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Matemáti ca
Sum
ário 411
Módulo 1 Equação do 1º grau 9Módulo 2 Equação do 2º grau 14Módulo 3 Funções 20Módulo 4 Função do 1º grau e função constante 25Módulo 5 Função do 2º grau 29Módulo 6 Função do 2º grau – Pontos extremos 33Módulo 7 Inequações do 1 º e do 2º grau 38Módulo 8 Inequações produto e quociente 43
412Módulo 01 Porcentagem 48Módulo 02 Aumentos e descontos percentuais 51Módulo 03 Estudo dos ângulos e dos triângulos 55Módulo 04 Pontos notáveis de um triângulo 61Módulo 05 Quadriláteros notáveis 66Módulo 06 Ângulos na Circunferência 70Módulo 07 Polígonos convexos 76Módulo 08 Teorema de Tales 80
413Módulo 01 Razões trigonométricas no triângulo retângulo 84Módulo 02 Identidades trigonométricas 89Módulo 03 Ciclo trigonométrico 94Módulo 04 Equações e inequações trigonométricas na primeira volta 100
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1. IntroduçãoObservemos as igualdades abaixo:
I. 4 + 7 = 10II. 4 + 7 = 11
III. 4 + x = 7As duas primeiras igualdades são sentenças matemáticas fechadas, uma vez que cada uma delas admite uma, e so-mente uma, das seguintes classificações: FALSA ou VER-DADEIRA. No caso acima, a sentença (I) é FALSA e a (II) é VERDADEIRA.A igualdade (III) é uma sentença matemática aberta, pois não podemos classificá-la como FALSA ou VER-DADEIRA, porque não sabemos o valor que a letra x representa. Na sentença matemática aberta, o ente matemático desconhecido, geralmente representado por uma letra, recebe o nome de incógnita, ou variá-vel. Dependendo do valor que se atribui à incógnita em uma sentença aberta, pode-se obter uma sentença FALSA ou VERDADEIRA. Por exemplo, em (III), se atri-buirmos o valor 3 para a letra x, teremos uma sentença VERDADEIRA, mas, se atribuirmos o valor 4, teremos uma sentença FALSA.
2. Equação matemáticaAs sentenças matemáticas abertas com uma ou mais in-cógnitas são denominadas equações matemáticas.Exemplos de equações matemáticas:
01. 2x + 10 = 002. x2 + 1 = 003. x + x = 2
04. 1x + 1 = 1
05. x2 – 11x + 28 = 006. 0 · x = 107. 2x = 408. 0 · x = 0
3. Raiz (ou solução) de uma equaçãoÉ o número do conjunto universo que, quando colocado no lugar da incógnita, transforma a sentença matemática aberta em uma sentença matemática fechada verda-deira. De maneira prática, podemos dizer que raiz é o número que, substituido no lugar da incógnita, “torna” a igualdade verdadeira.
Observação – Conjunto universo de uma equação é o conjunto constituído dos possíveis valores que a incóg-nita pode assumir.Exemplo 1 – Observe a equação 2x + 10 = 0 definida em .
a. O conjunto universo é o conjunto , conjuntos dos números reais.
b. Se substituirmos x por – 5 na equação 2x + 10 = 0, teremos 2(– 5) + 10 = 0, que é uma igualda-de verdadeira. Dizemos, então, que – 5 é raiz da equação.
c. O número 5, mesmo sendo um elemento per-tencente ao conjunto universo, não é solução da equação 2x + 10 = 0, pois 2(5) + 10 = 0 é falsa.
Exemplo 2 – Observe a equação 2x + 10 = 0 definida em .a. O conjunto universo é o conjunto , conjunto dos
números naturais.b. Se substituirmos x por – 5 na equação 2x + 10 = 0,
teremos: 2(– 5) + 10 = 0, que é uma igualdade verda-deira, mas – 5 não é raiz da equação, pois o número – 5 não é elemento pertencente ao conjunto .
4. Resolver uma equaçãoEncontrar todas as raízes (ou solução) da equação e repre-sentá-las em um conjunto denominado conjunto solução.Ao resolver uma equação, é preciso estar atento ao con-junto universo em que está definida a equação.
5. Equações equivalentesSão aquelas que possuem as mesmas raízes, isto é, o mesmo conjunto solução, no mesmo universo.Exemplo:As equações 2x + 10 = 0 e x + 5 = 0 são equivalentes, pois ambas possuem uma única raiz que é –5.Os teoremas a seguir permitem transformar uma equa-ção em outra equação equivalente.T1. Adicionar (subtrair) um mesmo número, do conjunto universo, em ambos os membros da igualdade.
a = b ⇔ a + c = b + c ou a = b ⇔ a – c = b – cT2. Multiplicar (dividir) um mesmo número diferente de zero, do conjunto universo, em ambos os membros da igualdade.
a = b ⇔ a · c = b · c ou a = b ⇔ ac
bc=
Exemplo – Observe a equação 2x + 10 = 0 definida em .
Módulo 01 EQUAÇÃO DO 1º GRAU
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Considere os procedimentos a seguir:2x + 10 = 02x + 10 = 0 (vamos subtrair 10 dos dois membros da igual- dade, T1)2x + 10 (– 10) = 0 (– 10)2x = – 10 (agora vamos dividir os membros da igualdade por 2, T2)2x (÷2) = – 10 (÷2)x = – 5Pelo teorema T1, a equação 2x + 10 = 0 é equivalente à equação 2x = – 10 e, pelo teorema T2, esta é equivalente à equação x = – 5. Assim, podemos dizer que as três equa-ções são equivalentes entre si, sendo que a última é a mais simples e nos leva à, solução. O uso de teoremas de equivalência é de grande auxílio na resolução de equa-ções matemáticas.
6. Equação do 1º grauObservando os oito exemplos de equações citados ante-riormente, percebemos que há diversos tipos distintos de equações, por isso é preciso organizar as equações em grupos com características semelhantes.O primeiro grupo que iremos organizar para estudo é o das equações do 1º grau.Denominamos equação do 1º grau em , na incógnita x, toda equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0, com a ≠ 0, a ∈ e b ∈. Dentre os oito exemplos de equações citados anteriormente, apenas a primeira equação é do 1º grau, e comparando a forma geral ax + b = 0 com a equação 2x + 10 = 0, verificamos que a = 2 e b = 10.Observe que a 6ª e a 8ª equações, embora possam ser escritas na forma ax + b = 0, não são equações do 1º grau, pois a = 0.Os dois teoremas citados anteriormente nos auxiliam na resolução de equações do 1º grau. Observe:Forma geral: ax + b = 0(T1) Subtraindo b dos dois membros da igualdade: ax + b – b = 0 – bEquação equivalente: ax = – b(T2) Dividindo os dois membros por a: ax (÷a) = – b (÷a)
Equação equivalente: x = – ba (descobrimos o valor do x)
S =ba–
7. Problemas matemáticosProposição a ser resolvida a partir dos dados do proble-ma, os quais são informações contidas no enunciado da questão de forma explícita ou implícita. Um problema matemático pode ter uma solução, mais de uma solução ou não ter solução.Para resolver um problema matemático, precisamos en-contrar todos os possíveis valores das incógnitas propos-tas no enunciado da questão.
8. Passos para resolver um problema matemático
01. Equacionar o problema (organizar os dados da questão em uma ou mais equações matemáticas).
02. Resolver as equações.03. Analisar os resultados encontrados avaliando se
algum serve, se todos servem ou se nenhum deles serve.
04. Apresentar a resposta final.Exemplo – A soma das idades de dois irmãos é 30. A idade do mais velho excede a idade do mais novo em 10 anos. Quais são as idades dos irmãos?Podemos organizar os dados do problema em uma tabela, que é um artifício de muita utilidade.
Idade dos irmãos
Irmão mais novo x
Irmão mais velhox + 10 (o enunciado diz que a idade do
mais velho excede a idade do mais novo em 10 anos)
Ainda do enunciado temos: x + x + 10 = 30 (a soma das idades é 30.)Resolver a equação: 2x + 10 = 30 2x = 20 x = 10Resposta – O irmão mais novo tem 10 anos e o irmão mais velho tem 20 anos.Um problema pode ter mais de um modo de se resolver.2º modoNo exemplo anterior, poderíamos montar a tabela do se-guinte modo:
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Idade dos irmãos
Irmão mais novo x
Irmão mais velho 30 – x (a soma das idades é 30.)
Ainda do enunciado: 30 – x = x + 10 (a idade do mais velho excede a idade do mais novo em 10 anos.) 30 – 10 = x + x 20 = 2x 10 = xResposta – O irmão mais novo tem 10 anos e o irmão mais velho tem 20 anos.3º modoO mesmo problema poderia ser resolvido utilizando-se duas incógnitas.
Idade
Mais novo x
Mais velho y
(A soma das idades é 30) x + y = 30 (A idade do mais velho excede a idade do mais novo em 10 anos.) y = x + 10 Substituir a 2ª equação na 1ª: x + x + 10 = 30 2x = 20 x = 10Substituir resultado na 2ª equação: y = 10 + 10 y = 20Resposta – O irmão mais novo tem 10 anos e o irmão mais velho tem 20 anos.
EXERCÍCIoS RESolVIdoS
01.
Resolver em a equação x x−
+ =1
2 31.
Resolução1º passo: Reduzindo a um denominador comum
x x−+ =
12 3
1
mmc (2; 3) = 6 → 3 1 26
6 16
⋅ − + ⋅=
⋅( )x x
Multiplicando ambos os membros por 6 temos: 3 · (x – 1) + 2 · x = 6 · 1
2º passo: isolar a incógnita em um dos membros da igual-dade com auxílio dos teoremas T1 e T2 anteriores. 3 · x – 3 + 2 · x = 6 5 · x – 3 = 6 5 · x = 6 + 3 5 · x = 9 x =
95
x = 1,8conjunto solução → S = {1,8}
02. Yasmin, ao sair de casa, tinha em sua bolsa moedas, todas de mesmo valor. Entrou em uma loja e deixou metade delas na compra de um produto A. Em seguida, gastou a metade das moedas que sobraram na compra de um produto B, em outra loja, ficando com exatamente 30 moedas. Com quantas moedas Yasmin saiu de casa?Resolução
inicial 1ª compra 1º sobra 2ª compra 2ª sobra
Moedas xx2
xx x
−
=2 2
xx2
2 4
=x x x2 4 4
30− = =
x4
30=
x = 30 · 4x = 120RespostaYasmin tinha 120 moedas.
