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Matemática 6 – Santillana– te acompaña paso a paso en tu estudio para que aprendas más y mejor.
Mirá con atención ‘‘las paradas’’ que encontrarás en el recorrido de los capítulos.
Parada especial
En varios capítulos hay una doble página en la que los contenidos están expresados, fundamentalmente, a través de imágenes.
Temas en imágenes i
Al fi nal del libro, en la sección Taller de técnicas, vas a encon-trar un conjunto de estrategias que te ayudarán a ‘‘aprender a estudiar’’. En los capítulos está indicado cuándo consultarlas.
Técnica 1
En algunos temas hay ventanitas que te invitan a pensar sobre lo que podés hacer para ‘‘aprender a vivir con otros’’.
Por
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de actitud
En algunos temas hay ventanitas que te invitan a pensar sobre lo que podés hacer para ‘‘aprender a vivir con otros’’.
Por
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de actitud Respetamos la diversidad
En cada capítulo encontrarás tres etapas para ir evaluando tu trabajo:
Momentos de evaluación
A ver qué sé…
Te preparás para lo que vas a empezar a estudiar.
A ver cómo voy…
Parás y revisás lo que aprendiste hasta el momento.
A ver qué aprendí…
Repasás y organizás tus ideas.
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En cada capítulo hay una doble página con todo lo que necesites saber para hacer las actividades. Está todo muy fácil, como si te lo contaras a vos.
Para entender
Santillana
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A ver qué sé… Completá la pantalla del juego de la compu: primero hay que formar los
números que se piden en los carteles, después, los que se indican abajo.
Números muy grandes
• ¿Cómo se lee el número que se forma al completar los cubos amarillos
usando solo ceros?
• Yanina asegura que si completa los cubos verdes con un 3 en el lugar de las unidades y un 0 en el otro espacio, forma el cuarenta y tres millones ochenta mil trescientos veintitrés. ¿Es cierto?
• Escribí cómo se lee el número que forman los cubos lilas si los completás de izquierda a derecha con 7, 0 y 5, respectivamente.
• ¿Cuál es el número más grande que se forma al completar con ceros todas
las fi las de cubos que comienzan con 2?
Los millones y los billones. Nuestro sistema de numeración. El sistema de numeración maya. Las multiplicaciones y las divisiones por 10, 100, 1.000, …
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Treinta millones setecientos
cincuenta mil veinticuatro.
Cuarenta y tres millones ochenta mil trescientos
veinte.
Veintisiete millones ochocientos cinco
mil setecientos uno.
¡Atención!Todos los números son
de 8 cifras.
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Millones y miles de millones
Marcela, Fernando y Lucas juegan al “Millonópolis”, 1. donde se venden y compran casas, edifi cios y fábricas que valen lo que anuncia cada cartel.
¿Cómo se lee el valor de cada propiedad?
Estas son las propiedades que compró cada participante en el juego anterior.2.
Calculá cuánto gastó en propiedades cada uno.
¿Quién gastó menos dinero? ¿Quién gastó más? ¿En cuánto supera al que gastó menos?
424.000.000
23.471.589.000
1.487.700.000
FERNANDO LUCASMARCELA
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Temas en imágenes i
Sistema de numeración mayaLa civilización maya permitió el desarrollo de importantes manifestaciones culturales, como la arquitectura, la pintura, la astronomía y la matemática. Este pueblo tenía dos calendarios: el Tzolkin y el Haab. En relación con la medición del tiempo, crearon un sistema de numeración vigesimal (agrupaban de a veinte).
Estos son los símbolos que usa el sistema maya de numeración. En lugar de 5 puntos se pone una raya.
El Tzolkin es un calendario de 260 días compuesto por 13 meses de 20 días. Tenía un fi n religioso y ceremonial; en cambio, el Haab es el calendario civil, basado en el recorrido de la Tierra alrededor del Sol en un año de 365 días: tenía 18 “meses” de 20 días más un adicio-nal de 5 días.
