magnitude ~ extend the euler characteristics via möbius inversion ~
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2017/10/07 s.t.@simizut22ロマンティック数学ナイト@MathPower Day1
M→E→M
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目的
Euler 標数 𝜒は次の意味で一種の測度、または “個数” と思える
1. (有限加法性)
𝜒 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝜒 𝐴 + 𝜒 𝐵 − 𝜒 𝐴 ∩ 𝐵
2. (積 preserving)
𝜒 𝐴 × 𝐵 = 𝜒 𝐴 ⋅ 𝜒 𝐵
Euler 標数は object の”次元”に非依存な重要な値を与える
→ Euler 標数を拡張することには意味があるだろう
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目的
Euler 標数を位相空間以外に対して与える試み
1. Rota による Posetの Euler 標数
2. Baez & Dolanによる Groupoid に対する Groupoid Cardinality
3. Category 𝔸に対して分類空間を用いた Euler 標数 𝜒 𝐵𝔸
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注意
この発表では若干ながら圏論の言葉が使われています。
もしこれらに馴染みのない方は
alg-d.comへ
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1. Number Theoretic Möbius Inversion
Möbius (1831) による古典的なMöbius関数
𝜇 𝑛 ≔ −1 𝑟 𝑛 = 𝑝1⋯𝑝𝑟
0 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
について、
Möbius 反転公式が成り立つ。i.e.
𝜁 n = 1 ∶ ℕ → ℂ
を定数関数とすると、Dirichlet convolutionに
関して 𝜇は 𝜁の right-inverse.
August Ferdinand Möbius(画像はwikiより
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2. Möbius Inversion for Posets
Gian-Carlo Rota(1932-1999)画像は A Biographical Memoir by Joseph P.S. Kungより抜粋
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2. Möbius Inversion for Poset
ℙ,≤ を有限な半順序集合(locally finite poset)とする
ℙ × ℙ行列 Zを
𝑍𝑎,𝑏 = 1, 𝑎 ≤ 𝑏0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
で定める
Thm(Hall 1936)
𝑍は正則でありその逆行列 𝜇ℙ = 𝑍−1は
𝜇𝑎,𝑏 =
𝑛∈ℕ
−1 𝑛 ⋅ # 𝑎 = 𝑎0 < ⋯ < 𝑎𝑛 = 𝑏
で表される。これを Poset ℙのメビウス関数という
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2. Möbius Inversion for Poset
Posetに対する上の定義は、最初のMöbius 関数の定義を次の意味で拡張している。
ℤ>0上に divisibility によって半順序を入れる。i.e.
𝑎 ≼ 𝑏 ⇔ 𝑎は 𝑏を割り切る a | b
このとき、
𝜇ℤ>0 𝑎 ∣ 𝑏 = 𝜇𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑖𝑐 𝑏
𝑎
∵
𝑏:𝑎≤𝑏≤𝑐 𝜇ℙ 𝑎 ≤ 𝑏 = 𝛿𝑎,𝑐を使用して帰納的に確認できる
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4. Coarse Möbius Inversion for categories
Rota による構成のアナロジーを “よい”圏に対して行いたい
Def(Möbius 関数)
𝔸 ∶を finite category とする。
ob𝔸 × ob𝔸-行列 Zを𝑍𝑎,𝑏 ≔ #Hom𝔸 𝑎, 𝑏
とする。
Z が正則のとき、その逆行列𝜇𝔸 ≔ 𝑍−1 ∈ GL ob𝔸; 𝑘
を 𝔸のMöbius 関数という。
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4. Coarse Möbius Inversion for categories
例1(Poset)
Poset ℙに対しては
| Posetに対してのMöbius 関数
| Category に対してのMöbius 関数
の一致は明らか
例2 (Monoid)
Monoid Mを object をただ一つ持つ category と思うと、
𝜁 = #𝑀
𝜇 =1
#𝑀
特にMonoid(or Grp)は常にMöbius Inversion を持つことを表す
これはMonoid に対する Cartier & Foata (1969) と一致
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4. Coarse Möbius Inversion for categories
Möbius 反転公式の類似が categoryのMöbius 関数についても成立
Thm
𝑋:𝔸 → 𝑆𝑒𝑡を表現可能関手の直和とする i.e.
