matematika 4 udzbenik.pdf

Recenzenti:

dr Dobrilo \. To{i}, doktor matematike

dr Branko J. Male{evi}, doktor matematike

Dragica Mi{i}, profesor matematike

Za izdava~a

Milka Je{i}

Predmetni urednik

Dragica Mi{i}

Urednik produkcije

mr Nata{a Baba~ev

Ministar prosvete i sporta Republike Srbije odobrio je izdavawe i upotrebu ovog uybenika u ~etvrtom razredu osnovne {kole re{ewem broj 650-02-00109/2008-06 od 20. 6. 2008.

ISBN 978-86-87715-22-6

dr Sini{a N. Je{i}Marko M. Igwatovi}

MATEMATIKAza ~etvrti razred osnovne {kole

ГЕРУНДИЈУМ

1. Skup prirodnih brojeva N i skup N0 6

1. Brojevi prve hiqade ..................................................................................... 6

2. Dekadne jedinice do milion, 1 000 000 ......................................................... 8

3. Zapisivawe dekadnih jedinica kao stepena broja 10 ........................... 11

4. Brojawe i zapisivawe po hiqadu.............................................................. 12

5. îtawe i pisawe brojeva do milion .......................................................... 13

6. Brojawe po milion. Dekadne jedinice ve}e od milion ........................... 15

7. îtawe i pisawe brojeva ve}ih od milion ................................................ 17

8. Zapisivawe prirodnih brojeva u obliku zbira proizvoda ..................... 19

9. Mesna vrednost cifre u zapisu broja ........................................................ 21

10. Upore|ivawe prirodnih brojeva ................................................................ 23

11. Skup prirodnih brojeva N i skup N0 ........................................................... 25

12. Brojevna poluprava .................................................................................... 27

SADR@AJ

2. Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 30

1. Sabirawe trocifrenih brojeva ................................................................... 30

2. Oduzimawe trocifrenih brojeva od brojeva druge hiqade .................. 32

3. Veza sabirawa i oduzimawa ....................................................................... 34

4. Zamena mesta i zdruìvawe sabiraka ..................................................... 36

5. Dodavawe i oduzimawe zbira ................................................................... 38

6. Sabirawe vi{ecifrenih brojeva .............................................................. 40

7. Oduzimawe vi{ecifrenih brojeva ............................................................ 42

8. Izvodqivost sabirawa i oduzimawa u skupu N i skupu N0 .................... 44

9. Sabirawe i oduzimawe - izrazi sa dve ili vi{e operacija ............... 47

10. Zavisnost zbira od promene sabiraka .................................................... 50

11. Stalnost zbira .......................................................................................... 53

12. Zavisnost razlike od promene umawenika i umawioca ...................... 54

13. Stalnost razlike ..................................................................................... 57

14. Jedna~ine sa sabirawem i oduzimawem .................................................. 58

15. Nejedna~ine sa sabirawem i oduzimawem .............................................. 60

3. Mnoèwe i deqewe prirodnih brojeva 62

1. Mnoèwe trocifrenog i ~etvorocifrenog broja jednocifrenim................................................................................................ 62

2. Deqewe trocifrenog i ~etvorocifrenog broja jednocifrenim................................................................................................ 64

3. Veza mnoèwa i deqewa .............................................................................. 66

4. Zamena mesta i zdruìvawe ~inilaca........................................................ 68

5. Mnoèwe zbira i razlike ................................................................................ 70

6. Deqewe zbira i razlike .................................................................................. 72

7. Mnoèwe i deqewe dekadnom jedinicom ........................................................ 74

8. Mnoèwe vi{ecifrenog broja jednocifrenim .............................................. 76

9. Deqewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim .............................................. 78

10. Mnoèwe vi{estrukom dekadnom jedinicom ............................................. 80

11. Mnoèwe vi{ecifrenog broja dvocifrenim ................................................ 81

12. Deqewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim ................................................. 83

13. Mnoèwe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem ................................ 85

14. Deqewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem .................................. 87

15. Izvodqivost mnoèwa i deqewa u skupu N .................................................. 89

16. Zavisnost proizvoda od promene ~inilaca ................................................... 90

17. Izra~unavawe nepoznatog ~inioca ................................................................ 91

18. Izra~unavawe nepoznatog deqenika ili delioca .................................... 92

19. Jedna~ine sa mnoèwem i deqewem ............................................................ 93

7. Razlomci 1301. Razlomci sa brojiocem jedan ......................................................................... 130

2. Razlomci sa brojiocem ve}im od jedan ........................................................... 133

3. Upore|ivawe razlomaka ............................................................................... 137

4. Predstavqawe razlomaka na brojevnoj polupravoj .................................... 140

4. Merewe povr{i i jedinice mere 94

1. Povr{. Upore|ivawe i merewe povr{i ........................................................... 94

2. Jedinice mere za povr{inu ............................................................................... 97

3. Jedinice mere za povr{inu ve}e od kvadratnog metra .............................. 99

4. Ra~unawe sa jedinicama mere za povr{inu .............................................. 100

5. Izra~unavawe povr{ine pravougaonika i kvadrata ................................. 102

5. Izrazi 1061. Matemati~ki izrazi .......................................................................................... 106

2. Odnos mnoèwa i deqewa prema sabirawu i oduzmawu ............................. 107

3. Odnos mnoèwa i deqewa ............................................................................... 111

6. Kvadar i kocka 1121. Osobine kvadra i kocke .................................................................................... 112

2. Crtawe kvadra i kocke ..................................................................................... 115

3. Model i mreà kvadra i kocke .................................................................... 117

4. Izra~unavawe povr{ine kvadra ..................................................................... 120

5. Izra~unavawe povr{ine kocke ........................................................................ 121

6. Zapremina tela. Merewe zapremine............................................................... 122

7. Jedinice mere za zapreminu ............................................................................. 124

8. Izra~unavawe zapremine kvadra i kocke .................................................. 127

Skup prirodnih brojeva N i skup N01

6

1 | Brojevi prve hiqade1

Brojevi 1, 10, 100 i 1 000 su dekadne jedinice prve hiqade.

1 (jedinica) = 1J

1 D = 10 J

1 S = 10 D = 100 J

1 H = 10 S = 100 D = 1000 J

1) 56 D = 560

3) 2 S 43 J =

2) 85 D =

4) 2 S 3 D 5 J =

Zapi{i broj ciframa, bez oznaka dekadnih jedinica, kao u datom primeru.

1.

Popuni tabelu.

prethodnik 59 104 359 498 800

broj 60 209 300 420

sledbenik 61 251 480 601 956

2.

00

1) trista pedeset dva

2) ~etiristo osamdeset tri

3) {eststo osam

4) sedamsto sedam

5) dvesta trideset

6) osamsto deset

Napi{i ciframa date brojeve.3.

Skup prirodnih brojeva N i skup N0 1

7

4. Brojeve 359, 1 000, 409 i 750 pro~itaj i zapi{i re~ima.

Predstavi date brojeve ciframa u narednoj tabeli.

Xiqade Stotine Desetice Jedinice

H S D J

3 5 9

5. Zapi{i sve trocifrene brojeve u kojima se cifra 7 javqa dva puta.

6. Ciframa 0, 3 i 5 zapi{i sve mogu}e trocifrene brojeve i pore|aj ih po veli~ini tako da se:

1) svaka cifra koristi samo jedanput;

2) ista cifra mo`e koristiti vi{e puta.


8

2 | Dekadne jedinice do milion, 1 000 000Vrednost nekih na{ih nov~anica iskazana je dekadnim jedinicama.

Grupisawem hiqada dobijamo vi{estruke hiqade.

1 dinar

1 dinar

10 dinara 100 dinara 1 000 dinara

~etiri hiqade dinara4 000 = 4 X

deset hiqada dinara 10 000 = 10 X~etiiri hiq araade dina

Jedna stotina hiqada 1 SH = 100 H = 100 000 (sto hiqada)

Jedna desetica hiqada 1 DX = 10 X = 10 000 (deset hiqada)

Neke dekadne jedinice ve}e od hiqadu predstavqamo hiqadama.

Nastavqaju}i da broji{ u deseticama hiqada popuni slede}u tabelu.

1 DH 10 000 deset hiqada

2 DH

trideset hiqada

40 000

pedeset hiqada

60 000

70 000

osamdeset hiqada

9 DH

1 SX 100 000 sto hiqada

1.


9

Banka nov~anice pakuje u omote. U svakom omotu je po 100 istih nov~anica. Posmatrajmo omote sa po 100 nov~anica od hiqadu dinara.

1 omot 5 omota

stohiqada dinara

100 000 = 100 X = 1 SX

petsto hiqada dinara500 000 = 500 X = 5 SX

1 000 hiqada nazivamo 1 milion i ozna~avamo ga sa 1M.1 M = 1 000 H = 1 000 000 (jedan milion)

Na slici je prikazano 10 omota po 100 nov~anica od hiqadu dinara.

10 . 100 hiqada dinara = 1 000 hiqada dinara = 1 000 000 dinara

Dekadne jedinice koje smo upoznali izrazi jedinicama.

1 jedinica

1 desetica

1 stotina

1 hiqada

1 desetica hiqada

1 stotina hiqada

1 milion

= 1 J

= 1 D = 10 J

= 1 S =

= 1 H =

= 1 DH =

= 1 SH =

= 1 M =

2.


10

Dekadne jedinice koje poznaje{ upi{i u tabelu, polaze}i od najmawe.

milioni hiqade jedinice

M SX DX X S D J

1 0 0 0 0

Pro~itaj i re~ima zapi{i date brojeve.

1) 500 000

2) 40 000

3) 800 000

4) 60 000

Zapi{i ciframa broj:

3.

5.

6.

1) sedamsto hiqada

2) trideset hiqada

3) ~etiristo hiqada

4) {ezdeset hiqada

4. Brojeve sa oznakama hiqada zapi{i ciframa.

1) 200 H =

3) 500 H =

5) 800 H =

2) 400 H =

4) 600 H =

6) 900 H =


11

Dekadne jedinice moèmo predstaviti kao proizvod jednakih ~inilaca, pri ~emu su svi ~inioci jednaki 10.

100 = 10 . 10 1 000 = 10 . 10 . 10

îtamo: deset na tre}i.

10 . 10 . 10= 103

Proizvod jednakih ~inilaca moèmo skra}eno zapisivati.

îtamo: deset na drugi.

10 . 10 = 102

Zapis 102 nazivamo drugi stepen broja 10,a 103 nazivamo tre}i stepen broja deset.

Predstavimo i ostale dekadne jedinice skra}enim zapisom.

10 000 = 10 . 10 . 10 . 10 = 104

100 000 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 105

1 000 000 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 106

Navedeni zapisi su ~etvrti, peti i {esti stepen broja deset.

3 | Zapisivawe dekadnih jedinica kao stepena broja 10

Date brojeve zapi{i u obliku proizvoda jednocifrenog broja i stepena broja 10.

1) 20 000 = 2 . 10 000 = 2 . 104

2) 200 000 = 2 . = . 105

3) 50 000 = 5 . = .

4) 500 000 = . = .

5) 6 SH = . = .

6) 9 SH = . = .

1.


12

4 | Brojawe i zapisivawe po hiqadu1. Brojeve sa oznakama hiqada zapi{i ciframa.

1) 19 H = 19 000

2) 37 H =

3) 219 H =

4) 237 H =

5) 485 H =

6) 754 H =

Zapi{i ciframa date brojeve:

Upi{i brojeve koji nedostaju u nizovima.

Broje}i po hiqadu odredi i zapi{i tra`ene brojeve:

1) od sto devedeset pet hiqada do dvesta tri hiqade;

2) od {eststo osam hiqada do {eststo ~etrnaest hiqada;

3) od osamsto devedeset sedam hiqada do devetsto sedam hiqada.

2.

3.

4.

1) sto pedeset dve hiqade

2) trista sedamdeset ~etiri hiqade

3) sedamsto dvadeset hiqada

4) osamsto tri hiqade

456 000

457 000

462 000

513 000512 000

507 000


13

• Radi lak{eg ~itawa, cifre vi{ecifrenih brojeva zapisujemo u tabelu.

• Dekadne jedinice razvrstane su u klase, zdesna nalevo. U sklopu svake klase su jedinice, desetice i stotine.

• Brojeve ~itamo po klasama. Najpre pro~itamo koliko je jedinica najvi{e klase, imenujemo klasu, a zatim ~itamo slede}u klasu, sve do posledwe, sleva nadesno.

• Brojeve zapisujemo sa polurazmakom izme|u klasa (razmak je jednak polovini {irine cifre).

Navodimo primere zapisivawa vi{ecifrenih brojeva u tabeli.

Broj iz prve vrste prethodne tabele ~itamo 438 hiqada 562

i zapisujemo ga sa 438 562.

5 | ̂ itawe i pisawe brojeva do milion

KLASE


M SX DX X S D J

4 3 8 5 6 2

7 2 1 0 4

6 5 0 3 8 7

1 0 0 0 0 0 0

8 5 3 2 0 6

Pro~itaj i zapi{i preostale brojeve iz tabele, na dva na~ina:navode}i klase i samo ciframa, kao u datom primeru.

72 104

1.

72 hiqade 104


14

Zapi{i ciframa date brojeve.

a) sedamdeset osam hiqada petsto dva

b) dvesta pedeset hiqada pedeset dva

v) devetsto devet hiqada petsto pet

Pro~itaj cene prevoznih sredstava prikazanih na slikama.

950 800 din.

Brojeve sa oznakama dekadnih jedinica zapi{i samo ciframa i pro~itaj ih.

2.

3.

4.

a) 3 SH 5 DH 2 H 7 S 4 D 8 J =

b) 5 SH 5 H 3 S 3 D =

v) 8 SH 7 DH 6 S 5 J =

g) 7 SH 7 S 7 J =

d) 6 SH 6 D =

19 560 din. 349 988 din.

Ako je neka cifra broja jednaka 0, pri wegovom zapisivawu oznakama

dekadnih jedinica odgovaraju}u oznaku

izostavqamo.

12 080

= 1 DH 2 H 0 S 8 D 0 J

= 1 DH 2 H 8 D

Napi{i brojeve koji nedostaju i pro~itaj ih.

a) 376 438, 377 438, 378 438, , ,

, , , 384 438

b) 376 438, 376 538, 376 638, , ,

, , , 377 238

5.

6. Broj po hiqadu i zapi{i sve brojeve izme}u 155 000 i 162 000.


15

• Broje}i po milion dobijamo brojeve iz slede}e tabele.

Dekadne jedinice ve}e od milion predstavqamo milionima (M).

1 000 000 jedan milion

2 000 000 dva miliona

3 000 000 tri miliona

4 000 000 ~etiri miliona

5 000 000 pet miliona

6 000 000 {est miliona

7 000 000 sedam miliona

8 000 000 osam miliona

9 000 000 devet miliona

10 000 000 deset miliona

6 | Brojawe po milion. Dekadne jedinice ve}e od milion

Jedna desetica miliona 1 DM = 10 M = 10 000 000 (deset miliona)

Jedna stotina miliona 1 SM = 100 M = 100 000 000 (sto miliona)

Jedna hiqada miliona 1 XM = 1 000 M = 1 000 000 000 (milijarda)

Hiqadu miliona nazivamo milijarda i ozna~avamo je sa Md.

1 Md = 1 000 M = 1 000 000 000 (jedna milijarda)

1 SM 10 DM 100 000 000 sto miliona

2 SM 200 000 000

30 DM

400 000 000

petsto miliona

6 SM

700 000 000 sedamsto miliona

9 SM

10 SM 100 DM 1 000 000 000

Popuni datu tabelu, broje}i u stotinama miliona.1.


16

Dekadne jedinice ve}e od milijarde izra`avamo milijardama (Md).

Jedan bilion predstavqa 1 000 milijardi i ozna~avamo ga sa 1 B.

Desetica milijardi 1 DMd = 10 Md = 10 000 000 000 (deset milijardi)

Stotina milijardi 1 SMd = 100 Md = 100 000 000 000 (sto milijardi)

Hiqada milijardi 1 XMd = 1 000 Md = 1 000 000 000 000 (bilion)

1 B = 1 HMa = 1 000 000 000 000

Posle Sunca, zvezda najbli`a Zemqi je Proksima Kentaur koja je od Zemqe

udaqena 40 biliona kilometara.

Radi preglednosti, dekadne jedinice do bilion zapisa}emo u tabelu.

Udaqenost Sunca i Zemqe je oko 150 miliona kilometara.

Bilioni Milijarde Milioni Hiqade Jedinice

SB DB B SMd DMd Md SM DM M SH DH H S D J

1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Napi{i ciframa date brojeve.

Re~ima zapi{i date brojeve.

1) osamsto miliona 2) sedam milijardi

3) pedeset miliona

1) 300 000 000

2) 20 000 000

3) 40 000 000 000

2.

3.


17

7 | ̂ itawe i pisawe brojeva ve}ih od milion

• Kao i mawe, tako i brojeve ve}e od milion ~itamo po klasama, sleva nadesno i imenovawem klase pre prelaska na narednu klasu.

• Brojeve zapisujemo sa polurazmakom izme}u klasa.

Broj iz prve vrste tabele ~itamo 5 miliona 308 hiqada 245

Bilioni Milijarde Milioni Hiqade Jedinice

SB DB B SMd DMd Md SM DM M SH DH H S D J

5 3 0 8 2 4 5

1 0 0 5 4 8 7 3

8 7 0 2 0 3 0 2 4

6 0 5 0 3 8 5 4 2 6

1 8 1 0 3 0 5 0 5 0 3

2 8 3 5 5 0 4 0 7 0 2 0

1 0 5 4 2 0 8 0 5 0 0 7 8

i zapisujemo ga sa 5 308 245.

Pro~itaj i zapi{i preostale brojeve iz prethodne tabele.1.

Zapi{i ciframa broj:2.

1) dvadeset tri miliona pet hiqada osamdeset

2) osamsto miliona osamdeset hiqada osam

3) tri milijarde pet miliona pedeset hiqada petsto


18

3. Brojeve sa oznakama dekadnih jedinica napi{i samo ciframa i pro~itaj ih.

1) 2 DM 4 M 5 SH 3 H 8 S 4 D 5 J =

2) 7 DMd 5 Md 3 DM 4 SH 7 D 8 J =

a) Svi brojevi od 24 000 001 do 25 000 000 su brojevi dvadeset petog miliona. Zapi{i jo{ tri broja tog miliona.

b) Navedi tri broja pedeset osmog miliona.

v) Napi{i najmawi i najve}i broj sedamsto osamnaestog miliona.

a) Koliko desetica miliona i preostalih jedinica ima broj 376 742 235? (Podvu~eno je koliko ima desetica miliona.)

b) Koliko stotina miliona i preostalih jedinica ima broj 438 276 320 560? (Podvu~eno je koliko ima stotina miliona.)

376 742 235 = DM J

438 276 320 560 = SM J

4.

6.

Ciframa 2, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0 zapi{i one brojeve koji pripadaju tre}oj desetici miliona. Zatim brojeve pro~itaj i zapi{i re~ima pored zapisanog broja.

5.


19

8 | Zapisivawe prirodnih brojeva u obliku zbira proizvoda

(a + n) + (b – n) = a + b

• Svaki prirodan broj mo`emo zapisati u obliku zbira vi{estrukih dekadnih jedinica.

• Svaku vi{estruku dekadnu jedinicu mo`emo zapisati u obliku proizvoda jednocifrenog broja i dekadne jedinice.

24 367 256 = 20 000 000 + 4 000 000 + 300 000 + 60 000 + 7 000 + 200 + 50 + 6

= 2 . 10 000 000 + 4 . 1 000 000 + 3 . 100 000 + 6 . 10 000 +

+ 7 . 1 000 + 2 . 100 + 5 . 10 + 6 . 1

• Ako je neka od cifara u zapisu broja jednaka 0, odgovaraju}i sabirak je 0, te ga ne zapisujemo.

5 070 400 006 = 5 . 1 000 000 000 + 7 . 10 000 000 + 4 . 100 000 + 6 . 1

Date brojeve napi{i kao zbir proizvoda jednocifrenog broja i dekadne jedinice.

1) 2 358 974 =

2) 48 003 570 =

3) 30 054 800 060 =

2.

Broj 7 243 586 zapi{i kao zbir vi{estrukih dekadnih jedinica, a zatim kao zbir proizvoda jednocifrenog broja i dekadne jedinice.

7 243 586 =

1.


20

Zapi{i broj, vi{estruku dekadnu jedinicu, odnosno izra~unaj vrednost izraza:

1) 5 . 103 =

2) 8 . 104 =

3) 2 . 105 =

4) 4 . 10 000 000 =

5) 3 . 100 000 000 =

3.

10 000 000 = 107

100 000 000 = 108

1 000 000 000 = 109

1 000 000 000 000 = 1012

deset milionasto milionajedna milijarda

jedan bilion

Imamo da je:

{to predstavqa stepene broja 10 koji odgovaraju dekadnim jedinicama ve}im od milion.

Izra~unaj:4.

1) 5 . 103 + 4 . 102 + 2 . 10 + 7 =

2) 2 . 105 + 3 . 103 + 4 . 102 + 8 =

3) 3 . 108 + 5 . 105 + 8 . 104 + 7 . 10 + 4 =

Brojeve 90 205 368 i 2 753 070 806 napi{i:

1) sa oznakama dekadnih jedinica;

2) kao zbir proizvoda jednocifrenih brojeva i dekadnih jedinica.

5.


