matematika 5 zbirka zadataka

1

др Небојша Икодиновић • мр Слађана Димитријевић

Сања Милојевић • Ненад Вуловић

Математика 5

Збирка задатака са решењима

2

Математика 5Збирка задатака са решењима

прво издање

Аутори: др Небојша Икодиновић, Сања Милојевић,

Ненад Вуловић, мр Слађана Димитријевић

Илустрације: Кристијан Хранисављевић Рецензенти: доц. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички факултет у Крагујевцу

доц. др Бранислав Поповић, Природно-математички факултет у Крагујевцу

Зорица Станковић, професор математике, ОШ „Мома Станојловић“ у

Крагујевцу

Графичко обликовање: Сашењка Мељников Ивановић

Лектура: Јасна Аничић

Прелом: Игор Болта

Издавач: Издавачка кућа „Klet“ д.о.о., 11000 Београд

offi [email protected], www.klett.co.yu

За издавача: Гордана Кнежевић-Орлић

Уредник: Александар Рајковић

Штампа:Тираж:

© Klett, 2007.

ISBN 978- 86-7762-

Забрањено је репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба

овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући

фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе

издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.

3

УПУТСТВО УЧЕНИЦИМА

СКУПОВИ

Скуп природних бројева обнављање

Скупови – елементи, основне особине, Венови дијаграми

Основне операције са скуповима

Изрази са више скуповних операција

Скуп природних бројева

Изрази са променљивом

СКУПОВИ решења

ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ

Тачка, права, раван

Полуправа и дуж

Полураван и изломљена линија

Многоугао

Конвексност

Круг и кружница

Угаона линија и угао

Кружни лук и тетива

Упоређивање углова. Надовезивање углова

Врсте углова

Мерење углова

Углови на трансверзали

ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ решења

ДЕЉИВОСТ

Дељивост у N0

Дељивост декадним јединицама и бројевима 2, 5, 4, 25

Дељивост бројевима 3 и 9

Прости и сложени бројеви

Највећи заједнички делилац

Најмањи заједнички садржалац

ДЕЉИВОСТ решења

РАЗЛОМЦИ I део

Појам разломка

Проширивање и скраћивање разломака

Упоређивање разломака

Сабирање разломака једнаких именилаца

4

Врсте разломака. Мешовити бројеви

Децимални запис разломака

Поређење разломака датих у децималном запису

Приближна вредност броја

Бројевна полуправа

РАЗЛОМЦИ I део решења

РАЗЛОМЦИ II део

Сабирање и одузимање разломака једнаких именилаца

Сабирање и одузимање разломака различитих именилаца

Сабирање и одузимање децималних бројева

Својства сабирања разломака

Једначине

Неједначине

РАЗЛОМЦИ II део решења

РАЗЛОМЦИ III део

Множење и дељење разломака природним бројем

Множење разломака

Дељење разломака

Својства множења и дељења разломака

Множење разломака записаних у децималном запису

Дељење разломака записаних у децималном запису

Бројевни изрази

Једначине у вези са множењем и дељењем

Неједначине у вези са множењем и дељењем

Аритметичка средина

Размера

Проценти

РАЗЛОМЦИ III део решења

ОСНА СИМЕТРИЈА

Осна симетрија

Осна симетричност

Симетрала дужи

Симетрала угла

ОСНА СИМЕТРИЈА - решења

5

СКУПОВИ

1. Запиши цифрама следеће бројеве:

1) двадесет три хиљаде шестсто педесет осам; 2) осам милијарди;

3) милион двадесет; 4) три милиона петнаест хиљада шест;

5) седамнаест хиљада један; 6) шестсто милиона шездесет хиљада шест.

2. Одреди колико следећи бројеви имају јединица десетица, јединица хиљада, стотина

хиљада и јединица милиона:

728 531 1 004 007 2 805 13 905 8 005 501 347

јединица

десетица

јединица хиљада

стотина хиљада

јединица милиона

3. Напиши број који има тачно:

1) 5 јединица, 6 десетица и 3 јединице хиљада;

2) 6 стотина, 3 десетице хиљада, 7 јединица и 8 јединица хиљада;

3) 12 десетица и још 13 јединица хиљада и још 18 стотина и још 123 јединице.

4. Које су тврђења тачна: 1) 1287≤1287; 2) 1287 1287= ; 3) 1287 1287≥ .

5. Између бројева ставити један од знакова ≤ или ≥ тако да посматрана тврђења буду

тачна:

1) 304 427 340 427; 2) 222 483 222 384; 3) 405 324 45 998; 4) 143 889 54 998.

6. Одреди све природне бројеве који задовољавају неједнакости

1) 172 > x; 2) x 362< ; 3) 1993 < x 2 000≤ ; 4) 5 243≥ x ≥ 3425.

7. Одреди месну вредност сваке цифре у следећим бројевима:

1) 23 456; 2) 24 547; 3) 576 576 ; 4) 333 000; 5) 99 999.

8. Запиши бројеве у облику збира производа декадне јединице и једноцифреног броја:

1) 38 947; 2) 15 035; 3) 100 700; 4) 5 030; 5) 77 007.

9. Запиши једним бројем сваки од следећих израза:

1) 3 10 000 5 1000 7 100 8 10 1 1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ; 2) 8 100 000 6 1000 3 100 2 10 9 1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ;

3) 1 100 000 2 1000 5 10 3 1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ; 4) 3 100 5 1000 2 10 8 10 000⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ;

5) 9 10 000 1000 7 100 3 2 10⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ; 6) 100 3 7 10 000 10 4 1000 6⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ .

СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВАОБНАВЉАЊЕ

6

10. Попуни табелу

претходник 4 699 2 008 999 999

број 2 508 1 000 1 12 999

следбеник 1 300 5 001

11. Одреди разлику следбеника и претходника броја: 1) 1 799; 2) 8 000; 3) а.

12. Колико има природних бројева између:

1) 3 438 и 3 466; 2) 7 990 и 8 004; 3) природног броја а и природног броја b.

13. Колико има:

1) једноцифрених, 2) двоцифрених, 3) петоцифрених, 4) осмоцифрених бројева.

Колико је међу њима парних, а колико непарних бројева?

14. 1) Којим цифрама се завршавају парни, а којима непарни природни бројеви?

2) Напиши најмањи непаран и највећи паран петоцифрени број.

3) На фудбалском дербију је 24 837 навијача. Да ли је могуће да је на стадиону једнак

број навијача и једне и друге екипе? Објасни зашто.

15. Колико има троцифрених бројева који се пишу само цифрама 3, 4 и 7 и цифре се не

понављају?

16. Колико има четвороцифрених бројева који се пишу помоћу цифара 1) 1 и 2, 2) 0, 4 и 6,

17. Колико има четвороцифрених бројева који се пишу помоћу цифара 0, 1, 5, 6 и 8 ако се

цифре: 1) не могу понављати, 2) могу понављати?

18. Колико има бројева између 415 748 и 457 294 који се пишу помоћу цифара 0, 2, 4, 5, 8 и 9

ако се цифре не понављају?

19. Одреди најмањи и највећи четвороцифрени број чије су све цифре различите и парне.

20. Одреди највећи и најмањи паран седмоцифрени број у чијем запису нема цифара 5, 6 и

8 и у коме се свака цифра може јавити највише два пута.

21. Које цифре могу стајати уместо Δ тако да неједнакости буду тачне?

1) 623 950 662 < 623 9 Δ 8 662 2) 337 615 546 641 > 33 Δ 615 546 164

3) 423 613 976 < 423 614 9 Δ 6 4) 46 912 773 648 > Δ 6 002 300 800

22. Збир цифара броја 1 142 је 1 1 4 2 10+ + + = , а производ цифара је 1 1 4 2 8⋅ ⋅ ⋅ = . Попуни

табелу.

број 23 111 4 098 7 1 000 23 115 0

збир цифара

производ цифара

23. Колико има четвороцифрених бројева чији је:

1) збир цифара 3, 2) производ цифара 2,

24. Израчунај збир свих троцифрених бројева чији је збир цифара 5.

7

25. Израчунај разлику четвороцифреног броја чији је производ цифара 1 и највећег

троцифреног броја чији је збир цифара 19.

26. Попуни укрштеницу.

1 2 4 5 6 7 8

9 10

11 12 13

14 15

16 17 18 19

20 21 22 23

24 25

26 27

28 29 30

ВОДОРАВНО

1) 100 2 4 1000 10 3⋅ + ⋅ + ⋅5) 1247 5 11 101⋅ + ⋅9) 249 23 28+ ⋅10) најмањи број 67. десетице

11) 79 8 2 222 : 22⋅ −12) број који има 55 јединица хиљада, 37

десетица и 12 јединица

14) 2 2 2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅15) 625 15 12 30⋅ + ⋅16) претходник броја 8

17) најмањи паран број

18) збир цифара броја 12021

19) најмањи природан број

20) производ збира и разлике бројева 64 и 28

23) највећи двоцифрени број чији је збир цифара 8

24) 20 227 20 230 20 233 20 225+ + +25) 2 47 3⋅ ⋅

26) који је по реду дан 18. октобар у години која није преступна

27) најмањи троцифрен број чији је збир цифара 6

28) ( ) ( )274 439 3 25 722 669+ ⋅ + ⋅ −30) број коме је 2 цифра стотина, 4 цифра јединица, 9 цифра јединица хиљада и 6 цифра десетица

УСПРАВНО1) 1000 8 6 10 1 7 10 000 4 5 100⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅2) највећи број треће хиљаде чији је збир

цифара 18, а цифра јединица 4

3) следбеник следбеника броја 329

4) елемент скупа N0, а није елемент скупа N

5) ( ) ( )14 5 7 : 1545 :103 8+ ⋅ −6) ( )3 870 3 871 3 100 13 1001+ ⋅ + + ⋅7) најмањи непаран број који се пише

цифрама 4, 5, 6 и 8

8) решење једначине x : 2 31 337+ =12) најмањи двоцифрен број чији је

производ цифара 45

13) ( )1125 : 25 2 33⋅ −17) 1 23 916 35 253 0⋅ + ⋅19) најмањи паран број састављен од

цифара 0, 1, 2, 4 и 5

20) 772 773 774 775+ + +21) 9 999:909

22) претходник следбеника броја 25

23) број који се добија када се у броју 6 808 цифре највеће и најмање месне вредности замене

24) ( )96 : 3 12 2 783− ⋅ +25) највећи паран троцифрен број написан

цифрама 1 и 2 чији је збир цифара 5

29) најмањи број чији је збир и производ цифара 4

30) највећи једноцифрени број

27. Упиши бројеве 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77 и 99, тако да

квадрат буде "магичан"..

88

8

28. а) Постави заграде и ознаке рачунских операција тако да једнакости буде тачне:

1) 2)

б) Постави заграде тако да једнакости буду тачне:

1) 16 4 2 8 : 4 10 18+ ⋅ − + = ; 2) 12 : 3 24 20 : 4 6 2 : 2 5+ − + − = .

29. Дешифровати сабирања ако истим словима одговарају исте, а различитим различите

цифре:

1) 2) 3) 4)

30. У троугао и око троугла уписани су бројеви тако да је збир два суседна поља у троуглу

уписан на одговарајуће место ван троугла (види прву слику). На исти начин попуни

празна места.

урађени пример 1) 2) 3)

7 7 7 7 7 1

7 7 7 7 7 2

7 7 7 7 7 3

7 7 7 7 7 4

7 7 7 7 7 5

7 7 7 7 7 6

7 7 7 7 7 7

=

=

=

=

=

=

=

6 6 6 6 6 22

6 6 6 6 6 41

6 6 6 6 6 102

6 6 6 6 6 105

6 6 6 6 6 138

6 6 6 6 6 630

6 6 6 6 6 732

=

=

=

=

=

=

=

A

AA

AB

BBB

+

BAC

ACB

CBA

ABBC

+

ABC

ABC

CBA

BBB

+

A

CA

ACA

MACA

CMCC

+

31. 1) Бројеве 172, 389, 394, 927, 1 728, 755 заокружи на најближу десетицу.

2) Бројеве 1 820, 2 770, 8 190, 28 110, 36 180, 12 450 заокружи на најближу стотину.

3) Заокруживањем бројева на најближу десетицу или стотину процени резултате

сабирања: 328 + 421, 473 + 899, 5 238 + 424, 2 492 + 1 123, 7 777 + 9 999.

32. Станко је са баком отишао на пијацу. Поред једне тезге видео је натпис да за купљених

3kg спанаћа добијају још 1kg бесплатно. Ако спанаћ кошта 53 динара по килограму,

колико су Станко и бака донели кући спанаћа ако су га укупно платили 424 динара?

Колико би спанаћа донели да су га платили два пута више?

9

33. Странице правоугаоника су a и b. Одреди све могуће вредности за обим и површину

правоугаоника ако страница a може имати вредности 3 или 4, а страница b може имати

вредности 1, 2 или 6.

34. У уџбенику смо видели да је Јован убедио свога млађег брата Јанка да покуша да

запише све природне бројеве. Јанко их је неспретно писао један поред другог без

размака и добио је овакав запис

12345...104105106107108 Када га је Јадранка прекинула, последњи написани број био је 108.

1) Колико је Јанко цифара употребио да би написао све ове бројеве?

2) Која цифра се налази на 108. месту?

3) Колико пута је написана цифра 1, а колико пута цифра 9?

4) Која цифра је написана највише, а која најмање пута?

5) Колико пута су се у овом низу цифре 4 и 5 нашле једна поред друге?

35. Марко је купио свеске од 60 и 80 листова. Сваки лист обе свеске почео је да нумерише

бројевима 1, 2, 3,... док није стигао до последње стране обе свеске. Колико цифара је

употребио да би нумерисао обе свеске?

36. Славица живи у улици у којој има 34 куће са леве и 72 куће са десне стране. Куће на

левој страни су нумерисане непарним бројевима почевши од броја 1, а са десне стране

парним бројевима почевши од броја 2. Колико је цифара употребљено за нумерацију

кућа у Славичиној улици? Колико је кућа нумерисано троцифреним бројевима?

39. Следеће бројеве записане грчко-

римским цифрама, запиши индо-

арапским цифрама:

1) LXXVI

2) MMVII

3) MDXCII

4) MCMLXXIX

5) DCCCLXXIV

40. Палидрвца су постављена као што видиш.

Померајући само једно палидрвце,

доведи да једнакости буду тачне:

1) I – II = II

2) VI – IV = IX

3) XI + I = X

4) XX + I = XIX

5) IV = III – I

38. Испод сваке колоне уписан је збир бројева из те

колоне, а поред сваке врсте производ бројева из те

врсте (види слику). Упиши бројеве тако да важи:

2 3 1 6 6 9

4 2 5 40 20 8

3 6 2 36 1 35

9 11 8 9 3 7 8 8 11

37. Уместо звездица стави

одговарајуће цифре тако

да рачун буде тачан:

1) 2)

41. Који од следећих низова је низ природних бројева? Како би описао остале?

1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ; 2) 2, 4, 6, 8, 10, ... ; 3) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...; 4) 1, 3, 5, 7, 9, ...

2 7

0

3 6

∗ ∗⋅∗

∗∗∗∗

∗∗∗

∗∗ ∗

∗ ∗ ∗ 0

3 1

5

1

∗⋅ ∗

∗∗

∗

∗∗∗

1∗

10

42. Уочи правило и допиши бројеве који недостају:

1) 2) 3 240 1 076 253 1

2 852 2 164

1 226

815 1 019

308 507 450

43. Уочи правило и одреди следећа

три члана низа:

1) 31, 50, 69, 88, 107, 126, 145, ...

2) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...

3) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

4) 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, ...

5) 2, 3, 6, 11, 18, 27, 38, ...

6) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

44. 1) Упиши бројеве 4, 5, 6, 7, 8 и 9 у празна

поља тако да су збирови на страницама

једнаки.

2) Одреди и упиши бројеве тако да збир на

свакој страници буде 57.

СКУПОВИ ЕЛЕМЕНТИ, ОСНОВНЕ ОСОБИНЕ, ВЕНОВИ ДИЈАГРАМИ

1. Опиши речима елементе следећих скупова?

1) А={понедељак, уторак, среда, четвртак, петак, субота, недеља}

2) В={Европа, Азија, Африка, Јужна Америка, Северна Америка, Аустралија, Антарктик}

2. Запиши, набрајањем елемената, скупове које чине:

1) имена четири твоја друга или другарице; 2) слова речи „школа“;

3) самогласници у српском језику; 4) првих пет слова абецеде.


1) природни бројеви мањи од 7; 2) бројеви треће десетице;

3) непарни бројеви између 15 и 23; 4) непарни бројеви мањи од 30, дељиви са 5.


1) двоцифрени бројеви чија је збир цифара 6

A = {60, 51, ____, ____, ____, ____};

2) троцифрени бројеви чији је збир цифара 3

B = {300, ____, ____, ____, ____, ____};

3) двоцифрени бројеви код којих је збир цифара већи од 15

C = {79, ____, ____, ____, ____, ____};

4) двоцифрени и троцифрени бројеви чији је производ цифара 2

D = {12, ____, 112, ____, ____};

5) двоцифрени бројеви код којих је цифра десетица за 3 већа од цифре јединица

E = {30, 41, ____, ____, ____, ____, ____}.

11


1) сви двоцифрени бројеви који се могу записати коришћењем цифара 2, 5 и 7

A = {22, 25, 27, ____, ____, ____, ____, ____, ____};

2) сви троцифрени бројеви који се могу записати цифрама 3, 0 и 1

B = {100, 101, 103, ____, ____, ____, ____, ____, ____, 300, 301, 303, ____, ____, ____,

____, ____, ____}.

6. Која од следећих тврђења су тачна:

1) 2 је елемент скупа { } 5, 1 ; 2) запета је елемент скупа { } a, b, c, d, e, f ;

3) 12 није елемент скупа { } 1, 2, ..., 99, 100 .

7. Дати су скупови А={1, 2, а, b, 3} и В={c, d, 4, 5, e}. На линијама стави један од знакова ∈ или

∉ тако да тврђења буду тачна.

4 ___ А, 2 ___ А, 3 ___ В, с ___ А,

а ___ А, е ___ В, b ___ В, 5 ___ В.

8. Нацртај Венов дијаграм за скуп М ако је:

1) М = {7, 14, 21}; 2) М = {11, 33, 55, 77, 99}; 3) М = { } , , , ,∗ ∇ Δ ◊ ;

4) a∈M, b∈M, c∈M, d∈M и скуп М нема других елемената осим набројаних;

5) s∈M, g∉M, h∈M, p∈M, d∉M, f ∉M и скуп М нема других елемената осим набројаних

9. Нацртај Венов дијаграм за скуп чији су елементи бројеви седме десетице дељиви са 3.

10. Запиши набрајањем елемената скуп дат на Веновом дијаграму.

11. Запиши набрајањем елемената скупове дате на Веновим дијаграмима.

12

12. На основу Веновог дијаграма са слике десно стави један од

знакова ∈ или ∉ тако да тврђења буду тачна.

1___Р, 210___Р, 12___Р, 102___Р,

1 222___Р, 21___Р, 2___Р.

13. Запиши навођењем елемената и Веновим дијаграмом следеће скупове:

1) K = { x | x∈N и x < 5} 2) L = { n | n∈N₀ и n ≤ 7} 3) G = { s | s∈N и 4 ≤ s < 5}

4) D = { d | d∈N₀ и d + 4 ≤ 7} 5) S = { a | a∈ N и a је паран број пете десетице}

14. Скуп P = { a, e, и, о, у} можемо записати, описујући елементе, овако:

P = { x | x је самогласник}.

Запиши описујући елементе и Веновим дијаграмом следеће скупове:

1) A = { 2, 4, 6, 8, 10} 2) B = { 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}

3) C = { 123, 132, 213, 231, 312, 321} 4) 4) D = { 11, 15, 17, 51, 55, 57, 71, 75, 77}

15. Описујући елементе, као у претходном задатку, запиши скуп природних бројева:

1) мањих од 700 2) који су већи од 15

A = { x | x∈N₀ и x < ____} B = { x | x∈N₀ и ______}

3) који су мањи од 378, а већи од 111 4) који су парни и мањи од 88

A = { x | x∈N₀ и ____ < x < ____} D = _____________________________

5) који су решења неједначине а + 16 < 163

E = _____________________________

16. Која су од следећих тврђења тачна:

1) 0∈Р , ако је P = { r | r∈N и r < 4}

2) 201∈V , ако је V = {x | x∈N₀ и x > 200}

3) 4∈R , ако је R = { k | k ∈N и k + 3 > 7}

4) Δ∈G , ако је G = {g | g је геометријска фигура}

17. Одредити елементе следећих скупова:

1) А је скуп свих природних бројева мањих од 5, а већих од 7;

2) Е је скуп свих бројева који су решења једначине x 0 2⋅ = ;

3) С је скуп свих троцифрених бројева који се пишу само цифром 0.

18. Која су од следећих тврђења тачна:

1) {x | x je број осме стотине и x се пише само цифрама 2, 3 и 8} = ∅

2) {n | n je број девете стотине и n се пише само цифрама 2, 3 и 8} = ∅

3) {k | k je број прве стотине и k је број који почиње цифром 2} = ∅

19. Дат је скуп А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Који су од следећих скупова подскупови скупа А:

В = {1, 3, 5}, C = {1}, D = {2, 4, 6, 8}, E = {0, 1}, F = ∅ , G = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, H = {123}.

13

20. Одреди скупове А и В и одреди да ли је В⊂А:

21. Дат је скуп А = {a, b, c, d, e, f}. Која су од следећих тврђења тачна?

1) a∈A 2) g∉A 3) {b, e}⊂A 4) c, f ⊂A 5) {a}∈A

6) d⊂A 7) { f }⊂A 8) {e, f }∉A 9) { d, b, f, a, e, c}∈A

22. Нека је А било који скуп. Која су од следећих тврђења увек тачна:

1) А⊂А 2) 1∈А 3) ∅ ⊂А 4) ∅ ∈А 5) А⊂ ∅

23. Одреди све подскупове скупова:

1) А = {3} 2) B = {2, 5} 3) C = {3, 6, 9} 4) D = {x | x∈ N и 6⋅x 24≤ }

24. Дат је скуп Е = {5, 55, 555, 5 555}. Одреди све:

1) једночлане подскупове 2) двочлане подскупове 3) трочлане подскупове

25. Да ли су једнаки скупови:

1) A = {1, 2} и B = {2, 1} 2) C = {n, a, d} и D = {s, a, n}

3) E = {m, e, t, a, r} и F = {t, r, e, m, a} 4) G = {K, R, E, D, A} и H = {d, r, e, k, a}

26. Одреди који скупови су међусобно једнаки:

A { }1, 2, 1, 2= B { }1, 2, 2= C = {x | x∈N и x ≤ 3}D { }1, 2, 12= E { }3, 3, 1, 3, 2= F = {1, 23}

27. Ако је Е = {1, 2,12, 23,123, 234} и Н = {234,123,1, x,12, 2} , одреди вредност променљиве х

тако да је:

1) Е = Н x ____=2) Н⊂Е x ____= или x ____= или x ____= или x ____= или x ____= или x ____=

28. Одреди вредности променљивих p и q тако да важи:

1) {1, 3, 5} = {3, p, q} p ___= и q ___= или p ___= и q ___=

2) {21, 49, p} = {7, q, 49} p ___= и q ___=

3) {2, 5, 8}⊂ {2, 4, p, q} p ___= и q ___= или p ___= и q ___=

4) {6, 26, q} ⊂ {26, p} p ___= , а q ___= или q ___=

14

29. Одреди вредности променљивих x и y тако да скупови А, В и С буду једнаки:

А ={ }1,3,5,7,9 , В ={ }5,9,x,1,7 и С ={ }1,7,9,y,5,3

30. Скуп K чине слова имена Јован, а скуп L слова имена Јована. Запиши елементе ова два

скупа и одреди број њихових елемената. Које је од следећих тврђења тачно: K⊂L, K=L

или L⊂K?

31. Два скупа која имају различити број елемената не могу бити једнака. Запиши два скупа

која имају исти број елемената, а нису једнака.

32. Одреди број елемената скупa А ако je:

1) А = {1, 2, 33} 2) A = {1, 1, 1, 1} 3) A = {5, 15, 55, 555, 5, 55}

4) A = {2, 4, {2}} 5) A = {1, 1, {2, 3, 4, 5}} 6) A = {{1, 2}}

33. Одреди број елемената скупа С ако је:

1) С ={x | x∈N и x < 7342} 2) С ={x | x∈N и x је двоцифрен број}

3) C = { p | p∈N₀ и 483 < p < 841} 4) C = {g | g∈N₀ и g – 22 < 51}

34. Који од скупова A, B, C, D, E, F и G имају исти број елемената:

A = {a, b, c}, B = {a, a, c}, C = ∅ , D = {a, {b, c}}, E = { ∅ }, F = {{a, b, c}}, G = {a, {a}, A}.

35. Одреди елементе и број елемената скупа С ако је:

1) А = {1, 2, 2, 3, 4, 5}, B = {10, 11, 12, 13, 13, 14} и С = { c | c∈ N и c = b – a, a∈A, b∈B}

2) A={8, 9, 10, 11, 12}, B={b | b∈N₀ и 3 b 3 8≤ + < } и С={c | c∈N₀ и c = a : b, a∈A, b∈B}

3) А={a | a∈ N, 1 a 3≤ < или 4 a 9< < }, B={b | b∈N и b – 2∈A}, C={c | c∈N и c – 5∈B}

36. Одреди вредности променљивих z, r и s знајући да за скупове M = {2, 4, 6, 8}, K = {4, 6, s} и

L = {2, 4, z, r} важи:

1) K⊂ L, n(L) = 3 2) L⊂ M, n(L) = 2 3) L⊂ M, n(L) = 3 4) L = M

ОСНОВНЕ ОПЕРАЦИЈЕ СА СКУПОВИМА

1. За задате скупове А и В одреди А∩ В ако је:

1) А = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} 2) А = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9, 12}

3) А = {a, b, c, d}, B = {d, b, a, c} 4) А = {p, p, p, q, r, q}, B = {r, r, p, p}

5) А скуп слова имена Бранислав, а В скуп слова имена Бранимир

6) А ={n | n∈N и x ≤ 7}, B = {x | x∈N₀ и 5 ≤ x < 9}

7) А = {x | x∈N и x <13}, B = {x | x∈N и x > 10}

8) A = {p | p∈N и p > 41}, B = {q | q∈N и q > 30}

9) А = ∅ , B = { ∅ }

2. На Веновом дијаграму десно шрафирај област дијаграма где

уписујемо елементе пресека скупова X и Y.

a a

b

15

3. На основу Венових дијаграма запиши скупове и њихов пресек.

4. Нацртај Венове дијаграме скупова:

1) O = {12, 14, 16, 18} и I = {6, 12, 18} 2) M = {7, 17, 27} и N = {47, 37, 27}

3) А = { p, e, k, a, r} и B = {r, e, k, a} 4) V = ∅ и U = {0}

5) F = {x | x је непаран број прве десетице} и G = {x | x је паран број прве десетице}

Који су од скупова дисјунктни?

5. Одреди вредности променљивих тако да је:

1) { } { } { }1, 3, 7, 9 2, 5, x, 7 3,7∩ = 2) { } { } { }2, 3, 5, 7, 11, 13 3, 5, x, y 3, 5, 7, 13∩ =

3) { } { } { }a, 5, 12, 36 4, b, 12, 15 4, 36∩ = 4) { } { }34, 54, 74, 94 15, g, 67∩ =∅

5) { } { } { }7, 15, 21, 38, 41 9, 23, h, 38, s 15, 38∩ =

6. За задате скупове Q и R одреди Q∪ R и број елемената овог скупа ако је:

1) Q = {1, 3, 5}, R = {7, 9, 11} 2) Q = {1, 4, 5, 7}, R = {4, 6, 7, 10}

3) Q = {12, 23, 34, 45}, R = {12, 45} 4) Q = {први}, R = {други}

5) Q скуп слова имена МИРОСЛАВ, а R скуп слова имена СОТИР

6) Q = {x | x∈N и 14 ≤ x ≤ 21}, R = {x | x∈N и x је паран број друге десетице}

7) Q = {x | x∈N и x > 46}, R = { x | x∈N и x 100≤ }

7. На Веновом дијаграму десно шрафирај област дијаграма где

уписујемо елементе уније скупова X и Y.

9. Зоран и Јован су другови из одељења. Зоран се дружи са Маријом, Тијаном, Јанком,

Мирком, Здравком, Петром и Василијем, а Јован са Мирјаном, Јанком, Жељком, Луком,

Василијем и Здравком. Одреди унију и пресек скупова имена Зоранових и Јованових

другова.

10. Ако је А⊂В, које су од следећих једнакости увек тачне:

1) A∩ B = A 2) A∩ B = B 3) A∪ B = A 4) A∪ B = B

5) A∩ ∅ = A 6) ∅ ∩ A = ∅ 7) A∪ ∅ = ∅ 8) ∅ ∪ A = A

8. На основу Венових дијаграма запиши скупове, њихов пресек и унију.

16

11. Одреди елементе скупа Е ако је:

1) P = {2, 5, 12, 13}, E∩ P = {5}, E∪ P = {2, 5, 9, 12, 13, 17}

2) E⊂ {a, b, c, d, e}, E∩ { a, c, d } = {a}, n(E)=3

3) E∪ {5, 36, 59, 117} = {5, 26, 36, 59, 84, 117}, n(E)=3

12. Одреди:

1) n(A∪ B) ако је n(A)=5, n(B)=12 и n(A∩ B)=3

2) n(A∩ B) ако је n(A)=19, n(B)=17 и n(A∪ B)=23

3) n(B) ако је n(A)=8, n(A∪ B)=16 и n(A∩ B)=3

13. Одреди D \ S и S \ D ако је:

1) D = {1, 3, 5, 6, 7, 8} и S = {2, 4, 7, 8, 9}

2) D = {1, 1, 3, 3, 3, 6, 9} и S = {1, 3, 6, 6, 9, 9, 9}

3) D = {маја} и S = {м, а, ј, а}

4) D = {3, 12, 22, 32} и S = {d | d∈N, d < 100 и d се пиши само цифрама 2 и 3}

5) D скуп слова речи НАСТАВНИК, а S скуп слова речи УЧЕНИК

6) D = {z | z∈N и 5 ≤ z 2 8− < } и S = {m | m∈N, m < 12 и m је дељиво са 4}

7) D = {p | p∈N ,p < 1000, збир цифара броја p је 3} и S = {3, 102, 300, 503, 1 200}

14. На Веновом дијаграму скупова М и Т десно шрафирај зеленом бојом

област дијаграма где уписујемо елементе скупа М \ T, а црвеном

бојом област дијаграма где уписујемо елементе скупа T \ M.

16. Ако је L = {z, v, o, n, k, o} и V = {k, o, n, v, o, j}, која су од следећих тврђења тачна:

1) {z, v, o, n, o}∈ L∪ V 2) {j, o, v, o}⊂ L∩ V 3) z ∈ L \ V

17. За скупове

А = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}, B = {12, 13, 15, 16, 17} и C = {13, 16}

одредити СА(В), С

А(С) и С

В(С). Одабери произвољне дисјунктне скупове K и L, такве да је

K∪ L=А. У том случају одреди СА(K) и С

А(L).

18. Одреди вредности променљивих тако да је:

1) {12, 17, 41, 55} \ {12, x, 21, 55} = {17} 2) {a, b, 32} \ {8, 11, 52} = {4, 32}

3) {p, 47, 200} \ {13, 18, r} = {47} 4) {14, 15, 16, f} \ {32, 33, 34, t} = {14, 15, 16}

19. Које су од следећих једнакости увек тачне:

1) A \ ∅ = A 2) A \ ∅ = ∅ 3) ∅ \ A = A 4) ∅ \ A = ∅

15. На основу Венових дијаграма запиши скупове, њихов пресек, унију и разлике.

17

20. Ако је H⊂X, које су од следећих једнакости увек тачне:

1) H \ X = H 2) X \ H = ∅ 3) H \ X = ∅ 4) X \ H = X

21. Ако је S∩ D = ∅ , чему је једнако S \ D и D \ S?

22. Доврши попуњавање табеле како је започето:

24. Ако је n(A) = 15, а n(B) = 7, колико највише, а колико најмање елемената могу имати

скупови: 1) A∪ B 2) A∩ B 3)A \ B 4) B \ A?

25. Одреди:

1) n(D∪ P) ако је n(D \ P) = 4, n(P \ D) = 3 и n(D∩ P) = 3

2) n(K \ U) ако је n(U \ K) = 5, n(K∪ U) = 12 и n(U∩ K) = 3

26. Одреди оне елементе које скуп А мора садржати ако је:

1) {1, 3, 5}∪ A = {1, 2, 3, 4, 5} 2) А∪ {p, e, t} = {p, e, t, a, k}

3) A∩ {p, e, t, a, k} = {p, e, t} 4) {2, 3, 4}∩ A = {1, 2, 3, 4, 5}

27. Јадранка и Никола су одлучили да заједно прославе рођендан. Јадранка је позвала 15

другова, а Никола 12. Ако су 5 другова позвали и Јадранка и Никола, колико је укупно

гостију позвано?

28. У једном одељењу од 27 ученика свако је морао да се одлучи за учење грађанског

васпитања или веронауке. Ако се 14 ученика определило за грађанско васпитање и 17

за веронауку, колико ученика се определило за оба предмета?

23. Одреди елементе скупова А и Е ако је:

1) А∩ Е = {1, 3, 14}, A \ E = {2, 5, 38}, E \ A = {20, 22}

Решење: Како је то је

А = {2, ____, ____, ____, ____, ____}

E = {20, ____, ____, ____, ____}

2) A∩ Е = {a, d, f }, СA(E) = {e, k}

3) А∪ Е = {x| x ∈,N, x 20< и x је дељиво са 3}, A \ E = {6, 15}, E \ A = {12}

4) А∪ Е={111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222}, A∩ E={111, 222}, A \ E={112, 121, 122}

\

∩

18

29. У пошти је 115 особа. Њих 24 не шаље ни писма ни разгледнице. Разгледнице су послале

63 особе, а писма 44 особе. Колико особа је послало и писмо и разгледницу, а колико

само једно од та два?

30. У једној туристичкој агенцији продају се аранжмани за летовање у Тунису и Египту. У

колективу од 109 радника, 37 радника је одлучило да не иде на летовање преко ове

агенције. Преостали радници су резервисали 42 аранжмана за Тунис и 34 аранжмана за

Египат. Колико радника је резервисало само један, а колико радника оба аранжмана?

31. У европски летњи камп математичара дошло је 73 ученика од којих 38 ученика говори

немачки језик, 25 ученика француски, а 12 ученика говори оба језика. Колико ученика

не говори ниједан од ова два језика?

ИЗРАЗИ СА ВИШЕ СКУПОВНИХ ОПЕРАЦИЈА1. На основу Веновог дијаграма записати елементе скупова P, Q и R.

2. Нацртај Венов дијаграм и одреди скупове А∩ В∩ С и А∪ В∪ С ако је:

1) A = {1, 4, 7, 11, 14}, B = {1, 3, 7, 12}, C = {5, 7, 13}

2) A = {a, s, d, f, g}, B = {a, f, g, k}, C = {a, d, f, k}

3) A = {s | s∈N и s 4 5− ≤ }, B = {k | k∈N, k 11< и k дељиво са 3}, C = {3, 7, 8, 9}

3. За скупове K = {12, 14, 16, 18, 20}, L = {13, 14, 15, 16} и S = {15, 16, 17, 18, 19} нацртај Венов

дијаграм датих скупова и одреди елементе скупова:

1) K∪ L∪ S 2) K∩ L∩ S 3) (L∩ K) ∪ S 4) (S∪ L) ∩ K

4. Ако је P скуп слова имена Мирко, Q скуп слова имена Славко, а R скуп слова имена

Алекса, одреди елементе скупова:

1) P∪ (Q∩ R) 2) R∩ (Q∪ R) 3) (R∩ P)∪ (Q∩ P) 4) (Q∪ P)∩ (P∪ R)

5. Нацртај Венов дијаграм скупова A, B и C и одреди елементе скупова:

1) (A∩ B) \ C 2) (B∩ C) \ A 3) (C∩ A) \ B 4) (A∪ B) \ C 5) (B∪ C) \ A 6) (C∪ A) \ B

ако је А = {x | x∈N0 и 7 x 3 11< + ≤ }, B = {s | s∈N

0 и 9 x 2 4> − ≥ } и С је скуп парних

природних бројева прве десетице.

x x

19

7. Осенчи део Веновог дијаграма у који уписујемо елементе скупова:

1) G∪ H∪ R 2) G∩ H∩ R 3) (G∩ H)∪ R 4) (G∪ R) \ H

5) H∩ (R \ G) 6) (R∩ G)∪ (H \ G) 7) (H \ G) \ (R∩ G) 8) (R∩ G)∪ (H\ (G∪ R))

9) (G∪ R) \ H 10) (H∩ G)∪ (R \ G) 11) ((G∪ R) \ (R∩ G)) \ H 12) CG(R)∩ H

6. За скупове X, Y и Z, дате на Веновом дијаграму десно, одреди

елементе скупова:

1) (X \ Z)∩ (Y \ Z) 2) (Y \ Z)∪ (Z \ Y)

3) (Y \ Z)∩ (Z \ Y) 4) (Y \ Z) \ (X∪ Y)

5) (Z∪ X) \ СY(Х) 6) (Z∪ (X \ Y))∩ (Y \ Z)

8. Запиши користећи скуповне операције означене деловe Венових

дијаграма како је започето:

област I: A \ (B∪ C) област V: _________________

област II: (А∩ В) \ С област VI: _________________

област III: _________________ област VII: _________________

област IV: _________________

20

9. Опиши обојене делове Венових дијаграма као што је започето :

10. Одреди елементе скупа А ако је A∪ B∪ C = {4, 5, 6, 7, 8, 9} и (B∪ C) \ A = {4, 8, 9}.

Решење:

Напомена: Задатке од 10. до 17. најлакше ћеш решити користећи се Веновим дијаграмима.

Елементи 4, 8 и 9 једини су елементи које уписујемо у

обојени део Веновог дијаграма, па је онда

А = {___, ___, ___}

11. Одреди елементе скупа K ако је K∪ L∪ M={1, 2, 3, 4, 5, 6}, M \ K={2, 4} и L \ K={4, 6}.

21

12. Одреди елементе скупова А, В и С ако је A∪ B∪ C = {p | p∈N и p је једноцифрен број},

A \ B = {1, 2, 3}, A \ C = {2, 3, 9}, B \ A = {5, 6} и B∩ C = {4, 6}.

13. Одреди елементе скупова P, Q и R ако је P∪ Q∪ R = {x | x∈N и 2 ≤ x < 9}, P∩ Q∩ R = {8},

R \ (P∪ Q) = {5, 6, 7}, (R∩ Q) \ P = {3}, (R∪ P) \ Q = ∅ и P∩ (Q∪ R) = {4, 8}.

14. Одреди елементе скупова E, F и G ако је E∪ F∪ G = {a, b, c, d, e}, E∩ F∩ G = {b, c}, G∩ (E∪ F)

= {b, c, d, e}, (E∩ F) \ G = {a}, E \ F = {d}.

15. Последњих пет година се организује новогодишња трка. Право учешћа имају ученици

шестог, седмог и осмог разреда. До сада је из једне школе учествовало 295 ученика

шестог, 289 ученика седмог и 236 ученика осмог разреда. И у шестом и у седмом

разреду учествовао је 101 ученик, и у седмом и у осмом 112, а и у шестом и у осмом

разреду 124 ученика. Све три године учествовало је 73 ученика. Колико ученика је

учествовало:

1) на овој трци; 2) само у једном разреду; 3) два пута.

16. У једном одељењу петог разреда свако од ученика је послао своје радове на неки од

следећих конкурса: литерарни, ликовни и математички. На литерарни конкурс радове је

послало 19 ученика, на ликовни 18 ученика, а на математички 14 ученика. На литерарни

и ликовни конкурс радове је послало 11 ученика, на ликовни и математички 8 ученика,

а литерарни и математички 4 ученика. На сва три конкурса радове је послало 3 ученика.

1) Колико је ученика у том одељењу?

2) Колико ученика је послало радове на:

а) тачно 1 конкурс б) тачно 2 конкурса в) најмање 2 конкурса г) највише 2 конкурса

17. Сваки од 23 испитаника гледао је неки од три дела филма. Први и други део је гледало

5, само први и трећи део 4, а други и трећи део 3 испитаника. Први део је гледало 15,

а само трећи 5 испитаника. Ако су сва три дела гледала 2 испитаника, одреди колико

испитаника је гледало:

1) само други део, 2) други део, 3) трећи део, 4) само први део.

22

1. На линији упиши број тако да једнакости буду тачне:

1) 153 742 ____ 153+ = + 2) 2 378 _____ 2 713 2 378+ = + 3) 34 87 87 _____⋅ = ⋅

2. Упореди не рачунајући вредности датих израза:

1) 318 2 579 ____138 2 579+ + 2) 25 316 _____ 316 23⋅ ⋅ 3)133 4 777 _____ 4 777 133+ +

3. Израчунај здруживањем сабирака:

1) 201 576 409 214+ + + 2) 72 73 74 75 76 77 78+ + + + + +

3) 1 2 3 ... 48 49 50+ + + + + + 4) 7 8 9 ... 43 44 45+ + + + + +

4. Израчунај на најједноставнији начин:

1) 25 66 25 16⋅ + ⋅ 2) 88 65 78 65⋅ − ⋅ 3) 426 13 13 326⋅ − ⋅ 4) 22 16 16 57 21 16⋅ + ⋅ + ⋅

5. Како се мења:

1) разлика ако умањилац повећамо за 221, 2) количник ако делилац смањимо 3 пута,

3) производ ако чинилац повећамо 5 пута, 4) разлика ако умањеник смањимо за 493,

5) количник ако дељеник повећамо 8 пута, 6) збир ако сабирак повећамо за 102,

7) разлика ако умањеник смањимо за 173, а умањилац повећамо за 284,

8) производ ако један чинилац повећамо 5 пута, а други смањимо 10 пута,

9) збир ако један сабирак повећамо за 21, а други за 492,

10) количник ако дељеник повећамо 6 пута, а делилац смањимо 3 пута.

6. Ако је 4 820 3 913 907− = , израчунај:

1) ( )4 820 307 3 913− − 2) ( )4 820 3 913 723− − 3) ( ) ( )4 820 364 3 913 726+ − +

7. Ако је 1416 : 6 236= , израчунај:

1) ( )1416 : 2 : 6 2) ( )1416 : 6 4⋅ 3) ( ) ( )1416 : 3 : 6 : 3 4) ( ) ( )1416 12 : 6 6⋅ ⋅

8. Израчунај:

1) 84 63 : 7 11− + 2) ( )210 3 42 634+ ⋅ +

3) ( )25 25 255 525 : 25⋅ − − 4) ( ) ( )73 12 8 4 33 11 3+ ⋅ − ⋅ − ⋅

5) ( ) ( )1216 : 8 234 11 2 18 : 17 8+ + ⋅ − − 6) ( ) ( )2152 4 618 13 7 3 3 69 21 17+ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅

7) ( )( )618 312 : 4 344 :14 13− + − 8) ( ) ( )( )513 : 3 2 52 : 5 2 22 6666 : 22 :101+ ⋅ − ⋅ −

9. Ако је дељеник број 1 347, количник 74, а остатак 15, одреди делилац.

10. Ако је количник 191, делилац 11, а остатак 10, одреди дељеник.

11. Количник два:

1) узастопна природна броја 2) узастопна непарна броја 3) узастопна парна броја

јесте природан број. Одреди те бројеве.

12. Израчунај број: 1) за 283 већи од 977, 2) за 99 мањи од 10 001.

13. Израчунај број:

1) за 3 већи од претходника броја 2 300, 2) 19 пута већи од следбеника броја 188.

СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА

23

14. За колико је 4 291 већи од броја записаног истим цифрама али обрнутим редоследом?

15. Израчунај број за 5 238 већи од збира бројева 231 и 3 979.

16. Од збира бројева 2 374 и 7 297 одузми количник бројева 34 578 и 17.

17. Израчунај количник збира и разлике бројева 700 и 650.

18. Двоструки збир бројева 3 105 и 17 703 подели бројем за два већим од најмањег

троцифреног броја.

19. Збир три узастопна природна броја је 51. Одреди те бројеве.

20. Збир три парна узастопна природна броја је 132. Одреди те бројеве.

21. Збир четири непарна узастопна броја је 216. Одреди те бројеве.

