matematika 1 - fpze-student.fpz.hr/.../novosti/nastava_matematike_1_(6).pdf · 2011-12-23 · dva...

Matematika 1

Bozidar Ivankovic

Zima, 2011

Bozidar Ivankovic Matematika 1

Ukratko

Matematika 1 sadrzi odabrana poglavlja matematike:

Determinante

Vektori u ravnini i prostoru

Funkcije

Limesi

Derivacija i primjene

Integrali i primjene

Literatura

Marusic: Matematika 1

Minorski: Zbirka zadataka iz vise matematike

Demidovic: Zbirka zadataka iz vise matematike s primjenomna tehnicke nauke

Studentske obaveze

Redovita prisutnost za sada se ne zahtijeva

Obavezne domace zadace 40% dovoljno za potpis

Kolokviji: dva po pet zadataka, bodova, prvi 17.11. 4-6 bodovaocjena dovoljan iz pismenog, 6-8 dobar, 8-9 vrlo dobar i 9-10izvrstan.

Pismeni dio ispita za studente s manje od 4 boda na kolokvijima

Usmeni dio ispita obavezan za sve studente

Studentske obaveze

Redovita prisutnost

za sada se ne zahtijeva

Studentske obaveze

Obavezne domace zadace

40% dovoljno za potpis

Studentske obaveze

Kolokviji:

dva po pet zadataka, bodova, prvi 17.11. 4-6 bodovaocjena dovoljan iz pismenog, 6-8 dobar, 8-9 vrlo dobar i 9-10izvrstan.

Studentske obaveze

Kolokviji: dva po pet zadataka, bodova,

prvi 17.11. 4-6 bodovaocjena dovoljan iz pismenog, 6-8 dobar, 8-9 vrlo dobar i 9-10izvrstan.

Studentske obaveze

Kolokviji: dva po pet zadataka, bodova, prvi 17.11.

4-6 bodovaocjena dovoljan iz pismenog, 6-8 dobar, 8-9 vrlo dobar i 9-10izvrstan.

Studentske obaveze

Kolokviji: dva po pet zadataka, bodova, prvi 17.11. 4-6 bodovaocjena dovoljan iz pismenog,

6-8 dobar, 8-9 vrlo dobar i 9-10izvrstan.

Studentske obaveze

Pismeni dio ispita

za studente s manje od 4 boda na kolokvijima

Studentske obaveze

Usmeni dio ispita

obavezan za sve studente

Studentske obaveze

VEKTORI U RAVNINI I PROSTORU

Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Uobicajena oznaka vektora je ~a,~b . . ..

Primjer

U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).

Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.

Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Primjer

Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:

Primjer:~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Primjer

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Primjer

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Primjer

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Primjer

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Primjer

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Primjer

Zbrajanje i oduzimanje vektora

Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.

Zadatak

Odredite ~a + ~b, ako je

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).

Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.

Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.

Zadatak

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).

Zadatak

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).

Zadatak

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).

Zadatak

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).

Zadatak

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).

Zadatak

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3)

(1, 5,−1, 1).

Zadatak

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).

Mnozenje vektora skalarom

Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.

Tada jeλ~a = (λa1, λa2, λa3).

Zadatak

Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je

λ~a = (λa1, λa2, λa3).

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

λ~a = (λa1, λa2, λa3).

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

λ~a = (λa1, λa2, λa3).

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

λ~a = (λa1, λa2, λa3).

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

λ~a = (λa1, λa2, λa3).

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

λ~a = (λa1, λa2, λa3).

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20)

(−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

λ~a = (λa1, λa2, λa3).

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15)

(−2, 1,−5).

λ~a = (λa1, λa2, λa3).

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

Linearna kombinacija vektora

Linearna kombinacija vektora ~a,~b,~c

i skalara λ, µ, νjest vektor

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.

(5, 2)

Zadatak

Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.

Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.

Linearna kombinacija vektora ~a,~b,~c i skalara λ, µ, ν

jest vektorλ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

(5, 2)

Zadatak

Linearna kombinacija vektora ~a,~b,~c i skalara λ, µ, νjest vektor

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

(5, 2)

Zadatak

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

(5, 2)

Zadatak

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

(5, 2)

Zadatak

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

(5, 2)

Zadatak

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

(5, 2)

Zadatak

Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.

Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

(5, 2)

Zadatak

Linearna nezavisnost vektora

Vektori ~a1,~a2, . . . ,~an su linearno nezavisni ako ih ponistava samotrivijalna linearna kombinacija:

λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.

Pitanje

Da li su vektori ~a = (1, 3),~b = (5,−2) i ~c = (1, 0) linearnonezavisni?

Nisu, jer sustav s vise nepoznanica a manje jednadzbi uvijek imarjesenje.

λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.

Pitanje

λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.

Pitanje

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti,

asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a

2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a +~b) = α~a +α~b

3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti

i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti.

Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje

i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje,

svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,

a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.

Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno,

asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno

i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.

Mnozenje vektora skalarima je

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Vektorski prostor

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Vektorski prostor

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Vektorski prostor

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Vektorski prostor

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Vektorski prostor

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Vektorski prostor

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora.

Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.

Vektorski prostor

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Usmjerena duzina

Zadatak

U koordinatnom sustavu X 0Y prikazite vektorima zadane tockeA = (3, 2) i B = (1, 4).

Definicija

Vektor kojeg predstavlja orijentirana duzina s pocetkom u ishodistuO, a zavrsetkom u tocki A naziva se radijus-vektor tocke A i mozese poistovjetiti s tockom A:

~rA =−→OA = A.

Zadatak

Istaknite orijentirane duzine−→OA i

−→OB.

Usmjerena duzina

Zadatak

Definicija

~rA =−→OA = A.

Zadatak

−→OB.

Usmjerena duzina

Zadatak

Definicija

~rA =−→OA = A.

Zadatak

−→OB.

Usmjerena duzina

Zadatak

Definicija

~rA =−→OA = A.

Zadatak

−→OB.

Zbrajanje usmjerenih duzina

Zadatak

Zadani su radijus vektori−→OA = (6, 1) i

−→OB = (−2, 5). U

koordinatnom sustavu X 0Y prikazite tocku zadanu vektorom−→OA +

−→OB.

Zadatak

Zadana je tocka C = (0, 3). Rastavite−→OC po komponentama u

smjerovima vektora−→OA i

−→OB.

Rjesenje:−→OC = 3

−→OA + 9

−→OB ili

−→OC = 18.75%

−→OA + 56.25%

−→OB

Zadatak

−→OB = (−2, 5). U

−→OB.

Zadatak

−→OB.

−→OA + 9

−→OB ili

−→OC = 18.75%

−→OA + 56.25%

−→OB

Zadatak

−→OB = (−2, 5). U

−→OB.

Zadatak

−→OB.

−→OA + 9

−→OB ili

−→OC = 18.75%

−→OA + 56.25%

−→OB

Zadatak

−→OB = (−2, 5). U

−→OB.

Zadatak

−→OB.

−→OA + 9

−→OB ili

−→OC = 18.75%

−→OA + 56.25%

−→OB

Koordinatni sustavi

Definicija (Bazicni vektori)

Svaki se uredeni par moze jednoznacno prikazati kao linearnakombinacija posebnih uredenih parova:

~i = (1, 0)

~j = (0, 1)

Primjer

Izrazite uredene parove−→OA,−→OB i

−→OC iz zadatka 5 kao linearne

kombinacije vektora ~i i ~j .

Napomena

U trodimenzionalnom vektorskom prostoru V 3 bazicni vektori su~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1).

Koordinatni sustavi

~i = (1, 0)

~j = (0, 1)

Primjer

Napomena

Koordinatni sustavi

~i = (1, 0)

~j = (0, 1)

Primjer

Napomena

Koordinatni sustavi

~i = (1, 0)

~j = (0, 1)

Primjer

Napomena

Od tocke do tocke

Zadatak

Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).

Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.

Izracunajte−→OB −

−→OA.

Izrazite−→OB −

−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .

Teorem

Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli

−→AB =

−→OB −

−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).

Od tocke do tocke

Zadatak

−→OA.

Teorem

−→AB =

−→OB −

Od tocke do tocke

Zadatak

−→OA.

Teorem

−→AB =

−→OB −

Od tocke do tocke

Zadatak

−→OA.

Teorem

−→AB =

−→OB −

Od tocke do tocke

Zadatak

−→OA.

Teorem

−→AB =

−→OB −

Od tocke do tocke

Zadatak

−→OA.

Teorem

−→AB =

−→OB −

Problem

Zadatak

Zadane su tri tocke paralelograma ABCD: A = (5, 1), B = (1, 4) iC = (−4, 1). Odredite koordinate cetvrtog vrha D.

Rjesenje: D = (0,−2)

Problem

Zadatak

Problem

Zadatak

Skalarni produkt vektora

Definicija

Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1

Definicija

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1

Definicija

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1

Definicija

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1

Definicija

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1

Definicija

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1

Definicija

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1

Definicija

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1Bozidar Ivankovic Matematika 1

Skalarni kvadrat i duljina vektora

Zadatak

Izracunajte ~c2 ako je

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:

|~c | =√~c2.

Primjer

Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1

Zadatak

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

|~c | =√~c2.

Primjer

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1

Zadatak

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

|~c | =√~c2.

Primjer

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1

Zadatak

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

|~c | =√~c2.

Primjer

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1

Zadatak

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

|~c | =√~c2.

Primjer

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1

Zadatak

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

|~c | =√~c2.

Primjer

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1

Zadatak

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

|~c | =√~c2.

Primjer

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1

Zadatak

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

|~c | =√~c2.

Primjer

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1Bozidar Ivankovic Matematika 1

Jedinicni vektor

Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:

~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak

Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.

Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:

~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)

−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),

−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Skalarna projekcija vektora

Definicija

Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar

a~b =~a · ~b|~b|

Zadatak

Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).

a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak

Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95

Definicija

a~b =~a · ~b|~b|

Zadatak

a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95

Definicija

a~b =~a · ~b|~b|

Zadatak

a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95

Definicija

a~b =~a · ~b|~b|

Zadatak

a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95

Definicija

a~b =~a · ~b|~b|

Zadatak

a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95

Definicija

a~b =~a · ~b|~b|

Zadatak

a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95

Definicija

a~b =~a · ~b|~b|

Zadatak

a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95Bozidar Ivankovic Matematika 1

Vektorska projekcija vektora

Definicija

Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor

~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak

Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).

~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

Zadatak

Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).

Odredite−→AC−→

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)

Definicija

~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak

~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

Zadatak

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)

Definicija

~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak

~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

Zadatak

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)

Definicija

~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak

~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

Zadatak

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)

Definicija

~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak

~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

Zadatak

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)

Definicija

~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak

~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

Zadatak

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)Bozidar Ivankovic Matematika 1

Kut koji zatvaraju vektori

Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|

≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu

vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

Zadatak

Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.

Zadatak

Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.

Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|

vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

Zadatak

Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|

vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

Zadatak

Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|

vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

Zadatak

Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)

Zadatak

Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|

vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

Zadatak

Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|

vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

Zadatak

Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4).

Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|

vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

Zadatak

Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta

Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:

~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ

gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:

komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2

~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.

~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ

gdje je ϕ kut medu vektorima.

Svojstva skalarnog produkta:

~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ

komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~a

distributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2

~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ

komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~c

kvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2

~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ

komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b

~a2 = |~a|2

~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ

Primjena skalarnog produkta

Zadatak

Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.

Zadatak

Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?

rjesenja: 127 N, 210~F = 6 kN, µ = 0.06.

Zadatak

rjesenja: 127 N, 210~F = 6 kN, µ = 0.06.

Zadatak

rjesenja: 127 N, 210~F = 6 kN, µ = 0.06.

Zadatak

rjesenja:

127 N, 210~F = 6 kN, µ = 0.06.

Zadatak

rjesenja: 127 N,

210~F = 6 kN, µ = 0.06.

Zadatak

rjesenja: 127 N, 210

~F = 6 kN, µ = 0.06.

Zadatak

rjesenja: 127 N, 210~F = 6 kN,

µ = 0.06.

Zadatak

rjesenja: 127 N, 210~F = 6 kN, µ = 0.06.

Zadaci

1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih

dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i

−→BD, pa pomocu

njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.

2 Zadani su vektori ~a = −2~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b.

3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore~i , ~j i ~k .

4 Odredite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).

5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.

Zadaci

−→BD, pa pomocu

Zadaci

−→BD, pa pomocu

Zadaci

−→BD, pa pomocu

Zadaci

−→BD, pa pomocu

Zadaci

−→BD, pa pomocu

Rjesenja

1−→AS =~i + 3~j , C = (4, 7), D = (1, 1).

2 ~c = −2~a + 3~b.

3 ~i ·~i =~j ·~j = ~k · ~k = 1; ~i ·~j =~i · ~k =~j · ~k = 0.

4 Dvije su stranice po 3.3, jedna je 3.5 jedinicne duljine, kutevi: dva po58.5o , jedan od 63o .

5 ~R = 143 N, ϕ = 630.

DETERMINANTE

Determinante su funkcije koje kolekciji od n2 brojeva zapisanih utablicu s n redaka i n stupaca pridruze broj.Postupak racunanja je induktivan.

Za n = 1 govorimo o determinanti prvog reda u oznaci

|a11| = a11

gdje je tesko oznaku ne zamijeniti s funkcijomapsolutne vrijednosti, no determinante prvog reda sene proucavaju.

DETERMINANTE

|a11| = a11

DETERMINANTE

|a11| = a11

Determinante drugog reda

Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

Izracunajte vrijednost determinante

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

1 Izracunajte determinantu:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ . Rjesenje: -2

2 Izracunajte vrijednost determinanti:

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ .

rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ .

Rjesenje: -2

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ;

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ;

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣

Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

...za odrasle...

Zadatak

Rijesite jednadzbu:

∣∣∣∣ sin x cos x−4 1

∣∣∣∣ = 3.

Rjesenje univerzalnom trigonometrijskom supstitucijom:tg x

2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2

1+t2 ,

x12 = 0.50047 + kπ; x2

2 = −0.2612 + kπ.

