los números racionales

UNIDAD IV

Bienvenidos a la Unidad IV de Números Racionales

Nuestro Tema Transversal es Identidad Cultural

AUTOR:

EUGENIO MARLON EVARISTO BORJA

DIVERSIFICACIÓN Aprendizajes esperados

Razonamiento y demostración

• Compara, ordena y representa números racionales

• Estima el resultado de operaciones con números racionales.

• Realiza y verifica operaciones utilizando la calculadora, para reflexionar sobre conceptos y para descubrir propiedades de las operaciones con los números racionales.

• Transforma fracciones en decimales y viceversa.

Comunicación Matemática

• Interpreta el significado de números naturales, enteros y racionales en diversas situaciones y contextos.

• Matematiza situaciones de contexto real, utilizando los números naturales, enteros o racionales y sus propiedades.

Resolución de Problemas

• Resuelve problemas que implican cálculos en expresiones numéricas con números naturales, enteros o racionales y Ecuaciones lineales con una incógnita.

• Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas.

Contenidos

Sistemas numéricos

• Representación, orden y operaciones con números racionales. Operaciones con fracciones y decimales.

Álgebra

• Ecuaciones lineales con una incógnita.

• Valor numérico de expresiones algebraicas.

NÚMEROS RACIONALES ℚ En la vida nos encontramos con situaciones en las que no es posible emplear números naturales o enteros.

Por ejemplo, decimos: •El partido de futbol es a las ocho y

media. •Estamos en el medio tiempo del

partido. •El precio de las lentejas es de S/. 1.40.

Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.

Los números racionales ℚ es la unión de los números enteros ℤ con las fracciones.

ℚ Fracciones

ℤ …,-5, -4, -2, -1

ℕ 0, 1, 2, 3, …

0 1 2 3 -1 -2 -3 5

7

2

5

3

1

2

1

3

5

5

8… …

…

NÚMEROS RACIONALES ℚ

¿Qué son las fracciones?


El numerador indica las partes que se toman de la unidad. El denominador indica el número

de partes iguales en que se divide la unidad. El todo que dividimos en partes iguales

constituye la igualdad.

FRACCIONES

Cada pedazo es un cuarto de círculo: 4

1

El todo consta de cuatro cuartos: 14

4

La parte coloreada de la unidad consta: 4

3

4

3numerador

raya fracción

denominador

Fracción

1.1. Las fracciones como partes de un todo.


¿Cómo calculamos la fracción de una cantidad

numérica?


Para calcular la fracción de una unidad numérica:

•La unidad se divide entre el denominador y el resultado se multiplica

por el numerador.

FRACCIONES 1.2. Fracción de una cantidad numérica

El campo de juego mide 100m de largo y el entrendor me ha ordenado correr

2/5 de largo ¿cuanto tengo que correr?

100m 20m 20m 20m 20m 20m

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

40m

1. Divido el campo en 5 partes iguales. 2. Tomo las dos partes del todo. 3. El tramo que tengo que correr es de 40m.

De 100m; 100m÷5 = 20m x 2 = 40m 5

2

5

2100m

Fracción Cantidad

÷ =20m

x

=40m


¿Cuándo se dice que dos fracciones son

equivalentes?


Una fracción es irreductible si el numerador y el denominador son

primos entre sí.

1.3. FRACCIONES EQUIVALENTES. Simplificación.

Dos o más fracciones son equivalentes si representa la misma porción de la unidad.

4

1

8

2

16

4

Se tiene que las tres fracciones representan la misma porción del cuadrado, esto es:

16

4

8

2

4

1

Simplificar una fracción es hallar su fracción equivalente

irreductible.

1 y 4 son primos entre si 16

4

8

2

4

1

2

1

4

2

8

4

16

8

÷2

÷2

÷2 ÷2

÷2 ÷2


¿Qué son los números Mixtos?


1.4. Números Mixtos. Un número mixto tiene una

parte entera y una parte fraccionaria

4

4

4

1

FRACCIONES

+ = 4

5

14

1

+ = 4

11

4

11Parte entera Parte fraccionaria

Cuando una fracción es impropia se convierte en un número mixto

y a la inversa.

4

5 5 4

1 4

1 4

11

Fracción propia

Fracción impropia 6

7

5

4Numerador

menor que el denominador.

