matematika 8 alb

2010Skopje

I nderuar nx[n[s!

Ky lib[r do t[ mund[son t’i m[sosh p[rmbajtjet e parapara p[r klas[n VIII. Do t[ m[sosh p[rmbajtje t[reja interesante p[r ngjashm[rin[ e figurave. Do t[ m[sosh teknika p[r zgjidhjen e barazimeve linearedhe jobarazimeve lineare, si dhe p[r zgjidhjen e disa sistemeve t[ barazimeve lineare. Do t’i zgjeroshnjohurit[ p[r funksionin linear edhe p[r trupat gjeometrik, syprin[n dhe v[llimin e tyre.Libri [sht[ ndar[ n[ kat[r t[r[si tematike, kurse disa prej tyre jan[ ndar[ n[ n[ntema.T[r[sit[ tematike fillojn[ me p[rmbajtje, kurse nj[sit[ m[simore n[ to jan[ t[ num[ruara.Te nj[sit[ m[simore ka shenja me ngjyra dhe mbi ato jan[ shkruar porosi, aktivitete, obligime dhesygjerime t[ tjera edhe at[:

Kujtohu!Nj[sit[ m[simore fillojn[ me di]ka q[ e ke t[ njohur. Duhet t[ kujtoheshdhe t’i zgjidhish k[rkesat e dh[na. At[ do ta shfryt[zosh gjat[ t[m[suarit t[ m[simit t[ ri.

A , BMe k[to shenja, nj[sia m[simore [sht[ ndar[ n[ pjes[ te t[ cilatu kushtohen koncepteve t[ reja....

1.

2.

3. ...

Me shenjat e k[tilla jan[ sh[nuar aktivitetet, pyetjet dhe detyrat q[ do t’izgjidhish n[ m[nyr[ t[ pavarur ose me ndihm[n e arsimtarit t[nd. N[ k[t[pjes[ e m[son m[simin e ri, prandaj duhet t[ jesh i kujdessh[m dhe aktivq[ sa m[ mir[ ta m[sosh dhe ta kuptosh. Ajo q[ [sht[ m[ me r[nd[si [sht[me ngjyr[ portokalli.

Duhet t[ dish:Ajo q[ [sht[ m[ e r[nd[sishme nga m[simi [sht[ ve]uar n[ form[ t[pyetjeve, detyrave ose pohimeve. At[ duhet ta mbash n[ mend dhe tashfryt[zosh gjat[ zgjidhjeve t[ detyrave dhe shembujve praktik.

Kontrollohu!Kjo pjes[ p[rmban pyetje dhe detyra me t[ cilat mund t[ provoshpjes[n m[ t[ madhe t[ asaj q[ e ke m[suar a e ke kuptuar q[ t[ mundta zbatosh dhe shfryt[zosh n[ jet[n e p[rditshme.

DetyraDuhet rregullisht dhe n[ m[nyr[ t[ pavarur t’i zgjidhish k[to detyra.Me t[ m[ mir[ do ta kuptosh at[ q[ e ke m[suar, kurse ajo do t[ jet[shum[ e dobishme p[r ty.

Përpiqu! ...

N[se has n[ v[shtir[si gjat[ t[ m[suarit t[ matematik[s mos u dor[zo, p[rpiqu p[rs[ri, kurse k[mb[nguljado t[ sjell[ rezultat dhe k[naq[si.Do t[ na g[zon n[ qoft[ se me k[t[ lib[r do ta duash m[ shum[ matematik[n dhe do t[ arish sukses t[shk[lqyesh[m.

Nga autor[t

P[rpiqu t’i zgjidhish detyrat dhe problemet n[ k[t[ pjes[ (kjo nuk [sht[e domosdoshme). Me t[ do t[ dish m[ shum[ dhe do t[ jesh m[ i pasurme ide.

N[ fund t[ ]do teme ke teste me pyetje dhe detyra. Zgjidhe n[m[nyr[ t[ pavarur testin dhe me t[ do t[ provosh njohurit[ tuanga tema e m[suar.

KONTROLLONJOHURIN{ T{NDE

Segmentet proporcionale 3

SEGMENTET PROPORCIONALE1. Raporti nd[rmjet dy segmenteve 42. Segmentet proporcionale 83. Ndarja e segmentit n[ pjes[ t[ barabarta 124. Teorema e Talesit p[r segmentet proporcionale 165. Detyra me zbatimin e teorem[s s[ Talesit 20 TREK{ND{SHAT E NGJASH{M6. Figurat e ngjashme. Trek[nd[shat e ngjash[m 247. Kriteri i par[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m 27

8. Kriteri i dyt[ dhe i tret[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m 319. Raporti i perimetrave dhe raporti i syprinave t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m 33 TEOREMA E PITAGOR{S10. Ngjashm[ria te trek[nd[shi k[nddrejt 3711. Teorema e Pitagor[s 4112. Detyra me zbatimin e teorem[s s[ Pitagor[s 4413. Popullimi, mostra 48 Provo njohurin[ t[nde 53

TEMA 1. NGJASHM{RIA

Tema 1. Ngjashmëria4

Kujtohu!

Ke kujdes!

Gjat[sit[ e dy segmenteve te raporti duhet t[ shprehen me nj[si t[ nj[jt[ mat[se.

RAPORTI ND{RMJET DY SEGMENTEVE11111

Raport ose p[rpjes[ e numrit a dhe numritb (b ≠ 0) [sht[ her[si i a dhe b, d.m.th.

a : b ose ab ;

lexohet: a ndaj b;numri a quhet an[tari i par[, kurse b an[tarii dyt[ i raportit.

1.

SEGMENTET PROPORCIONALE

A N[ vizatim jan[ dh[n[ dy segmente:

Her[sin 6 : 4 do ta marrim si raport nd[rmjetsegmentit AB dhe segmentit CD.

Shkruaje raportin e numrave mat[s t[ gjat[sis[s[ segmentit AB dhe gjat[sis[ s[ segmentit CD.

Cakto vler[n e raportit:a) 28 : 4; b) 35 : 5; c) 12 : 16; ]) 1,8 : 2,4.

Numri q[ fitohet duke kryer pjes[timin e a meb quhet vlera e raportit a : b dhe sh[nohetme k. N[ k[t[ rast a : b = k, d.m.th. a = bk.

P[r cilat raporte themi se jan[ t[ barabarta?

Cil[t prej raporteve a) - ]) jan[ t[ barabart[?

Cakto an[tarin e panjohur t[ raportit:a) x : 8, n[ qoft[ se vler[n e ka 4;b) 18 : y, n[ qoft[ se vler[n e ka 12.

A B

C D

ku AB = 6 cm, CD = 4 cm.

Në përgjithësi

Raporti ose p[rpjesa nd[rmjet dy segmenteve[sht[ her[si i numrave mat[s t[ gjat[sive t[ tyreme gjat[si t[ nj[jt[ mat[se.Raportin i nj[ segmenti AB ndaj segmentit tjet[rCD e shkruajm[:

:AB CD ose ABCD

.

An[tari i dyt[ CD a mund t[ jet[ i barabart[ me zero?

2. Cakto vler[n e raportit t[ segmentit a ndaj segmentit b, n[ qoft[ se:a) a = 12 cm, b = 4 cm; b) a = 30 cm, b = 6 dm.

Te detyra 1, raporti :AB CD [sht[ 6 : 4, kurse vlera e tij [sht[ 32

.

Raporti i dy segmenteve [sht[ num[r i paem[rtuar.


3. }do an[tar te raporti 0,5 : 0,25: a) shum[zoje me 20; b) pjes[toje me 5.

Pastaj, vler[n e raportit t[ dh[n[ krahasoje me vlerat e raporteve t[ fituara me a) dhe b).

}ka p[rfundon?

4. Shkruaje raportin e segmentit a = 6 cm ndaj segmentitb = 3 cm dhe cakto vler[n e tij.

a

bPastaj, cakto raportin a : b dhe vler[n e tij, n[ qoft[se gjat[sit[ e segmenteve i shkruan n[:a) mm; b) dm; c) m.}ka p[rfundon p[r ato raporte?

Me dy detyrat paraprake upërkujtove se:

Raporti a : b nuk ndryshon n[ qoft[ se t[ dy an[tar[t e tij shum[zohen ose pjes[tohen me num[r t[ndryshuesh[m prej zeros, d.m.th.

n[ se a : b = k dhe m ≠ 0, at[her[ (am) : (bm) = k dhe (a : m) : (b : m) = k.

N[ qoft[ se raporti i dy numrave [sht[a : b = k, at[her[ me se [sht[ i barabart[numri a?}far[ tregon numri k p[r numrat a dhe b?

N[ qoft[ se a : b = k, at[her[a = kb. Numri k tregon sa her[numri b p[rfshihet te numria.

Mbaj mend

N[se raporti i dy segmenteve AB dhe CD [sht[ k, :AB CD = k, at[her[ k= ⋅AB CD .

Raporti k tregon sa her[ segmenti CD p[rfshihet te segmenti AB, d.m.th. k [sht[ numri mat[s igjat[sis[ s[ segmentit AB si nj[si mat[se do t[ meret segmenti CD.

5.BBBBB Jan[ dh[n[ segmentet a = 1,2 dm, b = 18 cm.

Shkruaje raportin a : b dhe njehso vler[n e tij.Shkruaje raportin b : a dhe njehso vler[n e tij.

P[r raportin b : a thuhet se [sht[ i anasjellt[ i raportit a : b.

K[shtu, raporti 18 : 12 [sht[ i anasjellt[ i raportit 12 : 18.

6. Arta ka 5 vjet, Blerta ka 10 vjet, kurse Vlera ka 35 vjet.Shkruaje raportin e vjet[ve nd[rmjet:a) Art[s dhe Blert[s; b) Blert[s dhe Vler[s; c) Art[s dhe Vler[s.


Paraqiti ato larg[si, n[ vizatim, t[ zvog[luara 800 000 her[.

PQ thuhet se [sht[ masa e p[rbashk[t e segmenteve AB dhe CD.

Mbaj mend!

Raportet a : b dhe b : c zakonisht shkurtimisht shkruhen si a : b : c.

Shprehja a : b : c quhet raport i vazhduar i a, b, c.

Shihi raportet 5 : 10; 10 : 35 dhe v[re se ]'kan[ t[ p[rbashk[t.

K[shtu, 5 : 10 : 35 [sht[ raport i vazhduar p[r t[ dy raportet 5 : 10 dhe 10 : 35. P[rve] saj , raportii vazhduar e p[rmban edhe raportin 5 : 35.

7. Larg[sia ajrore nd[rmjet tre qyteteve A, B, C jan[: AB = 40 km, BC = 100 km, CA = 120 km.

Shkruaje raportin e vazhduar : :CA AB BC n[ form[ sa m[ t[ thjesht[.

8.C N[ vizatim jan[ dh[n[ tre segmenteAB, CD dhe PQ, ashtu q[

,= =AB 5 PQ CD 3PQ .

A B

C D

P QSa her[ segmenti PQ p[rfshihet tesegmenti a) AB; b) CD?

V[ren se segmenti PQ, te segmentet AB dhe CD, p[rfshihet num[r t[ plot[ her[sh.

Në përgjithësi

P[r dy segmente thuhet se jan[ t[ bashk[matsh[m, n[ qoft[ se ekziston segment i tret[ q[ p[rfshihetnum[r t[ plota her[sh te ]donj[ri prej tyre.Raporti i dy segmenteve t[ bashk[matsh[m [sht[ num[r racional (i plot[ ose thye).

Segmentet AB, CD n[ detyr[n 8 jan[ t[ bashk[matsh[m. T[ atill[ jan[ edhe ]iftet e segmenteve: AB,BC dhe BC, CA, te detyra 7 (mas[ t[ p[rbashk[t e kan[ segmentin me gjat[si, p[r shembull, 1 km).

9. N[ vizatim [sht[ paraqit katrori me brinj[ a dhe diagonale d.

a

dShprehe diagonalen d me ndihm[n e brinj[s a.Trego se raporti d : a [sht[ num[r iracional 2 .

Vëreve se

Ka ]ifte t[ segmenteve p[r t[ cil[t nuk ekziston segment itret[ q[ do t[ p[rfshihet num[r t[ plot[her[sh te ]donj[ri prej tyre. P[r dy segmente t[ atill[ thuhet se jan[ t[ pabashk[matsh[m dhe raportii tyre gjithmon[ [sht[ num[r iracional.

An[tari i dyt[ i raportit t[ par[ [sht[ i barabart[ me an[tarin e par[ t[ raportit t[ dyt[.


P[r shembull, brinja a dhe diagonalja d e katrorit jan[ segmente t[ pabashk[matsh[m; raporti i tyred : a [sht[ numri 2 .

Duhet të dish:

Detyra

1.

t[ em[rtosh dhe t[ caktosh raport t[ dy numrave dhe t[ dy segmenteve;

Jan[ dh[n[ segmentet =AB 8 cm dhe

=AC 2 cm (n[ vizatim).

Shprehe raportin a : b n[ form[ sa m[ t[thjesht[, n[ qoft[ se:a) a = 15 cm, b = 2 dm;b) a = 6x, b = 4x;c) a = 2 l, b = 800 ml.

t[ caktosh vler[n e raportit dhe raporteve t[ barabart[;t[ shkruash raport t[ anasjellt[ dhe raport t[ vazhduar;t[ caktosh an[tarin e panjohur te raporti.

A C B

Shprehe vler[n e raportit: a) AB : AC ; b) AC : CB ; c) CB : AC ; ]) CB : AB .Shprehe raportin e a ndaj b n[ form[ sa m[ t[ thjesht[:a) a = 6, b = 18; b) a = 28 cm, b = 7 cm; c) a = 1 kg, b = 800 g.

Cakto vler[n e ]donj[rit prej raporteve:a) 6 : 8; b) 150 : 200; c) 80 : 60; ]) 0,18 : 0,24.Cil[t prej tyre jan[ t[ barabart[?Vlera e raportit x : 4 [sht[ 5. Sa [sht[ x?

2. Shkruaje raportin e anasjellt[ p[r ]donj[rinprej raporteve te detyra paraprake.

3. Raportet q[ vijojn[ paraqiti n[ form[ t[raporteve an[tar[t e t[ cil[ve jan[ numra t[plot[.

a) 0,3 : 0,6; b) 0,35 : 0,7; c) :2 45 3 ;

]) : ,32 5 25

; d) :1 3554 2

.

Cil[t prej tyre jan[ t[ barabart[ nd[rmjet vedi?

4. Larg[sia Shkup - Vallandov[ [sht[150 km, Shkup - Kriva Pallank[ [sht[ 100 km,kurse Shkup - Tetov[ [sht[ 50 km.a) Shkruaje raportin e vazhduar t[ atyrelargesave.b) Shkruaje at[ raport n[ form[ sa m[ t[thjesht[.

5. Njehso an[tarin e panjohur te raporti, n[ qoft[se [sht[ dh[n[ vlera e tij:a) x : 5 = 3; c) 6,5 : y = 13;

b) x : 1,3 = 6; ]) : y =2 14 33 3

.

6. Cakto raportin e brinj[s dhe perimetrit t[:a) trek[nd[shit brinj[nj[sh[m;b) pes[k[nd[shit brinj[nj[sh[m;c) gjasht[k[nd[shit brinj[nj[sh[m.

Kontrollohu!


Kujtohu!

7. {sht[ dh[n[ segmenti =AB 24 cm dhe n[ t[

[sht[ zgjedhur pik[ C, ashtu q[ AC = 18 cm .T[ caktohet:a) AC : CBb) raporti i segmentit m[ t[ shkurt[r ndajsegmentit m[ t[ gjat[.

8. Segmenti m[ i vog[l nd[rmjet dy segment[vep[rfshihet te segmenti m[ i madh 7 her[ dhengel segmenti q[ p[rfshihet te segmenti i vog[l2 her[. Sa [sht[ i gjat[ segmenti m[ i gjat[, n[qoft[ se dihet se segmenti m[ i vog[l [sht[ igjat[ 1 cm?

9. Te trek[nd[shi k[nddrejt nj[ri prej k[ndeve[sht[ 60o. Me se [sht[ i barabart[ raporti ihipotenuz[s dhe katet[s s[ vog[l?

10. Shuma e gjat[sive t[ dy segmenteve [sht[ 35,kurse ndryshimi i tyre [sht[ 7.T[ caktohet raporti i atyre segmenteve.

Përpiqu! ...

Tre pula p[r tre dit[ kan[ b[r[ tre vez[.a) Sa vez[ do t[ b[jn[ gjasht[ pula p[r gjasht[dit[?b) Sa pula p[r 100 dit[ do t[ b[jn[ 100 vez[?

SEGMENTET PROPORCIONALE222221.A Jan[ dh[n[ kat[r segmente me gjat[si

AB = 40 cm ,PQ = 7 cm ,

CD = 8 cm , RS = 35 cm.

V[re, p[r shembull:40 cm : 8 cm = 35 cm : 7 cm,

d.m.th. prej gjat[sive t[ segmenteve mund t[formohet p[rpjes[tim

40 : 8 = 35 : 7.

A mundesh prej tyre t[ formoshp[rpjes[tim?

Si jan[ nd[rmjet vedi raportet 12 : 8 dhe6 : 4?

N[ qoft[se raportet a : b dhe c : d jan[ t[barabart[, at[her[ barazia

a : b = c : d, d.m.th. a cb d

=

quhet p[rpjes[tim, kurse numrat a, b, c, djan[ an[tar[ t[ atij proporcioni.

}ka paraqet barazia e raporteve t[ barabarta:12 : 8 = 6 : 4?

Cili prej atyre numrave [sht[ an[tar i par[,dhe cili [sht[ an[tari i tret[ i p[rpjes[timit?Cil[t jan[ an[tar[t e jasht[m, dhe cil[t jan[an[tar[t e brendsh[m?

Në përgjithësi

P[r dy ]ifte t[ segmenteve a, b dhe c, dthuhet se jan[ proporcional, n[ qoft[ se gjat[sit[e tyre formojn[ p[rpjes[tim.

Cakto prodhimin e an[tar[ve t[ jasht[m dheprodhimin e an[tar[ve t[ brendsh[m t[p[rpjes[timit 12 : 8 = 6 : 4.Si jan[ nd[rmjet veti ato prodhime?

Formo prej tyre ndonj[ p[rpjes[tim.

P[r k[t[ shkak, mund t[ thuhet se ]ifti isegmenteve AB, CD dhe RS, PQ jan[ pro-porcional.

a : b = c : d , d.m.th. a cb d


4. B Jan[ dh[n[ segmentet a = 9 cm dheb = 4 cm. Cakto segment x, ashtu q[a : x = x : b.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

P[r numrat 5 dhe 20 cakto numrin x ashtuq[ 5 : x = x : 20.}ka paraqet numri ( )⋅ =5 20 10 p[r numrat5 dhe 20?

Vlera k e raporteve t[ barabart[ a : b dhe c : d t[ ]ifteve t[ segmenteve proporcional a, b dhec, d quhet koeficienti i p[rpjes[timit.Cili [sht[ koeficienti i p[rpjes[timit i segmenteve AB, CD dhe RS, PQ nga detyra 1?

Si do ta caktosh koeficientin eproporcionit t[ segmenteve? Do ta caktoj vler[n e raportit AB : CD ,

d.m.th. 40 cm : 8 cm = 40 : 8 = 5; k = 5.

2. Jan[ dh[n[ segmentet a = 2 cm, b = 1,5 cm, c = 4 cm, d = 3 cm.a

bc

dTrego se a, b dhe c, d jan[ proporcional. Cili [sht[ koeficientii p[rpjes[timit?Shkruaj p[rpjes[tim t[ segmenteve a, b dhe c, d. Cakto prodhimin e an[tar[ve t[ jasht[m dheprodhimin e an[tar[ve t[ brendsh[m. Si jan[ ato prodhime nd[rmjet veti?

Në përgjithësi vlen!

Prodhimi i an[tar[ve t[ jasht[m t[ nj[ p[rpjes[tim [sht[ i barabart[ me prodhimin e an[tar[ve t[tyre t[ brendsh[m, d.m.th.

N[se a : b = c : d , at[her[ a ⋅ d = b ⋅ cKjo rregull[ quhet vetia themelore e p[rpjes[timit.

P[r ]donj[r[n prej kat[r segmenteve proporcional a, b, c, d thuhet se [sht[ proporcionalja e kat[rtgjeometrike e tre t[ tjerave.

P[r shembull, bcda

= [sht[ proporcionalja gjeometrike e kat[rt e segmenteve a, b, c te p[rpjes[timi

a : b = c : d.

3. Cakto gjat[sin[ e proporcionales s[ kat[rt gjeometrike x t[ segmenteve a = 6 cm, b = 8 cm,c = 12 cm te p[rpjes[timet:a) a : b = c : x; b) x : c = a : b; c) a : x = b : c.

Krahaso zgjidhjen t[nde p[r a) me zgjidhjen e dh[n[:a : b = c : x; 6 : 8 = 12 : x; 6x = 8 ⋅ 12; x =16 cm.

Cakto mesin gjeometrik t[ numrave 2 dhe 32.

p[rpjes[timi 9 : x = x : 4, sipas vetis[ themeloresillet n[ barazimin x2 = 9 × 4, pra x = =36 6 ;x = 6 cm.

Kujtohu!


V[re se numri 6 [sht[ mesi gjeometrik i numrave 4 dhe 9.

Mbaj mend!

Mesi gjeometrik (ose proporcionalja e mesme gjeometrike) e dy segmenteve a dhe b quhetsegmenti me gjat[si x ashtu q[ a : x = x : b, d.m.th.

5. Cakto mesin gjeometrik t[ segmenteve:a) a =12 cm, b = 27 cm; b) a = 5 cm, b = 12 cm.

6. Konstato me matje se segmenti b nga vizatimi a [sht[ mesi gjeometriki segmenteve a dhe c.

ab

c

7. C {sht[ dh[n[ p[rpjes[timi =8 104 5

. Trego se [sht[ p[rpjes[tim dhe barazi + +

=8 4 10 5

4 5 .

Në përgjithësi vlen

N[se a cb d

= , at[her[ a b c db d+ +

= . P[rpiqu ta v[rtetosh k[t[.

V[reve se: nga a cb d

= vijon a cb d+ = +1 1; pastaj: a b c d

b b d d+ = + , d.m.th. a b c d

b d+ +

= .

8. Trego se vlen edhe pohimi i anasjellt[.

N[se a b c db d+ +

= , at[her[ a cb d

= .

Kujtohu! Kur tre ose m[ shum[ raporte jan[ t[ barabarta, at[her[ ato mund t[ shkruhen n[ form[ t[

p[rpjes[timit t[ vazhduar, si p[r shembull: a b ca b c

= =1 1 1

.

a b c a b ca b c a b c

+ + = = =+ +1 1 1 1 1 1

P[r at[ vlen:

a xx b= x2 = ab x ab


Duhet të dish:

ta p[rkufizosh konceptin e p[rpjes[timit;Cakto an[tarin e panjohur te p[rpjes[timi 10 : a = 15 : 6.

t[ caktosh an[tarin e panjohur te p[rpjes[timi;t[ sqarosh cil[t ]ifte t[ segmenteve jan[proporcional;t[ caktosh mesin gjeometrik t[ dy segmenteve.

Cakto gjat[sin[ e proporcionales s[ kat[rtgjeometrike x t[ segmenteve a = 4 cm, b = 5 cm,c = 8 cm te p[rpjes[timi a : b = c : x.

Cakto mesin gjeometrik t[ segmenteve a = 2 cm dhe b = 8 cm.

Detyra

1. Cili num[r duhet t[ q[ndron n[ vend t[shkronj[s a q[ t[ jet[ e sakt[ barazia:

a) a=

52 8

; b) a=

314 7

?

2. Formo p[rpjes[tim me gjat[sit[ e kat[rsegmenteve: 28 cm; 16 cm;1,2 dm; 2,1 dm.

3. Cakto gjat[sin[ x t[ proporcionales s[ kat[rtgjeometrike a, b, c n[ p[rpjes[timin a : b = x : c, n[ qoft[ se:

a) a b c= = =1 3 2dm, dm, dm;2 4 3

b) a = 2 m, b = 3 m, c = 4 m.

4. Te DABC n[ vizatim [sht[ dh[n[:CM : MA = CN : NB . N[ ]do rresht nga tabelajan[ dh[n[ disa gjat[si. Cakto gjat[sit[ q[mungojn[.

M

C

N

A B

CM MA CN NBa )

b)c)

8

6

6 4

4

8 8

5

4

5. Cakto mesin gjeometrik t[ segmenteve a dheb, n[ qoft[ se:a) a = 2 cm, b = 8 cm;

b) a =44 dm5 , b = 12 cm;

c) a = 7 cm, b = 14cm.

6. Te ΔABC k[nddrejt n[ vizatim, segmenti CD[sht[ lart[sia e l[shuar ndaj hipotenuz[s AB.

A D B

C

Me matje, konstato se:a) segmenti CD [sht[ mesi gjeometrik i segmenteveAD dhe DB;b) segmenti AC [sht[ mesi gjeometrik i segmenteveAD dhe AB.

7. Cakto x dhe y, n[ qoft[ se:

a) ;x y= =

34 5 2

b) yx= =

7 16 4

.

8. Trego se prej p[rpjes[timi a cb d

= mund t[

fitohen p[rpjes[timet:a b b d c dc d a c a b

= = =; ; .

9. V[rteto se: n[ qoft[ se a cb d

= , at[her[

a b c db d- -

= .

Kontrollohu!


Kujtohu!

NDARJA E SEGMENT{VE N{ PJES{ T{ BARABART{33333

P[r ΔFGH dhe ΔPQR n[ vizatim [sht[ dh[n[:α = α1, β = β1, FG = PQ .

1.A N[ vizatim [sht[ paraqitur k[ndi SOTdhe n[ krahun OS jan[ bartur segmentat[ barabart[ OA = AB = BC .

N[p[r pikat A, B dhe C jan[ t[rhequr nd[rmjet vetidrejt[za paralele p, q dhe r, t[ cilat e presinp[rkat[sisht krahun OT n[ pikat A1, B1 dhe C1.

Mati segmentet OA1, A1B1, B1C1. }far[ p[rfundon?P[r segment[t OA1, A1B1 dhe B1C1 thuhet se jan[ p[rgjegj[se p[r segmentet (me radh[):OA, AB dhe BC.

2. N[ lidhje me vizatimin nga detyra 1, p[rpiqu t[ v[rtetosh se

1 1 11 1O A = A B = B C.

Si do ta ndash segmentin e dh[n[ n[ pjes[ t[barabart[:a) n[ dy; b) n[ kat[r?

F G

H

α βP Q

R

α1 β1

Si jan[ nd[rmjet veti ato trek[nd[sha?Si jan[ nd[rmjet veti brinj[t p[rkat[se t[trek[nd[shave t[ puthitsh[m?

Shihe vizatimin te i cili jan[ t[rhequr edhe segmentet A1B2dhe B1C2, paralele me krahun OS, dhe jan[ sh[nuar disak[nde me numrat.

V[re ΔOAA1 dhe ΔA1B2B1 poashtu v[re:

1 = 3, 2 = 4 (Pse?) = 1 2OA A B (Pse?)

ΔOAA1 ≅ ΔA1B2B1, dhe =1 1 1OA A B (Pse?).

V[re ΔA1B2B1 dhe ΔB1C2C1. Trego se ato jan[ t[ puthitsh[m dhe se 1 1 1 1A B =B C .

V[re dhe mbaje mend k[t[ teorem[ p[r segmentet e barabart[ t[ krah[ve t[ nj[ k[ndi.

N[ qoft[ se n[ nj[rin krah t[ k[ndit t[ dh[n[ jan[ bartur segmente t[ barabart[ dhe n[p[r skajet e tyrejan[ t[rhequr drejt[za paralele q[ e presin krahun tjet[r t[ k[ndit, at[her[ ato drejt[za presin edhe tekrahu tjet[r segmente t[ barabart[ nd[rmjet veti.


Kujtohu!

N[ baz[ t[ k[saj teoreme mund ta ndash segmentin e dh[n[ n[ pjes[ t[ barabarta p[r ]fardo num[r t[dh[n[.

3. Segmentin AB n[ vizatim ndaje n[ 5 pjes[ t[ barabarta.A B

Si do ta zbatosh teorem[nparaprake q[ ta ndashsegmentin AB n[ 5 pjes[ t[barabarta?

Te pika A do t[ t[rheq ]far[do gjysm[drejt[zdhe n[ t[ me fillim n[ pik[n A do t[ barti 5segmente t[ barabart[. Pastaj do t[ t[rheqdrejt[za paralele, sipas teorem[s.

P[rcille zgjidhjen dhe v[re m[nyr[n p[r ndarjen e segmentit n[ pjes[ t[ barabarta.

T[rhiq ]far[do gjysm[drejt[z AS si n[ vizatim.

Te AS, duke filluar prej A, pes[ her[ barte ]far[do segment t[ zgjedhur, p[r shembull AE; me at[ dot[ fitosh pes[ pika, pik[n e pest[ sh[noje me C.

T[rhiqe, s[ pari, drejt[z[n CB dhe pastaj, n[p[r ]donj[r[n prej pikave t[ fituara n[ AC, t[rhiq drejt[zparalele me drejt[z[n CB; ato drejt[za e ndajn[ segmentin AB n[ pes[ pjes[ t[ barabarta.

Sqaro pse ato 5 pjes[ jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti.

4. Vizato segment AB me gjat[si 7 cm dhe ndaje n[ 6 pjes[ t[ barabarta.

5. Vizato nj[ segment dhe cakto mesin e tij, duke shfryt[zuar teorem[n p[r segmentet e barabart[.

Te segmenti AB [sht[ sh[nuar pika M ashtuq[: AM = 4 cm dhe MB = 3 cm .

6. B Vizato segment AB t[ gjat[ 6 cm.a) Ndaje n[ 5 pjes[ t[ barabarta.b) Sh[no pik[n M ashtu q[

AM : MB = 3 : 2 .

N[ ]far[ raporti pika M e ndan segmentin AB?A M B


Ky nd[rtim quhet ndarja e segmentit n[ raport t[ dh[n[

Krahasoje zgjidhjen t[nde me zgjidhjen t[ dh[n[ n[vizatim.

7. Vizato segmentin AB dhe ndaje n[ dy pjes[ raporti it[ cilave [sht[ 3 : 4.

8. Segmenti AB n[ vizatim [sht[ ndar[ me pik[n M n[ raport3 : 2. Gjithashtu, segmenti CD me pik[n N [sht[ ndar[ n[raportin e nj[jt[ 3 : 2.

S[ pari, ndaje segmentin AC n[ 3+4=7 pjes[ t[ barabarta.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[n[ vizatim, ku [sht[ marr[ ⋅AK = 3 AE dheKM || CB.K[shtu [sht[ fituar AM : MB = 3 : 4 .

Sqaro pse AM : MB = 3 : 4 .

A M B

C N DFormo p[rpjes[tim p[r pjes[t e segmentit AB dhe prejsegmentit CD.

Nj[ mund[si [sht[: AM : MB = CN : ND , q[ do t[ thot[ AM, MB jan[ segmente proporcionale mesegmentet CN, ND. Prandaj themi se segmentet AB dhe CD jan[ ndar[ proporcionalisht.

Duhet të dish:

P[r dy segmente thuhet se jan[ ndar[ proporcionalisht, n[ qoft[ se raporti i pjes[ve t[ nj[ritsegment formon p[rpjes[tim me raportin e pjes[ve t[ segmentit tjet[r.

9. Vizato dy segmente me gjat[si 7 cm dhe 4 cm dhe ndaji proporcionalisht n[ raport 1 : 2.


Vizato segment AB t[ gjat[ 5 cm dhe ndaje n[3 pjes[ t[ barabarta. Pastaj, sh[no pik[n M q[ endan segmentin AB n[ raport 2 : 1.

1. Vizato segment t[ gjat[ 6 cm dhe ndaje n[pjes[ t[ barabarta:a) n[ tre b) n[ shtat[.

Shkruaj p[rpjes[tim nd[rmjet pjes[ve t[segmenteve PQ dhe RS t[ cil[t me pikat H dheK n[ vizatim jan[ ndar[ proporcionalisht.

2. Vizato segment AB dhe ndaje n[ raporta) 2 : 1; b) 5 : 2.

3. Vizato segment me gjat[si 10 cm dhe ndaje:a) n[ 7 pjes[ t[ barabarta;b) n[ raport 4 : 3;c) n[ tre segmente n[ raport 1 : 2 : 4.

4. Vizato DABC dhe brinj[t e tij ndaji n[ nga trepjes[ t[ barabarta.

5. Vizato ΔABC dhe n[ mesoren AA1. Caktopik[n e r[ndimit T t[ trek[nd[shit n[ at[m[nyr[ q[ AA1 ta ndash n[ raport

1AT : TA = 2 : 1 .

6. Pika M e ndan segmentin AB n[ raportAB : MB = 5 : 3. Gjat[sia e segmentit AM [sht[4,8 dm. Cakto gjat[sin[ e segmentit MB; AB.

7. P[r sa duhet t[ vazhdohet segmenti AB =12 cm q[t[ fitohet segment AC i cili do te plot[soj[p[rpjes[timin AC : BC = 5:2 ?

8. Pika M e ndan segmentin AB n[ raportAM:MB = 3 : 2 . Cakto raportet AM: AB dhe

AB : MB .

DetyraR K S

13P H Q

2 6

Duhet të dish:

t[ ndash segment n[ pjes[ t[ barabarta dhe tasqarosh m[nyr[n;

t[ ndash segmentin n[ raport t[ dh[n[;

t[ sqarosh kur dy segmente jan[ ndar[proporcionalisht.

Kontrollohu!


N[ vizatim [sht[ dh[n[ zgjidhja e detyr[s.P[rgjigju n[ k[to pyetje.

}ka do t[ shfryt[zosh q[ t[ tregoshse OC : CD = 3 : 2 ?

Do ta shfryt[zoj m[nyr[n dhegjykimin p[r ndarjen e segmentit n[raport t[ dh[n[.

N[ qoft[ se krah[t e nj[ k[ndi priten me dy drejt[za t[ ndryshme paralele,at[her[ segmentet q[ fitohen n[ nj[rin krah jan[ proporcionale me segmentetp[rkat[se t[ krahut tjet[r.

2. N[ vizatim [sht[ marr[ AC || BD.N[ qoft[ se OA = 4 dm , AB = 5 dm , OC = 8dm ,

N[ segmentin OB cakto pik[n A, ashtu q[ OA : AB = 3 : 2 .N[p[r pik[n A t[rhiq drejt[z q || p. Drejt[za q le ta prej[ OT n[ pik[n C.Trego se OC : CD = 3 : 2 .

Si [sht[ ndar[ segmenti OB n[ 5 pjes[ t[ barabarta?Si [sht[ p[rcaktuar pika A ashtu q[ OA : AB = 3 : 2 ?Pse OC : CD = OA : AB = 3 : 2 ?

V[re dhe mbaj mend gjykimin t[ quajtur teorema e Talesit p[rsegmentet proporcionale.

AO B

DC

AC || BD

cakto CD ;

trego se OA : OB = OC : OD .

TEOREMA E TALESIT P{R SEGMENTET PROPORCIONALE44444

Si ndahet segmenti i dh[n[:a) n[ pjes[ t[ barabarta;b) n[ raportin e dh[n[ m : n?Sqaro nd[rtimin.

1.A N[ vizatim [sht[ dh[n[ k[ndi i ngusht[SOT. N[ krahun OS [sht[ zgjedhurpika B, kurse n[ krahun OT pika D.N[p[r B dhe D [sht[ t[rhequr drejt[zap.

O B S

TD

p

Kujtohu!

OA : AB = OC : CD


N[ qoft[ se ke nevoj[ p[r ndihm[...

S[ pari, v[re se krah[t e “ACB jan[ prer[ me drejt[zat paralele MN dhe AB. Pastaj, zbato teorem[n eTalesit.

N[ p[rgjith[si vlen: prej barazis[ OA : AB = OC : CD (te teorema e Talesit) fitohet baraziaOB : OA = OD: OC ose

OA:OB=OC:OD .

Duke e shfryt[zuar k[t[ veti p[r p[rpjes[timet, prej AB : OA = CD : OC vijon(AB + OA):OA = (CD +OC):OC .

3. N[ vizatim [sht[ dh[n[ DABC dhe drejt[za MN || AB q[ i pretdy brinj[t tjera AC dhe BC.

Konstato se brinj[t AC dhe BC me drejt[z[nMN jan[ ndar[ proporcionalisht, d.m.th. CM:MA = CN:NB .

A B

C

M N

4. B Vizato k[ndin SOT dhe barti segmentet si n[vizatim: OA = 4 cm , OB = 6 cm , OC = 3 cm ,

OD = 4,5 cm .

Bindu se segmentet OA, OB dhe OC, OD jan[proporcionale, d.m.th. OA : OB = OC: OD .T[rhiqi drejt[zat AC dhe BD. Pastaj, me ndihm[n e dy trek[ndshave, provo se a jan[ paraleleato drejt[za.

N[ qoft[ se ke vizatuar dhe matur mjaft mir[, sigurisht ke p[rfunduar se AC || BD.

N[ qoft[ se dy drejt[za presin prej krah[ve t[ ndonj[ k[ndi segmente paralele, at[her[ ato drejt[zajan[ paralele.

AC || BDOA : OB = OC : OD

N[ p[rgjith[si vlen!

Trego se OB : OA = OD: OC .

O B S

TD

A

C

O B S

TD

A

C

Kjo veti e segmentave paralele quhet teorema e anasjellt[ e Talesit.


Duhet të dish

Detyra

1.

ta shprehish teorem[n e Talesit dhe ta zbatosh n[ detyra t[ zakonshme;

N[ vizatim [sht[ dh[n[ PQ || BC. Plot[soji k[to pohime q[ t[ jen[ t[ sakta:a) AP : AB = : ; c) : = AQ : QC ;

b) AP : PB = : ; ]) AC : AQ = : .

N[ vizatim [sht[ marr[ AC || BD.

ta shprehish teorem[n e anasjellt[ t[ Talesit dhe ta zbatosh n[ detyra t[ zakonshme.

A P B

QC

P[r segmentet e sh[nuara a do t[ jet[ BC || DE?

A B D

C

E

20 16

35

28

Cakto OB , n[ qoft[ se:OA = 4 cm , OC = 6 cm , OD = 9 cm .

2. Te ΔABC n[ vizatim [sht[ dh[n[ MN || AB.

A B

C

M Na) Cakto CN , n[ qoft[ se:CM = 12 ; CA = 18 ; BN = 8 ;

b) Cakto CM , n[ qoft[ se:CM = NB , MA = 4 dhe

CN = 9 .

O A B

C

D

Kontrollohu!

5. Konstato p[r cil[t prej k[tyre gjat[sive sipas vizatimit do t[ jet[ MN || PQ:a) RM = 10, RP = 12, RN = 15, RQ = 18;

b) RP = 14, MP = 4, RQ = 21, NQ = 6;

c) RM = 6, RP = 8, RN = 9, RQ = 14.

P Q

R

M N


3. Te ]donj[ri prej trek[nd[shave n[ vizatim[sht[ t[rhequr segment paralel me baz[n dhejan[ sh[nuar gjat[sit[ e disa segmenteve.

Te t[ kat[r rastet cakto x, duke llogaritur seshkronjat tjera jan[ numra t[ dh[n[.

a

b x

1c

d1

x

1

mx

n2 x

k 2

4. Krah[t e SOT (n[ vizatim) jan[ prer[ medrejt[za paralele AA1, BB1 dhe CC1, kuOA : AB : BC = 2 : 3 :1dhe 1OA =6 cm. Cak-to gjat[sit[ e segmenteve A1B1 dhe B1C1.

5. P[r segmentet e sh[nuar n[ vizatimin a); b),provo a do t[ jet[ BC || DE. Sqaro p[rgjigjent[nde.

a)

b )

6. Trego se prej p[rpjes[timiOA : AB = OC : CDfitohen p[rpjes[timet:

O A B

CD

a) AB : OA = CD : OC ; c) OB : AB = OD : CD ;

b) OB : OA = OD : OC ; ]) OA : OB = OC : OD .

Përpiqu! ...Nuk është e domosdoshme

7. N[ vizatim [sht[ dh[n[ DABC te CD [sht[simetrale e k[ndit pran[ kulmit C. Pastaj, [sht[vazhduar brinja AC dhe [sht[ t[rhequrdrejt[za BE || DC.

a) V[rteto se ΔBEC [sht[dybrinj[nj[sh[m me krahBC = CE .

b) V[rteto se simetralja e ACB te ΔABC e ndanbrinj[n e p[rballt[ AB n[ dy pjes[ q[ jan[proporcionale me dy brinj[t tjera, d.m.th.AD : DB = CA : CB , d.m.th.(c - x) : x = b : a.

24

18


Kujtohu!

N[ qoft[ se ke vizatuar dhe matur mjaft preciz, sigurisht v[reve se segmentet AB, AB1 jan[proporcionale me segmentet BC, B1C1, d.m.th.

1 1 1 1AB : AB =BC:B C = AC: AC

N[ qoft[ se n[ nj[ trek[nd[sh [sht[ t[rhequr drejt[z q[ [sht[ paralele me nj[ brinj[ dhe i pret dybrinj[t tjera t[ trek[nd[shit, at[her[ fitohet trek[nd[sh i ri brinj[t e t[ cilit jan[ proporcionale mebrinj[t e trek[nd[shit t[ dh[n[.


2. P[rpiqu ta v[rtetosh pohimin te detyra 1, duke zbatuar teorem[ne Talesit.

{sht[ dh[n[: te ΔABC, drejt[za B1C1 || BC (si n[ vizatim).

ku: aBC = , bAC = , cAB = , a1 1 1B C = , b1 1AC = , c1 1AB = .

V[rteto se:

Vizatimi i dh[n[ [sht[ plot[suar me t[rheqjen e drejt[z[sB1F paralele me AC. Si do ta zbatosh teorem[n e Talesitq[ t'i v[rtetosh barazit[ e dh[na?

Do t'i shkruaj p[rpjes[timet prej segmenteve proporcionale q[ jan[ fituar p[r k[ndet: BACdhe ABC. Pastaj do t[ kryej krahasimin.

Krahaso mendimin t[nd me zgjidhjen e dh[n[.

a1

a

A B

C

B1

C1

A B

C

B1

C1

F

DETYRA ME ZBATIMIN E TEOREM{S S{ TALESIT55555

Si thot[ teorema e Talesit p[r segmentetproporcionale?

1.A Vizato ΔABC. Pastaj, t[rhiq drejt[zB1C1 q[ do t'i prej[ krah[t e A dhe

Shprehe teorem[n e anasjellt[ t[ teorem[s s[Talesit.

Si jan[ nd[rmjet veti raportet 1AB : AB dhe 1AC : AC ?Mati me kujdes segmentet AB, AB1; BC, B1C1 dhe pastaj njehso raportet

1AB : AB dhe 1 1BC : B C .

}ka v[ren?A B

C

B1

C1

[sht[ paralele me brinj[n BC, si n[ vizatim.

1 1 1 1

BC AC AB= =B C AC AB

, pra a b ca b c

= =1 1 1

,


BAC [sht[ prer[ me B1C1 || BC, pra sipas teorem[s s[ Talesit: 1 1

AB AC=AB AC

( 1 )

ABC [sht[ prer[ me B1F || AC, sipas teorem[s s[ Talesit: 1

AB BC=AB FC

( 2 )

Kat[rk[nd[shi B1FCC1 [sht[ paralelogram (pse?), pra: 1 1FC = B C ; pas z[v[nd[simit te (2), fitohet

1 1 1

AB BC=AB B C

. (3) Prej (1) dhe (3): 1 1 1 1

BC AB AC= =B C AB AC

, d.m.th. a c ba c b

= =1 1 1

.

Ky pohim quhet edhe teorema e Talesit p[r trek[nd[shin.

N[ qoft[ se nj[ drejt[z gjat[ prerjes s[ dybrinj[ve t[ trek[nd[shit i ndan ato n[segmente proporcionale, at[her[ ajodrejt[z [sht[ paralele me brinj[n e tret[ t[trek[nd[shit.

Vlen edhe pohimi i anasjelltë!

A B

C

F Gm

n q

p FG || ABm : n = p : q

3. N[ ΔABC te vizatimi MN || BC.

Cakto raportin BC : MN , n[ qoft[ se AM = 12, AB = 18 .

Cakto MN , n[ qoft[ se AB = 15, BC = 10 dhe M [sht[ mesi i AB.

4. Drejt[zat p dhe q n[ vizatim jan[ prer[ me tre drejt[za nd[rmjet vetiparalele. Trego se segmentet p[rkat[se a, a' jan[ proporcionale mesegmentet b, b', d.m.th.

a : a' = b : b'.

p qA B

C D

a a '

b 'b

P[rcille zgjidhjen e detyr[s. T[rhiqe segmentin AD, si n[ vizatim, dhe v[re se krah[t e CAD dhe t[

ADB jan[ prer[ me nga dy drejt[za paralele, pra:a : b = x : y dhe a ' : b ' = x : y.

p qA B

C D

a a '

b 'b

x

y Pasi an[t e djathta t[ barazis[ jan[ t[ barabarta, mund t[ p[rfundosh se a : b = a' : b' d.m.th. a : a' = b : b'.

Sipas vizatimit paraprak, [sht[ dh[n[ a = 3, b = 5 dhe b' = 7. Cakto gjat[sin[ e segmentit a'.

5. P[r trapezin ABCD n[ vizatim [sht[ dh[n[: MN || AB, AD = 18 cm ,

BC = 24 cm dhe DM = 3 cm . Cakto BN dhe NC .A B

N

CD

M

Provo zgjidhjen p[r MN sipas vetis[ p[r vij[n e mesme t[ trek[nd[shit!A B

C

N

M


N[ qoft[ se nuk mund ta zgjidhish vet detyr[n, Kujtohu n[ teorem[n e Talesit.

Vizato k[ndin SOT dhe barti segmentet a=OA ,

b=AB dhe c=OC , si n[ vizatim. T[rhiq drejt[z n[p[r B, paralele me AC dhe prerjen

sh[noje me D.

x=CD [sht[ segmenti i k[rkuar. (Pse?)

Proporcionalja e kat[rt gjeometrike x e segmenteve a, b, c mundt[ fitohet edhe sipas vizatimit tjet[r.

Shqyrto vizatimin dhe sqaro m[nyr[n.

7. P[r segmentet a = 4 cm, b = 6 cm dhe c = 5 cm, nd[rto proporcionalen e kat[rt gjeometrike:

; .b)bc acx xa b

= =a)

S[ pari v[re se bcxa

= mund ta formosh p[rpjes[timin x : c = b : a.

8. Vizato dy segmente a = 3 cm dhe b = 2 cm. Nd[rto segmentin x, ashtu q[ x = ab.

S[ pari v[re se prej x = ab mund ta formosh p[rpjes[timin 1: a = b : x; pastaj kryeje nd[rtimin.

Duhet të dish:

ta shprehish teorem[n e Talesitp[r trek[nd[shin dhe ta zbatoshn[ detyra t[ ndryshme;

P[r ΔABC [sht[ dh[n[: MN || AB. Cakto brinj[t e tij sipast[ dh[nave n[ vizatim.

t[ nd[rtosh proporcionalen e kat[rtgjeometrike p[r tre segmente.

Sqaro m[nyr[n p[r nd[rtimin e proporcionales s[ kat[rtgjeometrike x t[ tre segmenteve t[ dh[n[ a, b, c.

Kontrollohu!

6. B Jan[ dh[n[ segmentet a, b, c sikurse n[ vizatim.a

b

cCakto segmentin x ashtu q[ a : b = c : x, d.m.th. nd[rto proporcionalene kat[rt gjeometrike t[ segmenteve a, b, c.

b)


N[ vizatim [sht[ paraqitur situata e terenit t[paarritsh[m me pik[n e paarritshme A dhepik[n e arritshme B.

Detyra

1. Te trapezi ABCD n[ vizatim, me baza=AB 12 , =CD 5 dhe krah =AD 7 , jan[ va-

2. Cakto lart[sin[ AB t[nj[ druri (n[ vizatim)n[ qoft[ se hija e tij

3. Te trapeziABCD n[vizatim,

4. Te ΔABC n[ vizatimbrinja BC [sht[ ndar[ k

k

k

x

y

15A B

C

trek[nd[sh.

5. Nd[rto proporcionalen e kat[rt gjeometriket[ segmenteve a = 4 cm,b = 5 cm, c = 3 cm (a : x = b : c).

6. Vizato tre segmente a, b, c. Pastaj, nd[rtosegment x, ashtu q[:a) x : a = b : c; b) a : x = b : c;c) a : b = x : c.

7. Vizato segmente a dhe b. Pastaj nd[rto seg-ment x, ashtu q[ x = a2.

8. Vizato segmente a dhe b. Pastaj nd[rto seg-ment x, ashtu q[

a) axb

=2

; b) bxa

=2

.

9. Brinja DC e trapezitABCD me bazat

=AD 8 dhe =BC 20 ,

n[ tre pjes[ t[ barabarta dhen[p[r pik[prerjet jan[t[rhequr drejt[za, paralele mebrinj[n AB, gjat[sia e s[ cil[s[sht[ 15 cm. Cakto gjat[sin[e ]do segmenti, t[ formuar n[

zhduar krah[t AD dhe BC derite prerja e tyre S. Cakto SD .

6

6

3

A B

N M

P Q

C D

8

MN || PQ || AB. Caktogjat[sit[ e krah[ve ADdhe BC sipas t[dh[nave n[ vizatim.

B

[sht[ ndar[ n[ tre pjes[ t[barabarta dhe n[p[r pik[-prerjet jan[ t[rhequr drejt[zaparalele me bazat (si n[ viza-tim). Cakto gjat[sit[ x dhe y t[ segmenteve t[formuara n[ trapez.

Ndihm[. T[rhiqe drejt[z[n DM paralele me AB dheshqyrto ΔDMC (kujtohu se si e zgjidhe detyr[n 4).

10.

a) Cakto larg[sin[ e paarritshme BA .b) Njehso BA , n[ qoft[ se jan[ matur gjat[sit[:

= =BC 100 m, CE 250 m dhe =CD 80 m .

c) Cakto larg[sin[ EA , n[ qoft[ se jan[ matur:= =CE 250 m, CD 80 m dhe =DB 96 m .

BC [sht[ 20 m,kurse nj[koh[-sisht, hija e shkopitPQ prej 1 m [sht[e gjat[ 1,4 m.

C

A

D

x y


Kujtohu!

FIGURAT E NGJASHME. TREK{ND{SHAT E NGJASH{M66666

Krah[t e k[ndit SOT jan[ prer[ me drejt[zatparalele AC dhe BD.

TREK{ND{SHAT E NGJASH{M

A N[ jet[n e p[rditshme shpesh her[ hasimsende q[ e kan[ form[n e nj[jt[, kursemadh[si t[ ndryshme ose t[ nj[jt[:

Sipas vizatimit, shkruaj raport t[ segmenteveq[ [sht[ i barabart[ me raportin:

: : .b)a) OA AB; OC OD

1. P[r cilat figura mund t[ themi se jan[ t[ngjashme:

Sipas cil[s teorem[ i shkruajte raportet?

N[ vizatim vlen p[rpjes[timi i segmenteve:: :=OA AB OD DC .

automobili dhe modeli i tij; dy gota, dy karrika etj.

A B

CD

T

SO

A B

CD

O

}far[ pozite kan[ drejt[zat AD dhe BC?Si jan[ sipas madh[sis[ k[ndet:a) OAD dhe OBC; b) ODA dhe OCB?

P[r dy figura t[ ngjashme q[ kan[ plot[sishtform[ t[ nj[jt[, kurse madh[si t[ ndryshme oset[ nj[jt[, zakonisht themi se jan[ t[ ngjashme.

dy katror[;dy rrath[;katrori dhe rrethi?

2. Jan[ dh[n[ dy harta gjeografike t[ Maqe-donis[. E para n[ raport 1 : 1000000, kurse edyta me raport 1 : 500000.

A jan[ t[ ngjashme ato harta?N[ hart[n e par[, larg[sia prej Shkupi derin[ Kumanov[ [sht[ 4 cm. Sa [sht[ larg[siaprej Shkupi deri n[ Kumanov[ te harta edyt[?

Cili [sht[ raporti i larg[sis[ Shkup - Kumanov[ prej hart[s s[ par[ me larg[sin[ Shkup - Kumanov[ n[hart[n e dyt[?

Si [sht[ raporti i larg[sis[ nd[rmjet ]far[do dy vendeve t[ hart[s s[ par[ me larg[sin[ nd[rmjet dyvendeve p[rkat[se t[ hart[s s[ dyt[?

Trekëndëshat e ngjashëm 25

3. B Shihe vizatimin te i cili kulmet etrek[nd[shave ABC dhe A1B1C1shtrihen n[ gjysm[drejt[zat me pik[

OA

A1

CC1

BB1

T

S

t[ fillimit O dhe formojn[ segmente proporcionale:: :=1OA OA 1 2 ; : :=1OB OB 1 2 ;

: :=1OC OC 1 2 .P[r trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 do t[ dallojm[: kulme p[rgjegj[se, k[nde p[rgjegj[se dhe brinj[p[rgjegj[se, etj.

kulme p[rgjegj[se jan[: A dhe A1; B dhe B1; C dhe C1;

k[nde p[rgjegj[se jan[: A dhe A1, B dhe B1, C dhe C1;

brinj[ p[rgjegj[se jan[: AB dhe A1B1; BC dhe B1C1; AC dhe A1C1.Trego se brinj[t p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave ABC dhe A1B1C1 jan[ paralele, d.m.th.AB || A1B1; BC || B1C1 dhe AC || A1C1.Trego se k[ndet p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave jan[ t[ barabart[, d.m.th. A = A1; B = B1 dheC = C1.Trego se brinj[t p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave jan[ proporcionale, d.m.th. : : : := = =1 1 1 1 1 1AB A B BC B C AC A C 1 2 .


Pasi : :=1 1OA OA OB OB , prej teorem[s s[ anasjellt[ t[ Talesit, vijon se AB || A1B1. N[ m[nyr[ t[nj[jt[ mund t[ tregosh se BC || B1C1 dhe AC || A1C1.

Pasi AB || A1B1 dhe AC || A1C1, vijon se A = A1, si k[nde me krah paralele. N[ m[nyr[ t[nj[jt[ mund t[ tregosh se B = B1 dhe C = C1.

P[rkujtohu n[ teorem[n e Talesit: n[ qoft[ se krah[t e k[ndit SOT jan[ prer[ me drejt[zat paraleleAB dhe A1B1, at[her[ segmentet p[rgjegj[s AB dhe A1B1 jan[ proporcionale me segmentet OA dheOA1, d.m.th. : : := =1 1 1OA OA AB A B 1 2 . Mund t[ tregosh se raport t[ nj[jt[ kan[ edhe brinj[ttjera p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave, etj.

: : : := = =1 1 1 1 1 1AB A B BC B C AC A C 1 2 .

P[r trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 tregove se k[ndet p[rgjegj[sei kan[ t[ barabarta, kurse brinj[t p[rgjegj[se i kan[ propor-cionale. Ato mund t[ jen[ dh[n[ edhe n[ tjet[r pozit[, sikursen[ vizatim, n[ an[n e djatht[.

N[ qoft[ se trek[nd[shin ABC e vizatonn[ flet[ t[ tejdukshme, mund tavendosish n[ hap[sir[n e ΔA1B1C1(sikurse n[ vizatim), ashtu q[ brinj[t p[rgjegj[se t'i ken[ paralele. V[re se ΔABCdhe ΔA1B1C1 kan[ form[ t[ nj[jt[, por madh[si t[ ndryshme, d.m.th. se atojan[ trek[nd[sha t[ ngjash[m.A B

C

A1 B1

C1 A B

C

A1 B1

C1


Cili [sht[ koeficienti i p[rpjes[timit t[ brinj[ve te trek[nd[shat e ngjash[m ABC dhe A1B1C1?

Mbaj mend!

P[r dy trek[nd[sha thuhet se jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se k[ndet p[rgjegj[se i kan[ t[ barabarta dhebrinj[t p[rgjegj[se i kan[ proporcionale.P[r trek[nd[shat e ngjash[m ABC dhe A1B1C1 shkruajm[: ΔABC ∼ ΔA1B1C1.

Lexohet: ΔABC [sht[ i ngjash[m me ΔA1B1C1.

4. Te detyra 3 v[reve se ΔABC ∼ ΔA1B1C1 edhe koeficienti i ngjashm[ris[ [sht[ 12

.

Pse ΔA1B1C1 ∼ ΔABC dhe cili [sht[ koeficienti i ngjashm[ris[?

Te detyra 3 v[reve se koeficienti i p[rpjes[timit t[ brinj[ve t[ trek[nd[shave t[ ngjash[m ABC dhe

A1B1C1 [sht[ 1 : 2, d.m.th. 12

.

N[se shkruan ΔABC∼ΔMNP, kjo do t[ thot[ se kulmet p[rgjegj[se jan[: A dhe M, B dhe N, C dheP.

Duhet t[ dish:

n[se ΔABC ∼ ΔXYZ, at[her[ : : : k= = =AB XY BC YZ AC XZ dhe A = X, B = Y, C = Z;ta caktosh koeficientin e ngjashm[ris[ s[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m.

N[ vizatim: ΔABC ∼ ΔMNP.

A B

C2 3

4

6

M N

P

x

y

Shkruaji:a) brinj[t p[rgjegj[se; b) k[ndet p[rgjegj[se.Cakto koeficientin e ngjashm[ris[.Cakto x dhe y.

Detyra

1. {sht[ dh[n[: ΔABC ∼ ΔRST.

Shkruaji:a)brinj[t p[rgjegj[se, b) k[ndet p[rgjegj[se.

2. Vizato dy trek[nd[sha barabrinj[s, i pari mebrinj[ a = 3 cm, kurse i dyti me brinj[ 4 cm.

Trego se ato jan[ t[ ngjash[m.Cakto koeficientin e ngjashm[ris[.

3. N[ vizatimin ΔABC ∼ ΔPQR dhe jan[ sh[nuargjat[sit[ e brinj[ve. Cakto x dhe y.

A B6

12 x

C R

QP

15

y

10

Koeficienti i p[rpjes[timit t[ brinj[ve p[rgjegj[se t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m (ΔABC ~ ΔA1B1C1)quhet edhe koeficienti i ngjashm[ris[.

Kontrollohu!


Kujtohu!

4. N[ vizatimin,ΔABC ∼ ΔMNC. Me]ka [sht[ e barabart[CB dhe MN , n[ qof-t[ se =CM 5 ; =CN 6 ;

=AB 12dhe =CA 15?

A B

NM

C 5. Prej ΔABC ≅ ΔA1B1C1, a vijon se ΔABC ∼ΔA1B1C1? Sqaro.

6. Le t[ jen[ M dhe N meset e brinj[ve AC dheBC te trek[nd[shi ABC. Trego se ΔMNC ∼ΔABC.

KRITERI I PAR{ P{R TREK{ND{SHAT E NGJASH{M77777A

Q[ t[ konstatosh se trek[nd[shat ABC dheA1B1C1 a jan[ t[ ngjash[m duhet t[ provoshk[ndet e tyre p[rgjegj[se a jan[ proporcionaled.m.th. A = A1, B = B1, C = C1

dhe : : := =1 1 1 1 1 1AB A B BC B C AC A C .

Krah[t e k[ndit MON jan[ prer[ me drejt[zatparalele a dhe b, ashtu q[ : : := =OB OA OC OD 2 1

O A BM

ab

DC N

cakto raportin e brinj[veBC dhe AD;

Shihi trek[nd[shatOAD dhe OBC, kursepastaj:

cakto si jan[ nd[rmjet veti k[ndet p[rgjegj[set[ trek[nd[shave.A [sht[ ΔOBC ∼ ΔOAD?

1. Vizato ΔABC dhe segmentin A1B1q[ [sht[ tre her[ m[ i gjat[ se brinjaAB. Pastaj vizato trek[nd[sh A1B1C1

me brinj[ A1B1,B1A1C1 = A dhe A1B1C1 =B.

K[ndet e brendshme p[rgjegj[se t[trek[nd[shave ABC dhe A1B1C1 ajan[ t[ barabart[? Pse?

K[ndet p[rgjegj[se jan[ t[ barabarta;A = A1 dhe B = B1, sipasnd[rtimit;C = C1, pasiC = 180o - A + B) == 180o - (A1 + B1) = C1.

Provo me matje brinj[t p[rgjegj[se t[ ΔA1B1C1me ΔABC a jan[ proporcionale. Cakto koefi-cientin e p[rpjes[timit.

P[rpiqu t[ sqarosh se brinj[t p[rgjegj[se t[ΔA1B1C1 dhe ΔABC jan[ proporcionale dhe seΔA1B1C1 ∼ ΔABC.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. N[ vizatim jan[ dh[n[ ΔABC dhe ΔA1B1C1, ashtu

q[ =1 1A B 3AB ,A=A1dhe B= B1.

Q[ t[ tregosh se ΔA1B1C1 ∼ ΔABC duhet t[provosh se a jan[ plot[suar gjasht[ k[rkesatp[r trek[nd[shat e ngjash[m, d.m.th.A = A1, B = B1, C = C1 dhe : : := =1 1 1 1 1 1A B AB B C BC A C AC .


Ti tregove se k[ndet p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave jan[ t[ barabart[.

Supozo se ΔABC [sht[ zhvendosur ΔA1B1C1, ashtu q[: kulmi A puthitet me A1, B me B2 dhe kulmiC me C2; A puthitet me A1, B me A1B2C2 dhe C me B2C2A1.

Pasi A1B2C2 = B1, vijon se B2C2 || B1C1. Sipas vizatimit, me ndihm[n e teorem[s s[ Talesit p[rsegmentet proporcionale, ke treguar se : : : := = =1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2A B A B A C A C B C B C 3 1 , d.m.th.

: : := =1 1 1 1 1 1A B AB B C BC A C AC .Mund t[ p[rfundosh se ΔA1B1C1 ∼ ΔABC.

V[reve se trek[nd[shat A1B1C1 dhe ABC q[ vizatove kan[ nga dy k[nde p[rgjegj[se t[ barabart[ dheti tregove se ΔA1B1C1 ∼ ΔABC. Prandaj, q[ t[ konstatosh se dy trek[nd[sha a jan[ t[ ngjash[m mjaftont[ provosh se ato a kan[ dy k[nde p[rgjegj[se t[ barabart[.

Mbaj mend!

Dy trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se dy k[nde t[ nj[rit trek[nd[sh jan[ t[ barabart[ me dyk[nde t[ trek[nd[shit tjet[r.

2. N[ vizatim [sht[ dh[n[: A = D = 30o dhe pika C[sht[ prerje e segmenteve AE dhe BD. V[rteto seΔABC ∼ ΔDEC.

B 3. Te ΔABC [sht[ t[rhequr segmenti MN paralel me AB.

A B

C

NM

α

α1

β

β1Trego se α = α

1 dhe β = β

1.

V[rteto se ΔABC ∼ ΔMNC.

V[re k[t[ gjykim.

N[ qoft[ se te nj[ trek[nd[sh [sht[ t[rhequr drejt[z q[ [sht[ paralele me nj[r[n prej brinj[ve dhei pret dy brinj[t tjera, at[her[ fitohet trek[nd[sh q[ [sht[ i ngjash[m me trek[nd[shin e dh[n[.

4. Te ΔABC n[ vizatim, jan[ t[rhequr segmentet:MN || AB dhe NP || AC.

A BP

N

C

MSa trek[nd[sha v[ren?Shkruaj cil[t trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m nd[rmjet tyre.

Krahaso k[t[ pohim me teorem[n e Talesit p[r trek[nd[shin.

Ky pohim quhet kriteri i par[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m.


V[re se:

}do trek[nd[sh [sht[ i ngjash[m me vet[veten.Dy trek[nd[sha t[ puthitsh[m jan[ t[ ngjash[m.

Sa [sht[ koeficienti i tyre i ngjashm[ris[?

5. N[ vizatim jan[ dh[n[ trek[nd[shat k[nddrejt[ ABC dhePQR, ashtu q[ A = P = α.

Trego se ΔABC ∼ ΔPQR.

V[re se trek[nd[shat kan[ nga dy k[nde p[rgjegj[se t[ barabart[: A = P dhe B = Q = 90o.

A B

C

α αP Q

R

Sipas kriterit t[ par[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m vijon:

Dy trek[nd[sha k[nddrejt[ jan[ t[ ngjash[m n[ qoft[ se nj[ k[nd i ngusht[ i nj[rit [sht[ i barabart[me nj[ k[nd t[ ngusht[ t[ trek[nd[shit tjet[r.

6. Te trek[nd[shi ABC n[ vizatim [sht[ t[rhequr lart[sia CD dhesegmenti MN || AB.

Sa trek[nd[sha k[nddrejt[ mund t[ v[resh dhe cil[t prej tyrejan[ t[ ngjash[m nd[rmjet veti?

7. N[ vizatim jan[ dh[n[ dy trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m ABC dhePQR, te t[ cil[t k[ndet pran[ maj[s i kan[ t[ barabarta, d.m.th.C = R = α.

Trego se A = P.

Trego se ΔABC ∼ ΔPQR.

Dy trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se k[ndi pran[ maj[s t[ nj[rit trek[nd[sh[sht[ i barabart[ me k[ndin pran[ maj[s t[ trek[nd[shit tjet[r.

8. Vizato dy trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m ABC dhe A1B1C1 me baza AB dhe A1B1 p[rkat[sisht, kuA = A1.

Trego se ΔABC ∼ ΔA1B1C1.

Shprehe pohimin tjet[r p[r ngjashm[rin[ e dy trek[nd[shave dybrinj[nj[sh[m.

A B

C

S

D

M N

N[ p[rgjith[si


Duhet t[ dish:

ta shprehish kriterin e par[ p[r ngjashm[rin[ etrek[nd[shave;

cil[t kushte mjaftojn[ p[r ngjashm[rin[ e dytrek[nd[shave k[nddrejt[, p[rkat[sishtdybrinj[nj[sh[m;

t[ konstatosh ngjashm[rin[ e dy trek[nd[shave;

t[ caktosh brinj[n e panjohur te trek[nd[shat engjash[m.

N[ skajet e segmentitAB jan[ t[rhequr seg-mentet =AC 3 cm dhe

BD = 5 cm , normale(pingule) n[ AB. N[]far[ raporti drejt[za s endan segmentin AB?

C

AM B

D

Detyra

1. N[ vizatim [sht[ dh[n[ trek[nd[shi ABC dheMN || AB.

A

M

C

N

B

Cakto raportin:a) N[ qoft[ se : :=CM MA 3 2 , at[her[

: =CM CA ;

b) N[ qoft[ se : :=CM MA 7 3 , at[her[

: =CN NB ;

c) N[ qoft[ se : :=CM CA 3 4 , at[her[

: =AB MN .

2. {sht[ dh[n[ ΔABC me brinj[ =AB 20 ,

=BC 12 dhe =CA 16 . N[p[r pik[n M q[shtrihet n[ brinj[n BC [sht[ t[rhequr drejt[zaparalele me AB dhe e pren[ AC n[ pik[n N.Cakto MN , n[ qoft[ se =CM 3 .

3. Te trapezi ABCD, me baza AB dhe CDdiagonalet AC dhe BD priten n[ pik[n S.a) V[rteto se ΔABS ~ ΔCDS.b) Cakto CD , n[ qoft[ se =AB 12 , =AS 6

dhe =SC 3 .

4. Nd[rto trek[nd[shin A1B1C1 t[ ngjash[m meΔABC me brinj[t 4, 5, 6 n[ qoft[ se:a) brinj[n m[ t[ vog[l e ka 5;

b) koeficienti i ngjashm[ris[ [sht[ 34

5. Cakto lart[sin[ e nj[ druri hija e t[ cilit [sht[e gjat[ 10 m, kurse nj[koh[sisht, njeriu i lart[1,7 m e ka hijen e gjat[ 1 m.

s

Kontrollohu!


