m electromagnetismo

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Mathematica a vuelo de pajaro y ejemplos de su uso en ElectromagnetismoM.A. Rodríguez-Meza Departamento de Física, Universidad Iberoamericana, Santa Fe.

México, D.F., Abril 18, 2005.

Este tutorial es una breve introducción a Mathematica. Te da los elementos básicos que necesitas para iniciarte en el uso deesta herramienta. Para eso te mostraremos varias de las facetas de Mathematica:

• Como calculadora • Su poder de cálculo

• El uso de sus algoritmos • El conocimiento de las matemáticas con su uso

• Construcción de cálculos • Manejo de datos

• Visualización • Sus notebooks

• Su interacción con el medio ambiente • Su idea unificadora

• Como lenguaje de programación • Escribiendo programas

En particular, pero sobre todo, queremos mostrarte un par de ejemplos de su uso como una herramienta para aprenderElectricidad y Magnetismo.

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¿Qué es Mathematica?Mathematica es un sistema para hacer matematicas y otros cálculos técnicos; nosotros preguntamos y Mathematica nos dauna respuesta. Además, Mathematica contiene un lenguaje de programación que nos permite crear funciones o programassimples o sofisticados, y una interface que la hace de procesador de palabras, como herramienta de bosquejo y preparación detextos matemáticos.

Tres de las clases de cómputo que Mathematica hace son:

-cálculos numéricos (como los aritméticos y la evaluación de funciones),

-cálculos simbólicos (como los algebráicos y de cálculo diferencial o integral), y

-cálculos gráficos (como mostrar gráficas en dos o tres dimensiones de datos o funciones).

Las dos partes principales de Mathematica son el núcleo (kernel) y la interface con el usuario (front end). El front end es lainterface de Mathematica, la cual nos provee con un procesador de palabras y un ambiente para bosquejar, llamado notebook,que nos permite introducir comandos y texto que lo acompaña, mientras que el kernel realiza los cálculos matemáticos.

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Mathematica a vuelo de pajaro (parte II) 1

Resumen de la notación más importante de MathematicaTodas las funciones preconstruidas comienzancon la primera letra mayúscula.

Abs@-22DUse [ ] para encerrar los argumentos de la función. Mod@7, 3DUse {} para encerrar los elementos de una lista. 81, 2, 3<Use () para indicar la agrupación de términos. aê Hb cLexpr/.x Ø y significa “en expr reemplace x por y”. p^2 ê. p Ø 2

Use = para asignar un valor a una variable. y = 3.8

Use == para expresar igualdad. Solve@x^2 ã 3, xDUse := para definir una función. f@x_D := x^2

Use x_ para indicar una expresión arbi-traria llamada x.

f@x_D := x^2

Use expr // comando para aplicar el comandoa expr.

Hx + yL^2 êêExpand

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Ejemplos en Electrostática: Campo eléctrico de un dipoloConsidere un dipolo eléctrico que consiste de una carga positiva y una negativa, las car-gas son de igual magnitud y están separadas una distancia d.

2 M.A. Rodríguez-Meza

a. Encuentre el potencial, y grafique las lineas equipotenciales en el plano y = 0. Hagauna gráfica tridimensional del campo eléctrico.

b. Exprese el potencial en coordenadas esféricas y expandalo en potencias de d ê r, man-teniendo solo los términos de orden dominante. Cálcule el campo eléctrico.

c. Anime el campo eléctrico estático de un dipolo rotando. Esto es, considere un dipoloque está girando alrededor del eje-y con un ángulo q, y gráfique el campo eléctrico deeste dipolo in el plano 8x, z< para una secuencia de valores de q.

