Lesmathsaucoll`ege:Cours, TechniquesetExercicesDenisLEFURColl`egeZephir,Cayenne11mars2004Lobjetdecedocumentestdefourniraux el`evesdeniveau3`emeunrecueildecours,detechniquesetdexercicessurlesdierentesconnaissancesexigiblesenmathematiquesaucoll`ege.Ainsi,chaquechapitrecontiendrauncourssommaire,desexercicescorriges, puisuneseriedexercicesmettantenoeuvrelesnotions etudieesdanscechapitre.Cedocumentregroupant` alafoisdesnotionsduprogrammede3`ememaisaussidesanneesprecedentes,leplanchoisinecorrespond pas` auneprogression duncoursde3`eme.Pouratteindreunenotion, lel`evepourrasaider delatabledes mati`eresmais aussi delindexsitueenndedocument.Ceedocumentsadrese egalement auxparentsetauxenseignants: les parents pourront sen servir pour apprendre ` a leurs enfants ` a y chercher la reponse ` a un probl`eme, ` a travaillersurlamethodologiememesilsnematrisent pasaudepart lecontenu; lesenseignantsauront unebasedediscussionsurleurpratiquepedagogique.Uneversioninformatiquedecedocument sous formedechier PDFcontenant des liens hypertextes est aussidisponible.2/175Tabledesmati`eresTabledesmatieres 5I Partiegeometrique 71 Letrianglerectangle 91.1 Lecours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.1 Letheor`eme dePythagore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2 Trianglerectangleetcerclecirconscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Lesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1 Exercicescorriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 Autresexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Lesdroitesparall`eles 212.1 Lecours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.1 Letheor`eme deThal`es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2 Lareciproquedutheor`eme deThal`es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.3 Droitedesmilieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.4 Anglesetparallelisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Lesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1 Exercicescorriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Autresexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Lespolygones 313.1 Lecours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2 Lestriangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.3 Lesquadrilat`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.4 Autrespolygones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Lesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.1 Exercicescorriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.2 Autresexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Lesdroitesremarquables 394.1 Lecours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.1 Medianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.2 Mediatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.3 Hauteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.4 Bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Lesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.1 Exercicescorriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.2 Autresexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433TABLEDESMATI`ERES TABLEDESMATI`ERES5 Lesangles 475.1 Lecours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.1 Lescategories dangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.2 Relationsentredeuxangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1.3 Anglesinscritsetanglesaucentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2 Lesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2.1 Exercicescorriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2.2 Autresexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 Longueurs,airesetvolumes 536.1 Lecours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.1.1 Longueurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.1.2 Aires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.1.3 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2 Lesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2.1 Exercicescorriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2.2 Autresexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 Lestransformations 617.1 Lecours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.1.1 Symetriecentrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.1.2 Symetrieaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.1.3 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.1.4 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.2 Lesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.2.1 Exercicescorriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.2.2 Autresexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708 Geometriedanslespace 738.1 Lecours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.1.1 Lespaves droits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.1.2 LesPyramides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.1.3 Lesc onesderevolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.1.4 Lasph`ereetlaboule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.1.5 Agrandissement etreduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.2 Lesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.2.1 Exercicescorriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.2.2 Autresexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859 Geometrieanalytique 919.1 Lecours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.1.1 Utilisationdunrep`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.1.2 Milieudunsegment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.1.3 Vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.1.4 Distanceentredeuxpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.1.5 Droitesdansunrep`ere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.2 Lesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959.2.1 Exercicescorriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959.2.2 Autresexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99II Partienumerique 10510Lecalcul numerique 10710.1 Lecours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10710.1.1 Priorites surlesoperations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10710.1.2 Lesnombresrelatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10710.1.3 Lesfractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10910.1.4 Lesracinescarrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11110.1.5 Lespuissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1134/175TABLEDESMATI`ERES TABLEDESMATI`ERES10.1.6 Ecriturescientique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11410.2 Lesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11410.2.1 Exercicescorriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11410.2.2 Autresexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11511Larithmetique 11911.1 Lecours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11911.1.1 Divisioneuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11911.1.2 Diviseurscommuns` adeuxnombresetPGCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12011.1.3 Methodesderecherche duPGCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12111.2 Lesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12211.2.1 Exercicescorriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12211.2.2 Autresexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12312Lecalcul litteral 12512.1 Lecours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12512.1.1 Generalites surlesexpressionsnumeriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12512.1.2 Developpementduneexpression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12512.1.3 Factorisation duneexpression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12712.1.4 Equationsdupremierdegre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12812.1.5 Inequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13012.1.6 Equationdetypeproduitnul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13212.1.7 Syst`emededeuxequations` adeuxinconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13312.2 Lesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13612.2.1 Exercicescorriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13612.2.2 Autresexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14013 Laproportionnalite 14313.1 Lecours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14313.1.1 Proportionalite suruntableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14313.1.2 Proportionnalite etfonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14513.1.3 Lespourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14713.1.4 Proportionnalite etgrandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14913.2 Lesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15013.2.1 Exercicescorriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15013.2.2 Autresexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15414 Gestiondedonnees 15914.1 Lecours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15914.1.1 Seriesstatistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15914.1.2 Lesgraphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16014.1.3 Frequencesetfrequencescumulees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16214.1.4 Moyenne,medianeet etendueduneserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16214.2 Lesexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16414.2.1 Exercicescorriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16414.2.2 Autresexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167Index 1735/175TABLEDESMATI`ERES TABLEDESMATI`ERES6/175Premi`erepartiePartiegeometrique7Chapitre1Letrianglerectangle1.1 Lecours1.1.1 Letheor`emedePythagoreEnoncedutheor`emeDansuntrianglerectangle,lecarre delhypotenuseest egal` alasommedescarres desc otesdelangledroit.Butdutheor`emeLetheor`eme dePythagore sert` acalculerunc oteduntrianglerectangleconnaissant lesdeuxautres.Cependant,lenonce dutheor`eme nedependpasduc otecherche.Premi`ereapplication:calcul delhypotenuseEF G57?EnonceSurlagureci-contre,letriangleEFGestrectangleenF.Ondonne:EF= 5etFG = 7.Calculer EG.On donnera sa valeur exacte, puissa valeur arrondieaudixi`eme.SolutionCalculonsEG. CommentairesDansletriangleEFGrectangleenF, Les3premi`ereslignessontlenoncedutheor`eme.dapr`es letheor`eme dePythagore,EF2+FG2= EG2LesommetFdelangledroitestpr`esdusigne+.52+ 72= EG2Onremplacelesdeuxvaleursconnues.25 + 49 = EG2EG2= 74EG =74(valeurexacte)Dapr`eslacalculatriceEG = 8, 6(valeurarrondieaudixi`eme)91.1. LECOURS CHAPITRE1. LETRIANGLERECTANGLEDeuxi`emeapplication:calcul dunc otedelangledroitSR T4?7EnonceSurlagureci-contre,letriangleRSTestrectangleenR.Ondonne:RS= 4etST= 7.CalculerRT. Ondonnerasavaleur exacte, puis savaleurarrondieaudixi`eme.SolutionCalculonsRT. CommentairesDansletriangleRSTrectangleenR,dapr`esletheor`eme dePythagore,SR2+RT2= ST2Cetterelationnedependpasdelalongueurcherchee.42+RT2= 7216 +RT2= 49RT2= 49 16RT2= 33RT=33(valeurexacte)Dapr`eslacalculatriceRT= 5, 7(valeurarrondieaudixi`eme)Reciproquedutheor`emedePythagoreEnoncedelareciproqueDansuntriangle,silasommedescarresdesdeuxpetitsc otesestegalaucarredugrandc ote,alors letriangleestrectangleetlegrandc oteestsonhypotenuse.Cette egalitedoit etreparfaite:aucunarrondinepeut etreutilise.ButdelareciproqueLareciproque dutheor`eme dePythagore sert` averiersiuntriangleestrectangleounon.Pourlutiliser,ilestnecessaire deconnatrelestroislongueursdutriangle.NB : il ne fautjamaisutiliserle theor`emede Pythagorepourcalculerune longueur manquante pourensuite vouloirutiliserlareciproquedutheor`emedePythagore.Premi`ereapplication: casduntrianglerectangleAB C4, 886, 4EnonceSur lagureci-contre, ondonne: AB=4, 8, AC=6, 4etBC= 8.MontrerqueABCestuntrianglerectangle.SolutionMontronsqueletriangleABCestrectangleenA CommentairesBC2= 82= 64 [BC]estlegrandc otedutriangle.BA2+AC2= 4, 82+ 6, 42= 23, 04 + 40, 96 = 64 Aestlesommetdelangledroitsuppose.CommeBA2+AC2= BC2,dapr`es lareciproque dutheor`eme dePythagore, letriangleABCestrectangleenA.10/175CHAPITRE1. LETRIANGLERECTANGLE 1.1. LECOURSDeuxi`emeapplication: casduntrianglenonrectangleKL M3, 553, 6EnonceSur la gure ci-contre, on donne : KL = 3, 5, LM= 5 et KM= 3, 6.LetriangleKLMest-ilrectangle ?SolutionVerionssiletriangleKLMestrectangleenK. CommentairesLM2= 52= 25 [LM]estlegrandc otedutriangle.LK2+KM2= 3, 52+ 3, 62= 12, 25 + 12, 96 = 25, 21 Kestlesommetdelangledroitsuppose.CommeLK2+KM2= LM2,letriangleKLMnestpasrectangle.1.1.2 TrianglerectangleetcerclecirconscritProprieteDansuntrianglerectangle,lecentreducerclecirconscrit estlemilieudelhypotenuse.Autrementdit, lamedianeissuedelangledroitestegale` alamoitiedelhypotenuse.Premi`ereapplication:lecercleestdonneA BOE(C)Enonce(C)est un cercle dediam`etre [AB]etdecentre O.On donneAB= 6.Eestunpointducercle(C)telqueBE= 4.MontrerqueABEestuntrianglerectangle.SolutionMontronsqueletriangleABEestrectangleenEEestunpointducercledediam`etre[AB],alorsletriangleABEestrectangleenE.11/1751.1. LECOURS CHAPITRE1. LETRIANGLERECTANGLEDeuxi`emeapplication:lecerclenestpasdonneD FIEEnonceSurlagureci-contre,DEFestuntriangletelque: Iestlemilieude[DF] ; DF= 8,DE= 3etIE= 4.MontrerqueDEFestuntrianglerectangle.SolutionMontronsqueletriangleDEFestrectangleenE.Iestlemilieude[DF],do` uDI= IF=DF2=82= 4.OnadoncID = IF= IE= 4.I,milieude[DF],estlecentreducerclecirconscrit dutriangleDEF,alorsDEFestrectangleenE.1.1.3 TrigonometrieCommentnommerlesc otesA BCc oteadjacentc oteopposehypotenuseDansuntrianglerectangle,mis` apartlhypotenuse(leplusgrandc ote),onnommelesdeuxautresc otesparrapport` alundesdeuxanglesaigusdutrianglerectangle.Surledessinci-contre,onachoisilangleaigu

ABC.Sionsinteressemaintenant` alangle

ACB, [AB]estlec oteoppose` alangle

ACB; [AC]estlec oteadjacent` alangle

ACB ;NB: ` achaque utilisationde la trigonometrie dans unexercice, il seraimportantdefaireunschema` amainlevee, decolorierlangleaiguchoisietdenommerlesc otesdutriangle.LesformulesL KMc oteadjacentc oteopposehypotenuseDansletriangleKLMrectangleenL,cos(

LKM) =LKMK_=c oteadjacenthypotenuse_sin(

LKM) =LMMK_=c oteopposehypotenuse_tan(

LKM) =LMLK_=c oteopposec oteadjacent_Premi`ereapplication: calcul dunangleDE F 47EnonceSur la gure ci-contre, DEFest un triangle rectangle en Etel que : DF= 7 et EF= 4.1. Calculerlangle

EDF.Onarrondira savaleuraudegrepr`es.2. Endeduirelavaleurdelangle

EFDaudegre pr`es12/175CHAPITRE1. LETRIANGLERECTANGLE 1.1. LECOURSDE Fc oteadjacentc oteopposehypotenuseCommentairesLapremi`ere etapeconsiste` acolorier langle

EDFet` anommerlesc otes dutriangle.Comme on connat son c ote oppose et lhypotenuse, la formule trigo-nometrique` autiliserestlesinus.Ilestconseille demarquersurcedocumentlacombinaison detouchesdelacalculatrice` autiliserpourparvenirauresultat.Solution1. Calculonslangle

EDF.CommentairesDansletriangleDEFrectangleenE, Cettehypoth`eseestindispensable.sin(

EDF) =EFDF_=c oteopposehypotenuse_Onrappellelaformule.sin(

EDF) =47OnconnatdonclesinusdelangleDapr`eslacalculatrice,

EDF= 35. Onautilisesin1.2. Calculonslangle

EFD.DansletriangleDEFrectangleenE,lesanglesaigus

EDFet

EFDsontcomplementaires.Onadonc:

EDF+

EFD = 90.Do` u,

EFD = 90

EDF= 90 35.

