Matemáticaen primero

Claudia Broitman

Horacio Itzcovich

Mónica Escobar

Verónica Grimaldi

Héctor Ponce

Inés Sancha

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Matemática en primero es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana S.A., bajo la dirección de Graciela Pérez de Lois, por el siguiente equipo:

Coordinación: Claudia Broitman y Horacio ItzcovichAutoría: Claudia Broitman, Mónica Escobar, Verónica Grimaldi,

Horacio Itzcovich, Héctor Ponce e Inés SanchaEditora: Andrea Gutiérrez

Jefa de edición: Patricia S. GranieriGerencia de gestión editorial: Mónica Pavicich

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La realización artística y gráfi ca de esta edición ha sido efectuada por el siguiente equipo:Jefa de arte: Claudia Fano

Tapa y diagramación: Alejandro PescatoreCorrección: Paula Smulevich

Ilustración: Leonardo Arias y Marcelo RegaladoDocumentación fotográfi ca: Leticia Gómez Castro, Teresa Pascual y Nicolas Verdura

Fotografía: Archivo SantillanaPreimpresión: Miriam Barrios, Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez y Maximiliano Rodríguez

Gerencia de producción: Gregorio Branca

Este libro se terminó de imprimir en el mes de septiembre de 2010, en Artes Gráficas Color Efe, Paso 192, Avellaneda, Provincia de Buenos Aires, República Argentina.

Matemática en primero: libro del docente / Claudia Broitman ... [et.al.] ; coordinado por Claudia Broitman y Horacio Itzcovich. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2010. 152 p. ; 28x22 cm.

ISBN 978-950-46-2262-8

1. Guía Docente. 2. Matemática. I. Broitman, Claudia II. Broitman, Claudia, coord. III. Itzcovich, Horacio, coord. CDD 371.1

Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

© 2010, EDICIONES SANTILLANA S.A.

Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), C.A.B.A., Argentina.

ISBN: 978-950-46-2262-8Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.Impreso en Argentina. Printed in Argentina.Primera edición: septiembre de 2010.

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1. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática

Para la elaboración de este libro se tuvieron presentes algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática.

Los problemas enmarcan el trabajo matemático

El trabajo en el aula exige articular los conocimientos que los alumnos tienen disponibles con los nuevos que se pretende enseñar. Para ello es necesario que los niños se enfrenten a ciertos problemas en los que puedan poner en juego sus conocimientos y, a la vez, construir otros nuevos. Este proceso exige elaboraciones y reelaboraciones sucesivas que pueden promoverse desde la enseñanza, apuntando a un acercamiento progresivo desde los cono-cimientos de los niños hacia los saberes propios de la Matemática. Por ello, en este libro el trabajo central del alumno es la resolución de problemas y la reflexión sobre ellos.

Para favorecer este proceso es necesario que los alumnos se enfrenten a situaciones que les presenten cierto grado de dificultad, que sean “verdaderos problemas”. No se espera, entonces, que los resuelvan correctamente desde el primer intento. Por el contrario, es la di-ficultad del problema la que promueve la posibilidad de aprender algo nuevo a partir de su resolución y de la reflexión sobre lo realizado. La complejidad de las situaciones propuestas debe ser tal que a los alumnos no les sea suficiente con lo que ya saben para resolverlas con comodidad, pero a la vez debe permitirles desplegar algunas formas de resolución aunque no sean del todo expertas. Estas estrategias usadas inicialmente por los alumnos constitui-rán el punto de partida para la producción de conocimientos nuevos.

En este libro algunos problemas se presentan con un enunciado y una pregunta. En otras oportunidades involucran otra clase de prácticas, por ejemplo: interpretar una estrategia de resolución, relacionar dos formas de resolución de un mismo problema, analizar la validez de una afirmación, intentar comprender un error, dar información para reproducir un dibujo, copiar una figura, comparar problemas, etcétera.

El abordaje de un mismo tipo de problemas durante varias clases propicia avances en las formas de resolución y en la identificación de los conocimientos

Para que los niños puedan poner en juego ciertos conocimientos como punto de partida —aun cuando sean erróneos o aproximados— y, a la vez, ponerlos a prueba, modificarlos, ampliarlos y sistematizarlos, será preciso que se enfrenten a una colección de problemas próximos entre sí. Un trabajo sistemático de varias clases favorece la reorganización de las estrategias de resolución, la reflexión sobre las relaciones con otros conocimientos, el aban-dono de los ensayos erróneos y la utilización de nuevos recursos. Por ello en este libro, con-templando la provisoriedad y el largo plazo en los procesos de construcción de conceptos matemáticos en la escuela, las propuestas se organizan en pequeñas secuencias de varias páginas en las que se abordan los mismos tipos de problemas una y otra vez.

