MATEMATICKI SIMBOLI I TERMINI

dr Ljiljana Petkovic, red. prof.Masinski fakultet, Nis

web: http://www.ljiljanapetkovic.com

Decimalni brojni sistem je rezultat anatomske slucajnosti da jevecina nas rodena sa po deset prstiju na rukama i nogama.

Aristotel

Koriscenje matematickih simbola u bilo kom vidu (pocev od cifara pa do slozenih matema-tickih oznaka) predstavlja rutinsku stvar koja ne zahteva razmisljanje o njenom nastanku.Uglavnom se odnosimo prema matematickom aparatu kao da je oduvek postojao i to u oblikukoji danas koristimo. Ova iluzija podstaknuta je i cinjenicom da mi svoje prvo matematickoznanje sticemo tako rano da se toga i ne secamo. Stavise, skloni smo verovanju da su neki odapstraktnih pojmova (kao pojam broja ili decimalni sistem) intuitivni.

Medutim, ne sme se zaboraviti da je sadasnjem stanju u ovoj oblasti prethodio dug period odoko 6000 godina postepenog razvoja matematike u kome je matematicka apstrakcija dala nekeod najbriljantnijih doprinosa ljudskoj misli. Tako fascinantan tok pronalazaka u matematici nepostoji ni u jednoj drugoj nauci. Uporedo s njim doslo je do razvoja matematicke simbolike iterminologije. Nezgrapna i nejasna u pocetku, ona se razvila do danasnjeg elegantnog i mnogorazumljivijeg oblika u procesu koji jos uvek traje i predstavlja rastuce polje stalno promenljivihoblika apstraktnih pojmova.

1. Brojevi

1 • Numericki termini izrazavaju neke od najapstraktnijih pojmova koje je stvorio ljudskium. Medutim, poces njihovog kreiranja bio je spor i dugotrajan. Koncept apstraktnog broja jeproizvod duge i lagane kulturne evolucije koja zadire duboko u vreme pre pisane istorije. Kao stoje rekao Bertrand Rasel (Russell, 1872–1970), britanski matematicar i filozof, bile su potrebnehiljade godina dok je shvaceno da par fazana i dva dana imaju zajednicku karakteristiku – broj2.

2 • Dugo se smatralo da je najstariji postojeci matematicki artefakt od znacaja egipatskovladarsko zezlo, za koje se veruje da datira priblizno iz 3100. godine pre nove ere. Na zezluje napisano nekoliko brojeva reda miliona i stotina hiljada, napisanih egipatskim hijeroglifima,kojima su zabelezeni preuvelicani rezultati uspesnog vojnog pohoda.

Medutim, nedavno je pronaden znatno stariji artefakt koji se takode odnosi na brojanje.Na rucnom alatu od kosti nalaze se zarezi aranzirani prema odredenim numerickim obrascimazajedno sa komadom kvarca koji je pricvrscen za glavu rucice. Artefakt je poznat kao kostiz Isanga, a pronaden je na obali Edvardovog jezera u Republici Kongo. Smatra se da datiraiz perioda izmedu 9000 i 6500 godina pre nove ere. Dakle, sasvim je moguce da se zacecimatematike nisu desili ni u Egiptu ni u Mesopotamiji, vec u africkim predelima juzno od Sahare.

3 • Prvi zapis o prelasku sa konkretnog brojanja na apstraktno datira iz 3100. godineP. N. E. Na jednoj sumerskoj glinenoj tablici prikazan je broj 33 pomocu tri zareza i tri kruzica,pri cemu zarezi oznacavaju jedinice a kruzici desetice. Zajedno sa znakom za cup za ulje koji senalazi pored, ceo natpis bi se mogao procitati kao 33 cupa ulja. Ovaj ekonomican nacin pisanja,kako u racunu tako i u ljudskoj komunikaciji, brzo je postao rasprostranjen.

1

2

4 • Uprkos postojanju podataka da su 2, 3 i 4 sluzili kao osnove nekih primitivnih brojnihsistema, ipak su prvi znacajni brojni sistemi bili peticni (osnova 5), zatim deseticni i dvade-seticni (osnova 20). Danas je decimalni sistem najrasprostranjeniji. Svi ovi sistemi povezani su scinjenicom da covek ima po pet prstiju na svakoj ruci pomocu kojih su vrsena prva izracunavanja.Neka plemena u Juznoj Americi cak i danas broje pomocu sake: ,,Jedan, dva, tri, cetiri, saka,saka-i-jedan”, itd. Seoski kalendari u Nemackoj koristili su peticni sistem sve do kraja osam-naestog veka. Maje, Asteci i Kelti imali su dvadeseticni sistem, sto je odgovaralo ukupnom brojuprstiju na rukama i nogama, istovremeno dajuci svedocanstvo o bosonogom periodu covecanstva.Istog porekla su u jeziku Grenlandana izrazi jedan covek sa znacenjem 20, dva coveka za 40, itd.U engleskom jeziku rec digit znaci cifra ali i prst, sto ima poreklo u starolatinskoj reci digiti –prsti.

5 • ,,Brojanje pomocu tela” je definisanje brojeva pomocu odredenih delova ljudskog tela,kao sto su glava, oci, usi, ruke, itd. Ovakvo brojanje koriste neki primitivni narodi. Na primer,jedno pleme Papuanaca na jugoistoku Nove Gvineje broji na sledeci nacin:

1 desni mali prst 12 nos2 desni prst ,,prstenjak” 13 usta3 desni srednji prst 14 levo uvo4 desni kaziprst 15 levo rame5 desni palac 16 leva obrva6 desni rucni zglob 17 levi rucni zglob7 desna obrva 18 levi palac8 desno rame 19 levi kaziprst9 desno uvo 20 levi srednji prst

10 desno oko 21 levi prstenjak11 levo oko 22 levi mali prst

6 • Kod primitivnih naroda, pa cak i nekih naprednijih, uobicajeno je da verbalno brojanjeprate odredeni gestovi. Na primer, u nekim plemenima rec ,,deset” cesto je propracena udarcemdlana o dlan a rec ,,sest” ponekad je propracena brzim zamahom jedne ruke pored druge. KarlMeninger tvrdi da se neka africka plemena mogu razlikovati i etnicki klasifikovati na osnovu togada li brojanje pocinju levom ili desnom rukom, da li savijaju prste i da li okrecu dlanove ka teluili od tela.

Englez R. Mejson navodi jednu sarmantnu anegdotu iz perioda II svetskog rata. U to vremedevojka iz Japana boravila je u Indiji, koja je tada bila u ratu s Japanom. Da bi se izbeglemoguce neprijatne situacije, njena prijateljica predstavila je drustvu kao Kineskinju. Jedan odprisutnih Engleza bio je sumnjicav pa ju je zamolio da broji do pet na prstima, sto je ona iucinila posle malo oklevanja. Na to je on uzviknuo uzbudeno: ,,Da li ste videli ovo? Da li stevideli kako je ona to uradila? Pocela je sa otvorenom sakom i savijala prste jedan za drugim. Dali ste ikada videli Kineza da to radi? Nikada! Kinezi broje kao i Englezi. Pocinju sa zatvorenomsakom. Ona je Japanka!” - zakljucio je trijumfalno.

7 • Najneobicniji brojni sistem svakako su imali Vavilonci. Oni su razvili racunanje sa brojnombazom 60 u kombinaciji sa deseticnim sistemom. Razlog za uvodenje sezdeseticne brojne bazelezi, pored ostalog, i u cinjenici da broj 60 ima mnogo delilaca (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 i 30),sto je omogucavalo veoma jednostavno racunanje sa razlomcima.

8 • Vavilonci su prvi uveli pozicioni brojni sistem u kome je vrednost svake cifre odredenanjenim polozajem: na primer, dve uzastopne jedinice oznacavale su 61. Ipak u njihovom nacinupisanja bilo je i neodredenosti jer simbol za nulu nije postojao (koristili su znak za odsustvocifre). On je uveden tek mnogo kasnije, u devetom veku u indijskoj matematici.

3

Trajan uticaj vavilonske matematike i sezdeseticnog brojnog sistema zadrzao se do danasnjihdana preko podele sata na 60 minuta i 3600 sekundi kao i podele kruga na 360 stepeni, koje sei sada koriste.

9 • Maje iz Centralne Amerike i Juznog Meksika su razvili dvadeseticni sistem sa simbolomza nulu (verovatno oko 1000. godine nove ere) i sasvim dobro razvili pozicionu notaciju, ali jenjihova kultura nestala pre spanske invazije. Najveci broj pronaden u kodu Maja je 12 489 781(zapisan u nasoj decimalnoj notaciji).

10 • Brojni sistem koji se danas koristi je pozicioni sistem sa brojnom osnovom deset. Uovom sistemu svaka cifra ima vrednost u zavisnosti od mesta na kome se nalazi. Na primer, ubroju 53 cifra 5 oznacava desetice pa joj je vrednost 5×10 = 50 dok 3 oznacava jedinice tako daima vrednost 3 × 1 = 3. Deseticni ili decimalni pozicioni sistem duguje svoje poreklo indijskojmatematici. Prva poznata primena ovog sistema datira iz 595. godine.