Solución

In[1]:= Off@General::spell1D;Off@General::spellD;

In[3]:= Clear["Global`*"];

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Ejemplos en Electrostática: Campo eléctrico de un dipolo [Parte a]In[4]:= monopole@q_, p0_: 80, 0, 0<, p1_: 8x, y, z<D :=

qÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Hp0 - p1L.Hp0 - p1L

In[5]:= dipole = Hmonopole@-q, 80, 0, -d ê 2<D +monopole@+q, 80, 0, +d ê 2<DL

Out[5]= -q

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ"##########################################x2 + y2 + H- dÅÅÅ2 - zL2 +q

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ"#######################################x2 + y2 + H dÅÅÅ2 - zL2


In[6]:= ContourPlot@dipole ê. 8q Ø 1, d Ø 1, y Ø 0< êê Evaluate,8x, -2, 2<, 8z, -2, 2<,PlotPoints Ø 45,Contours Ø 21,ColorFunction Ø Hue,Axes Ø True,AxesLabel Ø 8"x-axis", "z-axis"<D;

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

x-axis

z-axis

In[7]:= Needs@"Graphics`PlotField3D`"D;


In[8]:= plot =PlotGradientField3D@

-dipole ê. 8q Ø 1, d Ø 1< êê Evaluate,8x, -0.5, 0.5<, 8y, -0.5, 0.5<, 8z, -1.0, 1.0<,PlotPoints Ø 6,ColorFunction Ø Hue,VectorHeads Ø True,ScaleFunction Ø H1 &L,BoxRatios Ø 81, 1, 2<D;


In[9]:= Show@plot, ViewPoint -> 80, 3, 0< D;

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Ejemplos en Electrostática: Campo eléctrico de un dipolo [Parte b]Esta parte, a este nivel puede quitarse.

In[10]:= Needs@"Calculus`VectorAnalysis`"D;In[11]:= x2rRule = Thread@8x, y, z< Ø

CoordinatesToCartesian@8r, q, j<, SphericalDDOut[11]= 8x Ø r Cos@jD Sin@qD, y Ø r Sin@qD Sin@jD, z Ø r Cos@qD<In[12]:= potential = dipole ê. x2rRule êê Simplify

Out[12]= 2 q ikjjj 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!d2 + 4 r2 - 4 d r Cos@qD -

1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!d2 + 4 r2 + 4 d r Cos@qD y{zzz

In[13]:= dipoleR =Series@potential, 8r, ¶, 2<D êê Normal êê Simplify

Out[13]=d q Cos@qDÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

r2


In[14]:= eField = -Grad@dipoleR, Spherical@r, q, jDDOut[14]= 9 2 d q Cos@qD

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅr3

,d q Sin@qDÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

r3, 0=

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Ejemplos en Electrostática: Campo eléctrico de un dipolo [Parte c]In[15]:= Needs["Graphics`PlotField`"];

In[16]:= Needs@"Graphics`PlotField3D`"D;In[17]:= rotDipole@q_D =H monopole@+1, 1 ê 2 8+Sin@qD, 0, +Cos@qD<D +

monopole@-1, 1ê 2 8-Sin@qD, 0, -Cos@qD<D L;In[18]:= frames = 10;

Do@PlotGradientField@

-rotDipole@qD ê. 8y Ø 0<,8x, -2, 2<, 8z, -2, 2<,PlotPoints Ø 14,VectorHeads Ø True,ScaleFunction Ø H1 &LD, 8q, 2 p ê frames, 2 p, 2 p ê frames<D


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Ejemplos en Electrostática: Campo eléctrico de un cuadrupolo [a]In[20]:= quadrupole = Hmonopole@+q, 8-a, -a, 0<D

+ monopole@+q, 8-a, a, 0<D+ monopole@+q, 8a, a, 0<D+ monopole@+q, 8a, -a, 0<DL

Out[20]=q

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H-a - xL2 + H-a - yL2 + z2+

qÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Ha - xL2 + H-a - yL2 + z2

+

qÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H-a - xL2 + Ha - yL2 + z2

+q

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Ha - xL2 + Ha - yL2 + z2

In[21]:= quadrupole ê. 8x Ø 0, y Ø 0<Out[21]=

4 qÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2 a2 + z2

In[22]:= eField = -Grad@quadrupole, Cartesian@x, y, zDDOut[22]= 9-

q H-a - xLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHH-a - xL2 + H-a - yL2 + z2L3ê2 -

q Ha - xLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHHa - xL2 + H-a - yL2 + z2L3ê2 -

q H-a - xLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHH-a - xL2 + Ha - yL2 + z2L3ê2 -

q Ha - xLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHHa - xL2 + Ha - yL2 + z2L3ê2 ,