Kujtohu!

KRITERI I DYT{ DHE I TRET{ P{R TREK{ND{SHAT E NGJASH{M88888

Cilat prej gjasht[ k[rkesave duhet t[plot[sohen p[r dy trek[nd[sha ABC dheA1B1C1 q[ t[ jen[ t[ ngjash[m?Cilat jan[ kushtet e mjaftueshme, sipas kriteritt[ par[ t[ trek[nd[shave, q[ t[ jet[ ΔABC ∼ΔA1B1C1?

A 1. Vizato ΔABC me A = 60o brinj[=AB 3 cm dhe =AC 2cm . Pastaj

vizato ΔA1B1C1 me A1 = 60o dhebrinj[ =1 1A B 3AB , =1 1A C 3AC .

Mati dhe krahasoji: B dhe B1, Cdhe C1, BC dhe 1 1B C .}ka p[rfundon?

N[ vizatim jan[ dh[n[ trek[nd[shat sipas kushtevet[ detyr[s. Supozo se ΔABC [sht[ zhvendosur ashtuq[ A puthitet me A1 dhe ΔABC puthitet metrek[nd[shin A1B2C2.

Cakto raportet: :1 1 1 2A B A B ; :1 1 1 2A C A C dhe

:1 1 2 2B C B C .

Trego se B = B1 dhe C = C1.A B

C

A1 B2 B1

C1

C2

Pse ΔABC ∼ ΔA1B1C1?

Cilat elemente p[rgjegj[se t[ dytrek[nd[shave jan[ dh[n[ dhea mjafton q[ t[ tregosh se trek[-nd[shat jan[ t[ ngjash[m?

Jan[ dh[n[ nga dy brinj[ p[rgjegj[seproporcionale dhe k[nde t[ barabart[ q[i formojn[ ato brinj[. Kjo mjafton q[ t[tregosh se trek[nd[shat jan[ t[ ngjash[m.

V[re se si mund t[ shprehet kriteri p[r trek[nd[shat e ngjash[m. Ai quhet kriteri i dyt[ p[r trek[nd[shate ngjash[m.

N[ qoft[ se te nj[ trek[nd[sh jan[ p[rkat[sisht proporcionale dy brinj[ t[ trek[nd[shit tjet[r dhek[ndet q[ i formojn[ ato brinj[ jan[ t[ barabarta, at[her[ ato trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m.

2. Provo a jan[ t[ ngjash[m trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1, n[ qoft[ se:a) , ,= = = oBC 20 AC 22 C 50 ; ,= = = o

1 1 1 1 1B C 30; A C 33 C 50 .

b) ,= = = oBC 25, AC 70 C 70 ; = = = o1 1 1 1 1B C 50; A C 139, C 70 .

3. Te ΔABC, n[ vizatim, pika M [sht[ mesi i brinj[s AB, kurse N[sht[ mesi i brinj[s AC.

V[rteto se ΔABC ∼ ΔAMN.

Trego se vija e mesme MN e ΔABC [sht[ sa gjysma e gjat[sis[s[ brinj[s BC. A M B

N

C


Brinj[t p[rkat[se t[ dy trek[nd[-shave jan[ proporcionale. A mjaf-ton q[ t[ konstatosh se ato jan[ t[ngjash[m ?

Q[ dy trek[nd[sha t[ jen[ t[ ngjash[m,mjafton q[ brinj[t p[rkat[se t[ jen[proporcionale, pasi at[her[ k[ndetp[rgjegj[se jan[ t[ barabart[.

V[ren se mund t[ shprehet edhe nj[ kriter p[r trek[nd[shat e ngjash[m. Ai quhet kriteri i tret[ p[rtrek[nd[shat e ngjash[m.

N[ qoft[ se t[ tre brinj[t e nj[rit trek[nd[sh jan[ proporcionale me brinj[t p[rkat[se te trek[nd[shitjet[r, at[her[ ato trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m.

3. A jan[ t[ ngjash[m trek[nd[shat me brinj[t:a) 3, 4, 5 dhe 6, 8, 10; b) 15, 9, 12 dhe 4, 3, 5; c) 2, 2, 3 dhe 6,6, 8; ]) 2; 3; 4 dhe 3; 6; 4,5?

B 4. Vizato DABC me brinj[ = = =AB 8 cm, BC 6 cm, AC 4 cm , kurse pastaj ΔA1B1C1 mebrinj[ dy her[ m[ vogla t[ ΔABC.

Mati dhe krahasoji k[ndet: A dhe A1, B dhe B1, C dhe C1. C'p[rfundon?A [sht[ ΔABC ~ ΔA1B1C1?

Duhet t[ dish:

t[ shprehish kriterin e dyt[ dhe t[ tret[ p[rtrek[nd[shat e ngjash[m;

t[ konstatosh ngjashm[rin e dy trek[nd[shavesipas kriterit t[ dyt[ dhe t[ tret[ p[r trek[nd[shate ngjash[m;

t[ caktosh brinj[n e panjohur te trek[nd[shat engjash[m.

Brinj[t e ΔABC jan[: a = 6 cm, b = 4 cm dhe c = 3 cm. Cakto perimetrin e ΔA1B1C1 q[ [sht[i ngjash[m me ΔABC, kurse brinja e tij m[ evog[l [sht[ 6 cm.

Kontrollohu!

Provo se ΔABC dhe ΔPQR a jan[ t[ngjash[m, n[ qoft[ se: A = 55o,

AB 12 cm, AC 8 cm,= = P = 55o,

PR 12 cm, PQ 18 cm= = .Detyra

1. Vizato dy trek[nd[sha ABC dhe PQR, kursepastaj shkruaj cilat kushte duhet t'i plot[sojn[q[ ΔABC ∼ ΔPQR sipas:a) kriterit t[ dyt[; b) kriterit t[ tret[

2. Trego se trek[nd[shat ABC dhe EDC jan[ t[ngjash[m dhe sipas cilit kriter.

3. Brinj[t e nj[ trek[nd[shi jan[ 6, 5 dhe 4. Brinjam[ e madhe e trek[nd[shit tjet[r, i ngjash[mme trek[nd[shin e dh[n[ [sht[ 9. Caktoperimetrin e trek[nd[shit tjet[r.

4. A jan[ t[ ngjash[m dy trek[nd[sha, n[ qoft[se dy k[nde t[ nj[rit trek[nd[sh jan[ nga 60o

dhe 70o, kurse dy k[nde t[ trek[nd[shit tjet[rjan[ nga 50o dhe 80o.

5. K[ndi pran[ maj[s t[ nj[ trek[nd[shidybrinj[nj[sh[m [sht[ 70o. K[ndi pran[ baz[st[ trek[nd[shit tjet[r dybrinj[nj[sh[m [sht[55o. V[rteto se ato trek[nd[sha jan[ t[ngjash[m.

A

B

C

E

D

4

66

9


Kujtohu!

Cakto larg[sin[ prej A deri te B n[ qoft[ se= =1BC 40 m, CB 5 m , kurse =1 1B A 6,5 m.

N[ teren, zgjedhimpika C dhe B1 n[drejt[z[n e nj[jt[me B, ashtu q[

m= ⋅ 1BC CB .

Me instrument caktojm[ k[ndinB1 t[ barabart[ me B.

N[ krahun e B1 caktojm[ pik[n A1, ashtu q[pikat A, C dhe A1 shtrihen n[ drejt[z[n e nj[jt[.

ΔABC ∼ ΔA1B1C. Pse?

9. Si do ta njehsosh larg[sin[ nd[rmjet pikave t[arritshme A dhe B, n[ teren, n[ qoft[ send[rmjet pikave A dhe B ka pjes[ t[paarritshme.

V[re vizatimin.

{sht[ zgjedhur pika Cdhe n[ vazhdim t[ ACdhe BC, jan[ zgjedhurpikat A1 dhe B1, ashtu

ΔABC ∼ ΔA1B1C. Pse?

Cakto larg[sin[ prej A deri te B n[ qoft[ se= =1AC 10 m, CA 2 m dhe 1 1A B = 3,5 m .

6. Sqaro se a [sht[ ΔABC ∼ ΔMNR, n[ qoft[se: BAC = 50o, =AB 4 cm , =AC 6 cm ;

NMR = 50o, =MN 30 cm , MR = 45 cm .

7. Provo se trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 a jan[t[ ngjash[m, n[ qoft[ se brinj[t e tyre jan[:a) 15, 17, 24 dhe 4,5; 5,1; 7,2;b) 22; 8,2; 20 dhe 55; 20,5; 50.

8. Si do ta caktosh larg[sin[ prej pik[s A deri tepika B, n[ qoft[ se pika A [sht[ e paarritshme?

V[re vizatimin.

RAPORTI I PERIMETRAVE DHE RAPORTI I SYPRINAVE T{DY TREK{ND{SHAVE T{ NGJASH{M99999

A

N[ qoft[ se tre ose m[ shum[ raporte jan[ t[barabart[, at[her[ ato mund t[ shkruhen n[form[ t[ p[rpjes[timit t[ vazhduar, p[r

shembull:a b ca b c

= =1 1 1

,d.m.th. a : b : c = a1 : b1 : c1.

Njehso perimetrin e trek[nd[shit me brinj[: a = 15 cm, b = 9 cm dhe c = 8 cm.

1. Brinj[t e nj[ trek[nd[shi ABC jan[a = 6 cm, b = 8 cm dhe c = 12 cm.Brinja m[ e vog[l e trek[nd[shit tjet[r

A1B1C1, i ngjash[m me ΔABC [sht[ a1 = 3 cm.Njehso syprin[n e trek[nd[shit me brinj[a = 10 cm dhe lart[sin[ p[rkat[se h = 6 cm.

P[r p[rpjes[timin vlen:a b c a b c k

a b c a b c+ +

= = = =+ +1 1 1 1 1 1

.

Cakto koeficientin e ngjashm[ris[ s[ trek[n-d[shave.Cakto brinj[t b1 dhe c1 t[ ΔA1B1C1.

Cakto perimetrat e ΔABC dhe ΔA1B1C1.

Krahaso raportin e perimetrave t[ trek[nd[shaveme raportin e brinj[ve p[rgjegj[se. }kap[rfundon?

q[ n= ⋅ 1AC CA dhe n= ⋅ 1BC CB .


T[ njohura jan[ dy brinj[ p[rgjegj[se a dhe a1 t[ trek[nd[shave t[ ngjash[m.

Prandaj aa

= =1

6 23

, d.m.th. k = 2.

b c kb c

= =1 1

; b = kb1;8 = 2b1;b1 = 4 cm;

c = kc1;12 = 2c1;c1 = 6 cm.

V[re se perimetri P i ΔABC [sht[: P = 6 + 8 + 12, d.m.th. P = 26 cm, nd[rsa perimetri P1 i ΔA1B1C1[sht[: P1 = 3 + 4 + 6, d.m.th. P1 = 13 cm.

= = = =26 6 8 12 213 3 4 6

. V[reve se raporti i perimetrave t[ trek[nd[shave t[ ngjash[m [sht[ i

barabart[ me raportin e brinj[ve p[rgjegj[se.


N[ qoft[ se ΔABC ∼ ΔA1B1C1, at[her[ 1111 c

cbb

aa

PP

.

V[rtetimi. Prej ngjashm[ris[ s[ ΔABC dhe ΔA1B1C1

vijon: a b ca b c

= =1 1 1

. Sipas vetis[ t[ proporcionit t[

vazhduar vijon:a b c a b c

a b c a b c+ +

= = =+ +1 1 1 1 1 1

, d.m.th. 1111 c

cbb

aa

PP

.A1 B1

C1

c1

a1b1

A B

C

c

ab

Mbaj mend

Perimetrat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[ n[ raport t[ nj[jt[ me raportin e brinj[ve p[rkat[se.

2. Brinj[t e DABC jan[ a = 6, b = 15 dhe c = 18, kurse ΔA1B1C1 [sht[ i ngjash[m me

trek[nd[shin e ngjash[m me koeficientin e ngjashm[ris[ k =13

. Cakto perimetrin P1 t[ ΔA1B1C1.

B 3. Trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1, n[ vizatim jan[ t[ngjash[m. Jan[ t[rhequr lart[sit[ p[rgjegj[se CDdhe C1D1.

A1 B1D1

C1

A B

C

D

Trego se ΔADC ∼ ΔA1D1C1.

Trego se lart[sit[ p[rgjegj[se CD dhe C1D1 jan[proporcionale me brinj[t p[rgjegj[se t[ trek[n-d[shave.




V[re se trek[nd[shat k[nddrejt[ ADC dhe A1D1C1 kan[ nga nj[ k[nd t[ ngusht[, d.m.th. A = A1(pasi ΔABC ∼ ΔA1B1C1).

Mund t[ p[rfundosh se ΔADC ∼ ΔA1D1C1. Prej k[tu vijon: : : k= =1 1 1 1CD C D AC A C .

Prej ngjashm[ris[ s[ ΔABC dhe ΔA1B1C1 vijon: k= = = =1 1 1 1 1 1 1 1

CD AC AB BCC D A C A B B C

.

Te trek[nd[shat e ngjash[m lart[sit[ p[rgjegj[se jan[ proporcionale me brinj[t p[rgjegj[se.

Në përgjithësi

Te dy trek[nd[sha t[ ngjash[m lart[sit[ p[rkat[se, mesoret, simetralet e k[ndeve, rrezet e rrathve t[brendashkruar dhe jashtashkruar p[rgjegj[se kan[ raport t[ nj[jt[ me brinj[t p[rgjegj[se.

4. Perimetrat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[ 16 cm dhe 24 cm, kurse nj[ra lart[si e trek[nd[shitt[ par[ [sht[ 9 cm. Cakto lart[sin[ p[rgjegj[se t[ trek[nd[shit t[ dyt[.

V 5. N[ vizatim jan[ dh[n[ trek[nd[shat e ngjash[mABC dhe A1B1C1. Syprinat e tyre jan[ S dhe S1.

A1 B1

C1

a1

h1

b1c1

A B

C

a

c bh

Shkruaji formulat p[r syprinat S dhe S1 sipas brinj[vet[ dh[na dhe lart[sive p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave.

Shkruaj raport t[ barabart[ me raportin h : h1.P[rpiqu t[ hjensosh sa [sht[ i barabart[ raporti i syprinave t[ trek[nd[shave, d.m.th.S : S1.


111 21:

21: haahSS d.m.th

11111 hh

aa

haah

SS

.

Pasi ΔABC ∼ ΔA1B1C1 vijon se h ah a1 1

= . Prandaj, 21

2

1111

;aa

SS

aa

aa

SS

.

N[ m[nyr[ t[ nj[jt[ mund t[ tregohet se: 21

2

12

1

2

1

;cc

SS

bb

SS

.

Mbaj mend

Raporti i syprinave t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m [sht[ i barabart[ me raportin e katror[ve t[brinj[ve t[ tyre p[rgjegj[se.

6. Syprinat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m ABC dhe A1B1C1 jan[ 49 cm2 dhe 36 cm2, kurse nj[brinj[ e ΔABC [sht[ a = 7 cm. Cakto brinj[n p[rgjegj[se a1 t[ trek[nd[shit tjet[r dhe lart[sivep[rgjegj[se h dhe h1.

haS 21

111 21 haS



S: S1 = a2 : a21 ; 49 : 36 = 49 : a2

1 ; a21 = 36; a

1 = 6 cm.

Prej ΔA1B1C1 cakto lart[sin[ h1, n[ qoft[ se [sht[ dh[n[: S1 dhe a1.

Duhet t[ dish:

t[ shprehish ]far[ raporti kan[ perimetrat, kurse]far[ raporti kan[ syprinat e dy trek[nd[shavet[ ngjash[m;

Brinj[t e ΔABC jan[ a = 8, b = 6 dhe c = 4, pe-rimetri i trek[nd[shit t[ ngjash[m me ΔA1B1C1[sht[ 45. Cakto brinj[t e ΔA1B1C1.

ta shprehish pohimin p[r raportin e lart[sive,mesoreve dhe simetralve t[ k[ndevep[rgjegj[se t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m;

t'i zbatosh n[ detyra raportet e perimetrave dheraportet e syprinave t[ dy trek[nd[shave t[ngjash[m.

Ara n[ form[ t[ trek[nd[shit [sht[ vizatuar n[raport 1 : 200. Cili [sht[ raporti nd[rmjetsyprin[s s[ trek[nd[shit nga vizatimi dhesyprin[s s[ ar[s.

Detyra

1. Perimetri i nj[ trek[nd[shi [sht[ tre her[ m[ imadh se perimetri i trek[nd[shit t[ ngjash[mme t[. N[ qoft[ se brinja m[ e madhe etrek[nd[shit t[ par[ [sht[ 24 cm, sa [sht[brinja m[ e madhe e trek[nd[shit t[ dyt[?

2. Brinj[t e nj[ trek[nd[shi jan[ 8 cm, 15 cm,9 cm, q[ [sht[ i ngjash[m me trek[nd[shin epar[ me P1 = 96 cm. Cakto brinj[t e trek[n-d[shit tjet[r.

3. Perimetrat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[mq[ndrojn[ si 5 : 2, kurse shuma e brinj[ve m[t[ m[dhaja [sht[ 42 cm. Cakto gjat[sit[ ebrinj[ve m[ t[ gjata.

4. Brinj[t a, b, c, t[ nj[ trek[nd[shi ABCq[ndrojn[ si 3 : 4 : 6. Cakto brinj[t a1, b1, c1t[ ΔA1B1C1 me perimet[r P1 = 52 cm, q[ [sht[i ngjash[m me trek[nd[shin e dh[n[.

5. Te ΔABC, n[ larg[si 2 cm prej brinj[s AC[sht[ t[rhequr drejt[za MN || AC.

Cakto lart[sin[ ndaj brinj[s AC t[ ΔABC, n[qoft[ se : :AB MB 13 9= .

6. Syprinat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m ABCdhe A1B1C1 jan[ 81 dhe 25. Brinja b e ΔABC[sht[ 9. Cakto brinj[n b1 e ΔA1B1C1 dhelart[sin[ h1 q[ [sht[ t[rhequr ndaj asaj.

7. Vizato trek[nd[sh ABC dhe pastaj nd[rtotrek[nd[sh t[ ngjash[m me ΔA1B1C1syprina e t[ cilit [sht[ nj[ e kat[rta e syprin[ss[ ΔABC.

8. Brinja a e ΔABC [sht[ 10, kurse lart[siap[rkat[se [sht[ 5. Cakto brinj[n a1 dhelart[sin[ p[rkat[se h1 t[ ΔA1B1C1 q[ [sht[ ingjash[m me ΔABC dhe e ka syprin[n 81.

9. Syprinat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[n[ raport 9 : 25. Cakto koeficientin engjashm[ris[ t[ atyre trek[ndshave.

10. Ara n[ form[ t[ trek[nd[shit [sht[ vizatuarn[ raport 1 : 500. Syprina e trek[nd[shit n[vizatim [sht[ 2,76 dm2. Cakto syprin[n e ar[sn[ hektar[.

Kontrollohu!

aShhaS 2;

2

cmhh 14;14

7492

Teorema e Pitagorës 37

Kujtohu!

NGJASHM{RIA TE TREK{ND{SHI K{NDDREJT1010101010 A

Te ΔABC k[nddrejt n[ vizatim, [sht[ l[shuarlart[sia CD ndaj hipotenuz[s AB.

}far[ pozite reciproke kan[ krah[t e k[ndeveα dhe γ2?

1. Trek[nd[shi k[nddrejt ABC n[ viza-tim me lart[si CD t[ l[shuar ndajhipotenuz[s AB, [sht[ ndar[ n[ dy

trek[nd[sha k[nddrejt[: ΔADC dhe ΔCDB.

Sqaro pse (sipas cilit kriter) jan[ t[ ngjash[m tre-k[nd[shat:a) ΔABC ∼ ΔCBD; b) ΔABC ∼ ΔACD.

V[re segmentin AD te ΔABC n[ vizatim. P[r t[themi se [sht[ projeksioni i katet[s AC mbihipotenuz[n AB. Gjat[sin[ e tij do ta sh[nojm[me q.

Cil[t ]ifte t[ k[n-deve t[ sh[nuarakan[ krah[ nor-male (pingule)?

Cil[t prej k[ndeve t[ sh[nuar jan[ t[ barabart[nd[rmjet veti?Jan[ dh[n[ segmentet a = 3 cm, c = 12 cm.

Njehso mesin e tyre gjeometrik.

Ngjash[m, segmenti DB quhet projeksioni i katet[s BC mbihipotenuz[n. Gjat[sia e tij [sht[ sh[nuar me p.

2. V[reji trek[nd[shat e ngjash[m k[nddrejt[ ABC dhe CBDn[ vizatim dhe gjat[sit[ e sh[nuara t[ brinj[ve t[ tyre.

Cil[t brinj[ t[ ΔCBDjan[ p[rgje-gj[se mebrinj[t c dhe a t[ΔABC?

Brinja c [sht[ hipotenuz[ te ABC, kurse brinja a[sht[ hipotenuz[ te ΔCBD. Prandaj: c [sht[ p[rgjegj[sme a; brinja a e ABC [sht[ p[rgjegj[s me p t[ ΔCBD.

Sqaro pse : :=AB CB BC BD , d.m.th. c : a = a : p.Prej p[rpjes[timit c : a = a : p fitohet a2 = cp.C' paraqet kateta a p[r hipotenuz[n c dhe projeksioni p?

3. N[ vizatim te detyra 2, v[reji trek[nd[shat k[nddrejt[ t[ ngjash[m ABC dhe ACD.Shkruaji ]iftet e brinj[ve p[rgjegj[se.Sqaro pse c : b = b : q, d.m.th. b2 = cq.Shprehe me fjal[ lidhjen e katet[s b me hipotenuz[n c dhe projeksionin q t[ b mbi c.

TEOREMA E PITAGOR{S


Teorema 2o

Pohimet 1o dhe 2o, d.m.th. lidhjeta2 = cp, b2 = cq, h2 = pq,

i ka v[rtetuar matematikani i vjet[r grek Euklidi (365-310 vjet. p.e.r.) dhe p[r at[ shkak ato quhenteoremat e Euklidit.

Mbaj mend!

}do katet[ e nj[ trek[nd[shi k[nddrejt [sht[ mesi gjeometrik i hipotenuz[s dheproeksionit t[ asaj katete mbi hipotenuz[n.

4. Te ΔABC k[nddrejt me katete a = 12 dhe b = 5 dhe hipotenuz[ c = 13, cakto proeksionet e a dheb mbi c.

B 5. Te ΔABC k[nddrejt [sht[ l[shuar lart[sia CD ndajhipotenuz[s.

Pse CAD [sht[ i barabart[ me BCD?

Teorema 1o

Shihi ΔACD dhe ΔCBD n[ vizatim dhe trego se ato jan[t[ ngjash[m.Cil[t jan[ brinj[t p[rgjegj[se t[ ΔCBD p[r brinj[t q dhe hnga ΔACD?

Sqaro pse q : h = h : p, d.m.th. h2 = pq.Shprehe me fjal[ lidhjen e lart[sis[ h me proeksionet p dhe q (t[ a dhe b mbi c).

Mbaj mend!

Lart[sia h e l[shuar ndaj hipotenuz[s c n[ nj[ trek[nd[sh k[nddrejt [sht[ mesi gjeometriki proeksioneve p dhe q t[ kateteve n[ hipotenuz[n.

6. Cakto p, n[ qoft[ se q = 4 dhe h = 6.

h2 = pq h = pq .

a2 = cp, a = cpb2 = cq, b = cq


Kujtohu!

N[ vizatim [sht[ dh[n[ gjysm[ rrethi mediamet[r AB dhe [sht[ zgjedhur pika C n[gjysm[ rrethin.

I cilit lloj [sht[ k[ndi ACB?

Si thot[ teore-ma e Talesitp[r k[ndin pe-riferik mbi dia-metrin?

C 7. Vizato dy segmente m dhe n, sikursen[ vizatim.

mn

Pastaj, nd[rto mesin gjeometrik t[ atyre segmenteve(d.m.th. segmentin x, ashtu q[ x2 = m × n).

P[rcille m[nyr[n sikurse [sht[ treguar.

Vizato gjysm[drejt[z AT dhe barti n[ t[segmentet m=AD dhe n=DB sikurse n[vizatim.

Nd[rto mesin O t[ segmentit AB dhe vizato gjysm[vij[n rrethinme diamet[r AB.

Nd[rto normalen (pingulen) AB n[p[r pik[n D dhe sh[noje meC prerjen e saj me gjysm[ rrethin.

Sipas teorem[s 2o sqaro pse segmenti i fituar x=CD [sht[ mesigjeometrik i segmenteve m dhe n.

8. Nd[rto mesin gjeometrik x t[ segmenteve m = 2 cm dhe n = 3 cm.

Duhet të dish:

t'i shprehish teoremat e Euklidit dhe t'i zbatosh n[ detyra;

Te ΔABC k[nddrejt, p dhe q jan[ proeksionet e katetave a dhe b, p[rkat[sisht, mbi hipotenuz[n c.a) N[ qoft[ se c = 12 dhe p = 3, sa [sht[ a? c) N[ qoft[ se q = 2 dhe p = 8, sa [sht[ h?b) N[ qoft[ se b = 13, sa [sht[ cq?

t[ nd[rtosh mesin gjeometrik t[ dy segmenteve.

Si nd[rtohet mesi gjeometrik i dy segmenteve? (P[rshkruaje m[nyr[n.)

Kontrollohu!


2. N[ ΔABC k[nddrejt, p dhe q jan[ proek-sionet e katetave a dhe b, p[rkat[sisht, mbihipotenuz[n c. Cakto vler[n e madh[sis[ s[panjohur.a) p = 12, q = 3, h = ?b) a = 11, cp = ?

c) c = 18, p = 8, b = ?, a = ?

3. N[ k[nddrejtin ΔABC [sht[ dh[n[ lart[siah=2,4 e l[shuar ndaj hipotenuz[s dheproeksioni i katet[s b mbi hipotenuz[n, q =1,8.Cakto:a) segmentin p; b) hipotenuz[n c;c) katet[n b; ]) katet[n a.

4. Nd[rto mesin gjeometrik t[ segmenteve:a) m = 2,5 cm dhe n = 3,5 cm;b) m = 1,5 cm dhe n = 3 cm.

5. N[ kundrej ΔABC k[nddrejt [sht[ dh[n[kateta a = 8 dhe proeksioni i saj p = 6,4.Njehso hipo-tenuz[n c dhe katet[n tjet[r b.

6. N[ k[ndrejtin ABCD [sht[ brendashkruarΔABM k[nddrejt me k[nd t[ drejt te kulmi M(si n[ vizatim).

Njehsoe syprin[n e pjes[s s[ hiesuar n[ qoft[ se=CM 9 cm dhe =DM 16 cm ..

7. Nd[rto katror q[ e ka syprin[n e barabart[me syprin[n e drejtk[nd[shit me dimensionea = 4 cm dhe b = 3 cm.

Detyra

1. N[ baz[ t[ vizatimit plot[soji an[tar[t q[mungojn[ te p[rpjes[timi:

a) mn

=? ;

?

b) xx m n=

+? ;

c) x ⋅ y = (m + n) ⋅ ;

]) .m n yy+

=?

x

n

m

yz


Kujtohu!

TEOREMA E PITAGOR{S1111111111A

Teorem[n e Pitagor[s e ke t[ njohur nga viti ikaluar shkollor. Ajo thot[:Te cilido trek[nd[sh k[nddrejt katrori ihipotenuz[s c [sht[ i barabart[ me shum[n ekatror[ve t[ katetave a dhe b. D.m.th.

N[ vizatim [sht[ paraqitur ΔAVS

k[nddrejt me gjat[si t[ kateteve a, bdhe gjat[si t[ hipotenuz[s c. Mbi brinj[t

c2 = a2 + b2

Sa [sht[ syprina e katrorit me brinj[ a = 5 cm?

1.

e tij jan[ nd[rtuar katror[ dhe syprinat e tyre jan[sh[nuar p[rkat[sisht me S

a, S

b dhe S

c .

Shkruaje lidhjen nd[rmjet Sa, S

b dhe S

c.

V[re se: Sa = a2, S

b = b2 dhe S

c = c2.

Nga c2 = a2 + b2 p[rfundo se Sc = S

a + S

b.

Sipas k[saj, teorema e Pitagor[s mund t[ shprehet edhe k[shtu:

Te cilido trek[nd[sh k[nddrejt syprina e katrorit mbi hipotenuz[ [sht[ e barabart[ me shum[n e syprinavet[ katror[ve mbi katet[, d.m.th. S

c = S

a + S

b.

2. Me ndihm[n e udh[zimeve vijuese p[rpiqu ta v[rtetosh teorem[n e Pitagor[s.

Vizato ΔABC k[nddrejt me C = 90o dhe l[shoje lart[sin[ CD ndaj hipotenuz[s.Shkruaje lidhjen nd[rmjet ]do katete me hipotenuz[n dhe proeksionitp[rkat[s, d.m.th. lidhja sipas teoremave t[ Euklidit.

Cakto shum[n e shumave t[ majta dhe shumave t[ djathta t[ barazimeve.

Krahaso mendimin t[nd me v[rtetimin e dh[n[.

V[rtetimiPohimi Sqarimi

1. CD ⊥ AB Lart[sia te trek[nd[shi [sht[ normal (pingul) mbi brinj[n p[rgjegj[se.

2. a2 = pc, b2 = qc Kateta [sht[ mesi gjeometrik i hipotenuz[s dhe proeksionit p[rgjegj[s.

3. a2 + b2 = pc + qc Vetia mbledhja e barazimeve.

4. a2 + b2 = (p + q) ⋅ c Distributiviteti i shum[zimit n[ lidhje me mbledhjen.

5. a2 + b2 = c ⋅ c, t.e.

a2 + b2 = c2.

Principi i z[v[nd[simit (c = p + q).


B

Krahaso zgjidhjen t[nde me udh[zimin e dh[n[.

7. Njehso gjat[sin[ d t[ diagonales s[ drejtk[nd[shit me brinj[ a = 6 dm dhe b = 11 cm.

Vizato drejtk[nd[sh ABCD dhe sh[noji brinj[t dhe diagonalen,sikurse n[ vizatim.

A B

D C

d

a

b

V[re se ΔABC [sht[ k[nddrejt; hipotenuza e tij [sht[ diagonaljad, kurse katetet a dhe b jan[ brinj[t e drejtk[nd[shit.

Zbato teorem[n e Pitagor[s te ΔABC:

d 2 = a2 + b2 = 602 + 112 = 3 600 + 121 = 3 721; d= =3721 61; d = 61 cm.

8. Njehso lart[sin[ h t[ ΔABC dybrinj[nj[sh[m me baz[ a = 18 dhe krah b = 41.

Shqyrtoji udh[zimet dhe krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

A BD

C

hb

a2

Vizato ΔABC dybrinj[nj[sh[m dhe l[shoje lart[sin[ CD ndaj baz[s, sikurse n[vizatim.

V[re se ΔADC [sht[ k[nddrejt, me hipotenuz[ b dhe kateta a2

dhe h.

3. Cakto hipotenuz[n c t[ trek[nd[shit k[nddrejt, n[ qoft[ se katetet jan[ a = 15 dhe b = 20.

4. {sht[ dh[n[ hipotenuza c = 29 dhe kateta a = 20 e nj[ trek[nd[shi k[nddrejt. Cakto katet[n tjet[r.

5. {sht[ dh[n[ ΔABC me brinj[ a = 6 cm, b = 8 cm dhe c = 10 cm.trego se vlen barazimi a2 + b2 = c2.

Nd[rto ΔABC dhe me matje, bindu se ai [sht[ k[nddrejt.

N[ p[rgjith[si vlen

N[ qoft[ se p[r nj[ trek[nd[sh me brinj[ a, b, c vlen barazimi a2 + b2 = c2, at[her[ ai trek[nd[sh[sht[ k[nddrejt, me hipotenuz[n c.

Ky gjykim [sht[ teorem[, e quajtur, teorema e anasjellt[ e Pitagor[s.6. Brinj[t e ΔABC jan[:

a) a = 7, b = 24, c = 25; b) c = 8, b = 10, c = 15.

Provo ΔABC a [sht[ k[nddrejt.

Si mund ta shprehish hipotenuz[n c mendihm[n e kateteve a dhe b?

Prej c2 = a2 + b2 vijon:

c a b= +2 2 , a c b= -2 2

b c a= -2 2 .Si do ta shprehish nj[r[n katet[ me ndihm[n ehipotenuz[s dhe katet[s tjet[r?


Zbato teorem[n e Pitagor[s te ΔADC: b2 = h2 + aæ ö÷ç ÷ç ÷÷çè ø

2

2; prej k[tu:

h2 = b2 - aæ ö÷ç ÷ç ÷÷çè ø

2

2 = 412 - 92 = 1681 - 81 = 1 600; h= =1600 40 ; h = 40 cm.

9. Njehso perimetrin e trek[nd[shit dybrinj[nj[sh[m me baz[n 10 dhe lart[sin[ 12.

Duhet t[ dish:

ta shprehish dhe ta v[rtetosh teorem[n ePitagor[s; Cakto hipotenuz[n c t[ trek[nd[shit k[nddrejt

me kateta a = 8 dhe b = 15.

Detyra

1. Cakto brinj[n e panjohur te trek[nd[shik[nddrejt me katete a dhe b, dhe hipotenuz[c, n[ qoft[ se:a) a = 12, b = 35, c = ?b) b = 56, c = 65, a = ?c) a = 25, b = 31, c = ?

ta njehsosh gjat[sin[ e nj[r[s brinj[ tetrek[nd[shi k[nddrejt, n[ qoft[ se jan[ dh[n[dy t[ tjerat.

Njehso lart[sin[ e trek[nd[shit dybrinj[nj[sh[mme baz[n 20 cm dhe krahun 26 cm.

2. A [sht[ ΔABC k[nddrejt, n[ qoft[ se brinj[t etij jan[:a) 14, 48, 50; b) 9, 12, 17;c) 5,6; 3,3; 6,5; ]) 100, 60, 80?

Kontrollohu!

3. Cakto diagonalen e drejtk[nd[shit me brinj[0,28 dm dhe 0,96 dm.

4. Cakto perimetrin e drejtk[nd[shit me diago-nale 8,5 dm dhe nj[ brinj[ 1,3 dm.

5. Njehso perimetrin e trek[nd[shitdybrinj[nj[sh[m me baz[ 14 dhe lart[si 24..

6. Njehso p[raf[rsisht lart[sin[ h t[ trek[nd[shitbrinj[nj[sh[m me brinj[ a = 12.

7. Kateta e nj[ trek[nd[shi k[nddrejt [sht[ 35cm. Shuma e hipotenuz[s dhe katet[s tjet[r[sht[ 49. Njehso hipotenuz[n c dhe katet[ntjet[r b.

8. Hipotenuza e trek[nd[shit k[nddrejt [sht[ 35cm. Raporti i katetetve [sht[ 3 : 4. Caktokatetet.

9. Syprinat e trek[nd[shave brinj[nj[sh[m mbikatetet a,b dhe hipotenuz[n c nga DABCk[nddrejt jan[ sh[nuar me S

a, S

b dhe S

c.

Trego se:S

c = S

a + S

b.

Provo a vlenlidhja e k[till[, n[qoft[ se n[ vendt[ trek[nd[shave t[rregullt nd[rtohengjasht[k[nd[sha t[ rregullt.


Kujtohu!

N[ qoft[ se nukmundesh vet ta zgji-dhish detyr[n, p[rci-lli udh[zimet.

Vizato trapezdybrinj[nj[sh[mABCD dhet[rhiqi lart[sit[ e

A 1. Njehso lart[sin[ h t[ trapezitdybrinj[nj[sh[m me baza 16 cm dhe30 cm, kurse krahu 25 cm.

DETYRA ME ZBATIMIN E TEOREM{S S{ PITAGOR{S1212121212

Bazat e trapezitdybrinj[nj[sh[m ABCDjan[ a = =AB 15cm dheb= =CD 9 cm , kur-se DE [sht[ lart[-sia e trapezit.

Njehso x = AE .

Pik[prerja e diagona-leve te rombi EFGH n[vizatim [sht[ sh[nuarme S. I cilit lloj [sht[ΔEFS? Sqaro p[rgji-gjen t[nde.

Te vija rrethore me qend[rO, n[ vizatim [sht[ viza-tuar korda MN, kurse teΔMNO [sht[ l[shuar lar-t[sia OS ndaj brinj[s MN.Si jan[ nd[rmjet vetiΔMSO dhe ΔNSO? Pse?

tij DE dhe CF.

Shihe, pastaj ΔAED k[nddrejt me hipotenuz[c = 25 cm dhe katete x dhe h.

Shihe gjithashtu prej vizatimit se

a = b + 2x, prej ku a bx -=

2.

Zbatoje teorem[n e Pitagor[s p[r ΔAED; do t[fitosh

a bh c x cæ ö- ÷ç= - = - ÷ç ÷÷çè ø

22 2 2 2

2

Treshet e Pitagor[sKjo nuk [sht[ e domosdoshme!

Interesante [sht[ pyetja p[r treshet e numravenatyror[ a, b, c q[ e k[naqin barazimin

a2 + b2 = c2,

Treshe t[ atilla jan[, p[r shembull:3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13 etj.Ato quhen treshe t[ Pitagor[s.Provo se me k[to shprehje fitohen treshe t[Pitagor[s.

1o 2mn, m2 - n2, m2 + n2,

p[r ]do m, n ∈ N, m > n.

2o 2n + 1, 2n2 + 2n, 2n2 + 2n + 1;

p[r ]do n ∈ N fitohet nga nj[ treshe e Pitagor[s.

3o n, n n- +2 21 1,

2 2,

p[r ]do num[r tek n ∈ N, n ≥ 3.

4o n, n næ ö æ ö÷ ÷ç ç- +÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø

2 2

1, 12 2

,

p[r ]do num[r ]ift n ∈ N, n ≥ 4.


2. Bazat e trapezit dybrinj[nj[sh[m jan[ 30 dhe 20, kurse krahu [sht[ 13. Njehso syprin[n e trapezit.

Me ]ka [sht[ i barabart[ perimetri P i rombit me brinj[ a?

Duke z[v[nd[suar c, a dhe b, do t[ fitosh:

;hæ ö- ÷ç= - = - =÷ç ÷÷çè ø

22 2 30 1625 625 49 576

2 h= =576 24; h = 24 cm.

3. Cakto perimetrin e rombit ABCD me diagonale =AC 70 dhe =BD 24 .

Si do ta njehsosh brinj[n a t[ rombit n[ qoft[ se i din[ diagonalet e tij?

Te rombi ABCD n[ vizatim, prerja e diagonaleve [sht[ sh[nuar me S.

d1

2d2

2

Shihe ΔABS. Ai [sht[ k[nddrejt (pse?) me hipotenuz[ a dhe kateta d=1 35

2 dhe

d=2 12

2.

Sipas teorem[s s[ Pitagor[s:

;d daæ ö æ ö÷ ÷ç ç= + = + = + =÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø

2 22 2 21 2 35 12 1225 144 1369

2 2 ;a = =1369 37 a = 37; P= 4 ⋅ 37 = 148.

4. N[ rrethin me rreze r = 2 dm [sht[ t[rhequr korda MN me gjat[si t = 2,4 dm.Sa [sht[ larg[sia d e asaj korde prej qendr[s s[ rrethit?

N[ qoft[ se ndihma [sht[ e domosdoshme, shqyrtoe vizatimin.

Shqyrtoje ΔMSO k[nddrejt, me hipotenuz[ r dhe katet[ d dhe t2

, kurse

pastaj, sipas teorem[s s[ Pitagor[s, do t[ fitosh:

, , , ;td ræ ö÷ç= - = - = - =÷ç ÷÷çè ø

22 2 2 22 1 2 4 1 44 2 56

2 , , ;d = =2 56 1 6 d = 1,6 dm.

B 5. Jan[ dh[n[ segmentet a dhe b (a > b) sikurse n[ vizatim.

Nd[rto segmentin x, ashtu q[:

a) x a b= +2 2 ; b) x a b= -2 2

b

a

Krahaso zgjidhjen t[nde me vizatimin e dh[n[:nd[rtohet trek[nd[sh k[nddrejt p[r:a) me katete a dhe b, kurse p[r b) me hipotenuz[a dhe katet[ b.

a) b)


7. Nd[rto segment me gjat[si x a ab= +2 .

Nd[rto mesin gjeometrik t[ segmenteve me gjat[si a dhe a + b.

Duhet t[ dish:

ta zbatosh teorem[n e Pitagor[s p[r njehsimine gjat[sive t[ figurave t[ rrafshta gjeometrike;

Njehso perimetrin e trapezit dybrinj[nj[sh[mme baza 30 dhe 14, kurse lart[sia 15.

Detyra

1. Shkalla me gjat[si 7,4 m [sht[ mb[shtetur n[mur ashtu q[ skaji i posht[m i shkall[s [sht[ ilarguar 2,4 m prej murit. Deri te cila lart[si kaarritur shkalla. (B[je skic[n.)

t[ zgjidhish detyra t[ caktuara dhe detyra t[ tjerame ndihm[n e teorem[s s[ Pitagor[s.

Brinja e nj[ rombi [sht[ a = 13 cm, kurse nj[radiagonale [sht[ 10. Sa [sht[ diagonalja tjet[r?

Sqaro se si nd[rtohet segmenti me gjat[si 3 .

2. Njehso: a) lart[sin[, b) syprin[n, c) diagonalen etrapezit dybrinj[nj[sh[m, n[ qoft[ se dihen bazate tij a = 42 cm, b = 24 cm dhe krahu c = 41 cm.

6. Nd[rto segment me gjat[si n , ku n = 2, 3, 4, 5, 6, 7...

Nd[rtimi [sht[ paraqitur n[ vizatim.

Segment me gjat[si 2 [sht[ nd[rtuar ashtu q[ [sht[ nd[rtuar ΔOABk[nddrejt dybrinj[nj[sh[m me katete = =OA AB 1 (cm, dm,...);hipotenuza OB e ka gjat[sin[ 2 . (Pse?)

Sqaro se si jan[ nd[rtuar segmentet me gjat[si 4, 5 etj.

N[ qoft[ se =OB 2 meret p[r nj[ katet[, kurse segmenti =BC 1 p[r katet[n tjet[r t[ ΔOBCk[nddrejt, at[her[ hipotenuza e ΔOBC do ta ket[ gjat[sin[ 3 (Pse?).

Nd[rtimi i x n= mund t[ kryhet edhe ,,drejtp[rdrejt'', duke nd[rtuar mesin

gjeometrik t[ segmenteve me gjat[si n dhe 1, sikurse n[ vizatim ( )n = CD .

Kontrollohu!


3. Diagonalet e nj[ rombi jan[ d1 = 40 dhe d2 = 50.Sa (p[raf[rsisht) [sht[ brinja a e atij rombi?

4. Syprina e trapezit barakrahas [sht[ S = 72 cm2,kurse bazat i ka t[ gjata 20 cm dhe 4 cm.Njehso perimetrin e trapezit.

5. Brinj[t e nj[ deltoidi jan[ t[ gjata 25 cm dhe52 cm t[ gjata, kurse diagonalja q[ nuk [sht[simetrale [sht[ 40 cm. Njehso syprin[n edeltoidit.

6. N[ rrethin me rreze 3,4 cm [sht[ t[rhequrkorda n[ larg[si 1,6 cm prej qendr[s. Caktogjat[sin[ e kord[s.

7. Nd[rto segmentin me gjat[si: a) 2 ;

b) 5 ; c) a a+2 ; ]) ( )a ab a b- >2 kua dhe b jan[ segmenta t[ dh[n[.

8. Nd[rto katror syprina e t[ cilit [sht[ e barabart[me:a) shum[n, b) ndryshimin e syprinave t[ dykatror[ve t[ dh[n[.

9. N[ rrethin me rreze 17 cm [sht[ brenda-shkruar drejtk[nd[sh. Cakto perimetrin e atijdrejtk[nd[shi n[ qoft[ se raporti i brinj[ve[sht[ 15 : 8.

10. N[ dru q[ [sht[ n[ 8 m larg nj[ burimit kan[hypur dy majmun[-nj[ri n[ maj[, kurse tjetrin[ 2 m lart tok[s. P[r t[ pir[ uj[, majmuniprej maj[s [sht[ hudhur drejt te burimi, kursetjetri ka zbritur prej drurit dhe ka shkuar derite burimi duke ecur. Megjithat[, t[ dymajmun[t kan[ kaluar rrug[ t[ barabarta. Sa[sht[ i lart[ druri?

P[rpiqu ...nuk [sht[ e domosdoshme!

Dy rrath[ takohen prej jasht[ dhe jan[ t[ vendosurabrenda nj[ rrethi tjet[r. }donj[ri prej rrath[ve i takonrrath[t e tjer[, kurse qendrat e tyre O, O1, O2 shtrihenn[ drejt[z t[ nj[jt[, AB, sikurse n[ vizatim.

{sht[ dh[n[ gjat[sia t (p[r shembull, t = 6 cm) ekord[s CD e rrethit t[ madh e cila [sht[ tangjent[ ep[rbashk[t e dy rrath[ve t[ vegj[l.

Njehso syprin[n S t[ pjes[s s[ qarkut t[ madh q[ [sht[jasht[ prej rrath[ve t[ vegj[l (d.m.th. t[ pjes[s s[ngjyrosur).


P U N AM E T { D H { N A

Shpesh her[ nuk mund t[ b[het ndonj[ hulumtim, testim ose kontrollim dhe studim i gjith[ popullimit.Pse?

Ajo mund t[ jet[:- shum[ shtrenjt[;- t[ zgjat[ shum[ koh[;- t[ jet[ e pamundur t[ arihet deri te ]do an[tar i popullimit (p[r shembull, numri i peshq[ve

n[ Liqenin e Ohrit).

2. V[re shembujt p[r popullimit dhe mostr[s.

Shkruaj tre shembuj t[ popullimit dhe mostr[s (pjes[) nga ai populacion.

Mendo dhe p[rgjigju. Q[ t[ kontrollohet se a d[shirojn[ nx[n[sit gjat[ koh[s s[ pushimit t[ madht'ju l[shohet muzik[, ]far[ [sht[ m[ mir[: t[ pyeten t[ gjith[ nx[n[sit n[ t[ gjitha shkollat ose t[pyetet mostra prej disa nx[n[sve nga ]do shkoll[?

3.

Arsyeto p[rgjigjen t[nde.

PopullimiNx[n[s nga klasa I deri n[ klas[n e VIII n[ nj[shkoll[

T[ gjith[ nx[n[sit q[ shkojn[ n[ shkolla private p[rgjuh[ angleze

MostraNga nj[ paralele nga klasa I deri n[ klas[n e VIII n[shkoll[n e njejt[

T[ gjith[ nx[n[sit e klas[s s[ VII n[ R. eMaqedonis[ q[ kan[ not[n 5 n[ matematik[

Ekipe futbolliNga nj[ nx[n[s nga ]do shkoll[ private p[r gjuh[ t[huajaNga nj[ nx[n[s s[ klas[s s[ VII nga ]do shkoll[ n[R. e Maqedonis[ q[ ka not[n 5 n[ matematik[.

Nga tre futbollist[ nga ]do ekip

Pjesa e zgjedhur e elementeve, n[ t[ cilat kryhet studimi quhet most[r osezgjedhje.

T[r[sia e t[ gjitha atyre elementeve, n[ k[t[ rast ]okolatave, t[ cilat jan[objekt i studimit quhet popullim.

POPULLIMI. MOSTRA1313131313N[ nj[ fabrik[ ]okolatash ka t[ pun[suar nj[ degustator. Detyra e tij [sht[ t'iprovon ]okolatat dhe ta vler[son kualitetin e tyre.

1.

Asesi jo. Degustatori zgjedh nj[ num[r t[ caktuar t[ ]okolatave t[ cilat iprovon.

A

Mendo dhe p[rgjigju, a duhet degustatori ta provon secil[n ]okolat[?

49 Punë me të dhëna

Merita ka dashur ta gjen gjat[sin[ mesatare t[ gjetheve t[ nj[ bime q[ ka pasur dy her[ m[ tep[rgjethe t[ vogla se sa gjethe t[ m[dha. Cila most[r e gjetheve q[ duhet ta zgjedh ajo [sht[ ep[rshtatshme?a) Vet[m gjethe t[ m[dha; c) Num[r t[ barabart[ t[ gjetheve t[ vogla dhe t[ m[dha;b) Vet[m gjethe t[ vogla;; ]) Dy her[ m[ tep[r gjethe t[ vogla se sa gjethe t[ m[dha;

6.

Shkruaj nga nj[ shkak pse [sht[ m[ mir[ t[ meret nj[ most[r n[ vend t[ popullimit t[ t[r[ p[rsecil[n nga hulumtimet e m[poshtme.

5.

Arsyeto p[rgjigjen t[nde!

Kur ka nevoj[ t[ b[het p[rfundim ose t[ deklarohet di]ka p[r t[r[ populacionindhe meret most[r, mostra duhet t[ jet[ reprezentativ (p[rkat[s p[r popullimin).

Emisioni televiziv m[ i shikuar n[ nj[ qytet me 50000 banor[.

4.

Kualiteti i l[ngjeve n[ nj[ nd[rrmarje.Numri mesatar i librave q[ i ka lexuar ]do banor i R. s[ Maqedonis[ n[ vitin e kaluar.

B

V[re shembullin. P[r t[ kontrolluar se sa nx[n[sit nga shkolla e tij shfryt[zojn[ komunikacioninurban, Agoni u ndal n[ nj[ stacion autobusash dhe mblodhi t[ dh[na duke pyetur njer[zit q[zbritnin nga nj[ autobus.T[ dh[nat q[ i mblodhi Agoni nuk jan[ adekuate pasi mostra nuk [sht[ p[rfaqsuese ep[rshtatshme.N[se Agoni ka pyetur nx[n[sit e shkoll[ s[ tij, a do t[ jet[ ekzemplari reprezentativ? Arsyetop[rgjigjen t[nde!

Mostra p[rkat[se mund t[ zgjedhet me metod[n e zgjedhjes s[ rast[sishme dhesistematike. Zgjedhja e rast[sishme do t[ thot[ se ]do objekt ose person nga popullimika gjasa t[ nj[jta q[ t[ zgjedhet.

Q[ t[ zgjedhim, rast[sisht, 5 nga 30 nx[n[s n[ nj[ paralele mund ti sh[nojm[ numrat e tyre nga ditarii paraleles n[ flet[za, flet[zat ti p[rziejm[ n[ nj[ kuti dhe ti t[rheqim 5 flet[za.

Ose t[ zgjedhim nj[ num[r (p[r shembull 7), dhe pastaj sistematikisht ta zgjedhim ]do t[ pestinnx[n[s:

Vetoni ka dashur t[ pyes[ mostr[n e nx[n[sve nga shkolla e tij p[r ate se a d[shirojn[ q[ t[ ky]etmbajtja e obligueshme e uniformave shkollore.

7.

Arsyeto pse asnj[ra nga m[nyrat e m[poshtme p[r zgjedhje t[ mostr[s nuk [sht[ e mir[:

a) t[ pyet 20 personat e par[ q[ do t[ hyjn[ n[ shkoll[;b) t[ pyet nx[n[sit e paraleles s[ tij;c) t[ pyet nx[n[sit e seksionit matematikor;

( 7 + 5 = 12 ; 12 + 5 = 17 ; 22 ; 27 )


T[ dh[nat e mbledhuraNumri vjetor i filmave

01deri 45 deri 8

9 deri 12

13 e m[ tep[r

P[rgjigjet e t[pyeturve

V[re!

Zgjedhja e mostr[s duhet t[ jet[ e rast[sishme dhe t[ jet[ e p[rb[r[ nga nx[n[sit e t[ gjitha klasave(nga klasa e I deri n[ klas[n e VIII) n[ at[ m[nyr[ p[rfundimi do t[ jet[ i drejt.

N[ tabel[ Vetoni i ka rregulluar t[ dh[nat nga hulumtimi p[rmbajtjen t[ obligueshme t[ uniformave shkollore.

8.

Sa nx[n[s gjithsej ka patur mostra e Vetonit?N[se mostra ka qen[ 10% e popullimit, sa nx[n[s ka pasurgjithsej n[ shkoll[?Cili [sht[ p[rfundimi i Vetonit p[r mbajtjen t[ obligueshme t[uniformave shkollore?Sh[no edhe nj[ p[rfundim q[ mund t[ fitohet nga t[ dh[nat n[tabel[.

T[ dh[nat e mbledhura nga mostra dhe vlerat e fituara p[r tendenca qendroremund[sojn[ q[ t[ nxiren p[rfundime dhe t[ p[rgatiten informata p[r t[ gjith[popullimin.

V

MostraMostraKlasa e IKlasa e IIKlasa e IIIKlasa e IVKlasa e VKlasa e VIKlasa e VIIKlasa e VIII

Numri i p[rgjigjeve Po

12

10

10

9

7

7

2

0

Jo3

5

5

6

8

8

13

15

V[re shembullin:9.

N[ nj[ vendbanim ka pasur 5000 banor[ m[ t[ vjet[r se 15vjet. Blendi ka dashur t[ vler[son se sa her[ brenda vititata shkojn[ n[ kinema.Ai p[r ekzemplar[ ka zgjedhur 50 persona dhe metelefonata ka mbledhur t[ dh[nat. T[ dh[nat e mbledhura ika paraqitur n[ tabel[ n[ kategori sipas numrit t[ filmavet[ shikuar n[ kinema.

Blendi plot[soi tabel[n me vlera t[ frekuencave ose dendurive(num[r t[ p[rgjigjeve p[r ]do kategori). Pastaj njehsoip[rqindjen p[r numrin e p[rgjigjeve n[ ]do kategori nga numrii p[rgjitsh[m i t[ pyeturve n[ mostr[n (50 persona).

Si duhet Vetoni ta zgjedh mostr[n?

51 Punë me të dhëna

Numri vjetor i filmave

0

1deri 4

5 deri 8

9 deri 12

13 e m[ tep[r

P[rgjigjet e t[pyeturve

Vlera efunksionit

21

16

6

3

4

P[rqindja

2150

⋅ 100 = 42%

1650

⋅ 100 = 32%

650

⋅ 100 = 12%

350 ⋅ 100 = 6%

450 ⋅ 100 = 8%

N[ fund p[rqindjete fituara p[re k z e m p l a r i n ,Blendi i zbatoi p[rt[r[ populacionin.

42% nga 5000 [sht[ 2100 N[se 42% nga ekzemplari nuk shkojn[ n[ kinema, mund t[ konsiderohetse 42% nga populacioni nuk shkojn[ n[ kinema, q[ [sht[ 2100 persona.

B[n p[rgjith[sim p[r populacionin p[r kategorit[ tjera (numri i filmave t[ shikuar n[ kinema-brendavitit).

Mimoza ka dashur t[ kontrollon se sa ndotet mjedisi jet[sor me mbeturina plastike t[ hudhura n[oborrin shkollor gjat[ koh[s s[ pushimit t[ gjat[. Rast[sisht ka zgjedhur nj[ muaj n[ t[ cilin ka

10.

a) Njehso nga sa mbeturina mesatarisht n[ nj[ dit[ jan[ hudhur ngasecili lloj.

b) N[se viti shkollor ka 180 dit[, p[rdor p[rgjigjen n[n a) p[r tapatur parasysh numrin e ]do lloji t[ mbeturinave gjat[ vitit shkollor.

mbledhur t[ dh[na, si ekzemplar[ nga t[r[ viti shkollor. T[ dh[nat embledhura i ka paraqitur n[ tabel[.

]far[ [sht[ popullimi dhe ]far[ mostra;

Duhet të dish:

t[ vler[sosh a [sht[ mostra e dh[n[p[rfaq[suese adekuate e popullimit te dh[n[;

Vler[so dhe p[rgjigju a [sht[ e mir[ zgjedhja emostr[s: "zgjedhja e rast[sishme e 50% epopullimit t[ emrave telefonik t[ qytetit" p[rhulumtimin: "mendim p[r kualitetin ekomunikacionit urban n[ nj[ qytet".

t[ caktosh most[r q[ [sht[ adekuate p[rhulumtimin e dh[n[;T[ p[rgjith[sosh p[rfundim t[ fituar nga mostrae popullimit. Arsyeto p[rgjigjen t[nde.

Lloji i mbeturinaveQese plastike

Numri

Shishe jogurtiShishe l[nguGot[za pudingu

137 59 72 16

Kontrollohu!


Arditi ka dashur t[ zbulon se sa fitojn[student[t q[ punojn[ n[p[rmjet organizat[sstudentore.Ai shkoi n[ bibliotek[n e student[ve dhe pyeti40 vajza.

1.

Detyra

N[ tre rastet vijuese:

Cakto popullimin;Vler[so se a [sht[ adekuate m[nyra e zgjedhjess[ mostr[s;Propozo m[nyr[ tjet[r t[ zgjedhjes s[ mostr[s.

N[ or[n e gjeografis[ Jetoni duhet t[ d[rgonn[ shkoll[ 5 lloje t[ copave t[ dheut ngakopshti i tij.Ai u ndal n[ mes t[ kopshtit, hodhi monedh[dhe atje ku pikoi monedha mori most[r.

2.

Erona ka d[shiruar t[ hulumton se a [sht[ ev[rtet[ se grat[ n[ Manastir jetojn[ m[ shum[se burrat.Ajo k[rkoi t[ dh[na nga Enti p[r statistik[nga viti i kaluar.

3.

A

Hulumtim: mendim p[r ate se a duhet t[nd[rtohet kafeteri e re.Mostra: zgjedhje e rast[sishme nga vizitor[tm[ t[ shpesht[ t[ bibliotek[s s[ qytetit.

4.

N[ pes[ rastet vijuese:

cil[t nga mostrat jan[ p[rfaq[sues p[rpopullimin dhe p[r hulumtimin?Arsyeto secil[n nga p[rgjigjet e tua.

Hulumtim: A e b[n maqina p[r paqetimin"Smoki", me gramazh[ t[ njejt[.Mostra: 50 paqetat e par[ "Smoki" q[ dalinnga maqina p[r nj[ dit[. Masa e tyre [sht[matur.

5.

Hulumtim: Efikasiteti i medikamentit t[ ri p[rkok[dhembje.Mostra: t[ gjith[ pacient[t e nj[ mjeku q[ kan[kok[dhembje t[ shpeshta.

6.

B

Hulumtim: kualiteti i buk[s n[ nj[ furr[ buke.Mostra: ]do i nj[zeti bler[s n[ nj[ shitore kushitet buk[ nga ajo furr[.

7.

N[ nj[ qytet ka 6000 familje. Jan[ zgjedhur100 familje p[r hulumtim: cila [sht[ dita m[e preferuar p[r treg?

T[ dh[nat jan[ dh[n[ n[ tabel[.

8.

Dita e preferuar p[r treg Dita E h[n[ E mart[ E m[rkur[ E enjte E premte

Frekuenca P[rqindja

E shtun[ E diel

Gjithsej

8

10

14

2

16

30

12

8

100

a) Cakto p[rqindjet p[r ]do dit[.b) P[rdor p[rqindjen nga mostra p[r ta parashikuarnumrin e familjeve nga i t[r[ popullimi, t[ cil[t dit[m[ t[ preferuar p[r treg e kan[ t[ premten.

c) Sa familje n[ qytet nuk kan[ dit[ t[ preferuarp[r treg?

S'ka dit[ t[ pref.

Kontrollo njohurinë tënde 53

M{SOVE P{R NGJASHM{RIN{KONTROLLO NJOHURIN{ T{NDE

1. Jan[ dh[n[ dy katror[, nj[ri me brinj[a = 12 cm, kurse tjetri me b = 8 cm. Caktoraportin e:a) brinj[ve t[ tyre; b) perimetave t[ tyre;c) syprinave t[ tyre.Ndonj[ri prej atyre raporteve a jan[ t[barabart[?

2. Segmenti AB [sht[ i gjat[ 12 cm. Caktogjat[sin[ nd[rmjet pik[s S t[ segmentit dhepik[s M q[ e ndan segmentin n[ raport3 : 5.

3. Cakto an[tarin e panjohur te p[rpjes[timi:a) x : 4 = 5 : 2; b) 3 : 2x = 1 : 6;c) 7 : 3 = 14 : (x + 2).

4. Cakto gjat[sin[ e segmentit q[ [sht[ mesigjeometrik i segmentit me gjat[si 8 cm dhe18 cm.

5. Vizato ]far[do segment dhe ndaje n[:a) 4; b) 5; c) 7 pjes[ t[ barabarta.

6. {sht[ dh[n[ DABC dhe drejt[z MN || ABq[ e pret AC n[ M dhe BC n[ N. Cakto:a) AC , n[se ,=CN 6 =NB 3 dhe =MA 4 .

b) BC , n[se =AC : CM 5 : 2 dhe =CN 14 .

7. Vizato k[nd SOT. Te krahu OS barti seg-mentat =OA 3 cm dhe =OB 5 cm , kurse

n[ krahun OT - segmentat ,=OC 4 5 cm

dhe ,=OD 7 5 cm . Vizatoji drejt[zat AC dheBD.a) Provo n[ vizatim drejt[zat a jan[ paralele.b) Sqaro pse p[rgjigja yte [sht[ e drejt[.

8. {sht[ dh[n[ segmenti me gjat[si 12 cm.Nd[rto trek[nd[sh me perimet[r 12 cm,ashtu q[ brinj[t t[ q[ndrojn[ si 3:5:6.

9. A jan[ t[ ngjash[m dy trek[nd[sha, n[ qoft[se dy k[nde t[ nj[rit trek[nd[sh jan[ 40o dhe60o, kurse t[ tjetrit jan[ 60o dhe 80o? Sqaro!

10. Nj[ shtyll[ elektrike e hudh hijen e gjat[10 m, kurse nj[koh[sisht hija e nj[ njeriu t[gjat[ 1,5 m [sht[ e gjat[ 1,5 m. Caktolart[sin[ e shtyll[s.

11. Nj[ ]ift i brinj[ve p[rgjegj[se t[ dy trek[n-d[shave t[ ngjash[m jan[: a = 15 dm dhea1 = 6 dm, kurse lart[sia ndaj brinj[s a [sht[8 cm. Cakto lart[sin[ ndaj brinj[s a1.

12. Dy brinj[ p[rgjegj[se t[ dy trek[nd[shavet[ ngjash[m jan[ 7,5 cm dhe 10 cm. Njehsoperimetrin dhe syprin[n e trek[nd[shit m[t[ vog[l, n[ qoft[ se trek[nd[shi m[ i madhe ka perimetrin 60 cm dhe syprin[n 80 cm2.

13. Te trek[nd[shi k[nddrejt jan[ dh[n[proeksionet e katetave mbi hipotenuz[n, p = 2 dhe q = 8.Cakto: c, a, b, h.

14. Cakto perimetrin e drejtk[nd[shit me brinj[300 dhe diagonale 340.

15. A [sht[ k[nddrejt trek[nd[shi q[ ka brinj[t:a) 32, 24, 40; b) 20, 40, 50;c) 0,7; 2,4; 2,5?

16. Cakto perimetrin e trek[nd[shitdybrinj[nj[sh[m me baz[ 28 dhe lart[si 48.

17. Njehso brinj[n e rombit diagonalet e t[ cilitjan[ 9 cm dhe 5,6 cm.

TEMA 2. BARAZIMI LINEAR, JOBARAZIMILINEAR DHE FUNKSIONI LINEAR

BARAZIMI LINEAR1. Barazia, barazimi, identiteti 562. Llojet e barazimeve 593. Zgjidhja e barazimit. Barazimet ekuivalente 624. Teoremat p[r barazimet ekuivalente-1 665. Teoremat p[r barazimet ekuivalente-2 706. Forma e p[rgjithshme e barazimit linear me nj[ t[ panjohur 747. Zbatimi i barazimit linear me nj[ t[ panjohur 78

JOBARAZIMET LINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR8. Koncepti p[r jobarazi dhe jobarazim 839. Zgjidhja e jobarazimit. Intervalet 8710. Teoremat p[r jobarazimet ekuivalente 9211. Zgjidhja e jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur 98

SISTEMI I JOBARAZIMEVE LINEAREME NJ{ T{ PANJOHUR12. Zgjidhja e sistemit t[ jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur 100

FUNKSIONET LINEARE13. Funksioni linear 10414. Paraqitja grafike e funksionit linear 10715. Pozita reciproke e grafik[ve t[ disa funksioneve lineare 11116. Vijimi i funksionit linear 11417. Zgjidhja grafike e barazimeve lineare me nj[ t[ panjohur 11718. Ngjarjet e rastit. Probabiliteti i ngjarjes 120 Provo njohurin[ t[nde 125

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear56

Kujtohu!

BARAZIA, BARAZIMI, IDENTITETI11111

Dy shprehje t[ lidhura me shenj[n ,,="(baraz) formojn[ barazi.Barazi jan[, p[r shembull:8 + 5 = 5 + 8; 7 + 5 ⋅ 2 = 7 + 10;

2x - 3 = x + 1; x2 - y2 = (x - y)(x + y).

1.

BARAZIMET LINEARE

A

Shkruaj barazi me t[ cilin [sht[ shprehur:a) vetia komutative e mbledhjes n[ Q;b) vetia e shp[rndarjes e shum[zimit n[ lidhjeme mbledhjen n[ Q.

Jan[ dh[n[ barazit[:a) 3 ⋅ 2 - 11 = 2 - 7;b) 3x - 1 = 2x + 5;c) x + 2y = 8;]) 15 - 6 : 2 = 4 ⋅ 2 - 5.

Te cil[t prej barazive t[ dh[na ana e majt[ dhe edjatht[ ose nj[ra prej tyre [sht[ shprehje mendryshore?

Te cil[t prej barazive t[ dh[na ana e majt[ dhe edjatht[ jan[ shprehje numerike?

Shkruaj barazi ku 4x2 - 4x [sht[ ana e majt[,kurse x - 6 [sht[ ana e djatht[ e barazis[.

V[re dhe mbaj mend

Te barazit[ a) dhe ]) ana e majt[ dhe e djatht[ jan[ shprehje numerike.

Te barazit[ b) dhe c) ana e majt[ dhe e djatht[ ose nj[ra prej tyre [sht[ shprehje me ndryshore.

Barazit[ te t[ cilat ana e majt[ dhe e djatht[ jan[ shprehje numerike quhen barazi numerike.

2. Shkruaj sakt[sisht barazi te e cila ana e majt[ [sht[: a) 3 + 2 ⋅ 7; b) 5 - (9 + 2).

Barazit[ te t[ cilat ana e majt[ dhe e djatht[ ose t[ pakt[n nj[ra prej tyre [sht[ shprehje me ndryshore,quhen barazi me ndryshore.Ndryshoret ndryshojn[ n[ bashk[sin[ R ose n[ ndonj[ n[nbashk[si.

3. Cakto cila prej k[tyre barazive jan[ barazi me ndryshore.a) 7 - 10 : 2 = 4 ⋅ 3 - 10; b) 3x + 2 - x = 8; c) 3x - 5 = x + 3; ]) 5 ⋅ 2 + 1 = 9 : 3 + 8.

P[r barazin[ numerike thuhet se [sht[ e sakt[, n[ qoft[ se vlera e shprehjes n[ an[n e majt[ [sht[ ebarabart[ me vler[n e shprehjes t[ an[s s[ djatht[.Cil[t prej shprehjeve numerike a) dhe ]) jan[ t[ sakta?

