manuel calcul beton arme[1]

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  • janvier 2009

    INSTITUT GRAMME UNITE CONSTRUCTION

    Dr Ir P. BOERAEVE

    Manuel de Calcul de Bton Arm

    Selon EN 1992-1-1(12/2004) et Annexe Belge de 02/2006

  • Manuel de calcul de Bton Arm selon EN1992-1.1 de dc.2004 2

    Dr Ir P. Boeraeve janvier 2009

    MISE EN GARDE Ce manuel est une compilation trs partielle de l'EN-1992-1.1 (12/2004) et de lannexe Belge (02/2006). Pour des renseignements plus complets, il est conseill de se rfrer au texte original de ce code.

    TABLE DES MATIERES MISE EN GARDE ................................................................................................................................................................. 2

    TABLE DES MATIERES ..................................................................................................................................................... 2

    INTRODUCTION.................................................................................................................................................................. 4

    1 UNITES ......................................................................................................................................................................... 4

    2 TEXTES NORMATIFS ASSOCIS .......................................................................................................................... 4

    3 PROCEDURE GENERALE DE VERIFICATION .................................................................................................. 4

    3.1 DALLE ................................................................................................................................................................. 4 3.2 POUTRE............................................................................................................................................................... 4

    4 DUREE DUTILISATION DU PROJET................................................................................................................... 5

    5 EXIGENCES DE DURABILITE................................................................................................................................ 5

    5.1 CLASSES INDICATIVES DE RESISTANCE POUR DURABILITE ..................................................................................... 5 5.2 CLASSES D'EXPOSITION.......................................................................................................................................... 6 5.3 CALCUL DES ENROBAGES MINIMUM (CNOM) ............................................................................................................ 7

    6 ACTIONS (EC1-1-1) .................................................................................................................................................... 8

    6.1 CHARGES PERMANENTES ....................................................................................................................................... 8 6.2 CHARGES D'EXPLOITATION .................................................................................................................................... 8

    7 COMBINAISONS D'ACTIONS ................................................................................................................................. 9

    8 COMBINAISONS DE CHARGES ........................................................................................................................... 10

    9 ELEMENTS STRUCTURAUX ................................................................................................................................ 10

    9.1 DEFINITIONS ........................................................................................................................................................ 10

    10 SOLLICITATIONS M, N, V ..................................................................................................................................... 10

    10.1 POUTRES EN TE / LARGEUR PARTICIPANTE DE DALLE .......................................................................................... 10 10.2 PORTEE DE CALCUL ............................................................................................................................................. 11 10.3 POUTRES ET DALLES CONTINUES : CALCUL DES MOMENTS ELASTIQUES .............................................................. 11 10.4 POUTRES ET DALLES CONTINUES : REDISTRIBUTION DES MOMENTS ..................................................................... 11 10.5 DALLES PORTANT DANS DEUX SENS..................................................................................................................... 11

    11 MATERIAUX............................................................................................................................................................. 14

    11.1 BETONS............................................................................................................................................................. 14 11.1.1 Classes de rsistance la compression..................................................................................................... 14 11.1.2 Diagrammes contraintes-dformations ..................................................................................................... 14 11.1.3 Comment commander un bton en Belgique ? .......................................................................................... 17 11.1.4 Dimension nominale maximale du granulat (Dmax)................................................................................. 16 11.1.5 Donnes complmentaires......................................................................................................................... 16

    11.2 ACIERS .............................................................................................................................................................. 18

    12 FLEXION SIMPLE.................................................................................................................................................... 18

    12.1 PREDIMENSIONNEMENT RAPIDE........................................................................................................................... 18 12.1.2 CALCUL DE LA SECTION....................................................................................................................... 19

    13 VERIFICATION A L'ELU ....................................................................................................................................... 19

    13.1 FLEXION ........................................................................................................................................................... 19

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    Dr Ir P. Boeraeve janvier 2009

    13.1.1 Calcul de la position de l'axe neutre plastique.......................................................................................... 19 13.1.2 Armatures simples- calcul de la section d'armatures ................................................................................ 19 13.1.3 Armatures doubles : (pas souhaitable en gnral).................................................................................... 20 13.1.4 Tables d'armatures .................................................................................................................................... 20 13.1.5 Dispositions constructives des armatures de flexion................................................................................. 22

    13.2 ANCRAGE DES BARRES TENDUES.............................................................................................................. 24 13.2.1 Valeurs de calcul de la contrainte d'adhrence fbd .................................................................................. 24

    13.3 EFFORT TRANCHANT .................................................................................................................................... 27 13.3.1 Procdure gnrale de vrification ........................................................................................................... 27 13.3.2 Dalles sans armature d'effort tranchant.................................................................................................... 27 13.3.3 Poutres (dalles) avec armature d'effort tranchant .................................................................................... 28 13.3.4 Dispositions constructives des triers ....................................................................................................... 29 13.3.5 Vrifications au droit des appuis dextrmit............................................................................................ 30 13.3.6 Cisaillement entre l'me et les membrures des sections en T .................................................................... 30

    13.4 ELEMENTS COMPRIMES ET FLECHIS......................................................................................................... 32 13.4.1 Particularits............................................................................................................................................. 32 13.4.2 Excentricit minimale des charges axiales................................................................................................ 33 13.4.3 Imperfections gomtriques....................................................................................................................... 33 13.4.4 Longueur efficace (longueur de flambement)............................................................................................ 33 13.4.5 Non prise en compte du second ordre ....................................................................................................... 34 13.4.6 Prise en compte du second ordre .............................................................................................................. 34

    13.5 DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES POUR LES POTEAUX ............................................................................................ 36

    14 VERIFICATION A L'ELS ........................................................................................................................................ 37

    14.1 CONTROLE DES DEFORMATIONS (FLECHES) ......................................................................................................... 37 14.2 CONTRAINTES LIMITES ........................................................................................................................................ 38

    14.2.1 Calcul des contraintes ............................................................................................................................... 38 14.2.2 Dans le bton............................................................................................................................................. 38 14.2.3 Dans l'acier ............................................................................................................................................... 38

    14.3 CONTROLE DE FISSURATION ................................................................................................................................ 38 14.3.1 Sections minimales d'armatures pour matrise fissuration........................................................................ 39 14.3.2 Module de Young du bton pour charges quasi-permanentes................................................................... 39 14.3.3 Matrise de la fissuration sans calcul direct.............................................................................................. 41 14.3.4 Calcul de l'ouverture des fissures.............................................................................................................. 41

    ANNEXE A : LIGNES DINFLUENCE............................................................................................................................ 43

    ANNEXE B. FORMULAIRE POUR LE CALCUL DES FLECHES............................................................................ 49

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    INTRODUCTION Les calculs de bton arm dcrits dans ce manuel sont mens selon les Rgles de l'Eurocode 2 (EN 1992-1-1 de dcembre 2004). Ces rgles appliquent des prescriptions issues de la thorie des tats Limites (EC 2 Art. 2.2).