-q H-a - yL

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHH-a - xL2 + H-a - yL2 + z2L3ê2 -q H-a - yL

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHHa - xL2 + H-a - yL2 + z2L3ê2 -q Ha - yL

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHH-a - xL2 + Ha - yL2 + z2L3ê2 -

q Ha - yLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHHa - xL2 + Ha - yL2 + z2L3ê2 , q z

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHH-a - xL2 + H-a - yL2 + z2L3ê2 +

q zÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHHa - xL2 + H-a - yL2 + z2L3ê2 +

q zÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHH-a - xL2 + Ha - yL2 + z2L3ê2 +

q zÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHHa - xL2 + Ha - yL2 + z2L3ê2 =

In[23]:= eField = -Grad@quadrupole, Cartesian@x, y, zDD ê.8x Ø 0, y Ø 0, z Ø 0<Out[23]= 80, 0, 0<

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Ejemplos en Electrostática: Campo eléctrico de un cuadrupolo [b]In[24]:= plot =

PlotGradientField3D@quadrupole ê. 8q Ø 1, a Ø 1< êê Evaluate,8x, -0.5, 0.5<, 8y, -0.5, 0.5<, 8z, -1.0, 1.0<,PlotPoints Ø 6,ColorFunction Ø Hue,VectorHeads Ø True,ScaleFunction Ø H1 &L,BoxRatios Ø 81, 1, 2<D;


In[25]:= Show@plot, ViewPoint -> 80, 3, 0< D;

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Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniformeEncuentre el movimiento de una partícula cargada en un campo magnético constante: (a) Resoloviendo las ecuaciones demovimiento que resultan de combinar la segunda ley de Newton

(1)F = m a

con la fuerza de Lorentz

(2)F = q HE + v µ BL(E = 0) y con la condición inicial 8x, y, z< = 80, 0, 0<. (b) Grafique la trayectoria resultante a lo largo del campomagnético.

Solución



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Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme [a]Parte a

Definimos los vectores de aceleración, velocidad y de campo magnético,

In[29]:= acceleration = 8x''@tD, y''@tD, z''@tD<;velocity = 8x'@tD, y'@tD, z'@tD<;magneticField = 80, 0, B<;

Las ecuaciones de movimiento para las componentes son

In[32]:= eq1 = acceleration == q ê m Cross@velocity, magneticFieldD êê Thread

Out[32]= 9x££@tD ãB q y£@tDÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

m, y££@tD ã -

B q x£@tDÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

m, z££@tD ã 0=

Encontraremos necesario introducir w implicitamente definida por la relación w = B q ê mIn[33]:= eq1 = eq1 ê. 8B Ø m ê q w<Out[33]= 8x££@tD ã w y£@tD, y££@tD ã -w x£@tD, z££@tD ã 0<Las condiciones iniciales son:

In[34]:= initial = 8x@0D ã 0, x'@0D ã v0x,y@0D ã 0, y'@0D ã v0y,z@0D ã 0, z'@0D ã v0z<;

La solución para las variables se encuentran de

In[35]:= dsol = DSolve@Join@8eq1, initial<D, 8x@tD, y@tD, z@tD<, tD êê Flatten êê FullSimplify

Out[35]= 9x@tD Øv0y - v0y Cos@t wD + v0x Sin@t wDÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

w,

y@tD Øv0x H-1 + Cos@t wDL + v0y Sin@t wDÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

w, z@tD Ø t v0z=

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Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme [b]Parte b

