matematika 4

METODIČKA INTERPRETACIJAMATEMATIČKOG NASTAVNOG GRADIVA

4.1. PONAVLJANJE GRADIVA TREĆEGA RAZREDA

Glavna je svrha ponavljanja otkloniti negativne posljedice zaboravljanja nastalog tijekom ljetnih školskih praznika i pripremiti učenike za učenje matematičkog gradiva četvrtog razreda. Zbog ljetnih praznika učeničko znanje izloženo je zaboravljanju, a rezultat su gubici u količini i kakvoći matematičkog znanja. Metodički pravilno organizirano i sustavno provedeno ponavljanje na početku školske godine nadoknadit će gubitke u učeničkom znanju. Uspješno učenje matematike u četvrtom razredu pretpostavlja vladanje gradivom prethodnih razreda jer uz pomoć znanja toga gradiva usvaja se novo znanje. Neki dijelovi gradiva iz trećeg razreda još će se jednom objašnjavati, vježbati i ponavljati kako bi svi učenici bili spremni za novo učenje. Riječ je o sljedećem gradivu.

Brojevi do 1 000 i veći od 1 000. Obnavljajući učeničko znanje o tim brojevima pažnju valja usmjeriti osobito na brojenje (unaprijed, unazad, na prijelazima desetica, stotica, tisućica), na mjesto broja u nizu brojeva (broj ispred, iza, između dvaju brojeva), na dekadski sastav brojeva (broj rastavljati na dekadske jedinice te iz zadanih dekadskih jedinica sastavljati broj), na pisanje i čitanje brojeva, brojevnu i mjesnu vrijednost znamenaka (tablica mjesnih vrijednosti), na odnose među brojevima, uspoređivanjem dvaju brojeva imenovati njihov odnos i obrazložiti zašto je jedan veći, a drugi manji, odnosno zašto su jednaki.

Zbrajanje i oduzimanje brojeva do 1 000 treba ponavljati u usmenom i pismenom obliku. Prelaskom na pismeno računanje nije dobro zapostaviti usmeno zbrajanje i oduzimanje jer bi dijelove tih računskih radnji učenici trebali znati izvoditi usmeno, napamet, bez olovke i papira. Razlog tome su potrebe dnevnog života, ali i razvijanje intelektualnih sposobnosti učenika čemu usmeno računanje znatno pridonosti.

Kada je riječ o pismenom zbrajanju i oduzimanju, prije samostalnog rada učenika u udžbeniku, vježbenici i dr., ponovo će se objašnjavati elementi algoritma tih računskih operacija. Podrobno će se objasniti oduzimanje brojeva u kojih su faktori pojedinih dekadskih jedinica umanjitelja veći od odgovarajućih u umanjeniku.

Slično vrijedi za množenje i dijeljenje brojeva do 1 000 imajući na umu da ponavljanje toga gradiva zahtijeva više vremena i više objašnjavanja nego zbrajanje i oduzimanje. Tom će se prigodom obnoviti znanje tablice množenja i dijeljenja brojeva do 100, množenje višekratnika broja 10 jednoznamenkastim brojem, 60 · 7 i sl., množenje i dijeljenje zbroja brojem te množenje brojevima 10 i 100.

Budući da se ponavljanje na početku školske godine provodi satom vježbanja i ponavljanja, pravilno ga metodički treba oblikovati, a to znači sljedeće:

a) U uvodnom dijelu sata, radeći frontalno sa svim učenicima, ukratko se objašnjava gradivo koje će se ponavljati kako bi se učenici adekvatno pripremili za neposredni rad. To se najčešće i najuspješnije čini rješavanjem nekoliko odgovarajućih zadataka, a rješenja se s učenicima komentiraju i objašnjavaju.

b) Nakon pripreme, u drugom dijelu sata, učenici samostalno rješavaju zadatke u udžbeniku, vježbenici ili nastavnim listićima. Valja ih uputiti da zadatke pažljivo čitaju, da razmišljaju o uvjetima i podacima u zadatku kako bi ih uspješno riješili.

c) Poslije toga, radeći frontalno sa svim učenicima, provjeravaju se rezultati učeničkog rada i ukazuje na eventualno pogrešna ili pak dobra rješenja.

Provjeravanje učeničkih uradaka u udžbeniku, vježbenici ili nastavnim listićima najprimjerenije se provodi ovako: učitelj (ili koji učenik) priopćava točno rješenje pojedinih zadataka, a učenici, uspoređujući ga sa svojim rješenjem, utvrđuju točnost ili netočnost vlastitog rješenja. Taj postupak ima nekoliko pozitivnih obilježja: ekonomičnost (štedi vrijeme i napor sudionika), razvija usmjerenu pažnju učenika, osposobljava ih za samoprovjeravanje vlastitih uradaka, disciplinira rad svih učenika. Ako se dosljedno i svakodnevno provodi, postupno će biti sastavnim dijelom tehnike intelektualnog rada svakog učenika.

Plan i program ponavljanja gradiva trećeg razreda može biti ovakav:

Brojevi do 1 000 i veći od 1 000: broj kao oznaka količine elemenata u skupovima, nastajanje niza brojeva, mjesto broja u nizu brojeva, razne vježbe brojenja, pisanje i čitanje brojeva, mjesna i brojevna vrijednost znamenaka, dekadski sastav brojeva. To se gradivo ponavlja radom učenika u vježbenici i nastavnim listićima kako slijedi:

1. sat: vježbenica 3. i 4. stranica,

2. sat: vježbenica 5. str. i nastavni listić 1. i 2. stranica,

3. sat: nastavni listići 3. i 4. stranica,

4. sat: nastavni listići 5. i 6. stranica.

1

U pripremnom dijelu nastavnog sata ponavljaju se oni sadržaji koje će učenici nakon toga samostalno uvježbavati u vježbenici i nastavnim listićima.

Zbrajanje i oduzimanje brojeva do 1 000. Ponavljanjem će se obuhvatiti usmeno i pismeno računanje nastojeći na razumijevanju algoritma pismenog zbrajanja i, osobito, pismenog oduzimanja brojeva u kojih su faktori pojedinih dekadskih jedinica u umanjitelju veći od onih u umanjeniku. To treba učiniti u uvodnom dijelu sata prije učeničkog rada u udžbeniku, vježbenici ili nastavnim listićima. Slijed nastavnih sati je ovakav:

5. sat: udžbenik, 3. stranica,


7. sat: vježbenica, 6. stranica,

8. sat: nastavni listići, 8. i 9. stranica,

9. sat: nastavni listići, 10. stranica,

10. sat: vježbenica, 7. str. i nastavni listići, 11. stranica.

Množenje i dijeljenje brojeva do 1 000. Ponavljat će se tablica množenja i dijeljenja brojeva do 100, množenje višekratnika broja 10 jednoznamenkastim brojem, primjerice, 80 · 6 i sl., množenje i dijeljenje zbroja brojem, pismeno množenje i dijeljenje brojeva do 1 000, te množenje brojevima 10 i 100.





15. sat: vježbenica, 9. i 10. stranica,




19. sat: Ispit predznanja.

To je, dakako, prijedlog plana i programa ponavljanja gradiva trećeg razreda koji se može, a vjerojatno i hoće, prilagoditi uvjetima rada u konkretnom razrednom odjelu. Ipak, najvažnije je gradivo ponavljati tako da ga svi učenici usvoje kako bi uspješno mogli učiti gradivo četvrtog razreda.

Nakon ponavljanja primjenom Ispita predznanja provjerit će se kako je usvojeno gradivo trećeg razreda. Svrha je Ispita informativna, a podaci dobiveni ispitivanjem ne služe ocjenjivanju učenika, već nadoknađivanju eventualnih nedostataka u njihovu znanju.

2

4.2. UPOZNAVANJE BROJEVA DO MILIJUN

Nastava matematike u četvrtom razredu započinje upoznavanjem brojeva do milijun što je i logično jer znanje tih brojeva podloga je učenju svih matematičkih sadržaja što ih program propisuje za taj razred. O tim brojevima učenici bi trebali naučiti sljedeće:

a) da označavaju količinu predmeta, primjerice stanovnika gradova, država i sl.,

b) relacije među brojevima, za svaka dva broja znati reći koji je veći, koji je manji, jesu li jednaki,

c) znati brojiti, pisati i čitati brojeve do milijun,

d) znati dekadski sastav brojeva, od kojih se i koliko dekadskih jedinica sastoje,

e) znati brojevnu i mjesnu vrijednost znamenaka kojima se pišu brojevi do milijun.

S obzirom na apstraktnost tih brojeva i povećane mogućnosti mišljenja u učenika, glavnu ulogu pri upoznavanju brojeva do milijun ima brojenje kao misaona djelatnost. Brojenje ne bi smjelo biti mehaničko izgovaranje brojevnih riječi bez razumijevanja njihova značenja. Da bi se to spriječilo, izgrađivat će se svijest o tome da se ti brojevi odnose na nešto u prirodi i životu, da označavaju količinu elemenata u skupovima.

Brojevi do milijun usvajaju se sljedećim djelatnostima.

Brojenje kao način upoznavanja brojeva provodi se brojeći na različite načine, primjerice:

- brojenje od zadanog broja, unaprijed i unazad,

- brojenje prelazeći u iduću dekadsku jedinicu,

- brojenje po 10, 100, 1 000 od zadanog broja, također unaprijed i unazad.

Tijekom brojenja korisno je ukazivati na sljedeće: kako brojimo do 1 000, na sličan način brojimo preko 1 000, primjerice do 100 000, samo što prethodno izgovaramo broj tisuća. Primjer:

jedan, dva, tri...

dvadeset, trideset, četrdeset...

sto pedeset jedan, sto pedeset dva...

sto tisuća jedan, sto tisuća dva...

sto tisuća dvadeset, sto tisuća trideset...

sto tisuća dvjesto, sto tisuća tristo...

Budući da brojenje do milijun zahtijeva veliki misaoni napor, vrlo je dobro činiti sljedeće:

- brojiti koristeći se kartončićima s dekadskim jedinicama kao što su 1 10 100 1 000 10 000 100 000 ,

- koliko je moguće, brojenje povezivati uz realne situacije kao što su brojenje stanovnika gradova, automobila u prometu, turista, proizvoda i sl.,

- kratkotrajna brojenja povremeno uključivati u cjelokupan rad i kasnije kad se prijeđe na računske operacije s brojevima do milijun.

Upoznavanjem odnosa među brojevima učenici se osposobljavaju da za svaka dva broja znaju reći koji je veći, koji je manji, odnosno jesu li jednaki. Pritom se znanje odnosa među brojevima do 1 000 i do 10 000 uspješno koristi pri upoznavanju odnosa među brojevima do milijun. Imaju li se usporediti dva broja, učenike treba učiti da to čine razmišljajući ovako:

- veći je, odnosno manji je onaj broj koji ima više, odnosno manje desettisućica, 84 537 > 74 283,

- imaju li dva broja jednak broj desettisućica, veći je onaj koji ima više tisućica, 57 573 > 53 748,

- imaju li dva broja jednak broj desettisućica i tisućica, veći je onaj koji ima više stotica, 53 735 < 53 948

- imaju li dva broja jednak broj desettisućica, tisućica i stotica, veći je onaj koji ima više desetica, 56 385 > 56 324,

- imaju li dva broja jednak broj desettisućica, tisućica, stotica i desetica, veći je onaj koji ima više jedinica, odnosno manji je onaj koji ima manje jedinica, 28 465 < 28 468.

Tako se objašnjava odnos dvaju nejednakih brojeva. Međutim, kako objasniti jesu li dva broja jednaka? Odgovor je jednostavan - jednaki su ako imaju jednak broj dekadskih jedinica: stotisućica, desettisućica, tisućica, stotica, desetica i jedinica.

Uspoređivanje brojeva i obrazlaganje odnosa među njima osposobljava učenike u ispravnom zaključivanju što je vrlo važan zadatak nastave matematike.

Znanje sastava brojeva također spada u sklop znanja o brojevima do milijun jer omogućuje da se za svaki broj može reći od kojih se i koliko dekadskih jedinica sastoji. To se znanje stječe dvojakim vježbama:

a) zadani se broj rastavlja na dekadske jedinice; broj 574 589 rastavlja se na broj jedinica, desetica, stotica itd.,

3

b) od zadanih dekadskih jedinica sastavlja se broj: od 4 DT, 7 T, 9 S, 6 D i 4 J sastavlja se broj 47 964.

Sastav brojeva u početku će se upoznavati uz pomoć kartončića s dekadskim jedinicama, a kasnije kad se izgrade osnovne spoznaje, to će se izvoditi isključivo mišljenjem. Takva vježbanja treba provoditi sve dok učenici u potpunosti ne ovladaju tim gradivom, a to će biti kad svi budu mogli zadani broj rastaviti na odgovarajući broj dekadskih jedinica i kad iz zadanih dekadskih jedinica budu mogli sastaviti broj. Znanje sastava brojeva nužno je za razumijevanje pisanja višeznamenkastih brojeva u pozicionom dekadskom sustavu i za učenje pismenog računanja višeznamenkastim brojevima.

Pisanje i čitanje višeznamenkastih brojeva gradivo je koje zahtijeva pomnu obradu želimo li da ga učenici s razumijevanjem usvoje. Da bi se to postiglo, treba objašnjavati:

- redoslijed pisanja višeznamenkastih brojeva, prvo se pišu znamenke najveće dekadske jedinice, zatim znamenke neposredno manje dekadske jedinice itd., a na posljetku se pišu znamenke najmanje dekadske jedinice, tj. znamenke jedinica,

- čitanje višeznamenkastih brojeva, čitaju se redom kojim se i pišu, slijeva nadesno. Čita se i izgovara prvo znamenka najveće dekadske jedinice, zatim neposredno manje i na posljetku znamenka jedinica,

- značenje svake znamenke u višeznamenkastom broju, znamenka na mjestu jedinica označava broj jedinica, na mjestu tisućica označava broj tisućica itd. Time se izgrađuje spoznaja o mjesnoj vrijednosti znamenke i o tome da ista znamenka napisana u stupcu za jedno mjesto nalijevo ima deset puta veću mjesnu vrijednost,

- značenje svih znamenaka višeznamenkastog broja, s više znamenaka piše se jedan broj. Kao što se broj sedam piše jednom znamenkom 7, broj pedeset i tri piše se dvjema znamenkama 53, broj tri tisuće dvjesto dvadeset pet piše se četirima znamenkama 3 225, tako se višeznamenkasti broj piše s više znamenaka (broj znamenaka nije ograničen). Pritom valja ukazivati na razliku između broja (pojam) i znaka (znamenke) kojima se broj piše.

Objašnjenje načina na koji se pišu višeznamenkasti brojevi može se potkrijepiti analizom dekadskog sastava broja i kartončićima: 1 10 100 1 000 10 000 100 000 .

Vrlo je dobro učenike upućivati da uz svaki napisani ili imenovani broj navedu osnovna obrazloženja. Tako npr. uz broj 32 674 mogu reći: broj 32 674 peteroznamenkasti je broj, označava broj elemenata u skupovima, znamenka 4 je na mjestu jedinica i označava broj jedinica, znamenka 7 je na mjestu desetica i označava broj desetica... itd., pišemo i čitamo prvo znamenku desettisućica, zatim znamenku tisućica... Broj 32 674 neposredni je prethodnik broja 32 675 i neposredni sljedbenik broja 32 673. Postupajući tako upoznavanje, pisanje i čitanje brojeva bit će svjesna i smislena djelatnost što će pridonijeti boljem razumijevanju prirodnih brojeva.

Objašnjavanje načina na koji se pišu višeznamenkasti brojevi upotpunjuje se i tablicom mjesnih vrijednosti. Koristeći se njome objasnit će se ovi sadržaji:

Razred Razred Razred Razred milijarda milijuna tisuća jedinica

SMLD DMLD MLD SM DM M ST DT T S D J

4

a) Svaka znamenka lijevo ima 10 puta veću vrijednost od znamenke desno; vrijednost svake znamenke ovisi o mjestu (stupcu) na kojemu je u tablici napisana.

b) Tri znamenke počevši od jedinica stavljamo u skupine koje nazivamo razredima.

c) Svaki razred, tj. svaka skupina od tri znamenke ima posebno ime: razred jedinica obuhvaća jedinice (osnovne), desetice i stotice; razred tisuća obuhvaća tisućice, desettisućice i stotisućice; razred milijuna obuhvaća milijune, desetmilijune i stomilijune; razred milijarda obuhvaća milijarde, desetmilijarde i stomilijarde. Tablica mjesnih vrijednosti na lijevoj strani nije ograničena, može se proširiti koliko želimo.

d) Kad se brojevi pišu izvan tablice, što je najčešće, između pojedinih razreda stavlja se mali razmak radi preglednosti i lakšeg čitanja.

e) Brojeve čitamo slijeva nadesno, kad u čitanju dođemo do razmaka, izgovaramo ime prethodnog razreda. Broj 574 386 246 čitat ćemo: petsto sedamdeset četiri milijuna, tristo osamdeset pet tisuća, dvjesto četrdeset i šest.

Pišući velike brojeve objasnit će se i pisanje nula u pojedinim stupcima tablice. Ako se analizom sastava broja ustanovi da ne sadrži, primjerice, tisućice i stotisućice, u stupce tisućica i stotisućica piše se znamenka 0 (jer ima nula tisućica, odnosno stotisućica).

Razumijevanje načina na koji se pišu višeznamenkasti brojevi pomaže pisanje brojeva tzv. diktatom gdje se priopćavanjem broja ističu i naglašavaju pojedini razredi i brojevi dekadskih jedinica u njima. To je osobito korisno kad se brojevi pišu izvan tablice, pazeći pritom na razmake između pojedinih razreda.

I, kad je riječ o upoznavanju velikih brojeva koje će se završiti pri kraju četvrtog razreda, dodajmo još ovo. Broj milijun shvaća se kao tisuću tisuća. Milijuni se broje kao tisuće do 999 milijuna, a broj koji sadrži tisuću milijuna zove se milijarda. Brojevna riječ milijarda posljednja je, petnaesta riječ, za imenovanje brojeva koja se koristi u dnevnom životu i kojima se u razrednoj nastavi zaokružuje učeničko znanje o prirodnim brojevima. Osnovne riječi za imenovanje brojeva, prema tome, jesu: nula, jedan, dva, tri, četiri, pet, šest, sedam, osam, devet, deset, sto, tisuću, milijun, milijarda. Učenici će doznati da se s tih petnaest riječi i njihovim kombinacijama mogu imenovati svi brojevi do tisuću milijardi. Ta spoznaja djeluje poticajno jer pokazuje kako se s malo riječi imenuje vrlo mnogo brojeva.

Nakon ovih općih metodičkih sadržaja slijedi sustavna metodička interpretacija brojeva do milijun upoznavajući najprije višekratnike broja 100 000, a zatim i sve ostale brojeve.

6. stranica (udžbenik)

Cilj: Upoznati višekratnike broja 100 000 (1 sat)

Obrađivanjem, vježbanjem i ponavljanjem ovoga gradiva učenici se osposobljavaju u brojenju, pisanju, čitanju i uspoređivanju višekratnika broja 100 000 do milijun.

U uvodnom dijelu sata obnovit će se učeničko znanje o višekratnicima općenito ukazujući pritom na bitno obilježje, tj. da je višekratnik broj koji je više puta veći od zadanog broja, a zatim će se obnoviti i znanje višekratnika brojeva 1 000 i 10 000. Nastojati da učenici shvate da su brojevi, primjerice, 3 000, 5 000 višekratnici broja 1 000, da su tri, pet puta veći od broja 1 000. Slično tome, brojevi 30 000, 50 000 višekratnici su broja 10 000 jer su tri odnosno pet puta veći od broja 10 000. Itd.

Novo gradivo, višekratnici broja 100 000, objašnjavat će se uz pomć kartončića s brojem 100 000 te brojeći do milijun. Ta demonstracija pomaže da se shvati kako broj milijun sadrži 10 puta broj 100 000 te da je višekratnik toga broja. Pojam višekratnika broja 100 000 izgrađuje se na sličan način kao pojam višekratnika broja 10 000. Jer, kao što je broj 60 000 višekratnik broja 10 000, analogno tome broj 600 000 višekratnik je broja 100 000.

Višekratnici broja 100 000 upoznavat će se ovim djelatnostima:

- brojenjem po 100 000: sto tisuća, dvjesto tisuća... petsto tisuća... devetsto tisuća, milijun,

- množenjem broja 100 000 jednoznamenkastim brojem: jedan puta 100 000, dva puta 100 000 je dvjesto tisuća, tri puta 100 000 je tristo tisuća... devet puta 100 000 je devetsto tisuća, deset puta 100 000 je milijun. Sve te djelatnosti treba provoditi uz pomoć kartončića s brojem 100 000,

- uspoređivanjem višekratnika broja 100 000 govoreći višekratnike broja 100 000 koji su: veći od 300 000, manji od 900 000, veći od 200 000 i manji od 800 000, manji od 800 000 i veći od 100 000 i sl.,

- objašnjavanjem dekadskog sastava višekratnika broja 100 000. Uz pomoć kartončića 100 000 pokazat će se da sadrže jednu, pet, sedam... stotisućica. Za broj milijun, zorno s kartončićima 100 000 pokazat će se da sadr ži 10 stotisućica. Korisno je učiniti analogiju uz objašnjenje: broj milijun sadrži 10 stotisućica (pokazati deset 100 000 ), broj sto tisuća sadrži 10 desettisućica (pokazati deset 10 000 ), broj deset tisuća sadrži 10 tisućica (pokazati deset 1 000 ).

5

Nakon toga objasnit će se pisanje višekratnika broja 100 000 i broja milijun. Koristeći se tablicom mjesnih vrijednosti, kartončićima 100 000 i znanjem dekadskog sastava obrazložit će se zašto se u pojedine stupce piše 0. Tako npr. broj 400 000 sadrži 4 stotisućice (pokazati četiri kartončića 100 000 ) pa se broj 4 piše u stupac stotisućica, a u ostale stupce piše se 0 jer nema desettisućica, tisućica, stotica, desetica i jedinica. Na sličan način objasnit će se pisanje ostalih višekratnika broja 100 000 i broja milijun. Broj 1 piše se u stupac milijuna, a u ostale stupce tablice mjesnih vrijednosti piše se broj 0.

Višekratnike broja 100 000 treba pisati i u obliku umnoška jednoznamenkastog broja i broja 100 000, ovako: 200 000 = 2 · 100 00, 500 = 5 · 100 000 itd. čime se ujedno pokazuje da je višekratnik broj koji nastaje množenjem, u našim primjerima broja 100 000 jednoznamenkastim brojem.

Poslije ovih objašnjenja rješavat će se zadaci u udžbeniku, a zajedničkim radom sa svim učenicima osobito pažljivo treba čitati i komentirati sadržaj 4. zadatka, provesti potrebna brojenja i uspoređivanja višekratnika broja 100 000.

7. i 8. stranica (udžbenik)

Cilj: Upoznati ostale brojeve do milijun (9 sati)

Upoznavajući brojeve do milijun učenici će stjecati ove spoznaje: značenje svakog broja (označava količinu elemenata u skupu), nastajanje niza brojeva (dodavanjem broja 1 prethodnom broju), mjesto broja u nizu brojeva (određivanjem neposrednog prethodnika i neposrednog sljedbenika), odnose među brojevima (uspoređivanjem dvaju brojeva), dekadski sastav brojeva (rastavljanjem broja na dekadske jedinice i sastavljanje broja iz zadanih dekadskih jedinica) te pisanje i čitanje brojeva do milijun. Prije učeničkog rada u udžbeniku, vježbenici i nastavnim listićima objašnjavat će se i ponavljati neki od ovih sadržaja sa svrhom da se postigne potpuno razumijevanje gradiva koje se uči.

1. sat

Udžbenik, 7. stranicaSadržaj ove stranice udžbenika namijenjen je učenju brojenja, pisanja i čitanja brojeva do milijun počevši od 100 000.

U uvodnom dijelu sata zajedničkim radom sa svim učenicima obnavljat će se znanje brojenja do 100 000 što se može provesti ovako:

- brojiti počevši od 10 000, od 20 000... dakle: deset tisuća jedan, deset tisuća dva... dvadeset tisuća jedan... itd.,

- brojiti od 99 990: devedeset devet tisuća devetsto devedeset jedan, devedeset devet tisuća devetsto devedeset dva... do devedeset devet tisuća devetsto devedeset devet, sto tisuća. Brojenje do 100 000 treba potkrijepiti kartončićima s brojevima 1 10 100 1 000 10 000 100 000 .

Brojenje do milijun, počevši od 100 000, može se izvoditi kako je prikazano u 1. zadatku na 7. stranici udžbenika, tj. brojeći po 1, zatim po 10, po 100 po 1 000 i napokon po 10 000. Tome treba posvetiti veliku pažnju jer je brojenje do milijun vrlo zahtjevna misaona djelatnost koja traži veliku koncentraciju i velik misaoni napor.

Pisanje i čitanje brojeva do milijun (2. zadatak) valja pomno objašnjavati koristeći se kartončićima s dekadskim jedinicama. Objašnjavajući pisanje i čitanje, primjerice, broja 100 001 objasnit će se i pokazati da nastaje dodavanjem broja 1 broju 100 000 (pokazati 100 000 1 ), da sadrži 1 stotisućicu i 1 jedinicu te da se piše 100 001 i čita: sto tisuća jedan.

Na sličan način objašnjavat će se nastajanje, pisanje i čitanje ostalih brojeva do milijun nastojeći da učenici ispravno shvate kako se i zašto se tako pišu.

Nakon tih objašnjenja slijedi zajednički rad u udžbeniku. Na zahtjev učitelja pojedini će učenici brojiti i čitati brojeve kako je naznačeno u udžbeniku uz, dakako, pomoć i objašnjenje učitelja. Površno gledano, može se činiti da je riječ o jednostavnim i laganim sadržajima, ali riječ je o vrlo složenom i apstraktnom gradivu čije usvajanje zahtijeva veliki intelektualni napor. Zbog toga se to gradivo postupno i savjesno objašnjava koristeći se kartončićima s dekadskim jedinicama i odgovarajućim demonstracijama.

Kad se objasni nastajanje, pisanje i čitanje broja milijun, provjerit će se kako su učenici usvojili novo gradivo. Priopćit će se desetak brojeva između 100 000 i 1 000 000 i od učenika zatražiti da ih ispravno napišu. Primjerice, napišite brojeve: 100 007, 100 245, 300 465, 567 399, 846 728 i sl. Osim provjere točnosti zapisa, provjerit će se razumijevanje zapisa te znanje mjesta broja u nizu brojeva imenovanjem neposrednog prethodnika i neposrednog sljedbenika zadanog broja.

2. sat

Udžbenik, 8. stranica

6

Usvajanjem sadržaja ove stranice udžbenika učenici će učiti dekadski sastav brojeva do milijun i mjesnu vrijednost znamenaka u višeznamenkastim brojevima.

Nastavni sat može započeti ponavljanjem onoga što su učenici već naučili o skupljanju brojeva u cjeline koje nazivamo dekadskim jedinicama. Pročitat će se i objasniti sadržaj 1. zadatka u udžbeniku kako bi se shvatilo bitno obilježje dekadskog sustava, tj. da deset nižih jedinica čini jednu višu dekadsku jedinicu.

Novo gradivo, mjesna vrijednost znamenaka, objašnjavat će se uz pomoć tablice mjesnih vrijednosti. Pokazuju ći u tablici napisan broj, primjerice 867 452, objasnit će se da svaka znamenka, osim brojevne, ima i mjesnu vrijednost: znamenka 2 na mjestu jedinica označava 2 jedinice, znamenka 7 na mjestu tisućica označava 7 tisućica itd. Vrijednost znamenke ovisi o tome na kojem je mjestu (stupcu) u tablici napisana, to je njezina mjesna vrijednost. Promatrajući npr. broj 555 555 objasnit će se da je napisan istim znamenkama, ali različitih mjesnih vrijednosti. U vezi s tim pitanje učenicima može glasiti: zašto znamenka 5 u tom broju ima različitu mjesnu vrijednost? (Zato što je napisana u različitim stupcima, mjestima, tablice mjesnih vrijednosti.)

Nakon tih objašnjanja uslijedit će kratka vježba u obrazlaganju mjesne vrijednosti znamenaka i dekadskog sastava brojeva. Za to su pogodni brojevi koji su napisani s više istih znamenaka kao npr. 66 786, 588 424 i sl. Tome valja posvetiti potrebno vrijeme kako bi svi učenici s razumijevanjem obrazlagali dekadski sastav brojeva i mjesnu vrijednost znamenaka.

Provjera učinka nastavnog sata može biti zahtjev učenicima da napišu broj u kojemu znamenka:

3 ima mjesnu vrijednost 3 T i 3 J (3 003)

6 ima mjesnu vrijednost 6 DT i 6 S (60 600)

8 ima mjesnu vrijednost 8 ST, 8 T i 8 D (808 080) Itd.