Denominador menor que el numerador.


¿Se puede reducir fracciones a común

denominador?


1.5. Reducir fracciones a común denominador.

Sí, para reducir fracciones a común denominador:

Primero: Halla el mínimo común múltiplo de los denominadores de las

fracciones dadas.

FRACCIONES

Segundo: Forma las fracciones equivalentes cuyo denominador es el mínimo común múltiplo encontrado.

Fano reduce las fracciones 2/3 y 3/5 a común denominador.

1. Halla el m.c.m. de (3;5)=15

15

6

15

52

3

2

x

2. Forma las fracciones equivalentes a 2/3 y 3/5 con denominador 15:

15

9

15

33

5

3

x

Alberto Rodríguez reduce las fracciones 2/3, 1/5 y 3/6 a común denominador.

1. Halla el m.c.m. de (3;5;6): 2x3x5=30

3-5-6 3-5-3 1-5-1 1-1-1

2 3 5

2. Forma las fracciones equivalentes a 2/3, 1/5 y 3/6 con denominador 30:

30

20

30

102

3

2

x

30

6

30

61

5

1

x

30

15

30

53

6

3

x


¿Se puede hacer comparación entre dos

fracciones?


1.6. Comparación de fracciones.

Sí, para comparar dos fracciones: Primero: Se reducen las

fracciones a común denominador.

FRACCIONES

Segundo: De las fracciones equivalentes obtenidas es mayor la que tiene mayor

numerador.

Claudio compara las fracciones 5/8 y 7/8. 1. No se reduce a común denominador, por que son iguales: 2. Compara los numeradores:

William Chiroke compara las fracciones 3/5 y 4/7.

1. Reduce las fracciones a común denominador

2. Compara los numeradores:

8

3

8

5 8

5

8

3 35

21

75

73

5

3

x

x

35

20

57

54

7

4

x

x

35

20

35

21

Por lo tanto: 7

4

5

3

OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES ℚ

¿Se puede sumar y restar dos fracciones?


1. Adición y Sustracción de fracciones.

Sí, para sumar o restar fracciones que tienen el mismo denominador: Primero: se escribe el denominador

común en la nueva fracción.

FRACCIONES

Segundo: Se suman o se restan los numeradores, y si es posible se simplifica el

resultado.

Claudio quiere sumar las fracciones 3/8 y 4/8. 1. Se escribe el denominador común:

8

3

2. Suma los numeradores:

8

4

William Chiroke desea restar 4/5 menos 3/5. 1. Se escribe el denominador común.

2. Resta los numeradores:

88

4

8

3

8

7

8

4

8

3

5

4

5

3 55

3

5

4

5

1

5

3

5

4

A las fracciones que tienen igual denominador se les llama fracciones

homogéneas.


¿Y que sucede si los denominadores son

diferentes?


1. Adición y Sustracción de fracciones.

Para sumar o restar fracciones que tienen diferente denominador:

Primero: Se reducen las fracciones a común denominador.

FRACCIONES

Segundo: Se suman o se restan las fracciones equivalentes y si es posible se simplifica el

resultado.

Libman corre 2/5 de la cancha de futbol luego corre ¼ ¿Cuánto corrió? 1. Se reducen las fracciones a común

denominador: • m.c.m.(5;4)=20 • Obtenemos las fracciones equivalen

2. Sumamos las fracciones:

Butron tiene un recipiente de agua con ¾ l. se toma 2/6 l, ¿cuánto agua queda?

1. Se reducen las fracciones a común denominador. • m.c.m. (4;6)=12 • Obtenemos las fracciones equivalentes.

2. Resta los numeradores:

20

8

20

42

5

2

x

20

13

20

5

20

8

4

1

5

2

20

5

20

51

4

1

x

12

9

12

33

4

3

x

12

4

12

22

6

2

x

12

5

12

4

12

9

6

2

4

3

A las fracciones que tienen distinto denominador se les llama fracciones

heterogéneas.

Butrón desea multiplicar 7/5 por 2/3.


¿Cómo puedo multiplicar dos fracciones?


2. Multiplicación de fracciones.

El producto de dos fracciones es una fracción:

•Cuyo numerador es igual al producto de los numeradores, y cuyo denominador es igual al producto de los denominadores.

