CAPITOLUL 5

MAINI TURING

5.1. INTRODUCERE I DEFINIII

n capitolele precedente am introdus diferite tipuri de dispozitive

automate, cum sunt mainile cu stri finite i automatele push-down, care

sunt menite s recunoasc limbaje generate de gramatici. Numrul

tipurilor de limbaje recunoscute de automatele finite a fost foarte restrns

limbaje cu gramatic regular. Automatele push-down s-au dovedit a fi

dispozitive mai puternice; de fapt, orice limbaj independent de context a

fost recunoscut de un APD (eventual nedeterminist). Dar, chiar i

mainile au limitele lor; de pild, un limbaj aparent simplu

{ | 0,1,2, }n n na b c n = K nu este recunoscut de nici un PDA. (Vezi exemplul4.6.) Am discutat i maini cu output (paragrafele 3.4. i 4.3). Ele pot fi

vzute ca modele matematice a unui concept de algoritm intuitiv: Pentru

un input dat (sub forma unui ir finit de simboluri pe o band), maina

opereaz asupra acestui input i produce diferite output-uri. Procesul de

calcul n aceste maini const n schimbarea strilor interne i

modificarea diferiilor pointeri (input, stiv i/sau output). n acest capitol

vom studia un alt dispozitiv, numit main Turing, care nglobeaz toate

aceste caracteristici, i este mai puternic dect toate mainile discutate

pn acuma. Mainile Turing par a fi cele mai puternice dispozitive

automate posibile ele sunt n esen definiia matematic exact, a

conceptului de algoritm sau procedur. Din acest motiv au fost introduse

n 1936 de Alan Turing, vezi [19]. Vom discuta aceste idei mai trziu, dar

n esen avem urmtoarea situaie.

Un algoritm poate fi vzut ca o mulime de instruciuni, sau dac

dorim ca o carte de bucate, folosit de o main care va aciona asupra

diferitelor tipuri de input-uri. Input-urile pot fi vzute ca o mulime finit

de simboluri care urmeaz a fi citite de o main (unul cte unul), i

programul sau instruciunile care arat mainii ce are de fcut dup citirea

fiecrui astfel de simbol. n esen, acesta este comportamentul mainilor

Turing, ns partea interesant este faptul c orice definire rezonabil,

precis a unui algoritm este echivalent cu conceptul de main Turing.

Pe de alt parte, un algoritm este definit ca o main Turing.

n esen, o main Turing este compus dintr-un numr finit de

stri i o band. Banda este mprit ntr-un numr infinit (numerabil) de

celule i este infinit la dreapta. Mainile Turing pot fi reprezentate ca n

figura 5.1.

Figura 5.1. O main Turing.

Maina are n plus un pointer (cap) de citire/scriere care n otice moment

dat puncteaz spre una dintre celulele de pe band. De asemenea mai ar o

mulime finit de simboluri, numit alfabetul benzii. Elementele din sunt simbolurile admise n celulele de pe band un simbol pe celul.

Unul dintre aceste simboluri este dedicat i se numete simbolul blank, l

vom nota ntotdeauna cu #. Dac simbolul # apare ntr-o celul spunem

c celula este blank. n orice moment dat exist doar un numr finit de

celule care conin un simbol ne-blank, toate celelalte celule sunt blank.

Aadar, toate celulele din dreapta unei celule sunt blank. Maina opereaz

n pai discrei. La orice moment dat se afl ntr-o stare Q iar capul ei de

citire puncteaz spre o celul care conine un simbol x . Pe bazaacestor informaii i numai acestora, maina efectueaz urmtoarele trei

operaii:

1. Trece ntr-o stare nou Q .

2. nlocuiete simbolul x, scanat anterior de capul de citire, cu alt

simbol x din .3. Mut capul cu o celul la dreapta sau la stnga, sau deloc.

Aceste trei aciuni, executate mpreun, se numesc micare. Dup

efectuarea unei micri maina se afl ntr-o alt stare i citete alt

simbol, deci execut alt micare iar procedeul se repet. Iniial, maina

se afl ntr-o stare iniial special, pe care de obicei o vom nota 0Q iar

banda este umplut cu secvene de simboluri din . Coninutul iniial albenzii va fi numit input. Vom presupune ntotdeauna c input-ul conine

doar un numr finit de celule ne-blank. Aadar, cu aceste setri iniiale,

maina intr n execuie. Ea se va opri n urmtoarele trei situaii:

1. Una din strile mainii este desemnat ca stare de oprire i va fi

ntotdeauna notat cu H. Dup ce maina intr n aceast stare H ea se

oprete i-i termin activitate. Spunem n acest caz c maina s-a oprit.

2. Capul de citire/scriere puncteaz spre cea mai din stnga celul

de pe band i instruciunile cer capului s se deplaseze cu o celul la

dreapta. n aceast situaie maina nceteaz s opereze; vom spune c

maina s-a blocat.

3. Pentru starea curent i simbolul pe care se afl poziionat capul

nu exist instruciuni n programul mainii. Dac aceasta are loc, spunem

de asemenea c maina s-a blocat.

Aadar, fiind dar un input-ul iniial, maina ncepe n starea iniial

0Q i trece prin stri n timp ce opereaz asupra benzii de intrare. Ea poate

aciona nedefinit, se poate opri sau se poate bloca. Formal avem:

Definiia 5.1. O main Turing T se compune din urmtoarele

patru obiecte:

1. O mulime finit de stri Q. Unul dintre elementele din Q este

denotat prin H i se numete starea de oprire.

2. O mulime finit de simboluri , numit alfabetul benzii. Unuldintre elementele din este # i poart denumirea de simbolblank. Se presupune c simbolurile L, R, i S nu aparin lui .

3. O stare specificat 0Q din Q numit stare iniial.

4. O funcie de tranziie ( , )Q x definit pentru toate perechile deforma ( , )Q x unde QQ (Q H ) i x . Valoarea lui ( , )Q xeste un triplet ( , , )Q x N unde QQ , x i , , sau N L R S= .Formal,

: (Q \{ }) { , , }H Q L R S ,

cu precizarea c funcia nu trebuie s fie definit pentru toatevalorile de Q i x.

O astfel de main Turing se noteaz 0{ , , , }T Q Q = . Funcia detranziie ( , ) ( , , )Q x Q x N = se interpreteaz astfel: Dac maina se afl nstarea Q i capul ei de citire/scriere puncteaz la simbolul x, atunci T trece

n starea Q , nlocuiete x cu x i deplaseaz capul cu o celul spre

dreapta ( N R= ), o celul spre stnga (dac N I= ) sau rmne neschimbat(dac N S= ).

nainte de a prezenta un exemplu, vom elabora o notaie pentru

descrierea configuraiilor mainilor Turing. ntruct n orice moment dat

banda mainii conine doar un numr finit de simboluri ne-blank,

coninutul unei astfel de benzi este descris complet prin listarea prii

stngi a benzii inclusiv ultimul simbol ne-blank. Pentru evitarea unor

ambiguiti de pild, cnd banda este complet goal descriem

coninutul benzii cu trei simboluri: 1 , x i 2 , unde 1 este coninutulbenzii din partea dreapt a capului, inclusiv ultimul simbol ne-blank.

Fiecare dintre irurile 1 i 2 poate fi irul vid : Dac 1 = , capulpuncteaz la cea mai din stnga celul a benzii, dac 2 = , toate celuleledin dreapta capului sunt blank (adic, conin simbolul #). Configuraia

unei maini Turing este atunci definit ca fiind cvadruplul 1 2, , , Q x ,unde Q este starea curent iar 1 , x i 2 sunt cele descrise mai sus.Astfel, de exemplu, configuraiile (i) i (ii) din figura 5.2. sunt

4 , # , #, Q a ba a respectiv 5 , , #, Q aba . Dac nu exist pericol deconfuzie, este convenabil s combinm irurile 1 , x i 2 ntr-un singurir 1 2x i s subliniem poziia capului (adic, simbolul x). Aadar,

1 2, , , Q x este scris ca 1 2, , , Q x . Configuraiile din figura 5.2.

vor fi atunci 4 , # #Q a ba a i 5 , #Q aba . Configuraia unei maini ntr-o

stare Q, cu banda complet goal i cu capul punctnd spre celula cea mai

din stnga este atunci , #Q .

Figura 5.2. Configuraia unei maini Turing.

