logico - junio.doc

8/18/2019 LOGICO - JUNIO.doc

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GRADO6TOLÓGICO MATEMÁTICO I

1SISTEMAPASCUALSACO

“Si no puedes tener aquello que hubierasapreciado,

aprecia aquello que tienes”

MES DE :


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C ON T E N I D O

ARITMÉTICA

1. Operaciones Combinadas

* Adicin

* S!s"raccin

* M!#"ip#icacin

* Di$isin* Po"enciacin

* Radicacin

%. Operaciones

Combinadas con si&nos

de co#eccin

'. Teor(a de #os n)meros

1. M)#"ip#os di$isores.

%. Cri"erios de di$isibi#idad

+por %, ', -, , /, 0, , 2 134

ÁLGEBRA

E5presiones A&ebraicas

* 6rado de !n "7rmino8 abso#!"o

re#a"i$o

* 6rado de !n po#inomio

* Red!ccin de "7rminosseme9an"es

GEOMETRÍA

Polígonos

* Elementos

* Clasificación

- Por el número de lados

- Por su convexidad

- Por la congruencia de

sus lados y ángulos

* Propiedades

- Suma de ángulos internos

- Suma de ángulos

externos

- Número de diagonales

TRIGONOMETRÍAS

Raones

!rigonom"tricas # $Seno -

Coseno%


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LEONARDO FIBONACCI

:ibonacci; Leonardo +c. 1103 < c. 1%-34; "ambi7n ##amado

Leonardo Pisano; ma"em="ico i"a#iano >!e recopi#

di$!#& e# conocimien"o ma"em="ico de c#=sicos

&recorromanos; =rabes e indios rea#i? apor"aciones

en #os campos ma"em="icos de# =#&ebra #a "eor(a de #os

n)meros. :ibonacci naci en Pisa; !na ci!dad comercia#donde aprendi #as bases de# c=#c!#o de #os ne&ocios

mercan"i#es. C!ando :ibonacci "en(a !nos %3 a@os; se !e

a Ar&e#ia; donde empe? a aprender m7"odos de c=#c!#o

=rabes; conocimien"os >!e incremen" d!ran"e $ia9es m=s

#ar&os. :ibonacci !"i#i? es"a e5periencia para me9orar #as

"7cnicas de c=#c!#o comercia# >!e conoc(a para

e5"ender #a obra de #os escri"ores ma"em="icos &rie&os

Dioan"e E!c#ides.

Bos an >!edado pocas obras de :ibonacci. Escribi sobre #a "eor(a de n)meros; prob#emas

pr=c"icos de ma"em="icas comercia#es &eodesia; prob#emas a$an?ados de =#&ebra

ma"em="icas recrea"i$as. S!s escri"os sobre ma"em="icas recrea"i$as; >!e a men!do #os

e5pon(a como re#a"os; se con$ir"ieron en re"os men"a#es c#=sicos a en e# sio III. Es"os

prob#emas en"ra@aban #a s!ma de series rec!rren"es; como #a serie de :ibonacci >!e 7#

desc!bri +nFn!iera de #os n)meros de #a

serie. Le !e concedido !n sa#ario an!a# por #a ci!dad de Pisa en 1%-3 como reconocimien"o

de #a impor"ancia de s! "raba9o como a&radecimien"o por e# ser$icio p)b#ico pres"ado a #a

adminis"racin de #a ci!dad.