    1 UNITES 1 N/mm = 1 MPa 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm

    2 TEXTES NORMATIFS ASSOCIS Eurocodes N CEN Objet Matriau N CEN

    EC0 EN 1990 Bases de calcul des structures Ciments EN 197-1 EC1 EN 1991 Actions sur les structures Granulats EN 12620 EC2 EN 1992 Calcul des structures en bton Eau EN 1008 EC3 EN 1993 Calcul des structures en acier Adjuvants EN 934-2 EN 934-6

    EC4 EN 1994 Calcul des structures mixtes acier-bton Btons

    (fabrication') EN 206-1

    EC5 EN 1995 Calcul des structures en bois Btons (mise en oeuvre) EN 13670

    EC6 EN 1996 Calcul des structures en maonnerie EC7 EN 1997 Calcul gotechniques

    EC8 EN 1998 Calculs para-sismiques

    EC9 EN 1999 Calcul des structures en aluminium

    3 PROCEDURE GENERALE DE VERIFICATION 3.1 DALLE

    1 Dterminer la dure dutilisation du projet 2 Etablir les exigences de durabilit et dterminer la rsistance minimum du bton 3 Calculer lenrobage minimum pour durabilit, adhrence et rsistance au feu ventuelle 4 Identifier les actions agissant sur llment 5 Dterminer les combinaisons dactions 6 Dterminer les dispositions de charge les plus dfavorables (Lignes dinfluence) 7 Analyser la dalle pour obtenir les moments(+ et -) et efforts tranchants critiques. 8 Calculer les armatures ncessaires pour assurer la rsistance en flexion lELU des sections critiques. 9 Contrler ces armatures ncessaires par rapport la section dlarmatures minimum et maximum 10 Contrler lELS les flches (soit la condition de dispense, soit le calcul rigoureux) 11 Contrler lELS les contraintes limites. 12 Contrler lespacement des barres de flexion 13 Contrler la rsistance leffort tranchant lELU des sections critiques 14 Contrler lespacement des triers 15 Contrler lELS, la fissuration et ltat limite de vibration

    3.2 POUTRE Si la poutre est rectangulaire, la procdure est la mme que pour les dalles. Dans le cas dune poutre solidaire dune dalle, on envisage le comportement en poutre en T (voir 10.1). Dans ce cas, pour lanalyse de la poutre, celle-ci sera considre avec la largeur collaborante de dalle correspondant aux traves. Les tapes 7 et suivantes deviennent alors 7 Analyser la dalle pour obtenir les moments(+ et -) et efforts tranchants critiques. Ce calcul se fait avec les largeurs collaborantes correspondant une flexion positive (dalle comprime lors de la flexion de la poutre) 8 Calculer les armatures ncessaires pour assurer la rsistance en flexion lELU des sections critiques. Ce calcul se fait avec la largeur collaborante correspondant la section que lon calcule. 9 Contrler ces armatures ncessaires par rapport la section dlarmatures minimum et maximum. (flexion positive et ngative) 10 Contrler lELS les flches (soit la condition de dispense, soit le calcul rigoureux) 11 Contrler lELS les contraintes limites.

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    12 Contrler lespacement des barres de flexion 13 Contrler la rsistance leffort tranchant lELU des sections critiques 14 Contrler lespacement des triers 15 Contrler lELS, la fissuration et ltat limite de vibration 16 Vrifier le cisaillement entre l'me et les membrures des sections en T

    4 Dure dutilisation du projet La dure dutilisation recommande est reprise au tableau suivant (Annexe Belge) :

    Remarque : la tendance des bureaux dtudes est de prendre une dure de 50 ans pour les immeubles.

    5 Exigences de durabilit 5.1 Classes indicatives de rsistance pour durabilit

    Selon la classe d'exposition de l'ouvrage (voir tableau 4.1 de l'EC2), une classe de rsistance minimale est conseille par l'EC2 pour respecter une durabilit suffisante.

    XF4

    C35/45

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    5.2 Classes d'exposition

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    5.3 Calcul des enrobages minimum (cnom) L'enrobage est la distance entre la surface de l'armature la plus proche de la surface du bton et cette dernire.

    Un enrobage minimal doit tre assur afin de garantir : - la bonne transmission des forces d'adhrence - la protection de l'acier contre la corrosion (durabilit) - une rsistance au feu convenable (voir EN 1992-1-2).

    cnom = cmin,dur + 10mm (tolrance) Note : les valeurs reprises au tableau 4.4N ne tiennent pas compte des impositions lies la rsistance au feu(voir EN 1992-1-2).

    La Classe Structurale recommande (dure d'utilisation de projet de 50 ans) est la classe S4.

    2) La limite peut tre rduite d'une classe de rsistance si l'air entran est suprieur 4%.

    Dalles Poutres

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    6 ACTIONS (EC1-1-1) 6.1 Charges permanentes Poids volumiques kN/m

    Cloisons mobiles de poids propre

    Charge rp. quiv. /m2

    Bton 24 1 kN/m linaire de mur 0,5 kN/m Acier 78.5 2 kN/m linaire de mur 0,8 kN/m Bton arm 25 3 kN/m linaire de mur 1,2 kN/m Mortier de ciment 21

    Carrelage 20

    Calcaire compact, marbre, granit 28

    Grs 25

    Maonnerie -sans enduits : -en moellons -en briques pleines -en briques perfores

    23 19 13,5

    -Blocs de bton pleins en granulats lourds creux en granulats lourds

    21 13,5

    - pierre de taille 27

    6.2 Charges d'exploitation Catgories d'ouvrages les plus courants

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    NOTES : 1) Les charges dfinies pour les catgories B, C et D sappliquent aux planchers, aux escaliers et aux balcons. La charge rpartie sur les balcons ne sera toutefois pas infrieure 4 kN/m. 2) EC2 6.2.1(3)P Pour assurer que le plancher prsente une rsistance locale minimale, une vrification spare doit tre effectue avec une charge concentre seule sappliquant sur une surface carre de 50 mm de ct. 3) Pour les marches descaliers, Qk = 3,0 kN.

    7 COMBINAISONS D'ACTIONS Actions permanentes Actions variables favorables Actions variables dfavorables

    favorables dfavorables favorables dominante d'accompagn.

    ELU 1,00 1,35 0 1,5 1,5 0 ELS caractristique

    1 1 0 1 0

    ELS frquente l 1 0 1 2 ELS quasi- permanente

    1 1 0 2 0 Pour les charges permanentes, il convient d'appliquer toute la structure la valeur qui conduit l'effet le plus dfavorable.

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    8 COMBINAISONS DE CHARGES

    Pour les btiments, on peut limiter les combinaisons aux trois cas suivants:

    - traves paires charges, - traves impaires charges, - deux traves adjacentes quelconques charges.

    Exemple pour une poutre sur 5 appuis (n appuis= n combinaisons)

    9 Elments structuraux 9.1 Dfinitions Poutre : L>= 3 h, sinon poutre-cloison. Dalle : min(Lx;Ly)>= 5 fois son paisseur totale. Si charges uniformment rparties : porteuse dans une seule direction si : deux bords libres (sans appuis) sensiblement parallles, ou appuye sur quatre cts et dont le rapport de la plus grande la plus faible porte est suprieur 2. Dans ce cas se calcule comme une poutre de largeur unitaire. Poteau : max(b,h)= 3 max(b,h) sinon : voile.

    10 Sollicitations M, N, V La rpartition des sollicitations dtermine partir de l'analyse de la structure est obtenue en utilisant dans la plupart des cas, un modle lastique et linaire, avec ou sans redistribution. On prend en compte uniquement les sections de bton seul (vides non dduits, armatures non prises en compte) et on suppose que les pices ne sont pas fissures. Les poutres en bton arm d'un btiment supportent souvent des dalles et sont, par construction, solidaires de celles-ci. Dans ce cas, si la poutre subit un moment positif, la dalle reprend une partie des contraintes de compression induites par la flexion de la poutre. La poutre travaille donc comme une poutre en T. En gnral, la partie compime est contenue dans la dalle, et donc calculer une poutre en T revient dans ce cas calculer une poutre rectangulaire de largeur beff,+. Si la poutre subit un moment ngatif, ce qui est le cas sur appuis pour une poutre continue, la poutre se calcule comme une poutre rectangulaire de largeur gale la largeur de l'me, ses armatures devant alors tre situes dans la largeur beff,-. LEurocode 2 dfinit la largeur participante prendre en compte de faon forfaitaire.

    10.1 Poutres en T / Largeur participante de dalle

    Dfinition de Lo dans le cas dune poutre continue

    Dbord participant (efficace) de table est limit

    - gauche: beff,1 = Min[b1 ; 0,2 b1 + 0,1 L0 ; 0,2 L0] - droite: beff,2 = Min[b2 ; 0,2 b2 + 0,1 L0 ; 0,2 L0]

    L0= porte entre points de moments nuls !!! Donc pour une poutre isostatique Lo=L entre appuis, pour une poutre continue : voir figure ci-dessus. Largeur participante de la table beff = bw + beff,1 + beff,2

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    10.2 Porte de calcul Pour l'analyse : leff=ln+a1+a2 avec ln=porte entre nus (=bords intrieurs) des appuis , a1 et a2 =min(h/2;t/2) o h=hauteur de l'lment et t = largeur de l'appui considr. Si appuis et poutre ou dalle lis monolithiquement : le dimensionnement sur appuis se fera sur base des moments aux nus des appuis. Sinon crtage possible du diagramme de moments : diminution de M = F.t/8 avec Avec F = raction d'appui et t = largeur de l'appui.