Cuando se proponen verdaderos problemas, se favorece el depliegue de diferentes formas de resolución

Cuando el docente se abstiene de comunicar desde el inicio de una clase el conocimiento a enseñar y los problemas se conciben como punto de partida de la producción de cono-cimientos, en el aula aparece una variedad de procedimientos de resolución por parte de los niños. Tanto cuando se trate de sumar dos dados, saber cómo se llama o se escribe un número, comparar dos cantidades, resolver un problema de diferencia entre dos números o copiar una figura, los niños podrán resolver la situación con estrategias variadas según los conocimientos y los recursos que tengan disponibles. Producir recursos nuevos, interpretar

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otros modos de resolución y establecer relaciones entre ellos es parte del quehacer mate-mático colectivo que se intenta promover.

La variedad de formas de resolución también es un buen indicador de que los problemas inicialmente propuestos no son tan simples como para que todos los alumnos los resuelvan del mismo modo, ni tan complejos como para que no los puedan resolver. Ahora bien, un problema que en un momento se espera que sea novedoso para los alumnos y les exija elaborar estrategias personales, unas clases después suele resolverse con estrategias más homogéneas a partir del avance producido en el trabajo colectivo.

En una misma clase pueden convivir diferentes maneras de representar un mismo problema

Durante la exploración de un problema nuevo, los niños suelen recurrir a dibujos, repre-sentaciones gráficas, simbólicas, cálculos, diagramas, etc. El docente podrá alentar a sus alumnos a producir representaciones propias, aun cuando sean poco económicas o aleja-das de las convencionales. El docente podrá invitar a los alumnos a analizar la economía de las formas usadas e incluso presentar otros modos de representación (convencionales o no) que no hayan aparecido en la clase. Por ello, en este libro se promueve que, para resolver un problema, los alumnos decidan si usan palitos, escriben los números o usan símbolos. En el terreno del cálculo podrán decidir qué pasos intermedios registrar y en qué parte del cálculo realizar sus anotaciones. Una cierta heterogeneidad de formas de representación en la clase también es un indicador de que los alumnos toman decisiones respecto de las formas de resolver y registrar cada situación.

Una función del trabajo colectivo es analizar la variedad de formas de resolución y representación de un mismo tipo de problemas

En algunas de las propuestas de este libro se explicitan momentos de trabajo dirigidos a comunicar, comparar y apropiarse de diferentes formas de resolver los problemas. En otros casos, el trabajo colectivo se sugiere en el texto del docente. Los procedimientos de resolu-ción se tornan en objeto de estudio y de debate, por ejemplo, cuando se propone interpretar procedimientos o ideas habituales infantiles en la voz de unos niños hipotéticos. La intención es aportar otras estrategias que tal vez no hayan aparecido y darle estatuto de validez a estrategias poco convencionales. De algún modo son marcas del tipo de tarea que se pretende instalar en la clase, espacios colectivos de análisis del problema a propósito de la diversidad de formas de abordaje. Interpretar producciones ajenas requiere considerar otros puntos de vista y enriquece la mirada sobre el problema en cuestión.

Analizar errores conjuntamente promueve el avance de los conocimientos

Los errores son parte del proceso constructivo, marcas visibles del estado de conoci-mientos de los niños en un momento determinado. Para superarlos es necesario un trabajo sistemático que, a veces, es de la misma naturaleza que el de la producción de nuevos co-nocimientos. Algunos de los errores que cometen los niños se fundamentan en explicacio-nes que tienen su propia lógica. Comprenderla y colaborar en su superación requiere un trabajo colectivo y sistemático. Interpretar errores ajenos es fecundo tanto para aquellos alumnos que han producido errores similares como para aquellos a los que les es evidente por qué es un error, y los invita a justificar y explicitar razones.

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Intercambiar puntos de vista sobre una afirmación permite profundizar ciertos conceptos

El debate sobre la validez o no de ciertas afirmaciones o resultados, o sobre la perti-nencia de un procedimiento permite que los alumnos retomen aspectos del conocimiento que se está abordando, desde otro punto de vista. Es importante que los alumnos no solo resuelvan los problemas, sino que tengan ocasión de analizar, en forma colectiva, si ciertas ideas sobre esos problemas son verdaderas o no. Esto implica de algún modo una mayor distancia con el problema e involucra un inicio en un proceso de descontextualización que será fértil para situaciones nuevas. En muchos casos el docente deberá mantener en forma provisoria cierta incertidumbre respecto de la validez de las afirmaciones o resultados, tan-to de los propuestos en el libro como de las primeras opiniones de los alumnos. Podrá poner en duda lo correcto tanto como lo incorrecto con el fin de promover un intercambio de ideas y puntos de vista, posponiendo la identificación de las soluciones o de las respuestas correc-tas a la discusión planteada. En este libro a veces se presentan frases expresadas por niños o directamente preguntas que buscan instalar esta clase de trabajo.