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OPERACIONES COMBINADAS

Orden a seguir :

1ro. Res!e#$e Ra(ces Po"encias

%do M!#"ip#icaciones Di$isiones

'ro

S!mas Res"as de i?>!ierda a dereca

Si !biesen si&nos de a&r!pacin 8

1ro. Par7n"esis + 4

%do. Corce"es

'ro. L#a$es J K

EJEMPLO 1

Reso!er : 5 × 7 + 3 × 2 – 96 ÷ 3 (Divisiones y multiplicaciones)

= 35 + 6

= 41

– 32

– 32

(primero aparece la suma)

(luego la resta)

= 9

EJEMPLO "

Reso#$er 8 ' × +% 16 4 × %% +% × 49 4

F +% -4 × - +% × 04

%1 × - 1-

F %% 1- F 1

F ' ×

F ' ×


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RE#$EL%E :

1 & × 0 G ' × % 2' ' F " & - × G %3 / % F

' & % × 13' G × 13% F ( & + × /4 +' 13N4 F

) & %1 G - × % +'/ G -24 G '% F 6 & '2/

3 × 12/- 22 G '0 G -' F

* &1 –

3

! + 64 – 49F + &

64 ÷ 16 + !1 ÷ 9 – 4F

, & 1 ' × 1% / G -% F 1 - &

F6

2 ÷ (2 3 + 5 )5+

2(2

x

– 5

3 )– 2

43


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7SISTEMAPASCUALSACO

I & RE#$EL%E E. T$ C$ADER.O :

1 & 62

÷ 4 + 1 ÷ 25 + 32

" & 23

4 – 32

÷ 9 + 52

÷ 2 5

' & " 169 × 4 – # 6 2 – (5 + 2 3 × 3)$% ÷ 3 2

( & 49 × 2 3 – 1 ÷ 5 + 36

) & ! – 2 – 25 – !1

6 & ! – 16 x ! + 64

* & 21 + 13 + 3 + 36

+ & '0 ' G %- × ' %5 - '5 +0

% /

%4

, & 12 – "24 ÷ 4 + 5 2 + (144 +2

3 x

)$2 – 7

4 x

1÷4%

1 -&

1! ÷ 45 x 3 x 5 – "7 x 6 ÷ 3 + # 196 ÷ 7 + 2 3 x 2$%


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TEORÍA DE ./MERO#

I & M/LTIPLO# 0 DI%I#ORE# DE $. ./MERO

1& M2i3os : Res!#"an de m!#"ip#icar c!a#>!ier n)mero por #os n)meros na"!ra#es.

E45 : M-

F J +- × 34; +- × 14; +- × %4; +- × '4 ..... K

M-

F J 3; -; ; 1%; 1/; %3 ..... K

" & Di!isores : Son "odos #os n)meros >!e di$iden e5ac"amen"e a o"ro.

E45 : D2 F J 1; '; 2 K por>!e 2 1 F 22 ' F '

2 2 F 1

D1

F J 1; %; '; /; 2; 1 K por >!7

I I & CRITERIO# DE DI%I#IBIL IDAD

C!ando e# n)mero "ermina en cira par.

C!ando a# s!mar #as ciras de# n)mero res!#"a m)#"ip#o de '.

E4e5 : 0%- 0 G % G - G F 1

1 G F 2

C!ando #as dos )#"imas ciras de# n)mero son ceros o orman

m)#"ip#o de -

E4e5 : 01'/ → m)#"ip#o de - +- 5 24

/33

dos ceros

C!ando e# n)mero "ermina en cero o en .

E4e5 : -%

113

1 & En2re "

" & En2re '

' & En2re (

( & En2re )


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1 & Escribe "odos #os di$isores +##amado "ambien ac"ores4 de #os n)merossi&!ien"es 8

D6

D!

D12

D1!

D24

D3

D35

D4

D45

" & U"i#i?ando #os cri"erios de di$isibi#idad; responde SI o BO

&l n'mero es ivisile por *** 2 3 4 5 6 ! 9 1

3 366

72 11

2 5!5

6 1!

5 !

3 41 734

69 575

43 767

455 792

14 265


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LABERINTO DEL MULTIPLO

&traviesa este la'erinto avanando en forma vartical y (oriontal solamente por las casillas)ue contengan números múltiplos de *+

#ngrese por el , y encontrará la sálida en el -,+

29 1! 16 69 2!9 4!1 3!1 472 71 563 344 11 41 166

!55 144 377 72 54 234 245 11! 566 92 213 412 313 561

333 1!1 69 567 !72 !1 772 169 6!7 74 6 492 174 94

44 1! 4!6 693 26 54 61! 349 !77 19 35! 699 575 161

52! 49 327 17 37 37! 51 !7 593 !12 439 49 4!3 572

115 62! 165 4!7 !5 756 36! 23! 366 122 4!5 !5! 379 519

41 !74 66 211 499 5!5 556 47 44 19 11 96 !66 119

514 6! 434 !15 229 27 324 126 63 24 663 373 7 3!

