BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari

metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga

dapat diperoleh nilai dari suatu variabel bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak

dikenal.

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam

matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan

melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang eselon-

baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan

linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear

tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi

matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari

variabel-variabel tersebut.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalahnya adalah sebagai berikut:

1. Apa pengertian pivoting?

2. Dapatkah kita mengolah data dengan metode pivoting?

1.3 Tujuan

Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah :

1. Mengetahui pengertian pivoting.

2. Mengetahui cara mengolah data dengan metode pivoting.

BAB II

TINJAUAN TEORITIS

2.1 Metode Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di

dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan

melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini

dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan

menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke

dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks

baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel

tersebut.

Kelebihan dan Kekurangan

Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan

mengisi selama eliminasi, dengan beberapa tahap

1. Keuntungan :

a. menentukan apakah sistem konsisten.

b. menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap

langka.

c. lebih mudah untuk memecahkan

2. Kelemahan :

a. memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal

Metode ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A

berbentuk segitiga atas (menggunakan Operasi Baris Elementer) seperti system

persamaan berikut ini:

Maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulingan mundur (backward

substitution):

ann xn=bn⟹ xn=bn

ann

an−1, n−1 xn−1+an−1 xn=bn−1⇒ xn−1=(bn−1−an−1 ,n xn )

an−1 , n−1

... ... ... dst.

Sekali xn , xn−1 , xn−2 ,…,xk +1 diketahui, maka nilai xk dapat dihitung dengan :

xk=bk− ∑

j=k +1

n

akj x j

akk

, k=n−1, n−2 ,…,1 dan akk≠ 0

Kondisi akk≠ 0 sangat penting. Sebab bila akk≠ 0, persamaan di atas

mengerjakan pembagian dengan nol. Apabila kondisi tersebut tidak dipenuhi,

maka SPL tidak mempunyai jawaban.

Melakukan pertukaran baris untuk menghindari pivot yang bernilai nol

adalah cara pivoting yang sederhana (simple pivoting). Masalah ini dapat juga

timbul bila elemen pivot sangat dekat ke nol, karena jika elemen pivot sangat

kecil dibandingkan terhadap elemen lainnya, maka galat pembulatan dapat

muncul.

2.2 Metode Pivoting

Ada beberapa definisi pivot, yaitu:

a. Kolom pivot adalah kolom variabel terikat dimana tedapat angka

positif terbesar pada baris fungsi.

b. Baris pivot adalah baris dimana terdapat hasil bagi yang mempunyai

hargamutlak terkecil antara konstanta dengan kolom pivot.3.

c. Pivot adalah perpotongan kolom pivot dengan baris pivot.

d. Variabel optimal, jika semua elemen pada baris fungsi tujuan di bawah variabel terikat harganya negative atau bernilai nol (0).

Pada metode eliminasi gauss, dalam mengeliminasi matriks atau

koefisien persamaan aljabar simultan guna membentuk matriks segitiga,

diperlukan suatu variabel u,

dapat dilihat kekurangan dari metode eliminasi gauss pada langkah pembentukan

variabel u. Jadi, jika terdapat koefisien a(kk) yang bernilai nol atau mendekati nol,

maka solusi yang diinginkan tidak akan tercapai. Oleh karena itu, setidaknya a(kk)

adalah merupakan koefisien yang, secara absolut, paling besar di antara koefisien

– koefisien lainnya di dalam kolom k. Jadi jika yang ingin dieliminasi, pada

kolom 1, adalah koefisien a(21) dan a(31), maka akan diperlukan variabel u yang

bernilai,

Jadi, karena a(11) adalah koefisien yang mengeliminasi kefisien lainnya

pada kolom 1, a(11) disebut sebagai elemen pivot. Oleh karena itu juga, koefisien

a(11) tidak boleh bernilai nol atau mendekati nol. Bahkan, akan lebih baik jika

koefisien a(11) lebih besar dari pada koefisien a(21) dan a(31).

Maka, berkaitan dengan permasalahan ini yang merupakan kekurangan

dari eliminasi gaus, maka pada metode pivoting, sebelum dilakukan eliminasi

dilakukan terlebih dahulu identifikasi setiap nilai koefisien pada setiap kolom.