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EXERCÍCIoS dE APlICAÇÃo
01. Resolver em a equação
x x2
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1−+
= . 02. O professor Dzor Ganizado entrou na classe sem prepa-rar a aula. Em determinado instante, propôs o seguinte problema: “Florinda tinha em sua carteira x reais. Com a visita de alguns parentes, ela ganhou da avó o que tinha mais 10 reais, do avô o que tinha inicialmente mais 20 reais e do tio ganhou duas vezes o que tinha inicialmen-te mais 30 reais. No final, Florinda ficou com um total de cinco vezes o que tinha inicialmente. Quantos reais tinha Florinda inicialmente?”.Faça o que se pede:
a. Equacione o problema proposto pelo professor e es-creva a equação equivalente na forma mais simples.
b. A equação encontrada é uma equação do 1º grau?c. Qual é o conjunto solução?
Resoluçãoa. x + x + 10 + x + 20 + 2x + 30 = 5x 5x + 60 = 5x 60 = 5x – 5x 0x = 60b. A equação não é do 1º grau. A equação na forma ax + b = 0 terá o valor de a igual a zero.c. 0x = 60 não apresenta raiz, pois qualquer número multiplicado por zero é zero e, portanto, não poderá re-sultar 60.Assim, o conjunto solução é o conjunto vazio: S = { } = Ø.
Resoluçãox x
x x2
13
1
3 2 16
66
−+
=
⋅ − ⋅ +=
( )
( )
3x – 2x – 2 = 6x = 8S = {8}
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03. FGV-SPPor volta de 1650 a.C., o escriba Ahmes resolvia equações como x + 0,5x = 30 por meio de uma regra de três, que chamava de “regra do falso”. Atribuía um valor falso à va-riável, por exemplo, x = 10, 10 + 0,5 · 10 = 15 e montava a regra de três:
Valor falso Valor verdadeiro
10 x15 30
1015 30
20= ⇒ =x
x
Resolva este problema do Papiro Ahmes pelo método aci-ma:“Uma quantidade, sua metade, seus dois terços, todos juntos somam 26. Qual é a quantidade?
EXERCÍCIoS EXTRAS
04. FGV-SP modificadoSegundo uma antiga lenda chinesa, um gênio, que vivia em um estreito desfiladeiro, avisou aos camponeses da região que quem passasse pela sua morada teria de pagar 16 moedas.Entretanto, para não desagradá-los, na volta, como prova de amizade, dobraria a quantia que tinham na bolsa.Um viajante atravessou o desfiladeiro, voltou e atravessou mais uma vez, ficando sem nenhuma moeda na sua bolsa.Quantas moedas tinha ele antes de atravessar o desfila-deiro?
05. Fuvest-SPUma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 par-celas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respecti-vamente. Com base nessas informações, conclui-se que o valor de n é igual a:
a. 13b. 14c. 15d. 16e. 17
Resolução
Uma quantidade x
Sua metadex2
Seus dois terços23x
xx x
+ + =2
23
26
Para usar a “regra do falso”, vamos atribuir um valor qual-quer à variável. Repare que, se usarmos um múltiplo co-mum dos denominadores, “fugiremos” das frações. Use-mos, então, x = 6:
662
2 63
6+ +⋅
= + + =3 4 13
Regra de três:
Valor falso Valor verdadeiro6 x
13 26
613 26
13 156 12= ⇒ ⋅ = ⇒ =x
x x
Respostax = 12
orientação ao professor – Nessa primeira aula, enfatizar a ideia de equação de forma geral, depois passar para a equa-ção do 1º grau. Nas resoluções de equações do 1º grau, procurar explorar as propriedades de somar, subtrair, multipli-car e dividir números estratégicos para “isolar” o valor de x. A mecanização tem atrapalhado bastante os estudantes, por isso é importante orientá-los a não seguir procedimentos mecanizados. Exercícios que envolvem montagem de problemas são muito difíceis para eles, por isso orientá-los nesse momento. Nas resoluções foram utilizadas tabelas, o que é bem útil. Caso sobre tempo, fazer os extras.
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1. IntroduçãoO segundo grupo de equações que iremos organizar para estudo são as equações do 2º grau.
2. Equação do 2º grauDenominamos equação do 2º grau em , na incógnita x, toda equação que pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, a ∈, b ∈ e c ∈.Exemplo – A equação 2x2 + x – 1 = 0 é do segundo grau. Comparando com a forma genérica ax2 + bx + c = 0, temos: a = 2, b = 1 e c = –1.
3. Resolvendo equações do 2º grauExemplo – Resolver, em , as equações:
a. x2 – 25 = 0b. x2 – 2 x = 0c. x2 – 4x – 7 = 0
Resolução: a. x2 – 25 = 0
x2 = 25 x = ± 25 (Note que o símbolo ± é exigência da equação do 2º grau e não da raiz quadrada.) x = ± 5 (leia-se x igual a mais ou menos cinco)A igualdade acima apresenta como soluções x = 5 ou x = – 5. S = {5, – 5}
b. x2 – 2x = 0 (observe que x é um fator comum.) x (x – 2) = 0 (Uma multiplicação de reais igual a zero significa que pelo menos um dos fatores é igual a zero.) x = 0 ou x – 2 = 0 x = 0 ou x = 2 S = {0; 2}
c. x2 – 4x – 7 = 0 x2 – 4x = 7
(Somar número conveniente nos dois membros da igualdade para que o trinômio que irá surgir, no membro da esquerda, seja um tri-nômio quadrado perfeito.)
x2 –4x + 4 = 7 + 4(x – 2)2 = 11
Módulo 02 EQUAÇÃO DO 2º GRAU
( ) ( )
{ , }
x ou x
x ou x
S
− = − = −
= + = −
= + −
2 11 2 11
2 11 2 11
2 11 2 11As equações, dos itens (a) e (b) do exemplo acima, são conhecidas como equações incompletas do 2º grau, pois apresentam b = 0 ou c = 0.
4. Equações incompletas do 2º grau As equações incompletas do 2º grau são de dois tipos:
a. ax2 + c = 0 (b = 0, resolução rápida: isolar o x)b. ax2 + bx = 0 (c = 0, resolução rápida: fatoração)
5. uma fórmula para resolver equações do 2º grauDada a equação do 2º grau na forma genéricaax2 + bx + c = 0, consideremos os passos matemáticos a seguir.ax2 + bx + c = 0Multiplicando os dois membros da equação por 4a, temos:4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 4a2x2 + 4abx = – 4acAdicionando b2 a cada um dos membros da equação, temos:4a2x2 + 4abx + b2 = – 4ac + b2
(2ax)2 + 2(2ax)b + b2 = b2 – 4acObserve que (2ax + b)2 = (2ax)2 + 2(2ax)b + b2 (trinômio quadrado perfeito) e substituindo temos:(2ax + b)2 = b2 – 4acO termo b2 – 4ac é denominado discriminante e costuma ser representado pela letra grega ∆.(2ax + b)2 = 2ax + b = ∆±2ax = – b ∆±
x = ∆2a
–b ±
Conclusão – Dada a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, podemos encontrar os valores de x através da fórmula
x = ∆2a
–b ± com = b2 – 4ac. Esta fórmula costuma ser
designada por fórmula resolutiva de Bhaskara.
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c. – x2 – 2x – 2 = 0 Mutiplicando os dois membros por (–1), temos:
x 2x 22 + + ====
0
122
abc
∆ = b2 – 4ac = 22 – 4 · 1 · 2 ∆ = – 4 Na fórmula resolutiva, é necessário calcular ∆ e, neste exemplo, precisaríamos encontrar − 4, porém este nú-mero não existe no conjunto dos números reais. Dizemos, então, que não existe solução real.S = Ø (conjunto vazio) observações:
I. No exemplo a, encontramos um valor de ∆ positivo e duas raízes reais e distintas.
II. No exemplo b, o valor do ∆ é zero e as duas raízes são reais e iguais.
III. No exemplo c, o ∆ é negativo e não existem raízes reais.
De maneira geral, em uma equação do 2º grau, podemos dizer que:
a. ∆ > 0 ⇔ há duas raízes reais e distintas;b. ∆ = 0 ⇔ há duas raízes reais e iguais;c. ∆ < 0 ⇔ não há raiz real.
6. A soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grauConsideremos a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Pela fórmula resolutiva, temos:
x x21 2 2=
− +=
− −ba
ba
∆ ∆;
Indicaremos a soma das raízes por S e o produto por P.
S x x1 2= + =− +
+− −
=− + − −
= −
= −
b
ab
a
Sb b
a
Sba
Sba
∆ ∆
∆ ∆2 2
222
ExemploResolver em as equações:
a. – 4x2 – 10x – 4 = 0b. x2 – 20x + 100 = 0c. – x2 – 2x – 2 = 0
Resolução
a. − − − == −= −= −
4x 10x 4 0 102
abc
4
4
∆ = b2 – 4ac = (– 10)2 – 4 · ( – 4) · (– 4) ∆ = 100 – 64 ∆ = 36
xb
a
x
x
=− ±
=− − ±
⋅ −
=±
−
∆210 362 4
10 68
( )( )
x ou x
x ou x
=+
−=
−−
= − = −
= − −
10 68
10 68
212
12
S 2;
b. x 2 x 12 − + === −=
0 00 0
120
100
abc
∆ = b2 – 4ac = ( –20)2 – 4 · 1 · 100 ∆ = 400 – 400 ∆ = 0 x
ba
x
x
=− ±
=− − ±
⋅
=±
∆220 02 1
20 02
( )
x ou x=
+=
−20 02
20 02
x = 10 ou x = 10 S = {10}
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P
P
P
=− +
⋅
− −
=−
=−
ba
ba
ba
ba
∆ ∆
∆
∆
2 2
4
4
2 2
2
2
2
( )
=− − ⋅
Pb b ac
a
2 2
2
44
( )
P
P
P
=− + ⋅
=
=
b b aca
acaa
ca
2 2
2
44
44
Resumindo – Dada a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, com raízes x1 e x2, então:
S = x1 + x2 = −ba
e P = x1 · x2 = ca
Exemplo – Resolver, em , a equação x x2 3 1 3 0− − − =( )Resolução:
x x
a
b
c
Sba
2 3 1 3 0
1
3 1
3
3
− − − =
=
= − −
= −
= − =− −
( ) ( )
[ (Soma das raízes:
−−= −
= =−
= −
11
3 1
31
3
)]
Produto das raízes: Pca
Os números 3 e –1 são dois números reais que possuem soma igual a 3 –1 e produto igual a – 3. Assim as raí-zes são x1 = –1 e x2 = 3.