Uvid u učenička rješenja pokazat će kako su i koliko su učenici shvatili dekadski sastav brojeva i mjesnu vrijednost znamenaka.

3. sat

Vježbenica, 12. stranicaPripremajući učenike za samostalan rad u vježbenici u uvodnom dijelu sata ponavljat će se ovi sadržaji:

- brojenje od zadanog broja: od 456 756... od 657 432... od 999 996... itd.,

- riječima priopćen broj pisati znamenkama: pedeset sedam tisuća tristo dvadeset pet, petsto trideset tisuća sedamsto pedeset devet itd.,

- određivanje neposrednog prethodnika (a - 1) i neposrednog sljedbenika (a + 1): reci (napiši) broj koji je za 1 veći od broja 567 867, reci broj koji je za 1 manji od 657 897 itd.,

- uspoređivanje brojeva: za dva zadana broja reći koji je veći, a koji je manji tražeći od učenika da odnose među brojevima obrazlažu kako je izloženo na 26. stranici ovoga priručnika.

Sve te djelatnosti pratit će odgovarajuća učiteljeva, a također i učenička objašnjenja.

Poslije takve pripreme učenici će samostalno rješavati zadatke u vježbenici, a rješenja će se potom provjeriti i, ako je potrebno, dodatno komentirati.

4. sat

Vježbenica, 13. stranicaBudući da je sadržaj ove stranice vježbenice sličan sadržaju prethodne stranice (upoznavanje brojeva do milijun), i

priprema učenika za neposredni samostalni rad sadržajno će i metodički biti slična onoj s prethodnog sata. Stoga će se u uvodnon dijelu sata, radeći sa svim učenicima, ponavljati ovi sadržaji:

- brojenje od zadanog broja: od 756 896... itd.,

- rastavljanje brojeva na dekadske jedinice: broj 463 358 (napisati ga na ploču) rastaviti na ST, DT, T, S, D, J... itd.,

- mjesna vrijednost znamenaka, npr. koju mjesnu vrijednost imaju znamenke u broju 735 708, 870 509 i sl. (brojeve pisati na ploču),

- brojeve rastavljati na zbroj višekratnika dekadskih jedinica: broj 576 483 (napisati na ploču) sadrži 5 puta 100 000, 7 puta 10 000, 6 puta 1 000, 4 puta 100, 8 puta 10, 3 puta 1 itd.

- iz zadanih dekadskih jedinica sastavljati broj, npr. reci (napiši) broj koji ima: 6 ST, 9 DT, 5 T, 8 S, 7 D i 3 J i sl.,

Bude li potrebno, uz pojedine sadržaje dat će se i odgovarajuća objašnjenja kako bi se ispravile eventualno krive spoznaje.

Potom slijedi individualni rad učenika u vježbenici i provjera učeničkih uradaka.

7

Provjera učinka nastavnog sata može se provesti postavljajući učenicima sljedeće zadatke:

- broj 801 045 rastavi na odgovarajuće dekadske jedinice,

- napiši neposredni sljedbenik i neposredni prethodnik brojeva: 806 789, 745 243, 999 998 i sl.,

- broj 709 403 rastavi na zbroj višekratnika dekadskih jedinica,

- koju mjesnu vrijednost imaju znamenke u broju 757 053?

5., 6., 7., i 8. sat

Nastavni listići L 8, L 8/1, L 8/2, L 8/3 i L 8/4Ovi su nastavni sati namijenjeni daljnjem upoznavanju brojeva do milijun, a materijalna podloga tom radu jesu

spomenuti nastavni listići i samostalan rad učenika u njima. Nastavni rad može se provoditi ovim redoslijedom:

5. sat: nastavni listići L 8 i L 8/1,

6. sat: nastavni listić L 8/2,


8. sat: nastavni listić L 8/4.

U pripremnom dijelu svakog nastavnog sata, radeći frontalno sa svim učenicima, ponavljat će se bitno gradivo:

- brojenje unaprijed i unazad osobito na prijelazima desetica, stotica, tisućica, desettisućica, stotisućica,

- određivanje neposrednog prethodnika i neposrednog sljedbenika zadanog broja, tj. broja za 1 manjeg i za 1 većeg od zadanog broja,

- broj rastavljati na dekadske jedinice te iz zadanih dekadskih jedinica rastavljati broj,

- pisanje i čitanje višeznamenkastih brojeva uz obrazloženje mjesne vrijednosti znamenaka.

Osim ponavljanja tih sadržaja, učenike treba podrobno uputiti u neposredni rad u nastavnom listiću ukazujući pritom na eventualne posebnosti pojedinih zadataka.

9. sat

Kontrolni zadatak: Brojevi do milijunPrimjenom ovoga ispita provjerit će se koliko su i kako su učenici usvojili gradivo te nastavne cjeline. Podaci o tome

bit će podloga za procjenu treba li poduzimati dodatna objašnjenja i ponavljanja ili će se obrađivati i učiti gradivo sljedeće nastavne cjeline.

8

4.3. ZBRAJANJE I ODUZIMANJE U SKUPU BROJEVA DO MILIJUN

9. do 11. stranica (udžbenik)

Cilj: Usvojiti postupak pismenog zbrajanja brojeva do milijun (8 sati)

Gradivo ove nastavne cjeline u osnovi i nije novo, već je nastavak u trećem razredu započetog učenja pismenog zbrajanja brojeva. Novo je samo to što se zbrajaju brojevi veći od 1 000 što omogućuje maksimalno korištenje transfera učenja, tj. korištenje znanja pismenog zbrajanja brojeva do 1 000 u učenju pismenog zbrajanja brojeva do milijun. Da bi se to i ostvarilo, nužno je provjeriti i dopunskim objašnjenjima obnoviti učeničko znanje pismenog zbrajanja do 1 000 čemu je namijenjen sljedeći nastavni sat.

1. sat

Ponavljanje pismenog zbrajanja brojeva do 1 000Učeničko znanje pismenog zbrajanja brojeva do 1 000 obnovit će se rješavanjem odgovarajućih zadataka polazeći od

lakših prema težima, dakle:

- zbrojevi pojedinih dekadskih jedinica nisu veći od 9

5 3 4

+ 3 6 5

- zbroj jedinica veći je od 9

4 5 8

+ 2 3 9

- zbroj desetica veći je od 9

4 7 3

+ 3 6 2

- zbrojevi jedinica i desetica veći su od 9

2 8 6

+ 3 4 7

Tijekom rješavanja zadataka ukazivat će se na bitne elemente algoritma pismenog zbrajanja: zbrajaju se brojevi istih dekadskih jedinica, pribrojnici se potpisuju jedan ispod, odnosno iznad drugoga, zbraja se počevši od jedinica, zatim se zbrajaju brojevi desetica i brojevi stotica. Osobito pažljivo treba objasniti najvažniji element postupka pismenog zbrajanja; ako je zbroj brojeva pojedinih dekadskih jedinica veći od 9, tada se dio zbroja piše u jedan, a dio zbroja u prvi stupac slijeva. Ako je zbroj jedinica veći od 9, primjerice 15, tada se 5 jedinica zapisuje u stupac jedinica, a 1 desetica se pribraja zbroju desetica i zapisuje u stupac desetica. Ako je pak zbroj desetica veći od 9, npr. 17, tada se 7 desetica zapisuje u stupac desetica, a 1 stotica pribraja se zbroju stotica i zapisuje u stupac stotica. Pritom je važno ovo: dosljedno ukazivati na dekadski sastav zbroja jedinica odnosno desetica, na to da 15 jedinica sadrži 1 deseticu i 5 jedinica, odnosno da 17 desetica sadrži 1 stoticu i 7 desetica. To je nužno činiti kako bi učenici shvatili zašto se dio zbroja zapisuje u jedan, a dio zbroja u drugi stupac.

Za potpuno obnavljanje znanja pismenog zbrajanja brojeva do 1 000 bit će dovoljno riješiti nekoliko zadataka iz svake skupine. Bitan i sastavni dio toga rada je govorno obrazlaganje postupka zbrajanja, osobito dijela koji kazuje kako se postupa ako je zbroj nekih dekadskih jedinica veći od 9. Govorno obrazlaganje zasigurno neće teći glatko, no unatoč tome ne smije izostati jer ispravna govorna reprodukcija postupka zbrajanja znak je usvojenosti i razumijevanja toga gradiva.

Nakon vježbanja i ponavljanja znanje pismenog zbrajanja brojeva do 1 000 može se provjeriti ovako: učenicima se zadaju zadaci, primjerice,

9

568 372

+ 427 + 465

i zatraži da ih riješe, a zatim učenici uz svaki zadatak napišu (riječima) kako se postupa ako su zbrojevi jedinica i desetica veći od 9. Rješenje zadataka i napisano obrazloženje postupka zbrajanja pravi su pokazatelji koliko su i kako su učenici usvojili pismeno zbrajanje brojeva do 1 000, a to je znanje uvjet uspješnog učenja pismenog zbrajanja brojeva do milijun.

2. sat

Udžbenik, 9. stranicaObrada te vježbanje i ponavljanje gradiva ove stranice prvi je korak u pismeno zbrajanje brojeva većih od 1 000, u

ovom primjeru četveroznamenkastih brojeva.

U pripremi nastavnog sata ponavljanjem relevantnog starog gradiva uspostavit će se predznanje potrebno za učenje novoga gradiva. U tu svrhu učenici će riješiti primjere zbrajanja u 1. zadatku, ali uz prethodno podsjećanje kako se postupa ako su zbrojevi jedinica i desetica veći od 9. Tijekom provjere rješenja tih zadataka zatražit će se da nekoliko učenika obrazloži postupak pismenog zbrajanja tih brojeva.

Novo gradivo, pismeno zbrajanje četveroznamenkastih brojeva, objašnjava se na najlakšim primjerima, onima u kojih zbrojevi svih dekadskih jedinica nisu veći od 9 kao u ovim primjerima:

4263 5645

+ 3425 + 3254

Sadržaj objašnjenja može glasiti: četveroznamenkasti brojevi zbrajaju se na isti način kao troznamenkasti, tj. brojevi manji od 1 000. Zbrajaju se najprije brojevi jedinica, zatim brojevi desetica, pa stotica i napokon brojevi tisućica. Učenike treba upozoriti da je u zbrajanju tih brojeva novo samo to što se uz jedinice, desetice i stotice pojavljuju i zbrajaju još i tisućice.

Pod pretpostavkom da su učenici usvojili pismeno zbrajanje troznamenkastih brojeva u kojih su zbrojevi jedinica odnosno desetica veći od 9, može se očekivati da će uspješno zbrajati četveroznamenkaste brojeve u kojih su zbrojevi jedinica ili desetica veći od 9 (primjeri u 4. i 6. zadatku). Provjera rješenja tih zadataka pokazat će je li uspio transfer znanja zbrajanja troznamenkastih brojeva na zbrajanje četveroznamenkastih brojeva. Ako nije, bit će to razlogom za korektivne mjere kao što su naknadna objašnjenja, vježbanja i ponavljanja.

3. sat

Udžbenik, 10. stranicaSadržaj ove stranice udžbenika donosi dvije čestice novoga znanja - zbrajanje brojeva u kojih su zbrojevi stotica i

tisućica veći od 9. Riječ je o formalno već poznatom postupku, ali s razlikom da se zbrojevi veći od 9 pojavljuju u stupcu stotica odnosno tisućica. S obzirom na prethodno znanje, zbrajanje takvih brojeva ne predstavlja teškoću, ali teškoće obično nastaju u razumijevanju dekadskog sastava zbrojeva stotica odnosno tisućica. Da bi učenici ispravno shvatili koji se dio zbroja i zašto zapisuje u određeni stupac, treba znati dekadski sastav zbrojeva.

U pripremnom dijelu sata stoga treba ponavljati ova dva sadržaja: kako se postupa ako su zbrojevi jedinica i desetica veći od 9, što je u osnovi već poznato, te rastavljanje zbroja na dekadski sastav. Ovo prvo ukratko će se obnoviti promatrajući ili rješavajući dva zadatka koji sadrže tu pojavu, a ovo potonje objasnit će se podrobnije. Može se to učiniti ovako: prvo će se podsjetiti da je 10 J = 1 D, 10 D = 1 S, 10 S = 1 T te da je 10 T = 1 DT.

Potom slijedi objašnjenje dekadskog sastava zbroja stotica i zbroja tisućica:

7 S i 8 S = 15 S $ 15 S = 1 T i 5 S

9 S i 5 S = 14 S $ 14 S = 1 T i 4 S

Itd.

7 T i 5 T = 12 T $ 12 T = 1 DT i 2 T

9 T i 8 T = 17 T $ 17 T = 1 DT i 7 T

Itd.

Napomena: Osim za potrebe zbrajanja, i inače je dobro učenike osposobiti u razumijevanju dekadskog sastava zbroja stotica i zbroja tisućica. Jer praksa pokazuje da svi time ne vladaju u dovoljnoj mjeri.

10

Nakon takve pripreme izlagat će se novo gradivo, u tablici mjesnih vrijednosti, a zatim izvan tablice. Prvo se objašnjava zbrajanje brojeva u kojih je zbroj stotica veći od 9, kao u ovom primjeru:

3742

+ 2935

a zatim zbrajanje brojeva u kojih je zbroj tisućica veći od 9 kao u ovom primjeru:

8534

+ 6342

Kada se u objašnjavanju dođe do zbroja stotica (16 S), ukazuje se na sastav zbroja, tj. da 16 stotica sadrži 1 tisućicu i 6 stotica, 6 stotica zapisujemo u stupac stotica, a 1 tisućicu pribrajamo tisućicama. Slično se objašnjava i zbroj tisućica (14 T), tj. da 14 tisućica sadrži 1 desettisućicu i 4 tisućice, 4 tisućice zapisujemo u stupac tisućica, a 1 desettisućicu pribrajamo desettisućicama.

Vježbanje i ponavljanje provodi se rješavanjem zadataka u udžbeniku. Tijekom provjere učeničkih uradaka na nekoliko riješenih zadataka učenici će obrazlagati kako se zbrajaju brojevi u kojih je zbroj stotica i zbroj tisućica veći od 9. Vrlo je dobro učiniti usporedbu pitanjem: kako se zbrajaju brojevi u kojih je zbroj jedinica ili zbroj desetica veći od 9?

4. sat

Udžbenik, 11. stranicaUčenjem gradiva ove stranice učenici se osposobljavaju u pismenom zbrajanju peteroznamenkastih i općenito

višeznamenkastih brojeva čime se u osnovi zaokružuje opseg i sadržaj njihova znanja o toj računskoj radnji u skupu prirodnih brojeva.

S obzirom na prethodno učenje pismenog zbrajanja, sadržaj ove stranice donosi česticu novoga znanja - kako se postupa kada je zbroj desettisućica veći od 9. Budući da su učenici već naučili kako se postupa kada su zbrojevi jedinica, desetica, stotica i tisućica veći od 9, koristeći se tim znanjem, posve je vjerojatno da će s razumijevanjem usvojiti i tu česticu znanja. U uvodnom dijelu sata obnovit će se relevantno predznanje, a to je zbrajanje brojeva u kojih su zbrojevi pojedinih dekadskih jedinica veći od 9. U tu svrhu učenici će uz potrebna objašnjenja učitelja riješiti 13. i eventualno 15. zadatak u udžbeniku i potom obrazlagati postupak zbrajanja.

No da bi učenici ispravno shvatili koji se dio zbroja desettisućica i zašto upisuje u stupac desettisućica, koji u stupac stotisućica, prije obrade novoga gradiva treba objasniti dekadski sastav zbroja desettisućica, ovako:

7 DT + 6 DT = 13 DT $ 13 DT = 1 ST + 3 DT

9 DT + 7 DT = 16 DT $ 16 DT = 1 ST + 6 DT

Itd.

Novo gradivo objašnjava se u tablici mjesnih vrijednosti i izvan tablice pokazujući kako se zbrajaju brojevi u kojih je zbroj desettisućica veći od 9, kao u ovim primjerima:

73245 83572

+ 64724 + 96427

Nakon što se zbroje jedinica, desetice, stotice i tisućice (zbrojevi nisu veći od 9) zbrajaju se desettisućice: 6 DT i 7 DT je 13 DT, a 13 DT sadrži 1 ST i 3 DT, 3 DT zapisujemo u stupac DT, a 1 stotisućicu pribrajamo stotisućicama. Pritom je najvažnije ukazivati na dekadski sastav zbroja desettisućica kako bi učenici shvatili koji se dio zbroja zapisuje u stupac desettisućica, a koji u stupac stotisućica.

Nakon objašnjavanja novoga gradiva učenici će rješavati zadatke u udžbeniku što će najvjerojatnije činiti bez većih teškoća. Ipak, ne treba se zadovoljiti samo točnim rješenjem zadataka već valja inzistirati na razumijevanju, a to se postiže govornim obrazlaganjem postupka pismenog zbrajanja. Zato će se tijekom provjere učeničkih uradaka povremeno zatražiti obrazlaganje postupka pismenog zbrojanja.

5. sat

Vježbenica, 14. stranicaSadržaj ove stranice vježbenice namijenjen je daljnjem vježbanju i ponavljanju pismenog zbrajanja brojeva do

milijun. Priprema učenika za samostalan rad učenika u vježbenici provodi se obnavljanjem relevantnog predznanja i to:

- algoritam pismenog zbrajanja - zbraja se počevši od jedinica, zatim se zbrajaju desetice, pa stotice itd.

11

- ako je zbroj pojedinih dekadskih jedinica veći od 9, dio zbroja zapisuje se u jedan stupac, a dio u prvi stupac slijeva (pokazati na odgovarajućim primjerima),

- zajedničkim radom s učenicima riješiti 1. i 2. zadatak u vježbenici (zadaci riječima).

Učenici zatim samostalno rješavaju ostale zadatke, a tijekom provjere učeničkih uradaka s učenicima potrebno je prokomentirati rješenja u petom zadatku.

6., 7. i 8. sat

Nastavni listići L 11, L 11/1 i L 11/2Ovi su nastavni listići namijenjeni učvršćivanju učeničkog znanja pismenog zbrajanja brojeva do milijun, a rad se

može provoditi ovako:

6. sat: nastavni listić L 11,


8. sat: nastavni listić L 11/2.

U uvodnom dijelu svakog nastavnog sata, radeći frontalno sa svim učenicima, ponavljaju se ovi bitni sadržaji:

- algoritam (postupak) pismenog zbrajanja brojeva,

- dio algoritma koji pokazuje kako se postupa kada su zbrojevi pojedinih dekadskih jedinica veći od 9.

12

Prije samostalnog rada učenika u nastavnom listiću treba ih uputiti u eventualne posebnosti pojedinih zadataka kao što je npr. zbrajanje više pribrojnika u nastavnom listiću L 11/2 u 5. zadatku. Nakon što učenici završe rad u nastavnom listiću i ostane li još vremena, treba ih potaknuti da na poleđini listića sastave slične zadatke i da ih potom riješe. Na taj će se način maksimalno iskoristiti vrijeme, a sposobnijim učenicima bit će omogućeno da obave rad primjeren njihovim mogućnostima.

Na kraju metodičke interpretacije pismenog zbrajanja brojeva do milijun ukazujem na sadržaj petog zadatka na 14. stranici vježbenice gdje je sažeta generalizacija onoga što je bitno u postupku pismenog zbrajanja. Ako se tijekom prethodnog rada dosljedno ukazivalo na te elemente postupka, zasigurno će svi učenici znati odgovoriti na ta pitanja što će ujedno biti i povratna informacija učitelju znaju li učenici samo računsku tehniku ili uz to razumiju racionalnu podlogu toga postupka. Spoje li se u svijesti učenika te dvije komponente, računska tehnika i razumijevanje, postići će se vrijedan rezultat poučavanja u početnoj nastavi matematike što i jest konačni cilj te nastave.


Cilj: Naučiti pismeno oduzimanje brojeva do milijun (8 sati)

Što je rečeno za pismeno zbrajanje brojeva do milijun gotovo u potpunosti vrijedi i za oduzimanje tih brojeva, što također nije posve novo gradivo, već je nastavak učenja započetog u trećem razredu. Tamo su učenici upoznali glavne elemente algoritma (postupka) pismenog oduzimanja radeći s brojevima do 1 000, a sada će se to znanje prenositi na oduzimanje brojeva do milijun. Novo su zapravo samo brojevi veći od 1 000.

1. sat

Ponavljanje pismenog oduzimanja brojeva do 1 000Prvi korak u pismeno oduzimanje brojeva do milijun je ponavljanje pismenog oduzimanja do 1 000. Svrha je te

djelatnosti obnoviti i eventualno upotpuniti učeničko znanje kako bi se osigurali uvjeti uspješnog učenja pismenog oduzimanja brojeva većih od 1 000. Ponavljanje se može provoditi na sljedeći način:

U uvodnom dijelu sata, rješavanjem najlakšeg zadatka pismenog oduzimanja, primjerice,

978

- 542

obnovit će se znanje algoritma pismenog oduzimanja: oduzima se počevši od jedinica, zatim se oduzimaju brojevi desetica i napokon brojevi stotica. Polazi se, dakle, od najmanje dekadske jedinice.

Rješavanjem zadataka, primjerice

982 837

- 257 - 592

obnovit će se znanje oduzimanja brojeva u kojih su brojevi jedinica i desetica umanjitelja veći od brojeva jedinica i desetica umanjenika. Osim spomenutih elemenata algoritma u oduzimanju tih brojeva koristi se stalnost razlike: umanjeniku se pribraja 10 jedinica odnosno 10 desetica, a umanjitelju 1 desetica odnosno 1 stotica. Može se pretpostaviti da je dio učenika djelomično ili posve zaboravio kako se takvi brojevi oduzimaju pa još jednom na nekoliko primjera treba objasniti način na koji se oduzimaju.

Poslije takve pripreme učenici će radi vježbanja i ponavljanja riješiti prvi, drugi i treći zadatak na 12. stranici udžbenika. Tijekom provjeravanja učeničkih uradaka pažnju valja usmjeriti na obrazlaganje oduzimanja kada su brojevi jedinica, odnosno desetica u umanjitelju veći od brojeva jedinica i desetica umanjenika.

2. sat

Udžbenik, 12. stranicaSadržaj ove stranice udžbenika uvodi učenike u pismeno oduzimanje brojeva u kojih je broj stotica u umanjitelju veći

od broja stotica u umanjeniku (5. zadatak). To je mala čestica novog znanja koja i nije posve nova, no ipak je treba metodički ispravno objašnjavati.

13

U pripremnom dijelu sata ponovit će se relevantno staro gradivo, a to je oduzimanje brojeva u kojih su brojevi jedinica i desetica u umanjitelju veći od onih u umanjeniku. Može se to učiniti rješavanjem dva, tri zadatka s tim obilježjima uz govorno obrazlaganje postupka oduzimanja i primjene stalnosti razlike.

Prije izlaganja novoga gradiva također treba obrazložiti tzv. aditivni postupak kojim se razlika izračunava suprotnom računskom radnjom, zbrajanjem. Zajedničkim radom sa svim učenicima riješit će se, primjerice, zadatak

973

- 427

govoreći: 7 i 6 je 13 (pišemo 6); 1 i 2 je 3 i 4 je 7; 4 i 5 je 9. Pritom valja provjeriti znaju li svi učenici da se izričajem 7 i 6 je 13 umanjeniku pribraja 10 jedinica, a iskazom 1 i 2 je 3 umanjeniku se pribraja 1 desetica (stalnost razlike). Ako ne znaju, treba im objasniti jer u protivnom će s brojevima operirati bez razumijevanja, dakle, formalistički što je negativan ishod učenja u početnoj nastavi matematike.

Novo gradivo, oduzimanje četveroznamenkastih brojeva u kojih je broj stotica umanjitelja veći od broja stotica umanjenika, objašnjava se najprije u tablici mjesnih vrijednosti, a zatim izvan tablice.

Pogledati tablicu na str. 38 MP-a u PDF-u

Nakon što se oduzmu jedinice i desetice, slijedi objašnjenje: od 2 stotice ne može se oduzeti 7 stotica zato se umanjeniku pribraja 10 stotica, a umanjitelju 1 tisućica (da se razlika ne bi promijenila). Govorimo: 7 i 5 je 12; 1 i 3 je 4, 4 i 4 je 8. Još jedno ili dva objašnjenja vjerojatno će biti dovoljna da se shvati postupak oduzimanja tih brojeva pazeći pritom na razumijevanje primjene stalnosti razlike i aditivnog postupka u oduzimanju.

Radi daljnjeg vježbanja i ponavljanja učenici će rješavati zadatke oduzimanja brojeva u kojih je broj stotica umanjitelja veći od broja stotica u umanjeniku, a to su od 7. do 11. zadatka na 13. stranici udžbenika. Tijekom provjere učeničkih uradaka prokomentirat će se rješenja 10. zadatka s osobitim osvrtom na razlike koje se uvećavaju za isti broj za koji se uvećava umanjenik (umanjitelj je stalan). Učenici koji mogu i žele više neka tu povezanost umanjenika i razlike pokažu na primjerima koje će sami pronaći.

3. sat

Udžbenik, 13. stranicaSadržaj ove stranice udžbenika uvodi učenike u pismeno oduzimanje brojeva većih od 10 000, onih u kojih je broj

tisućica umanjitelja veći od broja tisućica umanjenika (12. zadatak).

Za novo učenje učenici će se pripremiti ponavljanjem relevantnog starog znanja, a to su primjeri oduzimanja u kojih su brojevi jedinica, desetica i stotica umanjitelja veći od onih u umanjeniku. Radeći frontalno sa svim učenicima riješit će se nekoliko odgovarajućih primjera podrobno obrazlažući aditivni postupak u oduzimanju i primjeni stalnosti razlike.

S obzirom na taj način uspostavljeno predznanje, cilj nastavnog sata mogao bi se najaviti u obliku pitanja: ako znamo kako se oduzima kada su brojevi jedinica, desetica i stotica u umanjitelju veći od onih u umanjeniku kao u ovim zadacima

6852 8957 7268

- 3426 - 4592 - 5823,

bismo li uz pomoć toga znanja mogli oduzeti ove brojeve?

92875

- 38321

(Broj tisućica u umanjitelju veći je od broja tisućica u umanjeniku.) Poticaj za razmišljanje može biti podsjećanje: od 2 tisućice ne možemo oduzeti 8 tisućica - što treba učiniti?

14

Nakon što se saslušaju učenički prijedlozi, a vrlo je vjerojatno da će biti posve ispravnih, novo se gradivo objašnjava na sličan način kao ono u prethodnom nastavnom satu. Bitno je pritom da učenici shvate da se umanjeniku i umanjitelju pribraja isti broj: 10 tisućica umanjeniku, 1 desettisućica umanjitelju. Objašnjenje treba ponoviti na još nekoliko primjera, a zatim će uslijediti vježbanje i ponavljanje.

Prije nego što učenici počnu rješavati zadatke u udžbeniku zajednički će se prokomentirati 12. zadatak na 13. stranici udžbenika. Poslije toga učenici će samostalno rješavati od 14. do uključivši 17. zadatak na 14. stranici udžbenika. Provjera učeničkih uradaka bit će i provjera razumijevanja postupka oduzimanja zahtjevom da se govorno obrazloži primjena stalnosti razlike.

4. sat

Udžbenik, 14. stranicaPismeno oduzimanje brojeva u kojih je broj desettisućica umanjitelja veći od broja desettisućica umanjenika gradivo

je kojim se u osnovi zaključuje učenje toga postupka u četvrtom razredu osnovne škole. Može se, naime, pretpostaviti ako su učenici naučili oduzimati brojeve do milijun, da će uz pomoć toga znanja znati oduzimati i brojeve veće od milijun.

U uvodnom dijelu sata ponovit će se oduzimanje brojeva u kojih su brojevi pojedinih dekadskih jedinica umanjitelja veći od onih u umanjeniku uz eventualno dodatna objašnjenja primjene stalnosti razlike. Korisno je ukazivati na ovo: umanjeniku se pribraja 10, a umanjitelju 1 odgovarajuća dekadska jedinica, npr. umanjeniku 10 jedinica, umanjitelju 1 desetica; umanjeniku 10 desetica, umanjitelju 1 stotica; umanjeniku 10 stotica, umanjitelju 1 tisućica itd.

Novo gradivo objašnjava se u tablici i izvan tablice.

Pogledati tablicu na str. 39 MP-a u PDF-u

Objašnjenje glasi: od 4 desettisućice ne možemo oduzeti 9 desettisućica pa zato umanjeniku pribrajamo 10 desettisućica, a da se razlika ne bi promijenila, umanjitelju pribrajamo isti broj, tj. 1 stotisućicu. Govorimo: 9 i 5 je 14 (pišemo 5), 1 i 5 je 6, 6 i 2 je 8 (pišemo 2). Nakon toga uslijedit će još jedno ili dva objašnjenja nastojeći pritom da učenici s razumijevanjem usvoje novo gradivo.

