manual dynare - un bogota

5/20/2018 Manual Dynare - UN BogotA

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Consecutivo: INF-INV-31-FI-2009/2

INF-FO-12 V 1.0

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dynare

Autores:

ANDREA ELIANA BARRERA ARDILALAURA VANESSA HERNNDEZ CRUZ

Director Unidad Informtica: Henry Martnez Sarmiento

Tutor Investigacin: Alejandro Bolvar

Coordinadores: lvaro Schneider GuevaraJuan Felipe Reyes Rodrguez

Coordinador Servicios Web: Miguel Ibez

Analista de Infraestructuray Comunicaciones: Alejandro Bolvar

Analista de Sistemas deInformacin: Mesas Anacona Obando

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIAFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS

UNIDAD DE INFORMTICA Y COMUNICACIONESBOGOT D.C.


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Consecutivo: INF-INV-31-FI-2009/2

INF-FO-12 V 1.0

DYN RE

Director Unidad Informtica: Henry Martnez Sarmiento

Tutor Investigacin: Alejandro Bolvar

Auxiliares de Investigacin:

ALEJANDRO NIETO RAMOS JORGE ALBERTO TORRES VALLEJO

ANDREA ELIANA BARRERA ARDILA JORGE LEONARDO LEMUS CASTIBLANCO

NGEL LEONARDO JEREZ CARVAJAL JORGE LUIS FANDIO GIRALDONGELA PATRICIA VEGA CABRA JOS SANTIAGO APARICIO CASTRO

BENJAMN EDUARDO VENEGAS VENEGAS JUAN CARLOS TARAPUEZ ROA

CAMILO ALBERTO ZAPATA MARTNEZ JULIE ANDREA PADILLA GONZLEZ

CINDY LORENA PABN GMEZ LAURA VANESSA HERNNDEZ CRUZ

DANIEL ALEXANDER LINARES PUERTO LILIANA CAROLINA HERRERA PRIETO

DAVID CAMILO SNCHEZ ZAMBRANO LUIS ALEJANDRO PICO SILVA

DAVID FELIPE BELTRN GMEZ LUIS FERNANDO ALFONSO MUOZ

DIANA MARCELA ROJAS TLLEZ MNICA YOLANDA MOGOLLN PLAZAS

DIEGO ARMANDO POVEDA ZAMORA MYRIAM JASMIN GUERRA CRDENAS

EDGAR ANDRS GARCA HERNNDEZ NUBIA ALEJANDRA SEGURA TENJICAIVN ALBEIRO CABEZAS MARTNEZ NURY BIBIAN BEJARANO CRDENAS

IVN DARO BARRETO BERNAL RAL ANDRS CAMACHO CRUZ

JISSETH TATIANA NGEL RODRGUEZ SANDRA MIREYA AGUILAR MAYORGA

Este trabajo es resultado del esfuerzo de todo elequipo perteneciente a la Unidad de Informtica.

Se prohbe la reproduccin parcial o total de este

documento, por cualquier tipo de mtodo fotomecnico

y/o electrnico, sin previa autorizacin de laUniversidad Nacional de Colombia.


UNIDAD DE INFORMTICA Y COMUNICACIONESBOGOT D.C.

DICIEMBRE 2009


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UNIDAD DE INFORMTICA Y COMUNICACIONES3

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TABLA DE CONTENIDO

TABLA DE CONTENIDO .......................................... ............................................... ............ 3

1. RESUMEN ..................................................................................... .................................. 6

2. ABSTRACT................................................................................. .................................... 7

3. INTRODUCCIN .............................................. ................................................ ........... 8

4. QU ES DYNARE?................................................................ ........................................ 9

5. INSTALACIN DE DYNARE ..................................................... ................................ 11

5.1. Requerimientos de software ............................................... .................................. 11

5.2. Instalacin de Dynare en Windows ............................................................ .......... 11

5.3. Instalacin en Debian GNU/Linux y Ubuntu..... ..... ..... ...... ..... ...... ..... ...... ..... ...... ... 15

6. SOLUCIN DE MODELOS BSICOS EGDE ............................................................ 19

6.1. UNA DISTINCIN FUNDAMENTAL ................................................................. 19

6.1.1. Modelos determinsticos vs estocsticos ..... ...... ..... ...... ..... ..... ...... ..... ...... ..... . 20

6.2. Introduciendo un ejemplo ............................... ......................................... ............. 21

6.3. Estructura de los archivos .mod en Dynare ...... ..... ..... ...... ..... ..... ..... ...... ..... ...... .... 25

6.4. PREMBULO ........................................ ............................................... .................. 26