21

9 | Mesna vrednost cifre u zapisu broja

Svaka cifra, pored svoje osnovne vrednosti, ima i mesnu vrednost. Ta vrednost zavisi od mesta na kome se cifra nalazi u zapisu broja.

Mesna vrednost cifre izra`ava se tom cifrom i oznakom dekadne jedinice, koja je odre|ena mestom te cifre u zapisu broja.

U tabeli je zapisan broj 333 333 ~ije su sve cifre jednake 3.

• Broj 333 333 zapisan je samo cifrom 3 koja se ponavqa {est puta. • Mesna vrednost svake cifre 3 je deset puta ve}a od mesne vrednosti susedne cifre 3 s desne strane.• Mesna vrednost svake cifre 3 je deset puta mawa od mesne vrednosti cifre 3 s leve strane. • Na primer, druga cifra 3 zdesna nalevo ima mesnu vrednost 30 i ona je 10 puta ve}a od mesne vrednosti cifre 3 prve zdesna i deset puta mawa od mesne vrednost tre}e zdesna cifre 3, po{to je 3 S : 10 = 3 D = 3 J . 10.

Hiqade Jedinice

SH DH H S D J

broj 3 3 3 3 3 3

mesna vrednost cifre

300 000 30 000 3 000 300 30 3

• U zapisu broja 10 054 875 cifra 5 se pojavquje dva puta. Mesna vrednost cifre 5 u prvoj koloni zdesna je 5 J, a mesna vrednost cifre 5 u petoj koloni zdesna je 5 DH = 50 000 J.

Milioni Hiqade Jedinice

SM DM M SH DH H S D J

1 0 0 5 4 8 7 5

Svaki prirodan broj u dekadnom brojevnom sistemu mo`emo

zapisati pomo}u deset cifara: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.


22

Milijarde Milioni Hiqade Jedinice Mesna vrednost

cifre 3 cifre 7

U datu tabelu upi{i oznake dekadnih jedinica. U svaku od vrsta upi{i redom, po jedan od brojeva: trideset sedam, trideset sedam hiqada, trideset sedam miliona, trideset sedam milijardi. Odredi mesne vrednosti cifara 3 i 7 za svaki broj i upi{i ih u odgovaraju}e kolone.

Za koliko se promeni vrednost broja ako prva i tre}a cifra uzajamno zamene mesta?

1) 356 – =

2) 725 – =

3) 434 – =

Od cifara 1, 2, 3, 5, 7 i 9 napi{i dva {estocifrena broja tako da:

1) cifra 2 ima mesnu vrednost desetica (D), a cifra 9 mesnu vrednost stotina hiqada (SH);

2) cifra 3 ima vrednost stotina (S), a cifra 1 ima vrednost desetica hiqada (DH).

1.

2.

3.

4.


SM DM M SH DH H S D J mesna vrednost

8 7 0 2 0 3 0 2 4

5 0 3 8 5 4 2 6

1 4 3 0 5 0 5 0 3

5 5 0 4 0 7 0 2 0

Odredi mesne vrednosti cifara koje su zaokru`ene u brojevima iz tabele.


23

Svaki trocifreni broj ve}i je od bilo kog dvocifrenog broja, a svaki dvocifren ve}i je od bilo kog jednocifrenog. Ako upore|ujemo dva trocifrena broja ve}i je onaj koji ima ve}u cifru na mestu stotina. Ukoliko su te cifre iste nastavqamo upore|ivawe narednih cifara, gledaju}i sleva nadesno.

• Sli~no upore|ujemo i vi{ecifrene brojeve. Prikaza}emo to na primeru brojeva zapisanih u tabeli.

Milijarde Milioni Hiqade Jedinice

SMd DMd Md SM DM M SH DH H S D J

A 7 5 0 2 4 0 2 0 8

B 4 0 3 0 0 1 3 6 3 7 1

C 2 7 3 5 4 2 0 0 4 7 9

D 2 7 3 5 4 3 0 0 2 9 6

E 2 7 3 5 4 3 0 0 2 9 6

Upore|ivawem prvog i drugog broja (A i B) iz tabele, vidimo da je ve}i broj V jer je zapisan sa vi{e cifara. Ka`emo da je broj B ve}i od broja A, odnosno broj A je mawi od broja B, {to zapisujemo sa

B > A odnosno A < B.

Od dva prirodna broja sa jednakim brojem cifara, B i C, ve}i je onaj koji ima ve}u cifru najvi{eg reda (kome je ve}a prva cifra sleva).

B > C, jer je 4 DMd > 2 DMd.

10 | Upore|ivawe prirodnih brojeva

Stavqaju}i znak > , < ili = u kvadrati}, uporedi brojeve i tako proveri svoje znawe.

1.

94 114 326 87 268 512

725 376 527 5 S 2 D 7 J 648 645

406 4 S 5 J 750 7 S 5 D 2 J 824 8 S 2 D 4 J


24

Od dva prirodna broja sa jednakim brojem cifara u kojima je nekoliko cifara sleva jednog broja jednako odgovaraju}im ciframa drugog broja, kao {to su brojevi C i D, ve}i je onaj kod koga se sleva nadesno pre nai|e na ve}u cifru, odnosno

D > C, jer je 3 SH > 2 SH.

Dva prirodna broja, D i E, su jednaka, ako imaju jednak broj cifara i ako su ima jednake cifre na odgovaraju}im mestima, {to zapisujemo sa

D = E.

Uporedi brojeve. U kvadrati} upi{i potreban znak, < ili >.

36 725 106 203

83 657 205 58 604 320

504 378 268 504 054 607

14 648 372 506 14 648 374 213

Pore|aj date brojeve po~ev od

2) najve}eg: 56 248 731, 55 248 731, 56 348 731, 55 248 631, 56 249 731

Od {estocifrenih brojeva koji se mogu zapisati ciframa 1, 2, 3, 0, 0, 0, 0 odredi tri najve}a i tri najmawa koji pripadaju tre}em milionu. U sva-kom broju svaku cifru koristi samo jedanput.

najmawi

Napi{i najve}i i najmawi broj sedme milijarde.

2.

3.

4.

5.

najve}i

1) najmaweg: 735 278, 635 278, 725 278, 736 278, 735 478


25

• Ako zapi{emo sve jednocifrene prirodne brojeve po veli~ini

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

1, 2, 3, ... , 9.

10, 11, 12, ... , 99.

100, 101, 102, ... , 999.

N = {1, 2, 3, ... }.

kaèmo da smo zapisali kona~an niz prirodnih jednocifrenih brojeva.

• Kona~an niz dvocifrenih prirodnih brojeva moèmo zapisati ovako:

• Kona~an niz trocifrenih prirodnih brojeva je:

Ako sve kona~ne nizove brojeva pore|amo tako da je svaki naredni broj za 1 ve}i od prethodnog dobijamo niz prirodnih brojeva.

Niz brojeva1, 2, ... , 9, 10, 11, ... , 99, 100, ... , 999, 1 000, 1 001, ... , 9 999, 10 000, ...

nazivamo niz prirodnih brojeva.

Svi prirodni brojevi ~ine skup prirodnih brojeva koji ozna~avamo slovom N i zapisujemo sa

N0 = {0, 1, 2, 3, ...}.

Skup koji ~ine nula i svi prirodni brojevi oznavamo sa N0

(~itamo: en nula) i zapisujemo sa

11 | Skup prirodnih brojeva N i skup N0

• Ovaj niz brojeva moèmo kra}e zapisati tako {to }emo neke brojeve izostaviti i umesto wih zapisati ... (tri ta~ke):

Nije te{ko uo~iti da je broj 1 najmawi prirodan broj. Ne postoji najve}i prirodan broj. Koliko god veliki prirodni broj zamislili,

postoji wegov neposredni sledbenik, broj za jedan ve}i od wega.

0 nije prirodan broj.


26

Navedi po dva uzastopna broja ako su oni:

a) trocifreni ,

b) ~etvorocifreni ,

v) petocifreni ,

1.

a) Napi{i kona~an niz svih parnih prirodnih brojeva do broja 20.

b) Napi{i kona~an niz svih neparnih prirodnih brojeva do broja 20.

v) Koliko ima parnih, a koliko neparnih prirodnih brojeva do broja 20?

3.

neparnihparnih

Koriste}i barem ~etiri broja i oznaku ... (tri ta~ke), zapi{i skup svih vrednosti promenqive x za koje va`i data nejednakost.

2.

a) 99 < x < 107

x ∈ { }

b) 1 001 < x < 1 000 101

x ∈ { }

v) x > 500 782

x ∈ { }

• Ako zamisli{ bilo koji prirodan broj, tada je u kona~nom nizu prirodnih brojeva koji se zavr{ava tim brojem broj parnih jednak

broju neparnih brojeva.

Ako je zami{qeni broj paran, tvr|ewe je , a ako je

zami{qeni broj neparan, tvr|ewe je .

Razmisli da li je ta~no naredno tvr|ewe i dopuni re~enicu tako da bude ta~na.

Odgovor

(upi{i: ta~no ili neta~no)

(upi{i: ta~no ili neta~no)

4.


27

x

• Nacrtajmo polupravu Ox, pri ~emu smo po~etnoj ta~ki te poluprave, ta~ki O, pridruìli nulu (0). Uzmimo proizvoqnu du`

(nazivamo je podeona du`).

• Nano{ewem podeone duì na polupravu Ox, po~ev od ta~ke O dobijamo ta~ku A. Postupak ponavqamo koliko god puta èlimo i dobijamo ta~ke A, B, C, D, E, F, G, ... kojima redom pridruìmo brojeve 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

12 | Brojevna poluprava

Polupravu Ox nazivamo brojevna poluprava, a podeonu du`, po{to joj je pridruèna 1 J, nazivamo jedini~na du`.

O A B C D E F G

0 1 2 3 4 5 6 7

• Ne moèmo nacrtati celu brojevnu polupravu (jer je ona neograni~ena) i na woj prikazati sve prirodne brojeve.

• Nije obavezno da se pri predstavqawu brojeva na brojevnoj polupravoj podeonoj duì pridruùje jedna brojevna jedinica.

• Koliko jedinica }emo pridruìti podeonoj duì zavisi od toga koje brojeve èlimo da prikaèmo na brojevnoj polupravoj.

Na slede}oj slici prikazana je brojevna poluprava, pri ~emu smo podeonoj duì pridruìli 10 J.

x0 10 20 30 100

Na brojevnoj polupravoj prikazane su udaqenosti, vazdu{nom linijom, nekih evropskih gradova od Beograda. Podeonoj duì odgovara razdaqina od 100 km.

1.

Po{to je poluprava beskona~na, svakom prirodnom broju moè se pridruìti ta~no jedna ta~ka brojevne poluprave.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

xBe~ Cirih

Budimpe{taPariz

Beograd

Prag


28

a) Od gradova predstavqenih na slici najudaqeniji od Beograda

je , a najbliì Beogradu je .

b) Zamisli da je svaka podeona du`

na brojevnoj polupravoj podeqena

na 10 mawih podeonih duì koje

odgovaraju rastojawu od 10

kilometara i odredi pribli`no

rastojawe gradova sa slike od

Beograda. Rastojawa gradova od

Beograda upi{i u prazna poqa.BUDIMPE[TA

BE^

PARIZ

PRAG

CIRIX

(upi{i ime grada) (upi{i ime grada)

Nacrtaj brojevnu polupravu ~ija podeona du` duìne 2 cm odgovara 1 J i odredi ta~ke koje odgovaraju brojevima 1, 4 i 5.

Upi{i brojeve koji odgovaraju ta~kama na datoj brojevnoj polupravoj.

U prazna poqa upi{i brojeve koji se pridruùju nazna~enim ta~kama brojevne poluprave.

2.

3.

4.

x0 200 000 1000 000

100 000

b)

376 550

376 560 376 620

a)a)

25 800

25 900 26 500


29

• Koliko prirodnih brojeva ima izme|u brojeva a i b?

• prvo, broj 643 – 1 je neposredni prethodnik broja 643 i to je najve}i broj izme|u brojeva 356 i 643,

• drugo, svi brojevi od 1 do 356 i 356 nisu izme|u brojeva 356 i 643, te traènih prirodnih brojeva ima:

(643 – 1) – 356 = 286.

xa b

Na brojevnoj polupravoj prikazali smo dva prirodna broja a i b.

Odgovor na prethodno pitawe dajemo na primeru a = 356, b = 643. Uo~imo:

Ako sa x ozna~imo broj prirodnih brojeva izme|u dva proizvoqna prirodna broja a i b, pri ~emu je a < b, tada je:

x = (b – 1) – a.

Odredi koliko ima prirodnih brojeva:

1) izme|u brojeva 487 i 732;

2) izme|u brojeva 219 i 836;

3) izme|u brojeva 556 i 557.

5.

Koriste}i brojevnu polupravu iz zadatka 1 odredi koji grad je udaqeniji od Beograda i za koliko:

1) Prag ili Be~;

2) Be~ ili Pariz;

3) Prag ili Pariz?

6.

Nacrtaj brojevnu polupravu ~ija podeona du` ima duìnu 3 cm i odgovara broju 100 jedinica. Na toj polupravoj prikaì dva broja izme|u kojih ima 199 prirodnih brojeva.

7.

Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2

30

1 | Sabirawe trocifrenih brojeva

U slede}oj tabeli navodimo primer pismenog sabirawa brojeva 675 i 568. Zbir tih brojeva je ve}i od 1 000.

H S D J

+

1

65

1

76

58

1 2 4 311

U tre}em razredu sabirali smo samo one trocifrene brojeve ~iji zbir nije ve}i od 1 000. Proveri svoje znawe izra~unavaju}i tra`eni zbir

2) pismenim sabirawem

1) usmenim sabirawem

536 + 382 = + 82 = + 2 = ;

346 + 432 = + = + = ;

476 + 248 = + = + = ;

257 + 470

487 + 356

368 + 215

Sabirawe, koje nazivamo usmenim, bilo koja dva trocifrena broja vr{imo tako {to prvom sabirku dodamo stotine, zatim desetice i na kraju jedinice drugog sabirka, {to skra}eno mo`emo zapisivati podvla~ewem, kao u narednom primeru.

748 + 586 = 1 248 + 86 = 1 328 + 6 = 1 334

Pri pismenom sabirawu najpre sabiramo jedinice, zatim desetice i na kraju stotine. Ukoliko postoji prelaz preko dekadne jedinice, dodajemo ga pri sabirawu elemenata u narednoj koloni, gledaju}i zdesna nalevo.

675 + 568

1 243

Kra}e zapisujemo:

Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2

31

Pri usmenom sabirawu dva trocifrena broja prvom sabirku najpre dodamo stotine, zatim desetice

i na kraju jedinice drugog sabirka.

Pri pismenom sabirawu sabiramo najpre jedinice, zatim desetice i na kraju stotine.

Usmenim sabirawem izra~unaj zbir:

Izra~unaj zbir.

Odrediti broj koji je za 352 ve}i od broja 876.

Na sli~an na~in mo`emo da izra~unamo zbir vi{e sabiraka. Izra~unaj:

a) 305 + 827 =

b) 542 + 738 =

v) 859 + 643 =

1) 186 2) 376 385 436 + 874 586 + 732

1.

2.

3.

4.

1) 386 2) 458 3) 643 4) 459 + 795 + 893 + 958 + 695

Sabiramo na slede}i na~in:

• Najpre sabiramo jedinice: 5 i 8 je 13; 3 jedinice zapisujemo, a 1 deseticu dodajemo deseticama;

• potom sabiramo desetice: 7 D i 6 D je 13 D i 1 D je 14 D; 4 D zapisujemo, a 1 S dodajemo stotinama;

• na kraju sabiramo stotine: 6 S i 5 S je 11 S i 1 S je 12 S;zapisujemo 2 stotine i 1 hiqada.


32

2 | Oduzimawe trocifrenih brojeva od brojeva druge hiqade

Navodimo primer pismenog oduzimawa trocifrenog od ~etvoro-cifrenog broja, pri ~emu su desetice ozna~ene strelicama „pozajmqeneß iz naredne kolone s leve strane.

H S D J

1 49

37

58

4 5 7

3

10 +3 10 +2

10 +520

Pri usmenom oduzimawu trocifrenog broja, najpre od umawenika oduzimamo stotine, zatim desetice, i na kraju jedinice umawioca.

Pri pismenom oduzimawu trocifrenog broja, najpre od umawenika oduzimamo jedinice, zatim desetice, i na kraju stotine umawioca.

1 546 – 863 = 746 – 63 = 686 – 3 = 683

Proveri svoje znawe iz prethodnog razreda izra~unavaju}i tra`ene razlike:

1) usmenim oduzimawem;

746 – 432 = – 32 = – 2 =

636 – 382 = – = – =

876 – 548 = – = – =

2) pismenim oduzimawem.

934 – 356

657 – 474

368 – 215

Postupak usmenog oduzimawa skra}eno zapisujemo podvla~ewem, kao u narednom primeru.

1 435 – 978

457

Kra}e zapisujemo:


33

Usmeno oduzimamo sleva nadesno, a pismeno zdesna nalevo.

Usmenim oduzimawem izra~unaj traène razlike:

Izra~unaj razliku.

Odredi broj koji je za 758 mawi od 1 643.

1) 1 317 – 654 =

2) 1 253 – 825 =

3) 1 124 – 376 =

1) 1 324 2) 1 172 3) 1 225 4) 1 431 – 637 – 485 – 748 – 526

Na sportskom takmi~ewu je 1 212 devoj~ica. Broj de~aka je za 796 mawi. Koliko ima:

a) de~aka; b) ukupno u~esnika?

1.

2.

3.

4.

Oduzimamo na slede}i na~in:

• Najpre oduzimamo jedinice: kako je 8 ve}e od 5, 1 deseticu „pozajmimoß; 15 minus 8 je 7;

• potom oduzimamo desetice: 7 D ne moèmo oduzeti od 2 D i zato 1 S „pozajmimo“ i „usitnimo“ u 10 D; od 12 D oduzmemo 7 D i dobijamo 5 D;

• zatim oduzimamo stotine: 9 S ne moèmo oduzeti od 3 S i zato 1 H „pozajmimo“ i „usitnimo“ u 10 S; od 13 S oduzmemo 9 S i dobijamo 4 S;

• nije ostala nijedna hiqada.


34

• Na slici je ukupno 25 kruì}a, 17 naranyastih i 8 zelenih.

• Prema prikazu na slici moèmo zapisati jednakosti:

17 + 8 = 25

25 – 8 = 17

8 + 17 = 25

25 – 17 = 8

Sli~no je i kada je broj naranyastih kruì}a bilo koji prirodan broj a i zelenih bilo koji prirodan broj b. Wihov zbir je c = a + b.

Napisane jednakosti i wihovi ~lanovi me|usobno su povezani {to je prikazano slede}im graficima.

3 | Veza sabirawa i oduzimawa

a b

c

c – a = b razilika

umawilac umawenik

c – b = a umawilac

razlikazumawenik

prvi sabirak drugi sabirak

a + b = c zbir

17 8

25

+ = + =

– = – =

Prema prikazu na slici zapi{i ~etiri ta~ne jednakosti ~iji su ~lanovi prirodni brojevi a, b i c.


35

a) Ako se od zbira oduzme jedan sabirak dobija se sabirak.

Ako je a + b = c, onda je c – a = i – b = .

b) Ako se saberu razlika i umawilac, dobija se .

Ako je c – a = b, onda je + = .

v) Ako se od umawenika oduzme razlika, dobija se .

Ako je c – b = a, onda je – = .

Ta~nost date jednakosti proveri sabirawem i oduzimawem.

Jednakost je

(upi{i: ta~na ili neta~na).

Jednakost je

(upi{i: ta~na ili neta~na).

Pomo}u brojeva 567, 856, 1 423 i znakova + i – napi{i ~etiri ta~ne jednakosti.

Dati su brojevi 932 i 584. Pomo}u datih brojeva, znakova + i – i tre}eg broja napi{i ~etiri ta~ne jednakosti, ako je tre}i broj:

+ =

– =

+ =

– =

+ = , + = ,

– = , – = .

+ =

– =

+ =

– =

a) zbir datih brojeva; b) razlika datih brojeva.

1) 1 235 – 748 = 487

2) 1 111 – 222 = 999

1.

2.

3.

4.

Dopuni re~enice tako da budu ta~ne.

487 748

1 235 487

– =

+ =

– =

+ =


36

Prikazano je 8 zelenih i 5 naranyastih kruì}a. Bez obzira kojim redosledom su poslagani, vidimo da ih je ukupno 13.

Neka su a i b bilo koji prirodni brojevi.

8 + 5 = 5 + 8

a + b = b + a

Zamena mesta sabiraka

Ako sabirci zamene mesta, zbir se ne}e promeniti.

4 | Zamena mesta i zdruìvawe sabiraka

a b b a

5 5 8 8

Prikazana su 4 zelena, 3 naranyasta i 5 crvenih kruì}a. Ako ukupnom broju zelenih i naranyastih dodamo broj crvenih kruì}a dobijamo isti broj 12 kao da smo broju zelenih dodali ukupan broj naranyastih i crvenih kruì}a.

(4 + 3) + 5 = 4 + (3 + 5)

Zdruìvawe sabiraka

Neka su a, b i c bilo koji prirodni brojevi.

(a + b) + c = a + (b + c)

Ako sabirke zdruìmo na razli~ite na~ine, zbir se ne}e promeniti.

a b c a b c

4 4 3 35 5


37

Izra~unaj vrednost leve i desne strane jednakosti i proveri da li je jednakost ta~na.