Presupunem acum c maina Turing se afl n configuraia

1 2, Q x i n urma aplicrii unei funcii de tranziie trece nconfiguraia 1 2 , Q x . Notm aceasta

1 2 1 2 , , Q x Q x

Dac maina T trece din configuraia 1 2, Q x n 1 2 , Q x printr-osecven de mai multe micri, notm aceasta

*

1 2 1 2 , , Q x Q x

Notaia aceasta este complet analoag cu cea folosit la descrierea

micrilor unei maini cu stri finite sau automat push-down. n aceeai

manier, mainile Turing pot fi reprezentate prin diagrame similare celor

ale mainilor cu stri finite. Dac 0{Q, , , }T Q = este o main Turing,

(i) (ii)

pentru fiecare valoare ( , ) ( , , )Q x Q x N = desenm o sgeat ntre strile Qi Q , ca n figura 5.3.

Figura 5.3. Tranziia unei maini Turing.

5.2. MAINI TURING CA PROCEDURI DE DECIZIE

Mainile Turing pot fi utilizate ca acceptori de limbaje. Prin

aceasta nelegem c o main Turing LT T= recunoate un limbaj L dat,dac T poate determina dac un ir este n L sau nu. O astfel de mainTuring este vzut ca o procedur de decizie de apartenen la un

limbaj. Aceasta este analog cazului mainilor cu stri finite. Caz n care,

dat fiind un limbaj L i o MSF M care recunoate L, am putut determina

pentru orice ir dac aparine sau nu lui L. Procedura era simpl: Ampornit M n starea iniial cu input-ul i am observat comportamentullui M. Dac M s-a oprit ntr-o stare acceptat, era n L, dac M s-a opritntr-o stare neacceptat n-a fost n L. n cazul mainilor Turing,informaia dac un ir dat aparine sau nu limbajului, este afiat pe band.

Formal avem urmtoarele.

Definiia 5.2. Presupunem c L este un limbaj peste un alfabet ;pentru simplificare presupunem c nu conine simbolurile # i $.Spunem c L este recunoscut n sens Turing, dac exist o main Turing

LT T= cu urmtoarele proprieti:

unde , sau N L R S=

1. Alfabetul de band a lui T conine { , #}S (poate conine i altesimboluri);

2. Presupunem c este un ir de simboluri din ( * ) iconsiderm maina T n configuraia iniial 0 , $Q . Dac esten L, maina T se va opri n configuraia , $H Y ;

*

0 , $ , $Q H Y pentru L ;

Dac nu este n L, atunci maina se va opri n configuraia, $H N :

*

0 , $ , $Q H N pentru L .

Maina Turing trebuie s se opreasc pentru toate input-urile valide,

adic, ori de cte ori este pornit n configuraia 0 , $Q cu * .Aceasta nseamn c T poate decide problema apartenenei pentru orice

ir * . Din acest motiv, limbajele recunoscute de o main Turing senumesc i recunoscute n sens Turing. Deci, un limbaj poate fi descris i

de o main Turing bazat pe faptul dac maina se oprete, sau nu, cu un

ir dat. Spunem c un limbaj este acceptat de o main Turing LT T= dacL se compune din acei pentru care T, eventual, odat pornit nconfiguraia 0 , $Q , se va opri (coninutul benzii n momentul intrriin starea de oprire este vid). Dac un limbajul L este acceptat de o main

Turing, spunem c L este acceptabil Turing. Aceast metod de descriere

a unui limbaj este complet diferit de ceea dat anterior i o vom discuta

detaliat n capitolul 9. Pentru clarificarea acestor concepte, s considerm

unele exemple.

Exemplu 5.1. Vom proiecta o main Turing care va recunoate

limbajul

{1 | 1,3,5, }nL n= = K

adic, limbajul irurilor formate dintr-un numr impar de 1-uri. Ideea de

baz a unei astfel de maini T este urmtoarea: Pornit n configuraia

0 , $11 1Q K va muta capul spre dreapta, alternnd ntre dou stri pentru

a contoriza numrul de 1-uri, pn cnd ntlnete #. Atunci se va deplasa

la stnga, nlocuind toate simbolurile de band cu #, pn ce ajunge

captul stng al benzii; apoi scrie Z pe band i se oprete. Descrierea

formal a mainii este urmtoarea:

1. Alfabetul este {$, 1, , , #}Y N .2. Strile sunt: 0Q , starea iniial; 1Q , numr par de 1-uri ntlnite

pn aici; 2Q , numr impar de 1-uri ntlnite pn aici; 3Q , numrul

de 1-uri din este par, mut capul napoi pe $; 4Q , numrul de1-uri din este impar, mut capul napoi pe $; 5Q , scrie Y i seoprete; 6Q , scrie N i se oprete; H, starea de oprire.

3. Funcia de tranziie este dat de diagrama din figura 5.4.

Figura 5.4. Main Turing care recunoate un limbaj.

n figura 5.5. valorile funciei de tranziie sunt date sub form tabelar.

Funcia nu este definit pentru toate valorile de Q i x. Considermacum, ca exemplu, micrile mainii la input-urile 1 111 = i 2 1111 = .Cu input-ul 1 avem

0 1 2 1

2 4 4 4

4 6

, $111 , $111 , $111 , $111, $111# , $111 , $11 , $1, $ , $ # , $ se oprete, irul de intrare este n .

Q Q Q QQ Q Q QQ Q H H L

Simbol de band x

1 $ # Y N

0Q 1( , $, )Q R

1Q 2( , 1, )Q R 3( , #, )Q L

2Q 1( , 1, )Q R 4( , #, )Q L

3Q 3( , #, )Q L 5( , $, )Q L 3( , #, )Q L

4Q 4( , #, )Q L 6( , $, )Q R 4( , #, )Q L

5Q ( , , )H N L

6Q ( , , )H N L

S

t

a

r

e

H

Figura 5.5. Valorile funcie de tranziie .

Cu input-ul 2 avem

0 1 2 1

2 1 3 3

3 3 3 5

, $1111 , $1111 , $1111 , $1111, $1111 , $1111# , $1111 , $111, $11 , $1 , $ , $ # , $

se oprete, irul de intrare nu este n .

Q Q Q QQ Q Q QQ Q Q Q H N

L

Aceast main, fiind simpl i direct, nu este foarte interesant.

Limbajul din cauz a fost deja recunoscut de un automat finit. Dm acum

un exemplu de main Turing care va recunoate limbajul

{ | 0,1, 2, }n n nL a b c n= = K , despre care tim c nu este acceptat de vreunautomat push-down, vezi exemplul 4.7.

Exemplu 5.2. Construim o main Turing care recunoate limbajul

{ | 0,1, 2, }n n nL a b c n= = K . Maina T se va comporta n felul urmtor: Fiinddat un ir de a-uri, b-uri i c-uri ( *( ) + +a b c ), maina, odat pornitn configuraia 0 , $Q , se va opri n configuraia , $H Y dac caparine limbajului sau n , $H N dac nu aparine limbajului. Oscurt privire asupra operaiilor ei este urmtoarea:

1. Va avea strile 1C , 2C , 3C . Dac T decide c aparine limbajului,va intra n starea 1C urmnd s goleasc banda i se oprete n

configuraia , $H Y .

2. Va avea strile 1D , 2D , 3D . Dac T decide c nu aparinelimbajului, va intra n starea 1D i trece n configuraia , $H N .

3. Va utiliza strile 1 5E E pentru a determina dac este de formai j ka b c , adic, dac * * * a b c . Aceasta se face, ncepnd din

configuraia 1, $E , prin deplasarea capului spre dreapta iintrarea n starea 2E . Dac este ntlnit a, capul continu s se

deplaseze la dreapta ateptnd apariia lui b, la care T intr n starea

3E . Capul se deplaseaz atunci din nou spre dreapta pn cnd este

ntlnit c iar starea se schimb n 4E . Capul continu deplasarea

spre dreapta pn ce ntlnete #, deci * * * a b c . Dac ceva mergegreit, maina intr n starea 1D .

4. Mai departe, se determin dac numrul de a-uri, b-uri i c-uri este

acelai. n aceste moment se tie deja c irul este de formai j ka b c , deci mai trebuie verificat dac i j= i j k= . Pentru a

verifica c numrul de a-uri i b-uri este acelai, capul este

poziionat la nceputul irului i oscileaz, nainte i napoi, ntre

a-uri i b-uri. De fiecare dat cnd ntlnete un a, acesta se

schimb n p, iar capul se deplaseaz la dreapta pentru a gsi un b.

Odat gsit, este schimbat n q, iar capul se deplaseaz napoi

pentru a gsi alt a. Dac nu mai gsete nici unul, maina verific

dac exist b-uri nemarcate, adic, dac toi b au fost schimbai n

q-uri. Din nou, dac merge ceva greit, maina intr n starea 1D .

Toate acestea au loc n timp ce maina rmne ntr-una din strile

1F , 2F , 3F , 4F . Mai rmne de artat c numrul de p-uri este egal

cu numrul de c-uri (fiecare a a fost schimbat n p, deci exist

attea p-uri ci au fost de a). Aceasta are loc n timp ce maina se

mic ntre strile 1G , 2G , 3G ; ideea este aceeai ca la compararea

de a-uri i b-uri.