11 • Grcki matematicari su koristili decimalni sistem sa 27 simbola: 24 slova grckog alfabetaoznacava jedinice, desetice i stotine a tome su dodata tri stara simbola: digama (6), kopa (90),i sampi (900). Pregled koriscenih simbola je pokazan u sledecoj tabeli:

A B G D E E Z H Q

I K L M N X O P R

R S U F C Y WT L

100 200 300 400 500 600 700 800 900

10 20 30 40 50 60 70 80 90

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Jedinice

Desetice

Stotine

Sl. 2 Grcki sistem brojeva (Jonski alfabet + tri simbola)

Da bi se u tekstu razlikovala slova od brojeva, pisane su crte iznad svakog broja (na primer,A). U slucaju malih slova, sto pripada kasnijem periodu, upotrebljavani su akcenti umesto crta(α′, β′, . . . ).

12 • Grcki filozof i matematicar Heliodor koji je ziveo u 4. veku, izneo je misljenje da je rekaNil isto sto i godina. Naime, slova reci NEIΛOΣ (Nil) u grckom brojnom sistemu predstavljajubrojeve: N=50, E=5, I=10, Λ=30, O=70, Σ=200, a ovo kada se sabere iznosi 365, odnosno brojdana u godini.

13 • Rimski brojevi se i danas koriste za neke specificne namene. Njihov se oblik menjaotokom vremena do oblika koji nam je danas poznat:

1 5 10 50 100 500 1000I V X L C D M

Princip oduzimanja koji se primenjuje pri pisanju brojeva, gde simbol za manju jedinicu kojiprethodi vecoj jedinici oznacava razliku dve jedinice, Rimljani su preuzeli od Vavilonaca. Naprimer, cetiri se pise kao IV umesto IIII ili 1999 kao MCMXCIX. Ostaci ovog principa zadrzalisu se danas u nasoj sklonosti da kazemo pet minuta do dvanaest umesto jedanest i pedeset petminuta.

4

14 • Decimalni pozicioni brojni sistem duguje svoje poreklo indijskoj matematici. Prva poz-nata primena ovog sistema datira iz 595. godine nove ere, kada je datum 346 zapisan u decimal-nom pozicionom sistemu. Nula se oznacava prazninom, tackom ili malim kruzicem. Medutim,jos pre toga, Indusi su izrazavali vece brojeve recima po principu pozicione vrednosti.

15 • Danas je poznato da je pozicioni princip koriscen u sistemu sa osnovom sezdeset nadenomna Vavilonskim plocama starim 3600 do 4000 godina, mada bez simbola za nulu. Na primer,Stari Vavilonci su pisali 18363 = 5×602+6×60+3 (= (563)60). Postoje dokazi da su i astronomiu staroj Indiji koristili podelu na sezdeset. Ovo otkrice, kao i cinjenica da su Arapi izabrali Hindubrojeve, ukazuje na to da je mnogo adekvatnije koristiti termin ,,vavilonska-hindu” notacija nego,,arapska” ili ,,hindu-arapska.”

16 • Opste je misljenje da cifre koje danas koristimo, takozvane arapske cifre, kao i simbol zanulu poticu iz Indije. Dva najstarija zapisa brojeva data su na slici 3. Prvi od njih se pojavio uBrahmi sistemu pisanja sredinom treceg veka pre nove ere.

Sl. 3 Najstariji (Brahmi i Gvalior) brojevi, poreklom iz Indije

17 • Sustinska odlika Hindu matematike bilo je uvodenje simbola za nulu. Bez nule pozicionisistem zapravo ne bi mogao da postoji. Ovaj pronalazak omogucio je razvoj od indo-arapskihcifara do danasnjeg brojnog sistema sa pozicionom vrednoscu.

U pocetku se za nulu upotrebljavala rec sunja (sunia) – praznina, da bi kasnije bila zamenjenatackom. Simbol za nulu ,,0” pojavio se u Indiji u 9. veku. U zapisu iz 876. na Gvalioru brojevi50 i 270 su napisani sa nulama.1 Poreklo samog znaka je neizvesno. Moguce je da je nastaokao asocijacija na prazan krug, ali je verovatnije da potice od upotrebe slova omikron ,,O”, kojepredstavlja inicijal grcke reci oυδεν (ouden), sto znaci nista.

18 • Sezdesetih godina 20. veka gospoda Abdelkri Budzibar, direktor Muzeja u Maroku,izlozila je javnosti svoju interesantnu i prilicno ubedljivu studiju o tome kako je nepoznatiarapski matematicar mogao pre nekih hiljadu godina da oblikuje takozvane arapske brojeve,odnosno cifre od 0 do 9. Ona smatra da su cifre formirane prema kriterijumu da svaka sadrziodgovarajuci broj uglova, kao sto je prikazano na slici 4. Dakle, cifra broja ,,jedan” sadrzi jedanugao, cifra broja ,,dva” ima dva ugla, broja ,,tri” ima tri ugla, i tako dalje. Nula je, naravnooblikovana tako da nema uglova.

Sl. 4 Cifre i broj uglova

1D. E. Smith, L. C. Kaplanski, Hindu-Arabic Numerals, Boston and London, 1911, str. 52.

5

Ovakvo jedno racionalno obrazlozenje nastanka cifara bilo bi interesantno ukoliko je tacno.Danasnji izgled cifara 1, 2, 3 mogao je nastati usled kurzivnog pisanja jedne, dve ili tri crte.Medutim, oblikovanje ostalih cifara manje je jasno.

19 • Arapski astrolog Aben Ragel, iz desetog ili jedanaestog veka, sugerisao je atraktivanmada istorijski nedokazan prikaz cifara dat na slici 5. Ovakva mastovita obrazlozenja proisticuiz zelje amatera da proniknu u kljuc misterije, nedostupan i ekspertima.

Sl. 5 Cifre na kvadrantima

20 • Hindu cifre su prenete u arapske zemlje u 7. veku. Najstarija referenca za Hindupozicioni brojni sistem van Indije nadena je u radu iz 662. koji je napisao Sever Sebohta, sirijskibiskup, i u Kambodzi 683.

21 • Iz arapskih zemalja hindu cifre su prenete u Evropu uglavnom posredstvom trgovaca saobala Mediterana koji su odrzavali trgovacke veze sa Istokom. Drugi znacajan nacin prenosenjaarapskih cifara u Evropu bio je direktno preko Arapa, koji su osvojili Spaniju 711. godine i uperiodu svoje vladavine doneli i znanje matematike u Spaniju.

22 • Najstariji evropski rukopis koji sadrzi arapsko-indijske cifre, tzv. ,,Vigilanski kodeks”(Codex Vigilanis), napisao je Albelda Kloister u Spaniji 976. godine. Ove cifre su prikazane naslici 6.

Sl. 6 Najstariji evropski rukopis sa Hindu ciframa

23 • U Evropi su u 10. veku jos bile u upotrebi kurzivne rimske cifre. Gerbert Dorijak(oko 950–1003), koji je roden u Francuskoj, obrazovao se u Spaniji i Italiji, i kasnije sluzio kaoarhibiskup u Remsu i Raveni (i 999. godine postao Papa pod imenom Silvester II), bio jeverovatno prvi u Evropi koji je upotrebio hindu-arapske brojeve. Hindu-arapski sistem je defini-tivno postao poznat u Evropu u 13. veku zahvaljujuci radu nekoliko naucnika,2 najvise od svihLeonardu iz Pize, poznatijem kao Fibonaci (Fibonacci, 1180–1250). Njegova knjiga Liber abbaci(Knjiga o abaku, 1202) sluzila je kao veoma vazan izvor hindu-arapske numeracije u Evropi.Izmedu ostalih, engleski matematicar Vilijam Otred (William Oughtred, 1574–1660) opisao jehindu-arapsku notaciju i decimalne razlomke u svom najvaznijem delu Clavis Mathematicae(1631).

24 • Upotreba arapskih cifara u Evropi bila je u prvo vreme cak zabranjena. Medutim, kadasu u 14. veku italijanski trgovci (iz porodice Medici) poceli da upotrebljavaju arapske cifre privodenju trgovackih knjiga, a posebno posle 1482. godine, dolazi do potiskivanja rimskih cifara.

2Videti G. F. Hill, The Development of Arabic Numerals in Europe, Clarendon, Oxford 1915, i D. E. Smith,L. C. Karpinski, Hindu-Arabic Numerals, Ginn, Boston and London, 1911.

6

25 • Najraniji novcici na kojima su utisnute arapske cifre pojavili su se u sledecem redosledu:Svajcarska (1424), Austrija (1484), Francuska (1485), Nemacka (1489), Skotska (1539), Engleska(1551).

26 • Egipcani su izvrsavali deljenje na poseban nacin baziran na procesu udvostrucavanja ideljenja. Na primer, pri deljenju 21 sa 8 primenjivan je sledeci postupak:

2∗ × 8 = 16,1

2

∗

× 8 = 4,1

4× 8 = 2,

1

8

∗

× 8 = 1.

Zatim su birani oni cinioci (oznaceni zvezdicama) ciji odgovarajuci proizvodi na desnoj stranidaju zbir 21, dakle 16 + 4 + 1. Kolicnik je, prema tome, 2 + 1

2+ 1

8. Ovaj postupak se smatra

najstarijim oblikom deljenja.

27 • Prvo tvrdenje da deljenje nulom daje beskonacnu velicinu iskazao je indijski matematicarBaskara (1114-oko 1185) u svom radu Vija-Ganita. Medutim, Baskara ipak nije sasvim razumeoovu operaciju; naime, u sledecem koraku on tvrdi da je a/0 · 0 = a.