    10.3 Poutres et dalles continues : calcul des moments lastiques En annexe on trouvera les lignes dinfluence des moments et ractions dans des lments continus composs de traves identiques

    10.4 Poutres et dalles continues : redistribution des moments On peut diminuer les moments sur appuis pour tenir compte de la fissuration, sous rserve que la nouvelle distribution des moments continue quilibrer les charges appliques.

    = Moment aprs redistribution/ Moment avant redistribution pour des classes de bton infrieures ou gales C35/45

    0.44+1.25 xu/d pour des classes de bton suprieures C35/45

    0,56+1.25 xu/d pour des aciers haute ductilit, 0,7 pour des aciers de ductilit courante, 0,85 avec : xu = hauteur de l'axe neutre l'ELU aprs redistribution, mesure partir de la fibre comprime du bton. et: d= hauteur utile.

    10.5 Dalles portant dans deux sens

    10.5.1 Calcul des moments dans la dalle partir dun logiciel de calcul des structures

    Un calcul de ce type fournit en tout point de la dalle deux moments de flexion : mx, my, et un moment de torsion mxy. La rfrence

    1 donne une formule de dimensionnement simplifie et scuritaire pour dimensionner les armatures orthogonales dune dalle soumise des moments mx, my, et mxy. Il faut respecter les ingalits :

    ' '

    ;

    ;

    xd xyd xRd yd xyd yRd

    xd xyd xRd yd xyd yRd

    m m m m m m

    m m m m m m

    + +

    + +

    O : mxd, myd et mxyd sont les valeurs de calcul lELU de mx, my, et mxy mxRd, myRd (mxRd, myRd) sont les moments rsistants positifs(ngatifs) de calcul dans les directions x et y (=directions des armatures)

    Au cas o la valeur absolue du moment de torsion est plus grande que la valeur absolue de mxd ou myd, il faut prvoir une armature suprieure (pour reprendre un moment ngatif) selon la direction concerne.

    Larmature nest ncessaire que si le rsultat de ces additions est positif

    1 Trait de Gnie Civil. Dimensionnement des structures en bton : dalles, murs, colonnes et fondations. Favre et al. Presses polytechniques et universitaires romandes.

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    10.5.2 Abaques donnant les moments Mmax et Mmin

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    11 MATERIAUX 11.1 BETONS

    11.1.1 Classes de rsistance la compression

    11.1.2 Diagrammes contraintes-dformations Trois diagrammes sont admis pour le calcul des sections des lments en BA : le plus simple est le diagramme rectangulaire.

    Si la largeur de la zone comprime diminue dans la direction de la fibre extrme la plus comprime, il convient de rduire fcd de 10%. EC2 6.1(5) Dans les parties des sections qui sont soumises une charge approximativement centre (Excentricit/hauteur < 0,1), telles que les membrures comprimes des poutres-caissons ou les colonnes, il convient de limiter la dformation moyenne en compression dans cette partie de la section c2(c3 si diagramme bilinaire ou rectangulaire simplifi). EC2 6.1 (6) La Figure 6.1 montre les valeurs limites des dformations relatives admissibles.

    fctm

    fcd = 0.85 fck/c (fck 50 MPa) c = coefficient de scurit partiel du bton = 1.5 0.2cu3

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    11.1.3 Caractristiques mcaniques propres au btonClasses de rsistance C 12/15 C 16/20 C20/25 C 25/30 C30/37 C 35/45 C 40/50 C 45/55 C 50/60

    fck (N/mm) 12 16 20 25 30 35 40 45 50

    fck,cube (N/mm) 15 20 25 30 37 45 50 55 60 fcd (N/mm) 6.8 9.1 11.3 14.2 17 19.8 22.7 25.5 28.3 fctm (N/mm) 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1 Ecm (N/mm) 27000 29000 30000 31000 33000 34000 35000 36000 37000

    cu3 (10-3) 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5

    c3 (10-3) 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 Contrainte

    d'adhrence de calcul fbd (N/mm2)

    (Adh.amliore) 1.7 2 2.3 2.7 3 3.3 3.8 4.1 4.4

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    11.1.4 Dimension nominale maximale du granulat (Dmax)

    11.1.5 Donnes complmentaires spcifier lors de la commande du bton

    Type de ciment Teneur minimum en ciment Adjuvants (retardateur/acclrateur de prise) E/C max

    mm

    Veiller : Dmax a (enrobage) b/5 0,75 c d/5 0,4 e mais le plus grand possible

    63 45 40 31,5 22 20 16 14 12,5 11 10 8 6

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    11.1.6 Comment commander un bton en Belgique ?

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    11.2 ACIERS Limite lastique: fyk = 500 MPa (S500) Module de Young : 200 000 MPa Contrainte de calcul ELU = fyd=fyk/ s=435 MPa Avec s = 1,15 (sauf actions accidentelles: s = 1) Diagramme de calcul pour l'acier (limit en pratique =1%):

    12 Flexion simple 12.1 Prdimensionnement rapide

    12.1.1.1 Hauteur base sur la sollicitation La formule ci-dessous est base sur une utilisation rationnelle du bton (=3.5 10-3) et de lacier (=10 10-3). On a dans ce cas xu/d = 3.5 / (10+3.5) = 0.259. bh >= 10 MEd/fck (units cohrentes) Soit pour un bton classique C30/37 : bh >= 0.33 MEd (b et h en m, MEd en MN.m),

    12.1.1.2 Hauteur base sur la limitation de la flche Si on veut respecter les flches, on peut estimer la hauteur partir

    des valeurs de L/d (porte/hauteur utile) limites reprises au tableau ci-dessous (hypothse classe bton standard C30) et prendre en premire approximation d=0.9h:

    L/d poutres dalles

    Poutre sur appuis simples, dalle sur appuis

    simples portant dans une ou deux directions

    14 20

    Trave de rive d'une poutre continue, d'une dalle continue portant dans une direction

    ou d'une dalle continue le long d'un grand ct et portant dans deux directions

    18 26

    Trave intermdiaire d'une poutre ou d'une dalle portant dans une ou deux directions

    20 30

    Dalle sans nervures sur poteaux, (plancher-dalle) pour la porte la plus

    longue

    17 24

    Console 6 8 Note : Dans le cas des dalles portant dans deux directions, L reprsente la plus petite porte.

    12.1.1.3 Procdure pratique Dans le cas des dalles, la valeur base sur la sollicitation ne respecte pas, la condition de flche. Celle sur la limitation de flche est en gnral non conomique.

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    Un bon compromis, si la condition de flche est la plus contraignante, est de prendre la hauteur moyenne entre les deux approches, sinon de prendre celle base sur la sollicitation. La largeur de la poutre est prise entre 0.3 et 0.6h pour une poutre rectangulaire, et entre 0.2 et 0.4h dans le cas d'une poutre en T.

    12.1.2 CALCUL DE LA SECTION

    12.1.2.1 Calcul de la hauteur utile La hauteur utile d est dfinie comme tant la distancez entre les fibres les plus comprimes et le centre de gravit des armatures tendues. Pour rappel, l'enrobage cnom est la distance entre la surface de l'armature la plus proche de la surface du bton et cette dernire. Au paragraphe 5.3 on a vu comment les enrobages minimum taient calculs en fonction des classes dexposition.

    Donc, dans le cas d'une poutre comportant des triers d'effort tranchant, d=h-cnom-diamtre trier-diamtre barre/2 Il n'y a d'triers que dans les poutres, et ils sont gnralement de diamtre 8 ou 10mm.

    13 Vrification l'ELU 13.1 FLEXION

    13.1.1 Calcul de la position de l'axe neutre plastique On calcule :

    fcd=0.85*fck/1.5 et

    2

    .