Las trayectorias pueden ser graficadas usando el comando ParametricPlot3D. Escogemos arbitrariamente los valores

In[36]:= values = 8B Ø m ê q w, w Ø 1, v0x Ø 1, v0y Ø 1, v0z Ø 1 ê 10 <;Note que tomamos v0z relativamente pequeño comparado a v0x y v0y (vea el efecto de otros valores). Las graficas para latrayectoria están dadas por


In[37]:= plot1 =ParametricPlot3D@8x@tD, y@tD, z@tD, [email protected]<< ê. dsol ê. values êê Evaluate,8t, 0, 8 p<,PlotPoints Ø 100 D;

0

1

2

-2

-1

0

0

1

2

0

1

2

-2

-1

0

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Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme [b] ... (continuación)Esta trayectoria puede ser combinada con el campo magnético usando el comando PlotVectorField3D que está en elpaquete Graphics`PlotField3D`. Note que el campo magnético es constante en la dirección z, entonces graficamos elcampo vectorial 80, 0, 1< para representarlo,


In[38]:= Needs@"Graphics`PlotField3D`"Dplot2 = PlotVectorField3D@ 80, 0, 1< êê Evaluate,8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<, 8z, 0, 2<,

VectorHeads Ø True ,PlotPoints Ø 4D;

Combinando las gráficas, tenemos:


In[40]:= Show@plot1, plot2D;

-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2

0

1

2

-2

-1

0

1

2

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Campo magnético producido por un alambre recto largoConsidere un alambre recto largo de longitud 2 a y que transporta una corriente I. La ley de Biot-Savart nos dice que

(3)B =m0 IÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p

‡-a

a xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHx2 + y2L3ê2 „y

Muestre que el resultado final es:

(4)B =m0 IÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p

a

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx Hx2 + a2L1ê2

Muestre que el límite a Ø ¶ de la expresión anterior es:

(5)B =m0 I

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p x

Solución

La ley de Biot-Savart se escribe de manera general como


Integremos la expresion


In[42]:= B =m0 I0ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p

IntegrateA xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHx2 + y2L3ê2 , 8y, -a, a<, Assumptions Ø x œ Reals && a œ Reals && a > 0E

Out[42]=a I0 m0

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p x è!!!!!!!!!!!!!!!a2 + x2

In[43]:= B¶ = Limit@B, a Ø ¶DOut[43]=

I0 m0ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p x

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Campo magnético producido por un alambre recto largo (infinito)En un punto cualquiera a una distancia r de un alambre infinito que transporta una corriente I0 , el campo magnético es

(6)B¶ =m0 I0ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p r2

k µ r

donde k` es el vector unitario en la dirección z.

In[44]:= Needs@"Calculus`VectorAnalysis`"D;In[45]:= iu = 81, 0, 0<; ju = 80, 1, 0<; ku = 80, 0, 1<;In[46]:= rv = x iu + y ju;

In[47]:= Cross@ku, rvDOut[47]= 8-y, x, 0<In[49]:= Clear@B¶DIn[50]:= B¶@x_, y_, z_D :=

m0 I0ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p DotProduct@rv, rvD Cross@ku, rvD

In[51]:= B¶@x, y, zDOut[51]= 9-

I0 y m0ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p Hx2 + y2L ,

I0 x m0ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p Hx2 + y2L , 0=

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Campo magnético producido por un alambre recto infinito (Gráficas)In[52]:= Needs@"Graphics`PlotField3D`"D;


In[53]:= p1 = PlotVectorField3D@B¶@x, y, zD ê. 8I0 Ø 1, m0 Ø 1<,8x, -1, 1<, 8y, -1, 1<, 8z, -1, 1<,PlotPoints Ø 6,VectorHeads Ø True,ViewPoint Ø 81, 1, 3<,ColorFunction Ø Hue,ScaleFunction Ø H1 &L,ViewPoint Ø 82, 2, 16<D;


In[54]:= Needs@"Graphics`PlotField`"D;PlotVectorField@

B¶@x, y, zD@@81, 2<DD ê. 8I0 Ø 1, m0 Ø 1<,8x, -3, 3<, 8y, -3, 3<,PlotPoints Ø 20,VectorHeads Ø True,ColorFunction Ø Hue,ScaleFunction Ø H1 &LD;

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Manejo de unidades. Ejemplo 1En esta parte de la presentación mostraremos varios ejemplos que nos enseñan el manejo de las unidades en Mathematica.