113 545 494 !6 21! 436 56 3!6 297 162 159 176 197 564

35 12! 99 !37 729 45 !73 591 !9 !!2 216 57 179 4!!

427 3!2 315 61 671 49 351 32! 12 17 459 311 753 461

745 451 612 19! 59 17! !64 4! 445 1! 6!4 227 !5 363

!!9 31! 469 477 513 569 522 666 45 !1 733 636 35 !99

7! !!1 236 466 63 2! !2 149 352 454 596 !71 672 739

449 65 5!1 79 !19 423 9 27 531 36 621 711 252 342

51 719 749 619 !7! 249 19 411 536 1!! 43 5! !69 55!

256 112 !7 5!! 22 !!3 611 76! 173 4!9 56 669 9 243

361 31 794 177 413 553 167 355 5 336 496 !49 !1 49!


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ÁLGEBRA

Bie#s Henri Abe#; nacido e# de A&os"o de 13%; m!er"o e# 1/ de Abri# de 1%2; !e !nbri##an"e

ma"em="ico nor!e&o. 6an !n anco reconocimien"o a #a edad de 1 con s! primer "raba9o;

en >!e prob >!e #a ec!acin &enera# de >!in"o &rado es inso#!b#e por procedimien"os

a#&ebraicos.

Abe# !e ins"r!men"a# en es"ab#ecer e# an=#isis ma"em="icos en !na base ri&!rosa. En s!

maor "raba9o QRecerces onc"ions e##ip"i>!esQ +In$es"i&aciones en !nciones e#(p"icas; 1%04;

re$o#!cion #a comprensin de #as !nciones e#(p"icas a# es"!diar e# !ni$erso de es"as

!nciones.


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EPRE#I7. ALGEBRAICA

Es !n con9!n"o de cons"an"es $ariab#es con e5ponen"es raciona#es; re#acionados a "ra$7sde #as operaciones de s!ma; res"a; m!#"ip#icacin; di$isin; po"enciacin radicacin; es !n

n)mero ini"o de $eces.

E45s : - x %

G % x 1

x % % xy G x y

xy

%

G x %

y G 1

ELEME.TO# DE $.A EPRE#I7. ALGEBRAICA

,oe-iciente

4 x2 y

3

.aria)les

&/ponentes

CLA#I8ICACI7.

M O . O M I O : Un monomio de !na $ariab#e es !na e5presin de #a orma8

ax n

Donde a es !na consonan"e +coeicien"e de# monomio4 n es !n en"ero posi"i$o.

P O L I . O MI O : Es !na e5presin a#&ebraica >!e cons"a de dos o m=s "7rminos en

!na can"idad ini"a de es"os.

A #os po#inomios de dos "7rminos se #es denomina IBOMIOS; a #os de "res "7rminosTRIBOMIOS,

a #os de c!a"ro "7rminos CUATRIBOMIOS, en &enera# se #es ##amar= POLIBOMIOS.

E4e53os : 5 x 2 + 6 x

! x3 − x 2 + 6

→ 0inomio

→ rinomio

olinomio

2


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GRADO6TO LÓGICO MATEMÁTICO I

7 x4 − 3 x 2 + 6 x − 4

→

,ua trinomio


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I & GRADO# DE $. MO.OMIO

1 & GRADO AB#OL$TO DE $. MO.OMIO 9G&A&

Es"= dado por #a s!ma de e5ponen"es de s!s $ariab#es.

" & GRADO RELATI%O DE $. MO.OMIO 9G&R&Es"= dado por e# e5ponen"e de #a $ariab#e reerida.

