje

su IllCc.lllsobno llormalnc. Na luku A13 , 11 uglu ;,\PB, Ul.eta jc rna koja tacka C kojom je povllcena tangcnta t. Prcsjck tangenle t sa tangcntama PA i PE suo redolll, tacke 1Vf i N. Odrediti obim trougla l'vfNP.

2.8. 'Nekaje s pohr()him, a c hipotenuZ3 pravougiog trougla. Dokazali dajc' radUus upisane kruznice r=s-c.

37

2.9. Tctivi AB date kruinice odgovaraju elva periferijska ugla eiii se vrhovi nalaze na razlicitim lukovima odrcdcnim datom tetivom. -Dokazati cia su ovi ugJovi suplementni.

2.l O. Tctiva je kruznicu podijelila na dva luka koji se odnose kao 4:5. Odrediti perifcrijske uglove nad ovim lukovima.

2.11. Ugao na osnovicijednakokrakog trouglaje 64°. Pod kojim uglom se vidi osnovica trougla iz centra opisane kruznice?

2.12. Jedan ugao pravougJog trougJajc 22{). Pod kojim uglom se vide stranice ovog trougla iz srcdista opisanc kruznice?

2.! 3. Ugao izmeau tangcnte i tetive jcdne kruznice je ZOo. Odrediti centralne uglove nad ovom tetivom?

2.14. Dui AB je precnik date kruznice. Na tangenti t date kruznice u tacki B odabranaje tacka C tako da duz AC sijece kruznicu u tacki D tako daj; AD~DC. Odrcditi velicinu ugla ACE.

2.15. Ako je tacka H ortocentar troug!a ABC, dokazati da su kruinice opisane oko trouglova "ABH, "BCH i "ACH podudarne.

2.2. Mjercnje auzi. Mjera duzi. Zajcdnii'ka mjcra (ZM) i uajveca zajednicl,a mjcra (NZM) dvijc duii. Samjcrljivc i ncsamjcrl.iivc dnii

Posmatrajmo dvijc duzi: AB j M1\". Ncka se duz MN moze k puta nanUeti na dui AB. Tada vrijcdi: AB~kMN .

a 'r----------~----~----~--__ ~ _____ 6 A e B

M C oN SI.2.19. Broj ;1=6 jc Juzina Juz.i AB.

Na ovaj nacin smo duz AB uporedili sa duzi l\fIN. Kazemo da smo duz AB izmjerili. Ako se sve duzi uporeduju sa datom duzi !v1N, tada ovu duz uzimarno kao jedinicnu duz. Duz,inajedinicnc duzi jc 1. Ma koja dui se moze uzeti kao jedinicna. Da ne bi bilo zabune u !1lcdusobn0l11 kOllluniciranju raznih ljudi i raznih naroda, u cije!om svijetu u internacionalnom sistemu jedinica (SI) za OS110YOU jedinicnu duz uzeta je dUL od I 111.

Pozitivan broj k je duiina duzi AS u odnosu na duz MN 1<.ao jedinicnu. S obzirom da je duzina duzi jedina njena osobina, p.onekad se istim sirnbolom oznacava i duz i njcna duzina. Tako ccmo ccsto govoriti i pisati dllZ: a=12 em, duz b:::-5 lll, duz c=24 em , itd. 1

: Sa AB. CD .... cerno o:macavali ULlZi, a sa A13, CD ... duzine duzl. Ponckada cemo uui:, bo j

njcnu du:l.inu oznacavati sa a, b, C"" __ a iz samog konteksta cc se \'idjeti da Ii se raui () duzi ili duzini

38

Definicija 10: Ka.zemo da smo duz AB izmjerili jedinicnom duzi MN ako odredimo pozitivan broj k tako da vrijedi

AB=kMN.

Prilikom mjerenja duzi AB jedinicnom duzi MN uvijek se dobija pozitivan realan broj koji smo nazvali duzina duzi. Ako se desi da je duzina duzi AB(=a) prirodan broj, Lada kazemo da jc duz MN(=e) mjera dU7..i a. Tako, na prirnjer, m·(O za duzi a, b, c, d vrijedi

tadaje du? e mjera i duzi a i duzi b i duzi c i duzi d. Kaze se daje e zajednicka mjera (ZM) ovih duzi.

Defittici/a 11: AIm se duz e mou nanijeti na duz a Ii. puta (kEN) bez ostatka, kazcmo da je e mjera duzi a.

Dejinicija 12: Duz e koja je mjera dviju duzi ( a i h ) naziva se zajednicka mjera tib duzi i oznacava ZM(a, b) = c.

Ako dvije duii (a i b) imaju zajednicku mjcru e, tada one imaju vise zajednickih mjera. Tako je i duz eva je duzina jednaka poIovini duzi e sigmno zajcdnicka mjera duzi a i b. I duz cija je duzina cetvrtina duzine duii e je zajednicka mjera duzi a i b. r.1euu svim zajcdnickim mjerama dyiju duzi uvijek postoji najveca (NZM). Kako odrediti n3jve6u zajednicku mjeru dviju duzi?

Teorema 8: Ako dvije duzi a i b (a>b) imaju zajcdnicku mjeru, tada vl"ijedi: a) Ako se manja duz b sadrzi u vecoj duzi a prirodan broj puta, tada je

NZJVI(a, b) = b. b) AIm se manja dul. b ne nalazi prirodan broj puta u vccoj duzi 3, tada

postoji prirodan broj k i ostatak r dun a tako da jc: a= kb + r

pri "emu je r<b, i vrijedi NZJVI(a, b) ~ NZM(h, r).

a ,&-------~--------~----------------~------~r_--~O

S1.2.20. Ovdjcje a""S'l;l+r ·lvrijeJiNDvl(a.b)="J'.;ZM(b,r).

Dokazit110 navedenu teoremu.

39

a) U ovom s!ucaju je receno da se duz b nalazi u duzi a prirodan broj puta, pa je b zajcdnicka mjcra duzi a i h. Kako mjcra duzi ne moze biti veta od nje same, a zajednicka mjera ne moZe biti veta od najmanje duzi, to jc NZM(a, b) = h.' b) Nekaje a = kb+r i nekaje NZM(a, b) = e. Tada postoje dva prirodna broja m i n (m>n) za koje vrijedi:

b~ o·e. Dalje je:

a~ k·b + f => m·e = k·(o·e) + r ~> f = (m-ok)·e .

Kako je m>nk to .Ie m~nk prirodan hroj. pa sc jz posljednje .iednakosti zakljuclue da je e mjcra i ostatk3 r. Znaci vrijedi ZM(b, r) = e . .los treba dokazati da je NZM(b. 1') = c. Pretpostavlmo suprotno, da NZ\1(b, r}t-e.Tada bi postojala duz e'>e za koju bi vrijedi!o NZM(b, r) = e'_ To znaci da hi postqjala dva prirodna hroja m' i n' za koja \'fijedi -

pa se, dalje, dobije: a. = k·b+r => a = k·(m'·e')+n'·e' => a = (km'+n'}e'.

DobiH srno daje e' I11jera i duzi a. Ova] zak!jucak nas navodi nn to da duzi a i b imajl1 zajecinicku mjem c' koja je veea od njihoH': naj'vece zajednickc mjere e! Kako je ovo pos!jednjc ncmoguce, to duz e! ne postoji 51'0 dalje znaci daje 1'\Z1\1(b, r) = e, odnosno,

NZM(a, b) ~ NZ'v!(b, r) sto smo i trcbali dokazati.

Kako se prakticno odreouje :-\Ztv1(a, b) duzi a j b, (a>b) pokazacemo II narcdnim redovima. Po stupak odreaivanja N7;V1 dYiju duzi f.asniYa sc l1a /"rhimcclovoi aksiomi (za rna kakve d\"ijc duzi a i b , a>b posloji prirod::10 hroj n takav da jc nh>a, drugim rijecima nanoscCl duz b na duz a ros1ije konacno koraka uvijek t.emo prcmasi1i duz a). Poslupak odredi\"3nja NZM dviju duzi pozna! jc pod n32:1<'0111 [ukJidO\/ postupak (a!goritam). O\'aj postupak sc sastoji II s!ijcdecem:

1. Nanesemo duz b na dut a onoliko puta koliko je to llloguce. Ako se nc dobije nikakav ostatak onda jc NTv1(a, b) = b. Ako se pc:javi ost31'<lk rio tad a prclazirno na s!ijedeci ko1'a1-.::

2. Ostatak rl nanosilllo nn duz b onoiiko puta kO]lko jc to moguce. Ako se ne dobije nikakay ostatak ondaje '\JZM(a, h) = 1'7?vf(b, I;) "'.~ rJ. Ako se pojayi ostatak r:<r;, tada p1'elazimo na s!ijedeci korak:

3. 051'atak. f2 nan0511110 n3 oSl.atak rj onoliko puta ko!iko je 10 moguee. /\ko sc DC dobijc nikakav ostatak onda jc

NZM(a, b) ~NZM(b, r:l ~ N7M(ri, r:J ~ fc.

Ako se pojavJ ostatak r3, tadn na513.\·\jaI110 dalje:

2 .''',himed (2877-·212 pr!jc n.c.) jc jcdan od najpOlJ18.tijib slamgrckih i s\jC1skih malcmaticara 3 Eul<.!id (365 -- 300? prije no\'c ere) jc p07.n<lii grcki maiernatjcar. • .-

40

:~

4. Ostatak 1'3 nanosimo na ostatak r~ o11oliko pu1a koliko jc to mogucc. Ako se nc dobije nikakav ostatak onda.ic

NZM(a, b) ~ NZM(b, I'd ~ NZM(r" ro) ~ NZM(r,. r))~· r,. Ako se pojavi ostatak Lj, poslupak se na5tavlja.

I\1oze sc desiti da se pos!ije n koraka postupak z3.nsi i da je posljednji ostatak I'll

najveca zajednicka rnjcra duzi a 'j b. U tom slucaju kazcmo da Sll duzj a i b samjerljive. Meoutim, posturak sc ne Jllora zavrsiti, sto zi1acl da ncma kraja. Za takve duzi a ! b za koje se prethodnl postupak ne zavrsava u konacno mnogo ko1'aka k;.rzelllo da Stl nf!samjerljive.

Prim jeri samjerfjivih duzi:

a) DllZi a=3nl i b=5m Sll sal11jerljiyc i N[M(a, b) ,,;;; c, C = 1m. b) DtLZi 1ll=12 em i !F"16 em Stl sal1ljcr!jh'c i "\Tijedi :.JZM(rn, n) ,-,-' p, p =:,-,4 em c) Kateta a j hipotenuza c prayoklltnog trokuta sa kutom <-J\=30u su samjerlji,"c

duzi i vrijedi NZM(a, c) = a. d) Hipotcnuza c i tezisnica t koja oJgovara hipotCl111Zi s\"akog prayouglog

(pravokutnog) trougla (trokuta) su samjerljiyc dU7,i i nijccli ~71'vT(c, l) t. Oa postoje i ncsarnjcrljiYe duzi pokaz3ccmo najedllom primjeru.

Tcorema 9: Dijagona!a i stnmica svakog livadrata su ll(~samj{·rl.jivc uul,i.

Dokaz: Posmatrajmo dijagonalu .b,C 1 stranicu BC. Pokazimo cia Sll ove chije duzi nesClilljedjivc. 0Pisimo Iuk BE sa ccntrorn u tac.ki A i radijtisol1l AD pri (cJ~mjc t<lcka E na dijagonaJi AC, Trougao BCEjc lupougli sa tupim ngloJl1 u nllu E, paje EC<BC. Duz Ee je ostatak duzi AC. Sada duz Be lrcba mjcriti sa Fe. POYllcimo EF nonna!no na AC. Kako je trongao /~CrT jcdnakokraki, to je CE=FE. Duz'; FB i FE su tangentnc dnzi tackc F paje Bfooo:fE. Kako je BF=FE=CE to sc daljnji postupak mjel"cnja syodi na Illjcrcnjc hipoj·enuzc rc jednakokrakog pravouglog troug!a sa njcgovol1l katcto!n CEo :Vljcrcnjc hipotcnuze jednakokrakog prayouglog trougla sa njcg(rVOlll katctom jcdnolll !las jc doyclo do ostatka, pa ce se svaki puta pojaviti noyj jcdnakokraki trougao i ostalak, 5\0 z-naci do se ovaj posturak ncce l..:1.vrsiti. D C

/

-~ / \\rr l// \1

Ao B

Na osnoyu proycdenog razmatranja yidi se da su dijngona1a i strnnica kyadrata d"vijc

ncsamjedjivc duzi .r~to je i lrcbalo dokazafi.

lVloze sc doknzati da vrijedi: a) Ako su duzi a i .icdinicna duz e sal11jerijivc,

{ada je duzina duz,j !J raciona!an br(~j.

b) Ako dUl: a nije smnjcrlji\'a sajcdinic!lom dllZi c, tadnje duzina duzi a iracionalan broj.

S1.2.21. AC j AB Sll 11csamjcr!ji"vc

41

Pitanja za pOnaFfjanje:

1. Sta :maCi izmjeriti duz? 2. Koja dui se maze uzeti zajedinicnu? 3. Kojaje osnovnajedinicna dui? 4. /"lavedi neke manje i neke veee jedinic..~ne duii U odnosu na osnovnu. 5. ~~ta ie duzina duif? 6. Sta je mjcra duzi? 7 Staie zajednieka mjera dv[je duB? 8. Da Ii svake dl1ije duif imaju zajednicku mjeru? 9. Kako se odredI(fe NZ\1 dvije duii? 10. Kakve dufi se zovu samjerUh!c du.zi? ! 1. ;.Vavedi prirnjer nesamjerljivih dufi. 12. Kada je duiina duii raejonalan broil ! 3.· U kojem slucajuje duiina duti iracionalan broj?

Zadaci za vjezbu:

2.l6. Odrediti NZM duzi cije su duzinc a=35 cm i b=21 em. 2.17. Odrediti NZM duii cije su dULine a~16 cm i b~48 cm. 2.18. Odrediti NZM duzi cije su duzine a=57 em i b=24 em. 2.19. Dokazati da su krak i osnovieajednakokrakog trougla sa uglom pri

vrhu od 36°, nesamjerljivc duzi.

2.3. Proporcionalnost duzi, geomctrijska proporcija, geometrijsi{a sredina dvijn duZi, produzena proporcija

Gcomctrijska proporcija Ncka su a i b dvijc cluz! i e jedinicna dul:. Ncka su p i q rcalni brojevi za koje vrijedi a=p·e i b=q·c. 'fada se broj k=p:q naziva razmjera duzi a i b, a to se moz.e pisati a:b=k. Znaci, razm,jera dviju duzi je odnos njihovih duzina.

Svake dv~je duzi imaju svoju razmjeru. Taka j za duzi e i d vrijedi da je c:d = kl, gdje je k\ razmjera ovih duzi

Maze se desiti daje razmjcra dviju duzi jednaka razllljeri nekih drugih dviju duzi: a:b = k, c:d = k .

U OV0111 sJucaj-u moze se pisati a:b ~ c:d (P)

Gornju relaciju nazivama geometrijska proporciju duzi a, b, c i d. Vidi se da jc proparcija sastavljena od cetl!"i duzi. Dvije od ovih duz.i (b i c) zovu se unutrasnji c!anm·j proporcije, a druge dvije duz! (a i d) nazivaju se spoljasnji (vanjski)

42

clanov! proporcijc. Jedna, l11a koja, dui naziva se cetvrta proporeionala preostale tri duzi. Posmatrajuci rcJaciju (P) mozcmo kazati da su duzi a i b proporcionaine duzima c i d sto znaci cia su cetiri duzi proporcionalne ako cine jednu geometrijsku proporciju.

Geomctrijska sredina dviju duzi

Ako se duz b nalazi dva puta kao unutrasnji iIi vanjski clan proporcije:

a:b = b:c iii b:a ~ c:b

tada za tu dul. kazemo clajc geomctrijska sredina duzi a i c.

Produzcna proporcija

Ako z.a sest duzi a, b, c, d, e i fvrijedi a:b = k, c:d = k, e:f= k, tacla mozemo pisati

a:b ~ c:d = c:f iii a:c:c = b:d:f (PP)

Rclacija CPP) naziva se produzcna proporcija.

Pitanja za pOlltlvljanje:

1. Sla naZil'Ql}1{) odnas (razmjeraj d'-'iju duii? 2. J;akl'c duif se na::ivaiu proporcionalnim? 3. Slaje geometrijskaproporcija? 4. K(~iu dui nazivamo geometrijska sredina dviju datil! duii? 5. Kako se deJinise prodl.licna proporcija?

2.4. Il-roporcionalnost duZi na pravama (Talcsova4 tcorema)

Za pral'u koja sijece (dl'ije) druge pra)'c,kaiemo daje J?jihova Iransvcrzala.

Teorcma 10: Neka SU 3, b i c tri paralelnc pravc, a p i q njihovc transvcrzale. Xcka. su presjecne tacke prave [J sa pravima a~ b i c, rcdom, A, B j C, a presjccne tacke prave q sa istim pl'avima ncka su A', H' i C' . (SL2.22). Tada vrijcdi

=> A'B'"" Bre.

43

" L ..

D,okaz: ,Nckaje raspored pravih i tacaka kao na SI.2.22. Tackom B' povucil11o pI ~Vl.l P tal~o da bud~ para!clna sa pravom p. Ncka prava p' sijece prave a i c, re~Om.2...!Ltac!~l11~ Q_.!....E, Kako su cetverollgkwl ABB'D i._BCEB' paraJelograllli, to ~~ .DB' 0;: AB. 1 BrE = Be. KoristeCi pre.!1?2stavku daje AB = Be i posUcdnje dVIJc Jcdnakosll, zakUucujemo da vrijedi DB' -=:- Ii' E. .

Za ug!ove Yrljcdi: <A'B'D" <£B'C' (lIllakrsni llglovi sujedllaki), <B. 'DA' ~ <B'£·('.' ( , , '" I ' . nmzlTljcmcm ug 0\'1 na transverzalj paraleinih prayih su

jednaki).

Na 05110\'11 staYa US~J 0 pO~!,~~~arnosti tronghw(J, "\TUcdi: /\/\ 'B'D:::o J.I3'C'E, odaklc s!ijcdi daje ArB'=B'C, stoje i trebalo dokazati.

IJ>os.I,fcdica tcoreme 1.0: Ako para!c!ne prave na jednoj praV(~j odreduju jcdnake dUZJ, onda n£1 svakoj prayoj koju sijeku odsljecajujednakc dnzi.

b

c

01

a

B 1 B''<---c-b--

2.n.rl

AkO ell pmy, a i h pacaiclaclada '" ~ ~ k{)f(;~p(lndcn;ne duzi prop(ll"c:ioll<l!nc

Teorema11 (Taicsov3 tcorcma):

Nck~ se ~ravc ~) i q sijeku u tacki O. Ncka Sll a i b paraidne tnmsycrzalc pranh p I q ,( a I! b). Ncka su presjecI1c tackc pnlYC p sa prasima a i h, rcdom, A i B~ a pnwe q sa istim pr:lvim A' i B~ (SI.2.23.), Tada vrijedi:

a) Duzi koJc odn~duju tnmsycrzalc na .jed_~~j p~~'oj propordonalne su

OA OA' odgovarajuCim duzirna n3 drugoj : """===.

08 OB' Duzi na transvcrzaiama proporcionaine".~u odgoyamjucirn duzima na svakoJ

OA AN od datih pra~'ih p i q : OB BB'

44

OA m . Dokaz: a) Prctpostavimo da su duzi OA i OB samjer!jivc i <fa .1' e -= = ~ , adJC su . OB n' b.

In i n cUeji brojc·vi (uzmimo dajc m < n). Tada duz 0;\ mozemo podijc!iti na m, a dl1z 08 na 11 jcdnakih dijclova. Diobcnim tackama mogu se povu6i prave parale!ne sa transvcrzalama a (i h). Ove para!elne pr,ne na pravoj q odsijecaju jednakc duzi (prema prcthodnoj teoremi) i to na dllZi OA' jc m, a na duil OB' je n jednakih dUZ1. Ako jednu od ovih dui.i uzmemo za jcdinicnu duz i njcllu duzinu oznacimo sa e', tadaje

OA' m·e' III OA OA'= In· e' i OB' "" n ·e' ,pa \Tijcdi =.=" = -- :::: =.

OB' n ·e' n OB

o

b B'

C

p p'

B q SL2.24. Duzi nil transYcr7.alama propon:ionalnc 5\1 odgoyarajuCi11l dul.ima na (po!li)pr;wimll r I q

b) Neka su a i b dvije paralelnc transverzale pravih p i q (S!.2.24). Tackom A poyucimo pravll p' paralclno sa p. Ncka ova prava sijcc.e transvcrza!u b u tacki C. Aka se primijeni prethodno (pod a) dokazana teorcma, posmatraju6i prave b i q i njihovc parale!nc transvcrzale pip', dobUc sc propon.;ija: -,,- ~

All CB ==== Oil B'B

- - ,- -Otudajc

AB CB ¢;>

OB-OA B'B-B'C ¢;>

OA B'C === -_._._- I--~I-== OB B'B Oil B'B OB B'B

¢;> OA B'C

¢;> OA A'A

=== -==-= , JCfJe B'C~A'A, OB B'B Oil B'B

OVim.ie i drugi dio tcoremc dokazan.

Prilikom formu!acije Talcsove teoreme nije naglaseno cia se objc transycrzalc a i b moraju nalaziti sa iste strane prcsjecne rackc 0 prayih p i q. Teorema vrijcdi i u stucaju kada se a i b. nalazc sa raznih strana U odnosu na tacl\u 0 (SL2.25.).

45

p

y a

a" B"

B' A' b SL2.25. Talcsova leorema vrijedi i II slLlcaju kada se 0 na!azi izmcdu a i b.

2.4.1. Postjedice Talesove teoreme

Dejinicija 13: Skup svih pravih ravni kojc se sijeku u jcdn?j ta.c~ki nazi"va se pramcn pravih. Simp svih polupravih ravni kojc imaju zaJcdlllcku pocctou tacku oaziva sc pramen polupravih.

n' C' ~.~~".""",.,

~~ ,/

s'

/? / ;

n A / B/ -- -?---~.pC --,---~c-

m At,// B/ ___ . _____ . ___ ~~ c, -.7' /-~ a b , ,

SI.2.26. Pranlcn pravih a. b i c prcsjcccflje trima parakinim trans\"crzalama rn, n 1 n

c

Aka pravc (polupravc) pramena presjecemo dvjcma paraiclnim iransverzalama min adnosna mIn', onda vrijedi: . v'

a) Duzi fla jednoj pravoj (polupravoj) proporciona!ne su korespondentmm duzlma na s\"akoj d"rugoj pravoj (po!upravoj) pramena.

SA, SB, SC, ._= ~~=--

SA' SB' SC' --=- ,

SA SB SC SA SB SC

b) Korespondentne duzi na transvcrzalarna propo.~cionalne su korespondentnirn duzinia na svakoj pravoJ (polupravoj) pramena.

46

51

A,B, SA, SB, SC, B,C, SA, SB, SC, --=-~=-.-=-- --=--=--=--AB SA SB SC Be SA SB SC

AIBI SA' SB' SC' BIC' SA' SB' SC' --=-- -- --=--=-~=--AB SA SB SC BC SA S13 SC

c) Duii najednoj transvcrzali proporcionalne su odgovarajucim duzima na drugoj transverzali prarnena.

A,B, AB A' B' AB

B,C, BC B'C' BC

2.4.2. Prilnjene Talesove teoreme

1) Ako su a i b date duzi odrediti duz x za koju vrijedi x = a2:b .

RjeScnjc: Dati uslav x = a2:b se maze napisati u abliku proporcije x:a=a:b

(iii a:x=b:a) u kojoj je nepoznata samo duz x. Nepoznatu duz mOLemo odrediti prirnjcnom Talesove tcorerne. Posmatrajrno clvije, ma kojc, polupravc Op i Oq. Na polupravoj Oq odredinlO tacku A tako daje OA=a i tacku 13 tako da vrijedi OB=b (SL2.27). Na drugoj po!upravoj Op odrcdimo tacku C taka da \Tijedi OC=a. Aka na poJupravoj Op odrcdimo tacku D taka cia budc AD II Be, tada primjenolTl Talesove tcoremc vrijcdi:

odnosno, OD: OC = OA : OB ,

OD: a=a: b,

Kako je x:a = a:b, to zaldjucujemo da za traZ,enu dut x vrijcdi x = 00.

iX

M! />

/ y

~'-a' , .• -'-' '-~(C-« ~ +-

SJ.2.27. Tralcna uuL.je OD.

m/ N'!

o / ,'Ii/ .. --o'j, A0;..------r2~B

, I

'tl S1.2.28. Tack:.! C dijcli duz AB U odnosu m:n.

47

2) Datu duz AB rodijeliti u odnosu Ill:n.

Rjesen.ie: U zadatku se trazi tacka C za koju vr]jedi AC:BC = m:n. Pretpostavimo prvo da se tacka C nalazi na dU73 AB (Sl.2.28.).Tackom A puyucimo ma koju po!upravu Ax, a tacko1l1 B polupravu By koja je para!elna po!upravoj Ax. Aka na prvoj polupra\'oj odredimo tacku M taka da je AM = m, a na drugoj po!upravoj tacku N taka da bude BN = n, presjek pravc MN i date duzi AB jc traicna tacka C.

Dokaz: Kako su pravc AB i 1\1N koje se sijeku II tacki C prcsjecene sa dvjema para!elninl trans'verzalama (AM iBN), to prema Talesovoj teorcmi \'rijcdi:

CA:CB ~ AM:BN . Kako je, prema konstrukciji, AM=rn i BN:=.n, dobije se AC:BC=m:n, pa tacka C zaista dijeli duz AB u traienom odnosu. U OV0111 primjeru data duz AB podijeljena je tackom C ul1utrasnjom podjelom II

odnosu m:n. Duz. se moze podijeliti i vanjskom podjelom. Data duz AB tackom C je vanjskom podje!om podijeljena U omjelll m:n. Dokaz slijedi neposredno iz konstrukcije i Talesove teoreme (SI.2.28.).

3) Odrediti tacke C i D kojc datu duz AB dijelc na tri jcdnaka dijcia.

RJdcnje: Tackom A povucimo polupravu Ax. Na ovoj polupravoj odredimo tacke A!, A2 i A3·tako da vrijedi AA1 = A1A1 = A2A}, Spojimo tacke B i A}.

A,

//'\ /"

A3/

y~\

A.,;;;---.... t----"lifl)----' .... S S1.2.29. DllZ AB jc podijeljcna na tri jednaka dijcia.

Tackama Ai i A:; povucimo paralele s pravom A3B, Presjecne tacke ovih para lela sa duzi AB su traiene tacke C i D (SI.2.29.). Nairne, neposredno, na osnovu Ta!esove teoreme, vrUedi,

AA,: A,A2~ AC: CD i AtA,: A,A3~ CD: DB

pa kako su duzi AA" A,A, i A,A,jednake, to sujednake i duzi AC, CD i DB. Navedenim postupkom se data duz maze podijeliti na proizsoljan broj jednakih duzi.

48

W'

Pilanja za ponavljanje:

1. Koju pravu nazivamo transverzala dviju pravih? 2, Aka su dvije neparalelne prave ravni pre,~jeceJ1e so dvjema paralelnim

t;:ansl'erzalama, pronatli sve cetvorke proporcionalnih duii. 3. Sla tvrdi Talesova feorema? 4. l'./avedi neke posljedice Talesove teoreme. 5. Kako se dut dije/i na njednakih dije/ova?

Zadaci za vjezbu:

2.20. Duz AB iSija je duzina 28 em podijeljenaje tackom C na dva dijela tako daje AC=8 em. Odrediti razmjere:

a) AC:CB b) AC:AB c) CB:AB 2.21. Kolikije odnos teziSnice trougla i njenog manjeg dijela odredenog tezistem. 2.22. Dokazi ekvivalentnost proporcija:

a) a:b ~ m:n ¢:> (a-b ):b = (m-n):n b) a:b ~ m:n ¢:> (a-b):a = (m-n):m

2.23. Izracinati cetvrtu proporcionalu za duz.i a=4, b=3, c=8. 2.24. Izracunati geometrijsku sredinu G za duzi a=9 i b=l. 2.25. Odrediti geometrijsku sredinu G duzi a=3 i h=12. 2.26. Podijeliti datu dui AB=20 em na tri dijela koji su U odnosu 2:3:5. 2.27. Datu duz AB podijeli!i na 5 jcdnakih dijelova. 1,28. U trouglu ABC dataje tezisnica AA'. Odrediti teziste T trougta oe ertajuci

nove tezisnice. 2.29. Odrediti teziste trougla Cijijejedan vrh nepris~pacan. 2.30. Zadane su dvije duzi Cijc su duzine a j b. Konstruisi duz x cija je duzina abo 1,31. Date su duzi a i b. Konstruisati duz x tako daje x=a:h. 2.32. Ako je a data duz, konstruisati dui x ~ a2

.

2.33. Date su duzi a, b, c i d. Konstruisati duzi x i y aim vrijedi a:b:c = d:x:y.

2,5. Osobinc simetrala unutrasnjeg i uporcdnog vanjskog ugla trougla

Poznat nam je pojam simetrale ugJa 1 simetrala unutrasnjih i vanjskih uglova trougla. Ovdje se navodc teoreme 0 simetralama.

Tcorema 12: Simetrala unutraJnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranicu na dva dijela koji su proporcioflalni drugim dvjema stranicama trougla. Iobrnuto, ako neka prava koja prolazi kroz vrh fro ugh" dijeli suprotnu stranielt na dijelove koji sa proporcionalni drugim dvjema stranicama traugla, tada je fa pral'a simetrala ugla,

49

Dokaz: a) Pretpostavimo daje je prava BM simetrala ugla kod vrha B troug!a ABC (SI.2.30). Tada je <ABM=<MBC=il. Vrhorn A povueimo paralelu sa BM i sa D oznacimo njen presjek sa pravom BC. Tada su uglovi <BAD i <ABM, kao naizmjenicni uglovi na transverzali dviju paraJelnih pravihjednaki «BAD == <ABM =£). Kako Sli saglasni uglovi na transverzali dviju paralelnih pravih jednaki, to je <ADB=<MBC=£. Sada vidimo da su dva ugla trougla ABD jednaka sto znaci da je taj trougao jednakokraki, paje AB=BD. Zato vrijedi AB:BC=BD:BC.

Iz Talesove teoreme neposredno slijedi da je BD:BC=AM:MC, pa ako ovu proporciju uporedimo sa prethodnom dobije se:

AB:BC = AM:MC sto je i trebalo dokazati.

D

CAB SL2.30.DI,Izi Aid i_AlB SI, proporcionalne sa AB j BCI S1.2.31.DlIzi A£ i BE proporcionalne SII

saACiBC.

b) Pretpdstavimo sada da je M tacka na stranici AC trougla ABC takva da vrijedi AM:MC=AB:BC i dokaiirno da je prava BM simetrala ugJa ABC (SI.2.30.). Produzimo stranieu BC preko vrha B do tacke D tako da je BD=AB. Trougao ABD jc jcdnakokraki pa su uglovi na njcgovoj osnovici AD jednaki: <BAD = <BDA ,

Kako je AB=BD to se iz uslova AM:MC=AB:BC dobija AM:MC=BD:BC, pa su, po Talesovoj teoremi, prave AD i BM paraielne. Zato vrijedi:

<SAD = <ABM (naizmjenicni ugJovi na transverzali paralelnih pravih), <ADB = <MBC (saglasni uglovi na transverzali paralclnih pravih),

a odavde, zbog <BAD = <ADB, jc <ABM ~ <MBC, sto znaci da je prava BM simetrala ugla ABC.

Postoji teorema, analogna prethodnoj, koja govori 0 simetrali vanjskog ugla trougla, Navedimo i tu teoremu:

50

Teorema 13: Simetrala vanjskog ugla (rougla dijeli suprotnu stranicu vanjskom podjelom nu dije/ove koji su proporcionalni drugim dvjema stranicama trougla, i obrnuto, ako pruva koja sadrii vrh trougla dije/i vanjskom podjelom suprolnu stranleu trougla nu dijelove koji su proporcionalni drugim dvjema stranicama, tada je ta prava simetrala vanjskog ugla trougla.

Dokaz: a) Neka je Prava CE simetrala vanjskog ugla kod vrha C trougla ABC, pri cemu tacka E pripada pravoj AB (Sl.2.31.). Tackom B povucimo paralelu sa pravorn CE i tacku prcsjeka te paralele sa stranicom AC oznacimo sa D. Na osnovu Talesove teoreme moze se zakljuciti da vrijedi:

AE:BE ~ AC:DC .

Na analogan nacm kao u dokazu prethodne teoreme dolazi se do zakljucka da je DC=BC, pa ako se ova uvrsti u prethodnu proporciju dobije se

AE:BE ~ AC:BC,

~to znaci da je duz" AB tackolll E podijeUena vanjskom podjelom u omjeru koji je Jcdnak omjeru odgovarajucih drugih dviju stranica trougla.

b) Neka je E tatka poluprave AB takva da je AE:EB=AC:CB. Ako na stranici AC uzmemo tacku D tako da bude SO paralclno sa CE, tada vrijedi:

AE:EB = AC:CD

pa se (l"a osnovu datog uslova (AE:EB=AC:CB) zakljucuje daje CB=CD sto znaci daje trougao BCD jednakokraki sa osnovicom BD. Zato vrijedi jednakost uglova <CBD=<BDC. Uglovi <CBD i <BCE su naizmjeniCni na transverzali parale!nih pravih i kao takyi su jednaki. Isto tako su uglovi <BDC i <ECx jcdnaki (kao saglasni uglov i na transverzali dviju pravih), Otuda je <BCE=<ECx sto znaci da je CE simetrala vanjskog ugla kad vrha C.

Pitanja za pOl1avljanje:

1. !ita je simetrala ugla? 2. Koja znacajna lacka trouglaje vezana za simetrale njegovih uglova? 3. Koje osobine imaju simetrale unutrasnjih uglova trougla?

Zadaci za vjezbu:

2.34. Trougao ABC ima stranice a=12, b=15 i c=18. Odrediti odsjccke na koje , ...... , simctrala unutrasnjeg ugla iz vrha A dijeJi stranicu a.

C 2,3.~.' Odrediti duiine duzi koje simctra!e uglova trougla ABC gradc na njegovi-m ---.-. stranicama ako je:

51

(a)~a~20, b~15, c~7 b) a~14, b~15, c~20. 2.36'.'Stranice trougla su 2, 3 i 4. Na koje dijelova sirnetraie njegovih ugJova dijeJe

njegove stranice? 2.37. Nekaje M tacka u kojoj simetrala ugla C troug!a ABC sijece stranicu AB.

Izracunati AM i MB kao funkciju od stranica BC~a, AC~b i AB~c trougla. 2.38. Nekaje N tacka u kojoj simetrala vanjskog ugla kod vrha C trougla ABC

sijece polupravu AB. Izracunati AN i NB kao funkciju od stranica BC=a, ._~ AC~b i AB~c trougla. (,~._~ Simetrala ugla A na osnovici jednakokrakog trougla ABC na kraku Be gradi

odsjecke min. Izraziti osnovicu a trougla kao funkciju od min.

2.6. Homotetija geometrijskih figura

2.6.1. Pojam 0 homotetiji. Homotetija kao preslikavanje

Nekaje 0 stalna tacka ravni, X rna koja tacka te ravni i k feaian broj, Svakoj tacki X ravni moze se pridruziti tacno jedna tacka X' te ravni,tako da vrijedi

(SI.2.32.).

B '. c . .E'

• A f!{ .. •

", S' , S1.2.32. Svakoj tncki X ravni pridruzena je tacka X' tc rami.

Definicija 14: Presli~~,?je koje svakoj tacki X pridruiuje lacku X' tako da vrijedi

vektorska jednakast OX~ = k· OX ,gdje je 0 rna koja stalna lacka ravni i k rna

ko}i realan bra), naziva se homotetija. Tacka 0 se love centar homotetije,a realan bro) k koejicijent nomotetije, a lacke Xi ,X1 korespondentne locke homotetije.

Za korespondentne tacke homotetije ka7-erno i cia Sli hcimoteticne tacke .. Homotetija s centrom 0 i koeficijentom k oznacava se H(O, k).

52

Ako se figura F homotetijom preslikava u figuru F', tada kazemo da su F F' homotcticne figure,

Homotetijaje odredena svojim centrom i koeficijentom,

Ako je koeficijent k homotetije pozitivan (k>O), za homotctlju kazemo da ie direktna. U s[ucaju kada je kocficijent homotetijc negativan braj (k<O), kaiemo da .Ie homotetija inverzna.

Ako za koeficijent k homotetijc vrijedi k= 1, tada se syaka tacka ravni preslikaya u samu sebe paje ovakva n01110tetija identicno pres!ikayanje. Homotetija s koeficijentom k=-~l je, iz prvog razreda poznata, centra Ina simetrija s centrOI11 koji se poklapa s centrom homotetije.

2.6.2. Homotetija nekih geometrtjskihfigura

Posmatrajmo vektor AS i njegovu hOl1loteticJ1u sliku A'S' U odnosu na hOl11otctiju

HCO, k) (SI.2.33.).

SL2.33. HomoletUom se vektor prcsliknva u paraldan vcktor.

Teorema 14: Homoteti,jom H(O, k) sc vektor AS transformise u kolincaran

"ektor A'B' ~ k AS ,

Dokaz: Prema definiciji homotetijc jc

~-- --OA' ~kOA 08' ~kOB.

Prema S1.2.33. j definiciji zbira 1 raz!ike vcktoraje

A'B' ~A'O+OB' ~-OA'+OB' ~ -~-.~

~ -k·OA +k·OB =k'(OB-OA)=k·AB

53

PosJjedice teoreme 14: I) Aka je k>O homotetijom H(O, k) se vcktor preslikava 1I vektor istog pravea i

smjera. 2) Ako jc k<O homotetijom H(O, k) se vektor preslikava u vektor istog pravca, a

suprotnog smjera. 3) Homotetijom se duz presiikava u paralelnu duz. 4) Homotetijom se prava preslikava u paralelnu pravu. 5) Homotetijom se po!uprava presiikava u paralelnu polupravu istog smijera ako

je k>O i sllprotnog smjera ako je k<O.

Tcorema 15: Homotetijom se ugao preslikava upodudaran ugao.

Dokaz: Ako je homotetija BCO, k) direktna tada se ugao <xOy OV0111 homotetijom transformise II ugao <x'O'y'. Prema posJjedici 5 prethodne teoreme uglovi <xOy i <x'O'y' su uglovi sa paralelnim kracima istog 5l11jera. Poznato nam je da su ovakvi ugJovi jednaki. U slucaju daje homotetija H(O, k) invcrzna, tada 5U uglovi <xOy i <x'oy uglovi sa paralell1im kracima suprotnog smijcra, pa su opetjednaki.

Teorema 16: Za sve mnogouglove vrijedi: Ako su dva mnogougla homoicticna tada su ll.jihovi korespondentni uglovi jednaki i korcspondentne strallicc proporcionalne.

Dokaz: Prema prethodnoj leorcmi SH korespondentni uglovi homoteticnih mnogouglova jednaki. Ako stranica AB jednog mnogougla odgovara stranici A'B' njemu homolctic!log mnogougla, tada je, prcllla teorcllli 7, A'B': AB = k., gdje je k kod'lcijcrit hOlllotetije. Ovo vrijedi za svake dvije odgovarajuce duzi. OLuda su odgovarajuce duzi homoteticnih mnogoug!ova proporcionalne.

Posljcdica 1: Homoteticni troug!ovi imaju jednake odgovarajucc uglove proporcionatne odgovarajuce stranice.

Dvije kruznice koje se nalaze u istoj ravni su uVljck hOlllotcticnc. U slucaju da su radijusi kruznica razliciti, kruznicc su bomoteticl1c direk.tno i inverzno. Navcdenu konstataciju dokazacemo u d\jema sljedecim tcorcmama.

Teorema 17: I\ieka su date dvije kruznkc k(S, R) i k(S', R'). Tada vrijedi:

1) Prave odrcdjcne krajnjim hlckama paralclnih radijusa R i R' koji imaju isH smjer sijclm OStl kl<uinica u istoj tacki.

Prave odredjenc krajnjim tackama paralelnih radijusa R i H' koji imaju suprotan sllljer sijeku osu kruznica u istoj tacki.~ .. _

54

Dokaz: I) Neka su krllznice k(S, R) i k(S', R'), R>R', predstavljene na SI.2.34. Neka su paraJelni radijusi u istom smijcru R=SM i R'=S'M'. Ozna6imo ta6ku presjeka pravih MM' iSS' sa O. Tada prema Talesovoj teoremi vrijedi:

OS : OS' ~ SM : S'M' (=R:R').

Vidirno daje tacka 0 podijelila duz SS' vanjskom podjelom U omjeru R:R'. Kako su dliZine radijusa kruznica, kao i njihova sredista, fiksnc, to je i tacka 0 fiksna sto znaci da ojen polofuj ne zavisi od toga koji polozaj radijusa R i R' je Hzet. Dakle, prave koje sadrze krajnje ta6ke paralc[nih radijusa dviju kruznica istog smijera, sijeku se u istoj tacki O.

M

.~.34. Dvije kruznice II istoj rami uvijck Sll homoteticne

2) Posmatrajmo sada paralelne radijuse R=SM i R'=S'M 1 koji imaju sup rotan smijer (S1.2.34.). Neka se pravc SS' i MM I sijcku u tacki 0'. Prema Talesovoj teoremi vrijedi:

O'S : O'S' = SM : S'M I (= R:R').

Iz posijednje proporcijc se vidi da je duz SS' podijc!jena tackom 0' u razmjeri R:R'. Kako samo jedna tacka dijeli duz u datoj razmjcri to polozaj tacke 0' ne zavisi od izbora suprotnih radijusa SM i S'M! sto znaci da je za svaki njihov izbor presjecna tacka prave odreaene njihovim krajnjim tackama s osom kruznlca ista tacka 0'.

Teorema 18: Dvije kruznicc razlicitih radijusa kojc pripadaju istoj ravni homoteticne su direktno i inverzno.

Dol",,,: Dokaiimo, prvo, da su kruznice Ic(S, R) j k(S', R') direktno bomoteticne. Prema SI.2.34. vrijedi:

as OM R ~ odnosno,

R' OS' OM' as ~ _1<.. oS' OM~'~ .. OM'.

R' R'

55

Posljednje dvije jednakosti kazuju da su sredista kruznica homoteticne tacke U odnosu

na homotetiju H( 0, :,), i isto tako da su u istoj homotetiji homoteti"ne tacke M i

M'. Kako su radijusi SM i S'M' uzeti proizvoljno, koristcCi prethodnu teoremu, mozemo tvrditi da svakom paru paralelnih radijusa istog smijcra odgovaraju krajnje tacke koje su homoteticne u odnosu na lsti centar 0 i sa istim koeficijcntom (R : R'). Na osnovu recenog zakljucujemo da su date kruz,nice direktno homoteticne.

Na analogan naein se dokazuje da su posmatrane kruznice inverzno homoteticne u

odnosu na homotetiju H( 0' _ _ l!:...) , \. ' R'

Centar homotetije oekih kruznica moze se odrediti pomocu njihovih zajednickih tangenata. Tako, ako kruznice imaju dvije vanjske zajednicke tangente, njihov centar homotetije je presjck 1'ih tangenata. Centar invcrzne homotctije dviju kruznica je prcsjek njlhoyih z<ticdnickih unutrasnjih tangena1'a.

Pitanja za ponavljanje:

1. Kada kaiemo da su vcktori kolinearni? 2. Kako se dejiniJe hamatetUa? 3. Kada za hamotetiju kaiemo daje inverzna? 4. Za kaje jigure kaiemo da su homoteticne? 5. Da Ii su homotetienejigure padudarne? 6, Je Ii centralna .'limetrija hamotetija? 7 Kako se homOfefijom prcslikava prara? 8 Kada se prava hOl1lotctijom preslikava u samu sebe? 9. Staje homoteliena slik~ duzi? j O. Kako se homotetijom prcslikava pravi ugao? 11. /{;ta vrijedi za odgavarajuce uglave homolelienih mnagaug!ova? 12, Kakl'i su ugfavi h0l71otetih7ih trouglova? J 3. Kakve 8U stranice hmno!cticnih trouglova? } 4. Ako su odgovarajuce sfranice dva trDugla proporcianalne,da Ii su frouglOl'i

homoteticni? 15. Kada su dvije krlfinice hal11oteti(:ne? 16. Staje centar i kolikije koeficijent hOl11otcfije dl'iju kruinica?

Zadaci za vjczbu:

2.40. Datje troll gao ABC i tacka 0 "an njcga. Konstruisati homoteticnu sliku A'B'C'datog traugla za homotetiju: a) Il(O, 2) b) B(O, -I)

2.41. Konstmisati trougao koji jc direktno i inverzno hOJ11otetican sa da!im trougloni A Be ako je centar homotetije:

56

;;:1

a) vrh A tmugla, b) teziste T trougla c) tacka 0 van trougla.

2.42, Konstruisati homotetiCl1u slikll date prave a aka je: J) centru' homotetije 0 van prave,i koeficijent k=3 2) centar homotetije 0 na pravoj i k=-2

2.43, Dataje duz AB=5 em j tacka 0 van nje. Konstruisati homoteticnu dnz ove dllZi u homotetiji:

r I ! aJ HI 0'0)· , -

2.44. Konstruisati homoteticnu sliku datog ugla <xOy u odnosll na centar homotetije S i koeficijent 1\=-3.

2.45. Konstruisati trollgao ABC u komc Sll dati vrh A, teziste T i prave b i c na Kojima leze stranice AC i AB.

2.46. Konstruisati trougao ciji su uglovi jednaki,a stranice dva puta vcce od stranica datog trougJa.

2.47. Dvajednakostranicna trougla irnaju paralelne odgovarajuce stranice. Odrediti centar homotetije ovih trougJova.

2.48. Datje ugao <xOy i tacka M u oblasti ugla. Konstrulsati kruznicu koja dodiruje krake ugla u prolazi tackom M.

2.49. Dokazati daje teziSte datog trougJa ABC centar hOl11otctijc ovog trollgla i trougla ciji su vrhovi srcdista stranica datog,

2.50. DCite Stl kruznice k(SI, R) i k(S], !!:... ). Centralno rastojanje OY1h kruznica 2

je S 1 S2 = 2R. Konstruisati centar homotctijc kruznica.

·2.5 J. U datu kruznicLl upisati trougao cije Sll stranicc para!clllc stranicama cia tog trougla.

2.52. U trouglu ABC vrhm'i A i B su fiksnc tacke, a stranica BC=a ima stalnu velicinu. Odrediti skup srcdista M promjcnljive stranice AC troug!a.

2.7. Slicnosl geomchijsldh fignra

2,7.1. Sficf10st kao preslifwl'anje. P{~iam () slic!losti geometrii\"kih figura

Ranije smo upoznali preslikavanja geometrijskib figura kao 5tO sn translacija, simetrija, rotacija. O"a preslikavanja imaJa su zajcdnicku osobillu da su cuvaJa rastojanje izmeau tacaka i jednu figuru su preslikayala u njoj podudarnu flgurtl. Sada upoznajmo jedno drukcije preslikavanjc:

57

Definicija 15: Aka ZG dv?je jigure F i F' pastoji preslikavary'e kaje svakom paru fa(aka AI iN prvefigure pridruiuje par tacaka M' i N' druge taka daje odnos duif M'N':1'vIN stalan broj i ohrnuto,svakom paru taeaka M' i AT' drugejigure pridruiuje par tac~aka MiN prve tako daje odnos M'N':MN i>lalan broj, naziva se sliCnOSl. Za figure F i F' kaiemo da su slicne.

:ridimo .. da slicno.st ne cuva rastojanje medu tackama. To znaci da sJicnost nije IzometnJa. Meauhm, ovim preslikavanjem se zadrzava odnos korespondentnih duzi sto rezultira time da se njime ne mijenja oblik figure. Preslikavanjem slienoseu, figura se preslikava u manju i!i veeu (specijaJno, i u podudarnu).

Vee smo dciillisali kada za dvije figure kaiemo da su slicne. Slicnost dviju figura se maze definisati i POJ1l0CU homotetijc i podudarnosti na sljcdecj nacio:

Dcfinicija 16: Za dvUefigure F iF' kaiemo da su sliene aka pastaje Irecafigura Ffl kojaje sajednom od jigura F iii F' podudarna a sa drugam hamateliena.

Ako su figure F iF! slicnc to pisemo i ovako F - F'.

s

o SL2.35. Figme F j F" su homotcticnc, F" i F' podudamc, a r i F' Sll slicne. c

Sliene figure imaju ccntar i kocficijent siicnosti. Centar sJicnostije centar hOll1otetije jcdne od figura i trcce figure koja je sa ojom homoteticna a s drugom figurom podudarna. Na S1.2.35. ccntar sliCllosti figura F i F' je tacka O. Koeficijent slicnosti figura Fir' jc kocficijent homotetijc figura f iF". U z3visnosti da Ji su figure F i F" direktno iIi invcrzno hOll1oteticne i figure F i P' mogu bit! direktno ,iIi inverzno slicne.

Kako je svaka figura podudarna sa samom sobom,to su dvijc hOll1oteticne figure u\'ijek slicne.

58

,ji

Vidjeli smo da su dvije kruznice uvijek homoteticne,a sada mozemo kazati da su sve kruznice slicne. Za ostale figure ne vrijedi gornja tvrdnja. Posebno cemo se zabaviti proucavanjem slicnosti mnogouglova.

2.7.2. Slicl10st mnogouglova

Kako je svaki mnogougao geometrijska figura, koristeci definiciju 16 mozemo kazati:

Dcfinicija 17: Za dva mnagougla kazema da su slicni aka postaji treti mnagaugaa kajije sajednim padudaran, a sa drugim hamate/iean.

Odredivanjem mnogougla koji je s jednim od dva l11nogougla podudaran, a s drugim homotetican, siieoi moogouglovi se dovode u polozaj kada se mogu odrediti korespondentni vrhovi, korespondentni ugJovi i korespondcntne stranice.

Teorcma 19: Dva mnogougla ARenE i A'B'C'D'E' slicni su ako i sarno ako su im korcspondcntni uglovi jednaki i Imrespondcntnc stranice proporcionalne.

Dokaz: a) Neka su mnogouglovi ABCDE i A'8'C'D'E' s!icni. Dokaiimo da su korespondentni uglovi jednaki i korespondentne stranicc proporcionaJne. Kako su mnogouglovi ABCDE i A'B'C'D'£' po pretpostavci s1i6ni, to postoji mnogougao A"B"C"D"E" koji je s prvim mnogouglom homotetican, a s drugim podudaran, pa za uglove vrijcdi:

<A=<A", <B=<B", <C=<C", <D=<D", <E=<E" <A'=<A", <B'=<Bll, <C'=<C", <D'=<DH, <8'=<E",

odakle se neposredno z.akljucujc

</\=<A', <B=<B', <C=<C', <D=<D', <E=<E',

Za stranice rnnogouglo\'a wijedi: AnB" BI! ell CII ])t1 ])I! Ett AI! Ett

="--=~-"=--=k, AB BC CD DE AE

A'B'=A"B", 8'C'=B"C", C'D'=C"D", D'£'=D"E", A'D'=A"D" ,

odakle zakUucujemo da vrijedi AI Bl B' C I C'DI D' E' .AI EI ~=-"--=--"=--=--=k AB BC CD DE AE

_sto znaci da su stranice slicnih mnogoug!o\'a proPQ[cionalne.

59

b) Pretpostavimo da mnogollglovi ABCDE j A'B'C'D'E' imajujednake odgovaraju6e llglove i propoicionalne odgovaraju6e stranicc. Dokaiimo da su o"i mnogouglovi slicni.

Prema pretpostavci teoremc je <A=<A', <B=<Bl, <C=<C', <D=<D', <E=<E'

A'B' B'C' C'D' D'E' A'E' -- ··-=k

AB Be CD DE AE '

" D'

SL2.36. Mnogouglo\'i ABeDE i A 'B'C'D'E' su s!icni

Uzmimo ma koju tacku 0 ina polupn1Yima OAt, OB', OC, OD' i OE' odrcdilllo tacke A", B", C n

, D" i En tako cia bude

C'D' D'E' A'E' ~. = k.

C"D" D"E'! AilE"

Dobiveni mnogougao A"B"C"D"E" je hOlllotctican sa c1atim mnogougJO!1l A'B'C'D'E' U odnosu na homotetljll H(O, k).

Kako SlJ odgoyarajuci ug!OYl h011loteticnih mnogougloyajednaki to je

60

pa na osnovu pretpostavke vrijedi:

<A"=<A, <B"=<B, <C"=<C, <D"=<O, <E"=<E.

A'B' Iz -- =k

AB

A'B' --- =k ,zakljucujemo daje AB=A"B". A"B"

Na anaJogan nacin dobije se: BC=B"C", CD=C"D", D8=D"E", AD=A"D". Na osnovu dobtjenog vidt se da mnogoug[ovi ABeDE j A"B"C"D"E" imaju jednake odgovaraju6e uglove i jednake odgovaraju6c stranice,pa su podudarni. To znaci da je mnogougao A"B"C"D"E" podudaran sa mnogouglom ABCDE , a homotetiCan sa A'B'C'D'E', pa su prema definiciji 16 mnogouglovi ABCDE i A'B'C'D'E'slicni.

Prethodna teorema sluzi kao kriterij priJikom ispitivanja da Ii su dva mnogougJa slicna, pa se slicnost mnogouglova maze definisati i na slijedeci naCin:

Dcfinicija 18: Za dva mnogougla sa isfim brcy·em stranica kaiemo da su slicni ako je redomjedan ugao prvog mnogouglajednak sa pojednim ug/om drugog idud u is(om smijeru i ako su fm odgovarajuce slran;ce proporcionalne.

Teorema 20: Svaka dva pravilna n-tougla (n>2) su sliena.

Dokaz: Svaki ugao pravilnag h-tougJaje en =2) 80° ,pa dva pravilna n-~tougla n

imajujednake sve odgovarajuce ugJove. Kako su sve stranice pravilnog rnnogougJa meausobno jednake to SD odgovarajuce stranice dva pravilna n-tougla proporcionalne sa koeficijentom koji je jcdnak odnosu dviju (odgovarajucih) stranica. Tako, prema definiciji 17, pravilni n·-tougloyi su sJicnt.

Teorema 21: Obimi slicnih mnogougluva proporcionalni 8U svaimm paru odgovarajucih stranica ovih mnogouglova.

Uokaz: Neka su dva mnogougla ABCDEF i A'T3'C'D'E'F' slieni. Tada vrijcdi: AB BC CD DE EF AF -- = --- = -_.- = -- = --= --- = k. adakle .Ie dobiia A'B' B'C' C'D' D'E' E'F' A'F'

Za ohimc 0 j 0) mnogoug!ova vrijed!: o AB+BC+CD+DE+EF+FA

0, NB'+B'C'+C'D'+D'E'+'E'F'+FA'

kA 'S'+kB' C+kC'D'+kD'E"1-kE'F'+kF' A'

A'B'+ B'C'+C' D'+ D' E'+E'F'+F' A'

61

k('\'B'+B'C'+C'D'+D'E'+E'F'+F'A') _ _ AB _ BC _ CD _ DE EF AF A'B'+B'C'+C' D'+D' E'+E'F'+F' A' - k (" A'B' -fi:C- C'D' - D'E' ~ E'F' ~ AT)'

2.7.3. Slicnosf trouglova. Sfaw)vi 0 slicnim trouglovima

Kako je trougao jedan od mnogouglova, to sve sto je receno 0 slicnosti mnogouglova vrijedi i za trouglovc vodeci raeuna 0 broju stranica,odnosno uglova. Ipak, kako se trougao veoma testo susrece u raznim zadacima i primjenama, posebno ccmo obraditi siicnost trouglova.

Dcfinicija 19: Za dva trougla kaiemo da su sfiena aka je jedan od I1jih podudaran, a drugi homotetican sa nekim treCim trouglom.

Iz teoreme 19 neposredno slijedi slijedeca:

TCOI'cma 22: Dva trougla ~ABC i i1A'B'C' su sliena ako i sarno ako su im odgovarajuci ugiovi jednaki i odgovarajuce stranice proporcionalne.

Da bi se utvrdilo da Ii Sli dva trougla stiena iii nisu, nije potrebno prona!aziti tred trougao koji je sa jednim ad datih podudaran, a sa drugim slican, niti je potrebf)o provjeravati da Ii je ispunjeno svih sest uslova: jednakost tri para uglova i proporcionalnost tri para stranica. Za ispitivanje da Ii ,Sll trouglovi slient iii ne koristiCemo jednu od slijedecih teorema koje 5e nazivaju i stavovi slicnosti:

Teorcma 23 (Prvi stay 0 slicnosti trouglova): Dva trougla su slieua aim su dva ugia jedoog trougla jednaka odgovarajucim uglovima drugog trougla.

C'

A' B'

~ __ -L ______________ L---1B SI.2.37. Dva trollgla sa po dvajednaka ugla Sll sl!cni.

62

I

Dokaz: Neka za dva trougla !lABC i !lA'B'C' vrijedi: <A~<A' i <B~<B'. Dokaiimo da su trouglovi slieni (S1.2.37.). Kako je zbir uglova svakog trougla 1800 to je i <C=<C. Na polupravoj CA uzrnimo tacku A" tako da bude CA"=CA', a na polupravoj CB tacku B" tako da je CB"=CB'. Trouglovi !'\A'B'C i ~A"B"C irnaju jednake po dvije stranice i nj ima zahvacene uglove, pa SU, prema stavu SUS 0 podudarnosti trouglova, podudarni. S druge strane su duzi AB i A"B" paralelne (zasto?), pa aka posmatramo homotetiju sa centrom u C i koeficijentom AB:A11 BH

, pokazace se da je AABC homotetican sa AA"B"C. To znaci da su uglovi AA'B'C' jednaki odgovarajucim uglovima ~ABC, a njegove stranice su proporcionaine sa odgovarajucim stranicama dABe, pa su, prema teoremi 22, posmatrani trollglovi slicni.

Teorcma 24 (Drugi stay 0 slicnosti trollglova): Dva trougla su sticna ako je jedan ugao u prvom trouglu jcdnak jcdnom uglu u drugom i ako su korcspondcntne stranice koje obrazuju ove uglove proporcionalne.

Dokaz: Ncka su dati trouglovi 6.ABC i AA'B'C za koje vrijedi AR:NR' ~ AC: NC' i <A ~ <A' (S1.2.38.).

Na po[upravoj A'B' odredimo tacku B" tako da bude AB=A'B", a na polupravoj A'C' odredimo tacku C" tako da je AC=A'C II

• Trouglovi AABC i AA'B11C" su , prema stavu SUS 0 podudarnosti trouglova, podudarni, paje <B = <B". Prema prctpostavci teoreme je AB:NB'~ AC: NC', pa vrijedi A'B":A'B'= A'C": A'C', odakle, prema Talesovoj teoremi, slijedi daje prava Bile" paralclna sa pravom B'C'. Zato su ugJovi <A'B'C' i <A'BIIC", kao saglasni uglovi na transverzali paralelnih pravih, jednaki.

Sada vidimo da trouglovi !lABC i !lNB'C' ImaJu po dva jednaka ugla, pa su, prema prethodnoj teoremi, slicni.

A

C Cn

R N B' Bn

SL2.38. Dva trougla su sliena ako Sll dvije stranice jednog proporcionalne sa dvjema stranicama drugog i ako ovirn stranicama zahvaccni ugJovi jednakL

63

Teorema 25 (Treei stay 0 slicnosti trouglova): Ako su sve hi stranice jednog trougla proporcionainc sa odgovarajucim stranicama drugog onda su ova dva trougla sliena.

Dokaz: Neka trouglovj ABC i A 'we' (SL2.39.) imaju proporcionalnc odgovarajuee stranice tj. neka vrijcdi:

AB _ BC _ AC _ k A'B--;- B'C'- A'C'- .

Dokazimo da su ovi trouglovi sllcni.

C'

SJ.2.39. Tronglovi 6ABC i flA'B'C' SH sliCni.

Konstruisimo ,1AB"Cn tako da tacka en pripada polupravoj AC i da vrijedi AC"~A'C', a tacka B" da pripada polupravoj AB ida bude AB"~B'C', Tada vrijedi:

Trouglovi ,1ABC i AA nB"e Sll h01110teticni sa cent rom homotetijc A kocficijentom k. Za duzi BC i BnC" vrijedi

BC

B"C" ,1_~ ~ k, a na osnovu pretpostavke {eoreme ie_BC = AC = k ACt! . B'C' A'e' '

pa, kako je, AC"=A'C' , to vrijedi B"C"=B'C'. Sada vidimo da trouglovi AA'R'C' AAB"C" imaju jednake sve tr1 odgovarajuce stranice, pa su, prema stavu SSS 0

podudarnosti trouglova, podudarni. Ovo znaci da AABC 1 L\A'B'C' j l11aju po jedan jednak ugao «A=<A') , a kako Sll im sve odgoyarajuce stranice proporclonalne, to su oni, prcma prethodnoj teoremi, slicni.

Teorcma 26 (Cetvrti stay 0 s!icnosti trouglova): Ako su dvije stranicc jcrlnog trougb proporcionainc sa odgovarajncim dvjema stranicama drugog i aim Sil ugiovi nasuprot vcCih od ovih stranica jcdnaki, onda su ova ova tnmgla stiena.

'.-Te9remu·ostavljamo ne navodcci dokaz.

64

Stavovi slicnosti trouglova rnogu se pri!agoditi pravougllm trouglovima pri cemu se dobije:

Prvi stay 0 slicnosti pravouglih trouglova: Dva pravougla lrouga su slicna ako imajujcdnak pojedan (),{'far ugao .

Drugi stay 0 slicnosti pra-vouglih trougloya: Dva pravougla trougla su s/i(na ako Sli katete jednof; proporciOllalJlc odgovarqjui'i}}1 katetama drugog.

Treci staY 0 slicnosti pravouglih trouglova: Dva pravougla trougla su sli(na aka su hipotenuza i katetajednog praporcionalne s hipotenuzom i kafetol11 drugog troug/a.

2.7.4. Odnos visina, obima i povr,'fina slicnih trouglOl.'a

Ranije (T.2 J.) smo vidje!i da su obimi slicnih mnogouglova proporcionalni odgovarajucim stranicama. Navedena teorema vrijedi za sve sticne mnogouglove, pa i za troug!ove. OVdje cemo upoznati jos neke osobine slicnih trouglova. Zato navedimo s!ijedecu tcoremu:

Teorema 27: Za <Iva sliena trougla vrije<li:

a) Obimi siicnih trouglova su proporcionalni odgovarajuCim stranicama. b) Visine slicnih trouglova proporciortainc su njihovirn odgovarajuCim

stranicarna. c) Povrsine slicnih trouglova propordonalnc su kvadratima njihovih

odgovarajuCih stranica.

Dokaz: a) Ovaj diD teoreme dokazan je prilikom dokaziYanja T,21,

C' h~a b' hI

A' D' B' A D B SJ.2.40. Visine slicnih trouglm'a propol'Cionaine su odg.o\·arajucim stranicama

b) Reka su trouglilvi L'.ABC i L'.A'B'C' slieni (S1.2AO} Tada za stranice i uglove ovih trouglova vrijedi:

65

abc ----~-~-~k a' b' c'

< A ~< A',< B~< B', < C~< C' (*)

Ncka su CD=n i C'D'=h' dvije odgovarajuce visine datih troug!ova. Tada pravoug!i trouglovi ~BDC i 6.B'D'C' imaju jcdnake ostre uglove , <B = <B', pa SU, prema prvom stavu 0 s!icnosti pravouglih trouglova, slicni. Zato vrijedi:

h a

h' a' Sada, lla osno\'u reiacija (*), mozcmo pisati:

h:h' = a:a' = b:b' = c:c' ,

5tO znaci da su visinc s!icnih trouglova proporcionainc njihovim odgo\'arajucim stranicama.

c) Neka su P 1 p' pO\Tsine !~ABC, odnosllo t\A'B'C'. Kako je, prema oznakama sa

SI.2.40.: P'=~ 2 '

to imamo, zbog b): c· h c'-h'

P:P'~-:-- ~> 2 2

Pee => =>

P' c ' c'

p c' P' =;12

P c h

P' c' h'

Primjcr 1: Visinc ujcdnom trouglu obrnuto su proporcionalne odgovarajucim stranicama. Dokazati.

RjcSenje: Neb su AA' i CC' ,isine lrnugla ABC (SI.2.41.).

SL2.41. Visine trougla su ObllLlLO pmporcionalnc stranicama

66

C

S1.2.42. Tciislc lrollgla dijdi sYaku te2iSnicu U omjc.m 2:1

Pravougli trollgiovi j,BCC i j,AA'B imaju zajednicki jedan osiar ugao (SI.2.41.), pa Sll slicni. Kako su odgovarajuce stranice sli6nih trougtova proporcionalne, to vrijcdi:

AA' : CC' ~ AB:BC

Analogno se dobiju proporcije:

Prill1jer 2: Prtmjcnol11 slicnosti dokazati da leziste lrougJa d~jdi svaku tczisnicu u omjeru 2: 1.

RjcScnjc: Posl1latrajmo ,:\ABC (S!.2.42). Neka su tacke A' i B' redoll1 sredista siranica Be i AC. Oznacilllo leziste /~ABC, tj. tacku pre~leka tezisnica AA' i BB' sa T:Duz B'A' jc srednja dui .6.ABC paje AB=2·A'B' i AB it A'81

• Trouglovi .6.ABT i b.NB'T su slicni jer imaju po dva jGdnaka ugla «ATB=<A'TB' -unakrsni uglovi, <BAT=<TA'B'''"naizmjenicni uglovi na transvcrzali dviju paralelnih pravill), pa su njihove odgovarajuce stranice proporciona!ne:

AT : TA' ~ AB : A'B', BT: TB' ~ AB : A'B'.

Kako je AB:A'B' ~"'" 2: 1, to vrijcdi

AT : T A' ~ BT : TB' ~ 2 : I.

Analogno se dokazuje dajc i CT:TC'=2: 1, gdje je CC treca tezisnica L\ABC,

Primjer 3: Konstruisati trougao s!ican datom koji ima dva pula vece stranice.

Analiza: Nekaje .6.ABC dati trougao (SL2.43). N"a po!upravoj AS odrcdimo tacku B' tako da bude BB':::.AB. Ncka prava koja prolazi tackom 8' , paralc!no sa BC, sijece potupravu AC u tacki C'. Trougao f...AB'C' je traieni trougao.

x c C'

A B Sl.2.43. Strallice ,:\AB'C d\'a puta Sll vece

.)d slranica jABC

Konstrukcija: I) Poluprava Ab; BEb 2) k(B,AB)nAb={B'} 3) B'x II BC 4) B'xnAc~{C'} 5) .MB'C' Dokaz:Trcba dokazati da

BI b dobiveni L\ABIC ispunjava datc uvjetc,odnosno daje

slican datolll trouglu i da ima

67

dva pu1a veee stranice. Prema tacki 2) konstrukcije, vidi se da je ABt:AB=2: 1 , a prema tackama 3) i 4) duzi BtC' i BC su paralelne. Kako je, prema Talesovoj teoremi, B'C':BC~AC':AC~AB':AB, to je B'C'~2-BC, AB'~2-AC i AB'~2-AB, pa su stranice dobijenog trougla proporcionalne sa stranicama datog i dva puta vece od nj111. Ovim je dokazano da je dobijeni trougao sliCaIl datom i da ima dva puta vece stranicc.

Diskusija: Zadatak uyijek imajedinstveno ljeScnjc bez obzira na to kakav je dati trougao.

Primjer 4: Dat je i\ABC i ohim 2s' trougla A'B'C'. Konstruisati /\A'B'C' ako je poznato daje s1iC~an s datim AABC.

Analiza: Neka je L~ABC dati trougao sa stranicama a, b i c (S1.2A4). Obim datog tfOugla je 2s=a+b+c. Kako su obimi slicnih trougJova proporcionalni odgovarajucim stranicarna to je

25':25 = a':a

odakle se maze odrediti stranica a' trazenog trougla 1<ao jedlna nepoznata II gorn~oj

proporciji (primjene Talesove teoreme, S1.2.44.a»). Nakon toga se na polupravoj Be odrcdi tacka C' tako da bude BC'=a'. Paralela kroz C' sa AC sijece polupravu BA u tacki A' (S1.2.44.b»). Trazcni trougao je ~A'BC'.

A'

a)~ __ _ a'

o b)

A

c

s

B S1.2.44. Tf()ugao A'BC' jc sliean datom L\Al1C i zaoovolja\'(j date uvjc.te

Dokaz: Trena dokazati daje dobivcnj trougao slieall sa datim i da 1ma ohim kojijc jednak datoj duzi 2s'. F'rcma konstrukciji duzi BC' je: BC':BC = 2s':25.

Kako su duzi AC i A'C' paralelne, to je: A'C':AC ~ BA':BA ~ BC':BC.

Otlldaje LlA'BC' slican sa AABC i daUc vrUe:~i

68

A'C':AC ~ BA':BA ~ BC':BC ~ 25':2s, pajc

A'C s' ~' s'

AC, BA'~--BA BC=--BC, s s s

odnosno,

A'C+BA'+BC = s' (AC -I 13A + BC) = s'2s = 20" _ S S

Dakle, obim dobi\'cnog trougla z,aistajc jcdnak datoj duzi 25'.

Pitanja za ponavljanje:

J ,~fa podrazumijcramn pod pojmom s1icllosl? 2. Za kakve fizure kaiemo da su sfi{ne? 3. ,~taje CC1;r{~r slienosti dl'UU slicnihfif!,ltra? 4. Sta naziramo kocJicfjent slic'!nosti drfju s!ienii1ji711ra? 5. Kada su dYije figure dirckf110, a kada illVCrZ170 s/i/!nc? 6. Kolikije kOr!ficijent sli510Sti fJodudarnihfigura? I. ;;a kakrc mnogouglow; kaicmo cia SLl slicni? 8. Sta sc moze kazoti za stranicc, a .(ta za uglrrre slicl1ih mnogm!gfora? 9. Koji prayifni nmogoug!ovi su sfic"nf? 1 aSia vrfjcdi .::0 ohime s{i(nih mnogmrgioyo? J J. Kada koicl1!o do Sii d1"a trough; shena? j 2. Kakve su slranicc, a kakrj uglori slicl1ih troliglora? 13. ?'Vavedt stavol'C 0 slirnim froug/(JYima? J 4. Koj! slaro)'i s!i/:nosfi l'i'Ucdc ::0 prarollgle rrouglorc? 15 Kalea ,Ie odn()se l'isine slicnih tro:tglm-o? J 6. Ji?SU Ii pm'dine slicl7ih trolfgiol'o proporciol101ne )~iiho)'im odgorarajuCim

stranicama?

Zadaci za Y,lczhu:

2.53. Ako SH dY3 trollg!a sliclI8.. tada su tdisnc duzi ovih trouglova proporcionalnc odgo\'ar(~uciJ1l stranic3ma. Dokanti.

2.54. Rastojanje tczista trougla od strnnicc jednako jc trecini Ylsinc na ttl stranicu. Dokazati.

2.55. /\ko su dY[l tmugla slicna, tada.':ill td.isne cluzi jcdnog troughl proporclonalne odgoyarajucini tc2isnim duzima drugog. Dokazati.

2.56. A.ko su d\'a trougla silcn3. tada.':ill radijusi upisanih kruznka 0,\,111 trouglova proporcinnalni .()dgo\'an~j ue] III stranicama. Dok(jzati.

2.57. Ako Sl1 ova tmllg!(j slicna, (C1.d.3;':;u radijllsi opisnnih krnznica o\'ih trou'glova proporcionalni odgo\'arajucirn stranicama. Dokazati.

69

2.58. Dokazati da su dva trougla slicna ako su stranice jednog paralelne sa stranicama drugog.

2.59. Srcdine stranica trougla ABC su vrhovi trougla A'B'C'. Dokazati da su ovi trouglovi slicni i odrediti kocficijent slicnosti.

2.60. Ako dvajednakokraka trougla imajujcdnake uglove pri vrhu tada su slicni. Dokazati.

2.61. Dvije visine u troug[u sUeku se tako daje proizvod odsjccaka na jednoj jednak proizvodu odsjecaka na drugoj. Dokazati.

2.62. DUl, DE koja odgovara straniei AB, jc srcdnja duz troug!a ABC. Dokazati daje trougao ABC sliean troUghl CDE.

2.63. Ostar ugao jcdnog prawHlglog trouglaje 50°, a drugog 400• Da Ii su ova dva

pravougla trougla slicna? Zasto? 2.64. Jedan jcdna~okraki trougao ima pri vrhu ugan 72°, a drugi ima ugaa na

osnovici 36'). Ispitati da Ii su oVI trouglovi slienT. 2.65. Stranica trougJa je 10 i vis ina koja odgO\'ara ovoj stranici 15.

Pamielno sa datom stranicom poyucenaje pai'aJela ciji odsjecak koji pripada trouglu ima dllzinu 4. Ko!iko je vrh trollgla udaljen od paraJcle?

2.66. DYije yisine u trouglu razlikuju se za 8, a njihovc pripadne stranice iznose 15 i 20 jedinica. Odrediti visine.

2.67. Visina trougla duzine 6 dijcli pripadnu stranicu na odsjecke 3 i 4. Koliko je rastojaqje ortocentra troug!a ad date stranice?

2.68. Jedan trougao irna stranice a=25, b=30 i c=45, a obim drugog slicnog trougla jc 60. Ko!ikc su stranice drugog trougla?

2.69. Osno\'ice trapeza su 45 i 20. Jedna dijagona!a trapcza dijeli trapcz na dva slicna trougla. Odrediti duz.lnu oYe dijagonaJe.

2.70. Stranice parale!ograma s1l20 i 8. Manja \·jsina paraJclog,ramajednakaje 6. Odrcditi vceu visillu.

2.7!. Ova slicnajednakokraka trougla imaju zajcdnicku stranicu duz.ine 12. Osnoyica manjcg trougla jednakajc 9. Odrediti obime ovih troug!ova.

2.72. Srednja duz trapczajcdnaka je 9. Tacka prcsjcka dijagonala trapcza udaljcnaje od njego\'ih osnovica 7 i 5. Odrediti osnoyice trapeza.

2.73. Povrsine d\'aju s!icnih mnog,ouglova su 75 i 48, a obim drugog iznosi 20. Odrediti obim prvog mnogougla.

2.74. Stub da!ekoyoda baea sjcnku duzine 1001, a stap duzinc I m baca sjcnku dugu 50 ern. Izracunati visinu stuba.

2.75. Tacke Ai B nalaze sc na dostupnirn mjestirna a njihovo meausobno rastojanje se nc moze Jirektno izmjcriti. Pokazati kako se maze izracunati rastojanjc izmccIu tih tacaka.

2.76. M07,e Ii se odrediti sirina nekc rijckc bez prclaska na drugu obalu? 2.77. Konstruisati trougao s!iean datom ako muje datajedna stranica. 2.78. Konstruisati troLlgao sliean dalOm ako muje datajcdna yisina. 2.79. Konstruisati trougao slican datorn ako muje datajcdna tczisniea 2.80. Konstruisati trokut s!iean datorn koji im<1 tri puta \'cce stranice. 2.81. Konstruisati trokl1t stiean datom koji ima dya puta veee visinc. 2.82. Konstruisati trakut slican datom koji ima dva puta vccc tezisnicc. 2.83. Konstruisati pra\'ougl! trougao u kome je kaLcla b=6 i odnos druge katete

i hipotenuze 3:5.

70

2.84. Konstruisati jcdnakokraki trougao u kome je visina ha=6 i odnos os novice i kraka a:b=4:3.

2.85. Konstruisati trougao ako je poznato a:b:c=3:5:6 i ha=4. 2.86, Konstruirati jcdnakostranicni trougao u kome je poznat zbir stranice i visine. 2.87. Konstruirati jednakokraki trougao u kome jc poznata tezisnica koja odgovara

kraku i ugao pri vrbu koji obrazuju kraci. 2.88. Konstruisati pravougli trougao u komcje poznatjcdan ostar ugaa i zbir

hipotenuzc i visinc koja odgovara hipotcnuzi. 2.89. Konstruisati trougao u kome su poznata dva ugla i stranica na kojoj lcze ti

uglovi. 2.90. Konstruisati trougao ako muje poznatajcdna stranicajedan ugao na njoj i

razmjera druge dvijc stranicc. 2.9]. Konstruisati trougao sliean datom aka muje poznat radijus r upisane

kruznice. 2.92. Konstruisati trougao slican datom ako mu je poznat radiju$' R opisane

kruznicc. 2.93. Konstruisati pra\'ougaonik stican dalom ako mujc datajedna stranica.

2.8. Primjcna slicnosti na pravougli trougao. Pitagorina5 tcorcma

Primjenol1l s!ienosti dokazaccmo nekc va.zne tcorcmc ;a pravoug!i trougao.

Tcorcma 28: a) Katcta pravouglog trougla je gcometrijska sredina hipotcnuze i ' s\'oje ortogonaille projckcije na hipotcnuzu.

b) Visina pravouglog trougla na hipo-tenuzu je geomc~rijska srcdina odsjecaka kojc gradi na hipotcnuzi.

Dokaz~ Neka je MeB pravougli trougao sa pravim uglorn u vrh1.1 C i katetarna AC=b, BC=a. Hipotenuzu AB oznacimo sa c. Neka je CD visina troug1a koja odgovara hipotenuzi, a odsjecci na hipotcnuzi su AD=q j BD=p.

a) Pravougli LiADC ima zajednicki ostri ugao kod vrha A sa pravouglim tiACB, pa su ova dva troug1a slicna. Zato vrijedi slijcdeca proporcija:

AB:AC~AC:AD iii c:b=b:q.

Dobijena proporcija pokazuje daje b2:::;:;cq, odnosno dajc kateta b gcomctrijska srcdina hipotenuze c i svoje projekcije q na hipotcnuzu. PosmatrajuCi druga dva pravougla trougla, ilACB i tiBDe, na analogan nacin se dolazi do zaklj ucka da je a2 = cp cimc je prvi dio teoremc dokazan.

5 Pilagora (aka 530-510. pt"ijl' novc erc) - gr~ki [ilozof. malClll:lticar i drzamik. OSI11nlC lZY. pilagorejske skolc 71

b h a

q • I P

A D B SI.2.45, h2=pq; a1 =cp; b" = cq

b) Uglovi <CAD i < BCD su dV<1 ostra ugJa sa normalnim kracima, pa sujcdnakL Kako su troug\ovl ,6.ACD i ~BCD pnwougli sa po jednim jednakim ostrim uglom, to su oni slicni. Zato vrijedi:

AD:CD ~ CD.BD , odnosno g.h ~ hop ,

sto znacl daje hi. = pq, paje yisina h geomctrijska sredina odsjecaka p i q koje gradi na hipotcnllzi.

Tcorcma 29 (PitagoIina tcorema ):

, , ,\ , ,',' " ,., ' "

Kvadrat nad lupotcnnzom Jcdnalqc IJHru i(Yadra1a.nad katctama.

Dokaz; Upra\'o iz teoreme 28.a) daje a2= cp i b2~", cq nakon sabiranja dobijame:

J 1 _, 1 a' + b' ~ cp+cq ~ c(p+q) ~ c' ,

Da\de vrijedi:

1z pre1hodne jcdnakosti slijedi:

U _ 2 ,,2 U-C-a.

Teorcma 30 (Obrnuta Pitagorinoj ): I

Aim za ndd trougao vrijedi da jc kyadrat nad jed nom stranicQm jcdnal{ zhiru kvadrata nad drugim dvjema, tada Jc taj trougao prm'ougH.

Dokaz: ;-;cka za !\ABC sa stranicarna a , b l~c Yrijedi .' 2~i+~ (*)

U ravni "ABC odredimo tacleu D tako da bude <DCB pray; ; CD~b, Neb je hipotenuZ3 BD pravouglog l\BCD jednaka x. Tada, prcma Pitagorinoj teoremL vdjedi:

(**)

Uporeaujuci reiacije (*) i (**), zak!ju6ujemo daje x=c. Ovo, dalje, maci da trouglo'vi i)./\.BC j /\BCD imaju jednake sve tri odgovarajucc stranice,pa su podudarni, PodlH.brni 1':011gI0\,1 iml:~ju jcdnakc i odgm arajucc ugk~\'e, Taka je

/

A

B

c

C <ACB = <BCD, a kako jc <BCD Si,2.46. Tr"0l1gi10 ;\ilCje prav(lLigii!

pr(1\-j t2kav je j <ACB. Dalde, i\ABC .Ie p.rayougli. sto jt' i lrebalo dokaza1i.

D

Zadatak 1: "\;eka su ~.~1e dYijc duzi m ; n (m>n). Konstruisati geometrijsku Sl"cdillu x ., . v'· ~

(WH) dUZI, tJ. \,=,,'/1J·n.

R.jdcnjc: Zadatak cemo rijesid primjcnom woreme 28 ! to na (h'a nacina:

I) Konstrukcijom prayouglog trol1g1a u kome jc hipotenuza A13 jcdnaka datoj duzi Ill,

a prnjekcija jedne katcte na hipotenllZU jednaka datoj duz,j n, d~bic,emo da j~ tralkna duj, upravo ta katct3 " .