22. Број 4 928 представи као збир два сабирка тако да је један сабирак:

1) за 484 већи од другог, 2) три пута већи од другог.

23. Срђан има 200 динара у једном и 50 динара у другом џепу панталона. Ако из оба џепа

извади по 40 динара, колико новца ће му остати у џеповима?

24. Марија има 626 динара, а Милева 1 034 динара.

а) Колико новца Милева треба да да Марији да би имале исте суме?

б) Ако Милева да Марији 250 динара, која од њих ће имати више новца и за колико?

25. Цена математичког часописа који излази једном месечно јесте 90 динара, а годишња

претплата на исти часопис је 950 динара. Колико ће Јелена новца да уштеди ако уплати

годишњу претплату уместо да свакога месеца купује часопис?

26. У једној пекари се дневно потроши 72 килограма брашна, а у другој 11 килограма више.

Колико се килограма брашна потроши у обе пекаре за једну годину ако година није

преступна?

27. Мајстор Гиле је у својој фабрици у јуну сашио 1 526 одела, у јулу 937 одела више него у

јуну, а у августу 2 101 одело. Колико је мајстор Гиле сашио одела за ова три месеца?

28. Један музички диск је изашао у тиражу од 150 000 дискова. Путем интернета је купљено

12 527 дискова, 7 263 диска су поклоњена, а остатак је послат у продавнице. Ако је

остало непродато 42 625 дискова, колико је продато у продавницама?

29. У једном аутобусу је данас превезено 1 628 путника, у другом 416 путника мање, а

у трећем 11 путника више него у прва два заједно. Колико је укупно путника данас

превезено у сва три аутобуса?

30. У три села живи 11 130 становника. У првом и другом селу живи 8 421, а у првом и

трећем 5 837 становника. Колико свако село има становника?

24

35. На бројевној полуправој прикажи решења једначина:

1) x 3 7+ = 2) x 3 8− = 3) 805−x 798= 4) (43−x) 8 44+ = 5) 84 : (22⋅x )2 3 5− + =

36. На бројевној полуправој прикажи решења неједначина и одреди колико природних

бројева задовољава дате неједнакости: 1) x 13< 2) x 9> 3) 4 < x < 5

37. На бројевној полуправој 15mm представља растојање од 30 метара у природи.

Прикажи на бројевној полуправој удаљеност неких објеката од Снежиног стана:

продавница је удаљена 120m , пошта 240m, школа 150m , трафика 30m , ресторан 330m

и пекара 210m.

38. „Скакавац” је на бројевној полуправој у тачки 0. При првом скоку скочи за дужину 1, у

другом скоку за дужину 2, у трећем за дужину 3 и тако даље. У којој тачки на бројевној

полуправој ће се налазити „скакавац” после петог скока? А после 13 скокова?

39. Зец се на бројевној полуправој налази у тачки 215 и скаче ка њеном почетку. У првом

скоку скочи за дужину 20, у другом за дужину 19, у трећем за дужину 18, у четвртом за

дужину 17, све док не скочи за дужину 1. Да ли ће зец пронаћи шаргарепу ако се она

налази у тачки 110? А у тачки 4? Где ће се на бројевној полуправој налазити зец на крају

свог пута?

40. Кенгур „скаче по бројевној полуправој” и може да доскочи само у тачке које су означене

природним бројевима. Креће из Мелбурна, који је представљен тачком 998, и скаче ка

Сиднеју, који је представљен тачком 0. У првом скоку прескочи растојање 4, у другом

растојање 3, у трећем растојање 4, у четвртом растојање 3 и наставља овако да скаче.

Да ли ће кенгур на крају да доскочи у тачку којом је представљен Сиднеј и ако хоће,

у колико скокова? Ако је Аделаида означена у тачки 759, да ли ће кенгур на путу за

Сиднеј скочити у тачку у којој је представљен овај град? Ако хоће, колико ће скокова

направити до Аделаиде?

31. У три погона једне фабрике ради 4 933 радника. У првом погону ради четири пута више

радника него у другом, а у трећем 13 радника више него у другом. Колико радника ради

у сваком погону?

32. У две просторије у пошти налази се 1 117 пошиљки. Када је поштар Мирослав изнео

из једне собе 493 пошиљке, у њој је остало 7 пута мање пошиљки него у другој соби.

Колико је било пошиљки у свакој соби?

33. Нацртај бројевну полуправу ако је јединична дуж дужине: 1) 1cm 2) 2cm 3) 15mm

34. У квадрате упиши природне бројеве који одговарају тачкама на бројевној полуправој:

25

1. Израчунај вредност израза 12⋅s + 3 ако је:

1) s 2= 2) s 5= 3) s 9= 4) s 13= 5) s 31= 6) s 115=

2. Израчунај вредност израза 12⋅p−17 + 420 : p ако је:

1) p 3= 2) p 7= 3) p 15= 4) p 42= 5) p 140= 6) p 210=

3. Израчунај вредност израза (250−120 : d)⋅2 + 2⋅d ако је:

1) d 4= 2) d 6= 3)d 8= 4) d 15= 5)d 24= 6)d 60=

4. Израчунај вредност израза 2⋅a−3⋅b+5 ако је:

1) a 8= , b 5= 2)a 13= , b 1= 3) a 102= ,b 47= 4) a 10= , b=6

5. Израчунај вредност израза (p−q):3+3⋅p−q ако је:

1) p=24, q=15 2) p=17, q=11 3) p=31, q=13 4) p=802, q=370

6. Израз x⋅x−2x+7 можемо означити са f(x), тј. f(x)=x⋅x−2x+7. Ако заменимо x са бројем

3, тада вредност израза можемо записати овако f(3) 3 3 2 3 7 10= ⋅ − ⋅ + = . Аналогно овоме

израчунај: 1) f(4) 2) f(7) 3) f(11)

Упамти: производ x⋅x краће записујемо x2.

7. Попуни таблице:

n 1 7 12 14 51 a 4 8 12 13 15 21

3⋅n−2 ( a−2 )⋅a−4

362−7⋅n 6⋅a−3⋅(a−2)

a 7 5 9 7 11 15 13 17 9

b 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a⋅a+5⋅b−3⋅a

b⋅b+(a−b)⋅(a+b)

12⋅(3⋅b+a)−(14⋅a−6) : 4

(a−(a−b) : 3)⋅7−5

8. Нека је x природан број. Запиши број:

1) за 15 већи од x 2) 3 пута већи од x

3) за 3 већи од двоструке вредности броја x

4) количник броја x и броја за 19 мањег од њега

5) производ претходника и следбеника броја x 6) за 12 мањи од седмине броја x

9. Нека су a и b природни бројеви. Запиши следеће изразе:

1) збир бројева a и b 2) разлику бројева a и b

3) збир двоструког броја b и шестине броја a

4) производ збира и разлике бројева a и b

5) разлику броја за два мањег од троструког броја a и броја за шест мањег од петине броја b

ИЗРАЗИ СА ПРОМЕНЉИВОМ

26

10. Попуни табелу:

претходник 2⋅a−4

број a a+1 a2

следбеник 3⋅a

11. Нека је страница квадрата a. Одреди обим и површину квадрата ако је a { }1, 3, 5, 7, 9∈ .

12. Које вредности може имати променљива p, тако да вредност израза (2378-p):373 буде

природан број?

13. Одреди најмању и највећу могућу вредност израза 801 3− ⋅k ако је k:

1) једноцифрен број 2) двоцифрен број

14. Посматрајмо природан број d већи од 9. Поређај по величини, од најмањег до највећег,

следеће бројеве: 1) d 6− , d 3+ , d 2) 2⋅d, 3⋅d 7− , d 9+ , 3⋅d, d 1−

15. У следећој табели бројевима из прве врсте придружени су бројеви из друге по

следећем правилу: x → 2⋅x+1.

1 2 3 4 5 ... x

3 5 7 9 11 ... 2⋅x+1

Уочи правило по коме се бројевима из прве врсте придружују бројеви из друге и

доврши попуњавање табела.

1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 x

1 3 5 7 2 5 8 11

1 2 3 4 5 6 7 8 x

5 8 11 14 17

16. Бака је Сари дала 37 бомбона. Сара је својим другарицама давала по 5 бомбона. Колико

је Сари остало бомбона ако је бомбоне поделила са:

а) 3, б) 4 другарице?

Запиши изразом колико је Сари остало бомбона ако је поделила бомбоне са x

другарица. Колико је највише другарица могла да почасти бомбонама?

17. Милош је отишао на седмодневно зимовање на Златибор са школом. Родитељи су му

послали укупно 1 500 динара. Учитељица је Милошу дневно давала по 200 динара.

Колико је Милошу остало новца после: 1) 2 дана, 2) 4 дана, 3) 7 дана?

Записати изразом колико је Милошу остало новца после x дана.

27

СКУП - РЕШЕЊА

1. 1) 23 658 2) 8 000 000 000 3) 1 000 020 4) 3 015 006 5) 17 001 6) 600 060 006

2.

728 531 1 004 007 2 805 13 905 8 005 501 347

јединица 728 531 1 004 007 2 805 13 905 8 005 501 347

десетица 728 53 100 400 280 1 390 800 550 134

јединица хиљада 728 1 004 2 13 8 005 501

стотина хиљада 7 10 0 0 80 055

јединица милиона 0 1 0 0 8 005

3. 1) 3 065 ; 2) 38 607 ; 3) 15 043.

4. 1) ⊥ ; 2) ⊥ ; 3) ⊥.

5. 1) ≤ ; 2) ≥ ; 3) ≥ ; 4) ≥.

6. 1) x { }1, 2, 3, ...,170,171∈ ; 2) x { }1, 2, 3, ..., 360, 361∈ ;

3) x { }1994,1995,1996,1997,1998,1999, 2 000∈ ; 4) x { }3 425, 3 426, ..., 5 242, 5 243∈ .

7. СХ ДХ ЈХ С Д Ј

23 456 2 3 4 5 6

24 547 2 4 5 4 7

576 576 5 7 6 5 7 6

333 000 3 3 3 0 0 0

99 999 9 9 9 9 9

8. 1) 38 947 3 10 000 8 1000 9 100 4 10 7 1= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ;

2) 15 035 1 10 000 5 1000 3 10 5 1= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 3) 100 700 1 100 000 7 100= ⋅ + ⋅ ;

4) 5 030 5 1000 3 10= ⋅ + ⋅ 5) 77 007 7 10 000 7 1000 7 1= ⋅ + ⋅ + ⋅ ;

9. 1) 35 781; 2) 806 329; 3) 102 053; 4) 85 320; 5) 97 320; 6) 76 340.

10.

претходник 2 507 999 1 298 4 699 0 2 008 4 999 999 999 12 998

број 2 508 1 000 1 299 4 700 1 2 009 5 000 1 000 000 12 999

следбеник 2 509 1 001 1 300 4 701 2 2 010 5 001 1 000 001 13 000

11. 1) 1 800 – 1 798 = 2 2) 8 001 – 7 999 = 2 3) 2

Напомена: Разлика следбеника и претходника било ког природног броја је увек 2.

12. 1) 3466 3438 1 28 1 27− − = − = 2) 13

3) Између природних бројева a и b има a−b−1 других природних бројева.

13. 1) 9 2) 90 3) 90 000 4) 90 000 000

Има четири парна и пет непарних једноцифрених природних бројева. У свим осталим

случајевима има једнак број парних и непарних природних бројева.

14. 1) Парни се завршавају цифрама 0, 2, 4, 6 и 8, а непарни цифрама 1, 3, 5, 7 и 9.

2) Најмањи непаран – 10 001, а највећи паран 99 998.

3) Није могуће. Ако је исти број навијача обе екипа, њихов укупан број мора да је паран.


28

15. 6 и то су: 347, 374, 437, 473, 734 и 743

16. 1) 16 2) 54

17. 1) 96 2) 500

18. Ако број почиње са 42∗∗∗∗ онда на преостала 4 места може стајати било која од

преосталих цифара, па је број могућности 24, а ако почиње са 45∗∗∗∗ на трећем месту

могу стајати цифре 0 или 2, а на осталим било која од преосталих цифара, па је број

могућности 12. Дакле, укупно је могуће написати 36 тражених бројева.

19. Најмањи је 2 046, највећи је 8 642.

20. Највећи је 9 977 442, најмањи је 1 001 224.

21. 1) { }5, 6, 7, 8, 9Δ ∈ 2) { }7, 8, 9Δ ∈ 3) За било коју цифру је задовољава неједнакост

4) { }1, 2, 3, 4Δ ∈22.

број 23 111 4 098 7 1 000 23 115 0

збир цифара 5 3 21 7 1 12 0

производ цифара 6 1 0 7 0 30 0

23. 1) 10. Четири сабирка која дају збир 3 јесу: 1 1 1 0+ + + , 1 2 0 0+ + + или 3 0 0 0+ + + , па су

тражени бројеви: 1110,1101,1011,1200,1020,1002, 2100, 2 010, 2 001 и 3 000

2) 4. Четири чиниоца која дају производ 2 јесу 2 1 1 1⋅ ⋅ ⋅ , па су тражени бројеви : 1112,

1121, 1211 и 2111

24. Три сабирка која дају збир 5 јесу 5 0 0, 4 1 0, 3 2 0, 3 1 1, 2 2 1+ + + + + + + + + + , па су

тражени бројеви: 500, 410, 401,140,104, 320, 302, 230, 203, 311,131,113, 221, 212 и 122, а

њихов збир је 3 720.

25. 1111 991 120− =

26. Попунити укрштеницу

1

4 2

2 3

3 4

0 5

7 6

3 7

4 8

6 9

8 9 3 10

6 6 1 11

5 3 1 12

5 13

5 3 8 2 14

6 4 15

9 7 3 5 16

7 17

2 18

6 19

1 20

3 3 21

1 22

2 23

8 0 24

8 0 9 1 5 25

2 8 2 26

2 9 1 27

1 0 5 28

3 4 6 29

4 30

9 2 6 4

27.

66 77 22

11 55 99

88 33 44

28. а)1) 2)

(7 7) : 7 7 : 7 1

(7 7) : 7 7 7 2

(7 7) : 7 7 : 7 3

(7 7 7 7) : 7 4

7 7 : 7 7 : 7 5

(7 7) : 7 7 : 7 6

7 7 7 7 7 7

+ − =

+ + − =

+ + =

+ + + =

− − =

⋅ − =

+ + − − =

(66 66) : 6 22

6 6 6 6 : 6 41

(6 6 6) 6 6 102

666 : 6 6 105

66 66 6 138

666 6 6 630

666 66 732

+ =

⋅ + − =

+ + ⋅ − =

− =

+ + =

− ⋅ =

+ =

б) 1) ( )( )16 4 2 8 : 4 10 18+ ⋅ − + =2) ( )( ) ( )12 : 3 24 20 : 4 6 2 : 2 5+ − + − =

29

38.

3 1 2 6 3 1 3 9

5 1 4 20 4 2 1 8

1 1 1 1 1 5 7 35

9 3 7 8 8 11

29. 1) 2) 3) 4)

5

55

51

111

+

918

189

891

1998

+

152

152

251

555

+

6

46

646

3 646

4 344

+

30. 1) 2) 3)

31. 1) 170, 390, 390, 930, 1 730. Број 755 је подједнако удаљен и од 750 и од 760.

2) 1 800, 2 800, 8 200, 28 100, 36 200.

Број 12 450 је подједнако удаљен и од 12 400 и од 12 500.

3) Збирови су око 750, 1 370, 5 660, 3 610, 17 780.

32. 10kg . За 424 динара су купили 8kg спанаћа и на ову количину су добили још 2kg

бесплатно. Да су платили два пута више, донели би 21kg спанаћа.

33. Површина P=a⋅b Обим O=2⋅(a+b)a

b3 4

a

b3 4

1 3 4 1 8 10

2 6 8 2 10 12

6 18 24 6 18 20

34. 1) 9 1 90 2 9 3 9 180 27 216⋅ + ⋅ + ⋅ = + + = 2) 5 3) 30 пута цифра 1, а 20 пута цифра 9

4) Највише цифра 1, а најмање цифра 0 5) 5 пута, и то код бројева 4 и 5, у броју 45, код

бројева 45 и 46, у броју 54 и код бројева 54 и 55.

35. ( ) ( )9 1 51 2 9 1 71 2 111 151 262⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + = .

36. ( ) ( )5 1 29 2 4 1 45 2 23 3 63 163 226⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + = . Укупно је употребљено 226 цифара.

Како на левој страни има 34 куће, то је 5 нумерисано једноцифреним, а 29 двоцифреним

бројевима. Са десне стране, 4 куће су нумерисане једноцифреним, 45 двоцифреним и

23 троцифреним бројевима.

37. 1) 2)

31 15

155

31

465

⋅

428 57

2996

2140

24396

⋅

214031

30

39. 1) 76 2) 2 007 3) 1 592

4) 1 979 5) 874

40. 1) I + I = II 2) VI + IV = X 3) X + I = XI

4) XIX + I = XX 5) IV – III = I

41. Трећи низ.

1) Проширени скуп природних бројева N0 2) Низ парних природних бројева

4) Низ непарних природних бројева

42.1) 5 512 2) 3 240 1 076 253 1 0

2 852 2 660 1 164 823 252 1

1 626 1 226 1 434 1 134 571 251

815 811 415 1 019 770 320

308 507 304 111 908 450

43. 1) 164, 183, 202

2) 128, 256, 512

3) 34, 55, 89

4) 57, 73, 91

5) 51, 66, 83

6) 64, 81, 100

СКУПОВИ ЕЛЕМЕНТИ, ОСНОВНЕ ОСОБИНЕ, ВЕНОВИ ДИЈАГРАМИ

1. 1) А је скуп имена дана у недељи 2) В је скуп имена континената

2. 2) А = {ш, к, о, л, а} 3) B = {а, е, и, о, у} 4) С = {a, b, c, d, e}

3. 1) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2) B = {21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30}

3) C = {17, 19, 21} 4) D = {5, 15, 25}

4. 1) A = {60, 51, 42, 33, 24, 15} 2) B = {300, 210, 201, 120, 102, 111}

3) C = {79, 88, 89, 97, 98, 99} 4) D = {12, 21, 112, 121, 211}

5) E = {30, 41, 52, 63, 74, 85, 96}

5. 1) A = {22, 25, 27, 52, 55, 57, 72, 75, 77}

2) B = {100, 101, 103, 110, 111, 113, 130, 131, 133, 300, 301, 303, 310, 311, 313, 330, 331, 333}

6. 1) Не 2) Не 3) Не

7. 4∉А, 2∈А, 3∉В, с∉А, а∈А, е∈В, b∉В, 5∈В.

8.

44. Једно решењe је:

31

9.

10. 1) А = {g, k, r, t} 2) B = {Марија} 3) C = {1, 6, 8}

11. 1) P = {2, 3, 4, 7, 10}, R = {1, 3, 4, 5, 7, 9} 2) H = {d, a, p}, K = {p, z}

3) A = {8, 12, 14, 18, 20}, B = {14, 16, 20}, C = {8, 10, 20}

4) S = {t, h}, D = {s, h, n, f}, F = {f, r}

12. 1∉Р, 210∈Р, 12∉Р, 102∈Р, 1 222∉Р, 21∈Р, 2∈Р.

13. 1)K { } 1, 2, 3, 4= 2) L { } 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7= 3)G { }4=

4) D { } 0,1, 2, 3= 5) S { } 42, 44, 46, 48, 50=

14. 1) A = { x | x∈N, x је паран број, x ≤ 10}

2) P = { x | x∈N, x је двоцифрен број који се пише истим цифрама}

3) C = { x | x∈N, x је троцифрен број који се пише само цифрама 1, 2 и 3}

4) D = { x | x∈N, x је двоцифрен број који се пише неком од цифара 1, 5 или 7}

15. 1) A = { x | x∈N и x < 700} 2) B = { x | x∈N и x > 15}

3) A = { x | x∈N и 111 < x < 378} 4) D = { x | x∈N, x < 88 и x је паран број}

5) E = { a | a∈N и a je решење једначине а + 16 < 163}

16. 1) Нетачно 2) Тачно 3) Нетачно 4) Тачно

17. 1) A=∅ 2) E=∅ 3) C=∅18. 1) Нетачно 2) Тачно 3) Нетачно

19. B ⊂ A, C ⊂ A, F ⊂ A, G ⊂ A

20. 1) A {1, 3, 5}= , B {1, 5}= ,B ⊂ A 2) A {2, 3, 5}= , B {2, 3, 5}= , B ⊂ A

3) A {1, 8,12}= , BB=∅ , B ⊂ A 4) A {8, 9}= , B {7, 8, 9}= , B ⊄ A

5) A {2, 4, 5}= , B { }0, 3= , B ⊄ A

21. 1) Тачно 2) Тачно 3) Тачно 4) Тачно 5) Нетачно 6) Нетачно 7) Тачно 8) Тачно

9) Нетачно

22. 1) Тачно 2) Нетачно 3) Тачно 4) Нетачно 5) Нетачно

23. 1) { }, 3∅ 2) { } { } { }, 2 , 5 , 2, 5∅ 3) { } { } { } { } { } { } { }, 3 , 6 , 9 , 3, 6 , 3, 9 , 6, 9 , 3, 6, 9∅

4) ∅ , { }1 , { }2 , { }3 , { }4 , { }1, 2 , { }1, 3 , { }1, 4 , { }2, 3 , { }2, 4 , { }3, 4 , { }1, 2, 3 , { }1, 2, 4 ,

{ }1, 3, 4, { }2, 3, 4

, { }1, 2, 3, 4

24. 1) { } { } { } { }5 , 55 , 555 , 5 555 2) { } { } { } { } { } { }5,55 , 5,555 , 5, 5 555 , 55, 555 , 55, 5 555 , 555, 5 555

3) { } { } { } { }5, 55, 555 , 5, 55, 5 555 , 5, 555, 5 555 , 55, 555, 5 555

25. 1) јесу 2) нису 3) јесу 4) нису

26. A=B, C=E

27. 1) x 23= 2) x 1= или x 2= или x 12= или x 23= или x 123= или x 234=

28. 1) p 1= и q 5= или p 5= и q 1= 2) p 7= и q 21=3) p 5= и q 8= или p 8= и q 5= 4) p 6= , а q 6= или q 26=

29. x 3= , а y 1= или y 3= или y 5= или y 7= или y 9=

32

30. K = {Ј, о, в, а, н}, L = {Ј, о, в, а, н}. n(K)=n(L)=5. Тачна су сва три тврђења.

31. A { } { }1, 2, 3 , B 1, 2, 4= = , n(A)=n(A)=3, A≠B

32. 1) n(A) 3= 2) n(A) 1= 3) n(A) 4= 4) n(A) 3= 5) n(A) 2= 6) n(A) 1=

33. 1) n(C) 7 342= 2) n(C) 90= 3) n(C) 357= 4) n(C) 73=

34. n(A)=n(G), n(B)=n(D), n(E)=n(F)

35. 1) C { }5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13= , n(C) 9= 2) C { }2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10,11,12= , n(C) 10=

3) C { }8, 9,12,13,14,15= , n(C) 6=

36. 1) s 2= , а z=6, r∈{2,4,6} или r=6, z∈{2,4,6}2) z=2, r=2 или z=2, r=4 или z=4, r=2 или z=4, r=4

3) z=6, r∈{2,4,6} или z=8, r∈{2,4,8} 4) z=6, r=8 или z=8, r=6

ОСНОВНЕ ОПЕРАЦИЈЕ СА СКУПОВИМА

1. 1) A∩B { }2, 3= 2) A∩B { }6= 3) A∩B { }a, b, c, d= 4) A∩B { }p,r=

5) A∩B= {Б, р, а, н, и} 6) A∩B { }5, 6, 7= 7) A∩B { }11,12=

8) A∩B= {x | x∈N и x > 41} 9) A∩B=∅

2.

3. 1) { } { } { }= = ∩ =1 7 8 7 8 7 8S , , , t , d , D , , a, e , t , S D , , t 2) { } { } { }= = ∩ =Z u , T u , Z T u

3) { } { } { }= = ∩ =12 21 1 2 12 12G , , H , , , G H 4) { } { }= = ∩ =∅4 44 7 77W , , Q , ,W Q

4.

5. 1) =3x 2) = =7 13x , y или = =13 7x , y 3) = =4 36a , b

4) g је било који број који не припада скупу { }34, 54, 74, 94

5) { }= ∉15 7 21 41h , s , , или { }= ∉15 7 21 41s , h , ,

6. 1) { } ( )∪ = ∪ =1 3 5 7 9 11 6Q R , , , , , , n Q R 2) { } ( )∪ = ∪ =1 4 5 6 7 10 6Q R , , , , , , n Q R

3) { } ( )∪ = ∪ =12 23 34 45 4Q R , , , , n Q R 4) ∪ =Q R {први, други}} ( )∪ =2, n Q R

5) Q R∪ = {М, И, Р, О, С, Л, А, В, Т} ( )∪ =9, n Q R

6) { } ( )∪ = ∪ =12 14 15 16 17 18 19 20 21 9Q R , , , , , , , , , n Q R

7) ∪ =Q R N N. Скуп ∪ =Q R N има бесконачно много елемената.

B

33

7.

8. 1) { } { } { } { }= = ∩ = ∪ =5 8 9 3 5 8 5 8 3 5 8 9G , , , H , , , G H , , G H , , ,

2) { } { } { } { }= = ∩ = ∪ =2 3 11 11 11 2 3 11G , , , H , G H , G H , ,

3) { } { } { } { }= = ∩ = ∪ =G a, d , v , H j , v , G H v , G H a, d , j , v

4) { } { } { } { }= = ∩ = ∪ =G t , q , r , h, x , H r , x , h , G H r , x , h , G H t , q , r , h, x

5) { } { } { }= = ∩ =∅ ∪ =1 2 9 5 6 1 2 5 6 9G , , , H , , G H , G H , , , ,

9. Нека је J скуп имена Јованових, а Z скуп имена Зоранових пријатеља. Тада је:

Ј ∪ Z = {Марија, Тијана, Јанко, Мирко, Здравко, Петар, Василије, Мирјана, Жељко, Лука}Ј ∩ Z = {Јанко, Здравко, Василије}

10. 1) Тачно 2) Нетачно 3) Нетачно 4) Тачно 5) Нетачно 6) Тачно 7) Нетачно 8) Тачно

11. 1) EÅ {5, 9,17}= 2) =E {a, b , e }

3) E {5, 26, 84}= или EE {26, 36, 84}= или EE {26, 59, 84}= или E {26, 84,117}=

12. 1) ( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩ = + − =5 12 3 14n A B n A n B n A B 2) ( )∩ =13n A B 3) ( )=11n B

13. 1) { }= 1 3 5 6D \ S , , , , { }= 2 4 9S \ D , , 2) =∅D \ S , =∅S \ D

3) DD \ SS = {маја}, S \ D = {м, а, ј, а} 4) { }= 12D \ S , { }= 2 23 33S \ D , ,

5) DD \ SS = {A, C, T, B}, S \ DD = {У, Ч, Е} 6) { }= 7 9D \ S , , { }= 4S \ D

7) { }= 12 21 30 111 120 201 210D \ S , , , , , , , S { }S \ D 503,1200=

14.

15. 1) K { }2, 3, 4, 7, 8, 9= , T { }T 1, 2, 4, 5, 7= , { }∪ = 1 2 3 4 5 7 8 9K T , , , , , , , , { }∩ = 2 4 7K T , ,

{ }= 3 8 9K \ T , , , { }= 1 5T \ K ,

2) { }=K a, d , h , { }=T d , h , { }∪ =K T a, d , h , { }∩ =K T d , h , { }=K \ T a , =∅T \ K

3) K = {Ана, Мира, Оља, Ена, Миа}, Т = {Ена, Миа}, K ∪ Т = {Ана, Мира, Оља, Ена, Миа},

K ∩ Т = {Ена, Миа}, K \ Т = {Ана, Мира, Оља}, =∅T \ K

4) K { }K 122,123,132,133= , T { }T 222, 223, 232, 233= , ∩ =∅K T , { }= 222 223 232 233T \ K , , ,

{ }= 122 123 132 133K \ T , , , , { }∪ = 122 123 132 133 222 223 232 233K T , , , , , , ,

16. 1) Тачно 2) Нетачно 3) Тачно

17. ( ) { }= 11 14AC B , , ( ) { }= 11 12 14 15 17AC C , , , , , ( ) { }= 12 15 17BC C , , . За дисјунктне скупове K и

L, такве да је K∪ L=А, важи ( )=AC K L и ( )=AC L K .

18. 1) x 41= 2) a 4= , b { }b 8,11, 32, 52∈ или =4b , { }∈ 8 11 32 52a , , ,

3) r 200= , p { }13,18, 47, 200∈

4) t може бити било који број осим 14, 15 и 16, а f { }14,15,16, 32, 33, 34, t∈

34

19. 1) Tачно 2) Нетачно 3) Нетачно 4) Tачно

20. 1) Нетачно 2) Нетачно 3) Tачно 4) Нетачно

21. =S \ D S , =D \ S D

22. B \ A, AA∩ B, R \ P, ( ) ( )∪M \ N N \ M , S \ L

23. 1) A { }1, 2, 3, 5,14, 38= , E { }1, 3,14, 20, 22= 2) { }=A a, d , e , f , k , { }=E a, d , f

3) A { }3, 6, 9,15,18= , E { }3, 9,12,18=

4) A { }111,112,121,122, 222= , E { }E 111, 211, 212,221, 222=

24. 1) највише 22 (ако је ∩ =∅A B ), најмање 15 (ако је ⊂B A )

2) највише 7 (ако је ⊂B A ), најмање 0 (ако је ∩ =∅A B )

3) највише 15 (ако је ∩ =∅A B ), најмање 8 (ако је ⊂B A )

4) највише 7 (ако је ∩ =∅A B ), најмање 0 (ако је ⊂B A )

25. 1) ( ) ( ) ( ) ( )∪ = + ∩ + = + + =4 3 3 10n D P n D \ P n D P n P \ D 2) ( )=4n K \ U

26. 1) 2 и 4 2) а и k 3) p, e и t

4) дата једнакост је немогућа јер су у пресеку елементи који нису у првом скупу.

27. Укупно су позвали 22 госта. Користи једнакост ( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩n A B n A n B n A B

28. За учење оба предмета определила су се 4 ученика.

29. И писмо и разгледницу је послало 16 људи, а њих 75 је послало само једно од то двоје.

30. Оба аранжмана су резервисала 4 радника, а њих 68 један аранжман.

31. 22 ученика не говоре ни немачки ни француски.

ИЗРАЗИ СА ВИШЕ СКУПОВНИХ ОПЕРАЦИЈА

1. 1) P { }1, 2, 3, 4, 8= , Q { }3, 4, 6, 7, 9= , R { }R 4, 5, 6, 8=

2) { }=P a, d , e , { }=Q a, b , d , { }=R d , e , f 3) { }= 2 3 9P , , , { }= 1 4 7 8 9Q , , , , , { }= 5 7 8R , ,

2. 1) { }∪ ∪ = 1 3 4 5 7 11 12 13 14A B C , , , , , , , , 2) { }∪ ∪ =A B C a, d , f , g , k , s

{ }∩ ∩ = 7A B C { }∩ ∩ =A B C a, f

3) { }∪ ∪ = 3 4 5 6 7 8 9A B C , , , , , , , { }∩ ∩ = 9A B C

3. 1) { }∪ ∪ = 12 13 14 15 16 17 18 19 20K L S , , , , , , , , 2) { }∩ ∩ = 16K L S

3) ( ) { } { } { }∩ ∪ = ∪ =14 16 15 16 17 18 19 14 15 16 17 18 19L K S , , , , , , , , , ,

4) ( ) { } { } { }∪ ∩ = ∩ =13 14 15 16 17 18 19 12 14 16 18 20 14 16 18S L K , , , , , , , , , , , ,

35

4. 1) P ∪ ( Q ∩ R ) = {м, и, р, к, о, а, л, с} 2) R ∩ ( Q ∪ R ) = {а, л, е, к, с}3) ( R ∩ P ) ∪ ( Q ∩ P ) = {о, к} 4) ( Q ∪ P ) ∩ ( P ∪ R ) = {м, и, р, к, о, а, л, с}

5. 1) ( ) { }∩ = 7A B \ C 2) ( ) { }∩ = 10B C \ A 3) ( )∩ =∅C A \ B

4) ( ) { }∪ = 5 7 9A B \ C , , 5) ( ) { }∪ = 2 4 9 10B C \ A , , , 6) ( ) { }∪ = 2 4 5C A \ B , ,

6. 1) ( ) ( ) { } { } { }∩ = ∩ =X \ Z Y \ Z s s , p s 2) ( ) ( ) { }∪ =Y \ Z Z \ Y s , k , p 3) ( ) ( )∩ =∅Y \ Z Z \ Y

4) ( ) ( )∪ =∅Y \ Z \ X Y 5) ( ) ( ) { }∪ =YZ X \ C X h, k , s 6) ( )( ) ( )∪ ∩ =∅Z X \ Y Y \ Z

7. 1) G∪ H∪ R 2) G∩ H∩ R 3) (G∩ H)∪ R 4) (G∪ R) \ H

5) H∩ (R \ G) 6) (R∩ G)∪ (H \ G) 7) (H \ G)∪ (R∩ G) 8) (R∩ G)∪ (H\ (G∪ R))

9) (G∪ R) \ H 10) (H∩ G)∪ (R \ G) 11) ((G∪ R) \ (R∩ G)) \ H 12) CG(R)∩ H

8. област III: ( )∪B \ A C , област IV: ∩ ∩A B C , област V: ( )∩A C \ B ,

област VI: ( )∩B C \ A , област VII: ( )∪C \ A B

9. Као олакшицу приликом решавања овог задатка можемо користити претходни задатак.

4) ( ) ( )∪ ∪ ∩ ∩A B C \ A B C 5) ( )∪ ∩A B C 6) ( )( ) ( )( ) ( )( )∪ ∪ ∪ ∪ ∪A\ B C B \ A C C \ A B

7) ( )( ) ( )( ) ( )( )∩ ∪ ∩ ∪ ∩A B \ C B C \ A A C \ B 8) ( )( ) ( )( )∩ ∪ ∪A B \ C C \ A B

9) ( ) ( )( ) ( )( )∩ ∩ ∪ ∪ ∩A B C A C \ B \ A C 10) ( ) ( )∪ ∩A\ B B C

11) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∩ ∩A\ B C B \ A C C \ A B A B C 12) ( )B \ A\ C

13) ( ) ( )( )∪ ∪B \ A A\ B C

10. A { }5, 6, 7=

11. K { }K 1, 3, 5=

36

12. A { }A 1, 2, 3, 4, 9= , B { }B 4, 5, 6, 9= , C { }1, 4, 6, 7, 8=

13. { } { } { }= = =4 8 2 3 8 3 4 5 6 7 8P , , Q , , , R , , , , , или { } { } { }= = =4 8 2 3 8 3 4 5 6 7 8P , , Q , , , R , , , , ,

14. { } { } { }= = =E a, b , c , d , F a, b , c , e , G b , c , d , e

15. 1) 556 2) 365 3) 118

16. 1) 31 2) а) 14 б) 14 в) 17 г) 28

17. 1) 2 2) 8 3) 12 4) 6


1. 1) 153 742 742 153+ = + 2) + = +2378 2713 2713 2378 3) 34 87 87 34⋅ = ⋅

2. 1) 318 2 579 138 2 579+ > + 2) 25 316 316 23⋅ > ⋅ 3)133 4 777 4 777 133+ = +

3. 1) ( ) ( )+ + + = + + + = + =201 576 409 214 201 409 576 214 610 790 1400

2) ( ) ( ) ( )72 73 74 75 76 77 78 72 78 73 77 74 76 75 525+ + + + + + = + + + + + + =3) 1275 4) 1014

4. 1) ( )25 66 25 16 25 66 16 25 82 2 050⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⋅ = 2) 650 3) 1300 4) 1600

5. 1) смањи се за 221 2) повећа се 3 пута 3) повећа се 5 пута 4) смањи се за 493

5) повећа се 8 пута 6) повећа се за 102 7) смањи се за 457 8) смањи се 2 пута

9) повећа се за 513 10) повећа се 18 пута

6. 1) 907 307 600− = 2) 907 723 1630+ = 3) 907 364 726 545+ − =

7. 1) 236 : 2 118= 2) 236 : 4 59= 3) ( )236 : 3 3 236⋅ = 4) ( )236 12 : 6 472⋅ =

8. 1) 86 2) 2 238 3) 349 4) 169 5) 640 6) 7198 7) 1 8) 17

9. Делилац је број 18 .

10. Дељеник је број 2111.

11. 1) 2 и 1 2) 3 и 1 3) 4 и 2

12. 1) 977 283 1260+ = 2) 10 001 99 9 902− =

13. 1) ( )2 300 1 3 2 302− + = 2) ( )188 1 19 3 591+ ⋅ =

14. 4 291 1924 2 367− =

15. ( )231 3 979 5 238 9 448+ + =

16. ( ) ( )2 374 7 297 34 578 :17 7 637+ − =

17. ( ) ( )700 650 : 700 650 27+ − =

18. ( )( ) ( )2 3105 17 703 : 100 2 408⋅ + + =

19. 51 17 17 17= + + . Ако први сабирак повећамо за 1, а трећи сабирак смањимо за 1 имамо

да је ( ) ( )51 17 1 17 17 1= − + + + , односно 51 16 17 18= + + , па су тражени бројеви 16, 17 и

18.

20. ( ) ( )132 44 44 44 44 2 44 44 2 42 44 46= + + = − + + + = + + , па су тражени бројеви 42, 44 и 46.

21. ( ) ( ) ( ) ( )216 54 54 54 54 54 3 54 1 54 1 54 3 51 53 55 57= + + + = − + − + + + + = + + + .

22. 1) + + =484 4 928x x , па је =2 222x , а тражени бројеви су 2 222 и 2 222 484 2 706+ = .

2) + ⋅ =3 4 928x x , па је =1232x , а тражени бројеви су 1232 и 3 1232 3 696⋅ = .

37

23. ( ) ( )200 40 50 40 170− + − = или ( )200 50 2 40 170+ − ⋅ =

24. а) ( )1034 626 : 2 204− =

б) Више ће имати Марија, и то за ( ) ( )626 250 1034 250 92+ − − = динара.

25. Уштедеће 12 90 950 130⋅ − = динара.

26. За годину дана се потроши ( )72 365 72 11 365 56 575kg⋅ + + ⋅ = брашна.

27. Мајстор Гиле је сашио ( )1526 1526 937 2101 6 090+ + + = одела за ова три месеца.

28. У продавнице је стигло ( )150 000 12 527 7 263 130 210− + = дискова, а ако је остало

непродато 42 625 дискова, продато је 130 210 42 625 87 585− = дискова.

29. Први – 1628 , други – 1628 416 1212− = , трећи ( )1628 1212 11 2 851+ + = .

Укупно 1628 1212 2 851 5 691+ + = путника .

30. У трећем селу живи 11130 8 421 2 709− = , у другом 11130 5 837 5 293− = , а у првом селу

живи ( )11130 2 709 5 293 3128− + = становника.

31. Ако је x број радника у другом погону, тада је ⋅ + + + =4 13 4 933x x x , па је x 820= .

Дакле, у првом погону ради 3 280, у другом 820 и у трећем 833 радника.

32. Ако је x број пошиљки у првој соби после изношења 493 пошиљке, имамо да је + + ⋅ =493 7 1117x x , па је x 78= . У првој соби је било 571, а у другој 546 пошиљки.

33.

34.

35. 1) xx 4= 2) x 11= 3) x 7= 4) x 7= 5) xx 2=

36. 1) 12 2) бесконачно много бројева 3) ниједан број

37.

38. После петог скока је у тачки којој је придружен број 15 ( )1 2 3 4 5+ + + + , а после 13

скокова је у тачки којој је придружен број 91 ( )1 2 ... 12 13+ + + + .

39. Зец ће пронаћи шаргарепу у тачки 110 јер је ( )215 20 19 18 17 16 15 110− + + + + + = , а

неће шаргарепу која се налази у тачки 4 јер је ( )215 20 19 ... 2 1 5− + + + + = . Дакле, зец ће

се налазити у тачки 5 на крају свог пута.

38

40. Хоће. Како у свака 2 скока прескочи дужину 7, после 284 скока доћи ће у тачку 4 одакле

ће скоком за дужину 4 стићи до тачке којом је представљен Сиднеј. Дакле, са 285

скокова. У тачку којом је представљена Аделаида кенгур неће доскочити јер после 68

скокова биће у тачки којој је придружен број 760 ( )998 34 7− ⋅ , а скоком за дужину 4

прескочиће посматрану тачку.

ИЗРАЗИ СА ПРОМЕНЉИВОМ

1. 1) 27 2) 63 3) 111 4) 159 5) 375 6) 1383

2. 1) 159 2) 127 3) 191 4) 497 5) 1666 6) 2 505

3. 1) 448 2) 472 3) 486 4) 514 5) 538 6) 616

4. 1) 6 2) 28 3) 68 4) 7

5. 1) 60 2) 42 3) 86 4) 2 180

6. 1) ( )= ⋅ − ⋅ + =4 4 4 2 4 7 15f 2) ( )=7 42f 3) ( )=11 106f

7.n 1 7 12 14 51 a 4 8 12 13 15 21

3n-2 1 19 34 40 151 ( a–2 ) • a – 4 4 44 116 139 191 395

362-7n 355 313 278 264 5 ( )− ⋅ −6 3 2a a 18 30 42 45 51 69

a 7 5 9 7 11 15 13 17 9

b 1 2 3 4 5 6 7 8 9

⋅ + −5 3a a b a 33 20 69 48 113 210 165 278 99

( )( )⋅ + − +b b a b a b 49 25 81 49 121 225 169 289 81

( ) ( )⋅ + − −12 3 14 6 4b a a : 97 116 186 205 275 345 364 434 402

( )( )− − ⋅ −3 7 5a a b : 30 23 44 37 58 79 72 93 58

8. 1) +15x 2) ⋅3 x 3) ⋅ +2 3x 4) ( )−19x : x 5) ( ) ( )− ⋅ +1 1x x 6) ( )−7 12x :

9. 1) +a b 2) −a b 3) ( )⋅ +2 6b a : 4) ( ) ( )+ ⋅ −a b a b 5) ( ) ( )⋅ − − −3 2 5 6a b :

10. претходник −1a a ⋅ −2 4a ⋅ −3 2a −2 1a

број a +1a ⋅ −2 3a ⋅ −3 1a 2a

следбеник +1a +2a ⋅ −2 2a ⋅3 a +2 1a

11. a 1 3 5 7 9

= ⋅4O a 4 12 20 28 36

= ⋅P a a 1 9 25 49 81

12. Како је дељеник − <2 378 2 378p , вредност израза ( )−2 378 373p : не може бити већа

од 6. Ако је ( )− =2 378 373 1p : имамо да је =2 005p . Ако редом мењамо вредности

количника, имамо да је { }∈ 140 513 886 1259 1632 2 005p , , , , , .

13. 1) Најмања је за kk 9= и то 774, а највећа је за k 1= и то 798 .

2) Најмања је за kk 99= , и то 504, а највећа је за k 10= , и то 771.

39

14. 1) −6d , d, +3d 2) −1d , d 9+ , ⋅2 d , ⋅ −3 7d , ⋅3 d

15.

1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 x

1 3 5 7 9 ⋅ −2 1x 2 5 8 11 14 ⋅ −3 1x

1 2 3 4 5 6 7 8 x

5 8 11 14 17 20 23 26 ⋅ +3 2x

16. а) 37 3 5 37 15 22− ⋅ = − = бомбоне б) 37 4 5 37 20 17− ⋅ = − = бомбона

Aко је поделила бомбоне са x другарица, остало јој је − ⋅37 5x бомбона. Највише је

могла да почасти 7 другарица.

17. 1) 1500 2 200 1100− ⋅ = динара 2) 1500 4 200 700− ⋅ = динара

3) 1500 7 200 100− ⋅ = динара

После x дана преостало му је 1500 x 200− ⋅ динара.

41

ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ

1. Упиши ∈ или ∉ тако да важе односи приказани

на слици.

1) A ___a; 2) A b___ b; 3) B ___ a;

4) B ___ b; 5) C ___ a; 6) D b___ b.

2. Означи тачке и праве тако да је: ∩ = { }p q Q , ∩ = { }q r P , ∩ = { }p r R .

3. Нацртај праве a и b и изабери тачке A, B, C тако да следећи искази буду тачни: C a∈ a, C ∈ b,

A∈a, − −C B A .

