manual do abaco e treinamento

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Parte I

1. Dez é um número agradável Mencione o número 10, e as pessoas dirão, “Agora temos um número agradável”.E é. Está conosco por todo o tempo. Olhe suas mãos e você verá dez dedos. As pessoas são equipadas desde o nascimento com duas mãos com cinco dedos em cada. um total de dez dedos. O que nós há pouco escrevemos é conhecida como uma declaração matemática. Mas tais declarações têm que ser demonstradas. E o modo de demonstrar que cada pessoa tem dez dedos simplesmente é contar os dedos. Nada é mais fácil; você não precisa ser um matemático para contar até dez.Claro que, contar dedos é muito simples. Da mesma maneira, é uma idéia importante aprender usar um ábaco a idéia de agrupamento através das dezenas.Um nome mais comum para esta idéia é o “sistema decimal”, um nome cujos responsáveis são os romanos. Nossa palavra “decimal” vem do latim Decem e significa dez. A palavra "ábaco" em inglês também vem diretamente do latim; este era o nome que os romanos davam ao seu tipo de computador. Os romanos não foram os primeiros a usar um computador baseado no sistema decimal. Eles tomaram emprestado o ábaco dos Gregos que o chamavam de abax, que em troca, já tinham tomado emprestado de até mesmo de povos mais antigos. As chances são que os primeiros homens que vestiam peles de animais ainda não tinham inventado um dispositivo de calculo realmente útil, mas eles tinham idéia do sistema decimal. Eles devem ter usado os seus dez dedos para contar, da mesma maneira como às vezes contamos hoje. De fato, nossa palavra dígito significa dedo e número. Imagine uma transação entre dois homens das cavernas. A pessoa entra na caverna com um pacote de peles de tigre sobre o ombro. Ele as põe no solo e diz: consegui seis peles para você. Eu te dei sete peles outro dia, se você se lembra, isto significa que você tem agora treze peles. Errado! O outro afirma. Você me deu no total doze peles. Seis e sete são doze. O primeiro homem olha o outro surpreso. Isso mostra como ignorante você é, ele diz. Olhe aqui. E ele começa a contar com seus dedos e prova ao outro homem sete mais seis são treze. O uso dos dedos para calcular serve para contar muito bem quando algumas peles de tigre estão envolvidas. Mas o que acontece quando algo maior deve ser contado, por exemplo, clamshells, como algumas tribos índias americanas usavam no seu comércio? Como um homem rico poderia somar, digamos, 87 conchas com 926 conchas? Se ele tivesse que confiar nos dedos para obter a resposta, ocuparia horas. Com algum tipo de máquina de calcular, como um ábaco, pode-se fazer o trabalho rápido e facilmente. Você pode fazer esta adição?

2. Os anciães.

A Rainha Branca perguntou. Quanto é um e um e um e um e um e um e um e um e um e um. Eu não sei, disse a Alice. Eu perdi conta. Uma pergunta torna-se fácil responder se for posta na forma escrita. Mas quando a pergunta é falada, a uma velocidade normal, não é fácil de manter a atenção. E isso é uma das coisas que os matemáticos querem dizer quando falam de uma sensação numérica: a habilidade de reconhecer uma quantidade imediatamente sem ter dificuldade de contá-la. A maioria de nós, olhando um grupo de quatro bolas, por exemplo, podem reconhecer que há apenas quatro no grupo. Nós podemos reconhecer até mesmo cinco. Mas para sete ou mais, teríamos que fazer algumas contas. O homem primitivo tinha o provavelmente mesmo tipo de sensação sobre os números, mas isso estava além do limite da matemática deles. Nem sequer a sua habilidade para contar era muito forte. Eles devem ter usado palavras no seu idioma falado para dois ou três, ou até mesmo doze ou treze. Mas as chances são que eles não tinham palavras para

Sancle Porchera Página 1 de 64 10/4/2023

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quantidades maiores que estas. Eles usavam muitas expressões para descrever grandes quantias simplesmente porque eles não podiam contar. Embora o homem primitivo tivesse um idioma falado, ainda não tinha como inventar um modo de escrever suas idéias. O melhor que poderia fazer era desenhar figuras. Nós sabemos que era um artista inteligente porque deixaram esboços nas cavernas em todo mundo. Mas iria levar milhares de anos antes deles registrarem suas idéias para que outros pudessem ler e entender o que ele estava tentando dizer exatamente. E iria levar até muito mais tempo antes deles inventarem um modo de calcular. Até mesmo antes que achassem um modo de escrever números, tinha um modo de manter registros. Os moradores das cavernas freqüentemente usavam uma ovelha; precisavam das peles para se vestir, do seu leite e carne para comer, e os chifres para instrumentos musicais simples. Ele deve ter descoberto como contar suas ovelhas quando elas se agrupavam à noite, e as contavam novamente pela manhã. Como o homem primitivo fez se apenas poderia contar com os seus dedos para manter o registro do seu rebanho de ovelhas? Talvez ele usou um punhado de pedras. Para toda ovelha, jogava uma pedrinha em uma panela; de manhã, tirava uma pedrinha da panela para toda ovelha que saia. Se ele ainda achasse uma pedrinha na panela mesmo de todas as ovelhas saírem, saberia se um lobo havia capturado uma delas ou se o morador vizinho o teria roubado. Assim, um grupo de contas pode ter sido a primeira máquina de calcular. Nosso próprio idioma indica isso. Se você observar a palavra "calcule" no dicionário, você verá que vem do latino formule cálculo que significa “pedrinha ou conta". Como o passar do tempo, o homem primitivo deixou as cavernas e construiu cabanas com paredes ao redor deles para se proteger contra lobos e tribos ferozes errantes. As pessoas nestas pequenas cidades se mantinham confortáveis. O que eles não usavam comerciavam com outros e trocavam seus produtos por coisas que eles precisavam. Não havia só o comercio dentro das cidades, mas também entre eles, e com o crescimento do comércio criou-se o sistema monetário. E com o dinheiro vieram os escriturários e contadores, homens que não só poderiam ler e escrever, mas também podiam somar, subtrair, multiplicar e dividir. Uma simples panela de pedras não era bastante para estes homens que lidavam com somas muito grandes. Eles precisavam de um sistema de cálculo. Mas que tipo de sistema usaram eles? A Babilônia, uma cidade que floresceu há milhares de anos atrás na Ásia Menor, tinha um idioma escrito cuneiforme. O papel era então desconhecido assim à escrita era feita em blocos de argila. Então o bloco com seus sinais curiosos era cozido em um forno para endurecer. Alguns destes blocos ainda existem em vários museus do mundo; arqueólogos, cientistas que os estudam tentam entender o seu significado, eles sempre estão desenterrando outros. Os babilônicos usaram um sistema numérico que também tinha a forma de cunha nas suas letras. O sinal do 1, não era muito diferente do nosso. Um babilônico que quisesse escrever um 4 simplesmente gravaria mais destes símbolos no bloco:

Eram parecidos com bandeiras, mas não eram nada mais do que o nosso número 4.

Para 10, eles usavam o sinal:

Para escrever um número como 19 devem ter tido um bocado de trabalho mesmo, porque o antigo contador tinha que gravar no bloco:

O qual, como você pode ver, pode ser um 10 seguido por nove 1's e para completar assim 19. O número 21 seria escrito.


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Com dois 10`s e um 1, o total é 21. Podemos imaginar um babilônico inteligente que inventa uma máquina de calcular simples. Ele registraria 21 sobre os vários blocos de argila, e faria seus cálculos levando alguns dos blocos ou adicionando outros. Por exemplo, se ele quisesse subtrair 8 de 19, ele usaria os blocos necessários para obter os 19:

Então, tomando oito blocos menores, ele teria:

O qual ele reconheceria imediatamente como onze. Uma coleção destes blocos deveria esta à mão do colegial babilônico que deveria tomar certos cuidados para não danificar o bloco a ser usado na sua lição. Os antigos egípcios que construíram as grandes pirâmides e estátuas enormes, esplêndidas como a Esfinge, tinham algo que os babilônico não tiveram. Era um tipo de papel conhecido como papiro obtido de canas que crescem no rio Nilo. É certamente mais fácil escrever em um rolo de papel do que em um bloco de barro, assim os egípcios obtiveram grande vantagem sobre os babilônicos. Mas em se tratando de sistemas numéricos, não há muita escolha entre os sistemas dos dois povos. Os egípcios tinham o mesmo sistema dos babilônico exceto que eles usavam sinais diferentes. Naquele sistema:

Era o sinal para 1.

/Era o sinal para 10.

Era o sinal para 100.

Era o sinal para 1.000.


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Era o sinal para 1.000.000. Eles tiveram outros, mas estes eram o sistemas mais freqüentemente usado. O primeiro sinal, um traço vertical, não é muito diferente do nosso. Supõe-se que o próximo representava um osso de salto de sapato, o terceiro era um rolo de papel, e o quarto em uma flor de loto, uma planta que os egípcios amavam. O último significava um homem com os braços levantados. Para os egípcios, um milhão representava uma tremenda soma. Os egípcios escreviam, não como nós fazemos, da esquerda para a direita, mas na direção oposta, da direita para esquerda. O seu modo de escrever o número 123, por exemplo, era o primeiro símbolo, o primeiro no lado extremo direito, é o rolo de papel. Da lista acima, nós podemos ver a representação do 100. Logo, temos dois ossos de salto de sapato. Cada quantia representa 10, e ambos juntos dão 20. Junte isto aos 100 do rolo de papel, e nós temos um total de 120. Finalmente, há três traços verticais, de forma que para o número inteiro lemos 123 como escrevemos no modo moderno. Os egípcios não se preocupavam com a ordem com que escreviam os seus números. E no seu sistema, realmente não importava a ordem. Até mesmo se nós escrevêssemos esses mesmos sinais egípcios deste modo:

Ainda temos o numero 100, os dois símbolos de 10, e os três símbolos verticais. E nós ainda os somamos para obter 123. Os romanos que criaram uma grande civilização há milhares de anos, e mesmo assim depois dos egípcios, estava um pouco mais preocupados com o sistema de número. A ordem na qual um número romano era escrito causava uma diferença. Primeiro olhemos os sinais que os romanos usavam para os números. Em lugar de trabalhar com figuras como os egípcios, tinham um alfabeto para escrever suas cartas e números. Se estes sinais lhe parecem familiares: o alfabeto inglês tem origem no idioma latino dos romanos. No sistema romano, I é o sinal para 1;V é o sinal para 5;X é o sinal para 10;L é o sinal para 50;C é o sinal para 100;D é o sinal para 500;M é o sinal para 1.000. Nós usamos o termo “é” porque este sistema numérico não morreu como o Império romano. Nós ainda o usamos, e de fato, você pode achar estes sinais em qualquer nota de dólar. Se você olhar a parte posterior da nota, você verá, dentro de um círculo à esquerda, uma pirâmide com esta inscrição a sua base: MDCCLXXVI Definitivamente é um número. E para nos ajudar, nós podemos entender que número é este. Diferentemente dos egípcios, os romanos escreviam a partir da esquerda para a direita; o primeiro sinal, então, é M que vale 1000 de acordo com a nossa lista. O próximo sinal, D, é 500 que significa que MD vale 1500. O próximo dois C's valem cem cada, de forma que MDCC dá 1500 mais 200, ou seja, 1700. Depois disso, nós temos a letra L, ou 50. Adicionando isto ao MDCC temos um total de 1750.


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Agora adicione o dois X's que juntos valem 20. Somado a 1750 temos 1770. Finalmente há o V e o I, que valem 5 e 1, ou 6. O número inteiro é vale 1776. Assim sendo, o sistema romano se parece um pouco com o egípcio. Mas os romanos tinham uma regra que os egípcios não tinham: quando um sinal de baixo valor era colocado antes de um sinal de valor superior, o número menor era subtraído do maior. No numeral IX, por exemplo, o I que tem um valor 1 entra antes do X que representa 10. Assim o valor da combinação IX é 10 menos 1, ou 9. A mesma regra se aplica ao número IV que é 5 menos 1 ou 4. Mas VI vale 6 porque aqui o número 1 vem depois do número V que significa que devemos somar 5 mais 1.Assim nós podemos dizer que a ordem dos sinais no sistema romano é importante, importa onde os sinais são colocados: VI é diferente de IV, XL (40) é diferente de LX (60), CM é 900 enquanto MC é 1100, e assim por diante. Como os romanos antigos calculavam com este sistema estranho? Bem, não era fácil, mas não havia dificuldade em usa-lo, pois isto era o melhor que tinham. A adição não era tão difícil; para somar dois números, você simplesmente agrupa todas as letras de mesmo valor. Por exemplo, somar VII para VIII (7 a 8), você grupa os V's e os I's: VVIIIII. Podemos ver que este resultado é 15, porque tem dois V's, ou 10, mais 5 I's, ou 5. Porém, um romano não gostaria de olhar assim esta resposta VVIIIII. Ele mudaria o dois V's por um X ,que equivale a dez. Então mudariam IIIII que nos confunde visualmente por um V. E a resposta seria XV. A subtração era um pouco mais complicada. Suponha que gostaríamos de subtrair XX de L. Você não poderia fazer a operação sem antes mudar o L em seu número pelo seu equivalente em X's; desde que L é 50, seu equivalente é XXXXX. Agora nós podemos fazer a subtração simplesmente removendo dois desses X. Três X permanecem, o resultado é XXX, ou 30. Não pergunte se a multiplicação e a divisão no sistema romano era tão fácil. Elas eram terríveis.