1) 785 + 476 = 476 + 785 2) 659 + 897 = 897 + 659

1.

Izra~unaj zbir 5 489 + 395 + 657 zdru`ivawem i zamenom mesta sabiraka na razli~ite na~ine. Uporedi dobijene rezultate.

+ ( + ) = + =

+ ( + ) = + =

( + ) + = + =

( + ) + = + =

2.

Ozna~i zagradama zdru`ivawe sabiraka i na najpodesniji na~in izra~unaj dati zbir.

1) 473 + 585 + 415 =

2) 775 + 225 + 685 =

3) 365 + 897 + 635 =

3.

Odredi broj koji se dobija kada se zbiru brojeva 675 i 897 doda broj 284.

Odredi nepoznati sabirak.

1) 327 + x = 468 + 327

4.

5.

2) y + 526 = 526 + 743

x =

y =

3) 645 + 869 = z + 645

4) (x + 436) + 827 = 745 + (436 + 827)

z =

x =

5) 586 + (375 + 694) = (586 + y) + 694 y =


38

Na osnovu osobine zdru`ivawa sabiraka va`i naredna osobina.

Zbir dodajemo tako {to najpre dodamo jedan, a zatim drugi sabirak.

Dodavawe zbira

5 | Dodavawe i oduzimawe zbira

Oduzimawe zbira

a – (b + c) = (a – b) – c

• Zakqu~ujemo da od broja a oduzimamo zbir brojeva b i c prema slede}em pravilu:

Zbir oduzimamo tako {to najpre oduzmemo jedan,a zatim drugi sabirak tog zbira.

• Neka su a, b i c bilo koja tri prirodna broja, pri ~emu je a > b + c.

a – (b + c) b + c

(a – b) – c b c

a

a

Broju 476 dodat je zbir brojeva 748 i 594. Uradi to na dva na~ina i uporedi rezultate.

1) + ( + ) = + = ;

2) + ( + ) = ( + ) +

= + = .

1.

Na parkingu se nalazi 658 belih, 346 zelenih i 475 plavih automobila. Koliko je ukupno automobila na parkingu?

2.


39

Koriste}i pravilo o oduzimawu zbira izra~unaj:

1) 1 250 – (873 + 250) = ;

2) 1 375 – (175 + 650) = ;

3) 1 425 – (548 + 125) = .

Milica ima 1 000 dinara. U kwiàri je kupila kwigu, koju je platila 456 dinara i sladoled za 125 dinara. Izra~unaj koliko je Milici ostalo novca.

Milo{ je po{ao u {kolu koja je udaqena 1 650 m od wegove ku}e. Na putu su dva drveta, kao na slici, i Milo{ se u wihovom hladu odmarao. Prvi put kada je pre{ao 550 m, a drugi put kada je pre{ao jo{ 630 m. Koristi sliku i na woj ozna~i zadate duìne.

2) U povratku ku}i Milo{ se samo jedanput odmarao ispod jednog od dva drveta. Koliko je Milo{ pre{ao u povratku pre odmarawa i koliko posle odmarawa? (Postoje dva re{ewa, u zavisnosti od izbora drveta u ~ijem hladu se, pri povratku, odmarao.)

Prvo re{ewe: duìna puta pre odmarawa je

,

a duìna preostalog puta do ku}e je

.

Drugo re{ewe: duìna puta pre odmarawa je

,

a duìna preostalog puta do ku}e je

.

1 000 – ( + ) = .

1) Kolika je duìna puta koji je Milo{ pre{ao do {kole, posle drugog odmarawa?

3.

4.

5.

550 m 630 m


40

• Vi{ecifrene brojeve, uglavnom, sabiramo pismeno.

• Najpre sabiramo jedinice, zatim desetice i na kraju stotine klase jedinica. Postupak nastavqamo sabirawem jedinica, desetica i stotina naredne klase, gledaju}i zdesna nalevo.

Postupak sabirawa sastoji se u slede}im ra~unawima.

• Najpre sabiramo klasu jedinica, kao kod sabirawa trocifrenih brojeva, a zatim sabiramo hiqade.

• sabiramo X: 5 H i 6 H je 11 H; 1 H zapisujemo, a 1 DH dodajemo deseticama hiqada;

• sabiramo DH: 1 DH i 8 DH je 9 DH i 4 DH je 13 DH; 3 DH zapisujemo, a 1 SH dodajemo stotinama hiqada;

• sabiramo SH: 1 SH i 2 SH su 3 SH i 9 SH je 12 SH; zapisujemo 2 SH i 1 M.

Kra}e zapisujemo:

285 246 ili 285 246 + 946 578 = 1 231 824+ 946 578 1 231 824

6 | Sabirawe vi{ecifrenih brojeva

Postupak sabirawa brojeva 285 246 i 946 578 prikazan je u tabeli.



+

1

29

1

84

56

1

25

1

47

68

1 2 3 1 8 2 41111

Izra~unaj zbir.

1) 2 768 2) 18 346 3) 46 582 + 576 + 7 579 + 795 769

1.


41

Koriste}i tabelu sabrati brojeve zadate u woj, zapisuju}i preno{ewa iz prethodne kolone.

Upi{i rezultat.

Kao {to sabiramo dva vi{ecifrena broja, sli~nim postupkom moè se sabirati i vi{e brojeva.

• Pri sabirawu dva broja u narednu kolonu se moè preneti najvi{e 1, dok pri sabirawu vi{e brojeva prenos u narednu kolonu moè biti ve}i od 1.

a) 473 b) 4 364 v) 63 072 g) 5 763 458 2 564 15 705 236 458 438 205 + 87 976 6 804 6 473 3 124 + 23 958 347 526 2 904 582 + 409 643 + 48 376 627

Izra~unaj zbir, zapisuju}i preno{ewa u dato poqe iznad brojeva, kao u re{enom primeru.

Razmisli o prethodnom zadatku i broju jedinica koje moè{ preneti!Popuni prazna poqa u re~enici:

Pri sabirawu ~etiri broja moèmo preneti najvi{e jedinice, a

pri sabirawu sedam brojeva moèmo preneti najvi{e jedinica

u narednu kolonu (napi{i koliko).

Izra~unaj zbir.

a) 675 836 b) 2 365 487 v) 32 786 394 + 7 478 795 + 872 564 + 48 675 736

milijarde milioni hiqade Jedinice


+1 7

634

65

97

29

84

56

25

47

68

2.

3.

4.

5.

prenos: 1 2 1


42

7 | Oduzimawe vi{ecifrenih brojeva

Izra~unaj razliku.

623 716 ili 623 716 – 346 578 = 277 138– 346 578 277 138



–63

11

24

13

36

75

10

17

16

68

2 7 7 1 3 8

Postupak oduzimawa sastoji se u slede}im ra~unawima.

• Najpre oduzmemo klasu jedinica, kao kod oduzimawa trocifrenih brojeva, a zatim oduzimamo hiqade.

• oduzimamo X: 6 H ne mo`emo oduzeti od 3 X i zato 1 DX „usitnimo” u 10 H i dodamo ih hiqadama;

od 13 H oduzmemo 6 H i dobijamo 7 H;

• oduzimamo DH: 4 DH ne mo`emo oduzeti od 1 DH, i zato „usitnimo” 1 SX iz naredne kolone levo u 10 DX;

od 11 DH oduzmemo 4 DH i dobijamo 7 DH;

• oduzimamo SH: od 5 SH oduzimamo 3 SH i dobijamo 2 SH.

Kra}e zapisujemo:

Postupak oduzimawa brojeva 623 716 i 346 578 prikazan je u tabeli.

1.

• Vi{ecifrene brojeve, uglavnom, oduzimamo pismeno.

• Najpre oduzimamo jedinice, zatim desetice i na kraju stotine iz klase jedinica. Postupak nastavqamo oduzimawem jedinica, desetica i stotina naredne klase, gledaju}i zdesna nalevo.

1) 2 768 2) 18 346 3) 172 312 – 576 – 9 579 – 67 428

5 6


43

Koriste}i tabelu oduzmi brojeve zadate u woj, zapisuju}i „pozajmqivawaß iz naredne kolone gledaju}i zdesna nalevo.

Izra~unaj razliku.

Od 12 350 kg p{enice jednog meseca je samleveno 8 500 kg bra{na. Ostalo je samleveno drugog meseca. Koliko je kilograma p{enice samleveno drugog meseca?

Milanovi roditeqi imali su 217 050 dinara. Kupili su garnituru name{taja koja ko{ta 115 785 dinara, a od preostalog novca televizor po ceni od 68 211 dinara. Koliko im je novca ostalo?

milijarde milioni hiqade jedinice


–3 4

634

65

17

63

24

36

75

17

68

Rezultat:

Rezultat:

Upi{i rezultat.

2.

3.

4.

5.

1) 42 354 2) 317 415 3) 5 231 425 4) 32 435 246 – 5 867 – 68 239 – 892 546 – 7 593 728

115 785

68 21168 211

c


44

Izvodqivost operacije sabirawa u skupu N

Izra~unaj zbir trocifrenih brojeva.

Koliko cifara ima broj jednak prvom zbiru? Koliko cifara ima broj jednak drugom zbiru?

348 765 + 575 + 987

Vrednost prvog zbira je trocifren, a drugog ~etvorocifren broj.

• U prvom slu~aju rezultat operacije sabirawa je broj koji pripada istom skupu kao i sabirci, skupu trocifrenih prirodnih brojeva.

• U drugom slu~aju rezultat sabirawa je broj koji pripada skupu ~etvorocifrenih prirodnih brojeva, dok sabirci pripadaju skupu trocifrenih prirodnih brojeva.

• Kao {to smo uo~ili, u prvom zadatku, sabirawe nije izvodqivo u skupu trocifrenih prirodnih brojeva, jer postoje trocifreni brojevi ~iji zbir nije trocifren broj.

8 | Izvodqivost operacija sabirawa i oduzimawa u skupu N i skupu N0

Ra~unska operacija izvodqiva je u nekom skupu ako za svaka dva ~lana tog skupa i rezultat operacije pripada tom skupu.

• Skup prirodnih brojeva je neograni~en, to jest ne postoji najve}i prirodan broj. Od svakog broja postoji broj za jedan ve}i od wega.

Ako je a ∈ N, onda je i (a + 1) ∈ N, ((a + 1) + 1) ∈ N, ((a + 1) + 1 + 1 + 1 + . . . + 1) ∈ N


45

Dati su prirodni brojevi 246 375, 486 053 i 736 234.

a) Navedi dva trocifrena i dva ~etvorocifrena parna broja i proveri da je wihov zbir paran broj.

b) Navedi dva petocifrena i dva {estocifrenih neparna broja i proveri da je wihov zbir paran broj.

Izra~unaj zbirove, po dva od datih brojeva.

2.

3.

+ + +

+ +

Napi{i dva uzastopna sledbenika datih brojeva.

a) 72 432:

1.

b) 1 254 000 012:

Zbir dva parna prirodna broja je paran prirodan

broj.

+ ++

+

+

+

Zbir bilo koja dva prirodna broja je prirodan broj.

Ra~unska operacija sabirawa izvodqiva je u skupovima N i N0.

Ako je a, b ∈ N tada a + b = a + (1+1+1+... +1) ∈ N {

b jedinica

Da li je zbir svaka dva od datih brojeva prirodan broj? .

Zbir dva neparna prirodna broja je paran prirodan

broj.

Za bilo koji broj a ∈ N0 va`i da je a + 0 = a ∈ N0.


46

Izvodqivost operacije oduzimawa u skupu N

Izra~unaj razliku brojeva.

4) 24 385 5) 632 214 – 8 746 – 285 437

• U prethodnim primerima umawenik je od umawioca. (upi{i: ve}i ili mawi)

Da li je mogu}e izra~unati razlike 4 – 7, 23 – 78 i 345 – 672 u skupu N?

Odgovor:

Navedene razlike mogu}e izra~unati, (upi{i: jeste ili nije)

jer je umawenik od umawioca. (upi{i: ve}i ili mawi)

Dati su prirodni brojevi 324 168, 117 256 i 39 234.

• Razliku prirodnih brojeva a i b nije uvek mogu}e izra~unati, tako da rezultat bude prirodan broj. Ako su a i b prirodni brojevi va`e naredne osobine.

• Kako postoje prirodni brojevi ~ija razlika nije prirodan broj, va`i naredna osobina.

Ra~unska operacija oduzimawa nije uvek izvodqiva u skupovima N i N0.

Ako je a > b, onda je a – b prirodan broj.Ako je a = b, onda je a – b = 0.

Ako je a < b, onda a – b nije mogu}e odrediti u skupu N.

4.

– – –

1) 8 – 5 =

2) 92 – 48 =

3) 634 – 284 =

a) Zapi{i razlike ~ije je vrednosti mogu}e izra~unati i odredi wi-hove vrednosti.

b) Zapi{i razlike ~ija vrednost nije prirodan broj:

, , .


47

Ako tri ili vi{e sabiraka zdru`imo na razli~ite na~ine, dobija se isti zbir.

Dati su brojevi 2 476, 13 285, 738, 36 462 i 8 057.

b) Izra~unaj zbir datih brojeva.

Zbir datih brojeva iznosi

a) Zbiru prva tri broja dodaj zbir preostala dva broja. Zapi{i izraz i izra~unaj.

U tabeli je prikazano koliko tri radnika proizvedu olovaka po danima u toku jedne nedeqe (5 radnih dana). Izra~unaj zbirove po vrstama i po kolonama i popuni datu tabelu, a potom odgovori na postavqena pitawa:

1) Koliko je svaki radnik proizveo olovaka u toku nedeqe?

2) Koliko je olovaka proizvedeno po danima?

• ponedeqak • utorak • sreda

• ~etvrtak • petak

prvi drugi tre}i

( + + ) + ( + ) =

= + =

P U S ^ P svega

prvi 8 450 9 575 11 280 10 325 7 056

drugi 7 630 10 246 9 370 8 427 6 874

tre}i 9 768 9 593 11 450 8 328 7 465

ukupno

9 | Sabirawe i oduzimawe – izrazi sa dve ili vi{e operacija

1.

2.


48

b) Od zbira prva tri broja oduzmi razliku preostala dva broja.

( + + ) – ( – ) =

= – =

Na farmi je 12 000 pili}a. Prvog dana je prodato 1 050 pili}a, drugog 2 385, tre}eg 1 548, ~etvrtog 975 i petog dana 1 125 pili}a. Koliko pili}a nije prodato?Zadatak mo`emo re{iti na dva na~ina.

Prvi na~in: Ako postupno oduzimamo svaki umawilac (broj prodatih pili}a za jedan dan), mora}emo da pi{emo mnogo brojeva i zagrada.

Drugi na~in: Izraz mo`emo kra}e zapisati tako {to }emo od 12 000 oduzeti zbir brojeva pili}a prodatih za pet dana.

12 000 – (1 050 + 2 385 + 1 548 + 975 + 1 125) =

= 12 000 – =

Dati su brojevi 375 437, 76 258, 24 756, 8 243 i 5 765. Zapi{i odgovaraju}i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

a) Od razlike prva dva broja oduzmi zbir preostala tri broja.

(375 437 – 76 258) – (24 756 + 8 243 + 5 765) =

= – =

((((12 000 – 1 050) – 2 385) – 1 548) – 975) – 1 125 =

= ((( – 2 385) – ) – ) – 1 125 =

= (( – ) – ) – 1 125 =

= ( – ) – 1 125 = – 1 125 =

(a – b) – c ili a – (b – c).

U izrazima sa dva ili vi{e oduzimawa zagradama ozna~avamo koje je oduzimawe prvo, a koje je drugo, odnosno moramo pisati

3.

4.

Ako u izrazu imamo vi{e sabirawa i oduzimawa, onda zagradama treba nazna~iti redosled tih operacija.


49

( – ) + ( – ) + ( – ) =

= + + =

( + + ) – ( + + ) =

= – =

Tri ~lana doma}instva su zaposlena. Jedan od wih mese~no zara|uje 24 500 dinara, drugi 28 750, tre}i 45 620 dinara. Za otplatu kredita drugi mese~no daje 7 385 dinara, a tre}i 9 250 dinara.

Doma}instvu ostaje dinara.

U prazan bazen se u toku prvog ~asa ulije 8 750 litara vode, a iz wega izlije 5 435 litara; drugog ~asa se ulije 7 286 litara, a izlije 6 838; tre}eg ~asa se ulije 5 785, a izlije 4 767 litara vode. Koliko ima litara vode u bazenu na kraju tre}eg ~asa? Zadatak uradi na dva na~ina.

a) Postupno, sabiraju}i koli~ine vode koje su nakon svakog ~asa ostale u bazenu.

b) Oduzimaju}i od ukupne koli~ine ulivene vode ukupnu koli~inu izlivene vode.

5.

6.

Napi{i izraz kojim se predstavqa prihod doma}instva nakon isplate rate kredita.

Odredi vrednost predhodnog izraza.


50

Popuni tabele i odgovori na postavqena pitawa.

Kako se mewao prvi sabirak?

Kako se mewao zbir?

a 1 2 10 20 100 200 1 000 2 000

b 100 100 100 100 100 100 100 100

a + b

Ako se sabirak pove}ava, onda se pove}ava i zbir.

a + (b + n) ili (a + n) + b.

a + (b + n) = (a + b) + n i (a + n) + b = (a + b) + n.

• Ako u zbiru bilo koja dva prirodna broja a + b, jedan od sabiraka pove}amo za n, dobi}emo:

• Na osnovu zdru`ivawa i zamene mesta sabiraka, ta~ne su jednakosti

Ako se sabirak pove}a za neki broj n, onda se i zbir pove}a za taj isti broj n.

10 | Zavisnost zbira od promene sabiraka

Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.


Kako se mewao drugi sabirak?

Kako se mewao zbir?

a 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000

b 2 000 1 000 200 100 20 10 2 1

a + b



Ako se sabirak smawuje, onda se smawuje i zbir.


51

Zavisnost zbira od promene sabiraka mo`emo prikazati i grafi~ki.

Kako }e se promeniti zbir brojeva 202 303 i 55 066 ako

a) prvi sabirak pove}amo za 1 707,

b) drugi sabirak pove}amo za 1 707,

1.

Ako se sabirak smawi za neki broj n, onda se i zbir smawi za taj isti broj n.

Na sli~an na~in mo`emo zakqu~iti:

v) drugi sabirak smawimo za 1 606?

a) (a + 4 495) + b = ;

b) a + (b – 5 550) = .

Ako je a + b = 895 505, izra~unaj:2.

a + (b + n) = (a + b) + n + a b n

n a b +

a + (b – n) = (a + b) – n a

(a + b) - n

a b

b - n n + a


52

Ako je a + b = 203 405, kako }e se promeniti zbir ako:

a) prvi sabirak pove}amo za 6 605, a drugi smawimo za 2 306?

Primenimo pravila o promeni zbira u zavisnosti od promene sabiraka.

b) prvi sabirak pove}amo za 7 458, a drugi smawimo za 3 825?

(a + 6 605) + (b – 2 306) = a + b + 6 605 – 2 306

= (a + b) + 6 605 – 2 306

= 203 405 + –

= –

= .

(a + 7 458) + (b – 3 825 ) = + –

=

= .

U skladi{tu je na jednom mestu 12 750 kg ugqa, a na drugom 9 360 kg. Ugaq treba utovariti u kamion i u prikolicu. Nosivost prikolice je 6 t. Kolika je ukupna masa ugqa i koliko je ugqa utovareno u kamion?

Ukupna masa ugqa je: .

Kako je u prikolicu utovareno 6 000 kg ugqa, preostali ugaq utovari}emo u kamion i ta koli~ina se mo`e iskazati slede}im izrazom:

12 750 + (9 360 – 6 000) = . (koristiti osobinu smawivawa sabirka)

3.

4.


53

Da li }e se zbir a + b promeniti, ako jedan sabirak pove}amo za neki broj n, a drugi sabirak smawimo za isti broj n?

• Zbir se zbog promene prvog sabirka pove}a za n.

(a + n) + (b – n) = a + (b – n) + n

• Zbir se zbog promene drugog sabirka smawi za n.

(a + n) + (b – n) = (a + b) + n – n

2) (a – 16 308) + (b + 16 308) =

1) 29 987 + 76 453 = (29 987 + 13) +

= =

• Kako je n – n = 0, zbir ostaje isti.

(a + n) + (b – n) = a + b

Ako jedan sabirak pove}amo za neki broj n, a drugi sabirak smawimo za isti broj n, zbir se ne}e promeniti.

Prethodnu osobinu koju nazivamo stalnost (nepromenqivost) zbira mo`emo prikazati i grafi~ki na slede}i na~in:

11 | Stalnost zbira

1.

2.

(a + n) + (b – n) = a + b a b

a b - n n +

2) 37 856 + 299 875 = (37 856 – 125) +

= =

Izra~unaj, koriste}i osobinu stalnosti zbira.

Ako je a + b = 507 860, izra~unaj vrednost izraza.

1) (a + 47 365) + (b – 47 365) =


54

Zavisnost razlike od promene umawenika

Popuni tabelu i odgovori na postavqena pitawa.

Kako se mewao umawenik?

Kako se mewala razlika?

a 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000

b 547 547 547 547 547 547 547 547

a – b

12 | Zavisnost razlike od promene umawenika i umawioca

Upi{i: pove}avala se ili smawivala se.

Ako se umawenik pove}ava, onda se pove}ava i razlika.

Neka je a > b. Zavisnost razlike a – b od pove}awa umawenika mo`emo prikazati grafi~ki.