4. Упиши речи тачно или нетачно тако да важе односи са слике.

1) − −A B C _______ 2) − −B C E _______

3) − −E C A _______ 4) − −A D E _______

5) − −A B F _______ 6) − −A F D _______

5. Означи изабране тачке праве p тако да је B D A− − ,

D A E− − , B A C− − , A C E− − .

6. Колико има правих које садрже једну задату тачку?

7. Нацртај четири тачкe A, B, C, D тако да оне одређују тачно:

а) једну праву; б) четири праве; в) шест правих.

8. Допуни текст који описује следећу слику.

1) Пресек правих a и b јесте тачка ___.

2) Пресек правих ___ и ___ јесте тачка A.

3) Пресек правих a и ___ јесте тачка B.

4) Тачка D припада правој ___ и не припада правама

___ и ___.

5) Тачка D је између тачака A и ___.

6) Права одређена тачкама B и D сече праву a у тачки

___, праву b у тачки ___ и праву c у тачки ___.

ТАЧКА, ПРАВА, РАВАН

42

8. Сваку од ових реченица преведи на математички језик.

1) ∩ = {___}a b ; 2) ∩ =___ ___ { }A ; 3) ∩ =___ { }a B ;

4) ∈ ∉ ∉___, ___, ___D D D ; 5) − −___A D ;

6) ∩ = ∩ = ∩ =( , ) {___}, ( , ) {___}, ( , ) {___}p B D a p B D b p B D c .

9. Нацртај две праве a и b које се секу. Нацртај затим праву p тако да је ∩ ∩ ≠a b p ∅ и праву

q тако да је ∩ ≠a q ∅, ∩ ≠b q ∅ и ∩ ≠ ∩a q b q . Одреди ∩ ∩a b q !

10. Тачке P и Q припадају равни α. Упиши један од знакова ∈ или ⊂ на предвиђена места

тако да добијени искази буду тачни.

1) PP ___ α; 2) Q ___ α; 3) { }, ___P Q α; 4) p ( , )___p P Q α;

5) ___ ( , )P p P Q ; 6) ___ ( , )Q p P Q ; 7) { }, ___ ( , )P Q p P Q .

1) S _____ áα; 2) {P,Q,R,S, T} _____ α;

3) ( , )_____p P Q α; 4) _____ ( , )Q p S R ;

5) QQ _____ α; 6) { , } _____P Q α;

7) ( , )_____p S T α; 8) _____ ( , )R p P Q .

11. Упиши један од знакова ∈ , ∉ или ⊂ тако да искази буду тачни.

1) ∩{ , } _____A B a ∅; 2) ∩{ , } _____A B b ∅;

3) ∩( , ) _____p A B a ∅; 4) ∩( , ) _____p A B b ∅;

5) ∩ ∩( , ) _____p A B a b ∅; 6) ∩( , )p A B β_____{ , }A B ;

7) ∩( , )p A B β_____ ( , )p A B

12. Упиши један од знакова = или ≠ тако да искази буду тачни.

13. Дата је раван α и праве a и b тако да је a ⊂ α, b ⊂ α и ∩ = { }a b O . Одреди ∩ ∩a b α, a∪α,

α∩ { }O .

15. Дата је раван α и у њој праве a и b које се секу. Који су од исказа тачни?

1) Свака права равни α паралелна са a сече праву b.

2) Не постоји права равни α паралелна и са a и са b.

3) Свака права равни α сече праву a или праву b.

4) Постоји права равни α која сече и праву a и праву b.

16. Нацртај три различите праве , ,a b c тако да је:

1) ∩ ∩ ≠a b c ∅; 2) ∩ ≠a b ∅ и aa|| cc; 3) ∩ ≠a b ∅, ∩ ≠b c ∅, ∩ ≠c a ∅, ∩ ∩ =a b c ∅.

14. Означи тачке и праве приказане на слици десно ако је

∩ = ∩ =|| , { }, { }a b a c A b c B .

43

4. Нацртај полуправе Aa и Bb тако да је:

1) ∩ =Aa Bb ∅; 2) ∩ = { }Aa Bb A ; 3) ∩ =Aa Bb Aa ; 4) ∪ =Aa Bb Aa .

5. Да ли су тачни следећи искази?

1) Пресек две различите праве може бити бесконачан скуп тачака.

2) Пресек две различите полуправе може бити бесконачан скуп тачака.

6. Нацртај две полуправе Aa и Bb чија је унија нека права. Који од исказа је тачан?

1) ∩ =Aa Bb ∅; 2) A ∈ Bb; 3) B ∈ Aa.

7. Колико различитих правих, а колико различитих дужи одређују тачкe , , , ,A B C D E

приказане на слици?

1) 2) 3)

17. Нека су a, b, c различите праве неке равни. Која од реченица је увек тачна?

1) Ако је a || b и b || c, онда је a || c.

2) Ако је a || b и ∩ ≠b c ∅, онда је a || c.

3) Ако је ∩ ≠a b ∅ и ∩ ≠b c ∅, онда је ∩ ≠a c ∅.

ПОЛУПРАВА И ДУЖ

1. На основу слике десно

упиши један од знакова =

или ≠ на предвиђена места

тако да добијене формуле

буду тачне.

1) Aa∩Bb ____ ∅;

2) Aa∩ Cc ____ ∅;

3) Bb C∩ Cc ____ ∅;

4) Oz A∩ Aa ____ ∅;

5) Ox∩Oy ____ ∅;

6) Bb O∩ Oy____ ∅.

2. Користећи се сликом

лево одреди:

1) ∩ =Oz Oy ____;

2) ∩ =Ox Bb ____;

3) ∩ =( , )Ox p O B _____;

4) ∩ =( , )Bb p A C ____.

3. На основу слике десно, одреди:

1) ∩ =Aa Bb ____;

2) ∩ =( , )p B D Cc ____;

3) ∩ =Aa Dd _____;

4) ∩ =( , )Dd p B C ____ .

44

14. Дате су тачке A и S. Одреди тачку B тако да је S средиште дужи AB. Затим одреди тачку C

такву да је A средиште дужи CB. Колико је пута дуж CB дужа од SB?

15. Дате су три колинеарне тачке A, B, C такве да је − −A C B , AB 10cm= , CB 6cm= . Ако је S

средиште дужи BC и T средиште дужи AB, одреди дужине дужи AC, AS, AT, BS, BT, CS, CT, TS.

8. На основу слике десно одреди:

1) АC∩ BF 2) AD E∩ EF

3) FBB∪BE 4) AB∪ BC

5) ∪ ∩( )AC BD EF 6) ( )∪ ∩BC CD AB

7) ∪ ∩ ∪( ) ( )AB BC EF BF .

9. Поређај дате дужи по дужини почевши од најкраће.

_____<_____<_____<_____.

10. Који од исказа су тачни?

1) Дуж AB је два пута дужа од дужи AC.

2) Дужи BC, DE и FG су међусобно подударне.

3) Дуж FG је дужа и од дужи AB и од дужи AC.

11. Конструктивно утврди која је од дужи

AB и CD краћа (слика доле)?

12. Конструиши дуж чија је дужина једнака

збиру дужина датих дужи AB, BC и DE.

13. Конструиши дуж чија је дужина једнака

разлици дужина дужи CD и AB.

45

16. Тачке , , ,P Q R S су колинеарне, − − −P Q R S . Ако је = = =48 , 32 , 38PS mm PR mm QS mm ,

одреди дужину дужи AB где је A средиште дужи PQ, а B средиште дужи RS.

ПОЛУРАВАН И ИЗЛОМЉЕНА ЛИНИЈА

1. У једној равни уочене су две полуравни pα, qβ и

праве a, b, c (види слику).

Који су од следећих исказа тачни:

1) pα ∩ qβ ≠ ∅;

2) c∩pα = ∅;

3) a∩b⊂pα;

4) b⊂pα;

5) c⊂qβ.

2. У једној равни уочене су две полуравни. Да ли је могуће да пресек те две полуравни буде

празан скуп? Када?

3. Колико отворених а колико затворених изломљених линија одређују три задате

неколинеарне тачке?

4. У равни су дате тачке A,B,C,D,E од којих никоје три не

припадају једној правој. Различитим бојама нацртај

изломљене линије ABDCE и ACBEDA. Која од њих има већу

дужину?

5. Тачке A и B повезане су различитим путевима (види слику). Упореди дужине ових путева.

Којом јединицом мере је најлакше мерити дужине путева?

6. Која је од изломљених линија приказаних на наредној слици најдужа?

46

1. У равни је дато пет тачака од којих никоје три нису колинеарне. Да ли има више дужи

чији су крајеви неке две од ових тачака или троуглова чија су темена неке од њих три?

2. Обој пресек уочених троуглова.

7. Одреди мерни број дужине изломљене линије ABCDE, ако дуж IJ јединица мере.

8. Нека је d мерни број дужине криве линије приказане на слици; ако је дуж IJ јединица мере,

тада је (заокружи слово

испред тачног одговора):

1) d 15< ,

2) ≤ <15 25d ,

3) 25 d≤ d

9. Приближно, у

центиметрима, одреди

дужине кривих линија

приказаних на сликама.

МНОГОУГАО

3. Обој пресек уочених многоуглова.

47

4. Нацртај два троугла чији је пресек: 1) дуж; 2) тачка.

5. Нацртај троугао и полуправу тако да:

1) немају заједничких тачака,

2) имају једну заједничку тачку,

3) имају бесконачно много заједничких тачака.

6. Нацртај четвороугао и троугао, тако да им је: 1) пресек петоугао; 2) унија петоугао.

7. Одредити тачку X полуправе Ox тако да је дужина дужи OX

једнака обиму троугла ABC.

8. Обој унутрашњост датог многоугла. 9. Који од многоуглова приказаних на

наредној слици има највећи обим.

КОНВЕКСНОСТ

1. Заокружи слово испред тачног исказа.

1) Свака права је конвексан скуп тачака.

2) Не постоји неконвексан троугао.

3) Постоји полуправа која није конвексан скуп тачака.

4) Пресек два конвексна скупа тачака јесте конвексан скуп тачака.

5) Унија два конвексна скупа тачака јесте конвексан скуп тачака.

6) Пресек два неконвексна скупа тачака јесте неконвексан скуп.

7) Пресек конвексног и неконвексног скупа тачака јесте неконвексан скуп тачака.

2. Заокружи слова која се налазе испред конвексних скупова тачака.

3. Нацртај један конвексан и један неконвексан седмоугао.

48

1. Изабери три тачке и означи их са O, A и B. Нацртај затим кружнице: k(O,2cm), k(O,OA) и k(O,AB).

2. Ако је дат круг K(O,5cm) и тачке P,Q,R тако да је OP=36mm, OQ=52mm, OR=50mm,

испитај тачност тврђења: 1) P ∉K(O,5cm); 2) Q ∈K(O,5cm); 3) R ∈K(O,5cm).

3. Ако тачка O припада правој p, колика је дужина дужи која је пресек праве p и кружнице

k(O,4cm)?

4. Нацртај кружницу k(O,5cm) и дуж OA дужине 3cm.

1) Која тачка кружнице је најближа тачки A и колико је одговарајуће растојање?

2) Која тачка кружнице је најудаљенија од тачке A и колико је одговарајуће растојање?

5. Најближа тачка кружнице k је 2cm удаљена од тачке A, док је најудаљенија тачка кружнице

k од исте тачке удаљена 4cm. Одреди дужину полупречника те кружнице ако је тачка A у:

1) унутрашњој области кружнице k; 2) спољашњој области кружнице k.

6. Нацртај кружнице k(O1,2cm) и k(O

2,5cm) тако да је O

1O

29cm= . Одреди тачке P и Q тако да

P ∈k(O1,2cm), Q ∈k(O

2,5cm) и да је дуж PQ: 1) најдужа; 2) најкраћа.

Колика је дужина дужи PQ у сваком од случајева?

7. Одреди све тачке дате кружнице које су на растојању 2cm од тачке A.

8. Одреди пресек кружница k(O1,2cm) и k(O

2,5cm) ако је растојање између центара 1O и 2O

једнако: 1) 8cm ; 2) 7cm; 3) 3cm; 4) 1cm.

У каквом су односу одговарајући кругови?

9. Колико је растојање између центара кружница k(O1,3cm) и k(O

2,6cm) ако се оне додирују:

1) споља; 2) изнутра.

10. Нацртај кружницу која има центар у датој тачки O и додирује кружницу k(S,3cm) ако је:

1) O у унутрашњости дате кружнице; 2) O у спољашњости дате кружнице.

11. Заокружи слово испред тачне реченице.

1) Ако је пресек кругова 1K и 2K круг 2K , онда је ⊂1 2K K .

2) Ако је пресек два круга једна тачка, онда се ови кругови додирују споља.

3) Ако је разлика два круга круг, онда су ти кругови дисјунктни.

4) Нека кружница може сећи неки круг у једној тачки.

12. Нацртај дуж AB, тако да је AB 8cm= .

1) Одреди све тачке које су удаљене 5cm и од тачке A и од тачке B.

2) Да ли постоји тачка која је удаљена 2cm и од тачке A и од тачке B? Образложи одговор.

13. Нацртај дуж OS 5cm= и круг K(O,2cm). Нацртај затим круг K(S,r) , најмањег могућег

полупречника r, тако да је K(O,2cm)∩K(S,r) =K(O,2cm). Колики је полупречник r?

14. У колико највише тачака кружница може сећи неки конвексан четвороугао?

КРУГ И КРУЖНИЦА

49

4. Поред тачних тврђења упиши знак √, нетачне прецртај.

1) Тачка A припада конвексном углу xOy.

2) Тачка D не припада конвексном углу xOy.

3) Тачка B припада конвексном углу xOy.

4) Тачка B припада неконвексном углу xOy.

5) Тачка B припада угаоној линији ∠xOy.

6) Дуж OC припада конвексном углу xOy.

7) Дуж AD припада неконвексном углу xOy.

2. А) Поред тачних једнакости упиши знак √, нетачне прецртај.

1) ∠ ∩∠ =xOy uSv AB

2) ∠ ∩∠ = { , }xOz uSv A C

3) ∠ ∩∠ = { , }xOy ABC B A

4) ∠ ∩∠ = { , }xOy ABC B C

Б) Одреди следеће пресеке:

1) ∠ ∩∠ = _______BSC uSv

2) ∠ ∩∠ = _______xOz xOy

3) ∠ ∩∠ = _______CAB ACB

4) ∠ ∩∠ = _______uSv ACB

УГАОНА ЛИНИЈА И УГАО

5. За сваку од датих угаоних линија (доцртавањем одговарајућег дела кружнице) графички

представи захтев написан испод сваке од њих.

1. На слици лево дате су четири тачке A,B,C,D и права p.

1) Да ли изломљена линија DAC сече праву p?

2) Да ли угаона линија ∠DAC сече праву p?

3) Које од угаоних линија са теменом у тачки C чији

краци садрже неке две од преосталих тачака секу

праву p?

4) Да ли нека од изломљених линија одређених неким

од датих тачака сече праву p?

50

8. Нацртај два угла тако да:

1) њихов пресек буде четвороугао;

2) њихов пресек буде конвексан угао;

3) њихова унија буде неконвексан угао;

4) њихова унија и њихов пресек буду конвексни углови,

5) њихов пресек буде полуправа која није крак једног од тих углова;

6) њихов пресек буде дуж;

7) њихов пресек буде једна тачка.

6. Обој пресеке углова приказаних на наредној слици.

7. Дате су три полуправе Оа, Оb и Oc. Које све конвексне

углове можеш да уочиш на претходној слици?

1. Обој део круга који је садржан у централном углу одређеном одговарајућим луком.

2. На кружници k(O,5cm) дата је тачка P. Колико има тетива ове кружнице чија је једна

крајња тачка P и чија је дужина 3cm? Конструиши их!

3. Тачка P припада кружници k(O,5cm). Одреди тачке A и B дате кружнице које су на

растојању 3cm од тачке P. Означи централни угао кружнице који садржи тачку P и чији

краци садрже тачке A и B, а затим и одговарајући кружни лук и одговарајућу тетиву.

КРУЖНИ ЛУК И ТЕТИВА

51

УПОРЕЂИВАЊЕ УГЛОВА. НАДОВЕЗИВАЊЕ УГЛОВА

1. Конструиши полуправе ' , ' , 'A a B b C c тако да углови ' , ' , 'aA x bB y cC z буду подударни редом

угловима α, β, γ троугла ABC.

2. Дата је дуж AB и угао α. Конструиши полуправе Aa и Bb, са исте стране праве p(A,B), тако

да углови aAB и bBA буду подударни углу α.

3. Обележи дате углове, а затим поређаj ове углове почевши од најмањег.

____ < ____ < ____ < ____

4. Који је највећи, а који најмањи од уочених углова α, β, γ, δ? Конструктивно упореди ове

углове.

52

5. Конструиши угао који је:

1) једнак збиру углова α, β, γ;

2) дупло већи од угла β;

3) три пута већи од угла γ.

2. Дат је троугао ABC. Објасни како су нацртане дужи BD, DE, EF, FG, а затим допуни цртеж

доцртавањем бар још шест нових дужи.

6. Ако су α, β, γ угови приказани на претходној слици, конструиши угао који је једнак:

1) α + γ – β; 2) α – β – γ.

7. Нацртај неки троугао, а затим конструктивно одреди збир његових унутрашњих углова.

8. Нацртај неки конвексан четвороугао, а затим конструктивно одреди збир његових

унутрашњих углова.

ВРСТЕ УГЛОВА

1. Да ли је збир углова α и β прав угао? Зашто?

3. Која је од три неколинеарне тачке A,B,C најудаљенија од

праве одређене осталим двема тачкама?

4. Одреди тачку C праве p тако да троугао ABC има прав угао

код темена:

1) C; 2) B.

53

7. Нацртај кружницу k(O,3cm) и произвољно изабери тачку A на њој. Нацртај затим тангенту

кружнице k(O,3cm) која садржи изабрану тачку A.

8. Нацртај кружницу полупречника 3cm и праву p тако да је растојање центра кружнице од

праве p једнако 2cm . Нацртај затим све тангенте те кружнице које су паралелне правој p.

9. Нацртај три концентричне кружнице са центром у произвољно изабраној тачки O

полупречника 2cm,4cm,6cm. Нацртај, затим, по једну тангенту сваке од ових кружница и

утврди однос сваке тангенте са преостале две кружнице.

10. У каквом односу се налазе дате кружнице? Какав је однос сваке од кружница са датим

правама?

1) 2)

5. Конструисати темена C и D правоугаоника ABCD тако да теме C

припада правој c.

6. Гледајући слику попуни празна места

1) Дуж AB је ________________ круга ( , )K S r .

2) Дуж ST је ________________ круга ( , )K S r .

3) Дужи AT и BT су ________________ круга ( , )K S r .

4) ∩ =( , ) ______Ox k S r . 5) ∩ =( , ) ______Oy k S r .

6) ∩ =( , ) ______Ox K S r . 7) ∩ =( , ) ______Oy K S r .

8) Права на којој је полуправа Ox јесте

________________ кружнице ( , )k S r .

9) Различитим бојама обој ( , )\K S r xOy и \ ( , )xOy K S r .

54

12. Можеш ли да нацрташ троугао:

1) чија су два унутрашња угла прави углови;

2) чија су два унутрашња угла тупи углови;

3) који има један прав и један туп унутрашњи угао?

13. 1) Колико највише унутрашњих тупих углова може имати троугао?

2) Колико највише унутрашњих правих углова може имати троугао?

3) Колико најмање унутрашњих оштрих углова може имати троугао?

14. Нацртај бар један четвороугао који има:

1) два тупа и два оштра угла;

2) један туп и три оштра угла.

15. На предвиђена места упиши речи оштар или туп, тако да добијене реченице буду тачне.

1) Збир правог и оштрог угла јесте ___________ угао.

2) Разлика правог и оштрог угла јесте ___________ угао.

3) Разлика тупог и правог угла јесте ___________ угао.

4) Разлика опруженог и тупог угла јесте ___________ угао.

3) 4)

11. Дати су троуглови ABC, EFG и PQR. На предвиђена места упиши једну од речи оштар,

прав или туп угао.

Углови троугла ABC:

ABC је _________ угао, BCA је _________ угао, CAB је _________ угао.

Углови троугла EFG:

EFG је _________ угао, FGE је _________ угао, GEF је _________ угао.

Углови троугла PQR:

PQR је _________ угао, QRP је _________ угао, RPQ је _________ угао.

55

3. Користећи грчка слова означи сваки од углова, а затим помоћу угломера одредити

њихове мере.

1)

Мера угла _____ је _____.

3)


5)


2)


4)


6)


16. Конструиши угао који је комплементан углу 3α, ако је α

угао дат на слици десно.

17. Конструиши угао који је суплементан углу 2α, ако је α угао дат у претходном задатку.

МЕРЕЊЕ УГЛОВА

1. Колики угао заклапају мала и велика казаљка?

1) 2) 3) 4)

2. Нацртај малу и велику казаљку тако да оне заклапају угао од:

1) 150� ; 2) 180� ; 3) 90� ; 4) 60� .

1) 2) 3) 4)

56

11. Ако је α 7 52'44''�= , β 27 18'39''�= , γ 15 21'42''�= , δ 9 36'16''�= , израчунај:

1) β + δ, 2) β + γ, 3) 2γ, 4) δ – α, 5) 3β – 2γ, 6) α + β + γ.

12. Израчунај збир и разлику углова α 333'= и β 333''= .

13. Ако је α 1111'11''�= , одреди меру њему комплементног и меру њему суплементног угла.

14. Ако је α 20 20'20''�= , колико је 3α?

15. Мера угла α је за 10�мања од мере њему суплементног угла. Одреди меру угла α.

16. Који угао је већи: онај који је комплементан углу α 24 10'�= или онај који је суплементан

углу α 124 13'�= ?

4. Користећи угломер, нацртај угао чија је мера:

1) 55� , 2) 34� , 3) 135� , 4) 300� .

5. Користећи угломер, нацртај углове: α = 100°, β = 62°, γ = 140°. Конструиши затим: α + β, γ – α, 2γ – 3β. Колика је мера сваког од конструисаних углова?

6. Упореди углове α и β ако је:

1) α 22�= , β 21 59'59''â �= ; 2) α 22 ,�= β 2222'= ;

3) α 5 55',�= β 21000''= ; 4) α 4 12'12'',�= β 4 11'44''�= .

7. Користећи угломер нацртај угао чија је мера за 5� :

1) мања од мере угла α; 2) већа од мере угла α.

8. Ако је = �90AOC и BOCC 31�= одреди мере углова

AOB, AOD, COD.

9. Одреди меру угла α.10. Нацртај углове α и β тако да је 40°<α<50° и

90°<β<100°, па конструиши углове 2α+β и

β–α.

17. Одредити мере углова aOb и cOd, ако је bOc

= = =� � �57 , 96 , 115bOc aOc bOd .

57

6. Одредити мере свих углова које можеш да уочиш

на слици.

= �____ABC , = �____CBD , = �____DBE

= �____FBI , = �____IBA , = �____BIK

= �____KIJ , = �____BIF , = �____BFI

= �____BFG , = �____GFH , = �____HFI .

УГЛОВИ НА ТРАНСВЕРЗАЛИ

1. Две праве се секу тако да један од добијених углова има меру 100 29'17''� . Израчунај мере

свих добијених углова.

2. Две праве се секу тако да је један од добијених углова за 14� већи од другог. Израчунај

мере свих добијених углова.

3. Одреди мере углова α, β, γ, δ ако знаш да је угао α

осам пута мањи од збира остала три угла.

4. Праве p,q,s секу се у једној тачки, при чему је p q⊥ q,

док се праве p и s секу под углом чија је мера 73 12'� .

Колика је мера оштрог угла α под којим се секу

праве q и s?

5. Одреди збир α + β + γ + δ + ϕ.

7. Нацртај оштар угао aOb и у његовој области изабери тачку S. Нацртај затим угао са

теменом у тачки S, крацима паралелним крацима угла aOb који је:

1) једнак углу aOb; 2) суплементан углу aOb.

58

8. Ако је ( , ) || ( , )p A B p C D и ( , ) || ( , )p B C p D A , одреди мере

свих углова које можеш да уочиш на слици лево.

9. Краци угла α и β су паралелни. Одреди мере ових углова ако знаш да је мера угла α три

пута већа од мере угла β.

10. Ако су краци углова α и β паралелни, одреди мере ових углова ако знаш да је

α – β 30�= .

59

ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИРЕШЕЊА

12. 1) { , }∩A B a =∅; 2) { , }∩A B b =∅; 3) ( , )∩p A B a ≠∅; 4) ( , )∩p A B b ≠∅;

5) ( , )∩ ∩p A B a b =∅; 6) ( , )∩p A B β { , }≠ A B ; 7) ( , )∩p A B β ( , )= p A B

13. ∩ ∩a b α { }= O , ∪a α =α, α { } { }∩ =O O .

ТАЧКА, ПРАВА, РАВАН

1. 1) A ∉ a; 2) A ∈ b; 3) B ∈ a; 4) B ∉ b; 5) C ∈ a; 6) D ∈ b.

2. 3.

4. 1) − −A B C тачно; 2) − −B C E нетачно; 3) − −E C A нетачно; 4) − −A D E нетачно;

5) − −A B F нетачно; 6) − −A F D нетачно.

5.

6. Постоји бесконачно много правих које садрже једну задату тачку.

7 1) 2) 3)

8. 1) Пресек правих a и b је тачка C. 2) Пресек правих b и c је тачка A.

3) Пресек правих a и c је тачка B. 4) Тачка D припада правој b и не припада правама a и c.

5) Тачка D је између тачака A и C. 6) Права одређена тачкама B и D сече праву a у тачки B,

праву b у тачки D и праву c у тачки B.

Преводи ових реченица на математички језик су:

1) { }∩ =a b C ; 2) { }∩ =b c A ; 3) { }∩ =a c B ; 4) , ,∈ ∉ ∉D b D a D c ;

5) − −A D C ; 6) ( , ) { }, ( , ) { }, ( , ) { }∩ = ∩ = ∩ =p B D a B p B D b D p B D c B .

9. 10. 1) ∈P α; 2) ∈Q α; 3) { }, ⊂P Q α;

4) ( , )⊂p P Q α; 5) ( , )∈P p P Q 6) ( , )∈Q p P Q ;

7) { }, ( , )⊂P Q p P Q .

11. 1) ∈S α; 2) { , , , , } ⊂P Q R S T α;

3) ( , )⊂p P Q α; 4) ( , )∉Q p S R ;

5) ∈Q α; 6) { , } ⊂P Q α; 7) ( , )⊂p S T α;

8) ( , )∈R p P Q .∩ ∩a b q =∅

60

14.

15. Сви искази су тачни.

16. 1) 2) 3)

17. Тачна је само реченица 1).

ПОЛУПРАВА И ДУЖ

1. 1) ∩Aa Bb = ∅; 2) ∩Aa Cc = ∅; 3) ∩Bb Cc ≠ ∅;

4) ∩Oz Aa = ∅; 5) ∩Ox Oy ≠ ∅; 6) ∩Bb Oy = ∅.

2. 1) { }∩ =Oz Oy O ; 2) { }∩ =Ox Bb B ; 3) ( , )∩ =Ox p O B Ox ; 4) ( , )∩ =Bb p A C ∅.

3. 1) { }∩ =Aa Bb B ; 2) ( , ) { }∩ =p B D Cc D ; 3) ∩ =Aa Dd ∅; 4) ( , )∩ =Dd p B C ∅.

4. 1) 2)

3) 4)

5. 1) Реченица „Пресек две различите праве може бити бесконачан скуп тачака.“ није тачна.

2) Реченица „Пресек две различите полуправе може бити бесконачан скуп тачака.“ јесте тачна.

6. Тачни искази су 2) и 3).

7. 1) Пет правих и десет дужи; 2) 8 правих и десет дужи; 3) десет правих и десет дужи.

8. 1) { }∩ =AC BF B ; 2) { }∩ =AD EF B ; 3) ∪ =FB BE FE ; 4) ∪ =AB BC AC ;

5) ( ) { }∪ ∩ = ∩ =AC BD EF AD EF B ; 6) ( ) { }∪ ∩ = ∩ =BC CD AB BD AB B ;

7) ( ) ( ) { }∪ ∩ ∪ = ∩ =AB BC EF BF AC EF B .

61

1. Тачни искази су 1) и 5).

2. Могуће је. Наиме, пресек две полуравни које су у истој равни је празан ако су њихове

граничне праве паралелне и посматраш полураван као на слици.

9. AB<CD<EF<GH 10. Сви искази су тачни. 11. Краћа је дуж AB.

12.

Конструкција се изводи надовезивањем

датих дужи: OX=AB, XY=BC, YZ=DE.

Тада је OZ=AB+BC+DE.

= − = −XY OY OX CD AB

13.

14. Дуж CB је четири пута дужа од дужи SB.

15. 10 6 4= − = − =AC AB CB cm cm cm

4 3 7= + = + =AS AC CS cm cm cm

5 , 3= = = =AT BT cm BS CS cm

5 4 1= − = − =CT AT AC cm cm cm

7 5 2= − = − =TS AS AT cm cm cm

16. 35=AB mm .

ПОЛУРАВАН И ИЗЛОМЉЕНА ЛИНИЈА

62

6. Најдужа је трећа (слева на десно) изломљена линија, затим прва изломљена линија, док

је изломљена линија приказана у средини најкраћа.

7. Како је AB=3IJ, BC=4IJ, CD=2IJ и DE=5IJ, следи да је дужина изломљене линије ABCDE

једнака 14 јединица мере.

8. Дужина d дате криве линије приближно је једнака дужини изломљене линије ABCDE

приказане на слици. Како је дужина изломљене линије ABCDE једнака 18 јединица мере

(поступити као у претходном задатку), тачан одговор је под б).

3. Три неколинеарне тачке одређују три отворене изломљене линије и само једну

затворену изломљену линију.

4. Изломљена линија ACBEDA има већу дужину од изломљене линије ABDCE.

5. Сви приказани путеви који спајају тачке A и B су исте дужине. Наједноставније је дужине

ових путева мерити узимањем за јединицу мере дужину дијагонале „квадратића“.

63

1. Исти је број дужи и број троуглова које одређује пет тачака од којих никоје три нису

колинеарне. И једних и других има по десет.

2.

3.

4. 1) 2)

9. Да бисте приближно утврдили дужину неке криве линије потребно је најпре да нацртате

изломљену линију која се што боље „поклапа“ са кривом, а затим да измерите дужину

те изломљене линије. На наредној слици нацртане су изломљене линије које се скоро

„поклапају” са датим кривим линијама. Наравно, увек постоје изломљене линије које се

још боље „поклапају” са одговарајућом кривом!

МНОГОУГАО

64

8.

5. Троугао ABC и полурава Xx немају заједничких тачака.

Полуправа Yy и троугао ABC имају једну заједничку

тачку Y. Полурава Zz и троугао ABC имају бесконачно

много заједничких тачака.

6. 1) 2)

7. Тражену тачку одређујемо надовезивањем страница троугла.

9. Директним мерењем или

надовезивањем дужи (то јест страница

многоугла) утврђујемо који од њих има

највећи обим.

65

4. Права ( ),p O A сече кружницу ( ),5k O cm у

двема тачкама B и C. Једна од ових тачака,

која је са исте стране центра O као и тачка A,

је уједно и тачка кружнице која је најближа

тачки A. 2= − =AC OC OA cm . Друга, која је

са оне стране центра са које није тачка A, је

тачка кружнице која је најудаљенија од A. 8= + =BA BO OA cm .

1. Тачни искази су 1), 2) и 4). 2. Конвексне фигуре су Б), В), Г), Д) и Ж).

3.

Конвексан седмоугао Неконвексан седмоугао

КОНВЕКСНОСТ

КРУГ И КРУЖНИЦА

1. 2. Тачно је једино тврђење под 3).

3. Тетива по којој круг ( ,4 )k O cm пресеца

праву p је заправо пречник круга а

његова дужина је 8cm.

5. 1) Ако је тачка A у унутрашњој области кружнице, онда је полупречник те кружнице

3cm. Треба приметити да је збир растојања тачке A од најближе и најудаљеније тачке

кружнице једнак пречнику круга.

2) Ако је тачка A у спољашњој области кружнице, онда је полупречник те кружнице 1cm.

Треба приметити да је разлика растојања тачке A од најудаљеније и најближе тачке

кружнице једнака полупречнику круга.

66

8. 1) Пресек кружница као и пресек кругова је празан;

2) Пресек кружница као и пресек кругова је једна тачка (кружнице се додирују споља);

3) Пресек кружница је једна тачка (кружнице се додирују изнутра), док је пресек кругова

је круг мањег полупречника;

4) Пресек кружница је празан, док је пресек кругова круг мањег полупречника

9. 1) Ако се кружнице додирују споља, онда је растојање између центара једнако 9cm

(9cm = 3cm + 6cm).

2) Ако се кружнице додирују изнутра, онда је растојање између центара једнако 3cm

(3cm = 6cm – 3cm).

10. У оба случаја треба одредити тачку кружнице ( ,3 )k S cm која је најближа тачки O, а затим

конструисати кружницу са центром у тачки O која пролази кроз ту најближу тачку.

11. Тачне реченице су 2), 3) и 4).

12. 1) Тражене тачке представљају пресек кружница ( ),5k A cm и ( ),5k B cm .

2) Не постоји. Како је 8=AB cm , кружнице ( ),2k A cm и ( ),2k B cm се не секу.

13. Треба конструисати кружницу са центром у тачки S коју додирује кружница k(O,2cm) са

унутрашње стране.

14. У осам тачака.

6. 1) Ако је дуж PQ изабрана да буде најдужа, онда је њена дужина једнака 16cm

(16cm = 2cm + 9cm + 5cm).

2) Ако је дуж PQ изабрана да буде најкраћа, онда је њена дужина једнака 2cm

(2cm = 9cm – 2cm – 5cm).

7. Тражене тачке добијамо као пресечне тачке дате кружнце и

кружнице k(A,2cm).

67

8. 1) 2) 3) 4)

5) 6) 7)

УГАОНА ЛИНИЈА И УГАО

1. 1) Изломљена линија DAC не сече праву p. 2) Угаона линија ∠DAC сече праву p.

3) Не постоји угаона линија са теменом у тачки C чији краци садрже неке две од

преосталих тачака која сече праву p. 4) Такође, не постоји изломљена линија

одрећена неким од датих тачака која сече праву p.

2. А) Тачне једнакости су под 2 и 4.

Б) 1) ∠ ∩∠ =∠ =∠BSC uSv uSv BSC 2) ∠ ∩∠ =xOz xOy Ox 3) { }∠ ∩∠ = ∪CAB ACB AC B 4) ∠ ∩∠ ={ , , }uSv ACB A B C

4. Тачна тврђења су 3), 4), 5) и 6).

5.

6.

7. Конвексни углови су � � �, ,aOb bOc cOa .

68

2. Примени поступак из претходног задатка.

3. β < α < δ < γ.

КРУЖНИ ЛУК И ТЕТИВА1.

1.

2 Има их две. Крајеви ове две тетиве су пресеци кружница ( ,5 )k O cm и k(P,3cm).

3.

УПОРЕЂИВАЊЕ УГЛОВА. НАДОВЕЗИВАЊЕ УГЛОВА.

( ,5 )k O cm

69

4. 1) Нацртај нормалу из тачке B на праву p.

2) Нацртај нормалу на праву ( ),p A B у тачки B.

4. Најмањи угао је γ, а највећи β.

5. 1) 6. 1)

7. Ма какав троугао да изабереш збир његових унутрашњих углова је опружен угао.

8. Ма какав четвороугао да изабереш збир његових унутрашњих углова је пун угао.

ВРСТЕ УГЛОВА1. Јесте, јер је опружен угао збир два права угла.

2.

3. Нацртај праве ( , ), ( , ), ( , )p A B p B C p C A , а затим из сваке

од датих тачака нацртај нормалу на праву одређену

са преостале две тачке. Пресеке нормала са правама

означи на пример са , ,P Q R и упреди дужине дужи , ,AP BQ CR .

70

9. Свака тангента кружнице k(O,2cm) сече

у двема тачкама обе кружнице k(O,4cm)

и k(O,6cm). Свака тангента кружнице

k(O,4cm) сече у двема тачкама кружницу

k(O,6cm) док са кружницом k(O,2cm) нема

заједничких тачака. Не постоји тангента

кружнице k(O,6cm) која сече неку од

кружница k(O,2cm) и k(O,4cm).

5. Теме C је пресек праве c и нормале на праву ( ),p A B у тачки B. Теме

D је пресек нормале на праву ( ),p A B у тачки A и нормале на праву ( ),p B C у тачки C.

6. 1) Дуж AB је пречник круга ( , )K S r . 2) Дуж ST је полупречник круга ( , )K S r .

3) Дужи AT и BT су тетиве круга ( , )K S r . 4) ( , ) { }∩ =Ox k S r T .

5) ( , ) { , }∩ =Oy k S r A B . 6) ( , ) { }∩ =Ox K S r T . 7) ( , )∩ =Oy K S r AB .

8) Права на којој је полуправа Ox је тангента кружнице ( , )k S r .

7. Тражена тангента је нормала на праву p(O,A) у тачки A.

8.

71

15. 1) Збир правог и оштрог угла је туп угао.

2) Разлика правог и оштрог угла је оштар угао.

3) Разлика тупог и правог угла је оштар угао.

4) Разлика опруженог и тупог угла је оштар угао.

16. Конструиши угао 3α а затим одузми овај угао од правог угла.

17. Конструиши угао 2α а затим одузми овај угао од опруженог угла.

10. 1) Кружнице 1k и 2k се свеку у двема тачкама. Праве a и b додирују (су тангенте) обе

кружнице.

2) Кружнице 1k и 2k се додирују изнутра и имају једну заједничку тачку. Права a је

тангента обе кружнице.

3) Кружнице 1k и 2k се додирују споља и имају једну заједничку тачку. Праве a, b и c су

заједничке тангенте ових кружница.

4) Кружнице 1k и 2k немају заједничких тачака. Праве a, b, c и d су заједничке тангенте

ових кружница.

11. Углови троугла ABC : ABC је оштар угао, BCA је прав угао, CAB је оштар угао.

Углови троугла EFG : EFG је оштар угао, FGE је оштар угао, GEF је оштар угао.

Углови троугла PQR : PQR је оштар угао, QRP је туп угао, RPQ је оштар угао.

12. Сваки троугао има бар два оштра угла! Немогуће је нацртати троуглове који би

задовољавали било који од захтева задатка.

13. Највише један унутрашњи угао троугла може бити туп.

Највише један унутрашњи угао троугла може бити прав.

Сваки троугао има најмање два оштра угла.

14. 1. 2.

МЕРЕЊЕ УГЛОВА

1. 1) �30 ; 2) �90 ; 3) �120 ; 4) �150 .

2. 1) 2) 3) 4)

72

5. α + β �162= , γ − α �40= , 2γ − 3β � � �280 186 94= − = .

6. 1) α �22= >β �21 59'59''= ; 2) α �22= <β �2222' 37 2'= = ;

3) α �5 55'= >β �21000'' 5 50'= = ; 4) α �4 12'12''= >β �4 11'44''= .

7. Помоћу угломера нацртај угао чија је мера �5 , а затим

1) од угла α одузми овај угао; 2) сабери угао α са овим углом.

8. � � �90 31 59 ,= − =AOB � � �180 59 121 ,= − =AOD � � �180 31 149= − =COD .

9. α � � �90 19 30' 70 30'= − =

11. 1) β + δ �36 54'55''= , 2) β + γ �42 40'21''= , 3) 2γ �30 43'24''= , 4) δ − α �1 43'32''= ,

5) 3β − 2γ �5112'33''= , 6) α + β + γ �50 33'5''= .

12. Како је α �5 33',= β 5'33''= , следи да је α + β �5 38'33''= и α − β �5 27'27''= .

13. Угао комплементан углу α има меру � � �90 1111'11'' 78 48'49''− = . Угао суплементан углу α

има меру � � �180 1111'11'' 168 48'49''− = .

14. 3α �611'= . 15. α �85= .

3.

Мера угла α је �20 .

1)

Мера угла β је �65 .

2)

Мера угла γ је �70 .

3)

Мера угла δ је �110 .

4)

Мера угла ψ је �170 .

5)

Мера угла θ је �35 .

6)

4. 1) Нацртај произвољну полуправу Ox, а затим

постави угломер као на слици и означи

тачку X. Угао � XOx је угао чија је мера �55 .

Аналогно се цртају остали углови.

73

9. Из α + β�180= и α = 3β, следи да је α �45= и β �135= .

10. Из α + β �180= и α − β �30= , следи да је α �105= и β �75= .

16. Ако је α1 угао комплементан углу α, онда је α

1

� � �90 24 10' 65 50'= − = . Ако је α1 угао

суплементан углу β, онда је β1

� � �180 124 13' 55 47'= − = . Дакле α1 >β

1.

17. =aOb −aOc � � �96 57 39= − =bOc . =cOd −bOd � � �115 57 58= − =bOc

УГЛОВИ НА ТРАНСВЕРЗАЛИ

1. Дате две праве образују четири угла од којих два имају меру �100 29'17'' , а друга два меру �79 30'43'' .

2. Дате две праве образују четири угла од којих два имају меру �83 , а друга два меру �97 .

3. Како је α + β + γ + δ �360= и β + γ + δ 8= α, онда је 9α �360= , тј. α �40= . Према томе

γ �40 ,= β = δ =140�.

4. α � � �90 73 12' 16 48'= − =

5. 6.

α + β + γ + δ + ϕ �� 180=

8.

75

ДЕЉИВОСТ

1. Одреди количник:

а) 45 : 9 = ___ ; б) 125 : 5 = ___ ; в) 432 : 3 = ___ ; г) 247 : 13 = ___ .

2. Одреди количник и остатак при дељењу:

а) 72 : 5 = ____ ( ___ ); б) 91 : 4 = ____ ( ___ );

в) 259 : 10 = ____( ___ ); г) 11 110 : 11 = ____( ___ ).

3. Када природан број делиш са 5, које све бројеве можеш добити као остатак?

4. Ученици петог разреда једне школе кренули су на екскурзију. Ако у тој школи има 126

ученика петог разреда, да ли се могу распоредити у 3 аутобуса тако да у сваком аутобусу

буде једнак број деце?

5. Из скупа { }= 1,2,3,4,5,6,15,20A издвој бројеве који су делиоци броја 30.

6. Напиши скуп свих делиоца броја:

а) 25 { }25D __, __, __= ; б) 24 { }24D __, __, __, __, __, __, __, __= ;

в) 34 { }34D __, __, __, __= ; г) 45 { }45D __, __, __, __, __, __ = ;

д) 60 { }60D __, __, __, __ , __, __, __, __, __, __, __, __= .

7. Напиши скуп свих садржалаца броја:

а) 4: { }4S __, __, __, __, __, __, ...= ;

б) 8: { }8S __, __, __, __, __, __, ...= ;

в) 35: { }35S __, __, __, __, ...= .

8. Нађи највећи двоцифрени број који је садржалац броја: а) 18; б) 7.

9. Нађи најмањи троцифрени број који је садржалац броја: а) 3; б) 5.

10. Дат је скуп { }= 16, 24, 35, 36, 72A . Издвој из скупа A све садржаоце броја 6.

11. Одреди све садржаоце броја 11 између 100 и 200.

12. Испитај тачност следећих тврђења:

а) 10 | 1400; б) 8 | 60; в) 4 | 42; г) 5 | 75; д) 21 | 105.

13. Одреди елементе скупа A ако је:

а) { }= ∈ , 12A x x N x ; б) { }= ∈ , 50A x x N x .

ДЕЉИВОСТ У N₀

76

15. Не израчунавајући збир, испитај да ли је:

а) 48 + 192 дељиво са 2; б) 55 + 70 дељиво са 5;

в) 160 + 44 дељиво са 4; г) 210 + 130 + 460 дељиво са 10.

16. Не израчунавајући разлику, испитај да ли је:

а) 99 – 44 дељиво са 11; б) 126 – 30 дељиво са 3; в) 666 – 120 дељиво са 6.

17. Не израчунавајући производ испитај да ли је:

а) 20 · 123 дељиво са 5; б) 44 · 295 дељиво са 4; в) 123 · 21 · 18 дељиво са 2.

18. Испитај тачност следећих тврђења (без израчунавања):

а) 7 | (49 + 77 – 35); б) 5 | (45 · 131 – 55); в) 2 | (16 · 25 + 31 · 90).