S = {–1; 3}
7. Escrever uma equação do 2º grau conhecendo suas raízesConsidere a seguinte proposta: escrever uma equação do 2º grau que tem como raízes os números 10 e 8.A equação x2 – 18x + 80 = 0 satisfaz a proposta. Vejamos:102 – 18 · 10 + 80 = 100 – 180 + 80 = 0 (10 é uma raiz.)82 – 18 · 8 + 80 = 64 – 144 + 80 = 0 (8 é uma raiz.)Analisemos como foi montada a equação. A forma geral de uma equação do 2º grau é ax2 + bx + c = 0. Observe que a foi substituído por 1, b por –18 e c por 80, em que 18 é a soma das raízes e 80 é o produto.Podemos dizer que ax2 + bx + c = 0 é equivalente a x2 – Sx + P = 0, em que S é a soma das raízes e P é pro-duto das raízes. As seguintes passagens justificam essa afirmativa.ax2 + bx + c = 0 (dividir os dois membros da igualdade por a)
ax bx ca a
aa
xba
xca
Como Sba
Sba
e Pca
te
2
2
0
0
+ +=
+ + =
= − − = = mos:, ,
x2 – Sx + P = 0
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01. Resolver, em , a equação
x xx
2 22
3−−
=
Resoluçãox x
x
2 22
3−−
= (C.E.: x ≠ 2)
x2 – 2x = 3 (x – 2)x2 – 2x = 3x – 6
x xabc
2 5 6 01
56
− + === −=
∆ = b2 – 4 · a · c∆ = (–5)2 – 4 · 1 · 6∆ = 1
xb
a
x
x ou x
x ou x
Snão serve
=− ±
=− − ±
⋅
=−
=+
= =
=
∆25 12 1
5 12
5 12
2 3
3
( )
{ }
02. Escreva duas equações do 2º grau que tenham como raí-zes os números 4 e 3.ResoluçãoS = 4 + 3 = 7P = 4 · 3 = 12ax2 + bx + c = 0 é equivalente a x2 – Sx + P = 0; assim, temos:x2 – 7x + 12 = 0
EXERCÍCIoS RESolVIdoS
Para encontrar uma segunda equação, basta multiplicar ou dividir os dois membros da igualdade por um número real diferente de zero.x2 – 7x + 12 = 0 (multiplicar os dois lados por 5)5x2 – 35x + 60 = 0, que é equivalente a x2 – 7x + 12 = 0RespostaDuas equações que têm como raízes 4 e 3 são: x2 – 7x + 12 = 0 e 5x2 – 35x + 60 = 0Obs. – Dividindo ou multiplicando a equaçãox2 – 7x + 12 = 0 por um número real diferente de zero, obteremos novas equações equivalentes, portanto há infinitas equações do 2º grau que possuem as raízes 4 e 3.03. Considere a equação ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 , com raízes x1 e x2. Mostre que a expressão ax2 + bx + c é equivalente à expressão a · (x – x1) · (x – x2).ResoluçãoComo x1 e x2 são raízes da equação ax2 + bx + c = 0,
temos que x1 + x2 = −ba
(soma das raízes ) e x1 · x2 =ca
(produto das raízes).
a · x2 + b · x + c = a xba
xca
⋅ + +
=2
= − −
+
a x
ba
xca
2 = a · [x2 – (x1 + x2) · x + (x1 · x2)] =
= a [x2 – x · x1 – x · x2 + x1 · x2) == a [x (x – x1) – x2 (x – x1)] == a · [(x – x1) · (x – x2)]== a · (x – x1) · (x – x2)
Assim, temos que: ax2 + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2) (c. q. d.)A forma a · (x – x1) · (x – x2) é a forma fatorada de ax2 + bx + c, quando x1 e x2 são as raízes.
18
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12
411Matemática
01. Resolver, em , as equações:
a. x2 – 121 = 0b. x2 – 5x = 0c. 6x2 – 5x + 1 =0
EXERCÍCIoS dE APlICAÇÃo
02. Na equação do 2º grau 2x2 – 5x + 1 = 0, as letras p e q re-presentam suas raízes. Calcule:
a. p + qb. p · q
c. 1 1p q
+
d. p2 + q2Resoluçãoa. x2 = 121 x = ± 121 x = ± 11 S = { – 11, 11}
b. x x
x x
x ou x
S
2 − =
− =
= =
=
5 0
5 0
0 5
0 5
( )
{ ; }
c. 6 5 1 06
51
5 4 6 11
5 12 6
2
2
x xabc
x
− + === −=
= − − ⋅ ⋅=
=− − ±
⋅
∆∆
( )
( )
x ou x=−
= =+
=
= { }5 112
13
5 112
12
12
13
S ,
Resolução
a. p + = −−
=q5
252
b. p ⋅ =q12
c. 1 15212
5p q
q pp q
+ =+⋅
= =
d. p q p p q q
p q
p q
p q
+( ) = + ⋅ ⋅ +
= + ⋅ +
− = +
= +
2 2 2
22 2
2 2
2 2
2
52
212
254
1
214
pp q2 2 214
+ =
19
PV3A
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411 Matemática
EXERCÍCIoS EXTRAS
03. FGV-SP adaptadoSejam A e B as raízes da equação x2 – mx + 2 = 0.
Se AB
e BA
+ +1 1
são raízes da equação x2 – px + q = 0,
então q é igual a:a. 4,5 b. 4c. 3,5d. 2,5e. 2
04. Resolver em as equações:
a. x2 – 400 = 0b. x2 – 7x = 0
c. x
x2
240 1 000 0− + =.
05. a. Escreva uma equação do 2º grau na forma
ax2 + bx + c = 0, sabendo que 2 e 5 são suas raízes.b. Escreva a equação do item anterior na forma fa-
torada.
Resolução
AB
BA
q+
⋅ +
=1 1
1 (produto das raízes da segunda
equação)
A B AA B
BB A
q⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =1 1 1 1
A BB A
q⋅ + + +⋅
=1 11
A B⋅ =21
(produto das raízes da primeira equação)
A · B = 2
q A BB A
q
= ⋅ + +⋅
= + +
21
2 212
q = 4,5RespostaA
orientação ao professor – Usar a fórmula de Bhaska-ra no primeiro exercício (item c) e depois explicar aos alunos a importância da soma e do produto, devendo praticá-los nas oportunidades que surgirem. O enca-deamento dos Exercícios de Aplicação é um bom auxí-lio para administrar o tempo de aula. Foi explorada na teoria a ideia de fatoração do trinômio do 2º grau, a ser usada nos módulos de função do 2º grau.
20
PV3A
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411Matemática
1. Introdução: noção de funçãoVamos imaginar uma correspondência especial entre dois conjuntos, A e B, nesta ordem, que possuem as seguintes características:
a. todo elemento do conjunto A possui um elemento correspondente no conjunto B;
b. qualquer que seja o elemento de A considerado, ele possui um único correspondente em B.
Uma correspondência que satisfaz a e b é denominada função entre A e B. Vamos imaginar que um pesquisador está estudando uma cultura de bactérias e que a cada minuto, a partir de um momento que podemos denomi-nar de tempo inicial (t = 0), anote a quantidade de bacté-rias em estudo. Podemos dizer que há correspondência entre o conjunto A, no caso valores atribuídos ao tempo, e o conjunto B, no caso valores atribuídos à quantidade de bactérias, e que a cada minuto observado há uma, e somente uma, única quantidade específica de bacté-rias. Tal correspondência é denominada uma função en-tre o tempo, em minutos, e a quantidade de bactérias. Vamos imaginar agora que, a partir do nascimento de uma criança, todo mês, o pediatra anote, numa tabela, a idade e a altura dela. O médico estará promovendo o relacionamento entre os elementos de dois conjuntos: o conjunto das idades e o conjunto das alturas. Temos também aí uma função, ou seja, a altura em função da idade. Como esses, muitos outros exemplos de função poderiam ser selecionados no nosso cotidiano; porém, estudaremos função apenas com enfoque matemático, com a certeza de que os alunos que compreenderem a ideia de função no aspecto matemático estarão prepara-dos para utilizá-la de maneira correta em qualquer ramo de atividade.
2. DefiniçãoDados dois conjuntos, A e B, não vazios, denomina-se função uma correspondência especial, formalmente cha-mada de relação binária, entre os conjuntos A e B, nes-sa ordem, de tal maneira que todo elemento x ∈ A tem como correspondência um único elemento y ∈ B, que é denominado imagem de x.
Módulo 03 FUNÇÕES
1
2
3
4
a
b
c
d
A B
Figura 1
As seguintes denominações são importantes:01. O conjunto A é chamado de domínio da função.02. O conjunto B é chamado de contradomínio da
função.03. O subconjunto do contradomínio formado por to-
das as imagens dos elementos do domínio é deno-minado conjunto imagem. (Im ⊂ CD)
A função pode ser representada de várias formas. As mais importantes são:
01. Tabela: geralmente representa-se uma tabela com duas colunas, em que na primeira coloca-se o domí-nio e na segunda colocam-se as respectivas imagens.
02. Pares ordenados: a correspondência se dá na for-ma (x, y), em que o primeiro elemento indica o do-mínio e o segundo, a sua imagem.
03. Diagramas de flechas: usam-se dois conjuntos, o primeiro é o domínio e o segundo é o contradomí-nio, com o mesmo esquema da tabela, sendo que a correspondência será indicada por setas, como se vê na figura 1.
04. Gráficos: representa-se a função (conjunto de pa-res ordenados) em um plano cartesiano, indicando o domínio no eixo horizontal, eixo das abscissas, e o contradomínio no eixo vertical, eixo das orde-nadas.
05. Lei de correspondência: uma sentença matemá-tica que permite que, após escolher elementos do domínio, tenhamos como determinar a ima-gem desses elementos por meio de uma fórmula matemática.