    0.8

    sd

    cd

    u

    Md d

    b fx

    =

    Si xu/d (xu/d)lim, il n'y a pas besoin d'armatures comprimes (souhaitable et + conomique, sauf si on ne peut faire autrement par manque de place) Pour des poutres ou dalles continues avec redistribution, (xu/d)lim est dtermin partir des formules du 10.3. Pour des poutres ou dalles isostatiques, on a :

    ( xu /d)lim = 0,45 pour des btons de classe de rsistance C35/45 et (xu /d)lim =0,35 pour des btons de classe de rsistance C40/50.

    13.1.2 Armatures simples- calcul de la section d'armatures

    Le bras de levier z = d-0.4xu Vu les limites de xu/d imposes par l'EC2, on a toujours : fs = fyd. On calcule alors la section d'armatures As=MEd/(fyd.z)

    Dalles Poutres

    s

    xu

    fcd

    0.8xu

    z d

    Fs

    Fc

    c = 3.5 %o

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    13.1.3 Armatures doubles : (pas souhaitable en gnral) Si xu/d > (xu/d)lim, on doit ajouter des armatures comprimes pour ramener le x/d dans les limites (cela ncessite un bon armaturage transversal : intervalle maxi entre triers = 15diamtres des barres comprimes). On calcule : xu = (xu/d)lim*d effort complmentaire de compression apport par l'armature comprime : Fs2=AS2 . [min(700(xu-d2)/xu ; fyk/1.15)-fcd]

    0.8 . . .( 0.4 )Ed u cd uM M x b f d x =

    Et l'aire d'armature comprime se calcule par :).(

    A22

    s2ddF

    M

    s

    =

    On calcule alors la contrainte dans l'armature tendue par : fys=min(700*(d-xu)/xu ; fyk/1.15) et la section d'armatures tendues

    ys

    2

    ys

    sds

    f.zf

    M-MA s

    F+

    =

    13.1.4 Tables d'armatures

    13.1.4.1 DALLES - barres

    Barme d'espacement des barres dans les dalles Sections par mtre de largeur de dalle (mm2/m)

    Ecartement des barres (mm) et nombre de barres

    200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 Nbre 5.0 5.3 5.6 5.9 6.3 6.7 7.1 7.7 8.3 9.1 10.0 11.1 12.5 14.3 16.7 20.0

    Diam.

    6 142 149 157 166 177 189 202 218 236 257 283 314 354 404 472 566 8 252 265 279 296 314 335 359 387 419 457 503 559 629 719 838 1006

    10 393 413 436 462 491 523 561 604 654 714 785 872 981 1121 1308 1570 12 566 595 628 665 707 754 808 870 943 1028 1131 1257 1414 1616 1885 2262 14 769 810 855 905 962 1026 1099 1184 1282 1399 1539 1710 1924 2199 2565 3078 16 1006 1058 1117 1183 1257 1341 1436 1547 1676 1828 2011 2234 2514 2873 3352 4022

    s

    xu

    c = 3.5 fcd

    0.8xu

    z d

    Fs

    d2 Fc

    Fs2

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    13.1.4.2 Dalles- TREILLIS STANDARDS disponibles en Belgique Composition longitudinale

    (mm)

    Composition transversale(mm)

    Section en cm2/m

    Dimensions en mm

    Masse par treillis

    kg intervalle intervalle long. trans long. trans 5 100 5 100 1.96 1.96 5000 x 2000 30.8 6 100 6 100 2.83 2.83 5000 x 2000 44.4 8 100 8 100 5.03 5.03 5000 x 2000 78.9

    10 100 10 100 7.85 7.85 5000 x 2000 123.3 4 150 4 150 0.84 0.84 5000 x 2000 13.2 5 150 5 150 1.31 1.31 5000 x 2000 20.6 6 150 6 150 1.88 1.88 5000 x 2000 29.6 8 150 8 150 3.35 3.35 5000 x 2000 52.6 4 200 4 200 0.63 0.63 5000 x 2000 9.9 5 200 5 200 0.98 0.98 5000 x 2000 15.4 6 200 6 200 1.41 1.41 5000 x 2000 22.2 8 200 8 200 2.51 2.51 5000 x 2000 39.5

    10 200 10 200 3.93 3.93 5000 x 2000 61.7 Treillis mailles rectangulaires

    6 150 7 300 1.88 1.28 6000 x 2400 35.8 7 150 7 300 2.57 1.28 6000 x 2400 43.5 6 100 7 300 2.83 1.28 6000 x 2400 46.5 7 100 7 300 3.85 1.28 6000 x 2400 58.0 8 100 8 300 5.03 1.68 6000 x 2400 75.8 9 100 8 200 6.36 2.51 6000 x 2400 100.3

    4.5 200 4.5 300 0.80 0.53 3600 x 2400 9.0 4.5 160 4.5 200 0.99 0.80 3200 x 2400 10.1

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    13.1.4.3 POUTRES

    Section totale des armatures (en mm2)

    Nombre de barres places dans la poutre Poids Diam. (mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (N/m)

    6 28 57 85 113 141 170 198 226 254 283 311 339 368 396 424 2.2 8 50 101 151 201 251 302 352 402 452 503 553 603 653 704 754 3.9

    10 79 157 236 314 393 471 550 628 707 785 864 942 1021 1100 1178 6 12 113 226 339 452 565 679 792 905 1018 1131 1244 1357 1470 1583 1696 8.7 14 154 308 462 616 770 924 1078 1232 1385 1539 1693 1847 2001 2155 2309 11.9 16 201 402 603 804 1005 1206 1407 1608 1810 2011 2212 2413 2614 2815 3016 15.5 20 314 628 942 1257 1571 1885 2199 2513 2827 3142 3456 3770 4084 4398 4712 24.2 25 491 982 1473 1963 2454 2945 3436 3927 4418 4909 5400 5890 6381 6872 7363 37.8 32 804 1608 2413 3217 4021 4825 5630 6434 7238 8042 8847 9651 10455 11259 12064 61.9 40 1257 2513 3770 5027 6283 7540 8796 10053 11310 12566 13823 15080 16336 17593 18850 96.8

    13.1.5 Dispositions constructives des armatures de flexion

    13.1.5.1 Sections minimales et maximales

    Section minimale darmatures tendues : ctms,minyk

    fA = max(0,26 . ;0,0013. . )

    f t tb d b d

    Note : une section minimale est aussi dfinie pour matriser la fissuration (voir ELS : 14.3 Contrle de fissuration) Section maximale darmatures tendues ou comprimes : s,max cA = 0,04A o :

    bt = largeur moyenne de la zone tendue Ac = section de bton

    13.1.5.2 Espacements minimum des barres smin= max(diamtre de la barre; (dg + 5) mm; 20 mm ) (o dg est la dimension du plus gros granulat).

    13.1.5.3 Dalles (EC2 : 9.3) Il convient de prvoir, dans les dalles uni-directionnelles, des armatures transversales secondaires reprsentant au moins 20% des armatures principales.

    13.1.5.3.1 Espacements maxi des barres

    Pour les armatures principales, smax = min(3h,400 mm), o h est lpaisseur totale de la dalle; Pour les armatures secondaires, smax = min(3,5h,450 mm). Dans les zones sollicites par des charges concentres ou dans les zones de moment maximal, ces dispositions deviennent respectivement : - pour les armatures principales, smax = min(2h ,250 mm) - pour les armatures secondaires, smax = min(3h,400 mm).

    13.1.5.3.2 Armatures dans les dalles au voisinage des appuis

    Dans les dalles sur appuis simples, il convient de prolonger jusqu' l'appui la moiti des

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    armatures calcules en trave, et de les y ancrer. Lorsqu'un encastrement partiel se produit le long du bord d'une dalle mais n'est pas pris en compte dans l'analyse, il convient que les armatures suprieures soient capables de rsister au moins 25% du moment maximal de la trave adjacente. Il convient que ces armatures se prolongent sur une longueur dau moins 0,2 fois la longueur de la trave adjacente, mesure partir du nu de l'appui, quelles soient continues au droit des appuis intermdiaires et qu'elles soient ancres aux appuis d'extrmit. Sur un appui d'extrmit, le moment quilibrer peut tre rduit jusqu 15% du moment maximal de la trave adjacente.