...za odrasle...

Zadatak

Rijesite jednadzbu:

∣∣∣∣ = 3.

2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2

1+t2 ,

x12 = 0.50047 + kπ; x2

2 = −0.2612 + kπ.

...za odrasle...

Zadatak

Rijesite jednadzbu:

∣∣∣∣ = 3.

2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2

1+t2 ,

x12 = 0.50047 + kπ; x2

2 = −0.2612 + kπ.

Determinante treceg reda

Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:

∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38

2 Rijesite determinantu

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .Rj: 3

Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

∣∣∣∣ .

1 Izracunajte vrijednost determinante:

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .Rj: 3

a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣

Rj: -38

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .Rj: 3

a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .Rj: 3

a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣

Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .Rj: 3

a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .Rj: 3

a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .

a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .Rj: 3

Primjena determinanti

Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1

Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.

Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1

Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1

Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1

Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse

Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.

Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1

Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima.

Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.

Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1

VEKTORSKI PRODUKT

Vektorski produkt definiran je samo za 3-dimenzionalne vektore.Rezultat vektorskog produkta opet je 3-dimenzionalni vektor.Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora racuna seformalno kvazideterminantom:

~a× ~b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣ .Zadatak

Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odredite

komponente vektora ~c = ~a× ~b. (8, 12,−6)

VEKTORSKI PRODUKT

Vektorski produkt definiran je samo za 3-dimenzionalne vektore.

Rezultat vektorskog produkta opet je 3-dimenzionalni vektor.Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora racuna seformalno kvazideterminantom:

~a× ~b =

VEKTORSKI PRODUKT

Vektorski produkt definiran je samo za 3-dimenzionalne vektore.Rezultat vektorskog produkta opet je 3-dimenzionalni vektor.

Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora racuna seformalno kvazideterminantom:

~a× ~b =

VEKTORSKI PRODUKT

Vektorski produkt definiran je samo za 3-dimenzionalne vektore.Rezultat vektorskog produkta opet je 3-dimenzionalni vektor.Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).

Vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora racuna seformalno kvazideterminantom:

~a× ~b =

VEKTORSKI PRODUKT

~a× ~b =

∣∣∣∣∣∣ .

Zadatak

VEKTORSKI PRODUKT

~a× ~b =

komponente vektora ~c = ~a× ~b.

(8, 12,−6)

VEKTORSKI PRODUKT

~a× ~b =

Geometrija vektorskog produkta

Primjer

Neka je ~c = ~a×~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite

a) Komponente vektora ~c.

b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).

c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a,~b).

e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.

f) Odredite komponente vektora ~b ×~a.

Primjer

b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).

Primjer

b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).

Primjer

b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).

c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.

d) Kut ϕ = ](~a,~b).

Primjer

b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).

Primjer

b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).

Primjer

b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).

Geometrijska definicija vektorskog produkta

Vektorski produkt u R3 binarna je operacija

× : R3 × R3 → R3

definirana opisom vektora

~c = ~a× ~b

koji ima smjer, orijentaciju i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:

1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b

2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu

3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelogramarazapetog vektorima ~a i ~b.

× : R3 × R3 → R3

~c = ~a× ~b

koji ima

smjer, orijentaciju i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:

× : R3 × R3 → R3

~c = ~a× ~b

koji ima smjer,

orijentaciju i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:

× : R3 × R3 → R3

~c = ~a× ~b

koji ima smjer, orijentaciju

i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:

× : R3 × R3 → R3

~c = ~a× ~b

× : R3 × R3 → R3

~c = ~a× ~b

× : R3 × R3 → R3

~c = ~a× ~b

× : R3 × R3 → R3

~c = ~a× ~b

Svojstva vektorskog produkta

Svojstva vektorskog produkta su

1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b ×~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b +~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a×~a = ~0

1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b ×~a

2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b +~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a×~a = ~0

1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b ×~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b +~a× ~c

3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a×~a = ~0

1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b ×~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b +~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b

4 mnozenje jednakih vektora ~a×~a = ~0

1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b ×~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b +~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a×~a = ~0

Da li je jasno?

Zadatak

Nadite duljinu krace visine i povrsinu paralelograma razapetog

vektorima 2~b −~a i 3~a + 2~b, ako je |~a| = 5, |~b| = 4 i kut

∠(~a,~b) = π4 . P = 80

√2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28

Zadatak

Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.

Rjesenje je tablica:

× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0

Da li je jasno?

Zadatak

∠(~a,~b) = π4 .

P = 80√

2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28

Zadatak

× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0

Da li je jasno?

Zadatak

∠(~a,~b) = π4 . P = 80

√2 ≈ 113.14;

v ≈ 5.28

Zadatak

× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0

Da li je jasno?

Zadatak

∠(~a,~b) = π4 . P = 80

√2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28

Zadatak

× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0

Da li je jasno?

Zadatak

∠(~a,~b) = π4 . P = 80

√2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28

Zadatak

× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0

Da li je jasno?

Zadatak

∠(~a,~b) = π4 . P = 80

√2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28

Zadatak

× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0

U koordinatnom sustavu

Zadatak

Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b =~i + 2~k. Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.

Zadatak

Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica

Zadatak

Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a =~i +~j + 2~k i~b = 2~i +~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√

11(−~i + 3~j − ~k)

Zadatak

Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b =~i + 2~k.

Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.

Zadatak

11(−~i + 3~j − ~k)

Zadatak

11(−~i + 3~j − ~k)

Zadatak

Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2).

Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica

Zadatak

11(−~i + 3~j − ~k)

Zadatak

11(−~i + 3~j − ~k)

Zadatak

Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a =~i +~j + 2~k i~b = 2~i +~j + ~k.

Rjesenje: ~n0 = ± 1√11

(−~i + 3~j − ~k)

Zadatak

11(−~i + 3~j − ~k)

Da li je jasno?

1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.

2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .

3 Zadani su vektori ~a =~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d ×~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.

4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.

5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je|~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠(~m,~n) = π/3.

Da li je jasno?

Rjesenja

1 Rjesenje. O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratnajedinica, D = (−1, 1, 1).

2 Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.

3 Rjesenje: ~d = (−3,−3,−1), ~d~c = (0,−1/5, 2/5).

4 Rjesenje: t1 = 11.57, t2 = −10.90

5 Rjesenje. Duljine stranica: |~a| = 4√

3 ∼ 7, |~b| = 2√

13 ∼ 7.2jedinicnih duljina. P = 20

√3 ∼ 34.6 jedinicnih duljina.

Rjesenja

1 Rjesenje. O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratnajedinica, D = (−1, 1, 1).

2 Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.

3 Rjesenje: ~d = (−3,−3,−1), ~d~c = (0,−1/5, 2/5).

4 Rjesenje: t1 = 11.57, t2 = −10.90

5 Rjesenje. Duljine stranica: |~a| = 4√

3 ∼ 7, |~b| = 2√

13 ∼ 7.2jedinicnih duljina. P = 20

√3 ∼ 34.6 jedinicnih duljina.

Mjesoviti produkt

Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:

(~a× ~b) · ~c =

∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bz

cx cy cz

∣∣∣∣∣∣Zadatak

Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c, ako je zadano:

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru.

Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:

(~a× ~b) · ~c =

cx cy cz

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

cx cy cz

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

cx cy cz

∣∣∣∣∣∣

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

cx cy cz

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

cx cy cz

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

cx cy cz

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

cx cy cz

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

cx cy cz

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

cx cy cz

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt, geometrijski

Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a,~b i ~c .

Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a,~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1

6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:

a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.

b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja

c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.

6 |(~a× ~b) · ~c |.

Svojstva mjesovitog produkta:

Da li je jasno?

1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima

~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)

3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)

4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))

Da li je jasno?

~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

Da li je jasno?

~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

Da li je jasno?

~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka?

(rj: V = 5.5)

Da li je jasno?

~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

Da li je jasno?

~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b.

(rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)

Da li je jasno?

~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

Da li je jasno?

~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.

(rj: ~c = (4,−5, 1))

Da li je jasno?

~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

Ispitni zadaci

1 Nadite skalarnu i vektorsku projekciju vektora ~a = ~b × ~c na

vektor ~d =−→AB, ako je ~b = −2~i −~j + 3~k, ~c = 2~i +~j + ~k ,

A(2,−2,−1), B(0,−1,−3). Rjesenje: skalarna projekcija 163

vektorska: ~a~d = − 169

(2~i −~j + 2~k)

2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut

medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.

3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).

4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).

5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.

Ispitni zadaci

(2~i −~j + 2~k)

Ispitni zadaci

(2~i −~j + 2~k)

medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?

Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovi

tocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).

Ispitni zadaci

(2~i −~j + 2~k)

Ispitni zadaci

(2~i −~j + 2~k)

3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2).

Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).

Ispitni zadaci

(2~i −~j + 2~k)

Ispitni zadaci

(2~i −~j + 2~k)

Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).

Ispitni zadaci

(2~i −~j + 2~k)

Ispitni zadaci

(2~i −~j + 2~k)

Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.

Ispitni zadaci

(2~i −~j + 2~k)

Prva obavezna domaca zadaca iz Matematike 1

1 Trokut je zadan tockama A(3, 1, 2), B(0,−1,−2) i C(−1,−2, 1).

Odredite vektore−→AB,−→BC i

−→AC . Izracunajte kut α. Koliki je opseg

trokuta? Koja je najdulja stranica trokuta? Koliki je najveci kut trokuta?

2 Poznati su vektori ~a i ~b. Kut izmedu vektora je 200, a iznosi vektora su|~a| = 1.2 i |~b| = 2.5. Izracunajte ~a · ~b, (~a + ~b)2, |~a + ~b| i konacno

|(~a · ~b)(~a + ~b)|.3 Zadani su vrhovi paralelograma A(1,−1, 0), B(1, 1, 2), C(−1,−2, 1) i

D(−1,−4,−1). Odredite vektore−→AB,−→BC ,−→DC i

−→AD. Odredite

−→AB ×

−→BC

i izracunajte |−→AB ×

−→BC |. Skicirajte paralelogram. Kolika je povrsina

paralelograma? Kolika je duljina najdulje stranice u paralelogramu?Koliko je dugacka najkraca visina u paralelogramu?

4 U prostoru su zadane tocke A(1, 1, 0),B(2, 1,−3),C(−1, 2, 1) i

D(−1, 4,−1). Odredite vektore−→AB,−→AC ,−→AD. Izracunajte

(−→AB ×

−→AC) ·

−→AD. Odredite

−→AB ×

−→AC i izracunajte |

−→AB ×

−→AC |. Koliki je

volumen tetraedra odredenog tockama A,B,C i D? Koliku povrsinu imatrokut ABC? Koliko je visoko tocka D iznad trokuta baze ABC?.

5 Zadane su tocke A(3,−5, 0) i B(2, 4, 6). Zadan je vektor ~c = 3~i −~j + ~k.

Izracunajte−→AB × (~c −

−→AB)× ~c.

Rjesenja prve obavezne domace zadace izMatematike 1

1 α = 370, O = 13.8, γ = 760.

2 ~a · ~b = 2.8, (~a + ~b)2 = 13.34, |~a + ~b| =3.65, |(~a · ~b)(~a + ~b)| = 10.28.

3−→AB×

−→BC = (4,−4, 4), |

−→AB×

−→BC | = 6.9, P = 6.9, vmin = 1.85

4 (−→AB ×

−→AC ) ·

−→AD = 8,

−→AB ×

−→AC = (3, 5, 1), |

−→AB ×

−→AC | =

5.9, V = 1.33, P∆ = 2.96, h = 1.35.

5 −7~i − 93~j − 72~k .

FUNKCIJE

Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:

Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.

Pravilo pridruzivanja:

f : D → K,

sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.

Zadatak

Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.

FUNKCIJE

f : D → K,

Zadatak

FUNKCIJE

f : D → K,

Zadatak

FUNKCIJE

f : D → K,

Zadatak

FUNKCIJE

f : D → K,

sa svojstvima:

1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.

Zadatak

FUNKCIJE

f : D → K,

sa svojstvima:1 svakom elementu iz D

2 pridruziti samo jedan element iz K.

Zadatak

FUNKCIJE

f : D → K,

Zadatak

FUNKCIJE

f : D → K,

Zadatak

Graf funkcije

Graf funkcije je skup svih pridruzenih parova:

Γ = {(x , y), x ∈ D, y ∈ K, y = f (x)}.

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije koja je zadanaformulom

f (x) = log x .

Graf funkcije

Graf funkcije je skup svih pridruzenih parova:

Γ = {(x , y), x ∈ D, y ∈ K, y = f (x)}.

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije koja je zadanaformulom

f (x) = log x .

Osobine pridruzivanja

Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:

Injektivnost:

f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.

Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)

Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost

Pitanje

Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?

Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.

Pitanje

Surjektivnost:

za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)

Pitanje

Bijektivnost:

injektivnost i surjektivnost

Pitanje

Inverz

Ako je f : D → K bijekcija, tada postoji funkcija

g : K → D,

s pravilom preslikavanja:

∀y ∈ K, g(y) = x ⇔ f (x) = y .

Ouobicajeni postupak

x = f −1(y) = g(y).

Zadatak

Odredite formulu f −1(x) ako je f (x) = log x.

Inverz

Ako je f : D → K bijekcija, tada postoji funkcija

g : K → D,

s pravilom preslikavanja:

∀y ∈ K, g(y) = x ⇔ f (x) = y .

Ouobicajeni postupak

x = f −1(y) = g(y).

Zadatak

Odredite formulu f −1(x) ako je f (x) = log x.

Realne funkcije realne varijable

Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.

Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R

Zadatak

Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = x3. Istraziteosobine pridruzivanja. Zapisite inverz funkcije.

Zadatak

Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije zadane formulomf (x) = x2. Istrazite osobine pridruzivanja. Da li je moguce zapisatifunkciju zadanu istom formulom tako da ima inverz? Zapisitetakvu funkciju i inverz te funkcije.

Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R

Zadatak

Parnost i neparnost funkcije

Funkcija f : D → K je parna ako za x ,−x ∈ D vrijedi

f (−x) = f (x).