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411 Matemática
3. Entendendo o símbolo f(x)É comum no estudo das funções aparecerem símbolos do tipo f(x), g(x), h(x) etc. É muito importante entendermos o significado dessas notações. No símbolo f(x), a letra f representa o nome da função. Desse modo, quando apa-recer em Física o símbolo S(t), o nome da função será S; no caso particular da Física, é a primeira letra da palavra espaço na língua inglesa. Na notação f(x), devemos interpretar o seguinte:
01. leitura: “f de x”02. nome da função: f03. x: um elemento qualquer do domínio da função
(letra que aparece entre parênteses)04. f(x): simboliza a imagem do elemento x. Assim,
y = f(x)A letra x recebe o nome de variável.Exemplo: Considere uma função de domínio e contradomínio real, definida por f(x) = x + 1 (ou y = x + 1). Determine f(2010).Neste exemplo, o nome da função é f; a letra x representa um elemento qualquer do domínio; f(x) é o símbolo da imagem de x e “x + 1” é a fórmula ou sentença matemá-tica da imagem. É com esta fórmula que iremos calcular a imagem de um elemento particular do domínio. Na notação f(2010), devemos encontrar a imagem de um elemento particular do domínio, nesse caso 2010. Precisa-mos, então, substituir, na fórmula fornecida, o elemento ge-nérico do domínio, a letra x, pelo elemento particular 2010.f(2010) = 2010 + 1f(2010) = 2011Resposta: f(2010) = 2011
4. Representando um ponto do gráfico da funçãoVamos supor que em uma determinada função f tenha-mos f(8) = 10. Podemos representar essas informações através de um par ordenado (8; 10) e, em seguida, em um ponto do plano cartesiano. Convenção:
01. o primeiro elemento do par ordenado que é um elemento do domínio da função é representado no eixo horizontal (eixo das abscissas);
02. o segundo elemento do par que é a respectiva imagem é representado no eixo vertical (eixo das ordenadas).
O par ordenado (8; 10) fica assim representado.
10
0
(8; 10)
8
y
x
Figura 2
O ponto acima representa um ponto do gráfico da função f.
5. Projeção ortogonalNa figura 2:
01. o ponto do eixo x, onde está representado o nú-mero 8, é a projeção ortogonal do ponto P(8;10)no eixo x;
02. o ponto do eixo y, onde está representado o nú-mero 10, é a projeção ortogonal do ponto P(8;10) no eixo y.
10 P (8; 10)
8
y
x
Projeção de P em y
Projeção de P em x
0
6. domínio e conjunto imagem a partir do gráficoPara encontrar o domínio e o conjunto imagem de uma função a partir de seu gráfico, devemos “projetar ortogo-nalmente o gráfico”, respectivamente no eixo horizontal e no eixo vertical.
7. NotaçõesQuando aparecer em nossos estudos a notação f: A → B, com f(x) igual a uma fórmula matemática, por exemplo f(x) = 2x, devemos entender que A é o domínio da função, B é o contradomínio, f é o nome da função e que a fórmu-la que aparece na frente da igualdade de f(x), no nosso exemplo 2x, é a fórmula ou sentença matemática que será usada para calcular as imagens.
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411Matemática
8. Função real É a função em que o domínio e o contradomínio são sub-conjuntos dos números reais.
9. Função real e o seu domínioSe o domínio não aparece na apresentação da função, devemos entender que o domínio será o mais amplo sub-conjunto real para o qual são possíveis todas as operações indicadas na sentença. Para encontrarmos o domínio de uma função real, deve-mos estar atentos às possibilidades das operações mate-máticas. Por enquanto, ficaremos atentos aos seguintes problemas que podem surgir:
01. Se houver variável no denominador de uma fração, devemos recordar que o denominador não poderá ser zero.
02. Se houver variável no radicando de uma raiz de ín-dice par, devemos recordar que o radicando não poderá ser negativo.
EXERCÍCIoS RESolVIdoS
10. Raiz (ou zero) da funçãoQuando um elemento x do domínio tem imagem igual a zero, dizemos que este elemento é uma raiz ou zero da função.Exemplo:Encontre as raízes da função real definida por f(x) = x2 – 10x.Resoluçãox2 – 10x = 0x · (x – 10) = 0x = 0 ou x – 10 = 0x = 0 ou x = 10RespostaAs raízes são 0 e 10.
01. Considere abaixo o gráfico da função f: A → B.
2
1 2 3
f(x)
x0
Obter o domínio e o conjunto imagem da função.Resolução
2
1 2 3
f(x)
x0
Observe que a projeção de todos os pontos do gráfico sobre o eixo x é o intervalo [1; 3] e a projeção no eixo y é o inter-valo [0; 2]. Deste modo, o domínio da função é D = [ 1; 3] e o conjunto imagem é Im = [0; 2].
02. Encontre o domínio da função real definida por f(x) =
11x −
.
Resolução Há divisão ⇒ denominador não pode ser igual a zero.
Denominador da fração é x – 1 ⇒ x – 1 ≠ 0 x ≠ 1RespostaD = { x ∈ x ≠ 1}
23
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411 Matemática
03. O gráfico representa uma função f.
1–2
2
y
–1 0
–1
3
–2
2
–3
1
x
Pede-se:a. o domínio da função;b. o conjunto imagem da função;c. as raízes da função;d. o ponto de máximo de f;e. o valor mínimo de f;f. o intervalo onde a função é decrescente.
Resoluçãoa. Domínio é o conjunto dos x para os quais existe ima-gem; logo, D = [–2, 2];b. O conjunto imagem é o conjunto dos y, que são ima-gem de algum x; logo, Im = [–3, 3];c. x = –2; x = 0 e x = 2;d. x = –1 e y = 3 ⇒ P (–1, 3);e. ymin. = –3f. –1 ≤ x ≤ 1.
EXERCÍCIoS dE APlICAÇÃo
01. Considere os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {– 1, 1}, as cor-respondências f: A → A, tal que f(x) = x + 1, e g: B → B, tal que [g(x)]2 = x2. Faça o que se pede.
a. Calcule: f(0), f(1), f(2), g(– 1); g(1) b. Represente as correspondências f e g em diagra-
mas de flechas.c. A correspondência f é uma função de A em A? Jus-
tifique.d. A correspondência g é uma função de B em B? Jus-
tifique.Resoluçãoa. f(0) = 0 + 1 = 1 f(1) = 1 + 1 = 2 f(2) = 2 + 1 = 3
g g
gg ou g
g
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
−[ ] = − ⇒ −[ ] = ⇒
⇒ − = ±
− = − − =
1 1 1 1
1 11 1 1 1
2 2 2
(( ) ( )
( )( ) ( )
1 1 1 1
1 11 1 1 1
2 2 2[ ] = ⇒ [ ] = ⇒
⇒ = ±
= − =
g
gg ou g
b.
0
1
2
0
1
2
A f A
−1
1 −1
1
B g B
c. A correspondência f não é uma função, pois o ele-mento 2 do conjunto A da “esquerda” não tem correspon-dente no conjunto A da “direita”.d. A correspondência g não é uma função, pois o ele-mento –1 do conjunto B da “esquerda” tem mais de um correspondente no conjunto B da “direita”.
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411Matemática
02. Determine o domínio da função real definida por
f xx
( ) =+
216
.
EXERCÍCIoS EXTRAS
04. AFA-SP adaptadoConsidere o gráfico da função real p: A → B
a−a
−c−r
b c x
c
b
y = p(x)
r0
a. Determine o domínio da função.b. Determine o conjunto imagem da função.
05. Determine o domínio das seguintes funções reais:
a. f xx
( ) =1
b. f xxx
( ) =−+
25
c. f xx x
( ) =− +
16 52
d. f x x( ) = −3
e. f xx
x( ) =
−−
72
03. ESPM-SP modificadoSeja f: → uma função não identicamente nula, tal que:
f a f bf a b f a b
( ) ( )( ) ( )
⋅ =+ + −
2Determine o valor de f(0) sabendo que f(0) não pode ser nulo.
Resolução
f ff f
( ) ( )( ) ( )
0 00 0 0 0
2⋅ =
+ + −
2 · f(0) · f(0) = f(0) + f(0)2 · f(0) · f(0) = 2f(0)f(0) · f(0) – f(0) = 0f(0) · (f(0) – 1) = 0f(0) = 0 (não serve) ou f(0) = 1∴f(0) = 1Respostaf(0) = 1
Resoluçãox + 1 > 0x > –1RespostaD ={ x ∈ x > – 1}
orientação ao professor – O conceito de função é difícil para a maioria dos alunos, então procurar exemplificar com situações que norteiam a ideia. Não há tempo para formalizar função por produto cartesiano. O conceito de função por correspondência entre conjuntos acaba sendo mais intuitivo. Explorar domínio e imagem pelo gráfico. Cuidado com o conceito de projeção ortogonal, pois os alunos não entendem bem. O exercício 1 explora bem a noção do que é função e a notação f(x). O exercício 2 explora domínio de função real. O exercício 3 complementa o trabalho com imagem. Se sobrar tempo, fazer um extra que envolva gráficos.
25
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411 Matemática
Módulo 04 FUNÇÃO DO 1º GRAU E FUNÇÃO CONSTANTE
1. IntroduçãoChama-se função do 1º grau a função real que pode ser escrita na forma: f(x) = ax + b, com a ≠ 0.Se b = 0, f(x) = ax é chamada de função linear.
2. GráficoO gráfico da função do 1º grau é uma reta. Para esboçar o gráfico, basta destacar dois pontos: dê pre-ferência aos pontos em que a reta intercepta o eixo x e o eixo y.Exemplo:
01. Esboçar o gráfico da função real definida por f(x) = 2x – 6.
x y
0 – 6
3 0
−6
30 x
y
3. Inclinação da retaO gráfico será uma reta crescente se a > 0 e, decrescente, se a < 0.
xRaiz
crescente
a > 0
x
Raiza < 0
decrescente
4. RaizÉ o valor de x para o qual f(x) = 0. Assim:
f(x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ x = −ba
, que é a única raiz da função.
5. Intersecção com o eixo yA intersecção com o eixo vertical ocorre quando x = 0. Deste modo, teremos: x = 0 ⇒ f(0) = a · 0 + b ⇒ f(0) = b, isto quer dizer que o gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, b).
Resumo gráfico
f(x) = ax + b; a ≠ 0
a > 0 a < 0
0 x
b
ba
y
0 x
b
y
ba
D = Im =
D = Im =
6. Função constanteÉ a função real definida por f(x) = k, em que k é uma cons-tante. Observe que a função tem imagem k para qualquer valor de x.O gráfico será uma reta paralela ao eixo x, passando pela ordenada k.Exemplo – Estudar a função f(x) = 3.
Gráfico
x
y
3
0
D = CD = Im = {3}
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PV3A
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411Matemática
EXERCÍCIoS RESolVIdoS
01. Esboçar o gráfico, determinar o domínio, o contradomí-nio, o conjunto imagem e classificar quanto ao crescimen-to as seguintes funções:
a. y = 5 – xb. y = 4
Resoluçãoa.
x
y
5
50
Domínio: D = Contradomínio: CD = Conjunto imagem: Im = Função decrescenteb.
x
y
4
0
Domínio: D = Contradomínio: CD = Conjunto imagem: Im = {4}Função constante
02. ufop-MGSeja f a função representada pelo gráfico abaixo.