Aceasta nu este cea mai eficient modalitate de construire a mainii

discutate; schema a fost aleas doar din motive de claritate. Formalitile

construcie sunt urmtoarele:

1. Maina are urmtoarele stri:

0Q , 1Q pentru pornirea operaiei; (aici se determin i dac = )1C , 2C , 3C pentru golire dup ce s-a determinat c L 1D , 2D , 3D pentru golire dac s-a determinat c L 1E , 2E , 3E , 4E , 5E pentru a determina dac * * * a b c1F , 2F , 3F , 4F pentru a determina dac numrul de a-uri i b-uri

este acelai

1G , 2G , 3G pentru a determina dac numrul de a-uri i c-uri este

acelai

2. Alfabetul benzii este {$, , , , , , , , , , #}a b c p q r s Y N = .3. Starea iniial este 0Q .

4. Funcia de tranziie este dat dup cum urmeaz:

Strile 1C , 2C i 3C : Dac maina intr n starea 1C , a determinat c

irul este n limbaj iar tot ce rmne de fcut sunt operaii degolire:

1 1( , ) ( , , )C x C x R = pentru toi #x (Localizeaz primul simbol dindreapta)

1 2( , #) ( , #, )C C L =

2 2( , ) ( , , )C x C x L = pentru toi $x (terge toate simbolurile de peband exceptnd $)

2 3( , $) ( , $, )C C R =

3( , #) ( , , )C H Y L = Scrie Y pe band i se oprete.

Strile 1D , 2D i 3D : Micrile sunt la fel ca mai sus, cu excepia c

simbolul N trebuie scris la sfrit:

1 1( , ) ( , , )D x D x R = pentru toi #x 1 2( , #) ( , #, )D D L =2 2( , ) ( , #, )D x D L = pentru toi $x 2 3( , $) ( , $, )D D R =3( , #) ( , , )D H N L =

Strile 1 5E E . Pornim n configuraia 1, $E , ne deplasm ladreapta, ateptnd s gsim un ir de a-uri urmat de o secven de

b-uri, urmate de c-uri iar n final #. Dac aceasta are loc, ntoarcem

capul la $ i trecem la urmtoarea etap. Orice deviere de la ceea

ce ne ateptm rezult n schimbarea n starea 1D . Avem:

1 2( , $) ( , $, )E E R = 2 2( , ) ( , , )E a E a R =2 3( , ) ( , , )E b E b R = 3 3( , ) ( , , )E b E b R =3 4( , ) ( , , )E c E c R = 4 4( , ) ( , , )E c E c R =4 5( , #) ( , #, )E E L =

n acest moment maina a determinat c * * * a b c , deci trebuie smute capul napoi la $ i s continue cu urmtorul set de teste:

4 5( , ) ( , , )E x E x L = pentru toi $x , 5 1( , $) ( , $, )E F S = . n toatecelelalte cazuri, 1( , ) ( , , )jE x D x R = . (Continu cu respingere.)

Strile 1 4F F : Obiectivul este aici de a determina dac numrul dea-uri este acelai cu numrul de b-uri. ntruct am ajuns

configuraia 1, $F , suntem asigurai c este de forma i j ka b c .ncepem cu mutarea capului spre dreapta pn la gsirea lui a.

Atunci starea va fi schimbat n 2F i a nlocuit cu p. Capul va

continua s se deplaseze la dreapta (presupunnd numai a-uri i

q-uri pe acest drum) pn ce ntlnete un b. La ntlnirea unui b,

acesta se schimb n q, capul se ntoarce la celula cea mai din

stnga ($) i procedeul ncepe de la nceput. irul trece de testulde apartenen la L dac ncepnd de la $ i mergnd spre dreapta,

maina nu gsete nici un a sau b tot ce vede sunt p-uri i q-uri

iar apoi d de un c. Detaliat avem:

1 1( , ) ( , , )F x F x R = pentru $, ,x p q= ; 1 2( , ) ( , , )F a F p R = (Gsete imarcheaz un a.)

2 2( , ) ( , , )F x F x R = pentru ,x a q= ; 2 3( , ) ( , , )F b F q L = (Gsete imarcheaz un b.)

3 3( , ) ( , , )F x F x L = pentru $x ; 3 1( , $) ( , $, )F F R = (ncepe din noucutarea unui a.)

1 4( , ) ( , , )F c F c L = ; (Toate a-urile i b-urile sunt potrivite, estetimpul pentru a vedea dac numrul de p-uri este egal cu numrul

de c-uri.)

4 4( , ) ( , , )F x F x L = pentru toi $x ; 4 1( , $) ( , $, )F G S =n toate celelalte situaii 1( , ) ( , , )jF x D x R = (irul nu este din L).

Strile 1 3G G . Aici se determin dac numrul se a-uri (p-uri) esteegal cu numrul de c-uri. Ideea de baz este analoag

comportamentului din strile F; formularea exact este urmtoarea:

1 1( , ) ( , , )G x G x R = pentru $, , ,x r p s= ; 1 2( , ) ( , , )G p G r R = (Gsetei marcheaz un p.)

2 2( , ) ( , , )G x G x R = pentru , ,x p q s= ; 2 3( , ) ( , , )G c G s L = (Gsete imarcheaz un c.)

3 3( , ) ( , , )G x G x L = pentru $x ; 3 1( , $) ( , $, )G G R = (Caut din nouun p.)

1 1( , #) ( , #, )G C L = (Numrul de p-uri este egal cu numrul de c-urideci L .)n toate celelalte situaii 1( , ) ( , , )jG x D x R = .

n final, ntreaga operaia ncepe n configuraia 0 , $Q . Aadar:

0 1( , $) ( , $, )Q Q R = ; 1 1( , #) ( , #, )Q C R = (irul = , continupentru acceptare)

1 1( , ) ( , , )Q x E x L = pentru restul de x-uri. (ncepe cu testarea.)

Ilustrm comportarea lui T cu input-ul aabbcc = . Micrile sunt:

0 1 1 2

2 2 3 3

4 4 5 5

5 5 5

, $ , $ , $ , $, $ , $ , $ , $, $ , $ # , $ , $, $ , $

Q aabbcc Q aabbcc E aabbcc E aabbccE aabbcc E aabbcc E aabbcc E aabbccE aabbcc E aabbcc E aabbcc E aabbccE aabbcc E aabbcc E

5

5 1 1 2

2 3 3 3

1 1 2 2

3

, $ , $, $ , $ , $ , $, $ , $ , $ , $

, $ , $ , $ , $

, $

aabbcc E aabbccE aabbcc F aabbcc F aabbcc F pabbccF pabbcc F paqbcc F paqbcc F paqbcc

F paqbcc F paqbcc F ppqbcc F ppqbcc

F p

3 3 3

1 1 1 1

1 4 4 4

4 4 1

, $ , $ , $

, $ , $ , $ , $

, $ , $ , $ , $

, $ , $ , $

pqqcc F ppqqcc F ppqqcc F ppqqcc

F ppqqcc F ppqqcc F ppqqcc F ppqqcc

F ppqqcc F ppqqcc F ppqqcc F ppqqcc

F ppqqcc F ppqqcc G ppqqc

1

2 2 2 2

3 3 3 3

3 1 1 2

2

, $

, $ , $ , $ , $

, $ , $ , $ , $

, $ , $ , $ , $

, $

c G ppqqcc

G rpqqcc G rpqqcc G rpqqcc G rpqqcc

G rpqqsc G rpqqsc G rpqqsc G rpqqsc

G rpqqsc G rpqqsc G rpqqsc G rrqqsc

G rrqqsc

2 2 3

3 3 3 3

3 1 1 1

1 1 1 1

, $ , $ , $

, $ , $ , $ , $

, $ , $ , $ , $

, $ , $ , $ ,

G rrqqsc G rrqqsc G rrqqss

G rrqqss G rrqqss G rrqqss G rrqqss

G rrqqss G rrqqss G rrqqss G rrqqss

G rrqqss G rrqqss G rrqqss G

1 1 2 2

2 2 2 2 2

3

$ #

, $ , $ # , $ , $, $ , $ , $ , $ , $

, $ # , $ irul este n limbaj.

rrqqss

C rrqqss C rrqqss C rrqqss C rrqqsC rrqq C rrq C rr C r C

C H Y

5.3. CALCULE CU MAINI TURING

n exemplele 5.1. i 5.2. am reconstruit maini Turing care serveau

rolului de a recunoate diferite tipuri de limbaje. Maina a decis dac un

ir de intrare dat a fost valid sau nu, adic, au decideau dac un ir dat

aparinea unor limbaje anume. Mainile Turing pot deservi i rolul de

calculator sau computer. Mai precis, dac presupunem c ( )f n este o

funcie de o variabil n care s fie un ntreg pozitiv, i presupunem c

valorile lui f sunt de asemenea ntregi pozitivi ( :f + + ). Spunem c feste calculabil Turing dac exist o main Turing fT cu urmtoarea

proprietate: Pentru un input oarecare format din n de 1, maina fT va

trece din configuraia iniial

0de ori 1

, $111 1n

Q K 123

n configuraia de oprire

de ( ) ori 1

, $ 111 1f n

H K 123

Exemplu 5.3. Vom construi un exemplu de main Turing T

pentru funcia ( ) 2f n n= . Practic, maina va funciona n felul urmtor:

1. Pornind din cea mi din stnga celul a benzii, maina se deplaseaz

la dreapta pn ce gsete simbolul 1. Odat ntlnit, 1 este nlocuit

cu a iar capul continu s se deplaseze spre dreapta pn ce a

ntlnit i nlocuit primul simbol blank # cu b.

