Instituto Tecnolgico de Nuevo Laredo Anlisis de Vibraciones

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EJERCICIOS

Resolver los siguientes problemas aplicando la teora del movimiento armnico simple.

1. Dos cuerpos con movimiento armnico simple tiene aceleraciones mximas iguales, pero sus frecuencias tienen una relacin de 1 a 4. Determinar la relacin de sus amplitudes.

2. La posicin de una partcula en cualquier tiempo t est dada por la ec. x=10 cos 2t. Dibujar el desplazamiento, velocidad y aceleracin contra el tiempo para un ciclo completo.

3. La velocidad mxima de un cuerpo con M.A.S. es de 10 plg/seg y la frecuencia es de 60 ciclos/seg. Determine la amplitud, aceleracin mxima y periodo del movimiento.

4. Los instrumentos de medicin de vibraciones indican que un cuerpo est vibrando armnicamente con una frecuencia de 480 ciclos/seg. y una aceleracin mxima de 316 plg/seg2. Determine la amplitud de la vibracin.

5. Una partcula se mueve con M.A.S. con magnitudes mximas de velocidad y aceleracin de 20 plg/seg y 80 plg/seg respectivamente. Determine la magnitud de la aceleracin cuando el punto esta desplazado 3 del punto de cero aceleracin.

6. Una partcula se mueve con M.A.S. La amplitud del movimiento es 5 y la magnitud de la velocidad es 12 plg/seg cuando el punto esta desplazado 3 de la posicin de mxima velocidad. Determine la magnitud de la aceleracin del unto para esta posicin.

7. Una partcula con M.A.S. Cuando esta desplazada 8 del centro de su trayectoria, las magnitudes de la velocidad y aceleracin son 30 plg/seg y 200 plg/seg2 respectivamente. Determine:

a) El periodo del movimiento.b) La amplitud del movimiento.

Vibracin Libre Natural: Es aquella vibracin en la cual es mantenida por fuerzas elsticas y algunas veces de gravedad, son llamadas vibraciones libres.

Frecuencia Natural: Es la frecuencia de oscilacin de una vibracin natural hasta que la fuerzas de friccin disminuyen gradualmente el movimiento hasta cesarlo.

Vibracin Forzada: Es aquella que es producida y mantenida por una fuerza de excitacin externa al sistema y toma lugar a la frecuencia de la fuerza de excitacin.

Si el sistema tiene poca ficcin y no contiene elementos disipadores, la amplitud de la oscilacin forzada vendr hacer muy grande cuando la frecuencia de la fuerza de excitacin este prxima a la frecuencia natural del sistema.

Tambin las vibraciones se clasifican como amortiguadas y no amortiguadas.

Vibraciones No Amortiguadas: Cuando no se considera la ficcin o la resistencia del aire.Amortiguadas: Cuando se considera la friccin y la resistencia del aire.

Para tener cierta terminologa que auxilie al desarrollo del curso, establezcamos las definiciones bsicas.

1) Constante del resorte (K): Es la fuerza necesaria para elongar o comprimir el resorte por unidad de distancia.

2) Deflexin Esttica: Es la deflexin debida a una fuerza esttica o peso estando el sistema en equilibrio esttico.

3) Posicin de Equilibrio: Es la posicin neutral o sea en la cual la fuerza la masa M est sometida a una fuerza resultante cero.

4) Posicin Extremas: Son las posiciones ms alejadas del punto de equilibrio que el sistema tiene durante su movimiento oscilatorio y en cuyos puntos la velocidad es cero.

5) Amplitud: Es el mximo desplazamiento que desarrolla el sistema de su posicin de equilibrio.

6) Desplazamiento Total: Es la suma de dos amplitudes.

7) Movimiento Peridico: Es el movimiento que se repite en intervalos iguales de tiempo.

8) Periodo: Es el lapso de tiempo que tarda en repetirse el mismo movimiento.

9) Ciclo: Es el movimiento que se completa durante un periodo.

10) Frecuencia: Es el nmero de ciclos completos de movimiento de una unidad de tiempo (f).

GRADOS DE LIBERTAD.- Es el nmero mnimo de coordenadas independientes necesarias para describir la configuracin o el movimiento de un sistema.

Ejemplo.-

Un solo grado de libertad.

a) Un sistema masa resorte.b) Un pndulo simple con una masa pesada e hilo sin masa.c) Agua en un tubo.d) Una barra horizontal con un resorte de torsin.e) Un disco de inercia con flecha ligera.

Dos grados de libertad.

a) Arreglo vertical de dos masas y dos resortes.b) Pndulo doble.c) Masa pesada restringida a moverse en dos ejes.d) Una barra horizontal suspendida por 2 resortes iguales y restringidos en su movimiento horizontal.

Mltiples Grados de Libertad.

a) Cinco partculas suspendidas en una elstica de masa despreciable.b) Cuatro discos pesados en una flecha ligera.

Infinito Grados de Libertad.

a) Cuerda elstica vibrante.b) Viga empotrada vibrante.

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.- Es aquel movimiento en el cual la aceleracin es proporcional a el desplazamiento de un punto fijo en la trayectoria de un movimiento y siempre dirigido alrededor del punto fijo.

Consideremos la lnea rotando de longitud A y velocidad angular W con una partcula P cuya posicin esta descrita por la proyeccin de lnea A sobre el eje y. La posicin de P en cualquier tiempo es:

Analizando el movimiento de P y haciendo una apreciacin para la interpretacin fsica de ese sistema vibrando el cual representara, cada vez que el ngulo wt cambia por 2 radio. P se habr movido un ciclo completo.

Diferenciando

Aceleracin

Note que la nica diferencia en las 3 expresiones es una multiplicacin por y y sus ngulos difieren por y .Del ngulo posicionador general esos ngulos se conocen como ngulos de fase.Puesto que el Coseno y el Seno no pueden exceder la unidad.

Combinando (1) y (3) para eliminar

Indicando que la aceleracin de P es proporcional a el desplazamiento Y de l origen O, y el signo menos indica que la aceleracin es dirigida hacia O. Por definicin, por tanto P ejecuta un movimiento armnico simple.La ecuacin 4 se puede reescribir:Ec. Dif. Del movimiento para movimiento armnico simple

y = 0

Velocidad angular al cuadrado de la lnea de longitud A.

Cuando la lnea ha rotado una revolucin, rad. El punto P ha completado un ciclo de movimiento. El tiempo requerido para esto es el periodo del movimiento vibratorio de P.

As

Y la frecuencia del movimiento vibratorio de P es

As, w se relacionara frecuentemente con la frecuencia de vibracin y es llamado frecuencia circular.

VIBRACION DE UNA PARTICULA SIN AMORTIGUAMIENTO

Un sistema simple de un solo grado de libertad se muestra en la figura, en donde el cuerpo A de peso W lb. Est suspendido de un resorte de modulo K. El termino es el desplazamiento esttico de el resorte cuando el peso es montado y esforza el resorte a la posicin de equilibrio. Un diagrama de cuerpo libre del peso en la posicin indicara que Si el peso es aun desplazado una distancia arbitraria Y y soltado oscilara hacia arriba y abajo.

La fig. (c) representa el diagrama de cuerpo libre del cuerpo representado las fuerzas que actan en la posicin desplazada. Substituyendo los valores del diagrama de cuerpo libre en la segunda ley de newton con Y siendo hacia abajo positiva.

Pero

Seleccionando la posicin de equilibrio esttico de la masa como referencia.

Reordenando trminos de acuerdo a la ecuacin 4

Donde

Siendo de vibracin para un sistema sin esforzar est relacionado a el sub-ndice 2 es usado para todos los movimientos libres de amortiguamiento as,

El periodo y la frecuencia natural de vibracin de una vibracin libre, en un sistema sin amortiguamiento puede ser obtenido reescribiendo las ecuaciones de movimiento indicadas en la forma estndar

y

La ecuacin (5) es una ecuacin dif. lineal de 2. Orden con coeficiente constante. Existen muchas formas para resolver esta ecuacin diferencial comn, pero la ms simple es la de proponer una solucin y verificar substituyendo en la ecuacin diferencial. Note la segunda derivada de la funcin que debe ser igual que la funcin multiplicada por un coeficiente constante para satisfacer la Ec. Diferencial. Alguna funcin exponencial y trigonomtrica tiene esta propiedad y puede demostrarse por sustitucin de la siguiente funcin trigonomtrica en la ecuacin diferencial.

Donde B y C son constantes de integracin y pueden ser determinadas de las condiciones iniciales:

Para demostrar que esto es posible:

De la cual Para que esta ecuacin sea vlida para cualquier valor de t

De la cual:

De manera que de 6 el mximo valor de Y es cuando:

Las ecuaciones para las otras dos propiedades de la oscilacin pueden encontrarse derivando de 6 la velocidad:

Y la magnitud de la velocidad de la velocidad mxima de la partcula y:

As tambin la aceleracin de la partcula es:

Y la magnitud de la mxima aceleracin:

Cuando las amplitudes de oscilaciones son pequeas es conveniente expresar la ecuacin anterior en trminos de pulgadas en lugar de pies. Si la aceleracin est en la masa deber ser expresada en unidades En lugar del . Si la masa est calculada de las expresiones el valor de g deber estar en

Como ejemplo consideremos las oscilaciones de un pndulo simple.