6.4.1. Caso determinstico ............................................. .......................................... 27

6.4.2. Caso estocstico............................................ ............................................... .. 276.5. Especificaciones del modelo ................................................ .................................. 28

6.5.1. Declaracin del modelo en Dynare ............................................................... 28


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6.5.2. Generalidades ............................. ........................................ ............................ 29

6.5.3. Convenciones en las notaciones .................................................................... 30

6.5.4. Condiciones sobre la temporalidad de las variables ...... ..... ...... ..... ...... ..... ..... 30

6.5.5. Convenciones para las variables no predeterminadas ...... ..... ..... ...... ..... ..... ... 30

6.5.6. Modelos lineales y logartmicos linealizados ...... ...... ..... ...... ..... ..... ..... ...... ...... 31

6.6. Especificacin de estados estacionarios y/o valores iniciales ..... ...... ..... ...... ...... .... 32

6.6.1. Modelos estocsticos y estado estacionario ...... ...... ..... ...... ..... ..... ..... ...... ...... 33

6.6.2. Modelos determinsticos y valores iniciales ...... ..... ...... ...... ..... ..... ..... ...... ..... .. 34

6.6.3. Encontrar el estado estacionario ................................................................... 34

6.6.4. Verificar la estabilidad del sistema.................................................................. 35

6.7. Aadir choques al sistema ............................... ......................................... ............. 35

6.7.1. Modelos determinsticos: choques temporales..... ...... ..... ..... ...... ..... ...... ..... ... 36

6.7.2. Modelos determinsticos: choques permanente ...... ..... ...... ...... ..... ..... ..... ...... 36

6.7.3. Modelos estocsticos ...................... .......................................... ..................... 37

6.8. Seleccin del clculo ............................................................... ............................... 38

6.8.1. Para modelos determinsticos ..... ................................................. .................. 38

6.8.2. Para modelos estocsticos ......................................... .................................... 39

6.9. EL ARCHIVO .MOD COMPLETO ..................................................... .................. 41

6.9.1. El modelo estocstico........................................... .......................................... 41

6.9.2. El modelo determinstico (caso de choques temporales)........ ..... ...... ...... ..... 42

6.10. Ejecucin del archivo y resultados ..................................................................... 43

6.10.1. ResultadosModelos estocsticos ....................................... ..................... 43


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6.10.2. ResultadosModelos determinsticos....................................................... 48

7. ESTIMACIN DE MODELOS BSICOS EGDE MEDIANTE TCNICASBAYESIANAS........................................ ................................................ ................................ 50

7.1. Introduccin....................................................................... .................................... 50

7.2. Declaracin de variables y parmetros ................................................................. 50

7.3. Declaracin del modelo............................................... .......................................... 51

7.4. Declaracin de variables observables.................................................................... 51

7.5. Especificacin del estado estacionario .................................................................. 52

7.6. Declaracin de los valores apriori......................................................................... 52

7.7. Presentar la estimacin............................................................................... ........... 55

7.8. El archivo .mod completo................................... ............................................... .... 59

7.9. Interpretacin de los resultados ....................................... .................................... 60

7.9.1. Resultados tabulados ............................................ .......................................... 60

7.9.2. Resultados grficos ............................................... .......................................... 61

8. CONCLUSIONES ............................................... ................................................ ......... 639. BIBLIOGRAFIA ................................... ............................................... ........................... 64


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1. RESUMEN

Dynare es un preprocesador que colecciona rutinas de MATLAB o GNU Octave pararesolver, simular y estimar modelos no lineales que pueden ser tanto determinsticoscomo estocsticos. Este Software fue desarrollado por el grupo CEPREMAP en Pars 1.

Este manual pretende ser una gua bsica para las personas que empiezan a utilizar elSoftware. Por esta razn lo primero que se presenta es una breve descripcin de la formacomo trabaja el programa. Seguidamente se muestran los procesos de instalacin paraWindows y para Linux, tanto para Matlab como para GNU Octave. Esto con el fin demostrar la versatilidad del programa y la capacidad de adaptarse a las necesidades ypreferencias del usuario, quien puede decidir el entorno en el que desea trabajar.