28 • Narod Inka, koji je na teritoriji sadasnjeg Perua imao mocnu civilizaciju pre vremenaevropske invazije u 16. veku, posedovao je logicko-numericki sistem zapisivanja brojeva pomocuskupa konopaca sa specijalno grupisanim cvorovima, nazvanim kipu (quipu). Specifican ras-pored konopaca i cvorova (ukljucujuci razmak) predstavljali su brojeve u dekadnom pozicionombrojnom sistemu. Najveci broj otkriven na kipu je 97 357. U modernoj terminologiji, kipu jeslican jednom posebnom tipu grafa, poznatom kao stablo.

29 • Zanimljiva je prica o nazivu cifre nula. Hindu simbol za nulu, nazvan sunja (prazan),preveden je na arapski kao as-sifr ili sifr. Fibonaci u svojoj knjizi Liber abbaci naziva ovajsimbol zephirum a Maximus Planudes (oko 1340.) ga zove tziphra (od grckog oblika τ ζiφρα, kojije otprilike u isto vreme koristio Neofitos). Ova rec je zatim preneta u italijanski kao zeuro,odakle je nastala engleska rec za nulu zero. Primetimo da su iz istog izvora nastale nase recicifra i sifra, a u engleskom cipher. Medutim, nula je takode poznata i pod drugim imenima kaosto su rota, circulus, galgal, omicron, theca, null, i figura nihili i do danas ovaj termin jos nijeureden.

30 • Jedinica takode zasluzuje posebnu paznju. Sve do 16. veka jedinica nije ni smatranacifrom, sto je ideja koja potice od starih Grka. Euklid je definisao broj kao velicinu sastavljenuod jedinica. Takode se smatralo da jedinicu, kao i tacku, nije moguce deliti. Srednjovekovni piscikao sto su al-Horezmi (oko 825), Pselus (oko 1075), Savasorda (oko 1100), Hispalensis (oko 1140)i autori ranih stampanih knjiga Pacoli (1494), Kebel (1514), Cvifel (1505), Bejker (1568) i mnogidrugi, iskljucili su jedinicu iz polja brojeva.

31 • Ideja da jedinica nije broj, vec samo generator brojeva (isto kao sto je tacka generatorlinije) bila je predmet mnogih diskusija do 1585. kada je holandski matematicar i inzenjer SimonStevin (1548–1620) promenio ovaj koncept u svojoj l’Arithmetique i uverio svoje savremenike isledbenike da je jedinica i sama broj, bas kao i drugi brojevi.

32 • Pojam negativnih brojeva javlja se po prvi put u kineskoj matematici. Naime, ustarokineskoj knjizi K’iu-cang suan-su3 (Devet knjiga matematickih vestina, oko 200. godineP. N. E. ali mozda i mnogo ranije) iz perioda dinastije Han (202 P. N. E. – 211 N. E. ) negativnibrojevi su zapisivani crnom bojom dok su pozitivni brojevi pisani crvenom bojom.

33 • Prvi trag kvadratnog korena negativnog broja je naden u Stereometriji Herona iz Alek-sandrije (oko 50. godine). Indijski matematicar Mahavira (oko 850.) bio je prvi koji je sustinski

3Postoje i druge fonetske transkripcije, zavisno od dijalekta, npr. Czju czan suan su ili Jui zang suansu.

7

shvatio ovaj problem. U svom razmatranju negativnih brojeva on kaze da ,,kako u prirodi stvarinegativna kolicina ne moze biti kvadrat(na kolicina), to ne postoji kvadratni koren negativnogbroja.”

34 • Prvi napredak u razmatranju negativnih brojeva nacinio je Fibonaci koji je interpretiraonegativno resenje u finansijskim problemima kao gubitak umesto zarade. Medutim, prvi kojije tretirao negativne brojeve na pravi nacin bio je italijanski matematicar -Dirolamo Kardano(1501–1576). On je definisao jednostavne zakone sa negativnim brojevima u svojoj knjizi ArsMagna (Velika vestina, 1545); formulisao je pravilo ‘minus puta minus daje plus’ kao nezavisnopravilo i nazvao negativne brojeve ‘fiktivni.’ Usvojio je simbol za negativan broj ,,m :” (m jeod latinskog meno – minus) tako da je pisao ,,m : 5” za −5, dok je njegov savremenik RafaelBombeli (Raphael Bombelli, 1526–1573?) koristio oznaku ,,m.”.

35 • Zvuci paradoksalno, ali prvi sustinski korak ka pravilnom shvatanju i konacnom usvajanjunegativnih brojeva nastupio je tek kada su kompleksni brojevi stekli svoj matematicki legitimiteti dostigli ,,matematicku zrelost.” U svojoj knjizi Veliki matematicari, E. T. Bell je istakao: ,,Uistoriji matematike nema veceg iznenadenja od cinjenice da su kompleksni brojevi shvaceni, isinteticki i analiticki, pre negativnih brojeva.”

36 • Rafael Bombeli je prvi definisao sabiranje i mnozenje kompleksnih brojeva. U svojojknjizi Algebra (1572) on razmatra velicine kao sto je

√−9, sto zapisuje u obliku R[0 m. 9], gde

R oznacava kvadratni koren (od radix – koren) a m je minus (od meno). Ovaj pristup mu jeomogucio da resi nesvodljiv slucaj u resavanju kubnih jednacina pokazujuci, na primer, da je

3

√

52 +√

0− 2209 = 4 +√

0− 1.

Bombelijeva Algebra je bila nasiroko citana mnogo decenija; cuveni matematicari Gotfrid Lajbnic(1646–1716) i Leonard Ojler (1707–1783) su je koristili za proucavanje kubnih i bikvadratnihjednacina.

37 • -Dirolamo Kardano je bio prvi koji je koristio kvadratni koren negativnog broja uizracunavanju. Godine 1545. on je usvojio koncept ,,minus koren” da podeli 10 na dva delaciji je proizvod 40, i nasao resenja 5 +

√−15 i 5−

√−15.

38 • Jako podozrenje i prema kompleksnim i prema negativnim brojevima zadrzalo se sve do19. veka. S druge strane, Hajgens i Lajbnic, koji su ziveli u 17. veku, bili su impresioniraniimaginarnim brojevima. Na primer, Lajbnic je izvrsio faktorizaciju izraza x4 + a4 u

(

x + a

√√−1

)(

x− a

√√−1

)(

x + a

√

−√−1

)(

x− a

√

−√−1

)

i pokazao4 da je√

6 =√

1 +√−3 +

√

1−√−3.

Poslednja reprezentacija je navela Hajgensa da napise pismo Lajbnicu:5 ,,Primedba koju stenapravili u pogledu korena iz negativnih brojeva sa imaginarnim vrednostima, koje, medutim,kada se saberu daju realnu vrednost, je iznenadujuca i potpuno nova. Tesko je poverovati da√

1 +√−3 +

√

1−√−3 cini

√6 i u tome postoji nesto skriveno sto je meni neshvatljivo.”

39 • Aritmetiku kompleksnih brojeva u pravom smislu razvio je 1831. cuveni nemackimatematicar Karl Fridrih Gaus (1777–1855). On je predstavio kompleksne brojeve kao tacke uravni, nasao za korisno da razlikuje pojam imaginarnog broja za a

√−1 i kompleksnog broja za

4Publikovano u Lajbnicovim sabranim delima Werke, Gerhardt ed., Berlin 1850.5The Mathematical Intelligencer, Vol. 11, No. 2 (1989), str. 3.

8

a + b√−1, pri cemu je uveo drugi termin. Ojler je 1748. uveo oznaku i =

√−1, a francuski

matematicar Ogisten Kosi (1789–1857) uvodi 1821. nazive konjugovan par za a + ib i a − ib i

moduo za velicinu√

a2 + b2, koju je Vajerstras zvao apsolutna vrednost i oznacavao sa |a + ib|.6Nezavisno od Gausa, cuveni irski matematicar Vilijam Roven Hamilton (1805–1865) je 1843.

uveo aritmetiku kompleksnih brojeva zasnovanu na prikazu kompleksnog broja kao uredenogpara realnih brojeva x + iy = (x, y).

40 • Za broj koji nije koren nekog algebarskog polinoma sa celobrojnim koeficijentima kaze seda je transcendentan. Ovu rec je smislio Lajbnic. Transcendentne brojeve je 1884. otkrio ZozefLiuvil (1809–1882) koji je pronasao celu klasu tih brojeva. On je predstavio transcendentan brojkao

1

10+

1

102!+

1

103!+ · · · +

1

10n!+ · · · = 0.11000100000000000000000100 . . .

41 • Najvazniji i najpoznatiji transcendentni brojevi su e = 2.71828 . . . i π = 3.14159 . . .Broj e definise se kao granicna vrednost

e = limn→∞

(1 + 1/n)n.

Simbol e uveo je 1736. Leonard Ojler, a Sarl Ermit (1822–1901) je dokazao njegovu transcen-dentnost 1873. godine.