EFD = 35.Deuxi`emeapplication: calcul dunelongueurVT U652oEnonceSurlagureci-contre,TUVestuntrianglerectangleenUtelque:UV= 6cmet

V TU= 52.CalculerTU.Onarrondira savaleuraumm.VT Uc oteadjacentc oteopposehypotenuseCommentairesLa premi`ere etape consiste ` acolorier langle

V TUet ` anommer lesc otes dutriangle.Commeonconnatsonc oteopposeetetqueloncherchelhypotenusee,laformuletrigonometrique autiliserestlatangente.Ilest conseille demarquer surcedocument la combinaison detouchesdelacalculatrice` autiliserpourparvenirauresultat.13/1751.2. LESEXERCICES CHAPITRE1. LETRIANGLERECTANGLESolutionCalculonsTU.CommentairesDansletriangleTUVrectangleenU, Cettehypoth`eseestindispensable.tan(

V TU) =V UTU_=c oteopposec oteadjacent_Onrappellelaformule.tan(52) =6TUOnremplacelesvaleursconnues.TU tan(52) = 6 Onfaitlesproduitsencroix.TU=6tan(52)Onobtientlavaleurexacte.Dapr`eslacalculatrice,TU= 4, 7cm. Onautilisesin.1.2 Lesexercices1.2.1 ExercicescorrigesExercice1A B CDEnonce Lunite de longueur est le cen-tim`etre.Ondonne:BD = 7 ;AD = 12 ;

BCD = 50.1. Calculer lamesure de langle

ADB(ondonneraleresultatarrondie audegre).2. CalculerlalongueurCD(ondonneraleresultat arrondieaudixi`eme).Solution1. Calculons

ADB.DA Bc oteadjacentc oteopposehypotenuseDansletriangleADBrectangleenB,cos(

ADB) =BDAD_=c oteadjacenthypotenuse_cos(

ADB) =712Dapr`eslacalculatrice,

ADB= 55.2. CalculonsCD.DC Bc oteadjacentc oteopposehypotenuseDansletriangleBCDrectangleenB,sin(

BCD) =BDCD_=c oteopposehypotenuse_sin(50) =7CDsin(50) CD= 7CD=7sin(50)Dapr`eslacalculatrice,CD= 10, 9cm.14/175CHAPITRE1. LETRIANGLERECTANGLE 1.2. LESEXERCICESExercice2Enonce1. TracerletriangleRECtelque:RE= 7, 5cm;RC= 10cmetEC= 12, 5cm.2. MontrerqueletriangleRECestrectangleenR.3. Calculer,valeursarrondiesaudegrepr`es,lesanglesdecetriangle.Solution1. Voirguresuivante.ER C10, 57.512, 52. MontronsqueletriangleRECestrectangleenR.EC2= 12, 52= 156, 25ER2+RC2= 7, 52+ 102= 56, 25 + 100 = 156, 25CommeER2+RC= EC2,dapr`eslareciproque dutheor`eme dePythagore, letriangleRECestrectangleenR.3. CalculonslesanglesdutriangleERC.Commen consparcalculerlangle

REC.ER Cc oteadjacentc oteopposehypotenuseDansletriangleERCrectangleenR,sin(

REC) =RCEC_=c oteopposehypotenuse_sin(

REC) =10, 512, 5Dapr`eslacalculatrice,

REC= 57.Deplus,lesangles

RECet

RCEsontcomplementaires, do` u

REC +

RCE= 90

RCE= 90

REC= 90 57 = 33.Enn,onrappellequelangle

ERCestdroitdo` u

ERC= 90.1.2.2 AutresexercicesNB:certainesquestionsdesexercicessuivantsportent egalement surdautresconnaissancesdegeometrie plane: letheor`eme dePythagore ; lesanglesinscrits ; lesquadrilat`eres particuliers ; ...15/1751.2. LESEXERCICES CHAPITRE1. LETRIANGLERECTANGLEExercice3:`arepeterreguli`erement.Choisiruntrianglerectangle(quelonnommera) dontondonneraleslongueursdedeuxdecesc otes.1. Calculerlec otemanquant.2. Calculerlundesanglesaigus.3. Endeduirelautreangleaigu.4. Verierlesvaleurstrouvesenmesurant surunegureenvraiegrandeur.NB:onferaattention` achosisirleslongueursdetellefa conquelhypotenusesoitbienleplusgrandc ote !Exercice4:`arepeterreguli`erement.Choisir un triangle rectangle (que lon nommera) dont on donnera la longueur de dun c ote et la mesure dun angleaigu.1. Calculerlundesc otesmanquants.2. Calculerledernierc ote.3. Verierlesvaleurstrouvesenmesurant surunegureenvraiegrandeur.Exercice5(C) est uncercle de2, 5 cm derayon. Lesegment [AB]est un diam`etre dececercle.Destun point dececercle telqueAD= 3 cm.1. Construirelagure.2. DemontrerqueletriangleABDestrectangle.3. CalculerlalongueurDB.Exercice6A BCEDDanscetexercice,lunitedelongueurestlecen-tim`etre.ABCestuntrianglerectangleenC.Destunpointdusegment[AB].Eestunpointdusegment[AC].Ondonne:AC= 6 ;BC= 4, 5;AD = 4 ;(DE)//(BC).1. Reproduirelagureengrandeurreellesurvotrecopie.2. Prouver queAB= 7, 5.3. CalculerAE.4. (a) Calculerlecosinusdelangle A.(b) Endeduirelamesure,arrondieaudegre,delangle A.Exercice7M NLHLetriangleLMNestrectangleenMet[MH]estsahauteurissuedeM.OndonneML = 2, 4 cmetLN= 6, 4 cm.1. Calculer lavaleur exacteducosinus de langle

MLN. Ondonnerale resultat sous forme dune fractionsimpliee.2. Sans calculer lavaleur delangle

MLN, calculer lalongueur LH. Leresultat seraecrit sous formedunnombredecimal.16/175CHAPITRE1. LETRIANGLERECTANGLE 1.2. LESEXERCICESExercice8Luniteestlecentim`etre.1. ConstruireuntriangleRSTtelqueRS= 4, 5,ST= 6,RT= 7, 5.Onlaisseralestraitsdeconstruction.2. MontrerqueletriangleRSTestrectangle.3. (a) Tracerlecercle(C)decentreRetderayon 4, 5.Lecercle(C)coupelesegment[RT]enK.(b) Tracer la droite (d) passant par le point Ket parall`ele ` a la droite (RS). Cette droite (d) coupe le segment[TS]enunpointL.Placercepointsurlagure.(c) CalculerKL.4. Calculerlangle

STR(ondonneralarrondiaudegre).Exercice91. ConstruireuncercledecentreOetderayon 3cm.PlacersurcecercletroispointsA,B,Cdetellefa conqueBC= 4cmet

BCA = 65.ConstruirelepointFdiametralement opposeaupointBsurcecercle.2. Demontrer queletriangleBFCestuntrianglerectangle.3. Calculerlesinusdelangle

BFCetendeduirelamesuredecetanglearrondie` aundegrepr`es.4. Determiner,audegrepr`es,lesmesuresdesanglesdutriangleBOC.Exercice10Lagureci-dessousestdonnee` atitredexemplepourpreciserladispositiondespoints.Cenestpasunegureenvraiegrandeur.ONLKJ5, 4cm3, 6cm2cm3cmOndonne: lespointsK,O,Lsontalignes ;OestentreKetL;OK= 2cm;OL = 3, 6cm; lespointsJ,O,Nsontalignes ;OestentreJetN ;OJ= 3cm;ON= 5, 4cm; letriangleOKJestrectangleenK.1. Calculer langle

OJK(ondonneralarrondi audegrepr`es).2. Demontrer que les droites (JK) et (LN) sont parall`eles.3. Deduiredelaquestion2.,sanseectuerdecalculs,quelesangles

OJKet

ONLsont egaux.Exercice11AB C HDansletriangleABC(croquisci-contre),ondonne:[AH]hauteurissuedeA;AH= 5cm;AB= 8cm;

ACH= 51.Onnedemandepasderefairelagure.1. (a) Determinerlavaleurarrondieaudixi`emededegre, delangle

HBA.(b) LetriangleABCest-ilrectangleenA?2. Calculerlavaleurarrondieaumillim`etrepr`esdelalongueurdusegment[HB].3. Calculerlavaleurarrondieaumillim`etrepr`esdelalongueurdusegment[CH].4. Determinerunevaleurapprochee delairedutriangleABC.17/1751.2. LESEXERCICES CHAPITRE1. LETRIANGLERECTANGLEExercice12E STHLetriangleci-contrerepresenteuntriangleEST,isoc`eleenE.[TH]estlahauteurissuedeT.Il nestpasdemandedereproduirelagure.Onsaitque: ES=ET =12 cm(les dimensionsnesontpasrespecteessurlagure) ; lairedutriangleESTestde42 cm2.1. Prouver queTH= 7 cm.2. Calculelangle

TES(ondonnerasavaleurarrondieaudegrepr`es).3. Endeduireunevaleurapprochee delangle

EST.Exercice13304AB C HDans le triangle ABC de hauteur [AH] represente ci-contre, ondonne:AC= 4cm,BH= 1, 5cmet

ACB= 30.1. CalculerlavaleurexactedeAH.2. Endeduirelavaleurarrondie` aundegrepr`esdelamesuredelangle

ABC.Exercice14KLM NRSOnconsid`erelagureci-contre.Ondonne:MN= 8cm;ML = 4, 8cmetLN= 6, 4cm.Onnedemandepasderefairelaguresurlacopie.1. Demontrer que le triangleLMNest rec-tangle.2. Calculerlavaleurarrondieaudegredelamesuredelangle

LNM.3. Soit Kle pieddela hauteur issue de L;montrerqueLK= 3, 84cm.4. Soit Sle point de [MN] tel que NS= 2cm,laperpendiculaire ` a(LN) passant par Scoupe[LN]enR;calculerRS.Exercice15OA BCSur un cercle de centre O et de diam`etre [AB] tel que AB= 10cm,onaplaceunpoint Ctel quelangle

ABCmesure50. Sur ledessinci-contre,lesdimensionsnesontpasrespectees.1. MontrerqueletriangleABCestrectangle.2. CalculerleslongueursACetBC. Ondonneralesvaleursarrondiesaumillim`etre.18/175CHAPITRE1. LETRIANGLERECTANGLE 1.2. LESEXERCICESExercice1629AOyTx(C)Onconsid`erelecercle(C)decentreO,pointdelademi-droite[Ay).Lademi-droite[Ax)esttangente` a(C)enT.OndonneAT= 9cm.1. Calculerunevaleurapprochee aumillim`etrepr`esdurayon ducercle(C).2. AquelledistancedeAfaut-ilplacerunpointBsur[AT]pourquelangle

OBTmesure30.(Donnerunevaleurapprochee arrondieaumillim`etre.)Exercice17Lunitedelongueurestlecentim`etre.1. (a) TraceruntriangleABCrectangleenAtelque:AB= 3etAC= 9.Surlesegment[AC],placerlepointItelqueCI= 5.(b) CalculerlavaleurexactedelalongueurBC,puissavaleurarrondieaumillim`etrepr`es.2. LadroitequipasseparIetquiestparall`ele ` aladroite(AB)coupeladroite(BC)enE.Enprecisant lamethodeutilisee,calculerlavaleurexactedelalongueurEI.3. Calculerlavaleurexactedelatangentedelangle

ACB,puisendeduirelavaleurarrondie audegre pr`esdelamesuredelangle

ACB.Exercice18AB C IOn consid`ere la gure ci-contre (dimensions non respectees surledessin):AI= 8cmBC= 12cm

AIB= 90Imilieude[BC].1. Refairelagureenvraiegrandeur.2. (a) CalculerAB.(b) Calculersin

ABI.3. Oestlepointde[BC]telqueBO = 5cm.(C)estlecercledecentreOpassantparB.Ilrecoupe[AB]enEet[BC]enF.(a) Completerlaguredu1.entra cantlecercle(C)etenpla cantlespointsO,EetF.(b) QuelleestlanaturedutriangleBEF ?Justier.19/1751.2. LESEXERCICES CHAPITRE1. LETRIANGLERECTANGLEExercice19ABCDEFDanscetexercice, lesquestionssonttoutesindependanteslesunesdesautres.Onconsid`erelagureci-contre.Ondonne

BAC= 50,AD= 5cm,AC= 7cm.Lesdroites(EF)et(DC)sontparall`eles etAE= 2, 5cm.1. Reproduirelagureprecedente evraiegrandeur.2. CalculerlalongueuerAB,arrondieaumm.3. CalculerlalongueurDC,arrondieaumm.4. Calculer tan

ADC. Endeduire lamesure de langle

ADC,arrondieaudegre.5. CalculerlalongueurAF,arrondieaumm.Exercice201. ConstruireuntriangleABCrectangleenBettelqueAB= 5cmet

BAC= 60.2. CalculerAC.3. (a) Tracerlamediatricede[AC]:ellecoupe[AC]enIet[BC]enJ.(b) Calculerlangle IJB.Exercice21EORUILequadrilat`ere EUROestunlosangedecentreI.Langle

