“VIVE TAL CUAL SI FUESES A MORIR MAÑANA,

APRENDE COMO SI FUERAS A VIVIR SIEMPRE”

MAHATMA GANDHI

EJERCICIOS PARA EL EXAMEN DE INGRESO 2012

CONTENIDOS PARA EL EXAMEN DE INGRESO

1. Conjunto: nociones básicas. 2. Conjuntos numéricos: Conjuntos de números Reales: Números enteros. Números

racionales: Expresiones decimales periódicas. Notación científica. Radicales. 3. Razones y proporciones 4. Expresiones algebraicas enteras. Polinomios. Factores de expresiones algebraicas.

Expresiones algebraicas fraccionarias 5. Ecuaciones. Ecuaciones de 1º grado, Ecuaciones de 2º grado. Sistemas de ecuaciones 6. Medida: perímetros de distintas figuras geométricas. Cálculo de áreas y volúmenes 7. Análisis dimensional en distintas expresiones Ejercicios y Problemas de aplicación de todos los temas (disponibles por ejemplo en www.fisicanet.com.ar) Bibliografía: Todos los textos utilizados en la escuela media - polimodal

2

Algunas cosas importantes para recordar cuando estás aprendiendo Matemática. Aprender

Matemática es como aprender un idioma, al principio cuesta, pero progresivamente se irá haciendo

más fácil. Los conceptos están relacionados entre sí, así que saber uno ayuda a entender los otros.

Sentirse frustrado no es un problema, es parte del proceso natural del aprendizaje, así que ¡no te des

por vencido!

TTEE RREECCOOMMEENNDDAAMMOOSS

1. Créate tiempo de estudio. Asegúrate al menos una hora al día para dedicarte a estudiar

matemática.

2. Acostúmbrate con el vocabulario. Podrías ir armando un “diccionario matemático” que esté

siempre a tu lado mientras estudias. Muchas áreas de la matemática requieren saber una cierta

cantidad de vocabulario matemático y es menos frustrante el poder revisar rápidamente los

significados.

3. Conseguí al menos dos libros de referencia en teoría. De esta forma, tendrás dos diferentes

explicaciones y una de ellas puede que para vos tenga mejor sentido que el otro, o una

combinación de ambos te pueden ayudar a entenderlo más fácilmente.

4. Aborda los temas junto a sus prerrequisitos. Como los conceptos están relacionados, saber uno

te puede ayudar a entender el otro. Si no entendiste el concepto de algo como deberías haberlo

hecho, entonces, dedícate un tiempo para revisitar los apuntes anteriores y aprender un poco

más y luego combínalo con el concepto nuevo. Generalmente, el concepto nuevo ayudará al

concepto antiguo a que quede en tu mente.

5. Progresa a través de los niveles de la matemática. Hay un camino hacia la matemática avanzada

a través de este progreso: Algebra Básica, Geometría Básica, Cálculos Básicos, Algebra

Intermedio, Cálculos Regulares, Teoría de los Números, Algebra Lineal, Algebra avanzada,

Combinatorias, Análisis, Topología.

6. Practica con muchos problemas y ejercicios. Haz todos los problemas que puedas y que tengas

en tu disposición - incluso los problemas más avanzados de tu nivel.

7. SIEMPRE PEDÍ AYUDA SI NO SABÉS COMO HACER ALGO.

8. Y NUNCA TE DETENGAS A INTENTAR APRENDER ALGO, SOLO PORQUE PIENSAS QUE ES DIFICIL.

3

¿¿PPOORR QQUUÉÉ MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA??

Porque con matemática: podemos “describir la

posición de cualquier punto de La Tierra con dos

números...”

Dibujar un mapa del mundo.

Modelizar cuerpos geométricos

Resolver problemas

“En un cajón hay 28 calcetines negros y 28 calcetines blancos. El cuarto está totalmente a oscuras. ¿Cuántos calcetines hay que tomar para asegurarse que haya al menos un par del mismo color?”

Se hace un agujero cilíndrico de 6cm de largo en una esfera sólida. ¿Cuál es el volumen de esfera remanente?

Aplicar a la medicina

0

1

( ) cos sin2

n n

n

aSf t a nwt b nwt

con: 0.8T 2 2

0.8T y

Ayudar al hombre a ser “persona”, a desarrollar su pensamiento, ser crítico, ser solidario, descubrir y apreciar la belleza del mundo, etc.

4

CCOONNJJUUNNTTOOSS

Conjunto, elemento, pertenencia son conceptos primitivos, no se definen se dan.

Un conjunto puede determinarse de dos formas:

Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto.

Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos.

OOPPEERRAACCIIOONNEESS

Unión de conjuntos: dado dos conjuntos A y B. se llama unión ( ) a otro conjunto tal que sus elementos pertenezcan a A o a B .

Intersección de conjuntos: dado dos conjuntos A y B. se llama intersección ( ) a otro conjunto tal que sus elementos pertenezcan a A y a B .

Complemento de un conjunto: Si A es un subconjunto de B, se llama complemento de A y se representa por: , al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.

1) Se considera un experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas. Si una moneda cae cara se anota 1, y si cae sello se anota 0. Formar el conjunto cuyos elementos son los posibles resultados del experimento.

Con relación al ejercicio anterior, determinar por extensión los siguientes subconjuntos:

1S : Se dan más caras que sellos.

2S : Se obtienen al menos dos caras.

3S : Se obtiene el mismo resultado en las tres monedas.

Determinar con los conjuntos 321 ,, SSS : 13231322 ,,, SSSSSSSS C

2) Sean los conjuntos: 3/ xZxA;

7/ 2xZxB

Determinar: ABBABABA ,,,

Dados: 22

1/ xRxA

; 2

31/ xRxB

Obtener: cBBABA ,,

3) Siendo: 01/ 2xRxA ; 1/ xRxB

Obtener: cBABA )(,

4) Sean los conjuntos:

4/ xZxA;

6/ xZxB

Determinar: ABBABABA ,,,

CCOONNJJUUNNTTOOSS NNUUMMÉÉRRIICCOOSS

Revisaremos los diferentes conjuntos numéricos con los que has trabajado en tu escuela.

5

Números naturales son aquellos que utilizaste desde pequeño para contar: N={1,2,3,4...}

Números enteros es el conjunto formado por los negativos, los positivos y el cero, que no es

positivo ni negativo: Z= {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Números racionales son todos aquellos que se pueden expresar como cociente entre números

enteros: Q= { / , 0a

a b Z y bb

}

Ejemplos de racionales, son:

Los números naturales:

Los números enteros:

Los números decimales finitos o decimales periódicos, de período cero :

Los números decimales infinitos periódicos:

Los números decimales infinitos de período mixto:

Números irracionales: son todos aquellos que no se pueden expresar como cociente entre dos

números enteros. Se caracterizan por tener infinitas cifras decimales sin período. Este conjunto se

designa con la letra .