42 • Simbol π prvi je uveo engleski matematicar Vilijam Dzons (William Jones, 1675–1749) usvojoj knjizi Synopsis Palmariorum Matheseos (1706), a Ojler usvojio 1737. Otada je opste pri-hvaceno da π predstavlja kolicnik obima i precnika kruga. Transcendentnost broja π dokazao je1882. godine nemacki matematicar Ferdinand Lindeman (1852–1939) i time implicitno dokazaonemogucnost kvadrature kruga (jedan od tri cuvena problema anticke Grcke) upotrebom samolenjira i sestara. Takode je dokazano da je broj eπ transcendentan, ali se ne zna, na primer, dali su πe, ee ili ππ transcendentni; cak se ne zna da li su proizvod πe i suma π + e transcendentniili ne.

43 • Najranija zabelezena aproksimativna vrednost za π je Ahmesova vrednost π = 256/81 =3.16049... sa Rajndovih papirusa (oko 1650. P. N. E. ).7 Ova vrednost proizilazi iz egipatskeformule (d− d/9)2 za povrsinu kruga precnika d.

44 • Oko 1436. godine arapski matematicar Dzemsid ibn Masud al-Kasi izracunao je 2πi nasao vrednost 6.2831853071795865. Svih 16 decimalnih cifara je tacno, sto je bila najboljaaproksimacija za π tog vremena. Al-Kasi je dobio ovaj broj konverzijom devetocifrenog broja(koji je on izracunao) iz brojnog sistema sa osnovom 16. Ovo je verovatno bila prva konverzijarazlomka iz jednog brojnog sistema u neki drugi.

45 • Jedan od najlaksih nacina da se zapamti broj π koristi niz dvostrukih brojeva 1, 3 i5, i glasi: Podimo od niza cifara 113355; podelimo ga na dva dela 113|355; zatim uzmimo ovedelove u obrnutom poretku 355|113; podelimo 355/113 i dobijamo π ≈ 3.14159292, sto je tacnona sest decimalnih mesta. Ovaj metod je bio poznat Kinezu Tsu Cung-cihu (oko 480). ValentinOto (1573) i Adrijan Antonisin (1585) su ponovo otkrili ovu prastaru kinesku vrednost za π.Antonisin je zapravo pokazao lanac nejednakosti

377

120> π >

333

106

6Prema Kejdzoriju, Zan Rober Argan (Jean Robert Argand, 1768-1822) iz Zeneve u svojoj raspravi Essay iz1806. uveo je rec ,,moduo” pre Kosija da predstavi duzinu vektora a + ib.

7Ove papiruse je pronasao engleski egiptolog A. Henri Rajnd (Rhind) i prvi put su publikovani 1927. godine.

9

a odavde je uzimanjem srednje vrednosti brojioca i imenioca dobio kinesku procenu.

46 • Postoje razlicite tehnike za pamcenje cifara broja π na razlicitim jezicima a sastoje seuglavnom od duhovitih recenica. Jedna od najpoznatijih na engleskom jeziku je sledeca:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum me-chanics (Kako zelim pice, alkoholno naravno, posle teskih predavanja koja obuhvataju kvantnumehaniku).

Broj slova svake engleske reci u ovoj recenici predstavlja vrednost cifre u aproksimaciji3.14159265358979 - 14 tacnih cifara.

,,Pamtilica”

May I have a large container of coffee? (Mogu li dobiti veliku solju kafe?)

je kraca ali efektna, dok je sledeca data u obliku stihova (Literary Digest, 1906):

Now I, even I, would celebrateIn rhymes inapt, the greatImmortal Syracusan, rivaled nevermore,Who in his wondrous lore,Passed on before,Left men his guidance how to circles mensurate.

Evo jedne i na srpskom jeziku:

Jos i krug u skoli upoznajes (3.14159).

47 • Koristeci Euklidova oruda (sestar i lenjir), de Gelder (1849) je konstruisao duz kojapredstavlja veoma dobru aproksimaciju broja π. Neka je |AB| = 1 precnik datog kruga (sl. 9).Nacrtajmo normalu BC na precnik tako da je |BC| = 7

8. Zatim konstrusimo duz AD = AC na

AB i u tacki D podignimo normalu DE takvu da je |DE| = 12. Neka je F podnozje normale

DF povucene iz tacke D normalno na AE. Nacrtajmo duz EG paralelnu sa FB. Uzimajuci uobzir da je tan α = |DE|/|AD|, izracunavamo

|GB||AB| =

|EF ||FA| =

|DE| sinα

|AD| cosα=|DE|2|AD|2 =

|DE|2|BA|2 + |BC|2 ,

odakle je |GB| = 42/(72 + 82) = 16/133 = 355/116− 3 = 0.1415929... decimalni deo broja π satacnoscu do seste decimale. Dakle, 3 + |GB| se razlikuje od π za manje od milionitog dela.

A

C

FE

B G D

a

a

10

Sl. 9 Geometrijska konstrukcija broja π na 6 tacnih decimala

48 • Interesantno je da se pojam razlomka pojavljuje nezavisno i mnogo kasnije od konceptacelog broja. Na primer, termini za 1/2 u razlicitim jezicima su: jedna-polovina, semis, moitiesto nije direktno povezano sa recima: dva, duo, deux.

49 • Da bi racunanja sa razlomcima ucinili jednostavnijim i laksim, Egipcani su predstavilisve razlomke, izuzev 2/3, kao zbir takozvanih jedinicnih razlomaka, tj. razlomaka sa jedinicnimbrojiocima. Jedan od problema iz Rajndovih papirusa izrazava 2/97 kao zbir 1/56 + 1/679 +1/776 (naravno, u egipatskim hijeroglifima). Napomenimo da se upotreba jedinicnih razlomakazadrzala u izvesnoj meri cak i danas, na primer, u izrazavanju kvaliteta dragocenih metala ujedinici karat; jedan karat oznacava 1/24-ti deo cistog zlata sadrzanog u leguri (dakle, 24 karataoznacava cisto zlato).

50 • Lako je izraziti 1 kao sumu razlicitih jedinicnih razlomaka (tzv. egipatski razlomci);minimalno resenje je razvoj 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6. Medutim, razvoj 1 po razlicitim jedinicnimrazlomcima sa svim neparnim imeniocima predstavlja tezak problem koji je uz pomoc racunararesio 1971. japanski programer S. Jamasita. Postoji pet resenja ovog problema, pokazanih dole,svako sa devet sabiraka:

1 =1

3+

1

5+

1

7+

1

9+

1

11+

1

15+

1

35+

1

45+

1

231

=1

3+

1

5+

1

7+

1

9+

1

11+

1

15+

1

33+

1

45+

1

385

=1

3+

1

5+

1

7+

1

9+

1

11+

1

15+

1

21+

1

231+

1

315

=1

3+

1

5+

1

7+

1

9+

1

11+

1

15+

1

21+

1

165+

1

693

=1

3+

1

5+

1

7+

1

9+

1

11+

1

15+

1

21+

1

135+

1

10395.

51 • Holanski matematicar i inzenjer Simon Stevin je prvi uveo terminologiju i notaciju zadecimalne razlomke (1585). On daje primere: 3 1© 7 2© 5 3© 9 4© sto znaci 3 prima (deseti deojedinice), 7 sekundi (deseti deo prima), 5 trecih, i 9 cetvrtih, ili 3/10, 7/100, 5/1000, 9/10000,sto daje 3759/10000. Brojeve napisane na ovaj nacin Stevin zove decimalni brojevi. U svojojdoktorskoj disertaciji On the Concept of One as a Number (O konceptu jedinice kao broja,Univerzitet u Torontu, 1978), Carls Dzons (Charles Jones) naziva Stevinovu ideju decimala,,krahom grckog koncepta broja.”

52 • Moderna teorija veriznih razlomaka pocela je sa italijanskim matematicarem RafaelomBombelijem, koji je pokazao 1572. godine8 da je

√13 = 3 +

4

6 +4

6 +4

6 + . . .

.

U sustini, on je koristio razvoj

√

a2 + b = a +b

2a +b

2a +b

2a + · · ·

.

8Modo di formare il rotto nella estrattione delle Radici quadrate, u Bombelijevoj Algebri, Bologna 1572.

11

Ovaj opsti algoritam uveo je 1613. drugi italijanski matematicar P. A. Kataldi (1548–1626).Naziv ,,verizni razlomak” smislio je engleski matematicar i teolog Dzon Valis (1616–1703), clani jedan od osnivaca Kraljevskog naucnog drustva u Londonu.

53 • Cuveni indijski matematicar-amater Srinivasa Ramanudzan (1887–1920) primetio je uQuarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (Vol. 45, 1913–14, str. 350) da je broj

eπ√

163 verovatno ceo. Naime, on je nasao da je njegova vrednost osamnaestocifreni broj kodkoga iza decimalne tacke sledi devet devetki:

eπ√

163 = 262 537 412 640 768 743.999 999 999 999... .

Da se ispostavilo da je ovaj broj zaista ceo, to bi bilo jedno od najuzbudljivijih i najspektaku-larnijih otkrica u Teoriji brojeva.

Razvoj modernih racunara omogucio je racunanje u aritmetici visestruke preciznosti dajuci

eπ√

163 = 262 537 412 640 768 743.999 999 999 999 250 072... .

Prema tome, razmatrani izraz ipak nije ceo broj mada je veoma blizu celog broja. Postavlja seprirodno pitanje: kako je moguce da izracunavanje, koje ukljucuje dva transcedentna broja e i πi iracionalan broj

√163 (pritom je 163 prost broj) daje tako neverovatnu bliskost celom broju?