IEUvaut25etladiagonale[ER]mesure10cm.1. ProuverqueletriangleEIUestrectangleenI.2. Calculerlavaleurarrondieaucenti`emedecmdelalongueurIU.20/175Chapitre2Lesdroitesparall`eles2.1 Lecours2.1.1 Letheor`emedeThal`esLescongurationdeThal`esLetriangleABMNOLagurepapillonABMNOSurlesdeuxguressuivantes,lesdroites(AB)et(MN)sontparall`eles.Chacunedescongurations faitintervenircinqpoints: lesquatrepointssituessurlesparall`eles :A,B,MetN ; ledernierpointOintersection dessecantes ettr`esimportantdanslenonce dutheor`eme.Conseil : pourunemeilleurelisibilitedelacongurationdeThal`es, il seraimportant demettreencouleurs lesparall`elesetlepointdintersectiondessecantes.Enoncedutheor`emeMestsur(OA)Nestsur(OB)(MN)//(AB)Dapr`esletheor`eme deThal`es,OMOA=ONOB=MNABNB:il esttr`esimportantderespectercettepresentationetdemettreencouleurlefameuxpointO.Butdutheor`emeLetheor`eme deThal`essert` acalculerunelongueur.Pourcel` a, onchoisiradeuxdes trois rapportsdutheor`emedans lesquels onconnatratroislongueurset o` ulaquatri`emeestlalongueur` acalculer.212.1. LECOURS CHAPITRE2. LESDROITESPARALL`ELESPremi`ereapplication: dansuntriangleSKL RMEnonce Sur la gure ci-contre, les dimensions ne sont pas res-pectees.Lesdroites(RS)et(LK)sontparall`eles.Ondonne:LM= 6cm,LK= 5cm,KM= 8cmetSM= 6cm.CalculerRM.SolutionCalculonsRM.Restsur(ML)Sestsur(MK)(RS)//(LK)Dapr`esletheor`eme deThal`es,MRML=MSMK=RSLKDo` uMRML=MSMKMR6=688 MR = 6 6MR =368MR =92Secondeapplication:dansunegurepapillonBADCEEnonce Sur la gure ci-contre, les dimensions ne sont pasrespectees.Lesdroites(AB)et(CD)sontparall`eles.Lesdroites(AC)et(BD)sontsecantesenE.Ondonne:AB= 3cm,BD= 9cm,AC= 6cmetBE= 5cm.CalculerCD.SolutionCalculonsCD.Cestsur(EA)Destsur(EB)(CD)//(AB)Dapr`esletheor`eme deThal`es,ECEA=EDEB=CDABDo` uEDEB=CDABavecED = BD BE= 9 5 = 4cm45=CD35 CD = 4 3CD =1252.1.2 Lareciproquedutheor`emedeThal`esEnoncedelareciproqueAestsur(RS)Bestsur(RT)Lordredespointsestrespecte.Dapr`eslareciproque dutheor`eme deThal`es,siRARS=RBRT ,alors(AB)//(ST).NB:onreprendlamemestructuredepresentationquecelledutheor`emedeThal`es.22/175CHAPITRE2. LESDROITESPARALL`ELES 2.1. LECOURSCet enonce estvalablepourlunedesdeuxcongurationssuivantes:LetriangleSTABRLagurepapillonSTABRLhypoth`esesurlordredespointssert` a eliminerlesguresdutypeci-contrepourlesquelleslesrapportssont egaux alors que les droites ne sont de touteevidencepasparall`eles.STABRButdelareciproqueLareciproquedutheor`emedeThal`essert ` averiersi deuxdroites sont parall`eles. Pour cela, onest amene` acomparerlesdeuxrapportsdelenonce: il fautdoncconnatrelesquatrelongueursconcerneesoudumoinslesdeuxrapports.Premi`ereapplication:lesdroitessontparall`elesUGFVEEnonce Sur la gure ci-contre, les dimensions ne sont pas respectees.Ondonne:EF= 6cm,EG = 5cm,FG = 4cm,EU= 2, 4cmetEV= 2cmLesdroites(FG)et(UV )sont-ellesparall`eles ?SolutionVerionssi(FG)//(UV ).Uestsur(EF)V estsur(EG)Lordredespointsestrespecte.Dapr`eslareciproquedutheor`eme deThal`es,siEUEF=EVEG,alors(UV )//(EF).Verionsencalculantlesproduitsencroix:EU EG = 2, 4 5 = 12EV EF= 2 6 = 12CommeEUEF=EVEG,(UV )//(EF).Deuxi`emeapplication: lesdroitesnesontpasparall`elesBECFAEnonce Surlagureci-contre,lesdimensionsnesontpasrespectees.Ondonne:AB= 6cm,BC= 4cm,AC= 5cm,EA = 5cmetAF= 4cmLesdroites(EF)et(BC)sont-ellesparall`eles ?23/1752.1. LECOURS CHAPITRE2. LESDROITESPARALL`ELESSolutionVerionssi(EF)//(BC).Eestsur(AB)Festsur(AC)Lordredespointsestrespecte.Dapr`eslareciproque dutheor`eme deThal`es,siAEAB=AFAC,alors(EF)//(BC).Verionsencalculant lesproduitsencroix:AE AC= 5 5 = 25AB AF= 6 4 = 24CommeAEAB=AFAC, les droites (UV ) et (EF) nesontpasparall`eles.2.1.3 DroitedesmilieuxPremi`erepropriete: demontrerquedeuxdroitessontparall`elesAB CI JDansletriangleABC,Imilieude[AB].Jmilieude[AC].Dapr`eslapremi`erepropriete desmilieux,IJ=BC2et(IJ)//BC.NB:cettepremi`ereproprietedesmilieuxestuncasparticulierdelareciproquedutheor`emedeThal`es.Secondepropriete:demontrerquunpointestmilieudunsegmentEF GR SDansletriangleEFG,Rmilieude[EF].Laparall`ele ` a(FG)passant parRcoupe[EG]enS.Dapr`eslasecondepropriete desmilieux,Restlemilieude[EG].NB: cettesecondeproprietedesmilieuxestuncaspar-ticulierdutheor`emedeThal`es.2.1.4 AnglesetparallelismeLesanglesalternesinternesx x

y y

zz

ABSurledessinci-contre,les angles alternes internes

xABet

ABy

etant de meme mesure,alorslesdroites(xx

)et(yy

)sontparall`eles.24/175CHAPITRE2. LESDROITESPARALL`ELES 2.2. LESEXERCICESLesanglescorrespondantsx x

y y

zz

RSSurledessinci-contre,lesanglescorrespondants

zRx

et

RSy

etant demememesure,alorslesdroites(xx

)et(yy

)sontparall`eles.Lesdroitesperpendiculaires(d)(d

)ABSurledessinci-contre,(d)(AB)(d

)(AB)alors,(d)//(d

).2.2 Lesexercices2.2.1 ExercicescorrigesExercice1EnonceOB DACESur la gure ci-contre (qui nest pasenvraiegrandeur)lesdroites(AB)et(CD)sontparall`elesetlesdimensionssontlessuivantes:OA = 5 cm;AC= AB= 4 cm;OD= 6, 3 cm;DE= 5, 04 cm.1. CalculerOBetCD.2. Les droites (AD) et (CE) sont-elles parall`eles ? Justier votrereponse.Solution1. CalculerOBetCD.Aestsur(OC)Bestsur(OD)(AB)//(CD)Dapr`esletheor`eme deThal`es,OAOC=OBOD=ABCD(1)Voici unegure` amainleveeresumantlasitua-tion:BACD O25/1752.2. LESEXERCICES CHAPITRE2. LESDROITESPARALL`ELESCalculonsOB.Dapr`es(1),onaOAOC=OBOD59=OB6, 39 OB= 5 6, 3OB=31, 59OB= 3, 5cmCalculonsCD.Dapr`es(1),onaOAOC=ABCD59=4CD5 CD= 9 4CD=365CD= 7, 2cm2. Montronsque(AD)//(CE).Voici unegure` amainleveeresumantlasitua-tion:DACE OAestsur(OC)Destsur(OE)Lordredespointsestrespecte.Dapr`eslareciproquedutheor`eme deThal`es,siOAOC=ODOE,alors(AD)//(CE).Verionsencalculantlesproduitsencroix:OA OE= 5 11, 34 = 56, 7OC OD= 9 6, 3 = 56, 7CommeOAOC=ODOE,(AD)//(CE).Exercice2EnonceF GEKLMEFGestuntrianglerectangleenF.Kestlemilieudusegment[EG]. La droite passant par Ket perpendiculaire ` a la droite (EF)coupelesegment[EF]enL.1. (a) Demontrer que les droites (LK) et (FG) sont parall`eles.(b) DemontrerqueLestlemilieudusegment[EF].2. Les droites (FK) et (GL) se coupent en M. Que represententlesdroites(FK)et(GL)pourletriangleEFG?Endeduirequeladroite(EM)coupelesegment[FG] ensonmilieu.Solution1. (a) Montronsque(LK)//(FG).(LK)(EF)(FG)(EF)alors,(LK)//(FG).(b) MontronsqueLestlemilieudusegment[EF].DansletriangleEFG,Kmilieude[EG].Laparall`ele ` a(FG)passant parKcoupe[EF]enL.Dapr`eslasecondepropriete desmilieux,Lestlemilieude[EF].2. MontronsqueMestlecentredegravite dutriangleEFG.DansletriangleEFG,(KF)estlamedianeissuedeF,(LG)estlamedianeissuedeG,alors,lepointMintersectiondesmedianes(KF)et(LG)estlecentredegravite dutriangleEFG.Latroisi`ememedianeissuedeEestladroite(EM):ellecoupedonclesegment[FG]ensonmilieu.26/175CHAPITRE2. LESDROITESPARALL`ELES 2.2. LESEXERCICES2.2.2 AutresexercicesExercice3EFSMODKSurlagureci-contre: lesdroites(MK)et(OD)sontparall`eles ; lespointsE,S,MetOsontalignesdanscetordre ; lespointsF,S,KetDsontalignesdanscetordre.OndonneSO=6 cm, SD=10 cm, SM=4, 8 cm, SE=2 cm, SF=3 cm.Onnedemandepasdereproduirelaguresurlacopie.1. CalculerSK.2. Lesdroites(EF)et(OD)sont-ellesparall`eles ?Justier.Exercice4AGCBFDESur la gure ci-contre, qui nest pas dessinee en vraie gran-deur,lesdroites(BF)et(CG)sontparall`eles.1. OndonneAB= 5 cm,BC= 4 cm,AF= 3 cm.CalculerAGpuisFG.2. OndonneAD= 7 cmetAE= 4, 2 cm.Demontrerquelesdroites(ED)et(BF)sontpa-rall`eles.Exercice51. ConstruireletriangleTRItelqueRI= 8 cm,RT= 6 cmetTI= 10 cm.2. QuelleestlanaturedutriangleTRI ?3. Placer le point O sur le segment [TR] tel que TO = 3, 6 cm et le point Psur le segment [TI] tel que TP= TI.4. Lesdroites(OP)et(RI)sont-ellesparall`eles ?Exercice6B CAFE DLa gure ci-dessous est donnee ` a titre dexemple pour preciserladispositiondes points, segmentset droites. Ellenest pasconformeauxmesuresdonnees.Lunitedelongueurestlecentim`etre.Ondonne:AB= 7, 5,BC= 9,AC= 6,AE= 4,BF= 6.Lesdroites(DE)et(BC)sontparall`eles.1. CalculerlalongueurAD.2. Lesdroites(EF)et(AB)sont-ellesparall`eles ?CalculerlalongueurEF.Exercice7LetriangleMNPesttelqueMP= 8 cm,PN= 12 cmetMN= 15 cm.LepointAestsurlesegment[MP],telquePA = 4, 8 cm.Laparall`ele` aladroite(PN)passantparAcoupeladroite(MN)enB. Laparall`ele` aladroite(MP)passantparBcoupeladroite(NP)enC.1. Fairelagure.2. Demontrer quelequadrilat`ere ABCPestunparallelogramme.3. CalculerAB.4. Preciser lanatureduparallelogramme ABCP.27/1752.2. LESEXERCICES CHAPITRE2. LESDROITESPARALL`ELESExercice8IMNRPSTSurlagureci-contre,tracee ` amainlevee,IR = 8cm;RP= 10cm;IP= 4, 8cm;IM= 4cm;IS= 10cm;IN= 6cm;IT= 6cm.Onnedemandepasderefairelagure.1. Demontrerquelesdroites(ST)et(RP) sontpa-rall`eles.2. EndeduireST.3. Les droites (MN) et (ST) sont-elles parall`eles ?Justier.Exercice9AB CDE FLuniteestlecentim`etre.On consid`ere un triangle ABC. Soit E un point du segment [AB] ; la parall`ele` aladroite[BC]passantparEcoupelesegment[AC]aupointD.OndonneAE= BC= 3etEB= AD = 2.1. MontrerqueED = 1, 8.2. Sur la demi-droite [DE], on place, comme indique sur la gure, le pointFtelqueDF= 3.Lesdroites(AD)et(BF)sont-ellesparall`eles ?Exercice10ABCEFMPLuniteestlecentim`etre.Lagureci-dessousnestpas` alechelle.Onnedemandepasderefairecettegure.Les points E, M, A, Bsont alignes dans cet ordre ;lespointsF,P,A,Csontalignes danscetordre.Lesdroites(EF)et(MP)sontparall`eles.AM= 6 ;MP= 4, 8;AP= 3, 6 ;EF= 6 ;AC= 4, 5 ;AB= 7, 5.1. DemontrerqueletriangleAMPestuntri-anglerectangle.2. CalculerAEetendeduirelalongueurME(onjustieralescalculs).3. Demontrer que les droites (MP) et (BC) sontparall`eles.4. Demontrer que les angles

CBA et

AMPsontegaux.Exercice11A B HODPourtrouverlahauteurBDdunarbre, ondisposedesrenseignementssuivants:HA = 1m;BH= 5metOH= 0, 9m.LespointsA,HetBsontalignes,ainsiquelespointsO,AetD.Lesangles