2. Capul se ntoarce la celula cea mai din stnga i ncepe cutarea

unui alt 1. Odat gsit, acest 1 este din nou nlocuit cu a iar primul

simbol blank cu b.

3. Pasul 2 se repet atta timp ct mai sunt 1-uri n input-ul. De vreme

ce nu mai exist 1-uri, banda va conine n de a i n de b. Toate

acestea sunt din nou nlocuite cu 1 iar maina se oprete.

Formal, aceast main este schiat de diagrama din figura 5.6.

Starea 1Q este folosit pentru gsirea i nlocuirea urmtorului 1 cu a, 2Q

gsete primul # disponibil i-l nlocuiete cu b, 3Q mut capul napoi pe

cea mai din stnga celul, 4Q nlocuiete a-urile i b-urile cu 1-uri i trece

n starea de oprire la apariia lui $. Alfabetul benzii este {1, , , $, #}a b = .Simbolul $ este introdus aici, ca i n exemplul anterior, pentru

simplificare pentru a marca cea mai din stnga celul a benzii dar poate

fi omis, ceea ce ar face maina mai complicat. Considerm, de pild,

micrile acestei maini la input-ul 11 = :

0 1 2 2

3 3 3 1

1 2 2 3

3 3 3 1

1 1

, $11 , $11 , $ 1 , $ 1#, $ 1 , $ 1 , $ 1 , $ 1, $ 1 , $ , $ # , $, $ , $ , $ , $, $ , $

Q Q Q a Q aQ a b Q a b Q a b Q a bQ a b Q aab Q aab Q aabbQ aabb Q aabb Q aabb Q aabbQ aabb Q aab

1 1

4 4 4 4

4

, $ , $ #, $ , $ 1 , $ 11 , $ 111, $1111 , $1111 O alt demonstraie c 2*2 4.

b Q aabb Q aabbQ aabb Q aab Q aa Q aQ H

=

Figura 5.6. O main Turing care calculeaz.

Conceptul funciilor calculabile nu trebuie restrns doar la funciile

ntregi. O funcie calculabil pot fi vzut ca algoritm sau set de

reguli, care pentru un argument (input) dat, format dintr-un ir finit de

simboluri, produce o valoare (output), compus la rndul ei dintr-un ir

finit de simboluri (potenial diferite).

Definiia 5.3. Fie 1 i 2 dou alfabete (mulimi finite, nevide desimboluri), care, pentru simplificare, presupunem c nu conin

simbolurile $ i #. Fie ( )f o funcie a crei argumente sunt iruri desimboluri din 1 i ai crei valori sunt iruri de simboluri din 2 .Presupunem c f este definit pentru toate irurile ca mai sus

* *1 2:f . Spunem c f este calculabil Turing dac exist o main

Turing fT astfel nct oricnd ( )f = , maina fT va trece dinconfiguraia iniial 0 , $Q n configuraia de oprire , $H . Cu altecuvinte fT va transforma input-ul n output-ul ( )f .

Definiia acoper toate situaiile posibile. De exemplu, o funcie de

valori ntregi cu trei variabile ( , , )w f x y z= este calculabil Turing dacexist o main Turing fT care va transforma un input-ul

{ { {1 2 3de ori de ori de ori

11 1| 11 1| 11 1x y z

e e eK K K

n

{de ( , , ) ori

11 1f x y z

e K

Acele e-uri pot fi irul vid, +, sau iar | este un separator. Aadar, dac

( , , ) 3 4w f x y z x y z= = , astfel ca (1,2, 3) 2f = , maina Turing pentru f

are de transformat irul 1|11| 111 n 11 , adic, trece din configuraia0 , $1|11| 111Q n , $ 11H .

Mainile Turing sunt acceptate ca noiuni precise a unor concepte

vagi de algoritm sau procedur efectiv. Astfel, a spune c exist un

algoritm pentru rezolvarea unei probleme este echivalent cu a spune c

exist o main Turing care, alimentat cu o band care conine

descrierea acestei probleme, va executa o secven finit de micri i se

va opri cu banda coninnd soluia problemei. Exist alte definiri de

algoritmi i funcii efectiv calculabile, dar ele sunt echivalente cu cea dat

anterior. Afirmaia c orice procedur efectiv calculabil, sau orice

algoritm, poate fi implementat de o main Turing este cunoscut sub

numele de tez Church-Turing (vezi [6] i [19]). Desigur nu poare fi

demonstrat, dar este aproape universal acceptat. Aceasta conduce n mod

natural la ntrebarea dac orice funcie este calculabil i dac orice

problem are un algoritm care s-o rezolve. Mai exact prin aceasta se

nelege urmtorul lucru:

1. Este adevrat c pentru o funcie oarecare dat :f , exist omain Turing fT care pentru orice n va executa urmtoarea secven de

micri:

{ {*

0de ori 1 de ( ) ori 1

, $11 1 , $ 11 1n f n

Q H K K

2. ntrebarea Are fiecare problem un algoritm care o va rezolva?

este desigur prea vag i neprecis pentru orice analiz matematic

raional. O vom formula astfel: Presupus c C este o clas de probleme,

fiecare din ea putnd fi complet descris de un numr finit de simboluri

dintr-un alfabet fixat . n plus se presupune c fiecare problem din C

este bine definit, adic, poate fi rspuns cu Da sau Nu. A ntreba de

existena unui algoritm pentru a rezolva toate problemele din C nseamn

a ntreba urmtoarele: Exist o main Turing CT care pornit n

configuraia 0 , $Q , unde este descrierea unei probleme din C, se vaopri n configuraia , $H Y dac rspunsul pentru este Da i se vaopri n configuraia , $H N dac rspunsul pentru este Nu. Exprimatn aceti termeni, un algoritm este atunci doar o alt funcie efectiv

calculabil *: { , }f Y N

Surprinztor rspunsul la aceste dou ntrebri este nu. Exist

funcii necalculabile i probleme nerezolvabile. Afirmaia are, desigur, o

varietate de implicaii filosofice, care ns nu vor fi atinse aici. n schimb,

restul capitolului va fi consacrat expunerii explicite a acestor probleme i

funcii.

5.4. EXTENSII ALE MAINILOR TURING

O proprietate curioas, dar esenial, a mainilor Turing este c

puterea lor de calcul nu poate fi cu mult mbuntit. Putem considera,

de pild, maini Turing cu mai multe benzi, definirea exact fiind mai

mult sau mai puin evident. Se descoper c orice funcie care poate fi

calculat de o astfel de main poate fi calculat i de o main standard

(cu o band). Alt posibilitate este de a permite mainii Turing s aib

mai multe capuri de citire din nou nu se obine nimic prin aceasta. Tot

ce poate fi calculat de aceste maini presupuse mai puternice poate fi

calculate i de maini Turing standard.

Situaia este similar cnd considerm maini Turing

nedeterministe. Definiia lor concret este exact ca mai sus, cu excepia

c funcia de tranziie ( , )Q x poate avea valori multiple: Dac maina seafl n starea Q iar capul ei puncteaz spre simbolul x de pe band atunci

( , )Q x d lista micrilor legale posibile. Este dificil s vorbim de unlimbaj recunoscut de o main Turing nedeterminist, ntruct, n funcie

de input-ul iniial, alegeri diferit de micri pot duce la rezultate diferite.