Un ejemplo ayuda a desplegar las ideas anteriores

Tomemos una de las primeras páginas de este libro. En el problema 1 de la página 18, se propone que los niños cuenten y escriban la cantidad de golosinas. Evidentemente esta situación es compleja para ellos al inicio de primer grado, tanto por la cantidad de objetos como porque se trata de una situación en la que los objetos están dibujados de una manera que exige controlar cuáles ya se contaron. Por otra parte se les propone escribir un número que represente la cantidad de objetos cuando aún no tienen dominio de la escritura de esa porción de la serie numérica.

Analicemos primero la situación de conteo. A algunos alumnos tal vez les resulte senci-llo contar y escribir la cantidad de chupetines o chocolates, pero no tanto contar y escribir la cantidad de caramelos. ¿Cómo pueden entonces resolver esta parte? A pesar de la complejidad, los niños tienen algunos recur-sos y conocimientos que les permiten empe-zar a resolver el problema: saben recitar en voz alta parte de la serie numérica, disponen de algunas experiencias sencillas de conteo y tal vez ya han contado en esta misma si-tuación los chupetines o los chocolates. Para contar los caramelos entonces podrán usar estos recursos, que sin duda les servirán como punto de partida, pero a la vez les serán insu-ficientes. Podrán contar, aunque posiblemen-te se equivoquen y salteen algunos carame-los o cuenten dos veces el mismo. Luego de un primer intento el docente podrá promover un espacio de intercambio para que circulen conocimientos nuevos. Por ejemplo, se podrá analizar la conveniencia de ir marcando a

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medida que se cuenta para controlar los caramelos ya contados, o de agrupar de a 2, de a 4 o de a 5, y luego hacer sobreconteo. Los errores cometidos por los niños se convierten en una ocasión para el avance de los conocimientos.

Analicemos ahora la parte relativa a la escritura del número. Los niños habrán contado los caramelos y tendrán el desafío de cómo escribir la cantidad 31 (o un número cercano a 31 según los errores de conteo). Algunos podrán reconocer en la designación del núme-ro, al nombrarlo, el “tres” y el “uno”, y escribirán 13. Otros sabrán que termina con 1 y que tiene dos cifras, y escribirán 01 o 41, o 51, o 61. Otros niños que conocen la escritura del 30 podrán apoyarse en el nombre del número y escribir 301 (por 30 y 1, como “treinta y uno”). En una instancia colectiva el docente podrá promover un análisis acerca de estas escrituras no convencionales sobre las que provisoriamente mantendrá la incertidumbre para que aparezcan explicaciones por parte de los niños justificando o descartando alguna de esas escrituras. Luego de un debate el docente podrá promover el uso de un portador de información numérica para saldar las dudas aún existentes. Por ejemplo, contar en voz alta señalando en orden los números desde el 1 en la cinta métrica o en el calendario hasta encontrar cómo se escribe el número que representa “treinta y uno”. Este problema, como muchos otros, intenta promover el despliegue de los recursos disponibles de los niños. No obstante, a la vez genera un espacio propicio para el trabajo colectivo dirigido a traccionar hacia un conocimiento más avanzado. Está en juego la articulación entre lo “viejo” y lo “nue-vo”, entre lo individual y lo colectivo, entre lo intuitivo y lo sistemático. Creemos que ambos debates —cómo contar sin perderse y cómo se escribe treinta y uno— son muy fértiles para todos los alumnos, tanto aquellos que están muy alejados de estos conocimientos, como los que desde el primer momento dieron con la respuesta correcta y la escritura convencional.

Veamos entonces cómo varían los roles del docente en diferentes instancias de la clase. En un momento se abstiene de dar la solución o sugerir la estrategia óptima, mientras los niños exploran el problema y resuelven como pueden la solución. En otro momento propi-cia un intercambio sobre las formas de resolución usadas y los resultados obtenidos. Invita a debatir acerca de posibles estrategias para controlar cuántos elementos ya fueron con-tados. Propone una discusión acerca de cómo podrían ayudar los portadores de informa-ción numérica para averiguar o confirmar sobre la manera en la que se escribe un número. Propone al final de la clase sintetizar “consejos” para contar bien y para averiguar cómo se escribe un número. Registra estos “descubrimientos” en un afiche o en el pizarrón para darle estatuto de un saber reconocido en esa clase y que será reutilizado en otras. Note-mos que los conocimientos del “final” de la clase son muy distintos que los que se pusieron en juego en un primer momento. Los conocimientos individuales —errores y aciertos— se han hecho públicos. Las estrategias usadas implícitamente se han nombrado, comparado, identificado; algunas incluso se abandonaron, otras se transformaron y algunas nuevas se inventaron.