¸ ,

Números reales: definen el conjunto formado por los números racionales e irracionales. Este

conjunto se designa con la letra R.

UUNN PPOOCCOO DDEE TTEEOORRÍÍAA SSOOBBRREE LLOOSS CCOONNJJUUNNTTOOSS NNUUMMÉÉRRIICCOOSS

NNúúmmeerrooss nnaattuurraalleess (( ))

Los primeros números que el hombre inventó fueron los números naturales, los cuales se utilizaban

y aún se utilizan para contar elementos de un conjunto. Los números naturales sirven para contar y

ordenar fundamentalmente.

6

El nombre “Números Naturales” seguramente surge debido a que estos números son los que

aparecen por primera vez en el proceso natural de contar o enumerar los objetos de un conjunto.

Los números naturales son un conjunto de números de la forma: 1, 2, 3,…. que denotaremos con el

símbolo , esto es:

Si al conjunto de los números naturales se le une el número cero, este nuevo conjunto se denota

con el símbolo IN0, esto es

Es posible establecer una correspondencia entre los números naturales y los puntos de una recta

(recta numérica) de la siguiente manera.

Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero y otro punto

a la derecha del cero para representar el uno , a este segmento le llamamos segmento unidad.

Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento unidad,

para así representar los números (en este orden) que se encontrarán a la derecha del

cero.

En una recta numérica el punto que representa el cero recibe el nombre de origen. Una

representación gráfica de 0 en la recta numérica se muestra en la figura:

De y se pueden formar variados subconjuntos, entre ellos se encuentran:

• El Conjunto de los números pares:

• El Conjunto de los números impares:

Estos dos conjuntos no tienen elementos en común y si se unen ambos, forman el conjunto

• El conjunto de los Múltiplos de un número: Se llaman múltiplos de un número a todos los

números que resultan de la multiplicación de ese número con cada uno de los naturales. Los

múltiplos de un número n pertenecen al conjunto formado por:

• El conjunto de los Divisores de un número es un subconjunto de : Llamamos divisores de un

número x, a todo el conjunto de números que lo divide exactamente.

• El Conjunto de los Números Primos es un subconjunto de IN: El número natural p>1 es un número

primo si sus únicos divisores son 1 y p.

Algunos números primos son:

NNúúmmeerrooss eenntteerrooss

Si se requiere dar solución a la sustracción , es necesario encontrar un número que sumado a

de cómo resultado . Este número no existe en . Para que la sustracción tenga siempre solución,

7

se extiende la recta numérica hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un

número natural le corresponde un punto simétrico a él, ubicado a la izquierda del cero.

Cada uno de estos nuevos puntos ubicados a la izquierda de la recta numérica, respecto al cero,

representa un número negativo.

Entonces, el conjunto de los números enteros es la unión del conjunto de los números naturales, el

cero y los números negativos. Este conjunto se denota por , donde:

Cada número negativo es considerado el opuesto o inverso aditivo de su simétrico positivo y, cada

número positivo, es el opuesto de su simétrico negativo. Por ejemplo, es el opuesto o inverso

aditivo de .

La distancia que existe entre un número a y el cero la representaremos a través del valor absoluto y

se expresará como . Como se refiere a una distancia, el valor absoluto de un número siempre es

positivo.

Por ejemplo, la distancia entre y en la recta numérica es de unidades, entonces .

Ahora, las distancia entre y , también es de unidades en la recta numérica, luego

.

Ahora que conocemos los números enteros, podemos utilizarlos para representar situaciones como:

Seis grados bajo cero o una deuda de tres mil pesos

22..11.. RReegguullaarriiddaaddeess nnuumméérriiccaass

Al realizar ciertas operaciones aritméticas entre los números enteros, es posible encontrar

propiedades que resultan curiosas e interesantes por presentarse como patrones o regularidades

numéricas.

Estas regularidades son sucesiones de números que forman un conjunto que siguen cierta regla de

formación. La sucesión la denotaremos por , con donde es el término general de la

sucesión. Por lo tanto, se entenderá por sucesión una colección de números dispuestos uno a

continuación de otro.

El término general de una sucesión es una fórmula que permite conocer el valor de un determinado

término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por convención, al término

general de una sucesión se le denota por y se hablará de término -ésimo.

Ejemplos de sucesiones son:

8

33.. NNúúmmeerrooss rraacciioonnaalleess

Si tratamos de resolver una ecuación como , sólo conociendo el conjunto , nos damos

cuenta que carecemos de dicha solución. Debido a esto, se ha hecho necesario encontrar un

conjunto que “extienda” a . Dicho conjunto está formado por los números racionales que

denotaremos por .

Decimos que es un número racional, si es posible expresarlo de la forma: , donde

. a es llamado numerador y b es el denominador de la

fracción.

El conjunto de los racionales es denso porque entre dos números racionales siempre podemos

encontrar otro número racional.

Si , se conviene en representar los números racionales preferentemente por medio de

fracciones en las cuales el denominador es un número entero positivo.

Recordemos además que si , el número racional a/b se puede considerar como el

cociente que se obtiene al dividir a por b; en donde b indica el número de partes en que se divide la

unidad y a el número de partes que se toman de esta división. De esta manera, si se divide en dos

partes iguales cada segmento unidad en la recta numérica, podemos representar los números

racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador como se muestra en el

ejemplo siguiente.

De igual manera, si se divide en tres partes iguales cada segmento unidad en la recta, podemos

representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador ,

como se muestra en el ejemplo siguiente.

33..11.. RReepprreesseennttaacciióónn ddeecciimmaall ddee uunn nnúúmmeerroo rraacciioonnaall::

Toda fracción puede expresarse como decimal periódico, dividiendo el numerador por el

denominador. Se dice que la fracción genera el número decimal. Un número decimal periódico es

un número racional que puede ser representado por una fracción decimal.

9

Ejemplos:

Número decimal exacto o de período cero es un número racional ya que

pues .

NNúúmmeerrooss ddeecciimmaalleess ppeerriióóddiiccooss

Los números decimales periódicos puros o periódicos-mixtos también son números racionales ya

que pueden ser escritos como fracciones.