    13.1.5.3.3 Armatures dangles

    Lorsque les dispositions constructives sur un appui sont telles que le soulvement de la dalle dans un angle est empch, il convient de prvoir des armatures d'angle : on placera deux treillis d'armatures en face infrieure et suprieure, d'une section gale 0.75As o As est la section prvue pour le moment maxi en trave, et on prolongera ces treillis sur une longueur gale 0.2 lx o lx est la plus petite porte (source CALCRETE, The Concrete Centre, UK).

    13.1.5.4 Poutres (EC2 : 9.2) 9.2.1.2 (1) Pour une poutre formant une construction monolithique avec ses appuis, il convient de dimensionner la section sur appuis pour un moment flchissant rsultant de l'encastrement partiel dau moins 0.15 fois le moment flchissant maximal en trave, y compris lorsque des appuis simples ont t adopts dans le calcul. (2) Aux appuis intermdiaires des poutres continues, il convient de rpartir la section totale des armatures tendues As d'une section transversale en T sur la largeur participante de la membrure suprieure. Une partie de ces armatures peut tre concentre au droit de lme.

    (3) Il convient de maintenir toute armature longitudinale comprime (de diamtre ) prise en compte dans le calcul de rsistance au moyen d'armatures transversales espaces au plus de 15 . (2) Pour des lments avec des armatures deffort tranchant, il convient de calculer leffort de traction supplmentaire Ftd conformment larticle 6.2.3 (7) de lEC2. Pour des lments sans armatures deffort tranchant (en particulier les dalles), Ftd peut tre estim en dcalant la courbe enveloppe des moments dune distance al = d. Cette "rgle de dcalage" peut galement tre employe pour des lments comportant un ferraillage deffort tranchant, o :

    al = z (cot - cot )/2 Leffort de traction supplmentaire est illustr sur la Figure 9.2.

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    (3) La rsistance des barres sur leur longueur d'ancrage peut tre prise en compte en supposant une variation linaire de leffort, voir la Figure 9.2. Par scurit, la contribution de cette longueur dancrage peut tre nglige.

    13.2 ANCRAGE DES BARRES TENDUES La longueur d'ancrage de rfrence lb,rqd ncessaire pour ancrer l'effort As.fsd qui rgne dans une barre droite vaut lb,rqd = (/ 4) (fsd / fbd) o o :

    fsd est la contrainte de calcul de la barre dans la section partir de laquelle on mesure l'ancrage. En flexion simple, on peut prendre fsd = fyd . As,req/As, prov o As,req est la section darmatures requise, et As, prov la section darmatures rellement mise en place.

    fbd est la valeur de calcul de la contrainte d'adhrence

    13.2.1 Valeurs de calcul de la contrainte d'adhrence fbd Classes de rsistance C 12/15 C 16/20 C20/25 C 25/30 C30/37 C 35/45 C 40/50 C 45/55 C 50/60 fbd barres adhrence amliore ( 32 mm) 1.7 2 2.3 2.7 3 3.3 3.8 4.1 4.4 Corrections : - pour > 32 mm, multiplier fbd par (132 - )/100 - si conditions dadhrence mdiocres, multiplier fbd

    par 0.7

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    13.2.2 Mthode gnrale La longueur d'ancrage de calcul lbd vaut : lbd = 1 2 3 4 5 lb,rqd lb,min o les coefficients i tiennent compte : de la forme de la barre (droite, plie, crochet), de lenrobage, de la prsence darmatures transversales soudes ou non, dune compression transversale (par exemple sur un appui),

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    Le produit vrifie : ( 2. 3. 5) 0,7

    lb,min est la longueur d'ancrage minimale en l'absence de toute autre limitation : lb,min > max{0,3lb,rqd; 10; 100 mm} Dans le cas des barres plies, il convient de mesurer la longueur d'ancrage de rfrence lb,rqd et la longueur de calcul lbd le long de l'axe de la barre (voir Figure 8.1a)).

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    13.2.3 Mthode simplifie Une simplification consiste considrer que l'ancrage de barres tendues selon les formes de la Figure 8.1 peut tre assur moyennant la prise en compte d'une longueur d'ancrage quivalente lb,eq (dfinie sur cette mme figure), qui peut tre prise gale : - 1 lb,rqd pour les formes des Figures 8.1b) 8.1d) avec 1 = 0,7 si cd >3 sinon 1 = 1,0 - 4 lb,rqd pour les formes de la Figure 8.1e) avec 4 = 0,7

    13.3 EFFORT TRANCHANT Transmission des charges directement aux appuis pour des charges rparties : on peut prendre comme valeur de l'effort tranchant sollicitant celle l'abscisse d du nu de l'appui.

    13.3.1 Procdure gnrale de vrification Pour la vrification de la rsistance l'effort tranchant, on dfinit:

    VEd est l'effort tranchant agissant de calcul dans la section considre, rsultant des charges extrieures appliques. Dans le cas de charges rparties, on peut prendre la valeur de VEd une distance d de l'appui (mais les triers calculs pour cette valeur doivent continuer jusqu' l'appui).

    VRd,c est leffort tranchant rsistant de calcul de l'lment en l'absence d'armatures d'effort tranchant

    VRd,s est leffort tranchant de calcul pouvant tre repris par les armatures d'effort tranchant travaillant la limite d'lasticit

    VRd,max est la valeur de calcul de l'effort tranchant maximal pouvant tre repris par l'lment, avant crasement des bielles de compression

    Dans les zones o VEd VRd,c (cas des dalles en gnral), aucune armature d'effort tranchant n'est requise par le calcul. Dans le cas des poutres, mme si aucune armature d'effort tranchant n'est requise, il convient de prvoir un ferraillage transversal minimal(voir plus loin : Dispositions constructives des triers ).

    13.3.2 Dalles sans armature d'effort tranchant 1/3

    , min

    3/2min

    [0,15. (100 ) ; ] .

    200 [1+ ;2,0] avec d en mm

    ( ;0,02) section d'armatures longitudinales.

    0,035 k

    Ed Rd c L ck w

    sLL sL

    w

    ck

    V V Max k f v b d

    k Mind

    AMin A

    b d

    v f

    =

    =

    = =

    =

    bw = paisseur de l'me en mm (=b si dalle pleine). fck en MPa VRd,c en Newtons.

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    13.3.3 Poutres (dalles) avec armature d'effort tranchant

    Inclinaisons des bielles sur l'horizontale: 0,5 < cotg < 2 ou encore 26,6

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    Il faut que la solution vrifie que : VEd VRd,s (rupture des triers) et VEd VRd,max (rupture de la bielle de bton).

    On calcule d'abord 1

    2.1 = arcsin( )

    2 . . Ed

    w cd

    V

    b z f

    avec 1 0,6.(1 )250

    ckf = (fck en MPa)

    La valeur de retenue doit vrifier 26,56< < 63,43 (Document d'Application National Belge de l'EC2 : 0.5 < cot < 2) On se fixe ensuite Asw (on se limite en gnral des triers constitus de 8 ou 10) et le pas s des triers se dduit par :

    . . .cotsw ywd

    Ed

    A z fs

    V

    =

    13.3.4 Dispositions constructives des triers

    13.3.4.1 Taux darmatures deffort tranchant minimal Le taux darmatures deffort tranchant est donn par lExpression: w = Asw / (s . bw ) > w,min o : w est le taux darmatures deffort tranchant Asw est laire de la section des armatures deffort tranchant rgnant sur la longueur s s est l'espacement des armatures deffort tranchant, mesur le long de l'axe longitudinal de llment bw est la largeur de lme de llment

    w,min = 0,08 ck

    yk

    f

    f (fck et fyk en MPa)

    13.3.4.2 Taux darmatures deffort tranchant maximal Pour assurer une rupture ductile (rupture des triers avant rupture des bielles de compression), on doit respecter :