La aceleracin tangencial puede ser expresada en trminos de la Aceleracin Angular del cordn que es Y la ecuacin diferencial viene a ser:

Cuando es muy pequeo

La cual indica que el pndulo tiene movimiento armnico no ser movimiento armnico simple de manera que ser un movimiento oscilatorio, si no es pequeo, No es M.A.S.

VIBRACIONES LIBRES DE CUERPOS RIGIDOSSIN AMORTIGUAMIENTO

La vibracin libre de una partcula fue discutida anteriormente y los procesos desarrollados all aplicados a cuerpos rgidos que tienen traslacin sin ninguna rotacin. Cuando un cuerpo rgido est soportando de tal manera que el cuerpo tiene movimiento de rotacin vibrara, el periodo y frecuencia del movimiento vibratorio resultante depender del momento de Inercia de la masa del cuerpo as como las masas y las fuerzas que actan sobre el cuerpo.

Para un movimiento rectilneo, el criterio para el movimiento armnico simple es que la aceleracin de la partcula es de la forma:

Una ecuacin anloga para el movimiento rotatorio en trminos de la aceleracin angular y posicin del cuerpo fue desarrollada como:

Si la ecuacin del movimiento para un cuerpo se reduce a la ecuacin anterior, el cuerpo tiene un movimiento armnico simple angular. Para un movimiento angular armnico el ngulo es usado en lugar de la distancia x e y, y por lo tanto la amplitud del movimiento es el mximo desplazamiento del cuerpo de la posicin de equilibrio.Un pndulo compuesto es un cuerpo rgido de dimensiones finitas el cual oscila alrededor de un eje horizontal fijo mediante el cuerpo. El periodo de vibracin para pequeas oscilaciones del pndulo compuesto de la figura 1 puede ser determinado obteniendo una expresin para la aceleracin angular del cuerpo en trminos de la posicin angular. La figura 2 es un diagrama de cuerpo libre mostrando el desplazamiento del cuerpo mediante un ngulo positivo de la posicin de equilibrio. La ecuacin de momentos del movimiento es:

Lo cual es:

Si la amplitud del movimiento vibratorio es pequeo el valor de es aproximado = en radianes y la suma de momentos es:

La frecuencia natural:

Y el periodo de la vibracin es:

PENDULO TORSIONAL.- Consiste de un cuerpo rgido soportado sobre una flecha como se muestra en la figura. Cuando el pndulo es torsionado mediante un ngulo pequeo y soltado un movimiento angular armnico simple resulta de los esfuerzos desarrollados en la flecha. Se considera que el movimiento vibratorio del cuerpo B de la figura es iniciado por la torsin observada mediante el ngulo como se muestra, y as soltando el pndulo. Siempre y cuando sea excedido el punto de cedencia del material, el momento necesario para doblar la flecha es proporcional al ngulo de torsin y puede ser obtenido de la expresin:

Donde:

Es el momento polar de Inercia de la flecha G mdulo de elasticidad al corte, L longitud de la flecha, = ngulo en radianes, a travs del cual la flecha es torcida. El momento ejercido por la flecha sobre el cuerpo B es igual en magnitud y opuesto en el sentido al momento T, requerido para torcer la flecha. El momento ejercido por la flecha sobre B tiene el sentido opuesto a el desplazamiento angular del extremo bajo de la flecha. La ecuacin de movimiento para el cuerpo B es:

La aceleracin angular:

Esta ltima ecuacin prueba que el cuerpo B tiene un movimiento armnico simple angular y la frecuencia natural es:

La frecuencia y el periodo del movimiento son:

y T =

El momento de Inercia de un cuerpo puede ser determinado experimentalmente suspendido sobre una flecha un pndulo torsional, o suspendindolo de un eje que no pase por el centro de masa como un pndulo compuesto, y midiendo el periodo de vibracin para oscilaciones de amplitudes pequeas.

La bola de 16.1 lbs. de la figura oscila en un plano vertical sobre un hilo flexible con una longitud de 8.06 pies. Cuando t = 0, Derive y resuelva la Ec. Diferencial del movimiento del cuero. Considere el cuerpo como una partcula.

La solucin para la ecuacin diferencial es:

Sustituyendo condiciones Iniciales

De 1

Ecuaciones generales:

Sumando fuerzas en x

Pero la aceleracin tangencial se puede expresar en funcin de la aceleracin angular del cordn que es:

Para pequeo

Sustituyendo valores:

Ecuacin diferencial no Homognea.

Donde:

Por analoga:

EJERCICIOS

Resolver siguientes problemas con la teora de vibracin de una partcula o cuerpo sin Amortiguamiento.

1. El cuerpo de la figura pesa 128.8 lbs y es desplazado 4 pies a la derecha de su posicin de equilibrio y solado cuanto t=0. El mdulo del resorte es 36. Lb/pie.Determine la frecuencia de la vibracin resultante y la solucin de la ecuacin diferencial.

2. Un cuerpo de 225.4 lbs de peso est colgado por medio de un resorte vertical cuyo modulo es de 3431 lb/pie. El cuerpo es soltado cuando el resorte esta sin esforzar. Determine a) La distancia que el peso alcanza antes de detenerse, b) El periodo del movimiento.

3. El bloque B cuyo peso es de 48.3 lbs es soportado segn fig. 2 por un resorte con mdulo de 8 lb/plg. La velocidad de B es 2.4 pie/seg hacia arriba cuando B esta 4.8 plg debajo de la posicin de equilibrio. Determine a) La amplitud de la vibracin libre de B, b) La aceleracin mxima de B.

4. La partcula C de la figura 3 pesa W lbs y esta soportada por una varilla de 3 pies cuyo peso puede ser despreciado. Cuando la varilla esta desplazada un ngulo y soltado, C oscila en un plano vertical como un pndulo simple. Determine la magnitud de la velocidad mxima de C.

5. El block B de masa m se desliza libremente sobre la barra CD como se muestra en la figura 4. El mdulo de el resorte K y la longitud sin estirar es b. El bloc se mueve a la derecha una distancia A a la derecha y soltado. a) Determine la aceleracin de B como una funcin de la coordenada X. b) Es el movimiento de B un M.A.S.? c) Si lo es, determine el periodo del movimiento.

EJEMPLO DE VIBRACIONES DE CUERPO RIGIDO

La barra homognea BC de la figura pesa 8 lb y el pequeo cuerpo E de 4.5 lbs esta soldada a la barra/ E; resorte tiene un mdulo de 7 lb/plg. La barra esta horizontal cuando se encuentra en equilibrio. La barra es desplazada un ngulo de 8 en el sentido de las manecillas del reloj y soltada. Determine la frecuencia natural circular y la mxima velocidad angular de la vibracin

.

Del diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura mostrando los dos cuerpos desplazados un ngulo de la posicin de equilibrio. La fuerza del resorte es:

Donde To es la tensin en la posicin de equilibrio y Yc es el desplazamiento del extremo de la barra. La barra est en equilibrio cuando y la ecuacin de momento alrededor de B se tiene:

En la posicin desplazada, la ecuacin de momento en movimiento, en forma escalar es:

O

Pero, si es pequeo, Cos 1 y Sen y la ecuacin se reduce a:

Esta es la ecuacin diferencial de un M.A.S. con frecuencia natural circular de:

La solucin propuesta para la ecuacin diferencial es:

En este ejemplo cuando t=0, su posicin es Y por lo tanto:

yNota:

De a y b y

Por lo tanto la solucin (ec. 1) es:

Donde

Ejercicios para resolverse mediante teora de vibraciones de cuerpos rgidos.

1. Los mdulos de los resortes C y E de la figura 1 son 30 lb/pie y 90 lb/pie respectivamente. El peso de la barra horizontal puede ser despreciado y B pesa 20 lb. La barra permanece horizontal durante la vibracin. Si B tiene una velocidad de 1.5 pie/seg. cuando pasa por la posicin de equilibrio, determine a) La amplitud de la vibracin libre resultante de B y b) La frecuencia circular de la vibracin de B.

2. El block B de 5 lbs. de la figura 2 est suspendido de resorte C y E como se muestra. Los mdulos de C y E son 30 lb/pie y 15 lb/pie respectivamente. Si B es desplazado verticalmente de la posicin de equilibrio y soltado, determine el periodo de vibracin.

3. Cuando un pequeo cuerpo el cual pesa W lb esta soportado por un resorte con un mdulo de K lb/plg como se muestra en la figura 3. La frecuencia natural es de 2 ciclos/seg. Cuando un resorte adicional con mdulo de 5.5 lb/plg es aadido como se muestra en la figura 3b y la frecuencia se incrementa a 3.5 ciclos/seg. Determine el peso W y el mdulo del resorte superior. Ambos resortes estn en tensin durante la vibracin entera.