Barazimi linear 57

Bashk[sia te e cila ndryshoret marrin vlerat quhet bashk[sia e p[rkufizimit dhe shpesh her[ sh[nohetme D.Barazia me nj[ ndryshore, n[ rastin e p[rgjithsh[m do ta sh[nojm[ me A(x) = B(x), x ∈ D, ku A(x)dhe B(x) jan[ shprehje me ndryshore x, e p[rkufizuar n[ D.M[ tutje, n[ qoft[ se nuk [sht[ dh[n[ bashk[sia e p[rkufizimit at[her[ do t[ n[nkuptojm[ se ajo[sht[ bashk[sia e numrave real[ R.

4. Jan[ dh[n[ barazit[ me ndryshore:a) 3x - 7 = x + 1, x ∈ N; b) x + y = 2 + 3y;

c) 5x - 2 = x - 6, x ∈ Z; ]) x2 - 4x = x - 5

Te cil[t prej barazive t[ dh[na n[nkuptojm[ se bashk[sia e p[rkufizimit [sht[ bashk[sia R?

Mbaj mend

Barazit[ me ndryshore quhen barazime.Ndryshoret te barazimet quhen t[ panjohura.

5. Cil[t prej barasive t[ dh[na jan[ barazime? Theksoji t[ panjohurat te ato.a) 4 ⋅ 5 - 11 = 3 ⋅ 3; b) x - y = 5; c) 3x - 8 = x + 2; ]) 12 : 2 - 1 = 2 ⋅ 3 - 1.

6. B Jan[ dh[n[ barazimet: 2x - 3 = x - 1, x2 + 3 = 4x, 3(x + 2) = 3x + 6 dhe x + 4 = x - 3me bashk[sin[ e nj[jt[ t[ p[rkufizimit D = {- 2, -1, 0, 1, 2, 3}.

V[re n[ tabel[ p[r cil[n vler[ t[ndryshores x barazimi kalon n[ ba-rasi numerike t[ sakt[. 2x - 3 = x - 1

x

x2 + 3 = 4x

3(x + 2) = 3x + 6

x + 4 = x - 3

-2

JJSJ

-1

JJSJ

0

JJSJ

1

JSSJ

2

SJSJ

3

JSSJ

Provo a [sht[ plot[suar sakt[ tabelap[r secilin barazim dhe ]do vler[t[ dh[na t[ x.

Prej tabel[s v[re se:barazimi 2x - 3 = x - 1 kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ vet[m p[r x = 2;barazimi x2 + 3 = 4x kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ vet[m p[r x = 1 dhe x = 3;

Em[rtoji ndryshoret, dhe pastaj edhe bashk[sin[ e p[rkufizimit t[ secilit prej atyre barazive.

barazimi 3(x + 2) = 3x + 6 kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ p[r t[ gjitha vlerat e x nga D;barazimi x + 4 = x - 3 nuk kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ p[r asnj[ vler[ t[ x nga D.

S - e sakt[; J - jo e sakt[


Duhet t[ dish:

Detyra

1.

t[ p[rkufizosh identitet;N[ baz[ t[ cil[s veti mund t[ konstatosh sebarazimi x + 8 = 8 + x [sht[ identitet?

t[ p[rkufizosh barazim dhe bashk[sin[ ep[rkufizimit t[ barazimit; }'[sht[ paraqitur me sh[nimin

5x - 3 = x + 2, x ∈ Z?

Cakto cil[t prej k[tyre barazive jan[ t[ sakt[:a) 3 + 2 × 4 = 20 : 5 + 7;b) 3x + 1 = 2x - 1 p[r x = 2;c) x - 3 = 2x + 1 p[r x = -4.

Mbaj mend!

Barazimi q[ kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ p[r ]do vler[ t[ x ∈ D quhet identitet.

Barazimi i cili nuk kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ p[r asnj[ vler[ t[ ndryshores nga fusha ep[rkufizimit quhet barazim i pamundsh[m ose barazim kund[rth[n[s.

7. N[ baz[ t[ cil[s veti mund t[ p[rfundosh se barazimi 3(x + 2) = 3x + 6, x ∈ R [sht[ identitet?

8. Cil[t prej k[tyre barazimeve jan[ identitete:a) x + 5 = 5 + x, x ∈ R; b) (x-1) (x+1) = x2 - 1, x ∈ Z; c) 2x - 3 = x - 1?

Cakto cili prej k[tyre barazimeve [sht[ kund[rth[n[s:

a) 2x - 1 = x + 2; b) 3 - x = 5 - x; c) x x+ = -1 12 2

.

t[ p[rkufizosh barazimin kund[rth[n[s.

2. Cil[t prej k[tyre barazive jan[ barazime:a) 15 ⋅ 1 - 4 = 8 + 3;

b) 4x - 5 = 3x - 2;

c) x2 - 3 = 4x.

3. P[r cil[n vler[ t[ x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} barazimi2x - 3 = x - 1 kalon n[ barazi t[ sakt[numerike?

4. Provo a [sht[ identitet ndonj[ra prej bara-zimeve x2 + 6 = 5x dhe 5(x - 1) = 5x - 5 n[ t[nj[jt[n bashk[si t[ p[rkufizimitD = {-1, 0, 1, 2, 3}.

5. Provo cil[t prej k[tyre barazimeve jan[barazime kund[rth[n[se:a) 2x - 3 = 2x + 5, x ∈ {0, 1, 2, 3};b) x2 - 1 = x2 + 4, x ∈ {-1, 0, 1, 2};c) 3x - 4 = x + 2, x ∈ {2, 3, 4, 5}.

Cakto vler[n e a, ashtu q[ p[r x = 3 barazimiax - 2 = 2x + 1 t[ kalon n[ barazi t[ sakt[numerike.

6.

9.

Kontrollohu!

Barazimi linear 59

Kujtohu!

Kujtohu!

LLOJET E BARAZIMEVE22222

Ti m[sove se ]'[sht[ barazimi. P[r shembull,barazime jan[:

1.A

3x - 2 = x + 4;

Jan[ dh[n[ barazimet:3x - 2 = 2x + 1; 3x - y = y + 2;

5x - 2y = 3z -4.

Cakto numrin e t[ panjohurave te ]donj[ra prejbarazimeve t[ dh[na.

x + 2y + 1 = x + y;

x + 2y - z = 4.

Em[rtoji t[ panjohurat te ]donj[ri prej tyre.

V[ren se:barazimi 3x - 2 = 2x + 1 ka vet[m nj[ t[ panjohur x,barazimi 3x - y = y + 2 ka dy t[ panjohura x dhe y,kurse barazimi 5x - 2y = 3z - 4 ka tri t[ panjohura x, y dhe z.

V[reve se disa barazime kan[ nj[ t[ panjohur, disa dy t[ panjohura, disa tre t[ panjohura e merradh[.

Sipas numrit t[ panjohurave, barazimet mund t[ jen[: barazime me nj[ t[ panjohur, barazime me dyt[ panjohura, barazime me tri t[ panjohura e me rradh[.

2. Me sa t[ panjohura [sht[ ]donj[ri prej k[tyre barazimeve: 2x - 3y = 5 - 2x; 3x - 7 + 2x = 1 + x + 3x?

3. Shkruaj nj[ barazim me t[ panjohurat x dhe y.

Shkalla m[ e lart[ e ndryshores te nj[ polinomquhet shkalla e polinomit.

4. B Cakto te cil[t prej shprehjeve nga ana

Cakto shkall[n e polinomit t[ ]donj[rit prejpolinom[ve:a) x2 - 2x + 3; b) x3 + x2y2 - x2. Barazimi 2x + 3 = 5x - 2 [sht[ shkruar me

shprehjet: 2x, 3, 5x dhe -2. Ato jan[ an[tar[t[ barazimit.

V[re n[ tabel[an[tar[t e ba-razimeve meshkall[ m[ t[lart[.

e majt[ dhe nga ana e djatht[ t[ bara-zimit e panjohura ka shkall[ m[ t[ lart[.

a) 2x + 3 = 5x - 2;

b) x2 - 2x = 5x + 8;

c) 2x3 - x2 = 5 + x.

Barazimi An[tari me shkall[ m[ t[lart[ t[ panjohur[s

Shkalla e an[tarit

2x + 3 = 5x - 21 2x dhe 5x i shkall[s s[ par[

x2 - 2x = 5x + 82 x2 i shkall[s s[ dyt[

2x3 - x2 = 5 + x3 2x3 i shkall[s s[ tret[


V[reve se te disa barazime an[tar[t q[ e p[rmbajn[ t[ panjohur[n jan[ t[ shkall[s s[ par[, te t[ tjeratka t[ pakt[n nj[ an[tar te i cili e panjohura [sht[ e shkall[s s[ dyt[, te i treti ka t[ pakt[n nj[ an[tar tei cili e panjohura [sht[ e shkall[s s[ tret[ etj.

Mbaj mend!

Sipas shkall[s m[ t[ lart[ t[ panjohur[s, barazimet mund t[ jen[: barazime t[ shkall[s s[ par[ osebarazime lineare, barazime t[ shkall[s s[ dyt[ ose barazime katrore, barazime t[ shkall[s s[ tret[ose barazime kubike e me rradh[.

5. Cakto i cil[s shkall[ [sht[ ]donj[ri prej barazimeve t[ dh[na:

2x + y - 7 = 5;

x2 + 7 = 2x;

x3 - 2x2 = 5x + 8;

x2y - 3x = 5y - 2.

6. C Jan[ dh[n[ barazimeta) 2x - 1 = 3; b) 3x + 5y = 4; c) 3x2 - 1 = 6x; ]) 8x - 3 = x + 2.

Cakto cili prej tyre [sht[ me nj[ t[ panjohur dhe t[ shkall[s s[ par[.

V[reve se barazimet 2x - 1 = 3 dhe 8x - 3 = x + 2 jan[ me nj[ t[ panjohur dhe t[ shkall[s s[ par[.N[ p[rgjith[si, barazime me nj[ t[ panjohur t[ shkall[s s[ par[ quhen barazime lineare me nj[ t[panjohur.

7. Cil[t prej k[tyre barazimeve [sht[ barazim linear me nj[ t[ panjohur:a) 5x2 - 2 = 3x; b) 2x - 3 = 5 - x; c) 5x + y = 7?

8. Jan[ dh[n[ barazimet lineare me nj[ t[ panjohur x:

a) 8 - 2x = x + 12

; b) ax + 5 = x; c) ax + b = 0; ]) x - 1 = 3x.

P[r ]far[ dallohen barazimet a) dhe ]) prej barazimeve b) dhe c)?

V[reve se, duke mos marrun parasysh t[ panjohur[n, t[ gjith[ an[tar[t e barazimeve a) dhe ]) p[rmbajn[vet[m numra real[, kurse disa an[tar[ t[ barazimeve b) dhe c) p[rmbajn[ edhe numra t[ p[rgjithsh[m.

N[ p[rgjith[si, barazime te t[ cilat an[tar[t p[rmbajn[ numra t[ p[rgjithsh[m (parametra) quhenbarazime me parametra ose barazime parametrike.

Barazimi linear 61

Duhet t[ dish:

Detyra

1.

t[ dallosh dhe t[ em[rtosh barazime: :I cilit lloj [sht[ barazimi 5x - xy = 2x - 3 sipas:

Cakto me sa t[ panjohura [sht[ ]donj[ri prejbarazimeve:a) x + y + z = 2x + 8;

b) 3x - 15 = 7 - 2x;

c) 10 xy - 12y = 10 + x.

sipas numrit t[ t[ panjohurave;

sipas shkall[s s[ t[ panjohur[s;

t[ dallosh barazim linear me nj[ t[ panjohurme paramet[r ose pa paramet[r.

numrit t[ t[ panjohurave;

shkall[s?

2. Cakto i cil[s shkall[ [sht[ ]donj[ri prejbarazimeve:a) x3 + x2 = 5 - x;

b) 3xy - 5 = 2x + y;

c) x + 3 = 3x - 5.

9. Cilat prej barazimeve me t[ panjohur[n x [sht[ barazim me paramet[r:

a) ax + 2 = 5x; b) 12

x + 3 = 0; c) x - 6 = p?

3. Cilat prej barazimeve me qe vijojn[ t[panjohura x ose y jan[ me parametra:a) ax + 2y = 5 - x; b) 3x2 + 1 = 2x;

c) ax + c = by + 3; ]) 5x - 7 = 2x - 5?

4. Cakto cili prej k[tyre barazimeve [sht[ bara-zim linear.a) x + 2y = 7 + 2x; b) xy2 + y = 3 + 5x;

c) 3x - 1 = x + 5.

Cakto cili prej k[tyre barazimeve [sht[barazim linear me nj[ t[ panjohur.a) 2x - 1 + y = 5x + 3;

b) x2 - 2x + 1 = 0;

c) 3x - 2 = 5 + x;

]) 3x - 7 + 2x = 11 - x.

5.

Kontrollohu!


Kujtohu!

Barazimi

3x - 2 = 2x + 1

x

-3

-2

2

3

Barazia numerike

3 ⋅ (-3) - 2 = 2 ⋅ (-3) + 1

3 ⋅ (-2) - 2 = 2 ⋅ (-2) + 1

3 ⋅ 2 - 2 = 2 ⋅ 2 + 1

3 ⋅ 3 - 2 = 2 ⋅ 3 + 1

Sakt[ - SJo e sakt[ - J

JJJS

Prej tabel[s mund t[ v[resh se barazimi 3x - 2 = 2x + 1 kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike, p[rkat[sishtana e majt[ dhe e djatht[ ka vlera numerike t[ barabarta vet[m p[r x = 3.

Mbaj mend!

}do vler[ e t[ panjohur[s p[r t[ cil[n barazimi kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike quhet zgjidhje oserr[nja e barazimit.

2. Cakto t[ gjitha zgjidhjet e barazimit 12 - 2x = x - 3, x ∈ {3, 5, 7}.

3. Cakto t[ gjitha zgjidhjet e barazimit x2 + 6 = 5x, x ∈ {0, 1, 2, 3}.

Te detyra 2 dhe 3 mund t[ v[resh se zgjidhja e barazimit 12 - 2x = x - 3 [sht[ 5, kurse zgjidhje t[barazimit x2 + 6 = 5x jan[ 2 dhe 3.

Krahaso zgjidhjen t[nde sipas t[ dh[nave n[ tabel[.

ZGJIDHJA E BARAZIMIT. BARAZIMET EKUIVALENTE33333

Shprehja me ndryshore kalon n[ shprehjenumerike n[ qoft[ se ndryshorja z[v[nd[sohetme ndonj[ num[r.

1.A {sht[ dh[n[ barazimi 3x - 2 = 2x + 1,me bashk[sin[ e p[rkufizimitD = {-3, -2, 2, 3}.

Paraqite barazimin n[ barazi numerike p[r ]dox ∈ D.Paraqite n[ shprehje numerike shprehjen me

ndryshore x2 + 2x - 1 p[r x = 2.Njehso vler[n numerike t[ shprehjesa2 - 2a + 5, p[r a = -3.

P[r cil[n vler[ t[ x ∈ D barazimi kalon n[ barazit[ sakt[ numerike?

Barazimi linear 63

V[re dhe mbaj mend!

T[ zgjidhet nj[ barazim dometh[n[ t[ caktohen t[ gjitha zgjidhjet e tij.

4. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit, p[r x ∈ {0, 1, 2, 3}:

a) 4x - 1 = x + 5; b) x2 + 3 = 4x.

5. B Cakto bashk[sin[ e barazimit 3(x - 2) = 3x - 6, n[ qoft[ se D={-2, -1, 0, 1, 2}.

T[ gjitha zgjidhjet e nj[ barazimi formojn[ bashk[si e cila quhet bashk[sia e zgjidhjeve t[ atij barazimi.

Bashk[sia e zgjidhjeve t[ nj[ barazimi shpesh her[ sh[nohet me M.P[r shembull, bashk[sia e zgjidhjeve t[ barazimit 12 - 2x = x - 3, x ∈ {3, 5, 7} [sht[M = {5}, kurse p[r barazimin x2 + 6 = 5x, x ∈ {0, 1, 2, 3} [sht[ M = {2, 3}.

V[re prej tabel[s bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit 3(x - 2) = 3x - 6.

x

BarazinumerikeSakt[ - S

Jo e sakt[ - J

-2

3(-2-2)=3⋅(-2)-6

S

-1

3(-1- 2)=3⋅(-1)-6

S

0

3(0-2)=3⋅(0)-6

S

1

3(1-2)=3⋅1-6

S

2

3(2-2)=3⋅2-6

S

V[reve se p[r ]do x ∈ D, barazimi kalon n[ barazi t[sakt[ numerike. Si quhet ky barazim?

Ky barazim quhetidentitet.

N[ p[rgjith[si, identitet [sht[ barazimi p[r t[ cilin ]do vler[ nga fush[s s[ p[rkufizimit D [sht[ zgjidhjee tij, d.m.th. M = D.

6. Provo se barazimi 2x - 2 = 2(x - 1), x ∈ {0, 1, 2, 3} a [sht[ identitet.

7. {sht[ dh[n[ barazimi x + 5 = x - 4 dhe D = {-2, -1, 0, 1, 2}.P[r cil[n vler[ t[ x ∈ D ky barazim kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike?}ka p[rfundon?

Krahaso zgjidhjen t[nde me t[ dh[nat n[ tabel[..

x

BarazinumerikeSakt[ - S

Jo e sakt[ - J

-2

-2 + 5 = -2 - 4

J

-1

-1 + 5 = -1 - 4

J

0

0 + 5 = 0 - 4

J

1

1 + 5 = 1 - 4

J

2

2 + 5 = 2 - 4

J


N[ bashk[sin[ N nuk ekziston num[r i mbledhur me 7 i cili jep shum[n 4, d.m.th. barazimix + 7 = 4 nuk ka zgjidhje n[ bashk[sin[ N.N[ bashk[sin[ Q zgjidhja e barazimit x + 7 = 4 [sht[ x = -3, pasi-3 + 7 = 4 [sht[ barazi e sakt[.

Mbaj mend

Ekzistojn[ barazime t[ cilat n[ nj[ bashk[si kan[ zgjidhje, kurse n[ tjetr[n nuk kan[ zgjidhje,d.m.th. jan[ t[ pamundshme.

10. C Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[rit prej barazimeve: 2x - 1 = x + 1,x2 + 2 = 3x dhe 4x - 3 = 2x + 1, n[ qoft[ se bashk[sia e p[rkufizimit t[ ]donj[rit prejtyre [sht[ D = {0, 1, 2, 3}.

Krahaso zgjidhjen t[nde me t[ dh[nat n[ tabel[. V[re cilat vlera t[ x jan[ zgjidhje t[ barazimeve.

x

2x - 1 = x + 1

0

2 ⋅ 0 - 1 ≠ 0 + 1

Barazimi

x2 - 2 = 3x

4x - 3 = 2x + 1

02 + 2 ≠ 3 ⋅ 0

4 ⋅ 0 - 3 ≠ 2 ⋅ 0 + 1

1

2 ⋅ 1 - 1 ≠ 1 + 1

12 + 2 = 3 ⋅ 1

4 ⋅ 1 - 3 ≠ 2 ⋅ 1 + 1

2

2 ⋅ 2 - 1 = 2 + 1

22 + 2 = 3 ⋅ 2

4 ⋅ 2 - 3 = 2 ⋅ 2 + 1

3

2 ⋅ 3 - 1 ≠ 3 + 1

32 + 2 ≠ 3 ⋅ 3

4 ⋅ 3 - 3 ≠ 2 ⋅ 3 + 1

Cil[t prej k[tyre bara-zimeve t[ dh[na kan[bashk[si t[ zgjidhjevet[ barabarta?

Bashk[sia e zgjidhjeve t[ barazimit2x - 1 = x + 1 [sht[ {2}, t[ barazimit x2 + 2 = 3x[sht[ {1, 2} dhe t[ barazimit 4x - 3 = 2x + 1 [sht[{2}. Barazimet: 2x - 1 = x + 1 dhe 4x - 3 = 2x +1 kan[ bashk[si t[ zgjidhjeve t[ barabarta.

Dometh[n[ nuk ekziston num[r x ∈ D i cili [sht[ zgjidhje e barazimit x + 5 = x - 4, d.m.th. M = ∅.N[ p[rgjith[, barazimi, bashk[sia e zgjidhjeve t[ s[ cil[s [sht[ bashk[sia e zbraz[t, [sht[ barazim ipamundsh[m, d.m.th. barazim kund[rth[n[s.

8. Cil[t prej k[tyre barazimeve me D = {1, 2, 3, 4} jan[ t[ pamundshmea) x + 3 = 7 + x; b) 2x + 1 = 7; c) 3 + 2x = 2x - 5; ]) 3x - 1 = 2x + 1?

9. Provo barazimin x + 7 = 4 a ka zgjidhje n[ bashk[sin[ a) N; b) Q.

N[ bashk[sin[ N a ka num[r i mbledhur me 7 q[ e jep shum[n 4? A ka num[r t[ atill[ n[bashk[sin[ Q?

Barazimi linear 65

Dy barazime me bashk[si t[ nj[jt[ t[ p[rkufizimit dhe q[ kan[ bashk[si t[ zgjidhjeve t[ barabartaquhen barazime ekuivalente.

11. Cakto cil[t prej bashk[sive t[ p[rkufizuara n[ bashk[sin[ A = {0, 1, 2, 3} jan[ ekuivalente:a) 3x - 1 = x + 1; b) x2 - 2 = x; c) (x - 1)(x - 2) = 0; ]) 4x - 2 = x + 1.

Duhet t[ dish:

t[ provosh se numri i dh[n[ a [sht[ zgjidhje ebarazimit;

Jan[ dh[n[ barazimet: 2x + 1 = 3x - 1 dhex + 5 = 3x + 1.

t[ p[rkufizosh cil[t barazime jan[ ekuivalente. Provo se ndonj[ri prej k[tyre barazimeve a [sht[ekuivalent me barazimin 3x + 2 = 4x, n[ bash-k[sin[ A = {1, 2, 3, 4}.

Kontrollohu!

Detyra

1. Cakto cili prej k[tyre pohimeve [sht[ i sakt[.a) Numri -2 [sht[ zgjidhje e barazimit 3x - 1 = x + 2.b) Numri 4 [sht[ zgjidhje e barazimit 2y - 1 = y + 3.c) Numri 0 [sht[ zgjidhje e barazimit 2x - 3 = x - 3.

4. Bashk[sia e zgjidhjeve t[ barazimit(x - 1)(x - 2) = 0, x ∈ {0, 1, 2, 3}, [sht[ {1, 2}.Cili prej k[tyre barazimeve:a) 3x - 2 = 2x - 1; b) x2 + 1 = 3x - 1;c) 2x + 1 = 3x - 1[sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[?

2. P[r cil[n vler[ t[ parametrit a, numri 3 [sht[zgjidhje e barazimit 2x - 1 = a?

3. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[rit t[barazimeve t[ dh[na, n[ qoft[ se bashk[sin[e p[rkufizimit e kan[ A= {2, 3, 4}.

a) 4x - 1 = 3x + 1; b) x + 3 = 2x;c) 2x - 3 = x + 1.

5. Cakto cili prej k[tyre barazimeve [sht[ ipamundsh[m n[ bashk[sin[ Z.a) 2x + 7 = 3; b) x + 5 = x - 2;c) x - 4 = -x.

6. Cili prej k[tyre barazimeve [sht[ i pamu-ndsh[m n[ bashk[sin[ N, por ka zgjidhje n[bashk[sin[ Z:a) x + 5 = 2; b) 2x - 1 = 3; c) 8 - x = 9?


Kujtohu!

Prej tabel[s v[reve se te shtimin e numrit t[ nj[jt[ (4 ose -2) ose shprehje me ndryshoren (2x) n[ t[dy an[t e barazimit 3x - 1 = x + 5 fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[.

Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet. Mund t[ shprehet edhe kjo teorem[ p[r shtimin e numrit oseshprehjes s[ nj[jt[ n[ t[ dy an[t e barazimit.

Teorema 1

N[se an[s s[ majt[ dhe t[ djatht[ t[ barazimit A(x) = B(x) i shtohet numri i nj[jt[ c ∈ R oseshprehja C(x) me ndryshore x, q[ [sht[ e p[rcaktuar p[r ]do x nga bashk[sia e p[rkufizimitt[ barazimit, fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[. Shkruajm[:

A(x) = B(x) ⇔ A(x) + C(x) = B(x) + C(x).

Shenj[n ⇔ e lexojm[ ,,[sht[ ekuivalente me".

TEOREMAT P{R BARAZIMET EKUIVALENTE - 144444

Dy barazime jan[ ekuivalente n[ qoft[ sebashk[sit[ e zgjidhjeve jan[ t[ barabarta.

1.A {sht[ dh[n[ barazimi 3x - 1 = x + 5,

x ∈ {1, 2, 3, 4} = D, zgjidhja e t[ cilit[sht[ numri 3, dhe M = {3}.

N[ an[n e majt[ dhe t[ djatht[ t[ bara-zimit shtoje: a) 4; b) -2; c) 2x.

Provo a jan[ barazime ekuivalente, n[ bash-k[sin[ e p[rkufizimitD ∈ {1, 2, 3, 4} barazimet:

2x - 1 = x + 2 dhe x + 4 = 2x + 1.Provo barazimet e fituara a jan[ ekuiva-lente me barazimin e dh[n[..


a)

b)v)

Barazimi3x - 1 = x + 5

3x - 1 + 4 = x + 5 + 4

3x - 1 - 2 = x + 5 - 2

3x - 1 + 2x = x + 5 + 2x

Barazia numerike p[r x = 33 ⋅ 3 - 1 = 3 + 5; 8 = 8

3 ⋅ 3 - 1 + 4 = 3 + 5 + 4; 12 = 12

3 ⋅ 3 - 1 - 2 = 3 + 5 - 2; 6 = 6

3 ⋅ 3 - 1 + 2 ⋅ 3 = 3 + 5 + 2 ⋅ 3; 14 = 14

Zgjidhja e barazimit

Numri 3Numri 3Numri 3Numri 3

Provo se barazimet a), b) dhe c) nuk kan[ zgjidhje tjet[r n[ bashk[sin[ D, p[rve] numrin 3.

Barazimi linear 67

2. Sipas T1 provo cil[t prej k[tyre barazimeve jan[ ekuivalente:a) 3x + 1 = 5x - 3 dhe 3x + 1 + 7 = 5x - 3 + 7;b) 5y - 2 = 3y + 4 dhe 5y - 2 - 5 = 3y + 4 + 5;c) 4x - 1 = 3x - 2 dhe 4x + 5x - 1 = 3x + 5x - 2.

Nuk [sht[ e domosdoshme...

Shqyrto v[rtetimin e teorem[s.Barazimi i dh[n[ A(x) = B(x) me bashk[sin[ e p[rkufizimit D dhe shprehja C(x) e p[rcaktuarp[r ]do x ∈ D. Duhet t[ v[rtetohet se:A(x) = B(x) ⇔ A(x) + C(x) = B(x) + C(x).

Q[ ta v[rtetojm[ teorem[n duhet t[ tregosh se A(x) = B(x) dhe A(x) + C(x) = B(x) + C(x) kan[bashk[si t[ barabarta t[ zgjidhjeve, d.m.th.a) ]do zgjidhje e A(x) = B(x) [sht[ zgjidhje e A(x) + C(x) = B(x) + C(x) dheb) ]do zgjidhje e A(x) + C(x) = B(x) + C(x) [sht[ zgjidhje e A(x) = B(x).

a) Le t[ jet[ xo ∈ D zgjidhje e barazimit A(x) = B(x), d.m.th. A(xo) = B(xo) [sht[ barazi esakt[ numerike. Pasi C(xo) [sht[ num[r real vijon se barazia e dh[n[A(xo) + C(xo) = B(xo) + C(xo) [sht[ barazi numerike e sakt[. (Pse?)Prandaj, xo [sht[ zgjidhje e barazimit A(x) + C(x) = B(x) + C(x), d.m.th. ]do zgjidhje e barazi-mit A(x) = B(x) [sht[ zgjidhje e barazimit A(x) + C(x) = B(x) + C(x).

b) Le t[ jet[ x1 ∈ D zgjidhje e barazimit A(x) + C(x) = B(x) + C(x), d.m.th.A(x1) + C(x1) = B(x1) + C(x1) [sht[ barazi numerike e sakt[. N[ qoft[ se n[ t[ dy an[t e k[sajbarazie e shtojm[ numrin e kund[rt[ t[ C(x1), do t[ fitojm[ barazi numerike t[ sakt[A(x1) = B(x1). Prandaj, x1 [sht[ zgjidhje e barazimit A(x) = B(x), d.m.th. ]do zgjidhje e barazi-mit A(x) + C(x) = B(x) + C(x) [sht[ zgjidhje e barazimit A(x) = B(x).

B Me zbatimin e teorem[s 1 mund t[ kryejsh transformime ekuivalente t[ barazimeve. Nj[barazim mund ta transformosh n[ barazim t[ r[ndomt[ e q[ [sht[, ekuivalent me t[.

3. {sht[ dh[n[ barazimi 3x - 5 = 2x + 1.

Shtoje shprehjen 5 - 2x n[ t[ dy an[t e barazimit.Silli n[ form[n normale shprehjet n[ t[ dy an[t e barazimit.V[re se ]far[ ka ndodhur me 2x dhe -5 te barazimi i fituar.

Me ]ka [sht[ e barabart[ shuma enumrave t[ kund[rt[, p[rkat[sisht t[monom[ve t[ kund[rt?

Shuma e numrave t[ kund[rt, porgjithashtu, edhe t[ monom[ve t[kund[rt [sht[ zero.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.3x - 5 = 2x + 1 ⇔ 3x - 5 + 5 - 2x = 2x + 1 + 5 - 2x ⇔ 3x - 2x = 1 + 5 ⇔ x = 6.


8. C {sht[ dh[n[ barazimi 4x - 1 + 2x - 2 = 2x - 1 + 3x - 5.

V[re se a ka an[tar t[ barabart[ n[ an[n e majt[ dhe t[ djatht[ t[ barazimit.Eleminoji an[tar[t e barabart[ nga t[ dy an[t e barazimit dhe provo se barazimi i fituar a [sht[ekuivalent me barazimin e dh[n[.


7. Zgjidhe barazimin:

a) 5x - 7 = 4x + 2; b) 3x - 4 = 2 + 2x; c) 12

x - 1 = 2 - 12

x.

V[ren se n[ barazimin 3x - 2x = 1 + 5 monomi 2x [sht[ bartur prej an[s s[ djatht[ n[ an[n emajt[ t[ barazimit, por me shenj[ t[ kund[rt (-2x), kurse numri -5 prej an[s s[ majt[ [sht[ bart n[an[n e djatht[ t[ barazimit, por me shenj[ t[ kund[rt (+5).At[ q[ e v[reve p[r barazimet ekuivalente 3x - 5 = 2x + 1 dhe 3x - 2x = 1 + 5 vlen n[ p[rgjith[sip[r barazimet dhe njihet si rrjedhimi 1 nga T

1. Ajo thot[:

}do an[tar i barazimit mund t[ bartet prej nj[r[s an[ t[ barazimit n[ an[n tjet[r, por me shenj[t[ kund[rt.

4. Te barazimi 4x - 1 + x = 7 + 3x - 2 an[tar[t q[ e p[rmbajn[ t[ panjohur[n barti n[ an[n e majt[ t[barazimit, kurse ato q[ nuk e p[rmbajn[ t[ panjohur[n i bart n[ an[n e djatht[ t[ barazimit.

5. Cil[t prej k[tyre barazimeve jan[ ekuivalente:a) x + 3 = 2x - 1 dhe x - 2x = -1 - 3; b) 2x + 5 = 4x + 1 dhe 2x - 4x = 1 - 5;c) 3x + 1 = 2x + 3 dhe 3x + 2x = 3 + 1?

P1

Barazimi x = a (a ∈ R), prej t[ cilit mund t[ lexohet zgjidhja, quhet barazim n[ form[n e zgjidhur.

6. Zgjidhe barazimin 4x - 8 = 3x - 10, e pastaj provo zgjidhjen.

Si do t[ veprosh n[ fillim gjat[zgjidhjes s[ detyr[s?

S[ pari do ta zbatoj pasoj[n 1 ngateorema 1..

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.4x - 8 = 3x - 10 ⇔ 4x - 3x = -10 + 8 ⇔ x = -2; M = {-2}.

Prova: 4 ⋅ (-2) - 8 = 3 ⋅ (-2) - 10; -8 - 8 = -6 - 10; -16 = -16.

V[reve se me transformimin sipas T1, nga barazimi i dh[n[ 3x - 5 = 2x + 1 e fitove barazimin x =

6, ekuivalent me t[. Prej barazimit x = 6 mund t[ lexohet zgjidhja, d.m.th. numri 6 [sht[ zgjidhja ebarazimit t[ dh[n[.

Barazimi linear 69

N[ qoft[ se n[ t[ dy an[t e barazimit ka an[tar[ t[ barabart[, at[her[ ato mund t[ eleminohen(t[ fshihen).

At[ q[ e v[reve vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet dhe njihet si pasoja 2 nga teorema 1. Ajo thot[:

P2

9. Te barazimi 3x - 2 + 4x + 3 = 3 + 2x + 4x eleminoji an[tar[t p[r t[ cil[t [sht[ e mundshme, q[ t[fitosh barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[, dhe pastaj zgjidhe barazimin e dh[n[.

Duhet t[ dish:

ta shprehish teorem[n 1 p[r barazimetekuivalente; Te barazimi 7x - 3 + 5x = 5 + 2x - 3 grupoi

an[tar[t q[ p[rmbajn[ t[ panjohur[n n[ an[n emajt[, kurse an[tar[t tjer[ n[ an[n e djatht[ ngabarazimi.

ta shprehish dhe ta zbatosh n[ detyrarrjedhimin 1 t[ teorem[s 1;ta shprehish dhe ta zbatosh rrjedhimin 2 t[teorem[s 1. Trego me transformacione ekuivalente se:

3x - 2 + x = 4 + x - 2 + x ⇔ 2x = 4.

V[ren se n[ qoft[ se prej barazimit i eleminon an[tar[t e barabart[ (2x, p[rkat[sisht -1), q[ gjendenn[ an[ e kund[rta t[ barazimit, fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[.

Barazimi i dh[n[ Barazimi i fituar

4x - 1 + 2x - 2 = 2x - 1 + 3x - 5

⇔ 4x + 2x - 2x - 3x = 1 - 1 + 2 - 5

⇔ 4x - 3x = 2 - 5

⇔ x = -3

M = {-3}

4x - 2 = 3x - 5

⇔ 4x - 3x = 2 - 5

⇔ x = -3

M = {-3}

Kontrollohu!

Detyra

1. {sht[ dh[n[ barazimi 2x - 3 = x + 1. Shtoje3x n[ t[ dy an[t e barazimit.

4. Me transformacione ekuivalente trego se:3x - 2 + x = 5 + 2x - 3 ⇔ 2x = 4.

Provo barazimi i fituar a [sht[ barazimekuivalent me barazimin e dh[n[.

2. Sqaro ekuivalenc[n:7x - 3 = 5x + 1 ⇔ 7x - 3 + 2x = 5x + 1 + 2x.

3. Te barazimi 2x - 5 - 3x - 4 = 4 - 3x - 5 eliminojian[tar[t p[r t[ cil[t [sht[ i mundsh[m, q[ t[fitosh barazim ekuivalent me barazimin edh[n[.

5. Cakto m, ashtu q[ t[ jet[ e sakt[ ekuivalenca:3x - 1 = 2x - 3 ⇔ 3x - 1 + 5x = 2x - 3 + m.

6. Konstato a jan[ ekuivalente k[to dy barazime:

a) 2x - 1 = x + 3 dhe 2x - 1 + 5 = x + 3 + 5;b) 4x - 1 = 2x + 5 dhe 4x - 2x = 5 + 1;

c) 3x - 2 = 2x + 1 dhe 3x + 2x = 1 - 2.

Sqaro p[rgjigjen.

7. Zgjidhe barazimin:a) 3 - 7x = 2 - 8x;

b) 34

x + 1 + 2x = 5 + 2x - 14

x.


Kujtohu!

V[reve se barazimi i dh[n[ dhe barazimet e fituara kan[ bashk[si t[ nj[jt[ t[ zgjidhjeve.

}far[ transformimekryeve te barazimi2x - 3 = x - 1 dhe ]far[barazime fitove?

T[ dy an[t e barazimeve i shum[zova me 2,p[rkat[sisht me -4 dhe fitova barazimeekuivalente me barazimin e dh[n[.

Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet. Mund ta shprehim teorem[n p[r shum[zim, p[rkat[sisht pjes[timii barazimeve me num[r t[ ndryshuesh[m prej zeros.


Barazimi i dh[n[ Barazimi i fituar a) Barazimi i fituar b)

2x - 3 = x - 1

⇔ 2x - x = - 1 + 3

⇔ x = 2

M = {2}

2x - 3 = x - 1 / ⋅ (2)

⇔ 2x ⋅ 2 - 3 ⋅ 2 = x ⋅ 2 - 1 ⋅ 2⇔ 4x - 2x = -2 + 6

⇔ 2x = 4

⇔ x = 42

⇔ x = 2

M = {2}

2x - 3 = x - 1 / ⋅ (-4)

⇔ 2x ⋅ (-4) - 3 ⋅ (-4) = x ⋅ (-4) - 1 ⋅ (-4)

⇔ -8x + 12 = -4x + 4

⇔ 12 - 4 = -4x + 8x⇔ 8 = 4x

⇔ x = 84

⇔ x = 2

M = {2}

TEOREMAT P{R BARAZIMET EKUIVALENTE - 255555

Te prodhimi i dh[n[, shum[zuesi i panjohurcaktohet, n[ qoft[ se prodhimi pjes[tohet meshum[zuesin e njohur.Zgjidhi barazimet:

a) 2x = 4; b) 12

x = 3; c) 34

x = 3x.

Cakto SHVP(4, 5, 10).

Njehso:34

+ 25

+ 7

10;

12

+ 13

+ 16

.

1.A {sht[ dh[n[ barazimi 2x - 3 = x - 1.

Zgjidhe barazimin.Shum[zoi t[ dy an[t e barazimit me:a) 2; b) -4.Provo barazimet e fituara a jan[ekuivalente me barazimin e dh[n[.

Si do t[ provosh se barazimi i dh[n[a [sht[ ekuivalent me barazimin efituar?

Do t'i zgjidh barazimet me ndihm[ne rrjedhimit 1 nga T1, e pastaj do t'ikra-hasoj bashk[sit[ e tyre t[zgjidhjeve.

Barazimi linear 71

Teorema 2

N[ qoft[ se t[ dy an[t e barazimit A(x) = B(x) shum[zohen ose pjes[tohen me nj[ num[r t[nj[jt[ a ≠ 0, at[her[ fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[.

2. Konstato me ndihm[n e T2 a jan[ ekuivalente k[to barazime:a) 5x + 3 = 2x + 9 dhe 10x + 6 = 4x + 18; c) 2x - 3 = x - 1 dhe 2x - 3 = 5x - 5;b) 8x - 12 = 4 + 4x dhe 2x - 3 = 1 + x; ]) 3x - 1 = 2x + 1 dhe -6x + 2 = -4x - 2.

3. Zgjidhi barazimet:a) 3 - 12x = -3x - 15; b) -8x + 4 = 12 - 4x.

A(x) = B(x) ⇔ A(x) ⋅ a = B(x) ⋅ a.

V[re m[nyr[n a).3 - 12x = -3x - 15 ⇔ -12x + 3x = -15 - 3

⇔ -9x = -18 / :(-9)

⇔ x = 2; M = {2}.

Sipas P1 nga T1.

Sipas T2.

T[ dy an[t e barazimit 5x - 2 = 3x + 4i shum[zojm[ me -1. }ka v[ren tebarazimi i fituar -5x + 2 = -3x - 4?

Barazimi i fituar [sht[ ekuivalent mebarazimin e dh[n[ sipas T2.An[tar[t e barazimit t[ dh[n[ dhebarazimit t[ fituar jan[ me shenjat[ kund[rta.

4. B {sht[ dh[n[ barazimi 5x - 2 = 3x + 4.

Shum[zoi t[ dy an[t e barazimit me -1.Pse barazimi i fituar [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[?

Zgjidhe barazimin.

Trego se barazimi i fituar [sht[ ekuivalent me barazimin x = 3.

V[re barazimin e dh[n[ dhe barazimin e fituar. 5x - 2 = 3x + 4

5x - 2 = 3x + 4 / ⋅(-1)

⇔ 5x ⋅ (-1) - 2 ⋅ (-1) = 3x ⋅ (-1) + 4 ⋅ (-1)

⇔ -5x + 2 = -3x - 4

Barazimi i dh[n[

Sipas T2.

Barazimi i fituar


V[ren se shum[zimi i an[tar[ve t[ barazimit x x x- + -

+ =1 3 1 9

2 4 3 me shum[fishin m[ t[ vog[l t[

p[rbashk[t fitohet barazim pa em[ruesa 6x - 6 + 9x + 3 = 4x - 36, ekuivalent me barazimin e dh[n[.

N[ qoft[ se disa an[tar[ t[ barazimit kan[ em[ruesa, at[her[ prej em[ruesave mund t[ lirohemime shum[zimin e t[ dy an[ve t[ barazimit me shum[fishin m[ t[ vog[l t[ p[rbashk[t.

At[ q[ e v[reve p[r barazimin x x x- + -+ =

1 3 1 92 4 3

vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet. Mund ta

shprehim k[t[ pasoj[ nga teorema 2.

P2

Trego se barazimi 6x - 6 + 9x + 3 = 4x - 36 [sht[ ekuivalent me barazimin x = -3.

5. Zgjidhi barazimet: a) 2x - 1 = 3x - 5; b) 4x + 2 = 5x - 1;

Krahaso zgjidhjen t[nde a).2x - 1 = 3x - 5 ⇔ 2x - 3x = -5 + 1 ⇔ -x = -4 / ⋅ ( - 1) ⇔ x = 4; M = {4}.


6. Barazimin x x x- - -+ =

1 3 1 92 4 3

transformoe n[ barazim pa em[ruesa.

Sa [sht[ SHVP(2, 4, 3)?Si do t[ lirohesh prej em[ruesavete barazimi?

SHVP(2, 4, 3) = 12. T[ dy an[t ebarazimit do t'i shum[zoj me 12 dhedo t[ fitoj barazim pa em[ruesa.

x x x- + -

+ =1 3 1 9

2 4 3

⇔ x x x- + -

⋅ + ⋅ = ⋅1 3 1 912 12 12

2 4 3

SHVP (2, 3, 4) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12.

T[ dy an[t e barazimit shum[zohen meSHVP(2, 3, 4), d.m.th. me 12

Thjeshtimi i em[ruesave me 12.

Lirimi prej kllapave.

⇔ 6(x - 1) + 3(3x + 1) = 4(x - 9)

⇔ 6x - 6 + 9x + 3 = 4x - 36

Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet. Mund ta shprehim k[t[ rrjedhimt[ T2.

N[ qoft[ se t[ gjith[ an[tar[t e barazimit shum[zohen me -1, at[her[ fitohet barazim ekuivalentme barazimin e dh[n[, d.m.th. n[ qoft[ se t[ gjith[ an[tar[t e barazimit z[v[nd[sohen mean[tar[t e tyre t[ kund[rt, fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[.

P

1

Barazimi linear 73

7. Lirohu prej em[ruesave t[ barazimit x x- +=

2 1 15 4

, e pastaj zgjidhe.

Duhet t[ dish:

ta shprehish teorem[n 2 p[r barazimetekuivalente; Zgjidhe barazimin:

a) 5x - 3 = 3x - 1; b) 6x - 1 = 7x.t'i shprehish rrjedhimet nga teorema 2;

Detyra

1. Te barazimi 3 - x = 7 - 3x t[ dy an[t shum[-zoi me -2.

t'i zbatosh pasojat nga teorema 2 n[ zgjidhjene detyrave

Lirohu prej em[ruesave te barazimix x x- + +

- =3 1 2 2

4 3 6 dhe trego se ai [sht[

ekuivalent me barazimin x = 5.

Trego, sipas zgjidhjeve, se barazimi i fituar[sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[.

2. Te barazimi 12x - 9 + 3x = 9x + 3 t[ dy an[tpjes[toi me 3 dhe trego se barazimi i fituar[sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[.(Krahasoji zgjidhjet e tyre.)

3. A jan[ ekuivalente t[ dy barazimet e dh[na?Sqaro p[rgjigjen t[nde.a) 3x - 1 = x + 3 dhe 6x + 2 = 2x + 6;b) -2x + 3 = -3x + 5 dhe 2x - 3 = 3x - 5;c) 4x - 1 = 3x + 2 dhe 4x + 1 = 3x + 2.

4. Te barazimi 2x - 3 = 3x - 5 z[v[nd[soi t[gjith[ an[tar[t me an[tar[t e tyre t[ kund[rtdhe provo sipas zgjidhjeve se barazimi i fituar[sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[.

5. Lirohu prej em[rues[ve te barazimet dhezgjidhi.

a) ;x x x+ + ++ =

1 2 32 5 10

b) x x x- + -

- =2 3 3 3

3 6 2.

Kontrollohu!

Nj[ shishe me kapak kushton 11 denar[,nd[rsa vet[m shishja (pa kapak) [sht[ 10denar[ m[ shtrenjt[ se kapaku. Sa kushtonshishja dhe sa kapaku?

P[rpiqu...

Duke i shfryt[zuar teoremat p[r barazimetekuivalente dhe rrjedhimet e tyre, trego se:x x x x- +

+ = =1 1 2 3

2 4 3 .

6.


Kujtohu!

Kujtohu!

3. B {sht[ dh[n[ barazimi ax + b = 0, met[ panjohur[n x dhe koeficienta a dheb, ku a ≠ 0.

Cakto zgjidhjen e atij barazimi.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[

ax + b = 0 ⇔ ax = -b ⇔ x = - ba

, d.m.th.

- ba

[sht[ zgjidhje e barazimit ax + b = 0, p[r

a ≠ 0.

Cila prej k[tyre shprehjeve nuk ka vler[:

a) ⋅ --

5 2 107 3

; b) -⋅ -7 3

5 2 10?

Sqaro p[rgjigjen t[nde.

P[r cil[n vler[ t[ a shprehja a-

53

nuk ka

vler[?Cakto zgjidhjen e barazimit2x - 6 = 0.

FORMA E P{RGJITHSHME E BARAZIMIT LINEAR ME NJ{ T{ PANJOHUR66666

Te shprehja ax + b me ndryshore x, a dheb jan[ koeficient[.

1.A

Cakto koeficient[t te shprehja me ndryshore

x: a) 2x - 5; b) ax+ 12 .

{sht[ dh[n[ barazimi 4x - 5 = 2x - 1.

T[ gjith[ an[tar[t e barazimit barti n[ an[ne djatht[ dhe pastaj kryeji operacionet.

Sipas P1 nga T1 p[r barazimet ekuivalente, ]doan[tar i barazimit mund t[ bartet prej nj[r[san[ n[ an[n tjet[r t[ barazimit, por me shenj[t[ kund[rt.A jan[ ekuivalente barazimet:a) 4x - 3 = 2x + 1 dhe 4x - 2x = 1 + 3;b) 4x - 3 = 2x + 1 dhe 4x + 2x = 1 - 3?Sqaro p[rgjigjen.

Barazimi i fituar a [sht[ ekuivalent mebarazimin e dh[n[? Pse?

Cil[t rrjedhime p[r barazimeekuivalente mund t'i zbatosh te kjodetyr[?

Sipas rrjedhimit 1 p[r barazimetekuiva-lente, an[tar[t nga ana e majt[e barazimit do t'i bart n[ an[n edjatht[, por me shenj[ t[ kund[rt.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.4x - 5 = 2x - 1 ⇔ 4x - 5 - 2x + 1 = 0 ⇔ 2x - 4 = 0.

Barazimi 2x - 4 = 0 [sht[ ekuivalent me barazimin 4x - 5 = 2x - 1.P[r barazimin 2x - 4 = 0 thuhet se [sht[ forma normale e barazimit 4x - 5 = 2x - 1.

Mbaj mend!

Barazimi ax + b = 0 quhet forma e p[rgjithshme ose normale e barazimit linear me nj[ t[ panjohur,ku x [sht[ e panjohura, a [sht[ koeficient para t[ panjohur[s dhe b an[tari i lir[.

2. Shkruaje n[ form[n normale k[t[ barazim 2x - 3 = x - 1.

Barazimet lineare 75

Her[si ba

- , p[r a ≠ 0, [sht[ gjithmon[ nj[vler[sisht i p[rcaktuar, prandaj barazimi ax + b = 0 ka

vet[m nj[ zgjidhje x = ba

- , d.m.th. M = {ba

- }.

4. Cakto zgjidhjen e secili prej k[tyre barazimeve:a) 3x - 6 = 0; b) x + 3 = 0; c) 3x + 1 = 0.

5. Te barazimi ax + b = 0, le t[ jet[ a = 0 dhe b = 4 (b ≠ 0). Cakto zgjidhjen e atij barazimi.

V[re me cilin nu-m[r duhet ta pje-s[tosh barazimin.

Pasi a = 0 dhe b = 4, barazimi e ka form[n

0 ⋅ x + 4 = 0, prej ku 0 ⋅ x = -4. Me zero nuk pjes[tohet.

Shprehja - 40

nuk ka vler[ dhe barazimi nuk ka zgjidhje.

V[re se

N[ rastin kur te barazimi ax + b = 0, [sht[ dh[n[ a = 0 dhe b ≠ 0, barazimi nuk ka zgjidhje,p[rkat[sisht M = ∅. P[r barazimin e atill[ thuhet se [sht[ i pamundsh[m ose kund[rth[n[s.

6. Cil[t prej k[tyre barazimeve [sht[ kund[rth[n[s: a) 3x + 1 = 0; b) 0 × x - 2 = 0; c) 3x = 0?

7. Te barazimi ax + b = 0, le t[ jet[ a = 0 dhe b = 0.

Shkruaje at[ barazim.Transformoe barazimin e fituar n[ form[n ax = -b.

Provo se -2; 5; 12

; x = 3,5 a jan[ zgjidhje t[ barazimit t[ transformuar 0 ⋅ x = 0.

Me se [sht[ i barabart[ prodhimi i zeros dhe ]far[do numri real?Pse [sht[ do num[r real zgjidhje e barazimit 0 ⋅ x = 0?

V[re se -2; 5; 12

dhe 3,5 jan[ zgjidhje t[ barazimit 0 ⋅ x = 0.

Cakto zgjidhje tjet[r t[ k[tij barazimi.

V[reve se

Barazimi ax + b = 0, p[r a = 0 dhe b = 0 ka pafund shum[ zgjidhje, dhe M = R.


12. Zgjidhe barazimin x x x- - -- =

2 3 3 4 1 145 3 15

.

Lirohu prej kllapave.

Vepro si te zgjidhja e detyr[s 9.

8. Shkruaj vlera p[r a dhe b ashtu q[ barazimi ax + b = 0 t[:a) ket[ vet[m nj[ zgjidhje b) mos ket[ zgjidhje; c) ket[ pafund shum[ zgjidhje.

9. C Zgjidhe barazimin 5x - 7 + x = 1 + 2x.

Si do t[ veprosh gjat[zgjidhjes s[ barazi-mit t[ dh[n[?

S[ pari do t'i barti t[ gjith[ an[tar[t q[ e p[rmbajn[ t[panjohur[n n[ an[n e majt[ t[ barazimit, kurse ato q[nuk e p[rmbajn[ - n[ an[n e djatht[. Pastaj barazimindo ta sjell[ n[ form[n ax = -b dhe do ta zgjidh bara-zimin.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 5x - 7 + x = 1 + 2x

⇔ 5x + x - 2x = 1 + 7

⇔ 4x = 8

⇔ x = 84

⇔ x = 2

Zbatimi i P1 nga T1.Sjellja e shprehjeve nga t[ dy an[t e barazimit.Zbatimi i T2; t[ dy an[t e barazimit jan[ pjes[tuar me 4.

Mbaj mend!

Barazimi linear ax + b = 0:

a) p[r a ≠ 0 ka zgjidhje t[ vetme x = ba

- dhe M = { ba

- }.

b) p[r a = 0 dhe b ≠ 0 nuk ka zgjidhje, d.m.th. M = ∅ .

c) p[r a = 0 dhe b = 0 ka pafund shum[ zgjidhje, ku M = R.

Dometh[n[, zgjidhja e barazimit 5x - 7 + x = 1 + 2x [sht[ 2, d.m.th. M = {2}.

10. Zgjidhe barazimin 5x - 1 - x = x + 4 - 2x.

11. Zgjidhe barazimin 3(x - 1) + x = 2x - 2 - (x - 5).


Duhet t[ dish:

Detyra

1.

Zgjidhe barazimin x x x- +- =

3 1 64 3 6

t[ sjellish barazimin linear n[ form[n ep[rgjithshme (normale); Sille n[ form[n normale k[t[ barazim

3x + 1 = 2x - 2 - x.

Silli n[ form[n normale k[to barazime:a) 3x + 1 = x + 5; b) 3x - 5 = x + 1.

t[ zgjidhish barazim linear me nj[ t[ panjohur;


/x x x- - -- = ⋅

2 3 3 4 1 14 155 3 15

⇔ 3(2x - 3) - 5(3x - 4) = 1 - 14x

⇔ 6x - 9 - 15x + 20 = 1 - 14x

⇔ 6x - 15x + 14x = 1 + 9 - 20

⇔ 5x = -10

⇔ x = -105

⇔ x = -2.

Sipas P2 nga T2.

Dometh[n[, zgjidhje e detyr[s s[ dh[n[ [sht[ -2, d.m.th. M={-2}.

{sht[ kryer lirimi prej kllapave.Sipas P1 nga T1.Sjellja e t[ dy an[ve t[ barazimit.Sipas T2.

2. Cili prej k[tyre barazimeve [sht[ i pamun-dsh[m:a) 3x = 0; b) 5x = -1; c) 0 ⋅ x = 4?

t[ caktosh zgjidhje t[ barazimitax + b = 0 p[r:a) a ≠ 0; b) a = 0, b ≠ 0;

c) a = 0, b = 0.

Si do ta sjellish barazimin e dh[n[n[ barazim pa em[rues, ekuivalentme barazimin e dh[n[?

T[ dy an[t e barazimit do t'i shum[-zoj me SHVP(5, 3, 15) = 15, kursepastaj do t[ vazhdoj si te detyraparaprake!

Kontrollohu!

3. Zgjidhi barazimet:a) 3x - 5 + 2x = 7 + x - 4;

b) 1,4x + 2,8 = 0,7x + 4,2;

c) x x x- - = -1 1 1 1 12 4 4 2 4

.

4. P[r cil[n vler[ t[ panjohur[s x shprehjet:2x - 8 dhe 1 - x kan[ t[ nj[jt[n vler[ nume-rike?


Kujtohu!

Zgjidhi barazimet:a) (x - 1)2 - 2 = x(x - 3) + 2;

b) (x - 3)(x + 4) - 2(3x - 2) = (x - 4)2;

c) (x - 2)(x + 2) + 2x = x2 + 2.

7.

ZBATIMI I BARAZIMIT LINEAR ME NJ{ T{ PANJOHUR77777

Gjot[ t[ m[suarit t[ matemtik[s shpesh her[has detyra te t[ cilat var[sit[ nd[rmjetmadh[sive jan[ t[ p[rshkruara me fjal[, n[gjuh[n ,,e t[ folurit". ,,P[rkthimi" i atyrevar[sive n[ gjuh[n matematike shpesh her[kryhet n[p[rmjet barazimit.

N[na dhe djali s[ bashku kan[ 32 vjet. N[na[sht[ p[r 20 vjet m[ e vjet[r se djali. Sa vjetka n[na, dhe sa djali?

P[r cil[n vler[ t[ parametrit a barazimi8x - 3a - 5 = 2a + 5x - 16 e ka zgjidhjen x = 3?

8.

V[reje at[ te kjo detyr[:

Fto shokun t[nd t[ zgjedh (ose t[ vizaton) nj[domino, kurse ti t[ mos dish cila [sht[ ajo.Pastaj, urdh[roi t'i kryej me radh[ k[to ope-racione:

Trik me domino...

Nj[rin prej numraveshum[zoe me 2.

Shtoe numrin 6.Shum[zoe me 5.Shtoe numrin tjet[rnga dominoja.Zbrite numrin 30.Trego numrin q[ fitove.Ti q[llon! Shifrat e rezulltatit t[ fituar jan[numrat e dominos s[ zgjedhur.

Sqaro trikun matematikisht..

1.A N[na tani [sht[ tre her[ m[ e vjet[r sevajza. Pas 10 vjet n[na do t[ jet[ dyher[ m[ e vjet[r se vajza. Sa vjet ka

tani n[na dhe sa vajza?

V[re se cil[t madh[si dhe raportend[rmjet tyre jan[ t[ njohura, kursecilat t[ panjohura.

Dihet se n[na tani [sht[ tre her[ m[ evjet[r se vajza, kurse pas 10 vjet n[nado t[ jet[ dy her[ m[ e vjet[r se vajza.Nuk dihet sa vjet ka vajza dhe sa n[na.

6. Zgjidhi barazimet:

a) x x x+ - -+ =

4 4 16 2 3

;

b) x x x x- + - -

- = -3 1 5 4

4 6 2 3

5. Zgjidhi barazimet:a) 5(x + 3) = 2(x + 3);

b) 2(x + 1) - 3(x - 1) = 4(x + 1) + 1;

c) 5(x - 1) - 2(x + 1) = 3(x - 2) - (x - 5).


Zgjidhe barazimin 3x + 10 = 2(x + 10).

2. N[na tani ka 36 vjet, kurse vajza e saj 10 vjet. Pas sa vjet n[na do t[ jet[ tre her[ m[ e vjet[r sevajza?

Detyrat me tekst zgjidhen me sukses n[ qoft[ se punohet me plan t[ caktuar. V[reje at[ n[k[t[ detyr[.

Sa vjet ka vajza?Sa vjet ka n[na?

B

3. N[ provimin kontrollues me shkrim arsimtari u ka dh[n[ nx[n[sve 15 detyra. P[r ]do detyr[ t[zgjidhur sakt[ nx[n[si ka fituar 5 pik[, kurse p[r detyr[n e zgjidhur gabimisht ka humbur 2 pik[.Sa detyra ka zgjidhur nx[n[si i cili n[ fund ka fituar 54 pik[?

1. T[ kuptuarit e detyr[s

Dihet se nx[n[si ka pasur 15 detyra, p[r ]do detyr[ t[zgjidhur ai ka fituar nga 5 pik[, kurse p[r detry[npazgjidhur ka humbur 2 pik[. N[ fund nx[n[si ka fituar54 pik[. Nuk dihet sa detyra ka zgjidhur nx[n[si.

2. T[ sh[nuarit e madh[sive t[ panjohura

Sh[no numrin e detyrave t[ zgji-dhura me x. Si do ta sh[nosh numrine detyrave t[ pazgjidhura?

N[ qoft[ se numri i detyrave t[ zgji-dhura [sht[ x, at[her[ numri i detyra-ve t[ pazgjidhura [sht[ 15 - x.

V[re n[ tabel[ se cilat jan[ var[sit[ nd[rmjet madh[sive dhe si [sht[ formuar barazimi.

N[ qoft[ se numrin e viteve t[vajz[s e sh[nojm[ me x, at[her[ sesi do ta sh[nosh numrin e viteve t[n[n[s? Sa vjet do t[ ket[ selila prejtyre pas 10 vjet?

N[ qoft[ se vitet e vajz[s jan[ x,at[her[ n[na tani ka 3x vjet. Pas 10vjet vajza do t[ ket[ (x + 10) vjet,kurse n[na (3x + 10) vjet.

vajzan[na

sa vjet ka tani

x

3x

sa vjet do t[ket[ pas 10 vjet

x + 10

3x + 10

barazimi

3x + 10 = 2(x + 10)

Zgjidhja e barazimit [sht[ 10.

}ka [sht[ e njohurte detyra, kurse ]ka[sht[ e panjohur?


3. T[ v[rejturit e lidhjeve nd[rmjet madh[sive

Sa pik[ ka fituar nx[n[si,kurse sa pik[ ka humbur?

Nx[n[si ka fituar 5x pik[ (x detyra nga 5 pik[),kurse ka humbur 2 (15 - x) pik[ (15 - x detyra nga2 pik[) dhe ka fituar 54 pik[.

4. Formimi i barazimit

Cili barazim prej lidhjeve t[ v[rejturand[rmjet madh[sive fitohet?

Prej lidhjes nd[rmjet madh[sivevijon barazimi 5x - 2(15 - x) = 54.

5. T[ zgjidhurit e detyr[s

V[re t[ zgjidhurit e detyr[s: 5x - 2(15 - x) = 54.

5x - 2(15 - x) = 54 ⇔ 5x - 30 + 2x = 54 ⇔ 5x + 2x = 54 + 30 ⇔ 7x = 84 ⇔ x = 847

, d.m.th.

x = 12.

V[re m[nyrat paraprake n[ tabel[.

6. P[rgjigje p[r pyetjen e parashtruar dhe prova

}ka tregon zgjidhja e barazimit? N[ qoft[ se x = 12, kjo do t[ thot[ senx[n[si ka zgjidhur sakt[sisht 12 detyra,kurse nuk ka zgjidhur 15 - 12 = 3 detyra.

B[je prov[n e zgji-dhjes.

12 detyra nga 5 pik[ [sht[ 60 pik[. 3 detyra nga 2pik[ [sht[ 6 pik[. 60 - 6 = 54 pik[.Dometh[n[, zgjidhja e detyr[s [sht[ e sakt[.

Detyra

GjithsejDetyrat ezgjidhuraDetyrat e

pazgjidhura

Numri idetyrave

Numri i pik[vesipas detyrave Barazimi

15

x

15 - x

5x

2(15 - x)

5x - 2(15 - x) = 54

4. N[ nj[ shitore ka 22 automobil[ dhe moto]ikleta. Ato gjithsej kan[ 74 rrota. Sa automjete jan[automobila, kurse sa moto]ikleta?

5. Te trek[nd[shi dybrinj[nj[sh[m krahu [sht[ p[r 2 cm m[ i gjat[ se baza, kurse perimetri i tij [sht[25 cm. Cakto baz[n dhe krahun e atij trek[nd[shi.


6. Gjat[sia a e nj[ drejtk[nd[shi [sht[ p[r 3 cm m[ e gjat[ se gjer[sia b, kurse perimetri i tij [sht[34 cm. Cakto gjat[sin[ dhe gjer[sin[ e atij drejtk[nd[shi.

7. Prej vendit A nga vendi B nisen nj[koh[sisht dy bi]ikletist[. I pari l[viz me shpejt[si 16 km/or[,kurse tjetri me shpejt[si 12 km/or[.Cakto larg[sin[ nd[rmjet vendeve A dhe B, n[ qoft[ se bi]ikletisti i par[ arrin 1 or[ m[ her[t se idyti.

V[re var[sin[ nd[rmjet madh[sive n[ k[t[ detyr[ te tabela.

Bi]ikletisti i par[Bi]ikletisti i dyt[

Shpejt[sia

12 km/or[16 km/or[

Barazimi

16x = 12(x + 1)

Koha

x + 1or[x or[

RrugaAB = 16 ⋅ x

AB = 12 ⋅ (x + 1)

Zgjidhe barazimin dhe cakto larg[sin[ nd[rmjet vendeve A dhe B.B[je prov[n e zgjidhjes s[ barazimit.

1. Krahu b [sht[ p[r 2 cm m[ i gjat[ se baza a, kurse perimetri [sht[ 25 cm.2. N[ qoft[ se baza a = x, at[her[ b = x + 2.3. a + 2b = P.4. x + 2(x + 2) = 25.

5. x + 2(x + 2) = 25 ⇔ x + 2x + 4 = 25 ⇔ x + 2x = 25 - 4 ⇔ 3x = 21 ⇔ x = 213

⇔ x = 7.

Dometh[n[, baza a = 7 cm, kurse krahu b = 7 + 2 = 9 cm.6. Prova: P = a + 2b; P = 7 + 2 ⋅ 9; P = 25 cm.

V[re var[sin[ nd[rmjetmadh[sive n[ k[t[detyr[ te tabela.

Madh[sit[Baza

KrahuPerimetri

Shenjat e madh[sive

b = a + 2; b = x + 2;

P = 25 cm; P = 2a + b; P = x + 2(x + 2)

a = x

Barazimi

x + 2(x + 2) = 25

Duhet t[ dish:

t'i zbatosh barazimet gjat[ zgjidhjes s[ detyravetekstuale;

N[ nj[ trek[nd[sh nj[ra prej brinj[ve [sht[ p[r2 cm m[ e madhe se tjetra, kurse p[r 1 cm m[e vog[l se e treta.t[ kryejsh prov[n e zgjidhjes s[ fituar.

Cakto brinj[t e trek[nd[shit, n[ qoft[ seperimetri i tij [sht[ 43 cm.

V[re sh[nimin e shkurt[r t[ planit p[r zgjidhjen e k[saj detyre.

Kontrollohu!


5. Mentori ka 25 monedha prej 2 dhe 5 denar[ose gjithsej 80 denar[. Sa monedha jan[ prej2 denar[ dhe sa prej 5 denar[?

3. Ndryshimi i dy numrave [sht[ 46. Kur numrim[ i madh do t[ pjes[tohet me numrin e vog[lfitohet her[si 4 dhe mbetja 7.Cil[t jan[ ato numra?

6. Detyr[ e vjet[r kineze. N[ nj[ kafaz ka lepujdhe fazan[. Ato s[ bashku kan[ 35 koka dhe94 k[mb[. Sa jan[ gjithsej lepuj dhe fazan[?

7. Nj[ korrier e kalon larg[sin[ nd[rmjet vendeveA dhe B p[r koh[ t[ caktuar. N[ qoft[ se l[vizme shpejt[si 35 km/or[, do t[ vonohet 2 or[,por n[ qoft[ se l[viz me shpejt[si 50 km/or[,do t[ arrin nj[ or[ m[ her[t. Cakto larg[sin[nd[rmjet vendeve A dhe B.

4. Te trek[nd[shi dybrinj[nj[sh[m baza [sht[ 2cm m[ e vog[l se krahu. Cakto baz[n dhekrahun e atij trek[nd[shi n[ qoft[ se perimetrii tij [sht[ 43 cm.

8. Nj[ pun[tor vet mund ta kryen nj[ pun[ p[r 6or[, kurse tjetri p[r 12 or[. P[r sa or[ t[ dy dota kryejn[ t[ nj[jt[n pun[?

9. Nj[ pishin[ mbushet prej dy gypave. Nga gypii par[ pishina mbushet p[r 4 or[, kurse nga idyti p[r 6 or[. P[r sa or[ do t[ mbushet pishinae zbraz[t, n[ qoft[ se n[ t[ nj[koh[sisht hapent[ dy gypat?

10. Dy gypa s[ bashku mund ta mbushin nj[pishin[ p[r 12 or[. Nj[ri gyp vet mund tambush pishin[n p[r 20 or[. P[r sa or[ gypii dyt[ vet do ta mbush pishin[n e zbraz[t?

Mbi pllak[n e varrit t[ matematikanit t[ vjet[r grek[sht[ shkruar:,,Udh[tar, k[tu [sht[ varrosur Diofanti. Numrat tre-gojn[, ]udira, sa e gjat[ ka qen[ jeta e tij. F[mij[riae mrekullueshme ia ka marr[ nj[ t[ gjasht[n e jet[s,por kur ka kaluar edhe nj[ e dymb[dhjeta e jet[s s[tij, fytyr[n e tij e mbuloi mjekrra. Pasi kaloi edhenj[ e shtata e jet[s s[ tij, Diofanti u martua. Kurkaluan 5 vjet t[ jet[s bashk[shortore, e g[zoi lindjae f[mij[s s[ tij t[ par[, t[ cilit fati i dhuroi vet[mgjysm[n e viteve t[ jet[s s[ babait t[ tij. Prejs[mundjes s[ r[nd[ plaku e priti fundin e jet[s s[tij duke jetuar edhe 4 vjet pas humbjes s[ djalit".Sa vjet ka jetuar Diofanti?