2 5 7

3

11 77

13

14. Дат је скуп { }= 2, 5, 7A и { }= 3,11,13B .

Користећи таблицу, одреди све бројеве који

имају само по један делилац и из скупа A и из

скупа B.

1. Напиши пет троцифрених бројева који су дељиви са 10: ____, ____, ____, ____, ____ .

2. Напиши све бројеве између 3 000 и 4 000 који су дељиви са 100.

3. Из скупа { }D 250,1625, 5000, 700, 850, 302= издвој оне елементе који су:

а) дељиви са 10; б) дељиви са 100.

4. Испитај тачност следећих тврђења и упиши Т за тачна, а за нетачна тврђења:

а) 10 | 40 T ; б) 100 | 5500 ; в) 10 | 5000 ;

г) 1000 | 5000 ; д)1000 | 4300 ; ђ) 100 | 550 ;

е) 10 | 430 ; ж) 100 | 7700 .

5. Из скупа { }= 15,18, 31, 34,125, 250A издвој парне бројеве.

6. Наведи бројеве четврте десетице који су дељиви са 2.

7. Напиши све двоцифрене бројеве који су дељиви са 2 и чији је збир цифара 7.

8. Наведи све троцифрене бројеве записане коришћењем једне цифре који су дељиви са 2.

9. Који су од следећих бројева дељиви са 2:

32, 48, 61, 250, 1234, 5252, 300003?

ДЕЉИВОСТ ДЕКАДНИМ ЈЕДИНИЦАМА И БРОЈЕВИМА 2, 5, 4, 25

77


а) 2 | 98; б) 2 | 69; в) 2 | 125; г) 2 | 300; д) 2 | 5 555;

ђ) 2 | (114 + 46); е) 2 | (333 – 55); ж) 2 | 4 · 17; з) 2 | 74 · 31.

11. Уместо звездице стави одговарајућу цифру тако да добијени број буде дељив са 2:

52 * ; 34 * 6 ; 11*1; 43 * ; *9876 .

12. Помоћу цифара 2, 3, 4 запиши све троцифрене бројеве дељиве са 2, ако се цифре не

могу понављати.

13. Помоћу цифара 0, 2, 5 запиши све троцифрене бројеве дељиве са 2, ако се цифре могу

понављати.

14. Који су од датих бројева дељиви са 5?

35; 60; 52; 130; 222; 1234; 12345.

15. Напиши пет троцифрених и пет четвороцифрених бројева дељивих са 5.


а) 5 | 65; б) 5 | 74; в) 5 | 320; г) 5 | (45 + 260);

д) 5 | (91 + 444); ђ) 5 | 30 · 99; е) 5 | 11 · 170; ж) 5 | 17 · 24.

17. Уместо звездице стави одговарајућу цифру тако да број буде дељив са 5:

а) 45 * ; б) 4 * 5 ; в) *45 ; г) *54 ; д) 54 * .

18. Одреди елементе скупа A ако је { }= ∈ < ≤, 5 , 247 290A x x N x x .

19. Помоћу цифара 0, 1, 2 запиши све троцифрене бројеве дељиве са 5. Цифре се могу

понављати.

20. Ако се цифре не могу понављати, помоћу цифара 0, 1, 5, 9 запиши све троцифрене

бројеве дељиве са 5.

21. Одреди све: а) троцифрене, б) четвороцифрене

бројеве дељиве са 5, чији је производ цифара 30.

22. Попуни таблицу:

Број n 25 136 850 1 234 65 432 565 656

Двоцифрени

завршетак броја n25 36

23. Када је број дељив са 4?

24. Напиши пет двоцифрених и пет троцифрених бројева дељивих са 4.

78

25. Који су од наведених бројева дељиви са 4?

118; 324; 904; 1 234; 3 000; 8 760; 777 770; 9 876.


а) 4 | 96; б) 4 | 50; в) 4 | 336; д) 4 | 1 414;

д) 4 | 123 456; ђ) 4 | (32 + 124); е) 4 | (360 – 116); ж) 4 | 41 · 20.

27. Уместо звездице стави одговарајућу цифру тако да важи:

а) 4 | 23 * ; б) 4 | 8 * 8 ; в) 4 | 13 * 2 ; г) 4 | *64 ; д) 4 | *42 .

28. Помоћу цифара 0, 1, 2, 3, 4 запиши све троцифрене бројеве дељиве са 4. Цифре се могу

понављати.

29. Одреди најмањи и највећи троцифрени број дељив са 4.

30. Када је број дељив са 25?

31. Издвој из скупа D { }225, 850, 6 000, 535, 975, 98 765, 330= бројеве који су дељиви са 25.

32. Уместо звездице стави одговарајућу цифру тако да важи:

а) 25 | 432 * ; б) 25 | 12 * 5 ; в) 25 | 1* 45 ; г) 25 | *75 .


а) 25 | 625; б) 25 | 12 345; в) 25 | (775 + 850);

г) 25 | (1 225 – 775); д) 25 | 16 · 35; ђ) 25 | 100 · 33.


Број n 22 85 126 444 98 765 300 000

Збир цифара

броја n4

2. Када је број дељив са 3, а када са 9?

3. Напиши пет двоцифрених и пет троцифрених бројева дељивих:

а) са 3 двоцифрени: ___, ___, ___, ___, ___ ;

троцифрени: ___, ___, ___, ___, ___ ;

б) са 9 двоцифрени: ___, ___, ___, ___, ___ ;

троцифрени: ___, ___, ___, ___, ___ .

4. Подвуци бројеве дељиве са 3:

42, 56, 93, 141, 250, 222, 1234, 87 654.

ДЕЉИВОСТ БРОЈЕВИМА 3 И 9

79


a) 3 | 33; б) 3 | 73; в) 3 | 111; г) 3 | 400;

д) 3 | (45 + 12в); ђ) 3 | (411 – 29а); е) 3 | 27 · 50; ж) 3 | 19 · 444.

6. Уместо слова стави одговарајућу цифру тако да важи:

а) 3 | 45a ; б) 3 | 2 2b ; в) 3 | 311c .

7. Одреди најмањи и највећи четвороцифрени број дељив са 3 код кога су све цифре

различите.

8. Ако се цифре не могу понављати, од цифара 0, 2, 3, 4, 6 формирај све троцифрене

бројеве дељиве са 3.

9. Ако се цифре могу понављати, од цифара 0, 3, 6 формирај све троцифрене бројеве

дељиве са 3.

10. Из скупа { }D 27, 99,199, 252, 882, 4 545= издвој бројеве који су дељиви са 9.

11. Одреди најмањи и највећи четвороцифрени број дељив са 9 код кога су све цифре

различите.


а) 9 | 111; б) 9 | 333; в) 9 | 567; г) 9 | 1 234;

д) 9 | 18 000; ђ) 9 | (216 – 11е); е) 9 | (351 + 87в); ж) 9 | 999 · 100.


а) 9 | 41a ; б) 9 | 4 5b ; в) 9 | 348c ; г) 9 | 97 0x .

14. Одреди елементе скупа B ако је { }= ∈ < <, 9 , 95 176B x x N x x .

15. Помоћу цифара 0, 1, 2, 6, 7 напиши све троцифрене бројеве дељиве са 9.

16. Напиши два троцифрена броја која су дељива са 3, а нису дељива са 9.

17. Нађи најмањи шестоцифрени број дељив са 9, коме су све цифре различите.

18. Из скупа { }= 12, 42, 54, 80, 306, 554, 2 007, 7 002S издвој оне бројеве који су дељиви:

а) и са 2 и са 3; б) и са 2 и са 9.

19. Нађи највећи троцифрени број дељив са 6, коме су све цифре различите.

20. Подвуци бројеве који су дељиви и са 4 и са 9:

216; 414; 432; 576; 999.


а) 15 | 555; б) 15 | 900; в) 15 | 1 341;

г) 12 | 660; д) 12 | 333; ђ) 12 | 456.

80

22. Колико има природних бројева мањих од 500 који су дељиви и са 3 и са 4.

23. Колико има природних бројева мањих од 1 000 који нису дељиви ни са 3, ни са 4.


а) 9 | 999...999; б) 4 | 222...222; в) 5 | 555...555.


а) 6 | 524a ; б) 6 | 3 84b ; в) 6 | 1 7c d .


Де

љи

в

са 2

Де

љи

в

са 3

Де

љи

в

са 4

Де

љи

в

са 5

Де

љи

в

са 6

Де

љи

в

са 9

Де

љи

в

са 1

0

Де

љи

в

са 1

2

Де

љи

в

са 1

5

Де

љи

в

са 2

5

Де

љи

в

са 3

6

Де

љи

в

са 1

00

100 да

238 не

345

384

432

850

1 275

3 410

3 456

4 560

30 000

321 000

ПРОСТИ И СЛОЖЕНИ БРОЈЕВИ1. Нађи све делиоце следећих бројева: 7, 19, 23, 37, 59.

Колико делилаца има сваки од ових бројева? Како називамо те бројеве? __________________

2. Помоћу Ератостеновог сита нађи све просте бројеве мање од 200.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160

161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

Прости бројеви мањи од 200 су:_________________________________________________

____________________________________________________________________________.

81

3. Запиши све просте бројеве p такве да је :

а) <50p ; б) < ≤30 79p ; в) ≤ <51 99p .

4. Нађи све делиоце следећих бројева:

а) 10, { }10D __, __, __, __= ; б) 15, { }15D __, __, __, __= ;

в) 16, { }16D __, __, __, __, __= ; г) 20, { }20D __, __, __, __, __, __= ;

д) 34, { }17D __, __, __, __= .

Како називамо бројеве који имају више од два делиоца? _______________________

5. Напиши све сложене бројеве између 70 и 100.

6. Напиши пет простих и пет сложених бројева већих од 100.

прости: ____, ____, ____, ____, ____ ; сложени: ____, ____, ____, ____, ____ .

7. Од цифара 1, 2, 5, 9 формирај све двоцифрене просте бројеве.

8. Напиши пет парова узајамно простих бројева:

___ и ___, ___ и ___, ___ и ___, ___ и ___, ___ и ___ .

9. Одреди скуп свих делилаца броја 36. Који су од тих делилаца прости, а који сложени

бројеви?

10. Нађи просте делиоце броја 20.

11. Допуњујући шта недостаје, растави дате бројеве на просте чиниоце:

а) 10 = 2 · __ ; б) 15 = 3 · __ ;

в) 36 = 2 · __· __· __ ; г) 42 = __· __· __ .

12. Нађи најмањи сложен број који је производ три различита проста броја.

13. Раставићемо на просте чиниоце број 12.

I начин II начин III начин

14. Растави на просте чиниоце бројеве:

а) 48, 60, 140, 27, 315, 81;

б) 144, 169, 225, 216, 210, 256;

в) 360, 400, 900, 1 188, 924, 1 170.

Растави на просте чиниоце (на сва три начина) следеће бројеве:

а) 24, б) 30, в) 40, г) 55, д) 84, ђ) 96, е) 120, ж) 275.

12 = 4 · 3 = 2 · 2 · 3212 2 3= ⋅

12

4

2 2

3 212 2 3= ⋅ 212 2 3= ⋅

12

6

3

1

2

2

3

82

15. Растави на просте чиниоце бројеве, па одреди све делиоце броја:

а) 26; б) 30; в) 102; г) 144.

16. Одреди најмањи број чији су сви прости чиниоци:

а) 2, 3 и 5; б) 3, 5 и 11; в) 2, 5, 7 и 13.

17. Марко је на табли растављао број на просте чиниоце и на крају случајно избрисао тај

број. На табли је остао само производ простих чинилаца тог броја 2 22 3 5 11⋅ ⋅ ⋅ . Који број

је Марко растављао на просте чиниоце?

18. Одреди број који има следеће просте чиниоце:

а) чинилац 2, чинилац 3 два пута, чинилац 5 три пута;

б) чинилац 2 три пута, чинилац 3 два пута, чинилац 5 два пута.

19. Настави започети низ бројева: 4, 9, 25, 49, ____, ____, ____, ____ .

20. Нађи све сложене бројеве мање од 1 000 чији је прост чинилац само број 5.

21. Одреди најмањи природан број који помножен са 432 даје:

1) квадрат неког броја; 2) куб неког броја.

22. Производ два узастопна природна броја јесте: а) 72; б) 240.

О којим бројевима је реч?

23. Производ три узастопна природна броја јесте: а) 210; б) 720.

О којим бројевима је реч?

24. Производ цифара неког броја јесте 180. Одреди:

1) најмањи такав петоцифрени број; 2) најмањи такав четвороцифрени број.

Решење: Како је 180 производ цифара, раставићемо 180 на просте чиниоце да бисмо

видели које све цифре могу учествовати у запису тог броја.

1) Да би био најмањи могући број, гледано да прве цифре буду 1 ( 1 може увек бити чинилац

јер не мења производ, 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 1). Како онда имамо шест цифара,

а тражи се петоцифрени број, помножићемо две највеће, под условом да је њихов

производ једноцифрен број, а то је 3 · 3 = 9. Слично, множи 2 · 2 = 4, па закључујемо да је

најмањи такав број 11 459.

2) Слично, за четвороцифрени број множимо по два пара чинилаца, под условом да је њихов

производ једноцифрен број, а то су 3 · 3 = 9 и 2 · 2 = 4, па је најмањи такав број 1 459.

25. Постоји ли природан број чији је производ цифара: а) 52; б) 198.

Решење:

1) Број је квадрат неког броја, ако се сваки прост

чинилац јавља паран број пута.Растављајући број

432 на просте чиниоце, можеш уочити да као

чинилац недостаје најмање један број 3 да бисмо

добили квадрат неког броја.

2) Број је куб неког броја, ако се сваки прост чинилац

у њему јавља 3, 6, 9 ... пута. Можеш уочити да као

чинилац недостаје најмање 2 · 2 = 4 да бисмо

добили куб неког броја.

432

216

108

54

27

9

3

1

2

2

2

2

3

3

3

432 = 2 ·2 ·2 ·2 ·3 · 3 · 3

432 = 2 ·2 ·2 ·2 ·3 · 3 · 3

83

1. а) Делиоци броја 14 су: ___, ___, ___, ___.

б) Делиоци броја 18 су: ___, ___, ___, ___, ___, ___.

в) Делиоци броја 24 су: ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___.

г) Делиоци броја 60 су: ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___.

2. Нађи скуп свих делилаца броја 48 и скуп свих делилаца броја 60, па одреди пресек та два

скупа. Који је број из пресека та два скупа највећи? Како називамо тај број?

3. Нађи скуп свих делилаца броја 30, скуп свих делилаца броја 42 и скуп свих делилаца

броја 66, па одреди заједничке делиоце ових бројева. Који је највећи од свих заједничких

делилаца?

4. Одреди заједничке делиоце за бројеве:

а) 6 и 8; б) 5 и 10; в) 8 и 12.

5. Одреди највећи заједнички делилац за бројеве:

а) 3 и 10; б) 7 и 9; в) 12 и 13; г) 25 и 26; д) 15 и 44.

Како се називају ти бројеви?

6. Који број је највећи заједнички делилац узајамно простих бројева?

7. Напиши по три пара бројева чији је највећи заједнички делилац број 1.

8. Растављањем на просте чиниоце бројеве 36 и 54 можеш одредити њихове заједничке

делиоце и њихов највећи заједнички делилац.

36 = 2 · 2 · 3 · 3

54 = 2 · 3 · 3 · 3 D(36, 5г) = 2 · 3 · 3 = 18.

Користећи овај поступак одреди највећи заједнички делилац бројева:

а) 6 и 18; б) 48 и 72; в) 105 и 360; г) 180 и 280.

9. Тражењем заједничких простих чинилаца бројева 36 и 54 можеш одредити њихов

највећи заједнички делилац.

НАЈВЕЋИ ЗАЈЕДНИЧКИ ДЕЛИЛАЦ

Користећи овај поступак, одреди највећи заједнички делилац бројева:

а) 8 и 12; б) 6 и 9; в) 16 и 18;

г) 56 и 72; д) 120 и 150; ђ) 72 и 180.

10. Одреди највећи заједнички делилац бројева (на оба начина):

а) 12 и 18; б) 50 и 125; в) 70 и 90;

г) 24, 60 и 96; д) 15, 75 и 225; ђ) 252, 546 и 630.

D(36, 54) = 2 · 3 · 3 = 18.

36,

18,

6,

2,

54,

27,

9,

3

2

3

3

84

11. Одреди највећи заједнички делилац бројева:

а) 32 и 56; б) 54 и 72; в) 132 и 420; г) 280 и 960;

д) 210, 336 и 462; ђ) 300, 525 и 645; е) 132, 462 и 726.

12. Користећи бројеве 2, 3, 5, 7, 11, 13, напиши по три пара бројева чији је највећи

заједнички делилац број:

а) 2; б) 10; в) 55.

13. Одреди највећи заједнички делилац бројева:

а) 10 и 20; б) 8 и 16; в) 18 и 36; г) 25 и 50.

Ако a b , можеш закључити да је D( , )a b = ____ .

14. Којим највећим бројем можемо поделити бројеве 189 и 441 без остатка?

15. Којим највећим бројем можемо поделити бројеве 235 и 391 да остатак при оба дељења

буде 1?

16. Којим највећим бројем можемо поделити бројеве 267 и 994 да остаци редом буду 3 и 4?

17. Којим највећим бројем можемо поделити бројеве 425, 1 770 и 1 393 тако да остаци буду

редом 5, 6 и 7?

18. Одреди све вредности x за које је :

а) D(x, 20) = 4, ≤20x ; б) D(9, x) = 9, ≤45x .

19. У једном одељењу петог разреда има 12 дечака и 16 девојчица. У колико највише група

их може поделити наставник, тако да у свакој групи буде једнак број девојчица и једнак

број дечака?

20. Три канапа дужине 42m, 70m и 98m треба исећи на што веће делове једнаких дужина.

Колика ће бити дужина сваког дела и колико таквих делова ће се добити из сваког

канапа?

21. На Мајином рођендану њена мајка је послужила госте са 26 колача и 39 чаша сока.

Колико гостију је имала Маја, ако је сваки гост добио једнак број колача и једнак број

чаша сока?

( )D 234,390 2 3 13 78= ⋅ ⋅ =

Решење:

Како је остатак при оба дељења 1, да остатак не би

постојао, оба броја ћемо умањити за 1, а затим за тако

добијене бројеве 234 и 390 тражимо највећи број којим

се могу поделити ови бројеви без остатка, тј. њихов

највећи заједнички делилац.

234,

117,

39,

3,

390,

195,

65,

5,

2

3

13

85

22. За новогодишњу журку ученици су надували 60 црвених, 75 плавих и 105 жутих балона.

У колико највише група могу поделити балоне, тако да у свакој групи буде једнак број

балона исте боје?

23. Деда Милан је одлучио да своју велику њиву дужине 260m и ширине 80m издели на

мање, једнаке њиве облика квадрата целобројних дужина. Која је највећа могућа

дужина једне тако добијене њиве, и колико ће бити таквих њива?

24. Од 24 руже, 60 каранфила и 72 гербера направљен је највећи могући број једнаких

букета. Колико ће бити таквих букета и колико ће коштати сваки букет ако је цена руже

40 динара, каранфила 5 динара и гербера 20 динара?

25. Посластичар је испекао кору за кремпиту правоугаоног облика дужине 66cm и ширине

42cm. Кору треба да исече на што веће једнаке парчиће у облику квадрата. Колика ће

бити дужина сваког парчета? Колико ће парчића посластичар исећи?

26. Колаж папир је правоугаоног облика димензија 165mm x 210mm. Марко треба

да га исече на што је могуће веће једнаке квадратиће. Колика је површина једног

квадратића? Колико је квадратића исекао Марко?

27. У једној продавници треба направити новогодишње пакетиће за децу од 210 играчака,

315 чоколада и 420 кутија кекса. Колико је највише једнаких пакетића могуће направити

и колико ће коштати сваки пакетић ако је цена једне играчке 100 динара, чоколаде 60

динара и кекса 20 динара?

28. На тренингу је било 225 дечака и 105 лопти. Подељени су на једнаке групе, тако да

је свака група добила исти број лопти. Колико је било група и колико је свака група

добила лопти? Колико решења има дати проблем?

1. а) Садржаоци броја 5 су: 5, 10, ____, ____, ____, ____, ____, …

б) Садржаоци броја 8 су: 8, 16, ____, ____, ____, ____, ____, …

в) Садржаоци броја 12 су: ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, …

г) Садржаоци броја 23, мањи од 100 су: ____, ____, ____, ____ .

2. Садржаоци броја 6, мањи од 50 су: ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____ .

Садржаоци броја 8, мањи од 50 су: ____, ____, ____, ____, ____, ____ .

Заједнички садржаоци бројева 6 и 8, мањи од 50 су: ____, ____ .

Најмањи заједнички садржалац бројева 6 и 8 је ____ .

3. а) Заједнички садржаоци бројева 3 и 5 су: 15, ____, ____, ____, ____, ____, …


б) Заједнички садржаоци бројева 4 и 6 су: ____, ____, ____, ____, ____, …


в) Заједнички садржаоци бројева 6 и 9 су: ____, ____, ____, ____, ____, …


ЗАЈЕДНИЧКИ САДРЖАЛАЦ И НАЈМАЊИ ЗАЈЕДНИЧКИ САДРЖАЛАЦ

86

6. Одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве (на два начина):

а) 24 и 144; б) 40 и 112; в) 36 и 60;

г) 6, 10 и 20; д) 10, 35 и 45; ђ) 24, 36 и 72.

7. Одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве:

а) 60 и 75; б) 55 и 121; в) 72 и 90;

г) 24, 36 и 48; д) 24, 28 и 35; ђ) 15, 18 и 21;

е) 45, 60 и 75; ж) 32, 40 и 56; 9) 28, 35 и 60.


а) 5 и 6; б) 8 и 15; в) 9 и 10.

Ако су бројеви a и b узајамно прости, можеш да уочиш да је S(a,b) = __ · __ .


а) 3 и 12; б) 10 и 30; в) 12 и 48.

Ако a b , можеш да уочиш да је S(a,b) = __ .

10. Два брода полазе из исте луке на своја путовања; један сваких 25 дана, други сваких

35 дана. Ако крену на пут истовремено, после колико дана ће из полазне луке поново

кренути истовремено?

11. Три тркача стартују истовремено на кружној стази. Први обиђе ту стазу за 10 минута,

други за 12 минута, а трећи за 15 минута. После колико минута ће се сва три атлетичара

заједно наћи поново на месту поласка?

4. Растављањем на просте чиниоце бројеве 6 и 10 можеш одредити њихов најмањи

заједнички садржалац.

6 = 2 · 3

10 = 2 · 5 S(6,10) = 2 · 3 · 5 = 30.

Користећи овај поступак, одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве:

а) 12 и 15; б) 8 и 10; в) 6 и 9;

г) 18 и 24; д) 24 и 30; ђ) 12 и 60.

5. Тражењем свих простих чинилаца бројева 6 и 10 можеш одредити њихов најмањи

заједнички садржалац.

Користећи овај поступак, одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве:

а) 10 и 15; б) 8 и 18; в) 12 и 20;

г) 36 и 48; д) 24 и 30; ђ) 80 и 100.

6,

3,

1,

1,

10,

5,

5,

1

2

3

5S(6,10) = 2 · 3 · 5 = 30.

87

12. Три аутомобила крећу истовремено са старта на кружној стази. Први аутомобил обиђе

круг за 15 минута, други за 20 минута а трећи за 12 минута. Ако трка траје 2 сата и 30

минута, колико ће пута, не рачунајући старт, истовремено проћи кроз циљну равнину

сва три аутомобила у току трке?

13. Два аутобуса полазе у 6 сати из исте станице. Један сваких 25 минута, други сваких 30

минута. Колико пута ће се ти аутобуси срести на почетној станици до 19 сати?

14. У једној улици дужине 3km на сваких 50m налази се светиљка, а на сваких 15m стабло.

На самом почетку улице у линији су светиљка и стабло. Колико пута се та ситуација

понавља у тој улици?

15. Обим предњег точка бицикла је 90cm, а обим задњег точка је 120cm. Колики најмањи пут

треба да пређе бициклиста да би и предњи и задњи точак направили цео број обртаја?

16. Одреди најмањи природан број који се може поделити бројевима 120 и 144.

17. Нађи најмањи природан број који се може поделити бројевима 15, 40 и 54.

18. Одреди најмањи природан број који при дељењу са 64 и 72 даје остатак 3.

19. Који је најмањи природан број који при дељењу са 42, 49 и 56 даје остатак 1.

20. Нађи x ако је: а) S =(4, ) 12x ; б) S =( ,15) 30x ; в) S =(20, , 5) 20x .

Колико има решења у сваком од случајева?

21. Одреди најмањи број који при дељењу са 4 даје остатак 2, при дељењу са 5 даје остатак

3, а при дељењу са 6 даје остатак 4.

22. На столу су књиге које треба спаковати. Ако бисмо их паковали по 4, по 5 или по 6,

сваки пут би остале по две књиге, а ако их пакујемо по 7, све ће бити спаковане. Колико

најмање књига може бити на столу?

23. Који природан број a, 100 < a < 200 при дељењу са 2, 3, 4 и 5 даје остатак редом 1, 2, 3 и 4?

24. Одреди све троцифрене бројеве који при дељењу са 7 дају остатак 2, при дељењу са 9

дају остатак 4 и при дељењу са 12 дају остатак 7?

25. Нађи највећи четвороцифрени број који при дељењу са 3, 4, 5, 6, 7 даје остатак 2.

Решење:

Најмањи број који при дељењу и са 64 и са 72 нема остатак јесте

најмањи заједнички садржалац тих бројева.

S(64,72) 2 2 2 2 2 2 3 3 576= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Број који је за 3 већи од броја 576 при дељењу са 64 и 72 даје

остатак 3, а то је број 579.

64,

32,

16,

8,

4,

2,

1,

1,

1,

72,

36,

18,

9,

9,

9,

9,

3,

1,

2

2

2

2

2

2

3

3

88

26. Реши укрштеницу:

Водоравно:

А: D(48, 7б).

В: Највећи прост број шесте десетице.

Г: Прости чиниоци броја 63.

Д: Најмањи прост број.

Ђ: Најмањи природан број.

Е: S(22,26,14в).

Усправно:

А: Прости чиниоци броја 70.

Б: Квадрат броја 7.

Г: Сложен број чији су сви прости чиниоци 2, 7 и 23.

Ђ: Производ четири двојке.

Ж: Куб броја 2.

А Б

В

Г

Д Ђ

Е Ж

89

РЕШЕЊА: ДЕЉИВОСТ

1. а) 5; б) 25; в) 144; г) 19.

2. а) 14 (2); б) 22 (3); в) 25 (9); г) 1010 (0).

3. 0, 1, 2, 3, 4.

4. 126 : 3 = 42, што значи да могу, и у сваком аутобусу ће бити по 42 ученика.

5. { }3D 1, 2, 3, 5, 6,15A∩ = .

6. а) { }25D 1, 5, 25= ; б) { }24D 1, 2, 3, 4, 6,12, 24= ; в) { }34D 1, 2,17, 34= ;

г) { }45D 1, 3, 5, 9,15, 45= д) { }60D 1, 2, 3, 4, 5, 6,10,12,15, 20, 30, 60= .

7. а) { }4S 4, 8,12,16, 20, 24,…= ; б) { }8S 8,16, 24, 32, 40,…= ; в) { }35S 35, 70,105,140,…= .

8. а) 90; б) 98.

9. а) 102; б) 100.

10. 24, 36, 72.

11. 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198.

12. а) тачно; б) нетачно; в) нетачно; г) тачно; д) тачно.

13. а) А { }1, 2, 3, 4, 6,12= ; б) А { }1, 2, 5,10, 25, 50= .

14. 2 5 73 6 15 21

11 22 55 7713 26 65 91

15. а) 2 48 и 2 192 , дакле 2 (48 192)+ ; б) 5 55 и 5 70 , дакле 5 (55 70)+ ; в) 4 160 и

4 44 , дакле 4 (160 44)+ ; г) 10 210 , 10 130 и 10 460 , дакле 10 (210 130 460)+ + .

16. а) 11 99 и 11 44 , дакле 11 (99 44)− ; б) 3 126 и 3 30 , дакле 3 (126 30)− ; в) 6 666 и

6 120 , дакле 6 (666 120)− .

17. а) 5 20 , дакле 5 20 123⋅ ; б) 4 44 , дакле 4 44 295⋅ ; в) 2 18 , дакле 2 123 21 18⋅ ⋅ .

18. а) 7 49 , 7 77 и 7 35 , дакле 7 (49 77 35)+ − ;

б) 5 45 па 5 45 131⋅ и 5 55 , дакле 5 (45 131 55)⋅ − ;

в) Како 2 16 онда 2 16 25⋅ и како 2 90 онда 2 31 90⋅ , дакле 2 (16 25 31 90)⋅ + ⋅ .

ДЕЉИВОСТ ДЕКАДНИМ ЈЕДИНИЦАМА И БРОЈЕВИМА 2, 5, 4 И 25

1. На пример: 160, 220, 390, 810, 970.

2. 3100, 3200, 3300, 3400, 3500, 3600, 3700, 3800, 3900.

3. а) 250, 5000, 700, 850; б) 5000, 700.

4. а) ⊥; б) ⊥; в) ⊥; г) ⊥; д) ⊥; ђ) ⊥; е) ⊥; ж) ⊥.5. 18, 34, 250.

6. 32, 34, 36, 38 и 40.

7. 16, 34, 52 и 70.

8. 222, 444, 666, 888.

9. 32, 48, 250, 1234, 5252.

10. а) Тачно; б) Нетачно; в) Нетачно; г) Тачно; д) Нетачно; ђ) Тачно; е) Тачно; ж) Тачно; з) Тачно.

11. а) { }* 0, 2, 4, 6, 8,∈ ; б) { }* 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9∈ ; в) ниједна цифра; г) { }* 0, 2, 4, 6, 8∈ ;

д) { }* 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9∈ .

12. 234, 324, 342, 432,

13. 200, 202, 222, 250, 252, 500, 502, 520, 522, 550, 552.

14. 35, 60, 130, 12345.

90

15. На пример: 155, 170, 290, 315, 665 и 1230, 5505, 6000, 6075, 9600.

16. а) Тачно; б) Нетачно; в) Тачно; г) Тачно; д) Тачно; ђ) Тачно; е) Тачно; ж) Нетачно .17. а) { }* 0, 5∈ ; б) { }* 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9∈ ; в) { }* 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9∈ ; г) ниједна цифра;

д) { }* 0, 5∈ .18. А { }250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290= .19. 100, 110, 120, 200, 210, 220.20. 105, 150, 190, 195, 510, 590, 910, 950, 905, 915.21. 30 1 2 3 5= ⋅ ⋅ ⋅ ; а) 165, 615, 235, 325; б) 1235, 1325, 2135, 2315, 3125, 3215, 1165, 1615, 6115.22. Број n 25 136 850 1234 65432 565656

Двоцифрени завршетак броја n 25 36 50 34 32 56

23. Број је дељив са 4 када му је двоцифрени завршетак дељив са 4.24. На пример: 20, 32, 40, 56, 64 и 136, 424, 496, 772, 880.25. 324, 904, 3000, 8760, 9876.26. а) Тачно; б) Нетачно; в) Тачно; г) Нетачно; д) Тачно; ђ) Тачно; е) Тачно; ж) Тачно .27. а) { }* 2, 6∈ ; б) { }* 0, 2, 4, 6, 8,∈ ; в) { }* 1, 3, 5, 7, 9,∈ ; г) { }* 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9∈ ;

д) ниједна цифра.28. 100, 104, 112, 120, 124, 132, 140, 144, 200, 204, 212, 220, 224, 232, 240, 244, 300, 304, 312,

320, 324, 332, 340, 344, 400, 404, 412, 420, 424, 432, 440, 444.29. 100 и 996.30. Број је дељив са 25 када му је двоцифрени завршетак дељив са 25.31. 225, 850, 6000, 975, 33000.32. а) { }* 5∈ ; б) { }* 2, 7∈ ; в) ниједна цифра; г) { }* 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9∈ .33. а) Тачно; б) Нетачно; в) Тачно; г) Тачно; д) Нетачно; ђ) Тачно .

ДЕЉИВОСТ БРОЈЕВИМА 3 И 91. Број n 22 85 126 444 98765 300000

Збир цифара броја n 4

2. Број је дељив са 3 када му је збир цифара дељив са 3, а број је дељив са 9 када му је збир цифара дељив са 9.

3. На пример: а) 27, 39, 45, 63, 72 и 144, 183, 225, 345, 888; б) 27, 54, 63, 72, 90 и 252, 333, 414, 522, 774.

4. 42, 93, 141, 222, 87654.5. а) Тачно; б) Нетачно; в) Тачно; г) Нетачно; д) Тачно; ђ) Тачно; е) Тачно; ж) Тачно .6. а) { }0, 3, 6, 9a ∈ ; б) { }2, 5, 8b ∈ ; в) { }1, 4, 7c ∈ .7. 1023 и 9876.8. 204, 240, 402, 420, 234, 243, 324, 342, 423, 432, 306, 360, 603, 630, 246, 264, 426, 462, 624, 642.9. 300, 303, 330, 333, 306, 360, 366, 600, 603, 630, 633, 606, 660, 666, 336, 363, 663, 636.10. 27, 99, 252, 882, 4545.11. 1026 и 9873.12. а) Нетачно; б) Тачно; в) Тачно; г) Нетачно; д) Тачно; ђ) Тачно; е) Тачно; ж) Тачно .13. а) a=4; б) { }0, 9b ∈ ; в) c=3; г) x=2.14. B { }99,108,117,126,135,144,153,162,171= .15. 207, 270, 702, 720, 126, 162, 216, 261, 612, 621.16. На пример: 57 и 78.17. 102348.18. а) 12, 42, 54, 306, 7002; б) 54, 306, 7002.19. 984.

91

24. а) Тачно је да 9 999 999… јер је 999 999 9 111 111… …= ⋅ , па како 9 9 онда 9 9 111 111…⋅

то јест 9 999 999… ; б) нетачно јер двоцифрени завршетак 22 није дељив са 4; в) Тачно

је да 5 555 555… јер је последња цифра 5.

25. а) а=4; б) { }0, 3, 6, 9b ∈ ; в) за { }0, 6d ∈ и { }1, 4, 7c ∈ , за { }2, 8d ∈ и { }2, 5, 8c ∈ , или за

d=4 и { }0, 3, 6, 9c ∈ .

26.

Де

љи

в

са 2

Де

љи

в

са 3

Де

љи

в

са 4

Де

љи

в

са 5

Де

љи

в

са 6

Де

љи

в

са 9

Де

љи

в

са 1

0

Де

љи

в

са 1

2

Де

љи

в

са 1

5

Де

љи

в

са 2

5

Де

љи

в

са 3

6

Де

љи

в

са 1

00

100 да не да да не не да не не да не да238 да не не не не не не не не не не не345 не да не да не не не не да не не не384 да да да не да не не да не не не не432 да да да не да да не да не не да не850 да не не да не не да не не да не не

1275 не да не да не не не не да да не не3410 да не не да не не да не не не не не3456 да да да не да да не да не не да не4560 да да да да да не да да да не не не

30000 да да да да да не да да да да не да321000 да да да да да не да да да да не да

ПРОСТИ И СЛОЖЕНИ БРОЈЕВИ1. { }7D 1, 7= , { }19D 1,19= , { }23D 1, 23= , { }37D 1, 37= , { }59D 1, 59= . Два. Прости бројеви.

2. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103,

107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

3. а) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47; б) 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,

в) 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

4. а) { }10D 1, 2, 5,10= ; б) { }15D 1, 3, 5,15= ; в) { }16D 1, 2, 4, 8,16= ; г) { }20D 1, 2, 4, 5,10, 20= ;

д) { }34D 1, 2,17, 34= . Сложени бројеви.

5. 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99.

6. На пример: прости: 101, 113, 127, 149, 163; сложени: 105, 110, 122, 144, 168.

7. 11, 19, 29 и 59.

8. На пример: 7 и 8, 15 и 16, 10 и 21, 18 и 25, 13 и 36.

9. { }36D 1, 2, 3, 4, 6, 9,12,18, 36= ; прости: 2, 3; сложени: 4, 6, 9, 12, 18, 36.

10. 2 и 5.

11. а) 10 = 2 · 5; б) 15 = 3 · 5; в) 36 = 2 · 2 · 3 · 3; г) 42 = 2 · 3 · 7.

12. 2 · 3 · 5 = 30.

13. а) 324 2 3= ⋅ ; б) 30 2 3 5= ⋅ ⋅ ; в) 340 2 5= ⋅ ; г) 55 5 11= ⋅ ; д) 284 2 3 7= ⋅ ⋅ ; ђ) 596 2 3= ⋅ ;

е) 3120 2 3 5= ⋅ ⋅ ; ж) 2275 5 11= ⋅ .

23. Како је 999 : 3 = 333, дакле 333 броја дељивих са 3, 999 : 4 = 249 ( 3 ),

дакле 249 бројева дељивих са 4 и 999 : 12 = 83 ( 3 ), дакле 83 броја

дељива са 12, то јест и са 3 и са 4. Помоћу Веновог дијаграма то се

представља као на слици. Укупно 250 + 83 + 166 = 582 броја који су

дељиви или са 3, или са 4 или са оба броја, што значи да има 999 – 582

= 417 бројева мањих од 1000 који нису дељиви ни са 3, ни са 4.

20. 216, 432, 576.21. а) Тачно; б) Тачно; в) Нетачно; г) Тачно; д) Нетачно; ђ) Тачно.22. 499 : 12 = 41 ( 7 ), 41 природан број дељив са 12, тo јест дељив и са 3 и са 4.

92

14. а) 448 2 3= ⋅ ; 260 2 3 5= ⋅ ⋅ ; 2140 2 5 7= ⋅ ⋅ ; 327 3= ; 2315 3 5 7= ⋅ ⋅ ; 481 3= ;

б) 4 2144 2 3= ⋅ ; 2169 13= ; 2 2225 3 5= ⋅ ; 210 2 3 5 7= ⋅ ⋅ ⋅ ; 8256 2= ;

в) 3 2360 2 3 5= ⋅ ⋅ ; 4 2400 2 5= ⋅ ; 2 2 2900 2 3 5= ⋅ ⋅ ; 2 31188 2 3 11= ⋅ ⋅ ; 2924 2 3 7 11= ⋅ ⋅ ⋅ ; 21170 2 3 5 13= ⋅ ⋅ ⋅ .

15. а) 26 2 13= ⋅ , { }26D 1, 2,13, 26= ; б) 30 2 3 5= ⋅ ⋅ , { }30D 1, 2, 3, 5, 6,10,15, 30= ;

в) 102 2 3 17= ⋅ ⋅ , { }102D 1, 2, 3, 6,17, 34, 51,102= ;

г) 4 2144 2 3= ⋅ , { }144D 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9,12,16,18, 24, 36, 48, 72,144= .

16. а) 30; б) 165; в) 910.

17. 2 22 3 5 11 3300⋅ ⋅ ⋅ = .

18. а) 2 32 3 5 2250⋅ ⋅ = ; б) 3 2 22 3 5 1800⋅ ⋅ = .

19. 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361.

20. 5, 25, 125, 625.

22. а) Како је 72 2 2 2 3 3 8 9= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ , то су бројеви 8 и 9; б) како је 240 2 2 2 2 3 5 16 15= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ,

то су бројеви 15 и 16.

23. а) Како је 210 2 3 5 7 6 5 7= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , то су бројеви 5, 6 и 7; б) како је

( ) ( ) ( )720 2 2 2 2 3 3 5 2 2 2 3 3 2 5 8 9 10= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ то су бројеви 8, 9 и 10.

25. а) Како је 52 2 2 13= ⋅ ⋅ , не, јер 13 није цифра; б) Како је 198 2 3 3 11= ⋅ ⋅ ⋅ , не, јер 11 није цифра.

НАЈВЕЋИ ЗАЈЕДНИЧКИ ДЕЛИЛАЦ1. а) 1, 2, 7, 14; б) 1, 2, 3, 6, 9, 18; в) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; г) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

2. { }48D 1, 2, 3, 4, 6, 8,12,16, 24, 48= , { }60D 1, 2, 3, 4, 5, 6,10,12,15, 20, 30, 60= , { }48 60 48,60D D D 1, 2, 3, 4, 6,12∩ = = . Највећи је број 12 и њега називамо највећи заједнички

делилац бројева 48 и 60.

3. { }30D 1, 2, 3, 5, 6,10,15, 30= , { }42D 1, 2, 3, 6, 7,14, 21, 42= , { }66D 1, 2, 3, 6,11, 22, 33, 66= , { }30,42,66D 1, 2, 3, 6= . Највећи је број 6.

4. а) { }6,8D 1, 2= ; б) { }5,10D 1, 5= ; в) { }8,12D 1, 2, 4= .

5. а) ( )D 3,10 1= ; б) ( )D 7, 9 1= ; в) ( )D 12,13 1= ; г) ( )D 25, 26 1= ; д) ( )D 15, 44 1= .

Узајамно прости бројеви.

6. Број 1.

7. На пример: 18 и 19, 30 и 49, 25 и 42.

8. а) 6 2 3= ⋅ , 18 2 3 3= ⋅ ⋅ , ( )D 6,18 2 3 6= ⋅ = ; б) 48 2 2 2 2 3= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , 72 2 2 2 3 3= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ,

( )D 48, 72 2 2 2 3 24= ⋅ ⋅ ⋅ = ; в) 105 3 5 7= ⋅ ⋅ , 360 2 2 2 3 3 5= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , ( )D 105, 360 3 5 15= ⋅ = ;

г)180 2 2 3 3 5= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , 280 2 2 2 5 7= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , ( )D 180, 280 2 2 5 20= ⋅ ⋅ = .

9. а) ( )D 8,12 4= ; б) ( )D 6, 9 3= ; в) ( )D 16,18 2= ; г) ( )D 56, 72 8= ; д) ( )D 120,150 30= ;

ђ) ( )D 72,180 36= .

10. а) ( )D 12,18 6= ; б) ( )50,125 25= ; в) ( )D 70, 90 10= ; г) ( )D 24, 60, 96 12= ;

д) ( )D 15, 75, 225 15= ; ђ) ( )D 252, 546, 630 42= .

11. а) ( )D 32, 56 8= ; б) ( )D 54, 72 18= ; в) ( )D 132, 420 12= ; г) ( )D 280, 960 40= ;

д) ( )D 210, 336, 462 42= ; ђ) ( )D 300, 525, 645 15= ; е) ( )D 132, 462, 726 66= .

12. а) На пример: 6 и 14, 10 и 26, 66 и 70; б) 30 и 70, 70 и 110, 130 и 770; в) 55 и 110, 165 и 385,

110 и 1155.

13. а) 10; б) 8; в) 18; г) 25. ( )D ,a b a= .

14. Највећи број којим можеш поделити бројеве 189 и 441 без остатка јесте највећи

заједнички делилац тих бројева, ( )D 189, 441 63= .

117. решен

16. Тражимо D за бројеве 267 3 264− = и 994 4 990− = , ( )D 264, 990 66= .

93

17. Тражимо D за бројеве 425 5 420− = , 1770 6 1764− = и 1393 7 1386− = ,

( )D 420,1764,1386 42= .

18. а) x { }4, 8,12,16∈ ; б) { }9,18, 27, 36, 45x ∈ .

19. ( )D 12,16 4= .

20. ( )D 42, 70, 98 14= , дакле 14m биће дужина сваког дела. Од првог канапа ће се добити

42 :14 3= дела, од другог 70 :14 5= делова и од трећег 98 :14 7= делова.

21. ( )D 26, 39 13= , 13 гостију.

22. ( )D 60, 75,105 15= , у 15 група.

23. ( )D 260, 80 20= , највећа могућа дужина њиве 20m ; 260 : 20 13= , 80 : 20 4= , 13 4 52⋅ =

такве њиве.

24. ( )D 24, 60, 72 12= , 12 букета, а сваки букет садржаће 24 :12 2= руже, 60 :12 5=

каранфила и 72 :12 6= гербера, а цена букета биће 2 40 5 5 6 20 225⋅ + ⋅ + ⋅ = динара.

25. ( )D 66, 42 6cm= , 66 : 6 11= и 42 : 6 7= , па ће укупно бити 11 7 77⋅ = парчића.

26. ( )D 165, 210 15mm= , а 11 14 154⋅ = квадратића.