4. El cuerpo rgido BCD de la figura 4 tiene un peso despreciable y esta soportado por una articulacin en C y el resorte A, el cual tiene un mdulo de 20 lb/plg. El brazo CD se encuentra horizontal en la posicin de equilibrio. Determine la frecuencia de la vibracin natural del block E de 6 lb cuando es desplazado lentamente de la posicin de equilibrio y soltado.

5. Si el periodo de vibracin de E del problema anterior es 1.20 seg. Determine la distancia CD. Todos los dems datos son los dados en el problema anterior.

6. La barra AB de la figura 6 est suspendida en forma horizontal por las articulaciones en O. Cuando el resorte S1 en B est actuando nicamente, la frecuencia de la variable libre es de f1 c.p.s. El mdulo de S1 es 15 lb/plg. La frecuencia natural de la barra es aumentada al doble, aadiendo un segundo resorte S2 en A. Ambos resortes estn en tensin todo el tiempo y la barra esta equilibrio en posicin horizontal. Determine el mdulo de S2.

7. Para el sistema mostrado en la figura 7 derive y resuelva la ecuacin diferencial del movimiento con las condiciones iniciales y cuando . Desprecie el peso de la barra.

8. Determine la masa de la barra uniforme del problema anterior si la frecuencia circular de la vibracin libre es reducida a .

9. El radio de giro del cuerpo de de la figura 9 es con respecto a un eje que pasa a travs del centro de gravedad. Cuando , y Derive y resuelva la ecuacin diferencial del movimiento para valores pequeos de y determine el periodo de la vibracin.

10. La partcula B de la figura 10 est montada sobre la barra rgida BC, cuyo peso puede ser despreciado. La partcula B pesa y el modulo de cada uno de los resortes es . Los resortes tienen una tensin de cada uno cuando BC esta vertical. Es movida a la derecha y soltada. Determine la frecuencia de la vibracin resultante.

11. Determine para el problema anterior el mximo peso de B para el cual el miembro BC vibrara. Omar los dems datos del problema anterior.

12. La mesa m de la figura 12 esta soportada segn se muestra. El peso de la barra rgida AB puede ser despreciada. Demuestre que la frecuencia de vibracin de m es:

13. La esfera solida homognea de . de la figura 13 gira sin deslizarse cuando es desplazada de su posicin de equilibrio. Los resortes estn sin tensin, y pueden actuar a tensin o compresin. Derivar la ecuacin diferencial del movimiento y determine la frecuencia de la vibracin.

VIBRACIONES LIBRES CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

Un sistema vibrando contiene amortiguamiento si posee elementos los cuales eliminan energia del sistema.

Hay varios tipos de amortiguamiento:

AMORTIGUAMIENTO VISCOSO: El cual los experimentan los cuerpos que se mueven a travez del fluido con velocidades moderadas;

AMORTIGUAMIENTO COULOMB: El cual tiene lugar de el movimiento relativode superficie secas.

AMORTIGUAMIENTO ESTRUCTURAL O SOLIDO: Llmado tambien histeresis mecanica el cual es causado por la friccion interna del material elastico.

Unicamente estudiaremos el amortiguamiento viscoso por ser el de mayor uso practico para controlar o limitar vibraciones, y el deslizamiento de superficie bien lubricadas se aproxima bastante cuando se asume el amortiguamiento viscoso.La vibracion libre de sistemas con amortiguamientos viscosos con oscilaciones transitorias que gradualemnte disminuyen en amplitud y eventualmente se extinguen del todo.El cuerpo de la figura tiene un peso W, esta soportado por un resorte de modulo K y es actuado sobre un amortiguador viscoso, C es el coeficiente de amortiguamiento viscoso. La fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad y la magnitud es CY. La fuerza de amortiguamiento siempre se opone a la direccion de la velocidad como se muestra en el diagrama de cuerpo libre.

Cuando el cuerpo esta en equilibrio y En la posicion desplazada La ecuacin del movimiento en la direccin Y es:

o

Cuya solucin de ecuacin ordinaria diferencial con coeficiente constante es:

Sustituye este valor en la ecuacin diferencial:

La solucin cumplir si B=0 o ( ) = 0

La solucin general para la ecuacin diferencial debe tener dos constantes arbitrarias y es escrita como:(4)

B y C de las condiciones iniciales(3)

r1 y r2 de la ecuacin

La conducta del sistema depende de la cantidad dentro del radicar ya que la cantidad puede ser cero, positiva o negativa, y el radical ser cero, positivo o imaginario respectivamente.

COEFICIENTE DE AMORTIGUAMIENTO CRITICO.- Es el valor de C para el cual se hace el radical cero.

Y representa la mnima cantidad de amortiguamiento para el movimiento no vibre. La solucin de la ecuacin 1 tiene 3 formas distintas, dependiendo del valor de C ya sea que sea mayor, menor o igual que Ccr

CASO 1 C > Cr

El radical es real y ambas races son reales y negativas. El movimiento es no-vibratorio y el sistema retorna lentamente a la posicin de equilibrio con niuna vuelta de movimiento.

CASO 2 C = CR

Tendremos amortiguamiento crtico con ambas races iguales que son:

En este caso tendremos solamente una constante arbitraria y por lo tanto la solucin general es:

Sustituyendo esto en la ecuacin (1).

La figura muestra la respuesta de un sistema amortiguado para los 3 posibles casos de amortiguamiento. El movimiento es iniciado con la misma velocidad positiva y con desplazamiento cero para las tres curvas.La cantidad de amortiguamiento en un sistema est indicada por la razn de amplitud consecutivas de la oscilacin. La razn puede ser indicada por una cantidad llamada decremento logartmico, el cual es definido como el logaritmo de la razn de dos amplitudes positivas sucesivas cualesquiera. La figura representa la respuesta de un sistema con una cantidad relativamente pequea de amortiguamiento.

La amplitud en un tiempo t1 es:

La prxima amplitud es:

La razn de dos amplitudes es:

Y el decremento logartmico es:

El decremento logartmico puede ser expresado en varias formas:

La relacin es llamado factor de amortiguamiento y es conveniente expresarlo en varias de las ecuaciones anteriores cuando es reemplazado por Wn, es reemplazado por Cr y C por , los siguientes resultados pueden ser encontrados:

Y

Las cuales fueron obtenidas por sustitucin.

AMORTIGUAMIENTO CRITICO:- Es el mnimo amortiguamiento para el cual el sistema retornara a su posicin de equilibrio sin oscilar. Adems retornara en el mnimo tiempo posible para cualquier condicin inicial.

CASO III

En este caso se tiene un sistema sub-amortiguado, el radical es imaginario y las races son:

Donde

Sustituya r1 y r2 en 4 tenemos: frecuencia circular amortiguada

Mediante series de expansin:

A, B, C, son constantesPuesto que la, constante es negativa la amplitud siempre disminuir con el tiempo.

La vibracin libre amortiguada no se repite a s mismo como lo hace una vibracin libre sin amortiguamiento, por tanto no tiene un periodo de frecuencia como el definido para vibraciones libres sin amortiguamiento. Por esto se acostumbra casi siempre llamar al intervalo de tiempo entre pares de crestas sucesivas del movimiento el periodo amortiguado.

Donde:

Debe notarse que Wd siempre es menor que Wn para cualquier valor positivo de C (menor que

EJEMPLO DE VIBRACIONES LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTO

El cuerpo E de 9.66 lb est sujeta a la barra DF cuyo peso puede ser despreciado. El resorte tiene un mdulo de 9.0 lb/pie, y el coeficiente del amortiguamiento es 2.4 lb-seg/pie. El sistema se encuentra en equilibrio cuando DF esta horizontal. La barra es desplazada 0.10 radianes en el sentido de las manecillas del reloj y soltado cuando t-0. Determine:a) La ecuacin del movimiento de la barra;b) La frecuencia del movimiento.c) El decremento logartmico del movimiento.

Figura (c)

SOLUCION:

Del diagrama de cuerpo libre mostrada en la figura desplazada en direccin positiva se observa que T-To = 9.66. La ecuacin de momentos para el cuerpo con el desplazamiento y velocidad indicada en (b) es:

Esta ecuacin puede ser reducida a:

La solucin general puede ser obtenida sustituyendo en la ecuacin dada:

De la cual:

La ecuacin del movimiento es:

Cuando t=0, por lo tanto:

La velocidad angular de la barra es:

Y cuando por lo tanto:

Y

La solucin es:

La grafica (c) muestra dicha solucin

b) La frecuencia circular amortiguada es:

c) El decremento logartmico es:

Ejercicio 1

Una masa m esta soportada por un resorte con un mdulo K y un amortiguador con un coeficiente 0. El sistema es causado para vibrar con una amplitud inicial X1. Demuestre que el factor de amortiguamiento = C/Cc est relacionado con n mediante la expresin:

Donde:

Ejercicio 2

El cuerpo T de la figura pesa 10 libras y tiene un momento de inercia de m masa alrededor del eje de rotacin de 20 Lb-seg-Pulg. El modulo del resorte es 10 Lb/pulg. y el coeficiente de amortiguamiento del amortiguador es 0.3 Lb-Seg/Pulg, 0A es horizontal cuando el sistema est en equilibrio. El extremo A es jalado hacia abajo 2 pulgadas. Debajo de la posicin de equilibrio y saltado. Determine:

a) El tiempo requerido para completar dos ciclos completos.b) El desplazamiento de A al final de dos ciclos completos.