P[rpiqu ...Epitafi i Diofantit

Detyra

1. N[ qoft[ se ndonj[ numri i shtohet numri 12dhe shuma e fituar shum[zohet me 5, at[her[fitohet numri 200. Cili [sht[ ai num[r?

2. Shuma e dy numrave [sht[ 180. Numri i par[[sht[ p[r 36 m[ i vog[l se i dyti. Cil[t jan[ato numra?

Jobarazimet lineare me një të panjohur 83

Kujtohu!

KONCEPTI P{R JOBARAZI DHE JOBARAZIM88888

Shprehje numerike jan[: 5 + 8, 9 : 3 - 2,

4,6 ⋅ 3,5 - 1, 8 : 0,2 etj.

Pasi t'i kryen t[ gjitha operacionet te shprehjafitohet num[r i cili quhet vlera numerike eshprehjes.

JOBARAZIMET LINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR

Njehso vler[n numerike t[ shprehjes15 - 22 ⋅ 3 - 6,4 : 0,4.

Gjat[ krahasimit t[ numrave racional ishfryt[zove shenjat =, < dhe >.

Cila prej shenjave: > ose < duhet t[ q[ndronte rrethi q[ t[ jet[ i sakt[ krahasimi i numrave:

5 -12; 0 3,5;

-1 -5; -4 0?

Cili prej k[tyre jobarazive [sht[ i sakt[:a) 7 > 5; b) -5 > -4; c) -3,2 < -2,3?

Cila shenj[ duhet t[ q[ndron te rrethi,q[ t[ jet[ i sakt[ krahasimi i vlerave

}ka duhet s[ pari t[ b[jsh q[ t'ikrahasosh shprehjet numerike?

1.A

a) 3 ⋅ (5 - 2) 8 - 4 ⋅ 3;

S[ pari duhet t'i njehsoj vleratnumerike t[ shprehjeve t[ dh[na,pastaj t[ caktoj cila shenj[ duhet t[q[ndron te rrethi.

b) 8 ⋅ 2,5 - 10,8 (- 4)2 + 1?

numerike t[ shprehjeve:

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.a) 3 ⋅ (5 - 2) = 3 ⋅ 3 = 9; 8 - 4 ⋅ 3 = 8 - 12 =

= -4; 9 > -4, pra 3 ⋅ (5 - 2) > 8 - 4 ⋅ 3.

b) 8 ⋅ 2,5 - 10,8 = 20 - 10,8 = 9,2; (-4)2 + 1 =

=16 + 1 = 17; 9,2 < 17 pra 8 ⋅ 2,5 - 10,8 < (-4)2 + 1.

Duke e zgjidhur detyr[n 1 t[ dy shprehjet numerike:3 ⋅ (5 - 2) dhe 8 - 4 ⋅ 3, p[rkat[sisht 8 ⋅ 2,5 - 10,8 dhe (-4)2 + 1

i lidh me nj[r[n prej shenjave > ose < dhe fiton:3 ⋅ (5 - 2) > 8 - 4 ⋅ 3, p[rkat[sisht 8 ⋅ 2,5 - 10,8 < (-4)2 + 1.

3 ⋅ (5 - 2) > 8 - 4 ⋅ 3 dhe 8 ⋅ 2,5 - 10,8 > (-4)2 + 1 jan[ jobarazi numerike.

2. Formo jobarazi t[ sakt[ numerike prej shprehjeve: 8 ⋅ 5 - 62 dhe 3 ⋅ 4 + 5.

3. Cakto cil[t prej k[tyre jobarazive numerike jan[ t[ sakta:28 - 8 ⋅ 3 > -9 ⋅ 2 + 20; 7 < 3 ⋅ 12 - 52; -9 + 6 > 8 ⋅ 3 - 35.


Kujtohu!

Shprehje me ndryshore jan[: x - 1; 2y -

3, x2 - 2x + 1 etj.

4. B Cila prej shenjave: > ose < duhet t[q[ndroj te rrethi q[ t[ jet[ i sakt[

}far[ shprehje do t[ fitosh n[ qoft[ se teshprehja 2y - 3 ndryshoren y e z[v[nd[sonme 2?Njehso vler[n numerike t[ shprehjes x2 - 2x+ 1 p[r x = 3.

x2 - 2x + 1 2x + 3, p[r x = -2?

}far[ shprehje do t[ fitosh n[ qoft[se te shprehjet e dh[na me ndryshore,x e z[v[nd[soni me -2?}'duhet b[r[ pastaj?

Me z[v[nd[simin e ndryshores x me -2, do t[ fitoj shprehje numerike, t[ cilat mund t'ikrahasoj dhe ta vendos shenj[n e nevojshme te rrethi.


x2 - 2x + 1 = (-2)2 - 2(-2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9; 2x + 3 = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1.

Pasi 9 > -1, vijon se x2 - 2x + 1 > 2x + 3 p[r x = -2.

Jobarazia x2 - 2x + 1 > 2x + 3 quhet jobarazi me ndryshore.

Mbaj mend!

Jobarazia te e cila ana e majt[ dhe e djatht[ ose t[ pakt[n nj[ra prej tyre [sht[ shprehje me ndryshorequhet jobarazi me ndryshore ose jobarazim.

5. Cakto cila prej k[tyre jobarazive jan[ jobarazime:a) 5 > -2 ⋅ 3; c) x2 + 1 < x2 - 2x + 3, x ∈ Z;

b) 2x + 3 > 0, x ∈ R; ]) 8 ⋅ 3 - 22 < 5 ⋅ 6 + 3.

Ndryshoret te jobarazimet shpesh her[ sh[nohen me x, y, z, ... dhe ato ndryshojn[ n[ bashk[sin[R ose n[ ndonj[ n[nbashk[si t[ saj.Me dh[n[jen e jobarazimit jepet edhe bashk[sia te e cila marrin vlera ndryshoret, d.m.th. bashk[siae p[rkufizimit.

N[ qoft[ se nuk [sht[ dh[n[ bashk[sia e p[rkufizimit do t[ llogarisim se ajo [sht[ bashk[sia R.

Jobarazimi me nj[ t[ panjohur, n[ rastin e p[rgjithsh[m shkruajm[: f(x) < g(x), x ∈ D, ku f(x) dheg(x) jan[ shprehje me ndryshores x, t[ p[rkufizuar n[ bashk[sin[ D.

krahasimi i shprehjeve me ndryshore:


6. C Jan[ dh[n[ jobarazimet:

2x - 1 < 3x + 1;

x2 - 1 > 2x;

2x - y > 5 - x;

x2y - 2 < 3x.

Kujtohu!

Sipas shkall[s s[ t[ panjohur[s barazimetmund t[ jen[: lineare (t[ shkall[s s[ par[),katrore (t[ shkall[s s[ dyt[), kubike (t[shkall[s s[ tret[) etj.

Cil[t lloje t[ barazimeve i kemi sipas numritt[ t[ panjohurave?

I cil[s shkall[ [sht[ barazimi: 2x - 3 = x + 1;

x2 - 3x = 2?

Me sa t[ panjohura [sht[ ]donj[ra prejjobarazimeve?

Si do t'i em[rtosh jobarazimet 2x - 1 < 3x + 1dhe x2 - 1 > 2x sipas numrit t[ t[ panjohurave,dhe si jobarazimet2x - y > 5 - x dhe x2y - 2 < 3x?

Mbaj mend!

Jobarazimet: 2x - 1 < 3x + 1 dhe x2 - 1 > 2x jan[me nj[ t[ panjohur, kurse jobarazimet:2x - y > 5 - x dhe x2y - 2 < 3x me dy t[ panjohura.

Sipas numrit t[ t[ panjohurave, jobarazimet mund t[ jen[: jobarazime me nj[ t[ panjohur, jobarazimeme dy t[ panjohura, jobarazime me tri t[ panjohura etj.

Cilat jobarazime jan[ menj[ t[ panjohur, kurse cilatme dy t[ panjohura?

7. Cakto me sa t[ panjohura [sht[ secili prej k[tyre jobarazimeve.a) 2x - 1 < x + 2; b) x + y < 7 - z; c) x + 2y < x - y + 1; ]) 2x > x + 2.

8. Jan[ dh[n[ jobarazimet:a) x2 + 2 > 2x; b) x2y - 2 > 3x; c) x - 2 < 2x + 3; ]) x - y < y + 3.

Cakto shkall[n m[ t[ lart[ t[ t[ panjohurave te secila prej jobarazimeve.Sipas shkall[s t[ t[ panjohurave, t[ cilit lloj jan[ jobarazimet?

Jobarazimet x - 2 < 2x + 3 dhe x -y < y + 3 ja-n[ t[ shkall[s s[ par[; jobarazimi x2 + 2 > 2x[sht[ i shkall[s s[ dyt[, kurse jobarazimix2y - 2 > 3x [sht[ i shkall[s s[ tret[.

Cakto llojin e jobarazimevesipas shkall[s t[ t[ panjo-hurave sikurse te barazimet.


Duhet t[ dish:

Detyra

1.

ta p[rkufizosh konceptin jobarazim;

se dy shprehje t[ lidhura me shenj[n < ose >formojn[ jobarazim;

Cakto cil[t prej k[tyre jobarazive jan[jobarazime:a) 5 ⋅ 8 - 3 > 17 - 22; b) x2 - 1 < 5x; c) 3x +

y < y + 2; ]) 5 - 2 ⋅ 3 > 3 - 4 ⋅ 2.

Cakto cila prej k[tyre jobarazive jan[ t[ sakta:a) 12 - 2 ⋅ 5 > 3 ⋅ 2 - 8;

b) 52 - 3 ⋅ 4 > 12 : 4;

c) 17 - 3 ⋅ 5 > 72 - 5 ⋅ 6.

ta caktosh llojin e jobarazimit sipas numrit t[t[ panjohurave dhe sipas shkall[s t[ t[panjohur[s.

2. P[r cil[n vler[ t[ x ∈ {−2, 0, 2} [sht[ e sakt[jobarazia: x2 - 2x < x + 5?

3. Cakto llojin e ]donj[rit prej jobarazimevesipas numrit t[ t[ panjohurave:a) x - 3 < 2x + 5; c) 3x + 1 - x > x + 5;

b) x - 2y + 3 > 2x; ]) x - 5 < y + 3.

4. Cakto llojin e ]donj[rit prej jobarazimevesipas shkall[s t[ panjohur[s:a) x2 - 3 < 2x - 1; c) x + 2 > 6 - x;

b) x - 2 - 3x < 5; ]) x2y - 3x > 2y - 1.

Cakto cila prej k[tyre jobarazimeve jan[jobarazime lineare me nj[ t[ panjohur:a) x2 + 6 > 5x; b) x + 2y < 5x + 1;

c) y - 2 < 3y; ]) x + 2 > 2x - 5.

Mbaj mend!

Jobarazimet f(x) < g(x) ose f(x) > g(x), te t[ cil[t ana e majt[ dhe e djatht[ jan[ shprehje t[ plotaracionale, sipas shkall[s t[ t[ panjohur[s mund t[ jen[: jobarazime t[ shkall[s s[ par[ (jobarazimelineare), jobarazim t[ shkall[s s[ dyt[ (jobarazime katrore), jobarazime t[ shkall[s s[ tret[(jobarazime kubike) etj.

9. Cakto i cil[s shkall[ [sht[ ]donj[ri prej jobarazimeve:a) 5x - 2 < x + 4; b) x2 - 2x < 6; c) x2y - 5 > 2x; ]) 2x + y < 7.

Kontrollohu!


Kujtohu!

ZGJIDHJA E JOBARAZIMIT. ITERVALET99999

Vlera e t[ panjohur[s p[r t[ cil[n barazimikalon n[ barazi t[ sakt[ numerike quhetzgjidhje (rr[nj[) e barazimit.

1.A Cakto p[r cilat vlera t[x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2} = D ]donj[ri prejjobarazimeve t[ dh[na kalon n[ joba-razi t[ sakt[ numerike:a) 3x + 1 > x - 1; c) 2x - 3 > x + 2.

b) 2x - 2 < x + 4;

Provo numri 2 a [sht[ zgjidhje e barazimit:a) 2x - 1 = x + 1; b) 3x - 5 = x + 3.

N[ c'menyr[ prej jobarazimeve dot[ fitosh jobarazi numerike?P[rpiqu q[ zgjidhjen e detyr[s taparaqesish me tabel[.

Duke z[v[nd[suar t[ panjohur[n x me vlerat e fush[s s[ p[rkufizimit D jobarazimin do tashnd[rroj n[ jobarazi numerike dhe do t[ konstatoj a [sht[ i sakt[ (T) ose jo i sakt[ (⊥).

Cakto zgjidhjen e barazimit:a) 3x - 1 = 2x + 3; b) 2x + 1 = 2x + 5.

Krahaso zgji-dhjen t[ndeme zgjidhjene dh[n[.

Vlera e xJobarazimi

3x + 1 > x - 1

2x - 2 < x + 4

2x - 3 > x + 2

-2

-5 > -3

⊥-6 < 2

T-7 > 0

⊥

-1

-2 > -2

⊥-4 < 3

T-5 > 1

⊥

0

1 > -1

T-2 < 4

T-3 > 2

⊥

1

4 > 0

T0 < 5

T-1 > 3

⊥

2

7 > 1

T2 < 6

T1 > 4

⊥

Prej tabel[s konstatove se:

jobarazimi 3x + 1 > x - 1 kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerike p[r x = 0, x = 1 dhe x = 2;

jobarazimi 2x - 1 < x + 4 kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerike p[r ]do vler[ t[ x nga fusha ep[rkufizimit D;

jobarazimi 2x - 3 > x + 2 nuk kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerike p[r asnj[ vler[ t[ x nga D.

}do vler[ e t[ panjohur[s p[r t[ cil[n jobarazimi kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerike quhet zgjidhjee jobarazimit.T[ gjitha zgjidhjet e nj[ jobarazimi f (x) < g (x) formojn[ nj[ bashk[si, e cila quhet bashk[sia ezgjidhjeve t[ jobarazimit dhe zakonisht sh[nohet me Z(f (x) < g(x)).P[r jobarazimin 3x + 1 > x - 1 nga detyra e m[sip[rme kemise Z(3x + 1 > x - 2) = {0, 1, 2}.


Krahaso zgjidhjen t[nde me t[ dh[nat n[ tabel[.

x

Jobarazimi

3x + 2 > 2x + 1

-1

3 ⋅ (-1) + 2 > 2 ⋅ (-1) + 1

⊥

0

3 ⋅ 0 + 2 > 2 ⋅ 0 + 1

T

1

3 ⋅ 1 + 2 > 2 ⋅ 1 + 1

T

2

3 ⋅ 2 + 2 > 2 ⋅ 2 + 1

T

2x - 3 > x - 42 ⋅ (-1) - 3 > -1 - 4

⊥2 ⋅ 0 - 3 > 0 - 4

T2 ⋅ 1 - 3 > 1 - 4

T2 ⋅ 2 - 3 > 2 -4

T

V[ren se Z(3x + 2 > 2x + 1) = {0, 1, 2}, Z(2x - 3 > x - 4) = {0, 1, 2}, d.m.th.Z(3x + 2 > 2x + 1) = Z(2x - 3 > x - 4). P[r jobarazimet e atilla thuhet se jan[ ekuivalente dhe shkruajm[3x + 2 > 2x + 1 ⇔ 2x - 3 > x - 4, x ∈ D.

Mbaj mend!

Dy jobarazime me bashk[si t[ nj[jt[ t[ p[rkufizimit jan[ ekuivalente n[ qoft[ se bashk[sit[ e zgjidhjevejan[ t[ barabarta.

5. Provo se jobarazimet: 3x - 1 > 2x + 1 dhe 2x + 3 < 3x + 1, a jan[ ekuivalente n[ bashk[sin[ D = {1, 2, 3, 4}.

2. Shkruaji zgjidhjet e jobarazimeve 2x - 2 < x + 4 dhe 2x - 3 > x + 2 nga detyra 1..

3. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit 2x - 3 < 3x - 2, n[ qoft[ se x ∈ {-3, -1, 1, 2, 3}.

Sigurisht caktove se bashk[sia e zgjidhjeve [sht[ Z(2x - 3 < 3x - 2) = {1, 2, 3}. Me t[ e zgjidhejobarazimin 2x - 3 < 3x -2.

Mbaj mend!

T[ zgjidhet jobarazimi do t[ thot[ t[ caktohet bashk[sia e zgjidhjeve t[ atij jobarazimi.

4. B Jan[ dh[n[ jobarazimet: 3x + 2 > 2x +1 dhe 2x - 3 > x - 4 me bashk[sin[e p[rkufizimit D = {-1, 0, 1, 2}.

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ dyjobarazimeve.Krahaso zgjidhjet e t[ dy jobarazimeve.}ka v[ren?

Kujtohu!

P[r dy barazime themi se jan[ ekuivalente n[qoft[ se kan[ bashk[si t[ barabarta t[zgjidhjeve.Provo a jan[ ekuivalente barazimet: 3x - 4 =2x - 1 dhe 2x - 5 = x - 2.


6. C {sht[ dh[n[ drejt[za numerike dhe n[t[ jan[ sh[nuar pikat A dhe B. PikaveA dhe B u jan[ shoq[ruar p[rkat[sishtnumrat 1 dhe 4.

Pse 2 [sht[ nd[rmjet 1 dhe 4? Pasi 2 ≈ 1,41, ai [sht[ djathtas prej 1, kursemajtas prej 4..

Cil[t numra natyror[ gjenden nd[rmjet 1 dhe 4?

BA

543210-1

Pasi pika A [sht[ n[ t[ majt[ t[ pik[s B, at[her[ p[r numrat e tyre p[rkat[se vlen: 1 < 4.

Cili prej numrave 32

; -3; 3 ; 2,8; 163

[sht[ nd[rmjet 1 dhe 4?

T[ gjith[ numrat real[ q[ gjenden nd[rmjet 1 dhe 4 formojn[ nj[ bashk[si,t[ quajtur interval me skaje1 dhe 4.

N[ p[rgjith[si

N[ qoft[ se a dhe b jan[ numra t[ dh[n[ real[ dhe a < b, at[her[ bashk[sia e t[ gjitha numravereal[ nd[rmjet a dhe b quhet interval, kurse numrat e dh[n[ a dhe b - skaje t[ atij intervali.

7. Shkruaj interval me skaje 3 dhe 5 dhe paraqite n[ drejt[z[n numerike:a) intervalin e mbyllur b) intervalin e hapur;c) interval i cili nuk e p[rmban ]) interval i cili nuk e p[rmban vet[m skajin e majt[; vet[m skajin e djatht[.

Krahaso zgjidhjen t[nde c) dhe ]).

N[ qoft[ se skajet a dhe b i takojn[ intervalit, at[her[ ai quhet interval i mbyllur.

Sh[nohet [a; b]

Paraqitet n[ drejt[z[n numerike:

c) (3; 5]53

( ]) [3; 5)53)

N[ qoft[ se skajet a dhe b nuk i takojn[ intervalit, at[her[ ai quhet interval i hapur.

Sh[nohet (a; b)

Paraqitet n[ drejt[z[n numerike:ba

( )O

ba[ ]O

] [

Interval paraqet edhe bashk[sia e t[ gjitha numrave reale q[ jan[:m[ t[ m[dhej se a; (a; +∝)

m[ t[ m[dhej ose t[ barabart[ me a; [a; +∝)

m[ t[ vegj[l se a; (-∝; a)

m[ t[ vegj[l ose t[ barabart[ me a; (-∝; a]


V[reve se bashk[sia e zgjidhjeve t[ jobarazimit x > -1 p[rb[het prej t[ gjitha numrave real[ prej -1deri n[ +∝, kurse ai [sht[ intervali (-1, +∝).

Mbaj mend!

Jobarazimet: x > a, x < a dhe 0 × x < a, ku a [sht[ num[r i dh[n[ real i sh[nuar n[ form[n ezgjidhur dhe quhen jobarazime themelore.

V[reji bashk[sit[ e zgjidhjeve t[ jobarazimeve t[ dh[na, n[ drejt[z[n numerike.

Jobarazimet x > -1 dhe x < 2 kan[ t[ ashtuquajtur form[ t[ zgjidhur; p[r jobarazimet e atillabashk[sia e zgjidhjeve mund t[ lexohet menj[her[, drejtp[rdrejt.

8. Shkruaje si interval, kurse pastaj paraqite n[ drejt[z[n numerike bashk[sin[ e t[ gjitha numravereal[:a) m[ t[ m[dhej ose t[ barabart[ se 2; b) m[ t[ vegj[l ose t[ barabart[ se 1.

V[re se nj[ri skaj i intervaleve [sht[ shenja +∝ ose -∝.

Intervali (a; +∝) lexohet: ,,a, plus pakufi". Intervali (-∝; a) lexohet: ,,minus pakufi, a".

Bashk[sia R mund t[ shkruhet si interval: (-∝; +∝).V[re se nuk kan[ kuptim shenjat: (3; -∝); [1; +∝]; (+∝; 4).

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.a) (2, +∝) b) (-∝, 1]

9. D Jan[ dh[n[ jobarazimet:a) x > -1; x ∈ R; b) x < 2; x ∈ R.

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[r[s prej jobarazimeve t[ dh[na.Paraqite ]donj[r[n prej atyre bashk[sive n[ drejt[z[n numerike.

Ndryshorja x te jobarazimi x > -1 duhett[ z[v[nd[sohet me ]far[do num[r real,m[ i madh se -1, dhe te jobarazimi x < 2,- me ]far[do num[r real q[ [sht[ m[ ivog[l se 2, q[ t[ fitohen jobarazi t[ saktanumerike.

Me cilat numra duhet t[z[v[nd[sohet x te jobarazimix > -1, dhe me cil[t te jobarazimix < 2, q[ t[ fitohen jobarazi t[sakta numerike?

0-1-2 21210 43( ]


Zgjidhe jobarazimin 0 ⋅ x < -5.

Pasi ]far[do num[r i shum[zuar me 0 [sht[ 0,kurse 0 nuk [sht[ m[ i vog[l se -5, jobarazimi0 ⋅ x < -5 nuk ka zgjidhje.

A ekziston num[r real i cili ishum[zuar me 0 e jep prodhi-min -5?

V[reji zgjidhjet e jobarazimit 0 ⋅ x < a:

Z(0 ⋅ x < a, p[r a < 0) = ∅ dhe Z(0 ⋅ x < a, p[r a > 0) = R.

12. Shkruaje bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit: x > -5; x < 4; 0 ⋅ x < -1; 0 ⋅ x < 3, mendihm[n e intervalit.

Zgjidhjet e jobarazimeve t[ llojit x ≥ a jan[ intervalet [a; +∞), kurse t[ jobarazimeve x ≤ a jan[intervalet (-∞; a].

13. Paraqite me interval dhe n[ drejt[z[n numerike bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit:a) x ≤ 3; b) x ≥ -2.

V[re se si zgjidhet detyra e k[tij lloji.

a) N[ qoft[ se x ≤ 3, at[her[ x ∈ (-∞; 3].

10.

Zgjidhe jobarazimin 0 ⋅ x < 5.11.

b) N[ qoft[ se x ≥ -2, at[her[ x ∈ [-2; +∞).

Duhet t[ dish:

t[ provosh cil[t prej vlerave jan[ zgjidhje t[jobarazimit t[ dh[n[; Provo a [sht[ Z(2x -1 > x + 1) = {2, 3, 4} n[

qoft[ se x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}t[ konstatosh dy jobarazime a jan[ ekuivalente;

14. Shkruaje bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit x ≤ -1 me ndihm[n e intervalit.

t[ sqarosh kur dy jobarazime jan[ ekuivalente;

ta paraqesish me intervale dhe n[ drejt[z[nnumerike bashk[sin[ e zgjidhjeve t[jobarazimit t[ dh[n[.

Konstato se jobarazimi 3x - 1 > x + 1 a [sht[ekuivalent me jobarazimin 4x - 1 > 3x, n[ qoft[se x ∈ {0, 1, 2, 3, 4} = D.

Paraqite me interval zgjidhjen e jobarazimit x < -3.

Kontrollohu!


Kujtohu! 1.AN[ bashk[sin[ D = {-2, -1, 0, 1, 2} [sht[dh[n[ jobarazimi 3x - 2 > 2x - 3.

Si do t[ konstatosh se jobarazimi idh[n[ a [sht[ ekuivalent me joba-razimin e fituar?

Do t'i caktoj bashk[sit[ e zgjidhjevet[ dy jobarazimeve dhe do t'i kra-hasoj ato.

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit t[dh[n[.

Shtoje n[ t[ dy an[t e jobarazimit shprehjen x -1 dhe provo jobarazimi i fituar a [sht[ ekuivalentme jobarazimin e dh[n[.

TEOREMAT P{R JOBARAZIMET EKUIVALENTE1010101010

P[r cil[t barazime thuhet se jan[ ekuivalente?

Provo a jan[ ekuivalente n[ bashk[sin[D = {1, 2, 3, 4} jobarazimet: 3x - 1 > x + 3 dhe2x - 1 > x + 1.

Si thot[ teorema 1 p[r barazimet ekuivalente?

Detyra

1. Te bashk[sia D = {-1, 0, 1, 2, 3} jan[ dh[n[jobarazimet:a) 3x + 1 > 2x + 1; b) 2x + 3 > x + 3.

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[rit prejjobarazimeve t[ dh[na.

2. Cakto cil[t prej k[tyre jobarazimeve jan[ekuivalente n[ bashk[sin[D = {-2, -1, 0, 1, 2}:

a) 3x - 2 > 2x - 3; c) 2x + 5 > x + 4.

b) 2x - 1 > x - 2;

3. Paraqite me interval bashk[sin[ e zgjidhjevet[ jobarazimit:a) x > -2; b) x < 0; c) x ≤ 1; ]) x ≥ -3.

4. Paraqite me interval dhe n[ drejt[z[nnumerike bashk[sin[ e zgjidhjeve t[jobarazimeve:a) x > -3; b) x < 2.

5. Paraqite me intervale dhe n[ drejt[z[nnumerike bashk[sin[ e zgjidhjeve t[jobarazimeve:a) x ≤ -2; b) x ≥ 1.

6. Cili prej k[tyre jobarazimeve nuk ka zgjidhje?Sqaro p[rgjigjen.a) x > 0; c) 0 ⋅ x > -2;

b) 0 ⋅ x < -1; ]) x < -5.



2 3 ⋅ 2 - 2 > 2 ⋅ 2 - 3 T 3 ⋅ 2 - 2 + 2 - 1 > 2 ⋅ 2 - 3 + 2 - 1 T

1 3 ⋅ 1 - 2 > 2 ⋅ 1 - 3 T 3 ⋅ 1 - 2 + 1 - 1 > 2 ⋅ 1 - 3 + 1 - 1 T

0 3 ⋅ 0 - 2 > 2 ⋅ 0 - 3 T 3 ⋅ 0 - 2 + 0 - 1 > 2 ⋅ 0 - 3 - 0 - 1 T

-1 3 ⋅ (-1) - 2 > 2 ⋅ (-1) - 3 ⊥ 3 ⋅ (-1) - 2 - 1 - 1 > 2 ⋅ (-1) - 3 - 1 - 1 ⊥

Vlerap[r x

Jobarazimi i dh[n[3x - 2 > 2x - 3

I sakt[jo i sakt[

Jobarazimi i fituar3x - 2 + x - 1 > 2x - 3 + x - 1

I sakt[jo i sakt[

-2 3 ⋅ (-2) - 2 > 2 ⋅ (-2) - 3 ⊥ 3 ⋅ (-2) - 2 - 2 - 1 > 2 ⋅ (-2) - 3 - 2 - 1 ⊥

Prej tabel[s v[reve se:Z(3x - 2 > 2x - 3) = {0, 1, 2} dhe Z(3x - 2 + x - 1 > 2x - 3 + x -1) = {0, 1, 2},

p[rkat[sisht duke shtuar shprehjen x + 1 n[ t[ dy an[t e jobarazimit 3x - 2 > 2x - 3 fitojm[jobarazim 3x - 2 + x - 1 > 2x - 3 + x - 1, ekuivalent me jobarazimin e dh[n[.

Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r jobarazimet. Prandaj mund ta shprehim k[t[ teorem[ p[r shtimin e numritose shprehjes n[ t[ dy an[t e jobarazimit.

Teorema 1

N[ qoft[ se n[ t[ dy an[t e jobarazimit f (x) > g (x) shtohet numri i nj[jt[ ose shprehje racionaleh(x), q[ [sht[ e p[rcaktuar p[r ]do x nga bashk[sia e p[rkufizimit, fitohet jobarazim ekuivalentme jobarazimin e dh[n[, d.m.th.

f (x) > g(x) ⇔ f (x) + h(x) > g(x) + h(x).

2. A jan[ ekuivalent k[to dy jobarazime:a) 5x + 1 > 4x + 3 dhe 5x + 1 + 3x > 4x + 3 + 3x;b) 2x - 5 > x - 2 dhe 2x - 5 + 5x - 1 > x - 2 + 5x - 1;c) 3x - 1 < x + 2 dhe 3x - 1 - 4x < x + 2 - 4x?Sqaro p[rgjigjen.

B 3. Jobarazimin 4x - 1 < 3x + 2 sille n[ jobarazim t[ form[s s[ zgjidhur.

Cil[n shprehje mund ta shtojsh n[ t[ dy an[te jobarazimit q[ ta sjellish n[ form[n ezgjidhur?

N[ t[ dy an[t e jobarazimitmund ta shtoj shprehjen-3x + 1.



Sipas teorem[s 1 kemi:4x - 1 < 3x + 2 ⇔ 4x - 1 - 3x + 1 < 3x + 2 - 3x + 1 ⇔ 4x -3x < 2 + 1 ⇔ x < 3.

Prej 4x - 1 < 3x + 2 ⇔ 4x - 3x < 2 + 1 mund t[ v[resh se: an[tari 3x [sht[ bart prej an[s s[djatht[ n[ an[n e majt[, por me shenj[ t[ kund[rt, kurse an[tari 1 [sht[ bart prej an[s s[ majt[ n[ an[ne djatht[, gjithashtu me shenj[ t[ kund[rt.

Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r jobarazimet. Prandaj, mund ta shprehim k[t[ pasoj[ 1 nga teorema 1:

}do an[tar i nj[ jobarazimi mund t[ bartet prej nj[r[s an[ n[ an[n tjet[r, me shenj[ t[ kund[rt.P

1

Me zbatimin e teorem[s 1 mund t[ kryejsh transformacione ekuivalente t[ jobarazimeve, me t[ cil[ndo t'i sjellish deri n[ jobarazime t[ zakonshme, ekuivalente me ato. V[reje at[ n[ k[t[ detyr[.

4. Transformoe n[ jobarazim n[ form[n e zgjidhur 4x - 1 > 3x + 2.

Paraqite zgjidhjen e jobarazimit me interval.

Zbato rrjedhimin 1 dhe grupoji t[panjohurat n[ an[n e majt[, kurset[ njohurat n[ an[n e djatht[.

Sipas rrjedhimit 1 vlen:4x - 1 > 3x + 2 ⇔ 4x - 3x > 2 + 1⇔⇔ x > 3, kurse Z(4x - 1 > 3x + 2) =

= (3; +∝).

5. {sht[ dh[n[ jobarazimi 3x - 5 > x - 3. Transformo jobarazimin n[ form[n e zgjidhur.Paraqite zgjidhjen n[ jobarazim me interval.

6. Provo jobarazimet 3x - 2 + 4x < x + 1 + 4x dhe 3x - 2 < x + 1, t[ p[rkufizuar n[ bashk[sin[ D = {0, 1, 2, 3, 4} a jan[ ekuivalente.

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ dyjobarazimeve dhe provo a jan[ekuivalente.

Z(3x - 2 + 4x < x + 1 + 4x) = {0, 1, 2};Z(3x - 2 < x + 1) = {0, 1, 2},pra jobarazimet e dh[na jan[ekuivalente.

V[ren se n[ t[ dy an[t e jobarazimit t[ par[ kan[ an[tar t[ nj[jt[ 4x. Me eleminimin e 4x nga t[ dyan[t [sht[ fituar jobarazimi 3x - 2 < x + 1, ekuivalent me jobarazimin e par[.

Sqaro se si do ta zbatosh teorem[n 1 q[ t[ tregosh se an[tari 4x i cili gjendet n[ t[ dy an[t e jobarazimitmund ta eleminosh dhe t[ fitosh jobarazim ekuivalent me jobarazimin e dh[n[.


Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r jobarazimet. Prandaj mund ta shprehim edhe nj[ pasoj[ nga teorema 1:

N[ qoft[ se n[ an[t e ndryshme t[ jobarazimit ka an[tar t[ barabart[, at[her[ mund t[eleminohen.

P

2

7. Transformo n[ form[n e zgjidhur jobarazimin 4x - 2 - 5x < 3x - 1 - 5x.

8. C {sht[ dh[n[ jobarazimi 3x - 1 > 2x + 1 me D = {1, 2, 3, 4, 5}.

Shum[zoi t[ dy an[t e jobarazimit me 2.Provo jobarazimi i fituar a [sht[ ekuivalent me jobarazimin e dh[n[.

V[re n[ tabel[ zgjidhjen e detyr[s.

Vlera e xJobarazimi

3x - 1 > 2x + 1

6x - 2 > 4x + 2

1

2 > 3

⊥4 > 6

⊥

2

5 > 5

⊥10 > 10

⊥

3

8 > 7

T16 > 14

T

4

11 > 9

T22 > 18

T

5

14 > 11

T28 > 22

T

Prej tabel[s mund t[ v[resh se Z(3x - 1 > 2x + 1) = {3, 4, 5} dhe Z(6x - 2 > 4x + 2) = = {3, 4, 5},d.m.th. 3x - 1 > 2x + 1 ⇔ 6x - 2 > 4x + 2.

Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r jobarazimet, vet[m n[ qoft[ se numri me t[ cilin shum[zohen t[ dy an[t ejobarazimit [sht[ pozitiv. Prandaj, mund ta shprehim k[t[ teorem[ p[r shum[zimin e jobarazimit menum[r pozitiv:

Teorema 2

N[ qoft[ se t[ dy an[t e nj[ jobarazimi f (x) > g(x) shum[zohen me nj[ num[r a > 0, at[her[fitohet jobarazim ekuivalent me jobarazimin e dh[n[, d.m.th.

f (x) > g(x) ⇔ a ⋅ f (x) > a ⋅ g(x) p[r a > 0..

9. Sqaro pse jobarazimet jan[ ekuivalente: 3x - 2 < 2x - 3 dhe 9x - 6 < 6x - 9.

10. {sht[ dh[n[ jobarazimi 4x - 8 < 12 - 8x, te i cili jan[ krye k[to transformacione ekuivalente:

x x⋅ - ⋅ < ⋅ - ⋅1 1 1 14 8 12 84 4 4 4

⇔ x - 2 < 3 - 2x;

4x : 4 - 8 : 4 < 12 : 4 - 8x : 4 ⇔ x - 2 < 3 - 2x.

Sqaro cil[t transformacione jan[ krye te jobarazimi 4x - 8 < 12 - 8x.

Krahasoi jobarazimet e fituara. }ka v[ren?


Shum[zoi t[ dy an[t e ]donj[rit nga jobarazimet e dh[na me -2.Provo jobarazit[ numerike t[ fituara a jan[ t[ sakta. }ka v[ren?


7 > 4; -2 ⋅ 7 > -2 ⋅ 4, -14 > -8 jobarazi numerike jo e sakt[.-5 < -3, -2 ⋅ (-5) < -2 ⋅ (-3), 10 < 6 jobarazi numerike jo e sakt[. 1 > -4, -2 ⋅ 1 > -2 ⋅ (-4), -2 > 8 jobarazi numerike jo e sakt[.

V[reve se: n[ qoft[ se t[ dy an[t e jobarazimit 4x - 8 < 12 - 8x shum[zohen me 14

, at[her[ [sht[

krye transformacioni i nj[jt[ sikurse t[ dy an[t e atij jobarazimi t[ pjes[tohen me 4. Mund t[ jepet kyrrjedhim i teorem[s 2.

N[ qoft[ se t[ dy an[t e jobarazimit kan[ shum[zues pozitiv t[ p[rbashk[t, at[her[ t[ dy an[te jobarazimit mund t[ pjes[tohen me at[ vler[ dhe n[ at[ rast fitohet jobarazim i ri ekuvalentme te parin.

P

1

11. {sht[ dh[n[ jobarazimi 10x - 25 < 5x + 15. Transformo k[t[ jobarazim n[ jobarazim t[ zakonsh[mme zbatimin e rrjedhimit 1.

12. {sht[ dh[n[ jobarazimi x x+ > -3 1 5 14 2 8 4

. Me cilin num[r mund t'i shum[zosh t[ dy an[t e

jobarazimit, q[ t[ fitosh jobarazim pa em[ruesa?


SHVP(4, 2, 8) = 8; x x x x⋅ + ⋅ > ⋅ - ⋅ + > -3 1 5 18 8 8 8 6 4 5 24 2 8 4

.

Transformimi i jobarazimit x x+ > -3 1 5 14 2 8 4

[sht[ krye n[ baz[ t[ teorem[s 2. V[re se mund t[

shprehet ky rrjedhi i T2.

Jobarazimi me koeficient thyes mund t[ transformohet n[ jobarazim ekuvalent me koeficientnumra t[ plot[, n[se shum[zohen t[ dy an[t e jobarazimit me shumefishin m[ t[ vog[l t[p[rbashk[t t[ emrues[ve t[ atyre koeficient[ve

P

2

13. Transformo n[ jobarazim me koeficient t[ plot[ numerik jobarazimin x x- > +1 1 5 13 2 6 2 .

14. Jan[ dh[n[ jobarazit[ e sakta numerike: 7 > 4, -5 < -3 dhe 1 > -4.


Q[ t[ fitohet jobarazi t[ sakt[ numerike, [sht[ e nevojshme t[ ndryshon shenja e jobarazis[, d.m.th. -14 > -8 t[ z[v[nd[sohet me -14 < -8, 10 < 6 t[ z[v[nd[sohet me 10 > 6 dhe-2 > 8 t[ z[v[nd[sohet me -2 < 8.Kjo vlen p[r ]far[do numra real[ a, b dhe c.

P[r shenjat te jobarazit[ 3 < 5 dhe 2 > -1 themi se kan[ kahe t[ kund[rta.Prandaj, p[r jobarazimet mund ta parashtrojm[ k[t[ teorem[:

Teorema 3

N[ qoft[ se t[ dy an[t e jobarazimit f (x) > g(x) shum[zohen ose pjes[tohen me nj[ num[r t[nj[jt[ negativ c dhe poashtu shenja e jobarazimit z[vend[sohet me shenj[n e kund[rt, at[her[,do t[ fitohet jobarazim ekuivalent me jobarazimin e dh[n[, d.m.th. p[r c < 0:

f (x) > g(x) ⇔ c ⋅ f (x) < c ⋅ g(x).

15. Transformo n[ form[n e zgjidhur jobarazimin 2x - 7 > 5x - 1.

Zbatoje pasoj[n 1 nga teorema 1,pasoj[n 1 nga teorema 2 dheteorema 3.

2x - 7 > 5x - 1 ⇔ 2x - 5x > -1 + 7

⇔ -3x > 6 ⇔ -x > 2 ⇔ x < -2,

d.m.th.Z(2x - 7 > 5x - 1) = (-∞, - 2).

Duhet t[ dish:

t'i shprehish edhe rrjedhimet e tyre p[rjobarazimet ekuivalente; Sqaro pse jobarazimet jan[ ekuivalente:t'i zbatosh teoremat dhe rrjedhimet p[rjobarazimet ekuivalente lineare n[ detyra.

Detyra

1. K[to jobarazime transformoji n[ form[n ezgjidhur.

2x - 5 < x - 3 dhe 2x - 5 - x < x - 3 - x;

23

x - 1 < 12

x + 2 dhe 4x - 6 < 3x + 12;

-5x + 3 < -3x - 1 dhe 5x - 3 > 3x + 1.

a) 3x - 1 < 2x + 1; b) 4x - 3 > 3x - 1.

2. Te jobarazimi 2x - 3 - 5x < x - 1 - 5x eleminody an[tar ashtu q[ t[ fitosh jobarazimekuivalent me jobarazimin e dh[n[.

V[re v[rtetimin e pohimit.{sht[ dh[n[: a > b dhe c < 0.Duhet t[ v[rtetohet: a ⋅ c < b ⋅ c.

a ⋅ c - b ⋅ c = (a - b) ⋅ c; pasi c < 0 dhe a - b > 0 (pse a > b), vijon se prodhimi (a - b) ⋅ c[sht[ negativ, d.m.th. a ⋅ c - b ⋅ c < 0; a ⋅ c < b ⋅ c.

N[ qoft[ se a > b dhe c < 0, at[her[ a ⋅ c < b ⋅ c, por n[ qoft[ se a < b dhe c < 0, at[her[ a ⋅ c > b ⋅ c.

Kontrollohu!


Kujtohu!

5. Jobarazimin 3x - 5 < 4x - 3 transformo n[jobarazim n[ form[n e zgjidhur.

Paraqite zgjidhjen e jobarazimit me inter-val.

6. Sqaroi k[to ekuivalenca:

a) -5x + 1 > 2x - 3 ⇔ 5x - 1 < -2x + 3;

b) 4x - 2 < 3x + 1 ⇔ -4x + 2 > -3x - 1.

ZGJIDHJA E JOBARAZIMEVE LINEAREME NJ{ T{ PANJOHUR

1111111111

Cakto cili prej k[tyre jobarazimeve jan[jobarazime lineare me nj[ t[ panjohur:

1.A Zgjidhe jobarazimin 4x - 3 > 2x + 1.Paraqite zgjidhjen me interval n[drejt[z[n numerike.

x2 + 6 > 4x;

Transformo n[ form[n e zgjidhur k[t[jobarazim 5x - 3 > 3x + 1.

3x - 1 < 2x + 3;

x + 5 > 3x -1; x + 2y < 3 - x.


4x - 3 > 2x + 1 ⇔ 4x - 2x > 1 + 3 (sipas P1 t[ T1)

4x - 2x > 1 + 3 ⇔ 2x > 4 (sjellja e t[ dy an[ve t[ jobarazimit)2x > 4 ⇔ x > 2 (pjes[timi i jobarazimit sipas P1 t[ T2)Z(4x - 3 > 2x + 1) = Z(x > 2) = (2; +∝).

2. Zgjidhi k[to jobarazime: a) x - 4 > 8 - 3x; b) 3x - 5 < -x + 3.

3. {sht[ dh[n[ zgjidhja e jobarazimit 3(2x - 1) £ -(9 - 8x). Sqaro ]do transformacion ekuivalent t[zbatuar gjat[ zgjidhjes.3(2x - 1) ≤ -(9 - 8x) ⇔ 6x - 3 ≤ -9 + 8x ⇔ 6x - 8x ≤ -9 + 3 ⇔ -2x ≤ -6 ⇔ -x ≤ -3

⇔ x ≥ 3; Z(3(2x - 1) ≤ -(9 - 8x)) = Z(x ≥ 3) = [3, +∝).

Si do ta sjellish jobarazimin e dh[n[n[ form[n e zgjidhur?

Do t[ zbatoj pasoj[n 1 nga teorema1 dhe pasoj[n 1 nga teorema 2.

Jobarazime jan[ edhe:f (x) ≤ g(x); f (x) ≥ g(x);

3. K[t[ jobarazim transformoe n[ jobarazimekuivalent pa em[ruesa:

a) x+1

2 <

x4

+ 1; b) x+3 26

< x-1

3 - 1.

4. Jobarazimin x2

- 1 < x3

+ 1, sille n[

jobarazim n[ form[n e zgjidhur.


5. Zgjidhe jobarazimin x x- +- <

2 1 1 13 2 6

.

Si do t[ lirohesh prej em[ruesave tejobarazimi i dh[n[?

T[ dy an[t e jobarazimit do t'i shu-m[zoj me SHVP(3,2,6)=6.

x x- +

- <2 1 1 1

3 2 6 ⇔ 2(2x - 1) -3 ⋅ 1 < x + 1 ⇔ 4x - 2 - 3 < x + 1 ⇔ 4x - x < 1 + 2 + 3

⇔ 3x < 6 ⇔ x < 2.

Z(x x- +

- <2 1 1 1

3 2 6) = Z(x < 2) = (-∝; 2), d.m.th. x ∈ (-∝; 2).


6. Zgjidhe jobarazimin x x- -- >

1 1 2 33 6 4

.

Duhet t[ dish:

t[ zgjidhish jobarazim linear me nj[ t[panjohur;

Zgjidhe k[t[ jobarazim:2(x - 3) ≤ -(9 - 5x).

t[ provosh intervalin e dh[n[ a [sht[ zgjidhjee jobarazimit t[ dh[n[;

Detyra

1. Zgjidhi k[to jobarazime:a) 5x - 2 > 3x + 4; b) 2x - 7 < 5x + 2.

t[ formosh jobarazim p[r detyr[n e dh[n[ t[p[rshkruar me fjal[.

P[r cilat vlera t[ x shprehja 2x - 4 [sht[ pozi-tive?Zgjidhe jobarazimin:

x x x- + -- <

3 1 2 1 3 12 3 6 .

2. Zgjidhi k[to jobarazime:a) 2x - 3(x - 1) ≤ -(5 - x);

b) 3x - 2(x + 3) ≥ -3(4 - x);

3. Provo se intervali (-3; +∝) a [sht[ zgjidhje e

jobarazimit: x x+ -<

5 4 44 2

.

4. Zgjidhi k[to jobarazime:

a) x x- +- <

3 5 2 1 02 3

;

b) x x- +

- < -3 11 2

3 2

5. Cakto p[r cilat vlera t[ x shprehja

x x- +-

9 32 4 ka vler[ pozitive.

Gjat[sia e nj[ drejtk[nd[shi [sht[ p[r 3 cmm[ e madhe se gjer[sia. Sa duhet t[ jet[gjat[sia e drejtk[nd[shit q[ t[ jet[ perimetrim[ i vog[l p[r 54 cm?

6.

4. Zgjidhe jobarazimin 2x - (3 - x) ≥ 5x - 1.

Kontrollohu!


Kujtohu!

3x + 1 > 2x - 1 4x - 1 < 3x + 2

⇔ 3x - 2x > -1 - 1 ⇔ 4x - 3x < 2 + 1

⇔ x > -2 ⇔ x < 3

Z(3x + 1 > 2x - 1) = (-2; +∝) Z(4x - 1 < 3x + 2) = (-∝; 3)

ZGJIDHJA E SISTEMIT T{ JOBARAZIMEVELINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR

1212121212

}do vler[ e t[ panjohur[s p[r t[ cil[njobarazimi kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerikequhet zgjidhje e jobarazimit.

1.A Jan[ dh[n[ jobarazimet:3x + 1 > 2x - 1 dhe 4x - 1 < 3x + 2.

Provo x = 3 a [sht[ zgjidhje e jobarazimit3x - 1 > 2x - 3.

Zgjidhi jobarazimet e dh[na.

Si do t[ konstatosh jobarazimet edh[na a kan[ zgjidhje t[ p[rbash-k[ta?

SISTEMI I JOBARAZIMEVE LINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR

T[ gjitha zgjidhjet e nj[ jobarazimi formojn[bashk[si e cila quhet bashk[si e zgjidhjeve t[atij jobarazimi.Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit5x - 2 < 3x + 4.

Paraqite bashk[sin[ e zgjidhjeve t[]donj[rit prej jobarazimeve me intervaldhe n[ drejt[z[n e nj[jt[ numerike.


Konstato se jobarazimet e dh[na a kan[zgjidhje t[ p[rbashk[ta.

Jobarazimet e dh[na do t'i sjell[ deri te forma e zgjidhur, pastaj zgjidhjet do t'i paraqes meinterval dhe n[ t[ nj[jt[n drejt[z numerike, prej ku do t[ v[rej prerjen e bashk[sis[ s[zgjidhjeve t[ tyre.

N[ drejt[z[n numerike n[ p[rgjith[si mund t[ v[resh se numrat q[ i takojn[ intervalit (-2, 3) jan[zgjidhje edhe t[ nj[rit jobarazim edhe t[ joabrazimit tjet[r. P[r dy jobarazime t[ dh[na themi seformojn[ sistem t[ dy jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur.

Z(3x + 1 > 2x - 1) ∩ Z(4x - 1 < 3x + 2)

Sistemi i jobarazimeve lineare me një të panjohur 101

V[re hapat gjat[ v[rtetimit.

B

Sille sistemin e dh[n[ n[ form[n normale.

Mbaj mend!

P[r dy ose m[ shum[ jobarazime lineare me t[ panjohur[n e nj[jt[, p[r t[ cilat k[rkohen zgjidhjet ep[rbashk[ta, thuhet se formojn[ sistem t[ jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur.

2. {sht[ dh[n[ sistemi i jobarazimeve .

x xx x

ì - < +ïïíï - > +ïî

3 1 2 35 3 2 9

T[ gjitha vlerat e t[ panjohur[s x q[ jan[ zgjidhje t[ p[rbashk[ta t[ jobarazimeve t[ sistemit,p[rkat[sisht prerja e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ jobarazimeve nga sistemi, quhet bashk[si e zgjidhjevet[ jobarazimeve t[ sistemit dhe sh[nohet me Zs, d.m.th.Zs

= Z(ax > b) ∩ Z(a1x > b1).

Shkruaje me interval bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ sistemit t[ dh[n[.

}do sistem prej dy jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur mund t[ sillet n[ form[n normale, sip[r shembull:

ax ba x b

ì >ïïíï >ïî 1 1(a, b, a

1, b

1 ∈ R).

Cakto zgjidhjet e p[rbashk[ta t[ jobarazimeve t[ sistemit n[ drejt[z[n numerike.

Dy sisteme t[ p[rkufizuara n[ bashk[sin[ e nj[jt[ jan[ ekuivalente n[ qoft[ se kan[ bashk[si t[zgjidhjeve t[ barabarta.

3. {sht[ dh[n[ sistemi i jobarazimeve lineare ax ba x b

ì >ïïíï >ïî 1 1 dhe jobarazimi a2x > b2 q[ [sht[

ekuivalent me ax > b.

V[rteto se sistemi i jobarazimeve ax ba x b

ì >ïïíï >ïî 1 1 [sht[ ekuivalent me sistemin

.a x ba x b

ì >ïïíï >ïî

2 2

1 1

1 Zgjidhja e sistemit t[ jobarazimeve ax ba x b

ì >ïïíï >ïî 1 1 [sht[ Zs

= Z(ax > b) ∩ Z(a1x > b1).

2 Prej ax > b ⇔ a2x > b

2 vijon Z(ax > b) = Z(a2x > b2).

3 Zgjidhja e sistemit a x ba x b

ì >ïïíï >ïî

2 2

1 1

[sht[ Zs = Z(a2x > b2) ∩ Z(a1x > b1).

4 Prej Z(ax > b) = Z(a2x > b2) vijon se Z(a2x > b2) ∩ Z(a1x > b1) = Z(ax > b) ∩ Z(a1x > b1),

d.m.th. ax ba x b

ì >ïïíï >ïî 1 1

⇔ .

a x ba x b

ì >ïïíï >ïî

2 2

1 1


Me k[t[ v[rtetuam se vlen:

Teorema 1

N[ qoft[ se n[ nj[ sistem t[ jobarazimeve z[v[nd[sohet cilido jobarazim me jobaraziminekuivalent me t[, fitohet sistemi i jobarazimeve ekuivalent me sistemin e dh[n[.

4. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve .

x

x x

ì +ïï - <ïïïíï +ï < -ïïïî

2 3 03

1 14 2

Zgjidhjen e sistemit paraqite me interval t[boshtit numerik.

S[ pari, jobarazimet e sistemit do t'itransformojm[ n[ form[n e zgjidhur,pastaj do t[ caktoj prerjen e bashk[siveq[ jan[ zgjidhje e jobarazimeve t[sistemit.

N[ ]far[ forme duhet t'i sjellishjobarazimet e sistemit dhe si dota caktosh zgjidhjen e tij?


x

x x

ì +ïï - <ïïïíï +ï < -ïïïî

2 3 03

1 14 2

xx x

ì + - <ïïíï + < -ïî

2 9 01 4 2

xx x

ì <- +ïïíï + < -ïî

2 92 4 1

xx

ì <ïïíï <ïî

73 3

xx

ì <ïïíï <ïî

71 .

Zs = (-∝; 7) ∩ (-∝; 1) = (-∝; 1)

5. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve

x x

x x .

ì + -ïï - >ïïïíï -ï + <ïïïî

2 1 113 6

3 1 14 2

Zgjidhjen e sistemit paraqite me inter-val t[ boshtit numerik.

Sistemi nuk do t[ ket[ zgjidhje n[qoft[ se prerja e bashk[sive t[zgjidhjeve t[ dy jobarazimeve [sht[bashk[si e zbraz[t.

Kur sistemi prej dy jobarazimevelineare mund t[ mos ket[ zgjidhje?

Zs = Z(x < 7) ∩ Z(x < 1) = (-∝; 1)

Sistemi i jobarazimeve lineare me një të panjohur 103

Mbaj mend!

N[ qoft[ se bashk[sia e zgjidhjeve t[ dy jobarazimeve [sht[ bashk[si e zbraz[t, at[her[ thuhet sesistemi nuk ka zgjidhje ose sistemi [sht[ kund[rth[n[s.

6. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve:

x x

x x

ì - -ïï <ïïïíï - +ï <ïïïî

1 52 4

2 1 22 3

Duhet t[ dish:

t[ zgjidhish sistemin e jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur;

Zgjidhe sistemin e jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur: .

x

x x

ì +ïï - <ïïïíï +ï + >ïïïî

2 1 03

1 12 4

n[ drejt[z[n numerike dhe me interval ta paraqesish bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ sistemit t[jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohu

Cila [sht[ zgjidhje e sistemit t[ jobarazimeve me nj[ t[ panjohur: ax ba x b

ì >ïïíï >ïî 1 1 n[ qoft[ se

Z(ax > b) = (-∝, -1) dhe Z(a1x > b

1) = (0, +∝)?

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.x x

x x

ì + -ïï - >ïïïíï -ï + <ïïïî

2 1 113 6

3 1 14 2

x xx x

ì + - > -ïïíï - + <ïî

4 2 6 13 1 4 2

x xx x

ì - >- - +ïïíï - < -ïî

4 1 2 63 2 1 4

xx

ì >ïïíï <-ïî

3 33

xx

ì >ïïíï <-ïî

13 .

Z(x > 1) = (1; +∞), Z(x < -3) = (-∞; -3); Zs = Z(x > 1) ∩ Z(x < -3) = ∅.

Kontrollohu!


Kujtohu!

3. Zgjidhe sistemin:

a) ( ) ( )( ) ( )x x x

x xì - > + -ïïíï - - < -ïî

3 2 2 3 22 2 5 1 3 1

b) ( ) ( )

( ) ( ).x x x

x xì - - > - +ïïíï - >- -ïî

5 2 2 12 1 5


a) ( ) ( )( ) ( ) ;

x x xx x x x

ìï + - > +ïíï + - - <ïî

22 3 22 1 2 1 4

b)

( ) ( ) ( )

.

x x xx x x

ìï - + - > - -ïïïí - - -ï + > +ïïïî

2 2 21 2 2 3 11 1 2 1 92 3 3 6

Detyra


a) ;

x xx x

ì - >-ïïíï + >ïî

6 3 29 6 3

b) .

x xx x

ì - > -ïïíï + > +ïî

3 2 2 52 2 3


a);

x x

x x

ìïï - < +ïïïíï + -ï - >ïïïî

2 72 32 3 21

4 3

b).

x x x

x x

ì - +ïï - < -ïïïíï -ï - >ïïïî

2 1 13 2 6 2

1 22 6 3

FUNKSIONI LINEAR13131313131.A N[ nj[ en[ q[ nxen 35 l ka 5 l uj[. Nj[

gyp hedh[ n[ en[ nga 3l uj[ n[ minut[.

Sa litra uj[ do t[ ket[ n[ en[ pas: 1 minut[;2 minuta; 2,5 minuta; 5 minuta; 10 minuta?

FUNKSIONI LINEAR

P[rpjes[timi i drejt[ dhe i zhdrejt[ jan[ fun-ksione. Ato zakonisht jepen me formula.

Sa litra uj[ (y) do t[ ket[ n[ en[ pas (x)minuta?B[je tabel[n me t[ dh[nat e detyr[s.

Cili p[rpjes[tim [sht[ shprehur me formul[ny = 2x?Cili p[rpjes[tim [sht[ shprehur me formul[n

yx

=1 ?

P[r x = 1 minut[, y = 3 ⋅ 1 + 5 = 8 ;p[r x = 2 minuta, y = 3 ⋅ 2 + 5 = 11 .

Si do ta njehsosh sa uj[ ka n[ en[p[r x = 1 minuta, kurse sa p[r x = 2minuta?

Funksioni linear 105

V[reve se pas x minuta n[ en[ do t[ ket[ 3x + 5 litra uj[, d.m.th. y = 3x + 5.V[re se procesi i mbushjes s[ en[s me uj[ mund t[ p[rshkruhet si funksion f t[ dh[n[ me formul[f(x) = 3x + 5.Sipas formul[s mund t[ formosh tabel[ dhe p[r vlera tjera t[ x (koha), p[rve] t[ dh[nave tjera..

f(x) = 3x + 5

x

8

1

9,5

1,5

11

2

12,5

2,5

14

3

20

5

32

9

35

10 Pas sa minuta ena do t[ mbushet meuj[?

V[ren se, sipas natyr[s s[ problemit, koha x mund t[ ndryshon prej 0 deri m[ 10 minuta.

N[ qoft[ se e shqyrton vet[m formul[n f(x) = 3x + 5, at[her[ x mund t[ jet[ ]far[do num[r real.

}do numri real x i shoq[rohet num[r real i caktuar y, i atill[ q[ y = f(x).Me formul[n f(x) = 3x + 5 [sht[ dh[n[ funksioni f n[ bashk[sin[ R dhe paraqet shembull p[rfunksion linear.

V[re dhe mbaj mend!

Funksioni f q[ [sht[ dh[n[ me formul[n f(x) = kx + n, ku k dhe n jan[ ]far[do numra t[ dh[n[real[, quhet funksion linear.

2. Shkruaje funksionin linear p[r t[ cilin:a) k = 3 dhe n = 5; c) k = -2 dhe n = -1;b) k = 2 dhe n = -3; ]) k = 5 dhe n = 0.

Numri k quhet koeficienti para argumentit x, kurse n an[tari i lir[.

N[ qoft[ se funksioni linear [sht[ dh[n[ me formul[ dhe n[ qoft[ se nuk [sht[ th[n[ asgj[ p[rfush[n e p[rkufizimit, at[her[ do t[ llogarisim se fusha e p[rkufizimit t[ atij funksioni [sht[ R.

N[ qoft[ se k = 5 dhe n = 0, at[her[funksioni e mer form[n f(x) = 5x.Ai [sht[ p[rpjes[tim i drejt[.

}far[ forme ka funksioni te i cilik = 5 dhe n = 0 nga detyra 2?}far[ p[rpjes[timi paraqet funksioni?

koeficienti para argumentit [sht[ 4, kurse an[tari i lir[ 2;3. Shkruaje funksionin linear te i cili:

koeficienti para argumentit [sht[ -3, kurse an[tari i lir[ 1;koeficienti para argumentit [sht[ -2, kurse an[tari i lir[ 0.


6. Cakto zeron e funksionit: a) y = -3x + 6; b) y = 2x - 1.

Krahaso zgjidhjen t[nde p[r funksionin a).a) Vlera e funksionit y = -3x + 6 [sht[ zero n[ qoft[ se: -3x + 6 = 0; -3x = -6; 3x = 6; x = 2, d.m.th.numri 2 [sht[ zero e funksionit y = -3x + 6.

Q[ t[ jet[ y = 0, duhet kx + n = 0. Prej

k[tu kx = -n, kurse nxk

=- , p[r k ≠ 0.

Si do ta caktosh x te funksioni y = kx + n q[ t[ jet[ y = 0?

7. Cakto zeron e ]donj[rit prej funksioneve:

a) y = x - 5; b) y = 5x - 3; c) y = -3x; ]) y x= -1 22

.

Duhet t[ dish:

t[ p[rkufizosh funksion linear;

t[ caktosh koeficientin dhe an[tarin e lir[ tefunksioni linear;

t[ caktosh zeron e funksionit linear.

Mbaj mend!

Vlera e argumentit x p[r t[ cil[n vlera e funksionit y [sht[ zero, quhet zero e funksionit.

5. Provo se numir -3 a [sht[ zero e funksionit f(x) = x + 3.

P[r cil[n vler[ t[ argumentit x, vleraf(x) e funksionit [sht[ zero?

P[r x = 2 fitohet f(x) = 2 - 2, d.m.th.f(x) = 0, p[r x = 2.

V[re se, te funksionet e dh[na, n[ vend t[ f(x) q[ndron y. K[shtu do t'i shkruajm[ funksionet linearep[r m[ tutje.

4. {sht[ dh[n[ funksioni linear f(x) = x - 2. Cakto:

f (-2); f (0); f (2).

B

Cili prej k[tyre funksioneve [sht[ funksion li-near?

a) y = 6x; b) yx

=6

; c) y = 2x2 - 1;

]) y = -2x + 1; d) y = x + 3.

Cakto zeron e funksionit y = -2x - 6.

Kontrollohu!


Kujtohu!

Detyra

1. Cakto cili prej k[tyre funksioneve [sht[ li-near:

a) yx

=12

; b) y = x2 - 1; c) y = 3x;

]) y = -2x + 3; d) y x= +1 22

.

2. Shkruaje funksionin linear te i cili:a) k = -2, n = 3; b) k = -1, n = 2;

c) k = -2, n = 0; ]) k =12

, n=14

.

3. Cakto koeficientin para argumentit dhean[tarin e lir[ te funksioni:a) y = 2x - 3; b) y = 2x;

c) y x=- +1 33

; ]) y x=-12 .

4. Cakto zeron e funksionit:

a) y = 3x - 6; b) y x= -1 12 4

;

c) y = 2x - 5; ]) y = 2x.

5. Zero e funksionit y = kx + n [sht[ x = 2,kurse n = -3. Cakto koeficentin paraargumentit.

6. P[r funksionin y = kx + n, x = -2 [sht[ zero efunksionit, kurse an[tari i lir[ [sht[ p[r 3 m[ imadh se koeficienti para argumentit. Cakto kdhe n.

PARAQITJA GRAFIKE E FUNKSIONIT LINEAR14141414141.A N[p[r pikat O dhe A n[ vizatim [sht[

t[rhequr drejt[z.Trego se ajo drejt[z [sht[ grafiku i fun-ksionit y = 2x.

N[ vizatim [sht[ dh[n[ sistemi k[nddrejtkoordinativ Oxy.

Cakto koordinatat e pik[s A.

Provo se pikatO(0,0) dhe A(1, 2)a i takojn[ grafikutt[ funksionity = 2x.

Trego se pika(2,4) i takon gra-fikut t[ funksionity = 2x.

Si quhet boshti x, dhe si quhet boshti y?Si quhet pika O?

Sa drejt[za kalojn[ n[p[r dy pika?


3. B N[ vizatim [sht[ dh[n[ grafiku i funksionit:y = 2x dhe n[p[r pikat P dhe B [sht[ t[rhequr drejt[z.

Trego se ajo drejt[z [sht[ grafik i funksionit y = 2x + 3.

Cakto koordinatat e pik[s P ku grafiku i funksionity = 2x + 3 e pret boshtin y.Sipas vizatimit, cakto koordinatat e pik[s B e cila itakon grafikut t[ funksionit y = 2x + 3.Cakto OP dhe AB .

Teorema 1

Grafiku i funksionit linear y = kx, p[r ]far[do num[r k ∈ R [sht[ drejt[z q[ kalon n[p[rorigin[n e koordinatave.

P[r x = 0, y = 2 × 0, y = 0.P[r x = 1, y = 2 × 1, y = 2.Vijimisht pikat O dhe A i takojn[ grafikutt[ funksionit.

Si do t[ tregosh se pikat O(0, 0) dheA(1,2) i takojn[ grafikut t[ fun-ksionit?

V[re, n[ vizatim, se [sht[ t[hequr drejt[za n[p[r pikat O dhe A, t[ cilat i takojn[ grafikut t[ funksionity = 2x.

T[ zgjedhim ]far[do pik[ B(x1, y1) q[ shtrihet n[ drejt[z[n OA (shihe vizatimin).

2. {sht[ dh[n[ funksioni y = -3x.Provo pikat: A(1, -3) dhe B(-1, 3) a i takojn[ grafikut t[ funksionit.Paraqite grafikisht funksionin.

V[re sqarimin se ]do pik[ e drejt[z[s OA e plot[son kushtin y = 2x, kurse pika q[ nuk i takon OAnuk e plot[son k[t[ kusht.

V[re se ΔONB ~ ΔOMA. Nga ngjashm[ria e trek[nd[shave vijon se : :=NB ON MA OM , d.m.th.y1 : x1 = 2 : 1; y1 = 2x1. Pra pika B(x1, y1) i takon grafikut t[ funksionit y = 2x.

T[ zgjedhim nj[ pik[ C q[ nuk i takon drejt[z[s OA, kurse ka abshis[ t[ nj[jt[ me pik[n B (shihevizatimin).

Pasi y1 = 2x1, vijon se =NB 2ON . V[re se ¹NC 2ON , d.m.th. pika C nuk e k[naq kushtin y = 2x.Dometh[n[ pika C nuk i takon grafikut t[ funksionit.

Mund t[ themi se grafiku i funksionit linear y = 2x [sht[ drejt[z[ e cila kalon n[p[r fillimin (origjin[n)e koordinatave.N[ p[rgjith[si, d.m.th. vlen teorema vijuese:


V[re se grafiku i funksionit linear y = 2x + 3 [sht[ drejt[z paralele me grafikun e funksionit y = 2x,kurse boshtin e ordinat[s e pret n[ pik[n (0, 3).N[ p[rgjith[si, d.m.th. vlen

4. Cakto koordinatat e pik[s te e cila grafiku i funksionit y = 2x - 3 e pret boshtin y .

5. C Paraqite grafikun e funksionit y = 3x - 2.

Drejt[za [sht[ p[rcaktuar me dy pika q[ itakojn[. Dometh[n[, duhet t'i caktojkoordinatat e dy pikave q[ i takojn[ grafikutt[ funksionit.

Me sa pika [sht[ p[rcaktuar nj[drejt[z? A mund at[ ta shfryt[-zosh n[ k[t[ detyr[?


P[r x = 0, y = 2 ⋅ 0 + 3; y = 3. Grafiku i funksionit y = 2x + 3, e pret boshtin y n[ pik[n P mekoordinata P(0, 3).

P[r x = 1, y = 2 ⋅ 1 + 3; y = 5. Pika B(1, 5) i takon grafikut t[ funksionity = 2x + 3.

N[ qoft[ se argumentit x i jep vler[ a, at[her[ funksioni y = 2x fiton vler[ 2a, kurse funksioniy = 2x + 3 e ka vler[n 2a + 3.

V[re se ordinata e ]do pike nga grafiku i funksionit y = 2x + 3 [sht[ p[r 3 (an[tari i lir[) m[ e madhese ordinata me abshis[n e nj[jt[ t[ funksionit y = 2x.

Segmentet OP dhe AB jan[ paralele dhe =OP AB . Prandaj kat[rk[nd[shi OAPB [sht[ paralelogram,kurse nga kjo vijon se drejt[zat OA dhe PB jan[ paralele.