2) KODstrukcijom prayoufdog trougla kc:jcm odgm'ara yisinD 11 koja na hipotenuzi odsijcca od~jecke kc:ji su llprayO jednaki datilll dlL!,im3 dohijc sc cia jt.; trazcna duz jednaka \'!sin; h (S1.2.48.) .

c

X h I

n (:'I A D B

Sl.2,47. DUl, x je g~()mC:i .Isk? s~cdin;j d?tih duzi ;';1 i n

~ n nl Ar--D B

\ /

> 2 " n", ,c geo,,,' ~~ C,l, ';;,: • ....J]l.....L.-

~

Zadatak 2: .Ako jc 3 data duz, konstruisati duz \. "" ..... ,1 a

Rje.scnjc (analiza): Ako u prethodnom zadatku llzmemo da je m=a, n= I, Lada se trazena duz x moze odrediti na svaki ad navcdena dva nacina.

Zadatak 3: Date su dvije dllZi a i b. Konstruisati duz x =.J a2 + b2

Rje.scnje (analiza): Konstrukcijolll pravouglog trougla u kome su katctc jednake datim duzima a i b dobije se hipotenuza c kojajejednaka traienoj dllZi x.

Pitlll1ja ZlI pOllal'ljllllje:

}, Koje leoreme su dokazane primjenom slicnosti? 2. lma Ii sl·'akf trokll! 11lj)otenuzu? 3. Sia tl'rdi Pilagorina feoremu? 4. }/avedi teoremu obrnu/u Pilagorinoj.

Zadaci za "jczhu i utvnlivanje:

2.94. Katcte pravoug!og troug!a Sll a=3 i b=4. Izracunati hipotcnuzinu visinll i "",_" odsjecke koje gradi na hipotcnuzi.

'2.95·~'rlipotcnuza pravouglog trouglajc c=12, a odsjecak p=6, Odrcditi katctc i hipotenuzinu visinu.

2.96. Dljagonalc romba su 12 i 16. Odrediti radijus u romb upisane kmznice. 2.97. Ako Sll a i b katete, a h hipotcnuzina visina, dokazatijcdnakost

I 1 I ~+--=->

r':'''"_', a 7 be h]

2,9~: Ako za stranice troug!a a, b i C \Tijedi a = 2m11, b = m2_n 2, c = m2+n 2 ,gdje ,- su In i n ma koji renlni brojevi i l11>n. dokazati dajc trougao pnwoug!i.

2.99. Suma ksadrata stranica pravOLlgaonikajednakaje sumi kvadrata njegovih dijagonaJa. Dokazati.

2, I 00. Kolikaje \'isinajednakostranicnog troug!a cijaje stranica l? :2 10 l. Osnovice jednakokrakog trapeza su a=44 i c=4, a krakje b=29.

Odrediti visinu trapeza.

77 2. j 02. Osnovicajednakokrakog trollglajc a=18, a visina l1a krakjc hcc::; ~.~ .

lzracunati drugu visinu trougla,

"10" 'I d dO. ·b I ··d 0 ""~b2 .... .). j-\ \.0 su ate UZl a 1 ,wnstrUlsatI uz x = --.,; a~ + 2.104'. Za date trl duzi a, b i c konstruisati duz x ako je x2 -:= i+bc. 2.1 OS. Ako su poznatc duzi a, b i c kOllstruisati dul. x ako je x2 = b2 + ac. 2.1.06. Ako su date dul.i a, i b i a<b, konstruisati duz x = i:b, 2,! 07. Konstruisati gcome~rijsku sredinu duzi a=2 i b=18.

74

5

2.108. Konstruisati duz x = J21 . 2,109, Konstruisati dUl x ako je Xl ,-'" 14. '" 2,! 10, Data su dva trougla. Konstruisati trougao jednak prvom, a shean drugom

od datih trouglova. . 2.1 ! I. Konstruisati kvadrat cijajc povrSinajednaka povrsini datog pravougaoOlka. 2.112. Krak AB trapcza ABeD normalan je na njcgovu osnovicu AD.

Dijagonale trapeza su uzajamno norma!nc i vrijedi ;Z = Ie Odrediti ~~

2.113. Duzine stranica trough su a, b i c. Dokazati da za visinu ha trougla vrijcdi formula:

2 ..[s""C(-, -a-C) 7:( ,:--. -b") ( , a

2.9. Potcncija tacke U odnosu na kruinicu

a + b + c c) . ,~ =----:c--

2

Posmalraccmo kruznicu i tackc u ravoj kruznicc .. Pol~azacemo .~a :~akoj ,takvoj ~t~cki odgovara karakteristican broj koji ccmo m~ na~lvatJ ,potcnC,lj3 III .moc,tc ,\~c~e u odnosu na datu kruznicu. Vidjecemo koja taeka l!1la veeu, a kOJa manJu po~enelJU 1 od cega to zavisi,

Nckajc data kruznica k(O, r) i tacka P u ravni kr~nice. Posmatrajn:~) ?vije p!a.vc a ,i b koje prolaze tacko111 P i sijeku datu kruznicu. Ncka p:'va prava SIJcce .~(ru~l1l~U k, U

tackama A i E, a druga u C i D (SL2A9). Prcma O~'Jnl oznakama \ rIJedl slJcdcca teorcma:

Tcorcmu 31: Proizvod odsjccaka kO,jc kruzuica odsijcca na pravoj koja prolazi tackom P je konstantan,odnosno

l'A·PB=PC·PD=cOIlSt.

A c

B b

a) a

I " 4" pc«izvod odsjecak~ na syakoJ' praH)j koja pwiazi lacko S .L... ")". , :) P je ;';labn.

75

Dokaz: Neka se tacka P nalazi van kruz!1ice (SL2.49,a)). Tada su uglo\'i <A DC i <ABC jednaki jer su periferijski uglovi iste kruznice nad lstim lukom Ae. Zato trouglovi ,:"lPAD i APBe imaju po d\'ajednaka ugla. sto znacl da su slicni. Kako su stranice sHeni!! troUg!O\"3 proporciona!nc to wijedi:

PA:PC ~ PD:Pfl' ~> PAPa ~ PC-PD.

Ako se tacka P nalazi II unutraslljoj oblasti kruzni.:.:e (SI 2A9b.) tada Sl: ug!o\'i <ACP i <PBD perifer!jski ugloyi nad lstim lukom AD, pa sujcdnaki. Otuda slijcdi siicl10st trougloY<l ACP i BPD .leI' imaj\] po dvajednaka ug!a. Jz oye siicnosti s!ijedi:

PA:PC ~ PD:PB ~> PApB PC-PD.

Kako smo navcdenu teoremu dokazali ncoyisno 00 izhora pra\'ih a i b, to ona nijcdi za svaki izhor till pravih.

Teorcma 32 (ohrnuta tcorcmi 31): Ako sc prayc a i b sijelm n tack:i P i pri tome prava a sadrzi tackc A I B ,a prayu b sandi tackc C i D ! ako vrijcdi PA·PB=PC·Pl), tad a su tackc A) B, C i D konciklicne (pripada.iu isto.i lo+uznki).

Dokaz: Tri neko!lnearne lacke u\"ijck pripad;:0u istoj kruznici hlyijck su koncik!icilei. Posrnatrajmo krnznicu kojoj pripadaju tacke A, B i C i dokazimo da krn7Jl1,"~i mora pripadati j tacka D. Ncka ova kruznica sijece pra\'ll.b (pored Tacke C) u tacki E. Tada, prcma prcthodnoj teorcmi vrijedi:

K.ako je, po pretpOSl<IYCl ove teoreme, PA·PB=PCPD, uporCOtUllCi pos!jcdnje dyije jednakosti dolazimo d0- zakijucka da jc PE=PD. sto znaci da sc tac'!-:a E pu]dapa sa t(lc\W!1l D, Dalde, taeke A, B, C i D pripadaju istoj krnznici.

Hcfinicija 20: KOl1stanta p kqja .Ie jedlIcka proi:::vodu odsjccaka kaje krllinica nj'ijcca no praw~j k(:ja sadrii tac'!ku r noziro Sf! poteNcija j/i moe locke P.

Prema oznakama u prcthodnim dyjcma teorcmama, potencija tackc r jc p~PA·pB=pC-PD.

Tcore-ma 33: Ako je tacka P \'nn kruznicc 1ada jc njcna potendja 11 odnosH na nYU kruznicu jcdnaka kyudratu tangcntnc duH kO.I,a jnj odgovara.

Dnkaz: POs111atrajmo S1.2.50. KOr!stcci teorcmu 5 (egao izme(1n t;:mgcnlc i tctiyc icdn8k jc Dcrifcrijskorn tn:du Ilad iom letiYomJ. 7akliucujcmo da Sll ulI[()\,i <.ATP i --'<ABT jedr;aki. Tl:ougkwi ~\,i\ TP i \BTP ima.ill po d\"~:jednaka ugh, pa ~ll :;1i611t. Zato vrljcdi slijedcca proporcija:

PA: PT ~ PT: PH ,

76

odak!e se dobije trazenajednakost: PA·PB = pf'. Kako je potcncija tacke P jednaka proizvodu PA·PB, aPT je njena tangentna duz, ovim je teorema dokazana.

T

R

o

p

SI.2.50. Trouglovi AATP 1 !-.BTP su slien!. SI.2.51 Po!cncija lacke P maze se odrcditi

iz pravoug!og (.\POT.

Teorema 34: Ako .Ie d ccntralno rastojanje tacke P od knd:nice I{(O~ R), tada za potenciju p tacke P vrijcdi: p = d2 ~ R2.

Dokaz: Kako je ugao izmedu tangentc kruinice i pripadnog radijusa uvijek pravi to je, prcma Sl.2.51., trougao POT prayougli sa katctama R i PT i hipotenuzom d. Primjcnom Pitagorinc teoreme na ovai trougao dobije sc

PT2~ d2~ R' . a kako 23 potcnciju p tac.ke P, prerna prethodnoj teorcmi, vrUedi p = PT2, daljc jc:

. p ~d2_R2

51'0 je i trebalo dokazati. ' Na osnovu tvrcinje prethodnc teorcme, analizom izraza p = d1

_ R: dolazimo do zakljucka da je potcncija s\'akc taekc koja je \'an kruznice lJ odnosu na tu kruznicu pozitivan broj. Potencija tacke na kruznici je oula. Kakva je potencija tacke unutar kruznicc pokazacc n3m slijcdcca teorema.

Teorema 35: Ako jc tacka f-' uiluiar kruznicc k(O, R), potendja ovc tacke suprotna je kvadratu polutcti-ve normaine na radi.ius kruznicc koji proIaz) tackflfU P.

Dakaz: Nekaje (SI.2.52.) tacka P u unutrasnjoj oblasti kruznice. Tada \Tijedi

p=PA·PB=PD·PE. Duzi PD i PE lTIozcmo shvatiti kao mjcrc suprotnih vcktora PD i PE na osi DE, pajc proizvod PD·PE negatlvan broj. lato vri.Jed!:

P = ~i Pj"'!. !pt:;'i i~ '----'I i _L~ I

·TrougJO !.iCDE.ie pravollgii sa hipotenuzom DE i visinom CP, pa prem;). teoremi 21 vrijedi

77

lz dvije posljednjc jednakosti zak!jucujemo da vrijedi: p ~_Cpl,

pa kako je CP polovina tetive nor-maIne na radijus koji prolazi tackom P ovimje lvrdnja teorcmc dokazana.

Aka sa d oznacilllo uda!jenost tacke P od sredista kruznice k(O, R), tada se iz pravougtog trollgia COP, primjeno!1l Pitllgorine teorcme dobije

CP2 "'" R1~d2.

Kako je Cp2;o.;o -p, koristenjcm ove jednakosti, dobije se p~d'_Ro ,

odakle zakUllclljemo da isti obrazac za potenciju tacke u odnosu n3 kruznicu \T~jcdi i kada se tacka nalazi \'an kruznicc i kada .Ie lI!1utar kruznicc, Narm'oo, obrazac vrijed; i za tacke na kruznici (d=R, p=O).

Kako .Ie za tacke LlDUlar kruzilice d<R, to .Ie potcncija svakc tacke u kruznici negativan broj.

Dak!e, mozemo zakljuciti s!ijedcce: 1. Ako .Ie d>r, tacka P van k . .ruznice, ondaje p>O, 1. Ako .Ie d=r, tacka P na kruznici, tada .Ie p=O i 2. /\ko je d<r, tacka P u kruznici, tadajc p<O.

IE

SI.2.52. Pole!lcija Ulcke u kruznici je nt:gativna S1.2.53.

Zadatak 1: Tz lacke P van krui,nicc pm'uccnc su dvijc sjecice Cijc su Juzine jcdnakc 360 i 300. Vanjski dio drugc sjecicc je 192. Odrediti vanjski dio prve sjecice.

Rjdcllje:Nckaje I'B ~ 360, PD~300, PC~J92. Kako je, prema leoremi 24, P A-PB=PC.PD, to je

78

PA= P('.PD.= 192·300 ~J60. FE 360

Zadatak 2: Date su tacke A i B i prava k. Konstruisati kruznicu koja sadrzi ta6ke A i B i dodirujc datu pravu k.

Rjesenje:

Analiza: Neka prava odredena tackama A i B sijcce datu pravu k u tacki P. (S1.2.53.). Pretpostavimo da je T dodirna tacka trazenc kruznice i date prave. Pokazimo put kojim cemo doei do lacke T. Prema 1.26., vrijedi PA·PB=PT2

•

Posmatrajmo 111a koju kruznicu koja sadrzi tacke A i B. Iz tacke P povucimo tangentu na ovu krllznicu. Neka ova tangcnta dira kruznicu u tacki C. Tadaje istinita jednakost PC2=PA·PB. Sada, naosnovu, PA·PB=PT2 i PC 2=PA·PB, zakljucujemo da je PT=PC. Konstrukcijom kruz.nice sa cent rom u P i radijusom PC, na njenol11 prcsjeku sa datom pravom k, dobice se trazena tacka T (i '1"). Srediste 0 trazene kruznice na!azi se na presjeku nonnale na datu pravLl u tacki T i simetrale duzi AB, a radijus je OA.

Konstrukcija: "Nacin konstrukcije slijedi neposredno iz analize.

Dokaz: Dokazimo da dobi\'ena kruznica saddi date tacke A i B i dodiruje datu pravu k. Kako se srediste kruznice nalazi na simetrali duzi AB, a svaka tacka simetralc duzu je jednako udaUcna od njenih krajeva, to je OB=OA, pa s obzirom na to dajc radijus kruznice R~~OA tacke Ai B pripadajli kruznici k(O, OA). Kako je PA·PB=PT1

, to kruznica k(O, OA) dodiruje pravu PT u tacki T. U suprotnom, kada krul,nica k(O, OA) nc bi dodirivala pravu PT u tacki T, lacla bi posloja!a neka tatka D pran: PT koja bi bi!a dodirna tacka 7.a pra\"ll PT i kruznicu, pa bi, prema T.:26., vrijedilo: PA·PB=PD2

•

lz PA·PB=PT2 i PA·PB=PD2 neposredno se zakljucuje da \TUedi PT=PD, sto daUe znaci da se D mora poklopili sa T. 0\'1111 je teorema dokazana.

Diskusija: Uz date llvjete da su obje date tacke sa iste strane date prave, zadatak ima rjdenje 1 to: a) Ako prava AB sijece datu pravu k, tada postojc dva ljesenja, dobice sc tacka T i '1", i dobi\'cne kruznice imaju razliCite radijuse. b) Ako je prava AB paralelna sa datol11 pravom k, ili je jcdna od tacaka na datoj pravoj k, tada zadatak irnajcdno JjeSenje. c) C s!ucaju kadajc pra\'a AB okomita na datu pravu k, zadatak ima dva podudarna rjesenja. d) Aka su tacke A i B sa raznih strana date prave k, 2,adatak nc:ma Ijescnja.

79

2.10. Nckc primjenc potcncijc tacke U odnosu na kruznicu

2.10.1. [(arnoovl' obl'asci. Pitagorina teorema

Posmatrajmo trougao ABC sa stranicama AB=c, BC=a i AC=b. Neka je M normalna projekcija vrha A na pravu Be. Nckaje x=CM (SI.2.54.). Tada vrijedi:

Tcorema 36: a) Ako je ugao kod vrha Costar, tada jc c2 = a2 -I- b2_ 2ax

b) Ak" je ugao kod vrho C lupi, tada ic c2 = a 2 + h2 + 2ax c) Ako jc ugan kod vrha C pravi, tada jc c2

= 32 + b2

(Pitagorina teorema) .

SJ.2.54 Koristcci osohinc potencijc lackc B, dokaZl~icmo KflrnOOVe obrascc.

Dokaz: a) Kruznica k(A, b)"sijcce duz CB u tacki D, a stranicu AB u tacki E. Neka je F tacka ove kruznice kojaje suprotna tacki E (S!.2.S4.a). Tada vrijedi:

BD·BC=BE·BF,odnosno • (a-2x)a=(r~b)(c+b), a7._2ax=c2_b2 => c2~-=a2+b2_2ax.

b) Ako je ugaa kod vrha C tupi, tada kruznica k(A, b) sijece duz AB u tacki E,a po!upravu Be u tacki D (SI.2.54.b). Prema uvedcnim oznakama vrijedi:

(a+2x)a ~ (e-b)( c+b) ,

c) Ako je nABC pravougli sa pravirn ugiom kod vrha C, tada konstrukcijom kru:lJ1ice k(A, b) dobivamo da je Be tangcntna duz tacke B i vrijedi

(c-b)(c+b) ~ a'

Doka1.an1 obrasci pod a) i b) nazivajll se Karnooyi obrasci.

(, Lazare Carnot. (]753-! 823) - l'rancmki n"llcnlk i po!iliC<lI'

80

2.10.2. Z/atni presjek duzi

Ako posmatramo duz AB onda svaka njena tacka vrsi podjclu duzi na dva dijcla. Drugim rijeCima, moze se kazati da svaka tacka duzi vrsi jedan presjek te duzi. Mi cerno ovdje upoznati jedan specijalan presjek koji ima zvucno ime. To je z1atni presjek duzi.

Definicija 21: Tacka koja dijeli duz na dva dijela tako da je veci dio geometrijska sredina manjeg dijela i cijele duzi,naziva se zlatni presjek duzi, a za duz kazemo da je podijeljena po zlatnom presjeku. Prema navedenqj definiciji vrijedi da je dUl: a podijeJjena po zlatnom prcsjeku na dijelove x i a-x, (x>a-x), ako je a:x = x:(a-x).

Ako ie dul' a= J5 + 1 em podijeljena nekorn tackom na dijelove F2 i

Y ~J5 -1, limeje duz podijeljena po zlalnom presjekuJer je J5 + 1 'c __ 2_. 2 J5-1

Zadatak: Data je dul: AB=a. Odredili tacku M koja datu duz dijeli po zlalnom presjeku.

Rjesenje: Odredimo tacku C tako da je ugao ABC pravi i da je BC~ '::. . 2 Neka kruznica k(C, CB) sijece pravu AC u tackama DiE (SI.2.55). Tadaje, prema teoremi 33,

AD-AE~AB' ,

sto, uz 0711akU AD=x, mozemo pisati i ovako:

x(x + a) ~ a2

=> x'=a(a-x) => x2 +ax=a2

=> a:x = x:(a-x). =>

Posljednja jednakosl, shodno definieiji 20, pokazl1je da je dUl: a podijeljena po zlatnom presjek.'U ako je veei dio pri toj podjeli jednak duzi x=AD. To znaci da sada trebamo iz tacke A nanijeti dliZ AD na duz AB i lako dobivena tacka M datu dul' dijeli po zlalnom presjeku.

81

A

c

M a-x B

a

2

.. ' .. '

SU.S5. Tacku \1 uuz An dijcli po 'zlatnom prcsjcku

Prema St.2.55. je AC 2 = ABl-+- Be::', odnosno, ,-

+a- a a(-)5 -I) x=AC -DC= - ~.-----=

o 2 2

2.11. Polara tacke U odnosu na kruznicu

lz lacke P \an kruznice mogu se povuci d\"ije tangcnte oa datu kruznicu. Ncka su dodirnc Lackc oyih tangenata redom, A i B.

Dcfiuidja 22: Pruyn koja proiiui dodirnim tackama A i B tangcnata povucenih iz tacke P na datu kruznicu, nazi\'a se po[ara tacke P U otinmm na posmatranll kruZnicu. 'facta P nazi\'a se pol polare p.

I'

k B

. k

S

SL2.56 Prina k.jc polar'a lackc (rob) P.

nO:OS=OP:ilO

82

p

Tcorcma 37:Ako je k polara kruznice k(O, R) i tacka P pol, tadaje proizvod rastojanja po!a P i polare k od centra kruinice konstantan i jednak kvadratu radijusa kruznicc. Dokaz: Neka su A i B dodirne tacke tangcnata povucenih 1Z pola PiS tacka presjeka polare k sa pravol11 PO .

Trougloyi 6-BOP i il-BOS su pravougli i vrijedi <OBS = <OPB (nglovi sa normalnim kracima) pa su slicni. Otudaje

=> OS· 01' = 130'-

Pitanja zo pon{lvljanje:

j, ,~ta nazivamu mac' facke U odnosu fla kruinicu? 2. Kadajc poteflcija la{kc negatil'ull broj? 3. Kaje ta{ke imaju potencijujednaku lluh? 4. Kaje prirnjene pOfenc{je tacke U odllosu fla kruinicu poznajes? 5. Kakva podjela duii .<;e naziva zlatni pre~jek? 6. q~jasl1i kOllstrukciju zlatnog prcsjcka! - Staje polaNllaike U odnosZl na dall! kruillicu?

Zadaci za vjezbu:

2.1 ! 4. lz tacke van kruznicc povucenaje najveca sjecica i tangenta. Odrediti duzjnu tangente (tangentne dull) ako je duzina sjecicc (veceg odsjecka koji kruznica gradi na sjecici) 50, a radijus kruznicc R=2 J.

2.115. Jz tacke van kruznice povLlcenaje najveca sjecica i tangenta Cijaje duzina jednaka 8. Vanjski dio sjeCicejc dva puta manji od odsjecka tangente. Koliki je radijus kruzniec?

2.116. Ta61\.0111 P kojajc od srcdista kruz.nice radijusa 5, llda!jcna 13 jedinica, poyucenajc sjecica koja je popolovljcna kruznicom. Odrcditi du2.inu sJecice.

2.117. tz iacke van krulnice povucenc SLl tangenta i sjecica. Kruznica jc sjecicll podijc1ila na dva dijela: uuutrasnji 60 em i \'anjski 20 em. Odredili duzinu tangente.

2.118. Od srcdista kruznice radijusa R=7 tacka P je udaJjen~ 9 jedinica. Tackom P povuccriaje sje6ica koju kruznica polo\i. Kolikaje dllzina sjecice?

2.119. 1z tacke P van kruznice povucenc Sll tangcnta i sjecica. Tangenta je za 20 jedinica manja od unutrasncjg, a 8 jedinica veca ad vanjskog dijeJa sjecice. Odrcditi duzine tangente i sjecice.

2. 120.Teti"a kruz,nice ima duzinu 12. Najedn0111 kraju te1ivc povuccnaje langcnta kojajc udaljena od drugog kraja tetive 8 jcdinica. Kolikije radijus kruznice?

2.121. Konstruisati kruznicu koja sadrzi dvijc date tackc A i B i dodiruje datu kruznicu KeO, R).

2.122. Primjcnom osobine pOlcncije tacke U odnosu na kruznicu dokazati Pitagorinu leorcmu.

2.123. * Konstruisati kruznicu koja dodinuc krake datog ugJa i datu kruz,nicu k(O, R) 2.124. Stranice trougla su c= 15,b=13 i a=4. [spitati cia 1i jc trougao pravougli,

tupougJi ili ostrougli. 2.125. Stranica pravilnog deselouglajednakaje vecern dije!u radijusa opisane

kruznice ako sc on podijcli po z!atnoll1 prcsjcku. Dokazati. 2.126. Konstruisati prayjlni desetougao ako jc pozna1 radijus R opisane kruznice.

83

2.127. Kvadrat stranice pravilnog petougla upisanog u kruznicu radijusa Rjednak je zbiru kvadrata stranice pravilnog sestougla i stranice pravilnog desetougla koji su upisani u istu kruznicu. Dokazati!

2.128. Konstruisati pravilni petougao aka fiuje poznat radijus R opisane kruznice. 2.129. Presjecna tacka dviju dijagonala pravilnog petougla dijeli svaku od

dijagonala po zlatnom presjeku. Dokazati! 2.130. Konstruisati pravilni petougao ako muje poznata dijagonala. 2.131. Konstruisati pravi!ni petougao ako su poznata sredista njegovih stranica. 2. I 32. Konstruisati kruznicu ako je dat pol P, polara p koja odgovara polu P i

jedna od tangenata kruznice koja sadrzi pol P.

84 j

3. SKUP KOMPLEKSNIH BROJEV A

3.1. Fonniranje skupa kompleksnih brojeva

U osno'vnoj skali sma upozna!i Sh.tlPOVC brojcya 0 kojima sma nesto vise govorili i u prvom razredll srednje skole. Taka smo govorili: 0 prirodnim brojevlma ciji skup oznacavamo sa N, 0 cijelim brojevima (ciji skup oznacavamo sa Z), raciooalnim brojevima (ciji simp oznacavama sa 0), iracionalnim brojcvima (eiji skup oznacavamo sa I) i rcalnim brojcvima (ciji skup oznacavamo sa R). U svakom od navedenih skupova definisane su operacije sabirarUc, oduzimanje, 111110l:Cnje, ... Osnovne algebarske operacijc (sabiranje, oduzimanje, mnozenje i dijeJjenjc) u skupu realnih brojeva mogu se izvoditi bez ogranicenja (uz jedini uslo\" da se nc dijeli sa nuJom). Posmatramo Ii, medutim, jednacine i ll1ogucnost njihovog rjesavanja II

skupu realnih brojeva, nailazimo na niz potcSkoca. Uzmimo, oa primjer, slijedccu jecinacinu

i pokusajmo pronaci ojeno ~jcsenjc u skupu R. lcdnacina se moze napisati II ob!iku x = --4 , odakle vidimo da treba pronaCi takav broj x Ciji jc kvadrat jednak -4. Prouc3\'ajuC1 rcalne hrojcyc uocili smo da je k\"adrat ma ko.1eg realnog hroja neoegativan. To znaci da ne postoji reaian broj ciji jc k"adrat negath·an, pa nCl11a

nijednog reatnog broja koji ima kyadrat jednak ---4. lato sc moze kazati da navedena .ie-dnacina u skupu realnih brojeva R nCl~a !jescnja. Pored navcdene jednostavne kyadratnc jcdnaCinc i Citay niz drugih ].;:yadratnih jednacina ncma rjcscnja u Skllpll rcainih brojenl. Zbog svcga navcdenog namctnula se potrcba za prosirivanjem skupa realnih brojcva. Uvcdenje, prvo, pojam irnaginarnc jcdninicc i to oa sJ1jedeci nacin:

Deflnicija:

~.---..

·~··~~l

·2 1 ' I =-

"8mj" ko.1i ima osabinu da je njegov kl"adrat jednak - J oznac3vamo sa i j nazi·yama imaginarna jedinicn. Sa imaginarnom jedinicom sc moze facunati. Koristeci navedenu dcfiniciju i osobine kaje vrijcde za stepcnc, a kaje sc shodno principu permanencije, prenose iz jednog skupa brojc\'a II drugi I\oji jc dobijcn njegovim prosirivanjem, dalazi se~do slijedecih jednakosti:

i·'=ti=-l·i= -i , ·4.. ·2·2 (1) ( ) 1 I ~ 1 ·1 ~ - . -1 ~ ·5 .·4· l' . 1=-1 '1= ~'1=1, i6~ i4-i'~ 1-(-1) ~ -1,

85

·7 ·4·7. I ( ].. . 1 = 1 'C -I =-...:: .. ~- Y.l = -1,

i8 ~ (i4)2 ~ I' = 1 , ...... .

iz koji se maze zak!juciti da za $\'aki prirodan broj n vrijedi:

i411 ~ 1 , j411+ 1 ~ 1', 1-4n'2 = ~1 . 1-4n+ 3 ~ ~I' EN' ; 11 ,0.

Navedcno znaci Ja postojc sarno cetiri razlicite vrijednosti stepcna ($ prirodIlim cksponentom) imaginarne jedinice.

Primjer 1: Odrediti vrijcdnost stepcna: a) ;25

Rj·es'e111·c'.a) I·2L. ,·24 l' ~ ·46· (.4)6. 16. . - . - 1 -I = 1 -1:= -I = 1 ,

Imaginarne jcdinice se mogu i sabirati. Taka je

i'-j-·j = 2i , i+i+i'~ 3i , i+1..1·'i+i+i = 5i, 1+i+i+i+i+i+i+i = 81,

Braj oblika b·i, koji se sastoji odjednog rea!nog broja i imaginarnejedinice izmedu kojih jc znak mnoz:cnja (koji se abieno ne pise) naziva se imaginarni broj. Sa imaginarnim brojevima racuna se na Isti !lacin kao sa monomima uz uslov cia se vrijednosti stepcna ill1aginarne jedinice racllnaju po ovuje naycdcnim pravilima.

Primjer 2:

2i+4i ~ 6i, 17i+lli ~ 28i, 23i~l3i~ lOi, 5i+J4i~7i = 12i,.

Primjcr 3: lzracunati

a) ,r::'4 b) "C:Sl

Rjdcn,ic: a) ,'4" .... ':;-4 -(-1-' ~ '-;-:4 . i' ~ Ie 0 . )2 o· )j- --..j ·~)-\j4·1·-\j,-1 = ... 1.

b) ~"81 = ~{JiJ .. 9i c) ..j:::J'44 ~ .J(i2i)' ~ 12i.

d)J=16 +,/ ~ 2 5 ~-..r::l6-" 4i + 5i ~ 6i = 3i.

Sada mozemo kazati aa ranije spol1lcnuta kvadratna jcdnacina x/.+4=O ima dva Ijc.scnja i to jedno x. =- 2i i drugo x = -2i, jeT je

(2i)' + 4 ~ -4 + 4 ~ 0

Formirajmo sada izraze

86

(~2i)'-j- 4 .. -4 + 4 ~ O.

2 + 3i, 4 ~ 7i, 11 + 5i , 345 + 2i , ~ ~ 89i, 4 + ~ i, 7 5

Svaki od navedenih izraza predstavlja zbir jednog realnog broja i jednog imaginarnog broja i ima oblik

I a+bi! Izraz z=a+~i , g?)~ sU,a i b mno].! rea.lrii 6rojc\;j, 1 i ima~inarnajcdinica naziva se kompleksm broJ . fo JC algeharskl obilk komp{eksnog broJa.

Svaki komplcksan broj sasloji se od dva rea!na broja,pri cemu sc uzjedan broj, kao faktor, nalazi imaginarna jedinica. Onaj realni broj uz ko]i se nalazi imaginarna jedinica naziva se imaginarni dio kompleksnog broja, Drugi realni broj koji se pojavljuje u sastavu kompleksnog broja,naziva se realni dio kompleksJ1og broja. Tako za kompleksan broj z = 3+4i, reaini dio je 3, a imaginarni dio je 4.

Realni dio kompieksnog broja z oznacava se Re(z), a irnaginarni dio sa Im(z). Takoje

Re(3+4i) .. 3 ,

Re( ..J3 ~2i) ~..J3 , Im(3+4i) ~ 4 ,

Im(..f3 ~2i) ~ ~2.

Re(~2~i) ~ ~2, Im(~2~i) ~~I,

Realni dio kompleksnog broja~2-17i je Re(~2-J7i)=~2, a imaginami dioje realni broj Im(~2~17i)=~]7.

Posmatramo 1i kompIeksnc brojevc koji imaju realni diD jednak nuli, uocicemo da su to imaginarni brujevi. Isto tako, kompleksni brojcvi kod kojih je imaginarni dio Hula SLl, ustvari, realni brojevi. Tako je skup realnih brojeva R jedan podskup skupa kompleksnih. brojcva. Podskup skupa kompleksnih brojeva je i skup imaginamib brojeva,

Skup kompleksnih brojcva oznacava se sa C. Vri]edi: .. -... ~-.--.• ,

(:> { ~f bita ER,bE R, i' C' ~j} . .. '. '.' .

Sada se maze pisati

N c No c Z c Q eRe C.

gdjc je :-J oznaka za simp prirodnih, Z za sImp cijetih, Q za skup racionalnih, R za skup rcalnih i C za skup komp!eksnib brojeva.

7 S\uki komp!cksan bmj z=a+·bi moze se prcdslayiti U oblikllllfcdcnog para rcalnih brojc\'a z·"(a,b). Sa 0\ ako u\ cdenim kompkksnim bmjc\-ima qefiuisll se opcl"acijc i t-clacij..:, ali La pott·cbe programa 'drugog l"azrcda pmklicnijc jc odmah u\,csti algebarski oblik. .

87

Pitanja za ponavljanje:

1. Kaji razlazi su doveli do uvadenja kompleksnih brojeva? 2. Kako se dejinise imaginarnajedinica? 3. Kaje vrijednosti moze imati stepen imaginarne jedinice? 4. imaginaran braj.Staje to? 5. Kako se racuna s imaginarnim brojevima? 6. Sia je kampleksni bra}? 7. Od kojih dUelova se sastoji svaki kompleksan bra}? 8. Da lije realan broi 3 komplekwn? 9. Sta je imaginarni dio kompleksnog braja? 10. Staje skup kompleksnih brojeva?

Zadaci za vjezbu:

3. J .Sabrati imaginarne brojeve: a)7i+ 1 I i b) 34i-20i c) 2i+9i-3i d) 76i-54i+32i

Odrediti vrijednost izraza: 3.2.a) 2i2 b) (2i)2 c) (-2i)' d) (_i)' e) ._p

3.3.a) i} b) i7 d) -35 eJ ·1977 1 1

3.4.a) (_i)5 b) H)l c) (_i)4 d) (-i/ e) (-i) iO

3.5.0drediti realni dio kompleksnog broja: a) ·-11 b) 4i c) 24+5; d) -2-8i eJ 465+5i

3.6.0drediti imaginarni clio datog kompleksnog broja: a) 16 b) 23; cJ -II-i d) 27+4i e) -2-91

3.7.0drcditi realni i imaginarni dio datog komp!eksnog broja z:

a)z~3-4i b)z~·-5+14i c)z~~+ .. ~i dJz~3~ 9 5

Izracunati Yrijcdnost datog izraza:

3.8.a) j200+ j201 + j202+ j203 b) ,100+ ilOI + jlO2+ jiO}

c) i300 + j301 ..;.. j302 + j303 d) ?OO I + j200~ + i2(1)~ _ ji004

3.9.a) .J=-i6 +.J~ +.J=I b) 121 +;:::-49 +.J=-625

cJ 5-.r:49 -2./-25 3. 1 O.a) .J=l8 +.) - 5 0 - ·I~32 b) ;:::-u +.f=T68 + ;:::-48

c) S.J=-8 +3.)- 27 ..

3.1 ia) 2.J~20 +4.)- 8~5.)- 45 +2.J:' 72 88

Vi

I j

i1

b) .J- 24 +4.J=20- - 3.J= 150 +2.J- 125

3.12. Dokazati da je za s\'ak1 prirodan broj n vrijedi: j4])+2 = -1.

3.2. .Tcdnakost dva komplcksna broja

Za dva kompleksna broja zi=a+bi i zz=c+di kazerno da Sll jcdnaki ako i sarno ako su il11 jednaki realni dijelovi i imaginarni dijclovi, odnosno vrijedi ckvlvaJencija:

a+bi = c+di (a=c, b=d).

Kompteksan broj 2+5ijednakje kompleksnom broju 2~-xi sarno onda ako je x=-5.

Primjer 1: Odrcditi vrijednost \'arijabJe x tako cia \Tijcdi slijedc6a jcdnakost:

x-3+2i = 5+21.

RjeSen.ie: Na lijevoj stralli gornje jednakosti je komp!cksan broj ciji je realni diD x-3 , a imaginarni dio.ie 2. Komplcksan broj na desnoj strani jcclnakosti ima realni dio jednak 5 i imaginarni dio 2. Vidi se da su imaginarni dijelov! oyih broje\'a jednaki. Da hi i komp!cksni brojcvi bili jcdnaki, moraju itllati jcdnake i realm: dijciovc. To waci cia mora biti: x~3 = 5, odakle se dobija lra7£na vrijcdnost \'arijable x=8.

Primjcr 2: Odrediti \Tljcdnosti yarijabli xi)' izjednaCine: 4x+xi-3y = y;,,,,i-2.

Rjdcnje: Na"\.'cdenu jcdnacinu mozemo pisati II obliku:

4x+xi--3y = yi-i-2 ~ (4x-3y)+xi=·-2+(y-l)i ~ 4x-3y=-2,x=y-·1

~ 4x-3y=-1, x-y=-I ¢:> x=1,y=2.

Primjer 3: Odrcditi vrijcdnost reajllih varijabli x i y tako da dati kompleksan broj z bude re~t!an ako je:

z= 5m-l + (2m-4)i.

Rje.scnjc: Komplcksan broj jc rcalan ako mu je imaginarni dio jednak nu!i. Dn bi dati kompleksan brQj bio re~·tlan mora hiti:

2m-4 = 0 ,odnosno, 111=2.

Za dobijenll nijcdnost yarijab!e nijedi z = 9.

89

Zadaci za vjezbu:

Odrediti vrUednost varijabJe x tako da vrijcdi data jednakost: 3.13.a) x+2i~3+2i b) x+I+5i~ 1+5i

c) x-3+i = 2x+i d) 3x + 45i = 45i 3,!4.a) 5+4i= 5+xi b) 3 +xi=3+5i

c) 788-8i ~ 788-2xi d) 2x; ~-46i 2[i2. Datajejcdnacina x""'-yi = 8-22i. Odrediti vrijcdnosti varijab!i xi y. W!. Odrediti vrijednosti varijabli xi y tako da vrijedi: 2+5xi-3yi=14i+3x-5y. Q....17)Odrediti vrijednosti varijab!i x j y tako da vrijedi:

2i+ 3x+2xi+y = x--4y+23--5xi-yi.

3.3. Operacijc u slmpu kompicksnih hrojeva (sabiranje, oduzimanjc i mnozcnjc)

Vidje1i smo da sc svaki kompleksan broj moze shvatiti kao jedan binol11. Operacije sa binomil11a su l1am poznate iz prvog razreda, a sada cel110 kazati da se sa kompleksnim brojevima raclina na isti !latin kao s binomima.

Pokaiimo prvo, 11a nekoliko primjera, kako se kompleksni broje\!j sabiraju oduzimaju:

Primjer 1: Dati su komp!cksni brojevi zl=2+5i Z2 = 4·-31. Odrediti: c) ZI- (zr,zl) a) ZI+Z2 b) Zr-Z2

Rjdenje: a)" ZI+Z2 = (2+5i) + (4-31) = 2 + 5i "i- 4 - 3i = 6+2i.

b) ZI--22 = (2'+5i) - (4-3i) = 2 + 5i -:. 4 +- 3i = -2-r8i.

c) ZdZ2-Z1) ~ (275i) -l(4-Ji)-(2+5i)J~ 2+5i-[2-8i] ~ 2+5i-2+8i ~13;.

Prim.ier 2: Odrediti zbir kompleksnih brojeva z]=a+bi i z2=c+di.

RjeScnjc: ZI+Z, ~ (a~bi)+(c-'di) ~ (a+c)+(b+d)i.

I'v1oicmo kazati:Zbir dnl komplcksna broja, zl=a+bi i z2=c+di, jc kompleksall broj z Ciji je reallli dio jcdnak zhiru reaInih dijelova~ a imaginarni dio je jcdnak zbiru imagillanIih di,iClov:l datih komplel{Snih bl'Ojcva.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

1z navcdene dcfinicije sabiranja kompleksnih brojeva moze se zakljuCiti da za sabirarlje II skupu C \Tijedc isti ont zakoni koji vrijede u skupu R. Tako je

(a+hi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i ~ (c+a) + (d+h)i = (c+di)+(a+bi)

90

fi

sto znaci da je sabiranje komplcksnih brojeva kOlTlutativno. Na analogan nacin se dokazuje asocijativnost sabiraqja komp!eksnih brojcva. Osobine sabira!~a kompleksnih brojeva iskazimo sJUedecomteoremom:

Tcorella (0 sabiranju kompleksnih brojeva):

U skupu kompleks nih brojeva vrijedi:

(zakon komutati\"!10sti za sabiranje)

(zakon asocijativlJosti za sabiranje)

(Broj 0 je neutralni clement sabiranja)

4) Postoj i jcdan i samo jedan kompleksan broj z za koji vrijedi Z+Z2=ZI. (gdje su z), Z2 ,1.3 ma koji, dati, kompleksni brojevi).

Oduzimanje dva komplcksna broja, kao sto smo vidjeli, svodi se na sabiranje prvog sa sllprotnim brojcm od drugog. Nckaje zl=a+bi, z2=c+di. 'fada vrijedi:

Zl - z, = (a+hi) - (c+di) ~ (a+bi) + (-c-di) ~ (a-c) + (b-d)i.

Pl'imjcr 3: Akoje z)=13-5i, 22=-7+2i. Odrediti Z)-Z2·

RjeScnjc: Zl - Z2 ~ (13-5i)-(-7+2i) ~ Ih5i+7-2; ~ 20-7;.

Kompleksni brojcvi se mnozc kao binomi s tom razJikom sto se obavczno stepcn imaginarne jedinice i zamjenjujc S odgovarajucol11 vrijednoscu (i2 se zall1jenjujc s 1, j"' s -I, j4 s 1, itd.).

Analizirajmo sljedcce primjere:

Primjer 4: Pomnoziti date kompleksne brojeve zl=6-2i i z2=-2+4i.

RjcScnjc: Zi·Z2~(6-2i}( -2+4i)~- J 2+24i+4i-8i' ~ -12+28i+8 ~ -4+28i.

Primjer 5: TZ\Tsiti navcdenc opcracije 5 komp!cksnim broje\ .. ima: a) (2i)" b) (2-3i)' c) (4+;)'

Rjeselljc: a) (2i)'·" 22i2"" 4{-·1) ~ -4.

b) (2-3i/ ~ 22-12i+9i' ~ 4--12i-9~-5-12i.

91

Primjer 6: Odrediti reaJni i imaginarni dio kompleksnog broja z = (1 +3i)(2-i) + (1-2i)(3+5i).

Rjesenjc: Izvrsimo operacije mnozenja i sabiranja i dovedimo broj z na algebarski oblik Fa+bi:

z = (1+3i)(2··i)+(1-2i)(3+5i) = 2-i+61-312 + 3+5i···6i··1 012 = = 2+5i+3+3-i+10 = 18+41.

Iz dobijenog rezultata neposredno odrcdujemo realni i imaginarni diD broja:

Re(z) = Re(18+4i) = 18; Im(7.)=Im(J8+4i)=4.

Sada mozemo navcdeni nacin mnozenja uobliciti s!ijcdecom definicUom:

Proizvod kompleksnih brojcva zj=a+bi i z2=c+di je komp!eksan broj z za koji vrijedi

,~ .. ~---.~---.

Z =;(a+bi)(c+di) =; (ac -bd) + (ad + bc)i

Za mnozenje kompleksnih brojcva vrijedi slijedeca tcorema:

Tcorema (0 mnoicn,ju komplcksnih bj"ojeva):

Za svaka tri komp!eksna broja ZI, Z2 i 23 vrijedi:

1) ZjZ2= 22Z1 (zakon komlltativnosti za mnozenje) 2) (ZIZ:::JZ3 = Zj(Z2Z3) (zakon asocijativnosti za mnoicnje) 3) ZI(Z2+Z3) = ZIZ::,+ZI23 (zZlkon distribllc~jc mn9z.enja U odnosu na sahlranjc) 4} 1·z) = z) (Broj 1 je neutralni clement mnozenja) 5) Ako je 7.;;::;i:O, tada postojijedan i S3mo jcdnn kompleksan brr;i z za koji

vrijedi zz::.= z).

Dokaz: 2) Neka je z) = a + bi, Z2 = c + di, Z3 = e +- fi , Tada vrijcdi:

(~iZ:)Z3 ~ [(a+bi)(e+di)l(e+fJ) = [(ae·bd)+(ad+be)iJ-\e+fi) =

= [(ae·· bd)e - (ad + be)fJ + [Cae - bd)f + (ad+be)e]i = (*).

K.ako za mnozenje rcalnih brojcya ·vrijede zakon kOlllut(lcijc i 3socijacijc, kao i zakon distribllcijc mnozenja U odnosu na sahiral~je, moze sc pisati:

[Cae - bd)e - (ad + bc)f] = ace - hde - adf·· bcf'~ a(cc-dl) ... beef + de) ;

[Cae - bd)f + (ad + bejel = acf- bdf + ade + bee = a(er + de) + b(ee- dl) .

Sana 1ll0ZCli10 nastayiti (*):

92

(*) = [a(ce - dl) - beef +de») + [a(cf+de) + b(ee - dl))i =

= (a+bl)f( ee - dl) + (cf+de );] = (a+bi)[( e+dl)( e+fJ)) = Z,(l22).

OVlm je asocijativnost mnozenja kompleksnih brojeva dokazana.

5) Dokazimo osobinu 5. Neka je je zj=a+bi, z2=c+di i c;t:O, d:;t:O. Dokazimo da postojijedan I sarno jedan kompleksan broj z = x+yi tako da vrijedi ZZ2 = z,. Prema definiciji mnozcnja komplcksnih brojcva i jednakosti dva komplcksna broja moze se pisatl:

(x+yi)(c+di) = a+bi ¢:> eX - dy + (dx+cy)i = a+bi

¢:> {ex - dy = a dx + cy = b

x=.".c + bt!_ y=bc - ad., (c;"O, MO). c 2 +d 2

' c 2 +d 2

1z gornjih ekvivalencija vidi se da, prcma uslovima zadatka, uvijek postoji jedinstveni par realnih brojeva x i y koji zadovoljava uslov ZZ2=ZI cime je tvrdnja dokazana.

Dokazana tvrdnja pokazuje da se komplcksni brojevi mogu i dijeliti. Kako je ZZ2=Zj

to se moze pisatl Z=ZJ:Z2, pa se broj z naziva kolicnik brojcva Zj i Z2·

Ovdje je pokazano kako se moze odrediti kolicnik dva kompleksna broja, ali mi cemo koristitijedan drug; postupak dljeUenja kompleks nih brojeva. Na anaiogan natin se dokazuju i prcostaie tvrdnje teoremc.

Pitanja Zll.ponal'ljanje:

1. Kako se sabiraju dva komplehna broja? 2. Koje osobine ima sabiranje u skupu C? 3, lskaii rijeCima leoremu 0 sabiranju kompleksnih brojeva! 4, Kako mnoiimo kompleksne brojeve? 5, Navedi osobine proizvoda kompleksnih brojev!

Zadaci za vjezbu:

Ako su dati kompJeksni brojevi Z1 i Z2 odrediti broj z = 21+Z2: 3.18.a) z,=3+5i, z,~2-8i b) z,=20+ l2.i, z2~8+4i 3.19.a) z,=13-5i,z,=32+i b) z,=11+2i,z2~18-J4i

=<", Ako su dati kompleksni brojevi z} i Z:; odrediti broj z = ~1-Z2: <l1&a) ·z1=23-2i, z2=3+7j b) Zj= 8+12i, Z2= 151--4i 3.21.8) ZI= 4-Si, Z2 = -3+2i b) z!= 9-2i, Z2= - J 0-3i

93

3.22.Tzracunati proizvod z datih kompleksnih brojeva z! I Z'):

a) z!"'''2-~-i. z2c~3i b) zi=:-A+8i, z}"""-!-i c) ·~zi=5-8i, ZJ=--2-3i

lzracunati vrijeunost dutog izraza: 3.23.a) (2-3;)(4+i) b) (!+i)(3-2i) c) (-li)(5+4i) 3.24.,,) (I "2i)(2-i)+(! -2i)(2+i) b) (3 4i)(hi)··(S-2i)(8-4i)

~Odrcditj k\'adrat, i, datog komp!cksnog broja z: ,.~"'--~-,-__ a) z=2~i b) z=-!-i c) 7=4+3i

~O~:-e~it! kub, Z3 ,datog komp!cksnog .broja z: ,..,',. ,,'~ . .1) 7.-·41 ~ b) z= )+1 c) z=.;;-t-·.J!

~! Ako je z = I-J-i izraCllnati \Tijednost izraza ~2 - 2z -1 ')

(3.28; Ako:ic fez) ~ -z"3i+z·'2, odredili [(3+2;). "-../

3.29. Odrediti realni i imaginarni dio kompJeksnog broja z·~ (2c3i)'- (2-3;)'.

3.30. RijcSitijednacillLl Z2+ i = O.

3.4, Konjugovano·-komplcksni bro.icvi

d) z~-2-;

Kompleksni brojeyj 4----7i i 4,\ Ii imajujednakc realne dijeloyc,dok im se imaginarni dijcic)\'i razlikuju samo po znaku. La ovakv'-\ dva kOlllpleksna broja kazemo da su konjtIgovano~komplcksni brojevi

La dya kompleksna broja kazemo da su konjugo\'ano kompieksni ako imajujcdnake reainc dijclo\'c j suprotne irnagillarne dijclo\'c.

Brojeyi 3+23i i 3-23i; ---45-1 i ~-45-+i; -9-t-8i j -9-8i su tri para konjugovano·_· komp!eksnih broje\'a.

,~ko je z=a+bi, 1ada se konjugoyano-kompkksan broj br(~ia z oznacaya sa z ~yrijedi z = a- bi.

Primjc: ___ l: Ako su dati komplcksni brojevi zj=7---5i i zz=3+4i, odrcditi:

a) Z, b) Z, +Z2 c) Zi ·z, d)

Rjescnje: a) Z, = 7 - 5; ~ 7+5i b) z, T Z2 ~ (7+5i)+(3 'Ai) ~ 10+9i.

94

cJ Ii· ~~; = (7-5i)- :3 + 4 i = 7-5i-{3~-4i) ~ 7-5i~3+4i = 4 - i .

d) ;;-.~ •. ~ = (7- S i),' U+41) ~ l():-; ~ 10'i.

e)_ ~.=~~ = (7 - S'!) - (3 .~ 4 i) = ~-9T = 4+9i.

PI-imjcr 2: Ako su dati kompJcksni brojevi ~~=3+4i i 22=2-1, odrcditi:

a)z]+2z2 b)Z]-Z2 c)3zl

-Z2

•

Rjesenjc:a) Z, +2z, = 3-4; + 2(2+;) = 3-4;+4+2; ~ 7-2;.

b) z, ·z, = (3+ 4i)(2-i) ~1O+5i ~ 10-Si.

c) 3z,· z: = (9 + 12;)(2 - i) = 30~+ lSi = 30-15i.

Teorema (0 konjugovano-kompleksllim hrojc"ima):

Za syaka dva kompleksna broja z] i Z2 vrijedi:

1) ZI + z;: = Z:+Z2

( .., Z ..... 4) I -"'- I = ~.!., (Z, ,cO). 3) z, . z, ~ z, . z,

\z,) ..

Dokaz: 1) Neka Sll d:1ti kom~leksni brojcvi z!=a 'bi i Zi:"c+di, (a,b,c,dER). Tada nijcdi:

Zi +Z2~ (a+ bi)+(c+di) ~ (a+c)+(b+d)i = (a+c)-(b+d)i =

~ (a-b;)+(c·~d;) ~ z, + z,

3) z,· z, ~(a·+ bi)~(c' di)~(ac- bd)+ (ad':bc)Hac-bd)-(ad+bcJ;c

~ (a-bi)-( c-di) ~ z, . z,

Dyije preostalc tvrdqjc dokaZL~iu se na analogan naGin.

Pital1ja Zll fJonarljanje:

1. [.-' (emu se ra:::likLy'u dl'a kOl?jugovallo--komp!cksIlJ broja? 2. Kakil\'je :::.bir dra kO!1jllgol'ano kompleksna broja? 3. Kako rijeL~ima moiemo iskazati /eorell1u 0 korifugol'al1o~-komplek5nim

brojevima?

Zadaci za vjezhu:

3.31.0drediti konjugovano -kompleksan broj datog broja z: a) z=15 b) z=!2i c) z~2-S; d) z~12-7i e) z~34-4i

/"""'-" ..... '\ ( J9ko j~ z = 3-~8i iz:~cunatj:

a) z+z 0) z-z c) z·z· d) 2z+3 z e) 4z-Sz

95

3.33. Za koje vrijednosti varijable m su dati kompleksni brojevi konjugovano­kompleksni:

a) 12+3mi, 12-9i b) 44x-8mi, 44x+8i c) -··111-2i, -111+8m? 3.34. Odredlti vrijednosti parametara In i n tako da kompleksni brojevi

Z, ~ 2m-n-{n'-4)i i Z2 ~ 8m-1 +( 4m+ 3 oJi budu koojugovano--kompleksni.

3.35. Ako je z ~ I +i, dokazati da vrijedi z'+(z-Z )i+2Z ~ O. - -

3.36. Dokazati da su brojevi z + z i z· z uvijek realni.

3.5. Dijeljenje komplcksnih brojeva

U teoremi 0 mnozenju kompleksnih brojeva (tacka 5) pokazano je da za svaka dva kompleksn. broja Z, i Z2 ,(Z2*0) postoji kompleksao broj z takav da vrijedi ZZ2~Z,. Taj kompleksal1 broj z naziva se kolicnik kompleksnih brojeva Zl i Z2.

Pokazimo na slijedecim primjerirna kako se, prakticno, vrsi dijeljenje kompleksnih brojeva.

Prirnjer 1: Odrcditi kompleksan broj z = ZI: Z2 ako je z]=3+4i

Rjesenje: z ~ 2~ 3 + 4i ~ 3 + 4i . 5 + 2i ~ (3 + 4i)(5 + 2i) __ z 5-2i 5-2i 5+2i (5-2i)(5+2i)

2

._ 15+16i+20i-8 _ 7+26i_7+26i_ 7 26. - 2 ----------+-/.

5 -(2i)2 25+4 29 29 29 AnalizirajuCi prethodni primjer moze se uoCiti da se kolicnik dva kompleksna broja moze odrediti na taj nacin sto se razlomak prosiri sa brojem koji je konjugovano~ kompl"eksan nazivniku razlomka i nakon izvodenja operacija mnozenja, sabiranja i oduzimaoja kompleksnih brojeva, na kraju se dobija kompleksao broj koji je traZeni kolicnik.

Primjer 2: Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja z = 3 - 2i . 1 + i

Rjesenje: Z ~ 3 - 2i ~ 3 - 2 i . I - i ~ (3 - 2i)(1 -i) ~ I+i I+i l-i (l+,)(I-,)

3-3;-2;+2;' ]-5i R( )~I I (z)~ 5 e Z ~,m -_.

1-;' 2 2 2 Primjcr 3: Odrediti kompleksan broj Z odreden izrazom

(1 + i)(2+ i) (1- i)(2 - i) z- --.

2-i 2+1 (I + i)(2 + i) (I - ;)(2 - i)

Rjesenje: z = 2-i 2+i

96

.~ II

2+i+2i+;' 2-i-2i+;'

2-i 2+i ~ (1+3i)(2+i)-(1-3i)(2-i) ~

(2. i)(2 + i)

1 + 3i 1 - 3i ~

2-i 2+i

~ 2+i+6i+3i'-(2-i-6i+3i')~ 2+7i-3~~ 2+7i+3~14. ------'-"-... ,, .. ---- -I.

22 _i 2 4+1 5

Pi/anjo za ponavljanje:

1. Posfoji Ii kolicnik svaka dva kompleksna braja? 2, Kako se izvodi opcracija dijeljenje kompleksnih brojeva? 3. Na koji poslupak nos podsjef:a poslupak dijeljenja komp/eksnih brojeva?

Zadaci za vjezbu:

3.37.0drediti kolicnik ZI:Z2 datih kompleksnih brojeva ZI i Z2:

a) z1=4,z2= l+i b) zj=2~i,7'2=2+i c) zl~3'-4i,z)=1-7i d) zl~5+i,Z2~3i

3J8.Izracunati rcciprocan broj datog broja z: a) z~ I-i b) z~i c) z~2+3i d) z~ 6+8i

3.39.Izracunati vrijerlnost lzraza:

3+i l_i3

a) (2-i)' b) (l + i)' 2+i

c) 4. - 5 i 5

d) -'----=-'-(3 _ i)2

3.40. Izracunati zz-3·~ I ) ~ Z 2

ako je Z, = 5-14i, Z2~ -2+i.

3.41. Odrediti realni i imaginarni diD kompJcksnog broja z ako je:

13+12i (1+2i)' z ~ --- + "--~

-8-6i 2+i 3.42. Kojim brojem treba pomnoziti broj Z1= 3+i da bi se dobio broj

z~ 16+2i? 2 •

3.43. Rijesiti (po z)jednacinu (1+3i)z= 3'-4i. 3.44. Odrediti rjeseoje jednacine: (2i-z)(1 +i) + (I +iz)(3-i) ~ 2-i. 3.45. Izracunati:

2 + 3i

(I + 2i)' - (1- ij' a)

(3 + 2i)3 - (2 + i)2

(1+ i) 100

b) (l+i)96_ i (l+i)98

c) (1- i) 1000

(I-i)'oo + i(l_i)5110

97

3.46. Odrediti vrijednasti varijabli x i y aka je:

a) __ I __ ~ __ I_+ 1 b) (x+y)2i-~-x=-y+5i(x+y)-l X + yi 2 + i - 2 + 4i .

3.47.a) c) (i"'+i")' i 21 ~ 1

3.48.a)

b)

3.49.a) ( r:::-\ 60

b) I - 1 + i-v 3 I " 2 )

( -)" c) 1-~..J3

3.50. Aka je Z: = 2+i, odrediti kompleksan broj z = x + yi taka da vrijedi:

(Z\ 11 -

Re -j~-' , Im(z z,)~""7. z, 5

3.51. Rijditi sistem jednacina: (l+i)x-(l+i)y~ I (l-i)x+ (I-i)y= i.

3.6. Modul (apsolutna vrijcdnost) kompleksnog hroja

Pojam apsolutne wijednosti broja susreli smo prvo kod cijclih brojeva, a kasnije se o\'aj pojam prenosio na racionalne, realnc i evo sada i na kompleksne brojeve. Aka je dat kompleksan broj z = 5 + 12i • tada se broj

izl=15+12il~ +12' ~.J25+144~.Ji.69-=13. nazi va apsolutna vrijednost iii modul datog kampleksnag broja z. U opstem siucaju, ako je dat kompleksan broj z = a+bi , gdje su a i b ma koji realni

brojevi, njegov modu! izl, definise se na slijedeci nacin: r---.. ---..... ----.-.... - .)-=:----1

L' . <! I h"1 'b' . '.. ..---=~~~_' =~.:.=~~ I iii

98

r dalje vrijedi daje modul nenegativan broj. Modul je nula samo ako je kompleksan broj jednak nuli.

Primjcr 1: Odrediti madul datog kompleksnog braja: a) z~3i b) z~-17 c) z~6-8i d) z ~ -3-4i

RjeSenje: a) ]zl = ]3i] C" -!O'+ji" = .J9 =3

b) ]zl ~ 1-171 ~ ..JC=17)' + 0' ~ -1289 ~17.

c) izl~16-8ii=..J6-i+(-8y ~.JlOO=IO" d) ]zl = 1- 3 - 4i] ~ .J9+l6 = 5.

Primjcr2: Akoje Izl=1 i Idk ·d"b·z-I Z¢- 0 Ca7AtI a JC raj --' -z + I

imaginaran.

Rjdcnjc: Da bi dokazali dajc z - 1. imaginaran braj, treba dokazati daje realni dio z + I

a\"og komplcksnog brojajednak nuli. Nekaje z = x + yi. Tada vrijedi: z - ! X + yi --:.! __ X - I + yi . X + 1- yi = ex -1 + yi)(x + I yi)

z + 1 X + yi + 1 x + I + yi x + 1 -- yi (x + 1+ yi)(x + 1 "" yi)

_ x 2 + x -xyi -x·-l + yi +xyi + yi _(yi)2 ---. (x+l)2-(yi)' -

x 2 + y2 _ 1 + 2 yi

(x+ 1)2 + y' A.

Kako je Izi =Ix + yil = J; 2 + Y 2 - 1 to je x2+y2 = 1 , pa se gornji izraz moze

dalje transform irati i dobija se:

A~ x' + y' -1+2yi _ 1 - 1 + 2 yi _ 2 yi -" -,.'~"'''--- - --- - y .

- ---I'

x'+y'+2x+! ! + 2x + ! 2 + 2x I + x

Dobili smo jcdan imaginaran broj Cime je zadatak rijesen.

Da Ii vrijedi obrnuto, akaje .:......~ imaginaran broj, tadaje Izl=l? z +!

Tcorcma (0 modulu komplcksnog broja):

Za svaka d'va kampleksna broja z) i .Z2 vrijedi:

I) Iz,.z,I=lz,lhl

3) 12.IJzJ, z,;'"'O 4) Iz,I~I~~1 Z2 IZ21 -

99

Dokaz:

J) Nekaje zl = a+bi i z2 = c+di. Tada vrijedi

Iz, . z,l~ I(a+ bi)· (c + di)1 = I(ae ~bd) +(ad + bc)il ~

~ J(-;;C~)2 +(ad+bc)2 ~

= Jalc/ - 2abed + bZd 2 + ald 2 + labed + b7.c' -

= .Ja 2c' + b1d 1 + ald I + b"e! -

= ..r;;' (c' + d' ) + b' (e' + d') -,j( a' + b')( c' + d') =

= .Ja' + b'· .Jc' + d' ~Ia + billc + dil~lz,I'lzJ 4) Iz,I=la+bil=.,J;.;'+b' ~.Ja'+(~b7 =la-bil=I~1 5) Iz,. ~1=I(a'bi)(a-biHa2 -(bi)2Ha' + b'l~ I~I'

Preostale tvrdnje teorcme dokazuju se na analogan naCin.

Pitanja za ponavljanje:

1. Staje apso/utna vrijedno:·if realnog hraja? 2. Kako se dejinise apsoiufna vrijednost kornpleksnog braja? 3. Kadaje modul kompleksnag brojajednak Huh? 4. Iskazi rijeCima tvrdnje teoreme 0 moduJj~1Q kmnpTeksnog hI-oja.'

Zadaci za vjezbu:

Odrediti apsolutnu vrijednost (modul) datog kompleksnog broja z, aka je 3.52.a) z ~- II 3.53.a) z ~ 3+4i

b) z~22i c) z~i d) z~-i e) c=3i b) z~3-4i c) z=··3+4i d) z~-3-4i e) zo=6-8i

b) F3.Q. +~i c) z= IS. -.-l.". i d) z~ ..f3 -l.i 29 29 2 2 2 2

3.55. Izracunaj IZI + 22 + ZjZ21 akoje ZI = 1--21, Z2= 5+2i!

3.56. Ako je Zj 3'+-4i, Z2 = 5-i ,odrediti IZI~ + ~Zl - Zl~ + z/I·

(l )" 3.57. Odrediti modul komp!cksnog broja z ako jc: z = ~!

(1- i) r;"

3.58. Odrediti kompJeksan broj z ako je Rez =....; 2 ,)z! =:: ·,./3 1 . 2

100

3.59. Izracunati modul kompleksnog br(~ja

(I.,. i)200 (6 + 2i) - (I - i)'98 (3 - i) z~

(I.,. i)'" (4 +5i) - (1 - i)'" (I 0 2i)

3.60. Rije.sitijednacinu: Izl-z= 1+2i! , , z ~- 1

3.61. Dokazati da je broj realan ako i samo ako je z rcaJan broj z::f::- - J ! z + 1

3.7. Prcslikavauja skupa kompleksuih bro.icYa u simp tacaka komplcksue ravui

Prilikom prollcavanja skupa Z cije1ih brojeva vidjcJi smo da se svakom cUdom broju na orijentisanoj pravoj (osl) moze pridruziti jedna tacka. To vrijcdi i za racionalnc brojcve, S tim 5to su tacke koje odgovaraju racionalnim brojevima na pmvoj "guste". Kod prcdstavljanja realnih brojeva tackama prave postignuto je potpuno prckrivanjc, odnosno ohostrano jednoznacna korespondencija iZllledu brojeva i tacaka.

su.!.

Z= 4+3i

:l

-:;. '.' L",----' ----1.4 ---r Z= 3-2i

z=-5+i

1 .J

:1-Svakoj tacki ravni OdgO\O."-,.,-j-Cd-a-n-k-o~mej~Jcksan hroj i ohrnUlo,svakom kompicks!lom

hrojli odgo\"arajcdna lackil ravni

Posmatrajmo sad a skup svih kompieksnih brojcva i pokazimo kako sc syaki komplcksan broj moze grafic.ki predstaviti. "Ncka je xOy pravough koordinatni sistem u ravni i nekaje z=4+3i dati k0111p!eksan braj (SI.3.1.). Kako je svaki komplcksan broj odreden uredenim parom realnih hrojeva,3_ s':(akom paru r~alnih brojeya II ravni koorEiinatnog sisi"cma ·odgoyara jedna tack a, to wakom komp!cksnom brojll odgovara tacka II ravni. Tako se s\'i kompleksni brojevj mogu «posijatl" po ravnl i pri tome U J 0 J

ravni neee ostati nijedna tacKa kojoj nije pridruzen neki kompleksan broj.

Ravan u kOjll su prcsJikani svi komp!eksni brojevi naziva se kompleksna iii Gaussova8 favan.

Posmatraju Ii se dva konjugovano-komplcksna broja z = a+bi i "- - a-bi u Gaussovoj ravni njima odgovaraju OSl10 simetricne tacke U odnosu na x-osu.

Modu! komplcksnog broja izj = la + hil je udaUenost tacke koja odgovara broju Z od

koordinatnog pocctka.

Pitanja za ponavljanje:

1. Kako se no pravojpredstavljcU·lI realni brojevi? 2. Sfa se maze pridruii1i svokorn kompieksnol11 bl'oju u rartli? 3. Staje kompleksno ravan?

4. Posto}i Ii 11 kompleksno} ravni ncka lacka u ko}aj nc "sjedi" kompleksan braj?

Zadaci za vjezhu:

3.62. U pravouglom koordinatnom sistemu odredi tacku koja odgovara datom kompleksl1om broju:

a) Z = 2-5i b) z = -3+2i c) z = 4+5i d) z = -4-5i

3.63. Odrediti komplcksall broj kojcm odgovara data ta6ka: a) A(3, 5) b) B(-4,3) c) q-2, d) D(5, -I)

3.64. Za svaki dati broj Z odredi tacku koja odgovara broju z, ako je: a) z~-3+4i b) z~4+i c) z co 5+2i d) z~-I-i

3.65. Odrediti zbir,raz!iku,proizvod i kolicnik kompleksnih brojcva odredcnih ta"kama A(-1,2) i 8(4, -3)!

3.66. Odrediti modul zbira vcktora odredenih tackama t\/1(-2, 3) i N(8,5).

3.67. Kolikije modul kolicnika komplcksnih brojeva kojima odgovaraju tacke A(2,-I) i 8(-3,5)?

~ Car! friedrich Gallss (l777-1855) ·"-jedanje od tli\jYc{:ih njemacklb i svjetskih ma1emaiicaraS\'ih \Temcna

'i

3.8. Graficka illterpretacija sabiranja i oduzirnanja kompleks nih brojcva

Kako svakoj tacki ravni odgovara jedan radijus vektor, to svakom kompleks nom broju Ll ravoi koordinatnog sistema odgovara jcdan vektor. Zato kompleksne brojeve mazerna shvatiti kao radijus vektore tacaka cije su koordinate rcaini i imaginarni dio tog broja, Pokazimo kako se operacije sabiranja i odnzimanja kompleksnih brojcva predocavaju odgovarajucim vektorima. Ncka su dati komp[cksni brajevi z]=5+2i i z2=2+4i. Tadajc Z]-f-z1=7+6i=z. Uocimo tackc A(5, 2) i B(2, 4) koje, redom, odgovaraju datirn kompJeksnim brojevima i

radijus vektore OA i OB , Yektor OC ~ OA + OB je radijus vektor tacke C(7, 6),

Tacki C odgovara kornpleksan broj 7+6i koji je upravo jednak kompleksnorn broju z (=ZI+Z2)'

y C

4 ;/

,I /

3 / 2 A

-2 -1 5 6 7 X

-1 -2

S1.3.2. Gratlck' illlcrpl·dacija Ibim i razlike kornplcksnih bl·OjC\':l

Navedeni zakljucak vrijedi i U opcem slucaju. Ncka su dati kompleksni brojevi Zi=XA+Y/) Z2=Xs+Yni. Prvorn komplcksnom broju odgovara tacka A(XA' YA), a

drugom B(XLI, YB),Uocimo radijLls vektore OA i OB Prvi vektor odgovara

kompleksnom broju ZI, a drugi kompleks nom broju Z2. Neka je C cetvrti vrh paralclograma OACB. Prema pravilll paralclograma, poznatom iz prvog razreda, 0

sabiranju vektora, za vektor OC vrijedi: - --OC~OA lOB.

Tacka C ima koordinatc Xc i Yc za koje vrijcdi: Xc= XA+Xn, Yc= YA-I.-Yn .

Tacki C(xc,yc) = C(XA+XB, YA+Yfl) odgovara komp1cksan broj z ~ ( XA +XB) + ( Y A +YB)i ,

102 103

Vidimo da zbiru kompJeksnih brojeva, graficki odgovara zbir vektora.

Staje s razlikom kompleksnih brojeva? Kako se ona graficki maze interpretirati? Posmatrajrno 1ste kompleksne brojeve zl=5+2i i z2=2+4i i njihovu razliku Z,-Z2 ~ 3-2i ~ z' (SlJ.2). Nekaje lacka D lakya da vrUedi

OD~BA~OA --OB.

Vektor 00 je radijus vektor lacke D(3, -2) kojoj odgovara kompleksan broj 3-2i koji je jednak kompleksnom broju z' (=Zl ~ z]).

Dakle, oduzimanje kompleksnih brojeva moze se interpretirati kao oduzimanje (radijus) vektora.

Teorcma; Ako.'iu z, i Z2 kompleksni broje),i predocclli odgovarajuCim rad~iu.'f Jlektorima, tada rrijedi:

1) Zbir kompleksnih hrojcl'a z/ + Z2 geometrijski predstavlja vektor koji je jednak zbiru l'ektora ZJ i Z2

2) Razlika Zj ~ Z2 gcometrijski prcdstal'lja l'cktor jednak razlici odgovarajuCfh l'eRtora Zr i Z.-:.

3) Kakojc Z1-Z2=(XA-Xn) + Ll'A-Yn)i,toje

Pitlll1ja za pOIlUl'ljanje:

1. Koji vektor mozemo pridruiifi :,;vako/11 kompleksnom broju? 2. Koja operacija s vektorimG odgol'ara sabiranju kompleksnih brojeva? 3. Moze li se oduzimanje kompleksnih brojcl'G l'r§iti oduzimanjem odgorarc!juCih

radijus vektora? Kako?

Zadaci :fa vjezhu:

3.68. Predstayi radijus ycktore datih kornplcksnih brojeva: a) z~3+2i b) z~-2+i c) z=5-4i d) z~-2-3i

3.69.Grafickiodreditizbirvcktora z!=7+2i i Z]=-4M~-Ji.

3.70. Odredili graGeki zhir veklora Zi~ 4 , z}= lSi. 3.71. Koji vektor odgovara raz!ici vcktora zi=c:. 4-2i, z]= 2+5i? 3.T2. Odrediti graficki zhir tri vektora Zj ":: 1 +i, ZJ= -2-3.i, Z3 = 4+5i.

~ ) .. 73. Provjeri gr"aficki asoc\jativnost sabiranja komp!cks!iih brojcva.

104

4. KV ADRA TNE JEDNACINE (JEDNADZBE)

Posmatrajmo siijedece jcdnacinc:

Prva jcdnacina sadrzi nepoznahl x na prvi stepen i zovc se jednacina prvog stepena iIi linearna jednacina. U drugoj i cetvJ10j jednacini nepoznata se pojavljuje na prvi i drugi step en. Ovc dvije jednacine naziyaju sC jcdnacine drugog reda iIi kvadr'atnc jcdnacine. Treea jednacina je jednaclna treceg stcpena ili kubna jednacina.

Vidimo da jcdnacina dobija nazi" prcma naj"isem stepcnu nepoznate koji se u njoj pojavtjuje. Ranije smo upoznali !incarnc jednaCine,njihovo Ijesayanje i diskusiju rjcScnja. Sada cemo posmatrati i prollcavati kyadratnc jednacine (jednadzbc).

JednaCina (jednadiha) kojo) je najvi,~i stepen 17CpozlIule dva l1a:::i1'a se kl'adratna jednocina (jednadiba).

Evo nekoliko k\'adratnihjednacina:

x2 -9 ~ 0, x'=4x, 5x' ---4x ~ x'-2" 7, 3x"+X-'2~6, 5x-7>;' -11 ~ X+X2, .

Svaka kvadratna jcdnacina sc moze transformisati u jcdnacinu koja ima oblik

ax2 + bx + c = 0

gdje su Ii. b i c r~a!ni hrojevi i ai'O. ;\Ia-vedenc kyadratncjednacine tl transformiranom ob!iku redoln izgledaju ovako:

X2 9 -0 X2 4'-() 4x' ?"~'7~() °x'~x 4--0 8,,2 <"'1]-0 ~ ) • ~ /\. - • < ---, , "" , _J, ',- - _, '-' - 'Tl'> , -- •.

Vidimo da kvadratn8 jcdnac.ina ima tri Glana. Pry! clan sadrzi k\'adrat ncpoznate i naziva se k"vadratni clan jcdnacine. Drugi clan sadrii Ilcpoznatu na prvi step en i naziY(i se Hnearni clan kvadratne jcdnacine i tret1 clanje slnhorlni. c~~an koji ne sadr:rj ncpoznatu.

105

Za kvadratnu jednacinu 7x2 - 22x - 11 = 0 vrijedi:

7x2

•.• je kvadratni clanjednacine, -22x ... je linearni clan i ---II ' .. jc s!obodni clan kvadratne jednacine,

Broj 7 nazi va se kocficijcnt kYadratnog clana kvadratne jednacine 7x2~22x- J 1 =0 braj ---22 se zovc kocficijent Jincarnog clalla iste kvadratnejednacine.

a

U k\'adratnoj jednacini ax:'+bx+c-:---:oO , a JC koeficijent kvadratnog Clana, b je kocficijcnt Jinearnog ciana, a c je slobodni clan.

Ako je koeficijent linearnog clana iii slobodni clan kvadratnc jednacine jednak nuli, takyu kvadratnu jednacinu nazivamo nepotpuna kvadratna jcdllacina. Kod nepotpune kvadratne jednaCine pojaYijuju se dva ciana iii sarno jedan. Eva nckoliko nepotpunih kvadratnihjednacina:

Ako sc u kvadratnoj jednacini pojavljuju sva tri clana, tada ka7emo da je kvadratna jednacina potpuna.

S lijedcce kvadratnc jednacine su potpunc:

'-61);' ~ -', 2 K"-)X+ = , _x- +x~·! = 0, ;.;."+3x--4:= 0, )4x--··2:2x--l-l t =0, 872x --457x+3 = 0, ,.

Osnov:ni zadatak kod prollcavanja jcdnacina je pronalazcnjc njiho\'og (qjihovih) ljeScnJ3 iii utndivanje da Latxih dcsenja neOla. Ovo vrijedi za sve jcdnacine,pa i z~ kvadratnu. Sta se nazi va rje.scnje jedllacinc? Rjesenje jednacine je onaj broj (mi cemo uzimati da ~aj br~~ f:1~ze biti.~ kompleksan) koji zadovoljava jednacinu. To znaci kada nepoznata u Jcdnacml Ima \TIJcdnost jcdllaku tom broju, jednaCina sc prctvara u obicnu istinitu jednakost. Navcdimo nckoliko priuliera:

Primjcr 1: Broj --3 je Jjcscnje jednacillc x2_9:= 0 ,jer je (_3)2_ 9:= O.

Primjer 2: Bro] 2]c rje.serUcjednacinc x2-5x+6:= 0, jer je 22-5.2+6:= O.

Pl'imjc~ 3: Broj 5 nije rjeselue jednacinc x2+x-2=O, jer je 52 +. 5 -,2 = 28 , pa 5 ne zadovotJava datu kvadratuu jednacinu (nije rjcsenjc ove jednaclne).

Kako pronaci rjcsenje kyadratne jednac.ine? Put do t:jescnja kvadratne jcdnacine pokazaccl1lO ljeS::l\'ajllci prvo ncpotpune, a zatim potpune kvadratne jcdnacinc.

106

,i

t!

\J.

Pitanja za ponavljanje:

1. Qbjasnz razliku i=meaujednakosti,jednaCine z identiteta! 2. Staie rjdenje jednaCine? 3, Sta zn~G'{i rijeSiti jednaL'{inu? 4. KaJ,,--vu jednac"iJltl nazivamo kvadralna jednacina? 5. Kofiko Clano'l'Q zilla kvadralna jednaCina? 6. JVavedi nazive Clanova /..--vadratne jednaCine! 7. Koje koejicijenfl? susrei:cmo kod kradralne jednaCine? 8, Kada za f0..'adara!llujednaCinu kaiemo daje nepotpuna? 9 .. Voredi nekoliko nepotpullih kvadratnihiednaCina! 10. Kada za kFadratnujednacinu kaiemo da je potpuna?

Zadaci za vjefbu:

4.1. Odrcdi rjcsenje date jednacine: a) 2x-5~O b) 3x-4~O c)x+l~O d) 5-30x ~ 0

4.2. Transformi!;i datu kyadratnujednacinu na oblik ax2+bx+c = 0: a) 4x'-3x~5x-5x2.j b) 23-5x+x'~-6x2+X c) 3x+l-x'-7x-9

4.3. OdrediLi kvadratni clan datejednacine: a)4x2-45x-121~0 b) 7x-45x'~21 cJ 8x'-8x-1 ~2X2+5

4.4. Odrediti linearni clan date.ksadratne jednacine: a) 4x2-58x-1 ~ 0 b) x'+2~+4x'= 7 c) 23x-4x'+55 ~ 6x

4.5, Odrcditi kocficijent kvadratnog c!ana k\'adratne jcdnacine: a) Ilx'-44x .. ·234~O b) x'+88x ~ 757 .... 3x' c) x2-x_I=4x2+55

4.6. l\apisati kocficijci1t {incarnog claIM date k\'adratne jednacine: a) 6x'-5x-33~O b) x2+33x+82=O c) 3x-x'= 34-4x-5x'

4.7. Napisi slobodni clan kvadratne jednacine: a) 77X2_77x+777~O b) 6x'-45x+3=7 c) 45-45x'+45x ~ 45

4.8. Napisi jednu ncpotpunu kvadratnu jednacinu bez slobodnog clana! 4.9. Napisi nepotpunu kvadratnujednacinu koja ne sadrzi tinearni clan! 4.10. !'Japisi nepotpunu kvadratnujednacinu u kojoj nema ni slobodnog ni

linearnog clana !

4.1. RjeS3vanjc ncpotpullc kvadratnc jcdnaCillc

Pudsjdilllo se poznatog svojstYI:l proizyoda rcainih hrojcva:

kB ~ 0 <=> [(A~O) iii (B=O)]

sto sc rijccima moze iskazati ovako:

107

Proizvod dva broja je jednak nuli aka i soma aka je bar jediln od filklora jednak nulL

Navedena osobina proizvoda koristi se pri rjesaYal1ju nepotpunih kvadratnih jednacina.

Primjer 1: RijesitijednaCinu x'-25~0.

Rjcsenje: x2-25 = 0 Q X'-S2= 0 Q x+S = 0 iIi x~5=O

(x+5)(x-5) = 0 x=-5 iIi x=5.

Vidimo dajednacina ima dva Ijescnjajednoje broj ~5, a drugo broj 5. Tom piscmo na ovaj nacin:

Postupak rjesavanja navcdene kyadratne jcdnacinc moze sc krace pisati na slijedeci oaeio:

x2 - 25 •• 0 Q i = 25

Rjdcnja jednacine su elva suprotna braja.

Na navedeni naCin se rjeSavaju sye nepotpunc kyaclratne nejednacine kad kojihjc b=O, tj. nepotpune kyadratnc jednacine oblika ax? +- c = o.

Primjer 2: Rijcsitijednacinu x2+ 16=0.

RjeScn,jc: Kao i u prcthodnom primjcru,lijcyu stranu jcdnacine Jnoz,cmo rastaviti oa faktore:

x'+ 16=0 x2 _ 16i2=0 x2_ (4i)2= 0 Q (x---4i)(x+4i)=O Q X - 4i = 0 iii x+4i=O

Rjesenja Qve jcdnacine su dva 5uprotna (konjugoyano--kompleksna) hroja.

U s!ucaju kada je c=O, nepotpuna kvadratna jcdnacina ima oblik ax~+hx;:;·'O, pa se njcna lijcva strana uyijck moze rastaviti na faktore izviaccnjcm varijahle x ispred zagrade: x(ax+b )=0. '

P'rimjer 3: Odrediti rjcsel\ja i..;vadratnejednacinc x~-+ 7x = O.

Rjescnjc: Jednacina U kojoj nema slobodnog ciana je nepotpuna. LijcY3 stran3 ovakve jcdnacine uvijek sc rnozc" rasta\'iti na faktore tako 5tO se ispred zagrade izvuce faktor x:

x2+7x=O Q x(x+7)=O Q x=O iIi x+7=O Q xJ=O.x2=~7.