Ejercicio 3

La barra homognea de la figura tiene una masa de 0.8 Lb-seg-pie y se encuentra en equilibrio en la posicin horizontal. El modulo del resorte es 3 Lb/pie y el coeficiente de amortiguamiento es 1.5 Lb-seg-pie. La barra tiene un desplazamiento angular de 0.06 rad y una velocidad angular de 1.4 rad/seg en el sentido de las manecillas del reloj cuando T=0. Encuentre la solucin de la ecuacin diferencial del movimiento para en funcin del tiempo y determine la posicin angular y velocidad de la barra cuando T=1 seg.

Ejercicio 4

La barra rgida T de peso despreciable rota en un plano vertical alrededor de un eje horizontal en O. A la barra se causa vibracin por desplazamiento del cuerpo y es soltado. Determine la frecuencia amortiguada de vibracin y la razn de amplitudes positivas de la tercera y cuarta oscilacin. Cul es la razn de amplitudes del tercer y cuarto ciclos.

Ejercicio 5

El cuerpo de la figura pesa 130 libras, el modulo del resorte es 30 lb/pie y el coeficiente de amortiguamiento es 10 lb-seg por pie. Determine el coeficiente de amortiguamiento crtico y el decremento logartmico.

Ejercicio 6

Un sistema vibrando con amortiguamiento se muestra en la figura (6). Derivar la ecuacin diferencial del movimiento y el tipo de vibracin.

Ejercicio 7

El cuerpo B de la figura (7) tiene una masa de 2 slugs y la masa de la barra en forma de T puede ser despreciada. El mdulo del resorte es de 80 lb/pie y el coeficiente de amortiguamiento del amortiguador es 16 lb-seg/pie. El sistema est en equilibrio cuando AB esta horizontal. Si b-c 2 pies y el sistema es movido de su posicin de Equilibrio. Determine:

a) El tipo de vibracin que existir.b) La frecuencia de oscilacin (si existe)c) El factor de amortiguamiento C/Cc

Ejercicio 8

Determine la longitud C del brazo hacia el amortiguamiento del problema 7 con el cual resultara en un sistema crticamente amortiguado.

Ejercicio 9

El cuerpo de la figura (9) pesa 24.15 lbs y esta soportado por 3 resortes y tres amortiguadores como se muestra. Los mdulos del resorte son K1=K2= 10 lb/pie y K3= 7 lb/pie. Los coeficientes del amortiguador son C1=C2= 0.05 lb-seg/pie y C3 = 0.08 lb-seg/pie. El cuerpo es desplazado 4 plg. Hacia debajo de la posicin de equilibrio y soltado. Determine el nmero de oscilaciones que se presentaran antes que la amplitud de la vibracin se reduzca al 20% de su valor original

Ejercicio 10

Determinar la ecuacin diferencial del movimiento para el pndulo invertido de la figura (10). La masa en forma de L puede ser despreciada. Determine una ecuacin para el coeficiente de amortiguamiento crtico.

Ejercicio 11

El cuerpo M de la figura (11) tiene masa de 0.025 lb-seg2/plg y el peso de la barra puede ser despreciado. Durante 20 ciclos de vibracin libre del sistema, la amplitud del movimiento de D disminuye de 3 a 1 plg en 10 seg. Determine:

a) El coeficiente de amortiguamiento Cb) La rigidez del resorte K.c) El coeficiente de amortiguamiento critico Ccr.d) El decremento logartmico del sistema.

VIBRACIONES FORZADAS

Cuando una fuerza la cual vara peridicamente es aplicada a un cuerpo montado sobre resortes u otros soportes elsticos, una vibracin forzada de un cuerpo puede tambin ser producida dando un movimiento peridico al soporte del cuerpo del sistema vibratorio.

Un cuerpo sujeto a una fuerza peridica y condiciones iniciales arbitrarias tendr una combinacin de vibracin libre y forzada al inicio del movimiento. En todos los casos prcticos casi siempre las fuerzas de amortiguamiento eliminaran las vibraciones libres (frecuentemente llamadas transitorias) y el movimiento resultante es llamado vibracin de estado estable.

El periodo y la frecuencia de una vibracin libre dependen de la masa del cuerpo, de la rigidez del soporte elstico y del coeficiente de amortiguamiento. La amplitud de una vibracin libre depende de las condiciones iniciales y en general de la frecuencia circular. La frecuencia de una vibracin forzada de estado estable depende de la frecuencia de la carga aplicada pero no de las caractersticas del cuerpo vibrando. La amplitud de una vibracin forzada de estado estable depende de la magnitud y frecuencia de la carga aplicada y de la frecuencia de la vibracin libre pero no de las condiciones iniciales.

En cualquier fuerza aplicada variando peridicamente resultara una vibracin forzada. Un tipo comn de una fuerza variable es en la cual puede ser expresada como un seno o coseno en funcin del tiempo.

En la figura se presenta un cuerpo de masa m, soportado por un resorte cuyo modulo es K y un amortiguador cuyo coeficiente es C. el cuerpo es accionado por una fuerza F= FoSenWt donde Fo es la amplitud de la fuerza variable y W es la frecuencia circular.

La solucin general de la ecuacin (1) es en dos partes; la funcin complementaria cuando el lado derecho es cero (vibracin libre con amortiguamiento) y la solucin particular la cual satisface la ecuacin como est escrita. La funcin complementaria disminuye exponencialmente con el tiempo y contiene dos constantes de integracin. Es frecuentemente llamado trmino transitorio. La solucin particular es la solucin de estado estable es de vital inters.La solucin transitoria ha sido estudiada con anterioridad y no se considera de inters.La solucin de estado estable se obtiene considerando que Y es de la forma:

Sustituyendo 2 en la ecuacin 1 se encuentran los valores para A y o B y C.Una representacin grfica de la ecuacin 1 se obtiene por medio de la rotacin de vectores. Si la solucin de estado estable es considerada como la ecuacin 2 los termos de la ecuacin 1 sern:

Note que adelanta a Y por radianes y adelanta Y por /2 radianes. El vector suma de esos tres vectores de magnitud , y los cuales sumados vectorialmente deben ser igual a Fo. El vector A esta en la direccin de Ky (opuesto a y atrasado con respecto a la fuerza F por un ngulo. En este caso es negativo.

La suma vectorial se representa en la figura (a) resulta por conveniencia dividir todos los vectores A obteniendo la figura (b). Note usted que si K = , ( ) Entonces la fuerza aplicada adelantara al desplazamiento por radianes. Este caso es llamado de resonancia. Si C es cero (sin amortiguamiento). El vector resultante viene a ser una lnea recta y es cero o radianes dependiendo de qu k sea mayor o menor que . Cuando no hay amortiguamiento y . La amplitud de la solucin de estado estable, es infinita. La razn por la cual la amplitud se incrementara puede ser determinada obteniendo la solucin particular de la ecuacin 1 sujeta a las condiciones C= 0 y y la solucin para este caso es:

Y puede demostrarse por sustitucin directa.

El crecimiento de la amplitud puede ser lento o rpido y si no se preveen los movimientos excesivos por medio de arreglos adecuados, el equipo resultara daado.Las soluciones para la amplitud y el ngulo de fase, que satisfacen la ecuacin (1) puede ser determinada de la figura. As

De igual manera:

Cuando otro movimiento rectilneo es aadido o analizado, una ecuacin diferencial similar a la ecuacin debe ser derivada, y el mismo anlisis puede ser usado para obtener las cantidades lineales o angulares usadas para derivar la ecuacin. Cuando el numerador y denominador de la ecuacin (a) son ambos divididos por K, y cuando C es reemplazada por:

Es reemplazada por , la ecuacin (a) cambia a:

La relacin A/Fo/K es llamada factor de amplificacin. Es la razn por la cual la cantidad Fo/k, el resorte debera contraerse por la carga Fo, debe ser multiplicada para dar A. Las curvas de la figura muestran la variacin del factor de amplificacin con para varios valores de .