Ako umawenik pove}amo za neki broj n, a umawilac ostane

nepromewen, onda se i razlika pove}a za isti broj n.

(a + n) – b = (a – b) + n


a n +

b

b

(a - b) + n

Za koliko se promeni razlika brojeva 405 304 i 125 105 ako umawenik

pove}amo za 94 700?

1.

Kako se mewao umawenik?


a 2 000 1 900 1 800 1 700 1 600 1 500 1 400 1 300

b 547 547 547 547 547 547 547 547

a – b




(a + n) - b


55

Zavisnost razlike od promene umawioca


Za koliko se promeni razlika brojeva 405 304 i 125 105 ako umawenik

smawimo za 105 704?

1) (a + 6 200) – b = (a – b) + = ;

2) (a – 3 705) – b = (a – b) – = .

Kako se mewao umawilac?


a 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000

b 547 647 747 847 947 1 047 1 147 1 247

a – b

2.

3. Ako je a – b = 73 850, izra~unaj:

Ako se umawenik smawuje, onda se smawuje i razlika.

Neka je a > b. Zavisnost razlike a – b od smawewa umawenika mo`emo prikazati grafi~ki.

Ako umawenik smawimo za neki broj n, a umawilac ostane

nepromewen, onda se i razlika smawi za isti broj n.

(a – n) – b = (a – b) – n(n < a – b)



Ako u razlici bilo koja dva prirodna broja a – b, a > b,

umawilac b pove}amo za neki broj n, va`i naredno pravilo.

Ako se umawilac pove}ava, razlika se smawuje.

a – (b + n) = (a – b) – n(n < a – b)

Ako umawilac pove}amo za neki broj n, a umawenik ostane nepromewen, onda se razlika

smawi za isti broj n.

a

b

n (a - n) - b

(a - b) - n

b

n


56

5.

Ako u razlici bilo koja dva prirodna broja a – b, a > b,

umawilac b smawimo za neki broj n, va`i naredno pravilo.

Ako se umawilac smawuje, razlika se pove}ava.

Ako umawilac smawimo za neki broj n, a umawenik

ostane nepromewen, onda se razlika pove}a za isti broj n.

a – (b – n) = (a – b) + n

a – (b + 170 250) = (a – b) – =

4. Ako je a – b = 450 740, izra~unaj vrednost datog izraza.


Kako se mewao umawilac?


a 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000

b 1 638 1 538 1 438 1 338 1 238 1 138 1 038 938

a – b



a) umawenik pove}amo za 70 660, a umawilac pove}amo za 50 590?

(a + 70 660) – ( b + 50 590) = (a – b) + 70 660 – 50 590 =

b) umawenik smawimo za 107 220, a umawilac pove}amo za 19 246?

6. Neka je a – b = 330 450. Kako }e se promeniti razlika a – b ako:

a – (b – 150 380) = (a – b)

Ako je a – b = 450 740, izra~unaj vrednost datog izraza.


57

Ako je a – b = 805 460, izra~unaj vrednost izraza.

1) (a + 14 506) – (b + 14 506) =

2) (a – 65 308) – (b – 65 308) =

Iskoristi osobinu stalnosti razlike i izra~unaj traène vrednosti.

1) 204 732 – 5 987 = ( + ) – ( 5 987 + 13)

= ;

2) 306 453 – 19 875 = – (19 875 + 125)

= .

13 | Stalnost razlike

2.

3.

Da li }e se razlika a – b, a > b mewati, ako i umawenik i umawilac pove}amo (smawimo) za neki broj n?

• Na osnovu osobina o promeni razlike u zavisnosti od promene umawenika ili umawioca, vaè naredna pravila.

Ako i umawilac i umawenik pove}amo za neki broj n,

razlika se ne}e promeniti.

Ako i umawilac i umawenik smawimo za neki broj n,

razlika se ne}e promeniti.

(a + n) – (b + n) = a – b (a – n) – (b – n) = a – b

Dati su brojeva a = 15 382 i b = 9 082. Odredi traène vrednosti i dopuni re~enice tako da budu ta~ne.

a) a – b =

b) (a + 1 024) – (b + 1 024) =

Umawenik i umawilac pove}ali smo za broj i razlika se promenila.

v) (a – 2 000) – (b – 2 000) =

Umawenik i umawilac smawili smo za broj i razlika se promenila.

1.

Upi{i: jeste ili nije.

Upi{i: jeste ili nije.


58

Ako je nepoznat sabirak x u jedna~inama x + b = c ili a + x = c,

onda je vrednost nepoznatog sabirkax = c – b ili x = c – a.

Nepoznati sabirak dobijamo kada od zbira oduzmemo poznat sabirak.

Ako je nepoznat umawenik x u jedna~ini

x – a = b onda je x = a + b.

Nepoznati umawenik dobijamo kada razliku saberemo sa umawiocem.

Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati sabirak.

1) x + 765 = 2 850 2) 1 345 + x = 6 020

x = – x = –

x = x =

1) x – 1 450 = 2 850 2) x – 2 345 = 5 720

x = + x = +

x = x =

1.

2.

Jedna~ine sa nepoznatim sabirkom

Jedna~ine sa nepoznatim umawenikom

Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati umawenik.

14 | Jedna~ine sa sabirawem i oduzimawem

Jednakosti u kojima je barem jedna veli~ina nepoznatanazivaju se jedna~ine.

Ako je a + b = c, onda je a = c – b i b = c – a.


59

Ako je nepoznat umawilac x u jedna~ini

a – x = b onda je x = a – b.

Nepoznati umawilac dobijamo kada od umawenika oduzmemo razliku.

1) 5 450 – x = 2 850

x = –

x =

1) 7 467 + x = 12 385

x =

x =

3) 25 314 – x = 17 484

x =

x =

2) x – 8 486 = 6 759

x =

x =

(1) + x = (2) (3)

3.

4.

5.

Jedna~ine sa nepoznatim umawiocem

Re{i jedna~ine.

Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati umawilac.

Napi{i odgovaraju}e jedna~ine i re{i ih:

1) Ako broju 35 678 doda{ broj x koji sam zamislio, dobi}e{ najmawi {estocifreni broj. Koji sam broj zamislio?

2) Vagonom voza dopremqena je odre|ena koli~ina robe, ozna~ena sa x. U prvi kamion utovareno je 12 587 kg robe, a za drugi kamion je ostalo 16 855 kg. Koliko je robe dopremqeno vagonom?

3) Za izgradwu puta izme|u dva mesta obezbe|eno je 2 500 000 dinara. Kada je ispla}eno x dinara za prvu deonicu puta, za drugu je ostalo 958 650 dinara. Koliko je ispla}eno za prvu deonicu puta?

2) 8 345 – x = 5 725

x = –

x =

Ako nepoznat broj pove}a{ za 99 999, dobi}e{ broj jednak zbiru najmaweg i najve}eg sedmocifrenog broja. Napi{i jedna~inu i odredi nepoznati broj.

Jedna~ina:

Re{ewe:

6.


60

Re{i nejedna~ine i zapi{i re{ewa u skupu N.

a) x + 999 999 > 1 000 000 b) x + 1 221 < 2 754

x ∈ { } x ∈ { }.

1.

15 | Nejedna~ine sa sabirawem i oduzimawem

0

N1 2 3 4 bb - 1

a) x < b: Skup svih prirodnih brojeva x koji su mawi od broja b.

Podseti se osnovnih nejedna~ina iz prethodnog razreda i na~ina prikazivawa skupa re{ewa na brojevnoj polupravoj. Re~ima zapi{i zna~ewe tih nejedna~ina.

0N

1 ba a + 1 b - 1

v) a < x < b:

b) x > a:

Ako je nepoznat sabirak x u nejedna~ini

x + b < c onda skup re{ewa nejedna~ine ~ine svi brojevi x takvi da je

x < c – b.

Ako je nepoznat sabirak x u nejedna~ini

x + b > c onda skup re{ewa nejedna~ine ~ine svi brojevi x takvi da je

x > c – b.

Nejedna~ine sa nepoznatim sabirkom

x ∈ {1, 2, ..., b - 1}.

x ∈ {a + 1, a + 2, ... }.

x ∈ {a + 1, ..., b - 1}.

0N

1 a a + 1

Nejednakosti u kojima je barem jedna veli~ina nepoznatanazivaju se nejedna~ine.

Sve vrednosti nepoznate veli~ine za koje je ta nejednakost ta~na ~ine skup re{ewa date nejedna~ine.


61

Re{i nejedna~ine, zapi{i re{ewa u skupu N, nacrtaj brojevnu polupravu i grafi~ki predstavi skup re{ewa na woj:

1) 5 705 – x < 75

x ∈ { };

2) 1 105 – x > 105

x ∈ { }.

Brojevi nekog skupa imaju slede}u osobinu: Ako se od svakog od wih oduzme broj 1 100 dobija se skup brojeva koji su ve}i od 5 000. Odredi elemente polaznog skupa.

Nejedna~ina:

Re{ewe:

3.

4.

1) x – 5 701 < 5 705

x ∈ { };

2) x – 12 120 < 1 105

x ∈ { }.

2. Re{i nejedna~ine i zapi{i re{ewa u skupu N.

Ako je nepoznat umawilac x u nejedna~ini

a – x < b onda skup re{ewa nejedna~ine ~ine svi brojevi x takvi da je

x > a – b.

Ako je nepoznat umawilac x u nejedna~ini

a – x > b onda skup re{ewa nejedna~ine ~ine svi brojevi x takvi da je

x < a – b.

Nejedna~ine sa nepoznatim umawiocem

Ako je nepoznat umawenik x u nejedna~ini

x – a < b onda skup re{ewa nejedna~ine ~ine svi brojevi x takvi da je

x < a + b.

Ako je nepoznat umawenik x u nejedna~ini

x – a > b onda skup re{ewa nejedna~ine ~ine svi brojevi x takvi da je

x > a + b.

Nejedna~ine sa nepoznatim umawenikom

Mnoèwe i deqewe prirodnih brojeva3

62

1 | Mnoèwe trocifrenog i ~etvorocifrenog broja jednocifrenim brojem

U tre}em razredu mnoìli smo trocifrene brojeve jednocifrenim, u slu~ajevima kada wihov proizvod nije ve}i od 1 000.

Podseti se i izra~unaj proizvod.

1) usmeno

a) 3 · 286 = 3 · 200 + 3 · 80 + 3 · 6

= + + =

b) 2 · 457 =

=

v) 6 · 128 = + 6 · 28

= =

1.

2) pismeno

b) 3 1 7 · 3

v) 1 1 6 · 8

a) 3 9 6 · 2

2. Izra~unaj usmenim mnoèwem, prema datim primerima.

a) 3 · 700 = 3 · 7 S = 21 S = 2 100

8 · 600 = . . 00 5 · 900 = . . 00 7 · 600 =

4 · 800 = 6 · 600 = 9 · 700 =

b) 5 · 463 = 5 · (400 + 60 + 3) = + + =

7 · 574 =

6 · 857 = + 6 · 57 = =

9 · 476 =

Na sli~an na~in moèmo mnoìti bilo koji trocifren broj jednocifrenim brojem. Usmeno }emo mnoìti samo neke jednostavnije primere, u kojima nema prelaza preko svake dekadne jedinice.

Usmenim mnoèwem najpre mnoìmo stotine, zatim desetice i na kraju jedinice.

Mnoèwe i deqewe prirodnih brojeva 3

63

Na~in pismenog mnoèwa posmatrajmo na primeru mnoèwa brojeva 863 i 7.

S D J

8 6 3 · 7 = 6 0417 · 3 J = 21 J; pi{emo 1 J, 2 D pamtimo;

7 · 6 D = 42 D i sa 2 D koje smo zapamtili dobijamo 44 D, pi{emo 4 D i 4 S pamtimo;

7 · 8 S = 56 S i sa 4 S koje smo zapamtili je 60 S.

Kra}e zapisujemo

863 · 7 6 041

3. Broj 468 pove}aj 8 puta.

U kompoziciji jednog voza je 576 sedi{ta.Koliko putnika mogu da prevezu ~etiri takve kompozicije?

Izra~unaj proizvod.4.

5.

485 · 6 537 · 8 735 · 5 648 · 9

Pismenim mnoèwem najpre mnoìmo jedinice, zatim desetice i na kraju stotine.

1 215 · 7 2 037 · 3 7 735 · 5 3 648 · 9

Izra~unaj proizvode.6.

Opi{i re~ima kako si mnoìo i koliko si pamtio i prenosio dekadnih jedinica iz jedne u drugu kolonu, za prvi primer u ovom zadatku.


64

2 | Deqewe trocifrenog i ~etvorocifrenog broja

jednocifrenim brojem

Izra~unaj koli~nik

1) usmeno;

a) 756 : 4 = (400 + 320 + 36) : 4

= + + =

b) 852 : 3 = (600 + 240 + ) : 3

=

v) 655 : 5 =

=

1.

2) pismeno.

b) 6 3 2 : 4 =

v) 8 5 4 : 7 =

a) 5 3 8 : 2 =

Usmeno }emo deliti samo neke jednostavnije primere, u kojima nema prelaza preko svake dekadne jedinice.

Podeli vi{estruke stotine.

1) 1 200 : 3 = 12 S : 3 = 4 S = 400 2) 5 400 : 6 =

3) 3 500 : 5 = 4) 5 600 : 7 =

2.

3. Usmenim deqewem, kao {to je zapo~eto, odredi tra`ene koli~nike.

1) 1 280 : 4 = (1 200 + 80) : 4 = + =

2) 2 800 : 5 = (2 500 + 300) : 5 = + =

3) 5 526 : 6 = (5 400 + + ) : 6 = + + =

4) 7 648 : 8 = (7 200 + + ) : 8 =

I pri usmenom i pri pismenom deqewu najpre delimo stotine, zatim desetice i na kraju jedinice.

4. Broj 736 umawi 4 puta.


65

5. Koji je broj 9 puta mawi od 6 642?

• Pismeno izra~unavawe koli~nika prikaza}emo na deqewu broja 5 808 sa 6.

Crveno ozna~enim ciframa zapisivali smo rezultat.

Kra}e zapisujemo:

5 808 : 6 = 968 – 5 4 40

– 36 48

– 48 0

H S D J S D J

5 8 0 8 : 6 = 9 6 8– 5 4

4 0– 3 6

4 8– 4 8

0

Pri ovom deqewu imali smo naredne korake.

• 5 nije deqivo sa 6, te odmah delimo stotine;

• 58 S podeqeno sa 6 je 9 S, 54 S (6 · 9 S) oduzimamo od 58 S i dobijamo 4 S kao razliku;

• prepisujemo 0, 40 D podeqeno sa 6 je 6 D, oduzimamo 36 D (6 · 6 D) od 40 D i dobijamo 4 D;

• prepisujemo 8, 48 J podeqeno sa 6 je 8 J i ostatak je 0.

Izra~unaj koli~nik.

4 735 : 5 = 6 874 : 7 =

3 384 : 4 = 5 968 : 8 =

6.


66

• Na slici je prikazano 15 kruì}a raspore|enih u 3 vrste po 5 kruì}a,odnosno u 5 kolona po 3 kruì}a.

Na osnovu slike uo~avamo da su naredne ~etiri jednakosti ta~ne.

3 · 5 = 15 5 · 3 = 15 15 : 3 = 5 15 : 5 = 3

Ako je broj elemenata (kruì}a) u jednoj vrsti bilo koji prirodan broj b, pri ~emu je a broj vrsta,

Ako je

onda je

tada je

3 | Veza mnoèwa i deqewa

3 · 5 = 15

15 : 3 = 5

5 · 3 = 15 15 : 5 = 3

Napisane jednakosti i wihovi ~lanovi su me|usobno povezani.

a · b = c

prvi ~inilac

drugi ~inilac

proizvod

c : a = b koli~nik

delilac

deqenik

c : b = a delilac

koli~nik

deqenik

a · b = c

b

a

a · b = c c : a = b c : b = a


67

Pomo}u brojeva 7, 485 i 3 395 i znaka · ili : napi{i ~etiri razli~ite, ta~ne jednakosti.

· = ; · = ;

: = ; : = .

Ta~nost izra~unavawa koli~nika proveri mnoèwem, a zatim zaokruì jedan od ponu|enih odgovora, datih u zagradi.

1) 474 : 6 = 79, · = ( ta~no, neta~no )

2) 526 : 8 = 66, · = ( ta~no, neta~no )

Zami{qeni broj Petar je pomnoìo sa 5 i dobio je proizvod 3 919. Pogre{io je i dobio je broj koji je za 4 ve}i od ta~nog proizvoda. Koji je broj Petar zamislio?

Odgovor:

Prvo re{ewe Drugo re{ewe

4 · 672 = ; 672 : 4 = ;

· = ; : = ;

: = ; · = ;

: = . · = .

1.

2.

3.

4.

5.

Pomo}u brojeva 4, 672 i tre}eg broja i znaka · ili : napi{i ~etiri ta~ne jednakosti.

Na osnovu prethodnog grafi~kog prikaza dopuni re~enice i zapi{i odgovaraju}e ~lanove u jednakostima.

a) Ako proizvod podelimo jednim ~iniocem, dobi}emo .

Ako je a · b = c, onda je c : a = i : b = .

b) Kada delilac i koli~nik pomnoìmo, dobi}emo .

Ako je c : a = b, onda je · = .

v) Ako deqenik podelimo koli~nikom, dobi}emo .

Ako je c : b = a, onda je : = .

(u plavo uokvirena poqa upi{i brojeve koji predstavqaju tre}i broj)


68

Za brojeve ~iji je proizvod mawi od 1 000 osobinu zamene mesta ~inilaca upoznao si u prethodnom razredu. Podseti se i dopi{i re~i koje nedostaju.

Neka su ~inioci a i b bilo koji prirodni brojevi. Neka je po a kruì}a raspore|eno u b vrsta, odnosno po b kruì}a u a kolona.

Ako ~inioci uzajamno zamene mesta proizvod se ne}e promeniti.

Na osnovu slike zakqu~ujemo da vaì naredna osobina.

a · b = b · a.

Ako ~inioci uzajamno zamene mesta proizvod se .

4 | Zamena mesta i zdruìvawe ~inilaca

Zamena mesta ~inilaca

1.

b · a

a · b

1 2 3 a

2

b

Odredi vrednost promenqive.

a =

b) 7 · 892 = a · 7

b =

a) 258 · b = 4 · 258 v) 12 · x = m · 12

x =

Dopuni slede}e jednakosti, tako da budu ta~ne.

1) 1 258 · 5 = 5 · 2) 9 · 3 892 = ·

2.


69x = а =

Zdruìvawe ~inilaca

Zdruìvawe ~inilaca za proizvode do 1 000 upoznali smo ranije. Podseti se i dopi{i re~i koje nedostaju.

Isto vaì i kada su a, b i c bilo koji prirodni brojevi.

1) (36 · 6) · 8 = 36 · (a · 8) 2) 274 · (6 · x) = (274 · 6) · m

Ako ~inioce zdruìmo na razli~ite na~ine, proizvod se .

Ako ~inioce proizvoqno zdruìmo, proizvod se ne}e promeniti.

(a · b) · c = a · (b · c)

4.

(7 · 48) · 5 = · = ;1) 7 · 48 · 5

7 · (48 · 5) = · = ;

(4 · 76) · 8 = · = ;

2) 4 · 76 · 8

4 · (76 · 8) = · = ;

(3 · 246) · 9 = · = ;

3) 3 · 246 · 9

3 · (246 · 9) = · = .

3. Izra~unaj proizvod na dva na~ina, kao {to je zapo~eto.

Odredi vrednost promenqivih a i x.


70

Izra~unaj na dva na~ina, prema zadatom primeru.

175 · 6 = 1) (79 + 96) · 6 =

79 · 6 + · = + =

· 8 = 2) (479 + 296) · 8 =

· 8 + · = + =

5 | Mnoèwe zbira i razlike

Mnoèwe zbiraOsobinu mnoèwa zbira za proizvode do 1000 zna{ iz prethodnog razreda.

1.

• Neka su a, b i c bilo koja tri prirodna broja. Neka je po a i b kruì}a raspore|eno u c vrsta, kao na slici.

Zbir moèmo mnoìti brojem tako {to tim brojem pomnoìmo svaki sabirak i dobijene proizvode saberemo.

(a + b) · c = a · c + b · c

(a + b) · c

.......

.......

.......

.......

3 b21

3 b21

3 b21

3 b21

.......

.......

.......

.......

3 a21

3 a21

3 a21

3 a21

1

2

3

c

....

1

2

3

c

....

a · c + b · c

Jedna jabuka ko{ta 4 dinara. Koliko ko{taju jabuke koje se nalaze u tri korpe ako je u prvoj 76 jabuka, u drugoj 48, a u tre}oj 65 jabuka? Izra~unaj rezultat na dva na~ina, sa i bez kori{}ewa pravila o mnoèwu zbira.

2.


71

Mnoèwe razlike

Izra~unaj na dva na~ina, prema zadatom primeru.

48 · 7 = 1) (93 – 45) · 7 =

93 · 7 – · = – =

· 5 = 2) (734 – 286) · 5 =

· 5 – · = – =

3.

• Razliku moèmo prikazati i grafi~ki.

a · c

.......

.......

.......

.......

3 b21

3 b21

3 b21

3 b21

.......

.......

.......

.......

3 a-b21

321

321

321

1

2

3

c

....

1

2

3

c

....