Jadi, dapat diperhatikan pada gambar di atas, bahwa yang berperan sebagai

elemen pivot adalah koefisien a(11), a(22), dan a(33). Jadi, harus disusun terlebih

dahulu koordinasi persamaan simultan yang memiliki elemen pivot yang terbesar,

relatif terhadap kolom masing – masing. Jika, ternyata koefisien a(22) mendekati

nol atau yang terkecil (agar algoritma lebih mudah, maka akan lebih baik jika

elemen pivot merupakan koefisien dengan nilai yang terbesar relatif terhadap

kolom elemen pivot tersebut berada) dan koefisien a(32) merupakan koefisien

yang terbesar di kolom dua, maka hendaknya persamaan kedua ditukar dengan

baris ketiga, sehingga a(32) dan a(22) bertukaran posisi dan a(32) menjadi a(22)

yang baru, begitupun sebaliknya.

Namun, masih tetap terdapat kekurangan pada metode elemen pivot ini,

yaitu kondisi yang disebut dengan kondisi “illconditioned”. Jadi, jika sebelumnya

telah ditetapkan bahwa elemen pivot tidak bleh lebih kecil dari sebuah bilangan e

dan ternyata semua koefisien pada kolom tempat elemen pivot berada lebih kecil

dari bilangan e, maka tidak ada solusi berarti yang dapat diperoleh. Kondisi

“illconditioned” dapat juga ditemui jika determinan dari matriks hasil koordinasi

persamaan aljabar simultan bernilai kecil.

2.3 Tata Ancang Pivoting

Prinsip tata ancang pivoting adalah sebagai berikut: jika a p , p( p−1)=0, cari

baris ke k dengan ak , p ≠ 0 dank> p , lalu prtukaran baris p dan baris k. Metode

eliminasi Gauss dengan tata ancang pivoting disebut eliminasi Gauss yang

diperbaiki (modified Gauusian elimination). Melakukan pertukaran baris untuk

menghindari pivot yang bernilai nol adalah cara pivoting yang sederhana (simple

pivoting). Masalah ini dapat juga timbul bila elemen pivot sangat dekat ke nol,

karena jika elemen pivot sangat kecil dibandingkan terhadap elemen lainnya,

maka galat pembulatan dapat muncul.

Ada dua macam tata-ancang pivoting, yaitu:

a. Pivoting sebagian (partial pivoting)

Pada tata-ancang pivoting sebagian, pivot dipilih dari semua elemen

pada kolom p yang mempunyai nilai mutlak terbesar,

|ak , p|=max {|ap , p|,|ap+1 , p|,…,|an−1 , p|,|an , p|}

Lalu pertukarkan baris k dengan baris ke p. Misalkan setelah operasi baris

pertama diperoleh matriksnya seperti yang digambarkan pada matriks di bawah

ini. Untuk operasi baris kedua, carilah elemen x pada baris kedua, dimulai dari

baris ke-2 sampai baris ke-4, yang nilai mutlaknya terbesar, lalu pertukarkan

barisnya dengan baris ke-2. Elemen x yang nilai mutlaknya terbesar itu sekarang

menjadi pivot untuk operasi baris selanjutnya.

perhatikanlah bahwa teknik pivoting sebagian juga sekaligus menghindari

pemilihan pivot = 0 (sebagaimana dalam simple pivoting) karena 0 tidak akan

pernah menjadi elemen dengan nilai mutlak terbesar, kecuali jika seluruh elemen

di kolom yang diacu adalah 0. Apabila setelah melakukan pivoting sebagian

ternyata elemen pivot = 0, itu berarti system persamaan linier tidak dapat

diselesaikan (singular system).

b. Pivoting Lengkap (complete pivoting

Jika disamping baris, kolom juga dikutkan dalam pencarian elemen

terbesar dan kemudian dipertukarkan, maka tata-ancang ini disebut pivoting

lengkap. Pivoting lengkap jarang dipakai dalam program sederhana karena

pertukaran kolom mengubah urutan suku x dan akibatnya menambah kerumitan

program secara berarti.

BAB III

PEMBAHASAN

Tabel Pengukuran Nilai Resistivitas Batuan dengan Beberapa Jarak

elektroda

No C (jarak elektroda) Resistivitas (m)

1 3 487.222 4 340.673 5 246.384 6 258.995 7 387.66 8 402.277 9 526.098 10 398.419 11 509.82

10 12 371.9911 13 374.1

Langkah-langkah dalam pengolahan data menggunakan metode Pivoting,

yaitu :

Langkah 1 : Mencari nilai dari data yang ada seperti yang terlihat pada table

dibawah ini.