27. ( )D 210, 315, 420 105= пакетића, а цена сваког биће 2 100 3 60 4 20 460⋅ + ⋅ + ⋅ = динара.

28. Задатак има три решења јер бројеви 225 и 105 имају заједничке делиоце

{ }225, 105D 1, 3, 5,15= (Број 1 не узимамо у обзир јер нема сврхе сврстати их у једну групу).

1) Могу се поделити у 15 група и тада ће у свакој групи бити по 15 дечака и свака ће

група добити по 7 лопти; 2) могу се поделити у 5 група и тада ће у свакој групи бити по

45 дечака и свака ће група добити по 21 лопту; 3) могу се поделити у 3 групе и тада ће у

свакој групи бити по 75 дечака и свака ће група добити по 35 лопти.

НАЈМАЊИ ЗАЈЕДНИЧКИ САДРЖАЛАЦ1. а) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …; б) 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …; в) 12, 24, 36, 48, 60, 72, …;

г) 23, 46, 69, 92.

2. Садржаоци броја 6 су 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48; садржаоци броја 8 су 8, 16, 24, 32, 40, 48;

заједнички садржаоци бројева 6 и 8 су 24, 48; најмањи заједнички садржалац бројева 6 и

8 је 24.

3. а) 15, 30, 45, 60, 75, 90, …, најмањи је број 15; б) 12, 24, 36, 48, 60, ..., најмањи је број 12;

в) 18, 36, 54, 72, 90, ..., најмањи је број 18.

4. а) ( )S 12,15 60= ; б) ( )S 8,10 40= ; в) ( )S 6, 9 18= ; г) ( )S 18, 24 72= ; д) ( )S 24, 30 120= ;

ђ) ( )S 12, 60 60= .

5. а) ( )S 10,15 30= ; б) ( )S 8,18 72= ; в) ( )S 12, 20 60= ; г) ( )S 36, 48 144= ; д) ( )S 24, 30 120= ;

ђ) ( )S 80,100 400= .

6. а) ( )S 24,144 144= ; б) ( )S 40,112 560= ; в) ( )S 36, 60 180= ; г) ( )S 6,10, 20 60= ;

д) ( )S 10, 35, 45 630= ; ђ) ( )S 24, 36, 72 72= .

7. а) ( )S 60, 75 300= ; б) ( )S 55,121 605= ; в) ( )S 72, 90 360= ; г) ( )S 24, 36, 48 144= ;

д) ( )S 24, 28, 35 840= ; ђ) ( )S 15,18, 21 630= ; е) ( )S 45, 60, 75 900= ; ж) ( )S 32, 40, 56 1120= ;

з) ( )S 28, 35, 60 420= .

8. а) ( )S 5, 6 30= ; б) ( )S 8,15 120= ; в) ( )S 9,10 90= ; ( )S ,a b a b= ⋅ .

9. а) ( )S 3,12 12= ; б) ( )S 10, 30 30= ; в) ( )S 12, 48 48= ; ( )S ,a b a b b⇒ = .

10. Треба наћи најмањи заједнички садржалац за бројеве 25 и 35, ( )S 25, 35 175= дана.

11. ( )S 10,12,15 60= минута.

94

12. ( )S 15, 20,12 60= минута је потребно да једном обиђе стазу, а како возе 2 сата и 30 минута, то јест, 150 минута, 2 пута ће проћи кроз циљну равнину сва три аутомобила у току трке.

13. ( )S 25, 30 150= минута, а срешће се 5 пута.14. ( )S 50,15 150= метара, а ситуација ће се поновити 3000 :150 20= пута.15. ( )S 90,120 360 cm= .16. ( )S 120,144 720= .17. ( )S 15, 40, 54 1080= .19. ( )S 42, 49, 56 1176= , 1176 1 1177+ = .20. а) { }12, 6, 3x ∈ ; б) { }30,10, 6x ∈ ; в) { }10, 4, 2,1x ∈ .21. Да је тај број за 2 већи, не би било остатка ни при дељењу са 4, ни са 5, ни са 6, и то би

био најмањи заједнички садржалац тих бројева ( )S 4, 5, 6 60= , а тражени број је за 2

мањи 60 2 58− = .

22. Тражимо најмањи заједнички садржалац за бројеве 4, 5 и 6, ( )S 4, 5, 6 60= . Број 60

увећамо за 2 (јер при дељењу са 4, 5, 6 остатак је 2) и проверимо да ли је тај број дељив

са 7 (јер при дељењу са 7 нема остатка), 60 2 62+ = , 62 није дељиво са 7, па тражимо

следећи заједнички садржалац и увећамо га за 2, 60 2 2 120 2 122⋅ + = + = , али ни он није

дељив са 7 па настављамо поступак; 60 3 2 180 2 182⋅ + = + = и овај број је дељив са 7, па

је 182 тражени број.

23. Пошто су остаци за 1 мањи од делиоца, најпре ћемо наћи најмањи заједнички

садржалац за бројеве 2, 3, 4 и 5, па од њега одузети 1, ( )S 2, 3, 4, 5 60= , 60 1 59− = али

број 59 није између 100 и 200, па тражимо следећи заједнички садржалац и умањујемо

га за 1, 60 2 1 120 1 119⋅ − = − = је тражени број и 60 3 1 180 1 179⋅ − = − = такође је тражени

број.

24. Сви остаци су за 5 мањи од делиоца, па као и у претходном примеру најпре ћемо

наћи најмањи заједнички садржалац за бројеве 7, 9, и 12, па од њега одузети 5,

( )S 7, 9,12 252= , 252 5 247− = , даље 252 2 5 504 5 499⋅ − = − = , 252 3 5 756 5 751⋅ − = − = .

Дакле, тражени бројеви су 247, 499 и 751.

25. ( )S 3, 4, 5, 6, 7 420= , 420 2 422+ = је троцифрен, а ми тражимо четвороцифрен, и то

највећи, па најмањи заједнички садржалац морамо да помножимо са количником

бројева 9999 (највећи четвороцифрени број) и 420, 9999 : 420 23= (остатак 339); 420 23 9660⋅ = , па је тражени број 9660 2 9662+ = .

26. А

2

Б

4В

5 9Г

3 7Д

2

Ђ

1Е

2

Ж

8 6

95

РАЗЛОМЦИ I ДЕО

1. Испод слике упиши разломак који одговара обојеном делу.

2. Испод слике упиши разломак који одговара обојеном делу.

ПОЈАМ РАЗЛОМКА

96

3. На слици обој део који одговара разломку испод слике.

2

3

3

5

7

8

3

10

4

7

11

6

11

4

10

3

4. Графички представи дате разломке.

1

4

4

5

5

9

9

10

97

3

2

9

4

4

3

11

6

5. Милица је поделила чоколаду на 5 једнаких делова. Она је узела 2 дела, а 1 део је дала

Вуку. Који део чоколаде је добио свако од њих? Да ли је остало још чоколаде, и ако јесте,

колико?

6. Напиши све разломке тако да им је бројилац из скупа B, { , 2 11}B x x N x= ∈ < < , а

именилац је број 15.

7. Напиши све разломке тако да им је именилац из скупа I, { , 13 5}I x x N x= ∈ ≥ > , а

бројилац је број 4.

8. Разломке 1 2 4 9 12 24

, , , , ,2 3 7 5 6 11

напиши у облику количника.

9. Количнике 3 : 4 , 4 : 3 , 7 : 8 , 9 :17 , 45 : 7 , 44 :11 напиши у облику разломака.

10. Одреди непознате бројеве:

а) 1

1n

= , б) 74

y= , в)

567

x= , г) 21

10

m= .


а) 1

3 броја 60 б)

3

4 броја 80 в)

2

5 броја.40 г)

11

10 броја 100 д)

15

7 броја 707.

12. Једно паковање садржи 30 бомбона. Колико бомбона има у 1 1 2 7

, , ,2 5 3 10

паковања?

13. Ако је 1

2 траке дуга 10cm, колико је дуга цела трака?

14. Ако 3

5 одељења чине девојчице, којих има 15, колико ученика има у том одељењу?

15. Ако је Ана прочитала 35 страна књиге, која укупно има 175 страна. Који део књиге је она

прочитала?

16. Ненад има 50 динара, а то је само петина новца која му треба да купи омиљени стрип.

Колико му новца недостаје?

98

17. Дужник је исплатио 3

5 дуга, што износи 3150 динара. Колики је био дуг?

18. Марија је прочитала 17 страна књиге, и мама јој је рекла да ће у наредних 7 дана

прочитати целу књигу ако настави да чита том брзином. Који део књиге је Ана

прочитала првог дана? Колико страна има књига коју Ана чита?

19. Колико износи 3

4 броја m, ако је број m једнак

1

2 броја 72.

1. Разломке 1

7,

2

5 и

8

13 прошири са 3, 4 и 5.

а) 1 1 3

7 7

⋅= =

⋅

1 1

7 7 4

⋅= =

⋅

1 1

7 7

⋅= =

⋅

б) 2 2

5 5

⋅= =

⋅

2 2

5 5

⋅= =

⋅

2

5

⋅= =

⋅

в) 8

13

⋅= =

⋅ 8

13

⋅= =

⋅ 8

13

⋅= =

⋅

2. Попуни празна места тако да наведене једнакости буду тачне.

а) 3 75

4 20= = б)

7 28

15 135= = в)

9 108

11 44= =

г) 19 152

17 119= = д)

43 172

125 1000= = ђ)

16 64

25 175= =

3. Дате разломке прошири тако да им именилац буде број 100 .

а) 1 1

4 4 25 100

⋅= =

⋅ б)

4 4

5 5 100

⋅= =

⋅

в) 12

25 100

⋅= =

⋅ г)

3

10 100

⋅= =

⋅

4. Колико дванаестина је садржано у: 1 2 3 5

, , ,2 3 4 6

?

Решење: Како је

1 6

2 12=

,

2

3 12=

,

3

4 12=

,

5

6=

,

то је у бројевима 1 2 3 5

, , ,2 3 4 6

редом садржано 6, ___, ___ и ___ дванаестина.

ПРОШИРИВАЊЕ И СКРАЋИВАЊЕ РАЗЛОМАКА

99

5. Дате разломке прошири тако да им бројилац буде број 60 .

а) 1 1 60 60

4 4

⋅= =

⋅; б)

3 60

10

⋅= =

⋅; в)

4 4 60

5 5

⋅= =

⋅;

г)12 60

25

⋅= =

⋅; д)

6 606

1

⋅= = =

⋅; ђ)

6015

1

⋅= = =

⋅.

6. Дате разломке прошири тако да им именилац буде најмањи заједнички садржалац

њихових именилаца.

а) 1

2 и

1

3

1

2 2 3 6

⋅= =

⋅ и

1 1

3 3 2 6

⋅= =

⋅, (јер је S(2,3) 6= );

б) 3

4 и

3

5

3

4 20

⋅= =

⋅ и

3

5 20

⋅= =

⋅, (јер је S(4,5)= );

в) 2

3 и

1

4

2

3

⋅= =

⋅ и

1

4

⋅= =

⋅, (јер је S(3,4)= );

г) 5

6 и

2

11

5

6

⋅= =

⋅ и

2

11

⋅= =

⋅, (јер је ____________ );

д) 7

16 и

7

9

7

16

⋅= =

⋅ и

7

9

⋅= =

⋅, (јер је ____________ );

ђ) 1

2 и

3

4

1

2 2 2 4

⋅= =

⋅ и

3

4, (јер је S(2,4)= );

е) 13

25 и

2

5

13

25 и

2

5

⋅= =

⋅, (јер је ____________ );

ж) 7

9 и

5

12

7

9 9 4 36

⋅= =

⋅ и

5

12 12 3 36

⋅= =

⋅, (јер је S(9,12)= );

з) 1

4 и

3

14

1

4 28

⋅= =

⋅ и

3

14

⋅= =

⋅, (јер је ____________ );

и) 7

10 и

21

25

7

10

⋅= =

⋅ и

21

25

⋅= =

⋅, (јер је ____________ ).

7. Дате разломке прошири тако да им именилац буде најмањи заједнички садржалац

њихових именилаца.

а) 1 1 1

, ,2 3 5

б) 3 2 5

, ,4 7 14

в) 2 3 11

, ,9 8 15

г) 5 1 17

, ,6 4 32

.

8. Бројеве 0, 1, 2, 5, 8, 10 напиши у облику разломака чији именилац је 1.

9. Бројеве 1, 4, 6, 9, 11 напиши у облику разломака чији именилац је 3.

10. Бројеве 2, 6, 9, 18 напиши у облику разломака чији бројилац је 18.

100

11. Скрати разломак 120

360 са: а) 2; б) 3; в) 6; г) 120.

12. Сваки од разломака 6 18 54 144

, , ,12 24 36 162

скрати са: а) 2; б) 3; в) 6.

13. Изврши скраћивање разломака тако да добијеш несводљиве разломке.

а) 4 4 : 2

10 10 : 2= = ; б)

6 6 : 3

15 15 := = ; в)

75 :

135 := = ;

г) 16 :

36 := = ; д)

69 :

96 := = ; ђ)

108 :

405 := = .

14. Изврши скраћивање разломака тако да добијеш несводљиве разломке.

а) 16

20,

45

105,

64

160,

75

225,

78

324,

420

560,

540

1260,

573

955,

132

111111,

3300

5500;

б) 2 3

4 5

⋅⋅

, 4 3

8 9

⋅⋅

, 4 5

3 6

⋅⋅

, 15 3

11 10

⋅⋅

, 16 3

27 8

⋅⋅

, 16 9

15 8

⋅⋅

, 21 35

25 28

⋅⋅

, 18 45

25 51

⋅⋅

, 48 21

49 22

⋅⋅

;

в) 2 3 5

4 5 7

⋅ ⋅⋅ ⋅

, 4 3 12

8 9 15

⋅ ⋅⋅ ⋅

, 35 18 24

36 55 42

⋅ ⋅⋅ ⋅

, 12 81 15

27 24 50

⋅ ⋅⋅ ⋅

, 48 26

13 160 96

⋅⋅ ⋅

, 66 72

144 33 12

⋅⋅ ⋅

.

15. Попуни празна места тако да добијеш тачна тврђења.

а) 3

1 12= ;

21

3 1= ;

164= ; 6

7= ;

б) 1

3 12= ;

2

3 21= ;

3 15

8= ;

17 68

25= ;

в) 3

6 2= ;

15

40 8= ;

18 3

30= ;

48 3

64= .

16. Заокружи слово испред тачних тврђења.

а) 8 4

10 5= ; б) 16 4

32 9= ; в) 75 15

250 50= ; г) 75 3

250 10= ; д) 24 3

56 8= .

17. Допиши шта недостаје:

а) 2dl2

10= l

1= l; б) 15ml

15= l

2= l; в) 23ml

23= cl= cl;

г) 2cm100

= m= m; д) 3cm3

= dm; ђ) 77dm= m= m.

18. Који део часа представља: 3min, 5min, 10min, 12min, 45min, 60min, 80min и 195min?

19. Који део највећег шестоцифреног броја чини најмањи двоцифрени непаран број?

101

20. Који део производа, најмањег парног броја дељивог са 9 и највећег троцифреног броја

дељивог са 3 чије су све цифре различите, чини збир броја 50 и најмањег сложеног

броја?

21. Замени звездице цифрама тако да добијеш тачну једнакост 3 * 2

5 * 3= .

22. Одреди разломак једнак разломку 7

13 код кога је збир бројиоца и имениоца једнак 140.

Решење. За природан број k важи 7 7

13 13

k

k

⋅=

⋅ (разломак

7

13 смо проширили бројем k).

Онда је, по услову задатка 7 140k⋅ + ⋅ = , односно 140k⋅ = . Из

последње једначине закључујемо да је k = .

Дакле, тражени разломак је 7⋅

=⋅

.

23. Одреди разломак једнак разломку 2

3 такав да је:

1) збир бројиоца и имениоца 135,

2) разлика имениоца и бројиоца 12,

3) производ бројиоца и имениоца 1350.

24. Одреди природан број n и прост број p тако да важи 1

2008

n

p= .

1. Упореди разломке:

a) 2 4 7

, ,15 15 15

; 2

15 <

4

15 <

7

15, јер је 2 < 4 < 7

б) 6 5 11

, ,23 23 23

; _____________________________________

в) 45 39 7

, ,91 91 91

; _____________________________________

г) 8 23 2

, ,15 15 15

; _____________________________________

д) 106 17 88

, ,147 147 147

. _____________________________________

2. Упореди разломке:

a) 12 12 12

, ,17 23 101

; 12

17 >

12

23 >

12

101, јер је 17 23 101< <

УПОРЕЂИВАЊЕ РАЗЛОМАКА

102

б) 3 3 3

, ,7 27 37

; _____________________________________

в) 25 25 25

, ,6 18 180

; _____________________________________

г) 89 89 89

, ,105 15 51

; _____________________________________

д) 1006 1006 1006

, ,143 43 134

. _____________________________________

3. Упиши знак < или > тако да добијеш тачно тврђење.

а) 3

1

7

10; б)

2

5

4

25; в)

5

3

33

18;

г) 2

7

7

8; д)

4

11

7

15; ђ)

31

64

21

45;

е) 14

15

29

36; ж)

12

35

9

28; з)

45

52

25

36.

4. Упиши знак <, > или = тако да добијеш тачно тврђење.

а) 3

4

33

44; б)

2

13

1

5; в)

17

9

153

81;

г) 18

23

5

8; д)

34

15

35

16; ђ)

31

48

3

5;

е) 8

153

12

1349; ж)

43

88

4343

8888; з)

97

99

74

77.

5. Дате разломке поређај по величини у растућем поретку (од најмањег до највећег).

а) 3 2 11 5 5

, , , ,4 3 12 6 8

; б) 6 17 17 1

1, , , ,5 14 35 2

;

в) 3 15 5 15 7

, , , ,7 24 12 18 24

; г) 7 5 13 11 3

, , , ,3 4 12 6 2

.

Решење.

1) Разломке ћеш упоредити тако што ћеш их прво проширити тако да свима именилац

буде исти. Како је S(4,3,12,6,8)= , први разломак проширујеш са 6, други са ____,

трећи са ____, четврти са ____ и пети са ____ . Сада треба да упоредиш разломке

18, , , ,

24. Како за њихове бројиоце важи 15 22< < < < ,

закључујеш да је5 11

< < < < .

2) Разломке ћеш упоредити тако што ћеш их прво проширити тако да свима бројилац

буде исти. Како је S(1,6,17,17,1)= , први разломак проширујеш са ____, други са

17, трећи са ____, четврти са ____ и пети са ____. Сада треба да упоредиш разломке

102, , , ,

85. Како за њихове имениоце важи 84 210< < < < ,

закључујеш да је

35< < < < .

103

6. Вукашин и Александар читају исту књигу. Вукашин је прочитао 4

9, а Александар

5

12

књиге. Ко је прочитао више?

7. Новак је 2

7 свог времена употребио за учење, а

3

8 за тренирање тениса. Чему је Новак

посветио више времена?

8. Три радника су радила исти посао. Првом је било потребно 2

3 сата, другом

5

6 сата, а

трећем 8

9 сата. Ко је од њих најбрже обавио посао?

9. Из три једнака бурета је истекло редом 7 2 33

, ,20 5 50

од укупне количине воде. У ком бурету

је остало највише воде?

10. Наброј све разломке чији именилац је: а) 2; б) 3; в) 5; г) 11; д) 15,

а који су мањи од 1.

11. Наброј све разломке чији именилац је: а) 4; б) 6; в) 8; г) 13; д) 16,

а који су већи од 3, а мањи од 4.

12. Напиши 6 разломака који су већи од 3

5, а мањи од

4

5.

13. Нађи природне бројеве који су решења следећих неједначина:

1) 1 5

3 12 4

n< < 2)

2 8 4

5 7m< < 3)

2 1

3 18 6

k> > 4)

4 30 12

9 17l< < .

Решење. Да би одредио тражене бројеве, разломке проширујеш тако да им или

имениоци или бројиоци буду једнаки.

1) Како је S(3,12,4) 12= , проширивањем датих разломака добијаш 12 12 12

n< < . Дакле,

n< < , то јест { , , , , , , , , , }n∈ .

14. Одреди све просте бројеве p за које је тачна неједнакост 12 1 4

67 3p< < .

15. Ако је 5b a= + , ,a b N∈ , шта је веће 12

a или

8

b?

16. Одреди елементе скупова:

0 , 15 5

a aA a N

⎧ ⎫⎨ ⎬= ∈ <⎩ ⎭

и 5

, 15

bB b N

b

⎧ ⎫⎨ ⎬= ∈ ≥⎩ ⎭

, као и , , \A B A B A B∩ ∪ .

104

1. Сабери разломке:

а) 3 1 3 1

5 5 5

++ = = ; б)

2 4 2 4

9 9

++ = = ; в)

3 4

10 10+ = ;

г) 7 1

6 6+ = ; д)

7 17

18 18+ = ; ђ)

11 15

23 23+ = .

2. Сабери разломке:

а) 1 5 3 1 5 3

2 2 2 2

+ ++ + = = ; б)

2 3 1 2 3 1

7 7 7

+ ++ + = = ;

в) 13 3 7

10 10 10+ + = ; г)

7 1 10

4 4 4+ + = ;

д) 2 5 6 4

16 16 16 16+ + + = ; ђ)

21 14 48 1

25 25 25 25+ + + = .

3. Представи разломке 5

8,

7

10,

7

4,

9

5 и

11

9 на више начина као збирове два разломка

једнаких именилаца.


а) 2 3 2

13 3 3 3

+ = + = ; б) 1 1

34 4 4

+ = + = ;

в) 7 7

310 10

+ = + = ; г) 19

4100

+ = + = ;

д) 2

511

+ = + = ; ђ) 14

1125

+ = + = .

5. Дате разломке представи као збир природног броја и разломка.

а) 5 3

13 3 3

= + = + ; б) 9 2 4 1

4 4 4 1

⋅= + = + = + ;

в) 17

10= + = + ; г)

27

5= + = + ;

д) 34

7= + = + ; ђ)

101

37= + = + .

САБИРАЊЕ РАЗЛОМАКА ЈЕДНАКИХ ИМЕНИЛАЦА

105

1. Напиши све праве разломке са имениоцем:

а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 10; ђ) 12.

2. Напиши све праве разломке са имениоцем 100, чији су бројиоци:

а) дељиви бројем 7; б) дељиви бројем 11; в) дељиви бројем 29.

3. Из скупа:

а) 1 3 5 7 18 354 56

, , , , , ,2 2 4 12 23 38 1167

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

, б) 4 17 18 131 707

, 2, 1, , , ,5 8 7 64 7007

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

издвој подскуп који чине прави разломци, а неправе разломке представи у облику

мешовитог броја.

4. Дати су скупови A {1, 3, 5}= и B {2, 4, 6, 7}= . Напиши све праве разломке чији бројиоци

припадају скупу А, а имениоци скупу B.

5. Напиши све разломке: 1) мање од 1, 2) веће или једнаке 1,

чији су бројиоци и имениоци елементи скупа {1, 2, 4, 5, 7, 11}S = .

6. Попуни празна места тако да добијеш тачне једнакости.

а) 13

= ; б) 110

= ; в) 24

= ; г) 28

4= ; д) 25

5= ; ђ) 74

2= .

7. Неправе разломке 5

3,

9

4,

17

10,

27

5,

34

7,

101

37 представи у облику мешовитог броја.

8. Мешовите бројеве 21

3,

13

4,

73

10,

194

100,

25

11,

1411

25 представи у облику

a

b.

9. Одреди све природне бројеве n за које скуп S, 9 6 3 9

, , , ,8 10 5 6 8

n n nS

n n

⎧ ⎫− +⎨ ⎬=⎩ ⎭− +

, садржи

само праве разломке.

ВРСТЕ РАЗЛОМАКА. МЕШОВИТИ БРОЈЕВИ

1. Дате разломке преведи у децимални запис:

а) 3

10= ;

5

10= ;

31

10= ;

23

10= ;

23

10=;

59

10= ;

б) 2

100=;

51

100=;

31

100= ;

254

100= ;

304

100=;

509

100= ;

в) 7

1000=;

47

1000=;

789

1000=;

2051

1000= ;

342

100=;

9076

1000=.

ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИС РАЗЛОМАКА

106

2. Одговарајућим проширивањем дате разломке преведи у децимални запис:

а) 1

_____2

= ; 1

_____5

= ; 3

_____2

= ; 6

_____5

= ; 3

1 _____5

= ; 1

13 _____2

= ;

б) 3

_____4

= ; 5

_____4

= ; 3

_____50

= ; 19

4 _____50

= ; 67

_____20

= ; 304

_____25

= ;

в) 407

_____500

= ; 117

_____200

= ; 7

_____8

= ; 9

_____125

= ; 303

_____250

= ; 734

_____125

= .

3. Дате децималне записе преведи у запис a

b, или мешовит број.

а) 0,7 ; 1,5 ; 2,4 ; 101,2 ;

б) 0,11; 45,05 ; 2,25 ; 31,04 ;

в) 0,999 ; 5,505 ; 23,035 ; 1,004 ; 6,036 .

4. Разломке:

а) 1 2 5 4

, , ,3 3 6 7

; б) 12 56 106 6543

, , ,11 15 45 28

; в) 7 4 10 25

3 , 2 , 10 , 19 21 13 39

.

запиши у децималном запису и за сваки одреди одговарајући период.

5. Децималне записе:

а) 0,(3) ; 1,(1) ; б) 8,(45) ; 10,(21) ; в) 33,(786) ; 404,(044) ;

преведи у запис a

b.

6. Децималне записе:

а) 0,0(6) ; 1,10(1) ; б) 0,0(45) ; 121,012(21) в) 33,0(786) ; 404,0(044) ;

преведи у запис a

b.

7. Наведене мере изрази у метрима:

7dm , 24dm, 26cm , 108cm, 2mm , 10101mm , 1km 5dm 3cm 6mm .

1. Упиши у знак < или > тако да добијеш тачно тврђење.

а) 0,2 0,5 ; б) 0,02 0,05 ; в) 0,002 0,005 .

2. Упиши у знак < или > тако да добијеш тачно тврђење.

а) 0,02 0,2 ; б) 0,3 0,03 ; в) 0,06 0,006 .

ПОРЕЂЕЊЕ РАЗЛОМАКА ДАТИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ

107

3. Упиши у < или > тако да добијеш тачно тврђење.

а) 0,05 0,04 ; б) 2,786 2,785 ; в) 99,4562 99,4568 .

4. Упиши у < или > тако да добијеш тачно тврђење.

а) 0,298 0,307 ; б) 10,583 10,62 ; в) 0,043 0,2 .

5. Дати су скупови:

1 2 5 4

, , ,2 5 6 7

A⎧ ⎫⎨ ⎬=⎩ ⎭

, 3 55 103 6543

, , ,5 8 25 125

B⎧ ⎫⎨ ⎬=⎩ ⎭

, 7 3 13 29

3 , 3 , 10 , 1010 20 50 1800

C⎧ ⎫⎨ ⎬=⎩ ⎭

.

Разломке који припадају истом скупу (A, B или C) запиши на исти начин (у облику a

b или у

децималном запису), а затим их поређај у растућем поретку.

6. Дате разломке поређај по величини у опадајућем поретку (од највећег до најмањег).

a) 0,4 ; 4,04 ; 4,4 ; 0,44 ; 40,4 ; 0,404 ;

б) 0,11; 1,1; 1,001; 0,011; 0,1001; 10,01.

7. Упиши у <, > или = тако да добијеш тачно тврђење.

а)1

4 0,2 ; б)

1

6 0,16 ; в)

1

8 0,125 ;

г) 0,127 3

25; д) 10,583

210

3; ђ) 0,45

6

13.

8. Упиши у <, > или = тако да добијеш тачно тврђење.

а)1

m4

40cm; б) 1

l6

1,6dl ; в) 1

kg8

125g;

г)1

3 дана 8 сати; д)

3

4 године 7,5 месеци.

1. Попуни таблицу

дати број 0,7257 55,555... 8,5238 100,00199 645,39645

број заокругљен на

цео део


1 децималу


2 децимале


3 децимале

ПРИБЛИЖНА ВРЕДНОСТ БРОЈА

108

2. У супермаркету продају се паковања од по 5 чоколада и једно такво паковање кошта

335,99 динара. Колика је онда цена једне чоколаде из тог паковања заокружена на две

децимале?

3. Цена паковања јабука од 3kg је 199,9 динара. Јанко жели да купи само 1kg и договорио

се са продавачицом да рачун заокруже на цео број динара. Ко је од њих двоје при том на

малом губитку?

4. Попуни таблицу

дати број2

3

8

15

9

22

132

35

77

108


цео део


1 децималу


2 децимале


3 децимале

1. На датој бројевној полуправој представи разломке 3

5, 2,

7

4,

4

3,

11

2 и

42

15.

2. Назначеним тачкама на датој бројевној полуправој придружи одговарајуће разломке, па

их затим напиши у растућем поретку (поредак прочитај са бројевне полуправе).

3. Прикажи на бројевној полуправој решења неједначина:

а) 1 9

2 4x< < ; б)

3 13

5 6y≤ < ; в)

4 5

5 4z< ≤ ; г)

12,9

3a≥ ≥ .

Решење: а)

БРОЈЕВНА ПОЛУПРАВА

0 1 2

0 2

0 1 2 312

94

109

4. Напиши неједначину која одговара назначеном скупу на датој полуправој.

а)

б)

в)

г)

Решење:

а) Због пуног кружића код тачке 2

3A⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

важи 2

3x≤ , а због празног кружића код тачке

12

5B⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, важи 1

25

x < . Дакле, тражена неједначина је 2 1

23 5

x≤ < .

5. На бројевној полуправој дата је тачка 1

A4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠. Одреди положај тачака B, C и D, ако се тачка

B налази 3

4 десно од тачке A, тачка C налази

5

4 десно од тачке B, а тачка D се налази

7

4

лево од тачке C.

0 1 2 2 3 423

15

0 1 2 3 338

35

0 1 2 3245

1712

0 1 217

122

415

0 A( )14

111

РАЗЛОМЦИ I ДЕО РЕШЕЊА

ПОЈАМ РАЗЛОМКА

1. 1

2,

1

3,

3

4,

2

5,

5

6,

5

8,

4

9,

11

15,

7

10,

1

3,

1

2,

1

4,

3

5.

2. 4

3,

13

8,

5

2,

11

6,

29

12,

23

10,

4

9,

11

15,

7

10,

1

3,

1

2,

1

4,

3

5.

3.

4.

3

2

9

4

4

3

11

6

1

4

4

5

5

9

9

10

2

3

3

5

7

8

3

10

4

7

11

6

11

4

10

3

112

5. Милица је добила 2

5, Вук

1

5, док је неподељено остало

2

5 те чоколаде.

6. 3 4 10

, , ...,15 15 15

7. 4 4 4

, , ...,6 7 13

8. 1 2 4 9 12 24

1: 2, 2 : 3, 4 : 7, 9 : 5, 12 : 6 2, 24 :112 3 7 5 6 11

= = = = = = = .

9. 3 4 7 9 45 44

3 : 4 ,4 : 3 ,7 : 8 ,9 :17 ,45 : 7 ,4 44 :114 3 8 17 7 11

= = = = = = = .

10. nn 1= , yy 28= , x 8= , m 210=

11. а) 60 : 3 20= ; б) (80 : 4) 3 60⋅ = ; в) (40 : 5) 2 16⋅ = ; г) (100 :10) 11 110⋅ = ; д) (707 : 7) 15 1515⋅ = .

12. Дати делови 1 1 2 7

, , ,2 5 3 10

редом садрже 15,6,20,21 бомбону.

13. Цела трака има две (једнаке) половине, па је њена дужина 2 10 20⋅ = cm.

14. Једна петина одељења је 15 : 3 5= ученика, па у том одељењу има 5 5 25⋅ = ученика.

15. Како је 175 : 35 5= , Ана је прочитала 1

5 књиге.

16. Ненад има петину потребног новца, па му недостају 4

5 потребне суме новца, односно

треба му још 4 50 200⋅ = динара.

17. Једна петина дуга је 3150 : 3 1050= динара, па је укупан дуг 5 1050 5250⋅ = динара.

18. Читајући 17 страна на дан, Ани би требало 1 7 8+ = дана да прочита књигу. Дакле, Ана

је првог дана прочитала 1

8 књиге, која има 8 17 136⋅ = страна.

19. Ако је број m половина броја 72, онда је m=36, а 3

4 броја m су једнаке броју ( )36 : 4 3 27⋅ = .

ПРОШИРИВАЊЕ И СКРАЋИВАЊЕ РАЗЛОМАКА

1. а) 1 1 3 3

7 7 3 21

⋅= =

⋅,

1 1 4 4

7 7 4 28

⋅= =

⋅,

1 1 5 5

7 7 5 35

⋅= =

⋅, б)

2 2 3 6

5 5 3 15

⋅= =

⋅,

2 2 4 8

5 5 4 20

⋅= =

⋅,

2 2 5 10

5 5 5 25

⋅= =

⋅, в)

8 8 3 24

13 13 3 39

⋅= =

⋅,

8 8 4 32

13 13 4 52

⋅= =

⋅,

8 8 5 40

13 13 5 65

⋅= =

⋅.

2. а) 3 15 75

4 20 100= = , б)

7 28 63

15 60 135= = , в)

9 108 36

11 132 44= = ,

г) 19 133 152

17 119 136= = , д)

43 344 172

125 1000 500= = , ђ)

16 64 112

25 100 175= =

3. а)1 1 25 25

4 4 25 100

⋅= =

⋅, б)

4 4 20 80

5 5 20 100

⋅= =

⋅, в)

12 12 4 48

25 25 4 100

⋅= =

⋅, г)

3 3 10 30

10 10 10 100

⋅= =

⋅.

113

4. Како је

1 6

2 12= ,

2 8

3 12= ,

3 9

4 12= ,

5 10

6 12= ,

то је у бројевима 1 2 3 5

, , ,2 3 4 6

редом садржано 6 , 8 , 9 и 10 дванаестина.

5. а) 1 1 60 60

4 4 60 240

⋅= =

⋅; б)

3 3 20 60

10 10 20 200

⋅= =

⋅; в)

4 4 15 60

5 5 15 75

⋅= =

⋅;

г)12 12 5 60

25 25 5 125

⋅= =

⋅; д)

6 6 10 606

1 1 10 10

⋅= = =

⋅; ђ)

15 15 4 6015

1 1 4 4

⋅= = =

⋅.

6. а) 1 1 3 3

2 2 3 6

⋅= =

⋅ и

1 1 2 2

3 3 2 6

⋅= =

⋅, (јер је S(2,3) 6= );

б) 3 3 5 15

4 4 5 20

⋅= =

⋅ и

3 3 4 12

5 5 4 20

⋅= =

⋅, (јер је S(4,5) 20= );

в) 2 2 4 8

3 3 4 12

⋅= =

⋅ и

1 1 3 3

4 4 3 12

⋅= =

⋅, (јер је S(3,4) 12= );

г) 5 5 11 55

6 6 11 66

⋅= =

⋅ и

2 2 6 12

11 11 6 66

⋅= =

⋅, (јер је S(6,11) 66= );

д) 7 7 9 63

16 16 9 144

⋅= =

⋅ и

7 7 16 112

9 9 16 144

⋅= =

⋅, (јер је S(16,9) 144= );

ђ) 1 1 2 2

2 2 2 4

⋅= =

⋅ и

3

4, (јер је S(2,4) 4= );

е) 13

25 и

2 2 5 10

5 5 5 25

⋅= =

⋅, (јер је S(5,25) 25= );

ж) 7 7 4 28

9 9 4 36

⋅= =

⋅ и

5 5 3 15

12 12 3 36

⋅= =

⋅, (јер је S(9,12) 36= );

з) 1 1 7 7

4 4 7 28

⋅= =

⋅ и

3 3 2 6

14 14 2 28

⋅= =

⋅, (јер је S(4,14) 28= );

и) 7 7 5 35

10 10 5 50

⋅= =

⋅ и

21 21 2 42

25 25 2 50

⋅= =

⋅, (јер је (10,25) 50S = ).

7. а) 1 15 1 10 1 6

, ,2 30 3 30 5 30

= = = ; б) 3 21 2 8 5 10

, ,4 28 7 28 14 28

= = = ;

в) 2 80 3 135 11 264

, ,9 360 8 360 15 360

= = = ; г) 5 80 1 24 17 51

, ,6 96 4 96 32 96

= = = .

8. 0 1 2 5 8 10

0 ,1 ,2 ,5 ,8 ,101 1 1 1 1 1

= = = = = = .

9. 3 12 18 27 33

1 ,4 ,6 ,9 ,113 3 3 3 3

= = = = = .

10. 18 18 18 18

2 ,6 ,9 ,189 3 2 1

= = = = .

114

11. а) 120 60

360 180= б)

120 40

360 120= в)

120 20

360 60= г)

120 1

360 3= .

12. a) 6 3 18 9 54 27 144 72

, , ,12 6 24 12 36 18 162 81

= = = =

б) 6 2 18 6 54 18 144 48

, , ,12 4 24 8 36 12 162 54

= = = =

в) 6 1 18 3 54 9 144 24

, , ,12 2 24 4 36 6 162 27

= = = =

13. а) 4 4 : 2 2

10 10 : 2 5= = б)

6 6 : 3 2

15 15 : 3 5= = в)

75 75 :15 5

135 135 :15 9= =

г) 16 16 : 4 4

36 36 : 4 9= = д)

69 69 : 3 23

96 96 : 3 32= = ђ)

108 108 : 27 4

405 405 : 27 15= =

14. а) 16 4

20 5= ,

45 3

105 7= ,

64 2

160 5= ,

75 1

225 3= ,

78 13

324 54= ,

420 3

560 4= ,

540 3

1260 7= ,

573 3

955 5= ,

132 4

111111 3367= ,

3300 3

5500 5=

б) 2 3 3

4 5 10

⋅=

⋅,

4 3 1

8 9 6

⋅=

⋅,

4 5 10

3 6 9

⋅=

⋅,

15 3 9

11 10 22

⋅=

⋅,

16 3 2

27 8 9

⋅=

⋅,

16 9 6

15 8 5

⋅=

⋅,

21 35 21

25 28 20

⋅=

⋅,

18 45 54

25 51 85

⋅=

⋅,

48 21 72

49 22 77

⋅=

⋅

в) 2 3 5 3

4 5 7 14

⋅ ⋅=

⋅ ⋅,

4 3 12 2

8 9 15 15

⋅ ⋅=

⋅ ⋅,

35 18 24 2

36 55 42 11

⋅ ⋅=

⋅ ⋅,

12 81 15 9

27 24 50 20

⋅ ⋅=

⋅ ⋅,

48 26 1

13 160 96 160

⋅=

⋅ ⋅,

66 72 1

144 33 12 12

⋅=

⋅ ⋅

15. а) 3 36

1 12= ,

21 7

3 1= ,

164

4= ,

426

7=

б) 1 4

3 12= ,

2 14

3 21= ,

3 15

8 40= ,

17 68

25 100= ;

в) 3 1

6 2= ,

15 3

40 8= ,

18 3

30 5= ,

48 3

64 4= .

16. Тачна су тврђења под а), в) и г).

17. а) 2 dl2

10= l

1

5= l б) 15 ml

15

100= l

3

20= l в) 23 ml

23

100= cl

32

10= cl

г) 2 cm2

100= m

1

50= m д) 3 cm

3

10= dm ђ) 77 dm

77

10= m

77

10= m.

18. 3 min1

20= h,5min

1

12= h,10 min

1

6= h,12 min

1

5= h, 45 min

3

4= h, 60 min 1= h, 80 min

11

3= h

и 195 min1

34

= h.

115

19. Најмањи двоцифрен непаран број је 11, а највећи шестоцифрени број је 999999 . Дакле,

најмањи двоцифрен непаран број је 11 1

999999 90909= део највећег шестоцифреног броја.

20. Како је 50 4 1

18 987 329

+=

⋅, збир броја 50 и најмањег сложеног броја је

1

329 део производа

најмањег парног броја дељивог са 9 и највећег троцифреног броја дељивог са 3 чије

су све цифре различите.

21. 2 2 17 34

3 3 17 51

⋅= =

⋅ или

2 2 18 36

3 3 18 54

⋅= =

⋅ или

2 2 19 38

3 3 19 57

⋅= =

⋅.

22. За природан број k важи 7 7

13 13

k

k

⋅=

⋅ (разломак

7

13 проширили смо бројем k). Онда

је, по услову задатка 7 13 140k k⋅ + ⋅ = , односно 20 140k⋅ = . Из последње једначине

закључујемо да је k 7= . Дакле, тражени разломак је 7 7 49

13 7 91

⋅=

⋅.

23. а) 54

81, б)

24

36, в)

30

45.

24. Како је 2008 2 2 2 251= ⋅ ⋅ ⋅ , закључујемо да је 2, 1004p n= = или 251, 8p n= =

УПОРЕЂИВАЊЕ РАЗЛОМАКА

1. а)2 4 7

15 15 15< < ; б)

5 6 11

23 23 23< < ; в)

45 39 7

91 91 91> > ; г)

23 8 2

15 15 15> > ; д)

17 88 106

147 147 147< <

2. а) 12 12 12

17 23 101> > ; б)

3 3 3

7 27 37> > ; в)

25 25 25

6 18 180> > ;

г) 89 89 89

105 51 15< < ; д)

1006 1006 1006

143 134 43< < .

3. а) 3

1>

7

10 б)

2

5>

4

25 в)

5

3<

33

18

г) 2

7<

7

8 д)

4

11<

7

15 ђ)

31

64>

21

45

е) 14

15>

29

36 ж)

12

35>

9

28 з)

45

52>

25

36

4. Упиши знак <,> или = тако да добијеш тачно тврђење.

а) 3

4=

33

44 б)

2

13<

1

5 в)

17

9=

153

81

г) 18

23>

5

8 д)

34

15>

35

16 ђ)

31

48>

3

5

е)8

153>

12

1349 ж)

43

88=

4343

8888 з)

97

99>

74

77

116

5. а) Разломке ћеш упоредити на тај начин што ћеш их прво проширити тако да свима

именилац буде исти. Како је S(4,3,12,6,8) 24= , први разломак проширујеш са 6 ,

други са 8 , трећи са 2 , четврти са 4 и пети са 3 . Сада треба да упоредиш разломке

18 16 22 20 15, , , ,

24 24 24 24 24. Како за њихове бројиоце важи 15 16 18 20 22< < < < , закључујеш да

је 5 2 3 5 11

8 3 4 6 12< < < < .

б) Разломке ћеш упоредити на тај начин што ћеш их прво проширити тако да свима

бројилац буде исти. Како је S(1,6,17,17,1) 102= , први разломак проширујеш са 102 ,

други са 17 , трећи са 6 , четврти са 6 и пети са 102 . Сада треба да упоредиш разломке

102 102 102 102 102, , , ,

102 85 84 210 204. Како за њихове имениоце важи 84 85 102 204 210< < < < ,

закључујеш да је 17 1 6 17

135 2 5 14

< < < < .

в) Како је 3 105 15 105 5 105 15 105 7 105

, , , ,7 245 24 168 12 252 18 126 24 360

= = = = = , закључујемо да је

7 5 3 15 15

24 12 7 24 18< < < < ;

г) Како је 7 28 5 15 13 11 22 3 18

, , , ,3 12 4 12 12 6 12 2 12

= = = = , закључујемо да је 13 5 3 11 7

12 4 2 6 3< < < < .

6. Како је S(9,12) 36= , разломак 4

9 проширујемо са 4 ,

4 16

9 36= , а разломак

5

12 са 3 ,

5 15

12 36= .

Пошто је 15 16< , закључујемо да је 5 4

12 9< , тј. да је Вукашин прочитао више.

7. Како је 3 2

8 7> , Новак је више времена посветио тенису.

8. Уочимо да је разломак 2

3 за

1

3 мањи од једног целог, разломак

5

6 за

1

6 мањи од једног

целог, а 8

9 за

1

9 мањи 1. Како је

1 1 1

9 6 3< < , закључујемо да је

8 5 2

9 6 3> > , тј. да је најбржи

био први радник.

9. Највише воде је остало у првом бурету.

10. а) 0 1

,2 2

; б) 0 1 2

, ,3 3 3

; в) 0 1 2 3 4

, , , ,5 5 5 5 5

; г) 0 1 10

, , ...,11 11 11

; д) 0 1 14

, , ...,15 15 15

.

11. а) 13 14 15

, ,4 4 4

; б) 19 23

,...,6 6

; в) 25 31

,...,8 8

; г) 40 51

,...,13 13

; д) 49 63

,...,16 16

.