Prema M. Somosu, objasnjenje ovog cudnog slucaja moglo bi se naci u sledecem razvoju:

eπ√

163 = 6403203 + 744− 7.499274 · · · × 10−13.

54 • Indijski matematicar D. R. Kaprekar je najpoznatiji van Indije po svom otkricuKaprekarove konstante sezdesetih godina 20-tog veka. Ova konstanta dobija se na sledeci nacin.Polazeci od proizvoljnog cetvorocifrenog broja, kome nisu sve cifre jednake, formiramo dva novabroja: jedan sa ciframa poredanim u opadajucem redosledu, a drugi sa ciframa u rastucemredosledu. Zatim od prvog (veceg) broja oduzmemo drugi (manji) broj i na taj nacin dobijamonovi broj. Ako ovaj proces sa razlikama nastavimo da ponavljamo, posle najvise 8 koraka sticicemo do Kaprekarove konstante 6174, koja tada generise samu sebe i predstavlja kraj opisanogprocesa.

Primer: Neka je 8273 polazni cetvorocifreni broj. U prvom koraku dobijamo 1) 8732−2378 =6354. Tada nalazimo 2) 6543 − 3456 = 3087; 3) 8730 − 0378 = 8352; 4) 8532 − 2358 = 6174.Ovde se proces generisanja zavrsava jer broj 6174 generise sam sebe, naime, 7641−1467 = 6174i dolazi do ponavljanja.

55 • Dobro je poznato da se broj 13 smatra baksuznim brojem; mnogi hoteli (narocito u SAD)nemaju sobu sa tim brojem. Fenomen ,,baksuznih brojeva” bio je izgleda oduvek prisutan. Takou jezicima nekih africkih plemena ne postoji rec za broj sedam vec se zamenjuje slozenicom 6+1.

Neki africki narodi smatraju da brojanje ljudi, kuca, stoke moze biti baksuzno. Postoji strahda bi brojanje ljudi ili vrednosti moglo prizvati nesrecu. Da bi to izbegli, pripadnici narodaKpele iz Liberije racunaju pomocu gomila kamenja. U tome su toliko vesti da su u jednomeksperimentu prikazali daleko bolju sposobnost procene broja kamencica na gomilama razlicitihvelicina nego studenti sa Univerziteta Jejl. S druge strane, davali su veoma pogresne procenebroja kuca u selu ili broja ljudi koji u njemu zive, jer na ovakvo brojanje nisu navikli.

56 • Broj pet javlja se u nekoliko interesantnih situacija u raznim oblastima matematike. Evonekih primera:

1. Pet nekomplanarnih tacaka na jedinstven nacin definise konus.

12

2. Postoji tacno pet pravilnih poliedara.3. Sve grupe reda jednakog pet su proste.4. Opsta algebarska jednacina stepena veceg ili jednakog pet ne moze biti resena pomocu

radikala.5. Broj deljenja potrebnih da se nade najveci zajednicki delilac dva broja nije veci od pet ×

broj cifara manjeg broja (Lameova teorema).6. Svaki pozitivan ceo broj moze se izraziti kao suma najvise pet razlicitih pozitivnih ili

negativnih celobrojnih kubova. (Postoji pretpostavka da je i cetiri dovoljno.)

57 • Pretpostavimo da je veliki komad papira, debljine hiljaditog dela centimetra, presavijentacno na pola, a zatim da je dobijeni komad ponovo presavijen. Ako bi se ovaj proces presavijanjapapira izvrsio 50 puta, kolika bi bila visina dobijene gomile papira?

Mnogi ce na ovo pitanje odgovoriti metar ili dva, oni oprezniji rekli bi mozda 1 kilometar anajludi odgovor mogao bi da bude, na primer, 100 kilometara. Medutim, tacan odgovor na ovopitanje je krajnje zaprepascujuci: debljina papira iznosila bi preko 11 miliona kilometara!

58 • Gugol i gugolpleks. Profesor Edvard Kasner sa Univerziteta Kolumbija u Njujorkusakupio je tokom godina neke interesantne podatke koji se ticu velikih brojeva:

1. Temperatura u centru eksplozije atomske bombe iznosi 2× 108 stepeni Farenhajta;2. Procenjuje se da je ukupan broj reci izgovorenih od pocetka sveta priblizno 1018;3. Ukupan broj stampanih reci pocev od pojave Gutenbergove Biblije je nesto veci od 1017;4. Starost Zemlje procenjuje se na oko 10 milijardi godina ili oko 1018 sekundi;5. Poluvreme raspada uranijuma 238 iznosi 1.42× 1017 sekundi;6. Broj zrna peska na obali Koni Ajlenda kraj Njujorka je oko 1020;7. Ukupno vreme sirenja svemira je verovatno manje od 2000 miliona miliona godina, ili oko

1022 sekundi;8. Masa Zemlje je oko 5.4× 1024 kilograma;9. Broj atoma kiseonika u jednom naprstku prosecne velicine iznosi oko 1027;10. Prema teoriji relativiteta, precnik univerzuma iznosi oko 1029 santimetara;11. Broj sneznih kristala potrebnih da se formira ledeno doba bio bi oko 1030;12. Ukupan broj nacina da se 52 karte poredaju u niz je reda 8× 1067;13. Ukupan broj elektrona u svemiru prema jednoj proceni iznosi oko 1079;

Baratajuci s velikim brojevima, profesor Kasner je smatrao potrebnim da smisli naziv broja10100, koji je znatno veci od bilo kog od prethodno navedenih brojeva. Konacno je usvojio nazivgugol koji mu je predlozio njegov devetogodisnji necak. Kasnije, kada se pokazalo da ni ovajbroj nije dovoljno veliki, uveden je naziv gugolpleks za broj 10gugol.

59 • Ubedljivi gigant medu giganskim brojevima je Skjuesov broj. U odnosu na njega cak igugolpleks je patuljak. Ovaj broj nazvan je prema engleskom matematicaru Skjuesu (Skewes),a pojavio se u vezi sa izucavanjem distribucije prostih brojeva i iznosi

10101034

60 • Ukupan broj svih mogucih poteza u jednoj sahovskoj partiji je reda

101050

Cuveni matematicar Godfri H. Hardi (1877–1947), dugogodisnji profesor Univerziteta u Kem-bridzu, jednom je izneo sledecu zanimljivu teoriju. Ako bismo pretpostavili da je ceo univerzumjedna trodimenzionalna sahovska tabla na kojoj su figure protoni i ako pod potezom u ovoj

13

kosmickoj igri smatramo zamenu mesta bilo koja dva protona, tada bi ukupan broj mogucihpoteza bio upravo Skjuesov broj.

61 • Najveci broj ikad koriscen u matematickom dokazu je granicna vrednost publikovana1977. u radu Ronalda Grahama, matematicara i istaknutog naucnika u oblasti kompjuterskihnauka zaposljenog u kompaniji AT&T Bell Labs (Murej Hil, SAD). Taj broj se odnosi na bihro-matske hiperkocke koje se pojavljuju u Ramzejevoj teoriji, i nemoguce ga je iskazati bez posebnenotacije sa ,,strelicama” (videti tacku 113 u ovom delu).9 Notaciju je smislio 1976. cuveni Don-ald Knut, profesor Univerziteta u Stenfordu. Ovaj broj prikazan je pomocu 64 sloja. On je takoneshvatljivo veliki da nema fizicki analogon cak ni u odnosu na broj atoma u vasioni.

62 • Jos su stari Grci znali da postoji beskonacno mnogo prostih brojeva. Jedan od dokazamoze se naci u Euklidovim Elementima (Knjiga IX, Propozicija 20). Nemacki matematicarPeter Lezen Dirihle (1805–1859) dokazao je da svaka aritmeticka progresija a, a+d, a+2d, . . . ,gde su a i d relativno prosti projevi (tj. njihov najveci zajednicki delilac je 1) sadrzi beskonacnomnogo prostih brojeva. Dokaz nije jednostavan.

63 • Jedna od najvaznijih teorema (asimptotski zakon raspodele prostih brojeva) u Teorijibrojeva glasi: Ako je π(n) broj prostih brojeva ne vecih od n, tada je

limn→∞

π(n) log n

n= 1.

Dokaz su 1896. skoro istovremeno i nezavisno dali francuski matematicar Zak Adamar (1865–1963) i belgijski matematicar Sarl Zan de la Vale Pusen (Charles Jean de la Vallee Poussin,1866–1962).

64 • Broj 357 686 312 646 216 567 629 137 je najveci (do sada) pronadeni prost broj kojiuvek ostaje prost ako mu izbrisete proizvoljan broj cifara polazeci od prve. Evo cudne listeprostih brojeva:

357686312646216567629137576863126462165676291377686312646216567629137

.............................137377

65 • Najveci poznati prost broj (u ovom momentu) je 41. Mersenov prost broj (broj oblika2n − 1)

224036583 − 1

koji ima 7 235 732 cifara, a pronaden je juna 2004.

2. Terminologija

66 • Apstraktno prikazivanje brojeva pomocu kamencica i racunanje na taj nacin, donelonam je latinsku rec kalkulacija, sto znaci rukovanje kamencicima. Ovaj termin vodi poreklo odlatinske reci calculus, sto znaci sljunak, koja je prevedena u srednjovekovno-latinsku rec calculare- racunati.

9Citirano u Guinness Book of Records, Redwood Burn Ltd, Trowbridge, Wiltshire, 1983.