Posteriormente, se describe de forma sencilla del modelo que ser utilizado comoejemplo a lo largo del manual, para la presentacin de las caractersticas, funciones ygeneralidades de Dynare. Para esto adems, se resolver para el caso determinstico ypara el caso estocstico, haciendo uso de los dos mtodos con los que trabaja Dynare:Mxima Verosimilitud y mtodos Bayesianos.

1CEPREMAP es un organismo Francs, nacido en 1967, de investigacin econmica y administracin pblica.


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2. ABSTRACT

Dynare is a preprocessor that collects routines MATLAB or GNU Octave to solve,simulate and estimate nonlinear models that can be both deterministic and stochastic. Thissoftware was developed by the group CEPREMAP in Paris2.

This manual is intended as a basic guide for people starting to use the Software. For thisreason the first thing that occurs is a brief description of how the program works. It thenshows the installation procedures for Windows and Linux, for both Matlab and GNUOctave. This is to show the versatility of the program and the abil ity to adapt to the needsand preferences of the user, who may decide the environment in which you want towork.

Subsequently described in a simple model to be used as examples throughout the manual,for the presentation of the features, functions and generalizations of Dynare. For this alsothe case be resolved for deterministic and stochastic case, using the two methods areworking with Dynare: Maximum likelihood and Bayesian methods.

2CEPREMAP is a French agency, born in 1967, of economic research and public administration


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3. INTRODUCCIN

Dynare es un programa de Software Libre de Cdigo abierto. Cuenta con una pginaprincipal en la cual se consigue toda la documentacin, soporte y ayuda necesaria para suutilizacin. As mismo cuenta con una Wiki y foros especializados. Sin embargo todo elmaterial consignado est en ingls, razn por la cual el presente manual es parte de latraduccin de uno de los manuales ms completos que proporciona Dynare: Dynare UserGuide. An Introduction to the Solution & Estimation of DSGE Modelsde Tommaso Mancini.Especficamente est focalizado en la resolucin de ejercicios BSICOS por los mtodosya antes mencionados.

La clase de modelos que resuelve Dynare, cada vez son ms utilizados en los BancosCentrales para anlisis de polticas y pronsticos de mediano plazo, es por esta razn quese hace necesario promover el conocimiento de las herramientas que proporcionaDynare, e involucrar a los estudiantes con estos instrumentos, para as darlesherramientas prcticas para su vida profesional.

Es por esto que, como se mencion con anterioridad, el propsito de este manual es daruna gua introductoria mediante la explicacin del desarrollo y funcionamiento de Dynare,utilizando para este fin modelos bsicos. Estas funcionalidades pueden extenderseposteriormente con modelos ms complejos, situacin que se deja planteada para futurasinvestigaciones.


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4. QU ES DYNARE?

Dynare es un motor poderoso y sumamente personalizable, con una interfaz intuitiva, queresuelve, simula y estima modelos de equilibrio general dinmico estocstico (EGDE).

Figura 1.1: El archivo .mod es ledo por el preprocesador Dynare, el cual llama las rutinasms relevantes de Matlab para llevar a cabo las operaciones deseadas y presentar losresultados.

En pocas palabras, es un pre-procesador y un coleccionador de rutinas de Matlab3 quetiene grandes ventajas puesto que lee las ecuaciones de modelos EGDE, escritas como enlos documentos acadmicos. Esto no slo facilita la introduccin de un modelo, sino quetambin permite compartir fcilmente su cdigo, ya que es sencillo de leer por cualquierpersona.

La figura 1.1 da una idea de la forma en que trabaja Dynare. Bsicamente, el modelo y losatributos relacionados con l, como una estructura de choque por ejemplo, son escritosecuacin por ecuacin en un editor de su eleccin. El archivo que resulta ser llamado elarchivo .mod. ste archivo es llamado entonces desde Matlab. All se inicia el pre-

procesador Dynare, el cual traslada el archivo .mod en una entrada adecuada para las

3Tambin trabaja sobre GNU Octave. Sin embargo, por simplicidad este trabajo muestra el funcionamientode Dynare principalmente sobre Matlab.


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rutinas de Matlab (ms precisamente, Dynare crea un intermediario Matlab o archivos Clos cuales son usados por el cdigo Matlab) utilizado ya sea para resolver o para estimar elmodelo. Finalmente los resultados son presentados en Matlab.

Dynare es capaz de hacer lo siguiente:

Calcular el estado estacionario de un modelo.

Calcular la solucin de modelos determinsticos.

Calcular la aproximacin de primer y segundo orden de la solucin de modelosestocsticos.