Vježbanje i ponavljanje provest će se rješavanjem zadataka u udžbeniku i, bude li potrebno, zadataka koje će priopćiti učitelj i učenici. Usvojenost pismenog oduzimanja provjerit će se rješenjem i govornim obrazloženjem 20. zadatka na 14. stranici udžbenika. Obrazloženje bi trebalo glasiti: umanjeniku i umanjitelju pribrajan je isti broj da se razlika ne bi promijenila i to umanjeniku 10 jedinica, umanjitelju 1 desetica; umanjeniku 10 desetica, umanjitelju 1 stotica itd.

5. i 6. sat

Nastavni listići L 14 i L 14/1Obradom gradiva u prethodnom nastavnom satu završen je spoznajni ciklus učenja oduzimanja brojeva od

elementarnih početaka u prvom razredu do pismenog oduzimanja brojeva u četvrtom razredu. U idućim nastavnim satima učeničko znanje pismenog oduzimanja vježbat će se i ponavljati kako bi postalo trajnom svojinom svih učenika.

U sljedeća dva nastavna sata ponavljanje se provodi samostalnim radom učenika u nastavnom listiću i to:

5. sat, nastavni listić L 14,

6. sat, nastavni listić L 14/1.

S obzirom na sadržaj vježbanja i ponavljanja u uvodnom dijelu nastavnog sata obnovit će se znanje ovoga gradiva:

- dekadski sastav višeznamenkastih brojeva: zadani broj rastavlja se na dekadske jedinice npr. broj 675 487 rastavlja se (usmeno ili pismeno) na 6 ST, 7 DT, 5 T, 4 S, 8 D i 7 J, ili: iz zadanih dekadskih jedinica sastavlja se broj, npr. iz 7 DT, 8 T, 6 S, 9 D i 4 J sastavlja se broj 78 694 itd.

- mjesna vrijednost znamenaka u višeznamenkastom broju: u zadanom broju (napisanom na ploči), primjerice 856 937, za svaku se znamenku obrazlaže njezina mjesna vrijednost - znamenka 7 označava 7 jedinica, znamenka 3 označava 3 desetice... itd. Brojevi napisani s nekoliko istih znamenaka podloga su za razumijevanje činjenice da ista znamenka

15

napisana na različitim mjestima (stupcima u tablici mjesnih vrijednosti) ima različitu mjesnu vrijednost. Tako npr. u broju 65 333 znamenka 3 označava 3 jedinice, 3 desetice i 3 stotice.

- elementi algoritma pismenog oduzimanja višeznamenkastih brojeva: oduzima se počevši od jedinica, zatim se oduzimaju desetice... itd. Ako je broj neke dekadske jedinice u umanjitelju veći od broja odgovarajuće dekadske jedinice umanjenika, tada se umanjeniku pribraja, primjerice 10 jedinica (desetica, stotica...) a umanjitelju 1 desetica (stotica, tisućica...). Učenike valja podsjetiti da se to čini radi toga da bi se moglo izvršiti određeno oduzimanje.

Ponavljanje se provodi frontalnim radom sa svim učenicima kako bi se mogla dati nužna dopunska objašnjenja. Prije učeničkog rada u nastavnom listiću treba ih upozoriti i eventualno objasniti rješavanje zadataka oblikom različitih od ostalih kao npr. zadaci s točkicama (5. zadatak u L 14 i 2. zadatak u L 14/1). Budući da u listićima nema mnogo zadataka, neki će učenici prije od ostalih završiti rad pa im treba predložiti da na poleđini listića sami sastave nekoliko sličnih zadataka te da ih riješe.

7. sat

Vježbenica, 15. stranica

Vježbanje i ponavljanje pismenog oduzimanja na ovoj stranici vježbenice temelji se na vezi zbrajanja i oduzimanja. Zadaci su osmišljeni tako da treba izračunati nepoznati pribrojnik, a to se čini oduzimanjem poznatog pribrojnika od zbroja.

S obzirom na to, u uvodnom dijelu sata obnovit će se učeničko znanje o vezi zbrajanja i oduzimanja. Na dva, tri primjera pokazat će se kako se nepoznati pribrojnik izračunava oduzimanjem poznatog pribrojnika od poznatog zbroja. Toj je svrsi namijenjen prvi zadatak u vježbenici pa ga učenici mogu potom i riješiti. Nakon toga učenici će rješavati ostale zadatke u vježbenici uz prethodno upozorenje da svaki zadatak pažljivo pročitaju, da razmisle što i kako treba izračunavati. Tijekom provjere učeničkih uradaka, osim točnosti rješenja, povremeno će se zatražiti obrazloženje načina rješavanja zadataka nastojeći pritom da učenici ispravno izreknu vezu zbrajanja i oduzimanja.

8. sat

Kontrolni zadaci:Zbrajanje i oduzimanje u skupu brojeva do milijun

Primjenom ovoga ispita doznat će se kako su učenici usvojili gradivo ove cjeline, a podaci dobiveni ispitivanjem podloga su za procjenu o tome kako postupati u budućem nastavnom radu.


Cilj: Izgraditi pojam rednog broja (1 sat)

Iako su učenici tijekom dosadašnjeg školovanja dijelom upoznali redne brojeve, u četvrtom razredu spoznaja o tim brojevima definitivno se izgrađuje usvajanjem pojmovnog sadržaja rednog i, u korelaciji s tim, glavnog broja. Redni broj označava mjesto objekta u nizu ili redu pa mu otuda i ime, a glavni ili kardinalni broj označava količinu predmeta u skupu. Definitivno se učvršćuje i spoznaja o tome kako se redni brojevi pišu i kako se čitaju.

Objašnjavanje novoga gradiva najpogodnije će se izvesti usporedbom značenja glavnog i rednog broja na način kako je prikazano u prvom zadatku u udžbeniku: broj 5 (pet) označava količinu jabuka, a broj 5. (peti) označava mjesto dječaka u redu. Pronalazeći i komentirajući s učenicima slične realne situacije izgrađivat će se spoznaja o glavnom i rednom broju - o glavnom kao oznaci količine predmeta i o rednom kao oznaci mjesta predmeta u redu, odnosno nizu.

Razumijevanju značenja rednog broja može poslužiti razgovor o redoslijedu dana u mjesecu i redoslijedu mjeseci u godini. Primjer: koji je po redu današnji dan u mjesecu? Ili, koji je po redu u godini mjesec veljača, svibanj, rujan i sl.? Razlika između glavnog i rednog broja dobro se može uočiti na primjeru: godina ima 12 mjeseci (glavni broj), prosinac je 12. mjesec u godini (redni broj).

Pisanje rednih brojeva učenicima najčešće ne zadaje teškoće, više je teškoća u čitanju i objašnjenju značenja rednog broja. Redni se broj piše kao glavni, ali s točkom s desne strane, dakle: 8 8., 23 23. i čita se: osam osmi, dvadeset tri, odnosno dvadeset treći. Poželjno je učenike stavljati u prigodu da čitaju i objašnjavaju zapise glavnih i rednih brojeva. Primjerice: 5 dječaka 5. dana u tjednu našli su 3 lopte i dali ih 1. dječaku koji je naišao. Učenike treba poticati da i sami pronalaze takve situacije u kojima će se javljati redni i glavni brojevi.

16

Nakon objašnjavanja novoga gradiva učenici će rješavati zadatke u udžbeniku, a u tijeku provjere njihovih uradaka obrazlagat će se značenje glavnih i rednih brojeva. To je ujedno prigoda za provjeru jesu li učenici ispravno shvatili značenje tih brojeva, način na koji se pišu i kako se čitaju.

17


Cilj: Naučiti brojeve pisati rimskim znamenkama (3 sata)

To je gradivo najvećim dijelom učenicima poznato, u trećem su razredu upoznali rimske znamenke pišući brojeve do 1 000, a u četvrtom razredu naučit će pisati brojeve tim znamenkama do 2 000. S obzirom na složenost pravila o pisanju brojeva rimskim znamenkama i zaboravljanje, trebat će ih ponovno objašnjavati. Tijekom vježbanja i ponavljanja učenici će se zasigurno uvjeriti u jednostavnost i lakoću pisanja brojeva arapskim i otežano pisanje rimskim znamenkama.

1. sat

Udžbenik, 16. stranicaBudući da su učenici u prethodnim razredima, drugom i trećem, upoznali rimske znamenke, u uvodnom dijelu sata

treba ponoviti:

- pisanje i čitanje rimskih znamenaka i to četiri osnovne (I, X, C i M) i tri pomoćne (V, L i D). Osobito pažljivo treba ponoviti pisanje brojeva koji se pišu jednom rimskom znamenkom (I, V, L, C, D i M).

Nakon toga objašnjava se pisanje rimskim znamenkama brojeva do 1 000, a potom i do 2 000. Prvo se objašnjava pisanje brojeva osnovnim znamenkama I, X, C i M koje se smiju ponoviti najviše tri puta (pravilo a) u udžbeniku).

Složenije je pravilo b) koje propisuje pisanje ostalih brojeva. Bitno je da učenici shvate kako se postupa kada se znamenka manje vrijednosti nalazi desno od znamenke veće vrijednosti. Na sličan način objašnjavat će se i ostala pravila, a nakon toga učenici će rješavati zadatke u udžbeniku. Tijekom provjeravanja njihovih uradaka obrazlagat će se način pisanja brojeva rimskim znamenkama navodeći sadržaje pojedinih pravila.

2. sat

Vježbenica, 16. stranicaPrije samostalnog rada učenika u vježbenici ponavljat će se relevantni sadržaji:

- pisanje i čitanje rimskih znamenaka,

- pisanje brojeva osnovnim rimskim znamenkama i pravilo o tome (smiju se ponavljati najviše tri puta),

- pisanje brojeva kada se vrijednosti znamenaka zbrajaju (pravilo b)) i pisanje brojeva kada se vrijednosti znamenaka oduzimaju (pravilo c)).

Ponavljanje se provodi zajedničkim radom sa svim učenicima, pišući brojeve rimskim znamenkama i obrazlažući pravila pisanja. Ta će pravila učenici usvajati postupno pišući i komentirajući napisani broj.

Nakon pripreme učenici će rješavati zadatke u vježbenici, a napisane brojeve potom će komentirati obrazlažući način na koji se pišu rimskim znamenkama.

3. sat

Nastavni listić L 16Budući da je sadržaj nastavnog listića sličan sadržaju prethodnog nastavnog sata, priprema učenika može se provesti

na isti način, ponavljajući tamo spomenute sadržaje. Zatim će učenici rješavati zadatke u nastavnom listiću, a provjerom učeničkih uradaka dobit će se uvid u to kako su i koliko su učenici usvojili pisanje brojeva rimskim znamenkama.


Cilj: Izgraditi pojam kuta; vrste kutova, crtanje kutova (8 sati)

Obradom, vježbanjem i ponavljanjem ovoga gradiva učenici će stjecati sljedeće spoznaje: kut kao dio ravnine omeđen dvama polupravcima s istom početnom točkom, spoznaja o unutarnjim, rubnim i vanjskim točkama kuta, uspoređivanje kutova te spoznaja o vrstama kutova - pravi, šiljasti i tupi kut. Doda li se tome još i crtanje kuta, određen je skup spoznaja o kutu koje će učenici usvojiti u četvrtom razredu.

18

1. satUdžbenik, 17. i 18. stranica

U ovom nastavnom satu učenici će naučiti što je kut, što su i koje su unutarnje, rubne i vanjske točke kuta. Prije obrade novoga gradiva obnovit će se relevantno predznanje, tj. ono što se učilo o pravcu, polupravcu i ravnini. Osobito je nužno znanje o polupravcu kao dijelu pravca omeđenog s jedne i neomeđenog s druge strane. Posjeduju li učenici to predznanje, stvoreni su dobri uvjeti za izgradnju pojma kut. Sve to ponovit će se zajedničkim radom s učenicima navodeći bitna obilježja polupravca, a to je omeđenost s jedne i neomeđenost s druge strane.

Sadržaj pojma kuta objašnjava se pomoću crteža kao što je ovaj:

Pogledati sliku na str. 43 MP-a u PDF-u

Promatrajući s učenicima crtež objašnjava se:

- polupravci a i b imaju istu (zajedničku) početnu točku,

- polupravci a i b s jedne su strane omeđeni početnom točkom V (zove se vrh kuta), a na drugoj strani su neomeđeni,

- polupravci a i b omeđuju dio ravnine (između njih) koji se zove kut, a polupravci su kraci kuta,

- dio ravnine nasuprot točki V nije omeđen.

Učenici će potom crtati polupravce s istom (zajedničkom) točkom i obrazlagati bitne oznake pojma kut - dio ravnine omeđen dvama polupravcima s istom početnom točkom. Kutove treba crtati i tako da su im kraci u različitim položajima kako bi se kut prepoznao prema bitnim oznakama, a ne samo prema vizualnoj percepciji.

Pripadnost, odnosno nepripadnost točaka kutu objašnjava se promatrajući odnos točaka prema kutu i ispravnim imenovanjem mjesta točke, tj. vanjske, rubne, unutarnje: vanjske točke ne pripadaju kutu, dok unutarnje i rubne pripadaju. Vrlo je poticajno određivati pripadnost odnosno nepripadnost točke kutu promatrajući ovakav crtež:

Pitanje učenicima: pripadaju li točke D i E promatranom kutu? Odgovore li učenici da ne pripadaju, znak je da nisu ispravno shvatili pojam kuta, činjenicu da je kut dio ravnine neomeđen nasuprot vrhu V.

Nakon tih objašnjenja rješavat će se zadaci u udžbeniku crtanjem određenih crteža i objašnjavanjem tamo prikazanih crteža. Valja nastojati da učenici ispravno iskazuju bitne oznake pojma kuta, tj. da je dio ravnine omeđen dvama polupravcima koji imaju zajedničku početnu točku. Odnose točke prema kutu također valja ispravno obrazlagati, koje točke kutu pripadaju, odnosno ne pripadaju i kako se zovu.

2. sat

Udžbenik, 19. stranicaCilj je ovog nastavnog sata osposobiti učenike u uspoređivanju kutova tako da za dva kuta znaju reći koji je manji, a

koji je veći te da taj odnos znaju zapisati znakovima.

U uvodnom dijelu sata ponovit će se što se o kutu učilo na prethodnom nastavnom satu, tj. što je kut, vrh kuta, kraci kuta, te unutarnje, vanjske i rubne točke kuta - što se može učiniti promatranjem i objašnjavanjem odgovarajućih crteža. U tom dijelu sata objasnit će se kako se kraće označava kut, tj. kut (a, b) što se čita: kut a be ili kut be a. Potom će i učenici, koristeći se slovima po vlastitom izboru, napisati i pročitati nekoliko takvih zapisa, primjerice kut (c, d), kut (m, n) i sl.

Uspoređivanje kutova objašnjava se koristeći se prozirnim papirom: na ploči se nacrtaju dva kuta, primjerice, kut (a, b) i kut (c, d).

19

Zatim se jedan kut, npr. kut (a, b) precrta na prozirni papir i označi kao kut (m, n). Vrh kuta (m, n) s prozirnog papira stavi se u vrh C kuta (c, d). Ako krak m prekrije krak c, a krak n prekrije krak d, kažemo da su oba kuta jednako velika. Ako se pak kraci kutova ne poklapaju, kutovi nisu jednako veliki, jedan je veći, a drugi je manji.

Bude li potrebno, izvest će se još jedna ili dvije demonstracije uspoređivanja kutova pomoću prozirnog papira, a zatim će i učenici pomoću prozirnog papira uspoređivati nacrtane kutove. Nakon toga zajedničkim radom pročitat će se i komentirati zadaci u udžbeniku.

Daljnjem vježbanju i ponavljanju namijenjeni su zadaci nastavnog listića L 19/1, promatrajući nacrtane kutove učenici će ih usporediti i znakovima napisati koji je kut veći, a koji je manji. Preostane li vremena, mogu se rješavati i zadaci nastavnog listića L 19 što možda neće dospjeti učiniti svi učenici, ali oni najsposobniji vjerojatno će riješiti neke zadatke.

3. sat

Udžbenik, 20. stranicaU prethodnim nastavnim satima učenici su naučili što je kut, naučili su crtati i uspoređivati kutove, a na ovom satu

upoznat će vrste kutova: pravi, šiljasti i tupi kut. Uz pomoć znanja o pravom kutu u idućim nastavnim satima upoznat će šiljasti i tupi kut.

Pojam pravog kuta izgrađuje se dvjema aktivnostima: dvostrukim presavijanjem papira i crtanjem okomitih pravaca. Objema aktivnostima konkretiziraju se (čine vidljivim) bitna obilježja toga kuta: omeđenost dijela ravnine, zajednička točka dvaju polupravaca te okomitost polupravaca. U usporedbi s onim što se do sada učilo o kutu, pravi kut sadrži samo jednu različitu oznaku - okomitost krakova (polupravaca) kuta, što olakšava usvajanje pojma pravi kut.

Prvo objašnjenje pravog kuta bit će demonstracija dvostrukog presavijanja papira za koju bi svrhu svaki učenik trebao imati komad papira. Radi se ovako: papir se presavije jedanput čime se dobije pravac, na njemu se označe dvije točke A i B, papir se ponovno presavije tako da točka A padne na točku B čime se dobije drugi pravac koji je okomit na pravac dobijen prvim presavijanjem papira. Ta dva pravca dijele ravninu papira na četiri jednako velika dijela, a svaki se zove pravi kut. Kraci svakog kuta međusobno su okomiti. Rezultat dvostrukog presavijanja papira govorom se obrazlaže navodeći bitna obilježja pravog kuta - omeđenost dijela ravnine i okomitost krakova.

Sličnu radnju izvodit će potom i učenici presavijajući papir tako da dobiju dva okomita pravca i četiri prava kuta, što se i govorom obrazlaže: dva okomita pravca određuju četiri jednako velika kuta, a svaki se zove pravi kut. Vrlo je važno da svaki učenik govorom izrazi obilježja pravog kuta, tj. da su kraci toga kuta međusobno okomiti.

Nakon tih demonstracija slijedi crtanje pravog kuta što za učenike nije prevelika novost jer su u trećem razredu crtali okomite pravce što je dobra podloga crtanju pravog kuta. Crta se ovako: nacrta se polupravac a s početnom točkom A, zatim se nacrta polupravac b u točki A okomito na polupravac a. Crtež izgleda ovako:

Crtež pravog kuta zatim se objašnjava: kraci pravog kuta međusobno su okomiti, omeđuju dio ravnine koji se zove pravi kut. Crtanju pravog kuta postavljaju se i određeni zahtjevi: točnost, urednost, pritisak i nagib olovke prema podlozi i dr. To se, dakako, povezuje i s crtanjem ostalih kutova što bi trebalo rezultirati točnim, urednim i lijepim crtežom kuta koji se crta.

4. sat

Nastavni listić L 20Prije učeničkog rada u nastavnom listiću, zajedničkim radom sa svim učenicima, ponavljat će se ovi sadržaji:

- pravac (što je i kako ga zamišljamo), polupravac (početna točka polupravca, omeđenost na jednoj i neomeđenost na drugoj strani),

- kut (dio ravnine omeđen dvama polupravcima sa zajedničkom početnom točkom), crtanje kuta, vrh, kraci kuta, unutarnje, vanjske i rubne točke kuta,

- uspoređivanje kutova (pomoću prozirnog papira i promatranjem nacrtanih kutova, označavanje kutova, čitanje zapisa kut (a,b)),

- pravi kut (omeđenost dijela ravnine, okomitost krakova, crtanje pravog kuta).

Nakon takve pripreme učenici će rješavati eventualno neriješene zadatke u nastavnom listiću L 19, a zatim će rješavati zadatke nastavnog listića L 20. No prije toga objasnit će se rješavanje 2. zadatka u nastavnom listiću (posebno objasniti termin susjedne stranice pravokutnika).

20

5. sat

Udžbenik, 21. stranicaNa ovom nastavnom satu učenici će upoznati šiljasti i tupi kut, usvojiti bitna obilježja tih kutova i naučiti crtati te

kutove.

Pripremajući učenike za učenje novoga gradiva, u uvodnom dijelu nastavnog sata mogu se ponoviti isti geometrijski sadržaji kao u prethodnom nastavnom satu, o kutu i o uspoređivanju kutova.

Pojmovi šiljastog i tupog kuta izgrađuju se uz pomoć znanja o pravom kutu. Uspoređujući kutove prozirnim papirom i promatranjem nacrtanih kutova neposredno se doznaje da su neki kutovi manji, a neki su veći od pravog kuta. Za kutove koji su manji od pravog kuta uvodi se posebno ime (termin) šiljasti kut, a za one koji su veći od pravog kuta i manji od dva prava kuta, tupi kut. (Usporediti tupi kut i dva prava kuta kao u 3. zadatku u udžbeniku.) Pritom valja ukazivati da svi kutovi koji se promatraju imaju neka zajednička obilježja - dio su ravnine, taj dio ravnine omeđuju dva polupravca s istom početnom točkom (to je vrh kuta) i neka različita obilježja - kraci pravog kuta međusobno su okomiti, u drugih kutova nisu.

Nakon toga zajedno sa svim učenicima promatrat će se crteži kutova u udžbeniku i objašnjavati obilježja šiljastog, tupog i pravog kuta.

Radi vježbanja i ponavljanja učenici će u svojim bilježnicama crtati šiljasti, pravi i tupi kut i zatim obrazlagati sadržaj svakog crteža, Primjerice: nacrtao sam šiljasti kut, to je kut koji je manji od pravoga kuta, šiljasti kut je dio ravnine omeđen dvama polupravcima s istom početnom točkom, ti se polupravci zovu kraci kuta, točke koje se nalaze između krakova pripadaju šiljastom kutu i zovu se unutarnje točke kuta, točke izvan krakova kuta ne pripadaju kutu i zovu se vanjske točke kuta. Slično će se objašnjavati crteži tupog i pravog kuta pazeći pritom na obilježja po kojima se razlikuju - tupi kut veći je od pravoga, ali manji od dva prava kuta, kraci pravog kuta međusobno su okomiti. Ostala su obilježja ista kao kod šiljastog kuta.

6. sat

Nastavni listić L 21U uvodnom dijelu sata, zajedničkim radom sa svim učenicima, ponavljat će se sve što se učilo na prethodnim

nastavnim satima:

- o pravcu i polupravcu; pravac je ravna neomeđena crta, polupravac je dio pravca s jedne strane omeđen početnom točkom, na drugoj strani je neomeđen,

- o ravnini; ravnina je ravna neomeđena ploha, ploha je ono što na predmetima vidimo, može biti ravna i zakrivljena, - o kutu; kut je dio ravnine omeđen dvama polupravcima (kracima) s istom početnom točkom, polupravci i dio

ravnine nasuprot vrhu kuta su neomeđeni,- o odnosu točke i kuta; unutarnje, vanjske i rubne točke kuta,- uspoređivanje kutova; pomoću prozirnog papira i promatranjem nacrtanih kutova,- o pravom kutu; dio je ravnine omeđen okomitim polupravcima, crtanje pravog kuta,- o šiljastom i tupom kutu; crtanje i obrazlaganje crteža tih kutova.Zajedničkom rekapitulacijom tih sadržaja sintetizira se u spoznajnu cjelinu sve što bi o kutovima trebalo postati

trajnom intelektualnom svojinom učenika. Sva obrazloženja i dopunska objašnjenja koja će se davati treba potkrijepiti grafičkim prikazima različitih kutova, polupravaca, točaka i sl. Posebnu pažnju treba posvetiti govornom obrazlaganju pojedinih sadržaja imajući na umu da je govor objektivirana misao - ako je govor sadržajno točan, onda je točan i sadržaj učenikova mišljenja.

Nakon takve pripreme učenici će rješavati zadatke u nastavnom listiću L 21, a tijekom provjere točnosti rješenja obrazlagat će se sadržaj crteža koje su nacrtali. Tako se npr. u 2. zadatku traži crtanje tupog kuta, a uz taj crtež učenik će reći sve bitne sadržaje o tom kutu. Slično će se zahtijevati i uz ostale crteže u tom nastavnom listiću.

7. sat

Zbirka zadataka, 24. i 25. stranicaSadržaji zbirke namijenjeni su daljnjem vježbanju i ponavljanju gradiva o kutovima pa ih u tu svrhu treba i iskoristiti.

8. sat

Kontrolni zadaci: KutPrimjenjuju se s istom svrhom i na isti način kao već primjenjivani kontrolni zadaci.

21

4.4. MNOŽENJE U SKUPU BROJEVA DO MILIJUN

Množenje brojeva do milijun produžetak je učenja množenja započetog u drugom i trećem razredu. Gradivom ove nastavne cjeline zaokružuje se spoznajni ciklus učenja množenja prirodnih brojeva u razrednoj nastavi. Znanje množenja tih brojeva podloga je daljnjem matematičkom odgajanju i obrazovanju učenika u višim razredima osnovne i kasnije srednje škole. Zato treba poduzeti sve da znanje množenja brojeva do milijun učenici usvoje trajno i s potpunim razumijevanjem.

Prvi korak u učenju množenja brojeva do milijun je ponavljanje i utvrđivanje znanja množenja koje se učilo u drugom i trećem razredu. Razlog je činjenica da je od posljednjeg učenja množenja u tim razredima prošlo relativno mnogo vremena i što se mnogo toga zaboravilo. Zato prije učenja množenja brojeva u četvrtom razredu sustavno i dosljedno treba ponavljati ove sadržaje: tablica množenja brojeva (treba je usvojiti do razine automatizacije, tako da se množi brzo, točno, s malim naporom i s malim sudjelovanjem svijesti), množenje zbroja brojem, množenje višekratnika broja 10 jednoznamenkastim brojem (50 · 8), zamjenu mjesta i združivanje faktora te množenje dvoznamenkastog broja jednoznamenkastim. Sve te sadržaje, osim tablice množenja, treba usvojiti do razine samostalne reprodukcije (radnje se izvode s punim sudjelovanjem svijesti i s određenim naporom) kako bi se mogli koristiti u budućem učenju množenja brojeva.


Cilj: Obnoviti znanje množenja brojeva do 1 000 (5 sati)

Materijalna podloga ovom ponavljanju je individualni rad učenika u udžbeniku, vježbenici i nastavnim listićima, a nastavni rad raspoređuje se ovako:

1. sat, udžbenik 22. stranica i nastavni listić L 22,

2. sat, udžbenik 23. stranica i nastavni listić L 22/1,

3. sat, vježbenica 18. stranica,

4. sat, udžbenik 24. stranica,

5. sat, vježbenica 19. stranica.

Prije samostalnog rada učenika, u uvodnom dijelu sata radeći frontalno sa svim učenicima, ponavljat će se i eventualno dodatno objašnjavati neki od ovih sadržaja (ovisno o gradivu stranice udžbenika, vježbenice odnosno nastavnog listića):

- tablica množenja brojeva do 100,

- množenje kao zbrajanje jednakih brojeva,

- zamjena mjesta faktora i združivanje faktora,

- množenje broja brojem 10,

- množenje višekratnika broja 10 brojem 10,

- množenje zbroja dvaju brojeva brojem,

- množenje dvoznamenkastog broja jednoznamenkastim.

Tablica množenja brojeva do 100 uspješno se ponavlja priopćavanjem zadataka, primjerice 6 · 8, 4 · 9 itd., koje učenici usmeno, napamet, izračunavaju i u bilježnicu zapisuju samo umnožak ili pak cijeli zadatak, npr. 6 · 8 = 48. I u idućih nekoliko nastavnih sati tablici množenja treba posvetiti potrebno vrijeme kako bi je svi učenici usvojili do razine automatizacije.

Ostali sadržaji najuspješnije se ponavljaju rješavanjem odgovarajućih zadataka uz potrebno objašnjenje, npr. zbroj jednakih brojeva pisati u obliku množenja uz objašnjenje zapisa za množenje, ili množenje broja brojem 10 uz objašnjenje da se to čini pripisivanjem tome broju jedne nule s desne strane itd. Obnavljanju učeničkog znanja pismenog množenja dvoznamenkastih brojeva jednoznamenkastim namijenjeni su odgovarajući sadržaji u udžbeniku, vježbenici i nastavnim listićima. Prije učeničkog samostalnog rada nužno je, rješavanjem nekoliko zadataka na ploči, još jednom objasniti postupak pismenog množenja pokazujući pritom i duži i kraći način množenja:

53 · 8 = (50 + 3) · 8

= 50 · 8 + 3 · 8 53 · 8

= 400 + 24 424

= 424

22

Posebno treba ukazivati na to kako se postupa ako je umnožak jednoznamenkastog broja (8) i broja jedinica (3) veći od 9. Budući da je umnožak 24, a broj 24 sadrži 4 jedinice i 2 desetice, 2 desetice pribrajaju se umnošku desetica. Vrlo je dobro ukazati na sličnost toga postupka s onim u pismenom zbrajanju kada je zbroj jedinica veći od 9. Bitno je ponavljanje provoditi tako da se staro znanje obnovi, da se isprave eventualno krive spoznaje i da se postigne razumijevanje pismenog množenja brojeva do 1 000. Uspostavi li se takvo predznanje, učenje pismenog množenja višeznamenkastih brojeva zasigurno će biti vrlo uspješno.