Teorema 2

Grafiku i funksionit y = kx + n [sht[ drejt[z paralele me grafikun e funksionity = kx, kurse boshtin e ordinatave e pret n[ pik[n (0, n).


x

y

0

-2

1

1

y = 3x - 2

y = 3 ⋅ 0 - 2, y = -2, A(0, -2)

y = 3 ⋅ 1 - 2, y = 1, B(1, 1)


Cila prej pikave: A(0, 0), B(2, 6) dhe C(-1, 3)i takon grafikut t[ funksionit y = -3x?

Paraqite grafikisht funksionin y = 2x - 1.

Detyra

1. Cila prej pikave: A(-2, -5), B(-1, -2),C(0, 3) dhe D(2, -1) i takon grafikut t[funksionit y = x - 3?

Prej grafikut cakto zeron e funksionit, kursepastaj kryeje prov[n.

2. P[r cil[n vler[ t[ x pika A(x, 2) i takon gra-fikut t[ funksionit y = 3x - 1?

V[re dhe mbaj mend!

Funksioni linear grafikisht paraqitet n[ at[ m[nyr[ q[ n[ fillim caktohen koordinatat e dy pikave t[grafikut t[ tij, pastaj ato pika paraqiten n[ rrafshin koordinativ dhe n[p[r ato t[rhiqet drejt[z. Ajodrejt[z e paraqet grafikun e funksionit t[ dh[n[.

6. Paraqite grafikisht funksionin y = -2x + 1.

7. N[ vizatim grafikisht [sht[ paraqitur funksioni y = x - 2.

Cakto koordinatat e pik[prerjes A t[ grafikut meboshtin e abshis[s.Cakto zeron e funksionit.Krahaso zeron e funksionit me abshis[n e pik[prerjes.}far[ v[ren?

x

y

0

-2

2

0


N[ qoft[ se y = 0, at[her[ 0 = x - 2, x = 2, d.m.th. A(2, 0); zero e funksionit [sht[ 2.

Mbaj mend!

Abshisa e pik[prerjes s[ grafikut t[ funksionit linear dhe boshtin x [sht[ zero e funksionit.

Duhet t[ dish:

t[ konstatosh se pika e dh[n[ a i takon grafikutt[ funksionit t[ dh[n[;t'i caktosh koordinatat e pik[s te e cila grafikui funksionit e pret boshtin e ordinatave;

grafikisht ta paraqesish funksionin linear;

prej grafikut t[ funksionit ta caktosh zeron efunksionit.

Kontrollohu!


Kujtohu!

3. Paraqiti grafikisht funksionet:y = 3x; y = 3x + 2; y = 3x - 2.

4. Cakto koordinatat e pik[s te e cila funksioniy = 2x - 4 e pret boshtin e abshis[s.

5. Te funksioni y = -2x + n cakto n ashtu q[pika P(1, 3) t'i takon grafikut t[ tij.

6. Te funksioni y = kx - 2 cakto k ashtu q[pika A(1, 0) t'i takon grafikut t[ tij.

POZITA RECIPROKE E GRAFIK{VET{ DISA FUNKSIONEVE LINEARE

1515151515

1.A Paraqiti grafikisht, n[ t[ nj[jtin sistemt[ koordinatave, k[to funksione:

Te cili funksion: y = 3x, y = x - 3, y x=-12

,

grafiku kalon n[p[r fillimin e koordinatave?

V[re ]'kan[ t[ p[rbashk[t funksionet edh[na.

Grafiku i funksionit y = kx kalon n[p[rfillimin e koordinatave.

Cil[t funksione:

y x= +1 12 ; y = 2x + 1; y x= -

1 12 ;

e kan[ koeficientin e nj[jt[ para argumentit?

Funksionet e dh[na kan[ koeficient t[ nj[jt[ paraargumentit, kurse grafik[t e tyre jan[ drejt[za paralele.

N[ vizatim jan[ paraqitur grafik[t e funksioneve. Sijan[ koeficient[t e tyre dhe si [sht[ pozita reciproke egrafik[ve t[ tyre?

y = 2x; y = 2x - 3; y = 2x + 3;

N[ ]far[ pozite reciproke jan[ grafik[t efunksioneve y = 2x - 3 dhe y = 2x + 3me grafikun e funksionit y = 2x?

Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r funksionet me koeficient t[ nj[jt[ para argumentit.

Mbaj mend!

Grafiqet e funksioneve lineare me koeficient t[ nj[jt[ para argumentit jan[ drejt[za paralele.

2. {sht[ dh[n[ funksioni y x= -1 22

. Te cili funksion: y x=- +1 22

; y x= -122

; y x= +1 52

grafiku [sht[ drejt[z paralele me grafikun e funksionit t[ dh[n[?


7. C Shkruaji funksionet te t[ cilat: a) k = 0, n = 3; b) k = 0, n = 1; dhe c) k = 0, n = -2.Paraqiti funksionet e fituara grafikisht.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.a) k = 0, n = 3

y = 0 ⋅ x + 3

y = 3

b) k = 0, n = 1

y = 0 ⋅ x + 1

y = 1

c) k = 0, n = -2

y = 0 ⋅ x - 2

y = -2

x

y

1

3

2

3

y = 0 ⋅ x + 3

x

y

1

1

2

1

y = 0 ⋅ x + 1

x

y

1

-2

2

-2

y = 0 ⋅ x - 2

3. Te funksioni y = kx - 3 cakto k ashtu q[ grafiku i tij t[ jet[ drejt[z[ paralele me grafikun efunksionit y = 5x - 2.

4. B Paraqiti grafikisht, n[ t[ nj[jtin sistem koordinativ,k[to funksione:

y = -2x + 3; y = x + 3; y = -x + 3.

Cakto koordinatat e pik[s te e cila grafiku i ]do fun-ksioni e pret boshtin y;V[re ]far[ kan[ t[ p[rbashk[ta funksionet e dh[na.

Funksionet e dh[na kan[ an[tar t[ lir[ t[ nj[jt[+3 dhe koeficient t[ ndrysh[m para argumentit.Ato e presin boshtin e ordinat[s n[ pik[n (0, 3).

V[re an[tar[t e lir[ t[funksioneve. Si jan[ atond[rmjet vedi?

Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r funksionet me an[tarin e nj[jt[ t[ lir[ n.

Mbaj mend!

Grafik[t e funksioneve lineare me an[tar t[ nj[jt[ t[ lir[ jan[ drejt[za t[ cilat boshtin e ordinat[s eprejn[ n[ pik[n me koordinata (0, n).

5. Jan[ dh[n[ funksionet: y = 3x - 2; ;y x= -1 22

dhe y = -2x + 3.

Cili prej grafiqeve t[ atyre funksioneve priten n[ pik[n e boshtit y?Cakto koordinatat e asaj pike.

6. Cakto koordinatat e pik[s te e cila grafiku i funksionit y x=- -1 22

e pret boshtin e ordinat[s.


V[ren se koeficienti para argumentit te funksioni t[ dh[n[ [sht[ 0, kurse grafik[t e tyre jan[ drejt[zaparalele me boshtin e abshis[s.Te funksioni y = 0 ⋅ x + n, y = n d.m.th. p[r ]do vler[ t[ x, vlera e y [sht[ n. Funksioni y = nquhet funksion konstant.

V[re dhe mbaj mend!

Grafiku i funksionit konstant y = n [sht[ drejt[z paralele me boshtin x.Grafiku i tij e pret boshtin y n[ pik[n (0, n).

Duhet t[ dish:

t[ sqarosh kur grafiku i funksioneve linearejan[ drejt[za paralele;

t[ sqarosh kur grafik[t e funksioneve priten n[pik[n e nj[jt[ t[ boshtit y;

grafikisht t[ paraqesish funksion konstant.

{sht[ dh[n[ funksioni y = 2x - 3. Grafiku icilit funksion y = -2x + 3, y = 2x - 1 dhe

y x= -1 32

[sht[ drejt[z q[:

a) [sht[ paralele me grafikun e funksionit t[dh[n[;b) e pret boshtin e ordinat[s n[ pik[n e nj[jt[me grafikun e drejt[z[s s[ dh[n[?

Detyra

1. Cili prej funksioneve:

y = 3x - 2; y = -3x + 2; y x= -1 23

e ka grafikun paralel me grafikun e funksionity = 3x?

2. Cakto k ashtu q[ grafiku i funksionity = kx + 2 t[ jet[ drejt[z paralele me grafikun

e funksionit y x=- +132 .

3. Cakto k dhe n ashtu q[ grafiku i funksionity = kx + n t[ jet[ paralel me grafikun efunksionit y = 2x - 1 dhe ta pret boshtin eordinat[s n[ pik[n M(0, -3).

Paraqiti grafikisht, n[ t[ nj[jtin sistemkoordinativ k[to funksione: y = -3; y = 2dhe y = 4.

4. Te funksioni y = 2x + n cakto n ashtu q[pika M(0, -1) t'i takon grafikut t[ funksionit.

5. Cakto k dhe n ashtu q[ grafiku i funksionity = kx + n t[ jet[ paralel me grafikun efunksionit y = -2x + 1 dhe pika P(-2, 6) t'itakon grafikut t[ funksionit.

6.

Kontrollohu!


Kujtohu!

N[ p[rgjith[si

P[r funksionin linear y = kx + n thuhet se [sht[ rrit[s, n[ qoft[ se me ritjen e vlerave t[ argumentitx riteri edhe vlera e funksionit y.

2. {sht[ dh[n[ funksioni y = 4x - 1.

Paraqite me tabel[ funksionin p[r x ∈ {0, 1, 2, 3}.Konstato se funksioni a [sht[ rrit[s.

3. B {sht[ dh[n[ funksioni y = -2x + 1.

Paraqite me tabel[ funksionin p[r x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2}.Si ndryshon vlera e funksionit, n[ qoft[ se vlera e argumentit ritet?

VIJIMI I FUNKSIONIT LINEAR16161616161.A {sht[ dh[n[ funksioni linear

y = 3x - 2.Paraqite funksionin me tabel[ p[rx ∈ {-2, -1, 0, 1, 2}

N[ vizatim [sht[ paraqitur sistemi k[nddrejtkoordinativ Oxy.

Si ndryshon madh[sia e numrave q[ jan[paraqitur n[ boshtin x, prej an[s s[ majt[ n[t[ djatht[?

Paraqite funksionin grafikisht.

Si ndryshon madh[sia e numrave q[ jan[paraqitur n[ boshtin y, prej posht lart[?

Si ndryshon vlera e funksionit n[ qoft[se argumenti x ritet?


Prej tabel[s mund t[ v[resh se:n[ qoft[ se ritet vlera e argumentit, at[her[ ritet edhe vlera e funksionit.

Prandaj p[r funksionin y = 3x - 2 thuhet se [sht[ rrit[s.

x

y

-2

-8

-1

-5

0

-2

1

1

2

4

y = 3x - 2



x

y

-2

5

-1

3

0

1

1

-1

2

-3

Prej tabel[s mund t[ v[resh se:n[ qoft[ se ritet vlera e x,at[her[ vlera e funksionit y zvog[lohet.

P[r k[t[ shkak p[r funksionin y = -2x + 1 thuhet se [sht[ zvog[lues.

N[ p[rgjith[si

P[r funksionin linear y = kx + n thuhet se [sht[ zvog[lues, n[ qoft[ se me ritjen e vlerave argumentitx vlera e funksionit zvog[lohet.

4. {sht[ dh[n[ funksioni y = -3x + 2.

Paraqite me tabel[ funksionin p[r x ∈ {0, 1, 2, 3}.Cakto se funksioni a [sht[ zvog[lues.

5. }far[ numri (pozitiv ose negativ) [sht[ koeficienti para argumentit te funksionet: y = 3x - 2 dhey = 4x - 1 nga detyrat 1 dhe 2?}far[ numri [sht[ koeficienti para argumentit te funksionet: y = -2x + 1 dhe y = -3x + 2 ngadetyrat 3 dhe 4?Cil[t prej funksioneve jan[ rrit[s, dhe cil[t zvog[lues?

Te funksionet: y = 3x - 2 dhe y = 4x - 1 koeficientipara argumentit [sht[ num[r pozitiv dhe ato jan[ rrit[s.Te funksionet: y = -2x + 1 dhe y = -3x + 2 koeficientipara argumentit [sht[ num[r negativ dhe ato jan[zvog[lues.

}ka p[rfundove p[rfunksionet e dh[na:kur ato jan[ rrit[s,dhe kur jan[ zvog[-lues?

At[ q[ e konstatove p[r funksionet: y = 3x - 2 dhe y = 4x - 1, p[rkat[sisht p[r y = -2x + 1 dhe y = -3x+ 2 vlen n[ p[rgjith[si p[r funksionet lineare.

Mbaj mend!

N[ qoft[ se te funksioni y = kx + n, koeficienti k [sht[ pozitiv, at[her[ funksioni [sht[ rrit[s, kursep[r k < 0, funksioni [sht[ zvog[lues.

6. Cakto cili prej funksioneve [sht[ rrit[s, dhe cili zvog[lues:

a) y x= +1 32

; b) y = x - 5; c) y = -5x + 2; ]) .y x=- -1 12


Grafiku i funksionit y = kx + n e pret boshtiny n[ pik[n P(0, 2) dhe kalon n[p[r pik[nA(1, -1).Cakto se funksioni a [sht[ rrit[s osezvog[lues.

5. Paraqite grafikisht funksioniny = (a - 3)x + 1 dhe konstato se ai a [sht[rrit[s ose zvog[lues, n[ qoft[ se:a) a = 0; b) a = 5.

6.

Duhet t[ dish:

t[ konstatosh se funksioni linear a [sht[ rrit[s ose zvog[lues;ta sqarosh m[nyr[n se nj[ funksion linear a [sht[ rrit[s ose zvog[lues.

Cakto prej tabel[s funksioni a [sht[ rrit[s ose zvog[lues.

a) y = 3x - 5; b) y x=- +1 22

.

Detyra

1. Cakto cili prej funksioneve t[ dh[na [sht[rrit[s:

a) ;y x= -2 25

c) y = -x - 3;

b) y = -2x + 5; ]) y = x - 2.

2. Cakto cili prej funksioneve t[ dh[na [sht[zvog[lues:

a) ;y x= +1 23

c) y = 3x - 5;

b) y = -3x + 1; ]) y x=- +1 22

.

x

y

0

-5

1

-2

2

1

3

4

x

y

0

2

2

1

4

0

6

-1

Cakto se funksioni y = kx + n a [sht[ rrit[s ose zvog[lues n[ qoft[ se:

a) k =12

; b) k = -3; c) k =-23

.

3. P[r cil[n vler[ t[ k ∈ {-2, -12

, 13

, 3}

funksioni y = kx + n [sht[a) rrit[s; b) zvog[lues?

4. Paraqite grafikisht funksionin y = 2px - 1 dhekonstato se ai a [sht[ rrit[s ose zvog[lues, n[qoft[ se:a) p = 2; b) p = -1.

Kontrollohu!


Kujtohu!

ZGJIDHJA GRAFIKE E BARAZIMEVE LINEAREME NJ{ T{ PANJOHUR

1717171717

1.A {sht[ dh[n[ funksioni y = 3x - 6.

Paraqite grafikisht funksionin.Zero e funksionit [sht[ vlera e argumentit p[rt[ cil[n vlera e funksionit [sht[ e barabart[me zero..

Cakto zeron e funksionit y = 2x - 4.Prej grafikut t[ funksionit cakto zeron efunksionit.

Cakto koordinatat e pik[s te e cila grafiku ifunksionit y = 2x - 4 e pret boshtin x.

Funksionin y = 3x - 6 do ta paraqes grafikishtdhe do t'i caktoj koordinatat e pik[prerjes t[grafikut me boshtin x. Me k[t[ do ta caktoj edhezeron e funksionit, kurse ai num[r [sht[ zgjidhjee barazimit 3x - 6 = 0.

Si do ta caktosh zgjidhjen ebarazimit 3x - 6 = 0 me ndih-m[n e grafikut t[ funksionity = 3x - 6?

Cakto zgjidhjen e barazimit 3x - 6 = 0.

Krahaso zeron e funksionit y = 3x - 6 mezgjidhjen e barazimit 3x - 6 = 0.


Zero e funksionit y = 3x - 6 [sht[ x = 2.

Zgjidhje e barazimit 3x - 6 = 0 [sht[

3x - 6 = 0 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 63

, x = 2.

Zgjidhje e barazimit 3x - 6 = 0 [sht[ abshisa e prerjes s[grafikut t[ funksionit y = 3x - 6 dhe boshtit x, d.m.th. x = 2.

Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r funksionin linear.

V[re dhe mbaj mend!

Zgjidhja e barazimit ax + b = 0, p[r a ≠ 0 [sht[ abshisa e pik[prerjes s[ grafikut t[ funksionity = ax + b me boshtin x.

Prerja e grafikut dhe boshtit x [sht[ pika M(2, 0).

2. Zgjidhe grafikisht barazimin x + 2 = 0.


Grafik[t e funksioneve y = 2x - 1 dhe y = 2x + 3 jan[ drejt[zaparalele. Ato nuk kan[ pik[ t[ p[rbashk[t, pra barazimi nuk kazgjidhje.

V[re se barazimin 2x - 3 = -x + 3 mund ta zgjidhish grafikisht n[ qoft[ se paraprakisht e transformonn[ form[n e p[rgjithshme ax + b = 0.Vepro sipas k[rkesave dhe v[re tjet[r m[nyr[ t[ zgjidhjes grafike t[ barazimit.

Zgjidhe barazimin 2x - 3 = -x + 3.Prej shprehjeve nga ana e majt[ dhe e djatht[ e barazimit shkruaji funksionet y = 2x - 3 dhe y = -x +3,kurse pastaj paraqite grafikishtKrahaso zgjidhjen e barazimit me abshis[n e pik[prerjes s[ grafik[ve t[funksioneve.Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[..

V[ren se grafiqet e t[ dy funksioneve priten n[ pik[n M(2, 1).

Abshisa e pik[s M [sht[ x = 2, kurse ajo [sht[ edhe zgjidhje ebarazimit 2x - 3 = -x + 3.

Koeficient[t para argumentit t[ dy funksioneve jan[ t[ ndryshme (2 ≠ -1), grafik[t kan[ nj[ pik[ t[p[rbashk[t dhe barazimi ka zgjidhje t[ vetme.

4. Zgjidhe grafikisht barazimin 2x - 3 = x + 1.

5. Zgjidhe grafikisht barazimin 2x - 1 = 2x + 3.

T[ dy funksionet y = 2x - 1 dhe y = 2x + 3kan[ koeficient t[ nj[jt[ para argumentit,kurse an[tar[t e lir[ i kan[ t[ ndrysh[m.Grafik[t e k[tyre funksioneve jan[ drejt[zaparalele, d.m.th. nuk kan[ pik[ t[ p[rbashk[t.

Krahasoi koeficient[t paraargumentit t[ funksioneve q[do t'i fitosh. }ka v[ren? }far[pozite reciproke kan[ gra-fik[t?

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[..

x

y

0

-1

1

1

x

y

0

3

-1

1

y = 2x - 1 y = 2x + 3

3. Zgjidhe grafikisht barazimin 2x - 3 = -x + 3. B

x

y

0

-3

1

-1

x

y

0

3

1

2

y = 2x - 3 y = -x + 3


6. Cili prej k[tyre barazimeve nuk ka zgjidhje?a) 2x - 3 = 3x - 2; b) 4x - 1 = 4x + 2; c) 2x - 5 = -2x + 3.

7. Zgjidhe barazimin 2x + 1 = 2x + 1.

Koeficient[t para argumentit dhean[tar[t e lir[ t[ funksioneve:y = 2x + 1 dhe y = 2x + 1 jan[ t[ ba-rabarta, kurse grafik[t e funksioneveputhiten.

Krahasoji koeficient[t dhe an[tar[t elir[ t[ funksioneve q[ i fiton meshprehjet t[ an[s s[ majt[ dhe t[djatht[ t[ barazimit. }fare konstaton?


V[re se barazimi 2x + 1 = 2x + 1 [sht[ identitet.

V[ren se grafik[t e funksioneve jan[ drejt[za q[ puthiten dhebarazimi ka pafund shum[ zgjidhje.

8. Cakto cili prej k[tyre barazimeve:3x - 1 = 2x + 1; 3x - 2 = 3x + 1; 5x - 1 = 5x -1.

a) ka nj[ zgjidhje; b) nuk ka zgjidhje; c) ka pafund shum[ zgjidhje.

Duhet t[ dish:

grafikisht t[ zgjidhish barazim li-near me nj[ t[ panjohur; Sipas vizatimit cakto zgjidh-

jen e barazimit 2x - 1 = x + 1.prej grafikut t[ p[rfundosh sebarazimi a ka nj[ zgjidhje, a nukka zgjidhje ose ka pafund shum[zgjidhje.

Cakto sa zgjidhje ka seciliprej barazimeve t[ dh[n[:

2x - 1 = 2x + 3;

3x - 2 = 2x - 3.

x

y

0

1

-1

-1

y = 2x + 1 y = 2x + 1

x

y

0

1

1

3

Detyra

1. Zgjidhe grafikisht barazimin:a) x - 2 = 0; b) 2x - 6 = 0.

2. Zgjidhe grafikisht barazimin:a) x + 1 = 2x - 1; b) 3x - 1 = -x + 3.

3. Te barazimi 2x - 3 = kx + 1, cakto k ashtu q[barazimi t[ mos ket[ zgjidhje.

Kontrollohu!


NGJARJET E RASTIT. PROBABILITETI I NGJARJES1818181818

Nj[ grup i kosit[sve [sht[ dashur t[ kosisin dy livadhe, ku nj[ri [sht[ dy her[ m[ i madh se tjetri.Gjysm[ dite t[ gjith[ kosit[sit kan[ kositur n[ livadhin e madh, e pastaj jan[ ndar[ n[ dy grupe.Grupi i par[ ka ngelur t[ kosit te livadhi i madh dhe e ka krye kositjen deri n[ fund t[ dit[s, kursegrupi i dyt[ ka kositur te livadhi i vog[l dhe n[ fund t[ dit[s i ka ngelur edhe nj[ pjes[ e livadhit. At[pjes[ e ka kositur nj[ kosit[s, duke kositur t[r[ dit[n e nes[rme.Sa kosit[s gjithsej kan[ qen[ n[ grup?

P[rpiqu ...Kosit[sit e Tolstoit

4. Cakto k dhe n te funksioni y = kx + n ashtu q[ barazimi kx + n = 2x + 3 t[ ket[ pafund shum[zgjidhje.


Kujtohu!1.A Driloni hedh[ monedh[n n[ aj[r. Pas

r[nies s[ saj n[ tok[, e mundshme [sht[q[ n[ pjes[n e saj t[ sip[rme t[ paraqitet"numri" ose " stema".

Sa ngjarje t[ mundshme ka?

Nj[ ekip futbolli luan ndeshje. Rezultatet emundshme t[ ndeshjes jan[: fitore, barazi, osehumbje.

N[ nj[ kuti ka toptha t[ bardh[, t[ zi dhe t[kuq. Nxirret nj[ topth.Cilat jan[ ngjarjet e mundshme t[ nxjerrjes.

Nj[ zar hudhet mbi tavolin[ dhe pas ndaljess[ saj, nj[ faqe [sht[ lart[. Cilat ngjarje jan[t[ mundshme n[ lidhje menumrin e pikave t[ asaj ane?

Driloni d[shiron t[ paraqitet "numri"d.m.th. ngjarje e d[shiruar p[r

Drilonin [sht[ "numri". Sa jan[ mund[sit[ t[ bjer["numri" n[ raport me "stem[n"?

Sa her[ mund t[ p[rs[ritet hudhja e monedh[sn[ aj[r.Hudhja e monedh[s n[ aj[r [sht[ eksperiment.T[rheqja e kart[s nga grumbulli prej 52 sosh[sht[ shembull tjet[r i eksperimentit.Çdo rezultat n[ lidhje me eksperimentin edh[n[ E quhet ngjarje ose pasoj[ q[ ka t[b[j[ me at[ eksperiment.

Gjat[ eksperimentit hudhja e monedh[s n[ aj[r mund[sia q[ t[ paraqitet "numri" ose "stema" jan[ t[njejta. P[r k[to ngjarje themi se kan[ mund[si t[ paraqiten ose jan[ te barabarta.Eksperimenti E "hudhja e monedh[s n[ aj[r" mund t[ p[rs[ritet, n[ kushte t[ njejta, sa her[ q[ t[duam, d.m.th. mund t[ b[het nj[ seri n prej eksperimenteve t[ tilla.


N[ secilin nga eksperimentet ta v[rejm[ ngjarjen A: "ra numri". Me p(A) ta sh[nojm[ numrin eeksperimenteve n[ t[ cilat [sht[ paraqitur ngjarja A n[ nj[ seri prej n eksperimentesh. Konkretisht! N[tabel[n vijuese jan[ paraqitur rezultatet e ngjarjes A: "ra numri" n[ pes[ seri me nga 100 eksperimente.

V[re her[sin ( )r A

n, d.m.th. ( )

100r A

p[r ]do seri.

Seria r(A)( )r A

n

1 52 0,52

2 49 0,49

3 53 0,53

4 51 0,51

5 48 0,48

V[reve se numrat n[ kolon[n ( )r A

n jan[ af[r numrit 0,5. N[se numri

i eksperimenteve n[ seri rritet, at[her[ numri i atij her[si do t[ jet[ m[af[r 0,5. Ky num[r paraqet vler[n statistikore p[r ngjarjen A.

Numri deri te i cili afrohen her[sat ( )r A

n nga serit[ e realizuara,

quhet probabiliteti i ngjarjes A.Ai sh[nohen me V(A).

N[se shqyrtojm[ seri me nga n eksperimente, at[her[ numri p(A) n[ paraqitje t[ ngjarjes A mund t[jet[ m[ s[ paku 0, dhe m[ s[ shumti n, d.m.th. ( )0 r A n£ £ . N[se pjes[tojm[ me n, do t[ fitojm[

( )0 r A nn n n£ £ , d.m.th. ( )

0 1r A

n£ £ .

V[reve se numri ( )r A

n p[r ]do seri nga n eksperimente [sht[ nd[rmjet 0 dhe 1. Sipas saj edhe

probabiliteti i ngjarjes A [sht[ nd[rmjet 0 dhe 1, d.m.th. ( )A£ £0 V 1 .

N[ p[rgjith[si

P[r nj[ ngjarje A n[ lidhje me eksperimentin E thuhet se [sht[ ngjarje e rastit, n[se vlejn[ dy kushtetvijuese:

1. Eksperimenti E mund t[ p[rs[ritet gjat[ kushteve t[ njejta sa her[ q[ duam.

2. Nga shum[ seri t[ kryera t[ eksperimentit E, p[raf[sisht jan[ t[ barabart[ her[sat ( )r A

n e atyre

serive.

Ngjarja A: "ra numri" n[ eksperimentin "hudhja e monedh[s n[ aj[r" quhet ngjarje e rastit.

2. Merita ka nj[ loj[ q[ quhet rrotulluese. N[se e rrotullon shigjet[n jan[t[ mundshme tre ngjarje: shigjeta t[ ndalet n[ fush[n e kuqe, n[ fush[ne verdh[ ose n[ fush[n e kalt[r.

V[re madh[sin[ e secil[s fush[. A [sht[ secila nga ngjarjet nj[lloj emundshme.N[se jo, cila ngjarje [sht[ me mund[si m[ t[ m[dha.


Ngjarjet nuk jan[ nj[lloj t[ mundshme pasi tre fushat e ngjyrosura nuk kan[ madh[si t[ njejt[.Gjasat q[ shigjeta t[ ndalet n[ fush[n e kuqe jan[ m[ t[ m[dha pasi fusha e kuqe ka syprin[ m[t[ madhe.

Dometh[n[, shigjeta t[ ndalet n[ fush[n e kuqe [sht[ mund[si m[ e madhe se n[ fushat tjera.

3. V[re vizatimet nga eksperimentet. P[r ]do eksperiment shkruaj:ngjarjet e mundshme;a jan[ ata ngjarje nj[lloj t[ mundshme;n[se ngjarjet nuk jan[ nj[lloj t[ mundshme, cila ngjarje [sht[ m[ e mundshme.

Rrotullimi i shigjet[sn[ rrotulluese

Hudhja e zarit me faqete sh[nuara me A, B, C,D, G, H

Hudhja e zarit t[ kalt[rt dhe zarit t[ kuqnj[koh[sisht

(ngjarjet jan[ ]ifte t[ renditura)

Gjuajtja e topit n[shport[

Rrotullimi i shigjet[sn[ rrotulluese

Hudhja e monedh[s dydenar[she

Ngjarja e ndonj[ eksperimenti mund t[ jet[ e sigurt, e pamundshme ose e mundshme.B

4. V[re shembujt:Jan[ dh[n[ tre kuti me toptha me ngjyr[. Nd[r ]do kuti jan[ sh[nuar pohime p[r ngjarjet ngat[rheqja e topthave pa shikuar.

Me siguri mund t[ t[rhiqettopth i zi.E pamundur [sht[ t[t[rhiqet topth i kuq.

E mundshme [sht[ q[ t[t[rhiqet ose topth i zi osei kuq.

E mundshme [sht[ q[ t[t[rhiqet ose topth i zi osei kuq.

E pamundur [sht[ t[t[rhiqet topth i bardh[.

M[ tep[r [sht[ e mundshmeq[ t[ t[rhiqet topth i kuq sesa i zi.

P[rmban20

P[rmban10 10

P[rmban6 14


5. V[re shkall[n e probabilitetit.

Duk[ shfryt[zuar shkall[n e gjas[s p[r ]do ngjarje nga tabela e dh[n[ m[ posht[, p[rgjigju:

a) Sa [sht[ gjasa p[r t[ ndodhur ngjarja, parashtroje me rastet: e pamundshme, m[ pak e mundshme,nj[lloj e mundshme, m[ shum[ e mundshme ose e sigurt[.

b) Vizato shkall[ si e dh[na dhe n[ t[ sh[no ngjarjet 1, 2, 3, ...,10, sipasasaj se sa [sht[ gjasa q[ t[ ndodh ajo.

c) Sqaro secil[n p[rgjigje.

Kur [sht[ e pamundshme se ngjarja do t[ ndodh, themi se ka probabilitet 0.Shembull, t[rheqja e topthit t[ bardh[ nga kutia e dyt[.

T[ gjitha mund[sit[ ose probabilitet tjera jan[ nd[rmjet 0 dhe 1.

Shembull, t[rheqja e topthit t[ kuq nga kutia e tret[.

e pamundshme

m[ pak e mundshme

nj[lloj e mundshme

m[ shum[ e mundshme

e sigurt

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

e pamundshme

nj[lloj e mundshme

e sigurt

Kur [sht[ e sigurt se ngjarja do t[ ndodh, themi se ka probabilitet 1 ose 100%.Shembull, t[rheqja e topthit t[ zi nga kutia e par[.

m[

pak

e m

unds

hme

Sonte do t[ shkruash detyra sht[pie nga matematika.T[ gjith[ shok[t e tu do t[ shkojn[ nes[r n[ shkoll[.

Sot do t[ bjerr shi.

Do t[ bjerr shi k[t[ vit.

Nj[ vullkan do t[ ket[ erupcion k[t[ vit.Do t[ bjerr bor[ n[ gusht.

N[se hudhish shishe plastike, ajo do t[ thehet.

NgjarjaNes[r udh[tosh p[r n[ Mars.

Do t[ udh[tosh me anije nga Shkupi p[r n[ Manastir.N[se hudhish zarin do t[ bjerr numri 5.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

m[ s

hum

[ e m

unds

hme


t[ dallosh ngjarjet e mundshme nga t[pamundshmet.

Duhet t[ dish:

t[ tregosh shembuj t[ ngjarjeve me probabilitet0, nd[rmjet 0 dhe 1 dhe probabilitet 1.

Shkruaj nga nj[ shembull:

t[ vler[sosh probabilitetin e ngjarjesgjat[ eksperimentit t[ r[ndomt[.

ngjarje q[ ka gjas[ 0;ngjarje q[ ka gjas[ 0,5;ngjarje q[ ka gjas[ 1;

V[re rrotullueset:1.

Detyra

Cili rresht nga rradha sipas cil[s jan[ sh[nuar[sht[ p[rkat[se p[r renditje sipas probabilitetshigjeta t[ ndalet n[ fush[n e kalt[r?a b c ];] c b a;a c b ];c b ] a.

a) ])c)b)

N[ nj[ qese ka 2 kube t[ kalt[rta dhe 3 kubengjyr[ portokalli.P[rshkruaje probabilitetin q[ t[ t[rhiqet:

2.

kub i kalt[r; kub ngjyr[ portokalli;ose kub i kalt[rt ose kub ngjyr[ portokalli;kub i verdh[;

Shkruaje ]do shkronj[ t[ fjal[s ANANAS n[kartel[ t[ ve]ant[.P[rziej kartelat dhe t[rhiq kartela pa shikuar.

3.

P[rshkruaj probabilitetin q[ t[ t[rheqish:a) shkronj[n N;b) shkronj[n A;c) shkronj[n A ose shkronj[n N;]) shkronj[n C;Sa kartela m[ paku duhet t[ t[rheqish q[ t[jesh i sigurt se do ta fitosh emrin ANA?

P[rpiqu:

N[ nj[ raft ka ]orap[ t[ zi dhe t[ kuq.

Sa her[ m[ pak Genti duhet t[ marr[, pa shikuar,nga nj[ ]orap nga rafti, p[r t[ qen[ i sigurt[ sedo t[ t[rheq nj[ pal[ ]orap[ me ngjyr[ t[ njejt[?

Kontrollohu!

t[ sqarosh se cila ngjarje [sht[ e rastit;

Provo njohurinë tënde 125

M{SOVE P{R BARAZIMIN LINEAR, JOBARAZIMINLINEAR DHE P{R FUNKSIONIN LINEAR.

PROVO NJOHURIN{ T{NDE

1.

Zgjidhe sistemin e jobarazimeve:

a) ;

y yy y

ì- - > +ïïíï - > -ïî

8 2 12 3 5 15

b) ( ) .

x x

x x

ì - +ïï > -ïïíïï - - < -ïïî

1 1 13 4

3 1 3 1

Zgjidhjen e sistemit paraqite me interval dhegrafikisht.

Provo se x = 3 a [sht[ zgjidhje e barazimit3x - 2 = x + 4.

2. Barazimi 5x - 3 = 2x + 3 ka zgjidhje x = 2.Cili prej k[tyre barazimeve [sht[ ekuivalentme barazimin e dh[n[:a) x + 2 = 7 - x;b) 2x - 1 = x + 1;c) 3x - 1 = 2x + 3?

3. Zgjidhe barazimin:a) 3x - 2,5 = x + 1,7;b) 4(x - 1) - 3(2x + 1) = -9;

c) x x- +

- =3 1 2 1

4 5.

4. Te barazimi ax + 4 = 5x - a + 11 cakto aashtu q[ x = -2 t[ jet[ zgjidhje e atijbarazimi.

5. Shuma e tre numrave natyrore t[ nj[pas-nj[sh[m [sht[ 84. Cil[t jan[ ato numra?

6. Prej vendit A nga vendi B [sht[ nisur kamio-ni i cili l[viz me shpejt[si 50 km/n[ or[. Dyor[ m[ von[ prej vendit A [sht[ nisurautomobil i cili l[viz me shpejt[si 75 km/n[ or[. Automobili e ka arritur kamionin n[vendin B. Cakto larg[sin[ nd[rmjet vendeveA dhe B.

9. Zgjidhe jobarazimin:a) 4(x - 1) > 3x - 1;

b) x x x+ + +- <

1 2 33 6 2

.

Zgjidhjen paraqite me interval dhe grafikisht.

10.

7. Provo se x = -1 a [sht[ zgjidhje e jobarazimit3x2 - 2x > x + 3.

8. N[ bashk[sin[ D = {0, 1, 2, 3} jan[ dh[n[jobarazimet: 2x - 1 > x - 2; 3x + 1 > 2x - 3.Provo se jobarazimet e dh[na a jan[ekuivalente.

{sht[ dh[n[ funksioni linear y = 2x -3.11.

Paraqite grafikisht funksionin.Cakto zeron e funksionit.

{sht[ dh[n[ funksioni y = 2x - 3.Cakto cila prej pikave: A(0, -3), B(1,1) dheC(2, 1) i takon grafikut t[ funksionit.

12.

Te funksioni y = 2x + n cakto n ashtu q[pika M(1, -1) i takon grafikut t[ atij funksioni.

13.

Cakto cili prej k[tyre funksioneve [sht[rrit[s, kurse cilizvog[lues:y = -3x + 1; y = 3x - 2;y = 2x - 3; y = -x - 1.

14.

Zgjidhe grafikisht barazimin3x - 1 = x + 3.

15.

Barazimet lineare me dy të panjohura 127

TEMA 3. SISTEMI I BARAZIMEVE LINEARE

BARAZIMET LINEARE ME DY T{ PANJOHURA1. Barazimet lineare me dy t[ panjohura 1282. Barazimet lineare ekuivalente me dy t[ panjohura 131 SISTEMI I BARAZIME LINEARE ME DY T{ PANJOHURA3. Sistemi i dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura 1344. Zgjidhja grafike e sistemit t[ barazimeve lineare me dy t[ panjohura 138

5. Zgjidhja e sistemit t[ barazimeve lineare me dy t[ panjohura me metod[n e z[v[nd[simit 1416. Zgjidhja e sistemit t[ barazimeve lineare me dy t[ panjohura me metod[n e koeficient[ve t[ kund[rt 1457. Zbatimi i sistemit t[ dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura 1488. Zgjidhja e problemeve me principin e Dirihles 153

Provo njohurin[ t[nde 157

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare128

Kujtohu!

BARAZIMI LINEAR ME DY T{ PANJOHURA11111

Sipas numrit t[ panjohurave nj[ barazimmund t[ jet[::- me nj[ t[ panjohur;- me dy t[ panjohura etj.

1.

BARAZIMET LINEARE ME DY T{ PANJOHURA

A

Sipas shkall[s t[ panjohurave barazimi mundt[ jet[:- linear (barazim i shkall[s s[ par[);- katrore (barazimi i shkall[s s[ dyt[);- kubik (barazim i shkall[s s[ tret[) etj.Barazimi a p[rmban parametra ose jo, mundt[ jet[:- barazim parametrik;- barazim me koeficient[ t[ ve]ant[.V[reji barazimet:a) 2x + 3 = 5; b) 2x + y = 3;c) 2x2 = x + 1; ]) 2x + y = kx + 3.P[r ]do barazim cakto llojin sipas numrit t[t[ panjohurave dhe sipas shkall[s t[ panjo-hur[s. Cili barazim [sht[ barazim me para-met[r?

Jetoni dhe Iliri s[ bashku kan[ 9sheqerka. Sa sheqerka ka Jetoni dhesa ka Iliri?

Le t[ jet[ x numri i sheqerkave t[ Jetonit, kursey [sht[ numri i sheqerkave t[ Ilirit. Fjalia Jetonidhe Iliri s[ bashku kan[ 9 sheqerka, mund t[shkruhet: x + y = 9.

V[re se x + y = 9 [sht[ barazim i cili sipas numrit t[ panjohurave [sht[ me 2 t[ panjohura, kurse sipasshkall[s s[ t[ panjohurave [sht[ barazim linear.Cakto llojin e barazimit 2x - y = 5 sipas numrit t[ panjohurave dhe sipas t[ shkall[s s[ t[ panjohur[s.

Bashk[sia A = {0, 1, 2, 3, ..., 9} paraqet bashk[sin[ e p[rkufizimitp[r barazimin x + y = 9.

Shkruaji si ]ifte t[ renditura t[ gjitha zgjidhjettjera, n[ qoft[ se numri i par[ te ]ifti [sht[ numrii sheqerkave t[ Jetonit, kurse numri i dyt[ te]ifti [sht[ numri i sheqerkave t[ Ilirit.

Sa zgjidhje ka detyra?V[re k[to zgjidhje t[ detyr[s:

Jetoni

Iliri0

9

1

8

2

7

3

6

4

5

5

4

6

3

7

2

8

1

9

0

Me ]iftin e numrave (0,9) le t[ jet[ paraqiturzgjidhja: Jetoni ka 0 sheqerka, kurse Iliri ka 9sheqerka.

}far[ vlera mund t[ ket[ x,dhe ]far[ y te barazimi x + y = 9?

Vlerat e ndryshoreve x dhe y jan[ elemente t[bashk[sis[ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ashtu q[shuma e tyre t[ jet[ 9.

Bashk[sia e ]ifteve t[ renditura R = {(0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2),(8, 1), (9, 0)} paraqet bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit x + y = 9.


N[ qoft[ se p[r barazimin nuk [sht[ dh[n[ bashk[sia e p[rkufizimit, m[ tutje do t[ llogarisim se ajo[sht[ bashk[sia R e numrave real[.

Mbaj mend

Barazimi i form[s ax + by = c, ku a, b dhe c jan[ numra reale (koeficient[), kurse x dhe y jan[t[ panjohura reale, quhet barazim linear me dy t[ panjohura.

V[re shembullin: p[r x = 1 dhe y = 4.3x + y = 7; 3 ⋅ 1 + 4 = 7; 7 = 7.

V[re se ]ifti i renditur(x, y) = (1, 4) [sht[ nj[ zgjidhje e barazimit.

{sht[ dh[n[ barazimi 3x + y = 7. Cakto disa vlera t[ x dhe y, p[r t[ cilat barazimi kalon n[barazi t[ sakt[ numerike.

Provo se ]ifti i renditur (x, y) [sht[ zgjidhje ebarazimit:a) x = 2 dhe y = 1; c) x = 4 dhe y = -5;b) x = 1 dhe y = 3; ]) x = -1 dhe y = 10.

Bashk[sia M = {(x, y) | x, y ∈ R dhe 3x + y = 7}, paraqet bashk[si t[ zgjidhjeve t[ barazimit3x + y = 7.

Provo se ]ifti i renditur (x, y) = (4, -6) a [sht[ zgjidhje e barazimit 2x - 13

y = 10.

Barazimi 3(u - 2) = 2(1 - v) a kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike p[r u = 0 dhe v = -5?

V[re m[nyr[n.Zgjedhet ]far[do num[r real p[r x. Shembull: x = 3.Z[v[nd[sohet vlera p[r x te barazimi: 3 - 2y = 4.Zgjidhet barazimi i fituar linear me nj[ t[ panjohur zgjidhja e t[ cilit [sht[:

3 - 2y = 4; -2y = 4 - 3; -2y = 1; -y = 12

; y = -12

.

Dometh[n[, ]ifti i renditur (x, y) = (3, - 12

) [sht[ nj[ zgjidhje e barazimit t[ dh[n[.

V[re barazimin 4x + 3y = 9; ai [sht[ linear me 2 t[ panjohura x dhe y, kurse koeficient[t jan[ numrat4, 3 dhe 9.

3.

B

Zgjidhje e barazimit linear me dy t[ panjohura [sht[ ]do ]ift i renditur i numrave real[ p[r t[ cil[tbarazimi kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike.

4. {sht[ dh[n[ barazimi x - 2y = 4. Cakto tre zgjidhje t[ tij.

Duke e zbatuar m[nyr[n e treguar cakto edhe 2 zgjidhje t[ tjera t[ barazimit t[ dh[n[.

2.


Detyra

1.

{sht[ dh[n[ barazimi 3(x + y) = 2x - 3. kryejk[to k[rkesa sipas radhitjes s[ dh[n[:1o lirohu prej kllapave te barazimi;2o shkruaji an[tar[t me t[ panjohur[n nga anae majt[, kurse an[tarin me pa t[ njohur[n n[an[n e djatht[ pas shenj[s "=";3o sille shprehjen n[ an[n e majt[ n[ form[nnormale.Cili barazim fitohet?

}ifti i renditur (1, 6) a [sht[ zgjidhje e barazimit3x - y = -3?

Cili prej barazimeve: x + 5 = y - 3; y - 7x = 10dhe 9 = 2y [sht[ barazim linear me 2 t[panjohura?

P[r ]do barazim shkruaji cilat jan[ t[ panjo-hurat e tij, dhe cil[t jan[ koeficient[t e tij:a) 2x - y = 3; c) y = 2z - 1;

b) 3x + 2y = x - 4y + 1; ]) 5u + 3v = 16.

2. }ifti i renditur:a) (4,-6) a [sht[ zgjidhje i barazimit

2x - 13 y = 10;

b) (0, -5) a [sht[ zgjidhje e barazimit 3(u -2) = 2(1 - v).

3. Cakto komponent[n e panjohur te ]ifti irenditur (x, y) p[r barazimin p[rkat[s ashtuq[ t[ kalon n[ barasi t[ sakt[ numerike.

a) ( , -2) p[r barazimin y = 2x;

b) (0, ) p[r barazimin 2x + y =12 ;

c) (-6, ) p[r barazimin 12

x + 2y = 7.

4. Pasi te barazimi linear me dy t[ panjohuranj[ra prej t[ panjohurave z[v[nd[sohet mevler[n e dh[n[ numerike, barazimi kalon n[:a) barazi t[ sakt[ numerike;b) barazim linear me nj[ t[ panjohur;c) barazim linear me dy t[ panjohura]) jobarazim linear.Cil[t prej k[tyre pohimeve jan[ t[ sakta?

5. Cakto zgjidhjet e barazimit2x + y = -1 p[r x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2}.

6.

Duhet t[ dish:

t[ caktosh zgjidhje t[ barazimit linear me dy t[panjohura.

cili barazim [sht[ barazim linear me 2 t[panjohura;

Kontrollohu!


Kujtohu!

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen edh[n[.

2. Provo se barazimet: 3(x + 2y) = 5y + 1 dhe 3x + y = 1 a kan[ zgjidhje t[ barabarta p[r: x ∈ {-1, 0, 1, 2}.

V[re m[nyr[n p[r x = -1.3(x + 2y) = 5y + 1; 3x + y = 1;

3(-1 + 2y) = 5y + 1; 3(-1) + y = 1;

-3 + 6y = 5y + 1; -3 + y = 1;

6y - 5y = 1 + 3; y = 1 + 3;

y = 4; y = 4;

(x, y) = (-1, 4). (x, y) = (-1, 4).

V[re dhe mbaj mend

Dy barazime lineare me dy t[ panjohura jan[ ekuivalente n[ qoft[ se bashk[sit[ e zgjidhjeve t[ tyrejan[ t[ barabarta.

Nj[ lloj si te barazimet lineare me nj[ t[ panjohur, mund t[ zbatosh transformime t[ barazimit linearme dy t[ panjohura dhe ta sjellish n[ form[n ax + by = c.

A: 4x + y = 6; 4x + y = 6; 4x + 4 = 6; 4x = 6 - 4; 4x = 2; x = 24

; x = 12

. Zgjidhja: (12

, 4).

BARAZIMET LINEARE EKUIVALENTE ME DY T{ PANJOHURA

Cili ]ift i renditur i numrave real[ [sht[ zgji-dhje e nj[ barazimi linear me dy t[ panjohura?

22222

Provo se ]ifti i renditur (x, y) = (-1, 2) [sht[zgjidhje e barazimit 2x - y = -4 dhe e barazimit3x - y = x - 4.

A 1. Cakto zgjidhjet e barazimeveA: 4x + y = 6 dhe

B: 2x + 12 y = 3 p[r y=4.

B: 2x + 12

y = 3; 2x + 12

y = 3; 2x + 12

⋅ 4 = 3; 2x + 2 = 3; 2x = 3 - 2; 2x = 1; x = 12

.

Zgjidhja: (12 , 4).

V[reve se ]ifti i renditur ( 12

, 4) [sht[ zgjidhje e barazimit A dhe e barazimit B.

Zgjedh vler[ p[r x dhe cakto zgjidhjet e barazimeve A dhe B. }far[ p[rfundon?

V[re transformimet e barazimeve B1 dhe B2

B1: 2(2x + y) - 7 = 3x - 2 dhe B2: 2( 3 )

3+x y = 5 - x.


P[r x = k, k ∈ R,

caktohet bashk[sia ezgjidhjeve t[ barazimit

x + 2y = 5; k + 2y = 5; 2y = 5 - k;

y = 5

2- k

; 5, |

2ì üæ öï ï-ï ï÷ç Î÷í ýç ÷÷çï ïè øï ïî þ

kk k R

7x + 6y = 15; 7k + 6y = 15;

6y = 15 - 7k; y = 15 7

6- k

;

15 7, |6

ì üæ öï ï-ï ï÷ç Î÷í ýç ÷÷çï ïè øï ïî þ

kk k R

V[re se me shfryt[zimin e transformimeve, barazimet B1 dhe B2 jan[ sjellur n[ form[n: x + 2y = 5dhe 7x + 6y = 15, d.m.th. n[ form[n ax + by = c. Me k[t[ forme m[ leht[ mund t[ caktoshbashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimeve.

Cakto zgjidhjet e barazimeve B1 dhe B2 p[r: a) k = 0; b) k = 2; c) k = 4.

3. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit: a) y = 3x - 5; b) x - 1 = 3x - y.

B 4. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit -2x + y = 1, kurse pastajparaqite grafikisht n[ sistemin koordinativ k[nddrejt.

Barazimi B2:Barazimi B1:Transformimi (T)

T1: Nj[ra an[ e barazimit z[v[nd[sohet meshprehje identike ⇔ 4x + 2y - 7 = 3x - 2 ⇔ 4 6

3+x y

= 5 - x

T2: }do an[tar i barazimit mund t[ bartet prejnj[r[s an[ n[ an[n tjet[r, por me shenj[ t[kund[rt:Antar[t me t[ panjohura n[ an[n e majt[,nd[rsa antar[t konstant n[ an[n e djatht[.

⇔ 4x + 2y - 3x = -2 + 7

⇔ 4 63+x y

+ x = 5

2( 3 )3+x y

= 5 - x2(2x + y) - 7 = 3x - 2

⇔ (4x - 3x) + 2y = 7 - 2

⇔ x + 2y = 5

⇔ 3(4 6 )3+x y

+ 3x = 5 ⋅ 3

⇔ 4x + 6y + 3x = 15

⇔ 7x + 6y = 15

T3: T[ dy an[t e barazimit shum[zohen menum[r t[ nj[jt[ t[ ndryshuesh[m prej zeros.

V[re m[nyr[n dhe krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

-2x + y = 1 ⇔ y = 2x + 1; p[r x = k, k ∈ R; y = 2k + 1.

Bashk[sia e zgjidhjeve t[ barazimit [sht[: {(k, 2k + 1) | k ∈ R}.Shkruajm[: R(-2x + y = 1) = {(k, 2k + 1) | k ∈ R}.

Cakto zgjidhjet e barazimit p[r: a) k = -1; b) k = 0; c) k = 1.V[re se me barazimin -2x + y = 1 n[ bashk[sin[ R (numrareale) [sht[ p[rcaktuar funksioni linear y = 2x + 1.

x -1 0 1 2

y -1 1 3 5

{(k, 2k + 1) | k ∈ R}

C(1, 3)

D(2, 5)

B(0, 1)

A(-1, -1)


Cakto vler[n e parametrit p p[r ]iftin e renditur(0, 1) q[ t[ jet[ zgjidhje e barazimit:

(p - 5)x - (3p - 1)y = 5 - p.

Pasi -2x + y = 1 ⇔ y = 2x + 1,

at[her[ ]ifti i renditur i koordinatavet[ ]far[do pike nga grafiku ifunksionit y = 2x + 1 [sht[ zgjidhje ebarazimit -2x + y = 1.

V[re se me grafikun e funksionit linear y = 2x + 1, grafikisht [sht[ paraqitur bashk[sia e zgjidhjeve t[barazimit -2x + y = 1. Themi se ai [sht[ grafiku i barazimit.Provo se ]iftet e renditura t[ cilat paraqesin koordinata t[ pikave: A(-1, -1); B(0, 1); C(1, 3) dheD(2, 5) a jan[ zgjidhje t[ barazimit -2x + y = 1.

5. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit: 3x - y = 1.

Provo se ]ifti i renditur (-1, -4) a [sht[ zgjidhje e barazimit.Bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit paraqite grafikisht.Prej grafikut t[ barazimit cakto koordinat[n e dyt[ t[ pik[s S(2, ). V[re se ]ifti i renditur [sht[zgjidhje e barazimit 3x - y = 1.

Duhet t[ dish:

Detyra

1.

t[ shfryt[zosh transformime q[ t[ fitosh barazimekuivalent me barazimin e dh[n[ linear me dyt[ panjohura;

Bashk[sin[ e zgjidhjeve {(k, k - 1) | k ∈ R} t[nj[ barazimi linear me dy t[ panjohura paraqitegrafikisht.

cil[t prej dy barazimeve lineare me dy t[panjohura jan[ ekuivalente; Duke shfryt[zuar transformimet provo se

barazimi x + 2y = 6 a [sht[ ekuivalente me

barazimin 32

= -xy .

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit:a) 2x + y = 3; b) 3x + 2y = x - 4y + 1.

t[ caktosh bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit;

grafikisht ta paraqesish bashk[sin[ e zgjidhjevet[ barazimit.

2.Secilin prej barazimeve sille n[ form[n ax + by = c duke i shfryt[zuar transformimet.a) 3(x + y) = 2x - 3;

3. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[rit prejbarazimeve dhe paraqiti grafikisht:

a) 2x + 3y = 6; b) 1 32

- =x y ;

c) 2x + 0 ⋅ y = 4.

4.

N[ vizatim grafikisht [sht[ paraqitur funksioni linear y = 2x + 1.

}iftet e renditura (x, y) t[ grafikutt[ funksionit jan[ zgjidhje t[barazimit y = 2x + 1.}far[ paraqesin ato ]ifte t[barazimit -2x + y = 1?

Kontrollohu!

b) (x - 3) (y - 2) - 1 = xy;

c) 3 2 ;

4 3+ +

- = +x y x y x

]) x yx y- + - = -5( 3) 8( 2) .4 4


Kujtohu!

N[ nj[rin akuarium ka 7 peshq, kurse te tjetri ka 3 peshq. Shuma e tyre [sht[7 + 3 = 10, kurse ndryshimi i tyre [sht[ 7 - 3 = 4.

K[t[ detyr[ e zgjidhe ashtu q[ caktove zgjidhje t[ p[rbashk[ta p[r t[ dy barazimet lineare me dy t[panjohura, d.m.th. caktove prerjen e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ tyre.

SISTEMI I DY BARAZIMEVE LINEARE ME DY T{ PANJOHURA333331.

SISTEMI I BARAZIMEVE LINEARE ME DY T{PANJOHURA

ACili barazim quhet barazim linear me dy t[panjohura?

Edona dhe Mentori kan[ nga nj[akuarium me peshq.

Sa peshq ka n[ akuariumin e Edon[s, kurse sate akuariumi i Mentorit?

V[re zgjidhjen:Te akuariumi i Edon[s le t[ ket[ x peshq, kurse te i Mentorit ka y peshq.

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimitlinear me dy t[ panjohura:

x + y = 7Sa zgjidhje ka barazimi?

Shuma e numrit t[ peshq[ve n[ t[ dy akuariumet[sht[ 10.Ndryshimi i numrit t[ peshq[ve n[ t[ dy akuariumet[sht[ 4.

x + y = 10.Prej kushtit t[ par[ t[ detyr[s kemi:

Ndryshoret x dhe y ndryshojn[ n[ bashk[sin[ A={1, 2, 3,..., 9}. Pse? N[ tabel[ jan[ dh[n[ zgjidhjete barazimit.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1

x - y = 4.Prej kushtit t[ dyt[ t[ detyr[s vijon:Shqyrto tabelat dhe v[re zgjidhjet.

x 5 6 7 8 9

y 1 2 3 4 5

Cakto cili prej ]ifteve t[ renditura (x, y) [sht[ zgjidhje e p[rbashk[t p[r t[ dy barazimet.V[re se ]ifti (x, y) = (7, 3) [sht[ zgjidhje e barazimit x + y = 10 dhe i barazimit x - y = 4.

Mbaj mend

Dy barazime lineare me dy t[ panjohura t[ nj[jta, p[r t[ cilat k[rkohet zgjidhja e p[rbashk[t,p[rkat[sisht prerja e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ tyre, quhet sistemi i dy barazimeve lineare me dyt[ panjohura.

Shkruhet: 1 1 1

2 2 2 ,a x b y ca x b y c

x dhe y jan[ t[ panjohurat, a1, a2, b1, b2, c1 dhe c2 jan[ numra reale(koeficient[).

Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura 135

Kujtohu!

2. Shkruaji barazimet nga detyra 1 si sistem dhe cakto t[ panjohurat dhe koeficient[t e sistemit.

3. V[re sistemin: x y

x y

ì + =ïïïïíï - =-ïïïî

3 12 3 2.3

Em[rtoji t[ panjohurat. Cakto koeficient[t e barazimit.

4. B Provo se ]ifti i renditur (x, y) = (2, -1) a [sht[ zgjidhje e barazimit: 3x + 2y = 4.

Provo se ]ifti (x, y) = (2, -1) a [sht[ zgjidhje e barazimit: x - y = 3.

V[re se ]ifti i renditur (x, y) = (2, -1) [sht[ zgjidhje e sistemit: 3 2 4

3ì + =ïïíï - =ïî

x yx y

N[ p[rgjith[si, zgjidhje e sistemit t[ dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura [sht[ ]ifti i rendituri numrave reale i cili [sht[ zgjidhje e p[rbashk[t e t[ dy barazimeve.

5. Provo p[r cilin sistem ]ifti i renditur (-2, 3) [sht[ zgjidhje:

a) x y

x y5

2 2 1;ì - =-ïïíï + =-ïî

b) x y

x yì + =ïïíï + =ïî

2 43 5 9;

c)x y

x yì - =ïïíï + =ïî

2 3 35 1.

6. C

N[ qoft[ se n[ nj[ sistem jobarazimesh nj[riprej jobarazimeve z[v[nd[sohet me jobara-zimin ekuivalent me t[, fitohet sistemjobarazimesh ekuivalente q[ [sht[ ekuivalentme sistemin e dh[n[.

Jan[ dh[n[ sistemet: A: 53 3

ì + =ïïíï - =ïî

x yx y

dhe B: y xx y

ì = -ïïíï - =ïî

53 3.

Pse sistemi xx

ì >ïïíï >-ïî

10 203

[sht[ ekuivalent me x

xì >ïïíï >-ïî

5 103?

N[ qoft[ se dy barazime lineare me dy t[panjohura kan[ bashk[si t[ barabarta t[zgjidhjeve, at[her[ ato jan[ ekuivalente.Provo se barazimi 3(x + 2y) = 5y +1 dhebarazimi 3x + y = 1 a jan[ ekuivalent.

Bashk[sia e zgjidhjeve t[ sistemit A [sht[ prerjee bashk[sis[ s[ zgjidhjeve p[r baraziminx + y = 5: {(k, 5 - k) | k ∈ R} edhe p[r barazimin3x - y = 3: {(k, 3(k - 1) | k ∈ R}.

Provo se ]ifti (x, y) = (2, 3) a [sht[ zgjidhje esistemit A.

Prerjen e bashk[sive t[ zgjidhjeve do ta caktoshduke barazuar komponentat e ]ifteve t[renditura. Komponentat e par[ jan[ t[ barabart[,d.m.th. k = k. Cakto k nga komponentat e dyta,d.m.th. zgjidhe barazimin 5 - k = 3(k - 1).

Bashk[sia e zgjidhjeve e sistemit B [sht[ prerjee bashk[sive t[ zgjidhjeve p[r barazimin:y = 5 - x: {(k, 5 - k) | k ∈ R} dhe p[r barazimin:3x - y = 3: {(k, 3k - 3) | k ∈ R}.


K[to dy sisteme kan[ bashk[si t[ barabarta t[ zgjidhjeve. }ifti (x, y) = (2, 3) {sht[ zgjidhje e sistemit A dhe i sistemit B.

N[ qoft[ se ndonj[ri prej barazimeve t[ sistemit t[ dh[n[ z[v[nd[sohet me barazimin ekuivalent t[tij, fitohet sistem ekuivalent me sistemin e dh[n[.

Sistemi A: 53 3ì + =ïïíï - =ïî

x yx y

dhe sistemi B: 5

3 3y xx y

jan[ ekuivalent.

Cili prej barazimeve te sistemi B [sht[ ekuivalent me barazimin x + y = 5 te sistemi A, dhe me cilintransformim [sht[ fituar?

7. V[re dhe sqaro pse jan[ ekuivalent sistemet:5 4

3ì - = -ïïíï + =ïî

x y xx y dhe

x yx y

ì = -ïïíï + =ïî

4 43;

82 3

ì + =ïïíï + =ïî

x yx y dhe

x yx y


2 32 2 16.

Me transformime ekuivalente sistemi i dh[n[ transformohet n[ sistem ekuivalent i cili e ka form[nì =ïïíï =ïî

x ay b

, prej t[ cilit drejtp[rdrejt mund t[ lexohet zgjidhja e sistemit.

}ifti (x, y) = (a, b) [sht[ zgjidhje.

8. V[re zgjidhjen e sistemit: x y yy

ì + = +ïïíï =ïî

2( ) 6 25.

x y y x y yy y

ì ì+ = + + = +ï ïï ïí íï ï= =ï ïî î

2( ) 6 2 2 2 6 25 5 Ana e majt[ e barazimit t[ par[ [sht[

z[v[nd[suar me shprehjen identike.

x y yy

ì + - =ïï íï =ïî

2 2 2 65 An[tari 2y [sht[ bart n[ an[n e majt[ t[ barazimit (me shenj[

t[ kund[rt[).

xy

ì =ïï íï =ïî

2 65 Shprehja n[ an[n e majt[ t[ barazimit t[ par[ [sht[ sjellur n[ form[n

normale.

xy

ì =ïï íï =ïî

35 Barazimi i par[ [sht[ zgjidhur sipas x, p[rkat[sisht ana e majt[ dhe e

djatht[ jan[ pjes[tuar me 2.

V[re se barazimet te sistemi B kan[ bashk[si t[ nj[jt[ t[ zgjidhjeve si barazimet te sistemi A.Provo se ]ifti (x, y) = (2, 3) a [sht[ zgjidhje e sistemit B.

N[ qoft[ se dy sisteme t[ barazimeve kan[ bashk[si t[ zgjidhjeve t[ barabarta, at[her[ ata jan[ekuivalente.

Kush [sht[ prerja e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ barazimeve n[ sistemin B.

}ifti (x, y) = (3, 5) [sht[ zgjidhje e sistemit t[ barazimeve.

9. Zgjidhe sistemin: xy x x

ì =-ïïíï - + = +ïî

72( 1) 3 3( 2).


Duhet t[ dish:

Detyra

1.

t[ provosh se ]ifti i renditur i dh[n[ a [sht[zgjidhje e sistemit t[ barazimeve t[ dh[n[;

]'[sht[ sistem i dy barazimeve lineare me dyt[ panjohura dhe si shkruhet;

Cakto sistem ekuivalent t[ sistemit

5 3 2 12 3

ì - = +ïïíï = +ïî

x y xy x

, te i cili t[ dy barazimet e

Caktoji t[ panjohurat dhe koeficient[t te]donj[ri prej sistemeve:

a) x y y

yì - = -ïïíï =ïî

2 62;

b)

x y

x y

ì + =ïïïïíï + =ïïïî

2 02 1 2;3 2

c) x y


0,25 0,04 04 25 641.

2. Shkruaji si sistem t[ dy barazimeve lineareme dy t[ panjohura:

Bashkimi dhe Dritoni jan[ v[llez[r. Shuma eviteve t[ Bashkimit dhe t[ Dritonit [sht[ 16.Shuma e viteve t[ Bashkimit dhe gjysma eviteve t[ Dritonit [sht[ 12.

t[ caktosh sistem ekuivalent me sistemin edh[n[;t[ zgjidhish sistem duke e sjellur n[ form[n prejku drejtp[rdrejt mund t[ lexohet zgjidhja. Provo se ]ifti i renditur (x, y) = (3, 2) [sht[

zgjidhje e sistemit: x y yy

ì - = -ïïíï =ïî

2 62.

Shuma e dy numrave [sht[ 64, kursendryshimi i tyre [sht[ 17.Nj[ k[nd i brendsh[m i trek[nd[shit ABC[sht[ 52o. Ndryshimi i dy k[ndeve tjer[[sht[ 18o.N[ dy arka gjithsej ka 440 denar[. N[ qoft[se prej t[ par[s barten te e dyta 180 denar[,te arkat do t[ ket[ shum[ t[ barabart[ t[parave.

3. Provo se ]ifti i renditur:a) (2, 10) a [sht[ zgjidhje e sistemit:

x yy x

ì - =-ïïíï =ïî

3 45 ;

b) (2, 2) a [sht[ zgjidhje e sistemit:x y

x yì - =-ïïíï - =ïî

4 65 3 4;

c) (1, 1) a [sht[ zgjidhje e sistemit:x y

x yì + =ïïíï - =ïî

22 0.

4. Cakto nj[ sistem ekuivalent t[ sistemit:

a) x y

x y

ìïï + =ïïíïï - - =ïïî

1 22

2 5 0;b)

x y

x y


2 02 1 2.3 2

5. Cakto sistem ekuivalent t[ sistemit

: x x y xx y x

ìï - + - = -ïïïíï - =ïïïî

2( 1)( 1) 2 ( 3)

,2 2

te i cili t[ dy

barazimet e kan[ form[n ax + by = c.


a)x y yy

24;

ì - =- -ïïíï =ïîb)

xx y x

33 .

ì =-ïïíï + = +ïî

7.

Shkruaj sistem prej dy barazimeve lineareme dy t[ panjohura sipas kushteve te detyra.

Bashkimi dhe Dritoni a jan[ bineq?Sqaro p[rgjigjen t[nde.

kan[ form[n ax + by = c.

Kontrollohu!


Kujtohu!

ZGJIDHJA GRAFIKE E SISTEMIT T{ BARAZIMEVE ME DY T{ PANJOHURA44444

1.A

V[re se me barazimet e dh[na jan[ p[rcaktuarfunksionet: y = 5 - x dhe y = 3x - 3.

Cakto koordinatat e ]do pik A, B, C dhe D.}far[ paraqesin koordinatat e atyre pikave p[rbarazimin e dh[n[?

N[ t[ nj[jtin rrafsh koordinativ (n[vizatimin e nj[jt[), vizato grafik[t e

Pika ku priten grafik[t e barazimeve le t[ jet[ pika M. Cakto koordinatat e pik[s M.

Grafikisht zgjidhe sistemin e barazimeve: x yx y

ì - =ïïíï + =ïî

3 33 0.

V[re grafikun e barazimit 2x - 3 = y. barazimeve: x + y = 5 dhe 3x - y = 3.


x + y = 5

y = 5 - x

3x - y = 3

y = 3x - 3

x y0

1

-3

0

C(0, -3)D(1, 0)

x y0

4

5

1

A(0, 5)B(4, 1)

Prerja e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ dy barazimeve [sht[ ]ifti i renditur i koordinatave t[ pik[sM(2, 3).

}ifti (x, y) = (2, 3) [sht[ zgjidhja e vetme e sistemit t[ barazimeve x y

x yì + =ïïíï - =ïî

53 3.

2.

BDy drejt[za n[ rrafsh mund t[ jen[:- t[ priten n[ nj[ pik[;- t[ puthiten;- t[ jen[ reciprokisht drejt[za paralele.Grafik[t e barazimeve n[ nj[ sistem jan[drejt[za, dhe sistemi ka aq zgjidhje sa pika t[p[rbashk[ta kan[ grafik[t.

