Matematičke osnove rada računala 25

MATEMATIČKA LOGIKAč

Matematička logika (Booleova algebra) – dio matematike koja se bavi logičkim zaključivanjem. Njezin tvorac je engleski matematičar George Boole (1815. – 1864.) – prvi je primjenio algebarske tehnike na logičke procese.

Osnovni element matematičke logike jest logička izjava (logički sud, izjava).

Logička izjava – tvrdnja za koju možemo pouzdano utvrditi je li istinita ili lažna.

Logičke izjave mogu imati samo 2 moguća ishoda (istinu ili laž) te ih se prikazuje u binarnom obliku kao 1 (istina) ili 0 (laž) – idealne za interpretaciju pomoću digitalnih računala.

Npr:

IZJAVA ISHOD IZJAVE

Zagreb je glavni grad Hrvatske. Istina (1)

Zagreb ima more. Laž (0)

5>3 Istina (1)

10 + 20 > 50 Laž (0)

1. svibnja 2012. će u Zagrebu padati kiša. ? (Nije log. izjava)

OSNOVNE LOGIČKE OPERACIJE (negacija, konjunkcija, disjunkcija)

Osnovnim logičkim operacijama smatramo one pomoću kojih se mogu prikazati sve ostale (složenije) logičke operacije.

Osnovna pravila za logičke operacije prikazujemo tzv. tablicama istinitosti, koje zapisujemo u binarnom obliku obzirom da logičke izjave mogu imati samo 2 ishoda (istinu ili laž), laž=0, istina=1. Negacija, NE (engl. NOT) – logička operacija koja djeluje na jednu izjavu (negira je), tj. pretvara istinu u laž i obrnuto.

Negacija izjave A obično se simbolički označava kao A , a njezino djelovanje se obično opisuje tzv. tablicom istinitosti.

A NOT A ( A ) 0 1 1 0

Konjunkcija, I (engl. AND) – logička operacija koja povezuje dvije (ili više) izjava na način da je konačna izjava istinita samo ako su obje (sve) izjave istinite.

Konjunkcija se obično označava simbolom ΄΄ · ΄΄, a opisuje se tablicom istinitosti:

A B A AND B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Matematičke osnove rada računala 26

Disjunkcija, ILI (engl. OR) – logička operacija koja povezuje dvije (ili više) izjava na način da je konačna izjava istinita ako je barem jedna od početnih izjava istinita.

Disjunkcija se obično označava simbolom ΄΄ + ΄΄, a opisuje se tablicom istinitosti:

A B A OR B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Primjeri djelovanja osnovnih logičkih operacija:

Operator Izjava Ishod NE Zagreb ima more. Istina (1) tj. Zagreb nema more.

NE Hrvatska ima more. Laž (0) tj. Hrvatska nema more.

NE 100 > 50. Laž (0) tj. 100 nije > 50

Izjava 1 Operator Izjava 2 Ishod Zagreb je u Hrvatskoj. I Hrvatska je u Europi. Istina (1) 100 > 50 I 5*5 < 20 Laž (0) Zagreb ima more. I Kroz Varaždin teče rijeka Sava. Laž (0)

Izjava 1 Operator Izjava 2 Ishod Zagreb je u Hrvatskoj. ILI Hrvatska je u Europi. Istina (1) 100 > 50 ILI 5*5 < 20 Istina (1) Zagreb ima more. ILI Kroz Varaždin teče rijeka Sava. Laž (0)

Djelujući logičkim operacijama (operatorima) na logičke izjave - dobivamo nove logičke izjave.

LOGIČKI SKLOPOVI Rad računala temelji se na nekoliko osnovnih elektroničkih sklopova koji obavljaju osnovne logičke operacije (osnovni logički sklopovi), pri čemu svaki osnovni logički sklop vrši istoimenu osnovnu logičku operaciju.

Osnovni logički sklopovi na temelju logičkih stanja na ulazima (istina, laž tj. 1, 0) daju logičko stanje na izlazu (također 0 ili 1) pri čemu je stanje na izlazu rezultat logičkih operacija.

Pomoću pravila Booleove algebre moguće je složene logičke sklopove svesti na jednostavne (AND, OR, NOT).

Logički sklopovi se u računalu realiziraju pomoću elektroničkih sklopova koji sadrže elektroničke elemente kao što su tranzistori i diode. Binarne logičke veličine (0, 1) realiziraju se pomoću napona, jakosti struje i naboja. 1 se ostvaruje kada je prisutna struja, napon ili naboj, a 0 kada ih nema. (npr. 1 – ima struje, 0 – nema struje).