AHOet

ABDsontdroits.1. Demontrer quelesdroites(OH)et(BD)sontparall`eles.2. Calculerlahauteurdelarbre.28/175CHAPITRE2. LESDROITESPARALL`ELES 2.2. LESEXERCICESExercice12A BC DEOncompleteralagureaufuret` amesuredelexercice.ABCDestunparallelogramme.AB= 8cmetAD = 4, 5cm.Eest lepoint deladroite(AD)tel que AE=1, 5cmet Enestpassurlesegment[AD].Ladroite[EC] coupelesegment[AB]enM.1. CalculerAM.2. PlacerlepointNsurleseg-ment [DC] tel que DN =34DC.Demontrer que les droites(AN) et (EC) sont pa-rall`eles.Exercice13ABCDOSurlagureci-contrequi nestpasenvraiegrandeur, lepointAestsurlesegment[OB]etlepointCestsurlesegment[OD].Ondonne:OA = 8, 5cm;AB= 11, 5cm;OC= 5cm;CD = 7cm.1. CalculerleslongueursOBetOD.2. Lesdroites(AC)et(BD)sont-ellesparall`eles ?Justiervotrereponse.Exercice14[AC]et[EF]sontdeuxsegmentssecantsenB.Onconnat:AB= 6cmetBC= 10cm;EB= 4, 8cmetBF= 8cm.1. Faireundessinenvraiegrandeur.2. Lesdroites(AE)et(FC)sont-ellesparall`eles ?Justier.3. lesdroites(AF)et(EC)sont-ellesparall`eles ?Justier.Exercice15A BCM N Lagureci-contrenestpasenvraiegrandeuretnestpas` areproduire.Elleestfourniepourpreciser lapositiondespoints.Luniteestlecentim`etre.1. LetriangleABCestrectangleenA.AB= 5etBC= 13.DemontrerqueAC= 12.2. LespointsA,CetMsontalignes.LespointsB,CetNsontalignes.CM= 2, 4etCN= 2, 6.Demontrerquelesdroites(AB)et(MN)sontparall`eles.3. CalculerlalongueurMN.4. PreciserlanaturedutriangleCMN ; justierlareponsesanseectuerdecalcul.29/1752.2. LESEXERCICES CHAPITRE2. LESDROITESPARALL`ELES30/175Chapitre3Lespolygones3.1 Lecours3.1.1 GeneralitesUnpolygoneest unegureplane` anc otes et nsommets.Ondenit lescategories depolygones enfonctionden: n = 3:lestriangles ; n = 4:lesquadrilat`eres ; n = 5:lespentagones ; n = 6:leshexagones ; etc...Danscechapitre,onnesinteressera quauxpolygonesconvexes noncroises.Unpolygoneestregulier si sesc otessont egaux; ilestinscritdansuncercle.Unpolygoneregulier admet: uncentredesymetriesinestpair ; naxesdesymetrie.3.1.2 LestrianglesProprietesABCDansletriangleABC,onalestroisinegalites triangulairessuivantes:AB+BC> ACAC+CB> ABBA+AC> BCLasommedesanglesdutriangleABCest egale` a180:

BAC +

ABC +

ACB= 180o.313.1. LECOURS CHAPITRE3. LESPOLYGONESLetriangleisoc`eleF GE(d)Le triangle EFGde sommet principal Eadmet comme axe de symetrie lamediatrice(d)dusegment[FG],do` u: EF= EG;

EFG =

EGF ;Laxedesymetrie(d)est` alafois: mediatricedusegment[FG] ; medianeissuedeE; hauteurissuedeE ; bisectricedelangle

FEG.LetriangleequilateralR STLetriangle RSTequilateral est un polygone regulier :lesmediatrices desc otessontlesaxesdesymetrie.Cestpourquoi: RS= ST= TR;

RST=

STR =

SRT= 60o.LetrianglerectangleK LMhypotenuseLetriangleKLMestrectangleenKcar

LKM= 90o.[LM]estlhypotenuse(leplusgrand c ote).Lesdeuxanglesaigussontcomplementaires:

KLM+

KML = 90o3.1.3 Lesquadrilat`eresLeparallelogrammeABCDOUnparallelogrammeest unquadrilat`ereayant uncentredesymetrie.Sur la gure ci-contre, on a dessine un parallelogramme ABCDdecentreO.LepointOetantsoncentredesymetrie: lesdiagonalessecoupentenleurmilieu ; lesc otesopposessontparall`eles etdememelongueur ; lesanglesopposessontdemememesure.32/175CHAPITRE3. LESPOLYGONES 3.1. LECOURSLelosangeEFGHIUnlosangeestunparallelogrammeparticulier:il poss`ededonctouteslesproprietes dunparallelogramme.Deplus, deuxc otesconsecutifssont egaux; sesdiagonalessontperpendiculaires.Ledessinci-contrerepresentelelosangeEFGHdecentreI.LerectangleK LM NOUnrectangleestunparallelogrammeparticulier: il poss`ededonctouteslesproprietes dunparallelogramme.Deplus, deuxc otesconsecutifssontperpendiculaires ; sesdiagonales sont dememelongueur:lerectangle estins-criptibledansuncercle.Ledessinci-contrerepresentelerectangleKLMNdecentreO.LecarreR ST UOUncarreest ` alafois unrectangleet unlosange: il poss`ededonctouteslesproprietesdunparallelogramme,dunlosangeetdunrectangle.Uncarreestunpolygoneregulier. Ilposs`ede quatreaxesdesymetrie(lesdiagonales etlesmediatrices desc otes) ; uncentredesymetrie.Ledessinci-contrerepresente lecarre RSTUdecentreO.Letrap`ezeI JK LUntrap`ezeestunquadrilat`ere ayant deuxc otesparall`eles.Sil poss`ededeplus deuxc otesperpendiculaires, onparledetrap`ezerectangle.Lagureci-contrerepresenteletrap`ezeIJKL:lesc otes[IJ]et[LK]sontparall`eles.33/1753.2. LESEXERCICES CHAPITRE3. LESPOLYGONES3.1.4 AutrespolygonesLepentagoneregulierOABCDELepentagoneregulier poss`edecinqaxesdesymetrie.Lesegmentrejoignantdeuxsommetsnonconsecutifsdupentagoneestappeleunediagonale.Lerapportdiagonalec otedenitlenombredor: =ACAB=1 +52.LhexagoneregulierOAB CDE FLhexagone regulier poss`edesixaxes de symetrieet uncentre desymetrie.Ilestconstituedesixtriangles equilateraux.3.2 Lesexercices3.2.1 ExercicescorrigesExercice1Enonce SoitABCuntriangle.DanslasymetriedecentreA,FestlimagedupointBetElimagedeC.1. Faireunegure` amainlevee.2. Quelleestlanatureduquadrilat`ere EFCB ?Justierlareponse.3. Danscettequestion,ondonneAB= 3cm,AC= 4cmetBC= 5cm.(a) Faireunegureenvraiegrandeur.(b) QuelleestlanaturedutriangleABC ?(c) Endeduirelanatureduquadrilat`ere EFCB.Justierlareponse.Solution1. Voirguresuivante.ABC EF34/175CHAPITRE3. LESPOLYGONES 3.2. LESEXERCICES2. MontronsqueEFCBestunparallelogramme.FestlesymetriquedeBparrapport ` aA,do` uAmilieude[BF].EestlesymetriquedeCparrapport` aA,do` uAmilieude[CE].Les diagonales du quadrilat`ere EFCBse coupent en leur milieu A : EFCBest un parallelogramme de centreA.3. (a) Voirguresuivante.ABC EF(b) MontronsqueletriangleABCestrectangleenA.BC2= 52= 25BA2+AC2= 32+ 42= 9 + 16 = 25CommeBA2+ AC2=BC2, dapr`eslareciproquedutheor`emedePythagore, letriangleABCestrectangleenA.(c) MontronsqueEFCBestunlosange.Lesdiagonalesduparallelogramme EFCBetant perpendiculaires,EFCBestunlosange.Exercice1Enonce ConstruireunrectangleKLMNdecentreOtelqueKL = 4cmetKM= 9cm.KMOLNCommentaires Commesouventengeometrieplane, il estconseilledefaireundessin` amainleveedelagureKLMNdemandee.Cedessinpermetdenepasconfondrec otesetdiagonalesdurectangle:ainsi,onvoitqueOestlemilieudusegment[KM].K MOLNSolution OetantlecentredurectangleKLMN,Oestlemilieudeladiagonale[KM].Commen conspartracerlesegment[KM].Lesdiagonalesdunrectangle etantdememelongueuretsecoupantenleurmilieu, [KM]et[LN]sontdeuxdiam`etresdunmemecercle.Tra conscecercle.Lestunpointducercleprecedent telqueKL = 4cm.Nest lesymetriquedupoint Ldans lasymetriedecentreO.35/1753.2. LESEXERCICES CHAPITRE3. LESPOLYGONES3.2.2 AutresexercicesExercice3SoitRSTuntriangle.DanslasymetriedecentreS,MestlimagedupointSetNlimagedeT.1. Faireunegure` amainlevee.2. Quelleestlanatureduquadrilat`ere MNRT ?Justierlareponse.3. Danscettequestion,ondonneRS= ST= 6cmetRT= 4cm.(a) Faireunegureenvraiegrandeur.(b) QuelleestlanaturedutriangleRST ?(c) Endeduirelanatureduquadrilat`ere MNRT.Justierlareponse.Exercice4SoitABCDunrectangledecentreOtelqueAB= 4cmetAD= 3cm.EestlesymetriquedupointAdanslasymetriedecentreB.FestlesymetriquedupointCdanslasymetriedecentreD.1. Faireunegureenvraiegrandeur.2. Quelleestlanatureduquadrilat`ere BEDF ?Justierlareponse.3. EndeduirequeOestlemilieudusegmentdusegment[BD].Exercice5D COB A1. Reproduire ce dessin en vraie grandeur sachant que OA = 3 cm et que lespointsA,OetC,dunepart,etlespointsB,OetD,dautrepart,sontalignes.2. DemontrerqueABCDestunrectangle.3. Placer, surledessin, lepointEimagedupointOparlatranslationdevecteurBA.4. Placer le point Fimage du point Cpar la rotation de centre Oet dangle60danslesensdela`eche.5. MontrerquelespointsA, B, C, D, E, Fsontsurunmemecerclequelonprecisera.6. Ecrireunvecteur egalauvecteurCB +CD.Exercice6Leplanestrapporte` aunrep`ereorthonorme(O,I,J).Luniteestlecentim`etre.Onconsid`erelespointsA(4; 4),B(7; 5),C(8; 2).1. PlacerlespointsA,B,Csurunegure.2. CalculerleslongueursAB,ACetBC(ondonneralesvaleursexactes).3. DemontrerqueletriangleABCestisoc`eleetrectangle.4. Placer,surlagure,lepointDtelqueAB=DC.5. Quelleestlanatureduquadrilat`ere ABCD?Justierlareponse.Exercice71. Dans unplanmuni dunrep`ereorthonorme(O; I, J) (unitegraphique: 1 cm), placer les points suivantsA(5; 0),B(7; 6),C(1; 4),D(1; 2).2. Calculerlescoordonnees desvecteursABetDC.3. CalculerlesdistancesABetAD.4. Endeduirelanatureduquadrilat`ere ABCD.36/175CHAPITRE3. LESPOLYGONES 3.2. LESEXERCICESExercice8SoitSABuntriangleisoc`eleenS.SoitElesymetriquedeAparrapportaupointS.SoitFlesymetriquedeBparrapport aupointS.1. Faireunegure.2. Quelleestlanatureduquadrilat`ere AFEB?Justier.3. (a) Enutilisantlespointsdelagure, citersansjustications: unvecteuregal ` aAF ; unvecteuregal` aAS.(b) Recopier,enlescompletant,les egalites suivantes:AB +BS= . . .AB +AF= . . .Onnedemandepasdejustications.Exercice9Leplanestrapporteaurep`ereorthonormal (O, I, J) ;lunitegraphiqueestlecentim`etre.Lagureserarealiseesurpapierquadrille.1. (a) PlacerlespointsA(4; 5),B(3; 3)etC(2; 2).(b) QuelleestlanaturedutriangleABC ?2. SoitDlimagedupointBparlatranslationdevecteurAC.Calculerlescoordonnees dupointD.3. Quelleestlanatureduquadrilat`ere ABDC ?Exercice10OABCDEFSur lagure ci-contre, ABCDEFest un hexagone regulier decentre O.Oncompletera ledessinetlesphrasesci-dessoussuivantlescas.1. LetriangleABOetletriangleCDOsontsymetriquesparrapport` aladroite()surledessin.2. Le triangle ABOest limage dutriangleEFOdans larotationdecentre........... dangle........... danslesensdela`eche. Indiquerparune`echelesensdecetterotation.3. Limage dutriangle ABO,dans latranslation quitransforme Cen D,estletriangle..........4. Completer: EO +OC= ; OF+ =OE.Exercice11A KMPourcetexercice,onlaisseravisiblelestraitsdeconstructionmaisaucunejusticationnestdemandee.Soitletriangle equilateral MAKdec otemesurant 4cm.1. (a) ConstruirelepointIimagedeMdanslarotationdecentreKetdangle120danslesensinversedesaiguillesdunemontre.(b) QuelleestlanatueexactedutriangleAKI ?(Onnedemandepasdejustication.)2. ConstruirelepointSsymetriquedeMparrapport` aK.3. ConstruirelepointOtelqueKsoitlemilieude[AO].4. (a) Construire le point Nimage de Kdans la translation de vecteurAM.(b) Quelleest lanatureexacteduquadrilat`ereAMNK ?(Onnedemandepasdejustication.)5. (a) TracerlepolygoneMAISON.(b) Quelle est la nature exacte de ce polygone ? (On ne demande pasdejustication.)37/1753.2. LESEXERCICES CHAPITRE3. LESPOLYGONES38/175Chapitre4Lesdroitesremarquables4.1 Lecours4.1.1 MedianesDenitionABCICasgeneral Dans un triangle, une mediane est une droite passantparunsommetdutriangleetlemilieuduc oteoppose.Exemple Dans le triangle ABC, la mediane issue de A (ou relativeauc ote[BC])estladroitepassantparAetparlemilieuduc oteoppose[BC].ConstructiondelexempleprecedentIlsutdefairepasserunedroiteparAetparlemilieuIde[BC].Pourrobtenirlemilieude[BC],deuxtechniquessontpossibles: onmesureladistanceBCetondivisepar2 ; ontracelamediatricedusegment[BC].NB:nepasoublierdecoderlessegmentsdememelongueur.PointdeconcoursdesmedianesABCIJKGCas general Dans untriangle, les trois medianes sont concou-rantes(ellespassentparunmemepoint) : lepointdeconcoursGestlecentredegravite dutriangle.Proprietes Le centre degravite est situe ` a linterieur du triangle :ilcorrespond ` asonpointdequilibre.Ce point est situe aux deux tiers de la mediane en partant du sommet.Exemple Dans le triangle ABC, les medianes (AI), (BJ) et (CK)secoupentenG,centredegravite dutriangle.Ona:AG =23AI BG =23BJ CG =23CK.394.1. LECOURS CHAPITRE4. LESDROITESREMARQUABLES4.1.2 MediatricesDenitionABCK(d)Casgeneral Lamediatricedunsegmentestladroitecoupantcesegmentper-pendiculairementensonmilieu. Lamediatricedunsegmentestlensembledespoints` aegaledis-tancedesesextremites.Exemple DansletriangleABC, lamediatricedusegment[AB]estladroite(d1)coupant[AB]perpendiculairementensonmilieu.(d1)estlensembledespointsMduplantelsqueMA = MB.ConstructiondelexempleprecedentConstruction`alar`egleet`alequerre Oncommenceparchercher` alaideduner`eglegradueelemilieuKdusegment[AB].Ontrace` alequerrelaperpendiculaireausegment[AB]passant parK.Construction`alar`egleetaucompas On construit deux arcs de cercle de meme rayon, de centres A et B; lamediatrice (d)passeparlesdeuxpointsdintersection obtenus.Ilnerestequ` aeacerlesarcs decercleet` acoderlagure.NB:nepasoublierdecoderlessegmentsegauxetlesanglesdroits.PointdeconcoursdesmediatricesABCO(d1)(d2)(d3)Casgeneral Dansuntriangle, lestroismediatricessontconcou-rantes (elles passent par un meme point) : le point de concours Oestlecentreducerclecirconscritdutriangle.Proprietes Lecerclecirconscritduntriangleest luniquecerclepassant par ses trois sommets. Son centre peut etre situe ` a linterieurou` alexterieur dutriangle.Dans lecas duntrianglerectangle, cepoint est lemilieudelhy-potenuse.Exemple DansletriangleABC,lesmediatrices(d1),(d2)et(d3)respectives des segments [AB], [BC] et [CA] se coupent en O,centreducerclecirconscrit dutriangle.Ona:OA = OB= OC.4.1.3 HauteursDenitionABCCas general Unehauteurduntriangleestunedroitepassantparunsommetetperpendiculaireauc oteoppose.Exemple DansletriangleABC, lahauteurissuedeA(ourelativeauc ote[BC])estladroitepassantparAetperpendiculaire` a[BC].40/175CHAPITRE4. LESDROITESREMARQUABLES 4.1. LECOURSConstructiondelexempleprecedentConstruction `a la r`egle et `a lequerre On place lequerre le long de la droite (BC) ; on trace la perpendiculaire` a(BC)passant parA.Construction`alar`egleetaucompas OnconstruitunarcdecercledecentreAquivientcouperladroite(BC)endeuxpointsEetF(nepaslesnommersurlagure) ;ontracelamediatricedusegment[EF].NB:il estsouventnecessairedeprolongerladroite(BC).Nepasoublierdecoderlangledroit.PointdeconcoursdeshauteursABCH(d1)(d2)(d3)Cas general Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes(elles passent par un meme point) : le point de concours Hest appelelorthocentredutriangle.Proprietes Lorthocentre peut etre situe ` a linterieur ou ` alexterieurdutriangle.Dans le cas dun triangle rectangle, lorthocentre correspond au som-metdelangledroit.Exemple Dans le triangle ABC, les hauteurs (d1), (d2) et (d3)issuesrespectivement de A,Bet Csecoupent en H,orthocentre dutriangle.Ona:(AH)(BC) (BH)(AC) (CH)(AB).4.1.4 BissectricesDenitionABCCasgeneral Une bissectrice dun angle est unedroite coupant cetangleendeuxanglesdemememesure.Exemple Dansletriangle ABC,labissectricedelangle