1Punto
0Caracol
5Raya
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El sistema maya agrupa de a 20 y la posición está dada por el escalón en el que está escrito el símbolo.
Mirá las imágenes y res-pondé estas preguntas referidas al sistema de nu-meración maya. ¿Por qué era necesario
el símbolo del cero? Este sistema es posi-
cional pero, ¿qué lugar ocupan las “unidades”?
¿Hasta cuántas unida-des se pueden escribir en el primer escalón? ¿Y si se usa también el segundo?
Ahora que ya respondiste todo, escribí algo que te parezca importante acer-ca de estos números.
Yo opino:
¡No me acuerdo cómo escribir el 19!
Se escribe así.
Ese no es el 19. Miralo acá.
escalón superior
1 × 20
escalón superior
19 × 20+ +
escalón inferior
5
escalón inferior
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Sistemas de numeración
Sistema de numeración decimal
¿Cómo leo estos números?
Me conviene siempre: Separar el número con puntos o espa-
cios, en grupos de tres cifras (unidades, decenas, centenas), empezando por la cifra de las unidades.
Conocer el nombre de los agrupamien-tos: unidades simples, de mil, de millón, de mil de millón, de billón.
Es decimal, tiene base 10, porque se agrupa de a diez; con 10 unidades de un orden se forma 1 unidad de un orden superior.
Es posicional porque el valor de cada cifra o símbolo depende de su posición en el número.
Con solo diez símbolos puedo escribir cualquier número.
Puedo descomponer un número de dis-tintas maneras, por ejemplo:
1.000.000.000 Mil millones 10.000.000.000 Diez mil millones 100.000.000.000 Cien mil millones 1.000.000.000.000 Un billón
10 veces 10.000 es 100.000.10 veces 100.000 es 1.000.000.
10 veces 1.000.000 es 10.000.000.
35.472.168.250.403Treinta y cinco billones
cuatrocientos setenta y dos mil ciento sesenta y ocho millones
doscientos cincuenta milcuatrocientos tres.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
35.472.168.250.403 = = 35.000.000.000.000 + 472.168.000.000 + 250.000 + 403= 35 × 1.000.000.000.000 + 472.168 × 1.000.000 + 250 × 1.000 + 403 = 3 × 10.000.000.000.000 + 5 × 1.000.000.000.000 + 4 × 100.000.000.000 + 7 × 10.000.000.000 + 2 × 1.000.000.000 + 1 × 100.000.000 + 6 × 10.000.000 + 8 × 1.000.000 + 2 × 100.000 + 5 × 10.000 + 4 × 100 + 3
35.472.168.250.403
Vale 30 billones Vale 3
¿Qué características tiene nuestro sistema de numeración?
¿Cómo hago para leer cualquier número?
Con solo Con solo
Puedo Puedo
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El sistema de numeración maya
Multiplicación y división por 10, 100, 1.000, …
¿En qué se parece y en qué se diferencia con nuestro sistema decimal?
El sistema de numeración maya es posicional como el decimal, pero la posición está dada por el escalón en el que ubico los símbolos.Como pudiste ver en las páginas 10 a 12 del capítulo, este sistema usa solo tres símbolos y agrupa de a 20, o sea, es de base 20.
¿Por qué agrego ceros al multiplicar?
Como en el sistema decimal se agrupa de a 10, al multiplicar las unidades por 10 se transfor-man en decenas, las decenas se transforman en centenas y así para cada cifra. Multiplicar por 100 es lo mismo que hacerlo dos veces seguidas por 10 y por eso agrego 2 ceros, o sea, estoy transformando en centenas la cifra de las unidades, en unidades de mil, la cifra de las decenas, etc. Al multiplicar por 1.000 agrego 3 ceros porque es lo mismo que multiplicar por 10 tres veces seguidas.
¿Y cuando divido por 10, 100 y 1.000?
Puedo quitar ceros, como en los ejemplos.
Si el número no termina en cero, al hacer la división entera por 10, por ejemplo, apa-rece como cociente la cantidad de decenas enteras del dividendo, y como resto, la cifra de las unidades.