No C Pn x^0 x^1 x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10

1 3 487.22 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 590492 4 340.67 1 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 10485763 5 246.38 1 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 97656254 6 258.99 1 6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 10077696 604661765 7 387.6 1 7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 40353607 2824752496 8 402.27 1 8 64 512 4096 32768 262144 2097152 16777216 134217728 10737418247 9 526.09 1 9 81 729 6561 59049 531441 4782969 43046721 387420489 3486784401

8 10 398.41 1 10 100 1000 10000 100000100000

0 10000000 100000000 1000000000 10000000000

9 11 509.82 1 11 121 1331 14641 161051177156

1 19487171 214358881 2357947691 25937424601

10 12 371.99 1 12 144 1728 20736 248832298598

4 35831808 429981696 5159780352 61917364224

11 13 374.1 1 13 169 2197 28561 371293482680

9 62748517 815730721 10604499373 1.37858E+11

Langkah 2

Normalisasi Baris ke-1

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.22

2 1 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1048576 340.67

3 1 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 9765625 246.38

4 1 6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 10077696 60466176 258.99

5 1 7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 40353607 282475249 387.6

6 1 8 64 512 4096 32768 262144 2097152 16777216 134217728 1073741824 402.27

7 1 9 81 729 6561 59049 531441 4782969 43046721 387420489 3486784401 526.09

8 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000 10000000000 398.41

9 1 11 121 1331 14641 161051 1771561 19487171 214358881 2357947691 25937424601 509.82

10 1 12 144 1728 20736 248832 2985984 35831808 429981696 5159780352 61917364224 371.99

11 1 13 169 2197 28561 371293 4826809 62748517 8157307211060449937

3 1.37858E+11 374.1

Langkah 3 Kurangkan semua baris ke baris 1

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 2 16 98 544 2882 14896 75938 384064 1933442 9706576 -240.844 0 3 27 189 1215 7533 45927 277749 1673055 10058013 60407127 -228.235 0 4 40 316 2320 16564 116920 821356 5758240 40333924 282416200 -99.626 0 5 55 485 4015 32525 261415 2094965 16770655 134198045 1073682775 -84.957 0 6 72 702 6480 58806 530712 4780782 43040160 387400806 3486725352 38.878 0 7 91 973 9919 99757 999271 9997813 99993439 999980317 9999940951 -88.81

9 0 8 112 1304 14560 160808 1770832 19484984 214352320 23579280082593736555

2 22.6

10 0 9 135 1701 20655 248589 2985255 35829621 429975135 51597606696191730517

5 -115.2311 0 10 160 2170 28480 371050 4826080 62746330 815724160 10604479690 1.37858E+11 -113.12

Langkah 4 Normalisasi baris ke-21 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 1 8 49 272 1441 7448 37969 192032 966721 4853288 -120.424 0 1 9 63 405 2511 15309 92583 557685 3352671 20135709 -76.076666675 0 1 10 79 580 4141 29230 205339 1439560 10083481 70604050 -24.9056 0 1 11 97 803 6505 52283 418993 3354131 26839609 214736555 -16.997 0 1 12 117 1080 9801 88452 796797 7173360 64566801 581120892 6.4783333338 0 1 13 139 1417 14251 142753 1428259 14284777 142854331 1428562993 -12.687142869 0 1 14 163 1820 20101 221354 2435623 26794040 294741001 3242170694 2.825

10 0 1 15 189 2295 27621 331695 3981069 47775015 573306741 6879700575 -12.8033333311 0 1 16 217 2848 37105 482608 6274633 81572416 1060447969 13785843280 -11.312

Langkah 5 Kurangkan Baris berikutnya ke baris 2

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 2 26 230 1730 11942 78386 498710 3110210 19146182 70.473333335 0 0 3 42 405 3360 25863 191142 1380585 9841020 69614523 121.6456 0 0 4 60 628 5724 48916 404796 3295156 26597148 213747028 129.567 0 0 5 80 905 9020 85085 782600 7114385 64324340 580131365 153.02833338 0 0 6 102 1242 13470 139386 1414062 14225802 142611870 1427573466 133.86285719 0 0 7 126 1645 19320 217987 2421426 26735065 294498540 3241181167 149.375

10 0 0 8 152 2120 26840 328328 3966872 47716040 573064280 6878711048 133.746666711 0 0 9 180 2673 36324 479241 6260436 81513441 1060205508 13784853753 135.238