Funkcija je neparna ako je

f (−x) = −f (x).

Zadatak

Nacrtajte grafove funkcija f (x) = |x | i f (x) = 1x .

Napomena

Vecina funkcija nije niti parna niti neparna, no svaka se funkcijamoze zapisati kao linearna kombinacija parne i neparne funkcije:

g(x) =g(x) + g(−x)

g(x)− g(−x)

f (−x) = f (x).

f (−x) = −f (x).

Zadatak

Napomena

g(x) =g(x) + g(−x)

g(x)− g(−x)

f (−x) = f (x).

f (−x) = −f (x).

Zadatak

Napomena

g(x) =g(x) + g(−x)

g(x)− g(−x)

Periodicnost funkcije

Funkcija f (x) je periodicna, ako postoji T ∈ R sa svojstvomf (x + T ) = f (x).

Zadatak

Nacrtajte graf funkcije f (x) = sin x

Zadatak

Nacrtajte graf funkcije g(x) = cos x.

Zadatak

Ispitajte parnost, neparnost, injektivnost i surjektivnost navedenihfunkcija. Definirajte inverze zadanih funkcija.

Zadatak

Monotone funkcije i lokalni ekstremi

Funkcija f (x) je rastuca: x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca: x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Vrijednost f (x0) je lokalni maksimum ako za x ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉vrijedi f (x) ≤ f (x0).Vrijednost f (x0) je lokalni minimum ako za x ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉vrijedi f (x) ≥ f (x0).

Zadatak

Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.

Funkcija f (x) je rastuca:

x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca: x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Vrijednost f (x0) je lokalni maksimum ako za x ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉vrijedi f (x) ≤ f (x0).Vrijednost f (x0) je lokalni minimum ako za x ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉vrijedi f (x) ≥ f (x0).

Zadatak

Funkcija f (x) je rastuca: x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

Funkcija f (x) je padajuca: x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Vrijednost f (x0) je lokalni maksimum ako za x ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉vrijedi f (x) ≤ f (x0).Vrijednost f (x0) je lokalni minimum ako za x ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉vrijedi f (x) ≥ f (x0).

Zadatak

Funkcija f (x) je rastuca: x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca:

x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Vrijednost f (x0) je lokalni maksimum ako za x ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉vrijedi f (x) ≤ f (x0).Vrijednost f (x0) je lokalni minimum ako za x ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉vrijedi f (x) ≥ f (x0).

Zadatak

Funkcija f (x) je rastuca: x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca: x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).

Vrijednost f (x0) je lokalni maksimum ako za x ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉vrijedi f (x) ≤ f (x0).Vrijednost f (x0) je lokalni minimum ako za x ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉vrijedi f (x) ≥ f (x0).

Zadatak

Funkcija f (x) je rastuca: x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca: x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Vrijednost f (x0) je lokalni maksimum ako za x ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉vrijedi f (x) ≤ f (x0).

Vrijednost f (x0) je lokalni minimum ako za x ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉vrijedi f (x) ≥ f (x0).

Zadatak

Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije

Funkcija f (x) je konveksna za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna ako za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.

Zadatak

Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x. Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.

Funkcija f (x) je konveksna za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).

Funkcija f (x) je konkavna ako za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.

Zadatak

Funkcija f (x) je konveksna za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna ako za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).

Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.

Zadatak

Domaca zadaca

1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.

2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12

x. Odredite domenu i

intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.

3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.

4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.

5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .

Domaca zadaca

ELEMENTARNE FUNKCIJE

Polinomi n-tog stupnja P(x) =∑n

k=0 akxk definiran je za svaki x ∈ R.Vrijednost funkcije racuna se pomocu tri osnovne racunskeoperacije.

Zadatak

Nacrtajte grafove polinoma:

1 f (x) = 23 x − 1

2 f (x) = 6− x − x2

Primjer

Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.

k=0 akxk definiran je za svaki x ∈ R.

Vrijednost funkcije racuna se pomocu tri osnovne racunskeoperacije.

Zadatak

1 f (x) = 23 x − 1

2 f (x) = 6− x − x2

Primjer

Zadatak

1 f (x) = 23 x − 1

2 f (x) = 6− x − x2

Primjer

Zadatak

1 f (x) = 23 x − 1

2 f (x) = 6− x − x2

Primjer

Zadatak

1 f (x) = 23 x − 1

2 f (x) = 6− x − x2

Primjer

Zadatak

1 f (x) = 23 x − 1

2 f (x) = 6− x − x2

Primjer

Zadatak

1 f (x) = 23 x − 1

2 f (x) = 6− x − x2

Primjer

Racionalne funkcije

oblika R(x) =P(x)

Q(x)nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.

Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji.

Primjer

Oddijelite polinomski dio racionalne funkcije

R(x) =x4 + 1

x3 − 1.

Racionalne funkcije

oblika R(x) =P(x)

Primjer

R(x) =x4 + 1

x3 − 1.

Racionalne funkcije

oblika R(x) =P(x)

Primjer

R(x) =x4 + 1

x3 − 1.

Racionalne funkcije

oblika R(x) =P(x)

Primjer

R(x) =x4 + 1

x3 − 1.

Racionalne funkcije

oblika R(x) =P(x)

Primjer

R(x) =x4 + 1

x3 − 1.

Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke

Zadatak

Rastavite na parcijalne racionalne funkcije funkciju:f (x) = x2+2

x3+5x2+6x

Odredite rastave racionalnih funkcija:

1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

8 8x4+4

Rastave provjerite algebarski.

Zadatak

x3+5x2+6x

1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

8 8x4+4

Zadatak

x3+5x2+6x

1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

8 8x4+4

Zadatak

x3+5x2+6x

1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

8 8x4+4

Zadatak

x3+5x2+6x

1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

8 8x4+4

Zadatak

x3+5x2+6x

1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

8 8x4+4

Zadatak

x3+5x2+6x

1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

8 8x4+4

Zadatak

x3+5x2+6x

1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

8 8x4+4

Zadatak

x3+5x2+6x

1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

8 8x4+4

Zadatak

x3+5x2+6x

1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

8 8x4+4

Zadatak

x3+5x2+6x

1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

8 8x4+4

Zadatak

x3+5x2+6x

1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

8 8x4+4

Rastave provjerite algebarski.Bozidar Ivankovic Matematika 1

Broj e.

Baza prirodnog logaritma i prirodne eksponencijalne funkcije.

Zadatak

Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu dana uz12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godinedana?

Zadatak

Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecno p

12 = 1% kamata pripisujeglavnici.Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?

Zadatak

Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360

ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?

Broj e.

Zadatak

Broj e.

Zadatak

Broj e.

Zadatak

Granicna vrijednost

Zadatak

Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n. Odredite

f (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.

Napomena

Zadatkom je pokazano da za n > 106 vrijednost funkcijezaokruzena na 5 decimala iznosi 2.71828.

Definicija

Baza prirodne eksponencijalne progresije e je granicna vrijednost

niza realnih brojeva 2,

. . . cija vrijednost

zaokruzena na 5 decimala iznosi e = 2.71828

Granicna vrijednost

Zadatak

Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n.

Odreditef (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.

Napomena

Definicija

Granicna vrijednost

Zadatak

Napomena

Definicija

Granicna vrijednost

Zadatak

Napomena

Definicija

Granicna vrijednost

Zadatak

Napomena

Definicija

Sto je ovdje fundamentalno,...

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ex .

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ln x.

Sto je ovdje fundamentalno,...

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ex .

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ln x.

...a sto nije.

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadane

formulom ch(x) =ex + e−x

2. Napisite formulu funkcije

ch−1(x) = Arch(x)

Zadatak

formulom sh(x) =ex − e−x

sh−1(x) = Arsh(x)

Zadatak

Izracunajte ch2x − sh2x i ch2x + sh2x.

...a sto nije.

Zadatak

ch−1(x) = Arch(x)

Zadatak

sh−1(x) = Arsh(x)

Zadatak

...a sto nije.

Zadatak

ch−1(x) = Arch(x)

Zadatak

sh−1(x) = Arsh(x)

Zadatak

...a sto nije.

Zadatak

ch−1(x) = Arch(x)

Zadatak

sh−1(x) = Arsh(x)

Zadatak

Eksponencijalna funkcija

Definicija

Formula eksponencijalne funkcije je oblika f (x) = ax , gdje jea > 0, a 6= 1.

Zapamtiti

Domenu funkcije ax cine svi realni brojevi R, dok slici funkcijepripadaju samo pozitivni brojevi {(R) =< 0,+∞ > .

Zadatak

Napisite domenu funkcije f (x) = 0.5x i nacrtajte graf funkcije.Istaknite osobine preslikavanja, parnost, monotonost i konkavnost,odnosno konveksnost, grafa.

Definicija

Zapamtiti

Zadatak

Definicija

Zapamtiti

Zadatak

Logaritamska funkcija

Definicija

Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x:

logb x = y

x = by

Zapamtiti

Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevi,x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.

Zadatak

Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:

y = log0.5 x

y = ln |x |

Definicija

logb x = y

x = by

Zapamtiti

Zadatak

y = log0.5 x

y = ln |x |

Definicija

logb x = y

x = by

Zapamtiti

Zadatak

y = log0.5 x

y = ln |x |

Definicija

logb x = y

x = by

Zapamtiti

Zadatak

y = log0.5 x

y = ln |x |

Definicija

logb x = y

x = by

Zapamtiti

Zadatak

y = log0.5 x

y = ln |x |

Definicija

logb x = y

x = by

Zapamtiti

Zadatak

y = log0.5 x

y = ln |x |

Trigonometrijske funkcije

Namjena trigonometrije je racunanje udaljenosti do poznatihnepristupacnih objekata koji se vide pod odredenim kutom.

Zadatak

Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m

Argument trigonometrijske funkcije je kut. Kutovi su u matematicipredstavljeni kao tocke trigonometrijske kruznice i mjere se uradijanima.

Zapamtiti

Domena sin i cos je R.Domenu funkcije tg x = sin xcos x cine realni

brojevi razliciti od π2 + kπ, k ∈ Z. Domenu funkcije ctg x = cos x

sin xcine realni brojevi razliciti od kπ, k ∈ Z.

Zadatak

Zapamtiti

Zadatak

Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100?

rjesenje: 85 m

Zapamtiti

Zadatak

Zapamtiti

Zadatak

Argument trigonometrijske funkcije je kut.

Kutovi su u matematicipredstavljeni kao tocke trigonometrijske kruznice i mjere se uradijanima.

Zapamtiti

Zadatak

Zapamtiti

Zadatak

Zapamtiti

Domena sin i cos je R.

Domenu funkcije tg x = sin xcos x cine realni

Zadatak

Zapamtiti

brojevi razliciti od π2 + kπ, k ∈ Z.

Domenu funkcije ctg x = cos xsin x

cine realni brojevi razliciti od kπ, k ∈ Z.

Zadatak

Zapamtiti

Ciklometrijske funkcije

Definicija (Arkus sinus)

Funkcija arcsin : [−1, 1]→[−π

2 ,π2

]zadana je pravilom:

y = arcsin x ⇔ sin y = x

Definicija (Arkus kosinus)

Funkcija arccos : [−1, 1]→ [0, π] zadana je pravilom:y = arccos x ⇔ cos y = x

Definicija (Arkus tangens)

Funkcija arctg = arctan = tan−1 : R→(−π

2 ,π2

)zadana je

pravilom: y = arctgx ⇔ tg y = x

2 ,π2

)zadana je

2 ,π2

)zadana je

2 ,π2

)zadana je

Zadaci

1 Nacrtajte grafove funkcija. Istaknite domene funkcija1 y = arctg x2 y = arccos x

2 Nacrtajte graf funkcije y = log2 x uzimajuci istaknutevrijednosti iz domene: {1, 2, 4, 8, 16, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16}

3 Nacrtajte graf funkcije y = x2(x2 − 1)

4 Rastavite na parcijalne razlomke funkciju:

f (x) =x2 + 2

x3 + 5x2 + 6x.

Zadaci

1 Nacrtajte grafove funkcija. Istaknite domene funkcija

1 y = arctg x2 y = arccos x

f (x) =x2 + 2

x3 + 5x2 + 6x.

Zadaci

1 Nacrtajte grafove funkcija. Istaknite domene funkcija1 y = arctg x

2 y = arccos x

f (x) =x2 + 2

x3 + 5x2 + 6x.

Zadaci

f (x) =x2 + 2

x3 + 5x2 + 6x.

Zadaci

f (x) =x2 + 2

x3 + 5x2 + 6x.

Zadaci

f (x) =x2 + 2

x3 + 5x2 + 6x.

Zadaci

f (x) =x2 + 2

x3 + 5x2 + 6x.

Slaganje funkcija

Napomena

Slaganje funkcija f (x) i g(x) u oznaci

(f ◦ g)(x) = f (g(x))

moguce je samo u slucaju ako je slika funkcije g(x) sadrzana udomeni funkcije f (x).

Zadatak

Ako je f (x) = cos x3 , g(x) = −πx, koliko je (f ◦ g)(−113)? 0.5

Zadatak

Odredite kompozicije f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f i g ◦ g za funkcije

1 f (x) = 2x − 3, g(x) = x + 3

2 f (x) = −12 x + 1, g(x) = 2

3 x − 53

3 f (x) = 2x + 1, g(x) = x2 − 1

Slaganje funkcija

Napomena

(f ◦ g)(x) = f (g(x))

Zadatak

1 f (x) = 2x − 3, g(x) = x + 3

2 f (x) = −12 x + 1, g(x) = 2

3 x − 53

3 f (x) = 2x + 1, g(x) = x2 − 1

Slaganje funkcija

Napomena

(f ◦ g)(x) = f (g(x))

Zadatak

Ako je f (x) = cos x3 , g(x) = −πx, koliko je (f ◦ g)(−113)?