108

Mozemo zakljuCiti da nepotpuna kvadratnajednacina kojoj nedostaje slobodni clan tlvijek imajedno rjesenje x=O. .

Primjer 4: Rijesiti jednacinu: 5x2 - 2x = O.

Rjescnjc: 5x2_2x = 0 <=> x(5x-2) = 0 2

xl=O x2=--, 5··

Primjer 5: Rijesiti jednacinu x2_·6x+9 = O.

Rjescnje: Navedena jednaCina nije nepotpuna, ali se pazljivim posmatranjem trinoma na njenoj lijevoj strani mo:l.e zakijuciti da je to potpuni kvadrat. Na osnovu toga sc moze jednostavno doti do njenih rjcicnja:

x'-6x+9~O <=> x'-2x·3+3'=0 <=> (x·-3)'~O <=> x--3~0 <=> x,,=3.

Ovajednacina ima dvostruko rjesenje x=3.

Pitanja za ponavljanje:

I. Koju osobinu proizroda koristimo prilikom JjeSavanja nepotpunih kvadratnih jednaCina?

2. S{a se maze kazati za rjesenja nepotpune kvadratne jednac.'":ine koja nema slabodnog Clana?

3. Koja kvadratnajednaCiJ1a uvfjek imajedno rjeSeJyjejednako nuli? 4. Kada su oba ljdcrtja kvadl~atne jednaCine jednaka nuli?

Zadaci 7.a vjezbu:

4.! 1.0drediti rjesenja date nepotpune kvadratne jednacine: a) X2~O b) 2X2=0 c) -888x2=O d) ---4895x2~0

Rijesiti date (nepotpune) kvadratne jednacine: 4.12.a) x2---4=0 b) x-+36=0 c) 4X2-9=0 d) 25x2+ 16=0 4.13.a) x(x-5)=O b) (x-l)(x+4rO

c) (2x-I)(3x+5) = 0 d) (7~x)(4x+2)=0

4.14.a) x2+x=0 b) 5X2-4FO c) ax2-b~=0

4.15.Provjeriti da lije x=5 rjesenje date b"adratnejcdnacil1e: a) x2~2x-15=0 . b) 3X2-x-70=O c) 4x2+4x-11=0 d) 7x2+x-ISO=O

109

Rijesiti date kvadratne jednacine: 4.16.a) 5(x-3)(x+3)~IO b) 11(2x-I)(2x+I)~33 4.17.a) (x-4 )(x+4)+ 5 ~ 2X2_2

c) 2(6-x)(6+x) + X2~ 5_x2

c) 7(3x+2)(3x-2)+1~36 b) 3x2-12 ~ (2--x)(2+x)

4.18.a) (x+ll'-(2x-I)(x-I)+5x+4 c) (4-xr-2(x+I)'~ 14+2x

b) (2x-3)'+(x-I)(x+2)~2-llx

b) 3Xl + 1

3 x 1 _·5 x 2 +5 c) --- + ___ ._ - 3

2 6 4.20.a) (4x-IJ'+(x+2)2~ 5

c) (3-x)(2-x)+x'~ x'-5x+11 b) (x-I)(x+2)+(x+2)(x+5) - 8

4.2l.a) ax'-bx~O b) a'x'-b'FO 4.22.a) x'-4x+4-0 b) x'+6x+9~O

c) x2+45aFO c) x2-14x+49~0

4.2. RjcSavanje potpune kvadratne jednacine Formnla za rjdavanjc kvadratnc jednacinc

d) 16x+4bx2-0 d) x'--5x+6-0

U prethodnom paragrafu prilikom rjeSavanja nepotpunih kvadratnih jcdnacina, lla kraju sma vidjeli kako se j neke potpune kvadratne jednaCine mogu rijeSiti, aka je trinom na lijevoj strani jednacine potpuni kvadrat Uzmimo sada jednu, ma koju, potpunu kvadratnu jcdnacinu i potrazimo put do qjCl10g rjeSenja.

Primjer 1: RijcSitijednacinu 4x~-12x--41 = 0 .

Rjesenje: eilj nam je kvadratni trinom na lijcvaj strani rastaviti na linearne faktore, a zatim koristcci se osobinam proizvoda, kao II prethodnom paragrafu, dob do Ijesenja jednacine. Dovedimo JijevlI stranu na oblik razlike kvadrata, rastavimo na faktore tu razliku i rijesimo dvUe nastale linearnejednaCine. Krenimo redom:

4x2-12x-4I~O ~ 4(x'-3x)--41~0 ~ 4(x2_2x·~+2.-2.)-41~0 2 4 4

~ 4(x'-2x.~+ 2.)-4.2.-41~O 2 4 4

~ 4(x-~)'-9-41-0 2

~ (x-~)'- (~r -0 ~ 4(x-~1'-50~O ¢> (x-_3..)'- 50 -0 2 2 4

(x - ~- -FsifJ(lx _ ~+ ~) ~O I, 2 2 2 2

3 FsO 3 FsO x--- ~O,x--+--=O

2 2 2

110

_ 3 5.Ji XI-_+ ___ ~, x,- ~_ 5.Ji. 2 2 2 2

Navedeni postupak rjesavanja kvadratne jednaCine karisti se i pri izvodenju formule za rjcSavanje opee kvadratne jednacinc:

, b b' b' ax2+bx+c=O,a:t:O ¢:) a(x +2·-·x+~-·· __ ? )--l-c=O

2a 4a' 4a-

~ a( x +tJ' -( )b';~ 4ac r ~O b b' b' a(x' +2. - ·x+-- )--+c~O

2a 4a 2 4a

~ (x +.IJ... _ .Jb' - 4ac J(x +.IJ... + .Jb2

- 4a~J _ 0 2a 2a 2a 2a

b fi}-~4ac b .Jb' -4ac ~ x+-- 0 v x+-+ =0

2a 2a 2a 2a

b .Jb' - 4ac b Jb2~4ac ¢:) XI =~--+ V x7 =~----------2a 2a - 2a 2a

Dobijeni brojevi XI i Xl su Jjesenja kvadratne jednacine ax2+bx+c=O Ova Ijesenja se, obicno, pisu II slijede6em oblikll:

..------------_.------ ;====- -----­I . I

~b::l: .Jb 2 ~4ac 2d

I I.. Xl.2 (a *- OJ L..... ---''---'--~ __

sto predstavlja fonnulu za Ijesenja rna kaje kvadratne jednacine.

Primjer 2: RijeSiti kvadratnujcdnacinu 2x2-x-l=O.

Rjesenje: Uocimo da su koeficijenti date jednacine a = 2, b = ~ 1 c = --I, a zatim primijenima naprijed izvedcnu formulu:

- b ± Jb'~ ~ +D_±)H)'--42,(-1) X),2 =

2a 2·2

= I...=t_:-II + 8 -I ± -19.. = 1_:1:.2. 4 4 4

slobodni clan

Uzimajuci znak "-" dobije se jedno rjeSenje, a kada uzmemo znak "+" dolazimo do drugog Jjesenja:

Xl = ! - 3 = =2 = _ ~, X2= L~}_ = ~ = 1. 4 4 2 4 4

III

~~ - - --

Primjer 3: Odrediti rjesenja kvadratne jednacine x' + 3x - ] 0 ~ O.

Rjesenje: Neposrednom primjcnom fonTIule za rjesavanje kvadratne jcdnaCine dobije se:

- b ± -Jb' - 4ac ~ _3±~32 -4·]-(-10)

2a 2·1

~ :::_3_±_~_9_+~4~O ~:: 3± _J49 ~ - 3± ? . 2 2 2

Brojevi Xl = -5 i X2 = 2 su rjesenja date jednacine.

Primjer~: Odrediti rjesenja kvadratne jednacine Xl - 6x + 34 = O.

Rjescnje: Primjenom formule za rjesavanje kvadratne jednacillc dobije se:

- b ± -Jb' - 4ac_6± ,(6-; -4·1-34 ~ 2a 2·1

~ 6±.J=lOO _6± 10i =3±5L

2 2 Rjeseqjajednacine U ovom primjcru su dva konjugovallo ·kompleksna broja xi=3-5i i x2~3+5i_

Primjer 5: Odrediti rjesenja kvadratne jednacine 2X2 = -6+ 7x.

Rjescnje: U ovom slucaju potrebno jo kvadratnu jednaCinu dovesti na oblik ax2+bx+c=O, procltati odgovarajuce koeficijcnte i uvrstiti ih u formulu:

2x'=-6+7x w 2X2-7x+6=O => a=2,b=-7,c=6_

- b ± -Jb' - 4ac _ 7 ± ~49 - 4·2·6 = 7 ± ~49 - 48 X[.2 -:;::::

2a 7±.J1=7±1

4 4

Rjesenjajednacine su Xl = ~ 2

Primjer 6: Rijesiti jednacinu

-----_ .. _---2·2 4

Xz= 2.

x - 2 _1 -c---+ -- -~.

x' - 3x 2x - 6 x RjeScnje: Transformacijama se jednacina dovodi na jcdnaciou u kojoj nema razlomaka, a zatim u zavlsnosti od toga kakva se jcdnacina dobije, nastavlja njeno Ijesavanje.

112

Da bi se oslobodili razlomaka U datoj jednacjni~ jednacinu cerno pomnoziti s najmanjim zajednickim sadrziocem svih nazivnika koji se pojavljuju u jednacini i izvrsiti naznacene operacije:

+ X - 2 -xC:'-_-=-3 x- 2 x - 6 x

2+x(x-2) 2(x-3)

2x(x - 3) 2x(x - 3)

--:--::-:+ x(x - 3)

x - 2 = 1

2(x-3) x

w 2 + x(x-2)-2(x-3) = 0, 2x(x-3),oO w x2--4x+8 = 0, x(x-3) * 0 _

Nakon sredivanja dobili smo kvadratnu jednacinu koju rjeSavamo neposrednom primjenom formule:

- b:.t .Jbi~ _4±.Jj6- 41·8 _4 ± ~32 ~

2a 2 2

= 4 ± .J=J_6_ = ."..:t 4 i = 2±2i. 2 2

Rjesenjajednacine su konjugovano-kompleksni brojevi x[=2-2i i x2=2+2i.

Primjcr 7: Rijesiti kvadratnujednaCinu (x_a)2_2b(x_a)_(a2_b2) = 0, a>O.

Rjescnje: Nepoznata u jednacini je x, dok osta!e varijable smatramo paramctrima jednacinc. Izv.rsimo naznacene operacije u jcdnacini da bi se dovela na oblik ns koji mOZemo primijeniti formulu:

, , ') (x--ar-2b(x-a)-(a'-b- ~O <=> x2·"-2ax+a2--2bx+ 2ab-a2+b2 = 0

x2 - 2(a+b)x + b(2a+b) = O.

U dobijenoj kvadratnoj jednaCini koeficijent kvadratnog clana je 1, koeficijent linearnog clanaje -2(a+b) i slobodni clan iznosi b(2a+b). PrimjenolTI formu!e za ove vrijednosti koeficijcnata dobije se:

2(a + b)± ,f4(a + b)' - 4b(i~+b) Xu = 2

_2(a + b)± .[4(a' + 2ab + b')- 8ab - 4b' Xl 2 - - -~.-.-.----

. 2

_ 2 (a + b ) ± fu ,'-+-S-a-cb-+-4-c-bcc':-_---=-S ~ b - 4 b' = 2 (a + b) ± .,r;;:;;;:

Xl 2 - --.. - . -----.~.~.." -. 2 2

X _2a+2b±2a =a+b+a 12 - -

2 =>

113

Pitanja za ponavljanje:

1. Kako se izvodi formula za rjelavanje potpune kvadratne jednaCine? 2. 1'.1oie Ii se pOl11oi:u dobijene Jormule za rjdavanje potpune kvadratne jednacine

rijeSiti i nepotpuna kvadratna jednaCina?

Zadaci za vjezbu:

Rijesiti slijede6e kvadratne jednacine: 4.23.a) x2-Sx+6~O b) x2+Sx+6~O 4.24.a) x2-IOx+24~0

c) x2+IOx+21~0 4.25.a) x'-2x+2~O

c) x2+4x+13~0

4.26.a) 2x2-x-6~O c) 3x'-·IOx+3~O

4.27.a) x2-6x+9~O c) 25x'+20x+4~O

4.28.a) x2~6-x cJ 8(2-5x)~25x'

4.29.a) 8x'+6x-I-7x'+3x+27

c) 4x2-IOx+10 ~ 2x2+x+4

c) x'-x-2-0 d) -x'-x+2-0 b) x2+ 2x-24~0 d) x2-2x-15~0 b) x2-2x+5~0 d) 8x2 -6x+ 1-0 b) 8x2-2x-I~0 d) 15x'-22x+8~0 b) 4x2-4x+1 ~ 0 d) IOX2_X-3~0 b) x2-IOx~200 d) x'-6x+27 ~ 6x b) 3-5x--x2 - 5x-2x2-23

4.30.a) (x-2)(x-3)~2 b) (x+2»)--(x-2J'-16(x-4)2~0 c) (x-I )(x-2)(x-3) - (x'+ 3)(x-5) + 2x-33 ~ 0

4.3l.a) x'-2(a+l)x+4a ~ 0 b) x2·5ax+6a'~ 0 c) x2_2mx+m2~n2= 0 .

4.32.a) x(x+3)+a(a-3)~2(ax-J) b) ax'--(a+J)x+l ~O c) /-2(p+q)y+4pq ~ 0

4.33.a) (3-x)'+(20+4x)' ~ (x+ IS)' 0) x2-2(a+4)x+8a ~ 0

4.34. X + I __ x - I ~! x-I x+1 3

4.36. Sx +~~~ x-I x+1 x'-I

x(x+2b)

a' + 2ab + b' a-b

+--­alb

2x

a+b _!... + __ 1 __ -0

a ax- 2

114

b) x'-(2a+l)x + a'+ 2 - 0

4x - 21 _ _ 8_-_x_ ~ I -=-~"'C' 2x - I 1 x - 5

a-x a+x

I 21 ,[ ~t ,I ,I iI I I

i

11

11'" $1 l-'

\1 il

I

'ii

4.3. Diskriminanta i ispitivanjc prirode rjcScnja kvadratne jednacine

Izraz -----,.-,,-'--- -----~-1

n-.b2 -4ac l

1

koji se pojavljuje u fOfmuli za rjesavanje kvadratne jednacine nazlva se diskriminanta kvadratne jednacine. U zaVlsnosti od toga da [j je diskriminanta vcca od nulejednaka nuli iIi manja od nule, kvadratna jednacina ima realna i razlicita, realna i jednaka iii konjugovano­kOl1lpleksna rjesenja, tj, vrijedi:

D>O <=> (XI'7:=XI, Xl, xzER) - !jescnja Sil rca Ina i razlicita, D=O <=> Xj=X2 E R, - rjesenja su realna j jednaka

D<O q Xl=X1 , -rje.scnja su konjugovano---komplcksna.

Poznavanjem diskriminante kvadratne jednacinc moze se odrediti priroda njenih rjeSenja bez rjesavanja jednacine.

Primjer 1: Odrediti priroduljesenja kvadratne jednaCine 3x2-5x+ 11 =0.

Rjescnjc: Diskriminanta ove kvadratne jednacine je: D -b'- 4ac~ 25-4·3·11 ~ 25-132 --107 < 0 pajednacina ima konjugovano--kompleksna rje.scnja.

Primjer 2: Za koje vrUednosti parametra mjednaCina x2+2x-m+2=O , imajednaka rjesenja?

Rjesenje: Da bi kvadratna jednacina imala jednaka rjeSenja njena diskriminanta mora bitijednaka nuH:

D~O <=> 4-4(-111+2)~0 <=> 1+m--2~0 <=> 11l~1.

RjeSenja date jednaCine Sli jednaka ako je vrijednost parametra m jednaka 1.

Pitanja za ponavljanje:

1. Staje diskriminanta kvadrdtne jednaCine? 2. Kada kvadratnajednaco.;ina ima diskriminanfujednaku null? 3. Kakva veza postoji izmedju rje~.?nja kvadratnejednaCine i njene diskriminante?

115

Zadaci za vjezbu:

]zracunati diskrill11nantu D date kvadratne jednacine: 4.40.a) 2x'-3x+I=0 b) x2-x_I=O c) -x'+2x+3=0 d) 3x'+4x=0 2 • 4.4l.a) x -3ax+a=O b) mx2-2mx+3 = 0

c) -2x'+Smx+m-I=O d) Sx2-2mx = 0

4.42. lspitujuci diskrill1inantu date kvadratne jednacine odrediti prirodu njenih rjesenja:

a) x'+Sx-1 1=0 b) 2X2_X+3=0 c) Sx2-30x~45=O d) -3x'+x+S=O 4.43. Za koje vrijednosti parametra kjcdnaCina (2k-1 )x2 " (k+ I)x + k - 4 = 0,

ill1ajednaka rjdenja? 4.44. Za koje vrijednosti parametra mjednacina

(Sm-i )x' - (Sm+2)x + 3m-2 = ° imajednaka rjesenja?

4.4, Normirani oblik kvatlratne jctlnacinc. Vietcovc formule

U kvadratnoj jednaCini ax2+bx+c=O koeficijent kvadratnog clana a moze biti ma koji realan broj (osim-a=O). U slucaju kadaje a=l za kvadratnujednacinu kaZCIl10 da je l)orll1irana i takav oblik nazivamo normirani oblik kvadratne jednacine. Slijedece kvadratne jednaCine su napisane u normiranoll1 obliku:

x2-3x·,1 = 0, x2+44x = 0, x 2 _·i x-5SS=O, x2+(a+b)x-·I=O, ...

7 Svaka kvadratna jednacina maze se dovesti na normirani obIik tako sto se zamijeni s ekvivalentnomjednacinom koja se dobija dijeljenjem date jednaCine s koeficijentom kvadratnog clana.

Primjer 1: Datujednacinu dovesti na normirani oblik: 3x2~1'2x+4 = O.

RjeSenje: Dijeljenjem date jednacine sa 3 dobija se normirana kvadratna jednacina

ekvivalentna datoj: x2 - 4x + i = O.

3 Normiranjem kvadratne jednacine ax:! + bx + C = 0, dobija se jedllacina:

x2 + !!.. x + !:. = 0 . a a

Normirana kvadratnajednaCina se obicno pise u ob!iku:

2 If b c\ x +px+q=O; ~p=-;;, q=;,;).

Rijesimo normiranu kvadratnu jednacinu po poznatoj forrnu1i:

116

- b ± .Jb' - 4ac

2a

.. . p ~ p' -4q . 'X1,2=-2± 2 '

Ovim smo jednacine:

dosli do nove formule koja vrljedi za rjesavanje norll11rane kvadratne I~--o--~~~_C_~_"_ ~_ .. __ I P If p)' L X, =--7_11'- -q

.' .. 2 1 \ ? .. ,\ ..

_ .. ,.. --~---.

Vidimo da se u formuli pojavljqjc poiovina kocficijenta p, pa je ova formula pogodnija od prethodne u slucaju kadaje p paran broj. Aka koeficijent p nije paran broj, onda ova formula nerna neku veeu prednost nad ranije izvedenom formulom za rjcsavanje kvadratne jednacine.

X1.2=2±J4+5; x1,2=2±3 => x 1c=-l,x2=5.

Odredimo zbir i proizvod Ijescnja kyadratne jednacine koju SOlO upravo rijcSili: xl+x::=4, xl·x2=-5.

Poglcda1l1o !i koeficijente kvadratnc jednacine 4x-.. 5 = 0 , p= -4 i q= ····5 i uporedimo ih sa dobijcnilll zbirom i proizvodom ~jeScnja tc jcdnaCine llocavamo da je zbir rjdenjajcdnacine suprotan koeficijentu p, a proizvod jc .iednak clanu q. Naprijed uocena osobina jcdnacine vrijedi za svaku jcdnacinu. Dokazilllo to U opcem slucaju.

RjesenjajednaCine ax?+-bx-i-c=O su x: - b ± - 4ac _~.". ___ ~_"_ .... ~_~. Odrcdimo njihoy

2a

2a a

- b - .J!;,-4a"Z - b + .Jb' .. · 4ac

2a la

117

I) 1=,--(-b-~b--4ac)(-b+-Vb -4ac)_

4a2

b' -(b' -4ac) _ b' - b' + 4ac ~ c

4a2

4a 2 4a 2 a Dobili smo veze izmeduljescnja i koeficijenata kvadratne jednacine Ll obliku :

odnosno

Xl ' __ ---2{I __ J

l , -,"-----.. ----~------

Dobijenc forlllulc koje pokazuju vczu izrncau rjesenja kvadratne jednacine i njenih kocficijcnata nazivaju se Vieteove9 formule.

Primjer 3: Odrediti zbir i proizvod Ijesenja date kvadratne jednacine: a) x'- 445x + 122 = 0 b) . 3x2+36x-20 ~ 0

Rjescnje: Prema Victcovim formulama vrijedi: a) XI+X2=-p=445, XI'X2=q= 122

b) x,+x,= _!J.- ~ _ ~ =·-12, x,.x,~ "- ~ =-20 a 3 a 3

Primjer 4: Napisati k\'adratnujednaeinu eija su Jjescnjc xI=-6 i x2=5.

Rjescnje: Kako je xl+x2=-G--t-5=--1 , to jc koeficijent p = -(xl+xz)=l. Proizvod !jdcnja je Xi-X2"=--6-5 = -30, paje Q=XI'X2 = -30. Sada se trazena k\'adratnajednacina maze napisati u nonniranom obliku

X2+pX+q=O, odnosno, x2+x-·JO=O.

Primjer 5: Koja kvadratnajednacina ima Ijescnja Xl = -3-5i, X2= -3+5i ?

Rjescnje: Kako jc p = -(XI-+X2)'= -{-3-5i·--3-+5i) = 6, q = XI-XZ = (-3-5;)(-3+5i) =

= (-3 f .. -(5i)2 = 9+25 = 34, to je trazenajednacina: x2 + 6x -+ 34 = O.

Primjer 6: Izmedu Jjdcnja Xi i X:; kvadratl1e jednacil1e x2 -!- mx + 12 = 0 postoji veza XI X2 = I. Odrediti vrijcdnost kocficijcnta m.

9 Fran~ojs Viele (i 540- J 6()3)_ l'mncuski pravlliL politicar i matematicar. Jcdan je od najislaknutijih f["ancuskih matcmalicara XVI vijeka

118

XI + Xl = --m a za proizvod X!+X2 = 12, pa koristeCi se dalim uslovom moze se forrnirati sistem

Xt-X2= 1 xl+x2=rn XI-X2= 12

cij im rjesavanjern dolazimo do traiene vrijednosti parametra m.

x, - x, ~ I 1 XI -+X2 =mr xJx2~12J

2x] =m -+ 1 } => x,(x,-I)=12

~> (~)2 -~-12=O 2 2

~> m'+2m+ 1·-2m-2--48~0

~> (m+1J'-2(m+I)--48~O

=> m2-49=O => m1,2=±7.

Postoje dvije vrijcdnosti parametra rn za koje vrijedi dati uslov xr·~x2=1 za rjesenja

date jednacine i to mu=±7.

Primjer 6: Neka su Xl i Xl rjesenja kvadratne jcdnaCinc 3x2+4x-+ !=o. Nc rjesavajllci

Xl X 2 ovujednacinu odreditijednacinu ai-+by+c=O cija su ljcscnja YI=-- 'Y2=--

4 R,jcSenje: Iz date jednacine neposredno se cita XI+X2 = -p = -"3 Odredimo' YI+Y2 i Yj'Y2'

2 2 2 2 '? )'1+Y2 = _X_l + ~ = _x-,,_+_X-,-2 _ = Xl + XjX2 + Xl - ~X[X7

X z XI X 1X2 X1X I

Xl XI

( )2 7

Xl -+ X z -.~X!X2

16 2 16 -----3-- 2 16 10 _9_.1. ~ ... __ ~ __ 2 ~-.

X I X 2

- x[ X z - 1 Y1-Y2- -'--- - .

X z x[

I I 3 3

3

TraZenajednaCinaje /- (Yl-+YZ)Y + )'IY2= 0 , odnosno ,

y'- J..Cl. y + 1 ~O ~> 3y'-10y+3~O. 3

119

Pitanja za ponavljanje:

1. Koji oblik kvadratne jednaCine se naziva normirani? 2. Navediformulu za lje§avanje normirane kvadratfle jednaCine. 3. Ka~ajeformula za ljeSavanje l10rmirane kvadratnejednaCine pogodl7ija od

opceformule? 4. C! cemu govore Vietoveformule? 5. Cemujejednak zhir lje.fC1?J'a kvadralne jednaCine? 6. Kada je proizvod rjc/ienja kvadratne jednaCine jednak J?jenol11 slobodnom

clanu?

Zadaci za vjezbu:

4.45. Napisati datu jednacinu u normiranorn obliku: a) 3x2-7x+15~O b) 2x2+1Ix-{j~O

4.46. Koliki je zbir rjesenja date jednacine: a) x2-4x+15~O b) x2-45x-9~O

4.47. Odrediti proizvod rjesenja datejcdnacine: 2 2 a) x -8x-35~O b) x -49x+99~0

c) 1 Ox2+2x+ 15""'0

c) x2+202x+5=O

c) x2+20x+55=O 4.48. Odrediti zbir rjesenja kvadratne jednacine:

a) 2X2-8x-5~O b) 7x2+49x+ll~O 4.49. Odrediti proizvod Jjdcnja jednacine:

a) 2X2-3x+12~O b) 7X2+9x+14~O

c) 1 Ox2+50x+ 3=0

c) Sx2+ 17x-30~0

Napisati kvadratnu jednacinu koja ima rjdcnja: 4.50.a) X,~2,X2~4 b) xl~-4,X2~3 c) xl~5, x2~-l 4.51.a) x)=2+i, x2'="2-i b) xJ=----4-2i,xz=----4+2i c) xj=5+3i, x2=5-3i

4.52, Jeduo rjesenjc kvadratne jednacinc 2X2+X_1i=O je xJ=~. Odrcditi drugo 2

Ijesenje! 4.53. Odrediti vrijednost parametra m i rjcscnja kvadratnejcdnacinc

xl-2mx+m

2_1 =0 ako je jedno !jesenje dva puta vc6e od drugog.

4.54. Za kqje vrijednosti pararnetra kjednacina 9x2-18kx-8k+ 16=0 ima jcdno JjeScnje dva puta ·veee od drugog?

4.55. U jednacini x2-2x+q=O kvadrat razlike ~jeSenja je 16. Odrcditi slobodni clan q! 4.56. Za koje vrijcdnosti od p i q su JjcsenjajednaCine X2+pX+q=O jednaka p i q? 4.57. Alw SU Xl i Xz rjdcnja kyaclratoe jednacine ax2+bx+c::::O, odrcditi nijednost

'. I 1 I j' I" db' lzr3za _;;-" + --2 (aO 'un <.CIJU 0 a, 1 c! Xi . x

2

4.58. U jednaCiol x2-5x+m=O odreditl vrijednost para metra m tako da korve-oi

- r 1 _.1.3 I (Jjdcnja) jodoaCinc zadovouavajli"'rca)ciju: .,._ + ~_. = ___ . X l

2 x 2

2 36 120

4.59. Za koju vrijednost parametra m se rjesenjajcdnaCine (2m-l)x'+ (5m+l)x + 3m + I ~ 0, odnose kao 3:2?

4.60. Dataje jednacina ax2+bx+c=O, cija su rjesenja a i p. Sastaviti novu

kvadratnu jednacinu cija ce rjesenja biti ex + ~ , 0 + ~ ! , 'a p

4.6/. Ako su ex j p rjesenjajednacine x2_··5x+3=O, nc rjesav:ljuci datujednacinu, sastaviti novu jcdnaeinu cija S11 rjcsenja 0'.4 i f34j

4.62, Dataje jednacina x2+px+q=O Cija su rjesenja a j p. Ne IjcS3vajuci jednacinu,

odrediti vrijcdnost izraza ~_I ___ ) ..;. __ I_cc (2a +3t (2P +3)'

4.63. Ako su ex. i 13 !jesenja kvadratne jcdnacinc X2+pX-l--q=O i ako je

ex = ~ + ~ , kakva veza postoji izmedu koeficijenata p i q? 213 - 1

4.64. Napisati kvadratnujednaeinu eija su ~jesenjajednaka kubovima rjeseoja jedoacine ax2-+bx+c=O.

4.65. Ispitaj ka}(\<a Sli rjcsenjajedoac,ine x2--2(rn-3)x+mL---4=O kada parametar rn varira izmedu ~-CIJ i +ccl

4.5. Znaci rjescnja in"adratne jednacinc

Posmatrajmo kvadratnujcdnacinu napisanu u normiranom obliku X2+pX+q=O.

Na osnovu vrijednosti diskriminante D i parametara p i q u rrcthodnoj jednaCini, moze se goyoriti 0 znacima rjeScnja i bcz rjcsayanjajcdnaCine, 51"0 se tice diskriniinantc D, intcrcsanlanjc samo s)llcaj kadaje D ncncgatiyan hroj (ier u suprotnom kvadratnajcdnacina im3 konjugirano"' kompJcksna rjcscnja za koja ne definiramo znak).

Na osnOVll vrijednosti clana q, (q=x I x2). mozc111o izvcsti slijcdcce zakljuckc:

1. Ako je q=O, bar jedno !:jdienjc kvadratne jcdnaCine je O. 2. Ako.ie q>O, rjescnja kvadratnc jednacinc su istog znaka,znaCi, oba su pozilivna iIi

oba negativna. 3. Akoje q<O, rjesenja su razliCitih prcdznaka,jedno ~jesenjcje pozitiv3fl. a drugo

negativan broj.

Koristcci sc samo vrijcdnoscu para metra p. (--p=x I,Lx2) , 0 znacima ~jesenja xli Xl kvadratnc

jednacine maze se ka7..ati slijedcce: a) Aka je p=o. ~jesenja Sl1 dva suprotna broja. b) Aka jc p>O, bar jedno rjcscnje kvadratne jednaCine jc pozitivan broj. c) Aka je p<O, bar jedno rjeserJe je ncgativan broj.

Z:wisnosf znakuva rjeScnja od z.na.!(()va paramctara p i'q vidljivaje 1.1 slijedecoj·tabe!j:

121

lnak ad D lnak od q lnak ad p Znaci rjeSenja Xj i X2

o + o + o + + + +

+-

+

o +

+

+

o

Xl =x?=o

Xl < 0 - X2

Xj i Xl SU konjugovano~

komplcksni broicvi

4.6. Primjena kvadratnih jednacina

Kvadralne jednacinc pojavljuju se pri rjesavanju velikog broja prakticnib problema u raznim oblastima djeJovanja, Ovdjc se navode neki problem! koji se rje.savaju primjenom kvadratnihjednacina.

Primjer 1: ZbiI kvadrata tri uzastopna cije!a brejaje 770. Koji su to brojevi? Rjdcnjc: Ako najmanji od tri uzastopna cijela broja oznaC-imo sa X, tada Sll trazeni brojevi:

x, x + 1 i x + 2.

Prema uslov ima 7 ... ad~tka vrijedi: x? +. (x + ! i + (x + 2/ = 770

I<jd3vanjem gornjc kvadratne jednacine dobija se broj x, a onda se neposrcdno mogu napisti sva tri broja:

=>

=>

x 2 + (x+ I J' + (x+2)' ~ 770 3,,'+6x-765 = 0

=> Xl -I- x2+2x +1+x2+-4x+4=770 => x2+2x-255=0

I ' ,--. ... M __ •

-b±vb--4ac =-2±v'4+I020 =-1+16 --,,------ ------,--- .. ~. 2a 2

Za trateni broj x dobili sma dvijc vrUednosti i to xl = 15 i x2 = -17.

Trazcna trojka uzastopnih brojevaje: 15, 16, 17, odnosno, -17,-·16,-·15,

Primjer 2: Ako se svaka od tri dul.i 3=9, b=11 i c=13 umanji za istu duzinu dobiju se duzi kojc mogu biti stranice pravouglog troug!a. Odredlti za koliko treba umanjitl syaku da,tu dul:.

122

Rjesenje: Ncka svaku dUl; treba umanjiti za dUl; x. Kako jc c najveca stranica, prema Pitagorinoj teoremi vrijedi:

(c-x)' = (a-x)'+(b-x)' ¢;>

169-26x+x' = Sl-18x+x'+ 121-22x+x2 (13-x)'= (9-x)'+(II-x)'

¢;> x'-14x+33=O

=> 14±-J196-132 14±-J64 14±8

.~-.. -- = ~--.... - => x=3, 2 2 2

Tralena dui je x=3,Drugo ,jesenje (x=ll) dobijene kvadratne jednaCine no zadovoljava prirodu zadatka jcr bi se pojavile negativne vrijednosti duzine sto je nemoguce.

km Primjer 3: Terctni brod ployi rijekom krccu6i se brzinom v=20. h Rastojanjc izmedu dva mjcsta od 75 km bred pre!azi dva puta i to jcdnol11 uzvodno, a drugi puta nizvodno. Kada sc brad kretao uzvodno trcbalo mu je 2 sata vise vremena nego pri kretanju niz vodu. Odrcditi brzinu kretanja vode u ovoj rijcci.

km . b d '1'1 k ' , Rjcscnjc: Neka je brzina kretanja vode x -. Tada Je ro pn 1 <.Om 'retarua n[Z h

vodu imao relativnu brzinu u odnosu na obalu v+x, a pri!ij.:;olll uzvodnog kretanja njcgova brzina U odnosu na obaJuje bila manja i iznosila je v~x. Kako su put (s), vrijemc (t) i brzina (v) kretanja vczani re!acijom s=v·t, to se, prcma usiovima zadatka, mozc pisati:

..J.5.... ~ ..J.5.... _ 2 , v+x v-x

, - d ,-- 75, d Jcr se brod l11Z vo u Kfctao -- satl , a uz vo u v+x

75 sati.

v x

U\TstavaI~em vrijednosti za v dobije se:

75 75 ----~ ----2 v+x v-x

75(20-x) = 75(20+x) - 2(20+x)(20-xJ

=>

1500-75x= 1500+ 75x-800+2x2

- 75 + -J5625 + 1600 - 75 ± 85

2

x2+75x--400 = 0

=> x=5.

Brzina kretanja vode je 5 km

. (Orugo rjcsenje dobijenc kvadratne jednacine -80 ne h

zadovoljava prirodu zadatka.)

Primjcr 4: Ako se u kolo struje II kome dada napon U=220V uk!juci otpor od 50, jacina struje se smanji za 22 amrera. Koliki jc pocetni olpor u strujnom ko!u?

123

Rje.sen,ie: lz fizike je poznato da su napon (U), jaCina stmje (I) i atpor (R) u kolu . . I .. U struJc vezam re aC1Jom 1 "'" - .

R Neb je x pocetni otpor. Tada je jaCina strujc u kalu, prije ukijuCivanja otpora od 5

220 oma bila . Nakon ukljucivanja atp'ora od 5 oma jacina struje je manja za 22

x

ampera j iznosi 220

x+5 lato se moze formirati jednacina

rjesenje daje trazeni pocetni otpor x. 220 220

220 220 --=--+22, fije

x x-+-5

-~----+22 Q 220(x+5) ~ 220x + 22x(x+5) x x+5

220x+ J 100 = 220x -+- 22x2+ 11 Ox

=> 5±'/25+200 -5+15 ~> x~ 5, XI_2 =

2 2

U strujnom kolu je pacctn] otpor bio 5 oma (drugo ljdcnje dobijcne kvadratnc jednaCine je negativilo i ne maze biti otpor).

Zadaci za vjezbu:

4.66. Proizvod poJovinc i treeine nekog brqjaje 96. Odrcditi taj broj~ 4.67. Ako se ncki broj za 5 uveca i za S"umanji, tadajc zbir kvadrata tako

dobUenih brojeva 178. Koji je to broj? 4.68. Zbir cifara dvocifrenog broja iznosi 4. Kada se on pomnozl b[(~jcm 1.;:oj1 je

sastavljen od istih cifara u obrnutom redu dobijc se hf(~i 403. Koji je to broj? 4.69. Ako sc svaka stranica troug!a produzi za isti vrijednost, dobljaju se stranice

pravouglog trougla. Za koliko treba produziti svaku stran1cU ako 5U one a=3, b~5 i c~7?

4.70. Pravougaonik ima dijagona!u d=26, a stranicc mu se razlikuju za 14. Odrcditi stranicc pravougaonika!

4.71. Polovinu bazcna napuni jcdna cijcY,a drugu p%vinu druga. Cijcvi su bile llkupno otvorene 25 sati. Ako se obje cijeyj otvorc istovrcmeno bazen se napuni za 12 sati. Za koiiko sati svaka cijev poscbno moze napuniti bazen?

4.72. Kada se ivica kocke smanji za 2, zaprcmina kocke smaqji se za 98. Za koliko se smanji!a povrsina kocke?

4.73. Kada bi bicik!ista vozio 4 km na sat brzc, put od 240 km bi presao za 3 sata manje. Kojom Drzinom se krcce biciklista?

4.74. PovrSina trougla c.ije su straniee tri uzastopn3 parna brojajc P=24. Odrediti stranicel

4.75. Zizna daljina sabirnog socivajc f=20 em, a rastojanjc predmcta od likajc d=81 em. Odrcditj·-rastojanje Jika t. pr~dmeta· pod sociva,

124

.... "-, ..... _---------'-------------_._----

~ .•. r .•.. A

~

4.7. K vadratni trinom. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lincarnc faktore ({'jnioce, cimbenike)

lzraz oblika ax2+bx+c, (a, b, c#-O) nazivamo k"adratni tdnom. Za svaku vrijednost vartiabIc x kvadratnom trinomu odgovara njegova brqjna vrijednost. Za one vrijednosti vartjable x za koje je vrijednost trinoma jednaka nuli kazemo da su nule trinoma.

Trinom x2+4x-21 lma dvije realne nulc. To su brojevi x]=-7 i x2 = J. Znajuci nule kvadratnog trinoma,trinom se mo.z,e rastaviti na linearne faktore. Pokazimo to, prvo, na primjeru navedcnog trinorna, a onda i U opcem sJucaju:

x'+ 4x - 21 ~ x'+ 7x-3x-21 ~ x(x+7)-3(x+ 7) ~ (x-3)(x+7).

Krenimo, sada, od opceg kvadratnog trinorna axl+bx+c i pokaiimo kako se rastavlja na linearne faktore. Kvadratni trinom se moze napisati na slijcdeci nacin:

.., 2 b c aX-+ bx + c~ a(x +-x +--).

a a Ako su Xl Xl nu!e trinoma, prema Vieteovim formulamaje

b c ~ = - (x) + Xl), .... - = X)XI . a a

Koristenjem navedenih relacija daUe se moze pisati: .., b c 1

ax2 + bx + c = a(x" +- x +-) = a[x~-(x)+X2)X+·(X1Xl)] = . a a ~ a[x2-x,X-X2X+X,X2] ~ a[x(x-x,)-X2(X-X,)] ~ a(x-x,)(x-x,),

Vidirno da vrijedi: l-

i l

I J

Primjer 1: Rastaviti kvadratni trinom 2x2+x-15 na !inearnc faktore

Rjescnjc: Prvo je potrebllo odrediti nule trinoma, a zatim ~rimjjcl.1iti izvedenu forrnulu. Nule trinoma odredt~jemo ~jeSa\"anjem kvadratne Jcdnacl11c:

-I ± -Jl + 120 -1 ± Ji2J 2X2+ x-15 = 0 => Xu = ----4~·~ 4

-I± 11 4

125

5 => XI = -3, X2 = -

2

2 5 2x + x-IS = 2(x-x I )(x-x2) = 2(x+3)(x-2) = (x+3)(2x-S).

a 2 +6a-91 Primjer 2: Skratiti dati razlomak :

a'+8a-105 Rjesenje: Kvadratne trinome u brojniku i nazivniku razlomka, prvo treba rastaviti na Iinearne faktore:

a' +6a--91=0 => - 6± .J36+ 364 - 6±20

au = 2 2 =>

a2 +6a-91 = (a+I3)(a-7).

-8±j64+420 -s±n a =------=

" ? 2 =>

a2 + 8a- 105 = (a+IS)(a-7).

Sada se dati razlomak maze napisati na slijedeci naCin:

02 +6a-91 (0+13)(a-7) 0+13

a'+8a-105 = (a+1S)(a-7) = ~+15

12x + I 4 3

a,=-13,a2=7.

Primjcr 3: Rijesiti jednacinu: -2-'---' - - --_.- - -- = 0 . . 2x -7x + 5 2x - 5 X --1

Rjescnjc: Da bi se oslobodili razlqmaka u jednacini, potrebno je jednacinu pomnoziti sa najmanjim zajcdnickim sadrziocem svih nazivnika. Za odredivanje NZS nazivnika sve nazivnike morama rastaviti na linearne faktorc. Jedan nazivnikje kvadratni trinom. Rastavimo ga na faktore:

5 2X2_7x+5=O => xl=l, x2='2 ; 2x2-7x+5 = (x-l)(2x--5).

Sada jednacinu l11oZel110 napisati ovako:

12x+1 4 3 --- --- --- ~O

2x' - 7 X + 5 2x - 5 x-I 12x+1 4 3

¢:> ----........ - - -- - -- ~ 0 (x-I)(2x-5) 2x-5 x-I

¢:> 12x +1--4(x-l) - 3(2x-5) ~ 0 ¢:> 2x +20 ~ 0

126

12x +1- 4x +4-6x+15~0 x~-IO.

Pitanja za ponavljanje:

1. ~~ta znaCi rastaviti izraz nafakiore? 2. Kako se kvadratni irinom rastavlja na linearne faktore? 3. Gdje se prinifenjuje rastavljanje kvadratnog trinoma ?

Zadaci za vjezbu:

4.76. Dati kvadratni trinom rastavi na linearne faktore: a) x'-5x+4 b) x'+IOx+21 c) x'--4x+13 d) x'-x-6

Rastaviti na linearne faktore date izraze: 4.77.a) -3x'+1Ix+70 b) IOx'+9x+2 c) 4x2 -8x+3 d) 2x'-1Ix+5~0 4.78.a) x'-2ax+a'-b' b) x' -ax--j)a2 c) abx'- (a'+b2)x + ab

4.79. Skratiti date razlomke:

x 2 +x-12 a)

c)

x' -16 2x' +5x-3

+ lOx + 3

4.80. Oduzeti razlomke

b)

d)

x+ 1 x

+x-2 x'_I' .. 7

4.81. * Izvrsiti naznacene operaClJe: 2 2a ·-5a - 3

RijeSiti date jednaCine:

X' + lOx + 25

x'+14x+45 2a' -11a-6

2a2 +3a+l

4 + ----c;---:c-____::_

4a' + Sa + 3

a a-I 4.82.* --- - " 2 ~ I, (fiZl, a?2).

nx-x x 2 -2nx- +n-x

4.83*a) x'-6Ixl+8=0 b) (x+Ij2~ Ix+31

21 I 4.84.* 2 -x+4x-6=0.

x - 4x + 10

4.85.*

4.86*

4.87*

2x 13x -~- + ~6. 2x' -5x+3 2x' +x+3

3x 2x 8

x' + 1-4x x 2 + 1 + x 3 (x-l)x(x+I)(x+2) = 24.

c) (2x-3j2 ~12x - 31

127

5. KVADRATNE FUNKCLJE

Funkciju sa skupa rcaJnih brojcva R u skup R definisana relacijom:

x H y=ax2+bx+c

gdje su a, b i c rna koji realni brojevi i a::;tO, naziYamo kvadratna funkcija. Osobine kvadratne funkcije proucavacerno prvo na specijalnim, a oa kraju i U opccm slucaju.

5.1. Kvadratna funkcija oblika y = ax"

Kvad,ratna funkcija za cije koeficijente b i c vrijedi b=c=O ima oblik y=ax2 gdje je a rna koji realan broj koji nije nula. Osobine ove kvadmtne funkcije upozoajmo prQucavajuci stijedece primjcrc:

") 2 1 2 Y=x- v=2x y=----x

, J '2

Prvo cerno nacrtati grafike navedenih funkcija. Da bi to uradili odabracemo nekoliko tacaka koje imaju za prvu koordinatu neki fealan broj, a druga koordinata jc bro] koji funkcija pridruzuje prvoj. Odabrane prve i izracnnate druge koordinate predstavimo u slijedecoj tabeli:

x --3 ~2 -1 0 1 2 3 4

f(x) = X 9 4 1 0 I 4 9 16

f(x) = 2x" 18 8 2 0 2 8 18 32

f(x) = ~ x2 9 1 ! 9 - 2 - 0 -- 2 - 8

2 2 2 2 2 '---

U koordinatni sistem ucrtane i spojene izabrane tacke odreduju po jednu parabolu za svaku funkciju (SIS!)_ Sa slike se vidi da je graiik svake od navedenih funkcija parabola koja je simetricna U odnosu na y~osu_ Svi grafici prolaze kroz ta(sku (0, 0), svi su okrenuti otvorom prerna gore i svi su izn.~? x--ose.

128

Dalje se vidi da je grafik funkcije y = 2X2 uzi od grafika funkcije y = x2, a grafik

1 funkcije y =2 x2 je siri od grafika funkcije y ~ x'-

y

. ....~ -

SI.5.I.Svc parabole su okrenutc nagorc .(n>O) i ~to jc a veee to su "uze", a sto je a manje to Sll "sire".

Navedene osobine ima svaka od funkcija y=ax2, za a>O. Navedimo ih redom: _ grafik funkcije y=ax2 je parabola simetricna 11 odnosu na y-osu -- tjeme parabole je tacka (0, 0), _ za x=O, funkcija y=ax2 dostize najmanju vrijcdno~! y=O,.. " _ za a> 1 i x>O funkcija raste brze,a za O<a.< J funkclJa raste spoflJe od funkcIJe

_ 2

_y;~~ 1 i x<O funkcija opada brZe, a za O<a<l funkcija opada sporije od funkcije

=x2

~y za' a; 1 parabola y=ax2 je uz,a, a za 0<a<1 je sira od parabole y=x2

.

Posmatrajmo, sada funkcije y = -- x2 , Y = _2X2 , Y = ~~ x2

, formirajmo odgoyarajuce

tabele i nacrtajmo grafike:

129

x -3 -2 -I 0 I 2 3 4

f\x) _XL -9 -4 --I 0 I -4 9 16 f(x) _?xT -18 -8 -2 0 -2 8 18 32

f(x) =-~. x2 9 I 1 9 - - -2 - - 0 -- -2 -- -8

2 2 2 2 2

Analiziraju6i dobijenc parabole triju izabranih funkcija mazerna uoCiti da sliean grafik ima svaka funkcija y = ax2 za a<O. Navedimo osobinc funkcije Fax2 za a<O: - grafik funkcije y = ax2 je parabola simetricna U odnosu na y-osu - tjeme parabole je tacka (0, 0), - za x = 0, funkcija y = ax2 dostiie najvecu vrijednost y=0, ",- za a<-l i x<O funkcija raste brie, a za -1 <a<O funkcija raste sporije od funkcije

y=_x2,

- za a< -I i x>O funkcija opada brie, a za -I <a<O funkcija opada sporije od funkcije y =_x2

,

za lai > 1 parabola y=ax? je Ula, a za 0< !al < 1 je sira od parabole y = _Xl.

S\.5.2. Sve pambole su okrenute na dole (a<O) i sto je a vcce po apso!utnoj vrijednosti to su "nze",

a sto je lalmanjc to su "i;ire".

130

4.~ ... IT I

'i ".:.'.·1

··:··.·1

'J

~ ~

I I J

I I

Pitanja za pOnal'ljanje:

1, Sta je funkcija sa skupa A na skup B? 2. I<;ojufunkciju nazivamo kvadratnafunkcija? 3. Staje grafik kvadratnefunkc[je y=ax.?? 4. Kadafimkcije .v=a/ rasle? 5. Kadafonkcijay=ax2 irna maksimum? 6. Sta je nula kvadratne funkcije y=a:x2?

Zadaci za vjezbu:

S.l. U istom koordinatnom sistemu konstruisati grafike funkcija y=x2, y = 2x.? i

y=.l xl, pa napisati kako se mijenja parabola y=ax] mijenjanjem pararnetra a? 4

5.2. Odrediti tok svake ad funkcija iz prethodnog zadatka. 5.3. Za koju vrijednost svaka funkcija iz prethodnog zadatka ima najmanju, a za

koju najvecu vrijednost? 5A. U istom koordinatnol11 sistemu konstruisati grafike funkcija y=_x2

, y=_3x2

i Y = - J.. Xl pa napisati kako se mijenja parabola y=ax2 mijenjanjem 3

parametra a? 5.5. Odrediti tok svake od funkcija iz prethodnog zadatka. 5.6. Za koju vrijcdnost svaka funkcija iz prethodnog zadatka ima najmanju, a za

koju najvecu vrijednost?

5.2, K vadratna funkcija oblika y = ax2+c

Ako posmatramo kvadratnu funkciju y=ax2+c vidimo da se ona razlikuje od funkcije y=ax2 po tome sto je vrijednosti funkcije 7..3. svaku vrijednost varijable dodana vrijednost c. To znaci da se svaka vrijednost funkcije y=ax2 pove6a (aka .Ie c>O) ili umanji za c (aka .Ie c<O) i dobije se odgovaraju6a vrijednost funkcije y=ax

2+c.

Posmatrajmo slijedece funkcije:

Y=2x', y=2x'+I, y~2x2-3; y=_2X2, y~-2x'+2, Y'=-2x2-3

i njihove grafike na SL5J. i SL 5.4.

131

SI.5.3.

1 .J

-] -2 y= 2x',

SI.5.3.i 5.4. Clan c "pomjera" osnovnu parabolu )=ax2 za c po y-osi i to u pozitivnom smjcfu kada je c pozitivno, a u negativnom kadajc c negativno.

Grafik svake od posmatranih fl1nkcija moze se dobiti iz grafika funkcijc y=2X2 (y= _2X2) na taj nacin sto se izvrsi njegova translacija pO pravcu y-ose za c (u pozitivnom slTljeru ako je c>O iIi u negativnom smijeru karla je c<O).Ovu cinjenicu koristimo prilikom crtanja grafika funkcija y=ax2+c tako sto se skicira grafik funkclje y=ax

2 i onda same translatira za c kako je gore navedeno.

Vidim'o da grafik funkcije y=ax2+c , a>O, ima slijedece osobjne: - grafik ftmkcije y=ax2+c je parabola sirnetricna U odnosu na y-osu - tjeme paraboleje tacka (0, eJ, -- za x""'O, a>O,funkcija y=ax2+c dostize najrnanju vrljednost y=c, - za x=O, a<O, fnnkcija y=ax2+c dostize najvecu vrijednost y=c, .- za a> 1 i x>O funkcija raste brie, a za O<a<1 funkcija raste sporije od funkclje

y = x2

-- za a> 1 i x<O funkcija opada brie, a za O<a<1 funkcija opada sporije od funkcije v = x2

-;a a> I' parabola y=ax2 je uza, a za 0<a<1 je slra od parabole y=x2.

- ako je ac<O, kvadratna funkcija y=ax2+c, ima dvije realne nule X12

:= ±J- .~ . , v a

. Uzimajuci kvadratnu fnnkciju y=ax2+c za slucaj daje a<O, vrijede analogni zakljucci.

132

II

J 'I I i

I • 1

I

I I

11 '~!

\

Pitanja za ponav/janje:

I. Kako nastaje grafikfullkcije y~ax2ic iz grajikajullkcije y=ax' 7

2. Kadafunkcija y=ax-2+c ima minimum? Kolikije minimum ovefimkc?Je? 3. Sfa su nulefimkcije y=ax2+c? 4. Kadafimkctfa.v=ax'"'+c nema realne nule?

Zadaci za vjezbu:

5.7. Odrediti nu!e kvadratne funkcije 'y=2x~-8. 5.8. Koliki je maksimum funkcije )'=-':'3x2+14? 5.9. Nacrtati grafike funkcija: y=x~, y=x2_~5 ,y=x2+3 ~ 5. i O. Nacrtati graflke funkcija: y= _3x2

, y~.-3X2+5 ,y= ~3;r·--2 . 5.11. Za koje vrijednosti parametra m funkclJa y=(4m-20 )x~+ 144 lI11a minimum?

5.3, Kvadratna funkcija oblika y=a(x-xo)'

Na SI.5.5. predstavljena je graficki funkcija y=(x~3{ Posmatrajuci p~!072j ave funkcije U odnosu na funkciju rx2 vidirno da se translacijom parabo!e y=x~ u smijeru ose Ox za 3 dobija parabola y=(x-3 t

I 2 y=(x-f3)

!

51.5.5. GraiJ lirn~ciJc ;.--=(x __ J)2dohije St pomjeranjem

grafika fl1nkcijc y=x2 \I smjeru osc Ox za 3

\ I 2

v~2,x+2) • ! ~

' J! I

;,

/ i

/ I

/

I 51.5.6 Ovd)cje Po!}liC-nH).JC iz\ rseno za _21

Mozerna zakljuciti s!1jedece: ~ .. ~ grafik fnnkcije y=(x-3)~ je parabola podudarna sa paraholom y=x- kOJ3 Je pomjercna za 3 u pozitivnom ~.~nijeru x-ose,

- \jeme parabole je tacka'(3, 0). - osa simetrije paraboJe je prava x=3,

133

-.

- kad x raste od .......a) do 3 funkcija opada ad +00 do 0 , a kada x raste od 3 do +00, funkcija raste od 0 do +00, - minimum funkcijcje Ymin =0 za x=3.

Na SI.5.6. predstavljcna je parabola y=2(x+2)2. I na ovoj slici se vldi da se translacijom parabole y = 2X2 u smijeru ose Ox za -2 dohija parabola y = 2(x+2i. Navcdi osobine funkcije y = 2(x+3l

Neka.su~a~anaSI.5.7.predstavljenefunkcije y=_x2 i y=-(x-4i. r ovdJe vlduno da Sll dobijcne parabole podudarne i da se transiacijom prve parabole u smijeru x-ose za 4 dobije druga. Sa grafika procitaj osobine funkcije y = _(X __ 4)2.

\ \ ,

y \' -(x--4t

-3 \ ·9 \

SI.5.7. Tnlnslacijorn La <1 parabola y = _x2 preiazi 1I parabolu 'j "'" _(x-4)2.

Mozemo zak!ju6iti: - grafik funkcije y=a(x-xo)2 je parabola koja je podudarna sa parabolom y=ax2 koja se moze dobiti njenom translacijom za Xo po pravcu x--{)sc. - tjeme parabole je tacka (xc, 0), "- osa simetrije paraboie y=a(x-Xoi je prava x=Xo, . _. ako je a>O : za x<xo, funkcija opada i za x>x:o funkcija raste. - ako je a<O : za x<xo, funkcija raste i za x>xo funkcija opada.

za X=Xo funkcija ima ekstrem:minimutn ako jc a>O, maksimum al\O je a<O. U oba slucaja ekstremjc Hula. -- za a>O funkcija y=a(x-xoi je pozitivna za svako x osim x=X{j, a za a<O ova funkcija JC uvijck negativna osim za x=xo ..

I\1oze se kazati da funkcija y=a(x-xo)2 za sve vrijcdnosti 'varijablc X.:;i:Xo ima zoak koeficijcnta a (aka je a pozitivan broj i funkcijaje pozitivna, a ako je a negativan broj i funkcijajc negativna).

134

II

Pitanja za ponavljanje:

1. Kako nastaje grafik funkc,ije y=a(x-xoi iz grajika funkcije y=ax.? ? 2. Kadafunkcija y=a(x-xut ima maksimwn? Kolikije maximum ovefunkcije? 3. Koliko realnih nula imafunkcija y=a(x-xr/ ?

Zadaci za vjezbu:

5.12. Predstavi graficki funkciju y = (?C-1/ i sa grafika procitaj u kojcm intervaiu ova funkcija opada.

5.13. Nacrtaj grafik funkcije y = X2, pa na osnovu njega,na istoj siici, nacrtaj grafike slijedecih funkcija: a) y ~ (x-3)' b) y ~ (x+2)' c) y ~ (x+S),

5.14. Nacrtaj grafik funkcije y= _X2, pa na osnovu njega, na istoj slici, nacrtaj grafike slijedeCih funkcija: a) y ~ _(X_3)2 b) Y ~ -(x+2)' c) y ~ -(x+5),

5.15. Nacrlaj grafik funkcije y ~ x2 -lOx+25. Stajc nula ove funkcije? 5.16. Odrediti koordinate tjemena parabolc y = x2+6x+9.

5.4. Kvadratna funkcija oblika y = a(x-xo)2 +)'0

ProucavajuCi prethodna dva paragrafa vidjcli smo kakav uticaj ima broj c kod funkcije y=ax2+c j broj Xo kad funkcije y=a(x--xo)2. Sada Ilije tesko izvesti zakljucak sta se desava kada se u iSlaj funkciji pojavijuju oba posmatrana broja. To je upravo funkcija koju posmatramo U ovoni paragrafu .

Kod funkcije y=a(x-xo)2+yo broj Yo ce "vuci" parabolu y=ax2 u pravcu y ose, a broj Xo

Vllce istu parabolu po pravcu x-osc. Slaganjem ovih dvaju kretanja, analogno slaganju sila poznatol11 iz fizike, parabola y=ax2 6e se translatirati u praveu y-"-0se za Yo i u pravcu x~ose za Xo s10 znaci cia ce njeno ~eme biti u tacki T(xo, Yo). Posmatrajmo, kao primjcr, funkciju y=2(x-5/-3 Cijije grafik prikazan oa S1.5.8.

135

y

-3 -1 ,

-1

-1

-1

-3

-~ ,.

SL5X Translacijom pa -abole y=2x2 za YCklor OT nastaje parabola y=2(x-5)2~3.

Posmatrajuci grafik na S1.5.8, uocavamo slijedcce osobine k:vadratne funke-lie:

a) Grafik funkcije v=a(x-x )2, , ' b I' k ' , .. _ :: • .J _ ' 0 T)i)JC para 0 a oJa nastaJc translaclJom parabole

y-ax P? X--D$l za Xo (udesno aka jc xo>O, a ulijcvo aka je xo<O), a 7.alim translaCljOm u pravcu y--ose za Vo (prcma gore akoJ"c v >0 d I' j. , 0) ~,~ 0 ,a prema 0 JC a ,-0 JC Yo< , .

l

b) Ak~ je a>? par~?olaje otvorom okrenuta prcma gore (konkavna), a ala je a<O parabola JC SVOJllTI otvorom okrenuta prema dolje (konveksna).

c) cfJeme parabole y = a (x - xoi+yo je tacka T(xo. Yo).

d) Osa parabole y = a ex - xoi'- + Yo je praYa x = Xo_

e) Aka Je a>O: za x<xo funkcija opada, a za x>xo funkcija rastc. Ako JC a<O: za X<Xo funkcija rasre, a za X>Xo funkcija opada.

f) Akojc a>O, funkcija ima najmanju vrijednost (minimum) i nijedi

. .. n: x = Xo, Y min = Yo. Ako JC a<O, funkclJa una najvccu vrijednost (maksimum) i vrijedi

za ~ = xo, Ymax = Yo.

136

Ove dvije vdjednosti funkcije, maksimum i minimum, jednim imenorn se nazivaju ekstremi funkcije.

Kvadratna funkcija y=a(x-xo)2+Y[l uvijek ima samo jedan ckstrem, iii minimum iii maksimul11.

Pitallja za ponavljanje:

1. Kako naslaje grafikfunkcUe y=a{-T-xoy2+yo iz grafikafunkcije .v=ax~ ? 2. KadafunkcUa y=a(x-xl/+.vlI frna maksfmum? Kolikije maximum ove funkcUe? 3. Koje koordinale irna Ijeme parabole ¥v=a(x··~xl/+)"II? 4. Kadafunkcija parabola ,v=a(y-xu/+J'(I ne sijece x-osu?

Zadaci za vjezhu:

5.17. Nacrtaj grafik funkcije y=2x2, pa na osnovu njcga skiciraj grafike funJ\cija:

a) y~2(x-I))+4 b) y~2(x',3)2-3 5.18. Nacrtaj grafik funkcije y = _x2

, pa na osnovu njega skiciraj grafike funkcija: a) Y=-(X_I)2+2 b) F-(x+3)2_1

5.19. Tzracunati maksimum funkcije y = --(X_3)2+ 11. 5.20. Kolikijc minimum funkcije Y = x1+4x+19? S.2l. U kojem intervalu funkcija y = 3x2-12x-l raste? 5.22. Odrediti koordinate tjemcna paJ'abole y = 2x2--20x-1.

5.5. Kvadratna funkcija oblika y=ax2+bx+e (grafik, nule, zuak, ekstrom, tok)

Proucavajuci kvadratnu funkciju dosli smo do opceg oblika ove funkcijc: )=ax2+bx+c. Pokazimo na primjeru kako se ovaj slucaj syodi na prcthodne.

Primjer 1: Odrcditi grafik j ispitati osobine funkcije y=2X2_12x+19.

Rjcscnjc: Datu funkeiju transformisimo na slijedeCi nacin:

y=2x2-12x+19 <=> F2x2-12x+18+1 q F2(x2-6x+9)+1 q y~2(x-3)'+1

Dobili smo posmatranu funkcijll napisanu U obliku koji 51110 proucili u prethodnom paragrafl.l. Zato mozemo kazati:

137

- grafik funkcije y=2x2-12x+!9 je parabola koja se dobije translacijom parabole , ~,

y~2x- za vektor 07 ,T(3, 1), - funkcija kao OSH ima pravu x=3, -za XE(---..{1), 3) funkcija opada, a za xE(3, +(0) funkcija raste, - minimum funkcije jc Ymin=l za x=3. - funkcijaje konkavna, ,

.nj zajednu .realnu vrijednost varijable x funkcija y=2x2-]2x+!9 nema vrijednost Jednaku nuh. Kazemo da funkcija nema realnih nula. ,

-, S1.5.9. Ovako nastajc gr'ailk Cunkcije y = 2x2-12x+19, [y = 2(x_3)2+ 1 ]

V!:~timo s~, sad~, .~pcem slucaju. Pasmatrajmo funkciju y=ax2+bx+c za rna kaje realne vnJcdnostI koe11clJcnata a, b i c (a*O) i izvedimo slijcdece transformacije:

y~ax2+bx+c <=> y~a(x'+!>.x+.c.) <=> y~a[x2+2,l:-X+(l:.)'_ b2 +-~l

a a 2a 2a 4a 2 a

C) y~alr(x+J'_)2 __ b 2 -;ac1 \ 2a 4a-

~ ,

b2 -4ac

4a

O\'im jc apca kvadratna funkcija y = ax2+bx+c svcdena na kanonski obJik

v r a(x )2" ' " b b2

- 4ac ." ,"--Xo - Yo, pn cetnu JC Xo= -~- i Vo= -----, 20' 4a

koji smo upoznali u prcthodnom paragratll.

Izraz D = b2 - 4ac nazivarno diskriminania kvadratnc funkcije y=ax2+bx+c.

Nule kvadratne funkcije y --;;;: ax2 + bx +- c su brojcvi xl i x2 koji su rjesenja kyadratne jcdnacine ax2 -+- bx + c = O.

138

Od ranije namje poznato da kvadratnajednacina ima dva razlicita realna rjesenja ako je njena diskriminanta D pozitivna, jedno dvostruko realno ako je jednaka nuli i nema rea!nih rjesenja aim je 0<0. Sada mozemo kazati da kvadratna funkcija y=ax2+bx+c ima dvlje realne i razlicite nule kada je njena diskriminanta 0>0, jednu dvostruku realnu nulll kada je D=O i nema realnih nula ako je D<O. Posmatraju6i parabolu koja je grafik kvadratne funkcijc y=ax2+bx+c mazemo, dalje, kazati da parabola sijece x--osu kada je D>O, dadiruje x--osu aka je D=O i ncma zajednickih tacaka sa x--osom kadajc 0<0. Navedeni zakljucci ilustrirani su na S!.5.]0. i na S1.5.11.

" < 9, I ~-;-f---;--;--;' " -, -" -<--:; I J '

S1.5.10. T ri moguca, bitno rdziicita, pol()7.aja parabo!c y=a,,(2'!-bx+c ako jc a>O.

Na kraju 0 funkciji y = ax2 + bx + C mozemo kazati: - grafik funkcijc y=ax~+bx+c je parabola koja sc -dobiva translacijom parabole

, b " b2 -4ac y=ax- za - - po X-~'OSl a zatun za -- -_ .... _- 11 pra\'clI y-'ose.

, 2a' 4a

- Osa parabole , " b

y = aX"+bx-t-c Je prava x = --: ?~- , _a

b k "d b Ako je a>O: za x<- - fun 'c1Ja opa a, a za x > ~-2a 20

x=-~ funkcija ima minimum 2a

b2 - 4ac

-----4a

funkcija raste i za

I ' bfl" b fk " d' A \.0 JC a<O: za x<- -- un ,;,clJa raste, a za x> - --- lin clJa opa a 1 za 2a 2a

b f k'" 1 ' x=---~ un 'clJa 1ma ma';'SU11um y 2a mal.

b' - 4ac

4a - Za a>O funkcijaje konkavna, a za a<O funkcijajc kaflvcksna.

~. Ako je diskriminanta D:2:0, tada kvadratna funkcija y = ax2+bx+c im3 nule

-b±fi/~~ 2a

139

,F

,ID>O,a<O ,1 "" -,-",q.,;".,-,-,j---;--'-"

,/,D<O, a<O __ , D=O,a<O

lY· / '·7t'~d I

j ,

\

SIS! LTri mogura, bitna razlicita,pO!O:{Hja parahole yo-ax2+bx+c ako je koeficijcnt a<O.

Primjcr 1: Kvadratnu funkciju y=2x2+8x-24 dovcsti n3 oblik y = a(x+al + 13, a zatim odrediti: nuie, ekstrem, intervale monotonosti, znak 1 koordinate tjemena.

RjcScnje: Pr\'o dovcdimo datu funkciju na oblik y = a (x+ai + /3.

y = 2x2+8x-24 = 2(x2+4x),,24 = 2(X2+4x+4-4}-24 = 2(x+2)2-32, y = 2(x+2)2, 32,

Nule funkcije odrcoujemo rjcsa\'anjem [.;:yadratnc jednacinc 2x'+8x-24 = 0, adnosno 2(x+2) 2" 32 = 0: 2(x+2J'-32=0 => (x+2)'=16 => x+2=±4 ,'" Xl=-6,x2=2,

Kako je a=2>0 to posmatrana ].;:yadratna funkcija illla minimum i vrijedi Ymm = "~32 za x = -2 sto neposrcdno "Citamo" iz kallonskog oblika funkcije y = 2(x+2)" 32,

Kako jc osa parabole y,:c= 2(x+2)2 - 32 prava x = -2 to je tl interva!u (--00, --2) funkcija opadajuca, dok je u interva III (-2, +00) rastuca. Koordinate ljemena su x = -2 i Y =-32 paje T(-2, -32).

Na S1.5.12. skiciran je grafik funkcije y = 2X2 + 8x - 24 pomocu kojcg mozemo odrediti njen znak.

Na slici se vidi da je )'<0 za sve yrijcdnosti varijablc x koje se nalaze izmedu -6 1 2. Funkcijaje pozitivna za vrijednosti varUable XE(----o'J, ---6)U{2, +cc).

140

SI.5.12. Dijelu graJ-lka funkdje koji se nalazi ispod x~osc odgoyaraju ncgativnc, a dijelovima iznad x-ose pozitivne vdjcdnosti tlmkcije.

Zoak fUllkcije se moze prikazati i tabelarno:

I ~ I: I +00 i -6 +00

\ 0 +

Grafik kvadratne funkcije y=ax2+bx+c mozemo skicirati koristeci njegove cetiri karaktcristicne tacke: Zjerne, presjecnll tacku sa y-osom i llule.

Pitanja za ponal'fjanje:

1. ~~!aje diskriminanta kvadratnc funkcfje? 2. Kako se odreduju l1ule kvadratnefunkcije y=m?+bx+c? 3. Ima Ii kvadratnafimkcija uvUek realne nule? 4. Kako se odreiluje graJikfunkcije y=a)?+bx+c? 5. Za ko}u vrtjednost varijable xfunkc(ja y=ax2-+bx+c ima ekstrem? 6. Kolikije ekstremfunkcije y=a).?+bx+c? 7. Kadaje parabola y~"'ax +hx+c kr;mvcksna? 8. [] kojem intervalufunkcfia ),=ax£-, bx~~c,a<O, raSfe?

Zadaci za vjezbu:

5.23. Odrediti koordinate ijemena parabole y = 3x2 -x+ [2. 5.24. Odredi nuJe funkcije y = x2--_7x+ 10. 5.25. U k~joj tacki funkcija y = 4x2

- J 7x-i-15 sijece y-osu? 5.26, Nacrtaj grafik funkcije y = x'-5x+6, 5.27. Nacrtaj grafik funkcije y = _2X2+X+ l. 5.28. Odrediti koordinate tjemena, nllle, tacku presjeka sa y-osom, a zatim

skicirati grafik funkcije y = x2-2x-3. .

141

5.29. Odrediti koordinate tjemena, nuie, tacku presjeka sa y-osom, a zatim skicirati grafik funkcije y = ~2X2+6x~3.

5.30. Odrediti ekstrem funkcUe y = ·-x'+ 16x+5. 5.3 J. Odrediti ekstrem funkcije X = x2-6x+ 10. 5.32. Kvadratnu funkciju y = 2x"-4x--6 dovesti na oblik y=a(x+al+~, a zatim

odrediti: nule, ekstrem, interval~ l11onotonosti,znak i koordinate ~emena. 5.33. Po planu prcthodnog zadatka ispitati funkciju y = -2x2-8x+ I i skicirati grafik

ove funkcije. 5.34. Napisatijednacinu parabole koja nastajc kada se parabola y=3x2 pomjeri Za

3 jedinice udcsno i zatim za pet jedinica navise. 5.35. Napisati jednacinu parabole koja nastaje kada se parabola y = ~2X2 pomjeri za 4

jedinice ulijevo i zatim za trijedinice na dole, 5.36. Obilll pravougaonikaje 20 m. Odrediti stranice pravougaonika tako da mu

povrsina bude najveca. 5.37. Broj 12 rastaviti na dva pozitivna dijela tako da suma k\'adrata tih dijclova

bude najmanja.

5.38. Nacrtaj grafik funkcije y = Ixl - 41. 5.39. Kako izgleda graiik funkcije y = 1- (x -1)' + II? 5.40. Nacrtaj graflk funkcije y = Ix2 - 4xl.

142

1

I I

I

I i

I I

I

I I

,! i i

I I

1\

i' ;! iii

6. KVADRATNE NEJEDNACINE (NEJEDNADZBE)

6.1. Znak kvadratnog trinoma ax2 + bx + c

Ako trebamo odrediti znak kvadratnog trinoma ax2+bx+c najjednostavnije je skicirati grailk funkcije y = ax2+bx+c koristeci karakteristicne tacke i sa grafika procitati za koje vrijednosti varijable xje trinom pozitivan, a za kojc je negativan.

Ako trinol11 ima reaInc fluIe, dovo!jno je povuei parabolu koja prolazi tim nulama vodeci racuna samo 0 znaku koeficijenta a da bi se mogao odrediti znak trinoma (funkcije).

Kada nule kvadratnog trinoma nisu maIne, to ce se desiti onda kada je diskriminanta trinoma O=b2-4ac negativna, tada odgovaraju6a parabola nigdje ne sijece x-osu, a trinom ima znak koeficijenta a.

Primjcr 1: Odrediti znak kvadratnog trinoma x2-9x+ 14.

Rjesenje: Nule kvadratnog trinorna odredujeino rjeSavanjcm kvadratne jednacine x2-9x+ 14=0. Taka se dobiva xl =2, x2=7. Posmatrajmo tacke koje odgovaraju nulama

trinoma na x-osi (S1.5.13.). Kako je koeficijent a=1 >0, to je odgovarajuca parabola otvorom okrenuta prema gore pa se sa slike vidi da je trinom ncgativan za sve vrijednosti varijable x iz intervala (2, 7), a trlnom je pozitivan za vrijednosti varijable x<2 iii x>7.

\ / +-< -+--h\lk"rf-+ --7:

2'-:;,/ x

St.5.! 3. Za odredivanjc znaka hadratnog trinoma dovoljnajc i o,-aha .'ikica.

143

/",

l

6.2. Kvadratna nejednacina (nejednadzba)

Nejednacina u kojoj je najvisi stepeo varijable dva naziva se nejednacina drugog stepena iii kvadratna nejednacina (nejednadzba). Ako se u kvadratnoj nejednacini izvrse sve navedene operacije i svi clanovi prebace na lijevu stranu, tada se nejednaCina dovodi na jedan od oblika

iIi

Vidimo da kvadratna nejednacina irna tri clana: kvadratni brojevi a, b nazivaju se koeficijent kvadratnog, odnosno nejednacine. Realan braj D za koji vrijedi

D~b2-4ac

linearni i slobodni, Realni linearnog clana kvadratnc

naziva se diskriminanta kvadratne nejednacine (ncjednadzbe). Kad kvadratne nejednacine osnovni problem je odrediti rjesenja, odnosno prona6i sve rcalne brojeve koji zadovoljavaju nejednaCinu. Kako se dolazi do rjdcnja kvadratne nejednacine pokazacemo na primjerima,

Primjer 1: RijeSiti nejednacinu 2X2+Jx-S<O.

Rjescnje I: Posmatrajmo nuIe kYadratnog trinoma 2X2+3x-S koje se odreduju

rjesavanjem kvadratnejcdnacine 2x2+3x-5=O. Tako se dohivaju brojevi X]=_ ~,X2=1. 2

RjeScnja kvadratnc ncjednacine su one vrijednosti varijable x za koje je trinom negativan. Posmatraju6i- S1.5.14. vidi se da je rjescnje m.;jednacine 2X2+3x--S<O skup

'I b' , d 5, I SVll roJcva lZl11e u - - I . , 2

S1.5.14. Rjescnje ncjcdnacineje skup (_ ~, 1) 2

x

Rjesenjc II: Kvadratni trinom 2x2+-3x-5 ima realne nuJc xl i x2 pa se u skupu realnih

brojeva moze ra5taviti na l-inearne faktore. Tako se dobije n~jednaCina:

2(x-xl)(x-x2)<O, odnosno, 2(x+~ )(x-l)<O , 2

kqja se, dalje, raspad~_.~a dva sistema ~inearnih nejednacina

144

! I

':i I I

I , , , , i I I "

I

I I I

;.1,

I i

,I

iIi x+%>o1 x--I<O J

cijirn rjesavanjem dobijamo rjesenje polazna kvadratne nejednacine.

Rjesenje pTVOg sistemaje prazan skup, a rjcsenje drugogjc interval brojeva

C-~, I), Rjesellje posmatrane kvadratnc nejednacinejc unija rjesenja dobijenih 2

sistema, odnosno, to je skup brojeva XE(-~, 1). 2

Napomena: K vadratna nejednacina napisana u obliku a(x-x I )(x-X2)<0 iii a(x-xI)(x-x2»O moze se rijesiti j pomocu tabele.

Primjer 2: RijeSiti nejednacinu -x2+3x-5<O.

Rjescnjc: Diskriminanta kvadratne nejednacine je D=b2 -Aac=..-ll <0 pa kvadratni trinom -x2+3x-5 nema realnih nuIa. U ovakvom sJucaju kvadratni trinom ima znak k.oeficijenta a. Kako jc a=-1 negativan broj, to jc i kvadratni trinom negativan za svaku vrijednost varijablc x. To znaci da je rjesenje ncjednacinc _xl--+-3x-S<O skup svih realnih brojeva R.

Primjcr 3: RijeSiti nejednacinu -5x2+x-ll>O.

Rjescnje: Diskriminanta D=1-220=--119<O nejcdnacine je negativna pa kvadratni trinom ":"'Sx2+x··-ll nema realnih nula. Kako je koeficijent kvadratnog clana a=--5 ncgativan, to je trinom negativan za svaku realnu vrijednost varijablc x. Ovo dalje znaCi da trinom -5x2+x·-ll nije pozitivan ni Z3 jednu \Tijednost realne yarijable pa nejednacina -5x2+x-l1>O nema rjescnja, odnosno rjesenje posmatrane nejednaCine je prazan skup,

Pilanja za ponavljanje:

1. Staje kvadratni trinom? 2. Kako se odrethgu nule /n!adratnog trinoma? 3. Kada kvadratni lrinom ima znak koejicijenfD a za sve vrijednosfi varijable? 4. Kakva nejednaCina se naziva kvadratna l1ejednaCina? 5. Kako se izracunava diskriminanta kvadratne nejednaCine? 6. OpiSi postupak ljdavanja kvadratne l1ejedna(ine.

145

Zadaci za vjezbu:

6.1. Ko!ike su nule kvadratnog trinoma: a) x'-4x-12 b) x'+6x-7 c) -x'+2x-35 d) 4x'+4x-3

62. Odrediti znak kvadratnog trinoma: a) x2--4x+4 b) 2x2+x-l c) -x2+4x-5 d) x2-2x+5

Rijditi datu kvadratnu nejednacinu: 6.3.a) x'-4x>O b) x'+2x<0 c) 2x'--x>0 d) 4x'-9x<0

6.4.a) 12x'-17x-I05<0 b) 2x'-7x-15;O:O c) 12x2-4x+3<0

6.5.a) 3x2+2x+I>0

x-2 2x--J 6.6.a) -- > -­

x+ 2 4x-)

b) -5+4x-3x2<O c) 4x'+9>12x

b) x'-2x+J >-3 c) 7_ x - 2 >.:-=2 x 2 -4x+3 - x-I x-2·

3x 2 ~x+2 2 x+ 1 I-x 6.7.a)-2--·--<2 b) x+->-3 c) ---2<--

x - 2x + 3 x 1 ~ x x

I 2 3 6.9. (x-I)(x+l)+.(3+x)'>(3-x)'+3x. 6.8. ---.- + -- > -- .

x+1 x+3 x+2 3 8 4 6.10. Za koje vrijednosti parametra m kvadratnajednacina ima realna i razlicita

rjcScnja: aJ (2m+I)x'-2x+2-3m~O b) (m+l)x2-2(3m-l)x+2m+I~O c) (m+l)x2 -2(3m--2)x c- mTI~O d) (m+2)x'+5x+2--m - O?

6.11. Za kojc vrijednosti paramctra m kvad.ratnajcdnacina ima konjugovano­komp!eksna rjesenja:

a) (4m-9)x2+2mx+2m-15=D c) (m+l)x'+(m+l)x+3m-2~0

b) (m-2)x'- 2mx + 2m+3~0 d) (m+3)x2+ 7x + 3 -m ~O

6.12. Za koju vrijcdnost parametra mjc trinom (m-8)x2-3x +~:::'., pozitivan za 4

svako realno x? 6.13. Odrcditi vrijednost paramctra m pod uslovom da za svako x budc.

a) (m+I),," 4x + 2m > 0 b) _3x2 + 2mx-12 < O.

6.14. Za koje vrijednosti varijable xje definisana funkcija y = .Js2 ~ 6x~+1 ?

6. J 5. Odrediti oblast definisanosti funkcije y = .J- 3x2 + 6x +"9" .

6. J 6. * Odrediti do menu funkcije: y = I ~ "m 1 vx 2 -x-2

Rijesiti nejednacinc:

6.1 pix' - 2x -- 31--2>0 , 6.18.* x -+ 3 + 2 > O. Ix- 41

6.19. * Rijesiti nejednacII1lLax2-x-l>O za ~ve vrijednosti parametra a.

146

7. JEDNACINE (JEDNADZBE) VISEG REllA

7.1. Bikvadratna jednacina 'liednadiba)

Je..dnacinu oblika ax4 + bx2 + c '::::::.0 ~ gdje Sll a,b i c realni brojcvi i a;t:O, nazivamo bilwadratna jcdnacina Oednadzba). Rjcsavanjc bikvadratnc jcdnacine sv.odi se srnjenom x2=t, na ~jesa\'anje kvadratne jcdnaCine po promjcnljivoj t. Pokaiimo to na slijedccim primjerima.

Primjer 1: Rijesiti jednacinu x4_13x2 +36 = O.

RjcSenjc: Uzmimo daje x2=t. Tada se datajednacina transformise na sUedeCi nacin: x4_J3x2+36~0 ¢> (x)'-13x2+36~O ¢> t'-13t+36~0,(x'oq).

Dobivcna kvadratna jcdnacina rjeSava se po poznatoj formuli:

-b ± .Jb' - 4~~ - (3) + )(-13)' -- 4 ·1·36 13 ±.JJ 69 -144 t -, -.-.--~-. -- -- - -----.:..:..:-'---'-'-

1,2 -- 2a 2·1 2

13±5 Otudaje t,~4, t2~9.

2 Dobili smo dvijc jednostavne kvadratne jednacine x2=4 i x2=9 Cija rjesenja su rjcSenja date bikvadratne jednacine:

Xl). = t2, X3,4 = ±3.

Bikvadratna jednacina u skupu komp1eksnih brojeya uvijek ima cetiri rjesenja meau kojima moze biti ijednakih.

Primjcr 2: Rijesiti jednacinu X4 + 5x2 - 36 = O.

RjcSenjc: Nekaje x2=t. Tada se datajcdnaCina moze transformisati na sUedeci nacin:

X4+ 5x'- 36 ~ 0 ¢> (x')' + 5x2_ 36 ~ 0 ¢> _ t'+5t-36 ~ 0 ..