Langkah 6 Normalisasi baris ke-3

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.22

2 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 1 13 115 865 5971 39193 249355 1555105 9573091 35.236666675 0 0 1 14 135 1120 8621 63714 460195 3280340 23204841 40.548333336 0 0 1 15 157 1431 12229 101199 823789 6649287 53436757 32.397 0 0 1 16 181 1804 17017 156520 1422877 12864868 116026273 30.605666678 0 0 1 17 207 2245 23231 235677 2370967 23768645 237928911 22.310476199 0 0 1 18 235 2760 31141 345918 3819295 42071220 463025881 21.33928571

10 0 0 1 19 265 3355 41041 495859 5964505 71633035 859838881 16.7183333311 0 0 1 20 297 4036 53249 695604 9057049 117800612 1531650417 15.02644444

Langkah 7 Kurangkan baris berikutnya ke baris 3

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.1066666675 0 0 0 2 38 460 4540 39942 327138 2556080 19341080 14.418333336 0 0 0 3 60 771 8148 77427 690732 5925027 49572996 6.267 0 0 0 4 84 1144 12936 132748 1289820 12140608 112162512 4.4756666678 0 0 0 5 110 1585 19150 211905 2237910 23044385 234065150 -3.819523819 0 0 0 6 138 2100 27060 322146 3686238 41346960 459162120 -4.790714286

10 0 0 0 7 168 2695 36960 472087 5831448 70908775 855975120 -9.41166666711 0 0 0 8 200 3376 49168 671832 8923992 117076352 1527786656 -11.10355556

Langkah 8 Normalisasi baris ke-4

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.55

3 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.1066666675 0 0 0 1 19 230 2270 19971 163569 1278040 9670540 7.2091666676 0 0 0 1 20 257 2716 25809 230244 1975009 16524332 2.0866666677 0 0 0 1 21 286 3234 33187 322455 3035152 28040628 1.1189166678 0 0 0 1 22 317 3830 42381 447582 4608877 46813030 -0.7639047629 0 0 0 1 23 350 4510 53691 614373 6891160 76527020 -0.798452381

10 0 0 0 1 24 385 5280 67441 833064 10129825 122282160 -1.3445238111 0 0 0 1 25 422 6146 83979 1115499 14634544 190973332 -1.387944444

Langkah 9 Kurangkan baris berikutnya ke baris 4

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.1066666675 0 0 0 0 1 25 380 4550 47271 447195 3961210 -1.89756 0 0 0 0 2 52 826 10388 113946 1144164 10815002 -7.027 0 0 0 0 3 81 1344 17766 206157 2204307 22331298 -7.987758 0 0 0 0 4 112 1940 26960 331284 3778032 41103700 -9.8705714299 0 0 0 0 5 145 2620 38270 498075 6060315 70817690 -9.905119048

10 0 0 0 0 6 180 3390 52020 716766 9298980 116572830 -10.4511904811 0 0 0 0 7 217 4256 68558 999201 13803699 185264002 -10.49461111

Langkah 10

Normalisasi baris ke-5

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.55

3 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.1066666675 0 0 0 0 1 25 380 4550 47271 447195 3961210 -1.89756 0 0 0 0 1 26 413 5194 56973 572082 5407501 -3.517 0 0 0 0 1 27 448 5922 68719 734769 7443766 -2.6625833338 0 0 0 0 1 28 485 6740 82821 944508 10275925 -2.4676428579 0 0 0 0 1 29 524 7654 99615 1212063 14163538 -1.98102381

10 0 0 0 0 1 30 565 8670 119461 1549830 19428805 -1.74186507911 0 0 0 0 1 31 608 9794 142743 1971957 26466286 -1.499230159

Langkah 11

Kurangkan baris berikutnya ke baris 5

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.1066666675 0 0 0 0 1 25 380 4550 47271 447195 3961210 -1.89756 0 0 0 0 0 1 33 644 9702 124887 1446291 -1.61257 0 0 0 0 0 2 68 1372 21448 287574 3482556 -0.7650833338 0 0 0 0 0 3 105 2190 35550 497313 6314715 -0.5701428579 0 0 0 0 0 4 144 3104 52344 764868 10202328 -0.08352381

10 0 0 0 0 0 5 185 4120 72190 1102635 15467595 0.15563492111 0 0 0 0 0 6 228 5244 95472 1524762 22505076 0.398269841