Sistemi i dy barazimeve lineare me dyt[ panjohura:

ka pafund shum[ zgjidhje, n[ qoft[ segrafik[t e barazimeve jan[ drejt[za q[puthiten;

nuk ka zgjidhje, n[ qoft[ se grafik[t ebarazimeve jan[ drejt[za t[ ndryshmeparalele.

ka nj[ zgjidhje, n[ qoft[ se grafik[t e bara-zimeve priten;

x y

-1 -5

0 -3

2 1

3 3

Kujtohu!


V[re se, sistemi ka nj[ zgjidhjeZs = {(1, 2)}, d.m.th. (x, y) = (1, 2).

V[re se t[ gjitha pikat e grafik[ve jan[ t[ p[rbashk[ta dhesistemi ka pafund shum[ zgjidhje.

V[re se grafik[t jan[ drejt[za t[ ndryshme paralele dhe sistemi nuk ka zgjidhje, d.m.th.Zs = ∅.

3. V[re zgjidhjen grafike t[ sistemit: x yx y

ì + =ïïíï - =-ïî

2 51.

x - y = -1

x y-3

2

-2

3

AB

x + 2y = 5

x y-1

3

3

1

CD

Shkruaj koordinatat e pikave A, B, C, D dhe M.

Cila prej pikave [sht[ prerje e grafik[ve?

4. V[re zgjidhjen grafike t[ sistemit: x y


2 32 4 6.

x + 2y = 3

x y1

3

1

0

AB

2x + 4y = 6

x y1

3

1

0

CD

Shkruaj koordinatat e pikave A, B, C dhe D.

5. V[re zgjidhjen grafike t[ sistemit: x yx y


3 23 5.

x + 3y = 2

x y-1

2

1

0

AB

x + 3y = 5

x y5

2

0

1

CD

Shkruaj koordinatat e pikave A, B, C dhe D.A kan[ grafik[t pik[ t[ p[rbashk[t?


Duhet t[ dish:

Detyra

1.

grafikisht t[ zgjidhish sistem prej dy barazimeveme dy t[ panjohura;

Sqaro p[rgjigjen t[nde.

t'i vizatosh grafik[t e t[ dy barazimeve t[sistemit n[ nj[ rrafsh koordinativ;

N[ cilin rast sistemi prej dy barazimevelineare me dy t[ panjohura:a) ka vet[m nj[ zgjidhje;b) ka pafund shum[ zgjidhje;c) nuk ka zgjidhje?

Zgjidhe grafikisht secilin prej sistemeve:

a) y xy x

ì = -ïïíï = -ïî

8 45 1;

b) y x

x yì = +ïïíï - =-ïî

23 6;

c) y x

x yì - =ïïíï - =ïî

6 04 2.

ta vler[sosh bashk[sis[n e zgjidhjeve t[ sistemitsipas grafik[ve t[ barazimeve.

2.

3.

Nga sa zgjidhje ka secili prej tyre?

a) x y

y x2 1

1 ;ì - =ïïíï = -ïî

b) x y


3 22 6 4;

c) y xx

ì =ïïíï =ïî 2; ]) x y

y

ìïï + =ïïíïï =ïïî

1 2 12

1.

Zgjidhe grafikisht secilin prej sistemeve.

Kujtohu!

Secili prej barazimeve te sistemet m[ posht[shkruaji si funksione:

a) y xy x

ì =ïïíï - =-ïî

22 3;

b) x y

yì + - =ïïíï =ïî

2 1 01;

c) xy

ì =ïïíï =ïî

32;

]) x y


23 3 6.

Grafiku i funksionit y = ax [sht[ drejt[z q[kalon n[p[r fillimin e koordinatave.

Grafiku i funksionit y = ax + b, [sht[ drejt[z q[[sht[ paralele me grafikun e funksionit y = ax.

Grafiku i funksionit y = a [sht[ drejt[z paraleleme boshtin x. Grafiku i funksionit x = a [sht[drejt[z paralele me boshtin y.

P[r ]do sistem vler[so pozit[n reciproke t[grafik[ve t[ funksioneve dhe vler[so bashk[sin[e zgjidhjeve t[ sistemit.

Zgjidhe grafikisht secilin prej sistemeve dheprovo vler[simin t[nd.

Kontrollohu!


Kujtohu!1.A V[re sistemet A dhe B prej dy

barazimeve lineare me dy t[ panjohura.

Si jan[ fituar barazimet te sistemi i dyt[nep[rmjet barazimeve t[ sistemit t[ par[?

Barazimet e para A dhe B jan[ ekuivalente, kurse te barazimi i dyt[ nga sistemi B, epanjohura y [sht[ z[v[nd[suar me shprehje nga barazimi i par[.

Trego se ]ifti i renditur (x, y) = (2, -3) [sht[ zgjidhje e sistemeve.

N[ qoft[ se n[ nj[r[n prej barazimeve te sistemi, nj[ra prej t[ panjohurave shprehet n[p[rmjet t[dyt[s, dhe pastaj me shprehjen e fituar z[v[nd[sohet ajo e panjohur te barazimi i dyt[, at[her[barazimi i ri i fituar dhe barazimi i par[ nga sistemi formojn[ sistem t[ ri q[ [sht[ ekuivalent mesistemin e dh[n[. Kjo quhet vetia e z[v[nd[simit.

2. V[re zgjidhjen e sistemit 3 2 135

ì + =ïïíï =ïî

x yy

duke shfryt[zuar vetin[ e z[v[nd[simit.

3 2 13 3 2 5 135 5

ì ì+ = + ⋅ =ï ïï ïí íï ï= =ï ïî î

x y xy y Te barazimi i par[, e panjohura y [sht[ z[v[nd[suar

me vler[n e y nga barazimi i dyt[.

3 10 135

ì + =ïï íï =ïî

xy Fitohet sistem ekuivalent me sistemin paraprak.

3 13 105

ì = -ïï íï =ïî

xy

Shfryt[zohet transformimi ekuivalent (10 bartet prejnj[r[s an[ n[ an[n tjet[r t[ shenj[s ,,=" me shenj[ t[kund[rt[).

ZGJIDHJA E SISTEMIT T{ BARAZIMEVE LINEARE MEDY T{ PANJOHURA ME METOD{N E Z{V{ND{SIMIT

55555

Kur dy sisteme t[ barazimeve jan[ ekuivalente?Provo se ]ifti i renditur (x, y) = (5, 1) [sht[zgjidhje e sistemeve:

8 32 4 6


x yx y

dhe 8 3

2(8 3 ) 4 6ì = -ïïíï - - =ïî

x yy y

}far[ v[ren p[r barazimet e t[ dy sistemeve?

A: 2 13 5 21


x yx y

dhe

B: 1 2

3 5(1 2 ) 21ì = -ïïíï - - =ïî

y xx x .

3 35

ì =ïï íï =ïî

xy

15

ì =ïï íï =ïî

xy

Zs = {(1, 5)}.

Sistemi i fituar [sht[ i form[s

x ay b

ì =ïïíï =ïî , prej ku drejt-

p[rsdrejti lexohet ]ifti i renditur (x, y) = (1, 5) q[ [sht[zgjidhje e sistemit.


V[re!

Mund ta shfryt[zosh vetin[ e z[v[nd[simit ashtu q[ te barazimi i dyt[ t[ panjohur[n y do taz[v[nd[sosh me shprehjen x - 5 t[ barabart[ me y nga barazimi i par[.

y x y xx y x x

ì ì= - = -ï ïï ïí íï ï+ = + - =ï ïî î

5 55 2 4 5 2( 5) 4

N[ qoft[ se vazhdon t[ zgjidhish drejt, do ta fitosh sistemin ekuivalent:

52


y xx

2 52


yx

yx

ì =-ïï íï =ïî

32.

N[ qoft[ se t[ panjohur[n x te barazimi i par[ e z[v[nd[son me vler[n2 p[r x nga barazimi i dyt[, do t[ fitosh sistem prej t[ cilit mund tashkruajsh zgjidhjen.

Provo se p[r ]iftin e renditur (x, y) = (2,-3),a jan[ barazimet e sistemit barazi t[ sakta numerike.

N[ m[nyr[ t[ ngjashme zgjidhe sistemin e barazimeve: y xx y

ì = -ïïíï + =ïî

13.

4. V[re zgjidhjen e sistemit t[ barazimeve: x yx y

ì + =ïïíï - =-ïî

3 2 52 3 14.

3 2 53 2 53 142 3 14

2

ì + =ïïì + =ï ïï ïí í -ï ï- =- =ïî ïïïî

x yx yyx y x

V[re: Te barazimi i dyt[ e panjohura x [sht[ shprehurn[p[rmjet t[ panjohur[s y.M[ tutje, x te barazimi i par[ z[v[nd[sohet me shprehjenp[r x nga i dyti dhe kryhen transformimet.

y y

yx

3 143 2 5 / 22

3 142

ì -ïï ⋅ + = ⋅ïïï íï -ï =ïïïî

yyx

13 523 14

2

ì =ïïïï í -ï =ïïïî

9 42 4 103 14

2

ì - + =ïïïï í -ï =ïïïî

y yyx

yyx

13 10 423 14

2

ì = +ïïïï í -ï =ïïïî

( )y yy

3 3 14 + 4 103 14x

2

ìï - =ïïï í -ï =ïïïî

43 4 14

2

ì =ïïïï í ⋅ -ï =ïïïî

y

x

412 14

2

ì =ïïïï í -ï =ïïïî

y

x

41

ì =ïï íï =-ïî

yx

ose xy

ì =-ïïíï =ïî

14.

Zgjidhe sistemin e barazimeve x yx

ì + =ïïíï =ïî

2 63.

3. Cakto ]iftin e renditur q[ [sht[ zgjidhje e sistemit: y x

x yì = -ïïíï + =ïî

55 2 4.


M[nyra e k[till[ e zgjidhjes s[ sistemit t[ barazimeve lineare me dy t[ panjohura quhet zgjidhje esistemit me metod[n e z[v[nd[simit.

5. Te sistemi i barazimeve:

x y x y

x y x y

82 3

11;3 4

ì + -ïï - =ïïïíï + -ï + =ïïïî

asnj[ra prej barazimeve nuk [sht[ shkruar n[

form[n ax + by = c.

Q[ t[ zgjidhet sistemi i k[till[, s[ pari [sht[ e nevojshme barazimet t[ sillen n[ form[n ax + by = c .

V[re zgjidhjen: 8 / 6

2 3

11/ 123 4

ì + -ïï - = ⋅ïïïíï + -ï + = ⋅ïïïî

x y x y

x y x y

6 6 8 62 3

12 12 11 123 4

ì + -ïï ⋅ - ⋅ = ⋅ïïï íï + -ï ⋅ + ⋅ = ⋅ïïïî

x y x y

x y x y

3( ) 2( ) 484( ) 3( ) 132

ì + - - =ïï íï + + - =ïî

x y x yx y x y

3 3 2 2 484 4 3 3 132

ì + - + =ïï íï + + - =ïî

x y x yx y x y

5 487 132

ì + =ïï íï + =ïî

x yx y

48 57(48 5 ) 132

ì = -ïï íï - + =ïî

x yy y ...

Vazhdo me zgjidhjen. Sakt[sisht e ke zgjidhur n[ qoft[ se ke fituar sistemin 186

ì =ïïíï =ïî

xy

, p[rkat[sisht

]ifti i renditur (x, y) = (18, 6), i cili [sht[ zgjidhje e sistemit t[ barazimeve t[ dh[na.

Zgjidhe sistemin e barazimeve: 1

3 2

42 2

ìïï - =ïïïíïï + =ïïïî

x y

x y.

N[ qoft[ se gjat[ zgjidhjes s[ sistemit t[ barazimeve, pas transformimeve t[ kryera fitohet sistemite i cili nj[ri prej barazimeve nuk ka zgjidhje (p[r shembull, n[ qoft[ se fitohet0 ⋅ x = -1), at[her[ sistemi nuk ka zgjidhje.N[ qoft[ se, pra, fitohet sistemi te i cili ]do num[r real [sht[ zgjidhje e nj[rit prej barazimeve (p[rshembull, 0 ⋅ y = 0), at[her[ sistemi ka pafund shum[ zgjidhje.

provo se ]ifti (x, y) = (-1, 4) [sht[ zgjidhje e sistemit t[ barazimeve.

Zgjidhe sistemin e barazimeve x yx y


5 3 172 3 11.


Duhet t[ dish:

Detyra

1.

drejt t'i shfryt[zosh transformimet ekuivalentegjat[ zgjidhjes s[ sistemit t[ barazimeve.

t[ caktosh zgjidhje t[ sistemit prej dybarazimeve lineare me dy t[ panjohura dukeshfryt[zuar metod[n e z[v[nd[simit;

Sqaro se si do t[ veprosh gjat[ zgjidhjes s[

sistemit: xx y

ì =ïïíï + =ïî

52 7,

duke shfryt[zuar

metod[n e z[v[nd[simit.

a) x y

y ;ì + =ïïíï =ïî

3 2 144

b)

.

x y x y

x y y

1 13 2 3

3 3 24 2

ì + + -ïï - =ïïïíï - -ï - =ïïïî

Zgjidhi sistemet e barazimeve me metod[n e z[v[nd[simit.

b) ;x y

yì - =ïïíï =ïî

2 3 55

2. a) x y

x y ;ì - =ïïíï - =ïî

23 2 9 b)

11 25 4 8


y xx y ;

c) xx y .

ì =ïïíï + =ïî

4 03 2 14

c) x yx y .

ì + - =ïïíï - - =ïî

3 13 02 3 5 0

3. a) x yx y ;


2 23 4 3 b)

y zy z ;


2 35 4

c) .x yx y


3 3 65 16

4. a) ( ) ( )

;

x x x y

x y

ìïï + - - =ïïíïï + =ïïî

2 12 83 2

2

b)

.

x y

x y

ìïï + =ïïïíïï - =-ïïïî

62 3

12 4

5. a) ;

x y

xy

ì +ïï + =ïïïíï +ï =ïïïî

5 13 2

12

6. Zgjidhe sistemin A: 32 2 5


x yx y

edhe sistemin B: x yx y


2 3 14 6 2.

V[re se sistemi A nuk ka zgjidhje, kurse sistemi B ka pafund shum[ zgjidhje.

Kontrollohu!


N[ qoft[ se an[t p[rkat[se t[ dy barazimeve i mbledhim, p[rkat[sisht i zbresim, themi se kemi b[r[mbledhje, p[rkat[sisht zbritje e barazimeve.

N[ qoft[ se te sistemi i dh[n[ cilido barazim z[v[nd[sohet me shum[n ose ndryshimin e barazimeve,fitohet sistem i ri q[ [sht[ ekuivalent me sistemin e dh[n[.Kjo quhet vetia e shum[s e barazimeve t[ sistemit.

2. V[re zgjidhjen e sistemit ,

x yx y


5 2 57 2 31

duke shfryt[zuar vetin[ e shum[s.

, ( ) ( )5 2 5 5 2 57 2 31 5 2 7 2 31 5

ì ì- = - =ï ïï ïí íï ï+ = - + + = +ï ïî î

x y x yx y x y x y Barazimi i par[ i sistemit i [sht[ shtuar barazimi

t[ dyt[.

5 2 5 5 2 55 2 7 2 31 5 12 36

ì ì- = - =ï ïï ï í íï ï- + + = + =ï ïî î

x y x yx y x y x

5 2 53

ì - =ïï íï =ïî

x yx

Fitohet sistemi ekuivalent me barazimin e par[dhe barazimi i dyt[ [sht[ transformuar n[barazim me nj[ t[ panjohur.

5 3 2 5 2 5 153 3

ì ì⋅ - = - = -ï ïï ï í íï ï= =ï ïî î

y yx x

.y y

x xì ì- =- =ï ïï ï í íï ï= =ï ïî î

2 10 53 3

Zgjidhet sistemi me metod[n e z[v[nd[simit.

Barazimet sillen n[ form[n ì =ïïíï =ïî

x ay b

.

Provo se (x, y) = (3, 5) a [sht[ zgjidhje e sistemit.

Zgjidhe sistemin e barazimeve .

x yx y


2 13 9

ZGJIDHJA E SISTEMIT T{ BARAZIMEVE LINEARE ME DY T{PANJOHURA ME METOD{N E KOEFICIENT{VE T{ KUND{RT66666

1. Jan[ dh[n[ sistemet e barazimeve :A2 3 125 3 9


x yx y

dhe :( ) ( ) .

x yx y x y

ì - =ïïíï - + + = +ïî

2 3 12B

2 3 5 3 12 9

Trego se ]ifti i renditur (x, y) = (3, -2) [sht[ zgjidhje e sistemit.

V[re se sistemet jan[ ekuivalente. Si jan[ fituar barazimet e sistemit t[ dyt[ prej barazimeve te sistemii par[?

Barazimet e para edhe te dy sistemet jan[ t[ nj[jta, kurse barazimi i dyt[ te sistemi B [sht[fituar me mbledhjen e an[ve t[ majta, p[rkat[sisht an[ve t[ djathta t[ barazimit t[ par[ ngasistemi A.


N[ qoft[ se t[ dy an[t e barazimit t[ dyt[ i shum[zoj me -5, at[her[ koeficient[t para x dot[ jen[ numra t[ kund[rt.N[ qoft[ se t[ dy an[t e k[tij barazimi i shum[zoj me -2, at[her[ koeficient[t para y do t[jen[ numra t[ kund[rt.


/ ( )5 2 3 5 2 3

3 5 5 5 15ì ì+ = + =ï ïï ïí íï ï+ = ⋅ - - - =-ï ïî î

x y x yx y x y

Duke e shum[zuar barazimin e dyt[ me (-5), fitohetsistem ekuivalent te i cili koeficient[t para x jan[numra t[ kund[rt.

( ) ( )5 2 35 2 5 5 3 15

ì + =ïïíï + + - - = -ïî

x yx y x y

Mblidhen barazimet dhe fitohet sistem te i cilibarazimi i dyt[ [sht[ me nj[ t[ panjohur.

. . .5 2 3 5 2 3

3 12 4ì ì+ = + =ï ïï ï í íï ï- =- =ï ïî î

x y x yy y M[ tutje sistemi zgjidhet me metod[n e z[v[-

nd[simit.

P[rfundo zgjidhjen e sistemit.Provo se (x, y) = (-1, 4) a [sht[ zgjidhje e sistemit.Zgjidhe sistemin e nj[jt[ ashtu q[ koeficient[t para y t[ jen[ numra t[ kund[rt.

Zgjidhe sistemin .

x yx y

ì + =ïïíï + =-ïî

3 12 3 4

4. Zgjidhe sistemin e barazimeve: .

m nm n


2 7 93 2 5

N[ k[t[ sistem, q[ t[ fitohen barazime me koeficienta t[ kund[rta para m (ose para n) duhet t[shum[zohen me 3 barazimi i par[ dhe me (- 2) barazimi i dyt[ (ose me 2 barazimi i par[, kurse me(-7) barazimi i dyt[).

{sht[ e r[nd[sishme t[ v[resh sekoeficient[t para x, p[rkat[sisht para y te t[ dy barazimet duhet t[ jen[ numra t[ kund[rt;

gjat[ mbledhjes t[ an[ve p[rkat[se t[ barazimeve fitohet barazim me nj[ t[ panjohur;

te sistemi ekuivalent i ri i fituar nj[ri barazim [sht[ me nj[ t[ panjohur, pastaj sistemi zgjidhet memetod[n e z[v[nd[simit.

3. Zgjidhe sistemin e barazimeve: .

x yx y


5 2 33

Koeficient[t para x, p[rkat[sisht para y, nuk jan[ numra t[ kund[rt, pra n[ qoft[ se i mbledhbarazimet nuk do t[ fitosh sistem ekuivalent te i cili nj[ri barazim [sht[ me nj[ t[ panjohur.Cilin transformim duhet ta kryesh te barazimi i dyt[ i sistemit ashtu q[ koeficient[t para x ose para yt[ jen[ numra t[ kund[rt?


Duhet t[ dish:

Detyra

1.

t[ zgjidhish sistem barazimesh me metod[n ekoeficient[ve t[ kund[rt.

metoda e koeficient[ve t[ kund[rt ve]an[risht[sht[ e p[rshtatsh[m p[r shfryt[zim kurkoeficient[t para t[ panjohurave jan[ numra t[kund[rt ose duke shum[zuar leht[ mund t[sillen te ajo form[;

Vler[so cili prej sistemeve [sht[ m[ i p[r-shtatsh[m p[r zgjidhje me metod[n ekoeficient[ve t[ kund[rt:

.x y x yy x x y

ili6 7 40 2 11 155 2 3 10 11 9

ì ì- = + =ï ïï ïí íï ï- =- - =ï ïî î

; .x y y xx y x y

ì ì- = - =ï ïï ïí íï ï+ = - =ï ïî î

2 3 12 3 7 325 3 9 2 3 3

Sqaro p[rgjigjen.

Me metod[n e koeficient[ve t[ kund[rt zgjidhesistemin:

2.; .

x y x yx y y x

ì ì+ =- - =ï ïï ïí íï ï+ =- - =-ï ïî î

4 3 4 6 7 446 5 7 5 2 4

3..

x yx y


7 8 193 5 25

4.( )( ) .x y xx y y

ì + - = +ïïíï - = -ïî

5 2 3 54 3 50

; .

x y x y

x y x y

ì ìï ïï ï+ = + =ï ïï ïï ïí íï ïï ï- = + =ï ïï ïï ïî î

7 57 342 3 6 32 71 173 4 6 4

6. ; .2 6 0 4 8

3 2 2 3 2 6 0ì ì+ + = - =ï ïï ïí íï ï- =- - + =ï ïî î

x y x yx y x y

Cakto zgjidhjen e sistemit grafikisht, kursepastaj kryeje prov[n duke e zgjidhur memetod[n e z[v[nd[simit ose me koeficient[te kund[rt.

7.

a) ;x yx y


2 3 93 2 7 b) ;

x yx y


2 3 34 6 5

c) .2 2

3 6 6ì + =ïïíï + =ïî

x yx y

P[rfundo zgjidhjen e sistemit:

// ( )

2 7 9 3 6 21 273 2 5 2 6 4 10

ì ì+ = ⋅ + =ï ïï ïí íï ï+ = ⋅ - - - =-ï ïî î

m n m nm n m n ( ) ( )

6 21 276 21 6 4 27 10

ì + =ïï íï + + - - = -ïî

m nm n m n ...

m nn

6 21 2717 17ì + =ïï íï =ïî

Provo se (m, n) = (1, 1) [sht[ zgjidhje e sistemit.

Zgjidhe sistemin e nj[jt[ ashtu q[ koeficient[t para n t[ jen[ numra t[ kund[rt.

M[nyra e k[till[ e zgjidhjes t[ sistemit t[ barazimeve quhet zgjidhje me metod[n e koeficient[ve t[kund[rt.

5. Me shfryt[zimin e metod[s s[ koeficient[ve t[ kund[rt[ zgjidhe sistemin e barazimeve:

.x yx y

ì - =ïïíï + =-ïî

7 2 33 8 43

5.

Kontrollohu!

ose


Kujtohu!

Provo se ]ifti (x, y) = (4, 2) a [sht[ zgjidhje esistemit, p[rkat[sisht t[ dy numrat e k[rkuarjan[ 4 dhe 2.

A Duke zgjidhur detyra t[ndryshme nga matematika,shkencat tjera ose probleme nga

1. Shihi udh[zimet q[ duhet t[ lexohen gjat[zgjidhjes t[ detyrave t[ k[tilla dheradhitjen e m[nyrave q[ duhet t[shfryt[zohen.

FillimiMe kujdes lexohetdetyra dhe cakto-het ]'[sht[ e njohur,kurse ]'[sht[ epanjohur.

Sh[nimi imadh[sive

T[ panjohurat sh[-nohen (x, y, a, betj.) dhe v[rehenkarakteristikat etyre.

T[ v[rejturit elidhjeve reciprokeV[rehen lidhjet re-ciproke nd[rmjetmadh[sive t[ pa-njohura dhe t[ njo-hura.

Formimi isistemit

Formohen bara-zime, formohetsistem dhe sistemizgjidhet.

Shembulli: Adhurimi ka 17 monedha me vler[ t[ p[rgjithshme 67 denar[. Monedhat jan[ 2 denarshe,dhe 5 denarshe. Sa monedha 2 denarshe dhe sa monedha 5 denarshe ka Jetoni?

FillimiI njohur:• numri i monedhave•vlera e p[rgjithshme;• lloji i monedhaveI panjohur:• nga sa monedha kaprej ]do lloji.

Sh[nimi• me x numrin emonedhave prej 5denar[;• me y numrin emonedhave prej 2denar[.

Lidhjet reciproke• numri i mone-dhave [sht[ 17;

(x + y = 17);• vlera e p[rgjith-shme [sht[ 67 den.

(5x + 2y = 67).

Sistemi

175 2 67


x yx y

ZBATIMI I SISTEMIT T{ DY BARAZIMEVELINEARE ME DY T{ PANJOHURA

77777

Shkruaje fjalin[: ,,Shuma e dy numrave [sht[6, kurse ndryshimi i gjysm[s s[ numrit t[ par[dhe numrit t[ dyt[ [sht[ 0" me sistem t[ dybarazimeve lineare me dy t[ panjohura.Sistemin q[ duhet ta fitosh [sht[:

.

x yx y

ì + =ïïïïíï - =ïïïî

6

02

Me zgjidhjen e k[tij sistemi do

t[ zbulosh cil[t jan[ ato numra.

Zgjidhe sistemin.Zgjidhja e sistemit [sht[ (x, y) = (11, 6). Provo se a jan[ t[ sakta pohimet te detyra n[ qoft[ seAdhurimi ka 11 monedha 5 denarshe dhe 6 monedha 2 denarshe.

jeta e p[rditshme, shpesh her[ duhet t[ caktosh vlerat[ panjohura.Problemet (detyrat) n[ situatat e k[tilla jan[ shprehurme fjal[, por q[ t[ zgjidhen ato shpesh [sht[ enevojshme t[ paraqiten n[ form[ t[ barazimeve.


Kjo detyr[ [sht[ me l[vizje. P[r zgjidhjen e k[tyre detyrave m[ leht[ [sht[ t[ v[rehenlidhjet reciproke n[ qoft[ se b[het vizatim.

Shihe vizatimin:

E

NJOHUR

Prej vendit K niset kamioni,prej vendit A niset autobusi.Vendi ku takohen [sht[pika C.Prej K deri n[ C kamioni ka l[vizur 2 or[.Prej A deri n[ C autobusi ka l[vizur 1,5 or[.Prej C deri n[ D kamioni ka udh[tuar 1 or[.Prej C deri n[ B autobusi ka udh[ztuar 1 or[.Larg[sia prej B deri n[ D [sht[ 110 kilometra.

S H { N I M I

Shpejt[sia e kamionit [sht[ x.Shpejt[sia e autobusit [sht[ y.

LIDHJET RECIPROKE

Kamioni prej vendit K deri n[ vendin C (p[r 2 or[) e ka kaluar rrug[n 2x.Autobusi prej vendit A deri n[ vendin C (p[r 1,5 or[) ka kaluar rrug[n 1,5y.

Pasi l[vizjet e kamionit dhe autobusit jan[ t[ nj[trajtshme, shfryt[zohet formula p[r l[vizjen e nj[trajtshmes = v ⋅ t, p[rkat[sisht n[ rastin ton[ v [sht[ x ose y.

P[r 1 or[ prej vendit C deri n[ vendin D kamioni ka kaluar 1 ⋅ x.P[r 1 or[ prej vendit C deri n[ vendin B kamioni ka kaluar 1 x y.

Sipas vizatimit: KC + CA =KA ose 2x + 1,5y = 190; CD + CB =DB ose 1x + 1y =110.

SISTEMI I BARAZIMEVE

,2 1 5 190110


x yx y

Zgjidhe sistemin.Provo a [sht[ e sakt[ se kamioni l[viz me shpejt[si 50 km/h, kurse autobusi me shpejt[si 60 km/h.

4. Nj[ anije l[viz n[p[r rrjedhjen e lumit me shpejt[si 25 km/h, kurse p[rball[ rrjedhjes s[ lumit meshpejt[si 20 km/h. Cakto shpejt[sin[ e anijes dhe shpejt[sin[ e lumit.

kamioni (k) autobusi (a)

2. N[ dy rafte ka 124 libra. N[ raftin e par[ ka pasur 3 her[ m[ shum[ libra se sa n[ t[ dytin. Nga salibra ka pasur n[ ]do raft?

3. Vendi K dhe vendi A jan[ 190 km largnj[ri tjetrit. Prej vendit K kah vendi A [sht[ nisur kamion,kurse pas gjysm[ ore prej vendit A kah vendi K [sht[ nisur autobusi. Pas dy or[ t[ nisjes t[kamionit ato jan[ takuar dhe kan[ vazhduar l[vizjen.Nj[ or[ pas takimit autobusi dhe kamioni kan[ qen[ t[ larguar 110 km. Me ]far[ shpejt[si kan[l[vizur autobusi dhe kamioni?


Tretja K1 [sht[ 36%.

T { S H { N U A R I T

Numri i litrave q[ duhet t[ meren prej K1 le t[ jet[ x.Numri i litrave q[ duhet t[ meren prej K2 le t[ jet[ y.

E N J O H U R

N[ x litra tretje prej K1 ka 36100

x litra thartir[.


x yx y

ì + =ïïïïí ⋅ï + =ïïïî

12036 96 120 80100 100 100

⇔x y


1203 8 800

Tretja K2 [sht[ 96%.Tretja e re duhet t[ jet[ 80%.

LIDHJET RECIPROKE

N[ y litra thartir[ K2 ka 96100

y litra thartir[.

N[ 120 litra n[ tretjen e re ka 120 80100

⋅ litra thartir[ ose 36 96 120 80100 100 100

⋅+ =

x y .

N[ 120 litra prej tretjes s[ re ka x litra K1 dhe y litra K2 ose: x + y = 120.

5. Jan[ dh[n[ dy tretje t[ thartirave K1 dhe K2. Tret[si K1 [sht[ 36%, kurse tret[si K2 [sht[ 96%.Nga sa litra duhet t[ meren prej ]do tret[si, q[ t[ fitohen 120 litra tretje prej 80%?

Duhet t[ p[rkujtohesh p[r p[rqindjet.

Mbaj mend se n[ m litra me k% tretje ka 100⋅k m

litra thartir[.

Zgjidhe sistemin.Prova (x, y) = (32, 88) a i plot[son kushtet e detyr[s.

6. Sa litra uj[ dhe sa litra shpirto prej 90% duhet t[ p[rzihen q[ t[ fitohen 60 litra prej 75% shpirto?

7. Shuma e gjat[sive t[ dy kateteve te trek[nd[shi k[nddrejt [sht[ 20 cm. N[ qoft[ se kateta e vog[lvazhdohet p[r 2 cm, kurse m[ e gjata shkurtohet p[r 4 cm, at[her[ syprina e trek[nd[shit do t[zvog[lohet p[r 8 cm2.Cakto gjat[sit[ e kateteve t[ trek[nd[shit.


Syprina e trek[nd[shit n[ fillim [sht[ , ku a [sht[ brinja e trek[nd[shit, kurse h [sht[lart[sia p[rkat[se.

T { S H { N U A R I T

Gjat[sia e katet[s s[ vog[l [sht[ x.Gjat[sia e katet[s s[ gjat[ [sht[ y.

Shuma e kateteve [sht[: x + y = 20.


( ) ( )20 20

2 4 4 2 882 2

ì + =ï ìï + =ïïï ïí í+ ⋅ - ⋅ï ï - == - ïîïïïî

x y x yx y x y x y

LIDHJET RECIPROKE

Pas vazhdimit t[ katet[s s[ vog[l, gjat[sia e saj [sht[ x + 2.Pas zvog[limit t[ katet[s s[ madhe, gjat[sia e saj [sht[ y - 4.

Syprina e trek[nd[shit n[ fillim [sht[ 2⋅x y .

Syprina e trek[nd[shit pas vazhdimit dhe shkurtimit t[ katetave p[rkat[se [sht[ 82⋅

-x y

.

Q[ t'i zgjidhish detyrat e k[tilla duhet t[ kujtohesh p[r formulat dhe vetit[ e figuravegjeometrike rrafshore.

Shuma e kateteve t[ trek[nd[shit [sht[ 20 cm.

E N J O H U R

Te trek[nd[shi k[nddrejt kateta [sht[ edhe lart[si e trek[nd[shit.

Zgjidhe sistemin.Prova se ]ifti (x, y) = (8, 12) a jan[ gjat[sit[ e k[rkuara t[ katetave t[ trek[nd[shit.

8. Lart[sia e nj[ trapezi [sht[ 6 cm, kurse syprina e tij [sht[ 96 cm2. Gjat[sit[ e brinj[ve paralelendryshojn[ p[r 4 cm. Cakto gjat[sit[ e brinj[ve paralele t[ atij trapezi (bazat).

2haS


Duhet t[ dish:

t'i shprehish dhe t[ zbatosh m[nyrat p[rzgjidhjen e problemiti cili sillet n[ sistem t[ dybarazimeve me dy t[ panjohura.

P[r detyr[n: "Cakto dy numra shuma e t[ cil[ve [sht[100, kurse raporti i tyre [sht[ 4”, zbatoi rregullat:

Sh[noji t[ panjohurat dhe shkruaji raportetreciproke t[ madh[sive t[ njohura dhe t[panjohura.Formo sistem t[ barazimeve dhe zgjidhe.Provo zgjidhjen.

Kontrollohu!

Detyra

1. Shuma e dy numrave [sht[ 72, kurse ndry-shimi i tyre [sht[ 2. Cil[t jan[ ato numra?

N[ nj[ kafaz ka pasur lepuj dhe fazan[.Dardani n[ kafaz ka num[ruar 35 koka, kurse94 k[mb[. Sa lepuj dhe sa fazan[ ka pasurn[ kafaz?

2. N[ nj[ paralele gjithsej ka 28 nx[n[s. Numrii djemve [sht[ p[r 4 m[ i madh se numri ivajzave. Sa nx[n[s n[ paralele kan[ qen[djem dhe sa vajza?

3. Nj[ anije ka kaluar 63 km p[r 5 or[ dukelundruar p[rball[ rrjedhjes s[ lumit. Kur anijaka lundruar n[p[r rrjedhjen e lumit t[ nj[jt[nat[ larg[si e ka kaluar p[r 3 or[. Sa [sht[shpej-t[sia e anijes, dhe sa [sht[ shpejt[sia elumit?

4. N[ qoft[ se n[ 8 litra uj[ t[ nxeht[ shtohen 2litra uj[ t[ ftoht[, at[her[ temperatura e ujit[sht[ 66o. N[ qoft[ se, tani n[ 7 litra uj[ t[nxeht[ shtohen 3 litra t[ ftoht[, temperaturae ujit t[ p[rzier [sht[ 59o.Sa ka qen[ temperatura e ujit t[ nxeht[, dhesa e ujit t[ ftoht[?

5.

6.

Afrimi ka bler[ 8 fletore (t[ m[dha dhe t[vogla) dhe ka paguar 250 denar[. Fletoret em[dha kan[ kushtuar nga 50 denar[, kurset[ voglat nga 20 denar[.Sa fletore t[ m[dha dhe sa t[ vogla ka bler[Afrimi?

7.

E [ma dhe bija s[ bashku kan[ 37 vjet. Parady vjet e [ma ka qen[ 10 her[ m[ e vjet[r see bija.Sa vjet kan[ e [ma dhe sa e bija?

Cakto numrat mat[s t[ k[ndit t[ ngusht[ dhet[ gjer[ me krah paralel n[ qoft[ se ndryshimii tyre [sht[ 36o.

8. Perimetri i nj[ trek[nd[shi dybrinj[nj[sh[m[sht[ 36 cm. Ndryshimi i gjat[sive t[ krahutdhe baz[s [sht[ 3 cm. Cakto syprin[n etrek[nd[shit.

9.

Sistemi i dy barazimeve lineare me dy të panjohura 153


ZGJIDHJA E PROBLEMEVE ME PARIMIN E DIRIHLES88888Shembull: Shtat[ toptha rradhiti n[ tre kuti t[ cilat nuk jan[ t[ sh[nuara n[ m[nyr[ t[ ve]ant[.

K[t[ mund ta b[sh n[ tet[ m[nyra. V[re vizatimin.

M[ tutje, q[llimi yn[ nuk [sht[ caktimi i numrit t[ mund[sive (m[nyrat) p[r zgjidhjen e detyr[s. Q[llimiyn[ [sht[ respektimi i nj[ parimi.

V[re!

Si do q[ t[ rradhiten shtat[ topthat, gjithmon[ do t[ ekziston kuti n[ t[ cil[n do t[ ket[ patjet[r tretoptha.

A

Shembulli i p[rshkruar paraqet form[ t[ thjesht[ t[ nj[ parimi t[ r[ nd[sish[m i njohur si parimi i Dirihles.

1. a) A mund t[ thuhet se n[ paralelen me 34 nx[n[s me siguri ka m[ s[ paku dy nx[n[s mbiemrat et[ cil[ve fillojn[ me shkronj[ t[ njejt[?b) A vlen ky pohim n[se n[ paralele ka 30 nx[n[s?

Petar GustavLezhen Dirihle

(1805-1859)matematikan

gjerman

Ai thot[:N[se n[ n kuti rradhiten m[ shum[ se n sende, at[her[ patjet[r n[nj[r[n prej kutive do t[ ket[ m[ shum[ se nj[ send.

a) K[tu, sipas parimit t[ Dirihles, shkronjat nga alfabeti jan[ "kuti".T[ atilla ka 31 (alfabeti qirilik).N[ rastin m[ t[ p[rshtatsh[m, p[r mbiemrat e 31 nx[n[sve do t[ "mereshin" 31 shkronja.



2. N[ gar[n e matematik[s kan[ mar[ pjes[ 372 nx[n[s. V[rteto se nd[rmjet tyre ka s[paku dy nxn[st[ cil[t n[ t[ njejt[n dit[ e festojn[ dit[lindjen.

3. N[ nj[ shkoll[ ka 16 paralele nga klasa e V deri n[ klas[n e VIII. N[ seksionin "Matematikan[t erinj" jan[ t[ an[tar[suar 18 nx[n[s. V[rteto se nd[rmjet tyre ka s[paku dy nx[n[s nga e njejtaparalele.

V[re!

Rast m[ i pap[rshtatsh[m [sht[ n[se nga ]do paralele n[ seksion do t[ kishte nga nj[ nx[n[san[tar.Por, kjo [sht[ gjithsej 16 nx[n[s.

C'mund t[ p[rfundosh p[r dy nx[n[sit e mbetur t[ seksionit?

4. N[ paralele ka 30 nx[n[s. N[ provimin me shkrim ngamatematika disa nx[n[s kan[ b[r[ m[ s[ shumti 8 gabime,nd[rsa nx[n[sit tjer[ kan[ b[r[ m[ pak gabime. V[rteto se n[paralele ka m[ s[ paku 4 nx[n[s t[ cil[t kan[ b[r[ num[r t[njejt[ t[ gabimeve n[ provimin me shkrim.

Krahaso p[rgjigjen t[nde me p[rgjigjen e dh[n[.

Numri m[ i madh i gabimeve t[ b[ra [sht[ 8. Dometh[n[, ka nx[n[s q[ kan[ b[r[ 8 gabime; emundur [sht[ q[ t[ ket[ nx[n[s me: 7 gabime; 6 gabime;---;1 gabim, por edhe nx[n[s q[ nuk kan[b[r[ gabim (d.m.th. kan[ b[r[ zero gabime).

T[ gjith[ nx[n[sit i ndajm[ n[ 9 grupe:1) nx[n[s q[ kan[ b[r[ 8 gabime;2) nx[n[s q[ kan[ b[r[ 7 gabime dhe ashtu me rradh[. N[ grupin e n[nt[ jan[ nx[n[sit q[ nuk kan[b[r[ asnj[ gabim.

Cili [sht[ numri m[ i madh i gabimeve t[ b[ra?

Ata fillojn[ me ndonj[r[n nga shkronjat q[ jan[ marr[ m[ par[.

N[ paralele ka m[ s[ paku dy nx[n[s mbiemrat e t[ cil[ve fillojn[ me t[ njejt[n shkronj[.

Me ]far[ shkronje fillojn[ mbiemrat e tre nx[n[sve tjer[ t[ mbetur?

M[ s[ paku te sa nx[n[s mbiemrat fillojn[ me t[ njejt[n shkronj[?

b) Pse pohimi nuk do t[ vlente n[se n[ paralele do t[ kishte m[ pak se 31 nx[n[s?


Por, 30 = 3 × 9 + 3. Tre nx[n[sit e tjer[ kan[ b[r[ 8, 7, ..., 2, 1 ose 0 gabime, d.m.th. sipas parimit t[Dirihles, ka grup nx[n[sish n[ t[ cil[n ka m[ s[ paku 4 nx[n[s q[ kan[ b[r[ num[r t[ njejt[ t[gabimeve ose nuk kan[ b[r[ gabime.

5. N[ paralele ka 34 nx[n[s. Gjat[ t[ sh[nuarit t[ tekstit t[ njejt[n[ kompjuter Petriti ka b[r[ 13 gabime, nd[rsa t[ tjer[t m[ pak.V[rteto se ka tre nx[n[s q[ kan[ b[r[ num[r t[ njejt[ t[gabimeve.

B

6. Jan[ dh[n[ 5 numra t[ ]far[dosh[m. V[rteto se nd[rmjet tyre ka s[paku dy numra ashtu q[ndryshimi i tyre [sht[ i pjes[tuesh[m me 4.

Puno sipas udh[zimit:

Sa dhe cilat mbetje fitohen gjat[ pjes[timit me 4? Fitohen 4 mbetje: 0, 1, 2 ose 3.

Gjat[ pjes[timit t[ 4 numrave me pes[ fitohen 5mbetje. Dometh[n[, m[ s[ paku dy nga mbetjet jan[t[ barabarta (sipas parimit t[ Dirihles).

Numrat a dhe b gjat[ pjes[timit me 4 le t[ japin mbetje t[njejt[ p, ku p ∈ {0, 1, 2, 3}. a = 4m + p; b = 4n + p.

Ndryshimi a - b = (4m + p) - (4n + p) = 4(m - n) = 4k [sht[ i form[s 4k, d.m.th. ajo [sht[ epjes[tueshme me 4.Shkruajm[ 4 | (a - b).

Rast m[ i pa favorsh[m [sht[ n[se 3 nx[n[s kan[ b[r[ 8 gabime, 3 nx[n[s kan[ b[r[ 7 gabime ek[shtu me rradh[, nd[rsa 3 nx[n[s nuk kan[ b[r[ asnj[ gabim. K[ta jan[ gjithsej 3 × 9 = 27 (kemi 9grupe nx[n[sish).

Parimi i Dirihles [sht[ i zbatuesh[m n[ shum[ l[mi t[ matematik[s.Ndiqi disa detyra me zbatimin e tij n[ pjes[tueshm[rin[ e numrave dhe n[ gjeometri.

7. Sa numra natyrore m[ s[ paku duhet t[ meren p[r t[ pasur nd[rmjet tyre dy numra t[ atill[ q[ndryshimi t[ jet[ i pjes[tuesh[m me 7?

8. N[ flet[ t[ bardh[ (20 cm x 30 cm) [sht[ derdhur ngjyr[. V[rteto se n[ k[t[ flet[ ekzistojn[ s[paku dy pika me ngjyr[ t[ nj[jt[ t[ cilat jan[ n[ larg[si 10 cm nj[ra nga tjetra.


Ndiqe sqarimin.

Nd[rto trek[nd[sh brinj[nj[sh[m me brinj[ 10 cm n[ at[ flet[.

V[re se nga tre kulmet e k[tij trek[nd[shi, dy jan[ t[ bardh[,nd[rsa nj[ri i kalt[r, ose dy jan[ t[ kalt[r, nd[rsa nj[ri i bardh[,ose t[ tre jan[ t[ bardh[ ose t[ tre jan[ t[ kalt[r.Dy kulme me ngjyr[ t[ nj[jt[ jan[ kulmet e k[rkuara.

9. N[ rrafsh jan[ dh[n[ 5 drejt[za nga t[ cilat asnj[ dyshe nuk[sht[ paralele. V[rteto se nd[rmjet tyre ekzistojn[ dy drejt[zaq[ formojn[ k[nd m[ t[ vog[l se 37o.

Puno n[ m[nyr[n vijuese.

Zgjidh pik[ M n[ rrafsh dhe zhvendosi paralelisht t[ gjitha drejt[zatashtu q[ ata t[ kalojn[ n[p[r pik[n M.

M

V[re se drejt[zat n[p[r pik[n M e ndajn[ rrafshin n[ 10 k[nde.N[se k[ndet jan[ t[ barabarta, at[her[ secili ka 360 : 10 =

36o, nd[rsa 36o < 37o, d.m.th. gjithmon[ ka k[nd q[ [sht[m[ i vog[l se 37o.

N[ nj[ shkoll[ ka 1200 nx[n[s. V[rteto se:a) m[ s[ paku 4 nx[n[s nga ajo shkoll[festojn[ dit[lindjen n[ t[ njejt[n dit[;b) m[ s[ paku dy nx[n[s kan[ iniciale t[nj[jta.

1.

Detyra

T[ v[rtetohet se n[ Shkup ka m[ s[ paku trepersona q[ kan[ num[r t[ nj[jt[ t[ qimeven[ kok[. (Nj[ njeri n[ kok[ nuk ka m[ shum[se 200 000 qime).

2.

N[ nj[ paralele ka 37 nx[n[s. V[rteto se kanj[ muaj n[ vit n[ t[ cilin jan[ lindur m[ s[paku se 4 nx[n[s nga paralelja.

3.

N[ 25 kuti ka 3 lloje mollash, ashtu q[ n[]do kuti ka vet[m nj[ lloj molle. V[rteto send[rmjet tyre ka 9 kuti me molla nga lloji inj[jt[.

4.

N[se k[ndet jan[ t[ ndryshme, at[her[ nuk jan[ t[ gjith[m[ t[ m[dhenj se 37o, pasi 10 ⋅ 37o = 370o > 360o.

D.m.th. ndonj[ri prej atyre k[ndeve [sht[ m[ i vog[l se 37o.


M{SOVE P{R SISTEMIN E BARAZIMEVE LINEAREPROVO NJOHURIN{ T{NDE

1.

Shuma e viteve t[ babait dhe djalit [sht[ 46.Pas 10 vjet babai do t[ jet[ dy her[ m[ i vjet[rse djali. Nga sa vjet kan[ tani?

}' [sht[ zgjidhje e barazimit linear me dy t[panjohura?

2. Cakto parametrin k p[r ]iftin e renditur(2, 6) q[ t[ jet[ zgjidhje e barazimit(4x - 2)k - 1 = y - k.

3. Paraqite bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit

x y- + =12 02

grafikisht.

4. }'[sht[ zgjidhje e sistemit t[ barazimevelineare me dy t[ panjohura?

5. Cakto sistem ekuivalent te sistemi i dh[n[te i cili t[ dy barazimet e kan[ form[n ax + by = c.

.

x y x y

x y y

1 2 3 33 6

2 4 63

ì + + -ïï + =-ïïïíï - -ï - =ïïïî

6. Zgjidhe grafikisht sistemin:

.

x y

x y

ì + =ïïïïíï - =ïïïî

2 71 03

7. Zgjidhe sistemin me metod[n e z[v[nd[simit.x yx y

ì - =ïïíï - =ïî

4 55 3 1

8. Zgjidhe sistemin me metod[n e koefi-cient[ve t[ kund[rt[:

( )

( ) .

x y x y

x x y

12 33

2 2 3 3

ìïï + + = +ïïíïï + = -ïïî

9. Sipas zgjidhjes grafike t[ sistemit t[barazimeve lineare, vler[so sa zgjidhje kasistemi:

a) x yx y


13 3 0

; b)x yx y

ì - =ïïíï - =ïî

2 04 2 0

10.

Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë 159

PIKA, DREJT{ZA DHE RRAFSHI N{ HAP{SIR{1. Pika, drejt[za dhe rrafshi 1602. Dy drejt[za 1633. Dy rrafshe 1654. Proektimi paralel. Proektimi ortogonal 1685. Paraqitja e trupit gjeometrik me vizatim 171 PRIZMI6. Prizmi. Llojet e prizmave. Prerjet diagonale 1747. Paralelopipedi. Rrjeti dhe syprina e prizmit 177

8. V[llimi i poliedrit. V[llimi i kuboidit dhe kubit 1839. V[llimi i prizmit t[ drejt[ 187 PIRAMIDA10. Piramida. Syprina e piramid[s 19011. V[llimi i piramid[s 194 CILINDRI, KONI DHE TOPI12. Cilindri, syprina dhe v[llimi 19713. Koni, syprina dhe v[llimi 20014. Topi, syprina dhe v[llimi 20315. Gjasa (Probabiliteti) 206 Provo njohurin[ t[nde 208

TEMA 4. TRUPAT GEOMETRIKE

Tema 4. Trupat gjeometrik160

Kujtohu!

Kujtohu!

PIKA, DREJT{ZA DHE RRAFSHI11111

Drejt[za, k[ndi, trapezi dhe rrethi jan[ figurarrafshore.

PIKA, DREJT{ZA DHE RRAFSHI N{ HAP{SIR{

A N[ vizatim jan[ paraqitur kubi dhekuboidi.

T[ gjitha pikat e kubit a i takojn[ t[ nj[jtit rrafsh?

A [sht[ kuboidi figur[ e rrafsh[t? Pse?

Pjesa e gjeometris[ q[ i studion figurat errafshta quhet planimetri.

Disa veti t[ drejt[z[s jan[ p[rvet[suar si vetithemelore (aksioma).Si aksiom[ e par[ aksioma (A1) e p[rvet[suamvetin[: n[ ]do drejt[z shtrihen pafund shum[pika, por ka edhe pika q[ nuk shtrihen n[ at[drejt[z. Pjesa e gjeometris[ q[ i studion figurat n[ hap[-

sir[ quhet stereometri.

Pikat, drejt[zat dhe rrafshet jan[ figura themelore gjeometrike n[ hap[sir[.Rrafshi mund t[ paramendohet si qelq i rrafsh[t, sikurse sip[rfaq[ja e ujit t[ qet[ etj. Ajo [sht[sip[rfaqe e pakufizuar. P[r at[ [sht[ pranuaur kjo aksiom[:

A1

N[ ]do rrafsh shtrihen pafund shum[ pika, ekzistojn[ pika q[ nuk shtrihen n[ at[ rrafsh.

1.

{sht[ dh[n[ rrafshi ∑ edhe pikat A, B, C, D, M n[ vizatim.

Σ

A D

CB

M

Pika A i takon rrafshit ∑, d.m.th. A ∈ Σ. Mund t[ thuhet se Ashtrihet n[ Σ, p[rkat[sisht Σ kalon n[p[r A..Cilat pika tjera t[ sh[nuara shtrihen n[ Σ?

P[r tre ose m[ shum[ pika q[ shtrihen n[ nj[ rrafsh thuhet se jan[ komplanare. K[shtu, n[ vizatimpikat A, B, C, D ∈ Σ, M ∉ Σ, pra A, B, C, D jan[ komplanare, kurse B, C, D, M nuk jan[ komplanare.

B

P[r rrafshin [sht[ p[rvet[suar kjo veti themelore (aksiom[): N[p[r ]do tri pika q[ nukshtrihen n[ nj[ drejt[z kalon sakt[sisht vet[m nj[ rrafsh.

Ka edhe figura tjera gjeometrike t[ rrafshta


P[r rrafshin [sht[ p[rvet[suar kjo veti themelore (aksiom[):

A2

N[p[r ]far[do tre pika q[ nuk shtrihen n[ nj[ drejt[z kalon sakt[sisht nj[ rrafsh.

2. Pse karrika me tre k[mb[ nuk ,,l[kundet" edhe kur k[mb[t nuk jan[ me gjat[si t[ barabarta?A vlen kjo edhe te tavolina me kat[r k[mb[?

3. Shihe kuboidinn n[ vizatim dhe p[rgjigju n[ pyetjet.

Cili kulm i kuboidit shtrihet n[ rrafsh t[ p[rcaktuar mepikat A, B dhe B1?Kulmi C a shtrihet n[ at[ rrafsh?A jan[ komplanare k[to pika:a) A, B, C, D; b) A, B, C1, D1; c) A, B, C, C1?Cakto kat[r kulme tjera ashtu q[ t[:a) shtrihen; b) mos shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[.Vizato kuboid dhe sh[noje si n[ vizatim. Pastaj, hijezoje pjes[n e rrafshit q[ kalon n[p[r pikat B,C, D1, A1 q[ shtrihet edhe n[ kuboid.

C N[ qoft[ se ]do pik[ e nj[ drejt[ze shtrihet n[ nj[ rrafsh, at[her[ thuhet se drejt[za shtrihet n[at[ rrafsh, kurse p[r rrafshin thuhet se kalon n[p[r at[ drejt[z.

N[ nj[ rrafsh shtrihen pakufi shum[ drejt[za.

4. N[ vizatim [sht[ paraqitur rrafshi ∑ dhe dy pika A dhe B, q[shtrihen n[ t[.

A

B

Σ

Sa drejt[za kalojn[ n[p[r pikat A dhe B?

Pikat tjera t[ drejt[z[s AB a shtrihen n[ rrafshin ∑?

{sht[ p[rvet[suar si e sakt[ kjo veti themelore (aksiom[) e rrafshit.

A3

N[ qoft[ se dy pika t[ nj[ drejt[ze shtrihen te ndonj[ rrafsh, at[her[ edhe drejt[za shtrihet n[at[ rrafsh.

Kjo aksiom[ do t[ ndihmon t[ v[resh pozitat reciproke t[ drejt[z[s dhe rrafshit n[ hap[sir[.

Shihi vizatimet dhe p[rcjelli sqarimet p[r pozit[n reciproke t[ mundshme t[ nj[ drejt[ze dhe nj[rrafshi.


3. Tehu AB i kubit nga detyra 1 [sht[ paralelvet[m me dy faqe t[ tij dhe nuk ka pika t[p[rbashk[ta me ato. Em[rtoji ato faqe.

Diagonalja AC e baz[s s[ kubit nga detyra 1nuk ka pika t[ p[rbashk[ta vet[m me nj[ faqet[ kubit. Cila [sht[ ajo faqe?

4.

P[r rrafshin ∑ dhe drejt[z[n a jan[ t[ mundshme k[to tre raste.

Drejt[za dhe rrafshi nuk kan[ pika t[ p[rbashk[ta.At[her[ thuhet se ato jan[ paralele, dhe shkruhet a || Σ.

Drejt[za dhe rrafshi kan[ vet[m nj[ pik[ t[ p[rbashk[t.At[her[ thuhet se rrafshi e pret drejt[z[n ose drejt[zaa e dep[rton rrafshin ∑ n[ pik[n P; p[r pik[n P thuhetse [sht[ pik[ dep[rtuese.

Drejt[za a shtrihet n[ rrafshin ∑ ;edhe n[ k[t[ rast thuhet se ato jan[ paralele.

5. Shihe kuboidin dhe v[re rrafshin ∑, t[ p[rcaktuar mekulmet A, B, C.

Em[rtoji drejt[zat e p[rcaktuara me tehet q[:a) jan[ paralele me ∑ ;b) e dep[rtojn[ ∑ ;c) shtrihen n[ ∑.

Duhet t[ dish:

Detyra

1.

t'i shprehish figurat themeloregjeometrike n[ hap[sir[;

Vizato kubin ABCDA1B1C1D1.Em[rto kat[r kulme t[ cil[t jan[:a) komplanare; b) jokomplanare.

t[ caktosh pozit[n reciproke t[drejt[z[s dhe rrafshit.

2. Sa drejt[za mund t[ p[rcaktohen me nj[ kulmnga baza e sip[rme dhe nj[ kulm nga baza eposhtme e nj[ kubi?

Si [sht[ pozita reciproke e: a) pik[s dherrafshit; b) drejt[z[s dhe rrafshit?Pikat A, B, C, M, D jan[ kulme t[ kuboidit n[vizatimin e sip[rm. Cil[t prej k[tyre kat[rkulmeve:a) jan[ komplanare, b) nuk jan[ komplanare?Sa rrafshe mund t[ kalojn[ n[p[r:a) pik[n e dh[n[ A; b) dy pika t[ dh[na Bdhe C; c) tre pika t[ dh[na A, B, C?

Kontrollohu!


Kujtohu!

DY DREJT{ZA22222

Shprehi aksiomat p[r rrafshin.

A Dy drejt[za n[ hap[sir[:

Sa pika p[rcakton nj[ drejt[za) n[ rrafsh, b) n[ hap[sir[?Si [sht[ pozita reciproke e dy drejt[zave (n[hap[sir[) q[ kan[ dy pika t[ p[rbashk[ta?

Me sa pika [sht[ p[rcaktuar nj[ rrafsh?

Drejt[za a ka dy pika t[ p[rbashk[ta merrafshin Σ. Si [sht[ pozita reciproke e a dheΣ?

ose kan[ vet[m nj[ pik[ t[ p[rbashk[t(priten);

ose nuk kan[ pika t[ p[rbashk[ta;

1. N[ vizatim, drejt[zat a dhe b priten, d.m.th.kan[ nj[ pik[ t[ p[rbashk[t P. Shihe vizatimindhe p[rgjigju n[ pyetjet.

P

A

B

a

b

A mundet ]far[do pik[ e zgjedhur A ∈ a, B ∈ b dhe prerja P (A≠P dhe B≠P) t[ jen[ kolineare? Pse?

Pikat A, B dhe P p[rcaktojn[ sakt[sisht nj[ rrafsh. Pse?

Drejt[zat a dhe b shtrihen n[ at[ rrafsh. Pse?

2. N[ vizatim [sht[ paraqitur nj[ kuboid.Shqyrtoje dhe p[rgjigju n[ pyetjet.

A B

CD

A1 B1

C1D1

Tehu AB a shtrihet n[ rrafshin e nj[jt[ me tehun:a) BB1; b) A1B1; c) B1C1?Tehet CB dhe C1B1 shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[. Pse?

Tehet AB dhe A1B1 shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[ dhe nuk kan[pik[ t[ p[rbashk[t; dhe drejt[zat AB dhe A1B1 nuk kan[ pik[t[ p[rbashk[t - ato jan[ paralele, d.m.th. AB || A1B1.

Dy drejt[za paralele gjithmon[ shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[. Tehet, p[rkat[sisht drejt[zat AB dheB1C1, gjithashtu, nuk kan[ pika t[ p[rbashk[ta, por ato nuk shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[; p[r atothuhet se jan[ shmang[se.

3. Me ndihm[n e kuboidit shih edhe disa ]ifte t[ drejt[zave paralele. Tre drejt[za paralele a shtrihengjithmon[ n[ rrafshin e nj[jt[?

ose puthiten (n[ qoft[ se kan[ dy pikat[ p[rbashk[ta).

Ke kujdes!


Sipas aksiom[s A2, rrafshi [sht[ plot[sisht i p[rcaktuar me tre pika jokolineare.

B

Disa pozita t[ dy drejt[zave n[ hap[sir[, gjithashtu, p[rcaktojn[ nj[ rrafsh. Cilat jan[ atopozita?

Mbaj mend dhe shihi vizatimet!

shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[; at[her[ ato ose priten ose jan[ paralele (por mund edhe t[ puthiten),sikurse n[ fig. 1;Dy drejt[za n[ hap[sir[ mund t[:

nuk shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[, d.m.th. t[ jan[ drejt[za shmang[se (a dhe c n[ fig. 2).

Fig. 1 Fig. 2

4. Sipas fig. 2 shkruaj disa ]ifte t[: a) drejt[zave aplanare; b) drejt[zave paralele.

5. Pik[prerjet e drejt[zave n[ fig. 2 jan[ kulme t[ nj[ kuboidi. Konstato se jan[ t[ sakta k[to pohime.a) Drejt[zat b dhe m nuk priten dhe nuk jan[ paralele, d.m.th. ato jan[ shmang[se.b) Drejt[zat m dhe d nuk priten dhe shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[, d.m.th. ato jan[ paralele.c) Drejt[zat a dhe d priten dhe nuk shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[.]) Drejt[zat b dhe m jan[ shmang[se dhe nuk shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[.

6. Shihi vizatimet dhe sqaro pse nj[ rrafsh n[hap[sir[ [sht[ plot[sisht i p[rcaktuar:a) me tre pika jokolineare;b) me drejt[z dhe pik[ q[ nuk shtrihet n[ at[ drejt[z;c) me dy drejt[za paralele;]) me dy drejt[za q[ priten.

a) b)

c) ])

Kujtohu!


7. Sa rrafshe p[rcaktojn[ tehet an[sore t[ nj[ kuboidi?(Ke kujdes: ka m[ shum[ se kat[r rrafshe)

Duhet t[ dish:

t'i sqarosh pozitat reciproke t[ dy drejt[zave n[ hap[sir[.

P[r cilat drejt[za thuhet se jan[: a) paralele, b) shmang[se?

Detyra

1. Tre drejt[za t[ ndryshme n[ hap[sir[ kalojn[n[p[r t[ nj[jt[n pik[. Sa rrafshe mund t[p[rcaktojn[ k[to drejt[za?

3. Le t[ jen[ a dhe b drejt[za n[ hap[sir[. Sarrafshe mund t[ kalojn[ n[p[r ato drejt[za?

Vizato kub ABCDA1B1C1D1 dhe vizatoji diagonalet e bazave t[ tij. Cilat ]ifte t[ drejt[zave AC, BD,A1C1, B1D1: a) priten, b) jan[ paralele, c) jan[ shmang[se?

2. Vizato kuboidin ABCDA1B1C1D1 dhe vizatojidiagonalet e dy faqeve fqinje t[ tij, p[r shem-bull, ABB1A1 dhe BCC1B1. Cilat ]ifte t[ drej-t[zave AB1, BA1, CB1, BC1:a) priten; b) jan[ paralele;c) jan[ shmang[se?

4. Sa rrafshe p[rcaktojn[ kat[r pika jokom-planare?

5. Sqaro gjykimin:,,N[ qoft[ se drejt[zat AB dhe CD priten,at[her[ pikat A, B, C, D jan[ komplanare”.

DY RRAFSHE33333

Si thot[ aksioma me t[ cil[n plot[sishtp[rcaktohet nj[ rrafsh n[ hap[sir[?

A

}far[ pozit[ reciproke mund t[ ken[ nj[drejt[z dhe nj[ rrafsh n[ hap[sir[?

1. Mendo dhe p[rgjigju:

A mundet dy rrafshe t[ ken[ vet[m nj[pik[ t[ p[rbashk[t?A mundet dy rrafshe t[ ken[ vet[m dypika t[ p[rbashk[ta?

P[rgjigjen n[ k[t[ pyetje e jep kjo veti themelore(aksioma A4):

A4

N[ qoft[ se dy rrafshe t[ ndryshme kan[ nj[ pik[ t[ p[rbashk[t, at[her[ ato rrafshe kan[ nj[drejt[z t[ p[rbashk[t q[ kalon n[p[r at[ pik[.

Sipas aksiom[s, dometh[n[, dy rrafshe t[ ndryshme Σ1 dhe Σ

2:

a) ose nuk kan[ pika t[ p[rbashk[ta; b) ose kan[ nj[ drejt[z t[ p[rbashk[t.N[ qoft[ se rrafshet kan[ tre pika t[ p[rbashk[ta jokolineare, ato puthiten.

Kontrollohu!

Kujtohu!


Mbaj mend

Kur dy rrafshe t[ ndryshme Σ1 dhe Σ2 kan[ nj[ drejt[z t[ p[rbashk[t thuhet se ato rrafshe priten, kursedrejt[za e p[rbashk[t [sht[ drejt[za prer[se e tyre.P[r dy rrafshe Σ1 dhe Σ2 thuhet se jan[ paralele n[ qoft[ se nuk kan[ pika t[ p[rbashk[ta ose n[ qoft[se puthiten, kjo sh[nohet me Σ

1 || Σ

2.

2. V[re se jan[ t[ sakta k[to gjykime. (B[n vizatim!)a) N[ qoft[ se Σ

1 || Σ

2 dhe n[ qoft[ se a e dep[rton Σ

1, at[her[ a e dep[rton edhe Σ

2.

b) N[ qoft[ se Σ1 || Σ

2 dhe a || Σ

1, at[her[ a || Σ

2.

c) N[ qoft[ se Σ1

|| Σ2 dhe Σ

3 pritet me Σ

1, at[her[ Σ

3 pritet edhe me Σ

2.

Shihe vizatimin dhe p[rcille sqarimin.

Rrafshet Σ1

dhe Σ2

priten dhe s [sht[ drejt[z prer[se.M nj[ pik[ e ]far[doshme e s, prej t[ cil[s jan[ t[rhequr dygjysm[drejt[za pingule (normale) n[ s, ashtu q[ nj[ra shtrihet n[S1, kurse tjetra n[ Σ

2. Ato gjysm[drejt[za e formojn[ k[ndin α.

K[ndi α, krah[t e t[ cilit jan[ ato gjysm[drejt[za quhet k[ndind[rmjet rrafsheve Σ

1 dhe Σ

2. Edhe k[ndi i tij i puq[t paraqet

k[nd nd[rmjet atyre rrafsheve.

N[ qoft[ se k[ndi nd[rmjet rrafsheve [sht[ i drejt[, at[her[ p[rrrafshet thuhet se jan[ pingule (normale) nd[rmjet veti, d.m.th.

Σ1

⊥ Σ2.

3. }far[ k[ndi formojn[ dyshemeja dhe faqeja n[ klas[n t[nde? A jan[ pingul nd[rmjet tyre faqeja e muret dhe e tavanit? Po tavani dhe dyshemeja?

4. }far[ k[ndi formojn[ baza dhe nj[ faqe an[sore e kuboidit?


Shihi vizatimet dhe p[rcjelli sqarimet. BDrejt[za a e dep[rton rrafshin Σ n[ pik[n P.

N[p[r pik[n dep[rtuese P jan[ t[rhequr drejt[zat b dhe c q[shtrihen n[ Σ; ato me drejt[z[n a formojn[ k[nde β dhe γ. N[p[rpik[n P mund t[ t[rhiqen dhe drejt[za t[ tjera t[ atilla; t[ gjitha atome a formojn[ k[nde t[ ndryshme.Sigurisht v[reve se ato k[nde mund t[ jen[ t[ barabart[ nd[rmjetveti kur ato jan[ k[nde t[ drejt[.

At[her[ p[r drejt[z[n a thuhet se [sht[ pingule n[ rrafshin,d.m.th. se a [sht[ pingule n[ rrafshin Σ; ajo sh[nohet me a ⊥Σ .

Mbaje mend

P[r drejt[z[n a thuhet se [sht[ pingule n[ rrafshin Σ, n[ qoft[ se a [sht[ pingule n[ ]do drejt[z q[shtrihet n[ Σ dhe q[ kalon n[p[r pik[n dep[rtuese t[ Σ me a.

5. V[re se p[r rrafshet Σ1, Σ

2 dhe drejt[zat a, b, k[to pohime jan[ t[ sakta. B[je vizatimin!

a) N[se a || b dhe a ⊥ Σ1, at[her[ b ⊥ Σ

1. b) N[se Σ

1 || Σ

2 dhe a ⊥ Σ

1, at[her[ a ⊥ Σ

2.

6. N[ vizatim pika M nuk shtrihet n[ rrafshin Σ. Prej Mmund t[ l[shojm[ pingule (normale) n[ Σ. Le t[ jet[ M'pika dep[rtuese e asaj normaleje.

C

Shihe vizatimin, pra mendo dhe p[rgjigju n[ pyetjet.

Sa pingule (normale) t[ atilla n[ Σ mund t[ l[shohen prej M?N[p[r M [sht[ t[rhequr drejt[za b q[ e dep[rton Σ n[ pik[n N ≠ M'.Drejt[za b a [sht[ pingule (normale) n[ Σ?

}far[ trek[nd[shi [sht[ ΔMM'N?