Zadatak

1 f (x) = 2x − 3, g(x) = x + 3

2 f (x) = −12 x + 1, g(x) = 2

3 x − 53

3 f (x) = 2x + 1, g(x) = x2 − 1

Slaganje funkcija

Napomena

(f ◦ g)(x) = f (g(x))

Zadatak

1 f (x) = 2x − 3, g(x) = x + 3

2 f (x) = −12 x + 1, g(x) = 2

3 x − 53

3 f (x) = 2x + 1, g(x) = x2 − 1

Slaganje funkcija

Napomena

(f ◦ g)(x) = f (g(x))

Zadatak

1 f (x) = 2x − 3, g(x) = x + 3

2 f (x) = −12 x + 1, g(x) = 2

3 x − 53

3 f (x) = 2x + 1, g(x) = x2 − 1

Dekompozicija funkcije

Zadatak

Slijedece funkcije napisite u obliku kompozicije niza elementarnihfunkcija:

1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1

6 f (x) = sin ln arccos(x2 + 2)

Zadatak

1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1

Zadatak

1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1

Zadatak

1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1

Zadatak

1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1

Zadatak

1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1

Zadatak

1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1

Zadatak

1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1

Domena slozene funkcije

Zadatak

Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom

f (x) =ln(1 + x)

x − 1.

Zadatak

Odredite podrucje definicije funkcije y =

√x2 − 5x + 6

x − 1

Zadatak

Nadite domenu funkcije f (x) =√

1− 2x + 3 arcsin3x − 1

Zadatak

Nadite domenu funkcije y = ln(1 + e−x

Zadatak

f (x) =ln(1 + x)

x − 1.

Zadatak

√x2 − 5x + 6

x − 1

Zadatak

1− 2x + 3 arcsin3x − 1

Zadatak

f (x) =ln(1 + x)

x − 1.

Zadatak

√x2 − 5x + 6

x − 1

Zadatak

1− 2x + 3 arcsin3x − 1

Zadatak

f (x) =ln(1 + x)

x − 1.

Zadatak

√x2 − 5x + 6

x − 1

Zadatak

1− 2x + 3 arcsin3x − 1

Zadatak

f (x) =ln(1 + x)

x − 1.

Zadatak

√x2 − 5x + 6

x − 1

Zadatak

1− 2x + 3 arcsin3x − 1

Zadatak

Istrazivanje domena slozenih funkcija

Zadatak

Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija

f (x) = arccos

(3x − 2

4− x

Zadatak

Treba istraziti podrucje u kojem je definirana funkcija

y =√

3− log2(x − 1).

Zadatak

Napisite domenu funkcije zadane formulom y = arcsin(ln x)

Zadatak

Ispitajte domenu definiranosti funkcije

y = ln sin(x − 3) +√

16− x2

Zadatak

f (x) = arccos

(3x − 2

4− x

Zadatak

y =√

3− log2(x − 1).

Zadatak

y = ln sin(x − 3) +√

16− x2

Zadatak

f (x) = arccos

(3x − 2

4− x

Zadatak

y =√

3− log2(x − 1).

Zadatak

y = ln sin(x − 3) +√

16− x2

Zadatak

f (x) = arccos

(3x − 2

4− x

Zadatak

y =√

3− log2(x − 1).

Zadatak

y = ln sin(x − 3) +√

16− x2

Zadatak

f (x) = arccos

(3x − 2

4− x

Zadatak

y =√

3− log2(x − 1).

Zadatak

y = ln sin(x − 3) +√

16− x2

Grafovi lakse slozenih funkcija

Zadatak

Na temelju grafa funkcije y = sin x nacrtati dijagram napona

izmjenicne struje u = 220V sin

(100πt +

Zadatak

Na temelju grafa funkcije y = arcsin x nacrtajte graf funkcijuy = 3

2 arcsin x, zatim y = arcsin(2x), pa onda y = arcsin(x + 1).

Zadatak

Temeljem poznavanja grafa elementarne funkcije y = ln x skicirajtegraf funkcije y = −2 ln(2x + 4).

Zadatak

(100πt +

Zadatak

(100πt +

Zadatak

2 arcsin x,

zatim y = arcsin(2x), pa onda y = arcsin(x + 1).

Zadatak

(100πt +

Zadatak

2 arcsin x, zatim y = arcsin(2x),

pa onda y = arcsin(x + 1).

Zadatak

(100πt +

Zadatak

(100πt +

Zadatak

Formule inverznih funkcija

Zadatak

Odredite formulu funkcije inverzne funkciji y =x − 2

Zadatak

Napisite formulu inverzne funkcije za

y =ecos x − 1

2 + ecos x

Zadatak

Nacrtajte graf funkcije y = 2 sin(

3x − π

)+ 1, odredite formulu

inverzne funkcije i prirodno podrucje definicije funkcije zadaneinverznom formulom.

Zadatak

y =ecos x − 1

2 + ecos x

Zadatak

3x − π

Zadatak

y =ecos x − 1

2 + ecos x

Zadatak

3x − π

Zadatak

y =ecos x − 1

2 + ecos x

Zadatak

3x − π

Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak

Konstruirajte nizove tako da

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞

Prvi pojam matematicke analize.

Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . .

x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . .

x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . .

x → 2−

Zadatak

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞

x → −∞

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞

Limes niza

Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.

Limes niza je broj L koji ima svojstvo da za svaki, ma koliko maliε > 0 postoji n0 ∈ N takav da n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.Oznaka:

limn→∞

an = L.

Niz koji ima limes naziva se konvergentnim nizom.Limes nazivamo granicnom vrijednosti niza.

Divergentni nizovi su svi koji nisu konvergentni. Ili imajubeskonacan limes, sto obiljezavamolimn→∞ a(n) =∞, ili im se limes ne moze odrediti,kao primjerice limn→∞ sin n.

Limes niza

limn→∞

an = L.

Limes niza

Limes niza je broj L koji ima svojstvo da za svaki, ma koliko maliε > 0 postoji n0 ∈ N takav da n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.

Oznaka:limn→∞

an = L.

Limes niza

limn→∞

an = L.

Limes niza

limn→∞

an = L.

Niz koji ima limes naziva se konvergentnim nizom.

Limes nazivamo granicnom vrijednosti niza.

Limes niza

limn→∞

an = L.

Limes niza

limn→∞

an = L.

Divergentni nizovi su svi koji nisu konvergentni. Ili imajubeskonacan limes, sto obiljezavamolimn→∞ a(n) =∞,

ili im se limes ne moze odrediti,kao primjerice limn→∞ sin n.

Limes niza

limn→∞

an = L.

Konacni limes u konacnoj tocki

Problem

Konstruirajte niz x → 0+ i ispitajte ponasanje funkcije

f (x) =sin x

xkada se uvrstavaju brojevi sve blize nuli. Ispitajte

ponasanje za x → 0−

Limes funkcije f (x) kada x tezi broju c je broj A u zapisu

limx→c

f (x) = A

ako za svaki niz (xn) svojstvo limn→∞

xn = c povlaci

limn→∞

f (xn) = A.

Rjesenje problema ima zapis limx→0

Problem

f (x) =sin x

xkada se uvrstavaju brojevi sve blize nuli.

Ispitajte

limx→c

f (x) = A

xn = c povlaci

limn→∞

f (xn) = A.

Problem

f (x) =sin x

limx→c

f (x) = A

xn = c povlaci

limn→∞

f (xn) = A.

Problem

f (x) =sin x

limx→c

f (x) = A

xn = c povlaci

limn→∞

f (xn) = A.

Problem

f (x) =sin x

limx→c

f (x) = A

xn = c povlaci

limn→∞

f (xn) = A.

Problem

f (x) =sin x

limx→c

f (x) = A

xn = c povlaci

limn→∞

f (xn) = A.

Neki vazniji limesi. Neprekidnost funkcije.

Zadatak

Ispitajte s obje strane slijedece limese:

1 limx→0

ex − 1

2 limx→1

x − 1

Definicija

Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim

x→c+f (x) = lim

x→c−f (x) = f (c).

Problem

Dodefinirajte funkcijesin x

ex − 1

x − 1tako da budu

neprekidne.

Zadatak

1 limx→0

ex − 1

2 limx→1

x − 1

Definicija

x→c+f (x) = lim

x→c−f (x) = f (c).

Problem

ex − 1

x − 1tako da budu

neprekidne.

Zadatak

1 limx→0

ex − 1

2 limx→1

x − 1

Definicija

x→c+f (x) = lim

x→c−f (x) = f (c).

Problem

ex − 1

x − 1tako da budu

neprekidne.

Zadatak

1 limx→0

ex − 1

2 limx→1

x − 1

Definicija

x→c+f (x) = lim

x→c−f (x) = f (c).

Problem

ex − 1

x − 1tako da budu

neprekidne.

Zadatak

1 limx→0

ex − 1

2 limx→1

x − 1

Definicija

x→c+f (x) = lim

x→c−f (x) = f (c).

Problem

ex − 1

x − 1tako da budu

neprekidne.

Zadatak

1 limx→0

ex − 1

2 limx→1

x − 1

Definicija

x→c+f (x) = lim

x→c−f (x) = f (c).

Problem

ex − 1

x − 1tako da budu

neprekidne.

Beskonacni limes u konacnoj tocki. Asimptote.

Zadatak

1 limx→0

2 limx→2

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x . b) limx→π

ctg x .

Definicija

Funkcija u tocki c ∈ R ima prekid ako nije limx→c+

f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena

Sve su elementarne funkcije neprekidne u svakoj tocki svojedomene.

Zadatak

1 limx→0

2 limx→2

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x . b) limx→π

ctg x .

Definicija

f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena

Zadatak

1 limx→0

2 limx→2

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x . b) limx→π

ctg x .

Definicija

f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena

Zadatak

1 limx→0

2 limx→2

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x . b) limx→π

ctg x .

Definicija

f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena

Zadatak

1 limx→0

2 limx→2

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x .

b) limx→π

ctg x .

Definicija

f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena

Zadatak

1 limx→0

2 limx→2

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x . b) limx→π

ctg x .

Definicija

f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena

Zadatak

1 limx→0

2 limx→2

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x . b) limx→π

ctg x .

Definicija

f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena

Zadatak

1 limx→0

2 limx→2

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x . b) limx→π

ctg x .

Definicija

f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena

Konacan limes u beskonacnosti. Asimptoticnost

Zadatak

Odredite

1 limx→∞

2 limx→∞

3x3 − 4x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − x + 493 lim

x→−∞ex

4 a) limx→∞

arctg x limx→−∞

arctg x

Vrijednost konacnog limesa u beskonacnosti naziva seasimptotskom vrijednosti.

Zadatak

Odredite

1 limx→∞

2 limx→∞

3x3 − 4x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − x + 493 lim

x→−∞ex

4 a) limx→∞

arctg x

Zadatak

Odredite

1 limx→∞

2 limx→∞

3x3 − 4x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − x + 493 lim

x→−∞ex

4 a) limx→∞

arctg x

Zadatak

Odredite

1 limx→∞

2 limx→∞

3x3 − 4x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − x + 49

3 limx→−∞

4 a) limx→∞

arctg x

Zadatak

Odredite

1 limx→∞

2 limx→∞

3x3 − 4x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − x + 493 lim

x→−∞ex

4 a) limx→∞

arctg x

Zadatak

Odredite

1 limx→∞

2 limx→∞

3x3 − 4x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − x + 493 lim

x→−∞ex

4 a) limx→∞

arctg x

Zadatak

Odredite

1 limx→∞

2 limx→∞

3x3 − 4x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − x + 493 lim

x→−∞ex

4 a) limx→∞

arctg x

Beskonacan limes u beskonacnosti. Kosaasimptota

Zadatak

Odredite limx→∞

Kosa asimptota grafa funkcije y = f (x) je pravac y = kx + l uslucaju da postoje konacne vrijednosti

k = limx→∞

xl = lim

x→∞[f (x)− kx ]

Primjer

Nacrtati kosu asimptotu grafa funkcije y =x2

√x2 − 1

Zadatak

Odredite limx→∞

k = limx→∞

xl = lim

x→∞[f (x)− kx ]

Primjer

√x2 − 1

Zadatak

Odredite limx→∞

k = limx→∞

xl = lim

x→∞[f (x)− kx ]

Primjer

√x2 − 1

Zadatak

Odredite limx→∞

k = limx→∞

xl = lim

x→∞[f (x)− kx ]

Primjer

√x2 − 1

Zadatak

Odredite limx→∞

k = limx→∞

xl = lim

x→∞[f (x)− kx ]

Primjer

√x2 − 1

Svojstva limesa funkcije

1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

3 limx→c

[f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c

[f (x)]g(x) = [ limx→c

f (x)]limx→c g(x).

5 Ako je f (x) neprekidna funkcija, tada je

limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 00 . . . .

Odredeni oblici:

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .

1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

3 limx→c

[f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c

limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 00 . . . .

Odredeni oblici:

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .

1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

3 limx→c

[f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c

limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 00 . . . .

Odredeni oblici:

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .

1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

3 limx→c

[f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c

limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 00 . . . .

Odredeni oblici:

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .

1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

3 limx→c

[f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c

limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 00 . . . .

Odredeni oblici:

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .

1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

3 limx→c

[f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c

limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 00 . . . .

Odredeni oblici:

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .

1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

3 limx→c

[f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c

limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 00 . . . .

Odredeni oblici:

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .

1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

3 limx→c

[f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c

limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 00 . . . .

Odredeni oblici:

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .

Domaca zadaca

1 limx→3

x3 − 27

x − 3

2 limx→9

√x − 3

x − 9

3 limx→5

ln x − ln 5

x − 5

4 limx→2

x−2 s obje strane.

5 Nacrtajte kosu asimptotu grafa funkcije y =x2 − 1

2x − 1

Rjesenja: 27, 1/6, 1/5, {0,+∞}, y = 12 x + 1

Domaca zadaca

1 limx→3

x3 − 27

x − 3

2 limx→9

√x − 3

x − 9

3 limx→5

ln x − ln 5

x − 5

4 limx→2

x−2 s obje strane.