147

t

RjesenjajednaCine t'+5t--36 ~ 0 su t,~ 4, t, ~ ~9_

RJesavar\icrn jednacina x2=4 i x2= -9 dobije se X!'2 = ±2, X3,4 = ±3 i.

Rjesenje: Uvedimo smjenu x2 = t. Tada se datajednacina dobiva oblik:

sto je kvadratna jednacina po t. Potrazimo ~ieSenja Dve kvadratne jednaCioe:

_~(~2a)±J(~2a)2~4.1.(a2~b2) 2a±.J4a2~4a2+4b' tu

2-1 2

2a± f4i1 2

Rjesavanjem jednacina jednaCine

2a±2b ---=a±b.

2 x2

= a-b i x2= a+b dobiju se rjesenja date bikvadratne

Primjer 4: Rijcsiti jcdnacinu (X~3)4 ~ 29(x~3)' + 100 = 0 .

RjcScnje: Nekaje (X-3)2=t. Sad~ se dobije kvadratnajednacina po proIT'jcnljivoj t: C -- 29t + 100 = 0 .

RJesavanjem pretliodne kvadratne jednacine dobije sc t 1 =4 i t2=25.

Zamjenom dobijeoth vrijednosti za t u (X-3)2=t dobiju sc dYlje kvadratne jednaCine ; to:

(X~3)2~ 25, odnosno,

x2--6x+5 = 0 x'---6x~16 ~ O.

cijim ~jeSavanjem se dolazi do cetiri rjeserDa po!aznc jcdnaCine

Pitanja za pOl1avljanje:

1. KojujednaCinu naZiWlll70 bikFadralnajednaCina? 2. Kako s~ rje/;ai'D bikvadralna jednaCina?

148

II [I \i 'I n il I

',I I

-,J I I I 1

'I

'I 1

'\

Zadaci za vjeZbu:

Rijesiti bikvadratne jednacine: 7.l.a) x4~25x2~O b) x4+IOOX2~O 7.2.a) x4~JOX2+9~O b) x4--25x2+144~O 7.3_a) x4+7x2+IO~O b) x4+J30X2+I089~O 7.4.a) 4x4~5x2+ I~O b) x'+9k' ~ k'x2+9x' 7.5.a) (x'+6x+9)'~5(x+3)'+4~O

7.6.a)

7.7.a)

Rijesiti jcdnacine:

x' + 3 1 --~-

17 - Xl X2 + 3 (x+a)4+(x~a)4~ 82a4

c) 4x4--49x'~O c) x4~29x'+IOO~O c) 3x4_7xl +2=O c) x4_25x2~k'x2~25k2

b) (x2--4x+3)'~8(X2--4X)~9~O

Xl + 1

b) x'+13 1+ b) (X~3)4+(x+3)4~648

7.8. Koja bikvadratna jednacina ima ljesenja XI,l = ±2 i X3,4 = ±s.

7.9. Napisati bikvadratnu jednacinu cija su rjcsenja Xi) = ±3, xJ,4 = ±2i.

7.10. Rijesitijcdnacinu 6x 4 ~ 5x 2 -I I ~ O.

7.2. Kulma jcdnaCina ax3 + bx' + ex + d = 0

lednacina u kojoj se nepoznata pojayljuje najvise na treci stepen naziva se jednaCina treccg stepcna iIi kubna jcdnacina.

Svakajednacina trceeg stepena moze se dovesti na obllk:

A>2 + Bx2 + Cx + D = 0 (*)

gdje su A, B, C i D realni brojcvi pri cemu je A;t:-O. Iv1i cemo posmatrati kubne jednacine ciji koeficijenti su eije!i brojcvi.

Kuhns jednacina nije llvijek pogodna za ljda\'anje, kao sto je k·yadratna. Mi cemo ovdje izvesti forll1ulu za ljcsavanje kubnejednacine u OpCClll obliku, ali prije toga cel110 pokazati kako se neke specijalne kubne jednacine l1logu rijesiti na drugi nacin, bez formule.

Prirnjer 1: Rijesiti jednacinu 8x3 - 27 = 01

Rjesenje: Ovdje se radi 0 jednosta\'noj, binomnoj. kubnoj jednacini koja se rjesava na s1jedeci"'nacin:

149

----

8x'-27~O <=> (2x/-3<~O <=> (2x-3)(4x2+6x+9)~O

x 2.} =

3 => 2x-3~O 4X2+6x+9~0 => xI~-2 '

- 6 ± J36~~~~~ ~I 4~4

8 6±,/--I08

8

-6±6I~3

8

Primjcr 2: Rijesiti jednacinu x3_7x2+ 16x-12 "'" 0 !

-- 3 ± 3i,/3 4

Rjescnje: Koris"ticemo metodu rastavljanja lijcvc stranejednacine na faktore. Naime, ako polinom x·'-7x

2+ 16x-12 rastavimo na faktorc, tada se maze koristiti osobina proizvoda: proizvod dva broja je jednak nuli ako je bar jcdan od faktora nula, i posmatrana kubna jednacina se moze zamijeniti sa dvije (iii tri) jednacine hizeg ~tepena. Jednacine Ilizeg stepcna su kvadratna i lincarna i obje znamo rijesiti bez Ikakvih ogranicenja.

Rastavimo polinol11 x3_,,7x2+ 16x--12 na faktore:

~ (X_2)(X2-5x+6)~

Kori~.teci ?obi\'~ni rastav po!inoma na Jijcvoj stranijednacinc,jcdnacina se rjesava na shJedecl nacm:

(X~2)(X2-5x+6)~O <=> x-2~O, x'-5x+6~O x ~7 5 ± I25 - 24 5 ± Ji~ 5 ± J

I -, X 2 ,3 = --~.--- = 2~ = 2-· Dobili smo tri IjcScnja xl=2, x2=2 ,x3=3.

Dakle, ako po!inom na lijcvoj strani kubnc jednacine rastavil110 na faktorc tada se JjeSenja jednacinc dobivaju IjesavanjclTl lincarne i kvadratnc jednacine. '

Mo~e !i se uvij~k polinom trecc? stcpena rastaviti na f'aktore? U skupu kompleksnih bro~eva rasta;' IJanJe svakog polll1oma teorijski je mogu6e, ali se kod velikog broja PO;1fl~:1~~. tI:ec~g st~~cna pos:~pak .faktorizacijc komplikuje, sto otezava ljesavanje odJO\alaJuce Jcdnacll1c na naCln pnkazan u pethodnom primjcru.

Ovdje na.Yodimo jO.5 jed.an nacin Ijdavanja nekih jednacina tre6eg stepena. ~)ozna:o JC da s\'akl p~!lnom n-Aog stcpena ima n !lula. Tako poJinom trc6cg stepena lln,a tn )nule (meau kOJll)1a moze biti i jednakih). Ako su XI_ XI i X3 nuJe poJinoma ax-'+bx-+cx·-:-d tada se polinom moze napisati u obliku --

J 50

JI 'I :~

II odakle se, uporeduju6i odgovaraju6e koeficijente polinoma dolazi do jednakosti

PosUednja jednakost kazuje da jc slobodni Clan polilloma d djeljiv s njegovom nulom. Ovu cinjenicu mozemo koristiti prilikom rjcsavanja onih kubnih jednaCina koje imaju cjclobrojna Ijesenja.

Pokaiimo to na sljede6em primjeru.

Primjcr 3: Rijesiti jednacinu x3 -3x2+5x-6 = O.

Rjesen.ie: Siobodni clan ove jednaCine je -6. Faktori slobodnog ciana su: ~ ±I, ±2, ±3, ±6 ~

Ako jcdnacina x3-3x2+5x-6=O ima cjeJobrojnih rjesenja, tada su to neki od navedenih osam brojeva. Neposrednom provjerom trazimo jcdno rjesenje jednacine. Pro\-jeru, obie-no, poe-injcmo od manjih brojeva. Lahko se provjerava da brojevi -1 i 1 nisu rjesenjajednacine,aii se uvrstavanjem b~·oja 2 u jcdnacinu zakljucuje daje to jedno Ije.senje. Jedno rjescnje jednacine x'--3x="t-5x-6=O jc x)=2 sto je i nula po!inoma xJ -3x2+5x-6.

Sada koristimo teoremu: Ako je a nula polbwma j(x) tada je polinom j(x) djeljiv sa binomom x-a.

Kako smo pronasli jednu nulu (xl=2) polinoma x3-3x2+5x-6, to je ovaj po\inom djeJjiv sa binomom x-2.

Odrcdimo kolicnlk (x'-3x'+5x-~6):(x-2)~ (x3-3x'+5x-6):(x-2) = x2-x+3 x3-2x?

--x?+5x-6 -x2+2x

Dakle, vrijedi: x'-3x'+5x-6 ~ (x-2)(x'-x+3)~

o Sada se nasa kubnajednacilla moze napisati ovako:

(x-2)(x2-x+3) ~ 0 => x-2~O, x2-x+3~O

J ± J1=I2 J ± -!=Ii I ± iF! xj=2, x7..J 0:;; ----- ~ ----- ~ 222

Taka smo do~l_i .. do Ijesenja pos·matrane jednacine;

151

Primjer 4: Rijesiti jednacinu x3··-2x2~17x-6 = O.

Rjesenje: PotraZimo jedno cjeJobrojno rjesenje medu faktorima slobodnog clana: ±I, ±2, ±3, ±6.

Nekaje f(x) ~ x3 -2x2-17x-6. Tada vrijedi:

f(-1)=8, f(1)=-24, f(-2)=12, f(2)=-40,f(-3)-0.

Sti.!??s~no do ~ule polinoma f(x). To je broj -3. Polinomje djeJjiv sa x+3. Odredimo kOl1c01k: (x'-2x -17x-6): (x+3).

(x' -2x'-1 7x--{)):(x+3) ~ x'-5x-2 K'+3x2

-5x2-17x-6 -5x2-15x x3_2x2

_ 1 7x--{) = (X+3)(X2 -5x-2).

-2x-6 -2x--{)

o

Preostala dva rjesenjajednacine X3_2x2-J7x-6=O dobiju se rjesavanjem kvadratne jednacine x2-5x-2=O.

x2c5x-2-0 5 ± .,J25+8 5 ± .JD X 2 .3 2 2

Posmatrajmo, sada. kubnujednacinu u optcm slucaju:

Ax' + BXl + ex + D "" 0 I.')

Dijeljcnjcmjcdnacine (*) sa A",oO,jednacina se svodi na n0011irani oblik

Uvc:dimo smjcnu

x3 +ax2 + bx + c=O

a x=y- -

3 j transformisimo jcdnaCinu (**) 1I noy! oblik:

152

'( a' '\ (2a' ab ) y + b--Iv+ ----+c =0 3/ \,27 3

Ako uvedcmo smjcne P'"" b ab

3 .', c, onda cc:mo

dobi!i slijedecujcdnaCinu koju ccmo z\'a!i imnonski ohlikjednaCinc treceg stepcna:

i +py+q=j} (***)

Odredimo postllpak rjcsayanja kanonskc jednaCinc tl'eceg stupnja.

RjcScnjc Ie jcdn<lCinc traziccrno II ohJikll

y=u+v

gdje Sll U i \' ncb hrojevi koje treba odrediti tako da bude zad{)\-oJjcna jednaCina ("**-). ali pored toga moz.e se lr..abrati jos neki llS]OV koji moraju zadoyoJjiti ti hrojc\'i, Uyrstavanjcm :ell-' v II (Hot) dohijc SC

(u + vi + p(u + v) +- q '''' 0

(311V+p)(U + v) +- (u3+-v' + q) = O.

Odabcrimo hrojcvc tl j v lako da hude

3uy + P =0. 1 osnnVl1 toga SG, daDe, dobije :

Vidimo daje potrehno rijesi!i sistcmjcc1naCina

3uy +- r = 0, u}+y3 =-q

da hi rijdili kanonsku jednacinu trcccg stepena (~";). Ta,] sistcirl mozel11o I'amijcnili jcdnim dmgim

sislcmom Cija ~ieScnja sadrze l:idcnja navcdcpog:

153

u\' ~_ (~ Koris\cci Viclc---{)vc tonnulc za k vadmlnu jcdnaCinu. \ idimo da ;;u u' i / Ijdcnja kvadratnc jednucinc

o (\ J

1'- ~- ql.-l ~ j = 0

cijim Ijduvanjem sc dobije: t , ~ _'1.. ± h)'~(J.c l' '- 2 Vl2) 3)

Odarie je r- r _ .. , -------: .. :,-+'1.+ /('1.)- + (E.'J V 2 11',2 3,

r-----------if '.2 _ ::L I! q :

V 2yl,"2j v II =

J cd no rjcscnjc jednacinc (*~' *) jc

Dobin;na fommb LOve "e Kardanova9 formula.

Karclano\'a formula nijc pi-akticna /u racunal~jc [la sc ccsto \ rse modifikadjc u cilju jconoslavnijeg do)aska do [~idenja.

"'-:d(aje

Vl=-:~_' 3u

1

1.( q 'I' II -) \,2

( \ J ( P i +[-, \ 3 )

bilo koja ITijcdno;;( lreceg korijena i nckaje

Ako jt (J ~~ 1 + i.J3 treei kOl"ijcnjedinice, ondajc

t ·-rJ3 2

2

'0 = IT

cr'\=cr,a 5 ,0 ;; = 1 Hd.

J\jdenjajednilcinc (""**) mugu se napbali na sljcdcti naCin:

YI=UI+ V [.

Y2=UiG +v 10

Y.1 u la:2 ""-vlO"

" Girolamo Cardal10 11 ~O 1-15 76, - ilaliymsKI uttm doktur kOJi .It U svt)Joj knjiZl - AI'S magna" objavio i mdodu rjcS81 Jnja jtdnUCHlll trcccg steptml kOJ U 111\1 Je povjcnn priptclJ Tartalja ("J lcolo Tartag.lia; eea 1500--1567)

154

Daj"e y~ = 1I: + VI 1jesenjcjednacinc (***) vidjcli smo u do sada navcdcllom pri izvodenju Kardanoyc fmmllk.

Pokazimo daje Y2 = Uia + \'iG 2 ljeScnjcjednacine (*H). JeunostavninlllVrstavanjem u ("'**) dobije

se

(lilO" +vla 2)3+p(llta +v]a 2)+q=

=Ui3CJ 3+3(llICJ )"v)a 2.,-3ll.]CJ (Via ?)2'f(vla 2/+PUI CJ +pv[0'" 2+q=

=U1 3 cr 3 1-3u :2 G ~vI+-311lcr \'12+VI'cr 6+PUIG +pv]G 2+ q ""

=u i '-f311 11 cr \1+3ll l cr 2\-12+VI "pUla +PV1G l+q=

=u j }+\}+3U 11 cr \;I-'-Plll() +3u[CJ 2V?+_pV 1G 2+q=

",- a/-.;-·\' IC-t-ll l G (311 i V ,+p)+v I cr "(3u] vl+p)+q c.-

=UI 3 +\j3+ Ci {UI-+VICi )(3U lv i-1-P)+q=O

jtr ll! i \' 1 zadoyo!javajll gore navcdeni si~tcm.

Pokazimo da je i)} = lIj Ci 2 -+ \ i cr Ijescnjc jcdnacinc \ ""*).

Sada sc dobiju s!jedcce formuic 7.a IjdcnjajednaCinc (*H'}:

;!i~='Jl 2

+q =

;fi (u, - v,)

2

Priiikom prakticnog rjda\'anja jcdnacine lreccg stcpcna pOIllOCU Kardanove formll1e najceSce se k(}ri~te

gornje formllle.

Primjcr 5: Primjcnol11 Kardanovc formule rijdili jednabllll: xJ_~'3X2+ 18x+ 140=0.

RjeScnje: Do\ edimo jcdnacinu na kanollski oblik. Uvedimo sl1ljenu x = y-1.

Tadaje:

(y-li -+ 3() ~1 i --;- J8(y-l) -I- J49 =0

i -- 3y" -I- 3)' - 1 + 3/-- 61' -t- 3 + 18y - 18 1- 140 = 0

v} 15.y 1- 124 = O.

155

U dobivenom kanonskom obliku date jednacine je p""15 i Q""·124.a )'=u+v, pri cemu se u i v odrectuju primjenom Kardanovc torn-IDle:

u~H-~Kir +(~r ~ V-62+-J62'+S' ~V-62+.J3844+125 ~6~2-;-:;3969 ~ v- 621 63 ~ VI

TreCi korijcr. iz jedan 1ma slijcdctc iri vrijcdnosti:

~~I+iJ3 -1~~i-J3 I, _____ ._

2 koje su U o\'om slllcaju i \ rijcdnosti vadjablc u:

u("I'U2= ~:i-J3 'U3= ~1~iJ3 2 2

1z 3uv+p=0 dobiju se·odgovarajucc vrijcdnosti za v:

v~_J:. .. => vl~-5,v2~ 5(l+i·J3) 'V3~_5(_1~_i.f_3_) 3u 2 2

Vrijednosti \'arijabJe y "" u + v su:

Yr=UI+VI ="4.

Y2=Uz+v1=2+3ij3,

Y3 = U3 + vJ "'" 2-w 31 J3.

Konacno, koristc6i VCZll izmcdu x i y datu rclacijoIl1 >.:=y-1 dobiju sc rjescnja datcjcdnacine:

Primjer 6: Primjcnom Kardanoyc f-ormulc rijesitijcdnacinu: >.:3-2x----2=0.

Rjdienje: Jcdnacinajc u kanonskom obliku iz koga citamo: p = -2, q = ~2. Primjenom Kardanovc formu!e odredimo \1, a zatim Y. pa onda izracunajmo x=u+v:

.----- r-c--= \/1 + 1,13855 = \/2,13855 = 1,288J68

-2 .~~-C-~ 0.517450

3.865104

Xi = U 1 -I- Vi = 1,288368 + 0.517450 = L805818.

156

_ u, +1', i.J3(u,-v,)_ 1,805818 X3"-~---- ------

2 2 2

1,335269i

2 0.902909 - 0,667635i

Vidimo da Kardanova Jormula nema neku pra~1icnu vrijcdnost Njen znaeaj.ic teorijski jer ona pokazllje da sc ma koja jcdnaCina trcccg stepena maze rijditi na algcbarski natin. 1\·fi cerno prilikom Ijcsa-vanja kubnih jcdnacina uvijck nastojati da zaobidemo Kardanovll formulu j da jcdnacinu rijcsimo na ncki drugi nacin.

Pitanja za pOllavljallje:

1. KojujednaCinu nazivamo kubna? 2. Posioji liformula za ljdaval1je kubllejednaCillc? 3. ,--~laje kanonski oblik kubnejedna6ne? 4. Kolikaje prakticnostJormule za rjdavanje kubnejednac.";ine? 5. Kako se mogu rUe.fiti neke kubnejedna6nc bezJormule?

Zadad za vjezhu:

Rijditi datu jednacinu: 7.I1.a) xl_I ~O b) x3_27~O c)x3+1=O d) X3+g~O 7,12.a) 8xJ+27~O b) 6'h3-1~() c) 125x3+27=O d) 27x)- J 25c~O

7.13. Odrediti Hijcdnost korijena:

a) Vi b) V8 c) Vi? d) J,f::] e) ~C8 7.14. Dokazati da slijedece jednacine ncmajll cjelohrojn-ih l~jcScnja:

a) x'-3x3-x-l o=O b) 2Xl-X2-6x-5~O c) x5-3x+3 ~ 0 d) 3X5-X+4c~O

7.15. Pro\jeriti da Ii Sll dati brojevi rjcsenja date jednacinc: a) x3-19x+30=O ; [2,~-5,3} b) x3~3x1-33x+35=O ;{-5, 1, 7}

Ako je dato jccino !jeSenjc kllbnc jcdnacine odrediti prcostala dva (jesenja: ~ 7 3 7

7.16.a) xO-5x~-2x+24~O, xl~3 0) -2x +13x~-IGx+5~O, xl~5

7.17.a) x3_6x1+21 x-26=O, x1=2+31 b) 3x3-23x2+132x-170=O,Xl=3-5i

7.18. Ako je dato jedno ;jcscnjc kubnc jcdnacine odrcditi wijednost para metra m i preostala dl!a ljesenja:

a) mx 3-+3x2+1=O,akojex]=1.

c) x3-+3x1+m=O, akoje xl=--2.

b) x3+3mx+'l=O,akojexj=-1.

d) 6x3-2mx2+x-l=O,akojcx1=1.

7.19. Rastay]janjem na faktorc rijcsiti jednacinc: a) X3+X2+X+J=O b) x3_x2+x_l=O c) X3+2x2--x_2-=O d) 6xJ+7x1--1=O

157

7.20. TragajuCi zajednim rjesenjem meau faktorima slobodnog Clana rijesiti jednacinu: a) x3-x2-5x-3=O c) x3-8x2+25x·-26=O

7.21. RijeSiti date jednacine: a) x3-x2 :"'-8x+12=O c) X

3+X

2+X_3=O 722. Dovesti na ka1"10115ki oblikjednaCinu:

a) x3-3,,'-x+ 12=0

b) x3-5x2+x+7=O d) X4+X3_2x2-4x-8=0

b) x3-9x'+27x-27=0 d) x'-9x'+16x---14=0

b) 2x3-9x'+27x-I=0

Primjcno!1l Kardanovc tommie rijdi jednaClnu~ 7.23.a) x3-3x-.. 2=0 b) x~+5x-6=O 7.24.a) 3x3-8x·,8=C() b) x3-3x-3=0.

Rijc.siti jednacine: 7.25.a) X3 + J 5x + 124 = D.

c) x3 -3x2 -x+3=O. 7.26.a) x3 +6x2 +6x-13=O 7.27.a) x3 -9x2 +23x-15=O

b) x3 -12x+ 16=0. d) x3

- Sx- 8 = 0 . b) x3 +6x2 +9x+4=.o.

b) x3_3ax2 +(2a2 _3b2 )x--2a? b+ 3ab2 +2h3 = O. 7.28.0drediti n, bEZ tako dajednacina x-'+ax?"-5x+b=O ima dva

X2 = -I, a zatim odrediti i trcce Ijcsenje x3'

7.3. JcdnaCina yiseg rcda sa simetricnim kocficijentima

Posmatrajmo k0e11cijente jednaCine

To SU, redom, brojevi 7,3,2,2,3,7.

rjesenja: xl =2 i

Uocavamo da je prvi koeficijcnt jednak posljednjem, drugi je jednak predp05ljcdnjem, tred sa lijeve strane jednak je trecem sa desne strane (i tako redom ako je jednaeina \'iseg stepena). Ako zamislimo da sma sve koeficUcntc prcdstavili na brojnoj pravoj i ako uoeimo srednji koeficUent (ako je broj kaeficijenata neparan) iii srcdisnju tacku izmedu d\'aju srednjih kocficijenata (ako je braj koeficijenata paran), tada SLl simetricni koeficijenti U odnosu na srcdnji koefic~jent, odnosno zamisljenu tacku jednaki.

lednacina Ucdnadzba) s jcdnakim simetricnim kociicijentima nazi\'a se simetricna jednacina (jednadzba). -'

158

Prilikom Ijesavanja simetricne jednaCine uvijck 5e moze dobiti novajednacina S 01zi111 stepenom. Kako 5e to radi pokaza6emo odvojeno za simetricne jednacine s neparnim i s parnirn stepenom.

Rjcscnje: Navedena jednacina ima jednake simetricnc koeficijente i stepen neparan. Nije tcsko zakljuciti da svaka simetricna jednacina neparnog stepena ima jedno rjescnje xl= -1. To znaci da sc lijcva strana ovakve jednacine maze rastaviti n3 l'aktore pri cemu je jedan faktor (x+ 1). Drugi [aktor treba odrediti i on ima stepen 1,a jedan rnanji od stepena prvobitne jcdnacine. U nasem primjeru drugi faktor je stepena dva.

(x+ I )(X2_X+ 1)-2x(x+ 1)=0

<0> (x+1)(x2-x+I-2x)~0 Q (x+l)(x'-3x+l)=O

x+l~O, x2-3x+l=O => xl~-I,x ~ 3. ± .J9=4 2.J 2 2

Tako smo dosli do Jjesenja date simclricne, kubne jednacine.

Primjcr 2: Rijditj jcdnacinu 3x4 + 4x3 - 14x2 + 4x + 3 = O.

Rjesenjc: Jednacinaje simclricna sa parnim stepenom. Podijelimo je sa x2 (glavni dio srcdnjeg claIm):

¢> 3x2 +4x-14+'±+ 3 =.0 x

¢O 3(X2 +_I_I+4(x+~1-14~O ¢O

x 1) \. x)

f 1,2 ( I 3lx + ~ I +4 x + !- 1-20 = 0 . x) x)

Uvocl'enjcm smjene (x + ~ 1= t posljednjajednacina se transformiSe u kvadratnu X)

jcdnacinu po varijabli t, zbog x 2 + ~ = t 2 -1 : r

3(2 +4t-20=0 => {, ~ - 4 ± Jl6·~:-240 ',- 6

10 Otudaje: t,=2,{=-_. 2 3

--4± )256

6

Sada se dobiju clvDe jednacinc po x, koje se svode na kvadratne:

- 4± 16

6

159

x2+1 =2x

(X+~)=-130 => 3x2+3=-IOx =>

=> X H

lo±JiOO-=3ii _ -IO±J64 6 6

x2-2x+I=0 => (x_I)' =0

Xj=x2=1.

3x2+10x+3=O

-10 ± 8

6

P - - 7 R-- "- - - d"- 0 '+5 4 I' 1 13 2," +0 0 rImJcr....,: IJCSltI JC nacmu ... x X - _JX· --. X -,)X, ",= .

Rjesenjc: Jednacina 1ma simetricnc koeficijente i neparnogje stepena, pajejedno ojena rjesenje XI = ~1. Polinom na Iljevoj strani jednacine djeljiv je sa x+ 1. Odredimo ovaj kolicnik: (2x'+5x4 "13x3 -13x'+5x+2):(x+ I) = 2x4+3x3 -16x'+3x+2 2x5+2x4

-----4-----::;- ?

3x "" 13,c"·13x-+5x+2 3x4+3x-'

--- "-"---_._-3x2+5x+2 3x2+3x

2x+2 2x+2

Preosta!a dcscnja datejednacine su i rjc.scnjajcdnacine cetvrtog stepena: " 2x4+3x3-16x2+3x+2=O,

Ponovo smo dobi!i simetricnu jednacinu, sarno je stepeo jednacine za jedan nizi i

paran broj. Podijciimo jcdnacinu sa x2, (vidi srednji clan jednaCine):

2x+3x-16 T -+ 2 -O <=> 2x+-z + x+-'--, ,3 2_ (2 I) 3( I) 16-0 x A X x

q 2(x+~r-4+3(x+l)-16=O_ x J \ x

Uyodenjem smjcnc ( 1)_ I x -+ - -t \ x

pos!jednja jcdnac.ina se transfonnisc u kyadratnu

jednacinu po t:

- 3 ± ,19 + 160 ;:=? ! 1,2 :::::: __ -.C-:-

4

-3±AA 3±13 ------ =., "----

_ 4 4

160

Vratimo se uvedeooj smjeni gdje smo lIvelj varijablu t i odredimo vrijednosti varijable x:

(x+ ~)=-8 => x'+1 =-8x => X2"i8x+I=O

=> X 2,3 - 8 ± "'64 - 4 - 8 ± J60

2 2

~­-8±2'J'15

2 = -4 ± -../15.

( x+l !=5 => X)

X 4 ,5 2 2

Pitanja za ponGrfjanje:

1. Kakvujednaanu nazivamo simctricnajedllaCina? 2. Kaje rje§Cl~jc ima simcfricnajedl!aCina ,!cparnog sfcpcna? 3. Kako se smanjuje stcpen simetricnejcdno(inc s ncpamim slcpenom? 4, Kry'ije postupak 17'davaJ?ja simetricnejednaCinc sparnim stepcnom?

Zadad za vjezhn:

7.29, KOjl~ vrijednost mora lmati parametar J1l da bi data jednacina bila simetricna: ) ,,1 0, 1 0 I) 0 '+ '7" 0 a mx -.)X -.)X'j = ) .lX' mx~- .. x·t'_)=

c) 2x4+5x3+44x2+mx+2=O d) 6x4-xJ+5x2·~mx+6=O

7.30. Rijesiti simetricnc jcdnacine: a) x3-3x'-3x+ I ~ 0' c) 3x3·-7x2_·7x-l-:) = 0

RUditi date jcdnaCine: 7_3 La) x'_·x2-4xc 4=O 7,32,3) x·1+xJ--4x:+x+ I =-0 7.33,*a) x~+x3··5x-5=O 7.34.*a) x~+2xJ-16x2-2x-L15=O 7.35. *a) 2X4~ 7x3_2x2+ 13x-i-6=O

b) 2x3t_X2+X+2~O d) x1-4x'+4x-I~O

b) 2x3";"7x2+7x+2c-;::O b) 6X4_!'5:.\? .. <)8x?"1-5x~6=O b) 6x4 _x3

-1-5x 2 -x-J ~~O b) X4_ 1-5x2+4x+ 12'.;.:0 b) :\4 -I Ox'-r-43x2---66x+50'=O

16l

8. SISTEMI (SUSTAVI) KVADRATNIH JEDNACINA

8.1. Sistemi jcdnacina sa dvijc nepoznat. od kojih ie jcdll3 prvog a jcdna drugog stepena

Konjunkcija od dvije jednacinc s dvije ncpoznatc naziva se sistcm sastavijen od ovih dviju jcdnacina. Rjesenje sistemajc simp uredenih parova, takav da svaki par iz tog skupa zadovoJjava abje jednacine sistema. Sistcm od d\'ijc jednacinc od kojih jc jcdna jinearna,a druga k\'adratna ljcsava se mctodom supstitucije (zamjene). Jedna nepoznata se iz linearne jcdnacine izrazi pomo6u druge i izvrsi se zan~jcna u kvadratnu jcdnacinu. Na taj naciIl se doLi va jedna kYadratnajcdnacina s jcdnolTl ncpoznatol11 cije namje ~jesavaflje poznalo.

Pl'imjcr 1: RijeSiti sistcm jednaCina x+v-6 ~ 0

" . x"y-2(xy+2) - 0

njeScnje: Iz !inearne jcdnacine je Y".=6,,- x.. Zal11ijenimo dobivenu vrijcdnost za y u kvadratnu jednacinu:

x:+/-·2(xy+2)·~0 ¢;> x'+(6x)'-2[x(6-x);21~0

Kako jc y~-;:;;6 x to vrijedi: y, ~ 6-x,~ 6-2 ~ 4, Y2 ~ 6-X2 ~ 6·4 ~ 2.

Rczultat: Postoje ch-a rjesenja sistema ito (2, 4) i (4, 2),

frimjer 2: Rijesiti sistemjednacina

162

x + Y ~ 12 x 2 v 2

-+-' ~18 J!. x

RjeS:Cllje: TransformiSimo drugu jednacinu:

~18 (x + Y)(X2 - "y + yO) ~ 18

-~y l' x xy

12(x' -xl'+ y') ·---~ .... ·-~18

xy 2(x'-xy+/) = 3xy

¢) 2x2-5xy+2/= o. Aka, sada, y;;;;: 12-x dobiveno iz prvc jednacine sistema, zamijenimo u transfonnisanu drugujednacinu, imamo:

2x?' -5xy+2/=O ¢;> 2x'-60x+Sx2+2( 144·24x+x')~0

¢;> 2x2 ·Sx( 12-x)+2( 12-x)' ~ 0 ¢-:> 2X2_60x+5x7.+288,-48x+2x2= 0

Rezultat: (4, 8), (8, 4).

Zadaci za vjczbu:

8.0!. Provjcriti da [i jc dati uredcni par (x, y) Jjesenje datog sistema: a) 2x+Sy-S ,(-1,2) b) x-3y~ 14,(3,2)

xy+2~0 x'-SOy' ~ 200

RijeSiti dati sistem jedllaCina: 8.02.a) x-2y-2~0

xy -12~0

8.03.a) 5x+3y-16~0

x2+x-5y+4;;;;:O

8.04.a) x'+y'-2S~·O 3x~y~15

8.0S.a) 2x'-3xy-y'+2x-2y+I~0 2x-3y+I=O

-----~.--

b) x+y~ 3 3x'-2y' ~ 10

b) x'~y ~ I x-y+5 ~ 0

b) x2+xy~IO 2x+y+7~O

b) 5xy+3x2-4y'~38 x-y-2

·b) x+y~4

x 3+i Cc 28

163

8.07.a) x2+y'=5a2

x-y=a b) x+v=2a

x2-2a2~/=2

8.2. Sistcmi (sustavi) kvadratnih jeduacina (jednad'zbi) sa dvijc ncpoznate u slucaju da su objc jcdnaCinc nclinearnc

Ako su obje jednacine u sistemu kvadratne, kaZell10 daje dat sistcm kvadratnih jednacina. Pokazllno kako se r:jesavaju jednosta"\"lliji sistemi kvadratnih jednacina:

Prirnjer 1: Rijesiti sistemjednacina x2+/= 68

xy= 16

Rjesenje: Ako se pn:oj jednaCini dada druga prethodno pOlllllozena sa 2, dobije se kvadratnajednacina:

x'+2xy+y'= 100. Ako se od prve jednacine oduzme druga prcthodno pomnozcna sa 2, dobije se kvadratna jednacina:

x2_·2xY+/=36. Sada mozemo pisati: x2+l=68 x2+2xy+/=100

xy~16 ¢> x2-2xY+l~ 36 (x+y)2~IOO

¢> (x-y)2~36 x+y=±lO

¢.;. x--y =:t=6

Posmatrani sistem kvadratnih jednacina "raspao" se na s!jcdcCa cetiri sistema !inearnih jcdnacina tije nam je rjesavanjc poznato 17 pr\'og razreda: x+y~IO 2F16 x~8

x-y=6 ¢> 2y= 4 ¢> y~2 Prve Ijcsenjc je (8, 2).

x+y~IO

x-y~ -{i

x+ye··IO x-y~ 6

x+y= ···10 x-y ~ .. 6

164

2x=4 ¢) 2y=16 ¢>

2x=-4 ¢> 2y=-16 ¢>

2x ~-16 ¢> 2y~ - 4 ¢>

x~2

y~8 Drugo rjescnjejc (2, 8).

x=-2 y = ··8. Treec rjcscnje je (-2, -8).

x=-8 y = -2. Cetvrto rjesenje 5e (-8, ··2).

Primjer 2: RijeSiti sistemjednacina . X3+y'~ 7

xy(x+y) ~ ··2

Rjesenjc: Transforrnirajmo drugu jednacinn sistema na sljedeci nacin: 3~ "~·'3 ~~3!'

X +y' = 7 x·'+y~=7 x"+y =7 x·'+3x"'y+. xy-+y"=J xy(x+y) = -2 ¢> x2y+x/= -2 ¢> 3x'Y+3x/= -6 ¢> xy(x+y) = -2

(x+y)3=1 ¢> xy·1 =··2

¢>

v~l-x

;"_x2+2=O

Yl=2 y, ~-I x]=-l, x2=2

x+y=l ¢> xy=-2

y=1-x ¢> x2-x-2=0

Primjer 3: Rijesiti system jcdnacina X2~. 5xy + 6v2 "'" 0

'x' + y' = 10

y= l-x x( 1-x)=-2

y= I-x <=> Xj= -J, x2=2

Rezultat: (-I, 2), (2, -1).

Rjesenje: Podijcjimo prvnjedn'aCinu sistema sa :/*O .. Tako se dobije

(~r -5 . ~ + 6 = 0 . Uvodenjem smjene ~ ~ t, posljednjajednacina se

transformise u kvadratnu po t: t' - 5t + 6 ~ O.

Rjesenja ove jednaclne su t] = 2, t2 = 3,

Zamjenom dobijene vrijednosti za t U llvedenu smjcnu, dohije se:

x x -~2,-=3,odnosno,F2Y.F3y. (*) y y

KoristeCi posljednjc vezc izmedu varijabli i uYfstavanjem II drugu jednacinu sistema, dobije se:

4/+/= 10 ¢>

9y'+y'~10 ¢>

5v2 = 10 J(ly' =1 0

r;: YI,2= ±;J2 Y3.4 ~ ± 1

165

Zamjenolll dobijenih vrijcdnosti u (*) dobijcmo vrijednosli varijable x:

Xl 2 = ± 212, XH = ± 3. " 0,

Rezultat: (2.[2, ·Ii ),( - 2,/2, ",/2), (3, I), (-3, -1).

Primjcr 4: Rijesiti sisternjednacina: x2+xv+2v2= 37

.., -' -' 2 2X~T2x);+y = 26

Rjdcnje 1: Sabiranjem, a zatim oduzimanjcm ad prvc drugejcdnacinc, dobijc se:

X2+xy+2y2=37 2X2+ lxy -i-y~=26

2V2~ 32 x~ ;-xY-~~l= 21

3x2+3xy+3/""'63 1:3 ¢::> _Xl -xy-l-/ = ! 1

/=16 ¢:> x2+xy=5

X2+xy+/~-= 21 ¢;> -x'-xy+y' ~ 11

VI2 = ±4 x'+4~"':5 ~ 0, x' -4x-5=O

Sistem ima cetiri ljescnja: (-5, 4), (1,4), (5, -4), (-1, ~--4).

Rjdcnjc 2: Sabiranjcm, a zatirn oduzimanjem od prvc druge jednacine, dobije se:

21'=37 /·(-26) 2x' '-2xy+y'=26 /·(37)

-26x2~26XV--52y2 = 37+--26) 74x2+74xy-t-37Y'=26.37

Sabiranjcl11 jednaCina i prcpisi \'anjc-m druge dobije se ek vi\ aJentni system: 48x2+48xy .. 15y'~ 0

2x2+2xy+y'", 26

Dijcljenjcm prve jcdnacine sistema sa -/ dobije se jcdnacina ( \2 lx' x 16,-1 +16·--5~O \y) y

koja sc u\"odcnjem smjene .::. = f transformise u kyadratnu po t: y

16t'+ 16t-5=0. 1 5

Rjescnja ove jcdnacine Sll t] = - J t2 = - -. -- -4 4

166

4 Dobilismodaje y=4x i y=-"Sx. (**)

Koristcnjc!ll ovih veza izmedu varijabli, iz drugc jednacinc sistema dobije se: 2x1+8x2+ 16x2 = 26 ¢::> 26x2 = 26 ¢::> x2 = 1 => X!.2 = ± 1.

') 8") 16 ? 2 ") 2x-~---x- +-x- =26 ¢::> 26x'=26·25 ¢:> x-=25 => X3,4=±5.

5 25 Iz dobijenih vrijednosti za x j (**) dobijemo: YI,2= ±4, Y3 = -.4, Y4 = 4 .

RCZllltat: (1, 4), (,,1,-4), (5,-4),(5, 4).

l'rimjcr 5: Naci rcalna tjesenja datog sistemajednacina:

x' xy+24= -

y I\Xy_6=y3.

X

Rjcscnjc: Mnozcnjem jednacina sistema dobije se:

(xy+24 )(xy-6) = x2y' (xy)' - 6xy + 24xy -- 144 = (xy)' 18xy= 144 => xy= 8.

Zamjenom xy=8 U objc jednacine sistema dobUc se novi sistem: J

8+24=~ Y

v 3

8-6~'-~ x

¢;> x

3 = 32y1

y3 = 2x J ¢;>

':'~±21 v ~ ¢:>

> =2xJ x=±:2y 1 YI =: -2, )'2 = 2. J

<. =-~.~~l ,,' 2x r ¢;>

y" =2x

(i;J ~ 16

y3 = 2x

x = ±2y ')' y3 = ±4y

x[7=±4, X~4 =+4l >- '" (

Y1 = ~2, Y2 = 2 J

1 y! --.1

X

J

Rezllital: (-4,2), (4, -2), (4, 2), (-4, 2).

Primjcr 6: Izracunati drugi korijcn kOlllplcksnog broja 8~6i.

Rjdcnjc: Trcba odrcditi kompleksan broj z=x+yi za koji vrijedi (x + yi)' ~ 8- 6i.

167

Koristeci operaclje sa komplcksnim brojcvima i dcfinicijujednakosti dva kompieksna broja dobije se:

x1+2xyi--/ = 8--6i

, 2 } x~ - y = 8

2xy ~ ~6

Elminacijom varijabJe y dobije se

(x2 -y') + 2xyi ~ 8 - 6i

x' ~ y' ~ 8}. XY= -3

x2

-- .~ = 8 ::::? x4-8x2_9=O ::.:) XI,2 = ±3 , ( X3,4 = ±i ). x'

Zarnjenom realnih vrtjednosti varijable x u drugu jednaCinu sistema dobiju se vrijednosti y:

Postoje dva komplcksna broja koji su korijeni broja 8-6i i to:z;=3-i,Z2=---3+i.

Pitanja za ponaJ'ljanje:

1. Sia je sistem jednac';ina? 2. Koje me/ode l:jdavanja sistema jednaCina poznajes? 3. Staje rjese,~je sistemajednaCina sa dvije nepoznate? 4. Kojom metodom se ':jesava sistem od jedne !ineame i jedne kvadratne

iednaCine? 5. Koliko ':ie§enja ima sis/em od dvije kvadratnejednaCine sa dvije nepoznate?

Zadaci za vjezhu:

8.08. Odrediti rjesenja datog sistema: a) y'~ 12x

x2+/= 45

RijcSiti date sisteme jednacina:

x 2 +y2 2S1 8.09.a) J

xy~12

168

b) 2x2 ·3y'+ 19~0 3y'-8x-II =0

8.10.a)

8.1I.a)

8.12.a)

8.13.a)

8.14.a)

8.15.a)

; xy-x-y=29 f

x' + y2 - (x + y) = 72,

, 2 1 2x- +xy- y = 0

x' +y' -10)'+21 =OJ

x 2 + y' = 10 }

x+xy+}'-7=Oj

x 2 -xy+ 2y 2=01 2X2 +3.xy- 5y 2 =oJ

xy(x+y)=301

. x 3 + y3 = 35 J (x+3y-2)' -4(x+3y~2)-11=0 }

x' +2xy+3y' =24

b)

b)

b)

2X2 +xv-2x- .:v=5 I 2 2 3. 0.0 I~

x "- <'T-.:.x+.J}'= J 2 ) 'I

12x -7xy-12y =O! )

X 2. + y2 _ 2x - J 4 y = 0 I . ,

x' + y' -lOy + 20 = 01 ,

2X2 + ;\"1-' - v 2 ::::0 0 1

b) " ( 2X2 --3xy+ y2 = OJ

b) (x' + /)(x3

+ '/)=1801 x+y=4 J

9x2~24xy+ 16)"2 =54-3(3x-4y)1

b) X 2 _xy+y2=7 J 1 X2 +XV+~yl_X_..!..y=21 3x'y' _3y2 +5xv~6=0 '4 2

8.16.*a) 'f b) 3x2y2_4y"2+3xy-2~-o;OJ ..!..x2-xY+l+2Y-X=3JI

4 ..

8.17. Odrediti drugi korijen kompleksnog broja 1 +4i j5- .

169

9. IRACIONALNE JEDNACINE (JEDNADZBE)

9.1. Pojam iracionalnc jcdll3cine Uednadzbc)

lednaCine II kojima se nepoznata (varijabla) nalazi pod znakol11 korijena naziva se iracionalna jcunaCina. Na primjcr, prve tri medu slijcdecim jcdnacina su iracionatne, a cetvrta nije iraciona!na.

x .. 3-2=0,

Ako je eksponcnt korijena u iracionalnoj jednacini paran broj, smatramo da se radl o aritmetickolll korijenu, sto znaci da njegovu potkorjcna veiicina mora biLi ncnegati\'un broj (po ziti van iii jcdnak nuli). Ako je u iraciollalnoj jednacini pojavljl1jc korijen sa ncparnim cksponcntom, njegova potkol:jena velicina moze bitt i poziti\'na i ncgativna i jednaka nuli. Proubl\-ajuci iracionalne jcdllucinc llIi ccmo sc, ug!avllom, ograniciti na one iracionalnc jednacinc u kojima imamo samo kvadraLnc korijene, U isto vrijeme yodice sc raCllna da se pri !jesavanju iracionalnih jednacina nailazi samo na one tipovejednacina cije ljdu\'anje smo upoznuli (linearne, kvadratne i neke specijalne jednacillc viseg stepcna). Za razliku od svih do sad a upoznatih jednacina, kod iracionalnih jcdnacina llaglascllo se mora voditi racuna 0 tome pod koj 1m uvjetima je jedllacina (jednadzba) dcfi!lirana,

I racionalna jednacina

.Jx-3 -2~O jc dcfinirana ako jc x-3:2: 0 , odnosllo ako je x2:3.

Jrac iOllalna jednacina

+ +2=0 ddlniran3 jc za s\'c vrijcdnosti varijable x za koje jc x+22:0, odnosno ako je x:2:-2,

lednacina

dcfil1irana je·ako Sll ispunjeni uyjeti x+3~0 ! x;,,"22:.0.To mac! da njena rjesenja trcba trazlti meau JjeScnj ima sisteiiia jcdnacina:

170

x+3 2: 0 x-2 ~O -----

x2:-3 => -;g~ x2: 2.

Daklc. ako data iracionalna jednacina ima tjesenja, svako od tih rjeser\ja mora biti veee ili jcdnako broju dva.

U iracionalnoj jednacini sa Vise korijena, svaka potkorjcna velicina korijena sa parnil1l eksponentol11 mora biti ncnegativna.

Oblast deiiniranosti (domena) iraciona!nc jcdnacine, obicno, se odredi prije r~jenog Ijesavanju, a kasnijc kada se odl'ede vrijcdnosti varijab!e koje bi magic biti rjesenjc, prO\jcri se da Ii pripadaju domenL

Primjer 1: RijcSiti jednacinu

Rjdcnjc: Jednacinajc definirana ako je korijen koji se pojavljujc u n.1oj aril!l:lcticki. To znaci oa njcgova potkoljcna vclicinu kao i njegova \']'ijcdnost l1loraju biti ncncgativni bro.1evi:

I T 3x ~ 0 I - x ~ o.

Rjcsa\'ajuci gornji sistem nejednacina, dobije se:

I +3X~O} q

l-x~O

I x2:--

3

x:S; 1

K.vadriranjem obje strane date iral.:ionalne jednacine dobija se no\'a jednad:l.ba (koja, po pravilu, nijc ekvivaJentna pocetnoj i cija ljcSenja ne ITIOr;;\ju biti i rjescnja prvobitnejednadzbc, ali svako tjesenje prvobilnejednadzbeje i ljesenje dobijcnc):

=> (JI+3xJ' ~(I_X)2

-=> x2-5x==0

1+3x=! 2x+x2

Xl ~ 0, X2~5.

Dobijcnl brojevi ° i 5 su "kandidati" za ljesenja date iracionalne jcdnacine. Da Ii Sll

oba broja Ijesenje, jedan od njih iii cak ni jedan, to ccmo saznati ako prmjerimo da Ii pripadaju njcnoj domeni. Pry i braj (Xj=O) nalazi se izmeou minus jcdnc lreeine i broja jedan, pa je on Ijesenjc posmatrane jcdnacine, Drugi braj (x2=5) nijc rjesenjc nase jednacinc, Rjcscnjc jednacine je x=O.

171

9.2. Iradonalne jednaCine (jednadzbe) u kojima so pojavljuje fiW, gdje je f(x) funkcija prvog iii drugog stepena(stupnja)

Ovdje cerna Jjcsavati iradonalnc jcdnaCinc u kojima sc pojavljuje kvadratni korijen iz f(x), pri cemu cemo dozvoliti da f(x) bude polinom prvog iii drugog stepena.

Primjer 1: Rijesitijednacinu

3.Jx+'3-~ ~7, ( I ) Rjesenjc: Odredimo domenu jednaCine:

x+3::::0 X2~J

x-2~O => x~ 2 => x;, 2. ~-.--".

RjeScnje jednacine mora biti vece iii jednako broju dva. Da bi se oslobodili korijena, prebacirno jcdan korijen sa lijevc strane na desnu i zatim kvadrirajmo jednacinu:

3Fx+3 ~ 7+~ ~

=;> 9(x+3)=49+14~x-2+x-2

=>

(3Jx+3)2 ~(7 + Jx-2)'

8x-20~ 14Jx-2 =;>

(2)

Dobijena jednacina (2) nije ekvivalentna pocetnoj jednacini (l}. Kako korijen u jednaCini (2) mora biti aritmeticki, to je domena jednacine (2) rjesenje slijedeceg sistema nejednacina:

x,,-2 ;, 0

4x-IO;'0 x2:2 2xc 5

x~2

x~2,5 x>2,5.

Da bi dosti do trazenog rjeSenjajednacine (1), nastaYljamo rjes3v3nje jednaCinc (2). Kvadriranjem ovejednacine dohije se:

, J~- 2 (4x-IO) =(7 x-2)

16x2,-80x+ I 00 ~ 49x-98

129 ± .)129' - 4 ·16·198 x

l,2 ::::: ... ~.-.. - .. ---~- 32

=> 16x'-80x+100 ~ 49(x-,2)

=> 16x2-129x+198 = 0

129 ± 63

32

Da Ii su dobijeni brojevi ljesenja date jeanacine?"Na prvi poglcd.ril0g1i bi zakljllciti da ···jesu jer su oba broja veea ·od dva j pripadaju domeni jednatine (1).

172

Medutirn, sarno prvi od ovih brQjeva pripada i domeni jednacine (2). Jednacina 1ma jedno rjesenje x=6.

Ponckad je jednostavnlje (i hrzc) odrediti brojevc koji bi mog!i biti tjcscnja pocetne iracionalnc jednacine (ne odreaujuCi njcnu dornenu), a zatirn neposrednim uvrstavanjem tih brojeva t1 polaznu jednacinu ustanoviti da Ii je neki od njih l:jesenje Hi nije.

Navedcni zadatak llkaznje !lam da je potreban oprez pri odredivanju domenc iraejonalne jednac.ine i pri odrcolvanju njenih !jdcnja. Isto\Tcmeno nam se ukazujc nacin na koji mozerno odreditl Ijesenja iracionalne jcdnacinc bez prethodnog odredivanja njcne domene. Da hi to uradi]i potrehno jc c]iminiranjcm korijena doci do brojeva koji bi mog!i biti ljesenja jednaClne, a za1im proYjcriti za syaki (waj bn~j posebno cia Jije rjesenje iii nijc.

Primjer 2: Rijditi jednacinu: 2,/1 _. x 1 = X _. 2.

Rjesenje: Kvadriranjemjcdnacine dobije se

4(I-x') ~ (x-2)' 5X2.~ 4x = 0

4'~X2 = x2 -- ilx + 4

x(5x,,4) ~ 0 ~>

Provjcrimo cia Ii Sll dobijcni brojcvi ljcscrua datc jcdnacine. U\Tstavanjem nijcdnosti x=O n3 lijevoj strani jednaCine, dobija se hroj 2, a n3 desnoj ~2. Znaci da broj 0 !1ijc rjesenje jednacinc. Ako u datn jcdnaCinu uvrstimo drugi broj ex =0,8) ponoyo ce sc lla raz111m stranama jednacine naci dva Sllprotna broja. Ni O\'~~ broj nije Ije.senje jednacine. Daklc, posmatranajednaCina ncma ljdenja,

Primjcr 3: Rijesiti jednac-inu: ~---·2-

.,.j 4 - 6x - x = x ' 4

Rjcscnje: Datajcdnacinaje ckyiv3Jc.ntna slijcdecem sistcmu: x+4 ;> 0

4-6x-x' ~ (x+4)' ,

cijim rjesavanjem dolazimo do l:jesenjajednacine:

x-H l::::0 x;' -4 x ~ ---4 ~-6k'X' cc (x+4)' <c:> 4-6x-x' ~ ,,",8x+ 16 ¢.."> x'!+7x+6:::cO :....0:> x = . 1,

RjcSenje jednacine jc x = -·1.

Pdmjcr 4: RijeSit·i jcdnatillu; ·,jx...;, 5.;. + 8 7

173

Rjcsenje: Datajednacinaje definisana aka vrijedi:

x+5;,0 x;'-5 2x +8 ~ () :::::> x:2:--4 => x ~ --4,

Pod us!ovom da je x?--4 jednacil1u se kvadrira i dobijc se:

x + 5 + 2.Jx + 5· -J2x ;'-8 -+ 2x + 8:::: 49 ,

2,/x+5··12x+8;:::. 36-3x

Ponovnim kvadriranjem, liZ novi USIOV daje i x:S:;12, dobije se:

4(x+5 )(2x+8) ~ (36-3x)2

(*)

8(x2+9x+20) ~ 1296·-216x+9x'

9x'-288x+ IU6 ~ 0 ~> Xl~ 4, x2 ~ 284.

Drugi broj ne pripada domeni jednacine (*), pajednacina ima sarno Jedno ljesenjc F4.

Primjcr 5: Rijesili jednacinu: ,/-; -i- to -,}x + 3 = .J 4x - 23 .

Rjeselljc: Domena date jednacine jc sLup ljdcnja sistema:

:-::+10 2: () x+3 ? 0

4x-23;' 0

x ;'·10 x ;?:-3 x :<: 23/4 => x2>23/4.

K vadriranjcm date jcdnacinc i srcdi'var~elll, dobije sc: x+ !O-2.J;-~~-lO-·-Jx+3·+x+3 = 4x~23

'"1" 10 · ... ./x+J = 2x-36

.[t+TO-·-/;-=i-3 = 18-x

(x+ I 0)(x+3) ~ (18·x)' x?+13x+30 = 324-36x-t-x2 =>

I: (2) ,2 ,

49x= 294 ;0::> x=6.

!\cposrcdnom prO\jcrom dobijcne nijednosti za x uV'jeravamo sc da je x=6 l:ieSe!~e date jednaCine.

Prim.ler 6: RijeSiti jcdi13cinu: '\iTl.\' T 3 - ,/2 - x ::::c \;'~ - 2

174

Rjesenje: Domena date jednacine je skup fjesenja sistema nejednacina:

IIX+3;'0] 2·- x;?: ()

9x+7;>0 r x-2~OJ

3 x;?:-~

II x~2

7 x>---

9 x;,2

~>

Iz datih uslova se vidi da samo broj 2 moze biti rjesenjc jednacine. Sadajc naj lakse provjeriti da Ii je ovaj broj Ijesenje iii nije. UHstavanjcm x=2 u jednacinu dobije se:

=> 5=5.

Dakle, x=2 jeste rjeSenje date iracionalne jednacine.

llrimjer 7: Rijesiti jednacinu x - Fx - 6 = O.

Rjesenjc: Uvodenjem smjene x = t2, t2.0, datajednacina postaje kvadratna po t:

1±Ji+2"4· 1±5 2 2

t' - t - 6 = 0 11,2 ::::::

Negati\'na nijednost \'arijable t ne odgovara posiavljenom uslovu, paje x=9 jedino Ijesenjc date jednacine.

Rjcscnjc: Uvodenjcm smjene x2 -x+9 =t2, t:::::O, datajednacina postaje kvadratna po

t, pa se dobije:

t2+t-12~O

U\Tstavanjcm dobijenc vrijednosti za t

i njcnim rjesavanjem nalazimo: x2--x+9 = 9 => Xl -x = 0 =>

-I J: 7

2 (t=3) dobije se nova Izvadratnajednacina

U\Tstavanjem dobijcnih \'rijcdnosti za x II polaznu jcdnacinu utvratycmo da su oba broja ljescnja.

Rezul1"at: xc {O, i}.

175

Pitanja za ponavljanje:

1. KakvujednaCinu nazivamo iracionalnajednafina? 2. Staje domena iracionalnejednaCinc? 3. Kako odredl(jemo domenu iracionalne jednaCine? 4. Kako se oslobaaamo korUena u iracionalnoj jednaCini? 5. Da Ii se In'adriranjemjednaCine dohija ekl'ivalentnajednaCina? 6. Sta freba uraditi u iracionalnoj jcdnaCini prije njenog In'adriranja?

Zadaci za vjcihu:

9.1. Odrcditi oblast definisanosti date iracionalnc jednacine:

a) -Jx-3~4 b) -J2x+8=6

c) -!-;'-;Sx-6=2 d) -p2

9.2. U kojoj oblasti je deflnirana data jednadzba:

a) -J5.HI~x-1 b) -Jx+2+-J3-x~3 c) )-8+6x ::::: X -I?

9.3. Doka7ati cia datajednacina nema rcalnih ljesenja: r r-:-; ~ ')

a) +7+-J3-4x+x' +2~O b) vx-6+v3-x=4x-3x-+l

9.4.a)

9.5.a)

9.6.3)

9.7.a)

9.8.a)

9.10.a)

Rijditi date iracionalne jednacine:

-Jx~-8 0::::2-x

x+.r::=j = 3 ,.-~-~---~~~

x' -4x= 4x+20-IO

-./7 x + 1 =2-Jx+4

+5-};-3=2

9.ll.a) -Jx' +x-3 =3

9.12. +5 +-J~=f4x+9 9.14. -Jlx+~l·, -~3 ~2E

176

b) 7E-2x+15~0

b) 3x-10J~+j +6=0

b) x' .,. -3x+11 =,3x+4

b) -Ji2-=~ = x

b) -Jx!3 ~1-J3~~=7 ~-'~""'-'--~'2 _, ')

b) \. 4 + ~:7i - ): ,--- x - _

b) -./2x-4- +5 ~1 ~--.. -.-.-----

b) V3x'-20x+16~x-~4

9.13. E+-Jx-5= -x 9.15. \(5'~~'-~~:-7 - 1- 3 ~ ,/3x -1- 4

9.16. 2~ - -Jx+2 --J5x-IO ~ 0 9.17 . ..[3;+4 - -J5x+ 5 ~ 3-J2x+ I

9.18. ..r;:;I + -J 4x+ 13 ~ ..)7;;-;;;' + &:"2 9.19. -Jllx+3-~~-J9x+7-l";=2

9.20. ,!lx' -I +)x' -3x-2~)2x2 +2x+3+ -x+2

Rijesiti datujednacinu:

9.21. F+x)x' +24 ~x+1 9.22. j;+3-4-Jx-1 +.J8+x-6~ ~ I

9.2S. ~+~ -J2+x--J2-x

9.24.

2 9.26.

x

9.27. ) x' + 4x + 8 + -J x' .+ 4x + 4 = ~2(X2 + 4x + 6)

9.28. -Jllx+12-Vllx+12-2=0 j ~ Ir---=, ==- C"

9.29. vy-2+-J2y-5 +;/y+2+3-v2y-S ~7..j2

9.30.

Rijesiti date jednacine:

9.31.* ~ + Vx-=-I ~ I. 9.32.*

9.33.* ;,)76 +..r; + ;,)76 - Fx ~ 8.

9.34.* Koliko cjelobrojnih (pozitivnih) ,jesenja imajednacina: I I I -+-~--- ? Fx fY .JIOOO .

177

10. IRACIONALNE NEJEDNACINE (NEJEDNADZBE)

10.1. Pojam iracionalne nejednaCine (nejednadzbe)

NcjcdnaCina u kojoj se nepoznata pojavljuje u potkorjenoj velicini (radikandu) nekog korijena naziva se iracionalna ncjednaCina.

Sljedece ncjednacine Sll iracionalne:

)x~1>5 • Jx2~4<2x , ix+5 +-f2x> 3 , J3~x2+1»x+2. Posmatrajmo ncjednacinu:

Izraz 2x·~5 koji se pojavljuje pod korijenom mora biti ncnegativan. Pod tim uvjetom ncjednadzba se maze kvadrirati i pri tome se dobija sistem

2x-5:? 0 2x~5 > 9

kojije ekvivalentan polaznoj iracionainoj nejednadzbi. Rjescnje sistemaje: 2x~5 > 0 2x~5 > 9 => 2x~5 > 9 => 2x>14 => x>7.

Dakle, posmatranu nejednadzbu zadovoljavaju svi realni brojevi koji su veci od 7.

lO.2. Iracionalne nejcdnacine (nejednadzbe) u kojima se pojavljuje Ji(ij, gdje je f(x) funkcija prvog iii drugog stepena (stupnja)

178

U opcem s!ucaju nejednaCina oblika

'V (x) < 2f)g(X) , n E N,

ekvivalentnaje sistemu nejednaCina + .,'.

a nejednaCina

f(x) > 0 } g(x) > f(x) ,

"'i/f(x) < ''''i/g(x), n E N,

je ekvivalentna nejednaCini j(x) < g(x).

Primjer 1: Rijesiti nejednaCinu:

J~x' +5x~6 <'/4x' +12x+ll. Rjesenje: Ncjednacina je ekvivalentna sislernu

~x'+5x--6 > 0 4x'+ 12x+ 11 > ~x'+5x--6

~x'+5x--6;o. 0 ~> 5x'+7x+17>O.

Kako je diskriminanta kvadratnog trinoma 5x2+7x+17 negativna (D=-291) , a koeficijent kvadratnog clana a=5 pozitivan, to je polinom 5x2+ 7x+ 17 pozitivan za svaki reaIan broj x. Zato je rjeScnje posljednjeg sistema, rjesenje njegove prve nejednacine.

Nule polinoma -x2+5x-6 su xl=2 x2=3, pa parabola y = -x2+5x-·6 ima oblik

x S1.1 0.1.

odaklc chama rjesenja prve nejednacine sistema: 2 ;:;; x;:;; 3. Rjesenje date iracionalne nejednaCineje simp {xER 12:'5: x:'5: 3}.

NejednaCina oblika

2~f(x) <g(x), nEN,

ekvivalcntlla je sistemu nejednaCina

f(x);> 0 J' g(x» 0 ,

f(x)< [g«)f" a nejedllacina oblika

2n1f(x) <g(x), nEN,

ekvivalentna je nejednacini . rcx) < Ig(x)]2n+r ..

179

Primjer 2: Rijesiti nejednacinu: J 2X2 - 3x - 5 < x ~ 1 .

Rjesenje: Data nejednacinaje ekvivalentna sistemu nejednacina

2X2~3x~5;o: 0 x~1 > 0

o 2 2x~~3x--5 < (x--I) ' __

Rjesavanjem gornjeg sistema dolazimo do rjesenja date iracionalne nejednaCine:

2X2~3x~5 ;> 0 x--I >0

2X2~3x~5 «x~ll'

=>

2(XII+~%);>0 x> 1

(x+2)(x~3)<O

2x' ~3x~5 ;> 0 x~1 >0

=> 2x2-3x-5 <x2-2x+l

=>

x5-1 iIi x~21 21

x> 1\ -2<x<3

2X2~3x~5;O: 0 x>1

=> x?-x-6 < 0

=> 5 - -s;x< 3. 2

, Rjesenje posmatrane nejednacine je skup svih realnih brojeva x E [%' 3) ,

Primjer 3: Rijesiti nejednacinu

Vx3~4x2 +18x~16 < x~2,

Rjesenjc: Kako je eksponent korijena neparan, to je data nejednaCina ekvivalentna

sa nejednacinom

x' ~ 4x2+ 1 8x~16 < (x~2)'

cijim rjesavanjem dobijamo i njena rjesenja.

2x2+3,,--4 < 0

¢;> (x~I)(x+4) < 0 => ~4<x<1.

180

Nejednacina oblika ~

2;jf(x»g(x), nEN, ekvivalentna je sa disjunkcijom dva sistema nejednacina

g(x) < 0 f(x) ;> 0

dok jc nejcdnacina ohlika

iii g(x);> 0 f(x) > [g(x)J2n ,

'''17(x) > g(x), n E' N, ekvivalcntna ncjednaCini

f(x) > [g(x)]2n+I,

Primjer 4: Rijditi nejednacinu: --J - x 2 + 6x - 5 > 8-2x .

Rjesenje: Nejednacinaje ekvivalentna sisternu

8 ~ 2x < 0 --x2+6x 5 > 0 iii

8 - 2x;::: 0 -x'+6x--5 > (8 2X)2.

Rjcsavanjel1l navedcnih sistema dobijamo ljesenje date, irac.iona!ne nejednaCine ~2x <~8 ~2x ;>~8 .

x2--6x+5 -s; 0 iii -x2+6x-5 > 64-32x-+4x2

x>4

l"x,,5

4<x:s;:5

4<xS;5

iIi

x:S;:4

·5,,2+3 8x+69 > 0

00

iii 3 <x < L.J

5

iIi 3 <x::;;4.

~j~senje :.olazne ~cjedl:aC1ne je ~njja l~jes~nja posmatranih sistema, odnosno rjdcnje JC "kup s\ lh realnm broJeva x kOJI zadovolJavaju uslov: " .

3 < x" 5,

Primjer 5: Rijesiti nejednacinu - Xl 1- ,;'';2---;::;-; > 3 .

181

RjcScnje: Nejednaclnaje definisana ako su ispunjeni uslovi:

x' -; 2S I x I -; S 25~Xl;::: 0 x2+7x >-: 0 => x(x+7)>-:O => x50-7 iIi x>-:O => O:S;x:s;S.

Rjesenje date nejedoaCinc pripada dobijcnorn intervalu [0, 5].

KYadriranjcm nejcdnacine dobije se

+7x+x2 +7x >9 ~,--

2·,J25-x 2 ·..)x 2 +7 >-16--7x.

Kako je izraz -16~ 7x negativan za svaku vrijednost varijable x koja pripada intervaJu [0, SJ, a pri tome je i proizvod faktora na lijevoj strani uvijek nenegativan, to jc rjesenje nejednacine skup svih brojeva iz intervala [0, 5].

Primjcr 6: Rijditi nejedoaCinu

Rjcs.enje: Odredi!TIo domenu (oblast definisanosti) nejednacine:

3--x >-: ° x-5>-:O => -_._._---

-x >-:·-3 x

x:S::3 => => XEel.

Kako je domena nejednacine prazan skup,to navedena nejednacina nema rjesenja.

Pitanja za ponavljanje:

1. Kakvu nejednaCinu zovemo iracionalnorn? 2. Sta je domena iracionalne nejednaCine? 3. Opisi postupak ljdavanja nekih tipova iracionalnih nejednaCina.

182

Zadaci za vjezbu i utvrdivanje:

Odrediti oblast definisanosti (dornenu) iracionalne nejednacine:

10.1.a) )x-7>3 b) )2x+10<2

10.2.a) )2x-6+.[;=7»x-2 b) ;;x~3>x+1

Rijditi date iracionalnc nejednacine:

10.3.a) ~>2 b) .Jx-3<1 10A.a) ~>2 b) Vx+2 <-S i J ~

10.S.a) ;/x- -:>x+4 <x-3

10.6.a) .Jx'-4x>x-3

10.7.a) .Jx+14 < x+ 2

10.8.a) Jx' -Sx-24 >x+2

[Ex 10.9.a) ,,-. -- < 3 .2x-S

10.10.a) rx+1 >~ 10.I1.a) )1=-; <)3+ x

b)

b) b)

b)

b)

b)

b)

x~12 <x

-Jxl-5x+4 >x-5

.J(x+2)(x-S) <8-x

,f-x2 -8x-"12 >x+4

I3x -I I V-> 2-x

+3 >.Jx 2 -8x+12

x>.Jx'-x-12

10.12. )4-.Ji--x._.J2-x>0.

10.14.a) .J3-x+.Jx-5 ;:>-10

10.IS . .J2x-3-.J~-5 <4

10.!3. .J2 -.)3 + x - rx+4 < o. b) 3.[;-)x+3 >1

Rijesiti sisteme ncjednacina:

Ix--11>21 10.27. ',-;- I

"x-4 <I)

10.16. Jx-6--JI0-x >1

10.18.

10.20.* ~2 -Ixl < x-I

10.22.* 1-.J1-8~i < I 2x

10.24.* ~ + 4x_::3.;> 2 x

R~<ll 10.28. Ix 11<4 J

183

11. EKSPONEl'iCIJALNE JEDNACINE (JEDNADZBE) I NEJEDNACINE (NEJEDNADZBE) .

11.1. Eksponcncijalna funkcija y=ax, (a>O). Pojam, grafik, svojstva

~~nkcija ~a R --? ~+ koja za svaki pozitivan hroj a, realnom broju x pridruzuje pozltIvan broJ y=a\ nazIVa se cksponcncijalna funl{cija. Braj a nazivamo osnova iii baza eksponencijalne funkcije. Ovo su neke eksponencijaille fUllkcije:

y~2', y~ 10" y~3', Y~~e" y~ _I y~ ± I , ... (1\' (Y

2 2) 5 ) Grafik eksponencija!ne funkcije odredicemo tako !ito cemo izabrati dovoljan broj tacaka koje pripadaju grafiku, a zatim cerno te tacke spojiti. Uradimo to za funkcije

x

y=2x

y~(U

a)

184

_,. (1\' y-2 J y~ _I : 2)

-3 -·2 -1 0 1 1

-

2 1 I 1

.fi - - - 1 2 8 4 2

8 4 2 1 1 If --2

, 1,

b)

y=2' FGr "

2

4

1

4

3

8

1 -8

:r :1

4

16

I -~

16

Sl.l ! .! Graflk syakc cksponcncijalnc funkcijc Fax p(o.!azi tackom A(O. !)

5

32

I -32

Neposredno sa grafika eksponencijalne funkcije (SL 11.I.a)) odredujemo njena svojstva:

- funkcija y=2x je pozitivna za sve vrijednosti varijable x

kako vrijedi Xl < X2 => 2 xJ < 2x, , to funkcija -y=2x stalno raste

- kada varijabla x ra5te desoo od nule, to funkcija sve brze raste, a ojen grafik je sve strmiji.

- kada se varijabla x smanjuje ad oule ulijevo, funkcija y=2x se stalno smanjuje i njena vrijednost S0 sve vise pribliz,ava k nuli (madaje nikada ne dostize). U ovom slucaju se grafik funkcije pribiizava k x--osi, ali se ne dodiruje s njome. Prava y=O, (x-osa) se nazi va horizon/alna asimptota grafika ek.~ponel1cijalnefunkcije.

- eksponencijalna funkcija nema nu lu, - eksponencijalna funkclja nema naj-vecu vrijednost (maksimurn). - eksponencijalna funkcija nerna najmanju vrijednost (minimum)

Osobine navedene za eksponencija!nu funkciju y=2x vrijede z.a svaku funkciju y=ax,

akc je a> 1. Razlika je u tome SlO za vecu bazu a, grafik desno od nule izgleda strmije, a lijevo se sporije penje.

U s!ucaju kada je baz4 a izmedu nule i jedinice (0<a<1), (SL 1 J .l.b)) esponencijalna funkcija y=ax ima slijedece osobine:

- funkcija y=ax je pozitivna za sve vrijednosti yarijablc x - kako vrljedl Xi < X2 => a Xi > a Xz ,to fllnkcija y=ax stalno opada

- kada varijab!a x raste od ----OJ do 0, fl.lnkcij"a y=·ax se staillo smanjuje i njena vrije-· lost se priblizava vrijednosti 1 koju dostize 711 x=Q.

- kaoa varijabla x raste od 0 do +00 , vrijednosti funkcije y=ax se stalno smanjuju i pribliZavaju k null. 1 U O\;om siucaju se grafik funkcije pribiizava k x--osi, ali se ne dodiruje s njome. Prav3 y=O, (x-osa) je i sada horizontalna asimptota grafika eksponel1cijaine funkcije. .. - oi U ovom slucaju eksponencijalna funkcija ncma nulu, maksimum oj mlntmum.

Ako je baza a=l, tada funkcija y=a\ syakom realllom broju pridruzuje broj I. Sta jc grafik ove funkcijc?

Pitanja za ponavljanje

1. Sla se naziva jimkcija sa skupa A na skup B? 2. ~~taje domen~ eksponencijalnc.fzmkcije y=aX ? 3. Kada eksJ7onenc(jalnafimkcija y=d'- rasle? 4. Kojom tackom prolazi graftk svake eksponencUainefunkcije? 5. Kc<ja·pravaje asimpfofa cksponencijalne.fimkc{je .V=d' ? .

185

Zadaci za vjczbu

Nacrtaj grafik eksponencijaine funkcije: I I. La) y=3' b) y=lO' c) y = 5'

11.2.a) y=I-- b) y= -(I)' (1)' - \2 3

c) -(1 r y- -10

d) y= e) y,il.1.iJx] . 4) f) /} \+1+ 1

y=l2) I L3. Opisi tok funkcija iz prelhodna dva zadalk. pod a)

11.2. f(x) g(x)

Eksponencijalna jednaCina oblika a = a

Ako se u jednacini nepoznata pojavljuje u eksponentu nekog stepena, ka.zcmo da je jednaCina cksponencija!na. Slijede6e jednaCine su eksponencijalnc:

8'=2,25'=125, 3'=11, 10'+llx-34=0.

Mi cemo birati one eksponcncijalne jednaeine koje se poznatim operaClJama sa stcpcnima mogu dovesti na ohlik

(*)

pri cemu su J{x) i g(x) polinomi iii racionalne funkcije najvise drugog stepena.

Siozenije cksponencijalne jednacine ljesavaju se metodama kaje prevazilaze ok:vire drugog razreda srednje skole. Koristeci osobinu stcpena 5 poztitivnom bazom koja nijejcdnakajedinici:

m = n, O<a*l

koju mozemo rijecima iskazati ovako: jednakim stepenima pozitivnc baze koja nijc jcdnaka jedinici odgovaraju jednako cksponenti i obrnuto, eksponencijalna jednacina (*) se rnoze zamijeniti sa ek\'ivalentnol1l jednacinom:

a f(x) = a g(x) rex) = g(x), (O<a*l),

koja nije eksponcncijalna i cije namje Ijesavanje poznato.

Prfmjcr 1: RijeSifijcdnacinu gX=4! -

186

Rjesenjc: Dovedimo jednacinu na oblik (*) i radimo na sljedeci naCin:

3x=2 => 2

X=-.

3

Rjesenje jednaCine.je x= 2 3

Primjer 2: Rijesitijednacinu 42x-

1 = 128.

Rjesenjc: Desna stranajednacine je 128.0vaj broj je stepcn broja 2 jer je

2·2·2·2·2,2·2 = 27 = 128, a lijeva stranaje stepen sa osnovom 4. Kako se i broj 4 moZe napisati u obliku stepena sa osnovom 2 to imamo:

4',·1 = 128 ¢> (22),'-1 = 27 ¢> 22(2x-l) = 27 ¢> 2(2x-1 = 7

¢> 4x-2=7 ¢> 4x=9 9

=> x=-4

Primjcr 3: RijeSiti jednaeinu 52x+

l_ 3_S2x

-1 = 550.

Rjdcnjc: Rastavljanjem lijeve strane jednacine na faktore dobije se:

¢> 5,,-1 (5 2 -3)=550 ¢> 5"-1 25-3) ~ 550 ¢> 22·5,,-1 ~ 550 ¢> 52x

-1 = 25

" ¢> 52x- 1 = 52 ¢> 2x-1 = 2

J ¢> x= -.

2

Primjcr 4: Rijcsitijednacinu 5X'-5x+6 = 1.

RjcSenje: Desna stranajednacinc se moze napisati kao 1=5°, pa vrijedi:

Jednacina ima dva rjesenja: XJ = 2, X2= 3.

Primjcr 5: Odrediti rjesenjajcdn.cine: 2'5'= 0, 1(IO~I)5

Rjescnjc: Jednacina se ~jeSava na s!jedec.j nacin: 2'5'=0,1(10,·1)5 ¢> (2·5r~IO-I·105('-I) lOx=105(X-l)-1

¢> x=5(x-J)-1 x= 5x-6 => 3

x=~.

2

187

Primjer 6: Rijesiti jednacinu: 15·2x+ 1+ 15·22- x ~ 135.

Rjdenje: Ova eksponencijalnajednaclna moze se dovcsti na oblik kvadratne jednaCine na sljedeCi nacin:

15.2 x+! +15.2 2_x =135 <d 15·2·2' +15·2 2_, ~135 /:2X

<d (30·2' + 15·2'- 'P' ~135·2' <d (30·2'·2' +15·2 2 •. , ·2' ~135·2'

<d 30·(2')'+ 15·2'·135·2x <d 30-(2,)2 -135·2' +60 ~ 0

<d 2·(2 ')'-9·2' + 4 ~ 0 <d 2t2-9t+4~O, t = 2 x.

Rjesenja dobivene kvadratne jednacine 2t 2 -- 9t + 4 = 0 su:

9 ± .j9i-_N 9 ± .Jsi-=3i 9 ± .J49 9t 7 1

10::::;:. =-----.. 4 4 4 4

Nepoznatu x odredujemo Ijesavajuci slijedece jednostavne eksponencijalne jednaCine:

2x =l <=> 2x =2-1 => x=-1. 2

->

Pocetna eksponencijalna jednacina 1ma dva Ijc.scnje i to: Xl = -1, x2=2.

Rjdcnje: lednaCina se ljesava na s!ijede6i nacil1:

<d 5x6(5LS-2) ~ 2·3x-4

<d IS·5x-6 ~ 2·3x-4 1:2 <d 9·5x- 6 = 3x·-4 i:9

<d 5x- 6 = 3x-4:9

I: 15

~ 5x··6 = 3x- 6 5x - 6

(H'-I <d --I <d 3-,,--6

<d ( 51'~" ~(tr 1- i \.3)

<d x-6 ~ 0 ~> x~6.

Poceina jednacina ima ljescnjc" x:::, 6.

188

Primjer 8: Rijesitijednacinu: 42x+ 1+22x+6 ~ 4.8x+ I.

Rjescnje: I ova jednaCina se moze dovesti na oblik kvadratne. lzvedimo dijeljenje date

jednaCine sa 8x+ 1 :

42nl 22x+6

--+--~4 8X+l gX+l

22(2x+l)-3(x+l) + 22.T+6-3(Hl)

2 X- 1+2-x+3 =4 j·2x

22x+ 16-8.2x.O

t2-8t+ 16~O t=2 x ,

Pitanja za pOllavljanje:

~>

1. Koje jednaCine nazivamo eksponencijalnim?

4 2x+l 22x+6

--+--8x+1 8X+l

2 2(2-r+l) 22H6

4·8x+]

---+--23(HI) 23(HI) =4

24x+2-3x-3 + 2 2x+6-3x-3 = 4

(2X- 1+2-x+3)-2X ~ 4·2x

22x .

- + 8- 4·2"~O 1-2 2

(2X)2 - 8·2X+ 16 ~O

(1-4)2 ~ 0, t = 2x

x=')

2. Kakve eksponenctjalne jednaCine smo naucili rjeJm-'ati? 3. Koju osobinu_stepena koristimo prilikom ljdavanja eksponencUalnih

jednaCina?

Zadaci za vjczbu:

11.4. PrO\jeri da Ii je dati broj rjesenje date eksponencijalne jednacine:

a) x~-1,9x+I=1 b) x~O, 125x -99x c) x~1,5'23x-3_3'25-3x+7-0

Rijesiti date eksponencijalne jednaCine:

11.5.3) 2x = 8 b) 4k 64 c) 3k SI d) 5x-125~O

11.6.a) 4x~S2x-3 b) 63- k 216 c) 7299 d) 39x+I~93x-1

11.7.a) 42x - 642 b) O,5x~0,0625 c) 82x+I~2 d) 1253x- 1 ~ 25

(2)' 9 (3\h~' (7\"" '2\' .(_98,)'.

11.8.a) i.- = - b) l- I ~ . - 1 . c) l- I \3 c .. 4 7) ~3J 3)

27

64

189

11.9.a) 2x - 2x-2 = 3

1 UO.a) 2·3 '+3-5-3 ,-2=1443

ILll.a) 10x+IOx-l=0.1 1

lUl.a) 33·2x- L 4x+1=2

b) 3"--3x- 2=8 c) 2·3x+3+7·3x- 2 = 493 b) 6'+6'+1=252 c) 4"2+5A'=336

b) 10"--5x- L2x- 2=950 c) 42x-L 3Ax-2_1=0

b) 4"··9·2x+8=0 c) 52x-I+5x+l=250

b) xx2

-Sx+6 = 1 c) xxz

+8.r+12 = 1 I J .13.a) 3-,1+1 + 3X '-1 =270

11.14.a) 5x~! +2L SX+2x+2=0 11.IS.a) 53+x~34-·'x=52+x~7·31·~x

b) I 12x-I_132x- l +1I 2x-2+1 32x-2=0 b) 5"-7'-35·5"+35·7'=0

11.16.a) 2x'2~22-x=lS

11.17.a) 2·{1+X-6 ~ 2 X1+ X --9 = 56

1 Ll8.a) ) . 1 2,t --..>X =_

4 >..-1 x X-I

11.19.a) 5 + 5 + 5 = 155

b) 3·4x +2·9x =5·6x c) 22x+I+32x+I=5-6x

b) 0,5'" ·22->-'1"2 :::: 64- 1

b) 52' -3' -15·25' +15·3' =0

2x 2x-1 2x--2 b) 3 -2·3 -2·3 = L

x x+1 x x+1 x-'-2 11.20*

11.2 L*

6 + 6 = 2 +2 +2 53x + 53

([--x) + 15 (5x + 51

-X

) = 216.

11.3. Eksponencijalna nejednaCina oblil", af(x) < ag(x)

Nejednacina u kojoj se nepoznata pojavJjuje u eksponentu stepena naziva se cksponcncijaina ncjedllacina. Pokazacemo kako se rjesavaju eksponencijalne

oejedoacine oblika af(xl<ag(x). odooson, af(xl>ag(x), pri ceOlU su f(x) i g(x) polinomi iii racionalne. funkcije najvise drugog stepcna. Slozenije eksponencijaine nejednacine nisu predmet razmatranja U ovom razredu. Rjcsavanje eksponencUalne nejednacine navedenog obJika zasniva se na slijedecim osobinama stcpena:

aill<an,a>l => m<n

am < an, O<a<l => m>n iii

-3x Primjer 1: Rijesiti nejednacinu 16 < 8!

atn>an, a> 1 => m>n

am>an,O<a<l => m<n.