3.2. Transformación de un número decimal finito a una fracción decimal:

Para realizar este proceso basta con escribir una fracción cuyo numerador sea el número completo

sin la coma decimal y su denominador sea una potencia de que tiene tantos ceros como cifras

tiene la parte decimal, es decir, tantos ceros como la cantidad de cifras después de la coma.

Observemos un ejemplo: es igual a o bien

3.3. Transformación de un número decimal periódico a una fracción decimal:

Todo número decimal periódico o de período mixto puede escribirse como una fracción. se dice

también que la fracción genera el número decimal periódico. A través de un ejemplo

determinaremos la fracción generadora de .

Expresa como fracción el número decimal

Sea la fracción que genera el decímalo entonces

(1)

Multiplicamos por 100 ambos miembros de la igualdad y obtenemos

(2)

Contamos ahora con las ecuaciones (1) y (2)

Restando miembro a miembro tenemos:

(3)

Multiplicando por ambos miembros obtenemos:

10

Realizando estas operaciones se puede obtiene “la regla” para transformar un decimal periódico en

fracción.

“El número proviene de una fracción que tiene por numerador la diferencia entre el número

dado sin la coma decimal con el número que resulta al suprimir el período 1 y como denominador

tantos nueve como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tiene el no período.

33..44.. OOrrddeenn eenn::

Dados dos números racionales siempre se cumplirá sólo uno de los tres casos:

I. Los números son iguales si se cumple que

II. El número es mayor que si se cumple que

III. El número es menor que si se cumple que

NNúúmmeerrooss iirrrraacciioonnaalleess (( ))

Un número irracional es un decimal infinito no periódico, es decir no es generado por una fracción,

por lo tanto no puede ser representado como un número racional.

Ejemplos: ,

Todas las raíces inexactas son números irracionales.

Como los números irracionales no pueden ser representados como cocientes de números enteros

(ya que no son racionales), no es posible escribir explícitamente su forma decimal, pero sí tienen la

importante propiedad de poder ser aproximados con el grado de precisión que se necesite.

La resta y el producto de números irracionales puede no ser un número irracional, por ejemplo:

I. , donde pero

II. , donde pero

III. , donde pero

Hay infinitos números irracionales, algunos de los cuales son especialmente interesantes. Veamos

alguno:

- La diagonal del cuadrado de lado unidad es:

- Si p no es cuadrado perfecto, es irracional.

- En general, si p es un número entero y no es un número entero (es decir, p no es una potencia

n-ésima), entonces es irracional.

- La diagonal de un pentágono de lado unidad: (“fi”: Número áureo)

- La relación entre la longitud de una circunferencia y su radio: (“pi”)

11

44.. NNúúmmeerrooss rreeaalleess (( ))

El conjunto de los números reales se denota por la letra y está conformado por la unión del

conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales I:

¿¿NNooss aaccoorrddaammooss?? ¿¿EEnntteennddiimmooss??

Ejercicios de revisión

1) a. Clasifique los siguientes números en racionales o irracionales. Explique. b. Si es racional, diga a qué subconjunto pertenece.

a) 3

1 b) 7 c) 0 d)

7

35

e) 6,0

f) -56 g) 0,123456… h) e

i) – 2,341341 j) k) -4,285 l) 582,4

m) 3 8 n) 2,010010001…

a) Diga en qué subconjunto de los números reales está incluido cada uno de los siguientes conjuntos:

A = 5

5;;;7;3 3 e B = 2

3

2;3

27;3;1;4

C = 6;5;4;3;2;1 D = 4

4;8;

2

5;4;

3

2;0

E = 1;3;5;7;9 F = 9,2;7,2;025,1;72,0;2,0

b) ¿Todo número racional es un número entero? Justifique su respuesta.

3) Califique con V (Verdadero) o F (Falso) las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta.

a.   

b.   

c. Si aQa   

d. 81

e. Q 

f. QQ

g.

-8

2

0

1

-93

3

2

17

3

12

h. 0    aaSi

i. QaaSi 

j. Q

k. QaaSi    

l. ...  12012000,0

NNÚÚMMEERROOSS EENNTTEERROOSS

1) Completa el cuadro con los valores correspondientes:

a b a + b b – a a. b a. b b. (a – b)

-4 2

-4 16

-8 0

-15 -5

-6 1

2) Resuelve los siguientes ejercicios combinados:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

3) Resuelve aplicando propiedades de potencia:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

4) Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando tu elección:

a.

b.

c.

d.

e. 53 aa

f. bababa ... 33 3

g. 32793

h. 24)2).(2(

EEJJEERRCCIICCIIOOSS

Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:

1) 2)

3) 4)

13

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27) 28)

29) 30)

NNÚÚMMEERROOSS RRAACCIIOONNAALLEESS

1) Suprime paréntesis, corchetes y llaves y resuelve:

a. 4

7

2

11

9

2

4

3

3

1

2

1

b.

13

5

6

1

3

5

3

2

9

1

6

5

c. 5

4

2

31

5

31

2

1

5

4

14

2) Completa el siguiente cuadro:

3) Separa en términos y resuelve:

a. 3,04

1325,0:

8

7

d. 22

15.63,0

b. 3,11:5

415.20,0

e.

2

20

15,0.3,1

c. 21,03,02,2.10

3

3

21

f.

3

3

50.1,0

3

7

4) Aplica propiedades y resuelve:

a.

45

10

3.

10

3

b. 2

5

2

2

c. 10

25

3

3.3

d. 3

64

125.

8

27

e. 16

81

f. 25

36:

81

144

5) Completa con el número que verifique las igualdades:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

6) Resuelve:

a.

32

2

12

5

1:

2

13

b. 4

33

2

11

8

71

2

3

c. 2.2

1

7

1.2.5

3

2

5

13

1

1

d.

2

5

8

7

2

1.

4

3

16

38:

4

12

x y z k x.y.z x : z z

y x.y+z:k x.z:k+y

4

1 1,5

3

4

-0, 8

-5

3

6

5

8

15 -0,75

15

e.

3

3

2

2

2

1

3

11

3

8.2

f. 1

2

1

7.4

12

6

11

13

12.

4

13

g.

3

2

2

1.

2

1

3

22

4

33.

