magnitude ~ extend the euler characteristics via möbius inversion ~

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Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc. 2017/10/07 s.t.@simizut22 ロマンティック数学ナイト@MathPower Day1 M E M

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2017/10/07 s.t.@simizut22ロマンティック数学ナイト@MathPower Day1

M→E→M

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Contents

目的

Möbius 関数

Euler 標数

Magnitude

まとめ

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目的

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目的

Euler 標数 𝜒は次の意味で一種の測度、または “個数” と思える

1. (有限加法性)

𝜒 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝜒 𝐴 + 𝜒 𝐵 − 𝜒 𝐴 ∩ 𝐵

2. (積 preserving)

𝜒 𝐴 × 𝐵 = 𝜒 𝐴 ⋅ 𝜒 𝐵

Euler 標数は object の”次元”に非依存な重要な値を与える

→ Euler 標数を拡張することには意味があるだろう

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目的

Euler 標数を位相空間以外に対して与える試み

1. Rota による Posetの Euler 標数

2. Baez & Dolanによる Groupoid に対する Groupoid Cardinality

3. Category 𝔸に対して分類空間を用いた Euler 標数 𝜒 𝐵𝔸

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目的

これらと一致する圏の Euler 標数を

Möbius 関数を使用して定義する

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注意

この発表では若干ながら圏論の言葉が使われています。

もしこれらに馴染みのない方は

alg-d.comへ

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0. Möbius 関数の進展

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0. Möbius 関数の進展

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0. Möbius 関数の進展

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0. Möbius 関数の進展

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1. Number Theoretic Möbius Inversion

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1. Number Theoretic Möbius Inversion

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1. Number Theoretic Möbius Inversion

Möbius (1831) による古典的なMöbius関数

𝜇 𝑛 ≔ −1 𝑟 𝑛 = 𝑝1⋯𝑝𝑟

0 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒

について、

Möbius 反転公式が成り立つ。i.e.

𝜁 n = 1 ∶ ℕ → ℂ

を定数関数とすると、Dirichlet convolutionに

関して 𝜇は 𝜁の right-inverse.

August Ferdinand Möbius(画像はwikiより

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2. Möbius Inversion for Posets

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2. Möbius Inversion for Posets

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2. Möbius Inversion for Posets

Gian-Carlo Rota(1932-1999)画像は A Biographical Memoir by Joseph P.S. Kungより抜粋

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2. Möbius Inversion for Poset

ℙ,≤ を有限な半順序集合(locally finite poset)とする

ℙ × ℙ行列 Zを

𝑍𝑎,𝑏 = 1, 𝑎 ≤ 𝑏0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒

で定める

Thm(Hall 1936)

𝑍は正則でありその逆行列 𝜇ℙ = 𝑍−1は

𝜇𝑎,𝑏 =

𝑛∈ℕ

−1 𝑛 ⋅ # 𝑎 = 𝑎0 < ⋯ < 𝑎𝑛 = 𝑏

で表される。これを Poset ℙのメビウス関数という

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2. Möbius Inversion for Poset

Posetに対する上の定義は、最初のMöbius 関数の定義を次の意味で拡張している。

ℤ>0上に divisibility によって半順序を入れる。i.e.

𝑎 ≼ 𝑏 ⇔ 𝑎は 𝑏を割り切る a | b

このとき、

𝜇ℤ>0 𝑎 ∣ 𝑏 = 𝜇𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑖𝑐 𝑏

𝑎

𝑏:𝑎≤𝑏≤𝑐 𝜇ℙ 𝑎 ≤ 𝑏 = 𝛿𝑎,𝑐を使用して帰納的に確認できる

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3. Fine Möbius Inversion for categories

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3. Fine Möbius Inversion for categories

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3. Fine Möbius Inversion for categories

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4. Coarse Möbius Inversion for categories

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4. Coarse Möbius Inversion for categories

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4. Coarse Möbius Inversion for categories

Rota による構成のアナロジーを “よい”圏に対して行いたい

Def(Möbius 関数)

𝔸 ∶を finite category とする。

ob𝔸 × ob𝔸-行列 Zを𝑍𝑎,𝑏 ≔ #Hom𝔸 𝑎, 𝑏

とする。

Z が正則のとき、その逆行列𝜇𝔸 ≔ 𝑍−1 ∈ GL ob𝔸; 𝑘

を 𝔸のMöbius 関数という。

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4. Coarse Möbius Inversion for categories