Rjesenje: Nejednacina 5e moze napisati u obliku al(x) < ag(r) na sIijedeCi naCin:

16.3, <8 w (2')-3'<23 w 2-12'<23 w -12,,<3 w x>-2.. 4

Rjesenje nejednacineje skup svih realnih brojeva iz interval •. _( - ±,+oo ).

190

Primjer 2: Rijesiti nejednacinu: (:1.1 ,., . (147)' < (~)' \7) 20 625

Rjdcnjc: Lijeva i desna strana nejcdnacine se transformisu izvrsavanjem operacija sa stepenima na slijedeci nacin:

(:1.)" . (~)' J ~)' w 7 20 l625 ( 2')'.(~±z.)' «~)' 7 2 20 54

w (2'. ~)' < (~)4' 7' 20 5

w (2.. ~)' < (~)" w 49 20 5

w x> 4x w x--4x>O w -3x>0 x <0. Rjesenje nejednaCine je sImp svih ncgativnih brojeva.

Primjcr 3: Rijesiti nejednacinu 2X+2 _l+3 _ 2x+4 > 5x+! ~ 5x.+2 .

Rjesenje: Stepeni na lije~oj i desnoj strani nejednacine se mogu napisati ovako:

2x+2 = 4-2x 8·2x 16·2x 5-5x 25·5x . , , , ,

pa se nejednaCina transformise na slijedeCi nacin:

w 2"(4--8-16) > 5X(5-25) w -20·2x > --20·5x

2' -~ < 1 5'

w x>O.

Rjesenje date nejednacine je skup svih pozitivnih brojeva.

Primjer 4: Odrediti skup rjeSenja nejednacine

Rjesenje: Grupisanjem stepena sa isLom osnovom najednoj strani nejednacine i sredivanjem dobi,I' e se:

52x ~ +22x ~52x +22x+2 > 0 w 2" (1+2') > 5'~1 (5-1)

22-'< 5 2x- 1

->----22 5

1:5-4

w

w·

2 2;:r-2 > 52x- 2

2x-2 <0

22x + 22x+2 > 52x _ S2x.......1

2"(1+4» 5'd·4 5.2 2x 4·5 2x

-1

-- > ---::----:----5·4 5·4

w 2 2 -,<-2

---> 1 5 h-2

w 2x<2 w x<l.

191

Rjesenje ncjednacineje skup svih brojeva iz intervala (----<Xl, 1).

Primjer 5: Odrediti skup rjescnja nejednacine

Rjescnjc: Ncjednacina se transformise u niz ekvivalentnih nejednaCina na slijedeci naCin:

2,+1 +4'<80 ~ 2·2'+(2')'<80

~ 2 2, +2·2 '-- 80 <0

~ 2.2'+2 2'<80

~ (2')2+2·2'-80<0.

Uvedenjem smjene 2 x = t, t>O posljednja nejednacina prelazi u kvadratnu:

12 + 2t - 80 < 0 .

Nule kvadralnog trinoma 12 +21 - 80 su II ~ -10 I 1[8, pa nejednacinu zadovo!javaju one vrijednosti varijable t koje ispunjavaju uslove:

-IO<t<8 i 1>0 odaklc se dobije 0 < t < 8.

Kako je t = 2)\ to, na osnovu prethodnog, mora da vrijedi:

0< 2x < 8 ~> x<3.

Pitanja za ponavljanje:

1. Koju nejednaCinu zovemo eksponenc!jalna nejednaCina? 2. Kaje eksponencijalne nejednaCine rjesavamo u drugom razredu? 3. Kaje o,wbine stepena koristimo prilikom r:/eSavanja eksponencijalnih

nejednaCina?

192

Zadaci za vjezbu:

Rijesiti date eksponencijalne nejednacine: 11.22.a) 2x > 8 b) 8x < 16 c) 4x < 32 d) 27x > 9

(4\"-- 4 (9)" 81 (2\"-' 9 d) (~j""- 5

11.23.a) -)' > _ b). _ < - c) I -) , > - > -5 5 " 7 49 \ 3 4 ,.5 3

11.24.a) 24x <16 b) 7x > 343 cJ (0,04)X--1 < 62S6x- 5

11.25.a) I3x < 7x b) 5x- 3>73- x

11.26.a) I ~~_~+4 2'~?X 5~X.-4 < 0 c) 3- +3 -3 <315

11.27.a) 5~:~ - 52:~ - ;~;5X-~_~ 2X~.~x> 03"X b) 2 + 2 - 2 < 2 + 2 -·2

11.28.a) 2"+3.< >8·Y b) 25" <6-5"-5

11.29.a) 32x - 1O-3x + 9,; 0 4

I I 30 ) 5x+ 3 - -- > I .. a 5H2

)_.:::::-2 x-2

II.31.a) (O,7f .,-, >(0,7),-1

II.32.a) (2X - 4)(x2 - 2x-3) > 0

c) Ilx-7 < 197- x b) 2x_2x-4 < 15

c) 9' +27 <12·3'

b) 4x+2x+ l+l;, 0 9 28 b) 3,-1+_<_ 3x 3

2x~J

b) 25 3+-,- < 5x - 3

b) (S-4')(x 2 -5x+4)<O

193

12. LOGARITMI, LOGARITAJY,J:SKE JEDNACINE, (JEDNADZBE) I NEJEDNACINE (NEJEDNADZBE)

12.1. Pojam inverzne funkcije

Pojam inverzne funkcije upoznali smo prilikom abrade samog pojrna funkcije cak i U osnovnoj skoli. fpak, ovdje se podsjecamo na to sta podrazumijevamo pod inverzllom funkcijom i navodimo neke njene osobine.

Aka je till1kcija f: A~-> B sa skupa A na skup B bijekcija (tj~ ako je svaki elemenat skupa B slika jednog i sarno jednog elementa iz skupa A i aka se razliCiti clementi skupa A prcslikavaju u razlicite clemente skupa B), tada je odredena jos jedna funkcija definisana u skupu B sa vrijednostima u skupu A koja svakom elementu b skupa B pridruzuje upravo onaj elemenat a iz skupa A kojem funkcija f pridruiuje elemenat b. Taka, na primjer, za funkciju f:R --? R definisaou fonnulom y = 2x~3, inverzna funkcijaje

II: R ~ R kojajc odredena formulom I 3

y=-x+-. 2 2

Pri tome, za po voUi izabarane realne brojeve, vdjedi:

f(-I) =-5 f(4) = 5 I(! I) =19 f(-7) =-17 flO) =-3 fH)=-9

f-I(-5) =-1 [-1(5)=4 f- I (l9) = II f~I(-17)=-7 f- I (-3)=0 [-1(-9)=-3, ....

U opcem sluc.aju, za funkciju y = f(x) i njcnu inverznu funkcijl1 y = f-l(x) vrijedi:

f(a) = b

Navedcna osobina funkcije i n.lenc inverzne [unkcijc graficki se odrazava simetrijom 11 odnosu na pravu y=x (simetrala I kvadranta pravouglog koordinatnog sistema).

Naime, ako je b~f\a), tada tacka M(a, b) pripada grafiku fLLllkcije rt'(x). Kako je, LL

isto vrijeme, a=f-1 (b), to tacka M'(b, a) pripada grafiku inverzne funkcije y=f-1 (x). Nije te.sko dokazati da su tacke M i M' simetricne u odnosu na pravu y=x. Kako je tacka M proizvoljna tacka grafika funkcije y=f~x), to je svaka tacka ovog grafika simetric_na s jednom tackorn grafika inverzne funkcije (SI.12.0).

194

~J

SI.12.0. Na slici se vide grafici dviju inverz-nih funkcija i prava)=x

Znac.i, grafik funkcije i njene inverznc funkcije su simetricni U odnosu na simetralu prvog (i tre6eg) kvadranta i vail

(for')(x)=(r' o/)(x)=x, ('hER).

Pitanja za ponavljanje:

1. Ima Ii svakafunkcija inverznujunkciju? 2. Koji u~jet mora ispunjavali nekajunkcija da hi imala svoju inverznuJunkciju? 3. Kako se maze nacrtati grajik inverzne funkcije na OSI10VU poznatog grafika

junkcije? . 4. Funk.c(ja .J.! =/""1 (:Y) je inverznaJijnkc(jajimkcije y=f(x}.Da lije junkcija

y = j(x) inverznajunkciji y = rl (x)?

Zadaci za vjezbu:

12.1. Odrcditi invcrznu funkciju date funkcije definisane u skupu realnih brojeva R: a) y~x b) y=x-I 0) y~x+5 d) y=2x-4

12.2. Nacrtati g.r:afik funkcije y=2x+2, pa na osnovu I~jega odrediti gratik njene inverzne funkcije.

12.3. Na osnovu skiciranog grafika funkcije y=x2 definirane na skupu R+ odrediti grafik njene·inverzne funkcije.;

195

12.2. Pojarn logantrna i logaritarnske fuukcijc. Osobine, svojstva i grafik logaritarnske funkcije

Podsjetim'o se stepena. Izraz 23 nazivamo stepeo. Broj 2 je baza stepena, a broj 3 nazivamo njegov eksponent. Vrijednost ovog stepenaje 8. Vrijedi: 23=8.

V rijednost stcpena je uvijek odredena njegovom hazom i eksponentom. Govoreci 0

korijenima, vidjeli sma da se u sluc~ju kada je poznat eksponent i Yrijcdnost stepena, maze izracunati njegova baza. Taka vrijedi:

x' ~ 8 <d x ~ V8 ~ 2 .

Sta sc desava u slucaju kada poznajemo bazu stepena i njegovu vrijednost, a nepoznat nam je eksponent?

Posmatrajrno slijedece primjere:

lOX ~ 0,0] , 2X~3 .

U prvom sIucaju x jc ona) bro) kOjim (reba sfepenovati broj 2 da bi se dobio bro) 8. U drllgom s/ucqju xje anaj brqj kojim freba stepenovafi bra} 3 da bi se dobia braj 81. U treeem slucaju xje onqj brqj koji11l treba stepenavati brqj 10 da bi se doNo bra} 1000. U cetvrtom sfuca)u xje ana) brqj kojim treba stepenovafi brqj 10 da hi se dobio bra) 0.01. U pelom sfucaju xje onaj bro} kojim treba stepenovati bra} 4 da bi se dobia bra) 256. U §esfom sfllcaju x)e ona} bra) Iwjim freba stepenovati brqj 2 da hi se dobio brqj 3.

Primjcri SU odabrani tako da u prvih pet slu.cajeva trazeni eksponent x mozema odrediti bez veCih potesk-oca (napamet). To su, redom, brojevi: 3, 4, 3, -2, 4. U sestom slucaju z.a eksponent x mozemo kazati da sc nalazi izmedu brojeva 1 i 2. Ogranicicemo se na slucajeve kada je baza a stepena aX=b pozitivna i razlicita ad jedinice, a vrijednost stepena b pozitivan broj. Pod ovim uslovima uv\jek pastaji jedinstven eksponent x za koji vrijedi jednakost aX=b.

Sada mourno uvesti deftniciju:

Eksponent kojint treba siepellol'uti bazl{ a (O<ail) do hi se' dobio pozltil'ul1 broj b nazlva se /ogaritam broja b za bllZu a~

Prema navedenoj definiciji vrijedi:

=> Broj 3 je !ogaritam od~8 za bazu 2, pise.rna 3=log28.

196

104 ~ 10000

10-2 ~ 0,01 ~>

Broj 4 je logaritam od 10000 za bazu 10, pisemo 4 ~ loglOIOOOO.

Broj -2 je logaritam ad 0,01 za bazu 10. pisemo -2 ~ log I 00,0 1.

U op6em slucaju vrijedi:

def. (aX~b,O<a*l) <d x~!og"b

1z gornje ekvivalencije neposredno zakljuc.ujemo da vrijedi i jednakost:

x

Primjer 1: IzraCllnati

log i 16 , I

Ion ~ I 81

RjcScnjc: log2128 ~ 7

1 log - ~-2

3 9

jer je 27~128, log5]25~3 . . 3 2 1 ] Jer Je - = - = - ,

3' 9

.'

Jer.Jc 53 ~ 125,

log I 16 ~-4 2

.. (ly4 24 ]6 Jer Je l2) ~ ~ , ] 4' . (1 \ 4

log - ~ Jcr Je l- I ~ 81 3)

Primjer 2: Tzracnnati: 100 i 102ji) <Hog

li) 2

RjeScnjc: Vrijednost gornjeg izraza mozemo izracunati na s!jedeci nacin:

.!..logio 9-1()£11l 2 ') ~IOgIil9-iogII12 1M ()~'")lo" 100' ~ (10·)2 ~10'" " .,

9 9 9 = (101;;£, lt J)2 = 2: ="4

] OiO£ID 9

10:'1[');,,, 2

81

Vidjeli SOlO da za izabranu bazu, s\"aki poz.itlvan broj ima svoj iogaritam. 7a razlicite baze isti broj ima razlicite logaritme. Dvajednaka broja uvijek imajujednake logaritme 11 odnosu na istu bazu,

Funkcija koja svakom pozitivnom hroju x pridruzuje njegov logaritam 11 o.dnosu na - neku bazu, naziva se logaritamska funkcija za t11 hazlL

]97

Evo nckoliko logaritarnskih funkcija:

y = 10gI0" Posrnatrajmo argumcnte navedenih funkcijal To SU, redom, izrazi: x, x, x-I, x. Svaki od oVlh argumenata mora biti pozitivan. To znaci da je treca funkcija delmisana za vrijcdnosti \'ar~jable x koje su veee od 1, a sve ostale funkcije su definisane za sve pozitivne vrijednosti varijable x. Logaritamska funkcija pozitivnom broju x pridruzujc broj logax:

x 4 y = logax , O<a -* 1 .

Posmatrajmo cksponcncijalnu funkciju )'=2x i logaritamsku funkciju y=Jog2x. Vrijedi:

x-> 2x x -> log2x

2 -> 22=4 4 -> iog24 = 2

0 -> 2°=1 -> iog21 = 0

3 -> 23=8 8 -> log28 = 3

6 _ ... )- 26=64 64 -> log264=6.

Gornji primjer pokazuje da su navedene d\'ijc funkcije jedna drugoj inverzne. To vrijedi U opcem slucaju.

Za logariramsku funkciju y=logax , eksponencijalna fllnkcija y=ax je inverzna i obrnuto. Na osnovu navedenog u prcthodnoj tacki, sada rnoZemo kazati da se grafik !ogaritamske funkcijc moze dobiti na osnovlI grafika odgovarajucc eksponencijalne funkcije koristcei osnu simetriju.

Na SLl2. j .a) predstavIjena je logarilamska

logaritamska funkcija y= log 1 X .

1,

"'I ,

SI !' . La)

2

)' = iog l ( X

(I y _ i-

2

funkcija y=loglOx , a na Sl.12.1.b)

Sl~' 2, J.b) y= 10 1

2

=x

2sl ·2'1 SI.l2_-l Grafici funkcija y-"'logax i y=a;'; su simdricni U odnosu nOl pra\'u y-ry 111 s\'aku haw a (0<a,*1)

198

Prema definicij i logaritamske funkcije y=Jogax, i prema S1.12. 1, zakljucujerno da logaritamska funkcija ima slijede6e osobine:

- domena funkcije je skup pozitivnih realnih brojeva ~- kodomena funkcije je skup svih realnih brojeva - nula funkcije jc braj 1 za ma koju dozvoljenu bazu

grafik logaritamskc funkcije ima vertikalnu asimptotll x=O (y-osa) - logaritamska funkcija nema ekstrerna (minimuma i maksimuma) - ako je baza a> 1 tada vrijedi: za O<x<l ,y<O

za x> 1 y>O. - ako je baza 0<a<1 tada vrijedi: za O<x<l ,y>O

za x>l, y<O. - ako je baza veea od 1 logaritamska funkcijaje rastuca II cijeloj domeni,

ako je baza izmedu nule i jedinice, logaritamska funkcija stalno Opada.

Pitanja za ponavljanje:

1. ,--~ta na::ivamo logaritam nekog broja? 2. Ima Ii svaki bro) svoj logaritam? 3. Kolika braj 3 ima lagaritama? 4. Zasfo logariiamska baza ne moze biti 1? 5. A10ze Ii logaritam biti negativan? 6. Kadaje logarifarn broja 5 negativan? 7. Koju/unkciju nQzivama logaritamskom? 8. Kojajimkcijaje inverzna logaritamskoj funkciji y=logax? 9. Kako se moze skicirati grajik logarilamskefunkcije bezjormiranja

o4zovarajuce tabele? 10. Siaje asimpfota logaritamskejunkcije? j 1. Kada /agaritamskajunkcija raste,Q kada apada? 12. Za kaje vrijednosii varijable x je funkcija y=logax negativna?

Zadaci za vjczbu:

]2.4. Date jednakosti napisati U obliku !ogaritamskih:

a) 25~32 b) 53=125 c) 104~10000 16

! 2.5. Date jednakosti napisati II eksponencijaJnom obliku: a) iog216~4 b) log464=3 c) log10100000=5

IzraCllnati slijedeee logaritrne: 12.6.a) log28 b) log327 c) log416

199

12.7.a) I

log ~ 2 4

12.8.a) log, 1

I b) log -5 125

b) log,l

c) log, 16 :;

c) log" 1

12.9. lzracunati vrijednost varijable x ako jc: a) logx5~1 b) log2x~4 c) Iog381~x

Izracunati vrljednost datog izraza:

d) log, 81 :;

d) log" 1 e) loglO 1

12.1O.a) Slog,2 b) lOlog",4 c) lio£lz45

d) 7iog,,8 e) 32 !0£9 7

12.11.a) 3310g,2 b) 4-10g43 c) 22+log2~ d) 51- log,}

12.12.a) log,log,16 b) log, log2 log, 2 16. c) log21og, log, 81

12.13. Odrediti nulu date funkcije:

a) y ~ logJx b) y ~ log2(x~5)

12.14. Odrediti domenu (ohlas! definiranosti) funkcije:

a) y ~ log,(x~3) b) y = log,(2~x) cJ y ~ log (~x2+5x~6J ,

12.15. Nacrtati grafik funkcijc:

a) y~ log,x b) y~ lab'"

f) y log ,./3 - 2xl 2

12.3. Pravila logaritmiranja

Za logaritamsku funkciju y=!ogax, O<a;t: 1, vrijedi:

, (M>O, nER)

200

Dokaz: 1) Nekaje !ogaM=x i logaN=y. Tada, prema definiciji logaritma, vrijedi:

log, M ~ x q aX ~ M} log a N = y ¢::> aY: AN =>

Koristeci uvedene vrijednosti za xi y, dobije se:

x+y ~ loga(M·N) =>

Dokazanu osobinu !ogaritma mozemo rijecima iskazati o\'ako: Logaritam proizvoda jedl1akje zbiru fogaritamafaktora tog proizl'oda za ma koju bazu a (O<a-:f:-l).

2) Dpkaz druge osobine logaritma moze se izvesti na analogan naein kao 11

pretbodnom slucaju. Ovdje cerna, ipak, asobinu doka7-ati oa drugi nacin. Ocito je da vrijcdi jednakost

N. M ~M. ~\r

Na osnovu cinjenicc dajednaki brojevi imajujednakc logaritme U odnosu na i5tu bazu, dalje vrijedi:

log (N.MNI=log"M. . a\ j

Koristeci osobinu iogaritma proizYoda, lijeva strana prcthodne jednakosti sc rastavlja na zbir logaritama:

log N + log M ~ log Ai. a a 1'1 a

"Prebacivanjem" izraza logaN sa lijeve strane oa dCSllU,dobiva se

M log -' ~ log M -log N

a lv' a (1

sto je i trebala dokazati.

Rijecima se dokazana osobina moze iskazati: Logaritam ko/icllikajednukje razlici {ogaritma brojnika i logal'itma nazivl1ika u od110SlI nil istu baZli.

3) Ne!~aje logaM=x. Tada, 11a osno"\'u definicije logaritma j osobina stepena, ·vrijedi

201

aX=M

Neposredno po definiciji logaritma iz allX = MJl vidimo da .Ie eksponent nx

logaritam broja Mn U odnosu na bazu a, pa vrijedi :

=>

Ovim je dokazana osobina: Logaritam stepcna jcdnak jc proizvodu eksponenta stcpena i logaritma haze stepena.

Navedcne i dokazane tri osobine nazivaju se i osnovna logaritamska pravila.

Napomene: 1) Ponekada se navodi i pravilo 0 logariunu korijena: "r- I

loga '!..;A =-Iog a A, n

koje se dokazuje na osnovu treceg pravila jer se korijen Llvijek moze napisati U obliku stepena.

2) Aka je logaritamska baza a=\O tada se ne pise oznaka za bazu, na primjer, svi navedeni logaritmi imaju bazu 10: iog200, log346, log45,511 i zovu se dekadski !ogaritmi.

3) Za iogaritamsku bazu korlsti se i realan broj e (0 kojel11 ce se detaljnije govoriti 1I cetvrtom razredu). Aka je logaritamska baza e tada se uvodi oznaka log¢x""'lnx. (Oznaka In je skracenica latinskih rijeci: logaritmus naturalis - prirodni logari/am, a pribiizna vrijedfJost za e je 2, 718).

Primjer I: Logaritmirati date izraze uzimajuci bazu 10:

a) 25 b) 329·90 c) 12(x+2)

Rjesenje: a) log(2·5) ~ log2 + log5

b) log(3·29·90) = log3 + log29 + log90 c) log[12(x+2)] ~ log12 + log(x+2)

d) log[23·(xL y2)] = log23 + log(xL y2) =

= log23+1og(x-y)+log(x+y) ; <!xi > Iyl)·

Primjcr 2: Logaritmirati date izraze uzimajuci za baz,u a:

a) 4 b) 127 c) 2xb 5 300 4

23x d)

6bc

RjdclljC: a) 127 1"7 I 30 b). loga ~-. =- toga i.L -- oga 0 300 . ,

202

1 I

I I J ! \

I I 1

!

I I

i Jl

,

'I

i j I i t 1

2xb C) log, ~- = log,2xb - log,4 = log,2+ 10g,x + 10g,b ., log, 4 ,

4

d) log, 23x = 10g,23x- 10g,6bc = 6bc

= loga23+- Jogax-( loga6+- logab+ IOlSaC) = loga23+1o&x~!oga6-1ogab--logac.

Primjcr 3: Logaritmirati date izraze uzimajuCi bazu 10:

a) 4x2 b) a'b'

Rjeselljc: a)

b)

3x

= 21oga+-31ogb-'log3~logx. (';'1

4,; Sa" r:-1 r--c: c) log-"7b'-' log 4,; Sa} - log7b2 = log4+10g v'5a J ·{log7+10gb2)

log Sa' 2 = log4 + --2~- - log7 -10gb = log4 + log5+10ga'

2 .- log7 - 210gb =

.._ log 5 +- 3log a - log4 + ------ - log7 .. 210gb.

2

Primjcr 4: Odrediti vrijcdnost od x ako je poznat njegoy \ogaritam: aJ 10gx = log3+10g4 b) 10gx = log15-10g3 c) 10gx - 210g5+10g5

RjeSenje: aJ logx-log3:,!-log4 = log3·4 = log12

b) 10gx=log 15-10g3 = log 1~ 00 logS 3

=> x=12,

=> x=5,

cJ logx = 21ogS+logS -logS2+1og5 - log25+10g5 = log25·5 -=logl25 => x=125.

Pitanja za ponavljanje:

I. Koja prcl1-'ila za /ogaritmiranje poznajes? 2. lskaii rijeCima cemu jejednak logarifam proizvoda. 3. Kako bi sc rijeCimaformulisalo pravilo za /ogaritam korijena? 4. Kada se logariLamska baza nc pise 11 o::naci logaritma?

203

Zadaci za vjczbu:

12.16. Logaritmiraj dati izraz koriste6i proizvoljnu bazu:

a) 5·6 b) 5·23-43 c) 7-87·b d) 3·4·90·x 12.17. Logaritmiraj dati izraz koristeCi proizvoljnu bazu:

d) 33 xy 5

4c' a) ~.?_ b) 2x c) 7x'

127 19 2b 12.18. Logaritmirati izraz x koristeci bazu 10:

c) x= /)3 + av'z V Vil7

4 /42- c7 a)x=~ b)x=V --a.,j

J37n-;; if2 5 x 4

12.19. Odrediti izraz x aka je poznato logx: a) 10gx= log3+log11 b) logx= log34-log2 c) logx= 310g4

! 2.20. Odrediti vrijednost broja x aka je poznato togx: a) logx = log3+log5-log4 b) logx = log8-log3-log5 c) logx = 210g3+310g5 d) logx = 410g2-log3+ I

12.21. Odrediti x ako je: a) log x = 210g 6-210g 2

'-'} 3 3

c) !ogx = 61og2-3!og8+log4

12.22. Odrediti x aka je:

a) logx =2. (loga+logb) 2

c) logx =2. (310g2+210g5). 4

b) log,x = 310g35-310g

34 ..

d) logx = I + log5 _ log2 v

b) logx= 3 (log2+loga--log4) 4

d) logx= 2.( 2 + 2. IOg2J 2, 3

12.4. Prebzak sa jcdnc logaritamskc haze na drugu

l)vodeci pojam togaritma, vidjeii sma da se za logaritamsku bazl1 maze uzetl ma I<oji pozitivan broj razlicit od jedinice. Svakoj logaritamskoj bazi odgo\'ara jedan sistem logaritama svih pozitivnih brojeva. Tih sistema ima 01loJiko kO!1ko i baza. Zato je potreboo znati logaritam broja za jednu logaritamsku bazu zamijeniti s !ogaritmom tog broja U odnosu oa neku drugu bazu. Znaci, potrebno je znati izracunat'i logaritam U odnosu ns rna koju bazll ako se zna !ogaritam II odnosu n3

jednu bazll,. Pokazimo kako se preiazi s jedne logaritamske baze 03 drugu. Neka je iogarilamska baza a ,(O<a:;o 1) i neka je M rna koji pozitiYa.n broj i neka jc pri tome

204

1 j 1 I

.1

I !

I I ! I I

I J

I

t I I

I

logaM=x .

Tada, oa OS110VU definicije logaritrna, vrijedi: aX = M , odnosno,

alog~M = M

Odaberimo novi broj za iogaritamsku bazu. Nekaje to broj b (O<b:;i: 1), Logaritmirajrno posljednju jednakost uzimajuci za bazu broj b:

10gb (a 'o,"") ~ 10gb M => logo Ai 10gb a ~ 10£bM

Dobili smo formulu

=> logo M = log, M 10gb a

loga M= Jog; M 10gb a

koja pokazuje kako se logaritam po bazi a moze zamijeniti sa logaritmom po bazi b ma kojeg pozitiv!1og broja M.

Specijalno vrijedi:

Primjer 1: Izracunati vrijednost izraza log927 -lOg179.

RjeScnjc: Br~jeve 27 i 9 napisimo U obliku stepena, pnmiJcnimo logaritam stepena i zatim predimo na Jogaritamsku bazu 3:

pravilo za

3 J log 3 log}3 log927-!og~79 = Jog93 -log2~3- = 3·]og93-2·logn 3 = 3· ~ - 2·

-3 I "1 _ 3 2 9-4 5 - . - -.:.' - - - - - = --' = -. 2 3 2 3 6 6

Primjer 2: Ako je iog72=a, izracunati Jog I 28. 2

log,9 log, 27

Rjesenje: Transfonnacijom logaritma od 28 i koristenjcm poznatog logaritma od broja 2 dobije se:

log I 28 2

205

I 1 1 -2a-l ~-2+ --- =-2+ --~ -2+ - =-2- - =

log, I-log, 2 O-a -a a a

Pitanja za ponavljanje:

1. Zbog cega je korisno znati prelaziti s jedne logaritamske baze na drugu? 2. Kako se vrsi prelazak s haze na bazu?

Zadaci za vjczbu:

Izracunati vrijednost datog izraza:

12.23.a) log,5·1og,,27 b) log,5·1og258 12.24.a) iog4~5-1 b) 125 1og2,16

12.25. Staje vece: a) log,8 iii log58 b) log,3 iii log,2

12.26. Aka je iog1227=a, izracunati iog6 16.

12.27. Akoje \og2=a, tog3=b i

a) iOg254

log5=c, ad-fediti:

b) log, V2 12.28.lzracunati iogg9,8, akoje log2=a i log7=b. 12.29. Akoje log3=a i log2=b, izracunati iogs6. 12.30. Akoje IO&l125=a, izracunati log64.

12.5. Dckadski i prirodni logaritmi

c) log25·1og,,8 c) 41ogl,,64

c) log, .J125

Logaritamska baza maze biti svaki pozitivan broj izuzev jedinice. Medutim, U

prakticnim~ racunanjima s iogaritmima najceSce se susrecemo sa dvije [ogaritamske baze. Jedna baza je broj 10 i logaritmi U odnosu na ovu bazu se zovu dekadski logaritmi. Druga logaritamska baza koja se koristijc iracionalan broj cijaje vrijednost izmedu 2 i 3 (0 kome e.e biti rijcci u cctvrtol11 razredu) i koji se oznacava sa e. Logaritmi U odnosu na bazu e nazivaju se prirodni logaritmi.

Dogovoreno je da se logaritmi S ovim bazama posebno oznacavaju ne navodeci oznaku baze:

log 10M = logM ,

206

I 1

t I

Mi cerno se U ovom dijelu baviti dekadskim logaritmima. Prema definiciji iogaritma vrijedi:

logO,J=-J, JogO.Ol=·-2, logl~O, log]O=I, logI00=2, ]ogI000~3, logI0000=4, ..

Nekaje a ma koji broj izmedu 1 i 10.Tada vrijedi:

l<a<IO ~> logJ<loga<logIO => O<loga<J => loga~O,m.

Znaci, iogaritam svakog broja iz intervala (1, 10) je braj iz intervala (0, 1). (Oznaka m u izrazu O,m predstavlja neki niz decimala).

Uzmirno, sada, rna koji broj b iz intervala (l0, ]00). Tada vrijedi:

JO<b< 100 ~> logI0<logb<logI00 ~> I <logb<2 ~> logb~ I,m.

Vidimo daje: log30~1,m ; log45,26=],m; log87,92l=1,m, ...

Logaritam svakog broja izmedu 10 i 100 ima vrijcdnost izmedu ] i 2, pa kada se napise u decimalnom obliku ima oblik l,m. (Ovdje m u svakol11 posebnom sJucaju ima i posebnu vrijednost).

Nastavimo li gornji postupak dolazilllo do zakljuc.ka da se logaritam svakog hroja: iz inlervala (l00, 1000) nalazi u intervalu (2,3), iz intervala (1000, 10000) nalazi u intervalu (3,4), iz intervala (10000, 100000) nalazi " intervalu (4, 5), iz intervala (100000, 1000000) nalazi "interval" (5,6), ".

Uzmemo li brojeve iz intervala (0, 1), tada vrijedi:

0,1 <x< 1

0,01 <x<O,l =>

0,001 < x < 0,01

logO, I < logx < logl logx=-I+O,m

=> .. ·1 < logx < 0

~> logO,O 1 < logx < logO, I ~> -2 < logx < -1 logx = -2+0,m

~> 10gO,001 < logx < 10gO,01 => -3 < logx <-2 => logx=-3+0,m , ...

Vidimo da se logaritam svakog broja moze napisati U obliku

I logx = k, m'

207

gdje je k neki cijeli broj, a mje niz decimalnih cifara. U slucaju da je broj manji od jedinice, tada je broj k negativan i izraz obiika -4+0,m po dogovoru, mazemo pisati na slljedeci nacin:

--4 + 0, m = 4, m . Cijeli diD logaritma nckog broja naziva se karakteristika logaritma.

Decimalni diD logaritma se zove mantisa.

Karakteristika logaritma se odreduje oa osnovu broja cifara prije decimalnog zareza, alm je braj veei od jedinice, odnosno oa osnovu broja nula na pocetku, aka je broj manji od jedinice.

Karaktcristika od Iog23,456 ~ I,m je I (dvije cifre minus I), Karakteristika od log470,65I ~ 2,m je 2 , (tri cifre minus 1), Karakteristika od log21 0737,651 ~ 5,111 je 5 , (sest cifara minus 1),

Karakteristika od logO,087015~ -2+0,m ~ 2,m je -2, (dvije nule)

Karaktcristika od logO,OOSOO 1 5~ -3+0,m ~ 3,m je ·-3, (tri nule), ...

Mantise iogaritama se ne mogu odrediti na ovako jednostavan nacio. Mcautirn i ovdje postoje razna sredstva koja nam to omogucavaju. U posljednje vrijeme skaro svim ucenicima,i ne samo njima,sll dostupni mali kalkulatori koji osirn osnovnih racunskih operacija posjeduju i funkcije. Medu tim funkcijama nalazi se i logaritamska funkcija. Da bi se adredio iogaritam rna kojeg broja, dovoljno je taj broj otipkati i nakon toga nritisnuti tipku sa oznakom logaritamske funkcije. Na dispJeju kalkulatora pojavi se potpuna vrijednost logaritma tog broja 1o

• Tu je i karakteristika i mantisa. Velicina mantise je ogranicena brojern cifara koj~ moze prikazati izabrani kalkulatoL

Primjeri: 154 <log> --> 2,187520721, logI54~2,187520721.

4,6547 <log> --> 0,667891695, log4,6547 ~ 0,667891695.

0,02597 <log> --> -1,58552805, logO,02597 ~ - 1 ,58552805+2-2 ~

~ 2,414471949 Posjedovanje navedenog kalkulatora olaksava i ubrzava racunanje iogaritama brojeva i njihovu primjenu. Drugi naein odredivanja potpunog logaritmajeste upotreba posebnih tablica. To su tablice u koj ima su poredane izracunate vrijednosti logaritama, i na nama je sarno

10 Svaki kalkulator odrcduje logaritme pribiizno.Tacnost zayisi od kyaliteta kalku!atora.lJ "a5im primjc:·imu gr~Bku k1:l1kulatoraje :~eoma ma!a.pa sc svuda nuvodi znak "=" umjesto "z".

208

da naucimo procitati te vrijednosti. Tablice Sil stampane il posebnoj knjizici koja sadrzi razne formule i podatke i koja obieno nosi naziv Logaritamske tablice.

U logaritamskim tablicama su posebno izdvojeni prirodni brojevi do 100 i napisani njihovi potpuni logaritmi. Za sve ostale brojevc u tablicama se moze odrediti sarno rnantisa dok se karakteristika odreduje na naprijed navedeni nacin. Tablice koje se koriste kod nas, obieno su sastavljene na'pet decimnala.

Navedimo jedan dio stranice iz logaritarnskih tablica koje se kod nas mogu nati:

N. L. 0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 P.P. 430 63 347 357 367 377 387 397 407 417 428 438 431 448 458 468 478 488 498 508 518 528 538 432 548 558 568 579 589 599 609 619 629 639 10 433 649 659 669 679 689 699 709 719 729 739 111,0 434 749 759 769 779 789 799 809 819 829 839 212,0

435 849 859 869 879 889 313,0

899 909 919 929 939 414.0 436 949 959 969 979 988 998 *008*018* 028*038 515,0 437 64 048 058 068 078 088 098 108 118 128 137 616,0 438 147 157 167 177 187 197 207 217 227 237 717,0 439 246256 266 276 286 296 306 316 326 335 818,0

919,0 * * * * * * * * *

450 65 321 331 341 350 360 369 379 389 398 408 9 451 418 427 437 447 456 466 475 485 495 504 110,9 452 514 523 533 543 552 562 571 581 591 600 211,8 453 610 619 629 639 648 658 667 677 686 696 312.7 454 706 715 725 734 744 753 763 772 782 792 413,6

514,5 455 801 811 820830839 1849 858 868 877 887 615,4 456

I 66

896 906 916 825 935 944 954 963 973 982 716,3 457 992 '001'011'020 '030 039 '049 '058 '068'077 817,2 458 087096106 115 124 134 143 153 162 172 918,1 459 181 191 200 210 219 229 238 247 257 266

IN. L. 0 1 2 3 4 .-

5 6 7 8 9 P.P.

Odredimo logaritme nekih brojeva cije se rnantise mogu procitati s navedene stranice tablica. .

Primjer 1: Odre~iti: '3) log45,37 b) log431,9 c) IogO,45

209

d) logO,00435 e) log4,3568 f) log45786

Rjesenje: Karakteristike svih logaritama odrcdujemo prema broju cifara prije decimalnog zareza, odnosno prema broju nula na pocetku logaritmanda.

a) Karakteristika od 10g45,37 je 1. Mantisu odredujemo na taj naein sto uocimo prve tri cifre broja,to Sll 453 i u tablicama u koloni N potraiimo ovaj broj. Kada se broj pronade potrazimo kolonu iznad kaje se nalazi cctvrta cifra broja. U nascm primjeru to je cifra 7. Zatim pronademo presjek kolone ispod cifre 7 i vrste u kojoj je broj 453. Na torn presjeku se nalaze uvijek tri cifre, sada su to dfre 677. Ovaj skup cifara prcdstavlja dio mantise. Prve dvije dfre mantise su "zaostalel1 i iz prakticnih razloga se ne ponavljaju. U nascm primjeru to Sll cifre 65. Sada moZelUo napisati tfaicni logaritam:

10g45,37 ~ 1,65677 .

b) log431,9~2,63538 0) log0,45~1,6532'1 d) logO,00435 ~3 ,63849

e) Kada broj Ciji logaritam tra.zimo ima vise ad cetiri cifre, tada sc koristimo I

tablieama koje se uvijek nalaze sa dcsne strane na svakoj stranici. Evo kako se odreduje iogaritam u nasem primjeru:

10g4,356 ~ 0,63909

Ra7.1ika izmedu slUede6eg troeifrenog broja i pronadenog 919-909~IO (tablicka razlika) odreduje tablicu s desne stmne koju treba koristiti. U nascm slucaju to je tabliea S oznakom 10. U tablici 10 potrazimo slijedecu, petu, cifru broja ciji logaritam 1ra2:iI110. Sada jc to cifra 8. Dcsno od ove cifre pise 8,0. Ovaj broj potpisujemo ispod procitanog i vrsimo sabiranjc:

log4,356'" 0,63909 80 +

log4,3568~ 0,639170 .

t) log45786 ~? 10g45780 ~ 4,66068

54+

log45786 ~ 4,660734

Pomo6u kalkulatora i logaritamskih tablica odredujemo logaritme brojeva, ali i obrnuto, odredujemo brojeve kada su nam logaritmi poznat!. Postupak odredivanja broja cijijc log~ritam poznat obieno sc naziva antilogaritmiranje. . . Primjenom kalkulatora s funkcijama odredivanje broja cijije log~nt~m poz?at svodl sc na tipkanje poznatog logaritma i pritisak na po~ebnu tipku (to Je tlpka kOJa oznacava inverznu funkciju od logaritamske funkcije i obicno je za nj.eno

210

aktiviranje potrebno pritisnuti j funkcijsku tipku). Na "ekranu" kalkulatora pqjavi se antilogaritam (broj ciji smo logadtam otipkali).

Ako je broj 1,36589 logarilam nekog broja x, tj. ako je logx~I,36589, tada se broj x odreduje na slijedcCi naein (prema kalkulatoru kojije meni na raspolaganju):

logx ~ 1,36589 <2ndf> <log> ._> 23,22148558 ~ x,

10gx~0,654169 <2ndf> <log> -7 4,509921681 ~ x,

logx ~ -2,76448 <2ndf> <log> -> 0,001719966 ~ x .

Naravno, kad nekih drugih kalkulatora oznake tipki mogu biti i nesto druga6ije, ali je postupak ovakav:

Koristenjem logaritamskih tablica antilogaritam se odreduje na taj naein sto se obrnu radnje koristene za odredivanje logaritma. Pokaiimo to na primjcrim~!

Primjer 2: Ako su dati logaritmi brojeva, odrediti te brojeve:

a) loga ~ 2,63819 b) 10gb ~ 0,65389 c) loge~ 3 ,66030

RjeScnje: Karakteristika svakog logaritma odrcduje broj clfara pr~je zareza, odnosno broj nula na poeetku broja, ako je karakteristika negativan (cijeli) broj. Same eifre se odreduju P01110CU mantise. a) Broj a jc izmedu 100 j 1000 pa ima trl cifre prije dccimalnog zareza.Kojc su to cifre odredicemo pomocu mantise njegovog logaritma. Uoeimo prve dvije cifre mantise 63. Pronadimo u tablicama ove dvije cifre u koJoni L. Zatim traiimo desno od njih slijcdece tri cifre mantise. OVdje su to cifre 819. Lijevo od cifara 819 na samom pocetku eitamo tri cifre broja a, a eetvrta cifra je ona na vrhu kolone iznad njih, odnosno na dnu Imlone. Broj aje, dakle a=434,7.

b) b~4,507 c) c~0,004574

Primjer 3: Nekaje logx=2,65746. Pomo';u tablica odrediti broj x.

Rjesenje: Karakteristika 2 pokazuje daje broj veCi od 100 i manji od 1000. Znaei broj lma tri cifte prije decimalnog zareza. U tablicama se ne nalazi potpuna mantisa 65746. Najblizi manji broj koji se nalazi u tablieamaje 65744. Prve cetiri cifre traiCnog broja su 4544, paje traieni broj, odreden najednu decimalu, 454,4. Narednu cifru odredujemo na sljedeci nacin. Razlika izmedu broja koji se traiio i broja kojije Pfonadje:n u tablicamaje -65746--65744 = 2. Ovaj broj tra2:imo u tablici odredenoj tablickom razlikom (753·-744~9) na dcsnoj strani. Najblizi

211

manji broj koji nalazirno u tablici 9 je 1,8. Lijevo od ovog broja je cifra 2. Ovo je peta cifra trazenog broja. Sada trazeni broj x moze da se piSe x=4S4,42. Ako nam je potrebno jos cifara, tada razliku izmedu broja koji srno traiili i pronasli u tablici 9 (2--1,8~0,2) pomnozenu sa 10 trazimo u istoj tablici. Slijedeca cifTaje 2, itd.

x=454,422 ...

Ako logaritarn ima vise od pet decimaia, tada se iogaritam zaokrliZl na pet decimala (iIi na onoliko decimala koliko imaju Iogaritmi u tabiicama) pa se postupa na navedeni naCin.

Pitanja za ponavljanje:

1. Koje Zogaritme nazivamo dekad')ki logaritmi? 2. Kakvi se Zogaritmi nazivaju prirodni? 3. Staje karakteristika logaritma? 4. Kako se odretluje logaritamska karakteristika? 5. Sta je mantisa logarilma? 6. Kako se odreduje mantisa?

Zadaci 7.11 vjezbu:

12.31. Ako je log2=O,30 I 03, log3=0,47712 , odrediti:

a) log6 b) log24 c) log2. dJ log-Jl8' 4

1 2 5 .3 2

e) ,og .J6 12.32. Date'logaritme napisati U obJiku lz koga se Inoze neposredno procitati

vrijednost karakteristike i mantise: a) ~,34561 b) -1,88211 c) -3,77237 d) -2,91272

12.33. Date logaritme napisati U ob!iku negatlvnog broja:

a) 2,J5439 b) I ,41582 c) 3 ,02064 d) 4 ,13731

Odrediti Jogaritme datih brojeva: 12.34.a) 15 b) 453 12.35.a) 4121 b) 4,121 12.36.a) 89344 b) 487329

cJ 5002 c) 0,412J c) 0,50081

Odredi brojeve ciji su logaritmi dati brojevi: 12.37.a) 1,95904 b) 2,]9562 c) 0,65068

12.38.a) 0,45501 b) 2,89461 c) 1,44077

212

dJ 8709 d) 0,0412J d) 0,0400092

d) 5,71223

d) 3,22557

'1

I

12.6. Primjena logaritama

Logaritamski racun je i nastao iz potrebe da se olaksa racunanje s obicnim brojevima. Logaritmi, naime, omogucavaju da se operacije viseg reda svedu na operacije nizeg za jednu stepenicu. Tako se mnozenje svodi na sabiranje, dijeljenje na oduzimanje, stepenovanje na mnozenje, korjenovanje na dUeljenje. Kako se prakticno primjenjuju logadtmi pokazace slijedeci primjcri.

Primjer 1: Primjenom logaritama izracunati 4·15.

Rjesenje: Ako sa x oznaCimo dati proizvod tada \Tijedi:

logx = log4·15 => logx = log4 + log 15

~> logx ~ 0,60206+ 1, J 7609 ~> logx=J,77815 ~> x~4·15=60.

Primjer 2: Primjenom logaritama izracunati 23.45·3,R954.

Rjesenje: Oznacimo dati proizvod sa x. Tacia vrijedi

x = 23,45·3,8954 => logx = log23,45+1og3.8954 => logx = 1,96069

=> logx = log23,45·3,8954 ~> logx= 1,37014+0,59055 ~> x = 91,346098.

Traieni proizvod je 23,45·3,8954 = 91 ,3460n. Naravno, primjenom logaritama rezultati koji sc dobiv3jU 5U, uglavnom, prihliznl. Njihova tacnost je uvjctovana kvalitctom kalkulatora odnosno brojem dcclmalnih cifara na kqje su svedeni logaritmi u tablicama.

. . ~... . 43,2·175,433 PnmJer 3: IzracunatI vrlJcdnost lzraza x= ~~-~---

655,244

Rjdcnje: Logaritmiranjem izraza dobiv3 se log x:

I -I 43,2 ·175,433 ogx·- og~--~-~ 655,244

=> logx=logC43'~'17\433) - log65S,244

=> logx = log43,2+1og175,433 - log655,244 => logx ~ 1,63548+2,244 J 1-·2,8 J 640 ~> logx= U)6319 '=> x=ll ,566.

213

Vrijednost izrazaje: 43,2 ·175,433 ~ 11.566 . 655,244 .

P · . 4 P" I . " . 63,06·0,055' rtIDJer : nmJcnom ogantama IzracunatI x = --'c-~ 0,009744

Rjdenje: Logaritmiranjern izraza dobije se:

. _ 63,06·0,055' logx - log ...... ...... ~ .. -0,009744

=> logx ~ log(63,06'0,055 3) -logO,009744

~> logx = log63,06+3Iog0,055 -logO,009744

=> logx = 1,79975 + 3· 2 ,74036 - 3 ,98874

~> logx= 1,79975 + 4 ,22108 - 3 ,98874

=> logx = 0,03209 => x=1,076688.

P · . 5 P" I . " . 84,35-'JO,5477 TlmJer : fll1lJenom ogantarna IzracunatJ : -_~_.".m·~C':":7' 63,7' . 2,213 5

Rjescnjc: Aka se izraz oznaci sa x i izvrsi njcgovo logaritmiranje dobije se:

logx = log 84,35.;J0:5477 = log(84,35· VO,541'1 ) -logj63,7'·2,213 5) =

63,7 2 -2,213 5

= log84,35 + L ·logO,5477 -log63,72 - log2,213 5 = 3

I = 1,92609+ --(-026146)-2·180414-5·0,34498-3' , ~

= 1,92609··0,08715- 3,60828 -1,72490 =-3,49424 = 4 ,50576.

Odredivanjcm antilogaritma dobivenog broja dobije se trazena vrijcdnost izraza

x = 84,35 VciT477 = 0.0003204 63,7' .2,213 5

•

Zadaci za vjezbu:

Primjenom logaritama izracunati vrijcdnost datog izraza:

12.39.a) 65·34 b) 452·9721 c) 3,982·9,466 d) 7,906·3,0972

45,873 b) 4,5 2 8,6.13,53

d) 41,232

12.40.a) -.~;- --, c). 2 2 11,34) 34,) 4),68 6,77·7,11

12.4l.a) %Ii b) :;,/765,3 c) V8,954

214

12.42.a) 35,42· VO,96782

32,15· V16,79' 12.43.a) -----. -

87,45

12.44.a) 7,273

• ..JI7,94 3,846 5

• ljS,0987

12.45.*a) 63,06.0,055 3

0,009744

b) 823,8' :~(3,641

b) J46,43. VOJ,% 0,097

b) 0,3453 .!J2,005

0,095 . fg,46 3

I:' 2'("-I",IS '\16,983

b) V 8,09~i .0,973 2

46 *) V8'~~.22- 0,2· V65,37 12. . a 2,4539 2

19,6934 . ..[i2:i 3'09 c)

88,34'" .~6,7°·3

c) .J2,34. Vl,~8

2,153 ·V6,87' c)

.J98,15

c) 0,169'.~ 5,24' ·J7,31

c) V9+V4

12.7. Logaritamske jcdnacine oblika log"f(x) = log"g(x), pri cemu su f(x) i g(x) polinomi iii racionalne funkcije najvise drugog stepena

lednacine U kojima se nepoznata nalazi u sa$tavu logaritmanda nekog logaritma naziva se logaritamska jednacina.

lednacinc:

log(x-l)=3, logx + 2x = log(x-3), logkx2+7x-2)~1 Sll logaritamske.

Znamo da su logaritmi definirani samo za pozitivne brojeve, pa logaritmandi koji se pojavljuju U \ogaritamskoj jednaCini moraju biti pozitivni. Zato se prilikom Ijesavanja logaritamskih jednacina prvo odredi njena damena, a kada se odrede brojevi koji bi magli biti JjeScnje, pro\jeri se da Ii pripadaju domeni. U slucaju da ti brojeYl ne pripadaju domeni jednacine, ne mogu biti ni njena rjesenja. Ovdje cemo rjesavati, uglavnom, lagaritamske jednacine koje se mogu dovesti na oblik

\ log" f(x) = loga g(x), a odavde f(x) - g(x),

pri cemu su f(x) i g(x) po!inomi ili racionalne funkcije najvise drugog stepena. Pokazimo, na slijcde:eim_ primjerima, kako_ se !jesav~ju neke Jogaritamske jednaCine:

215

Primjer 1: Rijesiti logaritamskujednacinu logx = 3 -log4.

Rjescnje: Data iogaritamskajednacinaje dcfinirana aka je x>O.

Transformirajmo jednacinu na slijedeCi nacin:

logx ~ 3~-log4 ¢;> logx+log4 = 3 ¢;> log4x ~ 3 ¢;> log4x ~ logl 000

=> 4x = 1000 Rjesenje date jednacine je x = 250.

~>

Primjer 2: Rijcsitijednacinu IOg2(X2-9x+28) = 3.

x = 250.

Rjescnje: Kako je diskriminanta kvadratnog trinoma x2-9x+28, o = 81-112= ,-31 negativna, a kocficijent kvadratnog clana a= 1 pozitivan, to je trinom pozitivan za sve vrijednosti varijabJe x, pa je domena date jednaCine skup svih rcalnih brojeva. PotraZimo rjesenje jednaCinc:

log,(X2-9x+28) ,0 3 ¢;> x'-9x+ 28=23 ¢;> x2 - 9x + 28 ~ 8

~>

Datajednacina irna dva rjescnja ito: x1=4, X2= 5.

x = '.'

Primjer 3: Rijesitijednacinu lag3(x-2) + log3x = iog3~L

Rjeseuje: Data jednacina ckvivaJcntnaje sistemu:

2

9 ± I

2

rx - 2 >0

1 x> 0

llog, (x - 2)+ log, x = log, 8

{x> 2

Jog 3 (x - 2)x = log] 8 {X> 2

x' ~~~ 2x 8 = 0

fX>2 . __

lx = 2±"'4+32 1,' 2

x=4.

Rjesenje date logaritamske jednaCine je x = 4.

.Primjcr 4: RljesitijednaCinu 1 4

__ m ___ + =3. 5-41ogx l+logx

RJdcnjc: Jednacinaje definirana za x>O i 5--4Ic;gx¢O, l+logx:;t-O. Pod ovim

216

uslovima jednaCina se maze pomnoziti sa ekvivalentnu jednaCinu:

(5-4logx)(I+logx) prj cemu prelazi u

1 4 3

1 + logx+20-16Iogx = 3(5+5Iogx-4logx--4log'x) 21-151ogx = 3(5+logx-4!og'x) 21 ~- 15logx = 15+ 3logx-12log2x ¢;> I 210g'x + 6 - 1810gx = 0

~ ) H,!9-8 HI

Zlog'x - 31Mx + I = 0 => logx = ----- = -- =? ~ 1,2 4 4

1 => logx = - ,logx = 1

2 =>

Jednacina ima d\'a rjeScnja: XI =.JiO i X2 = 10

Primjer 5: Rijeslti jednacinu loglx + !Og,lX + ioggx = 11 .

RjeSenje: lednacina je definirana za sve pozlt1vne vrijednosti varijabJc x. Kako sc u jednacini pojadjuju razlicite logaritamske baze, polrcbno je sve iogaritl1le transfonnirati u !ogaritme po istoj bazi. Neka to bude baza 2:

Jog2x + Jo~x + loggx = 11

log2 X ¢c:> log,x + ---

= 2 + !.og2 x = J i / 6 ~o

3

¢;> Illo£2x ~ 66 1:66

Primjer 6: Rijesitl jednacinu log(24x -- 13) ...:;: x - xIogS.

RjesenJe: U oblasti u kojoj je definirana jednacina sc maze transform irati na sljedeCi naCin:

log(2X+x-J3) = x-xlog5

<d log(2X-L-x-13)+iog5X = x

<d log[(2x+x-13)5 X] = iogl0X

¢;> 2x5x+(x-13)5 X = lOx

¢;> (x~-13)5X = 0 =>

log(2X+x-J3) = x -log5X

!og[(2x+x-13)5X] = x

J3)5 X ~ lOx

lox+(x--13)5X~ lOX

=> ,,=13.

Za dobivenu vrijednost varijable x po!aznajcdll3cina je d~finirana, paje x=13 ljdcnjc jednacll1e.

217

, 4

!og, 3--1 Primjer 7: Rijesiti jednacinu = 0.5 .

Rjesenje: lednacinu mozemo transformirati na sljedeci nacio:

log ~~I 4 '3 = 05

, , log ,- -4' 3 = 42

I ' , --=x-3

, , Jog, :--1

¢;> 4·' =4 2

I I log -=­

'3 2

1 ~=X

9

Pitanja za ponavljanje:

), KojujednaCinu nazivamo logaritamska?

log, -~ 1 4·' ,-

¢;> -- = 4 2 1-4 4

I " Jog - = log x 2 x 3 x

x='- . 9

2. Kako se odreiluje domena logaritamske jednaCinc? 3. Kakve logarilamske jednaCine smo naucili rjdavati?

Zadaci za vjezbu:

Rijesiti datu logaritamsku jednacinu: _ .1/ 12.47.a) logx-log48~logI6=O b) 210gx+log6=logI5<y"c) 10g(x"l )=2

12.48.a) log2F1og2(6,x2) b) log2(x-I)+log2(5x-r3)=2 »<.i cJ 210g(x-l) - log4=0'

12.49.a) IOM(X+3)-log4<x"1 ) = 2"log48 b) log4(x+3)"log4(X-I) = 2-loM8

i 2.50.a) log(x2~ 7S)·log(x--4) = 2 b) 2Iog(x-3) = log(x2_21) 12.5I.a) log7(x-2)-log7(x+2) = 1 ····log7(2x-7)

b) log(x-2)+iog(x+2) = log(2x-l) l)V'

12.S2.a) log2x = 2Iog(4x-IS)

I, '0' 10g(x+l) ".)o.a) = 2

log4- log2

b) log(8-lOx,,1 2x2) = log(2xl)

logFx':;:? -log2 b) -I

log8-log(x-5)

i, II 12.54.a) 10gll'"\ "Xi __ . = 0

x + x - 2: b) log~ + 3log.JI - x = 10g,;t::"7

12.55.a) log, (2x' 2x-I)="J. 2

12.57.a) !og3Iogg1og2x_= log31- r 218

b) log(x2 -;-19) log(x-8)=2

1 b) log410g210g3x ~ -

2

b) logxlog3logx2x3=0

12,58.a) log[3-210g(1 +x)]=O

12.59.a) log2x+loggF8

12.60.a) log3x + 10g)3 x + log, x = 6 3

12.6I.a) log" 25" log," 125 = 0

12.62.a) log, 2 ·log x 2 = log, 2 16 64

12,63.a) (log 10)3 ,,(log 10)2-610gxl0=0 , ,

b) log3(1og,2x-310g,x+5)=2

b) log3x+log,x=2

b) log , 4 + log 4 = 5 x x

b) log, 16 + log, 64 = 3 x _x

b) log] 8'" . Jog 2 27 = x + 7

, 5 b) (loa x) + Joa ,,= I

1:05 D5x X

12.64.a) log X + Jog, 3 = I 9 ., b) 210g 3 + log 3 + 310g 3 = 0

x OJx 9x

12.65.a) log,8X- I .log,125 = x+7

12.66.a) logx+2(2x+3) = 2

12.67.a) log(2x+x--4) = x(l-log5)

12.68.a) log2(9-2X) = 3-x

b) log3x+log27x = 4

b) 2log2x+4log

16x = 3Iog

x16

b) log(3x+x-17) = xlog3

b) ]og2(2"--3)+x" 2

12.69.a) xl-logx=O,OI b) xl+logx= 100

12.70.a) XIOgl x+2:::: 256 b) X

1og,3x = 9

12.71. 2x+2x+l+2x+2+2x+3 = 3"-+3x+I+3x+2+3x+3

12.72.a) 9"-+6X = 4x b) 22x,'-2x3x = 32x

12.73.a) 3x+3x+I+3x+2=5x+5x+l+5x+2 b) ~3Jog2(-x)"log2.Jx2

12.S. Logaritamske ncjcdllacinc oblika log"f(x) < logag(x), pri ccmn Sn

I(x) i g(x) poiinomi iii racionalne fUllkcijc najvise drugog stepena

Nejednacine u kojima 5e pojadjuju logaritmi koji u logaritmandu sadde \'arijablu nazivaju se logaritamskc nejednacine. T akve su sIjedece ncjednacine:

logx> log25 , x-3

In-·~ > In45 . x+2

Mi ccmo IjeSaY3ti samo one nejednacine koje se mogu napisati U obliku

log" f(x) < log" g(x),

pri cemu su f(x) i g(x) polinomi ili racionalne funkcijc najvise drugog stepcna, jer ce se one sycsti na nejednacine koje smo ranije naucili ~jeSavati. -

Kako je logarita!11ska f~l!1kcija U odnosu ua bazu a> 1 rastuca, a U odnosu na bazu -:-0< a < 1 opadajuca, t<Yvrijedi:

219

logo f(x) < loga g(X)} 0

a> I

loga f(x) < loga g(X)} 0

o <a < I

{

f(X) > 0

a> I .

f(x) < g(x)

{

g(X) > 0

'O<a<l

fex) > g(x)

Vidimo da se logaritamska nejednacina svodi oa elevivalentan sistcm nejednacina cije rjesavanje nam je poznato od ranije. Pokaiimo na nizu prirnjera kako se rjeSavaju neke, jcdnostavoije, logaritamske nejednacine,

Primjer 1: RijeSiti nejednacinu log2C2x-l) <-2.

RjeScn,jc: Logaritamska bazajc veca od 1, pa sc maze plsati:

logZ(2x-]) <-2

f2x> I W I W

l2x < 2 ·2 + I

I 5 ¢;> -<x<

2 8

r2x -1>0

12x-1<2-2

Dakle, rjeScnje logaritamskc nejcdnaCinc jc skup brojeva iz intervata

Primjcr 2: RijeSiti nejedna"inu log I (xL 5x+6) > - L 1

RjeSenje: Logaritamska bazaje lzmedu ou[e ijeciinicc,pa vrijedi:

log I (x2~~5x+6) >-J

220

log I (xL Sx+6) > log I 2 ,

IX2 -5x+6 > 0

lx' -5x+6 < 2

JCx-2)(x-3) > 0

l(x-I)(x-4)<0

W I < x < 2 iii 3 < x < 4.

{

X' -5x+6>0

x' -5x+4 < 0

[x<2 iii x>3

l l<x<4

Rjesenje nejednaclne je unija intervaJa (1,2) U (3, 4).

Primjer 3: Rijesiti nejednacinu 2x - g log3 --<0

2" x - 2

Hjescnje: Logaritamska baza je veca od jcdinice, pa vrijedi:

1

'2X- 8> 0

I 2x - 8 0 W I 2x - 8 I I W x - 2 og, --- < ag, -_. __ .- < ag, 12x

_ 8 -2·' x-2 ::. x-2

, 2 --<I

w

W

[e2x-8)(x-2) > 0

12X -8 _\ < 0 l x _. 2

r(x-4)(x-2» 0 I 1 x - 6 --<0 x-2

r x < 2 iii x>4

1 2<x<6

W

w

x-2

{

lex - 4)(x - 2) > 0

2x- 8 - x + 2 .. , < 0 x-2

!ex-4)ex-2»O

lex -6)(x - 2) < 0

4 < x< 6.

Rjesenje date logaritamske nejednacineje skup realnih brojeva iz intervala (4,6).

Primjer 4: Rijesiti nejednatinu 2]og, (x-I) -Iog,(lx-S) > I.

Rjesenje: Nejednacinu mozemo rjdavati na slijedeCi nacin:

[X-I> 0

12x - 5> 0

,log, « -I)' -log, (2x - 5» log, 3

21og3

(x-I) -log3

e2x-S) > 1

22!

IX> I

¢:> 2x>5

(x _I)' llOg] 2x _ 5 > log] 3

[' 5 ¢:> jX>2

I " Lx ~ - 2x -+- I > 6x - 15

¢:> ~x>~ LX'" 4

r x> 1 ~2x >5 I l(x-I)'

l-->3 2x-5

5 - < x < 4, x> 4. 2

Rjesenje nejednacinc je unija intervala (%,4) U (4, +00).

Primjer 5: Rijesiti nejednacinu logl(2~2} log I (lx-+- 1-4) > -2.

Rjescnjc: Ncjednactnaje definisana ako .Ie

2x - 2 > 0 i 2x+ I - 4 > 0 .

Rjesavanjem sistema navedenih cksponcncijalnih nejcdnacina dobije se:

2X - 2 > 0

2x-+-1_·4>O x>1

~> 2x+I >22 => x> 1,

Pod uslovom x> I data nejednacina se transformira na sljedeCi nacin:

log2(2X - 2)· log I (2x+ I 4) >·2 :;

log (2"ci - 4) 2 >-2

-I

IOg2(2 N1 - 4)

log2(2L 2)- --"--1- >-2 log -

22

log2(2X - 2)· log, 2~" - 2) < 2

¢:> log2(2X-2)· [log,2+log2(2" -2)] <2

¢:> log2(2X - 2)- [1+ IOg2(2"- 2) J < 2.

Nckaje '!og2(2 X -2) = t. Tada se prethodna nejed~aCina svodi na kvadratnu:

222

t(l+t)<2 ¢:> t+t2<2 ¢:> t2+t-2<0 ¢:> (1+2)(1-1)<0

¢:>-2 < t < 1 .

Zamijcnimo t:

-Z < t < I ¢:> -2 < logZ(2"-Z) < I ¢:> log,z-2 < log2 (Z"-Z) < log,2

¢:> 2-2 < ZX-2 < 2 ¢:> ~ <2"-Z < 2 ¢:> ~+Z<2x<4 4 4

¢:> ~ <2x <22 ¢:> log?~ <x<Z ¢:> 1,1699 < x < 2. 4 -4

Tako sma dobili rjesenje nejedn.cine xE(J.1699, Z).

Pitllnja za ponavljanje:

1. KaA'Ta nejedna(~iJ1a se naziva logaritamska? 2. Kakve logaritamske nejednacine sma naucili rjesavati?

Zadaci za vjezbu:

Rijesiti date logaritamske nejednaCine: 12.74.a) log,x>2 b) log,x<1 c) log,x>3 d) logx>O

d) logs(2-x)<1 12.75.a) log,(x-I»2 b) log(x+3)<1 c) log4(x-5»loIl47

12.76 .• ) IOg2(2x+4»log,(5x+3) b) logo.,(x+3)<-2

12.77 .• ) log I (Zx2-3x+5) < log, (x2+2x+l) b)

c) logo.1 (x-5»-1

log 1 (2x2+5x+ I) < 0

x-? 12.78.a) log7 --- < 0

x -·3

3x + 1 c) log,-->-l

i x _+ 1

12.79.a) log,(x2~2x.»3c."

x-4 b) log I ~-.:; <-2

"2 x +-'

. x+2 d) log] -- > 0

x

b) logs(xL llx+43»2 c)· IOg8(~2-4x+3) < 1

223

35 _Xl 1 12.80.a) log, ---> .. -

4 X 2 c) log,

Xl -1 log,--<O

x-2

12.8I.a) log2x-logx-2>0 b) log,x -log,32<4 c) log,x -\og,125<2

I I 12.82.a) + > 2

1+logx I-Iogx

12.83.a) log,log4 (x'-5»O

12.84.a) log3(13 - 4X) > 2

12.85*.a) log2(2"-1)'\og 1 (2'+' - 2) >-2 ,

224

b) log2 x-310gx+3 <I logx-I

b) log, log2 log,., 9 > 0

b) log2(24'422x) < 2108412

18-2' b) 1084(18-2X} log, ~.-. S;-I

2

13. OSNOVI TRIGONOMETRIJE

13.1. Orijentisani ugao. Stepen (stupanj). Radijan

U oS11o\'noj skoli kao i u prvom razredu srednje,upoznali sma pojam ugla. Vidjeli smo da svaki ugao ima svoj nh i dva kraka. Redoslijed krakova nije nam bio bitan. Medutim, ako se kraci ugla uzmu kao ureden par polupravih, takav ugao se nazi va orijentisani ugao (orjentirani liut). Kod orijentisanog ugla tacno se zna koji krak je prvi, a koji je drugi. Prilikom crtanja orijentisanog ugla, na luku koji pdpada unutrasnjoj oblasti ugla obavczno se nacrta strelica k~je je usmjerena od prvog kraka ka drugom. Orijentisani ugao moze biti pozitivan iii ncgativan. To smo vezali za krctanjc kazaljkl na klasicnom satu, pa smo rekli smijer kretanja kazaljki oa satu nazivamo negativnim,a njemu suprotan smijer je pozltivan.

Sta sma dobili ovim prosirenjem pojma ugJa? Prvo, govoreCi 0 rotaciji u ravni, mogli 51110 prccizno da definisC1110 tu

izomctriju. Drugo, lllozcmo shvatiti cia dvije poluprave sa zajednicldm pocetkolll

odreduju nc 5amo dva, vec beskonacno mnogo ugkva. Kako to shvatamo? Posmatrajmo slijedccu sllku:

~ ~ q

p p

Sl.! 3. 1. Dvije poluprave odredujll beskonact)o mnogo ugloya

Na SI.13.1.a) predstavlje;je ugao a sa k'l~a~ima pi q. fste hake ima i ugao a] koji je za 3600 veci od ugla u. Tuje i ugao 13] na S1.l3.1 b) za koji vrijcdi

131 = a + 2-3600

225

Zato je ncophodno usmjerenim [Uk0111 koji pocinje na prvotll, a zavrsava se na drugom kraku ugia, oznaciti svaki orijentisani ugao.

Prilikom proucavanja mjerenja uglova II prvom razredu, uveden je pojam stepena (stupnja) kao i pojam radijana. Receno je da je stepcn devedeseti dio pravog ugJa, minuta sezdeseti dio stepena, a sekunda sezdeseti dio minute. Tako vrijedi:

1°=60', 1'=60",1°=3600"

Radijanje vccajedinica. Toje on~j centralni ugao Cijije pripadni lukjednak, po duiini, radijusu kruznice.

Osnovna veza izmedu radijana i stepena je da ugao od 180° u isto vrijeme ima 11:

radijana :

a odavdc 1 rad 1800

7l radi.iana = 1800

1 () = _2":__ rad. 180

Ova veza omogucava preracllnavanje stepena II radijanc obrnuto, radijana u stepene.

])rimjer 1: Uglove date u stepenima izraziti u radijanima:

a) 45' b) 90° c) 21 0° d) 80°

Rjdenje: Koristeci osnovnu vezu izmedu stepcna i radijana i osobinc proporcije dobUe se:

x:45 ~n:180 45n 1T

aJ => x=--180 4

b) x:90 = n:180 90n IT

=> x= -- =-180 2

x:210 = n:180 210n 7" c) => x=--=-, 180 6

x:80 = 7t: 180 80n 411:

d) => x=-' 180 9

226

'·'·.···1··

:l

'; Primjer 2: Ug[ove date u radijanima izraziti u stepenirna:

a) 2n b) 4 c) -II d 5" )-4

Rjescnjc: Neka je x trazena vrijednost ugJa u stepenima. Koristenjem osnovne veze izmedu stepena i radijana i osobine proporcije d6bije se:

a) x: 27t ~ 180:7t => x = 27t . IS() ~ 3600 . IT

b) x: 4 = 180:n => x~ ~'180 =229,1831°=229°10'59" 7t

c) x: (-11)= 180:7t => _ -II ·180 _ 600 0 '0 57460 °0°,,, x----"--J,_)J ~-6J 1513 7t

d) x: 2". ~ 180:n => 5n ·180

= 225° . x= 4 4n

P01110Cll osnovne veze izmec1u stepcna i radijana dobije se i :

I rad ~ 57,2957795° ~ 5rl7'45" , I 0 ~ 0,01745329 radijana.

Pitanja za ponavljanje:

1. J<;ada je ugao pozitivan, a kada negativan? 2. Sta znaci saznanje daje dat ugao od-600? 3. Kako se dejinise radijan? 4. Koja veza posloji izmeau stepena i radijana? 5. Koliko slepeni ima ugao od T[ radijana?

Zadaci za vjezbu:

13.1. Koliko radijana ima ugao od 150°? 13.2. Ugao od 50° izrazi 1I radijanima. 13.3. Ugao ad 3n radijana izrazl u stepenima, 13.4. Koliko stepeni irna lIgao od 2nlS radijana? 13.5. Dati ugao izrazen II radijanima 1zrazi u stepenima:

a) 5 b) 10 c) -20 d) 0,18 0) 0,085

227

13.2. Definicije trigonometrijskih funkcija ostrog ugla u pravonglom trouglu

Prilikorn rjesavanja raznih zadataka, kaka u matematici, tako i u predmetima fizii<a, mehanika, astronomija i dr. najccsce susrecemo ostre uglove. lato cemo se nesto vise zadrzatl na pravougJom trouglu, koji pored jednog pravog, 1ma dva ostra ugla. Poznato nam je da stranicc pravougtog trougla imaju posebne nazive. Najveca stranica pravouglog trollg!a (ona nasuprot pravorn ug~.naziva se hipotenuza, a estale dvije stranice nazivaju se liatcte. ,

. f! I" 10'/> 6~ . a~ BC. b = AC su katete ~ V \ c = AD JC hlpotenuza ~ a i f3 su ostri uglovi i vrljedi:

~ ~ C

Za duzine stranica pravouglog trougla vrijedi Pitagoflna teorema:

Navedene veze izmeau llglova pravouglog trougla omogucavaju izr3cunavanje velicine ostrih uglova ako je poznata velicina jednog. Veza izmeau stranica pravoug!og trougla omogucava nam cia iz poznate velicinc njegovlh dviju stranica (ma kojih) odrcdimo velicinll trcce stranicc.

Prirnjer 1 : Poznate su stranice a = 5 c = 13 pravouglog trougla. Odrcdlti katetu b i ugao 13 ..

Rjesenjc: Konstrukcijom prayouglog trougla cija je kateta BC~a (~5) hipotenuza AB=c (=13) dobije se trazena kateta AC=b i ugao 13· Isti zadatak maZe se qesavati i racunski. Primjenom Pitagorine tcoreme dobije se veiicinakateteb: b-~e2_a2~ 169-25~ 144 ~> h~ 12. Kako izrabmati vclicinu ug!a ~ ?

Prakticne Dotrebe izracunavanja velicine uglova u (pravoug!om) trouglu dovele su do uvo'c1enja noyih funkc.ija. Posmatrajmo pravougli trougao ABC na slid 132. Ako uocimo ostar ugao a i katetc a i b, vidimo da se katcta a nalazi nasuprot ovom ug!n , pa nju nazivamo suprotna kateta. Druga kateta, katetn b, je naicgia katcta za llgao a.. 1 ugao pima svoju naleglu i suprotnu katetu.

Uvedimo sada de-finiciju funkcija:

I sino:. ~ _.a. ~?UPROTNA KAmA . . . c· HlPOTENUZA

--:-~..........:..--~--- . -

b NALEGLA KATETA] cosa :::::::-::::> .- i

c. lliPOTENUZ~

228

~----·-----,~=·-:------:-----:c~=-::--:--=c ___ -a StJPROTNA KAfETA b NALEGLA KATETA

tga :::::: - ct{Ta = - = b NALEGLA KATETA 0 a SUPROTNA KATETA

Oznaku s'inQ citamo "sinus ugla a'/ iIi "sinus od a",' oznaku casa citamo "kosinus ugla a" iIi "kosinlls od a"; oznaku tga 1 \.1 citamo "(angens ugla a" iii t/tangen.v od a" i ()znaku ctga citamo "kotangens ugla a" iii "kotangens od r.t.." .

Navedene funkcije nazivaju se trigonomctrijskc funlicije (prema grckom: trigonon = trougao = trokut, metrein = mjcriti).

Ponekada se spominju i trigonometrijske funkcije sekans i kosekans. One se definisu na slijcdcci na611:

I 1 seca = --- , coseca::::::: ----:--~.

cosa SinO:

[z navcdcllib dcfinicija vidimo da trigonol11ctr\jskc funkcijc sinus i kosinus svakoll1

1 . . t 1 ( TI' ·d _. 1 b .. 1 (0 f k·· ug U !Z!11 C)'Y3 a i 0, - j pn rtlZlqU rca an rOJ U Inler\'3 U ,I), a un "ClJe \, 2/ . .

tangcns i kOlangens svakom uglu iz intcrvala ( r:: \[ : 0, - I pridruzuju reaJan broj u \ 2 )

intervalu (0, -h::Q). Navcdcnc definicije trigono!1lctrijskih funkcUa ostrog ugla 1110zcmo formulisati i 0\'31<0:

r Sinus ostrog ugYa -u pravougi~m trougiu'jed~;ak ,jc odJwsu s~protne-J-<-.~-te-t-c-i-' I hipotenuzc. \ KosillUS ostrog ugla u pravoug}nlU trough! jcdnak Jc odnosu nalcgk katctc i : hipotenuze. ' '

II Tang:ns OSti.·og ugla u pravouglom trouglu jcdn~l{.ic odnnsu suprotnc i naiegle katctc. .

I Kotangens ostrog u~la u pravouglmn trough! jednak je o,dnosH naleglc i L Sup!'otne k::at=c"tc::. __

"Kandcne dcfinicijc vrijcde. za ma kc:ji ostar ugao U svako111 pravouglolTl trollglu.

l n Ponckada ~c za oznaku m'c funkcijc koristi \311(;{. '0\ 0 sCJ1Osc:hno odnosi nil' oznakc funkc:ije u n:17:nim progmn15kimjt:zitima i kod kall;uialO:'a _.

229

230

13.3. Trigonometrijske funkcijc komplementnih uglova (kutova)

Za dva ugla kazcmo da su komplemcntni ako je njihov zbir 90° iii n 2

Ostri ug!ovi u svakol11 pravouglom trouglu su komplementni. Neka su ex i f3 ostri ugJovi pravouglog trougla ABC. Tada vrijedi ex + 13 ~ 90°, odnosno, a ~ 90" - 13, 13 ~ 90° - ex, (SI.I3.3.)

B

a

A SU3.3. Ostri ugJo\i pravouglog trong,Ja Sli kompkmentni.

Prema dcfini.ciji trigonol11ctrijskih funkcija vrijedi: ,

SIt1a=~f' => sina=cosfl ~> sin(900-13)=cosfl;cos(900-a)~sillex. cosB-=.5:

c

a tga =~

b

ctgf3 = ~ b

I I II 'I

13.4. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija uglova 300( ':'..),450

(':'..)

6 4

i 60° (':'..) 3

Neka je 6ABC jednakostranlcnl trougao (SL 13.4.). Stranleu ovog traugla oznacimo sa a. Svaki njegov ugao je po 60°.Iz vrha C povucimo visinu CC'=h trangla. Tako sc doblju dva pravougla traugla 6ACC' 1 6BCC'.

a

al2

Trougao Ace je pravougli S ostrim uglovima od 60° i 30°. Prema definiciji sinusa i kosin usa, iz ovog trougla dobijcmo:

CC' sin60° =-­

AC AC'

cos60° = --, AC Visillu CC' moremo, pomocu Pitagorino toorcme, izraziti preko stranicc jednakostranicnog trougla na slijedeci nacin:

a.J3 CC'~h~--

2 A C' B cljom zan~enom u maze za

S!.I3.4. VisinajcdnakosLranicnog troug!a sinus i kosinus dobijcl1lo: dijeli taj trougao na d\'a pravougla

a~3 a sln600 = _2 ~ a.J3. =.J3 cos600 = ~ = 3:.

a 2a 2 a2a2 Za tg60° ctg60°, prerna dcfiniciji, iz trougla ACC', dobijemo:

a.J3 'r;

to-60° = CC' _.-,,~=2a'Y3 =J3 C ACt a 2a

2 a

AC' -ctg60° ~ -- ~ --2 ..

CC' a.J3 2

2a

- 2a.J3

Koristeci isti pravougli trougao (.6.ACC') uz pomoc defillicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa ostrog ugla u pravouglom trouglu, dobije se:

a a-J3 13 AC' a CC' 013

sin30° =-- ---- , cos30° =---~ = -----AC a 2a 2 AC a 2a 2

231

1 .f3 o sin 30° - J.f3 cos 30°

tg30 ~ --- ~~ ~-oo -- ctg300~ ~.f3. cos 30° .f3 .f3 3' sin 30°

2 2 Posmatrajmo, sada, kvadrat ABeD sa stranicom a (SLl3.5.)

Lj---"-_-':C

a a

45° A B

su 3.5. Ostri uglo\'i jcdnakokrakog pravouglog trougla su po 45°

tg450~ Be ~ ~= 1 AB a

Dijagona!a AC dijeli kvadrat na dya pravougla jednakokraka trougla.

DijagonaJa kvadrata je d=a 12 . Iz trougla ABC odredimo vrijcdnosti

trigonometrijskih funkcija ugla 45°:

ctg45° "C AB = .~. = I . Be a

Kako sc ug!ovi od 30° , 60° i 45° vcoma cesto pojavljuju u raznim z..adacima vcoma je korisno vrijednosti trigonomI1ctrijskih funkcija oyih nglov3 poznavati n~pamet. Predstavimo sve dobivene rezultatc U oblikujcdne tahele: .

Podatke iz m'e tabelc korisno .Ie ::nati l~apamef/

232

Pitanja za pOl1avljanje:

r ,~!aje sinus as/rag ltg/a u pravouglom trouglu? , Kako se de/iniJe kosinus ostrog ugla u pravoug[om trouglu? 3. Kako se d(!jinise-tangens, a kako kOlangens o.<;trog ug/a u pra1'ollgioJJ1 trouglu? 4. Kolikaje najvei;a vrijednost sinusa ?

Zadaci za vjczbu:

13.6. Katcte pravouglog trougla su a= 12 i b=5. Odrcdi vrijednosti trigonomctrijskih funkcija ostrih uglova ovog trongJa.

I J. 7. Izracunati \T~jednostj svih trigonometrijskih funkcija ostrih llglova pravouglog trougla kod koga Xe:

a) a~3,c~5 b) b~8,c~JO c) a~7,b~8 d) a~4,b~7.

J 3.8. Konstruisi ostar ugao a aka je:

. 4 b 5 a) SlllCX=- ) cosa=--5 9

lzracunati vrijednost izraza: ~ sin30o+cosJO°, tg3OC'-ctg3OC' ~sin30o+cos60D_tg600-ctg30°

TC 7r TC 1 :;.11.(1) 5111---- + COS -_. ~ tCT·--·

3 4 0 6 .Tt TC n: 'IT Sln~-to-~ - cos-ctg-

6 b 3 6 3

4 c) tga~-

7

10 d) ctga~17

h) 2sin45°+5tg45°~-3ctg45°. b) 6C0545°';' 3ctg45°- i J ctg4SC'

'IT n it b) 2cos-4 +2sin 4 -tg 4"

2sin300-J 13 13~a) ()

2sin30 + 1

b) _~_~n30o-cos600 s1n300 + cos 60°

, sin 2 30 0 + sin.:' 45° c) . ~-.--:-----

cos 2 30° + cos: 45()

13.5. Vrijcdnosti trigonomctdjsldh funkcija proizvol,inih uglo,'a ( upotrcba kalkulatora iii tablica )

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija, za rna koji llgao, mogu se odrcditi pomocll' kalkulatora (sa trigonomctrijskim fHnkc~jama), a za ostre uglove mogu sc proCitati iz tab!ica prirodnih \Tijednosti trigonol1'1ctrijskih funkcija koje Sll ohicno stampane II

istoj knjiYic.i u kojoj i logaritmi.