2

12

EEJJEERRCCIICCIIOOSS

Suma los siguientes radicales:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

EEXXPPRREESSIIOONNEESS DDEECCIIMMAALLEESS YY NNOOTTAACCIIÓÓNN CCIIEENNTTÍÍFFIICCAA

1. Coloca la coma en cada producto, agregando ceros, cuando sea necesario:

a. 17,5. 0,1 =……..175

b. 9,286.0,01=………..9286

c. 1357.0,001=…………1357

d. 7. 0,000001=…………..7

e. 10,45.0.00001=………….1045

2. Calcula cociente y resto de:

a) 4:17 con 01,0 b) 15,91:54 con 0001,0 c) 0,387:21 con 001,0

d) 30,7:0,00167 con 1,0 e) 160,428: 2,58 con 01,0 f) 7,13 : 0,056 con 01,0

3. Separa en términos y resuelve:

a. 03,0.5,0)9,01,0(4,0:13,07,0 22

b. 5,1.45,02

016,0

5,0

13,002,03

16

c. 02,0:)19,0(5,1:15,04

1,0:004,0 3

d. 4,06,0

8,0.3,05,0

2,105,0

2,0.2,0 2

e. 4,0.6,501,0.5,0125,2.5,125,0

(Realiza todos los cálculos con los decimales, sin usar calculadora)

4. Calcula aplicando notación científica:

a.

b.

c. 0,0000000437. 0,0005165=

d.

e.

f.

g.

5. Halla el valor de x:

a. 17

186

54

10.610.5,2.10.7

10.4,1.10.6.x b. 28

2174

14

1010.2.10.3.10

10.6.10x

6. La superficie que ocupan todos los continentes e islas de la Tierra es

a. Expresa esta cantidad en notación científica.

b. Las islas ocupan las 2/5 partes, expresaras esta cantidad en notación científica.

7. El período de revolución de la tierra, (tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor

del Sol), es 365días. Calcula este tiempo en segundos y exprésalo en notación científica.

8. Un cartón de cigarrillos tiene 10 atados de 20 cigarrillos cada uno; cada cigarrillo mide 10 cm. Se

colocan todos los cigarrillos de 10 cartones en “fila india” sin dejar espacios. Marca cuál es la

longitud de la fila de cigarrillos:

………… ………… ………… …………

9. Calcula aplicando notación científica:

17

10. Halla la expresión algebraica irreducible de cada expresión decimal y resuelve:

a. b.

c. d.

e. f.

g.

EEJJEERRCCIICCIIOOSS

Introducir dentro del radical todos los factores posibles:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

PPRROOBBLLEEMMAASS

a) Una persona adulta, en reposo, absorbe a cada respiración litros de aire y realiza 160

respiraciones en de hora. Averigua la cantidad de aire que pasa por sus pulmones en de

hora.

18

b) Los socios activos de un club representan los del nº total, siendo los menores los restantes.

¿Cuántos activos y menores son si el total es de 9450 socios?

c) Un estanciero poseía 2100 cabezas. Compró una cantidad igual a los de aquellas y recibió

luego una remesa equivalente a los del total que entonces tuvo.¿ Cuántos animales reunió?

d) El dueño de un supermercado reparte $3300, en concepto de premios a sus 4 encargados,

dando al primero del total, al segundo de lo que recibe el primero, al tercero del total y al

cuarto el resto. ¿Cuánto recibió cada uno?

e) Un señor gana $ 1800 por mes y los distribuye así: para alimentos, para alojamiento, para

ropa y para gastos varios. ¿Cuánto dinero le queda disponible?

f) Una señora que había salido de compras se encuentra con que después de gastar los del

dinero que había llevado, le quedan $ 140. ¿Cuánto dinero tenía al salir?

g) Los de la superficie total de una plaza están cubiertos de césped y árboles, está ocupado

por un patio de juegos infantiles y por una fuente, quedando 4160 para caminos y

veredas. ¿Cuál es el área de la plaza y de cada parte?

h) Un dibujante adquirió un tablero, gastando de cierta suma de dinero; con los de lo que

restaba, compró un sillón, quedándole $560. ¿De cuánto dinero disponía?

i) Un tonel de vino es llenado por una canilla en 5 horas y por otra mayor en 8 horas. Si ambas

funcionan juntas ¿qué parte del tonel llenarían en 2 1/2horas?

j) Preguntando la edad a un señor, respondió: “la 8º parte de los años que tengo, más los del

total, más los del total, más 7 años, esa es mi edad” ¿Cuántos años tiene?

k) Una pista de ciclismo circular tiene un radio de 50m ¿Cuántos km se recorren en 35 vueltas?

l) Para preparar el decorado de una obra de teatro en una escuela, se designan 6 alumnos que

tardarán 4 días en terminarlo. Si se estrena en 3 días ¿Cuántos alumnos habrá que agregar?

m) ¿Cuál es la cantidad cuyo 15% es 60?

n) El 50% de un nº es 45¿cuál es el nº?

o) Qué porcentaje de 189 es 17,8?

p) Cuál es el 25% del 25% de 100? Una empresa reparte un premio por presentismo de $620 entre

tres empleados que faltaron 2 días, 3 y 5 respectivamente ¿Cuánto le corresponde cobrar a

cada uno?

19

PPRROOPPOORRCCIIOONNAALLIIDDAADD

1. Completa los cuadros, sabiendo que: “a ,b ,c y d forman una proporción:d

c

b

a, se verifica que

el producto de los medios es igual al producto de los extremos”

a.

a b c d

6 30 40

-1 -1,6 8

4,5 3 0,9

1,5 -2,4 12

b.

a b c D

0,5 0,3 2,5

-12 -3 5

-3/4 -2/15 1/2

-0,5 -1/2 -4

2. Determina el extremo o medio desconocido:

1. 008,0

2,0

1,02

2x 2.

2)15,0(

4,075,0

4,075,0

x

3. x

2

2

2

33

2

2

1.5

3

2

4

1.

5

3

4.

3

1.)5,0(

6

15

2

15

11.

3

1

2x

5.

2

3

2

1.2

3,0

2

1

4

3

x

6. )14()5(

)9.(53,02

x

x

7. x

3

2

10

30,0.10,0

7

6

3

22,1

3,0.4,0 8.

2

2

1

2

1.5

3

1

5

1.3,0

2

1x

9.

1,0

5,0

3

2

12x 10.

5

1

36,0

2

1

1x

11.

3

11

3

1

5,12,0

12

2

x

12.

1

2

3

26

1

5,01

6,01

5

x

x

20

13. 1

55

3

3

11

2x

14. 1

49

7

1

83x

15. 1

3

2

25:1936,01

)13,1.(64,61x

x

16.

NNºº RREEAALLEESS yy RRAADDIICCAALLEESS

1) Simplifica las siguientes expresiones, utilizando las propiedades:

1. 4 8 2.

6 53

4 2

.