Una ecuacin diferencial del movimiento similar a la ecuacin resulta de la rotacin de una masa desbalanceada o de la oscilacin armnica del cuerpo del sistema masa resorte mostrada en el ejemplo siguiente:

El motor de la figura est montado sobre dos resortes, cada uno con un mdulo de K= 60 lb/plg. El amortiguador tiene un coeficiente de 0.80 lb-seg. El motor, incluye una masa desbalanceada B, plg que pesa 38.6 lbs. y el cuerpo desbalanceado B pesa 1.0 lb y est localizado 3.0 plg. del centro de la flecha.

a) El motor gira a 300 r.pm. Determine la amplitud y ngulo de fase (relacionada a la posicin de B) del movimiento resultante.b) Determine la fuerza mxima y mnima ejercida sobre el motor por los resortes, por el amortiguador y por ambos juntos cuando el motor gira a 300 r.p.m.c) Determine la velocidad de resonancia y la amplitud resultante del movimiento.

SOLUCION:

La figura b es el diagrama de cuerpo libre del motor sin el peso B y la figura C es el diagrama de cuerpo libre de B. La variable Y da la posicin del centro de la flecha del motor medida de la posicin de equilibrio, y es la coordenada vertical de B, de la figura,

Por lo que:

Las ecuaciones del movimiento en la direccin y para los dos cuerpos, en la forma escalar es:

y

Cuando estas dos ecuaciones son sumadas para eliminar , el resultado es:

Donde

Esta ecuacin es la misma que la ecuacin y puede ser resulta por medio de un diagrama vectorial similar a la figura (d) De donde:

Y

Estos valores se muestran en (d) y del tringulo de la derecha.

El cual da:

De igual forma:

b) La magnitud de la fuerza ejercida por el resorte es:

Y los valores mximos y mnimos son:

Y la magnitud de la fuerza ejercida por el amortiguador es:

Y el mximo (y mnimo) valor de es:

La fuerza variable del resorte y amortiguador estn desfasados 90 como se muestra del diagrama vectorial; la amplitud de la fuerza resultante es:

Y la fuerza resultante mxima y mnima del resorte y amortiguador sobre el motor es:

c) La velocidad de resonancia ocurre cuando cuando:

Donde

La amplitud de resonancia es:

VIBRACIONES FORZADAS

1. El cuerpo W de la figura 1 pesa 8.05 lbs, el modulo es 20 lb/pie y es 16 lb/pie. El desplazamiento de E est dado por la expresin , donde est en pies y t en segundos. Determine la amplitud del movimiento de W.

2. El cuerpo W pesa 6.44 lb, y el mdulo de los resortes son de 30 lb/pie para y 6 lb/pie para . La magnitud de la fuerza F en lb est dada por la expresin . a) Derivar la solucin de estado estable para el movimiento de W. b) Determine la velocidad mxima de W.

3. Una masa M est suspendida de un resorte cuyo modulo es K. Un amortiguador de coeficiente C est colocado entre la masa m y un block a el cual tiene un movimiento armnico simple con una amplitud Y y una frecuencia circular W. La frecuencia del movimiento de A es menor que la frecuencia de resonancia de M. Determine la amplitud del movimiento de M y el ngulo de fase entre los movimientos de A y M. Se adelanta o atrasa M con respecto A.

4. Un cuerpo que pesa lbs est montado sobre 4 resortes (en paralelo) con mdulo de 2 lb/plg cada uno. El cuerpo es activado por una fuerza cuya magnitud es de 3 lbs y una frecuencia circular de 10 rad/seg. Esta fuerza produce vibraciones excesivas, y tres posibles soluciones se sugieren:

a) Aadir un peso de 15 lb al cuerpo.b) Aadir un quinto resorte con el mismo modulo.c) Colocar un amortiguador con un coeficiente de amortiguamiento de 0.90 lb-seg/plg. Entre el cuerpo y cimentacin.

Determine el efecto de cada una de estas propuestas aplicadas separadamente en base a la amplitud de la vibracin resultante y de la fuerza transmitida a la cimentacin.

5. El sistema de la figura 5 est ajustada en equilibrio cuando AB esta horizontal y es cero. El cuerpo B pesa 64.4 lbs, el modulo del resorte es 80 lb/pie y el coeficiente de amortiguamiento es de 16 lb-seg/pie. La posicin del block E 9 pie) est dado por la ecuacin . Determine la amplitud del movimiento de B y la mxima velocidad lineal.

6. Una bola de 48.3 lbs esta soportada como se muestra en la figura. La masa de la barra puede ser despreciable y el modulo del resorte es 16 lb/pie. El block E tiene un movimiento armnico simple dado por la ecuacin , donde est en pies y t en segundos. Obtn la solucin de estado estable para el movimiento de B.

7. El block E de la figura tiene un movimiento dado por la ecuacin est en pies y el mdulo de es 15 lb/pie, y el mdulo de . El peso de la barra que soporta el peso de 32.2 lbs puede ser despreciable. Determine la solucin de estado estable para el sistema vibrando. Los resortes pueden actuar ya sea a tensin o a compresin.

8. La deflexin esttica de los resorts de una automvil de 3000 lbs es de 8 pulgadas. Las ruedas son montadas sobre una plataforma que puede darle un movimiento vertical similar al movimiento resultante que se tendra operndolo sobre una superficie llena de baches.

a) Determine la frecuencia circular de la vibracin forzada a la cual ocurre resonancias.b) Determine la velocidad del automvil a la cual ocurrir la resonancia cuando el automvil est siendo manejado sobre baches. Considere la distancia entre las crestas de 12 pulgadas.c) Determine la amplitud de la vibracin que resulta en el automvil de un movimiento vertical total de la plataforma de 2 pulgadas a una frecuencia de c, p, s.

9. Un block cuyo peso es de 60 lbs est suspendido por un resorte con un mdulo de 40 lb/pulgadas y est sujeto a una fuerza de (F esta en lbs y t en segundos).El block est conectado al piso mediante un amortiguador con un coeficiente de . Determine la amplitud de la fuerza transmitida a travs del amortiguador.

10. Un pequeo motor de velocidad variable pesa 18 lbs y est montado sobre una viga elstica como se muestra en la figura. El motor gira con un peso excntrico de 2 lb a 2 plg. Del centro de la flecha. Cuando el motor no est girando, el motor y la viga causan a la viga una deflexin de 0.5. Determine:

a) La velocidad del sistema en resonancia.b) La amplitud de la vibracin forzada cuando el motor gira a 300 r.p.m.

11. Es posible reducir la amplitud de la vibracin forzada del motor en el inciso b aadindole un peso al motor? Si as es, Que peso debe aadirse para reducir la amplitud de la vibracin a 0.5?

INSTRUMENTOS PARA MEDIR FRECUENCIAS

La Figura es la clave para comprender la mayora de los instrumentos para medir vibraciones. Una vibracin es, a veces, una onda de configuracin ms bien complicada. Cuando esta onda se ha trazado en el papel, puede conocerse todo lo concerniente a la vibracin, aunque en muchos casos no se requiere un conocimiento tan completo. Puede que nuestro deseo sea conocer solamente la frecuencia o la amplitud del movimiento y su aceleracin. Para satisfacer estos requisitos parciales pueden construirse instrumentos muchos ms sencillos y baratos que los que se requieren para registrar la completa configuracin de la onda.

Consideremos primero los mtodos para medir exclusivamente la frecuencia, En la mayora de los casos, la vibracin es bastante pura, es decir, la armona fundamental tiene una amplitud mucho mayor que cualquiera de las armnicas ms altas. En tales casos, puede medirse fcilmente la frecuencia, cuyos resultados pueden darnos una sugerencia para determinar la causa de la vibracin. Los medidores de frecuencias se basan casi siempre en el principio de resonancia. Para frecuencias aproximadamente inferiores a cien ciclos por segundos, son tiles los tacmetros de lengeta, de los que existen dos tipos: los de una sola y los de varias lengetas.

El medidor de frecuencias de una sola lengeta consiste en una cinta elstica de acero en cantilver, empotrada en un extremo y con el otro libre. La longitud de la parte libre de esta cinta puede ajustarse haciendo girar una tuerca que opera un mecanismo en el empotre. As, la frecuencia natural de esta cinta puede ajustarse a voluntad, marcndose para cada longitud de la frecuencia natural en ciclos por segundos. Al usarlo, el extremo empotrado se presiona firmemente contra el objeto en vibracin, de tal suerte que la base de la lengeta participe de la vibracin, de tal suerte que la base de la lengeta participe de la vibracin que vamos a medir. Se gira entonces el tornillo lentamente, variando as la longitud libre de la lengeta, hasta que, para una longitud particular, se encuentre en resonancia con la vibracin imprimida y nos muestre una gran amplitud en el extremo libre. En ese instante leemos la frecuencia. Unos instrumentos de ese tipo lo fabrican y distribuye en el mercado la Westinghouse Corporation.

EJEMPLO: Un medidor de frecuencias de una sola lengeta y de longitud variable consiste en una cinta elstica de acero de 0.200 por 0.02 plg. de seccin transversal soportando un peso de oz en su extremo. Cul ser la longitud libre mxima del cantiliver, si el instrumento debe estar diseado para medir frecuencias desde 6 hasta 60 ciclos por segundo?