E4e53o : 5 x

2 y

5

z

G* A* = 2 + 5 + 1 = !

7G* R

() x= 2

G* R( y)

= 5

G* R( z ) = 1

I I & GRADO# DE $. POLI.OMIO 9G&A&

1 & GRADO AB#OL$TO DE $. POLI.OMIO 9G&A&

Es"= dado por e# MAOR 6RADO de #os monomios.

" & GRADO RELATI%O DE $. POLI.OMIO 9G&R&

Es"= dado por e# MAOR DE LOS EPOBEBTES de #a $ariab#e reerida.

E4e53os :

A Dado e# Po#inomio 8G* A* = !

5 x3 y

4 − 7 x2 y

4+ 2 x

6 y

2− 13 x

4

y

G* R() x

= 6

↓ ↓ ↓ ↓

G* A* = 7 ** = 6 ** = ! ** = 5 G* R( y) = 4

B Dado e# Po#inomio 8 G* A* = 14

5 x4 y

5 z

2− 6 x

2 y

4 z

3

+ 3 x7 y

2 z

5

G* R() x

= 7

↓ ↓ ↓

G* A* = 11 ** = 9 ** = 14

G* R( y)

= 5

G* R( z ) = 5


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; a a :

1 & E# &rado re#a"i$o de cada po#i#nomio con respec"o a #a $ariab#e x

" & E# &rado abso#!"o de cada po#inomio.

Polinomio G.R.(x)

G.A.

5 x6 – 7 x4 – 3 x2 + 6

11 x3 – 6 x4 + 5 x6 – !

2 xy5 – ! x 2 y4 – 5 x3 y6 – 7

3 x3 y2 z – x4 y3 z 2 – 16

2 xa y

b – 5 x

2a +1 y

b – 2+ 6 x

2a + 1 y

b+ 1

4 xa+ 3

y + 2

– 6 xa+ 5

y + !

+ xa+1

y

! xyz 9 – 9 x

! yz

3 – 6 xy

4 z

6 – 11

6 ax2 y + 9 axy

3 – 5 x

3 y

2

! x3 yz – 5 x4 yz 6 + x 2 y 3 z 5

3bx 3 y 4 – 7b 3 x 2 y 3 – 4 x 4 y 3

3 x5 y3 b 2 + 1 x3 y2 z – x4 y2 z 65 3

3 x9 y1 + 2 x 5 y 11 + 6 x1 y7

2 x5 y6 + 6x8 y4 – 4x2 y3

3

m x2 y3 – 2nxy4 + 6 x 5 y 2

x 5 y2 z +x1 y12 – 7 x 2 y 3 z 5


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;aa :1 & E# &rado re#a"i$o de cada po#inomio con respec"o a #a $ariab#e mW.

" & E# &rado abso#!"o de cada po#inomio.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i )

j )

k)

l )

m)

n)

o)

Polinomio G.R.(m)

G.A.

m6

+m4n

2 – m

2n

4

b

4

m +b

5

m

2

+bm

3

5a2bm +a

3b

4m

5+b

6

x4m + 4m

3 – 6 x

2 y

4

7m4n

2 – m n

7+m

7n

4 y

9a4b

7m

1 – 4a

5 x + ab

9 x

1

4a3 xm 5 + m 7 + ab 4

4m2n

3 x – 2m

4n

5 xy + m

6n

7

m7

+ m!

+ m n9

9m9

+ m7 – m

7n

4 y

xy9 – 6m

7+ xn

!

9 x6 y

2+ m

2 x

2 y

5+ 2 x

7 y

6

m4n

2 – m n

6+ m x

4 y

3

6a4b

7m + ab

9m

5 – 5a

3b

!

14a3bc

6 x

7 – 11m x

5+ 5 x

5 y

4


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18SISTEMAPASCUALSACO

TÉRMI.O# #EMEJA.TE#

Son a>!e##os >!e "ienen #a misma par"e $ariab#e.