    ,1. . 2

    sw Maxsw cdw

    ywd

    AA fb

    s s f =

    13.3.4.3 Espacements des triers L'espacement longitudinal s maximal entre les cours darmatures deffort tranchant ne peut tre suprieur sl,max = 0,75d L'espacement transversal des brins verticaux dans une srie de cadres, triers ou pingles deffort tranchant ne peut tre suprieur st,max = 0,75d 600 mm. Pour respecter cette condition, il faut parfois rajouter des triers ou pingles, comme sur la figure suivante :

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    13.3.5 Vrifications au droit des appuis dextrmit Trois vrifications sont effectuer au droit de l'appui :

    la section des armatures infrieures la contrainte de compression sur appui

    (Rd,1) la contrainte de compression dans la

    bielle d'about (Rd,2) Les armatures longitudinales infrieures doivent quilibrer l'effort tranchant VED et tre ancres au-del du bord de l'appui.

    tanED

    td

    VF

    =

    La section de ces armatures doit tre au moins

    gale : ,min, . tanED appuitd

    s appui

    yd yd

    VFA

    f f = =

    De plus, (EC2 6.5.4)on doit vrifier que, dans le bton, ni la contrainte de compression de la bielle de compression ni la contrainte de compression sur lappui ne dpasse pas la valeur limite :

    max(Rd,1,Rd,2) 0.85 fcd avec = 1 - fck /250 (fck en MPa) 13.3.6 Cisaillement entre l'me et les membrures des sections en T La rsistance au cisaillement de la membrure peut tre calcule en considrant la membrure comme un systme de bielles de compression, associes des tirants correspondant aux armatures tendues.

    2 1.sin 2.( ).cosa a h d = +

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    La contrainte de cisaillement longitudinale vEd, dveloppe la jonction entre un ct de la membrure et l'me est dtermine par la variation d'effort normal (longitudinal) dans la partie de membrure considre :

    vEd = Fd/(hf x) o :

    hf est l'paisseur de la membrure la jonction x est la longueur considre, voir Figure Fd est la variation de l'effort normal dans la membrure sur la longueur x

    La valeur maximale que l'on peut admettre pour x est gale la moiti de la distance entre la section de moment nul et la section de moment maximal. Lorsque des charges ponctuelles sont appliques, il convient de plafonner x la distance entre charges.

    On calcule d'abord : 2.1

    = arcsin( )2 .

    Edf

    cd

    v

    f

    (condition de non crasement des bielles de compression dans la

    membrure) avec :

    f respectant les limites: 1,0 cot

    f 2,0 pour les membrures comprimes (45 f 26,5) 1,0 cot

    f 1,25 pour les membrures tendues (45 f 38,6) = 0.6 [ 1-fck/250] est le coefficient de rduction de la rsistance du bton fissur l'effort tranchant (fck en MPa).

    On calcule ensuite la section des armatures transversales par unit de longueur par :

    .

    .cotsf Ed f

    f yd f

    A v h

    s f = ,

    o sf est lcartement des armatures de couture.

    Dans le cas o le cisaillement entre membrure et me est combin la flexion transversale, il convient de prendre pour l'aire de la section des armatures la valeur Asf dtermine ci-dessus, ou la moiti de celle-ci plus l'aire requise pour la flexion transversale, si l'aire ainsi obtenue est suprieure. Si vEd est infrieure 0.23 fctm, aucune armature supplmentaire n'est ncessaire en plus de celles requises pour la flexion.

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    13.4 ELEMENTS COMPRIMES ET FLECHIS

    13.4.1 Diagramme dinteraction simplifi

    13.4.1.1 Point sur laxe N Dans ce cas, la dformation maximale en compression est c3=1,75 10

    -3 et est uniforme sur la section. Leffort normal ultime se calcule en intgrant le diagramme des contraintes dans la section pour cet tat de dformation.

    13.4.1.2 Point sur laxe M On peut pour ce point ngliger les armatures comprimes. On se retrouve alors dans un cas de flexion pure classique.

    13.4.1.3 Calcul du point du diagramme correspondant Mmax

    Ce point correspond un diagramme de dformation qui passe par cu3=3,5 10-3 dans la fibre

    comprime de bton et par la dformation lastique maximale en traction dans larmature tendue, soit s=435/200000=0.002175. Par ailleurs, par triangles semblables, on a :

    cu3/xu = (cu3 + s)/d ce qui permet de dterminer xu cu3/xu = s2/( xu-d2) ce qui permet de dterminer fs2, contrainte dans les armatures

    comprimes, quon ne peut ngliger ici.

    N et M, pour ce point du diagramme dinteraction se calculent en intgrant le diagramme des contraintes dans la section pour cet tat de dformation (les moments se calculent ici par rapport au centre de gravit de la section)

    0000 000

    500

    1000

    1500

    2000

    2500

    3000

    3500

    0 50 100 150 200 250 300MOMENT Mx

    kNm

    AXIA

    L CO

    MPR

    ESSI

    ON

    , N

    , kN

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    13.4.2 Particularits EC2 5.2(1) et (2) : L'analyse des lments et des structures doit tenir compte des effets dfavorables des imperfections gomtriques ventuelles de la structure ainsi que des excentricits des charges axiales.

    13.4.3 Excentricit minimale des charges axiales EC2 6.1(4) Dans le cas de sections droites avec un ferraillage symtrique, soumises un effort de compression, il convient de tenir compte dune excentricit minimale e0 = max(h/30;20 mm), h tant la hauteur de la section. 13.4.4 Imperfections gomtriques EC2 5.2 (9) Une solution simplifie, applicable aux voiles et aux poteaux isols dans les structures contreventes, consiste utiliser une excentricit additionnelle ei = l0/400 pour couvrir les imperfections lies aux tolrances normales d'excution

    13.4.5 Longueur efficace (longueur de flambement) 13.4.5.1 Elments isols de section constante.

    Fig 5.7 de lEurocode

    13.4.5.2 Elments comprims de portiques rguliers lments contrevents

    1 20

    1 2

    0,5 1 . 10.45 0.45

    k kl l

    k k

    = + +

    + +

    lments non contrevents

    1 2 1 20

    1 2 1 2

    ..max 1 10. ; 1 . 1

    1 1

    k k k kl l

    k k k k

    = + + + + + +

    o :

    k1, k2 sont les souplesses relatives des encastrements partiels aux extrmits 1 et 2 : k = ( / M) (E / l) est la rotation des lments s'opposant la rotation pour le moment flchissant M ; voir galement la Figure 5.7 (f) et (g)

    E est la rigidit en flexion de l'lment comprim, voir galement EC2 5.8.3.2 (4) et (5)

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    l est la hauteur libre de l'lment comprim entre liaisons d'extrmit

    Remarque : Leurocode (EC2 5.8.3.2(5)) recommande, pour le calcul de lo, de tenir compte de l'effet de la fissuration dans la rigidit des lments s'opposant la dformation. Dans les formules prcdentes, on pourra prendre pour Ipoutre i la moiti de linertie non-fissure.

    13.4.6 Non prise en compte du second ordre EC2 5.8.3.1 (1) Les effets du second ordre peuvent tre ngligs si le coefficient d'lancement est infrieur une valeur lim, avec : = l0 / i o :

    l0 est la longueur efficace de la colonne i est le rayon de giration de la section de bton non fissure

    et lim = 20 A B C / n o :

    A = 1 / (1+0,2 ef) (si ef n'est pas connu, on peut prendre A = 0,7) B = (1 + + + + 2 ) 0.5 (si n'est pas connu, on peut prendre B = 1,1) C = 1,7 - rm (si rm n'est pas connu, on peut prendre C = 0,7)

    ef coefficient de fluage effectif = Asfyd / (Acfcd) (ratio mcanique d'armatures ) As est l'aire totale de la section des armatures longitudinales n = NEd / (Acfcd); effort normal relatif rm = M01/M02; rapport des moments M01, M02 sont les moments d'extrmit du premier ordre, M02 M01

    Si les moments d'extrmit M01 et M02 provoquent des tractions sur une mme face, il convient de prendre rm positif (c.--d. C 1,7), sinon, de prendre rm ngatif (c.--d. C > 1,7). Dans les cas suivants, il convient de prendre rm = 1,0 (c.--d. C = 0,7) :

    lments contrevents, pour lesquels les moments du premier ordre rsultent uniquement ou sont dus de manire prpondrante des imperfections ou aux charges transversales

    lments non contrevents en gnral

    13.4.7 Prise en compte du second ordre Trois mthodes sont proposes par lEurocode. Seule la mthode base sur une courbure nominale est rsume ici. Cette mthode convient avant tout pour les lments isols soumis un effort normal constant, et de longueur efficace donne. Le moment de calcul qui en rsulte est utilis pour le dimensionnement des sections vis--vis du moment flchissant et de l'effort normal.