3 × 10 = 30 24 × 10 = 240 835 × 10 = 8.350 1.725.432 × 10 = 17.254.320
de las unidades.
Dividendo DivisorResto Cociente
12.537 = 10 × 1.253 + 7
13 x 20 = 260
7267
24 × 100 = 2.400847 × 100 = 84.700
54 × 1.000 = 54.0001.527 × 1.000 = 1.527.000
123.000 : 10 = 12.300123.000 : 100 = 1.230123.000 : 1.000 = 123
101.253
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12.3001.230
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A ver qué aprendí…
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Repaso
1. Escribí los siguientes números en tu carpeta. Once billones once mil once. Once billones once mil millones once. Once mil once millones ciento once mil. Once millones once mil.
2. Indicá cuál de las descomposiciones del núme-ro 75.847.239.500 es correcta. Explicá por qué están mal las incorrectas. 75 × 1.000.000.000 + 847 × 1.000.000 +
239 × 1.000 + 5 × 100 75.847.239 × 100 75.847 × 10.000 + 239 × 1.000 + 500 7.584 × 100.000 + 7.239 × 1.000 + 5 × 100 Escribí el número como la suma de cada
cifra multiplicada por 10, 100, 1.000, etc., según corresponda.
3. Completá el cuadro.
Un millón menos Número Dos billones
más
72.854 millones
895 mil millones
11.000 millones
7 billones
4. Dar en la tecla. ¿Cómo harías para transformar el número 7.894.653.076 en el 5.764.631.046 haciendo una sola operación?
5. Si al mayor número de 13 cifras le agregás 1 billón, ¿cuántas cifras va a tener el nuevo número? ¿En qué número va a terminar?
6. Completá los siguientes cálculos para que las afi rmaciones sean correctas.
725.187 > 725 × 1.247.254 < 124 × × 1.000 > 5.420.000 × 10.000 < 870.000
7. Dar en la tecla. Escribí en la calculadora 875.234. ¿Cómo harías para obtener 87.523.439 haciendo solamente una multiplicación y una suma?
8. Sin hacer los cálculos, decidí si las siguientes afi rmaciones son Verdaderas o Falsas. 18 cajas de 100 marcadores cada una me
alcanzan para darle 10 marcadores a cada uno de los 190 alumnos de una escuela.
En la panadería “El vigilante” las medialunas se hornean en bandejas de 100. Esta tarde se hizo un pedido de 587 medialunas, que se cocinaron en 5 bandejas.
Para decorar su salón de casamiento, Valeria compró 12 ramos de 100 fl ores cada uno. Con ellos armó 100 ramilletes de 12 fl ores cada uno.
9. Calculá mentalmente y completá.
Dividendo DivisorCociente
enteroResto
875.436 100
436.724 43.672 4
10 275 9
100 1.570 8
72.047 72 47
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A ver qué sé… Leé, observá detenidamente la ilustración y respondé.
La mamá repartió en partes iguales 7 chocolates entre sus 3 hijos y no sobró ni un poquito.
Fracciones
• ¿Cómo relacionás los números de esta cuenta con la fracción de chocolate que recibió cada chico?
Uso de las fracciones. Fracciones equivalentes. Comparación y ubicación de fracciones en la recta numérica. Sumas y restas de fracciones. Fracción de una cantidad.
4
• ¿Está bien lo que dice Carlos?
• ¿Es cierto que la mitad de cada molinete está pintada de verde?
7 321
A cada uno nos toca
2 13 de choco.
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Uso de las fracciones
Señalá con una cruz los gráficos que representan1. 58
.
Explicá por qué los otros gráficos no representan esa fracción.
Dibujá en tu carpeta un cuadrado de 6 cm de lado y pintalo así:2. • La mitad de verde.• La tercera parte del resto, de naranja.• La cuarta parte de lo que no está pintado de verde ni de naranja, de violeta.
Compará tu dibujo con el de tus compañeros. ¿Son todos iguales? ¿Qué diferen-cias podés ver?
¿Qué fracción del entero falta pintar?