Matematičke osnove rada računala 27

Svaki osnovni logički sklop ima svoj simbol te svoju tablicu istinitosti. Osnovni logički sklopovi mogu se međusobno spajati i kombinirati u složenije logičke sklopove.

AND sklop ( I, konjunkcija )

A

A · B

B

OR sklop ( ILI, disjunkcija )

A

A + B

B

NOT sklop ( NE, invertor )

A A

Logičke sklopove zadajemo jednadžbom sklopa pri čemu treba voditi računa o prioritetima.

Prioriteti logičkih operacija:

1.) NOT 2.) AND 3.) OR

Najviši prioritet ima sklop NOT (NE), zatim AND (I) i na kraju OR (ILI).

Operaciju I označili znakom “množenja”, a ILI znakom “zbrajanja” kako bi nas to podsjećalo na prioritete u matematici.

________________________________________________________________________________

Primjer 1: Nacrtaj logički sklop zadan logičkom funkcijom (jednadžbom) BABAY ⋅+⋅= te napiši njegovu tablicu istinitosti. ____________________________________________________________________________

Primjer 2: Nacrtaj logički sklop kome je jednadžba )( CBABAY +⋅+⋅= te napiši

njegovu tablicu istinitosti: ________________________________________________________________________________

Tablica istinitosti A B A AND B ( A · B ) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Tablica istinitosti A B A OR B ( A + B ) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Tablica istinitosti A NOT A ( A ) 0 1 1 0

Matematičke osnove rada računala 28

Minimizacija logičkih sklopova:

Niz postupaka pomoću kojih složene logičke sklopove svodimo na što manji broj osnovnih (AND, OR, NOT), operatora i ulaznih varijabli (ulaza). Pri tome koristimo sljedeća pravila:

Komutativnost ABBA +=+ ABBA ⋅=⋅

Asocijativnost ()( CBACBA ++=++ ()( BACBA ⋅=⋅⋅

Distributivnost CABACBA ⋅+⋅=+⋅ )(

AA =+ 0 AA =⋅1 Neutralni element

AAA =+ AAA =⋅

Komplementarnost 1=+ AA 0=⋅ AA

De Morganovi zakoni BABA ⋅=+ BABA +=⋅

Involutivnost AA =

00 =⋅A ,

11 =+A

Primjer 3: Minimizirajmo logički sklop zadan jednadžbom )()( BABAY +⋅+= .

Dva su logička sklopa jednaka (ekvivalentna) ako za jednake kombinacije na ulazima daju jednake izlaze!

Zadaci:

1.) Za logičke jednadžbe:

a) )()( BABAY +⋅+=

b) ( ) BCBAY ⋅+⋅=

nacrtaj logički sklop te napiši tablicu istinitosti.

2.) Minimiziraj funkcije iz 1. zadatka te nacrtaj sklopove i tablice istinitosti za minimizirane funkcije

3.) Za zadani logički sklop napiši njegovu jednadžbu i tablicu istinitosti. A

B

Y 4*.) Nacrtaj logički sklop (s proizvoljnim brojem ulaza) koji će na izlazu uvijek dati 1.

Matematičke osnove rada računala 29

5*.) Nacrtaj logički sklop (s proizvoljnim brojem ulaza) koji će na izlazu uvijek dati 0.

6.) Dokaži da vrijede De Morganovi zakoni:

a) BABA ⋅=+

b) BABA +=⋅

7.) Zadan je logički sklop:

A

B

C Z

a) za zadani sklop napiši logičku funkciju i tablicu istinitosti

b) minimiziraj logičku funkciju

c) nacrtaj sklop i napiši tablicu istinitosti za minimiziranu funkciju

8.) Za logičku funkciju ( ) ( )A B A B+ ⋅ + nacrtaj sklop i napiši tablicu istinitosti

9.) Zadana je logička funkcija ( )Z A B A B A A B= ⋅ + ⋅ + + ⋅

a) za zadanu funkciju nacrtaj logički sklop i napiši tablicu istinitosti

b) minimiziraj logičku funkciju

c) nacrtaj logički sklop i tablicu istinitosti za minimiziranu funkciju

10.) Zadan je logički sklop:

X Y Z

W

a) za zadani logički sklop napiši logičku funkciju i tablicu istinitosti

b) minimiziraj logičku funkciju

c) napiši tablicu istinitosti za minimiziranu funkciju

11.) Dokaži da vrijedi: ( ) 0A B A B+ ⋅ ⋅ =

12.) Dokaži da vrijedi: A B A B B⋅ + + =