E4e53o : 7 x2 y

3

<1

5 x y4

,

2

x2 y

3

,

3

2 x4 y

4

,

4

! x2 y

3

5

a Los "7rminos 1 ; 3 5 "ienen #a misma par"e $ariab#e x 2 y 3 ; por #o

"an"o son #EMEJA.TE#&

= Los "7rminos 2 4 no "ienen #a misma par"e $ariab#e; por #o "an"o .O

#O. #EMEJA.TE#&

RED$CCI7. DE TÉRMI.O# #EMEJA.TE# :

Es !n proceso >!e consis"e en "ransormar dos o m=s "7rminos seme9an"es en !no so#o;s!mando o res"ando #os coeicien"es escribiendo a con"in!acin de# res!#"ado #a misma

PARTE %ARIABLE >!e aparece en #os "7rminos.

E4e53os :

Red!cir 8

1 & ! x 2 + 6 x 2 − 3 x 2 = (! + 6 − 3) x112 = x 2

" & 13m + 6n – 7m – 4n = (13 – 7)m+ (6 – 4) =n 6 +m 2 n

' & 7 x2 y

7+ 1 x y

7+ 2 x y7 – 4 x 2 y 7 = (7 – 4) x +2 y 7(1 + 2) =

x3 y 7+ x122 y7

xy 7


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Redu>e os siguien2es 2?r5inos se5e4an2es :

1 & % x %y x

%y G ' x

%y F

" & 1 x 13 x G0 x F

' & 1-m 'm G -m F

( & n%y G %3n

%y 12n

%y F

) & -' x %1 x F

6 & a G 2a 1/a F

* & a'% G 0a'% G 2a'% F

+ & m

G -m

G /m- %m

-F

, & ' x m G x m / x m F

1 - & %/ x ' x

'G 2 x

%F

1 1 & 0 x %y G x 'y - x 'y - / x %y F

1 " & m/

G -m %m

/F

1 ' & 'm0n G %mn- m0n mn- F

1 ( & a0'

% 'a

0'

%G 13ax

ax

F

1 ) & x

-

y G 0 x

-

y

%

/ x

-

y % x

-

y

%

F1 6 & x

G - x

/G % x

F

1 * & m G m- G 'm- F

1 + & - x G ' x %

G x '

G / x F

1 , & 0mn

- m

2n

G %m

n - F

" - & - xy

G % xy /

xy

F


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GEOMETRÍA

E$CLIDE#

E!c#ides nacido en e# sio '33 AC; !e e# ma"em="ico m=s amoso de "odos #os "iempos a

pesar de# eco de >!e poco se sabe de s! $ida; pero se sabe >!e ense@o en A#e9andr(a;

E&ip"o. Los e#emen"os de E!c#ides; !n "raba9o in"rod!c"orio a #a &eome"r(a e#emen"a# o"ros

"picos; o"ros "raba9os de s! &7nero a "a# ma&ni"!d de >!e aora se saben s#o por

reerencia indirec"a. Los E#emen"os empie?an con deiniciones; pos"!#ados; a5iomas;

inc#!so e# amoso >!in"o; o para#e< #o; pos"!#ado >!e !na s#o !na #(nea rec"a p!ede ser

dib!9ada a "ra$7s de !n p!n"o a !na #(nea para#e#a dada. La decisin de E!c#ides de acer dees"a s!posicin indemos"rab#e #o ##e$ a #a 6eome"r(a E!c#ideana. Bo !e as"a e# sio 12"

>!e se modiic e# >!in"o pos"!#ado para desarro##ar #a 6eome"r(a Bo


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primeros sobre$i$en.