Prije neposrednog individualnog rada učenika valja ih upozoriti na rješavanje pojedinih zadataka u udžbeniku, vježbenici i listiću kako bi posve razumjeli što i kako treba raditi.


Cilj: Naučiti pismeno množenje višeznamenkastih brojeva (20 sati)

Nakon ponavljanja množenja brojeva do 1 000 stvoreni su uvjeti za učenje pismenog množenja brojeva do milijun. Metodički raspored obrade, vježbanja i ponavljanja toga gradiva je ovakav:

- množenje višeznamenkastih brojeva jednoznamenkastim, npr. 457 · 6, 5784 · 8 i sl.,

- množenje dvoznamenkastih brojeva, 64 · 50, 47 · 23,

- množenje broja dekadskom jedinicom, 700 · 100, 500 · 1000,

- množenje broja višekratnikom dekadske jedinice, 65 · 300,

- množenje višeznamenkastih brojeva, 536 · 43, 5789 · 324,

- skraćeni postupci u pismenom množenju.

Obrada, vježbanje i ponavljanje gradiva ostvarit će se prema tom metodičkom rasporedu.


Cilj: Naučiti troznamenkasti broj množiti jednoznamenkastim (2 sata)

Obradom gradiva ove stranice udžbenika učenici se uvode u pismeno množenje troznamenkastih brojeva jednoznamenkastim, postupno od najjednostavnijih primjera do najsloženijih.

1. satRelevantno predznanje potrebno za učenje novoga gradiva uspostavit će se ponavljanjem množenja dvoznamenkastih

brojeva jednoznamenkastim ukazujući na bitno: množi se počevši od broja jedinica, zatim se množi broj desetica. Ako je umnožak broja jedinica ili desetica veći od 9 kao u zadatku 47 · 6, tada se dio umnoška pribraja deseticama odnosno stoticama.

Novo gradivo, množenje troznamenkastog broja jednoznamenkastim, objašnjava se postupno počevši od najlakših primjera kao 432 · 2, a cilj sata može se izreći u obliku pitanja: ako znamo množiti brojeve 43 · 2, a znamo, možemo li uz pomoć toga znanja množiti ove brojeve 343 · 2? Vrlo je vjerojatno da će dio učenika znati pomnožiti te brojeve, a onima koji ne znaju, svojim objašnjenjem pomoći će učitelj.

Složeniji primjeri množenja, tj. oni u kojih su umnošci desetica i stotica veći od 9, kao u zadatku 643 · 3, objašnjavat će se u tablici mjesnih vrijednosti, a zatim izvan tablice (vidi 5. zadatak u udžbeniku). Pri objašnjavanju treba ukazivati na dekadski sastav djelomičnih umnožaka, a zatim svaki dio umnoška zapisati u odgovarajući stupac. Učenike treba podsjećati na to da su na sličan način postupali u pismenom zbrajanju kada su zbrojevi pojedinih dekadskih jedinica bili veći od 9. Ti zajednički elementi u dvjema računskim radnjama olakšavaju razumijevanje novoga gradiva i osiguravaju trajnost znanja.

Nakon dva, tri primjera objašnjavanja novoga gradiva učenici će rješavati zadatke u udžbeniku što vjerojatno većini učenika neće predstavljati teškoće. U tijeku provjeravanja učeničkih uradaka obavezno treba zahtijevati obrazlaganje postupka množenja tih brojeva što će učiniti tri, četiri učenika uz potrebnu pomoć učitelja.

23

2. sat

Nastavni listić L 23Sadržaj listića služi vježbanju i ponavljanju pismenog množenja troznamenkastog broja jednoznamenkastim brojem.

U uvodnom dijelu sata riješit će se dva, tri odgovarajuća zadatka obrazlažući postupak pismenog množenja, osobito dio koji pokazuje kako se postupa ako je umnožak pojedinih dekadskih jedinica veći od 9. Pritom je važno ukazivati na dekadski sastav umnoška jer upravo njegov sastav određuje koji se dio umnoška i gdje zapisuje.

Nakon takve pripreme učenici će samostalno rješavati zadatke u nastavnom listiću, a rezultati će se zatim provjeriti.


Cilj: Naučiti pismeno množiti višeznamenkaste brojeve jednoznamenkastim brojem(2 sata)

Obrađivanjem gradiva ove stranice učenici se uvode u pismeno množenje višeznamenkastih brojeva jednoznamenkastim brojem što su u osnovnim crtama već upoznali. Ipak, učenike valja pažljivo uvoditi u taj postupak kako bi se osigurao kontinuitet s onim što je već poznato te postiglo maksimalno razumijevanje novoga gradiva.

1. sat

Udžbenik, 26. stranicaU pripremnom dijelu nastavnog sata ponavljat će se množenje troznamenkastih brojeva jednoznamenkastim brojem

što se može učiniti pozivom učenicima da pomnože brojeve u 1. zadatku u udžbeniku. Provjeravajući njihova rješanja obrazlagat će se kako se postupa ako je umnožak jednoznamenkastog broja i brojeva pojedinih dekadskih jedinica veći od 9: broj jedinica zapisujemo u stupac jedinica, a broj desetica pribrajamo umnošku desetica... itd.

Novo gradivo, množenje višeznamenkastih brojeva jednoznamenkastim, objašnjava se u tablici mjesnih vrijednosti i izvan tablice. Da bi se iskoristili učinci transfera učenja tijekom izlaganja novoga gradiva, treba ukazivati na zajedničke elemente u ovom množenju i množenju troznamenkastih brojeva jednoznamenkastim. A zajednički su elementi: množimo počevši od jedinica, zatim se množi broj desetica... itd.; ako je umnožak jednoznamenkastog broja i broja stotica primjerice 32, tada 2 stotice pišemo u stupac stotica, a 3 tisućice pribrajamo umnošku tisućica. Itd.

Nakon što se novo gradivo na primjeren način objasni (vidjeti 2. zadatak u udžbeniku), učenici će rješavati ostale zadatke u udžbeniku. Tijekom provjere učeničkih uradaka osobito valja inzistirati na obrazlaganju postupka množenja. U 7. zadatku nalaze se primjeri množenja i zbrajanja pa učenike treba podsjetiti na redoslijed izvođenja računskih radnji.

2. sat

Nastavni listić L 24Budući da je sadržaj vježbanja i ponavljanja na ovom nastavnom satu pismeno množenje višeznamenkastih brojeva

jednoznamenkastim brojem, u uvodnom dijelu sata riješit će se nekoliko odgovarajućih zadataka obrazlažući bitne elemente postupka pismenog množenja. Nakon toga učenici će rješavati zadatke u nastavnom listiću, a rezultati će se naknadno provjeriti i komentirati.


Cilj: Naučiti pismeno množiti dvoznamenkaste brojeve (4 sata)

Pismeno množenje dvoznamenkastih brojeva za veliku većinu učenika doista je posve novo gradivo, novost je to što se množenje izvodi dvokratnim ponavljanjem nasuprot množenju jednoznamenkastim brojem. Posljedica toga dva su djelomična umnoška koji se potpisuju jedan ispod drugoga i potom zbrajaju. Potpisivanje djelomičnih umnožaka može znatno otežati razumijevanje načina na koji se to čini, pogotovo ako ih je više od dva. No o tome će kasnije biti više riječi.

24

Metodički raspored obrade pismenog množenja dvoznamenkastih brojeva je ovakav:

a) množenje dvoznamenkastog broja i višekratnika broja 10, npr. 68 · 50, 87 · 40,

b) množenje ostalih dvoznamenkastih brojeva, 67 · 23 i dr. Iz metodičkih razloga pismeno množenje dvoznamenkastih brojeva objašnjava se na duži i na kraći način. Svrha je dužeg načina didaktička, osigurati razumijevanje postupka, a kraći način konačni je oblik pismenog množenja koji učenici usvajaju. Razlikuju se samo oblikom, tj. načinom na koji se zapisuju djelomične radnje, a sadržajno su posve jednaki.

1. sat

Udžbenik, 27. str. (1. i 2. zad.), vježbenica, 20. str. (od 1. do 5. zad.) Sadržaj učenja na ovom nastavnom satu je pismeno množenje dvoznamenkastih brojeva i višekratnika broja 10, npr.

57 · 30, 85 · 70 itd. Predznanje potrebno za učenje toga gradiva je množenje dvoznamenkastog broja jednoznamenkastim i množenje brojem 10, a uspostavit će se zajedničkim rješenjem nekoliko odgovarajućih zadataka. Podsjetiti učenike na množenje broja brojem 10, pripisivanjem jedne nule s desne strane zadanog broja.

Novo gradivo objašnjava se na duži i na kraći način:

43 · 30 = 43 · (3 · 10) 3 · 10

= (43 · 3) · 10 kraće 43 · 30

= 129 · 10 1290

= 1290

Višekratnik broja 10, broj 30 zamišlja se kao 3 · 10; broj 43 množi se brojem 3, a dobiveni umnožak još brojem 10 (pripisivanjem jedne nule). U kraćem postupku, radi boljeg razumijevanja, višekratnik broja 10, u ovom primjeru broj 30, može se zapisati kao 3 · 10 što će se, kad se postupak posve shvati, izostaviti. Množenje tih brojeva objašnjavat će se, dakako, na više primjera i to na duži i na kraći način ukazujući na zajedničke elemente u oba postupka. Valja nastojati na razumijevanju činjenice da se dvoznamenkasti broj najprije množi jednoznamenkastim brojem, a dobiveni umnožak još brojem 10. To je bitno i od učenika treba tražiti da to i govorom obrazlože.

Nakon obrade novoga gradiva vježbanje i ponavljanje provodi se individualnim radom učenika u udžbeniku i vježbenici. Prvi i drugi zadatak u udžbeniku zajedno s učenicima pročitati i komentirati postupak množenja, a zatim će se rješavati zadaci na 20. stranici vježbenice, od 1. do 5. zadatka. Za vrijeme učeničkog rada, bude li potrebno, dat će se i dodatna objašnjenja onima kojima budu potrebna.

Provjeravajući učeničke uratke povremeno će se obrazlagati množenje tih brojeva s posebnim naglaskom na ovome: prvi se faktor, tj. dvoznamenkasti broj, množi jednoznamenkastim brojem, a dobiveni umnožak još brojem 10.

2. sat

Udžbenik, 27. stranica (3. i 4. zadatak)Sadržaj učenja na ovom nastavnom satu je pismeno množenje ostalih dvoznamenkastih brojeva. Budući da je to

množenje temeljno za učenje pismenog množenja višeznamenkastih brojeva, ovo gradivo treba pomno obrađivati te sustavno vježbati i ponavljati kako bi se u spoznajnu cjelinu povezali svi postupci pismenog množenja višeznamenkastih brojeva.

Relevantno predznanje potrebno za učenje novoga gradiva uspostavit će se ponavljanjem ovih sadržaja: množenje dvoznamenkastih brojeva višekratnikom broja 10, npr. 83 · 50 i sl. te množenjem zbroja brojem, npr. 25 · (30 + 5). Uz množenje zbroja brojem naglašavati: svaki se pribrojnik tim brojem pomnoži, a umnošci se zatim zbroje.

Množenje dvoznamenkastih brojeva također se objašnjava na duži i na kraći način. Primjer:

53 · 26 = 53 · (20 + 6) 2 · 10 + 6

= 53 · 20 + 53 · 6 53 · 26

= 53 · 2 · 10 + 53 · 6 1060 (to je 53 · 20)

= 1060 + 318 + 318 (to je 53 · 6)

= 1378 1378

25

Množenje tih brojeva objasnit će se na još nekoliko primjera izvodeći ga na duži i na kraći način ističući bitne elemente: prvi se faktor najprije množi brojem 20 shvaćenim kao 2 · 10, a zatim se množi još brojem 6; djelomični se umnošci zbroje. Učenike valja upozoriti da se u oba postupka, dužem i kraćem, nalaze iste djelomične radnje, razlika je samo to što se u dužem postupku zapisuju u cijelosti, a u kraćem se zapisuju samo djelomični umnošci. Radi što boljeg razumijevanja koriste se oba zapisa sve dok se ne postigne potpuno razumijevanje, a nakon toga zadržat će se samo kraći kao uobičajeni zapis pismenog množenja.

Vježbanje i ponavljanje može se provesti zajedničkom analizom i komentarom 3. i 4. zadatka u udžbeniku i rješavanjem 6. i 7. zadatka u vježbenici na 20. stranici. Tijekom provjere učeničkih uradaka obrazlagat će se duži i kraći način množenja pronalazeći što je u njima zajedničko (djelomične radnje) i što je različito (zapis množenja).

3. sat

Nastavni listić L 25Kako je sadržaj nastavnog listića namijenjen vježbanju i ponavljanju množenja dvoznamenkastog broja i višekratnika

broja 10, priprema učenika za rad u listiću provest će se rješavanjem nekoliko zadataka, npr. 85 · 40 i sl. uz govorno obrazlaganje bitnoga: prvi se faktor najprije množi jednoznamenkastim brojem, a dobiveni umnožak množi se brojem 10 (pripisivanjem jedne nule).

Prije rada u nastavnom listiću učenike treba podsjetiti na rješavanje zadataka riječima, da zadatak pažljivo čitaju, da uoče što je u zadatku poznato, a što je nepoznato itd. Također ih treba upozoriti na rješavanje 5. zadatka (tablica), na različito združivanje faktora i na redoslijed izvođenja računskih radnji (a · c + b · c). U provjeravanje učeničkih uradaka uključit će se i odgovarajuće govorno obrazlaganje postupka pismenog množenja.

4. sat

Nastavni listić L 25/1Rješavanjem zadataka u ovom nastavnom listiću zaokružit će se učenje pismenog množenja dvoznamenkastih brojeva

i postaviti dobra osnovica za učenje pismenog množenja višeznamenkastih brojeva.

U uvodnom dijelu nastavnog sata, zajedničkim radom sa svim učenicima, riješit će se nekoliko odgovarajućih zadataka kao npr. 75 · 48 i sl. Ponovit će se postupak množenja: prvi se faktor množi brojem 40 (shvaćen kao 4 · 10), zatim se množi brojem 8, djelomični umnošci se zbroje. Vrlo je dobro da i nekoliko učenika također govorom reproducira postupak množenja tih brojeva.

U trećem zadatku nastavnog listića primjeri su množenja čiji se zapisi vizualno razlikuju od dosadašnjih pa učenike treba upozoriti da je riječ o istom postupku s razlikom da se djelomični umnošci zapisuju u vodoravnom redu. Inače je sve drugo isto kao u prethodnim primjerima množenja.


Cilj: Naučiti broj množiti dekadskom jedinicom 100 i 1 000 (1 sat)

Već postojeće znanje da se broj množi brojem 10 pripisivanjem jedne nule podloga je za učenje množenja broja ostalim dekadskim jedinicama. Da se to množenje izvodi pripisivanjem odgovarajućeg broja nula s desne strane broja, učenici nauče brzo i bez teškoća. Međutim, ono što je pritom važno je razumijevanje toga postupka, tj. zna li učenik zašto se radi tako. Budući da matematičko odgajanje i obrazovanje, osim računske tehnike, uključuje i razumijevanje, obaveza je učitelja gradivo izlagati tako da se i ta komponenta ostvari. Zato se množenje broja dekadskom jedinicom objašnjava na duži način da bi se shvatilo kako i zbog čega dolazi do pripisivanja nula zdesna broju koji se množi.

U uvodnom dijelu nastavnog sata učenici će riješiti 1. zadatak u udžbeniku uz obrazlaganje opće spoznaje, generalizacije: broj se množi brojem 10 da mu se zdesna pripiše jedna nula.

Nakon pripreme slijedi objašnjenje novoga gradiva, ovako:

60 · l00 = 60 · (10 · 10) 53 · 100 = (50 + 3) · 100

= (60 · 10) · 10 = 50 · 100 + 3 · 100

= 600 · 10 = 5 000 + 300

= 6 000 = 5 300

26

Kraće: 60 · 100 = 6 000 Kraće: 53 · 100 = 5 300

Na sličan način objašnjava se množenje brojeva brojem 1 000 (vidjeti 4. zadatak u udžbeniku). Duži oblik koristi se samo radi razumijevanja, a kraći, pripisivanjem nula, kao uobičajeni zapis toga množenja.

Nakon toga učenici će rješavati zadatke u udžbeniku, a tijekom provjeravanja njihovih uradaka obrazlagat će se postupak množenja, tj. pripisivanje dviju, odnosno triju nula.

27


Cilj: Naučiti broj množiti višekratnikom dekadske jedinice (2 sata)

Da bi se s razumijevanjem usvojilo množenje broja višekratnikom dekadske jedinice, također se objašnjava na duži način. Važno je da se shvati kako se višekratnik dekadske jedinice zamišlja kao umnožak jednoznamenkastog broja i dekadske jedinice, primjerice 40 kao 4 · 10, 600 kao 6 · 100, 5 000 kao 5 · 1 000, a zatim se postupno izvode množenja.

1. sat

Udžbenik, 29. stranicaRelevantno predznanje uspostavit će se ponavljanjem množenja broja jednoznamenkastim brojem i množenje broja

dekadskom jedinicom, 10, 100 i 1 000 ukazujući na bitne elemente u tim množenjima. U okviru pripreme učenici će riješiti i 1. zadatak u udžbeniku i na osnovi rješenja obrazlagati kako se broj množi s 10, sa 100 i s 1 000.

Novo gradivo objašnjava se postupno množeći broj višekratnikom broja 10 (brojevima 30, 70 itd.), zatim višekratnikom broja 100 (brojevima 200, 500 itd.) te višekratnikom broja 1 000 (brojevima 4 000, 7 000 itd.). Objašnjavajući novo gradivo ukazuje se na zajedničke elemente u tim množenjima, a to su: višekratnici brojeva 10, 100 i 1 000, primjerice 40, 400, 4 000 rastavljaju se na umnoške 4 · 10, 4 · 100 odnosno 4 · 1 000. Prvi se faktor zatim množi jednoznamenkastim brojem, a dobiveni umnožak još brojem 10, 100 odnosno 1 000, tj. pripisivanje jedne, dviju odnosno triju nula. (Vidjeti 2., 4. i 6. zadatak u udžbeniku). Kao što se vidi, u početku se rastavljanje višekratnika zapisuje kako bi se postiglo razumijevanje, a kasnije se izvodi u mislima, zamišljanjem rastavljanja.

Nakon toga će učenici rješavati zadatke u udžbeniku, a u tijeku provjere obrazlagat će se način na koji se broj množi višekratnicima brojeva 10, 100 i 1 000.

2. sat

Nastavni listić L 27Osim ponavljanja sadržaja obrađenih na prethodnom nastavnom satu, u uvodnom dijelu sata treba riješiti po jedan

primjer množenja kao u 3. i 4. zadatku nastavnog listića. Riječ je, naime, o zadacima malo drukčije napisanim pa učenike na to valja upozoriti.

Tijekom provjere učeničkih rješenja u listiću provjeravat će se i njihova osposobljenost da govorom obrazlože množenje broja višekratnicima brojeva 10, 100, 1 000 i 10 000.


Cilj: Naučiti pismeno množiti višeznamenkaste brojeve (4 sata)

Iako pismeno množenje višeznamenkastih brojeva nije bitno različito od takva množenja dvoznamenkastih brojeva, ipak ga treba podrobno objašnjavati i sustavno usvajati. Zato ukazujem na nekoliko, s metodičkog gledišta, važnih djelatnosti.

Ponajprije, množenje tih brojeva također treba objašnjavati na duži i na kraći način jer to omogućuje razumijevanje glavnih elemenata algoritma pismenog množenja višeznamenkastih brojeva.

Novo gradivo treba izlagati tako da učenici shvate značenje pojedinih radnji, tj. da se prvi faktor množi brojevima dekadskih jedinica drugog faktora. Tako npr. u množenju brojeva 847 · 435 prvi se faktor (847) množi s 4 · 100, zatim s 3 · 10 i s 5, ili pak obratno, najprije s 5, zatim s 3 · 10 i s 4 · 100. Pritom bi učenici trebali znati da je ono što se izgovara kao 4 · 7 zapravo 400 · 7, da se množenje svodi na množenje jednoznamenkastih brojeva.

Kada je riječ o zapisu pismenog množenja, može se pitati što činiti s nulama u djelomičnim umnošcima? Treba li ih u tijeku objašnjavanja pisati ili ih odmah izostaviti? Dva su shvaćanja o tome. Prema jednom, nule se ne pišu, već se odmah izostavljaju, a prema drugom nule se u početku i još neko vrijeme zapisuju, dok učenici ne shvate njihovu ulogu. Iz metodičkih razloga valja se opredijeliti za potonje shvaćanje zato što omogućuje razumijevanje uloge nula u potpisivanju djelomičnih umnožaka. Nipošto nije dovoljno samo formalno naučiti kako se pojedini umnošci zapisuju za jedno mjesto ulijevo odnosno udesno, već treba znati zašto se tako postupa i na čemu se temelji takvo potpisivanje djelomičnih umnožaka. A to će se znati ako se ima na umu da, primjerice, u množenju

28

536 · 243

1072

2144

+ 1608

prvi djelomični umnožak iznosi 1072 stotice, a drugi 2144 desetice pa se zato umnožak desetica zapisuje za jedno mjesto udesno (jer su desetice za jedno mjesto desno od stotica). Tu činjenicu neki učenici shvate tek naknadno, u kasnijem školovanju (a neki nikada) pa se koriste formalističkim znanjem. Da bi se to izbjeglo, korisno je barem u početku u djelomičnim umnošcima pisati nule jer to olakšava razumijevanje množenja dijela umnoška dekadskim jedinicama 10, 100, 1 000... što se inače čini pomicanjem djelomičnih umnožaka ulijevo, odnosno udesno. Kad učenici shvate ulogu nula kao čuvara mjesta u tablici mjesnih vrijednosti i ulogu nule u zbrajanju, spontano će ih izostaviti, a djelomične umnoške ispravno potpisivati i bez nula.

1. sat

Udžbenik, 30. stranica i vježbenica, 21. stranicaBudući da je sadržaj učenja u ovom nastavnom satu pismeno množenje višeznamenkastih brojeva, u uvodnom dijelu

sata ponovit će se množenje dvoznamenkastih brojeva i ukazivati na sljedeće:

- prvi se faktor množi brojem desetica, a zatim brojem jedinica drugog faktora,

- djelomični umnošci potpisuju se jedan ispod drugoga i zatim zbrajaju.

Novo gradivo, množenje troznamenkastog broja dvoznamenkastim, objašnjava se na duži i na kraći način (vidjeti 1. zadatak), a sadržaj objašnjenja isti je kao pri množenju dvoznamenkastih brojeva. Dakle, prvi faktor se u oba postupka množi brojem desetica, a zatim brojem jedinica, a djelomični se umnošci zbrajaju.

Objašnjavanje se provodi uz aktivno sudjelovanje učenika, prvo objašnjenje izvodi učitelj (učenici promatraju izlaganje), a zatim ponovno učitelj uz istodobni rad učenika u bilježnicama. Bude li potrebno, izvest će se i više objašnjenja.

Vježbanje i ponavljanje množenja tih brojeva može se provesti tako da se zajedno s učenicima pročita i po potrebi dodatno objasni sadržaj prvog i drugog zadataka u udžbeniku. Nakon toga će učenici rješavati prvi do petog zadatka u vježbenici na 21. stranici. Tijekom vježbanja i ponavljanja valja paziti na potpisivanje djelomičnih umnožaka što će se postići i govornim obrazlaganjem postupka pismenog množenja.

29

2. sat

Udžbenik, 30. stranica i vježbenica, 21. stranicaNa ovom nastavnom satu obrađuje se pismeno množenje troznamenkastih i eventualno četveroznamenkastih brojeva

što je gotovo završni čin u učenju pismenog množenja u razrednoj nastavi. Budući da su učenici u prethodnom učenju usvojili bitne elemente pismenog množenja, sada predstoji da se to znanje prenese i na množenje višeznamenkastih brojeva.

Prema već poznatom metodičkom pravilu priprema učenika za neposredno učenje bit će ponavljanje pismenog množenja troznamenkastih i četveroznamenkastih brojeva dvoznamenkastim brojem, dakle gradivo prethodnog sata.

Pismeno množenje troznamenkastih brojeva također se objašnjava na duži i na kraći način (vidjeti 3. zadatak u udžbeniku). Kako je drugi faktor troznamenkasti broj, bit će tri djelomična umnoška koje treba ispravno potpisivati i zatim zbrojiti. Sadržaj objašnjenja, prema tome, glasi:

- prvi faktor množi se najprije brojem stotica, brojem desetica i napokon brojem jedinica drugog faktora,

- djelomični se umnošci zbrajaju, u kraćem postupku nule se mogu izostaviti, ali treba paziti na potpisivanje djelomičnih umnožaka.

Poslije nekoliko objašnjenja novoga gradiva, zajedničkim radom s učenicima pročitat će se i komentirati sadržaj 3. i 4. zadatka u udžbeniku. Pritom će se pokazati različito potpisivanje djelomičnih umnožaka u 4. zadatku, tj. za jedno mjesto ulijevo. Osobito valja naglasiti: ako se množi počevši od broja stotica drugog faktora, drugi i treći djelomični umnožak zapisuju se za jedno mjesto udesno jer se desetice i jedinice nalaze desno od stotica. Ako se pak množi počevši od broja jedinica drugog faktora, drugi i treći umnožak zapisuju se za jedno mjesto ulijevo zato što se desetice i stotice u tablici mjesnih vrijednosti nalaze lijevo od jedinica.

Vježbanje i ponavljanje obrađenoga gradiva provest će se samostalnim učeničkim radom u vježbenici rješavajući zadatke, od 5. do 12.

3. sat

Nastavni listić L 28Prije samostalnog rada učenika u nastavnom listiću, radeći frontalno sa svim učenicima, ponovit će se relevantno

predznanje:

- množenje višeznamenkastih brojeva uz govorno obrazlaganje postupka pismenog množenja,

- množenje broja višekratnikom dekadske jedinice, primjerice 42 · 30, 67 · 400 itd.,

- potpisivanje djelomičnih umnožaka, za jedno mjesto ulijevo, odnosno udesno,

- izostavljanje nula u djelomičnim umnošcima, zašto se mogu izostaviti (nula neutralni element u zbrajanju).

Osim toga riješit će se jedan ili dva primjera množenja kakvi se nalaze u 4. zadatku kako bi učenici shvatili sadržaj zadataka.

Nakon toga će učenici rješavati zadatke u nastavnom listiću, a tijekom provjere rješenja obrazlagat će se pojedini postupci pismenog množenja.

4. sat

Nastavni listić L 28/1Rješavanjem zadataka u ovom nastavnom listiću učenici se osposobljavaju u množenju troznamenkastih brojeva

polazeći od različitih dekadskih jedinica drugog faktora, a posljedica toga je različit poredak djelomičnih umnožaka. U uvodnom dijelu sata riješit će se dva, tri primjera množenja polazeći od različitih dekadskih jedinica drugog faktora. Primjer: redoslijed množenja označen je imenom dekadske jedinice S, D, J.

432 · 256 D S J 432 · 256 J S D 432 · 256 S J D

2160 2592 864

864 864 2592

+ 2592 + 2160 + 2160

110592 110592 110592

Nakon eventualno još jednog primjera takvog množenja učenici će rješavati zadatke u nastavnom listiću, a tijekom provjere uradaka obrazlagat će se različito potpisivanje djelomičnih umnožaka, zašto se potpisuju tako kako se potpisuju.

30

I, na kraju, još riječ-dvije o potpisivanju djelomičnih umnožaka što je najčešći uzrok formalističkom znanju pismenog množenja. Da bi se to suzbilo i potpisivanje djelomičnih umnožaka posve razumjelo, treba množiti polazeći od broja bilo koje dekadske jedinice drugog, a također i prvog faktora. Najčešće se množi polazeći od broja najveće ili najmanje dekadske jedinice drugog faktora, ali vrlo je dobro povremeno množiti različitim redoslijedom. Tako npr. brojeve 652 i 347 učenici mogu množiti počevši:

a) od jedinica, stotica, desetica drugog faktora

652 · 347

4564

1956

+ 2608

226244

b) od desetica, stotica, jedinica

652 · 347

2608

1956

+ 4564

226244

c) od stotica, jedinica te desetica

652 · 347

1956

4564

+ 2608

226244

d) od desetica, jedinica te stotica

652 · 347

2608

4564

+ 1956

226244

Množeći na različite načine učenici postupno uviđaju da se u svim množenjima nalaze iste radnje s brojevima, izvedene različitim redoslijedom. U skladu s tim i djelomični umnošci potpisuju se na odgovarajuće mjesto. Takva su vježbanja plodonosna jer omogućuju potpuno razumijevanje načina na koji se djelomični umnošci potpisuju, a također i brojevne vrijednosti pojedinog umnoška.