Leo compró un turrón para regalarle a su novia. En el camino se tentó y lo empezó 3. a comer. Este dibujo muestra lo que dejó.
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del turrón
¿Cómo pudo ser el turrón entero? Dibujalo. Leo se siente avergonzado. ¿Por qué será?
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Fracciones equivalentes
4.
¿Quién tiene razón? ¿Podés explicar cómo lo pensó cada uno?
María quiere buscar fracciones equivalentes a las escritas cuyo denominador sea 5. múltiplo de 5 o de 9. ¿Cómo podrá hacer? Escribilas.
2413
=1237
=
89
=34=
Trabajo con otros. Compará tus respuestas con las de tu compañero. ¿Los dos escribieron las mismas fracciones? ¿Por qué será?
¿Qué fracción de los 12 meses del año representa el primer
trimestre?
14
, seño.¡Para mí, 3
12!
Técnica 1¿Qué signifi ca que un número sea múltiplo de otros?
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Roberta y Juan salieron de 8. vacaciones.
Recorrieron 13
del trayecto y pararon a
cargar combustible, luego recorrieron 7
18 y pararon a comprar medialunas y
recargar el agua para el termo. En el momento de las compras, Roberta se preguntó qué parte del recorrido to-tal habían realizado e hizo la siguiente cuenta en una servilleta: Explicá los pasos que siguió Roberta.
A Juan le preocupaba saber qué fracción del camino faltaba para llegar. Enton-
ces calculó 11318
− . ¿Podrías explicar por qué?
Para el cumpleaños de Andrea la mamá preparó una deliciosa torta para que sople 9. las velitas. Sus invitados comieron las porciones que figuran abajo.
Romina: 2
16 Mariana:
110
Tomás: 25
Luciano: 18
¿Quiénes comieron más torta, los varones o las mujeres? Para calcular las su-mas, en cada caso podés buscar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador.
Andrea y su mamá se comieron el resto de la torta. ¿Qué fracción comieron?
Sumas y restas con fracciones
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Fracciones en la historiaSe considera que fueron los egipcios quienes usaron las fracciones por primera vez. Así lo testimonia un papiro de más de 4.000 años de antigüedad.Este pueblo vivía a orillas del río Nilo, que se desbordaba con frecuencia y borraba los límites de los terrenos sembrados. Para volver a medirlos, los habitantes se valían de las fracciones y los marcaban una y otra vez. También representaron fracciones en distintos objetos, como el Ojo de Horus.
Si el denominador de la fracción era demasiado grande, la “boca” se ponía al principio del “denominador”.
Otras fracciones las representaban como una suma de fracciones distintas de numerador 1. Además, archivaban los cálculos y los usaban como ayuda para hacer otros.
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1331
=
14
=16
=
Los egipcios usaban fracciones de numerador 1 y también la fracción 2
3 .
Una especie de boca abierta reemplaza a la barra de fracción y debajo aparecen los jeroglífi cos que indican qué número es el denominador.
23
=
Asimismo, para representar algunas fracciones había símbolos especiales.
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1.1. xxxxxxxxxxx
Los escribas utilizaban distintas partes del Ojo de Horus para representar las fracciones del héqat, unidad de medida que equivalía a unos 5 litros.
Horus fue uno de los dioses del antiguo Egipto, quien perdió su ojo en un combate. Los demás dioses man-daron a reconstruirle un ojo sano y completo, que representa la integridad física, el conocimiento, la visión y la fertilidad.
Mirá las imágenes y respon-dé estas preguntas. ¿Cómo representarían los
antiguos egipcios la frac-
ción 15
?
¿Qué fracciones sumaban
para representar 58
= ?
¿Cómo podrías escribir
34
como una suma de frac-ciones de numerador 1?
¿Cuánto suman las frac-ciones que componen el Ojo de Horus?
Ahora que ya respondiste todo, escribí algo que te parezca novedoso o intere-sante acerca de las fraccio-nes usadas por los antiguos egipcios.