Langkah 12

Normalisasi baris ke-6

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.13

4 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.1066666675 0 0 0 0 1 25 380 4550 47271 447195 3961210 -1.89756 0 0 0 0 0 1 33 644 9702 124887 1446291 -1.61257 0 0 0 0 0 1 34 686 10724 143787 1741278 -0.3825416678 0 0 0 0 0 1 35 730 11850 165771 2104905 -0.1900476199 0 0 0 0 0 1 36 776 13086 191217 2550582 -0.020880952

10 0 0 0 0 0 1 37 824 14438 220527 3093519 0.03112698411 0 0 0 0 0 1 38 874 15912 254127 3750846 0.066378307

Langkah 13

Kurangkan baris berikutnya ke baris 6

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.1066666675 0 0 0 0 1 25 380 4550 47271 447195 3961210 -1.89756 0 0 0 0 0 1 33 644 9702 124887 1446291 -1.61257 0 0 0 0 0 0 1 42 1022 18900 294987 1.2299583338 0 0 0 0 0 0 2 86 2148 40884 658614 1.4224523819 0 0 0 0 0 0 3 132 3384 66330 1104291 1.591619048

10 0 0 0 0 0 0 4 180 4736 95640 1647228 1.64362698411 0 0 0 0 0 0 5 230 6210 129240 2304555 1.678878307

Langkah 14

Normalisasi baris ke-7

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.13

4 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.1066666675 0 0 0 0 1 25 380 4550 47271 447195 3961210 -1.89756 0 0 0 0 0 1 33 644 9702 124887 1446291 -1.61257 0 0 0 0 0 0 1 42 1022 18900 294987 1.2299583338 0 0 0 0 0 0 1 43 1074 20442 329307 0.711226199 0 0 0 0 0 0 1 44 1128 22110 368097 0.530539683

10 0 0 0 0 0 0 1 45 1184 23910 411807 0.41090674611 0 0 0 0 0 0 1 46 1242 25848 460911 0.335775661

Langkah 15 Kurangkan baris berikutnya ke baris 7

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.1066666675 0 0 0 0 1 25 380 4550 47271 447195 3961210 -1.89756 0 0 0 0 0 1 33 644 9702 124887 1446291 -1.61257 0 0 0 0 0 0 1 42 1022 18900 294987 1.2299583338 0 0 0 0 0 0 0 1 52 1542 34320 -0.5187321439 0 0 0 0 0 0 0 2 106 3210 73110 -0.699418651

10 0 0 0 0 0 0 0 3 162 5010 116820 -0.81905158711 0 0 0 0 0 0 0 4 220 6948 165924 -0.894182672

Langkah 16 Normalisasi baris ke-8

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.106666667

5 0 0 0 0 1 25 380 4550 47271 447195 3961210 -1.89756 0 0 0 0 0 1 33 644 9702 124887 1446291 -1.61257 0 0 0 0 0 0 1 42 1022 18900 294987 1.2299583338 0 0 0 0 0 0 0 1 52 1542 34320 -0.5187321439 0 0 0 0 0 0 0 1 53 1605 36555 -0.349709325

10 0 0 0 0 0 0 0 1 54 1670 38940 -0.27301719611 0 0 0 0 0 0 0 1 55 1737 41481 -0.223545668

Langkah 17 Kurangkan baris berikutnya ke baris 8

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.1066666675 0 0 0 0 1 25 380 4550 47271 447195 3961210 -1.89756 0 0 0 0 0 1 33 644 9702 124887 1446291 -1.61257 0 0 0 0 0 0 1 42 1022 18900 294987 1.2299583338 0 0 0 0 0 0 0 1 52 1542 34320 -0.5187321439 0 0 0 0 0 0 0 0 1 63 2235 0.169022817

10 0 0 0 0 0 0 0 0 2 128 4620 0.24571494711 0 0 0 0 0 0 0 0 3 195 7161 0.295186475

Langkah 18 Normalisasi baris ke-9

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.1066666675 0 0 0 0 1 25 380 4550 47271 447195 3961210 -1.8975

6 0 0 0 0 0 1 33 644 9702 124887 1446291 -1.61257 0 0 0 0 0 0 1 42 1022 18900 294987 1.2299583338 0 0 0 0 0 0 0 1 52 1542 34320 -0.5187321439 0 0 0 0 0 0 0 0 1 63 2235 0.169022817

