luiza jaramillo
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República Bolivariana de Venezuela.
Universidad Nororiental privada “Gran Mariscal de Ayacucho”
Escuela de Ingeniería de Mtto. Industrial.
Sede El Tigre
MODELOS MATEMÁTICOS Y SISTEMA FÍSICO,
MODELO DISCRETO, SOLUCION DISCRETA
INTEGRANTES:
JARAMILLO LUIZA
ZABALA JOSE
NAVARRO YENNIRE
POLEO OSWUAL
LUGO YULIZMA
AGUILAR KELVIS
Sistemas y Modelos
• Se entiende por sistema a un conjunto de cosas que
ordenadamente relacionadas entre si, contribuyen a
determinado objetivo.
• Abordar la realidad desde este concepto es lo que
denominamos enfoque sistémico.
• Según el cual, los factores determinantes de la
naturaleza son totalidades irreductibles a la suma de
sus partes --> objetos sinérgicos.
Modelos
• Es una abstracción de la realidad.
• Es una representación de la realidad que ayuda a
entender cómo funciona.
• Es una construcción intelectual y descriptiva de una
entidad en la cual un observador tiene interés.
• Se construyen para ser transmitidos.
• Supuestos simples son usados para capturar el
comportamiento importante.
Un modelo es un sistema desarrollado para entender la realidad y en
consecuencia para modificarla.
No es posible modificar la realidad, en cierta dirección, si es que no se
dispone de un modelo que la interprete.
Maneras de estudiar un
sistema • Según Law y Kelton
Sistema
Experimentar con el
sistema
Experimentar con un modelo
del sistema
Modelo
físico Modelo
matemático
Solución
analítica SIMULACIÓN
• El gráfico muestra el proceso de decisión de cómo realizar el estudio de un sistema.
• En primer lugar hacer el estudio directamente en el sistema o en un modelo.
• Luego si es en un modelo matemático o físico.
• Y finalmente si es en modelo analítico o la simulación.
Simulación
• La simulación puede ser obtenida de las siguiente forma:
• Observación de un sistema físico
• Formulación de una hipótesis o modelo matemático para
explicar una observación
• Predicción del comportamiento del sistema de soluciones o
propiedades del modelo matemático
• Teste de validad de la hipótesis o modelo matemático
Modelos matemáticos
• Un Modelo matemático es una formulación o una ecuación que
expresa las características esenciales de un sistema físico o proceso
en términos matemáticos
fuerza de
funciones , parámetros ,
ntesindependie
variables
edependient
Variable f
• Variable dependiente: característica que refleja el comportamiento o estado
de un sistema
• Variables independientes: generalmente dimensiones tales como tiempo y
espacio, a través de las cuales se determina el comportamiento del sistema
• Parámetros: son las propiedades o la composición del sistema
• Funciones de fuerza: influencias externas que actúan sobre el sistema
Un modelo matemático simple
• Segunda Ley de Newton
maF m
Fa
• a: variable dependiente
• F: función de fuerza
• m: parámetro que representa una propiedad del sistema
Por su forma algebraica sencilla puede despejarse directamente
Un modelo matemático más
complicado
• Segunda Ley de Newton para determinar la velocidad terminal de
caída libre de un cuerpo cerca de la superficie de la Tierra
(paracaidista)
m
F
dt
dv cvmgFFF
UD
• g: aceleración de la gravedad
• c: coef. de arrastre
vm
cg
dt
dv
Sustituyendo F
Es una ecuación diferencial
Solución analítica tmce
c
gmtv
/1
*Hay casos donde es imposible obtener una solución analítica
Un modelo matemático más
complicado • Solución numérica
– Se busca una aproximación a la razón de cambio de la
velocidad con respecto al tiempo con una diferencia finita
dividida
ii
ii
tt
tvtv
t
v
dt
dv
1
1
i
ii
iitv
m
cg
tt
tvtv
1
1
Sustituyendo
Solución numérica
*Es necesario el valor de la velocidad en un tiempo inicial ti
iiiii
tttvm
cgtvtv
11
0 2 4 6 8 10 120
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
v, m/s
t, s
Pendiente
verdadera
Pendiente
aproximada
Un modelo matemático más
complicado
• Solución analítica vs. Solución numérica
*mejor solución numérica implica mayor costo computacional
0 2 4 6 8 10 120
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
v,
m/s
t, s
Solucion analitica
Solucion numerica
El estado del sistema cambia en tiempos discretos del
tiempo
e = f(nT)
Método numérico: usa procedimientos computacionales
para resolver el modelo matemático.
Un modelo Discreto
Las variables de estado del sistema cambian en un cierto
instante o secuencia de instantes, y permanecen
constantes el resto del tiempo. La secuencia de instantes
sigue un patrón periódico.
Modelo Discreto
estado
tiempo t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7
Estructura de un modelo de
simulación
si = f(ci, ni)
ci: variable exógena controlable
ni: variable exógena no controlable
ei: variable endógena (estado del sistema)
si: variable endógena (salida del sistema)
ci
ni
ni
si
si
ei
ei
ei
Modelos de Simulación de Eventos
Discretos
Los modelos de eventos discretos son modelos dinámicos,
estocásticos y discretos en los que las variables de estado
cambian de valor en instantes no periódicos de tiempo.