11
1
0 2−3
y
x
Essa função pode ser expressa por:a. f(x) = –2x + 5
b. f(x) =x2
+ 5
c. f(x) = 2x + 5
d. f(x) =x2
+ 5
ResoluçãoDo gráfico, temos que: f(2) = 1 e f(–3) = 11.Como o gráfico é um segmento de reta, a expressão da função tem a forma:f(x) = a · x + bf(2) = a · 2 + b1 = 2a + b (I)f(–3) = a · (–3) + b11 = –3a + b (II)De (I) e (II), temos o sistema:
2a + b = 1− + =
3 11a b"Subtraindo termo a termo as equações", temos5a = –10a = –2Substituindo o resultado acima em (I) ⇒ 2 (–2) + b = 1 b = 5Portanto, f(x) = –2x + 5Resposta A
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411 Matemática
EXERCÍCIoS dE APlICAÇÃo
01. Esboçar o gráfico, determinar o domínio, o contradomí-nio, o conjunto imagem e classificar quanto ao crescimen-to as seguintes funções:
a. f(x) = 2 + 3xb. f(x) = –2
02. uFSM-RSOs dados da tabela indicam a temperatura média global nos últimos anos.
2000
Hoje
CONCENTRAÇÃODE CO2
(em ppm)*
TEMPERATURAMÉDIA**
CIRCUNSTÂNCIA
A concentração de CO2 atinge níveis recordes.
O Ford Modelo T davainício à era do automóvel.
397
295
14,6°
13,6°1900
1908
Revista Veja, 11 de abril, 2007. p. 85. (adaptada)
Suponha que a temperatura média global (em °C) seja expressa por f(x) = 0,01x + 14,6, sendo x em anos, x = 0 correspondente a 2000, x = 1 correspondente a 2001 e assim por diante.De acordo com esse modelo, a temperatura média global prevista para 2150 é igual a:
a. 14,7 °Cb. 15,6 °Cc. 16,1 °Cd. 16,6 °Ce. 17 °C
Resoluçãoa. f(x) = 2 + 3x
x y
0 2
−23
0
23−
y
0
2
x
D(f) = CD = Im(f) = Função crescenteb. f(x) = –2
y
x
−2
0
D(f) = CD = Im(f) = {–2} Função constante
ResoluçãoPara indicar o ano 2150, devemos indicar x = 150:f(150) = 0,01 · 150 + 14,6 f(150) = 16,1°RespostaC
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411Matemática
03. uEl-PR Sobre um polinômio p(x) de grau 1, sabe-se que:
• sua raiz é igual a 2; • p(–2) é igual ao dobro de sua raiz.
Nessas condições, é correto afirmar: a. p(x) = –x + 2 b. p(x) = 2x – 4 c. p(x) = x – 2 d. p(x) = x2 – x – 2 e. p(x) = –x2 + x + 2
EXERCÍCIoS EXTRAS
04. uEl-PRSeja f : Α → Β uma função e D um subconjunto de A. A imagem de D pela função f é o conjunto definido e deno-tado por Im(D) = {y ∈ B : existe x ∈ D tal que f(x) = y}.Quando a função f: Ρ → Ρ for definida por
f xx se x
se xx se x
( ) ,=+ >
− ≤− + < −
≤
2 11 1
1 11
a imagem do intervalo fechado [−1, 3], isto é, Im = ([−1, 3]) será dada por:
a. {1} ∪ {y ∈ Ρ: 3 < y ≤ 5}b. {y ∈ Ρ: 3 < y ≤ 5}c. {1} ∩ {y ∈ Ρ: 3 ≤ y ≤ 5}d. {y ∈ Ρ: y ≥ 3}e. {y ∈ Ρ: –2 < y ≤ 5}
05. unicamp-SPO custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial Q0, fixo, mais um valor que varia proporcionalmen-te à distância D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos 3,6 km, a quantia cobrada foi de R$ 8,25, e que, em outra corrida, de 2,8 km, a quantia cobrada foi de R$ 7,25.
a. Calcule o valor inicial Q0.b. Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou
R$ 75,00 em 10 corridas, quantos quilômetros seu carro percorreu naquele dia?
Resolução p(x) de grau 1 ⇒ p(x) = ax + bSua raiz é igual a 2 ⇒ p(2) = 0 ⇒ 0 = a · 2 + bp(–2) é igual ao dobro de sua raiz: p(–2) = 4 ⇒ 4 = a · (–2) + b2a + b = 0–2a + b = 42b = 4 → b = 22a + 2 = 0 → a = –1 P(x) = –x + 2RespostaA
orientação ao professor – No caso de função do 1º grau, enfatizar o uso dos pontos que interceptam os eixos x e y. Destacar o conceito de raiz de função. Explorar o significado de raiz no gráfico. O exercício 1 possivelmente será fácil. O exercício 2 volta a enfatizar o conceito de imagem via notação f(x) e é nova oportunidade para reforçar a notação. A resolução sugerida do exercício 3 é tradicional. Caso sobre tempo, fazer o extra 4.
29
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411 Matemática
Módulo 05 FUNÇÃO DO 2º GRAU
1. IntroduçãoA função do 2º grau é, entre as funções elementares, uma das mais importantes pela frequência com que ocorre e por ser muito útil na modelagem de diferentes fenômenos.
2. DefiniçãoDefinimos a função do 2º grau como sendo uma função real que pode ser expressa por f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0.
3. GráficoO gráfico de uma função do 2º grau é denominado de pará-bola. Sua concavidade pode estar voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0).
x
a > 0: concavidadepara cima
x
a < 0: concavidadepara baixo
4. RaízesPara encontrar as raízes da função do 2º grau, fazemos ax2 + bx + c = 0, o que nos leva a uma equação do 2º grau e, conforme o valor do discriminante ∆ = b2 – 4 · a · c, a in-tersecção do gráfico com o eixo x pode ocorrer em apenas um ponto, em dois pontos ou não ocorrer.∆ > 0 ⇔ a parábola encontra o eixo x em dois pontos dis-tintos.A função apresenta duas raízes reais e distintas.∆ = 0 ⇔ a parábola encontra o eixo x em apenas um ponto.A função apresenta duas raízes reais e iguais.∆ < 0 ⇔ a parábola não encontra o eixo x.A função não apresenta raízes reais.ObservaçãoSe, para determinarmos as raízes da função, ou seja, os pontos onde o gráfico intercepta o eixo x, fazemos a ima-gem y = 0, para determinarmos o ponto de intersecção do gráfico da função com o eixo vertical, faremos x = 0. Assim, no caso da função do 2º grau, teremos: x = 0 ⇒ f(0) = a · 02 + b · 0 + c ⇒ f(0) = c.Assim, o ponto de intersecção da parábola com o eixo ver-tical é o ponto dado pelas coordenadas (0; c), que possui como ordenada o termo independente de x na lei da função.
5. A forma fatorada de f(x) = ax2 + bx + cComo foi visto anteriormente, o trinômio ax2 + bx + c pode ser fatorado quando são conhecidas as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, isto é, ax2 + bx + c = a · (x – x1) (x – x2 ), onde x1 e x2 são as raízes.Em muitos exercícios, recomenda-se utilizar f(x) = a · (x – x1) · (x – x2) em vez de f(x) = ax2 + bx + c.Exemplo: Escreva a lei de formação de uma função do 2º grau cujo coeficiente de x2 é igual a 1 e que possui raízes 1 e –3.Resolução: f(x) = a · (x – x1) · (x – x2) f(x) = 1 · (x – 1) · (x – (– 3)) f(x) = 1 · (x – 1) · (x +3) f(x) = 1 · (x2 + 2x – 3) f(x) = x2 + 2x – 3
6. Vértice da parábolaChamamos de vértice da parábola o ponto do gráfico, sobre o eixo de simetria, onde a parábola inverte o seu sentido de crescimento, isto é, de decrescente para crescente, ou vice-versa. O vértice corresponde a um ponto especial do gráfico, pois, dependendo da conca-vidade da parábola, o vértice pode indicar o ponto mais “alto” do gráfico (concavidade para baixo) ou o ponto mais “baixo” (concavidade para cima). No primeiro caso, diremos que a função possui um valor máximo e, no segundo, um valor mínimo.
Eixo de simetria
V
Eixo de simetria
V
Representando o vértice por V (xv; yv) e sabendo que yv = f(xv), temos que:
xba
e yav v=
−=
−2 4
∆
e portanto, conhecendo yv, obteremos o conjunto ima-gem.
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PV3A
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411Matemática
EXERCÍCIoS RESolVIdoS
A abscissa do vértice (xv) é a média aritmética das abscissas de quaisquer dois pontos simétricos na parábola. Sendo
assim, podemos escrever que xx x
v =+1 2
2, em que x1 e x2 são as raízes da função.
Uma vez conhecida a abscissa do vértice (xv), sua ordenada (yv) será dada por yv = f(xv).
f(x) = ax2 + bx + c
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0
a > 0
y
c
0 x1
xv
x2
yv
x yv = 0 x1 ≡ x2 ≡ xV
y
c
x
y
c
yv
xv0 x
Im = {x ∈ y ≥ yv}; D =
a < 0
x2
0x1
xv
c
yv
y
xx1 ≡ x2 ≡ xV
yv = 0
c
x
y
x0
xv
yv
c
y
Im = {x ∈ y ≤ yv}; D =
01. Esboce o gráfico e determine o conjunto imagem da fun-ção real definida por f(x) = x2 – 2x + 3.ResoluçãoConcavidade para cima: a = 1, (a > 0) Raízes: x2 – 2x + 3 = 0∆ = (–2)2 – 4 · 1 · 3∆ = –8A função não tem raízes, portanto não intercepta o eixo x.
Vértice: x 1
y f x 1 2 1 3 2
v
v v2
= − = −−⋅
=
= = = − ⋅ + =
ba
fV2
22 11
1 2( )
( ) ( )( ; )
Gráfico:
10 2 x
23
y
Observe que o ponto (2; 3) foi encontrado por simetria.É importante mencionar mais um ponto além do vértice e da interseção com o eixo y quando a função não tem raízes.Conjunto imagem: projetando a parábola sobre o eixo y, obtemos o intervalo [2, + ∞[Im = { y ∈ y ≥ 2}
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PV3A
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12
411 Matemática
EXERCÍCIoS dE APlICAÇÃo
02. Determine, em função de p, o vértice da parábola defini-da por y = x2 – 2px.Resolução
x pv = − = −−
⋅=
ba
p2
22 1
( )
yv = f(xv) = f(p) = p2 – 2p · p = – p2 RespostaV(p; – p2 )
01. Esboçar o gráfico, apresentar seu domínio e determi-nar o conjunto imagem da função real definida por f(x) = x2 – 10x + 25.