12. То су, на пример, разломци 22 23 24 25 26 27

, , , , ,35 35 35 35 35 35

.

117

13. а) Како је S(3,12,4) 12= , проширивањем датих разломака добијаш 4 15

12 12 12

n< < . Дакле,

4 15n< < , то јест {5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}n∈ .

б) {15,16,17,18,19}m ∈ в) {4,5,6,7,8,9,10,11}k ∈ г) {43,44,...,72}l ∈ .

14. Проширивањем добијамо да је 12 12 12

67 12 9p< <

⋅, одакле следи {2,3,5}p ∈ .

15. Треба да упоредиш разломке 12

a и

5

8

a+, односно разломке

2

24

a⋅ и

3 ( 5)

8

a⋅ +. На основу

3 15 2a a+ > , закључујемо да је 12 8

a b< .

16. 1 2 3 4

0, , , ,5 5 5 5

A⎧ ⎫⎨ ⎬=⎩ ⎭

,4 3 2 1

1, , , ,5 5 5 5

B⎧ ⎫⎨ ⎬=⎩ ⎭

,1 2 3 4

, , ,5 5 5 5

A B⎧ ⎫⎨ ⎬∩ =⎩ ⎭

,1 2 3 4

0, , , , ,15 5 5 5

A B⎧ ⎫⎨ ⎬∪ =⎩ ⎭

, \ {0}A B = .

САБИРАЊЕ РАЗЛОМАКА ЈЕДНАКИХ ИМЕНИЛАЦА

1. а) 3 1 3 1 4

5 5 5 5

++ = = ; б)

2 4 2 4 6 2

9 9 9 9 3

++ = = = ; в)

3 4 7

10 10 10+ = ;

г) 7 1 8 4

6 6 6 3+ = = ; д)

7 17 24 4

18 18 18 3+ = = ; ђ)

11 15 26

23 23 23+ = .

2. а) 1 5 3 1 5 3 9

2 2 2 2 2

+ ++ + = = ; б)

2 3 1 2 3 1 6

7 7 7 7 7

+ ++ + = = ;

в) 13 3 7 23

10 10 10 10+ + = ; г)

7 1 10 18 9

4 4 4 4 2+ + = = ;

д) 2 5 6 4 17

16 16 16 16 16+ + + = ; ђ)

21 14 48 1 84

25 25 25 25 25+ + + = .

3. 5 1 4 2 3 0 5

8 8 8 8 8 8 8= + = + = + ;

7 1 6 2 5 3 4

10 10 10 10 10 10 10= + = + = + ;

7 1 6 4 3 31

4 4 4 4 4 4= + = + = + ;

9 2 7 5 3 31

5 5 5 5 5 5= + = + = + ;

11 5 6 9 2 21

9 9 9 9 9 9= + = + = + .

4. а) 2 3 2 5

13 3 3 3

+ = + = ; б) 1 12 1 13

34 4 4 4

+ = + = ; в) 7 30 7 37

310 10 10 10

+ = + = ;

г) 19 400 19 419

4100 100 100 100

+ = + = ; д) 2 55 2 57

511 11 11 11

+ = + = ; ђ)14 275 14 289

1125 25 25 25

+ = + = .

5. а) 5 3 2 2

13 3 3 3

= + = + ; б) 9 2 4 1 2 1 1

24 4 4 1 4 4

⋅= + = + = + ; в)

17 10 7 71

10 10 10 10= + = + ;

г) 27 5 5 2 2

55 5 5 5

⋅= + = + ; д)

34 7 4 6 64

7 7 7 7

⋅= + = + ; ђ)

101 2 37 27 272

37 37 37 37

⋅= + = + .

118

ВРСТЕ РАЗЛОМАКА. МЕШОВИТИ БРОЈЕВИ

1. а) 0 1

,2 2

б) 0 1 2

, ,3 3 3

в) 0 1 2 3

, , ,4 4 4 4

г)0 1 2 3 4

, , , ,5 5 5 5 5

д) 0 1 9

, , ...,10 10 10

ђ)0 1 11

, , ...,12 12 12

.

2. а) 0 7 14 98

, , , ...,100 100 100 100

, б) 0 11 22 99

, , , ...,100 100 100 100

, в) 0 29 58 87

, , ,100 100 100 100

.

3. а) 1 7 18 56

, , ,2 12 23 1167

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

, 3 1 5 1 354 12 6

1 , 1 , 9 92 2 4 4 38 38 19

= = = = ;

б) 4 707

,5 7007

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

, 17 1 18 4 131 3

2,1, 2 , 2 , 28 8 7 7 64 64

= = = .

4. 1 1 1 1 3 3 3 5 5

, , , , , , , ,2 4 6 7 4 6 7 6 7

5. а) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 5 5 7

, , , , , , , , , , , , , ,2 4 5 7 11 4 5 7 11 5 7 11 7 11 11

б) 11 11 11 11 11 11 7 7 7 7 7 5 5 5 5 4 4 4 2 2 1

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1 2 4 5 7 11 1 2 4 5 7 1 2 4 5 1 2 4 1 2 1

6. а) 3

13

= б) 10

110

= в) 8

24

= г) 28

47

= д) 25

55

= ђ) 74

237

= .

7. 5 2

13 3

= , 9 1

24 4

= , 17 7

110 10

= , 27 2

55 5

= , 34 6

47 7

= , 101 27

237 37

=

8. 2 5

13 3

= , 1 13

34 4

= , 7 37

310 10

= , 19 419

4100 100

= , 2 57

511 11

= , 14 289

1125 25

= .

9. Ако скуп S садржи само праве разломке, онда за n важи

0 9 8,0 6 10,0 5,6 3,8 9n n n n n≤ − < ≤ + < ≤ < − > + > ,

односно

1 9, 4, 0 5, 3, 1n n n n n< ≤ < ≤ < < > ,

одакле добијамо да је једино решење 2n= .

ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИС РАЗЛОМАКА

1. а) 3

0,310

= ; 5

0,510

= ; 3

1 1,310

= ; 2

3 3,210

= ; 23

2,310

= ; 59

5,910

= ;

б) 2

0,02100

= ; 51

0,51100

= ; 3

1 1,03100

= ; 25

4 4,25100

= ; 304

3,04100

= ; 509

5,09100

= ;

в)7

0,0071000

= ; 47

0,0471000

= ; 789

0,7891000

= ; 205

1 1,2051000

= ; 34

2 2,34100

= ; 9076

9,0761000

= .

119

2. а) 1 5

0,52 10

= = ; 1 2

0,25 10

= = ; 3 15

1,52 10

= = ;

6 121,2

5 10= = ;

3 61 1 1,6

5 10= = ;

1 513 13 13,5

2 10= = ;

б) 3 6

0,0650 100

= = ; 19 38

4 4 4,3850 100

= = ; 67 335

3,3520 100

= = ;

304 121612,16

25 100= = ;

3 750,75

4 100= = ;

5 1251,25

4 100= = ;

в) 407 814

0,814500 1000

= = , 303 1212

1,212250 1000

= = ; 117 585

0,585200 1000

= = ;

9 720,072

125 1000= = ,

734 58725,872

125 1000= = ;

7 8750,875

8 1000= = .

3. а) 7

0,710

= ; 5 1

1,5 1 110 2

= = ; 4 2

2,4 2 210 5

= = ; 2 1

101,2 101 10110 5

= = ;

б) 11

0,11100

= ; 5 1

45,05 45 45100 20

= = ; 25 1

2,25 2 2100 4

= = ; 4 1

31,04 31 31100 25

= = ;

в) 999

0,9991000

= ; 505 101

5,505 5 51000 200

= = ; 35 7

23,035 23 231000 200

= = ;

4 11,004 1 1

1000 250= = ;

36 96,036 6 6

1000 250= = .

4. а) 1

0,(3)3

= ; 2

0,(6)3

= ; ( )50,8 3

6= ;

40,(571428)

7= ;

б) ( )121, 09

11= ;

563,7(3)

15= ;

1062,3(5)

45= ;

6543233,67(857142)

28= ;

в) 7

3 3,(7)9

= ; ( )42 2, 190476

21= ;

1010 10,(769230)

13= ; ( )25

1 1, 67539

= .

5. а) 1

0,(3)3

= ; 1

1,(1) 19

= ; б) 5

8,(45) 811

= ; 7

10,(21) 1033

= ;

в) 262

33,(786) 33333

= ; 44

404,(044) 404999

= .

6. а) 1

0,0(6)15

= ; 91

1,10(1) 1900

= ; б) 5

0,0(45)110

= ; 101

121,012(21) 1218250

= ;

в) 131

33,0(786) 331665

= ; 22

404,0(044) 4044995

= .

7. 7 dm 0,7= m, 24 dm 2,4= m, 26 cm 0,26= m, 108 cm 1,08= m, 2mm 0,002= m,

10101 mm 10,101= m, 1km 5dm 3cm 6mm 1000,536= m.

120

ПОРЕЂЕЊЕ РАЗЛОМАКА ДАТИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ

1. а) 0,2 < 0,5 ; б) 0,02 < 0,05 ; в) 0,002 < 0,005 .

2. а) 0,02 < 0,2 ; б) 0,3 > 0,03 ; в) 0,06 > 0,006 .

3. а) 0,05 > 0,04 ; б) 2,786 > 2,785 ; в) 99,4562 < 99,4568 .

4. а) 0,298 < 0,307 ; б) 10,583 <10,62 ; в) 0,043 < 0,2 .

5. 105 84 175 120

, , ,210 210 210 210

A⎧ ⎫⎨ ⎬=⎩ ⎭

, 2 1 4 5

5 2 7 6< < < ;

{ }0,6; 6,875; 4,12; 52,344B = , 3 103 55 6543

5 25 8 125< < < ;

1260 270 468 293 ,3 ,10 ,10

1800 1800 1800 1800C

⎧ ⎫⎨ ⎬=⎩ ⎭

, 3 7 29 13

3 3 10 1020 10 1800 50

< < < .

6. а) 40,4 4,4 4,04 0,44 0,404 0,4> > > > > ; б)10,01 1,1 1,001 0,11 0,1001 0,011> > > > > .

7. а) 1

4> 0,2 ; б)

1

6> 0,16 ; в)

1

8= 0,125 ; г) 0,127 >

3

25; д) 10,583 <

210

3; ђ) 0,45 <

6

13.

8. Упиши у <,> или = тако да добијеш тачно тврђење.

а) 1

4m< 40 cm; б)

1

6l>1,6 dl; в)

1

8kg=125 g; г)

1

3 дана = 8 сати;

д) 3

4 године > 7,5 месеци.

ПРИБЛИЖНА ВРЕДНОСТ БРОЈА

1.

дати број 0,7257 55,555... 8,5238 100,00199 645,39645


цео део1 56 9 100 645


1 децималу0,73 55,6 8,5 100,0 645,4


2 децимале0,72 55,56 8,52 100,00 645,40


3 децимале0,726 55,556 8,524 100,002 645,396

121

2. 335,99 : 5 67,198 67,20= ≈

3. Како је 199,9 : 3 66,6... 67= ≈ , на малом губитку je Јанко.

4.

дати број2

3

8

15

9

22

132

35

77

108број заокругљен на

цео део1 1 0 4 1


1 децималу0,7 0,5 0,4 3,8 0,7


2 децимале0,67 0,53 0,41 3,77 0,71


3 децимале0,667 0,533 0,409 3,771 0,713

БРОЈЕВНА ПОЛУПРАВА

1.

2.

1 2 3 7 17 11 2

2 3 4 6 12 4< < < < < < .

3. б)

0 1 2 33 435

16

0 1 1 2 235

43

12

74

415

0 1 2 212

23

34

76

1712

14

122

в)

г)

4. б) 3 3

x 38 5

< ≤ ; в) 4 17

x 25 20

< < ; г)7 7

1 x 212 15

≤ ≤ .

5.

0 1 245

54

0 1 2 2,933 413

0 A( )14

D( )12

B(1) C(2 )14

123

РАЗЛОМЦИ - II ДЕО

1. Допуни шта недостаје:

а) 2 37 7 7

+ = ; б) 4 2 69 9

+ = ; в) 4 11

15 15 15+ = ;

г) 3 4 7

15 5

+ = = ; д) 5 2 3

11 11 11 11+ + = ; ђ)

1 3 61

7 7 7+ + = = ;

е) 5 3 9 7

116 16 16 16

+ + + = = .


а) 1

53

+ ; б) 1

5 55

+ ; в) 1 3

1111 11

+ ; г) 2 5

3 49 9

+ ;

д) 3 1 5

8 3 18 8 8

+ + ; ђ) 4 2 4

4 8 99 9 9

+ + ; е) 1 1 3

2 35 5 5

+ + ; ж) 3 7 12 11

5 2 420 20 20 20

+ + + .

3. Попуни таблице: а) б) в)

+26

56

1636

64

+ 2 4 7

13

51

69

78

20

+18

31

858

23

8

2

78

4. Нађи збир свих правих разломака са имениоцем 6.

5. Марко је првог дана на излету препешачио 1

4 km5

, а другог дана 2

6 km5

. Колико је

километара Марко укупно препешачио на излету?


а) 7 1

10 10 10− = ; б)

11 512 12

− = ; в) 13 515 15 15 3

− = = ; г) 7 2 1

20 20 20− = = .


а) 18 1425 25

− ; б) 11 3 514 14 14

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠; в)

2 3 47 7 7

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠; г)

17 7 518 18 18

− − .

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА ЈЕДНАКИХ ИМЕНИЛАЦА

124


а) 2

5 4 __5 5

− = ; б) 4 4

9 4 __9

− = ; в) 2 1

8 5 __3 3

− = ; г) 1 1

7 3 __2 2

− = .


а) 5 3

12 38 8

− ; б) 3 2

8 25 5

− ; в) 5 1

20 207 7

− .


а) 1

22

− ; б) 1

44

− ; в) 2

83

− ; г) 6

6 37

− ; д) 3

8 68

− ; ђ) 2

10 55

− .

11. Одузми:

а) 1 2

3 23 3

− ; б) 1 3

4 34 4

− ; в) 5 7

9 28 8

− ; г) 2 3

6 35 5

− ;

д) 8 11

12 315 15

− ; ђ) 9 21

13 850 50

− ; е) 1 89

199 99

− ; ж) 1 13

517 17

− .

12. Попуни таблице: а) б) в)

1

23

78

51

9

7

8

3

1

17

44

73

37

56

76

127

25

7

58

8

4

2

25

8

13. Уместо x стави одговарајући број тако да једнакост буде тачна:

а) 5 9

12 12 12x

+ = ; б) 11 8 1921 21 x

+ = ; в) 23 1925 25 25

x− = ;

г) 3 6

2 1 110 10 10x

− = ; д) 3 7

2 10 128 8 8

x+ = ; ђ)

4 89 9 9

x+ = .

14. Уместо x стави одговарајући број тако да једнакост буде тачна:

а) 7

115 15x

+ = ; б) 6 3

13 13 13x

− = ; в) 2

2 39 9

x+ = ;

г) 5 1 11

10 10 10 10x

+ + = ; д) 5 16 8

17 17 17 17x

+ = − ; ђ) 4 8

2 89 9

x+ = .

125


а) 3 8 4 25 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ б) 5 3 1 9

16 16 16 16

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

в) 1 2 2 15 3 4 2

3 3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ г) 1 3 2

2 7 65 5 5

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠.


а) 52 1 4

3 25 5 5

+ − б) 122 1 5

3 19 9 9

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠

в) 7 9 11

6 1 512 12 12

− + г) 3 17 9

21 9 520 20 20

− − .


а) 4 215 4 2

9 9

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠ б) 5 1 7 3

12 4 3 58 8 8 8

⎛ ⎞− + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

в) 3 4 1 53 4 7 5

7 7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ г) 5 3 10

5 10 511 11 11

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

18. Израчунај обим троугла чије странице имају дужине 1

5 cm10

, 3

6 cm10

и 7

7 cm10

.

19. Један продавац је продао 3

125

метара штофа, а други 1

185

метара штофа. Колико је више

штофа продао други продавац? Колико су штофа укупно продали?

20. Бициклиста је првог дана прешао 3

15 km8

, а другог дана за 1

2 km8

мање него првог

дана. Колико километара је прешао бициклиста за два дана?


а) 2 1 55 4 20 20 20

+ = + = ; б) 2 1 45 2 10 10 10

+ = + = ;

в) 1 35 4 20 20

+ = + = ; г) 2 19 6 18 18

+ = + = ;

д) 7 3

10 20+ = + = ; ђ)

5 3__

6 8+ = + = = .


а) 4 19 3

+ ; б) 5 36 4

+ ; в) 85

32

+ ; г) 1 22 3

+ ;

д) 3 3 58 4 6

+ + ; ђ) 9 3

20 4+ ; е)

1 8 33 15 5

+ + .

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА РАЗЛИЧИТИХ ИМЕНИЛАЦА

126


а) 2 2

1 45 7

+ ; б) 1 5

5 32 12

+ ; в) 4 3

3 515 10

+ ;

г) 3 5

2 74 6

+ ; д) 4 7

9 25 8

+ ; ђ) 5 11

4 128 12

+ .

4. Попуни таблицу: а) б)

+25

37

12

3823

14

+5

125

36

15

2

28

15

94

46

5


а) 1 1

11 311 3

+ ; бб) 5 1

6 26 2

+ ; в) 5 7

5 29 12

+ ;

г) 5 11

7 312 15

+ ; д) 5 7

14 36 15

+ ; ђ) 13 11

2 1918 12

+ .


а) 2 4 1

3 7 85 7 2

+ + ; б) 3 5 3

2 7 84 6 8

+ + ; в) 1 1 1

1 3 52 3 5

+ + .

7. Допуни дату шему:


а) 1 2 52 5 10 10 10

− = − = ; б) 5 1 5

_6 2 6 6

= − = ;

в) 7 28 3 24

− = − = ; г) 11 220 5 20

− = − = ;

д) 3 14 6

− = − = ; ђ) 6 17 2

− = − = .

127


а) 5 36 8

− ; б) 7 28 3

− ; в) 9 13

10 15− ;

г) 5 47 21

− ; д) 11 218 9

− ; ђ) 4 1

15 6− .


а) 3 1

5 37 4

− ; б) 1 3

12 85 4

− ; в) 2 7

9 53 8

− ;

г) 141 5

32 7

− ; д) 2 3

8 73 4

− ; ђ) 1 4

12 22 5

− .


а) 1 3 2

2 4 32 4 3

+ − ; б) 2 4 1

9 8 73 5 4

+ − ; в) 1 5 48 2 5

2 6 5

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠;

г) 1 3 79 3 4

6 10 12

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠; д) 3 1 5

12 8 44 6 8

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠; ђ) 7 7 7

9 2 59 12 18

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

12. Попуни дату шему: а) б)

4

12

53423

1814

43

9

81

157

420

13. Израчунај вредност израза:

а) 1 2 3 1

7 4 10 98 5 5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠; б)

4 1 2 24 8 5 2

7 2 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.


а) 2 1 1 8

8 6 6 37 2 3 21

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠; б)

1 3 2 19 6 7 4

2 4 5 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.


а) 3 5 1 1

27 14 18 125 6 3 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠; б)

2 1 1 518 5 4 2

7 2 3 21

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

16. Број 12 умањи за збир бројева 2

45

и 1

14

.

128

17. Број 2

55

увећај за разлику бројева 5

66

и 2

33

.

18. Броју 7

710

додај разлику бројева 9 и 4

615

.

19. Од броја 17

2020

одузми збир бројева 3

1010

и 5

88

.

20. Збиру бројева 2

105

и 2

15

додај разлику бројева 2

85

и 1

44

.

21. Разлици бројева 1

66

и 4

55

додај збир бројева 1

44

и 2

23

.

22. Од збира бројева 3

54

и 7

129

одузми разлику бројева 5

36

и 1

23

.

23. Разлици бројева 1

38

и 1112


74

и 56

.

24. Израчунај збир четири броја од којих је први 2

45

, а сваки следећи је за 1

23

већи од његовог претходника.

25. Одреди обим троугла ако су његове странице 1

4 cm2

, 3

6 cm5

и 7

8 cm10

.

26. Обим троугла је 3

20 cm4

. Ако су дужине двеју страница 9

6 cm20

и 7

7 cm10

, одреди

дужину треће странице.

27. Обим троугла је 4

20 cm5

. Ако је једна страница 1

7 cm2

, друга за 2

1 cm5

краћа од прве,

колика је дужина треће странице?

28. Израчунај обим правоугаоника чија је дужина 1

8 m2

, а ширина је за 3

1 m4

краћа од дужине.

29. Шта је веће: збир бројева 3

24

и 7

58

или разлика бројева 1

142

и 7

58

?

30. Ако је 2

183

a= , 1

64

b= , 4

25

c = израчунај:

a) a b c+ + ; б) a b c− + ; в) a b c− − ; г) ( )a b c− + .

31. Ако је 3 1

12 8 14 2

a⎛ ⎞

= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

, 1 2

4 35 5

b= − израчунај a b+ .

129

32. Марко је потрошио 5

12 новца који је понео на екскурзију и остало му је још 700 динара.

Колико новца је Марко понео на екскурзију?

33. Жељка је прочитала 49

књиге и остало јој је да прочита још 50 страница. Колико

страница има књига?

34. Трговац је продао 7

15 укупне количине јагода и остало му је још 40kg јагода. Колико је

било килограма јагода у продавници?

35. Деда Милош ја продавао кромпир на пијаци. Прво је продао 7

20, а затим

38

од укупне

количине. Који део од укупне количине је деда Милош морао да врати кући?

36. Бициклиста је за три сата прешао одређену стазу, али тако што је у току првог сата

прешао 9

20, а у току другог

415

укупног пута. Који део пута је прешао у току трећег сата?

37. Аутомобилиста је првог сата прешао 19

пута, другог сата 1

12 пута више него првог, а

трећег сата 14

укупног пута. Колико му је још остало да пређе?

38. Ученик је прочитао књигу за три дана. Првог дана је прочитао 4

15 књиге, а другог дана

за 3

10 више него првог. Који део књиге је прочитао трећег дана?

Решење: Први дан: 4

15,

други дан: 4 3 8 9 17

15 10 30 30 30+ = + = ,

трећи дан: 4 17 8 17 25 5 1

1 1 1 115 30 30 30 30 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = − + = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

39. Радник је један посао урадио за три дана. Првог дана је урадио 7

12 посла, а другог дана

за 38

мање од првог. Који део посла треба да уради трећег дана?

40. Једна улица је асфалтирана за три дана. Првог дана је асфалтирана 1

km5

, другог дана 3

km20

више него првог дана, а трећег 1

km20

мање него другог дана. Колика је дужина улице?

130

41. Камен бачен у бунар падне у воду за три секунде. Прве секунде пређе 7

4 m10

а у свакој

следећој за 4

9 m5

више него у претходној секунди. Израчунај дубину бунара.

42. До базена воде две цеви. Одреди који део базена је напуњен за 1 сат ако:

1) прва цев за 1 сат напуни 14

базена, а друга цев за 1 сат напуни 19

базена;

2) прва цев за 1 сат напуни 56

базена, а друга цев за 1 сат испразни 58

базена.

43. Базен се једном славином напуни за 8 сати, а другом се испразни за 12 сати. Који део базена је напуњен за 1 сат ако су истовремено отворене обе славине? За које време ће се базен напунити до врха ако су отворене обе славине?

Решење:

Како се базен једном славином напуни за 8 сати, за 1 сат напуни се 18

базена. Друга

славина испразни базен за 12 сати, а за 1 сат се испразни 1

12 базена.

Ако су отворене обе славине истовремено, прва га пуни, а друга празни, па ће за 1 сат

бити напуњена 1 1 3 2 18 12 24 24 24

− = − = базена, што значи да ће се базен напунити до врха

за 24 сата.

44. Базен пуне две цеви: једна за 6 сати, а друга за 4 сата. Трећа цев га празни за 12 сати. Који део базена је напуњен за 1 сат ако су истовремено отворене све три цеви?

45. Бојан опере очев аутомобил за 21 минут. Бојан и његов брат Воја заједно оперу ауто за 14 минута. За које време би Воја сам опрао очев аутомобил?

46. Један радник заврши неки посао за 12 часова, а други заврши исти посао за 15 часова. За које би време тај посао био завршен ако би радили заједно?

47. Један посао два радника могу да заврше за 15 дана. Ако један радник исти посао може да заврши за 20 дана, за колико би дана исти посао урадио други радник сам?

48. Дечак претрчи стазу дужине 500m за 256

минута, а девојчици је за исту стазу потребно 14

минута више. За колико минута девојчица претрчи ту стазу? Колико времена јој је

потребно да пређе стазу од 1500m?

49. Бициклиста је прешао 38

пута. Када пређе још 15km, остаће му још 1

10 пута до половине

пута. Колика је дужина целог пута?

50. Ако се из једног бурета преспе у друго 1212

литра воде, а у треће 1534

, онда у сваком

бурету има по 12412

литра воде. Колико је било воде у сваком бурету пре пресипања?

131



а) 19,4 13,9+ ; б) 5,8 12,31+ ; в) 23 16,5+ ;

г) 22,22 11,1+ ; д) 7,6 215,67+ ; ђ) 395,486 4,58+ ;

е) 0,54 31,178+ ; ж) 1,9876 2007,01+ ; з) 105,4 31,023+ .


а) б)

+ 1 3 6

0,32

0,4

0,183

+ 2,6 7,91 3,199

4,4

11,3

13,45

4. Сабери:

а) 2,3 5,9 8,1 0,7+ + + ; б) 4,4 35,82 0,276+ + ; в) 126,8 73,72 8,357+ + ;

г) 0,372 9,49 17 56,2+ + + ; д) 4,23 3,004 0,0038+ + .


САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ ДЕЦИМАЛНИХ БРОЈЕВА

132


а) 55,5 22,2− ; б) 9,4 7,3− ; в) 45,67 18,2− ;

г) 16,87 15,87− ; д) 3,4 1,29− ; ђ) 36,1 0,189− ;

е) 107,79 103,79− ; ж) 88,852 4,69− ; з) 6,6 5,99− ;

и) 10 4,989− ; ј) 5 3,027− ; к) 3,78 1,396− ;

л) 23,341 13,341− ; љ) 24,24 24,239− ; м) 7,19 0,004− .

7. Попуни таблицу: а) б)

4,8

6,39

7,11

3,82

8,4

12,31

6,38

9,19

3,1


a) 24,08 8,792 0,97− + ; b) 2,17 16,9 8,483+ − ;

v) ( )38,45 27,35 8,45− − ; g) ( )542,3 600 541,3+ − ;

d) ( ) ( )6,25 2,3 5,7 4,87− + − ; đ) ( ) ( )6,8 2,25 4,35 1,8− + − .

9. Ако је a 7,24= ; b 3,6= ; c 0,379= израчунај: а) a b c+ + б) a c b− + в) a c b+ − 4) ( )a b c− + .


а) ( )[ ]56,24 27,11 43,76 27,11− − − ; б) ( )[ ]132 27,27 52,75 0,2− + + ;

в) ( )[ ]555 308,45 80 76,54− − − ; г) ( ) ( )18,7 9,006 194,508 112,71− + − ;

д) ( ) ( )21,8 2,007 15,5 2,65 1,999− + + − .

11. Израчунај у децималном запису:

а) 0,6 1,4+ ; б) 5

4 6,218

+ ; в) 3

5 3,514

− ; г) 1

6 4,5152

− ;

д) 7

5,12 420

− ; ђ) 4

7 0,55

− ; е) 1

5 0,52

− ; ж) 3

8,8 34

− .

12. Израчунај у разломку:

а) 3

8,32 920

+ ; б) 4

2 0,55

− ; в) 1

9 0,52

− ;

г) 3

5,5 34

− ; д) 5 1

3,58 2

+ − .

133

13. Допуни дату шему:

14. Израчунај :

а) 1 3

0,125 0,25 0,34 10

+ − + − б) 7 1

30 8 2,8 69 15

⎛ ⎞− + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

15. Израчунај :

а) 1 2

6,9 1 2 3,252 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ б)

4 115,8 8,75

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ в)

1 1 16,75 3 7

2 4 25

⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

16. Ако је aa 7,6 4,54= − и b 3,12 1,9= + израчунај a b+ .

17. Ако је a 15,06 4,9= + и b 7,5 2,84= − израчунај a b− .

18. На пошту су допремљена 4 пакета по 23,7kg , 13,25kg , 0,874kg и 2,396kg. Колика је тежина свих пакета заједно?

19. Са једне њиве је пожњевено 5,25t пшенице, са друге 9,18t и са треће 3,42t пшенице. Колико је укупно тона пожњевено за све три њиве?

20. Израчунај обим троугла ако су странице 4,7a= , 0,9b a= + , а страница 1,9c b= + .

21. Првог дана продато је 44,58m штофа, другог за 14,75m мање, а трећег 18,4m више него другог дана. Колико је продато штофа за три дана?

22. Броју 19,4 додај разлику бројева 52,17 и 44,444.

23. Од броја 25 одузми збир бројева 4,44 и 19,19.

24. Збиру бројева 7,6 и 18,15 додај разлику бројева 24,3 и 14,57.

25. Од разлике бројева 105,16 и 19,1 одузми збир бројева 52,4 и 14,16.

26. Збиру бројева 9,4 и 3

48


520

и 2,25.

134

27. За колико је збир бројева 3

114

и 2,25 већи од разлике бројева 15,1 и 7

1010

?

28. Маја је у пекари купила кроасан са виршлом за 42 динaрa, питу са вишњама за 28,5 динара и јогурт за 8,35 динара. Колики кусур треба да јој врати продавац ако му је она дала 100 динара?

29. У првој корпи је 10,125kg грожђа, а у другој 9,45kg. Ако се из прве корпе извади 4,8kg, а у другу дода 1,55kg, колико грожђа ће бити у свакој корпи после премештања?

30. Планинар је првог сата прешао 34,4km, другог сата за 2,25km више него првог, а трећег 8,64km мање него другог. Колико је километара прешао за три сата?

31. Разгледајући Париз са Ајфелове куле, Милану је испао двоглед и пао на земљу за четири секунде. У првој секунди двоглед је прешао 4,9m а у свакој следећој за 9,8m више него у претходној секунди. Са које висине је Милан разгледао Париз?

32. Мајка је својим ћеркама поделила џепарац за ужину. Најмлађа ћерка је добила 26,5 динара, средња ћерка за 8,3 динара више од најмлађе, а најстарија је добила као прве две заједно. Колико новца је мајка укупно дала својим ћеркама?

33. Носивост лифта је 300kg. Ако су у лифт ушле две девојчице, једна тежине 40kg и друга која је 1,5kg лакша од ње, и бака, тежине 65,5kg, која носи торбу са пијаце тежине 8,75kg, колико још килограма може да прими лифт?

34. Попуни дате пирамиде ако за ca b

важи a b c+ = :

17,66 7,8

4,95 0,75

в)

12,4

7,35 2,143,6 5,11 4,84

a) б)

135

1. Попуни празне квадратиће тако да једнакости буду тачне:

а) 1 3 37 5 5

+ = + ; б) 2 3

29 4

+ =2

29

+ ;

в) 1 1

13,3 1 12 2

+ = + ; г) 3 4 6

3 4 58 9 11

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠4 6

4 59 11

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

2. Попуни таблице и упореди последње две колоне:а)

a b a b+ b a+

32

73

14

78

91

46

4,11 7,3

б)

a b c ( )a b c+ + ( )a b c+ +

23

56

89

12

41

36

14

8

6,6 0,4 2,15

3. Користећи својства сабирања израчунај:

а) 1 2 1

4 22 3 2

+ − ; б) 5 3 4 1

5 8 4 19 4 9 4

+ + + ;

в) 2,75 7,6 3,25 4,4+ + + ; г) 2 5

3,9 5 8,6 23 6

+ + + .

4. Упрости изразе:

а) 2 0,3 4 2,6x x+ + + ; б) 1 1

3 3 4 42 3

a a+ + + .

5. Ако је 2,5a b+ = израчунај:

а) 0,7a b+ + ; б) 0,9a b− + ;

в) ( )12,41a b+ + ; г) ( ) ( )8,765 3,17a b+ + − .

СВОЈСТВА САБИРАЊА РАЗЛОМАКА

136

1. Доврши започето решавање једначина:

а) 1 22 3

x + =

2 13 2

x = −

3

6x = −

6

x =

Провера: 1 1 1 3 4 26 2 6 6 6 3

+ = + = =

б) 3,4 15,2x+ = 15,2 ____x = − ____x =Провера: 3,4 11,8 15,2+ =

в) 3 58 12

x − =

5 3

12 8x = +

24 24

x = +

x =

Провера: 19 3 19 9 10 524 8 24 24 24 12

− = − = =

г) 6,19 2,9x− = ____ 2,9x = − ____x =Провера: 6,19 3,29 2,9− = .

2. Попуни празна поља таблице одговарајућим децималним бројевима:

+ 5,93 3,14

4,32 8,11

7,8

5

2,66

19,4 15,45

13,5

7,11 0,5

3. Попуни празна поља таблице одговарајућим разломцима:

+12

13

31

33

38

10

34

45

612

59

71

20

54

183

35

0

87

15

ЈЕДНАЧИНЕ

137

4. Реши једначине:

а) 2 57 9

x+ = ; б) x3 1

25 2

+ = ; в) 5 5

1 312 6

x+ = .


а) 2 1

15 39 6

x− = ; б) 1 3

5 26 4

x− = ; в) x3 2

x 2 510 5

− = ; г) 5 1

6 106 2

a− = .


а) xx 3,7 9,8+ = ; б) 17,32 31,14x+ = ; в) x 5,4 1,25− = ; г) x 3,9 6,17− = ;

д) 4,2 3,35x− = ; ђ) 7,98 3,31x− = ; е) 5,19 16,31y+ = ; ж) x 0,19 2,91− = .


а) x2

3,53

− = ; б) 1

11,3 52

a− = ; в) 1

8 5,62

m− = ;

г) x1

x 3 7,94

+ = ; д) 2

3,3 105

x+ = ; ђ) x5

4,8 56

− = .


а) 5 2 5

10 4 88 5 12

x⎛ ⎞

− − =⎜ ⎟⎝ ⎠

; б) 7 2

5 2 310 5

a⎛ ⎞

− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

в) 1 2 5

2 2 62 5 6

x⎛ ⎞

+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

; г) 3 1 3

2 4 84 2 8

x⎛ ⎞

+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

д) 2 5 1

5 3 15 12 6

x⎛ ⎞

− − =⎜ ⎟⎝ ⎠

; ђ) 1 4 1

3 5 710 15 12

x⎛ ⎞

− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

.


а) ( ) 32,2 3 10

10y − + = ; б) ( ) 5

8,2 5 68

x− + = ;

в) ( )5 38 2,2 5

6 4x− + = ; г)

11 212 4,5 11

18 3x

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

10. Који број треба додати броју 3

35

да би се добио број 4

1415

?

11. Који број треба одузети од броја 7

1012


118

?

138

12. Ком броју треба додати 1

22

да би се добио збир бројева 4

45

и 3

610

?

13. Који број треба додати разлици бројева 1

35

и 1

24


66

?

14. За колико треба повећати израз 3 3 1

10 5 25 8 2

+ − да се добије 15?

15. Који број треба одузети од збира бројева 5

56

и 7

109

да би се добио збир бројева 9

310

и 2

23

?

16. Ако неки број саберемо са 3

14

, па тај збир одузмемо од броја 12, добићемо 4

49

. Који је то број?

17. Бициклиста је првог дана прешао 52,5km, а другог дана 3

10 km4

мање него првог дана.

Ако је укупна дужина пута 150km, колико још километара треба да пређе?

18. Ана, Бојана и Виолета су укупно убрале 224kg малина. Ана је убрала 73,6kg, а Бојана за 3

5 kg5

више од Ане. Колико је килограма убрала Виолета?

19. Два молера су за један дан окречила 1

15 зграде. Ако је један окречио

120

зграде, колико је окречио други молер?

1. Доврши започето решавање неједначина:

а) x2 75 10

+ >

x7

10 5> −

x4

10> −

x10

>

б) 1 3

3 62 4

x+ ≤

x 6 34

≤ −

x 6 34 4

≤ −

__x ≤

НЕЈЕДНАЧИНЕ

0 1 2 30 1

139

в) x2 5

2 43 6

− <

x2

x 4 26

< +

x __ 26 6

< +

x 66

<

x 7<

г) x 4,7 0,8− ≥

x 0,8 4, __≥ +

x __, __≥


а) 1 2

8 64 3

x− ≤

1

8 __3

x ≥ −

8 612

x ≥ −

7 6x ≥ −

__x ≥

б) 5 3

12 58 4

x− >

x 12 58 4

< −

xx __ __8 8

< −

x __ __8

< −

x __<

3. Одреди решења неједначина у скупу природних бројева:

а) x3

97

< ; б) 3 5

5 108 6

x+ < ; в) x2 1

7 29 4

− < ;

г) 1 7

2 72 9

x+ > ; д) 7 5

6 112 18

x− > .

4. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој:

а) 3

5 35

x− > ; б) x3

x 3 54

+ < ; в) 1 1

8 42 4

x− > ;

г) 7 5

12 1512 6

x+ < ; д) y1 3

1 42 4

− > ; ђ) 3 1

6 210 2

x− ≤ ;

е) x3

5 105

− < ; ж) 3 1

8 34 2

x− ≥ ; з) x4 3

3 75 10

+ ≤ .

0 5 10 0 5 10

0 1 2 0 5 10

140


а) x 1,2 3,7+ > ; б) x 4,39 8,39+ ≤ ; в) 3,82 11,32x+ < ;

г) xx 4,45 2,15− ≥ ; д) 6,7 1,4x− < ; ђ) x 5,45 2,55− < .


а) x1

4,5 64

− ≥ ; б) y1

0,5 25

− > ; в) 3

3,5 74

x+ ≥ ;

г) 1

4 0,752

x− < ; д) x1

x 2,5 35

− > ; ђ) 4

3,3 75

x+ ≤ .


а) 4 2 2

3 5 65 3 5

x+ > + ; б) 3 4

10 1 54 9

x⎛ ⎞

− + ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

;

в) 1 1

4 2 124 2

x⎛ ⎞

+ − ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

; г) ( )1 36 4,5 3

2 4x− − ≤ .


а) ( ) 1 15,5 7 3

4 2x+ − > ; б)

1 310,6 2 5

2 10x

⎛ ⎞− − <⎜ ⎟

⎝ ⎠;

в) ( ) 110 1 8,8

2y− + < ; г)

1 19,8 3 10

2 4y

⎛ ⎞− − ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠.

9. За које је вредности x израз 3 3

4 15 4

x⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

мањи од 3

1010

.

10. Из скупа A3 1

A 0,25; ; 2 ; 89 5

⎧ ⎫⎨ ⎬=⎩ ⎭

издвој елементе који припадају скупу решења неједначине

4 8 14 4

5 15 3x

⎛ ⎞− − >⎜ ⎟

⎝ ⎠.

11. Које бројеве можеш додати броју 7

59

тако да збир буде мањи од 1

86

?

12. Које бројеве можеш одузети од 5

128

тако да добијена разлика не буде мања од 2

23

?

13. Од којих бројева можеш одузети збир бројева 2,9 и 6,17 тако да добијена разлика буде већа од 4,23?

14. Када од броја 7

1012

одузмеш неки број увећан за 3,3 добијеш број који је већи од 4

45

.

Одреди скуп таквих бројева.

15. Када разлику неког броја и броја 0,6 сабереш са 2

43

, добићеш број који није већи од 4

915

. Одреди скуп таквих бројева.

141

РАЗЛОМЦИ II ДЕО РЕШЕЊА

1. а) 2 3 57 7 7

+ = ; б) 4 2 69 9 9

+ = ; в) 4 7 11

15 15 15+ = ; г)

3 4 7 21

5 5 5 5+ = = ; д)

5 2 3 1011 11 11 11

+ + = ;

ђ) 1 3 6 10 3

17 7 7 7 7

+ + = = ; е) 5 3 9 7 24 8

116 16 16 16 16 16

+ + + = = .

2. а) 1

53

; б) 1

105

; в) 4

1111

; г) 7

79

; д) 1

138

; ђ) 1

229

; е) 6 ; ж) 13

1220

.

3. а) б) в)

+26

56

16

36

1

36

56

21

6

46

13

16

+ 2 4 7

13

5 515 1

75

110

51

69

18

91

139

113

9

78

207

1020

712

207

1520

+18

31

858

23

83

38

54

87

38

21

28

33

85

28

78

12

28

41

8

4. 1 2 3 4 5 15 3 1

2 26 6 6 6 6 6 6 2

+ + + + = = = .

5. 3

10 km5

.

6. а) 7 1 6

10 10 10− = ; б)

11 5 612 12 12

− = ; в) 13 8 5 115 15 15 3

− = = ; г) 9 7 2 1

20 20 20 10− = = .

7. а) 4

25; б)

314

; в) 17

; г) 5

18.

8. а) 2 2

5 4 15 5

− = ; б) 4 4

9 4 59 9

− = ; в) 2 1 1

8 5 33 3 3

− = ; г) 1 1

7 3 42 2

− = .

9. а) 2 1

9 98 4

= ; б) 1

65

; в) 47

.

10. а) 1

12

; б) 3

34

; в) 1

73

; г) 1

27

; д) 5

18

; ђ) 3

45

.

11. а) 23

; б) 2 14 2

= ; в) 6 3

6 68 4

= ; г) 4

25

; д) 12 4

8 815 5

= ; ђ) 38 19

4 450 25

= ; е) 11 199 9

= ; ж) 5

417

.

12. а) б) в)

1

23

78

51

9

72

43

16

84

59

82

53

17

84

69

323

12

84

19

1

17

44

73

37

56

7

45

71

27

23

7

612

75

117

28

73

97

25

7

14

757

61

7

32

85

88

55

8

4

2

28

82

583

38

13. а) x 4= ; б) x 21= ; в) x 4= ; г) x 9= ; д) x 4= ; ђ) x 4= .

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА

142

14. а) x 8= ; б) x 3= ; в) x 7= ; г) x 5= ; д) x 3= ; ђ) x4

69

= .

15. а) 3

25

; б) 34

; в) 1

113

; г) 2

35

.

16. а) 4

55

; б) 5

79

; в) 3

104

; г) 17

520

.

17. а) 1

83

; б) 10; в) 4

67

; г) 10

811

.

18. 1

1910

.

19. Други је продао 3

5 m5

штофа више од првог, а укупно су продали 4

30 m5

штофа.

20. 5

28 km8

.

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА РАЗЛИЧИТИХ ИМЕНИЛАЦА

1. а) 2 1 8 5 135 4 20 20 20

+ = + = ; б) 2 1 4 5 95 2 10 10 10

+ = + = ; в) 1 3 4 15 195 4 20 20 20

+ = + = ;

г) 2 1 4 3 79 6 18 18 18

+ = + = ; д) 7 3 14 3 17

10 20 20 20 20+ = + = ; ђ)

5 3 20 9 29 51

6 8 24 24 24 24+ = + = = .

2. а) 79

; б) 7

112

; в) 7

124

; г) 1

16

; д) 23

124

; ђ) 1

15

; е) 7

115

.

3. а) 24

535

; б) 11

812

; в) 17

830

; г) 7

1012

; д) 27

1240

; ђ) 13

1724

.

4. а) б)

+25

37

12

38

3140

4556

78

23

11

152

121

11

6

14

1320

1928

34

+5

125

36

15

2

28

1511

820

2911

3019

1330

49

3136

54

1817

518

46

513

760

1910

303

1210

5. а) 14

1433

; б) 1

93

; в) 5

836

; г) 3

1120

; д) 3

1810

; ђ) 23

2236

.

6. а) 33

1970

; б) 23

1824

; в) 1

1030

.

7.

143

8. а) 1 2 5 4 12 5 10 10 10

− = − = ; б) 5 1 5 3 26 2 6 6 6

− = − = ; в) 7 2 21 16 58 3 24 24 24

− = − = ;

г) 11 2 11 8 320 5 20 20 20

− = − = ; д) 3 1 9 2 74 6 12 12 12

− = − = ; ђ) 6 1 12 7 57 2 14 14 14

− = − = .

9. а) 1124

; б) 5

24; в)

130

; г) 1121

; д) 7

18; ђ)

110

.

10. а) 5

228

; б) 9

320

; в) 19

324

; г) 11

1014

; д) 1112

; ђ) 7

910

.

11. а) 7

312

; б) 13

1160

; в) 7

1115

; г) 17

160

; д) 5

924

; ђ) 29

136

.