Un evento es el acontecimiento que hace variar el estado
del sistema.
Ejemplo: Sistema de procesado de órdenes o pedidos
EXPEDICIÓN
RECEPCIÓN
DE ÓRDENES
O PEDIDOS
PROCESADO
DEL PEDIDO
Modelos de Simulación de Eventos
Discretos
• En promedio se reciben 10 pedidos al día: el 40% son ordinarios y
el 60% restante son prioritarios
• El tiempo de procesado es de 2 horas para los pedidos ordinarios
y de 4 horas para las órdenes prioritarias
• Hay 4 trabajadores que trabajan 8 horas (de 9 a 17 horas)
• Sólo se aceptan pedidos hasta las 13 horas.
• La jornada se puede alargar hasta que se procesan todos los
pedidos pendientes.
¿Cuando es apropiado simular?
• No existe una completa formulación matemática del
problema (líneas de espera, problemas nuevos).
• Cuando el sistema aún no existe (aviones, carreteras).
• Es necesario desarrollar experimentos, pero su ejecución
en la realidad es difícil o imposible (armas,
medicamentos, campañas de marketing)
• Se requiere cambiar el periodo de observación del
experimento (cambio climático, migraciones, población).
• No se puede interrumpir la operación del sistema actual
(plantas eléctricas, carreteras, hospitales).
¿Cuándo no es apropiado
simular?
• El desarrollo del modelo de simulación requiere
mucho tiempo.
• El desarrollo del modelo es costoso comparado
con sus beneficios.
• La simulación es imprecisa y no se puede medir
su imprecisión. (El análisis de sensibilidad puede ayudar).
Sistema Físico
• Un modelo físico puede referirse a una construcción teórica (modelo
matemático) de un sistema físico. También a un montaje con objetos
reales que reproducen el comportamiento de algunos aspectos de un
sistema físico o mecánico más complejo a diferente escala (modelo
material en miniatura). El término aparece con diferentes acepciones
en el ámbito de la física o en el de la física aplicada, como la
ingeniería.
• En ingeniería los modelos físicos, por contraposición a los modelos
matemáticos y a los modelos analógicos, normalmente son
construcciones en escala reducida o simplificada de obras, máquinas
o sistemas de ingeniería para estudiar en ellos su comportamiento y
permitir así perfeccionar los diseños, antes de iniciar la construcción
de las obras u objetos reales. Por ese motivo, a este tipo de modelo
se le suele llamar también modelo reducido o modelo simplificado.
“El conocimiento de la Función de Transferencia de un
sistema proporciona un conjunto de informaciones
importantes acerca del sistema que representa”
“El diagrama de polos y ceros de la Función de
Transferencia de un sistema proporciona información
acerca de su respuesta natural y de la estabilidad”
Respuesta de un Sistema
Discreto
Respuesta de un Sistema Discreto
por Transformada Z
Sistema Lineal e
Invariante en Tiempo
(LIT)
x[n] Z{x[n]}=X(z)
En general
y[n] = (x[n])
Al aplicar Transformada Z a esta ecuación queda Y(z)
= Z{ (x[n])} entonces el objetivo es estudiar esa
ecuación en el plano z
y[n] Z{y[n]}=Y(z)
)()(2
1][
l Unilatera daTransforma-anti lay
][)(][
l Unilatera daTransforma la define se manera igual De
)()(2
1][
será Bilateral daTransforma-anti la que mientras
][)(][
será Bilateral daTransformasu ][función una Dada
1
0
1
zXdzzzXj
nx
Z
znxzXnx
Z
zXdzzzXj
nx
Z
znxzXnx
Znx
U
n
U
n
n
U
B
n
B
n
n
B
Respuesta de un Sistema Discreto
por Transformada Z
0
0
00
2121
1
1
]}[{
z dominio elen toEscalamien 4)
)(]}[{
Faseen entoDesplazami 3)
)(]}[][{
Tiempoen entoDesplazami 2)
)(*)(*]}[*][*{
Linealidad 1)
serán interés de spropiedade Algunas
)}({][
cióntransforma-anti ladenotar para ausar se operador el que mientras
]}[{)(
ación transformladenotar para operador el usará Se
00
0
z
zXnxzZ
zeXnxeZ
zXznnunnxZ
zXbzXanxbnxaZ
zXZnx
Z
nxZzX
Z
n
jnj
n
U
U
Respuesta de un Sistema Discreto
por Transformada Z
Diagrama de polos y ceros (ejemplo)
Re(z)
Imag(z)
0.3
-4
-2 -3
-0.5
Respuesta de un Sistema Discreto
por Transformada Z
4
1
-1
1
-1
si ][)(1
0 si ][)sen
1sen
0 si ][1
][
)cos(21
1)(
0 10con
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siguientes ticascaracterís las eorden tien segundo de sistemaUn
22
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nxnyrnyrny
n
n
n
jj
j
Respuesta de un Sistema Discreto
por Transformada Z
Conclusiones
• Los modelos se construyen para entender la realidad.
• Los modelos de simulación hacen uso intensivo del
computador
• El tipo de comportamiento de las variables determinan el
comportamiento del sistema.