02. Encontre os valores de a, b e c da função f(x) = ax2 + bx + c, representada a seguir.
10x1 3 x
5
y
Resolução
50 10 x
25
y
Raízes: x x 25S 1P 5
x 5 ou x 5
2 − + ===
= =
10 00
x 5V =+
=5 5
2yV = f(xv) = f(5) = 0D = Im = {y ∈ y ≥ 0}
Resoluçãoxv = 1 e 3 é uma das raízes. A outra raiz, por simetria, é igual a x1 = 1 – 2 = – 1.A forma fatorada da função é: f(x) = a · (x – (–1)) · (x – 3) f(x) = a · (x + 1) · (x – 3 )vértice (1, 5) → f(1) = 5. Da lei de formação, temos: f(1) = a · (1 + 1) · (1 – 3)5 = a · (–4)
a = −54
f x x x
f x x x
f x x
( ) ( ) · ( )
( ) ( · )
( )
= − ⋅ + −
= − ⋅ − −
= − ⋅ +
54
1 3
54
2 3
54
2
2
552
154
x +
Resposta
a b e c= − = =54
52
154
;
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411Matemática
03. PuC-RS A representação que segue é da função f, dada por f(x) = ax2 + b · x + c, a ≠ 0.O valor de (b2 – 4ac) + (a + b + c) é:
a. 0b. 1c. 2d. –2e. –1
3
2
1
−3 −2 −1−1
−2
−3
1 2 3
y
x
EXERCÍCIoS EXTRAS
04. Em relação às funções do 2º grau, definidas porf(x) = ax2 + bx + c e g(x) = ax2 + bx + c + 5, podemos afirmar que:
a. possuem as mesmas raízes.b. interceptam o eixo y no mesmo ponto.c. possuem concavidades em sentidos opostos.d. possuem o mesmo xv.e. possuem o mesmo yv.
05. uFMG Observe esta figura:
A B
y
x
Nessa figura, os pontos A e B estão sobre o gráfico da fun-ção de segundo grau y = ax2 + bx + c. O ponto A situa-se no eixo das ordenadas e o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas.Assim sendo, é correto afirmar que o comprimento do segmento AB é:
a. c
b. −ca
c. ba
d. −ba
ResoluçãoA função é dada por f(x) = ax2 + bx + c.∆ = (b2 – 4ac) = 0, pois a parábola intercepta o eixo em um único ponto, isto significa que temos duas raízes reais e iguais, o que ocorre quando ∆ = 0.a + b + c = f(1) = 0 (observe o gráfico.)Assim, (b2 – 4ac ) + (a + b + c) = 0 + 0 = 0 RespostaA
orientação ao professor – Destacar as raízes da função no gráfico, bem como o termo independente. Aplicar a si-metria no cálculo do xv como média aritmética de abscis-sas de pontos simétricos. Usar as raízes como situação de simetria para calcular o xv. Explorar o yv como imagem do xv e “fugir” da fórmula. No exercício 2, é sugerida a forma fatorada para encontrar a expressão da função do 2º grau. O exercício 3 trabalha bem os conceitos, não há muitas contas. Se der tempo, orientar os alunos na resolução dos Exercícios Extras.
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411 Matemáti ca
1. IntroduçãoA função do 2º grau possui um ponto importante deno-minado vértice; seu estudo nos leva à análise de situações de extrema importância no dia a dia. Se um problema que analisa o lucro de uma empresa for modelado por uma função do 2º grau, o vértice nos dirá em que situação esse lucro será máximo.
2. Vérti ce da parábolaA parábola que representa graficamente a função do 2º grau apresenta um eixo de simetria que é uma reta verti-cal, a qual intercepta o gráfico em um ponto denominado vértice.As coordenadas do vértice são:
xba
ou xx x
v v=−
=+
2 21 2 , em que x1 e x2 são as raízes da
função
y f xav v= =
−( )
∆4
3. Valores extremosO valor máximo ou mínimo de uma função qualquer é o maior ou menor valor, respectivamente, da imagem que a função possui. No caso da função do 2º grau, o valor máximo ou mínimo é o yv, pois o vértice é um extremo da função quando o domínio é o conjunto dos reais. Quando a parábola tem concavidade voltada para cima, ocorrerá um valor mínimo, e, quando a concavidade for voltada para baixo, ocorrerá um valor máximo.
Módulo 06 FUNÇÃO DO 2º GRAU – PONTOS EXTREMOS
a > 0 a < 0
y
VyV
Ponto demínimo valorda função
VyV
Ponto demáximo valor
da função
y
4. Resumo
a > 0 a < 0
y
VyV
Ponto demínimo valorda função
VyV
Ponto demáximo valor
da função
y
xba
e yav ve yv ve y=
−=
−2 4a2 4av v2 4v vav va2 4av va
e yv ve y2 4
e yv ve y∆ ou yv = f(xv)
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411Matemática
01. uEPB AdaptadoUm foguete pirotécnico é lançado para cima verticalmente e descreve uma curva dada pela equação h = – 40t2 + 200t, onde h é a altura, em metros, atingida pelo foguete em t segundos, após o lançamento. A altura máxima atingi-la e o tempo que esse foguete leva para atingir esta altura são, respectivamente:
a. 250 m e 2,5 sb. 300 m e 6 sc. 250 m e 0 sd. 150 m e 2 se. 100 m e 3 s
Resolução A função que fornece a altura é uma função do 2º grau com a parábola de concavidade para baixo, ocorrendo de fato uma altura máxima.As raízes da função são: 0 e 5tv é a média aritmética das raízes: tv = 2,5hmáx. = – 40 · (2,5)2 + 200 · 2,5 = 250A altura máxima é 250 m e o tempo que o foguete leva para atingir a altura máxima é 2,5 s.Resposta A02. unifesp As figuras A e B representam dois retângulos de períme-tros iguais a 100 cm, porém de áreas diferentes, iguais a 400 cm2 e 600 cm2, respectivamente.
400 cm2
Figura A 600 cm2
Figura B
A figura C exibe um retângulo de dimensões (50 – x) cm e x cm, e de mesmo perímetro que os retângulos das figuras A e B.
Figura C
50 − x
x
a. Determine a lei, f(x), que expressa a área do retân-gulo da figura C e exiba os valores de x que forne-cem a área do retângulo da figura A.
b. Determine a maior área possível para um retângu-lo nas condições da figura C.
Resoluçãoa. A área de um retângulo de lado 50 – x e altura x, com 0 < x < 50, é dada por: f(x) = (50 – x) · xEssa área é igual a 400 cm2 se, e somente se,f(x) = 400(50 – x) · x = 400x2 – 50x + 400 = 0x = 10 ou x = 40f(x) = (50 – x) · x e f(x) = 400 ⇔ (x = 10 ou x = 40)b. f (x)
50 x25
625
0
f(x) = (50 – x) · x é máximo se, e somente se, x = 25f(25) = (50 – 25) · 25f(25) = 625625 cm2
Resposta a. f(x) = (50 – x) · x, em cm2, com 0 < x < 50 e x = 10 cm ou x = 40 cmb. 625 cm2
EXERCÍCIoS RESolVIdoS
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411 Matemática
EXERCÍCIoS dE APlICAÇÃo
01. uFMG modificadoNesta figura, está representado o gráfico da função y = f (x), cujo domínio é o conjunto {x ∈ : – 6 ≤ x ≤ 6} e cuja imagem é o conjunto {y ∈ : –2 ≤ y ≤ 3}:
y
x
3
2 460−3
−2
−6 1
a. Quais são os valores extremos da função?b. Em que valores do domínio ocorrem o valor máxi-
mo e o valor mínimo?
02. uFSCar-SP modificadoA figura indica a representação gráfica, no plano cartesia-no ortogonal xOy, das funções y = x2 + 2x –5 e xy = 6.
p q
R
r0
Q
P
y
x
O ponto Q é o ponto de mínimo da função do 2º grau? Explique.
Resoluçãoa. De acordo com o gráfico, há dois extremos, um valor máximo igual a 3 e um valor mínimo igual a – 2.b. O valor máximo 3 ocorre quando x = –3 e o valor míni-mo –2 ocorre em dois valores de x, um em x = –6 e outro em x = 6.
ResoluçãoO ponto Q é o ponto de mínimo da função do 2º grau.O ponto de mínimo da função do 2º grau ocorre no vér-tice.
xV =−⋅
= −2
2 11
yV = (–1)2 + 2 · (–1) – 5 = 1 – 2 – 5 = – 6 V(–1; –6 )O ponto V coincide com o ponto Q, pois como Q pertence ao gráfico da outra função, então (– 1 , – 6) deve satisfazer a equação xy = 6, e de fato isto ocorre. Dessa forma, o ponto Q é o vértice da parábola.
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411Matemática
03. unifesp
Na figura, estão representados, no plano cartesiano xOy, a
reta de equação y = 2kx, 0 ≤ k ≤ 32
, a parábola de equação
y = – x2 + 3x e os pontos O, P e Q de intersecções da pará-
bola com o eixo Ox e da reta com a parábola.
O
Q
P
y
x
y = 2kxy = − x2 + 3x
Nessas condições, o valor de k para que a área do triângu-lo OPQ seja a maior possível é:
a. 12
b. 34
c. 98
d. 118
e. 32
A altura do triângulo é dada por f(3 – 2k) = 2k(3 – 2k).A base do triângulo pode ser calculada pelas raízes da fun-ção do 2º grau.– x2 + 3x = 0x(– x + 3) = 0x = 0 ou x =3 A base do triângulo é 3
A(k) = 3 2 3 2
2⋅ −k k( )
A função que fornece a área é uma função do 2º grau de con-cavidade para baixo, o k que fornece a área máxima é o kv.As raízes da função A(k) são: k = 0 e k =
32
kv =+
=0 3
22
34
RespostaB
ResoluçãoO ponto Q é obtido resolvendo o sistema de equações das duas funções.As imagens das duas funções são iguais no ponto Q:– x2 + 3x = 2kx– x2 + 3x – 2kx = 0x( – x + 3 – 2k) = 0x = 0 ou – x + 3 – 2k = 0x = 3 – 2kcomo a abscissa do ponto não é nula, temos que Q(3 – 2k; f(3 – 2k)) onde f indica a função do 1º grau (po-deria ser a do 2º grau)
37
PV3A
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411 Matemática
EXERCÍCIoS EXTRAS
04. Considere as funções do 2º grau definidas por f(x) = x2 + x + c e g(x) = x2 + x + c – 2. Assinale a alternativa que contém uma afirmação correta.
a. As duas funções possuem raízes positivas.b. Como as duas funções possuem o mesmo xv, então
as duas possuem as mesmas raízes.c. As duas funções possuem concavidades no mes-
mo sentido, então ambas possuem o mesmo valor extremo.
d. Como as duas funções possuem o mesmo xv, então as duas possuem o mesmo valor mínimo.
e. Os valores mínimos das funções diferem de 2 uni-dades.