Putem, ns, vorbi de un limbaj L acceptat de o main Turing

nedeterminist. Fiind dat o astfel de main Turing T, limbajul TL

acceptat de L se compune din acele iruri pentru care exist secvenede micri legale, ncepnd cu configuraia 0 , $Q , care fac ca T s seopreasc. (Nu cerem ca T s poat decide dac un ir dat este sau nu nL.) Din punct de vedere a acceptrii limbajelor, mainile nedeterministe

nu sunt mai puternice dect cele deterministe: Dac un limbaj L este

acceptat de o main Turing nedeterminist 1T , este acceptat i de o alt

main Turing determinist 2T . Astfel, situaia este asemntoare cu cazul

automatelor finite, dar diferit de automatele push-down.

Nu vom demonstra toate aceste rezultate raionamentele sunt

lungi i nu conduc la o ptrundere mai adnc n materia acestui subiect.

Cititorului i este liber s aleag o tratare mai detaliat al acestui subiect,

vezi [15] sau [8]. Vom da doar o singur ilustrare a unei teoreme de acest

gen, anume, c orice main Turing cu dou benzi este echivalent cu o

main standard cu o band. Mai precis, o main Turing cu dou benzi

va avea i dou capuri. Aadar funcia de tranziie a acestei maini va fide forma

1 2 1 1 2 2 ( , , ) ( , , , , )Q x x Q x N x N =

unde Q este starea curent, 1x simbolul pe care se afl capul de pe prima

band, 2x este simbolul citit de al doilea cap, Q este noua stare, 1x i 2x

sunt simbolurile care nlocuiesc 1x i 2x , iar 1N i 2N sunt instruciunile

corespunztoare pentru mutarea capurilor la dreapta ( iN R= ), stnga( iN L= ) sau deloc ( iN S= ). O configuraia a maini va fi descris de

1 1 1 2 2 2, , Q x x

unde Q este starea curent i i i ix este coninutul benzii i, 1, 2i = (locaiacapului este marcat prin subliniere).

Figura 5.7. O main Turing cu dou benzi.

De exemplu, maina Turing cu dou benzi din figura 5.7. se afl n

configuraia 7 , # , Q accb a abbacca . Dac, 7 3( , , ) ( , , , , )Q c a Q b L b R = ,urmtoarea configuraie a mainii va fi 3, # , Q accb a bbbacca .

Fie L un limbaj peste un alfabet . Spunem c L este recunoscut deo main Turing cu dou benzi 2T dac pentru oricare din * suntadevrate urmtoarele:

L implic *0 , $ , $ , $ , $Q H Y

Starea curent 7Q

Banda 2

Banda 1

L implic *0 , $ , $ , $ , $Q H Y

Cu aceste notaii avem:

Teorema 5.1. Fie L un limbaj peste un alfabet . Atunci L esterecunoscut de o main Turing cu dou benzi 2T dac i numai dac este

recunoscut de o main standard cu o singur band 1T (definiia 5.2.).

Demonstraie. Dac un limbaj este recunoscut de o main cu o

band 1T , este evident recunoscut i de o main cu dou benzi 2T : nu

micm al doilea cap. Formal, dat fiind 1 0{Q, , , }T Q = , maina 2T vaavea aceleai stri i acelai alfabet ca 1T , iar funcia ei de tranziie va fi

2 1 ( , , ) ( , , , , )Q x y Q x N y S =

unde 1 ( , ) ( , , )Q x Q x N = mutm primul cap din 2T n aceeai manier cacapul din 1T , iar al doilea cap l lsm s puncteze ntotdeauna spre celula

cea mai din dreapta. Partea dificil (i interesant) a demonstraiei este de

a arta c dac un limbaj L recunoscut de o main cu dou benzi, este

recunoscut i de o main standard cu o singur band. La prima vedere

se pare c avnd la dispoziie o a doua band obinem o mai mare putere

de calcul: Putem memora informaie pe o band n timp ce lucrm cu

cealalt. Vom vedea c acesta nu este cazul. O demonstraie formal

complet este grea, cu multe implicaii i oarecum dincolo de scopul

acestei lucrri. Vom prezenta o schi a ideii principale.

Fie 2T o main Turing cu dou benzi care recunoate un limbaj L.

Notm capurile cu 1h i 2h . Vom construi mai nti o main auxiliar cu

o band U care va simula micrile lui 2T dup cum urmeaz. Fiecare

celul a benzii mainii U va conine: simbolul , simbolul blank %

(pentru a-l putea deosebi de simbolul blank # al mainii 2T ), sau un

cvadruplu 1 1 2 2( , , , )a a . Simbolul se va afla ntotdeauna n celula ceamai din stnga i nu va fi eliminat niciodat. Cvadruplul 1 1 2 2( , , , )a a din celula a i-a din U va conine informaia despre celulele i de pe benzile

mainii 2T . (Indexarea celulelor din U ncepe de la 0: celula cea mai din

dreapta a lui U este celula 0, urmtoarea este prima celul etc. Celulele

din 2T vor fi indexate ncepnd cu 1: celula cea mai din stnga a fiecrei

benzi din 2T este referit ca celula numrul 1, urmat de celula numrul 2,

etc.)

Figura 5.8. O celul a mainii Turing U.

Dac celulele i de pe benzile mainii 2T conine simbolurile x respectiv y,

atunci celula a i-a din U conine cvadruplul 1 2( , , , )x y . Simbolurile 1 i2 sunt determinate astfel: Dac capul 1h puncteaz spre celula i a primei

benzi din 2T , punem 1 1 = , n caz contrar 1 0 = ; aceeai regul se aplicsimbolului 2 este egal cu 1 sau 0 n funcie dac capul 2h puncteazspre celula a i-a a de pe banda a doua din 2T . Vom descrie un astfel de

cvadrupl n forma vertical ca n figura 5.8. Astfel, dac benzile mainii

2T se afl n configuraia din figura 5.9., banda maini U va fi de forma

dat n figura 5.10.

Figura 5.9. Benzile unei maini Turing cu dou benzi.

Comportamentul mainii U este acum evident: O singur micare a

mainii 2T va rezulta n schimbarea strii mainii, coninutul a dou celule

(cte una de pe fiecare band) i reajustarea poziiilor capurilor de citire

1h i 2h . Fiecare astfel de micare a lui 2T va determin o secven de

micri a lui U, rezultnd ntr-o ajustare a celulelor sale valorile

relevante pentru ia -uri i i se schimb pentru a reflecta nouaconfiguraie a mainii 2T .

Figura 5.10. O band a unei maini Turing.

Formal, alfabetul U a mainii U este dat de o mulime finit

{, %} ( {0, 1} {0, 1})U =

Maina U i va ncepe activitatea cu capul punctnd pe celula cea mai

din stnga (coninnd simbolul ). Dup fiecare micare a lui 2T capul lui

se va deplasa la dreapta, fcnd ajustrile necesare, iar atunci se ntoarce

Banda 1

Banda 2

Toi #

Toi #

Toi %

la cea mai din stnga celul ateptnd urmtoarea micare a lui 2T .

Aceasta se poate realiza avnd strile din U ca expresii de forma

( , , , ( , , ))Q x y Q x y

unde Q este starea curent din 2T iar x i y sunt simbolurile din care seafl sub capurile 1h respectiv 2h . Instruciunile mainii U pot fi acum

explicitate:

1. Pornete n starea 0 0 0 0 0 0( , , , ( , , ))Q x y Q x y cu capul punctnd sprecelula cea mi din stnga (coninnd simbolul ). Simbolurile 0x i

0y precum i coninutul iniial al benzii din U vor reflecta

configuraia iniial a mainii 2T .

2. Deplaseaz capul spre dreapta pn ce sunt ntlnite ambele cazuri

de 1i = . De fiecare dat, schimb valorile a-urilor i -urilorrelevante. (Informaia privind ceea ce este de fcut dac se

ntlnete 1 = este coninut n valoarea funciei 0 0 0( , , )Q x y .)Noteaz aceste valori, fie ele Q , x i y ; se ntoarce la celula cea

mai din stnga (care poate fi depistat prin prezena lui ); i trece

ntr-o stare nou ( , , , ( , , ))Q x y Q x y .3. Repet pasul 2 pn ce noua stare Q este starea de oprire H din 2T .

4. Golete prin a termina cu capul amplasat pe cea mai din stnga

celul i se oprete.

Ca urmare, este evident c maina cu o singur band U va simula

micrile mainii Turing cu dou benzi 2T orice decizie luat de 2T va fi

luat i de U. De asemenea este limpede c, prin adugarea unor stri

suplimentare la U, coninutul final al benzii poate fi transformat n forma

cerut de enunul teoremei 5.1. Q.E.D.