Nxirre p[rfundimin se MM' [sht[ pingulja (normalja) e vetme e Σ e l[shuar prej pik[s M.Sqaro ]'[sht[ pingule (normale) e rrafshit e l[shuar prej pik[s q[ shtrihet jashta rrafshit.P[r segmentin MM' (prej vizatimit) thuhet se [sht[ ortogonale n[ rrafshin Σ, kurse p[r ]do segmenttjet[r (sikurse [sht[ MN) - se [sht[ i pjerr[t.Larg[sia MM' quhet edhe larges[ e pik[s M deri te rrafshi ΣΣΣΣΣ.

Shprehe p[rkufizimin p[r larges[n e pik[s deri te rrafshi.Prej vizatimit konstato se <MM' MN .


Duhet t[ dish:

t[ sqarosh ]'[sht[ prerje e dy rrafsheve;Si [sht[ pozita reciproke e dy rrafsheve n[ qoft[se kan[:a) nj[; b) dy; c) tri pika t[ p[rbashk[ta?

Detyra

1. P[r cil[t dy rrafshe thuhet se:a) jan[ paralel; b) jan[ pingul (normal)?

3. P[r drejt[zat e dh[na a dhe b dhe rrafshetΣ

1, Σ

2, Σ

3 a jan[ t[ sakta gjykimet? (B[je

vizatimin.)a) N[ qoft[ se a || b dhe a || Σ

1, at[her[ edhe

b || Σ1.

b) N[ qoft[ se a ⊥ Σ1 dhe a ⊥ Σ

2, at[her[

edhe Σ1 || Σ

2.

c) N[ qoft[ se Σ1 || Σ

2 dhe Σ

1 || Σ

3, at[her[

edhe Σ2 || Σ

3.

P[r drejt[zat a, b dhe rrafshin Σ a jan[ t[ sak-ta gjykimet (b[je vizatimin):a) N[ qoft[ se a || b dhe drejt[za a e dep[rton Σ, at[her[ edhe drejt[za b e dep[rton Σ.

b) N[ qoft[ se a ⊥ Σ dhe b ⊥ Σ, at[her[ a || b.

2. Sa drejt[za pingule (normale) mund t[ t[rhiqenprej pik[s s[ dh[n[, n[ rrafshin e dh[n[?

4. Largesa prej pik[s M me rrafshin Σ [sht[ d.Sqaro se p[r gjat[sin[ e ]do segmenti t[l[shuar prej p[k[s M deri te cila do pik[ X t[rrafshit Σ vlen: d³MX .

5. }far[ pozit[ reciproke mund t[ ken[ rrafshiΣ

1, q[ kalon n[p[r pikat A, B, C dhe rrafshi

Σ2, q[ kalon n[p[r pikat A, B, D?

me vizatim t'i paraqesish pozitat reciproke t[dy rrafsheve;me vizatim t[ sqarosh: k[ndin nd[rmjet dyrrafsheve dhe larges[n prej pik[s deri n[ rrafsh.

PROJEKTIMI PARALEL. PROJEKTIMI ORTOGONAL44444A 1. {sht[ dh[n[ rrafshi ∑ dhe drejt[za s q[ nuk [sht[

paralele me ∑.Zgjedh pik[ A dhe n[p[r t[ t[rhiq drejt[z a q[ [sht[paralele me drejt[z[n s.Drejt[za a e dep[rton rrafshin ∑. (Pse?) Vizato at[ pik[ t[ dep[rtimit dhe sh[noe me A'.Krahaso p[rgjigjen t[nde me p[rgjigjen e dh[n[.

Pika A' quhet projeksion i pik[s A n[ rrafshin ∑ n[ drejtim t[ s.P[r drejt[z[n s thuhet se [sht[ drejtimi projektues.Drejt[za a quhet drejt[za projektuese e pik[s A.P[r rrafshin ∑ thuhet se [sht[ rrafshi projektues.Me k[t[ [sht[ p[rcaktuar pasqyrim i pikave prej hap[sir[s mbi rrafshin ∑. Ky pasqyrim quhetprojektim paralel, me drejtimin projektues s.

Kontrollohu!


Kujtohu!

2. Pikat A’ , B’ dhe C’ n[ vizatim jan[ p[rkat[sisht projeksione t[pikave A, B dhe C.

Pse A’ ≡ B’ dhe C’ ≡ C?

3. Pikat X' dhe Y’ n[ vizatim jan[ projeksione t[ disa pikave,mbi rrafshin ∑, n[ drejtim t[ drejt[z[s s.

Cilat pika nga hap[sira proektohen n[ pik[n X’ ?

Cilat pika nga rrafshi ∑ proektohen n[ pik[n Y’?

V[re dhe mbaj mend!

N[ qoft[ se A’ [sht[ projeksion i pik[s A, at[her[ A’ [sht[ projeksion i ]do pike t[ drejt[z[sprojektuese q[ kalon nep[r piken A.}do pik[ nga rrafshi projektues puthitet me projeksionin e tij.

4. Vizato rrafsh ∑ me drejtim projektues s dhe drejt[z p, p s. Zgjedh n[ drejt[z[n p tri pika A,B, C dhe vizatoji projeksionet e tyre A’ , B’ , C’ . (Ke kujdes: pikat A’ , B’ , C’ do t[ jen[ kolineare!)

}'[sht[ projektim paralel? B

Figura gjeometrike (edhe rrafshore edhehap[sinore) paraqet nj[ bashk[si pikash.

Projeksioni i nj[ figure mbi rrafshin edh[n[ ∑ [sht[ bashk[sia e pikave q[jan[ proeksione t[ pikave t[ asaj figure.

}donj[ra prej atyre pikave ka projeksion t[vet gjat[ projektimit t[ tij paralel.

N[ k[t[ m[nyr[ projektimi i drejt[z[s n[ rrafshin∑ , n[ rastin m[ t[ p[rgjithsh[m [sht[ drejt[z, isegmentit - [sht[ segment, i trek[nd[shit - [sht[trek[nd[sh e me rradh[.

5. {sht[ dh[n[ rrafshi ∑, drejt[za s dhe s ⊥ ∑, A ∉ ∑, B ∈ ∑.

N[ rastin kur drejtimi proektues [sht[ pingul (normal) n[ rrafshinprojektimin e dh[n[ ∑, p[r projektimin paralel thuhet se [sht[

K[shtu, pikat A’ dhe B’ jan[ projeksione ortogonale t[ pikave A dhe B mbi rrafshin ∑.

ortogonal, kurse p[r projeksionet thuhet se jan[ projeksione ortogonale.

6. Shihe vizatimin dhe sqaro se si [sht[ b[r[ nd[rtimi i projeksionitortogonal a' i drejt[z[s a n[ rrafshin ∑ .

Cakto projeksionet e A dhe B n[ ∑ n[ drejtim t[ s.

Shihe dhe p[rcille sqarimin.


7. B[n vizatim n[ fletore sikurse vizatimi i dh[n[ dhe vizatoprojeksionin ortogonal t[ drejt[z[s a mbi rrafshin ∑.

8. }'[sht[ projeksioni ortogonal i segmentit AB n[ rrafshine dh[n[ ∑:

a) n[ rastin kur AB nuk [sht[ pingule (normale) n[ ∑;

b) n[ qoft[ se AB || Σ?

Shihi vizatimet dhe v[re sqarimet.

a) N[ qoft[ se A’ dhe B’ jan[ projeksionet e pikave t[ skajshmeA dhe B t[ segmentit AB, at[her[ proeksioni i segmentit ABmbi rrafshin ∑ [sht[ segmenti A’B’.

b) N[ qoft[ se segmenti AB [sht[ paralel me rrafshin eprojeksionit ∑ , at[her[ projeksioni i tij A’B’ [sht[ paralel me

segmentin e dh[n[, d.m.th. A'B' || AB, =A'B' AB , pasikat[rk[nd[shi ABB’A’ [sht[ paralelogram. (Pse?)

9. }'[sht[ projeksioni ortogonal i segmentit, q[ [sht[ normal n[ ∑?

C 10. Projeksioni i trek[nd[shit, n[ rastin ep[rgjithsh[m [sht[ trek[nd[sh.

}far[ pozite reciproke ka rrafshi te i cilishtrihet trek[nd[shi, me rrafshin projektues,projeksioni i trek[nd[shit nuk [sht[ trek[n-d[sh?

N[ qoft[ se rrafshi te i cili shtrihet trek[nd[shi [sht[pingul (normal) n[ rrafshin projektues, at[her[

Duhet t[ dish:

t[ sqarosh: projektimin paralel dhe projeksioninortogonal mbi rrafsh;

Drejt[za b [sht[ pingule (normale) n[ ∑ mepik[n dep[rtuese P. Cakto projeksioninortogonal b’ t[ drejt[z[s b.Si [sht[ pozita reciproke e drejt[zave projek-tuese dhe rrafshit t[ projeksionit gjat[projeksionit ortogonal?

t[ b[jsh projeksionin ortogonal t[ pik[s,drejt[z[s, segmentit dhe trek[nd[shit mbirrafsh.

projeksioni i tij [sht[ segment. Te vizatimi, ΔPQR projektohet n[ segment P'R'.

Kontrollohu!


Kujtohu!

Detyra

1. Pikat e skajshme t[ segmentit AB shtrihen n[an[ t[ ndryshme t[ rrafshit projektues. Caktoprojeksionin ortogonal t[ segmentit. B[jevizatimin.

2. Projeksionet ortogonale t[ segmentave ABdhe CD jan[ A'B' dhe C'D'. Cili prej k[tyrepohimeve [sht[ i sakt[?a) N[ qoft[ se =AB CD , at[her[ =A'B' C'D' .b) N[ qoft[ se AB || CD, at[her[ =A'B' C'D' .c) N[ qoft[ se AB || CD dhe =AB CD ,at[her[ =A'B' C'D' .

3. Drejt[zat a dhe b priten. A mundet proek-sionet e tyre t[ jen[ dy drejt[za t[ ndryshmeparalele?

4. Projeksionet A', B', C' t[ pikave A, B, C jan[kolineare. Pikat A, B, C a jan[ patjet[r koli-neare?

5. Pika C [sht[ mesi i segmentit AB.Sqaro se projeksioni C' (i pik[s C) [sht[ mesii segmentit A'B'.

6. Pika M nuk shtrihet n[ drejt[z[n a. A mundetprojeksioni M' t[ shtrihet n[ drejt[z[n a'?

PARAQITJA E TRUPAVE GJEOMETRIK ME VIZATIM55555

Me kubin dhe kuboidin je njohur m[ her[tgjat[ shkollimit t[nd. P[r ato din[ t[ njehsoshedhe syprin[n dhe v[llimin.

A

Cil[t prej trupave gjeometrik n[ vizatim jan[me tehe (trupa tehor) kurse cil[t t[rrumbullak[t?

1. Vizato nj[ kuboid n[ fletore.

kuboidi kubi

cilindri

koni topi

P[rve] k[tyre dy trupave gjeometrik ke njohuredhe trupa t[ tjer[ me form[n: cilindrike,konike dhe t[ topit.

Gjat[ t[ vizatuarit duhet t[ kesh kujdes p[r k[t[:1o Faqja e cila [sht[ vendosur n[ ndonj[ rrafsh dhe faqja p[rball[ saj,quhen baza ( posht[ dhe lart[); ato gjithmon[ jan[ paralele dheparalelograme t[ puthitshme nd[rmjet veti paralelograme. Kjo vlenedhe p[r t[ gjitha prizmat.2o Faqet an[sore dhe tehet an[sore t[ kuboidit (edhe te prizmat e drejt[)duhet t[ jen[ ortogonale (pingule) me t[ dy bazat.


3o Tehet paralele t[ kuboidit (edhe t[ ]do prizmi) patjet[r jan[ paraleleedhe n[ vizatim!4o T[ gjith[ 12 tehet e kuboidit nuk mund t[ shihen. N[ vizatim, tehet q[shihen paraqiten me vij[ t[ plot[, dhe ato q[ nuk shihen me vija t[ nd[rprera.Cilat prej tyre do t[ ,,shihen", dhe cilat nuk shihen, varet prej ku shihetkuboidi: a) prej lart[ (sikurse shohin zogjt[ - ,,perspektiva e zogut") oseprej posht[ (sikurse shohin bretkosat - ,,perspektiva e bretkos[s"), oseb) prej an[s s[ djatht[ ose prej an[s s[ majt[.

12

3

45

6

konturaprej lart[,nga e djathta

prej posht[, ngae majta

5o Gjasht[ tehet q[ e formojn[ kontur[n te vizatimi (1, 2, ..., 6) ,,shihen". Shihi tehet prej 1 deri 6;ato shihen edhe n[ dy vizatimet tjera.6o Prej 6 teheve tjera duhet t[ vler[sosh: cil[t prej tre teheve kan[ kulm t[ p[rbashk[t i cili nukshihet. Ato tehe nuk shihen.

B Shpesh her[ (por edhe rekomandohet), trupat gjeometrik t[ vizatohen ashtu q[ t[ shihen prejlart[ dhe na ana e djatht[.

2. T[ vizatojm[ pjes[risht nj[ kuboid (me tehe: a, b, c). Vizato n[ fletore, duke i p[rcjellur hapat preja) deri n[ ]):a) vizato drejtk[nd[sh me brinj[ a dhe c(faqeja e p[rparme an[sore);b) vizato baz[n e sip[rme;c) prej kulmeve t[ baz[s s[ sip[rme l[sho (dy)tehe an[sore me gjat[si c dhe paralele me c;]) tani mund t[ vizatohet edhe baza e posh-t[me dhe t[ shihet cilat tehe nuk shihen.

c

a a

c

b

a

c

b

a

a

cc

ab

c

a) b) c) d)

3.Vizato kub q[ e sheha) prej lart[ dhe nga ana e djatht[;b) prej lart[ dhe nga ana e majt[.

a) b)

Krahaso vizatimin t[nd me vizatimin e dh[n[.


4. Vizato kubin q[ shihet:a) prej posht[ dhe nga ana e djatht[;b) prej posht[ dhe nga ana e majt[.

Krahaso vizatimin t[nd me vizatimin e dh[n[.a) b)

C Shihi vizatimet. Te ato jan[ paraqiturnj[ priz[m e drejt[ gjasht[k[ndore dhedy piramida (nj[ra trek[ndore dhetjetra kat[rk[ndore). K[to trupa tehordo t'i hasish n[ m[simet q[ pasojn[.

5. Vizato priz[m t[ drejt[ trek[ndore.

6. Vizato piramid[ me baz[ pes[k[nd[sh.

Duhet t[ dish:

t[ paraqesish trup gjeometrik me vizatim.Vizato nj[ kuboid q[ shihet prej lart[ dhe ngaana e majt[.

Detyra

1. Vizato kub me brinj[ a = 2,5 cm.

2. Vizato kuboid me baz[ katror q[ shihet prejlart[ dhe:a) nga ana e djatht[; b) nga ana e majt[.

3. Vizato kuboid me baz[ katror q[ shihet prejposht[ dhe:a) nga ana e majt[ b) nga ana e djatht[

4. Paraqit nj[ kuboid n[ kat[r rastet e shiqimit.

Nj[ bllok druri n[ form[ t[ kubit meteh prej 3 dm [sht[ ngjyrosur me

P[rpiqu t[ num[rosh...

ngjyr[ t[ kuqe (d.m.th. me ngjyr[ t[ kuqe) n[gjasht[ faqet. Zdrukthtari e ka prer[ n[ 27 kube]donj[rin me teh 1 dm.a) Sa kube nuk kan[ asnj[ faqe t[ ngjyrosur me t[ kuqe?b) Sa kube ka me nga nj[ faqe t[ kuqe?c) Sa kube ka me nga dy faqe t[ kuqe?]) Sa kube ka me nga tre faqe t[ kuqe?d) Sa kube ka me nga kat[r faqe t[ kuqe?

Kontrollohu!


A P[rcjelle sqarimin se si fitohet prizmi.

1. N[ lidhje me vizatimin, konstato cil[t prej k[tyre pohimevejan[ t[ sakt[ dhe pse.

V[re se tre pohimet jan[ t[ sakta. Prej aty mund t[ p[rfundoshse:a) kat[rk[nd[shat ABB1A1, BCC1B1 etj. jan[ paralelograme;b) pes[k[nd[shi A1B1C1D1E1 [sht[ i puthitsh[m me pes[-k[nd[shin ABCDE.

AA1 || BB1 dhe =1 1AA BB .

Meren dy rrafshe t[ ndryshme paralele Σ dheΣ

1, skurse n[ vizatim.

Pastaj, meret edhe nj[ drejt[z p q[ i dep[rton ato dyrrafshe.

Meret edhe nj[ shum[k[nd[sh, p[r shembullpes[k[nd[shi ABCDE, q[ shtrihet n[ Σ.

N[p[r kulmet e shum[k[nd[shit t[ zgjedhur t[rhiqendrejt[za paralele me drejt[z[n p; n[ vizatim, pikat e

AB || A1B1 dhe = 1 1AB A B .

EAB = E1A1B1.

Figura gjeometrike q[ p[rb[het prej atyre dy pes[k[nd[shave dhe pes[ paralelogram[ve t[ ve]uar[sht[ paraqitur n[ vizatim.Ajo [sht[ nj[ sip[rfaqe q[ e ndan bashk[sin[ e pikave t[ hap[sir[s n[ dy zona:e brendshme dhe e jashtme.

PRIZMI. LLOJET E PRIZMAVE. PRERJET DIAGONALE66666

Kubi dhe kuboidi jan[ figura gjeometrikehap[sinore.

PRIZMI

}far[ figura gjeometrike jan[ faqet e tyre?N[ nj[r[n prej tyre t[ gjitha faqet jan[ figurat[ puthitshme. }far[?Vizato nj[ kub dhe nj[ kuboid dhe sqaro sep[r ]far[ ndryshojn[.

tyre dep[rtuese t[ rrafshit Σ1

sh[nohen p[rkat[sisht me A1, B1, C1, D1, E1.

Kujtohu!

Prizmi 175

Zona e brendshme, s[ bashku me at[ sip[rfaqe, formojn[ nj[ trup gjeometrik icili quhet priz[m pes[k[ndor

N[ t[ nj[jt[n m[nyr[ mund t[ fitohet edhe: priz[m trek[ndor, priz[m kat[rk[ndoretj. Trek[nd[shat, kat[rk[nd[shat, pes[k[nd[shat etj., q[ e p[rcaktojn[ form[n

}do priz[m ka dy baza dhe sip[rfaqe an[sore. Kulmet e bazave jan[ kulmet eprizmit, kurse brinj[t (segmentat) e bazave dhe t[ faqeve an[sore jan[ tehe,dhe at[: tehe te baz[s dhe tehe an[sore.

e prizmit, quhen baza t[ prizmit. Faqet tjera jan[ paralelogram[ - ato jan[ faqean[sore, kurse unioni i tyre, pra, quhet sip[rfaqe an[sore.

2. N[ vizatim jan[ paraqitur dy trek[nd[sha dhe nj[kuad[r, d.m.th. priz[m kat[rk[ndor.

Em[rtoji bazat e t[ tre prizmave.Em[rtoji faqet an[sore t[ dy prizmave trek[ndore.

Cil[t tehe jan[ t[ baz[s, dhe cil[t jan[ tehe an[sorete prizmi pes[k[ndor nga detyra paraprake?

Sa kulme dhe sa tehe ka nj[ priz[m kat[rk[ndor?

3. Num[roji kulmet (k), faqet (f) dhe tehet (t) t[ prizmit pes[k[ndor nga vizatimi i sip[rm, dheprovo a vlen barazia: f + k = t + 2..

B Prizmi te i cili tehet an[sore jan[ pingule(normale)n[ bazat quhet priz[m i drejt[.T[ atilla jan[ prizmat I dhe II n[ vizatim.

Prizmi ku tehet an[sore nuk jan[ normale n[ bazat quhetprizmi i pjerr[t.Prizma t[ atilla jan[ III dhe IV n[ vizatim.

I II

III IV

4. Em[rtoji prizmat I - IV n[ vizatim:sipas llojit t[ baz[s;sipas pozit[s s[ teheve an[sore (ndaj baz[s);

sipas llojit t[ bazave dhe pozit[s t[ teheve an[sore.

}do priz[m i drejt[ me baz[ shum[k[nd[sh t[ rregullt quhetpriz[m i rregullt.K[shtu, p[r nj[ priz[m t[ drejt[ me baz[ katror thuhet se [sht[prizmi i rregullt kat[rk[ndor.

Prizmi kat[rk[ndor quhet paralelopiped.


C Shihi vizatimet dhe v[re:

5. Sa dhe ]far[ faqe ka:a) prizmi kat[rk[ndor; c) prizmi i rregullt kat[rk[ndor;b) prizmi i drejt[ kat[rk[ndor; ]) prizmi i rregullt gjasht[k[ndor?

Mbaj mend

Larg[sia nd[rmjet bazave paralele t[ nj[ prizmi quhet lart[sia e prizmit.

P[r prizmin n[ vizatimin IV ai [sht[, p[r shembull, gjat[sia e segmentit MM’, kurse p[r prizmin edrejt[ II ajo [sht[ gjat[sia e cilitdo tehu an[sor, p[r shembull AA1.

N[ qoft[ se nj[ priz[m pritet me rrafsh fitohetshum[k[nd[sh i cili quhet prerja e prizmit.

Prerja e prizmit me rrafsh q[ kalon n[p[r dy tehean[sore jofqinje t[ prizmit quhet prerje diagonale.

Segmenti pikat e skajshme t[ t[ cilit jan[ dy kulme t[ nj[ prizmi, q[ nuk shtrihen n[ faqen e nj[jt[,quhet diagonale hap[sinore ose vet[m diagonalja e prizmit.

P[r prizmin te vizatimi segmenti DB1 [sht[ diagonale hap[sinore.

6. Te vizatimi i m[ sip[rm [sht[ paraqitur (hijezuar) prerja diagonale ACC1A1 e prizmit pes[k[ndorABCDEA1B1C1D1E1.

Em[rto t[ pakt[n edhe dy prerje diagonale t[ tij.Si do t[ sqarosh se ]do prerje diagonale [sht[ paralelogram ku nj[ri ]ift i brinj[ve [sht[ ]ifti,,diagonalet p[rkat[se" t[ bazave?}far[ paralelogrami [sht[ prerja diagonale e prizmit t[ drejt[?Sa prerje diagonale ka prizmi: a) pes[k[ndor; b) gjasht[k[ndor; c) tet[k[ndore?

7. N[ lidhje me vizatimin paraprak, p[rgjigju n[ k[to k[rkesa.

Em[rtoji t[ gjitha diagonalet (hap[sinore) t[ prizmit kat[rk[ndor ABCDA1B1C1D1. (Ke kujdes,ka 4 diagonale!)Sa diagonale ka prizmi pes[k[ndor n[ vizatim?Sa diagonale t[ prizmit shtrihen n[ nj[ prerje t[ tij diagonale? }far[ jan[ ato p[r prerjen?

Prizmi 177

Kujtohu!

Duhet t[ dish:

Detyra

1.

t'i njohish dhe em[rtosh llojet e prizmave;A mundet bazat e nj[ prizmi t[ dallohen sipasnumrit t[ brinj[ve?

Sa faqe an[sore ka prizmi i drejt[ shtat[-k[ndor? }far[ shum[k[nd[sha jan[ ato?

PARALELOPIPEDI. RRJETI DHE SYPRINA E PRIZMIT77777

}far[ shum[k[n[shash jan[ faqet an[sore t[nj[ prizmi?}'[sht[ prizmi i: a) drejt[, b) pjerr[t?P[r cilin priz[m thuhet se [sht[ i rregullt?Kuboidi a [sht[ priz[m i rregullt?

t[ em[rtosh elementet e prizmit (bazat, faqetan[sore, tehet...);t[ p[rkufizosh dhe t[ vizatosh prerjen e prizmit,prerjen diagonale dhe diagonalen hap[sinoret[ prizmit.

Numri i p[rgjithsh[m i teheve t[ nj[ prizmi amund t[ jet[:a) 6; b) 9; c) 12, ]) 15?}'[sht[ prizmi i drejt[?}'[sht[ prizmi i rregullt?

2. Sa faqe ka prizmi n-k[ndor?

3. Si [sht[ lidhja nd[rmjet numrit f t[ faqevean[-sore dhe numrit t t[ teheve t[ baz[s?

4. A mundet bazat e prizmit t[ pjerr[t t[ jen[shum[k[nd[sha t[ rregullt?

5. A ekziston priz[m me:a) 4; b) 8; c) 13 faqe?

6. Sa diagonale (hap[sinore) mund t[ t[rhiqenprej nj[ kulmi t[ baz[s s[ sip[rme te prizmi:a) trek[ndor; b) pes[k[ndor;c) gjasht[k[ndor?

T[ gjasht[ faqet e paralelopipedit jan[ parale-lograme.Prej tyre mund t[ formohen tre ]ifte faqe t[p[rballta (d.m.th. ]ifte t[ faqeve q[ nuk kan[tehe t[ p[rbashk[ta.

1. V[re ]iftin e faqeve t[ p[rballta ADD1A1 dhe BCC1B1t[ paralelopipedit nga vizatimi dhe p[rgjigju n[ k[rkesat.

Em[rto dy ]ifte tjera t[ faqeve t[ p[rballta.Si jan[ nd[rmjet vedi, sipas pozit[s reciproke dhe gjat[sis[,tehet: AD dhe BC; AA1 dhe BB1; AB dhe A1B1?A1AD = B1BC. Pse?Nxirre p[rfundimin se faqet ADD1A1 dhe BCC1B1 jan[paralelograme t[ puthitshme.

Kubi a [sht[ priz[m i rregullt?

Kontrollohu!


N[ p[rgjith[si vlen

Te paralelopipedi ]far[do dy faqe reciprokisht t[ p[rballta jan[ paralele dhe t[ puthitshme.

Paralelopipedi [sht[ i drejt[ dhe e ka baz[n drejtk[nd[sh quhetparalelopiped k[nddrejt ose kuboid.Gjat[sit[ e t[ tre teheve q[ dalin prej nj[ kulmi (p[r shembull, n[vizatim: AB, BC, BB1) quhen p[rmasa (dimensione) t[ kuboidit.

Kuboidi te i cili p[rmasat jan[ t[ barabarta quhet kub.

2. N[ vizatim, v[re prerjen diagonale BDD1B1 t[ kuboidit, mendodhe p[rgjigju n[ pyetjet.

}far[ kat[rk[nd[sha jan[ prerjet diagonale t[ kuboidit?

Si jan[ nd[rmjet veti, sipas madh[sive dhe pozit[s reciproke,diagonalet hap[sinore BD1 dhe DB1?Sa diagonale hap[sinore ka kuboidi? Si jan[ ato nd[rmjet veti sipasmadh[sis[ dhe pozit[s reciproke?

Shihe kat[rk[nd[shin BCD1A1 n[ vizatim. Ai [sht[ drejtk[nd[sh (pse?)dhe diagonalet e tij BD1 dhe CA1 jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti. Prandaj:

( )1 1 1 1CA BD DB AC= = = .

Mbaj mend

Te kuboidi t[ gjitha diagonalet hap[sinore jan[ t[ barabarta nd[rmjetveti.Ato priten n[ nj[ pik[ dhe p[rgjysmohen me at[.

3. N[ vizatim [sht[ paraqitur kuboidi me p[rmasa a, b, c.Shihe diagonalen hap[sinore BD1 dhe mendo se si do t[p[rfundosh p[r gjat[sin[ d = 1BD vlen:

d a b c= + +2 2 2

P[r cilin paralelopipedmund t[ themi se [sht[paralelopiped i drejt[ dhep[r cilin i pjerr[t?

Pasi paralelopipedi [sht[ priz[m, mund t[ themise ai [sht[ i drejt[ n[ qoft[ se tehet an[sore jan[normale me bazat. N[ qoft[ se ato nuk jan[pingule (normale) n[ bazat, at[her[paralelopipedi [sht[ i pjerr[t.

Prizmi 179

Q[ ta nxjerrish p[rfundimin e k[rkuar, v[re se:a) DBAD [sht[ k[nddrejt, pra a b= +2 2 2BD (pse?);b) DBDD1 [sht[ k[nddrejt, pra d c= +2 2 2BD (pse?).Prandaj vlen barazimi: d 2 = a2 + b2 + c2.

4. Njehso diagonalen e kuboidit me p[rmasa 8 cm, 6 cm, 24 cm.

B

Paramendo se [sht[ ,,e prer[" sipas nj[ tehuan[sor dhe n[p[r tre tehet e bazave t[ dy bazave,sikurse n[ vizatim.

Le t[ jet[ dh[n[ nj[ priz[mkat[rk[ndore.

N[ qoft[ se, pastaj, t[ gjitha faqet e tij i hapimn[ nj[ rrafsh, do t[ fitojm[ nj[ figur[ e cila qu-het rrjeti i atij prizmi.

Mbaj mend

}do priz[m i drejt[ e ka rrjetin e tij. Rrjeti p[rb[het prej dy shum[k[nd[shave (baza t[ prizmit) dheprej nj[ drejtk[nd[shi me dimensione: P (perimetri i baz[s) dhe H (gjat[sia e tehut an[sor, d.m.th.lart[sia) e prizmit.

5. Figura p[rb[het prej nj[ drejtk[nd[shi dhe dy trek[nd[shavet[ puthitsh[m, ,,t[ ngjitur" te drejtk[nd[shi.

Sqaro se ai [sht[ rrjeti i nj[ prizmi trek[ndor t[ drejt[.

A [sht[ ai priz[m i drejt[? Pse?

6. T[ tre figurat a jan[ rrjeta t[ kubeve?

P[rpiqu t[ formosh kubin ose b[j model.

a) b) c)


Kujtohu!

Sip[rfaqja e nj[ prizmi shum[k[ndor p[rb[hetprej: dy bazave (t[ cilat jan[ shum[k[nd[shat[ puthitsh[m) dhe sip[rfaqja an[sore (e cilap[rb[het prej paralelogram[ve).

C Shihe vizatimin te i cili [sht[paraqitur nj[ priz[m shum[-k[ndore dhe v[re t[ cilit llojt[ shum[k[nd[shave jan[faqet e tij.

Shuma e sip[rfaqeve t[ t[ gjitha faqeve t[ nj[prizmi quhet syprina e prizmit.

P[r syprin[n S t[ nj[ prizmi kemi: S = 2B + MB - syprina e nj[r[s baz[;M - syprina e baz[s an[sore (mb[shtjell[si).

7. Njehso syprin[n e prizmit trek[ndor t[ drejt[ me tehet e baz[s a = 6 cm, b = 25 cm, c = 29 cm dhelart[si H = 35 cm.

Zgjidhjen t[nde krahaso me zgjidhjen e dh[n[.

Syprina B e baz[s mund t[ njehsohet me formul[n e Heronit:( )( )( )s s a s b s c= - - -B , 2s = a + b + c = P; 2s = 6 + 25 + 29 = 60; s = 30;

= ⋅ ⋅ ⋅ = =30 24 5 1 3600 60B , d.m.th. B = 60 cm2.

Sip[rfaqja an[sore p[rb[het prej tre drejtk[nd[shave, pra p[r syprin[n e tij M kemi:M = a ⋅ H + b ⋅ H + c ⋅ H = (a + b + c) ⋅ H = P ⋅ H = 60 ⋅ 35, d.m.th. M = 2100 cm2.

Dometh[n[, syprina S e prizmit [sht[:S = 2B + M = 2 ⋅ 60 + 2100 = 2220, d.m.th. S = 2220 cm2.

N[ p[rgjith[si

Syprina M e sip[rfaqes an[sore t[ prizmit t[ drejt[ njehsohet me formul[n:

M = P ⋅ H,

ku P [sht[ perimertri i baz[s, kurse H [sht[ lart[sia e prizmit.

8. Njehso M e prizmit t[ rregullt gjasht[k[ndore me tehun a = 5 cm dhe lart[si H = 7 cm.

Syprin[n e kuboidit dhe t[ kubit e ke njehsuaredhe m[ par[.

9.

Prizmi 181

Syprina e kuadrit me p[rmasa a, b, c (shprehi me t[ nj[jt[n nj[si mat[se) njehsohet me formul[n:S= 2(ab + ac + bc),

Syprina e kubit me teh a:

S = 6a2.

Njehso tehun e kubit me syprin[ S= 61,44 cm2.

10. Sqaro formulat p[r njehsimin e syprinave t[:

a) prizmit t[ rregullt[ trek[ndor ;

b) prizmit t[ rregullt[ kat[rk[ndor: S = 2a (a + 2H);

c) prizmit t[ rregullt[ gjasht[k[ndor: )23(3 HaaS . .me tehun e baz[s a dhe lart[si H.

Duhet t[ dish:

t[ njohish dhe t[ skicosh paralelopiped dhe t'ishprehish vetit[ e tij;

Cakto formul[n p[r gjat[sin[ d t[ diagonaless[ kubit me brinj[ a.

Detyra

1. Njehso syprin[n e:a) kuboidit me p[rmasa 2,4 dm; 2 dm; 8,5 cm;b) kubit me teh 2,5 cm.

Vizato rrjetin e prizmit t[ rregullt kat[rk[ndor.t[ vizatosh kuboid dhe kub si edhe rrjetin ellojeve t[ ndryshme t[ prizmave;t[ shprehish m[nyr[n e p[rgjithshme dhe t[njehsosh syprin[n e llojeve t[ ndryshme t[prizmave.

Njehso syprin[n e prizmit t[ rregulltkat[rk[ndor me tehun e baz[s 5 cm dhe lart[si10 cm.

2. Syprina e nj[ kubi [sht[ 294 cm2. Njehso tehundhe diagonalen e kubit.

3. Njehso lart[sin[ e prizmit t[ rregulltkat[rk[ndor, n[ qoft[ se syprina e sip[rfaqesan[sore [sht[ M = 160 cm2, kurse syprina eprizmit [sht[ S= 210 cm2.

V[re dhe sqaro:

Kontrollohu!

aHaS 32

32


5. Sa her[ do t[ zmadhohet syprina e nj[ kubi,n[ qoft[ se tehu i tij zmadhohet tre her[?

6. Nd[rmjet madh[sive a, H, B, M, S te prizmitrek[ndor i rregullt cakto t[ panjohurat, n[qoft[ se jan[ dh[n[ (n[ centimetra):a) a = 6, H = 15; b) a = 4, M = 108;

c) a = 12, ; ]) = 4 3B , H = 9;

d) M = 270, =9 3B ; dh) M = 240, S ≈ 326,5.

7. Prizmi i drejt[ me tehun e baz[s 12 cm e kabaz[n romb me diagonale 6 cm dhe 8 cm.Cakto syprin[n e prizmit.

8. Cil[t prej figurave t[ dh[na 1 - 8 paraqesinrrjete t[ kubit?

1 2

3

6

5

4

8 7

N[ vizatim [sht[ paraqitur prizmi i rregullt kat[rk[ndor me tehun ebaz[s 1 cm dhe lart[si 3 cm.Nj[ merimang[ (P) dhe nj[ miz[ (M) jan[ n[ pozit[n sikurse n[vizatim. Merimanga e ka pyetur miz[n: ,,A do t[ m[ presish t[ vij[deri te ty?" Miza i [sht[ p[rgjigjur: ,,Do t[ pres[ n[ qoft[ se i plot[sonk[to dy kushte:

A mundet merimanga t[arrin[ deri te miza?

1) t[ kalosh n[p[r t[ gjitha kat[r faqet ansore dhe2) rruga e kaluar t[ mos jet[ m[ e madhe se 5 cm."

Mz

Mr

4. Nd[rmjet madh[sive a, H, B, M, S te prizmii rregullt kat[rk[ndor t[ caktohen t[panjohurat, n[ qoft[ se jan[ dh[n[:a) a = 4,5 cm, H = 8,4 cm;b) a = 12 cm, M = 432 cm2;c) a = 8 cm, S = 480 cm2;]) B = 49 cm2, H = 12 cm;d) B = 81 dm2; S = 342 dm2;dh) H = 8 dm, M = 208 dm2;e) M = 120 dm2, B = 36 dm2;[) M = 180 cm2, S = 342 cm2.

Prizmi 183

Kujtohu!

P[rve] tyre ka edhe trupa t[ tjera gjeometrike.

Em[rto ]donj[rin prej tyre.Cil[t prej tyre jan[ tehor, kurse cil[t truparrotulluese?

A N[ vizatim jan[ vizatuar modele t[ trupavegeometrike.

1 23

45

6

N[ p[rgjith[si

Trupi gjeometrik [sht[ pjes[ e mbyllur e kufizuar e hap[sir[s.

N[ qoft[ se sip[rfaqja e trupit p[rb[het vet[m prej shum[k[nd[shave, at[her[ p[r at[ thuhet se[sht[ trup tehor ose polied[r (si] jan[, prizmi, dhe piramida).N[ qoft[ se tani, disa pjes[ t[ sip[rfaqes q[ e kufizojn[ trupin jan[ t[ lakuara, at[her[ p[r at[ themise [sht[ trup rrotullues (p[r shembull: cilindri, koni dhe topi).

2. Em[rto tre sende (d.m.th. ,,trupa fizik") nga rrethi i yt q[ e kan[ form[n e trupit gjeometrik:a) tehor, b) rrotullues.

3. N[ vizatim jan[ paraqitur dy prizma, bazat e t[cil[ve jan[ trek[nd[sha t[ puthitsh[m (ΔABC ≅ΔMNP),kurse tehet an[sore i kan[ t[ barabarta( )=1 1AA MM .

}do t[ ndodh n[ qoft[ se p[r ndonj[ l[vizje t[ kulmeve A,B, C puthitet me kulmet M, N, P p[rkat[sisht, kurse kulmet

V[ren se, me at[ l[vizje, prizmat do t[ sillen deri n[ puthitje t[ plot[sishme. P[r k[t[ shkak themi seato jan[ t[ puthitshme nd[rmjet veti.

Mbaj mend

P[r dy figura gjeometrike (kurse ve]an[risht, p[r dy trupa gjeometrik) mund t[ thuhet se jan[ t[puthitshme, n[ qoft[ se ato, me ndonj[ l[vizje, mund t[ sillen deri n[ puthitje.

A1, B1, C1 puthiten me kulmet M1, N1, P1, p[rkat[sisht?

V{LLIMI I POLIEDRIT. V{LLIMI I KUBOIDIT DHE KUBIT88888

Kubi, kuboidi dhe prizmat tjera jan[ figura tjerahap[sinore.Ato ,,z[n[ nj[ pjes[ t[ hap[sir[s" dhe quhentrupa gjeometrike.


Numrin q[ e fitove poashtu (45 cm3) e karak-terizon madh[sin[ e pjes[s s[ brendshme t[kuboidit.}'tregon ai num[r (45 cm3)?

Cakto v[llimin e kuboidit me p[rmasa a = 5 cm, b = 3 cm, c = 3 cm;

Ai num[r tregon se te kuboidi i dh[n[ mundt[ vendosim 45 kube me teh 1 cm, d.m.th.45 kube me v[llim 1 cm3. Prandaj themi seai kuboid e ka v[llimin 45 cm3.

B }do trup formon ndonj[ pjes[ t[ hap[sir[s.P[r ,,madh[sin[" e pjes[s s[ brendshme t[ trupit, d.m.th. t[ pjes[s s[ kufizuar nga hap[sirathuhet se [sht[ v[llimi i trupit.

Detyra e p[rgjithshme p[r p[rcaktimin, d.m.th. p[r matjen e v[llimit t[ trupit [sht[ e ngjashme medetyr[n p[r matjen e syprin[s s[ figur[s s[ rrafshit.P[rkat[sisht, madh[sia e pjes[s s[ brendshme t[ nj[ trupi gjeometrik, por ve]an[risht t[ poliedritmund t'i shoq[rohet nj[ num[r real i cili quhet v[llimi i trupit.

Mbaj mend

Cilitdo polied[r mund t'i shoq[rohet numri real V, q[ quhet v[llimi i poliedrit, ashtu q[ t[ plot[sohenk[to kushte (aksiomat p[r v[llimin).

1o V[llimi V i cilitdo polied[r [sht[ num[r pozitiv, d.m.th. V > 0.

4. Kuboidi n[ vizatimin a) [sht[ prer[ me rrafshinEFF1E1, ashtu q[ fitohen dy kuboide.Ato kan[ faqe t[ p[rbashk[ta, por nuk kan[ pika t[brendshme t[ p[rbashk[ta.P[r ato themi se jan[ pjes[ p[rb[r[se (ose p[rb[r[sa)t[ kuboidit t[ dh[n[.

a) b)

N[ sa pjes[ p[rb[r[se [sht[ ndar[ prizmi n[vizatimin b)? Em[rtoji ato pjes[.

2o N[se dy poliedra jan[ t[ puthitsh[m, at[her[ v[llimet e tyre V1dhe V2 jan[ t[ barabart[, d.m.th. V1 = V2.

3o N[ qoft[ se nj[ polied[r [sht[ ndar[ n[ pjes[ p[rb[r[se, at[her[ v[llimi i tij V [sht[ i barabart[me shum[n e v[llimeve V1 dhe V2 t[ pjes[ve p[rb[r[se, d.m.th.. V = V1 + V2.

Kujtohu!

Prizmi 185

Ke kujdes dhe mbaj mend

N[ lidhje me kushtin 4o, [sht[ shum[ e r[nd[sishme t[ konstatohet nj[sia themelore mat[se p[rv[llimin. P[r nj[sin[ e atill[ mund t[ meret v[llimi i cilitdo kub. Por, me Sistemin Nd[rkomb[tar t[nj[sive mat[se (SI), [sht[ p[rvet[suar t[ jet[ kubi me teh 1 m i cili quhet met[r kub; shenja: m3.

7. Cilat jan[ nj[sit[ m[ t[ vogla q[ nxirren prej met[r kubit?Sa: a) decimet[r kub (dm3); b) centimet[r kub (cm3); c) milimet[r kub (mm3) p[rfshihenn[ 1 m3?Njehso n[ m3: a) 2 350 dm3; b) 625 000 cm3; c) 55 ⋅ 106 mm3.

P[r matjen e v[llimit (zakonisht t[ l[ngjeve) p[rdoret edhe nj[sia mat[se litri (l)Gjat[ s[ cil[s: 1 = 1 dm3.

8. Sa litra ka n[: a) 35 dm3; b) 2 500 cm3; c) 2 m3?

C N[ baz[ t[ aksiomave p[r v[llim mund t[ v[rtetohet se v[llimiV i kuboidit me p[rmasa a, b, c, mund t[ njehsohet me formul[n(q[ e din[):

V = abckurse i kubit me tehun a (d.m.th. kuboidit me p[rmasa a = b = c):

V = a3

V = B ⋅ H

5. Te kuboidi n[ figur[n a) te detyra 4 jan[ sh[nuar p[rmasat e tij, si edhe p[rmasat e dy kuboideve t[tij p[rb[r[s.

Njehso v[llimin V t[ kuboidit, dhe pastaj edhe v[llimet V1 dhe V2 t[ p[rb[r[sve t[ tij.

Provo, p[r k[t[ rast, aksiomat (1o dhe 3o) p[r v[llimin.

6. Si mundet prej aksiom[s 3o t[ nxirret p[rfundimi se v[llimi i nj[ poliedri [sht[ m[ i madh se v[llimii ]far[do pjese t[ tij p[rb[r[se?

4o Meret se kubi me teh 1 cm (1 dm, p[rkat[sisht, 1m, etj) e ka v[llimin 1 cm3 (1 dm3, p[rkat[sisht1m3, etj.).

Formula p[r v[llimin e kuboidit mund t[ shkruhet edhe n[ form[n:

ku B = a ⋅ b [sht[ syprina e baz[s, kurse H = c [sht[ lart[sia e kuboidit.


Detyra

1. Njehso v[llimin e kubit me syprin[ 54 cm2.

2. P[rmasat e nj[ kuboidi jan[: 16 cm,4 dm, 1 m. Cakto tehun e kubit q[ e ka v[llimine barabart[ me v[llimin e kuboidit.

3. Te ndonj[ kub, syprina n[ cm2 dhe v[lliminn[ cm3 jan[ shprehur me num[r t[ nj[jt[. Sa[sht[ tehu i kubit?

6. V[llimi i nj[ kubi [sht[ i barabart[ me v[llimine nj[ kuboidi me p[rmasa 8 cm, 4 cm,2 cm. Njehso syprin[n e kubit.

7. Q[ t[ b[het nj[ mur i lart[ 2,80 m dhe i gjer[40 cm jan[ shpenzuar 2 600 tjegulla. Dihet sep[r 1 m3 mur jan[ shfryt[zuar 400 tjegulla. Sa[sht[ i gjat[ muri?

4. Nj[ kuboid e ka baz[n katror me brinj[ 4 cmdhe syprin[n an[sore M = 112 cm2. Njehsov[llimin e atij kuboidi.

5. Baza e nj[ kuboidi i ka tehet 6 cm dhe 8 cm,kurse diagonalja e atij kuboidi [sht[ 26 cm.Cakto v[llimin e atij kuboidi.

8. Nj[ priz[m i drejt[ e ka lart[sin[ 8 cm dhe ba-z[n trek[nd[sh k[nddrejt me kateta a = 3 cmdhe b = 4 cm. Njehso v[llimin e tij, duke pasurparasysh se ai [sht[ gjysma e kuboidit mep[rmasa 3 cm, 4 cm, 8 cm.

Duhet t[ dish:

t[ njehsosh v[llimin e kuboidit dhe kubit meshembulla t[ ndryshme praktike;

Sa kube me teh 1 cm, mund t[ vendosen te kubime teha) 2 cm, b) 3 cm, c) 1 dm?

t'i shfryt[zosh nj[sit[ mat[se p[r v[llimin. Nj[ kov[ n[ form[ t[ kuboidit me p[rmasa a = b = 30 cm dhe lart[sia H = 40 cm. Sa litrauj[ nxen kova?

Kontrollohu!

9. Nj[ kov[ n[ form[ t[ kuboidit, baza e t[ cilit e ka tehun a = b = 25 cm, nxen 25 6 uj[. Sa [sht[lart[sia e kov[s?

Prizmi 187

Kujtohu!

1. Shprehe me fjal[ formul[n p[r njehsimin e v[llimit t[ prizmit t[ drejt[ me baz[ trek[nd[sh k[nddrejt.

2. Trek[nd[shi k[nddrejt me kateta 6 dm dhe 8 dm [sht[ baza e prizmit t[ drejt[ me lart[si 1,5 m.Njehso v[llimin e atij prizmi.

B 3. Vizato ]far[do trek[nd[sh dhe ndaje n[ dy trek[nd[shak[nddrejt p[rb[r[s.

At[ mundesh gjithmon[ ta b[jsh (sikurse n[ vizatim) me lart[sit[ l[shuar nga brinja e tij m[ e madhe.

4. N[ vizatim [sht[ paraqitur prizmi i drejt[ me baz[ ]far[do trek[nd[sh.

Sqaro se si [sht[ prer[ prizmi dhe me at[ [sht[ ndar[ n[ dy prizma t[drejt[ p[rb[r[s me baza trek[nd[sha k[nddrejt.

V{LLIMI I PRIZMIT T{ RREGULLT

V[llimi i kuboidit me p[rmasa a, b, c njehsohetme formul[n V = abc.

A P[r njehsimin e v[llimit t[ prizmit t[ drejt[me baz[ trek[nd[sh k[nddrejt vlen for-mula e nj[jt[ sikurse p[r kuboidin:

Si fitohet formula p[r njehsimin V = BH t[v[llimit t[ kuboidit t[ nj[jt[?P[r kubin e din[ se V = a3. P[r at[ a vlen:V = BH?Si njehsohet syprina e trek[nd[shit k[nddrejtme katete a dhe b?

V = BH,ku B [sht[ syprina e baz[s, kurse H [sht[ lart[siae prizmit.

P[rcille sqarimin e k[tij pohimi.

Te vizatimi a) [sht[ paraqitur prizmi i drejt[me lart[si H dhe baz[ trek[nd[sh k[nddrejtme katete a dhe b.

te vizatimi b) prizmi i dh[n[ [sht[ plot[suar n[ kuboidme priz[m tjet[r q[ [sht[ i puthitsh[m me t[.

V[llimi Vk i kuboidit [sht[ dy her[ m[ i madh se v[llimiV i prizmit t[ dh[n[ trek[ndor, d.m.th. Vk = 2V (pse?).

E dijm[ se Vk = abH, pra: 2V = abH, d.m.th.. ab= ⋅

2V H .

Pasi ab2

[sht[ syprina e baz[s t[ prizmit t[ dh[n[ (pse?), d.m.th. ab=

2B ,

p[r v[llimin e prizmit mund t[ shkruajm[: V = B ⋅ H

a) b)

99999


Sigurisht je p[rgjigjur se v[llimi i prizmit pes[k[ndor t[ drejt[ [sht[ i barabart[ me shum[n e v[llimevet[ prizmave trek[ndore p[rb[r[se.P[rfundimi i atill[ vlen p[r ]do priz[m shum[k[ndore t[ drejt[.Prandaj:

V[llimi V i prizmit t[ drejt[ [sht[ prodhimi i syprin[s B t[ baz[s dhe lart[sis[ H, d.m.th.

V = B ⋅ H8. Njehso v[llimin e kov[s n[ form[ t[ prizmit gjasht[k[ndor t[ rregullt me tehun e baz[s a = 10 cm

dhe lart[si H = 60 cm.Sa litra l[ng nxen ajo kof[?

9. Prizmi i drejt[ me lart[si 12 cm e ka baz[n trek[nd[sh dybrinj[nj[sh[m k[nddrejt me katete 8 cm.Njehso v[llimin e prizmit.

Shfryt[zoe at[ q[ t[ tregosh se v[llimi V i prizmit trek[ndor t[ dh[n[ njehsohet me formul[nV = B ⋅ H. (B - syprina e baz[s, H - lart[sia).V[re se, n[ qoft[ se V1 = B1 ⋅ H dhe V2 = B2 ⋅ H jan[ v[llimet e prizmave p[rb[r[se, at[her[ (sipasaksiom[s 3o p[r v[llimin), v[llimi V i prizmit t[ dh[n[ do t[ jet[:

V = V1 + V2 = B1H + B2H = (B1 + B2) ⋅ H.

N[ qoft[ se e sh[nojm[ me B syprin[n e baz[s t[ prizmit t[ dh[n[, at[her[ B = B1 + B2, pra

V = B ⋅ Hd.m.th. v[llimi i prizmit trek[ndor t[ rregullt [sht[ i barabart[ me prodhimin e lart[sis[ dhe syprin[s s[baz[s s[ prizmit.

5. Trek[nd[shi me brinj[ a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm [sht[ baza e nj[ prizmi t[ drejt[ me lart[siH = 20 cm. Njehso v[llimin e prizmit.

6. Njehso v[llimin e prizmit trek[ndor t[ rregullt me tehun e baz[s 6 cm dhe lart[si 8 cm.

C 7. N[ vizatim [sht[ paraqitur prizmi i drejt[ pes[k[ndor dhe prej nj[ kulmijan[ t[rhequr dy diagonale t[ baz[s. Shihe vizatimin dhe p[rgjigju n[pyetjet.

Sa prerje diagonale mund t[ vendosen n[p[r nj[ kulm t[ baz[s?Sa prizma trek[ndore t[ drejta p[rb[r[se mund t[ fitohen me ato prerje?N[ qoft[ se V1, V2, V3 [sht[ v[llimi i prizmit trek[ndor t[ drejt[ I, II, III p[rkat[sisht, simund t[ shprehet v[llimi V i prizmit pes[k[ndor?N[ qoft[ se B [shjt[ syprina e baz[s, kurse H [sht[ lart[sia e prizmit pes[k[ndor, si do ta shkruajshformul[n p[r v[llimin e tij?

Prizmi 189

10. Cakto formulat p[r v[llimin e:a) prizmit t[ rregullt trek[ndor.b) prizmit t[ rregullt kat[rk[ndor;c) prizmit t[ rregullt gjasht[k[ndor, me tehune baz[s a dhe lart[si H.

Provo rrezulltatet e tua:

a) ,a a= =

2 23 34 4

HB V ;

b) B = a2, V = a2H;

c) ,a a= =

2 23 3 3 32 2

HB V .

Duhet t[ dish:

t[ njehsosh v[llimin e prizmit sipas formul[ss[ p[rgjithshme;

Njehso v[llimin e prizmit t[ rregullt gjash-t[k[ndor me tehun e baz[s a = 4 cm dhe lart[siH = 13 cm.

Detyra

1. Nj[ kuti me gjat[si 2 m dhe gjer[si 1 m nxen16 h6 oriz. Sa [sht[ lart[sia e kutis[?

t'i nxjerrish formulat p[r njehsimin e v[llimitt[ prizmit t[ rregullt trek[ndor, kat[rk[ndor,gjasht[k[ndor;

Dy prizma trek[ndore kan[ lart[si t[ barabartadhe v[llime t[ barabarta. Bazat e tyre a jan[patjet[r:a) trek[nd[sha t[ puthitsh[m,b) trek[nd[sha me syprina t[ barabarta?

t'i shfryt[zosh nj[sit[ mat[se p[r v[llimin gjat[zgjidhjes t[ shembujve t[ ndrysh[m p[rsyprin[n dhe v[llimin e prizmit.

2. Njehso v[llimin e prizmit t[ rregullt gjash-t[k[ndor me perimetrin e baz[s 24 cm dhelart[si 10 cm.

3. Rombi me diagonale 24 cm dhe 10 cm [sht[baza e nj[ prizmi t[ drejt[ me lart[si 20 cm.Njehso v[llimin dhe syprin[n e prizmit.

4. Prizmi i rregullt kat[rk[ndor e ka syprin[nS = 448 dm2 dhe sip[rfaqen e syprin[n an[soreM = 320 dm2.Njehso v[llimin e prizmit.

Kontrollohu!

6. Sa [sht[ i lart[ prizmi i rregullt gjasht[k[ndorme tehun e baz[s a = 6 cm dhe v[llimV = 1260 cm3?

7. Prerja e drejt[ e kanalit, t[ gjat[ 2 km, e kaform[n e trapezit dybrinj[nj[sh[m me bazat6 m dhe 10 m, kurse krahun 2,9 m. Sa m3

dheu [sht[ nxjerr[ duke gropuar kanalin?

8. Nd[rmjet madh[sive a, H, B, M, S, V te prizmii rregullt kat[rk[ndor cakto madh[sit[ epanjohura, n[ qoft[ se jan[ dh[n[ (n[ cm; cm2;cm3):a) a = 5, M = 160; ]) H = 14, V = 1694;

b) a = 3, S = 66; d) H = 15, M = 780;

c) B = 36, M = 168; e) M = 160, V = 200.5. Njehso v[llimin e prizmit t[ rregullt trek[ndorme:a) tehun e baz[s 6 cm dhe lart[si 8 cm;b) tehun e baz[s a dhe lart[si 4a.


Sip[rfaqja q[ p[rb[het prej pes[k[nd[shit t[ dh[n[ dhe pes[ trek[nd[shave t[ fituar e ndanbashk[sin[ e pikave t[ hap[sir[s n[ dy zona: t[ brendshme dhe t[ jashtme.

Zona e brendshme s[ bashku me sip[rfaqen e theksuar formojn[ nj[ trupgjeometrik i cili quhet piramida pes[k[ndore. Ajo piramid[ [sht[ e ve]uar dhee paraqitur n[ vizatim.Pes[k[nd[shi i dh[n[ quhet baza e piramid[s, trek[nd[shat e fituar ABS, BCS,...- faqe an[sore, kurse pika S - kulmi i piramid[s.

Kulmi S dhe kulmet e baz[s quhen kulmet e piramid[s, kurse faqet an[sore eformojn[ sip[rfaqen an[sore t[ tij. Edhe te piramida dallojm[: tehe t[ baz[sdhe tehe an[sore.

Me t[ nj[jt[n m[nyr[ mund t[ arrihet deri te piramida trek[ndore, piramida kat[rk[ndore etj.}donj[ra prej tyre quhet, shkurtimisht, piramid[.

nj[ rrafsh Σ,

PIRAMIDA. SYPRINA E PIRAMID{S1010101010

}'[sht[ polied[r ose trup tehor?A

Pse prizmi [sht[ trup tehor?Si konstatohet se prizmi [sht[ trek[ndor,kat[rk[ndor etj, por sipas cil[s veti caktohetse ai [sht[ i drejt[, p[rkat[sisht i rregullt?

P[rshkruaje me fjal[ ndonj[r[n prejpiramidave egjyptase.

Shihi vizatimet dhe p[rcjelli sqarimet tekjo detyr[. K[shtu do t[ njihesh edhe menj[ trup tehor gjeometrik.

1. {sht[ dh[n[:

nj[ n-k[nd[sh n[ t[, p[r shembull,pes[k[nd[shi ABCDE,

nj[ pik[ S q[ shtrihet n[ t[ Σ.

Prej pik[s S jan[ t[rhequr segmente deri tekulmet e pes[k[nd[shit.

Sa trek[nd[sha jan[ fituar at[her[?

Em[rtoji trek[nd[shat}far[ kan[ t[ p[rbashk[t t[ ato pes[ trek[n-d[sha?V[re sip[rfaqen q[ e formojn[ pes[k[nd[shii dh[n[ dhe pes[ trek[nd[shat e fituar.

PIRAMIDA

Kujtohu!

Piramida 191

2.

3.

B

N[ vizatim jan[ paraqitur piramida trek[ndore SABCdhe piramida kat[rk[ndore SABCD.

Em[rtoji:a) tehet e baz[s; c) baz[n;b) tehet an[sore; ]) faqet an[soree piramid[s 1) SABC; 2) SABCD.V[re segmentin SS’ te piramida SABCD n[ vizatim.

Segmenti SS’, ku S [sht[ kulmi i piramid[s, kurse S’ [sht[ proeksioni ortogonal i saj mbi baz[n quhetlart[sia e piramid[s.Pika S’ [sht[ k[mb[za e lart[sis[. Zakonisht edhe gjat[sia SS' quhet lart[sia e piramid[s.

I cilit lloj [sht[ piramida q[ ka:1. a) 4, b) 6, c) 9 kulme; 2. a) 6, b) 10, c)12 tehe; 3. a) 4, b) 7, c) 10 faqe?

Prerja e piramid[s me rrafsh q[ kalon n[p[r kulmin dhe n[p[r ]far[dodiagonale t[ baz[s quhet prerje diagonale.

N[ vizatim [sht[ paraqitur prerja diagonale ACS e piramid[s.

V[re dhe em[rto edhe dy prerje t[ atilla.Sa prerje diagonale ka kjo piramid[?Sa prerje diagonale ka cilado piramid[?

4. N[ vizatim [sht[ paraqitur piramida SABCD me baz[ katror,kurse k[mb[za e lart[sis[ bjen n[ prerjen O t[ diagonaleve t[baz[s.Shihe vizatimin dhe p[rcjelli sqarimet.

Pika O i p[rgjysmon diagonalet e katrorit (baz[s).

Trek[nd[shat k[nddrejt AOS, BOS, COS, DOS kan[ nj[ katet[ t[ p[rbashk[t (lart[sia OS), kursekateta tjet[r [sht[ e barabart[ me gjysm[n e diagonales s[ katrorit.Sipas i kriterit BKB ato jan[ t[ puthitsh[m nd[rmjet veti.

V[reva se trek[nd[shat BDS dhe ECS jan[ prerje diagonale; kjo piramid[ ka 5 prerje t[atilla, kurse ]do piramid[ ka aq prerje diagonale sa diagonale ka baza.

Prej k[tu vijon se te piramida e till[:a) t[ gjitha tehet an[sore jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti;b) faqet an[sore jan[ trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m, nd[rmjet veti trek[nd[sha t[ puthitsh[m;c) lart[sit[ e faqeve an[sore jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti.


Prandaj, n[ qoft[ se B [sht[ syprina e baz[s, kurse M syprina e sip[rfaqesan[sore, at[her[ syprina S e piramid[s do t[ jet[: P = B + M

7. Njehso syprin[n e piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore me tehun e baz[s14 cm dhe tehun an[sor s = 25 cm.


P[r baz[n B = a2 = 142 = 196, d.m.th. B = 196 cm2;

p[r syprin[n an[sore: ,a h ah⋅= ⋅ =4 2

2M ku h [sht[ apotema.

Apotema do t[ njehsohet me ndihm[n e teorem[s s[ Pitagor[s n[ trek[nd[shin k[nddrejt AES:

; .ah s h cmæ ö÷ç= - = - = - = =÷ç ÷÷çè ø

22 2 2 225 7 625 49 576 24

2

K[shtu, M = 2ah = 2 ⋅ 14 ⋅ 24 = 672, d.m.th. M = 672 cm2.

Dometh[n[: S = B + M = 196 + 672 = 868, d.m.th. S = 868 cm2.

6. N[ vizatim jan[ paraqitur dynd[rtime t[ rrjetit t[ piramid[strek[ndore t[ rregullt me tehun ebaz[s a dhe tehun an[sor s.

P[r k[t[ piramid[ dhe p[r ]do tjet[r piramid[ ku baza [sht[ shum[k[nd[sh i rregullt, kurse k[mb[zae lart[sis[ bie n[ qendr[n e baz[s, thuhet se [sht[ piramid[ e rregullt.

5. Njehso h e piramid[s trek[ndore t[ rregullt me tehun e baz[sa = 14 cm dhe tehu an[sor s = 25 cm.

Lart[sia h e cil[s do faqe an[sore t[ piramid[s s[ rregullt quhet apotem[ e piramid[s.

Shihe trek[nd[shin AES n[ vizatim.

C N[ qoft[ se prehen t[ gjitha tehet e baz[s (p[rve] nj[rit) edhe vet[mnj[ teh an[sor, at[her[ sip[rfaqja e nj[ piramide mund t[ ,,hapet"n[ rrafsh. K[shtu fitohet rrjeti i piramid[s.

V[re dhe p[rshkruaji me fjal[ t[dy m[nyrat.Sqaro dhe skico rrjetin e piramid[s s[rregullt kat[rk[ndore.

D Sikurse edhe te prizmi, shuma e syprinave t[t[ gjitha faqeve t[ nj[ piramide quhet syprinae piramid[s.

Piramida 193

Duhet t[ dish:

Detyra

1.

t[ njohish dhe t[ em[rtosh piramid[n dheelementet e saj;

N[ qoft[ se baza e nj[ piramide [sht[ shum[-k[nd[sh i rregullt, a duhet t[ jet[ piramida erregullt?

Sa faqe m[ pak mund t[ ket[ nj[ piramid[? Ecilit lloj [sht[ ajo?

t[ njohish dhe t[ p[rkufizosh piramid[n erregullt;

t[ njehsosh syprin[n e piramid[s.

8. Njehso syprin[n e piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore me tehun e baz[s a = 10 cm dhe lart[siH = 12 cm. Shfryt[zo ΔSOE n[ vizatimin e detyr[s 7.

Piramida trek[ndore te e cila t[ gjitha faqet jan[ t[ barabarta quhet tetraed[r i rregullt.

Njehso syprin[n e tetraedrit t[ rregullt me tehun a = 12 cm.

Njehso syprin[n S t[ piramid[s s[ rregulltkat[rk[ndore me tehun e baz[s c = 17 cm dheapotem[n h = 15 cm.

2. Njehso syprin[n e piramid[s s[ rregulltgjasht[k[ndore me tehun e baz[s 10 cm dheapotema 13 cm.

3. Njehso apotem[n e piramid[s s[ rregulltkat[rk[ndore sip[rfaqja an[sore e s[ cil[s [sht[20 dm2, kurse baza e ka syprin[n 16 dm2.

4. Piramida e rregullt kat[rk[ndore me tehun ebaz[s a = 8 cm e ka syprin[n 144 cm2. Njehsolart[sin[ H e piramid[s.

5. Njehso syprin[n e piramid[s s[ rregullttrek[ndore me tehun e baz[s 6 cm dhe tehunan[sor 10 cm.

9.

Kontrollohu!

6. Njehso syprin[n e baz[s s[ piramid[s s[rregullt kat[rk[ndore me lart[si H = 6 dm dheapotem[n h = 6,5 dm.

7. Nd[rmjet madh[sive a, H, h, B, M, S tepiramida e rregullt kat[rk[ndore njehso t[panjohurat, n[ qoft[ se jan[ dh[n[ (n[centimetra) :a) a = 12, h = 10; ]) H = 21, h = 29;b) a = 14, H = 24; d) S = 819, B = 81;c) B = 256, M = 544; dh) S = 3584, M = 2800.

Piramida trek[ndore quhet tetraed[r.


V = 13 B ⋅ H

1. Njehso v[llimin e piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore me tehun e baz[s a = 12 cm dhe lart[siH = 20 cm.

V{LLIMI I PIRAMID{S1111111111

V[llimi i prizmit t[ drejt[ njehsohet me formul[nV = B ⋅ H,

B - syprina e baz[s, H - lart[sia e prizmitSi fitohet piramida? Pastaj, ]'[sht[:a) baza; b) maja; c) sip[rfaqja an[sore; ]) lart[sia e piramid[s?

A Matjen e v[llimit t[ ndonj[ trupi nuk e b[jm[ me p[rcjelljen e drejtp[rdrejt t[ nj[sis[ mat[se,por nxjerrim rregulla (q[ i shkruajm[ me formula), sipas t[ cilave, n[ baz[ t[ dh[nave t[domosdoshme p[r trupin, me njehset e nevojshme, e fitojm[ v[llimin e tij.

Si t[ fitojm[ rregull p[r njehsimin e v[llimit t[ piramid[s?

P[r k[t[ q[llim mundesh (n[ sht[pi) t[ b[sh k[t[prov[.

B[n model t[ zbraz[t (p[r shembull, prej kartu]i) t[nj[ prizmi dhe t[ nj[ piramide me syprina t[barabarta (mundet: t[ puthitshme) t[ bazave dhelart[si t[ barabarta (sikurse n[ vizatim).

Mbushe piramid[n me r[r[ t[ that[ (ose materijal tjet[r me kokrra: oriz, sheqer etj) dhe pastaj r[r[nprej piramid[s fute te prizmi.

Do t[ v[resh se duhet ta p[rs[risish edhe dy her[ q[ ta mbushish prizmin.

Kjo tregon se piramida ka tre her[ v[llim m[ t[ vog[l se prizmi.

Ky fakt, i v[rejtur eksperimentalisht, mund t[ v[rtetohet (por, ne k[t[ rast nuk do ta b[jm[).

Mbaj n[ mend se vlen n[ p[rgjith[si

V[llimi V i nj[ piramide [sht[ i barabart[ me nj[ t[ tret[n e prodhimitt[ lart[sis[ H dhe syprin[s B t[ baz[s s[ piramid[s, d.m.th.

Kujtohu!

Piramida 195

B 2. Shihi vizatimet dhe p[rpiqu t'i nxjerrishformulat p[r njehsimin e v[llimit t[piramid[s s[ rregullt:


N[ formul[n e p[rgjithshme p[r v[llimin e piramid[s = ⋅ ⋅13

V B H , duhet t[ z[v[nd[sohet vet[m B

me formul[n p[rkat[se p[r syprin[n e:

a) trek[nd[shit brinj[nj[sh[m: a= ⋅ 21 34

B ; b) katrorit: B = a2;

c) gjasht[k[nd[shit t[ rregullt: a= ⋅ 23 32

B .

K[shtu do t[ fitohen formulat e k[rkuara a) a=

2 312HV ; b) a

=2

3HV ; c) a

=2 3

2HV .

3. Piramida e Keopsit n[ Egjypt e ka lart[sin[ 149 m dhe baz[n katror me brinj[ 232 m. Njehsov[llimin e tij.

4. Tehu an[sor i piramid[s s[ rregullt gjasht[k[ndore [sht[ 14 cm, kurse tehu i baz[s a = 2 cm.Njehso v[llimin e piramid[s.