05. FGV-SPUm banco capta dinheiro de aplicadores, pagando a eles uma taxa anual de juros igual a i. O prazo das aplicações é de 1 ano. O dinheiro captado é emprestado a empresas, por 1 ano, à taxa de 20% ao ano. Sabe-se que o dinhei-ro captado é dado por C = 5.000 · i unidades monetárias. Desprezando-se outros custos:
a. qual o lucro do banco, se a taxa i for igual a 5% ao ano?
b. qual a taxa i que dá ao banco o máximo lucro?
orientação ao professor – Nos exercícios e exemplos, destacar a ideia de xv como média aritmética de abscis-sas de pontos simétricos e evitar a fórmula do yv, procu-rar orientar o yv = f(xv). Utilizar o gráfico do 1º exercício proposto para ilustrar bem a ideia de valor máximo (ou mínimo) e os valores do domínio que fornecem o valor máximo (ou mínimo). O aluno costuma ter dificuldade em diferenciar tais situações. Insistir no conceito de que valor máximo (mínimo) são imagens. No exercício 2, co-mentar que, embora o desenho indique que o ponto Q é ponto de mínimo, não há informações de que o trecho de reta tracejada é o eixo de simetria e, portanto, é pre-ciso verificar se o ponto mínino da função do 2º grau é ponto da hipérbole. Haverá um pouco de dificuldade no exercício 3, pois é um exercício que exige a construção de função, ir com calma. Explorar o significado de inter-seção de curvas, uma vez que é um conceito difícil para a maioria.
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411Matemática
Módulo 07 INEQUAÇÕES DO 1 º E DO 2º GRAU
1. IntroduçãoAs propriedades a seguir poderão nos auxiliar nas resolu-ções de problemas envolvendo desigualdades.
2. Propriedades01. transitiva: a < b e b < c ⇒ a < c02. a < b ⇔ a + c < b + c
a < b ⇔ a – c < b – c Observe uma consequência desta propriedade: a + c < b ⇔ a + c – c < b –c ⇔ a < b –ca + c < b ⇔ a < b – c
03. a < b e c > 0 ⇔ a · c < b · c
a < b e c > 0 ⇔ ac
< bc
04. a < b e c < 0 a · c > b · c
a < b e c < 0 ⇔ ac
< bc
Ao multiplicarmos ou dividirmos uma desigualdade por uma constante não nula, o sentido será conservado caso a constante seja um número positivo, porém deverá ser invertido se a constante for um número negativo.
3. Inequações do 1º grauDenominamos inequação do 1º grau a toda desigualdade que pode ser escrita em uma das formas abaixo, onde x é variável e a e b são constantes reais.ax + b ≤ 0, a ≠ 0ax + b ≥ 0, a ≠ 0ax + b < 0, a ≠ 0ax + b > 0, a ≠ 0ax + b ≠ 0, a ≠ 0Aplicando as propriedades das desigualdades, resolve-mos inequações do 1º grau.Exemplo:ax b ax b b b
axx
ba
se a
xb
ase a
+ ≤ ⇔ + − ≤ − ⇔
⇔ ≤ − ⇔≤
−>
≥−
<
0 0
0
0b
Solução:
S x xb
ase a
S x xb
ase a
= ∈ ≤−
>
= ∈ ≥−
<
{ }
{ }
0
0
4. Inequação do 2º grauDenominamos inequação do 2º grau a toda desigualdade que pode ser escrita em uma das formas abaixo, onde x é variável e a, b e c são constantes reais.ax2 + bx + c ≤ 0, a ≠ 0ax2 + bx + c ≥ 0, a ≠ 0ax2 + bx + c < 0, a ≠ 0ax2 + bx + c > 0, a ≠ 0ax2 + bx + c ≠ 0, a ≠ 0Para resolver uma equação do 2º grau, podemos re-correr ao estudo do sinal de uma função do 2º grau (f(x) = ax2 + bx + c).Exemplo: Estudar o sinal da função f(x) = x2 – 3x – 10.Raízes: x2 – 3x – 10 = 0
SP
x ou x== −
= − =3
102 51 2
+
−
+−2 5
x
Estudo do sinal :( )( )
(
x ou x f xx ou x f x
x f x
< − > ⇔ >= − = ⇔ =
− < < ⇔
2 5 02 5 0
2 5 )) <
0
Resolver a inequação x2 – 3x – 10 > 0 é apresentar os valores reais de x para os quais a imagem de f(x) = x2 – 3x – 10 apre-senta valores maiores que zero. No exemplo acima, valo-res de x tais que x < – 2 ou x > 5. Se a proposta for resolver a inequação x2 – 3x – 10 ≤ 0, teremos como solução os valores de x tais que –2 ≤ x ≤ 5.As simbologias de (+) ou (– ) utilizadas no esboço do grá-fico acima representam o sinal da imagem da função no intervalo considerado e será uma convenção usada para a resolução dos exercícios.
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411 Matemática
EXERCÍCIoS RESolVIdoS
01. Fuvest-SPUm estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora de uso, R$ 3,00 por hora adicional e tem uma despesa diária de R$ 320,00. Considere-se um dia em que sejam cobra-das, no total, 80 horas de estacionamento. O número mínimo de usuários necessário para que o esta-cionamento obtenha lucro nesse dia é:
a. 25 b. 26 c. 27d. 28e. 29
ResoluçãoNúmero de usuários: x Todos os usuários pagarão a 1ª hora de uso. Desta manei-ra, das 80 horas de estacionamento, x horas serão consi-deradas como as horas gastas na 1ª hora de uso, ficando, assim, (80 – x) horas para as horas adicionais.Receita: R(x) = 6x + (80 – x)3 = 6x + 240 – 3x R(x) = 3x + 240Lucro = receita – despesaLucro: L(x) = 3x + 240 – 320 L(x) = 3x – 80Para haver lucro L(x), tem de ser maior que zero.3x – 80 > 03x > 80
x > 803
x > 26,666...Como a quantidade de usuários é inteira, devemos ter, pelo menos, 27 usuários.RespostaC
02. uFPEIndique o comprimento do intervalo das soluções da desi-gualdade 0 ≤ 2 x – 7 ≤ 70.Resolução0 ≤ 2x – 7 ≤ 700 + 7 ≤ 2x – 7 + 7 ≤ 70 + 77 ≤ 2x ≤ 77 Dividindo todos os termos por 2, temos:3,5 ≤ x ≤ 38,538,5 – 3,5 = 35RespostaO comprimento do intervalo é 35.
40
PV3A
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411Matemática
03. PuC-RS A solução, em , da inequação x2 < 8 é:
a. { , }−2 2 2 2
b. [ ; ]−2 2 2 2
c. ( ; )−2 2 2 2
d. ( ; )− ∞ 2 2
e. [ ; ]− ∞ 2 2
Resoluçãox2 < 8x2 – 8 < 0função auxiliar: f(x) = x2 – 8 raízes: x2 – 8 = 0 ⇒ x2 = 8 ⇒ x = ±2 2
+
−
+
−2 2 2 2x
S = {x ∈ −2 2 < x < 2 2} = (−2 2; 2 2)Observação – A notação de parênteses também é usada para indicar intervalo aberto em sua extremidade.RespostaC
04. uEPBA desigualdade 3(2x + 2) > (x + 1) (5 – x) é verdadeira para:
a. x = –1.b. todo x real.c. todo x ∈ – {1}.d. todo x ∈ – {–1}.e. todo x ≤ –1.
Resolução3(2x + 2) > (x + 1) (5 – x)6x + 6 > 5x – x2 + 5 – x x2 + 6x + 6 – 5x + x – 5 > 0x2 + 2x + 1 > 0Função auxiliar: f(x) = x2 + 2x + 1Raízes: x2 + 2x + 1 = 0
SP
x ou x= −=
= − = −2
11 1
+ +−1
x
As imagens de f(x) são positivas para todo x real, exceto para x = – 1, onde f(x) = 0. Desta forma, x2 + 2x + 1 > 0 é verdadeira para todo x real diferente de – 1.RespostaD
41
PV3A
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411 Matemática
EXERCÍCIoS dE APlICAÇÃo
01. uFMG Considere a função y = f(x), que tem como domínio o inter-
valo {x ∈ : –2 < x ≤ 3} e que se anula somente em x = –32
e x = 1, como se vê nesta figura: f(x)
x
1
1 2 3–1–2 – 3
2
– 21 2
1
Assim sendo, para quais valores reais de x se tem 0 < f(x) ≤ 1?
a. x ∈ : –32
< x ≤ –1 ∪ x ∈ : 12
≤ x < 1 ∪
∪ x ∈ : 1 < x ≤ 2
b. x ∈ : –2 ≤ x ≤ –32
∪ x ∈ : –1 ≤ x ≤ 12
∪
∪ x ∈ : 2 ≤ x ≤ 3
c. x ∈ : –32
< x ≤ –1 ∪ x ∈ : 12
≤ x ≤ 2
d. x ∈ : –32
< x ≤ –1 ∪ x ∈ : 12
≤ x ≤ 2
02. Resolver, em , a inequação x x2 2 1 2 0− −( ) − ≤ .
03. uEl-PR Um comerciante pagou R$ 600,00 por 150 caixas de um produto. Em qual intervalo de valores deverá ser escolhi-do o valor V, de venda de cada caixa, para que o comer-ciante tenha um lucro entre R$ 150,00 e R$ 300,00?
a. R$ 3,00 < V < R$ 4,50b. R$ 4,00 < V < R$ 5,00c. R$ 4,00 < V < R$ 4,50d. R$ 5,00 < V < R$ 6,00e. R$ 6,00 < V < R$ 7,00
Resolução
x– 32
f(x)
1 2 3–1–2
1
– 21 2
1
Observe que a região destacada ressalta a parte do gráfico “onde” a imagem está variando no intervalo 0 < f(x) ≤ 1.
ResoluçãoFunção auxiliar: f x x x( ) = − −( ) −2 2 1 2
Raízes: x x2 2 1 2 0− −( ) − =
S
Px ou x
= −
= −
= = −
2 1
22 1
+
−
+
2x
−1
RespostaS = {x ∈ – 1 ≤ x ≤ 2}
ResoluçãoL: Lucro150 V: Venda C: CustoL = 150 V – C ⇒ L = 150 V – 600150 < L < 300150 < 150 V – 600 < 300750 < 150 V < 900 (foram compradas 150 caixas). Dividin-do ambos os membros por 150, temos:5 < V < 6RespostaD
Os valores de x que correspondem a essas imagens são:
−32
< x ≤ –1 ou 12
≤ x < 1 ou 1 < x ≤ 2.