    Souplesse colonne 1 = SC1=EI1/l Souplesse colonne 2 = SC2= EI2/l Souplesse poutre i = 3EIpoutre i)/lpoutre i si autre extrmit appuye Souplesse poutre i = 4EIpoutre i/lpoutre i si autre extrmit encastre

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    13.4.7.1 Moments flchissants (1) Le moment de calcul vaut :

    MEd = M0Ed+ M2 (5.31) o :

    M0Ed est le moment du premier ordre, compte tenu de l'effet des imperfections,

    M2 est le moment nominal du second ordre et vaut :

    M2 = NEd e2

    o : NEd est l'effort normal agissant de calcul

    e2 est la dformation e2 = (1/r) lo2 / c 1/r est la courbure, voir 13.4.7.2.

    Dans le cas d'une section constante, on adopte normalement c = 10 ( pipipipi2). Si le moment du premier ordre est constant, il convient d'adopter une valeur infrieure (8 constituant une limite infrieure, qui correspond un moment total constant). La valeur maximale de MEd est donne par les distributions de M0Ed et M2 ; la distribution de M2 peut tre prise comme parabolique ou comme sinusodale sur la longueur efficace. Des moments d'extrmit du premier ordre M01 et M02 diffrents peuvent tre remplacs par un moment d'extrmit du premier ordre quivalent M0e :

    M0e = 0,6 M02 + 0,4 M01 0,4 M02

    Il convient de prendre M01 et M02 de mme signe s'ils provoquent la traction sur la mme face et de signes opposs dans le cas contraire. En outre, M02M01.

    13.4.7.2 Courbure (1) Dans le cas des lments de section droite constante et symtrique (ferraillage compris), on peut adopter :

    1/r = Kr....K1/r0 o : Kr est un coefficient de correction dpendant de l'effort normal, K est un coefficient tenant compte du fluage, 1/r0 = yd / (0,45 d) yd = fyd / Es d est la hauteur utile.

    Kr = (nu - n) / (nu - nbal) 1 o : n = NEd / (Acfcd); effort normal relatif NEd est l'effort normal agissant de calcul nbal est la valeur de n correspondant au moment rsistant maximal ; on peut supposer que nbal = 0,4 nu = 1 + = As fyd / (Ac fcd)

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    As est l'aire totale de la section des armatures

    Ac est l'aire de la section droite du bton.

    L'effet du fluage peut tre ignor, ce qui revient admettre K = 1, si les trois conditions suivantes sont satisfaites conjointement :

    (,t0) 2 75 M0Ed/NEd h o :

    M0Ed est le moment du premier ordre et h est la hauteur de la section dans la direction correspondante.

    On peut tenir compte de l'effet du fluage au moyen du coefficient : K = 1 + ef 1 o :

    = 0,35 + fck/200 - /150 est le coefficient d'lancement. ef est le coefficient de fluage effectif

    La dure du chargement peut tre prise en compte d'une manire simplifie au moyen d'un coefficient de fluage effectif ef qui, utilis conjointement avec la charge de calcul, donne une dformation de fluage (courbure) correspondant la charge quasi-permanente :

    ef = (,t0) M0Eqp / M0Ed o : (,t0) est la valeur finale du coefficient de fluage, comme indiqu en 14.3.2

    M0Eqp est le moment flchissant du premier ordre dans le cas de la combinaison quasi-permanente de charges (ELS) M0Ed est le moment flchissant du premier ordre dans le cas de la combinaison de charges de calcul (ELU) 13.5 Dispositions constructives pour les poteaux Armatures longitudinales (1) diamtre des barres longitudinales min= 12 mm. (2) quantit totale darmatures longitudinales As,min.= max( 0.10 NEd / fyd ; 0,002A c )o : fyd est la limite d'lasticit de calcul des armatures NEd est leffort normal agissant de compression. (3) aire de la section des armatures longitudinales As,max = 0,04 Ac hors des zones de recouvrement, et 0,08 Ac au droit des recouvrements. (4) Pour des poteaux de section polygonale, il convient de disposer au moins une barre dans chaque angle. Dans un poteau circulaire, il convient que le nombre de barres longitudinales ne soit pas infrieur quatre. Armatures transversales (1) diamtre des armatures transversales (cadres, boucles ou armature en hlice) max(6 mm ou au quart du diamtre maximal des barres longitudinales). Diamtre des fils du treillis soud utilis pour les armatures transversales 5 mm. (2) Il convient dancrer convenablement les armatures transversales.

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    (3) Espacement des armatures transversales le long du poteau scl,tmax=min(15 fois le diamtre minimal des barres longitudinales ; la plus petite dimension du poteau ; 400 mm) (4) Il convient de rduire l'espacement maximal exig en (3) par un facteur de 0,6 : (i) dans les sections situes une distance au plus gale la plus grande dimension de la section transversale du poteau ; ces sections peuvent se trouver au-dessus ou au dessous dune poutre ou dune dalle ; (ii) dans les zones de recouvrement darmatures, si le diamtre maximal des barres longitudinales est suprieur 14 mm. Un minimum de 3 barres transversales rgulirement disposes dans la longueur de recouvrement, est ncessaire. (5) Lorsque la direction des barres longitudinales change (aux changements de dimensions du poteau par exemple), il convient de calculer l'espacement des armatures transversales en tenant compte des efforts transversaux associs. Ces effets peuvent tre ignors si le changement de direction est infrieur ou gal 1 pour 12. (6) Il convient que chaque barre longitudinale ou paquet de barres longitudinales plac dans un angle soit maintenu par des armatures transversales. Il convient, dans une zone comprime, de ne pas disposer de barre non tenue plus de 150 mm d'une barre tenue.

    14 Vrification l'ELS 14.1 Contrle des dformations (flches) On calcule : 0 = 0.1fck (en %) (pourcentage d'armatures de rfrence)

    100

    .sA

    b d = (pourcentage d'armatures de traction ncessaire mi-porte (ou sur appui dans le cas des consoles) pour reprendre le moment sollicitant lELU)

    3

    20 0

    0lim

    11 1,5 3, 2 1ck ckl

    K f f sid

    = + +

    00

    lim 0

    1 '11 1,5

    ' 12ck ckl

    K f f sid

    = + + >

    o :

    lim

    l

    d

    est la valeur limite du rapport porte/hauteur utile

    K est un coefficient qui tient compte des diffrents systmes structuraux

    K 1,0 Poutre sur appuis simples, dalle sur appuis simples portant dans une ou deux directions 1,3 Trave de rive d'une poutre continue, d'une dalle continue portant dans une direction ou d'une

    dalle continue le long d'un grand ct et portant dans deux directions 1,5 Trave intermdiaire d'une poutre ou d'une dalle portant dans une ou deux directions 1,2 Dalle sans nervures sur poteaux, (plancher-dalle) pour la porte la plus longue 0,4 Console

    est le pourcentage d'armatures de compression ncessaire mi-porte (ou sur appui dans le cas des consoles) pour reprendre le moment engendr par les charges de calcul

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    fck est en MPa

    Si on place plus darmatures (As,prov ) que celles strictement ncessaires (As,req) reprendre

    MEd,ELU dans cette section, alors on peut multiplier le rapport lim

    l

    d

    par As,prov/ As,req

    As,prov est la section d'acier prvue (provided) dans la section considre As,req est la section d'acier ncessaire (requested) dans la section aux ELU Correctifs. - multiplier par 0,8 pour les poutres en T si beff> 3 bw - multiplier par 7/Leff pour les poutres ou dalles (autres que planchers-dalles) si L > 7 m et supportant des cloisons fragiles - multiplier par 8,5/Leff pour des planchers-dalles si L > 8,5 m et cloisons fragiles.