3. Os sistemas modernos O sistema numérico moderno é chamado o sistema de Hindu-Árabe porque provavelmente foi inventado na Índia e veio para o mundo ocidental através Arábia. Nós dizemos, provavelmente, porque ninguém está realmente seguro de onde, como, e por quem foi exportado. Uma vantagem deste sistema sobre os outros que vieram antes é que com apenas dez sinais onde se pode expressar qualquer número, não importa quão grande seja. Outro sistemas, babilônico, egípcio, e o romano tinham só alguns sinais que tinham de ser usados repetidamente para criar alguns números, que tornava estes cálculos reconhecidamente difícil. Os gregos antigos e hebreus usavam quase que alfabetos inteiros como sinais representativos dos seus números, que tornaram as coisas bem mais complicadas. Os dez sinais do sistema decimal moderno são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e 0. Um velho manuscrito espanhol escrito aproximadamente há mil anos atrás, os dígitos se pareciam com:

De fato, nesta época as pessoas tinham seu método próprio de escrita. Pouco tempo depois os símbolos numéricos adquiriram a forma presente. Quando você observa nosso sistema decimal, você ainda nota algumas coisas estranhas nele. Em primeiro lugar, não existe um sinal para o número 10, embora seja um sistema decimal baseado naquele número. Há um sinal diferente para todo número até nove, lá até existe mesmo um sinal para nada, o zero, quando chegamos em dez, nós temos que combinar de repente dois sinais, um 1 e um 0 colocados lado a lado, assim. 10. Por que? Achar obter a resposta para esta pergunta, veja este diagrama:


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Esta é a figura do dial de um cronômetro. Cada um dos números nele representa os segundos. Suponha que este relógio está nas mãos de um juiz em uma luta de boxe. Um dos pugilista tira proveito do fato que a guarda do oponente está baixa o acerta com um direto na mandíbula. O homem vai à lona. No momento em que ele cai, o juiz aperta o botão do cronômetro, e o ponteiro começa a girar. Ao término de um segundo, ele aperta o botão na posição 1; ao término de dois segundos, aperta o botão na posição 2; e assim por diante. Após dez segundos, a o ponteiro completou uma volta ao redor do dial e permanece agora na marca zeroO juiz declara então que o pugilista foi nocauteado (kayoed), como os comentaristas esportivos comentam. Suponhamos, agora, que enquanto tudo isso acontecia, o técnico do lutador nocauteado estava conversando com os amigos dele. Sem noção que seu lutador foi derrubado, ele interpela o juiz. Por que você parou a luta?. “Porque seu homem foi nocauteado, diz o juiz”.Oh, ele foi ? O gerente diz sarcasticamente. Mostre para mim. O juiz mostra o cronômetro em sua mão que apontando para o zero. Isso não representa nada, diz o técnico. “Ah, mas faz, o juiz responde. Ele tira”. um pedaço de papel do seu bolso e escreve zero nele. Ele diz, “é o zero do cronômetro que agora está registrado. E que ele escreve um 1 à esquerda do zero, é o número de tempos registrado ao redor do dial. Assim a conta é dez, e seu lutador foi derrotado”.E, claro que, ele tem razão. Pressionando o botão nas dez paradas sucessivas ao redor do dial, o cronômetro contou 10 que ilustra como nosso sistema decimal Hindu-Árabe moderno funciona. Depois de passar por dez unidades, o dígito inicial retorna a 0, e um 1 é posto antes dele. Se a contagem continua, o dígito a direita vai de O para 1, de 1 a 2, e assim por diante, até que alcançar 9 novamente. Então retorna a O enquanto, ao mesmo tempo, o dígito à esquerda muda de 1 para 2. Assim, em qualquer número com dois dígitos 87, por exemplo, o dígito à direita representa o número de unidades enquanto o dígito à esquerda representa o número de dezenas. Imagine que você está caminhando ao longo de uma estrada e um disco voador voa sobre sua cabeça. A porta do disco se abre e de lá sai uma criatura estranha. Ele se dirige a você. É do planeta Júpiter e veio a Terra para verificar quanto nossa ciência avançou. Ele pede que você explique nosso sistema numérico. Como você explicaria isto? Você poderia começar deste modo. Em primeiro lugar, meu amigo Jupteriano, o nosso é um sistema posicional. Isso significa que se a posição ou a ordem dos dígitos em um número muda, seu valor muda. A criatura se espanta, mas entendo, ele diz. E agora? Agora, você continua, se um dígito é escrito isoladamente, sempre representa a unidade, através das unidades, as coisas são contadas; botões, bananas, balões, ou tudo mais. Por exemplo, se você escreve o número 8 em um pedaço de papel, ele representa oito unidades. O Jupteriano toma nota em seu caderno. Eu entendi bem. Por favor, continue. Agora, se eu escrevo outro dígito à esquerda do 8, o novo dígito está na posição das dezenas. Suponha que vamos escrever um 4 à esquerda de 8, assim,: 48. Quanto dezenas temos? Quatro. E quatro dezenas perfazem.. Quarenta, diz a criatura. Correto, você diz com um sorriso. Mas e o 8? Ainda representa as unidades? Claro. E quarenta mais oito são quarenta oito. Assim o sinal 48 é lido deste modo. Bom, ele diz e escreve no seu caderno. Agora, o que aconteceria se nós trocássemos os dois dígitos do 48 transformando-o em 84. Ainda será a mesma quantia?


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Oh não, Absolutamente não. Porque agora o 8 está na posição das dezenas e representa o valor oitenta, e o 4 está na posição das unidades, de forma o número oitenta e quatro. E isto certamente não é o mesmo que quarenta e oito. Lembre-se, eu disse que nosso sistema é posicional, isto significa que temos que ter cuidado onde posicionamos estes dígitos. Eu estou começando a ver luz do dia, diz o jupteriano. Agora como você chama o digito colocado à esquerda do 4 em 48? Isso é o lugar das centenas. Vamos supor que temos um 9 à esquerda do 4 para criar o número 948, haverá nove centenas, quatro dezenas, e oito unidades e temos o número novecentos e quarenta e oito.Agora ele entende completamente o sistema. Ah! ele diz, eu percebi que seu sistema está baseado no dez; é um sistema decimal. Um dígito sozinho representa as unidades; um dígito à esquerda das unidades vale dez vezes mais, ou dezenas. Um dígito escrito mais à esquerda disso vale dez vezes as dezenas, ou centenas. Suponho que outro digito mais à esquerda representa os milhares. Exatamente, você diz, porque mil vale dez vezes dez vezes dez. Se puséssemos outro dígito à esquerda de 948, digamos 2, teríamos 2948, o 2 estaria na posição dos milhares, 9 na posição das centenas, 4 na posição das unidades.Não se preocupe com o resto, diz o jupteriano. Eu sou um astronauta muito ocupado, você sabe. A propósito, você tem computadores aqui na Terra? De todos os tipos. Talvez até mesmo mais do que vocês lá em Júpiter. Por exemplo, há um pequeno deles chamado ábaco. 4. Conhecimento oriental Nós temos tanto papel ao nosso redor que não podemos imaginar um dia sem blocos, sem papel de cartas ou envelopes, recibos, notícias, documentos e revistas. Com freqüência, se você quer um pedaço de papel para rabiscar, ou para descobrir quantos dias ainda faltam para o Natal, tudo que você precisa fazer é calcular. E você normalmente pode calcular tudo isto sem sair da sua cadeira. O mesmo se aplica ao lápis. Mas as coisas nem sempre são tão fáceis. Como vimos, os antigos babilônicos tiveram toda sorte de problemas com os blocos de argila. Os egípcios, claro que, tiveram o papiro. Mas não é fácil de colher canas que cresciam as margens do rio em papiro com ferramentas do tipo mais simples. Além disso, só um punhado de homens qualificados sabiam faze-lo, e tinham o cuidado de manter isso em segredo. Então como o homem fazia os pequenos cálculos que todo o mundo tem que fazer de vez em quando? Não sabemos com certeza, mas podemos adivinhar. Eles simplesmente criavam uma série de linhas horizontais no solo deste modo:

A linha inferior representava as unidades, a segunda as dezenas, a terceira as centenas, a quarta os milhares, e assim por diante. Às vezes, porque todas estas linhas não eram suficientes, o homem que fazia o calculo, nós o chamaremos de "operador" criava uma marca, um X, na linha dos milhares para identifica-lo separadamente dos outros. Para formar seus números, o operador colocava pedras sobre as linhas. Por exemplo, o número 132 era criado pondo duas pedras na primeira linha, ou linha das unidades (porque o último dígito é 2 unidades), três pedras na segunda, ou linha das dezenas (porque o próximo dígito é 3 dezenas), e uma pedra na terceira linha (porque o primeiro dígito é 1 uma centena). Quando o operador terminava seu trabalho, o padrão das pedras se parecia com:


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Agora, suponha que ele desejasse somar 61 a 132. Já que havia a unidade 1 neste número, ele colocava s uma pedra mais abaixo, ou seja, na linha das unidades. E desde que já havia 6 dezenas, ele colocava mais seis pedras na segunda linha, a linha das dezenas. E teria algo como isto:

Que está perfeitamente correto, mas era preciso contar todas essas pedras posicionadas na segunda linha. Isso leva tempo. Alguém mais inteligente e mais sábio teria colocado uma pedra adicional na linha das dezenas, e uma segunda conta no meio e outra entre a segunda e terceira linhas para representar um 5, assim,:

Este resultado é mais fácil ler. Uma única pedra sobre a terceira linha mostra que há uma centena a ser incluída na soma. Há quatro contas na linhas das dezenas, e como há uma conta entre a segunda e terceira linhas que representa 5, nós temos um total de 9 dezenas, ou 90. Some a estas três pedras sobre a linha das unidades, e nós teremos a resposta para 132 mais 61 dá 193. Para um operador experiente, a resposta está tão clara quanto o dia. Uma vez tendo posicionado as pedras nos lugares corretos, ele pode à primeira vista visualizar o resultado final. Na verdade não foi necessário escrever qualquer número, não teve que registrar nada sobre um papiro com uma caneta, nem precisou cozer qualquer bloco de barro. O único equipamento necessário foi um bastão para desenhar as linhas no solo e algumas contas. Como sabemos se tal dispositivo na verdade existiu? Porque um bloco com tais linhas e um tal um X foi desenterrado por arqueólogos na ilha de Salames na Grécia. O bloco está agora no Museu do Egito em Atenas. Isto representa dizer que mesmo antes de inventarmos nosso sistema atual, outras pessoas tinham um sistema posicional em mente. Nós podemos ver isto mais claramente se nós girarmos o bloco para a direita, de forma que suas linhas passem a estar na vertical em vez da horizontal. Ao mesmo tempo, numeraremos essas linhas para sabermos o que é o que:

O bloco que antes se parecia uma grade; agora parece uma fila de colunas. Mas ainda é o mesmo. Como antes, o X marca a linha dos milhares ou coluna, através disto podemos dizer que a coluna um é ainda a linhas das unidades, a coluna dois a linha das dezenas, a coluna três a linha das centenas, e assim por diante. Isto é exatamente igual ao sistema posicional explicado no último capítulo; só então falamos sobre a posição dos dígitos, enquanto aqui falamos sobre a posição das colunas. Veremos que o ábaco segue o mesmo sistema. De fato, podemos dizer que este bloco antigo é o avô herói deste livro. Podemos ver como um bloco como este está bem à mão. A dificuldade com isto, entretanto, eram as pedras usadas pelos contadores que sempre estavam se perdendo, assim alguém decidiu que seria uma boa idéia ter barras em vez de linhas, contas que


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deslizavam de cima para baixo nas barras, em vez de pedras. Deste modo, as contas fazem parte do próprio instrumento e com certeza não se perdem.