10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 64 2310 0.12285747411 0 0 0 0 0 0 0 0 1 65 2387 0.098395492

Langkah 19 Kurangkan baris berikutnya ke baris 9

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.1066666675 0 0 0 0 1 25 380 4550 47271 447195 3961210 -1.89756 0 0 0 0 0 1 33 644 9702 124887 1446291 -1.61257 0 0 0 0 0 0 1 42 1022 18900 294987 1.2299583338 0 0 0 0 0 0 0 1 52 1542 34320 -0.5187321439 0 0 0 0 0 0 0 0 1 63 2235 0.169022817

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 75 -0.04616534411 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 152 -0.070627326

Langkah 20 Normalisasi baris ke-10

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.1066666675 0 0 0 0 1 25 380 4550 47271 447195 3961210 -1.89756 0 0 0 0 0 1 33 644 9702 124887 1446291 -1.6125

7 0 0 0 0 0 0 1 42 1022 18900 294987 1.2299583338 0 0 0 0 0 0 0 1 52 1542 34320 -0.5187321439 0 0 0 0 0 0 0 0 1 63 2235 0.169022817

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 75 -0.04616534411 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 76 -0.035313663

Langkah 21 Kurangkan baris 11 ke baris 10

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.1066666675 0 0 0 0 1 25 380 4550 47271 447195 3961210 -1.89756 0 0 0 0 0 1 33 644 9702 124887 1446291 -1.61257 0 0 0 0 0 0 1 42 1022 18900 294987 1.2299583338 0 0 0 0 0 0 0 1 52 1542 34320 -0.5187321439 0 0 0 0 0 0 0 0 1 63 2235 0.169022817

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 75 -0.04616534411 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.010851681

Langkah 22 Normalisasi baris ke-11

1 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 487.222 0 1 7 37 175 781 3367 14197 58975 242461 989527 -146.553 0 0 1 12 97 660 4081 23772 133057 724260 3863761 26.134 0 0 0 1 18 205 1890 15421 116298 830845 5709330 9.1066666675 0 0 0 0 1 25 380 4550 47271 447195 3961210 -1.89756 0 0 0 0 0 1 33 644 9702 124887 1446291 -1.61257 0 0 0 0 0 0 1 42 1022 18900 294987 1.229958333

8 0 0 0 0 0 0 0 1 52 1542 34320 -0.5187321439 0 0 0 0 0 0 0 0 1 63 2235 0.169022817

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 75 -0.04616534411 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.010851681

Kemudian, setelah diperoleh semua data maka dilakukan pembuktian. Tujuannya

yaitu untuk mengetahui apakah hasil yang diperoleh itu benar.

C Pn (Resistivitas)

3 487.224 340.675 246.386 258.997 387.60000018 402.279 526.0899999

10 398.409999511 509.820001112 371.989998813 374.099998

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

1. Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam

matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi.

2. Kelebihan metode eliminasi gauss yaitu menentukan apakah sistem konsisten,

menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka dan lebih

mudah untuk memecahkan.

3. Kelemahan dari metode eliminasi gauss yaitu memiliki masalah akurasi saat

pembulatan desimal.

4. Pivot adalah perpotongan kolom pivot dengan baris pivot.

5. Ada 2 jenis tata ancang pivoting, yaitu pivoting sebagian dan pivoting lengkap.

4.2 Saran

Makalah ini kami susun agar memberikan manfaat yang besar bagi para pembaca.

Kami berharap makalah ini dapat dijadikan  sebagai bahan kajian sehingga dapat memberikan

lebih kejelasan bagi para pembaca tentang sub bab yang telah kami bahas. Kemudian

menurut kami, makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu kami berharap kesedian

bagi para pembaca  untuk memberikan kritik dan saran yang bersifat membangun, penulis

harapkan semoga menjadi hasil yang terbaik dan lebih sempurna di kemudian hari.

DAFTAR PUSTAKA

Anonim.2014. http://www.academia.edu/8696102/Program_Linier_Metode_Pivot

Hakiqi, Fauziah Nurul.2013. http://fauziahnurulhakiqi.blogspot.com/2013/12/metode-

numerik-metode-eliminasi-gauss.html

Kurniawan, Eko. 2012. Eliminasi Gauss. Cirebon : IAIN Syekh Nurjati

Santoso, Muhammad Agung. 2012. https://muhammadagungsantoso.wordpress.com/tag/

pivoting/