    14.2 Contraintes limites

    14.2.1 Calcul des contraintes

    14.2.1.1 Section rectangulaire lastique fissure (sans armatures comprimes)

    14.2.2 Dans le bton fc 0,5.fck pour classes exposition XD, XF et XS. fc 0,6.fck pour autres classes exposition.

    14.2.3 Dans l'acier fs 0,8 fyk (=500*0.8=400 MPa pour du S500).

    14.3 Contrle de fissuration EC2 7.3.3 (1) Dans le cas des dalles en bton arm ou prcontraint dans les btiments, sollicites la flexion sans traction axiale significative, aucune disposition particulire n'est ncessaire pour la matrise de la fissuration lorsque l'paisseur totale de la dalle n'excde pas 200 mm. Il convient de dfinir une valeur limite de l'ouverture calcule des fissures (wmax ) en tenant compte de la nature et du fonctionnement envisags de la structure ainsi que du cot de la limitation de la fissuration. Tableau 7.1N : Valeurs recommandes de wmax (mm)

    ( )2 2efx n n nd

    = +

    ( )3 2 s3ef efbx

    I d x nA= + sA

    bd =

    s

    c

    E

    En =

    . .( ).ef efc s

    M x M d xf f n

    I I

    = =

    3efx

    z d=

    2

    . .c sef s

    M Mf f

    bx z A z= =

    xef Ou encore :

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    14.3.1 Sections minimales d'armatures pour matrise fissuration As,min = kc k fct,eff Act / fyk o : As,min est la section minimale d'armatures de bton arm dans la zone tendue Act est l'aire de la section droite de bton tendu. La zone de bton tendue est la partie de la section dont le calcul montre qu'elle est tendue juste avant la formation de la premire fissure fct,eff = fctm (ou (fctm(t) si fissuration se produit en t < 28 jours) k = 1,0 pour les mes telles que h 300 mm ou les membrures d'une largeur infrieure 300 mm k= 0,65 pour les mes telles que h 800 mm ou les membrures d'une largeur suprieure 800 mm les valeurs intermdiaires peuvent tre obtenues par interpolation kc est un coefficient qui tient compte de la rpartition des contraintes dans la section immdiatement avant la fissuration ainsi que de la modification du bras de levier : En traction pure : kc = 1,0 En flexion simple ou en flexion compose de sections rectangulaires et mes des caissons et des sections en T : kc = 0,4

    14.3.2 Module de Young du bton pour charges quasi-permanentes Le fluage est un phnomne trs important pour les calculs aux tats limites de service (dformations). Il faut se rendre compte que le poids propre du bton constitue la part la plus importante de la mise ne charge de toute structure en bton et que cette charge est constante dans le temps. Pour prendre en compte le fluage sous charges quasi permanentes, on calcule Ec,eff = Ecm(t0) / (1 + (t,t0)) - t0 est l'instant initial du chargement - t est l'instant considr du calcul - Ecm(t0) le module d'Young au moment du chargement - (t,t0) le coefficient de fluage la rfrence de 28 jours En pratique on considre gnralement t0=28 jours et t = , les charges quasi-permanentes tant supposes agir pendant cette priode. Le coefficient (,t0) (pour une temprature constante de 20C) se dtermine l'aide des abaques suivants et dans l'ordre des oprations suivantes (1 5).

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    Note : - h0= rayon moyen = 2Ac /u, o Ac est l'aire de la section transversale du bton et u le

    primtre de la partie expose la dessiccation (pour une dalle h0=h) - S dsigne les ciments de Classe S (prise lente "slow") - N dsigne les ciments de Classe N - R dsigne les ciments de Classe R (prise rapide) - le point d'intersection des droites 4 et 5 peut galement se situer au-dessus du point 1 - pour t0 > 100, il est suffisamment prcis de supposer t0 = 100 (et d'utiliser la tangente)

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    Pour la prise en compte de tempratures diffrentes de 20, on se reportera l'annexe B de l'EC2.

    14.3.3 Matrise de la fissuration sans calcul direct EC2 7.3.3(1) Dans le cas des dalles en bton arm ou prcontraint dans les btiments, sollicites la flexion sans traction axiale significative, aucune disposition particulire n'est ncessaire pour la matrise de la fissuration lorsque l'paisseur totale de la dalle n'excde pas 200 mm. EC2 7.3.3 (2) Comme simplification, les rgles donnes en 14.3.4 peuvent tre prsentes sous la forme de tableaux limitant le diamtre ou l'espacement des armatures.

    Tableau 7.2N Diamtre maximal s des barres pour la matrise de la fissuration Diamtre maximal des barres [mm]

    wk=0,4 mm

    wk=0,3 mm

    wk=0,2 mm

    160 40 32 25 200 32 25 16 240 20 16 12 280 16 12 8 320 12 10 6 360 10 8 5 400 8 6 4

    Contrainte de l'acier1 [MPa]

    450 6 5 - Tableau 7.3N Espacement maximal des barres pour la matrise de la fissuration Contrainte de Espacement maximal des barres [mm] l'acier 1[MPa] wk=0,4 mm wk=0,3 mm wk=0,2 mm 160 300 300 200 200 300 250 150 240 250 200 100 280 200 150 50 320 150 100 - 360 100 50 - 1La contrainte est calcule juste aprs la fissuration et sous les combinaisons d'actions appropries

    14.3.4 Calcul de l'ouverture des fissures L'ouverture des fissures, wk, peut tre calcule au moyen de l'expression : wk = sr,max (sm - cm) o sr,max est l'espacement maximal des fissures sm est la dformation moyenne de l'armature de bton arm sous la combinaison de charges considre, incluant l'effet des dformations imposes et en tenant compte de la participation du bton tendu. Seul est pris en compte l'allongement relatif au-del de l'tat correspondant l'absence de dformation du bton au mme niveau sm - cm peut tre calcul au moyen de l'expression :

    ,,

    ,

    (1 )

    max ;0.6

    ct eff

    s t e p eff

    p eff ssm cm

    s s

    ff k

    f

    E E

    +

    =

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    O : fs est la contrainte dans les armatures de bton arm tendues, en supposant la section fissure. e est le rapport Es/Ecm p,eff= As/Ac,eff Ac,eff est l'aire de la section effective de bton autour des armatures tendues, c'est--dire l'aire de la section de bton autour des armatures de traction, de hauteur hc,ef, o hc,ef est la plus petite des trois valeurs ci-aprs : 2,5(h-d), (h-x)/3 ou h/2 kt est un facteur dpendant de la dure de la charge

    kt = 0,6 dans le cas d'un chargement de courte dure kt = 0,4 dans le cas d'un chargement de longue dure

    sr,max = 3,4.c + k1k2.0,425 /p,eff (7.11) o :

    est le diamtre des barres. Lorsque plusieurs diamtres de barres sont utiliss dans une mme section, il convient de retenir un diamtre quivalent eq(voir EC2). c est l'enrobage des armatures longitudinales k1 est un coefficient qui tient compte des proprits d'adhrence des armatures adhrentes :

    = 0,8 pour les barres haute adhrence = 1,6 pour les armatures ayant une surface effectivement lisse (armatures de prcontrainte, par exemple)

    k2 est un coefficient qui tient compte de la distribution des dformations : = 0,5 en flexion = 1,0 en traction pure Dans le cas d'une traction excentre voir l'EC2.

    Lorsque l'espacement des armatures adhrentes excde 5(c+/2) ou lorsqu'il n'y a pas d'armatures adhrentes l'intrieur du bton tendu, on peut dfinir une limite suprieure l'ouverture des fissures en admettant un espacement maximal des fissures : sr,max = 1,3 (h - x)

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    Annexe A : Lignes dinfluence

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    Annexe B. Formulaire pour le calcul des flches