(a – b) · c b · c

a-b

a-b

a-b

Razliku moèmo mnoìti brojem tako {to tim brojem pomnoìmo umawenik i umawilac, a zatim dobijene proizvode oduzmemo.

(a – b) · c = a · c – b · c za a > b

Mnoèwe zbira i razlike moèmo koristiti kao olak{icu pri izra~unavawu proizvoda.

1) 497 · 8 = (500 – 3) · 8 =

2) 992 · 6 = (1 000 – 8) · 6 = 3) 705 · 7 = (700 + 5) · 7 =

U toku nedeqe (pet {kolskih dana) svakog dana {kolski autobus preveze 145 u~enika, od kojih je 78 devoj~ica. Koliko de~aka preveze autobus u toku tih pet dana? Re{i zadatak na dva na~ina.

4.

5.


72

U kuhiwi je za nedequ dana potro{eno 679 kg crvenog i 595 kg belog krompira. Svakog dana potro{ena je ista koli~ina i jednog i drugog. Koliko je dnevno tro{eno crvenog krompira, a koliko belog? Primewuju}i pravilo o deqewu zbira, odgovori koliko je ukupno krompira potro{eno?

Izra~unaj na dva na~ina, kao {to je zapo~eto i uveri se da }e dobijene vrednosti biti jednake.

150 : 6 =

a) (54 + 96) : 6 = 54 : 6 + 96 : 6 = + =

6 | Deqewe zbira i razlike

Deqewe zbira

: 8 =

b) (472 + 304) : 8 = : 8 + : = + =

1.

3.

• Neka su a, b i c prirodni brojevi, pri ~emu je svaki od brojeva a i b deqiv sa c.

(a + b) : c = a : c + b : c

Zbir mo`emo deliti brojem tako {to tim brojem podelimo svaki sabirak, a potom dobijene koli~nike saberemo.

Kada zbir podelimo nekim brojem dobijamo isti

rezultat kao kada sabirke podelimo tim brojem i

dobijene koli~nike saberemo.

Deqewe zbira mo`emo koristiti kao olak{icu pri izra~unavawima koli~nika.

a) 480 : 8 = (400 + 80) : 8 = b) 942 : 3 = (900 + 30 + 12) : 3 = v) 372 : 6 =

2.


73

Izra~unaj na dva na~ina, kao {to je zapo~eto i uveri se da }e dobijene vrednosti biti jednake.

75 : 5 =

a) (120 – 45) : 5 = 120 : 5 – 45 : 5 = – =

: 7 =

b) (805 – 294) : 7 = : 7 – : = – =

Deqewe razlike koristimo kao olak{icu pri izra~unavawima koli~nika.

a) 597 : 3 = (600 – 3) : 3 = b) 693 : 7 = (700 – 7) : 7 = v) 888 : 3 =

g) 776 : 8 =

Za 3 492 dinara kupqene su olovke i gumice za brisawe, po ceni od 12 dinara po komadu. Gumice su pla}ene ukupno 1 584 dinara. Koliko je kupqeno olovaka?

Deqewe razlike

4.

5.

6.

• Neka su a, b i c, (a > b) tri prirodna broja, pri ~emu se svaki od brojeva a i b mo`e podeliti sa c.

(a – b) : c = a : c – b : c za a > b

Razliku mo`emo deliti brojem tako {to tim brojem podelimo umawenik i umawilac, a potom dobijene koli~nike oduzmemo.

Kada razliku podelimo nekim brojem dobijamo isti

rezultat kao kada umawenik i umawilac podelimo tim brojem i dobijene koli~nike oduzmemo.

awima koli~nika.


74

7 | Mnoèwe i deqewe dekadnom jedinicom

• Posmatrajmo mnoèwe broja 36 nekim dekadnim jedinicama.

36 · 10 = 36 · 1 D = 36 D = 360

36 · 100 = 36 · 10 · 10 = 360 · 10 = 3 600

• Broj smo pomnoìli sa 10 tako {to smo mu dopisali jednu nulu.

• Broj smo pomnoìli sa 100 tako {to smo mu dopisali dve nule.

Prirodan broj mnoìmo dekadnom jedinicom tako {to mu dopi{emo onoliko nula koliko ima ta dekadna jedinica.

• Na osnovu veze mnoèwa i deqewa moèmo re}i:

Ako je 36 · 10 = 360, onda je 360 : 10 = 36.

Ako je 36 · 1 000 = 36 000, onda je 36 000 : 1 000 = 36.

• Broj smo podelili sa 10 tako {to smo mu izbrisali jednu nulu.

• Broj smo podelili sa 1 000, tako {to smo mu izbrisali tri nule.

Prirodan broj delimo dekadnom jedinicom tako {to zdesna izostavimo onoliko nula koliko ima ta dekadna jedinica.

Odredi proizvod i dopuni re~enicu tako da bude ta~na.

a) 36 · 1 000 = 36 · · · = · · =

Broj smo pomnoìli sa 1 000 tako {to smo mu dopisali .

b) 36 · 1 000 000 = ;

Broj smo pomnoìli sa milion tako {to smo mu dopisali .

1.

Prirodan broj je deqiv dekadnom jedinicom ako se wegov zapis zavr{ava sa onoliko nula koliko nula ima ta dekadna jedinica.

2. Izra~unaj koli~nik.

1) 240 300 : 10 = 2) 83 000 000 : 100 000 =

3) 5 040 000 : 104 = 4) 270 000 000 : 106 =


75

Izra~unaj vrednost izraza.

1) 730 · 100 : 10 = 2) (5 000 : 100) · 10 = 3) (64 000 000 : 104) · 100 =

4) 64 000 000 : (104 · 100) =

3.

Izra~unaj proizvod.

1) 138 · 1 000 =

2) 2 058 · 100 000 =

3) 465 · 104 =

4) 67 · 106 =

4.

5. Prirodne brojeve 236, 350 000, 52 000, 1 640 000, 2 560, 17 300 razvrstaj u skupove, zapisuju}i ih od najmaweg ka najve}em.

a) Brojevi deqivi sa 10 : { }

b) Brojevi deqivi sa 100 : { }

v) Brojevi deqivi sa 1 000 : { }

g) Brojevi deqivi sa 10 000 : { }

Kojim dekadnim jedinicama je deqiv zbir brojeva 58 460 i 41 540? Da li se na zbir prethodnih brojeva mo`e primeniti pravilo o deqewu zbira?

Dati zbir deqiv je slede}im dekadnim jedinicama:

Svaki od sabiraka pojedina~no deqiv svim gore nave-

denim dekadnim jedinicama, dok zbir deqiv. Dakle,

pravilo o deqewu zbira uvek primenqivo.

Upi{i: nije ili jeste.

6.




76

K L A S E

Hiqade Jedinice

SH DH H S D J 5 4 0 6 7 · 6 = 324 402

• Vi{ecifreni broj mnoì}emo jednocifrenim sli~no kao {to smo mnoìli trocifreni. Kada pomnoìmo jedinice, desetice i stotine nastavimo da mnoìmo cifre naredne klase (zdesna nalevo).

U mnoèwu prethodnih brojeva najpre smo pomnoìli klasu jedinica brojem 6, a zatim nastavqamo mnoèwem hiqada.

• 6 · 4 H = 24 H; 4 H pi{emo, 2 DH pamtimo.• 6 · 5 DH = 30 DH i dodajemo zapam}ene 2 DH, pi{emo 32 DH.

• Na primeru mnoèwa brojeva 54 067 i 6 pokaza}emo postupak mnoèwa.

1) 58 435 · 7 2) 438 503 · 1 3) 375 087 · 8 4) 0 · 74 305

Mnoèwe brojeva 4 854 237 i 8 zapi{i u tabelu i izra~unaj proizvod. (strelicama nazna~i mnoèwa)

2 4 4

54 067 · 6 324 402


SM DM M SH DH H S D J · 8 =

8 | Mnoèwe vi{ecifrenog broja jednocifrenim

• Iznad rezultata, zapisivali smo one cifre koje smo prenosili u narednu kolonu, gledaju}i zdesna nalevo.

Izra~unaj proizvod.

Kra}ezapisujemo

1.

2.


77

Odredi broj koji je od proizvoda brojeva 86 457 i 3:

a) ve}i 4 puta;

b) ve}i 6 puta.

a) a

b)

Odredi broj koji je ~etiri puta ve}i od broja 3 057 608.

(Zadatak re{i na dva na~ina - primenom pravila o mno`ewu zbira i bez primene tog pravila.)

a) 1 · 2 074 · 5 = b) 0 · 5 648 · 1 = v) 8 · 53 706 · 0 =

Svaki kombajn dnevno po`we 164 385 kg p{enice. Koliko po`we 8 kombajna za jedan dan?

Na farmi su koko{ke jednog meseca snele 36 850 jaja, a drugog meseca 41 735. Kolika je ukupna vrednost jaja, ako je svako jaje prodato za 5 dinara?

;

.

Skupqaju}i zrna p{enice, pti~ica je skupila pet gomila po 1 224 zrna i dve gomile po 2 743 zrna. Da li je sakupila dovoqno p{enice za 180 dana ako joj je dnevno potrebno 70 zrna?

zrna.(upi{i: nedostaje ili ima vi{ka i koliko)


• Ako nije, odgovori koliko joj nedostaje, a ako jeste, odgovori koliko zrna ima vi{ka.

Sakupila je zrna.

3.

4.

5.

6.

7.

8.c d

,a.


78

Kra}ezapisujemo:

Vi{ecifreni broj delimo jednocifrenim kao {to smo delili trocifreni ili ~etvorocifreni. Najpre delimo dekadnu jedinicu najvi{eg reda.

Odredi broj koji je ~etiri puta mawi od broja 3 702 548.

62 322 : 6 = 10 387 – 6 2 3 – 1 8 52 – 48 42 – 42 0

K L A S E

hiqade jediniceSH DH H S D J

6 2 3 2 2– 6

2 3– 1 8

5 2– 4 8

4 2– 4 2

0

U deqewu prethodnih brojeva imamo slede}e korake:

• 6 DH podeqeno sa 6 je 1 DH; oduzmemo 6 DH od 6 DH;

• „spu{tamoß 2 H, 2 H podeqeno sa 6 je 0 H;

• „spu{tamoß i 3 S, 23 S podeqeno sa 6 je 3 S, 18 S (6 · 3 S) oduzimamo od 23 S i dobijamo 5 S kao razliku;

• „spu{tamoß 2 D, delimo 52 D sa 6 i dobijamo 8 D, 48 D (6 · 8 D) oduzimamo od 52 D i dobijamo 4 D;

• „spu{tamoß 2 J, 42 J podeqeno sa 6 je 7 J i ostatak je 0.

9 | Deqewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim

: 6 = 10 387

Rezultat:

1.

˜Spustitiß cifru zna~i prepisati je iz polaznog broja koji delimo.


79

Na gomili se nalazi 11 664 zrna kukuruza. Znaju}i da fazan jede 4 puta dnevno po 9 zrna kukuruza, za koliko dana ima hrane?

1) 58 435 : 5 = 2) 438 354 : 9 =

3) 207 404 : 4 = 4) 4 725 584 : 8 =


1) (2 075 : 1) : 5 ;

2) (5 648 : 8) : 1 ;

3) (0 : 6) : 7 .

Odredi broj koji je od koli~nika brojeva 133 884 i 3:

a) mawi 4 puta; b) mawi 6 puta.

Rezultat:

Rezultat:

Rezultat:

Izra~unaj koli~nik.2.

3.

4.

5.


80

10 | Mnoèwe vi{estrukom dekadnom jedinicom

• Podseti se pojma ˜vi{estruka dekadna jedinicaß i predstavi naredne vi{estruke dekadne jedinice kao proizvod jednocifrenog broja i dekadne jedinice.

20 = 2 · 10 700 = 5 000 =

80 000 = 300 000 = 6 000 000 =

• Mnoèwe vi{estrukom dekadnom jedinicom pokaza}emo na primeru mnoèwa broja 4 358 i vi{estruke dekadne jedinice 700.

Broj mnoìmo vi{estrukom dekadnom jedinicom tako {to ga pomnoìmo jednocifrenim brojem koji odre|uje vi{estrukost te dekadne jedinice i dopi{emo onoliko

nula koliko ih ta vi{estruka dekadna jedinica ima.

4 358 · 700 = 4 358 · (7 · 100) = (4 358 · 7) · 100= · 100=

700 = 7 · 100zdruìvawe ~inilaca

mnoèwe jednocifrenim brojem

mnoèwe dekadnom jedinicom 100

1. Izra~unaj proizvod, predstavqaju}i vi{estruku dekadnu jedinicu kao proizvod jednocifrenog broja i dekadne jedinice, kao {to je nazna~eno.

1) 357 · 400 = . . . . 00 2) 7 854 · 6 000 =

3) 857 · 50 000 = 4) 6 728 · 700 000 =


1) 600 · 87 : 10

2) 8 000 · 4 238 : 100

2.

U vre}e je pakovano po 48 kg krompira. Koliko krompira ima u 500 vre}a?

Odgovor:

3.


81

4 726 · 38 = 4 726 · (30 + 8)

= 4 726 · 30 + 4 726 · 8

= 141 780 + 37 808

= 179 588

• Na~in zapisivawa mnoèwa brojeva, kao u uokvirenom delu, nazivamo potpisivawem. Jedan ispod drugog zapisujemo rezultate dobijene mnoèwem sa jedinicama i sa deseticama, a zatim ih sabiramo.

Cena jednog para patika je 2 750 dinara. Kolika je ukupna vrednost 28 takvih pari patika?

Izra~unaj proizvod.

Kra}e zapisujemo:

4 726 · 38 37 808+ 141 780 179 588

11 | Mnoèwe vi{ecifrenog broja dvocifrenim

• Odredimo proizvod ~etvorocifrenog broja 4 726 dvocifrenim 38.

· =

1) 6 754 · 54 2) 38 506 · 75 3) 56 857 · 68 4) 472 936 · 43

+

+

+

+

+

1.

2.

Primewuju}i osobinu mnoèwa zbira, imamo da je:

• Pri potpisivawu, cifru 0 koja se nalazi na kraju sabirka izostavqamo u zapisu i vodimo ra~una kako potpisujemo brojeve koje sabiramo.

Pazi kako potpisuje{. Jedinice ispod jedinica, desetice ispod desetica...


82

Na jednom fakultetu zaposlena su 83 profesora sa visokim obrazovawem i 43 osobe sa sredwo{kolskim obrazovawem, u administraciji. Mese~na plata profesora je 64 500 dinara, a radnika u administraciji 28 750. Koliko je potrebno novca za

1) ( + ) ·

= · =

2) ( + ) ·

= · + ·

= + =

Jedan bicikl ko{ta 8 400 dinara. Za potrebe sekcije kupqeno je 14 novih bicikala. Koliko je ukupno pla}eno?

Name{taj za jednu sobu ko{ta 284 500 dinara. U hotelu je opremqeno 26 soba na isti na~in. Koliko je novca potro{eno?

Zbir brojeva 846 i 674 pomno`i brojem 46. Izra~unaj na dva na~ina.

+

a) jednu mese~nu platu svih radnika zajedno?

b) polugodi{wu isplatu zarada ({est plata) svim radnicima?

3.

4.

5.

6.

+


83

• Vi{ecifrene brojeve delimo dvocifrenim, naj~e{}e pismenim na~inom deqewa, na sli~an na~in kao {to smo delili trocifrene i ~etvorocifrene brojeve jednocifrenim brojevima.

K L A S E



1 2 8 9 7 0 2 : 46 = 28 037

– 9 2

3 6 9

– 3 6 8

1 7 0

– 1 3 8

3 2 2

– 3 2 2

0

U deqewu prethodnih brojeva imamo slede}e korake:

• Po{to 1 M, kao i 12 SH ne mo`e da se podeli sa 46, odmah delimo 128 DH sa 46• 128 DH delimo sa 46 i dobijamo 2 DH, 92 DH (46 · 2 DH) oduzimamo od 128 DX i dobijamo 36 DH kao razliku;

• spu{tamo 9 JH, 369 JH podeqeno sa 46 je 8 JH, 368 JH (46 · 8 JH) oduzimamo od 369 JH i dobijamo 1 JH kao razliku;

• spu{tamo 7 S, po{to 17 S ne mo`e da se podeli sa 46 pi{emo 0 S i spu{tamo jo{ i 0 D, 170 D podeqeno sa 46 je 3 D, 138 D (46 · 3 D) oduzimamo od 170 D i dobijamo 32 D;

• spu{tamo 2 J, 322 J podeqeno sa 46 je 7 J, ostatak je 0.

12 | Deqewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim

Kra}e zapisujemo:

1 289702 : 46 = 28 037– 92 369 – 368 170 – 138 322 – 322 0


84

Za isplatu mese~ne zarade 35radnika potrebno je 1 006 250 dinara. Kolika je mese~na zarada jednog radnika?

1) 23 142 : 57 = 2) 167 310 : 65 =

3) 4 258 888 : 76 = 4) 22 156 912 : 92 =

Izra~unaj koli~nike.

Odredi broj koji je 84 puta mawi od broja 311 472.


(304 416 : 48) : 7 =

Odredi broj koji je od koli~nika brojeva 11 664 i 9 mawi:

a) 36 puta: ;

b) 54 puta: .

Rezultat:

Rezultat:

1.

2.

3.

4.

5.


85

Izra~unaj, primewuj}i mnoèwe vi{estrukom dekadnom jedinicom.

13 | Mnoèwe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem

Izra~unaj proizvod.

• Vi{ecifrene brojeve mnoìmo vi{ecifrenim naj~e{}e pismeno. • Mnoìmo ih tako {to jedan ~inilac pomnoìmo vi{estrukim dekadnim

jedinicama drugog ~inioca i dobijene proizvode saberemo, vode}i ra~una o potpisivawu.

Posmatrajmo mnoèwe brojeva 7 384 i 458 i primenimo postupak potpisivawa, od ranije.

7 384 · 458 mnoèwe brojeva 7 384 i 458

59072 mnoìmo sa 8 J

36920 mnoìmo sa 5 D

+ 29536 mnoìmo sa 4 S

3381872

b) 284 346 · 537

+

v) 72 594 · 7 806

+

a) 83 756 · 390

+

0

0 b) 54 975 · 5 700

+

00

00

1.

2.

Obrati pa`wu! Ako mnoì{ brojem koji se zavr{ava nulama, nije potrebno da mnoì{ nulama. Dovoqno je da ih dopi{e{ u

kona~nom rezultatu.


86

Pekara svakog dana proizvede 2 750 vekni hleba.

a) Koliko vekni proizvede za godinu dana (365 dana)?

b) Cena vekne je 54 dinara. Kolika je godi{wa vrednost proizvedenog hleba?

v) Kolika je masa proizvedenog hleba godi{we, ako je masa vekne 600 grama? (Izrazi rezultat u kilogramima.)

a) Koliko kilometara pre|e dnevno?

b) Koliko pre|e u toku 18 dana?

Vi{e novca je dobijeno od

prodaje

obu}e i ta razlika iznosi

dinara.

Fabrika obu}e je proizvela 1 580 pari ènskih i 2 350 pari mu{kih cipela. Cena para ènskih cipela je 2 670 dinara, a mu{kih 2 110 dinara. Da li je vi{e novca dobijeno prodajom mu{ke ili ènske obu}e?

Duìna kru`ne biciklisti~ke staze je 375 m. Biciklista svakog dana na treningu vozi 256 krugova.

Rezultat:

Rezultat:

3.

4.

5.


87

• Na osnovu veze mnoèwa i deqewa moèmo proveriti ta~nost koli~nika.

1 773 695 : 385 = 4 607 – 1 540 233 6 – 231 0 2 695 2 695 0

• 1 773 podeqeno sa 385 je 4 i ostatak je 233, „spu{tamoß 6 pored ostatka 233;

• 2 336 podeqeno sa 385 je 6 i ostatak je 26, „spu{tamoß 9 pored ostatka 26;

• 269 podeqeno sa 385 je 0 i ostatak je 269, „spu{tamoß 5 pored ostatka 269;

• 2 695 podeqeno sa 385 je 7 i ostatak je 0.

36 942 podeqeno sa 5 486 je 6 i ostaje

.

• Kao {to smo vi{ecifrene brojeve delili dvocifrenim, sli~no delimo vi{ecifreni broj vi{ecifrenim brojem.

36 942 724 : 5 486 = 6 7 . . – 32 916

. . . . 7

– . . . . .

. . . . 2

– . . . . .

. . . . 4

– 21 944

0

Primewuju}i prethodni postupak, odredi koli~nik datih brojeva i izvr{i proveru. Plavim ta~kicama ozna~en je broj cifara koje treba da upi{e{.

14 | Deqewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem

4 607 · 385 = 1 773 695

• Re~ima objasni postupak deqewa ovih brojeva.

Provera: 5 486 ·

+

1.

Kada deli{, koli~nik treba da bude broj koji se u proizvodu sa

deliocem najve}i broj puta sadrì u deqeniku. Ostatak uvek

mora da bude mawi od delioca!


88

2) ako prodavnica radi 30 dana u mesecu?

Postavka zadatka:

Izra~unaj koli~nik brojeva.

b) 11 327 342 : 4 706 =a) 1 988 932 : 748 =

Koriste}i deqewe vi{ecifrenog broja dekadnom jedinicom, izra~unaj:

U toku meseca 135 prodavnica imalo je jednak promet robe ~ija je ukupna vrednost 383 818 500 dinara.

a) Koliki je mese~ni promet jedne prodavnice?