5 Nacrtajte kosu asimptotu grafa funkcije y =x2 − 1

2x − 1

Rjesenja: 27, 1/6, 1/5, {0,+∞}, y = 12 x + 1

DERIVACIJA I PRIMJENE

Neka je...

x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Izracunajte omjerdy

dxza funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je

Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,

f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Izracunajte omjerdy

Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,

y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Izracunajte omjerdy

Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,

∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Izracunajte omjerdy

Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,

∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Izracunajte omjerdy

Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,

dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Izracunajte omjerdy

Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Izracunajte omjerdy

Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Izracunajte omjerdy

Definicija derivacije

Definicija

Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:

f ′(x) = limdx→0

f (x + dx)− f (x)

dx, odnosno dy = y ′ · dx .

Zadatak

Odredite formule prvih derivacija funkcija:

1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√

5 y = sin x

6 y = cos x

Definicija

f (x + dx)− f (x)

dx, odnosno

dy = y ′ · dx .

Zadatak

1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√

5 y = sin x

6 y = cos x

Definicija

f (x + dx)− f (x)

Zadatak

1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√

5 y = sin x

6 y = cos x

Definicija

f (x + dx)− f (x)

Zadatak

1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√

5 y = sin x

6 y = cos x

Derivacije elementarnih funkcija

Zadatak

Odredite derivaciju eksponencijalne funkcije f (x) = ex preko

limesa dobivenog eksperimentalno: limx→0

ex − 1

Zadatak

Nadite formulu derivacije funkcije prirodnog logaritma f (x) = ln x

koristeci algebru i eksperimentalno dobiven limx→1

x − 1= 1.

Zadatak

Odredite formulu derivacije potencije f (x) = xn koristeci sebinomnom formulom.

Zadatak

ex − 1

Zadatak

x − 1= 1.

Zadatak

ex − 1

Zadatak

x − 1= 1.

Zadatak

ex − 1

Zadatak

x − 1= 1.

Zadatak

Osnovna pravila deriviranja

Neka je poznato f ′(x). Ako je y = c · f (x), onda je y ′ = c · f ′(x).Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

Neka je poznato f ′(x).

Ako je y = c · f (x), onda je y ′ = c · f ′(x).Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

Neka je poznato f ′(x). Ako je y = c · f (x), onda je y ′ = c · f ′(x).

Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

Neka je poznato f ′(x). Ako je y = c · f (x), onda je y ′ = c · f ′(x).Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijedi

y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

Neka je poznato f ′(x). Ako je y = c · f (x), onda je y ′ = c · f ′(x).Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x)

Derivirajte:

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

Derivacija umnoska

Ako su poznate derivacije funkcija f (x) i g(x), tada je:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).

Zadatak

Derivirati slijedece umnoske

1 y = xlnx

2 y = x2ex

3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx

Zadatak

Polozaj s nekog tijela na ravnoj putanji ovisi o trenutku snimanja t

po formuli s =√

t ln t. Odrediteds

dt. Kolika je brzina tijela u

trenutku t = 0.1s, a kolika u trenutku isteka prve sekunde?

Derivacija umnoska

Zadatak

1 y = xlnx

2 y = x2ex

Zadatak

po formuli s =√

t ln t. Odrediteds

Derivacija umnoska

Zadatak

1 y = xlnx

2 y = x2ex

Zadatak

po formuli s =√

t ln t. Odrediteds

Derivacija umnoska

Zadatak

1 y = xlnx

2 y = x2ex

Zadatak

po formuli s =√

t ln t. Odrediteds

Derivacija umnoska

Zadatak

1 y = xlnx

2 y = x2ex

Zadatak

po formuli s =√

t ln t. Odrediteds

Derivacija umnoska

Zadatak

1 y = xlnx

2 y = x2ex

Zadatak

po formuli s =√

t ln t. Odrediteds

Derivacija umnoska

Zadatak

1 y = xlnx

2 y = x2ex

Zadatak

po formuli s =√

t ln t.

Odrediteds

Derivacija umnoska

Zadatak

1 y = xlnx

2 y = x2ex

Zadatak

po formuli s =√

t ln t. Odrediteds

Kolika je brzina tijela u

Derivacija umnoska

Zadatak

1 y = xlnx

2 y = x2ex

Zadatak

po formuli s =√

t ln t. Odrediteds

Derivacija kvocijenta funkcija

Ukoliko je moguce derivirati f (x) u brojniku i g(x) iz nazivnika,tada je derivacija kvocjenta:

y = f (x)g(x) ⇒ y ′ =

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

1 Odredite formulu prve derivacije za tgx

2 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1

cos x − sin x.

3 Troskovi proizvodnje T ovise o kolicini proizvodnje Q

formulom T (Q) =Q3

Q3 + 3. Ako su t prosjecni troskovi

proizvodnje, odreditedt

dQpri proizvodnji jednog i pri

proizvodnji 10 proizvoda.

y = f (x)g(x) ⇒ y ′ =

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

cos x − sin x.

formulom T (Q) =Q3

y = f (x)g(x) ⇒ y ′ =

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

cos x − sin x.

formulom T (Q) =Q3

y = f (x)g(x) ⇒ y ′ =

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

cos x − sin x.

formulom T (Q) =Q3

y = f (x)g(x) ⇒ y ′ =

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

cos x − sin x.

formulom T (Q) =Q3

y = f (x)g(x) ⇒ y ′ =

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

cos x − sin x.

formulom T (Q) =Q3

Q3 + 3.

Ako su t prosjecni troskovi

y = f (x)g(x) ⇒ y ′ =

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

cos x − sin x.

formulom T (Q) =Q3

Derivacija inverzne funkcije

Ako je y = f (x), onda je f ′(x) =dy

dx. Neka je poznata formula

inverzne funkcije f −1(y) = x . Tada je(f −1(y)

f ′(x)=

f ′(f −1(y)).

Primjer

Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .

Zadatak

Izvedite derivaciju funkcije y = arctgx .

inverzne funkcije f −1(y) = x .

Tada je(f −1(y)

f ′(x)=

f ′(f −1(y)).

Primjer

Zadatak

inverzne funkcije f −1(y) = x . Tada je

(f −1(y)

f ′(x)=

f ′(f −1(y)).

Primjer

Zadatak

f ′(x)=

f ′(f −1(y)).

Primjer

Zadatak

f ′(x)=

f ′(f −1(y)).

Primjer

Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x

i f (x) = arccos x .

Zadatak

f ′(x)=

f ′(f −1(y)).

Primjer

Zadatak

f ′(x)=

f ′(f −1(y)).

Primjer

Zadatak

Derivacija kompozicije funkcija

Neka je y = f (g(x)). Tada je y = f (z) i z = g(x) i vrijedi

y ′ =dy

dz· dz

dx= f ′(z) · g ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Derivirati funkciju y = ln(x2 − 3x + 4).

Zadatak

Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .

Zadatak

Brzina svemirskog broda nakon ukljucivanja pogona povecava se iz

trenutka u trenutak po formuli v = tt . Odreditedv

dt. Izracunajte

brzinu i akceleraciju na pocetku seste sekunde. Kolika je bilapocetna brzina?

(3125m/s; 8154m/s2; 1m/s.)

Neka je y = f (g(x)).

Tada je y = f (z) i z = g(x) i vrijedi

y ′ =dy

dz· dz

dx= f ′(z) · g ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Zadatak

dt. Izracunajte

(3125m/s; 8154m/s2; 1m/s.)

y ′ =dy

dz· dz

dx= f ′(z) · g ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Zadatak

dt. Izracunajte

(3125m/s; 8154m/s2; 1m/s.)

y ′ =dy

dz· dz

dx= f ′(z) · g ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Zadatak

dt. Izracunajte

(3125m/s; 8154m/s2; 1m/s.)

y ′ =dy

dz· dz

dx= f ′(z) · g ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Zadatak

dt. Izracunajte

(3125m/s; 8154m/s2; 1m/s.)

y ′ =dy

dz· dz

dx= f ′(z) · g ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Zadatak

dt. Izracunajte

(3125m/s; 8154m/s2; 1m/s.)

y ′ =dy

dz· dz

dx= f ′(z) · g ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Zadatak

trenutka u trenutak po formuli v = tt .

Odreditedv

dt. Izracunajte

(3125m/s; 8154m/s2; 1m/s.)

y ′ =dy

dz· dz

dx= f ′(z) · g ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Zadatak

Izracunajte

(3125m/s; 8154m/s2; 1m/s.)

y ′ =dy

dz· dz

dx= f ′(z) · g ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Zadatak

dt. Izracunajte

brzinu i akceleraciju na pocetku seste sekunde.

Kolika je bilapocetna brzina?

(3125m/s; 8154m/s2; 1m/s.)

y ′ =dy

dz· dz

dx= f ′(z) · g ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Zadatak

dt. Izracunajte

(3125m/s; 8154m/s2; 1m/s.)

y ′ =dy

dz· dz

dx= f ′(z) · g ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Zadatak

dt. Izracunajte

(3125m/s; 8154m/s2; 1m/s.)Bozidar Ivankovic Matematika 1

Prve derivacije slozenih funkcija

Napisite formule prvih derivacija i izracunajte im vrijednost u nuli:

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e (0.28178)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x

(−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x

(!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1

(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

2 y =3√

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6

(−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e

(0.28178)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1

1 y =√

x2 + 1 (0)

2 y =√

2x3 − 1 (!!!)

3 y = sin2x (2)

4 y = sin2x (0)

5 y = ex2−x (−1)

6 y = ln x−23−2x (!!!!)

1 y =√

xex − x , za x = −1(− e√

e−1= −1.03685

)2 y =

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6 (−0.88715)

4 y = ln cos x−1x , za x = 1 (0)

Derivacije viseg reda

Odredite vrijednosti drugih derivacije za x = 0.33.

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x (0.58910)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

8 y = (sin x2 − cos x

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

(0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x

(0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x

(−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x

(0.58910)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2)

(−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2

(−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

(0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

(y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x =

0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3

(−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

1 y = 34 x 3√

x (0.69802)

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x (0.302741)

3 y = (x2 + 2x + 2)e−x (−0, 39620)

5 y = ln(2x3 + 3x2) (−18.664)

6 y = x arccos x2 (−1.02808)

7 y =√

x arcsin√

x (0.24390)

2 )2 (y ′′ = −4 sin 2x = 0, 61312)

9 y = cos3 x3 (−0, 31934)

10 y = ln√

1+sin x1−sin x

(y ′ = 1

cos x , y′′(0.33) = 0.36206

Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)

Poznavanje triju velicina : apscise diralista x0, ordinate diralistay0 = f (x0) i vrijednosti prve derivacijey ′(x0) = f ′(x0) = k .

Daje jednadzbu tangente : y − y0 = k(x − x0).

Normala je pravac koji okomito probada graf:y − y0 = − 1

k (x − x0).

Primjer

Nacrtajte tangentu na graf funkcije f (x) = ln1− x2

x2u tocki

x0 = 12 .

k (x − x0).

Primjer

x2u tocki

x0 = 12 .

k (x − x0).

Primjer

x2u tocki

x0 = 12 .

k (x − x0).

Primjer

x2u tocki

x0 = 12 .

k (x − x0).

Primjer

x2u tocki

x0 = 12 .

Zadaci

1 Nacrtajte grafove slijedecih funkcije i napisite jednadzbetangenata na grafove u tockama koje su zadane slijedecimpodacima:

1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12

2 krivulja y = 12x u tocki x = 4

3 funkcija y =√

x , u tocki y = 3

2 Nadite jedndzbu tangente i normale1 na krivulju y = 3

√x − 1 u tocki (1, 0).

2 na krivulju y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.

3 na krivulju y = e1−x2

u sjecistima s pravcem y = 1.

3 Formula glasi

y = lnx +√

1− x2

Koliko je y ′(1)? Napisite jednadzbu tangente i jednadzbunormale na graf funkcije zadane formulom.

Zadaci

3 funkcija y =√

x , u tocki y = 3

√x − 1 u tocki (1, 0).

3 Formula glasi

y = lnx +√

1− x2

Zadaci

3 funkcija y =√

x , u tocki y = 3

√x − 1 u tocki (1, 0).

3 Formula glasi

y = lnx +√

1− x2

Zadaci

3 funkcija y =√

x , u tocki y = 3

√x − 1 u tocki (1, 0).

3 Formula glasi

y = lnx +√

1− x2

Zadaci

3 funkcija y =√

x , u tocki y = 3

√x − 1 u tocki (1, 0).

3 Formula glasi

y = lnx +√

1− x2

Zadaci

3 funkcija y =√

x , u tocki y = 3

2 Nadite jedndzbu tangente i normale

1 na krivulju y = 3√

x − 1 u tocki (1, 0).2 na krivulju y = arcsin x−1

2 u sjecistu s x-osi.

3 Formula glasi

y = lnx +√

1− x2

Zadaci

3 funkcija y =√

x , u tocki y = 3

√x − 1 u tocki (1, 0).

3 Formula glasi

y = lnx +√

1− x2

Zadaci

3 funkcija y =√

x , u tocki y = 3

√x − 1 u tocki (1, 0).

3 Formula glasi

y = lnx +√

1− x2

Zadaci

3 funkcija y =√

x , u tocki y = 3

√x − 1 u tocki (1, 0).

3 Formula glasi

y = lnx +√

1− x2

Zadaci

3 funkcija y =√

x , u tocki y = 3

√x − 1 u tocki (1, 0).

3 Formula glasi

y = lnx +√

1− x2

Zadaci

3 funkcija y =√

x , u tocki y = 3

√x − 1 u tocki (1, 0).

3 Formula glasi

y = lnx +√

1− x2

Koliko je y ′(1)?

Napisite jednadzbu tangente i jednadzbunormale na graf funkcije zadane formulom.

Zadaci

3 funkcija y =√

x , u tocki y = 3

√x − 1 u tocki (1, 0).

3 Formula glasi

y = lnx +√

1− x2

Rjesenja zadataka

1 a)4x − 4y + 1 = 0; b)y = −34 x + 6; c)y = 1

6 x + 32

2 Tangenta i normala redom: a)x = 1, y = 0;b)x − 2y − 1 = 0, 2x + y − 2 = 0;c)2x + y − 3 = 0, x − 2y + 1 = 0 za (1, 1);2x − y + 3 = 0, x + 2y − 1 = 0 za (−1, 1).