Cilj: Naučiti skraćene postupke pismenog množenja (4 sata)

Zbog uloge brojeva 1 i 0 u množenju te uloge nule u zbrajanju, pismeno množenje brojeva u kojima su brojevi 1 i 0 na mjestu pojedinih dekadskih jedinica može se skratiti. Postupak se skraćuje izostavljanjem jednog ili više djelomičnih umnožaka i, u nekim primjerima, crte ispod brojeva koji se množe. Skraćivanje postupka množenja objašnjava se tako da se prvo množi bez skraćivanja, a zatim na skraćeni način. Usporedbom obaju načina množenja shvaća se razlog skraćivanja.

1. sat

Udžbenik, 31. stranica, 1. i 3. zadatakNa ovom nastavnom satu učenici će učiti skraćeno množiti brojeve u kojih se broj 1 nalazi na mjestu najveće,

odnosno najmanje dekadske jedinice kao u primjerima 534 · 145, odnosno 635 · 341. U uvodnom dijelu sata množenjem troznamenkastih brojeva (456 · 245 i sl.) ponovit će se postupak pismenog množenja pazeći na potpisivanje djelomičnih umnožaka potpisujući ih za jedno mjesto udesno ili ulijevo.

31

Novo gradivo, skraćeni postupak pismenog množenja, objašnjava se na duži, a zatim na kraći način, ovako:

534 · 145

534

2136

+ 2670

77430

Objašnjenje glasi: prvi faktor (534) i prvi djelomični umnožak (534) napisani su istim znamenkama, ali različitih mjesnih vrijednosti; brojevna vrijednost prvog faktora je 534 jedinice, a prvog djelomičnog umnoška 534 stotice. Budući da su napisani istim znamenkama, prvi se faktor može uzeti i kao prvi djelomični umnožak. Zatim se množi brojem desetica i brojem jedinica, a djelomični se umnošci zapisuju za jedno, odnosno za dva mjesta udesno jer su desetice i jedinice desno od stotica. Skraćeno množenje izgleda ovako:

534 · 145

2136

+ 2670

77430

Da bi se postupak ispravno shvatio, izvest će se još nekoliko objašnjenja obrazlažući pritom zašto se množenje može skratiti.

Nakon toga učenici će riješiti 2. zadatak u udžbeniku, a zatim će se objašnjavati drugi dio novoga gradiva - skraćeno množenje brojeva u kojih je na mjestu jedinica drugog faktora broj 1, kao u ovom zadatku 453 · 231. Skraćivanje pretpostavlja znanje množenja brojem 1 (broj pomnožen s 1 ostaje nepromijenjen) i znanje množenja počevši od broja jedinica drugog faktora. Množenje bez kraćenja je ovakvo:

327 · 231

327

981

+ 654

75537

Prvi faktor (327) i prvi djelomični umnožak jednaki su brojevi jer 327 · 1 = 327 pa se množenje može skratiti tako da se s 1 ne množi jer broj pomnožen s 1 ostaje nepromijenjen. Prvi faktor postaje prvi djelomični umnožak, a da bi to mogao biti, izostavlja se crta. Zatim se množi brojem desetica i brojem stotica, djelomični umnošci zapisuju se za jedno mjesto ulijevo pa skraćeni postupak izgleda ovako:

327 · 231

981

+ 654

75537

Poslije još nekoliko objašnjenja učenici će radi vježbanja i ponavljanja riješiti 4. zadatak u udžbeniku, a tijekom provjeravanja njihovih uradaka, osim točnosti rješenja, tražit će se i govorno obrazlaganje skraćenog postupka množenja.

2. sat

Udžbenik, 31. stranica, 5. i 6. zadatakNa ovom nastavnom satu učenici će upoznati skraćeno množenje brojeva u kojih su na mjestu pojedinih dekadskih

jedinica nule, npr. 863 · 204, 456 · 320 i sl.

U uvodnom dijelu sata, zajedničkim radom sa svim učenicima, ponovit će se postupak skraćenog množenja obrađenog na prethodnom nastavnom satu uz detaljno obrazlaganje zašto se i kako se množenje skraćuje.

Prije obrade novoga gradiva na nekoliko primjera treba obnoviti učeničko znanje o ulozi nule u množenju i zbrajanju, tj. da je broj pomnožen nulom nula (7 · 0 = 0) te da nula pribrojena nekom broju ne mijenja taj broj (9 + 0 = 9). Novo gradivo objašnjavat će se na duži i na kraći način. Množenje bez skraćivanja, tj. na duži način izgleda ovako:

863 · 204

1726

000

+ 3452

32

176052

Pažnju učenika treba usmjeriti na djelomični umnožak napisan nulama uz objašnjenje da se može izostaviti jer nula pribrojena nekom broju ne mijenja taj broj. Sljedeći djelomični umnožak potpisuje se za dva mjesta udesno pa skraćeno množenje izgleda ovako:

863 · 204

1726

+ 3452

176052

Nakon daljnjih objašnjenja objasnit će se skraćivanje množenja kada je 0 na mjestu jedinica drugog faktora (6. zadatak u udžbeniku). I tu se izostavlja umnožak napisan nulama, ali se konačnom umnošku zdesna pripisuje 0 radi označavanja stupca jedinica.

Vježbanje i ponavljanje može se provoditi frontalnim radom kako bi se mogla dati dodatna objašnjenja, osobito o potpisivanju djelomičnih umnožaka. Ako se dogodi, a vjerojatno će se dogoditi, da svi učenici istodobno ne shvate postupke skraćenog množenja, treba ih uputiti da množe na duži način sve dok sami ne uoče mogućnost skraćivanja množenja.

3. sat

Vježbenica, 22. stranicaPriprema za rad u vježbenici bit će zajednički rad sa svim učenicima, ponovit će se svi prethodno obrađeni primjeri

skraćenog množenja: 542 · 165, 436 · 461, 726 · 405 i 524 · 520. Uz svaki primjer podrobno će se obrazlagati zašto se i kako se skraćuje postupak množenja.

Nakon pripreme učenici će rješavati zadatke u vježbenici, a rješenja će se potom komentirati i obrazlagati.

4. sat

Nastavni listić L 29U uvodnom dijelu sata ponavljat će se bitni elementi (dijelovi) skraćenog množenja. Rješavajući odgovarajući zadatak

na ploči obrazlagat će se skraćeno množenje i način na koji se potpisuju djelomični umnošci.

Kada se riješe zadaci u nastavnom listiću, uz provjeru točnosti rješenja provjeravat će se mogućnost učenika da govorom ispravno obrazlože mogućnost skraćivanja pismenog množenja.

5. sat

Kontrolni zadaci: Množenje u skupu brojeva do milijun Primjenjuju se s istom svrhom i na isti način kao prethodni.


Cilj: Upoznati trokut - vrste, crtanje i opseg trokuta (9 sati)

Obradom, vježbanjem i ponavljanjem gradiva ove nastavne cjeline učenici će stjecati sljedeće spoznaje: trokut je dio ravnine omeđen trima dužinama, vrste trokuta (raznostraničan, jednakostraničan, jednakokračan), crtanje trokuta te opseg trokuta.

1. sat

Udžbenik, 32. stranicaPriprema učenika za usvajanje novoga gradiva bit će obnavljanje učeničkog znanja o kutu, dužini i ravnini (što je kut,

vrste kutova, dužina - ravna omeđena crta, ravnina - ravna neomeđena ploha). Provodi se zajedničkim čitanjem i komentiranjem sadržaja 17., 20. i 21. stranice udžbenika, onoga što se prethodno o kutovima učilo.

33

Upoznavanje trokuta najprirodnije započinje obnavljanjem učeničkog iskustva o trokutu pronalaženjem trokuta na predmetima neposredne okoline: tornjevi, prometni znakovi, modeli piramide. Novo gradivo objašnjava se uz pomoć demonstracije trokuta nacrtanog na ploči, a sadržaj objašnjenja glasi:

- trokut je dio ravnine, u ovom primjeru ravnine ploče,

- trokut omeđuju tri dužine koje se nazivaju stranicama trokuta,

- trokut ima tri vrha, točke gdje se sastaju po dvije stranice,

- vrhovi trokuta obilježavaju se velikim tiskanim slovima A, B, C i sl.

- trokut ima tri kuta, kutovi se obilježavaju: kut (a, b). Promatrajući trokut i učenici će navoditi te sadržaje o trokutu što će ujedno biti i vrlo dobra govorna vježba. Sljedeći korak u obradi novoga gradiva je upoznavanje i imenovanje kutova trokuta.

Učenici će doznati da trokut može imati:

- tri šiljasta kuta,

- jedan pravi i dva šiljasta kuta,

- jedan tupi i dva šiljasta kuta (sve pokazati).

Da bi se potaklo učeničko mišljenje, dobro je postavljati pitanja poput ovih: može li trokut imati dva prava ili dva tupa kuta? Što bi u odnosu na riječ trokut mogla značiti riječ dvokut? Postoji li takav lik? Sve što učenici eventualno zamisle neka i nacrtaju kako bi svoje zamisli provjerili kao moguće ili nemoguće.

Vježbanje i ponavljanje obrađenoga gradiva može se provoditi promatranjem i opisivanjem crteža u udžbeniku, 1. i 3. zadatak, uočavajući pojedine trokute. Uz 3., 4. i 5. zadatak učenici će pročitati i obrazlagati bitna obilježja nacrtanih trokuta, tj. što je trokut, stranice i vrhovi trokuta, obilježavanje stranica i vrhova trokuta. Na trokutima treba uočiti različite kutove i zatim ih ispravno imenovati. Uz pomoć crteža u 4. zadatku obrazložit će se odnos točke i trokuta, tj. je li točka unutar, izvan trokuta ili je na rubu (stranici trokuta). Prigodom opisa crteža valja paziti na sadržaj učeničkog govornog izraza nastojeći da se točno izražavaju bez nepotrebnih i suvišnih riječi.

2. sat

Vježbenica, 23. stranicaSadržaj ove stranice vježbenice namijenjen je daljnjem izgrađivanju pojma trokut i trajnom usvajanju gradiva

obrađivanog na prethodnom nastavnom satu. Priprema učenika za samostalni rad u vježbenici bit će ponavljanje:

- o kutu: što je kut, vrste kutova,

- o trokutu: što je trokut, obilježavanje trokuta,

- o stranicama/dužinama koje omeđuju trokut,

- o kutovima trokuta, kakve i koje kutove imaju različiti trokuti,

- o vrhovima trokuta, što su i kako se obilježavaju.

Ponavljanje se može provesti promatrajući na ploči nacrtan trokut (jedan ili više) i obrazlaganjem bitnih obilježja pojma trokut, kako je navedeno u prethodnom tekstu. Taj rad treba upotpuniti dodatnim objašnjenjima koja će dijelu učenika biti potrebna. Nakon pripreme učenici će rješavati zadatke u vježbenici, a provjera uradaka pokazat će koliko su i kako su usvojili gradivo o trokutu, a podatak o tome bit će podloga za daljnji rad.

3. sat

Nastavni listići L 30 i L 30/1Priprema učenika za samostalni rad u listićima bit će potpuna ako se, zajedničkim radom sa svim učenicima, ponove

ovi sadržaji:

- ravnina; ravna neomeđena ploha,

- pravac; ravna neomeđena crta, crtanje pravca i obilježavanje pravca,

- dužina; ravna omeđena crta, krajnje točke dužine,

- trokut; trokut je...

- stranice trokuta; to su dužine koje omeđuju trokut,

- vrhovi trokuta; točke gdje se sastaju dvije stranice,

- kutovi trokuta; pravi, tupi, šiljasti.

34

Tijekom ponavljanja inzistirati na sadržajno ispravnoj govornoj formulaciji i na ispravnoj uporabi pojedinih termina te na razumijevanju pojmovnog sadržaja koji se terminom imenuje.

Nakon pripreme rješavaju se zadaci u nastavnim listićima, a rezultati se naknadno provjeravaju.

4. sat

Udžbenik, 33. stranicaSadržaji ove stranice udžbenika namijenjeni su izgradnji pojmova raznostraničan, jednakostraniča i jednakokračan

trokut. Najlakše i najbrže učenici usvajaju pojmove raznostraničan i jednakostraničan trokut, a teže i sporije jednakokračan trokut. Razlog je tome činjenica što se stranice toga trokuta, one jednake duljine, osim stranicama nazivaju i kracima po čemu taj trokut i dobiva ime. Teškoću čini to što se isti objekt naziva dužinom, stranicom i krakom. Zato valja nastojati na ispravnoj uporabi termina kojim se imenuje jednakokračan trokut. Nije dovoljno znati ime, termin kojim se imenuje pojedini trokut, već treba tražiti da se izreknu obilježja trokuta o kojem je riječ. Primjerice, uz termin jednakokračan trokut, osim ostalih oznaka, treba reći i oznaku jednakosti stranica, odnosno krakova.

U uvodnom dijelu sata ponavljat će se gradivo o trokutu, što je trokut, stranice, vrhovi i kutovi trokuta. Promatrajući trokut nacrtan na ploči opisuju se njegova obilježja što će, uz pomoć učitelja, učiniti nekoliko učenika.

Novo gradivo objašnjava se polazeći od onoga što su učenici o trokutu već naučili. Promatrajući tri trokuta: raznostraničan, jednakostraničan i jednakokračan, dakle, objašnjava se što im je zajedničko, a što je različito. Zajednička su im ova obilježja:

- svaki ovaj trokut dio je ravnine (ploče),

- svi su omeđeni dužinama koje nazivamo stranicama,

- svaki ima tri vrha i tri kuta.

Nasuprot zajedničkim, različita su im ova obilježja:

- stranice prvog trokuta različite su duljine (pokazati) pa se stoga zove raznostraničan trokut,

- stranice drugog trokuta jednake su duljine (pokazati), to je jednakostraničan trokut,

- dvije stranice trećeg trokuta jednake su duljine (nazivaju se i kracima) pa se stoga zove jednakokračan trokut.

Nakon još jednog ili dva objašnjenja pozvat će se pojedini učenici da, promatrajući trokute, pokušaju izreći njihova zajednička i različita obilježja. Bitno je da učenici shvate po čemu se ti trokuti razlikuju i da ih ispravno imenuju.

Vježbanje i ponavljanje provodi se učeničkim radom u udžbeniku gdje će mjerenjem stranica pojedinih trokuta upoznavati njihova obilježja i imena. Tijekom i nakon provjere učeničkih uradaka također će se navoditi obilježja svakog trokuta i obrazlagati kako se i zašto upravo tako nazivaju.

5. sat

Nastavni listić L 31Sadržaj nastavnog listića namijenjen je daljnjem utvrđivanju znanja o vrstama trokuta i njihovim obilježjima.

Priprema učenika za rad u nastavnom listiću može se provesti ovako: promatrajući raznostraničan, jednakostraničan i jednakokračan trokut (nacrtanih na ploči) opisuju se njihova zajednička i različita obilježja - trokuti su dijelovi ravnine, omeđeni su trima stranicama, imaju po tri vrha (vrh je...) i tri kuta (kut je...). Različita su im obilježja: različita duljina stranica i, zbog toga, različita imena. Uz to ponovit će se odnos točke i trokuta, točka unutar, izvan i na rubu trokuta (5. zadatak u listiću).

Nakon pripreme učenici će rješavati zadatke u nastavnom listiću, a tijekom provjere učeničkih uradaka, osim točnosti i obrazlaganja pojedinih rješenja, pažnju valja obratiti i na mjerenje dužina, odnosno stranica trokuta. Pritom ih treba podsjetiti da je mjerenje dužina uspoređivanje dužina, one koja se mjeri s onom kojom se mjeri (1 cm), da se mjerenjem dužini pridružuje broj, zove se mjerni broj i pokazuje koliko se jediničnih dužina od 1 cm nalazi u dužini koja se mjeri.

6. sat

Udžbenik, 34. stranicaUčenjem gradiva ove stranice udžbenika učenici se osposobljavaju u crtanju jednakostraničnog trokuta, dakle trokuta

sa stranicama jednake duljine. Za taj rad potreban je odgovarajući geometrijski pribor, ravnalo ili trokut i šestar.

35

U uvodnom dijelu sata, radeći sa svim učenicima, ponavljat će se sve što se učilo o trokutima, a to se može učiniti ovako: promatrajući na ploči nacrtane različite trokute - raznostraničan, jednakostraničan i jednakokračan - učenici će navoditi njihova pojedinačna, zajednička, a zatim različita obilježja. Bude li potrebno, a vjerojatno hoće, tijekom rada davat će se i dodatna objašnjenja.

Crtanje jednakostraničnog trokuta prvo će pokazati učitelj uz pažljivo promatranje učenika i to prema redoslijedu radnji kako su prikazane u udžbeniku (2. zadatak). Drugo objašnjenje bit će zajedničko crtanje, učitelj na ploči, a učenici u svojim bilježnicama. Svaku radnju koja se izvodi na ploči učenici će izvesti u svojim bilježnicama, učitelj će provjeriti točnost učeničkog rada i potom nastaviti izvođenjem sljedećih radnji. Nakon još dva, tri takva objašnjenja učenici će samostalno u bilježnicama crtati jednakostranične trokute. Tome radu treba posvetiti veliku pažnju i potrebno vrijeme nastojeći da crtež bude točan, uredan i lijep. Vrlo je dobro uvesti običaj da se svaki crtež obrazloži navođenjem bitnih obilježja jednakostraničnog trokuta i redoslijeda izvođenja pojedinih radnji pri crtanju toga trokuta.

7. sat

Udžbenik, 35. i 36. stranicaKao zasebna vrsta trokuta izdvaja se pravokutan trokut s ciljem da učenici shvate da taj trokut ima jedan pravi kut (zato se i

zove pravokutan trokut). To učenici relativno lako usvajaju, a teže se usvaja crtanje pravokutnog trokuta. Međutim, ako se zna, a moralo bi se znati, crtati okomite pravce, crtanje pravokutnog trokuta učenicima ne bi smjelo zadavati teškoće. Bitno je shvatiti redoslijed izvođenja pojedinih radnji, a u to će ih uputiti učiteljevo crtanje na ploči.

U uvodnom dijelu sata ponovit će se što se učilo o vrstama trokuta - raznostraničnom, jednakostraničnom, jednakokračnom - te crtanje jednakostraničnog trokuta.

Crtanje pravokutnog trokuta, uz pažljivo promatranje učenika, prvo će crtajući na ploči pokazati učitelj. Crtež se izvodi prema predlošku prikazanom u udžbeniku (2. zadatak) strogo pazeći na redoslijed pojedinih radnji. Sljedeće objašnjenje može biti tako da učitelj ponovno crta pravokutan trokut, dio po dio, a učenici istodobno crtaju trokut u svojim bilježnicama. Svaku djelomičnu radnju koju učenici izvedu učitelj će provjeriti i ispraviti eventualne nepravilnosti. Još jedno ili dva objašnjenja crtanja pravokutnog trokuta pomoći će učenicima da samostalno u svojim bilježnicama crtaju taj trokut. Paziti valja na točnost i urednost crteža, na povlačenje crta slijeva nadesno, na zašiljenost i pritisak olovke o podlogu.

Nakon toga zajedno s učenicima pročitat će se i prokomentirati sadržaj 36. stanice udžbenika, a radi provjere učinka nastavnog sata učenici će riješiti 3. zadatak u udžbeniku.

8. sat

Vježbenica, 25. stranica i nastavni listić L 32/1Prije učeničkog rada u vježbenici ponavljat će se sve što se učilo o trokutu, što su trokuti, čime su omeđeni, o

vrhovima i kutovima te o vrstama trokuta. Promatrajući različite trokute navodit će se i objašnjavati bitna obilježja pojedinih trokuta.

U uvodnom dijelu sata, uz pomoć učitelja, učenici će u svojim bilježnicama crtati pravokutan trokut navodeći uz crtež glavna obilježja toga trokuta. Nakon toga rješavat će zadatke u vježbenici i nastavnom listiću, a rješenja će se potom provjeriti i po potrebi komentirati.

9. sat

Udžbenik, 37. stranica i vježbenica, 26. stranicaZavršni čin u obradi gradiva ove nastavne cjeline je izgradnja pojma opseg trokuta, spoznaje da je opseg trokuta zbroj

duljina njegovih stranica. Priprema učenika za učenje novoga gradiva bit će ponavljanje gradiva o trokutu te o zbrajanju duljina (zbrajaju se tako da se zbroje mjerni brojevi, a oznaka za veličinu jedinične dužine dopiše se uz npr. 5 m + 7 m = 12 m ). Pri kraju pripreme učenici će riješiti 1. zadatak u udžbeniku.

Objašnjavanje novoga gradiva: na ploču se nacrta trokut, zatim se izmjere njegove stranice (jediničnom dužinom od 1 dm ili 1 cm),

36

- zbroje se duljine stranica trokuta i potom objasni: zbroj duljina stranica nacrtanog trokuta zove se opseg trokuta,

- opseg trokuta kraće se zapisuje: o = a + b + c. Učenici već znaju kako se zbrajaju duljine, tj. da se zbroje mjerni brojevi, a znak za jediničnu dužinu se pripiše. Izračunavanje opsega trokuta svodi se, prema tome, na zbrajanje duljina njegovih stranica što je zapravo primjena stečenog znanja.

Nakon objašnjavanja novoga gradiva učenici će rješavati zadatke u udžbeniku, a zatim i one u vježbenici. Pri provjeri učeničkih uradaka pažnju valja obratiti na razumijevanje, na činjenicu da se opseg trokuta izračunava zbrajanjem duljina njegovih stranica. To je bitno, jer kasnije će se učiti opseg pravokutnika i kvadrata pa se znanje opsega trokuta uspješno može prenositi na novo područje.

10. sat

Kontrolni zadaci: TrokutPrimjenjuju se istom svrhom i na isti način kao prethodni.

37

4.5. DIJELJENJE U SKUPU BROJEVA DO MILIJUN

Dijeljenje brojeva do milijun, najsloženija i učenicima najteža računska radnja, završni je čin u izgradnji pojma dijeljenja brojeva u razrednoj nastavi. Teškoće najčešće nastaju zbog nedostatka odgovarajućeg predznanja (tablica množenja i dijeljenja brojeva do 100) te zbog otežanog pronalaženja djelomičnih količnika u pismenom dijeljenju. Prvi korak u učenju dijeljenja brojeva do milijun mora stoga biti obnavljanje učeničkog znanja dijeljenja brojeva stečenog u drugom i trećem razredu. U trećem razredu učenici su usvojili glavne elemente postupka pismenog dijeljenja pa se to znanje može iskoristiti u učenju pismenog dijeljenja brojeva do milijun. Nov element u pismenom dijeljenju u četvrtom razredu samo je dijeljenje dvoznamenkastim brojem koje se izvodi na isti način kao dijeljenje jednoznamenkastim brojem.

Budući da je glavni sadržaj učenja ove nastavne cjeline postupak pismenog dijeljenja, obradom, vježbanjem i ponavljanjem usvajaju se ovi elementi algoritma:

- dijeljenje započinje od broja najveće dekadske jedinice (neovisno o tome je li djeljiva djeliteljem ili je manja od djelitelja),

- polazeći od toga određuje se prvi djelomični djeljenik i broj mjesta u količniku. Ako je prvi djeljenik primjerice broj stotica, u količniku će biti tri mjesta, ako je broj desetica, u količniku će biti dva mjesta itd.

- prvi se djeljenik dijeli djeliteljem i određuje prvi djelomični količnik,

- djelomični količnik množi se djeliteljem, taj se umnožak oduzima od djelomičnog djeljenika i utvrđuje se ostatak koji mora biti manji od djelitelja,

- na isti način dijeli se sljedeći djelomični djeljenik sve dok se ne podijele svi djelomični djeljenici,

- točnost dijeljenja provjerava se množenjem količnika i djelitelja, a ako postoji ostatak, tome se umnošku pribraja ostatak i dobiva se djeljenik.

Poseban slučaj u obradi toga gradiva je dijeljenje brojeva u kojih je broj najveće ili koje druge dekadske jedinice djeljenika manji od djelitelja kao u zadatku 357 : 5 gdje bi 3 stotice trebalo podijeliti s 5, što nije moguće. Nemogućnost da se to podijeli najbolje se ilustrira s 3 novčanice od 100 kuna uz pitanje kako ih podijeliti na 5 učenika? Gotovo svi znaju da ih prethodno treba promijeniti u novčanice po 10 kuna. Slično vrijedi za 3 stotice koje se preračunavaju u 30 desetica što zajedno s 5 desetica čini prvi djelomični djeljenik od 35 stotica koji se može podijeliti s 5. Na isti se način postupa ako je broj koje druge dekadske jedinice manji od djelitelja kao u zadatku 836 : 4. Tri desetice preračunavaju se u jedinice koje se zatim dijele, a u količniku se na mjestu desetica zapisuje 0.


Cilj: Naučiti pismeno dijeljenje brojeva do milijun (20 sati)

Prije sustavnog učenja pismenog dijeljenja brojeva do milijun dva, tri nastavna sata treba posvetiti obnavljanju predznanja potrebnog za novo učenje. Sadržaj toga ponavljanja je ono što su učenici o dijeljenju brojeva učili u drugom i trećem razredu s posebnim naglaskom na tablicu dijeljenja brojeva do 100 i na postupak pismenog dijeljenja brojeva do 1 000. Toj svrsi namijenjeni su sadržaji nastavnih listića L 34, L 34/1 i L 34/2 u kojima će učenici, nakon odgovarajuće pripreme, samostalno raditi.

1. sat

Nastavni listić L 34Ovaj je nastavni listić namijenjen provjeravanju i obnavljanju učeničkog znanja tablice dijeljenja brojeva do 100,

računske radnje koja bi morala biti usvojena do razine automatizacije tako da se izvodi točno, brzo, s malim sudjelovanjem svijesti i s malim naporom. Provjera znanja tablice dijeljenja brojeva do 100 može se provesti rješavanjem sljedećih zadataka:

24 : 4 = 40 : 5 = 24 : 6 = 42 : 7 = 40 : 8 = 36 : 9 =

21 : 3 = 32 : 4 = 48 : 6 = 63 : 7 = 56 : 8 = 31 : 9 =

36 : 4 = 35 : 5 = 36 : 6 = 35 : 7 = 72 : 8 = 63 : 9 =

27 : 3 = 42 : 6 = 54 : 6 = 40 : 7 = 64 : 8 = 72 : 9 =

24 : 3 = 45 : 5 = 30 : 6 = 58 : 7 = 32 : 3 = 54 : 9 =

38

Ovoj skupini zadataka svaki će učitelj dodati eventualno i ostale iz tablice dijeljenja ako procijeni da je potrebno. Provjerom učeničkih rješenja doznat će se stanje učeničkog znanja potrebnog za učenje pismenog dijeljenja brojeva do milijun.

Prije neposrednog učeničkog rada u listiću ponovit će se ovi sadržaji:

- obrazlaganje dijeljenja množenjem, 36 : 9 = 4 jer je...

- nazivi (imena) i uloga brojeva u dijeljenju: djeljenik je broj koji se dijeli, djelitelj je broj kojim se dijeli, količnik je broj koji se dijeljenjem izračunava,

- dijeljenje kao uzastopno oduzimanje jednog broja od zadanog broja, npr. broj 32 oduzimanjem podijeliti brojem 8, napisati jednakost dijeljenja i potom je obrazložiti.

Tijekom ponavljanja vjerojatno će biti potrebno dati dodatna objašnjenja kako bi se ispravile krive spoznaje i nadoknadile one koje nedostaju.

Poslije toga učenici će rješavati zadatke u listiću L 34, a preostane li vremena, sami će sastaviti slične zadatke i zatim ih riješiti.

2. sat

Nastavni listići L 34/1 i L 34/2I ovaj je nastavni sat namijenjen obnavljanju učeničkog znanja dijeljenja brojeva do 100. S obzirom na sadržaj

nastavnih listića, u uvodnom dijelu nastavnog sata ponavljat će se:

- tablica dijeljenja brojeva do 100,

- obrazlaganje dijeljenja množenjem, 48 : 8 = 6 jer je...

- uzastopno oduzimanje broja od zadanog broja pisati u obliku dijeljenja, npr. broj 6 oduzimati od broja 30 i to zapisati kao dijeljenje, dakle 30 : 6 = 5 jer je...

- dijeljenje zbroja brojem, (60 + 18) : 6 uz obrazlaganje: zbroj se dijeli brojem tako da se...

Nakon ponavljanja tih sadržaja učenici će samostalno rješavati zadatke u nastavnim listićima nakon čega slijedi provjera njihovih uradaka uz potrebna obrazlaganja.

Ako se procijeni da dva nastavna sata nisu dovoljna za uspostavu relevantnog predznanja (tablica dijeljenja i dr.), tome će se posvetiti još jedan nastavni sat.

3. sat

Udžbenik, 38. stranicaGradivo izloženo na ovoj stranici udžbenika učenicima nije nepoznato jer su u trećem razredu učili kako se zbroj

dijeli brojem.