Há muitas opiniões sobre o assunto, mas a maioria dos historiadores imagina que este ábaco primitivo foi criado primeiro na Ásia Central, em algum lugar daquela vasta extensão de terra, na antiga União Soviética. De lá, disseminou-se para Oeste e para a Europa, e chegou à China e aos países orientais vizinhos. Os europeus não o adotaram; eles preferiram fazer cálculos em papel, com caneta e tinta. Por outro lado, os chineses o adotaram calorosamente, eles perceberam que poderiam fazer seus cálculos mais rapidamente através das contas deslizando do que fazendo os cálculos no papel. Eles gostaram tanto disto que logo criaram um modo de melhora-lo. Em vez de usar nove contas em cada coluna, eles usaram sete. Duas destas sete tinham o valor cinco cada, enquanto as outras cinco tinham o valor um cada. Então, para ter certeza que as contas que valiam cinco não fossem confundidas com as contas que valiam um, eles puseram uma barra transversal na parte superior da estrutura para separar os dois tipos de contas:

Nós podemos dizer que temos assim o "ábaco chinês moderno" embora os chineses o tenham usado por séculos. Ele tem muito a oferecer. É simples, é processado manualmente e não através da eletricidade, como tantos de nossos computadores são, e funciona por muitos anos sem acidentes sem ter que ser consertado. Não há peças que se quebram, significando que nenhuma peça sobressalente se faz necessária. Ainda, nas mãos de um perito, pode resolver alguns problemas tão rapidamente quanto um computador moderno como mostrado na figura esboço, a barra transversal divide a estrutura em duas áreas, a menor das duas em cima, a maior em baixo. Como pessoas românticas, os chineses chamam seção superior de “CÉU” e a inferior de "TERRA". Claro que, nós podemos dar as duas seções nomes ordinários como “parte de cima ou parte de baixo”, mas seria um crime roubar do ábaco sua poesia. Como dissemos antes, as duas contas do céu valem 5 cada, enquanto as contas da terra valem 1 cada. Isto é verdade para todas as colunas. A maioria dos ábacos, como mostrado na figura, tem nove colunas, embora existam vários com onze, treze, ou mais. Naturalmente, quanto maior for o número de colunas, maior os resultados que o ábaco pode produzir. Antes que os cálculos comecem, o operador põe o ábaco sobre uma mesa e faz com que todas as contas do céu estejam na parte superior da estrutura, enquanto todas as contas de terra estão na parte inferior, conforme demonstrado no desenho. Isto é conhecido como “limpar ou clarear" o ábaco. Para fazer cálculos, o operador posiciona as contas apropriadas para cima ou para baixo na barra transversal. As contas da terra são promovidas, claro que, enquanto as contas de céu são rebaixadas. Para eliminar números do cálculo, movemos as contas da barra transversal para cima ou para baixo


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Como peritos no uso do ábaco, os chineses desenvolveram também um modo fácil de manipula-lo. Eles usam o dedo indicador e o dedo polegar da mão direita para deslizar as contas; os dedos restantes não participam do processo,O dedo indicador tem o trabalho de controlar as contas do céu, o dedo polegar faz o mesmo para as contas da terra. O que você faz com sua mão esquerda não é importante; você pode usa-la para fixar o ábaco que normalmente é uma boa idéia. Esta regra também se aplica às pessoas que são canhotas. Para manter o ábaco na posição, enquanto você está trabalhando, o melhor lugar é um lugar plano, uma mesa, ou talvez em seu colo. Mas a estrutura deve ficar no plano. Ao inclina-la você pode deslocar as contas do céu que desliza para a terra como se fossem anjos caídos. Isto atrapalha seus cálculos. E isso representa a informação suficiente para qualquer pessoa que deseje usar este mecanismo notável. O resto depende de prática e bom senso. Prática para ganhar velocidade; e bom senso é necessário para precisão. Se você dedicar alguns minutos diários ao ábaco você pode facilmente treinar enquanto estiver na sala e assim você se tornará um especialista no ábaco. 5. Usando a estrutura Agora que sabemos como segurar e manipular este objeto oriental que chamamos de ábaco, vamos fazer alguns exercícios.

Primeiro exercício: Um menino com 8 bolinhas entra em um jogo com alguns meninos, e então abandona o jogo depois de ganhar 5 delas. Ele pensa que tem um total de 14 bolinhas agora. Ele está certo? Sem considerar o fato que ele mostrou bom senso ao deixar o jogo enquanto ganhava, vejamos se ele é um matemático igualmente sensato. Considerando que ele quer saber o total dele após ganhar 5 bolas, o problema dele é de adição simples; ele quer somar 8 a 5. Este é um processo simples para o ábaco. A primeira coisa para fazer é fazer certo de modo que o ábaco comece com que todas as contas do céu no topo da estrutura, enquanto todas as contas da terra estão no fundo. Com o ábaco clareado, nós alimentamos no primeiro dado, o 8, deslizando uma das contas do céu na coluna um (a primeira coluna à direita) até a barra, e deslizando três contas da terra daquela mesma coluna até a barra transversal. Considerando que uma conta do céu vale cinco e a temos posicionada sobre a barra transversal já temos 5 dos 8 que precisamos; o 3 restante é posicionado i.e. três contas da terra. O desenho aqui mostra o resultado final:

O quadro também mostra como o abacista principiante pode se rápido. Se as duas ações para mover as conta do céu e mover as contas da terra são feitas separadamente, um depois do outro, um segundo movimento é uma perda de tempo. Por si só, o segundo pode não importar muito. Mas em longas operações, todos os segundos perdidos podem atrasar a resposta. A idéia, então, é evitar esta perda de tempo levando a cabo ambas as ações imediatamente. E seguindo o sistema chinês de usar o dedo indicador para as contas do céu e o dedo polegar para as contas da terra faz isso. O dois dedos seguram as contas agarrando-as junto como uma garra de uma lagosta. Com o 8 registrado no ábaco, temos só que alimentar o 5 para completar o problema. E isto é feito simplesmente movendo a conta do céu no topo da coluna da estrutura até a barra transversal, claro com o dedo indicador. Agora nós podemos ler o resultado. As duas contas do céu na primeira coluna valem cinco cada e assim somam 10. Que, mais as três contas da terra sobre barra transversal, faz um total de 13. E assim se mostra que o menino estava errado ao apurar seu resultado; ele realmente tinha menos uma unidade do que supunha. Vamos continuar, entretanto, se nós não pudéssemos mostrar esta resposta de um modo mais fácil. Nós sabemos que as duas contas do céu nesta primeira coluna somam 10. Mas nós também sabemos que as contas da terra na coluna à esquerda (coluna dois)


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valem dez unidades cada, desde que esta segunda coluna representa dezenas. Neste caso, o ábaco chinês parece com os blocos e pedras dos antigos Gregos que nós falamos anteriormente: a primeira coluna (ou linha) conta às unidades; a segunda coluna conta às dezenas; a terceira conta às centenas; e assim por diante. Isso sendo como verdade, podemos substituir as duas contas do céu da primeira coluna por uma única conta da terra na segunda coluna. E isto podemos fazer em um movimento: transferimos duas contas do céu para o topo da estrutura com o dedo indicador, e deslizamos uma única conta da terra na segunda coluna até a barra transversal com o dedo polegar. O padrão de contas se parece com:

Aqui temos um resultado muito mais fácil de ler. Anteriormente, lemos o resultado somando 5 mais 5 mais 3. Se nós tivéssemos de fazer este tipo de coisa toda vez que fizermos um cálculo, não há sentido em chamarmos um ábaco como algo especial. Mas usando este segundo método podemos 46 ver de imediato que à direita coluna tem 3, a coluna à esquerda tem 1. Da mesma maneira, as contas nestas colunas representam o número 13, que tem um 3 à direita e um 1 à esquerda. A propósito, estas expressões "alimentando em" e "lendo" que temos usado é parte da conversa dos operadores dos computadores. Certamente, estes companheiros têm a sua linguagem especial, e nós podemos compartilhar dela. Nós estamos no mesmo negócio, afinal de contas. O operador do computador alimenta seus dados apertando botões, virando chaves, ou ligando interruptores; e lê o resultado olhando dígitos em uma fita ou na tela do monitor. Um abacista alimenta seus dados ajustando as contas; e lê o resultado observando a posição dessas contas. Ambos estão fazendo exatamente a mesma coisa.

Segundo exercício: A adição significa a combinação dois ou mais números para formar um número maior; a subtração é o oposto e reduz um número do outro. No primeiro exercício, vimos nós como esta combinação é feita no ábaco. Vamos prosseguir e verificar como a subtração é processada. Suponha que o menino do primeiro exercício entra em um segundo jogo com as suas 13 bolinhas. Agora ele já não está com a mesma sorte; contra um jogador mais forte, ele perde 9 das treze bolas. Quanto é o saldo? O problema aqui é diminuir 9 de 13. O primeiro passo, como regra geral, é clarear o ábaco. O próximo passo é alimentar o número maior, 13. De acordo com as regras, nós deveríamos fazer isto:Apenas com o dedo polegar deslocamos três contas da terra na primeira coluna até a barra transversal, então deslocamos uma conta da terra na segunda coluna para a barra transversal. Mas, para economizarmos aquele segundo mencionado anteriormente, usaremos o dedo polegar para operarmos na primeira coluna e o dedo indicador na segunda. E isto é mostrado no desenho abaixo:


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Agora, como vamos incluir 9 unidades na coluna das unidades que tem só 3 contas? Isto é um desafio, já que sabemos que uma única conta da terra na coluna dois tem valor de 10 unidades. Se tomarmos uma única conta, porém, que nós estaremos retirando uma unidade a mais. Assim sendo movemos uma conta da terra na coluna um para a barra transversal , e retiramos uma conta, segunda coluna, da barra transversal. Considerando que as únicas contas que permanecem na barra transversal são as quatro contas da terra na, coluna um, 4 é nossa resposta.

Terceiro exercício: Cedo ou tarde, nosso menino perde toda a sua fortuna. O seu tio promete que arranjará mais umas bolinhas para ele se ele puder responder a seguinte pergunta. “Se eu comprar seis sacos bolinhas, com quatro em cada saco, quantas bolinhas eu tenho? Oh, isso é fácil,” diz o menino desdenhosamente. E, apanhando seu ábaco, começa a trabalhar. Em menos que um minuto, ele tem a resposta. Vinte e quatro, ele grita. O menino resolveu um problema da multiplicação. O que o seu tio querido queria saber era, quanto é 6 multiplicado por 4? Ou, pondo isto outro modo, quantos são quatro seis? O menino foi inteligente o bastante para descobrir que ele poderia obter a resposta para esta última pergunta somando quatro seis vezes no ábaco. E assim ele fez. O primeiro passo (ele sabia qual é o primeiro passo) era clarear o ábaco. após isso, ele alimentou o primeiro 6 do quatro seis movendo uma conta do céu e uma conta da terra para junto da barra transversal. Considerando que ainda havia outra conta do céu que permanecia no topo da estrutura e quatro mais contas da terra ao fundo, nosso menino pode alimentar seu segundo 6 movendo aquela conta do céu e uma das contas da terra para junto da barra transversal, assim,:

Ele agora entendeu (especialmente se tivesse lido a parte anterior deste capítulo) que duas contas do céu na primeira coluna é igual a uma conta da terra na segunda. Assim, com um único movimento do dedo polegar e do indicador, ele moveu uma conta da terra da coluna dois até a barra transversal e as duas contas de céu da coluna um para o topo da estrutura. Com estas duas contas do céu de reserva o menino agora tem armas para entrar na batalha. Ele alimentou seu terceiro 6 movendo uma destas contas e uma das três contas da terra, assim,:

Então ele alimentou o seu quarto e final 6 movendo a conta remanescente do céu na primeira coluna e o quarto contas da terra e desta maneira:


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Para se obter uma resposta com o menor número de contas, uma das conta da terra na coluna dois por duas contas do céu na coluna exatamente como foi feito anteriormente:

E mover para cima duas contas da terra, segunda coluna, e quatro contas da terra na primeira. Desde que estas eram apenas contas da barra transversal, a resposta poderia ser complicada. Ele leu em voz alta prontamente a resposta como 24. Nós não recomendamos este método de multiplicação, vejamos o caso de 724 por 36, isso significaria alimentar 724 no ábaco 36 vezes. Levaria muito, mas muito tempo. Mas é interessante se você esquecer de quanto 7 vezes 4 é, ou se 6 vezes 8 é 48 ou 92. Para usarmos o ábaco na multiplicação de grandes números, veremos como isso é feito no próximo capítulo.