3 Iz y ′ = 1x+√

1−x2· −1−x2

1−x2ocito je y ′(1)→∞, sto daje za

tangentu vertikalu x = 1, a za normalu y = 0.

Derivacija implicitno zadane funkcije

Jednadzba F (x , y) = 0 moze implicitno definirati y kao funkciju odx .

Primjer

Definirati y kao funkciju od x: x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x,4x2 + 9y 2 = 36 i 25x2 − 16y 2 = 400.

Prva derivacija y ′ = dydx je funkcija dviju varijabli, x i y .

Primjer

Napisati formule prvih derivacija navedenih funkcija.

Zadatak

Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y 3 − 6xy = 0.

Primjer

Zadatak

Primjer

Definirati y kao funkciju od x:

x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x,4x2 + 9y 2 = 36 i 25x2 − 16y 2 = 400.

Primjer

Zadatak

Primjer

Definirati y kao funkciju od x: x2 + y 2 = 25,

y 2 = 12x,4x2 + 9y 2 = 36 i 25x2 − 16y 2 = 400.

Primjer

Zadatak

Primjer

Definirati y kao funkciju od x: x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x,

4x2 + 9y 2 = 36 i 25x2 − 16y 2 = 400.

Primjer

Zadatak

Primjer

Definirati y kao funkciju od x: x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x,4x2 + 9y 2 = 36

i 25x2 − 16y 2 = 400.

Primjer

Zadatak

Primjer

Zadatak

Primjer

Zadatak

Primjer

Zadatak

Primjer

Zadatak

Rijesite sljedece zadatke

1 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju3x2 + 3y 2 − 4x + y − 13 = 0 u tocki x = 1, y = 2.

2 Odredite formulu y ′ ako je y zadana formulom y 3 = x−yx+y .

3 Funkcija y zadana je implicitno formulom ey = x + y .Napisati formulu za y ′.

4 Odredite formulu za y ′ iz3√

x2 + 3√

y 2 =3√

a2, gdje je aproizvoljna konstanta.

x2 + 3√

y 2 =3√

x2 + 3√

y 2 =3√

x2 + 3√

y 2 =3√

x2 + 3√

y 2 =3√

Rjesenja:

1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3

2 y ′ = 2y2

3(x2−y2)+2xy

3 y ′ = 1ey−1

4 y ′ = − 3

√yx .

Logaritamsko deriviranje

Primjer

Napisite formulu prve derivacije

1 y = xx .

2 y = (sin x)x .

3 y = xxx .

Zadatak

Odredite y ′(1, 1) funkcije xy = y x . y ′ = 1

Zadatak

Odredite podrucje definicije funkcije y = x · 3

√(x−2)2(x+1)

(x−1)5 . Napisite

jednadzbe tangente i normale na graf zadane funkcije u tockiT (3, ?). Koliku povrsinu omeduju tangenta, normala i os ordinata.P = 25 35

Primjer

1 y = xx .

2 y = (sin x)x .

3 y = xxx .

Zadatak

√(x−2)2(x+1)

(x−1)5 . Napisite

Primjer

1 y = xx .

2 y = (sin x)x .

3 y = xxx .

Zadatak

√(x−2)2(x+1)

(x−1)5 . Napisite

Primjer

1 y = xx .

2 y = (sin x)x .

3 y = xxx .

Zadatak

√(x−2)2(x+1)

(x−1)5 . Napisite

Primjer

1 y = xx .

2 y = (sin x)x .

3 y = xxx .

Zadatak

Odredite y ′(1, 1) funkcije xy = y x .

y ′ = 1

Zadatak

√(x−2)2(x+1)

(x−1)5 . Napisite

Primjer

1 y = xx .

2 y = (sin x)x .

3 y = xxx .

Zadatak

√(x−2)2(x+1)

(x−1)5 . Napisite

Primjer

1 y = xx .

2 y = (sin x)x .

3 y = xxx .

Zadatak

√(x−2)2(x+1)

(x−1)5 . Napisite

jednadzbe tangente i normale na graf zadane funkcije u tockiT (3, ?). Koliku povrsinu omeduju tangenta, normala i os ordinata.

P = 25 3552 .

Primjer

1 y = xx .

2 y = (sin x)x .

3 y = xxx .

Zadatak

√(x−2)2(x+1)

(x−1)5 . Napisite

Parametarske jednadzbe krivulja

Zadatak

Nacrtajte tocke (x , y) = (t, t2) za t > 0 u koordinatnoj ravnini.Nacrtajte vektor brzine (x , y) u trenutku t = 2, ako je x = dx

y = dydt .

Zadatak

Trajektorija u ravnini zadana je parametarski (5 cos t, 5 sin t).Nacrtajte vektor brzine i vektor akceleracije u tocki za koju jet = 3.

Zadatak

Krivulja je generirana racunanjem koordinata tocaka po formulamax = 6(t − sin t), y = 6(1− cos t). Odredite tangencijalnu icentripetalnu akceleraciju u trenutku t = 10.

Zadatak

y = dydt .

Zadatak

y = dydt .

Zadatak

Parametarsko zadavanje krivulja

Prostorna krivulja, trajektorija, generirana je parametrom t:~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), obicno t > 0. Vektor brzine tangencijalanje na trajektoriju: ~r = ~v(t) = (x(t), y(t), z(t)). Akceleracija~a(t) = (x(t), y(t), z(t)) ima dvije komponente:

tangencijalnu: ~a~v

centripetalnu: ~a−~a~v .

Zadatak

Trajektorija je zadana jednadzbom ~r = (tet , t ln t, cos t).Izracunajte brzinu na pocetku 9. sekunde i centripetalnuakceleraciju.

Prostorna krivulja, trajektorija, generirana je parametrom t:

~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), obicno t > 0. Vektor brzine tangencijalanje na trajektoriju: ~r = ~v(t) = (x(t), y(t), z(t)). Akceleracija~a(t) = (x(t), y(t), z(t)) ima dvije komponente:

tangencijalnu: ~a~v

Zadatak

Prostorna krivulja, trajektorija, generirana je parametrom t:~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), obicno t > 0.

Vektor brzine tangencijalanje na trajektoriju: ~r = ~v(t) = (x(t), y(t), z(t)). Akceleracija~a(t) = (x(t), y(t), z(t)) ima dvije komponente:

tangencijalnu: ~a~v

Zadatak

Prostorna krivulja, trajektorija, generirana je parametrom t:~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), obicno t > 0. Vektor brzine tangencijalanje na trajektoriju: ~r = ~v(t) = (x(t), y(t), z(t)).

Akceleracija~a(t) = (x(t), y(t), z(t)) ima dvije komponente:

tangencijalnu: ~a~v

Zadatak

tangencijalnu: ~a~v

Zadatak

tangencijalnu: ~a~v

Zadatak

tangencijalnu: ~a~v

Zadatak

tangencijalnu: ~a~v

Zadatak

Deriviranje parametarski zadanih krivulja

Brzina u tocki na krivulji ~v(t) je vektor~v(t) = ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), gdje je t parametar ,a x(t) prva derivacija funkcije x(t) po varijabli t.

Akceleracija u tocki na krivulji ~a(t) je vektor~a(t) = ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), gdje je t parametar ,a x(t) druga derivacija funkcije x(t) po varijabli t.

Tangencijalna akceleracija ~aT (t) je vektorska projekcijaakceleracije ~a na smjer brzine ~v(t).

Radijalna akceleracija ili centripetalna akceleracija je vektor~acp = ~a(t)−~aT (t).

Primjeri i zadaci

Primjer

Odredite brzinu, akceleraciju, tangencijalnu i radijalnu akceleracijucikloide na polumjeru a = 10 u trenutku 2s nakon pocetka gibanja.Koliki je radijus zakrivljenosti putanje?

rj: ~v(2) = (14.2, 9.1), a(2) = (9.2,−4.2), aT (2) =(4.6, 2.9), aR(2) = (4.6,−7.1), R = 33.6.

Zadatak

Parametarski je zadana krivulja ~r(t) =(e−t , e2t

). Odredite brzinu,

akceleraciju, tangencijalnu i radijalnu komponentu akceleracije,iznos brzine i centripetalne akceleracije, pa i radijus zakrivljenosti utocki odredenoj parametrom t = 0.

rj: ~v(0) = (−1, 2), ~a(0) = (1, 4), ~aT = (−1.4, 2.8), ~aR =(2.4, 1.2), v = 2.24, acp = 2.68, R = 1, 866

Primjeri i zadaci

Primjer

rj: ~v(2) = (14.2, 9.1), a(2) = (9.2,−4.2), aT (2) =(4.6, 2.9), aR(2) = (4.6,−7.1), R = 33.6.

Zadatak

). Odredite brzinu,

rj: ~v(0) = (−1, 2), ~a(0) = (1, 4), ~aT = (−1.4, 2.8), ~aR =(2.4, 1.2), v = 2.24, acp = 2.68, R = 1, 866

Primjeri i zadaci

Primjer

rj: ~v(2) = (14.2, 9.1), a(2) = (9.2,−4.2), aT (2) =(4.6, 2.9), aR(2) = (4.6,−7.1), R = 33.6.

Zadatak

). Odredite brzinu,

rj: ~v(0) = (−1, 2), ~a(0) = (1, 4), ~aT = (−1.4, 2.8), ~aR =(2.4, 1.2), v = 2.24, acp = 2.68, R = 1, 866

Primjeri i zadaci

Primjer

rj: ~v(2) = (14.2, 9.1), a(2) = (9.2,−4.2), aT (2) =(4.6, 2.9), aR(2) = (4.6,−7.1), R = 33.6.

Zadatak

). Odredite brzinu,

rj: ~v(0) = (−1, 2), ~a(0) = (1, 4), ~aT = (−1.4, 2.8), ~aR =(2.4, 1.2), v = 2.24, acp = 2.68, R = 1, 866

Da li je jasno?

Teorem

Koeficijent smjera tangente na parametarski zadanu krivulju

(x(t), y(t)) racuna se po formuli y ′ =dy

1 Krivulja je zadana parametarski: x = 2at1+t2 , y = a(1−t2)

1+t2 , gdjeje a ∈ R. Odredite jednadzbu tangente na krivulju u tockizadanoj parametrom t = 3. Izrazite pomocu a povrsinu koju skoordinatnim osima odsjeca tangenta.

2 Gibanje je zadano parametarski: (2t + 3t2, t2 + 2t3, t√

t).Izracunajte brzinu, centripetalnu akceleraciju i radijuszakrivljenost putanje na pocetku 4. sekunde.

Da li je jasno?

Teorem

Da li je jasno?

Teorem

Da li je jasno?

Teorem

Prva priprema prvog kolokvija

1 Zadani su vektori ~a = 2~i − 3~j + ~k , ~b = 6~j − 8~k i ~c = −3~k.

Izracunajte~c

|~c |× ((~a− ~b)× (~a + ~b)).

2 Vektori ~a = 2~m + ~n i ~b = ~m − 3~n odreduju paralelograma.Odredite povrsinu i opseg paralelograma, ako je |~m| = 1,|~n| = 2, a kut izmedu njih ima 600.

3 Odredite domenu i nacrtajte tangentu na graf funkcije

√6− x

x − 3. u tocki s apscisom x0 = 4. Izracunajte duljinu

odsjecka kojeg na tangenti zatvara odreduju koordinatne osi.Rezultate zaokruzite na stotinku.

4 Nacrtajte graf sinusoide zadane formulomy = −2 cos

(x3 + π

). Odredite formulu inverzne funkcije i

prirodno podrucje definicije inverzne funkcije.5 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju yey = ex+1

u tocki T (0, 1) zadane krivulje. Koliku povrsinu zatvarajutangenta i normala s osi apscisa?

Druga priprema prvog kolokvija

1 Polozaj tocke na trajektoriji zadan je vektorskom funkcijom~r = (3e2t ,− ln t, cos t). Odredite vektor tangencijalne i vektorcentripetalne akceleracije u trenutku t = 0.5.

2 Jedinicni vektori ~m i ~n zatvaraju kutπ

3. Izracunajte kut

izmedu vektora ~a = 2~m + ~n i ~b = ~n − 3~m.3 Odredite domenu i nacrtajte tangentu na graf funkcije

f (x) = 3− 2 · x2−xe2x u tocki s apscisom x0 = 0. Izracunajte

duljinu koju na tangenti odreduju koordinatne osi. Rezultatezaokruzujte na desetinku.

4 Nacrtajte graf sinusoide zadane formulom

y = −2 cos(x

). Odredite formulu inverzne funkcije i

prirodno podrucje definicije inverzne funkcije.5 Odredite λ tako da vektori ~a = λ~i + 3~j + 4~k , ~b = 3~i +~j + 5~k i~c = −5~i + 3~j − 7~k leze u istoj ravnini. Nakon toga rastavitevektor ~c po komponentama u smjerovima ~a i ~b.

Kakvi bi zadaci mogli biti

1 Koliko je visoko tocka D(1, 0, 4) iznad ravnine odredenetockama A(2,−1,−1), B(0,−2, 0) i C (1, 2, 3).

2 Svemirski brod se krece trajektorijom~r(t) = (−t2 ln t

3 , te−2t , arccos 0.2t) · km. Koliku centrifugalnusilu osjeca astronaut od 80 kg na kraju trece sekunde?

3 Koliku povrsinu s pravcem x − 5 = 0 zatvaraju tangenta inormala koje su na krivulju x sin y − y sin2 x = 0 povucene uishodistu?

4 Nacrtajte sinusoidu y = 3− sin 2x . Napisite formulu inverza.Odredite domenu inverza.

5 Funkcija je zadana formulomf (x) = 3

x2−9− arcsin x−1

2x+3 +√

x2 − x − 6 Odredite domenu ivrijednost druge derivacije u tocki x = 5.