233

Primjeri: Slijedecc vrijednasti trigonomctrijskih funkcija izracunate su neposredno pomocu kalkulatora:

sin 12' = 0,20791169, cos49' = 0,656059029, sin3 1 0 = 0,515038

tg23,87° ~ 0,442513, cos39,7° = 0.7693995, ctg53° = 1 :tg53° = 0,75355

Postupak odreaivanja ovih vrijednosti je : Otipkati ugao u stepcnima :2) (iIi radijanill1a) i pritisnuti tipku sa oznakam adgavarajuce trigonometrijskc funkcijc (liIDl, ~, ~). Na displeju kalkulatora pojavi sc traicna Vl"ijcdnost izabranc

trigonolllctrijske funkclje.

Eva jos nekoJiko vrijcdnosti trigonometrUskih funkcija uglova izrazenih u radijanima:

sill I = 0,841471 , si110,45 = 0,4349655 ;

cos 1,5::;;; 0,070737; cos 1 ,48 = 0,09067l6;

tgl,22 = 2,732754 tgO,67 = 0,792254 .

Ponekada jc poznata vrijcdnost trigonometrijske funkcijc nckog ug!a (iJi broja), a potrebno je odrcditi taj ugao (braj). PriJikOl1l upotrcbe kalkulatora to jc sasvim jcdnostavno. Potrcbno jc otipkati poznatu vrUednost trigol1ometrijske funkcijc i zatim pritisnuti tipku sa oznakom tc funkcije liZ prethodno aktiviranje funkcijske tipke.

Evo neko!iko primjcra:

sinx. = 0,4565 cosy = 0,73681

tga = 45,6543

=> =>

x ~ 27,161488° = 27°9'4l" = 0,474054 (radijana). y ~ 42,5396192° = 42" 32' 23" = 0,74245642 a = 88"44'43" ~ l,5488961.

Pokazimo kako s&praYicno odreduje x ako je sinx=0,4565. 1) Tipkom ~RG (DEG, RAD, GRAD) podesimo jedinicu stepenc (na

displeju se pojavi "DEG"). 2) Na kalkuJatorll otip~mo 0,4565. 3) Pritisnimo tipku ~~ (iIi [21uljjJ iii slieno sto zavisi od kalkulatora). 4) Pritisncmo tipku si !.

5) Sa displcja kaikulatora procitamo x = 27,16]48847° .

Aka ze!imo da dobivcnu vrijednost ug!a x izrazirna ll· stcpcnima, minutama 1

sckundama, to radimo na slijedeCi nacin: x ~ 27,16l48847° = 27')., 0,]6148847·60' = 27°" 9,689308' ~

I") PriiikolTl koristenja kalkuialol"a. wijednost ugia nijc ogranicena samo na ostre uglO\c. \-1ogu se otipk<lli rml koji ugio·Yi. kaikuia.101" J"aCllna odgo';·arajucu wijcdnosl funkcije.

234

= 270 ., 9' ., 0,689308·60" = 27° ., 9' + 4]" = 27' 9' 4l "B)

Ako zclimo vrijednost ugla x. dobiti u radijanima, potrebno je u prvom koraku tipkolll !oRGi izabrati jedinicu radijan (obicno se na displcju vldi "RAD").

Napomena: Pri!ikom upotrebc kalkulatora neophodno je stalno paziti na to u kojim jedinicarna su izrazcni ugtovi i da !ije ukljucena odgovarajuca opcija "DEG" (stepen), "RAD" (radijan) ili "GRAD" (grad)"

Za odrcaivanje prirodnih vrijcdnosti trigonometrijskih tunkcija. u tablicama i ug~?va: ako su date vrijcdnosti trigonometrijskih fUllkcija, potrebno Je prcthodno procltatI uputstvo u samim tablicama.

Pitanja za ponavljanje:

1. Kako se odreauje sinus ma kojeg ugla pomocu kalkulatora? 2. Kako se odreauje ugao iz poznate vrijednosti rijegovog kosin usa? 3. Kako pomocu kalkulatora odrediti kotangens ugla?

Z11daci za vjczbu:

Odrcditi vrijednosti trigollometrijskih funkcija datih uglova: ]3.15.a) 34° b) 73° c) 87' d) 12,34° e) 3456° ;3.16.a) 2 b) 5 c) 12 d) -3 e) -456,12

13.1 7. Odrediti ugao x u stepcnima,minutama i sekundama ako je data: a) sinx = 0,54327 b) cosx = 0,93645 c) tgx=0,53456 d) ctgx~4

! 3 .18. Odrcdili ugao x u radijanima ako je dato: a) sinx ~ 0,83327 b) cosx ~ -0,23745 c) tgx = -23,43 d) clgx=54

13,6. Trigonomctrijska kruznica

Skup tacaka u ravni koje su jednako udaljcne, od jcdnc tac~e te~ravni n~z!~amo kruznica. Ta tacka nazi va se centar kruznicc, a udaiJcnost ma kOJc tacke kruzll1\.:.c od njenog centra naziva sc radijus iii poluprecnik k~znice, ~ , Sta podrazumijevamo pod pojrnom trigonometnJska kruzmca?

To je kruznica koja ima tri posebne osobine:

---;;~.~j:~;i~~~~-~~-:~~~)-ij~I~~:~:~l~~U· kalkuialora (ili tablica) ugta·\"!;~;n su pribtiznc vfiJ~d~l(lsti, rnada llli u relacijama pi8crno znak "=". 235

- radijus kruznice jednakje 1, (jcdinicna kruznica), - centar kruznice nalazi se u koordinatnom pocetku i - svakoj tacki kruznice pridruZcnje neki reaJan brQj i obrnuto, svakom rcalnom broju pddruzenaje jedna tacka na kruznici. Zbog ove osobine, ovakvu kruznicu nazivamo hrojna (brojcYna) kruznica.

Na S1.13.5. predstavljena je jedna trigonometrijska kruznica: y

m

x

S1. 13.5. Svakoj laNd trigonometrijske kruznicc odgoyara ncki rcalun broj i obrnuto.

Kako se tackama kruznice pridruzuju brojcvi? Posmatrajmo brojnu osu t (SU3.S.) cijoj dodirnoj tacki A, sa trigonomctrijskol1l krUZ111C0I11, odgovara broj O.

Svakoj tackj ove pravc odgovara ncb rca!ail broj. Tacka A pripada j kruznici radijllsa r-l. Pridruzimo j ovoj tacki broj O. Zamis!imo da se prava "Uc\Tstj" u tack! A j

"naillotava" oko kruznicc.Tada cc svaka tacka fla pravoj da nade svoje mjesto na kruz.nici. Aka tacki M na pravoj t odgovara rca!an broj x, tad a i Jacki kruznice u koju hi pala tac,ka M n3\'cdenim namotavanjem odgovara broj x. Ako pozitlYan clio Pr<::l\'c t

"namotalllo" u pozitivnom, a ncgativni dio U ncgativ!1om smijeru, tada ce se SV\ realn! brojevi nac] na klllznici. Svaki rcalan broj ima svoje mjesto. T pri tomc, kako je ohim kruznice: 2m:::;;2rc, (1"= 1) syakoj tacki kruznice odgo\"ara beskonacno mnogo brojcva. Tako, oa primjer, ako tacki M kr1l7J1icc odgovara broj x, tuda istoj tacki odgo\"ara i bcskonacno brojc\'a oblika x+2kn:, gdje jc Ie ma koji cijc!i broj. Ovo 113\'odi na zakljucak da pre51ikaYanje rca!nih brojCY3 na tacke kruznice nije bijcktiYflO, 5\'31<0111 realnom hrojn odgovara tacno jedna lacka krnznicc, ali obrnuto ne vrijed\' Syakoj tacki kruznice odgoyara v~sc (beskoJlacno moogo) real nih brojC\'3.

U trigonomctrijskoj kruznici orijcntisane uglove prcdstavljamo tako sto 1m vrh postavimo u cental" kruznicc, prvl krak posta\'imo n3 pozitiyni clio x~osc, a drugi krak nade svoje Il1jcsto u zavisnosti od ve!iCine i orijen!acije ugla. Ako se drug! krak ug!a nalazi u prvom kyadrantu mi kazemo da jc i ugao iz pr\"og k\"adranta. Ako drug] krak ug!a pacine u drugj kYadrant, za takav ugao kazcmo da je ugao iz drugog kyadranta. ·~!1k.o, za ma koji ugao koji smjcstimo utrigolloJllctrijsku l~ruzllicll ll10icl1]o kazati da Ii je iz. prvog, drugog., treccg iii cetYrtog kyadranta.

236

Ncka su dati uglovi u=60°, 13=240° i [480°. Pogledajmo na s!ijcdecoj slici kako su OVI ugJovi predstavljeni u trigonolT1ctrijskQi kruznici:

h i

\ /

Sl.! 3.6. Uglovi od 60°, 2400 i 4800 u trigonomctrijskoj kruznici

Pitanja za ponavljallje:

1. Koje osobine ima trigonomerrijska kruinica? .:.. Koja lacka na /I"igonometrijsiroj kruinici odgovara broju 3? 3, Pokaii na trigonometrijskoj kl'uinici gdje se nalazi bro} -·5. 4. Objasni kako se IT.fi preslikavanje izmetJu tacaka brojne prove i tacaka kru.inice. 5. Kako se smjesfaju UglOl:i If lrigol1ol17etrijsku kruinicu? 6. Gdje se nalazi drugi krak ugla od 27011 kojije srnjr.:.ffen u trigonometrUsku kruiflicu?

Zadad za yjezhu:

13.19. U trigonometrijsku kruinicu ucrtaj uglove: a) 60° b)! 50° c) 2400 d) 330° 0) 450 0 f) -120°

13 . .20. Predstavi u trigonometrijskoj kruznici uglove:

a) n: b) .:::.. c) 5n: d) ~_:.:_ e) 5n t) ~3n: . 4 ~ 6 4 3

13.21. Pronadi tacku na trigonometrijskoj kruznici koja odgovara datom broju: aJ 3 bJ 10 c) -2 d) 21 oj -I f) 12

237

13.7. DCfinicije trigonometrijskih fuukcija na trigonometrijskoj kruznici

Neka je data trigonometrijska kruznica SI.13.7a. (SI.!3.7b , S1.13.7c • SLl3.7). Uzmimo ma koji orijentisani ugao a i smjcstimo ga u kruznicu. Drugi krak ovog ugla prcsijcca trigonometrijsku kruinicu u tacki M. Kako svaka tacka ravni u kqjoj se nalazi ova kruznica jl11a svoje koordinate, tako i M lma svoju apscisu (x) i svoju ordinatu (y). Kolika ce biti ova apscisa i ordinata zavisi sarno od velicine i orijentacijc ugla. Znaci ordinata tacke M je veticina koja zavisi od ugJa a, to je jedna flmkcija tog ugla. I apscisa tacke M je funkcija ugla Q.

i Definicija sinusa: FlI~kcUa koja svakofll uglu II trigonometrijskoj kr'lrinici ! pridruzzde bra} jednak ordinati lacke u kojoj drugi krak ugla s{jece

ilrigO!lOmetri)sku kruinicu naziva se sinus, j

Aka je dati ugaoa, anda .'Ie odgovarqjuca l'rijednosl jimkcije sinus ozna{ava silla 1

I. i:efta "sinlls ugl!! a" iii "sinus (Jd aft: No nas(?j slid sinO'. predstavljenje s OF, , !

y a) b)

p

c Ax

SL 13.7 Sinus (kOSIIlUS) ugla ajc ordinata (apscisa) taeke u kojoj drugi krak llgJa sijece lrigonomclrijsku kruznicu,

x

'1 Detinidja kosinusa: Funkcija koja svakom uglu u trigonomctrijskoj kruznic'i"'j pridruiuje broj jednak apscisi tacke u kojoj drugi krak ugla sijece trigonometrijsku i

I kruznicu nazi va se kosinus. ' 1

! Aka je dati ugao 0'., onda se odgovarajuca vrUednast fLLnkcije kosinus azhacava I

I ~osa i ,eita "kosin us ugla a" iii "kOSin. us od a.", Na !la. soj sJici cosO'. p:.eds.ta\'ljen .1

Je sa OQ. . . ". .. 1

Ako uzmcmo ugaa od 90° iIi 7r i smjestimo ga Ll trigonometrijsku kruZnicll, 2

drugi krak ugla sijeee trigonometrijsku kruz,nicll U tacki B(O, l),To znaei daje, prema navedenim definicljama:

,81090° = I, cos90° ='.0 iIi sin~= 1, cos~_= 0. 2 2

238

c)

c

y B d)

A x c

y B

SI.13.7. Ugao a mot se nll.laz.iti u pr\'om. drugom. tree-em ili cetvrtom vadrantu. Na ovim s!ikama a je u trecem, odnosno, cetvrtom k\'adrantu.

Na ana!ogan nacin, direktno sa SI.13,7, citamo slijedece:

sinO° = 0, cosoo=l sin180o~ 0, cos180o~-1

sin270°'-= -1, cos270o=0

sinO ~ O. sinn = 0,

cosO = ] cosn=-J.

. 3n 1 311 0 Slfl-=~ , cos-~ .

2 2 sin2n=O , cos2n = 1.

x

'I' Dorm. icija t.aIl.gensa: Funk .. cija k.oja svalom uglu . ."'" (a*90o +k:JSOO

.•.... , ..• I.,,:Z) pridrUZ.~J ... 1.··.e ....

'I broj jednak oqndsu sinusa i kosinusa tog Ug~::~zlva se tangens loznacava .::. '.

. . .• .'. . tga= --'. ... . . "".1 ' cosa. " 1

I.

DCfi.lli .. Cija .• k .. o ... t.~n ... g.en.sa,: F.'.l.l.n~C~ja koja sv. 'akom l:glu a (a:;t:k,1,80o,. k"EZ)~.P. fidrllZUje.]1 I broj Jednak odnosl! kosll1usa 1 Slllusa tog ugla nazrva ~e kotangens 1 oznacava

i .. .. casa • ... ',' , :" ", ctga.=-.-. ,;

- .;: " ',.: , ,:,., ~. ,,' SJUp:.",.", ',. "" '

Prema navedenim dcfinicijamaje

tg1800~O,

ctg2700~0,

tg3600~O. (tgO~O, tg1t~O • tg27[~0),

ctg4500~O, (ctg"-~O. ctg~~O, ctg-""--O). 2' 2 2

239

Za ugao 90° tangens nije definisan, a za ugao 0° stepeni kotangens nije definisan. Tangens nije definisan za one vrijednosti ugla za kojc je kosinus jednak nuii. To 5U

uglovi oblika 900 +kI80°, (~+"'n), gdjeje k ma koji cijeli broj.

Kotangcns nije definisan za one vrijednosti ugJa za koje je sinus jednak nulL To su oglovi oblika k 180°, (kTI), gdjc je k rna koji cijeli broj.

Ovdje de"finisane cetiri funkcijc (sinus, kosinus, tangens i kotangens) jednim imcnom mi nazivamo trigonomctrijskc funkcije rna kojeg ugJa (broja). Ranije definisane trigonometrijske funkcije ostrog ugJa u pravoug!om trougJu su sarno specija!an slucaj ovih (opcih) funkcija.

Sta jc sinus ugla a..? Na avo pitanje moze se dati slijcdcCi odgovor: To)e bra) ko)ije jednak ordinati one lac"":ke na triga!1ometrijskoj kruinici kojam prolazi drugi krak ugla 'x.

SIa je sinus bro,ia [3? Odgovor na ovo pitanjc je slijedeei: To je broj koji je jedllak ordinati one lacke na trigonometrijskoj kruzinici koja odgovara broju 13.

Tangens i kotangens ugla mogu se definirati pomocu trigonomctrijske kruznice. Posmatrajmo St.13 .8).

Neka je tangenta t trigonomctrijske kruznice u tacki /\. brojna osa. Neka prava koja sadrzi drugi krak ugJa sijece OSH t u tacki T. Apscisa tacke T je uvijek 1 bez oQzira na velicinu ugJa a. Ordinata ove tacke se mijenja i z3visi od veliCine i orijentacije ugla. Ova ordinata se i naziva tangcns ugla.

Definicija tangensa pomocu trigonometrijske kruznice: Ordinata tacke u kojoj prava koja sadrzi drugi krak ugla a. sijece OSH t naziva se tangens llgJa a.. Na slikama

13.8. je tga.= AT.

Nekaje prava k brojna osa koja dodiruje trigonometrijsku kruz.nicu II tacki B(O, 1).

Dcfinicija kotangcnsa pomocu trigonometrijske kruznice: Apscisa tacke u kojoj prava koja sadrzi drugi krak ugJa a.. sijece aSH k nazi va se kotangens ngla a. N"a slici je

c1ga=BK.

240

a)

C

y t Y B b K ctga

M

a 0

N

SL! 3.8. Tangens (kotangens) ugJa 0: je ordinata (apscisa) tacke II kQjoj drugi krak ugla sijctc osu t (k).

T

Napolncna: Nije tesko zakljuciti da su trouglovi !\OMN i ".,OAT (SI. J 3.8.a)) slieni odaklc se zakljllcuje da je MN: ON ~ AT: OT.

Kako jc MN:::o: sinu , ON ::::-. cosu i OA = 1 , to je

. AT I d l' sin a SinO. : coso.. = :, 0 n05no, A = ._- = Igo.. . coso.

y t y t

c) _____ --::::o'i'+_~c;.\tlii:u: ... -A+_-~I'j,.· B K

d) ctGa k ~K-.--~~~B~c---~~

x (

S1. J 3.8. Opca dcfinicija tangensa i ko angcnS<l ogia (broja) u. vrijcdi bel obzira na to u kojc se k"\'adranlll ug;l(1 (broj) n nalazi.

241

Pitanja za ponavljanje:

1. Staje sinus? 2. Staje sinus ugla p? 3. Staje kosinus? 4. Sta je kosin us ugla 13? 5. Staje kosinus broja 4? 6. Kako se definise funkcija tangens? 7. Staje tangens od a? 8. Kada tangens nije dejinisan? 9. Staje kotangens? 10. Sta je kotangens od 3? 11. Da Ii je kotangens uvijek definisan? J 2. Kako se tangens i kotangens dejinisu pomocu trigonometrijske kruznice? 13. Kolikaje najmanja vrijednost sinusa? 14. Kolikaje najveea vrijednost kosinusa? 15. Kolika je najveca vrijednost tangensa? 16. lma Ii kolangens najmanju vrfjednost?

Zadaci za vjcibu:

Nacrtaj na trigonometrijskoj kruznici dati ugao i odredi grafickc vrijednosti njcgovog sinusa: 13.22.a) 60' b) 150 0 c) 240'

13.23.a) " b) n 4

c) SIT 6

d) 3300

d) 3n

4

e) 4500

e) ~ 3

f) -1200

f) -3n.

Nacrtaj na trigonometrijskoj kruznici dati ugao i odredi graficke vrijednosti njegovog kosinusa: 13.24.a) 600 b) 1500 c) 2400 d) 3300 e) 450' t) -120°

13.25.a) rc b) rc c) 5n d) 3rc e) 5rc I) -3rc. 3 6 4 3

Nacrtaj na trigonometrijskoj kru7,nici dati ugao i odredi graficke vrijednosti njegovog tangensa: 13.26.a) 60° b) 1500 c) 240' d) 390Q 0) 4500 f) -120'

13.27.a) rc b) rc

4 c) IT

6 d) 3rc e) 5rc f) -3n

4 3

Nacrtaj na trigonometrijskoj kruznici dati ugao i odredi graficke vrijcdnosti njegovog kotangensa:

13.28.a) 60' b) 150° c) 240'

13.29.a) 7t._ b) TI c) 2n

. 3 4 3 242

d) 330° e)

d) 3n

4 ·e)

450° 5n

3

f) -120°

fJ-37i

I -I~·;·.' .. ¥ ~

I 13.30. Konstruisi ostar ugao a ako je:

1 a) sina~0,5 b) cosa~- c) sina~--

2 2 d) tga~2 e) ctga~-2

13.3 1. U kojern kvadrantu 5e nalazi drugi krak ugla a ako je: a) a00400' b) a~2270' c) a~51700 d) -·6275°?

Izracunati vrijednost izraza: 13.32.a) 3sin2700-7cos900+5tgI80°

13.33.a) 3sin2rc-7cosrc+3tgn

b) 5cosOo-3sin90o+4tg360°

b) 2cos2rr-3sinrr+ctg~. 2

13.8. Osnovni trigonometrijski identiteti

Trigonomctrijske funkcije nisu medusobno nezavisne. Izmedu tih funkcija postojc veze koje omogu6avaju odredivanje vrijednosti svake funkcije kada se zna vrijednost jednc od njih. Ovdje cemo navcsti osnovne veze medu trigonometrijskirn funkcijama. Na Sl.I3.9 predstavljenje proizvoljan ugao .a. Posmatrajmo trougao OMM'. Prema Pitagorinoj teoremi vrijedi:

---2 --2 --2 MM' +OM' =OM

y sto se moze napisati ovako:

Ovo je osnovni trigonometrijski identitet. On nam omogucava

x da iz poznatog sinusa nekog ugla izracunamo kosinus tog ugla i ohmuto, da iz poznatog kosinusa izracunamo sinus tog ugla.

SU3.9.Zaista je sj~2a+~os2a=1l Iz dobivene formule slijedi:

L-_s_in~a_=_·_±~· ~_!~I~-_c_'o_s~2_a_' -,,-,-c_o_sa_=..c._l_-..:v~' 1_-_S1_· n_'_u-'.---,I '

, Znak ispred korijemJ odredujemo prema tome u kojcm se kvadranturialazi drugi krak ugla. .

243

Primjer 1: Ako jc sina = ~, izracunati cosa, (O<a<90°). 13

Rjcscnje: Prcma naycdcnoj osnovnoj idcnticnosti mozemo pisati:

,_ • 2 _ (5"\ 2 25 169 - 25 144 COSCX-I-SIna--I.-(i3) -1-

169 - 169 -169 => cosa= 12

13

Kako je tangens ugla, po deliniciji, odnos sintlsa i kosinllsa tog ugla, a kotangens, odnos kosinusa i sinusa, mozemo pisati:

L ___ t_g_a_=--,S"l"n~a~ ___ ~~c_t_g_a_=-,_c,-,o_.:.:s-::a~ _____ I. . cos.a slll,a"

lz oavedcnih relacija mozemo izvesti relac1ju:

tga·ctga = 1

adakle je

I L_""-~_tg~a_=_.-,,-___ct_g_a_==l::..-_~. . clga ._ tga-----.J

Primjcr 2: Ako jc cosa =.~ 12 , a ugao iz drugog kvadranta, odrediti vrijednosti 2 .

trigonometrijskih funkcija sin a, tga i ctga.

• ~ ' .. 2 _ .2 _ ( .fir _ 2 RJcsenJc. SIn a-J-cos a-]- - '-"~! -J--~ 2) 4

4-2 4

sma tgex = --_ ..

cosu

.fi-cosa

ctga- --.­sma

2 => sioa= Jz . 4

.fi 2 --I.

Ii 2

2

Veza iZll1cGU tangcnsa kosinllsa, odnosno tangcnsa i sinusa dobijc se na s!ijcdeci nacio.

Pocnimo od osno\'ne ideoticnosti i izvedimo sljedece transformacije:

244

l

sin\x + cos2a = 1 l:cos1a

sin 2 a cos 2 a 1 + --- =---

cos 2 a, cos2 a, cos 2 a 2. 1 , 1

tg ex -\- 1 = -,- => cos-a = -----.-- => cos a tg'a+l

Dalje vrijedi:

. , , 1 19 'ex + 1 -I sm~a_=] -cos-a= l-~-,--

tg"a + 1 Ig'cx + 1

Iga

~.

Primjer 3: Aim je tga. = 3 a u trecem kvadrantu, odrediti vrUednosti ostalih trigonometrijskih funkcija.

Rjcscnjc: Prema naprijed izvedenim vezama izmeau smusa i tangcnsa istog ugla vrijcdi:

... tga_ 3 _ 3 3.J10 slna - ± ..fi\;"+ 1 - _ ,j} 2 ;-1 - .. .fl-O - ]()

_ 1 .. _I_M coso:: - _~~ --~ -- .--~-.

± -V tg 2ex + 1 - "I] 0 J 0

Na kraju, napisimo i vrijednost za ctga: ctga = _1_ Iga 3

Primjer 4: Dokazati identitet: sin 3 a _ cos 3 a.

1 + sin a cosa sina - cosa, sinacosa -:t. O.

Rjescnje: Prcpisimo lijevu stranu jednakosti i lzxrsimo transformacije oa slijedeci nacin:

sin'a -cos"ex

1 + sina cos a

(sin ex - cosex )(sin2 a + sino: coso: + cos2 ex)

1 + sina cosO':

= (sinu ~ cosc:_2~1 .... =.,~~_?- cosu) = sinn cosec ~l·+ sina coset.

245

Primjer 5: Uprostiti izraz: sinx sinx

1 - cos x 1 + cos x

Rjesenje: Oduzimanjem razlomaka i primjenom osnovnih trigonomnetrijskih idcntiteta dobije se:

sin x sin x

1 - cos x 1 + cos x

sinx(1 +cosx)~sinx (l ~cosx)

(1- casx) (1 + cosx)

sinx+sinxcosx-sinx+sinxcosx = 2sinxcosx 1 - cos 2 X

. , 2 cos x

sin x ~ 2ctgx.

P · . 6 U -' . . 1 - ? sin 2 x rImJcr : prostltI Izraz: .. -:'--_ 2cos z x-1

sIn - x

Rjesenje: Primjenom osnovne veze innedu sinusa i kosin usa dobije se:

1 -- 2 sin 1 x 1- 2 sin 2 x 1 -- 2 sin 2, x 1 - 2 sin 1 x

2cos'x-l 2(I-sin'x)-1 2-2sin'x-l 1-2sin' x

Formule kojim se izraZavaju trigonometrijske funkcije P01110CU jedne od njih predstavljene su u slijede6aj labeli:

I Trazena funkcija

---~~~--~~~~--~~~------~ Funkcija prcko [(oie je izraicna traZena.~jc:'u,"n,"k;c"ij.ea _____ --j

sin~ 1- COSK "- tgx" - I ctgx I _ tgx I

I ±.jl+tg x. ±~1+ctg2x

.' sinx

I I ' I ctgx

I ± v .. l - SID - X" ..::osx r:- -., --f:-'. . .. ;...., . _ ±,-yl+lg-x ±"\JI+ctg~:.\

~gx I sIn A • i ± -VI - CO=sc2'=X~' -t1-..c.'-(g-x"'--·-cc-f,--'---:1--'''---·'--''-i

±-Vl-sin 1 x I cosx

cosx

-'

("{Sf x ' ..

ctgx "

Pitanja za ponuvljal1je:

1. Kojaje osn01ma veza izmeilu kosinlfsa i sinusa istog ugla? 2. Kojom relacijom su vezani tangens i sinus i kosin us istogugla? 3. Kakva veza postqji izmedu tangensa i kotangensa jedl10g ugla? 4. Kako je sinus povezan sa tangensom? 5. Kako se maze izracunati kosin-us iz qatog kotangensa~ .

246

Zadaci za vjezbu:

13.34. Ako je sina = - 2- , ex, u cetvrtom kvadrantu) odrediti coso.. 13

13.35. Aka je cosj3 = 40 ,j3 u celvrlam kvadrantu, odrediti sinj3. 41

13.36. Akoje sina = -~~ , au drugom kvadrantu, odrediti cosa, tga 29

ctga.

13.3 7. Ako je tgJ3 = 2, J3 u prvom kvadrantu, odrediti vrijednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ugJa [3.

13.38. Dokazati iden(itet:

13.39. Dokazati identitet:

• 3 SIn a

tga =~_.. ~, cosu *" o. coso. - cos~ a

tgx + ctgx = __ ,,_1 __ ,.~ , sinX't:O,cosx:;t:O. .... sin xcosx

Uprostiti dati izraz: 13.40.a) 1--sin'x b) colx-l c) 1 +sin2x ~ cos2x d) tgx·cosx~sinx

13.41.a) cosx

ctgx----­l+sinx

cos2 x 13.42.a) --~

1- sin x

, cos- x

1 + sin x

b) sin 2 x~l

cos 2 x-I

b) -SlDX

1 + cosx

c) t + cosx + tgx·ctgx gx --' l+sinx

sinx c) cosx +-~~~.~

cosx .. 1 1 sm x 1 +sinx

Dovestl na sto jednostavniji oblik izraze:

13.43 ,a) sin a

1 + sin x 13.44.

cos 2 x

13.45. 1+cos 2 x -----

sin 2. x

4 - 2sin x

cos x

b) sina cosa

2sinx-cosx-l + 1 -- sin x

c) 1 + cos 2 a _ sin 2 a

sin 2 a 3 cos x

1 + sin x 2 cos x + sin x ~ ]

- 4ctgx - C-'.c.. __ --"--' 1- cos x

cos x - sin x+-2

1 + cos x

247

13.9. Periodicnost funkcije. Periodicnost trigonometrijskih funkcija

Nekaje data funkcija y ~ [(x), xER. Aka postaji broj p>O takav dajc funkcija definisana za x-p i x+p, kad god je definisana za x, i ako vrijedi

f(x+p) ~ f(x)

za svako x lz domene funkcijc,mi kazemo daje funkcija y=f(x) periodicna i daje njen period broj p.

Akoje p period funkcije, tadaje i broj -p period te iste funkcije. Zaista:

f(x) ~ t(x+O) ~ f(x-p+p) ~ fT(x-p)+p] ~ f(x-p), odnosno f(x-p)~f(x).

Ako funkcija ima period p, tadaje i broj 2p period ove funkcije. Pokazimo to:

f(x+2p) ~ f(x+p+p) ~ fT(x+p)+p] ~ f(x+p) ~ rex).

Sada mozerno tvrditi: ako fUllkcija y=f(x) ima period p tada su i hrojevi ±2p, ±3p. ±4p, ±5p, ... periodi ove junkcije. Ovo znaci da periodicna funkcija ima beskonacno mnogo perioda. Medu svim periodima periodicne funkcijc uvijek postoji najrnanji pozitivan period. Najmanji pozitivan period periodicne funkcije naziva se osnovni period. Osno\'ni period funkcije oznacavacerno sa T. Posmatrajmo, sada, trigonometrijske funkcije i trigonometrijsku kmznicu na S!.13.1 O. Kako svakoj tacki M trigonometrijske kruznice odgovara

beskonacno mnogo brojeva oblika x+2kn, gdje je k ma koji cijc1i broj, a ta tacka ima samo jednu ordinatu (sinus) i sarno jednu apscisu (kosinus) to su trigonometrijske funkcije y=sinx i y=cosx periodicne pri cemuje svaki broj oblika x+2kn, kEZ, period funkcije. Tako su periodi navedenih funkcija lIT, 41I,

M --Kf't::-:"'o. x+ 2kn

(EZ

o M' x

-6rc, -48rc, 2541I itd. S1.13.1O, Svakom broju odgo ara tacno jedna tacka na trigonometrijskoj krnznici

Kako odrediti osnovni period ovih funkcija? Nekaje p period funkcije y=sinx. Tada vrijedi:

sin(x+p)=sinx, za svaku vrijednost varijable x.

Uzmimo daje x=O: Tadaje

sinp = sinO = 0 => sinp = 0 => p = 2kn:, J(EZ.

248

Kako je medu brojevima 2kn, kEZ, najrnanji pozitivan braj 2n:, to je T=2n osnovni period funkcije y=sinx.

I funkctJa y=cosx ima osnovni period T=2n.

Ako na trigonometrijskoj kruznici uocirno tacke kojima odgovaraju brojevi x i x+k1I, kEZ, uocavamo da se radi 0 tackama koje Sll simetricne II odnosu na koordinatni pocetak i!i 0 istoj tacki bez obzira na vrijednost cijeJog broja k. Tangens broja je detlnisao kao ordinata tacke n kojoj se sijeku prava koja pro!azi kroz tacku na trigonometrijskoj kruinici koja odgovara datom broju i osa tangensa. Kako tackama simetricnim u odnosu na koordinatni pocetak odgovara ista tacka na osi tangcnsa, to vrijedi:

tg(x + kIT) = tgx , kEZ.

Aka je p period funkcijc y=tgx, tada vrijedi tg(x+p)=tgx, pa ako uzmemo da je x=o dobije se tgp=O . Kako je tgp=O ?.a p=kn, kEZ, to je najmanji pozitivan hroj za koji je tgp=O upravo broj n. Znaci hroj n: je oSllovni period funh,cije y=tgx.

1\a analogan nacin zakljucuje sc da je i funkcija )r-""ctgx pCrlodicna sa periodom kIT, j..~EZ i oSl1ovnim period om n.

r- Dakle, Sl'e irigQ'llometrqske fUl1kcije !J'~ periqdiCite jUllkcije pri cema je oSlloVlli ! pl!:riodjullkcija'sil1us i kosin liS 21I, afullkcije tangells i kotallgells su sa oSIl(}l"nim i I pe,riodo"! n. ,. ,.', _ J

Kod proucavanja osobina periodicnih fttnkcija dovo!jno je ispitati osobine na interva!u duiine jednog osnovnog perioda. PomjerajuCi grafik funkcije na talikom intervalu lijevo iii desno za veli61nu osnovnog (iii nckog drugog) pcrioda osobinc se ponavljaju.

Primjer 1: Izracunati vrijednost izraza 2sin 14 700+-3cas 12600~tg 1125°.

Rjesen,je: 2sin 1470° -1-- 3cos1260° - tg1125° =

= 2sin (1440°+30°) + 3cos(10800+ 180°) tg(1 080° + 45°)=

= 2sin (4·360°+30°) + 3cos(3·3600+1800) - tg(3360° + 45°)~

=2sin300+3cosI800-tg45°= 1-3-1 =-3.

. .. d' . 23" 4 911 ~ t 5 Primjer 2: Izracnnatl VflJe oost lzraza Slil-_ - ·cos -, g TI. 2 4

"311 911 . 20" + 3" -4 811 + 11 + t (4 ' )-Rjesenjc: sin ~ - 4·cos _ + tg51I = SIn ._~ __ .....:...._ - ·cos --..... - g 1'[-. n: -2 4 2 4 249

.( 3rr 4 on .3rr 4 n =SIn lO1t+_'_)- ·cos(Ln+_)-rtgn=sm_ - cos_ + tgrc = 2 4 2 4

=_1_4 . ..J2 +0=-1-2J2. 2

Primjer 3: Odrediti osnovlli period funkcije y=sinx+cosx.

Rjesenje: Data funkcija je :z.bir dviju periodicnih funkcija. U opcem slucaju vrijedi: Zbir dviju periodiCnih funkcija je nova periodicna funkcija 6iji je osnovni period najman]i zajednicki sadrzilac 05110voih perioda datih funkcija. Neka su y = f(x) i Y = g(x) pcriodicne sa osnovnim periodima PI, odnosno P2 i nekaje F(x) = f(x)+g(x). Nekaje. dalje, P najmanji zajcdnicki sadrZilac ad PI i p, pri cemuje P = mpI i P = op?_ Tada vrijedi:

F(x+P) = t\x+P)+g(x"P) = f(x+mp 1 )+g(x+nP2) = f(x)+g(x) = F(x).

Za funkciju u konkretnom slucaju vrijedi:

F(x+T) = sin(x+T) + cos(x+T) = sin(x+2n) + cos(x+2n) = sinx + cosx.

pa je njen osnovni period T=--:2n.

Pittll1ja za ponavljal1je.~

I. Za kakvujunkciju kazemo daje periodie.."na? 2. /:;,a je period periodicne jimkcije? 3. ,~'aje osnovni period periodie..~ne fonkcije? 4. Staje osnovniperiodfunkcija y""'sinx i y=cosx? 5. Koliki je osnovni period funkcija y=tgx i y=ctgx?

Zadaci za yjczbu:

Odrediti osnovni period date funkcije: [3.46.a) y=sinx+tgx b) y=sinx-cosx 13.47.a) y=sin2x b) y=4sin2x

13.48. Provjeri da Ii je 2" period funkcije y = 9sin3x. 3

13.49. Izracunati:

c) y= 3sinx+cosx c) y=8cos4x

a) 6sin750" - 4cos420" b) tg765"+5tg405" - sinl J70° c) 5eos630° + 35in990° t 3ctg765° d) 4cos1500° + 3sin540° - tg900°

250

J3.50.lzracunati:

a) sin~ +4.cos7~ 2 3

c) 6sin 13rr + 2eos 23~ 6 2

13.51. * Odrcditi period funkcijc y = leas xl +3

b) cos 2':.. + sin 71t 4

d) t 9n + 3 t 19n g--4 c g -3

-

13.10. Trigonomctrijske funkcije negativnog argumenta. Pamc i nepame trigonometrijske funkcije

Za funkciju y = f(x), za koju za svaku vrijcdnost varijablc x iz njene dOl1lcne, vrijedi:

I) f(-x)= f(x) • kaiemodajeparna, 2) fe-x) = -f(x) , kazemo daje neparna.

Ispitajmo da Ii su trigonomctrijske funkcijc parne, neparne ili nisll ni jedno ni drugo. Na SI.13.11. predstavUcna je trigonomctrijska kruznica sa brojcvima x i-x. Broju x odgovara tacka M, a broju -x tacka M'. Obje tacke imaju istH apscisu, pa vrijcdi:

y cos(-x) = cosx . M

Kako je x ma koji realan broj, to j~ funke-ija kosinus parna. Ordinate tacaka M i M' su dva

r

suprotna broja, pa za sinuse brojeva x i-x vrijedi:

sine -x) = -sinx.

P x

sin,

o sine-x)

-x

x

Ovo znaCi da je funkcija sinus neparna. §lJli1.Samoje y= ~osx parna!1

Osobinu parnosti funkcija y = tgx i y = ctgx mozemo ispitati na slijedeci nacin:

sine-x) -sinx sin x tg(·-x) ~ = ~- =- -_ .. =-tgx.

cos(-x) cosx cosx cost-x) eosx cosx

ctg(-x)= -.--- = ~.- =- .-:~ =-ctgx. sm(-x) -smx smx

ViJimo da su i tangens i kotangens neparne funkcijc.

251

Gratik svake parne funkcije os no je simetrican II odnosu na y-osu, a grafik neparne funkcije je centralno sirnetrican u odnosu na koordinatni pocetak.

Primjer I: Ispitati parnost funkcije f(x) = xcosx.

Rjcsenie: Treba odrediti fe-x):

fe-x) = ·-xcas(-x) = -xcasx = --{xcosx) = -f(x).

Data funkcijaje neparna.

Pilanja za ponavljanje:

I. Kada zafimkciju kaiemo daje parna? 2. Kakva se fimkcija nazi·va neparna funkcfia? 3. Mora Ii svakafunkcija biti parna iii neparna? 4. Kaje trigonometrijske funkcije su neparne? 5. Ima Ii parnih trigonometrijskihfimkcija? 6. Kako se grajicki odraiavqju parne,a kako 17cparne jimkcije?

Zadaci za vjezbu:

Ispitati parnost slijedecih funkcija:

13.52.a) y=5sinx b) y=sin2x c) y=-cosx d) Y = sinx + cosX

13.53.a) Y=7Isin3x[ b) y=x+sinx c) y=x-cosx d) y = 2 cosx

13.11. Znaci trigonometrijskih fuukcija

Trigonometrijske funkcije broju pridruznju ncku koordinatu. Sinus j tangens brojn pridruzjuju ordinatu odgoyarajuce tacke, a kosinus i kotangens broju pridruzuju ap;cisu. Kako su u prvom kyadrantu obje koordinate pozitivnc, to su sve trigonomctrijske funkcije uglova (brojeya) iz prvog k.Yadranta pozitivne. U drugom kvadrantu apscisaje negativna, a ordinata pozitivna. Zato su, za svc uglove (brojeve) iz drugog kvadranta, kosinus, tangens i kotangens negativni, sinus je pozitivan. U trccem kvadrantu su sinus i kosinus negatiyne funkcije, dok su tangens i kotang~ns pozitivne,

2S2

11 cetvrtom kvadrantu sarno je kosinus pozitivna funkcija, a sve tri preostale trigonometrijske funkcije su negatlYne. lnad trigonometrijskih funkcija se mogu predociti simbolicno kao na slijedecoj slici:

x +

Znak sim:sa Znak kosinllsa Zililk tangcnsa i kotangcnsa

SL 13. ! 2. U prvom kyadrantu svc trigonomctrij5kc f\Jnkc~jc su poziti\,llC

Pitanja za ponal'ljanje:

1. U kojcm kvacirantuje sinus po;:jtivan? 2. [; kojim intervalimaje kosinus negativan? 3. Gelje su sinus i kosin uS negalivni? 4. Karla tangens i kotangcns imaju iSfi znak?

Zadaci za v.jczbu:

13.54. U kojem k"adrantu sc nalazi drugi krak ugla a ako je sina<O, cosa>O ? D.55. U kojem ]";vadrantu se nalazi drugi krak llgla ex aknjc cosa<O, tga<O? 13.56, Odrediti znakc datih izrazu:

a) sinlS]" b) cos264° c) tg32S0 d) clg(-122°) 13.57. Odrediti znak proizvoda:

a) sin243°cos164° b) tg220°ctgJ29° c) sinJ62°ctg52° 13.58. U kojim intervalima \"rijedi nejcdnakost:

a) sinx>O h) cos2x<O c) tgx<O d) ctg2x>O?

13.12. Svoilcnjc na prvi kvailrant

Primjenom osobine pcriodicnosti trigonometr\jskih funkcija vrijcdnost wake trigonomctrijskc hll1kcije se u\'ijck moze izraziti pomocll vrijcdnosti tri.gonometrijske f'unkcije cUi je argument manji od lIt (l600). Ovdje cemo pokazati kako sc vrijcdnost svakc trigonometrijske funkcije sa argu!11cnl'om iz. drugog. trcccg iii cefvr-tog kvaclranta moze: zamUcnili nijcdnosc.u trigol1omctrijskc funkcijc sa . argll!11Cntom iz prvog ksadranta. -

253

13.12.1. Sv(}ilenje drugog na prvi A:-vadrant

Svaki ugao 13, (90°<13<180°), ciji se drugi krak na!azi u drugom kvadrantu moze se napisati U obliku j3~rr--a, (iIi j3~180D--a), gdjeje a ostar ugao, Posmatrajmo tacke na trigonometr~jskoj kruinici kojima odgovaraju brojevi 0:. i 1t-iX (st 13 .13.). Ove tacke su simetricne u odnosu ·na y-osu sto znaci da imaju suprotne apscise i jednake ordinate. Ovo, dalje, znaci da vrijedi:

sin(1t- ex) "'" sino:

cos(rr - 0:) = ---coso: iii cos( 180°- ex)= --coso:..

Koristeci definicije tangensa i kotangensa i gornje relacije dobije se:

t ( )- sin(rr -al _ gn:-a- -

cos(lt -a)

sma:

-coso: --tga iii tg( 180"--a)~ -tga,

cos(rr -ex) -cosex ctg(rr - a) ~ ~ -,-- ~,etg('"

sin(n: -~o:) sma iIi ctg(lS0"--a)~ ,·ctga,

Primjer 1: lzracunati vrijednost date trigonometrijske funkcije:

) , 1'00 5rr a SIn ) b) cos- c) tgl35"

RjeSenjc:

6

a) sin150° = sine 180°- 30°) = sin300"", ~ . 2

5n IT n../3 b) cos- ~cos(lt- -)=-<oos- ~--,

6 6 6 2

../3 c) tgl35"=tg(lSO"-45")=-tg30"=- '-,

3 2IT IT n 13

d) ctg- = ctg(rr --) ~ -ctg- ~--3 3 3 3

2rr d) ctg_ ~ 3

Napomena 1: Ugao ~ iz drugog kvadranta, moze se napisati i u obliku ~ ~

90o+a (iii fl ~1T. +ex), gdje je ex ostar ugao, pa se mogu dobiti i nove 2

formule svodenja drugog kvadranta na prvi: , l' n) , s!n 2·+a "" coset.,

(n' ) , 'cosl 2 +u .=~slna

254

I I i

.I

! I ~ 'I ~ 1 I i

I

tg ( ~ +a ) = ~ctga ;

y ex

x x

n+a.

Sl.13.13.Vrijcdnost trigonometrijske funkcije ugla iz drugog kvadranta uvijek se moze zamijcniti vrijednosti trig. funkcije ostrog ugla.

Sl.13.14. I trcCi kvaJrant se "syodi" llU prvi.

13.12.2. Svoilenje treceg kvadranta naprvi

Svaki ugao ~, (180o<~<270o) Ciji se dugi krdk nalazi u trecem kvadrantu moze se

napisati u obJiku j3=n+a. , gdje je a ostar ugao. Posmatrajrno tacke na trigonometrijskoj kruznici kojima odgovaraju brojevi ex i n+a (Sl.13.14.). Ove tacke su simetricne U odnosu na koordinatni pocetak sto znaci da imaju suprotne apsdse i suprotne ordinate. avo, dalje, znaci da vrijedi:

sin (n + a)=-sina cos (n + a) ~ -cosa

iIi sin (180° + a) "'" -sina, iii cos (1800 + a.) "'" -coso..

KoristeCi definicije tangensa i kotangensa i gornje reJacije moZe se pisati:

sin(n +a) _ - sina _ ,'1,' (IS00) I tg(n+a)~ _._- - --- -tga tg +a ~ ga. cos(n +a) - CGsa

cos(rc +0.) = - cos~ = ctga ,']', ctg(1t+a)~ ~=--'. ...... . sin(n +a) - sina

etg (IS0"+ ex) ~ olga,

Plimjer 2: Izracunati vrijednost datih trigonometrijskih funkcija:

a) sin225° b) cos~ c) tg240"

Rjesenje: a)

3

sin225" ~ sin(180"+ 45") ~-sin45° ~ _ .J2 , 2 ..

5rr d) ctg_ 4

255

4lt rr It J3 b) cos_ ~ ctg(lt +-) ~ ctg- ~ __ _ 3 3 3 3

c) tg240° ~ tg( J 80°+ 60°) - -tg600- - J3 d) cos~ -ctg(1t+"--)~ctg"-- ~ L

4 4 4

Napomena 2: Ugao ~ iz treceg kyadranta. moze 5C napisati i U obliku f,3=270D--u (iii

p 3rr ) d- - - d kl " . c p=-::;- ---a , g Je JC a ostar ugao, 0 a e se mogu 1zves11 1 nove lormule svodenja treceg L

kvadranta na prvi.

13.12.3. SI'oaenje cetvrtog kvadranta nle prv; y

a P'

P

SI.13.15. KosiollS ugJn 2,,~a i7 CClvrlog (yadran[il jcdnak jc kosinusu ostrog ugla u:

Svaki llgao f), (270°<(3<360°), eiji se dugi krak nalazi II cel-vrtom kvadrantu moze se napisati U ooliku p=2J[~-a_, (ill !3=360D--{x). gdje je ex 05ta1' ugao. Posma1rajmo tacke n3

trigonometrijskoj kruznici kojima odgovaraju hrojcyj a i 2n:--(1 (SI.13. J 5.). Ove tacke su simetricne U odnosu na x-osu sto zoaei da imf~ujednakc apscise i sllprotne ordinate. To zoaei da vrijedi:

sin (2n: - a) = ,-sina iii sin (360°- a) - -sina,

cos (2i! - a) ~ cosa iIi cos (360° - a)" cosa

KoristeCi definicije tangensa i kotangcnsa i gornjc re!acije maze se pisati:

tg(2lt_a)=~.n(2rr --'::2. = - sina =-··tga iii _tg(300°··a) -,tgIL. _ cos(2n .- (x) cosa

256

ctg (2rr - ex) ~ cos(2n ·-a) sin(21t ~a)

coso..

- sina = --ctgo: iIi ctg(3600-a) = ---ctgo:.

Primjer 3: lzracunati vrijednost datih trigonometrijskih funkcija:

a) sin 51t_ b) cos300° c) tg315° d) 3

c-o 51t _ 0 (" TI) _ . n: _. ..,;3 RjeScnjc:a) SlD_ - Sll1 LTI-_ - -510- - ___ .

3 3 3 2 J b) cos300° ~ cos (360° - 60°) ~ cos600~ 2

c) tg315°~tg(3600-45°)--tg45°~-1.

l1TI 7t 1t r:; d) ctg. __ = ctg(27t- -) =----ctg- =-,n 6 6 6

ctg~ - 6

Napomena 3: Ugao !3 iz cetvrtog kvadranta, moze se napisati i U obliku j3=270o+a

(iii !3 = 3TI + a), gdje je a ostar ugao, odakle se mogu dobiti druge formule 2

svodeqja cetvrtog kvadranta na prvi.

Ranije smo vidjeli da za komplementne uglove a i 13, (a+13=900) vrUedi

sina ~ sin(900- 13) = cos/3 cosa =005(900-13) - sin[:l tga = tg(900- 13) ~ ctg13 ctga - ctg(900- 13) ~ tgf:\.

Sve navedene formuJe svodcnja na prvj kvadrant, kao j one kojc su nagovUestenc 11

prethodnim napomenama, sakupljene su u slijedecoj tabeli:

SvakuformU!ll sv(.:aerrja llq piT; kvadratl! imamo 11 oro} tcbeli!

257

Pitanja za ponal'ljanje:

1. ~~ta se podrazulrl!ieva pod nazivom "svoaenje na prvi /..-vadrant"? 2. Kako se trigonometrijske funkcije uglova iz drugog kvadranta zamjenjuju sa

trigonometrijskim jUnkcijama ugla iz prvog? 3. Kako se !reCi hadran! svodi na prvi? 4. Kako se trigonometrijske fonkcije uglova iz cetvrtog kvadranta zamjenjzlju sa

trigonometrijskimfunkcijama ugla iz prvog?

Zadaci za vjezbu:

13.59. Datu funkciju zamijcniti funkcijolTI kompiementnog ugla: a) si034° b) cos67' c) tg82' d) ctg44°

Izracunati po formulama svodenja na prvi kvadrant: 13.60.a) siol50° b) cosl20' c) tg135° 13.6I.a) si0210' b) cos240' c) 19225' 13.62.a) sin300° b) cos330' c) tg315°

d) ctgl50° d) ctg210' d) ctg300'

t3 .63. Vrijednosti datih trigonometrijskih funkcija zamijcniti s vrijcdnostima trigonomctrijskih funkcija uglova koji su manji od 45°:

a) si065' b) sio14S' c) si0260° d) si0354' e) sio1364'

13.64. Vrijcdnosti datih trigonometrijskih funkcija zamijcniti sa vrijednostima trigonomctrijskih najmanjih pozitivnih ugloya:

aJ siol5rc b) cosl2,5n c) sin4,1271 d) tg7,ln e) ctg6,3rc

13.65. Izracunati: a) sin660° b) cos870' cJ Ig930'

13.13. Grafici trigonometrijskih funkcija

d) ctg585' eJ sin 1215'

13.13.1. GraJici trigonometrijskihfunkcijay=sinx ~ y = asillx, y = asinhx

Gratik h.mkcije y=sinx posmatracemo na intervalu (0. 271), a dobicemo ga biranjern vrijednasti za x i odredivanjem odgovarajucih vrijednosti za y. Izabrane i izracunate vrijednosti mogu se srnjestiti u odgovarajucu tabelu, medulirn,mi ccmo ovdje koristiti pomocnu trigonometrijsku kl1lznicu (SI.13.16.). Kru.znieu cerna smjestiti taka da sa Jijeve strane y-{)se dodiruje y­OSli U koordinatnorn pocetku. Na kruinici ccmo izabrati dovoljanbroj tacaka (sto je vise lacaka izabral1Olo je grafik tUllkcije precizniji) i brojeve koji odgovaraju tim tackama odredicemo na x~osi. 258

S trigonometrijske kruznicc sc neposredno graticki odrcduju ordinatc iza~ra,~lh tacaka (to su sinusi odgovarajucih brojcva) i ak~. ih nal1esemo ~ odgovaraJ~:l~~ tackama x-ose dobi6cmo niz tacaka grafika funkcIJe. Sada ove tacke treba SpOjlt1 1

dobijc se grafik funkcijc y=sinx u intervalu (0, 2n).

y = sinx;

3 2 3

-I 0

Sl.13.16. Grafik funkcije y = sinx nuziva se osnov!\a sinus(lidu.

Posmatrajuci slilm i koristeCi definiciju funkcije y=sinx, zakljucujcmo da ova funkcija ima slijedcce osobine:

~ funkcijaje definirana za sve vrijednosti argumcnta x, __ nule funkcije su 0, n, 2n, 3rr, ... , kn, kEZ, _~ osnovni period funkc·ijc je T=2n, .' __ funkcijajc pozitivna u intervalu (0, n), a negatlvna u JOtcrvalu (n, 2n),

- u intervalu (0,::::'-) funkcija raste , . 2

7t 37t)0 k" d .. _ u intervalu (- - fun elJa opa a, 2' 2

_ u intcrvalu (~:""' 211:) funkcija faste. 2

3rc _ najmanja vrijednost funkcije je -1 i to za x = 2'

n _ najveca vrijednost funkcije je 1 ito za x = 2" .

KoristeCi periodicnost funkcije y=sinx, pomjcranjcm dobiven~~ gr~ka ulijcvo i udesno za 2n, 4n, 6n, ... dobijc se "cijeH" graftk funkcIJe kOJ1 se

naziva sinusoida. Grafik funkcije y = sinx naziva se OSllovna sinusoida.

259

S1.13.17 Osnoyna sinusoida sc prote.zc na objc stranc be? ograniccnja

Aka crtama grafik funkcije y = asinx , broj a nece uticati na nule,

~ko je a~O. grafik funk~.ljc y=asiox se od funkcije y=sinx razlikuje samo po tomc sto JC sada mInnTIum funkclJe -a, a maksill1um a. Ako je ~<O funkcija 'y~asinx .ce biti F?zitivna tamo gdje je ftmkcija y=sinx neg,ativna, a

l I?egatlvna tamo gdJe Je y=SlllX pozltlvna. Minimum funkcije je -Iaj, a maksimum je

a i ·

y

n n

6 3 2 3 6

y = 2sinx y= sinx y ~ (0,5)sil1x

n

, 6 '. /

~ SL J 3.1 8. Grafici filnkcija y=asinx za nekc vrijednosti ~d a.

Posmatr~jmo sada funkciju y=asinbx. Odredimo, prvo, period ave funkcijc. Ako je T osnovni period funkcije, tacia vrijedi .

asin [b(x+T) J = asinbx => sin [ b(x+ T) 1 ~ sinbx

=> bx + bT ~ bx + 2n =>

b(x+T) ~ bx + 2n

T= 2rc t' T=2TI b ,0· [bl .

Vidimo cia parametar b lltice oa period funkcije i to tako ako je ihl > 1, fllnkcija

y=asinbx ima osnovni period manji od 2IT, a ako je !bi <1 tadajc period o\-c funkcije

veCi od 2TC,.

260

I I I I

"1

I I li , I

I I

I )

Na SI.13. J 9. predstavljene su funkcije y=sinx, y=sin2x, y=2sin2x i v=sin ~ . , 2

2

-1

-2 SI.l3.!9. Grafici funkcija: y=sinx.y=sin2x.y=2sin2x i y-=-sin"2

Pitanja za pOlluvljanje:

1. Kako se naziva gr«fikfunkcije y""sinx? 2. Kakm-' ulic«i i111a koefic{ient a zafullkcUu :v=asinx? 3. Kako parametar b utice na periodfunkcije y,;:;::asil1hy? 4. U kojem intervalu raste funkcija y=sinx? 5. Gdje je funkcija y=3sinx negativna? 6. KolikofllJ1kc~ja y=5sin4x ima Hula?

Zadaci za vjezbu:

U istom koordinatnom sisternu nacrtati grafike funkcija 13.66. Y = sinx, Y = 2sinx , y = 4sinx , y = 0,5 sinx. 13.67. y = sinx, Y = sin2x, y = 2sin2x, y = --2sin2x.

13.13.2. Grafici trigonometrijskih junHcija y=cosx, y=acos.:\", y=aco.'t'hx

Grafik funkcije y=cosx maze se dobiti na analogan nacin kao grafik funkcije V=S1l1X.

~1edutim, mi celTIo, ovdje, na drugi nacill doci do grafika funkcije y=cosx.

Koristeci relaciju cos('::' -...:. ex) = sina i osobinu parnosti funkcije kosinw;; vrijedi: 2

261

2

cosx = cos (x + !!- - ~ ) = cos[(x +~ )-~] = cos [~-ex +~ )] = sin(x +2:.) 22 22 2 2 2'

pa se funkcija y = cosx maze zamijeniti s funkcijom y = sin (x+~). 2

Kako posljednja funkcija dobija za x iste vrijednosti koje funkcija y=sinx dobija za

x-~, to se pomjeranjem grafika funkcijc y=sinx u lijevu stranu za ~ . dobiJ"e • 2 "

grafik funkcije y = sin(x +~), odnosno, dobije se grafik funkcije y = cosx.

Znaci .. grafik funkcije y=cosx je jedna sinusoida. Uobicajeno je da se grafik ave funkcl.Jc naz[\,a kosinusoida.

y y=slnx

:; .... =COG_~~

. ., S!.l3.20. Gralik I'unkcije Y~"""WSX dobijt: se pomjcran~em osn~;ne SiJlllS~id~ y=sinx uiijev~ za~.

2

Osobine funkcije y = cosx: - funkcija je dcfinirana za sve vrijednosti argumenta x,

- uule funkciJ' e su ~ . ~~ 5n. 7n (2k)IT 2'2'2'2"'" '+J'2,kEZ,

_. osnovni period funkcije je T=2n,

~ funkcija je pozitivna u intervalima (0,'::' ) 2

a negativna u intervalu (::. 371) 2 ' 2 '

~ u intervalu (0, IT) funkcija opada, ~ u intervalu (n, 2n) funkcija raste ,

JIT ("2,2n),

- najrnanja vrijednost funkcije je ~ 1 i to za x=n, - najvcca vrijednost funkcije je 1 i to za x=O i x=2rr.

Grafici funkcija y = acosx dobiju sc oa analogan nacin kao i za funkciju sinus.

262

Sl.! 3.21. Grafld funkcija y = 2cosx, Y = -2cosx.

Koeficijent b u funkciji y=acosbx ima uticaj oa osnovni period funkcijc, kao kod

slnusa, i vrijedi T = 37:. ibi

""Y 2

-2

y~cosx

y'-"-cos~x

Sl, 13 .22. Grafici funkcija y = cosx i y = cos2x.

Pitanja za ponavljanje:

1, Kako se naziva grajikfunkcije y=cosx? 2, Kako se grafikfimkcije y=cosx moze dobiti iz grafikafunkcije y=sinx? 3. Da Ii je graflk funkcije y=cosx neka sinusoidal 4. Po cemu se razlikLqu sinusoida i kosinusoida? 5. U kojem intervalu opada funkcija y=cosx? 6. Gdje je jimkcija y= 3cosx pozitivna? 7. Koliko funkcija y=-4cos8x ima nula?

263

Zadaci za vjezbu:

U istorn koordinatnorn sistemu nacrtati grafikc funkcija 13.68. y=cosx, y=2cosx, y=3cosx, y=O,5cosx. 13.69. y=cosx, y=cos2x, y=2cos2x, y=~2cos2x.

13.13.3. Grafikfunkcija y = tgx i y = ctgx

Treba odrediti grafik funkcije y = tgx. Funkciju celTIo posmatrati u intervalu (0, 2IT): Postavimo pomocnu trigonometrijsku kruznicu uz y-osu sa Jijeve strane pravouglog koordinatnog sistema. Tada je, po definiciji tangensa, ordinata tacke u kojoj drugi krak ugla, smje§ten u navedenu trigonometrijsku kruznicu,sijece y-osu jednaka tangensu datog ugla. Tako se, povlacenjem polupravih iz centra izabranim tackama (brojevirna) kruinice do presjeka sa y-osom dobivaju odgovarajuce vrijednosti tangensa koje se prenose u tacke x-ose. Spajanjem ovih tacaka nastaje grafik funkcije y = tgx koji se naziva tangensoida (SI.13.23.).

y

2 X

7 9

-2

I'

( -3

I

1 13.23. Gratik funkcijc y~""" tgx nazivamo tangensoida,

264

:1 "

I I

Funkcija y = tgx ima slijedece osobine:

definisanaje za sve vrijednosti varijable x z.a koje kosinus nije jednak nuli

(x oF· i + 1m, kEZ).

nule funkcijc su x=krc, k f::.Z, O5novn1 period funkcijc je T=n, funkcija stalno raste, funkcija nema ekstrcmnih vrUcdnosti (minimuma ni maksimuma)

- grafik funkcije ima vertikalne asimptote.To su prave x = ~ + Krc, kEl.

funkcijaje pozitivna u intervalima (0,1-) i (n,li')' a ncgativna u interva!ima

n ). (3n n) (_., n 1 -, -'"'"IT • 2 2

Grafik funkcije y=ctgx predstavljenje na SL13.24. i dobije sc na analogan nacill kao grafik funkcije y=tgx.

y

y = ctgx

3n n rr

2 2 ~S ~4 ~1 ~ 1

[3.24. Grafik funkdje y = ctgx ima naziv kotangcnsoida.

Pitanja za ponaJ!ljanje:

1. K~ko se naziva grafikfunkcije )'=tgx,a kakofunkctje y=ctgx? 2. Sla SII asimptote funkcije y=fgx, a Jlafunkctje y""clgx?

3/I

2

265

3. Kolikofunkcija y=tgx ima asimptota? 4. Kakve aSimptole imafunkcija y=ctgx? 5. Kadafunkcijay=tgx rasre? 6. Gdje je funkcija y~ctgx rastuea?

Zadaci za vjezbu:

13.70. Nacrtati prccizno grafik funkcije y=tgx. 13.71. Preciz.no nacrtaj graHk funkcije y=ctgx.

13.13.4. Grafii'ko pretistavljanje funkcija y=asin(bx+c), y=acos(bx+c) pomocu karakteristicnih tacall.a

Grafici funkcija y = asin(bx+c) i y = acos(bx+c) mogu se skicirati koriste6i njibove karakteristic.nc tacke. Za te tacke uzimaju se nuIe funkcije i tacke u kojima funkcija ima ekstremne vrijednosti (minimum i maksimum).

Primjer 1: Nacrtati grafik funkcijc y = 2sin(2x-2:. ). 2

Rjcsenjc: Osnovni period funkcijc je T=3f = n, paje dovoUno nacrtati graftk na

intervaIu duzine 1t.

Nule funkcije su:

y=Oza sin(2x-::-.)" =0 =:> 2x-:::-=kn => 2x=2:...+kn =:> x =::. + !!!:.. kEZ - 2 2 2 42"

. . . IT IT ~ DoyolJno Je da odabererno tn nule: -- , - I

4 4 4 IT

Maksimum funkcijeje u tackama u kojimaje sin (2x--- )=1, odnosno, 2

2x-~ =::. + 21m =;> 2x=n+2kn =:> x= '::'+kn,kEZ. 2 2 2

IZllberimo maksimum u tacki x= 2... koji iZflosi 2.Ta6ka M(::'" ,2) je tacka maksimuma 2 2

funkcijc. Odredimojos minimum funkcije. Minimumjc u onoj tacki u kojojje

sin( 2x-~ ) = -1, odnosno, 2x-2::.. = 3n + 2kn 2 2 2 =:> 2x = 2n+2kn: x = n+kn x = (k+ 1)", keZ.

Uzmimo mitlirnum u.tacki x=O. Tacka (0, ~"2) je t~clm minimuma.

266

Pasrnatrajmo grafik funkcije u intervalu (IT 3IT) d ". -- - uzme n. 4 ' 4

Tu irnamo tri Dule,

tacku minimurna i tacku maksimuma. Crtanjern ovih tacaka i njihovirn spajanjem dobije se traZena sinusoida (St.13 .25.).

y

Y=Sin2(2X-%)

3rr

2

SI.13.25. Sinusoida y = 2sin(2x- 2::.. ) nacrlana pornocu karakterislicnih lacaka 2

Pitanja za ponavljanje:

I. Stajc period funkcijc rasin(bx+c)? 2. U kojim tackama funkcija y=acos(bx+c) ima flule? 3. Ko!ikije maksinum funkcije)r;,",..oasin(bx+c)? 4. Pomocu kojih tacal<a se moze skicirati grafik funkcije y=asin(bx+c)?

Zadaci za vjezbu:

13.72. Odrediti nule date funkcije:

a) y = sin4x b) y ~ 6sin(2x-~)

13.73. Nacrtati gratlk funkcije y = 2·sin(3x-"- ). 4

3 c) y ~ 20cos(3x + "- )

2

13.74. Nacrtati grafik j ispitati tak funkcije y = cas( 2:. x _.2::.. ). 2 3

267

13.14. Adicione teoreme (formnle)

Kada kaicmo da za funkciju y = f(x) vrijcdi adiciona formula? Aka se za svake dvije vrijednosti argumenta x, x=a i x=b, maze izracunati vrijednost f(a+b) pomoou vrijednosti f(a) i feb), kaiemo da za funkciju y~f(x) vrijedi adiciona formula. Drugim rijeCima, kazemo da za funkciju y=f(x) vrijedi adiciona formula ako se vrijcdoost funkcije zbira dva argumenta, maie izraziti pomocu vrijednosti funkcije ciji su argumenti sabirci:

f(a+b) ~ F(f(a), feb)).

Nas ovdje zanimaju trigonometrijske funkcije. Zanima nas kako se svaka trigonometrijska funkcija zbira (razlike) moze izraziti pomocu trigonometrijskih funkcij a sabiraka. Znaci, aka su nam paznate vrijednosti trigonometrijskih fu"nkcija ugloya (brojcva) a i P trazima naciD da izracunamo slijedece:

sin(a+I3), sin(a-I3), cos(a+I3), cos(a-I3), tg(a+I3), tg(a--i3), ctg(a+I3), ctg(a-I3)_

DokaZimo da vrijedi: cos (a - 13) ~ cosacos13 + sinasinl3.

Dokaz: Posmatrajmo trigonomctrijsku kruznicu (Sl.13.26.). Odaberimo dva ma koja realna broja, odnosno dva ma koja ugla a i ~. Pretpostavimo da smo sa a oznacili veci od ova dva ugJa. Ncka uglu ~ odgovara na trigonometrijskoj kruznici tacka M. Tada su koordinate ove tacke M(cos~, sin~), Neka uglu a odgovara tacka N na trigonometrijsk~j kruznici. Koordinatc ove tacke su N(cosa, sina).

y

sinf))

N (cosu, sina

A(1,O) x

SI.13.26. Tetive MN i AP trigonometrijske krllznice sujednake

Tacka A ima koordinate A(I, 0). Neka je P ana tacka na trigonometruskoj kruznici kojoj odgovara brej a-f3- Tada 711 koordinate tacke P vrijedi

P (cos (a -13), sin (a- 13))·

268

Svaki od centra!nih ugJova MON i AOP jednak je razlici a~j3, pa su i njlma pripadajucc tetive l'v1N i AP jednakc. 1z prvog razreda !lam je poznato kako se izracunava udaljenost izmedu dviju tacaka ako su date njihove koordinate. Koristeci tu formuJu j koordinate tacaka A, P, MiN dobije sc.

MN ~J\P

=> Ccosa - cosP), + (sina - sinfl)' ~ [cos(a-p)- 1]'+[sin (a-I)) - 0]'

=>

~ cos'(a-fl) 2cos (a-D) + 1 + sin\a-f_1)

~ cos2(a 13) + sin2(a-13) - 2cos( a-I3)+ 1

1 - 1.cosacosf3 + 1 - 2sinasinp = 1- 2eas (a -~) + 1

2C05 (a -~) = 2cosacos~ + 2sinasin/3

=> (* )

Ovim je. iz\'cdena jedna adiciona formula.

OstaJe adicionc for111ule dobice se na osnon] izvcdcnc trigonolTIctr1jskih funkcija.

poznatih osobina

:-Jeposrcdno iz aclicione formuJc (*) slijcdi:

cos (a + 13) ~ cos[ a - (- fl)] ~ cos a cos (3) + sina sin Hl).

Kako je kosinlls parmI, a sinus ncparna funkcija, to jc

cos (-fl) ~ cos[3, sin (-13) ~-sini3 ,

po, cialje, Hijedi:

r~_" cos (CL+ J3) == COSCLCOSP ~ SillCLSill13 .~

Oyim sma dosJi dojosjedne 3dicione formu!e.

Pdmjc~ ;: lzrac.unati cos ( ~.:.... + x). (.",05 (~~. :. x). )

169

RjeScnjc: Neposredno primjenorn adicionih formula za kosinus i zamjenom vrijednosti sin lisa i kosinusa pravog ugla, dobije se:

cas(.2.- + x) = cos'::- cosx - sin ~ sinx = O·cosx ~ J·sinx = -sinx. 2 2 2

cos( ~ -- x) = cos ~ cosx + sin ~ sinx = O·cosx + I·sinx = sinx. 2 2 2

P · . 2 I " .. (n ). . (1t ) nmjcr : zracunat, SlIl ~ - X I sm - + X . 2 2

. 1t, RjeScnje: 1z prethodnog primjcra vidima daje smx = cas( -- x),

2 pa se moze pisati:

· (n ) [IT (n ] [n n Sin - - X = cos - ~ - - x) = cos - - -2 2 2 2 2

+ xJ = cosx.

· (n . [n IT )] n IT J sin - + X) = cos - - ( .... - + x = COS['- .- - - X = cosx. 2 2 2 2 2

[skoristimo rezuitate prcthodnih primjera za izvodenjc adicionih formula za funkciju sinus.

· n n n slll(a+~) ~ cost --(a+i3)] ~ cost ---{X-13] ~ cost (- - a) - 13] ~

2 2· 2

= cas( ~-(i.)cosj3 + sin (~- ··'·a)sinj3- = sinacosj3 + casasin!3. 2 ) .

DobiE smo

,---:::.:sl:=o( ex+~) = slnexcosp + cosexsinP

Da!je, koristeci prethodnu formulu i cinjenice da je kosinus pama, a sinus neparna funkcija, vrijedi:

sin (ex - 13) ~ sin[a"·(-~)] ~ sinacos(-p)+cosasin(-13) ~ sinacos13·· cosasin13.

Tako, za sinus raztike vrijedi:

sin (ex - p)=sinexcQsp - cQsexsinp~

Primjcr 3: Ako je sina = ~ ,cos!3= ..... ~, a ostar,p u drugorn kvadrantu, izracunati 5 17

sin (a + (3) i cos (a - (3).

270

i ,

Rjcscnjc: Prema adicionoj formuli za sinus zbira vrijedi:

sin (a + 13) ~ sinacos13 + cosasin13

pa kako su sino: i cos!"} poznati, potrebno je izracunati coso: i sin!"} i sye vrijednosti uvrsttiti u gornju formulu,

=> cos2a~l-sin2a => cos2a~I-( ~ r ~ 1-· ;5 ~ i% 4 ==> coso. =-5

==> sin2!"} = 1- cos2!}

=> sin213 ~ 1- (_ ~)' ~ 1-~ ~ 225 17 289 289

=> sin13 ~ I2 . 17

Uvrstavanjem datih i izracunatih vrUednosti trigonometrijskih formulu za sinus zbira, odnosno kosinus razlike, dobUe se:

funkcija u adicionu

. ( (3). 13 . 13 3 - 8 4 15 Sill a + = Slnacos + cosasIO = -' - + --._ 24 + 60 36 - --

5 17 5 17 85 85 85

cos (a. - 13) ~ cosacosfl ,. ·13 4 -8 + 3 IS 32 + 45 13 - smastn = -'- .- - -

5 17 5 17 85 85 85

Primjcr 4: Ako su a i P ostri i sino. = 40 , sin!} = ~, odrcditi 0.+13. 41 41

Rjdenje: Odredirno prvo cosu i cos!3, a zatim i sin (0.+13).

sin2a+cos2a=1 ==> cos2a=J--sin1a => cos2a =J-i..±Q.)' ,41

=> coso: = _~ . 41

:::....-:> cos P = .~.Q.. 41

~ 1_ 1600 ~.~~ 1681 1681

~ 1- _1l.1..~ 1600 1681 1681

. R· R . " 40 40 9 9 SlJ1( a+fJ )=smacos!-,+cOSO:Slil!-,= - . - + -'-41 41 41 41

~ 1600 + . ..s.~~1681 ~ 1. 1681 1681 1681

Kako jc sin(a+i3)~1 ,pri cemu su a i fl ostri uglovi to mora hiti a+j3~90°.

Adicione formule za tangens i kotangens izvodimo koristeCi prethodne formule i defirridje tangensa i kotangen'sa, ...

271

,I

tg Cet + fl) ~ sinCa + ~) ~ sina cos Jl + cosa sin Jl cos (a + fl) cosa cos fl - sina sin fl

sina cos Jl cosa sin fl ~~-----~-- + . sina sin fl

~~---+--

~ cosa cos fl cosa cos fl cosa cos fl ~ tga + !grl_~ co_~ cosfl _ sina_ sin fl

cosa cos fl cos a cos J3

DobiJi smo daje

Odredimo i formulu za tangens razlike:

1- sma ~ sin fl cosa cos fl

Iga +lgJ3_ I-Iga ~ tgfl

~ tga -tgfl ~~ ~ tg(a-fl)= ~-,

~ ., 1 + tga ~ tgfJ

Na anaJogan riacln se mogulzyesti i formulc za kotangens:

ctaCa+(3)= cos(a +13) ~ cos~~~osi3 +sina sini3 b sinCa + p) sina cos fl - cosa sin fl

cosa .~os J3 _ sin a sin fl. cos~_ ~ cos 13~ -I sin a sin fl sin a sin fl sin a sin fl clga ctgfJ -I

- -----~~----

sin a cos fl cosa sin 11 cos P cos a -~ +~-.-.. --- -~-- + --sina sin J3 sina sin i3 sin p sina

Ciga GIgB -I ctg(o: +j3}= -- --'--

ctg~ +cfga "--'-~---~

clg (a - 13) =

Primjer 5: l:prostiti izraz (" " (n 'I fg -----+a I +tg -A--a 4 ) , /

-r;---y'--(-;-) etg-i -+a) +cta ----a

\ 4 0 \ 4

27'2

ctgfl +ctga

ctga clg13 + t ~~ ~~ I. clgB - ctga ~ ~ 1

Rjdcujc:

(l_~~_!~~)~_~ (1 __ tg~/! = __ ".~!ga) (1 ~-~.!ga)

(cfga~ -~1)2 .... :':JqJ;'f!~ _~~ (uga + 1) (ctgu. -J)

1 + tgo. 1 ,.- fga ------- + ---I-fra 1+ tga

-I + I -~~~-~

cIga + 1 C(gel-]

= 5::: ... ff?' -+ 12i~:~~: ---;) [(1 + fgrf:_,{~ -'- (1 ~ [£r:_L~:;J,,", (l-tgu.)(l+rga)l(crgCt --l)~-i-(crga +lr}

=~~~"g(X + Illc!g(1.~_~~ + 21ga ~~~ rg!(l +1., 2!ga~'-'!L!a 1= 0-' (gCL HI !ga) ['tg (X ~ 2clga +1 + clg-a .;" 2cfga +1] ~,.(gc,_-,:_~)(c;rgC1:::I)f.+ 2rg2a L (C/g2U,-::.I)Jc (gea J ~

(l fgCL )(1 + (gu ... ) ~cfg:a +- 2] - (1 -- 19=(L) kfg2a + 1] ,

I i [I rg'a.] ~ ~I- ::2a)J.~1~2~ L i ~ " !_---r-tg2: \11!:,U)llrf,o.,j ... J

( 1 ~ if:}. -(X)

( !

rrimier 6: Dokazati jedlwkosl

Dokaz: Primjcnol1l adicionih formula na iZ]"(17.c kceji se nalaze na lijcyoj strani i srcaiYanjcll1 dobijc se:

rg(45 G +X)--fg( _. x)

!,~'(~i5-6--~--:~:)--~: ~g (tiS\) - x J

____ . tgx

~ . .=-- t,£::~ __ ,~-:::,,,fgx ~_~_!B:~~ __ L 1 - ffJ~~_ 1 "-fgx I+- Igx

1- fg45° fgx 1 + fg4S0 rg\

(1+/gx)2-(1-

(_J -- fgx) () + __ ~gx)

(1 + rgx)2 -+ (1- rgx): -- - -,-,---- -"--

(l-tgT) (1 i- rgx)

1+ 2/gy rg: x ---=_~,!__=_=rgo: __ ~ __ §~_-~. = J T ~Jg): f-fg'x+ (1 2igx + !g-x)

41gx 41gx _ 21gx

2+21g2X 2 (l+tg 2x) l+tg 2 x

2,~,inx cos x

1 + (sin:.)' cos x

2 sin x 2sin x 2. ~inx __ -----f~_

1 . sin 2 x --. cos 2 X

cosx = cosx = 2sinxcosx . cos 2 x+sin1x 1

Pitanja za pon01lljanje:

1. a cemu govore adicione leoretne? 2. Kako .ye izraiava sinus zbira preko trigonometrijskihjunkcija sabiraka? 3. Da Ii za kosin us vrijede adicione Jormule? 4. Kako se izraiava kosin us zbira? 4, /YJoze Ii se adiciona formula za kotangens izvesti sarno pomocu adicione jormuie

za tangens?

Zadaci za vjczbu:

lzracunati vrijednost izraza: 13.75.a) sin 18°cos 12° + cos J gOsin 12° 13.76.a) sin56°cosllo- cos560sinllo 13.77.a) cos63°c;os27°- sin6rsin::?70 13.7S.a) cos 1 09°cos49°+ sin 109°sin49°

b) sin43°cos17°+cos43°sin17° b) sin77°cos47°--cos77°sin47° b) cos2Iocos39°-sin21°sin39° b) cos 170°cos20o+sin 170osin20°

lzracunati vrijednost izraza:

13.79.a) tg33' +tgI2" b) tg39° +lg6" I-tg33°lg12° l-tg39"tg'6"

13.80.a) tg84" -lg39' . b) Ig71" - Ig41° 1+ Ig84° Ig39° 1+ Ig710tg41'

sin 21 ° cos 24 ° + cos 21 ° sin 24 ° 13.81.a) cos 34° cosll ° - sin 34° sin 11 0

b) sin 130° cos1400 + cos 130° sin1400

cos 28° cos 88° + cos 1"78° sin 208 0

13.82. Bez upotrebe kalkulkatora i tablica izracunati: a) sin7S' b) cO.5IS' cJ Igl05'

274

c) (g42° + tglS"

1 - tg42° tg18°

c) Jg138" - tg78°

1+tg138°tg78°

d) clg H5')

60 11·" ' .. , . 13.83. Ako je cosa = ~ , cosp = _ , a 1 I--' ostn, lzracunatl: 61 61

a) sin (0:+[3) b) cos (0:+[3) c) sin (0:-[3) d) cos(o:-[3)

13.84. Ako je sina = _ ~ i a iz cetvrtog kvadranta, izracnnati: 17

a) sin(60'+0:) b) sln(60°-a) c) cos(60°-a) d) cos(300+0:)

tgo:=.t.. ,tg[3= ~ 13.85. Izracunati a+r~ ako su a i 13 ostri uglovi za koje vrijedi 2 3

Uprostiti date izraze: 13.86.a) sin3acos2a - cos3asin2a

87 ) sin(a + (3) + sin (0: -(3)

13. .a . sin (0: + (3) -sin(o: -(3)

J 3.88.a) sin68°+sin 17°sin51 o-sin39°sin73° b) cos2(30o-a)+cos2(30o+a)+sin2a c) tgatgl3 + (tga+tgl3) ctg(o:+l3)

Dokazati date jcdnakosti:

b) cos(a+l3) + 2sinasin13

b) cas(a+I3)+slna sin 13 cos(a-[3)-sino: sin 13

d) (sina+sinl3)' + (cosa+cosi3)'

13.89.a) cas(4S'+a)cos(4S' - a) - sine 45°+a) sin (45' - a) = 0 b) sin2a + cos2actga = ctga

cas(300 -a)-cos3300 cosa 13.90.a) 0 0 tgo:

cos(30 "'a)+sinI20 sina

b) {go: +tgl3 + (ga -ti?~. =2. tg( 0: + 13 ) tg( a - 13 )

. 3 n 12 63 . , t' . 13 f 13.91.AkoJecosa=~ ,coSp=- , cosy = -,Izr<;l-ctma1 aT '.'''1, 5 . 13 65

S . 99 K 1'1" I . t' I ? 13.92. Sinusi dva ugta troug[a su redom - 1 -. 0 1 \.l Je wsmus receg ug a. 13 101

1 2 I" n' ,. I' 13.93. Akoje tga =~" tg~ =~, tgy=-, pn cemu su a, I--' 1 Y ostn ug OV1,

12 5 3 7t

daka7.ati daje a + 13 + Y =-. 4

275

.r

13.15. Trigonometrijske funkcijc dvnstrukog nola i poluuofa " '"

13.15.1. Trigollometrijske funkciJe dV(Jstrukog ugla

Nepos.,.cdnom primjenom adicionih fornluJa p_okazaC'C[",10 I,"aj',o " . . . . se tngo!1ometrij ske funkcljC dvostrukoll ll;:da IllOgU lzrazltl '( . .. I 'h ugla.

'-' ~ ...., - ~, pomocu ngonomctTlJs \,1 funkcija samog

Ako se u adicionoj formuli

sin(x+y) = sinxcosy + cosxsin),

izvr,se zamjene x=a y=u, tada se dobUe

sill(a+o:) = sincxcosa +- cosexslna = 2sinacosa.

Na ovaj nacin se dolazi do fOnlmle

r-------~-··--·······-~,~·--_-

[ sin2ct :::;0 2sincJ.cosa - l -.. _--'----____ .,--....J.