FRACCIONES

La multiplicación de los racionales cumple con las siguientes propiedades.

Libman desea multiplicar 2/5 por 3/7.

35

6

75

32

7

3

5

2

x

xx

5

2

15

6

35

23

3

2

5

3

x

xx

Propiedad Expresión Ejemplo

Conmutativa ∀a y b Є ℚ(a.b) =(b.a)

Asociativa ∀a, b y c Є ℚ(a.b).c=a.(b.c)

Elemento Neutro

∀a Є ℚ a.1=a ó 1.a=a

Distributiva (adición)

∀a, b y c Є ℚ a(b+c) = a.b + a.c

Existencia del inverso

∀a ,b Є ℚ a.1/a=1 ó (a/b).(b/a)=1

5

2

7

3

7

3

5

2xx

10

3

7

4

5

2

10

3

7

4

5

2

7

3

7

31 x

13

7

7

3x

7

4

3

2

5

3

3

2

7

4

5

3

3

2


¿Podemos multiplicar un número por una fracción?


2.1. Multiplicación de un número por una fracción.

Sí, para multiplicar un número por una fracción:

Primero: Él número se multiplica por el numerador y el resultado es el nuevo

numerador.

FRACCIONES

Segundo: Se escribe el mismo denominador de la fracción.

Raúl Fernández patea una pelota al aire y rebota el doble de 2/5; la segunda vez, el triple de 2/5, la tercera, el cuádruple de 2/5. ¿En cuanto reboto cada vez?

Doble se multiplica por 2:

Triple se multiplica por 3:

Cuádruple se multiplica por 4:

5

4

5

22

5

22

xx

5

6

5

23

5

23

xx

5

8

5

24

5

24

xx

En todas las operaciones se tiene presente la ley de los

signos.


¿Cómo puedo dividir dos fracciones?


3. División de fracciones.

Para dividir dos fracciones: •Primero: Se multiplica la fracción

dividendo por el inverso de la fracción divisor.

FRACCIONES

El aguatero de la selección tiene 40l de agua y desea llenar botellas

de 2l , 1l, ½l, ¼l .

¿Cuántas botellas de cada tipo se pueden llenar?

20240 ll

40140 ll

802

140 ll

1604

140 ll

Farfán divide 5/7 entre 2/9. 1. Se multiplica la fracción dividendo por el inverso de la fracción divisor.

14

33

14

45

2

9

7

5

9

2

7

5 x

Para calcular el inverso de una fracción se pone el numerador en el denominador y el

denominador en el numerador.

3

7

7

3inv

5

14

14

5invSegundo: Se simplifica el

resultado de ser posible.


¿Cómo puedo potenciar fracciones?


4. Potenciación de fracciones.

Para potenciar fracciones : •Primero: Se procede igual que los

enteros, teniendo en cuenta la ley de los signos.

FRACCIONES

Ejemplo:

9

4

33

22

3

22

x

xSi el signo es negativo. Si el signo es negativo y el exponente es par:

64

27

444

333

4

33

xx

xx

25

16

55

44

5

42

x

x

25

16

)5)(5(

)4)(4(

5

42

125

64

5x5x5

4)4)(4)((

5

43

n

nn

a

b

b

a

1

0

b

a

n

n

aa

1

En la potenciación de ℚ se aplica

las mismas propiedades que en los ℤ.

Si el signo es negativo y el exponente es impar:


¿Cómo puedo calcular la radicación de

fracciones?


5. Radicación de fracciones.

Para calcular la radicación de fracciones :

Se calcula la raíz del numerador y del denominador.

FRACCIONES

Ejemplo:

2

1

4

1

4

1

Si el signo es negativo. Si el signo es negativo y el exponente es impar:

4

3

64

27

64

273

3

3

3

2

27

8

27

83

3

3

Si el signo es negativo y el exponente es par:

NENE

8181

9En la radicación de ℚ se aplica las

mismas propiedades que en los ℤ.

Fracciones

Decimales 0,1 cm 0,3 cm 0,7 cm


¿Qué son las fracciones decimales?

Las fracciones con denominador 10; 100; 1000… se llaman fracciones decimales y pueden escribirse

como números decimales.