14

67 • Karl Meninger je u svojoj knjizi Number Words and Number Symbols, a Cultural Historyof Numbers (The M.I.T. Press, 1969) sistematizovao poreklo glagola ,,racunati” u razlicitimjezicima. Istrazivanje korena porekla ove reci dovelo je do najstarijih instrumenata za racunanje– prstiju, rabosa, racunaljke.

Jezik Rec Znacenje Izvodna rec

Grcki pempazein ,,pljesnuti rukama” brojanje na prste

psephizein ,,pomerati kamencice” racunaljkaLatinski computare ,,zaseci” rabos

calculos ponere ,,namestiti kamenje” racunaljkaSrednjovekovni calculare ,,pomerati kamencice” racunaljka

latinskiFrancuski jeter ,,baciti” racunaljka

compter

calculer < Lat. computareEngleski to cast ,,baciti” racunaljka

to count < Lat. computare

68 • Kada su Amerikanci okupirali Japan 1945. godine, zapazili su da japanski trgovci ideca u skolama koriste jedan cudan instrument za izvrsavanje aritmetickih operacija. Ovajinstrument, koji se zove japanski abakus ili soroban, delovao je primitivno i kostao je u tovreme 25 centi. Amerikanci su raspolagali savremenim elektricnim masinama za racunanje poceni od $700. U zelji da demonstriraju svoju superiornost nad pokorenim ratnim protivnikom,Amerikanci su organizovali javno takmicenje u brzini racunanja. Japance je predstavljao 22-godisnji Kijosi Macuzuki sa obicnim abakusom a Amerikance, takode 22-godisnak, porucnikTomas Jan Vud sa elektricnom masinom. Pred oko 3000 gledalaca Macuzuki je demonstriraotakvu brzinu baratanja abakusom da je dobio nadimak ,,ruke” i ubedljivo porazio Vuda u kate-gorijama sabiranja, oduzimanja, deljenja i kombinovanih zadataka. Vud je uspeo da bude boljisamo u mnozenju, sto nije mnogo popravilo utisak neocekivanog teskog poraza.

69 •Glavna pokretacka snaga razvoja matematike u najranijem periodu, ali i vekovima kasnije(od Vavilona pa sve do Ojlera i Laplasa), bile su prakticne potrebe merenja zemlje i astronomije,sto je bilo izuzetno vazno u agrarnim drustvima (potrebe irigacije i poljoprivrede) a takode i umoreplovstvu. Mnogi termini koje danas koristimo poticu od tih prakticnih potreba. Na primer,geometrija znaci ,,merenje zemlje” na grckom, sto je nastalo od reci Γη (ge) - zemlja i µετριν(metrein) - meriti.

70 • Mnoge stare mere za duzinu proistekle su sasvim prirodno od razlicitih delova ljudskogtela. Na primer, u drevnom Egiptu i Sumeru kao manja jedinica za duzinu koristio se kubit- rastojanje od lakta do vrha srednjeg prsta. Naravno, ova jedinica je varirala od coveka docoveka, kao sto je slucaj i sa merama stopa, ruka, saka, prst (sirina kaziprsta), jard (rastojanjeod vrha nosa do kraja ispruzene ruke).

Da bi se dobila jednoznacna mera, jard je u Engleskoj standardizovan kao rastojanje od vrhanosa do kraja ispruzene ruke kralja Henrija I. Sama rec ,,jard”, na engleskom ,,yard”, potice odanglo-saksonske reci ,,yerde” koja znaci stap, a danas se cesto koristi u znacenju stap dugacakjedan jard (91.4 cm).

Rimljani su koristili duodecimalni sistem (sa osnovom 12) pa su shodno tome delili stopu nadvanaest jednakih delova koje su zvali ,,unciae” (dvanaestina). Odatle je dobijena rec unca atakode i engleska rec inc. 1324. godine kralj Edvard II standardizovao je inc kao duzinu ,,trijecmena zrna, okrugla i suva polozena uzduz”.

15

Rec milja potice od latinskog ,,mille passuum”, sto je znacilo hiljadu duplih koraka. Smatrase da je jedan korak u rimskoj vojsci bio trideset inca, a rimska milja je bila pet hiljada stopa.Medutim, milja se znatno razlikovala od zemlje do zemlje. Slicno je sa jedinicom mere liga, kojase takode vrlo razlikuje u razlicitim delovima sveta.

71 • Stari Grci su osnovali aritmetiku kao vrstu teorije brojeva. Naziv Aριθµητικη (arith-metike’) potice od grcke reci αριθµos (arithmos’), sto znaci broj. Ovaj termin je preveden nalatinski kao aritmetika, a preko latinskog jezika univerzalno prihvacen u svim jezicima.

72 • Nazive elipsa (znaci nedostatak), parabola (stavljanje pored ili poredenje) i hiperbola(bacanje dalje) je uveo Apolonije, koji je ziveo u trecem veku pre nove ere.

73 • Poreklo engleske reci sine (sinus) je prilicno neobicno i potice od niza pogresnihprevodenja sanskritske reci ardha-jua (polu-akord). Indijski matematicar Arijabata (oko 474–oko 550) skratio je ovaj termin na jua (akord) ili njen sinonim jiva. Zatim su Arapi fonetickiprepisali ovu rec u (rec bez znacenja) jiba, ali napisanu kao jb jer je arapski izostavljao samo-glasnike. Kasniji arapski pisci su zamenili jb sa jaib, sto je arapska rec koja znaci ,,pecina”ili ,,zaliv”. Gerardo iz Kremone (12. vek), kada je prevodio arapski rad iz trigonometrije nalatinski, zamenio je arapski jaib ekvivalentnom latinskom reci sinus, odakle je nastala engleskarec sine.

74 • Svajcarski matematicar Johan Lambert je prvi (1768) koristio imena hiperbolicki sinus(sinh x) i hyperbolicki kosinus (cosh x) za funkcije (ex − e−x)/2 i (ex + e−x)/2, respektivno.On je takode uspostavio analogiju izmedu ovih funkcija i obicnih trigonometrijskih funkcijasinus i cosinus. Medutim, Lambert nije bio prvi koji je uveo ove funkcije u trigonometriju.Prema M. Kantoru (Encyclopedie des sciences mathematiques, Vol. IV, 1908, str. 411), tacast pripada Vincencu Rikatiju (Vincenzo Riccati, 1707–1775), sinu mnogo poznatijeg JakopaRikatija (Jacopo Riccati, 1676–1754).

75 • Veliki uticaj Arapa na savremenu matematiku vidi se i kroz reci arapskog porekla algebrai algoritam. Hindu brojevi su bili poznati u Bagdadu jos u 8. veku. Oko 825. godine velikiarapski matematicar Abu Dzafer Muhamed ibn Musa al-Horezmi10 upoznao je Hindu sistemproucavajuci knjigu iz astronomije Sidhanta cuvenog indijskog matematicara i astronoma Brah-magupte. Odmah je shvatio njihovu vrednost i napisao knjigu objasnjavajuci nacin upotrebe.Ovu knjigu je preveo na latinski Adelard iz Bata (oko 1120) pod naslovom Liber Algorismi denumero Indorum (O indijskom broju – delo Algoritma). Otuda, termin algoritam, koji danasoznacava postupak izracunavanja koriscenjem vise specificnih metoda, predstavlja latinski pre-vod imena al-Horezmi.

76 • Termin algebra vodi poreklo od naziva knjige velikog arapskog matematicara al-Horezmija(9. vek) koji u originalu glasi Hisab al-jabr w’al-mukabalah (oko 825). Sadrzaj knjige obradujevecinom procedure za resavanje jednacina tako da rec al-jabr pocinje da se upotrebljava zacelokupnu algebru, koja je i inace sve do sredine 19. veka bila samo nauka o jednacinama. Recial-jabr (jabr je od jabara sto znaci ponovo sastaviti i ucvrstiti) i mukabalah, su tehnicki terminikoji se odnose na prebacivanje negativnih clanova na drugu stranu jednacine i skracivanje slicnihclanova sa obe strane jednacine, respektivno.11

77 • Rec fraction dolazi iz latinskog frangere (prelomiti). Veoma dugo razlomci su pisani bezcrte, cesto da bi se izbegle tipografske poteskoce. Na primer, razlomak 1

3je pisan na nacin 3

1

10Puno ime al-Horezmija znaci ,,Muhamed, otac Dzaferov, sin Muse, iz Horezmija”, provincije u Persiji.11U srednjovekovnoj Evropi rec algebra je imala pseudo-medicinsko znacenje ,,namestanje kostiju”, sto je

doslo iz Spanije. Dugo vremena algebrista je oznacavao berbera koji se, pored ostalog, bavio i namestanjempolomljenih kostiju.

16

(Baskara, oko 1150), zatim 1/3 (Friko, 1857), i cak kao ⇀ω radi boljeg centriranja. Oblik 1/3 je

nastao od 1 f 3, gde f znaci fratto (razlomak).

78 • Rec milion nije bila poznata pre 13. veka. Maximus Planudes (oko 1340) je verovatno biojedan od prvih matematicara koji je upotrebio tu rec. U stampanom obliku rec ,,milion” se prvopojavila u Treviso aritmetici iz 1478. Ova rec jednostavno znaci ,,veca hiljada” (od mille+on),kao sto ballon znaci ,,velika lopta” (od ball+on).