Ako se u nciiciOlloj fonnuli za kosin us zbira

COS(X-+')i) = cosxcosy .,. sinxsiny

xi :-.! zamijcne S3 a, tada se dobije:

Dobi!.i smo formulc koiima sc sinus i ]-0"1' d" ..c' I· .j " ::, nus lYOSd'UKOg ugia lzrazavaju pomocu

i"rigonomctrijskih funkcija tog ugla.

RjcScnje: :,"..,121 osno\'u date yriJ'cdnosti slnusa " 05'10"'1" t··[·00110 ("'-,1' . j " . '"' .' - • ,. - \, ~ j "" me I l).,> \.e l( cntlcnos1l

odrcdi se C'o'OCt_=-=-, pa neposrednolll primjcnoJl1 formula za ;:;it'llS i kosi'ws 5 '- , .. ' .. ' >.

dyostrukog ugla, imamo:

276

sin2a. = 2si.naxosa = 2. i . ~_ = 24 5 5 25

cos2cx cos2g:::= sin2cx = (3 . \ 5

eel''' r 9 \, 5) '25

16

25 9 16

25 7

25

P ·· 2DI t"dl I 13 4 rIffiJcr : o<aza lJC na(Ost --- - -_._-- = . sin 10° coslO o

Dokaz: Pocnimo od lijeve strane i transformirajmo izraz izvrsavajuci opcracije primjenjuju6i poznate formule dok nc dobijemo izraz na desnoj strani:

o 13. 0 . cos 10 - -'". Sin 10 coslOO ~ J3 sin 10°

sinJOocoslOo 2 ~~2~~ __ _

2sin 10' cosIO'

sin 30° . cos 1 0° - cos 30° . sin 10°

sin 20°

4

Primjer 3: Dokazati identi!e!

4

4·sio(30'-IOO)

sin 20°

Dokaz: Transformiranjem lijeve strane dobije se:

4·sin20 0

....::c.~_=4.

sin 20 0

[( .2)2 2 " 2 ( ')'] 3" , = SIn X + sm xeGS x+ cos~x - sm xcoS-X =

Prirnjer 4: Dokazati formule:

a) cos2x = 2cos2x-l b) cos2x = 1-2sin'x c) cos2x 1+cos2x 2

Dokaz: a) cos2x = cos2x-sin2x = cos2x--(1-cos2x) = cos2x - 1 + cos2x = 2cos2x - J. b) cos2x = cos2x-sin2x = (1·~sin2x)---sin2x = 1-sin2x - sin2x = 1-- 2sin2x. c) Prema dokazanom pod a) je cos2x = 2cos2x-I, odakle sl1jedi:

cos2x = 2cos2x- J => 2cos2x = 1 +cos2x -=> cos2x = 1 + cos 2x 2

lzvedimo~ ~~da i formule za tangens i kotangens dvostrukog ugla.

277

d" ,.. Igx +tgy

Aka u a lelOnD] formuh tg (x+y) := --"'----''''­

I-Igxtgy uzmemo da je x=y=a, dobije se

formula Iga +Iga

tg2a = , odnosno, 1- tgalga

2tga tg2a= .

I-tg'a

n . n , a,,-(2k+1),a,,-(2m+1),k,IlIEZ

2. . . .. '. 4.

Na analogan nacin, polazc6i od formule ctgxcIgy-1

ctg (x+y) = • clgy +clgx

Primjer 5: Aka je tga = 3, a u trccem kvadrantu, izracunati tg2O',.

Rjdenjc: tg2a = 21ga

1 - Ig20:

6

1-9 6

-8 3

4

Primjer 6: Ako je SIIlX = a odrediti sin3x, cos3x i tg3x.

dobije se:

Rjescnjc: Zadatak cerna rijesiti u opccm siucaju, a na kraju cerno uvrstiti konkretnu vrijednost:

sin3x = sin (2x+x) = sin2xcosx+cos2xsinx = 2sinxcos2x+cos2xsinx =

, [ 0 (I '2) ,2 1 ' [3 0' 2 ,1 1 ' (3 4' 2 = SInx .> - SIn X - sm x = S111X - .JSlO X ~ sm x = SIllX - sm x).

Zamjenom date vrijcdnosti u dobivenu formulu za sin3x dobije se:

sin3x = sinx (3 - 4sin2x) = a (3 - 4a2),

278

Odredimo cos3x U opcem slucaju:

cos3x = cos(2x+x) = cos2xcosx - sin2xsinx =

= (cos2x _ sin2x)cosx - (2sinxcosx)sinx = cosx(cos2x - sin2x .... 2sin2x)=

Na kraju odredimo tg3x:

tg3x = sin 3x =

cos 3x

a(3-4a2)

JI-a'" (1-4a 2)

279

13.15.2. Trigonometrijske funkcije poloville ugla

P.,:imjenom .~dicjonih ~?rmule ~ogu se dobiti formule kojima se izracunavaju t'lgo~?lTIetnJske .. fun~:1Je polovme ugla pomocll trigonornetrijskih funkcija ugla. POkazilTIO to u sli]edeCIlTI redovima! Sabiranjem dviju poznatih formula dobije se:

cos 2 ~ 1+ cosu 2 Z

2eDs 2 ~::;:::-l+cosa 2

cos a = ±Jl.+ cos a . 2 ···2

Oduzimanjem istih relacija dobije se:

1 cos' ~ - sin' ~ ~ cO{Z ~)f

• 2 ct 1- cosu SIn -=----

2 Z

2 ' ,U sm ~=l-cosa 2

. a /l~c()so: sm 2' = ±v ~'''::2==-

KoristeCi definicije tangensa i kotangensa i izvedene relacije dobije 5e:

s'in ~~ ± JI -. cOSO'. ,-,,- f""1"'------' 0: ? " .2 __ ±.~l-. CQSO:

Ig - = ---= --i'==~~ 2 cos"'- /11 + cos.':. 1+ cosa

2 '\ 2

0:

ctg 0:.= COSi = ± 1+ c.osa 2 sin 5'.. 1 - GOSU

2

Primjcr 1: Aka je sina=--~, 1800 < a < 2700 izracunati . ex 5 ,SIll2, Rjesenje: Prvo treba odrediti cosa._

280

cos~ 2

tg': . 2

cos'ex + sin'o: = I "" COS'" = I - sin'a = I - ( -1)' =1- ~~ = ;5

_ 3 => cosa---.

5

Sada se Yrijednost izracunatog kosinusa neposredno uvrstava u formule za polovinu

ugla:

P · 2lJ ." 2 ,a rtmjer : prostttl lZfaz cos - - cosa. 2

r I ""12

R"" . J 2 a J I ! I + coset ! jCSCDJC: ... COS' - - CDSU = .... i I I

2 L j 2 J - coso:. =

1 + coso: = 2. ----- - COSCX = 1 + casu - cosO!. = 1.

2

x x Primjer 3: Dokazati identitet: sinx - cosx·tg- :;;: tg-

2 2

Dokaz: Svaka trigonometrijska funkcija se maze izraziti pomocu tangensa poIDvine x

argument'!._ Ovdje celTIO sinx i cosx izraziti pomocu tg-- i zamijeniti-u-.~ 2

281

-~

izraz na Iijevoj strani. Nakon izvrscnih operacija sa izrazima dobije se desna strana identiteta:

. • X X x smx = 5111(2· - ) = 2sin ~ cos-

2 sin ~ cos':: 2 ?

2 2 2

. x X 2sln~cos-_~._.2_~

2 x COS ~

2 X . 2 X COS - + Sin ~._2 ___ 2

7 X cos- -

2

2sin .x: ___ .£.

x cos-

2

2 X coS ._-2

2 X • 2 X X X X cos - - sm ~

cosx:= cos(2· - ) = cosl ~ __ sinl _ = _~2,,-. 2 222

x . x 21g-

SInX - cosx.tg _ = __ -,2'-... 2

x X '3 x 21g - - Ig- + tg -

2 2 2

1 + tg 2 x:. 2

Pitanja za p0I111vljal1je:

cos2 ~_ + sin 2 x 2 2

x 1+ tg 2

-

2

x 2Ig-·

2 , x

l+lg-··-2

2 X 1 + tg .-2

1+tg2 x:. 2

1. Kako se izvodeformule za trigonometrijskefunkcije dvostrukog ug/a?

x Ig-.

2

2. Preka kaje funkcije se, obicno, izrazavaju trigonometrijskefunkcije p%vine ugia?

282

Zadaci za vjezbu:

J 3.94. Aka je eosa = ~, a ostar ugao, odrediti sin2a, cos2a, tg2a i ctg2a. 5

13.95. Aka je tgx = 2, xu trecem kvadrantu, izracunati sin2x, cos2x i tg2x.

13.96. Izraziti sinx, cosx i tgx pomacu tg -==- , 2

13.97. Aka je tg':: = 2, izracunati vrijednast izraza sm x 2 3-2cosx

13.98. Izracunati: a) 2sinI5°cosI5° b) 2sin22°30'cos22°30'

13.99. Aka je casx = ~ odrediti sin2x, cas2x i tg2x. l+a

c) 1-2sin2 15°

! 3,100. Ako su date vrijednosti cosa= -~ ,slnJ3= ~ , a u cetvrtom, J3 u dmgom 3 3

kvadrantu, izracunati sin(2a+~), cos(a-2~). 13.1 0 I. Uprostiti izraz:

a) 1-8sin2aeas2a b) 2cos40°cos50°

Dokazati da vrijcde jednakosti:

13.102.a) 4sin 18°cos36° ~ I

13.103.a) 1+cos2x+2sin2x=2

b)

c) cos2a+2sin2a

13.104.a) 8cosIO°cos20°cos40° = ctglO° b) ~~~_n3x _ eos~:: =2 sin x cos x

13.105. Dokazati identitet: sinxsin( 60 0-x)sin( 600 +x) ~ .I. ·sin3x. 4

, x 1 ~ cosx 13.106. Dokazatt: tg- = , (x*k1t, kEZ).

2 sin x x '" ... . sinx+2cosx

13.107. Ako je tg- ~ 2 IzracunatI vflJcdnost Izraza ------2 tgx-ctgx

13.108. Bez upotrebe ka!kulatora i tablica izracunati: a) cosl5° b) sinl5° c) tgl5° d) ctgl5°

13.109. Izracunati vrijednosti svih trigonometrijskih funkcUa od ~. 8

13.110. Odrediti vrijcdnosti triganamctrijskih funkeija ad ~ , ako je 2

sina~- .if2 , c( E (n, 3TI.) .. 9 ,2 .

283

13.111. Odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkeija od ~ . akoJ'e 2 .

12 (311 '\ cosa.= -13' a E 1('2)-

13.112. Ako je eos2x =- ~ i 45° < x < 90°, izracunati etg!·. 2 2

X X 13.113. Izraziti tg- i ctg·· pomoeu tgx.

2 2

Uprostiti date izraze:

smx l+cosx ~ x 2 13.114.a)-- b) --_·tg'--{;osx e) . x 1 - cos x 2 . sm --

l-sinx 2(n xl - erg ~ - -)

l+sinx 2 2/ 2

13.IIS.a) cos 2 a. -sin 2 a,

sina cosa b) 2eos'a -I

1-2sin 2 a

cosa Sina e) -- - ~ ....

sina cosu

Dokazati datu identiCnost: 13.1I6.a) cos42x-sin42x=cos4x b) sin2x-tgx = cos2xtgx

sin2x+ 2sinx 2 x 13.1 17.a) =elg-

2sinx-sin2x 2 1 1

b) - ... - - -- =tg2x 1- tgx 1 + tgx

abc 13.118.Akojeeosu=-.~. cosl3=~~, cosy = ~~,

b+c a+c a+b

dk 'd" 2 U 2i> 2Y 1 o azall. a vf1Jedi: tg - + tg ~ + tg .- = . 222

13.119. Akoje a+I3+y= 11 dokazati daje:

sina + sinl3 + sin'V = 4·cos ~ cos ~ cos L . , 2 2 2

284

13.16. Transformacija zhira trigonometrijskih fllnkcija u proizYod (pmuukt)

Zbir (raz!ika) dviju trigonometrijskih funkcija moze se transformirati u proizvod trigonomclrijskih funkcija. Poksz,imo 10 za slijcdc6e slucajc\'c:

sinx ± siny , cosx ± cosy, tgx ± tg)' , ctgx ± ctgy .

Pooill1o od i-ldicionih formula za sinus:

sin(a-+-~) = sinacosjJ+ coso_sinD -+-sin((l--~) = sinacos~ cosasin!J -=>

Aka iZYfSimo s!ijedece zan~iene:

c(+r-~=x

{)(-i3~y

i rijcsimo sistClll po a i P dohiyamo: X -1- l'

a-;:::.~~ x - 1} D=" .J " --.

2 o

7nll:jenolll nijednosti 0:+ p, CL-jJ, (L i (3 dohijc se:

!lto prcdst3\'Ua formulu za transformiranjc zbil'tl d\'i1 simlsa u proi:z:yod.

Koristcci npravo doblycnu formuiu i osobine parnosti SllltlSiJ i kosinns<l, dobijc 5C

s!ije-deb formula:

sinx - siny = sinx -+- sine -y) =:=: 2·51n x - y cos ~~~_~

x­= 2sin

'";,

Pdmjcr 1; PrctYoriti n proiz\"od:

2 2

a) sin43°+sin17° b) sin42°-sin'7~r-'

285

b) "42° "780 2" 42' -7So 420

+78° sm -Sin. = SIll cos---~

2 2 =2sin (-ISO)cos60° =-5inI8°,

c) "110° "1300 ?" 110°-130' _1_IO,--'_+ __ I3--,O~o sm - sm = _sm ~cos

2 2 = 2sin(-lOO)cos120° = 2sinl O°cos60° = sin 1 0°.

Primjer 2: Transfonnisati u proizvod: a) sina+2sin2a+sin3a

Rjdcnje: a) sina+2sin2a+sin3cx = (sina+sin3a)+2sin2a =

. a +3a a-30:.. . = 25m ---cos ~~-- + 2sm2a = 2sm2acos(-a) + 2sm2a = 2 2

= 2sin2acosa+2sin2a = 2sin2a(cosa+ 1) =

= 2sin2a( cos' "c - sin' "'. + cos' "c + sin' "c ) = 2 2 2 2

= 2sin2a·2cos2 ~ = 4·sin2acos2 ~. 2 2

b) sin54°+sin40o+sinJ4° = 2sin 54° + 40° 2

54° _40 0 "

cos~-··--- + sm14° = 2

2 · 940

140

• 40 " ° 70 "14° = SIn -- cos -- + sm 1 = 25m47 cos + SIll = 2 2

Pokailmo sada kaka se zbir i razlika kosinusa pretvaraju u proizvod. Ponovo cerna koristiti adicione tOrI1mle, samo ovoga puta za kosinus:

cos(a+~) = cosacosp-sincxsinp + cos(a-lJ) = cosacosll+sinasinlJ "" cos(ex+lJ)+cos(ex-13) = 2cosacoslJ "

Uvedimo iste smjene: ex+13~x

a-·i3~y

i rijeSimo sistem po a i B: a = x i--~ , f3 = x; y .

<_ Zamjenom vrijednosti a+{3, a~J3, a i j3 u navedenu rela~iju zq zbir kosin usa, dobije se:

286

. .x+y x- y 'COSX,+ cCisy=;2cos,-.. -. -/:--'cos-.. -.-............. .. 2 . 2

Analogno se dobije i sljedeca formula kojom se razlika kosin usa pretvara u proi:tvod:

. .. ; x+y " x- y c,osx:"" cosy = - 2sm --sln--·-..

.. ;2 2

Primjcr 3: Pretvoriti u proizvod date izraze: a) eos65°+eos55° b) eos35°--cos85° c) cosl000+sin10°

Rjcsenje:a) _ 65° + 55° 65° - 55°

eos6jo+cos55° = 2eos cos---- = 2 2

120° 10° 2 600 50 50 = 2eos --cos -- = cos cos = cos . 2 2

" 35° +85 0 " 35° -85° " 120° " - 50°

b) eos35°-cos85° =-2SIn Slll::':~"::'''- =-2SIll--stn--- = 2 2 2 2

= -2sin600sin( _25°) = .J3 sin25°"

100°+800

1000 -80 0

c) cos 1000 + sin 100 .:::. cos lOO°,sin80° = 2eas cos -----

2 2

Primjer 4: Transformisati u proizvod: a) sina+sinlJ+sin(ex+i3) b) eos2a+eos3a+cos4a

Rjcscnje: Primijenimo formulu za pretvaranje zbira sinusa u proizvod i formulu za sinus dvostrukog ugla, a zatim racunajmo:

a) sina+sinlJ+sin( 0:+13) = 2sin '" + Peas a - 13_ + 2sin '" + p. cos '" + p. = 2 2 2 2

= 2sin '" + P (cos ex -lJ +cos '" + P ) ~ 2 2 2

a - lJ a + 13 "'-::"Jl. _ ex +~_ ---+----= 2sin'" + P .2"cos--"-----"~ cos_..,2~ __ ""2~

2 2 2

= 4sin·'" + P cos a -""",,13'-.+'-.a:::.....+--"..13 cos ex - i3 - (0: + 13) ~ 244

287

;:;:;: 4sin~~ cos 2a C05= 2(3 ::::: 4sin a + ~_ cos~ cos~ 2 4 4 2 2 2

b) cos2a + cos3a + cos4o:. = (cos20'. + cos4a) + cos3a. =

,.., 2ex +4a 2a ~4a = Leos --~ cos + cos3a = 2 2

= 2cos30'.c05 (--a) + cos3a = cos3a (2cosa + 1) =

__ "" I - ..c,cos-,a(cosa + -) = 2cos3a(cosa + cos600):::::

2

" ex + 60° a ~ 60° ex = 4·cos.)0'.cos --.. - cos ~~- = 4cos3acos (_ + 30°) cos( ~- - 30°).

2 2 2 2

Pokazimo kako se zbir (razlika) dva tange,nsa iii elva kotangensa prctYardju II proizvod.

I -,-. , SIn X SID v 19X + tgy = -~,--" + ---.::::..- =

cosx COS)"

SIn X

COSx

sm x COST + cos X Sill .1'

Cos.yeOS y

cosxcos )'

sin (.~-+ y) .

cos.\ cos y

cos X COS.r 1III !gx ~ tgy ~

co:::: x {'tgx + ctgy = -~_ - +

cos = ~~n y_co~,"x +_~:::_:_L~~~n .\~ y) - -----

r smx sin y '---

Sl1l,Xslny .~--

Pyimipy 5: Transformisati u proi/\'od:

a) tg19° + tgl1° b) tg40° + ctg40°

sin(190+110) sb30 0

sin XS111 Y

c) - tgx

Hjdcnjc: a) tg 19° + tg 11 ° = c0519° cos] 1° cos 19{) cos 111)

b) tg40° -+ ctg40° = tg400-, = 3!O (~,_O~.~ 50.~ cos 40° cos 50°

sin 90° ~~---~~-.. -cos 40° cos ~Oo

288

i I

c) c sin (60 0 ~ x)

y 3 -. tgx ~ tg60" ~ tgx ~ ~-'-7"~-'-cos 60° COS);

sin(60D~x)

I . cos):

25;n(600 ~x).

cosx

Pitanja za ponavljanjc:

1. Kako sc :bir Sil1llSa pretvara u proi::vod? 2. iv/aie li sc ra::lika kosinlfsa prelvoriti u proi::vod kosinusa? 3. Zhir dl'(l tangen'}(J .'Ie prclvara 11 kolicnik Kako?

Zadaci za yjczhu:

Date izraze pretvoriti u proizvod:

13.120.a) sin)Oo~sin I 0° h) sin] 10°-i--sin70°

13.121.a) cos700-cos20° b) cos33°'--C0577° c) sinJ62°-sin18° c) cos 170o-~-cos 10°

13,122.3) sin28°+sin8°+sin20° 13.123.a) cosx-t-cos3x+cos5x+cos7x

b) sin7Go - sln20° -+ sinSO° b) sinx + sin2x + sin3x

13.1:24.a) tg12°+tglW'

13.125.a) ctgl02°-i--ctg8° b) sinx + tgx

c") ~ctgx +- ,./3 d) tg?x ~ ctg'\

c) C05X -+ ctgx 1 J .126.3) tg300 --1- tg40° --i tg50° -+ tg60° 13.127, Cpros1iti izraz:

I a) ___ _

c)

tg2a tg<:l + 1

sinu. sin3a +sin:ia -+5in7:.:-1

cos a -,. cos 3(1 + cos 5n cos 7u.

13.128. DokJ7alr identicnosti:

COSO" cos 3et b) .----c

sin 3fJ sma.

a) casa -- ~.~~~ 3a +":05 Sa -=_ cO~.?~_ c=; tg(X sina + sin 30: + sin 5a -t- sin 7a -

b) sina-2sin2a +sin3rr '"' ------~.~ ... ~.---.-~~~~- = tg-.:a. cosa ·_·2 cos 2ft + cos 30:

tgRI O

:.89

13.17. Primjeri transformacija trigonometrijskih izraza

Primjer 1: Uprostiti izraz: sinacoscxcos2acos4acos8a.

. '" . . (2sinacosa)cos2acos4acos&x RJcsenJc: smacosacos2acos4acos8a := = 2

= sin2acos2acos4acos8a = (2sin2ac<:s2a.)cos4acos&x = 2 4

= sin4acos4acos8a = (2sin4acos4a)cos&x

4 8 = 2sin8a cos8a

16 sin 16a ---.

16

sin Sa cosSa

8

Primjcr 2: Uprostiti izraz: -.!,g8?- - tg3a -(cos4acosa _ sin4o:sina). l+tg8a tg3a

Rjcsenjc: tgSa - tg3a .(cos4acosa _. sin4asina) ~ tg(8a-3a).cos(4a+a) ~ 1+ tg8a tg3a

sin 5a "5 . = tgSa-casSa = - __ -cos5a = SIn a. cos5a

~.)1I I 2J1t: ex

Primjcr 3: Uprostiti izraz (" \ (") Stn~ ---CX)TCOS1a +C05 -+a 2tg-

2 \ 2 . __ 2_

sin(2a +7r) 1-tg' a_ 2

Rjesenje: Aka dati izraz oznacimo sa A, tada vrijedi:

A~ (-cosa)'+cos2a+(sina)' .til2.':.) =

sin 2a COS 11: + cos2a sinn 2 2 2 '2'2 2 2

~<:~_ ex + cos a - Sill ex + 510 a .tga = cos ex - sin 20:' 2 sin a cosa

Primjer 4: Dokazati jcdnakost: 7r 27< 4n _ I cos _ -cos.-_ - -cos -- - -;:: <

9 9 9 8 290

. sino:: =-1. cosa

'I ,

f

( 7r n ) 2n 4n

l2<sin <cos- cos-cos-7r 27r 4n 9 9 9 9_ Rjdenje: cos - -cos _~, -cos - = " ___ -. 9 9 9 2. sin '-'-

9

2 2n 4n . 2" 2" 47r sin-~cos-cos- 2-SlD'---cos-cos-• 47< 47r

sm - cos --.. ~ 9 9 __ -'1...-= ___ 9 __ 9 9 9 9

. 7r Z ·sm-

9

. n 4· sm·-

9 _ 4n 4n

25lD --~cos-9 9

. n g -5m-

9

. 8n Slll-

9 . 7r

g-sm-9

Primjer 5: Dokazati idcntitet

sinl" -J} . 7r 8· Sin ..... .

9

. n SlD-

9

8 -sin ~ 9

1

8

- . . a+f3 a+ sin(a+i3) + smeary) + sm(i3-y) ~ 4·slO--- ·cos 2 2

Dokaz: sin(a+i3) + sin(a+y) + sin(i3-y) =

.cos 13 -y . 2

ex +y +[3 -y (a+y)-([3-y)_ ~ sine a+(3) + 2sin '-Z-'--''-----'- cos ---2····---

= 2sin ex. + f3 cos ex. + ~ + 2sin ex. + P cos a ~+ 2y - f3 2 2 2 2

= 2S1'n a + 13 ( a -I- [3 a + 2y -. 13 i = I cos--- + cos )

2 \ 2 2 a+13 a+2y-[3 --+ -~-... ~ .. --~-

= 2sin a -I- 13_ .2eos 2 2 cos _~ __ :--... --" __ 2 2 2

.a+13 a+l3+a+2y-13 a+I3-·a···2y+l3= = 4·sm --_ cos "-- cos __ 2 4 4

. a + [3 a +y 13 -y = 45111--- cos --cos -- . 2 2 2

Primjcr 6: Ako je a+[3+y ~ 7r dokazati daje:

tgcx_tg~ +tg~tg2'.. +tg2'..tg':. ~ 1. 2 2 2 2 2 2

Rjcienjc: Koristeci dati uslov j odgovarajuce formule dobije se:

n 13 y y a a [3 + y (a 13) tg"---tg'='- +tg--tg-- +tg -. tg-=tg-tg-- ,tg- tg-+tg-22222222222

291

,

r sin( "- + F)\ 1 , s;/l"- +~ I ~ tg~ tgJl.. + tgL i -----.i3_2~ I ~ tg"---- tgJl.. + tg 1C - (a + ~ 1 2 2/ =

- 2 11 a ~[ 2 2 2 a i3 l cos'2cos2 J cos-2cos'2 ( a p', . a. 0 .fa 0\,

a B ( n\ SlUl "~+-I Sll1---SlIl--- .. s.ml-.2--+-

2)!

=tg-to-~+tg'=_::::~j. ,,2 2) = 2 2 _ u+P.__ = 2 b 2 1,2 2) ----;·0 --a- '-il + ctg~2' a B

=-=- =-=- =-=~ 2 2 2 2 2 2

. ex . 0 a + i3 . (a 0! a (1 (a B) (a, 0 \ sm sm cos--,~u .. ~ sm .--+---') sin-sin- _ C0st-----1--- sin! --r-,f-:'-I - 2_.1._ + -_.....L... -..\..2. 2 ~ 2 2 -j- \ 2 . 2 _.\3..... 2 ) ~ . "S. a + i3 C( -p ------U-""j3'-(;;'--o\ cos cos- S111- -- oo5--cos--- cos cos--- sin--...L1:::'!

22 2 22 22"7')1 \~ -I

sin~-sin£ coi~+£1 sin~sin.~ +cos(~+Ij\ .. .1._L+_\.2 2)~ 2 2 \2 2 ~

ex i3 ex i3 -- a~-'----cos - cos ~ cos - cos - cos ---- cos __ _

2 L 2 2 2 2 ·,<X,·fl a P .a.p a B

Sll'-;'Slil 2 +COS cOS---Slll-----SID- cos-cos----=-.__..2 ___ 2 __ ...1.._2_ = -------.l....-l. ~ J.

a B a 13 cos -, cos ,- cos ---- cos -2 2 2 2

cos~cos~ 2 2

l3.129. Napisati II obliku prflizyoda:

cosu + cos B a) -"-,-. __ ' _ b) sina + sin 2et -1- sin 30_

1 + cos (rr +- ~)

Uprostiti dati izraz:

.: 3.130.a) l--cos4a+2sin22acos2a b)

13.131.a) ~sa" -cos~ +cos5~~-cos7~ b) sinG -+- sin 3et '. sin Sa + sin 7a

Dokazati date jednakosti:

13.132.a) cos20° c0540° cos~WO = ! 8

292

sina -sin2a +si03(1

Slna + sin 3et + sin Sa

cose + cos 3a ~- cos So.

.ctga _~ ct~~ ctga - tgf3

13. J 33. sin 1 00sin'200sin30osin40°cos 1 0°coS20°C0530°C0540° = _2_ . 256

13.134. sino:+sini3+siny-sin(a+r3+y)=4sinu +_E..sin 13 +[ sin~_~ __ L. 2 2 '2

13. [35. cos(a+p)+cos(fl+y)+cos(cx-y)~4cos rx .. 2

<X+P. y--"---j3 cos --~- cos _. _' ___ -1 . 2 2

l3 136. Ako jc a+p~=TC, dokazati da vrijcdi: ctgactg~+ctgactgy+ctgpctgy = J

13 137.* Aka je sina + sin!3 = a i cosa+cos!3 = b, dokazati daje tada

b2 _a' 2ab cos(a+i3)~-" ---, sin(a+f:l)~-,--;-

a"+b' a-+b-

13.18. Sinusna tcorcma

Neka su a, b i c stranice, a ex. , P i 'i' njima, redom, naspramni uglovi u AABC (SI.13.27.). Ncka .Ie CD visina trougla koja odgovara stranici c.

c a) b)

a ~ h

L1 ........... ~---'------""" A D B DAB

S!'13.27.U svakorn trouglu su stranice trougla propol"cionaine sinusima naspramnih ugiova.

l; pravouglom ,~ACD hipotenuza je AC=b a katete AD i CD~h. Ugao nasuprot kateti CD je a, odnosno 180°-a. Koristeci dcfiniciju slnllsa ostrog ugla 11 pravouglom troug!u, dob~je se:

sinO'.= CD AC

h

b

lz pravollg[og ~BCD dohije se:

293

sin~~ CD ~ ~ BC a

Daljc, vrijedi:

h ~ b· si.na 1 ( ~ a· sin p = b . sina

h ~ a . sm 13 )

h ~ a·sin~ .

a : b = sina : sin p

Na analogan nacin dokazuje se proporcija b:c = sinf3:siIl"f .

Dvije posljednje proporcije mogu se napisati u vidu produzene proporcije

a : b : c = sina : sin~ : siny

koju rijecima mazemo iskazati O\!ako: stranice trollgill Sll proporcionaine sinusima naspramnih ltg/ova.

Navedcna tvrdnja se naziva sillusn3 teorema. Sinusna teorema se mO;l,e napisati u drugom obliku:

a:b = sina:sin~ a b

sma sin 0 odnosno:

b " sin Il smy

Posljednje jcdnakosti rlJCClma se mogu iskazati o\'al\.o: odnos strllllice i StllllSa l111spramnog ug/a II jednom troug/u je kOllstanta.

Kakvo znacenje ima ova konstanta? Neka je .6.ABC upisan u kruznicu. Ncka je radijus ove kruznice R a srediste O. Povllcimo precnik AC'. Uglovi y i AC'B su periferijski ugJovi nad istim lukom, pa su jednaki. Znaci ugao AC'B~y (SI.13.28.) Trougao ABC' je pravougJi sa pravim uglom ABC' (periferijski ugao nad precnikom je pravil. pa koristeci se definicijom sinusa, dobije se:

294

c . AB c smy='-~-

AC 2R

c => -- ~2R.

siny

Na osnovu dobjene jednakosti, sada mOZemo pisati:

abc -~-.-~-~2f,

sina sin Ilsi=n.:.!y~~-, Odnos stranice i sinusa naspramnog uglajednakje precniku opisane !(fUznice aka

SL 13,28. Perifcrijski uglovi nad istim Jukom su jednaki trougla.

Sinusna teorema daje jednu vezu izmedu stranica i ug!ova trougla, pa je moguca njena primjena prilikom IjeSavanja trougla. Pod Ijesavanjem trougla podrazumjjeva se izracunavanje nepoznatih stranica i ugJova trougla na osnovu datih elemcnata. Da bi se trougao mogao rijesiti uvijek moraju biti poznata tri mec1usobno nezavisna elementa (tri stranice iii dvije stranice i jedan ugao iii dva ug,la i jedna stranica). Sil1usna teorcma pogodna je za rjesavanje trougla kada su poznatc dvije stranice i jedan od njima naspramnih uglova i kada sc znaju dva ugla i ma koja stranica. Pokazacemo na primjeru primjenu sinusne teorcmc.

Primjcr 1: Rijcsiti trougao u kome je a = 39, b = 42, a = 95°27'9".

• ... . a b I 1 _... . R Rjcscnje: Prema slnusnoJ teoremIJe-:---. =---:-~ .. ---, oda\. e se moze IzracunatI 8mI--', SIO a SlD 13

a onda i 13: 39sio(1800 -84°32'51") bsina 39sin 95°27'9"

sinl3 ~ ------- ~

a 42 42

39sin84°3~'51" ~ 39.0,.9954.:0. ~ 38,823525 ~ 0,9243696. 42 42 42

sinj3 ~ 0,9243696 =>

Zbir uglova trougJaje 180°, pa vrijedi:

a+Il+y~ 180' => y= 180'-(a+i3)~ 180'-163'l'34"~16'58·26".

Prema sinusnoj,teorcmi vrijedi i slijedecajednakost: --!!-- = -~--. '" 'sma smy

295

I /

odakJe sc dobijc nepoznata stranica c:

C"'" a· sin

sina ~ 39sin 16'58'26"

sin 95"Zr:;;-39·0,2919358

0,9954753 J 1,3854962 ~ 1 J 44 . 0,9954753 '

Od:edivanjcm .?snovnih elemenata trougla (s'vih stranica i syih uglova) smatramo daJc trougao flJcsen.

1. 2. 1. 2.

5. 6.

Pitanja za pOllavljanje:

l!ako se odnose stranice i sinusi suprotnih uglova tmugla? Sla tvrdi sinusan teorema? Vrijedi Ii sinusna teorema za pravougli trougao? Kakvaje veza izmeau radijusa opisane kruinice,jedne stranice i ugla trougla?

,-~ta znaCi rije§ili trougao?

Kada se sinusan teorcma koristi za lje§al'anje trougla?

Zadaci za vjezbu:

Rijesti trougao aka je dato: 13.138.a) a=20, b=27, a~30° b) a=17, b=15, f3=60° 13.139.a) a=25, 14, a=30n , f3=45 0

13.J40. Odredi uglove trougla u komeje:

13.19.

a) R=~, b=J4, y=67°22'48" 8

Kosinusna (corema

b) b=5,a=36°5!"y=J0401S.'

b) R:b=7.J3 :9, y = 60°

Sinusna teorema nUe uvijek pogodna za rjesayanje trougla. Na primjer, ak.o su date sve tri stranice trougla iIi ako su date dvije stranice j ugao izmeau njih, tada nije pogodno primijeniti sinusnu teoremu. U navedenim slucajevima koristi se kosinusna teorcma. Evo ?ita tvrdi ova teorema:

296

Alw su 3 , b i c stranicc, a a , !3 i"{ naspramni uglovi trougla, tada vrijcde jcdnakosti

a2 = b2 + c2 -2bc:co$a b'.=a2 + c~':"2ac·cosf.l c2 =a2 + b2

- 2ab·cosy. b

x

c

c B SI.13.29. Duzi x i (.~X su dijcloyi stranicc AB. Sli! cc sc dcsili ako jc ugao J3 [upi?

Dokaz: Neka je .6.ABC sa stranicama a, b i c i odgovarajucim uglovima a,p i J (S\.13.29.). Neka je CD=hc visina trougla koja odgovara stranici AB. Tada su trouglo\'i I..1ACD i ~BCD pravougli. Oznacimo katetu AD pravouglog l\ACD sa x. Tada je DB=c-x.

Prema definiciji kosinusa ostrog ugla, iz pravouglog ~ACD dobije se: AD

cosa= -- ::::::> AD = AC.cosa => x = b'cosa . AC

Primjenom Pitagorine teoreme na pravougle trouglove AACD i /\.BCD dobije se:

h 2 =b 2_X

2 , h/ =a 2 _(C._X)2

2 2 2 2 a = b + (c-x) - x a2 = b2 + c2

- 2ex

a2 _ (c - xl' ~ b2 _ x2

a2 = b2 + c2--2cx + X 2

_X2

a2 = b2 + c2 - 2cb·cosa.

Na analogan nacin se dokazuju preostale dvije jednakosti.

Iz navedenih jednaktrsti dobiju se nove jednakosti:

b2 +:c 2 :':"a2 a 2 +c 2 _b 1 a 2 +b 1 _c 2 I ~co_s_a_-_-_-__ ~2~b~c~ __ ~, __ c_o_sf3_·_=_·~~~~7~-{~I-C~-__ ·-_-__ ' ___ c_o_s'_r_~ __ ~~2~a~b~ __ ~I·

koje koristimo za odredivanje uglova trougla kada su poznate sve njegove stranice.

Treba istaknuti da u slucaju kada je trougao pravougli i ;,=90° , treca jednakost kosinusne teoreme, jcr je cos90° = 0, postqje

297

5tO .Ie tvrdnja Pitagorinc teoreme.

Primjer 1: Odrediti ncpoznate uglove i stranicu trougla akoje dato: b~7, c~8 i y~60".

Rjcscnjc: KoristeCi kosinusnu teoremu i lIvrstavaqjem datih vrijednosti, dobije sc:

=>

2 ~ 2 ) C _. a -+ b- -- 2abcosy 64~a'+49-7a '

~>

=> 64 = a2 + 49 -14acos60° => a2 -7a-15=0

r-c-c-~> 7+,,'109 8 a:;;; <':j 7?

2 ' ~

76+64-4991 . = -- ~ 0,6522362

2,8,72·8 139,52

fh 49,289582" = 49" 17,3751' = 49" 17' 22",

Preostati nepo7.nati ugao mozerno odrediti koriste6i teorernu 0 zbiru uglova trougla.

(1"/3+y= 180" => a.= 180"_(13+'1)= 180"-109" IT 22"~70"42' 38".

Pitanjll Zll ponm'ljanje:

r ,~!a tvrdi kosinusnQ teorema?

2. U k(yi)~l Slllcajel'imaje kosinusna teorema pogodna za rjesavanje trougla? 3. }'doze lz se kosinusna teorema primijeniti za !jdavanje pravouglog trougla ?

Zadaci za vjezbu:

RijcSiti trougao ako je dato:

13.14I.aJa~Lb=3 c~4

13.142.a) a=13, b~'15, y~600 b) a~ll,b~14, c=7 b) b=18, c~16, a.~120"

! 3.143. Odrediti ugJove trongla u kome je:

c) a~36, b~29, c=25 cJ a~20,c~40,[3=30"

a) a:b=II:6,(x~2j3 b) a:c~35:8, 13~36"52'12"

298

II

13,20, Rjesavanje pravonglog i kosouglog trougla

U prcthodnim paragrafima upoznali smo kako se prunJenom sinusnc i kosinusne teoreme rjeSa"va trougao. Rjesavanje trougla primjenom navedenih teorema nije uslovljeno time da lije trougao ostrougli) pravougli iIi tupougli. Svaki trougao se maze rijcsiti primjenom navedcnih teorema. Medutim, ako je traugao pravougli, tada se njegovom Ijesavanju maze pristupiti bez poznavanja navedenih teorcma. U ovom slucaju .ie dovoljno poznavati definicije trigonometrijskih funkcija ostrog ugla u pravouglom trouglu (i, naravno, odredivanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija bilo pomocu kalkulatora iii posebnih tabJica). U navedenim primjcrima cemo pokazati kako se rje.savaju trouglovi od kojih ce ncki biti i pravougli.

Primjcr 1: Rijesit, pravougli trougao ako je data hipolenu7....a c=30 i kateta a=18. Rjescnjc: Koristeci dcfinkiju sinusa ostrog ugla dobije se:

c

ex

Sl.l3.30. Pri !jcsavaojll trougla nautaj siikul

sina. = ~ = L~ = 0,6 ==> a=36°52'! 2" c 30

Ugao !3 odredujc se iz uslova daje zbir ostrih uglova pravouglog trougJa

jednak 90": }1 = 90°-u = 53°7'48".

Druga katcta (b) se maze odrediti pnmJcnom Pitagarine teorCl11e iii koristcnjem odabranih trigonometrijskih funkcija ugla a. ili /3 .. Odaberimo, ovdje, funkciju kotangens.

b ~ a'ctga ~ 18'ctg36'52'12" ~ 18·0,56250418 ~ 10,13

Odredivanjcm ostrih uglova i ncpoznatc katete trougao je rijesen.

Primjer 2: Rijditi pravougli trougao u kome je data hipotenuza c=45 i ugao

a=34°45'.

Rjcsenje: U ovom s!ucaju najlaksejc odrcditi ugao!3. Trcba same od 90° oduzeti dati

ugao: ~ ~ 90°--(X ~ 90°-34'45' = 55° 15',

DaUc, prema SL13.30. i definiciji trigonometrijskih funkcija, nijcdi:

b cosa = ~ =>. I:i::::::c·cosa "" b ~ 45,c0534°45' ~ 45·0,8216469~36,97,

c

299

a tga ~ b =/ a ~ b·tga ~ 36,9Hg34°45' ~ 36,97·0,6937246 ~ 25,65.

. Primjer 3: Rijesiti trougao u kame je a=11, b=20, c='j O.

Rjdcnje: Prerna kosinusnoj teoremije b 2 +c 2 _a 2 20 2 +10 2 _.,11 2

coso, = _ ._. __ ~ =_.....:. 400 + 1 00 - 121 ._------2bc 2·20·10 40.O

~~b% ~ 0,9475 => cosa ~ 0,9475

cosf3~ .<:' +"2 -b' ~ lJ.'.:c.2CJ'..=20' ~ 121+100-400. ~ 2ac 2 ·11 ·10 220

···179 ~ -- .. -0,813636 ~> cosf3 ~ -0,813636 =/ i3~144°27'l0".

220 Kako jc zbir unutrasnjih uglova trougla 1800 to "rijedi:

Prilikom rjesavanja trougJa pored osnovnih elClllcnata (uglova 1 stranica), ponekada se izracunava i povrsina trougla.

p ~ absil1L ~ ~~~!n 16°53'57" ~ 220 0,71~3398 ~ 791274 2 2 2'

])rimjcr 4: Odrediti uglove trougla u kome je a:b=9:8, p=60°.

Rjescnjc: Prcma siollsnoj teoremi je a:b =: sina:sinp odakle se dobije . _ 9 . sin II _ 9·0,866025 sina : sinp = 9:8 :::::::> SlOa - ______ - ------

8 8

=/ sina ~ 0,9742785 => a ~ 76°58'36". Dalje vrijedi:

a+I3+, ~ 1800 => y-1800-(a+fl)-1800-136°58'36"~43°1'24".

Primjer 5: Dvije silo FI~48 N i F2~60 N djeluju u istoj tacki pod uglom a=109°34134l!, Kolikaje rezultanta ovih sila i koje ug!ove zatvara sa datim silama?

300

Rjescn,ie: Prema SJ.13,31. intcnzitet rezuitante jednak je trecoj stranjci trougla cijc 51.1

dvije stranice jednake intenzitetim3 datih sila. Aka vclicinu rezullante QznaCimo sa R tada, prema kosinl1snoj teoremi, vrijedi:

R2 = F)2 + F/ - 2FJf.ccos(180Q---cx) R2 = 482 + 602

---L- 2-48~60cosl 09°34'34" R2 = 2304 + 3600 - 5760·cos70025'26'' R2 = 5904 - 5760.0)350587 6 = 3974,0615

FI

=> R ~ 63,04 N.

S! 13.31 Sile sc zhmjaju po "p1"<\\ iill paralclograma".

Koristeci kosinusllu teoremu, da!jc se dobUc:

= !~_ RJ =F/ ,.182 +6?,O~' _ .. 60~ = OA425169 casu: ,

2F,R 2·48· 6~UH

Rljeslti pravOllgli trougao ako jc dato (a, b--katetc, c---hipotenuza): 13.144.a) a=9,('1°-oo24°43' b) b=16, P=1,1°]5' c) c~79.a=65°3S'

13.145.a) a=20, b=21 b) b=63, c=65 c) a=44 , C"'"80

Rijditi trougao ako jc dCltO:

13.146.a) a~I(), b~18, c~9

13.147.a) R=26, a~A2, hb=31 b) a"'o::31 , 0=37,12, c=29,01 h) fl, R,

13.148. Rijesiti trougao n korne je a·~b=A. ("£""'98°47'51", p=53°7'48". 13.149. Rljditi trougao ako jc d(lto

3)a=4,ha=12,a=14°jS' b) R.0."y ] 3. j SO. Odrediti l.lg1ovc (rapcza (:~ic su OSrlm icc a= 13 i c=5,a kraci b .,'7 i d=3. 13.1 51. Odrcditi Llg[OYC 1 rapcza cije Sll osnoyic:c a=) 5, c=-6, Cl kraci h=7 i d=4.

13.152. D\-ijc sllc Fir djc!uju li isto.i jncki pod pr.lyim uglom. Odrcditi

rezuilan1"1.l 'ii Oyih siia i ugloyc kojc l:ezu!tanla zaklapa sa F i P 8ko.je:_ a) F~20N,J?~21 N 0) F~I(i"i,P~63N crF~)2N,P"'5X

301

REZULTATI, UPUTE, RJESENJA L STEPENI (POTENCIJE) I KORIJENI

1.1. 125,49, -8,81,4 , 0,0001 l.2.a) 8a3 +3a' b) 2x'+x' 1.4.a) 4'0 b) a' 1.5.a) 2'~ 64 b) 4' 1.6.a) a lO b) XIS

1.7. 16,16,17 1.9.a) a'" b) x3

'

1.10.a) a'+4a+4 b) x3-3x'+3x-l

LILa) 16' b) 15" c) 12' 1.14.a) 8a'b'c' b) r'x-7

•

1.3. a) 46

c) Xl)

c) _3' c) b 14

1.8. -7 c) bJ!n

b) a" d) b' d) 58 d)_al5

c) x'+4xy+41 d) 1 -15x+75x'-125x' 1.12. a-5b' 1.13. a-27b

1.15.a) 4 b) 11 cJ 4 d) 2 c) 2

1.16 .• 23 1.17.a) 5J3 b) 6..J3 c) 4..f5 d) x..JxY e) 3~x- y

1.18.a) Jl2 b) V40 c) Va6x d) ~a5 eJ J(a+b)2(a-b)

1.19.a) s..f5 b) 5..J3-6.fi c) 317+V7 1.20 .• ) 4J6 +5J6-7J6 ~216 b) 8J5-1815+1515~515

c) (x-y-z) ~xyz

1.21.a) .Ji's 1.22.a) iffi 1.23 .• ) 3 J5 - 1

1.24 .• ) 7-4 J3 1.25.a) 3

1.26 .• ) 0fi

b) x.Ja c) J(a + x)x d) xJ2i b) x 3!fJ3 c) !:?:/X

12n+4 =VX3n+

1

b) 2JW+4Ji-.J30-5 c) 6(J2-J3)

b) 34-24.fi b) a

b) ';,18a:81

0) 30-1216 c) 0,4

) 12"-, C "I/x-y

d) 2(a+Ja' -b') d) 4 e) 5

d) ab x

1.27.a) 19 1.28.a) I~ ax'

b) Va'b-6 ? V 2 c) (a-by (a-b) d) 9x5.Jx

1.29.a) 6.Ji

'd) 5(/5+4) -II

l.30:af 5'.[i 2 ,

b) V=xW c)

b) 16 c)

r;: e) -(1+;,3) f)

b)

1~xy2 d) -;J;1 (.fi+3)/5

5

(17 -8)(15 -J3) 2

(1 + f2-J3)Ji '4

303

c) 3(3./4 +V2 +1) 1.31. Uputa: Racionalisati nazivnike, sabrati ih, a zatjm zamijeniti vrijednosti za).

~2 d =J~-Y; =J4~~6 =t~~6~ f2~96~JQ-~)' =3-Analogno je: Rezultat: 1.

1.32.,,) ]

1.33.a) 2(2x'-!)

1.34. I

b) 7

b) x + I b

1.35. -2a

) 612· 1

3-.

C V ·hl

a 1.36.a) --

2 b) M

1.37. *a) Uputa: Oznaciti !ijeyu stranll jednakosti sa x. Kublranjem jednakosti i srediYanjem dobijc se jcdnacina )C' = 40+6x. Ova jednacina s~ moze napisati II

oblikn: x3~6x·~40=O ~ (x __ 4)(X2+4x+ iO) 0 =:> x = 4.

b)

1.J9.*a)t'puta: 6+2F =(-,/5 + 1)2 ~-.--

L40.*a) 1 b) -Va +- 1 1.41.* (1 ___ a)1, a:20, a+:1. 1.42.*a) Ii +li 0) E 1.43.*a) lJputa: 25 +- 416 ;;:: (1 + 2-/6)2. Rczultat: 0

i .44.* A=3.

] ,47,a) ~J125 I

1.48.3) 4' 1.49.a) ] 6

1.50.a) 25

! .52.a)

41

I)

1.53.a) a ls

1.56.a) x-·J.

!.57.a) 0

30A

b) ;fr'

b) 3' b) 3

b) 7 c) 8

-'­b) all

2()~ -~

cJ V~ J

c) a2

c) ')-5 .,

1.51.a)

1.46. * a+b, ab>O

d) V7l e) if;!

d) a· d) 25

3 bJ 1

c) 5 3

.. ::;J a C' • V b" . x

b) ~------. 1.54. 23· ! 0-8 2

,)a+l -a3 D ----,za a> 2; ---, za a < 2

a+2 a+2

,b) 2~~!

i

I ,j

!I' 'I'

1.58. m

2. HOMOTETIJA I SLICNOST 2.J6.NZ\1(a,h)~7 2.17. NZM(a, b)~ 16

1.60* b a

2.1S. "ZM(a. b)=1

2.18. Ncka je ~ABC jednakokraki trollgao s ug!om pri 'IThu od 36° .Na kraku Be odredimo tacku D tako da je AD=AB.Tada je trougao ABD jednakokraki s osnovicom BD i uglom pri nhu od 36°. lato je j trougao ACD jcdnakokraki i vrijcdi CD=AD (=AB). Znacl, ako osnoyicl1 AB nancsemo na krak CD trougJa dobijemo ostatak DB. Sad a oyaj ostatak treba nanijcti na AB. 1\·1cdutim, ponoyo sc radi 0 jednakokrakom tronglu koji pd vrhu ima ugao od 36°. DaJde, radi sc 0

jednakokrakom trouglu koji pri vrhu 1ma ugao od 36°. To LilaC! cia ce se u C nastavku dobiti novi jednakokraki trougao u kome

A

2.22.a) a:b = m:n

2.23. a:b=c:x ==>

=

treba krak mjeriti osnoyicom itd. Postupak se nece zansiti, sto znaCi da su OSnOYTCa i krak posmatranog jcdllakokrakog trongla dvije ncsamjcrljjyC duZi.

2.20.a) :2:5 2.21. 3:1

a m

b n a-b m-n

b) 2:7 c) 5:7

a m ~I = --I

b n

<=> ------ = (a-b): li~ (m--n): n. b n

=> x=6. 2.24. G ~ M =3

2.26. Zadatak se maze rijcsiti racuJlski i graficki. Nckaje x:y:z = 2:3:5. Tada se iz x.+y+z = 20 i x:20::. k, y:3 = k, z:5 = k dobije: 2k+3k+5k=20 ,odnosno 10k=20. k=2; x=4, y=6, z=10. Koristeci posljedice Talesove teoreme, zadatak se jednostaYllo ~jeSaya i

graflcki. 2.27.

}\ ,

2.28. Odrediti tackll T tako daje AT: TA' = 2: I ..

305

~.29. Nekaje vrh A trougla ABC nepristupacan. Povucimo dvije prave od kojih Je yrva par~lelna sa AB a druga sa AC. Neka prva prava sijece stranice trougla Lt taekama P , Q, a druga u tackama MiN. Neka su E i F sredista duti PQ i MN. Presjek prav,h CE i BF je teiiste trougla. Nacrtaj sliku i dokaii.

2.30.

a:l =x:b ~ x=ab b

a

2.31.x:J =a:b 2.32. x:a = a: 1 2.33. Primijeni TalesovLt teoremu. 2.34. b:c = m:n ~ 15:18 = m:(J2··m)

60 .:::::) m=~. 11

0 0 5 ) Nt" d'''' 70. ""'.-' .a ,a s !'antel a 0 SJCCCI SU _

11

stranici C odsjecci su 3 i 4.

2.36. 8 . 12 8. 6 . -1'--'-;_1_ ;211. 5 5 7 7

AM=~,BM=~ a+b a+b

2.37.

.150. .. " 35 lOG. r -. na stialllci b su '~'-, - f na

II 9 9

b) 6 i 8; ~ i 150.. ; 300 i 280.. . 17 17 29 29

-. be ae 2.J8. AN= -- ,BN= _ .... b .. ·a b-a

2.39. Krak b=m+n. m:n=a:b .:::::) m:n=a:(m+n) => a= m(m+n) n

306

'F!

2.41.a) b)

C' 2.45. Ako se odredi tacka D koja je hOl11oteticna sa datom tackom A u odnosu na homotetiju H(T, -2), prave koje sadrie tacku D i paralelne su s datim prayima b i e sijeku te prave u vrhovima B i C traZenog trougla, ... 2.46, Odrediti hOl11oteticnu sliku datog trougla uzimajuci koeficijcnt homotetije k""2. Za cental' homotetije se l110ze uzeti rna koja tacka. 2.47. Centar hOl11otetije je presjek pravih koje prolaze krajevima paralelnih

stranica datih trouglova. 2.48. Konstruisc se rna koja kruznica k(S" R') koja dodiruje krake datog ugla, a

zatim se odredi tacka M' na kruznici koja odgovara tacki M. Centar S traZcnc kruznice odredi sc iz uslova OM:OM' = OS:OS'.

2.49. Koristiti osobinu tezista i uzeti koeficijent homotetijc k = -0,5

2,50. Centar homotetije je presjek zajednickih vanjskih tangenata kruznica (direktna homotetija) i presjek zajednickih unutrasnjih tangenata (inverzna homotetija).

2.51. Odrediti kruznicu opisanu oko datog trougla, a zatim pronaci centar homotetijc date kruznice i dobivene opisane kruznice. Tra.zeni trollgao je homoteticna stika datog,

2.52, Skup sl'cdistaje kruznica kojaje homoteticna s kruznicom k(B, a) u

homotetiji H(A, I. ). 2

2.53. Nekaje Ll.ABC - Ll.DEF i neka su A', B' i C' srediSla odgovarajuCih stranica prvog, aD', E' iF' sredista straniea drugog trougla (81.2.53.). Vrijedi: Ll.ABA' - ADED' (Zasto?). Otudaje AA':DD'=AB:DE . Na ana!ogan nac-in se dokazuje da su i preostale tezisnice proporcionaine odgovarajllCiin strallicarna.· .

307

F

SI.2.S3.

B

2.54. POVllc11ll0 jcdnu tezisnicu, odredimo na lljqj tcl.iste T, pOyucimo visinu na istu straniCll i spustimo normalu 1Z T na tu stranicll. Pronadi dva s]icna trough! iz cijcg odnosa s.tranica slijedi tndnja u zadatku! 2.55. Koristiti dokazano u zadatku 2.53.

2.61. Nacrtati d\cjje \'isine troug!a. T)oCiti da su dva pravougla trougla sa zajednickim vrholll U ortocentru s!icna. [z proporciona!nosti stranica oyih trouglova slijedi tvrdnja.

2.63. Jesu. Oba trougJa imaju ostre uglove od 50° i 400. 2.64. Nisu slicni !

2.65. Nekaje L\ABC dail trougao cljajc stranica A1-3=1 0 i visina CC'=15.

Neka paralela sa AB sijcce druge t.J-\'ije stranice u tackama C DiE, (DE = 4). Tadaje I1ABC-I1DEC pa vrijcdi:

E CC" : CC'= AB : DE x: IS=4:10

IOx=60' x=6.

iO "'-----<l-------O B 2.66. h]-h2=8

AABA' -I1BCC' (h2+8):h2~20: IS

=> h,=b,+8, AB=30,BC=1 S => b,:h,=AB:BC => 111=24 => h!=24+8=32.

A C' B Neka Sll CD i BE \ l'lIle /l()t]gla A..BC i ncka je 26A7l~ '" J~H\

~Jlli A D B

H njihoy presjek. l ;glovi <ACD 1 <DBFt Sll

jednaki (uglovi sa nOfma1nil11 kracima), pa vrijedi: I1BHD-,\/\ DC C~> f-lD: 4 ~ 3 : 6

~> d = 12:6 ~ 2.

2.68.0 = a+b+c=]0, 0'= a'+b'+c' = 60,

-~ = -~ = "- = ~OO = _~ , a'=15, b'=18, c'=27. a' b' c' 60 3

308

2.69. d:20 = 45:d d' = 20-45 d' = 900 d = 30

2.71. x:12=12:9

20 2.70.

45

=> x=16.

11:20=6:8 11'"120:8

0=12+12+9=33 0'=16+16+12=44

9

7 a

B

C ? 5 T- brati tacku C i posmatrati .&ABC (Slika gore dcsno). lzmjer~:i rastqjanj~ CA _.7 .. za '« .. " aralelu A'B' sa AB. Nastala Stl dva shena trougJa. 1 CB, a zatllll povne] p. A' B'.A C

2.76.

AABC-AA'B'C => AB:A'B'=AC:A'C => AB A'e"

N

M

B

Odaberimo tacku A na obali na kojoj se. nalazimo. Nasuprot Oyoj tacki,na drugoJ obali izaberimo tacku M. L\jevo i desno od tacke A izaberirno tacke BiN tako da bude AB=Il1, AN=n. Na pravoj AM izabcrimo tacku C tako daje Be paralelno sa BN. Izmjerlmo AC. Tadaje

AN ·AC AABC-AAMN => x:AN=AC:AB => x=-----;;-B.

1'- 'N Jr . !\A'B'C' dati trougao i J1l data duz.Na polupravoj A '8' 2.77.Ana lza.: e"aJe.~ db' t cku B t.1ko da bude A'B""'I11.

C 0 a erlmo a _ . .

)dIn ' ... ' .' N. cka pra\'a kO.ja sadrzi tacku 13 i kOJaJC. C .... B'C' .. " lupravu ' - ' paralelna sa stranicom ' slJe~e po .

A 'c' u tacki C. Trazeni trougao JC /~.I\ -Be. I( . .. B

309

2.78.Analiza: Nekajc M 'B'C' dati trougao i h data dui. Odredimo visiou

I C ' C'.D'~h' datog trougla. Na polupravoj C'D'

odredliTIO taiSku D tako daje C'D~h. hi Neka norma/a u tacki D sijece poluprave

-_f-'-t,;",;-,"~Bc=-- C"A' i C'B', redom, u tackama A i B. Traieni trougao je i\ABC'.

2.79./\oaliza: Neka je i\AB'C' dati trougao i t data dui. Srcdiste

A

~o--_tt -0 stranice B'C' neka je tacka A' .Na polupravoj AA' odredimo tacku AI tako daje AAI=t Ncka praya koja sadrzj tacku AI i paralelnaje sa pravom B'C' sijece po!uprave A'B' i A'C' redol11,u tackama B i C. Trazeni trougao jc '

B' B MBe. Dokazati!

2.g0.Analiza: Nekajc !lAB'C' dati trougao. Na poJupravoj AB' odabcrimo taiSku C B taka da bude AB ~ 3AB',

C'

A B' B

Neka paralcla sa pravom B'C', koja sadrzi tatku B, sijece polupravu AC' u tacki C. Traulli trougao je L\ABC.

2.8 LAnaJiza: Nckaje M~'C' dati tr~ugao. Povucimo visinu AD' datog trougla. C Na polupravoJ AD' odredimo tacku D tako da bude

0D=2AD'. Neka prava !wja sadrzi tacku D i koja je Je paralelna sa B'C' sijece poluprave AB' i AC' redom

D u tack:ama BiD. Trazeni trougao je.MBc.' , Izvesti konstrukciju i uraditi dokaz!

2.82.Analiza: Nekaje AAB'C' dati trougao. Nekaje AA' jedna tezisnica datog trougla. Na polupravoj AA 'odredimo tacku A"

A" tako daje AA"~2AA'. Pra\'a kroz tacku A" paralelno sa pravom B'C' sijcce poJuprave AB' i AC', redol11, u tackama B i C. !lABC je tra7""ni trougao.

2.S3.Analiza: Konstruisimo pravougli trougao A'B'C cijaje kateta CB'=3

&CA~6 i hipotenuza A'B'~5. Na polupravoj CA' odredimo

B~ odredi~l() tacku A tako daje CA=6.Ncka prava koja .J p.{:o~azl tackom A i kojaje paralelna sa pravom A'B',

A slJece polupravu CB' u tacki B. LiABe je trauni trougao.

3JO

2.84.AnaJiza: Nekaje !lA'B'C' jednakokraki trougao cija je osnovica A 'B '=4 i kraci po 3. Nekaje A'D visina i nekaje DA=6. Tacka A je vrh traz..enog trougla. ltd ...

2.S5.Analiza: Konstruisati trougao A'B'C' cije su straniee 3,5 i 6. Na pravoj

1&=4 koja sadrzi visinu na stranicu B'C' odrecliti C' tacku D tako daje AD~4. Neka prava koja

5 3 saddi tacku D i paralelnaje sa B'C' sijece poluprave A'B' i A'C' u tackama B i C.

A . B Trazcni trougao je !lA'Be. 2.86.Analiza: Kons1.ruisati proizvoljan jednakostranicni trougao ABC i

In naertati .njegovu visinu C'D'. Na polupravoj . D'C' odrediti taiSku D" tako da bude C'D"=A'C'.

Na istoj polupravoj odrediti tacku D tako daje D'D~m (gdje je I1l data duz). Neka prava koja sadrzi tacku D i kojaje paralelna sa pravom D'A' sijece pravu A'B' u tacki A. Simctrala duli AD sijcce pravu C'D u vrhu C traZenog AABC. Izves1i konstrukciju, dokaz i diskusiju.

2.87.Analiza:Nekaje A'8'C' jednakokraki trougao kod kogaje ugao pri vrhu C B' B

C'

SI.2.88.

A B B' jednak datom tiglu. Neka je AD' tezisnica koja odgovara kraku. Na poJupravoj AD' odredimo tacku D tako da je AD~t (gdje je t data duz). Ako prava koja sadrzi tacku D i kojaje parale!na sa pravom B'C' sijece po!uprave AB' i AC' u taiSkama B i C, tadaje traieni trougao ABC (SI.3,87,). 2.88. Analiza: Nckaje ABC trougao koji imajedan ostar ugao «B) jednak datolTI. Na polupravoj CD' kojaje normalna na hipotenuzu A 'B' odredimo tacku E' tako daje AE'~A'B'+CD'. Na polupravoj CD' odredimo tacku E tako daje CE~m, gdje jc 111 data cluz .. Neka Prava koja sadrzi tacku E i paralelnaje sa E'B sijece polupravu CA' u tacki A i neka prava koja prolazi tackom A paralelno sa praVOll! A'B'sijece polupravu CB' u tacki B. Traieni trougao je ~ABC (SI.2.88.).'

311

'(

"

2.89. Anaiiza: Konstruisati ,1AB'C' koji ima dva ugJajednaka datim. Ncka su to uglovi kod vfha A i vrha B'. 'Na polupravoj AB' odredimo tacku B tako da je AR.:::m (gdjc je m data duz jednaka straniei trongJa koji treba konstruisati). Aka prava koja sadrzj tacku B i paraJeJnaje sa pravom B'C', sijece poJupravu AC' u tac1<i C, tadaje L\/\BC trazcni trougaa. Dokazati! (SL2.89.) 2.90. Analiza: Nckaje poznat ugaa kad vrha Ana stranic.i c, stranica c i razmjera

drugih dviju stranica a:b = m:n. Konstruisimo L\AB'C' koji na stranici AB' ima lIgao <A jednak datom uglu i druge dvije stranice su AC'=m i BC'=I1. Na polupravoj AB' odredil11a tacku B tako da je AB '= c (gdje je c data duz). Prava koja prolazi tackam B i parale!naje sa pravom B'C

A B' B sijecc polupravu AC' u trecem vrhu trazenog 1lABC. 2.91. Analiza: U dati trougao ABC upisimo kruznicu k(O, ,') (S1.2.91.). Povllcimo normale iz centra kruznice na stranicc trougJa. Konstruisimo krul.nicu k(O, r), gdjc je r dati poluprecnik. Neka ova kruzl1ica presljeca normale u tackama M, NiP. Prave koje prolaze tackama M, N iti P i paralelne su stranicama datog troug!a sijeku so u vrhovima trazenog troug!a.

SI.2.93. SI.2.91.

D C

. ,

0 C' .

I A B' B

2.92. Analiza: Zadatak se rjesava analogno prethodnom! 2.93. Analiz.a: Nekaje AB'C'D' dati pravougaonik i 111 data dul' (SI.2.93.). Na polupravoj AB' odredimo tacku B tako da je AB=m. Na polupravoj AD' odredimo tacku D tako da je AD:AD'=AB:AB'. Tackama BiD povuclmo paralole sa stranicama datog pravougaonika. Na presjeku ovih paralclaje cctvrti vrh C traienog pravougaonika ABC-D. 2.94. Prema Pitagorll1oj teoremi mozemo odrediti hipotenuzu c=5.

Kateta pravouglog trouglaje geometrijska sredina hipotenuze i svoje projekcije na hipotenuzu, pa je

') 2 __ a 2 b 1 9 16 a-=cp, b = cq => P---, q = ~- => p=-, g= .

c c 5 5 Hipotenuzina vis ina h je geometrijska sredina odsjccaka k?je gradi na

hipotenuzi, pa vrijedi h2 = pq . => h2 = ~.Ic; => h = 12 .. 5 5 5 .

312

I ~I

1.95. a=b=6.J2, h=6 2.96. Dijagonale romba so po love i grade cetiri pravaugla trougla.

- 10 Visina svakog od ovih tfouglo\'a jcdnakaje radijusu upisane kruznice.

32 =>q=-.

5

=> 24

F-.

2.97. +. h' a'b'

5

c

pc· qc p' q = 4m2n2+m4_.2m2n2+n4 = m'1+2m2n2+n4=

2 2 2 2 = (m +n) = c,

pa prcma teorelni 30 slijedi daje trougao pravougli sa katetama a i hi

hipotenuzom c. , 2.99. Dijagonala dijeli pravQugaonik na dva pravollgla trougla. Ako na svakl od

ovih trougloya primijenimo Pitagorinu tcoremu,

b I d ~Ib dobije se: ~ 2a:+2b2=2d2

. 2.100. h=J3:2

2.1 01.Vrho111 C trapcza povucimo paralelu CA' sa krakom AD. Nckajc CE=h

lite vislnajednakokrakog t~ougla. A'.sC. Tad.a se i~. pravoug\og

trougla A 'CE, prema PltagonnoJ teore!l11, doblJC

b b h b ( ..,2 (44 4\2

PI, c B i1'=b'-i a-ci ~2921--~i =841 .. 400~441 => h=21. \2; '\2)

2.102.11=12 2.103. Trazcna duz. x je hipotcnuza trougla cije su katetc dvije date duZi. 2.104. Neka su a, b i c date dU7i Duz y=CD za kqju \T~jcdi /=bc, mol.emo

C konstruisati kao visinu pravougJog

@ ~ trougla kOJ .. a na hiPotenuz. i gra. di .odsjecke koji sujednaki datim duzima b 1 C.

j\1 c B _ Trazena dnz x moze se dobiti kao a hipotenuza prayouglog trougla cije su

katetc data duz a i dobivcna duz y.

2.105. Zadatak se rjcsava analogno prethodno!l1. 2.106. Kako je x=~2:b ¢:;> a2=bx, to se nepoznata duz x moze dobiti .. konstrukcijo~ pravouglog troug!a cijaje Y1S111a koja odgova.ra hir.0t~n~zl Jcdnaka datoj dul.i a i pri tome je jedan od odsjec:aka na k?\e o\'~ \'1Sma ~lJel~ hlp~tenuzu jerlnak datoj 9-uzi b. Drugi 'odsjecak na hipoten.uzi Je trazena duz x. Izvestl

konstrukciju i dokaz. 313

SI.2.106. SI.122.~ 0

b a ~ 2.107. x IS

. !<o~l~tr~isa~j pravougli trougao kad koga hipotenu;ina visina h odsijeca V~:i:~~Otl.° sJccke Jednake datim duzima. Trazena geometrijska sredina je upravo

2.108. Kakoje O I=3.! to et ' 'd' , .. d .~. '"") . 7 ,.:'"' ' s razend liZ x maze odredltl kao geomctrijska sredina

liZ! .J I . (\ ld! prethodni zadatak!). 2.109. Trazcna duz x je geomctrijska sredina duzi 7 i 2. 2.110. Jednaki trouoj )v" . " I . k ,. .

. . b ( I UDaJU jee 1M e povrsme. Aka JC strani"a prvorr tro 1 Vlsma h, stranica druo-o " ," I ' " w ~ 0 ug a a,

o g a, a \ 15ll1a 1, a stranlca trazenog x a visina H t d' ," d· . ' • , a a VrIJe 1 ah = xH 1 a':x = h':H

odakle se maze d d" .. II , .. ( . ~. " 0 re III VISll1a -- clJom konstrukcijom dalje nije tcsko odredit" fazenl trougao. " I

2.ll] Aka SU stranice' "k' b . x2=ab .p~~vouga?nl '.a a~. ,a strar:ica kvadrata x tada vrijedi

') .. Kollstrukcljom dUZI x doblje sc stramca traienog kvadrata •. 1 12. OSIlOvlce (rape AD . BC T 'k . AC P . J <: za s.u I . ac 'om B povucimo paraJeJu s dijagonalolTI J' . resJe ( OVe ~araJc/c I prave AD oznaeilTIO sa M. Trouoao BMD je ravouoli s llpotenuzom MD 1 odsjeccir~1a na njoj MA i AD. Zato \Tijedi' P t>

K'. BM'~MD·MA, BD'~MD·AD. ako je AMBC paralelogram, to \Tijede jednakosti:

" _,. MA ~ BC i BM ~ AC. Konstcnjcm navcdenih jcdnakosti dobijc se:

lJD ~ l!.12 =:!MD AD = )AD ~ -JAn- = r;; . AC B.A.! J.lvlD.AfA .,./MA -lEe ,.k.

2.1 13. Ncka JC L\ABC ma kakav dati trougao. Povucimo visinu AD=ha> Prcma Pitagorinoj teorcmi primijenjenoj na

oba p;:v~ug!a tr~ugl:, 6.A~p i L\BCD, dobije se: ha -b '-x, ha-= c--(a-xr

-> b2 2~ 2 7 .., I 7 , - ..,-x,-'c -(a-xt => h"-x-= c--(a~-2ax+x2) '>b-- JJ 2' " --= -x =C-a"+ ax-x- => 2ax = a-+b-_c2

x

h, c

a-x

C D B 2a

D· r . I 2 .., ") , ( 2 -I b 2 2 <I)eJe, 1" = b'-[= (b+x)(b-x)~ 'l' b+_a_._~

2a

(?ab 2 b' " l 2"'''' '\ = I_-_~·a. + -c 'I' 2ab-a -b- +C-j_ I ') - -\ ~a ) 2a

314

I

i I

2.114. 2.115.

= (a' +2ab+b2)-'c')(c

2 _(a' -2ab+b

2 )1_ 2a 2a

~---)-

( b ' 2 , ( b)2 = _-"+ ) -c C - a- .. ,(a+b+c)(a+b--c) (c+a-b)(c_::_a+b)~

2a 2a 2a 2a = (a+b+0Sa+b+c-2c). (a+b+c-2b)(a+b+c-2a)

2a 2a 2s(2s - 2a)(2s - 2b)(2s - 2c) I?:,:,<,,-~ ales - b )(s - c) 4s(s - ales - b )(s - c)

=>

4a2

, 2 (rc-----;-:--:-:-:--c h;= -·,s(s-·a)(s-b)(s--c).

a

a'

t2 = (50-R)'-R2= (50-R-R)(25-R+R) ~ I OO(25-R) = 400 ~

4(2R+4)=8' ~ R = 6 .

2.116. PkPB=8·18 ~ PB2 = 16·18 ~ PB=121"2 2.117. t2=20·80 => t = 40. 2.11.8. PkPB=2·16 ~ Pk2PA~32 => PA2=16 ~ PA~4. PB~8. 2.119. s=x+y,x=(+20,y~t-8; t'=(2(+12)(t-8) => (~12,s~36 . 2.120. (R-8)2+ 80 =R' => R~9. 2.! 21, Uputa z.a analizu: Srediste S trazene kruznice pripada simetrali date duzi AB. Ako je T dodirna tacka date kruznice k(O, R) i trazene knl.znjce k(S), tada su taeke 0, S -i T kolinearne, paje tacka S na presjeku ptave OM i simetrale date duzi AB, 2. J 22. Up uta: Posmatraj pravougli trougao ABC sa hipotenuzom c=AB i katctama a=BC i b=AC i nacrtaj kminicu k(A, b) .... 2.123. SrediSte traZ.ene kruznice pripada simetrali 5 datog ugla. Trazena kruznica

prolazi tackon~ 0 i tackom 0' kojaje s njo111 simetricna U odnosu na simetra!u datog ugla i dodirujc pravu kojaje para!clna 5 krakom ugJa na rastojanju R od njega.

2.124. Tupougli 5 tupim uglom kod vrha C. 2.125. Nekaje 0 srediste kruznice opisane oko pravilnog desetougla i neka je AB=a jcdna njegova stranica. Tada je u jednakokrakom trouglu AOB ugao pri vrhu 0 jednak 36°, a ugJovi l1a oSl1ovici AB su po 72°. Neka simetrala ugla kod vrha A sijece krak OB u tacki C. Tadaje i i1ABC jednakokraki sa osnovicom Be (Zasto?).

Jednakokrald je i L1AOC sa osnovicom AO. Otudaje AB ~ AC = OC ~ a.

Kako je jednakokraki ;').AOB sliean sa I1ABC, to vrijedi: AO:AB~AB:BC , odllo5no, R:a ~ a:CR-a), time je tvrdnja u ?.adatku dokazana.

2.126. Podjeliti radijus R po zlatnom presjcku. Veei dio pri ovoj podjeli jcdnak je stranici pravilnog desetougla upisanog u kruznicu. DaJja konstrukcijaje oeita. 2.127. Nekaje AS stranica pravilnog petougla upisanog u kruznicu radijusa R (SJ.2.2a.), a Be stranica pravilnog desetougla kojije upisan u istu kruznicu. Kako je ugaa AO)3 jednak uglu OBC (oba su po nO), to 5U duzi Be i AO paralelne

3J5

(teorema 0 naizrnjenicnim uglovima). Neka je tacka D presjck pravc Be i paraleJe kroz tacku 0 sa stranicom AB.

Tadaje OD~AB=a5 i BD=AO=R=3(,. Nekaje DE tangentna duz koja odgovara tacki D. Tada vrijedi

DE' = DCDB, odnosno DE'=(R-a,o)R "'" R:DE=DE:(R-a,o).

Uporedujuci ovu relaciju sa re!acijom R:a 1 0 = a I o:(R-a I 0) koristcnu u

pretbodnom zadatku, zakljucujc se dajc DE = aiD'

Kako je tangenta kruznice normalna na radijus u dodirnoj tacki, to je L\ODE pravougli, odak!e lla osno\'u Pitagorine teoreme s!ijcdi:

OD2=DE2+0E' "'" AB'=DE2+0E' "'" a/=a,02+a/.

E E c

A

A as B

SJ.2.2a. ? ~ ~

a5-=a IO-+a6- SI.2.2b.

1.128. Konstrukcijom zlatnog presjeka radijusa R date" kruznice, odredi se straniea aro pravilnog dcsetougla upisanog u istu kruznicu, a zatilll se konstrukcijom pravouglog trougla cije su katete aID i R(=%) dobije as kao hipotenuza .... 2.129. Neka je ABCDE pravillli petougao (SI.2.2h.). Neka sc dijagonalc AC i BD sijeku u tacki M. Kako je ugao pravilnog pclougla 10So, to su trouglovi AABC i ABCD podudarni i jednakokraki s uglom pri vrhu od lOgo. Dalje Se Yidi da su u L\BMC uglovi liZ stranicu Be jednaki i svaki iznosi po 3~, pa jc j ovaj trougao jednakokraki. To znaci da je 1\,1B=ivfC. I trougao ABMje jednakokraki S osnovicom BM (svaki ugao na ovoj stranici je po 72°). Iz jednakokrakog hARM vidimo da jc AM>MB (nasuprot vcceg ugla u trougJu lczi veca stranica), a kako je MB~MC to je AM>MC, jednakokraki AABC slii,an je jednakokrakorn .6.BYv1C, pa vrijcdi:

AC:BC~BC:MC => AC:AM~AM:MC "'" d,:a,=a,:(d,-a5)'

Kako .ie AM>MC, to znacl da je tackolll M clijagopala AC podijeljena po zlatnom prcsjeku.

Tz provedenog razmatranja moze sezakljuciti i to daje veci diD dijagonale pravill}og pctougJa podijc!jcnc P.O z!atnom presjekujednal\ stranici tog pcloufl!a.

316

::\ ~.

j I

2.130. Prcma prethodnom zadatku) stranica pctollg!aje veci dio dijagonalc

fJodijeljcne po zlatnom presjeku. ,..' 2.131. Sredista straniea trazcnog pctoug!a odreduJu Jcdan pravIla~ petougao. Trazeni pctougao ima vrhove na prcsjeku simetrala datog petougla 1 normaJa II

whO\'im3 da10g lla ove sirnetrale. 2.132. Up uta: "Nekaje A prcsjck po!are p i dal~ tangcn~e. ~ruznica k(P. OA) sijcce po{aru p u dodirnoj lacki B druge tangente kOJa pr~!a~J tackom P. Srcdistc trazene kru7"nice je presjck sirnetr3!e duzi AD i nonnalc u tack! A na datu tangentu.

3. SKUP KOMI'LEKSNUI BRO.TEV A

3.1.3) 18i 3.2.3) -2 3.3.a) -"i 3.4.a) --I

3.5.a) \1 3.6.a) 0

b) Hi b) -4 b) _.\ c) i b) I

b) 0 b) 23

c) 8; c) -4

c) I c) 24 e) -I

d) \

d) 54i dJ-1 oj d) dJ -2 d) 4

e) I

e) -I ej 465 0) -9

3.7.a) Rez= \ 1mz=-4 b) Rez~-5, Il1lz~ 14 0) Rez ~ _4:.. Imz ~ 11 J 9

3.8.3) 0 b) 0 c) 0

b) 12i ,/3 b) lSi -3i ,,/6

h) 43i c) lSi 3.10.3) 4iJ2 r:; .r:::: ].r::

c) 16i 12 ..J-9i ,/3 3.11.a) 20r '\;'2 "-1 1.,,<)

3.9.a) 8i

3.12. =i4".;'-(i't-(-1)-(I)"(-I)- J{I) -I. 3.I3.a) x~3 b) x=O c) x~-3 d) x"O _ "_ _, __ - '14 -) -4 h'J x=5 c) x=4 d) x-2" j,b,x--8,j--2L J. .3,.\. ' , ", '"1

3.16. Iz sistema jcdnacina 3x-5y = 2, 5x--:?y = 14 dohlJe :e ~.= 4, Y = L.. . __

3.17. RicS3nlnjem sistema = O. ~-" 0 dobUe se x = ·~l,}· - ). . I"" ') z=', '"1 +'1 ',;. 3 J9a) z·--45-41 b) z~~---7-12i 3.~8.a) z= -.:\1 D" - l ~., ", .--

3.20.a)z-20-9i b)z=-7:4; 3.21.3)7--'-' b)z~)9-'1 3.2:2.£1) z=-3+61 h) z=L~~12i c) z=--34+-i 3.23.a) 1\-1Oi b) 5-~-i c) -1-9i

3.24.a) 8 b) -25+35i b)i=2i (.')[=;,,24i 0)

3 Z =

-16-30i 2--11 i 3.25.a) z~=-~ 3+4!

3.26") z"~-64\ 3.27. 0

h) --2-+:2i c) z:'=~46-(.-qi d) 3.28. i-2;) = I (--c-841 3.29. Rez = 0, 1mz = 24

3.30

3.3-I.a)z=15 3.32.a) 6

3.33.3) m=3

b) 3~--)2 b) -16;

0) tn"!

C') z '-'O-::+5i c) n

c) m=-4

d) :=-12-'·7i c) z--o;-::I·4+4i di 15-;-Ei e) -]-i-Si

-, 7 3.34. m n ~

4 2

317

iitr

3.37.a) 2-2i b) ~ -'±i 5 5

c) 2.1. + .I2i I 5 d) - --i

3 3 I I I I . 3.38.a) - ~ --~ - +-1 Z I-i 2 2

c) ._1_=1. - 2..1 2+3i 13 13

""9 ) I + 3 . .>.J .a - _1 5 5

3.40. 2..2 + 234 i . 5 5

3.44. F-l-.!. i 3.45.a) 2

3.46.a) x~ 1,2; y= 1,6

50 50 I

b) - ~-i i

) I I . c - +_1

10 5

d) 2. ~i 50 50

d) _~ _ 22 i 13 13

3.41. Rez~ ~ .lmz- Q

22 5 -+-·i 159 318

3.43.

b)

25 . 50 9 13.

Z=----1

10 10

c) 2249 Q_l) 4

3

b) x-y~l, x+y~2; (x·y~l,x+y~3) ~> X~~,y~.!. iIi x=2,y=1. 2' 2

3.47.a) 2

3.49.a)·1

3.50. z = 3+5i

3.52.a) !zl =11

3.53a) \zl =5

3.54.a) Izl=13

b) -2+~i 2

c) -I 3.48.a) 2 b) 0

( I" h,3 ¥ i-,hJjl b) c) puta: j ) _ I Rezultat: I

\. 2 , .. c) I

b) 17! =?? I"-! ~- cJ Izl=l

bJ Izi =5 c) IzI=5

bJ Izl=l c) 171 = 5£8 I": -2-

3.57. Izl =8 J2

3.51. x = 0, y= -.!. +i 2 2

d) Izl=1 e) Izi =3

d) Izi =5 eJ Izl =10

d) Izl=1 3.55. Izl = 17

_../2 iM 3.58. Z"- + .. _-2 - 2

3.60. Z = ~ -21 (Upula: Uzmi z .. x+yi). k

3.61. Neka je z = X + iy, x, yER. Zamjenom u dati izraz, dobije se:

x -(- yi~· 1 . x + I :.: y1 x 2 -+ x - x)'i --7 xyi + yi + y2 - x -1 + yi _ x +),i + 1 x + 1- yi (x'~ 1)1 + y2-"--'--

x2+/-1+2Yi __ x2+J~~-l- 2y . o ~ - 7' I·

(x + lr + J'~- . (x + lr + (x + IY- + y1

318

Ako je z realan broj, tada je y=O, pa dati izraz ima vrijednost'::~ x E R, sto je x 2 + l'

realan broj.