例1(Poset)

Poset ℙに対しては

| Posetに対してのMöbius 関数

| Category に対してのMöbius 関数

の一致は明らか

例2 (Monoid)

Monoid Mを object をただ一つ持つ category と思うと、

𝜁 = #𝑀

𝜇 =1

#𝑀

特にMonoid(or Grp)は常にMöbius Inversion を持つことを表す

これはMonoid に対する Cartier & Foata (1969) と一致

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4. Coarse Möbius Inversion for categories

Möbius 反転公式の類似が categoryのMöbius 関数についても成立

Thm

𝑋:𝔸 → 𝑆𝑒𝑡を表現可能関手の直和とする i.e.

𝑋 ≈

𝑎

∃𝑟 𝑎 Hom𝔸 𝑎, −

このとき、 𝑟 𝑎 はMöbius 関数 𝜇を用いて以下のようにかける。

𝑟 𝑎 =

𝑏

#𝑋𝑏 ⋅ 𝜇 𝑏, 𝑎

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4. Coarse Möbius Inversion for categories

例(モンモール数の計算)

完全順列の総数 𝑑𝑛 :モンモール数(Montmort number)を計算してみる

𝔻𝑁を 1,… ,𝑁を object とし、Hom𝔻𝑁

𝑖, 𝑗 = 𝑖 ↪ [𝑗]

を射の集合とする圏とする

また 𝑆:𝔻𝑁 → 𝑆𝑒𝑡を 𝑆 𝑛 ≔ 𝔖𝑛という関手とする。

関手 𝑆は表現可能関手の直和に分解する:

𝑆 ≈

𝑛

𝑑𝑛 Hom𝔻𝑁 𝑛, −

よって、Möbius反転公式から

𝑑𝑛 =

𝑚

𝑆𝑚 ⋅ 𝜇𝔻𝑁 𝑚, 𝑛 = 𝑛!

1

0!−1

1!+ ⋯+

−1 𝑛

𝑛!

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5. Euler Characteristics via Möbius function

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5. Euler Characteristics via Möbius function

定義(Euler 標数 for category)

Möbius inversion を持つ圏 𝔸に対し

𝜒 𝔸 ≔

𝑎,𝑏∈𝑜𝑏𝔸

𝜇𝔸 𝑎, 𝑏

を Euler 標数という。

Prop

1. 𝜒は直和、直積を保つ

2. 𝔸 ⋍ 𝔹 ⇒ 𝜒 𝔸 = 𝜒 𝔹

3. 𝐹:𝔸 ⇄ 𝔹:𝐺を随伴, i.e. 𝐹 ⊣ 𝐺とすると 𝜒 𝔸 = 𝜒 𝔹

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5. Euler Characteristics via Möbius function

グラフに対しての Euler 標数と category に対しての Euler 標数は”一致”

Prop.

𝐺 = 𝑉, 𝐸 :有限 acyclic quiver 対し、

𝜒 𝐹 𝐺 = 𝑉 − 𝐸

ここで 𝐹 𝐺 は free category on G

Remark:

ここから、

逆に圏を有向グラフと思えるが、その Euler 標数は射の合成にはよらず、その underlying graph にしか依存していない不変量であることがわかる

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5. Euler Characteristics via Möbius function

分類空間 𝐵𝔸の Euler 標数が定義される、”適切な”圏に対しては、位相的なEuler 標数と category に対してのそれは一致する

Prop.

適切な圏 𝔸に対し分類空間の(位相的な) Euler 標数が定まるとする

𝜒 𝐵𝔸 = 𝜒 𝔸

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5. Euler Characteristics via Möbius function

例 (Groupid)

𝔾を有限 groupoid とし各連結成分から 1 点 𝑎𝑖をとる。

このとき

𝜒 𝔾 =

𝑖

1

#Aut 𝑎𝑖

これは Baez & Dolan (2001)の Groupooid Cardinality と一致

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5. Euler Characteristics via Möbius function