Yo opino:
¿Cuál de estas sumas habrán usado los antiguos egipcios?
¡¡¡Para mí que usaban las cuentas de los escribas como una
calculadora!!!
Una fracción podía expresarse con distintas sumas.
Mirá las imágenes y respon-
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5656
Para entenderLas fracciones
Uso de las fracciones
¿Cómo represento una fracción? Divido el entero en la cantidad de partes iguales que indica el denominador y pinto la cantidad que indica el numerador.
¿Cómo sé si dos o más fracciones son equivalentes?
Me fi jo si representan la misma parte del entero.
Por ejemplo: 34
68
912
= = son fracciones
equivalentes.
¿Cómo encuentro fracciones equivalentes?
Puedo multiplicar y, a veces, dividir el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero. Si la fracción no se puede simplifi car, se la llama irreducible.
27
Numerador
Denominador
34
68
912
Simplifi co
2016
54
=
: 4
Amplifi co
25
410
=
x 2
¿Cómo comparo fracciones?
Si tienen el mismo denominador, comparo solo los numeradores.
14
34
< porque 1 < 3.
Si tienen el mismo numerador, comparo solo los denominadores.
porque los tercios son más grandes que los séptimos.
27
23
<
Si tienen distinto numerador y denominador, puedo buscar fracciones equivalentes.
porque y35
3 75 7
2135
= ××
=47
4 57 5
2035
= ××
=
Si tienen el mismo numerador, comparo solo los denominadores.
Si tienen distinto numerador y denominador, puedo buscar fracciones equivalentes.
35
47
>
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A ver qué aprendí…
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En la tele escuché que de cada 100
personas, 68 leen el diario los domingos.
RepasoEscribí qué fracción se expresa en cada 1. enunciado.
Julieta hizo pintar dos paredes de su casa con 2. tramos de distintos colores.Estas son las indicaciones que le dio al pintor:
“Quiero pintar de anaranjado 710
de esta
pared y de verde manzana, los 58
de esta
otra”.
¿Cuál es la pared más pintada? ¿Qué fracción le queda sin pintar en cada
una de ellas?
Completá el numerador o el denominador que 3. faltan en cada caso para que los pares de fracciones resulten equivalentes.
36124
= 13 39
12=
78 40=
5610
=
De las 5 notas de Matemática, 3 son muy
buenas.
Con los siguientes números se pueden armar 4. dos grupos de fracciones equivalentes.
Simplifi calas y descubrí cuáles van en cada grupo.
Agregá a cada grupo cuatro fracciones equi-valentes más.
Juana le quiere regalar a su amiga el paquete 5.
de galletitas más pesado. Uno pesa 35
kg, otro,
23
kg, y el tercero, 7
12 kg. ¿Cuál debe elegir?
El hermano de Flor se comió 6. 17
de una pizza
y junto con un amigo después se comieron 34
más. ¿Qué fracción de la pizza consumieron entre los dos?
¿Le dejaron alguna porción a Flor?
Roque, el panadero del barrio, vendió en una 7.
mañana 19 14
kg de fl autitas y 7 13
kg de
fi gacitas. ¿Cuántos kilos de estos panes vendió en total esa mañana?
Resolvé mentalmente y después escribí cuál es 8. tu estrategia en cada caso.
12 – 56
8 – 35
74
1− 56
2+
personas, 68 leen el diario los domingos.De los 32
compañeros, solo 15 son varones.
Luis
PedroAna
46
610
812
1220
69
1421
1525
1218
3050
2135
, , , , , , , , ,
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Ángulocentralde 72º
Todo muy regularLos polígonos regulares aparecen en las creaciones humanas y en la Naturaleza.
Se puede inscribir en una circun-ferencia, o sea, tener sus vértices en ella.
Los polígonos regulares se nombran de acuerdo con el número de lados que tienen.
Triángulo equilátero Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono
Octógono Eneágono Decágono Undecágono Dodecágono
Muchas fl ores tienen forma de pentágono, por eso se llaman pentámeras. También las estrellas de mar esconden la forma pentagonal.