Quarto exercício. Nosso herói tem no bolso as 24 bolinhas que o tio lhe deu, e trata de reparti-las entre os sete sócios do clube dele. O presidente de clube de olhos colados nas bolinhas, fala, quando nós formamos este clube, José, nós juramos que qualquer coisa que um sócio tenha será compartilhado por todos os outros sócios. Certo ?.Nosso herói coça a cabeça e sabe o que está por vir.Certo, então, dividiremos suas vinte e quatro bolinhas entre os oito sócios em até mesmo entre outros. Considerando que nenhum dos sócios parece saber dividir 24 por 8, nosso herói passa a mão no seu ábaco-e enquanto seus amigos ficam assombrados. Assim, como a palavra "dividir" nos fala, é um problema da divisão. O que os sócios querem saber, quanto 8's estão contidos em 24. Eles podem descobrir subtraindo grupos de 8 de 24 até lá não sobrar nenhum resto. Contando os grupos que forma subtraídos, eles acham a resposta. Nosso herói começa a resolver o problema clareando o ábaco. Então, ele alimenta 24 nas primeiras duas colunas:

Agora, ele gostaria de eliminar o primeiro grupo de 8´s. Mas desde que só há quatro contas da terra na barra transversal na coluna um, ele não pode realizar esta tarefa diretamente. O nosso herói, no entanto, já enfrentou este tipo de problema. Ele sabe que a conta da terra na coluna dois vale duas contas do céu na coluna um, assim ele move para baixo uma conta na segunda coluna e duas contas do céu da primeira coluna para barra transversal.


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Agora é mais fácil de remover o primeiro grupo de 8´s. Ele move para baixo uma conta do céu na coluna, e três das contas da terra da barra transversal para baixo:

Ele se recorda, agora, que o segredo é manter a contagem dos numero de 8´s retirados do original 24. Assim ele move um das contas da terra na última coluna, move outra na extremidade do ábaco, até a barra transversal. Ele só está usando aquela coluna para registrar o numero de 8´s retirados.

O que resta do original 24 é um 1 na segunda coluna e um 6 (um conta no céu e uma na terra) no primeiro movimento. Como nosso menino processa o segundo grupo de 8a? Sem problema. Se aquela conta da terra na coluna dois tem valor dez na coluna um e basta move-la de volta para (54) o fundo da estrutura, assim subtrairá 10. Mas isso representa algo a mais do que nosso herói quer subtrair. Assim, ao mesmo tempo em que ele move a conta da coluna dois para o fundo da estrutura, ele move duas contas da terra da coluna um até a barra transversal, restabelecendo assim o 2 perdido.

E, para indicar que ele tirou grupo de 8 do original 24 e move uma segunda conta de controle para a barra transversal na última coluna.


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Agora, olhando agora a coluna um, nosso herói vê que ainda tem uma conta do céu e três contas da terra na barra transversal. Isto, claro que, compõe o seu último grupo de 8. Com um rápido movimento com o dedo indicador e do polegar, ele move a (55) conta do céu atrás até o topo da estrutura e as três contas da terra até o fundo,

E move outra conta de controle na última coluna. Considerando que nada permanece do original 24, as três contas na última coluna é a resposta para a questão. Todo sócio do clube tem direito a 3 bolinhas então. Enquanto nenhum dos quatro exercícios neste capítulo foi tão difícil, no último capítulo teremos exercícios realmente difíceis, mostra muito bem como o ábaco. funciona. Eles também mostram que o ábaco oferece vantagens em relação aos cálculos feitos de modo habitual:

1. Você não precisa escrever um único dígito. 2. Com um pouco prática, você pode fazer seus cálculos na metade do tempo que você levava. 4. Com o ábaco tudo é mais divertido. Ainda há outra vantagem, mas isso terá que esperar. 6 - Ábacos elétricos Entre o ábaco, que parece um brinquedo, e um computador, que certamente não tem uma semelhança familiar. Deveria haver, desde que ambos fazem o mesmo tipo de trabalho. Mas eles são distintos em alguns pontos, também, da mesma maneira que irmãos podem ser distintos. A aparência é um destes pontos. A maioria dos ábacos são pequenos e delicados, com o esquema de cores vermelha e preta. Por outro lado, um computador eletrônico normalmente está alojado em uma caixa de metal parda que pode ser grande ou pequena, que pode depender do tipo de problema que o computador se compromete a resolver. Alguns deles não tomam mais espaço que uma televisão de tamanho médio; outros são grandes bastante para ocupar prédios inteiros. Nossos submarinos nucleares navegam com computadores. De fato, os dados administrados pela receita federal, bolsa de valores, e pelos correios, todos são administrado por computadores. Se tais computadores pudessem apenas guardar dados, eles ainda seriam de muita valia. Mas eles podem fazer mais. Eles podem usar lógica, com mais eficiência que os humanos. Como estes computadores eletrônicos funcionam? Enquanto fazem o mesmo tipo de computação que nosso ábaco faz, eles fazem isto de modo diferente. Ábacos geralmente seguem o sistema decimal que, como nós sabemos, está baseado no número 10. Enquanto alguns computadores eletrônicos seguem este sistema também, muitos deles são construídos para funcionar com o que é conhecido como o Sistema Binário. Pelo


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menos, é conhecido por este nome pelo engenheiros de computadores, embora o homem comum provavelmente nunca tenha ouvido falar nisto. O sistema binário é realmente bastante simples, uma vez você se identificando com ele. Se você observa a palavra "binário" no dicionário, você descobrirá que significa “dobro". E dobro, claro que, significa "dois". Que imediatamente nos informa algo sobre este sistema: se o sistema decimal está baseado no número 10, o sistema binário está baseado no número 2. Também nos informa que se há dez dígitos no sistema decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, há apenas dois dígitos no sistema binário 0 e 1.Nós podemos ver como o sistema binário funciona, (58), mas sem esquecer que nosso sistema é o sistema decimal. Os dígitos no sistema são representados pelas unidades. O maior destes dígitos é 9. Assim que as unidades excedam 9, eles são transformados em grupos de 10. Nós temos a mesma coisa no sistema binário. O maior de seus dois dígitos é 1. Se nós somamos outra unidade a este 1, ele se divide em dois dígitos para se tornar 10. Que significa que, em binário, 1 + 1 = 10. Mas, se nós fôssemos ler esta última definição em voz alta, nós não poderíamos dizer, “Um mais um é igual a dez”. Um mais um nunca pode ser dez. Nós ainda poderíamos dizer: “Um mais um é igual a dois" porque 10 em binário é igual a 2 em decimal. Vamos parar um momento para lembrarmos o que explicamos antes sobre nosso sistema decimal. Nós dissemos que enquanto um dígito só representa unidades, outro dígito escrito à esquerda disto representa dezenas, um terceiro dígito à esquerda representa dez vezes dez, ou centenas, um quarto dígito à esquerda representa dez vezes dez vezes dez, ou milhares, e assim por diante. Tendo em mente que o sistema binário está baseado em dois, nós podemos substituir a palavra 11 dois simplesmente onde anteriormente usávamos dez “. Um dígito só, em binário, é uma unidade imóvel. Mas um dígito à esquerda representa dois ; um terceiro dígito à esquerda representa dois vezes dois, ou quatro, um quarto dígito à esquerda representa dois vezes dois vezes dois, ou oito, e assim por diante”.Tentemos um quebra-cabeça binário. Quanto vale o número binário 110 no sistema decimal? Aqui está a solução. O dígito na primeiro coluna à direita 0 que significa que não hão nenhuma unidade. O dígito à esquerda 1, e desde que o dígito está na posição dos dois, isto vale o valor decimal de 2. O terceiro dígito à esquerda também 1; está na posição dos quatros, é então igual a 4 em decimal. Somando 4 ao 2 dá um valor total de 6. O número 110 binário é então igual ao número decimal 6. O zero não foi somado, mas simplesmente permanece em aberto na posição das unidades. Se você está pronto para tentar um segundo quebra-cabeça binário, veja se você pode entender quanto binário 101001 vale em decimal. Se feito passo a passo é bastante simples:

Passo A. O primeiro dígito à direita é 1. Esta posição representa unidades, assim o valor é de 1 no sistema decimal.

Passo B: O próximo dígito à esquerda 0. Esta é a posição dos dois, mas desde que zero está nesta posição, não há nada que somar. O total é o mesmo do passo C.

Passo C: O terceiro dígito está na posição dos dois vezes dois ou quatro. Mas este também é um zero, não há nada a somar. O total permanece o mesmo.

Passo D: As coisas estão começando a se formar. O quarto dígito é um 1, e ocupa a posição dos dois vezes dois vezes dois. Três dois multiplicados entre si dão oito. Some oito ao total de 1 do passo C, e nós temos 9, o número em decimal.

Passo E. O quinto dígito é um O e, novamente, não há nada a somar. Total ainda é 9.

Passo F. O dígito final na esquerda é um 1. Está na sexta posição, dos dois vezes dois vezes dois vezes dois vezes dois, ou cinco 2's multiplicados entre si vale 32 em decimal (2 vezes 2 é 4, 4 vezes é 8 vezes 2 é 16, 16 vezes 2 é 32).

Some 32 ao 9 nós entramos no passo E (e você pode fazer esta adição no ábaco, se você quiser) e nós temos o resultado final de 41. Assim, o número 101001 binário é o mesmo número decimal 41. Duro acreditar, não é? Se você não gosta deste resultado e exige uma recontagem, nós podemos mostrar todos


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estes passos de um modo mais divertido na forma de uma foto cômica, por exemplo. Aqui, uma esquadra de seis cavaleiros em formação representa o número binário 101001. O cavaleiros 1 são desenhados em negrito para realçar que eles representam algo. Os cavaleiros 0 são do tipo transparentes de modo que não contribuem com nada à pontuação total. O galhardete de cada cavaleiro mostra o valor da sua posição: o companheiro a direita leva uma bandeira com 1 porque ele está na posição das unidades; o próximo galhardete leva um 2 porque ele na posição dos dois; o próximo homem leva um 4 porque ele está na posição dois vezes dois; e assim por diante. Quando um cavaleiro é chamado para dar um passo a frente, ele grita quanto ele vale, e o rei, o líder dos cavaleiros, grita o número total, em decimal, a cada movimento. Os engenheiros de computação, que usam este sistema binário, tem um idioma próprio. Desde que a expressão "dígito binário" é muito divulgada, eles se referem aos 1's e 0´s do sistema de contagem como “bits".

Esta palavra bit é composta pelas duas primeiras letras em “binary” e a última letra em “dígit”. Uma combinação de bits, como 101001 é um exemplo, é chamada de uma “Word (palavra)”. Quando um engenheiro fala de uma palavra de seis bits, ele não quer dizer setenta cinco centavos, ele quer dizer 101001, ou 110011, ou possivelmente 100001. Como operadores de ábaco, nós estamos na mesma família profissional destes companheiros que ajudam na construção de máquinas maravilhosas que nós mencionamos anteriormente. Nós deveríamos saber algo sobre o seu jargão. Nós podemos ver por que um dígito binário deveria ser chamado de bit. Mas por se chama uma coleção de bits por Word - palavra? Há uma boa razão para isso, e nós podemos entender quando nós recordamos que computadores são máquinas de lógica como também calculadoras. Da mesma maneira que nós pensamos e argumentamos em