Trebuie remarcat faptul c adugarea unei benzi suplimentare la o

main Turing nu are efect asupra puterii de calcul a acesteia, dar are

definitiv efect asupra eficienei. Presupunem c 2T este o main Turing

cu dou benzi simulat de o main Turing cu o singur band 1T , ca n

teorema 5.1. Dac unul dintre capurile lui 2T este m celle ndeprtat de la

nceputul benzii i 2T face o micare, atunci 1T are de efectuat cel puin m

micri pentru a simula aceast singur micare. Dac 2T pornete cu

ambele capuri pe cele mai din stnga celule i la fiecare micare

amndou capuri se deplaseaz la dreapta, atunci i ia lui 1T cel puin21

21 2 k k+ + + L micri pentru a simula primele k micri ale lui 2T .Aadar, vag vorbind, dac o main Turing necesit n micri pentru

rezolvarea unei anumite probleme, ne am putea atepta ca adugarea unei

benzi suplimentare va duce la rezolvarea problemei n n pai. Aceast

idee poate fi cu mult precizat; studiul complexitii de calcul se ocup cu

ntrebri de acest gen. Un cititor interesat poate consulta [13].

5.5. CODIFICRI

Evident c conceptul de main Turing este independent de modul

n care aceste maini sunt descrise. Aadar, nu conteaz dac notm

strile unui maini cu 0Q , 1,Q K, sau 1P , 2 ,P K . Ceea ce conteaz sunt

procesele interne ale dispozitivului adic, numrul de stri, numrul

de simboluri de band, relaia de tranziie i desemnarea diferitelor stri

drept stri interne i/sau de oprire. Vom prezenta acum o schem care

descrie uniform oricare i toate mainile Turing. Mai exact, fiind dat o

main Turing T, vom arta cum se d o descriere complet i neambigu

a lui T utiliznd doar un numr finit de simboluri fixate. De fapt, orice

main Turing poate fi descris folosind numai simbolurile B, A, E, P, X,

Y, L, R, S, 0 i 1. Se procedeaz astfel: Prin definiie, orice main Turing

se compune dintr-un numr finit de stri, un alfabet de band finit i un

numr finit de relaii de tranziie care implic doar strile i simbolurile

de band. Astfel, orice main Turing poate fi descris de o secven de

simboluri

1 2 1 2 mB A PTT T E K (0.1)

unde

1. 1. 1 este numrul de stri din T scris n notaie binar (adic,utiliznd doar 0 i 1). Starea iniial are asociat numrul 1 i starea

de oprire numrul 1 .2. 2. 2 Este numrul de simboluri de band din T, din nou scris n

notaie binar. Simbolul blank, care este un simbol de band pentru

oricare main Turing, va avea asociat numrul 1.

3. 3. 1 2, , , kT T TK sunt relaii de tranziie din T codificate n felul

urmtor. Fiecare stare i fiecare simbol de band din T are asociat

un numr unic strile au numere ntre 1 i 1 iar simbolurile deband numere ntre 1 i 2 . Fiecare relaie de tranziie

( , ) ( , , )Q x Q x N = este atunci codificat ca

1 2 3 4X X X XNY

unde 1 i 2 sunt numerele asociate lui Q i x, respectiv 3 i 4sunt numerele asociat lui Q i x iar , sau N R L S= . Simbolurile B,A, P, X, Y i E sunt folosite drept delimitatoare.

Dac T este o main Turing, notm cu 1( )D T descrierea lui T dat

de (5.1) este:

1 1 2 1 2( ) mD T B A PTT T E = K (0.2)

Similar, orice segment iniial (finit) de band a unei maini Turing

T poate fi codificar utiliznd doar simbolurile A, F, W, Z, 0 i 1.

Codificarea unei astfel de benzi are forma

2 1 2 2 kW A Z Z Z F K (0.3)

Aici 2 este numrul de simboluri de band din T i 1 2, , , k K suntnumerele acestor simboluri care apar efectiv pe band: 1 este numrulsimbolului de band din prima (cea mai din stnga) celul, 2 estenumrul simbolului din a doua celul, etc. Aceste numere

2 1 2, , , , k K sunt exprimate n notaie binar iar W, A, Z i F servescdrept delimitatori. Se subnelege c simbolul din dreapta celulei k este

simbolul blank, a crui numr este 1. Codificarea prii iniiale a benziidescrise va fi notat 2 ( )D :

2 2 1 2 2( ) kD W A Z Z Z F = K (0.4)

Exemplu 5.4. Considerm maina Turing dat de diagrama din

figura 5.11.

Figura 5.11. O main Turing T.

Aceast main are trei stri, deci 1 11 = (binar, 3 n decimal). Princonvenie, starea iniial are asociat numrul 1 iar starea de oprire H

numrul 1 11 = ; aadar, 1Q are asociat numrul 10. Mai are 4 simboluri deband: a, b, c i #, deci 2 100 = (n binar); prin convenie # are asociatnumrul 1 iar noi asociem 10 lui a, 11 lui b i 100 lui c. Tranziiile lui T

sunt codificate astfel:

{ { { {0 0

1 10 1 10 Q Qa a

X X X X R Y

{ { { {0 1 #

1 11 10 1 Q b Q

X X X X S Y

reprezint 1 1( , ) ( , , )Q b Q b R = i este codificat ca

reprezint 0 0( , ) ( , , )Q a Q a R = i se codific ca

reprezint 0 1( , ) ( , #, )Q b Q S = i este codificat ca

{ { { {1 1

10 11 10 11 b bQ Q

X X X X R Y

{ { { {1

10 10 11 100 HQ a c

X X X X R Y

Codificarea ntregii maini Turing este atunci

{ {1 2 1 2

3 4

1( ) 11 100 1 10 1 10 1 11 10 1

10 11 10 11 10 10 11 100 T T

T T

D T B A P X X X XRY X X X XSY

X X X XRY X X X XRY E

= 144424443 144424443144424443 144424443

Similar, dac partea stng a benzii lui T ar fi #ab ac = , coninutulbenzii s-ar codifica astfel:

{ { { { { {2

2#

( ) 100 10 11 1 10 100 ba a c

D W A Z Z Z Z F

=

Din acest exemplu se observ c maini mai complexe vor avea

codificri considerabil mai lungi, dar n principiu, orice main Turing i

orice parte finit a benzii poate fi codificat cu aceast schem.

Posibilitatea codificrii complete i neambigue a unei maini

Turing arbitrare i a input-ului ei ne permite s construim aa numita

main Turing universal 0U . n esen, o astfel de main simuleaz

orice alt main Turing n felul urmtor: Fie T o main Turing oarecare

i fie coninutul iniial al benzii lui T. Fie 1( )D T i 2 ( )D codificrilepentru T i descrise mai sus. Punem maina T n configuraia iniial

0 , Q i maina 0U n configuraia 0 1 2, ( )$ ( )Q D T D . Cu alte cuvinte,

reprezint 1( , ) ( , , )Q a H c R = i este codificat ca

introducem descrierea lui T i coninutul iniial al benzii din T nmaina 0U . Universalitatea lui 0U se bazeaz pe urmtoarea descriere a

comportamentului ei:

1. Dac, pornind din configuraia iniial 0 , Q , T se opreteavnd ca coninut al benzii irul , atunci 0U , pornind din configuraia

0 1 2, ( )$ ( )Q D T D , se va opri de asemenea, cu banda coninnd irul2 ( )D . Formal,

*

0 , , Q H implic *

0 1 2 2, ( )$ ( ) , D ( )Q D T D H

Poziia exact a capurilor celor dou maini este neesenial.

2. Dac T nu se oprete cu input-ul indicat, nu se va opri nici 0U .

Construcia formal exact a mainii 0U este greoaie, lung i

oarecum dincolo de scopul acestei lucrri. Vom prezenta doar ideea

principal; pentru detalii suplimentare cititorul este invitat s consulte

[13]. Maina Turing universal 0U va avea trei benzi T1, T2 i T3 cu

capurile corespunztoare 1h , 2h i 3h . Banda T1 va conine descrierea

codificat a mainii Turing T simulate i banda T2 va conine input-ul

iniial al lui T. Banda T3 va conine starea curent i locaia curent a

capului mainii T. Instruciunile mainii 0U sunt urmtoarele:

1. Introduce codificarea 1( )D T a mainii T pe banda T1, codificarea

2 ( )D a inputului iniial pentru T pe banda T2 i starea iniial a

lui T mpreun cu poziia capului lui T pe banda T3. Poziioneaz

toate capurile 1h , 2h i 3h la captul stng al benzilor

corespunztoare.

2. Deplaseaz capul 3h spre dreapta pn ce s-a gsite descrierea strii

curente i locaia curent a capului din T.

3. Utiliznd informaiile obinute la pasul 2, deplaseaz capul 1h pn

ce s-a gsit descrierea corespunztoarea a funcie de tranziie .4. Utiliznd informaiile din paii 1 i 2, ajusteaz coninutul benzilor

T1 i T2 pentru a reflecta noua stare i noua band a lui T.