Hemos seleccionado un problema para ejemplificar las ideas anteriormente desplega-das, pero esta clase de análisis puede realizarse para cada problema del libro.

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2. Organización del libroEl libro está estructurado en cuatro partes.

Cada una de ellas está pensada para trabajar durante alrededor de dos meses de clase. Las partes son:

Primera parte Números y operaciones I Espacio

Segunda parte Números y operaciones II Figuras geométricas

Tercera parte Números y operaciones III Cuerpos geométricos

Cuarta parte Números y operaciones IV Medida

Dentro de cada parte, los temas se inician con una portada que contiene información para que el docente lea en voz alta. A veces se incluyen datos históricos acerca de cómo nació ese conocimiento, en otras ocasiones se relatan anécdotas de pue-blos o de matemáticos en torno del tema de la sección. Junto con este texto se ofrece una ima-gen o viñeta humorística vinculada con el tema.

En el cuerpo de cada parte se proponen colecciones de problemas que abarcan una o dos páginas bajo cada título. Cuando no hay una indicación al respecto, se considera que los problemas pueden resolverse desde el trabajo individual y por ello están formulados en singular. Son espacios para que cada alumno pueda enfrentarse a los desafíos desde los conocimientos de los que dispone. En otros casos se propone que los problemas se resuel-van en parejas, en grupos o entre todos, según el nivel de complejidad y el tipo de interac-ciones que requieren. Y en esos casos los problemas se redactan en plural.

Como ya se ha mencionado anteriormente, los problemas que constituyen el cuerpo de cada propuesta involucran diferentes tipos de tareas. Veamos algunos ejemplos:

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En este libro las instancias colectivas se organizan bajo el título Una vuelta de tuerca entre todos. En esta sección, presente al final de muchas páginas, se propician diferentes tipos de actividades. En algunos casos se busca que los alumnos expliciten las estrategias y los conocimientos que se despliegan para la resolución de un problema. Por ejemplo:

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En otros casos se promueve un espacio de reorganización y sistematización a partir de discutir la validez de ciertas afirmaciones. Por ejemplo:

En ocasiones se proponen problemas un poco más complejos sobre el mismo contenido tratado con la intención de explorar nuevas relaciones. Por ejemplo:

A lo largo del trabajo a veces resulta necesario establecer ciertas convenciones propias del saber matemático. Tal es el caso de un vocabulario específico, de una definición, de algunos sím-bolos. Estas informaciones se presentan bajo el título Machete. Están pensadas para ser leídas de manera colectiva y ser fuente de consulta en diferentes oportunidades. Por ejemplo:

A continuación presentamos las propuestas de cada parte del libro.

Números y operaciones IAlgunas páginas de esta parte apuntan a favorecer el uso y la exploración de los números

de amplios intervalos de la serie de manera simultánea. La intención para este eje no es el dominio de la lectura y la escritura, sino más bien a la exploración de números de diferentes tamaños, y a sus diversos usos, contextos y funciones posibles. En este sentido las propuestas acerca del uso de los números son exploratorias en el marco de un trabajo colectivo. La inten-ción no es evaluar los conocimientos numéricos de los niños, sino promover la reflexión y la in-dagación sobre los números (sin límite en el campo numérico), y compartir diferentes acerca-mientos que pudieran tener los niños ampliando e introduciendo otros que ellos no conozcan.

Será conveniente incluir en el aula aquellos portadores de números que se usan fuera de la escuela, para que los alumnos puedan consultar cómo leerlos, escribirlos, saber cuál viene antes y cuál después, encontrar regularidades, etc. Las páginas 6, 13, 14, 15, 20 y 21 apuntan a explorar los usos sociales de los números.

Desde muy pequeños los niños recitan la serie de números y cuentan —aunque salteen algunos números y digan nombres erróneos para designarlos—. Van descubriendo que des-pués de los nombres de los nudos —o números redondos— es suficiente agregar del uno

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al nueve. En la sucesión oral utilizan regularidades aun en aquellas porciones irregulares de la serie (dieciuno, diecidós, ...), y puede ocurrir que no recuerden el orden de las dece-nas. Recitar y contar son nociones necesarias para resolver gran variedad de situaciones. Aprender a contar a partir de otro número (sobrecontar) también será un conocimiento a difundir entre los niños. En esta parte también se inician algunos problemas que apuntan a identificar ciertas regularidades de la serie escrita y sus relaciones con la serie oral. Algunos problemas proponen comparar, leer y escribir números hasta el 100. Estos contenidos son objeto de trabajo en las páginas 7, 8, 18, 19 y 24.