𝑋 ≈
𝑎
∃𝑟 𝑎 Hom𝔸 𝑎, −
このとき、 𝑟 𝑎 はMöbius 関数 𝜇を用いて以下のようにかける。
𝑟 𝑎 =
𝑏
#𝑋𝑏 ⋅ 𝜇 𝑏, 𝑎
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4. Coarse Möbius Inversion for categories
例(モンモール数の計算)
完全順列の総数 𝑑𝑛 :モンモール数(Montmort number)を計算してみる
𝔻𝑁を 1,… ,𝑁を object とし、Hom𝔻𝑁
𝑖, 𝑗 = 𝑖 ↪ [𝑗]
を射の集合とする圏とする
また 𝑆:𝔻𝑁 → 𝑆𝑒𝑡を 𝑆 𝑛 ≔ 𝔖𝑛という関手とする。
関手 𝑆は表現可能関手の直和に分解する:
𝑆 ≈
𝑛
𝑑𝑛 Hom𝔻𝑁 𝑛, −
よって、Möbius反転公式から
𝑑𝑛 =
𝑚
𝑆𝑚 ⋅ 𝜇𝔻𝑁 𝑚, 𝑛 = 𝑛!
1
0!−1
1!+ ⋯+
−1 𝑛
𝑛!
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5. Euler Characteristics via Möbius function
定義(Euler 標数 for category)
Möbius inversion を持つ圏 𝔸に対し
𝜒 𝔸 ≔
𝑎,𝑏∈𝑜𝑏𝔸
𝜇𝔸 𝑎, 𝑏
を Euler 標数という。
Prop
1. 𝜒は直和、直積を保つ
2. 𝔸 ⋍ 𝔹 ⇒ 𝜒 𝔸 = 𝜒 𝔹
3. 𝐹:𝔸 ⇄ 𝔹:𝐺を随伴, i.e. 𝐹 ⊣ 𝐺とすると 𝜒 𝔸 = 𝜒 𝔹
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5. Euler Characteristics via Möbius function
グラフに対しての Euler 標数と category に対しての Euler 標数は”一致”
Prop.
𝐺 = 𝑉, 𝐸 :有限 acyclic quiver 対し、
𝜒 𝐹 𝐺 = 𝑉 − 𝐸
ここで 𝐹 𝐺 は free category on G
Remark:
ここから、
逆に圏を有向グラフと思えるが、その Euler 標数は射の合成にはよらず、その underlying graph にしか依存していない不変量であることがわかる
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5. Euler Characteristics via Möbius function
分類空間 𝐵𝔸の Euler 標数が定義される、”適切な”圏に対しては、位相的なEuler 標数と category に対してのそれは一致する
Prop.