RespostaA
42
PV3A
-12-
12
411Matemática
EXERCÍCIoS EXTRAS
04. Determine os valores reais do parâmetro k, na função f(x) = –x2 + k, para que se tenha f(x) < 0 para todo x ∈ .
05. Determine o conjunto de todos os valores reais de x que
satisfazem a desigualdade 1
10
2x +> .
orientação ao professor – Reforçar o fato de que numa desigualdade, ao multiplicarmos os dois membros por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. O 1º exercício utiliza gráfico, e isto colabora bastante para o en-tendimento de desigualdade. Não recorremos ao gráfico de função do 1º grau, por compreendermos que as proprie-dades são mais úteis. Explorar o estudo do sinal no caso de inequação do 2º grau. Caso sobre tempo, fazer o Exercício Extra nº 4.
43
PV3A
-12-
12
411 Matemática
Módulo 08 INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE
1. IntroduçãoEm algumas situações, encontramos inequações que po-dem ser reduzidas a desigualdades em que um dos mem-bros é zero e o outro é um produto (ou quociente) da função do 1º grau e/ou do 2º grau. Essas inequações são conhecidas como inequações produto e inequações quociente.
2. Inequação produtoSe f e g são funções de variável real x, chamam-se inequa-ções produto as sentenças dadas por:f(x) · g(x) ≤ 0;f(x) · g(x) ≥ 0; f(x) · g(x) < 0; f(x) · g(x) > 0; f(x) · g(x) ≠ 0.A quantidade de funções, envolvidas na operação de mul-tiplicação, pode variar dependendo do problema. Nas si-tuações acima, indicamos apenas dois fatores: f(x) e g(x).Um modo de resolver uma inequação produto consiste em estudar os sinais de cada um dos fatores e, em seguida, analisar o produto dos sinais.Por exemplo, resolver a inequação (x – 1) · (2 – x) ≥ 0.Denominaremos x – 1 de f(x) e 2 – x de g(x).Assim, o problema se resume em analisar f(x) · g(x) ≥ 0.Vamos estudar os sinais de f(x) e g(x).f(x) = x – 1
sinal de f(x)
raiz: x = 1 x−
+1
g(x) = 2 – xsinal de g(x)
raiz: x = 2 x−
+2
Agora que temos os sinais de f(x) e de g(x), estudaremos o sinal do produto f(x) · g(x). Para isso, recomenda-se uti-lizar uma tabela do tipo que se segue.
f(x)g(x)
f(x) · g(x)
− + ++ + −− + −
1 2
1 2
0000
Observe que pela tabela temos:I. f(x) é negativa para x < 1, é nula para x = 1 e é po-
sitiva para x > 1.II. g(x) é positiva para x < 2, é nula para x = 2 e é ne-
gativa para x > 2.III. f(x) · g(x) é negativa para x < 1 ou x >2 , é nula para
x = 1 ou x = 2 e é positiva para 1 < x < 2Como queremos f(x) · g(x) ≥ 0, o intervalo que nos inte-ressa é: 1 ≤ x ≤ 2.Portanto: S = {x ∈ 1 ≤ x ≤ 2}
3. Inequação quocienteSe f e g são funções de variável real x, chamam-se ine-quações quociente ou fracionável as sentenças dadas por:
f xg xf xg xf xg xf xg xf xg x
( )( )
;
( )( )
;
( )( )
;
( )( )
;
( )( )
;
≤
≥
<
>
≠
0
0
0
0
0
A resolução de uma inequação quociente é parecida com a resolução de inequação produto, pois a regra do sinal da divisão de dois termos é a mesma para o produto de dois fatores. Há uma observação importante a se fazer no caso da inequação quociente: nunca poderá(ão) ser usada(s) raiz(raízes) proveniente(s) do denominador (não está de-finida a divisão por zero).Exemplo – Resolver, em , a inequação
xx
−−
≥1
20 .
Resolução:x
x−−
≥1
20
44
PV3A
-12-
12
411Matemática
EXERCÍCIoS RESolVIdoS
Denominaremos x – 1 de f(x) e 2 – x de g(x).
Agora, o problema se resume em analisar f xg x( )( )
≥ 0 .
Como os sinais de f(x) e g(x) foram estudados anterior-mente, temos:f(x) = x – 1; sinal de f(x)
x− +
10
g(x) = 2 – x; sinal de g(x)
x+ −
20
Com os sinais de f(x) e de g(x), vamos analisar o sinal do quo-
ciente f xg x( )( )
. Novamente será útil utilizar a tabela de sinais.
f(x)g(x)
f(x) · g(x)
− + ++ + −− + −
1 2
1 2E
0
00
Observe que pela tabela temos:I. f(x) é negativa para x < 1, é nula para x = 1 e é po-
sitiva para x > 1II. g(x) é positiva para x < 2, é nula para x = 2 e é ne-
gativa para x > 2
III. f xg x( )( )
é negativa para x < 1 ou x > 2, é nula para
x = 1, é positiva para 1 < x < 2 e não está definida para x = 2.
Quando 1 ≤ x < 2, temos f xg x( )( )
≥ 0.
Portanto: S = {x ∈ 1 ≤ x < 2}
01. F.M. Jundiaí-SPO número a pertence ao conjunto solução da inequação
apresentada a seguir se, e somente se, − +− +x
x x3
4 32≤ 0.
a. a > 1b. a > 1 e a ≠ 3c. 1 < a < 3d. a ≤ 1 ou a > 3e. a ≤ –1 ou a ≥ 3
Resolução
− +− ⋅ +
≤x
x x3
4 30
2
f(x) = – x + 3
Sinal de f(x)
raiz: x = 3 −
+3
x
g(x) = x2 – 4x + 3 Sinal de g(x)
raízes: x = 1 ou x = 3 +
−
+1 3
x
Análise dos sinais
fg
+ + −+ − ++ − −
1 3
1 3EEf
g
0 00
S = {x ∈ x > 1 e x ≠ 3}Se a pertence a S, então a > 1 e a ≠ 3.RespostaB
45
PV3A
-12-
12
411 Matemática
EXERCÍCIoS dE APlICAÇÃo
02. uFC-CEO domínio da função real g(x) =
xx
−−
27
é:
a. {x ∈ x > 7}b. {x ∈ x ≤ 2}c. {x ∈ 2 ≤ x < 7}d. {x ∈ x ≤ 2 ou x > 7}e. {x ∈ x < 2 ou x ≥ 7}
Resoluçãog(x) está definida se o radicando
xx
−−
27
for maior ou igual a zero.xx
−−
≥27
0
h(x) = x – 2 Sinal de h(x)
raiz: x = 2 x−
+2
f(x) = x – 7 Sinal de f(x)
raíz: x = 7 x−
+7
Análise de sinais
− + +− − ++ − +
2 7
2 7E
hfhf
0
00
Portanto, D = {x ∈ x ≤ 2 ou x > 7}RespostaD
01. uFMG Neste plano cartesiano, estão representados os gráficos das funções y = f(x) e y = g(x), ambas definidas no inter-valo aberto ]0, 6[ :
g g
f
f
f10
y
23 4 5
6g
x
Seja S o subconjunto de números reais definido porS = {x ∈ ; f(x) · g(x) < 0}Então, é correto afirmar que S é:
a. {x ∈ ; 2 < x < 3} ∪ {x ∈ ; 5 < x < 6}.b. {x ∈ ; 1 < x < 2} ∪ {x ∈ ; 4 < x < 5}.c. {x ∈ ; 0 < x < 2} ∪ {x ∈ ; 3 < x < 5}.d. {x ∈ ; 0 < x < 1} ∪ {x ∈ ; 3 < x < 6}.
Resolução
f(x)g(x)
f(x) · g(x)−−
+ +−+
+−
− −++
0 2 3 5 6
0 2 3 5 6
Então, f(x) · g(x) < 0 para 2 < x < 3 ou 5 < x < 6RespostaA
46
PV3A
-12-
12
411Matemática
02. uFF-RJ adaptadaUma parte do esboço do gráfico de uma função polino-
mial f x x x x( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅ − ⋅ +14
2 3 3 é dada na figura:
4,5
2,0
0 1 2 x
y
Determine o(s) intervalo(s) em que f é positiva.
03. FGV-SPSeja D o conjunto dos números reais x para os quais xx
+−
≥12
4 . Então, D é conjunto dos x reais tais que:
a. x e x≤ ≠92
2
b. 2 < x ≤ 3c. x > 2d. x < 2 ou x > 3e. –1 ≤ x < 2
Resolução
f x x x x( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅ − ⋅ +14
2 3 3
Vamos analisar os sinais de três fatores de f(x).y1 = x – 2 Sinal de y1
raiz: x = 2 x−
+2
y2 = x – 3 Sinal de y2
raiz: x = 3 x−
+3
y3 = x + 3 Sinal de y3
raiz: x = – 3 x−
+−3
Análise dos sinais:
− + +− − +− + +
2
2
−3 3y1
y2
y3
− −
−−++ +
−3 3f
Desse modo, f é positiva para – 3 < x < 2 ou x > 3.Resposta] – 3; 2 [∪] 3; ∞ [
Resoluçãoxx
xx
x xx
xx
+−
≥ ⇒+−
− ≥
+ − ⋅ −−
≥ ⇒− +
−≥
12
412
4 0
1 4 22
03 9
20
( )
y1 = – 3x + 9 x−
+3
y2 = x – 2 x−
+2
y1:y2:Q:
+ + −− + +− + −
2 3
E
0
00
S = {x ∈| 2 < x ≤ 3}RespostaB
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12
411 Matemática
04.
Resolver, em , a inequação (x – 2)6 · (8 – x)5 > 0.
05. Resolver, em , a inequação (x – 1) · (x2 + x + 1) ≥ 0
EXERCÍCIoS EXTRAS
orientação ao professor – O exercício 1, que utiliza grá-ficos, ilustra de modo claro o significado do produto de imagens para analisar inequação produto/quociente, em que o problema se resume no fato de o produto/quo-ciente ter resultado positivo ou negativo. Os exercícios 2 e 3 estão resolvidos de modo a enfatizar "conhecer o sinal do produto ou quociente a partir do sinal de cada função", construindo o quadro de sinais. O Exercício Ex-tra 4 complementa o estudo utilizando potências.