79 • Svi dokazi teorema u Euklidovim Elementima zavrsavaju se recenicom Quod erat demon-strandum, sto prevedeno sa latinskog znaci: Sto je i trebalo dokazati. Iz pocasti prema Euklidubilo je uobicajeno da se kraj dokaza oznaci slovima Q.E.D, kao skracenica od Quod Erat Demon-strandum, i ova tradicija je dugo postovana, posebno u udzbenicima iz geometrije. Simbol �, kojise danas cesto koristi kao oznaka za kraj dokaza, predlozio je Pol Halmos, americki matematicarmadarskog porekla. Osim ove, koriste se i druge oznake. U engleskom jeziku posebno je dovitljivaoznaka w5, sto je skracenica od ,,which was what was wanted” (,,sto je ono sto se trazilo”).

80 • Moderne termine tangenta (tangent) i tetiva (secant) je prvi uveo Tomas Fink (1561–1656) u svom radu Geometria rotundi libra XIV iz 1583.

81 • Uobicajen naziv cetiri osnovne operacije pojavio se u modernim vremenima. Najcescekorisceni izrazi u proslosti bili su ,,species” (vrste), posebno u Nemackoj i Spaniji, ,,radnje”,,,pasije” (u Italiji) i ,,delovi”. Nemacki matematicar Kristof Klavijus (Christoph Clavius, 1537–1612) u svojoj algebri (1608) po prvi put je upotrebio rec operacije a kasnije je ovaj terminpresao iz algebre u aritmetiku.

82 • Uvodenje naziva loksodroma za krivu na sferi koja gradi konstantan ugao sa meridijanimapripisuje se holandskom matematicaru, astronomu i fizicaru Vilebrordu Snelu (Willebrord Snell,oko 1580–1626).

83 • U matematici ima mnogo krivih koje su dobile svoja imena prema pronalazacu ili nekompotonjem istrazivacu. Medu njima su: Arhimedova spirala, Bernulijeva lemniskata, Bertranovekrive, Bolcmanova kriva, Koutsova spirala, Dekartov list, Ojlerova spirala, Fermaove parabole,Fermaove hiperbole, Fermaove spirale, Gausova kriva, Zerononova leminiskata, Hilbertova kriva,Lopitalova kubna kriva, kieroid (nazvan po P. J. Kiernanu), Kohova kriva, Lameove krive,Peanova kriva, vestica Anjezi, Vivijanieva kriva.

84 • U matematici se cesto srecu nazivi kao sto su Bernulijeva raspodela, Bernulijeva teorema(u verovatnoci i statistici), Bernulijeva diferencijalna jednacina, Bernulijevi brojevi, Bernulijevipolinomi, Bernulijeva lemniskata. Pitanje je u ciju cast su dati ovi nazivi jer je porodica Bernulibila mnogobrojna i veoma produktivna u matematici. Odgovor: svi ovi pojmovi i nazivi su datiu cast samo jednog od njih - Jakoba Bernulija.

85 • Rec logaritam znaci racionalan broj od grckog λoγos (logos - kolicnik) i αριθµos(arithmos)-broj i konstruisao ju je Dzon Neper (1550–1617), skotski matematicar. Neper jenajpre upotrebio izraz vestacki broj za svoje otkrice, ali ga je kasnije zamenio recju logaritam.Henri Brigs (Henry Briggs, 1561–1631), profesor geometrije na Gresem koledzu u Londonu, kojije sugerisao Naperu da uvede bazu 10 u svoj sistem, predlozio je u svojoj Arithmetica logarith-mica (1624) rec karakteristika, kao sto se koristi u logaritmima. Brigs je takode uveo rec mantisa(od kasno-latinskog termina etrurskog porekla sa znacenjem ,,dodavanje” ili ,,dodatak”), kojase pojavila u Valisovoj knjizi Algebra (latinsko izdanje, 1685) i Ojlerovom delu Introductio inanalysis infinitorum (Uvod u analizu beskonacnih velicina, 1748).

86 • Najranija upotreba skracenica sin, tan, sec za sinus, tangens i sekans pojavila se 1626.godine u radu Albera Zirara (Albert Girard, 1595–1632) o trigonometriji.

17

87 • Iako je cuveni francuski matematicar i filozof Rene Dekart (1596–1650) u svojoj knjiziLa Geometrie (1637) dao prvu studiju o analitickoj geometriji i upotrebio pravougli (Dekartov)koordinatni sistem za resavanje mnogih problema, termine koordinate, apscisa i ordinata je uveoLajbnic 1692. godine.

88 • U svom pismu Lajbnicu (1715), Johan Bernuli je uveo koordinatni sistem u prostoru(Oxyz), kakav danas koristimo.

89 • Termin diferencijalna geometrija prvi je koristio Luidi Bjanki (Luigi Bianchi, 1856–1928)godine 1894.

90 • Konvergencija beskonacnih redova je veoma malo proucavana sve do prvih radova Mak-lorena, Ojlera, Gausa, Kosija, Dalambera, Abela i njihovih savremenika. Termin konvergentniredovi uveo je Dzejms Gregori (James Gregory, 1638–1708) u svom radu Vera circuli et hyper-bolæ quadratura (1667), dok termin divergentni redovi dugujemo Nikolasu II Bernuliju (NicolasBernoulli, 1687–1759) iz 1713.12

91 • Radeci sa kvaternionima Hamilton je podelio kvaternion Q = a + bi + cj + dk na dvadela, realni deo a i imaginarni deo bi+cj +dk. Prvi deo je nazvao skalarni deo, a drugi je nazvaovektorski deo, jer se moze geometrijski konstruisati u trodimenzionalnom prostoru kao ,,pravalinija ili radijus vektor”. Prema tome, Hamilton je bio prvi koji je upotrebio rec ,,vektor” udanasnjem opstijem smislu.

92 • Naziv determinanta se po prvi put pojavio 1815. u Kosijevom radu o teoriji deter-minanata. Ovaj rad takode sadrzi skracenicu (aij) i postupak za izracunavanje determinantepomocu razvoja po bilo kojoj vrsti ili koloni. Eduard Firstenau (Furstenau) je uveo pojam deter-minante beskonacnog reda 1860. radeci na metodu aproksimacije korena algebarskih jednacina.

93 • Termin matrica uveo je 1850. Dzejms Dzozef Silvester (1814–1897) da oznacipravougaonu semu brojeva. Ovaj termin je cesto koristio njegov prijatelj Artur Kejli (1821–1895) u radovima iz 1855. i 1858. Medutim, treba napomenuti da su takve seme brojeva koristilikineski matematicari jos u trinaestom veku u vezi resavanja sistema linearnih jednacina.

94 • Lajbnic, koji je bio veliki inovator matematickih simbola i oznaka, uveo je 1694. ter-min funkcija (sto na latinskom znaci ekvivalentno) za oznacavanje zavisnosti promenljive y odpromenljive x. Godine 1734. Ojler je upotrebio notaciju f(x) da oznaci ,,funkciju od x.” Oz-nake f ′(x), f ′′(x), . . . za izvode funkcije, uveo je Lagranz (1736–1813) u svom radu Theorie desfonctiones analytique... iz 1772. On je f ′(x) nazvao fonction derivee (izvod funkcije) s obziromda je f ′ ,,izvedena” iz originalne funkcije f.

95 • Termine divergencija (ili konvergencija) (∇~a) i rotor (∇×~a) iz vektorske analize, uveo jeskotski fizicar Klerk Dzejms Maksvel (Clerk James Maxwell, 1831–1879) u svom radu Treatiseon Electricity and Magnetism (Studija o elektricitetu i magnetizmu), u saglasnosti sa njihovimfizickim znacenjem.

96 • Termin trigonometrija je uveo Bartolomeo Pitisk (Bartholomew Pitisc, 1561–1613) usvojoj knjizi Trigonometriae sive, de dimensione triagulis, Liber (Knjiga o trigonometriji, ilimerenje trouglova) (1595). Georg Simon Kligel (1739–1812) iz Halea (Nemacka) je bio prvi kojije predlozio termin trigonometrijska funkcija (1770).

3. Simboli

12Neki autori tvrde da je Dzejms Gregori takode koristio termin divergentni redovi.

18

97 • Francuski pravnik i matematicar Fransoa Vijet (1540–1603) dao je znacajan doprinospojavi i razvoju univerzalne simbolike. On je prvi upotrebio slova za izrazavanje brojnih koefi-cijenata pri resavanju jednacina, mada je jos uvek pisao razlicite stepene promenljivih pomocuslova (na multiplikativnom principu). Na primer, Vijet je pisao (oko 1590.)

1QC − 15QQ + 85C − 225Q + 274N aequatur 120

za izrazx6 − 15x4 + 85x3 − 225x2 + 274x = 120.

Odavde se vidi da je x6 izrazeno pomocu slova QC, dakle, kao proizvod kvadrata Q i kuba Cnepoznate N.

98 • Rene Dekart je primenom algebre u geometriji mnogo doprineo usavrsavanju Vijetovesimbolike. U svom delu La Geometrie (1637) izvrsio je sintezu algebre i geometrije stvorivsitako analiticku geometriju. Uveo je tzv. dekartove koordinate, a algebarske jednacine postale surelacije medu brojevima, sto je bio dalji napredak u matematickoj apstrakciji.