23/37

POLÍGONOS I & DE8I.ICI7. DE ELEME.TO#

Un po#(&ono es !na i&!ra ormada por !na po#i&ona# cerrada de modo >!e

no e5is"en dos #ados >!e se cor"an.En !n po#(&ono se dis"in&!en #os si&!ien"es e#emen"os8 B C

♦ V7r"ices → A B D E y F

1 2

♦ Lados → AB BC CD DE EF y AF A

3

♦ Xn&!#os In"eriores → I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 y I 66

θ1♦ Xn&!#os E5"eriores → e 1 e 2 e 3******* 5 43

♦ Dia&ona# → FD******** F

θ2 E

I I & CLA#I8ICACI7.

1 & Por e n5ero de ados

omre

ri8ngulo

,uarilatero

ent8gono

e laos

3

4

5 N O TA

Los dem=s po#(&onos no "ienennominacin especia# se #es nombra por

e# n)mero de #ados >!e "iene, por

e9emp#o8

Po#(&ono de 1' #ados; po#(&ono de %1#ados;

e"c.

" & Por a >ongruen>ia de sus ados o @nguos

A) POLÍGOO E!"#LA$EROiene toos sus laos congruentes

%) POLÍGOO E!"#&G"LOiene toos sus 8ngulos congruentes

') POLÍGOO REG"LAR &s e:uil8tero y e:ui8ngulo a la ve;*

aPE$&GOO

E!"#L&$E

RO α αα

α


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E&GOOα αE!"#L&G"LO

a α α a

α α

a α α a aE&GOOREG"LAR


25/37

' & Por su >on!eidad

A POLÍGO.O CO.%EOEs a>!e# po#(&ono >!e a#

pro#on&ar c!a#>!iera de s!s

#ados; "odo e# po#(&ono se

enc!en"ra acia e# mismo

#ado de #a rec"a

B POLÍGO.O .O CO.%EOEs a>!e# po#(&ono >!e a#

pro#on&ar c!a#>!iera de s!s

#ados; >!eda di$idido en dos

par"es

I I I & TEOREMA# 8$.DAME.TALE#Siendo n → n'mero e laos el pol?gono

1 & S!ma de =n&!#os in"ernos

S1

= 1!@ ( n − 2 )

" & Medida de !n =n&!#o in"erno de !n po#(&ono re&!#ar o e>!i=n&!#o

1!@ ( n − 2 )i =

n

' & S!ma de =n&!#os e5"ernos

Se

= 36@

( & Medida de !n =n&!#o e5"erno de !n po#(&ono re&!#ar o e>!i=n&!#o

e = 36 @

n

) & B)mero "o"a# de dia&ona#es

n ( n − 3

)

NOTA:n F n)mero de #ados o

n)mero de

$er"ices Nd =2


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E4e53os:1 & Ha##a #a s!ma de #os =n&!#os in"ernos de !n dodec=&ono

#ou>in:nF1% S 1 = 1!@ ( n − 2 )

S 1 = 1! (12 − 2 )

S1

= 1! (1 )

S1

= 1!@

" & Ha##a e# n)mero "o"a# de dia&ona#es de !n e5=&ono

#ou>in:n F/

Nd =

Nd =

Nd =

n (

n − 3 )2

6 ( 6 − 3 )

2

6 ( 3 )

2

Nd = 1 !

2

Nd = 9

' & Ha##a e# n)mero "o"a# de dia&ona#es de !n po#(&ono c!os =n&!#os in"ernos s!man133N

#ou>in:

S1F133N Reemp#a?o en8

Si= 1!@

(

n − 2)

1!@ = 1!@ ( n − 2 )

n − 2 = 1! @

1!@

n − 2 = 6

n = 6 + 2

n = ! ct>gono

n ( n − 3 ) Nd =

2

! (

! − 3 ) Nd =2

! ( 5 ) Nd =

2

Nd = 4

2

Nd = 2


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1 & Dados #os si&!ien"es po#(&onos; comp#e"a e# c!adro correspondien"e8

A B C D15

15 15

15

53A

25 3

74A 53A

2

16

37A

1

74A

16212A

37A

1

! 6

37A 53A

1

E F G !