BACestladroitecoupantcetangleendeuxanglesdemememesure.ConstructiondelexempleprecedentConstruction`alar`egleetaurapporteur Onmesureaveclerapporteurlangle

BACetonledivisepar2(methodepeuprecise).Construction`alar`egleetaucompas OntraceunarcdecercledecentreAquicoupe[AB)enEet[AC)enF(onnenommepasEetFsurlagure) ;ontracedeuxarcsdecercledecentreEetF.LabissectricepasseparAetparlepointdintersectiondecesdeuxarcs.NB:nepasoublierdecoderlesanglesdemememesure.41/1754.2. LESEXERCICES CHAPITRE4. LESDROITESREMARQUABLESPointdeconcoursdesbissectricesABCI(d1)(d2)(d3) Casgeneral Dansuntriangle, lestroisbissectricessontconcou-rantes (ellespassent par un meme point):lepoint deconcours Iestlecentreducercleinscritdutriangle.Proprietes Lecercleinscritesttangentauxc otesdutriangleentroispointsquinesontengeneral passituessurlesbissectrices.Exemple DansletriangleABC,lesbissectrices(d1),(d2)et(d3)des angles respectifs

BAC,

ABCet

ACBse coupent en I, centre ducercleinscritdutriangle.4.2 Lesexercices4.2.1 ExercicescorrigesExercice1E FGPEnonce1. Querepresente ladroite(EP)dansletriangleEFG?Justier.2. Querepresente lepointPdansletriangleEFG?Justier.3. Endeduirequelesdroites(PG)et(EF)sontperpendiculaires.Solution1. Montronsque(EP)estunehauteur.Dapr`eslecodage, (EP)(FG). (EP)estdonclahauteurrelativeauc ote[FG]dansletriangleEFG.2. MontronsquePestlorthocentredutriangleEFG.Dapr`eslaquestionprecedente, (EP)estlahauteurissuedeE.Dememe,onpeutmontrerque(FP)estlahauteurissuedeF. Pestdonc le point dintersection de deux hauteurs :Pest alors lorthocentredutriangleEFG.3. Montronsque(PG)(EF).Dapr`eslaquestionprecedente, PestlorthocentredutriangleEFG.(PG)estdonclahauteurissuedeG:do` u(PG)(EF).Exercice2Enonce SoitletriangleRSTtelqueRS= 3cm,RT= 4cmetST= 4, 8cm.Mestlepointdusegment[ST]telqueSM= 1, 6cm.KestlesymetriquedupointRdanslasymetriedecentreS.OnappelleAlepointdintersectiondesdroites(RM)et(TK].1. Faireunegure.2. DonnerlerapportTMTSsousformedefractionirreductible.3. Endeduireler oledupointMdansletriangleRTK.4. EndeduirequeAestlemilieudusegment[TK].42/175CHAPITRE4. LESDROITESREMARQUABLES 4.2. LESEXERCICESSolutionR S KATM1. Voirgureci-contre.2. CalculonsTMTS.Mestunpointdusegment[ST]do` uTM= TS SM= 4, 8 1, 6 = 3, 2.Alors,TMTS=3, 24, 8=3248=2 163 16=23.3. MontronsqueMestlecentredegravite dutriangleRTK.KetantlesymetriquedupointRdanslasymetriedecentreS,Sestdonclemilieu dusegment [RK]et (TS) lamedianeissuedeTdansletriangleRTK.Metant situeaux deuxtiers dela mediane enpartant du sommetT,Mestlecentredegravite dutriangleRTK.4. MontronsqueAestlemilieudusegment[TK].Dapr`eslaquestionprecedente,Mestlecentredegravitedutri-angleRTK:(RM)estdonclamedianeissuedeR.Le point dintersection A de cette mediane avec le c ote oppose [TK]estlemilieudusegment[TK].4.2.2 AutresexercicesExercice3RSTSoitletriangleRSTci-contre.Tracer les bissectrices ainsi que le cercle inscrit dans le triangleRST.NB : on veriera, apr`es coup, que la croix correspond au centreducercleinscrit.Exercice4DEFSoitletriangleDEFci-contre.TracerlesmediatricesainsiquelecerclecirconscritdansletriangleDEF.NB: onveriera, apr`escoup, quelacroixcorrespondaucentreducerclecirconscrit.43/1754.2. LESEXERCICES CHAPITRE4. LESDROITESREMARQUABLESExercice5MNPSoitletriangleMNPci-contre.TracerleshauteursdutriangleMNP.NB:onveriera,apr`escoup,quelacroixcorrespond` alorthocentredutriangle.Exercice6TUVSoitletriangleTUV ci-contre.TracerlesmedianesdutriangleTUV .NB : on veriera, apr`es coup, que la croix corres-pond au centre de gravite du triangle du triangle.Exercice7SoitABCuntriangletelqueAB= 10 cm,BC= 11 cmetCA = 12 cm.1. ConstruirelorthocentreHdutriangleABC.2. (a) SoitIlepointdintersectiondesdroites(AH)et(BC) ; Jlepointdintersectiondesdroites(BH)et(CA) ;Klepointdintersectiondesdroites(CH)et(AB).ConstruirelecentreducercleinscritautriangleIJK.(b) Queconstate-t-on?Exercice81. Construireuncercle Cdediam`etre[AB] etdecentreO. SoitMunpointducercle CdistinctdeAetB.ConstruirelesymetriqueLdupointAparrapportaupointM.2. SoitI lepointdintersectiondesdroites(LO)et(BM). QuerepresentelepointI pourletriangleLAB?Justierlareponse.3. Ladroite(AI)coupelesegment[LB]enJ.Quepeut-ondiredupointJ ?Pourquoi ?44/175CHAPITRE4. LESDROITESREMARQUABLES 4.2. LESEXERCICESExercice9SoitABCDunparallelogrammedecentreO. LepointEestlemilieudusegment[AB] etlessegments[AC] et[DE]secoupentenG.1. (a) Querepresentelesegment[AO]pourletriangleABD?Justier.(b) QuerepresentelepointGpourletriangleABD?Justier.2. Demontrer queladroite(BG)coupelesegment[AD]ensonmilieu.Exercice10SoitABCuntriangleetD,E,Flesmilieuxrespectifsdessegments[AB],[BC]et[CA].1. (a) Quelleestlanatureduquadrilat`ere EDFC ?Justier.(b) Demontrerqueladroite(DC)est` alafoisunemedianedutriangleABCetdutriangleEFD.2. SoitGlecentredegravite dutriangleABC.Demontrer queGestaussilecentredegravite dutriangleEFD.45/1754.2. LESEXERCICES CHAPITRE4. LESDROITESREMARQUABLES46/175Chapitre5Lesangles5.1 Lecours5.1.1 LescategoriesdanglesAnglesaigusetanglesobtusUnangleestditaigusisavaleurestcompriseentre0et90degres :0 < xOy< 90.OxyUn angle est dit obtus si sa valeur est compriseentre90et180degres :90 < xOy< 180.OxyAnglenul,angledroit,angleplatUnangle est dit nulsisavaleur est egale ` a0 degre :lesdeuxc otesdelanglesontsuperposes.xOy= 0.OxyUnangleest dit droit si savaleurestegale` a90degres :lesc otesdelanglesontperpendiculaires.xOy= 90.OxyUnangle est dit plat si savaleur est egale ` a180degres : les c otes de langle sont dans le prolongementlundelautre.xOy= 180.Ox y475.1. LECOURS CHAPITRE5. LESANGLES5.1.2 RelationsentredeuxanglesRelationssuivantlesvaleursDeux angles sont dits complementaires si lasommedeleursvaleursest egale ` a90degres.Ainsi, les deuxanglesaigusduntrianglerectanglesontcomplementaires.Surlagureci-contre:

ABC +

ACB= 90.A BCDeux angles sont dits supplementaires si lasommedeleursvaleursest egale ` a180degres.Ainsi,deuxanglesconsecutifsdunparallelogrammesontsupplementaires.Surlagureci-contre:

HEF+

EFG = 180.E FG HRelationssuivantlespositionsDeuxdroitessecantesenunpointOdonnentdeuxpairesdanglesopposesparlesommet O.Ainsi,surlagureci-contre, les angles

x

Oy et

xOy

sont opposes par le sommetO; les angles

x

Oy

et xOy sont opposes par lesommetO.Deuxangles opposes par lesommet sont demememesure:

x

Oy=

xOy

;

x

Oy

= xOy.xyx

y

ODeuxanglesadjacentsont memesommet, unc otecommun.Ainsi, surlagureci-contre,lesangles xOyet yOzsontadjacents.Danscecas,xOy + yOz= xOz.xyzOLaguresuivanteconstitueedesdroites(xx

),(yy

)et(zz

)permetdedenirlesquatrepairesdanglescorrespondantssuivants :

x

Azet

y

Bz, xAzet yBz,

x

Az

et

y

Bz

,

xAz

et

yBz

.Dememe, onadeni lesdeuxpairesdangles al-ternesinternessuivants :

xAz

et

y

Bz,

x

Az

et yBz.Si les angles correspondants ou alternes internes sontegaux, lesdroites(xx

)et(yy

)sontparall`eles.x x

y y

zz

AB48/175CHAPITRE5. LESANGLES 5.2. LESEXERCICES5.1.3 AnglesinscritsetanglesaucentreDenitionsSurlagureci-contre,lespointsA,B,CetDsontsurunmemecercle.Les angles inscrits

ACBet

ADBinterceptent lememearc

AB,alors

ACB=

ADB.OABCDSurlagureci-contre,lespointsA,BetCsontsurunmemecercledecentreO.Langleinscrit

ACBet langleaucentre

AOBinterceptentlememearc

AB,alors

AOB= 2

ACB.OABCApplicationEnonceUntriangleABDrectangleenBesttelqueAB= 9cmetlangle

BAD = 40.1. Tracercetriangle.Construirelecercle(C)circonscritautriangleABD(aucunejusticationnestattenduepourcetteconstruction) ; onpreciseralapositionducentreI dececercle. Tracerlabissectricedelangle

BAD.Ellecoupelecercle(C)enS ;placerlepointSsurlagure.2. Determinerlamesureexactedelangle SIBenjustiantlademarcheutilisee.SolutionIABDS1. Voirgureci-contre.2. Calculons SIB.Langle au centre SIBet langle inscrit

SAB interceptent le memearc

SB,do` u SIB= 2

SAB.Ladroite(AS) etantlabissectricedelangle

BAD,ona

SAB=

BAD2=402= 20.Alors, SIB= 2

SAB= 2 20 = 40.5.2 LesexercicesLesexercicessurlesanglesfontaussiintervenircertainesnotions etudieesdansdautreschapitres: latrigonometrie, lesdroitesremarquables(bissectrices), lespolygones. ...49/1755.2. LESEXERCICES CHAPITRE5. LESANGLES5.2.1 ExercicescorrigesExercice1EnonceO IJABCM 2461ABCDestunrectangledecentreO.Ondonne:

AOB= 108.Calculer chacundes angles de la-gure.SolutionLesangles

AOBet

BOCsontadjacentsetsupplementaires,alors

BOC= 180

AOB= 180 108 = 72.Utilisonslecerclecirconscrit durectangleABCD.Langleaucentre

AOBetlangleinscrit

ACBinterceptentlememearc

AB,do` u

ACB=

AOB2=1082= 54.Lesangles

ACBet

ACDsontadjacentsetcomplementaires, alors

ACD= 90

ACB= 90 54 = 36.Gr ace` alasymetriedecentreO,onendeduitlesmesuresdautresangles:

AOB=

DOC= 108(anglesopposesparlesommetO) ;

DOA =

COB= 72(anglesopposes parlesommetO) ;

DAC=

ACB= 54(anglesalternesinternes) ;

CAB=

ACD= 36(anglesalternesinternes) ;Lesangles` alabasedesdierentstrianglesisoc`eles etant egaux,

OAB=

OBA = 36(triangleOABisoc`eleenO) ;

OBC=

OCB= 54(triangleOBCisoc`eleenO) ;

ODC=

OCD= 36(triangleOCDisoc`eleenO) ;

ODA =

OAD= 54(triangleOADisoc`eleenO) ;5.2.2 AutresexercicesExercice2SoitEFGHunparallelogramme decentreItelqueEF= 8cm,

FEG = 34et

EIF= 104.1. Faireundessin` amainlevee.2. Calculerlesdierentsanglesdelagure.3. Faireundessinenvraiegrandeur.50/175CHAPITRE5. LESANGLES 5.2. LESEXERCICESExercice3ConstruireuncercledecentreOetdediam`etre[AB] avecAB=6 cm. PlacersurcecercleunpointCtel queBC= 3, 6 cm.1. QuelleestlanaturedutriangleACB ?Justier.Demontrer quelalongueurACest egale` a4, 8 cm.2. Determiner par lecalcullamesure delangle

CAB.En deduire lamesure delangle

COB.(Onarrondira lesdeuxmesures` alunite.)3. SoitElemilieudusegment[OB].Tracerlaparall`ele` aladroite(BC)passant parE ;ellecoupelesegment[AC]enF.Calculerleslongueursexactesdessegments[AF]et[FE].Exercice4RSTestuntriangleisoc`eledesommetprincipalStelqueRT= 4cmet

TRS= 63.1. Faireundessin` amainlevee.2. Calculerlesangles

RTSet

RST.3. SoitHlepieddelahauteurissuedeS.CalculerRSendonnantsavaleurarrondieaummpr`es.Exercice5KLMNestunlosangedecentreOtelqueKM= 8cmet

KML = 30.1. Faireundessin` amainlevee.2. Calculerlesdierentsanglesdelagure.3. Calculerlalongueurduc otedecelosange.4. Faireunegureenvraiegrandeur.Exercice6Soit(C)lecercledecentreOetderayon5cm.Soit[AB] unecordede(C)tellequeAB=6cm. OnappelleIlemilieude[AB].1. Faireunegurequeloncompleteraparlasuite.2. Calculerlangle

AOIaudegrepr`es.Endeduirelavaleurdelangle

AOB.3. SoitEunpointdugrand arc

ABtelqueAE= 3cm.Calculer

AEB.51/1755.2. LESEXERCICES CHAPITRE5. LESANGLES52/175Chapitre6Longueurs, airesetvolumes6.1 Lecours6.1.1 LongueursLesunitesdelongueursLesunitesdelongueurssont basees sont lem`etre.Lesautres unitesdelongueurs dusyst`eme metrique utilisentlesprexessuivants:prexe symbole coecientdeca da 10hecto h 100kilo k 1000prexe symbole coecientdeci d 101centi c 102milli m 103Onutiliseletableaudeconversion suivant:km hm dam m dm cm mmFormulaireABCDEPerim`etredunegureLe perim`etre dune gure est la longueur de soncontour.La gure ci-contre represente un pentagone ABCDE.Sonperim`etre PABCDEestdonneparlaformule:PABCDE= AB +BC +CD +DE + EALlE FG HPerim`etredunrectanglePrectangle = 2 (longueur + largeur)PEFGH= 2 (L +l) = 2 (EF+FG)536.1. LECOURS CHAPITRE6. LONGUEURS,AIRESETVOLUMEScR ST UPerim`etreduncarrePcarre= 4 c otePRSTU= 4 c = 4 RSRCirconferenceduncercleLa circonference Pdun cercle de rayon R est donneeparlaformule:Pcercle = 2 RRLongueurdunarcdecercleLa longueur dunarc decercle derayon Ret dangledegres estdonneeparlaformule:Larc= 2 R3606.1.2 AiresLesunitesdairesLesunitesdairedusyst`ememetriquesontbaseessurlem`etrecarre (m2).Deuxunitesconsecutives sontrelieesparuncoecientmultiplicateur100.Parexemple:1dam2= 100m2.Do` uletableaudeconversion suivantcomprenant deuxcolonnesparunite:km2hm2dam2m2dm2cm2mm2FormulairehBKLM HAireduntrianglePtriangle=Base hauteur2PKLM=B h2=KM LH2LlE FG HAiredunrectangleArectangle = longueur largeurAEFGH= L l = EF FG54/175CHAPITRE6. LONGUEURS,AIRESETVOLUMES 6.1. LECOURScR ST UAireduncarreAcarre= c ote c oteARSTU= c2= RS2hK LM NHH

BAiredunparallelogrammeAparallelogramme= Base hauteurAKLMN= B h = KL HH

RSTUDdAiredunlosangeAlosange=GrandeDiagonale petitediagonale2ARSTU=D d2=RT SU2hH

I JK LHBbAireduntrap`ezeAtrap`eze=(GrandeBase + petitebase) hauteur2AIJKL=(B +b) h2=(IJ+LK) HH

2RAiredundisqueLaire AdundisquederayonRestdonneeparlaformule:Adisque= R2RAiredunsecteurangulaireLairedunsecteurangulairederayonRetdangledegresestdonneeparlaformule:Aarc= R23606.1.3 VolumesLesunitesdevolumesLesunitesdevolumedusyst`ememetriquesontbaseessurlem`etrecube(m3).Deuxunitesconsecutives sontrelieesparuncoecientmultiplicateur1000.55/1756.1. LECOURS CHAPITRE6. LONGUEURS,AIRESETVOLUMESParexemple:1dam3= 1000m3.Cependant,lesunites basees sur lelitre(l) permettentdavoir desunites consecutives decoecient multiplicateur10.Onalacorrespondance:1l = 1dm3.Do` uletableaudeconversion suivantcomprenant troiscolonnesparunite:dam3m3dm3cm3mm3hl dal l dl cl mlFormulaireLhlVolumedunpavedroitVpavedroit= L l hcVolumeduncubeVcube = c3hauteurVolumedunprismedroitVprismedroit= ABasehauteurhVolumedunepyramideVpyramide =13ABasehauteurhRVolumedunec onederevolutionVc one=13ABasehauteurVc one=13 R2hhR VolumeduncylindrederevolutionVcylindre = ABasehauteurVcylindre = R2h56/175CHAPITRE6. LONGUEURS,AIRESETVOLUMES 6.2. LESEXERCICESRVolumedunebouleVcylindre =43 R36.2 Lesexercices6.2.1 ExercicescorrigesExercice1Enonce SoitABCuntrianglerectangleenAtelqueAB= 4, 8cmetAC= 6, 4cm.OnappelleHlepieddelahauteurissuedeA.1. Faireunegure.2. CalculerBC.3. Calculerlaire AABCdutriangleABC.Ondonnerasavaleurexacte.4. Exprimer AABCenfonctiondeAH.5. EndeduirelavaleurexactedeAH.Solution1. Voirguresuivante.ABCH2. CalculonsBC.ABCDansletriangleABCrectangleenA,dapr`es letheor`eme dePythagore,BA2+AC2= BC24, 82+ 6, 42= BC223, 04 + 40, 96 = BC2BC2= 64BC=64BC= 8cm.3. Calculons AABC.LetriangleABCetant rectangleenA,AABC=B h2=AB AC2=4, 8 6, 42AABC= 15, 36cm24. Exprimons AABCenfonctiondeAH.AABC=B h2=BC AH2=8 AH2AABC= 4 AH5. CalculonsAH.Dapr`eslesquestionsprecedentes, AABC= 15, 36cm2et AABC= 4 AH.Do` u4 AH= 15, 36AH=15, 364AH= 3, 84cm57/1756.2. LESEXERCICES CHAPITRE6. LONGUEURS,AIRESETVOLUMESExercice2Enonce SoitKLMNunlosangedecentreItelqueLN= 6cmetKL = 5cm.1. Faireunegure.2. CalculerKI.3. EndeduireKM.4. Calculerlaire AKLMNdulosangeKLMN.Solution1. Voirguresuivante.KLINMIl est conseilledefaireauparavantundessin` amainleveepourcomprendreladispositiondespoints.2. CalculonsKI.KLIKLMNetantunlosange,sesdiagonalessontperpendiculairesetsecoupentenleurmilieuI.DansletriangleKILrectangleenI,dapr`es letheor`eme dePythagore,KI2+IL2= KL2KI2+ 32= 52KI2+ 9 = 25KI2= 25 9KI2= 16KI= 4cm.3. CalculonsKM.Ietant lemilieude[KM],KM= 2KI= 2 4 = 8cm4. Calculons AKLMN.AKLMN=D d2=KM LN2=8 62AKLMN= 24cm26.2.2 AutresexercicesExercice3SoitEFGuntriangle equilateral dec ote8cm.Montrerquelairedecetriangleest egale` a163 cm2.Exercice4ABCDestunrectangletelqueAB= 25cmetAD = 80cm.1. Calculerleperim`etre decerectangleencm.Convertirensuiteleresultat enm.2. Calculerlairedecerectangleencm2.Convertirleresultat endm2.Exercice5Soit(C)lecercledediam`etre12cm.1. Calculersacirconference. Ondonnerasavaleurexactepuissavaleurarrondieaummpr`es.2. Calculerlairedudisquecorrespondant.Ondonnerasavaleurexactepuissavaleurarrondieaucm2pr`es.58/175CHAPITRE6. LONGUEURS,AIRESETVOLUMES 6.2. LESEXERCICESExercice6Onconsid`erelecylindre,lademi-bouleetlec onerepresentes ci-dessous:6 cm6cm6 cm6cm6 cm1. Verier aumoyen duncalculquelevolume V1ducylindre,exprime encm3,estegal ` a216etquelevolume V2delademi-boule, exprimeencm3, estegal` a144.2. Calculerencm3levolume V3duc onesouslaformek(ketantunnombreentier).3. On constate que V2= 2V3. En utilisant le formulaire donne ci-dessous, justierceresultat.FORMULAIREVolumeducylindre:B hBetantlairedudisquedebase,h etantlahauteurducylindre.Volumedelaboule:43 r3retantlerayon delaboule.Volumeduc one:13 B hBetantlairedudisquedebase,h etantlahauteurduc one.Exercice8Pour resoudrecet exercice, vous pourrezutiliser leformulairesuivant:Volumedupavedroit L l hVolumeduc one R2h3Volumeduprisme B hVolumedelapyramideB h3A BDCOn consid`ere la pyramide ABCDdehauteur [AD]tellequeAD = 5 cmet de base ABCtelleque AB= 4, 8 cm; BC= 3, 6 cm; CA = 6 cm. (Lagurenestpasauxdimensions.)1. Demontrer queletriangleABCestrectangleenB.2. Calculerlevolumedecettepyramide.3. On desire fabriquer de telles pyramides en pl atre. Combien peut-onenobteniravec1 dm3depl atre ?Exercice9A B OSLunitedelongueurestlecentim`etre.Unebougiealaformedunc onederevolutiondesommet S ; sabaseest uncercledecentreOetdediam`etreAB= 10,ondonneSA = 13.1. Montrerquelahauteurdelabougieapourlongueur12 cm.2. (a) Calculerlavaleurexacteduvolumedelabougieencm3.(On ecriracettevaleursouslaformek ,o` ukestunnombreentier.)(b) Combien peut-on fabriquer de bougies de ce type avec 4 litres de cire ?(Rappel:1litre=1 000 cm3.)59/1756.2. LESEXERCICES CHAPITRE6. LONGUEURS,AIRESETVOLUMES60/175Chapitre7Lestransformations7.1 Lecours7.1.1 SymetriecentraleSymetriquedunpointAOA