Postavka zadatka:

b) Koliki je dnevni promet robe u jednoj prodavnici:1) ako mesec ima 25 radnih dana;

Postavka zadatka:

2.

3.

4.

a) 997 200 : 360 = 997 200 : (10 · 36) = (997 200 : 10) : 36

= 99 720 : 36

=

b) 4 964 000 : 6 800 = =

=

=


89

• Proizvod bilo koja dva prirodna broja a i b moèmo prikazati kao zbir a sabiraka, od kojih je svaki jednak broju b, odnosno

• Po{to je operacija sabirawa izvodqiva u skupu prirodnih brojeva, tada

• Da li je koli~nik bilo koja dva prirodna broja uvek prirodan broj?

Da li se broj 45 moè podeliti sa 6? Navedeni su proizvodi brojeva do 10, sa brojem 6. Zbog veze operacija mnoèwa i deqewa, brojevi iz doweg reda mogu se podeliti sa 6.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

· 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

Prvi mawi broj od 45 koji se moè podeliti sa 6 je 42, a prvi ve}i broj od 45 koji se moè podeliti sa 6 je 48. Dakle svi brojevi iz skupa { 43, 44, 45, 46, 47 } ne mogu se podeliti sa 6.

Operacija mnoèwa izvodqiva je u skupu N.

Operacija deqewa nije uvek izvodqiva u skupu N.

• Uo~imo da brojevi iz skupa { 43, 44, 45, 46, 47 } pri deqewu sa 6 redom daju ostatke 1, 2, 3, 4 i 5. Dakle, ostatak je mawi od delioca.

Ako su prirodni brojevi a i b deqenik i delilac, k koli~nik deqewa i r ostatak deqewa, onda je ta~na jednakost

a = b · k + r, pri ~emu je ostatak r ∈ { 0, 1, 2, . . . , b – 1 }.Ako je r = 0, onda je a = b · k i a : b = k, odnosno a je deqiv brojem b.

Odredi koli~nik i ostatak deqewa.

a) 756 : 48 = i ostaje

b) 72 408 : 563 = i ostaje

15 | Izvodqivost mnoèwa i deqewa u skupu N

a ּ b = b + b + ... + b.

a sabiraka

1.

(b + b + b + . . . + b) ∈ N,

odakle zakqu~ujemo da je a · b ∈ N. Dakle, proizvod dva prirodna broja je prirodan broj.


90

16 | Zavisnost proizvoda od promene ~inilaca

Kada u proizvodu bilo koja dva prirodna broja a i b jedan od ~inilaca pove}amo n puta, dobijamo

a · (b · n) ili (a · n) · b.

Na osnovu osobina zdruìvawa i zamene mesta ~inilaca vaì tvr|ewe.

Ako jedan od ~inilaca pove}amo n puta, a drugi ~inilac se ne mewa, i proizvod }e se pove}ati n puta.

a · (b · n) = (a · b) · n i (a · n) · b = (a · b) · n

Ako jedan od ~inilaca smawimo n puta, a drugi ~inilac se ne mewa, i proizvod }e se smawiti n puta.

a · (b : n) = (a · b) : n i (a : n) · b = (a · b) : n

Ako imamo proizvod dva prirodna broja, pa jedan od ~inilaca smawimo n puta, postavqa se pitawe: Da li }e se i proizvod smawiti n puta?

Izra~unaj i uporedi dobijene rezultate.

a) 72 · (12 : 2) = (72 · 12) : 2 =

b) (72 : 3) · 12 = (72 · 12) : 3 =

1.

Ako imamo proizvod dva prirodna broja a i b i ako jedan ~inilac pomnoìmo, a drugi podelimo istim brojem n, bi}e

(a · n) · (b : n) = a · (b : n) · n zbog pove}awa prvog ~inioca

= (a · b) · n : n zbog smawewa drugog ~inioca

= (a · b) · 1 jer je n : n = 1 = a · b proizvod se nije promenio.

Prethodno uo~enu osobinu nazivamo stalnost proizvoda.

Proizvod se ne mewa ako jedan ~inilac pomnoìmo, a drugi podelimo istim brojem.


91

1) 34 · x = 6 290 2) x · 58 = 21 112 3) x · 287 = 27 265

x = 6 290 : 34 x = x =

x = 185 x = x =

Ako je a · b = c, onda je c : a = b i c : b = a.

Postavka zadatka:

Rezultat:

17 | Izra~unavawe nepoznatog ~inioca

2.

1. Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati ~inilac prema zadatom primeru.

Ako nepoznat broj x pove}amo 17 puta, dobi}emo 6 562. Napi{i jedna~inu i odredi nepoznat broj.

Nepoznati ~inilac izra~unavamo deqewem proizvoda sa drugim ~iniocem.

Ako je u jednakosti nepoznat ~inilac, onda imamo jedna~inu sa

nepoznatim ~iniocem.

x · b = c ili a · x = c.Tada je

x = c : b ili x = c : a.

Izra~unavawe nepoznatog ~inioca


92

Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati deqenik.

1) x : 8 = 4 376 2) x : 63 = 2 307 3) x : 465 = 5 738

x = 4 376 · 8 x = _______________ x = _______________

x = 35 008 x = _____________ x = _____________

1) 17 345 : x = 5 2) 31 668 : x = 87 3) 125 856 : x = 276

x = _______________ x = _______________ x = _______________

x = _____________ x = _____________ x = _____________

18 | Izra~unavawe nepoznatog deqenika ili delioca

1.

2.

Ako je u jednakosti nepoznat deqenik, onda imamo jedna~inu sa nepoznatim deqenikom

x : a = b.Tada je nepoznati deqenik

x = a · bNepoznati deqenik dobijamo tako {to koli~nik pomno`imo sa deliocem.

Izra~unavawe nepoznatog deqenika

Ako je u jednakosti nepoznat delilac, onda imamo jedna~inu sa nepoznatim deliocem

c : x = b.tada je nepoznati delilac

x = c : b.Nepoznati delilac dobijamo tako {to deqenik podelimo sa koli~nikom.

Izra~unavawe nepoznatog delioca

Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati delilac.


93

19 | Jedna~ine sa mno`ewem i deqewem

Jedna~ine u kojima je nepoznat ~inilac, deqenik ili delilac nazivamo jedna~ine sa mno`ewem ili deqewem.

1) 75 · x = 28 875 2) x : 284 = 38 3) 26 391 : x = 463x = _______________ x = _______________ x = _______________x = _____________ x = _____________ x = _____________

Re{i jedna~ine.1.

2. [est puta mawi broj od zami{qenog broja x jednak je broju koji je osam puta mawi od broja 2 000. Koji broj je zami{qen?

Postavka: ____________________________

Rezultat: ___________________

Koliko puta treba smawiti broj 2 003 400 da bi se dobio broj koji je 84 puta ve}i od 318?

Postavka: _________________

Rezultat: ___________________

Koliko puta treba da smawi{ broj37 037 da bi dobio najmawi broj druge hiqade?

Postavka: ____________________________

Rezultat: ___________________

Koli~nik broja 216 410 i nepoznatog broja

x jednak je proizvodu brojeva 67 i 85.

Odredi nepoznat broj.

Postavka: ____________________________

Rezultat: ___________________

3.

4.

5.

Merewe povr{i i jedinice mere4

94

1 | Povr{. Upore|ivawe i merewe povr{i

Na slici su razli~ite geometrijske figure. Ispod svake figure zapi{i wen naziv i povr{ svake oboj drugom bojom.

Na kvadratnoj mreì su dva kvadrata, ABCD i EFGH.

k

A B

CD

E F

GH

• Da bismo precizno uporedili povr{ine kvadrata ABCD i EFGH, odredimo koliko puta se mawi kvadrat k sadrì u svakom od wih.

• Kvadrat k nazivamo jedinicom mere, po{to merimo koliko puta se on sadrì u svakoj od datih geometrijskih figura ABCD i EFGH.

• Prebrojavawem utvr|ujemo da se kvadrat k sadrì 16 puta u kvadratu ABCD, a 25 puta u kvadratu EFGH.

Merewe povr{i i jedinice mere 4

95

• Povr{ina kvadrata ABCD iznosi P = 16 k (~itamo: povr{ina P je (jednaka je)

16 povr{ina kvadrata k), a povr{ina kvadrata EFGH iznosi P = 25 k.

Meru povr{i nazivamo povr{ina povr{i i ozna~avamo je slovom P, a izraàvamo je brojem jedinica mere koje se u toj povr{i sadrè. Broj jedinica mere koje odre|uju povr{inu nazivamo merni broj.

• Kako je 16 < 25 zakqu~ujemo da je povr{ina kvadrata ABCD mawa od povr{ine kvadrata EFGH.

P = 25 kПОВРШИНА ПОВРШИ

ЈЕДИНИЦА МЕРЕ

МЕРНИ БРОЈ ПОВРШИНЕ

P1

k

P2

p

Prikazana su dva podudarna pravougaonika, P1 i P2. Povr{ pravougaonika P1 izmeri jedinicom mere kvadrati}em k, a P2 jedinicom mere pravougao-nikom p.

1.

P1 = ____ k ; P2 = ____ p .

• Jedinicu mere moèmo izabrati na razli~ite na~ine, ali je pogodno da ima pravilan oblik tako da je wome mogu}e precizno izmeriti povr{inu.

• Za razli~ite jedinice mere, za istu povr{ dobijamo razli~ite merne brojeve wihovih povr{ina.

Merni broj povr{ine zavisi od izbora jedinice mere.

F2F1

• Na navedeni na~in mogu se meriti povr{ine povr{i koje su pravilnih oblika, jer ih moèmo podeliti na vi{e mawih povr{i koje poznaje{.

• Na slicu su prikazane dve figure ~ije je povr{ine te{ko me|usobno uporediti, po{to oblici ovih figura nisu pravilni.


96

• Postoje na~ini odre|ivawa povr{ine sloènijih figura o kojima }e{ u~iti u starijim razredima. ̂ ak i ti sloèniji metodi bi}e zasnovani na ideji podele povr{i na mawe jedinice mere.

Izmeri povr{i pravougaonika nacrtanih na kvadratnoj mreì, ozna~enih sa P1 i P2, jedinicama mere k, t i p.

2.

P1 = k = t = p;

k

P1

P2

t p

P2 = k = t = p;

o1

Na narednoj slici zadate su dve jedinice mere, ozna~ene sa o1 i o2. Na kvadratnoj mreì nacrtaj:

a) dve figure razli~itog oblika, tako da je wihova povr{ina P = 25 o1;

b) jednu povr{ tako da je wena povr{ina P = 5 o2.

3.

o2


97

• Videli smo da za razli~ite jedinice mere dobijamo razli~ite merne brojeve povr{ine iste povr{i. Da ne bi dolazilo do nesporazuma, dogovorom je izgra|en sistem jedinica mera za povr{inu, koji se naziva metarski sistem.

Osnovna jedinica mere za povr{inu je povr{ kvadrata ~ija je stranica du`ine 1 m i naziva se kvadratni metar, a ozna~ava sa m2.

• Navodimo jedinice mere za povr{inu, mawe od 1 m2. • 1 m2 podelimo na 100 podudarnih mawih kvadrata, tako {to stranice kvadrata podelimo na 10 jednakih delova i napravimo wegovu kvadratnu mre`u. Tako dobijen mawi kvadrat ima povr{inu 1 dm2 i nazivamo ga kvadratni decimetar.

• Podelom kvadratnog decimetra na 100 podudarnih kvadrata dobijamo kvadratni centimetar ~ija je povr{ina 1 cm2.

• Podelom kvadratnog centimetra na 100 podudarnih kvadrata dobijamo kvadratni milimetar ~ija je povr{ina 1 mm2.

2 | Jedinice mere za povr{inu

• Na slici su predstavqeni 1 dm2 i wegova podela na kvadratne centimetre i 1 cm2 i wegova podela na kvadratne milimetre.

1 cm2 = 100 mm2

Podelom 1 dm2 na 100 jednakih kvadrata dobijamo 1 cm2.

Podelom 1 cm2 na 100 jednakih kvadrata dobijamo 1 mm2.

1 dm2

1 dm2 = 100 cm2


98

• Navodimo odnose veli~ina uvedenih jedinica mere povr{ine.

1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2

1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2

1 cm2 = 100 mm2

1 m2 = 102 dm2 = 104 cm2 = 106 mm2

1 dm2 = 102 cm2 = 104 mm2

1 cm2 = 102 mm2

• Povr{ina se izraàva jednoimenim ili vi{eimenim brojem.

• Neka je povr{ina odre|ena vi{eimenim brojem

Kako je svaka jedinica mere (gledaju}i sleva nadesno) 100 puta ve}a od naredne, tu povr{inu izraàvamo jednoimenim brojem, najmawom od jedinica mere koja se pojavquje u vi{eimenom broju, sa

• Povr{inu izraènu jednoimenim brojem izraàvamo vi{eimenim brojem na slede}i na~in

7 m2 20 dm2 64 cm2 57 mm2.

7 206 457 mm2.

7 206 457 mm2 = 7 m2 20 dm2 64 cm2 57 mm2.

Izrazi kvadratnim centimetrima.

Izrazi kvadratnim milimetrima.

a) 25 dm2 = cm2 b) 32 m2 = cm2

a) 64 cm2 = mm2 b) 48 dm2 = mm2

1.

2.

Vi{eimeni broj izrazi jednoimenim, najmawom jedinicom mere.

a) 5 cm2 36 mm2 = mm2

b) 27 dm2 8 cm2 45 mm2 = mm2

v) 8 m2 52 dm2 75 cm2 = cm2

3.

Izrazi vi{eimenim brojem.

a) 4 052 740 mm2 = m2 dm2 cm2 mm2

b) 27 505 008 mm2 = m2 dm2 cm2 mm2

v) 65 002 030 mm2 = m2 cm2 mm2

4.

m


99

Za merewe povr{ine velikih povr{i, koristimo jedinice mere ve}e od kvadratnog metra. Zamisli da povr{inu mesta u kome ̀ ivi{ treba da izmeri{ kvadratnim metrom koji je, kao {to ti je poznato, ne{to ve}i od tvoje {kolske klupe. Takvo merewe bi dugo trajalo i bilo bi veoma mukotrpno. Da bismo merewe velikih povr{i lak{e obavqali i povr{inu tih povr{i mogli da izrazimo mawim mernim brojevima, uvodimo slede}e jedinice mere za povr{inu:

Povr{ina teritori-je koju zauzima

dr`ava Srbija je 88 361 km2.

a) 8 a 35 m2 = m2

b) 42 ha 6 a 50 m2 = m2

v) 2 km2 75 ha 35 a 7 m2 = m2

3 | Jedinice mere za povr{inu ve}e od kvadratnog metra

1.

2.

3.

Ar je kvadrat stranice 10 m i ozna~avamo ga sa 1 a.Hektar je kvadrat stranice 100 m i ozna~avamo ga sa 1 ha.

Kvadratni kilometar je kvadrat stranice 1 000 m, u oznaci 1 km2.

1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2

1 ha = 100 a = 10 000 m2

1 a = 100 m2

• Navodimo odnose me|u jedinicama mere ve}im od 1 m2.

Izrazi kvadratnim metrima.

Izrazi arima.

1) 6 a = m2 2) 4 ha = m2

3) 25 a = m2 4) 68 ha = m2

1) 5 ha = a

2) 3 km2 = a

3) 73 ha = a

4) 45 km2 = a

Vi{eimeni broj izrazi jednoimenim.

Povr{ine dvori{ta Povr{ine dvori{ta naj~e{}e se mere arima.naj~e{}e se mere arima.


100

4 | Ra~unawe sa jedinicama mere za povr{inu

• Ako su sabirci vi{eimeni brojevi, sabiramo brojeve uz odgovaraju}e jedinice mere ili sabirke najpre izrazimo jednoimenim brojem.

1 1 18 m2 45 dm2 6 cm2 78 mm2

+ 56 m2 68 dm2 85 mm2

= 75 m2 1 13 dm2 7 cm2 1 63 mm2

sabirawe vi{eimenih brojeva

18 450 678 mm2

+ 56 680 085 mm2

= 75 130 763 mm2

= 75 m2 13 dm2 7 cm2 63 mm2

sabirawe jednoimenih brojeva

Pri ra~unawima sa mernim brojevima najboqe je da ih izrazi{ jednoimenim brojem.

Izra~unaj zbir.1.

23 km2 75 ha 38 a 96 m2

+ 54 km2 56 ha 37 a 57 m2

vi{eimeni zapis

m2

+ m2

= m2

jednoimeni zapis

• Sli~no oduzimamo vi{eimene brojeve, na primer:

oduzimawe vi{eimenih brojeva oduzimawe jednoimenih brojeva

72 km2 1 45 ha 6 a 1 78 m2 72 450 678 m2

– 56 km2 68 ha 85 m2 – 56 680 085 m2

= 15 km2 77 ha 5 a 93 m2 = 15 770 593 m2

= 15 km2 77 ha 5 a 93 m2

Izra~unaj razliku.2.

43 m2 25 dm2 34 cm2 96 mm2

– 28 m2 56 dm2 79 cm2 56 mm2

vi{eimeni zapis

mm2

– mm2

= mm2

jednoimeni zapis


101

Izra~unaj proizvod vi{eimenog broja 7 km2 27 ha 4 a 45 m2 i broja 28.3.

Rezultat: km2 ha a m2

• Pri izra~unavawu koli~nika vi{eimenog broja i prirodnog broja, vi{eimeni deqenik najpre izrazimo jednoimenim brojem. Na primer:

75 km2 6 ha 44 a 05 m2 : 47 = 75 064 405 m2 : 47 = 1 597 115 m2

– 47 28 0

= 1 km2 59 ha 71 a 15 m2

– 23 5 4 56 – 4 23 33 . . .

• Pri izra~unavawu proizvoda vi{eimenog broja i prirodnog broja najpre vi{eimeni izrazimo jednoimenim brojem. Posmatrajmo primer:

18 m2 5 dm2 4 cm2 6 mm2 · 74 = 18 050 406 mm2 · 74 72 201 624 mm2

1 263 528 42 1 335 730 044 mm2 =13 a 35 m2 73 dm2 0 cm2 44 mm2

Izra~unaj koli~nik vi{eimenog broja 467 m2 35 dm2 6 cm2 32 mm2 i 56.4.

Rezultat: m2 dm2 cm2 mm2


102

5 | Izra~unavawe povr{ine pravougaonika i kvadrata

Ako je duìna pravougaonika a jedinica mere, a {irina pravougaonika b jedinica mere, tada je obim pravougaonika O = 2 · (a + b).

Ako je stranica kvadrata a jedinica mere, tada je obim kvadrata O = 4 · a.

k

P

• Stranica kvadrata k je duìne 1 cm, odnosno, kvadrat k predstavqa 1 cm2, odakle sledi da je povr{ina P pravougaonika sa slike

• Da bismo odredili povr{inu P pravougaonika sa slike, izdelili smo ga na kvadrate k, kao {to je predstavqeno.

• Povr{inu pravougaonika P moèmo odrediti na slede}i na~in: izbrojati broj vrsta i pomnoìti sa brojem kvadrata k u vrsti, odakle sledi da je P = 3 · 5 k, ili izbrojati broj kolona i pomnoìti sa brojem kvadrata k u koloni,odakle sledi da je P = 5 · 3 k. U oba slu~aja dobijamo da je povr{ina datog pravougaonika P = 15 k.

• U svakoj vrsti imamo 5, a u svakoj koloni 3 kvadrata k, stranica duìne 1 cm, te sledi da je duìna pravougaonika 5 cm, a {irina 3 cm. Zakqu~ujemo da je merni broj povr{ine pravougaonika jednak proizvodu mernih brojeva wegove duìne i {irine.

P = 15 cm2.

• Ako duìna ili {irina pravougaonika nisu merqive jedinicom 1 cm, ali se mogu izmeriti jedinicom 1 mm, tada za stranicu kvadrati}a k

1 uzimamo 1 mm, kao u narednom primeru.

P2 = 45 mm · 25 mmP2 = 1 125 mm2


103

Ako je duìna pravougaonika a, a {irina b pri ~emu su duìna i {irina izraène istom jedinicom mere, wegova povr{ina je

P = a · b.

P = a · b

a

b

Ako je duìna stranice kvadrata jednaka a, wegova povr{ina je

P = a · a.a

a

P = a · a

Znamo da je kvadrat figura ~ija je {irina jednaka duìni, te imamo:

1. Nacrtaj pravougaonik ~ija je duìna a = 35 mm, a {irina b = 25 mm i izra~unaj wegovu povr{inu.

P =

.

1) a = 18 cm, b = 43 cm; 2) a = 385 m, b = 67 m; 3) a = 436 dm, b = 45 dm.

P = P = P =

Izra~unaj povr{inu pravougaonika, ako su date wegova duìna a i {irina b.

2.

1) a = 45 m 2) a = 736 cm

P = P =

Izra~unaj povr{inu kvadrata, ako je data wegova stranica a.3.


104

Ako su duìna i {irina izraène razli~itim jedinicama mere, onda ih najpre izrazimo istom jedinicom.

1) a = 57 m, b = 65 dm

P =

=

2) a = 2 km, b = 84 m

P =

=

Izra~unaj povr{inu pravougaonika, ako su date wegova duìna a i {irina b.4.

P =

=

Povr{inu wive oblika pravougaonika izrazi arima, ako je duìna a = 175 m, a {irina b = 64 m.

5.

Izra~unaj drugu stranicu i obim pravougaonika povr{ine P = 3 588 m2 i jedne stranice b = 46 dm.

a =

=

O =

=

6.