Probati doma

1 Dijagonale paralelograma zadane su vektorima ~e = 3~i − 4~j + ~k i~f =~i + 4~k . Izracunajte kut u paralelogramu. (770)

2 Krivulja je zadana parametarski r(t) =

(3t2 − 6t + 4,

4t − 9

Nacrtajte vektor smjera tangente u tocki za t = 3. Nacrtajtetangentu i napisite njenu jednadzbu. (12~i − 4

3~j , x + 9y = 22)

3 U tocki (2, 4) krivulje lnxy

8− x2y 2 + 64 = 0 povucena je tangenta.

Koliku povrsinu zatvara s koordinatnim osima? (y ′ = −2, 16)

4 Nacrtajte graf funkcije f (x) = 3 sin(x2 − π

). Napisite prvu

derivaciju formule inverzne funkcije. (f −1(x) = 2 arcsin y3 + 2π,

(f −1(x))′ = 2

√1− x2

5 Odredite domenu i prvu derivaciju funkcije

f (x) =√

1− x2 − 1

ln(1− 2x). Napisite jednadzbu normale na graf

u tocki x = 0.2.(y = 0.076x + 2.785)

Primjena derivacija na ispitivanje toka funkcije

Teorem (Fermat)

Ako f : [a, b]→ R ima u tocki c ∈ 〈a, b〉 lokalni ekstrem i akopostoji f ′(c), tada je f ′(c) = 0

Teorem (Lagrangeov srednje vrijednosti)

Neka je f na [a, b] nepredinuta funkcija, a na 〈a, b〉 derivabilna.Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 za koji je f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).

Teorem (O karakterizaciji)

Neka je f : 〈a, b〉 derivabilna.

1 Ako je f ′(x) ≥ 0, onda je f rastuca funkcija

2 Ako je f ′(x) ≤ 0, onda je f padajuca funkcija

Teorem (Fermat)

Zadaci

Zadatak

Odredite domenu, intervale monotonosti i otkrijte lokalne ekstremesljedecih funkcija:

1 f (x) = x2 − ln x2

2 f (x) = e−x2+8x−14

3 f (x) = x1−ln x

4 f (x) =sin x − 2

Zadaci

Zadatak

1 f (x) = x2 − ln x2

2 f (x) = e−x2+8x−14

3 f (x) = x1−ln x

4 f (x) =sin x − 2

Zadaci

Zadatak

1 f (x) = x2 − ln x2

2 f (x) = e−x2+8x−14

3 f (x) = x1−ln x

4 f (x) =sin x − 2

Zadaci

Zadatak

1 f (x) = x2 − ln x2

2 f (x) = e−x2+8x−14

3 f (x) = x1−ln x

4 f (x) =sin x − 2

Zadaci

Zadatak

1 f (x) = x2 − ln x2

2 f (x) = e−x2+8x−14

3 f (x) = x1−ln x

4 f (x) =sin x − 2

Ispitni zadaci

Odredite intervale rasta i intervale pada sljedecih funkcija:

1 f (x) =x − 1

x2 + 1

2 f (x) =ex

Odredite lokalne ekstreme sljedecih funkcija:

1 f (x) = x3 − 9

2x2 + 6x

2 f (x) =x

ln2 x.

3 y = x2ex

Ispitni zadaci

1 f (x) =x − 1

x2 + 1

2 f (x) =ex

1 f (x) = x3 − 9

2x2 + 6x

2 f (x) =x

ln2 x.

3 y = x2ex

Ispitni zadaci

1 f (x) =x − 1

x2 + 1

2 f (x) =ex

1 f (x) = x3 − 9

2x2 + 6x

2 f (x) =x

ln2 x.

3 y = x2ex

Ispitni zadaci

1 f (x) =x − 1

x2 + 1

2 f (x) =ex

1 f (x) = x3 − 9

2x2 + 6x

2 f (x) =x

ln2 x.

3 y = x2ex

Ispitni zadaci

1 f (x) =x − 1

x2 + 1

2 f (x) =ex

1 f (x) = x3 − 9

2x2 + 6x

2 f (x) =x

ln2 x.

3 y = x2ex

Ispitni zadaci

1 f (x) =x − 1

x2 + 1

2 f (x) =ex

1 f (x) = x3 − 9

2x2 + 6x

2 f (x) =x

ln2 x.

3 y = x2ex

Ispitni zadaci

1 f (x) =x − 1

x2 + 1

2 f (x) =ex

1 f (x) = x3 − 9

2x2 + 6x

2 f (x) =x

ln2 x.

3 y = x2ex

Ispitni zadaci

1 f (x) =x − 1

x2 + 1

2 f (x) =ex

1 f (x) = x3 − 9

2x2 + 6x

2 f (x) =x

ln2 x.

3 y = x2ex

Druga derivacija, konkavnost i konveksnost funkcije

Teorem

Neka je f : 〈a, b〉 dvaput derivabilna funkcija.

1 Ako je f ′′(x) ≥ 0, onda je f konveksna.

2 Ako je f ′′(x) ≤ 0, onda je f konkavna.

Napomena

Ako f ′′ : 〈a, b〉 → R nema prekid, tada su intervali konveksnosti ikonkavnosti omedeni tockom x0 u kojoj je f ′′(x0) = 0. To je tockainfleksije.

Teorem

Napomena

Teorem

Napomena

Teorem

Napomena

Teorem

Napomena

Teorem

Napomena

Ako f ′′ : 〈a, b〉 → R nema prekid, tada su intervali konveksnosti ikonkavnosti omedeni tockom x0 u kojoj je f ′′(x0) = 0.

To je tockainfleksije.

Teorem

Napomena

Zadaci

1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija

1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:1 f (x) = (x − 1) 7

√(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija1 f (x) = arctan x − x

2 f (x) = xex

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

√(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

√(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

√(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

√(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:

1 f (x) = (x − 1) 7√

(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

√(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

√(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 12

3 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

√(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Ispitni zadaci

Odredimo domenu, intervale konveksnosti i konkavnosti, te tockeinfleksije sljedecih funkcija

1 f (x) = e√x .

2 f (x) =1

x2 + 3.

3 f (x) = arctan

4 f (x) =1− ln x

5 y =ln x√

Ispitni zadaci

1 f (x) = e√x .

2 f (x) =1

x2 + 3.

3 f (x) = arctan

4 f (x) =1− ln x

5 y =ln x√

Ispitni zadaci

1 f (x) = e√x .

2 f (x) =1

x2 + 3.

3 f (x) = arctan

4 f (x) =1− ln x

5 y =ln x√

Ispitni zadaci

1 f (x) = e√x .

2 f (x) =1

x2 + 3.

3 f (x) = arctan

4 f (x) =1− ln x

5 y =ln x√

Ispitni zadaci

1 f (x) = e√x .

2 f (x) =1

x2 + 3.

3 f (x) = arctan

4 f (x) =1− ln x

5 y =ln x√

Ispitni zadaci

1 f (x) = e√x .

2 f (x) =1

x2 + 3.

3 f (x) = arctan

4 f (x) =1− ln x

5 y =ln x√

Ispitni zadaci

1 f (x) = e√x .

2 f (x) =1

x2 + 3.

3 f (x) = arctan

4 f (x) =1− ln x

5 y =ln x√

L’Hospitalovo pravilo

Neodredljivi oblici kod racunanja limesa su

∞−∞,∞∞,

0, 0 · ∞,∞0, 1∞, 00.

Teorem (L’Hospitalovo pravilo)

Neka je limx→a

f (x) = 0 i limx→a

g(x) = 0. Neka su f i g derivabilne u

svakoj tocki 〈a− δ, a + δ〉 osim mozda u a i neka je g(x) 6= 0 zax ∈ 〈a− δ, a + δ〉.

Ako je limx→a

f ′(x)

g ′(x)= L, onda je L = lim

∞−∞,∞∞,

0, 0 · ∞,∞0, 1∞, 00.

Neka je limx→a

Ako je limx→a

f ′(x)

∞−∞,∞∞,

0, 0 · ∞,∞0, 1∞, 00.

Neka je limx→a

g(x) = 0.

Neka su f i g derivabilne u

Ako je limx→a

f ′(x)

∞−∞,∞∞,

0, 0 · ∞,∞0, 1∞, 00.

Neka je limx→a

Ako je limx→a

f ′(x)

∞−∞,∞∞,

0, 0 · ∞,∞0, 1∞, 00.

Neka je limx→a

Ako je limx→a

f ′(x)

g ′(x)= L,

onda je L = limx→a

∞−∞,∞∞,

0, 0 · ∞,∞0, 1∞, 00.

Neka je limx→a

Ako je limx→a

f ′(x)

Zadaci

Odredite limese sljedecih funkcija:

1 limx→0

e3x − 3x − 1

sin2 5x

2 limx→∞

π − 2 arctan x

e3x − 1

3 limx→0

x ln x

4 limx→1

1− x2− 3

1− x3

)5 lim

x→π2

(π − 2x)cos x

Zadaci

1 limx→0

e3x − 3x − 1

sin2 5x

2 limx→∞

π − 2 arctan x

e3x − 1

3 limx→0

x ln x

4 limx→1

1− x2− 3

1− x3

)5 lim

x→π2

(π − 2x)cos x

Zadaci

1 limx→0

e3x − 3x − 1

sin2 5x

2 limx→∞

π − 2 arctan x

e3x − 1

3 limx→0

x ln x

4 limx→1

1− x2− 3

1− x3

)5 lim

x→π2

(π − 2x)cos x

Zadaci

1 limx→0

e3x − 3x − 1

sin2 5x

2 limx→∞

π − 2 arctan x

e3x − 1

3 limx→0

x ln x

4 limx→1

1− x2− 3

1− x3

)5 lim

x→π2

(π − 2x)cos x

Zadaci

1 limx→0

e3x − 3x − 1

sin2 5x

2 limx→∞

π − 2 arctan x

e3x − 1

3 limx→0

x ln x

4 limx→1

1− x2− 3

1− x3

5 limx→π

(π − 2x)cos x

Zadaci

1 limx→0

e3x − 3x − 1

sin2 5x

2 limx→∞

π − 2 arctan x

e3x − 1

3 limx→0

x ln x

4 limx→1

1− x2− 3

1− x3

)5 lim

x→π2

(π − 2x)cos x

Ispitni zadaci

Odredite sljedece limese primjenom L’Hospitalovog pravila

1 limx→1

x2 − 1 + ln x

ex − e

2 limx→+∞

x + ex

3 limx→π

(x − π) tanx

4 limx→1

ln x− x

)5 lim

x→0+(sin x)tan x .

Ispitni zadaci

1 limx→1

x2 − 1 + ln x

ex − e

2 limx→+∞

x + ex

3 limx→π

(x − π) tanx

4 limx→1

ln x− x

)5 lim

Ispitni zadaci

1 limx→1

x2 − 1 + ln x

ex − e

2 limx→+∞

x + ex

3 limx→π

(x − π) tanx

4 limx→1

ln x− x

)5 lim

Ispitni zadaci

1 limx→1

x2 − 1 + ln x

ex − e

2 limx→+∞

x + ex

3 limx→π

(x − π) tanx

4 limx→1

ln x− x

)5 lim

Ispitni zadaci

1 limx→1

x2 − 1 + ln x

ex − e

2 limx→+∞

x + ex

3 limx→π

(x − π) tanx

4 limx→1

ln x− x

)5 lim

Ispitni zadaci

1 limx→1

x2 − 1 + ln x

ex − e

2 limx→+∞

x + ex

3 limx→π

(x − π) tanx

4 limx→1

ln x− x

5 limx→0+

(sin x)tan x .

Ispitni zadaci

1 limx→1

x2 − 1 + ln x

ex − e

2 limx→+∞

x + ex

3 limx→π

(x − π) tanx

4 limx→1

ln x− x

)5 lim

Asimptote

Pravac je asimptota ako udaljenost grafa funkcije do pravca tezi knuli za x →∞ ili y →∞.

Zadatak

Odredite asimptote sljedecih funkcija

1 f (x) =sin x

2 f (x) =ln2 x

x− 3x

Asimptote

Zadatak

1 f (x) =sin x

2 f (x) =ln2 x

x− 3x

Asimptote

Zadatak

1 f (x) =sin x

2 f (x) =ln2 x

x− 3x

Asimptote

Zadatak

1 f (x) =sin x

2 f (x) =ln2 x

x− 3x

Crtanje grafova funkcija

Zadatak

Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) =x3

x2 − 4.

Zadatak

Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) = 16x(x − 1)3.

Crtanje grafova funkcija

Zadatak

Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) =x3

x2 − 4.

Zadatak

Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) = 16x(x − 1)3.

Zadaca

Odredite sve asimptote sljedecih funkcija

1 f (x) = 1−ln x1+ln x

2 f (x) = xex

(1+x)2

Ispitajte tok i skicirajte grafove funkcija

1 f (x) = xe−1x

2 f (x) = x2−1x2+1

3 f (x) = (x + 1) ln2(x + 1)

Grafovi i nealgebarske jednadzbe

Ako [a, b] sadrzi nultocku f (x), onda je f (x) · f (x) = 0.Ako je f ′′(a) · f (a) ≥ 0, onda je x1 = a i popunjava se tablica

x f (x) f ′(x) x − f (x)f ′(x) ⇒ x

1 Rijesite jednadzbu x ln x = 1

2 Rijesite jednadzbu x + sin x = 1

3 Odredite nultocke funkcije f (x) = ln2 xx − 3x

Ako [a, b] sadrzi nultocku f (x), onda je f (x) · f (x) = 0.

Ako je f ′′(a) · f (a) ≥ 0, onda je x1 = a i popunjava se tablica

x f (x) f ′(x) x − f (x)f ′(x) ⇒ x

Integrali i primjene. Definicija odredenogintegrala

Zadatak

Odredite velicinu povrsine omedene horizontalom y = 4,vertikalama x = 1 i x = 5, te osi apscisa OX .

Zapis zadatka:

Zadatak

Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x, vertikalomx = 3 i osi OX . Zapis zadatka:

Zadatak

Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6. Zapis zadatka:

Zadatak

Odredite velicinu povrsine omedene horizontalom y = 4,vertikalama x = 1 i x = 5, te osi apscisa OX . Zapis zadatka:

Zapis zadatka:

Zadatak

Zapis zadatka:

Zadatak

Zapis zadatka:

Zadatak

Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x, vertikalomx = 3 i osi OX .