.

bxb

ybby

3. 5 4. 3 3 22.. xxx

2) Realiza las siguientes operaciones:

1. 6 80004580 2. 33 368641728

3. 351.321 4. 3 001,016,04,0

5. 46 512128

1

3) Simplifica las siguientes expresiones:

a. 6 666 aba b.

z

z

z

z 8

8

2

2

4) Resuelve la ecuación:

a. 182221.22

x b. 22.728.8 x

5) Racionaliza:

a) 35

2 b)

22

22

c) 2.2

332

d) 523

253

6) Obtiene la mínima expresión posible simplificando:

e) 3

3

x

x

f) 3 3

3

x

x

g) 2

11

x

x

h) baba

.2

1

3 42

i) zx

xzzxzzxx2/1

1

3

21

7) Sabiendo que 17

71a calcula a

a

1

8) Une con flechas:

2

11 x 2

3

2

11 xx a

11.11 xxxx 12 xx

02

acona 12 2xx

13

52

13

52

2

3

15.15

5225

2

9) Realiza las siguientes operaciones:

a. 3

3

6412

001,0 b. 55 65 3

2

1aaa c.

31

50012545

10) Si 13a ; b= 322 y c= - 13 , decide si las siguientes afirmaciones son verdaderas o

falsas. Justifica.

a) ba es un nº irracional. b) ca es un nº irracional c) ca. es un nº entero.

d)c

aes un nº racional.

11) Aplica propiedades y resuelve: 5 9

1 113 1 24 55 104 2 3) 2 2 . 2 2 ) 0,1 :10 :100a b

12) Transforma las expresiones siguientes en potencias de base 3:

5 3

2 4

5 3

1 1) 9 ) 81 ) )

81 243a b c d

13) Expresa en potencias y resuelve:

3

2/12/1

34

3/1

53

001,0:10

100)18:12.6)25.

5

1:55)222) dcba

14) Simplifica todo lo posible: 4

5

5

33/2x Halla su valor, después, para x= 0,0001

22

FFAACCTTOORREEOO

1) Encuentra el factor común:

a) 3a-2an+6 a-3ab= b) 2 3 7 5 24 8 16 2) 3( ) ( ) ( )

3 9 15 3n n n n c a b x a b x a b

d) 2(x2-2x+3)+ x(3+x2 -2x)- (x2 +3-2x)=

2) Extrae el factor común indicado:

a) 4x3 +2x2 +30x=2x (x) b) 2 31 3 1 1

2 4 8 8a a a a

(a)

3) Factorea encontrando el factor común en grupos:

a)6 a3 -4 a2x-3ax+2x2= b)ax-ay+bx-by-cx+cy= c)4ax-6ay+6bx-9by=

4) Factores los Trinomios cuadrados perfectos

a) 4 a2 b4 -4 a2 b5 +a2 b6 = b) 25x2 -30xy+ 9 y2= c) 22224 yx25

1bxya

15

4ba

9

4

5) Factores los Cuatrinomios cubos perfectos:

a) 27b3 +108ab3 +144 a2 b3 +64 a3 b3= b) 64 x3 y3 -24x2 y2 +3xy-8

1

c) x3 -12b3 x2 +48 b6 x-64 b9 =

6) Transforma en producto, cuando sea posible aplica diferencia de cuadrados:

j) 19

1 6n k) 242 81,04

1xyx

l) 42

4

1nn

m) 42

81

1ba

n) 22 xn o) 4491 c

7) Transforma en producto la siguientes sumas o diferencias de potencias de igual grado:

a) a3 -64= b) x5 +32= c) 8 a3 +1= d) x4 -81

1

EEJJEERRCCIICCIIOOSS

1) 1)

2) 3)

4) 5)

23

6) 7)

8) 9)

10) 11)

12) 13)

14) 15)

16) 17)

EEXXPPRREESSIIOONNEESS AALLGGEEBBRRAAIICCAASS FFRRAACCCCIIOONNAARRIIAASS Efectúa las siguientes operaciones:

1. 22 )1(

112

1

1

1

x

x

xxx 2.

44

42

4

1022 xx

x

x

x

3.

3

296

2

3 2

x

xxxx

x

4.

3

4

9

32

xx

5. 22

3223

3

33 12662

)( ccmcbmbcamac

mcmmcc

mc

mc

6. 22

3

30201510

166

bab

a

bab

aba

7. 22

2222 )).((33

mz

mzxz

xnznxmzm

xz 8.

2

5

2

34

)4

22 aaa

9.

xa

a

xa

axa

a

xa

x

22

2

3

1

63

2

10.

x

x

xx

x

xx

xx

2

84

44

2

2

3

8

4

2

11

2

11. )5()(1025

553

22

2

2

xax

ax

xx

aaxxx 12.

1

1)1(4

1

12

21

2

x

xx

x

x

13. 43

1

43

3

169

22 xxx

14.

15. 16.

17. 18.

24

19. 20.

21. 22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31. 32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE 11ºº GGRRAADDOO 1) Resuelve las siguientes ecuaciones:

3

7

1x

3x)e

7x2

3

1x

2)d

6

9x5

3

8x4)c

4

1

x

3

x4

7)b

2

1

x

5

x

2)a

25

x3

5x

3

1x2)h)3x.(6)9x2.(6)3x.(7)g03

x8

1

4

3)f

12x473x5x)k9

1x2

6

x4x2)j012.1x

4

5x9)i

2

x2

1

4

1x3)3x(

2

1)mx2

3

x

4

3x2)l

2) Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias con coeficientes literales:

ab

ba

a

x2b

b

ax2)babx)bman(x.

b

n

a

m)a

22

2ax

bx

bx

ax)e2

ma

mx

ma

mx)d

a

5

c

2

x2

b2c

x5

b5a)c

am

am

am

am

ax

)ax(2)h

2aamm

ax

ax)g1

a

b

)xa.(a

bx

)xa.(b

ax)f

Plantea y resuelve los siguientes problemas:

a) La suma de dos números consecutivos es79.¿Cuáles son los números?

b) La edad de A es el triple de la edad de B. Si al sumar las edades da 128.¿Cuáles son las edades de A y B?

c) Juan tiene 500 estampillas más que Pedro. Si entre los dos poseen 1244 estampillas ¿Cuántas posee cada uno?

d) La diferencia entre dos ángulos complementarios es 20°¿Cuánto mide cada ángulo?

e) La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°. Si el menor de los ángulos mide la mitad del mayor y 14° grados menos que el intermedio.¿Cuál es la medida de cada ángulo?

f) Entre A, B, y C se tienen que repartir $ 126000. La parte de B es el doble de la parte de A y la parte de C es el triple de la de B.¿ Cuánto le corresponde a cada uno?

g) El perímetro de un triángulo es 38 m. Uno de los lados mide 2 m más que el segundo y 5 más que el tercero ¿Cuánto mide cada lado?

h) Ramiro ha resuelto 2n+3 problemas de ecuaciones, Rodrigo 4n-5 y Sebastián 3n+4. Si en total han resuelto 47 ejercicios,¿cuántos resolvió cada uno?