2. NÚMEROS DECIMALES

cm10

1

2.1. Fracciones decimales y números

decimales

El entrenador, después de unas mediciones ha obtenido las siguientes fracciones:

cm10

3cm

10

7

Fracciones

Decimales 0,35 m 0,76 m 0,91 m

m100

35m

100

76m

100

91

2.2. Amplificación y simplificación de números decimales

Amplificar 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000

10000

5000

1000

500

100

50

10

5

Simplificar 0,5000 = 0,500 = 0,50 = 0,5

10

5

100

50

1000

500

10000

5000

<


5, 6 7 8


5, 6 7 9

Para comparar números decimales se compara, cifra a cifra, de izquierda a

derecha. 8 m < 9m

7 c = 7c

6 d = 6d

5U = 5U

2. NÚMEROS DECIMALES 2.3. Comparación de números decimales ¿Cómo se comparan los

números decimales?

2.4. Redondear números decimales

Redondear 65, 7892 a la centésima 6 5, 7 8 9 2

D U d c m dm

65, 79 Redondear 5, 17832 a la milésima

5, 1 7 8 3 2

U d c m dm cm

5,178

Para redondear números decimales: •Se fija la cifra a la que se desea redondear. •Se observa la cifra que está a la derecha de la cifra fijada, si es: 5, 6, 7, 8, ó 9 se redondea aumentando 1, si es: 0,1,2,3 ó 4 se redondea manteniendo la cifra.



Una fracción se puede encontrar de tres maneras.

2. NÚMEROS DECIMALES 2.5. Expresiones decimales periódicas y

números racionales ¿Cómo convierto un

número decimal en una fracción?

• En un número decimal

3,010

3

• Ilimitados periódicos puros

...333,03

1

• Decimales ilimitados periódicos mixtos

...1666,06

1

Se obtiene colocando la potencia de 10 en el denominador

0,3

1 cifra decimal 10

3

10

31

Se colocan tantos nueves según el número de cifras tenga la parte periódica

0,3 1 cifras decimales 3

1

9

3

Se colocan tantos nueves según la parte periódica y tantos ceros según la parte no periódica

0,16 2 cifras decimales 6

1

90

15

90

116



Una cantidad de cada 100 se llama tanto por ciento o porcentaje.

2. NÚMEROS DECIMALES 2.6. Tanto por ciento o porcentaje

¿Cómo se calcula el porcentaje?

Una varilla roja y otra verde se han dividido cada una en 100 partes iguales.

Libman ha tomado 25 pedazos de la varilla roja:

Butrón ha tomado 40 pedazos de la varilla verde:

100

25

100

40

Se dice que ha tomado 25%

Se dice que ha tomado 40%

2.7. Cálculo de porcentajes, fracciones y números decimales

Para calcular el porcentaje de una cantidad: •Se multiplica la cantidad por la fracción equivalente al porcentaje, o. •Se multiplica la cantidad por el número decimal equivalente al porcentaje.

Chiroke calcula el 15% de 250,

15% de 250: 50,37100

25015250

100

15

xx

Otra manera de calcular el 15% de 250, 15% de 250: 50,3725015,0 x

Puesto que: 15,0100

15%15


¿Se puede sumar y restar dos números decimales?


1. Adición y Sustracción de decimales.

2. NUMEROS DECIMALES

Para sumar o restar números decimales: • Se escriben uno debajo de otro, teniendo cuidado de que

la coma decimal esté en la misma vertical. • Se escriben los enteros bajo los enteros, las décimas

debajo de las décimas, las centésimas debajo de las centésimas, las milésimas debajo de las milésimas, etc.

• Se suman o se restan como números naturales; es decir, se suman o se restan entre sí las cifras del mismo orden.

Vargas ha corrido el campo. El lunes corrió 5456,34m y el martes 4567,76.m

5456,34m +4567,76m 10024,10m

Paolo tiene S/.2556,34 y gastó 1512,15.

S/.2556,34 -S/. 1512,15 S/. 1044,19

Claudio suma 4,58; 0,753 y 0,678 4,580

+0,753 +0,678

6,011

Observación: Para que los números decimales tengan la misma

cantidad de cifras decimales se completa con ceros donde falta.


¿Cómo puedo multiplicar números decimales?