C 5. Njehso syprin[n dhe v[llimin e piramid[s me lart[siH = 12 cm dhe baz[ drejtk[nd[sh me p[rmasaa = 32 cm dhe b = 10 cm, n[ qoft[ se k[mb[za e lart[sis[[sht[ n[ prerjen e diagonaleve (qendra e rrethit t[p[rshkruar) t[ baz[s.

Shihe vizatimin dhe puno sipas udh[zimeve.

S = B + M dhe B = a ⋅ b = 32 ⋅ 10; B = 320 cm2.

Sip[rfaqja an[sore p[rb[het prej kat[r trek[nd[shave, ku: ΔSA1B1 ≅ ΔSC1D1 dhe ΔSB1C1 ≅ ΔSA1D1,pra prej vizatimit, ku h

a = FS , h

b = GS , fitohet

M = 2 ⋅ 12 ⋅ aha + 2 ⋅

12 ⋅ bhb = aha + bhb.

Njehso lart[sit[ an[sore ha dhe h

b. N[ vizatim: a

bhæ ö÷ç= +÷ç ÷÷çè ø

22 2

2H = 169 dhe b

ahæ ö÷ç= +÷ç ÷÷çè ø

22 2

2H = 400,

d.m.th. ha = 13 cm, hb = 20 cm dhe M = 32 ⋅ 13 + 10 ⋅ 20 = 616 cm2;

a) trek[ndore;b) kat[rk[ndore;c) gjasht[k[ndore;me tehun e baz[s a dhe lart[si H.

S= 320 + 616 = 936; S = 936 cm2.


Detyra

1. Piramida e rregullt kat[rk[ndore e ka baz[nB = 144 cm2 dhe lart[si H = 40 cm. Njehsov[llimin e piramid[s.

2. V[llimi i nj[ piramide t[ rregullt kat[rk[ndore[sht[ 48 cm3,kurse syprina e baz[s [sht[36 cm2. Njehso syprin[n e piramid[s

3. Piramida e rregullt kat[rk[ndore e ka tehun ebaz[s a = 24 cm dhe syprin[n an[soreM = 960 cm2. Njehso syprin[n S dhe v[lliminV e piramid[s.

5. Baza e nj[ piramide [sht[ drejtk[nd[sh mep[rmasa 90 cm dhe 1,20 m, kurse t[ gjithatehet an[sore kan[ nga 1,25 m. Njehsov[llimin e tij.

4. Piramida e rregullt kat[rk[ndore e ka tehun ebaz[s 20 cm dhe v[llimin 3 200 cm3. Njehsolart[sin[ dhe syprin[n e asaj piramide.

6. Nj[ piramid[ e rregullt kat[rk[ndore e ka te-hun e baz[s a = 8 cm dhe v[lliminV = 576cm3.Njehso lart[sin[ dhe syprin[n e piramid[s.

7. Nd[rmjet madh[sive a, H, s, B, M, S, V tepiramida e rregullt gjasht[k[ndore njehso t[panjohurat, n[ qoft[ se jan[ dh[n[ (n[ cm):a) a = 10, H = 24;

b) B = 73,5 3 , s = 25;c) a = 7, s = 25;

d) V = 588 3 , H = 24.

Duhet t[ dish:

t[ njehsosh v[llimin e piramid[s sipas formul[ss[ p[rgjithshme;

Njehso v[llimin e piramid[s s[ rregullttrek[ndore me tehun e baz[s 5 cm dhe lart[si 9 cm.

t[ nxjerrish formul[ p[r njehsimin e v[llimitn[ shembullin konkret. Piramida e rregullt kat[rk[ndore e ka lart[sin[

12 cm dhe diagonalen e baz[s 8 cm. Sa [sht[v[llimi i piramid[s?

a) }far[ shum[k[nd[shi duhet t[ jet[ baza q[ t[ formosh piramid[ me tehe an[sore t[barabarta?

P[rpiqu...

b) }far[ shum[k[nd[shi duhet t[ jet[ baza q[ t[ formosh piramid[ me apotema t[ barabarta?

Z[v[nd[so B dhe H te formul[n e p[rgjithshme p[r v[llimin e piramid[s:

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅1 1 320 123 3

V B H , V = 1 280 cm3.

Kontrollohu!

Cilindri, koni dhe topi 197

Kujtohu!

T[ paramendojm[ se pika T fillon t[ l[viz n[p[r rrerthin, kurse drejt[za p - t[ ngel paralele mepozit[n e saj fillestare sikurse n[ vizatimin b).

N[ k[t[ m[nyr[ drejt[za l[viz[se p p[rshkruan nj[ sip[rfaqe; ajo [sht[ sip[rfaqja cilindrike -viza-timi c).

P[r drejt[z[n p thuhet se [sht[ p[rftues (gjeneratrise),kurse rrethi [sht[ drejtues (direktrise) i sip[rfaqescilindrike.

T[ presim k[t[ sip[rfaqe edhe me nj[ rrafsh Σ1,

paralele me S, sikurse n[ vizatimin d).

d)

])Mbaj mend

Qarqet q[ sip[rfaqja cilindrike i pren[ me rrafshet Σ dhe Σ1, dhe pjesa e saj nd[rmjet rrafsheve,kufizojn[ pjes[ t[ hap[sir[s, d.m.th. formojn[ nj[ trup gjeometrik i cili quhet cilindri i drejt[ rrethor,kurse ne do ta quajm[ cilind[r. Ai cilind[r [sht[ i ve]uar dhe i paraqitur n[ vizatimin ]).

A T[ v[rejm[ se si fitohet trupi gjeometrikt[ cilin e quajm[ cilind[r.

P[rcjelle m[nyr[n me kujdes.

{sht[ dh[n[ nj[ rrafsh Σ, rreth k n[ t[ edhenj[ drejt[z p q[ kalon n[p[r nj[ pik[ T t[rrethit dhe [sht[ pingule (normale) n[ Σ,

sikurse n[ vizatimin a).

a) b)

c)

CILINDRI. SYPRINA DHE V{LLIMI1212121212

}'[sht[ prizmi dhe si fitohet? Poashtu ]'jan[:a) bazat;b) faqet an[sorec) sip[rfaqja an[sore;]) lart[sia e prizmit?

CILINDRI, KONI DHE TOPI

P[r cilat trupa gjeometrikthuhet se jan[ rrotullues?

Shum[ sende nga jeta e p[rditshme kan[form[n e cilindrit (p[r shembull: konzerva,boria).Num[ro edhe disa sende q[ e kan[ form[ncilindrike.


N[ m[nyr[ ilustruese, cilindri mund t[ fitohet edhe kurdrejtk[nd[shi rrotullohet rreth nj[ brinje t[ tij (fig. ABCD,rreth BC).

B Shihe vizatimin dhe v[re elementet e cilindrit.

Qarqet quhen baza, kurse pjesa e sip[rfaqes cilindrikend[rmjet tyre quhet mb[shtjell[s i cilindrit.

Rezja R e baz[s quhet rreze e cilindrit.Segmenti OO1 (pikat e skajshme t[ t[ cilit jan[ qendra t[ bazave) quhet bosht i cilindrit, ai [sht[ edhelart[sia e tij.N[ qoft[ se cilindri pritet me rrafsh q[ kalon n[p[r boshtin e tij, fitohet nj[ drejtk[nd[sh i cili quhetprerje boshtore (drejtk[nd[shi i hijezuar n[ vizatim).

1. A mundet dy prerje boshtore t[ nj[ cilindri t[ mos jen[ t[ puthitsh[m nd[mjet tyre? Pse?

2. Njehso syprin[n e prerjes boshtore t[ cilindrit me rreze R = 5 cm dhe lart[si H = 7 cm.

P[r cilindrin prerja boshtore e t[ cilit [sht[ katror, d.m.th. H = 2R, thuhet se [sht[ cilind[r barabrinj[s.

3. Prerja boshtore e nj[ cilindri barabrinj[s e ka syprin[n 100 cm2. Njehso rrezen dhe lart[sin[ ecilindrit.

C N[ qoft[ se cilindri pritet n[p[r nj[gjeneratris[ t[ tij dhe n[p[r periferin[ ebazave, sikurse n[ vizatimin a), at[her[mund t[ shihet se rrjeti i cilindrit p[r-b[het prej dy rrath[ve t[ puthitsh[m(bazave) dhe nj[ drejtk[nd[shi (sip[r-faqja an[sore), sikurse vizatimi b).

a)

b)

4. Shihe rrjetin n[ vizatimin b) dhe, p[r syprin[n St[ cilindrit me rreze R dhe lart[si H, v[re se:

a) S = 2B + M; (B - syprina e baz[s, M - syprina e sip[rfaqes an[sore (mb[shtjell[si));b) B = R2π (Pse?), M = 2Rπ ⋅ H (Pse?);

c) S = 2R2π + 2Rπ ⋅ H ; S = 2Rπ(R + H).


Kujtohu!

5. Njehso syprin[n e cilindrit me rreze R = 8 cm dhe lart[si H = 2,5 dm.

6. Njehso v[llimin e cilindrit me rreze R =10 cmdhe lart[si H = 15 cm.

Duhet t[ dish:

t[ identifikosh elementet e cilindrit; Si fitohet:a) sip[rfaqja cilindrike b) cilindri?

t[ njehsosh syprin[n dhe v[llimin e cilindritsipas formul[s.

Ekziston ngjashm[ri e madhe nd[rmjetcilindrit dhe prizmit t[ drejt[.

D P[r v[llimin e cilindrit me rreze R(d.m.th. me syprin[ t[ bazs[s B = R2π)dhe lart[si H, ngjash[m si te prizmi,

- dy baza t[ puthitshme q[ shtrihen n[ rrafsheparalele;- sip[rfaqet an[sore me p[rftuese, p[rkat[sishtme tehe normale te bazat.

meret numri.

V = B ⋅ H, d.m.th. V = R2π ⋅ H.Dometh[n[, v[llimi i cilindrit [sht[ i barabart[ meprodhimin e syprin[s t[ baz[s s[ tij dhe lart[sis[.

7. Nxirri formulat p[r syprin[n dhe v[llimin ecilindrit barabrinj[s, me rreze R.

P[rgjigje: S= 6R2π; V = 2R3π.

Njehso S dhe V t[ cilindrit meR = 1,2 dm dhe H = 15 cm.

Detyra

1. T[ njehsohet S dhe V e cilindrit meR = 6 cm dhe syprin[n e prerjes boshtoreQ = 240 cm2.

2. Njehso S dhe V t[ cilindrit barabrinj[s me:a) R = 10 cm, b) H = 2 dm.

3. Cakto lart[sin[ e cilindrit, rrezja e t[ cilit [sht[5 cm, kurse v[llimi [sht[ V = 1 570 cm3.

4. Diagonalet e prerjes boshtore t[ nj[ cilindri,q[ [sht[ i lart[ 8 cm, [sht[ i barabart[ me10 cm. Njehso S dhe V t[ cilindrit.

5. Cilindri barabrinj[s e ka syprin[n 1 350π cm2.Cakto v[llimin e tij.

6. Dy cilindra jan[ fituar duke u rrotulluardrejtk[nd[shi rreth ]donj[r[s prej brinj[ve t[tij a dhe b. Cakto raportin e v[llimeve t[atyre cilindrave.

P[r cilin cilind[r thuhet se [sht[ barabrinj[s?

Kontrollohu!


Kujtohu!

Mbaj mend

Qarku q[ e pret sip[faqen konike nga rrafshi S dhe pjesa e sip[rfaqes konikeprej kulmit S deri te qarku, kufizojn[ nj[ pjes[ t[ hap[sir[s, d.m.th. formojn[nj[ trup gjeometrik i cili quhet kon i drejt[ rrethor; ose thjesht quhet, vet[mkon. N[ vizatim [sht[ paraqitur ai kon i ve]uar.

1. }far[ trupi gjeometrik fitohet kur nj[trek[nd[sh dybrinj[nj[sh[m rrotullohet rrethlart[sis[ t[ l[shuar ndaj baz[s?

Koni fitohet edhe kur trek[nd[shik[nddrejt rrotullohet rreth nj[r[skatet[.

KONI. SYPRINA DHE V{LLIMI

A Nj[ trup gjeometrik me form[ konikemund t[ fitohet n[ m[nyr[ t[ ngjashmesikurse fitohej cilindri.N[ jet[n e p[rditshme hasim

sende me form[ konike.

Num[ro disa sende q[ ekan[ form[n konike.

P[rcjelle m[nyr[n.

{sht[ dh[n[ nj[ rrafsh Σ dhe n[ t[ nj[ rreth kme qend[r O. Prej pik[s O [sht[ ,,ngritur"segmenti OS q[ [sht[ pingul (normal) merrafshin Σ.

Prej pik[s S t[rhiq nj[ gjysm[drejt[z SX q[ kalon n[p[r nj[ pik[ t[ rrethit k.

Pika T fillon t[ l[viz n[p[r rrethin, kurse gjysm[drejt[za SX t[ ,,rr[shqas"n[p[r rreth.

N[ k[t[ m[nyr[ gjysm[drejt[za l[viz[se p[rshkruan nj[ sip[rfaqe;ajo [sht[ sip[rfaqja konike.

P[r gjysm[drejt[z[n SX thuhet se [sht[ p[rftuese (gjeneratris),rrethi - drejtues (direktris), kurse pika S - kulmi.

1313131313


B Shihe vizatimin dhe v[re elementet e konit.

Rrethi quhet baz[, kurse pjesa e sip[rfaqes konike - sip[rfaqjakonike e konit (mb[shtjell[si).Rrezja R e baz[s quhet rreze e konit.Segmenti SO q[ e bashkon kulmin me qendr[n e baz[s quhet boshti konit, ai [sht[ nj[koh[sisht edhe lart[si.Segmenti pikat e skajshme t[ t[ cilit jan[ kulmi S i konit dhe ]far[do pik[ T e rrethit t[ baz[s, si edhegjat[sia s=ST , quhet p[rftues gjeneratris[.Prerja e konit me rrafsh q[ kalon n[p[r boshtin e tij gjithmon[ [sht[ trek[d[sh dybrinj[nj[sh[m, ajoquhet prerja boshtore e konit (trek[nd[shi i hijezuar n[ vizatim).N[ qoft[ se prerja boshtore [sht[ trek[nd[sh brinj[nj[sh[m, d.m.th. s = 2R, at[her[ p[r konin thuhetse [sht[ kon barabrinj[s.

2. Njehso syprin[n Q t[ prerjes boshtore t[ konit barabrinj[s me R = 10 cm.

3. Shihe vizatimin dhe p[rgjigju pse [sht[ e sakt[ barazia:

Nd[rmjet p[rftuesen s, lart[sin[ H dhe rrez[s R te ]do kon.s2 = H2 + R2

4. Njehso lart[sin[ H t[ konit ku s = 25 cm dhe R = 7cm.

C N[ qoft[ se koni prehet n[p[r nj[ gjeneratris[ t[ tij dhe n[p[r periferin[e baz[s, at[her[ mund t[ shihet se rrjeti i konit p[rb[het prej nj[qarku (baze) dhe nj[ sektori rrethor (sip[rfaqja an[sore), sikurse n[vizatim.

5. Shihe rrjetin n[ vizatim, p[r syprin[n S t[ konit me rreze R dhe p[rftuese s, v[re se:

a) S= B + M (B - syprina e baz[s; M - syprina e sip[rfaqes an[sore (mb[shtjell[si));

b) B = R2π (syprina e rrethit);

c) s s= p⋅ = p122M R R (syprina e sektorit rrethor);

]) S = R2π + Rsπ; S = Rπ (R + s).

6. Njehso syprin[n e konit me rreze R = 5 cm dhe lart[si H = 1,5 dm.


Detyra

1. Njehso syprin[n S dhe v[llimin V e konit merreze R = 5 cm dhe syprin[n e sip[rfaqesan[sore M = 65p cm2.

2. Njehso S dhe V t[ konit me B = 314 cm2 dhes = 26 cm.

3. Prerja boshtore e nj[ koni e ka syprin[nQ =18,48cm2, kurse lart[sia [sht[ H =5,6 cm.Njehsoa) B; b) V; c) M.

4. Perimetri i prerjes boshtore t[ konit barabrinj[s[sht[ 18 cm. Cakto S dhe V t[ konit.

5. V[llimi i konit me lart[si H = 20 cm, [sht[1 500π cm3. Njehso syprin[n e konit.

P[rpiqu! ... Nuk [sht[ e domosdoshme!

6. K[ndi pran[ maj[ste rrjeti i konit [sht[120o, kurse gjene-ratrisa e konit [sht[15 cm.Njehso diametrin ekonit.

D V[llimi i konit mund t[ caktohet meeksperiment t[ ngjash[m p[r caktimin ev[llimit t[ piramid[s.

N[ qoft[ se b[n modele t[ konit dhe cilindrit mebaza t[ puthitshme dhe lart[si t[ barabarta, do t[bindesh se ,,p[rmbajtja" e konit (r[r[, krip[ etj.) dot[ jet[ nj[ e treta e atij cilindri.

V[llimi V i konit me rreze R dhe lart[si H [sht[: ;= 13V BH = p21

3V R H.

7. Njehso v[llimin e konit me R = 10 cm dhe H = 3 dm.

8. Nxirri formulat p[r syprin[n dhe v[llimin e konit barabrinj[s.

Krahaso rezulltatin t[nd: S = 3R2π; p=3 33

RV .

Mbaj mend

t[ identifikosh elementet e konit; Si fitohet:a) sip[rfaqja konike; b) koni?t[ njehsosh syprin[n dhe v[llimin e konit sipas

formul[s s[ p[rgjithshme. Njehso S dhe V t[ konit me R = 5 cm dhe s = 13 cm.

P[r cilin kon themi se [sht[ barabrinj[s?

Kontrollohu!


Kujtohu!

TOPI. SYPRINA DHE V{LLIMI1414141414A Bashk[sia e t[ gjitha pikave n[ hap[sir[

q[ jan[ nj[ lloj t[ larguara prej pik[s s[Shprehe p[rkufizimin errethit.

Or T

}'[sht[ qendra e rrethit dhe]'[sht[ rreze e rrethit?Si [sht[ i p[rcaktuar nj[ rreth?

dh[n[ O, formon nj[ si-p[rfaqe; ajo sip[rfaqe qu-het sfer[.

Pika e dh[n[ O quhetedhe qendra e sfer[s.

Larg[sia prej qendr[s deri te cilado pik[ e sfer[s quhet rreze e sfer[s dhe zakonisht sh[nohet me R.

}do segment OT, ku T [sht[ cilado pik[ e sfer[s quhet rreze e sfer[s.

1. N[ vizatim [sht[ paraqitur sfera me qend[r O.

Em[rto (t[ pakt[n dy) segmenta q[ jan[ rreze t[ sfer[s.Me ]far[ [sht[ p[rcaktuar nj[ sfer[?

}'[sht[ zona e brendshme e nj[ rrethit?

}'[sht[ qarku?}'[sht[ korda dhe ]'[sht[ diametri i qarkut?

Or BA

DC

Em[rto disa sende me form[ t[ topit q[ i has[nn[ jet[n e p[rditshme.

Kujtohu! B Sfera e ndan hap[sir[n n[ zon[n ebrendshme dhe t[ jashtme.

Bashk[sia e t[ gjitha pikave t[ zon[s s[brendshme (d.m.th. pikat larg[sia e t[ cilave derite qendra [sht[ m[ e vog[l se rrezja e asaj sfere),s[ bashku me sfer[n, formon trup gjeometrik icili quhet top.

Qendra, p[rkat[sisht rrezja e sfer[s quhetqend[r, p[rkat[sisht rreze e topit.

2. Topi me qend[r O e ka rrezen R = 5 cm. Pikat A, B dhe C gjenden n[ larg[si prej qendr[s:OA = 1,5 cm, OB = 5,1 cm dhe OC = 5 cm. Cil[t prej tyre i takojn[ topit?

3. Kujtohu ]'[sht[ diametri i qarkut dhe p[rpiqu ta shprehish (sipas analogjis[) p[rkufizimin e diametritt[ topit.


V[re:

Syprina e topit:a) [sht[ kat[r her[ m[ e madhe se syprina e qarkut t[ tij m[ t[ madh;b) [sht[ e barabart[ me prodhimin e diametrit 2R dhe perimetrit 2Rπ t[ nj[ qarku t[ tij t[ madh,d.m.th. S = 2R ⋅ 2Rπ = 4R2π.

}do topi i shoq[rojm[ num[r V - v[llimi i topit, i p[rcaktuar me formul[n

SRV31

, d.m.th. 334 RV ,

ku R [sht[ rreze, kurse S [sht[ syprna e topit.

V[re se:

Prerja e topit me rrafsh gjithmon[ [sht[ rreth.

N[ qoft[ se rrafshi kalon n[p[r qendr[n O t[ topit, at[her[rrethi i prer[ e ka rrezen e nj[jt[ (R) sikurse topi dhe quhetrrethi i madh.Sa rrath[ t[ m[dhenj ka nj[ top?Si jan[ nd[rmjet veti rrezet e tyre?

5. V[re (ose paramendo) nj[ glob.Ekuatori p[rcakton nj[ rreth t[ madh t[ globit.Cilat vija p[rcaktojn[ rrath[ t[ tjer[ t[ m[dhenj?Sh[no disa rrath[ t[ vegj[l te globi.

C Sip[rfaqja e ]do topi (d.m.th. sfera p[rkat[se) e ka syprin[n e tij, e cila quhet syprina e topitose syprin[ e sfer[s

Syprina e topit me rreze R p[rcaktohet me formul[n: S = 4R2π.

4. Te vizatimi a) [sht[ paraqitur qarku me nj[ diamet[r t[tij AB.

}'do t[ fitohet n[ qoft[ se qarku rrotullohet rrethdiametrit AB?

Mund t[ p[rfundosh se me rrotullimin e qarkut (osegjysm[qarkut) rreth ndonj[ diametri t[ tij (sikurse n[vizatimin b) fitohet topi.

a) b)


6. Njehso S dhe V e topit me rreze R = 5 cm.

7. Njehso S dhe V e topit, p[r t[ cilin dihet se nj[ qark i tij i madh e ka syprin[nQ = 2 826 cm2.

Duhet t[ dish:

t[ identifikosh sfer[n dhe topin dhe elementete tyre;

Sqaro ]'[sht[ sfera, dhe ]'[sht[ topi. Si fitohen?

t[ njehsosh syprin[ dhe v[llimin e topit sipasformul[s.

Sa jan[ S dhe V i topit me rreze R = 1 dm?

Detyra

1. Njehso syprin[n S dhe v[llimin V e topit, n[qoft[ se diametri i tij [sht[ 12 cm.

2. Njehso S dhe V e topit, n[ qoft[ se syprina enj[ rrethi t[ tij t[ madh [sht[ 314 cm2.

3. Topi prej plumbi me rreze R = 6 cm duhet t[shkrihet n[ cilind[r me rreze t[ nj[jt[ R = 6 cm. Sado t[ jet[ lart[sia e cilindrit?

4. Njehso v[llimin V e topit dhe syprin[n Q t[rrethit t[ tij m[ t[ madh, n[ qoft[ se syprina etij [sht[ S = 100πcm2.

5. Te kubi me teh 6 cm [sht[ vendosur topi i cilii prek t[ gjitha faqet e kubit. Sa [sht[ syprinae topit? B[je vizatimin.

6. {sht[ dh[n[ kubi me tehun a. Rreth kubit[sht[ jasht[shkruar topi dhe n[ kub [sht[brendashkruar top. Cakto raportin nd[rmjeta) syprinave; b) v[llimeve t[ atyre dy topave.(Nj[ kub [sht[ brendashkruar te topi n[ qoft[se t[ gjitha kulmet e tij shtrihen n[ sip[rfaqene topit. At[her[ themi, gjithashtu, se topi [sht[jasht[shkruar rreth kubit.)

Kontrollohu!

7. Prej kubit t[ drurit me tehun 4 cm, duhet t[gdhendet top me madh[si sa m[ t[ madhe.Njehso v[llimin e mbeturin[s. Sa p[rqind ev[llimit t[ kubit [sht[ v[llimi i mbeturin[s?

8. Diametri i Tok[s [sht[ 12 733 km, kurse iH[n[s [sht[ 3 482 km. Sa her[ [sht[ m[ emadhe:a) syprina e Tok[s prej syprin[s s[ H[n[s;b) v[llimi i Tok[s prej v[llimit i H[n[s?


V[re rrotulluesen.Ngjarje t[ mundshme ka 5: shigjeta mund t[ ndalet te fusha e sh[nuar menumrin 1, 2, 3, 4 ose 5.N[ qoft[ se ngjarja e pritur [sht[ shigjeta t[ ndalohet n[ fush[n t[ sh[nuar

me 7, probabiliteti i saj [sht[ 0, ose V(7) = 05

= 0.

Ngjarja [sht[ e pamundshme.


GJASA (PROBABILITETI)1515151515

Kur [sht[ e sigurt se ndonj[ ngjarje do t[ ndodh, probabiliteti [sht[ 1 ose 100 %.P[r shembull: N[ qoft[ se shishja plastike e zbraz[t bjen n[ dysheme - nuk do t[ thehet.

Kur [sht[ e pamundshme ndonj[ ngjarje t[ ndodh, probabiliteti [sht[ 0.P[r shembull: Prej kutis[ plot[ vet[m me topa t[ kuq, t[ nxirret top i bardh[.

T[ gjitha mund[sit[ e tjera (probabiliteti) jan[ nd[rmjet 0 dhe 1.

P[r shembull: N[ qoft[ se hudhet monedha n[ aj[r, probabiliteti q[ t[ bjen stema [sht[ 12 .

1. Rrotulluesja n[ vizatim ka 6 fusha t[ barabarta. N[ qoft[ se rrotullohetshigjeta, sa [sht[ probabiliteti q[ ajo t[ ndalohet te fusha me numrin4?

Shih se:T[ mundshme jan[ 6 ngjarje - shigjeta t[ ndalohet te cilado prej fushave1, 2, 3, 4, 5 ose 6. }donj[ra prej k[tyre ngjarjeve [sht[ e barabart[ mengjarjet e mundshme.

Sa [sht[ probabiliteti q[ shiqjeta t[ ndalohet te numri 1?

Gjasa p[r shigjet[n t[ ndalohet te numri 2 ose te numri 3 prej 6 ngjarjeve t[ mundshme [sht[ 26 , ose

V(2 ose 3) = 26

= 13 .

Sa [sht[ probabiliteti q[ shigjeta t[ ndalohet te numri 1, 5 ose 6?

Ngjarja e pritur [sht[ shigjeta t[ ndalohet te fusha e numrit 4.

Probabilitet q[ shigjeta t[ ndalohet te fusha me numrin 4 [sht[ 16

. Themi se probabiliteti V(4) = 16

.

Kujtohu!


2. Te secila kartel[ [sht[ shkruar nga nj[ shkronj[.

M A T E M A T I K ALiridoni ka t[rhequr kartel[ pa shikuar. Cakto probabilitetin p[r ngjarjet:a) V(M); b) V(A); c) V(T ose K).

3. Cakto probabilitetin e secil[s ngjarje t[ percaktuara me rrotullimine shigjet[s.a) numrit 3; d) numrit 11;b) numrit ]ift; e) num[r m[ i madh se 7;c) numrit tek; f) num[r prej 1 deri n[ 10.]) 5 ose 6;

Shkruaje ]donj[r[n prej vlerave t[ fituara p[r probabilitetin n[ p[rqindje.

Cila prej ngjarjeve prej a) deri te f) [sht[ e sigurt, dhe cila [sht[ e pamundshme?

Cilat prej dy ngjarjeve a) deri te f) jan[ nj[ lloj t[ mundshme?Cil[t dy ngjarje jan[ t[ atilla q[ n[ qoft[ se ndodh nj[ra sigurisht nuk do t[ ndodh tjetra?

Duhet t[ dish:

t[ parashtrosh parashikime p[r ngjarje n[ lidhjeme eksperimentin e dh[n[ dhe ta caktoshprobabilitetin e tyre.

Hudhet zari p[r loj[. Cilat ngjarje jan[ t[mundshme? Numro s[ paku tre.

Kontrollohu!

Sa [sht[ probabiliteti, gjat[ hudhjes s[ zarit p[rloj[, n[ an[n e sip[rme t[ paraqitet:a) numri 2; b) numri 3 ose 4;c) numri 3 dhe 4; ]) num[r ]ift;d) numri 7; dh) num[r prej1 deri 6;

N[ p[rgjith[si

Le t[ jet[ n numri i "t[ gjitha ngjarjeve" n[ lidhje me eksperimentine dh[n[ dhe le t[ jen[ t[ gjithaato raste nj[lloj t[ mundshme.

N[se A [sht[ ngjarje n[ lidhje me at[ eksperiment dhe m [sht[ num[r i "t[ gjitha rasteve t[ volitshme"

p[r paraqitjen e asaj ngjarje, at[her[ her[si mn quhet probabilitet matematikor i ngjarjes A dhe

sh[nohet me V(A).Dometh[n[:( ) m

n=V A .


M{SOVE P{R TRUPAT GJEOMETRIKPROVO NJOHURIN{ T{NDE

1. Cili kulm ngakuboidi (n[ vizatim)[sht[ komplanar me:a) A,B,C1;b) A,C,C1?

2. A priten drejt[zat:a) DB1 dhe D1C; c) A1C dhe AC1?b) BB1 dhe D1C;Shihe vizatimin.

3. A [sht[ i percaktuar rrafshi:a) AD dhe B1C1; b) DC dhe DB1;c) BC dhe AA1? Shihe vizatimin.

4. Si quhen dy drejt[za n[ hap[sir[ q[ nuk jan[paralele dhe nuk priten?N[ vizatim cakto dy ]ifte t[ drejt[zave t[atilla.

5. Drejt[za e dh[n[ p [sht[ pingule me dyrrafshe t[ ndryshme Σ

1 dhe Σ

2. Si [sht[

pozita reciproke e Σ1 dhe Σ

2?

6. }'[sht[ projektimi ortogonal i segmentit mbinj[ rrafsh?

7. Sa tehe ka nj[ priz[m:a) trek[ndor; c) gjasht[k[ndor;b) kat[rk[ndor; ]) n - k[ndor?

8. Syprina e prerjes diagonale t[ nj[ kubi [sht[64 2 cm2. Njehso tehun e kubit.

9. Njehso diagonalen e kuboidit me p[rmasa9 cm, 6 cm dhe 2 cm.

10. Syprina e sip[rfaqes an[sore t[ nj[ prizmit[ rregullt trek[ndor [sht[ M = 180 cm2,kurse tehu i baz[s a = 10 cm. Njehso syp-rin[n S dhe v[llimin V e prizmit.

11. Rombi me diagonale 24 cm dhe 10 cm [sht[baz[ e prizmit t[ drejt[ me lart[si 5 cm.Njehso S dhe V t[ prizmit.

12. Tehu i baz[s i piramid[s s[ rregulltgjasht[k[ndore [sht[ 3 cm, kurse tehuan[sor 4 cm. Njehso v[llimin e piramid[s.

13. Njehso syprin[n S dhe v[llimin V t[ pira-mid[s s[ rregullt kat[rk[ndore me tehun ebaz[s a = 10 cm dhe apotem[n h = 13 cm.

14. Sa litra uj[ nxen fu]ia n[ form[ t[ cilindritme syprin[n e baz[s 30 dm2 dhe lart[si 1 m?

15. Njehso S dhe V t[ konit me rreze t[ baz[sR = 0,5 dm dhe lart[si H = 1,2 dm.

16. Njehso S dhe V t[ topit ku qarku kryesor(m[ i madhi) e ka syprin[n 56,25π cm2.

Përgjigje dhe zgjidhje 209

P{RGJIGJE DHE ZGJIDHJE

a) 3 : 4; b) 3 : 2; c) 5 : 2.1.

detyraveT{

TEMA 1. NGJASHM{RIA

11111 a) 4 : 3;2.

b) 2 : 3; c) 2 : 5. a) 1 : 2; b) 1 : 2; c) 3 : 10.3.

T[ barabart[ nd[rmjet veti jan[ a), b) dhe ]); c) dhe d).a) 150 : 100 : 50; b) 3 : 2 : 1.4. a) 15; b) 7,8;5.

c) 0,5; ]) 75

. a) 1 : 3; b) 1 : 5; c) 1 : 6.6.

a) 3 : 1; b) 1 : 4.7. 7,5 cm.8. 2 : 1.9.

3 : 2.10. P[rpiqu... a) 12vez[; b) 3 pula.

a) 20; b) 6.1.22222 P. sh. 28 : 16 =2,1:1,2.2.

a) 49

dm; b) 8 m3

.3. a) 3; b) 7,5;4.

c) 16. a) 4 cm; b) 24 cm; c) 7 2 cm .5.

a) x = 6, y = 7,5; b) x = 28, y = 1,5.7.

,= =MB 7 2 dm; AB 12 dm.6.33333 P[r 8 cm.7.

: : : : .= =AM AB 3 5; AB MB 5 28.

6 cm.1.44444 a) 16; b) 6.2.ba

; cd; mn; k4

.3.

=1 1A B 9 cm, =1 1B C 3 cm .4. a) Po; b) Jo.5.

5.1.55555 ,»AB 14 3 m .2. ,=AD 13 5 ;3.

x = 5, y = 10.4. Ndihm[: V[re se7.

1 : a = a : x. Ndihm[: a) b : a = a : x;8.

b) a : b = b : x. x = 12; y = 16.9. a) Zgjidhje:10.

N[ vizatim, AB [sht[ vazhduar p[r (]far[do) larg[si BC,kurse ]far[do pik[ e arritshme E, prej ku shihet A, e bashkuarme C. Poashtu [sht[ t[rhequr BD || AE. Sipas teorem[s s[Talesit fitohet : :=CB BA CD DE , d.m.th

. ⋅=

BC DEBACD

.

b) 212,5 m. c) 300 m.

a) AB dhe RS, AC dhe RT, BC dhe ST; b) A1.66666dhe R, B dhe S,C dhe T.

34

.2. x = 8, y = 7,5.3.

18 dhe 4.4. Po. Te trek[nd[shat e puthitsh[m, k[ndet5.

p[rkat[se jan[ t[ barabart[ dhe brinj[t p[rkat[se jan[ t[barabart[ (pra ato jan[ proporcional).

MN || AB (si vij[ e mesme t[ ΔABC), pra k[ndet6.

p[rkat[se i kan[ t[ barabarta; =1MN AB2

, =1AM AC2

dhe =1BN BC2

, pra brinj[t p[rkat[se i kan[ proporcionale.

a) 3 : 5; b) 7 : 3; c) 4 : 3.1.77777 5.2. b)

6..

3.

17 m.5.

22,5.3.88888 Jo.4. Po, sipas kriterit t[ dyt[.6.

a) Po; b) Po.7. 52 m.8. 17,5 m.9.

8 cm.1.99999 24 cm, 45 cm, 27 cm.2. 30 cm3.

dhe 12 cm a1 = 12 cm, b1=16 cm, c1 = 24 cm.4.

6,5 cm.5. b1=5, h1 = 10.6. Ndihm[: Te ΔABC7.

t[rhiqe vij[n e mesme A1B1 || AB dhe shihe ΔA1B1C.

a1 = 18, h

1 = 9.8.

35

.9. 0,69 ha.10.

a) z; z; b) n; c) z; ]) m.1.1010101010 a) 6; b) 121;2.

c) a = 12, ,b = »180 13 4 . a) 3,2; b) 5; c) 3;3.

]) 4. c = 10; q = 3,6; b = 6.5. 150 cm2.6.

Ndihm[: Konstrukto mesin gjeometrik x t[ segment[ve7.

a dhe b. At[her[ x2 = a ⋅ b, pra katrori i k[rkuar e ka brinj[nx.

a) 37; b) 33; c) c ≈ 40.1.1111111111 a), c), ]) Po;2.

b) Jo. 1.3. 19,4 dm.4. 64.5. ≈ 10,4.6.

=BC 18 .

210 Përgjigje dhe zgjidhje

a) x = 3; b) x = 8; c) x = 3.7.

P[r a = 4.8.

c = 37, b = 12. Zgjidhje. a2 + b2 = c2, p[r a = 35 dhe7.

b = 49 - c b[het: 352 + (49 - c)2 = c2 , d.m.th.1 225 + 2401 - 98c + c2 = c2, prej ku fitohet 3626 = 98c, prac = 37; pastaj, b = 49 - c = 12.

21 dhe 28.8.

7 m.1.1212121212 a) 40 cm; b) 1320 cm2; c) ≈ 51,9 cm.2.

a ≈ 32 cm.3. 44 cm.4. 1260 cm2.5. 6 cm.6.

Ndihm[: Shfryt[zo nd[rtimin tedetyra 5.

8.

92 cm (= 2 ⋅ (30 + 16) cm).9.

6 m.10. Ndihm[. Le t[ jet[ (x + 2)m lart[sia e drurit.At[her[(x + 2)2 + 8 = 102, (x + 2)2 = 36, x + 2 = 6.

Test: 1. a) 3 : 2; b) 3 : 2; c) 9 : 4. T[ barabarta jan[ n[na dhe b 2. 1,5 cm. 3. a) 10; b) 9; c) 4.

4. 12. 6. a) 12; b) 35. 7. AC || BD, pasi

: :=OA OB OC OD . 8. Ndihm[: Segmentiprej 12 cm ndaje n[ tre pjes[, n[ raport 3 : 5 : 6.9. Po, sipas indicit t[ par[ (k[ndet e trek[nd[shit t[

par[: 40o, 60o dhe 80o, kurse k[ndet e t[ dytit: 60o, 80o dhe40o). 10. 10 m. 11. 3,2 cm. 12. P= 45 cm;S= 45 cm2. 13. c = 10; a = 20 ; b = 80 ; h = 4.

14. 920. 15. a) dhe c) Po; b) Jo. 16. 128.

17. 5,3 cm.

N[n a) dhe c).1.

TEMA 2. BARAZIMI LINEAR, JOBARAZIMI LINEARDHE FUNKSIONI LINEAR

11111 N[n b) dhe c).2. P[r x = 2.3.

Identitet [sht[ 5(x - 1) = 5x - 5.4. N[n a) dhe5.

P[r a = 3.6.

a) me 3 t[ panjohura, b) me nj[ t[ panjohur dhe c)1.22222me dy t[ panjohura. a) i shkall[s s[ tret[,2.

b) i shkall[s s[ dyt[ c) i shkall[s s[ par[. N[n a) dhe3.

N[n a) dhe n[n c).4. N[n c) dhe ])5.

N[n b) dhe n[n c).1.33333

Barazimet jan[ ekuivalente.1.44444 N[ t[ dy2.

an[t e barazimit [sht[ shtuar shprehja 2x.Mund t[ eleminohen an[tar[t -3x; -5 dhe3.

fitohet barazimi 2x - 4 = 4. . 3x - 2 + x =4.

= 5 + 2x - 3 ⇔ 3x + x - 2x = 5 - 3 + 2 ⇔ 2x = 4..

m = 5x.5. a). b).6. a) -1; b) 4.7.

E nj[jta bashk[si e zgjidhjeve M = {2}.1.55555M = {2}.2. a) Jo b) Po; c) Jo.3. x = 2.4.

a) M = {-1} ; b) M = R.5.x x x- +

+ =1 1 2

2 4 3 ⇔6.

6x - 6 + 3x + 3 = 8x ⇔ 6x + 3x - 8x = 6 - 3 ⇔ x = 3.

a) 2x - 4 = 0; b) 2x + 6 = 0.1.66666 N[n c).2.

a) x = 2; b) x = 2; c) .x=32

3.

P[rpiqu... Kapaku 0,5 denar[, shishja 10,5 denar[.

P[rpiqu... tp

= 2

8P ; p[r t = 6:

p=

92

P .

Zgjidhje. ( ) ;R r r=p - +é ùë û2 2 2

1 2P ( )r R x= +11 ,2

( );r R Rx x= + +2 2 21

1 24

( )r R x= -21 ,2

p[r a = 5.2.

a) M = {2}; b) M = {2}; c) M = {4}.3.

Barazimi n[n b).4. Barazimi n[n b).5.

Barazimet n[n a) dhe n[n c).6.

2x - 8 = 1- x;4.

a) x = -3; b) x = 0; c) x = 6.5. a) x = 3;6.

( );r R Rx x= - +2 2 22

1 24

( ) ( )2

2 2 2 2 2 21 2

1 12 2 4

tr r R x R R+ = + = + - ;

( )tR R té ù pê ú= p - - =ê úë û

22 2 21P 2

2 4 8.

n[n b).

n[n c).

x = 3.

b) x = 3.

Triku me domino... Ndihm[. Ti sh[nojm[ me x dhe y"numrat" e dominos dhe le t[ jet[ zgjedhur numri x.At[her[: (2x + 6) · 5 + y - 30 = 10x + y.


28.1.77777 108 dhe 722. x = (x - 46) ⋅ 4 + 7; ato3.

jan[ numrat 59 dhe13. a = b - 2;4.

b - 2 + 2b = 43; a = 13 cm, b = 15 cm.

N[se numrin e monedhave prej 2 denar[ i sh[nojm[5.

me x, at[her[ numri i monedhave prej 5 denar[ jan[ 25 - x.Prej k[tu kemi: 2 ⋅ x + (25 - x) ⋅ 5 = 80, p[rkat[sisht prej 2denar[ kan[ qen[ 15 monedha, kurse prej 5 denar[ 10

N[ qoft[ se numrin e lepujve e sh[nojm[ me6.

x, at[her[ numri i fazan[ve [sht[ 35 - x. Prej k[tu kemi: 4 ⋅x + (35 - x) ⋅ 2 = 94. Lepuj kan[ qen[ 12, kurse fazan[ 23.

x + 2) ⋅ 35 = (x - 1) ⋅ 50; x = 8 or[ .=AB 350 km7.

Pun[tori i par[ p[r 1 or[ do t[ kryen 16

e pun[s, kurse8.

i dyti 112

. N[ qoft[ se me x e sh[nojm[ koh[n e nevojshme,

P[r 225

or[.9.

x x- =1 1 1

12 20 ; gypi i dyt[ do ta mbush rezervoarin10.

e zbraz[t p[r 30 or[.

N[n a) dhe n[n b).1.88888 P[r x = 0 dhe x = 2.2.

Me nj[ t[ panjohur jan[ jobarazimet n[n a) dhe c),3.

kurse me dy t[ panjohura jan[ jobarazimet n[n b) dhe ])Jobarazimi n[n a) [sht[ i shkall[s s[ dyt[, jobarazimet4.

n[n b) dhe n[n c) jan[ t[ shkall[s s[ par[, dhe jobarazimin[n ]) [sht[ i shkall[s s[ tret[.

a) Z(3x + 1 > 2x + 1) = {1, 2, 3} dhe1.99999b) Z(2x + 3 > x + 3) = {1, 2, 3}. Ekuivalente jan[ t[2.

tre jobarazimet, pasi kan[ bashk[si t[ nj[jt[ t[ zgjidhjeve{0, 1, 2}.

a) (-2, +∝); b) (-∝, 0); c) (-∝, 1]; ]) [-3, +∝);3.

a) (-3, +∝).4.

b) (-∝, +2).

a) (-∝, -2].5.

b) [1, +∝). N[n b).6.

a) x < 2; b) x > 2.1.1010101010 2x - 3 < x - 1 ⇔2.

⇔ 2x - 3 - 5x < x - 1 - 5x. a) 2x + 2 < x + 4;3.

b) 3x + 2 > 2x - 2 - 6. x < 12.4. x > -2.5.

a) dhe b). T[ dy an[t jan[ shum[zuar me -1.6.

a) x > 3; b) x > -3.1.1111111111 a) x ≥ 4; b) x ≤ 3.2.

Nuk [sht[. Zgjidhje [sht[ intervali (-∝, -4).3.

a) x <235 ; b) x > -3.4. x < 5.5.

2a + 2(a - 3) < 54, a < 15.6.

a) (-3, 6); b) (-3, -1).1.1212121212 a) ,æ ö÷ç- +¥÷ç ÷÷çè ø

52

;2.

b) (-3, 4). a) [4, 8]; b) [-3, 4).3. a) ,æ ö÷ç- ÷ç ÷÷çè ø

1 42 3

;4.

b) (2, 4)

Funksione lineare jan[ n[n: c), ]) dhe d).1.1313131313a) y = -2x + 3; b) y = -x + 2; c) y = -2x;2.

]) .y x= +1 12 4

a) k = 2 dhe n = -3; b) k = 2 dhe3.

n = 0; c) k =-13

dhe n = 3; ]) k =-12

dhe n = 0.

a) x = 2; b) x =12

; c) x =52

; ]) x = 0.4.

k =32

.5. k = 3 dhe n = 3.6.

Pikat A dhe D.1.1414141414 P[r x = 1.2.

y = 3x3. xy

0

0

1

3

y = 3x + 2 xy

0

2

-1

-1

y = 3x - 2 xy

0

-2

1

1

(2, 0).4. n = 5.5. k = 2.6.

monedha.

at[her[ x x⋅ + =1 1 16 12

, p[rkat[sisht x = 4.

P[rpiqu... 84 vjet


Funksioni y =1.1515151515k = -3.2.

k = 2 dhe n = -3.3.

n = -1.4.

k = -2 dhe n = 2.5.

6.

3x - 2.

N[n a) dhe ]).1.1616161616 N[n b) dhe ]).2.

a) rrit[s p[r k =13

dhe k = 3; b) zvog[lues p[r3.

k = -2 dhe k =-12

.

a) y = 4x - 14.

xy

0

-1

1

3

Funksioni y = 4x - 1 [sht[rrit[s.

b) y = -2x - 1

xy

0

1

-1

1

Funksioni y = -2x - 1 [sht[zvog[lues.

a) y = -3x + 15.

xy

0

1

1

-2

Funksioni y = -3x + 1 [sht[zvog[lues..

b) y = 2x + 1

xy

0

1

1

3

Funksioni y = 2x + 1 [sht[rrit[s.

Prej P(0, 2), n = 2. Prej A(1, -1) kemi: k- = ⋅ +1 1 2 ,prej ku k = -3; funksioni [sht[ zvog[lues.

6.

1.1717171717 a) y = x - 2

xy

0

-2

1

-1

x = 2

b) y = 2x - 6

xy

2

-2

3

0

x = 3

2. a) y = x + 1

xy

0

1

1

2

x = 2

y = 2x - 1

xy

0

-1

1

1

b) y = 3x - 1

xy

0

-1

1

2

x = 1

y = -x + 3

xy

0

3

1

2

3. k = 2. 4. k = 2 dhe n = 3.

P[rpiqu... 8 kosit[s.Ndihm[. N[se syprina e livadhit t[ madh [sht[ sh[nuarme A, nd[rsa e vogla me B, at[her[ A = 2. Le t[ jet[ k

numri i kosit[sve. Q[ t[ kositet A duhen 2 4x x+ dit[

pune, nd[rsa p[r B: 14x+ .Nga A = 2B fitohet barazimi

2 12 4 4x x xæ ö÷ç+ = + ÷ç ÷÷çè ø

. Nga kemi x = 8.

]), c), b), a)1.1818181818 ;2 35 5

; 1; 0.2. a) 12

;3.

b) 13

; c) 56

; ]) 16

; 5 kartela; mundohu: 3 her[.


Testi: 1. Po.

a) Koeficient[; 2, -1, 3; T[ panjohura: x, y.b) Koeficient[: 2, 6, 1; T[ panjohura: x, y.

1.


11111

2. b) 3. a) x = 2,1; b) x = 1;4. a = 3. 5. Ato numra le t[ jen[:

x, x + 1dhe x + 2. kemi x + x + 1 + x + 2 = 84, d.m.th. x = 27.Numrat e k[rkuar jan[: 27, 28 dhe 29.6. N[ qoft[ se koha e l[vizjes t[ kamionit [sht[ x,

at[her[ e automobili [sht[ x - 2. T[ dy automjetet kan[kaluar rrug[ t[ nj[jt[. Prej k[tu kemi: 50x = 75(x - 2),d.m.th.x =6 or[, kurse = ⋅ =AB 6 50 300 km . 7. Po.8. 2x - 1 > x - 2 ⇔ 3x + 1 > 2x - 3, n[ D.

9. a) (3, +∝) b) (-92

, +∝)

10. a) (-∝, -3)

11. xy

0

-3

1

-1

x = 32

12. A dhe C. 13. n = -3. 14. Rrit[s jan[

y = 3x - 1

xy

0

-1

1

2

y = x + 3

xy

0

-1

1

2

x = 2

a) po; b) jo.2.

c) Koeficient[: 1, -2, -1; T[ panjohura: y, z. ]) Koeficient[: 5, 3, 16; T[ panjohura: u, v.

a) -1; b) 12

; c) 5.3. b).4.

(-2, 3); (-1, 1); (0, -1); (1, -3); (2, -5).5.

x + 3y = -3.6.

a) {(k, 3 - 2k) | k ∈ R}; b) }|kk kìæ öï -ï ÷ç - Î÷íç ÷÷çïè øïî

1 26

R ..1.22222

15.

b) (- 5; 2,5)

,æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø3 02

a) x + 3y = -3; b) 2x + 3y = 5; c) -13x + 5y = 24;2.

]) 19x + 33y = 124.

a) }, |k k kìæ öïï ÷ç - Î÷íç ÷÷çïè øïî

223

R ;3.

xy

-3

4

0

2

3

0

b) {(k, 2(k - 3) | k ∈ R}; xy

-1

-8

0

-6

3

0

c) {(2, κ) | κ ∈ ΡΡΡΡΡ)}; grafiku [sht[ drejt[z paralele me boshtin y.

p = -2.4.

a) Koeficient[: 2, 0, 6 dhe 0, 1, 2; T[ panjohura:1.33333x, y; b) Koeficient[: 1, 2, 0, , ,2 1

3 2 2; T[ panjohura: x, y;

c) Koeficinet[: 0; 0,25; 0,04; 4; 25; 641; T[ panjohura: x, y.

;x yx y


6417

2.

;18

52 180 .

x yx y

ì + =ïïíï - = +ïî

440180 180

3. a) po; b) po; c) jo. 4. P[r shembull:

5. .x y

x yì - =ïïíï + =ïî

3 50

a) ;

x y

x y

ìïï + =ïïíïï - =ïïî

1 22

2 5 b)

.x y


2 04 3 12

6. a) (x, y) = (-2, 4); b) (x, y) = (-3, 3).

c) x = 3.

funksionet: y = 2x - 3 dhe y = 3x - 2, kurse zvog[lues jan[funksionet:y = -3x + 1 dhe y = -x - 1.


a) y = 8 - 4x1.44444xy

-2

16

0

8

1

4

2

0

y = 5x - 1

xy

-2

-11

0

-1

1

4

2

9

a) Nj[ zgjidhje: ( ), , ;x yæ ö÷ç= ÷ç ÷÷çè ø2 13 3 b) Pafund shum[;2.

c) Nj[ zgjidhje (x, y) = (2, 2); ]) Nj[ zgjidhje: (x, y) = (-2, 1).a) Grafik[t jan[ drejt[za3.

paralele; b) Grafik[t jan[ drejt[za q[ priten; c) Grafik[tjan[ drejt[za q[ priten; ]) Grafik[t jan[ drejt[za q[ puthiten.

a) (x, y) = (2, 4); b) (x, y) = (10, 5);1.55555c) (x, y) = (0, 7). a) (x, y) = (5, 3); b) (x, y) = (4, 3);2.

c) (x, y) = (4, 1).. a) (x, y) = (1, 0); b) (z, y) = (-1, 1).3.

a) (x, y) = (7, -5); b) (x, y) = (4, 12).4.

a) (x, y) = (-3, -1); b) (x, y) = (-13, -1).5.

(x, y) = (3,-2); ( ), , .x yæ ö÷ç= - - ÷ç ÷÷çè ø

1773

1.66666( ), , ;x y

æ ö÷ç= - ÷ç ÷÷çè ø1 22

(x, y) = (12, 4).2. (x, y) = (5, 2).3.

(x, y) = (7, -2).4. (x, y) = (6, 12); (x, y) = (12, 12).5.

(x, y) = (-2, -2); (x, y) = (-4, -3).6.

a) (x, y) = (3, 1); b) Nuk ka zgjidhje;7.

x yx y


722 ; numri i par[ [sht[ 37, kurse i dyti 35.1.77777

Sh[nim M-djem, D-vajza.2.

}{, ( , ) .

ì + =ïïïíï = + =ïïî

M D 28M D 4 R 16 12

Shpejt[sia e anijes3.

[sht[ 16,8 km/h, kurse e lumit 4,2 km/h.Uji i ngroh[t ka 80 oC, kurse i ftohti 10 oC.4.

Afrimi ka bler[ 3 fletore t[ m[dha dhe 5 t[ vogla.5.

N[na ka 32 vjet, kurse vajza 5 vjet.6.

K[ndi i ngusht[ [sht[ 72o, kurse i gjeri 108o.7.

Formo sistem dhe cakto gjat[sit[ e brinj[ve. N[p[rmjet8.

teorem[s s[ Pitagor[s cakto lart[sin[. S = 60 cm2.Fazan[ ka 23, kurse lepuj ka 12.9.

Testi: 1. }do ]ift i renditur i numrave real[ p[r t[ cil[tbarazimi kalon n[ barasi t[ sakt[ numerike.

2. k = 1. 3. Vizato grafikun sipastabel[s: 4. }ifti i renditur prej

numrave real[[sht[ zgjidhje e t[dy barazimeve.

5..

x yx y

ì - =-ïïíï - =ïî

4 202 11

6. Vizato grafik[t e barazi-

meve. Cakto koordinatat e prerjes s[ tyre Z = {(1, 3)}.7. (x, y) = (2, 3).

8. (x, y) = (-7, 1). 9. a) nj[; b) pafund shum[

10. Babai ka 34 vjet, kurse djali 12 vjet..

a) A, B, C, D; b) A, B, C, B1.1.

TEMA 4. TRUPAT GJEOMETRIK

11111 1.2.

A1, B1C1D1 dhe CDD1C1.3. A1B1C1D1.4.

Nj[ ose tre1.22222 a) AB1 dhe BA1, AB1 dhe2.

CB1, BA1 dhe BC1, BC1 dhe CB1; b) asnj[; c) AB1 dhe BC1,BA1 dhe CB1.

Asnj[ra, n[ qoft[ se shmangen; vet[m n[ qoft[se jan[ paralele ose priten.

7. Vjet[t e Bashkimit jan[ x, e t[ Dritonit y; x y

yx


16

12;2

Bashkimi dhe Dritoni jan[ bineq.

R = {(1, 4)}

xy

-2

-8

0

0

1

4

2

8

c) Pafund shum[ zgjidhje.

c) (x, y) = (3, -1).

3.


c).2.44444 Jo.3. Jo. A', B', C' jan[ kolineare dhe4.

kur rrafshi i p[rcaktuar me pikat jokolineare A, B, C [sht[paralele me drejtimin proektues s.

B[je vizatimin dhe shqyrto trapezin ABB'A'.5.

CC' [sht[ vija e mesme e atij trapezi. Pse?Po, n[ qoft[ se rrafshi i p[rcaktuar me M dhe a [sht[6.

paralel me s.

7; drejtk[nd[sha.1.66666 n + 2.2. 2s = r.3.

Po.4. a) Jo; b) po, gjasht[k[ndore; c) po,nj[mb[dhjetk[ndore.

5.

a) asnj[; b) 2; c) 3.6.

a) 17,08 dm2; b) 37,5 cm2.1.77777 a = 7 cm,2.

.d =7 3 cm 8 cm.3. a) B = 20,25 dm2;4.

M = 151,2 dm2; S= 191,7 dm2. b) B = 144 cm2;H = 9 cm; S = 720 cm2. c) B = 128 cm2; M = 352 cm2;H = 11 cm. ]) a = 7 cm; M = 336 cm2; S = 434 cm2. d) a =9 cm; M = 180 dm2; H = 5 dm. dh) a = 6,5 dm; B = 42,25dm2; S = 292,5 dm2. e) S = 192 dm2; a = 6 dm; H = 5 dm.[) B = 81 cm2; a = 9 cm; H = 5 cm.

N[nt[ her[5. b) ;=4 3B H = 9; 6.

; c) ;=36 3B ;=180 3M .=5 3Hd) a = 6; H = 15; dh) a ≈ 10; H ≈ 8.

288 cm2.7. 1, 3, 6 dhe 7.8.

27 cm3.1.88888 4 dm.2. 6 cm.3. 112 cm3.4.

1 152 cm3.5. 96 cm2.6. ≈ 5,8 m.7. 48 cm3.8.

8 dm.1.99999 3240 3 cm .2. 2 400 cm3;3.

1 280 cm2. 640 dm3.4. a) 372 3 cm ; b) a3 3 .5.

≈ 13,5 cm.6. 33 600 m3.7. a) B = 25, H = 8,8.

S= 210, V = 200. b) B = 9, H = 4, M = 48, V = 36.c) S= 240, a = 6, H = 7, V = 252. ]) a = 11, B = 121, M = 616, S= 858. d) a = 13, B = 169, S = 1118,V = 2535. e) H = 8, a = 5, B = 25, S = 210.

4; tetraed[r.1.1010101010 ( ) .+ 2150 3 390 cm2.

a) B = 144; M = 240; S = 384; H = 8. b) B = 196; h = 25;7.

M = 700; S = 896. c) S = 800; a = 16; h = 17; H = 15. ]) a =40; B = 1600; M = 2320; S = 3920. d) M = 738; a = 9; h = 41;H ≈ 40,45. e) B = 784; a = 28; h = 50; H = 48.

1920 cm3.1.1111111111 96 cm2.2. 1 536 cm2;3.

3 072 cm3. 24 cm; 1440 cm2.4. 360 dm3.5.

7 cm; ≈ 491,2 cm2.6. a) s = 26, =1200 3V .7.

b) a = 7; H = 24. c) h ≈ 24,8; =588 3V . ]) a = 7, s = 25.

312π cm2; 720π cm3.1.1212121212 a) 600π cm2;2.

2 000π cm3. b) 6π dm2; 2π dm3. ≈ 20 cm.3.

66π cm2; 72π cm34. 6 750π cm3.5. b : a.6.

90π cm2; 100π cm3.1.1313131313 ≈ 1 130,4 cm2; ≈2.

a) ≈ 34,2 cm2; b) ≈ 63,8 cm3;3.

27π cm2; 39 3 cm ..4.

600π cm2.5. 10 cm.6.

144π cm2; 288π cm3.1.1414141414 ≈ 1 256 cm2;2.

≈ 4 186,7 cm3. 8 cm.3. (500 : 3)π cm3; 25π cm2.4.

R = 3 cm; S = 36π cm2.5.a

=13

2R ,

a=2 2

R ;6.

S1 : S2 = 3 : 1, : :=1 3 3 12V V . V[llimi V i mbetu-7.

rin[s [sht[: V = VK - VT =43 - 43 ⋅ 23π = 64 - 32 ⋅ 3

≈

32; V ≈ 32 cm3; ≈ 32%. a) a » 13 her[.8.

Testi: 1. a) D1; b) A1. 2. a) jo; b) jo; c) po.

3. a) po; b) po; c) jo. 5. Σ1 || Σ2. 7. a) 9;b) 12; c) 18; ]) 3n. 8. 8 cm. 9. 11 cm.

10. ( ) ,+ 2 310 5 3 18 cm 150 3 cm . 11. 500 cm2,

600 cm3. 12. 318 3 cm . 13. 360 cm2, 400 cm3.

14. 300 . 15. 90π cm2, 100π cm3.

16. 225π cm2, 562,5π cm3.

Pikat jokomplanare A, B, C, D, p[rcaktojn[ kat[r4.

rrafshe: ABC, ABD, ACD dhe BCD.5. AB dhe AC priten, prandaj ato p[rcaktojn[ rrafsh t[

vet[m Σ te i cili shtrihen t[ gjitha pikat nga drejt[za ABdhe t[ gjitha pikat e drejt[z[s CD.

Vet[m nj[.2.33333 a) po; b) po; c) po.3.

Σ1 dhe Σ

2: ose puthiten ose priten me drejt[z[n e prer[

AB.

5.

55555 P[rpiqu... a) 1; b) 6; c) 12; ]) 8; d) 0.

P[rpiqu... Te rrjeti i prizmit t[rhiq segment MP.

2,5 dm.3. 3 cm.4. ≈ 101,1 cm2.5. 25 dm2..6.

2 512 cm3.

c) ≈ 67,36 cm2.

b) » 49 her[.

216 Pasqyra e koncepteve

PASQYRA E KONCEPTEVE

AArgumenti 105An[tari i lir[ 105 - koeficienti para 105BBarazimi, 57 - i pamundsh[m (kund[rth[n[s) 58,64,75 - grafiku 133 - katror 60 - linear 62 - me dy t[ panjohura 128 - forma e p[rgjithshme 74 - me nj[ t[ panjohur 60 - i shkall[s s[ par[ 60 - parametrik 60 - zgjidhje (rr[nj[) e 62 - bashk[sia e zgjidhjeve 63 - ekuivalent 131Barazi, 56 - numerike 56 - me ndryshore 56Bashk[sia 63 - e p[rkufizimit 63CCilindri 197 - i drejt rrethor 198 - bazat e 198 - sip[rfaqja an[sore 198 - rrezja e 198 - boshti i 198 - lart[sia e 198 - prerja boshtore e 198 - barabrinj[s 198 - v[llimi i 199 - rrjeti i 198 - syprina e 198DDirektrisa (drejtuesja) 188 - e cilindrit 197 - e konit 200Drejt[zat 163 - paralele 163 - aplanare 164 -priten 163 - projektuese 168

Dep[rtues 162Drejtimi proektues 168EMostra 48FFigura, 24 -e ngjashme 24 - gjeometrike 24 - themelore 24- puthitshme 183

Funksioni 105 - linear 105 - paraqitja grafike 107 - zero 106 - konstanta 113 - rrit[s linear 114 - zvog[lues linear 115GJ

Gjasa 197Gjeneratrisa (p[rftuesja) 188 - e konit 191 - e cilindrit 188gjeometrike 10,39 - e mesme 10 -e kat[rta 10I

Identiteti 58Intervali 89 - i mbyllur 89 - skajet e 89 - i hapur 89JJobarazimi 84 - themelor 89 - me nj[ t[ panjohur 85 - sistem me dy t[ panjohura 86 - katror 86 - linear 86 - forma e zgjidhur 90 - kubik 86 - zgjidhja e 87 - bashk[sia e zgjidhjeve 87 - ekuivalente 89 - teoremat p[r 92Jobarazia 83 - numerike 83

- me ndryshore 84KKuboidi 178 - v[llimi i 183 - rrjeti i 179Koni 200 - lart[sia e 201 - v[llimi i 202 - kulmi i 200 - syprina e 202 - i drejt[ rrethor 201 - baza e 201 - rrjeti i 201 - boshti i 201 - barabrinj[s 201kubi 178 - v[llimi i 183 -rrjeti i 179-i brendashkruar n[ top205Kahja 97 - e kund[rt 97MMetoda e z[v[nd[si. 141Metoda e koeficient[ve t[ kund[rt 145Mesi 10 - gjeometrik 10,39NNdryshore 56Ngjashm[ria 26 - koeficienti i 26OOrtogonale 169PPiramida 190 - baza e 190 - faqet e 190 -an[sore 190 - kulmi i 190 - kulmet e 190 - sip[rfaqja an[sore 190- tehet e 190 -bazave 190 - an[sore 190 - lart[sia e 190 - prerja diagon. 191 - e rregullt 192 - apotema 192 - rrjeti i 192

-syprina 191 - v[llimi i 191P[rpjes[timi 8- vazhduar 10-proporcionaliteti 9-koeficienti i 9Planimetria 160Popullimi 48Prizmi 174 - bazat e 175 - llojet e 176 - baza 175 - an[sore 175 -sip[rfaqja an[sore 175 - kulmet e 175 - tehet e 175 - t[ baz[s 175 - an[sore 175 - e drejt[ 175 - v[llimi i 178 - e rregullt[ 175 - e pjerrt[ 175 - lart[sia e 176 - prerja e 176 - prerja diagon. e 176 - diagonalja e 176 - rrjeti i 179 - syprina e 180 - v[llimi i 187Paralelopipedi 175,177 - k[nddrejt 178Poliedri 183 - v[llimi i 184Projektimi 168 -paralel 168 -ortagonal 169Projeksioni 37,168, 169RRaporti (p[rpjesa) 4 - vlera e 4 - i zhdrejt[ 5 - i vazhduar 6RRRrafshi 161 - pingule n[ 167 - k[ndi nd[rmjte dy 166 - larg[sia prej pik[s deri 167

Pasqyra e koncepteve 217

SSegmente 6 - t[ pabashk[matsh[m 6- t[ bashk[matsh[m 6 - proporcionale 8 -t[ barabart[ 12Sip[rfaqjakonike 200- cilindrike 197-Sistemi i jobarazimeve li-neare me nj[ t[ panjohur100 -bashk[sia e zgjidh. 101 - kund[rth[n[s 103Sistemi prej dy barazimevelineare me dy t[panjohura 134 - zgjidhja grafike 138 - zbatimi 148 - zgjidhja e 135Stereometria 160Sfera 203

- qendra e 203 -rrezja e 203TTreshja e Pitagor[s 43Trupi 183 - gjeometrik 183 - tehor 183 - i rrumbullak[t 183 - v[llimi i 184Teorema - e Talesit 16, 21 - e Pitagor[s 41 - e anasjallt[ 42 - e Euklidit 38Tetraedri 193 - i rregullt 193Topi 203 - qendra e 203 - rrezja e 203 - rrethi i madh i 204

- syprina e 204 - v[llimi i 204Trek[nd[sha 25 - t[ ngjash[m 25 - kriteri i par[ p[r 27 - kriteri i dyt[ p[r 31 - kriteri i tret[ p[r 32


TEMA 4. TRUPAT GEOMETRIKE

TEMA 1. NGJASHM{RIA 3

55

127

159

TEMA 2. BARAZIMI LINEAR, JOBARAZIMI LINEAR DHEFUNKSIONI LINEAR

P{RGJIGJE DHE ZGJIDHJET E DETYRAVE 209

PASQYRA E KONCEPTEVE 216

��

CIP - Каталогизација во публикацијаНационална и универзитетска библиотека “Св.Климент Охридски” , Скопје373.3.016:51 (075.2)=163.3СТЕФАНОВСКИ, ЈовоМатематика за осмо одделение : осумгодишно основно образование / Јово Стефановски, Наум Целакоски . - Скопје : Министерство за образование и наука на Република Македонија, 2010.- 219 стр. : илустр. ; 25 смISBN 978-608-4575-88-71. Целакоски, Наум [автор]COBISS.MK-ID 84078858

Jovo Stefanovski, dr. Naum Celakoski

Recensentë:dr. Jordanka Mitevska, profesor ordinar në FMN - ShkupZhaneta Shumkoska, profesor në Sh.F. “Shën Kirili dhe Metodi” - ShkupAgim Bukla, profesor në Sh.F. “Pashko Vasa” - Grupçin

Redaktor i botimit:Jovo Stefanovski

Lektor i botimit në maqedonisht:Suzana Stojkovska

Përkthyes:Satki Ismaili

Redaktim profesional:prof. dr. Ilir Spahiu

Lektor i botimit në shqip:Roland Poloska

Përpunimi kompjuterik dhe dizajni:Dragan Shopkoski

Korrekturë:Autorët

Përgatitja për shtyp:Jovo Stefanovski, Dragan Shopkoski

Botues:Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Republikës së Maqedonisë

Shtyp:Qendra Grafi ke shpkpv, Shkup

Tirazhi:8.800

Me vendim të ministrit të Arsimit dhe Shkencës të Republikës së Maqedonisë nr. 22-2321/1 datë 21.04.2010 lejohet përdorimi i këtij libri.

matematika 8 alb

Documents