LesymetriqueA

dupointAdanslasymetriedecentreOesttelqueOsoitlemilieudusegment[AA

].NB:lasymetriedecentreOcorrespond` aunerotationdecentreOetdangle180.ProprietesUnpointetsonimagesontalignes aveclecentredesymetrie.Unegureetsonimagesontsuperposables.Limagedunsegmentestunsegmentparall`eleetdememelongueur.ConstructionPourconstruirelesymetriqueA

dupointAdanslasymetriedecentreO: ontracelademi-droite[AO] ; onprendlamesureOAetonlareportesur[AO)` apartirdeO; oneacelestraitsdeconstruction; oncodelessegments egaux.Pourconstruirelesymetriqueduneguredansunesymetriecentrale, onconstruitlessymetriquesdechaquesommet ; onrelielesimagesdelamemefa conquelespointsdelagureinitiale.ExempledesymetriquedunegureABCOA

B

C

Ledessinci-contrerepresenteuntriangleABCetsonsymetriqueA

B

C

danslasymetriedecentreO.617.1. LECOURS CHAPITRE7. LESTRANSFORMATIONSUtilisationduquadrillageAO32Ledessinci-contredecritlafa condechercherlesymetriqueA

dupointAdanslasymetriedecentreO.PourallerdeA` aO,onsedeplace horizontalement de3carreaux; verticalementde2carreaux;AO3232A

OnseplaceenOetoneectueledeplacement precedent : horizontalement de3carreaux; verticalement de2carreaux;LapositionnaleestlepointA

.NB: lecomptagedes carreauxsefait generalement deteteetriennedoitetremarquesurledessin.7.1.2 SymetrieaxialeSymetriquedunpointAA

()LesymetriqueA

dupointAdanslasymetriedaxe()esttelque()soitlamediatricedusegment[AA

].ProprietesUnegureetsonimagesontsuperposables.Limagedunsegmentestunsegmentdememelongueurmaisengeneral nonparall`ele ausegmentinitial.ConstructionPourconstruirelesymetriqueA

dupointAdanslasymetriedaxe(): ontraceunarcdecercledecentreAquicoupelaxeendeuxpointsEetF(nepaslesnommersurlagure) ; ontracedeuxnouveauxarcsdememerayon quelarcinitialdecentresEetF ; lesdeuxarcssecoupentenA

; oneacelestraitsdeconstructions ; oncodelessegments egauxetlangledroit.Pourconstruirelesymetriqueduneguredansunesymetriecentrale, onconstruitlessymetriques dechaquesommet ; onrelielesimagesdelamemefa conquelespointsdelagureinitiale.62/175CHAPITRE7. LESTRANSFORMATIONS 7.1. LECOURSExempledesymetriquedunegureABCA

B

C

()Ledessinci-contrerepresenteuntriangleABCetsonsymetriqueA

B

C

danslasymetriedaxe().UtilisationduquadrillageDanschaquecassuivant, ledessinrepresenteuntriangleABCetsonsymetriqueA

B

C

danslasymetriedaxe().ABC A

B

C

()Premiercas:laxeesthorizontal.Touteperpendiculaire` alaxeserauneverticale.Ainsi,deA` alaxe,oncomptedeuxcarreaux verticalement ;dememedelaxe` aA

.ABCA

B

C

()Deuxi`emecas:laxeestvertical.Touteperpendiculaire` alaxeseraunehorizontale.Ainsi,deA` alaxe,oncomptetroiscarreauxhorizontalement ;dememedelaxe` aA

.ABCA

B

C

()Troisi`emecas:laxeestsurunediagonaleduquadrillage.Touteperpendiculaire` alaxe serasurlautre diagonale duqua-drillage.Ainsi, deA` alaxe, oncompteundemi carreauendiagonale ;dememedelaxe` aA

.63/1757.1. LECOURS CHAPITRE7. LESTRANSFORMATIONS7.1.3 TranslationNotiondevecteurMNUn vecteur MNsert ` apreciser ledeplacement (ou glissement) deMvers N.Oncaracterise cevecteur MNpar: sonorigine:M ; sonextremite :N ; sanorme:lalongueurMN ; sadirection:parall`element ` aladroite(MN) ; sonsens:deMversN.Deuxvecteurssontditsegauxsilsont: memenorme ; memedirection; memesens.TranslatedunpointAMNA

Sansvecteurs Le point A

, image du point A dans la translationqui transforme Men Nest tel que MNA

A est un parallelogramme.Avecvecteurs LepointA

,imagedupointAparlatranslationdevecteur MNesttelque:AA

=MN.ProprietesTouteslesproprietes sontbasees surcellesduparallelogramme.Limagedunsegmentestunsegmentparall`ele etdememelongueur.Letranslatedunegureestuneguresuperposable.EFGHSurlagureci-contre,EFGHestunparallelogramme.Alors, EF = HGet Gest donclimagedeHdans latranslationdevecteur EF.Dememe, EH=FGetGestdonclimagedeFdanslatranslationdevecteur EH.Etc...ConstructionTroispoints etantplaces,onterminelaconstructionduparallelogramme MNA

Adelafa consuivante: onreporteladistanceMN` apartirdeA(eneetMN= AA

) ; onreporteladistanceMA` apartirdeN(eneetMA = NA

) ; lepointdintersectiondecesdeuxarcsestlepointA

; oneacelestraitsdeconstruction; ontracelevecteurAA

.64/175CHAPITRE7. LESTRANSFORMATIONS 7.1. LECOURSTranslatedunegureABCMNA

B

C

Sur lagureci-contre, letriangleA

B

C

est limagedutriangleABCparlatranslation devecteur MN.UtilisationduquadrillageAMN42Pourtrouverlapositiondupoint A

, imagedupoint Adanslatranslation devecteur MN,on commencepardecomposer ledeplacementdeMversN: 4carreauxhorizontalement ; 2carreauxverticalement.AMNA

42OnreproduitlememedeplacementenpartantdeA.LapositionobtenueestcelledupointA

.NB: lecomptagedescarreauxsefait detete: il est inutiledemarquerlesdetailssurlacopie.CaracterisationdumilieuRSTSur la gure ci-contre, les points R, S et T sont tels queRS=ST.Alors,Sestlemilieudusegment[RT].RelationdeChaslesOndonnetroispointsD,MetC,quelconquesduplan:DM+MC=DCNB:danslasomme DM+MC,lextremiteMdupremiervecteurcoorespond` aloriginedusecond.65/1757.1. LECOURS CHAPITRE7. LESTRANSFORMATIONSOn peut ainsi facilement completer les egalites suivantes sans devoir observer la position des points sur une gure :AB+BC= RS +S.. =RTKB+..C=KC..T+TA =EASommededeuxvecteursdememeorigineEAKSoittroispointsE,AetKduplan.Oncherche` aconstruirelepointMtelque EM=EA+EK.NB:danscetteegalite, lestroisvecteursontlamemeorigineE.EAKM[EM]estladiagonaleduparallelogramme ` aconstruireEAMK.PourchercherlapositiondeM: onreporteladistanceEA` apartirdeK(eneetEA = KM) ; onreporteladistanceEK` apartirdeA(eneetEK= AM) ; lepointdintersectiondecesdeuxarcsestlepointM ; oneacelestraitsdeconstruction; ontracelevecteur EM.TranslationssuccessivesABCKLLatranslationdevecteur ABsuiviedelatranslationdevecteurKLestlatranslation devecteur AC.Pourcela,surlagureci-contre,onaconstruitlepointCimagedeBparlatranslation devecteur KL:do` u BC=KL.Dapr`eslarelation deChasles: AB+BC=AC.7.1.4 RotationSenspositifderotationLesenspositifderotationestlesensinversedesaiguillesdunemontre.ImagedunpointparunerotationOMM

LimageM

dupointMdanslarotation decentreOetdangleesttelque:OM

= OMet

MOM

= .ProprietesLimagedunsegmentestunsegmentdememelongueur.Limagedunegureestuneguresuperposable.66/175CHAPITRE7. LESTRANSFORMATIONS 7.1. LECOURSConstructiondelimagedunpointOnveutconstruirelimageM

dupointMdanslarotationdecentreO, dangle50, danslesensdesaiguillesdunemontre.Pourcela: ontracelesegmentOM ; ontraceunarcdecercledecentreOpartantdeMdanslesensdelarotation; ontracelademi-droite[Ox)telque

MOx = 50enfaisantattentionausensdelarotation; M

estlintersectiondelarcdecerceetdelademi-droite ; oncodelessegmentsdememelongueuretlanglede50; oneacelestraitsdeconstructioninutiles.Imagedunegure43oOABCA

B

C

Surlagureci-contre,letriangleA

B

C

estlimagedutriangleABCdanslarotation decentreOetdangle43.Pour nepascharger lagure,seullecodage concernant lepointA

estpresent ;Cependant, vouspouvezcompletercettegureetverierparexemplequeC

estbienlimagedupointCdanslarotationchoisie.Deplus,onpeutillustrerlarotationenutilisantuncalque: reproduirepartransparencesurlecalquelagureinitialeABCainsi quelecentreOdelarotation; placerparfaitementlecalque` asaposition ; pointerlecompasenO; fairetourner lecalqueautour ducompas (enO) jusqu` acequeletriangleABCducalqueviennentsuperposerletriangleA

B

C

delafeuille.QuartdetouretquadrillageLorsquelanglederotation estde180,onparledundemi-tour:danscecastr`esparticuliuer,larotationestunesymetriecentrale.Lorsquelanglederotationestde90,onparledequartdetour.Onpeutdanscecasutiliserlequadrillagepourconstruirefacilementlesimages.OA42Oncherche` aconstruirelepointA

imagedupointAdanslequart de tour de centre O, dans le sens inverse des aiguilles dunemontre.Pourcela,ondecompose ledeplacementdeOversA: 4carreauxhorizontalement ; 2carreauxverticalement.OAA

4224EnpartantdeO,onsedeplacedelafa consuivante: 2carreauxhorizontalement ` agauche ; 4carreauxverticalement.LapositionobtenueestcelledupointA

.67/1757.2. LESEXERCICES CHAPITRE7. LESTRANSFORMATIONSOABCA

B

C

Lagureci-contremontrelimageA

B

C

duntriangleABCdans le quart de tout de centre O dans le sens inverse des aiguillesdunemontre.7.2 Lesexercices7.2.1 ExercicescorrigesExercice1Enonce Surlagureci-apr`es,ABCFetFEDCsontdeuxparallelogrammestelsqueCetFsontlesmilieuxrespectifsdessegments[BD]et[AE].B DA E FCEnutilisantuniquementlespointsdecettegure,donner:1. Unvecteur egalauvecteurCB.2. Unvecteur egalauvecteurCE.3. Unvecteurnayant paslamemedirectionquelevecteurCB.4. LimagedeCparlatranslation devecteurAF.5. Unvecteur egalauvecteurCF+FE.6. Unvecteur egalauvecteurBA+BC.Solution1. Donnonsunvecteur egalauvecteurCB.ABCFestunparallelogramme donc CB=FA.Dememe CB=DC=EF.2. Donnonsunvecteur egalauvecteurCE.Enutilisantlesdiagonales desparallelogramme ABCFetFEDC,ona CE=BF.3. Donnonsunvecteurnayant paslamemedirectionquelevecteurCB.Lesdroites(BA)et(CB)netantpasparall`eles, BAet CBnontpaslamemedirection.4. DonnonslimagedupointCdanslatranslationdevecteurAF.Dapr`eslagure, AF=CD:DestalorslimagedeCdanslatranslationdevecteur AF.5. Donnonsunvecteur egalauvecteur CF+FE.Dapr`eslarelationdeChasles, CF+FE=CE.6. Donnonsunvecteur egalauvecteur BA+BC.ABCFetantunparallelogramme,BA+BC=BF.68/175CHAPITRE7. LESTRANSFORMATIONS 7.2. LESEXERCICESExercice2A CDEnonce On consid`ere un triangle ACD rectangle et isoc`ele de sommet prin-cipalA.Oncompleteralagureci-contreaufuret` amesure.1. Placer le point B image de D dans la rotation de centre A et dangle 60.Onprendralesensdesaiguillesdunemontrecommesensderotation.2. DemontrerqueletriangleABDestuntriangle equilateral.3. PlacerE,limagedupointDdanslatranslationdevecteur AC.DemontrerqueACEDestuncarre.60oA CD EBSolution1. Voirguresuivante.2. DemontronsqueletriangleABDestuntriangle equilateral.BestlimagedeDdanslarotation decentreAetdangle60do` uAB= ADet