Ako jc dati izraz realan braj, tadaje ~-.-- = a (x+l)2 +y2 -

-> y = 0, paje z=x, sto

znaci da je z realan broj.

3.63.a) z = 3+5i b) z~4-3i c) z=-2-5i d) z=5-i

3.65. z, ~ -l+2i, Z2 ~ 4-3i, . 2 2 1.

zJ+z2=3-1, Zj'Z2= +!li, zJ:z?=~-+-1 5 5

3.66.z,-2+31, z2=8+5i,

3.67. z, = 2-i, Z2= -3+51,

z,+z?=6+8j Iz +z 1=10 _ , 1 2

z, :Z2= J170 :34.

4. KVADRA TNA .JEDNACINA (JEDNADZBA) d) x~.!. 4.1.a) x= ~ b) x=4: c) x=-l

6 c) x'-10x-IO~0 c) 6x'

2 3 4.2.a) 9x2-8x+3=0 b) 7x2-6x+23~a 4.3.a) 4x2 b) 45x' 4.4.a) -58x b) 2x 4.5.a) II b) 4 4.6.a) -5 b) 33 4.7.a) 777 b) -4 4.8. Na prlmjcr: 6x'+5x = a 4.10. Na primjer: 48x'= 0 4.l1.aJx'.2~O b) XI.2=O

4.12.a)xl,2=±2

c) -·17x c) 3 c) 7 c) 0

4.9. Na primjer: Ilx'-55 = 0

c)Xl,2=O 3

C)Xl"=±-.. 2

4.13.a) x,=O, x2=5 I 5

b) x)=1,x2=---4 c) XJ=-,X2=--2 3

4.14.a) x,=O,x,=-1 b) x,=a, x, ~ 4: c) x,=a, X'=~. 4n d) x,=O, x,=--

5 a 4.15. Pod a) b) 1 d) x=5 je Ijesenje. Pod c) x=5 nije JjeSenje jednacine

4.16.a) xu= ±m' b) Xl,2= ±l x!,2=±2 Xl,2=±i

4.I7.a) Xu = ±3i b) 4.18.a) x1,2=±2i b)

4.19.a)

4 4.20.a)- x,=a, X2=-

. . 17

b) x,.,~±i.J42 3

b) Xj= 0, x,=-4

c) xl,2=±1 c) Nema rjesenja c) xI~O, x2=14

c) X 1,2 = ±-J7

c) x".~±J5

m

319

"j

~::.--.

b 4.2I.a) x, = 0, x,~ -a

b' b) x,=O,x,=-,

a-

c) XI=O, xz=-45a d) x, = 0, x, =-~ - 4

xu=2 b) x',2=-3 c) xl.1=7 d) (x-2)(x-3)=0 =:> x,=2, x,=3. 4.22.a) 4.23.a) 4.24.3) 4.25.a)

xj=2, xz=3 x]=6, xz=4 x!=l-i, x]=l+i

b) x,=-2, x,=-3 c) x,=-·J, x,=2 d) x,~-2, x,=[

I 1 d) x,~_. x,~-. 4' 2 .

c) x,=3, X2= ~ 3

4.27.a) x,=x2=3

4.28.a) x,~-·3, x,=2

4.29.a) x, = -7, x,=4

4.30.a) xl~l, x,~4 4.31.3) x,=2, x2=2a

4.32.a) x [-=a-- !, Xl = a-2

b) x[=4, Xz= -6 c) x[= X2= -7 d) XJ~ ·~3, x2=5 h) xI=[-2i, x2~1+2i c) x,=-2+3i, x2=-2-3i

4.26.3) X,=2,X2=-,-3, b) x,=.~ ,X2= _~. 224

7 4 d) XJ =::_, X2='---'

3 5

b) x,=x,=,]. c) X,=X2= 2 d) x,=-~,X2=,-3, 2 5 2 5

_ . -0 .. 4(-1±12) b) xj-~-10, X2- ~O c) x],Z- -_.--- cl) x(,'''-3, xz=9

b) x,=5+i, x,~ 5"1

b) x,~2, x2~30

b) xl=-'2a, X2 =3a

I b) Xj=-.:J, Xz=-, a*' 0

a _ 2a + 1 ± -l4~'-=~

b) xl.2-"--"- ... _ 2

5

c) xl.1= ll..,=,----4

c) xj=3, x2=7 c) Xu = m-J. n

4.38. x,~ a + b, X2~ a-b, (a*--b)

4 a+1 .39.a¢O,a:;t=I,a*~-2: xJ=-1,x2=-- Zaa~ [,x---I; I za a = --2, x = -. __ a-I

4.40.a) D~ b'J\ac ~ 9-8~ 1 b) D~5 4.41.a) D=9a2-4a b) D = 4m2-12m 4.42.a) D=69>0 => Xl.:;i:XZ, xl, X2ER

konjugovano-komplcksni brojevl. d) D = 61 => Xj¢Xb x], X2ER.

4.43. D=O, k)=5, k2=~. 7

c) D~16 c) D=25m2-j-8m-8

3

d) D=16 d) D=4m2

b) D=~23<O ~ xli X2SU

c) D=O =:> x,=x,.

4.45.a) x2_'2.x + 5 ~ 0 0) x2+~x-3=O c) x2 +~ x -t_~ - 0 3 2 5 2

31046 a) x, .. X2= 4 0) Xj+X2 = 45 c) Xj+ X2= --=202

4.47.a) xI'x2~-35 4.48.a) x,+x, ~ 4 4.49.a) x"x2~6 4.50.a) x2-6x+8=0 4.5I.a) x'-4x+5=0

b) x,·x,=99 b) x!+x2=-7 b) x,x,~2

cJ x,'X,= 55

4.52. Xl+X2= -~ ::::> 2

b) x'+x-12~0 b) x2+8x+20~0

1 [ .. )\2=--- --XI =-- - --=-- =-2.

2 2 2

c) XI-+X2 =-5 c) x,·x2~-6

c) x2-!-6x+5=O c) x'-IOx+34=0

4.54. k:= -2, k2= 1.

4.55. q ~-3 4.56. P ~ q -- ° iii p" L q =·2 150 4.58. m=6 m = --.

, 13 31 4.59.111 =--85

4.61. x' .. · 343x + 81 -- ° 4.62.

4p'-8q-12p+[S

(4q-6pI9)'

4.63. 2q+p-2~0 4.64. a'y2+(b3-3ahc)y+c3 =0. 4.65.D~4(-6m+13), S=xj+x,~2(m-3), P=x,·x'~m'-4.

D=O =:> m~ i2 ; D>O 6

x x 4.66. -- ---=96 ::::) X ~-_t:'24

2 3

m< i2 ; D<O =:> 6

4.67. :1:.8

4.69. Za 3. 4.70. a=24,b=10 4.72. PmTsina kocke sc smanjila za 96 kyadratnihjcdinica.

4.68.131li 3L

4,71. ~O! 20 sa1i

321

4.73. 16 km na sat

4.75. PI ~ 45, P2~ 36

4.74. a~6, b~8, c~IO

(Uputa: Koristiti zakan optike ~ + ~ ~ ~). p q f

4.76.a) (x"I)(x~) b) (x+3)(x+7) c) (x~2~3i)(x~2+3i) 4.77.a) (3x+l0)(7-x) b) (5x+2)(2x+l) c) (2x-3)(2x-l)

d) (x+2)(x-3) d) (x-5)(2x-l)

4.78.a) (x-·a-b)(x-a+b) b) (x-3a)(x+2a) c) (bx-a)(ax-b) x - 3 x + 5 2x 1 4.79.a) -- b) c) _,-=-x - 4 x + 9 3x + I

4.80. - __ :..., ___ 4.81.* ____ 9_,_ (x -1)(x + J)(x + 2) (2a + 3)(a - 3)

d) x - 6 x + 1

a -I 1 4.82. xl~--, x2~-'-

11-1 n-I

4.84. Uvesti srnjenu: x2--4x+1O "'" 1. Rezultat: xl=l, xz=3; X3A= 2±3i

4.85. Uputa: Brojnik j nazivnik oba razlomka podijeliti sa x, pa uvcsti smjenu 3 3

2x +.- "'" t. Rezultat: xl=2, X2= __ . x 4

4 86 U " I . . vestl smJenu: x +~ = t, oakon po stupka kao L1 prethodnom zadatku.

x

Rezultat: X, 2 ~ 5 ± .J21 . . 2

4.87. lcdnacina se transforrnise u (X2+X)(X2+X_2)=24. Uvesti srnjenu x2+ X "'" 1.

5. 5.1.

KV ADRA TNE FUNKClJE

-5 . -4 " "

I

5.2. Svaka ad funkclja ii prethodriog zada intervalu (0, +co):

322

Rezultat: X, ~ -3, x,~2.

y

'=2x~ 1 ,

v ""'-x , 4

_f>

53. Svaka funkcija ima najmanju vrijednost za x""O. Najvece vrijednosti nema. SA. • 59

2

J'x'+3 , y=x'

2 ' y=x-)

5.5. Svaka od funkcija iz prethodnog zadatka raste u intervalu (---00, 0), a opada u intervalu (0, +eO).

5.6. Svaka funkcija ima najvccu vrijednost za x""'O. Ni jedna od posmatranih funkcija nema najmanju vrijednosti.

5.7.x'2=±2 5.8.y ~14 ., max

5.10.

5.11. m>5

5.13.

y = (x+5)'

..

y=-3x2+5 2 Y = -31<

y =_3X2_2

·S -5 -3 ·2

5.12.

\

323

5.14.

5.15. 'r~Ozax~5 ,r . , \

I

, "\ \

y - 2 -

/

8

5.16. TH,O).

v=_x2

~ ~ _(X_I)2+2 _ -- . ry 2

y- -(X+.2) -·1

-6 -s -4

\ \ \ \ \ \ \

x

5,]9.v =lizaxo:=" -..' ma~ _.,.J ;:'.20. Y min"" 6 za X = -2. 5.21. Fllnkcija rastc 78 x>2,

5.22.1'(5, -51) 5.23. T(c~, .. 2._) 5.24. xl~2, x2~5 5.25. qo, 15) \/65 12

324

:1

5.26. 5.27.

~ ) - x2-5x-6

; I

1\ I I ' I

-.-.lV; I

5.28. T(I,-4), xl~·I, x,=3, qO,-3).

5 3 _ _ 3±J3 T(._, _), Xu - ..... _-, qo, -3). 13 2 2

5.29. 5.30. V = 69 za x=8 - max

5.31. Ymm

= 1 za x=3.

5.32. y=2(x-I)'-·8, X,~ ~I, x,~3, Ymin~ -8, u intervalu (-w, I) funkcUa opada,u

intervalu (I, +00) funkcija rasle, y>O za x<··1 iii x> 3, y<O za -I <x<3, T( I, -8). 5.33.

y=-2x2~8x+l ,

1\: /\1 I 1 r I

5.34. Y = 3(x-3)'+5 ,odnosno, y~3X2·18x+32

5.35. Y --2(x+4)2-3, odnnsno, y--2x'-16x-35

5.36. P=xy , 2x+2y~20

=> y~IO-x, P(x)=x(IO-x)

~> Pma:>.. = 25 za x=5.

Stranic.e pravougaonika su jednake 5. Od 5yih pravougaonika stalnog obima najvetu povrsinu ima kvadrat.

5.37. X + Y ~ 12, S = x' + y', Sex) ~ x2 +(l2-X)2 ~ 2X2_24x+ 144. S. =72 za x=6.

mm

Zbir kvadrata dije!ova broja 12 je najmanji kada su ti dijelovi jednaki 6.

325

6. KV ADRATNA NEJEDNACINA (NEJEDNADZBA) 6.l.a) x,=-2.X2=6 b) x,=-7.x2=1

c) Trinom oema realnih nula. d) XI= ~ ~, X2:= _ ~_

6.2.a) x2

-4X+4 = (x-2) 2, Trinom ima nulu 2 a za sve ostale Y[ijednosti varijable x je pozitivan.

2 2

b) Trinomje pozitivan u interva!ima (--oo,--2)U(I,+oo), a negativan u intervalu (-2, I).

c) Trinomje negativan za sve vrijcdnosti varijable x. d) Trinomje pozitivan za sve (realne) vrijednosti varijable x.

6.3.a) XE(-OO, 0)U(4, +00) b) xE(-2.0) c) XE(O. Jc) d) XE(O, 2.) 2 4

6.4.a) -~ < x < ~~ 3 4 c) Nema rjesenja.

6.5.a) xER b) xER c) Svaki fealan broj osim xc:::.i,.

6.6.a) x<-2, Jc < x < 1, x>4. b) x<l, ~ < x < 2, x>3 4 2

6.7.a) -4<x< 1 b) -2<x<··I, x>o

6.8. -3<x<-2, -1<x<1 7 6.9. x<-_ ,x>5. 5

6.10.a) 1ll'''C--=,-L)U(I,+cx:) b) .-2<m<3 3

6.II.a) IllE("OJ,~ )U(9, +00) b) mEl-co. -2)U(3, TOC) . /

6.12. lTIE(17,+co) 6.13.a) mE(I,'roo)

6.i4. x ~ ~ ,x ::=.1._ 6.1~. -'--.1 ~ x~3 5

326

2

c) I<x<~., x>2. 2

c) x<-I, O<x<Jc ,x>1. 2

1 1 c) m< 4,111>~.

c) mE(-I, ~.) II

b) mE(-4,4)

I 16 x>1+16 l-J2 <x<l+J2 6* -1<xS;1,x>2. 6.17.* x< - .'. .' 6,1. RJ'esenJ'e nejednacineje skup svih reall1lh broJe~Va OSlm 4. 6.] 8* 1 1 4

1-.Ji+40 + + 0 - i x> --;:--6.19,* Akojea>OtadaJex< 2a 2a

Aka je a = 0, tadaje x< .. 1.

1 . I .. ~ Aka je -- < a < 0, tada]e 2a

I+~ < x < ----. __ . 4 20

I . 0 •

Akoje a.:S:-- ,IJesenJanema. 4

7. JEDNACINE (JEDNADZBE) VISEG REDA 7

b) 0, ±JOi c) 0, ±2 7.1.a) 0,±5

7.2.a) -3,-1, I ,3'

7.3.a) ±i.fi., ±iJ5

1 7.4.a) ±I, ±_ 2. 2

b) ±3, ±4

b) ±3i, ±Ili

b) ±3, ±k

c) ±2, ±5

J:.. .J3

c) ± 2'±3

c) ±5, ±k

7.5.a) Smjena: (x+3) = t, 2 l x-S",=-I Xl= - , Xl = , 3- - ,

b) Smjena: x2-4x=t,

7.6.a) ±l, ±2iJ2

7.7.a) ±2a, ±aiM

X = 0 x = 4 X34 = H J6 1 ,2 , .

7.8. x4_29x2+ 1 00 = 0

-1±i.J3 7.1 La) x,=l, X2,3=-- 2--

l±i.J3 c) Xl= --1, X2,3 =--2

3 _3± 3i.J3 7 12.a) x,= --, X2,' 4 . 2

3 3 ± 3i.,[j c) XI=--;,X2,3 10

)

- 3± 3i.J3 c) xl=3, X2,3=----~'2"-'"

. e)'-xl=-2, Xl) = I±i.J3

7.9.

r::; +2' b)±'vo,_1

b) ±3, ±i 3in

X4-5x2-36=O 7.10. ± J2 , ±.,f3 -3 ±3i.J3

b) x,=3, X2.,--""""""C2::--

d) x, = -2, X2.) =-1 ± i.J3

5 d) X, ="3 X 2,3 =-··6·····

b) X =2 x,,=- J±i.J3 1 , _,"

327

:.14.a) Faktori slobodnog clana su ±l. Neposrednom prO\jerom utvrduje se da ni Jcdan od brojeva + 1 , -1 nije rjesenje jednacine. Ovo znaci da jednacina nema cjelobrojnih rjesenja.

. ~Jp~ta za b) c) i d): PrO\jeriti da lije neki faktor s!obodnog clanajcdnacinc njeno rJcsenJe. 7.15.a) Sva tri data broja su rjesenja jednacine.

b) Sva tri data broja su rjesenjajcdnacine. 7.16:a) P?llnom x] -5x2-2x+24 je djcljlv sa (x~3). OVI01 dljeUenjem dobijc se ~OhCj~l,k X-;-2x--8. Preostala dva rjesenja date kubne jednacine su rjdcnja kvadratne Jednac1I1c x -2x-8 = O. Rezultat: X2= -2, X3 = 4

b) X2~ I, x]~"-2

7.19.a) (x+I)(x2+1)~O, x,~-1,x2~i, x]~~ .. i b) (x-l)(x2+1)~0, x,~ I, x2~i, x)=-i c) (x+2)(x2-1)~O, x,=-1,x2~1, x]~-2

d) 6x]+7x2_1 ~6x]+6x2+x2_1 ~(x+l)(6x2+xl)=0; X,=-I'X2=-~,x3="-

7.2I.a) x,=2, x2=2, x]=-3

c) x,=I, x2.]~-·I±i.J3

2 3 b) x,=-I, x2=3+.[2, x)=3~.[2

_ _ _-I,:i1'7 d) X,- -2, x,.-2, x - _~ ...... ~ 3,4 2

b) x,=3, x2=3, x]~3

d) x,=7, x2=I-i, x3=I+i

b) Smjenax=y-~, y'+62Sy+'iS .. ~0 2 4 2

7.22.a) Smjena x ~ y-I, i+8y+9=0

7.23.a) p =-3, q =-2, il, = I, v, = I ,x,=u, +v, = 2,

X2=U +" 2~I+i../3 + -1+i../3 = -1-i../3 -I + i../3 ~._I. ~ I'a ·j·a -----

2 2 2

x,=u, 2+y, =-J+i.J3 __ .. 1+rJ3 = -l+i.J3 -l-i./3 =_1 J ·cr - -(J --~ ..

2 2 2

b) x ~I x _-I±im I ,2,3

2

7.24.a) x, = -2, X2) ~ 3 ± iJ'i 3

b) x,=2, I 038034, X2)= -~I,OSI9017±0,565236i

_ 7.25.a) x,~-4,x2~2+3i.J3,X3=2-3i../3 328

c) xl~3, x2=1 , x]=-I

7.26.a) x,~I, X,.] = .- 7 + i../3 2

. r--d) x,~ -2, x2,3~l±I-vS

b) Xl~-4, x2~x]~-1

b) x]=2a+-b, Xl"'b, x} = a-2b 7.27.a) x,~5, x,~3, x]=1 7.28. a~2, b~ --6, x3~-3 7.29.a) m~1 b) m~ -7 c) m~5 d) m~1

7.32.a)

7.33.a)

7.35.a) x,~ - J, X2~ -~, x]=2, ",~3 2

8. SYSTEMI (SUSTA VI) KVADRATNIH JEDNACINA (JEDNADZBI)

8.01.a) Da b) Ne. 34 218 8.03.a) (2,2),(--,-)

8.02.a) (6,2), (-4, -3) b) (2, I), (-14,17)

b) (-2,3), (3, 8) 3 9

8.04.a) (4, -3), (5, 0) J 1

8.0S.a) (-2, -1), ( -, -) 4 2

6 48 8.06.a) (6,0), (-, -~- )

13 13

b) (-5,3),(-2,-3) 9 13 b) (3,1),(--,--) 2 2

b) (3, I), (I, 3)

8.07.a) (-a, -2a), (2a, a) b) (a+l, a-I), (a-I, a+l)

b) (2,-3),(2,-3) b) (2, I), (I, 2)

8.08.a) (3,6), (3, -6), (-15, 6i 15), (-15, ~6i 15) 8.09.a) (4,3), (3, 4), (-4, ~-3), (-3,-4)

8.10.a) (6,7), (7, 6), (-S± 16 ,-5-(± 16 » I b) (2,1), (-I, --) 7

8.1 La) Nema rjesenja 8.12.a) (3, I), (I, 3), (-3±2i, -3--{±2i» 8.13.a) (0, 0)

b) (0,0), (8, 6), (-6, 8) b) (-2,4)

l?) x proizvoljan brQj, y = 2x.

329

8.14.a) (2,3), (3, 2) b) (3, I), (I, 3), (2±F, 2-(±i (19») 8 IS J U

. , 3 II 3 . ,a vestl smJenu: x+3y-2 = t, (2, 2), (-2, 1013), (-6, 2), (6, -2),

b) Smjena: 3x-4y = t, (~, ~), (-2 -3) (I 3) (-.J..I. ~) 13 13 "" , .

816') Er "" 2 13 13 . .a "lffilI11satl clan sa y." a z.atim rijesiti dobivenu jednaCinu

(xy)" - 1 I xy + 18 = 0,

b) U " y x 'ycst! srnJcne: x +"2"' ~~ u, "2 -y = \' , a 7Altim r1je5i1i sistem:

uL-u-2=O y2 -2v-3=0. -Lt.d.

8.17. ZI =·./5 +2i, z2=-..J-S"-2i

9. lRACIONALNE JEDNACINE (JEDNADZBE) 9,I,a) x;>3 b) x;>-4 c) 2';x,;3 d) xER 9,~,a) x;> I b) -2';x,;3 c) 2';x,;4 ?j,a! K~k~ Sl~. U iraciol,l.alno} jedn~cini l~orijeni aritmeticki (uvijek nenegativni), to JC ~blr d\a 1-..of1]cna na hJcvoJ stram date Jcdnacine neneoativan broi pa ako se to bro,u dod b . 2 . d b' . b",' me . _ _ a fOJ. ) nc V~OZ~ se 0 111 Dula. ZnaCi jednacina nema rjesenja.

b) Domena Jcdnacme JC prazan skup.

9.4.a) XEO b) x=25

9.6.a) [·1, 5} b) {1,2} 9.8.a) x=4 b) ,,=6

9.5.a) x = 2

9.7.a) FS 9,9,a) x=1O

b) x=_8 F8 9' .

9.IO,a) FI b) x=20 9.1I.a) x,=-4, x2=3

b) x=3 b) F3 b) F6

9.12. x=4 9.13, x~5 9.14. x=4

9,16.F2 9.17, x~4 9.18. x=3 9.19. x=2 9.20. Uputa: JednaCinu napisati U obliku ~ ~- r------

"J2x" ~ I - .; x 2 _. X + 2 = ...j2x + 2x + 3 - J x 1

- 3x ~2 pa je ~~~~~~ati. Nakon sredivanja dobije se jednacina

, 7 2") ! ~(_x -1)(x' -x+2)=,](2x+2x+3)(x' -3x-2), ... itd,

Rezultat: x = -2, 9.21. (0, S}

9.2:2. x E- [5, 10J . Liputa: lednacina se moze napisati U obliku:

9.23. x= ~ 25

330

1,------ ~- Jr-----' \/(,,');-1 2)" +\iC,'/x-l _3)2 =1.

9,24, x = 5

<I

I I

9.25. {-2, 2}. Uputa: Osloboditi se razlomaka , a zatim lijevu stranu rastaviti na

faktore. 9.26, x~81 9.27. X = -2, Uputa: Uvesti smjenu x

2+4x+6=y.

9.28, x ~~ .. Uputa: Uvesti smjenu I Ix +12 = t 4

II 9,29. Y = 15, Uputa: Uvedi smjenu 2y-5 ~ 1', t;>O,

9 "0 25 UP'" I~ .j • y =!6' puta: omnOZltJ sa ~ y + v y

9.31. x=1. Dputa: Kubiratijednacinu u datom obliku, srediti, a zatim koristlti pocctnu

jednacinu i po novo kubirati. 9.32.* Uputa: Prebaciti drugi korijen na desl1u stranu i stepenovati sa 3. Nakon srcdivanja dobije sc jednacina: (x-l)(x-2)(x-10) = 0 Gija Sll rjdcnja x]=l, x2=2 i x3~10. 9.33. * Nakon kubiranja date jcdnacine i sredivanja dobije se

3 3,,/76 2 - X (06+ Fx + V76 .. -:.r;:-) = 360

odakle se, zamjenom izraza u zagradi sa 8, sredivanjem i ponovnim kubiranjem dobije rezultat x = 240 1.

9.34, Uputa: x~10z', y~IOt', z, tEN . .1.. + ~ ~ J... => (z-IO)(HO)=IOO, z t 10

Aka je d djelitelj broja 100, tada je z ~ 10+d i t = 10 + 1.ll.o. . d

Kako braj 100 ima 9 djclitelja to i datajcdnacina ima 9 razlicitih cjelobrojnih

rjesenja.

10. IRACIONALNE NEJEDNACINE (NEJEDNADZBE)

10,1.a) x;>7 10.3.a) x> 8

10.5,a) 4,;x<S

b) x;>-5 b) 3';x<4

b) x;>4

10,7.a) x>2 b) xE(-oo,-2)

IO.9,a)xE[I,~) b) (,-3,,2) 19 4

10.II.a) xE( .. I, IJ

5 ~ f0" 10.12. _~ __ ~ <x~ 1 2

10,14,a) XEO

IOel5,5';x<86

10.2,a) x;>7 10.4,a) x>4

10.6.a) x,; 0, x> 2. 2

10.8.a) XE(-OO, -3]

10.10.a) xE[I, +a2)

bJ [4,+00)

b) xER b) XE(-OO, -127)

b) x,;-2, x>39 5

b) XE [-6,-4+ J2 ) b) XE(-OO, I]

10.13. -3.::.,./5 <x< 3+./5 2 2

b) (1, +a2) f7 . .r

10,16, xe[6, 8-~] U [8+...2., 10J 2 :.-2~-

331

10.17* xE[-2,2] 10.18. xE[4, +00) 10.19. x> 5

10.20* Nejednacina je ekvivalentna sistcmu nejednacina:

r x2:0

J x-I2:0

[2 -[xl < (x _I)'

I 1+)5 Rezu tat: ~-~ < x ::;; 2 .

2

10.21. NejednaCina je ekvivalentna sistemu n~jednacina:

~ ¢? ... Rezultatx < 0 , 0 < x <; 2. jr.J2=~;+X-3<O ~ {.J2~~+X-3<O "Ix - 3\ -:; -:jo 0 X -:t- 0, X 7: 6

10.22. - 2~ $ x < 0, ~ < x < 2~ 10.23. Data nejednacinaje ekvivalentna nejcdnacini:

3 7 6 (x+1}x 5) -- + ~_ < -__ ---~---~ < 0 x+l x+2 x-I ¢? (x+I)(x+2)(x-l) ¢? ...

Rezul!at: XE(--«>, --2] U ( ~,_I) U (I, 5).

. 7 10.24. XE(--«>, 0) U [1, - ]. 10.25. x 2: 1 10.26. 1 < x <; 2 4

10.27.4<;x<5 10.28.3 <x<4

11. EKSPONENCIJALNE .TEDNACINE (.TEDNADZBE) I NEJEDNACINE (NEJEDNADZBE)

1 1 I. t'

"1 11 I y = 5'

.J ·2 ., I . -11

332

II' ! 1.3. Funkcija y=3~ staloo raste. FunkcUa y =:;. sLalno je opadajuca.

2) 11.4.a) Da 11.5.a) x=3

. 9 11.6.a) x =-

4

11.7.0) x = J

to) Da b) x = 3

b) X = 0

c) Da c) x = 4

cJ x= I

I 0) x =--

3 11.8.a) x=-2 b) x= I c) x=3 11.9.a) x=2 b) x c '2 c) x=2

d) x = 3

d) x=-I

d) x = ~ 9

11.10.o)x=3 b) x=2 oj x=2 11.11.0) x=-1 b)x=3 cJ x=2 11.12.a)x,=-3, ",=2 b) x,=O,x,=3 oj x=2

11.13.a) xu=±2 b) xt=l, x/"2, x3=3 c) xi=l, x2=-2, x3=-6

11.14.a) Jednacina sc moze Jjesavati ovako: 5)(--i + 2>' _ 5\ + 21..;-2 =0 ~

¢;. 5'-'( 1-5)= -2'(1+4) ¢?

11.15.a)

,)-,--2 0 (5 y- ( 5 "\;0

<=> -=---""- = 1 'n' I.::; i = I - I 2'-' , " ) \,2 )

5J-~x_34~)\ = 52"')(_7.3 1,.)(

52-'(5-1) = 3"'(3)-71

5,,-1-5>' = _2" _ 2'~2

4·5:1.·1 = 5·2x /:20 ¢::>

x=2 _

5:1..-2 = 2>.--2

b) x=1

¢) 53--'-\_.577~= 34-'-.\_7_3 1--;>;

¢::> 4·52~x=20·3i"x /:20

F--I. b) FO

-_.' c'"- t !\ 3)

2 ~> != I, (=-.

3

(21'

l3) 2 => x=i. => 1'=0; 3

= '6

¢.:> 7·

=> Xl = --4, :\2=3.

333

b) x=O 11.18.a) x,=I, x,=2 11.19.a) 5"'+5'+5"'=155 ¢; 5"'(52+5+1)=155

¢; 5"'=5 ¢; 31·5''''=155 1:31 ¢; x-l=1 ¢; x=2. 11.20. x=O b) x=1

1 1.21. XI=O, X2=1. Uputa: Napisati jednacinu U obliku (5 x+5 1

--x

)3 = 63, paje onda 5)(+5)"')(= 6, itd.

4 5 II.22.a) x>3 b) x<_ c) x<_ ? d) x>::.

3 3 2

11.23.a) x<2 b) x<2

1l.24.a) x<1 b) x>3

I 1.25.a) 13' < 7'

¢;

1 J .26.a) 152x+4_33x·54x-4<0 ¢::>

¢;> 3h·52x"\34·58_3~·5:Z~) < 0

¢:;> 34·254· __ r·25 x < 0

b) x<4

x-3>0 ¢; x>3.

d) x <-~ 2

¢; x<O.

c) x<7 (3·5)2x+4 _ 32x.y.S2x.S2x--4 < 0 32x+4

, 52x+4 _ 32x, 3x ·52x·52x--4 < 0 ¢:;> 34·58_3x·52x<0

¢; (3·25)'«3·25)' ¢; x>4. c) x < 3

11.27.a) x>5 b) x<,s, 3

11.28.a) x<-3,x>1 b) O<x<1 c) l<x<2

11.29.a) 0 <; x·Q b) xER 3

11.3I.a) x<1 iii .... < x < 2 2

11.30.a) x>-2 b) 0<x<3

b) O<x< 13 - J16T, x> 13 + J16T. 2 2

3 11.32.a) xE(-I, 2)1)(3, +ro) b) XE(1, - )U(4, +00)

2 12. LOGARlTMI. LOGARITAMSKE JEDl'iACINE I NEJEDNACIl'iE

12.1.a) y=x

12.2.

334 <

·'r

c) y=x-5

12.31' !

11

I

'I "it

d) y=.::+4 2

12.4.a) 5=log232

12.5.a) 24=16 12.6.a) 3

b) 3=]ogsI25 c) 4=log lO I 0000 I d) -2 = log -

, 16

12.7.a) -2 12.8.a) 0 12.9.a) 5 12.10.a) 2

12.1 La) 8

12.12.a) 2 12.13.a) x=1 12.14.a) x>3 12.15.

·2 ·1

b) 43 =64 b) 3 b) -3 b) 0 b) 16 b) 4

b) 3

y

0) 105=100000 0) 2 c) -4 c) 0 c) 4 c) 45

c) 12

b) 2 b) x=6 b) x<2

y = log, x

·2

.,

d) 0 d) 2 d) 8

d) ~ 3

d) 7x =5 d) 4

d) -4 e) 0 e) x>O e)7

0)

c) Xl,2= ±2 c) 2<x<3

y =' log3 X

y =log,x

12.16.a) loga5+log,,6" b) loga5+lbga2J+loga43

0) loga7+loga87+logab d) loga3+loga4+loga90+logax

12.17.a) loga45-logal27 b) loga2+1ogax-logaI9

c) loga7+2Iogax-loga2-logab d) loga33+logax+5IogaY-loga4-3Iogac

1 7 I 12.18.a) logx = log5+._ logm+-Iogn -- log3 2 2 2

b) logx =.~ log( 42.. a.J7) - ~ log25 - .± logx 2 3 3 l[ ,--~ 1 ~

c) 2: log.)3+afl -sUogll+4IogX)J

12.19.a) x=33 b) x=17 c)x=64

335

15 12.20.a) x = _. 4

8 b) x = '.-

15

12.2\.a) x=9 b) x=!~ 64

c)x=1125

140

c) x=~ d) x = 25 12

~ 12.22.a) x=.jab 3 J7 b) x= Vs c) x=V:WO a' -b'

d) X = 10;,3'3'

12.23.a) 100" 5 log15 27 "" log3 5 ·!og25 3' :0:: 3log] 5· !oo- 3 = 3 log_ 5. _1 ___ 3 b} 07.5 3 log,25 2

I

(4910g.j~5)2

7

I

52 f5 7 7

b) 125 1og15 !6 =1251og2s4) =125210g2s4 =(52)310g~,4 = 251og254J =4 3 =64 c) 8 12.25.a) log18 < log58 b) log23 > log)2 0) 10gA = IOgl69

12.26. log,,27 = a 3 ---=a => 31og123 = a =>

=> 3 _;c::. a

log3 3 + log3 4 =>

log] 12

3 =a

1+21og]2

=> a(1+210g3 2)=3 => a + 2a'[og)2 = 3

2a log,3=--· => 3-a

log. 2.=--C> 2a

=> - 3 ~ a

4 4 4 4(3-a) log,16=410g

62=-·-=· =_ .... _=_ .....

!og26 log2 2 + iog 2 3 I + ____ ~~ 3 ~ a + 2a

3-a a 12.27.a) -c

b) ."... 6b

4(3 - a)

a+3

12.28. a_ + 2b _ .. 1 12.29. a + b 12.30. log64 = _18. __ 3a J-b 2a+3

12.3 La) log6=\og2+\og3 =0,77815 b) log24 = !og2·2·2·3 = 31og2+1og3= 1,38021 0) -0,12494 d) 0,62764 eJ ":070315

12.32a) j ,65439 b) 2, [[789 c) 4,22763 d) 3,08728 12.33.a) -1,84561 b) --0,58418 c) -2,97936 d) -3,86269 1234.a) 1,17609 b) 2,65610 c) 3,69914 d) 3,93997

1235.a) 3,61500 b) 0,61500 c) 1,61500 d) 2,61500 12.36,a) 4,95107 b) 5,68782 c) -0,30033 d) ·1,39784 12.37,a) 91 b) 156,9 c) 4,474'< d) 515501,6 12.38.a) 2,851 I b) 0,07845 c) 27,5912 d) 1681,0088

336

12.39.a) 2210 12.40.a) 4,043 12.4l.a) 6.717 12.42.a) 35,036 12.43.a) 1,411 12.44.a) 1,1237 12.45.a) 1,0767 12.46,a) 1,881 12.47,a) x~3

12.48.a) x = 0

b) 4393892 b) 0,587 b) 9,147 b) 491290,5 b) 67,722 b) 64,64 b) 0,3357 b) 2,2894 b) x = 5

b) x = 2. 2

c) 37,693612 d) 24,486463 c) 10,140 d) 4,96705 c) 1,7298 d) 3,5176 c) 1,285 c) 2,168 c) 0,000236 c) 1,603 c) 0,0363 c) 101

c) x=3

12.49.a) x = 3

1250.a) X, ~ 5; X2= 95 9

b) x=.J6-1 b) x = 5 12.51.a) x=9 b) x=3

12.52.a) X =- b) Nema !jesenja! 12.53,a) x=3 b) x=29 2

_1 _./6 _./6 12,54.a) x-- , x-. __ , x - "-2 2 2

b) x=o

12.55.a) x ~ -I, x=1 b) x=9, x=91 1256.a) x=27 b) x-81 12.57.a) x = 16 b) Nema de§cnja~

1 12.58.a) x = 9 b) x-2"' x=16

12.60.a) x=27

! 2.62,a) x=4, x=8 b) x=2

b) x= 1 x=5 x= .1... , . , 25

12.65.a) x=2 b) x=17

12,59.a) x=64

12.61.a) x= '[4

b) x=3~.j3

3'4 b) x-4,x~~

,,... 1 12.63.a) x= via, x--·~

.J1O 12.64.a) x-3

12.66.a) x =-1

12.67.a) x=4 b) x=17 12,68.a) x=0.x=3 b) x~2 12.69.a) Uputa: Logaritmiraj datujednacinu uzimajuci za bazu 101

Rezultat: x O~ 1 00, x - 0,1 h) x = i 0, x - 0,0 I

12.71. x 310g 2 ~ __ ~?g 3

log2·log3

73 . x = }og31-- !o~.12 = -1..701 12. .aJ logJ·- iogS

b) Jeonacina ie definisana za x<O. 1.2.74.3) x>4" + "h) :\<3

b) x ~ 1.., x = 3 9

l2,72.a) 3,50974

. Re7.u!tat:x~-=-I,.xcc:::----8~

0) x>G4 d) x> I

337

12.75.a) x>5 b) -3<x<7 c) x> 12 d)-3<x<2

12.76.a) _,3. < x < ..I 5 3

b) x>1 c) S<x<IS

12.77.a) x<-I, x>4 b) x<-2,5,x>0 16 I

b)-~<x<-3 c)--<x<1 3 3

12.78.a) x<2 d) x>O

12.79.a) XE(-<Xl, -2)U(4, +00) b) xE(-w,-2) U (9, +w) c) xc(-I, I) U (3,5) I 12.80.a) xE(-7, - fi5) U (5, +f35)

c) xE(2, 3) U (5, +00) I

12.8I.a) xc(O, --)U(IOO.+oo) 10 '

c) xc( -21 ,11U (I, 12S)

\ J

b) XE('-«), -2) U (-- ~w) 2'

b) xc U,I) U (1,32)

I 12.82.a) xc( __ " 10) b) xc(O, 10) 10

12.83.a) xE(--3,-Fs)U(.J5,3) 12.84.a) x< I

b)4<x<10

b) x < log23

12.85.a) log2~ <x< log23 4

b) log214<;x<; log 35 . , 2

13. OSNOVI TRIGONOMETRIJE

13.1. 56rr ~2,618 13.2. 5rr ~O.872664

18 . 13.3. 540° 13.4. 72°

l3.5.a) 286,4789 b) 572,9578 c) 1145,91559 d) 10,31324 e) 4,8701 136" _12 5 12 5 5 12

. J. SlOa --:;-, cosa =~, tgO" =-:C-' ctga=_"., sinj3=~, cosj3 =~, tgj3 =.~ 1., 13 ) 12 13 13 12

137 ) . ,,3 4 3 4 4 3 .. a sllla--,cosa=_,tga=_,ctga=_ sin Q =- cos Q =-5 5 4 3' I" 5' I" 5'

338

tgj3 = .4., ctgj3 = ~ . 3 4

b) sina =~, cosa =~, tga =,~, ctga =.4. sinj3 =.4. cosj3 =2 5 5 4 3' 5' 5'

tgj3 =.":., ctgj3 =2. 3 4

c) . 7 8 sH1a=~ cosa=_

.Jli 3 ' liD ' sinj3 = __ 8_._ , cosj3= _.l_ .

.Jli3 . .Jli3 '

8 ctga =~ . 7

ctgj3 =2. . 8

£- i

---'~-

d) 4 cosa= 7 sina=--,

J65 165' sinj3 =_7_,

J65 cos~=_~,

165

4 tga=-

7 '

tgl3 = 2., 4

7 ctga= - . 4

ctgj3 =.4: . 7

13.8.a) sina=415 b) cosa=5/9 c) tga=417 d) ctga= 1 Oil 7

,~ 7

Ll~a~ 5

17

13.9.a) .3 - 513 b) 2+f2 13.10.a) 1-213 b)3.J2-8 6

13.1I.a) f5 +3.J2 6

b)2f2-1 13.12,a) f5 -1 b) 4 + J2

2 4

13.13.a) 0 b) 0 c) ~ 13.14. a+b 5

13.15.a) sin34°=0,559192, cos34° = 0,829037, tg34° = 0,674508, b) sin73°=0,95630, cos73°=0,29237, 1973°=3,270648, clg73°~0,30575 c) sin87°=0,99863, cos87°~0,05234, tg87°=19,OSI, ctgS7°=0,05241 d) sinI2,34°=0,21371 , cosI2,34°~ 0,976897, tg34°=0,21877 e) sin3456°= -0,587785, cos3456°= -0,80902, tg3456°~0,72654

13.16.a) sin2=0,909297, cos2= -0,416147, tg2~ -2,18504 b) sin5= -0,95892, cos5 = 0,28366, tg5~ -3,38051 c) sin 12= -0,53657, cos 12 = 0,84385, tgl2= -0,6358599 d) sin(-3)= -0,14112, cos(-3) ~ -0,989992, tg(-3)~0, 1425465 c) sin(-456, 12)~0,555584, cos(-456, 12)= -0,83146

13.17.a) x=32°54'23" b) x=20032'11" c) x=28°7'38" d) x=14°2'10" 13.18.a) x=0,984996 b) x=I,810536254 c) x =-1,52814189

13.22.d) 330° l3.23.d) ~~ 13.24.c) 2400 13.25.e) _5;

339

, -','-

13.26.e) 3900

A

13.29.c) 2n 3

13.31.a) U prvom 13.32.a) -3 b) 2

12 13.34. cosa~_ 13

5n 13.27.e) ---

4.3

13.30.3) sina~O,5

t

b) U drugom

13.35. sin~ ~-~ 41

13.37. ctg~ ~~, sin~ ~~. cosrl'=~_ 2 .J5 .J5

sin 3 a 13.38. _ .. ___ _ coso, - cos -'a

13.28.1) -120°

b) cOs(FO,5

c) U drugol11 13.33.a) 7

d) lJ trecem. b) 2 21 20 ,]3.36. Cosa= - _ , tga:= 29 21

. • 2 2

13.39. tgx+ctgx-= SIl1 x_+ cosx = SIn x + cos _ . ..:::. = __ . _____ .

13.40.a)

13.41.a) ] + sin x

13.42.a) 2sinx

13.43.a) clg2a 13.45. ·-2clgx

13.47.a) 'r~n

13.49.3) --I

13.50.a) 3

13.52.a) Neparna 13.53.a) ParDa

340

cosx sin x sin XGOSX

b) -sin2x

b) I sin ~ x

b) 2

51D X

b) 19oo 13,46.0) T~2TC

b) T=n

b) 5

b) .J2 c)3 2

SlDXCOSX

c) 2sin2x

c) cos x

c) 2

cos x c) 2ctg2

(X

b) T~2n

c) T~ll_ 2

c) 0

d) H.J3

d) 0

13.44. 2 c) T=2n

13.48. Da

d) 2

13.51. Jr

b) parna b) neparna

c) paroa d) ni parna ni neparna c) ni parna-ni -n~parna d) puma -

13.54. U cctvrtom. 13.56.a) sinl5)o>0 b) cos264°<0 c) tg325°<O 13.57.a) sin243°cos164°>O b) tg220°ctg329°<O

13.55. U drugom. d) ctg(--122°»O c) sin162°ctg52°>O

13.58.a) (2kn.1t+2Im), kEZ b) (".+kn,3TC +kre). kEZ

c) (".+kn, n+kn), kEZ 2

13.59.a) cos56° b) sin23°

1 1 13.60.a) 2: b) .. -

2 1

13.6I.a)- '2 1 b)--

2

.J3 13.62.a) -2 b) .J3

2 13.63.a) cos25" b) sin32" 13.64.a) sinn b) cosO,5n

.J3 b) - Jf. 13.65.a) --2 2

13.66.

4 4

d) ("":..... "-+ kn ), kEZ 2 4 2

G) GtgS" d) tg46"

c) --I r;:;

d) -v~

c) I d) .J3

.J3 c) -1 d)--

3 c) -cosiO" d) -sin6" e)---cos14°

c) sinO.12rc d) tgO.ire e) ctgO,3n

G) jj' d) I e) J2 -3 2

y y = sinx 5

'.i"" 281'-"" y = "'lsinx

, . --. (! "'0;,,-,-<

13.67. Y = sinx, Y = sin2x, y = 2sin2x, y = :2sin2x

341

13.68,

13.69,

13,70.

342

y 5

4

2

-3

-4 y

3

-3

5

4

3

[

y

-3

·4

'·5

y = cosx y = 2cos.x y = 3co.sx

iJ.5ccs>:

,y=tgx

13,.71

13.72.a)

13.73.

kn x=-, kEZ

13.74.

3

I 13.75.a) -

2

4

r;' b) ,,3

2

y y= ctgx

x

n kn b) x=_+_,kEZ kn

c) X=-, kEZ. 3 6 2

y

3

·3

., 2

13.76.a) ..fi 2

: (Xl< v=cos ~­. , \2

b) 2

13.77.a} 0 b) !. 2

x

343

I 13.78.a) -2

13.80.a) I

13.82.a) 75° ~ 45°+30°;

13.83.a)

15.J3 -8 13.84.a) __ -..c 34

13.85. tg(a+f:l)~1

13.87.a) tgactgf:l

b) 0

b) J5 .J3+8 34

~> a+j3~45°

b) I 13.88.a) 0

13.79.a) b) I c).J3

13.81.a) b)-2

b) 15° ~ 60° - 45° ; fi + 16 4

d) . .1.:':.. J3 2

c) _374Jl. 3721

c) 15-8,/3 34

13.86.a) sina 3

b) - c) I 2

d) 1320

3721

d) 15.J3+8

34 b) cos( a-j3)

d) 2[I+cos(a-j3)]

13 91 ' 4 ." 5 . 16 . " . . . sJn(X- __ ,sJnf-'~_,sJny~_; sm(a+f-'+Y)~ sm[(a+[3)+y]-5 13 65

- sin(a+[3) cosa, + cos(a+p) siny ~ = (sinacosl3 + cosasinl3) cos)' + (cosacosf) - sinasinj3) siny =

- (~.12+:3. . ..s:..) . .<'.3.+(:3.. !2_-~ . ..s:..). ~ _ ('l! +12).63 +( 36 _ 20).I.? 5 13 5 13 65 5 13 5 13 65 65 65 65 65 65 65

_ ~L 63 + ~.~? _ 63~_.+~ _ 4225 _ I.

65 65 65 65 65 2 4225

sin(a+I3+Y) = I ~> a+i3+y = 90° 13.92. 255 1313

13.93. tg(a+j3+y) = I ~> a+j3+y - 45°

13 94 . 2 - 24 _ 7 24 7 . - sm a- __ .,cos2a--_ ,tg2a=-- ,ctg2a~-_ 25 25 7 24

'2 4 0 3 4 3 13.95. Sin x=S COSLX~-S' tg2X~-3' ctg2X--4

2·sin~cos-=- x x 2· tg - 1- tg' -

13.96. sinx=2sin'::cos':: = 2 2

x 2tg --

13.97. .'i... tgx 2 x 21 I-II,' -

• 2

344

2 2 = _L;cosx= 2 x 1 + tg 2 _

2

I 13.98.a) -

2 b)

.J2 ---2

2 X 1+ Ig-·

2

e) J3 2

. 4a(1-a') 6a' _a 4 _1 13.99.sm2x=±---·--- ,cos2x=, ') ')

4a(l-a 2)

tg2x=+ 4 2 . (I + a 2 )2 (1+ aT a -60 + 1

13.100. s;na=- J5, cosj3=_2.J2; 3 3

cos(a-2j3) = 14 + 12.fiO _ 27

12.fiO-1 s;n(2a+131 = --'--­

. 27

13.10I.a) 1-8s;n'acos'a= 1-2(2sina·cosa)' = 1-·2s;n22a= = cos22a+sin22a-2sin22a = cos22a-sin22cx = cos4a.

b) s;n80° c) 1

1310" ) 4' 180 36o_4sinlSocos18°cos36°2 _",(2:.:s::..;n=18::..0..::e~0:".s,,18;...'.!..).::.co:.:S:.:3..::6c..' .. _.a 5111 cos --_ cosl8° cos18°

_ 2sin 36° cos36D _ sin 72° _" 5il1(900 - ! 8°) = cos 18° =J --~-8-o---~osJ8°-- cos!So cos18°'

b) . 70°' 50°' 10°- 2sinl0°cosl00sin700s;n500 sm I 510 sm - --------- '-:-::;;,--2 cos 1 0

= sin 20[) 5in(900 - 20o)sin 50° = 2 sin 20° cos 20° S!l1 50° .

2 cos 1 0° 4 cos 10°

sin 40° sin 50°

4cosl00

_sin40osin(900··400)_2sin40ocos400 _ sin 80° .. _s;n(900-·IOo)_ cosl00 _I -. 4e0510° ------8~oslO° -·-8-~~-;]O-o -SeoslOo - 8c05100-8

x 13.107. Sve trigonometrijske funkcije izrazitl preko tg~.

2

Rezultat: 24 35

TO r::: tg-=1+v2.

8 -

B.lOS.a) .J2;""J3 2

7 a 1. a 21"i a r;;- a 13.110, C05a.=-~, COS-=--, 5111-= --, tg-=-2-v2, ctg'""-=

923232 2 . a 5 a_ 1 a a 1

J3,111.sll1-=~, cos--___ , tg-?- =-5, ctg?=--5'-2 ...;26 2 J26 _ ~

13.112. J - x ~.

C05X=- __ , ctg-=,13 2 2

4

345

At.

13.114.a)

13.11S.a) 13116.a)

b) sin'x c) 0

2ctg20; b) 1 c) 2ctg20; cos42x - sin42x = (cos22x+sin22x)(cos22x - sin22x) ;;;0:

sinx b) sin2x - tgx = 2sinxcosx -

1-( cos12x-sin22x) = cos4x.

2sinxcos1 x-sinx

cosx cosx sinxC2cos 2 x-I) sinx(2cos1 x-cos 2 x-sin l x)

cosx cosx

sin x (cos 2 x - sin 2 x) cos2xtgx .

cosx '

tg 2<1:.~I. 2 ~ ~I 2Y _ I-coso; I-cos~, I-cosy 13.118. ,g-,g-- + T----~

2 2 2 1+ COSci I + cos ~ 1 + cosy

abc 1- 1--·-·· 1---

= __ h...-:t.£ + ~"f." + a + b b+c-a a+c-b a+b-c ---+-_ ... _+---...... = abc

1+···- 1+·-·· 1+--· a+b+c a+b+c a+b+c b+c a+c a+b

b+c-a+a+c-b+a+b-c a+b+c - -_. =-.. _-- = 1.

a+b+c a+b+c 13.119. sina+sin~+sin-( = sina + sin[3 + sin(a+f3) =

= sina+sin(3+sinacos!3+cosasinf3 = sina(l+cosl3) + sinf3(l+cosa) =

=2sin~cos~.2cos2E +2sin~cos.!!.-.2cos2~ = 2 2 2 2 2 2

~ 4cos 0; cos.fl. (sin ~ cos.fl. + cos ~ sin.fl.)~ .. 4cos a cos i3 s y 2 2 2 2 2 2 .. - . '2 2 cO '2 '

13.120.a) cos20° b) 2cos20° [-

13.121.a) ,,2 cos2S0 b) 2sinSSosin22° 13.122.3) 4sin14°coslO°cos4° b) 4sin25°cos35°coslO° 13.123.a) cosx+cos3x+cos5x+cos7x = (cosx+cos7x)+(cos5x+cos3x) =

346

x+7x x-7x 5x+3x 5x-3x = 2eos --~ cos --- + 2eos cos =-=

2 2 2 2 = 2eos4xcos3x -;- 2cos4xcosx = 2cos4x(cos3x+cosx)=

3x+x 3x --x . = 2cos4x·2cos --- cos ---' .. = 4·cos4x·cos2x·cosx

22'

b') ;. 3x . X '-tSlll-" cosx eOJi-

2 2

c) a c) 0

13.124.a)

c)

2cos12° cos 18°

2.)3 sin (60° + x)

sin x

2 sin(x - 600)

b) cosx

d) .si,n (y + x)sin(y- x) . 2 • 2 sm x sm y

sin 70° 13.125.a) b) 2tgx.cos2 .:':

sin 7So sinSo 2 c)

13.126.a) tg30° + tg40° + tg50° + tg60C ~ (tg30° + tg400) + (tg50° + tg60') ~

~ sin (30° + 400) + sin(50 C + 60 0

) _ sin 70° + sin 11 00

cos30o ~os40o ~s50o c~s60o - cos 300 cos40o ~os500 cos 60°

sin 70° .I- sin(1800 -70°) _ 2sin 70° 25in 70° _ . -+ ---J3 ° ---. cos40

cosSOo .. ~ .)3. cos 40° cosSOo

2 2

=2l( 1 1\ sin 18° ~ cos 36° )

=2(COS36 0 -sin18°1=2sin54° -:--sinJ8° = sin 18° cos 36°) sin 18° cos 36°

=22sin18°cos~~=4. sin 18° cos36

Q

13.127.a) cos20: b) ctg20:

13.128.a) ~_~.~3a +cosSa -cos.7a

sino, + sin 30, + sin 5a + sin 7a

2sina sin 20, + 2sina sin 6a

2sin 4a cos3a + 2sin 4a coso,

c) tg40: (cos<x-cos3a)+(cosSa -cos70:) =

(sin7a +sina)+(sin5a +sin3a)

2sina (sin 2a + sin 6a)

2sin4u(co,:)a + casa)

347

= 2sina: sin4a: cos2a = sina: = tou o .

cosa: 2sin 4a: cos2a: cos a a - p

cos~·~"-

13. I 29.a)

0)4 ·' , 13.13.a SllnXCOs··a b) tg3a 13.131.a) tga b) tg(a+!3)ctg(l

J3.132.a) cos200cos400cos800 = ~sin 20° coslOo cos 40° cos80n

--;

348

2sin 20° = ~in 40° cos 40° cos ~_~~ _ 2 sin 40° cos 40° cos gOO sin 80° cosSOo

2 sin 20° 4 sin 20° _.-----._- -

4 sin 20° ~? sin 80_° cos 8.<J'. ~ sin I 60° ._ sin (180°- 20°) _ sin 20 0

8 sin 20° 8 sin 20° 8 sin 20° 8 si~ 20° . ?Oo . 40° . 60° . 80° b) tg200tg400tg600tg800 = sm - Sin sm sm __ =

cos 20° cos 40° cos 60° cos800

I

8

sin 800 sin 600 sin 20° sin 40° sin(900 - 10°). J3 sin 200 sin 400

2 cos200cos400;os80o~~600 - --------~I--~--o------

, .... cos60 8

r::; cos 1 OU sin 20° sin 40° 4,; 3 . c.:.::'-'=-:=:=-~~::._~ sJ3 . cos 100 sin 20° sin 40° ~

2

::::: 413. 2sin J 0° cos 1 0° sin 20° sin 40°

sin 1

4J3. ~ [cos(20" - 40°) - cos(200 + 40") ] sin 20"

( JO() 0· 0 r cos 200 - !JSill 20° ~ 2J3. cos- -.".os60 )sm2Il_=2 J3.1. 2

sinlOo sinJOo J3 . 2 cos 20° sin 20° .- sin 20°

sin 10°

. 40" . ?O" .J3 " SIn - SIn ~

sin 1 0°

/l·2cos30o~3.

"'" 2 sin 1 0° cos 1 0°, .. _2_si_n_2_0.~_c_os_2_0_0 . 2sin 30° cO$30o . _2_si_n_4_0"_c_o_s ~~~ =

2 2 2 2

= coslOosin20osin40o sin 60° _2sinl00cosl0c·sin20()~!.:2..~-.2~. sin601l

8 2 16sinlO' 2

sin200sin400sin200 sln600 = foS(20o -40o)-cos(20D .4.-40°)] sin 20° ,,/3 __

165inl00'~ 32sinl00 i}

= I~~s200~co.~.~ool sin200 -.J3 2sin20l'cos200-sin200 ··./3 32sin 100 4 64sin I 00 4

sin~Hf --.sin:Wl' r::; ,j .J 2sin I 0(1 cos30O ,,/3 cos 30° y'3

64sin I 00 4 64sin 1 0° 4 32 4 64 4 256

13.136. ctg0.Ctg~ + ctgac.tgy + ctg!3ctgy = ctgCi.ctg!3 -+ ctgy (ctga + ctg!3) =

~~o-,-a cos ~. + Gig [IT _ (a + ~) 1 ~~~tu+ ~) _ sma sm ~ S11HJ. 5J11 f3

cosa cos ~ _,' sin (ex -+ ~) _ --.-~·---dg(a c· B)·:--:-----

sm ex Sin 13 5m a 5111 [3

_ co~()O cos!.l .co..' . .lu_.+Jll. sin (a ":.~J. ~ casa c()s_,,- _ cos (a + ~)

sina sin [3 sin ((r + (3) sino: sin f3 sina sin.R

= CO~ cos ~ _ .~.~::_~~_~~_f3 -- sinn si~_~ =

sina sin f3 sinex sin f3

= cos5: .. cos ~ .::-::y?sa cos!3 _~~j!2a sin j3 = ~.!!': (;( sin [3 = 1.

sinnsinj3 sinasinj3

i 3.137. sina + Slll!3 = a I sina -+ SiD f3 a I =;. -------.. -

=>

=>

coscx+cos!3=bJ c()sa+cos[) b

/i.:::: cos (a_~Jll = {) \l1+cos(a+i3) b

l-co.'(a +1l2 a2

l+cos(a+[\)

a

b =>

=>

o.a+fl .L S 111 --- -----

2

(a2 +b 2 )cos(a + [l)=b 2 _a 2

a =>

=>.

349

sin(a+fl) ~

13.138.a) Prema sinusnoj teoremije: _a~ ~ _b~. Otudaje sina sin ~

sin 13 ~ bsina ~ 27'sin300 ~0,675 ~> 13 ~ 42°27'15". a 20

y ~ 180" - (a+13) ~ 179°59'60" -72°27'15" ~ 107°32'45".

_a_=_c~ => c=Qsiny _ 20'sinl07°27'15" sino, sin), sina- - sin 30 1l

20 ·0,95348 = 38, 139. 0,5

b) a ~ 78°57'38" 13.139.a) b~35,55 b) 13~38°34',a=4,81

a c 13.140.a) '-- = -.-~ 2R

sinn SIllY

b

sin 0 c

siny

~> c ~ 2Rsiny ~ 15.

=> 13=59°29'23", a ~ 180° - (y+13) ~ 179°59'60" - 126°52'1 I" = 53°7'49".

b) i3~21°47'12" 13.14 J .a) Prema kosinllsnoj teoremi vrijedi:

cosu= b"+cZ

_a2

- ~+16.~~= ~=O,875 => a=28°ST18", 13=46034'3" 2bc 2·3·4 24

b) a=50045'14", 13~99°43'12" c) a=83°16', Jl~53°8' 13.142.a) c'~a2+b22abcosy= 169+225-2·13·15·cos600= 199,

c~ 14,11, a~62°34'12"

b) a=29,462, i3~31 °56'44" c) b = 20)5 - 2.J3 z 24,79

13.143.a) sina =:: sin Jl b

II

~> sin 213

sin i3

II

6

~> 2 sin i3 cos i3 sin Jl

11

6

=> cosi3 = ~ ~> 12

cosl3~O,916667 ~> i3~23°33'23"; a=47"6'46"

5iDa 35 b) 8

sino, 35

=> sin[1800-(a+i3)rg-sin)'

sino, =>

sin (a + Jl)

35

8

=> 8sina = 35sin(a+f}) => 8sina = 35(sinacosj3+cosasinj3) => 8sinex = 35sino:cos36°52'121! +- 35cosa·sin36°52'12" => 8sina = 28sincx +- 21 coso. => -20sina = 21 cosa

21 tga ~ - -- ~> tga =-1,05 ~> a ~ 133°36'1 20

~>

13.144.a) b~19,55; c~21,52

350

b) a~63,c~65 c) a~71,934; b~32,656

13.145.a) c~29, a=43°36'10" 13.146.a) a~19°43'9"

b) ~~75°45', a~14°15' c) a~33°22'1" b) a = 45°57'17", Jl ~ 76°20'33"

13.147.a) ~,,-, ~ 2R sin a.

=> sina ~-"- ~ 42 ~ 0,80769 ~> a~53°52' 16". 2R 52

sina = hb C

h => c- . b 31 -38,381

sma 0,80769

ace· sino. " => siny ~---- ~ 0,738095

Slnu siny a a y ~ 47°34'10"; Jl ~ 180°- (a + y) ~

= 179°59'60"-101°26'26"= 78°33'34!!;

b~ a·sinJl 50,9669. b) sina~-"-, siny~~. sina 2R a

13.148. a-b~4 ~> a~b+4; _a~ = _b~ ~> b + 4 b sina sin P sin a sin j3

~> bsina ~ (b+4) sinJl ~> b (sina-sin~) = 4sinJl

~> b~ 4sin i3 = 4·0,799999 ~ 17; a~17+4=21; sin a - sin Jl 1,1 88236

a· siny c~ ----= 10.

sina

13.149.a)

y = 1800 - (a+~) = 28°4'21"

P ~ a· ho ~ 4 . 12 ~ 24 2 2 '

=>

~>

p = bcsina 2

b~ + c 2 - 2bc coso;

2P be=~­

sina

2P be == ~.­

Slna

b 2 + c 2 - 2bccosa

2P 1 }

=> bC~~ina f 2 2 2 2 4P 4P 2 -

b +2bc+c -2bc-2becosa=a (b+c) --.-"",'--cosa=a J

2P

bc~ sina r 2 2 (1 cosa I

(b+c) =a +4PI-.-+-.-'i \smu sma).-

sino.

=>

SIna smo:

2P 1 be ~ ''''~ . sma ~

(b ) 2 2 4P 1+ cos a J +c =a + . sina

bc=--bc~l!'... ).

~>(b+C)2 ~a' +4P. [/I+cosaJ' ~> ~ sma

2P l sino,

(b+c)2~a2 +4P. I~o~. V l-cos'a

351

=>

=>

=>

2P ) bc=--

sino.

2 fl1:"cosa)2 ~> (b+c) ~a2 +4P. (1 +cosu, )(1 - cos a)

2P 2

bc=-- f sina

(b+C)2 =a 2 +4P. JI~I-co~c:, Vl-casa)

bc= 2P sino.

(b+C)2 "'u 2 +4P clg'!: 2

bc~19S }

,b + e = -J16 + 96 ,8,00002

=> sina bc=_2~ )

b+c= Ja2 +4;ct~~

be = 195 1 i => b = 1 5, c = J 3

b+c= 28J a b

sina sin f3 => sinl3 = b 'sin,=- = 0,799998

a => 13 = 53"7'48",

b) a = 2Rsina, b = 2Rsin13

~ 7 7 . 3

~r~

49 + 64 - 9 casu = = 0,9285714

2,7,8 => a = 21 °47'12"

13.151,0:=25°12'32",

13,IS2,a) R""29 N , cJ R=13N,

352

i3 = 48° J 1'23" , )' = 13 J °48'3 7" , 0 = 154°47'28" a=46'23'SO",13=43'36'10" b) R=6SN,u= 14'IS' ex = 22°37'12"

* * * * *

LITERATURA: I, MJAbramovic,MT,Stardubcev:MATEMATlKA - geometrija i

trigonometrijske funkcUe, "Visaja skola", Moskva, 1976. 2- M-LAbramovic,M,T5tardubcev:MATEMA TIKA - algebra i elernentarne

funkcije, "Visaja skolal!, Moskva, 1976. 3. P.P.Andreev,Z.Z.Suvalova: Geometrija, "Nauka", Moskva, 1975. 4. P.T.Apanasov,M.I.Orlov:Sbornik zadac po matematike,

"Visaja skala", Moskva, 1987, 5. V.G.Bol~anski?J.V.Sidorov,l\1.I.Sabunin:Lekcii j zadaCi po elementarnoi

maternatike. "Nauka", Moskva, 1974. 6, RBogetic: Zbirka zadataka iz maternatike, Beograd, 1975, 7, A,Combes et D,Bargues:MATHEMA TlQUES Terminales C et E Tom 1

Exercises avec solution VUIBERT? Paris, 1974. 8. A.Huskic: Zbirka rijesenih 71ldataka iz matematike za tre6i razred srednje skole

"Svjetlost" Sarajevo, 2000, 9, S,Klasnja:Kurs elementarne maternatike I (Algebra) Sarajevo, 1963, 10, SXlasnja:Kurs elernentarne matematike II (TriganometrijaJ Sarajevo, 1965, 11 , S, i A, Kurepa : MA TEMA TlKA za drugi razred gimnazije,

"Skolska knjiga", Zagreb, 1994, 12, S, Kurepa : MA TEMA TlKA 1 za prvi razred srednje skple,

"Skolska knjiga", Zagreb, 1995, 13. A.K.Kutepov,A.T.Rubanov:Zadacnik po algebre i elementarnim funkcijam

"Vissaja skola", Moskva, ] 974. 14. C.E.Ljapin, T.V .Baranova,Z.G .Borcugova:Sbornik zadac po elementarnoi

algebre, Prosvescenie", Moskva, 1973. 15. M.Malenica: Potencija tacke u odnosu na kruznicu i primjene,

Strucna metodicki casopis MA TEMA TlKA 2/9 J Zagreb, 1991, 16. V.Mihailovic: Geometrija za drugi razred gimnazije, Beograd,1976. 17, LMilin,ZJvanovic,S-Ognjenovic: MA TEMA TISKOP zhirka zadataka za II

razred "Nauena knjiga" Beograd, 1988, 18, S,Mintakovic:Zbirka zadataka iz matematike za II razred srednjih skola,

IISvjetlost", Sarajevo,1977. 19, S,Mintakovic:Zbirka zadataka iz trigonometrije, Sarajevo, 1971, 20, M,KPONTJAGIN:ELEMENT ARNA MATEMA TlKA-teorija i praktika

"Visaja skola", Moskva, t 970. 21. A,V .Pogorelov:E1ementarnaja geometrija, "Naukal!, Moskva, 1977. 22- Ki D,Stefanovic: Zbirka zlldataka iz a1gebre za II razred , Beograd, 1972, 23, DJ,Strojk: Kratak pregled istorije matematike, Beograd, 1969, 24, M,Snajder,S,Tornic:Metodicka zbirka zadataka iz matematike,

"Svjetlost'" Sarajevo, 1981. 25. Z.Z.Suvaiova,V.LKaplun:GeometrUa, "Visaja skola!!, Moskva, 1980. 26, TR1ANGLE, Udruienje matematicara BiB, Sarajevo, 1997,-1999, 27. R.Zivkovic, H.Fatkic, Z.Stupar:Zhlrka z..adataka iz matematike

sa rjesenjima llputama i rezultatima, ~'Svjetlostn Saraje~lo, ~ 987.

353

SADRZAJ

PREDGOVOR

I. STEPENI (POTENClJE) I KORlJENI 1. J, ~tepcI1~ sa pnrodnim izloziocem (eks anento ) 1.2. Stepcru .. sa cijclim izloziocem (ckspo%entom ill ...•........... " .. " .. ' ..... .

J J. Operacljc sa stepenima . ednaVh ) .... -: ........................ . Zadac! za vjezbu i utvrJivanj~l osnova, odnosno Jcdnakih cksponenata

1.4. Korijeoi ........... .

lA. ~. POj~:11 kor(!ena. Ar~t01eticki korij'~~ ............... _ ... _ I A.~. Pra\ da kOfjCnOVaUj3 OperaciJ·'· 1 ... ... -.......... . j 4? 1 P ~" ..' e sa (OfljelUma

· .~.! _ ro~~n\'allJ~ I skracivanje korijena. j .4.2 . .<-' Konlen prorzvoda Moo'e . k .. J 7;' 'v.· ~ Z oJe 'orqena I .4.~.3. Korljeo koilen.ka Di]· er . k . ." 1 4 2 4 S· .,' JCnJc 'onJcna · .. ' :epen.ova~Je 1 korjenovanje korijena

1.4.3. RaClOnallsanJc nazivnika . 1.4.4. Dva poseboa zadatka

. . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . .'

Zadaci .za vjczbu i utvrdiv~~~j~"" :: ... :: ..... 1.5. ?:eper:l sa r~c!on~lnim i realnim ekspone~;~~' ........... .

Zadacl za vjezbu 1 utvrdivanje ............ .

2. I-lOMOTETIJA I SLlCNOST 2.1. Kru7 ... nica i krug ...... . 2.1.1. PoI.ozaj tacke prema kruznici 2.1.2. Poloz~ prave prcma kruznici 2.1.3. Tang~ntne duzi kruznice 2.1.4. Tangcntni cctverougao (cetv~~~i~~~~)" .. ~.l. 165. ~r~~!~i~a~ (kruzna_linija) i uglovi (centrai~~'i"i";';if~;iJ':~ki"~'g~~~')"""""" ; ... e{I\Ol cet.verougao ................... . ........ . _.1.7. Medusobm poloZai dviJ' e 1 v' ............... .

? I 8 Z",' .~... , . (fllZOlCe .. .. _ ... _ ajedl?lCke tangentc dVlju kruznica .... .. ............ .

Z~dacl ~a vjezbu i utvrdivanje ................ ..

2.2. ~~Jij~e:I~~i~~~l'J~~~J:i~'~~zi. Zaj':dnl~~ka ·l~j'~.:;~··i··l~·~j'~'·~t~·~~j'~d~~i·~l~~·~jera r • _. - nesamjer Jlvc duzl.

-").., Zadacl ~a \Jczbu i utvrdivanje -.......... ............................ . .:-.J. ProporclOnalnost duzi G t .. j. .. .. :: .......................... ..

dvi}'u duzi prod ,v • eome .. f1Js\.a proporClja, geometrijska sredina . .' uzena proporelp. ......... .

2.4. ProporelOnalnost duzi na pravama (Tales·· ·t .. · .. · .. · ........ · 2 4 J P -r ~d' . , ova eorcma) · . . os JC Ice J alesove tcorcme ... 2.4.2. PrimJcne Talesove teoreme ............... .

Zadaci za vjezbu i utvrdivanje 2.5. Osobine sirnctrala u ut ': . - . .. ............................. ..

Zadaci za \-j'eibu i utn~ ~~snj~g I uporednog vanjskog ugla trougJa "' _" \fulvanJe

2.6. Ho.motctJJa geometrijskih figura 2.6. J. POjan~ 0 h,ornotetiji. Homotetija kao p;·~~'lij('~~7~~j~

354

3

5 7 9 10 I I I I 12 12 13 14 15 16 17 19 22 24

26 26 27 28 29 30 32 34 35 37

38 42

42 43 46 47 49 49 51 52 52

r-

~~!

2.6.2. Homotetija nekih geometrijskih figura ................................ 53

56 57 Zadaei za vjez.bu

2.7. Slicnost geometrijsklh figura ............... .. 2.7.1. Slicnost kao preslikavanje. Pojam 0 slicnosti geometrijskih figura ........ ' 57 2.7.2. Slicnost mnogouglova ............ ................. 59 2.7.3. Siicnost trouglova. Stavovi 0 slicnim trouglovima ............................ 62 2.7.4. Odnos visina, obima i povrsina slicnih troug{ova .... ........................ 65

Zadaci za vjezbu 69 2.8. Primjena slicnosli na pravougli trougao ...... ......... ....... 71

Zadaei za vjezbu j utvrdivanje 74 2.9. potencija tacke u odnosu na kl'uznicu ....... ............ ..... 75 2.10. Ncke primjcnc potencija tacke U odnosu na kruznieu ................ 80 2.10.1. Karnoovi obrasei. Pitagorina teorema ............................. 80 2.10.2. Zlatoi presjekduzi ............................... 81 2.11. Polara tacke u o~nosU na kru.znicu ........................... ................. 82

3. 3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

·3.8.

4.

Zadaci za vjezbu 83

SKUP KOMPLEKSNII-l BROJEV A formiranje skupa kompieksnih brojeva .................. ,...................... 85

Zadaei loa vjezbu 88 Iednakost dva kompleksna broja .................. .......................... 89

Zadaci za vjezbu 90 Operacije u skupu kompleksnih brojeva (sabiranje, oduzimanjc, mnoZ.enje) 90

Zadaci za vjezbu 93 Konjugovano-kompleksni brojevi .............................................. 94

Zadaci za vjeZbu 95 Dijeljeoje kompleksnih brojeva .......... ... ...... ... ...... ............ ... .... 96

Zadaci za vjezhu 97 Modul (apsolutna vrijednost) kornpleksnog broja ........... ··············,····· 98

Zadaci za vjezbu 100 Preslikavanje skupa komp!eksnih brojeva u skup tacaka kompleksne ravni 101

Zadaci za vjezbu 102 Graficka interpretacija sabiranja i oduzimanja kompleksnih brojeva 103

Zadaci za vje'lhu 104

KVADRATNE JEDNACINE (JEDNADZBE) ................................. 105

Zadaci za vjczbu 107

4.1. Rjesavanjc nepotpunc kvadratne jednacinc ...... ............ ....... ............ 107

Zadaci za vje'l,bu 109 RjeSavanje potpwle kvadratnc jednacine. Formula za za rjesavanje kvadratne

4.2.

4.3.

44.

4.5.

jednacine .................................. ............................... 110

Zadaci za vjezbu 114 Diskriminanta 1 ispitivanje prirode rjesenja kvadratnejednacine.... 115

Zadaci za vjezbu 116 Normirani ol?lik b:adratne jednacine" Vieteove- formule.... ............... 116

Zadaci za vjezbu 120 Znad rjesenja kvadratne]ednaci'ne -......................................... 121

355

4.6. Primjena kvadratnihjednacina Zadaci za vjezbu

4.7.

5. 5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

6. 6.1. 6.2.

........•••........•..................... ,

Kvadratni trinom. Rastavljanje na linearne faktore " ........ " ........... " Zadaci za vjezbu

KV ADRATNE FUNKClJE Kvadratna funkcija oblika y=ax2

•••••••••••••••••••.••••••••••••••••••.•••

Zadaci za vjezbu Kvadratna funkcija oblika y=ax2+c ............. . Zadaci za \jezbu Kvadratna funkcija oblika y=a(x-xli Zadaci za vjezbu Kvadratna funkcija oblika y=a(x-xoi+Yo ................ . Zadaci za vjezbu Kvadratna funkcija oblika y=ax2+bx+c (graftk, nu!e, znak, ekstrem, tok) Zadaci za vjezbu

KV ADRA TNE NEJEDNACINE (NEJEDNADZBE) Znak kvadratnog trinoma ax2+bx+c " .................. ,. Kvadratna nejednacina .................. . Zadaci za vjezbu

7. JEDNACINE (JEDNADZBE) VISEG REDA 7. J. Bikvadratnajcdnacina

Zadaci za \jezbu 7.2, Kubnajednacina ax3+bx2+cx+d=O

Zadaci za vjezbu 7.3. Jednacine viscg reda sa simetdcnim koeticijentima ..

Zadaci za vjezbu

8. 8.1.

8.2.

9. 9.1.

9.2.

SISTEMI (SUSTA VI) KV ADRA TNlH JEDNACINA (JEDNADZBI) Sistemijednacina s dvije nepoznate od kojihjejedna prvog ijedna drugog stepena .......................... . ...... , ..... . Zadaci za vjezbu Sistemi kvadratnihjednacina s dvije nepoznate .. Zadaci za \jezbu

IRACIONALNE JEDNACINE (JEDNADZBE) Pojam iracionalne jednacine ............. . ..................... .

lracionalnejednacine u kojima se pojavljuje .Jf(x) , gdjeje rex) funkeija

prvog jli drugog stepena Zadaci za vjezbu

10. IRACIONALNE NEJEDNACINE (NEJEDNADZBE) 10.1. Pojam iracionalne nejednac.ine ...... , .. .

356

122 124 125 127

128 131 131 133 133 135 135 137 137 141

143 144 146

147 149 149 157 158 161

162 163 164 168

170

172 176

178

10.2. Iracionalne nejednacine u kojima se pojavljuje .Jf(x), gdjeje f(x)

funkcija prvog ili drugog stepena Zadad za vjezbu i utvrdivanje

II. EKSPONENCIJALNE JEDNACINE (JEDNADZBE) I NEJEDNACINE (NEJEDNADZBE) .

11.1. Eksponencijaina funkcija obJika y=a\ a>O. Pqjam, grafik, svoJstva ..... Zadaci za vjczbu

J 1.2. Ekspooencijalna'jednacina oblika aft x) c:c::: ag(x) ......................... . Zadaci za \jezbu

11.3. Eksponencijalna nejednacina oblika af(~) < ag(x) ........................ .

12.

12.1.

12.2.

12.3.

12.4.

12.5.

12.6.

12.7.

Zadaci za vjezbu

LOGARITMI.LOGARJTAMSKE JEDNACINE (JEDNADZBE) I NEJEDNACINE (NEJEDNADZBE) Pojam inverzne funkcije Zadaci za vjezbu Pqjam \ogaritma i logaritamske funkcije. Osobine, svojstva i grafik logaritamske funkcije Zadaci za vjezbu Pravila logaritmiranja Zadac! za vjezbu Prelazak s jedne logaritamske baze oa drugu ...... Zadaci za vjezbu Dekadski i prirodni logaritmi

. Zadaci za vjezbu Primjena iogaritama Zadad za vjezbu

178 183

184 186 186 189 190 193

194 195

196 199 200 204 204 206 206 212 213 214

Logaritamske jednacine oblika logaf(x)=iogag(x), pri cemu Sll f(x) j g(x) poiinomi iii racionalne funkcije najviSe drugog stepena 215 Zadaci za vjezbu . 218 Logaritamske nejednaCine oblika logaf(x)<logag(x), pri cemu su f(x) 1 g(x) 12.8. po!inomi m racionalne funkcije najvise drugog stcpena ........... 219 Zadaci za vjezbu 223

~":

13. OSNOVI TRIGONOMETRIJE 13.1. Orijentisani ugao. Radijan ....................... ..

Zadaci za \jezhu 13.2. Definicijc trigonometrijskih funkcija ostrog ugia u pravollgJom trouglu 13.3. Trigoncmetrijske funkcije komplementnih uglova (kutova) .. 13.4. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija uglova od 30°, 45° i 60°

Zadaci za vjezbu 13.5. Vrijednosti trigonometrijsklh funkcija proizvoIjnog llglova

( upotreba kalkulatora iii tablica) ... Zadaci za vjezbu

13.6. _ Tl'igonometrijska kruznica ............ .

225 227 228 230 231

233 _235 '''J'1,\' v~ -

357

Zadaci za vjezbu 13.7. Definicije trigonometrijskih funkcija na trigonometrijskoj kruinici

Zadaci za vjezbu 13.8. Osnovni trigonometrijski idcntiteti ........................ .

Zadaci za vjezbu .......................... < ••••••••

13.9. Periodicnost funkcija. Pcriodicnost trigonometrijskih funkcija Zadac! za vjczbu . . ................................... .

13.10. Trigonometrijske funkcijc negativnog argumenta. Pame i ncparne trigonometrijske funkcijc ................... . Zadaci za vjezbu ................. .

13.1!' Znaci trigonometrijskih funkcija ............... . Zadac! za \"jczbu ....................... .

13.12. Svodcnjc na prvi kvadrant .................................. . 13.12.1. Svodenje drugog na prvi kvadrant ............ . ......... . 13.12.2. Svodenjetreccgnaprvi kvadrant ................................. . 13.12.3. S\"odellje cetvrtog na prvi h.\-'adrant ......... " ..................... .

Zadaci za vjezbu ...................................... . 13.13. Grafici trigonometrijskih funkcUa ..................... . 13.13.1. Grafici trigonornctrijskib funkcija y=sinx, y=asinx, y=asinbx ... .

Zadaci za vjezbu ....................................... . 13. J 3 .2. Grafici trigonometrijskih funkcija y=cosx, y=acosx, y=acosbx ..

Zadaci za vjezbu ................................... . 1313.3. Grafici funkcija)=tgx i y=ctgx ...... " ........................... .

Zadaci za \jezbu ................................ . 13.13.4. Graficko prcdstavUa!~e funkcija rasin(bx+c), y~acos(bx+c)

pomocu karakteristicnih tacaka ...................................... . Zadaci za vjczbu

13.14. Adicionc teoremc (formuJe) Zadaci za vjezbu

13.15. Trigonolllctrijske funkcije dvostrukog ugla i poluugla l3.15, 1. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugJa ............. . 13.15.2. Trigonometrijske funkcijc polovine ugla" ..... , ............. .

Zadaci za vjezbu l3.16. Transfonnacija zbira trigonometrijskih funkeija u proizvod

Zadaci za \:jezbu 13,17. Primjeri transfonnacije trigonometrijskih izraza ................... ..

Zadaci za vjezbu 13.18. Sinusna teorema

Zadaci za vjezbu 13.19. Kosinusna teorema

Zadaei za vjezbu 13.20, RjcSavanje pravouglog i kosouglog trougla

Zadaci za \jezbu

14. .REZULTA TI, UPUTE, RJESENJA

Literatura 358

237 " 238

242 243 247 248 250

251 252 252 253 253 254 255 256 258 258 4l§) 261 261 264 264 266

266 267 2..68 2'74 276 276 280 283 285 289 290 292 293 296 296 298 299 301

303

353

,I ~j

i

I