En esta primera parte también se proponen algunos juegos. Por ejemplo, unir los nú-meros de la serie para encontrar las figuras ocultas, juegos con dados, con naipes, con ta-bleros. Estas situaciones tienen la intención de favorecer que los alumnos usen portadores para seguir la serie numérica escrita, presentar problemas que exigen construir cantidades de igual cantidad de elementos (por ejemplo, marcar o avanzar tantos puntos como indica el dado), comparar cantidades (determinar cuál de dos cartas o de dos dados es mayor), o unir dos colecciones (marcar cuántos puntos se obtuvieron con dos cartas o con dos da-dos). Los juegos se presentan en las páginas 9 a 12, 16, 17, 22 y 23.

EspacioLos niños utilizan el espacio y construyen un conjunto de conocimientos prácticos que les

permiten dominar sus desplazamientos. Se trata de adquisiciones espontáneas en su proce-so de construcción de nociones espaciales que no exigen necesariamente alguna concep-tualización o toma de conciencia. Los problemas matemáticos relacionados con el espacio, en cambio, están ligados a la representación. La matemática implica una abstracción de la realidad, y su potencia reside en que la representación es solo un modelo de la realidad, no es la realidad en sí, pero justamente por ello permite tomar decisiones y resolver problemas anticipándose a las acciones físicas o sin precisarlas.

En este libro se propone centrar los problemas en la comunicación oral de posiciones, con la finalidad de que los niños avancen en su posibilidad de comunicar e interpretar en forma oral posiciones y desplazamientos de objetos y usar vocabulario específico. En las pá-ginas 28 y 29 se apunta a interpretar y comunicar la ubicación de ciertos objetos a partir de la utilización de referencias del entorno y entre los objetos. En las páginas 30 y 31, en cam-bio, se busca que los niños se enfrenten a interpretar recorridos tomando elementos del en-torno como puntos de referencia. Otro aspecto es que los alumnos aprendan a interpretar representaciones planas de diferentes espacios físicos, como se aborda en la página 32.

Números y operaciones IIUn contenido central que se propone en esta parte es el estudio de los primeros 100

números. Se presentan problemas que exigen escribir, comparar y leer números explorando las relaciones entre la serie oral y la serie escrita. Aprender a escribir números es un proce-so a largo plazo. Diversas investigaciones sobre el aprendizaje del sistema de numeración pusieron de manifiesto cómo los niños, para escribir números, se apoyan en los nombres de estos y realizan escrituras que transparentan las descomposiciones aditivas de las pa-labras-número. Por ejemplo, para treinta y cuatro, escriben 304. Asimismo, muchos niños reconocen que el treinta y cuatro “termina con cuatro” pero aún no saben cómo empieza, y realizan sustituciones de decena produciendo escrituras como las siguientes: 84, 24, etc. También es frecuente encontrar niños que reconocen las cifras que componen el número pero invierten el orden, y escriben, por ejemplo, para treinta y cuatro, 43. Se requerirán di-versas instancias de confrontación, intercambio, debate, consulta a portadores, búsqueda

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de ejemplos y contraejemplos para que estas escrituras sean reemplazadas de manera pro-gresiva por las formas convencionales.

Leer números también es un proceso complejo en el que los niños ponen en juego sus ideas acerca de cómo se llaman los números. La confrontación entre diversas interpreta-ciones y la información sobre el nombre de los números “redondos” 10, 20, 30, etc., permi-tirá revisar y ampliar los conocimientos de partida. Es posible que para leer el número 45 algunos niños digan “ochenta y cinco” o “treinta y cinco”, considerando el 5 de las unidades y sustituyendo las decenas por otra por no saber o no recordar cómo se llaman “los que empiezan con 4”. También es posible que realicen inversiones, y lean “cincuenta y cuatro” para el 45. En este recorrido propuesto está en juego la relación entre la serie oral y la serie escrita de números: saber cómo se escriben o cómo se llaman números correspondientes al mismo nudo constituye un fuerte apoyo para los niños. Su explicitación ayudará a que los niños se las apropien y reutilicen. Para abordar algunos de los problemas de interpretación de números escritos, en este libro se propone el juego de la lotería, entre otras actividades.

Para comparar números, los niños también ponen en juego algunas ideas: “a mayor can-tidad de cifras, mayor es el número”; “a igual cantidad de cifras es necesario comparar la primera”; “si la primera es igual, es preciso comparar la segunda”. Estas ideas les permiten ordenar números escritos de menor a mayor sin saber sus nombres. La discusión sobre la validez de estas estrategias permitirá ampliar los conocimientos de los niños y los ayudará a resolver problemas numéricos nuevos. El estudio de las regularidades de los primeros 100 números con problemas de escritura, lectura y comparación de números se aborda en las páginas 34, 35, 36, 37, 38, 43, 44, 48, 49 y 50.