99 • Dekartov simbolizam je bio sasvim moderan. On je pisao (1634)

yy ∝ cy − cx

by + ay − ac za y2 = cy − cx

by + ay − ac

sto se razlikuje od sadasnje notacije samo po primeni aa umesto a2 (sto nije bilo sasvim usvojenopre Gausa),13 mada je pisao a3 i a4 umesto aaa i aaaa. On je takode koristio simbol ∝ zajednakost sto je postalo od ae, skracena verzija Vijetovog aequatur.

100 • Pocetkom 6. veka indijski matematicar Arijabata skratio je nepoznate na ya (prvanepoznata, sto vodi poreklo od javatavat, ,,mnogo kao”), a zatim dolazi ka, ni, pi, sto suskracenice imena boja crna, plava, zuta. Stepeni su nazvani va (drugi stepen), slede gha, va va,va gha, i tako dalje. Operacije su pokazane posle operanda recima ghata i bha, sto oznacavasabiranje i mnozenje, respektivno. Na primer, xy je ya ka bha, gde su x i y nepoznate.

101 • Nepoznate promenljive u evropskoj matematici petnaestog i sesnaestog veka nosile surazlicita imena kao sto su res (na latinskom), cos (na nemackom), cosa (na italijanskom) i chose(na francuskom).

102 • Fransoa Vijet je koristio slova da izrazi kako poznate tako i nepoznate velicine. Praviloje bilo da samoglasnici oznacavaju nepoznate, a suglasnici koeficijente pri resavanju jednacina.Dekart je uveo konvenciju koja se koristi i danas da se poznate velicine oznacavaju pocetnimslovima abecede: a, b, c, . . . a nepoznate poslednjim slovima: . . . , x, y, z.

103 • Danasnji simboli + i – pojavili su se u stampi po prvi put u aritmetici Johana Vidmana,publikovanoj u Lajpcigu 1489. Vidman nije upotrebio ove znake kao simbole operacija vec samoda ukaze na visak i manjak. Upotreba ovih znakova kao simbola algebarskih operacija pocela jeu radovima holandskog matematicara Vandera Hekea 1514. i Nemaca Mihaela Stifela i AdamaRajza, mada su verovatno korisceni i ranije.14 Znak plus vodi poreklo najverovatnije od latinskereci et, koja je cesto koriscena da oznaci sabiranje, dok je znak minus redukcija skracenice m zaminus.

13Godine 1656. Dzon Valis govori o negativnim i razlomljenim ,,indeksima”, ali stvarno ne pise a−1 za 1/a, ili

a2/3 za3√

a2. Isak Njutn je bio prvi koji je koristio negativne i razlomljene eksponente (u pismu H. Oldenburguod 13. juna 1676).

14Vidi J. W. L. Glaisher, On the early history of the signs + and – and on the early German arithmeticians,Messenger of Mathematics, LI (1921–1922), str. 1-148.

19

104 • Kvadratni koren je najpre bio predstavljen slovom R kao inicijalom latinske reciRadix (koren). Italijanski matematicar Luka Pacoli (oko 1444-oko 1509) koristio je R ili R2 zaoznacavanje kvadratnog korena, R3 za treci koren, a za cetvrti koren R4 ili RR (od RadixRadix).Na primer, on je pisao

RV 40mR320 za

√

40−√

320.

Slovo V u gornjoj formuli oznacava koren preko celog izraza i dolazi od V = U(niversalis).Simbol za kvadratni koren

√razvio se postepeno od malog slova r (od radix – koren), sto je

prvi koristio u svojim radovima Rafael Bombeli, preko simbola√

, koji je prvi upotrebio KristofRudolf (Christoff Rudolff, 1499–1545) godine 1525. Danasnji oblik (sa gornjom crtom) uveo jeDekart 1637. godine.

105 • Znak jednakosti ,,=” uveo je 1557. engleski matematicar Robert Rikord (oko 1510–1558)u svojoj knjizi The Whetstone of Whitte, prvoj engleskoj algebri. ,,Njemu se cinilo da nijednedve stvari ne mogu biti ‘more equalle’ (vise jednake) od ‘para paralelnih crta’– sto podseca naizreku da su ‘Vilijam i Dzon,’ blizanci, veoma slicni, narocito Vilijam.” Lajbnic i Njutn su imaliveliki udeo u tome da znak = zameni Dekartov simbol ∝.

106 • Prva upotreba decimalne tacke se pripisuje G. A. Maginiju (1555–1617) (De planistriangulanis (1592) i Kristofu Klavijusu (tablica sinusa, 1593). Interesantno je da su obojica biliKeplerovi prijatelji. Medutim, koriscenje decimalne tacke uslo je u matematiku dvadeset godinakasnije kada ju je usvojio Neper.

107 • Alber Zirar (roden u Francuskoj, proveo veci deo svog zivota u Holandiji) uveo je usvom radu Invention nouvelle en l’algebre (Novo otkrice u algebri) iz 1629. godine notaciju zarazlomljeni eksponent (kao am/n) i vise korene (npr. a1/3 za kubni koren kao alternativu za3√

a).

108 • Logaritamska funkcija po prvi put se pojavila u obliku ,,Log.” 1624. godine u raduJohana Keplera (1571–1630). Bonaventura Kavaljeri (Cavalieri, 1598–1647) je uveo oznaku,,log.” (1632), dok je Vilijam Otred dao njen konacan oblik ,,log” 1647. godine.

109 • Simbol ∼, koji je uveo Lajbnic, potice od slova ,,s” koje je polozeno, kao inicijal latinskereci similis – slican.

110 • Dzon Valis je prvi matematicar koji je poceo da izucava beskonacne procese i na tajnacin presao sa algebre na analizu. On je 1655. godine uveo simbol ∞ za beskonacno. Ovajsimbol koristili su Rimljani da bi oznacili hiljadu, ali je kod Grka on oznacavao deset hiljada.Za stare Kineze 10 000 je takode znacilo ,,beskonacno” i car je nazivan ,,10 000 godina”, sto jebio nacin da mu podanici pozele beskonacno dug zivot.

111 • Do otkrica diferencijalnog i integralnog racuna dosli su, nezavisno jedan od drugog, IsakNjutn i Gotfrid Lajbnic. Medutim, notacija koju je uveo Lajbnic bila je mnogo jednostavnijai modernija pa je iz tih razloga bila siroko prihvacena. On je uveo simbol

∫(stari oblik slova

s) kao inicijal reci suma umesto Kavaljerijeve oznake omnia da bi predstavio inverznu operacijuza d (diferenciranje). Lajbnic je 1686. objavio u Acta Eruditorum rad o integralnom racunu ukome se po prvi put pojavljuje simbol

∫u stampanom obliku. Svoj metod nazvao je calculus

summatorius, ali je 1696. usvojio termin calculus integralis koji mu je predlozio jos 1690. JakobBernuli (1654–1705).

112 • Simbol e (= 2.71828 . . . ), koji oznacava granicnu vrednost numerickog niza limn→∞(1+1/n)n, bio je uveden (u stampanom obliku) od strane Leonarda Ojlera 1736. u njegovom deluMechanica. On najverovatnije predstavlja prvo slovo reci ,,eksponencijalan”, mada neki istoricarimisle da je to upravo inicijal njegovog imena (Euler).

20

113 • U cilju predstavljanja veoma velikih brojeva, profesor Donald Knut sa Stenforda uveoje 1976. specijalnu ,,strelica” (↑) notaciju. U njegovoj notaciji x ↑ n znaci x · x · x · · ·x

︸ ︷︷ ︸

n puta

. Na

primer,

10 ↑ 10 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 000 000 = 1010

je 10 milijardi. Sledeci korak koristi dve strelice

x ↑↑ n = x ↑ (x ↑ (· · · ↑ x) · · · )),

gde su stepeni uzeti n puta. Na primer,

10 ↑↑ 10 = 10101010

1010

1010

1010

= 1 ispred 10101010

1010

1010

10

nula.

Ovo je tako veliki broj da je van ljudskog poimanja.Donald Knut daje sledece veoma ilustrativne primere. Prvi od njih glasi: ,,Ako majmun sedi

za pisacom masinom i kuca nasumice, prosecan broj pokusaja pre nego sto otkuca perfektno ceotekst Sekspirovog Hamleta bice mnogo, mnogo manji od 10 ↑↑ 10; to je broj koji pocinje jedinicoma sledi je oko 40 000 nula.” Drugi primer: ,,Zamislimo kocku sa stranicom duzine 40 milijardisvetlosnih godina (dimenzija poznatog univerzuma), i napunimo je majusnim kockama koje sumanje od protona i neutrona, recimo 10−13 cm na svakoj strani. Ukupan broj malih kocki nijeveci od 10125. Mozemo reci da je ovo ,,astronomsko veliki” broj, ali u stvari on ima samo 125cifara.”

114 • Georg Kantor (1845–1918) je definisao nacin uredenja beskonacnih skupova i uveonajmanji kardinalni broj ℵ0 (alef-nula, ℵ - prvo slovo hebrejskog pisma).

115 • Simbol O, koji oznacava velicinu istog reda, upotrebio je po prvi put Bahman 1894.godine, a kasnije ga je popularisao nemacki matematicar Edmund Landau (1877–1938). Zato jei poznat kao Landauov simbol.

LITERATURA:

Miodrag Petkovic, Ljiljana Petkovic: MATEMATICKI VREMEPLOV, prilozi za istorijumatematike, ZMAJ, Novi Sad 2006.