SOLUCION: la constante de resorte de una viga en cantiliver es . El momento de inercia de la seccin transversal es . La rigidez a la flexin ser, pues, y la constante del resorte . La masa en el extremo es . La masa por plg de cinta ser . Puesto que solamente un cuarto de la longitud de la cinta es efectiva como masa tenemos en total:

La frecuencia de longitud mxima es de 6 ciclos por segundos, o .

Aplicando la ecuacin:

O

Esta ecuacin se puede resolver por aproximaciones sucesivas. Puesto que el segundo trmino en el parntesis (debido a la masa de la cinta) es pequeo con respecto al primer trmino (debido a la masa de oz), como primera aproximacin se desprecia el segundo trmino.

Con ello, el parntesis resulta . As que

Y

Cuyo resultado es suficientemente exacto.

Los otros tipos de medidores de frecuencias emplean un gran nmero de lengetas y se conocer con el nombre de tacmetros de Frahm. Consisten en una ligera caja b que contiene varias cintas elsticas de acero en cantiliver a, colocadas en una o ms hileras. Cada lengeta tiene una frecuencia natural un poco mayor que la vecina de su izquierda, de esta manera que se cubre una gama total de frecuencias naturales.

Al operar, la caja se coloca en la maquina en vibracin y resultara que la mayora de las lengetas apenas se movern. Empero, una o dos de ellas, cuyas frecuencias naturales sean sumamente cercanas a la de la vibracin imprimida, oscilaran con una amplitud considerable. Esto se hace visible pintando de negro la parte interior de la caja y de color blanco las puntas c de los extremos libres de estas lengetas. Los tacmetros de este tipo se utilizan ampliamente.

Este mismo tipo de instrumento se usa tambin para indicar la frecuencia de una corriente elctrica alterna. La excitacin mecnica de la fuerza imprimida se sustituye por una excitacin elctrica. Con este fin se colocan una o ms bobinas dentro de la caja, debajo de las lengetas. La corriente que fluye al travs de estas bobinas produce una fuerza magntica alterna en las lengetas.

INSTRUMENTOS SISMICOS

Para medir la amplitud de las vibraciones se usa generalmente un instrumento ssmico, que consiste en una masa montada sobre resortes dentro de una caja. La caja se coloca a continuacin en la maquina en vibracin y la amplitud del movimiento relativo entre la caja y la masa sigue el diagrama de la figura, para las diferentes frecuencias del movimiento que se va a registrar. Puede verse que cuando la frecuencia perturbadora es suficientemente grande con respecto a la frecuencia natural del instrumento, la amplitud registrada y es prcticamente la misma que la del movimiento . As pues, para obtener un dispositivo para medir desplazamientos o vibrometro, se requiere proporcionar al instrumento una frecuencia natural que sea por lo menos dos veces ms baja que la mnima vibracin que se desea registrar. Eb caso de que el movimiento sea impuro (por ejemplo, que contenga armnicas ms altas), no presenta ninguna dificultad, puesto que cualquier armnica superior tiene una frecuencia mayor que la fundamental y se registrara aun con mayor precisin.

Una masa ssmica sobre resortes es capaz de registrar tambin aceleraciones, si el movimiento es , la aceleracin correspondiente ser , con amplitud .

Ahora la parte izquierda de la figura (desde ) tiene prcticamente la caracterstica . La ecuacin de la figura es:

Aqu es una constante del instrumento, independiente de la frecuencia de la vibracin externa, por lo tanto, la parte de la extrema izquierda de la figura representa en realidad las aceleraciones a diferentes frecuencias.

Un acelermetro es un instrumento ssmico con una frecuencia natural por lo menos doble de la mayor frecuencia de la aceleracin que se desea registrar. Esta proporcin lleva en si la posibilidad de una dificultad prctica, ya que un movimiento impuro contiene armnicas de frecuencias ms altas que la fundamental y puede muy bien resultar que una de estas frecuencias sea muy cercana a la frecuencia natural del instrumento. Esta dificultad es caracterstica del acelermetro. Un vibrometro est exento de ella, puesto que las armnicas de una onda son siempre de frecuencia ms alta que la onda principal o fundamental, de manera que existe el peligro de resonancia solamente cuando la frecuencia principal registrada es ms baja que la frecuencia natural del instrumento. Para eliminar esta particular dificultad, es necesario introducir un amortiguador en el acelermetro.

La figura muestra cuatro curvas: la parbola que se requiere para un acelermetro ideal y la tres curvas de repuesta para tres diferentes magnitudes de amortiguamiento. Las curvas para amortiguamiento crticos de 0.5 o 0.7 estn an ms cerca de la parbola ideal que las de las caractersticas sin amortiguamiento. Ms aun, no debemos temer a la resonancia. Por lo tanto, un acelermetro con amortiguamientos comprendidos dentro de la mitad y 0.7 del valor crtico, registrara aceleraciones hasta de de la frecuencia del instrumento sin ningn error apreciable, mientras que armnicas superiores en aceleracin disminuyen o si sus frecuencias son suficientemente grandes, prcticamente quedan suprimidas.

Curva de resonancia para diferentes magnitudes de amortiguamiento, comparada con la curva parablica del acelermetro ideal. Fig.

Los clculos de las curvas de la figura son como sigue:

Se aplica la ecuacin diferencial, puede usarse de inmediato, despus de sustituir por . As,

Es la ecuacin de la figura. Es conveniente que el lector verifique algunos puntos de la formula con la figura.

La frmula del ngulo de fase y la figura correspondiente puede aplicarse, en este caso, sin cambio alguno. Es interesante advertir que para amortiguamientos entre 0.5 y 0.7 del crtico la fase caracterstica, Fig., difiere someramente de una diagonal en la regin por debajo de la resonancia. Esto tiene la ventaja de evitar el error conocido como distorsin de fase. Para cada armnica de una onda impura el instrumento amortiguado muestra diferente ngulo es proporcional a la frecuencia, todas las ondas registradas forman la misma trayectoria combinada que las ondas reales.

Histricamente, los instrumentos ssmicos ms antiguos son los sismgrafos, que usan para registra las vibraciones en los terremotos. La masa en estos dispositivos esta elsticamente suspendida y es, a veces, sumamente grande, llegando a pesar hasta ms de una tonelada. La frecuencia natural es sumamente baja: del orden de una sola vibracin cada 10 segundos.

TEORIA DEL AISLAMIENTO DE VIBRACIONES

Una maquina desequilibrada debe instalarse en una estructura donde no se desean vibraciones. Esta situacin es bastante comn. Ejemplo de este tipo son el motor elevador de corriente alterna de un hospital o de un hotel o los de los motores de los automviles. El problema consiste en instalar la mquina de manera que no aparezcan vibraciones en la estructura que la soporta.

Su solucin general consiste en el montaje adecuado de la maquina sobre resortes, y una vez ms la figura y proporcionan la informacin para el diseo correcto de este tipo de montaje. En la figura la maquina est representada como una masa con una fuerza actuando sobre ella. En la figura esta acoplada slidamente a la subestructura, mientras que en la est montada sobre resortes con una flexibilidad vertical . Para mayor simplicidad se supone que la subestructura es rgida. El caso ms complicado de un cimiento movible se discutir posteriormente.

Una sustentacin mediante resortes sumamente sensibles evita la transmisin de vibraciones a la cimentacin.

Si ahora se mantiene constante, variando la frecuencia, la amplitud del movimiento de variara segn el diagrama.

Nuestro problema consiste en obtener la magnitud de la fuerza transmitida a la subestructura por la mquina. Puesto que solamente los resortes estan en contacto con el cimiento, la nica fuerza que puede transmitirse es la fuerza del resorte, que tiene amplitud (sin considerar el amortiguamiento). La ordenada de la figura representa la razn del desplazamiento mximo de la masa con respecto al desplazamiento esttico , as pues,

Lo ideal es que esta razn sea cero, aunque una meta practica es hacerla suficientemente pequea. En la figura la constante del resorte , por ende, la frecuencia natural o de resonancia es infinita. Por lo tanto, la frecuencia de operacin w de la fuerza es sumamente baja con respecto a la frecuencia natural; es decir, estamos en el punto A de la figura, de manera que la fuerza de transmisin es igual a la fuerza aplicada. Esto es fsicamente obvio, ya que se supuso una cimentacin rgida, por lo que la masa no puede moverse y la fuerza total se debern transmitir a la cimentacin. El diagrama de la figura muestra de inmediato que se requiere disear los resortes sustentadores de manera que se logre que la frecuencia natural de toda la maquina sea baja comparada con la frecuencia de la perturbacin. En otras palabras, los resortes debern ser sumamente blandos.

Un examen de este diagrama y de sus frmulas revela que si es menorque , los resortes en realidad empeoraran la situacin: la transmisibilidad es mayor que 1. Si la frecuencia natural es un quinto de la frecuencia perturbadora, la transmisibilidad es de 1 parte en 24. Esto es bastante satisfactorio, pero en muchos casos es mejor utilizar resortes todava ms blandos.