Estimar parmetros del modelo EGDE utilizando el mtodo de mxima verosimilitud, ouna aproximacin bayesiana.

Calcular polticas ptimas en modelos lineales-cuadrticos.


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5. INSTALACIN DE DYNARE

5.1. Requer imientos de softwareComo se mencion anteriormente, Dynare est disponible tanto para Windowscomo para Linux. Respecto a Windows, funciona con Windows98/NT/2000/XP/Vista; para Linux es compatible con Debian GNU/Linux y Ubuntu,y trabaja sobre arquitecturas que utilicen procesadores Intel o AMD.

Debe tenerse en cuenta que el Software requiere que la versin de Matlab sea la6.5 o una superior, mientras que para GNU Octave requiere que la versin se la3.0.0 o superior.

El Software puede trabajar en otros sistemas operativos o en otras arquitecturas,pero para esto necesita procedimientos extra que no se van a trabajar en estainvestigacin.

5.2. In stalacin de Dynare en Windows

Basados en la documentacin se procedi a realizar la instalacin en Windows. Enel directorio\\serverecono2\publicas$se encuentra el ejecutable para la instalacinde Dynare, en la versin 4.0.3.

Luego de ejecutar el archivo dynare-4.0.3-win32.exe se abrir una ventana como lasiguiente donde se seleccionar la opcin Next.
http://serverecono2/publicas$http://serverecono2/publicas$http://serverecono2/publicas$http://serverecono2/publicas$


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En la siguiente ventana aparecer la ubicacin donde se instalar el Software; pordefecto se guardar en c:\dynare\4.0.3. Se selecciona la opcin Install.

Se realiza la instalacin del programa, se escoge la opcin siguiente y se da click enfinalizar.

Ya Dynare est instalado en el equipo, sin embargo an falta agregarlo a Matlab.Para esto se procede como sigue:


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En primer lugar se abre Matlab. En el men File se escoge la opcin Set Pathcomo se muestra a continuacin.

Se abre una ventana como la siguiente, en la cual se escoge la opcin Add Folder


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A continuacin se busca la ubicacin de dynare que se le dio en el proceso deinstalacin (en este caso como se especific anteriormente es c:\dynare\4.0.3.). Enla carpeta de dynare se selecciona la subcarpeta matlab y se selecciona la opcinAceptar.

Seguidamente se da la opcin Save en la ventana Set Path.

Para comprobar si Dynare se agreg correctamente a Matlab se escribe en laventana de comandos dynare. Debe aparecer el siguiente error:

Error using ==> dynare at 60DYNARE: you must provide the name of the MOD file inArgument

Como se muestra en la siguiente ventana.


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De esta forma Dynare est correctamente agregado a Matlab.

5.3. In stalacin en Debian GNU/L inux y Ubun tu

A continuacin, va a explicarse la instalacin de Dynare en Ubuntu "JauntyJackalope" 9.04, versin con la que se cuenta en la Unidad de Informtica de laFacultad de Ciencias Econmicas UIFCE.

Lo primero que debe hacerse es un cambio en la configuracin del proxy, para quepermita la conexin a Internet. Este se realiza en el men sistema, en el submenpreferencias se escoge la opcin proxy de la red.


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Se activa la Configuracin manual del proxy. En proxy para HTTP y para HTTPseguro, utilizamos proxy.unal.edu.co; en proxy para FTP y en Anfitrin socksutilizamos proxyftp.unal.edu.co. En todos utilizamos el puerto 8080.

En detalles se activa la opcin Usar autenticacin y se activa el nombre de usuarioy la contrasea del sia.

Luego de realizado este procedimiento, procede a abrirse la consola. Los


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comandos que deben utilizarse para establecer la conexin con la pgina delprograma son los siguientes:

sudo wget -O - http://www.dynare.org/dynare.public.key | sudo apt-key add

Una vez establecida la conexin, agregamos los repositorios al sources.list.

Los repositorios son:

deb http://www.dynare.org/ubuntu jaunty main contrib

deb-src http://www.dynare.org/ubuntu jaunty main


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Luego de guardar los cambios y cerrar el sources. list, se actualizan los repositoriosen la consola mediante el comando

sudo apt-get update

Finalmente se utiliza el comando de instalacin:

sudo apt-get install dynare

Similar a la instalacin en Windows, debido a que Dynare trabaja bien sea sobreMatlab o sobre GNU Octave, luego de instalado debe configurarse en elrespectivo programa. A continuacin se explica cmo se configura Dynare paraGNU Octave.