適切な圏 𝔸に対し分類空間の(位相的な) Euler 標数が定まるとする
𝜒 𝐵𝔸 = 𝜒 𝔸
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5. Euler Characteristics via Möbius function
例 (Groupid)
𝔾を有限 groupoid とし各連結成分から 1 点 𝑎𝑖をとる。
このとき
𝜒 𝔾 =
𝑖
1
#Aut 𝑎𝑖
これは Baez & Dolan (2001)の Groupooid Cardinality と一致
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5. Euler Characteristics via Möbius function
三角形分割された多様体に対しては、その face posetを経由することでEuler 標数が定義される
一方、位相的(または (co)homology 的) な Euler 標数も定義できるが、整数係数で両者は一致(Leinster & Moerdijk)
i.e. 次は可換
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6. From Euler Characteristics to Magnitude
Euler 標数はMagnitude という概念に一般化されている
𝒱 : semi-cartesian monoidal category
𝕏 : 𝒱上の豊穣圏(category enriched over 𝒱 )
𝐴:𝒱 → 𝐴𝑏 : small functor
というデータに対し、𝕏の 𝐴係数Magnitude が定義される
例:
1. 𝑆𝑒𝑡上の豊穣圏は通常の圏
↝ Magnitude for (locally fin.) category
1. Poset ℤ≥0 ∪ {∞}上の豊穣圏は Graph
↝ Magnitude for Graph
1. 距離空間は ][0,∞ 上の豊穣圏と思える(Lawvere ‘73
↝ Magnitude for (cpt) Metric Space
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6. From Euler Characteristics to Magnitude
コンパクト距離空間 Xに対し、そのmagnitude を 𝑋 で表すとする。
例:
1. 𝜙 = 0
2. ∗ = 1
3. ∗← 𝑙 →∗ =2
1+𝑒−𝑙→
1 𝑙 → +02 𝑙 → ∞
Magnitude は(Euler 標数に対して述べたように) 点の個数と思える
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6. From Euler Characteristics to Magnitude
距離空間 Xに対し距離を t 倍した距離空間を tXで書くとする。
例:
この X について tXの変化を見よう
Observation:
• t が small のとき tX はほぼ 1pt( 0 次元 )に見える
• t が普通のとき、 tXはだいたい円周(1 次元)に見える
• t が largeのとき、 tXはほぼ空集合(0 次元)のように見える
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6. From Euler Characteristics to Magnitude
Def: (Magnitude Dimension)dim 𝑋, 𝑡 ≔ growth 𝑡𝑋 , 𝑡
where
growth 𝑓, 𝑡 =𝑑 log𝑓 𝑡
𝑑 log𝑡
Growth の例:
𝑓 = 𝐶𝑡𝑛のとき、 growth 𝑓, 𝑡 = 𝑛 □
Magnitude Dimension の例:
Euclid 空間 ℝ𝑛の半径 r 以下のなす球体の体積は ∃𝑐𝑟𝑛
よって、半径 1 の球体𝐷𝑛について
dim 𝐷𝑛, 𝑡 = 𝑛 ∀𝑡
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6. From Euler Characteristics to Magnitude
先ほど挙げた例
に対しMagnitude Dimension は次のようなグラフで与えられる。
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6. From Euler Characteristics to Magnitude
Thm(Barcelo & Carbery 2015)
𝑋 ⊂ ℝ𝑛: compact に対しlim𝑡→+0
𝑡𝑋 = 1
Remark:
ℓ1 𝑛𝑜𝑟𝑚の場合は比較的簡単。 ℓ2 𝑛𝑜𝑟𝑚ではもうちょい複雑
Thm: (Meckes 2015)
𝑋 ⊂ ℝ𝑛: compact に対しlim𝑡→∞
dim 𝑋, 𝑡 = dim𝑀𝑖𝑛𝑘 𝑋
右辺はミンコフスキー次元
証明は再生核Hilbert 空間(RKHS) での Fourier 解析による
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応用
ある生態系における種の多様性を測るのにMagnitude を使用している
Ref:
* T. Leinster. 2009 “A maximum entropy theorem with applications to the measurement of biodiversity. “
* T. Leinster and C. Cobbold. 2012 “Measuring diversity: the importance of species similarity. “
* T. Leinster and M. W. Meckes. 2016 “Maximizing diversity in biology and beyond.”
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まとめ
• 数論的なメビウス関数の Posetへの拡張(主に Rota により)
• 局所有限な圏に対する類似の構成
• メビウス関数を経由して Euler 標数が圏に対して定まる
• それは Poset, Monoid, groupid, graph, etcに対するその他の構成を含む
• 豊穣圏に対して定義を拡張↝ Magnitude
• 圏論的な構成で与えられたMagnitude が幾何学的な不変量を与えた
• Magnitude の categorification :Magnitude Homology の構成