5. Dac noua stare a lui T este starea de oprire atunci golete dac

nu deplaseaz toate capurile de citire pe cea mai din stnga celul

i continu cu pasul 2.

Faptul c 0U are trei stri nu ridic probleme; conform teoremei

5.1, ea poate fi acum nlocuit de o main Turing standard cu o singur

band. Aceast idee se formalizeaz n felul urmtor.

Definiia 5.4. O main Turing 00 0{Q, , , }U Q = se numeteuniversal dac are urmtoarea proprietate. Fie 0 0{Q, , , }T Q = o mainTuring oarecare i fie un ir din * . Fie 1( )D T codificare lui T i 2 ( )D codificarea lui . Maina T va executa secvena de micri

*

0 , , Q H dac i numai dac maina 0U execut secvena demicri

*

0 1 2 2, ( )$ ( ) , D ( )Q D T D H

Se presupune c mainile de mai sus ncep i nceteaz activitatea cu

capul amplasat pe cea mai din stnga celul.

Teorema 5.2. Exist o main Turing universal.

Remarcm faptul c exist o main Turing universal cu numai

dou stri. Construcia ei a fost dat de C. E. Shannon n [18].

Posibilitate codificrii oricrei maini Turing are o alt consecin

important: Este posibil listarea mainilor ntr-o singur secven

1 2 3 4, , , , T T T T K (0.5)

Orice main Turing posibil se va afla pe undeva n aceast list.

Enumerare de maini Turing se realizeaz astfel: Am vzut c o main

Turing poate fi unic descris de o secven finit de simboluri, fiecare

dintre ele fiind unul din cele 11 caractere: B, A, E, P, X, Y, R, L, S, 0 i 1.

Pentru un ntreg oarecare n, exist doar un numr finit de iruri de

lungime n de fapt sunt exact 11n . Aadar, putem lista toate mainile

Turing ntr-o secven astfel: Mai nti listm toate mainile Turing a

cror descriere necesit doar un singur simbol (dac exist), atunci toate

mainile descrise de 2 simboluri (dac exist), etc. Cea mai mic

main Turing este

care are doar un singur simbol de band #. (Acesta este minimul ce poate

avea o main Turing.) Descrierea este 10 1B A PE , necesitnd un ir de

lungime 7 i st la nceputul secvenei (5.5). Aadar avem urmtoarele:

Teorema 5.3. Numrul de maini Turing distincte este numerabil.

n exact acelai mod, toate input-urile posibile a tuturor mainilor

Turing pot fi ordonate ntr-o singur secven. Aceasta rezult din faptul

c orice poriune finit a unei benzii poate fi descris utiliznd doar un ir

finit de simboluri A, W, Z, F, 0 i 1. Restul raionamentului rmne la fel.

5.6. PROBLEME DE DECIDABILITATE

n acest paragraf vom da o formulare precis (i soluia) problemei

discutate pe scurt n paragraful 5.3.

1. Are fiecare problem un algoritm care o rezolv?

2. Este fiecare funcie calculabil?

Aceste dou ntrebri sunt de fapt identice, ntruct soluia problemei

poate fi vzut ca funcie a descrierii problemei. A demonstra numai c

exist funcii necalculabile este uor. Din teorema 5.3. avem c exist

doar numerabil de multe maini Turing. Exist nenumerabile funcii

: {0,1}f , vezi Appendix 1. Aadar unele dintre aceste funcii (de fapt,majoritatea lor) nu vor fi calculabile Turing. Acest argument, dei perfect

corect, este oarecum nesatisfctor, ntruct nu d un exemplu specific de

problem nerezolvabil sau funcie necalculabil. Vom da n acest

paragraf dou exemple concrete de acest tip.

Ne ntoarcem la ntrebarea existenei unui algoritm pentru

rezolvarea unei probleme date. Reamintim c a spune c exist un

algoritm de rezolvare a unei probleme este identic cu a spune c exist o

main Turing care va rezolva aceea problem (teza lui Church-Turing).

Vom arta c nu exist un algoritm care, dac este dat descrierea unei

maini Turing T i descrierea inputului pentru T, va determina dac Tse oprete sau nu. Aadar, spunem c problema execuiei mainii Turing

este nedecidabil. n termenii mainii Turing aceasta poate fi formulat n

felul urmtor:

Teorema 5.4. Problema execuiei pentru maini Turing este

nedecidabil. Mai precis, nu exist o main Turing 0 0{Q, , , }A Q = cuurmtoarele proprieti: Fie 0 0 {Q, , , }T Q = o main Turing oarecare ifie un ir oarecare din * , i 1( )D T , 2 ( )D codificarea lui T respectiv , descris n paragraful 5.4. Considerm comportamentul lui T lainput-ul (adic, comportamentul lui T pornit n configuraia 0 , Q , cucapul punctnd spre cea mai din stnga celul). Mai considerm

comportamentul lui A la input-ul 1 2$ ( ) ( )D T D , adic, comportamentul luiA pornit n configuraia iniial 0 1 2, $ ( ) ( )Q D T D . Dac T se oprete,eventual, atunci A se va opri n configuraia , 1H , dac T nu se oprete

atunci A se va opri n configuraia , 0H .

Remarcm c T nu trebuie s se opreasc poate intra ntr-un ciclu

infinit sau se poate bloca; maina A trebuie s se opreasc ntotdeauna, cu

condiia c a primit un input corect format. Pentru a demonstra teorema

avem nevoie de unele rezultate preliminare. Fie 1 2 3, , , T T T K enumerarea

tuturor mainilor Turing i fie 1 2 3, , , K secvena tuturor input-urilor

admise pe aceast main. T-urile i -urile sunt codificate ca nparagraful 5.5. Fie 0L mulimea acelor i pentru care maina iT nu seoprete n configuraia , 1H . Aadar, o secven de input i este nlimbajul 0L dac i numai dac maina iT , pornit n configuraia

( )0 ,

iiQ , nu se oprete deloc sau se oprete ntr-o alt configuraie dect

, 1H .

Lema 5.1. Nu exist nici o main Turing 0T care va decide pentru

fiecare i dac i aparine, sau nu, limbajului 0L . Mai precis, nu existnici o main Turing 0 0 0 0 0{Q , , , }T Q = cu proprietatea ca pentru fiecare

1,2,3,i = K

1. *

0 , $ , 1iQ H dac i este n 0L

2. *

0 , $ , 0iQ H dac i nu este n 0L

Demonstraie. Presupunem c o asemenea main 0T exist; atunci

va trebui s fie una dintre 1 2, , T T K din (5.5.). Fie atunci 00 iT T= i svedem ce se ntmpl dac pornim

00 iT T= cu input-ul

0i . Din ipotez,

00( )iT T= ea se va opri sau n configuraia , 1H sau n , 0H . n primul

caz, 0i

este n limbajul 0L , ceea ce nseamn c 0iT nu se oprete nconfiguraia , 1H ; evident, este imposibil. Dac

00 iT T= se oprete n

configuraia , 0 , 1H H , nseamn c 0i

este n limbajul 0L , aadar0T i deci 0iT ar trebui s se opreasc n configuraia , 1H , dar am

presupus c aceasta nu are loc. Ca urmare, 0T nu poate decide cu

exactitate dac 0i

aparine limbajului 0L . Q.E.D.

Putem demonstra acum teorema 5.4. Ideea demonstraiei este de a

arta c dac o main Turing A, descris n teorema 5.4., exist, atunci se

poate construi o main 0T care recunoate limbajul 0L ca n lema 5.1.

Ceea ce este ns imposibil. Presupunnd c A exist, construcia lui 0T

este urmtoarea: Fiind dat un ir i , maina 0T trimite codificarea 2 ( )iD i 1( )iD T la maina A. Dac A se oprete cu 0 pe banda (n configuraia

, 0H ), atunci 0T scrie 1 pe band i se oprete n configuraia , 1H .

(S-ar putea s aib de fcut unele operaii de golire.) Dac A se oprete cu

1 pe band (n configuraia , 1H ), atunci 0T trimite descrierile 1( )iD T i

2 ( )iD la maina universal 0U din teorema 5.2. Prin definiie, maina 0Use va comporta la acest input n acelai mod ca maina iT cu input-ul i ,adic se va opri. (ntruct A a anticipat, probabil corect, c iT se va opri.)

Dac U se oprete cu 1 pe banda sa, 0T va scrie 0 pe band i se oprete n

configuraia , 0H . Dac U se oprete cu banda coninnd alt ceva dect

1, atunci 0T va scrie 1 pe banda sa i se oprete n configuraia , 1H .