(postavi izraz)

Izra~unaj stranicu i povr{inu kvadrata, ako je wegov obim O = 736 cm.

a =

=

P =

=

7.

(postavi izraz)


105

Izra~unaj drugu stranicu i povr{inu pravougaonika, ako wegov obimO = 302 cm, a jedna stranica a = 94 cm.

8.

b =

=

P =

=

(postavi izraz)

Figura je podeqena na pravougaonika i kvadrat(a).

Povr{ina je P = = .

P

5

4

2

3 1

3

(napi{i izraz)

Izra~unaj povr{inu figura na slici, wihovom podelom na pravougaonike i kvadrate i dopuni re~enice tako da budu ta~ne. Jedinica mere za du`inu je 1 cm.

a)

9.

b)

3

2

2

2 2

2

4

4 1

1

Figura je podeqena na pravougaonika i kvadrata.

Povr{ina je P = = .(napi{i izraz)

Izrazi5

106

Brojeve i slova koja ozna~avaju promenqive veli~ine povezane matemati~kim operacijama i zagradama koje ozna~avaju redosled operacija, ili samo brojeve ili samo slova

nazivamo matemati~kim izrazima.

Ukoliko u izrazima ne u~estvuju promenqive veli~ine nazivamo ih brojevni matemati~ki izrazi, a ukoliko

u~estvuju i promenqive veli~ine nazivamo ih matemati~ki izrazi sa promenqivim veli~inama.

Ako se u izrazu primewuje samo jedna ra~unska operacija takav izraz nazivamo jednostavnim izrazom.

Ako ima vi{e ra~unskih operacija kaèmo da je izraz sloèn.

Za brojeve 9 472 i 37 zapi{i traèni izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

a) zbir datih brojeva + =

b) koli~nik datih brojeva : =

Odaberi tri proizvoqna broja (po jedan: dvocifren, trocifren i ~etvorocifren, redom) i rasporedi ih u osen~ena poqa od najmaweg ka najve}em. Izra~unaj vrednosti tako dobijenih izraza i odgovori na pitawe: Koji od dobijenih izraza je jednostavan, koji je sloèn, a koji je sa promenqivom veli~inom?

Upi{i odabrane brojeve: , i .

1) – = { }

2) ( – ) · = { }

3) x + = ; x = { }

(U viti~aste zagrade upi{i koje je vrste izraz sa leve strane znaka =.)

1 | Matemati~ki izrazi

1.

2.

Kada u matemati~kom izrazu postoje zagrade prvo izvr{avamo operacije unutar zagrada. Zagrade koristimo kada èlimo druga~iji redosled operacija od onog koji je pravilima izvr{avawa operacija utvr|en.

Izrazi 5

107

• Posmatrajmo slede}e primere.

54 · 28 + 73 · 5 + 46 · 3 = + + =

3 240 : 3 + 810 : 15 + 552 : 46 = + + =

Postavqa{ sebi pitawe da li prvo da sabira{ ili da mnoì{ i deli{. Ne brini, to pitawe postavqaju sebi i tvoji drugovi, ali obrati pa`wu na slede}e pravilo.

Sli~no pravilo vaì i za operacije mnoèwa i deqewa, kada su one u izrazu u kome imamo i oduzimawe.


1) (54 · 28 + 73) · 5 + 46 · 3

2) 54 · 28 + 73 · (5 + 46 · 3)

3) (54 · 28 + 73 · 5 + 46) · 3

4) (54 · 28 + 73) · (5 + 46 · 3)

2 | Odnos mnoèwa i deqewa prema sabirawu i oduzimawu

1.

2.

1) (3 240 : 3 + 810) : 15 + 552 : 46 =

2) 3 240 : 3 + 810 : (15 + 552 : 46) =

Izra~unaj.

Ako u izrazu imamo vi{e mnoèwa i sabirawa ili deqewa i sabirawa, bez zagrada koje ozna~avaju redosled izvr{avawa

operacija, onda najpre mnoìmo, odnosno delimo.

Ako u izrazu imamo vi{e mnoèwa i oduzimawa ili deqewa i oduzimawa, onda najpre mnoìmo, odnosno delimo.

Redosled oduzimawa treba nazna~iti zagradama.

Izrazi5

108

Izra~unaj.

1) (54 · 28 – 73 · 5) – 46 · 3 = ( – ) – =

2) 54 · 28 – (73 · 5 – 46 · 3) = – ( – ) =

3) (54 · 28 – 73) · 5 – 46 · 3 =

4) 54 · 28 – (73 · 5 – 46) · 3 =

Zbir brojeva 248, 75 i 6 pomno`i razlikom brojeva 111 i 74.Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

( + + ) · ( – ) = .

Izra~unaj vrednost slo`enih izraza.

1) (3 240 : 3 – 810 : 15) – 552 : 46 = ( – ) –

=

2) 3 240 : 3 – (810 : 15 – 552 : 46) = – ( – )

=

3) (3 240 : 3 – 810) : 15 – 552 : 46

=

4) 3 240 : 3 – 810 : (15 – 552 : 46) =

=

3.

4.

5.

Izrazi 5

109

Zbir brojeva 1 309 i 1 122 podeli wihovom razlikom. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

( + ) : ( – ) =

Zbir brojeva 48 534, 53 845 i 37 169 podeli razlikom brojeva 2 013 i 1 955.

( + + ) : ( – ) =

Razliku proizvoda brojeva 87 i 9 i proizvoda brojeva 68 i 5 pove}aj za proizvod brojeva 72 i 43. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

( · – · ) + · =

Razliku koli~nika brojeva 1 414 i 7 i koli~nika brojeva 7 770 i 74 pove}aj za koli~nik brojeva 595 i 35. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

( : – : ) + : =

U kamionu je bilo 112 vre}a po 50 kg i 85 vre}a po 38 kg krompira. Istovareno je 7 ve}ih i 5 mawih vre}a. Koliko je krompira ostalo u kamionu? Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

6.

7.

8.

9.

10.

Izrazi5

110

Data su tri broja: 11 100, 888 i 24. Razliku prva dva broja podeli koli~nikom drugog i tre}eg od navedeih brojeva. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

1) Koliko u~enika IV razreda ima u toj {koli?

11.

12. Svaki u~enik IV razreda jedne {kole zasadio je po 4 sadnice bora, 8 sadnica hrasta i 12 sadnica bagrema. Ukupno je zasa|eno 2 040 sadnica.

2) Koliko je zasa|eno sadnica:

• bora

• hrasta

• bagrema?

Izrazi 5

111


a) ((39 366 : 54) : 27) : 9 =

b) (39 366 : 54) : (27 : 9) =

Izra~unaj.

((10 368 : 24) · 108) : (12 · 3) =

10 368 : (24 · (108 : 12) · 3) =

Koli~nik brojeva 956 450 i 47 podeli koli~nikom brojeva 5 032 i 68. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

Proizvod brojeva 246 i 74 pomnoì koli~nikom brojeva 608 i 38. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

U prazan bazen svakog ~asa se ulije 780 litara vode, a iz wega izlije pet puta mawe. Koliko }e vode biti u bazenu ako se puni jedan dan?

Vo}ar je prodao 850 kg jabuka po 36 dinara i pet puta mawe kru{aka po 48 dinara za kilogram. Koliko je novca dobio za prodato vo}e?

Koli~nik brojeva 1 825 i 25 pomnoì koli~nikom brojeva 15 848 i 283.

3 | Odnos mnoèwa i deqewa

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Ako u izrazu imamo vi{e mnoèwa i deqewa, ili samo vi{e deqewa, zagradama nazna~avamo redosled izvr{avawa operacija.

Kvadar i kocka6

112

1 | Osobine kvadra i kocke

Ispod svake slike napi{i naziv geometrijskog tela.

kvadar ABCDEFGH

Kvadar je ograni~en sa {est ravnih povr{i, {est pravougaonika, koje

nazivamo strane kvadra.

Svake dve susedne strane kvadra imaju zajedni~ku ivicu, koju

nazivamo ivica kvadra.

Ta~ke iz kojih polaze tri ivice kvadra nazivamo temenima kvadra.

A

E

H

D

B

F

G

C

СТРАНА КВАДРА

ИВИЦ

А КВАДРА

ТЕМЕ КВАДРА

1. Posmatraj kvadar predstavqen na prethodnoj slici i zapi{i

a) svih {est strana kvadra:

ABCD, , , , , ;

b) svih dvanaest ivica kvadra:

BF, , , , , , , , , , , ;

v) svih osam temena kvadra:

A, , , , , , , .

Svojstva geometrijskih tela posmatramo i upoznajemo uz pomo} crte`a i modela koje pravimo od kartona, drveta ili drugog materijala.

Posmatraj kvadar ABCDEFGH.

Kvadar i kocka 6

113

Navedi strane kvadra ABCDEFGH kojima je zajedni~ka data ivica.

2.

1) DH je zajedni~ka ivica strana:

2) AE je zajedni~ka ivica strana:

3) CD je zajedni~ka ivica strana:

A

E

H

D

B

F

G

C

Za zadato teme kvadra ABECDEFGH odredi sve tri ivice koje ga sadrè.

1) Teme F je zajedni~ka ta~ka ivica:

2) Teme C je zajedni~ka ta~ka ivica:

3) Teme D je zajedni~ka ta~ka ivica:

3.

A

E

H

D

B

F

G

C

Naspramne strane kvadra su podudarni pravougaonici.

Po{to su naspramne strane kvadra podudarni pravougaonici, odgovaraju}e ivice kvadra su me|usobno jednakih duìna.

Na slici kvadra obojeni su neki parovi wegovih naspramnih strana.4.

A

E

H

D

B

F

G

C

Koje su naspramne strane kvadra obojene istom bojom?

i ; i .

Koji par naspramnih strana kvadra na slici nije obojen?

i .

5.Dopuni tekst zapisuju}i ivice kvadra, koje su jednakih duìna.

AB = DC = EF = = a

BC = = = = b

AE = = = = c A

E

H

D

B

F

G

C

a

bc

Ivice kvadra sa slike koje su jednakih duìna nacrtane su istom bojom.

Kvadar i kocka6

114

Posebna vrsta kvadra kome su jednake du`ina, {irina i visina predstavqa

kocku i ona je odre|ena istim elementima kao kvadar: stranama,

ivicama i temenima kocke.

kocka ABCDEFGH

A

E

H

D

B

F

G

CСТРАНА

ИВИЦ

А

ТЕМЕ

Sve strane kocke su me|usobno podudarni kvadrati.

Sve ivice kocke su jednakih du`ina.

6. Posmatraj kocku sa prethodne slike. Kocka ima 12 jednakih ivica. Zapi{i ih.

Kocka je ograni~ena sa kvadrata. Zapi{i te kvadrate.

Sa ivicom AE paralelne su ivice: , i .

Kocka ABCDEFGH i kvadar BJKCFLMG imaju jednu zajedni~ku stranu.

A

E

H

D

B

F

G

C

J

L

M

K

7.

8. Sada zna{ {ta je kvadar, a {ta kocka. Napi{i po dva objekta iz tvoje okoline koji imaju oblik

a) kocke:

b) kvadra (koji nije kocka):

b) Navedi jednake ivice kvadra BJKCFLMG.

BJ = = =

BC = = = = = =

v) Koje su strane kvadra AJKDELMH, koji je dobijen spajawem polaznog

kvadra i kocke, me|usobno podudarni pravougaonici?

a) Koja je zajedni~ka

strana kvadra i

kocke?

Kvadar i kocka 6

115

2 | Crtawe kvadra i kocke

Kvadar i kocku moèmo crtati na kvadratnoj mreì.

• Na kvadratnoj mreì najpre nacrtamo pravougaonik ABEF.

• Zatim nacrtamo podudaran pravougaonik DCGH, tako da im stranice budu paralelne.

• Spojimo odgovaraju}a temena A i D, B i C, E i H, F i G.

• Ivice koje su sa zadwe strane, koje se ne vide, crtamo isprekidanom linijom.

Sli~no crtamo i kocku.

EF

A

H

D

B

G

C

EF

A

H

D

B

G

C

E

A B

F

EF

A

H

D

B

G

C

E

A B

F EF

A

H

D

B

G

C

Kvadar i kocka6

116

Nacrtaj dva kvadra i dve kocke i oboji ih po `eqi tako da se uo~ava barem jedan par paralelnih strana.

1.

Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i kocku A1A2A3A4A5A6A7A8, ~ije su neke ivice nacrtane na slici.

2.

A B

G

A5

A6

A1

A7

A3

Uputstvo: Crtaj odgovaraju}e paralelne ivice.

3. Dovr{i crtawe kvadra i kocke prema zapo~etim primerima.

Kvadar i kocka 6

117

3 | Mreà kvadra i kocke Nacrtaj sliku kvadra u svesci i odgovori.

– Koliko strana ima kvadar? ;

– Koje geometrijske figure su strane kvadra? ;

– Kakve su naspramne strane kvadra? .

Mreà tela je figura u ravni od koje se savijawem bez se~ewa moè napraviti to telo u prostoru.

Kutija oblika kvadra, napravqena od kartona, rase~ena je po nekim ivicama tako da se karton moè postaviti u ravan.

Dobijena geometrijska figura predstavqa mreù tog kvadra.

Kako je kutiju mogu}e rase}i na vi{e razli~itih na~ina, za isti kvadar mogu}e je dobiti razli~ite mreè.

Nacrtajmo mreù kvadra. To moèmo uraditi na slede}i na~in:

1) nacrtamo paralelne poluprave p i q na me|usobnom rastojawu c koje

sadrè krajwe ta~ke visine c;2) na poluprave p i q {estarom naizmeni~no nanosimo duìne b, a, b, a;

3) paralelno sa ivicama kvadra poveèmo krajeve duìna nanesenih {estarom i nacrtamo stranice pravougaonika koje na slici nedostaju.

Kvadar i kocka6

118

c

bb

a b a

b

p

qTada dobijamo mreù kvadra kao na slici.

Na isti na~in, kao i u slu~aju kvadra, dobijamo mreù kocke. e.

Nacrtaj mreù kvadra na kartonu, izreì je i savij po zajedni~kim stranicama pravougaonika, zalepi odgovaraju}e stranice i napravi model kvadra.

Nacrtaj sliku kocke u svesci i odgovori.

– îme je ograni~ena kocka?

– Kakve su ivice kocke?

1.

Sli~no mreì kvadra crtamo i mreù kocke.

Nacrtaj mreù kocke na kartonu i napravi model kocke.2.

Kvadar i kocka 6

119

2) Koja od narednih figura predstavqa mreù kvadra, a koja ne?

(upi{i: jeste ili nije) (upi{i: jeste ili nije)

a) Koja od narednih figura predstavqa mreù kocke, a koja ne?

(upi{i: jeste ili nije) (upi{i: jeste ili nije)

3.

4. Nacrtaj mreù kvadra ~ije su ivice jednake duìma a, b, c. Poku{aj da napravi{ neku novu mreù kvadra.

a b c

Kvadar i kocka6

120

4 | Izra~unavawe povr{ine kvadra

Povr{ kvadra sastoji od tri para podudarnih pravougaonika.

Povr{ina kvadra jednaka je zbiru povr{ina wegovih strana.

P = 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · cili

P = 2 · (a · b + a · c + b · c).

Kao primer uzmino kadar ~ije su ivice

a = 14 cm, b = 8 cm, c = 25 cm.Wegova povr{ina iznosi

P = (2 · 14 · 8 + 2 · 14 · 25 + 2 · 8 · 25) cm2

P = = cm2

Izra~unaj povr{inu kvadra ~ije su ivice:

1) a = 12 cm, b = 15 cm, c = 20 cm;

2) a = 20 m, b = 25 m, c = 40 m.

1.

a · b

a · cb · ca · cb · c

a · b

a

b

c

Kvadar i kocka 6

121

Povr{ kocke sastoji se od {est podudarnih kvadrata.

Povr{ina kocke ~ija je ivica, na primer, a = 12 cm je

P = 6 · 12 cm · 12 cm = cm2

Povr{ina kocke jednaka je zbiru povr{ina {est wenih strana (kvadrata).

P = 6 · a · a

5 | Izra~unavawe povr{ine kocke

a · a a

a

1.

2.

Izra~unaj povr{inu kocke ~ija je ivica

1) a = 8 cm; 2) a = 48 cm.

Zbir svih ivica kocke je 324 cm. Izra~unaj povr{inu kocke.

Kvadar i kocka6

122

• Oko nas se nalaze razli~iti predmeti, odnosno tela i svako od wih zauzima, odnosno zaprema, neki deo prostora.

• Ako u ~a{u ispuwenu te~no{}u spustimo neki predmet, na primer, lopticu, onda }e se jedan deo te~nosti preliti. Preli}e se onaj deo te~nosti koji je zauzela (zapremila) lopta.

Deo prostora koji zauzima (zaprema) telo naziva se zapremina tela.

• ̂ a{a, ili neka druga prazna posuda, ispuwena je vazduhom. Ako je napunimo nekom te~no{}u, onda je unutra{wi prostor ~a{e zauzela (zapremila) te~nost.

• Posmatrajmo lopte na slici. Najve}a od wih zauzima najve}i, a najmawa od wih najmawi deo prostora. Dakle, ve}a tela imaju ve}u,

a mawa tela mawu zapreminu.

6 | Zapremina tela. Merewe zapremine

Zapreminu tela izra`avamo brojem jedinica mere koje se u tom telu sadr`e i oznakom jedinice mere.

Zapreminu tela naj~e{}e ozna~avamo slovom V.

• Tela se mogu upore|ivati po veli~ini, ali da bismo to mogli precizno uraditi potrebno je ta~no izmeriti zapreminu.

• Meri}emo i odre|ivati zapremine tela koja imaju oblik kvadra ili kocke, upore|ivawem sa mawim telima, koja predstavqaju jedinice mere.

Broj jedinica mere koje odre|uju zapreminu nazivamo

merni broj zapremine.

Kvadar i kocka 6

123V = ____________

V = ____________V = ____________

V = ____________

V = ____________

• Za merewe zapremine kvadra K uzmimo za jedinicu mere mawi kvadar p

1 ili mawu kocku k

1.

• Ako zapreminu kvadra K merimo jedinicom mere p1, vidimo da se u

kvadru K sadr`e 4 kvadra p1, odnosno zapremina kvadra K je V = 4 p

1.

• Ako zapreminu kvadra K merimo jedinicom mere kockom k1, vidimo da se u kvadru K sadr`e 8 kocki k1, te je V = 8 k1.

Odredi zapreminu tela prikazanih na slici, ako je jedinica mere kocka k

1. Figure na slici, koje nisu podeqene, najpre podeli na

jedini~ne kocke.

1.

k1

k1

k1

k1

k1

k1

k1

k1

k1

K

k1

p1

p1

p1

p1

p1

Kvadar i kocka6

124

Jedinice za merewe zapremine mawe od kubnog metra su:

Kubni decimetar. 1 dm3 je zapremina kocke ~ije su ivice duìne 1 dm.Kubni centimetar. 1 cm3 je zapremina kocke ~ije su ivice duìne 1 cm. Kubni milimetar. 1 mm3 je zapremina kocke ~ije su ivice duìne 1 mm.

• Ako zapreminu istog kvadra merimo razli~itim jedinicama mere dobijamo razli~ite merne brojeve.

• Da ne bi dolazilo do razlika, usvojen je metarski sistem mera. • Osnovna jedinica mere za zapreminu je zapremina kocke ~ija je ivica duìne 1 m. Nazivamo je kubni metar i ozna~avamo sa 1 m3 (jedan kubni metar).

Osnovna jedinica mere za zapreminu je kubni metar, u oznaci 1 m3.

7 | Jedinice mere za zapreminu

1dm3

1cm3

Kvadar i kocka 6

125

• Koliko kubnih centimetara ima u kubnom decimetru?

Po{to je ivica kubnog decimetra jednaka 10 cm, to se u jednoj vrsti kocke sa prethodne slike nalazi 10 kockica zapremine 1 cm3. U prvom sloju je 10 vrsta te u prvom sloju imamo, 10 · 10 cm3 = 100 cm3. Kako u kocki imamo 10 slojeva, 1 dm3 iznosi 10 · 10 · 10 cm3 = 1 000 cm3.

• Na sli~an na~in moèmo uporediti 1 mm3 sa 1 cm3 . Podelom 1 cm3 na 1 mm3 zakqu~ujemo da 1 cm3 sadrì 1 000 mm3 .

Jedinice za merewe zapremine, ve}e od kubnog metra imaju malu prakti~nu primenu u svakodnevnom ìvotu. Jedinice za merewe zapremine ve}e od kubnog metra su:

Nije te{ko uo~iti da i za jedinice ve}e od kubnog metra vaì da je svaka 1000 puta ve}a od prethodne mawe.

Jedinice mere za merewe zapremine te~nosti i rastresitog materijala upoznali smo u tre}em razredu. Podsetimo se.

Zapreminu od jednog kubnog decimetra druga~ije nazivamo litar. 1 litar = 1 kubni decimetar odnosno 1 l = 1 dm3

1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3

1 dm3 = 1 000 cm3 = 1 000 000 mm3

1 cm3 = 1 000 mm3

J j

Jedinice za merewe zapremine ve}e od kubnog metra su:

Kubni dekametar. 1 dkm3 je zapremina kocke ~ije su ivice duìne 10 m. Kubni hektometar. 1 hm3 je zapremina kocke ~ije su ivice duìne 100 m.Kubni kilometar. 1 km3 je zapremina kocke ~ije su ivice duìne 1 km.