I) Las dos quintas partes de un nº más cinco, es igual a la mitad de dicho nº ¿cuál es el número?

j)El denominador de una fracción es cuatro unidades mayor que el numerador. Si a cada término de la fracción se agrega 5, la fracción resultante es equivalente a 2/3.Halla la fracción.

k) La mitad de un nº más la tercera parte de su consecutivo es 7.¿Cuál es el nº?

l) La tercera parte de la suma de dos nº consecutivos es igual a la mitad del mayor de ellos. ¿Cuáles son los nº?

EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE 22ºº GGRRAADDOO

Resuelve las siguientes ecuaciones:

2x:R31x

1x3x)b

87,7x

13,0x:R

3x2

1x

2x

1x)a

2

26

2

1x

0x:Rx225,0

2

1x4.

2

1x4)d

2x

0x:R0

5x

x

3

x)c

5

1xx:R

1x3

x2

1x

3.3

1x3

)f4x:R0x2

12.2x

2

1)e 21

3x

0x:R

1x

1

1x

1x)h

61,0x

61,1x:R

1x

2x2

1x

2x)g

22

5x

0x:R2

3x2

6

1x3

x2

1

)j

3

1x

2x:R

2

x11

x3

1x)i

i3x:R3x

x

1x

2x3

1

)l

3

2x

3

2x

:Rx

2

2

)4x3.(3)k

41x

1x:R

1x2

x21

2x

1x2)n

18x

1x:R8)9x5.(x310)5x7.(x2)m

2

3x

2x:R

x

)3x).(1x(5,1)o

i22,11x

i22,11x:R3x2xx

2

1.4)ñ 22

i3x:R2x

x73x2)q

5x

0x:R2

1x

2

2x

x)p

Analiza la naturaleza de las raíces de las siguientes ecuaciones, sin resolverlas: a) x2- 8x+12=0 b) 4y2 -12y+4=0 c) 3x2 -2x= 2x2 -6

d) 25

3 10yy

e) 4x2-4x+9=0 f) 01x52x2

3) Determina el o los valores de “K” en las ecuaciones para que sus raíces sean iguales:

a) x2 +4x-K=0 b) x2 +2(K-2)x-8K=0 c) 3x2 -2Kx+3=0 d) (3x+6).x+6x+K=0

4) Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:

a) 245)46)0103)44 23/13/2 xxdxxcxxbxx

22332.2)11)39)6) 22 xxxhxxgxxfxxe

i) 0149)032122 2/12 xxjxxx

27

5) Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado con coeficientes literales:

2 21) ) ( ) ) ( )

2 2

ax x aa a x a b b x a b c x m n x mn

x a

22 2( 1) 1

) 1 ) . ) 5 (2 ) 02 2

x a x a a xd e a x f x x a

x a x a

g) x (2x+ab)=(ab)2 h) 2x2 +bx =-b(x+b)

6) Reconstruye las ecuaciones sabiendo que sus raíces son:

a)

i3

21x

i3

21x

)d

3

52x

3

52x

)c

3

6x

3

6x

)b

5

4x

5

3x

2

1

2

1

2

1

2

1

7) Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

a) x4-2x2=8 b)x4 = 2x2 +99 c) 4 252

8x x d)

e) 2x3. (x-5) +24 .32 = ( x2 -5x)2 f) - 2

2

21x

x

g) x2 (2-3x2)-7x2= (6+2x2).(6-2x2) h) )2x(2

2x3x4

x

1x

2

2x 233

Plantea y resuelve los siguientes problemas

a) Halla dos enteros consecutivos cuyo producto sea 552.

b) Halla dos números impares consecutivos cuyo producto sea 195.

c) Halla dos números pares consecutivos cuyo producto sea 728.

d) Si del cuadrado de un número se resta 54 se obtiene el triplo del número. ¿Cuál es el número?

e) Si al cuadrado de un número se agrega ¼ se obtiene el mismo número. ¿Cuál es éste?

f) Un número excede a otro en 4 unidades. Si el producto de ambos es 285. ¿Cuáles son?

g) Si de un número se resta su recíproco se obtiene 4,8. ¿Cuál es el número?

h) La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es igual al mayor más 10 veces la suma de ambos. ¿Cuales son los números?

i) Halla tres números positivos enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 365.

j) El quíntuplo de un número es igual a la mitad de su cuadrado, aumentado en 12 unidades.¿Cuales son los números que cumplen esa condición ?

k) La edad de Juan Pablo elevada al cuadrado es igual a 5 veces la edad que tendrá dentro de 10 años. ¿Qué edad tiene Juan Pablo?

l) El área del rectángulo de la figura es 18 cm2.Calcula su perímetro

42 9

15 5

xx

28

m) Calcula x sabiendo que el triángulo es rectángulo en A .

i) Calcula el perímetro suponiendo que los lados están expresados en cm.

ii) Calcula su área.

n) El producto de dos números pares consecutivos es 360 ¿Cuáles son los números?

o) Divide el nº 24 en dos partes positivas cuyo producto sea igual a 128.

p) Si se multiplica un nº por 2, al resultado se suma 4; la suma se multiplica por el triplo de dicho nº; el producto se divide por 8, se obtiene el cuádruplo del nº menos ¾.¿Cuál es dicho nº? ¿El resultado es único?

q) La diferencia de dos nº es 3. Seis veces el cuadrado del nº menor menos el cuadrado del nº mayor es igual a -1. Determina cuáles son esos nº?

r) La suma de los cuadrados de tres nº consecutivos es igual a 110. Halla dichos nº.

s) Encuentra tres nº enteros consecutivos tales que el cociente del primero de los nº por el tercero sea igual a la sexta parte del segundo de los nº. ¿Cuáles son los nº?

t) Una empresa paga $ 60000 entre varios obreros por salarios. Si los obreros fuesen dos más, cada uno recibiría $ 1000 menos. ¿Cuál es el nº de obreros?

u) La superficie de un rectángulo es igual a 4096 m2 y su perímetro igual a 320m. determina la base y la altura del mismo.