Otro contenido central de esta parte es la resolución de problemas de suma y resta. Los niños pueden resolver problemas aun cuando no conozcan los cálculos que los resuel-ven, usando estrategias variadas que durante algún tiempo son el objeto mismo de trabajo y análisis. En esta parte se propone enfrentar a los niños a una diversidad de situaciones problemáticas que les permitan producir o reutilizar diversos procedimientos: usar rayitas, dibujos, dedos, escribir números o contar. Para estos problemas, se propone una fase de trabajo individual en la que se busca que los niños ensayen y produzcan sus formas de reso-lución, y a continuación se presentan espacios de trabajo colectivo en los que se invita a que los alumnos muestren sus maneras de resolver, las expliquen y comparen, e interpreten es-trategias de otros niños. Los problemas de suma y resta para resolver de maneras diversas se presentan en las páginas 39, 40, 41, 42, 45 y 46 (recién en la tercera parte se propondrá un análisis de la escritura simbólica y un inicio en los cálculos mentales). En la página 47 se introducen problemas de series proporcionales por medio de recursos variados.

Figuras geométricasEn este libro se intenta promover la resolución de problemas específicamente geométri-

cos que apuntan al estudio de ciertas características de algunas figuras. En las páginas 56 y 57 se propone una colección de problemas que busca, mediante un

juego de adivinación y pistas, que los alumnos analicen algunas características de figuras diversas. En las páginas 58, 61 y 62 se presentan algunos problemas que buscan favorecer el establecimiento de relaciones entre triángulos, cuadrados y rectángulos por medio de actividades que exigen plegar figuras o que invitan a imaginar cómo cubrir unas figuras con otras. Por último, en las páginas 63 y 64 se propone la reproducción y la comparación de figuras a partir del análisis de sus características. Copiar y comparar no son actividades

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que se resuelvan exclusivamente mirando o dibujando, ya que obligan a reparar en carac-terísticas y detalles de las mismas y a poner en palabras similitudes y diferencias.

Números y operaciones IIIEn esta parte se retoman algunos problemas que apuntan a profundizar en el estudio de

los primeros 100 números, con las actividades de las páginas 68 y 69. Asimismo, se aborda un nuevo aspecto sobre el sistema de numeración: analizar y reflexionar acerca del valor de las cifras de un número según la posición que ocupan. Cuando los niños ya tienen cierto do-minio de la lectura y la escritura de una porción de la serie numérica, es interesante avanzar hacia la reflexión sobre sus reglas de funcionamiento. En las páginas 80 y 81 de este libro se inicia el estudio del valor posicional, en el contexto del sistema monetario.

Una cuestión que se aborda en esta tercera parte, en las páginas 70 a 73, es la presen-tación y el uso de escrituras simbólicas para representar los problemas de suma y resta. Se propone que los alumnos continúen resolviendo los problemas aditivos con sus propias es-trategias, pero que puedan reflexionar posteriormente sobre las escrituras simbólicas que permiten representarlos. También se introduce la calculadora para promover el uso de los símbolos y para que los alumnos puedan validar por sus propios medios los resultados de los cálculos realizados. Estas cuestiones se encuentran en las páginas 74 y 75.

Construir un repertorio de cálculos conocidos es un buen punto de partida para iniciar a los alumnos en el cálculo mental. Se propone que los niños utilicen diversos procedimien-tos de cálculo, en particular cálculos mentales escritos. También se propicia la construcción de un creciente repertorio de sumas y restas memorizadas, cuyo uso permite reemplazar paulatinamente el conteo e iniciar a los alumnos en la práctica del cálculo mental. Cons-truir un listado de cálculos conocidos será útil para variados problemas. Entre ellos: sumas de iguales (2 + 2; 3 + 3; ...), sumas que den 10 (4 + 6; 3 + 7; ...), sumas de dieces (10 + 10; 20 + 20; ...), descomposición en dieces y unos (34 = 30 + 4 o 10 + 10 + 10 + 4). Estas activi-dades se presentan en las páginas 76 a 79. Estas cuestiones ponen en juego propiedades de los números y de las operaciones que se abordan en forma simultánea. Por último, las páginas 82 a 84 apuntan a establecer relaciones entre problemas y los cálculos que per-miten resolverlos.