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palavras, o computador pensa e argumenta com palavras, compostas de bits, alimentados por seu operador. Mas o que faz com que os engenheiros prefiram o sistema binário, de qualquer maneira? Por que eles não aderiram ao bom e velho sistema decimal que todo o mundo tem usado por centenas de anos? De fato, eles sabem o que estão fazendo. Em quase todo tipo de circuito elétrico imaginável, há um interruptor de algum tipo. Pode ser o tipo de interruptor que todos nós conhecemos, embutidos praticamente em todas as parede dentro e , fora das nossas casas, o tipo de interruptor móvel que liga e desliga uma luz ou liga ou desliga um motor. Em um quarteirão de uma cidade de porte médio pode conter até um milhão de interruptores, se nós não incluirmos apenas os interruptores das luzes, motores, e telefones, mas os interruptores em rádios e televisão e os interruptores internos dentro destes aparatos. Nem todos estes interruptores são o tipo manual; alguns deles acionados automaticamente de tempos em tempos através de sinais elétricos. Mas independentemente de como eles funcionam, todos eles fazem a mesma coisa: eles ou abrem ou fecham um circuito. Quando um interruptor abre um circuito, interrompe o fluxo da corrente elétrica; então uma luz apaga, um motor deixa de funcionar ou um telefone fica mudo. Quando o interruptor fecha o circuito, o fluxo retorna; a luz acende, o motor volta a funcionar mais uma vez, e a pessoa no telefone pode continuar falando. Tais interruptores simples têm só duas posições: aberta e fechada, ou ligado/desligado. Ou, pondo isto em um modo matemático, O e 1.Este é o segredo do computador. O computador está cheio de interruptores minúsculos, todos operando. Eles ordinariamente não são o tipo de interruptores usado domesticamente. Eles são muito menores (muitos deles aproximadamente da metade do tamanho do seu dedo polegar), está completamente silencioso, e funciona muito mais rápido. O tempo que levam para ligar/desligar é medido em nanosegundos, e um nanosegundo é um milésimo de um milionésimo de um segundo. Você poderia chamar isto de super segundo. Mas toda vez que um destes interruptores se fecha, registra um 1; toda vez que se abre, registra um 0. Considerando que estes interruptores só podem ter duas posições, é perfeitamente natural que os computadores que usam um sistema destes só poderia contar dois dígitos. É duro imaginar como um nanosegundo é, mas pense deste modo: se você fosse piscar seus olhos uma vez, tão rápido quanto você pudesse, mais de um milhão de nanosegundos já teriam acontecido enquanto suas pálpebras ainda estavam fechadas. Uma vez um computador processa continuamente, ele pode resolver problemas mais rápido que um piscar de olhos. Claro que, mais complicado o problema, o mais tempo o computador leva para resolve-lo. Os grandes computadores são compostos de várias seções. Uma delas é a calculadora que contém a maioria dos interruptores binários. Outra é a memória, que tem este nome porque armazena informações da mesma maneira que o cérebro humano armazena fatos que aprendeu. A memória do computador mantém sua informação na forma de palavras, não na forma de palavras ordinárias usadas na fala, mas grupos de bits. Tais pedaços de informações são armazenada em meios magnéticos, ou em imãs muito minúsculos conhecidos como núcleos de ferrite. Esta informação sempre está disponível para ser alimentado na calculadora quando se fizer necessário. Em outras palavras, os computadores funcionam como um pequeno cérebro e muito simples. Nós dizemos "simples" porque, embora possa trabalhar mais rapidamente que os cérebros de seus criadores eles só podem tratar de alguns tipos de problemas enquanto a mente humana pode lidar até com os mistérios da natureza, o átomo, que é tão minúsculo que o olho não pode ver, nem mesmo através do mais potente microscópio, e até galáxias tão grandes que podem conter milhares de sistemas solares como o nosso. O ábaco chinês é um instrumento muito mais humilde que um computador. Existem certos dispositivos de memória; que não podem fazer nada além de cálculos. Os problemas que pode administrar são simples comparados com aqueles que um computador processa. Não é elétrico, e não tem um único interruptor. Ainda pode funcionar bem tanto com o sistema binário quanto com o decimal. O que torna o sistema binário útil são as duas contas em cada coluna sobre a barra transversal. À medida que o sistema binário só lida com dois bits, 1 e 0, a seção do céu


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do ábaco chinês é bem parecida com este tipo de conta. Porém, precisamos nos lembrar que quando nós usarmos o ábaco como binário, as contas do céu têm um valor de um cada. Eles não podem contar cinco porque não há tal número em binário. Alimentando bits no ábaco é a mesma coisa que alimentar dígitos decimais. (Se você desejar, você pode chamar os dígitos decimais de "dits".) Como nós fizemos com os decimais, nós trabalhamos da direita para a esquerda. A coluna direita superior é chamada de primeira coluna. O um exatamente à esquerda é a segunda, o um à esquerda disso é a terceira, e assim por diante. Os bits são integrados ao cálculo movendo contas do céu até a barra transversal, e retirada do cálculo movendo-as para o topo da armação. Não é preciso se importar ainda com as contas na seção da terra, porque nós não precisamos delas no processo binário. Antes de começarmos a calcular, nós clareamos o ábaco. Movendo todas as contas do céu para o topo da estrutura. Nós estamos agora prontos alimentar os bits. Suponha, que para começar, nós nos fixamos o problema de alimentação na “palavra” 101. O primeiro bit, lado direito superior desta palavra, é um 1. Nós podemos verificar isto no ábaco movendo uma das contas do céu na primeira coluna no lado direito extremo até a barra transversal. O segundo bit da nossa palavra é um 0; isto significa que nenhuma conta deve ser movida até a barra transversal, assim nós deixamos a segunda coluna simplesmente vazia. O terceiro bit é outro 1. Então movemos uma conta do céu na terceira coluna até a barra transversal. E este é o padrão das contas no ábaco:

A posição das contas no ábaco revela a palavra 101. Da mesma maneira, para criar a palavra 1011, movemos uma conta do céu até a barra transversal na primeira e segunda colunas deixe as contas da terceira coluna no topo da estrutura, e traga uma conta da quarta coluna para a barra transversal. Mas o ábaco nasceu para computar, não para registrar números. Assim, suponha tentaremos um cálculo binário simples. Somemos o dois bits da palavra 11 com outros dois bits da palavra, 10. Podemos começar alimentando qualquer um dos dois 11. Depois de clarear o ábaco, trazemos uma conta do céu da primeira coluna até a barra transversal, e outra da segunda coluna ate a barra transversal. Isso registra a palavra 11:

Vamos alimentar agora a segunda palavra, 10. O O não é um problema; só significa que a primeira coluna deve permanecer como está. Para o 1, nós deslizamos a conta do céu restante na segunda coluna até sua companheira na barra transversal:


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Agora, com ambas as palavras alimentadas, nós deveríamos ter o resultado. Mas, olhando o esboço acima, nós vemos algo estranho nisto. A segunda coluna tem duas contas na barra transversal. Não pode ser lido como 2 porque não existe tal dígito em binário. A que nós podemos fazer, porém, é troca estas duas contas na segunda coluna para uma conta na terceira. Assim nós devolvemos estas duas contas para o topo da estrutura, e movemos uma das contas do céu, terceira coluna, até a barra transversal. E este é o resultado:

E o resultado é a palavra 101. Agora, o que nos dá o direito de trocar uma conta da terceira coluna por duas da segunda? Nós temos todo direito. Em binário, uma conta em qualquer coluna vale duas contas na coluna imediatamente à direita. Nossa peça binária mostra a mesma coisa; com o galhardete que esvoaça na lança de cada cavaleiro tem um numero que vale duas vezes o valor contido no galhardete anterior. E nós tivemos uma situação semelhante no capítulo anterior a este com os dígitos decimais. Nós dissemos que uma coluna valia dez vezes o valor do vizinho, enquanto aqui cada coluna à direita vale duas vezes o valor da próxima à direita. Ao lermos o resultado deste cálculo, temos que ter em mente que este é um resultado binário, não decimal. Nós podemos escrever isto como 101, mas nós estamos cometendo um crime matemático terrível se nós pronunciarmos isto como cento e um. Não existe tal palavra "cem" no idioma binário. Nós poderíamos ler isto como “um 0 um, mas nós só temos que somar” binários “para ter certeza que uma pessoa para a qual nós lemos não se confunda com cento e um. Da mesma maneira, os dois da formula original não devem ser lidos como 11 e 10 onze e dez, porque” onze e dez “não têm nenhum significado em binário”.Um simples exercício de subtração binária suponha que tentemos diminuir a palavra 11 do resultado 101. Vamos voltar ao 10; vejamos o que fazer. Depois de clarear a área do céu ábaco, nós alimentamos 101. A primeira parte desta subtração é processada retirando o 1 à direita do 11 do 1 posicionado à direita de 101. Nada difícil; nós simplesmente movemos uma única conta da primeira coluna na barra transversal para o topo da estrutura. O que permaneceu no ábaco foi:


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A segunda e parte final do problema é retirar o 1 à esquerda de 11 do O do 101. Em outras palavras, temos que remover uma conta da segunda coluna. Mas como você pode remover uma conta quando não há nenhuma conta na barra transversal nesta coluna? É preciso contornar esta dificuldade. Como as contas na coluna três vale duas vezes o valor das contas na coluna dois, nós podemos trocar a única conta nesta terceira coluna para duas contas da segunda. Assim, movemos uma conta da terceira coluna até o topo da estrutura, e movemos duas contas do céu na segunda coluna até a barra transversal, assim,:

Com duas contas da segunda coluna na barra transversal podemos fazer a subtração de 1 movendo uma das contas de volta até a estrutura. O resultado é:

A resposta é 10, um-0-binário. O chineses que aperfeiçoaram o ábaco não tinham a menor idéia que o seu dispositivo poderia ser usado para cálculos binários que, algum dia no futuro distante, um foguete (outra invenção chinesa, a propósito) seria enviado para a lua. De fato, é improvável que a idéia de um sistema binário tenha passado pela mente deles. Eles o projetaram para funcionar no sistema decimal; e por sorte é utilizável no sistema binário. Por não terem tido a menor idéia do binário, não quer dizer que nós não possamos usá-lo.

7. Onde coisas pegam. Se você imaginar que os quatro exercícios do capítulo 5 eram muito simples e querem tentar algo com tempero, você veio ao lugar certo. A primeira operação é uma adição. Considerando que o ábaco é um instrumento de homens de negócios, é normalmente usado para o real e seus centavos. Nosso primeiro exercício, então, será somar esta coluna de números:


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Há dois modos de somar no ábaco.

O método horizontal.

A pessoa alimenta a primeira linha horizontal de dígitos, e prossegue com a segunda, terceira, e quartas filas. Ao final, se corretamente alimentado, teremos a resposta certa. O segundo modo é fazer a adição verticalmente; quer dizer, alimentar os quatro dígitos da primeira coluna à direita, os quatro da segunda coluna, os quatro da terceira, os quatro da quarta, os dois da quinto, e o solitário dígito da sexta. Pessoalmente, nós preferimos o segundo método. Pode ser o mais lento dos dois, mas é mais fácil de fazer. Vamos explicar ambos os métodos, e passo a passo.

No primeiro ou método horizontal, nós começamos alimentando os dígitos da linha topo, começamos com os 2 da direito e termina com os 7 à esquerda. Estes dígitos são alimentados na primeira, segunda, terceira, e quarta colunas do ábaco. Depois que fizermos isto, as contas no ábaco têm esta aparência:

O próximo passo é alimentar os dígitos da segunda linha, novamente da direita para a esquerda. Nós começamos com o 7. Considerando que este é o dígito ao lado direito extremo naquela linha, nós movemos uma conta do céu e duas contas da terra na coluna um, à direita, do ábaco.


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O próximo dígito a ser alimentado é o 6, e isto entra na segunda coluna. Nós simplesmente movemos uma conta do céu e uma conta da terra para a barra transversal

Temos agora outro 6. Isto é feito exatamente da mesma maneira, movemos uma conta do céu e uma conta da terra para junto da barra transversal na terceira coluna:

O próximo dígito a ser alimentado é um 4, e deve ser posto, na quarta coluna do ábaco.

Mas, olhando esta quarta coluna, percebemos que temos apenas três contas da terra no fundo da estrutura. Como então alimentar o 4 que necessitamos? Nós podemos através de uma idéia luminosa: Nós somamos 10 e subtraímos 6 para nos obtermos o 4 desejado. Desde que uma conta na quinta coluna vale dez vezes a sua conta equivalente na quarta coluna, movendo uma conta da terra na coluna cinco até a barra transversal somamos 10 coluna quatro. Para subtrair 6 da quarta coluna, movemos uma conta do céu para cima e uma das duas contas da terra na barra transversal desta coluna para baixo:

O último dígito na segunda linha é 1. Zero problema.


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Movemos simplesmente uma conta da terra até a barra transversal na quinta coluna para incluir o um de há pouco. Agora, temos duas contas da terra na barra transversal da quinta coluna:

Isso liquida a linha dois. Vamos para a linha três agora. O primeiro dígito à direita nesta linha é um 3 que significa que nós o alimentamos na primeira coluna. Realizamos isto com a mesma idéia luminosa de somar 10 e subtrair 7. Para somar 10 para nesta primeira coluna, movemos uma conta da terra na coluna dois até a barra transversal. Para subtrair 7 da primeira coluna, nós movemos uma conta do céu para cima e duas contas da terra da barra transversal para baixo:

O segundo dígito na linha é um 9. Considerando que 9 é 10 menos 1, nós podemos simplesmente registrar este 9 na coluna dois movendo uma conta da terra, coluna três, para a barra transversal enquanto movemos uma das contas da terra na barra transversal, coluna dois, para baixo:

Agora temos outro 9, este deve ser posicionado na terceira coluna. Novamente: Movemos uma conta da terra para a barra transversal, coluna quatro, e removemos um das contas da terra da barra transversal, coluna três:


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O dígito final na terceira linha é um 2. Considerando que este é o quarto dígito à direita, será posicionado na quarta coluna do ábaco. Adicionando duas contas da terra nesta coluna para barra transversal, temos:

Agora, a quarta e última linha. O primeiro dígito à direita é um 2. Movemos duas contas da terra, primeira coluna, até a barra transversal. Isso nos dá:

O próximo dígito é 9. Novamente, desde que este 9 deve ser colocado na segunda coluna, nós elevamos uma das contas da terra na terceira coluna para a barra transversal e abaixamos uma das contas da terra na segunda coluna para baixo.