Svaka jedinica mere za zapreminu je 1 000 puta ve}a od prethodne mawe.

Primewuju}i prethodno dobijamo da je

Kvadar i kocka6

126

Izrazi kubnim decimetrima:

a) 84 000 cm3 = b) 378 000 000 mm3 =

Izrazi kubnim centimetrima:

a) 75 000 mm3 =

b) 3 705 000 mm3 =

Izrazi vi{eimenim brojem.

a) 56 403 068 cm3

b) 24 000 730 058 mm3

Izrazi litrima.

a) 8 m3 200 dm3

b) 274 m3 900 dm3

Izrazi najmawom navedenom jedinicom mere za zapreminu.

a) 4 m3 17 dm3 328 cm3

b) 8 m3 624 dm3 65 mm3

Saberi vi{eimene brojeve iz prethodnog zadatka i wihov zbir predstavi jednoimenim brojem, najmawom jedinicom mere.

Izrazi kubnim metrima.

a) 35 000 dm3 = b) 24 000 000 cm3 =

5.

6.

1.

2.

3.

4.

7.

Kvadar i kocka 6

127

• U jednom redu je 5 cm3, jer je duìna kvadra 5 cm, a imamo ~etiri reda, jer je {irina kvadra 4 cm. Zna~i, u jednom sloju je

5 · 4 cm3 = 20 cm3.

Zapremina kvadra

• Kvadar je izdeqen na kocke ~ija je ivica 1 cm, odnosno kubne centime-tre. Kako je visina kvadra 3 cm, moèmo ga podeliti u tri prostorna sloja, gledano po visini.

• Po{to je visina kvadra 3 cm, odnosno imamo tri prostorna sloja, a u svakom od wih po 20 cm3, zapremina kvadra je V = 3 · 5 · 4 cm3 = 60 cm3.

8| Izra~unavawe zapremine kvadra i kocke

4 cm

3 cm

5 cm

• Razmotrimo slu~aj ako duìna, {irina ili visina kvadra nisu merqive sa 1 cm, a mogu se izraziti milimetrima.

• Za kvadar ~ije su dimenzije a = 54 mm, b = 38 mm, c = 45 cm, imamo da je zapremina tog kvadra

V = 54 · 38 · 450 mm3 = 923 400 mm3.

Izra~unaj zapreminu kvadra ~ije su ivice a = 27 cm, b = 48 cm, c = 54 cm.

Zapremina kvadra jednaka jeproizvodu wegove duìne, {irine i visine.

V = a · b · c

1.

Ako je duìna kvadra a, {irina b, a visina c pri ~emu su sve tri veli~ine izraène istom jedinicom mere, zapremina kvadra jednaka je wihovom proizvodu.

ab

c

Kvadar i kocka6

128

Izra~unaj zapreminu sportske sale ~ije su dimenzije 54 m, 25 m i 57 dm.

2.

Pakovawe margarina je oblika kvadra ~ije su dimenzije 10 cm, 6 cm i 25 mm. Koliko pakovawa margarina moè stati u kutiju oblika kvadra ~ije su unutra{we dimenzije 7 dm, 6 dm, 5 dm?

Zadatak re{i na dva na~ina:

1) najpre odredi koliko se pakovawa margarina moè staviti u jednu vrstu, a koliko u prvom sloju i najzad, koliko ima slojeva.

2) najpre izra~unaj zapreminu jednog pakovawa margarina i uporedi sa unutra{wom zapreminom kutije.

3.

Izra~unaj zapreminu tela prikazanog na slici, ako su date duìne ivica izraène u milimetrima.

16

65

38

10

24

4.

Izra~unaj povr{inu kvadra ~ija je zapremina V = 15 120 cm3, a dve duìne ivica su a = 16 cm, b = 27 cm.

Izra~unaj zapreminu kvadra ~ija je povr{ina P = 1 456 cm2, a dve duìne ivica su b = 8 cm, c = 28 cm.

5.

6.

Kvadar i kocka 6

129

Ivica kocke je 10 cm. Ako se duìna kocke pove}a za 1 cm, {irina za 2 cm i visina za 3 cm dobije se kvadar. Za koliko je zapremina dobijenog kvadra ve}a od zapremine date kocke?

Zapremina kocke

7.

8.

Kvadar ~ije su duìna, {irina i visina jednake je kocka.

Kocka ~ija je ivica duìne a ima zapreminu

V = a · a · a

a

Izra~unaj zapreminu kocke ivice a.

1) a = 7 cm

2) a = 24 mm

3) a = 3 cm 6 mm

Zapremina kocke je

.

Zapremina kvadra je

.

Zapremina kvadra ve}a je od

zapremine kocke za .

Kocka zapremine 8 cm3 izrezana je na osam istih mawih kocki, koje su spojene kao {to je prikazano na slici.

Kolika je povr{ina tako dobijenog tela?

9.

a

a

Razlomci7

130

1 | Razlomci sa brojiocem jedanAko neku celinu podelimo na

n jednakih delova, gde je n ∈{2, 3, ... , 9, 10}

tada jedan od tih delova

zapisujemo razlomkom 1 _n

.

Torta se sastoji od6 jednakih delova. Jedan od wih

predstavqa 1 _6

torte.

Na cvetu jebilo 5 latica.Otpala latica

predstavqa 1 _5

broja latica cveta.

Ispod svake slike razlomkom zapi{i koji deo kruga je obojen.

Oboji razlomkom odre|en deo kruga.

1.

2.

1 _2

1 _8

1 _9

1 _6

1 _7

1 _10

1 _5

_ _ _ _

_ _ _ _

Postupak deqewa celine na proizvoqan broj delova mo`emo nastaviti tako {to }emo dobijene razlomke posmatrati kao nove celine i deliti ih na proizvoqan broj delova.

1 _m

od 1 _n

dobijamo podelom 1 _n

na m jednakih delova i uzimawem jednog dela.

Razlomci 7

131

• Odredimo 1 _3

od 1 _2

. To mo`emo predstaviti na slede}i na~in:

polovinu kruga podelimo na tri dela.

• Jasno je sa slike da ovako dobijeni deo predstavqa 1 _6

kruga.

Nacrtaj slike kruga u svesci i podelom kruga odredi:

1) 1 _2

od 1 _4

je ; 2) 1 _2

od 1 _3

je ; 3) 1 _2

od 1 _5

je ;

4) 1 _4

od 1 _2

je ; 5) 1 _3

od 1 _3

je ; 6) 1 _5

od 1 _2

je .

3.

Koriste}i vezu mno`ewa i deqewa, izra~unaj.

a) Neka je 1 _5

od nekog broja x broj 317. Tada je x = .

b) Neka je 1 _8

od nekog broja x broj 5 086. Tada je x = .

Dopuni tekst i izra~unaj:

a) Tre}inu dobijamo podelom celine na (koliko?) dela.

1 _3

od 747 je 747 : 3 = .

b) Sedminu dobijamo podelom celine na (koliko?) delova.

1 _7

od 5 922 je = .

1 _n

od nekog broja a nazivamo n-ti deo broja a i on je jednak a : n.

n-ti deo za n ∈{2, 3, 4, ... , 9, 10} nazivamo redom polovina, tre}ina, ~etvrtina, ... , devetina i desetina.

4.

5.

Razlomci7

132

1 _3

1 _7

1 _6

Razlomkom odre|en deo povr{ine figure oboji na dva razli~ita na~ina, tako da obojeni delovi ne budu figure istog oblika.

a)

b)

v)

6.

Razli~itim bojama oboji 1 _4

, 1 _6

i 1 _9

figure na slici, tako da se delovi

obojeni razli~itim bojama ne preklapaju.

7.

Izra~unaj i dopuni odgovaraju}im tekstom slede}e re~enice.

a) Petina od 3 180 je broj i on je od tre}ine od

2 181 koja iznosi . (upi{i: ve}i ili mawi)

b) Sedmina od 1 561 je broj i on je od ~etvrtine

od 884 koja iznosi . (upi{i: ve}i ili mawi)

8.

Razlomci 7

133

Na slici su krug, kvadrat i pravougaonik, podeqeni na po 4 jednaka dela.

Dva dela kruga oboji crveno, dva dela kvadrata oboji plavo i tri dela pravougaonika oboji zeleno. Ka`emo da smo obojili dve ~etvrtine kruga, dve ~etvrtine kvadrata i tri ~etvrtine pravougaonika, {to razlomkom zapisujemo:

2

_4

i 3 _4

.

Na slici su prikazane ptice sa zelenim i sa naranyastim perjem. Razlomkom izrazi koliko ima jednih, a koliko drugih u odnosu na ukupan broj ptica.

2 | Razlomci sa brojiocem ve}im od jedan

Zapis oblika k

_n

gde je n ∈{2, 3, 4, ... , 9, 10}, a k ∈{2, 3, ... , n} nazivamo

razlomkom sa brojiocem ve}im od jedan.

1.

( Obrati pa`wu da imenilac razlomaka kojima }e{ predstaviti rezultat predstavqa ukupan broj ptica, a brojilac broj ptica sa istom bojom perja.)

Zelenih ima , a

naranyastih ima .

Broj n nam govori (imenuje) na koliko je jednakih delova podeqena celina i nazivamo ga imenilac.

Broj k nam govori (broji) koliko je jednakih delova uzeto i nazivamo ga brojilac.

Crta izme|u brojioca i imenioca naziva se razloma~ka crta.

Razlomci7

134

Ispod svake slike razlomkom zapi{i koji deo kruga je obojen.

Posmatraju}i krugove iz prethodnog zadatka razlomkom zapi{i koji deo kruga nije obojen.

• Posmatrajmo prve od razlomaka u prethodnom zadatku. Imamo da je

2 _ 6

= 1 _ 6

+ 1 _6

i 4 _6

= 1 _6

+ 1 _6

+ 1 _ 6

+ 1 _6

, odnosno 2 _6

+ 4 _6

= 6 _6

= 1.

a) U narednim primerima broj delova na koje je podeqen kvadrat jednak je broju u imeniocu razlomka.

2.

4.

Ako imamo dva razlomka sa istim imeniocem, k

_n

i m

_n

, pri ~emu je

k + m = n, tada je k

_n

+m

_n

= 1, odnosno k

_n

= 1 – m

_n

.

Oboji deo kvadrata odre|en razlomkom.

2 _6

4 _6

_

_ _ _ _

_ _ _

2 _ 9

5 _ 8

7 _ 10

3 _ 5

Lako mo`e{ uo~iti da obojeni i neobojeni delovi ~ine celinu, {to zna~i da je zbir razlomaka koji predstavqaju obojen i

neobojen deo kruga jednak 1.

3.

Razlomci 7

135

b) U narednim primerima vi{e delova na koje je podeqen kvadrat odgovaraju jednoj jedinici imenioca. Pre nego {to oboji{ traèni deo kvadrata odgovori na pitawe: Koliko delova odgovara jednoj jedinici imenioca?

Jednoj jedinici imenioca odgovaraju:

Razlomak: traèna duìna:

1) 1 _ 8

od 3 744 je .

2) 3 _ 8

od 3 744 je 3 puta 1 _8

od 3 744 je 3 · (3 744 : 8) = .

3) 5 _ 8

od 3 744 je .

4) 7 _ 8

od 3 744 je .

5) 1 _ 7

od 5 292 je .

6) 2 _ 7

od 5 292 je 2 puta 1 _7

od 5 292 je 2 · (5 292 : 7) = .

7) 4 _ 7

od 5 292 je .

8) 5 _ 7

od 5 292 je .

5.

6.

Izra~unaj i dopuni slede}e iskaze.

dela, redom.

Duìna jedne ulice je 1 km 200 m. Dve petine duìne ulice je asfalti-rano, a ostalo je prekriveno kamenim kockama. Koji deo puta je prekri-ven kockama? Rezultat izrazi razlomkom i odredi traènu duìnu.

2 _ 3

3 _ 4

2 _ 5

5 _ 6

3

Razlomci7

136

Tri radnika su za obavqeni posao zaradila 19 880 dinara. Prvi je radio jedan dan, drugi dva dana i tre}i pet dana. Ako su im dnevne zarade jednake, koji deo zarade i koliki iznos }e dobiti drugi i tre}i radnik?

(Prvi radnik je zaradio 1 _ 8

ukupnog novca, {to iznosi 2 485 dinara)

1) drugi radnik .

2) tre}i radnik .

Izra~unaj nepoznat broj x, ako:

1) 2 _ 5

od x iznosi 1 736;

Ako su dve petine broja x jednakej 1 736, onda je jedna petina dva puta mawa, a pet petina pet puta ve}a od jedne petine, odnosno imamo da je:

x = (1 736 : 2) · 5 = .

2) 3 _ 8

od x iznosi 378;

x = .

a) Ako 2 _ 7

od x iznosi 468, izra~unaj x kao i 5 _ 9

od x.

x = ; 5 _ 9

od x je .

b) Ako 4 _ 5

od x iznosi 2 736, izra~unaj x kao i 5 _ 9

od x.

x = ; 5 _ 9

od x je .

Nacrtaj pravougaonik ~ije su 3 _ 8

prikazane na slici, kao i wemu

podudaran pravougaonik. Oboji 5 _ 6

novog pravougaonika.

7.

8.

10.

9.

Razlomci 7

137

> > > > > > >

Na koliko je delova podeqen svaki krug prikazan na slici? Ispod svakog kruga razlomkom zapi{i koji je deo kruga obojen.

Dakle, ako obojimo vi{e delova kruga, zna~i da smo razlomkom izrazili ve}i deo kruga od prethodnog. Iz toga sledi:

Od dva razlomka sa jednakim imeniocima ve}i je onaj razlomak ~iji je brojilac ve}i.

Od dva razlomka sa jednakim brojiocima ve}i je onaj razlomak ~iji je imenilac mawi.

Lako je zakqu~iti da, ako jednu celinu delimo na ve}i broj jednakih

delova, onda su ti delovi mawi (na primer 1 _6

> 1 _7

, te je i 2 _6

> 2 _7

).

Razlomkom izrazi koji deo trougla je obojen i uporedi zapisane razlomke stavqaju}i u kru`i} < ili >.

Ispod svakog kruga razlomkom zapi{i koji je deo kruga obojen.

3 | Upore|ivawe razlomaka

1.

2.

3.

_ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _

< < < < < < _ _ _ _ _ _0= = 10 _6

2 _9

Razlomci7

138

Razlomkom zapi{i koji je deo jednakih kvadrata obojen i uporedi zapisane razlomke upisuju}i znak < ili > u kru`i}.

1) 1 _3

, 1 _7

, 1 _4

: 2) 2 _5

, 2 _3

, 2 _9

:

3) 2 _7

, 5 _7

, 3 _7

: 4) 3 _4

, 3 _8

, 3 _5

:

5) 3 _6

, 6 _6

, 1 _6

: 6) 5 _8

, 5 _5

, 5 _9

:

Plata zaposlenog ~lana porodice je 28 450 dinara. Za stanarinu daje

1 _10

plate, a za ishranu 7 _10

plate. Koliko mu novca ostaje za druge potrebe?

1) 2 _5

m 38 cm (jer je

2 _5

m = (100 cm : 5) · 2 = cm);

2) 400 kg

3 _8

t (jer je 3 _8

t = kg);

3) 3 _4

km 752 m (jer je

3 _4

km = m);

4) 3 _5

t 650 kg (jer je

3 _5

t = kg).

5.

6.

7.

4.

Pore|aj po veli~ini, od najmaweg do najve}eg, date razlomke.

Izrazi istim jedinicama mere i uporedi vrednosti.

_ _ _ _ _ _

Razlomci 7

139

U zadacima 8, 9 i 10 odgovori na postavqeno pitawe u zadatku, a zatim upore|uju}i dobijene delove koji odgovaraju razlomcima uporedi razlomke koji se u okviru jednog zadatka pojavquju i upi{i odgovaraju}i znak nejednakosti u kvadrati}.

Na fudbalskoj utakmici je 2 724

gledalaca; 2 _3

gledalaca su

mu{karci, 1 _6

ène, a ostalo deca.

Koliko je dece na fudbalskoj

utakmici?

Odgovor: ; 2 _3

1 _6

.

Povr{ina ba{te je 23 a 94 m2; na 2 _9

je zasa|en paradajz, na 3 _7

paprika, a na preostalom delu

kupus. Kolika povr{ina je zasa|ena kupusom?

Odgovor: ; 2 _9

3 _7

.

Put duìne 79 km 380 m gradila su tri preduze}a. Jedno preduze}e

je izgradilo 2 _7

puta, drugo 4 _9

puta,

a ostatak puta gradilo je tre}e preduze}e. Koliku duìnu puta je gradilo tre}e preduze}e? Uporedi razlomke.

Odgovor: ; 2 _7

4 _9

.

8.

9.

10.

Razlomci7

140

• Neka je na brojevnoj polupravoj Ox odre|ena jedini~na du` OA = 1 (du` koju uzimamo za jedinicu mere duìne).

• Ako je jedini~na du` OA ta~kom M podeqena na dva jednaka dela, onda

ta~ki M pridruùjemo razlomak 1 _2

.

• Sli~no predstavqamo na brojevnoj polupravoj i ostale razlomke koje smo upoznali. Ako je ta~kama M

1 i M

2 jedini~na du` OA podeqena na tri

jednaka dela, tada su tim ta~kama pridruèni razlomci 1 _3

i 2 _3

.

Ta~kama brojevne poluprave Ox pridruì razlomke:

a) 1 _4

, 2 _4

, 3 _4

i 4 _4

.

b) 1 _6

, 2 _6

, 3 _6

, 4 _6

, 5 _6

i 6 _6

.

4 | Predstavqawe razlomaka na brojevnoj polupravoj

O

x

O

x

O A x

M

O M1 M2 A

x

1.

1_2

1_3

2_3

1

1

1

1

0

0

0

0

_

_ _ _ _ _

_ _

Razlomci 7

141

Nacrtati brojevnu polupravu Ox i merewem odredi ta~ke kojima }e{ pridruìti razlomke.

a) 1 _7

, 2 _7

, 3 _7

, 4 _7

, 5 _7

, 6 _7

i 7 _7

b) 1 _9

, 2 _9

, 3 _9

, 4 _9

, 5 _9

, 6 _9

, 7 _9

, 8 _9

i 9 _9

1.

x

x

x

x

x

x

x

p q

• Prikazivawem na brojevnoj polupravoj moèmo upore|ivati razlomke, jer, mawi je onaj razlomak koji je bliì nuli. Predstavqene su paralelne brojevne poluprave na kojima su jedini~ne duì jednake. Na svakoj od brojevnih polupravih predstavqeni su razlomci sa istim imeniocem.

1_3

1_4

1_5

1_6

1_7

1_8

1_9

2_9

3_9

4_9

5_9

6_9

7_9

8_9

9_9

2_8

3_8

4_8

5_8

6_8

7_8

8_8

2_6

2_7

3_6

3_7

4_6

4_7

5_6

5_7

6_7

6_6

7_7

2_5

3_5

4_5

5_5

2_4

3_4

4_4

2_3

3_3

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

Razlomci7

142

• Pomo}u prethodne slike vr{imo upore|ivawe razlomaka. • Nacrtamo pravu normalnu na brojevne poluprave u nekom podeqku. • Levo od prave su mawi, desno ve}i, a na pravoj su jednaki razlomci.

• Na primer, na pravoj p su razlomci 1 _3

, 2 _6

i 3 _9

, pa je 1 _3

= 2 _6

= 3 _9

.

• Razlomak 5 _8

je na pravoj q, levo od prave q je 3 _5

, a desno 4 _6

, pa je 3 _5

< 5 _8

< 4 _6

.

a) 2 _4

, 3 _6

, 4 _8

: b) 2 _5

, 2 _6

, 3 _8

:

v) 5 _6

, 6 _8

, 7 _9

: g) 2 _5

, 3 _8

, 4 _9

:

2. Pore|aj razlomke, od najmaweg do najve}eg, posmatrawem slike sa prethodne strane.

dr Sini{a N. Je{i}, Marko M. Igwatovi}

Matematikaza ~etvrti razred osnovne {kole

Izdava~Gerundium d.o.o.Patrisa Lumumbe 18, Beograd

Godina2011

IlustracijeLidija Taranovi}

Lektura i korekturaVesna Oparu{i}

Dizajn i priprema za {tampuPozitiv MVP, Beograd

KoricePozitiv MVP, Beograd

[tampaGrafostil, Kragujevac

Tira`5 000

Пласман

„Герундијум“ д.о.о., Патриса Лумумбе 18, Београд телефон. 011/2775-251, 063/527-903

e-mail [email protected]

Ниједан део ове књиге не може бити репродукован, нити смештен у систем за претраживање или трансмитовање у било ком облику, електронски, механички, фотокопирањем, смањивањем или увећањем или на други начин, без претходне писмене дозволе издавача.

CIP - Каталогизација у публикацијиНародна библиотека Србије, Београд

37.016:51(075.2)

ЈЕШИЋ, Синиша Н., 1968- Математика : за четврти разред основне школе / Синиша Н. Јешић, Марко М. Игњатовић ; [илустрације Лидија Тарановић]. - 1. изд. -Београд : Герундијум, 2011 (Крагујевац : Графостил). - 142 стр. : илустр. ; 29 cm

Тираж 5.000.

ISBN 978-86-87715-22-61. Игњатовић, Марко М., 1926- [аутор]

COBISS.SR-ID 185067276

matematika 4 udzbenik.pdf

Documents