v) Si un péndulo de 24 cm de longitud tiene, en el vacío y sin rozamiento, un período de oscilación de 2 seg. ¿en cuánto aumentará el período de oscilación, para la misma amplitud, si la longitud aumentase en

13,5 cm? 2

1

2

1

l

l

T

T

w) Al cabo de cuánto tiempo un cuerpo que cae verticalmente, sin velocidad inicial y en el vacío,

descenderá un trayecto de 122,5 m? 2.2

1tge

x) Un móvil que posee una velocidad inicial de 50m/seg se mueve con una aceleración de 4 m/seg2

¿Qué tiempo empleará para recorrer un trayecto de 5,2 km? 2

0 .2

1tatve

y) Un automovilista recorre con una velocidad uniforme una distancia de 300 km en un determinado tiempo. Si aumentara la velocidad en 25 km por hora, tardaría dos horas menos para recorrer el mismo camino.¿Cuál es el tiempo empleado.(sugerencia: designa con x al tiempo empleado)

SISTEMAS DE ECUACIONES

1) Resuelve los siguientes sistemas, por el método apropiado: Métodos de resolución:- método de sustitución- método de reducción- método de igualación

a)9y2x6

6yx3)e

8y)1x.(2

0yx)d

10yx3

8y3x2)c

2yx

10yx)b

6y4x2

3y2x

29

2y(4yx3

y53x2)i

2

y2x

2

3

8

yx23

1yx

4

y

6

x

)h

52

y

4

x

23

y

2

x

)g)1y(33x6

)1y(8)2x.(4)f

5

x3

35

89y

7

23

y

45

77x

5

2

)l

5

1x

4

y6x10

1y3

y3x5

)k

y4x4

)2y(2

13x2

)j

2) Resuelve por el método de determinantes:

3y3

1x5

3

1yx2

)c4y5x

8y3x2)b

4y2

1x3

3yx4)a

3) Resuelve los siguientes sistemas en y

1y

x

1 y luego calcula x e y:

365

1910

)

5103

159

)

736

1423

)

532

1813

)

yx

yxd

yx

yxc

yx

yxb

yx

yxa

1y

20

x

9

3y

5

x

6

)f

11y

1

x

2

1y

1

x

2

)e

4) Resuelve los siguientes sistemas, reduciendo las ecuaciones dadas a la forma entera:

11y2x

22yx2

1y3x2

)c

x2y2

xy

)yx(2

xy

2

2y

x

2y

x

1

1x

y

)b

2

3

2

1

1y

x

03y

1x

)a 2

3y4

5

3x4

9yx3

7

xy3

3

)g

5

6y12,0x1,1

50

3y9,0x7,0

)f

31y

1x3

1

1y

1x

)e

y

13

y

)yx(23

2

y1

yx

)d

h)22 x

4,7

x

y2,1

x

5

y2,06,1x2

30

5) Sistemas de ecuaciones con coeficiente literales:

b

bay

a

bax:R

a

2

a

y

b

x

a2byax)babybax:R

baab

y

ab

x

ab2b

y

a

x

)a 22

aybax:Rbyx

bab2yx)d

2

bay

2

bax:R

abyx

ayx)c

222

22

Plantea y resuelve los siguientes problemas por el método más conveniente:

a) En un corral hay gallinas y chanchos. Si se cuentan 30 cabezas y 94 patas. ¿Cuántas gallinas y chanchos hay?

b) La suma de dos números es 13 y su diferencia es 5. ¿Cuáles son los números?

c) El perímetro de un rectángulo es de 24cm. La diferencia entre la base y la altura es 2cm. Calcula su área.

d) En una juguetería donde se venden bicicletas y triciclos, Juan Pablo dijo: Hay 60 ruedas, Javier agregó: hay 5 bicicletas más que triciclos. ¿Cuántas hay de cada una?

e) Cecilia dice: cuando yo nací Victoria tenía dos años .La suma de nuestras edades es 8 años. ¿Cuántos años tenemos?

f) La mitad de un número es igual a la tercera parte del otro. ¿Cuáles son dichos números si su suma es igual a 10?

g) En una alcancía hay 20 monedas de $1 y de $0,50. Si hay en total $19. ¿Cuántas monedas hay de cada clase en la alcancía?

h) En un bar hay 120mesas de 3 y 4 patas. ¿Cuántas mesas hay de cada clase si se cuentan 430 patas?

i) El promedio de las clasificaciones de Diana y Susana es 7,50. Si la calificación de Susana es la cuarta parte de la de Diana más cinco. ¿Qué calificación tiene cada una?

j) La suma entre el doble de un número y la mitad del opuesto de otro es 9. La razón entre la suma de ambos y 1/3, es igual a la razón entre el doble de su diferencia y -1. ¿De qué número se trata?

k) En un trapecio isósceles la base mayor es el doble de la menor y su perímetro es de 42 cm. Si cada uno de los lados iguales es 3/10 de la base mayor.¿Cuánto mide la base media del trapecio? (bm=

2

bB)

l) Encontrar dos nº tales que dos veces el primero más tres veces el segundo sea igual a 105 y tres veces el primero más dos veces el segundo sea igual a 95.

m) Si a la mitad de un nº le agrego la tercera parte de otro, la suma es igual a 13; y si la mitad del segundo se resta de un tercio del primero, la diferencia es igual a 0. ¿Cuáles son los nº?

n) En una reunión de 42 personas se hace una colecta y se juntan $1890, habiendo contribuido cada adulto con $60 y cada menor con $25. ¿Cuántos adultos y cuántos menores había en la reunión?

o) Compré dos objetos cuyos costos son tales que su suma es igual a los 2

11

de su diferencia. Por otra parte, el más caro cuesta el doble que el otro menos $20.¿Cuánto costó cada objeto?

31

p) Dos termómetros, uno Celsius y otro Reaumor, se sumergen en una vasija con agua. La suma de las temperaturas que marcan los dos termómetros es 63º. Se sabe que los grados centígrados y Reaumor están en la relación 5/4. ¿Cuántos grados marca cada termómetro?

q) El perímetro de un rectángulo es 140cm y la base es 20cm más larga que la altura. ¿Cuál es la superficie del rectángulo?

r) La diferencia entre el doble de un nº y otro es -1, y la suma entre la mitad del 1º y el 2º es 11. ¿Cuáles son los números?

s) Un padre tiene 24 años más que su hijo y su edad es el cuádruple que la de éste. ¿Qué edad tiene cada uno?

MEDIDA PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS 1) La superficie de este cuadrado es de 36cm2 ¿Cuál es la longitud de su lado?