BAD = 60.Le triangle ABDest alors isoc`ele avec unangle de 60: ABDestequilateral.3. DemontronsqueACEDestuncarre.EestlimagedeDdanslatranslation devecteur ACdo` u AC=DE.ACED est alors un parallelogramme ayant de plus deux c otesconsecutifsperpendiculairesdememelongueur:ACEDestuncarre.Exercice3()ABCOEnonce Construire sur le graphique ci-dessouslimagedunombre2000par:1. lasymetriedecentreO;2. lasymetriedaxe() ;3. latranslationquitransformeAenC ;4. la rotation de centre OquitransformeAenB.()ABCOSolution Voirgureci-contre.69/1757.2. LESEXERCICES CHAPITRE7. LESTRANSFORMATIONS7.2.2 AutresexercicesExercice4A BC DMNOPLLe schema ci-contre represente un carre ABCDdont les diagonales secoupent en O.Les pointsM, N, Pet L sont lesmilieuxrespectifs desc otes[AB],[BC],[CD]et[AD].Repondreauxquestionssuivantessansjustier:1. Quelest lesymetrique du triangle AOMpar rapport ` ala droite(LN) ?2. Quel estlesymetriquedutriangleAOMparrapportaupointO?3. Onconsid`ere larotation decentreOetdangle90danslesensdesaiguillesdunemontre.QuelleestlimagedutriangleAOMparcetterotation?4. Recopieretcompleterles egalites vectoriellessuivantes:PO +OC= . . .AM+OC= . . .Exercice51. ConstruireuncarreABCDetletriangle equilateralABE,exterieur` aABCD,ayantlec otecommun[AB]telqueAB= 4cm.ConstruireOlecentredegravite deABE.2. ConstruireA1B1C1D1imagedeABCDpar larotation RdecentreOet dangle120, dans lesens desaiguillesdunemontre.3. ConstruireA2B2C2D2imagedeA1B1C1D1parlamemerotation.4. QuelleestlarotationquitransformeABCDenA2B2C2D2 ?5. QuelleestlimagedeA2B2C2D2parlarotation R?Exercice6Surunquadrillageconstituedecarres, onaplaceunedroite(d),troispoints(nommesA,BetM),unegurequiestenformedefanionetestnumerotee 1.ABM1(d)1. (a) Construirelimagedelagure1parlasymetriedaxe(d) ;numeroter 2lagureobtenue.(b) Construirelimagedelagure1parlarotationdecentreMetdangle90danslesensdesaiguillesdunemontre ;numeroter 3lagureobtenue.(c) Construirelimagedelagure1parlasymetriedecentreA;numeroter 4lagureobtenue.(d) Construirelimagedelagure4parlasymetriedecentreB;numeroter 5lagureobtenue.2. Parquelletransformation geometrique peut-onpasserdirectementdelagure1` alagure5 ?Preciser lelement caracteristique decettetransformation.70/175CHAPITRE7. LESTRANSFORMATIONS 7.2. LESEXERCICESExercice7PrevoirdelaplaceautourdutracedutriangleABC.1. TracerletriangleABCtelque:BC= 4 ;AB= 3 ;AC= 2.OnappellecettegureF1.2. ConstruirelimagedeF1parlasymetriedaxe(AB).OnlappelleF2.3. ConstruirelimagedeF1parlasymetriedecentreB.OnlappelleF3.4. ConstruirelimagedeF1parlatranslation devecteur BC.OnlappelleF4.Exercice8Traceruncarre RIENdec ote5cm.1. ConstruirelepointPimagedeIparlatranslationdevecteur RE.2. Sansutiliserdautrespointsqueceuxdelagure,recopieretcompleterlesegalites suivantes:RE +EI= . . . ;NR +IP= . . . ;RN+RI= . . ..Exercice9A BCD EFOOn consid`ere lhexagone regulier ABCDEF ci-contre de centre O(lhexagonenestpas` areproduire).OndemandededeterminerlimagedutriangleBCOpar:1. Latranslation devecteur AF.2. Lasymetriedaxe(BE).3. La rotation de centre Oet dangle 60dans le sens contraire desaiguillesdunemontre.Exercice10ABCD EFGHKLOA lintersection des lignes dun quadrillage, on amarque les points A, B, C, D, E, F, G, H, K, L et O.En observant la gure ci-dessous, recopier et completerlesphrasessuivantes:1. LesymetriquedupointBparrapportaupointOest..........2. Le symetrique du point A par rapport ` a la droite(CG)est..........3. LimagedupointKdanslatranslationdevec-teur OCest...........4. BG+BC= .Exercice11ABCLagure F1esttracee ci-dessous.1. Tracer limage F2de F1par la symetrie de centre B;preciser limagedeAparcettesymetrie.2. Tracer limage F3de F2parla symetrie decentre C.3. Par quelle transformation passe-t-on de F1` a F3 ? Enutilisant des pointsdu dessin, preciser cettetransfor-mation.71/1757.2. LESEXERCICES CHAPITRE7. LESTRANSFORMATIONSExercice12Luniteestlecentim`etre.OndonneuntriangleABDtelqueAB= 5,AD = 6etBD = 7.1. ConstruirelepointEimagedupointAparlatranslationdevecteurBD.2. ConstruirelepointFtelqueBF=AB +BD.3. MontrerqueDestlemilieude[EF].Exercice13HABCIJOSurledessinci-contre:1. Tracer H1image de Hpar lasymetrie decentreA.2. Tracer H2image de H par la translation de vec-teur AC.3. Quelletransformation permetdepasser directe-mentde H1` a H2 ?4. Tracer H3imagede HparlarotationdecentreOquitransformeIenJ.Exercice14ABOF1Sur lagure ci-apr`es, onconsid`erela gure F1, engrise.Construire:1. la gure F2, image de la gure F1 par la symetriedaxe(OA) ;2. la gure F3, image de la gure F1 par la symetriedecentreO;3. lagureF4,imagedelagureF1parlatrans-lationdevecteur AB.Numeroterchacunedesguresconstruites.72/175Chapitre8Geometriedanslespace8.1 Lecours8.1.1 LespavesdroitsGeneralitesUnpavedroit(ouparallelepip`ede rectangle)estconstituede6facesrectangulaires identiquesetparall`elesdeux` adeux: lehautetlebas ; ledessusetledessous ; ladroiteetlagauche.Deuxaretes consecutivessontperperdiculaires.Uncasparticulierdupavedroitestlecube: toutessesfacessontcarres.VolumeLhlV= L l hDupavedroit`alageometrieplaneDeuxaretesconsecutivesetantperperdiculaires,onextrairadupavedroitdescarres,rectanglesoudestrianglesrectanglesdanslesquelsonpourrautiliserlensembledenosconnaissances degeometrie plane.Ilestvivementconseillededessinerpourchaquequestionunegure` amainleveedelagureextraite.Application: diagonalesducubeA BCDEFG HEnonce ABCDEFGHestuncubedec ote5cm.1. CalculerAH.Ondonnerasavaleurexacte.2. CalculerHB.Ondonnerasavaleurexacte.3. FaireunegureenvraiegrandeurdutriangleAHB.738.1. LECOURS CHAPITRE8. GEOMETRIEDANSLESPACESolution1. CalculonsAH.55AD HELagureci-contrerepresente lafaceADHEquiestuncarre.DansletriangleADHrectangleenH,dapr`es letheor`eme dePythagore,AD2+DH2= AH252+ 52= EG225 + 25 = EG2EG2= 50EG =50 =25 2 =25 2EG = 52(valeurexacte)Dans le cas general dun cube darete a, la diagonale dune face mesure a2.2. CalculonsHB.552AH GBLagureci-contrerepresentelerectangleABGHDansletriangleABHrectangleenA,dapr`esletheor`eme dePythagore,BA2+AH2= BH252+(52)2= BH2or (52)2= 50 dapr`es la questionprecedente.25 + 50 = BH2BH2= 75BH=75 =25 3 =25 3BH= 53(valeurexacte)Dans le cas general dun cube darete a, sa grande diagonale mesure a3.8.1.2 LesPyramidesGeneralitesABCD ESHUnepyramideestdeniepar unebasepolygonale(triangle,quadrilat`ere, ...) unpointSappelesommetdelapyramidesitueendehorsduplandelabase.On appelle hauteur de la pyramide la distance SHseparant le sommetdelabase.Lagureci-contreestlexempledunepyramideSABCDEdesommetSdontlabaseestlepentagoneABCDE.VolumeV=13 Airedelabase hauteur74/175CHAPITRE8. GEOMETRIEDANSLESPACE 8.1. LECOURSCasparticulierdunepyramidereguli`ereABCDSHUnepyramideestditereguli`ere si sabaseestunpolygoneregulier (triangle equilateral, carre, ...) lepiedHdesahauteurestsitueaucentredesabase.Dans ce cas, toutes les aretes partant du sommet sont de la meme longueur.La gure ci-contre represente lecas dunepyramide reguli`ere SABCDdesommetSdontlabaseestlecarre ABCDdecentreH.Premi`ereapplication:pyramidereguli`ereABCDHSEnonce Lapyramidereguli`ere` abasecarreeSABCDci-contreaunebasede50cm2etunearete[SA]de13cm.1. CalculerlavaleurexactedeAB, puisdemontrerque: AC=10cm.2. Soit HlecentredeABCD.On admetque(SH)est perpendi-culaire` a(AC).Demontrer que : SH = 12cm, puis calculer le volume deSABCD.Solution1. CalculonsABpuisAC.AB CDCommen consparcalculerAB.ABCDestuncarre dec oteACetdaire50cm2,do` uAC2= 50AC=50AC=25 2AC=25 2AC= 52CalculonsAC.DansletriangleABCrectangleenB,dapr`esletheor`eme dePythagore,AB2+BC2= AC2(52)2+(52)2= AC2or dapr`es la question precedente (52)2=50.50 + 50 = AC2AC2= 100AC=100AC= 1075/1758.1. LECOURS CHAPITRE8. GEOMETRIEDANSLESPACE2. CalculonsSHA H CS513Lapyramideetantreguli`ere,leslongueursSAetSCsontegales: letriangleSACdessineci-contreestdoncisoc`eledesommetprincipalS.Hestlemilieude[AC]do` uAH= 5.DansletriangleSAHrectangleenH,dapr`esletheor`eme dePythagore,SH2+HA2= SA2SH2+ 52= 132SH2+ 25 = 169SH2= 169 25SH2= 144SH=144SH= 12Deuxi`emeapplication:pyramideextraitedunpavedroitADCBEHG F3 cm3cm5cm4cmEnonce ABCDEFGHestunpavedroit.OndonneAD=DC=3 cm; GC=4 cm; GD=5 cm.Sur le dessin ci-contre, les dimensions ne sont pas res-pectees.1. Calculerlevolume,exprimeencm3,delapyramideGABCD.2. (a) Dessiner en vraie grandeur le triangle ADG rec-tangleenD.(b) Calculer la mesure, arrondie au degre, de langle

AGDdutriangleADG.(c) Calculer la valeur exacte de la longueur AG, puisendonnerlavaleurarrondie aumillim`etre.Solution1. Calculonslevolume VdelapyramideGABCD.Danscettepyramide,labaseestlecarre ABCDetlahauteurestlesegment[GC],do` uV=13 AABCDGC avec AABCD= AB2= 32= 9cm2etGC= 4cm.V=13 9 4 =363= 12LevolumedelapyramideGABCDest12cm3.2. (a) DessinonsenvraiegrandeurletriangleADG.A DG35 LetriangleADGestrectangleenD.76/175CHAPITRE8. GEOMETRIEDANSLESPACE 8.1. LECOURS(b) Calculons

AGD.A DGc oteopposec oteadjacenthypotenuseDansletriangleADGestrectangleenD,tan(

AGD) =EFDF_=c oteopposec oteadjacent_tan(

AGD) =35Dapr`eslacalculatrice,

AGD = 31.(c) CalculonsAG.A DG35DansletriangleADGrectangleenD,dapr`es letheor`eme dePythagore,AD2+DG2= AG232+ 52= AG29 + 25 = AG2AG2= 34AG =34(valeurexacte)Dapr`eslacalculatrice,AG = 5, 8cm8.1.3 Lesc onesderevolutionGeneralit