Todos los ángulos interiores de un polígono regular son iguales y también todos sus lados.
En el pentágono regular el valor del ángulo central se obtiene dividiendo 360° por 5, porque tiene 5 lados.
El centro de la circunferencia es vértice de los ángulos centrales.
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Las celdas de los panales de abejas tienen forma hexagonal. Esta disposición permite agrupar el mayor número posible de celdas en un espacio limitado.
Esta es la estrella pitagórica, un polígono estrellado que se obtiene prolongando los lados de un pen-tágono regular.
Este piso se cubrió con distin-tos polígonos regulares; ellos también se usan para diseñar vitrales y otros objetos. Al-gunas veces se pueden usar polígonos iguales.
Polígonos regulares iguales forman las caras de los po-liedros regulares, también llamados cuerpos platónicos. Solo hay 5.
A partir de polígonos regulares se pueden obtener distintos polígo-nos estrellados y realizar diseños divertidos.
Observá las imágenes an-teriores y respondé. ¿Qué polígonos regula-
res cubren el piso dise-ñado?
¿Podrías cubrir un pi-so solo con baldosas que tengan forma de rombo?
¿Cuántas caras tiene cada poliedro regular? ¿Qué polígono regular es cada cara?
Escribí algo que te parez-ca interesante sobre los polígonos regulares.
Yo opino:
105-1
Tetraedro Cubo
Octaedro
Dodecaedro Icosaedro
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Taller de técnicas tCuando hacemos Matemática es necesario interpretar bien lo que nos piden para poder armar un plan
de trabajo. También es muy importante revisar lo que hicimos.
En este taller te ofrecemos algunas técnicas que van a ayudarte con estas cuestiones y permitirán que
resuelvas mejor los problemas.
También hay técnicas que van a servirte para aprender a leer la información
que muestran algunos gráfi cos y cómo construir otros con los datos que tenés.
Manejar todas estas técnicas con soltura te permitirá disfrutar mientras apren-
dés, y lograr mejores resultados.
Índice
Técnica 1: Interpreto enunciados .......................................................................... 131
Técnica 2: Armo un plan y chequeo los resultados ............................................... 132
Técnica 3: Interpreto gráficos cartesianos ............................................................ 134
Técnica 4: Construyo gráficos circulares .............................................................. 136
También hay técnicas que van a servirte para aprender a leer la información
que muestran algunos gráfi cos y cómo construir otros con los datos que tenés.
Manejar todas estas técnicas con soltura te permitirá disfrutar mientras apren-
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Técnica 1
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Interpreto enunciados
Para interpretar el enunciado de un problema, por ejemplo este, me hago las preguntas rodeadas con violeta.
Para responderme esas preguntas…
Si ya comprendí el enunciado, estoy en condiciones de pensar cómo buscar una estrategia para resolver el
problema. Para eso, puedo ayudarme con la técnica 2.
María formó un número que no tiene cifras repetidas, tres son
pares y dos son impares; una de las cifras pares vale el doble
de 4 y las otras dos, valen el doble de las impares.
¿Qué hay que averiguar?
¿Qué datos tengo disponibles?
1.º Leo el enunciado. Si no entiendo algu-
na palabra, la busco en el diccionario,
y para lo que no me acuerdo, miro el
libro o mi carpeta.
2.º Trato de contar o escribir el enunciado
con mis propias palabras.
3.º Leo de nuevo con mucha atención y
anoto los datos.
Busco cuándo un número es par.“Los números pares terminan en 0, 2, 4, 6 u 8”.
Hay que encontrar un número de 5 cifras y todas son distintas. Algunas son pares y otras impares; hay pistas para averiguarlas y tienen que formar el número más grande que se pueda
• El número tiene 5 cifras distintas. • Tres cifras son pares y dos, impares.• Una cifra par es el doble de 4. • Las otras cifras pares valen el doble de las impares.
1.º Leo el enunciado. Si no entiendo algu-
Formé el mayor número posible de 5 cifras. ¿Cuál es?
¿Cómo se lee?
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