Matemáticas Universitarias

MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS

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Sesión No. 1

Nombre: Introducción al algebra

Objetivo de la asignatura: El estudiante aplicará los conceptos

fundamentales del álgebra como números reales, exponentes, radicales y

logaritmos en la solución de problemas prácticos

Contextualización

Esta sesión está diseñada para ofrecer una breve explicación de los principios

aritméticos y algebraicos que se requieren para el manejo correcto de las

matemáticas universitarias, tal es el caso de los números reales, su definición y

conjuntos, operaciones y el uso de las leyes exponenciales, radicales y

logarítmicas. Estos temas son de gran importancia para el uso correcto de los

temas que vienen después, lo más seguro es que la exposición rápida de estos

conceptos te resulte de mucho beneficio. Al final aprenderás a manejar los

números y propiedades de una manera más sencilla y eficaz.

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Introducción al Tema

En términos sencillos, un conjunto es una colección de números.

Los números reales representan el conjunto de todos los que están en la recta

numérica. Este conjunto esta subdividido en otros conjuntos.

Aprenderemos a identificar el tipo de número que estás utilizando y el conjunto al

que pertenece, las propiedades para la suma y el producto o multiplicación,

realizarás operaciones básicas y aplicarás estas operaciones en las propiedades

para los exponentes, radicales y logaritmos.

Números reales. (2013). Consultado el 2 de abril de 2013:

http://kovalevskaya.wikispaces.com/N%C3%BAmeros+reales

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Explicación Los números reales son el conjunto de números naturales, cardinales, enteros,

racionales e irracionales.

¿A qué conjunto pertenece 𝝅…?

¿Cómo trabajarías más fácilmente el número 𝟑𝟏𝟗

en fracción? O ¿en

decimales?

Para ayudarte a responder estos cuestionamientos es importante conocer las

características que definen a los números reales:

• Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar.

1, 2, 3,…

• Los números cardinales son el conjunto de números naturales y el cero.

0, 1, 2, 3, 4, 5…

• Los números enteros consisten de los números naturales, sus opuestos

y el cero. …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…

• Número entero positivo es todo entero positivo mayor de cero. 1, 2, 3,

5,…347,…,702...

• Número entero negativo es todo entero negativo menor que cero.

-1, 000,345, -57, -3,- 4,- 2,- 1,

• El cero representa el lugar de partida en alguna dirección. No es positivo

ni negativo.

• Los números racionales representan partes de un todo, un cociente que

ha sido dividido en partes iguales. ⅛, 7.4, -2.35, 8, -25

• Los números irracionales son números que no pueden ser expresados

como cociente de dos números enteros. 0.789, 3.1456 (Números reales,

s/f, s/p).

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Las operaciones básicas que se realizan con los números reales son la suma,

resta, multiplicación, división, radicación y potenciación.

Propiedades de los números reales para la suma y producto.

Suma

1. Interna: a + b

2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutativa: a + b = b + a

4. Elemento neutro: a + 0 = a

5. Elemento opuesto:

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el

cero.

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

LA diferencia de dos números reales se define como la suma del

minuendo más el opuesto del sustraendo. (Los números reales, s/f, s/p).

Producto

1. Interna: a · b

2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativa: a · b = b · a

4. Elemento neutro: a ·1 = a

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5. Elemento inverso: Un número es inverso del otro si al

multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

6. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

7. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)

La división de dos números reales se define como el producto del

dividendo por el inverso del divisor. (Los números reales, s/f, s/p).

Potencia o exponente.

Con exponente entero

Con exponente racional

Leyes de los exponentes

1. a0 = 1 ·

2. a1 = a

3. am · a n = am+n

4. am : a n = am - n

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5. (am)n=am · n

6. an · b n = (a · b) n

7. an : b n = (a : b) n (Los números reales, s/f, s/p).

Radicales

Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ;

con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radiales equivalentes

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por

un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Los números reales. Recuperado de: http://www.vitutor.com/di/re/b_5.html

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Logaritmos

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual

se debe elevar la base para obtener el número.

Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

De la definición de logaritmo podemos deducir:

Propiedades de los logaritmos:

(Los números reales, s/f, s/p)

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Conclusión

Los números reales, sus operaciones básicas y sus propiedades nos ayudan a

entender claramente cómo realizar problemas con expresiones algebraicas así

como la aplicación correcta de las leyes de los exponentes y radicales para la

simplificación de expresiones, es importante tener claro estos conceptos que son

el principio del fundamento algebraico.

En la siguiente sesión aplicaremos más a detalle estos principios algebraicos

para el manejo de las expresiones algebraicas y sus operaciones.

Imagen: Expresiones algebraicas. (s/f). Consultado el 2 de abril de 2013: http://expresiones-algebraicas-

8c.wikispaces.com/Exprsiones+Algebraicas

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Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer

tu aprendizaje.

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá

desarrollar los ejercicios con más éxito.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

Video en donde se explica lo más importante de las leyes de exponentes.

Jaime, J. (2012). Leyes de los exponentes. Consultado el 2 de abril de

2013: http://www.youtube.com/watch?v=-mbmqjnD5DI

Primara parte de un video en donde se analiza al logaritmo, desde su teoría

hasta su práctica.

Logaritmo, teoría y práctica. Parte 1. (2011). Consultado el 2 de abril de

2013: http://www.youtube.com/watch?v=bLEOwygthdQ

Segunda parte de un video en donde se analiza al logaritmo, desde su teoría

hasta su práctica.

Logaritmos, teoría y práctica. Parte 2. (2011). Logaritmos. Consultado el 2 de

abril de 2013: http://www.youtube.com/watch?v=15QFzkzvtrw

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Actividad de Aprendizaje

Con la finalidad de reforzar los conceptos adquiridos sobre números reales,

exponentes, radicales y logaritmos, aplícalos en la resolución de los siguientes

ejercicios prácticos:

I.- Simplifique, si es posible, cada uno de los siguientes términos.

a) - 8 – (-6)

b) – (-6 + x)

c) 3[-2(3) + 6(2)]

II.- Simplifique y exprese todas las respuestas en términos de exponentes

positivos.

a) X6 X9

b) (x12)4

c) �𝑤2𝑠3

𝑦2�2

d) 2x2y-3x4

e) {[(2x2)3]-4}-1

f) √𝑥�𝑥2𝑦3√𝑥𝑦2

g) �𝑥2𝑦−1𝑧�−2

(𝑥𝑦2)−4

III.- Utilizando la definición de logaritmos, expresar “x” en términos de y.

a) y = 2x+1

b) y = log5 x2

Entrega la actividad en la plataforma de la asignatura.

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Bibliografía

Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias sociales y de

la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.

Cibergrafía

Números reales. (s/f). Consultado el 2 de abril de

2013: http://www.arecibo.inter.edu/servicios/sss/destrezas/matematicas/1_nume

ros_reales/numeros_reales.pdf

Los números reales. (s/f). Consultado el 1 de abril de

2013: http://www.vitutor.com/di/re/b_5.html