Cuerpos geométricosEn esta parte se busca que los alumnos identifiquen diferentes características de los

cuerpos geométricos. Algunas situaciones apuntan a que los niños tomen conciencia de propiedades sobre las que no suelen prestar particular atención, propiedades provisoria-mente “no tan visibles”, y que las puedan poner en palabras. Para esta cuestión, en las pá-ginas 90, 91 y 96 se presentan algunos problemas en torno a juegos de adivinación o de pistas, que exigen aportar o analizar ciertas características para determinar de qué cuerpo se trata, o qué características permiten identificar un cuerpo específico.

Otros problemas exigen considerar las relaciones entre figuras y cuerpos geométricos. Para ello en las páginas 92 y 93 se proponen problemas en torno de una situación imaginaria de “huellas” o “sellados” en la que los cuerpos se piensan como objetos que dejan marcas en la hoja, que representan figuras geométricas. Se intenta que los alumnos anticipen qué figuras se armarían a partir de ciertos cuerpos o qué cuerpos podrían determinar ciertas figuras ya dadas. En las páginas 94 y 95 se apunta al mismo objetivo; se propone imaginar el cubrimien-to de ciertos cuerpos utilizando figuras geométricas con la misma forma que sus caras. Estas situaciones exigen anticipar cuántas figuras se precisan y qué formas deben tener para cubrir un cuerpo determinado.

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Números y operaciones IVEn esta última parte se retoman algunas cuestiones del sistema de numeración, en parti-

cular aquellas que remiten a un análisis del valor posicional. Para este aspecto se proponen algunos problemas en torno de las transformaciones y las regularidades de los números en un cuadro al sumar o restar sucesivamente 10, como en la página 100. En las páginas 104 y 105 también se abordan problemas que exigen anticipar las transformaciones que se operarán al sumar o restar números con la calculadora. Un último aspecto a trabajar es la exploración de números mayores, cuestión presentada en la página 116 a partir de la escritura del año, excusa para analizar regularidades de los números de cuatro cifras.

Con respecto a las operaciones, en este libro los alumnos interactuaron con diversos pro-blemas que remiten a las acciones de agregar, reunir, perder, retroceder, quitar, como los pro-puestos en partes anteriores y en la página 101. Asimismo, ahora se presentan nuevos sentidos de la suma y la resta, como aquellos problemas que exigen averiguar el estado inicial, buscar la diferencia entre dos cantidades, averiguar una transformación sucedida, o realizar más de una operación. En las páginas 112 y 113 se presenta una variedad mayor de problemas aditivos de los tratados antes. Las relaciones entre datos, cálculos y preguntas se ponen en juego con problemas que presentan la información en tablas, como los de la página 114.

Ya se mencionó que los alumnos de primer año también pueden resolver problemas de series proporcionales y de reparto aun cuando estén lejos todavía de los cálculos corres-pondientes. Algunos de estos problemas se abordaron en partes anteriores y se retoman aquí en la página 115.

En la cuarta parte cobra una importancia mayor el análisis de los cálculos mentales. Se parte de la idea de que un mismo cálculo admite estrategias diferentes y las composicio-nes y descomposiciones posibles pueden ser objeto de estudio. La memorización de ciertos resultados permite que los niños se apoyen en aquello que saben para averiguar lo que no conocen (por ejemplo, usar 20 + 20 para calcular 21 + 23). La reflexión y los nuevos acuerdos permitirán generar avances en los procedimientos. En las páginas 102 y 103 se propicia el análisis de la conveniencia del cálculo mental sobre la calculadora cuando los números son “redondos” o ya se tienen memorizados sus resultados. En otras páginas, como la 106 y de la 108 a la 111, se promueve el análisis de cómo usar los repertorios conocidos para averiguar resultados desconocidos. En la página 107 se busca que los alumnos desa-rrollen técnicas de cálculo estimativo que les permitan tanto resolver problemas variados como controlar progresivamente la pertinencia de resultados obtenidos por otros medios, por ejemplo, mentalmente o con calculadora.

MedidaEl estudio de la medida abarca una diversidad de cuestiones. Un aspecto se refiere al

conocimiento de las magnitudes a medir. Al inicio se propone explorar la medición del tiem-po a partir de un calendario, portador ya conocido por los niños y trabajado en la primera parte del libro. Se apunta a la utilización de unidades de tiempo (semana, día, mes y año) y del calendario para ubicar acontecimientos e interpretar la organización de las informacio-nes. Estas actividades están propuestas en las páginas 122 y 123.

Los niños también podrán resolver algunos problemas sencillos ligados a medir longitudes de manera efectiva. Para ello se proponen problemas que exigen comparar longitudes de objetos usando unidades e instrumentos de medición diversos, como cuadraditos o centímetros medidos con reglas. En las páginas 124 a 126 se promueve un análisis acerca de estas cuestiones.