Dos placas paralelas tienen cargas iguales y opuestas. Cuando se evacúa el espacio entre las placas, el campo eléctrico es E = 3.20¥105 V/m. Cuando el mismo espacio se llena con dieléctrico, el campo eléctrico es E = 2.50¥105 V/m. (a) ¿Cuál es la densidad de carga en cada superficie del dieléctrico? (b) ¿Cuál es la constante dieléctrica?

Solución:

(a) El campo eléctrico entre las placas del condensador, cuando no hay material entre ellas, es

(7)E0 =s

ÅÅÅÅÅÅÅe0


entonces,

(8)s = e0 E0

haciendo los cálculos



In[59]:= Volts = metros *Newtonsê Coulombs;In[60]:= e0 = 8.854 *10-12 Coulombs2 ê HNewtons* metros2L;In[61]:= E0 = 3.20* 105 Volts ê metros;In[62]:= s = e0 E0

Out[62]=2.83328µ 10-6 CoulombsÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

metros2

Cuando se coloca un dieléctrico entre las placas se induce una carga sobre las superficies de esta, y entonces el campo ahoraes

(9)Ef =sefÅÅÅÅÅÅÅÅÅe0

=s - siÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

e0

de donde

(10)si = s - e0 Ef

haciendo los cálculos

In[63]:= Ef = 2.50* 105 Volts ê metros;In[64]:= si = s - e0 Ef

Out[64]=6.1978 µ 10-7 CoulombsÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

metros2

(b) La constante dieléctrica está determinada por

(11)K =E0ÅÅÅÅÅÅÅE

lo cual nos da

In[65]:= K = E0ê EfOut[65]= 1.28

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Manejo de unidades. Ejemplo 2Un capacitor esférico consta de dos corazas conductoras concéntricas separadas por un vacío. La esfera interior tiene un radio de 10.0 cm y la separación entre las esferas es de 1.5 cm. La magnitud de la carga de cada esfera es de 3.30 nC. (a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las dos esferas? (b) ¿Cuál es la energía de campo eléctrico almacenada en el capacitor?

Solución:

(a) La diferencia de potencial en un capacitor de placas esféricas está dada por la fórmula:

(12)Vab =Q

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 pe0

rb - raÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅra rb

donde Q = 3.30 nC, ra = 10.0 cm, rb = ra + 1.5 cm, e0 es la permitividad del vacío. Hagamos las siguientes defini-ciones en Mathematica


In[67]:= nano = 10-9;

In[68]:= kilo = 103;

In[69]:= centi = 10-2;

In[70]:= Volts = metros *Newtonsê Coulombs;In[71]:= e0 = 8.854 *10-12 Coulombs2 ê HNewtons* metros2L;In[72]:= Q = 3.30 nano Coulombs

Out[72]= 3.3µ 10-9 Coulombs

In[73]:= ra = 10.0 centi metros

Out[73]= 0.1 metros

In[74]:= rb = ra + 1.5 centi metros

Out[74]= 0.115 metros

La diferencia de potencial se calcula con

In[75]:= Vab =Q

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p e0

rb - raÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅra rb

Out[75]=38.6864 metros NewtonsÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

Coulombs

(b) La energía de campo eléctrico almacenada en el capacitor está dada por

(13)U =1ÅÅÅÅ2

Q V

Haciendo el cálculo tenemos


In[76]:= U =1ÅÅÅÅ2

Q Vab

Out[76]= 6.38325µ 10-8 metros Newtons


m electromagnetismo

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