12. а) б)

4

12

53423

33

823

140181

24

18141

3154

39

491

1208

1157

420

1314

180

13. а) 5

18

; б) 1

1014

.

14. а) 31

442

; б) 2

195

.

15. а) 4

4815

; б) 37

1442

.

16. 2 1 7

12 4 1 65 4 20

⎛ ⎞− + =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

17. 2 5 2 17

5 6 3 85 6 3 30

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

18. 7 4 13

7 9 6 1010 15 30

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

19. 37

140

. 20. 19

1620

. 21. 17

760

. 22. 1

1736

. 23. 1

98

.

24. 3

315

. 25. 4

19 cm5

. 26. 3

6 cm5

. 27. 1

7 cm5

. 28. 1

30 m2

.

29. 3 7 1 7

2 5 14 54 8 2 8

+ = − .

30. а) 43

2760

; б) 13

1560

; в) 37

960

; г) 37

960

.

144

31. 11

520

.

32. 5 12 5 7

112 12 12

−− = = му је остало, а то је 700 динара, па закључујемо

112

је 100 динара,

што значи да је понео 1200 динара.

33. 4 5

19 9

− = је остало, а то је 50 страница, 19

књиге има 10 страница, а цела књига има 90

страница.

34. 7 8

115 15

− = је остало, а то је 40kg јагода, 1

15 од укупне количине је 5kg , а укупна

количина јагода је 75kg .

35. 7 3 11

120 8 40

⎛ ⎞− + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ укупне количине.

36. 9 4 171

20 15 60

⎛ ⎞− + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

37. 1 1 1 1 4

19 9 12 4 9

⎡ ⎤⎛ ⎞− + + + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

39. 7 7 3 5

112 12 8 24

⎡ ⎤⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

40. 1 1 3 1 3 1 17

km 850 m5 5 20 5 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

41. 7 7 8 7 8 8 1

4 4 9 4 9 9 43 m10 10 10 10 10 10 2

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

42. а) 1 1 134 9 36

+ = ; б) 5 5 56 8 24

− = .

44. 1 1 1 16 4 12 3

+ − =

45. 1 1 1

14 21 42− = , што значи да би Воја сам опрао ауто за 42 минута.

46. 1 1 9

12 15 60+ = посла се заврши за 1 сат, а цео посао би се завршио за

60 20 26

9 3 3= = сати,

тј. 6 сати и 40 минута.

47. 1 1 1

15 20 60− = посла за 1 дан, а цео посао за 60 дана.

48. 5 1 1

2 36 4 12

+ = минута, а за 1500 m потребно јој је 3 1

9 912 4

= минута.

49. 3 1 1 1

18 10 2 40

⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ пута је 15 km , а цео пут је 15 40 600 km⋅ = .

50. I буре: 1 1 3 3

124 12 15 152 l2 2 4 4

+ + = ; II буре: 1 1

124 12 112 l2 2

− = ; III буре: 1 3 3

124 15 108 l2 4 4

− = .

145

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ ДЕЦИМАЛНИХ БРОЈЕВА1. а) 9,5; б) 17,3; в) 4,14; г) 13,7; д) 12,42; ђ) 127,61.2. а) 33,3; б) 18,11; в) 39,5; г) 33,32; д) 223,27; ђ) 400,066; е) 31,718; ж) 2008,9976; з) 136,423.3. а) б)

+ 1 3 6

0,32 1,32 3,32 6,32

0,4 1,4 3,4 6,4

0,183 1,183 3,183 6,183

+ 2,6 7,91 3,199

4,4 7 12,31 7,599

11,3 13,9 19,21 14,499

13,45 16,05 21,36 16,649

4. а) 17; б) 40,496; в) 208,877; г) 83,062; д) 7,2378.5. а) 5,6; б) 2,7; в) 2,38; г) 0,55; д) 6,88; ђ) 4,63.6. а) 33,3; б) 2,1; в) 27,47; г) 1; д) 2,11; ђ) 35,911; е) 4; ж) 84,162; з) 0,61; и) 5,011; ј) 1,973;

к) 2,384; л) 10; љ) 0,001; м) 7,186.7. а) б)

1,6

3,19

3,91

0,62

4,8

6,39

7,11

3,82

8,4

12,31

6,38

6,22

5,28

9,19

3,26

3,1

8. а) 16,258; б) 10,587; в) 2,65; г) 601; д) 4,78; ђ) 7,1.9. а) 11,219; б) 10,461; в) 4,019; г) 3,261.10. а) 45,78; б) 51,78; в) 250,01; г) 91,492; д) 4,944.11. а) 2; б) 10,835; в) 2,24; г) 1,985; д) 0,77; ђ) 7,3; е) 5; ж) 5,05.

12. а) 47

17100

; б) 3

210

; в) 9 ; г) 3

14

; д) 5

38

.

13.

14. а) 18

; б) 16

1245

.

15. а) 11,05; б) 5,75; в) 3,46.16. 8,08.17. 15,3.18. 40,22kg.

146

19. 17,85t. 20. 17,8cm. 21. 122,64m. 22. 27,126. 23. 1,37.

24. 35,48. 25. 19,5. 16. 7

168

. 27. 3

9 9,65

= .

28. ( )100 42 28,5 8,35 21,15− + + = динара

29. I корпа: 10,125 4,8 5,325 kg− = ; II корпа: 9,45 1,55 11kg+ = .

30. ( ) ( )[ ]34,4 34,4 2,25 34,4 2,25 8,64 99,06 km+ + + + − = .

31. ( ) ( ) ( )4,9 4,9 9,8 4,9 9,8 9,8 4,9 9,8 9,8 9,8 78,4 m+ + + + + + + + + = .

32. ( ) ( )[ ]26,5 26,5 8,3 26,5 26,5 8,3 122,6+ + + + + = динара.

34. ( ) ( )[ ]300 40 40 1,5 65,5 8,75 147,25 kg− + − + + = .

35.52,38

31,12 21,26

17,66 13,46 7,8

4,95 12,71 0,75 7,05

в)18,66

8,71 9,95

3,6 5,11 4,84

а) 21,89

9,49 12,4

7,35 2,14 10,26

б)

СВОЈСТВА САБИРАЊА РАЗЛОМАКА

1. а) 17

; б) 34

; в) 13,3 ; г) 3

38

.

2. а)

б)

a b a b+ b a+3

27

31

45

428

54

287

89

14

617

1218

1712

184,11 7,3 11,41 11,41

a b c ( )a b c+ + ( )a b c+ +23

56

89

72

187

218

12

41

36

14

813

924

139

246,6 0,4 2,15 9,15 9,15

a b b a+ = + ; ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

3. а) 2

63

; б) 20; в) 18; г) 21.

4. а) 6x 2,9+ ; б) 5

7a 76

+ .

5. а) 3,2; б) 1,6; в) 14,91; г) 8,095.

147

ЈЕДНАЧИНЕ1. а)

16

; б) 11,8; в) 1924

; г) 3,29.2.

+ 5,93 3,79 3,14

4,32 10,25 8,11 7,46

1,87 7,8 5,66 5,01

1,86 7,79 5,65 5

3,95 2,66 10,56

19,4 15,45 16,74 8,84

13,5 9,55 10,84 2,94

11,06 7,11 8,4 0,5

3.

+2

13

12

0

13

35

53

61

33

47

5

79

153

810

47

53

44

56

121

54

34

4

59

71

203

35

54

65

418

293

607

130

33

52

345

12

40

538

6059

8180

87

1517

560

4. а) x1763

= ; б) x9

110

= ; в) x5

212

= .

5. а) x1

1218

= ; б) x5

212

= ; г) a1

x 173

= .

6. а) x 6,1= ; б) x 13,82= ; в) x 6,65= ; г) x 10,07= ; д) x 0,85= ; ђ) x 4,67= ;

е) y 11,12= ; ж) x 3,1= .

7. а) x1

46

= ; б) a4

55

= ; в) m9

210

= ; г) x13

420

= ; д) x1

710

= ; ђ) 19

1030

x = .

8. а) x73

6120

= ; б) a1

510

= ; в) x11

615

= ; г) x1

x 108

= ; д) x13

720

= ; ђ) x11

412

= .

9. а) x 8,9= ; б) x33

740

= ; в) x5360

= ; г) x5

39

= .

10. x2

103

= .

11. x11

936

= .

12. x3

85

= .

13. x13

560

= .

148

14. x21

140

= .

15. x2

1045

= .

16. 3 4

12 x 1 44 9

⎛ ⎞− + =⎜ ⎟

⎝ ⎠, x

295

36= .

17. ( )52,5 52,5 10,75 x 150+ − + = , x 55,75= . Бициклиста треба да пређе још 55,75 км.

18. ( )73,6 73,6 5,6 x 224+ + + = , x 71,2= . Виолета је убрала 71,2 кг малина.

19. 1 1

x20 15

+ = , x1

60= .

131. нацртати

НЕЈЕДНАЧИНЕ

1. а) x3

10> ; б) x

13

4≤ ; в) x

17

2< ; г) x 5,5≥ .

2. а) x7

112

≥ ; б) x7

68

< .

3. а) { }1, 2, , 9x ∈ … ; б) { }1, 2, 3, 4, 5x ∈ ; в) { }8, 9x ∈ ; г) { }6, 7, 8,x ∈ … ; д) { }1, 2, 3, 4, 5x ∈ .

4. а) x2

15

< ; б) x1

14

< ; в) x1

44

< ; г) x1

34

< ; д) y1

64

> ; ђ) x4

35

≥ ; е) x3

155

< ; ж) x1

54

≤ ; з) x1

32

≤ .

5. а) x 2,5> ; б) x 4≤ ; в) x 7,5< ; г) x 6,6> ; д) x 5,3> ; ђ) x 8< .

6. а) x3

104

≥ ; б) y7

210

> ; в) x1

44

≥ ; г) x3

34

> ; д) x7

510

> ; ђ) x1

42

≤ .

7. а) x4

815

> ; б) 29

236

x ≥ ; в) 1

104

x ≥ ; г) 3

14

x ≤ .

8. а) x1

54

> ; б) x4

75

> ; в) y7

210

> ; г) 19

320

y ≥ .

9. x19

320

< .

10. x 1< , 3

0,25,9

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

.

11. x7

x 218

< .

12. x23

x 924

≤ .

13. x 13,3> .

14. x29

x 260

< .

15. x1

55

≤ .

149

РАЗЛОМЦИ III ДЕО

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА ПРИРОДНИМ БРОЈЕМ


а) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7

724 24 24 24 24 24 24 24 24 24

⋅+ + + + + + = ⋅ = = ;

б) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 34 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

⋅+ + + + + + + + + + = ⋅ = = ;

в) 3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 2

⋅+ + + + + + + = ⋅ = = = .

2. Попуни празна места тако да добијеш тачне исказе:

а) 1 1 3

32 2

⋅⋅ = = = ; б)

3 35

4 4⋅

⋅ = = = ;

в) 4 10

107

⋅⋅ = = = ; г)

76

3 3⋅

⋅ = = = ;

д) 3

5 1 54 4

⋅⋅ = ⋅ = = = ;

ђ) 5

2 106 6 3

⋅⋅ = ⋅ = = = = .


а) 1 1 1

: 23 3

= =⋅

; б) 5 5

: 96

= =⋅

;

в) 14

: 59

= =⋅

; г) 49

: 311

= = =⋅

;

д) 3

3 : 8 : 810

= = =⋅

; ђ) 3

6 : 4 : 47

= = = =⋅

..


а) 4 4 : 1

: 47 7

= = ; б) 18 :

: 310 10

= = ;

в) 2 :

2 : 8 : 87 7

= = = ; г) 3 :

6 : 5 :7

= = = = .


а) 1

25

⋅ ; б) 1

: 25

; в) 7

103

⋅ ;

г) 7

:103

; д) 2

3 :1817

; ђ) 2

18 317

⋅ .

6. Шта је веће: 34

од 340 или 58

од 400?

150

1. Попуни дате таблице, као што је започето:

x y⋅ 13

14

15

300

420

1083

215

:x y 3 4 5

300 100

420

108

2. Попуни празна места тако да добијеш тачне исказе:

а) 1 1 1 1

: 37 3 7 7 3

⋅ = = =⋅

; б) 1 6 6 6

: 77 13 13

⋅ = = =⋅

;

в) 35 1 35

:27 8 27

⋅ = = ; г) 1 1 21 1 21

5 :4 20 4 20 4

⋅ = ⋅ = = =⋅

;

д) 1 5 1 65

5 :4 12 4 12

⋅ = ⋅ = = = =⋅

.


а) 3 5 3 54 11 4 11

⋅⋅ = =

⋅ ; б)

2 4 23 9 3

⋅⋅ = =

⋅;

в) 17 3 38 5 5

⋅⋅ = =

⋅; г)

4 11 49 7 7

⋅⋅ = =

⋅;

д) 5 6 5 19

16 13 6 13

⋅⋅ = ⋅ = = =

⋅; ђ)

1 22 3

2 7 2 7⋅

⋅ = ⋅ = = =⋅

.

4. Изврши одговарајућа скраћивања, па израчунај производе:

а) 3 24 5

⋅ ; б) 2 57 6

⋅ ; в) 15 38 5

⋅ ; г) 3 11

22 7⋅ ;

д) 5 1

17 13

⋅ ; ђ) 5 8

37 13

⋅ ; е) 3 1

2 34 5

⋅ ; ж) 2 4

4 17 15

⋅ .


а) 8 5

15 12⋅ ; б)

25 2736 40

⋅ ; в) 35 3322 65

⋅ ; г) 39 10560 26

⋅ ;

д) 3 14

34 25

⋅ ; ђ) 8 19

151 100

⋅ ; е) 3 5

3 314 9

⋅ ; ж) 1 9

4 1291 100

⋅ .

МНОЖЕЊЕ РАЗЛОМАКА

151


а) 42 15 575 32 28

⋅ ⋅ ; б) 102 20 27225 37 255

⋅ ⋅ ; в) 35 32 3918 65 12

⋅ ⋅ .


а) 3 3 2

34 5 3

⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

; б) 3 7 3

48 15 10

⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

; в) 17 1 7 3

1 29 6 10 5

⎛ ⎞⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠.

8. Упореди следеће производе:

а) 4 59 21

⋅ и 1 13 5

⋅ ; б) 1 5

34 3

⋅ и 3 7

25 15

⋅ ; в) 1 1

4 42 3

⋅ и 1 1

8 22 5

⋅ .

9. Шта је веће: 58

од 4

29

или 79

од 6

17

?

10. Докажи да је производ бројева 12

и 13

једнак разлици тих бројева.

11. Шта је мање, и за колико: производ или разлика бројева 3

28

и 56

?

12. Шта је веће, и за колико: збир или производ бројева 5

37

и 4

25

?

13. Ако су димензије собе 4

45

m, 3

34

m и 3

25

m, колика је запремина собе? Колико

квадратних метара ламината треба купити за под те собе?

14. Ако килограм јабука кошта 55 динара, колико треба платити за 1800 грама?

ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА

1. Одреди реципрочне вредности следећих бројева:

а) 1, 4, 10, 101; б)12

, 1

16,

1105

, 1

997; в)

25

, 3367

, 97

, 13724

; г) 1

14

, 13

215

, 9

1010

, 1

2222

.


а) 1

1:11= ; б) 3 4

1:4

= = ; в) 7

1:6

= ;

г) 2 1 2

: 73 7 3

⋅= ⋅ = = = ; д)

13 1 13:

5 9 5⋅

= ⋅ = = = ;

ђ) 2 1 1

2 : :9 4 4

⋅= = ⋅ = = = .

152


а) 2 3 2 5

:7 5 7 3

⋅= ⋅ = =

⋅; б)

7 6 7 13:

11 13⋅

= ⋅ = = =⋅

;

в) 11 4 5 1

:15 5 15 3

⋅= ⋅ = =

⋅; г)

5 3 5 1:

8 2 3⋅

= ⋅ = =⋅

;

д) 5 6

2 :8 7 8 6

⋅= ⋅ = = =

⋅;

ђ) 5 1 2

1 : 5 :6 4 4

⋅= = ⋅ = =

⋅.

4. Израчунај количнике:

а) 4 2

:5 3

; б) 7 6

:10 15

; в) 12 8

:25 33

; г) 56 21

:121 22

;

д) 45 18

:8 25

; ђ) 36 27

:69 23

; е) 7 7

3 :10 25

; ж) 85 12

:191 39

.

5. Одреди вредност следећих двојних разломака:

а)

134

17

; б)

11153

10

; в)

63777221

; г) 5

3013

.


а) 3 3 2

:4 7 3

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠; б)

7 7 72 1 :

15 10 6

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠; в)

7 1 8 23 1 : 1 2

9 6 10 5

⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠.

7. Докажи да је количник бројева 2

53

и 1

146

једнак 6

85 првог броја.

8. Шта је веће:

а) 2 47 5

⋅ или 2 4

:7 5

; б) 2 77 5

⋅ или 2 7

:7 5

; в) 2 2

1 33 5

⋅ или 2 2

1 : 33 5

.

9. Упореди следеће количнике:

а) 4 5

:9 17

и 1 4

:2 19

; б) 1 5

3 :5 4

и 1 3

3 :6 2

; в) 3 2

4 : 24 3

и 5 8

6 : 36 9

.

10. Који број треба помножити са 3

310

да би добијени производ био 1

12

?

11. Украсну траку Маша је поделила на два дела. Један део је 35

целе траке, а други је дуг 1

18 cm2

. Колико је била дуга цела трака?

12. Ако је Никола 750g јагода платио 135 динара, колика је цена јагода?

153

1. Користећи асоцијативност и комутативност за множење разломака, израчунај производе:

а) 3 11 44 17 3

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

; б) 7 15 168 17 49

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠; в)

11 22 7545 89 33

⋅ ⋅ ; г) 3 2 8

216 5 35

⋅ ⋅ .


а) 6 7 15

:13 26 28

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠; б)

6 7 15:

13 26 28

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠; в)

16 22 55: :

45 27 72

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; г) 16 22 55

: :45 27 72

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

3. Користећи дистрибутивност множења у односу на сабирање, израчунај следеће бројевне изразе:

а) 15 1 1

1 12 5 3

⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

; б) 7 7 15

312 15 28

⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠; в)

13 16 29 132 3

19 45 45 19⋅ + ⋅ ; г)

3 16 14 221 2

11 25 11 25⋅ + ⋅ .


а) 1 2 2 1 5 26 5 5 3 6 5

⋅ + ⋅ + ⋅ ; б) 3 5 1 2 7

15 4 1 144 7 4 7 4

⎛ ⎞+ + + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠;

в) 3 3 1 3 3 1

3 14 7 4 7 7 2

⋅ − ⋅ − ⋅ ; г) 13 1 2 17

6 2 1 :18 2 3 45

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

5. Како се мења производ два броја ако се:

а) један чинилац помножи са 45

, а други остане непромењен;

б) један чинилац помножи са 54

, а други остане непромењен;

в) један чинилац помножи са 12

, а други са 2 ;

г) један чинилац помножи са 54

, а други са 45

;

д) један чинилац помножи са 78

, а други са 76

;

ђ) један чинилац помножи са 9

14, а други са

43

.

6. Како се мења количник два броја ако се:

а) дељеник помножи са 23

, а делилац остане непромењен;

б) дељеник помножи са 32

, а делилац остане непромењен;

в) дељеник и делилац помноже са 37

;

г) дељеник помножи са 59

, а делилац подели са 4

15

;

д) дељеник подели са 59

, а делилац помножи са 4

15

;

СВОЈСТВА МНОЖЕЊА И ДЕЉЕЊА РАЗЛОМАКА

154

ђ) дељеник помножи са 59

, а делилац помножи са 4

15

;

е) дељеник подели са 59

, а делилац подели са 4

15

;

ж) дељеник помножи са 3

11, а делилац помножи са

14

.

1. Попуни таблицу како је започето:

⋅ 10 100 1000 10000 100000

0,56943278 5,6943278

12,004563

0,000019804

67,2 6720

95,003


⋅ 0,067 0,67 6,7 67

0,2 13,4

1,7

34,57

50,019


а) 5 0,5⋅ ; б) 0,77 8⋅ ; в) 0,6 0,9⋅ ; г) 1,7 0,4⋅ ;

д) 3,4 5,88⋅ ; ђ) 56,89 8,9⋅ ; е) 3,098 1,01⋅ ; ж) 0,0071 4005,2⋅ .

4. Израчунај производе и заокругли их на 2 децимале:

а) 1

0,34

⋅ ; б) 7

4 8,3320

⋅ ; в) (3,42 0,766) 0,8+ ⋅ ;

г) 1,1 (0,904 0,094)⋅ − ; д)9

0,67 13 0,9725

⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠; ђ)

3 1310 7,87 0,066

4 125

⎛ ⎞⎛ ⎞− ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠.

5. Упореди следеће производе:

а) 5,6 0,02⋅ и 0,25 0,4⋅ ; б) 0,8 4,08⋅ и 0,7 4,67⋅ ; в) 3,88 0,36⋅ и 9,7 0,144⋅ .

МНОЖЕЊЕ РАЗЛОМАКА ЗАПИСАНИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ

155

6. Димитрије је купио 2,5kg кајсија по цени од 74,9 динара по килограму и 1,75kg јабука по цени од 49,9 динара по килограму. Колико је укупно платио то воће?

7. Спортска дворана има димензије 51,5m, 20,8m и 6,44m. Колико клима уређаја треба купити за ту дворану ако један покрива простор од 3100m ?

8. Пешак се креће брзином од 4,5km/h. Колико колометара ће прећи за 2 сата и 15 минута?

ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА ЗАПИСАНИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ


: 10 100 1000 10000

639732,54

1987,06

15,001

7,5 0,0075

0,03


: 0,087 0,87 8,7 87

0,87

1,74

19,227 0,221

263,61


а) 0,77 : 9 ; б) 0,76 : 0,3 ; в) 9,7 : 0,44 ; г) 0,0058 : 0,25 ; д) 6,09 : 0,0609 .

156

4. Израчунај количнике и заокругли их на 2 децимале:

а) 3

1 : 0,0085

; б) 11

6,4 : 44125

; в) 7,2 : (3,65 2,6)− ;

г) (16,8 0,7) : 0,025+ ; д) 1

5,2 : (3 2,6)4

+ ; ђ) 1

(1 0,7) : 2,42

− .

5. Упореди следеће количнике:

а) 0,0505 : 0,05 и 123,25 :120,75 ; б) 1,326 : 0,5 и 0,7 : 0,307 ; в) 7,6836 :1,14 и 2,359 : 0,35 .

6. Шта је веће, и за колико:

количник бројева 0,2727 и 2,7 или разлика бројева 0,2727 и 0,1727 ?

7. Попуни дате шеме. У ком случају је производ мањи од чинилаца? Зашто?

80

1,22

5,7

0,013

0,22

8,45

1) 2)

8. Попуни „пирамиде” поштујући правило да је производ два суседна поља уписан у поље изнад та два поља.

2,25

1,5

2 3,1

0,06655

12,1

0,11

1,1

9. Површина правоугаоног дворишта је 3,7485a, а ширина тог дворишта је 15,3m . Колико плетене жице треба купити да би се то двориште оградило?

10. Површина правоугаоног дворишта је 3,1104a, а дужина тог дворишта је 21,6m. Колико вертикалних делова има у огради тог дворишта ако је растојање између свака два таква дела 0,2m ?

11. Којом брзином треба да вози тракториста да би 45,5km прешао за 1 сат и 24минута?

157


а) 1 3

3 6,63 5

⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

; б) 1 3

3 6,63 5

⋅ + ; в) 3 7

4 0,374 8

⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠; г)

3 74 0,37

4 8+ ⋅ ;

д) 2

15,6 1 1,6073

⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

; ђ)2

15,6 1 1,6073

⋅ − ; е) 3

4 3,83 0,4410

⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠; ж)

34 3,83 0,44

10− ⋅ .

2. Израчунај вредност израза и резултате заокружи на две и на четири децимале:

а) 1 3

3 : 6,63 5

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠; б)

1 33 : 6,6

3 5+ ; в)

34 3,83 : 0,44

10

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠; г)

310 3,83 : 0,44

10− .


а) 1 2

0,4 0,42 5

⎛ ⎞⎛ ⎞− ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠; б)

2 44 2 : 3 1

5 5

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠;

в) 2

3,5 3 : 5 3,93

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠; г)

1 35 2,2 : 0,8 0,133

3 4

⎛ ⎞⋅ + −⎜ ⎟

⎝ ⎠.


а) 3 2 1 5 7

1 : :4 5 2 6 11

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠; б) 1 1 1

2 0,8 : 1,4 : 0,84 10 4

⋅ − + ; в) 12,4 0,21 3,2 10 0,15 4⋅ + ⋅ − ⋅ ;

г) 8 : 0,2 18,06 : 0,7 7,5 : 0,05− + ; д) 1 3 1 3 1

2 : 1 0,754 4 4 5 4

⎛ ⎞− ⋅ ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠;

ђ) 0,75 8 1

:0,4 5 4

⋅⋅

; е)

34 0,08 25

73 2 9

2 37 9 14

+ ⋅

− ⋅; ж)

0,64 : 0,8 34,5 :

0,2 20 5−

⋅.

5. Сваки од бројева 6 , 45

, 711

, 1

13

, 5

27

и 0,99 представи као збир два једнака сабирака.

6. Сваки од бројева 10 ,5

11,

45

, 5

27

и 0,68 представи као збир пет једнаких сабирака.

7. Израчунај a b c⋅ ⋅ ако је:

а) 5 1

, 0,8, 16 5

a b c= = = ; б) 3 5

1 , 0,5,4 8

a b c= = = ; в) 1

, 0,9, 6,73

a b c= = = .

8. Израчунај бројевну вредност израза 3 7a b+ ако је:

а) 3 5

,4 9

a b= = ; б) 1 2

3 , 25 7

a b= = ; в) 7

1 , 6,38

a b= = ; г) 0,09, 90,08a b= = .

БРОЈЕВНИ ИЗРАЗИ

158

9. Израчунај бројевну вредност израза 1 1

6 35 9

m n− ако је:

а) 5 9

,7 14

m n= = б) 23 1

3 , 224 4

m n= = в) 1,27, 0,09m n= =

10. Израчунај бројевну вредност израза 5

96,9 : 27

x y− ако је:

а) 1 7

,3 19

x y= = б) 5, 0,77x y= = в) 3

0,12, 55

x y= =

11. Израчунај бројевну вредност израза 1

1 :3

a b a⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

ако је 28 35

,37 111

a b= = .

12. Израчунај бројевну вредност израза 2 1

5 0,3 :3 4

a b a c⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

ако је 6

, 7,825

a b= = и 1

14

c = .

13. Израчунај :10a

b ако је a1 2 1

1 3 :1 15 5 4

= + − ⋅ и b3 1 6

2 2 : 45 3 7

⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠.

14. Израчунај вредности израза 2 1

1 3,6 : 0.25 1,55 5

A⎛ ⎞

= + − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

, 2 1

1 3,6 : 0.25 1,55 5

B⎛ ⎞

= + − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

,

2 11 3,6 : 0.25 1,5

5 5C = + − ⋅ и

2 11 3,6 : 0.25 1,5

5 5D

⎛ ⎞= + − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠, па их упореди.

15. Израчунај вредности израза A2 5

1,6 : 0,5 0,25 4

⎛ ⎞= + − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠, B

2 5B 1,6 : 0,5 0,2

5 4= + − ⋅ и

2 51,6 : 0,5 0,2

5 4C

⎛ ⎞= + − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠, па их упореди.

16. Од производа бројева 3

55

и 1,25 одузми њихову разлику.

17. Збир бројева 15,85 и 7

220

подели њиховом разликом.

18. Разлику бројева 3,75 и 34

подели њиховим збиром.

19. Од производа бројева 3,82 и 5 одузми количник бројева 2,25 и 521

.

20. За колико је производ бројева 3

38

и 56

мањи од њиховог количника?

159

21. Одреди број који је:

1) за 1

33

већи од 1

44

2) 34

броја 1

13

3) пет пута мањи од 1

33

4) 13

од 25

броја 15.

22. Израчунај разлику 56

опруженог угла и 23

правог угла.

23. Израчунај обим правоугаоника ABCD површине 224cm , ако је 2

25

AB = cm.

24. У једном одељењу петог разреда има 35 ученика. Дечаци чине 47

одељења. Колико има девојчица у том одељењу?

25. Бака је Владу послала у продавницу да купи 2,5l млека, векну хлеба од 800g и 250g маргарина. Дала му је 250 динара и рекла да за остатак купи чоколаду. Ако литар млека стаје 31,3 динара, килограм хлеба 25 динара, а 125g маргарина 44,2 динара, да ли ће Влада моћи да купи своју омиљену чоколаду од 56,2 динара?

26. У књижари је било 1200 књига. Продавац је прве недеље продао 25

књига, а следеће

недеље 13

преосталих. Колико је књига после тога остало у књижари?

27. Из магацина у коме је било 1

16 t4

шећера, једног дана је продато 5

13 укупне количине,

а другог дана 45

остатка. Колико је шећера остало?

28. За 1 минут само хладном водом се напуни 1

12 каде, а само врућом

118

каде. Ако су обе

славине отворене, који део каде се напуни за 6 минута? Ако се после 2 минута пуњења

отвори сливник, кроз који у минуту истекне 1

24 воде која стаје у каду када је она пуна,

да ли ће се после 10 минута када прелити?

29. Иван се бави атлетиком и најбоље резултате постиже у тркама на кратке стазе. На

једном од својих тренинга прво је 50m истрчао за 9s. Тим временом није био задовољан

и други пут је успео да време скрати за 16

, док га је у трећем покушају умор савладао и

постигао је време које је 1310

другог резултата. За колико је последњи резултат слабији

од првог?

30. Никола скупља маркице. Прве године је скупио 72 маркице, а друге године за трећину више маркица, док се треће године укупан број маркица увећао за две трећине. Колико маркица има Никола после те три године?

160

31. Марија је првог дана прочитала 14

књиге, другог дана 25

остатка књиге, а трећег дана

је прочитавши последњих 36 страна завршила читање. Колико страна има књига коју је Марија читала?

32. Попуни дате шеме:

97,2

3,53

2,1

82

26

9,16

1) 2)


а) 2 89 15

x⋅ =

8 2

:15 9

x =

9

x = ⋅

12

x =

x =

б) 0,73 1,241x⋅ =

1,241:x =

: 73x =

x =


а) 6 8

: 27 27

x =

8 6

227 7

x = ⋅

27 7

x = ⋅

x =

x =

б) 0,567 : 31,5x =

0,567 :x =

: 315x =

x =

ЈЕДНАЧИНЕ У ВЕЗИ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ

Провера: _____________________ Провера: _____________________

Провера: _____________________ Провера: _____________________

161

3. Попуни празна поља одговарајућим разломцима.

⋅ 23

0,073

718

0

5,6116

135

0

:0,04 9,6

37

161

21

0,704

0

0


а) 7

2,120

x⋅ = ; б) 3

0,5 3,765

x⋅ + = ; в) 5 7

5 1 2,7512 9

x− ⋅ = ;

г) ( )21 1,5 7,5

3x⋅ − = ; д)

1 3 73 2

2 4 15x

⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠; ђ)

3 12,7 1 0

5 4x

⎛ ⎞⋅ ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

.


а) 1 11

9 : 22 12

x = ; б) 3 2

5 : 25 15

x = ; в) 1 3: 2,5 1

4 7x

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠;

г) 3 4 2 58 : 1 1 2

4 11 3 8x

⎛ ⎞⋅ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠; д)

7 1:1 5,5 9

25 4x + = ; ђ)

5 75 1 : 2,75

12 9x− = .

6. За коју вредност а израз 1 3

2 33 4

a+ узима вредност 7

624

?

7. За коју вредност m израз 4 2 5

16 0,35 : 0,259 7 4

m⎛ ⎞

⋅ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

узима вредност 2

85

?

8. Којим бројем треба: 1) помножити; 2) поделити;

разлику бројева 2

43

и 3,5 да се добије количник истих бројева.

9. Милица је замислила један број, па га је увећала 2,5 пута. Затим је од тако добијеног производа одузела 9,8 и добила 7,7 . Који број је Милица замислила?

10. Одреди број који помножен збиром бројева 0,75 и 1

114

даје двадесети део броја 17 .

11. Који број треба поделити збиром бројева 0,5 и 3

14 да количник буде

54

11?

162

12. Којим бројем треба поделити разлику бројева 4 и 4

15 да би количник био

10,2

7+ ?

13. Цена килограм јагода је 128,25 динара, а трешања 85,5 динара. Ако је Марина купила 800g јагода више него трешања, а рачун је износио 530,1 динар, колико трешања је купила Марина?

14. Ненад је прво пешачио 3 сата и 20 минута, а затим је 2,25 сата возио бицикл, и тако прешао 44,75km. Брзина којом се кретао док је возио бицикл за 5km/h је већа од оне када је пешачио. На основу ових података одреди обе брзине којима се Ненад кретао.

15. Отац је 25 година старији од ћерке, а ћеркине године чине 27

очевих година. Колико

свако од њих има година?

16. Јанко и Јована имају заједно 51 бомбону. Ако је 23

Јованиних бомбона исто што и 34

Јанкових, колико бомбона има свако од њих?

17. Александар, Јелена и Борис имају укупно 3000 динара. Када Александар потроши 49

свог новца, Јелена 6

11 свог дела, а Борис 500 динара остану им једнаке суме. Колико

новца је имао свако од њих?

18. Именилац једног разломка је за 9 већи од бројиоца истог разломка. Ако се бројиоцу

тог разломка дода број 2, а имениоцу одузме број 2, добија се разломак 23

. Који је то

разломак?

19. Бројилац једног разломка је за 2 мањи од имениоца истог разломка. Када се од

бројиоца одузме разломак 12

, а имениоцу дода разломак 14

, добија се разломак 1021

.

Који је то разломак?

20. На првој полици има 2 пута више књига него на другој. Када се 15

књига са прве полице

пребаци на другу, на њој ће бити 5 књига мање него на првој полици. Колико је било

књига на свакој од ове две полице?

163


НЕJЕДНАЧИНЕ У ВЕЗИ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ

0 1 0 1 2

0 1 0 1 2

а) 2 133 18

x⋅ <

13

:18 3

x <

3

18x < ⋅

12

x <

x <

б) x ⋅ 31,5 ≥ 56,7

x ≥ 56,7 : ____

x ≥ 567 : ____

x ≥ _____

в) 3

10,5 1,55

x⋅ − ≤

3

10,5 1,55

x⋅ ≤ +

10,5 1,5 0,6x⋅ ≤ +

10,5x⋅ ≤

:10,5x ≤

:105x ≤

x ≤

г) 2

2,8 ( 1) 43

x⋅ + >

1 :3

x + >

1 :x + >

3 14

x + > ⋅

53

x + >

1x > −

x >


а) 1

0,4 32

x⋅ < б) 3 1

3 34 8

x⋅ ≥

в) 2 1

8,25 4 13 4

x− ⋅ > г) 2 7 77

0,89 8 90

x⋅ + ⋅ >

д) 3 2 114 3 20

x⎛ ⎞

⋅ − ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

ђ) 8 1 1 1 72 1 1 1

101 3 2 4 12x

⎛ ⎞⋅ + ⋅ + ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

164


а) 3 1

: 47 12

x <

1 3

412

x < ⋅

12 7

x < ⋅

x < ; x <

б) 5

: 4,928

x ≥

5

4,9x ≥ ⋅

10 28

x ≥ ⋅

x ≥

в) 5 1

1 : 314 6

x ≤

1

: 314 6

x ≥

:14 6

x ≥

6

x ≥ ⋅ ; x ≥

г) 4

1,7 : 215

x >

1,7 :x <

:10 15

x <

15

x < ⋅ ; x <

д) 1

: 2,5 0,454

x − >

1

: 2,5 0,45x > +

: 0,45 0,25x > +

:x >

2,5x > ⋅

x >

ђ) 2

2,1: (4,4 ) 0,5 15

x− ≤ ⋅

1 7

2,1: (4,4 )5

x− ≤ ⋅

7

2,1: ( )x− ≤

2,1:x− ≥

: 0,7x− ≥

4,4 x− ≥

4,4x ≤ − ; x ≤

0 1 2 3

0 1 2 3

0 1

0 1

0 1 2

0 1

165


а) x1 3

: 2 13 14

< ; б) 3

4,2 :5

x ≥ ; в) x1 37

: 0,8753 105

− > ;

г) 2 19

1 5,2 : 69 45

x+ ≤ ; д) 4 7 11

1 :9 11 36

x⎛ ⎞⎜ ⎟− ≤⎝ ⎠

; ђ) 2 2

8,9 : 3 317 5

x⎛ ⎞⎜ ⎟+ ⋅ <⎝ ⎠ .

5. Опиши скуп бројева који:

а) помножени са 0,3 дају производ већи од 2

13

;

б) подељени са 35

дају количник који није мањи од 14

;

в) чија је трострука реципрочна вредност мања од 67

.

6. За које је вредности променљиве а:

а) производ 1 4

12 9

a⋅ ⋅ мањи од разлике бројева 3

14

и 0,6;

б) збир 5 36 4

a+ већи од производа бројева 2,2 и 1,8;

в) количник израза 3,5a13

− и 0,75 за више од 1,2 већи од количника бројева 0,5 и 2

13

?

7. Ана жели мајци за рођендан да поклони букет ружа и парфем. Цена парфема је 1344,75 динара, украсног папира 45,8 динара, а једне руже 50 динара. Када је сазнала ове цене, Ана је закључила да може да купи највише 7 ружа. Колико новца има Ана ако је најмања новчаница коју има од 100 динара?

8. Мајка је послала Јована да купи: 1l млека, 1 хлеб, 4 јогурта од 2dl и килограм и по јабука. Ако су цене поменутих артикала изражене у динарима: млеко - 58,70, хлеб - 25,00, јогурт (2dl) - 8,50, јабике (1 kg) - 67,00, колико најмање (целих) динара треба да да мајка Јовану да би он имао довољно новца да поред наведених намирница сестри и себи купи по сладолед чија је цена 90,00 динара?

1. Израчунај аритметичке средине бројева:

а) 1

15

и 2,3

a

11 2,3

52

+= , a

1,2a

2+

= , aa= , a=

АРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА

166

б) 0,3 , 13

и 4

15

,

a

40,3 1

53

+ += , a 30a

+ +

= , a=

в) 7

109

и 5

12

10a

+=

a

+=

a=

a=

__a=

4) 12

, 3

37

, 34

, 6 и 1,75

3 6a

+ + + +=

3 6 1a

+ + + +=

a

+ + + +=

a=

__a=

2. Нина је прочитала књигу за пет дана читајући дневно 48, 53, 39, 57 и 33 стране. Колико страна има књига и колико је страна просечно на дан читала Нина?

3. Бициклиста је првог сата прешао 13,1km, другог 15,3km, а трећег 12,4km. Којом се просечном брзином кретао бициклиста?

4. Забележене максималне дневне температуре у току једне недеље маја дате су у следећој таблици:

понедељак уторак среда четвртак петак субота недеља

20°C 21,5°C 25,6°C 27,4°C 23°C 24,1°C 25,7°C

Колика је у просеку била максимална дневна температура те недеље?

5. Израчунај просечну оцену из математике у одељењу које има 30 ученика ако 6 ученика има одличну оцену, 8 врло добру, 9 добру, 4 довољну, а остали имају слабу оцену.

6. Аритметичка средина непознатог броја и 34

је 1,75. Који је то број?

7. Тачки A одговара број 23

, а тачки B број 1

22

. Који број одговара тачки S ако је та тачка

средиште дужи AB? Нацртај одговарајућу бројевну полуправу.

167

8. Тачки M одговара број 4

35

, а тачки S број 1

42

. Који број одговара тачки N ако је тачка S

средиште дужи MN? Нацртај одговарајућу бројевну полуправу.

9. Тачки C одговара број 5

16

, а тачки S број 1

13

. Који број одговара тачки D ако је тачка S

средиште дужи CD? Нацртај одговарајућу бројевну полуправу.

10. Никола има три оцене из математике и каже да му је просек оцена 4. Које оцене има Никола? Опиши све могућности.

1. Израчунај размере бројева:а) 12 и 3; б) 4 и 16; в) 18 и 27; г) 5,5 и 110;

1212 : 3

3 1= = = ________________ ________________ ________________

д) 3,5 и 0,21; ђ) 1113

и 27

; е) 1

23

и 1

57

.

3503,5 : 0,21 350 : 21= = =

11 2 11:

13 7 13= ⋅ = __________________________

2. Испитаj да ли су следеће размере једнаке:

а) 24 : 36 и 14 : 21

Како је 24 2

24 : 36= = и 14 : 2121 3

= = дате размере су једнаке.

б) 3,7 : 2,5 и 3 2

:7 5

Како је 37

3,7 : 2,52,5

= = = и 3 2 3

:7 5 7

= ⋅ = дате размере ______ једнаке.

в) 3 4

1 :4 7

и 2 3

1 :3 5

Како је _____________________ и _____________________ дате размере ______ једнаке.

г) 4,1: 0,07 и 14,35 : 0,245

Како је _____________________ и _____________________ дате размере ______ једнаке.

3. У ком односу су површине и обими две собе ако су димензије једне 3,4m и 4,6m, а друге 4,2m и 4,4m?

РАЗМЕРА

168

4. Ако је географска карта нацртана у размери:

а) 1: 5000 , б) 1:100000

колику раздаљину представља дуж од 5,6cm? Којом дужином је на истој карти предстaвљено растојање од 5km?

5. Подели дуж AB дужине 9cm у размери:

а) 1:1; б) 1: 3 ; в) 2 :1; г) 7 : 2 .

6. Јана и Немања треба да поделе 3500 динара тако да се њихови делови односе као 4 : 3 . Које суме ће добити свако од њих?

7. За припрему сока користе се сируп и вода у односу 1: 5 . Ако у бокал сипаш 75ml сирупа, колико воде треба да додаш? Колико литара сoка ће се добити од 350ml сирупа?


а) : 3 7 :11x = ; б) 3,4 : 1,5 : 2,7x = ; в) 1 3 2

: 3 :12 5 7

x = .

1. Израчунај: а)20% од 100; б) 20% од 10; в) 20% од 1000; г) 20% од 5.

2. Израчунај: а)25% од 80; б) 20% од 100; в) 50% од 40; г) 80% од 25.

3. Израчунај: а) 30 % од 100; б) 5 % од 270 ; в) 43,2 % од 12,5; г) 115 % од 123 .

4. У одељењу од 32 ученика 25 % су одлични ученици, а 56,25 % су девојчице. Колико има одличних ученика, а колико девојчица са одличним успехом у том одељењу?

5. У одељењу од 32 ученика 25 % су одлични ученици, а од њих 37,5 % су девојчице. Колико има одличних ученика, а колико девојчица у том одељењу?

6. Одреди број чијих 45 % умањено за 0,34 износи 15

.

7. Одреди број r ако је 35 % броја 4

15

сабрано са 25 % броја r једнако 1.

8. Цена фудбалске лопте је 875 динара. Колико ће коштати та лопта на акцији снижења од 15 %?

9. После поскупљења од 20 % цена повратне аутобуске карте Крагујевац-Београд је 660 динара. За колико динара је поскупела карта?

10. После поскупљења од 20 %, па појефтињења од 20 %, како се променила цена артикла? Да ли је он сада скупљи, јефтинији или му је цена иста као првобитна?

11. После појефтињења од 10 %, па поскупљења од 10 %, како се променила цена артикла? Да ли је он сада скупљи, јефтинији или му је цена иста као првобитна?

ПРОЦЕНТИ

169

РАЗЛОМЦИ III ДЕО РЕШЕЊА

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА ПРИРОДНИМ БРОЈЕМ

1. а) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 7

724 24 24 24 24 24 24 24 24 24

⋅+ + + + + + = ⋅ = = ;

б)3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 11 1

11 84 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

⋅+ + + + + + + + + + = ⋅ = = ;

в)3 3 3 3 3 3 3 3 3 8 3 24

8 122 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

⋅+ + + + + + + = ⋅ = = = .

2. а) 1 1 3 3 1

3 12 2 2 2

⋅⋅ = = = ; б)

3 3 5 15 35 3

4 4 4 4⋅

⋅ = = = ;

в) 4 10 4 40 5

10 57 7 7 7

⋅⋅ = = = ; г)

7 7 6 7 26 14

3 3 1⋅ ⋅

⋅ = = = ;

д)3 7 5 7 35 3

5 1 5 84 4 4 4 4

⋅⋅ = ⋅ = = = ; ђ)

5 17 17 10 17 5 85 12 10 10 28

6 6 6 3 3 3⋅ ⋅

⋅ = ⋅ = = = = .