Hasta ahora, la sustentacin se ha considerado como si estuviera totalmente exenta de amortiguamiento, que es prcticamente la condicin existente en los resortes de acero. Algunas veces, sin embargo, se utilizan para este fin calzas de hule o de corcho, en cuyo caso no puede despreciarse el amortiguamiento. El sistema puede entonces representarse simblicamente con la figura, en donde la amplitud del movimiento de se muestra mediante una de las curvas de la figura. En este caso, la curva del desplazamiento no es directamente proporcional a la amplitud de la curva de transmisibilidad, como en el caso en que se despreci el amortiguamiento. Ahora la fuerza transmitida est constituida no solamente por las fuerzas del resorte , sino tambin por las fuerzas de amortiguamiento . Se mostr en la pgina 75 que estas dos fuerzas (estando respectivamente en fase con el desplazamiento y la velocidad tienen entre ellas un ngulo de fase de 90. Y, en consecuencia, su suma, que ser la fuerza total transmitida, es:

La amplitud esta dada por la frmula que resulta:

O, puesto que es la fuerza aplicada,

Mediante la grfica siguiente se ve que el amortiguamiento es satisfactorio solamente en la regin donde 1.41 (en la cual el montaje con resorte empeora la situacin). Para todos los valores de , donde el montaje con resortes ayuda, la presencia del amortiguamiento empeora la transmisibilidad.

Esta proposicin un tanto paradjica no es tan importante como parece. En primer lugar, el efecto contraproducente del amortiguamiento no es muy grande y puede eliminarse fcilmente utilizando resortes un poco ms dbiles, es decir, desplazndose un poco ms hacia la derecha en la figura. Por otro lado, aunque no es nuestra intencin operar en el punto de resonancia donde , esto puede, desgraciadamente, ocurrir algunas veces y entonces la presencia del amortiguamiento resulta sumamente deseable. As pues, a pesar del dictado de la figura, un poco de amortiguamiento en los resortes es generalmente conveniente.

El amortiguamiento en el soporte de los resortes es conveniente cuando pero es contraproducente cuando .

PRACTICA VELOCIDADES CRTICAS

INTRODUCCION.

El movimiento ms comn en cualquier maquinaria es el movimiento rotativo, y todo sistema en rotacin contiene masa y elasticidad (rotor-flecha). Esta combinacin origina que el sistema tenga una o varias frecuencias naturales, por lo que existe la posibilidad de que la velocidad de trabajo coincida con una de estas frecuencias u se presente el fenmeno de la resonancia. Este fenmeno se conoce como velocidad crtica y se define como la velocidad a la cual el nmero de revoluciones de giro coincide con la frecuencia natural del sistema.

Las consecuencias del fenmeno de la resonancia son la generacin de severas vibraciones mecnicas, con la consecuente probabilidad de falla en valeros, chumaceras, fatiga, anclaje, etc.

OBJETO DE LA PRCTICA.

Determinar la velocidad crtica o de resonancia de un sistema formado por una flecha con dos masas rotatorias concntricas y balanceadas estticamente.

APARATOS UTILIZADOS.

Analizador de movimientos, lmpara estroboscpica o tacmetro rectificador y restato.

TEORIA.

Considere un disco de masa sobre una flecha que gira sobre dos apoyos, con velocidad angular constante como se ve en la figura (1) suponga que el centro de gravedad del disco, se encuentra a la distancia radial (= excentricidad) del cuerpo de la flecha.

Si el disco girase en torno al eje central de la flecha, actuaria sobre el la fuerza centrifuga . Esta fuerza rotativa puede substituirse por sus componentes horizontales y verticales, y as se ve que el mismo resultado se obtendr al sumar dos fuerzas vibratorias, una horizontal y otra vertical, de amplitudes iguales a , pues de esperarse que el disco vibre en las direcciones horizontales y verticales simultneamente y, en particular esperamos que el disco vibre violentamente, cuando estos impulsos entran en resonancia con la frecuencia natural del conjunto, es decir, cuando la rapidez angular de la flecha coincide con la frecuencia natural de vibracin del disco sin girar, debido a la elasticidad de su flecha.

Esta conclusin no se restringe al caso de solo un disco montado. Sistemticamente sobre dos apoyos rgidos, es vlida tambin para sistemas complicados.

Las velocidades que originan vibraciones violentas, como las descritas se conoce, como velocidades crticas. En general, las velocidades crticas de cualquier flecha cilndrica con varios discos girando sobre dos o ms apoyos rgidos, coinciden con las frecuencias naturales de vibracin de las flechas, sin girar sobre sus apoyos.

Uno de los mtodos ms sobresalientes para la solucin de este tipo de problemas es el mtodo de Raleigh.

El mtodo de Raleigh est basado en el continuo intercambio de energa cintica y potencial en el sistema. Si el sistema es conservativo y no hay prdidas de energa, entonces la suma de la energa cintica y potencial es una constante. La energa cintica resulta de la velocidad de las masas, mientras que la energa potencial esta acumulada como un trabajo contra la gravedad o una de formacin elstica.

Considerando una flecha con dos pesos concentrados y como se muestra en la figura (2).

La fecha es esencialmente una viga flexionada por los pesos. El clculo de las energas, cinticas y potencial requiere un conocimiento de las deflexiones verticales debidas a los pesos.

Sean las deflexiones estticas e en los puntos posicin , .

T Representa la mxima energa cintica.V Representa la mxima energa potencial.

Debido a que la viga mostrada en la figura no se opone a la deformacin ocasionada por los pesos la analizaremos como un resorte.

Ahora bien, ya que la viga se compone como un sistema ideal conservativo, la suma de todas sus energas es igual a la suma de todas sus energas potenciales.

Luego

Substituyendo:

Donde:

Existen tres mtodos para calcular la deformacin en la flecha debido al peso:

1. El mtodo de doble integracin.2. El mtodo de momentos.3. El mtodo de superposicin.

El tercer mtodo es el que resulta de ms sencillo para efectuar el clculo razn por la cual se va a utilizar.Si la seccin de la flecha es uniforme, la deflexin puede ser calculada por las relaciones bien conocidas por la mecnica de las vibraciones.

El principio de la superposicin es usado para encontrar la deformacin par aun peso en particular.La deformacin total en cada punto es igual a la suma de la deformacin debido al peso que acta en ese punto ms de la deformacin debida al otro peso.

PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA VELOCIDAD CRTICA EN UN SISTEMA ROTATIVO. Como el mostrado en la figura (3)

Para evaluar las deformaciones en el punto 1 y 2 es necesario hacia las siguientes condiciones.

Al calcular la deflexin el punto 1, es necesario calcular primero la deflexin producida en ese punto por el disco 1 por separado y despus la deflexin producida en ese punto por el disco 2 y la suma ser la deflexin total de ese punto.

Ser la deflexin total de ese punto, la frmula para determinar la deflexin es:

Donde:

x = Distancia entre el punto donde se quiere conocer la deformacin y el apoyo cercano.

b = Distancia entre el peso que produce la deformacin y el otro apoyo.

L = Longitud total o distancia entre los apoyos.

E = Modulo de elasticidad.

I = Momento de inercia.

Llamaremos a deformacin en el punto (1 debido al peso 1)

Y = Deformacin en el punto 1 debido al peso (2)

La deformacin total ser:

Para calcular la deflexin en el punto 2 se hacia las mismas consideraciones sea, calcular primero la deflexin producida en ese punto por el disco 2 por separado, y despus de la deflexin producida en es punto por el disco 1 y la suma ser la deflexin total en ese punto.

= Deformacin en el punto 2 debido al peso (2)

= Deformacin en el punto 2 debido al peso (1)

La deformacin total ser

PROCEDIMIENTO.

1. Concentra los aparatos de acuerdo a la figura anexa.

2. Secuencia de la prctica.

El sistema rotativo compuesto de dos discos es puesto a girar accionado por un motor de corriente directa cuya velocidad es regulada mediante un resorte y medida con una lmpara estroboscpica o un tacmetro.

3. Desarrollo de la prctica.

Antes de que el sistema empieza a girar uno de los discos se marca con una raya, que sirve de referencia para medir la velocidad con la lmpara estroboscpica. Una vez que est girando el sistema, se notara que los discos junto con la flecha empezaran a vibrar pero levemente, luego cuando aumente la velocidad el sistema seguir vibrando levemente hasta llegar a un punto en el cual la vibracin se hace crtica.

4. Aplicacin prctica.

En el diseo de turbinas, ejes con engranes o rotores de motor se presenta el problema de las velocidades criticas luego cuando se tenga que trabajar a estas velocidades, la solucin para evitar este fenmeno seria variando los parmetros de las ecuaciones de la deformacin y de la velocidad angular de resonancia. Tambin alternando la masa, la elasticidad del sistema puede modificarse la frecuencia natural por ende evitar la resonancia mecnica.

CONCLUSIONES

En el diseo prctico de mquinas rotativas es necesario analizar la resonancia que pudiera tener cada uno de los elementos del sistema, principalmente el montaje rotor-flecha.