Zapis zadatka:

Zadatak

Zapis zadatka:

Zadatak

Zapis zadatka:

Zadatak

Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6.

Zapis zadatka:

Zadatak

Zapis zadatka:

Zadatak

Newton-Leibnitzova formula

Antiderivacija formule f (x) je formula F (x) koja ima svojstvoF ′(x) = f (x).

Teorem

Neka je F ′(x) = f (x) za x ∈ [a, b] ⊂ R. Tada je∫ b

af (x)dx = F (x)

∣∣∣∣ba

= F (b)− F (a).

Zadatak

Primjenom Teorema rijesite prethodne zadatke.

Teorem

Neka je F ′(x) = f (x) za x ∈ [a, b] ⊂ R. Tada je

af (x)dx = F (x)

∣∣∣∣ba

= F (b)− F (a).

Zadatak

Teorem

af (x)dx = F (x)

∣∣∣∣ba

= F (b)− F (a).

Zadatak

Teorem

af (x)dx = F (x)

∣∣∣∣ba

= F (b)− F (a).

Zadatak

Primjena Newton-Leibnitzove formule

Rijesite Newton-Leibnitzovom formulom nekoliko slijedecihzadataka.

1 Izracunati povrsinu koju omeduju graf funkcije y = 3x2,vertikalni pravci x = 1 i x = 3 i os apscsa: y = 0.

2 Izracunajte povrsinu koju omeduju hiperbola xy = 12, osapscisa i vertikale x = 2 i x = 6.

3 Koliko je velika jedna od povrsina koju sinusoida y = sin xzatvara s x-osi?

Neodredeni integral

Definicija

Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.

Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Ispisite tablicu neodredenih integrala

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.

Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Metode integriranja. Direktno integriranje

Teorem

Za neodredene integrale vrijedi∫(αf (x) + βg(x))dx = α

∫f (x)dx + β

∫g(x)dx .

Zadatak

Direktnim integriranjem odredite sljedece neodredene integrale:

(2 + x2)3dx,

∫x2 + 2

x2 + 1dx

tan2 xdx,

∫ √x − 2

x2 + 14√

Teorem

∫f (x)dx + β

∫g(x)dx .

Zadatak

(2 + x2)3dx,

∫x2 + 2

x2 + 1dx

tan2 xdx,

∫ √x − 2

x2 + 14√

Teorem

∫f (x)dx + β

∫g(x)dx .

Zadatak

(2 + x2)3dx,

∫x2 + 2

x2 + 1dx

tan2 xdx,

∫ √x − 2

x2 + 14√

Teorem

∫f (x)dx + β

∫g(x)dx .

Zadatak

(2 + x2)3dx,

∫x2 + 2

x2 + 1dx

tan2 xdx,

∫ √x − 2

x2 + 14√

Teorem

∫f (x)dx + β

∫g(x)dx .

Zadatak

(2 + x2)3dx,

∫x2 + 2

x2 + 1dx

tan2 xdx,

∫ √x − 2

x2 + 14√

Metoda supstitucije. Prvi diferencijal

Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.

Zadatak

Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

Metodom supstitucije odgonetnuti

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2

ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x

ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Metoda supstitucije

Zadatak

1∫ dx√

2− 3x2

∫ dx

4 + 5x2

2∫ dx

(cos x + sin x)2

∫x2 3√

x3 − 8dx

3 Izracunajte povrsinu koju s osi 0X zatvara graf funkcijey = 2 sin(3x + π) + 1

Zadatak

Nacrtajte graf funkcije y = tan x. Izracunajte povrsinu koju graffunkcije zatvara s osi 0X i vertikalom x = 1.57.

Metoda supstitucije

Zadatak

1∫ dx√

2− 3x2

∫ dx

4 + 5x2

2∫ dx

(cos x + sin x)2

∫x2 3√

x3 − 8dx

Zadatak

Metoda supstitucije

Zadatak

1∫ dx√

2− 3x2

∫ dx

4 + 5x2

2∫ dx

(cos x + sin x)2

∫x2 3√

x3 − 8dx

Zadatak

Metoda supstitucije

Zadatak

1∫ dx√

2− 3x2

∫ dx

4 + 5x2

2∫ dx

(cos x + sin x)2

∫x2 3√

x3 − 8dx

Zadatak

Metoda supstitucije

Zadatak

1∫ dx√

2− 3x2

∫ dx

4 + 5x2

2∫ dx

(cos x + sin x)2

∫x2 3√

x3 − 8dx

Zadatak

Metoda supstitucije

Zadatak

1∫ dx√

2− 3x2

∫ dx

4 + 5x2

2∫ dx

(cos x + sin x)2

∫x2 3√

x3 − 8dx

Zadatak

Metoda parcijalne integracije

Dva faktora u podintegralnoj funkciji:∫f (x) · dx =

∫u(x) · dv(x) , gdje je dv(x) = v ′(x) · dx prvi

diferencijal. Nada da ce biti jednostavnije pogoditi:∫u(x) · dv(x) = u(x) · v(x)−

∫v(x) · du(x).

Primjer

Integrirati

ln xdx

∫arctan xdx

arcsin xdx∫

ln(x +√

1 + x2)dx

∫v(x) · du(x).

Primjer

Integrirati

ln xdx∫

arctan xdx

arcsin xdx∫

ln(x +√

1 + x2)dx

∫v(x) · du(x).

Primjer

Integrirati

ln xdx∫

arctan xdx

arcsin xdx

∫ln(x +

√1 + x2)dx

∫v(x) · du(x).

Primjer

Integrirati

ln xdx∫

arctan xdx

arcsin xdx∫

ln(x +√

1 + x2)dx

Zadaci za vjezbu

1 Izracunajte

1exdx . (4.67)

2 Izracunajte metodom supstitucije

2x − 1

3x + 4dx ( 12

9 −59 ln 1.6)

3 Nacrtajte graf funkcije y = 3 cos 2x i izracunajte jednu odpovrsina koju zatvara sa osi 0X . (3)

4 Odredite povrsinu koju zatvara vertikala x = 5, graf funkcijey = x2 − 2x − 3 i os 0X . (10.67)

5 Izracunajte

∫x cos xdx metodom parcijalne integracije.

(x sin x + cos x + c)

Zadaci s usmenog i slozeniji zadaci

1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X .

2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije.

3 Metodom parcijalne integracije izracunajte1∫

(x2 + x) ln(x + 1)dx∫

x2e−xdx

∫x cos x

sin3 xdx

∫e2x sin 3xdx

(x2 + x) ln(x + 1)dx∫

x2e−xdx

∫x cos x

sin3 xdx

∫e2x sin 3xdx

(x2 + x) ln(x + 1)dx∫

x2e−xdx

∫x cos x

sin3 xdx

∫e2x sin 3xdx

(x2 + x) ln(x + 1)dx

∫x2e−xdx

∫x cos x

sin3 xdx

∫e2x sin 3xdx

(x2 + x) ln(x + 1)dx∫

x2e−xdx

∫x cos x

sin3 xdx

∫e2x sin 3xdx

(x2 + x) ln(x + 1)dx∫

x2e−xdx

∫x cos x

sin3 xdx

∫e2x sin 3xdx

Integrali racionalnih funkcija

Zadatak

Odredite

5x2 − 6

Zadatak

Odredite slijedece antiderivacije

x2 − 3x + 2dx

x3(1− x4)

x2 − 1dx

Zadatak

Odredite

5x2 − 6

Zadatak

x2 − 3x + 2dx

x3(1− x4)

x2 − 1dx

Zadatak

Odredite

5x2 − 6

Zadatak

x2 − 3x + 2dx

x3(1− x4)

x2 − 1dx

Zadatak

Odredite

5x2 − 6

Zadatak

x2 − 3x + 2dx

x3(1− x4)

x2 − 1dx

Integrali trigonometrijskih funkcija

Univerzalna trigonometrijska supstitucija

2= t, sin x =

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2, dx =

1 + t2.

Zadatak

Odredite

∫sin x

sin x + cos xdx

∫ π2

4 sin x + 3 cos x + 5

2= t, sin x =

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2, dx =

1 + t2.

Zadatak

Odredite

∫sin x

sin x + cos xdx

∫ π2

4 sin x + 3 cos x + 5

2= t, sin x =

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2, dx =

1 + t2.

Zadatak

Odredite

∫sin x

sin x + cos xdx

∫ π2

4 sin x + 3 cos x + 5

2= t, sin x =

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2, dx =

1 + t2.

Zadatak

Odredite

∫sin x

sin x + cos xdx

∫ π2

4 sin x + 3 cos x + 5

2= t, sin x =

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2, dx =

1 + t2.

Zadatak

Odredite

∫sin x

sin x + cos xdx

∫ π2

4 sin x + 3 cos x + 5

Pogodnim supstitucijama i koristenjem trigonometrijskih identitetarijesiti zadatke:

∫ctg 3x dx

∫sin2 x cos2 xdx

∫cos x cos 3x cos 5xdx

∫ 2π3

5− cos x

∫ √tg x

sin x cos xdx .

∫ctg 3x dx

∫sin2 x cos2 xdx

∫ 2π3

5− cos x

∫ √tg x

sin x cos xdx .

∫ctg 3x dx

∫sin2 x cos2 xdx

∫ 2π3

5− cos x

∫ √tg x

sin x cos xdx .

∫ctg 3x dx

∫sin2 x cos2 xdx

∫ 2π3

5− cos x

∫ √tg x

sin x cos xdx .

∫ctg 3x dx

∫sin2 x cos2 xdx

∫ 2π3

5− cos x

∫ √tg x

sin x cos xdx .

∫ctg 3x dx

∫sin2 x cos2 xdx

∫ 2π3

5− cos x

∫ √tg x

sin x cos xdx .

Integrali iracionalnih funkcija

Zadatak

Metodom supstitucije ukloniti iracionalnost i izracunati∫ 1

1 + 3√

Zadatak

Egzoticnom supstitucijom x =

√5√

3 cos todgonetnite antiderivaciju∫ √

3x2 − 5dx.

Zadatak

6tan t antiderivirajte∫ √

5 + 6x2dx.

Zadatak

1 + 3√

Zadatak

√5√

3x2 − 5dx.

Zadatak

5 + 6x2dx.

Zadatak

1 + 3√

Zadatak

√5√

3x2 − 5dx.

Zadatak

5 + 6x2dx.

Zadatak

1 + 3√

Zadatak

√5√

3x2 − 5dx.

Zadatak

5 + 6x2dx.

Tablicni integrali iracionalnih funkcija

Vazno je zapisati dvije slijedece antiderivacije:

1 ∫ √a2 − x2 · dx =

2·√

a2 − x2 +a2

2· arcsin

2 ∫ √x2 + A · dx =

2·√

x2 + A +A

2· ln∣∣∣x +

√x2 + A

∣∣∣+ c

1 ∫ √a2 − x2 · dx =

2·√

a2 − x2 +a2

2· arcsin

2 ∫ √x2 + A · dx =

2·√

x2 + A +A

2· ln∣∣∣x +

√x2 + A

∣∣∣+ c

1 ∫ √a2 − x2 · dx =

2·√

a2 − x2 +a2

2· arcsin

2 ∫ √x2 + A · dx =

2·√

x2 + A +A

2· ln∣∣∣x +

√x2 + A

∣∣∣+ c

1 ∫ √a2 − x2 · dx =

2·√

a2 − x2 +a2

2· arcsin

2 ∫ √x2 + A · dx =

2·√

x2 + A +A

2· ln∣∣∣x +

√x2 + A

∣∣∣+ c

Zadaci

Zadatak

Primjenom tablicnih integrala odredite

1∫ 3

√x2 − 4dx

2∫ √

x2 + 3x + 4dx

Zadaci

Zadatak

1∫ 3

√x2 − 4dx

2∫ √

x2 + 3x + 4dx

Zadaci

Zadatak

1∫ 3

√x2 − 4dx

2∫ √

x2 + 3x + 4dx

Zadaci

Zadatak

1∫ 3

√x2 − 4dx

2∫ √

x2 + 3x + 4dx

Primjene odredenog integrala u geometriji

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y 2 i osi y . 1256

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y 2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16

Zadatak

U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0.

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y 2 i osi y .

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y 2 = 2x + 1 iy = x − 1.

Zadatak

U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama.

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = 2x ihorizontalom y = 8.

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = ln x i

vertikalama x =1

ei x = e.

Zadatak

Izracunajte jednu od povrsina koje graf funkcijey = − sin(3x − 2π) zatvara s osi 0x.

Ispitni zadaci

Zadatak

vertikalama x =1

ei x = e.

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

vertikalama x =1

ei x = e.

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

vertikalama x =1

ei x = e.

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

vertikalama x =1

ei x = e.

Zadatak

Dopunski zadaci

1 Izracunajte neposredno

x−√

2 Odredite metodom supstitucije

∫3x2 − x

3x − 1dx .

3 Izracunajte metodom parcijalne integracije

1x ln x dx .

4 Nacrtajte graf funkcije f (x) = arctg x . Izracunajte povrsinuispod grafa funkcije omedenu vertikalom x = 10 i osi 0X .

5 Izracunajte velicinu povrsine omedene parabolom y = 4− x2 ipravcem y = x + 2.

Dopunski zadaci

1 Izracunajte neposredno

x−√

2 Odredite metodom supstitucije

∫3x2 − x

3x − 1dx .

3 Izracunajte metodom parcijalne integracije

1x ln x dx .

4 Nacrtajte graf funkcije f (x) = arctg x . Izracunajte povrsinuispod grafa funkcije omedenu vertikalom x = 10 i osi 0X .

5 Izracunajte velicinu povrsine omedene parabolom y = 4− x2 ipravcem y = x + 2.

matematika 1 - fpze-student.fpz.hr/.../novosti/nastava_matematike_1_(6).pdf · 2011-12-23 · dva...

Documents