3. а) 1 1 1

: 23 3 2 6

= =⋅

; б) 5 5 5

: 96 6 9 54

= =⋅

;

в) 14 14 14

: 59 9 5 45

= =⋅

; г) 49 49 49 16

: 3 111 11 3 33 33

= = =⋅

;

д) 3 33 33 33

3 : 8 : 810 10 10 8 80

= = =⋅

; ђ) 3 45 45 45 17

6 : 4 : 4 17 7 7 4 28 28

= = = =⋅ .

4. а) 4 4 : 4 1

: 47 7 7

= = ; б) 18 18 : 3 6 1

: 3 15 5 5 5

= = = ;

в) 2 16 16 : 8 2

2 : 8 : 87 7 7 7

= = = ; г) 3 45 45 : 5 9 2

6 : 5 : 5 17 7 7 7 7

= = = = .

5. а) 25

; б) 1

10; в)

123

3; г)

730

; д) 53

306; ђ)

256

17.

6. Веће су три четвртине од 340, него пет осмина од 400, јер је 3

340 2554

⋅ = , а 5

400 2508

⋅ = .

МНОЖЕЊЕ РАЗЛОМАКА

1.

x y⋅ 13

14

15

300 100 75 60

420 140 105 84

108 36 273

215

:x y 3 4 5

300 100 75 60

420 140 105 84

108 36 273

215

170

2. а) 1 1 1 1 1

: 37 3 7 7 3 21

⋅ = = =⋅

; б) 1 6 6 6 6

: 77 13 13 13 7 91

⋅ = = =⋅

;

в) 35 1 35 35 35

: 827 8 27 27 8 216

⋅ = = =⋅

; г)1 1 21 1 21 21 21

5 : 204 20 4 20 4 4 20 80

⋅ = ⋅ = = =⋅

;

д) 1 5 1 65 65 65 65 17

5 : 4 14 12 4 12 12 12 4 48 48

⋅ = ⋅ = = = =⋅

.

3. а) 3 5 3 5 154 11 4 11 44

⋅⋅ = =

⋅; б)

2 4 2 4 83 9 3 9 27

⋅⋅ = =

⋅; в)

17 3 17 3 51 111

8 5 8 5 40 40⋅

⋅ = = =⋅

;

г) 4 11 4 11 449 7 9 7 63

⋅⋅ = =

⋅; д)

5 6 5 19 95 171 1

6 13 6 13 78 78⋅ = ⋅ = = ; ђ)

1 2 5 23 115 32 3 8

2 7 2 7 14 14⋅ = ⋅ = = .

4. а) 3 2 3 1 34 5 2 5 10

⋅ = ⋅ = ; б) 2 5 1 5 57 6 7 3 21

⋅ = ⋅ = ; в) 15 3 3 3 9 1

18 5 8 1 8 8

⋅ = ⋅ = = ;

г) 3 11 3 1 3

22 7 2 7 14⋅ = ⋅ = ; д)

5 1 5 14 5 2 101

7 13 7 13 1 13 13⋅ = ⋅ = ⋅ = ;

ђ) 5 8 26 8 2 8 16 2

3 27 13 7 13 7 1 7 7

⋅ = ⋅ = ⋅ = = ; е) 2 4 30 19 2 19 38 3

4 1 57 15 7 15 7 1 7 7

⋅ = ⋅ = ⋅ = = ;

ж) 3 1 11 16 11 4 44 4

2 3 84 5 4 5 1 5 5 5

⋅ = ⋅ = ⋅ = = .

5. а) 8 5 2 1 2

15 12 3 3 9⋅ = ⋅ = ; б)

25 27 5 3 1536 40 4 8 32

⋅ = ⋅ = ; в) 35 33 7 3 2122 65 2 13 26

⋅ = ⋅ = ;

г) 39 105 3 7 21 5

260 26 4 2 8 8

⋅ = ⋅ = = ; д) 3 14 15 14 3 7 21 1

3 24 25 4 25 2 5 10 10

⋅ = ⋅ = ⋅ = = ;

ђ) 8 19 8 119 2 7 14

151 100 51 100 3 25 75

⋅ = ⋅ = ⋅ = ; е) 3 5 45 32 5 16 80 3

3 3 1114 9 14 9 7 1 7 7

⋅ = ⋅ = ⋅ = = ;

ж) 1 9 365 1209 73 93 6789 69

4 12 4891 100 91 100 7 20 140 140

⋅ = ⋅ = ⋅ = = .

6. а) 42 15 5 3 1 1 375 32 28 1 32 2 64

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ; б) 102 20 27 2 4 3 24225 37 255 5 37 5 925

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ;

в) 35 32 39 7 4 1 28 1

318 65 12 9 1 1 9 9

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = .

7. а) 3 3 2 15 19 19 3

3 44 5 3 4 15 4 4

⎛ ⎞⋅ + = ⋅ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

; б) 3 7 3 3 125 25 9

4 18 15 10 8 30 16 16

⎛ ⎞⋅ − = ⋅ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

в) 17 1 7 3 13 21 91 31

1 2 19 6 10 5 18 10 60 60

⎛ ⎞⎛ ⎞− ⋅ − = ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠.

8. а) 4 5 1 19 21 3 5

⋅ > ⋅ ; б) 1 5 3 7

3 24 3 5 15

⋅ > ⋅ ; в) 1 1 1 1

4 4 8 22 3 2 5

⋅ > ⋅ .

171

9. Како је 5 4 55

28 9 36

⋅ = , а 7 6 13 42

19 7 9 36

⋅ = = , закључујеш да је 58

од 4

29

веће од 79

од 6

17

.

10. Како је1 1 12 3 6

⋅ = и 1 1 3 2 12 3 6 6 6

− = − = , следи да је 1 1 1 12 3 2 3

⋅ = − .

11. Како је 3 5 95

28 6 48

⋅ = , а 3 5 74

28 6 48

− = , закључујеш да је производ бројева 3

28

и 56

већи од

њихове разлике за 95 74 21 748 48 48 16

− = = .

12. Већи је производ тих бројева за 31

335

.

13. Запремина собе је 4

465

m3, а за под треба купити 18 m2 ламината.

14. Прво треба да уочиш да је 1800 g800

11000

= kg4

15

= kg, па стога 1800 грама треба платити

455 1 99

5⋅ = динара.

ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА

1. а) 1

11

= ,14

,1

10,

1101

; б) 2 ,16 ,105 , 997 ; в) 5 1

22 2

= ,67 1

233 33

= ,79

,24

137;

г) 45

,1543

,100109

,22

485.

2. а) 1

1:1111

= ; б) 3 4 1

1: 14 3 3

= = ; в) 7 6

1:6 7

= ; г) 2 1 2 2 7 14 2

: 7 43 7 3 3 3 3

⋅= ⋅ = = = ;

д) 13 1 13 13 9 117 2

: 9 235 9 5 5 5 5

⋅= ⋅ = = = ; ђ)

2 1 20 1 20 20 4 80 82 : : 4 8

9 4 9 4 9 9 9 9⋅

= = ⋅ = = = .

3. а) 2 3 2 5 2 5 10

:7 5 7 3 7 3 21

⋅= ⋅ = =

⋅; б)

7 6 7 13 7 13 91 25: 1

11 13 11 6 11 6 66 66⋅

= ⋅ = = =⋅

;

в) 11 4 11 5 11 1 11

:15 5 15 4 3 4 12

⋅= ⋅ = =

⋅; г)

5 3 5 2 5 1 5:

8 2 8 3 4 3 12⋅

= ⋅ = =⋅

;

д) 5 6 21 7 7 7 49 1

2 : 38 7 8 6 8 2 16 16

⋅= ⋅ = = =

⋅; ђ)

5 1 11 21 11 4 11 2 221 : 5 :

6 4 6 4 6 21 3 21 63⋅

= = ⋅ = =⋅

.

4. Израчунај количнике:

а) 1

15

; б) 3

14

; в) 49

150

; г) 1633

; д) 13

716

; ђ) 49

; 3

1314

; ж) 57

.

172

5. а) 5

112

; б) 4

29

; в) 2188

; г) 1

26

.

6. а) 6392

б) 2335

в) 235378

7. Како је 2 1 17 6 2

5 :143 6 3 85 5

= ⋅ = и 6 2 6 17 2

585 3 85 3 5

⋅ = ⋅ = , следи да је количник бројева 2

53

и

114

6једнак

685

првог броја.

8. а) Како је 4

15

< (када неки број a множиш бројем мањим од 1, добијаш производ који је

мањи од a, док када број a делиш бројем који је мањи од 1, добијаш количник који је

већи од a), закључујеш да је 2 47 5

⋅ <2 4

:7 5

.

б) 2 77 5

⋅ >2 7

:7 5

(јер је 7

15

> ) в) 2 2

1 33 5

⋅ >2 2

1 : 33 5

(јер је 2

3 15

> )

9. а) Како је 4 19 2

< , 5 4

17 19> , не рачунајући количнике закључујемо да је

4 5:

9 17<

1 4:

2 19.

б) Како је 1 1

3 35 6

> , а 5 34 2

< , не рачунајући количнике закључујемо да је 1 5

3 :5 4

>1 3

3 :6 2

.

в) Како је 3 2 19 3 57 25

4 : 2 14 3 4 8 32 32

= ⋅ = = , а 5 8 41 9 41 3 123 53

6 : 3 16 9 6 35 2 35 70 70

= ⋅ = ⋅ = = и 25 5332 70

>

закључујемо да је 3 2

4 : 24 3

>5 8

6 : 36 9

.

10. 5

11 11.

146

4cm 12. 180 динара

СВОЈСТВА МНОЖЕЊА И ДЕЉЕЊА РАЗЛОМАКА

1. а) 1117

; б) 30

119; в)

110801

; г) 15

.

2. а) 1

35

; б) 4549

; в) 17283025

; г) 13

.

3. а) 19 ; б) 3380

; в) 2

419

; г) 12

425

.

4. а) 8

15; б) 63 ; в)

67

; г) 20.

173

5. а) Ако чиниоце означиш са a и b, а производ са P ( P a b= ⋅ ), тада је нови производ једнак

1

4 45 5

P ab P= = , тј. мањи је за четвртину производа P.

б) Нови производ је једнак 2

54

P P= , тј. већи је за четвртину производа P.

в) Нови производ је једнак 3

12

2P a b P= ⋅ = , тј. једнак је производу P.

г) Нови производ је једнак 4

5 44 5

P a b P= ⋅ = , тј. једнак је производу P.

д) Нови производ је једнак 5

7 7 49 11

8 6 48 48P a b P P= ⋅ = = , тј. већи је за четрдесет осми део

производа P.

ђ) Нови производ је једнак 6

9 4 614 3 7

P a b P= ⋅ = , тј. мањи је за седмину производа P.

6. а) Ако дељеник означиш са a, делилац са b, а количник са Q ( :a

Q a bb

= = ), тада је нови

количник једнак 1

22 233 3

a aQ Q

b b= = ⋅ = , тј. мањи је за трећину количника Q.

б) Нови количник је једнак 2

33 322 2

a aQ Q

b b= = ⋅ = , тј. већи је за половину количника Q.

в) Нови количник је једнак 3

3737

a aQ Q

bb

= = = , тј. једнак је количнику Q.

г) Нови количник је једнак 4

5 59 9

4 5:1

5 9

a a aQ Q

bb b

= = = =⋅

, тј. једнак је количнику Q.

д) Нови количник је једнак 5

5 9:

9 54 9

15 5

a a aQ Q

bb b

⋅= = = =

⋅ ⋅, тј. једнак је количнику Q.

ђ) Нови количник је једнак 6

5 525 259 9

4 9 81 8115 5

a a aQ Q

bb b

⋅ ⋅= = = ⋅ =

⋅ ⋅, тј. мањи је за педесет шест

осамдесет првих делова количника Q.

174

е) Нови количник је једнак 7

5 9: 81 819 5

4 5 25 25:15 9

a a aQ Q

bb b

⋅= = = ⋅ =

⋅, тј. већи је за педесет шест

двадесет петих делова количника Q.

ж) Нови количник је једнак 8

312 1211

1 11 114

a aQ Q

bb

⋅= = ⋅ =

⋅, тј. већи је за један једанаести део

количника Q.

МНОЖЕЊЕ РАЗЛОМАКА ЗАПИСАНИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ

1.

⋅ 10 100 1000 10000 100000

0,56943278 5,6943278 56,943278 569,43278 5694,3278 56943,278

12,004563 120,04563 1200,4563 12004,563 120045,63 1200456,3

0,000019804 0,00019804 0,0019804 0,019804 0,19804 1,9804

67,2 672 6720 67200 672000 6720000

95,003 950,03 9500,3 95003 950030 9500300

2.

⋅ 0,067 0,67 6,7 67

0,2 0,0134 0,134 1,34 13,4

1,7 0,1139 1,139 11,39 113,9

34,57 2,31619 23,1619 231,619 2316,19

50,019 3,351273 33,51273 335,1273 3351,273

3. а) 2,5 ; б) 6,16 ; в) 0,54 ; г) 0,68 ;

д) 19,992 ; ђ) 506,321; e) 3,12898 ; ж) 28,43692 .

4. а) 0,075 0,08≈ ; б) 36,2355 36,24≈ ; в) 3,3488 3,35≈ ; г) 0,891 0,89≈ ;

д)13,6091 13,61≈ ; ђ) 0,4896 0,49≈ .

5. а) 5,6 0,02⋅ > 0,25 0,4⋅ ; б) 0,8 4,08⋅ < 0,7 4,67⋅ ; в) 3,88 0,36⋅ = 9,7 0,144⋅ .

6. 274,575 динара.

175

7. Треба купити 69 клима уређаја.

8. 10,125 km.

ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА ЗАПИСАНИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ

1.

: 10 100 1000 10000

639732,54 63973,254 6397,3254 639,73254 63,973254

1987,06 198,706 19,8706 1,98706 0,198706

15,001 1,5001 0,15001 0,015001 0,0015001

7,5 0,75 0,075 0,0075 0,00075

0,03 0,003 0,0003 0,00003 0,000003

2.

: 0,087 0,87 8,7 87

0,87 10 1 0,1 0,01

1,74 20 2 0,2 0,02

19,227 221 22,1 2,21 0,221

263,61 3030 303 30,3 3,03

3. а) 0,08(5); б) 2,5(3) ; в) ( )22,0 45 ; г) 0,0232 ; д) 100 .

4. Израчунај количнике и заокругли их на 2 децимале:

а) 200 200,00= ; б) 0,1451... 0,15≈ ; в) 6,857... 6,86≈ ;

г) 700=700,00; д) 0,888... 0,89≈ ; ђ) 0,333... 0,3≈ .

5. а) 0,0505 : 0,05 <123,25 :120,75 ; б) 1,326 : 0,5 > 0,7 : 0,307 ;

в) 7,6836 :1,14 = 2,359 : 0,35 .

6. Количник бројева 0,2727 и 2,7 је за 0,001 већи од разлике бројева 0,2727 и 0,1727 .

7.

100 80

1,22 0,976

7,125 5,7

0,01 0,013

0,22 0,286

6,5 8,45

1) 2)

176

8.

20,925

2,25 9,3

1,5 1,5 6,2

2 0,75 2 3,1

0,06655

0,0055 12,1

0,05 0,11 110

0,5 0,1 1,1 100

9. 79,6 m.

10. 360 .

11. 32,5 km/h.

БРОЈЕВНИ ИЗРАЗИ

1. а) 24 ; б) 8,6 ; в) 4,48 ; г) 5,07375 ;

д) 23272500

; ђ) 24,393 ; е) 0,2068 ; ж) 2,6148 .

2. а) 0,463... 0,46≈ ; б) 12,155... 12,16≈ ; в) 1,068... 1,07≈ ; г) 1,595... 1,60≈ .

3. а) 2

25; б)

11

3; в)

215

106; г) 7,617.

4. а) 16

363

; б) 3

320

; в) 34,004 ; г)164,2 ; д) 2,6 ; ђ) 12 ; е) 18 ; ж) 1

46

.

5. 6 3 3= + ; 4 2 25 5 5

= + ; 7 7 711 22 22

= + ;

1 2 21

3 3 3= + ;

5 5 52 1 1

7 14 14= + ; 0,99 0,495 0,495= + .

6. 10 2 2 2 2 2= + + + + 5 1 1 1 1 1

11 11 11 11 11 11= + + + +

4 4 4 4 4 45 25 25 25 25 25

= + + + +

5 19 19 19 19 192

7 35 35 35 35 35= + + + + 0,68 0,136 0,136 0,136 0,136 0,136= + + + +

7. а) 0,8 б) 3564

в) 2,01

8. а) 5

636

б) 3

255

в) 49,725 г) 630,83

9. а) 3

27

б) 23

1724

в) 7,594

10. а) 289,7 б) 17,29 в) 792,3

11. 1112

177

12. 539

2625

13. 2

14. Како је A 19,95= , B 19,4= , C=15,75, D=23,65, следи да је C B A D< < < .

15. Како је A=3,75, B 3,35= , C 4,25= , следи да је B A C< < .

16. 13

220

17. 47

1135

18. 23

19. 9,65

20. Производ бројева 3

38

и 56

мањи је од њиховог количника за 19

180

.

21. а) 7

712

б) 1 в) 23

г) 2

22. 090

23. 24,8cm

24. 15

25. Како је ( )250 2,5 31,3 0,8 25 2 44,2 73,35 56,2− ⋅ + ⋅ + ⋅ = > , Влада може да купи чоколаду.

26. 480

27. 2t

28. Ако су обе славине отворене за 6 минута се напуни 56

каде. Ако се после 2 минута

пуњења отвори сливник, после 10 минута када ће преливати.

29. Последњи резултат је за 75 стотинки слабији од првог.

30. 156

31. 80

32. Попуни дате шеме.

129,6 97,2 96,87

115

753,86 3,53

2,8 2,1 1,77

82 123 128,4

1113

1520,6 26

9,16 13,74 19,14

a) б)

178

JЕДНАЧИНЕ У ВЕЗИ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ1.

а) 2 89 15

x⋅ =

8 2

:15 9

x =

8 9

15 2x = ⋅

125

x =

2

25

x =

Провера: 2 12 89 5 15

⋅ =

б) 0,73 1,241x⋅ =

1,241: 0,73x =

124,1: 73x =

1,7x =

Провера: 0,73 1,7 1,241⋅ =

2. а)

6 8: 2

7 27x =

8 6

227 7

x = ⋅

62 627 7

x = ⋅

12463

x =

61

163

x =

Провера: 61 6 124 7 62 8

1 : 263 7 63 6 27 27

= ⋅ = =

б) 0,567 : 31,5x =

0,567 : 31,5x =

5,67 : 315x =

0,018x =

Провера: 0,567 : 0,018 31,5=

3.

⋅ 23

2077

0

2192000

0,073219

77000

712

718

533

0

0 0 0 0

5,61 3,7416

135

0

:0,04

937

9,6

37

510

716

121

5112

72185

279

371,6

374

0 0 0 0

0 0 0 0

4. а) x 6= ; б) x 6,32= ; в) x1

12

= ; г) x 6= ; д) x37

x45

= ; ђ) x1

x 212

= .

5. а) x9

335

= ; б) x5

28

= ; в) x9

328

= ;

г) x2

33

= ; д) xx 4,8= ; ђ) 23

x = .

6. 1 3 7

2 3 63 4 24

a+ = ; 5

156

a= .

179

7. 4 2 5 216 0,35 : 0,25 8

9 7 4 5m

⎛ ⎞⋅ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

; 37

m= .

8. а) x1

17

= ; б) x78

= .

9. 2,5 9,8 7,7x⋅ − = ; 7x = .

10. x1 1

0,75 1 1714 20

⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ + = ⋅⎝ ⎠ ; x

715

= .

11. x3 5

: 0,5 414 11

⎛ ⎞⎜ ⎟+ =⎝ ⎠ ;

23

11x = .

12. 4 1

4 : 0,215 7

x⎛ ⎞⎜ ⎟− = +⎝ ⎠

; x8

109

= .

13. Ако са x означиш број килограма купљених трешања, задатку одговара следећа једначина ( )0,8 128,25 85,5 530,1x x+ ⋅ + ⋅ = , чије решење је x = 2. Дакле, Марина је купила 2kg трешања.

14. Ако са x означиш брзину (број километара по једном сату) којом се Ненад кретао када је

пешачио, задатку одговара следећа једначина ( )13 5 2,25 24,65

3x x⋅ + + ⋅ = , чије решење је

x = 6. Дакле, Ненад је пешачио брзином од 6km/h, док је бицикл возио брзином од 11km/h.

15. Ако са x означиш ћеркине године, задатку одговара следећа једначина ( )225

7x x⋅ + = ,

чије решење је x = 10. Дакле, ћерка има 10 година, а отац 35 година.

16. Ако са x означиш колико Јована има бомбона, задатку одговара следећа једначина

( )2 351

3 4x x⋅ = ⋅ − , чије решење је x = 27. Дакле, Јована има 27, а Јанко има 24 бомбоне.

17. Ако са x, y, z означиш суме које имају Александар, Јелена и Борис, тим редом, тада услове

задатка записујеш са следећим једначинама 3000x y z+ + = и 5 5

5009 11

x y z= = − .

На основу последњег добијаш да је ( )9500

5x z= − и ( )11

5005

y z= − . Када то примениш

из прве једначине, добијаш ( ) ( )9 11500 500 3000

5 5z z z− + − + = , одакле је 1000z = ,

900x = , 1100y = .

18. Нека је a бројилац траженог разломка. Тада је, по услову задатка, именилац једнак 9a+ , и

важи 2 2

( 9) 2 3a

a

+=

+ −. Одакле добијамо да је

22 ( 7)

3a a+ = ⋅ + , односно,

2 22 7

3 3a a+ = ⋅ + ⋅ .

Дакле, 2 14

23 3

a a+ = ⋅ + . Како је 2 13 3

a a a= + и 14 8

23 3

= + , закључујемо да је

2 1 2 82 2

3 3 3 3a a a⋅ + + ⋅ = ⋅ + + , односно

1 83 3

a⋅ = . Дакле, 8 1

: 83 3

a= = . Тражени разломак је 8

17.

180

19. Ако именилац тог разломка означиш са b, задатку одговара једначина ( ) 1

2 1021 214

b

b

− −=

+,

чије решење је b = 5. Дакле, тражени разломак је 35

.

20. Ако са x означиш број књига на другој полици, задатку одговара једначина 1 1

2 2 2 55 5

x x x x⋅ − ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ + , чије решење је x = 25. Дакле, на првој полици је 50, а на

другој 25 књига.

НЕJЕДНАЧИНЕ У ВЕЗИ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ1.

а) 2 133 18

x⋅ <

13 2

:18 3

x <

13 318 2

x < ⋅

1312

x <

1

112

x <

б) x⋅31,5 ≥ 56,7

x ≥ 56,7 : 31,5

x ≥ 567 : 315

x ≥ 1,8

в) 3

10,5 1,55

x⋅ − ≤

3

10,5 1,55

x⋅ ≤ +

10,5 1,5 0,6x⋅ ≤ +

10,5 2,1x⋅ ≤

2,1:10,5x ≤

21:105x ≤

0,2x ≤

г) 2

2,8 ( 1) 43

x⋅ + >

2

1 4 : 2,83

x + >

14 14

1 :3 5

x + >

14 5

13 14

x + > ⋅

5

13

x + >

5

13

x > −

23

x >

0 1 11

120 1 21,8

0 10,2 0 1 223

181

2. а) x 8,75< ; б) x56

≥ ; в) x1

12

< ; г) 7

10x > ; д)

61

15x ≤ ; ђ) x

11

4≤ .

3. а)

3 1: 4

7 12x <

1 3

412 7

x < ⋅

49 312 7

x < ⋅

74

x < ; 3

14

x <

б) 5

: 4,928

x ≥

5

4,928

x ≥ ⋅

49 510 28

x ≥ ⋅

78

x ≥

в) 1 1

1 : 314 6

x ≤

5 1

1 : 314 6

x ≥

19 19

:14 6

x ≥

19 614 19

x ≥ ⋅ ; 6 3

14 7x ≥ =

г) 4

1,7 : 215

x >

4

1,7 : 215

x <

17 34

:10 15

x <

17 1510 34

x < ⋅ ; 34

x <

д) 1

: 2,5 0,454

x − >

1

: 2,5 0,454

x > +

: 2,5 0,45 0,25x > +

: 2,5 0,7x >

0,7 2,5x > ⋅

1,75x >

ђ) 2

2,1: (4,4 ) 0,5 15

x− ≤ ⋅

1 7

2,1: (4,4 )2 5

x− ≤ ⋅

7

2,1: (4,4 )10

x− ≤

7

4,4 2,1:10

x− ≥

4,4 2,1: 0,7x− ≥ 4,4 3x− ≥ 4,4 3x ≤ − 1,4x ≤

0 137

0 134

0 1 21,75

0 178

0 1 1 2 334

0 1 1,4 2

182

4. а) 5

26

x < ; б) x 7≤ ; в) 35

x > ;

г) x 1≥ ; д) x1

14

≥ ; ђ) 56

x > .

5. а) 2

0,3 13

x⋅ > ; 5

59

x > ; б) 3 1

:5 4

x ≥ ; 3

20x ≥ ; в)

1 63

x 7⋅ < ;

13

2x > .

6. За које вредности променљиве a је:

а) 1 4 3

1 1 0,62 9 4

a⋅ ⋅ < − ; 29

140

a< ; б) 5 3

2,2 1,86 4

a+ ⋅ > ⋅ ; 38

4225

a> ;

в) 1 2

3,5 : 0,75 1,2 0,5 :13 3

a⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ − − >⎝ ⎠

; 5

12a> .

7. Најмања новчаница коју Ана има јесте она од 100 динара, а како су све веће новчанице дељиве са 100, закључујемо да Ана поседује цео број стотина динара, и означимо са x ( x N∈ ) тај број стотина. Тада задатку одговарају неједнакости 7 50 100 (1354,75 45,8) 8 50x⋅ ≤ ⋅ − + < ⋅ , одакле добијаш да је 1750,55 100 1800,55x≤ < , односно x = 18. Дакле, Ана има 1800 динара.

8. Нека је x сума новца коју је мајка дала Јовану. Тада треба да решиш једначину (58,7 25 4 8,5 1,5 67) 2 90x − + + ⋅ + ⋅ > ⋅ . Дакле, мајка треба да да Јовану бар 399 динара.

АРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА

1. а)

11 2,3

52

a+

= 1,2 2,3

2a

+=

3,52

a= 1,75a=

б)

1 40,3 1

3 53

a+ +

=

9 10 54303

a

+ +

= 7390

a=

в) 7

109

и 5

12

7 510

9 122

a+

=

388 1536 36

2a

+=

403362

a=

40372

a=

43

572

a=

г) 12

, 3

37

, 34

, 6 и 1,75

1 3 33 6 1,75

2 7 45

a+ + + +

=

1 24 3 6 72 7 4 1 4

5a

+ + + +=

14 96 21 168 4928 28 28 28 28

5a

+ + + +=

8735

a=

17

235

a=

183

2. Књига има 230 страна, а Нина је читала у просеку 46 страница на дан.

3. 13,6km/h

4. 23,9� C

5. 1

33

6.

34 1,75

2

x += ; 2,75x =

7. Тачки S одговара број 7

112

.

8. Тачки N одговара број 1

55

.

9. Тачки D одговара број 56

10. Збир три Николине оцене из математике мора бити 3 4 12⋅ = , па Николине оцене чине

један од скупова: { } { } { }2,5,5 , 3,4,5 , 4,4,4 .

РАЗМЕРА

1. а) 12 4

12 : 3 43 1

= = = б) 4 1

4 :1616 4

= = в) 18 2

18 : 2727 3

= =

г) 1

5,5 :11020

= д) 2

3,5 : 0,21 163

= ђ) 11 2 25

: 213 7 26

= е) 1 1 49

2 : 53 7 108

=

2. а) Како је 24 2

24 : 3636 3

= = и 14 2

14 : 2121 3

= = , дате размере су једнаке.

б) Како је 3,7 37 12

3,7 : 2,5 12,5 25 25

= = = и 3 2 3 5 15 1

: 17 5 7 2 14 14

= ⋅ = = , дате размере нису једнаке.

в) Како је 3 4 7 7 49 1

1 : 34 7 4 4 16 18

= ⋅ = = и 2 3 5 5 25 7

1 : 23 5 3 3 9 9

= ⋅ = = , дате размере нису једнаке.

г) Како је 410

4,1: 0,077

= и 410

14,35 : 0,2457

= , дате размере су једнаке.

3. 1 2

391:

462P P = ; 1 2

40:

43O O = .

4. а) 280m, 1m; б) 5,6km, 5cm.

5. Подели дуж AB дужине 9cm у размери:

а) 4,5cm и 4,5cm; б) 2,25cm и 6,75cm;

в) 6cm и 3cm; г) 7cm и 2cm.

184

6. Јана ће добити 2000, а Немања 1500 динара.

7. У бокал треба додати 375ml воде, а од 2,1l сока.

8. а) x10

111

= ; б) x 6,12= ; в) x2

15

= .

ПРОЦЕНТИ

1. а) 20 б) 2 в) 200 г) 1

2. а) 20 б) 20 в) 20 г) 20

3. а) 30 б) 13,5 в) 5,4 г) 141,45

4. У том одељењу има 8 одличних ученика и 18 девојчица.

5. У том одељењу има 8 одличних ученика, а од њих 3 су девојчице.

6. 1

0,45 0,345

x⋅ − = ; 1,2x =

7. 4

0,35 1 0,25 15

r⋅ + ⋅ = ; 1,48r =

8. 743,75 динара

9. Ако са c означиш цену карте пре поскупљења, онда важи 1,2 660c⋅ = . Дакле, цена карте

је била 550 динара, тј. карта је поскупела 110 динара.

10. Ако са c означиш првобитну цену артикла, добијаш да је нова цена једнака

1,2 0,8 0,96c c⋅ ⋅ = ⋅ , тј. производ је сада јефтинији.

11. Ако са c означиш првобитну цену артикла, добијаш да је нова цена једнака

0,9 1,1 0,99c c⋅ ⋅ = ⋅ , тј. производ је сада јефтинији.

185

ОСНА СИМЕТРИЈА

1. Заокружи слово испред цртежа на коме су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на одговарајућу праву.

2. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на праву p.

3. Ево како су Милица и Јана конструисале тачку А1 која је осносиметрична тачки A у односу

на праву s. Миличина конструкција је приказана на слици лево, а Јанина на слици десно.

Ево како су оне описале своје конструкције. Допиши шта недостаје. Милица: ‘’Најпре сам конструисала лук k

1 кружнице са центром у тачки A и полупречником

који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са P и ___. Затим сам конструисала лукове k

2 и k

3 кружница истог полупречника чији су

186

центри тачке ___ и Q. Тачку пресека ових лукова означила сам са N. Праву ( , )p A N означила сам са n. Права n је нормала на праву ___ из тачке A. Пресечну тачку правих s и n означила сам са ___. Најзад, конструисала сам лук 4k кружнице чији је центар тачка S и полупречник дуж ___. Тражена тачка 1A је пресечна тачка лука 4k и праве ___.’’

Јана: ‘’Најпре сам конструисала лук 1l кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са M и ___. Затим сам конструисала лукове 2l и 3l кружница чији су центри редом тачке ___ и N и полупречници дужи MA и NA . Једна тачка пресека ових лукова јесте тачка ___, а друга је тражена тачка 1A .’’

Обе конструкције су исправне! Која је једноставнија?

3. Дате су три неколинеарне тачке , ,A B C . За сваку од њих конструиши тачку симетричну у односу на праву одређену преосталим двема тачкама.

6. Нађи слику отворене изломљене линије ABCDE при осној симетрији у односу на праву s.

4. Нађи слике полуправих Aa , Bb , Cc при осној симетрији у односу на праву s.

5. Нађи слику угла xOy при осној симетрији у односу на праву s.

187

7. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на праву p.

1) 2)

8. Нацртај туп угао xOy и на краку Ox изабери тачку S различиту од O. Нацртај затим нормалу s на крак Ox и конструиши угао x

1O

1y

1. осносиметричан углу xOy у односу на

праву s. Одреди пресек угаоних линија xOy и x1O

1y

1 и обоји пресек углова xOy и x

1O

1y

1.

9. Нацртај троугао ABC пресликај га осном симетријом у односу на праву ( , )p B C .

10. Нацртај конвексан четвороугао ABCD а затим га пресликај осном симетријом у односу на праву ( , )p A C .

11. Нацртај троугао ABC и нормалу n из тачке A на праву ( , )p B C . Пресликај троугао ABC осном симетријом у односу на праву n.

12. Нацртај кружницу k(O,2cm) и праву s која је:1) не сече; 2) додирује; 3) сече. Пресликај ову кружницу осном симетријом у односу на праву s.

13. Нацртај троугао ABC и праву s која сече странице AB и BC. Пресликај троугао осном симетријом у односу на праву s.

14. Осном симетријом у односу на праву s тачка A се пресликава у тачку B. Нека је S пресек праве s и дужи AB и нека је C произвољна тачка праве s различита од S.

Осном симетријом у односу на праву s: 1) слика дужи AC јесте дуж _____;2) слика дужи AB јесте дуж _____;3) слика дужи AS јесте дуж _____;4) слика дужи CS јесте дуж _____;5) слика угла ACS јесте угао _____;6) слика угла ASC јесте угао _____;7) слика угла CAS јесте угао _____.

188

ОСНА СИМЕТРИЧНОСТ

1. 1) Колико оса симетрије има полуправа?2) Колико оса симетрије има права?3) Колико оса симетрије има затворена изломљена линија

приказана на наредној слици? Нацртај их!

4) Колико оса симетрије има следећа фигура? Нацртај их!

2. Која од датих слова су осносиметрична? Колико оса симетрије има свако од слова? Наведи још нека ћирилична и нека латинична слова која су осносиметрична.

3. Нацртај све осе симетрија следећих фигура.

4. Нацртај бар један троугао који је осносиметричан.

5. Нацртај бар један четвороугао који је осносиметричан.

6. Нацртај дуж 5AB = cm. Да ли су фигуре K(A,2cm)∩K(B,4cm) и K(A,2cm)∪K(B,4cm) осносиметричне? Колико оса симетрије имају ове фигуре?

7. Да ли је полуправа осносиметрична фигура? Да ли је полураван осносиметрична фигура?

8. Дат је квадрат ABCD. Тачке , , ,P Q R S су, тим редом, средишта страница , , ,AB BC CD DA . На одговарајућа места упиши шта је потребно.

а) Осе симетрије квадрата су: ( , ), ( , ), (__, __), (__, __)p A C p P R p p .

б) Тачка O је средиште дужи: AC, PR, ____, ____ .

в) Тачне су једнакости:

____ ____OA OB= = = ____ ____OP OQ= = =

____AC = ____ ____ ____AB BC PR= = = = = .

189

СИМЕТРАЛА ДУЖИ1. Нацртај неку дуж и подели је на осам једнаких делова?

2. Конструиши дуж чија је дужина једнака 34

дужине дужи коју си произвољно изабрао.

3. Изабери две тачке А и B. Конструиши праву p, тако да се тачка A пресликава у тачку B при осној симетрији у односу на праву p.

4. Одреди тачку праве p која је подједнако удаљена од тачака A и B.

5. Одреди тачке дате кружнице које су подједнако удаљенe од тачака A и B.

1) 2)

6. Изабери три неколинеарне тачке и означи их са O, A, B. Конструиши затим кружницу са центром у тачки O тако да постоји тачно једна тачка те кружнице која је подједнако удаљена од тачака A и B.

7. Дати су троугао ABC и тачка B’. Пресликај дати троугао осном симетријом ако знаш да је при тој симетрији слика тачке B тачка B’.

8. Одреди тачку која је подједнако удаљена од тачака A и B и чије је растојање од тачке T једнако 3cm. Колико има таквих тачака?

9. Треба конструисати нормалу на праву p из тачке A која не припада овој правој. Како је Лазар поступио, приказано је на слици лево, а како је Милош, на слици десно.

190

10. У равни је дата права t и тачка T која јој припада. Конструиши све кружнице полупречника 3cm које додирују праву t у тачки T.

11. Конструиши квадрат ABCD ако су дати теме A и права p којој припадају темена B и D.

12. Конструиши квадрат ABCD ако су дата његова темена A и C.

13. Нацртај неки троугао и конструиши симетрале његових страница. Шта запажаш?

14. Дате су три неколинеарне тачке. Нађи тачку која је подједнако удаљена од ових тачака.

15. Нацртај троугао и одреди средишта сваке од његових страница. Нацртај затим дужи које спајају теме са средиштем наспрамне странице. Шта запажаш?

16. Нађи центар кружнице приказане на слици десно.

17. У равни је дата права t, тачка T која јој припада и тачка A која не припада овој правој. Конструиши кружницу која садржи тачку A и праву t додирује у тачки T.

СИМЕТРАЛА УГЛА

1. Нацртај неки туп угао и подели га на на осам једнаких делова.

2. Конструиши (без употребе угломера) угао чија је мера:а) 45� ; б) 22 30� ’ ; в) 1115� ’ ; г) 135� ; д) 225� ; ђ) 315� .

3. Одреди тачке дате кружнице које су подједнако удаљена од кракова угла xOy.

191

4. Нацртај круг и конструиши централни угао који је једнак шеснаестини пуног угла.

5. Дат је оштар угао xOy и на његовом краку Ox тачка A. Одреди тачку угла xOy која је подједнако удаљена од тачке A и крака Oy.

6. Дат је угао xOy и на краку Ox тачка P. Конструиши кружницу која додирује краке угла и садржи тачку P.

7. Нацртај два упоредна угла и конструиши њихове симетрале. Под којим углом се секу симетрале два упоредна угла?

8. Нацртај два комплементна угла са заједничким краком и конструиши њихове симетрале. Под којим углом се секу симетрале два комплементна угла са заједничким краком?

9. Нацртај две паралелне праве и једну њихову трансверзалу. Конструиши кружницу која додирује све три праве. Колико таквих кружница можеш конструисати?

10. Нацртај неки троугао и конструиши симетрале његових унутрашњих углова. Шта запажаш?

193

3. Милица: ‘’Најпре сам конструисала лук k1 кружнице са центром у тачки A и

полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са P и Q. Затим сам конструисала лукове k

2 и k

3 кружница истог

полупречника чији су центри тачке P и Q. Тачку пресека ових лукова означила сам са N. Праву p(A,N) означила сам са n. Права n је нормала на праву s из тачке A. Пресечну тачку правих s и n означила сам са S. Најзад, конструисала сам лук k

4 кружнице чији је центар

тачка S и полупречник дуж SA. Тражена тачка A1 је пресечна тачка лука k

4 и праве n.’’

Јана: ‘’Најпре сам конструисала лук I1 кружнице са центром у тачки A и полупречником

који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са M и N. Затим сам конструисала лукове I

2 и I

3 кружница чији су центри редом тачке

M и N и полупречници дужи MA и NA. Једна тачка пресека ових лукова је тачка A, а друга је тражена тачка A

1.’’

1. Осно симетричне фигуре приказане су на сликама под а) и В).

2.

3. 4.

ОСНА СИМЕТРИЈА РЕШЕЊА

194

14. 1) слика дужи AC је дуж BC; 2) слика дужи AB је дуж AB; 3) слика дужи AS је дуж SB; 4) слика дужи CS је дуж CS; 5) слика угла ACS је угао BCS ; 6) слика угла ASC је угао BSC ; 7) слика угла CAS је угао CBS .

5. Нека је X произвољна тачка на краку Ox и Y тачка пресека крака Oy и праве s. Ако су 'O и 'X слике редом тачака O и X при осној симетрији у односу на праву s, онда је угао x’Oy’ слика угла xOy при тој осној симетрији.

6.

7. 1) 2)

8. 9.

1 1 1 1∠ ∩∠ =xOy x O y OO

195

4. Ево три осносиметрична троугла. 5. Ево два осносиметрична четвороугла.

ОСНА СИМЕТРИЧНОСТ

1. 1) Полуправа има једну осу симетрије. То је права на којој се она налази. 2) Права има бесконачно много оса симетрије. Поред те праве осе симетрије су и све

праве које су нормалне на њу. 3) Приказана фигура има две осе симетрије. 4) Фигура има четири осе симетрије.

2.

3. Унутар сваке фигуре уписан је број њених оса симетрије.

6. И пресек ( ,2 ) ( ,4 )∩K A cm K B cm и унија ( ,2 ) ( ,4 )∪K A cm K B cm су осносиметричне фигуре и имају по једну осу симетрије – праву која спаја центре ових кружница.

196

12. Конструиши најпре симетралу дужи AC и означи на пример са O средиште ове дужи. Темена B и D припадају конструисаној симетрали и кружници ( , )k O OA .

13. Симетрале страница троугла секу се у једној тачки.

14. Тражена тачка је пресечна тачка симетрала дужи које су одређена двема од ове три тачке.

15. Дужи које си нацртао секу се у једној тачки.

7. Полуправа је осносиметрична фигура и има само једну осу симетрије – праву на којој се налази. Полураван је осносиметрична фигура и има бесконачно много оса симетрије; свака права нормална на граничну праву те полуравни је њена оса симетрије.

8. 1) Осе симетрије квадрата су: ( , ), ( , ), ( , ), ( , )p A C p P R p B D p Q S .2) Тачка O је средиште дужи: AC, PR, BD, QS..3) Тачне су једнакости: = = =OA OB OC OD , = = =OP OQ OR OS , =AC BD , = = = = =AB BC PR CD DA QS .

СИМЕТРАЛА ДУЖИ

1. Дуж најпре поделити на два једнака дела. Затим, сваку половину дужи поделити на пола. Најзад, добијене четвртине дужи поново поделити на пола.

2.

3. Права p, коју треба конструисати, је симетрала дужи AB .

4. Тачка праве p која је подједнако удаљена од тачака A и B је пресек праве p и симетрале дужи AB .

5. Тачке које треба одредити су тачке пресека кружнице и симетрале дужи AB . У првом случају (а) постоје две такве тачке, док у другом (б) такве тачке не постоје.

6. Треба конструисати кружницу са цетром у тачки O која додирује симетралу дужи AB .

7. Троугао ABC треба пресликати осном симетријом у односу на симетралу дужи 'BB .

8. Тражене тачке су тачке пресека симетрале дужи AB и кружнице ( ,3 )k T cm .

9. Правилније је поступио Милош. Лазар је нацртао нормалу, док ју је Милош конструисао!

10. На нормали праве t у T треба одредити тачке 1O и 2O које су на растојању 3cm од T . Кружнице 1( ,3 )k O cm и 2( ,3 )k O cm су тражене кружнице.

11. Тачка C је симетрична тачки A у односу на праву p. Темена B и D припадају правој p и кружници чији је пречник дуж AC.

197

1. Угао најпре треба поделити на два једнака дела. Затим, сваку половину угла треба поделити на пола. Најзад, добијене четвртине угла треба поново поделити на пола.

2. Угао чија је мера �45 је половина правог угла; дакле, прав угао треба поделити на два једнака дела. Угао од �22 30' је половина угла од �45 , док је угао �1115' половина угла од �22 30' . Угао чија је мера �135 можеш конструисати као збир правог угла и угла од �45

или као разлику опруженог угла и угла од �45 . Угао од �225 је збир опруженог угла и угла од �45 . Угао од �315 је разлика пуног угла и угла од �45 .

3. Тражене тачке су пресечне тачке дате кружнице и симетрале угла xOy.

4. Тражени централни угао има меру �22 30' .

5. Тражена тачка је пресек нормале на крак Ox у тачки A и симетрале угла � xOy .

6. Центар O тражене кружнице је пресек нормале на крак Ox у тачки P и симетрале угла xOy , док је њен полупречник дуж OP .

7. Симетрале два упоредна угла су међусобно нормалне.

8. Симетрале две комплементна угла са заједничким краком секу се под углом од �45 .

9. Постоје две такве кружнице.

16. Нацртај две тетиве које нису на паралелним правама. Симетрале ових тетива секу се у центру кружнице.

17. Нацртај нормалу n на праву t у тачки T. Пресечна тачка O симетрале дужи AT и праве n је центар тражене кружнице. Тражена кружница је ( , )k O OT .

СИМЕТРАЛА УГЛА

10. Симетрале унутрашњих углова троугла секу се у једној тачки.

matematika 5 zbirka zadataka

Documents