42

11A7A

216 4A 16

13

16A

1!"8

14A 14A1 1

12127A 1

7A

42

11A 16 4A 16 53A 74A

2 23

I # $ %15

15 12A 12A 15

5

4 12A 12A6

11

1!A6A

12A12A 12A 12A 1!A 1!A

6 6

1512A 12A

15

15

3 12A

!

12A " 11!A

1

11!A

6A 6A

6

BC

A e laos

A e 8ngulos

A e iagonales

er?metro

omre el pol?gono por el A e laos*

E&s pol?gono conve/o si o no

E&s pol?gono e:uil8tero si o no

E&s pol?gono e:ui8ngulo si o no

E&s pol?gono regular si o no


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B C D E F G ! I # $ %


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" & Comp#e"a e# si&!ien"e c!adro considerando >!e #os po#(&onos reeridos son re&!#ares.

ol?gonos e A e laos Fim i Fe m e A e iagonales

n= 3

n= 4

n= 5

n= 6

n= 7

n= !

n= 9

n= 1n= 12

n= 2

n= 3

n= 36

1 & Ha##a e# n)mero "o"a# de dia&ona#es >!e se p!eden "ra?ar en !n po#(&ono de 1 #ados.

" & Ha##ar #a s!ma de #os =n&!#os in"ernos de !n pen"=&ono.

' & En >!7 po#(&ono #a s!ma de #os =n&!#os in"eriores es i&!a# a $eces #a s!ma de=n&!#os e5"eriores

( & La s!ma de #os =n&!#os in"eriores de !n po#(&ono re&!#ar es 3-3N. C!=# es e# $a#or de

!n =n&!#o e5"erior


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31SISTEMAPASCUALSACO

RAO.E# TRIGO.OMÉTRICA#

u? es una RaFn Trigono5?2ri>a

Se deine como e# cocien"e en"re dos #ados de !n "ri=n&!#o rec"=n&!#o respec"o a !n =n&!#o

a&!do; "ambi7n podemos airmar >!e es #a comparacin de dos #ados de# "ri=n&!#o

rec"=n&!#o. A

E#emen"os de# para #ade"erminacin de #asra?ones "ri&onom7"ricas

,atetoc

B

bG Hipotenusa

aG catetoC

En es"a primera par"e de# cap("!#o deiniremos )nicamen"e #as ra?ones seno >oseno8 para

me9or aprendi?a9e de# a#!mno.

Se&!n #a i&. 18

&

m c'(

c'aα

)

Feno e α = sen α = ,a teto puesto a l


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E4e53o:

1 & Ca#c!#ar e# sen α si8

5

Resou>in:

Se sabe >!e8

se n α = ,a te to o pue sto

e l Hipo te

nusa3

ACora8

α

* Ca"e"o op!es"o F '

* ipo"en!sa F

4 Por #o "an"o8se n α =

3

5

pta = 3

5

" & Ca#c!#ar e# Cos β si8

"3

5

Resou>in:

Se sabe >!e8

co s β = ,a te to a ya ce nte

a l Hipo te nusa

Aora8

* Ca"e"o adacen"e F 1%β

* ipo"en!sa F 1'"2 Por #o "an"o8

co s β =1 2

13

β

α


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PRÁCTICA

1 & Ca#c!#ar e# sen α8 ' & Ca#c!#ar e# cos α8

53

α12

13

4α

5

" & Ca#c!#ar e# cos β8 ( & Ca#c!#ar e# sen θ8

15 169

β θ2


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PROBLEMAS PROPUESTOS

1 & Ca#c!#ar e# sen φ8 ' & Ca#c!#ar e# cos θ8

φ15 θ

12 2524

97

" & Ca#c!#ar e# sen α8 ( & Ca#c!#ar EFsen α G cos α

α13

515

17

12 α

!


36/37

) & Ca#c!#ar $ =

se n φ

co s φ* & Ca#c!#ar MF13senα

5 915

3

αφ

124

6 & Ca#c!#ar PFsenθ + & Ca#c!#ar %sen%α G %cos

%α

53 3

5

θ α4 4


37/37

logico - junio.doc

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