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3. Índice de contenidos

Números y operaciones INumeración. Uso social de los números. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Numeración. Problemas de comparación de cantidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Numeración. Problemas de conteo y escritura de números. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Numeración. Problemas de conteo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Numeración. Serie numérica. Portadores de información numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-11Numeración. Relación entre la configuración del dado y los números escritos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12Numeración. Uso social de los números. . . . . . . . . 13-15Numeración. Uso de los números para comparar cantidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16Operaciones. Problemas que involucran unir dos cantidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17Numeración. Problemas de conteo y escritura de números. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-19Numeración. Interpretación de información numérica en el calendario. . . . . . . . . . . 20-21Numeración y operaciones. Problemas que involucran avanzar y retroceder. . . . . . . . . . . . . . . 22-23Numeración. Exploración de la serie numérica escrita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

EspacioEspacio. Ubicación de objetos a partir de referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28-29Espacio. Interpretación y producción de un recorrido a partir de referencias. . . . . . . . . . . 30-31Espacio. Interpretación de información contenida en un plano para ubicar lugares y armar recorridos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

Números y operaciones IINumeración. Lectura de números hasta el 100. Relaciones entre el nombre y la escritura de un número. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34-36Numeración. Regularidades en la serie escrita de números. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37-38Operaciones. Resolución de problemas que involucran unión y aumento de cantidades por medio de estrategias diversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39-40Operaciones. Resolución de problemas que involucran la disminución de cantidades por medio de estrategias diversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41Operaciones. Resolución de problemas que involucran la distancia entre dos números por medio de estrategias diversas. . . . . . . . .42Numeración. Comparación y orden.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43Numeración. Comparación y orden.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44Operaciones. Resolución de problemas que involucran unión o comparación de cantidades por medio de estrategias diversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45Operaciones. Resolución de problemas que involucran unión y comparación de cantidades o distancia entre números por medio de estrategias diversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46Operaciones. Resolución de problemas que involucran series proporcionales por medio de estrategias diversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47Numeración. Orden en la serie numérica hasta el 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48-49Numeración. Escalas ascendentes y descendentes. Escritura de números. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

Figuras geométricasGeometría. Algunas características de las figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56-57Geometría. Identificación de relaciones entre figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58-61Geometría. Reproducción de figuras a partir del análisis de sus características. . . . . . . . 62-64

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Números y operaciones IIINumeración. Orden en la serie numérica hasta el 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68Numeración. Regularidades en la serie escrita de números. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69Operaciones. Introducción al uso de los signos +, – e =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70-71Operaciones. Introducción al uso de los signos +, – e =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72-73Operaciones. Iniciación en el uso de la calculadora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74-75Operaciones. Iniciación en la construcción de un repertorio de cálculos aditivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76-77Operaciones. Utilización de resultados conocidos para resolver cálculos nuevos. . . . . . 78-79Numeración. Iniciación en el análisis del valor posicional en el contexto del dinero. . . . . 80-81Operaciones. Problemas de suma y resta en el contexto del dinero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82Numeración y operaciones. Resolución de problemas de suma y resta usando cálculos mentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83Operaciones. Relación entre cálculos y problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

Cuerpos geométricosGeometría. Identificación de características que permiten distinguir cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90-91Geometría. Establecimiento de relaciones entre diversas figuras y las caras de algunos cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92-95Geometría. Caracterización de algunos cuerpos en función de sus elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

Números y operaciones IVNumeración. Iniciación en el análisis del valor posicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100Operaciones. Problemas de suma y resta en el contexto del dinero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101Operaciones. Selección de recursos de cálculo más convenientes en función de los números involucrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102-103Numeración. Iniciación en el análisis del valor posicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104-105Operaciones. Utilización de resultados conocidos para resolver cálculos nuevos. . . . . . . . . . .106Operaciones. Estimación del resultado de cálculos de sumas y restas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107Operaciones. Cálculos de suma y resta por medio de distintas estrategias. . . . . . . . . . . . . .108-109Operaciones. Análisis y uso de diversos procedimientos para sumar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110Operaciones. Análisis y uso de diversos procedimientos para restar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111Operaciones. Problemas de suma y resta vinculados a nuevos sentidos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112Operaciones. Problemas de suma y resta vinculados a nuevos sentidos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113Operaciones. Problemas de suma y resta que presentan la información en cuadros. . . . . . . . . .114Operaciones. Resolución de problemas que involucran series proporcionales y repartos por medio de diversos procedimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115Numeración. Exploración de números de cuatro cifras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

MedidaMedida. Uso del calendario y análisis de unidades de tiempo: semana, día, mes y año. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122-123Medida. Comparación directa e indirecta de longitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124-125Medida. Uso de unidades para determinar longitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

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4. Sugerencias bibliográficas

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