Priprema učenika za učenje ovoga gradiva bit će ponavljanje množenja zbroja brojem, (8 + 5) · 6 uz podsjećanje: zbroj se množi brojem tako da se svaki pribrojnik tim brojem pomnoži, a djelomični se umnošci zbroje. Slijedom toga učenici će riješiti 1. zadatak u udžbeniku, a uz provjeru rješenja, govorom će se obrazlagati množenje zbroja brojem.

Polazeći od toga cilj nastavnog sata može se najaviti u obliku pitanja: ako znamo kako se zbroj dvaju brojeva množi brojem, možemo li uz pomoć toga znanja zbroj dvaju brojeva podijeliti brojem kao u ovom zadatku (20 + 15) : 5? Učenicima treba dati vremena da, koristeći se analogijom, pokušaju riješiti taj zadatak. Bit će različitih prijedloga, a posve sigurno i točnih rješenja, što će učitelj složiti u objašnjenje: zbroj se dijeli brojem tako da se pribrojnici tim brojem podijele, a količnici se zbroje, dakle: (20 + 15) : 5 = 20 : 5 + 15 : 5 = 4 + 3 = 7. Nakon rješenja još jednog ili dvaju sličnih zadataka učenici će samostalno rješavati zadatke dijeljenja zbroja brojem. Prethodno ih treba upozoriti na 5. zadatak u udžbeniku gdje prvo treba množiti, a zatim zbroj dijeliti brojem.

4. satUdžbenik, 39. stranica

Ovim nastavnim satom započinje sustavno učenje pismenog dijeljenja brojeva do milijun, a gradivo se usvaja u skladu s metodičkim načelom od lakšeg prema težem, od jednostavnog prema složenom. Najlakši su primjeri dijeljenja troznamenkastih brojeva u kojih su brojevi svih dekadskih jedinica djeljivi djeliteljem što je sadržaj učenja na ovom nastavnom satu.

U pripremnom dijelu nastavnog sata radi ponavljanja tablice dijeljenja učenici će riješiti 1. i 2. zadatak u udžbeniku, a zatim će se ponoviti glavni elementi algoritma pismenog dijeljenja rješavanjem dva, tri zadatka u kojih su brojevi svih

39

dekadskih jedinica djeljivi djeliteljem, 684 : 2, 963 : 3 i sl. Također treba riješiti i jedan zadatak oblika x · 2 = 684 uz objašnjenje: nepoznati faktor izračunava se dijeljenjem umnoška 684 poznatim faktorom 2 (veza množenja i dijeljenja).

Prije učeničkog rada u udžbeniku zajedno s učenicima pročitat će se sadržaj 3. zadatka uz objašnjenje postupka pismenog dijeljenja: najprije se dijeli broj stotica, zatim broj desetica i napokon broj jedinica. Govorimo i pišemo...

Nakon toga učenici će samostalno riješiti ostale zadatke u udžbeniku, a rezultati njihova rada će se provjeriti i na odgovarajući način komentirati.

5. sat

Udžbenik, 40. stranicaSadržaj učenja na ovom nastavnom satu je pismeno dijeljenje brojeva u kojih brojevi pojedinih dekadskih jedinica

nisu djeljivi djeliteljem, npr. 846 : 3. Dijeleći broj stotica pojavljuje se ostatak koji se preračunava u desetice i zatim se dijeli.

U uvodnom dijelu sata, radeći frontalno sa svim učenicima, ponovit će se dijeljenje brojeva u kojih su brojevi svih dekadskih jedinica djeljivi djeliteljem, npr. 684 : 2 uz kratko objašnjenje postupka dijeljenja.

Novo gradivo objašnjavat će se rješavanjem odgovarajućeg zadatka kao što je ovaj: 786 : 3 i sl. Posebno valja ukazati na ostatak koji se javlja u dijeljenju stotica, tj. na 1 stoticu (u ovom primjeru) koja se preračunava u 10 desetica; 10 desetica i 8 desetica je 18 desetica što se zatim dijeli djeliteljem. I, na kraju, dijeli se broj jedinica i dobiva konačni količnik. Kao što se vidi, već poznatom dodaje se dio znanja o preračunavanju djelomičnog ostatka u neposredno manju dekadsku jedinicu.

Nakon još jednog ili dva objašnjenja učenici će samostalno rješavati zadatke u udžbeniku. Pažnju valja obratiti na primjere u 6. zadatku gdje treba izračunati nepoznati faktor dijeljenjem umnoška poznatim faktorom (veza množenja i dijeljenja).

6. sat

Nastavni listić L 39Sadržaj nastavnog listića namijenjen je vježbanju i ponavljanju pismenog dijeljenja, a prije učeničkog rada u listiću

zajedno sa svim učenicima ponavljat će se ovi sadržaji:

- pismeno dijeljenje brojeva koje se obrađivalo na prethodnim nastavnim satima kao npr. 936 : 3, 426 : 5 i sl.,

- točnost dijeljenja provjeriti množenjem količnika i djelitelja, npr. 963 : 3 = 321 jer je 321 · 3 = 963,

- rješavanje zadataka riječima u kojima se javlja pismeno dijeljenje, pronaći što je u zadatku poznato, što je nepoznato, kako doznati što je nepoznato i sl.,

- vezu množenja i dijeljenja, izračunavanje nepoznatog faktora dijeljenjem umnoška poznatim faktorom (6. zadatak u listiću). Nakon ponavljanja tih sadržaja učenici će rješavati zadatke u nastavnom listiću, a rezultati će se potom provjeriti.

7. sat

Udžbenik, 41. stranicaOstatak u dijeljenju pojedinih dekadskih jedinica, stotica i desetica učenici su već upoznali preračunavajući ga u

neposredno manju dekadsku jedinicu. O ostatku koji se javlja nakon dijeljenja svih dekadskih jedinica, dakle na kraju dijeljenja, na ovom će nastavnom satu učenici doznati:

- zašto ostatak mora biti manji od djelitelja,

- kakva mu je uloga u provjeravanju točnosti dijeljenja.

S obzirom na takav sadržaj učenja, u uvodnom dijelu sata ponavljat će se isto gradivo kao na prethodnom satu, a nakon toga objašnjavat će se zašto ostatak mora biti manji od djelitelja te kakva mu je uloga u provjeri točnosti dijeljenja.

Da bi učenici shvatili zašto ostatak mora biti manji od djelitelja, treba ih podsjetiti da je dijeljenje uzastopno oduzimanje broja od zadanog broja. To se može učniti na dva načina:

a) dijeljenjem 17 predmeta (kocaka, bojica i sl.) na 5 učenika: uzima se 5 predmeta i svakom daje po 1, ponovno se uzima 5 predmeta i svakom daje po 1 itd. Rezultat dijeljenja bit će: svaki je učenik dobio 3 predmeta, a 2 su predmeta ostala nepodijeljena. To je ostatak jer 2 predmeta ne mogu se podijeliti na 5 učenika.

b) uzastopnim oduzimanjem broja, primjerice, 8 od broja 30 pišući: 30 - 8 = 22, 22 - 8 = 14, 14 - 8 = 6. Broj 6 je ostatak jer od broja 6 se ne može oduzeti broj 8. Znakovima pišemo: 30 : 8 = 6 i ostatak 6.

40

Kakva je pak uloga ostatka u provjeri točnosti dijeljenja može se objasniti na primjeru dijeljenja 428 : 5 = 85 i ostatak 3. Dakle, 85 · 5 = 425 + 3 = 428. Umnošku količnika i djelitelja pribraja se ostatak i dobiva djeljenik.

Nakon tih objašnjenja učenici će rješavati zadatke u udžbeniku, a tijekom provjeravanja njihovih uradaka podrobno će se obrazlagati činjenice o ostatku, tj. zašto mora biti manji od djelitelja i kakva mu je uloga u provjeri točnosti dijeljenja.

8. sat

Udžbenik, 42. stranicaSadržaj učenja na ovom nastavnom satu je dijeljenje brojeva u kojih su brojevi stotica ili desetica manji od djelitelja

kao u ovim primjerima 479 : 5, odnosno 738 : 4. Budući da su brojevi stotica odnosno desetica manji od djelitelja, ne mogu se njime podijeliti, već se preračunavaju u neposredno manju dekadsku jedinicu - broj stotica preračunava se u desetice, a broj desetica u jedinice.

U uvodnom dijelu sata, na jednom ili dva primjera, ponovit će se dijeljenje brojeva u kojih se javlja ostatak i pritom će se obrazlagati postupak pismenog dijeljenja i činjenice o ostatku - zašto mora biti manji od djelitelja i njegova uloga u provjeri točnosti dijeljenja.

Prvo će se objašnjavati dijeljenje brojeva u kojih je broj stotica manji od djelitelja, npr. 368 : 5. Objašnjenje glasi: dijeljenje započinjemo od najveće dekadske jedinice, u ovom primjeru od 3 stotice; kako 3 stotice ne možemo podijeliti s 5 (npr. petorici učenika), 3 stotice preračunavamo u desetice pa je prvi djeljenik 36 desetica što se može podijeliti s 5. Daljnje dijeljenje odvija se prema poznatom redoslijedu. Poslije objašnjavanja učenici će rješavati primjere dijeljenja u 2. zadatku, a tijekom provjere učeničkih uradaka obrazlagat će se zašto i kako se stotice preračunavaju u desetice.

Sljedeće gradivo koje se objašnjava je dijeljenje brojeva u kojih su brojevi desetica manji od djelitelja, npr. 642 : 6. Sadržaj objašnjenja sličan je prethodnom uz napomenu da 4 desetice ne možemo podijeliti sa 6 pa ih stoga preračunavamo u jedinice i potom dijelimo. Možda će biti potrebno još jedno objašnjenje, a nakon toga učenici će rješavati primjere dijeljenja u 5. zadatku, a u provjeri tih rješenja obrazlagat će se postupak dijeljenja slično kao u prethodnom gradivu.

9. sat

Udžbenik, 43. stranicaOva stranica udžbenika donosi dvije, dijelom već poznate čestice znanja: dijeljenje brojeva u kojih su brojevi nekih dekadskih

jedinica nule (svodi se na ulogu nule u dijeljenju) i, drugo, skraćivanje zapisa pismenog oduzimanja (izostavljanjem zapisa oduzimanja umnoška količnika i djelitelja od djelomičnog djeljenika). Kad je riječ o nuli na mjestu neke dekadske jedinice kao npr. u zadatku 806 : 4, dijeljenje tih brojeva ne bi smjelo činiti teškoće uz uvjet da se zna uloga nule u dijeljenju, tj. činjenica da je 0 : 7 = 0 jer je 0 · 7 = 0. Što se tiče skraćivanja zapisa pismenog dijeljenja, riječ je o tome da se oduzimanje umnoška količnika i djelitelja od djeljenika izvodi napamet, u mislima, a zapisuje se samo razlika.

U uvodnom dijelu sata, radi obnavljanja učeničkog znanja o dijeljenju nule nekim brojem, riješit će se nekoliko karakterističnih zadataka, primjerice 0 : 9 = 0 jer je 0 · 9 = 0, ili pak 0 : 10 = 0 jer je 0 · 10 = 0 itd. Na osnovi takvih dijeljenja formulira se zaključak: nula podijeljena nekim brojem je nula.

Novo gradivo, dijeljenje brojeva s 0 na mjestu neke dekadske jedinice, primjerice 708 : 7 objašnjava se na uobičajeni način uz napomenu da 0 desetica podijeljeno sa 7 je 0 što se u količniku i zapisuje na mjestu desetica. Na isti se način objašnjava ako je 0 na mjestu jedinica, npr. 630 : 3, tj. 0 jedinica podijeljeno s 3 je 0 pa se u količniku na mjestu jedinica zapisuje 0. Poslije tih objašnjenja učenici će riješiti primjere dijeljenja brojeva u 8. zadatku, a tijekom provjere podrobno će se obrazlagati dijeljenje takvih brojeva.

Skraćivanje zapisa pismenog dijeljenja (izostavljanjem zapisa djelomičnih radnji) valja pomno objašnjavati jer tim se činom postupak još više formalizira što može rezultirati nerazumijevanjem, tj. formalističkim znanjem. Zapis oduzimanja umnoška količnika i djelitelja od djeljenika služio je boljem razumijevanju, a nakon što su učenici do sada naučili može se pretpostaviti da razumiju algoritam pismenog dijeljenja pa se cijeli zapis može skratiti. Smatraju li neki učenici da im je lakše dijeliti pišući cijeli postupak, ne treba ih prisiljavati na skraćivanje jer to će i sami učiniti kad se uvjere da mogu i bez toga.

Novo gradivo objašnjava se u tablici mjesnih vrijednosti i izvan tablice:

Objašnjenje glasi: 8 stotica podijeljeno s 3 je 2; 2 puta 3 je 6 i 2 je 8; 25 podijeljeno s 3 je 8, 8 · 3 je 24 i 1 je 25; 16 podijeljeno s 3 je 5, 5 puta 3 je 15 i 1 je 16. Kao što se vidi, umnožak količnika i djelitelja od djeljenika se oduzima tzv, aditivnim postupkom: 2 puta 3 je 6 i 2 je 8 što je učenicima već poznato. Ako pak nije svima poznato, prije obrade novoga gradiva to znanje treba ukratko obnoviti.

41

Vjerojatno će biti potrebno još objašnjenja kako bi se skraćeno zapisivanje pismenog postupka posve i ispravno shvatilo. Nakon toga učenici će rješavati primjere dijeljenja u 10. i 11. zadatku, a zajedničkom analizom s učenicima točnost i razumijevanje pismenog dijeljenja tih brojeva.

10. sat

Udžbenik, 44. stranicaSadržaj ove stranice udžbenika uvodi učenike u postupak pismenog dijeljenja četveroznamenkastih brojeva, u

postupak koji učenici u osnovi već poznaju.

U uvodnom dijelu sata, zajedno sa svim učenicima, ponovit će se relevantno gradivo:

- pismeno dijeljenje troznamenkastih brojeva (dijeljenje počinje od broja najveće dekadske jedinice...) itd.,

- ako je broj najveće dekadske jedinice manji od djelitelja kao u zadatku 583 : 7, preračunava se u neposredno manju dekadsku jedinicu, u ovom primjeru u desetice.

Nakon pripreme objašnjavat će se novo gradivo. Osobito pažljivo treba objašnjavati dijeljenje brojeva u kojih je broj najveće dekadske jedinice manji od djelitelja, npr. 3468 : 5 gdje se 3 tisućice preračunavaju u stotice, prvi djeljenik su 34 stotice, a količnik će biti troznamenkasti broj. Nakon dva, tri takva objašnjenja učenici će rješavati zadatke na 44. stranici udžbenika, a prije rada valja ih upozoriti na primjere dijeljenja u 6. zadatku gdje je broj tisućica manji od djelitelja.

11. sat

Udžbenik, 45. stranicaU ovom nastavnom satu peteroznamenkasti brojevi dijelit će se jednoznamenkastim brojem pa će se u uvodnom dijelu

sata ponoviti pismeno dijeljenje četveroznamenkastih brojeva i to oni u kojih su brojevi tisućica manji od djelitelja, 5378 : 7 i sl. uz objašnjenje preračunavanja broja tisućica u stotice. Koristeći se tim znanjem cilj nastavnog sata može se najaviti ovako: ako znamo dijeliti brojeve u kojih je broj tisućica manji od djelitelja, možemo li pomoću toga znanja dijeliti brojeve u kojih je broj desettisućica manji od djelitelja, kao u ovom zadatku 35768 : 6? Poticaj razmišljanju može biti: 3 desettisućice ne možemo podijeliti na 6 pa moramo...? Dobro je dopustiti učenicima da sami pokušaju naći odgovor, a nakon toga njihovi će se prijedlozi sažeti u objašnjenje: 3 desettisućice preračunavaju se u tisućice, prvi djeljenik je 35 tisućica, a to se može podijeliti sa 6. Također je dobro zapitati učenike: ako je prvi djeljenik 35 tisućica, koliko će znamenaka imati količnik? Usmjerenje na ispravan odgovor može biti i pitanje: na kojm se mjestu (u tablici mjesnih vrijednosti) nalaze tisućice. Ili, ako se dijele tisućice, što se u količniku dobiva? Ili još određenije: ako se dijele kune, što se u količniku dobiva? Takva i slična pitanja potiču učenike na razmišljanje što u konačnici dovodi do boljeg razumijevanja i kvalitetnijeg znanja.

Nakon objašnjenja učenici će rješavati zadatke u udžbeniku na 45. stranici uz upozorenje na sadržaj 12. zadatka kojim se provjerava znanje o ostatku u dijeljenju brojeva. Možda će biti potrebno i podsjećanje na sadržaj pojma petine (11. zadatak), tj. na broj koji se dobije dijeljenjem brojem 5.

12. sat

Nastavni listići L 40 i L 40/1Sadržaji ovih listića namijenjeni su trajnom usvajanju postupka dijeljenja višeznamenkastih brojeva. U uvodnom

dijelu sata radi pripreme učenika ponovit će se ovi sadržaji:

- dijeljenje višeznamenkastih brojeva jednoznamenkastim brojem te provjeravanje točnosti dijeljenja množenjem,

- dijeljenje višeznamenkastih brojeva u kojih su brojevi najveće dekadske jedinice (od kojih dijeljenje započinje) manji od djelitelja kao u primjerima 4765 : 7, 35789 : 5 i sl.,

- s obzirom na 8. zadatak u L 40 i na 4. zadatak u L 40/1, učenike treba podsjetiti kako će rješavati te zadatke (množenjem količnika djeliteljem i pribrajanjem ostatka).

Slijedi učenički rad u nastavnim listićima, a tijekom provjere njihovih uradaka posebno komentirati rješenja od 5. do 8. zadatka u nastavnom listiću L 40/1.

13. sat

Vježbenica, 27. stranica

42

I ovaj je sat namijenjen daljnjem usvajanju algoritma pismenog dijeljenja i to rješavanjem zadataka na ovoj stranici vježbenice. No prije toga treba ponavljati staro gradivo i to:

- pismeno dijeljenje višeznamenkastih brojeva i to onih u kojih su brojevi najveće dekadske jedinice manji od djelitelja (2., 3. i 5. zadatak u vježbenici),

- izračunavanje trećine i polovine broja (7., 11. i 12. zadatak),

- kakav mora biti ostatak u dijeljenju i koji brojevi mogu biti ostatak ako je djelitelj npr. 8, 4, 7 i sl.

Nakon ponavljanja tih sadržaja učenici će rješavati zadatke u vježbenici, a tijekom provjere uradaka pojedina će se rješenja na odgovarajući način komentirati.

14. satUdžbenik, 46. stranica

Sadržaj ove i sljedeće stranice udžbenika uvodi učenike u pismeno dijeljenje dvoznamenkastim brojem, u gradivo za učenike razredne nastave najsloženije i najteže. Prije metodičke interpretacije toga gradiva ukazujem na nekoliko, s metodičkog stajališta, važnih činjenica.

Budući da se dvoznamenkastim brojem pismeno dijeli na isti način kao jednoznamenkastim, predmet objašnjavanja je postupak koji su učenici već upoznali dijeleći jednoznamenkastim djeliteljem. S metodičkog stajališta u učenju ovoga gradiva bitne su dvije činjenice: određivanje prvog djelomičnog djeljenika i prvog djelomičnog količnika. O tim djelatnostima i o načinu kako se učenicima prezentiraju znatno ovisi hoće li se to gradivo usvajati otežano i s nedovoljnim razumijevanjem ili s potpunim razumijevanjem i s manjim teškoćama. Promotrimo na primjerima različitih zadataka o čemu je riječ.

7486 : 23 26527 : 32

Prvi korak u objašnjavanju dijeljenja tih brojeva je tumačenje načina na koji se određuje prvi djelomični količnik. Kako dijeljenje započinje od broja najveće dekadske jedinice djeljenika, vidljivo je da se u prvom primjeru 7 tisućica ne može podijeliti s 23, a u drugom primjeru 2 desettisućice ne mogu se podijeliti s 32 pa se moraju izvršiti odgovarajuća preračunavanja: 7 tisućica u 70 stotica, a 2 desettisućice u 20 tisućica što uz 6 tisućica čini 26 tisućica koje se također ne mogu podijeliti s 32 pa se preračunavaju u 260 stotica što s 5 stotica daje 265 stotica. Time je ujedno određen i prvi djelomični djeljenik - u prvom primjeru to su 74 stotice, a u drugom primjeru 265 stotica. Time je također određen i broj mjesta u količniku, u oba primjera količnik će biti troznamenkasti broj jer se dijele stotice, a one su na trećem mjestu u tablici mjesnih vrijednosti.

Da bi učenici potpuno razumjeli kako se određuje prvi djelomični djeljenik, preporučljivo je taj dio pismenog dijeljenja posebno objasniti i uvježbavati. Postave se odgovarajući zadaci, primjerice 3825 : 6, 45832 : 7 i sl., zatim se određuju prvi djelomični djeljenici uz, dakako, objašnjavanje preračunavanja koja se pritom izvode.

Vrlo je dobro uz tu radnju povezati onu koja iz nje proizlazi, a to je određivanje broja mjesta u količniku. Kad se utvrdi da je prvi djeljenik, primjerice 53 stotice ili pak 68 tisućica, nije teško uočiti da će u prvom slučaju količnik imati tri, a u drugom četiri znamenke, bit će dakle troznamenkast odnosno četveroznamenkast broj. Te radnje unose smisao i razumijevanje u postupak pismenog dijeljenja, učenici postupno shvaćaju zašto je prvi djeljenik dvoznamenkast ili troznamenkast broj te kakav će biti količnik.

Što se pak pronalaženja djelomičnih količnika tiče, učenici bi ih trebali pronalaziti množenjem djelitelja djelomičnim količnikom. Pritom treba postupati heuristički, tražeći broj kojim će se množiti djelitelj da bi se dobio djeljenik (ako je višekratnik djelitelja) ili najveći višekratnik djelitelja koji je manji od djelomičnog djeljenika. Tako se u prvom primjeru traži broj kojim se množi djelitelj (23) da bi se dobio djeljenik, odnosno najveći višekratnik broja 23 koji je manji od 74. U drugom pak primjeru traži se broj kojim se množi djelitelj 32 da bi se dobio djeljenik ili najveći višekratnik djelitelja koji je manji od 265.

Pronalaženje djelomičnih količnika zahtjevan je i za učenike dosta težak intelektualni rad pa ga valja obazrivo i postupno uvoditi dajući im vremena da izvrše sva potrebna množenja. Glavni uvjet uspješnosti toga rada je, dakako, znanje tablice dijeljenja te množenja dvoznamenkastog broja (djelitelja) jednoznamenkastim brojem. Bez toga sve ide mnogo teže i mnogo sporije.

Osim množenjem, djelomične količnike učenici mogu, ako žele, pronalaziti i uzastopnim oduzimanjem djelitelja od djelomičnog djeljenika. Tako u prvom primjeru djelitelj 23 zaokružen na 20, lako se oduzima od broja 74 (prvi djeljenik): 74 manje 20 je 54, 54 manje 20 je 34, 34 manje 20 je 14. Djelomični količnik je, dakle, 3 jer se djelitelj 23 može 3 puta oduzeti od broja 74. Slično se, dakako, može postupati i u drugom primjeru uzastopno oduzimajući broj 30 od broja 265 (prvi djeljenik).

43

Tražeći djelomične količnike učenici se mogu koristiti i zbrajanjem. U prvom primjeru djelitelj zaokružen na 20 uzastopno se zbraja: 0 više 20 je 20, 20 više 20 je 40, 40 više 20 je 60 što znači da je djelomični količnik broj 3. U drugom primjeru uzastopno bi se zbrajao djelitelj zaokružen na 30.

Sve u svemu, učenike treba poticati da pronalaze i vlastite puteve do djelomičnih količnika. Takvi poticaji vrlo su plodotvorni jer pozitivno djeluju na razvijanje stvaralaštva razvijajući u učenika divergentno mišljenje, svojstvo mišljenja koje obogaćuje intelektualne procese.

A sada se vraćamo 46. stranici udžbenika!

Kao što se iz sadržaja vidi, prvi korak u pismeno dijeljenje dvoznamenkastim brojem je dijeljenje višekratnicima broja 10, npr. s 20, 30, 40 itd. Razlog je tome činjenica što se množenjem tih brojeva jednoznamenkastim brojem (što učenici već znaju) relativno lako pronalazi djelomični količnik. Zato će se u uvodnom dijelu sata rješavanjem nekoliko zadataka kao npr. 40 · 5, 20 · 8 i sl. obnoviti potrebno predznanje o množenju višekratnika broja 10 jednoznamenkastimn brojem.

Dijeljenje dvoznamenkastim brojem objašnjava se u tablici i izvan tablice, npr.

Objašnjenje glasi: 8 stotica ne možemo podijeliti s 20 pa ih preračunavamo u desetice. Prvi djeljenik je 84 desetice; 84 desetice podijeljeno s 20 je 4 desetice; preostale 4 desetice preračunavamo u jedinice pa imamo 43 jedinice koje dijelimo s 20, to je 2 i ostatak 3.

Kao što se vidi, postupak dijeljenja dvoznamenkastim brojem isti je kao dijeljenje jednoznamenkastim brojem. Bitno je učenike upućivati da djelomične količnike pronalaze množenjem djelitelja jednoznamenkastim brojevima što u ovim primjerima neće biti teško. Sljedeće objašnjenje uz istodobno sudjelovanje učenika također treba izvesti u tablici mjesnih vrijednosti i potom izvan nje. Da bi se pospješilo razumijevanje, u početku se oduzimanje umnoška količnika i djelitelja u cijelosti zapisuje (2. zadatak u udžbeniku), a kad učenici shvate postupak, taj se zapis može napustiti.

Tijekom obrade i ponavljanja ovoga gradiva dobro je uvesti običaj da se svako dijeljenje provjeri množenjem, da se načini pokus. Na taj će se način dijeljenje obrazlagati množenjem što će dvije radnje spajati u jedinstvenu spoznajnu cjelinu.

Poslije objašnjavanja novoga gradiva učenici će rješavati zadatke na 46. stranici udžbenika, a tijekom provjere njihovih uradaka obrazlagat će se pojedina rješenja.

15. sat

Udžbenik, 47. stranicaGradivo ove stranice udžbenika uvodi učenike u dijeljenje ostalim dvoznamenkastim brojevima. Za početak neka to

budu manji brojevi, primjerice 12, 15, 13 i sl. kako bi učenici lakše pronalazili djelomične količnike, a kasnije će to biti i veći brojevi. Priprema učenika za učenje novoga gradiva bit će ponavljanje onoga što se učilo na prethodnom nastavnom satu, dijeljenje višekratnicima broja 10, dakle s 30, 50, 20 itd.

Novo gradivo također će se objašnjavati u tablici mjesnih vrijednosti, a zatim izvan tablice. U objašnjenju osobito valja ukazivati na dvije radnje: određivanje prvog djeljenika i na pronalaženje djelomičnih količnika (množenjem). Dijeljenje tih brojeva objašnjavat će se na više primjera uz aktivno sudjelovanje učenika kako bi se postiglo ispravno i potpuno razumijevanje.

Četvrti zadatak u udžbeniku potrebno je zajedno s učenicima pročitati i podrobno obrazlagati postupak dijeljenja, a nakon toga učenici će rješavati ostale zadatke. Tijekom rada uslijedit će i dodatna objašnjenja, osobito učenicima kojima je to potrebno.

16. sat

Vježbenica, 28. stranicaSadržaj ove stranice vježbenice namijenjen je vježbanju i ponavljnju dijeljenja dvoznamenkastim brojem i to

rješavanjem tekstualnih zadataka i zadataka brojevima (numerički zadaci). Prije rada u vježbenici ponovit će se dijeljenje dvoznamenkastim brojem kako bi se još jednom objasnili glavni dijelovi pismenog dijeljenja tih brojeva s osobitim obzirom na određivanje djelomičnih količnika.

Također učenike valja upozoriti na pojedine zadatke riječima (2. i 6.) i posebno na 7. gdje treba izračunavati nepoznati faktor (dijeljenjam umnoška poznatim faktorom). Tijekom provjere učeničkih uradaka, bude li potrebno, pojedina rješenja podrobnije će se komentirati.

44

17. sat

Nastavni listići L 41, L 41/1, L 41/2 i L 41/3Procijeni li učitelj da je potrebno još vježbati i ponavljati pismeno dijeljenje brojeva, može se tome posvetiti još jedan

ili dva nastavna sata, a podloga tome radu mogu biti spomenuti listići.

18. sat

Udžbenik, 48. stranicaI u četvrtom razredu učenici uče kako se rješavaju zadaci u kojima se nalazi više računskih radnji koristeći se u

najvećoj mjeri već stečenim znanjem o redoslijedu njihova izvođenja. Novo je samo to što će sada te računske radnje izvoditi i u skupu brojeva većih od tisuću.