三角形分割された多様体に対しては、その face posetを経由することでEuler 標数が定義される

一方、位相的(または (co)homology 的) な Euler 標数も定義できるが、整数係数で両者は一致(Leinster & Moerdijk)

i.e. 次は可換

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6. From Euler Characteristics to Magnitude

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6. From Euler Characteristics to Magnitude

Euler 標数はMagnitude という概念に一般化されている

𝒱 : semi-cartesian monoidal category

𝕏 : 𝒱上の豊穣圏(category enriched over 𝒱 )

𝐴:𝒱 → 𝐴𝑏 : small functor

というデータに対し、𝕏の 𝐴係数Magnitude が定義される

例:

1. 𝑆𝑒𝑡上の豊穣圏は通常の圏

↝ Magnitude for (locally fin.) category

1. Poset ℤ≥0 ∪ {∞}上の豊穣圏は Graph

↝ Magnitude for Graph

1. 距離空間は ][0,∞ 上の豊穣圏と思える(Lawvere ‘73

↝ Magnitude for (cpt) Metric Space

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6. From Euler Characteristics to Magnitude

コンパクト距離空間 Xに対し、そのmagnitude を 𝑋 で表すとする。

例:

1. 𝜙 = 0

2. ∗ = 1

3. ∗← 𝑙 →∗ =2

1+𝑒−𝑙→

1 𝑙 → +02 𝑙 → ∞

Magnitude は(Euler 標数に対して述べたように) 点の個数と思える

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6. From Euler Characteristics to Magnitude

距離空間 Xに対し距離を t 倍した距離空間を tXで書くとする。

例:

この X について tXの変化を見よう

Observation:

• t が small のとき tX はほぼ 1pt( 0 次元 )に見える

• t が普通のとき、 tXはだいたい円周(1 次元)に見える

• t が largeのとき、 tXはほぼ空集合(0 次元)のように見える

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6. From Euler Characteristics to Magnitude

Def: (Magnitude Dimension)dim 𝑋, 𝑡 ≔ growth 𝑡𝑋 , 𝑡

where

growth 𝑓, 𝑡 =𝑑 log𝑓 𝑡

𝑑 log𝑡

Growth の例:

𝑓 = 𝐶𝑡𝑛のとき、 growth 𝑓, 𝑡 = 𝑛 □

Magnitude Dimension の例:

Euclid 空間 ℝ𝑛の半径 r 以下のなす球体の体積は ∃𝑐𝑟𝑛

よって、半径 1 の球体𝐷𝑛について

dim 𝐷𝑛, 𝑡 = 𝑛 ∀𝑡

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6. From Euler Characteristics to Magnitude

先ほど挙げた例

に対しMagnitude Dimension は次のようなグラフで与えられる。

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6. From Euler Characteristics to Magnitude

Thm(Barcelo & Carbery 2015)

𝑋 ⊂ ℝ𝑛: compact に対しlim𝑡→+0

𝑡𝑋 = 1

Remark:

ℓ1 𝑛𝑜𝑟𝑚の場合は比較的簡単。 ℓ2 𝑛𝑜𝑟𝑚ではもうちょい複雑

Thm: (Meckes 2015)

𝑋 ⊂ ℝ𝑛: compact に対しlim𝑡→∞

dim 𝑋, 𝑡 = dim𝑀𝑖𝑛𝑘 𝑋

右辺はミンコフスキー次元

証明は再生核Hilbert 空間(RKHS) での Fourier 解析による

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応用

ある生態系における種の多様性を測るのにMagnitude を使用している

Ref:

* T. Leinster. 2009 “A maximum entropy theorem with applications to the measurement of biodiversity. “

* T. Leinster and C. Cobbold. 2012 “Measuring diversity: the importance of species similarity. “

* T. Leinster and M. W. Meckes. 2016 “Maximizing diversity in biology and beyond.”

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まとめ

• 数論的なメビウス関数の Posetへの拡張(主に Rota により)

• 局所有限な圏に対する類似の構成

• メビウス関数を経由して Euler 標数が圏に対して定まる

• それは Poset, Monoid, groupid, graph, etcに対するその他の構成を含む

• 豊穣圏に対して定義を拡張↝ Magnitude

• 圏論的な構成で与えられたMagnitude が幾何学的な不変量を与えた

• Magnitude の categorification :Magnitude Homology の構成

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