Procedemos a abrir QtOctave, que es la forma grfica de Octave, y en el cuadrode comandos copiamos los siguientes:

addpath /usr/lib/dynare/matlabmark_as_command dynare

Igual que en la instalacin en Windows, comprobamos que el programa quedcorrectamente agregado a Octave si al digitar dynare, el programa nos arroja unerror que indica que no se reconoce el archivo .MOD con el que se esttrabajando.

De esta forma Dynare est correctamente instalado y agregado a Octave.


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6. SOLUCIN DE MODELOS BSICOS EGDE

6.1. UNA DISTINCIN FUNDAMENTALEs importante reconocer los distintos tipos de modelo, pues esta distincin esfundamental. Se trata de conocer si el modelo es estocstico o determinstico. Ladiferencia depende de si se conocen las crisis futuras. En modelos deterministas, lapresencia de todas las crisis futuras se sabe exactamente en la hora de calcular lasolucin del modelo. En los modelos estocsticos, en cambio, slo se conoce ladistribucin de las futuras crisis. Se va a considerar un choque a una innovacin enel modelo slo en el perodo 1. En un contexto determinista, los agentes tomansus decisiones a sabiendas de que los valores futuros de las innovaciones serncero en todos los perodos venideros. En un contexto estocstico, los agentes

toman sus decisiones sabiendo que los valores futuros de las innovaciones sern alazar. Esto no es lo mismo debido a la desigualdad de Jensen. Por supuesto, si seconsidera slo una aproximacin de primer orden lineal del modelo estocstico ode un modelo lineal, en los dos casos a ser prcticamente la misma, debido a lacerteza de la equivalencia. Una aproximacin de segundo orden en cambio darlugar a resultados muy diferentes, debido a la importancia de la varianza de loschoques.

El mtodo de solucin para cada uno de estos tipos de modelo difiere de manerasignificativa. En modelos deterministas, una solucin de alta precisin se puedeencontrar mediante mtodos numricos. La solucin no es ms que una serie de

nmeros que coinciden con un conjunto determinado de ecuaciones.Intuitivamente, si un agente ha de tener una suposicin perfecta, se puedeespecificar hoy - en el momento de tomar la decisin con precisin cmo sernsus acciones en el futuro. En un entorno estocstico, en cambio, lo mejor que elagente puede hacer es especificar una decisin, poltica o regla deretroalimentacin para el futuro, por lo que sus acciones estn condicionadas a larealizacin de cada posible choque. En este caso, por lo tanto, se busca una funcinque satisfaga las condiciones de primer orden del modelo. Para complicar las cosas,esta funcin puede ser no-linealy por lo tanto debe ser aproximada. En la teora de control, las soluciones amodelos determinsticos se llaman soluciones de "circuito cerrado", y de modelos

estocsticos se denominan de "ciclo abierto".


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6.1.1. Modelos determinsticos vs estocsticos

Los modelos determinsticos tienen las siguientes caractersticas:

Como la literatura del modelo EGDE (estocstico) se ha ganado la

atencin en la economa, los modelos determinsticos se han convertidoen algo raro. Los ejemplos incluyen los modelos OLG (Modelos deGeneraciones Traslapadas) sin incertidumbre agregada.Estos modelos suelen ser introducidos para estudiar el impacto de uncambio en el rgimen, como la introduccin de un nuevo impuesto, porejemplo.Asume toda la informacin, hay suposicin perfecta y no hayincertidumbre en torno a los choques.Los choques pueden afectar a la economa de hoy o la de cualquiermomento en el futuro, dado el caso de previsin perfecta. Tambin puededurar uno o varios perodos.Muy a menudo, sin embargo, los modelos introducen un choque positivohoy y ningn choque a partir de entonces (con certeza).La solucin no requiere de linealizacin, de hecho, ni siquiera realmentenecesita de un estado estacionario. En su lugar, se trata la simulacinnumrica para encontrar las rutas exactas de las variables endgenas deprimer orden que cumplan con las condiciones del modelo y la estructuradel choque.Este mtodo de solucin por lo tanto puede ser til cuando la economa

est muy lejos del estado estacionario.