Existen algunos ejemplos en que la velocidad crtica est por debajo de la velocidad de trabajo; tal caso es la turbina de vapor o gas utilizada en planta generadoras de electricidad.

La proteccin de la maquina en el arranque se logra acelerando la unidad en el instante mismo de entrar a la velocidad critica.

PREGUNTAS.

1. Qu es una resonancia?

2. Cmo relacionamos la velocidad crtica con la resonancia?

3. Cmo se puede medir la velocidad de giro de un sistema rotativo?

4. Si un sistema est trabajando con velocidad crtica Qu modificaciones hara para evitarla?

5. Describe con sus propias palabras la secuencia terica co-prctica de la prctica.

PRACTICABALANCEO DINAMICO

INTRODUCCION.

En los inicios de la industria, el elemento ms comn era la mquina de vapor cuyas velocidades de operacin eran bajas comparadas con las velocidades que se desarrollan en las maquinas modernas por lo que la fuerzas centrifugas originadas en sus partes rotativas podran considerarse despreciables u por lo tanto las fallas en el equipo eran mnimas.

Con el crecimiento demogrfico, el desarrollo industrial y el incremento de las necesidades de consumo: habitacin, alimento y vestido moderno se hizo necesario el aumento de velocidad en las maquinas modernas con motores elctricos, turbinas, compresores, etc. Este desarrollo fue paralelo al descubrimiento de la electricidad y a la creacin de nuevos tipos de acero. La consecuencia de este aumento de velocidad en las mquinas, dio origen a fuerzas centrifugas de mayor magnitud en las partes rotativas. Estas fuerzas generan severas amplitudes que dan lugar a fallas en los elementos integrantes de la mquina.

Las fuerzas centrifugas estn en razn directa al cuadrado de la velocidad de operacin.

La presente practica muestra un mtodo moderno de equilibrio dinmico utilizado en el laboratorio y en la industria.

OBJETO DE LA PRCTICA.

Balancear dinmicamente un rotor por el mtodo de los tres vectores.

EQUIPO A UTILIZAR.

Captador de vibracin (acelermetro o transductor electrodinmico), analizador de frecuencias, analizador de movimientos y lmparas estroboscpicas.

TEORIA.

Una de las causas ms comunes de vibracin en maquinaria rotativa es el desbalance, en muchos casos la vibracin causada por un pequeo desbalance no es un problema serio, pero por otro lado, en los casos de grandes maquinas rotativas a altas velocidades el problema de desbalance llega a ser crtico.

Los problemas ms comunes causados por la vibracin debida al desbalance son:

a) Excesivo desgaste en los puntos de apoyo.b) Se producen ruidos adicionales en el equipo.c) Desajuste de tornillos, tuercas, etc.d) Posibilidad de que ocasione fallas en tuberas en la estructura del sistema desbalanceado por fatiga.

EL DESBALANCE.

Existen dos tipos de desbalances:

a) Desbalance esttico.b) Desbalance dinmico.

Por lo general un rotor en la prctica tiene ambos tipos de desbalance. Las causas ms comunes el desbalance son:

a) Falta de simetra en las partes manufacturadas por forjado, fundicin y maquinado.b) Falta de homogeneidad causada por soldaduras.c) Variaciones de la estructura qumica y cristalina del material causada por el vaciado o tratamiento trmicos.d) Flecha arqueada.e) Excentricidad del anillo interior de los baleros que soportan las piezas giratorias.

e. ExcentricidadC.R. Centro de rotacin.C.G. Centro de gravedad.

EL DESBALANCE ESTATICO O DE FUERZA.

Este tipo de desbalance se origina cuando el centro de gravedad de la pieza rotatoria no coincide con su eje de rotacin. La razn por la que este tipo de desbalance es llamado esttico es que el problema para determinar la localizacin de la masa de balanceo es bsicamente un problema de esttica.

Se presenta comnmente en discos o rotores angostos.

EL DESBALANCE DINAMICO O DE MOMENTO.

Este tipo de desbalance es llamado as debido a que se presenta y se corrige solo cuando el rotor est girando se manifiesta cuando una pieza alargada en rotacin tiene pesos colocados en planos distintos.

En este casi el eje de rotacin puede pasar por el centro de gravedad y estar balanceado estticamente, pero no dinmicamente, ya que el par o momento originado por las fuerzas centrifugas de los pesos en rotacin produce vibraciones.

Este tipo de desbalance es comn en rotores largos como turbinas, motores o generadores.

EL BALANCEO.

Es un problema que consiste en alterar la distribucin de la masa de un rotor con el objeto de eliminar las vibraciones que se producen sobre las chumaceras o puntos de apoyo del mismo.Segn el tipo de desbalance que se vaya a corregir el balanceo puede ser:

a) Balanceo esttico.b) Balanceo dinmico.

EL BALANCEO ESTATICO.

La manera de balancear estticamente un sistema es bastante sencilla. Se coloca la flecha del rotor como se ilustra en la figura sobre unos rieles. Como el peso de desbalance del rotor tiende a quedar en lnea vertical abajo, el peso de balanceo se coloca en posicin opuesta. La magnitud y estancia del peso de balanceo se hace por tanteos, hasta que se obtiene el estado de balanceo que es cuando el disco est en equilibrio independientemente de la posicin en que se coloque sobre los rieles. Este mtodo se basa en que cuando un sistema esta balanceado estticamente la suma de momentos con respecto a un eje cualquiera que pase por su centro de rotacin debe ser cero.

En general este mtodo es til para discos angostos o sistemas semejantes.

EL BALANCEO DINAMICO.

Este mtodo se emplea para resolver tantos problemas de desbalanceo esttico como dinmico. Para balancear dinmicamente sistemas rotativos el procedimiento es ms complicado. Existen varios mtodos de balanceo dinmico los cuales varan segn el tipo de equipo necesario para llevarlos a cabo.

Cuando se balancean rotores largos se hace necesario balancear en dos planos (sobre las chumaceras).

Empiezan a considerarse los rotores como largos, cuando la longitud de estos a lo largo del eje es igual a su dimetro.

Existen maquinas que balancean automticamente, para utilizar estas en necesario llevar el rotor a la mquina y efectuar el balanceo segn el procedimiento recomendado por la maquina balanceadora.

Este procedimiento se conoce como balanceo de bancos.

Cuando el rotor no se puede llevar a una maquina balanceadora el rotor se balancea sobre sus propias chumaceras, utilizando equipos porttil de balanceo, este procedimiento se conoce como balanceo de campo.

1. Se coloca el captador sobre la chumacera, la seal se manda al analizador de frecuencias. El analizador de frecuencias es sintonizado a la frecuencia correspondiente de la velocidad de rotacin del rotor.

La salida del analizador de frecuencias se utiliza para disparar la lmpara estroboscpica del analizador de movimiento la seal de la vibracin causada por el desbalance se lee en la caratula del analizador de frecuencias.

2. Antes de empezar el balanceo se coloca una marca de referencia en el rotor la cual al girar el rotor aparecer estacionaria bajo la luz de la lmpara estroboscpica.

3. Se pone a girar el cilindro a su velocidad normal y leemos la caratula del analizador de frecuencia la magnitud de la amplitud de la vibracin debida al desbalance original en la chumacera, esta ser la magnitud del vector 0A (en MV) y la direccin estar dada por la posicin en que se vea la marca bajo la luz estroboscpica.

4. Se detiene el cilindro y se agrega un peso de ensaye (en gramos) en cualquier parte de la cara a balancear del cilindro.

5. Se pone a girar el cilindro por segunda vez y se mide a la amplitud de vibracin debido al y anotamos la posicin de la marca, esto nos da el vector OB en MV.

6. Se grafican los vectores OA y OB en la hoja polar (adjunta y se encuentra grficamente el vector AB (en MV) y el ngulo que es el ngulo entre el vector OA y el vector AB.

7. Se encuentra el valor del peso de balanceo por la formula

8. Se quita el peso de ensaye y se coloca el peso de balanceo a partir de la posicin en que estaba el peso de ensaye a un ngulo de grados en el sentido de giro contrario al que sufri la marca vista bajo la luz de la posicin con el peso a la posicin con el peso agregado.

9. Si el balanceo se hace en dos planos, la operacin se repite en la otra chumacera. Luego se mide el desbalance residual y si est por encima de los valores permisibles dados por la tabla de tolerancias, se repite la operacin cuantas veces sea necesario.CONLCUSIONES.

Para la conservacin de la maquinaria industrial y por las razones anteriormente expuestas se requiere que todo elemento gire a velocidades considerables deber balancearse esttica y dinmicamente.

PREGUNTAS.

1. Por qu razn en los inicios de la era industrial no existan problemas de desbalance?

2. Qu es una fuerza centrfuga y en funcin de que obtenemos su magnitud?

3. Nombre tres tipos de problemas comunes causados por vibraciones debido a un desbalance.

4. Diga que tipos de desbalance existen y describa brevemente cada uno de ellos.

5. Describa brevemente la prctica.