Si lo dividimos en cuadraditos de 1 cm de lado, que luego colocamos uno al

lado de otro, ¿qué longitud cubrirían?

2) De una chapa cuadrada de 17cm de lado, se cortan dos triángulos como indica la figura. ¿Cuántos cm2 ocupa el triángulo sobrante

3) Calcula la superficie sombreada en el dibujo

4) Dibuja un cuadrado de 4 cm de diagonal, y calcula su área de dos modos diferentes:

a) Dividiéndolo en triángulo. b) Recordando que todo cuadrado es rombo

5) De un cuadrado de cartón de 32 cm de lado, se corta en cada esquina un cuadrado de 32 cm de perímetro, para construir una caja sin tapa. Calcula:

a) el perímetro de la figura que queda después de cortar los cuadraditos. b) el área del cartón que se emplea para hacer la caja.

6) Diego y Claudia tienen un terreno con las dimensiones que indica la figura. Quieren saber: a) ¿Cuál es el perímetro del terreno? b) ¿Cuál es el área del terreno? c) Si desean edificar una casa de 210m2 y colocar una pileta rectangular de 4m por 12m. ¿Cuánto terreno libre para jardín y senderos les quedará?

7) ¿Cuál es el área de un pentágono regular de 50 cm de perímetro y 6,88 cm de apotema?

8) Calcula el área sombreada, sabiendo que el hexágono regular de 2 cm de lado y 1,73 cm de apotema, se halla inscripto en una circunferencia de 4 cm de diámetro

32

9) Analía sostiene a su hermano bebé, sobre un caballito que está junto al borde de una calesita circular de 8,70 m de diámetro. Si con cada ficha la calesita gira 12 vueltas. ¿qué distancia habrá recorrido el nene con su caballito usando una ficha?

10) La figura muestra dos pistas de atletismo. Una de ellas es circular y mide 100m de diámetro. Matías corre 5 vueltas por la pista interior, y Leonardo 4 vueltas por la pista exterior. Calculen:

a) ¿Cuántos km corrió cada chico?

b) ¿Cuál de ellos corrió más rápido, si comenzaron y finalizaron al mismo tiempo?

(Recuerda que la rapidez se puede calcular dividiendo la longitud del camino recorrido en el tiempo empleado)

11) Los alumnos de la escuela 14 quieren saber cuánto mide el diámetro del árbol centenario que está en la plaza. Con una cinta métrica, miden su contorno: 6,35m. ¿Cuánto mide su diámetro?

12) ¿Cuántos km recorre un ciclista que da 30 vueltas al circuito que indica la figura?

13) Calcula el área de cada uno de los siguientes cuadriláteros:

Recuerda trabajar siempre en una misma unidad de medida. ¿Qué se puede afirmar de los tres cuadriláteros?

14) Para calcular el área del rombo ABCD, se calculó las áreas de los triángulos ABC y ACD y luego se las sumó.¿Está bien lo que se hizo?¿Cómo se pudo conocer la altura de cada triángulo?

15) Una pileta de natación de forma circular y 12 m de diámetro, está rodeada totalmente por una vereda de 1,5 m de ancho. En una figura de análisis, escribe los datos del problema.

a) ¿Cuál es la medida de la superficie de la pileta?

b) Calcula el área de la vereda que circundan la pileta

c) Calcula el perímetro de la vereda.

16) El patio de una casa está formado por dos cuadrados, cuya superficie total es 80 m2. El lado del cuadrado grande es el doble del lado del cuadrado chico. Calcula:

a) el área de cada cuadrado

33

b) el perímetro del patio c) Qué porcentaje de todo el patio representa el cuadrado chico

17) El cuadrado más grande mide 64 m de perímetro. a) Calcula las áreas del cuadrado grande y del cuadrado chico b) ¿Qué parte del cuadrado grande ocupa el cuadrado chico?

18) Este rombo tiene 20 cm de perímetro. Calculen la medida de su superficie.

FÓRMULAS Y PROBLEMAS

I ) Despeja la variable indicada

1) 1y

x

a

v “V” 2) 2ht3x2 “t”

3) h36

v2t5 “v” 4) 6h3t2x2 “h”

5) 5h2x2t5 “t” 6) yt5

h6v “h”

7) azy5h2 2 “z” 8) a3x5zh2 “h”

9) b2t5xz “z” 10)´x

1

x

1

f

1 “f”

11) atvv 0 “t” 12) 2

0 at2

1tvd “a”

13)0f

0f

tt

vva “t0” 14)

0f

0f

tt

vva “v0”

15) mafF “f” 16) maNF “ ”

17) 4321 IRIRIRIRV “I” 18)321 R

1

R

1

R

1

R

1 “R”

19) 2

0 at2

1tvd “v0” 20) gh2vv 2

0

2

f “h”

21)2

21

d

qqKF “d” 22) 00ff vttav “tf”

34

23) 2mv2

1Ec “m”; 24) mghmv

2

1E 2 “m”

25) mghEp “m”; 26) 0f ttm.CeQ ................”m”

II) Despeja las variables indicadas en cada caso

a) ?y?zzyx)b?h?b2

h).bB(A 222

?n?pm

1

p

mn)d?x?y?a0abycx)c

?m?tm

xtxm)f?q?pqxqxp)e

?c?b?a0abcab)h?y?x2yx

yx)g

?g?lg

l2t)j?y?x?zKz

y

x)i

?b?ac

1

b

1

a

1)l?y?x

yx

xy2H)k

III ) Resuelve los siguientes problemas: a) La fórmula v= u+a.t representa la velocidad final de un vehículo, siendo u : velocidad inicial, a:

aceleración y t: tiempo :

Halla la velocidad al cabo de 30 seg, si su velocidad inicial es 15 m/seg y su aceleración 0,2 m/seg2

Si el vehículo aumenta su velocidad de 12 m/seg a 36m/seg en 30 seg. ¿Cuál es su aceleración?

Cuánto tiempo tarda un vehículo en aumentar su velocidad de 10m/seg a 90m/seg., si su aceleración es 4m/seg2.

b) La fórmula T=g

L2 representa el período T de un péndulo simple, en la que L es la longitud del

péndulo y g la aceleración de la gravedad. Halla el período en un péndulo de 0,65 m de largo, considerando g= 9,8 m/seg2 y 14,3

c) La ecuación de Einstein, que relaciona la energía, la masa y la velocidad de la luz es m =2c

E. Calcula

la energía de una partícula cuando m= 1. 10-4 kg y c= 3. 105 km/seg.