Los modelos estocsticos, en cambio, tienen las siguientes caractersticas:

Estos tipos de modelos tienden a ser ms populares en la literatura.Ejemplo: incluyen la mayora de los modelos de RBC (Ciclo Real deNegocios), o nuevos modelos monetarios keynesianos.En estos modelos, los choques golpean el da de hoy (con una sorpresa),pero despus su valor esperado es cero. Se esperan choques futuros, ocambios permanentes en las variables exgenas que no pueden ser

manejados por el uso de aproximaciones de Taylor en torno a un estadoestacionario.Hay que tener en cuenta que cuando estos modelos son linealizados alprimer orden, los agentes se comportan como si los choques futurosfueran iguales a cero (ya que su expectativa es nula), que es la certeza de


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la propiedad de equivalencia. Se trata de una frecuencia en un punto altoen la literatura que induce a un error de los lectores en el supuesto dequesus modelos puedan ser determinsticos.

6.2. Intr odu ciendo un ejemplo

A continuacin se introducir un modelo RBC bsico con competenciamonopolstica. El objetivo es mostrar cmo se construye dicho modelo en cdigoDynare, exponiendo el caso estocstico y el determinstico, haciendo lassalvedades pertinentes para cada caso. Lo primero entonces es la explicacinterica del modelo. Debe tenerse en cuenta que hablar de expectativas slo esrelevante en un entorno estocstico, como se mencion anteriormente. Por lotanto, durante la explicacin del caso determinstico tomando como base estemodelo, debe tenerse un poco de imaginacin para entender que se tratan decasos de perfecta previsin, y as omitir los signos de expectativas.

Pasando entonces a describir el modelo, los hogares maximizan su utilidad sobre elconsumo , y sobre el ocio , donde es el trabajo, de acuerdo a lasiguiente funcin de utilidad:

Sujeta a la siguiente restriccin presupuestal

para todo t > 0

Donde es el stock de capital, el salario real, tasa de inters real o costo decapital, y es la tasa de depreciacin.

La ecuacin anterior puede verse como una identidad contable, con el gasto totalen el lado izquierdo y los ingresos (incluyendo la depreciacin del capital) en ellado derecho. Alternativamente, con un poco ms de imaginacin, la ecuacintambin puede interpretarse como una ecuacin de acumulacin de capital,situando en el lado derecho, y notando que es el total de laremuneracin de los factores, lo cual es igual a , si se tiene en cuenta la

condicin de beneficios nulos. Como consecuencia, si se define la inversin como, reemplazando se obtiene que , lo cual expresa

que la inversin repone el stock de capital, contrarrestando los efectos de ladepreciacin. En un periodo dado, por lo tanto el consumidor se enfrenta a unadisyuntiva entre el consumo y la inversin con el fin de aumentar el stock de


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capital y consumir ms en los perodos siguientes (como veremos ms adelante, laproduccin depende del capital).

La maximizacin del problema de los hogares con respecto al consumo, el ocio yel capital se someten a la ecuacin de Euler en el consumo, capturando el

equilibrio intertemporal, y a la ecuacin de la oferta de trabajo que relaciona eltrabajo positivamente con los salarios, y negativamente con el consumo (entre msricos prefieren ms ocio debido a la utilidad marginal decreciente del consumo).Estas ecuaciones son:

y

Por otro lado, el problema de la empresa es un poco ms complicado debido a la

existencia de la competencia monopolstica; sin embargo, a continuacin se ilustra

de la forma ms simple posible.

Existen dos formas de introducir la competencia monopolstica. Puede asumirseque las empresas venden variedades diferenciadas de un bien a los consumidores,quienes eligen dichas variedades de acuerdo a una funcin de utilidad de elasticidadde sustitucin constante (CES). O puede postularse que existe un continuum de

productores intermedios con poder de mercado, en el que cada uno vende unavariedad diferente a unos productores de vienes finales competitivos, cuya funcinde produccin es una CES agregada de variedades intermedias.

Si se sigue la segunda opcin, el productor de bienes finales escoge su demandaptima de cada variedad, obteniendo una curva de demanda a la Dixit-Stiglitz. Losproductores de bienes intermedios, en cambio, se enfrentan a las siguientesdecisines, cunto trabajo y capital emplear dados los precios de competenciaperfecta de los factores, y cmo fi jar el precio de la variedad que ellos producen.

La produccin de bienes intermedios sigue una funcin de produccin de Retornos

Constantes a Escala (CRS), definida como:


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Donde el subndice i indica que es la empresa i de un continuum de firmas entre 0

y 1, y donde es la elasticidad del capital en la funcin de produccin, con 0

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