Continuando neste quarta linha, à esquerda, temos 1. Ele deve ser alimentado na coluna três.

Olhando esta coluna vemos que ela tem valor 10, uma conta do céu, que vale cinco, e cinco contas da terra que vale outros cinco. E isso nos dá outra idéia: nós podemos alimentar nosso 1, somando 10 e subtraindo 9. Assim, movemos uma conta da terra para a barra transversal na quarta coluna. Então retiramos quatro contas da terra da barra transversal na terceira coluna, e retiramos uma conta do céu da barra transversal:


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O próximo dígito é 7. Isto deve ser alimentado na quarta coluna desde que é o quarto dígito à direita. Nós entramos isto somando 10 e subtraindo 3. E isso significa mover uma conta da terra na quinta coluna até a barra e retirar três contas da terra na quarta coluna.

Agora nós temos 0, a ser alimentado na quinta coluna, um zero nesta quinta coluna significa não fazer nada. Assim passamos para a próxima coluna, a sexta, que pede a adição de 2, o dígito final a ser alimentado. E isto é muito fácil; movemos duas contas da terra, sexta coluna, até a barra transversal:

E nós temos o resultado. Para verificar o resultado, basta ler o ábaco da direita para esquerda que é, começando da coluna um e terminando na coluna seis, ou da esquerda para a direita, começando da coluna seis e terminando na coluna um. Supondo o primeiro modo.

À medida que a coluna um tem quatro contas da terra, isso corresponde ao dígito 4.A coluna dois tem uma conta do céu que vale 5, e duas contas da terra num valor total de 7.A coluna três tem uma única conta da terra, assim seu valor é 1:A coluna quatro tem duas contas da terra; seu valor é 2.A coluna cinco, com três contas da terra, seu valor é 3.E, finalmente, a coluna seis tem duas contas da terra, o valor é 2.

Claro que, fazendo esta verificação, nós contamos apenas as contas da barra transversal. As outras no topo e fundo da estrutura estão fora do cálculo. Assim vemos que nosso resultado é 232174

Mas algo ainda deve ser feito. É preciso lembrar que as figuras que somamos eram reais e centavos. Assim daremos o toque final a nossa resposta escrevendo um sinal de real


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na frente do 2, e uma virgula entre 1 e 7 indicar que os 74 são à direita do ponto de fração decimal centavos: R$ 2.321,74. Se você desejar, você pode pôr um ponto depois do 2 para mostrar que 2 representa a casa dos milhares: R$2.321,74. Isto torna a coisa mais fácil de ler, e nós lemos como dois mil, trezentos, vinte e um reais e setenta quatro centavos. O método vertical:

Primeiro, alimentaremos todos os dígitos, a partir da direita, na primeira coluna do ábaco. Esses dígitos, como nós podemos ver, são 2, 7, 3, e 2. A seguir alimentaremos apenas os dígitos à esquerda deles (2, 6, 9, 9) na segunda coluna de ábaco. Nós continuaremos desta maneira até terminamos com a ultima coluna. Então verificaremos se chegamos a resposta certa. Claro que, a resposta obtida por este método deve ser igual à resposta do primeiro método. O primeiro passo, é clarear o ábaco. Assim feito, nós alimentamos no dígito superior na extrema direita um 2. Movemos duas contas da terra, primeira coluna, até a barra transversal:

O próximo dígito imediatamente abaixo, é um 7. Para alimenta-lo, movemos uma conta do céu e duas contas da terra, primeira coluna, até a barra transversal:

A próxima tarefa é alimentar um 3. Aqui nós podemos usar nossa “idéia luminosa" de somar 10 e subtrair 7 para obter o 3 desejado. Nós somamos 10 movendo uma conta da terra, segunda coluna, para a barra transversal e subtraímos os 7 retirando uma conta do céu e duas contas da terra da barra transversal na primeira coluna, assim:


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O próximo dígito a ser alimentado é um 2. Simplesmente movemos duas contas da terra, primeira coluna, até a barra transversal:

Isso termina nossa primeira coluna de dígitos. Agora estamos prontos para o segundo digito.

Como as colunas no ábaco devem representar as colunas de dígitos, nós alimentaremos estes segundos dígitos na segunda coluna do ábaco. Aqui vamos nós:O primeiro dígito da segunda coluna é 2. Movemos duas contas da terra, segunda coluna, até a barra transversal para registrar 1 :

Apos o 2 temos 6. Para registra-lo na segunda coluna do ábaco movemos uma conta do céu e uma conta da terra:


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Após o 6 temos 9. Isto pede nossa “idéia luminosa". Movemos uma conta da terra, terceira coluna, até a barra transversal para somar 10, e retiramos uma conta da terra da barra transversal, segunda coluna. para subtrair 1:

Agora temos um outro 9. Faremos da mesma maneira que fizemos antes:

Isso representa registra-lo com cuidado na coluna dois. Agora vamos cuidar da coluna três. O dígito de topo aqui é 3. Simplesmente movemos 3 contas da terra para a barra transversal

O dígito após nosso 3 é um 6. Novamente: Movemos uma conta da terra, quarta coluna, para a barra transversal, e retirar quatro das contas da terra, coluna três, para a barra transversal:


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Agora temos um 9. Movemos uma conta da terra, coluna quatro, para a barra transversal e retiramos, coluna três, a conta restante da terra:

O último dígito nesta terceira coluna é 1. Assim, na coluna três do ábaco, devolvemos a conta da terra para a barra transversal onde anteriormente estava:

Isto pode parecer tolo, este negócio de deslizar a mesma conta para cima e para baixo, mas assim você evita fazer duas operações simultâneas, que pode nos levar a uma resposta errada. Um especialista poderia lidar com isto, mas um novato deve adotar o lema "uma coisa de cada vez". Vemos agora a coluna quatro cujo dígito de topo é 7. Nós o alimentaremos na quarta coluna, movendo uma conta do céu e duas contas da terra para a barra transversal:

Nosso próximo dígito é um 4. Uma “idéia” luminosa se faz necessária. Nós movemos uma conta da terra, quinta coluna, para a barra transversal, e retiramos da coluna quatro, uma conta do céu e uma conta da terra da barra transversal:


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Em baixo do 4 temos um 2. Isto é registrado na quarta coluna, basta mover duas mais contas da terra para a barra transversal.

O último número na quarta coluna é um 7. Nós o registramos na quarta coluna do ábaco movendo uma conta da terra, coluna cinco, para a barra transversal e removendo da barra transversal, coluna quatro, três contas da terra. Como nós sabemos, isto representa somar 10 e subtrair 3 para obtermos o 7 desejado.

E assim terminamos a quarta coluna de dígitos. Agora vamos para coluna cinco.

Olhando a figura acima, vemos que esta coluna só tem dois dígitos, 1 e 0. Podemos nos esquecer do zero que não alterar nada. Porém, o 1 tem que ser alimentado na coluna cinco do ábaco. Para fazermos isto, movemos uma conta da terra até a barra transversal.


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Na sexta coluna de dígitos há um 2. Assim, nesta coluna, movemos duas contas da terra até a barra transversal:

Isto completa as colunas e o problema. Lendo o resultado na figura acima ou no seu próprio ábaco, você pode ver que é 232174 ou, em reais e centavos, R$ 2.321,74.Que é exatamente o mesmo resultado obtido anteriormente. Agora que gastamos nosso tempo na solução de um problema de adição, nós podemos tentar algo ao longo da mesma linha com uma subtração: 3140-2658. Antes de atacar o problema clarearemos o ábaco. O próximo passo é alimentar a figura maior, a qual podemos chamar de minuendo. Considerando que este é um número de quatro dígitos, você deve ser capaz de resolver a questão em menos de quatro segundos. Pronto? Vamos. Ao terminar, seu ábaco deve se parecer com:

Agora começamos a alimentar o menor número, o subtraendo. Iniciaremos com o 8 à direita com terminando com o 2 à esquerda. Todo o trabalho deve ser feito no ábaco; não olhe a página exceto para observar os dígitos de subtraendo. Nosso primeiro trabalho, como veremos, é tirar 8 de 0. Aqui temos um nó antes mesmo de termos ter começado. Como você pode tirar oito de nada? Soa mal, mas realmente não há nada difícil nisto. Nós usaremos a mesma idéia luminosa usada anteriormente. Aqui, desde que subtração é o oposto da adição, trabalhamos de modo oposto. Retiraremos uma das contas da terra na barra transversal, coluna dois, do cálculo enviando-a para baixo da armação que representa subtrair 10 da coluna um. Isso é verdade porque toda conta da terra na segunda coluna tem o valor 10, como nós sabemos. Porém, nós não queremos subtrair 10, nós só queremos subtrair 8. Assim, com o mesmo movimento com que removemos a conta da terra da coluna dois, nós baixamos duas contas da terra para a barra transversal, coluna um:


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Nosso próximo trabalho é tirar 5 da segunda coluna. Mas a coluna só tem 3 contas na barra transversal. Como nós subtraímos 5 de 3? Usando a mesma idéia luminosa nós movemos para baixo uma conta da terra, coluna três, para subtrair 10 da coluna dois, e ao mesmo tempo movemos para baixo uma conta do céu, coluna dois, para somar 5:

Agora passamos para o próximo dígito do subtraendo um 6. Considerando que este é o terceiro dígito à direita, deve ser registrado na terceira coluna do ábaco. Mas esta coluna, como nós vemos do desenho anterior, não tem nenhuma conta na barra transversal.

Para alimentar 6 nesta coluna, subtraímos 10 e somamos 4. E faremos isto baixando um das contas da terra, coluna quatro, até a estrutura enquanto movemos quatro contas da terra, coluna três, até a barra transversal. Nosso último trabalho é registrar 2 do subtraendo na coluna quatro do ábaco. Já que há então duas contas posicionadas na barra transversal desta coluna, nós simplesmente as movemos para baixo, até o fundo da estrutura.


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Com todos os dígitos do subtraendo processados, vemos que a resposta é dada na figura acima. Como traduzimos isso em números? Bem, as duas contas da terra, coluna um, nos dá um 2, e uma conta no céu e três contas da terra, coluna dois vale 8, e as quatro contas da terra, coluna três, vale um total de 4. Escrevendo estes dígitos da direita para esquerda, nós vemos a resposta 482 que representa, desde que números sempre são lidos da esquerda para a direita, temos quatrocentos e oitenta e dois. No problema que fizemos há pouco, sempre que tivermos que subtrair um número maior de um menor em uma coluna, nós sempre tivemos contas da terra na barra transversal umas próximas das outras. Tudo seria um mar de rosas se coisas sempre se mostrassem assim. Mas elas nem sempre são. Por exemplo, suponha que você tenha uma nota de dez reais e você compra uma bala por seis centavos. O que poderia você esperar? Este é claramente um problema de subtração, significa tirar seis centavos de dez reais.

Poderíamos fazer o cálculo com lápis e papel. Mas como é feito no ábaco? Nós começamos este problema como começaríamos qualquer outro de subtração. Depois de clarear o ábaco, nós registramos o minuendo. Isto consiste em três 0's e um 1. Considerando que este 1 é o quarto dígito à direita, nós o alimentamos no ábaco baixando uma conta da terra, coluna quatro, para a barra transversal:

Note que nenhuma conta esteve posicionada na barra transversal da primeira, segunda, e terceiras colunas. Isto é natural, pois há três 0's a direito do minuendo, simplesmente manteremos as posições em aberto. Agora, nós gostaríamos de subtrair 6 da primeira coluna. Mas há existem contas na barra transversal nesta coluna, ou há algumas na barra transversal das colunas dois ou três. O que fazer? Antes de prosseguir para que o problema seja resolvido, gaste alguns minutos pensando como você faria isto, então vá em frente para ver se você tinha razão. Você pensou nisto? Aqui está como fazer o cálculo:Nós sabemos que a única conta de terra, coluna quatro, vale dez em relação à coluna três. Assim, façamos a troca, baixamos uma conta, coluna quatro, até o fundo da estrutura, movemos uma conta do céu e cinco contas da terra para a barra transversal, terceira coluna, assim,:


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Agora estamos começando a obter alguma munição para atacar nosso problema. Nós podemos prosseguir um pouco mais fazendo uma segunda trocando uma conta da terra, coluna três, por uma conta do céu e cinco contas da terra da coluna dois:

Agora temos contas na coluna dois para trabalhar, que significa que nós poderemos resolver o problema agora mesmo. Mas vejamos o que acontece, vamos dar mais um passo e trocaremos uma das contas da terra, segunda coluna, por uma conta do céu e cinco contas da terra, primeira coluna:

O que vemos nesta última figura é exatamente a mesma, acredite ou não, como a mesma que tínhamos no ábaco no começo do problema. A diferença agora é que podemos fazer muito mais facilmente subtraindo 6 da primeira coluna. Para fazermos isto movemos uma conta do céu da barra transversal para cima e uma conta da terra para baixo.