Prije učeničkog rada u udžbeniku, u uvodnom dijelu sata i radeći sa svim učenicima, ipak valja obnoviti učeničko znanje o redoslijedu izvođenja računskih radnji. Na ploču se može postaviti zadatak sličan onome u udžbeniku (1. zadatak) kako bi se osvijestila spoznaja o tome da prvo treba riješiti izraz u zagradi, zatim množiti i dijeliti, a potom zbrajati, odnosno oduzimati. Ukazat će se i na to da su množenje i dijeljenje računske radnje 2. stupnja, a zbrajanje i oduzimanje računske radnje 1. stupnja.

Nakon pripreme učenici će samostalno rješavati zadatke u udžbeniku uz povremeno podsjećanje na to kojim se redom izvode pojedine računske radnje. Provjera učeničkih uradaka dobra je prigoda da se odgovarajućim govornim obrazlaganjem vanjska radnja (redoslijed izvođenja) postupno prenosi na misaono područje, tako da se u svijesti može rekonstruirati ono što se u realnosti čini s brojevima. Za to su osobito pogodni primjeri izvođenja računskih radnji u 2. i 3. zadatku u kojima se, osim različitih računskih radnji, javljaju i zagrade.

19. sat

Nastavni listić L 42Sadržaj listića namijenjen je trajnom usvajanju redoslijeda izvođenja računskih radnji. Za samostalni rad u listiću

učenici će se pripremiti ponavljanjem relevantnog starog gradiva i to na način kako je učinjeno na prethodnom nastavnom satu.

20. sat

Kontrolni zadaci: Dijeljenje u skupu brojeva do milijun Primjenjuju se na isti način i s istom svrhom kao i prethodni.


Cilj: Upoznati pravokutnik i kvadrat (7 sati)

Tijekom prethodnog školovanja učenici su dijelom upoznali pravokutnik i kvadrat imenujući ih i vizualno razlikujući od drugih likova. Obnavljanje učeničkog iskustva o tim likovima bit će dobra podloga za proširivanje i produbljivanje znanja o njima.

O pravokutniku i kvadratu učenici će stjecati ove spoznaje: što je pravokutnik, što su stranice, vrhovi i kutovi pravokutnika, zatim što je kvadrat, crtanje pravokutnika i kvadrata te izračunavanje opsega pravokutnika i kvadrata. Objašnjavanje, vježbanje i ponavljanje novoga gradiva izvodi se kako slijedi.

1. sat

45

Udžbenik, 49. i 50. stranicaSadržaji ovih stranica udžbenika upoznat će učenike s pravokutnikom kao dijelom ravnine te stranicama, vrhovima i

kutovima pravokutnika.

U pripremnom dijelu sata ukratko će se obnoviti učeničko znanje o trokutu; promatrajući na ploči nacrtan trokut utvrđuje se: trokut je dio ravnine, omeđen je trima stranicama, ima tri vrha i tri kuta (vrhovi su točke u kojima se sastaju po dvije stranice, kut je dio ravnine omeđen dvama polupravcima koji imaju zajedničku početnu točku). Promatrajući različite trokute utvrdit će se da trokut može biti raznostraničan (sve su stranice različite duljine), jednakostraničan (sve stranice jednake duljine) i jednakokračan (dvije stranice jednake duljine i nazivaju se kracima trokuta).

Promatrajući pravokutnik nacrtan na ploči te koristeći se analogijom i učeničkim znanjem o trokutu, objašnjavat će se novo gradivo:

- pravokutnik je dio ravnine (kao i trokut),

- pravokutnik je omeđen četirima stranicama, po dvije su nasuprotne i usporedne (paralelne) nemaju zajedničkih točaka,

- po dvije stranice međusobno su okomite, imaju zajedničku točku, to su susjedne stranice,

- pravokutnik ima četiri vrha u kojima se sastaju po dvije stranice,

- pravokutnik ima četiri kuta, a svaki je pravi kut pa otuda ime pravokutnik. Kutovi pravokutnika su pravi kutovi jer ih određuju međusobno okomite susjedne stranice. Koristeći se znanjem o pravokutnom trokutu učenici mogu provjeriti jesu li u pravokutniku svi kutovi doista pravi, tj. provjerit će jesu li susjedne stranice međusobno okomite.

Sva ta objašnjenja valja temeljiti na promatranju i pokazivanju pojedinih obilježja pravokutnika (stranice, vrhovi i sl.) i na ispravnom govornom obrazlaganju.

Posebna spoznaja o pravokutniku je spoznaja o kvadratu, o pravokutniku kojemu su sve stranice jednake duljine. Uspoređujući crtež pravokutnika i kvadrata jasno treba ukazati na ono što im je zajedničko i što je različito. Zajednička su im ova obilježja: dijelovi su ravnine, omeđenost četirima stranicama, okomitost susjednih i paralelnost nasuprotnih stranica, oba imaju četiri prava kuta. Razlika je samo to što su u kvadrata sve stranice jednake duljine.

Objašnjenje će se, naravno, morati ponoviti više puta jer riječ je o gradivu čije se učenje temelji na promatranju crteža i na govornoj interpretaciji vizualnih percepcija. Zato valja biti strpljiv i dosljedan u nastojanju da svi učenici usvoje bitne oznake u pojmu pravokutnik, odnosno kvadrat.

Vježbanje i ponavljanje uz pomoć udžbenika u početku se može provoditi zajedničkim radom sa svim učenicima uz dodatna objašnjenja zadataka označenih crvenom bojom (novo gradivo). Ostale zadatke učenici će rješavati samostalno uz eventualnu pomoć učitelja.

2. sat

Vježbenica, 29. stranicaPrije učeničkog rada u vježbenici u uvodnom dijelu sata radeći frontalno sa svim učenicima treba temeljito ponoviti

sve ono što se kao novo gradivo objašnjavalo na prethodnom nastavnom satu. Promatrajući crteže pravokutnika i kvadrata ponavljat će se, prema tome, ovi sadržaji:

- što je pravokutnik, odnosno kvadrat (dio ravnine),

- omeđenost pravokutnika i kvadrata (stranice),

- susjedne stranice (međusobno okomite), nasuprotne stranice (međusobno paralelne),

- vrhovi pravokutnika i kvadrata (vrh je točka...),

- kutovi pravokutnika i kvadrata (koliko ih je i kakvi su),

- kvadrat (dio ravnine omeđen četirima stranicama jednake duljine),

- zajednička i različita obilježja pravokutnika i kvadrata.

Tijekom ponavljanja valja nastojati na točnom i ispravnom učeničkom govornom izražavanju. Svaki termin: stranice, kutovi, vrhovi i sl. ima točno određen pojmovni sadržaj koji se govorom mora ispravno reproducirati. Dosljednim nastojanjem na tome postižu se dva vrlo vrijedna odgojna rezultata: razvija se učenički govorni izraz i, njegov korelat, učeničko mišljenje.

Nakon temeljite pripreme učenici će samostalno rješavati zadatke u vježbenici, a tijekom provjere od učenika će se zatražiti da obrazlože sadržaj pojedinih termina - pravokutnik, kvadrat i sl.

46

3. sat

Udžbenik, 51. stranicaNakon usvajanja bitnih oznaka pojmova pravokutnik i kvadrat slijedi učenje crtanja tih dvaju likova čime se učenici,

uz ostalo, osposobljavaju u ispravnom služenju geometrijskim priborom i u izvođenju elementarnih geometrijskih crteža.

Crtanje pravokutnika i kvadrata složene su i zahtjevne radnje jer uključuju niz specifičnih djelatnosti. U uvodnom dijelu sata ponovit će se crtanje okomitih pravaca, crtanje pravog kuta i pravokutnog trokuta. Bez dobrog vladanja tim radnjama nije moguće crtati pravokutnik i kvadrat. Posebnu pažnju valja posvetiti crtanju usporednih i okomitih pravaca i korištenju geometrijskog pribora (trokuta, ravnala).

Kako se crtaju pravokutnik i kvadrat prvo će, dakako, pokazati učitelj crtajući na ploči prema redoslijedu radnji kako su prikazane u 3. zadatku u udžbeniku. Crta se postupno, dio po dio, kako bi se s razumijevanjem usvojile sve djelomične radnje. Nakon prvog objašnjenja slijedi zajedničko crtanje, učitelj na ploči, a učenici u svojim bilježnicama postupno izvodeći dio po dio crteža. Pritom valja provjeravati kako su učenici izveli pojedine radnje kako bi se već u početku ispravile krive i netočne radnje. Završni čin u tom procesu je govorna interpretacija crteža navođenjem svih bitnih obilježja pravokutnika i kvadrata: omeđenost dijela ravnine, okomitost susjednih stranica, paralelnost nasuprotnih stranica, četiri vrha i četiri prava kuta.

Crtanju pravokutnika i kvadrata, osim pažnje na točnost izvođenja crteža, treba posvetiti i potrebno vrijeme čemu je namijenjen preostali dio nastavnog sata. Valja paziti na čistoću i urednost crteža, a svaki nacrtani pravokutnik, odnosno kvadrat opisati navođenjem bitnih obilježja, kako je već spomenuto.

4. sat

Vježbenica, 30. stranicaDaljnjem vježbanju i ponavljanju gradiva o pravokutniku i kvadratu namijenjen je ovaj sat i gradivo ove stranice

vježbenice.

U pripremnom dijelu sata ponavljat će se sadržaji o pravokutniku i kvadratu: što su ti likovi (dio ravnine), čime su omeđeni (stranicama, dužinama), susjedne stranice (imaju zajedničku točku i međusobno su okomite), kutovi (imaju četiri prava kuta), kvadrat je pravokutnik čije su stranice jednake duljine. Promatrajući crteže pravokutnika i kvadrata obrazlažu se njihova bitna obilježja. Nastojati na točnosti i potpunosti učeničkog izražaja.

U tom dijelu nastavnog sata ukratko će se ponoviti crtanje pravokutnika i kvadrata pokazujući (na ploči) i obrazlažući redoslijed izvođenja pojedinih radnji.

Nakon toga rješavaju se zadaci u vježbenici uz prethodno upozorenje na urednost i ljepotu crteža, nagib olovke prema podlozi, na pritisak olovke na papir (ne smije biti prejak) te na izvor svjetla koje bi trebalo dolaziti s prednje strane kako debljina trokuta/ravnala ne bi pravila sjenu.

Crteže u učeničkim bilježnicama valja potom provjeriti (točnost izvođenja) i opisati njihova glavna obilježja.

5. sat

Udžbenik, 52. stranicaSljedeća spoznaja o pravokutniku i kvadratu je spoznaja o opsegu tih likova, što je opseg i kako se izračunava. To i

nije posve novo gradivo jer učenici su već naučili izračunavati opseg trokuta. Ono što je bitno, a zajedničko je trokutu i pravokutniku, je činjenica da je opseg zbroj duljina stranica koje omeđuju pravokutnik, odnosno kvadrat. Ipak, postupno i oprezno treba uvoditi postupak za izračunavanje opsega tih likova. Ne treba inzistirati na pamćenju formula, važnije od toga je razumijevanje postupka jer bez toga bi to znanje bilo formalističko što nije poželjan rezultat učenja u početnoj nastavi matematike.

U pripremnom dijelu sata ukratko će se ponoviti što se učilo o opsegu trokuta (37. str. udžbenika) kako bi se iskoristio transfer učenja, tj. prenošenje postojećeg znanja u novo učenje. To se može učiniti mjerenjem stranica na ploči nacrtanog trokuta i zbrajanjem mjernih brojeva stranica.

Objašnjavanje opsega pravokutnika i kvadrata neposredno se može izvesti iz znanja opsega trokuta - decimetrom se izmjere stranice na ploči nacrtanog pravokutnika, zbroje se mjerni brojevi stranica i zatim objasni: zbroj duljina stranica nacrtanog pravokutnika je opseg pravokutnika. Kraće se to zapisuje o = 2 · a + 2 · b, odnosno 4 · a (opseg kvadrata). Vrlo je dobro usporediti zapis izračunavanja opsega pravokutnika i kvadrata potanko objašnjavajući značenje pojedinih dijelova zapisa.

Daljnji rad bit će vježbanje i ponavljanje izračunavanja opsega pravokutnika i kvadrata čemu su namijenjeni zadaci u udžbeniku i oni koje će postavljati učitelj, a i sami učenici.

47

6. i 7. sat

Vježbenica, 31. stranica i nastavni listići L 44 i L 45 Sadržaji vježbenice i nastavnih listića namijenjeni su daljnjem utvrđivanju znanja o pravokutniku i kvadratu. Prije

učeničkog rada u vježbenici i nastavnim listićima u uvodnom dijelu svakog sata ponavljat će se ovi sadržaji:

- pravokutnik i kvadrat kao dijelovi ravnine,

- omeđenost pravokutnika i kvadrata (stranice - susjedne međusobno okomite, nasuprotne međusobno usporedne),

- vrhovi kao točke u kojima se sastaju po dvije stranice,

- kutovi pravokutnika i kvadrata, koliko ih je i kakvi su,

- kvadrat, pravokutnik čije su stranice jednake duljine,

- opseg pravokutnika i kvadrata, što je opseg i izračunavanje opsega tih likova.

Ponavljanje se provodi na podlozi promatranja pravokutnika i kvadrata te govornim obrazlaganjem bitnih obilježja tih likova. Nakon takve sveobuhvatne pripreme učenici će samostalno i uz nužnu pomoć učitelja rješavati zadatke u vježbenici i nastavnim listićima, a tijekom provjeravanja njihovih uradaka komentirat će se pojedina rješenja.


Cilj: Upoznati mjerenje površine pravokutnika i kvadrata (8 sati)

O mjerenju površina učenici će stjecati ove spoznaje:

- mjerenje površina je uspoređivanje jedne površine (koja se mjeri) s drugom, standardnom površinom kojom se mjeri,

- mjerenjem se površini pridružuje broj koji se zove mjerni broj i pokazuje koliko se jediničnih površina nalazi u površini koja se mjeri,

- upoznaju se jedinične površine: 1 mm2, 1 cm2, 1 dm2, 1 m2, 1 ha, 1 km2,

- izgrađuje se pojam ploština površine - ploština se shvaća kao svojstvo površine koje se doznaje mjerenjem i izračunavanjem - usvaja se postupak izračunavanja ploštine pravokutnika i kvadrata,

- učenici se osposobljavaju u primjeni znanja o mjerenju površina rješavanjem zadataka iz dnevnog života.

Da bi se postigli ti ciljevi, preporučljivo je mjerenje površina obrađivati ovim redoslijedom: na prvom nastavnom satu obrađuju se jedinice za mjerenje površina (jedinične površine), na drugom satu objašnjava se mjerenje površina i izgrađuje pojam ploština površine, a na trećem nastavnom satu izlaže se i usvaja postupak izračunavanja ploštine pravokutnika i kvadrata.

1. sat

Udžbenik, 53. stranicaUpoznavanje jedinica za mjerenje površina dobro je započeti uočavanjem potrebe za mjerenjem površina, u

konkretnom primjeru površine pravokutnika, odnosno kvadrata. U tu svrhu promatrat će se dva pravokutnika za koje se slobodnom procjenom može reći koji je veći, a koji je manji. Pritom se ukazuje na zavisnost izmedu veličine površine pravokutnika i veličine njegovih stranica: što su stranice veće, veća je i površina, odnosno što su stranice manje, manja je i površina. Poslije, kada se budu izračunavale ploštine pravokutnika, taj će se odnos iskazivati matematičkim znakovima u zapisu P = a · b, a osnovica za razumijevanje njegova značenja postavlja se već u početku učenja mjerenja površina.

Nakon toga promatrat će se dva pravokutnika za koje se slobodnom procjenom ne može utvrditi koji je veći, a koji je manji. Mogu to biti pravokutnici duljine stranica, primjerice 5 dm i 3 dm, odnosno 7 dm i 2 dm ili pak sa stranicama duljine 4 dm i 5 dm, odnosno 6 dm i 3 dm. Budući da se ne može reći koji je veći, a koji je manji, nastaje pitanje: kako to doznati? Odgovor glasi: mjerenjem površine pravokutnika. No odmah se javlja i pitanje: čime mjeriti površinu pravokutnika? Da bi se razmišljanje učenika usmjerilo pravim putem, treba ih podsjetiti da se dužine mjere dužinama (jediničnim dužinama), da se masa mjeri masom (jediničnom masom), da se vrijeme mjeri vremenom. Stvori li se takav slijed razmišljanja, vrlo je vjerojatno da će, zaključujući po analogiji, otkriti da se površine mjere površinama i upravo je to dobra podloga za upoznavanje jediničnih površina.

Za upoznavanje jediničnih površina svaki bi učenik trebao imati iz tvrđeg papira izrezan kvadrat sa stranicom duljine 1 cm, učitelj će imati kvadrat sa stranicom duljine 1 dm, a na ploči će biti izložen kvadrat sa stranicom duljine 1 m. Pokazujući kvadrat sa stranicom duljine 1 dm, objašnjavat će se:

- stranice toga kvadrata su duljine 1 dm (provjerit će se mjerenjem stranice),

48

- kvadrat čije su stranice 1 dm nazivamo kvadratnim ili četvornim decimetrom i služi za mjerenje površina; naglasiti da se samo takav kvadrat naziva tim imenom,

- kvadrat sa stranicom duljine 1 dm nazivamo jediničnom površinom (kvadratom) jer mu se pridružuje broj 1. Korisno je ukazati na sličnost s jediničnim dužinama kojima se također pridružuje broj 1,

- oznaka za kvadratni decimetar je 1 dm2. Znamenka 1 označava duljinu stranice kvadrata, a oznaka dm2 označava veličinu jedinične površine.

Radeći na isti način i navodeći te sadržaje objasnit će i ostale jedinične površine: kvadratni centimetar, kvadratni metar, kvadratni milimetar, hektar i kvadratni kilometar.

U zaključku objašnjavanja jediničnih površina treba težiti generalizaciji, općoj spoznaji o tome da je primjerice kvadratni ili četvorni metar kvadrat stranice duljine 1 m te da služi za mjerenje površina. To isto trebalo bi utvrditi za svaku jediničnu površinu nastojeći da učenici shvate da su to kvadrati čije su stranice 1 cm, 1 dm, 1 m, 1 km te da samo takvi kvadrati služe za mjerenje površina.

Nakon tih objašnjenja slijedi vježbanje i ponavljanje koje se može provoditi ovako: promatrajući od papira izrezane ili na ploči nacrtane kvadratni centimetar, kvadratni decimetar, kvadratni metar učenici će opisivati njihova obilježja, primjerice kvadratni centimetar (decimetar, metar) je kvadrat čije su stranice 1 cm (1 dm, 1 m) i služi za mjerenje površina. Zapisuje se 1 cm2 (l dm2, 1 m2) i čita: jedan kvadratni centimetar (jedan kvadratni decimetar, jedan kvadratni metar). Valja ustrajati na ispravnim govornim formulacijama kako bi se postiglo potpuno razumijevanje gradiva koje se usvaja.

Sadržaj 53. stranice udžbenika zajedno će se s učenicima pročitati i obrazlagati (osobito sadržaj tablice) sa svrhom da učenici razlikuju jedinične površine od oznaka kojima se obilježavaju.

2. sat

Udžbenik, 54. stranicaUvodna napomena: Sljedeći korak u obradi mjerenja površina je upoznavanje ploštine pravokutnika i kvadrata. Do

pojma ploštine dolazi se mjerenjem površine ili izračunavanjem. Iz metodičkih i spoznajnih razloga pojam ploštine izgrađuje se mjerenjem površine, a kad učenici posve shvate što je ploština površine, prelazi se na njezino izračunavanje.

Može se zapitati zašto se pojam ploštine započinje izgrađivati mjerenjem površine, a ne izračunavanjem. Razlog je tome činjenica što se mjerenjem površine izgrađuje spoznaja o mjerenju kao uspoređivanju dviju površina, one koja se mjeri i one kojom se mjeri, te spoznaja da se mjerenjem površini pridružuje broj, mjerni broj. Da bi se to ispravno shvatilo, mora se pokazati da postoji nešto što se mjeri (površina pravokutnika) i nešto što se mjerenjem doznaje (ploština), tj. svojstvo omeđene površine.

Da bi se, dakle, mjerenjem došlo do ploštine pravokutnika, treba mjeriti njegovu površinu. Mjereći površinu učenici će postupno razumijevati da je ploština svojstvo površine koje se doznaje mjerenjem, a kasnije i izračunavanjem.

U uvodnom dijelu sata ukratko će se ponoviti što se na prethodnom satu učilo o jediničnim dužinama, što su i čemu služe, a nakon toga objašnjavat će se novo gradivo.

Mjerenje površine najpogodnije se objašnjava mjereći kvadratnim decimetrom na ploči izložen ili nacrtan pravokutnik. Mjerit će se pravokutnici čija površina nije velika (da se ne gubi mnogo vremena), primjerice pravokutnici duljine stranica 5 dm i 2 dm ili duljine stranica 4 dm i 2 dm i sl. Radi se ovako: uz donju stranicu pravokutnika prisloni se kvadratni decimetar i obilježi dio površine pravokutnika koju prekriva kvadratni decimetar (vidjeti 2. zadatak na 54. stranici udžbenika). Zatim se prekriva i obilježava sljedeći dio površine pravokutnika i tako sve dok se ne izmjeri cijela površina pravokutnika. Brojenjem se potom utvrđuje da pravokutnik sadrži npr. 10 dm2; to je ploština pravokutnika.

Kad se na taj način izmjeri površina pravokutnika i zapiše ploština, provodi se metodička analiza mjerenja i objašnjava:

- mjereći površinu pravokutnika uspoređuje se jedna površina (pravokutnika) s drugom površinom (kvadratnim decimetrom),

- mjerenjem se površini pridružuje broj koji se zove mjerni broj koji pokazuje koliko se kvadratnih decimetara nalazi u površini pravokutnika,

- mjerenjem površine pravokutnika doznaje se njegova ploština, primjerice 10 dm2 koja pokazuje koliko je velika površina koja se mjeri,

- ploština se zapisuje znakovima npr. 8 dm2 pri čemu je 8 mjerni broj, a dm2 je oznaka za veličinu jedinične površine. Nakon objašnjenja učenici će kvadratnim centimetrom izmjeriti površine pravokutnika na 54. stranici udžbenika. Mjerit će prislanjajući kvadratni centimetar površinom pravokutnika i obilježavajući (dobro zašiljenom olovkom) dio površine prekriven kvadratnim centimetrom. Zatim se zapisuje ploština i objašnjavaju rezultati i postupak mjerenja: mjerenjem se uspoređuju dvije površine, mjerenjem se pronalazi mjerni broj i doznaje ploština koja pokazuje koliko je velika površina

49

pravokutnika. Takva metodička analiza vrlo je važna i ne bi smjela izostati jer cjelokupnom radu daje pravi smisao, a mjerenju nužnu intelektualnu elaboraciju.

3. sat

Udžbenik, 55. str. (1. zad.) i vježbenica, 32. str. (1. do 4. zad.) Posljednji korak u metodičkoj interpretaciji mjerenja površine pravokutnika i kvadrata je izračunavanje ploštine

njihove površine. Temelji se na učeničkom iskustvu o mjerenju površine jer mjereći površinu neki su razmišljali o tome kako i nije jednostavno i lako mjerenjem doznati ploštinu pravokutnika. Tu se javlja pitanje: može li se kako drukčije i na lakši način saznati veličina površine pravokutnika, tj. njegova ploština. I upravo iskustvo i teškoće u mjerenju površine jesu poticaj traženju lakšeg i bržeg načina otkrivanja ploštine pravokutnika i kvadrata. Učenike se može zapitati: ako znamo duljine stranica pravokutnika, možemo li nekako, primjerice računanjem, doznati kolika mu je ploština? Možda će neki učenici, nakon iskustva s mjerenjem površine, pomisliti da se ploština može doznati i računskim putem.

Poticaj za razmišljanje može biti promatranje odnosa između mjernih brojeva stranica pravokutnika i mjernog broja njegove ploštine. Promotri li se nekoliko tih odnosa, primjerice 3 cm i 5 cm... 15 cm2, ili pak 3 cm i 4 cm... 12 cm2, može se pretpostaviti da će neki učenici otkriti vezu između brojeva 3 i 5 te 15, odnosno 3 i 4 te 12. Na to ih može potaknuti i promatranje broja redova i broja stupaca te broja jediničnih kvadrata dobivenih mjerenjem površine pravokutnika.

Glavni je, prema tome, uvjet za izračunavanje ploštine poznavanje duljine stranica pravokutnika i znanje množenja mjernih brojeva što učenici, dakako, znaju. Zbog toga je izračunavanje ploštine pravokutnika učenicima relativno lako uz uvjet da posjeduju odgovarajuće predznanje. Pritom je vrlo važno da izračunavanje ploštine ispravno govorom izraze: ploština se izračunava množenjem mjernih brojeva stranica pravokutnika, odnosno kvadrata.

Nakon objašnjenja kako se izračunava ploština pravokutnika i kvadrata vježbanje i ponavljanje provodi se rješavanjem zadataka u udžbeniku (1. zadatak) i u vježbenici od 1. do 4. zadatka. Tome su mogu dodati i zadaci riječima, primjerice, izračunaj ploštinu pravokutnika čije su stranice...

4. sat

Udžbenik, 55. str. (2. do 6. zad.) i vježbenica, 32. str. (5. do 8. zad.)Sadržaji ovih stranica namijenjeni su osposobljavanju učenika u preračunavanju većih jediničnih površina u manje i

manjih u veće. No prije toga objašnjavat će se odnosi između jediničnih površina počevši od kvadratnog milimetra do kvadratnog kilometra.

Koristeći se izračunavanjem ploštine kvadrata objašnjavat će se:

1 cm2 sadrži 100 mm2 jer je 10 mm puta 10 mm = 100 mm2

1 dm2 sadrži 100 cm2 jer je 10 cm puta 10 cm = 100 cm2

1 m2 sadrži 100 dm2 jer je 10 dm puta 10 dm = 100 dm2

1 ha sadrži 10 000 m2 jer je 100 m puta 100 m = 10 000 m2

1 km2 sadrži 1 000 000 m2 jer je 1 000 m puta 1 000 m = 1 000 000 m2

To su temeljni odnosi poznavanje kojih omogućuje preračunavanje većih jediničnih površina u manje i manjih u veće. Budući da su ta preračunavanja učenicima relativno teška i zahtjevna, treba ih podrobno i postupno objašnjavati.

Preračunavanje jediničnih površina temeljit će se, prema tome, na dobrom znanju odnosa među njima. Da bi se, primjerice 1 dm2 preračunao u kvadratne centimetre, učenici mogu razmišljati: kvadratni decimetar je kvadrat sa stranicom od 10 cm, a 10 cm puta 10 cm je 100 cm2. Ili preračunavanje 1 m2 u kvadratne decimetre: kvadratni metar je kvadrat sa stranicom od 10 dm, a 10 dm puta 10 dm je 100 dm2. Dakle, 1 m2 = 100 dm2. Itd.

Nakon tih i ostalih objašnjenja pročitat će se i prokomentirati sadržaji od 2. do 6. zadatka u udžbeniku ukazujući pritom na odnose između pojedinih jediničnih površina.

Radi vježbanja i ponavljanja učenici će potom rješavati 5. i 6. zadatak u vježbenici, a bude li vremena, i ostale zadatke.

5. sat

Nastavni listić L 46Ovaj nastavni sat i nastavni listić namijenjeni su daljnjem utvrđivanju znanja o jediničnim površinama i odnosima

među njima. U uvodnom dijelu sata podrobno će se, zajedničkim radom sa svim učenicima, ponavljati ovi sadržaji:

- što su jedinične površine (kvadrati sa stranicama od 1 mm, 1 cm, 1 dm , 1 m...),

50

- što je hektar (kvadrat sa stranicom od 100 m),

- što je kvadratni kilometar (kvadrat sa stranicom od...),

- odnosi među jediničnim površinama: 1 dm2 = 100 cm2 itd. Prigodom ponavljanja inzistirat će se na ispravnom i točnom govornom obrazlaganju zahtjevom za pravilnom uporabom pojedinih termina.

Poslije toga ponavljanja učenici će rješavati zadatke u nastavnom listiću, a provjeravanje njihovih uradaka bit će prigoda za ispravljanje netočnih rješenja i krivih spoznaja o jediničnim površinama i odnosima među njima.

6. sat

Nastavni listić L 48Ovim nastavnim listićem vježbaju se i ponavljaju dva bitna sadržaja - izračunavanje opsega i ploštine pravokutnika i

kvadrata. Zato će se u uvodnom dijelu nastavnog sata, na jednom ili dva primjera, ponavljati izračunavanje opsega i ploštine pravokutnika i kvadrata ukazujući pritom na razlike u sadržaju tih pojmova i u postupku izračunavanja. Opseg je zbroj duljina stranica pravokutnika i kvadrata, a izračunava se zbrajanjem mjernih brojeva stranica. Ploština je veličina površine, a izračunava se množenjem mjernih brojeva susjednih stranica pravokutnika i kvadrata.