2. Multiplicación de números decimales.

Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1000, … se corre hacia la

derecha la coma decimal 1, 2, 3, … espacios respectivamente.

Chiroke multiplica 7,83 por 10, 100 y 1000.


39,35 x17 27545 3935 668,95

Para multiplicar dos números decimales: •Se multiplica sin considerar las comas

decimales. •El resultado se separa con la coma,

empezando por la derecha, un número de cifras decimales igual a la suma de las que

tienen los dos factores.

8,235 x3,14 32940 8235 24705 25,85790

Para multiplicar un número decimal por un número natural: •Se multiplican los dos números sin tener en cuenta la coma decimal.

•En el resultado, se separan con la coma decimal, de derecha a izquierda, tantas cifras como tenga el número decimal.

7,83 x 10 78,3

7,83 x 100 783

7,83 x 1000 7830


¿Cómo puedo dividir números decimales?


3. División de números decimales.

Para dividir un número decimal entre 10, 100, 1000, … se corre hacia la

izquierda la coma decimal 1, 2, 3, … espacios respectivamente.


17,3 ÷ 10 1,73

17,3 ÷ 100 0,173

17,3 ÷ 1000 0,0173

Advincula divide 13,92 ÷ 2,4

13,92 x 100 y 2,4 x 100 1392 ÷ 240 1392 240

5,8 1200 1920

1920 0000

13,92 ÷ 2,4 = 5,8

Para dividir dos números decimales: •Se multiplican el dividendo y el divisor

por 10 ó por 100 ó 1000, … de modo que se transforma en números no decimales. •Luego, se dividen los números obtenidos

después de la multiplicación.


¿Cómo puedo hallar la fracción correspondiente a

un número decimal?


4. Generatriz de los números decimales.

Para hallar la fracción generatriz de un número decimal, se procede de

diferentes formas de acuerdo al caso.


Si el decimal es infinito: La fracción generatriz se obtiene escribiendo como numerador la parte decimal y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya.

Si el decimal periódico mixto: La fracción generatriz se obtiene escribiendo como numerador la parte no periódica seguida de un período menos la parte no periódica y como denominador tantos nueves como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.

Si el decimal es periódico puro: La generatriz se obtiene escribiendo como numerador un periodo y como denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo.

4

3

100

7575,0

11

2

99

18...181818,0

6

1

90

15

90

116...166666,0

ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES DE UNA INCOGNITA

¿Qué es una ecuación?


3.1. Ecuaciones. Una ecuación es una igualdad en la que hay un término desconocido, que recibe el nombre de incógnita

o variable, que representa a un número.

¿Cómo se resuelve una ecuación?

a) X+9=16 b) 35+z=18

c) 40 – x = 54 d) Z + 12 = 20

Ejemplo:

•La solución de una ecuación es el valor que toma la incógnita para que la igualdad sea

verdadera. •Resolver una ecuación es encontrar su

solución a) X+9=16

X+9-9=16-9

X=7 b) 35+z=16 35-35+z=16-35

z=-19

ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES DE UNA INCOGNITA

¿Qué es una inecuación?


3.2. Inecuaciones. Las desigualdades que tienen incógnitas se llaman inecuaciones

¿Cómo se resuelve una inecuación?

a) 3X<10 b) 3x+5>20

c) 5-2x ≤12 d) 1,2x+10≥ 20

Ejemplo:

a) 3X<10

3X÷3<10÷3

X<3,3 b) 1,2x+10≤20

1,2x+10-10≤20-10 1,2x÷1,2 ≤ 10÷1,2

C.S.={3,2;3,1; 3,0; ….} x ≤ 8,333..

C.S.={8,333; 8,3; 8,2….}

•Consiste en hallar un conjunto solución, es decir, encontrar aquel intervalo donde

están los valores que pueda tomar la incógnita para que verifique la inecuación.

Fin de los números racionales

¡Viva el Perú!

¡Viva Huánuco!

A los deportistas, cuyas imágenes son utilizadas en este material se les pide su comprensión por el uso de su imagen, toda vez que se hizo uso de ellas, para captar la atención de los estudiantes y poder alcanzar los aprendizajes esperados, es necesario recalcar que este material es difundido gratuitamente y sin fines de lucro.


los números racionales

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