Este acum simplu de artat c maina 0T va anticipa corect dac un ir idat este n limbajul 0L sau nu. Presupunem c i este n limbajul 0L .Aceasta nseamn c iT , la input-ul i , nu se va opri n configuraia

, 1H . Exist dou posibiliti: i) iT nu se va opri deloc, sau ii) iT se va

opri, dar ntr-o alt configuraie dect , 1H . n cazul i), maina A se va

opri n configuraia , 0H deci, prin construcie, 0T se va opri n

configuraia , 1H , anticipnd corect c 0i L . n cazul ii), A se va oprin configuraia , 1H , iar irul i , mpreun cu descrierea lui iT vor fiintroduse n maina universal 0U , care, la rndul ei, se oprete ntr-o

configuraie diferite de , 1H . Din nou, prin construcie, 0T se va opri n

configuraia , 1H , anticipnd corect c 0i L . De asemenea se vedeuor c 0T se va comporta corect dac 0i L , lsm demonstraia caexerciiu. Q.E.D.

Ne ndreptm acum atenia spre funcii necalculabile. Reamintim

c o funcie ( )f n m= (n, m numere pozitive) se numete calculabil dacexist o main Turing fT care, la input-ul $111 1K (de n ori 1) va produce

ca output $111 1K (de ( )f n ori 1). O funcie f care nu este calculabil se

numete necalculabil.

Teorema 5.5. Exist o funcie necalculabil.

Demonstraie. Am vzut n paragraful 5.5. c exist o mulime

finit 1 astfel nct orice main Turing poate fi descris de un ir finitde elemente (caractere) din 1 . De fapt, aceast mulime poate fi formatdin 11 caractere distincte. n mod similar, orice input pentru o main

Turing poate fi descris de un ir finit de simboluri dintr-o mulime 2 ,unde 2 este din nou finit. (n paragraful 5.5. mulime 2 are aseelemente.) Fie T o main Turing i fie un input pentru T (adic,coninutul iniial al benzii lui T). Fie 1( )D T i 2 ( )D descrierile lui Trespectiv . Fie ( )p T lungimea irului 1( )D T ie fie ( )q lungimeairului . Pentru un ntreg pozitiv n, exist doar un numr finit de perechi( , )T , unde T este o main Turing iar este input-ul ei iniial, astfel ca

( ) ( )p T q n+ . Fie nA mulimea acestor perechi. Dac ( , )T este opereche din nA , atunci T, cu input-ul , se poate opri sau nu. Fie nBmulimea acelor perechi din nA care au proprietatea ca T s se opreasc la

input-ul . Din nou, nB se compune dintr-un numr finit de perechi.

Dac ( , )T este o pereche din nB , fie ( , )T desemnnd numrul demicri pe care T le face naintea de a se opri n configuraia de oprire.

Definim acum o funcia ( )b n

( ) { ( , ) | ( , ) }nb n Max T T = B

n general, ( )b n este cel mai mare numr de micri pe care o main

Turing l poate executa asupra unui input , dac descrierea lui T i luate mpreun nu depesc n simboluri. Funcia ( )b n astfel definit se

numete funcie busy beaver i nu este necalculabil. Presupunem c

exist o main Turing B care calculeaz ( )b n . Vom arta c aceast

implic c se poate construi o main Turing A care rezolv problema.

Aceasta, ns este imposibil, dup cum arat teorema 5.4. Pentru a

construi A procedm astfel: Fiind dat o main Turing i T cu inputul ,maina A codific T i ca 1( )D T i 2 ( )D i calculeaz ( ) ( )n p T q = + .Dup aceasta, A paseaz acest numr n mainii B i obine ( )b n . Avnd

acestea fcute, paseaz descrierile 1( )D T i 2 ( )D , ale lui T i , lamaina universal 0U i ncepe s numere micrile lui 0U . Dac 0U se

oprete nainte de ( )b n micri, A scrie 1 pe banda ei i se oprete n

configuraia , 1H . Dac 0U nu se oprete la a ( )b n -a micarea, A scrie 0

pe band i se oprete n configuraia , 0H . Este limpede c A se va

comporta corect: Dac 0U nu se oprete la a ( )b n -a micarea, nu o va face

nici T, ntruct 0U simuleaz pe T micare cu micare i ( ) ( )p T q n+ .Q.E.D.

Merit fcute unele comentarii asupra ultimelor dou teoreme.

Dac teorema 5.4. afirm c problema de oprire a mainilor Turing este

nedecidabil, nu nseamn c nu putem decide, n unele cazuri specifice,

dac o main Turing dat se va opri, sau nu, la un input fixat.

Considerm, de pild, maina Turing descris n figura 5.12. Se observ

c dac maina T este pornit n configuraia 0 , Q ab nu se va opri

niciodat; dac ns este pornit n configuraia 0 , Q baab se va opri.

Ceea ce afirm teorema este c nu exist o metod universal care va

decide aceast ntrebare n toate cazurile posibile.

Figura 5.12. O main Turing care n unele cazuri se oprete iar n altele

nu.

Multe dintre ntrebrile legate de limbaje formale sunt

nedecidabile. Vom enumera aici cteva dintre ele. A le demonstra ne ar

duce ns prea departe. Cititorul interesat este invitat s consule unele

tratate excelente referitoare la acest subiect, de exemplu, [13] sau [15].

Teorema 5.6. Este nedecidabil dac o gramatic independent de

context arbitrar este ambigu.

Din nou, aceasta nu nseamn c n unele cazuri speciale nu putem

decide aceast problem. O gramatic | |S a b este evidentneambigu. Ceea ce afirm teorema este c nu exist o main Turing

care, la un input dat ce descrie o gramatic, decide dac aceast gramatic

este ambigu sau nu. Evident c este posibil s descriem o gramatic

printr-o secven finit de simboluri, deci punerea problema existenei

unei astfel de maini Turing are sens.

Teorema 5.7. Este nedecidabil dac dou gramatici independente

de context au o propoziie comun.

Aadar, nu exist o main Turing care, pentru dou gramatici

independente de context 1G i 2G date, va decide dac 1 2( ) ( )L G L G = .Vom arta n capitolul 6, c exist o procedur, adic, o main Turing,

care, primind o gramatic independent de context { , , , }G N S P= i unir specific din * , va decide dac ( )L G sau nu.

Teorema 5.8. Este nedecidabil dac o gramatic independent de

context arbitrar este ambigu n mod inerent.

Chiar mai surprinztor avem:

Teorema 5.9. Este nedecidabil dac o gramatic independent de

context arbitrar are o gramatic regular.

PROBLEME

1. Construii o main Turing care recunoate limbajul2{1 | 0,1, 2, }nL n= = K Artai micrile mainii cu input-urle 111 i

1111.

2. Construii o main Turing care va calcula funcia ( ) 3f n n= .Artai micrile mainii cu input-ul 11.

3. Fie urmtoarea main Turing dat sub form tabelar

Simbol de intrare

a b c #

0Q 1( , , )Q a S 1( , , )Q b S ( , , )H c S 0( , #, )Q R

1Q 1( , , )Q b R 1( , , )Q a R 2( , , )Q c S 2( , #, )Q S

S

t

a

r

e2Q 2( , , )Q a L 2( , , )Q b L 2( , , )Q c L ( , #, )H S

a. Artai micrile acestei maini ncepnd din configuraiile

0 , #Q abbaacaa , 0 , #Q bbaaca i 0 , #Q abbcaab .

b. Dai o diagram de stare a mainii.

c. Descriei neformal ce face maina.

4. Fie urmtoarea main Turing

a. Artai micrile mainii la input-ul ababbba = ncepnd cuconfiguraia 0 , Q ababbba .

b. Dai o descriere tabelar a mainii.

c. Descriei neformal ce face maina.

5. Considerai o main Turing care compar dou numere m i n.

Maina ar trebui s treac din configuraia

{{0 , #11 1#11 1n m

Q K K n , #H x ,

unde , sau x f s e= n funcie dac n m> , n m< sau n m= .6. Construii o main Turing cu o band infinit bidirecional car se

va opri dac i numai dac input-ul iniial conine simbolul a.

Acest simbol poate aprea oriunde pe band, nu neaprat n dreapta

poziiei iniiale a capului.

7. Construii o main Turing care recunoate limbajul*{ | { , } }RL a b = . Aici, R desemneaz inversul irului .

8. Dai codificri ale mainilor Turing din problemele 1 i 2, conform

descrierii din paragraful 5.5. De asemenea dai codificarea

coninutului iniial al benzii din configuraia iniial menionat n

aceste probleme.

9. Demonstrai c nu exist un algoritm care decide dac o main

Turing cu input iniial dat se va ntoarce cndva n starea iniial

0Q .

10. Demonstrai c nu exist un algoritm care decide dac o main

Turing cu input iniial dat va scrie cndva simbolul a pe band.