Prije učeničkog rada u listiću potanko ih treba obavijestiti o sadržajima 3., 4. i 5. zadatka gdje se izračunava i opseg i ploština zemljišta koje ima oblik pravokutnika. Iako su vizualno različiti od prethodnih zadataka, ipak sve se svodi na izračunavanje opsega i ploštine pravokutnika i kvadrata.

Tijekom provjere učeničkih uradaka bit će zanimljivo vidjeti kako su učenici rješavali pojedine zadatke, osobito one različitih pravokutnika. To će biti i prigoda da se još jednom obrazloži razlika između opsega i ploštine pravokutnika i kvadrata i načina na koji se izračunavaju.

7. sat

Vježbenica, 33. stranicaSadržaj ove stranice vježbenice uvodi učenike u računanje s ploštinama, radnju koju su učenici dijelom već upoznali

računajući s duljinama. Tom su prigodom naučili da se duljine zbrajaju tako da se zbroje mjerni brojevi, a oznaka za veličinu jedinične dužine pripiše se uz zbroj.

Uz pomoć tog znanja vrlo lako i brzo shvatit će kako se računa s ploštinama - tako da se zbroje, oduzmu, pomnože mjerni brojevi ploština, a rezultatu se pripiše oznaka za jediničnu površinu. Primjer: 45 m2 + 30 m2 = 75 m2. Itd.

U zajedničkom radu s učenicima riješit će se po jedan, dva zadatka računanja s ploštinama, a nakom toga učenici će samostalno rješavati zadatke u vježbenici. Tijekom provjere učeničkih rješenja obavezno treba zahtijevati obrazloženje postupka, tj. načina na koji se s ploštinama računa.

8. sat

Nastavni listić L 48/1S obzirom na sadržaj nastavnog listića, u uvodnom dijelu nastavnog sata ponavljat će se ovi sadržaji:

- preračunavanje jediničnih površina, 1 m2 = 100 dm2 itd.,

- izračunavanje opsega i ploštine pravokutnika i kvadrata,

- računanje s ploštinama.

Uz svaki sadržaj treba riješiti jedan, dva primjera zadataka uz govorno obrazlaganje. Nakon toga učenici će rješavati zadatke u nastavnom listiću, a za vrijeme provjere pažnju obratiti rješenjima 6., 7. i 8. zadatka.

9. sat

Kontrolni zadaci: Pravokutnik i kvadratPrimjenjuju se na isti način i s istom svrhom kao prethodni.


Cilj: Upoznati kvadar, mjerenje i izračunavanje volumena (8 sati)

51

Ono što su učenici tijekom školovanja naučili o kvadru i kocki, a to je uglavnom vizualno razlikovanje od drugih geometrijskih tijela i ispravno imenovanje, u četvrtom se razredu proširuje i produbljuje novim spoznajama o tome što je kvadar, što su strane, bridovi i vrhovi kvadra, što je kocka, te mjerenje i izračunavanje volumena kvadra i kocke. Obrada, vježbanje i ponavljanje toga gradiva izvodi se prema sljedećem metodičkom rasporedu.

1. sat

Udžbenik, 56. stranicaPrvi korak u novo učenje je obnavljanje učeničkog iskustva o kvadru i kocki razgovorom o predmetima oblika kvadra

i kocke kao što su ormari, razne kutije i sl. Pažnju usmjeravati na unutrašnjost predmeta oblika kvadra, tj. na prostor unutar kutije, ormara i dr. Tim se činom uspostavlja empirijska podloga za razumijevanje bitnog sadržaja pojma kvadar, a to je omeđenost prostora.

Novo gradivo objašnjava se promatrajući model kvadra koji mora biti dovoljno velik kako bi svi učenici mogli promatrati njegove strane, bridove, vrhove. Prvo se promatraju plohe koje nazivamo stranama i o njima se govori:

- strane kvadra su ravne i pravokutnog oblika, tj. pravokutnici (na nekima su kvadrati),

- kvadar je omeđen sa šest ravnih strana (ploha),

- nasuprotne strane jednako su velike.

Da su nasuprotne strane jednako velike, pokazuje se ovako: na ploču ili papir prisloni se kvadar, kredom ili flomasterom uz bridove povuku se ravne crte i dobije se pravokutnik. Nanoseći nasuprotnu stranu kvadra na taj crtež učinit će se zornom tvrdnja da su nasuprotne strane kvadra jednako velike. To isto, radeći zajedno s učenicima, učinit će se i s ostalim nasuprotnim plohama kvadra i zaključiti da je omeđen s tri para jednako velikih ploha.

Promatrajući i dalje model kvadra uočavaju se i imenuju mjesta gdje se sastaju dvije strane: nazivaju se bridovima, a ima ih dvanaest. I o bridovima, slično kao o plohama, objasnit će se i pokazati da su neki međusobno jednako veliki (neka ih učenici pronađu i neka utvrde koliko ih je jednako velikih).

Nakon što se upoznaju bridovi promatraju se i imenuju mjesta na modelu kvadra gdje se sastaju tri brida - to su vrhovi kvadra, a ima ih osam.

Promatrajući model kvadra učenici će, nakon tih objašnjenja, pronalaziti i imenovati strane, bridove, vrhove i o njima izricati bitna obilježja. Primjerice, strane kvadra su pravokutnici, nasuprotne su jednako velike, ima ih..., bridovi su mjesta gdje se sastaju dvije strane, ima ih..., vrhovi su mjesta gdje se sastaju tri brida, ima ih... Pri kraju tih radnji izvodi se generalizacija: kvadar je geometrijsko tijelo, tj. prostor omeđen sa šest strana, dvanaest bridova i osam vrhova.

Do pojma kocke dolazi se usporedbom kvadra i kocke objašnjavajući zajednička i različita obilježja. Promatrajući modele kvadra i kocke utvrđuju se zajednička obilježja: šest strana, osam vrhova i dvanaest bridova te jednakost nasuprotnih strana i bridova. Različita su ova obilježja: sve strane i svi bridovi u kocke su jednako veliki, a u kvadra su različiti. Sva ta zajednička i različita obilježja kvadra i kocke na modelima valja potanko pronalaziti i govorno ispravno obrazlagati.

Objašnjenje kocke također bi trebalo završiti generalizacijom koja glasi: kocka je kvadar čiji su svi bridovi jednake duljine. Dobro je ukazati na sličan odnos između pravokutnika i kvadrata, tj. na činjenicu da je kvadrat pravokutnik u kojega su sve stranice jednake duljine.

Poslije tih objašnjenja zjedničkim radom s učenicima rješavat će se i komentirati zadaci u udžbeniku, a rješenja će pokazati kako su i koliko su učenici naučili o kvadru i kocki.

2. sat

Vježbenica, 34. stranicaSadržaj vježbenice namijenjen je ponavljanju i utvrđivanju gradiva obrađenog na prethodnom nastavnom satu. Riječ

je o bitnim obilježjima kvadra i kocke.

Prije učeničkog rada u vježbenici, promatrajući modele kvadra i kocke, ponavljat će se ovi sadržaji:

- kvadar i kocka (omeđeni prostor),

- strane (plohe), bridovi, vrhovi (strane su pravokutnici, bridovi su mjesta gdje se sastaju dvije strane, vrhovi su mjesta gdje se sastaju tri brida),

- nasuprotne strane jednako su velike (pokazati),

- koliko ima strana, bridova i vrhova,

- kocka je kvadar čiji su bridovi jednake duljine. Ponavljajući to gradivo dosljedno treba paziti na ispravnu uporabu pojedinih riječi (termina) i na pojmovni sadržaj koji se njima imenuje.

52

Nakon pripreme učenici će riješiti zadatke u vježbenici, a rezultati njihova rada potom će se provjeriti, netočni ispraviti, a nepotpuni dodatnim objašnjenjem upotpuniti.

3. sat

Udžbenik, 57. stranicaNakon što su učenici upoznali kvadar i kocku kao prostor omeđen sa šest strana, osam vrhova i dvanaest bridova

uspostavljeni su uvjeti za metodičku interpretaciju mjerenja volumena kvadra i kocke. Na ovom nastavnom satu učenici će upoznati jedinice za mjerenje volumena, a na idućem satu učit će mjeriti i izračunavati volumen kvadra i kocke. No prije obrade novoga gradiva u uvodnom dijelu sata treba obnoviti i eventualno upotpuniti učeničko znanje o jedinicama za mjerenje obujma tekućine (litra, decilitar, hektolitar), što su učili u trećem razredu, naglašavajući da se njima mjeri prostor što ga zauzima tekućina.

Prvi korak u objašnjavanju mjerenja volumena je promatranje dvaju volumena oblika kvadra, primjerice ormara i kutije za koje se slobodnom procjenom na prvi pogled može reći koji je veći, a koji je manji. Nakon toga promatraju se dva volumena oblika kvadra, npr. dvije kartonske kutije za koje se odmah ne može reći koji je veći, a koji je manji. S tim u vezi postavlja se pitanje: kako doznati koji je volumen veći, a koji je manji? Odgovor je: mjerenjem volumena. Slijedi pitanje: čime mjeriti volumen kvadra? U traženju odgovora učenike treba podsjetiti na ono što već znaju, da se dužine mjere dužinama, masa masom, površina površinom. A volumen? Volumen se, dakako, mjeri volumenom. I tu slijedi upoznavanje jediničnih volumena.

Budući da jedinični volumeni imaju oblik kocke, učitelj bi morao imati modele s bridom duljine 1 cm i 1 dm. Idealno bi bilo kad bi imao model kubnog metra izrađenog od drveta ili plastike gdje bi učenici doista mogli vidjeti prostor koji nazivamo kubnim ili prostornim metrom.

Upoznavanje jediničnih volumena najpogodnije je započeti objašnjavanjem kubnog ili prostornog decimetra. Pokazujući učenicima model kocke s bridom duljine 1 dm objašnjava se:

- svaki brid ove kocke ima duljinu 1 dm (provjeriti mjerenjem bridova),- kocka čiji su bridovi 1 dm zove se kubni ili prostorni decimetar; toj se kocki pridružuje broj 1 (zato se i zove

jedinični volumen),- takva kocka koristi se za mjerenje volumena, omeđenog prostora,- zapisuje se znakovima 1 dm3, a čita se: jedan kubni ili jedan prostorni decimetar.

Da bi objašnjenje kubnog decimetra i njegove uloge bilo potpuno, preporučuje se pokazati dvije kocke, jednu malo veću i jednu malo manju od kubnog decimetra, uz objašnjenje da to jesu kocke, ali ne služe za mjerenje volumena.

Zatim će se objašnjavati kubni centimetar, što je i čemu služi (za mjerenje volumena manjeg od kubnog decimetra). Da bi objašnjenje bilo uspješno, svaki bi učenik trebao imati model kubnog centimetra (od drva ili plastike). Pokazujući model kubnog centimetra učitelj objašnjava:

- svaki brid ove kocke ima duljinu 1 cm (učenici mjerenjem provjeravaju),

- kocka čiji su bridovi 1 cm naziva se kubni ili prostorni centimetar; takvoj se kocki pridružuje broj 1 (stoga se i zove jedinični volumen),

- kocka čiji su bridovi 1 cm služi za mjerenje volumena; zapisuje se ovako: 1 cm3 i čita: jedan kubni ili jedan prostorni centimetar.

Kubni ili prostorni metar objašnjava se uz napomenu da se njime mjere veći volumeni, primjerice sobe, učionice, bazeni i sl. Bilo bi dobro objašnjenje temeljiti na promatranju kubnog metra (ako postoji), a ako ga nema, učitelj će se osloniti na učenje po analogiji s kubnim decimetrom i kubnim centimetrom. Sadržaj objašnjenja je sličan: kocka kojoj su bridovi duljine 1 m zove se kubni metar, pridružuje joj se broj 1 i služi za mjerenje volumena. Zapisuje se 1 m3 i čita: jedan kubni ili prostorni metar.

Na sličan će se način objašnjavati kubni milimetar koristeći se pritom kvadratnim milimetrom na tzv. kvadratnom papiru. Razumljivo je da ta spoznaja neće biti ni jasna ni potpuna kao što bi bila da se stječe promatranjem kocke s bridom duljine 1 mm, ali u nedostatku pravog modela i to u nuždi donekle može poslužiti.

Nakon objašnjenja jediničnih volumena, koje će trebati ponoviti i više puta, zajedno s učenicima pročitat će se i komentirati 1. zadatak u udžbeniku. Uz pomoć tablice opisat će se svaki jedinični volumen sa stajališta duljine bridova, zapisa, imena i svrhe.

Tijekom vježbanja i ponavljanja učenicima se mogu postavljati ovakva pitanja:

1 mm3 je kocka duljine brida

1 cm3 je kocka duljine

1 dm3 je kocka 1 m3 je

Ili ovako:

53

što je 1 dm3?

što je 1 cm3?

što je 1 m3?

4. sat

Udžbenik, 57. str. (2. zadatak) i 58. stranicaNakon upoznavanja jediničnih volumena slijedi obrada mjerenja volumena kvadra i kocke te izračunavanja volumena.

Objašnjavanjem toga gradiva izgrađuje se spoznaja da se volumen mjeri volumenom (jediničnim), da se volumenu koji se mjeri pridružuje broj (mjerni broj) koji pokazuje koliko se jediničnih volumena nalazi u volumenu koji se mjeri. Sve te spoznaje omogućit će razumijevanje postupka izračunavanja volumena kvadra i kocke izraženog zapisom V = a · b · c.

Budući da većina učitelja, a možda i svi, ne raspolažu potrebnim nastavnim sredstvima za obradu mjerenja volumena, tj. odgovarajućim modelima kvadra i kocke, može se predložiti privremeno rješenje. Sastoji se u ovome: kutiju oblika kvadra (neka bude manjih dimenzija) ispuniti jednako velikim kockama slažući jednu po jednu pazeći da kvadar (kutija) bude posve ispunjena kockama. Zatim se kocke prebroje i utvrđuje koliko ih ima u prvom sloju (na dnu), koliko u drugom... te koliko ima slojeva. Tu slijedi objašnjenje: kvadar (kutija) sadrži primjerice 18 kocaka. Kažemo da je volumen toga kvadra 18 kocaka. Broj 18 je mjerni broj volumena i pokazuje koliko kocaka kvadar sadrži, a kocke su jedinice kojima smo mjerili volumen kvadra.

Svrha je te demonstracije pokazati da mjereći volumen kvadra mjerimo prostor što ga kvadar omeđuje. No kako ne možemo obilježiti prostor što ga zauzima kocka kojom mjerimo, kao što se to može učiniti mjereći dužine i površine, koristimo se kockama ispunjavajući njima prostor koji se mjeri. Postupajući tako, pronalaženje veličine volumena postaje vidljivo, zorno, slično mjerenju dužina i površina. Takav metodički postupak čini jasnijom i učenicima razumljivijom činjenicu da je mjerenje uspoređivanje volumena koji se mjeri s volumenom kojim se mjeri.

Iako je mjerenje volumena kvadra i kocke relativno složen i dugotrajan proces, zbog obilja vrijednih spoznaja koje donosi ne bi ga se smjelo olako odreći. Jer, ne vidi li i ne doživi li učenik tijekom osnovnog školovanja barem tri, četiri mjerenja volumena, vjerojatno to neće ni kasnije vidjeti. Istina, on će znati izračunati volumen kvadra i kocke, ali neće znati zašto je moguće i računskim putem doznati koliki je njihov volumen. A takvo znanje je formalističko, ne zna mu se značenje i smisao.

Sljedeći korak u obradi mjerenja volumena kvadra i kocke je objašnjenje postupka izračunavanja volumena. Da bi se, dakle, računskim putem doznao volumena kvadra, treba izmjeriti tri brida koji izlaze iz istog vrha (centimetrom, decimetrom, metrom) i pomnožiti njihove mjerne brojeve. Ako su duljine triju bridova koji izlaze iz istog vrha kvadra primjerice 5 cm, 4 cm i 3 cm, tada je volumen toga kvadra V = 5 · 4 · 3 = 60 cm3. Volumen je, dakle, 60 cm3 pri čemu je 60 mjerni broj volumena, cm3 je oznaka za veličinu jediničnog volumena. Nakon nekoliko objašnjenja postupka izračunavanja volumena kvadra i kocke može se poopćiti, generalizirati: volumen kvadra izračunava se množenjem mjernih brojeva triju bridova koji izlaze iz istog vrha kvadra što se znakovima kraće piše: V = a · b · c.

Prigodom vježbanja i ponavljanja dosljedno treba zahtijevati da se objasni značenje zapisa, primjerice 36 dm3, 80 m3 i sl. navodeći značenje mjernog broja volumena i oznake za veličinu jediničnog volumena. Pritom valja imati na umu da u izračunavanju volumena najmanje teškoća zadaje množenje mjernih brojeva bridova kvadra, to manje-više svi učenici znaju. Teškoće nastaju u razumijevanju značenja mjernog broja volumena i oznake za veličinu jediničnog volumena. Zato veliku pozornost treba posvetiti govornom obrazlaganju izračunatog volumena kvadra, odnosno kocke tražeći od učenika ispravno i potpuno objašnjenje i postupka i rezultata izračunavanja volumena kvadra.

Nakon tih objašnjenja mogu se rješavati zadaci u udžbeniku, i to 2. zadatak na 57. str. te od 3. do 8. zadatka na 58. str. udžbenika. Osobito pažljivo treba objasniti sadržaj 2. zadatka na 57. stranici gdje se uz pomoć mjerenja objašnjava izračunavanje volumena kvadra.

5. sat

Nastavni listić L 49 i L 49/1Sadržaji ovih listića namijenjeni su ponavljanju obrađenoga gradiva o kvadru i kocki: strane (plohe), bridovi, vrhovi i

dr. U uvodnom dijelu sata to gradivo sustavno treba ponoviti kako bi se učenici pripremili za rad u nastavnim listićima.

6. sat

Vježbenica, 35. stranicaOvaj sat namijenjen je upoznavanju odnosa među jediničnim volumenima kako bi se stvorile pretpostavke za njihovo

preračunavanje, manjih u veće i većih u manje. Zato prije rada u vježbenici treba objašnjavati ove odnose:

1 cm3 = 1 000 mm3

54

1 dm3 = 1 000 cm3

1 m3 = 1 000 dm3

Da bi učenici shvatili da 1 dm3 sadrži 1 000 cm3, treba ih upućivati na množenje mjernih brojeva bridova koji izlaze iz istog vrha kocke, tj. 10 · 10 · 10 = 1 000 (odgovarajućih jediničnih volumena).

Nakon tih objašnjenja učenici će rješavati zadatke u vježbenici preračunavajući jedne volumene u druge. No prije toga treba ih podsjetiti kako se množi brojevima 10, 100, tj. pripisivanjem jedne, odnosno dviju nula.

Provjera učeničkih uradaka bit će i povratna informacija o tome kako su učenici usvojili to gradivo.

7. i 8. sat

Nastavni listić L 51 (7. sat), nastavni listić L 51/1 (8. sat) Sadržaji ovih listića namijenjeni su vježbanju i ponavljanju obrađenoga gradiva o kvadru i kocki te o mjerenju i

izračunavanju volumena kvadra i kocke. U uvodnom dijelu svakog sata, radeći sa svim učenicima, ponavljat će se ovi sadržaji:

- kvadar, kocka (strane, bridovi, vrhovi),

- kvadar i kocka (zajednička i različita obilježja),

- jedinični volumeni (kocke s bridom duljine...),

- mjerenje i izračunavanje volumena kvadra i kocke,

- odnosi: 1 mm3 = dm3 itd.

Nakon takvih ponavljanja učenici će postupno rješavati zadatke u pojedinom nastavnom listiću.

9. sat

Kontrolni zadaci: Kvadar i kockaPrimjenjuju se na isti način i s istom svrhom kao prethodni.


Cilj: Upoznati pravce i ravnine u prostoru

Cilj je učenja osposobiti učenike u određivanju položaja u kojima se pravci i ravnine mogu nalaziti u prostoru. To pak pretpostavlja da se prethodno upoznaju osnovni položaji, vodoravan, uspravan i kos, a zatim se promatraju i imenuju položaji pravaca i ravnina u prostoru. Redoslijed obrade novoga gradiva je, prema tome, ovakav: upoznavanje položaja u prostoru - vodoravan, uspravan i kos, a zatim se pomoću toga znanja određuju i imenuju pravci i ravnine u različitim položajima.

1. sat

Udžbenik, 59. stranicaU uvodnom dijelu sata, zajedničkim radom sa svim učenicima, ponovit će se što se učilo o pravcu i ravnini:

- pravac zamišljamo kao ravnu neomeđenu crtu,

- ravninu zamišljamo kao ravnu neomeđenu plohu (ploha je ono što na predmetima vidimo),

- crtanje i obilježavanje pravca.

Nakon toga se objašnjava vodoravan položaj te pravci i ravnine u tom položaju. Vodoravan ili horizontalan položaj najprirodnije se objašnjava demonstracijom položaja površine mirne vode (1. zadatak na 59. stranici). Mijenjajući položaj čaše s obojenom vodom (da se bolje vidi) zorno se pokazuje kako se površina mirne vode ne mijenja te da uvijek zauzima isti položaj. Taj položaj što ga zauzima površina mirne vode ima i posebno ime - vodoravan ili horizontalan položaj. Dobro je omogućiti učenicima da se i sami uvjere, koristeći se čašom obojene vode, da se položaj površine mirne vode ne mijenja iako se mijenja položaj posude u kojoj se voda nalazi. U određivanju vodoravnog položaja pomaže sprava koja se zove libela ili vodna vaga kojom učenici mogu provjeriti jesu li pojedini predmeti u vodoravnom položaju ili nisu.

55

Kad se upozna vodoravan položaj, mogu se promatrati pravci i ravnine u tom položaju. Zorna podloga tome bit će ravne plohe i bridovi kao dijelovi ravnina, odnosno pravaca. Tako je npr. pod učionice dio ravnine u vodoravnom položaju. Ili pak, brid stola dio je pravca u vodoravnom položaju.

Nakon toga zajedno s učenicima pročitat će se i komentirati sadržaj 59. stranice udžbenika, a potom će se pronalazit pravci i ravnine u vodoravnom položaju.

2. sat

Udžbenik 60. stranicaPrije obrade novoga gradiva, pravac i ravnina u uspravnom položaju, u uvodnom dijelu sata, ukratko će se ponoviti

gradivo obrađivano na prethodnom satu - o pravcu, ravnini, vodoravnom položaju te o pravcu i ravnini u vodoravnom položaju.

Uspravan položaj objašnjava se uz pomoć viska jer položaj što ga određuje nit viska je uspravan ili vertikalan položaj. Koristeći se viskom učenici će na predmetima pronalaziti bridove u uspravnom, a libelom one u vodoravnom položaju.

Pronalaženje pravaca i ravnina u uspravnom položaju treba povezivati uz bridove i ravne plohe u tom položaju. Kao dijelovi ravnina ravne plohe u uspravnom položaju, podloga su i uporište zamišljanju ravnina u uspravnom položaju. Kao dijelovi pravaca, bridovi u uspravnom položaju uporište su zamišljanju pravaca u tom položaju.

Položaj ravnine u uspravnom i vodoravnom položaju zorno se predočuje modelom ravnine načinjenom iz ljepenke. Stavljajući model ravnine u različite položaje učenici će se postupno osposobljavati u zamišljanju ravnina u uspravnom i vodoravnom položaju. Nakon toga rješavat će se zadaci u udžbeniku, dijelom zajednički, frontalnim radom s učenicima, a dijelom samostalnim radom učenika u udžbeniku.

3. sat

Udžbenik, 61. stranicaNa ovom nastavnom satu učenici će upoznati kosi položaj, tj. položaj koji nije ni vodoravan i uspravan. No prije

objašnjavanja tog položaja, u uvodnom dijelu sata treba ponavljati gradivo obrađivano na prethodna dva nastavna sata - vodoravan i uspravan položaj te pravce i ravnine u tim položajima.

Kosi položaj zorno se pokazuje ovako: uz zid učionice koji je u uspravnom položaju i pod koji je u vodoravnom položaju prisloni se štap ili letvica te objašnjava: štap prislonjen uz zid nije ni u vodoravnom ni u uspravnom položaju, već je u kosom položaju. Položaj što ga određuje štap naziva se kosi položaj. U neposrednoj okolini učenici će potom pronalaziti ili postavljati predmete (štap, letvicu) u kosi položaj uz obrazloženje da je to položaj koji nije ni vodoravan ni uspravan.

Nakon toga zajedno s učenicima riješit će se zadaci u udžbeniku, a potom će se uz pomoć modela ravnine i pravca, stavljajući ih u kosi položaj, zamišljati pravci i ravnine u tom položaju.


Cilj: Upoznati pravokutnu mrežu i naučiti odrediti mjesto točke u njoj (2 sata)

Obradom gradiva pod tim naslovom učenici će upoznati pravokutnu mrežu i način na koji se određuje mjesto pojedine točke u njoj čime se postavlja empirijska osnovica za buduće upoznavanje koordinatnog sustava.

1. sat

Udžbenik, 62. stranicaPrvi korak u obradi novoga gradiva je opis pravokutne mreže. Promatrajući pravokutnu mrežu u 2. zadatku

objašnjavat će se da se pravokutna mreža sastoji od dviju skupina paralelnih pravaca koji su međusobno okomiti. Bitna su obilježja pravokutne mreže usporednost ili paralelnost tih pravaca te međusobna okomitost pravaca koji čine pravokutnu mrežu. Mjesto točke u pravokutnoj mreži određeno je sjecištem okomitih pravaca.

Da bi se odredilo mjesto točke u pravokutnoj mreži, učenike treba upućivati da najprije pronalaze pravac u vodoravnom, a zatim pravac u uspravnom položaju. Tako je npr. mjesto točke A (4. zadatak) određeno sjecištem pravaca 3 i 2 pa zapis glasi: A = (3, 2). Zapis se čita: točka A je sjecište pravaca 3 i 2. Bitno je da učenici shvate da je mjesto točke određeno sjecištem međusobno okomitih pravaca.

56

Nakon što učenici riješe nekoliko takvih zadataka, vježbanje i ponavljanje može se provoditi određujući mjesto točaka u pravokutnoj mreži izloženoj na ploči. Da bi učenik ispravno odredio mjesto točke 0 = (4, 2), potražit će sjecište pravca 4 i pravca 2.

Vrlo je važno učenike osposobljavati u govornom obrazlaganju određivanja točaka u pravokutnoj mreži i u obrazlaganju zapisa oblika A = (3, 4) i sl. Govorna reprodukcija pomaže razumijevanju, a istodobno je i kriterij za procjenu jesu li učenici ispravno shvatili novo gradivo.

2. sat

Vježbenica, 36. stranicaPrije neposrednog rada učenika u vježbenici ponavljat će se gradivo obrađeno na prethodnom nastavnom satu. U

pravokutnoj mreži izloženoj na ploči određivat će se mjesto pojedinih točaka i obrazlagati način rada. Zadaci mogu glasiti: odredi mjesto točke D = (4, 3), B = (2, 5) itd. Polazeći od točke 0 za 4 udesno i za 3 gore dolazi se do točke D. Treba izvesti dovoljan broj sličnih zadataka kako bi svi učenici shvatili postupak i potom uspješno rješavali zadatke u vježbenici.

Nakon rješavanja u vježbenici provjerit će se i komentirati učenička rješenja tražeći da se i govorom obrazlože pojedina rješenja.

57

5. UPOZNAVANJE BROJEVA VEĆIH OD MILIJUN


Cilj: Upoznavanje brojeva većih od milijun (11 sati)

Budući da se brojevi veći od milijun metodički interpretiraju na isti način kao brojevi do milijun, učitelji se upućuju na taj dio teksta pod naslovom: Upoznavanje brojeva do milijun na stranici ovoga priručnika.

Koristeći se sadržajima udžbenika, vježbenice i nastavnih listića, metodički raspored obrade, vježbanja i ponavljanja može biti ovakav:

1. sat, brojevi do milijun - ponavljanje,

2. sat, brojevi veći od milijun - vježbe brojenja,

3. sat, udžbenik, 63. str., čitanje i pisanje brojeva većih od milijun,

4. sat, vježbenica, 37. str., čitanje i pisanje brojeva većih od milijun,

5. sat, vježbenica, 38. str., čitanje i pisanje brojeva većih od milijun,

6. sat, nastavni listići L 56 i L 56/1,

7. sat, nastavni listići L 56/2 i L 56/3,

8. sat, udžbenik, 64. str., zbrajanje i oduzimanje brojeva većih od milijun,

9. sat, vježbenica, 39. str., zbrajanje i oduzimanje,

10. sat, udžbenik, 65. str., množenje,

11. sat, udžbenik, 66. str., dijeljenje.

Za vježbanje i ponavljanje toga gradiva iskoristit će se, prema potrebi, sadržaji preostalih nastavnih listića.

58

matematika 4

Documents