E podemos ler a resposta. A primeira coluna, quatro contas da terra, é um 4; a segunda coluna, com uma conta do céu e quatro contas da terra, somam 9; a terceira coluna, com uma conta do céu e quatro contas da terra também somam 9. Isso nos, em reais e centavos, dá R$9.94Nós prometemos que as coisas iriam engrossar neste capítulo, e elas vão. Nós esquentamos as coisas com uma adição e uma subtração, e agora nós estamos prontos para a multiplicação onde as coisas realmente esquentam.

Tentemos um problema bastante fácil: 68 x 7 É uma boa prática registrar números no ábaco, quando você tem números de dois ou mais dígitos para multiplicar. Deste modo, você não esquecerá dos números originais que você está multiplicando. Além disso, é melhor registrar os dois números nas colunas à esquerda do ábaco. Isso deixará as colunas à direita aberta para os cálculos. Assim, nós registramos 68 nas duas últimas à esquerda, e então, deixando a próxima coluna desocupada, e registramos 7.


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O propósito de ter a coluna vazia é manter os dois números separados. Se forem registrados nas três últimas colunas, seria incomodo sebermos se estamos multiplicando 68 por 7, ou 6 por 87. Olhando a figura, podemos ver que 68 é o multiplicando e 7 é o multiplicador. Na multiplicação, como qualquer outra coisa no ábaco, sempre trabalhamos da direita para a esquerda. Considerando que 8 aparece à direita do multiplicando, nós o multiplicamos primeiro pelo 7. Agora, como todo bom abacista deveremos saber, 7 vezes 8 igual a 56. Considerando que nossos cálculos são feitos à direita nas colunas, nós alimentamos 56 nas primeiras duas colunas:

Os 6 é registrado na primeira coluna movendo uma conta da terra e uma conta do céu para a barra transversal; 5 simplesmente está representado por uma conta do céu na barra transversal, segunda coluna. Agora, multiplicamos o outro número do multiplicando, o 6, pelo multiplicador 7. Agora, 7 vezes 6 dá 42. Onde nós registraremos estes dígitos no ábaco? Considerando que 6 é o segundo dígito à direita no multiplicando, o 2 dos 42 entra na segunda coluna à direita do ábaco. E, se 2 entra na segunda coluna, 4 naturalmente entra na terceira coluna: Desde que 7 foi usado para multiplicar ambos os dígitos no multiplicando agora, o problema está concluído. E nós podemos ler a resposta nas primeiras três colunas. A coluna um tem uma conta do céu e uma conta da terra na barra transversal dando um total de 6. A coluna dois tem uma conta do céu e duas contas da terra dando um total de 7. Finalmente, coluna três tem quatro contas da terra dando um total de 4, e nossa resposta é: 476 e lido como quatrocentos e setenta e seis. Considerando que este problema não é assim tão difícil, tentaremos algo um pouco mais complicado. Neste momento multiplicando e multiplicador passam a ter dois dígitos cada: 75 X96 neste exemplo, 75 é o multiplicando enquanto 96 é o multiplicador. De fato, não importa o que isto representa, 75 X 96 é exatamente igual a 96 X 75. De qualquer maneira, nós registramos ambos os números nas colunas à esquerda e no fim do ábaco, com uma coluna desocupada entre eles e claro depois de clarear o ábaco:

Como fizemos antes, nós começamos com os dígitos extremos à direita. multiplicando o 5 do multiplicando pelo 6 do multiplicador, temos 30. O Zero entra na primeira coluna do ábaco. Mas, como já sabemos, o ábaco trata o zero como uma coluna vazia, assim a primeira coluna permanece como está. Porém, 3 deve ser registrado ao lado, assim nós movemos três das contas da terra para cima, coluna dois, para a barra transversal:


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Agora multiplicamos o 7 do multiplicando pelo 6 do multiplicador. O resultado disso é 42. Já que 7 é o segundo dígito à direita do multiplicando, realmente é 70 à medida que o zero preenche a posição do 5; então o 2 do 42 precisa ser registrado na segunda coluna do ábaco e o 4 ao lado, terceira coluna, deixando a primeira coluna em aberto para o zero. O 2 simplesmente é registrado na segunda coluna movendo para baixo um das contas do céu nesta coluna para a barra transversal e ao mesmo tempo movemos três contas da terra para baixo, da barra transversal até o fundo da estrutura. Isto significa a somar 5 e subtrair 3, e isso significa somar 2 na segunda coluna. Para registrarmos 4 na coluna três, basta elevar quatro contas da terra nesta coluna para a barra transversal.

O 6 do multiplicador 96 já fizeram sua parte agora. Já multiplicamos ambos os dígitos do multiplicando, e não os usaremos adicionalmente. Assim nós movemos para cima uma conta do céu e sua uma conta da terra para baixo.

Fazemos isto por duas razões. Em primeiro lugar, deixa o ábaco parecer menos poluído com contas, e que sempre ajuda. Segundo, deixa mais espaço para o cálculo ao final do lado direito do ábaco. Neste exemplo em particular, nós não precisamos de espaço extra; mas se você fosse multiplicar números de mais de dois dígitos, o espaço extra seria certamente útil. Agora, o que sobra no nosso problema é ainda multiplicar 9 do multiplicador pelos dígitos do multiplicando. Multiplicamos o primeiro 9 por 5 temos 45. Já que 9 é o segundo dígito de 96 (contando a partir da direita) registramos o 5 dos 45 na segunda coluna enquanto o 4 entra na terceira. Para alimentarmos 5, nós poderíamos elevar as cinco contas da terra, coluna dois, para a barra transversal. Mas isso atravancaria a coluna com contas; é uma boa idéia, como nós já mencionamos, evitar fazer isso. Um modo mais simples é somar 10 e subtrair 5, quer dizer, elevar a uma conta da terra ao fundo da estrutura, coluna três, para a barra transversal, e elevar uma conta do céu da barra transversal, coluna dois, para o topo da estrutura.


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Mas nós ainda temos que registrar o 4 na terceira coluna. Nós fazemos isto baixando uma das contas do céu nesta coluna para a barra transversal; ao mesmo tempo, baixamos um das contas da terra nesta terceira coluna para o fundo da estrutura. Em deste modo, somamos 5 e subtraímos 1, portanto 4 128 foi registrado na quarta coluna. Para alimentarmos 3, nós elevamos uma conta da terra, quarta coluna, para a barra transversal. E, ao mesmo tempo, retiramos uma conta do céu da barra transversal, coluna três. e duas contas da terra da barra transversal na mesma coluna:

Finalmente, nós registramos o 6 do nosso 63 na coluna quatro baixando uma conta do céu e uma conta da terra para a barra transversal:

Agora podemos ler em voz alta nossa resposta. Não há contas na barra transversal das colunas um e dois, que significa que os dois dígitos a direito em nossa resposta devem ser 00. A terceira coluna tem duas contas da terra na barra transversal, assim o terceiro dígito a direita na resposta deve ser um 2. A quarta coluna tem uma conta do céu e duas da terra, temos um total de 7. E isso significa que o quarto dígito à direita na resposta deve ser o número. Reunindo isto, nós podemos ver que o resultado de nossa multiplicação é 7200Em um ábaco de nove colunas; não é fácil multiplicar figuras de três ou mais dígitos cada. Também não haverá bastante espaço a esquerda para o registro do multiplicador e multiplicando. E porisso que há ábacos maiores (alguns têm até quanto vinte e sete colunas!) são utilizados. Mesmo grandes números podem ser calculados no ábacoPor exemplo, você precisaria de um ábaco com mais de nove colunas para multiplicar 2.000.000 por 74.000?. Certamente não. Considerando que todos esses zeros não mudam as posições das contas do ábaco nas barras, eles podem ser mantidos em sua memória enquanto você multiplica 74 por 2. Você tira os seis zeros do primeiro número e os três zeros do segundo e guarda na sua memória, e os inclui no resultado. Façamos esta multiplicação. Alimentamos 74 nas últimas duas colunas à esquerda, deixe a próxima coluna em branco, então alimente o 2 na quarta coluna:


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7 4 2

Pronto? Aqui vamos nós. Multiplicamos o primeiro 2 pelo 4 do multiplicando. Isso nos dá 8. Nós alimentamos 8 na primeira coluna com uma conta do céu e três contas da terra:

4 x 2 = 8

Multiplicamos 2 pelo 7 do multiplicando, temos 14. O 4 é alimentado na segunda coluna e 1 na terceira.

2 x 7 = 10 + 4

E, como podemos ver pelo padrão final das contas, o resultado da multiplicação é 148. Agora nós incluímos os nove zeros, e a resposta é 148.000.000.000, é lido como cem quarenta e oito bilhões. A divisão também não é algo tão fácil. Mas isso não deve assusta-lo. Dragões são aqueles usados pelos chineses nas suas celebrações. Eles parecem ferozes, fazem ruídos horríveis, e soltam fumaça pelo nariz; mas quando você dá uma olhada neles, você verifica que são feitos de papel e conduzidos por alguns meninos brincalhões. De fato, divisão é o oposto da multiplicação. Para começar, suponhamos, por exemplo, 144/12. Como na multiplicação, divisão tem seus termos técnicos. O número maior a ser dividido (144 em nosso exemplo) é chamado o dividendo. O número menor que o divide (os 12) é o divisor. Uma palavra caprichosa para o resultado é o quociente, mas é provável que ninguém fique chateado se chamarmos isto simplesmente de "resposta". Como nós fizemos com a multiplicação, nós alimentamos o divisor e dividendo nas colunas à esquerda no final do ábaco, com uma coluna vazia entre eles. O divisor é alimentado nas últimas duas colunas, e o dividendo na próximas depois da coluna vazia:


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As colunas à direita são usadas para o quociente. Por um momento, esqueçamos os 4 à direita do dividendo, e vamos pensar quantas vezes 12 do divisor está contido em 14. Desde que 14 não é muito maior que 12, as chances são que 12 está contido em 14 apenas uma vez; quer dizer, não pode haver mais que um 12 em 14. O primeiro dígito da esquerda do nosso quociente, então, deveria ser um 1. Onde registraremos este 1?. Podemos achar a resposta para esta pergunta se nós observarmos que realmente estamos pensando em nosso dividendo como 140, à medida que zero ocupa a posição à direita do 4, está dividindo isto por 12. Nós podemos supor que a resposta será maior que 10, assim nós alimentamos 1 na segunda coluna do ábaco. Nós deixamos a primeira coluna em aberto para o próximo dígito do quociente a ser encontrado.

Para vermos qual o resto do 14 divido por 12, nós multiplicamos ambos os números do divisor pelo 1 do nosso quociente, então subtraímos o resultado dos dois primeiros dígitos do dividendo. O primeiro dígito do divisor é um 1; multiplicando isto por 1 do quociente, temos 1. Nós subtraímos este 1 do primeiro dígito do dividendo baixando uma conta da terra da coluna à direita da coluna vazia entre o dividendo e o divisor:

Isso computou 1 do divisor. Agora vamos para o 2. Nós multiplicamos por 1 do quociente que nos dá 2 e subtraímos este 2 da próxima coluna de contas do dividendo. Esta coluna, como nós podemos ver na figura, contém quatro contas da terra. Para fazer nossa subtração, nós devolvemos baixamos duas destas contas. E o que temos agora é


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Nós ainda temos nosso divisor 12 na extrema esquerda do ábaco. Mas tudo que permanece do dividendo é 24 duas contas da terra na coluna um, e quatro contas da terra na próxima. Quantas vezes nosso divisor 12 divide este 24? Bem adivinhe... dois; 24 parece ser grandes o bastante para acomodar dois 12's, mas não parece grande bastante para três. Em todo caso, alimentamos o 2 na primeira coluna do ábaco baixando duas contas da terra até a barra transversal:

Para vermos se nossa suposição estiva correta, nós multiplicamos os dois dígitos do divisor por 2 e então subtraímos o resultado desta multiplicação do valor remanescente no dividendo. O primeiro dígito do divisor é 1. Multiplicado pelo 2 do quociente dá 2. Nós subtraímos 2 do dividendo baixando duas contas da terra da barra transversal, quinta coluna, para o fundo da estrutura:

Agora, cuidaremos do 2 do divisor. Nós o multiplicamos pelo 2 do quociente, e temos 4. Para subtrair este 4 do dividendo, nós removemos as quatro contas da terra deixadas na coluna remanescente do dividendo.

O que aconteceu ao nosso dividendo? Sumiu, e isso nos fala que nosso problema terminou. Qual é a resposta ou quociente, se você quer ser técnico? Como você pode ver nas duas colunas à direita, há duas contas da terra na coluna um e uma conta da terra na coluna dois, o quociente deve ser 12. Se você quer tentar uma outra divisão, dê uma olhada nesta aqui a: 713/23. Este problema não é muito diferente do anterior, e é resolvido da mesma maneira. Depois de clarear o ábaco, começamos a alimentar o divisor nas últimas duas colunas e o dividendo nas próximas três:


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Com uma coluna desocupada (nenhuma conta entre elas na barra transversal). Nós perguntamos agora para nós mesmos, quantas vezes o 2 do divisor está contido no 7 do dividendo? Rapidamente como um flash nós temos a resposta, 3 vezes. Assim alimentamos três contas da terra, segunda coluna, e deixamos a primeira em aberto, como fizemos antes, porque 700 pode ser dividido por 20 em aproximadamente 30 vezes, e então alimentamos três contas da terra na segunda coluna onde cada conta representa dez unidades:

Este três é parte do quociente. Multiplicamos o primeiro dígito do divisor por 3, temos 6. Subtraindo 6 do primeiro dígito do dividendo, nós alimentamos uma conta do céu e uma conta da terra na primeira coluna do dividendo deslizando uma conta do céu para cima e a uma conta da terra para baixo:

Agora multiplicaremos o segundo dígito do divisor, o 3, pelo nosso dígito do quociente, o 3. Isso nos dá 9, e precisamos alimenta-lo na segunda coluna do dividendo. Faremos isto subtraindo 10 e somando 1. Isso significa alimentar uma conta da terra, primeira coluna do dividendo (a sexta coluna à direita) e elevando uma conta da terra da coluna a sua direita para a barra transversal:


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Agora, quantas vezes pode nosso divisor permanecer no dividendo? O dígito à esquerda do divisor é 2, como podemos ver no ábaco, e assim é o dígito à esquerda do dividendo. As chances são, então, que o divisor participa do dividendo uma vez. Assim, movemos uma conta da terra, primeira coluna, até a barra transversal:

Multiplicamos este 1 em nosso quociente pelo 2 do divisor. O resultado desta operação é claro, um 2. Alimentamos isto fora do dividendo (a quinta coluna a direito do ábaco) retirando as duas contas restantes da barra transversal:

Agora, multiplicamos o 1 do quociente pelo 3 do divisor, temos 3. Isso significa mover as três contas do dividendo para o fundo da estrutura:

Nosso dividendo assim desaparece, e o problema está resolvido. Qual é o quociente? Nós podemos ler nas primeiras duas colunas do ábaco. 31

8. A vida privada dos números Os exemplos do capítulo anterior, e, de fato, todos os problemas em matemática, são como histórias. No princípio, são introduzidos dois ou mais números. Eles podem ser até temperados e agradáveis, como 2 e 4, ou talvez eles sejam destemperados e primos, como 7 e 13. Mas agradáveis ou sórdidos, eles fazem seu trabalho, tem suas aventuras, se apaixonam ou disputam furiosamente. E justamente quando suas vidas parecem arruinadas, uma cabeça um pouco mais sábia resolve todas as dificuldades, e a história tem final feliz: a resposta sai direito. Claro que, nem sempre. Às vezes o problema envereda por caminhos tortuosos; então os números têm que ser postos na linha novamente. E há tempos, também, em que o problema não pode ser resolvido por nada. Não há uma resposta. Então a história não tem um final feliz. Muito triste, de fato especialmente para um matemático. as não importa como a história termina, você tem seu caráter. Caso contrário se tornará estúpido em vez de ser um herói dos contos de aventuras. Eu seguramente sou e você já


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leu livros sobre este assunto: É o mesmo que acontece com este livro. Se você achar números flutuando ao redor da sua cabeça, balance a cabeça e comece novamente. Você verá que vale a pena. Número é uma coisa fascinante, especialmente quando tem algo a ver como um ábaco que os domestica. A matemática está cheia de surpresas deliciosas. Nem sempre é sensata e clara; tem seus mistérios não solucionados. As mentes mais brilhantes da história tentaram resolver muitos destes problemas, mas sem sucesso. Talvez você seja o herói que um dia achará as respostas para estes enigmas.


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Parte II

Apresentação

O Ábaco é um instrumento de calculo ainda em moda no Japão. Desde os tempos memoráveis o Ábaco tem sido um dos instrumentos mais antigos, utilizado para resolver os cálculos e operações fundamentais da matemática na cultura orienta, especificamente no Japão.

Através do ÁBACO se podem realizar operações matemáticas tão rápidas como se queira tanto de soma, subtração, multiplicação, divisão, raiz quadrada e potencias; com a vantagem que com o ÁBACO, não se precisa pensar ou raciocinar logicamente sobre qualquer problema matemático; esta é uma das grandes diferenças para o computador ou calculadora comum; os mesmos japoneses dão a uma calculadora uma utilização secundaria por considera-la com lago que atrofia a mente, anulando a capacidade de pensar nas soluções dos problemas matemáticos.

Neste manual poderemos conhecer de forma fácil, amena e divertida e ao alcance de qualquer nível intelectual, seu manejo, domínio, aplicação rápida e acertada de qualquer operação relacionada com a disciplina matemática.

Prólogo

O Ábaco é um instrumento de cálculo que consiste, segundo a definição técnica em um retângulo de madeira com sete ou mais barras paralelas tendo em cada uma dOas contas ou bolas moveis, que se utiliza para ensinar os rudimentos da aritmética.

Acerca da sua origem, a opinião mais provável é que procede do Oriente, onde a Grécia dá origem as primeiras tabuadas de calculo.

Desde o final do século VI antes de Cristo, Pitágoras já falava das calculadoras orientais que registravam cifras no Ábaco colocadas em colunas.

Principios Básicos

Posição e valor das contas

O ábaco na (fig. a) mostra a posição das unidades, dezenas, centenas de milhares... e na (fig. b) O valor de cada uma de suas contas, as do lado superior valem 5 vezes mais do que as localizadas no lado inferior, isto quer dizer 5 unidades, 5 dezenas, 5 centenas, etc.


45


Representação do número 0

Representação do número 1,


As contas só assumem valores quando junto à barra.


Na (fig. 4) vemos 7 que pertence às centenas e esta representado por uma conta de valor 5 e duas de valor 1.


46


Representação dos números 1000 e 6789

Na (fig. 5) vemos 1000 representado por uma conta, com três colunas vazias representando 3 zeros do n° 1000.

Resto 15


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Subtração Simplificada

Exemplo:1 ... 8325 - 2987 = 5338

Subtrair 2987 é igual a subtrair 3000 e somar 13

Subtraímos 3000

Somamos 13

MULTIPLICAÇÃO

Na multiplicação teremos que colocar os multiplicandos na parte esquerda do ábaco como vemos

nos gráficos.

Exemplo: 1 .... 73 x 6 = 438

Multiplicamos primeiro 6 x 3 = 18 e colocamos o resultado ao lado direito conforme fig. 48.


48


Depois multiplicamos 6 x 7 = 42 e colocamos também 42 ao lado direito, mas na próxima coluna das unidades.

Exemplo: 2 .... 89 x 9 = 801


49


Para passo seguinte (somar 2) temos que saber somar nas dezenas aplicar a fórmula 2 = (10 – 8)

(As dezenas estão representadas na coluna das centenas por 1 conta.)

Somamos uma centena

Restamos 8 dezenas

Exemplo: 3 ... 54 x 12 = 648


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Como trocamos de número para multiplicar (4 x 1), 4 foi somado na coluna das dezenas.

Exemplo: 4 ... 23 x 34 = 782


51


O próximo passo (somar 2) temos que inclui-lo na coluna das dezenas e aplicar a fórmula

2 = (10 – 8) . (A dezena estará representada na coluna das centenas por 1 conta.)

Divisão

Para se dividir números no ábaco é como se fossemos multiplicar (na parte esquerda).

Exemplo: 1 ... 45/4 = 11, 25


52


Colocamos 45 nas duas primeiras colunas, a outra coluna se mantém vazia porque indica o sinal / , logo o 4 que vamos a dividir.

Como 45 tem duas cifras e 4 uma, dividimos 2 por 1 igual a 2, este indicara o número de cifras do resultado, contamos 2 começando pelas unidades, o qual indica que o resultado será registrado inicialmente na coluna das dezenas.

4 / 4 dá 1, o colocamos nas dezenas e multiplicamos 1 x 4 = 4, para 4 zero e baixamos quatro contas.


53


Tiramos 5 de 4 temos 1, colocamos 1 nas unidades e o multiplicamos por 4, 1 x 4 = 4 para 5 resto 1, O resultado será 11 e o resto é 1 como indica a figura 69.

Exemplo: 2 .... 68/3 = 22,67

Dividimos 6 por 3, igual a 2, colocamos as contas nas dezenas

Colocamos 68 na coluna correspondente, deixamos uma livre para controle, na quarta o divisor 3.

Multiplicamos 2 por 3 temos 6 e eliminamos as 6 contas.

Dividimos 8 por 3 temos 2, subimos as duas contas das unidades, multiplicamos por 3 e subtraímos 6.


54


Exemplo: 3 ... 78 / 5 = 15,6

7 dividido por 5 dá 1

Multiplicamos 1 x 5, e subtraímos de 7

Dividimos 28 por 5 e colocamos 5 na coluna das unidades


55


Por último multiplicamos 5 x 5, 25 e se subtraímos de 28 o resultado final é 15 com resto 3

Exemplo: 4 ... 489 / 21

Dividimos 48 por 21 temos 2

Multiplicamos 2 x 1 e subtraímos de 8

Multiplicamos 2 x 2 e subtraímos de 4


56


68 dividimos por 21, temos 3.

3 x 1 e subtraímos de 8

3 x 2 e subtraímos de 6

Potência - Elevando ao Quadrado

Para a potenciação, emprega-se a seguinte formula:

b 2 + 2 . a . b + a 2

Exemplo: 1 ... 13 2 = 169 --> a = 1 e b = 3

0

O número que se vai elevar é registrado do lado esquerdo

O 9 escrevemos na coluna das unidades


57


O 6 na coluna das dezenas

Finalmente escrevemos 1 na coluna das centenas. Para elevarmos ao quadrado sempre que mudamos de passo, anulamos imaginariamente colunas, primeiro as unidades, depois as dezenas.

Exemplo: 2 ... 42 2


58


Exemplo: 3 ... 91 2 = 8281


59


Raiz Quadrada

Para calcular raízes temos que saber a forma manual.

Exemplo: 1 ... = 32

Tomamos o 10 (as duas primeiras cifras)

A raiz de 10 é 3


60


Elevamos 3 ao quadrado e subtraímos de 10 = 1

Tomamos o registro seguinte 124

Duplicamos a raíz (3 x 2 = 6)

Dividimos 12 por 6 = 2

Colocamos 2 na casa das unidades


61


2 x 2 e subtraímos o 4 do 124

Multiplicamos 2 x 6 = 12

O 12 e eliminamos o 12

Exemplo: 2 ... = 25,04

Contamos períodos de duas cifras da direita para a esquerda e começamos com o segundo que é apenas é a cifra (6)


62


Suprimimos o primeiro grupo de cifras 2 e começamos com o 1º (6)

A raiz de 6 é 2

Elevamos 2 e subtraímos de 6

Duplicamos a raíz (2) igual 4

Dividimos 22 por 4 = 5


63


Colocamos 5 na coluna das unidades

Multiplicamos 5 x 5 e subtraímos 25 de 27 (as duas cifras finais)

5 x 4 (dobro 2) e subtraímos 20 de 20 (as duas primeiras cifras)


64

manual do abaco e treinamento

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